Bac ES/L – Polynésie – Juin 2019

Polynésie – Juin 2019

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $]0;+\infty[$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=-1,5\times 2x+2x\times \ln(x)+x^2\times \dfrac{1}{x} \\
    &=-3x+2x\ln(x)+x\\
    &=-2x+2x\ln(x)\end{align*}$
    Réponse b
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} 2\times \left(1+\dfrac{x}{100}\right)^{12}=3,5&\ssi \left(1+\dfrac{x}{100}\right)^{12}=1,75 \\
    &\ssi 1+\dfrac{x}{100}=1,75^{1/12}\\
    &\ssi \dfrac{x}{100}=1,75^{1/12}-1\\
    &\ssi x=100\left(1,75^{1/12}-1\right)\end{align*}$
    Ainsi $x\approx 4,77$
    Réponse b
    Remarque : On pouvait également tester les différentes valeurs proposées
    $\quad$
  3. On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de victoires.
    Il y a $13$ tirages identiques, indépendantes et aléatoires. À chaque tirage, il y a deux issues : $S$, “la partie est gagnée” et $\conj{S}$.
    De plus $p(S)=\dfrac{1}{25}=0,04$.
    Ainsi, $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=13$ et $p=0,04$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} P(X\pg 1)&=1-P(X=0) \\
    &=1-(1-0,04)^{13}\\
    &\approx 0,412\end{align*}$
    Réponse b
    $\quad$
  4. La courbe $\mathscr{C}_g$ semble être sous ses tangentes sur l’intervalle $[-1;5]$.
    La fonction est donc concave sur l’intervalle $[-1;5]$.
    Réponse b
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. a. On a $p(D)=0,03$, $p_D(C)=0,02$ et p(C)=0,05$.
    $\quad$
    b. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
    c. On a $p(D\cap C)=0,03\times 0,02=0,000~6$.
    $\quad$
    d. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_C(D)&=\dfrac{p(C\cap D)}{p(C)} \\
    &=\dfrac{0,000~6}{0,05}\\
    &=0,012\end{align*}$
    La probabilité que le téléviseur ait un défaut sur la dalle sachant qu’il un défaut sur le condensateur.
    $\quad$
    e. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(C)=p(C\cap D)+p\left(\conj{D}\cap C\right) &\ssi 0,05=0,000~6+p\left(\conj{D}\cap C\right) \\
    &\ssi p\left(\conj{D}\cap C\right)=0,049~4\end{align*}$.
    $\quad$
  2. a. On a :
    $\begin{align*} P(T\pg 72)&=P(72\pp T\pp 84)+P(T\pg 84) \\
    &=P(72\pp T\pp 84)+0,5\\
    &\approx 0,98\end{align*}$
    La probabilité qu’un téléviseur tombe en panne pour la première dois après $72$ mois d’utilisation est environ égale à $0,98$.
    $\quad$
    b. On veut calculer $P(6\times 12\pp T\pp 8\times 12)\approx 0,95$.
    On pouvait également remarquer qu’on voulait calculer $P(\mu-2\sigma \pp T\pp \mu+2\sigma)$.
    La probabilité que la première panne arrive entre $6$ années et $8$ années.
    $\quad$
    c. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_{T\pg 72}(T\pp 96)&=\dfrac{P(72\pp T\pp 96)}{P(\pg 72)} \\
    &\approx \dfrac{0,95}{0,98}\\
    &\approx 0,97\end{align*}$
    La probabilité que le téléviseur tombe en panne avant $8$ années d’utilisation sachant qu’il n’a pas de panne après $6$ années d’utilisation est environ égale à $0,97$.
    Remarque : Si on n’utilise pas les arrondis trouvés précédemment la probabilité cherchée est environ égale à $0,98$.
    $\quad$

Partie B

On a $n=300$ et $p=0,9$.
Par conséquent $n\pg 30$, $np=270 \pg 5$ et $n(1-p)=30\pg 5$.
Un intervalle de fluctuation au seuil de $95\%$ de la proportion de clients satisfaits est :
$\begin{align*} I_{300}&=\left[0,9-1,96\sqrt{\dfrac{0,9\times 0,1}{300}};0,9-1,96\sqrt{\dfrac{0,9\times 0,1}{300}}\right] \\
&\approx [0,866;0,934]\end{align*}$

La fréquence observée est $f=\dfrac{265}{300}\in I_{300}$
Les résultats de cette étude ne remettent donc pas en cause l’affirmation de l’entreprise.
$\quad$

 

Ex 3 obl

Exercice 3

  1. Avec l’offre le prix unitaire d’une capsule est $\dfrac{60}{150}=0,40$ €.
    $\dfrac{0,4-0,6}{0,6}=-\dfrac{1}{3} \approx -33,33 \%$.
    On a ainsi une réduction d’environ $33,33\%$.
    $\quad$
  2. a. on considère un entier naturel $n$.
    $10\%$ des propriétaires cessent d’utiliser la machine. Cela signifie donc $90\%$ des propriétaires continuent à l’utiliser, cela représente donc $0,9u_n$.
    Chaque mois il y a $24~000$ nouveaux utilisateurs. Donc $u_{n+1}=0,9u_n+24~000$.
    De plus en 2017, on comptait $60~000$ utilisateurs. Donc $u_0=60~000$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=u_n-240~000$ donc $_n=v_n+240~000$.
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-240~000\\
    &=0,9u_n+24~000-240~000\\
    &=0,9u_n-216~000\\
    &=0,9\left(v_n+240~000\right)-216~000\\
    &=0,9v_n+216~000-216~000\\
    &=0,9v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,9$ et de premier terme $v_0=u_0-240~000=-180~000$.
    $\quad$
  3. a. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $^v_n=-180~000\times 0,9^n$.
    $\quad$
    b. Ainsi, $u_n=v_n+240~000=240~000-180~000\times 0,9^n$.
    $\quad$
  4. On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
    $\begin{align*} u_n\pg 230~000 &\ssi 240~000-180~000\times 0,9^n \pg 230~000 \\
    &\ssi -180~000\times 0,9^n \pg -10~000 \\
    &\ssi 0,9^n\pp \dfrac{1}{18} \\
    &\ssi n\ln 0,9\pp \ln \dfrac{1}{18} \\
    &\ssi n\pg \dfrac{\ln \dfrac{1}{18}}{\ln 0,9}\end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln \dfrac{1}{18}}{\ln 0,9}\approx 27,4$.
    Le nombre d’utilisateurs de cette machine à café dépassera donc pour la première fois $230~000$ au bout de $28$ mois.
    $\quad$
  5. Pour tout entier naturel $n$ on a $-180~000\times 0,9^n<0$.
    Par conséquent $u_n<240~000<250~000$.
    L’affirmation est donc fausse.
    $\quad$

Ex 3 spé

Exercice 3

  1. On obtient le graphe probabiliste suivant :

    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{cases} a_{n+1}&=0,94a_n+0,14b_n\\b_{n+1}=0,06a_n+0,86b_n\end{cases}$.
    Ainsi la matrice de transition est $T=\begin{pmatrix} 0,94&0,06\\0,14&0,86\end{pmatrix}$
    $\quad$
    b. En 2020 on a $n=3$.
    Ainsi, $P_3=P_0T^3=\begin{pmatrix}0,572&0,428\end{pmatrix}$.
    Le grossiste A possédera donc, en 2020, $57,2\%$ des parts de marché et le grossiste B $42,8\%$.
    $\quad$
  3. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=a_n-0,7 \ssi a_n=u_n+0,7$.
    $\begin{align*} u_{n+1}&=a_{n+1}-0,7\\
    &=0,8a_n+0,14-0,7\\
    &=0,8a_n-0,56\\
    &=0,8\left(u_n+0,7\right)-0,56\\
    &=0,8u_n+0,56-0,56\\
    &=0,8u_n\end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,8$ et de premier terme $u_0=a_0-0,7=-0,25$.
    $\quad$
    b. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=-0,25\times 0,8^n$.
    Et $a_n=u_n+0,7=0,7-0,25\times 0,8^n$.
    $\quad$
    c. $0<0,8<0$. Donc $\lim\limits_{n\to +\infty}0,8^n=0$ et $\lim\limits_{n\to +\infty}a_n=0,7$.
    Sur le long terme le grossiste A peut espérer $70\%$ du marché.
    $\quad$
    d. On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
    $\begin{align*} a_n\pg 0,65 &\ssi 0,7-0,25\times 0,8^n\pg 0,65\\
    &\ssi -0,25\times 0,8^n \pg -0,05\\
    &\ssi 0,8^n\pp 0,2 \\
    &\ssi n\ln 0,8\pp \ln 0,2\\
    &\ssi n \pg \dfrac{\ln 0,2}{\ln 0,8}\end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln 0,2}{\ln 0,8}\approx 7,2$ par conséquent $n\pg 8$.
    À partir de 2025 le grossiste détiendra plus de $65\%$ du marché.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

Partie A

  1. Pour tout réel $x$ de l’intervalle $[1;9]$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=0,5\times 2x-7+6\times \dfrac{1}{x} \\
    &=x-7+\dfrac{6}{x} \\
    &=\dfrac{x^2-7x+6}{x}\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. Sur l’intervalle $[1;9]$ le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $x^2-7x+6$.
    $\Delta=(-7)^2-4\times 1\times 6=25>0$.
    Il y a donc deux racines $x_1=\dfrac{7-\sqrt{25}}{2}=1$ et $x_2=\dfrac{7+\sqrt{25}}{2}=6$.
    Ainsi :
    – sur l’intervalle $[1;6]$, $f'(x)\pp 0$
    – sur l’intervalle $[6;9]$, $f'(x)\pg 0$.
    La fonction $f$ est donc décroissante sue l’intervalle $[1;6]$ et croissante sur l’intervalle $[6;9]$.
    $\quad$
    b. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur l’intervalle $[1;6]$.
    De plus $f(1)=7,5>5$ et $f(6)\approx 0,75<5$.
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires l’équation $f(x)=5$ possède une unique solution sur l’intervalle $[1;6]$.
    $\quad$
    La fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $[6;9]$ et $f(9)\approx 4,68<5$.
    L’équation $f(x)=5$ ne possède donc pas de solution sur l’intervalle $[6;9]$.
    $\quad$
    Par conséquent l’équation $f(x)=5$ possède une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[1;9]$.
    $\quad$
    c. D’après la calculatrice on a $2,55\pp \alpha \pp 2,56$
    $\quad$
    d. D’après la question précédente la variable $X$ contient donc la valeur $2,56$.
    $\quad$
  3. D’après le tableau de variations la fonction $f$ atteint son minimum pour $x=6$.
    Le coût moyen annuel de fabrication d’un pneu est donc minimal quant l’entreprise fabrique $600$ pneus.
    $f(6)\approx 0,75$.
    Le coût moyen annuel de fabrication d’un pneu s’élève alors environ à $75$ €.
    $\quad$

Partie B

  1. Une primitive de la fonction $g$ sur l’intervalle $[0;100]$ est la fonction $G$ définie sur le même intervalle par $G(x)=x^2-x+\dfrac{\e^{0,05x}}{0,05}$ ou encore $G(x)=x^2-x+20\e^{0,05x}$.
    $\quad$
  2. La valeur moyenne de la fonction $g$ sur l’intervalle $[0;100]$ est :
    $\begin{align*} \ds m&=\dfrac{1}{100-0}\int_0^{100} g(x) \dx \\
    &=0,01\left(G(100)-G(0)\right) \\
    &=0,01\left(9~900+20\e^5-20\right) \\
    &=0,01\left(9~880+20\e^5\right)\\
    &=98,8+0,2\e^5\\
    &\approx 128,48\end{align*}$
    $\quad$
  3. Cela signifie qu’un semoir coûte en moyenne $128,48\times 100=12~848$ € à fabriquer.
    $\quad$

 

 

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Bac ES/L – Asie – Juin 2019

Asie – Juin 2019

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

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Ex 1

Exercice 1

  1. D’après la calculatrice on a $P(X\pp 4) \approx 0,05$.
    Réponse c
    $\quad$
  2. $\left(\e^x\right)^2=3\e^x\ssi \e^{2x}-3\e^x=0\ssi \e^x\left(\e^x-3\right)=0$.
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs est nul.
    L’équation $\e^x=0$ ne possède pas de solution
    et $\e^x-3=0\ssi \e^x=3\ssi x=\ln 3$.
    Réponse b
    $\quad$
  3. Pour tout réel $x$ on a $f(x)=\dfrac{x}{\e^x}=x\e^{-x}$.
    Réponse d
    $\quad$
  4. D’après le graphique on a $\mu=200$.
    De plus $p(170\pp X\pp 230)=0,95 \ssi p(\mu-30\pp X\pp \mu+30)=0,95$
    Or $p(\mu-2\sigma\pp X\pp \mu+2\sigma) \approx 0,95$.
    Donc $2\sigma \approx 30$ et $\sigma \approx 15$.
    Par conséquent $p(X\pg a)=0,1 \ssi p(X\pp a)=0,9$.
    À l’aide de la touche Inverse loi normale de la calculatrice on trouve : $a\approx 219,2$.
    Réponse c
    $\quad$

 

 

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. Voir figure à la fin de partie
    $\quad$
  2. D’après l’arbre pondéré on a $p(M\cap G)=0,4\times 0,6=0,24$
    $\quad$
  3. a. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} &p(G)=p(F\cap G)+p(M\cap G)+p(E\cap G)\\
    &\ssi 0,58=p(F\cap G)+0,24+0,27\\
    &\ssi p(F\cap G)=0,07\end{align*}$
    $\quad$
    b. Par conséquent :
    $\begin{align*} p_F(G)&=\dfrac{p(F\cap G)}{p(F)} \\
    &=\dfrac{0,07}{0,1}\\
    &=0,7\end{align*}$
    $\quad$
    c. On a $p_F(G)=0,7>0,47$.
    La présence de Claire semble favoriser la victoire de l’équipe féminine.
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_G(F)&=\dfrac{p(G\cap F)}{p(G)}\\
    &=\dfrac{0,07}{0,58}\\
    &\approx 0,12\end{align*}$
    La probabilité que Claire ait suivi le match d’une équipe adulte féminine sachant qu’elle a assisté à la victoire d’une équipe du club est environ égale à $0,12$.
    $\quad$

$\quad$

Partie B

  1. $\mu=30$ donc en moyenne ce supporter attend $30$ minutes au guichet.
    $\quad$
  2. On a
    $\begin{align*} P(X\pp 15)&=P(X\pp 30)-P(15\pp X\pp 30) \\
    &=0,5-P(15\pp X\pp 30) \\
    &\approx 0,07\end{align*}$
    La probabilité qu’il puisse acheter son billet avant le début du match est environ égale à $0,07$.
    $\quad$

Partie C

  1. On a $n=75$ et $p=0,6$
    Donc $n\pg 30$, $np=45\pg 5$ et $n(1-p)=30\pg 5$.
    Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la proportion d’enfants se réinscrivant d’une année sur l’autre est :
    $\begin{align*} I_{75}&=\left[0,6-1,96\sqrt{\dfrac{0,6\times 0,4}{75}};0,6+1,96\sqrt{\dfrac{0,6\times 0,4}{75}}\right]\\
    &\approx [0,48;0,72]\end{align*}$
    $\quad$
  2. La fréquence observée est $f=\dfrac{52}{75}\in I_{75}$
    La victoire de la France n’a pas eu d’effet sur les réinscriptions en septembre 2018 dans ce club.
    $\quad$

 

Ex 3 obl

Exercice 3

Candidats de ES n’ayant pas suivi la spécialité et candidats de L

Partie A

  1. On a $u_1=(230-8,5)\times 1,04=230,36$.
    Richard disposera de $230,36$ tonnes sur les plages au 1$\ier$ septembre 2019.
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=u_n-221 \ssi u_n=v_n+221$.
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-221\\
    &=1,04u_n-8,84-221\\
    &=1,04u_n-229,84\\
    &=1,04\left(v_n+221\right)-229,84\\
    &=1,04v_n+229,84-229,84\\
    &=1,04v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,04$ et de premier terme $v_0=u_0-221=9$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $v_n=9\times 1,04^n$.
    $\quad$
    c. Et $u_n=v_n+221=9\times 1,04^n+221$.
    $\quad$
  3. On veut déterminer le plus petit entier naturel tel que :
    $\begin{align*} u_n\pg 250 &\ssi 9\times 1,04^n+221\pg 250\\
    &\ssi 9\times 1,04^n\pg 29 \\
    &\ssi 1,04^n\pg \dfrac{29}{9}\\
    &\ssi n\ln 1,04\pg \ln \dfrac{29}{9} \\
    &\ssi n\pg \dfrac{\ln \dfrac{29}{9}}{\ln 1,04}\end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln \dfrac{29}{9}}{\ln 1,04}\approx 29,8$.
    C’est donc au bout de $30$ ans que la quantité d’algues présentes sur ces plages dépassera $250$ tonnes.
    $\quad$

Partie B

  1. $A$ contient la quantité d’algues sur les plages.
    $B$ contient la quantité d’algues prélevées par l’entreprise.
    $\quad$
  2. On obtient le tableau : $$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \hspace{0.7cm}K\hspace{0.7cm} & \hspace{0.7cm}A\hspace{0.7cm} & \hspace{0.7cm}B\hspace{0.7cm} \\ \hline
    \bbox[lightgray]{\phantom{NNNNNN}}
    & 230 & 8,5 \\ \hline 1 &230,36 & 9,35\\ \hline 2 & 229,85& 10,29\\ \hline 3 & 228,35 & 11,31\\ \hline 4 & 225,72 & 12,44\\ \hline 5 & 221,80 & 13,69\\ \hline 6 & 216,44 & 15,06\\ \hline 7 & 209,43 & 16,56\\ \hline 8 & 200,58 & 18,22\\ \hline 9 & 189,66 & 20,04\\ \hline 10 & 176,40 & 22,05\\ \hline 11 & 160,53 & 24,25\\ \hline 12 & 141,73 & 26,68\\ \hline 13 & 119,65 & 29,34\\ \hline 14 & 93,92 & 32,28\\ \hline 15 & 64,11 & 35,51\\ \hline 16 & 29,75 & 39,06\\ \hline \end{array}$$
    $\quad$
  3. En 2034 il n’aura pas assez d’algues à prélever.
    $\quad$

Ex 3 spé

Exercice 3

  1. Les sommets $A$ et $L$, par exemple, ne sont pas liés. Le graphe n’est donc pas complet.
    Cela signifie donc que la compagnie ne dessert pas tous les aéroports à partir de chacun d’entre eux.
    $\quad$
  2. On a :
    $$\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1\\ 1&0&0&0&0&0&1&1&1\\
    0&0&0&1&0&0&1&0&0 \\
    0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$
    $\quad$
  3. Le coefficient ${M^3}_{4,5}$ vaut $5$.
    Il existe donc $5$ trajets possibles à un avion partant de l’aéroport F d’effectuer $3$ vols avant d’arriver à l’aéroport B.
    $\quad$
  4. a. On étudie le degré des sommets.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Sommet}&A&B&C&F&G&L&M&P&V\\
    \hline
    \text{Degré}&4&4&2&4&3&2&4&4&3\\
    \hline
    \end{array}$
    Ainsi, exactement $2$ sommets de ce graphe connexe sont de degrés impairs.
    Il possède donc une chaîne eulérienne.
    Un même avion peut ainsi parcourir successivement une fois et une seule
    chaque liaison.
    Il doit utiliser comme aéroports de départ et d’arrivée les aéroports $G$ et $V$.
    $\quad$
    b. Le sommet $P$ possède $4$ liaisons.
    Chacune d’entre-elle ne peut être utilisée qu’une seule fois.
    L’avion de posera donc $2$ fois à l’aéroport $P$.
    $\quad$

Partie B

On utilise l’algorithme de Dijsktra.

