Bac ES/L – Centres étrangers – juin 2017

Centres étrangers – Juin 2017

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici :

Ex 1

Exercice 1

  1. $X$ suit une loi uniforme sur l’intervalle $[1;9]$.
    Alors :
    $p(1<X<9)=1$
    $p(5<X<9)=\dfrac{9-5}{9-1}=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}$
    $p(1<X<3)=\dfrac{3-1}{9-1}=\dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4}$
    $p(1<X<2)=\dfrac{2-1}{9-1}=\dfrac{1}{8}$
    Réponse b
    $\quad$
  2. Un intervalle de confiance au niveau de confiance $0,95$ est du type $\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}};f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$.
    L’amplitude de cet intervalle est :
    $\begin{align*} A&=f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\left(f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right) \\
    &=\dfrac{2}{\sqrt{n}}
    \end{align*}$
    On veut donc :
    $\begin{align*} \dfrac{2}{\sqrt{n}}=0,01 &\ssi \dfrac{2}{0,01}=\sqrt{n} \\
    &\ssi \sqrt{n}=200 \\
    &\ssi n=40~000
    \end{align*}$
    Réponse d
    $\quad$
  3. $4^{23} \approx 7,04 \times 10^{13}$
    $1,2^{23} \approx 66,25$
    $\left(\e^{\frac{\ln(92)}{23}}\right)^{23}=\e^{\ln(92)}=92$
    $\left(\e^{\frac{\ln(23)}{92}}\right)^{23}=\approx 2,19$
    Réponse c
    $\quad$
  4. $I$ correspond à l’aire du domaine compris entre la courbe, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=-5$ et $x=3$.
    Ce domaine contient donc un rectangle dont les dimensions sont $2$ et $3-(-5)=8$ (et l’aire est $2\times 8=16$).
    Ce même domaine est contenu dans un rectangle dont les dimensions sont $4$ et $3-(-5)=8$ (et l’aire est $4\times 8=32$).
    Par conséquent $16 \pp I \pp 32$.
    réponse c
    $\quad$

 

 

 

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. a. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[-20;20]$ comme composée et produit de fonctions dérivables.
    Ainsi :
    $\begin{align*} f'(x)&=-2\e^{0,2x-3}+(-2x+30)\times 0,2\e^{0,2x-3} \\
    &=\left(-2+0,2(-2x+30)\right)\e^{0,2x-3} \\
    &=(-2-0,4x+6)\e^{0,2x-3}\\
    &=(-0,4x+4)\e^{0,2x-3}
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. La fonction exponentielle est strictement positive.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $(-0,4x+4)$.
    $-0,4x+4=0 \ssi -0,4x=-4 \ssi x=10$
    $-0,4x+4 \pg 0 \ssi -0,4x \pg -4 \ssi x \pp 10$
    On obtient ainsi le tableau de variation suivant :

    $f(-20)=70\e^{-7}$
    $f(10)=10\e^{-1}$
    $f(20)=-10\e$
    $\quad$
    Le maximum de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-20;20]$ est donc $10\e^{-1}$
    $\quad$
  2. a. On a $f(-20)=70\e^{-7}>0$.
    La fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $[-20;10]$. Par conséquent $f(x)\pg f(-20)>0$ sur cet intervalle et l’équation $f(x)=-2$ ne possède pas de solution sur l’intervalle $[-20;10]$.
    La fonction $f$ est strictement décroissante et continue sur l’intervalle $[10;20]$.
    $f(10)>-2$ et $f(20) \approx -27,2<-2$
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires l’équation $f(x)=-2$ possède donc une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[10;20]$.
    Par conséquent, l’équation $f(x)=-2$ possède une unique solution sur l’intervalle $[-20;20]$.
    $\quad$
    b. A l’aide de la calculatrice, on trouve $15,8< \alpha < 15,9$.
    $\quad$
  3. a. D’après les résultats fournis, une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-20;20]$ est la fonction $F$ définie sur cet intervalle par $F(x)=(-10x+200)\e^{0,2x-3}$
    $\begin{align*} \displaystyle \int_{10}^{15}f(x)\dx &=F(15)-F(10) \\
    &=50-100\e^{-1}
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. D’après les résultats fournis on a $f^{\prime\prime}(x)=(-0,08x+0,4)\e^{0,2x-3}$
    La fonction exponentielle est strictement positive. Par conséquent :
    $\begin{align*} f^{\prime\prime}(x) \pg 0 &\ssi -0,08x+0,4 \pg 0 \\
    &\ssi -0,08x \pg -0,4 \\
    &\ssi  x \pp 5
    \end{align*}$
    La fonction $f$ est donc convexe sur l’intervalle $[-20;5]$ et concave sur l’intervalle $[5;20]$.
    L’abscisse du point d’inflexion est par conséquent $5$.
    $\quad$

Partie B

  1. Le dénivelé est donc :
    $\begin{align*} d&=f(10)-f(0) \\
    &=10\e^{-1}-30\e^{-3} \\
    &\approx 2,185 \text{km}
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. On a $f'(x)=(-0,4x+4)\e^{0,2x-3}$ et $f^{\prime\prime}(x)=(-0,08x+0,4)\e^{0,2x-3}$
    A l’aide de la question on peut construire le tableau de variation de la fonction $f’$ suivant :

    Or $f'(5)=2\e^{-2} \approx 0,27$.
    La pente maximale est donc d’environ $27\%$.
    Ainsi une portion de la pente a une pente strictement compris entre $25\%$ et $40\%$ et aucune portion n’a une pente supérieure ou égale à $40\%$.
    La piste sera donc classée rouge.
    $\quad$

 

Ex 3 obl

Exercice 3

Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L

  1. $10\%$ de la superficie de terrain envahi à été arrachée. Il en reste donc $90\%$ soit $120\times 0,9 = 108$ m$^2$.
    Les pousses ont envahi $4$ m$^2$ sur une nouvelle parcelle de terrain.
    Donc, au 1er janvier 2018, cette plante a envahi $108+4=112$ m$^2$.
    $\quad$
  2. L1 : $U$ prend la valeur $120$
    L3 : Tant que $U>60$
    L4 : $\quad$ $U$ prend la valeur $0,9 \times U+4$
    L7 : Afficher $2017+N$
    $\quad$
  3. a. On a $v_n=u_n-40$ donc $u_n=v_n+40$.
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-40 \\
    &=0,9u_n+4-40\\
    &=0,9u_n-36\\
    &=0,9\left(v_n+40\right)-36 \\
    &=0,9v_n+36-36\\
    &=0,9v_n
    \end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $q=0,9$ et de premier terme $v_0=120-40=80$.
    $\quad$
    b. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $v_n=80\times 0,9^n$.
    $\quad$
    c. De plus $u_n=v_n+40=80\times 0,9^n+40$ pour tout entier naturel $n$.
    $\quad$
  4. a. $n$  est un entier naturel.
    $\begin{align*} 80\times 0,9^n+40 \pp 60 &\ssi 80\times 0,9^n \pp 20 \\
    &\ssi 0,9^n \pp 0,25 \\
    &\ssi n\ln(0,9) \pp \ln(0,25) \\
    &\ssi n \pg \dfrac{\ln(0,25)}{\ln(0,9)} \\
    &\ssi n \pg 14
    \end{align*}$
    La solution dans l’ensemble des entiers naturels de l’inéquation $80\times 0,9^n+40\pp 60$ est l’ensemble des nombres entiers supérieurs ou égaux à $14$.
    $\quad$
    b. $2017+14=2031$
    C’est donc en 2031 que la superficie envahi par la plante sera réduite au moins de moitié par rapport au 1er janvier 2017.
    $\quad$
  5. $0<0,9<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty}0,9^n=0$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=40$.
    Au bout d’un grand nombre d’années la superficie envahie par cette plante sera de $40$ m$^2$.
    Le jardinier n’arrivera donc pas à faire disparaître complètement la plante de son terrain.
    $\quad$

Ex 3 spé

Exercice 3

Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

  1. a. On obtient le graphe probabiliste suivant :
    $\quad$
    b. La matrice de transition associée à ce graphe est $M=\begin{pmatrix}0,95&0,05\\0,03&0,97\end{pmatrix}$
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} P_1&=P_0\times M \\
    &=\begin{pmatrix}0,65&0,35\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0,95&0,05\\0,03&0,97\end{pmatrix} \\
    &=\begin{pmatrix} 0,95\times 0,65+0,03\times 0,35&0,05\times 0,65+0,97\times 0,35 \end{pmatrix} \\
    &=\begin{pmatrix} 0,628&0,372\end{pmatrix}
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. a. et b. L’état stable $P=\begin{pmatrix} a&b\end{pmatrix}$ vérifie :
    $\begin{align*} \begin{cases} P=P\times M\\a+b=1\end{cases} &\ssi \begin{cases} a=0,95a+0,03b\\b=0,05a+0,97b\\a+b=1\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} -0,05a+0,03b=0\\0,05a-0,03b=0\\a=1-b\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} a=1-b\\-0,05(1-b)+0,03b=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} a=1-b\\-0,05+0,05b+0,03b=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases}a=1-b\\0,08b=0,05 \end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases} b=0,625\\a=0,375\end{cases}\end{align*}$
    L’état stable est donc $P=\begin{pmatrix}0,375&0,625\end{pmatrix}$
    $\quad$
    c. Cela signifie donc que sur le long terme, le candidat B obtiendra $62,5\%$ des voix et le candidat A $37,5\%$ des voix.
    $\quad$
  4. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $a_n+b_n=1$ soit $b_n=1-a_n$.
    Or :
    $\begin{align*} a_{n+1}&=0,95a_n+0,03b_n \\
    &=0,95a_n+0,03\left(1-a_n\right) \\
    &=0,95a_n+0,03-0,03a_n \\
    &=0,92a_n+0,03
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=a_n-0,375$ soit $a_n=v_n+0,375$.
    $\begin{align*} v_{n+1}&=a_{n+1}-0,375 \\
    &=0,92a_n+0,03-0,375 \\
    &=0,92a_n-0,345 \\
    &=0,92\left(v_n+0,375\right)-0,345 \\
    &=0,92v_n+0,345-0,345\\
    &=0,92v_n
    \end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $q=0,92$ et de premier terme $v_0=0,65-0,375=0,275$.
    $\quad$
    c. On en déduit donc que, pour tout entier naturel $n$, on a $v_n=0,275\times 0,92^n$.
    Par conséquent $u_n=v_n+0,375=0,275\times 0,92^n+0,375$.
    $\quad$
  5. On a $a_{11}=0,275\times 0,92^{11}+0,375\approx 0,48<0,5$.
    C’est donc le candidat $B$ qui sera probablement élu.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie A

