Bac ES/L – Nouvelle Calédonie – Février 2018

Nouvelle Calédonie – février 2018

Bac TES/TL – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. On a $n=500$ et $f=\dfrac{325}{500}=0,65$
    Un intervalle de confiance au niveau $0,95$ de la proportion de patients guéris au bout d’un mois est donc :
    $\begin{align*} I_{500}&=\left[0,65-\dfrac{1}{\sqrt{500}};0,65+\dfrac{1}{\sqrt{500}}\right] \\
    &\approx [0,605;0,695]
    \end{align*}$
    Réponse c
    $\quad$
  2. Un intervalle de confiance au niveau $0,95$ de la proportion de patients guéris au bout d’un mois est de la forme $\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}};f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$
    La longueur de l’intervalle est donc $\ell =\dfrac{2}{\sqrt{n}}$.
    Par conséquent, on veut que $\dfrac{2}{\sqrt{n}} \pp 0,01 \ssi \sqrt{n} \pg 200 \ssi n \pg 40~000$.
    Réponse b
    $\quad$
  3. $f$ est de la forme $\dfrac{u}{v}$
    Donc, pour tout réel $x>0$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{\dfrac{1}{x}\times x-\ln(x)}{x^2} \\
    &=\dfrac{1-\ln(x)}{x^2}
    \end{align*}$
    Réponse c
    $\quad$
  4. On appelle $D$ la variable aléatoire mesurant la durée d’une communication.
    $D$ suit la loi uniforme sur l’intervalle $[0;120]$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} P_{(D>30)}(D<90)&=\dfrac{P(30<D<90)}{P(D>30)} \\
    &=\dfrac{P(30<D<90)}{P(30<D<120)} \\
    &=\dfrac{~~\dfrac{90-30}{120-0}~~}{\dfrac{120-30}{120-0}} \\
    &=\dfrac{60}{90} \\
    &=\dfrac{2}{3}
    \end{align*}$
    Réponse c
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. On obtient l’arbre de probabilité suivant :
    $\quad$
  2. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(T)&=p(R\cap T)+p\left(\conj{R}\cap T\right) \\
    &=0,16 \times 0,22 + 0,84\times 0,49 \\
    &=0,446~8
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. On calcule dans un premier temps, à l’aide de la formule des probabilités totales :
    $\begin{align*} p(L)&=p(R\cap L)+p\left(\conj{R}\cap L\right) \\
    &=0,16\times 0,34+0,84\times 0,31 \\
    &=0,314~8
    \end{align*}$
    Ainsi $p_L(R)=\dfrac{p(R\cap L)}{p(L)}=\dfrac{0,16\times 0,34}{0,314~8}\approx 0,172~8$
    et $p_T(R)=\dfrac{R\cap T)}{p(T)}=\dfrac{0,16\times 0,22}{0,446~8} \approx 0,078~8$
    Ainsi Madame Dupont a la plus grande probabilité d’habiter la région parisienne.
    $\quad$

Partie B

  1. Le nombre de véhicule du parc automobile français est suffisamment grand pour qu’on puisse assimiler le tirage à un tirage aléatoire avec remise.
    Les $10$ tirages sont également indépendants et possède chacun $2$ issues : $T$ et $\conj{T}$
    Ainsi la variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,446~8$.
    $\quad$
  2. $P(X=2)=\displaystyle \binom{10}{2}\times 0,446~8^2\times (1-0,446~8)^8\approx 0,078~8$
    $\quad$
  3. On veut calculer :
    $\begin{align*} P(X\pg 1)&=1-P(X=0) \\
    &=1-(1-0,446~8)^{10}\\
    &\approx 0,997~3
    \end{align*}$
    $\quad$

Partie C

  1. À l’aide de la calculatrice on trouve $P(42\pp Y\pp 58) \approx 0,954~5$
    $\quad$
  2. On veut calculer $P(Y\pp 55) =0,5+P(50\pp Y\pp 55) \approx 0,894~4$
    $\quad$

Ex 3 obl

Exercice 3

Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L

Partie A

  1. Le taux d’évolution annuel entre 2012 et 2013 est
    $t=\dfrac{575~038-610~156}{610~156} \approx -0,576\%$
    $\quad$
  2. $620~214\times (1-0,027~3)^4\approx 555~210$
    Donc le taux d’évolution annuel entre 2011 et 2015 est bien environ de $-2,73\%$.
    Remarque : on pouvait évidemment également calculer le taux d’évolution annuel entre les deux années.
    $\quad$

Partie B

  1. $620\times (1-0,1)+52=610$
    Selon ce modèle en 2012 il y avait $610$ milliers d’abonnés.
    $\quad$
  2. $10\%$ des abonnés de renouvellent pas leur abonnement. Cela signifie donc $90\%$ le font soit $0,9u_n$.
    Chaque année on compte $52$ milliers de nouveau abonnés.
    D’où $u_{n+1}=0,9u_n+52$.
    $\quad$
  3. a.  $v_n=u_n-520$ donc $u_n=v_n+520$
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-520 \\
    &=0,9u_n+52-520 \\
    &=0,9u_n-468 \\
    &=0,9\left(v_n+520\right)-468 \\
    &=0,9v_n+468-468\\
    &=0,9v_n
    \end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,9$ et de premier terme $v_0=620-520=100$.
    $\quad$
    b. Donc, pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=100\times 0,9^n$.
    $\quad$
    c. Ainsi $u_n=v_n+520=100\times 0,9^n+520$.
    $\quad$
  4. a. On obtient l’algorithme :
    Variables
    $\quad$ $N$ un nombre entier naturel non nul
    $\quad$ $U$ un nombre réel
    Initialisation
    $\quad$ Affecter à $U$ la valeur $620$
    $\quad$ Affecter à $N$ la valeur $0$
    Traitement
    $\quad$ Tant que $U\pg 520$
    $\qquad$ Affecter à $U$ la valeur $0,9\times U+52$
    $\qquad$ Affecter à $N$ la valeur $N+1$
    $\quad$ Fin Tant que
    Sortie
    $\quad$ Afficher $N$
    $\quad$
    b. On veut trouver le plus petit entier naturel $n$ tel que :
    $\begin{align*} u_n \pp 540 &\ssi 100\times 0,9^n+520 \pp 540 \\
    &\ssi 100 \times 0,9^n\pp 20 \\
    &\ssi 0,9^n \pp 0,2 \\
    &\ssi n\ln 0,9 \pp \ln 0,2 \\
    &\ssi n \pg \dfrac{\ln 0,2}{\ln 0,9}
    \end{align*}$
    $\quad$
    c. Or $\dfrac{\ln 0,2}{\ln 0,9} \approx 15,28$ donc $n\pg 16$
    Ainsi le quotidien sera en difficulté financière à partir de l’année 2027.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie A

  1. La tangente à $\mathscr{C}_f$ au point $A$ est horizontale. Par conséquent $f'(-2)=0$.
    $\quad$
  2. $f'(0)$ correspond au coefficient directeur de $T$.
    Donc $f'(0)=\dfrac{y_D-y_B}{x_D-x_B}=\dfrac{1-3}{1-0}=-2$.
    $\quad$
  3. Les tangentes à $\mathscr{C}_f$ sont au-dessus de $\mathscr{C}_f$ sur l’intervalle $[-2;-1]$ en en-dessous sur l’intervalle $[-1;2]$. La fonction $f$ change donc de convexité et n’est donc pas convexe sur $[-2;2]$.
    $\quad$

Partie B

  1. D’après le logiciel de calcul formel on a $ f'(x)=(-2-x)\exp(-x)$
    La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$ donc en particulier sur l’intervalle $[-3;8]$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $(-2-x)$.
    $-2-x=0 \ssi x=-2$
    et $-2-x>0 \ssi -x>2 \ssi x<-2$
    Ainsi :
    – $f'(x) > 0$ sur l’intervalle $[-3;-2[$.
    – $f'(-2)=0$
    – $f'(x)<0$ sur l’intervalle $]-2;8]$.
    $\quad$
  2. On obtient le tableau de variation suivant :
    $\quad$
  3. a. La fonction $f$ est continue et strictement croissante sur l’intervalle $[-3;-2]$.
    $f(-3)=0<3$ et $f(-2)=\e^2\approx 7,4 > 3$
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires l’équation $f(x)=3$ possède une unique solution.
    $\quad$
    D’après la calculatrice $\alpha \approx -2,82$.
    $\quad$
  4. a. Sur l’intervalle $[-3;8]$ on a :
    $F'(x)=-\e^{-x}-(-x-4)\e^{-x}=(-1+x+4)\e^{-x}=f(x)$.
    La fonction $F$ est donc une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-3;8]$.
    $\quad$
    b.
    $\begin{align*} \displaystyle \int_0^3 f(x)\dx &=F(3)-F(0) \\
    &=-7\e^{-3}+4
    \end{align*}$

Énoncé

Exercice 1     4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples CQCM). Pour chacune des quatre questions,quatre réponses sont proposées; une seule de ces réponses convient.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie sans justifier le choix effectué.

  1. Un laboratoire désire tester l’efficacité d’un médicament. Pour cela, il constitue un échantillon aléatoire de $500$ malades auxquels on prescrit ce médicament. On constate que $325$ sont guéris au bout d’un mois.
    Un intervalle de confiance au niveau $0,95$ de la proportion de patients guéris au bout d’un mois est :
    a. $[0,305;0,395]$
    b. $[0,32;0,33]$
    c. $[0,605;0,695]$
    d. $[0,648;0,652]$
    $\quad$
  2. Dans le laboratoire précédente, le nombre minima de patients à interroger pour obtenir un intervalle de confiance de longueur inférieure ou égale à $0,01$ est :
    a. $200$
    b. $40~000$
    c. $4~000$
    d. $1~000$
    $\quad$
  3. On admet que la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]0;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{\ln(x)}{x}$ est dérivable sur cet intervalle.
    Si on note $f’$ sa fonction dérivée, alors pour tout réel $x$ de l’intervalle $]0;+\infty[$ on a :
    a. $f'(x)=\dfrac{1}{x^2}$
    b. $f'(x)=\dfrac{\ln(x)-1}{x^2}$
    c. $f'(x)=\dfrac{1-\ln(x)}{x^2}$
    d. $f'(x)=\dfrac{1}{x}$
    $\quad$
  4. Deux collègues communiquent régulièrement par vidéoconférence. On suppose que la durée d’une communication entre ces deux personnes, exprimée en minutes, suit la loi uniforme sur l’intervalle $[0;120]$.
    Sachant que la communication dure depuis $30$ minutes, la probabilité que la durée de la communication ne dépasse pas $90$ minutes est égale à :
    a. $\dfrac{1}{3}$
    b. $\dfrac{1}{2}$
    c. $\dfrac{2}{3}$
    d. $\dfrac{3}{4}$
    $\quad$

Exercice 2     5 points

Cette étude porte sur l’utilisation principale des véhicules du parc automobile français.
Les réponses seront arrondies au dix-millième.

Partie A

Les véhicules de la région parisienne représentent $16\%$ du parc automobile français en 2015.

$22 \%$ des véhicules de la région parisienne sont utilisés principalement pour le trajet entre le domicile et le travail, $34 \%$ pour les loisirs.
En province, $49 \%$ des véhicules sont utilisés principalement pour le trajet entre le domicile et le travail, $31 \%$ pour les loisirs.
On choisit un véhicule au hasard dans le parc automobile français.

On note :

  • $R$ l’événement : “le véhicule provient de la région parisienne”,
  • $\conj{R}$ l’événement : “le véhicule provient de la province”,
  • $T$ l’événement : “le véhicule est utilisé principalement pour le trajet entre le domicile et le travail”,
  • $L$ l’événement : “le véhicule est utilisé principalement pour les loisirs”,
  • $F$ l’événement : “le véhicule est utilisé principalement pour d’autres fonctions que le travail ou les loisirs”.

On rappelle que, si $A$ et $B$ sont deux événements, $p(A)$ désigne la probabilité de l’événement $A$ et $p_B(A)$ désigne la probabilité de l’événement $A$ sachant que l’événement $B$ est réalisé.

  1. Représenter la situation par un arbre de probabilité.
    $\quad$
  2. Montrer que la probabilité qu’un véhicule soit utilisé principalement pour le trajet entre le domicile et le travail est égale à $0,0446~8$.
    $\quad$
  3. Madame Dupont et Monsieur Durand ont une conversation sur l’utilisation de leur véhicule.
    Madame Dupont dit utiliser principalement sa voiture pour les loisirs, Monsieur Durand principalement pour le trajet entre le domicile et le travail.
    Qui de Madame Dupont ou de Monsieur Durand a la plus grande probabilité d’habiter la région parisienne ?
    $\quad$

Partie B

On sélectionne un échantillon aléatoire de $10$ véhicules du parc automobile français. On note $X$ la variable aléatoire qui compte, dans cet échantillon, le nombre de véhicules utilisés principalement pour le trajet entre le domicile et le travail.

  1. Préciser la loi de probabilité de $X$ ainsi que ses paramètres.
    $\quad$
  2. Déterminer la probabilité qu’exactement deux véhicules soient utilisés principalement pour le trajet entre le domicile et le travail.
    $\quad$
  3. Déterminer la probabilité qu’au moins un véhicule soit utilisé principalement pour le trajet entre le domicile et le travail.
    $\quad$

Partie C

On s’intéresse à l’évolution du parc automobile de la région parisienne. On considère qu’en 2018 le nombre de milliers de véhicules nouvellement enregistrés en région parisienne suivra la loi normale de moyenne $50$ et d’écart type $4$.
On note $Y$ la variable aléatoire donnant le nombre de milliers de véhicules nouvellement enregistrés en 2018 en région parisienne.

  1. Quelle est la probabilité que le nombre de véhicules nouvellement enregistrés en région parisienne en 2018 soit compris entre $42~000$ et $58~000$?
    $\quad$
  2. Pour ne pas avoir de délais d’enregistrement trop longs, le nombre dossiers doit être inférieur à $55~000$. Quelle est la probabilité que les délais d’enregistrements ne soient pas trop longs en 2018?
    $\quad$

Exercice 3     5 points

Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L

On étudie les abonnements à un grand quotidien de 2011 à 2015.
Le tableau suivant indique, pour chaque année de 2011 à 2015, le nombre d’abonnés.

$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Année}&2011&2012&2013&2014&2015\\
\hline
\text{Nombre d’abonnés}&620~214&610~156&575~038&578~282&555~239\\
\hline
\text{Taux d’évolution annuel}&&-1,62\%&-5,76\%&0,56\%&-3,98\%\\
\hline
\begin{array}{l}
\text{Taux d’évolution par}\\ \text{rapport à l’année }2011\end{array}&&-1,62\%&-7,28\%&-6,76\%&-10,48\%\\
\hline
\end{array}$

Partie A

  1. Retrouver par le calcul, le taux d’évolution annuel entre 2012 et 2013.
    $\quad$
  2. Le taux d’évolution moyen annuel entre 2011 et 2015 est environ de $-2,73\%$. Justifier.
    $\quad$

Partie B

Afin d’étudier cette évolution, on suppose qu’à l’avenir, tous les ans, $10 \%$ des abonnés ne renouvellent pas leur abonnement à ce quotidien mais que l’on compte $52$ milliers de nouveaux abonnés.
En 2011, le nombre d’abonnés est égal, après arrondi, à $620$ milliers.
On s’intéresse, pour tout entier naturel $n$, au nombre d’abonnés, en milliers, pour l’année (2011$+n$).
On note $u_n$ le nombre d’abonnés en milliers pour l’année (2011$+n$).
On fixe donc $u_0 = 620$.

  1. Déterminer le nombre d’abonnés en 2012 suivant ce modèle.
    $\quad$
  2. Justifier que pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1}=0,9u_n+52$
    $\quad$
  3. On définit la suite $\left(v_n\right)$, pour tout entier naturel $n$, par $v_n=u_n-520$.
    a. Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique. Préciser sa raison et son premier terme $v_0$.
    $\quad$
    b. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
    c. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n =100\times 0,9^n+520$.
    $\quad$
  4. Le quotidien est considéré en difficulté financière lorsque le nombre d’abonnés est inférieur à $540$ milliers.
    a. Recopier et compléter l’algorithme suivant afin d’afficher l’année à partir de laquelle le quotidien sera en difficulté financière.
  5. Variables
    $\quad$ $N$ un nombre entier naturel non nul
    $\quad$ $U$ un nombre réel
    Initialisation
    $\quad$ Affecter à $U$ la valeur $620$
    $\quad$ Affecter à $N$ la valeur $0$
    Traitement
    $\quad$ Tant que $\ldots$
    $\qquad$ Affecter à $U$ la valeur $\ldots\ldots\ldots$
    $\qquad$ Affecter à $N$ la valeur $\ldots\ldots\ldots$
    $\quad$ Fin Tant que
    Sortie
    $\quad$ Afficher $\ldots\ldots\ldots$
    $\quad$
    b. Résoudre l’inéquation $u_n \pp 540$.
    $\quad$
    c. Déterminer à partir de quelle année le quotidien sera en difficulté financière. Indiquer la démarche.
    $\quad$

Exercice 4     6 points

Partie A

Dans le repère orthonormé ci-dessous, on a tracé la courbe représentative $\mathscr{C}_f$ d’une fonction $f$ définie et dérivable sur l’intervalle $[-3;8]$. On note $f’$ sa dérivée.
$A$ est le point de $\mathscr{C}_f$ d’abscisse $-2$.
$B$ est le point de $\mathscr{C}_f$ de coordonnées $(0;3)$.
La tangente à $\mathscr{C}_f$ au points $A$ est horizontale.
La droite $T$ est la tangente à $\mathscr{C}_f$ au point $B$ d’abscisse $0$ et elle passe par le point $D(1;1)$.

À l’aide du graphique :

  1. Donner la valeur de $f'(-2)$.
    $\quad$
  2. Interpréter géométriquement $f'(0)$ et donner sa valeur.
    $\quad$
  3. La fonction $f$ est-elle convexe sur $[-2;2]$?
    $\quad$

Partie B

On admet désormais que la fonction $f$ de la partie A est définie sur l’intervalle $[-3;8]$ par $$f(x)=(x+3)\e^{-x}$$

Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants :

$$\begin{array}{|l|l|}
\hline
1&\text{dériver}(x+3)*\exp(-x)\\
&\hfill\exp(-x)+(x+3)*\left(-\exp(-x)\right)\\
\hline
2&\text{factoriser(dériver}(x+3)*\exp(-x))\\
&\hfill(-x-2)*\exp(-x)\\
\hline
\end{array}$$

  1. Étudier le signe de la dérivée de la fonction $f$.
    $\quad$
  2. Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-3;8]$.
    $\quad$
  3. a. Montrer que l’équation $f(x)=3$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[-3;-2]$.
    $\quad$
    b. Donner une valeur approchée de $\alpha$ à $0,01$ près.
    $\quad$
  4. a. Justifier que la fonction $F$ définie sur l’intervalle $[-3;8]$ par $F(x)=(-x-4)\e^{-x}$ est une primitive de $f$ sur le même intervalle.
    $\quad$
    b. Calculer la valeur de l’intégrale $\displaystyle \int_0^3 f(x)\dx$.
    $\quad$

Bac ESL – Nouvelle Calédonie – Novembre 2017

Nouvelle Calédonie – Novembre 2017

Bac ES/L – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Affirmation 1 : vraie

$\ln\left(a^3\right)-\ln\left(a^2\right)=3\ln(a)-2\ln(a)=\ln(a)$
$\ln\left(a^{25}\right)-\ln\left(a^{24}\right)=25\ln(a)-24\ln(a)=\ln(a)$
Donc $\ln\left(a^3\right)-\ln\left(a^2\right)=\ln\left(a^{25}\right)-\ln\left(a^{24}\right)$

$\quad$

Affirmation 2 : vraie

$P(X<75)=\dfrac{75-0}{100-0}=0,75$ et $P(X>25)=\dfrac{100-25}{100-0}=0,75$
Donc $P(X<75)=P(X>25)$

$\quad$

Affirmation 3 : fausse

On a $n=400\pg 30$ et $f=\dfrac{6}{400}=0,015$
Ainsi $nf=6\pg 5$ et $n(1-f)=494\pg 5$.
Par conséquent la borne supérieure d’un intervalle de confiance de la proportion de pièces défectueuses dans la production au niveau de confiance de $95\%$ est : $0,015+\dfrac{1}{\sqrt{400}}=0,065\neq 0,08$.

$\quad$

Affirmation 4 : vraie

$x\ln(x)=2\ln(x) \ssi x\ln(x)-2\ln(x)=0\ssi (x-2)\ln(x)=0$
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
C’est-à-dire $x-2=0$ ou $\ln(x)=0$
Ce qui est équivalent à $x=2$ ou $x=1$.

$\quad$

Ex 2 obl

Exercice 2

Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L

  1.  $\quad$

    $\quad$
  2. a. On veut calculer $p(A\cap R)=0,65\times 0,9=0,585$
    $\quad$
    b. On veut calculer :
    $\begin{align*} p\left(\conj{A}\cap R\right)+p\left(A \cap\conj{R}\right)&=0,65\times 0,1+0,35\times 0,7 \\
    &=0,065+0,245\\
    &=0,31
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. a. Les paramètres de loi binomiale suivie par la variable aléatoire $X$ sont $n=20$ et $p=0,31$.
    $\quad$
    b. On veut calculer :
    $p(X=12)=\displaystyle \binom{20}{12}\times 0,31^{12}\times 0,69^8\approx 0,005$ d’après la calculatrice.
    $\quad$
    c. On veut calculer :
    $p(X\pg 2)=1-P(X\pp 1)\approx 0,994$ d’après la calculatrice.
    $\quad$
  4. a. Le coût d’un aller-retour en bateau est de $3~120$€. La probabilité associée est $0,585$
    Le coût d’un voyage utilisant les deux moyens de transports est de $2~760$€. La probabilité associée est $0,31$.
    le coût d’un aller-retour en train est de $2~400$€. La probabilité associée est $1-0,585-0,31=0,105$.
    On obtient ainsi la loi de probabilité suivante:
    $\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    y_i&3~120&2~760&2~400\\
    \hline
    P\left(Y=y_i\right)&0,585&0,31&0,105\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    b. On a :
    $\begin{align*} E(Y)&=0,585\times 3~120+0,31\times 2~760+0,105\times 2~400\\
    &=2~932,8
    \end{align*}$
    Cela signifie donc qu’en moyenne un client payera $2~932,8$€ pour un aller-retour.
    $\quad$

Ex 2 spé

Exercice 2

Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité 

Partie A

  1. On a $P_0=\begin{pmatrix}0,9&0,1\end{pmatrix}$
    $\quad$
  2. $\quad$

    $\quad$
  3. On a donc $\begin{cases} a_{n+1}=0,87a_n+0,08b_n\\b_{n+1}=0,13a_n+0,92b_n\end{cases}$
    Ainsi la matrice de transition est $M=\begin{pmatrix}0,87&0,13\\0,08&0,92\end{pmatrix}$$\quad$
  4. On a :
    $\begin{cases}a_1=0,87\times 0,9+0,08\times 0,1\\b_1=0,13\times 0,9+0,92\times 0,1\end{cases}$ $=\begin{cases}a_1=0,791\\b_1=0,209\end{cases}$
    D’où $P_1=\begin{pmatrix}0,791&0,209\end{pmatrix}$.
    $\quad$
  5. Pour tout entier naturel $n$ on a $P_{n+1}=P_nM$ donc $P_n=P_0M^n$
    $\quad$
  6. Ainsi $P_4=P_0M^4\approx \begin{pmatrix}0,583&0,417\end{pmatrix}$
    $\quad$
  7. L’état stable $P=\begin{pmatrix}a&b\end{pmatrix}$ vérifie :
    $\begin{align*} \begin{cases} P=PA\\a+b=1\end{cases} &\ssi \begin{cases} a=1-b\\a=0,87a+0,08b\\b=0,13a+0,92b\end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases} a=1-b\\-0,13a+0,08b=0\\0,13a-0,08b=0\end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases} a=1-b\\-0,13+0,13b+0,08b=0\end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases} a=1-b\\0,21b=0,13\end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases} a=1-b\\b=\dfrac{13}{21}\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} a=\dfrac{8}{21}\\b=\dfrac{13}{21}\end{cases}\end{align*}$
    L’état stable est donc $P=\begin{pmatrix} \dfrac{8}{21}&\dfrac{13}{21}\end{pmatrix}$
    Cela signifie donc que sur le long terme environ $38,1\%$ de la population du village choisira Albert comme médecin et environ $61,9\%$ choisira Brigitte.
    $\quad$

Partie B

En utilisant l’algorithme de Dijkstra on obtient :

