DNB – Nouvelle Calédonie – 13 décembre 2022

Nouvelle Calédonie – Décembre 2022

DNB maths – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Affirmation n°1 fausse
En une heure, l’avion a parcouru $1~200$ km.
En une heure le son a parcouru $340,29\times 60^2=1~225~044$ m soit $1~225,044$ km.

$\quad$

Affirmation n°2 fausse
On a :
$\begin{align*} 4(4x-4)+16&=16x-16+16 \\
&=16x\end{align*}$
Et $16x \neq 16x^2$.

$\quad$

Affirmation n°3 fausse
$33=3\times 11$. Donc $33$ n’est pas un nombre premier. $33\times 13$ n’est donc pas une décomposition en produit de facteurs premiers.

$\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

  1. On peut écrire $\text{somme(A1:C1)}$.
    Réponse A
    $\quad$
  2. On a donc $\dfrac{15+10+13+9+10+x}{6}=11$ soit $57+x=66$.
    Par conséquent $x=66-57$ c’est-à-dire $x=9$.
    Réponse A
    $\quad$
  3. L’équateur est un parallèle.
    Réponse C
    $\quad$
  4. Le rayon de la boule est $R=\dfrac{6}{2}$ soit $R=3$ cm.
    Le volume de la boule est donc
    $\begin{align*} V&=\dfrac{4}{3}\pi 3^3 \\
    &=4\times 3^2 \pi\\
    &=36\pi\end{align*}$
    Réponse A
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. On obtient :
    $\begin{array}{|l|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Vitesse du vent (en nœuds)}&10&15&20&25 \\
    \hline
    \text{Nombre de jours}&3&\boldsymbol{5}&\boldsymbol{4}&3 \\
    \hline
    \text{Fréquence en % arrondie à l’unité}&\boldsymbol{20}&33&\boldsymbol{27}&\boldsymbol{20}\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
  2. $5+4+3=12$. La vitesse du vent est supérieure ou égale à $15$ nœuds durant $12$ jours.
    $\dfrac{12}{15}=0,8$.
    La vitesse du vent est supérieure ou égale à $15$ nœuds $80\%$ des jours.
    $\quad$
  3. $\dfrac{15}{2}=7,5$.
    La médiane est donc la $8\ieme$ valeur c’est-à-dire $15$ (on utilise le tableau de la question 1.).
    $\quad$

 

 

Ex 4

Exercice 4

  1. On obtient la figure suivante :
    $\quad$

    $\quad$
  2. Dans le triangle $MWB$, le plus grand côté est $[MB]$.
    D’une part $MB^2=56,25$
    D’autre part $MW^2+WB^2=36+20,25=56,25$
    Par conséquent $MB^2=MW^2+WB^2$.
    D’après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle $MWB$ est rectangle en $W$.
    $\quad$
  3. Dans le triangle $MWB$ rectangle en $W$ on a :
    $\begin{align*} \tan \widehat{BMW}&=\dfrac{BW}{MW} \\
    &=\dfrac{4,5}{6} \\
    &=0,75\end{align*}$
    Par conséquent $\widehat{BMW} \approx 37$°.
    $\quad$
  4. a. voir figure
    $\quad$
    b. voir figure
    $\quad$
    c. Dans les triangles $WEF$ et $WMB$ :
    $\qquad \bullet$ $E\in [WM]$ et $F\in [WB]$;
    $\qquad \bullet$ $(MB)$ et $(EF)$ sont parallèles.
    D’après le théorème de Thalès :
    $\dfrac{WE}{WM}=\dfrac{WF}{WB}=\dfrac{EF}{MB}$
    c’est-à-dire $\dfrac{WE}{6}=\dfrac{3}{4,5}$
    Ainsi $WE=6\times \dfrac{3}{4,5}$
    Donc $WE=4$ cm.
    $\quad$
  5. a. voir figure
    $\quad$
    b. voir figure
    $\quad$
  6. $W\in [MT]$ donc $MT=MW+WT$.
    Par conséquent $10=6+WT$ et $WT=4$ cm.
    $W\in [ET]$ donc :
    $\begin{align*} ET&=EW+WT \\
    &=4+4 \\
    &=8\end{align*}$.
    Ainsi $ET=8$ cm.
    $\quad$

Ex 5

Exercice 5

  1. $4\times 1~600=6~400$.
    Le prix de $4$ heures de cours avec le tarif découverte est de $6~400$ F.
    $\quad$
  2. a. $4~800+4\times 600 = 4~800+2~400=7~200$.
    On doit donc payer $7~200$ F pour $4$ heures de cours avec le tarif personnalisé.
    $\quad$
    b. $4~800+10\times 600 = 4~800+6~000=10~800$.
    On doit donc payer $10~800$ F pour $10$ heures de cours avec le tarif personnalisé.
    $\quad$
    c. On a $P(x)=4~800+600x$.
    $\quad$
  3. a. Pour $x$ heures de cours on paye $1~600x$ F avec le tarif découverte et $9~600$ F avec le tarif renforcé.
    On veut donc résoudre $1~600x=9~600$.
    Par conséquent $x=\dfrac{9~600}{1~600}$ soit $x=6$.
    Les tarifs sont donc égaux pour $6$ heures de cours.
    $\quad$
    b. On sait que $P(4)=7~200$ et $P(10)=10~800$.
    Par conséquent la droite représentant la fonction $P$ passe par les points de coordonnées $(4,7~200)$ et $(10,10~800)$.
    $\quad$

    $\quad$
    c. On a $P(7)=9~000$ et $1~600\times 7=11~200$.
    Par conséquent $9~000<9~600<11~200$.
    Le tarif personnalisé est donc le plus économique pour $7$ heures de cours.
    $\quad$
  4. On veut résoudre l’équation $4~800+600x=9~600$ c’est-à-dire $600x=4~800$.
    Par conséquent $x=\dfrac{4~800}{600}$ soit $x=8$.
    Juliette paie le même prix avec le tarif personnalisé et le tarif renforcé pour $8$ heures de cours.
    $\quad$

 

Ex 6

Exercice 6

  1. a. Gabriel a obtenu $3$ au premier lancer.
    $\quad$
    b. Gabriel a obtenu $2$ au second lancer.
    $\quad$
  2. On peut obtenir :
    $(1;1)$, $(1;2)$, $(1;3)$, $(1;4)$, $(2;1)$, $(2;2)$, $(2;3)$, $(2;4)$, $(3;1)$, $(3;2)$, $(3;3)$, $(3;4)$, $(4;1)$, $(4;2)$, $(4;3)$ ou $(4;4)$.
    $\quad$
  3. Il est impossible d’obtenir une somme égale à $1$ puisque la plus petite somme obtenue est $2$.
    $A$ est donc l’événement impossible.
    $\quad$
  4. L’événement $C$ est obtenu à l’aide des tirages $(1;4)$, $(2;3)$, $(3;2)$ et $(4;1)$.
    $\quad$
  5. La probabilité que l’événement $C$ se réalise est :
    $\begin{align*} p(C)&=\dfrac{4}{16} \\
    &=\dfrac{1}{4}\end{align*}$
    $\quad$

Ex 7

Exercice 7

  1. On obtient :
    $\quad$

    $\quad$
  2. On obtient :
    $\quad$

    $\quad$

Énoncé

Exercice 1  : Vrai ou Faux    18 points

Pour chacune des trois affirmations ci-dessous, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.

Affirmation n° 1 : La vitesse d’un avion qui vole à $1~200$ km/h est supérieure à la vitesse du son qui est $340,29$ m/s.

$\quad$

Affirmation n° 2 : Pour tout nombre $x$, on a $4(4x-4)+16 = 16x^
2$.

$\quad$

Affirmation n° 3 : $33\times 13$ est la décomposition en produit de facteurs premiers de $429$.

$\quad$

$\quad$

Exercice 2 : QCM     12 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).
Pour chaque question, une seule des trois réponses proposées est exacte.
Sur la copie, indiquer le numéro de la question et la réponse A, B ou C choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Aucun point ne sera enlevé en cas de mauvaise réponse.

  1. Dans un tableur, quelle formule faut-il saisir dans la cellule $\text{D1}$ pour afficher la somme des nombres des cellules $\text{A1}$, $\text{B1}$ et $\text{C1}$ ?
    $\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    &\text{A}&\text{B}&\text{C}&\text{D}\\
    \hline
    1&3&5&4&\\
    \hline
    \end{array}$
    Réponse A : $\text{=somme(A1:C1)}$
    Réponse B : $\text{=(A1:C1)}$
    Réponse C : $\text{=somme(A1*C1)}$
    $\quad$
  2. Soit la série de nombres : $15; 10; 13; 9; 10; x$.
    La moyenne de la série est $11$ pour $x$ égal à …
    Réponse A : $9$
    Réponse B : $10$
    Réponse C : $11$
    $\quad$
  3. Sur la terre, l’équateur est :
    Réponse A : un méridien
    Réponse B : un demi-cercle
    Réponse C : un parallèle
    $\quad$
  4. Le volume exact, en cm$^3$, d’une boule de $6$ cm de diamètre est :
    On rappelle le volume $V$ d’une boule de rayon $R$ : $V=\dfrac{4\pi R^3}{3}$
    Réponse A : $36\pi$
    Réponse B : $113,097~335~5$
    Réponse C : $288\pi$
    $\quad$

$\quad$

$\quad$

Exercice 13 : Le vent    12 points

On a relevé la vitesse du vent à 13 heures du 1$\ier$ au 15 novembre sur une plage de Nouvelle- Calédonie.
Les vitesses approchées sont données, en nœuds, dans le tableau ci-dessous :

$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\begin{array}{l} \text{Jours du 1$\ier$ au 15}\\\text{novembre}\end{array}&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15\\
\hline
\begin{array}{l} \text{Vitesse du vent en}\\\text{nœuds}\end{array}&10&15&20&20&15&10&10&20&15&25&25&25&20&15&15\\
\hline
\end{array}$

  1. À partir des données ci-dessus, compléter le tableau figurant sur l’annexe.
    $\quad$
  2. Calculer le pourcentage de jours où la vitesse de vent est supérieure ou égale à $15$ nœuds sur la plage, entre le 1$\ier$ et le 15 novembre.
    $\quad$
  3. Déterminer la vitesse médiane du vent sur la plage durant cette période.
    $\quad$

Annexe :

  1. $\begin{array}{|l|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Vitesse du vent (en nœuds)}&10&15&20&25 \\
    \hline
    \text{Nombre de jours}&3&\phantom{123456}&\phantom{123456}&3 \\
    \hline
    \text{Fréquence en % arrondie à l’unité}&\phantom{123456}&33&\phantom{123456}&\phantom{123456}\\
    \hline
    \end{array}$

$\quad$

$\quad$

Exercice 4 : Construction    20 points

Un triangle $MWB$ est tel que $MB = 7,5$ cm; $WB = 4,5$ cm et $MW = 6$ cm.

  1. Sur la copie, construire le triangle $MWB$.
    $\quad$
  2. Montrer que le triangle $MWB$ est rectangle en $W$.
    Rédiger la réponse en faisant apparaître les différentes étapes.
    $\quad$
  3. Calculer la mesure de l’angle $BMW$. Arrondir le résultat au degré près.
    $\quad$
  4. a. Placer le point $F$ sur le segment $[WB]$ tel que $WF = 3$ cm.
    $\quad$
    b. Tracer la parallèle à $(MB)$ passant par $F$. Elle coupe $(MW)$ en $E$. Placer le point $E$.
    $\quad$
    c. Calculer $WE$.
    Rédiger la réponse en faisant apparaître les différentes étapes.
    $\quad$
  5. a. Placer le point $T$ sur la demi-droite $[MW)$ de la figure précédente tel que $MT = 10$ cm.
    $\quad$
    b. Tracer le segment $[TB]$.
    $\quad$
  6. Calculer la longueur TE.
    Faire apparaître les différentes étapes du calcul.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 5 : Le club    20 points

Juliette désire apprendre la planche à voile, elle prend des renseignements auprès d’un club qui propose trois tarifs mensuels.

  • Le tarif découverte à $1~600$ F par heure de cours.
  • Le tarif personnalisé qui comprend une carte d’adhérent à $4~800$ F et un prix fixe de $600$ F par heure de
    cours.
  • Le tarif renforcé à $9~600$ F pour un nombre illimité d’heures de cours.
  1. Calculer le prix à payer pour $4$ heures de cours avec le tarif découverte.
    $\quad$
  2. a. Montrer que $4$ heures de cours avec le tarif personnalisé coûtent $7~200$ F.
    $\quad$
    b. Calculer le prix à payer pour $10$ heures de cours avec le tarif personnalisé.
    On désigne par $x$ le nombre d’heures de cours. On note $P(x)$ le prix à payer en francs avec le tarif personnalisé.
    $\quad$
    c. Exprimer $P(x)$ en fonction de $x$.
    Les fonctions donnant les prix à payer avec les tarifs découverte et renforcé sont représentées sur l’annexe.
    $\quad$
  3. a. Pour combien d’heures de cours ces deux tarifs sont-ils égaux ?
    $\quad$
    b. Tracer la représentation graphique de la fonction $P$ définie par $P(x) = 600x +4~800$ sur l’annexe.
    $\quad$
    c. Quel est le tarif le plus économique pour Juliette si elle décide de prendre $7$ heures de cours ?
    Justifier la réponse.
    $\quad$
  4. Pour combien d’heures de cours Juliette paie-t-elle le même prix avec le tarif personnalisé et le tarif renforcé ?
    $\quad$

Annexe

$\quad$

$\quad$

Exercice 6 : Les dés     13 points

Gabriel lance deux fois de suite un dé équilibré à quatre faces numérotées de $1$ à $4$ et il relève le numéro qui figure sur la face cachée du dé.
Si Gabriel obtient $2$ au premier lancer puis $4$ au second, il note $(2; 4)$.