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
  2. $p(A\cap E)=0,4\times 0,4=0,16$
    $\quad$
  3. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(D)&=p(A\cap E)+p(B \cap E)+p(C \cap E) \\
    &=0,16+0,35\times 0,3 +0,25\times 0,5 \\
    &=0,39
    \end{align*}$
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_E(C)&=\dfrac{p(E\cap C)}{p(E)} \\
    &=\dfrac{0,25\times 0,5}{0,39} \\
    &=\dfrac{25}{79} \\
    &\approx 0,32
    \end{align*}$
    $\quad$
  5. La recette journalière est donc :
    $\begin{align*} R&=200\times (15\times 0,6\times 0,4+25\times 0,4\times 0,4 \\
    &+10\times 0,35\times 0,7+16\times 0,35\times 0,3\\
    &35\times 0,25\times 0,5+60\times 0,25\times 0,5) \\
    &=200\times 23,605 \\
    &=4~721
    \end{align*}$
    La base nautique peut donc espérer une recette journalière de $4~721$ €.
    $\quad$

Partie B

  1. A l’aide de la calculatrice, on trouve $p(490<X<520)\approx 0,819$
    $\quad$
  2. $8$ h $=480$ min.
    $\begin{align*} p(X<480)&=0,5-p(480<X<500) \\
    &\approx 0,023
    \end{align*}$
    La probabilité que la batterie d’un bateau soit déchargée avant la fin de la journée est d’ environ $2,3\%$.
    $\quad$
  3. A l’aide de la touche inverse loi normale de la calculatrice, on détermine la valeur de $a$ telle que $p(X<a) \approx 0,01$.
    On obtient $a\approx 477$
    Cela signifie que la probabilité que batterie d’un bateau soit déchargée avant $477$ minutes d’utilisation est d’environ $1\%$.
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1    4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte.

Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

  1. Une variable aléatoire $X$ suit une loi uniforme sur l’intervalle $[1;9]$, alors:
    a. $p(1 < X < 9) = \dfrac{1}{8}$
    b. $p(5 < X < 9) = \dfrac{1}{2}$
    c. $p(1 < X < 3) = \dfrac{3}{8}$
    d. $p(1 < X < 2) = \dfrac{1}{2}$
    $\quad$
  2. Une enquête sanitaire a pour objectif d’estimer la proportion de personnes qui respectent le calendrier de vaccinations préconisé par le Haut Conseil de la Santé Publique. Pour obtenir un intervalle de confiance d’amplitude $0,01$ au niveau de confiance $0,95$ de cette proportion, il faut interroger :
    a. $200$ personnes
    b. $400$ personnes
    c. $10~000$ personnes
    d. $40~000$ personnes
    $\quad$
  3. La solution de l’équation $x^{23} = 92$ est égale à :
    a. $4$
    b. $1,2$
    c. $\e^{\frac{\ln(92)}{23}}$
    d. $\e^{\frac{\ln(23)}{92}}$
    $\quad$
  4. On considère la fonction $g$ définie sur l’intervalle $[-10;10]$ dont le tableau de variation est donné ci-dessous:

    On note $I = \displaystyle\int_{-5}^3 g(x)\dx$. On peut affirmer que :
    a. $-5 \pp I \pp 3$
    b. $2 \pp I \pp 4$
    c. $16 \pp I \pp 32$
    d. $4\pp I \pp 8$
    $\quad$

Exercice 2    6 points

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[-20;20]$ par $f(x) = (-2x+30)\e^{0,2x-3}$.

  1. a. Montrer que $f’ (x) = (-0,4x+4)\e^{0,2x-3}$ pour tout réel $x$ de l’intervalle $[- 20;20]$.
    $\quad$
    b. Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $[- 20; 20]$ .
    On précisera la valeur exacte du maximum de $f$.
    $\quad$
  2. a. Montrer que, sur l’intervalle $[-20;20]$, l’équation $f(x) = – 2$ admet une unique solution $\alpha$.
    $\quad$
    b. Donner un encadrement de $\alpha$ d’amplitude $0,1$.
    $\quad$
  3. Un logiciel de calcul formel donne les résultats ci-dessous:
    $\begin{array}{|c|lr|}
    \hline
    1 &\text{Dériver } (-10x+200)\e^{0,2x-3}&\\
    & &(-2x+30)\e^{0,2x-3}\\
    \hline
    2 &\text{Dériver } (-2x+30)\e^{0,2x-3}&\\
    & &(-0,4x+4)\e^{0,2x-3}\\
    \hline
    3 &\text{Dériver } (-0,4x+4)\e^{0,2x-3}&\\
    & &(-0,08x+0,4)\e^{0,2x-3}\\
    \hline
    \end{array}$
    Répondre aux deux questions suivantes en utilisant les résultats donnés par le logiciel:
    a. Calculer la valeur exacte de $\displaystyle\int_{10}^{15} f(x)\dx$.
    $\quad$
    b. Déterminer le plus grand intervalle sur lequel la fonction $f$ est convexe et préciser l’abscisse du point d’inflexion.
    $\quad$

Partie B

Une station de ski souhaite ouvrir une nouvelle piste au public. Le relief de cette piste est modélisé ci-dessous par la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ définie dans la partie A sur l’intervalle $[0;10]$. Le point $B$ représente le départ de la nouvelle piste et le point $A$ représente la station de ski où se trouve l’arrivée.

 


Le réel $x$ représente la distance horizontale, exprimée en km, depuis la station de ski et $f(x)$ représente l’altitude, exprimée en km.

On appelle pente de la piste au point $M$, le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $M$. Par exemple, une pente de $15\%$ en un point de la piste correspond à un coefficient directeur de $\dfrac{15}{100} = 0,15$.

  1. On appelle dénivelé d’une piste de ski, la différence d’altitude entre le point de départ et le point d’arrivée de cette piste. Calculer le dénivelé de cette nouvelle piste. On arrondira le résultat au mètre.
    $\quad$
  2. La station de ski doit déterminer la difficulté de cette nouvelle piste en fonction de la pente.
    $\bullet$ La piste sera classée noire, c’est-à-dire très difficile, si au moins une portion de la piste a une pente supérieure ou égale à $40\%$.
    $\bullet$ La piste sera classée rouge, c’est-à-dire difficile, si au moins une portion de la piste a une pente strictement comprise entre $25\%$ et $40\%$ (et aucune portion avec une pente supérieure ou égale à $40\%$).
    $\bullet$ Si toutes les portions de la piste ont une pente inférieure ou égale à $25\%$ alors la piste sera classée bleue, c’est-à-dire facile.
    Déterminer le niveau de difficulté de cette nouvelle piste. Justifier la réponse.
    $\quad$

Exercice 3    5 points

Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L

La renouée du Japon est une plante à croissance très rapide et très invasive.
Un jardinier souhaite faire disparaître de son terrain cette espèce qui occupe une superficie de $120$ m$^2$ au 1$^{\text{er}}$ janvier 2017. Pour cela, chaque année au printemps, il procède à un arrachage qui permet de réduire de $10\%$ la superficie de terrain envahi l’année précédente. Cependant, cette espèce de plante ayant une puissance de dissémination très importante, de nouvelles pousses apparaissent chaque été et envahissent une nouvelle parcelle de terrain d’une superficie de $4$ m$^2$.

  1. Déterminer la superficie de terrain envahi par cette plante au 1$^{\text{er}}$ janvier 2018.

On modélise la situation par une suite $\left(u_n\right)$ où $u_n$ représente la superficie de terrain en m$^2$ envahi par la Renouée du Japon au 1$^{\text{er}}$ janvier de l’année $2017 + n$.
La suite $\left(u_n\right)$ est donc définie par $u_0 = 120$ et, pour tout entier naturel $n$, par $u_{n + 1} = 0,9u_n+4$.

  1. Le jardinier souhaite connaître l’année à partir de laquelle il aura réduit au moins de moitié la superficie de terrain envahi par rapport au 1$^{\text{er}}$ janvier de l’année 2017.
    Recopier et compléter les lignes $\text{L}1$, $\text{L}3$, $\text{L}4$ et $\text{L}7$ de l’algorithme suivant afin qu’il détermine l’année souhaitée.
    On ne demande pas de faire fonctionner l’ algorithme.
    $\begin{array}{|ll|}
    \hline
    \text{L}1&U \text{ prend la valeur } \ldots\\
    \text{L}2 &N\text{ prend la valeur } 0 \\
    \text{L}3 &\text{Tant que } \ldots\ldots\ldots\\
    \text{L}4 & \quad U \text{ prend la valeur }\ldots\ldots\ldots\\
    \text{L}5 &\quad N \text{ prend la valeur } N+1\\
    \text{L}6 &\text{Fin tant que} \\
    \text{L}7 &\text{Afficher } \ldots\ldots\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
  2. On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = u_n-40$.
    a. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $q=0,9$ et préciser le premier terme.
    $\quad$
    b. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$.
    $\quad$
    c. Justifier que $u_n = 80 \times 0,9^n+40$ pour tout entier naturel $n$.
    $\quad$
  3. a. Résoudre dans l’ensemble des entiers naturels l’inéquation $80\times 0,9^n+40 \pp 60$.
    $\quad$
    b. En déduire l’année à partir de laquelle la superficie envahie par la plante sera réduite au moins de moitié par rapport au 1$^{\text{er}}$ janvier de l’année 2017 .
    $\quad$
  4. Le jardinier arrivera-t-il à faire disparaître complètement la plante de son terrain ? Justifier la réponse.
    $\quad$

Exercice 3    5 points

Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Un parti politique organise une élection en son sein pour désigner son candidat à l’élection présidentielle. Seuls les adhérents de ce parti peuvent voter à cette élection et ils ont le choix entre deux candidats A et B.
Pendant la campagne électorale, certains adhérents indécis changent d’avis.
Un institut de sondage consulte chaque mois le même échantillon d’adhérents et recueille leurs intentions de vote.
Il observe que l’évolution de l’état de l’opinion peut être modélisée de la façon suivante.
Chaque mois :

  • $5\%$ des adhérents ayant déclaré vouloir voter pour le candidat A le mois précédent changent d’avis et déclarent vouloir voter pour le candidat B.
  • $3\%$ des adhérents ayant déclaré vouloir voter pour le candidat B le mois précédent déclarent vouloir voter pour le candidat A.