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
A&B&&D&E&F&G&\text{Sommet}\\
\hline
0&&&&&&&A\\
\hline
&8(A)&&18(A)&13(A)&&&B\\
\hline
&&31(B)&17(B)&13(A)&&&E\\
\hline
&&31(B)&17(B)&&26(E)&&D\\
\hline
&&27(D)&&&24(D)&&F\\
\hline
&&27(D)&&&&33(F)&C\\
\hline
&&&&&&30(C)&G\\
\hline
\end{array}$
Le plus court chemin est donc $A-B-D-C-G$.
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. La proportion de forêt détruite au cours de l’année 2013 est $\dfrac{15}{4~000}=0,375\%$.
    $\quad$
  2. a. Chaque année $0,375\%$ de la surface des forêt est détruite. Il en reste donc $99,625\%$.
    Cela représente alors $0,996~25u_n$ millions d’hectares.
    Chaque année on voit apparaître $10,2$ millions d’hectares de nouvelles forêts.
    Ainsi $u_{n+1}=0,996~25u_n+10,2$.
    $\quad$
    b. $u_1=0,99~625\times 4~000+10,2=3~995,2$
    $\quad$
  3. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $d_n=u_n-2~720$ soit $u_n=d_n+2~720$. Donc :
    $\begin{align*} d_{n+1}&=u_{n+1}-2~720\\
    &=0,996~25u_n+10,2-2~720\\
    &=0,996~25u_n-2~709,8 \\
    &=0,996~25\left(d_n+2~720\right)-2~709,8\\
    &=0,996~25d_n+2~709,8-2~709,8\\
    &=0,996~25d_n
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. La suite $\left(d_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,996~25$ et de premier terme $d_0=4~000-2~720=1~280$.
    $\quad$
    c. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $d_n=1~280\times 0,996~25^n$.
    Et $u_n=1~280\times 0,996~25^n+2~720$.
    $\quad$
  4. a. On peut utiliser l’algorithme suivant :
    Initialisation :
    $\quad$ $u$ prend la valeur $4~000$
    Traitement :
    $\quad$ Pour $k$ allant de $0$ à $16$
    $\qquad$ Afficher $u$
    $\qquad$ $u$ prend la valeur 0,996~25u+10,2$
    $\quad$ Fin Pour
    Sortie :
    $\quad$ Afficher $u$
    $\quad$
    b. On veut trouver le plus petit entier naturel $n$ tel que :
    $\begin{align*} u_n \pp 3~900 &\ssi 1~280 \times 0,996~25^n+2~720< 3~900\\
    &\ssi 1~280\times 0,996~25^n < 1~180 \\
    &\ssi 0,996~25^n < \dfrac{59}{64} \\
    &\ssi n \ln(0,996~25) < \ln \dfrac{59}{64} \\
    &\ssi n > \dfrac{\ln \dfrac{59}{64}}{\ln(0,996~25)}\\
    &\ssi n\pg 22
    \end{align*}$
    Cela signifie donc qu’à partir de 2035 la superficie des forêts présentes sur la Terre sera inférieure à $3,9$ milliards d’hectares.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. a. Graphiquement $f(0)=1$.
    $\quad$
    b. Graphiquement $f'(0)=0$. La courbe $\mathscr{C_1}$ possède une tangente horizontale au point $A$.
    $\quad$
    c. Sur l’intervalle $[-1;2]$ la fonction $f\dsec$ change de signe pour $x\approx 0,37$.
    Par conséquent la fonction $f$ est convexe sur l’intervalle $[-1;0,37]$ et concave sur l’intervalle $[0,37;2]$
    $\quad$
  2. a.
    $\begin{align*} f'(x)&=-\e^x+(1-x)\e^x+2x\\
    &=(-1+1-x)\e^x+2x\\
    &=-x\e^x+2x\\
    &=x\left(2-\e^x\right)
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. On a $f'(x)=x\left(2-\e^x\right)$
    $2-\e^x=0\ssi x=\ln 2$ et $2-\e^x>0 \ssi 2>\e^x\ssi \ln 2>x$
    On obtient ainsi le tableau de signe de $f'(x)$ et le tableau de variation de la fonction $f$.
    $f(-1)=2\e^{-1}+1$
    $f(\ln 2)=2(1-\ln 2)+\left(\ln 2\right)^2\approx 1,09$
    $f(2)=-\e^2+4\approx -3,39$
    $\quad$
  3. a. Sur l’intervalle $[-1;\ln 2]$ on  a $f(x)\pg 1>0$. Par conséquent l’équation $f(x)=0$ ne possède aucune solution sur cet intervalle.
    Sur l’intervalle $[\ln 2;2]$ la fonction $f$ est continue et strictement décroissante.
    $f(\ln 2)>0$ et $f(2)<0$
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires l’équation $f(x)=0$ possède une unique solution sur l’intervalle $[\ln 2;2]$.
    Ainsi l’équation $f(x)=0$ possède une unique solution sur l’intervalle $[-1;2]$.
    $\quad$
    b. À l’aide de la calculatrice on trouve $1,50<\alpha<1,51$.
    $\quad$
  4. Une équation de la tangente à $\left(\mathscr{C_1}\right)$ au point d’abscisse $1$ est $y=f'(1)(x-1)+f(1)$
    Or $f(1)=1$ et $f'(1)=2-\e$
    Ainsi une équation de la tangente est $y=(2-\e)(x-1)+1$
    $\quad$
  5. a. On considère la fonction $F$ définie sur l’intervalle $[-1;2]$ par $F(x)=\dfrac{1}{3}x^3+(-x+2)\e^x$.
    la fonction $F$ est dérivable sur $[-1;2]$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables.
    $\begin{align*} F'(x)&=x^2-\e^x+(-x+2)\e^x\\
    &=x^2+(-1-x+2)\e^x\\
    &=x^2+(1-x)\e^x\\
    &=f(x)
    \end{align*}$
    la fonction $F$ est donc une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-1;2]$ ce qui justifie la ligne 3 du tableau.
    $\quad$
    b. La fonction $f$ est positive sur l’intervalle $[-1;1]$.
    L’aire cherchée est :
    $\begin{align*} \mathscr{A}&=\ds \int_{-1}^1f(x)\dx \\
    &=F(1)-F(1)\\
    &=\dfrac{1}{3}+\e-\left(-\dfrac{1}{3}+3\e^{-1}\right)\\
    &=\dfrac{2}{3}+\e-3\e^{-1} \\
    &\approx 2,3 \text{u.a.}
    \end{align*}$
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1     4 points

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse donnée.

Affirmation 1.

Pour tout réel $a$ strictement positif, $\ln \left(a^3\right)-\ln\left(a^2\right) = \ln \left(a^{25}\right)-\ln \left(a^{24}\right)$.

$\quad$

Affirmation 2.

Si la variable aléatoire $X$ suit la loi uniforme sur $[0;100]$, alors $P(X < 75) = P(X > 25)$.

$\quad$

Affirmation 3.

On a prélevé un échantillon aléatoire de $400$ pièces dans une production et observé $6$ pièces défectueuses. La borne supérieure de l’intervalle de confiance de la proportion de pièces défectueuses dans la production au niveau de confiance de $95\%$ est égale à $0,08$.

$\quad$

Affirmation 4.

L’équation $x\ln(x) = 2\ln (x)$ admet exactement deux solutions : $2$ et $1$ sur $]0;+ \infty[$.

$\quad$

Exercice 2     5 points

Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L

Dans cet exercice, les résultats seront arrondis au millième.

Une agence de voyage propose des itinéraires touristiques pour lesquels chaque client effectue un aller et un retour en utilisant soit un bateau, soit un train touristique. Le choix du mode de transport peut changer entre l’aller et le retour.
À l’aller, le bateau est choisi dans $65\%$ des cas.
Lorsque le bateau est choisi à l’aller, il l’est également pour le retour $9$ fois sur $10$.
Lorsque le train a été choisi à l’aller, le bateau est préféré pour le retour dans $70\%$ des cas.

On interroge au hasard un client. On considère les événements suivants :

  • $A$ : “le client choisit de faire l’aller en bateau” ;
  • $R$ : “le client choisit de faire le retour en bateau” .

 

On rappelle que si $E$ est un événement, $p(E)$ désigne la probabilité de l’événement $E$ et on note $\conj{E}$ l’événement contraire de $E$.

  1. Traduire cette situation par un arbre pondéré.
    $\quad$
  2. On choisit au hasard un client de l’agence.
    a. Calculer la probabilité que le client fasse l’aller-retour en bateau.
    $\quad$
    b. Montrer que la probabilité que le client utilise les deux moyens de transport est égale à $0,31$.
    $\quad$
  3. On choisit au hasard $20$ clients de cette agence. On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de clients qui utilisent les deux moyens de transport.
    On admet que le nombre de clients est assez grand pour que l’on puisse considérer que $X$ suit une loi binomiale.
    a. Préciser les paramètres de cette loi binomiale.
    $\quad$
    b. Déterminer la probabilité qu’exactement $12$ clients utilisent les deux moyens de transport différents.
    $\quad$
    c. Déterminer la probabilité qu’il y ait au moins $2$ clients qui utilisent les deux moyens de transport différents.
    $\quad$
  4. Le coût d’un trajet aller ou d’un trajet retour est de $1~560$ € en bateau ; il est de $1~200$ €  en train.
    On note $Y$ la variable aléatoire qui associe, à un client pris au hasard, le coût en euro de son trajet aller-retour.
    a. Déterminer la loi de probabilité de $Y$.
    $\quad$
    b. Calculer l’espérance mathématique de $Y$. Interpréter le résultat.
    $\quad$

Exercice 2     5 points

Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Les deux parties sont indépendantes.

Partie A

En 2012, un village ne comptait qu’un seul médecin, Albert.
Début 2013, un nouveau médecin, Brigitte, s’installe dans ce village.
À l’arrivée de Brigitte, $90\%$ des habitants du village choisirent Albert comme médecin, les autres choisirent Brigitte.
On suppose que chaque habitant du village est patient du même médecin, Albert ou Brigitte, tout au long d’une année.
On observe, à partir de 2013, que chaque année :

  • $13\%$ des patients d’Albert changent de médecin et deviennent des patients de Brigitte ;
  • $8\%$ des patients de Brigitte deviennent des patients d’Albert.

On choisit au hasard un habitant de ce village. Pour tout entier naturel $n$,

  • $a_n$ est la probabilité que cet habitant soit un patient d’Albert pour l’année (2013$+n$),
  • $b_n$ est la probabilité que cet habitant soit un patient de Brigitte pour l’année (2013+n),
  • $P_n = \begin{pmatrix}a_n& b_n\end{pmatrix}$ est la matrice correspondant à l’état probabiliste de l’année (2013 $+ n$).
  1. Déterminer la matrice ligne $P_0$ de l’état probabiliste initial.
    $\quad$
  2. Représenter la situation par un graphe probabiliste.
    $\quad$
  3. Déterminer la matrice de transition $M$ de ce graphe.
    $\quad$
  4. Montrer que $P_1 = \begin{pmatrix}0,791& 0,209\end{pmatrix}$.
    $\quad$
  5. Exprimer $P_n$ en fonction de $P_0$, $M$ et $n$.
    $\quad$
  6. En déduire la matrice ligne $P_4$ et interpréter le résultat. Les résultats seront arrondis au millième.
    $\quad$
  7. Déterminer l’état stable $\begin{pmatrix}a& b\end{pmatrix}$ de la répartition des patients des médecins Albert et Brigitte.
    En donner une interprétation.
    $\quad$

Partie B

Le médecin Albert, qui officie dans le village A, doit rendre visite à un patient d’un village voisin G. Il a construit le graphe ci-dessous où les sommets représentent les villages alentours. Sur les arêtes sont indiquées les distances en kilomètres.

 

Déterminer le plus court chemin pour aller du village A au village G.

$\quad$

Exercice 3     6 points

Début 2013, la superficie totale des forêts sur la terre représente un peu plus de $4$ milliards d’hectares.
Au cours de l’année 2013, on estime qu’environ $15$ millions d’hectares ont été détruits.
Des plantations d’arbres et une expansion naturelle des forêts ont ajouté $10,2$ millions d’hectares de nouvelles forêts en 2013.

  1. Montrer que la superficie totale des forêts détruites au cours de l’année 2013 représente $0,375\%$ de la superficie totale des forêts mesurée au début de l’année.
    $\quad$
    On admet dans la suite que chaque année, la proportion des surfaces détruites de forêts et la superficie de nouvelles forêts restent constantes.
    On note $u_n$ la superficie (en millions d’hectares) occupée par les forêts sur la Terre au début de l’année (2013$+n$) avec $u_0 = 4~000$.
    $\quad$
  2. a. Justifier que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 0,996~25u_n + 10,2$.
    $\quad$
    b. Montrer que la superficie totale des forêts sur la Terre, au début de l’année 2014, en millions d’hectares, est $u_1 = 3~995,2$.
    $\quad$
  3. Soit $\left(d_n\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $d_n = u_n-2~720$.
    a. Montrer que pour tout entier naturel $n$, $d_{n+1} = 0,996~25 \times d_n$.
    $\quad$
    b. Quelle est la nature de la suite $\left(d_n\right)$ ? Calculer $d_0$.
    $\quad$
    c. Déterminer, pour tout entier naturel $n$, l’expression de $d_n$, en fonction de $n$ ; en déduire l’expression de $u_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  4. a. Proposer un algorithme affichant la superficie (en millions d’hectares) occupée parles forêts sur la Terre, pour chaque année de 2013 à 2029.
    $\quad$
    b. À partir de quelle année la superficie des forêts présentes sur la Terre sera inférieure à $3,9$ milliards d’hectares? Préciser la démarche utilisée.
    $\quad$

Exercice 4     5 points

La courbe $\left(\mathscr{C}_1\right)$ ci-dessous représente, dans un repère orthonormé, une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur $[-1;2]$.
On note $f’$ la fonction dérivée de $f$ et $f”$ la fonction dérivée seconde de $f$.
La courbe $\left(\mathscr{C}_2\right)$ ci-dessous représente, dans le repère orthonormé, la fonction $f”$.
Le point $A(0;1)$ est situé sur la courbe $\left(\mathscr{C}_1\right)$.
Le point $B$ est le point d’intersection de $\left(\mathscr{C}_2\right)$ avec l’axe des abscisses. Une valeur approchée de l’abscisse de $B$ est $0,37$.
La tangente à la courbe $\left(\mathscr{C}_1\right)$ au point $A$ est horizontale.

  1. Par lecture graphique,
    a. Donner la valeur de $f(0)$.
    $\quad$
    b. Donner la valeur de $f'(0)$.
    $\quad$
    c. Étudier la convexité de $f$ sur $[-1;2]$. Justifier la réponse.
    $\quad$
  2. On admet désormais que la fonction $f$ est définie pour tout réel $x$ dans $[-1;2]$ par: $$f(x) = (1-x)\e^x + x^2$$
    Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants :
    $\begin{array}{|c|l|}
    \hline
    1 &f(x) := (1 – x) * \text{exp} (x) + x^2\\
    &\hspace{3cm} \to (1-x)\e^x + x^2\\
    \hline
    2 &\text{factoriser$($ dériver}(f(x)))\\
    &\hspace{3cm}\to x\left(2-\e^x\right)\\
    \hline
    3 &\text{primitive} (f(x))\\
    &\hspace{3cm}\to \dfrac{1}{3}x^3 + (-x + 2)\e^x\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    a. Vérifier le résultat trouvé par le logiciel pour le calcul de $f'(x)$.
    $\quad$
    b. Étudier le signe de $f'(x)$ puis dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur $[-1;2]$.
    $\quad$
  3. a. Justifier que l’équation $f(x) = 0$ possède une unique solution $\alpha$ dans $[-1;2]$.
    $\quad$
    b. Déterminer un encadrement de $\alpha$ d’amplitude $0,01$.
    $\quad$
  4. Déterminer une équation de la tangente à $\left(\mathscr{C}_1\right)$ au point d’abscisse $1$.
    $\quad$
  5. a. Justifier la ligne $3$ du tableau de calcul formel.
    $\quad$
    b. On admet que la fonction $f$ est positive sur $[-1;1]$. En déduire l’aire exacte, en unités d’aire, du domaine compris entre la courbe $\left(\mathscr{C}_1\right)$, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x = -1$ et $x = 1$, puis en donner une valeur arrondie au dixième.
    $\quad$

 

Bac ES/L – Amérique du Sud Novembre 2017

Amérique du Sud – Novembre 2017

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici :

 

Ex 1

Exercice 1

  1. La fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $f'(x)=\dfrac{5}{x}$
    Donc $f'(1)=5$.
    De plus $f(5)=11$.
    Une équation de la tangente à la courbe représentative de la $f$ au point d’abscisse $1$ est :
    $\begin{align*}y=f'(1)(x-1)+f(1)&\ssi y=5(x-1)+11\\
    &\ssi y=5x-5+11\\
    &\ssi y=5x+6
    \end{align*}$
    Réponse b
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align*} f(x)=0&\ssi 11+5\ln(x)=0\\
    &\ssi 5\ln(x)=-11\\
    &\ssi \ln(x)=-\dfrac{11}{5}\\
    &\ssi x=\e^{-11/5}
    \end{align*}$
    Réponse c
    $\quad$
  3. La variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=5$ et $p=\dfrac{1}{6}$.
    Donc d’après la calculatrice $p(X=1)\approx 0,40$
    Réponse c
    $\quad$
  4. $P_{(T\pg 3)}(T\pp 5)=\dfrac{P(3\pp T\pp 5)}{P(T\pg 3)}=\dfrac{\dfrac{2}{5}}{\dfrac{4}{5}}=\dfrac{1}{2}$
    Réponse a
    $\quad$

Ex 2 obl

Exercice 2

Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L

  1. a. La suite $\left(a_n\right)$ est géométrique de raison $1,04$ et de premier terme $a_0=20~000$.
    Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $a_n=20~000\times 1,04^n$.
    D’où $a_{10}\approx 29~605$.
    Le capital disponible au bout de $10$ ans avec le contrat A est d’environ $29~605$ euros.
    $\quad$
    b. Le pourcentage d’augmentation entre le capital de départ et celui obtenu au bout de $10$ ans est :
    $t=\dfrac{29~605-20~000}{20~000}\approx 48\%$.
    $\quad$
  2. a. Soit $n$ un entier naturel.
    On a $u_n=13~200+b_n \ssi b_n=u_n-13~200$.
    $\begin{align*} u_{n+1}&=13~200+b_{n+1} \\
    &=13~200+1,025b_n+330\\
    &=13~530+1,025b_n\\
    &=13~530+1,025\left(u_n-13~200\right)\\
    &=13~530+1,025u_n-13~530\\
    &=1,025u_n
    \end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,025$ et de premier terme $u_0=13~200+20~000=33~200$.
    $\quad$
    b. Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=-6~800\times 1,025^n$.
    $\quad$
    c. On a donc :
    $b_n=u_n-13~200=33~200\times 1,025^n-13~200$.
    $\quad$
    d. On veut trouver le plus petit entier naturel $n$ tel que :
    $\begin{align*} b_n\pg 40~000&\ssi 33~200\times 1,025^n-13~200 \pg 40~000 \\
    &\ssi 33~200\times 1,025^n \pg 53~200\\
    &\ssi 1,025^n \pg \dfrac{133}{83}\\
    &\ssi n\ln 1,025 \pg \ln \dfrac{133}{83}\\
    &\ssi n \pg \dfrac{\ln \dfrac{133}{83}}{\ln 1,025}\\
    &\ssi n \pg 20
    \end{align*}$
    Le capital disponible devient supérieur à $40~000$ euros au bout de $20$ ans.
    $\quad$
  3. a.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Valeur de }A&20~000&20~800&21~632&22~497&23~397&24~333&25~306\\
    \hline
    \text{Valeur de }B&20~000&20~830&21~681&22~553&23~447&24~363&25~302\\
    \hline
    \text{Valeur de }N&0&1&2&3&4&5&6\\
    \hline
    \text{Condition }A\pp B&\text{vraie}&\text{vraie}&\text{vraie}&\text{vraie}&\text{vraie}&\text{vraie}&\text{fausse}\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    b. L’algorithme affiche la valeur $6$.
    C’est au bout de $6$ ans que le contrat A fournit un capital disponible supérieur à celui du contrat B.
    $\quad$

 

Ex 2 spé

Exercice 2

Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

  1. On obtient le graphe probabiliste suivant :
    $\quad$
  2. La matrice de transition est : $T=\begin{pmatrix}0,9&0,1\\0,15&0,85\end{pmatrix}$
    $\quad$
  3. On note $b_n$ la part des abonnements PassBus et $t_n$ la part des abonnements PassTrain durant l’année 2016$+n$ et on note $R_n=\begin{pmatrix}b_n&t_n\end{pmatrix}$.
    On a donc $R_0=\begin{pmatrix} 0,25&0,75\end{pmatrix}$.
    En 2019, on aura donc $R_3=R_0T^3\approx \begin{pmatrix}0,452&0,548\end{pmatrix}$.
    Les abonnements PassBus représenteront donc environ $45,2\%$ des l’ensemble des abonnements en 2019.
    $\quad$
  4. L’état stable $R=\begin{pmatrix}b&t\end{pmatrix}$ vérifie :
    $\begin{align*} \begin{cases} b+t=1\\R=RT\end{cases} &\ssi \begin{cases}b+t=1\\0,9b+0,15t=b\\0,1b+0,85t=t\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} b=1-t\\-0,1b+0,15t=0\\0,1b-0,15t=0\end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases} b=1-t\\0,1(1-t)-0,15t=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} b=1-t\\0,1-0,25t=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases}b=1-t\\t=0,4\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases}b=0,6\\t=0,4\end{cases}\end{align*}$
    L’état stable est donc $R=\begin{pmatrix}0,6&0,4\end{pmatrix}$.
    Au bout d’un grand nombre d’années, les abonnements PassBus représenteront $60\%$ de l’ensemble des abonnements et les abonnements PassTrain $40\%$.
    $\quad$

Partie B

L’algorithme de Dijsktra nous donne :

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
A&B&C&D&E&F&G&H&\text{Sommet}\\
\hline
0&&&&&&&&A\\
\hline
&20(A)&28(A)&&&80(A)&&&B\\
\hline
&&46(B)&102(B)&98(B)&74(B)&&&C\\
\hline
&&&102(B)&98(B)&74(B)&&&F\\
\hline
&&&102(B)&94(F)&&114(F)&&E\\
\hline
&&&102(B)&&&110(E)&&D\\
\hline
&&&&&&110(E)&138(D)&G\\
\hline
&&&&&&&134(G)&H\\
\hline
\end{array}$

Le trajet le plus court est donc $A-B-F-E-G-H$. Il mesure $134$ km.

$\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. On a $n=1~000\pg 30$ et $f_1=0,05$ donc $nf_1=50\pg 5$ et $n\left(1-f_1\right)=950\pg 50$.
    Un intervalle de confiance au niveau de confiance $95\%$ de la proportion $p_1$ est :
    $\begin{align*} I_1&=\left[0,05-\dfrac{1}{\sqrt{1~000}};0,05+\dfrac{1}{\sqrt{1~000}}\right] \\
    &\approx [0,018;0,082]
    \end{align*}$
    $\quad$
    On a $n=1~000\pg 30$ et $f_2=0,1$ donc $nf_2=100\pg 5$ et $n\left(1-f_2\right)=900\pg 50$.
    Un intervalle de confiance au niveau de confiance $95\%$ de la proportion $p_2$ est :
    $\begin{align*} I_2&=\left[0,1-\dfrac{1}{\sqrt{1~000}};0,1+\dfrac{1}{\sqrt{1~000}}\right] \\
    &\approx [0,068;0,132]
    \end{align*}$
  2. L’intersection $I_1\cap I_2$ n’est pas vide.
    $\quad$

Partie B

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
  2. a. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(T)&=p(B\cap T)+p\left(\conj{B}\cap T\right)\\
    &=0,6x+0,1(1-x)\\
    &=0,1+0,5x
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. On a $p(T)=0,125$
    Par conséquent $0,125=0,1+0,5x\ssi 0,025=0,5x \ssi x=0,05$
    Le laboratoire va donc proposer une proportion de $5\%$ de poissons infectés pour ce prélèvement.
    $\quad$

Partie C

  1. À l’aide de la calculatrice on trouve $P(14<X<28)\approx 0,838$
    $\quad$
  2. On veut calculer $P(X>35)=0,5-P(21<X<35)\approx 0,003$
    La probabilité qu’un poisson infecté ne soit pas encore guéri après $5$ semaines de traitement antibiotique est d’environ $0,003$.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

Partie A

  1. La définition de $f$ nous donner $f(0)=b\e^0=b$.
    Graphiquement, on a $f(0)=1$.
    La tangente à la courbe $\mathscr{C}_f$ au point $B$ est horizontale. Donc $f'(0,25)=0$.
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est dérivable sur $[0;2]$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $f'(x)=a\e^{-2x}-2(ax+b)\e^{-2x}=(a-2ax-2b)\e^{-2x}$.
    $\quad$
  3. On a donc $b=1$ d’après la question 1.
    $f'(0,25)=(a-0,5a-2)\e^{-0,5}=0 \ssi 0,5a-2=0 \ssi a=4$
    $\quad$

Partie B

  1. La fonction exponentielle est strictement positive sur $[0;2]$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $2-8x$.
    $2-8x=0\ssi x=0,25$
    $2-8x>0\ssi -8x>-2 \ssi x<0,25$
    Ainsi :
    – $f'(x)>0$ sur l’intervalle $[0;0,25[$
    – $f'(0,25)=0$
    – $f'(x)<0$ sur l’intervalle $]0,25;2]$
    $\quad$
    Par conséquent :
    – la fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $[0;0,25]$
    – la fonction $f$ est strictement décroissante sur l’intervalle $[0,25;2]$.
    $\quad$
  2. $f\dsec(x)=0 \ssi 16x-12=0$ car la fonction exponentielle ne s’annule jamais.
    $\ssi x=\dfrac{12}{16}$
    $\ssi x=0,75$
    La courbe $\mathscr{C}_f$ possède donc un unique point d’inflexion dont l’abscisse est $0,75$.
    $\quad$
  3. a. La fonction $F$ est dérivable sur l’intervalle $[0;2]$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $\begin{align*} F'(x)&=-2\e^{-2x}-2(-2x-1,5)\e^{-2x}\\
    &=(-2+4x+3)\e^{-2x}\\
    &=(1+4x)\e^{-2x}\\
    &=f(x)
    \end{align*}$
    La fonciton $F$ est donc une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;2]$.
    $\quad$
    b. Ainsi :
    $\begin{align*} \mathscr{A}&=\ds \int_0^2 f(x)\dx \\
    &=F(2)-F(0) \\
    &=-5,5\e^{-4}+1,5 \text{u.a.}
    \end{align*}$
    $\quad$
    c. La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;2]$ est :
    $m=\ds \dfrac{1}{2-0}\int_0^2 f(x)\dx=\dfrac{-5,5\e^{-4}+1,5}{2} \approx 0,7$.
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1     4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est demandée.
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante.

  1. Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $]0;+\infty[$ par $f(x) = 11+5\ln(x)$.
    $\quad$
    Une équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d’abscisse $1$ est :
    a. $y = 5x+11$
    b. $y = 5x+6$
    c. $y = 11x-6$
    d. $y = 5x+16$
    $\quad$
  2. Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $]0;+\infty[$ par $f(x) = 11+5\ln(x)$.
    L’équation $f(x) = 0$ d’inconnue $x$ a pour solution :
    a. $-\dfrac{\e^{11}}{5}$
    b. $-\ln \left(\dfrac{11}{5}\right)$
    c. $\e^{\frac{-11}{5}}$
    d. $\dfrac{\e^{-11}}{5}$
    $\quad$
  3. On lance cinq fois de suite un dé équilibré à six faces.
    On note $X$ la variable aléatoire qui prend pour valeurs le nombre de $6$ qu’on obtient.
    La probabilité $p(X = 1)$ d’obtenir exactement un $6$, arrondie à $10^{-2}$, est:
    a. $0,08$
    b.  $0,17$
    c. $0,40$
    d. $0,80$
    $\quad$
  4. On considère une variable aléatoire $T$ qui suit la loi uniforme sur l’intervalle $[2;7]$.
    La fonction de densité de $T$ est représentée ci-dessous.

    La probabilité conditionnelle $P_{(T\pg 3)}(T \pp 5)$ est égale à :
    a. $\dfrac{1}{2}$
    b. $\dfrac{3}{5}$
    c. $\dfrac{2}{5}$
    d. $\dfrac{3}{4}$
    $\quad$

Exercice 2     5 points

Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L

Mathieu dispose d’un capital de $20~000$ euros qu’il veut placer. Sa banque lui propose de choisir entre deux contrats d’épargne.