  1. Gabriel a noté $(3; 2)$.
    a. Quel numéro a-t-il obtenu au premier lancer ?
    $\quad$
    b. Quel numéro a-t-il obtenu au second lancer ?
    $\quad$
  2. Quelles sont les $16$ issues possibles de ce jeu ?
    $\quad$
  3. Que dire de l’évènement $A$ : « Obtenir $1$ en additionnant les deux numéros obtenus » ?
    L’évènement $B$ : « Obtenir $7$ en additionnant les deux numéros obtenus » peut être réalisé avec l’issue $(3; 4)$ ou avec l’issue $(4; 3)$.
    $\quad$
  4. Donner les quatre issues possibles qui réalisent l’évènement $C$ : « Obtenir $5$ en additionnant les deux numéros obtenus ».
    $\quad$
  5. Quelle est la probabilité que l’évènement $C$ se réalise ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 7 : Le drapeau    11 points

  1. Dessiner sur la copie le motif correspondant au script Scratch ci-contre, le stylo étant en position d’écriture. On prendra $1$ cm pour $10$ pas.
    $\quad$

    $\quad$
  2. Sur l’annexe, compléter les informations manquantes du script n° 2 qui permet d’obtenir la figure ci-dessous.
    $\quad$

    $\quad$

Annexe :

$\quad$

$\quad$

 

DNB – Amérique du Sud – 16 novembre 2022

Amérique du Sud – Novembre 2022

DNB maths – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. La probabilité de tirer une boule bleue dans l’urne A est égale à $\dfrac{8}{20}=\dfrac{2}{5}=0,4$.
    La probabilité de tirer une boule bleue dans l’urne B est égale à $\dfrac{11}{25}=0,44$.
    Or $0,4<0,44$. On a donc plus de chances de tirer une boule bleue dans l’urne B que dans l’urne A.
    Affirmation 1 vraie.
    $\quad$
  2. On réordonne la série statistique dans l’ordre croissant : $$3~;~7~;~7~;~11~;~12~;~12~;~14~;~14~;~14$$
    Cette série contient $9$ valeurs. $\dfrac{9}{2}=4,5$. La médiane est donc la $5\ieme$ valeur c’est-à-dire $12$.
    Affirmation 2 fausse.
    $\quad$
  3. $20$ min $=\dfrac{1}{3}$h.
    La vitesse moyenne, en km/h, du coureur est donc égale à
    $\begin{align*} v&=\dfrac{36}{3+\dfrac{1}{3}} \\
    &=\dfrac{~36~}{\dfrac{10}{3}} \\
    &=36\times \dfrac{3}{10}\\
    &=10,8\end{align*}$
    Affirmation 3 fausse.
    $\quad$
  4. On a
    $\begin{align*} f(-1)&=-4(-1)-5 \\
    &=4-5\\
    &=-1\end{align*}$
    Graphiquement $g(-1)=-1$.
    Par conséquent $f(-1)=g(-1)$.
    Affirmation 4 fausse.
    $\quad$
  5. Pour tout nombre $x$ on a
    $\begin{align*} (x+5)^2-4&=(x+5)^2-2^2 \\
    &=\left[(x+5)-2\right]\left[(x+5)+2\right] \\
    &=(x+3)(x+7)\end{align*}$
    L’expression factorisée obtenue n’est pas égale à celle proposée.
    $\quad$
    Autre méthode 1 : Si $x=0$ alors $(x+5)^2-4=25-4=21$
    alors que $(x+1)(x+9)=9$
    Les deux expressions ne fournissent pas la même valeur pour $x=0$. Elles ne sont donc pas égales pour tout nombre $x$.
    $\quad$
    Autre méthode 2 : On calcule la différence des deux expressions en utilisant la forme développée de chacune d’entre elles.
    $\begin{align*} &(x+5)^2-4-(x+1)(x+9) \\
    &=(x+5)(x+5)-4-\left(x^2+9x+x+9\right) \\
    &=x^2+5x+5x+25-4-x^2-10x-9 \\
    &=12 \\
    &\neq 0\end{align*}$
    Remarque : On peut gagner un peu de temps si on connaît l’identité remarquable $(x+5)^2=x^2+2\times 5x+5^2$.
    $\quad$
    Affirmation 5 fausse.
    $\quad$
  6. On considère un carré $ABCD$.
    Le triangle $ABC$ est donc rectangle en $B$.
    D’après le théorème de Pythagore :
    $\begin{align*} AC^2&=AB^2+BC^2 \\
    &=36+36 \\
    &=72\end{align*}$
    Ainsi $AC=\sqrt{72}$.
    Les diagonales d’un carré sont de même longueur. Elles mesurent ici $\sqrt{72}$ mètres.
    Affirmation 6 vraie.
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

  1. La production photovoltaïque du pays E est environ égale à $9,5$ TWh.
    $\quad$
  2. a. La production photovoltaïque des pays A et B est environ égale à $47+24=71$ TWh.
    $\dfrac{71}{131,8} \approx 53,8$
    Les pays A et $B$ totalisent bien à eux seuls environ $54\%$ de la production européenne.
    $\quad$
    b. $\dfrac{131,8-122,3}{122,3}\times 100 \approx 7,768$
    La production photovoltaïque a donc augmenté d’environ $7,8\%$ entre 2018 et 2019.
    $\quad$
  3. a. Les productions éoliennes, solaires et bioénergies ont augmenté chaque année de 2017 à 2019.
    $\quad$
    b. On a pu écrire $=\text{Somme(B3:B8)}$.
    $\quad$

 

 

Ex 3

Exercice 3

  1. Le triangle $DBC$ est isocèle en $B$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} \widehat{DBC}&=180-2\widehat{BCD} \\
    &=180-2\times 30 \\
    &=120\end{align*}$
    Ainsi $\widehat{DBC}=120$°.
    $\quad$
  2. Dans le triangle $ADC$ rectangle en $D$ on a $\sin \widehat{ADC}=\dfrac{AD}{AC}$
    c’est-à-dire $\sin(30)=\dfrac{AD}{10}$ ainsi $AD=10\sin(30)$
    Par conséquent $AD=5$ cm.
    $\quad$
  3. Dans le triangle $ADC$ rectangle en $D$ on applique le théorème de Pythagore :
    $AC^2=AD^2+DC^2$ soit $10^2=5^2+DC^2$
    Donc $100=25+DC^2$. D’où $DC^2=75$.
    Ainsi $DC=\sqrt{75} \approx 8,7$ cm.
    $\quad$
  4. Le triangle $ADC$ est rectangle en $D$ donc $\widehat{ABD}=180-(90+30)= 60$°.
    Les angles $\widehat{ABD}$ et $\widehat{DBC}$ sont adjacents et supplémentaires.
    Donc
    $\begin{align*} \widehat{ABD}&=180-\widehat{DBC} \\
    &=180-120\\
    &=60\end{align*}$.
    La somme des angles d’un triangle est égale à $180°$ donc $\widehat{ADB}=180-2\times 60=60$°.
    Les trois angles du triangles $ABD$ mesurent $60$°. Le triangle $ABD$ est donc équilatéral.
    Remarque : En fait, deux angles suffisaient. Le troisième mesure nécessairement $60$° si les deux autres mesurent également $60$°.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. On effectue une rotation de centre le point de coordonnées $(0;0)$ et d’angle $\dfrac{360}{5}=72$°.
    $\quad$
  2. La troisième proposition permet d’obtenir le motif souhaité.
    $\quad$
  3. On obtient le script suivant :
    $\quad$

    $\quad$
  4. On peut ajouter cette instruction indifféremment après les instructions 5, 6 ou 7 ou juste avant l’instruction 5.
    $\quad$

 

 

Ex 5

Exercice 5

  1. a. On a besoin de $8$ planches mesurant $1,20$ m.
    On peut obtenir $2$ planches mesurant $1,20$ m à partir d’une planche mesurant $2,50$ m en la coupant en deux.
    Il faut donc acheter $4$ planches.
    $\quad$
    b. On utilise $4$ équerres et $8$ vis par équerre. On a donc besoin de $4\times 8=32$ vis. Un seul lot de vis se donc nécessaire.
    Il faut acheter ainsi $4$ planches, $4$ équerres et un lot de vis.
    Le budget a prévoir est donc égal à :
    $\begin{align*} B&=4\times 5,60+4\times 2,90+5,70 \\
    &=39,70\end{align*}$
    Hors coût de la terre, ce projet revient à $39,70$ €.
    $\quad$
  2. Le volume de terre nécessaire est égal à :
    $\begin{align*} V&=1,18^2\times \dfrac{2}{3}\times 0,30 \\
    &=0,278~48 \text{ m}^3 \\
    &=278,48 \text{ L}\end{align*}$
    Sept sac de terre ont un volume égale à $7\times 40=280$ L.
    Les sept sacs seront donc suffisants.
    $\quad$

 

Énoncé

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DNB – Métropole Antilles/Guyane – 12 septembre 2022

Métropole Antilles/Guyane – 12 septembre 2022

DNB – Correction

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Ex 1

Exercice 1

  1. $\quad$
    $\begin{align*}\dfrac{5^7\times 5^3}{5^2}&=\dfrac{5^{10}}{5^2}\\&=5^8\end{align*}$
    Réponse C
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align*} \dfrac{630}{882}&=\dfrac{2\times 315}{2\times 441} \\
    &=\dfrac{9\times 35}{9\times 49} \\
    &=\dfrac{5\times 7}{7\times 7} \\
    &=\dfrac{5}{7}\end{align*}$
    Réponse A
    $\quad$
  3. $\quad$
    $\begin{align*} A&=(x-2)(3x+7) \\
    &=3x^2+7x-6x-14\\
    &=3x^2+x-14\end{align*}$
    Réponse C
    $\quad$
  4. Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Ainsi $(2x+1)(-x+3)=0$ si, et seulement si, $2x+1=0$ ou $-x+3=0$.
    Les solutions de l’équation sont donc $-\dfrac{1}{2}$ et $3$.
    Réponse B
    $\quad$
  5. La probabilité de tirer une boule noire est égale à $\dfrac{3}{9}$.
    La probabilité de ne pas tirer une boule noire est égale à $1-\dfrac{3}{9}=\dfrac{6}{9}$
    Réponse C
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. $280\times 0,50=140$.
    Il va payer $140$ euros avec le tarif « Affaire ».
    $\quad$
  2. Avec le tarif « Affaire » il payera $450\times 0,50=225$ euros.
    Avec le tarif « Voyage court » il payera $120+0,20\times 450=210$ euros.
    Avec le tarif « Voyage long » il payera $230$ euros.
    L’offre « Voyage court » est don la plus avantageuse financièrement pour parcourir $450$ km.
    $\quad$
  3. a. La fonction $l$ est associée au tarif « Voyage long ».
    La fonction $m$ est associée au tarif « Affaire ».
    La fonction $n$ est associée au tarif « Voyage court ».
    $\quad$
    b. On veut résoudre l’équation $0,5x=0,2x+120$ soit $0,3x=120$.
    Donc $x=400$
    Les deux tarifs sont égaux si la distance parcourue est égale à $400$ km.
    $\quad$
  4. a. On obtient les courbes suivantes :
    $\quad$

    $\quad$
    b. Graphiquement, la courbe représentant la fonction $l$ est en-dessous des deux autres si on parcourt au moins $550$ km.
    $\quad$
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. Le triangle $SLP$ est équilatéral. Par conséquent $\widehat{PSL}=60$°.
    $\quad$
  2. L’image du cerf-volant 2 par la symétrie d’axe $(PL)$ est le cerf-volant 5.
    $\quad$
  3. L’image du cerf-volant 1 par la symétrie de centre $J$ est le cerf-volant $6$.
    $\quad$

Partie B

  1. On obtient le cerf-volant suivant :
    $\quad$

    $\quad$
  2. Seul le script d’Essya possède deux rotations de $90$°.
    C’est donc celui-ci qui est correct.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. On peut écrire $=\text{somme(B2:B13)}$.
    $\quad$
  2. $\dfrac{2~801~172}{12}=233~431$.
    Le nombre moyen de passages par moi est égal à $233~431$.
    $\quad$
  3. L’étendue est égale à $389~250-62~930=326~320$.
    $\quad$
  4. $\dfrac{305~214-179~699}{179~699}\approx 0,698$.
    Il y a donc une augmentation du nombre de passages de véhicules d’environ $69\%$.
    $\quad$
  5. $10$ min $=\dfrac{1}{6}$ h et $3~000$ m $=3$ km.
    La vitesse moyenne du cycliste est donc $v=\dfrac{~3~}{\dfrac{1}{6}}=18$ km/h.
    $\quad$

 

Ex 5

Exercice 5

  1. La piscine mesure $6$ m de long.
    $BC=1,8+6+12,20=20$ m
    $\quad$
  2. Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$ on a
    $\begin{align*} \tan\widehat{BCA}&=\dfrac{AB}{BC} \\
    &=\dfrac{5,5}{20} \\
    &=0,275\end{align*}$
    Par conséquent $\widehat{BCA}\approx 15,4$°.
    Par conséquent $\widehat{BCA}<30$°.
    Le positionnement de la tyrolienne est donc conforme à la réglementation en vigueur.
    $\quad$
  3. Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$ on applique le théorème de Pythagore.
    $\begin{align*} AC^2&=AB^2+BC^2 \\
    &=20^2+5,5^2 \\
    &=430,25\end{align*}$
    Donc $AC\approx 21$ m
    $\quad$
  4. Dans les triangles $CDE$ et $CBA$, les droites $(DE)$ et $(AB)$ sont perpendiculaires à la droite $(BC)$. Elles sont donc parallèles.
    D’après le théorème de Thalès :
    $\dfrac{CD}{CB}=\dfrac{CE}{CA}=\dfrac{DE}{AB}$ soit $\dfrac{CD}{20}=\dfrac{1,5}{5,5}$
    Par conséquent $CD=\dfrac{1,5\times 20}{5,5}$
    Ainsi $CD\approx 5,45$ m.
    $\quad$
  5. Le volume de la piscine est :
    $\begin{align*} V&=6\times 6\times 1,6 \\
    &=57,6\end{align*}$
    Le volume de la piscine est égale à $57,6$ m$^3$.
    $\quad$

 

Énoncé

Exercice 1     20 points

Cet exercice est un QCM (Questionnaire à Choix Multiples).
Chaque question n’a qu’une seule bonne réponse.
Pour chaque question, précisez sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée pour cet exercice.
Aucun point ne sera retiré en cas de mauvaise réponse.