Au début de la campagne électorale, $65\%$ des adhérents déclarent vouloir voter pour le candidat A. On représente ce modèle par un graphe probabiliste $(\mathcal{G})$ de sommets $A$ et $B$ où :

  • $A$ est l’événement : “l’adhérent déclare vouloir voter pour le candidat A” ;
  • $B$ est l’événement : “l’adhérent déclare vouloir voter pour le candidat B”.

Dans la suite de l’exercice, on note:

  • $a_n$ la probabilité qu’un adhérent déclare vouloir voter pour le candidat A, le $n$-ième mois après le début de la campagne. On a donc $a_0 = 0,65$ .
  • $b_n$ la probabilité qu’un adhérent déclare vouloir voter pour le candidat B, le $n$-ième mois après le début de la campagne.

On note $P_n = \begin{pmatrix}a_n& b_n \end{pmatrix}$ l’état probabiliste correspondant aux intentions de vote le $n$-ième mois après le début de la campagne. On a donc $P_0 = \begin{pmatrix}0,65& 0,35\end{pmatrix}$.

  1. a. Dessiner le graphe probabiliste $(\mathcal{G})$ de sommets A et B.
    $\quad$
    b. Écrire la matrice de transition $M$ associée à ce graphe en prenant les sommets dans l’ordre alphabétique.
    $\quad$
  2. Démontrer que $P_1 = \begin{pmatrix}0,628& 0,372\end{pmatrix}$.
    $\quad$
  3. On note $P = \begin{pmatrix}a& b\end{pmatrix}$ l’état stable associé à ce graphe.
    a. Démontrer que les nombres $a$ et $b$ sont solutions du système $\begin{cases} 0,05a-0,03b = 0\\a + b=1\end{cases}$.
    $\quad$
    b. Résoudre le système précédent.
    $\quad$
    c. Interpréter dans le contexte de l’exercice la solution obtenue à la question 3b.
    $\quad$
  4. a. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $a_{n+ 1} = 0,92a_n + 0,03$.
    $\quad$
    b. On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = a_n-0,375$.
    Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $q = 0,92$ et préciser le premier terme.
    $\quad$
    c. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$ et en déduire que : $a_n = 0,275 \times 0,92^n+0,375$.
    $\quad$
  5. La campagne électorale dure $11$ mois. Si la modélisation de l’institut de sondage est valable, quel candidat sera probablement élu ? Justifier la réponse.
    $\quad$

Exercice 4    5 points

Une base nautique propose la location de différentes embarcations pour visiter les gorges du Verdon. Les touristes peuvent louer des kayaks, des pédalos ou des bateaux électriques, pour une durée de $1$ heure ou $2$ heures.

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

Une étude statistique met en évidence que :

  • $40\%$ des embarcations louées sont des pédalos ;
  • $35\%$ des embarcations louées sont des kayaks ;
  • les autres embarcations louées sont des bateaux électriques ;
  • $60\%$ des pédalos sont loués pour une durée de $1$ heure ;
  • $70\%$ des kayaks sont loués pour une durée de $1$ heure ;
  • la moitié des bateaux électriques sont loués pour une durée de $1$ heure.
    $\quad$

On interroge au hasard un touriste qui vient pour louer une embarcation.

On note $A$, $B$, $C$, $D$ et $E$ les événements suivants :

  • $A$ : “l’embarcation louée est un pédalo” ;
  • $B$ : “l’embarcation louée est un kayak” ;
  • $C$ : ” l’embarcation louée est un bateau électrique” ;
  • $D$ : “l’embarcation est louée pour une durée de $1$ heure” ;
  • $E$ : “l’embarcation est louée pour une durée de $2$ heures”.
  1. Traduire la situation par un arbre pondéré.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité $p(A \cap E)$.
    $\quad$
  3. Montrer que la probabilité que l’embarcation soit louée pour une durée de $2$ heures est égale à $0,39$.
    $\quad$
  4. Sachant que l’embarcation a été louée pendant $2$ heures, quelle est la probabilité que ce soit un bateau électrique ? Arrondir le résultat au centième.
    $\quad$
  5. La base nautique pratique les tarifs suivants :
    $\begin{array}{|l|c|c|}
    \hline
    &1 \text{ heure} &2 \text{ heures} \\
    \hline
    \text{Pédalo} &15 € &25 €\\
    \hline
    \text{Kayak} &10 € &16 € \\
    \hline
    \text{Bateau électrique} &35 € & 60 €\\
    \hline
    \end{array}$
    En moyenne, $200$ embarcations sont louées par jour. Déterminer la recette journalière que peut espérer la base nautique.
    $\quad$

Partie B

Dans cette partie les résultats seront arrondis au millième.

Les bateaux électriques sont équipés d’une batterie d’une autonomie moyenne de $500$ minutes.
Les batteries des bateaux sont rechargées uniquement à la fin de chaque journée d’utilisation.
On note $X$ la variable aléatoire correspondant à la durée de fonctionnement de la batterie d’un bateau, exprimée en minutes. On admet que $X$ suit la loi normale d’espérance $\mu = 500$ et d’écart-type $\sigma = 10$.

  1. À l’aide de la calculatrice, calculer $p(490 < X < 520)$.
    $\quad$
  2. Chaque jour, les bateaux sont utilisés pendant une durée de $8$ heures sans être rechargés.
    Déterminer la probabilité que la batterie d’un bateau soit déchargée avant la fin de la journée.
    $\quad$
  3. Déterminer l’entier $a$ tel que $p(X < a) \approx 0,01$. Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

Bac ES/L – Liban – juin 2017

Liban – Juin 2017

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici :

Ex 1

Exercice 1

  1. Une primitive de la fonction $g$ sur $]0;+\infty[$ est la fonction $G$ définie par $G(x)=2\ln(x)$.
    La valeur moyenne de la fonction $g$ sur l’intervalle $[1;\e]$ est :
    $\begin{align*} m&=\displaystyle \dfrac{1}{\e-1}\int_1^{\e}\dfrac{2}{x}\dx \\
    &=\dfrac{1}{\e-1}\left(G(\e)-G(1)\right) \\
    &=\dfrac{2\ln(\e)-2\ln(1)}{\e-1}\\
    &=\dfrac{2}{\e-1}
    \end{align*}$
    Réponse c
    $\quad$
  2. On voit que $P(0,6\pp X\pp 1,4)=0,95$ et que $E(X)=1$
    Or $P(\mu-2\sigma\pp X\pp \mu+2\sigma)\approx 0,95$
    Par conséquent ici $P(1-2\times 0,2 \pp X\pp 1+2\times 0,2)=0,95$ et $\sigma \approx 0,2$.
    Réponse d
    $\quad$
  3. On a $n=50\pg 30$ et $p=0,15$
    Donc $np=7,5\pg 5$ et $n(1-p)=42,5\pg 5$.
    Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ est :
    $\begin{align*}I_{50}&=\left[0,15-1,96\sqrt{\dfrac{0,15\times 0,85}{50}};0,15+1,96\sqrt{\dfrac{0,15\times 0,85}{50}}\right] \\
    &\approx [0,051;0,249]
    \end{align*}$
    Réponse a
    Remarque : 
    La fréquence observée est $f=\dfrac{2}{50}=0,04\notin I_{50}$
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A : l’accord de Kyoto (1997)

  1. $559\times \left(1-\dfrac{8}{100}\right) =514,28>486$.
    La France respectait déjà cet engagement en 2011.
    $\quad$
  2. On appelle $N$ le nombre de mégatonnes de GES en équivalent CO$_2$ émises par la France en 2010.
    On a donc :
    $\begin{align*}N\times \left(1-\dfrac{5,6}{100}\right)=486 & \ssi 0,944N=486 \\
    &\ssi N=\dfrac{486}{0,944}
    \end{align*}$
    Donc $ N \approx 514,8$
    $\quad$

Partie B : Étude des émissions de gaz à effet de serre d’une zone industrielle

  1. On a $u_0=41$
    et $u_1=\left(1-\dfrac{2}{100}\right)\times 41+0,2=40,38$
    $\quad$
  2. Chaque année, il y a une réduction de $2\%$.
    Il reste donc $\left(1-\dfrac{2}{100}\right)u_n=0,98u_n$.
    $200$ tonnes soit $0,2$ milliers de tonnes supplémentaires  de GES en équivalent CO$_2$ sont générées.
    Par conséquent $u_{n+1}=0,98u_n+0,2$.
    $\quad$
  3. a. On a $v_n=u_n-10$ soit $u_n=v_n+10$.
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-10 \\
    &=0,98u_n+0,2-10\\
    &=0,98u_n-9,8\\
    &=0,98\left(v_n+10\right)-9,8\\
    &=0,98v_n+9,8-9,8\\
    &=0,98v_n
    \end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,98$ et de premier terme $v_0=41-10=31$.
    $\quad$
    b. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $v_n=31\times 0,98^n$
    $\quad$
    c. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} u_n&=v_n+10 \\
    &=31\times 0,98^n+10
    \end{align*}$
    $\quad$
  4. a. $0<0,98<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,98^n=0$.
    Ainsi $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=10$.
    $\quad$
    b. Au bout d’un grand nombre d’année cette zone industrielle émettra $10$ milliers de tonnes de CO$_2$.
    $\quad$
  5. a. Ligne 7 : Tant que $U>20,5$ faire
    Ligne 9 : $U$ prend la valeur $0,98\times U+0,2$
    $\quad$
    b. Cela signifie qu’il faudra attendre $54$ années avant que cette zone industrielle ait réduit au moins de moitié ses émissions de CO$_2$ par rapport à l’année 2005.
    $\quad$

Ex 3 obl

Exercice 3

Candidats ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L

Partie A

  1. D’après l’énoncé on a $p(S)=0,18$ et $p_{\conj{F}}(S)=0,175$.
    $\quad$
  2. $\quad$
  3. D’après l’arbre précédent on a :
    $p\left(\conj{F}\cap S\right)=0,48\times 0,175=0,084$
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*}p_S\left(\conj{F}\right)&=\dfrac{p\left(\conj{F}\cap S\right)}{p(S)} \\
    &=\dfrac{0,084}{0,18} \\
    &\approx 0,467
    \end{align*}$
    $\quad$
  5. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(S)=p(F\cap S)+p\left(\conj{F}\cap S\right) &\ssi 0,18=p(F\cap S)+0,084 \\
    &\ssi p(F\cap S)=0,096
    \end{align*}$
    On veut déterminer :
    $\begin{align*} p_F(S)&=\dfrac{p(F\cap S)}{p(F)} \\
    &=\dfrac{0,096}{0,52}\\
    &\approx 0,185
    \end{align*}$
    $\quad$

Partie B

On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de fiches de demandeur d’emploi sans expérience.