Contrat A : Le capital augmente chaque année de $4\%$.
Contrat B : Le capital augmente chaque année de $2,5\%$ et une prime annuelle fixe de $330$ euros est versée à la fin de chaque année et s’ajoute au capital.

On note :

  • $a_n$ le capital, en euro, acquis au bout de $n$ années si Mathieu choisit le contrat A.
  • $b_n$ le capital, en euro, acquis au bout de $n$ années si Mathieu choisit le contrat B.

On a donc $a_0 = b_0 = 20~000$ et, pour tout entier naturel $n$, $$a_{n+1} = 1,04 a_n\quad \text{ et }\quad b_{n+1} = 1,025 b_n + 330$$

  1. Dans cette question, on suppose que Mathieu choisit le contrat A.
    a. Calculer la valeur, arrondie à l’euro, du capital disponible au bout de $10$ ans.
    $\quad$
    b. Déterminer le pourcentage d’augmentation du capital entre le capital de départ et celui obtenu au bout de $10$ ans. Arrondir le résultat à $1\%$.
    $\quad$
  2. Dans cette question, on suppose que Mathieu choisit le contrat B.
    On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = 13~200+b_n$.
    $\quad$
  3. Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est géométrique de raison $1,025$ et calculer son premier terme $u_0$.
    a. Donner l’expression de $u_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
    b. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a $$b_n = 33~200\times 1,025^n-13~200$$
    $\quad$
    c. Déterminer au bout de combien d’années le capital disponible devient supérieur à $40~000$ euros.
    $\quad$
  4. On considère l’algorithme suivant :
    Variables
    $\quad$ $A$ est un nombre réel
    $\quad$ $B$ est un nombre réel
    $\quad$ $N$ est un nombre entier naturel
    Traitement
    $\quad$ $A$ prend la valeur $20~000$
    $\quad$ $B$ prend la valeur $20~000$
    $\quad$ $N$ prend la valeur $0$
    $\quad$ Tant que $A \pp B$
    $\qquad$ $A$ prend la valeur $1,04 \times A$
    $\qquad$ $B$ prend la valeur $1,025 \times B + 330$
    $\qquad$$N$ prend la valeur $N+1$
    $\quad$ Fin Tant que
    Sortie
    $\quad$ Afficher $N$
    $\quad$
    a. Le tableau ci-dessous traduit l’exécution pas à pas de l’algorithme.
    Recopier et compléter ce tableau en ajoutant autant de colonnes que nécessaire. Les valeurs de $A$ et de $B$ seront arrondies à l’unité.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Valeur de }A & 20~000 &\ldots\ldots &\ldots\ldots\\
    \hline
    \text{Valeur de } B & 20~000 &\ldots\ldots&\ldots\ldots\\
    \hline
    \text{Valeur de } N & 0 &\ldots\ldots &\ldots\ldots\\
    \hline
    \text{Condition } A \pp B & \text{vraie} &\ldots\ldots &\ldots\ldots\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    b. Donner la valeur affichée en sortie par cet algorithme et interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

Exercice 2     5 points

Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Les parties A et B de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

Partie A

Pour les déplacements entre les principales villes d’une région, les habitants peuvent acquérir soit la carte d’abonnement bus (PassBus), soit la carte d’abonnement train (PassTrain), toutes les deux étant valables un an.
Une étude récente montre que le nombre global d’abonnements reste constant dans le temps et que, chaque année, la répartition des abonnements évolue de la manière suivante :

  • $10\%$ des abonnements PassBus sont remplacés par des abonnements PassTrain ;
  • $15\%$ des abonnements PassTrain sont remplacés par des abonnements PassBus.
  1. Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets $B$ et $T$ où le sommet $B$ représente l’état “abonné PassBus” et $T$ l’état “abonné PassTrain”.
    $\quad$
  2. Déterminer la matrice de transition de ce graphe en respectant l’ordre $B$, $T$ des sommets.
    $\quad$
  3. En 2016, les abonnements PassBus représentaient $25\%$ de l’ensemble des abonnements, tandis que les abonnements PassTrain en représentaient $75\%$.
    Quelle sera la part, en 2019, des abonnements PassBus dans l’ensemble des abonnements ?
    Donner le résultat en pourcentage arrondi à $0,1\%$.
    $\quad$
  4. Déterminer l’état stable du graphe probabiliste et interpréter le résultat obtenu dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

Partie B

Le réseau ferroviaire de la région est schématisé par le graphe ci-dessous.
Les sommets représentent les villes et les arêtes représentent les voies ferrées.
Sur les arêtes du graphe sont indiquées les distances exprimées en kilomètre entre les villes de la région.

 

Déterminer, en utilisant l’algorithme de Dijkstra, le trajet le plus court pour aller de la ville A à la ville H. Préciser la longueur en kilomètre de ce trajet.

$\quad$

Exercice 3     5 points

Une entreprise d’élevage de poissons en bassin a constaté qu’une partie de sa production est infectée par une nouvelle bactérie.
Un laboratoire a réalisé deux prélèvements, l’un au mois de janvier et l’autre au mois de juin, afin d’étudier l’évolution de l’infection.

Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

Partie A

Au mois de janvier, lors du premier test, le laboratoire a prélevé au hasard $1~000$ poissons parmi l’ensemble des poissons du bassin.
La fréquence de poissons infectés par la bactérie dans cet échantillon est $f_1 = 5\%$.
Au mois de juin, le laboratoire a prélevé de nouveau $1~000$ poissons.
Pour ce second test, la fréquence de poissons infectés est $f_2 = 10\%$.
La fréquence de poissons infectés dans les deux échantillons ayant doublé en cinq mois, le laboratoire préconise d’arrêter la vente des poissons de l’entreprise.
On note $p_1$ la proportion de poissons infectés parmi tous les poissons du bassin au mois de janvier et $p_2$ la proportion de poissons infectés parmi tous les poissons du bassin au mois de juin.

  1. Déterminer les intervalles de confiance au niveau de confiance $95\%$ de la proportion $p_1$ puis de la proportion $p_2$.
    On arrondira les bornes des intervalles à $10^{-3}$.
    $\quad$
  2. Quel argument pourrait donner l’entreprise pour éviter l’arrêt de la vente ?
    $\quad$

Partie B

Pour déterminer la fréquence de poissons infectés dans un prélèvement, le laboratoire dispose d’un test de dépistage dont les résultats sont les suivants :

  • sur des poissons infectés par la bactérie, le test est positif dans $60\%$ des cas ;
  • sur des poissons non infectés par la bactérie, le test est positif dans $10\%$ des cas.

Pour un poisson prélevé au hasard, on note :

  • $B$ l’événement : “le poisson est infecté par la bactérie” ;
  • $T$ l’événement : “le test du poisson est positif” ;
  • $\conj{B}$ et $\conj{T}$ les événements contraires de $B$ et $T$.

On note $x$ la probabilité qu’un poisson soit infecté par la bactérie.

  1. Recopier et compléter l’arbre pondéré traduisant cette situation.


    $\quad$

  2. a. Démontrer que $p(T) = 0,5x+0,1$.
    $\quad$
    b. Le laboratoire a constaté que $12,5\%$ des poissons d’un prélèvement ont eu un test positif.
    Quelle estimation de la proportion de poissons infectés le laboratoire va-t-il proposer pour ce prélèvement ?
    $\quad$

Partie C

Un traitement antibiotique permet de guérir les poissons infectés par la bactérie.
Le temps de guérison d’un poisson infecté, exprimé en jours, peut être modélisé par une variable aléatoire $X$ suivant la loi normale de moyenne $\mu = 21$ et d’écart-type $\sigma = 5$.

Les résultats seront arrondis au millième.

  1. Déterminer la probabilité $p(14 < X < 28)$.
    $\quad$
  2. Déterminer la probabilité qu’un poisson infecté ne soit pas encore guéri après $5$ semaines de traitement antibiotique.
    $\quad$

Exercice 4     6 points

Le graphique ci-dessous représente, dans un repère orthonormal, la courbe représentative $\mathscr{C}_f$ d’une fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0;2]$.
On suppose que $f$ est deux fois dérivable et on note $f’$ la fonction dérivée de $f$.

On sait que :

  • le point $A(0;1)$ appartient à la courbe $\mathscr{C}_f$.
  • la tangente à $\mathscr{C}_f$ au point B d’abscisse $0,25$ est parallèle à l’axe des abscisses.

Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

Partie A

On suppose que la fonction $f$ est définie sur l’intervalle $[0;2]$ par $f(x) = (ax+b)\e^{-2x}$ où $a$ et $b$ sont deux réels à déterminer.

  1. En utilisant le graphique et les données de l’énoncé, déterminer $f(0)$ et $f'(0,25)$.
    $\quad$
  2. Déterminer l’expression de $f'(x)$ en fonction de $a$ et $b$.
    $\quad$
  3. Déduire des deux questions précédentes les valeurs des réels $a$ et $b$.
    $\quad$

Partie B

On admet que la fonction $f$ est définie sur l’intervalle $[0;2]$ par $$f(x) = (4x+1)\e^{-2x}$$

On admet par ailleurs que $f'(x) = (2-8x)\e^{-2x}$ et $f”(x) = (16x-12)\e^{-2x}$ où $f”$ désigne la dérivée seconde de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;2]$.

  1. Étudier le signe de $f’$ sur $[0;2]$ puis en déduire les variations de $f$ sur $[0;2]$.
    $\quad$
  2. Montrer que la courbe $\mathscr{C}_f$ admet, sur l’intervalle $[0;2]$, un unique point d’inflexion dont on précisera l’abscisse.
    $\quad$
  3. Soit $F$ la fonction définie sur l’intervalle $[0;2]$ par $F(x) = (-2x-1,5)\e^{-2x}$.
    a. Montrer que $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $[0;2]$.
    $\quad$
    b. En déduire l’aire exacte $\mathscr{A}$, en unité d’aire, du domaine $D$ du plan situé entre $\mathscr{C}_f$ l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées et la droite d’équation $x=2$.
    $\quad$
    c. Déterminer la valeur moyenne, arrondie à $10^{-1}$, de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;2]$.
    $\quad$

 

Bac ES/L – Polynésie – Septembre 2017

Polynésie – Septembre 2017

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici :

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. $P$ et $R$ n’ont pas la même abscisse donc le coefficient directeur de la droite $(PR)$ est $a=\dfrac{6-3}{4-1}=1$
    La seule équation qui vérifie cette information est $y=x+2$.
    Réponse b
    $\quad$
  2. $f(1)=3=y_P$
    $f'(1) = 1$ puisque c’est le coefficient directeur de la tangente à $\mathscr{C}$ en $P$ qui est la droite $(PR)$.
    $\quad$
  3. La courbe $\mathscr{C}$ est située sous ses tangentes sur l’intervalle $]0;10]$. La fonction $f$ est donc concave sur cet intervalle.
    Réponse b
    $\quad$
  4. $\ds \int_1^2 f(x)\dx$ correspond à l’aire du domaine compris entre la courbe $\mathscr{C}$, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=1$ et $x=2$.
    Ce domaine contient un rectangle de dimension $1\times 3$ et est inclus dans un rectangle de dimensions $1\times 4$.
    Donc $\ds 3 \pp \int_1^2 f(x)\dx \pp 4$.
    $\quad$

Partie B

  1. a. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $]0;10]$ en tant que produit et somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $\begin{align*} f'(x)&=-\ln x-x\times \dfrac{1}{x}+2 \\
    &=-\ln x-1+2\\
    &=1-\ln x
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. $f'(x)=0 \ssi 1-\ln x=0 \ssi \ln x=1 \ssi x=\e$
    $f'(x)>0 \ssi 1-\ln x > 0 \ssi 1> \ln x \ssi \e > x$
    La fonction $f$ admet donc un maximum en $\e$.
    $\quad$
    c. Le maximum est donc :
    $f(\e)=-\e \ln \e +2\e+1=-\e+2\e+1=\e+1$
    $\quad$
  2. La fonction $f’$ est dérivable sur l’intervalle $]0;10]$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $f\dsec(x)=-\dfrac{1}{x}<0$ sur $]0;10]$.
    Ainsi la fonction $f$ est concave sur l’intervalle $]0;10]$ et la courbe $\mathscr{C}$ est entièrement située en-dessous de chacune de ses tangentes sur cet intervalle.
    $\quad$
  3. $\quad$
    $\begin{align*} \ds \int_1^2 f(x)\dx &=F(2)-F(1) \\
    &=-2\ln 2+5+2-7-\left(\dfrac{5}{4}+1-7\right) \\
    &=\dfrac{19}{4}-2\ln 2
    \end{align*}$

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. $f'(x)=4\times (-0,5)\e^{-0,5x+1}+1=-2\e^{-0,5x+1}+1$
    $\quad$
  2. a.
    $\begin{align*} f'(x)=0 &\ssi -2\e^{-0,5x+1}+1=0 \\
    &\ssi -2\e^{-0,5x+1}=-1 \\
    &\ssi \e^{-0,5x+1}=\dfrac{1}{2}\\
    &\ssi -0,5x+1=\ln \dfrac{1}{2} \\
    &\ssi -0,5x+1=-\ln 2 \\
    &\ssi -0,5x=-1-\ln 2 \\
    &\ssi x=2+2\ln 2
    \end{align*}$
    Et $2+2\ln 2 \approx 3,39$
    L’équation $f'(x)=0$ admet donc une unique solution sur l’intervalle $[1;10]$ qui est $\alpha=2+2\ln 2$.
    $\quad$
    b. voir graphique à la partie C
    $\quad$
  3. La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur l’intervalle $[1;\alpha]$ et strictement croissante sur l’intervalle $[\alpha;10]$.
    $\quad$

Partie B

  1. $f(5)=4\e^{-1,5}+4 \approx 4,89$
    Ainsi le coût de production d’une coque dans le cas de la fabrication de $500$ coques par jour est d’environ $4,89$ €.
    $\quad$
  2. a. La fonction $f$ admet un minimum en $\alpha \approx 3,39$.
    L’entreprise minimise le coût unitaire de production en produisant $339$ coques par jour.
    $\quad$
    b. $f(\alpha)=4\e^{-1-\ln 2 +1}+2+2\ln 2 -1 = 2+1+2\ln2=3+2\ln 2\approx 4,39$
    Le coût minimal de production d’un coque en d’environ $4,39$ €.
    $\quad$

Partie C

L’entreprise réalise un bénéfice si :
$\begin{align*} g(x)-f(x) > 0 &\ssi -\dfrac{1}{4}x+6 -4\e^{-0,5x+1}-x+1 > 0 \\
&\ssi -4\e^{-0,5x+1}-\dfrac{5}{4}x+7>0
\end{align*}$
On ne sait pas résoudre de manière algébrique ce type d’équation.
On va donc utiliser le graphique et tracer la droite représentant la fonction $g$.

On a $x_1 \approx 1,509$ et $x_2 \approx 4,818$.
L’entreprise doit donc produire entre $151$ et $481$ coques par jour pour réaliser un bénéfice.
$\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

  1. a.
    Variables :
    $\quad$ $N$ est un entier naturel
    $\quad$ $U$ est un nombre réel
    Initialisation :
    $\quad$ $U$ prend la valeur $50$
    Traitement :
    $\quad$ Pour $N$ allant de $1$ à $24$
    $\qquad$ $U$ prend la valeur $U*0,9$ (variante $50\times 0,9^N$)
    $\quad$ Fin Pour
    Sortie :
    $\quad$ Afficher $U$
    $\quad$
    b. La suite $\left(u_n\right)$ est géométrique de raison $0,9$ et de premier termer $u_0=50$.
    Donc, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=50\times 0,9^n$.
    $\quad$
    c. $u_{24}=50\times 0,9^{24} \approx 3,988$.
    $\quad$
  2. On veut résoudre, pour $n$ entier naturel :
    $\begin{align*} u_n < 0,01 &\ssi 50 \times 0,9^n < 0,01 \\
    &\ssi 0,9^n < 0,000~2 \\
    &\ssi n\ln 0,9 < \ln 0,000~2 \\
    &\ssi n > \dfrac{\ln 0,000~2}{\ln 0,9} \\
    &\ssi n \pg 81
    \end{align*}$
    Le plus petit entier naturel $n$ vérifiant $u_n<0,01$ est donc $81$.
    $\quad$
    $\quad$
  3. a. L’algorithme 2 calcule la valeur de $u_{24}$
    Dans l’algorithme 3, $S$ n’est pas initialisé à la bonne valeur.
    Seul l’algorithme 1 permet de calculer $S_{24}$.
    $\quad$
    b. $S_{24}=50\times \dfrac{1-0,9^{25}}{1-0,9}=500\left(1-0,9^{25}\right)\approx 464$.
    $\quad$
  4. a. $0<0,9<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,9^n=0$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} S_n=500$.
    $\quad$
    b. La suite $\left(S_n\right)$ est croissante et admet $500$ comme limite. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $S_n \pp 500$.
    L’affirmation d’Alex est donc fausse.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

Partie A

  1. $\quad$
  2. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(D)&=p(D\cap A)+p(D\cap B) \\
    &=0,8\times 0,01+0,2\times 0,06 \\
    &=0,02
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_B(D)&=\dfrac{p(D\cap B)}{p(B)} \\
    &=\dfrac{0,2\times 0,06}{0,02} \\
    &=0,6
    \end{align*}$
    $\quad$

Partie B

  1. On a $n=400 \pg 30$ et $p=0,06$ donc $np=24 \pg 5$ et $n(1-p)=376 \pg 5$
    Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de la fréquence des étuis défectueux est donc :
    $\begin{align*} I_{400}&=\left[0,06-1,96\sqrt{\dfrac{0,06\times 0,94}{400}};0,06+1,96\sqrt{\dfrac{0,06\times 0,94}{400}}\right] \\
    &\approx [0,036;0,084]\end{align*}$
    $\quad$
  2. La fréquence observée est $f=\dfrac{50}{400}=0,125\notin I_{400}$.
    Il faut donc informer le fournisseur B d’un problème.
    $\quad$

Partie C

  1. En utilisant $\mu=20$ et $\sigma=0,2$ on obtient:
    $P(19,8 \pp X \pp 20,2) \approx 0,683 < 0,95$
    Il faut donc revoir les réglages des machines.
    $\quad$
  2. On veut $P(19,8 \pp X \pp 20,2)=0,95$
    Soit $P(\mu-0,2 \pp X \pp \mu +0,2)=0,95$.
    Par conséquent $2\sigma=0,2$ d’où $\sigma =0,1$.
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1    5 points

La courbe $\mathscr{C}$ tracée ci-dessous dans un repère orthonormé d’origine $O$ est la représentation graphique d’une fonction $f$ définie et dérivable sur l’intervalle $]0;10]$.

On considère les points $P(1;3)$ et $R(4;6)$. Le point $Q$ a pour abscisse $\e$, avec $\e\approx 2,718$.
Les points $P$ et $Q$ appartiennent à la courbe $\mathscr{C}$. La droite $\mathscr{D}$ est parallèle à l’axe des abscisses et passe par le point $Q$.
La droite $(PR)$ est tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point $P$ et la droite $\mathscr{D}$ est tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point $Q$.
On rappelle que $f’$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$.
Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

Dans cette partie, les résultats seront donnés à l’aide d’une lecture graphique et sans justification.

  1. Parmi les trois proposition ci-dessous, quelle est celle qui désigne l’équation de la droite $(PR)$?
    a. $y=2x+1$
    b. $y=x+2$
    c. $y=2x+2$
    $\quad$
  2. Donner les valeurs de $f(1)$ et $f'(1)$.
    $\quad$
  3. Une seule de ces trois propositions est exacte :
    a. $f$ est convexe sur l’intervalle $]0;10]$;
    b. $f$ est concave sur l’intervalle $]0;10]$;
    c. $f$ n’est ni convexe ni concave sur l’intervalle $]0;10]$.
    Laquelle?
    $\quad$
  4. Encadrer l’intégrale $\ds \int_1^2 f(x)\dx$ par deux entiers consécutifs.
    $\quad$

Partie B

La courbe $\mathscr{C}$ est la représentation graphique de la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]0;10]$ par : $$f(x)=-x\ln x+2x+1$$

  1. a. Calculer $f'(x)$.
    $\quad$
    b. Démontrer que la fonction $f$ admet un maximum sur l’intervalle $]0;10]$.
    $\quad$
    c. Calculer la valeur exacte du maximum de la fonction $f$ sur cet intervalle.
    $\quad$
  2. Montrer que la courbe $\mathscr{C}$ est entièrement située en dessous de chacune de ses tangentes sur l’intervalle $]0;10]$.
    $\quad$
  3. On admet que la fonction $F$ définie par $F(x)=-\dfrac{x^2}{2}\ln x+\dfrac{5}{4}x^2+x-7$ est une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $]0;10]$.
    Calculer la valeur exacte de $\ds \int_1^2 f(x)dx$.
    $\quad$

Exercice 2    5 points

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[1;10]$ par : $$f(x)=4\e^{-0,5x+1}+x-1$$
On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[1;10]$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.
On donne en annexe, à remettre avec la copie, la courbe représentative $\mathscr{C}$ de la fonction $f$ sur l’intervalle $[1;10]$ dans un repère d’origine $O$.

Partie A

  1. Démontrer que pour tout nombre réel $x$ de l’intervalle $[1;10]$ on a $f'(x)=-2\e^{-0,5x+1}+1$.
    $\quad$
  2. a. Montrer que sur l’intervalle $[1;10]$, l’équation $f'(x)=0$ admet pour unique solution le nombre $\alpha=2+2\ln 2$.
    $\quad$
    b. Placer sur le graphique fourni en annexe le point de la courbe $\mathscr{C}$ d’abscisse $\alpha$.
    $\quad$
  3. On admet que l’ensemble des solutions sur l’intervalle $[1;10]$ de l’inéquation $f'(x) \pg 0$ est $[2+2\ln 2;10]$.
    En déduire les variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $[1;10]$.
    $\quad$

Partie B

L’entreprise “COQUE EN STOCK” fabrique et commercialise des coques pour téléphone portable. Son usine est en mesure de produite entre $100$ et $1~000$ coques par jour.
la fonction $f$ permet de modéliser le coût de production d’une coque en fonction du nombre de centaines de coques produites par jour. Ainsi, si $x$ désigne le nombre de centaines de coques produites alors $f(x)$ représente le coût, en euros, de production d’une coque.

  1. Calculer, au centime près, le coût de production d’une coque dans le cas de la fabrication de $500$ coques par jour.
    $\quad$
  2. a. Montrer que produire $339$ coques par jour permet de minimiser le coût unitaire de production.
    $\quad$
    b. En déduite le coût minimal de production d’une coque, en euros, au centime près.
    $\quad$

Partie C

Le prix de vente d’une coque peut être modélisé par la fonction $g$ définie sur l’intervalle $[1;10]$ par $$g(x)=-\dfrac{1}{4}x+6$$
où $x$ désigne le nombre de centaines de coques produites et $g(x)$ le prix de vente d’une coque en euros.
Estimer les quantités de coques à produite par jour afin d’assurer un bénéfice à l’entreprise.
$\quad$

Annexe :

$\quad$

Exercice 3    5 points

On considère la suite géométrique $\left(u_n\right)$, de raison $0,9$ et de premier terme $u_0=50$.

  1. a. Recopier  et compléter l’algorithme ci-dessous afin qu’il calcule et affiche le $25^{\e}$ terme de cette suite, c’est-à-dire $u_{24}$ :
    Variables :
    $\quad$ $N$ est un entier naturel
    $\quad$ $U$ est un nombre réel
    Initialisation :
    $\quad$ $U$ prend la valeur $\ldots\ldots\ldots$
    Traitement :
    $\quad$ Pour $N$ allant de $1$ à $24$
    $\qquad$ $U$ prend la valeur $\ldots\ldots\ldots$
    $\quad$ Fin Pour
    Sortie :
    $\quad$ Afficher $U$
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
    c. Calculer $u_{24}$ et donner une valeur approchée du résultat à $10^{-3}$ près.
    $\quad$
  2. Détermine le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n<0,01$.
    $\quad$
  3. On souhaite calculer la somme $S_{24}=u_0+u_1+\ldots+u_{24}$.
    Voici trois propositions d’algorithmes :

    a.
    Un seul de ces algorithmes permet de calculer la somme $S_{24}$ et de l’afficher.
    Préciser lequel en justifiant la réponse.
    $\quad$
    b. Calculer la somme $S_{24}$.
    On donnera une valeur approchée du résultat à l’unité près.
    $\quad$
  4. Pour tout entier naturel $n$, on note $S_n=u_0+\ldots+u_n$.
    On admet que la suite $\left(S_n\right)$ est croissante et que pour tout entier naturel $n$, $S_n=500-450\times 0,9^n$.
    a. Déterminer la limite de la suite $\left(S_n\right)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
    $\quad$
    b. Alex affirme que $S_n$ peut dépasser $500$ pour une valeur de l’entier $n$ suffisamment grande.
    Que pensez-vous de son affirmation? Justifier la réponse.
    $\quad$

Exercice 4    5 points

Les trois parties de cet exercices sont indépendantes.

Partie A

Une entreprise spécialisée dans la personnalisation des étuis de smartphone fait ses achats chez deux fournisseurs :

  • un fournisseur A qui lui garantit $99\%$ d’étuis non défectueux;
  • un fournisseur B qui lui garantit $95\%$ d’étuis non défectueux.

On sait également que $80\%$ des étuis achetés par l’entreprise proviennent du fournisseur A (le reste provenant du fournisseur B).

On choisit au hasard un étui de smartphone et on considère les événements suivants :

  • $A$ : “l’étui provient du fournisseur A”;
  • $B$ : “l’étui provient du fournisseur B”;
  • $D$ : “l’étui est défectueux”.
  1. Construire un arbre pondéré illustrant la situation.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité qu’un étui soit défectueux.
    $\quad$
  3. On choisit un étui au hasard et on constate qu’il est défectueux.
    Montrer que la probabilité qu’il provienne du fournisseur B est égale $0,6$.
    $\quad$

Partie B

On rappelle que le fournisseur B garantit $94\%$ d’étuis non défectueux.
Un employé de l’entreprise prélève un échantillon de $400$ étuis qui proviennent du fournisseur B. Il constate que $350$ de ces étuis ne sont pas défectueux.