  1. $\dfrac{5^7\times 5^3}{5^2}$
    Réponse A : $5^{13}$
    Réponse B : $5^{5}$
    Réponse C : $5^{8}$
    $\quad$
  2. La fraction irréductible égale à $\dfrac{630}{882}$ est :
    Réponse A : $\dfrac{5}{7_{}}$
    Réponse B : $\dfrac{35}{49_{}}$
    Réponse C : $\dfrac{315}{441}$
    $\quad$
  3. Une expression développée de $A=(x-2)(3x+7)$ est
    Réponse A : $3x^2+13x+14$
    Réponse B : $3x^2+x+5$
    Réponse C : $3x^2+x-14$
    $\quad$
  4. Les solutions de l’équation $(2x+1)(-x+3)=0$ sont :
    Réponse A : $2$ et $-3$
    Réponse B : $-\dfrac{1}{2}$ et $3$
    Réponse C : $-1$ et $-3$
    $\quad$
  5. Une urne contient $9$ boules indiscernables au toucher :
    $\bullet$ $3$ boules noires,
    $\bullet$ $4$ boules blanches,
    $\bullet$ $2$ boules rouges.
    Quelle est la probabilité de ne pas tirer de boule noire ?
    Réponse A : $\dfrac{2}{9_{}}$
    Réponse B : $\dfrac{1}{3_{}}$
    Réponse C : $\dfrac{6}{9}$
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     20 points

Yanis vit en France métropolitaine. Il part cet été en Guadeloupe en vacances.
Il se renseigne quant aux locations de véhicules.
Une société de location de voitures à Pointe-à-Pitre propose les tarifs suivants pour un véhicule 5 places de taille moyenne, assurances non comprises :

  •  Tarif « Affaire » : $0,50$ € par kilomètre parcouru.
  • Tarif « Voyage court » : un forfait de $120$ € puis $20$ centimes par kilomètre parcouru.
  • Tarif « Voyage long » : un forfait de $230$ €, quel que soit le nombre de kilomètres effectués.
  1. Yanis a préparé son plan de route et il fera $280$ km. Il choisit le tarif « Affaire ».
    Combien va-t-il payer ?
    $\quad$
  2. S’il parcourt $450$ km, quelle offre est la plus avantageuse financièrement ?
    $\quad$
  3. Dans la suite, $x$ désigne le nombre de kilomètres parcourus en voiture.
    On considère les trois fonctions $l$, $m$, $n$ suivantes :
    $$l(x) = 230 \qquad m(x) = 0,5x \qquad n(x) = 0,2x +120$$
    a. Associer, sans justifier, chacune de ces fonctions au tarif correspondant.
    $\quad$
    b. Déterminer le nombre de kilomètres à parcourir pour que le tarif « Voyage court » soit égal au tarif « Affaire ».
    $\quad$
  4. a. Sur l’annexe jointe, tracer les courbes représentatives des fonctions $l$, $m$ et $n$ sur la feuille « Annexes ».
    $\quad$
    b. Déterminez graphiquement le nombre de kilomètres que devra atteindre Yanis pour que le tarif « Voyage long »soit le plus avantageux.
    On laissera les traits de constructions apparents sur le graphique.
    $\quad$

Annexe

$\quad$

$\quad$

Exercice 3     20 points

La figure ci-dessous est un pavage constitué de cerfs-volants.
Les triangles $SLP$ et $PLA$ ainsi formés sont des triangles équilatéraux.

PARTIE A :

  1. Déterminer la mesure de l’angle $\widehat{PSL}$.
    $\quad$
  2. Quelle est l’image du cerf-volant $2$ par la symétrie d’axe $(PL)$ ? On ne demande pas de justification.
    $\quad$
  3. Déterminer par quelle transformation du plan le cerf-volant 1 devient le cerf-volant $6$ ?
    On ne demande pas de justification.
    $\quad$

PARTIE B :

Dans cette partie, on se propose de construire le cerf-volant ci-dessous.
Essya, Nicolas et Tiago souhaitent construire cette figure à l’aide d’un logiciel de programmation.

Ils écrivent tous un programme « Cerf-volant » différent.

  1. Tracer le programme « Cerf-Volant » de Nicolas, en prenant $1$ cm pour $100$ pas.
    $\quad$
  2. Un élève a écrit le script correct. Donner le nom de cet élève en justifiant la réponse.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     20 points

Voici le nombre de passages de véhicules au péage du pont de l’île de Ré au cours de l’année 2020, reporté dans une feuille de calcul :

  1. Quelle formule a-t-on saisi dans la cellule $B14$ pour obtenir le nombre total de passages en 2020 ?
    $\quad$
  2. Calculer le nombre moyen de passages par mois.
    $\quad$
  3. Donner l’étendue de la série.
    $\quad$
  4. Afin d’étudier les effets du confinement de 2020, on souhaite comparer le nombre de passages de véhicules sur le pont de l’île de Ré du mois de mai 2020 avec celui du mois de mai 2021.
    En mai 2021, $305~214$ véhicules ont passé le péage du pont.
    Calculer le pourcentage d’augmentation du nombre de passages de véhicules entre mai 2020 et mai 2021. Arrondir à l’unité.
    $\quad$
  5. Sachant que le pont a une longueur de $3~000$ mètres, quelle est la vitesse moyenne, exprimée en km/h, d’un cycliste qui le traverse en $10$ minutes ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 5     20 points

Lya passe la journée dans un parc aquatique.
Elle y trouve une cabane dans un chêne d’où part une tyrolienne qui mène au-dessus d’une piscine.
Le câble de la tyrolienne relie la cabane et le pied du peuplier situé juste derrière la piscine.

Document 1 : schéma de la situation

Document 2 : La réglementation exige que l’angle formé par le câble de la tyrolienne et l’horizontale ait une mesure inférieure à $30$°.

Document 3 : La piscine a la forme d’un parallélépipède rectangle de longueur $6$ m, largeur $6$ m et profondeur $1,60$ m.

Document 4 : Lorsque Lya est suspendue à la tyrolienne, corps et bras tendus, elle mesure exactement $1,50$ m.

  1. Vérifier par un calcul que $BC = 20$ m.
    $\quad$
  2. Le positionnement de la tyrolienne est-il conforme à la réglementation en vigueur ?
    $\quad$
  3. Déterminer la longueur $AC$, en mètres, de câble nécessaire. Arrondir à l’unité.
    $\quad$
  4. Lya est suspendue à la tyrolienne verticalement. À quelle distance $DC$ du peuplier, en mètres, les pieds de Lya toucheront-ils l’eau de la piscine ? Arrondir au centième.
    $\quad$
  5. Calculer le volume de la piscine, en m$^3$?
    Rappel : Le volume d’un parallélépipède rectangle est $V = \text{Longueur}\times \text{largeur} \times \text{hauteur}$.
    $\quad$

$\quad$

DNB – Polynésie – 6 septembre 2022

Polynésie – 6 septembre 2022

DNB – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. $\quad$
    $\begin{align*} \dfrac{5}{6}+\dfrac{7}{8}&=\dfrac{20}{24}+\dfrac{21}{24} \\
    &=\dfrac{41}{24}\end{align*}$
    $\quad$
  2. a.
    $\begin{align*} 198&=2\times 99 \\
    &=2\times 9\times 11\\
    &=2\times 3^2 \times  11\end{align*}$
    et
    $\begin{align*} 84&=2\times 42 \\
    &=2\times 2\times 21 \\
    &=2\times 2\times 3\times 7\\
    &=2^2\times 3\times 7\end{align*}$
    $\quad$
    b. Par conséquent
    $\begin{align*} \dfrac{198}{84}&=\dfrac{2\times 3\times 33}{2\times 3\times 2\times 7} \\
    &=\dfrac{33}{14}\end{align*}$
    $\quad$
  3. On a
    $\begin{align*} E&=5(3x-4)-(2x-7) \\
    &=15x-20-2x+7\\
    &=13x-13\end{align*}$
    $\quad$
  4. Le périmètre du rectangle est
    $\begin{align*} P&=2(4,5+3b+2,9) \\
    &=2(7,4+3b)\\
    &=14,8+6b\end{align*}$
    Or $P=25$ donc $25=14,8+6b$ par conséquent $6b=10,2$ et $b=1,7$.
    $\quad$
  5. L’aire du rectangle de base est :
    $\begin{align*} A&=3\times 4\\
    &=12\end{align*}$
    Par conséquent le volume de la pyramide est :
    $\begin{align*} V&=\dfrac{1}{3}\times A\times SH \\
    &=\dfrac{1}{3}\times 12\times 6 \\
    &=24\end{align*}$
    $\quad$
  6. On appelle $P$ le nombre d’habitants de cette ville en 2019.
    On a donc $P\times \left(1+\dfrac{12}{100}\right)=20~692$ soit $1,12P=20~692$.
    Par conséquent $P=\dfrac{20~692}{1,12}$ c’est-à-dire $P=18~475$
    Il y avait donc $18~475$ habitants dans cette ville en 2019.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. Le triangle $ABC$ est rectangle en $B$. D’après le théorème de Pythagore on a
    $\begin{align*} AC^2&=AB^2+BC^2 \\
    &=3,9^2+5,2^2 \\
    &=15,21+27,04 \\
    &=42,25\end{align*}$
    Donc $AC=6,5$ m
    $\quad$
  2. Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$ on a
    $\begin{align*} \tan \widehat{ACB}&=\dfrac{AB}{BC} \\
    &=\dfrac{3,9}{5,2} \end{align*}$
    Par conséquent $\widehat{ACB}\approx 37$°.
    $\quad$
  3. $0,2\times 32,5=6,5$.
    Il faut bien $32,5$ secondes à l’araignée pour parcourir les $6,5$ m à une vitesse de $0,2$ m/s.
    $\quad$
  4. Dans les triangles $AFH$ et $ABC$, les droites $(FH)$ et $(BC)$ sont perpendiculaires à la même droite $(AB)$. Elles sont donc parallèles.
    D’après le théorème de Thalès:
    $\dfrac{AF}{AC}=\dfrac{AH}{AB}=\dfrac{FH}{BC}$
    Donc $\dfrac{4}{6,5}=\dfrac{AH}{3,9}=\dfrac{FH}{5,2}$.
    Par conséquent $AH=\dfrac{4\times 3,9}{6,5}$ c’est-à-dire $AH=2,4$ m et $FH=\dfrac{4\times 5,2}{6,5}$ soit $FH=3,2$ m.
    $\quad$
  5. $\quad$
    $\begin{align*} CF+HA&=(AC-AF)+AH \\
    &=6,5-4+2,4 \\
    &=4,9\end{align*}$
    L’araignée met donc $\dfrac{4,9}{0,2}=24,5$ secondes pour parcourir la distance $CF+HA$.
    $\dfrac{3,2}{0,8}=4$ : l’araignée parcourt donc la distance $FH$ en $4$ secondes.
    La seconde araignée met donc $28,5$ secondes pour aller du point $C$ au point $A$. C’est par conséquent cette seconde araignée qui met le moins de temps à arriver en $A$.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. On obtient le chemin suivant :
    $\quad$

    $\quad$
  2. Dans le dessin 1, la distance parcourue n’augmente jamais.
    Dans le dessin 3, le premier déplacement est horizontal à la place d’être vertical.
    C’est donc le dessin 2 qui correspond au script 2.
    $\quad$
  3. On obtient le script suivant :
    $\quad$