On répète $5$ fois une expérience aléatoire, avec remise. Les expériences sont indépendantes les unes des autres et à chaque tirage il y a deux issues : $S$ et $\conj{S}$. On sait que $p(S)=0,18$.

La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=5$ et $p=0,18$.

On veut calculer :
$\begin{align*}P(X\pg 1)&=1-P(X=0) \\
&=1-(1-0,18)^5 \\
&\approx 0,629
\end{align*}$

La probabilité que, parmi les cinq fiches tirées au hasard, il y ait au moins une fiche de demandeur d’emploi sans expérience est $0,629$.
$\quad$

 

Ex 3 spé

Exercice 3

Partie A

  1. On obtient le graphe probabiliste suivant :
  2. On a $a_0=0,3$ et $b_0=0,7$.
    $\quad$
  3. En 2018 on a $n=3$. On calcule donc $P_3$.
    $P_1=P_0\times M=\begin{pmatrix}0,362&0,638\end{pmatrix}$
    $P_2=P_1\times M=\begin{pmatrix}0,407~88&0,592~12\end{pmatrix}$
    $P_3=P_2\times M=\begin{pmatrix}0,441~831~2&0,558~168~8\end{pmatrix}$
    Ainsi $a_3\approx 44,2\%$
    $\quad$
  4. a. L’état stable $P=\begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}$ vérifie :
    $\begin{align*} PM=P \text{ et }x+y=1 &\ssi \begin{cases}0,88x+0,14y=x\\0,12x+0,86y=y\\x+y=1 \end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases} 0,12x-0,14y=0\\0,14y-0,12x=0\\x+y=1\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} 0,12x-0,14y=0\\x+y=1\end{cases}
    \end{align*}$
    $\quad$
    b.
    $\begin{align*} \begin{cases} 0,12x-0,14y=0\\x+y=1\end{cases} &\ssi \begin{cases} x=1-y\\0,12(1-y)-0,14y=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=1-y\\0,12-0,12y-0,14y=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=1-y\\0,12=0,26y\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=1-y\\y=\dfrac{0,12}{0,26} \end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases}y=\dfrac{6}{13} \\x=\dfrac{7}{13}\end{cases}
    \end{align*}$
    Au bout d’un grand nombre d’années, l’opérateur Alpha aura donc environ $53,8\%$ des parts de marché et l’opérateur Bravo aura environ $46,2\%$ des parts de marché.
    $\quad$

Partie B

  1. On applique l’algorithme de Dijkstra
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    A&B&C&D&E&F&G&H&I&\text{Sommet}\\
    \hline
    &&0&&&&&&&C\\
    \hline
    25(C)&30(C)&\phantom{00(C)}&20(C)&&&&&&D\\
    \hline
    25(C)&30(C)&&&40(D)&&&&35(D)&A\\
    \hline
    &30(C)&&&40(D)&&&35(A)&35(D)&B\\
    \hline
    &&&&40(D)&&&35(A)&35(D)&H\\
    \hline
    &&&&40(D)&45(H)&55(H)&&35(D)&I\\
    \hline
    &&&&40(D)&45(H)&55(H)&&&E\\
    \hline
    &&&&&45(H)&55(H)&&&F\\
    \hline
    &&&&&&50(F)&&&G\\
    \hline
    \end{array}$
    Le tracé le moins cher à déployer, entre les stations $C$ et $G$ est $C-A-H-F-G$ .
    $\quad$
  2. D’après le tableau précédent ce tracé coûte $50$ milliers d’euros.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie A

  1. La fonction est dérivable sur $[0;10]$ en tant que somme et quotient de fonctions dérivables sur cet intervalle dont le dénominateur ne s’annule pas.
    Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;10]$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{-\left(-100\e^{-x}\right)}{\left(0,5+100\e^{-x}\right)^2} \\
    &\dfrac{100\e^{-x}}{\left(0,5+100\e^{-x}\right)^2}
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. a.
    $\begin{align*} 100\e^{-x}-0,5 \pg 0 &\ssi 100\e^{-x}\pg 0,5 \\
    &\ssi \e^{-x}\pg 0,005\\
    &\ssi -x\pg \ln(0,005)\\
    &\ssi x \pp-\ln(0,005)
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. Par conséquent le signe de $f^{\prime\prime}(x)$ ne dépend que de celui de $100\e^{-x}-0,5$.
    On obtient alors le tableau de signe suivant :
  3. La fonction $f^{\prime\prime}$ s’annule en changeant de signe en $-\ln(0,005)$. Elle possède donc un point d’inflexion dont l’abscisse est $-\ln(0,005)$.
    $\quad$
  4. La fonction $f$ est donc concave sur l’intervalle $\left[-\ln(0,005);10\right]$.
    $\quad$

Partie B

  1. a. $f(10)=\dfrac{1}{0,5+100\e^{-10}}\approx 1,98$
    $\quad$
    b. Cela signifie donc qu’en l’année $1900+10\times 25=2150$ l’augmentation de température sera de $1,98$ degré. L’objectif de l’accord de Paris sera respecté.
    $\quad$
  2. a. On a $x_I=-\ln(0,005)\approx 5,298$
    L’abscisse du point $I$ correspond donc à l’année $2032$ (arrondi à l’unité).
    $\quad$
    b.
    $\begin{align*} f\left(-\ln(0,005)\right)&=\dfrac{1}{0,5+100\e^{\ln(0,005)}} \\
    &=\dfrac{1}{0,5+100\times 0,005}\\
    &=1
    \end{align*}$
    En $2032$ la température sera $1$ degré supérieure à celle de $1900$.
    $\quad$
  3. a. La fonction $f’$ est strictement positive, puisque la fonction exponentielle l’est également. La fonction $f$ est donc strictement croissante sur l’intervalle $[0;10]$.
    La température terrestre augmentera donc continuellement.
    Par conséquent l’affirmation est fausse.
    $\quad$
    b
    . La fonction $f^{\prime\prime}$ est négative sur l’intervalle $\left[-\ln(0,005);10\right]$.
    Cela signifie donc que la fonction $f’$ est décroissante sur cet intervalle.
    Or l’abscisse du point $I$ est associée à l’année $2032$.
    La vitesse du réchauffement climatique diminuera donc après $2033$.
    $\quad$
  4. La fonction $f$ est strictement croissante et continue sur l’intervalle $[0;10]$.
    $f(0)\approx 0,009~95<1,5$ et $f(10)\approx 1,98>1,5$
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $f(x)=1,5$ possède une unique solution $\alpha$.
    A l’aide de la calculatrice on trouve $\alpha\approx 6,397$.
    C’est donc au cours de l’année $2059$ que la température terrestre atteindra le seuil critique, selon ce modèle.

 

 

 

Énoncé

Exercice 1    3 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est demandée.
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante.

  1. On considère la fonction $g$ définie sur $]0;+ \infty[$ par $g(x) = \dfrac{2}{x}$.
    La valeur moyenne de la fonction $g$ sur l’intervalle $[1;\e]$ est :
    a. $2$
    b. $\dfrac{1}{\e-1}$
    c. $\dfrac{2}{\e-1}$
    d. $\dfrac{-2}{\e-1}$
    $\quad$
  2. On considère une variable aléatoire $X$ suivant une loi normale. La courbe de la figure ci-dessous représente la fonction de densité $f$ associée à la variable $X$.

    a. L’espérance de $X$ est $0,4$.
    b. L’espérance de $X$ est $0,95$.
    c. L’écart-type de $X$ est environ $0,4$.
    d. L’écart-type de $X$ est environ $0,2$.
    $\quad$
  3. À l’occasion de son inauguration, un hypermarché offre à ses clients un ticket à gratter par tranche de $10$ euros d’achats. L’hypermarché affirme que $15\%$ des tickets à gratter sont gagnants, c’est-à-dire donneront droit à un bon d’achat de $5$ euros.
    Amandine a reçu $50$ tickets à gratter après un achat de $500$ euros dans cet hypermarché. Deux d’entre eux étaient gagnants.
    On suppose que le nombre de tickets à gratter est suffisamment important pour considérer qu’un échantillon de $50$ tickets correspond à un tirage aléatoire avec remise.
    a. L’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de la fréquence observée de tickets gagnants dans un échantillon de $50$~tickets à gratter est $[0,051;0,249]$, les bornes étant arrondies au millième.
    b. L’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de la fréquence observée de tickets gagnants dans un échantillon de $50$ tickets à gratter est $[0,100;0,200]$, les bornes étant arrondies au millième.
    c. La fréquence de tickets gagnants reçus par Amandine est $\dfrac{50}{500}$.
    d. Amandine peut annoncer avec un risque de $5\%$ que l’affirmation de l’hypermarché n’est pas mensongère.
    $\quad$

Exercice 2    6 points

Les deux parties sont indépendantes.

Partie A : L’accord de Kyoto (1997)

Le principal gaz à effet de serre (GES) est le dioxyde de carbone, noté CO$_2$.
En 2011, la France a émis $486$ mégatonnes de GES en équivalent CO$_2$ contre $559$ mégatonnes en 1990.