  1. Déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de la fréquence des étuis défectueux dans un échantillon aléatoire de $400$ étuis provenant du fournisseur B.
    On donnera des avaleurs approchées au millième des bornes de cet intervalle.
    $\quad$
  2. Faut-il informer le fournisseur B d’un problème?
    $\quad$

Partie C

Un étui est considéré comme conforme si son épaisseur est comprise entre $19,8$ mm et $20,2$ mm. Le fournisseur B souhaite qu’au moins $95\%$ des étuis produits soient conformes. Pour cela, il veut vérifier les réglages des machines de production.
On choisit un étui au hasard dans la production du fournisseur B. On note $X$ la variable aléatoire associée à l’épaisseur (en mm) de l’étui. On admet que $X$ suit une loi normale d’espérance $20$ mm.

  1. En observant les réglages des machines de production, le fournisseur B constate que l’écart-type se $X$ est égal à $0,2$.
    Justifier qu’il faut revoir les réglages des machines.
    $\quad$
  2. Déterminer une valeur de l’écart-type de $X$ pour laquelle la probabilité qu’un étui soit conforme est environ égale à $0,95$.
    $\quad$

 

Bac ES/L – Antilles Guyane – Septembre 2017

Antilles Guyane – Septembre 2017

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici :

Ex 1

Exercice 1

  1. On a $n=1~050 \pg 30$ et $f=\dfrac{504}{1~050}=0,48$ donc $nf=504 \pg 5$ et $n(1-f)=546 \pg 5$.
    Un intervalle de confiance au seuil de confiance de $95\%$ est donc :
    $\begin{align*} I_{1~050}&=\left[0,48-\dfrac{1}{\sqrt{1~050}};0,48+\dfrac{1}{\sqrt{1~050}}\right] \\
    &\approx [0,449~1;0,510~9]
    \end{align*}$
    Affirmation 4 : La probabilité que le candidat A obtienne entre $44,91\%$ et $51,09\%$ des votes est d’environ $0,95$.
    $\quad$
  2. a. Les points $A$ et $B$ n’ont pas la même abscisse.
    Une équation de la droite $(AB)$ est donc de la forme $y=ax+b$.
    $a=\dfrac{6,8-5}{4-2}=0,9$ donc $y=0,9x+b$.
    Le point $A(2;5)$ appartient à la droite $(AB)$ donc $5=0,9\times 2+b$ et $b=3,2$.
    Affirmation 3 : $y=0,9x+3,2$.
    $\quad$
    b. Une unité d’aire correspond à l’aire d’un carreau.
    En comptant le nombre de carreaux situés entre la courbe, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=2$ et $x=7$ on obtient :
    Affirmation 4 : $25 \pp \int_2^7 f(x)\dx \pp 31$
    $\quad$
  3. a. L’algorithme 1 affiche le plus petit entier naturel $N$ tel que la somme des $N+1$ termes de la suite géométrique $\left(v_n\right)$ de premier terme $v_0=10$ et de raison $q=1,05$ soit inférieur à $50$.
    Affirmation 4 : l’algorithme 1 affiche en sortie une valeur égale à $4$.
    $\quad$
    b. L’algorithme 2 affiche la somme des $5$ premiers termes de la suite géométrique définie dans la question précédente.
    Donc $S=10\times \dfrac{1-1,05^5}{1,05}\approx 55,26$
    Affirmation 2 : l’algorithme 2 affiche en sortie une valeur comprise entre $55$ et $56$.
    $\quad$

Ex 2 obl

Exercice 2

Candidats ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de L

  1. a. Chaque année $20\%$ des vélos sont devenus inutilisables. Cela signifie donc que $80\%$ des vélos de l’année précédente sont toujours utilisables, soit $0,8u_n$.
    $\quad$
    b. $u_1=200\times 0,8+30 = 190$
    Donc au $1\ier$ janvier 2018, $190$ vélos seront utilisables.
  2. a. Soit $n$ un entier naturel. $v_n=u_n-150 \ssi u_n=v_n+150$.
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-150 \\
    &=0,8u_n+30-150 \\
    &=0,8\left(v_n+150\right)-120\\
    &=0,8v_n+120-120\\
    &=0,8v_n
    \end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,8$ et de premier terme $v_o=200-150=50$.
    $\quad$
    b. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=50 \times 0,8^n$.
    $\quad$
    c. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $u_n=v_n+150=50\times 0,8^n+150$.
    $\quad$
    d. On cherche le plus entier naturel $n$ tel que :
    $\begin{align*} u_n \pp 160 &\ssi 50 \times 0,8^n + 150 \pp 160 \\
    &\ssi 50 \times 0,8^n \pp 10 \\
    &\ssi 0,8^n \pp 0,2 \\
    &\ssi n \ln(0,8) \pp \ln(0,2) \\
    &\ssi n \pg \dfrac{\ln(0,2)}{\ln(0,8)} \\
    &\ssi n \pg 8
    \end{align*}$
    C’est donc en 2025 que le service de location s’arrêtera.
    $\quad$
  3. a. La première année, la subvention est de $200 \times 20 = 4~000$ euros.
    La deuxième année, la subvention est de $190 \times 20 = 3~800$ euros.
    La somme des subventions reçues pour les deux premières années s’élève donc bien à $7~800$ euros.
    $\quad$
    b. Voici le tableau des sommes perçues chaque année.
    $\begin{array}{|c|c|c|}
    \hline
    \text{Année}&\text{Nombre de vélos}&\text{Subvention}\\
    \hline
    2017&200&4~000\\
    \hline
    2018&190&3~800\\
    \hline
    2019&182&3~640\\
    \hline
    2020&176&3~520\\
    \hline
    2021&170&3~400\\
    \hline
    2022&166&3~320\\
    \hline
    2023&163&3~260\\
    \hline
    2024&160&3~200\\
    \hline
    2025&153&3~060\\
    \hline
    \end{array}$
    La somme totale perçue grâce à cette subvention est donc de $31~200$ euros.
    $\quad$

Ex 2 spé

Exercice 2

  1. Voici le graphe probabiliste représentant la situation.
  2. On a donc, pour tout entier naturel $n$, $\begin{cases} a_{n+1}=0,93a_n+0,01b_n\\b_{n+1}=0,07a_n+0,99b_n\end{cases}$.
    La matrice de transition est donc $T=\begin{pmatrix}0,93&0,01\\0,07&0,99\end{pmatrix}$.
    $\quad$
  3. $R_1=R_0\times T=\begin{pmatrix}0,056&0,944\end{pmatrix}$
    $\quad$
  4. En 2021, on calcule $R_4$.
    $R_4=R_0\times T^4\approx \begin{pmatrix}0,071&0,929\end{pmatrix}$
    $\quad$
  5. a. L’état stable vérifie :
    $\begin{align*} \begin{cases} x+y=1\\0,93x+0,01y=x\\0,07x+0,99y=y\end{cases} &\ssi \begin{cases} x+y=1 \\-0,07x+0,01y=0\\0,07x-0,01y=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x+y=1\\-7x+y=0\end{cases}\end{align*}$
    $\quad$
    b.
    $\begin{align*} \begin{cases} x+y=1\\-7x+y=0\end{cases} &\ssi \begin{cases} x=1-y\\-7(1-y)+y=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=1-y\\-7+7y+y=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=1-y\\8y=7\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} y=\dfrac{7}{8} \\ x=\dfrac{1}{8} \end{cases}
    \end{align*}$
    L’état stable est donc $\begin{pmatrix} \dfrac{1}{8}&\dfrac{7}{8}\end{pmatrix}$.
    $\quad$

Partie B

  1. Les sommets $A$, $B$, $D$ et $E$ sont de degré $3$.
    Plus de $2$ sommets de ce graphe connexe sont de degré impair.
    Il n’existe donc pas de chaîne eulérienne.
    Le responsable ne peut pas planifier de parcours partant de son bureau jusqu’à la mairie en passant par toutes les pistes cyclables sans emprunter deux fois le même chemin.
    $\quad$
  2. Utilisons l’algorithme de Dijkstra.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    A&B&C&D&E&F&G&\text{Sommet}\\
    \hline
    0&&&&&&&A\\
    \hline
    &6(A)&5(A)&2(A)&&&&D\\
    \hline
    &6(A)&4(D)&&11(D)&&&C\\
    \hline
    &6(A)&&&11(D)&&8(C)&B\\
    \hline
    &&&&11(D)&&8(C)&G\\
    \hline
    &&&&10(G)&15(F)&&E\\
    \hline
    &&&&&14(E)&&F\\
    \hline
    \end{array}$
    Le chemin le plus rapide est donc $A-D-C-G-E-F$ ($14$ minutes).
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. voir arbre en fin de partie.
    $\quad$
  2. $P(V\cap A)=0,5 \times 0,02 = 0,01$.
    Cela signifie donc que la probabilité que le coureur choisi ait choisi le parcours vert et ait abandonné est de $1\%$.
    $\quad$
  3. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_A(V)&=\dfrac{P(V\cap A)}{P(A)} \\
    &=\dfrac{0,01}{0,032}\\
    &=0,312~5
    \end{align*}$
    $\quad$
  4. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(A)=P(V\cap A)+P(B\cap A)+P(R\cap A)&\ssi 0,032=0,01+P(B\cap A)+0,2\times 0,05 \\
    &\ssi 0,032=P(B\cap A)+0,02\\
    &\ssi P(B\cap A)=0,012
    \end{align*}$
    $\quad$
  5. Ainsi :
    $\begin{align*} P_B(A)&=\dfrac{P(B\cap A)}{P(B)} \\
    &=\dfrac{0,012}{0,2} \\
    &=0,04
    \end{align*}$

Partie B

  1. On sait que $P(\mu-\sigma \pp X\pp \mu+\sigma)\approx 0,68$.
    Donc $P(4\pp X\pp 8) \approx 0,68$.
    Sur le graphique 1, il semblerait que $P(4\pp X\pp 8) \approx 1$.
    Donc le graphique 2 représente la fonction de densité de la loi normale de paramètre $\mu=6$ et $\sigma=2$.
    $\quad$
  2. a. D’après la calculatrice $P(5 \pp X \pp 7)\approx 0,383$.
    $\quad$
    b. $P(X\pp 4) = 0,5-P(4\pp X \pp 6) \approx 0,159$
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

Partie A

  1. $\quad$
    $\begin{align*} f'(x)&=-\dfrac{0,2\e^{0,2x+1}\times x-\e^{0,2x+1}}{x^2} \\
    &-\dfrac{\e^{0,2x+1}(0,2x-1)}{x^2} \\
    &\dfrac{\e^{0,2x+1}(1-0,2x)}{x^2}
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. La fonction exponentielle est strictement positive sur l’intervalle $[1;25]$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $1-0,2x$.
    $1-0,2x=0 \ssi 1=0,2x \ssi x=5$
    $1-0,2x>0 \ssi 1>0,2x \ssi 5>x$
    On obtient le tableau de signes et de variations suivant :

    Les valeurs étant arrondies au millième dans le tableau.
    $\quad$
  3. a. La fonction $f$ admet environ $6,680$ comme minimum sur l’intervalle $[1;5]$.
    L’équation $f(x)=0$ n’admet donc pas de solution sur cet intervalle.
    $\quad$
    b. La fonction $f$ est continue et décroissante sur l’intervalle $[5;25]$.
    $f(5)\approx 8,522$ et $f(25) \approx -6,137$ donc $0\in \left[f(25);f(5)\right]$.
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires l’équation $f(x)=0$ possède une unique solution sur l’intervalle $[5;25]$.
    $\quad$
    c. À l’aide de la calculatrice, on obtient $21,95 < \alpha < 21,96$.
    $\quad$
    d. Sur l’intervalle $[1;25]$ le signe de $f^{\prime\prime}(x)$ ne dépend que de celui de $-x^2+10x-50$ puisque la fonction exponentielle et la fonction cube sont positive sur cet intervalle.
    $\Delta = 10^2-4\times (-1)\times (-50) = -100<0$.
    Par conséquent $f^{\prime\prime}(x)<0$ sur l’intervalle $[1;25]$.
    Ainsi la fonction $f$ est concave sur cet intervalle.
    $\quad$

Partie B

  1. D’après le tableau de variation précédent, la fonction $f$ admet un maximum pour $x=5$ et $f(5) \approx 8,522$.
    Le bénéfice maximal de cette société est donc de $8~522$ euros pour une production de $50$ tonnes.
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est positive sur l’intervalle $[1;\alpha]$.
    Pour réaliser un bénéfice la société doit fabriquer au plus $212$ tonnes d’aliments.
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1    5 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre affirmations proposées est exacte.
Aucune justification n’est demandée.
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l’absence de réponse à une question ne rapportent ni n’enlèvent de point.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier l’affirmation choisie.

  1. Des élections doivent se dérouler dans un certain pays. Deux candidats se présentent, le candidats A et le candidat B.
    Avant les élections, un organisme de sondage veut estimer la proportion d’électeurs qui voteront pour le candidat A. Pour cela il réalise un sondage auprès d’un échantillon de $1~050$ électeurs. Parmi eux, $504$ annoncent vouloir voter pour le candidat A et tous les autres pour le candidat B.
    Affirmation 1 : c’est certain, le candidat A va perdre l’élection.
    Affirmation 2 : le candidat A aura $48\%$ des voix le jour de l’élection.
    Affirmation 3 : la probabilité que le candidat A obtienne entre $44,91\%$ et $51,09\%$ des votes est d’environ $0,48$.
    Affirmation 4 : la probabilité que le candidat A obtienne entre $44,91\%$ et $51,09\%$ des votes est d’environ $0,95$.
    $\quad$
  2.  Sur le graphique ci-dessous est représentée la courbe $\mathscr{C}_f$ d’ une fonction $f$ définie et continue sur l’intervalle $[0;7]$. Les points $A$ et $B$ ont pour coordonnées $A(2;5)$ et $B(4;6,8)$. La droite $(AB)$ est tangente à la courbe $\mathscr{C}_f$ au point $A$.

    a.
    La tangente à la courbe $\mathscr{C}_f$ au point $A$ admet pour équation :
    Affirmation 1 : $y=-0,9x+3,2$
    Affirmation 2 : $y=0,9x+3,5$
    Affirmation 3 : $y=0,9x+3,2$
    Affirmation 4 : $y=1,8x+3,2$
    $\quad$
    b. Affirmation 1 : $\ds f(0) \pp \int_0^5 f(x)\dx \pp f(5)$
    Affirmation 2 : $\ds 2 \pp \int_2^7 f(x)\dx \pp 7$
    Affirmation 3 : $\ds 18 \pp \int_0^5 f(x)\dx \pp 19$
    Affirmation 4 : $\ds 25 \pp \int_2^7 f(x)\dx \pp 31$
    $\quad$
  3. On écrit les deux algorithmes suivants :
    $\begin{array}{ll}
    \begin{array}{|l|}
    \hline
    \textbf{Variables :}\\
    V \text{ est un nombre réel}\\
    S \text{ est un nombre réel}\\
    N \text{ est un entier naturel}\\
    \textbf{Traitement :}\\
    \text{Affecter la valeur }10\text{ à }V\\
    \text{Affecter la valeur }10\text{ à }S\\
    \text{Affecter la valeur }0\text{ à }N\\
    \text{Tant que }S\pp 50\\
    \hspace{0.5cm} V \text{ prend la valeur }1,05\times V\\
    \hspace{0.5cm} S \text{ prend la valeur }S+V\\
    \hspace{0.5cm} N \text{ prend la valeur }N+1\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \textbf{Sortie :}\\
    \text{Afficher }N\\
    \hline
    \end{array}
    &
    \begin{array}{|l|}
    \hline
    \textbf{Variables :}\\
    V \text{ est un nombre réel}\\
    S \text{ est un nombre réel}\\
    K \text{ est un entier naturel}\\
    \textbf{Traitement :}\\
    \text{Affecter la valeur }10\text{ à }V\\
    \text{Affecter la valeur }10\text{ à }S\\
    \text{Affecter la valeur }0\text{ à }N\\
    \text{Pour }K \text{ allant de }1\text{ à }4\\
    \hspace{0.5cm} V \text{ prend la valeur }1,05\times V\\
    \hspace{0.5cm} S \text{ prend la valeur }S+V\\
    \text{Fin Pour}\\
    \textbf{Sortie :}\\
    \text{Afficher }S\\
    \hline
    \end{array} \\
    \textbf{algorithme }1&\textbf{algorithme }2
    \end{array}$
    $\quad$
    a. Affirmation 1 : l’algorithme 1 affiche en sortie une valeur comprise entre $43$ et $44$.
    Affirmation 2 : l’algorithme 1 affiche en sortie une valeur comprise entre $53$ et $56$.
    Affirmation 3 : l’algorithme 1 affiche en sortie une valeur égale à $3$
    Affirmation 4 : l’algorithme 1 affiche en sortie une valeur égale à $4$
    $\quad$
    b. Affirmation 1 : l’algorithme 2 affiche en sortie une valeur comprise entre $43$ et $44$.
    Affirmation 2 : l’algorithme 2 affiche en sortie une valeur comprise entre $53$ et $56$.
    Affirmation 3 : l’algorithme 2 affiche en sortie une valeur égale à $3$
    Affirmation 4 : l’algorithme 2 affiche en sortie une valeur égale à $4$
    $\quad$

Exercice 2    5 points

Candidats de ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de L

Une petite ville dispose d’un service municipal de location de vélos. La municipalité souhaite être informée sur le nombre de vélos en circulation et le coût engendré.
Le responsable du service de location de vélos constate que, chaque année, $20\%$ des vélos sont devenus inutilisables car perdus, volés ou détériorés. Le budget alloué au service lui permet de racheter $30$ vélos par an.
Le $1\ier$ janvier 2017, le parc contient $200$ vélos utilisables.
On modélise l’évolution du nombre de vélos utilisables par une suite $\left(u_n\right)$ dans laquelle, pour tout entier naturel $n$, un est le nombre de vélos le $1\ier$ janvier de l’année 2017+n.
Ainsi $u_0 = 200$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 0,8\times u_n +30$.

  1. a. Justifier le coefficient $0,8$ dans l’expression de $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
    $\quad$
    b. Combien y aura-t-il de vélos dans ce parc au $1\ier$ janvier 2018?
    $\quad$
  2. On définit la suite $\left(v_n\right)$ par $v_n=u_n-150$ pour tout entier naturel $n$.
    a. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme $v_0$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
    c. En déduire que pour tout entier naturel $n$, $u_n=50\times 0,8n+150$.
    $\quad$
    d. La municipalité a décidé de maintenir ce service de location tant que le nombre de vélos reste supérieur à $160$.
    En quelle année le service de location s’arrêtera-t-il?
    $\quad$
  3. Pour l’aider à maintenir le service de location, la municipalité a obtenu une subvention de la région qui sera versée de 2017 inclus à 2025 inclus. Par commodité, on suppose qu’elle est versée pour chaque année le $1\ier$ janvier, de 2017 inclus à 2025 inclus.
    Cette subvention s’élève à $20$ euros par vélo disponible à la location.
    a. Justifier que la somme des subventions reçues pour les deux premières années s’élève à $7~800$ euros.
    $\quad$
    b. Déterminer la somme totale perçue grâce à cette subvention du $1\ier$ janvier 2017 au $1\ier$ janvier 2025.
    $\quad$

Exercice 2    5 points

Candidats de ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Les deux parties sont indépendantes

Partie A

Une petite ville dispose d’un service municipal de location de vélos réservé à ses habitants.
Pour cette étude, on suppose que la population de la ville reste constante.
Le $1\ier$ janvier 2017, la ville compte $5\%$ d’abonnés parmi ses habitants. Ces dernières années, le responsable du service location a constaté que :

  • $93\%$ des abonnements sont renouvelés;
  • $1\%$ des habitants qui n’étaient pas abonnés l’année précédente souscrivent un abonnement.

On note $A$ l’état : “un habitant est abonné” et $P$ l’état : “un habitant n’est pas abonné”.
Pour tout entier naturel $n$, on désigne par $a_n$ la probabilité qu’un habitant soit abonné l’année 2017$+n$ et $p_n$ la probabilité qu’un habitant ne soit pas abonné l’année 2017$+n$.
La matrice ligne $R_n =\begin{pmatrix}a_n& p_n\end{pmatrix}$ donne l’état probabiliste du nombre d’abonnés l’année 2017$+n$. Ainsi $R_0 = \begin{pmatrix}a_0 & p_0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0,05& 0,95\end{pmatrix}$.

  1. Représenter cette situation par un graphe probabiliste de sommets $A$ et $P$ où le sommet $A$ représente l’état “un habitant est abonné” et $P$ l’état “un habitant n’est pas abonné”.
    $\quad$
  2. Déterminer la matrice de transition $T$ de ce graphe en respectant l’ordre $A$ puis $P$ des sommets.
    $\quad$
  3. Déterminer $R_1$.
    $\quad$
  4. Déterminer l’état probabiliste en 2021.
    Les résultats seront arrondis au millième.
    $\quad$
  5. On admet qu’il existe un état stable $\begin{pmatrix} x&y\end{pmatrix}$.
    a. Justifier que $x$ et $y$ sont solutions du système : $\begin{cases} -7x+y=0\\x+y=1\end{cases}$.
    $\quad$
    b. Déterminer l’état stable de ce graphe.
    $\quad$

Partie B

Le responsable du service de location souhaite vérifier l’état des pistes cyclables reliant les parkings à vélo de location disposés dans la ville. On modélise la disposition des lieux parle graphe étiqueté ci-dessous dont les sommets représentent les parkings à vélo. Les poids des arêtes sont les durées moyennes de parcours, en minute, pour se rendre d’un parking à l’autre en suivant la piste cyclable.

  1. Le responsable peut-il planifier un parcours partant de son bureau situé en $A$ jusqu’à la mairie située en $F$ en passant par toutes les pistes cyclables sans emprunter deux fois le même chemin?
    $\quad$
  2. Le responsable est pressé. Déterminer le parcours le plus rapide possible permettant d’aller de $A$ à $F$.
    $\quad$

Exercice 3    5 points

Chaque année, les organisateurs d’une course de montagne proposent trois parcours de difficulté croissante : vert, bleu et rouge.
Les organisateurs ont constaté que $50\%$ des coureurs choisissent le parcours vert, $30\%$ choisissent
le parcours bleu, le reste des coureurs choisit le parcours rouge.
Ils ont également constaté, en observant les années précédentes, que :

  • $3,2\%$ de l’ensemble des coureurs abandonnent la course;
  • $2\%$ des coureurs du parcours vert abandonnent la course;
  • $5\%$ des coureurs du parcours rouge abandonnent la course.

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes et peuvent être traitées dans un ordre quelconque.

Partie A

À la fin de la course, on choisit au hasard un des participants de telle façon que tous ont la même probabilité d’être choisis. On note :

  • $V$ l’événement “Le coureur a choisi le parcours vert”;
  • $B$ l’événement “Le coureur a choisi le parcours bleu”;
  • $R$ l’événement “Le coureur a choisi le parcours rouge”;
  • $A$ l’événement “Le coureur a abandonné la course”.
  1. Représenter cette situation à l’aide d’un arbre pondéré que l’on complétera au fur et à mesure de l’exercice.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité de l’événement $V\cap A$. Interpréter ce résultat dans le contexte de
    l’exercice.
    $\quad$
  3. Un coureur se blesse et abandonne la course. Quelle est la probabilité qu’il ait choisi le parcours vert?
    $\quad$
  4. Démontrer que $P(B\cap A)=0,012$.
    $\quad$
  5. En déduire la probabilité $P_B(A)$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

Partie B

Le temps hebdomadaire d’entraînement des coureurs du parcours rouge, exprimé en heure, peut être modélisé par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale dont l’espérance est de $6$ heures et l’écart type est de $2$ heures.

  1. Lequel des deux graphiques suivants, graphique 1 ou graphique 2, représente la fonction de densité de la loi normale de paramètres $\mu=6$ et $\sigma =2$? Justifier la réponse.
  2. Un magazine spécialisé interroge au hasard quelques participants du parcours rouge afin de mener une enquête sur la durée de leur entraînement. On arrondira les résultats au millième.
    a. Quelle est la probabilité d’interroger un coureur dont la durée d’entraînement est comprise entre $5$ h et $7$ h?
    $\quad$
    b. Quelle est la probabilité d’interroger un coureur dont la durée d’entraînement est inférieure à $4$ h?
    $\quad$

Exercice 4    5 points

Partie A

On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l’intervalle $[1;25]$ par $f(x)=10-\dfrac{\e^{0,2x+1}}{x}$.
Un logiciel de calcul formel fournit les résultats suivants que l’on pourra utiliser :
$\begin{array}{|lr|}
\hline
f(x):10-\e\wedge(0.2x+1)/x&\\
\hline
&x\to 10-\dfrac{\exp(0.2x+1)}{x}\\
\hline
\text{factoriser(deriver(}f(x)\text{))}&\\
\hline
&\dfrac{\exp(0.2x+1)*(1-0.2x)}{x^2}\\
\hline
\text{factoriser(deriver(deriver(}f(x)\text{)))}&\\
\hline
&\dfrac{\exp(0.2x+1)*\left(-x^2+10x-50\right)}{25x^3}\\
\hline
\end{array}$

  1. Retrouver par le calcul l’expression factorisée de $f'(x)$ ou $f’$ est la fonction dérivée de $f$.
    $\quad$
  2. Étudier le signe de $f’$ sur l’intervalle $[1;25]$ et dresser le tableau de variation de $f$ sur l’intervalle $[1;25]$. On arrondira les valeurs au millième.
    $\quad$
  3. On s’intéresse à l’équation $f(x)=0$.
    a. Montrer que l’équation $f(x)=0$ n’admet pas de solution sur l’intervalle $[1;5]$.
    $\quad$
    b. Montrer que l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[5;25]$.
    $\quad$
    c. Déterminer un encadrement d’amplitude $10^{-2}$ de la solution $\alpha$.
    $\quad$
    d. En utilisant un des résultats donnés par le logiciel de calcul formel, justifier que la fonction $f$ est concave sur l’intervalle $[1;25]$.
    $\quad$

Partie B

Une société agro-alimentaire fabrique des aliments pour bétail. On s’intéresse au bénéfice réalisé, en millier d’euros, correspondant à la production d’une quantité de $x$ dizaines de tonnes d’aliments.
On admet que ce bénéfice peut être modélisé par la fonction $f$ étudiée dans la partie A ci-dessus.
La production minimale est de $10$ tonnes, ainsi $x \pg 1$.
Les réponses aux questions suivantes seront justifiées grâce à la partie A.