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
A & B & C & F & G & L & M & P & V & \text{Sommet} \\
\hline
\phantom{11111} & \phantom{11111} & \phantom{11111} & \phantom{11111} & \phantom{11111} & \phantom{11111} & \phantom{11111} & \phantom{11111} & 0 & V \\
\hline
1(V) & 2(V) &  &  &  &  &  & 4(V) & \phantom{11111} & A \\
\hline
& 2(V) &  &  & 5(A) &  & 6(A) & 4(V) &  & B \\
\hline
&  &  &  & 5(A) &  & 4(B) & 4(V) &  & M \\
\hline
&  & 8(M) &  & 5(A) &  & 4(B) & 4(V) &  & P \\
\hline
&  & 8(M) & 10(P) & 5(A) & 5(M) &  &  &  & G \\
\hline
&  & 8(M) & 10(P) &  & 5(M) &  &  &  & L \\
\hline
&  & 8(M) & 9(L) &  &  &  &  &  & C \\
\hline
&  &  & 9(L) &  &  &  &  &  & F \\
\hline
\end{array}$$
Ainsi le chemin le plus court est $V-B-M-L-F$. Sa durée est de $9$ heures.
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. a. Graphiquement on a $f'(1)=0$ puisque la tangente $T_1$ est horizontale.
    $\quad$
    b. Il semblerait que le point $B$ soit le seul point d’inflexion de la courbe $\mathscr{C}$.
    $\quad$
    c. L’aire du domaine compris entre la courbe $\mathscr{C}$, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=6$ et $x=8$ contient entre $4$ et $5$ “rectangles” unité .
    Ainsi $\ds 4\pp \int_6^8 f(x)\dx \pp 5$.
    $\quad$
  2. a. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[0,5;12]$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x \in[0,5;12]$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^2} \\
    &=\dfrac{x-1}{x^2}\end{align*}$
    $\quad$
    b. La fonction carré est positive. Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $x-1$.
    $x-1=0 \ssi x=1$ et $x-1>0\ssi x>1$.
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    Avec $f(0,5)\approx 1,3$ et $f(12)\approx 2,6$
    $\quad$
  3. D’après le logiciel de calcul formel on a, pour tout réel $x\in[0,5;12]$ $\dsec(x)=\dfrac{-x+2}{x^3}$
    $-x+2=0\ssi x=2$ et $-x+2>0\ssi x<2$.
    La fonction $f$ est donc convexe sur l’intervalle $[0,5;2]$ et concave sur l’intervalle $[2;12]$.
    $\quad$
  4. a. La fonction $F$ est dérivable sur l’intervalle $[0,5;12]$ en tant que produit et somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x\in[0,5;12]$ on a :
    $\begin{align*} F'(x)&=\ln (x)+(x+1)\times \dfrac{1}{x}-1 \\
    &=\ln (x)+1+\dfrac{1}{x}-1 \\
    &=\ln (x)+\dfrac{1}{x}\\
    &=f(x)\end{align*}$
    La fonction $F$ est donc une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0,5;12]$.
    $\quad$
    b. La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0,5;12]$ est :
    $\begin{align*} \ds m&=\dfrac{1}{12-0,5}\int_{0,5}^12f(x)\dx \\
    &=\dfrac{1}{11,5}\left(F(12)-F(0,5)\right) \\
    &=\dfrac{1}{11,5}\left(13\ln (12)-12-1,5\ln (0,5)+0,5\right) \\
    &=\dfrac{13\ln (12)-1,5\ln (0,5)-11,5}{11,5}\\
    &\approx 1,90\end{align*}$
    $\quad$

 

 

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Bac ES/L – Métropole – Juin 2019

Métropole – Juin 2019

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

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Ex 1

Exercice 1

  1. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(S)&=p(R\cap S)+p\left(\conj{R}\cap S\right) \\
    &=0,7\times 0,4+0,3\times 0,2 \\
    &=0,34\end{align*}$
    Par conséquent :
    $\begin{align*} p_S\left(\conj{R}\right)&=\dfrac{p\left(S\cap \conj{R}\right)}{p(S)} \\
    &=\dfrac{0,3\times 0,2}{0,34} \\
    &\approx 0,18\end{align*}$
    Affirmation 1 fausse
    $\quad$
  2. L’espérance de $X$ est $E(X)=\dfrac{k+18}{2}$
    Par conséquent $\dfrac{k+18}{2}=12\ssi k+18=24\ssi k=6$.
    Affirmation 2 fausse
    $\quad$
  3. L’équation est définie sur $]0;+\infty[$.
    $\begin{align*} &\ln\left(x^2\right)-\ln\left(\dfrac{x^5}{\e}\right)+\ln(2)=\ln(2x)+5 \\
    \ssi& 2\ln(x)-\ln\left(x^5\right)+\ln(\e)+\ln(2)=\ln(2)+\ln(x)+5\\
    \ssi &2\ln(x)-5\ln(x)+1=\ln(x)+5\\
    \ssi &-4\ln(x)=4\\
    \ssi &\ln(x)=-1\\
    \ssi &x=\e^{-1}\\
    \ssi &x=\dfrac{1}{\e}\end{align*}$
    Affirmation 3 vraie
    $\quad$
  4. La fonction $f’$ est continue et strictement décroissante sur l’intervalle $[0;5]$.
    $f(0)=30>0$ et $f(5)=-5<0$.
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $f(x)=0$ possède une unique solution sur $[0;5]$.
    $\quad$
    La fonction $f’$ est continue et strictement croissante sur l’intervalle $[5;15]$.
    $f(15)=20>0$ et $f(5)=-5<0$.
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $f(x)=0$ possède une unique solution sur $[5;15]$
    La fonction $f’$ s’annule donc deux fois sur $[0;15]$.
    La courbe représentative de la fonction $f$ possède ainsi deux tangentes parallèle à l’axe des abscisses.
    Affirmation 4 fausse.
  5. La fonction $f’$ est strictement croissante sur l’intervalle $[5;15]$.
    La fonction $f$ est donc convexe sur cet intervalle.
    Affirmation 5 vraie.

Ex 2 obl

Exercice 2

Candidats de ES n’ayant pas suivi la spécialité ou candidats de L

  1. a. On considère un entier naturel $n$.
    Chaque année, Laurence éliminera $4 \%$ des pommiers existants. Il restera donc $0,96u_n$ pommiers d’une année sur l’autre.
    […] et replantera $22$ nouveaux pommiers par hectare.
    Ainsi $u_{n+1}=0,96u_n+22$.
    $\quad$
    b. En 2020 on a $n=2$.
    $u_1=0,96\times 300+22=310$ et $u_2=0,96\times 310+22=319,6$.
    Il y aura donc environ $320$ pommiers par hectare en 2020.
    $\quad$
  2. a. On obtient l’algorithme suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    n\leftarrow 0\\
    U\leftarrow 300\\
    \text{Tant que } U\pp 400\\
    \hspace{1cm} N\leftarrow N+1\\
    \hspace{1cm} U\leftarrow 0,96\times U+22\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. Voici les différentes valeurs prises par les deux variables.
    $\begin{array}{|c|c|}
    \hline
    N&U\\
    \hline
    0&300\\
    \hline
    1&310\\
    \hline
    2&319,6\\
    \hline
    3&328,81\\
    \hline
    4&337,66\\
    \hline
    5&346,15\\
    \hline
    6&354,31\\
    \hline
    7&362,13\\
    \hline
    8&369,65\\
    \hline
    9&376,86\\
    \hline
    10&383,79\\
    \hline
    11&390,44\\
    \hline
    12&396,82\\
    \hline
    13&402,94\\
    \hline
    \end{array}$
    En sortie de l’algorithme on a $N=13$.
    $\quad$
  3. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=u_n-550 \ssi u_n=v_n+550$.
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-550\\
    &=0,96u_n+22-550\\
    &=0,96u_n-528\\
    &=0,96\left(v_n+550\right)-528\\
    &=0,96v_n+528-528 \\
    &=0,96v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,96$ et de premier terme $v_0=u_0-550=-250$.
    $\quad$
    b. Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=-250\times 0,96^n$.
    Et $u_n=v_n+550=550-250\times 0,96^n$.
    $\quad$
    c. En 2025 on a $n=7$.
    $u_7=550-250\times 0,96^7\approx 362,14$
    En 2025, Laurence aura donc $362,14\times 14=5~069,96$ soit $5~070$ pommiers sur son exploitation.
    $\quad$
    d. On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
    $\begin{align*} u_n>400 &\ssi 550-250\times 0,96^n>400 \\
    &\ssi -250\times 0,96^n>-150 \\
    &\ssi 0,96^n<0,6 \\
    &\ssi n\ln 0,96<\ln 0,6\\
    &\ssi n> \dfrac{\ln 0,6}{\ln 0,96} \end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln 0,6}{\ln 0,96}\approx 12,51$.
    Ainsi $u_n>400$ pour $n\pg 13$.
    On retrouve bien le résultat de la question 2.b.
    $\quad$

 

Ex 2 spé

Exercice 2

Candidats de ES ayant suivi la spécialité

  1. a. On obtient le graphe suivant :
    $\quad$
    b. On obtient la matrice de transition suivante : $\begin{pmatrix} 0,8&0,2\\0,4&0,6\end{pmatrix}$
    $\quad$
  2. a. On a $P_1=\begin{pmatrix} 0&1\end{pmatrix}$.
    $\quad$
    b. On a : $$\begin{align*}M^2&=M\times M\\
    &=\begin{pmatrix} 0,8^2+0,4\times 0,2&0,8\times 0,2+0,6\times 0,2\\
    0,4\times 0,8+0,6\times 0,4&0,4\times 0,2+0,6^2\end{pmatrix} \\
    &=\begin{pmatrix}0,72&0,28\\0,56&0,44\end{pmatrix}\end{align*}$$
    $\quad$
    On a $P_3=P_1\times M^2=\begin{pmatrix}0,56&0,44\end{pmatrix}$.
    La probabilité que Julie emprunte les routes départementales le 3$\ieme$ jour est $0,56$.
    $\quad$
  3. a. Pour tout entier $n$ on a $P_{n+1}=P_n\times M$.
    Donc $\begin{cases} d_{n+1}=0,8d_n+0,4r_n\\r_{n+1}=0,2d_n+0,6r_n\end{cases}$
    $\quad$
    b. Dans l’algorithme 1, la variable $D$ est modifiée pour le calcul de $R$. Il ne convient pas.
    On ne veut calculer que $2$ termes de la suite. L’algorithme 2 ne convient pas.
    Il faut donc utiliser l’algorithme 3.
    $\quad$
  4. Pour tout entier naturel $n$ non nul on a :
    $d_n+r_n=1 \ssi d_n=1-r_n$
    Donc :
    $\begin{align*} r_{n+1}&=0,2d_n+0,6r_n\\
    &=0,2\left(1-r_n\right)+0,6r_n\\
    &=0,2-0,2r_n+0,6r_n\\
    &=0,4r_n+0,2\end{align*}$
    $\quad$
  5. a. Pour tout entier naturel $n$ non nul on a $v_n=r_n-\dfrac{1}{3} \ssi r_n=v_n+\dfrac{1}{3}$.
    $\begin{align*} v_{n+1}&=r_{n+1}-\dfrac{1}{3} \\
    &=0,4r_n+0,2-\dfrac{1}{3}\\
    &=0,4r_n-\dfrac{2}{15}\\
    &=0,4\left(v_n+\dfrac{1}{3}\right)-\dfrac{2}{15}\\
    &=0,4v_n+\dfrac{2}{15}-\dfrac{2}{15}\\
    &=0,4v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,4$ et de premier terme $v_0=r_0-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$.
    $\quad$
    b. Ainsi, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $v_n=\dfrac{2}{3}\times 0,4^{n-1}$
    Et :
    $\begin{align*} r_n&=v_n+\dfrac{1}{3}\\
    &=\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}\times 0,4^{n-1}\\
    &=\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}\times 0,4^{n}\times \dfrac{1}{0,4}\\
    &=\dfrac{1}{3}+\dfrac{5}{3}\times 0,4^n\end{align*}$
    $\quad$
    c. $0<0,4<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,4^n=0$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} r_n=\dfrac{1}{3}$.
    Sur le long terme, la probabilité que Julie emprunte la voie rapide est $\dfrac{1}{3}$.
    $\quad$

 

 

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. On a :
    $\begin{align*} P(D<8)&=P(D<15,5)-P(8<D<15,5)\\
    &=0,5-P(8<D<15,5) \\
    &\approx 0,11\end{align*}$
    La probabilité qu’il y ait pénurie d’eau est environ égale à $0,11$.
    $\quad$
  2. On a :
    $P(8\pp D\pp 26) \approx 0,85$
    La probabilité qu’il n’y ait pas de vigilance particulière est environ égale à $0,85$.
    $\quad$
  3. On a $P(3,5<D<27,5)=P(\mu-2\sigma<D<\mu+2\sigma)\approx 0,95$.
    la probabilité que le débit observé soit compris entre $3,5$ m$^3$.s$^{-1}$ et $27,5$ m$^3$.s$^{-1}$ est d’environ $0,95$.
    $\quad$

Partie B

  1. On effectue $10$ tirages aléatoires, indépendants et identiques.
    À chaque tirage il y a deux issues $S$ : “L’équipe de Sébastien a effectué le relevé” et $\conj{S}$.
    De plus $p(S)=0,25$.
    On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de relevés effectués par l’équipe de Sébstien.
    $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,25$.
    $\quad$
  2. On a $P(X=4)=\ds \binom{10}{4}0,25^4\times 0,75^6\approx 0,15$.
    La probabilité que $4$ relevés exactement soient effectués par l’équipe de Sébastien est environ égale à $0,15$.
    $\quad$
  3. On a :
    $P(X\pg 2)=1-P(X<2)=1-P(X\pp 1) \approx 0,76$.
    La probabilité qu’au moins $2$ relevés soient effectués par l’équipe de Sébastien est environ égale à $0,76$.
    $\quad$

Partie C

Un intervalle de confiance est $I_n=\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}};f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$
Son amplitude est $\dfrac{2}{\sqrt{n}}$.

On veut donc résoudre :
$\begin{align*} \dfrac{2}{\sqrt{n}}\pp 0,1 &\ssi \sqrt{n}\pg 20\\
&\ssi n\pg 400\end{align*}$

Il faut donc réaliser au moins $400$ mesures.

$\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

Partie A

  1. Graphiquement $f(0)=112$ et $f(60)=70$.
    $\quad$
  2. Le point $A$ d’abscisse $7$ est un point d’inflexion. Donc $f\dsec(7)=0$.
    $\quad$
  3. a.

    $\quad$
    b. L’aire du domaine contient au moins $20$ carreaux.
    Chaque carreau a une aire de $10\times 20=200$ u.a.
    L’aire du domaine est donc supérieure ou égale à $20\times 200=4~000$ u.a.
    L’affirmation n’est donc pas correcte.
    $\quad$

Partie B

  1. D’après l’énoncé la fonction $f$ est dérivable.
    Pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0;60]$ on a:
    $\begin{align*} f'(x)&=14\e^{-x/5}+(14x+42)\times \left(-\dfrac{1}{5}\e^{-x/5}\right) \\
    &=\left(14-\dfrac{1}{5}\times (14x+42)\right)\e^{-x/5} \\
    &=\dfrac{1}{5}\left(70-14x-42\right)\e^{-x/5}\\
    &=\dfrac{1}{5}(-14x+28)\e^{-x/5}\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $-14x+28$.
    $-14x+28=0 \ssi 14x=28\ssi x=2$
    $-14x+28>0\ssi -14x>-28\ssi x<2$
    Ainsi :
    – $f'(x)<0$ sur l’intervalle $[0;2[$;
    – $f'(2)=0$;
    – $f'(x)<0$ sur l’intervalle $]2;60]$.
    $\quad$
    b. On obtient donc le tableau de variations suivant :

    $\quad$
  3. D’après le logiciel de calcul formel on a $f\dsec(x)=14\e^{-x/5}\times \dfrac{x-7}{25}$.
    La fonction exponentielle est strictement croissante sur l’intervalle $[0;60]$.
    Le signe de $f\dsec(x)$ ne dépend donc que de celui de $x-7$.
    Or $x-7=0 \ssi x=7$ et $x-7>0\ssi x>7$.
    La fonction $f$ est donc concave sur l’intervalle $[0;7]$ et convexe sur l’intervalle $[7;60]$.
    $\quad$
  4. a. La fonction $G$ est dérivable sur l’intervalle $[0;60]$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $\begin{align*} G'(x)&=-70\e^{-x/5}+(-70x-560)\times \left(-\dfrac{1}{5}\e^{-x/5}\right) \\
    &=(-70+14x+112)\e^{-x/5}\\
    &=(14x+112)\e^{-x/5}\\
    &=g(x)\end{align*}$
    La fonction $G$ est donc une primitive de la fonction $g$ sur l’intervalle $[0;60]$.
    $\quad$
    b. Une primitive de la fonction $f$ est donc la fonction $F$ définie sur l’intervalle $[0;60]$ par $F(x)=70x+(-70x-560)\e^{-x/5}$
    $\quad$
    c. On a :
    $\begin{align*} I&=\ds \int_0^{60} f(x)\dx \\
    &=F(60)-F(0) \\
    &=4~200-4~760\e^{-12}+560\\
    &=4~760\left(1-\e^{-12}\right)\\
    &\approx 4~760 \text{ u.a.}\end{align*}$
    $\quad$

Partie C

La surface à vernir a une aire égale à :
$\begin{align*} \mathscr{A}&=2I+5~400 \\
&\approx 14~920\text{ cm}^2 \end{align*}$

Or $\dfrac{1}{4}\times 10$ m$^2$ $=25~000$ cm$^2$ $>14~960$ cm$^2$.

L’ébéniste aura donc suffisamment de vernis.
$\quad$

 

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Bac ES/L – Antilles/Guyane – Juin 2019

Antilles/Guyane – juin 2019

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

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Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. “Chaque client tire au hasard une carte sur laquelle figure un nombre de $1$ à $50$, chaque numéro ayant la même probabilité d’être découvert”.
    On a donc $P(N)=\dfrac{15}{50}=0,3$.
    $\quad$
    “S’il découvre un numéro compris entre $1$ et $15$, il fait tourner une roue divisée en $10$ secteurs de même taille dont $8$ secteurs contiennent une étoile”.
    Par conséquent $P_N(E)=\dfrac{8}{10}=0,8$.
    $\quad$
  2. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  3. D’après la formule des probabilités totales, on a :
    $\begin{align*} P(E)&=P(N\cap E)+P\left(\conj{N}\cap E\right) \\
    &=0,3\times 0,8+0,7\times 0,1\\
    &=0,24+0,07\\
    &=0,31\end{align*}$
    La probabilité que le client gagne un bon d’achat est égale à $0,31$.
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_E(N)&=\dfrac{P(E\cap N)}{P(E)} \\
    &=\dfrac{0,3\times 0,8}{0,31} \\
    &=\dfrac{24}{31} \end{align*}$
    $\quad$

Partie B

  1. $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=100$ et $p=0,31$.
    $\quad$
  2. On a donc :
    $\begin{align*} \ds P(X=30)&=\binom{100}{30}\times 0,31^{30} \times 0,69^{70} \\
    &\approx 0,085\end{align*}$
    $\quad$
  3. On a $E(X)=np=31$.
    Le montant moyen de la somme totale offerte en bons d’achat est donc $31\times 10=310>250$.
    Le budget prévisionnel n’est par conséquent pas suffisant.
    $\quad$

Partie C

  1. On a $P(30 \pp Y\pp 60)\approx 0,997$.
    On remarque qu’on a calculé $P(\mu-3\sigma\pp Y\pp \mu+3\sigma)$.
    La probabilité qu’un client pris au hasard dans ce magasin reste entre $30$ et $60$ minutes est environ égale à $0,997$.
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} P(X\pg 50)&=P(X\pg 45)-P(45\pp X\pp 50) \\
    &=0,5-P(45\pp X\pp 50) \\
    &\approx 0,159\end{align*}$
    La probabilité qu’un client pris au hasard dans ce magasin reste plus de $50$ minutes est environ égale à $0,159$.
    $\quad$

Ex 2 obl

Exercice 2

Candidats de ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de L

  1. On a $u_1=(1+0,05)u_0+20=1,05\times 100+20=125$
    et $u_2=1,05u_1+20=1,05\times 125+20=151,25$.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    “la taille augmente d’un mois sur l’autre de $5 \%$ : soit $1,05u_n$.
    “… auxquels s’ajoutent $20$ cm” : donc $u_{n+1}=1,05u_n+20$.
    $\quad$
  3. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=u_n+400 \ssi u_n=v_n-400$.
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}+400 \\
    &=1,05u_n+20+400\\
    &=1,05\left(v_n-400\right)+420\\
    &=1,05v_n-420+420\\
    &=1,05v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,05$ et de premier terme $v_0=u_0+400=500$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $v_n=500\times 1,05^n$.
    $\quad$
    c. et $u_n=v_n-400=500\times 1,05^n-400$.
    $\quad$
    d. À la fin du $7\ieme$ mois on a $n=7$.
    Or $u_7=500\times 1,05^7-400\approx 303,55$.
    Le bambou mesurera environ $3,04$ m à la fin du $7\ieme$ mois.
    $\quad$
  4. a. On obtient le tableau suivant
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Test }u<200&\bbox[black]{\phantom{Nég}}&\text{vrai}&\text{vrai}&\text{vrai}&\text{vrai}&\text{faux}\\
    \hline
    \text{Valeur de }u&100&125&151,25&178,8125&207,753125&\\
    \hline
    \text{Valeur de }n&0&1&2&3&4&\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    b. À la fin de l’exécution de l’algorithme on a $n=4$.
    Cela signifie donc qu’au bout de $4$ mois, la taille du bambou dépasse $2$ m.
    $\quad$
    c. On peut utiliser l’algorithme suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    u\leftarrow 50\\
    n\leftarrow 0\\
    \text{Tant que }u<1000 \text{ faire}\\
    \hspace{1cm} u\leftarrow 1,05\times u+20\\
    \hspace{1cm} n\leftarrow n+1\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$