  1. Dans l’accord de Kyoto, la France s’est engagée à réduire ses GES de $8\%$ entre 1990 et 2012.
    Peut-on dire qu’en 2011 la France respectait déjà cet engagement ? Justifier la réponse.
    $\quad$
  2. Sachant que les émissions de 2011 ont marqué une baisse de $5,6\%$ par rapport à 2010, calculer le nombre de mégatonnes en équivalent CO$_2$ émises par la France en 2010. Arrondir le résultat à $0,1$.
    $\quad$

Partie B : Étude des émissions de gaz à effet de serre d’une zone industrielle

Un plan de réduction des émissions de gaz à effet de serre (GES) a été mis en place dans une zone industrielle. On estime que, pour les entreprises déjà installées sur le site, les mesures de ce plan conduisent à une réduction des émissions de $2\%$ d’une année sur l’autre et que, chaque année, les implantations de nouvelles entreprises sur le site génèrent $200$ tonnes de GES en équivalent CO$_2$.
En 2005, cette zone industrielle a émis $41$ milliers de tonnes de CO$_2$ au total.
Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ le nombre de milliers de tonnes de CO$_2$ émis dans cette zone industrielle au cours de l’année $2005+n$.

  1. Déterminer $u_0$ et $u_1$.
    $\quad$
  2. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} = 0,98\times u_n+0,2$.
    $\quad$
  3. On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = u_n-10$.
    a. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $0,98$. Préciser son premier terme.
    $\quad$
    b. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$.
    $\quad$
    c. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = 31 \times (0,98)^n+10$.
    $\quad$
  4. a. Calculer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
    b. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  5. À l’aide de l’algorithme ci-dessous, on se propose de déterminer l’année à partir de laquelle la zone industrielle aura réduit au moins de moitié ses émissions de CO$_2$, par rapport à l’année 2005.
    a. Recopier et compléter les lignes $7$ et $9$ de l’algorithme.
    $\begin{array}{|ll|}
    \hline
    1& \textbf{Variables}\\
    2&\quad U \text{ est du type nombre}\\
    3&\quad n \text{ est du type nombre entier}\\
    4& \textbf{Début Algorithme}\\
    5&\quad U \text{ prend la valeur } 41\\
    6&\quad n \text{ prend la valeur } 0\\
    7&\quad \text{Tant que } (\ldots \ldots ) \text{ faire}\\
    8&\qquad \text{Début Tant que}\\
    9&\qquad U \text{ prend la valeur } \ldots\\
    10&\qquad n \text{ prend la valeur } n+1\\
    11&\quad \text{Fin Tant que}\\
    12&\quad \text{Afficher } n\\
    13& \textbf{Fin Algorithme}\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    b. L’algorithme affiche $54$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

Exercice 3    5 points

Candidats ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L

Les parties A et B sont indépendantes

Notations :
Pour tout événement $A$, on note $\conj{A}$ l’événement contraire de $A$ et $p(A)$ la probabilité de l’événement $A$.
Si $A$ et $B$ sont deux événements, on note $p_B(A)$ la probabilité de $A$ sachant que l’événement $B$ est réalisé.

Dans cet exercice, on arrondira les résultats au millième

Une agence Pôle Emploi étudie l’ensemble des demandeurs d’emploi selon deux critères, le sexe et l’expérience professionnelle.
Cette étude montre que :

  • $52\%$ des demandeurs d’emploi sont des femmes et $48\%$ sont des hommes ;
  • $18\%$ des demandeurs d’emploi sont sans expérience et les autres sont avec expérience ;
  • parmi les hommes qui sont demandeurs d’emploi, on sait que $17,5\%$ sont sans expérience.

Partie A

On prélève au hasard la fiche d’un demandeur d’emploi de cette agence. On note :

  • $S$ : l’événement “le demandeur d’emploi est sans expérience” ;
  • $F$ : l’événement “le demandeur d’emploi est une femme”.
  1. Préciser $p(S)$ et $p_{\conj{F}}(S)$.
    $\quad$
  2. Recopier l’arbre ci-dessous et compléter les pointillés par les probabilités associées.

    $\quad$
  3. Démontrer que $p\left(\conj{F} \cap S\right) = 0,084$. Interpréter le résultat.
    $\quad$
  4. La fiche prélevée est celle d’un demandeur d’emploi sans expérience. Calculer la probabilité pour que ce soit un homme.
    $\quad$
  5. Sachant que la fiche prélevée est celle d’une femme, calculer la probabilité que ce soit la fiche d’un demandeur d’emploi sans expérience.
    $\quad$

Partie B

La responsable de l’agence décide de faire le point avec cinq demandeurs d’emploi qui sont suivis dans son agence. Pour cela, elle prélève cinq fiches au hasard. On admet que le nombre de demandeurs d’emplois dans son agence est suffisamment grand pour assimiler cette situation à un tirage avec remise.
En justifiant la démarche, calculer la probabilité que, parmi les cinq fiches tirées au hasard, il y ait au moins une fiche de demandeur d’emploi sans expérience.
$\quad$

Exercice 3    5 points

Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Les parties A et B sont indépendantes

Partie A

Deux opérateurs Alpha et Bravo se partagent le marché de la téléphonie mobile dans un pays.
En 2015, l’opérateur Alpha possède $30\%$ du marché de téléphonie mobile. Le reste appartient à l’opérateur Bravo.
On étudie l’évolution dans le temps du choix des abonnés de 2015 pour l’un ou l’autre des opérateurs. Chaque abonné conserve un abonnement téléphonique, soit chez l’opérateur Alpha soit chez l’opérateur Bravo.
On estime que, chaque année :

  • $12\%$ des abonnés de l’opérateur Alpha le quittent et souscrivent un abonnement chez l’opérateur Bravo.
  • $86\%$ des abonnés de l’opérateur Bravo lui restent fidèles, les autres le quittent pour l’opérateur Alpha.

On modélise cette situation par un graphe probabiliste à deux sommets Alpha et Bravo :

  • $A$ est l’événement: “l’abonné est chez l’opérateur Alpha” ;
  • $B$ est l’événement: “l’abonné est chez l’opérateur Bravo”.
  1. Dessiner ce graphe probabiliste.
    $\quad$

On admet que la matrice de transition de ce graphe probabiliste, en considérant les sommets dans l’ordre alphabétique, est : $M = \begin{pmatrix}0,88&0,12\\0,14 &0,86\end{pmatrix}$.

On note pour tout entier naturel $n$ :

  • $a_n$ la probabilité qu’un abonné soit chez l’opérateur Alpha l’année $2015 + n$ ;
  • $b_n$ la probabilité qu’un abonné soit chez l’opérateur Bravo l’année $2015 + n$.

On note $P_n = \begin{pmatrix}a_n& b_n\end{pmatrix}$ la matrice ligne de l’état probabiliste pour l’année $2015 + n$.

  1. Donner $a_0$ et $b_0$.
    $\quad$
  2. Montrer qu’en 2018, il y aura environ $44,2\%$ des abonnés chez l’opérateur Alpha.
    $\quad$
  3. Les deux opérateurs voudraient connaître la répartition de l’ensemble des abonnés sur le long terme. On note $P = \begin{pmatrix}x &y\end{pmatrix}$ l’état stable de la répartition des abonnés.
    a. Montrer que les nombres $x$ et $y$ sont solutions du système $\begin{cases}0,12x-0,14y = 0\\x+y =1\end{cases}$ .
    $\quad$
    b. Résoudre le système précédent dans l’ensemble des réels.
    $\quad$
    c. Déterminer la répartition des abonnés entre les deux opérateurs au bout d’un grand nombre d’années. Arrondir les pourcentages à $0,1\%$.
    $\quad$

Partie B

Un opérateur français doit développer son réseau de fibre optique dans la région des stations de ski notées A, B, C, D, E, F, G, H, I à l’approche de la saison touristique. À ce jour, seule la station C est reliée au réseau national de fibre optique.

Le coût des tronçons du réseau de fibre optique varie selon le relief des montagnes et des vallées.
L’opérateur a mené une étude afin de déterminer son plan de déploiement.

Dans le graphe ci-dessous :

  • les sommets représentent les stations de ski;
  • les arêtes représentent les différents tronçons qu’il est possible de déployer;
  • le poids de chaque arête correspond au coût associé, en milliers d’euros.

 

  1. À l’aide de l’algorithme de Dijkstra, déterminer le tracé de fibre optique le moins cher à déployer, entre les stations C et G.
    $\quad$
  2. Déterminer, en milliers d’euros, le coût de ce tracé.
    $\quad$

Exercice 4    6 points

Les deux parties sont liées

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0;10]$ par $f(x)=\dfrac{1}{0,5+100\e^{-x}}$.
On note $f’$ la fonction dérivée de $f$ sur l’intervalle $[0;10]$.

  1. Montrer que, pour tout réel $x$ dans l’intervalle $[0;10]$, on a $f'(x) = \dfrac{100\e^{-x}}{\left(0,5+100\e^{-x} \right)^2}$.
    $\quad$

On note $f^{\prime\prime}$ la fonction dérivée seconde de $f$ sur l’intervalle $[0;10]$.
Un logiciel de calcul formel fournit l’expression suivante de $f^{\prime\prime}(x)$ : $$f^{\prime\prime}(x) = \dfrac{100\e^{-x}\left(100\e^{-x} – 0,5\right)}{\left(0,5 + 100\e^{-x} \right)^3}$$

  1. a. Montrer que, dans l’intervalle $[0;10]$, l’inéquation $100\e^{-x}-0,5 \pg 0$ est équivalente à l’inéquation $x \pp -\ln(0,005)$.
    $\quad$
    b. En déduire le tableau de signes de la fonction $f”$ sur l’intervalle $[0;10]$.
    $\quad$
  2. On appelle $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ tracée dans un repère.
    Montrer, à l’aide de la question 2, que la courbe $\mathcal{C}_f$ admet un point d’inflexion noté $I$, dont on précisera la valeur exacte de l’abscisse.
    $\quad$
  3. En utilisant les résultats de la question 2, déterminer l’intervalle sur lequel la fonction $f$ est concave.
    $\quad$

Partie B

Dans toute cette partie les températures seront exprimées en degrés Celsius, notés °C.

La COP21, conférence sur les changements climatiques des Nations Unies, a adopté le 12 décembre 2015 le premier accord universel sur le climat, appelé accord de Paris, signé par $195$ pays.

Cet accord confirme l’objectif, d’ici l’année 2100, que la température terrestre ne dépasse pas de plus de $2$°C la température de l’année 1900.

Dans cette partie, on modélise, par la fonction $f$ de la partie A, une évolution de température possible permettant d’atteindre l’objectif de l’accord de Paris.

La courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction est tracée ci-dessous, et $I$ est son point d’inflexion.
Sur l’axe des abscisses, l’année 1900 correspond à $0$ et une unité représente $25$ ans, donc l’année 1925 correspond à $1$.
Sur l’axe des ordonnées, on a représenté le nombre de degrés Celsius au-dessus de la température de 1900.