  1. Quel est le montant en euro du bénéfice maximal que peut dégager la société ?
    Pour quelle quantité d’aliments ce bénéfice maximal est-il obtenu ?
  2. Déterminer, à la tonne près, la quantité maximale d’aliments qu’il faut fabriquer pour que la société réalise un bénéfice.
    $\quad$

Bac ES/L – Métropole – septembre 2017

Métropole – Septembre 2017

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Affirmation 1
$T$ et $T’$ sont parallèles; elles ont donc le même coefficient directeur.
Le coefficient directeur de $T$ est $a=\dfrac{0,5-2}{1-(-0,5)}=\dfrac{-1,5}{1,5}=-1$.
L’affirmation 1 est donc vraie.

$\quad$

Affirmation 2
La fonction $f$ est croissante sur l’intervalle $[-2;-1]$ tandis que $f'(x) \pp 0$ sur ce même intervalle.
L’affirmation 2 est donc fausse.

$\quad$

Affirmation 3
La courbe $\mathscr{C}$ est au-dessus de sa tangente en $B$. Elle n’est donc pas concave sur l’intervalle $[-2;3]$.
L’affirmation 3 est fausse.

$\quad$

Affirmation 4
Sur l’intervalle $[-2;0]$ on a $f(x)>0$. Toute primitive de $f$ est donc croissante sur cet intervalle.
L’affirmation 4 est vraie.

$\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. $p(E\cap A)=0,45\times 0,3=0,135$
    $\quad$
  3. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(A)&=p(A\cap E)+p\left(A\cap \conj{E}\right) \\
    &=0,45\times 0,3+0,55 \times 0,37 \\
    &=0,338~5
    \end{align*}$
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_A\left(\conj{E}\right) &=\dfrac{p\left(A\cap \conj{E}\right)}{p(A)} \\
    &=\dfrac{0,55\times 0,37}{0,338~5} \\
    &\approx 0,601
    \end{align*}$
    $\quad$

Partie B

  1. D’après la calculatrice $p(90 \pp D \pp 120) \approx 0,477$.
    Cela signifie que $47,7\%$ des visites durent entre $90$ et $120$ minutes.
    $\quad$
  2. On calcule $p(D \pg 150)=0,5-p(90 \pp D \pp 150)\approx 0,000~03 < 0,02$.
    Le directeur n’augmentera donc pas la capacité d’accueil de l’espace restauration du musée.
    $\quad$

Partie C

On a $n=2~000 \pg 30$ et $p=0,22$ donc $np=440 \pg 5$ et $n(1-p)=1~560 \pg 5$
Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ du nombre de visiteurs de nationalité étrangère est :
$\begin{align*} I_{2~000}&=\left[0,22-1,96\sqrt{\dfrac{0,22\times 0,78}{2~000}}{2~000}};\dfrac{490}{2~000}+1,96\sqrt{\dfrac{0,22\times 0,78}{2~000}} \right] \\
&\approx [0,201;0,239]
\end{align*}$

La fréquence observée est $f=\dfrac{490}{2000}~=0,245 \notin I_{2~000}$.
Le directeur peut donc en déduire, qu’au risque de $5\%$, le nombre de visiteurs étrangers est anormalement élevé dans son musée.

$\quad$

Ex 3 obl

Exercice 3

Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L

  1. Le taux d’évolution du tirage moyen journalier entre 2007 et 2008 est :
    $t=\dfrac{10~596-10~982}{10~982} \approx -3,51\%$
    Il y a donc eu baisse du tirage moyen d’environ $3,51\%$ entre ces deux années.
    $\quad$
  2. $V_1=0,96\times 10~982+100 = 10~642,72$
    $V_2=0,96 \times 10~642,72+100 \approx 10~317,01$
    $\quad$
  3. a. On a $W_n=V_n-2~500$ donc $V_n=W_n+2~500$.
    $\begin{align*} W_{n+1}&=V_{n+1}-2~500 \\
    &=0,96V_n+100-2~500\\
    &=0,96\left(W_n+2~500\right)-2~400\\
    &=0,96W_n+96+2~400-2~400\\
    &=0,96W_n
    \end{align*}$
    La suite $\left(W_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,96$ et de premier terme $W_0=10~982-2~500=8~482$
    $\quad$
    b. Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $W_n=8~482\times 0,96^n$.
    $\quad$
    c. On sait que, pour tout entier naturel $n$, on a $V_n=W_n+2~500$.
    Donc $V_n=8~482\times 0,96^n+2~500$.
    $\quad$
  4. a. En 2017, on a $n=10$ donc $V_{10} \approx 8~139,11$.
    Selon ce modèle, le tirage moyen journalier sera d’environ $8~139,11$ milliers d’exemplaires.
    $\quad$
    b. $0<0,96<1$ donc $\lim\limits_{n \to + \infty} 0,96^n=0$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} V_n=2~500$
    Cela signifie donc que, sur le long terme, le tirage moyen journalier sera de $2~500$ milliers d’exemplaires.
    $\quad$
    c. On peut utiliser l’algorithme suivant :
    Variables
    $\quad$ $V$ est un nombre réel
    $\quad$ $n$ est un entier naturel
    Initialisation
    $\quad$ Afficher “Saisir le nombre d’années”
    $\quad$ Saisir $n$
    Traitement
    $\quad$ Pour $i$ allant de $0$ à $n$ faire
    $\qquad$ $V$ prend la valeur $8~482\times 0,96^n+2~500$
    $\qquad$ Afficher $V$
    $\quad$ Fin Pour
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. $f(4)=\e^{-0,25\times 4+5}=\e^{4} \approx 54,60$
    On peut donc prévoir environ $55$ acheteurs pour un prix de vente de $400$ euros.
    $\quad$
  2. La marge brute, si le prix de vente est de $40$ euros, est $55*400-300\times 55=5~500$ euros.
    $\quad$
  3. Si $x$ appartient à l’intervalle $[3;10]$ alors :
    $\begin{align*} g(x)&=xf(x)-3f(x) \\
    &=(x-3)f(x) \\
    &=(x-3)\e^{-0,25x+5}
    \end{align*}$
  4. a. D’après l’affichage du calcul formel on a $g'(x)=-\dfrac{x-7}{4}\e^{-0,25x+5}$ pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[3;10]$.
    La fonction exponentielle étant toujours positive, le signe de $g'(x)$ ne dépend que de celui de $-(x-7)$.
    Ainsi :
    $\bullet$ si $x\pp 7$ alors $x-7\pp 0$ et $-(x-7)\pg 0$ : la fonction $g$ est croissante sur l’intervalle $[3;7]$.
    $\bullet$ si $x\pg 7$ alors $x-7\pg 0$ et $-(x-7) \pp 0$ : la fonction $g$ est décroissante sur l’intervalle $[7;10]$.
    $\quad$
    b. La fonction $g$ est maximale quand $x=7$ et $g(7)=4\e^{3,25}\approx 103,16$.
    L’entreprise réaliser une marge brute maximale d’environ $10~316$ euros quand le prix de vente unitaire est de $700$ euros.
    $\quad$
  5. a. La fonction $G$ est dérivable sur l’intervalle $[3;10]$ comme produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $\begin{align*} G'(x)&=-4\e^{-0,25x+5}-0,25\times (-4x-4)\e^{-0,25x+5} \\
    &=(-4+x+1)\e^{-0,25x+5} \\
    &=(x-3)\e^{-0,25x+5} \\
    &=g(x)
    \end{align*}$
    La fonction $G$ est donc une primitive de la fonction $g$ sur l’intervalle $[3;10]$.
    $\quad$
    b.
    $\begin{align*} I&=\int_3^{10} g(x)\dx \\
    &=G(10)-G(3) \\
    &=-44\e^{2,5}-\left(-16\e^{4,25}\right) \\
    &=-44\e^{2,5}+16\e^{4,25}
    \end{align*}$
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1    4 points

On donne ci-dessous la courbe représentative $\mathscr{C}$ d’une fonction $f$ définie et dérivable sur l’intervalle $[-2;3]$. On note $f’$ la fonction dérivée de cette fonction sur l’intervalle $[-2;3]$

On dispose des renseignements suivants :

  • $T$ est la tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point $A(-0,5;2)$, elle passe par le point $F(1;0,5)$.
  • $T’$ est la tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point $B$ d’abscisse $\dfrac{3}{2}$.
  • Les droites $T$ et $T’$ sont parallèles.
  • Les tangentes à $\mathscr{C}$ aux points d’abscisse D d’abscisse $-1$ et $E$ d’abscisse $2$ sont parallèles à l’axe des abscisses.

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse donnée.

Affirmation 1.
Les nombres $f’\left(-\dfrac{1}{2}\right)$ et $f’\left(\dfrac{3}{2}\right)$ sont égaux à $-1$.

$\quad$

Affirmation 2.
La courbe ci-dessous représente la fonction $f’$ sur $[-2;3]$.

$\quad$

Affirmation 3.
La fonction $f$ est concave sur l’intervalle $[-2;3]$.

$\quad$

Affirmation 4.
Sur $[-2;0]$, toute primitive de $f$ est croissante.

$\quad$

Exercice 2    6 points

Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.
En janvier 2015, le directeur d’un musée d’art contemporain commande une enquête concernant les habitudes des visiteurs.

Partie A

Le musée dispose d’un site internet. Pour acheter son billet, une personne intéressée peut de rendre au guichet d’entrée du musée ou commander un billet en ligne.
trois types de visites sont proposés :

  • La visite individuelle sans location d’audioguide.
  • La visite individuelle avec location d’audioguide.
  • La visite en groupe d’au moins $10$ personnes. Dans ce cac, un seul billet est émis pour le groupe.

Le site internet permet uniquement d’acheter les billets individuels avec ou sans audioguide.
Pour la visite de groupe, il est nécessaire de se rendre au guichet d’entrée du musée.

Sur l’année 2015 l’enquête a révélé que :

  • $55\%$ des billets d’entrée ont été achetés au guichet du musée;
  • parmi les billets achetés au guichet du musée, $51\%$ des billets correspondent à des visites individuelles sans location d’audioguide, et $37\%$ à des visites avec location d’audioguide;
  • $70\%$ des billes achetés en ligne correspondent à des visites individuelles sans location d’audioguide.

On choisit au hasard un billet d’entrée au musée acheté en 2015.
On considère les événements suivants :

  • $E$ : “le billet a été acheté en ligne”;
  • $A$ : “le billet correspond à une visite individuelle avec location d’audioguide”;
  • $L$ : “le billet correspond à une visite individuelle sans location d’audioguide”;
  • “G$ : “le billet correspond à une visite de groupe”.

On rappelle que si $E$ et $F$ sont deux événements, $p(E)$ désigne la probabilité de l’événement $E$ et $p_F(E)$ désigne la probabilité de l’événement $E$ sachant que l’événement $F$ est réalisé. On note $\conj{E}$ l’événement contraire de $E$.

  1. Recopier et compléter l’arbre pondéré suivant qui représente la situation décrite dans l’énoncé :
    $\quad$
  2. Montrer que la probabilité que le billet ait été acheté en ligne et corresponde à une visite individuelle avec location d’audioguide est égale à $0,135$.
    $\quad$
  3. Montrer que $p(A)=0,338~5$.
    $\quad$
  4. Le billet choisi correspond à une visite individuelle avec location d’audioguide. Quelle est la probabilité que ce billet ait été acheté au guichet du musée?
    On arrondira le résultat au millième.
    $\quad$

Partie B
Pour gérer les flux de visiteurs, une partie de l’enquête a porté sur la durée d’une visite de ce musée. Il a été établi que la durée $D$ d’une visite, en minutes,  suit la loi normale de moyenne $\mu=90$ et d’écart-type $\sigma=15$.

  1. Déterminer $p(90 \pp D \pp 120)$ puis interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  2. Le directeur précise qu’il augmentera la capacité d’accueil de l’espace restauration du musée si plus de $2\%$ des visiteurs restent plus de $2$ heures et $30$ minutes par visite. Quelle sera alors sa décision?
    $\quad$

Partie C

Sur l’ensemble des musées d’art contemporain, $22\%$ des visiteurs sont de nationalité étrangère. Sur un échantillon aléatoire de $2~000$ visiteurs du musée considéré précédemment, $490$ visiteurs sont de nationalité étrangère.
Que peut en conclure le directeur de ce musée? Argumenter.
$\quad$

Exercice 3    5 points

Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L

Dans cet exercice, on étudie le tirage moyen journalier des quotidiens français d’information générale et politique, c’est-à-dire le nombre moyen d’exemplaires imprimés par jour.
Le tableau suivant donne, entre 2007 et 2014, pour chaque année ce tirage moyen journalier, en milliers d’exemplaires :
$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Année}&2007&2008&2009&2010&2011&2012&2013&2014\\
\hline
\begin{array}{l} \text{Tirage moyen}\\ \text{Journalier en} \\ \text{milliers} \\ \text{d’emplaires} \end{array}&10~982&10~596&10~274&10~197&10~182&9~793&9~321&8~854\\
\hline
\end{array} \\
\hspace{1 cm} \textit{Source : D.G.M.I.C(Direction générales des médias et des industries culturelles)}$
Dans cet exercice, les résultats seront arrondis si nécessaire au centième.

  1. Calculer le taux d’évolution du tirage moyen journalier entre 2007 et 2008.
    Pour tout entier naturel $n$, on note $V_n$ le tirage moyen journalier, en milliers d’exemplaires, de l’année $(2007+n$).
    On modélise la situation en posant : $V_0=10~982$ et, pour tout entier naturel $n$, $$V_{n+1}=0,96V_n+100$$
    $\quad$
  2. Calculer $V_1$ puis $V_2$.
    $\quad$
  3. Soit $\left(W_n\right)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $W_n=V_n-2~500$.
    a. Montrer que $\left(W_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,96$ puis déterminer son premier terme.
    $\quad$
    b. Déterminer l’expression de $W_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
    c. En déduite que pour tout entier naturel $n$, $V_n=8~482 \times 0,96^n+2~500$.
    $\quad$
  4. a. Déterminer le tirage moyen journalier prévu selon ce modèle pour l’année 2017.
    $\quad$
    b. Déterminer la limite de la suite $\left(W_n\right)$. Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
    c. Proposer un algorithme affichant le tirage moyen journalier, à partir de 2007 jusqu’à l’année ($2007+n$), pour un nombre d’années $n$ saisi par l’utilisateur.
    $\quad$

Exercice 4    5 points

Une entreprise fabrique des enceintes acoustiques sans fil. Le coût de production d’une enceinte est de $300$ euros.
On note $x$ le prix de vente en centaines d’euros d’une enceinte.
Une étude de marché permet de modéliser la situation : pour tout réel $x$ de l’intervalle $[3;10]$, si le prix de vente d’une enceinte est $x$ centaines d’euros, alors le nombre d’acheteurs est modélisé par : $$f(x)=e^{-0,25x+5}$$
Ainsi, $f(x)$ est une approximation du nombre d’acheteurs pour un prix de vente de $x$ centaines d’euros.
Par exemple, si le prix de vente d’une enceinte est fixé à $400$ euros, le nombre d’acheteurs est approché par $f(4)$.

  1. Donner une valeur approximative du nombre d’acheteurs pour un prix de vente de $400$ euros.
    On appelle marge brute la différence entre le montant obtenu par la vente des enceintes et leur coût de production.
    $\quad$
  2. Quelle est la marge brute de cette entreprise pour un prix de vente de $400$ euros par enceinte?
    On note $g(x)$ la marge brute, en centaines d’euros, réalisée par l’entreprise pour un prix de vente de $x$ centaines d’euros par enceinte.
    $\quad$
  3. Montrer que pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[3;10]$, $$g(x)=(x-3)\e^{-0,25x+5}$$
    $\quad$
  4. Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants :
    $\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{factoriser(dériver}\left[(x-3)*\exp(-0,25x+5)\right] \\
    \hline
    \hspace{3cm} -\dfrac{x-7}{4}\e^{-\frac{1}{4}x+5} \\
    \hline
    \end{array}$
    a. En utilisant le résultat du logiciel de calcul formel, étudier les variations de la fonction $g$ sur l’intervalle $[3;10]$.
    $\quad$
    b. Pour quel prix de vente unitaire l’entreprise réalisera-t-elle la marge brute maximale? Donner alors une valeur approchée de cette marge brute à l’euro près.
    $\quad$
  5. Soit $G$ la fonction telle que $G(x)=(-4x-4)\e^{-0,25x+5}$ pour tout réel $x$ de $[3;10]$.
    a. Montrer que $G$ est une primitive de la fonction $g$.
    $\quad$
    b. On pose $I=\ds \int_3^{10} g(x)\dx$. Déterminer la valeur exacte de $I$.

Bac ES/L – Asie – juin 2017

Asie – Juin 2017

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Affirmation 1

La fonction $F$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
$F'(x)=\ln(x)+x\times \dfrac{1}{x}=\ln(x)+1=f(x)$
La fonction $F$ est donc bien une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $]0;+\infty[$.
Affirmation 1 vraie

$\quad$

Affirmation 2

La fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ d’après l’énoncé.
$f'(x)=\dfrac{1}{x} > 0$ sur $]0;+\infty[$.
La fonction $f$ est donc strictement croissante sur l’intervalle $]0;+\infty[$.
Affirmation 2 vraie

$\quad$

Affirmation 3

La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur l’intervalle $]0;+\infty[$.
$f(1)=1+\ln(1)=1<2$ et $f(10)=1+\ln(10)\approx 3,3>2$
D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $f(x)=2$ possède une unique solution dans l’intervalle $[1;10]$.
Affirmation 3 vraie

$\quad$

Affirmation 4

La fonction inverse étant dérivable sur l’intervalle $]0;+\infty[$, la fonction $f’$ est dérivable sur cet intervalle.
$f^{\prime\prime}(x)=-\dfrac{1}{x^2}<0$ sur $]0;+\infty[$.
La fonction $f$ est donc concave.
Il n’existe donc pas de point de la courbe $\mathcal{C}$ pour lequel la tangente en ce point est située entièrement sous la courbe $\mathcal{C}$.
Affirmation 4 fausse

Ex 2

Exercice 2

 Partie A

  1. $p(D\cap M)=0,57$ d’après le graphique.
    On a également $p(D)=0,57+0,28=0,85$
    $\quad$
  2. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_M(D)&=\dfrac{p(D\cap M)}{p(M) }\\
    &= \dfrac{0,57}{0,57+0,03} \\
    &=\dfrac{0,57}{0,60} \\
    &=\dfrac{57}{60}
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. On appelle $I$ l’événement “la personne dispose d’une connexion internet”.
    D’après le graphique on a $p(I)=1-0,12=0,88$.
    $\quad$
  4. On a $p(M)=0,03+0,57=0,6$.
    On veut calculer :
    $\begin{align*} p_{\conj{M}}\left(\conj{D}\right)&=\dfrac{p\left(\conj{D}\cap \conj{D}\right)}{p\left(\conj{M}\right)}\\
    &=\dfrac{p\left( \conj{I}\right)}{p\left(\conj{M}\right)}\\
    &=\dfrac{0,12}{1-0,6}\\
    &=0,3
    \end{align*}$
    $\quad$

Partie B

  1. La population française est suffisamment importante pour qu’on considère qu’on  effectue $100$ tirages aléatoires, identiques et indépendants.
    A chaque tirage, on a deux issues : $I$ et $\conj{I}$. De plus $p(I)=0,85$.
    La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=100$ et $p=0,85$.
    $\quad$
  2. D’après la calculatrice $p(X\pp 75)=0,006$
    Cela signifie qu’on est presque certain que plus de $75\%$ de la population française dispose d’un accès à internet fixe au domicile.
    $\quad$

Partie C

  1. On a $n=100\pg 35$ et $p=0,85$ donc $np=85\pg 5$ et $n(1-p)=15\pg 5$.
    Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ est donc :
    $\begin{align*} I_{100}&=\left[0,85-1,96\times \sqrt{\dfrac{0,85\times 0,15}{100}};0,85+1,96\times \sqrt{\dfrac{0,85\times 0,15}{100}}\right] \\
    &\approx [0,780;0,920]
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. La fréquence observée est $f=\dfrac{76}{100}=0,76 \notin I_{100}$.
    On peut donc en déduire que ce village est “sous-équipé” en connexion internet fixe au domicile”.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. La tangente à la courbe $C_f$ au point d’abscisse $1$ est horizontale donc $f'(1)=0$.
    $\quad$
  2. La fonction $f$ semble être décroissante sur l’intervalle $[-3;-0,5]$ donc $f'(-2)<0$.
    $\quad$
  3. $f'(0)$ est le coefficient directeur de la droite $\Delta$. Donc $f'(0)=0,5$.
    $\quad$
  4. Les tangentes à la courbe $C_f$ sur l’intervalle $[-0,5;0,5]$ semblent être sous la courbe(fonction convexe). Le point $A$ n’est donc pas un point d’inflexion de la courbe $C_f$.
    $\quad$
  5. $\displaystyle \int_0^1 f(x)\dx$ correspond à l’aire du domaine compris entre la courbe, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=0$ et $x=1$.
    Ce domaine contient un rectangle de dimensions $1\times 3$ et est contenu dans un rectangle de dimensions $1\times 4$.
    Donc $\displaystyle  3\pp \int_0^1 f(x)\dx \pp 4$.
    $\quad$

Partie B

  1. On sait que $f(0)=3$
    Or $f(0)=c+5$
    Donc $c+5=3\ssi c=-2$
    $\quad$
  2. On sait que $f'(0)=0,5$
    Or $f'(0)=(-2+b)$
    Donc $-2+b=0,5 \ssi b=2,5$.
    On sait également que $f'(1)=0$
    Or $f'(1)=(a+2a+b-2+b)\e^1=(3a+2b-2)\e$
    Par conséquent $3a+2\times 2,5-2=0 \ssi 3a-3=0 \ssi a=1$
    $\quad$

Partie C

  1. $\begin{align*} f'(x)&=(-2x+2,5)\e^x+(-x^2+2,5x-2)\e^x \\
    &=(-2x+2,5-x^2+2,5x-2)\e^x \\
    &=(-x^2+0,5x+0,5)\e^x
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. La fonction exponentielle est strictement positive.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $-x^2+0,5x+0,5$.
    C’est un polynôme du second degré avec $a=-1$, $b=0,5$ et $c=0,5$
    $\Delta = b^2-4ac=2,25>0$
    Ce polynôme possède donc deux racines réelles :
    $x_1=\dfrac{-0,5-\sqrt{2,25}}{-2}=1$ et $x_2=\dfrac{-0,5+\sqrt{2,25}}{-2}=-0,5$
    Puisque $a=-1<0$ on obtient le tableau de signes et de variation suivant :

    Avec $f(-3) = -18,5\e^{-3}+5$
    $f(-0,5)=-3,5\e^{-0,5}+5$
    $f(1)=-0,5\e+5$
    $f(2)=-\e^2+5
    $\quad$
  3. a. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur l’intervalle $[1;2]$
    $f(1)=-0,5\e+5\approx 3,6>0$ et $f(2)=-\e^2+5\approx -2,4<0$
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $f(x)=0$ possède donc une unique solution $\alpha$ sur $[1;2]$.
    $\quad$
    b. A l’aide de la calculatrice, on trouve $\alpha \approx 1,84$.
    $\quad$

Ex 4 obl

Exercice 4

Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L

  1. On obtient l’arbre suivant :
  2. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p_{n+1}&=p\left(A_n\cap A_{n+1}\right)+p\left(\conj{A_n}\cap A_{n+1}\right) \\
    &=0,7p_n+0,2\left(1-p_n\right)\\
    &=0,5p_n+0,2
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. a. Pour tout entier naturel $n$ non nul on a $i_n=p_n-0,4$ donc $p_n=u_n+0,4$.
    $\begin{align*} u_{n+1}&=p_{n+1}-0,4 \\
    &=0,5p_n+0,2-0,4\\
    &=0,5p_n-0,2\\
    &=0,5\left(u_n+0,4\right)-0,2\\
    &=0,5u_n+0,2-0,2\\
    &=0,5u_n
    \end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,5$ et de premier terme $u_1=0,2-0,4=-0,2$.
    $\quad$
    b. Ainsi $u_n=-0,2\times 0,5^{n-1}$ et $p_n=-0,2\times 0,5^{n-1}+0,4$ pour tout entier naturel $n$ non nul.
    $\quad$
    c. $0<0,5<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,5^{n-1}=0$
    Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=0,4$.
    Cela signifie donc que sur le long terme, $40\%$ des élèves choisiront “Approfondissement”.
    $\quad$
  4. a. Voici les différents valeurs prises par $P$ au fil du temps.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    I&&2&3&4&5\\
    \hline
    P&0,2&0,3&0,35&0,375&0,387~5\\
    \hline
    \end{array}$
    Ainsi l’algorithme affichera $0,387~5$.
    $\quad$
    b. On peut utiliser l’algorithme suivant :
    Variable :
    $\quad$ $P$ est un nombre réel
    Initialisation :
    $\quad$ $P$ prend la valeur $0,2$
    Traitement :
    $\quad$ $\quad$ Tant que $I\pp 39,9$
    $\qquad$ $P$ prend la valeur $0,5P+0,2$
    $\quad$ Fin Pour
    Sortie :
    $\quad$ Afficher $P$

Ex 4 spé

Exercice 4

Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité.