Ex 2 spé

Exercice 2

Candidats de ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

  1. On obtient le graphe suivant :
    $\quad$
  2. On a $\begin{cases} a_{n+1}=0,9a_n+0,3b_n \\b_{n+1}=0,1a_n+0,7b_n\end{cases}$
    Par conséquent, la matrice de transition est $M=\begin{pmatrix} 0,9&0,1\\0,3&0,7\end{pmatrix}$.
    $\quad$
  3. a. On a $M^2=\begin{pmatrix} 0,84&0,16\\0,48&0,52\end{pmatrix}$
    Ainsi $\begin{pmatrix}a_2&b_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,2&0,8\end{pmatrix}\times M^2=\begin{pmatrix}0,552&0,448\end{pmatrix}$.
    Donc $a_2=0,552$ et $b=0,448$.
    $\quad$
    b. Cela signifie donc qu’en 2020 $55,2\%$ des 12-18 ans posséderont la carte.
    $\quad$
  4. a. On note $P=\begin{pmatrix} a&b\end{pmatrix}$ l’état stable.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} \begin{cases} P=P\times A\\a+b=1 \end{cases} &\ssi \begin{cases} a=0,9a+0,3b\\b=0,1a+0,7b\\a+b=1\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases}-0,1a+0,3b=0\\0,1a-0,3b=0\\a+b=1\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} -0,1a+0,3b=0\\a+b=1\end{cases}\end{align*}$
    $\quad$
    b. On a :
    $\begin{align*} \begin{cases} -0,1a+0,3b=0\\a+b=1\end{cases} &\ssi \begin{cases} 0,1a=0,3b\\a+b=1\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} a=3b\\4b=1\end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases} b=0,25\\a=0,75\end{cases}\end{align*}$
    Sur le long terme, $75\%$ des 12-18 ans possédera car la carte.
    La mairie peut espérer qu’à l’avenir au moins $70 \%$ de la population des 12-18 ans possèdent la carte.
    $\quad$

Partie B

  1. On a l’algorithme :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    A\leftarrow 0,2\\
    N\leftarrow 0\\
    \text{Tant que $A<0,7$ faire}\\
    \hspace{1cm} A \text{ prend la valeur }0,6\times A+0,3\\
    \hspace{1cm} N \text{ prend la valeur }N+1\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  2. D’après l’énoncé, la suite $\left(a_n\right)$ est croissante et définie par $a_0=0,2$ et, pour tout entier naturel $n$, $a_{n+1}=0,6a_n+0,3$.
    D’après la calculatrice $a_4\approx 0,679 <0,7$ et $a_5\approx 0,707>0,7$.
    C’est donc en 2023 que l’objectif sera atteint.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. La tangente $T$ semble passer par les points $A(-5;1,4)$ et le point de coordonnées $(-10,3)$.
    Le coefficient directeur de la tangente $T$ est :
    $a\approx \dfrac{3-1,4}{-10-(-5)}$ soit $a\approx -0,32$.
    La meilleure approximation fournie est donc $-\dfrac{1}{3}$.
    Réponse a
    $\quad$
  2. La courbe $\mathscr{C}$ semble en-dessous de ses tangentes sur l’intervalle $[-10;-5]$ et au-dessus sur l’intervalle $[-5;5]$.
    La fonction $f$ semble donc concave sur l’intervalle $[-10;-5]$ et convexe sur l’intervalle $[-5;5]$.
    Réponse d
    $\quad$
  3. L’aire du domaine $S$ semble approximativement égal à $5$ u.a.
    Or $5\in[4;7]$.
    Réponse b
    $\quad

Partie B

  1. a. Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)=1\times \e^{0,2x}+(x-5)\times 0,2\e^{0,2x} \\
    &=\left(1+0,2(x-5)\right)\e^{0,2x} \\
    &=(1+0,2x-1)\e^{0,2x} \\
    &=0,2x\e^{0,2x}\end{align*}$
    $\quad$
    b. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $x$.
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    avec $f(-10)=-15\e^{-2}+5$.
    $\quad$
    c. Le coefficient directeur de la tangente $T$ est $f'(-5)=-\e^{-1}$.
    $\quad$
  2. a. D’après le logiciel de calcul formel on a, pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[-10;5]$ :
    $\begin{align*} f\dsec(x)&=\dfrac{1}{25}x\e^{x/5}+\dfrac{1}{5}\e^{x/5}  \\
    &=0,04x\e^{0,2x}+0,2\e^{0,2x}\\
    &=(0,2+0,04x)\e^{0,2x}\end{align*}$
    $\quad$
    b. La fonction exponentielle est strictement positive.
    Le signe de $f\dsec(x)$ ne dépend donc que de celui de $0,2+0,04x$.
    Or $0,2+0,04x=0 \ssi 0,04x=-0,2 \ssi x=-5$
    et $0,2+0,04x>0 \ssi 0,04x>-0,2 \ssi x>-5$.
    La fonction $f$ est donc concave sur l’intervalle $[-10;-5]$ et convexe sur l’intervalle $[-5;5]$.
    $\quad$
  3. a. On a donc :
    $\begin{align*} I&=\ds \int_0^5 f(x)\dx \\
    &=F(5)-F(0) \\
    &=-25\e+25+50\\
    &=75-25\e\end{align*}$
    $\quad$
    b. L’aire du domaine du plan situé sous la drite $\mathscr{D}$, au-dessus de l’axe des abscisses et compris entre les droites d’équation $x=0$ et $x=5$ est :
    $J=\ds \int_0^5 x\dx =\left[\dfrac{x^2}{2}\right]_0^5=\dfrac{25}{2}=12,5$ u.a.
    $\quad$
    c. L’aire du domaine $S$ est donc :
    $\begin{align*} A&=\ds \int_0^5 \left(x-f(x)\right)\dx \\
    &=\int_0^5 x\dx -\int_0^5 f(x)\dx \\
    &=J-I\\
    &=12,5-75+25\e\\
    &\approx 5,46 \text{u.a.}\end{align*}$
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. Le taux d’évolution de l’émission de CO$_2$ par cette entreprise entre 2014 et 2015 est $t=\dfrac{14,7-15}{15}=-0,02=-2\%$.
    L’entreprise a diminué ses émissions de CO$_2$ de $2\%$ entre 2014 et 2015.
    $\quad$
  2. Le coefficient multiplicateur associé à cette baisse de $2\%$ est $1-0,02=0,98$.
    Le taux de diminution annuel de CO2 émis restera constant pendant les années suivantes.
    On veut donc déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
    $\begin{align*} 15\times 0,98^n\pp 12 &\ssi 0,98^n \pp 0,8 \\
    &\ssi n\ln 0,98 \pp \ln 0,8\\
    &\ssi n \pg \dfrac{\ln 0,8}{\ln 0,98}\end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln 0,8}{\ln 0,98}\approx 11,05$. Ainsi $n\pg 12$
    C’est donc à partir de l’année 2026 que la quantité de CO2 émise par cette entreprise passera en dessous de ce seuil de $12$ milliers de tonnes.$\quad$

Énoncé obl

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Énoncé spé

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2018 – 2019


La correction des différents sujets de mathématiques du bac ES/L de l’année 2018-2019 sont disponibles ici :

Amérique du Nord – mai 2019

Liban – mai 2019

Centres étrangers/Pondichéry – juin 2019

Antilles Guyane – juin 2019

Métropole – juin 2019

Asie – juin 2019

Polynésie – juin 2019

Antilles Guyane – septembre 2019

Polynésie – septembre 2019

Métropole – septembre 2019

Amérique du Sud – novembre 2019

Nouvelle-Calédonie – novembre 2019

Nouvelle-Calédonie – mars 2020

 

Bac ES/L – Pondichéry / Centres étrangers – Juin 2019

Pondichéry / Centres étrangers – Juin 2019

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici .

Ex 1

Exercice 1     

Partie A

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(A)&=p(B\cap A)+p\left(\conj{B}\cap A\right)\\
    &=0,7\times 0,35+0,3\times 0,55\\
    &=0,41\end{align*}$
    $\quad$
  3. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_A(B)&=\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)} \\
    &=\dfrac{0,7\times 0,35}{0,41} \\
    &\approx 0,598\\
    &>0,5\end{align*}$
    Le directeur va donc décider de proposer à l’avenir la location de l’audioguide sur le site internet du musée.
    $\quad$

Partie B

  1. On veut calculer :
    $\begin{align*} P(T\pp 6)&=P(T\pp 10)-P(6\pp T\pp 10) \\
    &=0,5-P(6\pp T\pp 10) \\
    &\approx 0,023\end{align*}$
    La probabilité qu’un visiteur reste moins de six minutes dans la boutique est environ égale à $0,023$.
    $\quad$
  2. D’après la calculatrice on a $P(6\pp T\pp 14)\approx 0,954$.
    On pouvait également remarquer que $P(6\pp T\pp 14)=P(\mu-2\sigma\pp T\pp \mu+2\sigma)\approx 0,954$.
    $\quad$
  3. On a $P(T\pg a)=0,25 \ssi P(T\pp a)=0,75$
    À l’aide de la touche Inverse loi normale on obtient $a\approx 11,3$.
    Cela signifie donc qu’un quart des visiteurs reste  plus de $11,3$ minutes, environ, dans la boutique.
    $\quad$
  4. On a $n=720$ et $p=0,25$.
    Donc $n\pg 30$, $np=180\pg 5$ et $n(1-p)=540\pg 5$.
    Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ du nombre de visiteurs ayant passé plus de $15$ minutes dans la boutique est :
    $\begin{align*} I_{720}&=\left[0,25-1,96\sqrt{\dfrac{0,25\times 0,75}{720}};0,25+1,96\sqrt{\dfrac{0,25\times 0,75}{720}}\right] \\
    &\approx [0,218;0,282]\end{align*}$
    La fréquence observée est $f=\dfrac{161}{720}\approx 0,224\in I_{720}$.
    L’étude confirme donc les résultats de l’étude.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2     

  1. On a $n=3~000$ et $f=\dfrac{817}{3~000}$
    Par conséquent $n\pg 30$, $nf=817\pg 5$ et $n(1-f)=2~183\pg 5$
    Un intervalle de confiance au seuil de $0,95$ de la proportion de la région trouvant que la publicité est attractive est :
    $\begin{align*} I_{3~000}&=\left[\dfrac{817}{3~000}-\dfrac{1}{\sqrt{3~000}};\dfrac{817}{3~000}+\dfrac{1}{\sqrt{3~000}}\right] \\
    &\approx [0,254;0,291]\end{align*}$
    Réponse D
    $\quad$
  2. $\dfrac{36}{100}\times 4~200=1~512$
    Réponse B
    $\quad$
  3. On rejette les algorithmes A et C car la variable $N$ n’est pas modifiée dans la boucle Tant que.
    On rejette l’algorithme D car la condition $A>30~000$ de la boucle ne convient pas (on ne rentre pas dans la boucle puisque $150<30~000$).
    Réponse B
    $\quad$
  4. On appelle $X$ une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l’intervalle $[1;10]$.
    On veut déterminer :
    $\begin{align*} P(X\pg 5)&=P(5\pp X\pp 10)\\
    &=\dfrac{10-5}{10-1}\\
    &=\dfrac{5}{9}\end{align*}$
    Réponse D
    $\quad$

 

Ex 3 obl

Exercice 3   

Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L.

  1. a. On veut calculer $u_1=(1-0,2)\times u_0+35=0,8\times 150+35=155$.
    Au $1\ier$ juillet 2019 il y aura donc $155$ vélos dans le stock.
    $\quad$
    b. On considère un entier naturel $n$.
    Le loueur se sépare de $20\%$ du stock chaque hiver. Il reste donc $0,8u_n$ vélos.
    Il achète ensuite $35$ nouveaux vélos.
    Par conséquent $u_{n+1}=0,8u_n+35$.
    $\quad$
  2. a. On a pu saisir en $B3$ la formule $=0,8*B2+35$.
    $\quad$
    b. D’après les résultats obtenus, il semblerait que la limite de la suite $\left(u_n\right)$ soit $175$.
    $\quad$
  3. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=u_n-175$ soit $u_n=v_n+175$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-175 \\
    &=0,8u_n+35-175\\
    &=0,8u_n-140 \\
    &=0,8\left(v_n+175\right)-140\\
    &=0,8v_n+140-140\\
    &=0,8v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,8$ et de premier terme $v_0=u_0-175=-25$.
    $\quad$
    b. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=-25\times 0,8^n$.
    De plus $u_n=v_n+175=175-25\times 0,8^n$.
    $\quad$
    c. On a $0<0,8<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,8^n=0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=175$.
    $\quad$
  4. On veut résoudre, dans l’ensemble des entiers naturels :
    $\begin{align*} u_n\pg 170 &\ssi -25\times 0,8^n+175\pg 170 \\
    &\ssi -25\times 0,8^n\pg -5 \\
    &\ssi 0,8^n \pp 0,2 \\
    &\ssi n\ln 0,8\pp \ln 0,2 \\
    &\ssi n \pg \dfrac{\ln 0,2}{\ln 0,8} \end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln 0,2}{\ln 0,8}\approx 7,21$.
    L’ensemble des solutions cherché est l’ensemble des entiers naturels supérieurs ou égaux à $8$.
    C’est donc à partir du $1\ier$ juillet 2026 que le loueur possédera au moins $170$ vélos.
    $\quad$

Ex 3 spé

Exercice 3

Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité.

  1. a. Les sommets $E$ et $V$ ne sont pas adjacents. Le graphe n’est donc pas complet.
    $\quad$
    b. Le cycle $M-E-R-P-V-F-M$ permet de passer au moins une fois par tous les sommets. Le graphe est donc connexe.
    $\quad$
  2. On détermine le degré de chacun des sommets :
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Sommet}&E&F&M&P&R&V\\
    \hline
    \text{Degré}&4&4&2&4&3&3\\
    \hline
    \end{array}$
    Exactement $2$ sommets de ce graphe connexe sont de degré impair. Il possède donc une chaîne eulérienne.
    Le restaurateur pourra ainsi organiser une visite de tous ses producteurs en partant de son restaurant en empruntant une fois et une seule chaque route. Il terminera sa visite chez le vigneron.
    Voici un parcours qui convient $R-E-M-F-E-P-R-V-P-F-V$.
    $\quad$
  3. a. La matrice d’adjacence associée à ce graphe est : $$N=\begin{pmatrix}
    0&1&1&1&1&0\\
    1&0&1&1&0&1\\
    1&1&0&0&0&0\\
    1&1&0&0&1&1\\
    1&0&0&1&0&1\\
    0&1&0&1&1&0\end{pmatrix}$$
    $\quad$
    b. Le coefficient de la matrice $N^3$ situé à la première ligne et sixième colonne est $5$.
    Il existe donc $5$ chemins de longueur $3$ reliant l’éleveur au vigneron.
    $\quad$
  4. On utilise l’algorithme de Dijkstra :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    E & F & M & P & R & V & \text{Sommet} \\
    \hline
    &  &  &  & 0 &  & R \\
    \hline
    5(R) &  & &   4(R)& & 10(R) & P \\
    \hline
    5(R) & 11(P) &  &  &\phantom{10(R)}  & 9(P) & E \\
    \hline
    & 11(P) & 13(E) &  &  & 9(P) & V \\
    \hline
    & 10(V) & 13(E) &  &  &  & F \\
    \hline
    \phantom{10(R)}&  & 12(F) &  \phantom{10(R)}&  &  & M \\
    \hline
    \end{array}$$
    Le chemin le plus cours est donc $R-P-V-F-M$.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie A

  1. Graphiquement $f(0)=2$ et $f(2)=0$.
    $\quad$
  2. La tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d’abscisse $1$ est horizontale. Donc $f'(1)=0$.
    $\quad$
  3. Graphiquement, le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A$ est $1$.
    Une équation de cette tangente est donc $y=x+2$.
    $\quad$
  4. Graphiquement, la courbe $\mathcal{C}_f$ ne coupe $2$ fois la droite d’équation $y=1$.
    L’équation $f(x)=1$ ne possède donc $2$ solutions.
    $\quad$
  5. La fonction semble :
    – croissante sur l’intervalle $[-10;1]$;
    – décroissante sur l’intervalle $[1;2]$.
    $\quad$
  6. La courbe $\mathcal{C}_f$ semble être au-dessus de ses tangentes sur l’intervalle $[-10;0]$ et en-dessous sur l’intervalle $[0;2]$.
    La fonction $f$ semble donc convexe sur l’intervalle $[-10;0]$ et concave sur l’intervalle $[0;2]$.
    $\quad$
  7. a. On obtient le graphique suivant :

    $\quad$
    b. Graphiquement, en comptant le nombre de carreaux (dont l’aire est $0,25$ u.a.) contenus dans ce domaine, il semblerait que $4\pp I\pp 5$.
    $\quad$

Partie B

  1. $f(0)=(2-0)\e^0=2$ et $f(2)=(2-2)\e^2=0$
    $\quad$
  2. a. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[-10;2]$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[-10;2]$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=-1\times \e^x+(2-x)\times \e^x \\
    &=(-1+2-x)\e^x\\
    &=(1-x)\e^x\end{align*}$
    $\quad$
    b. Ainsi $f'(1)=(1-1)\e^1=0$.
    $\quad$
  3. Une équation de la tangente $T$ à la courbe représentative de la fonction $f$ au point d’abscisse $0$ est de la forme $y=f'(0)(x-0)+f(0)$.
    Or $f'(0)=\e^0=1$ et $f(0)=2\e^0=2$.
    Une équation de $T$ est donc $y=x+2$.
    $\quad$
  4. a. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $1-x$.
    Or $1-x=0 \ssi x=1$ et $1-x>0\ssi x<1$.
    On obtient donc le tableau des variations suivant :

    $\quad$
    b. Sur l’intervalle $[-10;1]$ la fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante.
    $f(-10)=12\e^{-10}\approx 0,000~5<1$ et $f(1)=\e>1$
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $f(x)=1$ possède une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[-10;1]$.
    $\quad$
    Sur l’intervalle $[1;2]$ la fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante.
    $f(1)=\e>1$ et $f(2)=0<1$
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $f(x)=1$ possède une unique solution $\beta$ sur l’intervalle $[1;2]$.
    $\quad$
    D’après la calculatrice on a $\alpha\approx -1,15$ et $\beta\approx 1,84$.
    $\quad$
  5. D’après le logiciel de calcul formel on a $f^{dsec}(x)=-x\e^x$.
    La fonction exponentielle étant strictement positive sur $\R$, le signe de $f^{\dsec}$ ne dépend que de celui de $-x$.
    Ainsi :
    – $f^{\dsec}(x)>0$ sur $[-10;0[$;
    – $f^{\dsec}(0)=0$;
    – $f^{\dsec}(0)<0$ sur $]0;2]$.
    La fonction $f$ est donc convexe sur l’intervalle $[-10;0]$ et concave sur l’intervalle $[0;2]$.
    $\quad$
  6. a. La fonction $F$ est dérivable sur l’intervalle $[-10;2]$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x$ de l’intervalle $[-10;2]$ on a :
    $\begin{align*} F'(x)&=-1\times \e^x+(3-x)\times \e^x \\
    &=(-1+3-x)\e^x\\
    &=(2-x)\e^x\\
    &=f(x)\end{align*}$
    La fonction $F$ est donc une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-10;2]$.
    $\quad$
    b. On a donc :
    $$\begin{align*} I&=\ds \int_0^2 f(x)\dx \\
    &=F(2)-F(0)\\
    &=\e^2-3\\
    &\approx 4,39\end{align*}$$
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1     5 points

Les deux parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.
Les résultats approchés seront arrondis au millième.

Partie A

On s’intéresse à la clientèle d’un musée.
Chaque visiteur peut acheter son billet sur internet avant sa visite ou l’acheter aux caisses du musée à son arrivée.
Pour l’instant, la location d’un audioguide pour la visite n’est possible qu’aux caisses du musée. Le directeur s’interroge sur la pertinence de proposer la réservation des audioguides sur internet. Une étude est réalisée. Elle révèle que :

  • $70 \%$ des clients achètent leur billet sur internet ;
  • parmi les clients achetant leur billet sur internet, $35 \%$ choisissent à leur arrivée au musée une visite avec un audioguide ;
  • parmi les clients achetant leur billet aux caisses du musée, $55 \%$ choisissent une visite avec un audioguide.

On choisit au hasard un client du musée. On considère les événements suivants :

  • $A$ : « Le client choisit une visite avec un audioguide » ;
  • $B$ : « Le client achète son billet sur internet avant sa visite ».
  1. Représenter la situation à l’aide d’un arbre pondéré.
    $\quad$
  2. Démontrer que la probabilité que le client choisisse une visite avec un audioguide est égale à $0,41$.
    $\quad$
  3. On s’intéresse aux clients qui visitent le musée avec un audioguide.
    Si plus de la moitié d’entre eux ont acheté leur billet sur internet alors le directeur proposera à l’avenir la location de l’audioguide sur le site internet du musée.
    D’après les résultats de cette étude, que va décider le directeur ? Justifier la réponse.
    $\quad$

Partie B

On s’intéresse désormais à la fréquentation de la boutique du musée.
On note $T$ la variable aléatoire qui, à chaque visiteur, associe la durée en minutes passée dans la boutique.
Une étude statistique a montré que la variable aléatoire $T$ suit la loi normale de moyenne $\mu=10$ et d’écart-type $\sigma = 2$.