    $\quad$
  4. a. L’image du motif 1 par la translation qui transforme le point $B$ en $E$ est le motif 5.
    $\quad$
    b. L’image du motif 1 par symétrie de centre $B$ est le motif 9.
    $\quad$
    c. L’image du motif 16 par la symétrie de centre $G$ est le motif 12.
    $\quad$
    d. L’image du motif 2 par la symétrie d’axe $(CG)$ est le motif 5.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. a. L’image de $3$ par la fonction $f$ est $-5$.
    $\quad$
    b. $-2$ a pour image $5$ par la fonction $f$.
    $\quad$
    c. Un antécédent de $1$ par la fonction $f$ est $0$.
    $\quad$
  2. a. On obtient la succession de nombres suivant :
    $1\underset{+1}{\longrightarrow}2\underset{\text{carré}}{\longrightarrow} 4$
    En choisissant $1$ on obtient le nombre $4$.
    $\quad$
    $-2\underset{+1}{\longrightarrow}(-1)\underset{\text{carré}}{\longrightarrow} 1$
    En choisissant $-2$ on obtient le nombre $1$.
    $\quad$
    b. $x\underset{+1}{\longrightarrow}(x+1)\underset{\text{carré}}{\longrightarrow} (x+1)^2$
    Donc $g(x)=(x+1)^2$.
    $\quad$
  3. a.
    $\begin{align*} h(3)&=2\times 3^2-3 \\
    &=2\times 9-3\\
    &=18-3\\
    &=15\end{align*}$
    L’image de $3$ par la fonction $h$ est $15$.
    $\quad$
    b.
    $\begin{align*} h(-4)&=2\times (-4)^2-3 \\
    &=2\times 16-3\\
    &=32-3\\
    &=29\end{align*}$
    L’image de $-4$ par la fonction $h$ est $29$.
    $\quad$
    c. On veut résoudre l’équation $h(x)=5$ soit $2x^2-3=5$.
    Par conséquent $2x^2=8$ c’est-à-dire $x^2=4$.
    Les antécédents de $5$ par la fonction $h$ sont donc $-2$ et $2$.
    $\quad$
  4. $f(0)=1$ et $f(1)=-1$. La courbe représentant la fonction $f$ est donc la représentation n°1.
    $g(x)=(x-1)^2$. Par conséquent, $g(x)\pg 0$ pour tout nombre $x$. La courbe représentative de la fonction $g$ est donc la représentation n°3.
    La courbe représentative de la fonction $h$ est par conséquent la représentation n°2.
    $\quad$

Ex 5

Exercice 5

  1. a. Parmi les $36$ boules de l’urne, une seule est noire.
    La probabilité qu’il gagne $10$ points est égale à $\dfrac{1}{36}$.
    $\quad$
    b. Pour qu’il gagne plus de $3$ points, il faut qu’il tire une boule bleue ou une boule noire.
    La probabilité qu’il gagne plus de $3$ points est égale à $\dfrac{6}{36}$ c’est-à-dire $\dfrac{1}{6}$.
    $\quad$
    c. La probabilité qu’il gagne $2$ points est égale à $\dfrac{10}{36}$.
    La probabilité qu’il gagne $5$ points est égale à $\dfrac{5}{36}$.
    Il a donc plus de chance de gagner $2$ points.
    $\quad$
  2. a. $\dfrac{2+1+1+\ldots+1+2}{15}=\dfrac{50}{15}=\dfrac{10}{3}$
    La moyenne des scores obtenus par ces joueurs est égale à $\dfrac{10}{3}$.
    $\quad$
    b. On réordonne les scores dans l’ordre croissant :
    $1;1;1;1;1;2;2;2;2;2;5;5;5;10;10$
    $\dfrac{15}{2}=7,5$ : la médiane est donc le $8\ieme$ score c’est-à-dire $2$.
    $\quad$
    c. La fréquence du score « 10 points » est égale à $\dfrac{2}{15}$.
    $\quad$
  3. La probabilité qu’un joueur gagne $10$ points est égale à $\dfrac{1}{36}$.
    $\dfrac{1}{36}\times 1~000\approx 27,78$.
    On peut donc estimer qu’en moyenne $27$ ou $28$ joueurs obtiendront le score de $10$ points.
    $\quad$

 

Énoncé

Exercice 1     22 points

Cet exercice est constitué de six questions indépendantes.

  1. Calculer $\dfrac{5}{6}+\dfrac{7}{8}$ et donner le résultat sous la forme d’une fraction irréductible.
    On détaillera les calculs.
    $\quad$
  2. a. Donner, sans justifier, la décomposition en facteurs premiers de $198$ et de $84$.
    $\quad$
    b. En déduire la forme irréductible de la fraction $\dfrac{198}{84}$.
    $\quad$
  3. On donne l’expression littérale suivante : $E = 5(3x-4)-(2x-7)$.
    Développer et réduire $E$.
    $\quad$
  4. On désigne par $b$ un nombre positif.
    Déterminer la valeur de $b$ telle que le périmètre du rectangle ci-dessous soit égal à $25$.
    $\quad$

    $\quad
  5. Calculer le volume de la pyramide à base rectangulaire de hauteur $SH = 6$ ci-dessous.
    $\quad$

    $\quad$
  6. Le nombre d’habitants d’une ville a augmenté de $12 \%$ entre 2019 et 2020. Cette ville compte $20~692$ habitants en 2020.
    Quel était le nombre d’habitants de cette ville en 2019 ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     22 points

Un poteau électrique vertical $[BC]$ de $5,2$ m de haut est retenu par un câble métallique $[AC]$ comme montré sur le schéma 1 qui n’est pas en vraie grandeur.

  1. Montrer que la longueur du câble $[AC]$ est égale à $6,5$ m.
    $\quad$
  2. Calculer la mesure de l’angle $\widehat{ACB}$ au degré près.
    $\quad$

Deux araignées se trouvant au sommet du poteau (point $C$) décident de rejoindre le bas du câble (point $A$) par deux chemins différents.

  1. La première araignée se déplace le long du câble $[AC]$ à une vitesse de $0,2$ m/s.
    Vérifier qu’il lui faut $32,5$ secondes pour atteindre le bas du câble.
    $\quad$
  2. La deuxième araignée décide de parcourir le chemin $CFHA$ indiqué en pointillés sur le schéma 2 (qui n’est pas en vraie grandeur) : elle suit le morceau de câble $[CF]$ en marchant, puis descend verticalement le long de $[FH]$ grâce à son fil et enfin marche sur le sol le long de $[HA]$.
    Calculer les longueurs $FH$ et $HA$.
    $\quad$

    $\quad$

  3. La deuxième araignée marche à une vitesse de $0,2$ m/s le long des segments $[CF]$ et $[HA]$ et descend le long du segment $[FH]$ à une vitesse de $0,8$ m/s.
    Laquelle des deux araignées met le moins de temps à arriver en $A$ ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     17 points

On utilise un logiciel de programmation.
On rappelle que « s’orienter à $0$° » signifie qu’on oriente le stylo vers le haut.
On considère les deux scripts suivants :

  1. On exécute le script 1 ci-dessus.
    Représenter le chemin parcouru par le stylo sur l’ANNEXE à rendre avec la copie.
    $\quad$
  2. Quel dessin parmi les trois ci-dessous correspond au script 2 ? On expliquera pourquoi les deux autres dessins ne correspondent pas au script 2.
    Chaque côté de carreau mesure $20$ pixels.
    $\quad$

    $\quad$

  3. On souhaite maintenant obtenir le motif représenté sur le dessin 4 :
    $\quad$

    $\quad$
    Compléter sans justifier les trois cases du script 3 donné en ANNEXE à rendre avec la copie, permettant d’obtenir le dessin 4
    $\quad$
  4. À partir du motif représenté sur le dessin 4, on peut obtenir le pavage ci-dessous :
    $\quad$

    $\quad$
    Répondre aux questions suivantes sur votre copie en indiquant le numéro du motif qui convient (on ne demande pas de justifier la réponse) :
    a. Quelle est l’image du motif 1 par la translation qui transforme le point $B$ en $E$ ?
    $\quad$
    b. Quelle est l’image du motif 1 par la symétrie de centre $B$ ?
    $\quad$
    c. Quelle est l’image du motif 16 par la symétrie de centre $G$ ?
    $\quad$
    d. Quelle est l’image du motif 2 par la symétrie d’axe ($CG)$ ?
    $\quad$

ANNEXE

Question 1

Chaque côté de carreau mesure $20$ pixels.
La position de départ du stylo est indiquée sur la figure ci-dessus.

Question 3

$\quad$

Exercice 4     17 points

  1. Voici un tableau de valeurs d’une fonction $f$ :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    x&-2&-1&0&1&3&4&5\\
    \hline
    f(x)&5&3&1&-1&-5&-7&-9\\
    \hline
    \end{array}$$
    a. Quelle est l’image de $3$ par la fonction $f$ ?
    $\quad$
    b. Donner un nombre qui a pour image $5$ par la fonction $f$.
    $\quad$
    c. Donner un antécédent de $1$ par la fonction $f$.
    $\quad$
  2. On considère le programme de calcul suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{Choisir un nombre}\\
    \text{Ajouter 1}\\
    \text{Calculer le carré du résultat}\\
    \hline
    \end{array}$$
    a. Quel résultat obtient-on en choisissant $1$ comme nombre de départ ? Et en choisissant $-2$ comme nombre de départ ?
    $\quad$
    b. On note $x$ le nombre choisi au départ et on appelle $g$ la fonction qui à $x$ fait correspondre le résultat obtenu avec le programme de calcul.
    Exprimer $g(x)$ en fonction de $x$.
    $\quad$
  3. La fonction $h$ est définie par $h(x) = 2x^2-3$.
    a. Quelle est l’image de $3$ par la fonction $h$ ?
    $\quad$
    b. Quelle est l’image de $-4$ par la fonction $h$ ?
    $\quad$
    c. Donner un antécédent de $5$ par la fonction $h$. En existe-t-il un autre ?
    $\quad$
  4. On donne les trois représentations graphiques suivantes qui correspondent chacune à une des fonctions $f$, $g$ et $h$ citées dans les questions précédentes.
    Associer à chaque courbe la fonction qui lui correspond, en expliquant la réponse.
    $\quad$

    $\quad$

$\quad$

Exercice 5     19 points

Une urne contient $20$ boules rouges, $10$ boules vertes, $5$ boules bleues et $1$ boule noire.
Un jeu consiste à tirer une boule au hasard dans l’urne.

Lorsqu’un joueur tire une boule noire, il gagne $10$ points.
Lorsqu’il tire une boule bleue, il gagne $5$ points.
Lorsqu’il tire une boule verte, il gagne $2$ points.
Lorsqu’il tire une boule rouge, il gagne $1$ point.

  1. Un joueur tire au hasard une boule dans l’urne.
    a. Quelle est la probabilité qu’il gagne $10$ points ?
    $\quad$
    b. Quelle est la probabilité qu’il gagne plus de $3$ points ?
    $\quad$
    c. A-t-il plus de chance de gagner $2$ points ou de gagner $5$ points ?
    $\quad$
  2. Le tableau ci-dessous récapitule les scores obtenus par $15$ joueurs :
    $$\begin{array}{|c|c|}
    \hline
    \text{JOUEUR}&\text{SCORE}\\
    \text{JOUEUR A}&\text{2 points}\\
    \text{JOUEUR B}&\text{1 point}\\
    \text{JOUEUR C}&\text{1 point}\\
    \text{JOUEUR D}&\text{5 points}\\
    \text{JOUEUR E}&\text{10 points}\\
    \text{JOUEUR F}&\text{2 points}\\
    \text{JOUEUR G}&\text{2 points}\\
    \text{JOUEUR H}&\text{5 points}\\
    \text{JOUEUR I}&\text{1 point}\\
    \text{JOUEUR J}&\text{2 points}\\
    \text{JOUEUR K}&\text{5 points}\\
    \text{JOUEUR L}&\text{10 points}\\
    \text{JOUEUR M}&\text{1 point}\\
    \text{JOUEUR N}&\text{1 point}\\
    \text{JOUEUR O}&\text{2 points}\\
    \hline
    \end{array}$$
    a. Quelle est la moyenne des scores obtenus par ces joueurs ?
    $\quad$
    b. Quelle est la médiane des scores ?
    $\quad$
    c. Déterminer la fréquence du score « $10$ points ».
    $\quad$
  3. Mille joueurs ont participé au jeu. Peut-on estimer le nombre de joueurs ayant obtenu le score de $10$ points ? La réponse, affirmative ou négative, devra être argumentée.
    $\quad$

$\quad$

DNB – Métropole – Juin 2022

Métropole – Juin 2022

DNB maths – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

 

Ex 1

Exercice 1

  1. Les droites $(AC)$ et $(BD)$ sont perpendiculaires à la droites $(AB)$.
    Par conséquent les droites $(AC)$ et $(BD)$ sont parallèles.
    $\quad$
  2. Dans les triangles $EAC$ et $EBD$ :
    – le point $E$ appartient aux segments $[AB]$ et $[CD]$
    – les droites $(AC)$ et $(BD)$ sont parallèles.
    D’après le théorème de Thalès :
    $\dfrac{EC}{ED}=\dfrac{EA}{EB}=\dfrac{AC}{BD}$
    Donc $\dfrac{20}{5}=\dfrac{AC}{1}$
    Ainsi $AC=4$.
    La largeur de la rivière est de $20$ pas.
    $\quad$
  3. Dans le triangle $ACE$ rectangle en $A$ on applique le théorème de Pythagore.
    $\begin{align*} CE^2&=AC^2+AE^2 \\
    &=4^2+20^2\\
    &=16+400\\
    &=416\end{align*}$
    Donc $CE=\sqrt{416}$ pas
    Ainsi $CE = 0,65\times \sqrt{416} \approx 13,3$ m
    $\quad$
  4. a. La vitesse du bâton est :
    $\begin{align*} v&=\dfrac{CE}{5} \\
    &=\dfrac{0,65\sqrt{416}}{5} \\
    &=0,13\sqrt{416} \\
    &\approx 2,65 \text{ m/s}\end{align*}$
    En prenant $CE \approx 13,3$ on obtient $v\approx \dfrac{13,3}{5}$ soit $v\approx 2,66$ m/s.
    $\quad$
    b. $1$ km $=1~000$ m et $1$ h $=3~600$ s.
    $10$ km/h $=10\times \dfrac{1~000}{3~600}$ m/s $\approx 2,78 $m/s
    L’affirmation «le bâton se déplace à une vitesse moyenne inférieure à $10$ km/h» est donc exacte.