  1. a. On obtient le graphe probabiliste suivant :
    $\quad$
    b.
    La matrice de transition est $M=\begin{pmatrix} 0,7&0,3\\0,2&0,8\end{pmatrix}$.
    $\quad$
  2. a. $M^2=\begin{pmatrix}0,7^2+0,3\times 0,2&0,7\times 0,3+0,3\times 0,8\\0,2\times 0,7+0,2\times 0,8+0,2\times 0,3+0,8^2\end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix}0,55&0,45\\0,3&0,7\end{pmatrix}$.
    Ainsi $P_3=P_1\times M^2=\begin{pmatrix}0,35&0,65\end{pmatrix}$
    La probabilité que l’élève ait choisi “Approfondissement” lors de la troisième semaine est donc égale à $0,35$.
    $\quad$
    b. On cherche l’état stable $P=\begin{pmatrix}a&b\end{pmatrix}$.
    $\begin{align*} PM=P&\ssi \begin{cases} a+b=1\\0,7a+0,2b=a\\0,3a+0,8b=b\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} a=1-b\\-0,3a+0,2b=0\\0,3a-0,2b=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases}a=1-b\\0,3-0,3b-0,2b=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases}a=1-b\\0,3=0,5b\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} b=0,6\\a=0,4\end{cases}
    \end{align*}$
    À long terme, la probabilité qu’un élève choisisse “Approfondissement” est égale à $0,4$.
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n$ non nul on a $a_n+b_n=1$ donc $b_n=1-a_n$.
    $\begin{align*} a_{n+1}&=0,7a_n+0,2b_n\\
    &=0,7a_n+0,2\left(1-a_n\right) \\
    &=0,7a_n+0,2-0,2a_n\\
    &=0,5a_n+0,2
    \end{align*}$
  4. On cherche les entiers naturels $n$ tels que :
    $\begin{align*} 0,4-0,4\times 0,5^n>0,399 &\ssi -0,4\times 0,5^n>-0,001 \\
    &\ssi 0,5^n <0,002~5\\
    &\ssi n\ln(0,5)<\ln(0,002~5) \\
    &\ssi n>\dfrac{\ln(0,002~5)}{\ln(0,5)}\\
    &\ssi n\pg 9
    \end{align*}$
    La solution de l’inéquation est l’ensemble des entiers naturels supérieurs ou égaux à $9$.
    $\quad$
  5. a. Variables
    $\quad$ $N$ est un entier naturel
    $\quad$ $A$ est un nombre réel
    Initialisation
    $\quad$ Affecter à $N$ la valeur $1$
    $\quad$ Affecter à $A$ la valeur $0,2$
    Traitement
    $\quad$ Tant que $A\pp 0,399$
    $\qquad$ Affecter à $A$ la valeur $0,5\times A+0,2$
    $\qquad$ Affecter à $N$ la valeur $N+1$
    $\quad$ Fin Tant que
    Sortie
    $\quad$ Afficher $N$
    $\quad$
    b. D’après la question précédente, l’algorithme affiche $9$.
    Cela signifie qu’à partir de la $9^{\text{ème}}$ semaine plus de $39,9\%$ des élèves choisiront “Approfondissement”.
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1    4 points

Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur $]0;+\infty[$ par : $f(x) = 1 + \ln (x)$.
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d’un repère orthonormé.
On note $f’$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur $]0;+\infty[$.
Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.

Affirmation 1

On note $F$ la primitive sur $]0;+\infty[$ de la fonction $f$ qui vérifie $F(1) = 0$.
Pour tout réel $x$ strictement positif, $F(x) = x\ln (x)$.
$\quad$

Affirmation 2

La fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $]0~;~+\infty[$.
$\quad$

Affirmation 3

L’équation $f(x) = 2$ possède exactement une solution dans l’intervalle $[1;10]$.
$\quad$

Affirmation 4

Il existe au moins un point de la courbe $\mathcal{C}$ pour lequel la tangente en ce point est située entièrement sous la courbe $\mathcal{C}$.
$\quad$

Exercice 2    5 points

Le graphique suivant indique le type de connexion à internet dont disposent les Français âgés de plus de 12 ans en juin 2016.

On choisit au hasard une personne âgée de plus de 12 ans dans la population française.
On note $D$ l’événement “la personne dispose d’une connexion internet fixe au domicile”.
On note $M$ l’événement “la personne dispose d’une connexion internet en mobilité”.

On rappelle que si $E$ et $F$ sont deux événements, $p(E)$ désigne la probabilité de l’événement $E$ et $p_F(E)$ désigne la probabilité de l’événement $E$ sachant que l’événement $F$ est réalisé. On note $\conj{E}$ l’événement contraire de $E$.

Partie A

  1. Donner sans justification $p(D \cap M)$, puis justifier que $p(D) = 0,85$.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité que la personne dispose d’une connexion internet fixe au domicile sachant qu’elle dispose d’une connexion internet en mobilité.
    $\quad$
  3. Calculer la probabilité de l’événement “la personne dispose d’une connexion internet”.
    $\quad$
  4. Calculer $p_{\conj{M}}\left(\conj{D}\right)$.
    $\quad$

Partie B

On interroge un échantillon aléatoire de 100 personnes dans la population française.
Soit $X$ la variable aléatoire qui, à cet échantillon, associe le nombre de personnes ayant une connexion internet fixe au domicile.

  1. Expliquer pourquoi $X$ suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
    $\quad$
  2. Déterminer $P(X \pp 75)$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

Partie C

  1. Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de la proportion de Français ayant une connexion internet fixe au domicile pour un échantillon de taille $100$.
    $\quad$
  2. Une enquête sur les usages du numérique, menée en juin 2016 auprès des habitants d’un petit village de montagne, amène au constat suivant : parmi les $100$ habitants de plus de 12 ans de ce village, $76$ d’entre eux disposent d’une connexion internet fixe au domicile.
    Que peut-on penser de l’équipement en connexion internet fixe au domicile dans ce village ?
    $\quad$

Exercice 3    6 points

Partie A

On donne ci-dessous la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ d’une fonction définie et dérivable sur l’intervalle $[-3;2]$. On note $f’$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
Le point $A$ de coordonnées $(0;3)$ appartient à la courbe $\mathcal{C}_f$.
$B$ est le point d’abscisse $1$ appartenant à la courbe $\mathcal{C}_f$.

On dispose des informations suivantes :

  • la fonction $f$ est strictement décroissante sur les intervalles $[-3;-0,5]$ et $[1;2]$ et elle est strictement croissante sur $[-0,5;1]$ ;
  • la droite $\Delta$ d’équation $y = 0,5x+3$ est tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A$;
  • la tangente $\Delta’$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $B$ est parallèle à l’axe des abscisses.

Chaque réponse devra être justifiée.

  1. Donner la valeur de $f'(1)$.
    $\quad$
  2. Quel est le signe de $f'(- 2)$ ?
    $\quad$
  3. Donner la valeur de $f'(0)$.
    $\quad$
  4. Le point $A$ est-il un point d’inflexion de la courbe $\mathcal{C}_f$ ?
    $\quad$
  5. Déterminer un encadrement par deux entiers consécutifs de $\ds\int_0^1 f(x)\dx$.
    $\quad$

Partie B

On admet qu’il existe trois réels $a$, $b$ et $c$ pour lesquels la fonction $f$ représentée dans la partie A est définie, pour tout réel $x$ de $[-3;2]$, par : $$f(x) = \left(ax^2+bx+c\right)\e^x + 5$$

  1. En utilisant l’un des points du graphique, justifier que $c =-2$.
    $\quad$
  2. On admet que la fonction dérivée $f’$ est donnée, pour tout réel $x$ de $[-3;2]$, par : $$f'(x) = \left(ax^2+(2a+b)x-2+b\right)\e^x$$
    En utilisant les résultats de la partie A, justifier que $b = 2,5$ puis que $a = -1$.
    $\quad$

Partie C

On admet que la fonction $f$ est définie pour tout réel $x$ de $[-3;2]$ par $$f(x) = \left(-x^2+2,5x-2\right)\e^x+5$$

  1. Vérifier que pour tout réel $x$ de l’intervalle $[-3;2]$ $$f'(x) = \left(-x^2+0,5x+0,5\right)\e^x$$
    $\quad$
  2. Étudier le signe de $f’$ puis dresser le tableau de variation de $f$ sur $[-3;2]$.
    $\quad$
  3. a. Justifier que l’équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[1;2]$.
    $\quad$
    b. Donner la valeur de $\alpha$ arrondie au centième.
    $\quad$

Exercice 4    5 points

Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L

Pour l’année scolaire, un professeur de mathématiques propose aux élèves de sa classe le choix entre deux types d’accompagnement : “Approfondissement” ou “Ouverture culturelle”.

Chaque semaine, un élève doit s’inscrire dans un et un seul des deux accompagnements proposés.

La première semaine, $20\%$ des élèves de la classe ont choisi “Approfondissement” et tous les autres ont choisi “Ouverture culturelle”. On admet que

  • $20\%$ des élèves ayant choisi “Ouverture culturelle” une certaine semaine s’inscrivent en “Approfondissement” la semaine suivante ;
  • $30\%$ des élèves ayant choisi “Approfondissement” une certaine semaine s’inscrivent en “Ouverture culturelle” la semaine suivante.

On s’intéresse à l’évolution de la répartition des élèves de cette classe entre les deux types d’accompagnement au fil des semaines. Chaque semaine, on interroge au hasard un élève de la classe.
Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $A_n$ l’événement “l’élève a choisi “Approfondissement” la $n$-ième semaine” et $p_n$ la probabilité de l’événement $A_n$. On a alors $p_1 = 0,2$.

  1. Recopier l’arbre ci-dessous et remplacer chacun des quatre pointillés par la probabilité correspondante.
  2. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $p_{n+1} = 0,5p_n+0,2$.
    $\quad$
    $\quad$
  3. On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul par : $$u_n = p_n-0,4$$
    a. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,5$ et préciser la valeur de son premier terme $u_1$.
    $\quad$
    b. En déduire pour tout entier naturel $n$ l’expression de $u_n$ en fonction de $n$, puis l’expression de $p_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
    c. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  4. On considère l’algorithme suivant :
    $\begin{array}{|l|l|}
    \hline
    \textbf{Variables} & I \text{ et } N \text{ sont des entiers naturels strictement supérieurs à }1\\
    &P \text{ est un nombre réel}\\
    \hline
    \textbf{Entrée} &\text{Saisir } N\\
    \hline
    \textbf{Initialisation}& P \text{ prend la valeur } 0,2\\
    \hline
    \textbf{Traitement} &\text{Pour } I \text{ allant de } 2 \text{ à  }N :\\
    &\quad P \text{ prend la valeur } 0,5P+0,2\\
    &\text{Fin Pour}\\
    \hline
    \textbf{Sortie}& \text{Afficher } P\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    a. Écrire ce qu’affiche cet algorithme lorsque l’utilisateur entre la valeur $N = 5$.
    $\quad$
    b. Modifier l’algorithme afin qu’il affiche le numéro de la première semaine pour laquelle le pourcentage des élèves de la classe ayant choisi “Approfondissement” dépasse $39,9$.
    $\quad$

Exercice 4    5 points

Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Pour l’année scolaire, un professeur propose aux élèves de sa classe le choix entre deux types d’accompagnement: “Approfondissement” ou “Ouverture culturelle”.
Chaque semaine, un élève doit s’inscrire dans un et un seul des deux accompagnements proposés.
La première semaine, $20\%$ des élèves de la classe ont choisi “Approfondissement” et tous les autres ont choisi “Ouverture culturelle”. On admet que, chaque semaine,

  • $20\%$ des élèves ayant choisi “Ouverture culturelle” une certaine semaine s’inscrivent en “Approfondissement” la semaine suivante;
  • $30\%$ des élèves ayant choisi “Approfondissement” une certaine semaine s’inscrivent en “Ouverture culturelle” la semaine suivante.

On s’intéresse à l’évolution de la répartition des élèves de cette classe entre les deux types d’accompagnement au fil des semaines.
On interroge au hasard un élève de la classe et on suit son choix d’option au fil des semaines.

  1. On note $A$ l’état “L’élève a choisi Approfondissement” et $B$ l’état “L’élève a choisi Ouverture culturelle”.
    a. Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets $A$ et $B$.
    $\quad$
    b. Écrire la matrice de transition $M$ associée à ce graphe en prenant les sommets dans l’ordre alphabétique.
    $\quad$
  2. On note $P_1$ la matrice traduisant l’état probabiliste de la première semaine. Ainsi $P_1 = \begin{pmatrix}0,2& 0,8\end{pmatrix}$.
    a. Donner la matrice $M^2$ puis déterminer la probabilité que l’élève ait choisi “Approfondissement” lors de la troisième semaine.
    $\quad$
    b. À long terme, quelle est la probabilité qu’un élève choisisse “Approfondissement” ?
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel non nul $n$ on note:
    $\bullet$ $a_n$ la probabilité que l’élève interrogé ait choisi “Approfondissement” lors de la $n$-ième semaine,
    $\bullet$ $b_n$ la probabilité que l’élève interrogé ait choisi “Ouverture culturelle” lors de la $n$-ième semaine.
    Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, on a : $a_{n+1} = 0,5a_n + 0,2$.
    $\quad$
  4. On admet que pour tout entier naturel $n$ non nul, on a : $a_n = 0,4-0,4 \times 0,5^n$.
    Résoudre dans l’ensemble des entiers naturels l’inéquation suivante : $$0,4-0,4 \times 0,5^n > 0,399$$
    $\quad$
  5. a. Recopier et compléter l’algorithme suivant afin qu’il affiche le plus petit entier naturel $n$ non nul tel que $a_n > 0,399$.
    $\begin{array}{|l|l|}
    \hline
    \textbf{Variables} &N \text{ est un entier naturel}\\
    &A \text{ est un nombre réel}\\
    \hline
    \textbf{Initialisation}& \text{Affecter à } N \text{ la valeur } 1\\
    &\text{Affecter à } A \text{ la valeur } 0,2\\
    \hline
    \textbf{Traitement} &\ldots\ldots\\
    &\quad \begin{array}{|l}
    \text{Affecter à } A \text{ la valeur } 0,5\times A+0,2\\
    \ldots\ldots\dots  \\
    \end{array}\\
    &\quad~ \ldots \ldots\\
    \hline
    \textbf{Sortie}& \text{Afficher } N\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    b. Quelle est la valeur affichée par l’algorithme en sortie ? Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

Bac ES/L – Métropole – juin 2017

Métropole – Juin 2017

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. a. On veut calculer $p\left(T_1>5\right)=P\left(5<T_1<12\right)=\dfrac{12-5}{12}=\dfrac{7}{12}$
    $\quad$
    b. On a $E\left(T_1\right)=\dfrac{12+0}{2}=6$
    Le temps moyen d’attente est de $6$ minutes.
    $\quad$
  2. D’après la calculatrice on a : $p\left(0,75<T_2<6\right)\approx 0,745$
    $\quad$
  3. a. Il y a $10$ tirages aléatoires, indépendants et identiques. À chaque tirage, il y a$2$ issues : la caisse est ou n’est pas en panne. La probabilité qu’une caisse soit en panne est $p=0,1$.
    La variable aléatoire $X$ suit donc une loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,1$.
    $\quad$
    b. $p(X=0)=0,9^{10}\approx 0,349$
    La probabilité qu’aucune caisse automatique ne tombe en panne pendant une journée donnée est d’environ $34,9\%$.
    $\quad$
  4. On a $n=860\pg 30$, $p=0,9$ donc $np=774\pg 5$ et $n(1-p)=86\pg 5$.
    Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ est :
    $\begin{align*} I_{860} &=\left[0,9-1,96\sqrt{\dfrac{0,9\times 0,1}{860}};0,9+1,96\sqrt{\dfrac{0,9\times 0,1}{860}}\right] \\
    &\approx [0,880;0,921]
    \end{align*}$
    La fréquence observée est $f=\dfrac{763}{860}\approx 0,887 \in I_{860}$.
    Cela ne remet donc pas en question l’affirmation du gérant.
    $\quad$

 

Ex 2 obl

Exercice 2

Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L

Partie A

  1. Au 1er mars 2017, on a $n=2$
    $u_0=900$ donc $u_1=687$ et $u_2=527,25$
    Il y a donc $527$ adhérents au 1er mars 2017.
    $\quad$
  2. a. On a $v_n=u_n-48$ donc $u_n=v_n+48$
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-48 \\
    &=0,75u_n+12-48\\
    &=0,75u_n-36\\
    &=0,75\left(v_n+48\right)-36\\
    &=0,75v_n+36-36\\
    &=0,75v_n
    \end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,75$ et de premier terme $v_0=900-48=852$.
    $\quad$
    b. On a $v_0=852$ et, pour tout entier naturel $n$, $v_n=852\times 0,75^n$.
    $\quad$
    c. Or $u_n=v_n+48$
    Donc, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=852\times 0,75^n+48$
    $\quad$
  3. On cherche la valeur du plus petit entier naturel $n$ tel que :
    $\begin{align*} u_n<100&\ssi 852\times 0,75^n+48<100 \\
    &\ssi 852\times 0,75^n<52 \\
    &\ssi 0,75^n < \dfrac{52}{852} \\
    &\ssi n\ln(0,75) < \ln \left(\dfrac{52}{852} \right) \\
    &\ssi n> \dfrac{\ln \left(\dfrac{52}{852} \right)}{\ln(0,75)} \\
    &\ssi n \pg 10
    \end{align*}$
    La présidente devra donc démissionner au bout de $10$ mois.
    $\quad$

Partie B

  1. Variables
    $\quad$ $S$ est un nombre réel
    $\quad$ $N$ est un entier
    $\quad$ $U$ est un nombre réel
    Initialisation
    $\quad$ $S$ prend la valeur $0$
    $\quad$ $U$ prend la valeur $900$
    $\quad$ Pour $N$ allant de $1$ à $12$ :
    $\qquad$ Affecter à $S$ la valeur $S+10\times U$
    $\qquad$ Affecter à $U$ la valeur $0,75U+12$
    $\quad$ Fin pour
    Sortie
    $\quad$ Afficher $S$
    $\quad$
  2. On veut calculer :
    $\begin{align*} S&=10\times \left(u_0+u_1+\ldots+u_{11}\right) \\
    &=10\left(852\times 0,75^0+48+852\times 0,75^1+48+\ldots+852\times 0,75^{11}+48\right) \\
    &=10\left(852\times \dfrac{1-0,75^{12}}{1-0,75}+48\times 12\right) \\
    &\approx 38~760,47
    \end{align*}$
    Le total des cotisations perçues par l’association pendant l’année 2017 s’élèvent à environ $38~760,47$ euros.
    $\quad$

Ex 2 spé

Exercice 2

Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité.

  1. On a $\begin{pmatrix} 1&0\end{pmatrix}$
    $\quad$
  2. On obtient le graphe suivant :
  3. La matrice de transition est donc $M=\begin{pmatrix} 0,2&0,8\\0,4&0,6\end{pmatrix}$
    $\quad$
  4. On a $a_{n+1}=0,85a_n+0,1b_n$
    Or $a_n+b_n=1$ donc $b_n=1-a_n$
    Par conséquent
    $\begin{align*}a_{n+1}&=0,85a_n+0,1b_n \\
    &=0,85a_n+0,1\left(1-a_n\right) \\
    &=0,85a_n+0,1-0,1a_n\\
    &=0,75a_n+0,1
    \end{align*}$
    $\quad$
  5. a. Pour tout entier naturel $n \pg 1$, $v_n=a_n-0,4$ donc $a_n=v_n+0,4$
    $\begin{align*} v_{n+1}&=a_{n+1}-0,4 \\
    &=0,75a_n+0,1-0,4\\
    &=0,75a_n-0,3 \\
    &=0,75\left(v_n+0,4\right)-0,3 \\
    &=0,75v_n+0,3-0,3\\
    &=0,75v_n
    \end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,75$ et de premier terme $v_1=1-0,4=0,6$
    $\quad$
    b. On a donc, pour tout entier naturel $n\pg 1$, $v_n=0,6\times 0,75^{n-1}$
    Par conséquent
    $\begin{align*}u_n&=0,6\times 0,75^{n-1}+0,4\\
    &=0,6\times 0,75^n\times \dfrac{1}{0,75}+0,4 \\
    &=0,8\times 0,75^n+0,4
    \end{align*}$
    $\quad$
    c.$-1<0,75<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,75^n=0$
    Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=0,4$
    $\quad$
    d. Sur le long terme la probabilité d’obtenir une question difficile est $0,6$.
    Le joueur risque donc d’avoir à résoudre des énigmes difficiles.
    $\quad$

Partie B

D’après l’algorithme de Dijkstra on a :
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
A&B&C&D&E&F&G&\text{Sommet} \\
\hline
0&&&&&&&A\\
\hline
&2(A)&6(A)&10(A)&&&&B\\
\hline
\phantom{12(A)}&&5(B)&10(A)&&&17(B)&C\\
\hline
&&&9(C)&14(C)&&17(B)&D\\
\hline
&&&&12(D)&&17(B)&E\\
\hline
&&&&&13(E)&16(E)&F\\
\hline
&&&&&&16(E)&G\\
\hline
\end{array}$
Le plus court chemin pour aller de $A$ à $G$ est donc : $A-B-C-D-E-G$.
$\quad$

 

 

Ex 3

Exercice 3

  1. D’après le logiciel de calcul formel on a $f'(x)=-3x\e^{3x}+2\e^{3x}=(-3x+2)\e^{3x}$
    La fonction exponentielle est strictement positive. Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $-3x+2$
    $-3x+2=0 \ssi x=\dfrac{2}{3}$
    $-3x+2>0 \ssi -3x>-2 \ssi x<\dfrac{2}{3}$
    On obtient donc le tableau de variation suivant :

    Avec $f\left(\dfrac{2}{3}\right)=\dfrac{\e^2}{3}$
    $\quad$
  2. On a, d’après le logiciel de calcul formel, $f^{\prime\prime}(x)=3(1-3x)\e^{3x}$
    La fonction exponentielle ne s’annule pas.
    Par conséquent $f^{\prime\prime}(x)=0 \ssi 1-3x=0 \ssi x=\dfrac{1}{3}$.
    $f\left(\dfrac{2}{3}\right)=\dfrac{\e}{3}$
    Le point d’inflexion a pour coordonnées $\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{\e}{3}\right)$.
    $\quad$

Partie B

  1. $f(0)=1$ et $g(0)=0^2-0+1=1$. Le point $B(0;1)$ appartient bien aux deux courbes.
    $f(1)=0$ et $g(1)=1^2-2+1=0$.Le point $A(1;0)$ appartient bien aux deux courbes.
    $\quad$
  2. a. Pour tout $x\pg 0$ on a $3x\pg 0$
    La fonction exponentielle étant strictement croissante sur $[0;1]$, on a donc $\e^{3x} \pg \e^0$
    Soit $\e^{3x} \pg 1$ et donc $\e^{3x}-1\pg 0$
    $\quad$
    b. Sur l’intervalle $[0;1]$ on a: $\e^{3x}-1\pg 0$ et $x \pg 0$
    Donc $\e^{3x}-1+x\pg 0$
    $\quad$
    c. Sur l’intervalle $[0;1]$ on a :
    $\bullet 1-x \pg 0$
    $\bullet \e^{3x}-1+x\pg 0$
    Donc $f(x)-g(x)\pg 0$ pour tout $x$ dans $(0;1]$.
    $\quad$
  3. a. Une primitive de la fonction $g$ sur l’intervalle $[0;1]$ est la fonction $G$ définie sur cet intervalle par $G(x)=\dfrac{1}{3}x^3-x^2+x$
    $\begin{align*} I&=\displaystyle \int_0^1 g(x)\dx \\
    &=G(1)-G(0) \\
    &=\dfrac{1}{3}-1+1-0\\
    &=\dfrac{1}{3}
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. $S$ est l’aire du domaine compris entre les deux courbes et les droites d’équation $x=0$ et $x=1$
    $\begin{align*} S&=\displaystyle \int_0^1f(x)\dx-\int_0^1 g(x)\dx \\
    &=\dfrac{\e^3-4}{9}-\dfrac{1}{3} \\
    &=\dfrac {\e^3-7}{9} \text{u.a.} \\
    &\approx 1,45 \text{u.a.}
    \end{align*}$
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. $P(X=1)=\dfrac{\ln(2)-\ln(1)}{\ln(10}}=\dfrac{\ln(2)}{\ln(10)}\approx 0,302$
    $\quad$
  2. a. La fréquence observée est $f=\dfrac{11~094}{36~677}\approx 0,301$ qui est très proche de $0,302$.
    Cette observation est donc compatible avec l’affirmation “le premier chiffre de la population des communes en France au 1er janvier 2016 suit la loi de Benford”
    $\quad$
    b. La taille d’un élève est généralement comprise entre $100$ cm et $200$ cm.
    La probabilité que le premier chiffre de la taille en centimètres d’un candidat pris au hasard est très proche de $1$.
    La loi de Benford ne semble pas être une loi adaptée pour $X$.
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1    6 points

Dans cet exercice, tous les résultats seront arrondis au millième près.

  1. Un supermarché dispose de plusieurs caisses. Un client qui se présente à une caisse doit attendre un certain temps $T_1$ avant d’être pris en charge par le caissier. On considère que ce temps d’attente $T_1$ exprimé en minute, est une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l’intervalle $[0;12]$.
    $\quad$
    a. Quelle est la probabilité qu’un client attende au moins $5$ minutes avant d’être pris en charge ?
    $\quad$
    b. Quel est le temps moyen d’attente à une caisse ?
    $\quad$
  2. Le gérant du magasin décide de mettre à disposition des clients des caisses automatiques, de façon à réduire le temps d’attente pour les clients ayant un panier contenant peu d’articles.
    Le temps d’attente $T_2$, exprimé en minute, à chacune de ces caisses automatiques est modélisé par une variable aléatoire qui suit la loi normale de moyenne $5$ et d’écart type $1,5$.
    Calculer la probabilité que le temps d’attente à une caisse automatique soit compris entre $0,75$ minute et $6$ minutes.
    $\quad$
  3. Ces caisses automatiques tombent souvent en panne. On donne les informations suivantes.
    $\bullet$ Le nombre de caisses automatiques est $n = 10$.
    $\bullet$ La probabilité qu’une caisse automatique tombe en panne pendant une journée donnée est $p = 0,1$.
    $\bullet$ Une panne constatée sur une caisse automatique n’influence pas les autres caisses automatiques.
    Soit $X$ la variable aléatoire correspondant au nombre de caisses automatiques qui tombent en panne pendant une journée donnée.
    a. Quelle est la loi de probabilité suivie par $X$ ? Préciser ses paramètres.
    $\quad$
    b. Calculer la probabilité pour qu’aucune caisse automatique ne tombe en panne pendant une journée donnée.
    $\quad$
  4. Sur la devanture de son magasin, le gérant du supermarché affiche :
    “Plus de $90\%$ des clients de notre magasin sont satisfaits par la mise en place de nos caisses automatiques.”
    Une association de consommateurs souhaite examiner cette affirmation. Pour cela, elle réalise un sondage : $860$ clients sont interrogés, et $763$ d’entre eux se disent satisfaits par la mise en place de ces caisses automatiques.
    Cela remet-il en question l’affirmation du gérant ?
    $\quad$

Exercice 2    5 points

Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L 

Au 1$\ier$ janvier 2017, une association sportive compte $900$ adhérents. On constate que chaque mois :

  • $25\%$ des adhérents de l’association ne renouvellent pas leur adhésion ;
  • $12$ nouvelles personnes décident d’adhérer à l’association.

Partie A

On modélise le nombre d’adhérents de l’association par la suite $\left(u_n\right)$ telle que $u_0 = 900$ et, pour tout entier naturel $n$, $$u_{n+1} = 0,75u_n + 12$$

Le terme $u_n$ donne ainsi une estimation du nombre d’adhérents de l’association au bout de $n$ mois.