  1. Quelle est la probabilité qu’un visiteur reste moins de six minutes dans la boutique ?
    $\quad$
  2. Calculer $P(6 \pp T \pp 14)$.
    $\quad$
  3. Déterminer une valeur approchée au dixième du nombre réel $a$ tel que $P(T\pg a) = 0,25$.
    Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  4. Les recettes obtenues par la boutique ne sont pas jugées satisfaisantes ; celle-ci est donc réaménagée. Une étude menée suite à ce réaménagement montre que $25 \%$ des visiteurs passent désormais au moins $15$ minutes dans la boutique.
    Pour s’en assurer le gérant de la boutique constitue un échantillon aléatoire de $720$ visiteurs. Il constate que $161$ d’entre eux sont restés $15$ minutes ou plus.
    Cet échantillon confirme-t-il les résultats de l’étude ? Justifier la réponse.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Reporter sur la copie le numéro de la question ainsi que la lettre correspondant à la réponse choisie.
Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.
Aucune justification n’est demandée.

Un constructeur automobile commercialise un nouveau véhicule. Afin de le faire connaître, une campagne publicitaire est organisée. On étudie l’impact de cette campagne publicitaire dans une certaine région.

  1. On montre la publicité à $3~000$ habitants de cette région. Parmi eux, $817$ la trouvent attractive. Un intervalle de confiance au seuil de $0,95$ de la proportion d’habitants de la région trouvant que la publicité est attractive est (les bornes ont été arrondies à $10^{-3}$) :
    $$\begin{array}{|l|l|}
    \hline
    \hspace{1cm} \textbf{A. } [0,271;0,273]\hspace{1cm} &\hspace{1cm} \textbf{B. } [0,211;0,333]\hspace{1cm} \\
    \hline
    \hspace{1cm} \textbf{C. } [0,254;0,333] \hspace{1cm} &\hspace{1cm} \textbf{D. } [0,254;0,291]\hspace{1cm} \\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  2. Dans une ville de la région, sur une population de $4~200$ habitants, $36\%$ ont pris connaissance de la publicité lors de la première semaine de la campagne.
    Le nombre d’habitants de cette ville ayant pris connaissance de la publicité lors de la première semaine de la campagne est :
    $$\begin{array}{|l|l|}
    \hline
    \hspace{1cm} \textbf{A. } 2~688\hspace{1cm} &\hspace{1cm} \textbf{B. } 1~512\hspace{1cm} \\
    \hline
    \hspace{1cm} \textbf{C. } 1~167\hspace{1cm} &\hspace{1cm} \textbf{D. } 4~164 \hspace{1cm} \\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  3. Le premier jour de la campagne publicitaire, $150$ habitants de la région ont pris connaissance de la publicité. Chaque jour, le nombre d’habitants de la région ayant pris connaissance de la publicité est multiplié par $2$.
    On souhaite écrire un algorithme qui détermine le nombre de jours au bout desquels au moins $30~000$ habitants de la région auront pris connaissance de la publicité.
    $\quad$
    Parmi ces algorithmes, quel est celui dont le contenu de la variable $N$, après exécution de l’algorithme, répond au problème ?
    $$\begin{array}{|l|l|}
    \hline
    \hspace{3cm}\textbf{A.}\hspace{3cm}&\hspace{3cm}\textbf{B.}\hspace{3cm} \\
    A\leftarrow 150&A\leftarrow 150\\
    N\leftarrow 1&N\leftarrow 1\\
    \text{Tant que }A<30~000&\text{Tant que }A<30~000\\
    \hspace{1cm}A\leftarrow 2A&\hspace{1cm}A\leftarrow 2A\\
    \text{Fin Tant que}&\hspace{1cm} N\leftarrow N+1\\
    N\leftarrow N+1&\text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \hspace{3cm}\textbf{C.}\hspace{3cm}&\hspace{3cm}\textbf{D.}\hspace{3cm} \\
    A\leftarrow 150&A\leftarrow 150\\
    N\leftarrow 1&N\leftarrow 1\\
    \text{Tant que }A<30~000&\text{Tant que }A>30~000\\
    \hspace{1cm}A\leftarrow 2A&\hspace{1cm}A\leftarrow 2A\\
    \text{Fin Tant que}&\hspace{1cm} N\leftarrow N+1\\
    &\text{Fin Tant que}\\
    \hline\end{array}$$
    $\quad$
  4. Dans une concession automobile de la région, le temps d’attente, exprimé en minutes, avant d’être reçu par un conseiller commercial peut être modélisé par une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l’intervalle $[1; 10]$.
    Un visiteur se présente. Quelle est la probabilité qu’il attende au moins $5$ minutes avant d’être reçu par un conseiller commercial ?
    $$\begin{array}{|l|l|}
    \hline
    \hspace{1cm} \textbf{A. } 0,4\hspace{1cm} &\hspace{1cm} \textbf{B. }0,5\hspace{1cm} \\
    \hline
    \hspace{1cm} \textbf{C. } \dfrac{4}{9} \hspace{1cm} &\hspace{1cm} \textbf{D. } \dfrac{5}{9}\hspace{1cm} \\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     5 points

Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L.

Afin de conserver au fil des années un parc en bon état, un loueur de vélos se sépare chaque hiver de $20 \%$ de son stock et achète ensuite $35$ nouveaux vélos.
On modélise la situation par une suite $\left(u_n\right)$ où, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ représente le nombre de vélos présents dans le stock de ce loueur au $1\ier$ juillet de l’année (2018 $+n$).
Au $1\ier$ juillet 2018, le loueur possède $150$ vélos, ainsi $u_0 = 150$.

  1. a. Déterminer le nombre de vélos dans le stock du loueur au $1\ier$ juillet 2019.
    $\quad$
    b. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1}=0,8u_n+35$.
    $\quad$
  2. On a calculé les premiers termes de cette suite à l’aide d’un tableur.
    Une copie d’écran est donnée ci-dessous :
    $$\begin{array}{|c|c|c|}
    \hline
    &\text{A}&\text{B}\\
    \hline
    \hspace{1cm}1\hspace{1cm}&\hspace{1cm}\text{rang }n\hspace{1cm}&\hspace{1cm}\text{terme }u_n\hspace{1cm}\\
    \hline
    2&0&150\\
    \hline
    3&1&155\\
    \hline
    4&2&159\\
    \hline
    5&3&162,2\\
    \hline
    \end{array}$$
    a. Quelle formule peut-on saisir dans la cellule $B3$ pour obtenir, par copie vers le bas, les termes successifs de la suite $\left(u_n\right)$ ?
    $\quad$
    b) Pour les termes de rang $36$, $37$, $38$, $39$ et $40$, on obtient les résultats suivants (arrondis au millième) :
    $$\begin{array}{|c|c|c|}
    \hline
    \hspace{1cm}38\hspace{1cm}&\hspace{1cm}36\hspace{1cm}&\hspace{1cm}174,992\hspace{1cm}\\
    \hline
    39&37&174,994\\
    \hline
    40&38&174,995\\
    \hline
    41&39&174,996\\
    \hline
    42&40&174,997\\
    \hline
    \end{array}$$
    Conjecturer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
  3. Dans cette question, on cherche à démontrer la conjecture émise à la question précédente.
    Pour cela, on pose pour tout entier naturel $n$ : $v_n=u_n-175$.
    a. Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
    $\quad$
    b. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n=-25\times 0,8^n+175$.
    $\quad$
    c. Déterminer alors la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
  4. On admet que la suite $\left(u_n\right)$est croissante. Déterminer l’ensemble des entiers naturels $n$ tels que : $u_n\pg 170$.
    Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     5 points

Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité.

Un restaurateur se fournit auprès de $5$ producteurs locaux. Le graphe ci-dessous représente la situation géographique du restaurateur et de ses fournisseurs, les arêtes correspondant au réseau routier et les sommets aux producteurs :

  1. a. Le graphe est-il complet ? Justifier la réponse.
    $\quad$
    b. Le graphe est-il connexe ? Justifier la réponse.
    $\quad$
  2. Est-il possible pour le restaurateur d’organiser une visite de tous ses producteurs en partant de son restaurant et en empruntant une fois et une seule chaque route ? Justifier la réponse. Si oui, préciser le point d’arrivée et proposer un tel parcours.
    $\quad$
  3. On appelle $N$ la matrice d’adjacence associée à ce graphe, les sommets étant pris dans l’ordre alphabétique.
    a. Déterminer la matrice $N$.
    $\quad$
    b. On donne la matrice $N^3=\begin{pmatrix}6&10&6&10&9&5\\
    10&6&6&10&5&9\\
    6&6&2&4&4&4\\
    10&10&4&8&8&8\\
    9&5&4&8&4&8\\
    5&9&4&8&8&4\end{pmatrix}$
    Déterminer, en justifiant la réponse, le nombre de chemins de longueur $3$ reliant l’éleveur au vigneron.
    $\quad$
  4. Les arêtes du graphe sont pondérées par les distances, exprimées en kilomètre, entre les différents lieux :

    Le restaurateur doit se rendre chez le maraîcher en partant de chez lui. Quel est le plus court chemin pour effectuer ce trajet ? Justifier la réponse à l’aide d’un algorithme.
    $\quad$

$\quad

Exercice 4     6 points

Partie A
Dans le repère ci-dessous, on note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative d’une fonction $f$ définie sur l’intervalle $[-10 ; 2]$. On a placé les points $A(0 ; 2)$, $B(2 ; 0)$ et $C(-2 ; 0)$.
On dispose des renseignements suivants :

  • Le point $B$ appartient à la courbe $\mathcal{C}_f$.
  • La droite $(AC)$ est tangente en $A$ à la courbe $\mathcal{C}_f$.
  • La tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d’abscisse $1$ est une droite horizontale.

Répondre aux questions suivantes par lecture graphique.

  1. Indiquer les valeurs de $f(0)$ et de $f(2)$.
    $\quad$
  2. Indiquer la valeur de $f'(1)$.
    $\quad$
  3. Donner une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A$.
    $\quad$
  4. Indiquer le nombre de solutions de l’équation $f(x) = 1$ dans l’intervalle $[−10 ; 2]$.
    $\quad$
  5. Indiquer les variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-10 ; 2]$.
    $\quad$
  6. Déterminer l’intervalle sur lequel la fonction $f$ est convexe, et celui sur lequel elle est concave.
    $\quad$
  7. On s’intéresse au nombre $\ds I=\int_0^2 f(x)\dx$.
    a. Sur le graphique donné en annexe à rendre avec la copie, hachurer le domaine du plan dont l’aire, exprimée en unités d’aire, est égale à $I$.
    $\quad$
    b. Donner un encadrement du nombre $I$ par deux entiers consécutifs.
    $\quad$

Partie B

Dans cette partie, on cherche à vérifier par le calcul les résultats lus graphiquement dans la partie A.

On sait désormais que la fonction $f$ est définie sur l’intervalle $[-10 ; 2]$ par : $$f(x)=(2-x)\e^x$$

  1. Calculer $f(0)$ et $f(2)$.
    $\quad$
  2. a. Calculer $f'(x)$ pour tout nombre $x$ appartenant à l’intervalle $[−10 ; 2]$.
    $\quad$
    b. En déduire la valeur de $f'(1)$.
    $\quad$
  3. Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d’abscisse $0$.
    $\quad$
  4. a. Dresser le tableau des variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-10 ; 2]$.
    $\quad$
    b. En déduire le nombre de solutions de l’équation $f(x) = 1$ dans l’intervalle $[-10 ; 2]$, puis donner une valeur approchée au centième de chacune de ces solutions.
    $\quad$
  5. Un logiciel de calcul formel fournit le résultat suivant :
    $$\begin{array}{|l|l|}
    \hline
    1\hspace{0.3cm}&f(x):=(2-x)*exp(x)\\
    \hline
    &\hspace{2cm} f(x):=(-x+2)\e^x\\
    \hline
    2&\text{Simplifier(Dérivée(Dérivée($f(x)$)))}\hspace{1.5cm}\\
    \hline
    &\hspace{3cm}-x\e^x\\
    \hline
    \end{array}$$
    Utiliser le résultat du logiciel pour étudier la convexité de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-10 ; 2]$.
    $\quad$
  6. On considère la fonction $F$ définie sur l’intervalle $[-10 ; 2]$ par : $$F(x) = (3-x)\e^x$$
    a. Vérifier que $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-10 ; 2]$.
    $\quad$
    b. En déduire la valeur exacte et une valeur approchée au centième du nombre $I=\ds\int_0^2f(x)\dx$.
    $\quad$

 

     

     

 

Bac ES/L – Liban – Mai 2019

Liban – Mai 2019

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici .

Ex 1

Exercice 1     

  1. La fonction $u$ est dérivable sur l’intervalle $]0;+\infty[$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x>0$ on a :
    $u'(x)=3\times \dfrac{1}{x}-2=\dfrac{3}{x}-2$.
    Une équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse $1$ est de la forme : $y=f'(1)(x-1)+f(1)$.
    Or $f(1)=0-2+1=-1$ et $f'(1)=3-2=1$.
    Ainsi une équation de la tangente cherchée est : $y=(x-1)-1$
    Soit $y=x-1-1$ et donc $y=x-2$.
    Affirmation 1 vraie
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est continue et définie sur l’intervalle $\left[\e;\e^2\right]$ en tant que produit d’une fonction continue et définie sur cet intervalle par un réel.
    La fonction exponentielle  est strictement positive donc $\e^2>0$.
    Pour tout réel $x>1$ on a $\ln x>0$. Donc sur l’intervalle $\left[\e;\e^2\right]$ on a $f(x)>0$.
    On appelle $F$ la fonction définie sur l’intervalle $\left[\e;\e^2\right]$ par $F(x)=x\ln(x)-x$.
    On a ainsi :
    $\begin{align*} \int_{\e}^{\e^2}f(x)\dx&=\dfrac{1}{\e^2}\int_{\e}^{\e^2}\ln(x)\dx \\
    &=\dfrac{1}{\e^2}\times \left(F\left(\e^2\right)-F(\e)\right) \\
    &=\dfrac{2\e^2-\e^2-\e+\e}{\e^2} \\
    &=\dfrac{\e^2}{\e^2} \\
    &=1\end{align*}$
    La fonction $f$ est donc une fonction de densité sur l’intervalle $\left[\e;\e^2\right]$.
    Affirmation 2 vraie
    $\quad$
  3. La fonction $G$ est dérivable sur $\R$ en tant que composée de fonctions dérivables sur $\R$.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $G'(x)=-6\times (-2)\e^{-2x+1}=12\e^{-2x+1} \neq g(x)$.
    La fonction $G$ n’est donc pas une primitive de la fonction $g$.
    Affirmation 3 fausse
    $\quad$
  4. La fonction $h$ est deux fois dérivable sur $[-8;-0,5]$ en tant que quotient de fonctions polynômes dont le dénominateur ne s’annule pas sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} h'(x)&=\dfrac{4x^2-(4x+1)\times 2x}{x^4} \\
    &=\dfrac{4x^-8x^2-2x}{x^4} \\
    &=\dfrac{-4x^2-2x}{x^4} \\
    &=\dfrac{-4x-2}{x^3} \end{align*}$
    et
    $\begin{align*} h\dsec(x)&=\dfrac{-4x^3-(-4x-2)\times 3x^2}{x^6} \\
    &=\dfrac{-4x^3+12x^3+6x^2}{x^6} \\
    &=\dfrac{8x^3+6x^2}{x^6} \\
    &=\dfrac{8x+6}{x^4}\end{align*}$
    Pour tout réel $x$ de l’intervalle $[-8;-0,5]$ on a $x^4>0$.
    Le signe de $h\dsec(x)$ ne dépend donc que de celui de $8x+6$.
    De plus $8x+6< 0\ssi 8x< -6 \ssi x< -0,75$.
    La fonction $h$ est donc concave sur l’intervalle $[-8;-0,75]$.
    Affirmation 4 vraie
    $\quad$

Ex 2 obl

Exercice 2

Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L

Partie 1 : Modèle 1

  1. On a $u_1=q\times u_0=158,11$
    et $u_2=q\times u_1=257,719~3 \approx 258$.
    $\quad$
  2. $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison $1,63$ et de premier terme $u_0=97$.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=97\times 1,63^n$.
    $\quad$
  3. On a $u_0=97>0$ et $1,63>1$.
    La suite suite géométrique $\left(u_n\right)$ de raison $1,63$ et de premier terme $u_0=97$ est donc croissante.
    $\quad$
  4. Le 12 juin 2018 on a $n=11$.
    Or $u_{11}=97\times 1,63^{11}\approx 20~900$
    Il y aura donc environ $2~093~300$ chenilles le 12 juin 2018.
    $\quad$

Partie 2 : Modèle 2

  1. Le 13 juin 2018 on a $n=12$.
    $v_{12}=\dfrac{1}{3}\left(-2~809\times 0,91^{12}+3~100\right) \approx 731$.
    Selon ce modèle il y aura environ $73~100$ chenilles le 13 juin 2018.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} v_{n+1}-v_n&=\dfrac{1}{3}\left(-2~809\times 0,91^{n+1}+3~100\right)-\dfrac{1}{3}\left(-2~809\times 0,91^{n}+3~100\right) \\
    &=\dfrac{1}{3}\times -2~809\times\left( 0,91^{n+1}-0,91^n\right)\\
    &=-\dfrac{2~809}{3}\times 0,91^n\times (0,91-1) \\
    &=-\dfrac{2~809}{3}\times 0,91^n\times (-0,09) \\
    &=84,27\times 0,91^n\\
    &>0\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc croissante.
    $\quad$

Partie 3 : Comparaison des différents modèles

  1. On a $u_{12}=97 \times 1,63^{12} \approx 34~121$ et $v_{12} \approx 731$.
    $v_{12}$ est plus proche de $745$ que $u_{12}$
    Le modèle 2 paraît donc le plus adapté.
    $\quad$
  2. b.
    $\begin{align*} b_n\pg 1~000 &\ssi \dfrac{1}{3}\left(-2~809\times 0,91^n+3~100\right)\pg 1~000 \\
    &\ssi -2~809\times 0,91^n+3~100 \pg 3~000 \\
    &\ssi -2~809 \times 0,91^n \pg -100 \\
    &\ssi 0,91^n \pp \dfrac{100}{2~809} \\
    &\ssi n\ln 0,91 \pp \ln \dfrac{100}{2~809} \\
    &\ssi n \pg \dfrac{\ln \dfrac{100}{2~809}}{\ln 0,91} \end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln \dfrac{100}{2~809}}{\ln 0,91} \approx 35,4$.
    La solution de l’inéquation $v_n\pg 1~000$ est donc l’ensemble des entiers naturels supérieurs ou égaux à $36$.
    $\quad$
    c. Cela signifie donc que, selon le modèle 2, il y aura au moins $100~000$ chenilles à partir du  7 juillet 2018.
    $\quad$

Ex 2 spé

Exercice 2

Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie 1

  1. On obtient le graphe probabiliste suivant :

    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{cases} a_{n+1}=0,3a_n+0,6b_n+0,35c_n\\
    b_{n+1}=0,5a_n+0,3b_n+0,45c_n\\
    c_{n+1}=0,2a_n+0,1b_n+0,2c_n\end{cases}$
    La matrice de transition est donc $M=\begin{pmatrix}0,3&0,5&0,2\\
    0,6&0,3&0,1\\
    0,35&0,45&0,2\end{pmatrix}$
    $\quad$
  3. On a $P_1=\begin{pmatrix} 0,355&0,405&0,24\end{pmatrix}$
    Donc :
    $\begin{align*} P_2&=P_1\times M\\
    &=\begin{pmatrix}0,433~5&0,407&0,159~5\end{pmatrix}\end{align*}$
    $\quad$
  4. On a :
    $\begin{align*} P_{12}&=P_1\times M^11 \\
    &\approx \begin{pmatrix} 0,431&0,41&0,159\end{pmatrix} \end{align*}$
    et
    $\begin{align*} P_{13}&=P_1\times M^12 \\
    &\approx \begin{pmatrix} 0,431&0,41&0,159\end{pmatrix} \end{align*}$
    Ainsi $c_{12} \approx c_{13}$ et le restaurateur a raison.
    $\quad$