    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. La figure 2 est l’image de la figure 1 par la translation qui transforme $A$ en $A’$.
    Réponse A
    $\quad$
  2. Graphiquement on a $g(1)=2$.
    Donc $1$ est l’antécédent de $2$ par la fonction $g$.
    Réponse B
    $\quad$
  3. On a :
    $\begin{align*} f(3)&=3\times 3^2-7 \\
    &=3\times 9-7 \\
    &=27-7 \\
    &=20\end{align*}$
    Réponse B
    $\quad$
  4. On réordonne la série dans l’ordre croissant :
    $$3,41 ~;~ 3,7 ~;~ 4,01 ~;~4,28 ~;~4,3 ~;~ 4,62~;~4,91 ~;~5,15 ~;~5,25 ~;~ 5,42 ~;~ 5,82 ~;~ 6,07 ~;~ 6,11$$
    $\dfrac{13}{2}=6,5$ : la médiane est donc la $7\ieme$ valeur soit $4,91$.
    Réponse B
    $\quad$
  5. $\dfrac{6,3}{2,1}=3$. Toutes les longueurs du triangle $LAC$ ont été multipliées par $3$ pour obtenir le triangle $BUT$.
    Son aire est donc multipliée par $3^2$ soit $9$.
    Réponse C
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. a. $9$ n’est pas un nombre premier : ce n’est pas la proposition 1.
    $21$ n’est pas un nombre premier : ce n’est pas la proposition 2.
    $2^2\times 3^2\times 7=252$.
    La décomposition en produit de facteurs premiers de $252$ est donc obtenue avec la proposition 3.
    $\quad$
    b. On a :
    $\begin{align*} 156&=2\times 78 \\
    &=2\times 2\times 39 \\
    &=2^2\times 3\times 13\end{align*}$
    La décomposition en produit de facteurs premiers de $156$ est $2^2\times 3\times 13$.
    $\quad$
  2. a. $156$ n’est pas divisible par $36$ car $\dfrac{156}{36}\approx 4,33$.
    Elle ne peut donc pas faire $36$ paquets.
    $\quad$
    b. $252=2^2\times 3^2\times 7$ et $156=2^2\times 3\times 13$.
    Ainsi le plus grand diviseur commun à $252$ et $156$ est $2^2\times 3=12$.
    Elle peut donc réaliser au maximum $12$ paquets.
    $\quad$
    c. $\dfrac{252}{12}=21$ et $\dfrac{156}{12}=13$.
    Il y aura alors $21$ cartes de type « feu » et $13$ cartes de type « terre » par paquet.
    $\quad$
  3. Il y a $252+156=408$ cartes dans le jeu.
    La probabilité que la carte tirée soit du type « terre » est donc égale à $\dfrac{156}{408}$ qu’on peut simplifier en $\dfrac{13}{34}$.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. L’aire du carré est $\mathscr{A}_c=x^2$.
    $\quad$
  2. L’aire du rectangle est :
    $\begin{align*} \mathscr{A}_r&=(x-3)(x+7) \\
    &=x^2+7x-3x-21 \\
    &=x^2+4x-21\end{align*}$.
    $\quad$
  3. On obtient :
    $\quad$
  4. $8^2+4\times 8-21=75$.
    Le programme renvoie donc la valeur $75$.
    $\quad$
  5. On veut résoudre l’équation $x^2=x^2+4x-21$ soit $4x-21=0$ ou encore $4x=21$.
    Il faut donc que $x$ soit égal à $\dfrac{21}{4}$.
    $\quad$

Ex 5

Exercice 5

  1. En une journée il y a $24\times 60\times 60=86~400$ s.
    Il s’écoule une goutte par seconde.
    Il tombe donc $86~400$ gouttes dans la vasque en une journée.
    $\quad$
  2. En une semaine il tombe $86~400\times 7 =604~800$ gouttes.
    $\dfrac{604~800}{20}=30~240$.
    Le volume d’eau tombé dans la vasque en une semaine est égal à $30~240$ ml soit $30,24$ litres.
    $\quad$
  3. Le volume de la vasque est :
    $\begin{align*} V&=\pi \times 20^2\times 15 \\
    &=6~000\pi \\
    &\approx 18~849,56\text{ cm}^3\\
    &\approx 18,85 \text{ l}\end{align*}$
    $\quad$
  4. $30,24>18,85$ : l’eau va déborder de la vasque.
    $\quad$
  5. $\dfrac{148-165}{165} \approx -0,10$.
    La consommation d’eau a baissé d’environ $10\%$ entre 2004 et 2018$.
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1     20 points

Une famille se promène au bord d’une rivière.
Les enfants aimeraient connaître la largeur de la rivière.
Ils prennent des repères, comptent leurs pas et dessinent le schéma ci-dessous sur lequel les points $C$, $E$ et $D$, de même que $A$, $E$ et $B$ sont alignés. (Le schéma n’est pas à l’échelle.)

  1.  Démontrer que les droites $(AC)$ et $(BD)$ sont parallèles.
    $\quad$
  2. Déterminer, en nombre de pas, la largeur $AC$ de la rivière.
    $\quad$
    Pour les questions qui suivent, on assimile la longueur d’un pas à $65$ cm.
    $\quad$
  3. Montrer que la longueur $CE$ vaut $13,3$ m, en arrondissant au décimètre près.
    $\quad$
  4. L’un des enfants lâche un bâton dans la rivière au niveau du point $E$. Avec le courant, le bâton se déplace en ligne droite en $5$ secondes jusqu’au point $C$.
    a. Calculer la vitesse du bâton en m/s.
    $\quad$
    b. Est-il vrai que « le bâton se déplace à une vitesse moyenne inférieure à $10$ km/h » ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     20 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Aucune justification n’est demandée.
Pour chaque question, trois réponses (A, B et C) sont proposées. Une seule réponse est exacte.
Recopier sur la copie le numéro de la question et la réponse.

  1. On considère les deux figures suivantes.
    Par quelle transformation la figure 2 est-elle l’image de la figure 1 ?

    Réponse A : une translation
    Réponse B : une homothétie
    Réponse C : une symétrie axiale
    $\quad$

  2. On considère la représentation graphique de la fonction $g$ suivante :

    Quel est l’antécédent de $2$ par la fonction $g$ ?
    Réponse A : $2$
    Réponse B : $1$
    Réponse C : $4$
    $\quad$

  3. Soit $f$ la fonction définie par : $$f~:~x\mapsto 3x^2-7$$
    Quelle affirmation est correcte ?
    Réponse A : $29$ est l’image de $2$ par la fonction $f$
    Réponse B : $f(3)=20$
    Réponse C : $f$ est une fonction affine
    $\quad$
  4. On a relevé les performances, en mètres, obtenues au
    lancer du poids par un groupe de $13$ élèves d’une classe.
    $3,41$ m ; $5,25$ m ; $5,42$ m ; $4,3$ m ; $6,11$ m ; $4,28$ m ; $5,15$ m ; $3,7$ m ; $6,07$ m ; $5,82$ m ; $4,62$ m ; $4,91$ m ; $4,01$ m
    Quelle est la médiane de cette série de valeurs ?
    Réponse A : $7$
    Réponse B : $4,91$
    Réponse C : $5,15$
    $\quad$
  5. On considère la configuration suivante, dans laquelle les
    triangles $LAC$ et $BUT$ sont semblables.

    Par quel nombre doit-on multiplier l’aire du triangle $LAC$ pour obtenir l’aire du triangle $BUT$ ?
    Réponse A : $3$
    Réponse B : $6$
    Réponse C : $9$
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     20 points

Une collectionneuse compte ses cartes Pokémon afin de les revendre.
Elle possède $252$ cartes de type « feu » et $156$ cartes de type « terre ».

  1. a. Parmi les trois propositions suivantes, laquelle correspond à la décomposition en produit de facteurs premiers du nombre $252$ :
    $$\begin{array}{|c|c|c|}
    \hline
    \text{Proposition 1}&\text{Proposition 2}&\text{Proposition 3} \\
    2^2\times 9\times 7&2\times 2\times 3\times 21&2^2\times 3^2\times 7\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. Donner la décomposition en produit de facteurs premiers du nombre $156$.
    $\quad$
  2. Elle veut réaliser des paquets identiques, c’est à dire contenant chacun le même nombre de cartes « terre » et le même nombre de cartes « feu » en utilisant toutes ses cartes.
    a. Peut-elle faire $36$ paquets ?
    $\quad$
    b. Quel est le nombre maximum de paquets qu’elle peut réaliser ?
    $\quad$
    c. Combien de cartes de chaque type contient alors chaque paquet ?
    $\quad$
  3. Elle choisit une carte au hasard parmi toutes ses cartes. On suppose les cartes indiscernables au toucher.
    Calculer la probabilité que ce soit une carte de type « terre »
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     20 points

Dans cet exercice, $x$ est un nombre strictement supérieur à $3$.
On s’intéresse aux deux figures géométriques dessinées ci-dessous :

  •  un rectangle dont les côtés ont pour longueurs $x-3$ et $x+7$ ;
  • un carré de côté $x$.

  1. Quatre propositions sont écrites ci-dessous.
    Recopier sur la copie celle qui correspond à l’aire du carré. On ne demande pas de justifier.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline
    ~~~~~4x~~~~~&~~~~4+x~~~~&~~~~~x^2~~~~~&~~~~~2x~~~~~\\\hline\end{array}$$
    $\quad$
  2. Montrer que l’aire du rectangle est égale à : $x^2+4x-21$.
    $\quad$
  3. On a écrit le script ci-dessous dans Scratch.
    On veut que ce programme renvoie l’aire du rectangle lorsque l’utilisateur a rentré une valeur de $x$ (strictement supérieure à $3$).
    Écrire sur la copie les contenus des trois cases vides des lignes 5, 6 et 7, en précisant les numéros de lignes qui correspondent à vos réponses.

    $\quad$

  4. On a pressé la touche espace puis saisi le nombre $8$. Que renvoie le programme ?
    $\quad$
  5. Quel nombre 𝑥 doit-on choisir pour que l’aire du rectangle soit égale à l’aire du carré ?
    Toute trace de recherche, même non aboutie, sera prise en compte.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 5     20 points

Dans une habitation, la consommation d’eau peut être anormalement élevée lorsqu’il y a une fuite d’eau.
On considère la situation suivante :

  • Une salle de bain est équipée d’une vasque de forme cylindrique, comme l’illustre l’image ci-dessous.
  • Le robinet fuit à raison d’une goutte par seconde.
  • En moyenne, $20$ gouttes d’eau correspondent à un millilitre ($1$ ml).

$\begin{array}{|l|}
\hline
\textbf{Caractéristiques de la vasque}\\
\quad \text{Diamètre intérieur : $40$ cm}\\
\quad \text{Hauteur intérieure : $15$ cm}\\
\quad \text{Masse : $25$ kg}\\
\hline
\end{array}$

Rappels : 

$\begin{array}{|c|}\hline
\text{Volume du cylindre $=\pi\times$ rayon$^2\times$ hauteur}\\
1 \text{ dm}^3=1 \text{ litre}\\
\hline
\end{array}$

  1. En raison de la fuite, montrer qu’il tombe $86~400$ gouttes dans la vasque en une journée complète.
    $\quad$
  2. Calculer, en litres, le volume d’eau qui tombe dans la vasque en une semaine en raison de la fuite.
    $\quad$
  3. Montrer que la vasque a un volume de $18,85$ litres, arrondi au centilitre près.
    $\quad$
  4. L’évacuation de la vasque est fermée et le logement inoccupé pendant une semaine. L’eau va-t-elle déborder de la vasque ? Justifier la réponse.
    $\quad$
  5. À la fin du XIXe siècle, la consommation domestique d’eau par habitant en France était d’environ $17$ litres par jour. Elle a fortement augmenté avec la généralisation de la distribution d’eau par le robinet dans les domiciles : elle est passée à $165$ litres par jour et par habitant en 2004.
    En 2018, la consommation des Français baisse légèrement pour atteindre $148$ litres d’eau par jour et par habitant.
    Calculer le pourcentage de diminution de la consommation quotidienne d’eau par habitant entre 2004 et 2018. On arrondira ce pourcentage à l’unité.
    $\quad$

$\quad$

 

DNB – Polynésie – juin 2022

Asie – Juin 2022

DNB – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici .

 

Ex 1

Exercice 1

  1. On obtient
    $\begin{align*} -\dfrac{7}{5}+\dfrac{6}{5}\times \dfrac{4}{7}&=\dfrac{-7}{5}+\dfrac{24}{35} \\
    &=-\dfrac{49}{35}+\dfrac{24}{35} \\
    &=-\dfrac{25}{35}\\
    &=-\dfrac{5}{7}\end{align*}$
    Or $-\dfrac{4}{35}\neq -\dfrac{5}{7}$. L’affirmation 1 est fausse.
    $\quad$
  2. Dans les triangles $AGE$ et $AMR$ on a :
    – $A$ appartient aux segments $[GR]$ et $[EM]$.
    – $\dfrac{AE}{AM}=\dfrac{4,2}{3}=1,4$ et $\dfrac{AG}{AR}=\dfrac{9,8}{7}=1,4$
    Donc $\dfrac{AE}{AM}=\dfrac{AG}{AR}$.
    D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites $(GE)$ et $(MR)$ sont parallèles.
    $\quad$
  3. $9$ n’est pas un nombre premier. L’affirmation 3 est fausse.
    $\quad$
  4. Dans $11$ ($1+3+7$) volumes de sauce salade, il y a $7$ volumes d’huile.
    $\dfrac{330}{11}\times 7=210$.
    Il y a bien $210$ mL d’huile. L’affirmation 4 est vraie.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. La droite $\left(d_1\right)$ passe par l’origine du repère. Le prix payé avec le tarif « liberté » est donc proportionnel au nombre d’heures effectuées dans la salle de sport.
    $\quad$
  2. a. D’après le graphique $f(5)=25$.
    L’image de $5$ par la fonction $f$ est donc $25$.
    $\quad$
    b. D’après le graphique , l’antécédent de $10$ par la fonction $g$ est $1$.
    $\quad$
  3. D’après le graphique, si la personne effectue entre $0$ et $3$ heures dans la salle de sport, le tarif « liberté » est le plus avantageux et à partir de $3$ heures c’est le tarif « abonné » qui est le plus avantageux.
    $\quad$
  4. $f$ est une fonction linéaire. Il existe donc un nombre $a$ tel que, pour tout nombre $x$ on ait $f(x)=ax$.
    Or $f(5)=25$ donc $5a=25$ soit $a=5$.
    Ainsi, pour tout nombre $x$ on a $f(x)=5x$.
    Par conséquent $f(15)=5\times 15=75$.
    Avec le tarif « liberté » on paye $75$ € pour 15 heures effectuées.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

PARTIE A : Briques de jus de pomme

  1. $\dfrac{24}{2}=12$. La médiane est donc la moyenne de $12\ieme$ et de la $13\ieme$ valeur. Or Ces deux valeurs valent $350$. Ainsi, la médiane de cette série statistique est $350$.
    La moitié des briques contiennent au plus de $350$ mL de jus de pomme et l’autre moitié contient au moins $350$ mL de jus de pomme.
    $\quad$
  2. $357-344=13$. L’étendue de cette série est $13$.
    $\quad$
  3. $2$ briques sur les $24$ contiennent exactement $350$ mL.
    La probabilité que la brique prélevée contienne exactement $350$ mL est donc égale à $\dfrac{2}{24}$ soit $\dfrac{1}{12}$.
    $\quad$
  4. $2+4+4+2+3+1+2+3=21$. Sur les $24$ briques, $21$ peuvent être vendues.
    $\dfrac{21}{24}=0,875$.
    Par conséquent $87,5\%$ des briques peuvent être vendues.
    $\quad$

PARTIE B : Briques de jus de raisin

  1. $5\times 6,4=32$.
    L’aire de la base de cette brique est égale à $32$ cm^2$.
    $\quad$
  2. $\dfrac{400}{32}=12,5$. Pour que le volume de la brique soit de $400$ cm$^3$ il faut que la hauteur de la brique soit égale à $12,5$ cm.
    $\quad$

 

 

Ex 4

Exercice 4

  1. a. $7+5=12$ et $7-5=2$.
    $12\times 2=24$
    $24+25=49$
    En choisissant le nombre $7$ on obtient bien $49$ à la fin du programme.
    $\quad$
    b. $-4+5=1$ et $-4-5=-9$
    $1\times (-9)=-9$
    $-9+25=16$
    En choisissant le nombre $-4$ on obtient bien $16$ à la fin du programme.
    $\quad$
  2. a. En appelant $x$ le nombre choisi au départ on obtient $(x+5)(x-5)+25$ à la fin du programme.
    $\quad$
    b. D’après l’identité remarquable $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.
    Donc $(x+5)(x-5)=x^2-25$.
    $\quad$
    c. Ainsi $(x+5)(x-5)-25=x^2-25+25=x^2$.
    L’affirmation de Sarah est exacte.
    $\quad$

 

Ex 5

Exercice 5

  1. a. $135-6\times 12,5=60$et$\dfrac{60}{5}=12$.
    La profondeur de chaque escalator est égale à $12$ m.
    $\quad$
    b. $\dfrac{32}{5} = 6,4$.
    Chaque escalator a une hauteur de $6,4$ m.
    $\quad$
  2. a. Dans le triangle $RST$ rectangle en $R$ on applique le théorème de Pythagore.
    $\begin{align*} ST^2&=RS^2+RT^2 \\
    &=12^2+6,4^2\\
    &=144+40,96 \\
    &=184,96\end{align*}$
    Ainsi $ST=\sqrt{184,96}=13,6$.
    La longueur d’un escalator est égale à $13,6$ m.
    $\quad$
    b. Dans le triangle $RST$ rectangle en $R$, on a $\tan\widehat{RST}=\dfrac{6,4}{12}$
    Donc $\widehat{RST}\approx 28$°.
    $\quad$
  3. On peut écrire le programme suivant :


    $\quad$

 

Énoncé

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DNB – Asie – Juin 2022

Asie – Juin 2022

DNB – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici .

 

Ex 1

Exercice 1

Situation 1

  1. Voici les différentes obtenues successivement quand on choisit le nombre $10$.
    $$10\underset{-7}{\to}3\underset{\times 5}{\to}15\underset{-20}{\to}-5$$
    On obtient bien $-5$ en prenant $10$ comme nombre de départ.
    $\quad$
  2. Voici les différentes obtenues successivement quand le nombre de départ est $x$.
    $$x\underset{-7}{\to}x-7\underset{\times 5}{\to}5(x-7)\underset{-2x}{\to}5(x-7)-2x$$
    Il s’agit donc de l’expression C.
    $\quad$

Situation 2

  1. D’après le graphique, l’image de $-2$ par la fonction $f$ est $-4$.
    $\quad$
  2. On sait que le point $A(3;6)$ appartient à la droite représentant la fonction linéaire $f$.
    Il existe donc un nombre $a$ tel que $6=3a$. Par conséquent $a=2$.
    Donc $f(x)=2x$.
    $\quad$

Situation 3

L’aire du rectangle $CDEF$ est :
$\begin{align*} \mathscr{A}&=ED\times DC \\
&=30\times 40 \\
&=1~200 \text{ cm}^2\end{align*}$

Le volume de la pyramide est donc :
$\begin{align*} \mathscr{V}&=\dfrac{1}{3}\times \mathscr{A}\times GH \\
&=\dfrac{1}{3}\times 1~200\times 55 \\
&=22~000\text{ cm}^3 \\
&=22 \text{ L}\end{align*}$
Le volume de la pyramide est ainsi supérieur à $20$ L.
$\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

  1. Dans les triangles $ABE$ et $DCE$ :
    – $E$ appartient aux segments $[BC]$ et $[AD]$;
    – les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.
    D’après le théorème de Thalès :
    $\dfrac{EA}{ED}=\dfrac{EB}{EC}=\dfrac{AB}{CD}$
    soit $\dfrac{7,2}{EC}=\dfrac{9}{6}$
    Donc $EC=\dfrac{7,2\times 6}{9}$, c’est-à-dire $EC=4,8$ cm.
    $\quad$
  2. Dans le triangle $ECD$, le plus grand côté est $[CD]$.
    D’une part $CD^2=6^2=36$
    D’autre part $ED^2+EC^2=3,6^2+4,8^2=36$
    Donc $CD^2=ED^2+EC^2$.
    D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $CDE$ est rectangle en $E$.
    $\quad$
  3. Une homothétie permet d’obtenir le triangle $ABE$ à partir du triangle $ECD$.
    $\quad$
  4. Les longueurs du triangle $ECD$ sont toutes multipliées par $1,5$ pour obtenir celles du triangle $ABE$.
    Ainsi, l’aire du triangle $ECD$ est multipliée par $1,5^2$ pour obtenir celle du triangle $ABE$.
    L’affirmation est donc fausse.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

  1. D’après le tableau, l’Australie a obtenu $29$ médailles d’argent.
    $\quad$
  2. $69-(14+29)=26$.
    L’Italie a donc obtenu $26$ médailles de bronze.
    $\quad$
  3. On a pu saisir la formule $=\text{SOMME(C2:E2)}$ en $\text{F2}$.
    $\quad$
  4. $\dfrac{11}{54}\approx 20,3$.
    En prenant une valeur approchée à l’entier l’affirmation 1 est vraie.
    $\quad$
    On réordonne dans l’ordre croissant la série du nombre de médailles d’argent.
    $1~;~11~;~12~;~15~;~15~;~15~;~17~;~20~;~29~;~29~;~33~;~36~;~38~;~47~;~60$
    Or $\dfrac{15}{2}=7,5$. La médiane est donc la $8\ieme$ valeur c’est-à-dire $20$.
    Le nombre médian de médailles d’argent obtenues par ces $15$ pays est $20$.
    L’affirmation 2 est fausse.
    $\quad$
  5. $\dfrac{65~000-50~000}{50~000}=0,3$
    Cette prime a donc augmenté de $30\%$ entre 2016 et 2021.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. a. $0,17\times 35=5,95$.
    On paye donc $5,95$ € pour $35$ photos.
    $\quad$
    b. $17+0,13\times 50=23,5$.
    On paye bien $23,50$ € pour $150$ photos.
    $\quad$
    c. On ne peut pas commander plus de $100$ photos.
    On appelle $x$ le nombre de photos commandées.
    $0,17x\pp 10$ donc $x\pp \dfrac{10}{0,17}$.
    Or $\dfrac{10}{0,17}\approx 58,8$.
    On peut donc commander au maximum $58$ photos avec un budget de $10$ €.
    $\quad$
  2. À la ligne $3$ on écrit la valeur $100$, à la ligne $4$ on écrit la valeur $0,17$ et à la ligne $7$ on écrit la valeur $17$.
    $\quad$
  3. a. Pour $150$ photos on doit payer, sans réduction $23,50$ € d’après la question 1.b.
    $23,50\times \left(1-\dfrac{30}{100}\right)=16,45$.
    Après réduction on payera donc $16,45$ €.
    $\quad$
    b. Les propositions 2 et 4 conviennent puisqu’appliquer une réduction de $30\%$ à un nombre revient à multiplier ce nombre par $1-\dfrac{30}{100}=0,7$ ou à soustraire $30\%$ du nombre à lui-même.
    $\quad$

 

Ex 5

Exercice 5

  1. Voici, graphiquement, les coordonnées des deux villes :
    Canberra : $34$°S $149$°E
    Miami : $25$°N $80$°O
    $\quad$
  2. Le rayon de l’orbite de l’ISS est $R=6~371+380=6~751$ km
    La circonférence de cette orbite est donc $P=2\pi\times R \approx 42~418$ km.
    L’ISS parcourt bien environ $42~400$ km pour effectuer un tout complet de la terre.
    $\quad$
  3. a. On utilise la formule $V=\dfrac{D}{T}$ soit $T=\dfrac{D}{V}$ où $V$ correspond à la vitesse moyenne, $D$ la distance parcourue et $T$ le temps mis pour parcourir cette distance.
    Ainsi $T\approx \dfrac{42~400}{27~600}$. Donc $T\approx 1,536$ h.
    Or $0,536\times 60=32,16$ min.
    Il faut donc environ $1$ h $32$ min à l’ISS pour effectuer un tour complet de la Terre.
    $\quad$
    b. La sortie du  spationaute a duré $7$ h $15$ min soit $7,25$ h.
    Or $\dfrac{7,25}{1,536}\approx 4,72$.
    Il a donc effectué $4$ tour complet de la Terre durant cette sortie.
    $\quad$

 

 

 

Énoncé

Exercice 1     20 points

Cet exercice est composé de trois situations qui n’ont pas de lien entre elles.

Situation 1

On considère le programme de calcul ci-dessous : $$\begin{array}{c}\begin{array}{|c|}\hline \text{Nombre de départ}\\\hline\end{array}\\\Downarrow\\\begin{array}{|c|}\hline\text{Soustraire }7\\\text{Multiplier par }5\\\text{Soustraire le double du nombre de départ}\\\hline\end{array}\\\Downarrow\\\begin{array}{|c|}\hline\text{Résultat}\\\hline\end{array}\end{array}$$

  1. Montrer que si le nombre de départ est $10$, le résultat obtenu est $-5$.
    $\quad$
  2. On note $x$ le nombre de départ auquel on applique ce programme de calcul.
    Parmi les expressions suivantes, quelle est celle qui correspond au résultat du programme de calcul ? Aucune justification n’est attendue pour cette question.
    Expression A : $x -7\times 5-2x$
    Expression B : $5(x -7)-x^2$
    Expression C : $5(x-7)-2x$
    Expression D : $5x-7-2x$
    $\quad$

Situation 2 :

Dans le repère ci-dessous, la droite $(d)$ représente une fonction linéaire $f$ .
Le point $A$ appartient a la droite $(d)$.

  1. À l’aide du graphique, déterminer l’image de $-2$ par la fonction $f$.
    $\quad$
  2. Déterminer une expression de $f(x)$ en fonction de $x$.
    $\quad$

$\quad$

Situation 3 :

Le dessin ci-dessous représente une pyramide de sommet $G$ et dont la base $CDEF$ est un rectangle.
Le volume de cette pyramide est-il supérieur à $20$ L ?

$\quad$

$\quad$

Exercice 2     20 points

La figure ci-dessous est réalisée à main levée.

Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.
Les droites $(AD)$ et $(BC)$ sont sécantes en $E$.
On a : $ED = 3,6$ cm $\quad$ $CD = 6$ cm
$\hspace{1cm}$ $EB = 7,2$ cm $\quad$ $AB = 9$ cm

  1. Démontrer que le segment $[EC]$ mesure $4,8$ cm.
    $\quad$
  2. Le triangle $ECD$ est-il rectangle ?
    $\quad$
  3. Parmi les transformations ci-dessous, quelle est celle qui permet d’obtenir le triangle $ABE$ à partir du triangle $ECD$ ?
    Recopier la réponse sur la copie. Aucune justification n’est attendue.
    $$\fbox{Symétrie axiale} \quad \fbox{Homothétie} \quad \fbox{Rotation} \quad \fbox{Symétrie centrale} \quad \fbox{Translation}$$
  4. On sait que la longueur $BE$ est $1,5$ fois plus grande que la longueur $EC$.
    L’affirmation suivante est-elle vraie ? On rappelle que la réponse doit être justifiée.
    Affirmation : « L’aire du triangle $ABE$ est $1,5$ fois plus grande que l’aire du triangle $ECD$. »
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     20 points

Lors des Jeux paralympiques de 2021, les médias ont proposé un classement des pays en fonction de la répartition des médailles obtenues. Voici le classement obtenu pour les $15$ premiers pays :

  1. Combien de médailles d’argent l’Australie a-t-elle obtenues ?
    $\quad$
  2. Calculer le nombre de médailles de bronze obtenues par l’Italie.
    $\quad$
  3. Quelle formule a pu être saisie en $\text{F2}$ avant d’être étirée vers le bas ?
    $\quad$
  4. Pour chacune des deux affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.
    On rappelle que les réponses doivent être justifiées.
    Affirmation 1 :
    « $20 \%$ des médailles obtenues par l’équipe de France sont en or. »
    $\quad$
    Affirmation 2 :
    « La médiane du nombre de médailles d’argent obtenues par ces $15$ pays est $29$. »
    $\quad$
  5. Aux Jeux paralympiques de Rio en 2016, la prime pour une médaille d’or française était de $50~000$ euros. Pour ceux de Tokyo en 2021, cette prime était de $65~000$ euros.
    Quel est le pourcentage d’augmentation de cette prime entre 2016 et 2021 ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     25 points

Une boutique en ligne vend des photos et affiche les tarifs suivants :
$$\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Nombre de photos commandées}&\text{Prix à payer}\\
\hline
\text{De $1$ à $100$ photos}&0,17 \text{ € par photo}\\
\text{Plus de $100$ photos}&17 \text{ € pour l’ensemble des $100$ premières photos et} \\
&0,17 \text{ € par photo supplémentaire}\\
\hline
\end{array}$$

  1. a. Quel est le prix à payer pour $35$ photos ?
    $\quad$
    b. Vérifier que le prix à payer pour $150$ photos est $23,50$ €.
    $\quad$
    c. On dispose d’un budget de $10$ €. Combien de photos peut-on commander au maximum ?
    $\quad$

On a commencé à construire un programme qui doit permettre de calculer le prix à payer en fonction du nombre de photos commandées :

  1. Dans cette question, aucune justification n’est attendue.
    Par quelles valeurs peut-on compléter les instructions des lignes $3$, $5$ et $8$ pour que le programme permette de calculer le prix à payer en fonction du nombre de photos commandées ?
    Sur la copie, écrire le numéro de chaque ligne à compléter et la valeur correspondante.
    $\quad$
  2. En période des soldes, le site offre une réduction de $30 \%$ sur le prix à payer, pour toute commande supérieure à $20$ €.
    a. Calculer le prix a payer pour $150$ photos en période des soldes.
    $\quad$
    b. Dans cette question, aucune justification n’est attendue.
    $\quad$
    On modifie le programme pour qu’il donne le prix à payer en période des soldes en insérant le bloc ci-dessous entre les lignes $8$ et $9$.

    Dans la liste suivante, indiquer une proposition qui convient pour compléter la case vide :
    Proposition 1 :
    Proposition 2 :
    Proposition 3 :
    Proposition 4 :
    $\quad$

$\quad$

Exercice 5     15 points

L’ISS (International Space Station) est une station spatiale internationale placée en orbite autour de la Terre.

  1. Dans la journée du 21 juin 2021, l’ISS est passée à la verticale de Canberra (Australie) puis à la verticale de Miami (Etats-Unis).
    À l’aide du planisphère ci-dessous, donner les coordonnées géographiques de ces deux villes avec la précision permise par le graphique.

On représente la Terre, l’ISS et son orbite (trajectoire de l’ISS) à l’aide du schéma ci-dessous.

On considère que :

  • la Terre est assimilée a une sphère de rayon $6~371$ km;
  • l’orbite de l’ISS est un cercle de même centre que celui de la Terre;
  • l’ISS tourne autour de la Terre a une altitude de $380$ km.
  1. Montrer que l’ISS parcourt environ $42~400$ km pour effectuer un tour complet de la Terre.
    $\quad$
  2. On estime que l’ISS tourne autour de la Terre à la vitesse moyenne de $27~600$ km/h.
    a. Montrer qu’il faut environ $1$ h $32$ min à l’ISS pour effectuer un tour complet de la Terre.
    $\quad$
    b. Le 19 juin 2020, de $14$ h $30$ à $21$ h $45$ (heure de Paris), le spationaute français Thomas Pesquet a effectué une sortie extravéhiculaire en restant attaché à l’ISS.
    Durant cette sortie, combien de fois Thomas Pesquet a-t-il fait le tour complet de la Terre ?
    $\quad$

$\quad$

DNB – Centres étrangers – Juin 2022

Centres étrangers – Juin 2022

DNB – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici .

 

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. Le coefficient directeur est $a=2>0$ : ce n’est donc pas la réponse B.
    L’ordonnée à l’origine est $b=3\neq 0$ : ce n’est donc pas la réponse C.
    Réponse A
    $\quad$
  2. L’image de $-2$ par la fonction $f$ est :
    $\begin{align*} f(-2)&=2\times (-2)+3 \\
    &=-4+3 \\
    &=-1\end{align*}$
    Réponse B
    $\quad$
  3. La formule à saisir est $=\text{2*B1+3}$.
    Réponse B
    $\quad$

Partie B

  1. Pour tout nombre $x$ on a
    $\begin{align*} (2x-1)(3x+4)-2x&=6x^2+8x-3x-4-2x \\
    &=6x^2+3x-4\end{align*}$
    $\quad$
  2. Dans le triangle $CDE$ le plus grand côté est $[DE]$.
    D’une part $DE^2=5,5^2=30,25$
    D’autre part $CD^2+CE^2=3,6^2+4,2^2=30,6$
    Par conséquent $DE^2\neq CD^2+CE^2$.
    D’après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle $CDE$ n’est pas rectangle.
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

  1. a. La distance moyenne parcourue est :
    $\begin{align*} d_m&=\dfrac{166+188+187,5+200+202,5+119,5+93}{7} \\
    &=\dfrac{1~156,5}{7} \\
    &\approx 165,2\end{align*}$
    La distance moyenne parcourue est environ égale à $165,2$ km.
    $\quad$
    b. On ordonne la série de valeurs dans l’ordre croissant :
    $$93~;~119,5~;~166~;~187,5~;~188~;~200~;~202,5$$
    $\dfrac{7}{2}=3,5$ : la médiane est donc la $4\ieme$ valeur, c’est-à-dire $187,5$.
    La médiane des distances parcourues par étapes est $187,5$ km.
    $\quad$
    c. $202,5-93=109,5$.
    L’étendue de la série formée par les distances parcourues par étape est égale à $109,5$.
    $\quad$
  2. $4$ étapes sur les $7$ se sont déroulées sur un parcours accidenté.
    $\dfrac{4}{7}\approx 0,57$.
    Le journaliste a donc raison.
    $\quad$
  3. $30$ h $12$ min $- 28$ h $50$ min $= 1$ h $22$ min.
    Le dernier au classement a donc accumulé $1$ h $22$ min de retard par rapport au vainqueur.
    $\quad$
  4. $51$ min $=0,85$ h
    $\dfrac{166}{3,85}\approx 43$.
    La vitesse moyenne du coureur est environ égale à $43$ km/h.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$ on a $\cos\widehat{BAC}=\dfrac{AB}{AC}$ soit $\cos(60)=\dfrac{AB}{8}$
    Par conséquent $AB=8\cos(60)$ et donc $AB=4$ cm.
    $\quad$
  2. Dans les triangles $ABC$ et $ADE$ on a :
    – $A$ appartient aux segments $[CE]$ et $[BD]$
    – $\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{19,2}{8}=2,4$ et $\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{9,6}{4}=2,4$
    Par conséquent $\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AD}{AB}$
    D’après la réciproque du théorème de Pythagore les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont parallèles.
    $\quad$
  3. La droite $(DE)$ est parallèle à la droite $(BC)$ et les droites $(DB)$ et $(BC)$ sont perpendiculaires.
    Par conséquent, les droites $(DB)$ et $(DE)$ sont perpendiculaires.
    $\quad$
  4. Dans le triangle $ADE$ rectangle en $D$ on applique le théorème de Pythagore.
    $AE^2=AD^2+DE^2$ soit $19,2^2=9,6^2+DE^2$
    Ainsi $DE^2=19,2^2-9,6^2$ soit $DE^2=276,48$.
    L’aire du triangle $ADE$ est donc :
    $\begin{align*} \mathscr{A}&=\dfrac{AD\times DE}{2} \\
    &=\dfrac{9,6\times \sqrt{276,48}}{2} \\
    &\approx 80\end{align*}$
    L’aire du triangle $ADE$ est environ égale à $80$ cm$^2$.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie A

On obtient le bloc d’instructions suivant :

 

$\quad$

Partie B

  1. Pour lancer le programme de l’élève B il faut appuyer sur la barre espace.
    $\quad$
  2. a. On obtient la figure $1$ avec le programme de l’élève A.
    $\quad$
    b. On obtient la figure $4$ avec le programme de l’élève B.
    $\quad$

Ex 5

Exercice 5

  1. a. On a
    $\begin{align*} 125&=5\times 25 \\
    &=5^3\end{align*}$
    $\begin{align*} 175&=5\times 35\\
    &=5^2\times 7\end{align*}$
    $\quad$
    b. Les diviseurs communs à $125$ et $175$ sont : $1$, $5$ et $25$.
    $\quad$
    c. Le nombre de boîtes doit diviser $125$ et $175$ et être le plus grand possible.
    D’après la question précédente, le PGCD de $125$ et $175$ est $25$.
    On pourra donc réaliser au maximum $25$ boîtes.
    $\quad$
    d. $\dfrac{125}{25}=5$ et $\dfrac{175}{25}=7$.
    Il y aura donc $5$ truffes parfumées au café et $7$ truffes enrobées de noix de coco dans chaque boîte.
    $\quad$
  2. Le rayon d’une truffe est $r=\dfrac{1,5}{2}=0,75$ cm.
    Le volume d’une truffe est donc :
    $\begin{align*} V_T&=\dfrac{4}{3}\times \pi \times 0,75^3 \\
    &\approx 1,77 \text{ cm}^3\end{align*}$
    Le volume des $12$ truffes est :
    $\begin{align*} V_D&=12V_T \\
    &\approx 21,21\end{align*}$
    Le volume de la pyramide est :
    $\begin{align*} V_C&=\dfrac{1}{3}\times 4,8^2\times 5 \\
    &\approx 38,4\text{ cm}^3\end{align*}$
    Si on utilise cette boîte le volume non occupé par les truffes est :
    $\begin{align*} V_1&=V_C-V_D\\
    &\approx 17,19\\
    &\pp V_D\end{align*}$
    Le volume du pavé droit est :
    $\begin{align*} V_P&=5\times 3,5^2 \\
    &=61,25\text{ cm}^3\end{align*}$
    Si on utilise cette boîte le volume non occupé par les truffes est :
    $\begin{align*} V_1&=V_P-V_D\\
    &\approx 40,04\\
    &\pg V_D\end{align*}$
    On ne peut donc utiliser que la boîte pyramidale.
    $\quad$

Énoncé

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DNB – Amérique du Nord – Juin 2022

Amérique du Nord – Juin 2022

DNB maths – Correction

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Ex 1

Exercice 1

  1. Dans le triangle $HMS$ rectangle en $H$ on applique le théorème de Pythagore : $MS^2=HM^2+HS^2$.
    Donc $13^2=5^2+HS^2$ soit $169=25+HS^2$
    Par conséquent $HS^2=144$ et $HS=12$ cm.
    $\quad$
  2. Dans les triangles $HMS$ et $AMT$ :
    – $M\in [AS]$ et $M\in [HT]$
    – les droites $(AT)$ et $(HS)$ sont parallèles puisque  toutes les deux perpendiculaires à la droite $(HT)$.
    D’après le théorème de Thalès :
    $\dfrac{MA}{MS}=\dfrac{MT}{MH}=\dfrac{AT}{HS}$
    Soit $\dfrac{7}{5}=\dfrac{AT}{12}$
    Par conséquent :
    $\begin{align*} AT&=12\times \dfrac{7}{5} \\
    &=16,8\end{align*}$
    $\quad$
  3. Dans le triangle $HMS$ rectangle en $H$ on a
    $\begin{align*}\cos \widehat{HMS}&=\dfrac{HM}{MS} \\
    &=\dfrac{5}{13}\end{align*}$
    Par conséquent $\widehat{HMS}\approx 67$°
    $\quad$
  4. Une homothétie permet d’obtenir le triangle $MAT$ à partir du triangle $MHS$ (et c’est la seule transformation puisque toutes les autres conservent les longueurs).
    $\quad$
  5. L’aire du triangle $MAT$ est $1,4^2=1,96$ fois plus grande que l’aire du triangle $MHS$.
    L’affirmation est donc fausse.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. Il y a $5$ faces dont le numéro est inférieur ou égal à $5$.
    La probabilité cherchée est donc $\dfrac{5}{20}=\dfrac{1}{4}$.
    Réponse B
    $\quad$
  2. Il y a donc huit volumes (un de sirop et sept d’eau) dans cette boisson. $\dfrac{560}{8}=70$. Il faut donc $70\times 7=490$ mL d’eau.
    Réponse D
    $\quad$
  3. $f$ est linéaire, il existe donc un nombre $a$ tel que $f(x)=ax$.
    $\dfrac{5}{4}\times \dfrac{4}{5}=1$.
    Réponse C
    $\quad$
  4. On a $
    $\begin{align*} 195&=3\times 65 \\
    &=3\times 5\times 13\end{align*}$
    Réponse B
    $\quad$
  5. L’aire du triangle de base est :
    $\begin{align*} \mathscr{A}&=\dfrac{3\times 5}{2} \\
    &=7,5 \text{ cm}^2\end{align*}$
    Le volume du prisme droit est donc :
    $\begin{align*} \mathscr{V}&=\mathscr{A}\times 8 \\
    &=7,5\times 8\\
    &=60\text{ cm}^3\end{align*}$
    Réponse B
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