 

  1. a. Calculer $f(10)$, en arrondissant le résultat au centième.
    $\quad$
    b. En déduire qu’en 2150, avec ce modèle, l’objectif de l’accord de Paris sera respecté.
    $\quad$
  2. a. En utilisant la partie A, déterminer l’année correspondant à l’abscisse du point $I$ d’inflexion de la courbe $\mathcal{C}_f$. Arrondir le résultat à l’unité.
    $\quad$
    b. Calculer, pour cette année-là, le nombre de degrés Celsius supplémentaires par rapport à 1900.
    $\quad$
  3. On appelle vitesse du réchauffement climatique la vitesse d’augmentation du nombre de degrés Celsius. On admet que, à partir de 1900, la vitesse du réchauffement climatique est modélisée par la fonction $f’$.
    a. Est-il vrai de dire qu’après 2033 la température terrestre diminuera ? Justifier la réponse.
    $\quad$
    b. Est-il vrai de dire qu’après 2033 la vitesse du réchauffement climatique diminuera ? Justifier la réponse.
    $\quad$
  4. Pour sauvegarder les îles menacées par la montée des eaux, la température terrestre ne doit pas dépasser de plus de $1,5$°C la température de l’année 1900.
    Déterminer l’année au cours de laquelle la température terrestre atteindra ce seuil, selon ce modèle.
    $\quad$

Bac ES/L – Amérique du Nord – juin 2017

Amérique du Nord – Juin 2017

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici : spécialité et obligatoire

Ex 1

Exercice 1

  1. $\quad$
    $\begin{align*} f'(x)&=\ln(x)+\dfrac{x}{x}-1 \\
    &=\ln(x)+x-1\\
    &=\ln(x)
    \end{align*}$
    Réponse b
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align*} 6\times 0,95^n-1 \pp 2 &\ssi 6 \times 0,95^n \pp 3 \\
    &\ssi 0,95^n \pp 0,5 \\
    &\ssi n\ln(0,95) \pp \ln(0,5) \\
    &\ssi n \pg \dfrac{\ln(0,5)}{\ln(0,95)}
    \end{align*}$
    Réponse d
    $\quad$
  3. $n=1~000 \pg 30$ et $f=\dfrac{954}{1~000}$
    Donc $nf=954 \pg 5$ et $n(1-f)=46 \pg 5$
    Un intervalle de confiance au niveau de confiance de $95\%$ est :
    $\begin{align*} I_{1~000}&=\left[0,954-\dfrac{1}{\sqrt{1~000}};0,954+\dfrac{1}{\sqrt{1~000}}\right] \\
    &\approx [0,922;0,986]
    \end{align*}$
    Réponse a
    $\quad$
  4. On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de fois où l’archer touche la cible.
    L’expérience est répétée $6$ fois. Les lances sont indépendants, identiques et aléatoires. A chaque tir il y a deux issues : il touche la cible, avec une probabilité de $0,8$, ou il ne la touche pas.
    La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=6$ et $p=0,8$.
    On veut détermine $P(X=3)=\displaystyle \binom{6}{3}0,8^3\times 0,2^3 = 0,081~92$
    Réponse d
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. a. En juin 2017, on peut estimer qu’il y aura $27~500-150=27~350$ étudiants dans cette université.
    $\quad$
    b. En septembre 2017, l’université devrait donc avoir $1,04\times 27~350=28~444$ étudiants.
    $\quad$
  2. En juin de l’année $n$ il reste $u_n-150$ étudiants.
    En septembre de l’année suivante on a donc :
    $\begin{align*} u_{n+1}&=1,04\left(u_n-150\right) \\
    &=1,04u_n-156\end{align*}$
    $\quad$
  3. L5 : Tant que $U \pp 33~000$ faire
    L6: $\qquad$ $n$ prend la valeur $n+1$
    L7 : $\qquad$ $n$ prend la valeur $1,04\times U-156$
    L9 : Afficher $2016+n$
    $\quad$
  4. a.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    &\text{Initialisation}&\text{Etape }1&\text{Etape }2&\text{Etape }3&\text{Etape }4&\text{Etape }5&\text{Etape }6 \\
    \hline
    \text{Valeur de }n&0&1&2&3&4&5&6\\
    \hline
    \text{Valeur de }U&27~500&28~444&29~426&30~447&31~509&32~613&33~762\\
    \hline
    \end{array}$
    b. L’algorithme affichera donc $6$.
    $\quad$
  5. a. On a $u_n=v_n+3~900$
    $\begin{align*} v_{n+1} &=u_{n+1}-3~900 \\
    &=1,04u_n-156-3~900\\
    &=1,04u_n-4~056\\
    &=1,04\left(v_n+3~900\right)-4~056 \\
    &=1,04v_n+4~056-4~056\\
    &=1,04v_n
    \end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,04$ et de premier terme $v_0=27~500-3~900=23~600$.
    $\quad$
    b. On a donc $v_n=23~600\times 1,04^n$
    Ainsi $u_n=v_n+3~900=23~600\times 1,04^n+3~900$.
    $\quad$
    c. $1,04>1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 1,04^n =+\infty$.
    Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n =+\infty$.
    Cela signifie donc que le nombre d’étudiants de cette université dépassera toutes les limites de capacité qu’on pourra se fixer.
    $\quad$

Ex 3 obl

Exercice 3

Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L

Partie A

  1. $\quad$
  2. On veut calculer $p\left(I\cap \conj{T}\right)=0,01\times 0,8=0,008$
    $\quad$
  3. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(T)&=p(T\cap I)+p\left(T\cap \conj{I}\right) \\
    &=0,01\times 0,2+0\\
    &=0,002
    \end{align*}$
    $\quad$

Partie B

  1. $P(9\pp X\pp 13)\approx 0,383$ d’après la calculatrice.
    $\quad$
  2. $P(X \pp 6)=0,5-P(6\pp X \pp 11)\approx 0,106$
    $\quad$
  3. A l’aide de la touche inverse loi normale de la calculatrice on trouve que $a\approx 15$ pour que $P(X \pp a)=0,84$
    Cela signifie donc que $84\%$ des personnes atteintes de la maladie cœliaque ont attendu au plus $15$ ans pour être diagnostiqué après l’apparition des premiers symptômes.
    $\quad$
  4. On a $\mu=11$ : cela exclut la courbe 1.
    On sait que $P(9\pp X\pp 13)\approx 0,383$
    Chaque petit rectangle possède une aire de $0,02$ u.a.
    L’aire du domaine compris entre l’axe des abscisses, la courbe 3 et les droites d’équation $x=9$ et$x=13$ est inférieure à $16\times 0,02=0,32$. Cela exclut donc la courbe 3.
    La courbe 2 représente donc la fonction de densité de cette loi normale.
    $\quad$

 

Ex 3 spé

Exercice 3

Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

  1. a. Le graphe possède $9$ sommets, il est donc d’ordre $9$.
    $\quad$
    b. La chaîne $D-M-H-R-B-V-G-L-J$ permet de passer par tous les sommets. Le graphe est donc connexe.
    $\quad$
    c. Les sommets $H$ et $G$ ne sont pas adjacents. Le graphe n’est pas complet.
    $\quad$
  2. Déterminons le degré de chacun des sommets.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Sommet}&B&D&G&H&J&L&M&R&V\\
    \hline
    \text{Degré}&2&1&3&2&3&4&5&3&5\\
    \hline
    \end{array}$
    Plus de deux sommets ont un degré impair.
    Le graphe ne possède pas de chaîne eulérienne.
    Sarah ne pourra pas emprunter toutes les routes une et une seule fois.
    $\quad$
  3. a. Les coefficients manquants sont $\begin{matrix}0&1&0\\
    1&0&1\\
    1&0&1
    \end{matrix}$
    $\quad$
    b. Le nombre de chemins de longueur $4$ permettant d’aller de $B$ à $D$ est ${M_{(1,2)}}^4=3$
    Il s’agit des chemins : $B-R-H-M-D$, $B-V-L-M-D$ et $B-V-J-M-D$.
    $\quad$
  4. A l’aide de l’algorithme de Dijkstra on obtient :
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    B&D&G&H&J&L&M&R&V&\text{Sommet}\\
    \hline
    0&&&&&&&&&B\\
    \hline
    &&&&&&&50(B)&220(B)&R\\
    \hline
    &&150(R)&272(R)&&&&&220(B)&G\\
    \hline
    &&&272(R)&&291(G)&&&220(B)&V\\
    \hline
    &&&272(R)&412(V)&291(G)&670(V)&&&H\\
    \hline
    &&&&412(V)&291(G)&567(H)&&&L\\
    \hline
    &&&&412(V)&&567(H)&&&J\\
    \hline
    &&&&&&567(H)&&&M\\
    \hline
    &617(M)&&&&&&&&D\\
    \hline
    \end{array}$
    Le plus court chemin permettant d’aller de $B$ à $D$ est le chemin $B-R-H-M-D$. Il faut parcourir $617$ km.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

Partie A : Étude graphique

  1. $f'(3)$ est égal au coefficient directeur de cette tangente.
    Donc $f'(3)=\dfrac{0-4}{4-3}=-4$.
    $\quad$
  2. D’après le graphique on a :

Partie B : Étude théorique

  1. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[0,7;6]$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $\begin{align*} f'(x)&=(2x-2)\e^{-2x+6}-2(x^2-2x+1)\e^{-2x+6} \\
    &=\left(2x-2-2x^2+4x-2\right)\e^{-2x+6} \\
    &=\left(-2x^2+6x-4\right)\e^{-2x+6}
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. La fonction exponentielle est strictement positive.
    Par conséquent le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $-2x^2+6x-4$.
    $\Delta = 6^2-4\times (-2)\times (-4)=4>0$
    Il y a donc deux racines réelles :
    $x_1=\dfrac{-6-\sqrt{4}}{-4}=2$ et $x_2=\dfrac{-6+\sqrt{4}}{-4}=1$.
    On a $a=-2<0$. $f'(x)$ est donc positif sur l’intervalle $[1;2]$ et négatif en dehors de cet intervalle.
    On obtient donc le tableau de variation suivant :
    $\quad$
  3. a. La fonction $f$ est concave si, et seulement si, $f^{\prime\prime}(x)<0$.
    D’après les lignes L3 et L4 du logiciel on a
    $f^{\prime\prime}(x)<0 \ssi x\in\left]\dfrac{-\sqrt{2}+4}{2};\dfrac{\sqrt{2}+4}{2}\right[$
    $\quad$
    b. $f$ admet des points d’inflexion si $f^{\prime\prime}(x)$ change de signe en s’annulant.
    D’après la ligne L4 du logiciel, la fonction $f$ possède deux points d’inflexion dont les abscisses sont $\dfrac{-\sqrt{2}+4}{2}$ et $\dfrac{\sqrt{2}+4}{2}$.
    $\quad$
    c. On a
    $\begin{align*} \displaystyle I&=\int_3^5 f(x)\dx \\
    &=F(5)-F(3)
    &=\dfrac{1}{4}(-50+10-1)\e^{-4}-\dfrac{1}{4}(-18+6-1)\e^{0} \\
    &=\dfrac{-41\e^{-4}+13}{4} \\
    &\approx 3,1
    \end{align*}$

Énoncé

Exercice 1    4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est demandée.
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante.