Partie 2

  1. a. On détermine le degré de chacun des sommets.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Sommet}&H_1&H_2&H_3&H_4&H_5&H_6&H_7&H_8\\
    \hline
    \text{Degré}&3&4&6&2&2&3&4&2\\
    \hline
    \end{array}$$
    Ce graphe connexe possède exactement deux sommets de degré impair. Il possède donc une chaîne eulérienne et il existe un parcours qui emprunte toutes les rues une et une seule fois.
    $\quad$
    b. Tous les sommets n’étant pas de degré pair, ce graphe ne possède pas de cycle eulérien et il est impossible de trouver un parcours partant de $H_1$, empruntant toutes les rues une et une seule fois et revenant en $H_1$.
    $\quad$
  2. À l’aide de l’algorithme de Disjktra on obtient :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    H_1&H_2&H_3&H_4&H_5&H_6&H_7&H_8&\text{Degré} \\
    \hline
    &&&0&&&&&H_4\\
    \hline
    8\left(H_4\right)&&&&15\left(H_4\right)&&&&H_1\\
    \hline
    &17\left(H_1\right)&24\left(H_1\right)&&15\left(H_4\right)&&&&H_5\\
    \hline
    &17\left(H_1\right)&22\left(H_5\right)&&&&&&H_2\\
    \hline
    &&22\left(H_5\right)&&&34\left(H_2\right)&28\left(H_2\right)&&H_3\\
    \hline
    &&&&&27\left(H_3\right)&26\left(H_3\right)&50\left(H_3\right)&H_7\\
    \hline
    &&&&&27\left(H_3\right)&&35\left(H_7\right)&H_6\\
    \hline
    &&&\phantom{27\left(H_3\right)}&&&&35\left(H_7\right)&H_8\\
    \hline
    \end{array}$$
    Le temps minimal pour aller de $H_4$ à $H_8$ est de $35$ minutes. Il faut pour cela utiliser le trajet $H_4H_5H_3H_7H_8$.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[-4;10]$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x\in[-4;10]$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=\left(-4\times 2x-10\right)\e^{-0,5x}+\left(-4x^2-10x+8\right)\times (-0,5)\e^{-0,5x} \\
    &=\left(-8x-10+2x^2+5x-4\right)\e^{-0,5x} \\
    &=\left(2x^2-3x-14\right)\e^{-0,5x}\end{align*}$
    $\quad$
  2. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$ donc le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $2x^2-3x-14$.
    Le discriminant de ce polynôme du second degré est :
    $\Delta=(-3)^2-4\times 2\times (-14)=121>0$
    Les deux racines réelles sont donc :
    $x_1=\dfrac{3-\sqrt{121}}{4}=-2$ et $x_2=\dfrac{3+\sqrt{121}}{4}=3,5$.
    Le coefficient principal est $a=2>0$.
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    avec $f(-4)=1-16\e^2$
    $f(-2)=1+12\e$
    $f(3,5)=1-76\e^{-1,75}$
    $f(10)=1-492\e^{-5}$
    $\quad$
  3. a. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur l’intervalle $[-4;10]$.
    De plus $f(-4)=1-16\e^{2}<0$ et $f(-2)=1+12\e^>0$.
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires l’équation $f(x)=0$ possède une unique solution sur l’intervalle $[-4;-2]$.
    $\quad$
    b. On obtient le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    &m&\text{signe de }p&a&b&b-a&b-a>10^{-1}\\
    \hline
    \text{Initialisation}&\bbox[black]{\phantom{Nég}}&\bbox[black]{\phantom{\text{Négatif}}}&-4&-2&2&\text{VRAI}\\
    \hline
    \begin{array}{c}\text{Après le 1$\ier$  passage}\\\text{dans la boucle}\end{array}&-3&\text{Négatif}&-4&-3&1&\text{VRAI}\\
    \hline
    \begin{array}{c}\text{Après le 2$^\text{ième}$ passage}\\\text{dans la boucle}\end{array}&-3,5&\text{Positif}&-3,5&-3&0,5&\text{VRAI}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    c. Cela signifie donc que la solution de l’équation $f(x)=0$ sur l’intervalle $[-4;-2]$ est comprise entre $-3,187~5$ et $-3,125$.
    Remarque : Il s’agit ici de l’algorithme de dichotomie.
    $\quad$
  4. La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-4;10]$ est :
    $\begin{align*} m&=\dfrac{1}{10-(-4)}\int_{-4}^{10}f(x)\dx \\
    &=\dfrac{1}{14}\left(F(10)-F(-4)\right) \\
    &=\dfrac{10+1~408\e^{-5}-\left(-4+8\e^{2}\right)}{14} \\
    &=\dfrac{14+1~408\e^{-5}-8\e^2}{14}\\
    &\approx -2,54 \end{align*}$
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4     

Partie A

  1. Les $300$ tirages sont aléatoires, identiques et indépendants.
    À chaque tirage il y a deux issues $S$ : “la personne choisie est respectueuse de son environnement” et $\conj{S}$.
    De plus $P(S)=0,72$.
    La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=300$ et $p=0,72$.
    $\quad$
  2. On veut calculer :
    $\begin{align*} P(X=190)&=\ds \binom{300}{190} \times 0,72^{190}\times 0,28^{110} \\
    &\approx 0,000~2\end{align*}$
    La probabilité que $190$ personnes soient respectueuses de leur environnement est environ égale à $0,000~2$.
    $\quad$
  3. On veut calculer :
    $\begin{align*} P(X\pg 220)&=1-P(X<220) \\
    &=1-P(X\pp 219)\\
    &\approx 0,329~1\end{align*}$
    $\quad$

Partie 2

  1. Le discriminant du polynôme du second degré $2x^2-7x-4$ est :
    $\Delta = (-7)^2-4\times 2\times (-4)=81>0$
    Les racines de ce polynômes sont $x_1=\dfrac{7-\sqrt{81}}{4}=-0,5$ et $x_2=\dfrac{7+\sqrt{81}}{4}=4$.
    Le coefficient principal est $a=2>0$.
    Ainsi les solutions de l’inéquation $2x^2-7x-4\pg 0$ est $]-\infty;-0,5]\cup[4;+\infty[$.
    $\quad$
  2. On appelle $Y$ la variable aléatoire que suit la loi uniforme sur l’intervalle $[0;10]$.
    On veut calculer :
    $\begin{align*} P(4\pp Y\pp 10)&=\dfrac{10-4}{10-0} \\
    &=0,6\end{align*}$
    La probabilité que ce nombre soit solution de l’inéquation $x^2-7x-4\pg 0$ est $0,6$.
    $\quad$

Partie 3

  1. a. D’après la calculatrice on a :
    $P(2,18 \pp Z\pp 2,42) \approx 0,72$.
    $\quad$
    b. On a :
    $\begin{align*} P(Z \pg 2,25)&=P(2,25\pp Z \pp 2,3)+P(Z\pg 2,3) \\
    &= P(2,25\pp Z \pp 2,3)+0,5\\
    &\approx 0,68\end{align*}$
    $\quad$
  2. On a $P(2,18\pp Z\pp 2,42)\approx 0,95$
    Donc $P(\mu-0,12\pp Z \pp \mu +0,12)\approx 0,95$
    Or $P(\mu-2\sigma \pp Z\pp \mu+2\sigma)\approx 0,95$.
    Par conséquent $2\sigma \approx 0,12$ soit $\sigma \approx 0,06$.
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1     4 points

Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.
Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte.

  1. Soit $u$ la fonction définie sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$[ par : $u(x) = 3\ln(x)-2x+1$.
    Soit $C_u$ la courbe représentative de la fonction $u$ dans un repère.
    $\quad$
    Affirmation 1 : $y=x-2$ est l’équation réduite de la tangente à $C_u$ au point d’abscisse $1$.
    $\quad$
  2. Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $\left[\e;\e^2\right]$ par : $f(x)=\dfrac{1}{\e^2}\ln(x)$.
    On admet que la fonction $x\mapsto x\ln(x)-x$ est une primitive de la fonction $x\mapsto \ln(x)$ sur l’intervalle $\left[\e;\e^2\right]$.
    $\quad$
    Affirmation 2 : $f$ est une fonction de densité sur l’intervalle $\left[\e;\e^2\right]$.
    $\quad$
  3. Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par : $g(x)=3\e^{-2x+1}$.
    $\quad$
    Affirmation 3 : La fonction $G$ définie sur $\R$ par $G(x)=-6\e^{-2x+1}+6$ est la primitive de $g$ qui s’annule en $\dfrac{1}{2}$.
    $\quad$
  4. Soit $h$ la fonction définie sur l’intervalle $[-8;-0,5]$ par : $h(x)=\dfrac{4x+1}{x^2}$.
    $\quad$
    Affirmation 4 : La fonction $h$ est concave sur l’intervalle $[-8;-0,75]$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L.

La Pyrale du buis est une espèce de lépidoptères de la famille des Crambidæ, originaire d’Extrême-Orient. Introduite accidentellement en Europe dans les années 2000, elle y est rapidement devenue invasive. Une étude décomptant le nombre de chenilles de Pyrale dans un camping d’Ardèche donne les estimations suivantes :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{Date}&01/06/18&02/06/18&03/06/18\\
\hline
n&0&1&2\\
\hline
\text{Nombre de chenilles en centaines}&97&181&258\\
\hline
\end{array}$$
L’exercice étudie et compare deux modélisations de l’évolution du nombre de chenilles.

Partie 1 : Modèle 1
Dans cette partie, on modélise le nombre de chenilles le $n$-ième jour après le $1\ier$ juin 2018 (nombre exprimé en centaines) par une suite géométrique $\left(u_n\right)$ de raison $q=1,63$. Ainsi $u_0 = 97$.

  1. Calculer $u_ç2$. Arrondir à l’unité.
    $\quad$
  2. Exprimer 𝑢𝑛 en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$.
    $\quad$
  3. Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
    $\quad$
  4. Selon ce modèle, quel sera le nombre de chenilles le 13 juin 2018 ? Arrondir à la centaine.
    $\quad$

Partie 2 : Modèle 2
Dans cette partie, on modélise le nombre de chenilles le $n$-ième jour après le $1\ier$ juin 2018 (nombre exprimé en centaines) par une suite $\left(v_n\right)$ telle que :
$\hspace{2cm} v_0=97$ et, pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1}= 0,91v_n+93$.

  1. On admet que, pour tout entier naturel $n$ : $v_n=\dfrac{1}{3}\left(-2~809\times 0,91^n+3~100\right)$.
    Selon ce modèle, quel sera le nombre de chenilles le 13 juin 2018 ? Arrondir à la centaine.
    $\quad$
  2. En étudiant le signe de $v_{n+1}-v_n$, montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est croissante.
    $\quad$

Partie 3 : Comparaison des différents modèles
La valeur relevée dans le camping le 13 juin 2018 est de $745$ centaines de chenilles.

  1. À partir de ce relevé, quel modèle paraît le plus adapté ?
    $\quad$
  2. On reprend l’étude du deuxième modèle.
    a. Résoudre l’inéquation : $v_n\pg 1~000$.
    $\quad$
    b. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité.

Partie 1

Les clients d’un restaurant sont des habitués qui y déjeunent tous les jours. En septembre 2018, le restaurateur propose trois nouveaux plats : plat A, plat B et plat C.

D’un jour sur l’autre, il constate que :

  • Parmi les clients ayant choisi le plat A : $30 \%$ reprennent le plat A le lendemain, $50 \%$ prennent le plat B le lendemain.
  • Parmi les clients ayant choisi le plat B : $30 \%$ reprennent le plat B le lendemain, $60 \%$ prennent le plat A le lendemain.
  • Parmi les clients ayant choisi le plat C : $35 \%$ prennent le plat A le lendemain, $45 \%$ prennent le plat B le lendemain.
    $\quad$

On note pour tout entier $n$ non nul :

  • $a_n$ la proportion de clients ayant choisi le plat A le $n$-ième jour.
  • $b_n$ la proportion de clients ayant choisi le plat B le $n$-ième jour.
  • $c_n$ la proportion de clients ayant choisi le plat C le $n$-ième jour.

Pour tout entier $n\pg 1$, on note $P_n=\begin{pmatrix}a_n&b_n&c_n\end{pmatrix}$ l’état probabiliste le $n$-ième jour.

  1. Représenter cette situation par un graphe probabiliste.
    $\quad$
  2. Donner la matrice de transition $M$ de ce graphe, en respectant l’ordre alphabétique des sommets.
    $\quad$
  3. Le restaurateur a noté que le premier jour $35,5 \%$ des clients ont pris le plat A, $40,5 \%$ ont pris le plat B et $24 \%$ ont pris le plat C.
    Calculer $P_2$
    $\quad$
  4. Le restaurateur affirme que le douzième jour, la proportion de clients qui choisiront le plat C sera à peu près la même que le treizième jour, soit environ $15,9 \%$.
    A-t-il raison ? Justifier.
    $\quad$

Partie 2

Pour le dîner, le restaurateur décide de proposer des livraisons à domicile. Il fait un essai avec huit clients.
Sur le graphe ci-dessous, les sommets représentent les différents lieux d’habitation de ces huit clients. Les arêtes représentent les rues et les valeurs indiquent les durées moyennes des trajets exprimées en minutes.

  1. Répondre aux questions suivantes en justifiant.
    a. Existe-t-il un parcours qui emprunte toutes les rues une et une seule fois ?
    $\quad$
    b. Un tel parcours peut-il partir de $H_1$ et y revenir ?
    $\quad$
  2. En utilisant l’algorithme de Dijkstra, déterminer le temps minimal pour aller de $H_4$ vers $H_8$. Préciser le trajet correspondant.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     6 points

Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $[-4,10]$ par : $$f(x)=1+\left(-4x^2-10x+8\right)\e^{-0,5x}$$

  1. . On note $f’$ la fonction dérivée de $f$.
    Montrer que, pour tout réel $x$ de l’intervalle $[−4 ; 10]$ : $$f'(x)=\left(2x^2-3x-14\right)\e^{-0,5x}$$
    $\quad$
  2. Dresser, en justifiant, le tableau des variations de $f$ sur l’intervalle $[−4 ; 10]$.
    On donnera les valeurs exactes des éléments du tableau.
    $\quad$
  3. a. Montrer que l’équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[−4 ; −2]$.
    $\quad$
    b. On considère l’algorithme suivant.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    a\leftarrow -4\\
    b\leftarrow -2\\
    \text{Tant que }(b-a)>10^{-1}\\
    \hspace{1cm} m\leftarrow \dfrac{a+b}{2}\\
    \hspace{1cm} p\leftarrow f(a)\times f(m)\\
    \hspace{1cm} \text{Si } p>0 \text{ alors }\\
    \hspace{2cm} a\leftarrow m\\
    \hspace{1cm} \text{Sinon}\\
    \hspace{2cm} b\leftarrow m\\
    \hspace{1cm} \text{Fin Si}\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    Recopier et compléter la deuxième ligne du
    tableau ci-dessous correspondant au
    deuxième passage dans la boucle.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    &m&\text{signe de }p&a&b&b-a&b-a>10^{-1}\\
    \hline
    \text{Initialisation}&\bbox[black]{\phantom{Nég}}&\bbox[black]{\phantom{\text{Négatif}}}&-4&-2&2&\text{VRAI}\\
    \hline
    \begin{array}{c}\text{Après le 1$\ier$  passage}\\\text{dans la boucle}\end{array}&-3&\text{Négatif}&-4&-3&1&\text{VRAI}\\
    \hline
    \begin{array}{c}\text{Après le 2$^\text{ième}$ passage}\\\text{dans la boucle}\end{array}&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    c. À la fin de l’exécution de l’algorithme, les variables $a$ et $b$ contiennent les valeurs $-3,187~5$ et $-3,125$. Interpréter ces résultats dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  4. On admet qu’une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-4 ; 10]$ est la fonction $F$ définie par $F(x)=x +\left(8x^2+52x+88\right)\e^{-0,5𝑥}$.
    Calculer la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-4 ; 10]$. Arrondir au centième.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     5 points

Cet exercice est composé de trois parties indépendantes.

Partie 1
D’après un sondage sur la fréquence de rejet de produits polluants dans les canalisations, on estime que $72\%$ de la population est respectueuse de son environnement.
On interroge $300$ personnes choisies au hasard pour savoir si elles jettent régulièrement des produits polluants dans les canalisations, ce qui permet de repérer les personnes respectueuses de leur environnement. On estime que la population est suffisamment grande pour que ce choix de $300$ personnes soit assimilable à un
tirage avec remise.

Soit $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de personnes respectueuses de leur environnement dans un échantillon de $300$ personnes choisies au hasard.

  1. Quelle est la loi suivie par $X$ ? Justifier.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité que $190$ personnes soient respectueuses de leur environnement. Arrondir à $10^{-4}$.
    $\quad$
  3. Calculer la probabilité qu’au moins $220$ personnes soient respectueuses de leur environnement. Arrondir à $10^{-4}$.
    $\quad$

Partie 2

  1. Résoudre dans ℝ l’inéquation : $2𝑥^2-7x-4\pg 0$.
    $\quad$
  2. On choisit un nombre au hasard dans l’intervalle $[0;10]$. Calculer la probabilité que ce nombre soit solution de l’inéquation précédente.
    $\quad$

Partie 3

  1. Soit $Z$ une variable aléatoire qui suit la loi normale d’espérance $2,3$ et d’écart-type $0,11$.
    a. Calculer $P(2,18 \pp Z \pp 2,42)$. Arrondir à $10^{-2}$.
    $\quad$
    b. Calculer $P((Z \pp 2,25)$. Arrondir à $10^{-2}$.
    $\quad$
  2. On suppose maintenant que $Z$ suit une loi normale d’espérance $2,3$ et d’écart-type $\sigma$.
    Donner une valeur approchée de $\sigma$ pour que $P(2,18 \pp Z \pp 2,42) \approx 0,95$.
    Justifier.
    $\quad$

 

     

 

Bac ES/L – Amérique du Nord – Mai 2019

Amérique du Nord – Mai 2019

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici .

Ex 1

Exercice 1     

Partie A

  1. On obtient l’arbre de probabilité suivant :

    $\quad$
  2. On veut calculer $P(C\cap N)=0,7\times 0,4=0,28$ (d’après l’arbre précédent).
    La probabilité que Fabien commence par une séance de course à pied et enchaîne par une séance de natation est $0,28$.
    $\quad$
  3. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(N)&=P(C\cap N)+P\left(L\cap \conj{N}\right) \\
    &=0,28+0,3\times 0,8 \\
    &=0,28+0,24\\
    &=0,52\end{align*}$
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_{\conj{N}}(V)&=\dfrac{P\left(\conj{N}\cap V\right)}{P\left(\conj{N}\right)} \\
    &=\dfrac{0,3\times 0,2}{1-0,52} \\
    &=0,125\\
    \end{align*}$
    La probabilité que Fabien ait commencé son entraînement par une séance de vélo sachant qu’il n’a pas fait de natation est $0,125$

Partie B

  1. On a :
    $\begin{align*} P(T\pg 3)&=P(T\pg 2,5)-P(2,5\pp T\pp 3)\\
    &=0,5-P(2,5\pp T\pp 3)\\
    &\approx 0,023\end{align*}$
    Cela signifie donc qu’environ $2,3\%$ des participants ont mis plus de $3$ heures pour effectuer les trois épreuves du parcours.
    $\quad$
  2. D’après la calculatrice $P(2\pp T\pp 3)\approx 0,954$
    Remarque : On pouvait également utiliser le fait que $P(2\pp T\pp 3)=P(\mu-2\sigma\pp X\pp \mu+2\sigma)$.
    $\quad$
  3. À l’aide de la touche Inverse loi normale de la calculatrice on trouve $t\approx 2,669$.
    $0,669\times 60=40,14$.
    Cela signifie donc que $75\%$ des participants ont effectuer les trois épreuves en moins de $2$ heures et $40$ minutes environ.
    $\quad$

Partie C

  1. On a $n=60$ et $p=0,5$.
    Ainsi $n\pg 30$, $np=30\pg 5$ et $n(1-p)\pg 5$
    Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de la proportion de femmes est :
    $\begin{align*} I_{60}&=\left[0,5-1,96\sqrt{\dfrac{0,5\times 0,5}{60}};0,5+1,96\sqrt{\dfrac{0,5\times 0,5}{60}}\right] \\
    &\approx [0,373;0,627]\end{align*}$
    $\quad$
  2. La fréquence observée est $f=\dfrac{25}{60}\approx 0,417 \in I_{60}$.
    Ce constat ne remet donc pas en question l’affirmation de l’organisateur.
    $\quad$