  1. $\dfrac{81}{100}\times 1~600~000=1~296~000$.
    $1,296$ million d’adolescents de 11 à 17 ans ne respectent pas la recommandation sur les $1,6$ million d’adolescents interrogés.
    $\quad$
  2. a. L’étendue est $e=1$h$40$min$-0$ min c’est-à-dire $1$h$40$min.
    $\quad$
    b. On ordonne la série dans l’ordre croissant
    $0$min;$~15$min;$~15$min;$~30$min;$~30$min;$~40$min;$~50$min;$~1$h:$~1$h;$~1$h;$~1$h;$~1$h$30$min;$~1$h$30$min;$~1$h$40$min.
    $\dfrac{14}{2}=7$.
    La médiane est donc la moyenne de $7\ieme$ et de la $8\ieme$ durée.
    C’est donc $\dfrac{50+60}{2}=55$ min
    $\quad$
  3. a. La moyenne de cette série est, après avoir converti les durées en minutes :
    $\begin{align*}m&=\dfrac{0+15+15+30+30+40+50+60+60+60+60+90+90+100}{14}\\
    &=\dfrac{700}{14}\\
    &=50\end{align*}$
    En moyenne il a fait $50$ minutes de pratique physique par jour sur ces $14$ jours.
    Il n’a donc pas atteint son objectif.
    $\quad$
    b. Il doit faire au moins $21\times 60=1~260$ minutes de pratique physique sur ces $21$ jours.
    Sur les $14$ premiers jours, il a déjà effectué $700$ minutes de pratique physique.
    Il doit donc faire au moins $1~260-700=560$ minutes de pratique physique sur les $7$ derniers jours, soit en moyenne $80$ minutes par jour.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. On obtient un rectangle de $60$ pas de large sur $80$ pas de haut soit $3$ cm sur $4$ cm.
    $\quad$

    $\quad$
  2. On avance de $100-60=40$ pas entre chaque figure.
    Donc $d=40$ pas.
    $\quad$
  3. Les seuls nombres entiers compris entre $1$ et $2$ sont $\acco{1;2}$.
    Chaque nombre a la même probabilité d’apparaître.
    La probabilité que le premier motif soit une croix est donc égale à $\dfrac{1}{2}$.
    $\quad$
  4. On obtient les $8$ affichages suivants :

    $\quad$
  5. La probabilité que le joueur gagne est donc égale à $\dfrac{2}{8}$ soit $\dfrac{1}{4}$.
    $\quad$
  6. On peut écrire :

    $\quad$

 

Ex 5

Exercice 5

Partie A

  1. Si le nombre de départ est $15$ alors sont carré est $225$.
    À l’arrivée on obtient $225+15=240$.
    $\quad$
  2. On a pu écrire $=\text{A2}*\text{A2}+\text{A2}$.
    $\quad$
  3. Le résultat obtenu est $x^2+x$.
    $\quad$

Partie B

  1. Si le nombre de départ est $9$ alors on obtient à l’arrivée $9^2+9=90$.
    Et $90=9\times 10$.
    L’affirmation est vraie quand le nombre choisi au départ est $9$.
    $\quad$
  2. Si $x$ est un nombre entier, on a alors $x^2+x=x\times x+x\times 1=x(x+1)$.
    L’affirmation est donc vraie quel que soit le nombre entier choisi au départ.
    $\quad$
  3. Parmi deux nombres entiers consécutifs l’un d’entre eux est pair.
    Ainsi le produit de deux nombres entiers consécutifs est pair.
    Le nombre obtenu à l’arrivée est donc toujours pair.
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1     22 points

La figure ci-dessous n’est pas à l’échelle.

  • les points $M$, $A$ et $S$ sont alignés
  • les points $M$, $T$ et $H$ sont alignés
  • $MH = 5$ cm
  • $MS = 13$ cm
  • $MT = 7$ cm

  1. Démontrer que la longueur $HS$ est égale à $12$ cm.
    $\quad$
  2. Calculer la longueur $AT$.
    $\quad$
  3. Calculer la mesure de l’angle $\widehat{HMS}$. On arrondira le résultat au degré près.
    $\quad$
  4. Parmi les transformations suivantes quelle est celle qui permet d’obtenir le triangle $MAT$ à partir du triangle $MHS$ ?
    Dans cette question, aucune justification n’est attendue.
    Recopier la réponse sur la copie.
    $$\begin{array}{|c|} \hline\text{Une symétrie}\\\text{centrale}\\\hline\end{array} \quad \begin{array}{|c|} \hline\text{Une symétrie}\\\text{axiale}\\\hline\end{array} \quad \begin{array}{|c|} \hline\text{Une}\\\phantom{12~}\text{rotation}\phantom{12~}\\\hline\end{array} \quad \begin{array}{|c|} \hline\text{Une }\\\phantom{2}\text{translation}\phantom{2}\\\hline\end{array} \quad \begin{array}{|c|} \hline\text{Une }\\\phantom{1}\text{homothétie}\phantom{1}\\\hline\end{array}$$
    $\quad$
  5. Sachant que la longueur $MT$ est $1,4$ fois plus grande que la longueur $HM$, un élève affirme : « L’aire du triangle $MAT$ est $1,4$ fois plus grande que l’aire du triangle $MHS$. »
    Cette affirmation est-elle vraie ? On rappelle que la réponse doit être justifiée.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     15 points

Dans cet exercice, aucune justification n’est attendue.

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Pour chaque question, une seule des quatre réponses est exacte.

Sur la copie, écrire le numéro de la question et la réponse choisie.

  1. On lance un dé équilibré à $20$ faces numérotées de $1$ à $20$.
    La probabilité pour que le numéro tiré soit inférieur ou égal à $5$ est …
    Réponse A $\dfrac{1}{20}\phantom{\dfrac{1^2}{1^2}}$
    Réponse B $\dfrac{1}{4}\phantom{\dfrac{1^2}{1^2}}$
    Réponse C $\dfrac{1}{5}\phantom{\dfrac{1^2}{1^2}}$
    Réponse D $\dfrac{5}{6}\phantom{\dfrac{1^2}{1^2}}$
    $\quad$
  2. Une boisson est composée de sirop et d’eau dans la proportion d’un volume de sirop pour sept volumes d’eau (c’est-à-dire dans le ratio $1 : 7$).
    La quantité d’eau nécessaire pour préparer $560$ mL de cette boisson est …
    Réponse A $70$ mL
    Réponse B $80$ mL
    Réponse C $400$ mL
    Réponse D $490$ mL
    $\quad$
  3. La fonction linéaire $f$ telle que $f\left(\dfrac{4}{5}\right)=1$ est …
    Réponse A $f(x)=x+\dfrac{1}{5}\phantom{\dfrac{1^2}{1^2}}$
    Réponse B $f(x)=\dfrac{4}{5}x\phantom{\dfrac{1^2}{1^2}}$
    Réponse C $f(x)=\dfrac{5}{4}x\phantom{\dfrac{1^2}{1^2}}$
    Réponse D $f(x)=x-\dfrac{1}{5}\phantom{\dfrac{1^2}{1^2}}$
    $\quad$
  4. La décomposition en produit de facteurs premiers de $195$ est …
    Réponse A $5\times 39$
    Réponse B $3\times 5\times 13$
    Réponse C $1\times 100+9\times 10+5$
    Réponse D $3\times 65$
    $\quad$
  5. $\quad$

    Le volume de ce prisme droit est …
    Réponse A $40$ cm$^3$
    Réponse B $60$ cm$^3$
    Réponse C $64$ cm$^3$
    Réponse D $120$ cm$^3$
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     20 points

Pour être en bonne santé, il est recommandé d’avoir régulièrement une pratique physique. Une recommandation serait de faire au moins une heure de pratique physique par jour en moyenne. Sur $1,6$ million d’adolescents de 11 à 17 ans interrogés, $81 \%$ d’entre eux ne respectent pas cette  recommandation.

D’après un communiqué de presse sur la santé

  1. Sur les $1,6$ million d’adolescents de 11 à 17 ans interrogés, combien ne respectent pas cette recommandation ?

Après la lecture de ce communiqué, un adolescent se donne un objectif.

Objectif : « Faire au moins une heure de pratique physique par jour en moyenne. »

Pendant $14$ jours consécutifs, il note dans le calendrier suivant, la durée quotidienne qu’il consacre à sa pratique physique :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\textbf{Jour 1}&\textbf{Jour 2}&\textbf{Jour 3}&\textbf{Jour 4}&\textbf{Jour 5}&\textbf{Jour 6}&\textbf{Jour 7} \\
\hline
50\text{ min}&15\text{ min}&1\text{ h}&1\text{ h }40\text{ min}&30\text{ min}&1\text{ h }30\text{ min}&40\text{ min}\\
\hline
\textbf{Jour 8}&\textbf{Jour 9}&\textbf{Jour 10}&\textbf{Jour 11}&\textbf{Jour 12}&\textbf{Jour 13}&\textbf{Jour 14} \\
\hline
15\text{ min}&1\text{ h}&1\text{ h }30\text{ min}&30\text{ min}&1\text{ h}&1\text{ h}&0\text{ min}\\
\hline
\end{array}$$

  1. a. Quelle est l’étendue des $14$ durées quotidiennes notées dans le calendrier ?
    $\quad$
    b. Donner une médiane de ces $14$ durées quotidiennes.
    $\quad$
  2. a. Montrer que, sur les $14$ premiers jours, cet adolescent n’a pas atteint son objectif.
    $\quad$
    b. Pendant les $7$ jours suivants, cet adolescent décide alors de consacrer plus de temps au sport pour atteindre son objectif sur l’ensemble des $21$ jours.
    Sur ces $7$ derniers jours, quelle est la durée totale de pratique physique qu’il doit au minimum prévoir pour atteindre son objectif ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     21 points

Dans cet exercice, aucune justification n’est attendue.

On a créé un jeu de hasard à l’aide d’un logiciel de programmation.
Lorsqu’on appuie sur le drapeau, le lutin dessine trois motifs côte à côte.
Chaque motif est dessiné aléatoirement : soit c’est une croix, soit c’est unrectangle.
Le joueur gagne si l’affichage obtenu comporte trois motifs identiques.
Au lancement du programme, le lutin est orienté horizontalement vers la droite :

  1. En prenant pour échelle $1$ cm pour $20$ pas, représenter le motif obtenu par le bloc « rectangle ».
    $\quad$
  2. Voici un exemple d’affichage obtenu en exécutant le programme principal :Quelle est la distance $d$ entre les deux rectangles sur l’affichage, exprimée en pas ?
    $\quad$
  3. Quelle est la probabilité que le premier motif dessiné par le lutin soit une croix ?
    $\quad$
  4. Dessiner à main levée les $8$ affichages différents que l’on pourrait obtenir avec le programme principal.
    $\quad$
  5. On admettra que les $8$ affichages ont la même probabilité d’apparaître. Quelle est la probabilité que le joueur gagne ?
    $\quad$
  6. On souhaite désormais que, pour chaque motif, il y ait deux fois plus de chances d’obtenir un rectangle qu’une croix. Pour cela, il faut modifier l’instruction dans la ligne
    $\quad$
  7. Sur la copie, recopier l’instruction suivante en complétant les cases : .
    $\quad$

$\quad$

Exercice 5     22 points

On considère le programme de calcul suivant, appliqué à des nombres entiers :

$$\begin{array}{c}
\begin{array}{|c|}\hline \text{Nombre choisi}\\\text{au départ}\\ \hline\end{array} \\
\boldsymbol{\Downarrow} \\
\begin{array}{|c|} \hline
\text{Programme de calcul} \\\bullet~\text{Calculer le carré du nombre de départ}\\ \bullet~\text{Ajouter le nombre de départ}\\ \hline \end{array}\\
\boldsymbol{\Downarrow}\\
\begin{array}{|c|} \hline \text{Nombre obtenu à}\\ \text{l’arrivée}\\\hline \end{array}\end{array}$$

PARTIE A

  1. Vérifier que si le nombre de départ est $15$, alors le nombre obtenu à l’arrivée est $240$.
    $\quad$
  2. Voici un tableau de valeurs réalisé à l’aide d’un tableur :

    Il donne les résultats obtenus par le programme de calcul en fonction de quelques valeurs du nombre choisi au départ.
    Quelle formule a pu être saisie dans la cellule $\text{B2}$ avant d’être étirée vers le bas ?
    Aucune justification n’est attendue.
    $\quad$
  3. On note $x$ le nombre de départ.
    Écrire, en fonction de $x$, une expression du résultat obtenu avec ce programme de calcul.
    $\quad$

PARTIE B

On considère l’affirmation suivante :
« Pour obtenir le résultat du programme de calcul, il suffit de multiplier le nombre de départ par le nombre entier qui suit. »

  1. Vérifier que cette affirmation est vraie lorsque le nombre entier choisi au départ est $9$.
    $\quad$
  2. Démontrer que cette affirmation est vraie quel que soit le nombre entier choisi au départ.
    $\quad$
  3. Démontrer que le nombre obtenu à l’arrivée par le programme de calcul est un nombre pair quel que soit le nombre entier choisi au départ.
    $\quad$

$\quad$