  1. Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x) = x \ln (x)-x$. On note $f’$ sa fonction dérivée.
    On a alors :
    a. $f'(x) = 0$
    b. $f'(x) = \ln (x)$
    c. $f'(x) = \dfrac{1}{x}- 1$
    d. $f'(x) = \dfrac{1}{x}-x$
    $\quad$
  2. Les entiers naturels $n$ vérifiant l’inéquation $6 \times 0,95^n-1 \pp 2$ appartiennent à l’intervalle :
    a. $\left]-\infty;\dfrac{\ln 3}{\ln (5,7)}\right]$
    b. $\left]-\infty;\ln \left(\frac{0,5}{0,95}\right)\right]$
    c. $\left]-\infty;\dfrac{\ln (0,5)}{\ln (0,95)}\right]$
    d. $\left[\dfrac{\ln (0,5)}{\ln (0,95)};+ \infty\right[$
    $\quad$
  3. Une entreprise fabrique des tubes métalliques de longueur $2$ m.
    Un tube métallique est considéré comme étant dans la norme si sa longueur est comprise entre $1,98$ m et $2,02$ m. On prélève au hasard un échantillon de $1~000$ tubes, on observe que $954$ tubes sont dans la norme.
    L’intervalle de confiance de la fréquence des tubes dans la norme pour cette entreprise au niveau de confiance de $95\%$, avec les bornes arrondies à $10^{-3}$, est :
    a. $[0,922;0,986]$
    b. $[0,947;0,961]$
    c. $[1,98;2,02]$
    d. $[0,953;0,955]$
    $\quad$
  4. Pour un archer, la probabilité d’atteindre la cible est de $0,8$. Les tirs sont supposés indépendants.
    Quelle est la probabilité qu’il touche $3$ fois la cible sur une série de $6$ tirs ?
    a. $0,512$
    b. $2,4$
    c. $0,262~144$
    d. $0,081~92$
    $\quad$

Exercice 2    5 points

Une grande université, en pleine croissance d’effectifs, accueillait $27~500$ étudiants en septembre 2016.
Le président de l’université est inquiet car il sait que, malgré une gestion optimale des locaux et une répartition des étudiants sur les divers sites de son université, il ne pourra pas accueillir plus de $33~000$ étudiants.
Une étude statistique lui permet d’élaborer un modèle de prévisions selon lequel, chaque année :

  • $150$ étudiants démissionnent en cours d’année universitaire (entre le 1$^{\text{er}}$ septembre et le 30 juin) ;
  • les effectifs constatés à la rentrée de septembre connaissent une augmentation de $4\%$ par rapport à ceux du mois de juin qui précède.

Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ le nombre d’étudiants estimé selon ce modèle à la rentrée de septembre $2016+n$, on a donc $u_0 = 27~500$.

  1. a. Estimer le nombre d’étudiants en juin 2017.
    $\quad$
    b. Estimer le nombre d’étudiants à la rentrée de septembre 2017.
    $\quad$
  2. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1} = 1,04u_n-156$.
    $\quad$
  3. Recopier et compléter les lignes $\text{L5}$, $\text{L6}$, $\text{L7}$ et $\text{L9}$ de l’algorithme suivant afin qu’il donne l’année à partir de laquelle le nombre d’étudiants à accueillir dépassera la capacité maximale de l’établissement.
    $\begin{array}{lll}
    \text{L1}& \textbf{Variables :} &n \text{ est un nombre entier naturel}\\
    \text{L2}& &U \text{ est un nombre réel}\\
    \text{L3}& \textbf{Traitement :}&n \text{ prend la valeur } 0\\
    \text{L4}& &U \text{ prend la valeur } 27~500\\
    \text{L5}& &\text{Tant que } U \pp \ldots\ldots \ldots \text{ faire}\\
    \text{L6}& & \quad n \text{ prend la valeur } \ldots\ldots\ldots\\
    \text{L7}& & \quad U \text{ prend la valeur } \ldots\ldots\ldots\\
    \text{L8}& &\text{Fin Tant que}\\
    \text{L9}& \textbf{Sortie:} &\text{Afficher} \ldots\ldots\ldots\\
    \end{array}$
    $\quad$
  4. a. On fait fonctionner cet algorithme pas à pas.
    Recopier le tableau suivant et le compléter en ajoutant le nombre nécessaire de colonnes; on arrondira les valeurs de $U$ à l’unité.
    $\begin{array}{|l|l|l|l|}
    \hline
    &\text{Initialisation} &\text{Étape 1} &\ldots\\
    \hline
    \text{Valeur de } n& 0 &\ldots&\\
    \hline
    \text{Valeur de } U& 27~500&\ldots&\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    b. Donner la valeur affichée en sortie de cet algorithme.
    $\quad$
  5. On cherche à calculer explicitement le terme général $u_n$ en fonction de $n$.
    Pour cela, on note $\left(v_n\right)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = u_n-3~900$.
    a. Montrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
    $\quad$
    b. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = 23~600\times 1,04^n + 3~900$.
    $\quad$
    c. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$ et en donner une interprétation dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

Exercice 3    5 points

Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L

D’après l’AFDIAG (Association Française Des Intolérants au Gluten), la maladie cœliaque, aussi appelée intolérance au gluten, est une des maladies digestives les plus fréquentes. Elle touche environ $1\%$ de la population.
On estime que seulement $20\%$ des personnes intolérantes au gluten passent le test pour être diagnostiquées.
On considère que si une personne n’est pas intolérante au gluten, elle ne passe pas le test pour être diagnostiquée.
On choisit au hasard une personne dans la population française qui compte environ $66,6$ millions d’habitants au 1$^{\text{er}}$ janvier 2016.
On considère les événements:

  • $I$ : “la personne choisie est intolérante au gluten” ;
  • $T$ : “la personne choisie passe le test pour être diagnostiquée”.

Partie A

  1. Recopier et compléter l’arbre de probabilités ci-dessous :
  2. Calculer la probabilité que la personne choisie soit intolérante au gluten et ne passe pas le test pour être diagnostiquée.
    $\quad$
  3. Montrer que $p(T) = 0,002$.
    $\quad$

Partie B

L’AFDIAG a fait une enquête et a constaté que la maladie cœliaque était diagnostiquée en moyenne 11 ans après les premiers symptômes.

On note $X$ la variable aléatoire représentant le temps en années mis pour diagnostiquer la maladie cœliaque à partir de l’apparition des premiers symptômes.
On admet que la loi de $X$ peut être assimilée à la loi normale d’espérance $\mu = 11$ et d’écart-type $\sigma = 4$.

  1. Calculer la probabilité que la maladie soit diagnostiquée entre $9$ ans et $13$ ans après les premiers symptômes. Arrondir le résultat à $10^{-3}$.
    $\quad$
  2. Calculer $p(X \pp 6)$. Arrondir le résultat à $10^{-3}$.
    $\quad$
  3. Sachant que $p(X \pp a) = 0,84$, donner la valeur de $a$ arrondie à l’unité.
    Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  4. Laquelle de ces trois courbes représente la fonction de densité de la loi normale d’espérance $\mu = 11$ et d’écart-type $\sigma = 4$ ? Justifier le choix. On pourra s’aider des réponses aux questions précédentes.

$\quad$

Exercice 3    4 points

Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Sarah, une jeune étudiante en géologie, souhaite partir en voyage en Islande avec des amis. Elle a loué une voiture tout terrain pour pouvoir visiter les lieux remarquables qu’elle a sélectionnés.
Sarah a construit le graphe ci-dessous dont les sommets représentent les lieux à visiter et les arêtes représentent les routes ou pistes:

B : Le lagon bleu.
D : Chute d’eau de Dettifoss.
G : Geyser de Geysir.
H : Rocher Hvitserkur.
J : Lagune glacière de Jökulsárlón.
L : Massif du Landmannalaugar.
M : Lac de Mývatn.
R : Capitale Reykjavik.
V: Ville de Vik.

  1. Dans cette question, chaque réponse sera justifiée.
    a. Déterminer l’ordre du graphe.
    $\quad$
    b. Déterminer si le graphe est connexe.
    $\quad$
    c. Déterminer si le graphe est complet.
    $\quad$
  2. Sarah désire emprunter toutes les routes une et une seule fois. Déterminer, en justifiant, si cela est possible.
    $\quad$
  3. On appelle $M$ la matrice associée au graphe précédent sachant que les sommets sont placés dans l’ordre alphabétique. On donne ci-dessous une partie de la matrice $M$ ainsi que la matrice $M^4$ : $$M = \begin{pmatrix}
    0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &1 &1 \\
    0 &0 &0 &0 &0 &0 &1 &0 &0 \\
    0 &0 &0 &0 &0 &1 &0 &1 &1 \\
    0 &0 &0 &0 &0 &0 &1 &1 &0 \\
    0 &0 &0 &0 &0 &0 &1 &1 &0\\
    0 &0 &1 &0 &1 &0 &1 &0 &1\\
    \ldots&\ldots&\ldots&1 &1 &1 &0 &0 &1\\
    \ldots&\ldots&\ldots&1 &0 &0 &0 &0 &0\\
    \ldots&\ldots&\ldots&0 &1 &1 &1 &0 &0
    \end{pmatrix}$$
    $$ M^4=\begin{pmatrix}
    12 &3 &16 &8 &14 &13 &15 &2 &10\\
    3 &5 &5 &6 &9 &11 &6 &3 &12\\
    16 &5 &24 &11 &23 &21 &26 &5 &20\\
    8 &6 &11 &10 &13 &14 &9 &3 &14\\
    14 &9 &23 &13 &28 &29 &29 &8 &30\\
    13 &11&21 &14 &29 &38 &32 &15 &40\\
    15 &6 &26 &9 &29 &32 &43 &14 &34\\
    2 &3 &5 &3 &8 &15 &14 &15 &21\\
    10 &12&20 &14 &30 &40 &34 &21 &49
    \end{pmatrix}$$
    a. Il manque certains coefficients de la matrice $M$. Compléter et recopier uniquement la partie manquante de cette matrice.
    $\quad$
    b. Donner, en le justifiant, le nombre de chemins de longueur $4$ permettant d’aller de B à D.
    $\quad$
  4. Sur le graphe pondéré ci-dessous, on a indiqué sur les arêtes les distances en kilomètre entre les différents lieux :

    Déterminer à l’aide de l’algorithme de Dijkstra la distance minimale permettant d’aller du sommet B (Lagon bleu) au sommet D (Chute d’eau de Dettifoss).
    Préciser alors le trajet à emprunter.
    $\quad$

Exercice 4    6 points

Soit $f$ une fonction définie sur l’intervalle $[0,7;6]$ ; on suppose que $f$ est dérivable.