Ex 2 obl

Exercice 2     

Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L

  1. Au mois de février on a $n=1$.
    $u_1=0,9u_0+42=0,9\times 280+42=294$.
    $294$ voitures ont dont été louées avec ce système de location au mois de février 2019.
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=u_n-420$ soit $u_n=v_n+420$.
    $\begin{align*}
    v_{n+1}&=u_{n+1}-420\\
    &=0,9u_n+42-420\\
    &=0,9u_n-378\\
    &=0,9\left(v_n+420\right)-378\\
    &=0,9v_n+378-378\\
    &=0,9v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,9$ et de premier terme $v_0=280-420=-140$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $v_n=-140\times 0,9^n$.
    Et $u_n=v_n+420=420-140\times 0,9^n$.
    $\quad$
  3. $0<0,9<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty}0,9^n=0$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=420$.
    Sur le long terme, cela signifie donc que $420$ voitures seront louées chaque mois.
    $\quad$
  4. a. On obtient l’algorithme suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    N\leftarrow 0\\
    U\leftarrow 280\\
    \text{Tant que }U\pp 380\\
    \hspace{1cm} N\leftarrow N+1\\
    \hspace{1cm} U\leftarrow0,9\times U+42\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. Voici les différentes valeurs prises par $U$, arrondie au dixième et $N$
    $\begin{array}{|c|c|}
    \hline
    N&U\\
    \hline
    0&280\\
    \hline
    1&294\\
    \hline
    2&306,6\\
    \hline
    3&317,9\\
    \hline
    4&328,1\\
    \hline
    5&337,3\\
    \hline
    6&345,6\\
    \hline
    7&353,0\\
    \hline
    8&359,7\\
    \hline
    9&365,8\\
    \hline
    10&371,2\\
    \hline
    11&376,1\\
    \hline
    12&380,5\\
    \hline\end{array}$
    $N$ contient donc la valeur $12$.
    C’est donc en janvier 2020 que la commune devra augmenter le nombre de voitures.
    $\quad$
  5. On veut déterminer résoudre :
    $\begin{align*} -140\times 0,9^n+420>380 &\ssi -140\times 0,9^n>-40\\
    &\ssi 0,9^n< \dfrac{2}{7}\\
    &\ssi n\ln 0,9<\ln \dfrac{2}{7}\\
    &\ssi n> \dfrac{\ln \dfrac{2}{7}}{\ln 0,9}\end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln \dfrac{2}{7}}{\ln 0,9}\approx 11,89$.
    Ainsi la solution de l’inéquation est l’ensemble des entiers naturels supérieurs ou égaux à $12$.
    On retrouve bien la valeur obtenue à la question 3.b. à l’aide de l’algorithme.
    C’est donc en janvier 2020 que la commune devra augmenter le nombre de voitures.
    $\quad$

 

Ex 2 spé

Exercice 2

Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

  1. Le mot abab est reconnu par cet automate : chemin $12334$.
    Le mot abc n’est pas reconnu par cet automate.
    Le mot abbcbb est reconnu par cet automate : chemin $1234234$.
    $\quad$
  2. On obtient la matrice $M=\begin{pmatrix}0&2&1&0\\
    1&0&1&0\\
    0&0&1&1\\
    0&1&0&0\end{pmatrix}$.
    $\quad$
  3. On a ${M^4}_{(1,4)}=5$.
    Par conséquent $5$ mots de $4$ lettres sont reconnus par l’automate.
    Il s’agit de ababacbbbbab, baab et bcbb.
    $\quad$

Partie B

  1. a. On étudie le degré des sommets de graphe connexe.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Sommet}&A&B&C&E&G&L&P&V\\
    \hline
    \text{Degré}&2&2&4&4&3&5&4&4\\
    \hline
    \end{array}$
    Exactement deux sommets sont de degrés impairs. Il existe donc une chaîne eulérienne.
    On peut donc parcourir l’ensemble du réseau en empruntant chaque route une et une seule fois.
    $\quad$
    b. Le technicien doit commencer par un sommet de degré impair, c’est-à-dire par Grenoble ou Lyon.
    $\quad$
  2. a. On utilise l’algorithme de Dijsktra.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    A&B&C&E&G&L&P&V&\text{Sommet}\\
    \hline
    &0&&&&\phantom{260(L)}&&&B\\
    \hline
    &\phantom{260(L)}&&&180(B)&80(B)&&&L\\
    \hline
    &&260(L)&150(L)&180(B)&&&180(L)&E\\
    \hline
    &&260(L)&&180(B)&&230(E)&180(L)&G\\
    \hline
    &&260(L)&&&&230(E)&180(L)&V\\
    \hline
    &&260(L)&&&&230(E)&&P\\
    \hline
    410(P)&&260(L)&&&&&&C\\
    \hline
    410(P)&&&&&&&&A\\
    \hline
    \end{array}$$
    Le chemin le plus court est donc $B-L-E-P-A$.
    $\quad$
    b. Si la route entre Le-Puy-en-Velay et Aurillac est fermée à la circulation, d’après l’algorithme précédent, le chemin le plus court est $B-L-C-A$.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. On a :
    $P(X\pg 1)=1-P(X\pp 0)=1-(1-0,3)^{10}\approx 0,972$.
    Réponse A
    $\quad$
  2. $P(15\pp T\pp 25)=\dfrac{25-15}{40-10}=\dfrac{1}{3}$.
    Réponse B
    $\quad$
  3. Il s’agit de la somme des termes d’une suite géométrique de premier terme $1$ et de raison $1,2$.
    Ainsi :
    $\begin{align*}S&=1+1,2+1,2^2+1,2^3+\ldots+1,2^{10} \\
    &=1\times \dfrac{1-1,2^{11}}{1-1,2}\\
    &\approx 32,15\end{align*}$
    Réponse D$\quad$
  4. Pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0,1;10]$ on a :
    $\begin{align*} g'(x)&=2x\left(2\ln(x)-5\right)+x^2\times 2\times \dfrac{1}{x} \\
    &=4x\ln(x)-10x+2x\\
    &=4x\ln(x)-8x\end{align*}$
    et
    $\begin{align*}
    g{\dsec}(x)&=4\ln(x)+4x\times \dfrac{1}{x}-8\\
    &=4\ln(x)+4-8\\
    &=4\ln(x)-4\\
    &=4\left(\ln(x)-1\right)\end{align*}$
    Ainsi :
    $g{\dsec}(x)=0\ssi \ln(x)-1=0\ssi x=\e$
    et $g{\dsec}(x)>0 \ssi \ln(x)-1>0 \ssi x>\e$
    La fonction $g$ est donc concave sur l’intervalle $[0,1;\e]$ et convexe sur l’intervalle $[\e;10]$.
    Réponse D
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie A – Lectures graphiques

  1. On a $f(0)=-11$, $f'(0)=\dfrac{0-(-11)}{5-0}=\dfrac{11}{5}$ (coefficient directeur de la droite $(AB)$.
    $f'(11)=0$ car la tangente à la courbe au point $C$ est horizontale.
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est négative sur l’intervalle $[0;2,6]$. La fonction $F$ est donc décroissante sur cet intervalle.
    L’affirmation est donc fausse.
    $\quad$

Partie B – Étude d’une fonction

  1. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[0;30]$ d’après l’énoncé.
    Pour tout réel $x$ de cet intervalle on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=2x\e^{-0,2x}+\left(x^2-11\right)\times (-0,2)\e^{-0,2x} \\
    &=\left(2x-0,2x^2+2,2\right)\e^{-0,2x} \end{align*}$
    $\quad$
  2. La fonction exponentielle est strictement positive.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $-0,2x^2+2x+2,2$.
    On calcule le discriminant de ce polynôme du second degré :
    $\Delta = 2^2-4\times (-0,2)\times 2,2=5,76>0$
    Les racines du polynômes sont donc :
    $x_1=\dfrac{-2-\sqrt{5,76}}{-0,4}=11$ et $x_2=\dfrac{-2-\sqrt{5,76}}{-0,4}=-1$.
    Le coefficient principal est $a=-0,2<0$.
    Ainsi le polynôme est positif entre les racines et négatif à l’extérieur.
    par conséquent :
    $f'(x)<0$ sur l’intervalle $[0,11[$
    $f'(11)=0$
    $f(x)<0$ sur l’intervalle $]11;30]$
    $\quad$
    On obtient donc le tableau de variation suivant :
    $f(11)=110\e^{-2,2}\approx 12,19$
    $f(30)=889\e^{-6} \approx 2,20$
    $\quad$
  3. D’après le tableau de variation, sur l’intervalle $[11;30]$ on a $f(x)\pg f(30)>0$.
    L’équation $f(x)=0$ ne possède donc pas de solution sur cet intervalle.
    $\quad$
    La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur l’intervalle $[0;11]$
    De plus $f(0)=-11<0$ et $f(11)\approx 12,19>0$.
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires l’équation $f(x)=0$ possède une unique solution sur l’intervalle $[0;11]$.
    $\quad$
    Ainsi l’équation $f(x)=0$ possède une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[0;30]$.
    D’après la calculatrice on a $\alpha \approx 3,32$.
    $\quad$
  4. Une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;30]$ est, d’après le tableau, la fonction $F$ définie sur cet intervalle par $F(x)=\left(-5x^2-50x-195\right)\e^{-0,2x}$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} I&=\int_{10}^{20}f(x)\dx \\
    &=F(20)-F(10) \\
    &=-3~195\e^{-4}+1~195\e^{-2} \\
    &\approx 103,21\end{align*}$
    $\quad$

Partie C – Application économique

  1. $f(15)=214\times \e^{-3}\approx 10,65$
    Lorsque le prix unitaire est fixé à $15$ euros, environ $1~065~000$ objets sont demandés.
    $\quad$
  2. La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[10;20]$ est
    $\begin{align*} m&=\dfrac{1}{20-10}\int_{10}^{20}f(x)\dx \\
    &=\dfrac{1}{10}\left(F(20)-F(10)\right) \\
    &=\dfrac{-3~195\e^{-4}+1~195\e^{-2}}{10} \\
    &\approx 10,32\end{align*}$
    Lorsque le prix varie entre $10$ et $20$ euros la demande moyenne est d’environ $1~032~000$ objets.
    $\quad$
  3. On a
    $\begin{align*}E(15)&=\dfrac{f'(15)}{f(15)}\times 15\\
    &=\dfrac{-12,8\e^{-3}}{214\e^{-3}}\times 15 \\
    &=-\dfrac{192}{214} \\
    &\approx -0,90\end{align*}$
    Lorsque le prix augmente de $1\%$ la demande diminue d’environ $0,9\%$.
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1     5 points

Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à $10^{-3}$ si nécessaire.

Partie A

On rappelle que le triathlon est une discipline qui comporte trois sports : la natation, le cyclisme et la course à pied.
Fabien s’entraîne tous les jours pour un triathlon et organise son entraînement de la façon suivante :

  • chaque entraînement est composé d’un ou deux sports et commence toujours par une séance de course à pied ou de vélo ;
  • lorsqu’il commence par une séance de course à pied, il enchaîne avec une séance de natation avec une probabilité de $0,4$ ;
  • lorsqu’il commence par une séance de vélo, il enchaîne avec une séance de natation avec une probabilité de $0,8$.

Un jour d’entraînement, la probabilité que Fabien pratique une séance de vélo est de $0,3$.
On note :

  • $C$ l’événement : « Fabien commence par une séance de course à pied » ;
  • $V$ l’événement : « Fabien commence par une séance de vélo » ;
  • $N$ l’événement : « Fabien enchaîne par une séance de natation ».
  1. Recopier et compléter l’arbre de probabilité suivant représentant la situation :
    $\quad$
  2. Quelle est la probabilité que Fabien commence par une séance de course à pied et enchaîne par une séance de natation ?
    $\quad$
  3. Démontrer que : $P(N) = 0,52$.
    $\quad$
  4. Sachant que Fabien n’a pas fait de séance de natation, quelle est la probabilité qu’il ait commencé son entrainement par une séance de vélo ?
    $\quad$

Partie B

L’épreuve de triathlon s’est déroulée.

Pour chaque participant on enregistre sa performance, c’est-à-dire le temps total pour effectuer les trois épreuves du parcours.

On admet que l’ensemble des performances des participants, exprimées en heure, peut être modélisé par une variable aléatoire $T$ qui suit la loi normale d’espérance $2,5$ et d’écart-type $0,25$.

  1. Calculer $P(T\pg 3)$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité qu’une performance prise en hasard se situe entre $2$ heures et $3$ heures.
    $\quad$
  3. Déterminer $t$, à la minute près, pour que $P(T\pp t)= 0,75$ puis interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

Partie C

Chaque participant au triathlon complète une fiche d’inscription comportant différents renseignements, dont le sexe du participant.

L’organisateur affirme que le pourcentage de femmes ayant participé à ce triathlon est de $50 \%$.

En raison du très grand nombre de participants au triathlon, l’organisateur décide de vérifier cette affirmation sur la base d’un échantillon de $60$ fiches tirées au hasard.

  1. Calculer l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95 \%$ de la proportion de femmes dans un échantillon aléatoire de $60$ fiches.
    $\quad$
  2. L’échantillon prélevé au hasard comprend $25$ fiches correspondant à des femmes.
    Ce constat remet-il en question l’affirmation de l’organisateur ? Justifier la réponse.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L

Une commune dispose de $380$ voitures et propose un système de locations de ces voitures selon les modalités suivantes :

  • chaque voiture est louée pour une durée d’un mois ;
  • la location commence le 1$\ier$ jour du mois et se termine le dernier jour du même mois ;
  • le nombre de voitures louées est comptabilisé à la fin de chaque mois.

À la fin du mois de janvier 2019, $280$ voitures ont été louées avec ce système de location.

Le responsable de ce système souhaite étudier l’évolution du nombre de locations de voitures.

Pour cela il modélise le nombre de voitures louées chaque mois par une suite $\left(u_n\right)$, où, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ représente le nombre de voitures louées le $n$-ième mois après le mois de janvier 2019. Ainsi $u_0=280$.

On admet que cette modélisation conduit à l’égalité : $u_{n+1}=0,9u_n+42$.

  1. Combien de voitures ont-elles été louées avec ce système de location au mois de février 2019 ?
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$, on pose : $v_n=u_n-420$.
    a. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique. On précisera le premier terme $v_0$ et la raison.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$ et montrer que $u_n=-140\times 0,9^n+420$.
    $\quad$
  3. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$ puis interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  4. La commune, qui possède initialement $380$ véhicules, envisage d’acheter des voitures supplémentaires pour répondre à la demande. Le responsable de la commune souhaite prévoir à partir de quelle date le nombre de voitures sera insuffisant.
    On souhaite utiliser l’algorithme ci-dessous :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    N\leftarrow 0\\
    U\leftarrow 280\\
    \text{Tant que }\ldots\ldots\ldots\\
    \hspace{1cm} N\leftarrow N+1\\
    \hspace{1cm} U\leftarrow \ldots\ldots\ldots\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    a. Recopier et compléter l’algorithme.
    $\quad$
    b. Que contient la variable $N$ à la fin de l’exécution de l’algorithme ?
    $\quad$
    c. En déduire le mois durant lequel la commune devra augmenter le nombre de voitures.
    $\quad$
  5. Résoudre dans l’ensemble des entiers naturels l’inéquation : $$-140\times 0,9^n+420>380$$
    et retrouver le résultat précédent.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

Partie A

Pour accéder à un local d’une petite entreprise, les employés doivent choisir un code reconnu par l’automate suivant :

 

Une succession de lettres constitue un code possible si ces lettres se succèdent sur un chemin du graphe orienté ci-dessus, en partant du sommet ➀ et en sortant au sommet ④.

Par exemple,

  • le mot 𝑏𝑐𝑏𝑎𝑏 est un mot reconnu par cet automate, et correspond au chemin $121334$ ;
  • le mot 𝑎𝑏𝑎𝑐 n’est pas un mot reconnu par cet automate.
  1. Parmi les mots suivants, quels sont ceux qui sont reconnus par cet automate : 𝑎𝑏𝑎𝑏, 𝑎𝑏𝑐, 𝑎𝑏𝑏𝑐𝑏𝑏.
    $\quad$
  2. Recopier et compléter la matrice d’adjacence $M=\begin{pmatrix}0&2&1&0\\\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\\end{pmatrix}$ associée au graphe orienté dans laquelle les sommets sont rangés dans l’ordre croissant.
    $\quad$
  3. Un logiciel de calcul formel donne $$M^4=\begin{pmatrix}5&3&10&5\\1&6&7&4\\1&3&4&2\\2&1&4&2\end{pmatrix} \quad \text{et} \quad M^5=\begin{pmatrix}3&15&18&10\\6&6&14&7\\3&4&8&4\\1&6&7&4\end{pmatrix}$$
    Combien de mots de $4$ lettres sont-ils reconnus par l’automate ? Justifier. Quels
    sont-ils ?
    $\quad$

Partie B

Dans le graphe ci-après, on a fait figurer les distances routières, exprimées en kilomètre, entre certaines grandes villes de la région Auvergne-Rhône-Alpes.

$\hspace{1cm}$ A : Aurillac                                 G : Grenoble
$\hspace{1cm}$ B : Bourg-en-Bresse                  L : Lyon
$\hspace{1cm}$ C : Clermont-Ferrand                P : Le Puy-en-Velay
$\hspace{1cm}$ E : Saint-Étienne                       V : Valence

  1. Un technicien doit vérifier l’état des routes du réseau représenté par le graphe ci-dessus.
    a. Peut-il parcourir l’ensemble du réseau en empruntant chaque route une et une seule fois ? Justifier la réponse.
    $\quad$
    b. Si un tel parcours est possible, préciser par quelle(s) ville(s) de ce réseau routier le technicien doit commencer sa vérification.
    $\quad$
  2. Ayant terminé sa semaine de travail à Bourg-en-Bresse, le technicien souhaite retourner chez lui à Aurillac en faisant le moins de kilomètres possibles.
    a. Déterminer, en utilisant l’algorithme de Dijkstra, le plus court chemin entre les villes de Bourg-en-Bresse et Aurillac en empruntant ce réseau routier.
    $\quad$
    b. La route entre Le Puy-en-Velay et Aurillac est fermée à la circulation. Quel chemin doit-il alors emprunter ?
    $\quad$

Exercice 3     4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une bonne réponse rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

  1. La variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n= 10$ et $p= 0,3$.
    On peut affirmer que $P(X\pg 1) est égale à :
    A. environ $0,972$
    B. environ $0,999$
    C. environ $0,121$
    D. $\dfrac{3}{10}$
    $\quad$
  2. La variable aléatoire $T$ suit la loi uniforme sur l’intervalle $[10 ; 40]$.
    On peut affirmer que $P(15 \pp T\pp 25)$ est égale à :
    A. $\dfrac{2}{3}$
    B. $\dfrac{1}{3}$
    C. $\dfrac{3}{8}$
    D. $\dfrac{5}{8}$
    $\quad$
  3. L’arrondi au centième de la somme $1+1,2+1,2^2+1,2^3+\ldots+1,2^{10}$ est :
    A. $3,27$
    B. $25,96$
    C. $26,96$
    D. $32,15$
    $\quad$
  4. On considère la fonction $g$ deux fois dérivable sur $[0,1 ; 10]$ et définie par : $$g(x)=x^2\left(2\ln(x)-5\right)+2$$
    A. $g$ est concave sur $[0,1;10]$
    B. $g$ est concave sur $[\e;10]$
    C. $g$ est convexe sur $[0,1;7]$
    D. $g$ est convexe sur $[\e;10]$
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     6 points

Dans le repère orthogonal donné ci-dessous, $\mathcal{C}_f$ est la représentation graphique d’une fonction $f$ définie et dérivable sur $[0;30]$.

La tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A$ d’abscisse $0$ passe par le point $B(5 ; 0)$.
La tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $C$ d’abscisse $11$ est parallèle à l’axe des abscisses.

Dans toute la suite, on note $f’$ la dérivée de la fonction $f$ sur $[0;30]$ et $F$ une primitive
de $f$ sur $[0 ; 30]$.

Partie A – Lectures graphiques

  1. Lire graphiquement les valeurs de $f(0)$, $f'(0)$ et $f'(11)$.
    $\quad$
  2. L’affirmation « La fonction $F$ est croissante sur $[0 ; 11]$. » est-elle vraie ou fausse ? Justifier.
    $\quad$

Partie B – Étude d’une fonction

La fonction $f$ est définie sur $[0;30]$ par : $$f(x)=\left(x^2-11\right)\e^{-0,2x}$$

Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants :
$$\begin{array}{|c|l|c|}
\hline
&\hspace{1.5cm}\textbf{Instruction :}&\hspace{0.5cm}\textbf{Résultat :}\\
\hline
1&f(x):=\left(x^2-11\right)*\exp(-0,2*x)&\left(x^2-11\right)\e^{-0,2x}\\
\hline
2&\text{Dérivée}\left(f(x)\right)&\left(-0,2x^2+2x+2,2\right)\e^{-0,2x}\\
\hline
3&\text{Intégrale}\left(f(x)\right)&\left(-5x^2-50x-195\right)\e^{-0,2x}\\
\hline
\end{array}$$

  1. Pour tout réel $x\in[0 ; 30]$, justifier le résultat de l’instruction obtenu en ligne 2 du logiciel.
    $\quad$
  2. Étudier le signe de $f’$ sur $[0 ; 30]$ puis dresser le tableau des variations de $f$ sur $[0 ; 30]$.
    $\quad$
  3. Démontrer que l’équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[0 ; 11]$ puis donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.
    $\quad$
  4. En utilisant sans le démontrer un résultat du logiciel, calculer la valeur exacte puis l’arrondi à $10^{-2}$ de l’intégrale : $I=\ds \int_{10}^{20}f(x)\dx$.
    $\quad$

Partie C – Application économique

Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à $10^{-2}$ si nécessaire.