  1. Déterminer une estimation du nombre d’adhérents au 1$\ier$ mars 2017.
    $\quad$
  2. On définit la suite $\left(v_n\right)$ par $v_n = u_n-48$ pour tout entier naturel $n$.
    a. Montrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,75$.
    $\quad$
    b. Préciser $v_0$ et exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
    c. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $$u_n = 852\times 0,75^n + 48$$
    $\quad$
  3. La présidente de l’association déclare qu’elle démissionnera si le nombre d’adhérents devient inférieur à $100$. Si on fait l’hypothèse que l’évolution du nombre d’adhérents se poursuit de la même façon, faudra-t-il que la présidente démissionne ? Si oui, au bout de combien de mois ?
    $\quad$

Partie B

Chaque adhérent verse une cotisation de $10$ euros par mois. Le trésorier de l’association souhaite prévoir le montant total des cotisations pour l’année 2017.
Le trésorier souhaite utiliser l’algorithme suivant dans lequel la septième et la dernière ligne sont restées incomplètes (pointillés).

  1. Recopier et compléter l’algorithme de façon qu’il affiche le montant total des cotisations de l’année 2017.
    Variables
    $\quad$ $S$ est un nombre réel
    $\quad$ $N$ est un entier
    $\quad$ $U$ est un nombre réel
    Initialisation
    $\quad$ $S$ prend la valeur $0$
    $\quad$ $U$ prend la valeur $900$
    $\quad$ Pour $N$ allant de $1$ à $12$ :
    $\qquad$ Affecter à $S$ la valeur $\ldots\ldots\ldots$
    $\qquad$ Affecter à $U$ la valeur $0,75U+12 $
    $\quad$ Fin Pour
    Sortie
    $\quad$ $\ldots\ldots\ldots$
    $\quad$
  2. Quelle est la somme totale des cotisations perçues par l’association pendant l’année 2017 ?
    $\quad$

Exercice 2    5 points 

Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

Dans un jeu vidéo, une suite d’énigmes est proposée au joueur. Ces énigmes sont classées en deux catégories: les énigmes de catégorie A sont les énigmes faciles ; les énigmes de catégorie B sont les énigmes difficiles.
Le choix des énigmes successives est aléatoire et vérifie les conditions suivantes :

  • la première énigme est facile ;
  • si une énigme est facile, la probabilité que la suivante soit difficile est égale à $0,15$ ;
  • si une énigme est difficile, la probabilité que la suivante soit facile est égale à $0,1$.

Pour $n \pg 1$, on note :

  • $a_n$ la probabilité que l’énigme numéro $n$ soit facile (de catégorie A) ;
  • $b_n$ la probabilité que l’énigme numéro $n$ soit difficile (de catégorie B) ;
  • $P_n = \begin{pmatrix}a_n&b_n\end{pmatrix}$ l’état probabiliste pour l’énigme numéro $n$.
  1. Donner la matrice $P_1$.
    $\quad$
  2. Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets $A$ et $B$.
    $\quad$
  3. Écrire la matrice $M$ associée à ce graphe, puis donner la matrice ligne $P_2$.
    $\quad$
  4. Sachant que, pour tout entier $n\pg 1$, on a : $a_n + b_n = 1$, montrer que, pour tout entier $n\pg 1$, on a : $a_{n+1} = 0,75a_n+0,1$.
    $\quad$
  5. Pour tout entier naturel $n\pg 1$, on pose $v_n = a_n-0,4$.
    a. Montrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
    $\quad$
    b. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$, puis montrer que pour tout entier $n\pg 1$ : $$a_n = 0,8\times 0,75^n+0,4$$
    $\quad$
    c. Préciser la limite de la suite $\left(v_n\right)$.
    $\quad$
    d. Une revue spécialisée dans les jeux vidéo indique que plus le joueur évolue dans le jeu, plus il risque d’avoir à résoudre des énigmes difficiles. Que penser de cette analyse ?
    $\quad$

Partie B

Une des énigmes consiste à réaliser un parcours en un minimum de temps. Le graphe suivant schématise le parcours. L’étiquette de chaque arête indique le temps de parcours en minute entre les deux sommets qu’elle relie. Par exemple, le temps de parcours de $C$ vers $D$, ou de $D$ à $C$, est égal à quatre minutes.

Quel chemin le joueur doit-il prendre pour aller de $A$ à $G$ en minimisant son temps de parcours ? Expliquer la démarche utilisée.

$\quad$

Exercice 3    6 points

Une entreprise souhaite utiliser un motif décoratif pour sa communication.
Pour réaliser ce motif, on modélise sa forme à l’aide de deux fonctions $f$ et $g$ définies par :
pour tout réel $x$ de $[0;1]$, $f(x) = (1-x)\e^{3x}$ et $g(x) = x^2-2x+1$.
Leurs courbes représentatives seront notées $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.

 

Partie A

Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants :

$\begin{array}{|l}
\text{dériver} ((1-x)*\exp(3x))\\
\qquad : -3x*\exp(3*x)+2*\exp(3*x)\\
\\
\text{factoriser}(-3x*\exp(3*x)+2*\exp(3*x))\\
\qquad : \exp(3x)*(-3x+2)\\
\\
\text{factoriser(dériver}(\exp(3x)(-3x+2)))\\
\qquad : 3*\exp(3*x)(1-3x)\\
\end{array}$

Lecture : la dérivée de la fonction $f$ est donnée par $f'(x) = -3x\e^{3x}+2\e^{3x}$, ce qui, après factorisation, donne $f'(x) = (-3x+2)\e^{3x}$.

  1. Étudier sur $[0;1]$ le signe de la fonction dérivée $f’$, puis donner le tableau de variation de $f$ sur $[0;1]$ en précisant les valeurs utiles.
    $\quad$
  2. La courbe $\mathcal{C}_f$ possède un point d’inflexion. Déterminer ses coordonnées.
    $\quad$

Partie B

On se propose de calculer l’aire de la partie grisée sur le graphique.

  1. Vérifier que les points $A$ et $B$ de coordonnées respectives $(1;0)$ et $(0;1)$ sont des points communs aux courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.
    $\quad$
  2. On admet que: pour tout $x$ dans $[0;1]$, $f(x)-g(x) = (1-x)\left(\e^{3x}-1+x\right).$
    a. Justifier que pour tout x dans $[0;1]$, $\e^{3x}-1\pg 0$.
    $\quad$
    b. En déduire que pour tout $x$ dans $[0;1]$, $\e^{3x}-1+x\pg 0$.
    $\quad$
    c. Étudier le signe de $f(x)-g(x)$ pour tout x dans $[0;1]$.
    $\quad$
  3. a. Calculer $\ds \int_0^1g(x)\dx$.
    $\quad$
    b. On admet que : $$\int_0^1f(x)\dx = \dfrac{\e^{3}-4}{9}$$
    Calculer l’aire $S$, en unité d’aire, de la partie grisée. Arrondir le résultat au dixième.
    $\quad$

Exercice 4    3 points

Dans cet exercice, on considère le premier chiffre des entiers naturels non nuls, en écriture décimale. Par exemple, le premier chiffre de $2~017$ est $2$ et le premier chiffre de $95$ est $9$.
Dans certaines circonstances, le premier chiffre d’un nombre aléatoire non nul peut être modélisé par une variable aléatoire $X$ telle que pour tout entier $c$ compris entre $1$ et $9$, $$P(X=c) = \dfrac{\ln(c+1)-\ln(c)}{\ln(10)}$$

Cette loi est appelée loi de Benford.

  1. Que vaut $P(X = 1)$ ?
    $\quad$
  2. On souhaite examiner si la loi de Benford est un modèle valide dans deux cas particuliers.
    a. Premier cas
    Un fichier statistique de l’INSEE indique la population des communes en France au 1$\ier$ janvier 2016 (champ: France métropolitaine et départements d’outre-mer de la Guadeloupe, de la Guyane, de la Martinique et de la Réunion).
    À partir de ce fichier, on constate qu’il y a $36~677$ communes habitées. Parmi elles, il y a $11~094$ communes dont la population est un nombre qui commence par le chiffre $1$.
    Cette observation vous semble-t-elle compatible avec l’affirmation : “le premier chiffre de la population des communes en France au 1$\ier$ janvier 2016 suit la loi de Benford”?
    $\quad$
    b. Deuxième cas
    Pour chaque candidat au baccalauréat de la session 2017, on considère sa taille en centimètres.
    On désigne par $X$ la variable aléatoire égale au premier chiffre de la taille en centimètres d’un candidat pris au hasard.
    La loi de Benford vous semble-t-elle une loi adaptée pour $X$ ?
    $\quad$

Bac ES/L – Polynésie – juin 2017

Polynésie – Juin 2017

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici :

Ex 1

Exercice 1

  1. $\quad$
    $\begin{align*} \left(\dfrac{1}{2}\right)^x=\dfrac{3}{10} &\ssi x\ln \left(\dfrac{1}{2}\right)=\ln\left(\dfrac{3}{10}\right) \\
    &\ssi x\times \left(-\ln(2)\right)=\ln(3)-\ln(10) \\
    &\ssi x=\dfrac{\ln(3)-\ln(10)}{-\ln(2)} \\
    &\ssi x=\dfrac{\ln(10)-\ln(3)}{\ln(2)}
    \end{align*}$
    Réponse b
    $\quad$
  2. Une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $\R$ est la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=\e^{x^2}$.
    $\begin{align*} I&=\displaystyle \int_{-2}^2 f(x)\dx \\
    &=F(2)-F(-2) \\
    &=\e^{4}-\e^{4}\\
    &=0
    \end{align*}$
    Réponse c
    $\quad$
  3. $f'(x)=2\ln(x)+\dfrac{2x+3}{x}=2\ln(x)+2+\dfrac{3}{x}$
    Réponse c
    $\quad$
  4. Le coefficient multiplicateur associé à ces deux augmentations successives est :
    $1,05\times 1,07=1,123~5$
    Le pourcentage global d’augmentation est donc $12,35\%$
    Réponse d
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. a. D’après l’énoncé on a :
    $P(A)=0,2$
    $P_A(R)=0,75$
    $P_{\conj{A}}(R)=0,566$
    $\quad$
    b. On obtient l’arbre pondéré suivant :
  2. a. D’après l’arbre pondéré on a $P(A\cap R)=0,2\times 0,75=0,15$
    $\quad$
    b. Cela signifie que la probabilité que le candidat choisi ait suivi la filière AAC et qu’il ait été reçu à l’examen est égale à $15\%$ .
    $\quad$
  3. D’après la formule des probabilités totales on a:
    $\begin{align*} P(R)&=P(A\cap R)+P\left(\conj{A}\cap R\right) \\
    &=0,15+0,8\times 0,566 \\
    &=0,602~8
    \end{align*}$
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_R(A)&=\dfrac{P(A\cap R)}{P(R)} \\
    &=\dfrac{0,15}{0,602~8} \\
    &\approx 0,258~8
    \end{align*}$
    $\quad$

Partie B

  1. On a $n=400\pg 30$ et $p=0,62$ donc $np=248\pg 5$ et $n(1-p)=152 \pg 5$
    Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ est donc :
    $\begin{align*} I_{400}&=\left[0,62-1,96\sqrt{\dfrac{0,62\times 0,38}{400}};0,62+1,96\sqrt{\dfrac{0,62\times 0,38}{400}}\right] \\
    &\approx [0,572;0,668]
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. La fréquence observée est $f=\dfrac{220}{400}=0,55\notin I_{400}$
    On peut donc émettre des doutes sur l’affirmation du responsable de cette auto-école.
    $\quad$

Partie C

  1. A l’aide de la calculatrice on trouve :
    $P(1~090<X<1~910)\approx 0,68$
    Remarque : on pouvait également remarquer qu’on voulait calculer $P(\mu-\sigma<X<\mu+\sigma) \approx 0,68$
    $\quad$
  2. $P(X \pp 1~155)=0,5-P(1~155<X<1~500) \approx 0,20$$\quad$
  3. a. $P(X \pg a)=0,2\ssi P(X \pp a)=0,8$
    A l’aide de la touche inverse loi normale de la calculatrice on trouve $a\approx 1~845$.
    Remarque : On pouvait également utiliser le fait que $$P(X \pp 1~155)\approx 0,2$. $1~155=1~500=345$.
    Donc $P(X\pg 1~500+345) \approx 0,2$.
    $\quad$
    b. Cela signifie que la probabilité que la probabilité que le coût d’obtention du permis de conduire dépasse $1~845$ € ait $20\%$.
    $\quad$

 

 

Ex 3 obl

Exercice 3

Candidats ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats L

  1. La surface diminue de $0,4\%$ chaque année. Il en reste donc $99,6\%$ soit $0,996u_n$.
    Le reboisement représente $7,2$ millions d’hectares par an.
    En 2015, les forêts couvraient environ $4~000$ millions d’hectares sur terre.
    Ainsi, en millions d’hectares, on a $u_0=4~000$
    La suite $u_n$ permet d’obtenir une estimation de la surface mondiale de forêt, en millions d’hectares l’année 2015+$n$.
    $\quad$
  2. Variables :
    $\quad$ $N$ est un entier naturel
    $\quad$ $U$ est un nombre réel
    Initialisation : 
    $\quad$ Affecter à $N$ la valeur $2~015$
    $\quad$ Affecter à $U$ la valeur $4~000$
    Traitement :
    $\quad$ Tant que $U>3~500$ faire :
    $\qquad$ $U$ prend la valeur $0,996\times U+7,2$
    $\qquad$ $N$ prend la valeur $N+1$
    $\quad$ Fin Tant que
    Sortie :
    $\quad$ Afficher $N$
    $\quad$
  3. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=u_n-1~800$ soit $u_n=v_n+1~800$
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-1~800 \\
    &=0,996u_n+7,2-1~800 \\
    &=0,996u_n-1~792,8 \\
    &=0,996\left(v_n+1~800\right)-1~792,8\\
    &=0,996v_n+1~792,8-1~792,8\\
    &=0,996v_n
    \end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $q=0,996$ et de premier terme $v_0=4~000-1~800=2~200$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel on a donc :
    $v_n=2~200\times 0,996^n$
    Or $u_n=v_n+1~800$
    Donc $u_n=2~200\times 0,996^n+1~800$.
    $\quad$
    c. $0<0,996<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,996^n=0$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=1~800$
    Sur le long terme la surface des forêts sur terre sera de $1~800$ millions d’hectares.
    La surface des forêts sur terre ne va donc pas finir par disparaître.
    $\quad$
  4. L’année 2016+$n$, l’ONU aura replanté $7,3\times 1,1^n$ milliards d’arbres.
    Il s’agit du terme générique d’une suite géométrique.
    La somme des $10$ premiers termes (de 2016 à 2025) est donc
    $S=7,3\times \dfrac{1-1,1^{10}}{1-1,1} \approx 116,34 <140$
    L’ONU n’arrivera donc pas à atteindre son objectif.
    $\quad$

 

Ex 3 spé

Exercice 3

Candidats ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

On utilise l’algorithme de Dijkstra.
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
O&A&B&C&D&E&F&\text{Sommet}\\
\hline
0&&&&&&&O\\
\hline
&2(O)&5(O)&4(O)&&&&A\\
\hline
&&4(A)&4(O)&9(A)&&&B\\
\hline
&&&4(O)&9(A)&7(B)&&C\\
\hline
&&&&9(A)&7(B)&&E\\
\hline
&&&&8(E)&&15(E)&D\\
\hline
&&&&&&14(D)&F\\
\hline
\end{array}$
Il doit donc combattre au minimum $14$ créatures s’il part du point $O$ pour arriver au point $F$.
$\quad$

Partie B

  1. $f(1)=a+b+c=8$
    $f(2)=4a+2b+c=25$
    $f(3)=9a+3b+c=80$
    On obtient donc le système $\begin{cases} a+b+c=8\\4a+2b+c=25\\9a+3b+c=80\end{cases}$
    $\quad$
  2. $AX=\begin{pmatrix}a+b+c\\4a+2b+c\\9a+3b+c\end{pmatrix}$.
    Le système est donc équivalent à l’équation $AX=B$.
    $\quad$
  3. a. $M\times A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$
    $\quad$
    b. La matrice $M$ est donc la matrice inverse de la matrice $A$.
    $\quad$
  4. $AX=B\ssi X=MB \ssi \begin{pmatrix}19&-40&29\end{pmatrix}$
    Ainsi $a=19$, $b=-40$ et $c=29$.
    Et $f(x)=19x^2-40x+29$
    $\quad$
  5. $a=19>0$. La fonction $f$ atteint donc son minimum pour $x=\dfrac{40}{2\times 19} =\dfrac{20}{19} \approx 1,05$
    La fonction $f$ est donc strictement croissante sur l’intervalle $[2;10]$.
    $f(1)=8<2~500$ et $f(10)=1~529 <2~500$.
    Selon ce modèle, le parc ne risque pas de rfuser d’accueil des personnes un de ces dix jours.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. Le point $A(0;-2)$ appartient à la courbe $\mathscr{C}$ donc $f(0)=-2$.
    La tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point $A$ admet pour équation $y=10x-2$. Donc $f'(0)=10$
    $\quad$
  2. a. $f'(x)=a\e^{-x}-(ax-2)\e^{-x}=(a-ax+2)\e^{-x}$
    $\quad$
    b. $f'(0)=10 \ssi a+2=10 \ssi a=8$
    $\quad$
    c. On a donc $f(x)=(8x-2)\e^{-x}$ et $f'(x)=(-8x+10)\e^{-x}$.
    $\quad$
  3. a. et b. La fonction exponentielle est strictement positive.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $-8×10$
    $-8x+10=0 \ssi 8x=10\ssi x=1,25$
    $-8x+10>0 \ssi -8x>-10\ssi x<1,25$
    On obtient ainsi le tableau de variation suivant :

    $f(1,25)=8\e^{-1,25} \approx 2,292$
    $f(5)=38\e^{-5x} \approx 0,013$
    c. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur l’intervalle $[0;1,25]$
    $f(0)=-2<0$ et $f(1,25)>0$
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires l’équation $f(x)=0$ possède une unique solution sur l’intervalle $[0;1,25]$.
    Sur l’intervalle $[1,25;5]$, $f(x)\pg f(5) >0$.
    L’équation $f(x)=0$ ne possède donc pas de solution sur cet intervalle.
    Finalement, l’équation $f(x)=0$ possède une unique solution sur l’intervalle $[0;5]$.
    $\quad$
  4. a. D’après le logiciel de calcul formel on a :
    $f^{\prime\prime}(x)=(8x-18)\e^{-x}$
    $\quad$
    b. La fonction exponentielle est strictement croissante. Le signe de $f^{\prime\prime}(x)$ ne dépend donc que de celui de $8x-18$.
    $8x-18=0\ssi 8x=18\ssi x=2,25$
    $8x-18>0\ssi 8x>18\ssi x>2,25$
    La fonction $f$ admet donc un point d’inflexion pour $x=2,25$.
    $\quad$
  5. a. La fonction $f$ admet un maximum pour $x=1,25$.
    L’entreprise doit donc fabriquer $1~250$ pour réaliser un bénéfice maximal.
    $\quad$
    b. $f(1,25) \approx 2,292$
    Le bénéfice maximal est donc d’environ $229~200$ €.
    $\quad$

 

Énoncé

Exercice 1    4 points

Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte. Recopier le numéro de la question et la réponse exacte. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte $1$ point, une réponse fausse ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point. Une réponse multiple ne rapporte aucun point.

  1. La solution exacte de l’équation $\left( \dfrac{1}{2} \right)^x = \dfrac{3}{10}$ est :
    a. $1,74$
    b. $\dfrac{\ln 10-\ln 3}{\ln 2}$
    c. $-\dfrac{\ln 3}{\ln 5}$
    d. $0,5$
    $\quad$
  2. $f$ est la fonction définie pour tout nombre réel $x$ par $f(x) = 2x\e^{x^2}$.
    La valeur exacte de l’intégrale $\displaystyle\int_{-2}^{2}f(x)\dx$ est :
    a. $4\e^{4}-4\e^{-4}$
    b. $4\left(\e^{4}+\e^{-4}\right)$
    c. $0$
    d. $1$
    $\quad$
  3. $f$ est la fonction définie pour tout $x$ de l’intervalle $]0;+\infty [$ par $f(x)=(2x+3)\ln x$.
    On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $]0;+\infty[$.
    On rappelle que $f’$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$.
    Pour tout nombre réel $x$ de l’intervalle $]0;+\infty [$ on a :
    a. $f'(x)=\dfrac{2x+3}{x}$
    b. $f'(x)=\dfrac{2}{x}$
    c. $f'(x)=2\ln x+\dfrac{3}{x}+2$
    d. $f'(x)=2\ln x+\dfrac{3}{x}$
    $\quad$
  4. Une grandeur a été augmentée de $5\%$ la première année, puis de $7\%$ la deuxième année.
    Sur ces deux années, le pourcentage global d’augmentation est égal à :
    a. $12\%$
    b. $35\%$
    c. $0,35\%$
    d. $12,35\%$
    $\quad$

Exercice 2    5 points

Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.

Partie A

D’après le “bilan des examens du permis de conduire” pour l’année 2014 publiée par le ministère de l’Intérieur en novembre 2015, $20\%$ des personnes qui se sont présentées à l’épreuve pratique du permis de conduire avaient suivi la filière de l’apprentissage anticipé de la conduite (AAC). Parmi ces candidats, $75\%$ ont été reçus à l’examen. Pour les candidats n’ayant pas suivi la filière AAC, le taux de réussite à l’examen était seulement de $56,6\%$.
On choisit au hasard l’un des candidats à l’épreuve pratique du permis de conduire en 2014.
On considère les événements suivants :

  • $A$ “le candidat a suivi la filière AAC” ;
  • $R$ “le candidat a été reçu à l’examen” .

On rappelle que si $E$ et $F$ sont deux événements, la probabilité de l’événement $E$ est notée $P(E)$ et celle de $E$ sachant $F$ est notée $P_F(E)$. De plus $\conj{E}$ désigne l’événement contraire de $E$.

  1. a. Donner les probabilités $P(A)$, $P_A(R)$ et $P_{\conj{A}}(R)$.
    $\quad$
    b. Traduire la situation par un arbre pondéré.
    $\quad$
  2. a. Calculer la probabilité $P\left( A \cap R\right)$.
    $\quad$
    b. Interpréter ce résultat dans le cadre de l’énoncé.
    $\quad$
  3. Justifier que $P(R)=0,602~8$.
    $\quad$
  4. Sachant que le candidat a été reçu à l’examen, calculer la probabilité qu’il ait suivi la filière AAC.
    On donnera une valeur approchée à $10^{-4}$ près de cette probabilité.
    $\quad$

Partie B

Un responsable d’auto-école affirme que pour l’année 2016, la probabilité d’être reçu à l’examen est égale à $0,62$.
Ayant des doutes sur cette affirmation, une association d’automobilistes décide d’interroger $400$ candidats à l’examen parmi ceux de 2016. Il s’avère que $220$ d’entre eux ont effectivement obtenu le permis de conduire.

  1. Déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$  de la fréquence de candidats reçus dans un échantillon aléatoire de $400$ candidats.
    $\quad$
  2. Peut-on émettre des doutes sur l’affirmation du responsable de cette auto-école ?
    Justifier votre réponse.
    $\quad$

Partie C

Selon une enquête menée en 2013 par l’association “Prévention Routière”, le coût moyen d’obtention du permis de conduire atteignait environ $1~500$ € . On décide de modéliser le coût d’obtention du permis de conduire par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d’espérance $\mu=1~500$ et d’écart-type $\sigma=410$.

  1. Déterminer une valeur approchée à $10^{-2}$ près de la probabilité que le coût du permis de conduire soit compris entre $1~090$ € et $1~910$.
    $\quad$
  2. Déterminer $P\left(X \pp 1~155\right)$.
    On donnera le résultat sous forme approchée à $10^{-2}$ près.
  3. a. Par la méthode de votre choix, estimer la valeur du nombre réel $a$ arrondi à l’unité, vérifiant $P\left(X \pg a\right)=0,2$.
    $\quad$
    b. Interpréter ce résultat dans le cadre de l’énoncé.
    $\quad$

Exercice 3    5 points

Candidats ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L

En 2015, les forêts couvraient environ $4~000$ millions d’hectares sur terre. On estime que, chaque année, cette surface diminue de $0,4\%$. Cette perte est en partie compensée par le reboisement, naturel ou volontaire, qui est estimé à $7,2$ millions d’hectares par an.

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0= 4~000$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}= 0,996\times u_n + 7,2$.

  1. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ permet d’obtenir une estimation de la surface mondiale de forêt, en millions d’hectares l’année $2015 +n$.
    $\quad$
  2. Recopier et compléter l’algorithme ci-dessous pour qu’il calcule et affiche la première année pour laquelle la surface totale de forêt couvre moins de $3~500$ millions d’hectares sur terre.
    $\begin{array}{|ll|}
    \hline
    \textbf{Variables :}  & N \text{ est un entier naturel}\\
    & U \text{ est un nombre réel}\\
    \textbf{Initialisation :}&\text{Affecter à } N \text{ la valeur } 2015\\
    &\text{Affecter à } U \text{ la valeur } 4~000\\
    \textbf{Traitement :} & \\
    & \\
    & \\
    & \\
    \textbf{Sortie :}  &\text{Afficher } N\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
  3. On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n= u_n-1~800$.
    a. Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique puis préciser son premier terme et sa raison.
    $\quad$
    b. En déduire que pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n = 2~200\times 0,996^n+ 1~800$.
    $\quad$
    c. Selon ce modèle et si le phénomène perdure, la surface des forêts sur terre va-t-elle finir par disparaître ? Justifier la réponse.
    $\quad$
  4. Une étude montre que, pour compenser le nombre d’arbres détruits ces dix dernières années, il faudrait planter $140$ millions d’arbres en $10$ ans.
    En 2016 on estime que le nombre d’arbres plantés par l’Organisation des Nations unies (ONU) est de $7,3$ milliards.
    On suppose que le nombre d’arbres plantés par l’ONU augmente chaque année de $10\%$.
    L’ONU peut-elle réussir à replanter $140$ millions d’arbres de 2016 à 2025 ? Justifier la réponse.
    $\quad$

Exercice 3    5 points

Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

Partie A

Alex a téléchargé sur son smartphone un jeu lui permettant de combattre des animaux virtuels par localisation GPS. Le graphe pondéré représenté ci-dessous illustre le trajet qu’Alex doit suivre en marchant dans les rues de sa ville et le nombre d’animaux virtuels qu’il doit combattre sur la route suivie

À l’aide d’un algorithme, déterminer le nombre minimal de créatures qu’Alex doit combattre s’il part du point $O$ pour arriver au point $F$ de la ville. Détailler les étapes de l’algorithme.
$\quad$

Partie B

Alex retrouve d’autres personnes, ayant le même jeu, dans le parc de la ville dans le but de comparer le nombre de créatures qu’ils ont combattues.
Le premier jour, $8$ personnes se sont retrouvées dans le parc. Le second jour, on comptait $25$ personnes et le troisième jour, $80$ personnes se sont retrouvées dans le parc.

Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = ax^2+bx+c$, où $a$, $b$ et $c$ sont trois nombres réels et $x$ un nombre entier compris entre $1$ et $10$. On admet que la fonction $f$ modélise le nombre de personnes qui se retrouvent dans le parc le $x$-ième jour.

  1. Traduire l’énoncé par un système de trois équations à trois inconnues $a$, $b$ et $c$.
    $\quad$
  2. Vérifier que ce système est équivalent à l’équation $AX=B$ avec $$[A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\4 & 2 & 1 \\9 & 3 & 1 \\\end{pmatrix}\quad, \quad  X=\begin{pmatrix}a \\b \\c \\\end{pmatrix}\quad\text{et}\quad B=\begin{pmatrix}8 \\25\\80 \\\end{pmatrix}$$
    $\quad$
  3. Soit la matrice $M=\begin{pmatrix}0,5 & -1 & 0,5 \\-2,5 & 4 & -1,5 \\3 & -3 & 1 \\\end{pmatrix}$.
    a. Calculer $M\times A$.
    $\quad$
    b. Que représente la matrice $M$ pour la matrice $A$ ?
    $\quad$
  4. À l’aide d’un calcul matriciel, déterminer les valeurs des nombres $a$, $b$ et $c$.
    $\quad$
  5.  Le parc de la ville a une capacité d’accueil de $2~500$ personnes.
    Selon ce modèle, le parc risque-t-il de refuser d’accueillir des personnes un de ces dix jours ?
    Justifier la réponse.
    $\quad$

Exercice 4    6 points

Soit $f$ une fonction définie sur l’intervalle $[0;5]$ par $f(x)=(ax-2)\e^{-x}$, où $a$ est un nombre réel.
On admet dans tout l’exercice que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur l’intervalle $[0;5]$.
La courbe représentative $\mathscr{C}$ de la fonction $f$ est donnée ci-dessous dans un repère d’origine $O$.

Les courbes $\mathscr{C}$ et $\mathscr{D}$ passent toutes les deux par le point $A(0;-2)$.
La droite $\mathscr{D}$ est tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point $A$ et admet pour équation $y=10x-2$.
On rappelle que $f’$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$.

  1. Donner, à l’aide des informations ci-dessus et sans justifier les valeurs de $f(0)$ et de $f'(0)$.
    $\quad$
  2. a. Montrer que pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0;5]$ on a : $$f'(x)=(-ax+a+2)\e^{-x}$$
    $\quad$
    b. Déduire des questions précédentes que $a = 8$.
    $\quad$
    c. Donner l’expression de $f'(x)$.
    $\quad$
  3. a. Préciser le signe de $f'(x)$ sur l’intervalle $[0;5]$. On pourra faire un tableau.
    $\quad$
    b. En déduire le tableau des variations de la fonction $f$ sur ce même intervalle.
    $\quad$
    c. Résoudre sur l’intervalle $[0;5]$ l’équation $f(x)=0$.
    $\quad$
  4. À l’aide d’un logiciel de calcul formel, on a obtenu les résultats suivants :
    $\begin{array}{|c|l|}
    \hline
    1&g(x) := (-8*x+10) *\exp(-x)\\
    &\to g(x) := (- 8x +10)\e^{-x}\\
    \hline
    2 & \text{Dériver} \left[g(x) , x\right]\\
    &\to (8*x-18)*\exp(-x)\\
    \hline
    3&\text{Résoudre }\left[(8*x-18)*\exp(-x)>0,x\right]\\
    &\to x>9/4\\
    \hline
    \end{array}$

    En utilisant ces résultats :
    a. Donner l’expression de $f^{\prime\prime}$, fonction dérivée seconde de la fonction $f$.
    $\quad$
    b. Justifier que la courbe $\mathscr{C}$ admet un point d’inflexion dont on donnera la valeur exacte de l’abscisse.
    $\quad$

  5. Une entreprise fabrique des grille-pains. Après avoir fait une étude, son directeur constate que si l’entreprise fabrique chaque jour $x$ milliers de grille-pains (où $x$ est un nombre réel de l’intervalle $[0;5]$), alors le bénéfice quotidien est donné, en centaine de milliers d’euros, par la fonction $f$ définie par : $$f(x)=(8x-2)\e^{-x}$$
    a. Quelle quantité de grille-pains l’entreprise doit-elle fabriquer afin de réaliser un bénéfice maximal ?
    $\quad$
    b. Quel est alors la valeur de ce bénéfice maximal ?
    On donnera une valeur approchée du résultat à l’euro près.
    $\quad$

Bac ES/L – Antilles Guyane – juin 2017

Antilles Guyane – Juin 2017

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici :

Ex 1

Exercice 1

  1. $P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}=\dfrac{0,42}{0,6}=0,7$
    $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=0,68$
    $P_B(A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=\dfrac{0,42}{0,5}=0,84$
    Réponse c
    $\quad$
  2.  $E(X)=\dfrac{0+5}{2}=\dfrac{5}{2}$
    $p(X>2)=p(2<X<5)=\dfrac{5-2}{5-0}=\dfrac{3}{5}$
    Réponse b
    $\quad$
  3. Puisque $\mu=100$ alors $p(Y\pp 100)=0,5$
    A l’aide de la calculatrice $p(Y>98)=0,5+p(98<Y<100)\approx 0,84$
    A l’aide de la calculatrice $p(96 \pp Y \pp 104) \approx 0,954$
    Réponse c
    $\quad$
  4. Un intervalle de confiance au niveau de confiance de $0,95$ est de la forme $\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}};f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$
    Donc son amplitude est $f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\left(f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right)=\dfrac{2}{\sqrt{n}}$
    On souhaite que :
    $\begin{align*} \dfrac{2}{\sqrt{n}}=0,1&\ssi \sqrt{n}=\dfrac{2}{0,1} \\
    &\ssi \sqrt{n}=20\\
    &\ssi n=400
    \end{align*}$
    Réponse d
    $\quad$
  5. $\mu=3$ : on exclut le graphique a
    $f$ est la fonction de densité de probabilité associée à la loi normale centré réduite donc $f(0)=0,4$ : on exclut le graphique c.
    $\sigma=2>1$ donc g(\mu)<f(0) : on exclut le graphique b
    Réponse d
    $\quad$

 

Ex 2 obl

Exercice 2

Candidats ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats L

  1. $u_1=\left(1-\dfrac{4}{100}\right)u_0+2=0,96\times 75+2=74$
    $u_2=0,96\times 74+2=73,04$
    $\quad$
  2. $u_1-u_0=-1$
    $u_2-u_1=-0,96\neq -1 $
    Par conséquent la suite $\left(u_n\right)$ n’est pas arithmétique.
    $\dfrac{u_1}{u_0}=\dfrac{74}{75}\approx 0,986~7$
    $\dfrac{u_2}{u_1}=\dfrac{73,04}{74}\approx 0,987~0$
    Les quotients sont différents : la suite $\left(u_n\right)$ n’est pas géométrique.
    $\quad$
  3. $4\%$ de la quantité d’eau s’est évaporée quotidiennement. Il en reste donc $96\%$. Soit $0,96u_n$.
    Chaque jour il y a un apport de $2$ m$^3$.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=0,96\times u_n+2$.
    $\quad$
  4. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=u_n-50$ soit $u_n=v_n+50$.
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-50\\
    &=0,96u_n+2-50\\
    &=0,96u_n-48\\
    &=0,96\left(v_n+50\right)-48\\
    &=0,96v_n+48-48\\
    &=0,96v_n
    \end{align*}$
    La suite $^\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $q=0,96$ et de premier terme $v_0=u_0-50=25$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $v_n=25\times 0,96^n$.
    $\quad$
    c. On sait que pour tout entier naturel $n$ on a :
    $u_n=v_n+50=25\times 0,96^n+50$
    $\quad$
    d. $0<0,96<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,96^n=0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=50$.
    Sur le long terme la piscine contiendra $50$ m$^3$ d’eau.
    $\quad$
  5. a. L5 : Tant que $u\pg 65$
    L6: $u$ prend la valeur $0,96\times u+2$
    $\quad$
    b. l’algorithme affiche le plus petit entier naturel tel que $u_n<65$
    $\quad$
    c. On cherche le plus entier naturel $n$ tel que :
    $\begin{align*} u_n<65 &\ssi 25\times 0,96^n+50<65 \\
    &\ssi 25\times 0,96^n<15 \\
    &\ssi 0,96^n<\dfrac{15}{25} \\
    &\ssi 0,96^n<0,6 \\
    &\ssi n\ln(0,96)<\ln(0,6) \\
    &\ssi n >\dfrac{\ln(0,6)}{\ln(0,96)} \\
    &\ssi n \pg 13
    \end{align*}$
    L’algorithme affiche donc $13$.
    Par conséquent tous les termes $u_0$, $u_1$, $\ldots$, $u_{12}$ sont supérieurs à $65$.
    Le niveau de l’eau est suffisant durant $13$ jours.
    $\quad$

 

Ex 2 spé

Exercice 2

Candidats ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

  1. Déterminons le degré des sommets
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{sommet}&A&B&C&D&E&F&G\\
    \hline
    \text{degré}&2&4&3&2&4&3&2\\
    \hline
    \end{array}$
    Exactement $2$ sommets de ce graphe connexe ont un sommet impair.
    Il existe donc une chaîne eulérienne.
    On peut donc nettoyer toutes les allées en passant une et une seule fois par chacune d’elles.
    $\quad$
  2. Le graphe possède des sommets de degré impair.
    Il n’existe donc pas de cycle eulérien.
    Il n’existe donc pas de parcours permettant de nettoyer toutes les allées en passant une et une seule fois par chacune d’elles et de revenir au point de départ.
    $\quad$
  3. Pour déterminer le trajet nous allons utiliser l’algorithme de Dijkstra.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    A&B&C&D&E&F&G&\text{sommet}\\
    \hline
    0&&&&&&&A\\
    \hline
    &75(A)&110(A)&&&&&B\\
    \hline
    &&105(B)&125(B)&117(B)&&&C\\
    \hline
    &&&125(B)&117(B)&&&E\\
    \hline
    &&&125(B)&&157(E)&210(E)&D\\
    \hline
    &&&&&157(E)&210(E)&F\\
    \hline
    &&&&&&210(E)&G\\
    \hline
    \end{array}$
    Le chemin le plus court est donc $A-B-E-G$. Il mesure $210$ mètres.
    $\quad$

Partie B

  1. Un graphe modélisant cette situation est :
    $\quad$
  2. La matrice de transition de ce graphe est : $M=\begin{pmatrix}0,95&0,05\\0,2&0,8\end{pmatrix}$
    $\quad$
  3. On note $d_n$ et $e_n$ respectivement la proportion de vacanciers prenant leur déjeuné au centre de vacances et la proportion de vacanciers prenant leur déjeuner à l’extérieur le $n$-ième jour.
    Et on note $p_n=\begin{pmatrix}d_n&e_n\end{pmatrix}$
    Ainsi $p_1=\begin{pmatrix}0,25&0,75\end{pmatrix}$
    Donc $p_2=p_1\times M=\begin{pmatrix}0,387~5&0,612~5\end{pmatrix}$
    Le deuxième jour $38,75\%$ des vacanciers déjeuneront au centre de vacances.
    $p_5=p_1\times M^4 \approx \begin{pmatrix}0,626&0,374\end{pmatrix}$
    Le cinquième jour, environ $62,6\%$ des vacanciers déjeuneront au centre de vacances.
    $\quad$
  4. $\begin{pmatrix}0,5&0,5\end{pmatrix}\times M=\begin{pmatrix}0,575&0,425\end{pmatrix}$
    L’état $\begin{pmatrix}0,5&0,5\end{pmatrix}$ n’est donc pas stable.
    $\quad$
  5. Déterminons l’état stable $p=\begin{pmatrix}d&e\end{pmatrix}$.
    Il vérifie :
    $\begin{align*} \begin{cases} p=p\times M\\d+e=1\end{cases}&\ssi \begin{cases}d=0,95d+0,2e\\e=0,05d+0,8e\\e=1-d\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} -0,05d+0,2e\\0,05d-0,2e=0\\e=1-d\end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases} 0,05d-0,2(1-d)=0\\e=1-d\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} 0,25d=0,2\\e=1-d\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} d=0,8\\e=0,2\end{cases}
    \end{align*}$
    L’état stable est donc $p=\begin{pmatrix}0,8&0,2\end{pmatrix}$.
    Puisque la matrice $M$ est d’ordre $2$ et ne comporte aucun $0$ alors la suite $\left(p_n\right)$ converge vers la matrice $p$.
    Sur le long terme, $80\%$ des vacanciers prendront leur déjeuner au centre.
    L’affirmation est donc fausse.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. La tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point d’abscisse $-2$ est parallèle à l’axe des abscisses.
    Par conséquent $f'(-2)=0$.
    $\quad$
  2. Graphiquement, $f'(4)$ semble être négatif (fonction décroissante sur l’intervalle $[-2;10]$).
    $\quad$
  3. L’aire $\mathscr{A}$ du domaine grisé peut être encadré par l’aire d’un trapèze (grande base =$2$, petite base=$1$, hauteur=$2$) et l’aire d’un carré de côté $2$.
    Donc $\dfrac{(2+1)\times 2}{2} <\mathscr{A}<2^2$ soit $3<\mathscr{A}<4$.
    $\quad$

Partie B

  1. a. $f$ est dérivable sur $[-4;10]$ comme composée et produit de fonctions dérivables.
    $\begin{align*} f'(x)&=\e^{-0,5x}-0,5(x+4)\e^{-0,5x} \\
    &=(1-0,5x-2)\e^{-0,5x} \\
    &=(-0,5x-1)\e^{-0,5x}
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. La fonction exponentielle est strictement positive. Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $-0,5x-1$
    $-0,5x-1=0\ssi -0,5x=1\ssi x=-2$
    $-0,5x-1>0\ssi -0,5x>1\ssi x<-2$
    La fonction $f$ est donc strictement croissante sur l’intervalle $[-4;-2]$ et strictement décroissante sur l’intervalle $[-2;10]$.
    $\quad$
    c. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur l’intervalle $[1;6]$.
    $f(1)=5\e^{-0,5}\approx 3,03>1,5$ et $f(6)=10\e^{-3}\approx 0,50<1,5$.
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires l’équation $f(x)=1,5$ possède une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[1;6]$.
    $\quad$
    d. A l’aide de la calculatrice on trouve $\alpha\approx 3,11$.
    $\quad$
  2. a. La fonction exponentielle étant strictement positive, le signe de $f^{\prime\prime}(x)$ ne dépend que de celui de $0,25x$.
    $0,25x>0\ssi x>0$ et $0,25x=0\ssi x=0$.
    La fonction $f$ est donc concave sur l’intervalle $[-4;0]$ et convexe sur l’intervalle $[0;10]$.
    $\quad$
    b. La courbe $\mathscr{C}$ possède donc un unique point d’inflexion dont l’abscisse est $0$ et dont l’ordonnée est $f(0)=4$.
    $\quad$
  3. a. Pour montrer que $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-4;10]$ on montre que $F'(x)=f(x)$.
    $\quad$
    b.
    $\begin{align*} S&=\displaystyle \int_2^4 f(x)\dx \\
    &=F(4)-F(2) \\
    &=-20\e^{-2}+16\e^{-1} \\
    &\approx 3,18 \text{ u.a}
    \end{align*}$
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. Une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;1]$ est la fonction $F$ définie sur cet intervalle par $F(x)=4x-\dfrac{\e^{-5x}}{5}$.
    L’aire du domaine compris entre la courbe $\mathscr{C}$, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=0$ et$ x=1$ est :
    $\begin{align*}\displaystyle \mathscr{A}&=\int_0^1 f(x)\dx \\
    &=F(1)-F(0)\\
    &=4-\dfrac{\e^{-5}}{5}+\dfrac{1}{5}\\
    &=4,2-\dfrac{\e^{-5}}{5}
    \end{align*}$
    Si $a=3$ alors l’aire du rectangle inférieur est $1\times 3=3\text{ u.a}$
    Or $\mathscr{A}\approx 4,2<2\times 3$
    Donc $a=3$ ne convient pas.
    $\quad$
  2. L’aire du rectangle inférieur est $a \text{ u.a.}$
    On veut donc que :
    $\begin{align*} a=\dfrac{\mathscr{A}}{2} &\ssi a=\dfrac{4,2-\dfrac{\e^{-5}}{5}}{2} \\
    &a\approx 2,1
    \end{align*}$
    $\quad$

 

Énoncé

Exercice 1    5 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l’absence de réponse à une question ne rapportent ni n’enlèvent de point.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante.

  1. $A$ et $B$ sont deux événements d’une expérience aléatoire. On note $\conj{B}$ l’événement contraire de $B$. On sait que : $P(A) = 0,6$, $P(B) = 0,5$ et $P\left(A \cap B\right) = 0,42$. On peut affirmer que :
    a. $P_A(B) = 0,3$.
    b. $P\left(A \cup B\right) = 0,58$.
    c. $P_B(A) = 0,84$.
    d. $P\left(A \cap \conj{B}\right) = 0,28$.
    $\quad$
  2. Dans une station de ski, le temps d’attente à un télésiège donné, exprimé en minute, peut être modélisé par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi uniforme sur l’intervalle $[0;5]$.
    a. L’espérance de cette loi $X$ est $\dfrac{2}{5}$.
    b. $p(X > 2) =\dfrac{3}{5}$.
    c. $p(X \pp 2) =\dfrac{3}{5}$.
    d. $p(X \pp 5) = 0$.
    $\quad$
  3. Une machine remplit des flacons dont le volume annoncé est de $100$ mL. On admet que le volume contenu dans le flacon peut être modélisé par une variable aléatoire $Y$ qui suit la loi normale d’espérance $100$ mL et d’écart type $2$ mL.
    a. $p(Y \pp 100) =0,45$.
    b. $p(Y > 98) =0,75$.
    c. $p(96 \pp Y \pp 104) \approx 0,95$.
    d. $p(Y \pp 110) \approx 0,85$.
    $\quad$
  4. Un article de journal affirme, qu’en France, il y a $16\%$ de gauchers. Un chercheur souhaite vérifier cette affirmation. Pour cela, il veut déterminer la taille de l’échantillon de la population française à étudier qui permettrait d’obtenir un intervalle de confiance d’amplitude égale à $0,1$ au niveau de confiance de $0,95$. La taille de l’échantillon est :
    a. $30$.
    b. $64$.
    c. $100$.
    d. $400$.
    $\quad$
  5. La fonction $f$ est la fonction densité de probabilité associée à la loi normale centrée réduite $\mathscr{N}(0;1t)$. La fonction $g$ est la fonction de densité de probabilité associée à la loi normale de moyenne $\mu = 3$ et d’écart type $\sigma = 2$.
    La représentation graphique de ces deux fonctions est :

 

$\quad$

Exercice 2    5 points

Candidats ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L

Un particulier possède une piscine et décide de s’équiper d’un système automatique de remplissage pour tenir compte de l’évaporation pendant la période estivale. Sur un site spécialisé, il apprend que les conditions climatiques dans sa région pendant cette période sont telles qu’il peut prévoir une évaporation quotidienne de $4\%$ de la quantité d’eau. Il décide alors de régler son système de remplissage automatique à un apport de $2$ m$^3$ d’eau par jour.

Le premier jour de la mise en fonctionnement du système automatique de remplissage, la piscine contient $75$ m$^3$.

Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ le volume d’eau dans la piscine, exprimé en mètre cube (m$^3$), $n$ jours après la mise en fonctionnement du système automatique de remplissage.
Ainsi, $u_0= 75$.

  1. Calculer $u_1$ et $u_2$.
    $\quad$
  2. Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ n’est pas arithmétique.
    Est-elle géométrique ?
    $\quad$
  3. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}= 0,96\times u_n +2$.
    $\quad$
  4. Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_n= u_n-50$.
    a. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,96$ et de premier terme $v_0$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
    c. En déduire que pour tout entier naturel $n$, $u_n= 25\times 0,96^n+50$.
    $\quad$
    d. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  5. Si le volume d’eau dans la piscine est inférieur à $65$ m$^3$, le niveau de l’eau est insuffisant pour alimenter les pompes de filtration ce qui risque de les endommager. Pour connaître le nombre de jours pendant lesquels le niveau d’eau reste suffisant sans risquer de panne en conservant ce réglage, on construit l’algorithme suivant :
    $\begin{array}{|l l|c|}
    \hline
    \textbf{Variables} :& n \text{ est un nombre entier naturel} & \text{L}1\\
    & u \text{ est un nombre réel} & \text{L}2\\
    \textbf{Traitement :}& n \text{ prend la valeur} 0 & \text{L}3\\
    & u \text{ prend la valeur} 75 & \text{L}4\\
    & \text{Tant que } u \ldots\ldots\ldots & \text{L}5\\
    & \quad u \text{ prend la valeur} \ldots\ldots\ldots & \text{L}6\\
    & \quad n \text{ prend la valeur } n+1 & L\text{7}\\
    & \text{Fin Tant que} & \text{L}8\\
    \textbf{Sortie :}& \text{Afficher } n & \text{L}9\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    a. Recopier et compléter les lignes $\text{L}5$ et $\text{L}6$ de cet algorithme.
    $\quad$
    b. Quel est le résultat affiché en sortie de cet algorithme ?
    $\quad$
    c. Pendant combien de jours le niveau de l’eau est-il suffisant si on conserve ce réglage ?
    $\quad$

Exercice 2    5 points

Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Les parties A et B sont indépendantes

Partie A

Le graphe ci-dessous représente le plan d’un centre de vacances. Les arêtes représentent les allées et les sommets, les carrefours.
On a indiqué sur chaque arête la longueur en mètre des allées entre deux carrefours.

  1. Le service d’entretien doit nettoyer toutes les allées. En partant du carrefour $C$, peut-on nettoyer toutes les allées en passant une et une seule fois par chacune d’elles ? Justifier la réponse.
    $\quad$
  2. Existe-t-il un parcours permettant de nettoyer toutes les allées en passant une et une seule fois par chacune d’elles et de revenir au point de départ ? Justifier la réponse.
    $\quad$
  3. Déterminer le trajet le plus court pour aller du carrefour $A$ au carrefour $G$.
    $\quad$

Partie B

Dans ce centre de vacances, les vacanciers peuvent, chaque jour, déjeuner au restaurant du centre ou à l’extérieur. On constate chaque jour que :

  • $5\%$ des vacanciers ayant déjeuné au centre de vacances ne se réinscrivent pas pour le lendemain ;
  • $20\%$ des vacanciers ayant déjeuné à l’extérieur s’inscrivent pour déjeuner au centre de vacances le lendemain.

On note $D$ l’état “Déjeuner au centre de vacances” et $E$ l’événement “Déjeuner à l’extérieur”.

  1. Construire un graphe modélisant cette situation.
    $\quad$
  2. Écrire la matrice de transition de ce graphe, les sommets étant rangés selon l’ordre alphabétique.
    $\quad$
  3. Le premier jour, le quart des vacanciers a déjeuné au centre de vacances. Quel pourcentage de vacanciers déjeunera au centre de vacances le deuxième jour ? Le cinquième jour ?
    $\quad$
  4. L’état $\begin{pmatrix}0,5 &0,5\end{pmatrix}$ est-il stable ?
    $\quad$
  5. Peut-on affirmer qu’à terme, si les comportements des vacanciers restent les mêmes, $75\%$ des vacanciers prendront leur déjeuner au centre ?
    $\quad$

Exercice 3    7 points

La courbe $\mathscr{C}$ ci-dessous est la courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormé d’une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur l’intervalle $[-4 ;10]$. On note $f’$ la fonction dérivée de $f$, et $f^{\prime\prime}$ sa dérivée seconde.
La tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point $A$ d’abscisse $-2$ est parallèle à l’axe des abscisses.
Le domaine $S$ grisé sur la figure est le domaine compris entre la courbe $\mathscr{C}$, l’axe des abscisses, la droite d’équation $x = 2$ et la droite d’équation $x = 4$.

Partie A

  1. Déterminer, en la justifiant, la valeur de $f'(-2)$.
    $\quad$
  2.  Par une lecture graphique, quel semble être le signe de $f'(4)$ ?
    $\quad$
  3. Déterminer, par une lecture graphique, un encadrement par deux entiers consécutifs de l’aire du domaine $S$ grisé sur la figure.
    $\quad$

Partie B

La fonction $f$ précédente est définie sur l’intervalle $[-4;10]$ par $f (x) = (x +4)\e^{-0,5x}$.

  1. a. Montrer que $f'(x) = (-0,5x-1)\e^{-0,5x}$.
    $\quad$
    b. Étudier les variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-4;10]$.
    $\quad$
    c. Montrer que sur l’intervalle $[1;6]$ l’équation $f(x) = 1,5$ admet une unique solution.
    On notera $\alpha$ cette unique solution.
    $\quad$
    d. Donner une valeur approchée à $10^{-2}$ de $\alpha$.
    $\quad$
  2. On admet que la dérivée seconde de $f$ est définie par $f^{\prime\prime}(x) = 0,25x\e^{-0,5x}$.
    a. Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-4;10]$.
    $\quad$
    b. En déduire que la courbe $\mathscr{C}$ admet un unique point d’inflexion $I$ dont on calculera les coordonnées.
    $\quad$
  3. a. On considère la fonction $F$ définie par $F(x) = (-2x-12)\e^{-0,5x}$. Comment peut-on montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur l’intervalle $[-4;10]$ ? On ne demande pas d’effectuer cette vérification.
    $\quad$
    b. Calculer $S =\displaystyle\int_{2}^{4}f(x)\dx$.
    On en donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie au centième.
    $\quad$

Exercice 4   3 points

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0;1]$ par $f(x) = 4+\e^{-5x}$.
On a tracé dans le repère orthogonal ci-dessous la courbe $\mathscr{C}$ représentative de la fonction $f$ dans un repère du plan.
Le domaine $\mathscr{D}$ hachuré sur la figure est le domaine délimité par la courbe $\mathscr{C}$, par l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées et la droite d’équation $x = 1$.

On veut partager le domaine hachuré en deux domaines de même aire par une droite d’équation $y = a$, parallèle à l’axe des abscisses, selon l’exemple donné ci-dessous.

 

  1. Justifier que la valeur $a = 3$ ne convient pas.
    $\quad$
  2. Déterminer à $0,1$ près une valeur de $a$ qui convienne.
    $\quad$