La fonction de demande d’un produit est modélisée sur l’intervalle $[5 ; 30]$ par la fonction $f$ étudiée dans la partie B.

Le nombre $f(x)$ représente la quantité demandée, exprimée en centaines de milliers d’objets, lorsque le prix unitaire est égal à $x$ euros.

  1. Calculer le nombre d’objets demandés, au millier près, lorsque le prix unitaire est fixé à $15$ euros.
    $\quad$
  2. En utilisant les résultats de la partie B, déterminer la demande moyenne, arrondie au millier d’objets, lorsque le prix unitaire varie entre $10$ et $20$ euros.
    $\quad$
  3. L’élasticité $E(x)$ de la demande par rapport au prix est le pourcentage de variation de la demande pour une augmentation de $1\%$ du prix.
    On admet qu’une bonne approximation de $E(x)$ est donnée par :
    $\hspace{3cm} E(x)=\dfrac{f'(x)}{f(x)}\times x$ lorsque $x\in [5;30]$.
    Calculer E(15) et interpréter le résultat.

 

 

Bac ES/L – Nouvelle Calédonie – Mars 2019

Nouvelle Calédonie – Mars 2019

Bac TES/TL – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. On obtient l’arbre de probabilité suivant :

    $\quad$
  2. D’après l’arbre de probabilité on a $P(F\cap M)=0,4\times 0,6=0,24$.
    $\quad$
  3. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(M)=P(F\cap M)+P(G\cap M) &\ssi 0,64=0,24+P(G\cap M) \\
    &\ssi P(G\cap M)=0,4\end{align*}$
    Par conséquent :
    $\begin{align*}P_G(M)&=\dfrac{P(G\cap M)}{P(G)} \\
    &=\dfrac{0,4}{0,6} \\
    &=\dfrac{2}{3}\\
    &\approx 0,667\end{align*}$
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_M(F)&=\dfrac{P(M\cap F)}{P(M)} \\
    &=\dfrac{0,24}{0,64}\\
    &=0,375\end{align*}$
    $\quad$

Partie B

On veut calculer :
$\begin{align*} P(X=30)&=\ds \binom{70}{30} \times 0,6^{30}\times 0,4^{40} \\
&\approx 0,001~5\end{align*}$

$\quad$

Partie C

  1. À l’aide de la calculatrice on a : $P(10 \pp Y \pp 13)\approx 0,775$
    La probabilité qu’un élève de terminale de ce lycée ait une VMA comprise entre 10 et 13 km/h est environ égale à $0,775$.
    $\quad$
  2. À l’aide de la fonction Inverse loi normale de la calculatrice on obtient $\alpha\approx 12,8$.
    Cela signifie donc que $80\%$ des élèves ont une VMA inférieure ou égale à $12,8$.
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. La fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ d’après l’énoncé.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{\dfrac{1}{x}\times x-\ln(x)}{x^2}&=\dfrac{1-\ln(x)}{x^2}\end{align*}$
    Par conséquent $f'(\e)=\dfrac{1-\ln(\e)}{\e^2}=0$.
    Réponse a
    $\quad$
  2. On appelle $x$ le taux annuel d’augmentation du prox du gaz entre janvier 2005 et décembre 2012.
    Le prix du tarif réglementé du gaz a augmenté de $80\%$ sur cette période. Le coefficient multiplicateur est donc de $1,8$.
    On doit donc résoudre l’équation :
    $\begin{align*} \left(1+\dfrac{x}{100}\right)^8=1,8 &\ssi 1+\dfrac{x}{100}=1,8^{1/8} \\
    &\ssi \dfrac{x}{100}=1,8^{1/8}-1 \\
    &\ssi x=100\times \left(1,8^{1/8}-1\right)\end{align*}$
    Par conséquent $x\approx 7,62$
    Réponse b
    $\quad$
  3. On a donc
    $\begin{align*} S&=1\ier\text{ terme}\times \dfrac{1-q^{\text{nombre de termes}}}{1-q}\\
    &=3\times \dfrac{1-1,5^{49}}{1-1,05}\end{align*}$
    Réponse d
    $\quad$
  4. On appelle $T$ la variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l’intervalle $[0;12]$.
    Ainsi $P(2\pp T\pp 5)=\dfrac{5-2}{12-0}=\dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{4}$
    Réponse a
    $\quad$

Partie B

  1. Un intervalle de confiance est de la forme $\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}};f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$ où $n$ est le nombre d’individus interrogés.
    Son amplitude est donc $a=f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\left(f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right)=\dfrac{2}{\sqrt{n}}$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} a\pp 0,02&\ssi \dfrac{2}{\sqrt{n}}\pp 0,02 \\
    &\ssi \dfrac{1}{\sqrt{n}}\pp 0,01\\
    &\ssi \sqrt{n}\pg 100\\
    &\ssi n\pg 10~000\end{align*}$
    Affirmation 1 vraie
    $\quad$
  2. On appelle $\sigma$ l’écart-type de la variable aléatoire $X$.
    On a $P(0\pp X\pp 12)=0,95 \ssi P(\mu-6\pp X\pp \mu+6)=0,95$
    Or $P(\mu-2\sigma\pp X\pp \mu+2\sigma)\approx 0,95$.
    Cela signifie donc que $2\sigma\approx 6$ soit $\sigma \approx 3$.
    Affirmation 2 fausse
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Candidats de ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de L

  1. a. $160\times 0,8+50=178$.
    $178$ étaient inscrits à l’été 2018 selon cette estimation.
    $\quad$
    b. $\dfrac{178}{10}=17,8$.
    Il faut donc prévoir au minimum $18$ tentes pour loger l’ensemble des inscrits pendant l’été 2018.
    $\quad$
  2. $80\%$ des enfants déjà inscrits une année se réinscrivent l’année suivante. Cela correspond donc à $0,8u_n$.
    Chaque année $50$ nouveaux enfants les rejoignent.
    Donc, pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=0,8u_n+50$.
    $\quad$
  3. a. On a pu saisir la formule $=0,8*B2+50$.
    $\quad$
    b. On obtient le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    &\text{A}&\text{B}&\text{C}&\text{D}&\text{E}&\text{F}&\text{G}\\
    \hline
    1&\text{indice }n&0&1&2&3&4&5\\
    \hline
    2&\text{valeur de }u(n)&160&178&192&204&213&221\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    c. D’après le tableau précédent $u_4\approx 213$.
    On peut estimer qu’il y aura environ $213$ inscrits en 2021.
    $\quad$
  4. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=u_n-250$ soit $u_n=v_n+250$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-250\\
    &=0,8u_n+50-250\\
    &=0,8u_n-200\\
    &=0,8\left(v_n+250\right)-200\\
    &=0,8v_n+200-200\\
    &=0,8v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,8$ et de premier terme $v_0=u_0-250=-90$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=-90\times 0,8^n$.
    $\quad$
    c. Pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=v_n+250=250-90\times 0,8^n$.
    $\quad$
    d. On a $0<0,8<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,8^n=0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=250$.
    Cela signifie qu’au bout d’un grand nombre d’années le nombre d’inscrits sera de $250$.
    $\quad$
  5. a. On obtient l’algorithme suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    U\leftarrow 160\\
    N\leftarrow 0\\
    \text{Tant que }U<220\text{ faire}\\
    \hspace{1cm} U\leftarrow 0,8U+50\\
    \hspace{1cm} N\leftarrow N+1\\
    \text{Fin tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. D’après la question 3.b. on a $u_4\approx 213$ et $u_5\approx 221$
    Donc l’algorithme fournira la valeur $N=5$.
    $\quad$
    Autre méthode :
    On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
    $\begin{align*}u_n\pg 220&\ssi 250-90\times 0,8^n\pg 220\\
    &\ssi -90\times 0,8^n\pg-30\\
    &\ssi 0,8^n \pp \dfrac{1}{3}\\
    &\ssi n\ln(0,8)\pp \ln\left(\dfrac{1}{3}\right)\\
    &\ssi n\pg \dfrac{\ln\left(\dfrac{1}{3}\right)}{\ln(0,8)}\end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln\left(\dfrac{1}{3}\right)}{\ln(0,8)} \approx 4,9$.
    Donc l’algorithme fournira la valeur $N=5$.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie A

  1. On a $f(0)=3$.
    $\quad$
  2. $f'(0)$ est le coefficient de la tangente à la courbe $C$ au point $A$.
    Donc $f'(0)=-1$.
    Ainsi une équation de la droite $T$ est $y=-x+3$.
    $\quad$
  3. La fonction $f$ semble croissante sur l’intervalle $[-2;-1]$ et décroissante sur l’intervalle $[-1;6]$.
    Par conséquent $f'(x)\pp 0$ sur l’intervalle $[-2;-1]$ et $f'(x)\pg 0$ sur l’intervalle $[-1;6]$.
    La courbe $C$ possède une tangente horizontale au point $B$ donc $f'(-1)=0$.
    $\quad$
  4. Le point $A$ est l’unique point d’inflexion de la courbe $C$ sur l’intervalle $[-2;6]$.
    Par conséquent la fonction $f$ est concave sur l’intervalle $[-2;0]$ et convexe sur l’intervalle $[0;6]$.
    $\quad$
  5. La fonction $f$ est continue et positive sur l’intervalle $[-1;0]$.
    Donc $\ds \int_{-1}^0 f(x)\dx$ est donc l’aire du domaine compris entre la courbe $C$, l’axe des abscisses, la droite d’équation $x=-1$ et la droite d’équation $x=0$.
    Ainsi $3\times 1 \pp \ds \int_{-1}^0 f(x)\dx \pp 4\times 1$.
    Soit $3 \pp \ds \int_{-1}^0 f(x)\dx \pp 4$.
    $\quad$

Partie B

  1. On a $f(6)=(6+2)\e^{-6}+1=8\e^{-6}+1 \approx 1,2$
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[-2;6]$ en tant que produit et somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x \in[-2;6]$ on a :
    $\begin{align*}f'(x)&=1\times \e^{-x}+(x+2)\times (-1)\times \e^{-x}\\
    &=(1-x-2)\e^{-x}\\
    &=(-x-1)\e^{-x}\end{align*}$
    $\quad$
  3. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $-x-1$.
    Or $-x-1=0\ssi x=-1$ et $-x-1>0\ssi x<-1$.
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    $\quad$
  4. a. Une primitive de la fonction $f$ est donc la fonction $F$ définie sur l’intervalle $[-2;6]$ par $F(x)=(-x-3)\e^{-x}+x$.
    Cette fonction $F$ est en effet dérivable sur l’intervalle $[-2;6]$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Et pour tout réel $x\in[-2;6]$ on a $F'(x)=(x+2)\e^{-x}+1=f(x)$.
    $\quad$
    b. La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-1;0]$ est :
    $\begin{align*}m&=\dfrac{1}{0-(-1)}\int_{-1}^0 f(x)\dx\\
    &=F(0)-F(-1)\\
    &=-3-\left(-2\e-1\right)\\
    &=2\e-2\\
    &\approx 3,4\end{align*}$

Énoncé

Exercice 1     5 points

Des professeurs d’éducation physique et sportive proposent à leurs élèves de terminale un cycle de demi-fond qui consiste à courir $3$ fois $500$ mètres.
Le temps cumulé obtenu à l’issue d’un cycle définit une note de performance notée sur $14$ points.
Le barème est différent entre les garçons et les filles.
$4$ classes sont regroupées et $40\%$ des élèves sont des filles.
$60\%$ des filles obtiennent une note de performance supérieure ou égale à $7$ sur $14$.

Les parties A, B et C sont indépendantes.

Partie A

On choisit un élève au hasard parmi les $120$ élèves.
On note :

  • $F$ l’événement : « L’élève est une fille »;
  • $G$ l’événement : « L’élève est un garçon »;
  • $M$ l’événement : « La note de performance est supérieure ou égale à $7$ sur $14$ ».

Pour tout événement $E$, on note $E$ l’événement contraire de $E$ et $P(E)$ sa probabilité. Pour tout événement $F$ de probabilité non nulle, on note $P_F (E)$ la probabilité de $E$ sachant que $F$ est réalisé.

  1. Construire un arbre de probabilités correspondant à cette situation.
    $\quad$
  2. Déterminer $P(F \cap M)$.
    $\quad$
  3. Sachant que $P(M) = 0,64$, déterminer $P(G \cap M)$ puis en déduire $P_G (M)$, arrondie au millième.
    $\quad$
  4. Sachant qu’une personne interrogée a obtenu une note de performance supérieure ou égale à $7$ points sur $14$, quelle est la probabilité que ce soit une fille?
    $\quad$

Partie B

On considère un groupe de $7$0 filles d’un autre établissement.
On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de filles de ce groupe ayant une note de performance supérieure ou égale à $7$ sur $14$.
Les notes obtenues sont indépendantes les unes des autres.
On admet que $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 70$ et $p = 0,6$.
Calculer la probabilité arrondie au dix-millième qu’exactement $30$ filles obtiennent une note de performance supérieure ou égale à $7$.
$\quad$

Partie C

Cette épreuve permet de développer sa VMA (vitesse maximale aérobie) qui correspond à une vitesse de course rapide. L’unité de mesure de la VMA est le km/h.
On choisit un élève au hasard parmi les $120$ élèves.
On admet que la VMA d’un élève pris au hasard est modélisée par une variable aléatoire $Y $qui suit la loi normale d’espérance $\mu = 11,8$ et d’écart type $\sigma = 1,2$.

  1. Quelle est la probabilité arrondie à $10^{−3}$, qu’un élève de terminale de ce lycée ait une VMA comprise entre $10$ et $13$ km/h ?
    $\quad$
  2. Déterminer la valeur arrondie au dixième de $\alpha$ tel que $P(Y \pp \alpha) = 0,8$. Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

Exercice 2     5 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponse est exacte.
Une réponse exacte rapporte 0,75 point, une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point.
Aucune justification n’est demandée.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la lettre de la réponse choisie.

Partie A

  1. . Soit $f$ la fonction continue et dérivable sur $]0 ; +\infty[$ définie par $f(x) = \dfrac{\ln(x)}{x}$.
    La valeur exacte de $f'(\e)$ est :
    a. $0$
    b. $\dfrac{1}{\e}$
    c. $1$
    d. $\e^2$
    $\quad$
  2. Entre janvier 2005 et décembre 2012, le prix hors taxe du tarif réglementé du gaz a augmenté de $80\%$.
    Quel est le taux annuel d’augmentation du prix du gaz sur la même période arrondi à $0,01\%$ ?
    a. $10\%$
    b. $7,62\%$
    c. $6,75\%$
    d. $8,76\%$
    $\quad$
  3. Soit $\left(u_n\right)$ la suite géométrique de raison $q=1,05$ et de premier terme $u_1=3$.
    La valeur exacte de $S=u_1+u_2+u_3+\ldots+u_{49}$ est égale à :
    a. $S=\dfrac{1-1,05^{49}}{1-1,05}$
    b. $S=3\times \dfrac{1+1,05^{49}}{1+1,05}$
    c. $S=595,280$
    d. $S=3\times \dfrac{1-1,05^{49}}{1-1,05}$
    $\quad$
  4. Lors du passage en caisse dans un supermarché, on considère que le temps d’attente d’un client, exprimé en minute, suit la loi uniforme sur l’intervalle $[0 ; 12]$.
    Quelle est la probabilité que le temps d’attente d’un client soit compris entre $2$ et $5$ minutes ?
    a. $\dfrac{1}{4}_{\phantom{x} }$
    b. $\dfrac{7}{12}_{\phantom{x} }$
    c. $\dfrac{1}{12}_{\phantom{x} }$
    d. $\dfrac{1}{3}_{\phantom{x} }$
    $\quad$

Partie B

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier.
Une réponse exacte justifiée rapporte 1 point, une réponse fausse, non justifiée ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.

  1. Lors d’une élection, un candidat sollicite un institut de sondage pour qu’il détermine un intervalle de confiance au niveau de confiance $0,95$ de la proportion des intentions de vote en sa faveur.
    $\quad$
    Affirmation 1 : Afin que cet intervalle ait une amplitude inférieure ou égale à $0,02$, l’institut de
    sondage doit interroger au minimum $10~000$ personnes.
    $\quad$
  2. On considère une variable aléatoire $X$ suivant une loi normale de moyenne $6$.
    On donne ci-dessous la courbe qui représente la densité f associée à la variable aléatoire $X$.
    La partie grisée vaut $0,95$ unité d’aire.


    Affirmation 2 : L’écart type de $X$ est égal à $6$.
    $\quad$

 

Exercice 3     5 points

Candidats de ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de L

Une colonie de vacances héberge des enfants dans des tentes de $10$ places chacune. Pendant l’été 2017, $160$ enfants ont participé à cette colonie.
À la suite d’une étude prévisionnelle, on estime que, chaque année, $80\%$ des enfants déjà inscrits se réinscrivent l’année suivante et $50$ nouveaux enfants les rejoignent.

  1. a. Donner une estimation du nombre d’enfants inscrits à l’été 2018.
    $\quad$
    b. Donner le nombre minimal de tentes nécessaire pour loger l’ensemble des inscrits pendant l’été 2018.
    $\quad$
  2. Soit $\left(u_n\right)$ la suite numérique qui modélise le nombre d’inscrits lors de l’année 2017$+n$. Ainsi $u_0 = 160$.
    Expliquer pourquoi, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} = 0,8u_n +50$.
    $\quad$
  3. Voici la copie d’écran d’une feuille de tableur utilisée pour déterminer les valeurs des termes de la suite.

    a. Quelle formule peut-on saisir dans la cellule $C2$ pour obtenir, par recopie vers la droite, le nombre d’inscrits l’année 2017$+n$?
    $\quad$
    b. Recopier et compléter ce tableau en arrondissant chacune des valeurs à l’entier.
    $\quad$
    c. Donner une estimation du nombre d’inscrits en 2021.
    $\quad$
  4. Soit $\left(v_n\right)$ la suite numérique dont le terme général est défini par $v_n = u_n−250$ pour tout $n \in \N$.
    a. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $0,8$ et préciser son terme initial.
    $\quad$
    b. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$.
    $\quad$
    c. Montrer que, pour tout $n \in \N$, $u_n = 250−90×0,8^n$.
    $\quad$
    d. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
    Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  5. En 2017, la colonie comptait $22$ tentes.
    Afin de déterminer à partir de quelle année il sera nécessaire de construire une nouvelle tente, on propose l’algorithme ci-dessous :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    U\leftarrow 160\\
    N\leftarrow 0\\
    \text{Tant que} \ldots\ldots\ldots\ldots \text{ faire}\\
    \hspace{1cm} U\leftarrow 0,8U+50\\
    \hspace{1cm} N\leftarrow \ldots\ldots\ldots\\
    \text{Fin tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    a. Recopier et compléter cet algorithme afin qu’il permette de répondre au problème.
    $\quad$
    b. Quelle est la valeur de $N$ obtenue après exécution de cet algorithme ?
    $\quad$

Exercice 4     5 points

On considère la fonction f définie et dérivable sur $[-2 ; 6]$ dont la courbe représentative C est donnée ci-dessous.
Le point $A$ de coordonnées $(0 ; 3)$ est l’unique point d’inflexion de la courbe $\mathscr{C}$ sur l’intervalle $[-2 ; 6]$.
La droite $T$ est la tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point $A$.
La courbe $\mathscr{C}$ admet une tangente horizontale au point $B$ d’abscisse $-1$.

Partie A

En utilisant le graphique, répondre aux questions suivantes :

  1. Déterminer $f(0)$.
    $\quad$
  2. Déterminer $f'(0)$. En déduire une équation de la tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point $A$.
    $\quad$
  3. Déterminer le signe de $f’$ sur $[-2 ; 6]$.
    $\quad$
  4. Donner la convexité de $f$ sur $[-2 ; 6]$.
    $\quad$
  5. Donner un encadrement par deux entiers consécutifs de $I = \ds \int_{-1}^0 f(x)\dx$.
    $\quad$

Partie B

La fonction $f$ est définie par $f(x) = (x +2)\e ^{-x} +1$ pour tout $x \in [-2 ; 6]$.

  1. Déterminer la valeur exacte de $f(6)$ puis en donner la valeur arrondie au centième.
    $\quad$
  2. Montrer que, pour tout $x \in [-2 ; 6]$, $f'(x) = (-x-1)\e^{-x}$.
    $\quad$
  3. Étudier le signe de $f’$ sur $[-2 ; 6]$ puis donner le tableau des variations de $f$ sur $[-2 ; 6]$.
    $\quad$
  4. Un logiciel de calcul formel donne l’information suivante :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{Dériver }\left((-x-3)\e^{-x}\right) \\
    \hline
    \hspace{5cm}(x+2)\e^{-x}\\
    \hline
    \end{array}$$
    a. Déterminer une primitive de $f$ sur $[-2 ; 6]$.
    $\quad$
    b. Calculer la valeur moyenne de $f$ sur $[-1 ; 0]$. On donnera sa valeur exacte puis sa valeur arrondie au dixième.
    $\quad$

 

Bac ES/L – Nouvelle Calédonie – Novembre 2018

Nouvelle Calédonie – Novembre 2018

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. Pour tout réel $x$ de l’intervalle $]0;5]$ on a $f(x)=x\ln(x)+1$.
    D’après l’énoncé, la fonction $f$ est dérivable sur $]0;5]$.
    On a $u(x)=x$ donc $u'(x)=1$
    et $v(x)=\ln(x)$ soit $v'(x)=\dfrac{1}{x}$
    Par conséquent :
    $\begin{align*} f'(x)&=\ln(x)+x\times \dfrac{1}{x} \\
    &=\ln(x)+1\end{align*}$
    Réponse d
    $\quad$
  2. Il semblerait que la courbe $C$ possède un point d’inflexion sur $[0;2]$.
    Réponse c
    $\quad$
  3. Sur $\R$ une primitive de la fonction $f$ définie par $f(x)=3\e^x$ est la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=3\e^x$.
    Ainsi :
    $\begin{align*}I&= \ds \int_0^{\ln 2} 3\e^x \dx \\
    &= F(\ln 2)-F(0)\\
    &=3\e^{\ln 2}-3 \\
    &=3\times 2-3 \\
    &=3\end{align*}$
    Réponse a
    $\quad$
  4. $P(X=3)=\ds\binom{10}{3}0,3^3\times (1-0,3)^{10-3}=120\times 0,3^3\times 0,7^7$
    $P(X\pg 1)=1-P(X=0)=1-0,7^{10}\approx 0,972 \checkmark$
    $E(X)=np=3$
    Réponse c
    $\quad$

Ex 2 obl

Exercice 2

Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L

  1. $u_1=490$
    Donc $u_2=(1-0,375)u_1+123 \approx 429$
    et $u_3=(1-0,375)u_2+123 \approx 391$
    Ainsi il y avait $429$ demandeurs d’emploi au début du deuxième trimestre et $391$ au début du troisième trimestre 2017.
    $\quad$
  2. $37,5\%$ des chômeurs trouvent un emploi et sont retirés des listes. Il en reste donc $62,5\%$ d’un trimestre sur l’autre. Cela représente donc $0,625u_n$.
    Chaque trimestre $123$ nouveaux demandeurs d’emploi s’inscrivent.
    Ainsi, pour tout entier naturel $n$ non nul on a $u_{n+1}=0,625u_n+123$.
    $\quad$
  3. a. Pour tout entier naturel $n$ non nul on a $v_n=u_n-328$ soit $u_n=v_n+328$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-328 \\
    &=0,625u_n+123-328 \\
    &=0,625u_n-205 \\
    &=0,625\left(v_n+328\right)-205\\
    &=0,625v_n+205-205\\
    &=0,625v_n
    \end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,625$ et de premier terme $v_1=u_1-328=162$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ non nul on a donc $v_n=162\times 0,625^{n-1}$.
    $\quad$
    c. Ainsi pour tout entier naturel $n$ non nul on a :
    $u_n=v_n+328=162\times 0,625^{n-1}+328$.
    $\quad$
  4. Au début du deuxième trimestre 2019 on a  $n=10$ :
    $u_{10}=162\times 0,625^9+328\approx 330$
    Il y aura donc environ $330$ demandeurs d’emploi au début du deuxième trimestre 2019.
    $\quad$
  5. On veut donc qu’il y ait au plus $0,7\times 490=343$ demandeurs d’emploi.
    On veut ainsi déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
    $\begin{align*} u_n\pp 343 &\ssi 162\times 0,625^{n-1}+328 \pp 343 \\
    &\ssi 162\times 0,625^{n-1} \pp 15 \\
    &\ssi 0,625^{n-1} \pp \dfrac{15}{162} \\
    &\ssi (n-1)\ln(0,625) \pp \ln \left(\dfrac{15}{162}\right) \\
    &\ssi n-1 \pg \dfrac{\ln \left(\dfrac{15}{162}\right)}{\ln(0,625)} \\
    &\ssi n \pg 1+\dfrac{\ln \left(\dfrac{15}{162}\right)}{\ln(0,625)} \end{align*}$
    Or $1+\dfrac{\ln \left(\dfrac{15}{162}\right)}{\ln(0,625)} \approx 6,06$.
    C’est donc à partir de $n=7$ que $u_n \pp 343$.
    Son objectif sera donc atteint à partir du troisième trimestre 2018.
    Remarque : on pouvait également calculer les sept premiers termes de la suite.
    $\quad$

Ex 2 spé

Exercice 2

Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

  1. a. Les sommets $A$ et $D$ ne sont pas adjacents. Le graphe n’est donc pas complet.
    $\quad$
    b. La chaîne $A-S-B-D-C-B-E-A$ contient tous les sommets du graphe.
    Le graphe est donc connexe.
    $\quad$
  2. Déterminons le degré des sommets :
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|s|}
    \hline
    \text{Sommet}&A&B&C&D&E&S \\
    \hline
    \text{Degré}&2&4&2&4&3&3\\
    \hline
    \end{array}$
    Il existe donc exactement deux sommets ($E$ et $S$) de degré impair. Le graphe étant connexe, il possède donc une chaîne eulérienne.
    Naïma pourra déposer ses affiches sur tous les panneaux en allant de son école de musique à la salle de spectacle et en empruntant une et une seule fois chaque piste cyclable.
    Il y a par exemple le trajet $E-D-B-C-D-S-B-E-A-S$.
    $\quad$
  3. La matrice d’adjacence est :
    $$M=\begin{pmatrix}
    0&1&1&0&1&0\\
    1&0&0&0&0&1\\
    1&0&0&1&1&1\\
    0&0&1&0&1&0\\
    1&0&1&1&0&1\\
    0&1&1&0&1&0\end{pmatrix}$$
    $\quad$
  4. a. On a ${M^2}_{(1,4)}=0\times 0+1\times 0+1\times 1+0\times 0+1\times 1+0\times 0=2$
    Puisqu’il y a autant de chemins permettant de se rendre du panneau $C$ à l’école de musique en empruntant exactement deux pistes cyclables que de chemins permettant de se rendre de l’école de musique au panneau $C$ en empruntant exactement deux pistes cyclables on a ${M^2}_{(4,1)}=2$.
    $\quad$
    b. D’après le coefficient de la matrice $M^2$ de la première ligne, sixième colonne est $3$. Il existe donc $3$ chemins permettant de se rendre de l’école de musique à la salle de spectacle en empruntant exactement deux pistes cyclables.
    $\quad$
  5. On va utiliser l’algorithme de Dijsktra
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    E&A&B&C&D&S&\text{Sommet}\\
    \hline
    0&  &   &   &   &  & E\\
    \hline
    \phantom{9(E)}  &9(E) &4(E) & &7(E)&  & B \\
    \hline
    &9(E) &  &6(B) &5(B)&12(B)  & D \\
    \hline
    &9(E) &  &6(B) & &8(D)  & C \\
    \hline
    &9(E) &  & & &8(D)  & S \\
    \hline
    &9(E) &  & & &  & A \\
    \hline
    \end{array}$
    Le chemin le plus court est donc $E-B-D-S$. Il a une durée de $8$ minutes.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. a. On a $P(C\cap R)=0,6\times 0,075=0,045$.
    $4,5\%$ des employés utilise les transports en commun et ont un trajet d’une durée inférieure à $30$ minutes.
    $\quad$
    b. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(R)&=P(C\cap R)+P\left(\conj{C}\cap R\right) \\
    &=0,6\times 0,075+0,4\times 0,285 \\
    &=0,159\end{align*}$
    $\quad$
  3. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_R(C)&=\dfrac{P(R\cap C)}{P(R)} \\
    &=\dfrac{0,045}{0,159} \\
    &\approx 0,283\end{align*}$
    La probabilité qu’il utilise les transports en commun sachant que le trajet a duré moins de $30$ minutes.
    $\quad$

Partie B

  1. D’après la calculatrice on a :
    $P(X\pp 30)=0,5-P(30\pp X\pp 40)\approx 0,159$
    On retrouve ainsi le résultat de la question A.2.b.
    $\quad$
  2. $P(20 \pp X \pp 40)=P(\mu-2\sigma\pp X \pp \mu+2\sigma) \approx 0,954$
    On a $P(X>60)=P(X<20)$
    et $P(X<20)+P(20\pp X \pp 60)+P(X>60)=1$
    Donc $2P(X>60)=1-P(20 \pp X \pp 60)$
    D’où $P(X>60)=\dfrac{1-P(20\pp X \pp 60)}{2} \approx 0,421$.
    $\quad$
  3. a. On obtient l’algorithme suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    a\leftarrow 60\\
    Y\leftarrow 0,023\\
    \text{Tant que } Y> 0,008\\
    \hspace{1cm}a\leftarrow a+1\\
    \hspace{1cm} P(X\pg a)\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. On obtient alors le tableau suivant :
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    a&60&61&62&63&64&65\\
    \hline
    Y&0,023&0,018&0,014&0,011&0,009&0,006\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
  4. On obtient ainsi, à l’aide de l’algorithme, la valeur $a=65$.
    Cela signifie qu’environ $0,8\%$ des employés ont un trajet qui dure plus de $65$ minutes.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

Partie A : lecture graphique

  1. Le coût de production de $200$ litres de peinture est, d’après le graphique, de $3~000$ euros.
    $\quad$
  2. D’après le graphique, il faut produire $500$ litres de peinture pour avoir une recette de $5~000$ euros.
    $\quad$
  3. L’entreprise réalise un bénéfice à partir de $320$ litres de peinture vendus.
    $\quad$
  4. Le plus grand bénéfice, d’après le graphique, est obtenu quand $800$ litres de peinture sont vendus. Le bénéfice est alors d’environ $2~000$ euros.
    L’entreprise ne peut donc pas réaliser un bénéfice de plus de $3~000$ euros pour une production quotidienne variant entre $0$ et $800$ litres.
    $\quad$

Partie B : étude du bénéfice

  1. $f(0)=0-150\e=-150\e$
    $f(8)=200-150\e^{-3}$
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[0;8]$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $\begin{align*} f'(x)&=25-150\times (-0,5)\e^{-0,5x+1} \\
    &=25+75\e^{-0,5x+1}\end{align*}$
    $\quad$
  3. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Par conséquent $f'(x)>25>0$.
    La fonction $f$ est donc strictement croissante sur l’intervalle $[0;8]$.
    $\quad$
  4. a. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur l’intervalle $[0;8]$.
    $f(0) \approx -408<0$ et $f(8) \approx 193>0$
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires l’équation $f(x)=0$ possède donc une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[0;8]$.
    Et $\alpha \approx 3,24$
    $\quad$
    b. L’entreprise réalise donc un bénéfice à partir de $324$ litres de peinture produite et vendue.
    $\quad$

 

Énoncé

Exercice 1     4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point. Aucune justification n’est demandée.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la lettre de la réponse choisie.

  1. Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur $]0;5]$ par $f(x)=x\ln(x)+1$. Pour tout $x\in]0;5]$,
    a. $f'(x)=\dfrac{1}{x}$
    b. $f'(x)=\dfrac{1}{x}+1$
    c. $f'(x)=\ln(x)+2$
    d. $f'(x)=\ln(x)+1$
    $\quad$
  2. On donne ci-dessous la courbe $C$ représentant une fonction $g$ sur $[0;2]$.

    a. $g$ est concave sur l’intervalle $[0;2]$.
    b. $g\dsec(x) \pg 0$ pour tout $x\in[0;2]$.
    c. La courbe $C$ admet un point d’inflexion sur $[0;2]$.
    d. $g'(1)>0$.
    $\quad$
  3. Soit $I=\ds\int_0^{\ln(2)} 3\e^x \dx$. On a :
    a. $I=3$
    b. $I=6$
    c. $I=-3$
    d. $I=3\ln(2)$
    $\quad$
  4. Pour tout événement $E$, on note $P(E)$ sa probabilité. Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètre $n=10$ et $p=0,3$.
    a. $P(X=3)=120\times 0,3^2\times 0,7^8$
    b. $P(X=3)=12\times 0,3^3\times 0,7^7$
    c. $P(X\pg 1)\approx 0,972$
    d. L’espérance de $X$ est $5,15$
    $\quad$

Exercice 2     5 points

Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L

Dans un quartier d’une petite ville, les services de Pôle Emploi ont relevé le nombre de demandeurs d’emploi chaque trimestre.
Après observations, ils constatent que, chaque trimestre, $123$ nouveaux demandeurs d’emploi s’inscrivent tandis que $37,5 \%$ des chômeurs trouvent un emploi et sont retirés des
listes.
Au début du premier trimestre 2017 (1$\ier$ janvier 2017), le nombre de demandeurs d’emploi était de $490$.

On note $u_n$ le nombre de demandeurs d’emploi au début du $n$-ième trimestre après le 1$\ier$ janvier 2017.
Ainsi, $u_1 = 490$.

Dans tout l’exercice, les valeurs seront arrondies à l’unité.

  1. Calculer le nombre de demandeurs d’emploi au début du deuxième et du troisième trimestre 2017.
    $\quad$
  2. Justifier que l’on peut modéliser la situation précédente par la relation, pour tout entier $n\in\N^*$ : $$ u_{n+1}= 0,625u_n + 123$$
    $\quad$
  3. On définit la suite $\left(v_n\right)$ par : pour tout entier $n\in \N^*$, $v_n=u_n-328$.
    a. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le terme initial.
    $\quad$
    b. Exprimer, pour tout entier $n\in\N^*$, $v_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
    c. En déduire que, pour tout entier $n\in\N*$, on a $u_n = 162 × 0,625^{n-1} + 328$.
    $\quad$
  4. Calculer le nombre de demandeurs d’emploi au début du deuxième trimestre 2019.
    $\quad$
  5. Le directeur de l’agence pourra-t-il atteindre son objectif de diminuer le nombre de demandeurs d’emploi de $30 \%$ par rapport au premier trimestre 2017 ? Si oui, indiquer à quelle date son objectif sera atteint. Justifier la réponse.
    $\quad$

Exercice 2     5 points

Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Naïma fait partie d’une école de musique. En vue du spectacle de fin d’année, elle souhaite déposer à vélo des affiches publicitaires sur les panneaux de sa ville. Les pistes cyclables reliant
ces panneaux sont représentées sur le graphe $\mathscr{G}$ ci-dessous.
Le sommet $E$ désigne son école de musique, le sommet $S$ la salle de spectacle et les sommets $A$, $B$, $C$, et $D$ les panneaux d’affichage.

  1. Déterminer, en justifiant la réponse, si le graphe $\mathscr{G}$ est :
    a. complet;
    $\quad$
    b. connexe.
    $\quad$
  2. Naïma pourra-t-elle déposer ses affiches sur tous les panneaux en allant de son école de musique à la salle de spectacle et en empruntant une et une seule fois chaque piste cyclable ?
    Justifier la réponse. Si un tel trajet existe, en citer un.
    $\quad$
  3. Donner la matrice d’adjacence $M$ liée à ce graphe dans laquelle les sommets seront classés dans l’ordre suivant : $E$, $A$, $B$, $C$, $D$, $S$.
    $\quad$
  4. On donne la matrice incomplète $M^2$ : $M^2 =\begin{pmatrix}3&0&1&\ldots&1&3\\0&2&2&0&2&0\\1&2&4&1&3&1\\\ldots&0&1&2&1&2\\1&2&3&1&4&1\\3&0&1&2&1&3\end{pmatrix}$.
    a. Déterminer les coefficients manquants de la matrice $M^2$, en détaillant les calculs.
    $\quad$
    b. Combien existe-t-il de chemins permettant de se rendre de l’école de musique à la salle de spectacle en empruntant exactement deux pistes cyclables ?
    $\quad$
  5. Lorsqu’elle a déposé ses affiches, Naïma a relevé le temps de trajet entre chaque panneau d’affichage. Le graphe ci-dessous indique ces durées, exprimées en minutes.

    Indiquer, à l’aide d’un algorithme, le chemin permettant à Naïma de se rendre le plus rapidement possible de son école de musique à la salle de spectacle le soir de la représentation.
    Donner la durée de ce parcours.
    $\quad$

Exercice 3     6 points

Dans une entreprise, $60 \%$ des salariés viennent au travail en transports en commun et parmi eux, seulement $7,5 \%$ ont un trajet d’une durée inférieure à $30$ minutes. Parmi les employés qui n’utilisent pas les transports en commun, $28,5 \%$ ont un trajet d’une durée inférieure à $30$ minutes.

Pour tout événement $E$, on note $\conj{E}$ l’événement contraire de $E$ et $P(E)$ sa probabilité. Pour tout événement $F$ de probabilité non nulle, on note $P_F(E)$ la probabilité de $E$ sachant que $F$ est réalisé.

On interroge au hasard un employé de l’entreprise et on considère les événements suivants :

  • $C$ : « l’employé utilise les transports en commun » ;
  • $R$ : « le trajet de l’employé a une durée inférieure à $30$ minutes ».

Dans cet exercice, les résultats seront arrondis au millième.

Partie A

  1. Construire l’arbre pondéré représentant la situation et le compléter.
    $\quad$
  2. a. Calculer $P(C\cap R)$ et interpréter le résultat obtenu.
    $\quad$
    b. Montrer que $P(R)=0,159$
    $\quad$
  3. On interroge un employé choisi au hasard dont la durée du trajet est inférieure à $30$ minutes. Calculer la probabilité qu’il utilise les transports en commun.
    $\quad$

Partie B

Une étude a montré que la durée du trajet en minutes d’un employé peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale d’espérance $\mu = 40$ et d’écart type $\sigma = 10$.

  1. Déterminer $P(X\pp 30)$. Indiquer si ce résultat est cohérent avec la partie A, en justifiant la réponse.
    $\quad$
  2. Déterminer $P(20 \pp X\pp 60)$ et en déduire $P(X>60)$.
    $\quad$
  3. Dans cette question, on se propose de déterminer le plus petit entier $a$ tel que $P(X\pg a)\approx 0,008$.
    a. On admet que lorsque la valeur de $a$ augmente, la valeur de $P(X\pg a)$ diminue.
    On considère l’algorithme ci-dessous, où $X$ est une variable aléatoire qui suit une loi normale d’espérance $\mu = 40$ et d’écart type $\sigma = 10$.
    Recopier et compléter l’algorithme afin qu’il permette de répondre à la question.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    a\leftarrow 60\\
    Y\leftarrow 0,023\\
    \text{Tant que }Y>0,008\\
    \hspace{1cm} a\leftarrow \ldots\\
    \hspace{1cm} Y\leftarrow P(X\pg a)\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. On exécute cet algorithme.
    Recopier et compléter le tableau suivant, en utilisant autant de colonnes que nécessaire.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    ~~a~~&60&61&62&&&\\
    \hline
    ~~Y~~&0,023&0,018&0,014&\phantom{0,023}&\phantom{0,023}&\phantom{0,023}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  4. Donner la valeur de $a$ obtenue après exécution de l’algorithme.
    Interpréter ce résultat dans le contexte de l’énoncé.
    $\quad$

Exercice 4     5 points

L’entreprise ECOLOR est spécialisée dans la production et la vente de peinture écoresponsable. La production quotidienne varie entre 0 et 800 litres. Toute la production est vendue. Les montants de la recette et du coût sont exprimés en dizaine d’euros.

 

Partie A : lecture graphique

À l’aide du graphique ci-dessus, répondre aux questions suivantes.

  1.  Déterminer le coût de production de $200$ litres de peinture.
    $\quad$
  2. Quelle est la production de peinture pour avoir une recette de $5~000$ euros ?
    $\quad$
  3. À partir de combien de litres de peinture vendus l’entreprise réalise-t-elle un bénéfice ?
    $\quad$
  4. L’entreprise peut-elle réaliser un bénéfice de plus de $3~000$ euros pour une production quotidienne variant entre $0$ et $800$ litres ? Justifier.
    $\quad$

Partie B : étude du bénéfice

Le bénéfice en dizaine d’euros correspondant à la vente de $x$ centaines de litres de peinture est donné par la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0 ; 8]$ par :

$$f(x) = 25x−150\e^{-0,5x+1}$$

  1. Donner les valeurs exactes de $f(0)$ et de $f(8)$, puis en donner les valeurs arrondies au centième.
    $\quad$
  2. Montrer que la dérivée $f’$ de la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0 ; 8]$ est : $$f'(x) = 25 + 75\e^{-0,5x+1}$$
    $\quad$
  3. Déterminer le signe de $f’$ et en déduire les variations de $f$ sur l’intervalle $[0 ; 8]$.
    $\quad$
  4. a. Justifier que l’équation $f(x)= 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[0 ; 8]$ puis en donner la valeur arrondie au centième.
    $\quad$
    b. En déduire la quantité de peinture produite et vendue à partir de laquelle l’entreprise ECOLOR réalisera un bénéfice. Donner le résultat au litre près.
    $\quad$