Partie A: Étude graphique

On a représenté la fonction $f$ sur le graphique ci-dessous.

  1. La tangente au point d’abscisse $3$ à la courbe représentative de $f$ passe par les points $A(3;4)$ et $B(4;0)$. Déterminer $f'(3)$.
    $\quad$
  2. D’après le graphique ci-dessus, donner le tableau de signe de $f’$ sur l’intervalle $[0,7;6]$ .
    $\quad$

Partie B : Étude théorique

On admet que la fonction $f$ est définie par $f(x) = \left(x^2-2x +1\right)\e^{-2x+6}$.

  1. Montrer que $f'(x) = \left(-2x^2+6x-4\right)\e^{-2x+6}$ , où $f’$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$.
    $\quad$
  2. Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0,7;6]$ et dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0,7;6]$. On ne demande pas de calculer les ordonnées.
    $\quad$
  3. À l’aide d’un logiciel de calcul formel, on obtient les résultats ci-dessous qui pourront être utilisés sans être démontrés.
    $\begin{array}{|l|l|}
    \hline
    L1 &f'(x) := \left(- 2x\hat~ 2+6x-4\right ) * \e\hat~ (-2x+6)\\
    &\to f'(x) = \left(-2x^2+6x-4\right )\e^{-2x+6}\\
    \hline
    L2 &g(x) := \text{Dérivée}[f'(x)]\\
    &\to g(x) = -16x\e^{-2x+6}+4x^2\e^{-2x+6}+14\e^{-2x+6}\\
    \hline
    L3 & \text{Factoriser}[g(x)]\\
    &\to 2\e^{-2x+6}\left(2x^2-8x+7\right)\\
    \hline
    L4 & \text{Résoudre}[g(x) = 0]\\
    &\to \left\{x =\dfrac{-\sqrt{2}+4}{2};x =\dfrac{\sqrt{2}+4}{2}\right\}\\
    \hline
    L5 & F(x) := \text{Primitive}[f(x)]\\
    &\to F(x) = \dfrac{1}{4}\left(-2x^2+2x-1\right)\e^{-2x+6}\\
    \hline
    \end{array}$
    a. Déterminer le plus grand intervalle sur lequel la fonction $f$ est concave.
    $\quad$
    b. La courbe représentative de la fonction $f$ admet-elle des points d’inflexion ? Si oui, en donner l’abscisse.
    $\quad$
    c. On pose $I = \displaystyle\int_3^5 f(x)\dx$. Calculer la valeur exacte de $I$ puis la valeur arrondie à $10^{-1}$.
    $\quad$

2016 – 2017

Retrouver la correction des sujets de mathématiques du bac ES/L de l’année 2016/2017.
Pondichéry avril 2017

Liban juin 2017

Amérique du Nord juin 2017

Centres étrangers juin 2017

Polynésie juin 2017

Métropole juin 2017

Métropole juin 2017 (secours)

Asie juin 2017

Antilles Guyane juin 2017

Métropole septembre 2017

Polynésie septembre 2017

Antilles Guyane septembre 2017

Nouvelle-Calédonie novembre 2017

Amérique du Sud novembre 2017

Nouvelle-Calédonie février 2018

Bac ES/L – Pondichéry avril 2017

Pondichéry – Avril 2017

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici : obligatoire et spécialité

 

Ex 1

Exercice 1

  1. La fonction $f$ change deux fois de sens de variation, pour $x\approx 0,5$ et $x\approx 5,5$.
    L’équation $f'(x)=0$ possède donc $2$ solutions.
    Réponse b
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est décroissante sur l’intervalle $[5,5;10]$.
    Donc $f'(7)<0$.
    Réponse c
    $\quad$
  3. La fonction $f$ croît de moins en moins rapidement sur l’intervalle $[4;5,5]$ et décroît de plus en plus rapidement sur l’intervalle $[5,5;7]$.
    Donc $f’$ est décroissante sur l’intervalle $[4;7]$.
    Réponse c
    $\quad$
  4. $f^{\prime\prime}(x)=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{2}$
    $\begin{align*} f^{\prime\prime}(x)=0 &\ssi \dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{2} \\
    &\ssi x=2
    \end{align*}$
    Réponse c
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. On obtient l’arbre de probabilité suivant :
  2. a. On veut calculer $P\left(A\cap \conj{B}\right)=0,34\times 0,05=0,017$
    $\quad$
    b. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P\left(\conj{B}\right)&=P\left(A\cap \conj{B}\right)+P\left(\conj{A}\cap \conj{B}\right) \\
    &=0,34\times 0,05+0,66\times 0,16 \\
    &=0,122~6\\
    &\approx 0,123
    \end{align*}$
    $\quad$
    c.
    $\begin{align*} P_{\conj{B}}(A)&=\dfrac{P\left(\conj{B}\cap A\right)}{P\left(\conj{B}\right)} \\
    &=\dfrac{0,017}{0,122~6}\\
    &\approx 0,139
    \end{align*}$
    On trouve $P_{\conj{B}}(A)\approx 0,138$ si on prend $p\left(\conj{B}\right)=0,123$.
    Cela signifie donc que la probabilité qu’un coureur termine la course en moins de $234$ minutes sachant qu’il a plus de $60$ ans est d’environ $13,9\%$.
    $\quad$

Partie B

  1. A l’aide de la calculatrice on trouve :
    $P(210 \pp T \pp 270) \approx 0,543$
    $\quad$
  2. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_{(210 \pp T\pp 270)}(T\pp 240)&=\dfrac{P(210 \pp T \pp 240)}{P(210 \pp T \pp 270)} \\
    &\approx 0,453
    \end{align*}$
    En effet $(210 \pp T \pp 270)\cap (T\pp 240)=(210 \pp T\pp 240)$.
    $\quad$
  3. a. $P(T \pp 300)=0,5+P(250\pp T\pp 300) \approx 0,9$.
    $\quad$
    b. $P(T\pg t)=0,9 \ssi P(T \pp t)=0,1$
    A l’aide de la fonction Inverse loi normale de la calculatrice on trouve $t\approx  200$
    $\quad$
    c. Cela signifie donc que $90\%$ des marathonien ont couru le marathon en plus de $200$ minutes.
    $\quad$

Ex 3 obl

Exercice 3

  1. $u_1=0,8\times 150+45=165$
    $u_2=0,8\times 165+45=177$
    $\quad$
  2. a. Le premier algorithme, du fait du “Tant que $U\pg 220$” ne permet pas de calculer le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n \pg 220$.
    Le bon algorithme est donc le deuxième.
    $\quad$
    b. On a $u_{12} \approx 219,84$ et $u_{13}=220,88$
    Par conséquent l’algorithme affiche $13$.
    $\quad$
  3. a. $v_n=u_n-225$ donc $u_n=v_n+225$.
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-225 \\
    &=0,8u_n+45-225 \\
    &=0,8u_n-180\\
    &=0,8\left(v_n+225\right)-180\\
    &=0,8v_n+180-180\\
    &=0,8v_n
    \end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,8$ et de premier terme $v_0=150-225=-75$.
    $\quad$
    b. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $v_n=-75\times 0,8^n$.
    On sait que $u_n=v_n+225$
    Donc $u_n=225-75\times 0,8^n$.
    $\quad$
  4. On appelle $p_n$ le nombre de participants à la course à pied lors de l’année $2015+n$.
    Ainsi $p_0=150$
    Chaque année $80\%$ des participants reviennent  soit $0,8p_n$
    Chaque année, il y a $45$ nouveaux participants.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $p_{n+1}=0,8u_n+45$.
    On retrouve la suite $\left(u_n\right)$ des questions précédentes.
    Par conséquent $p_n=225-75\times 0,8^n$.
    Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $0,8^n \pg 0 \ssi -75 \times 0,8^n \pp 0 \ssi 225-75\times 0,8^n \pp 225$.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $p_n \pp 225<250$.
    Ils n’auront donc pas besoin de refuser des inscriptions dans les années à venir.
    $\quad$

 

Ex 3 spé

Exercice 3

  1. a. Nous allons déterminer le degré de chacun des sommets.
    $\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Sommet}&A&B&C&M&N&W\\
    \hline
    \text{Degré}&2&2&4&3&3&4\\
    \hline
    \end{array}$
    Exactement deux sommets possèdent un degré impair. Le graphe possède donc une chaîne eulérienne. Il existe par conséquent un trajet qui permet à Alexis d’emprunter chaque liaison aérienne une et une seule fois.
    $\quad$
    b. Un tel trajet est $M-C-A-W-N-B-C-W-M-N$.
    $\quad$
  2. On utilise l’algorithme de Dijkstra pour déterminer le trajet moins cher pour relier Boston à Miami.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    A&B&C&M&N&W&\text{Sommet}\\
    \hline
    &0&&&&&B\\
    \hline
    &\phantom{130(B)}&130(B)&&170(B)&&C\\
    \hline
    230(C)&&&280(C)&170(B)&250(C)&N\\
    \hline
    230(C)&&&280(C)&&250(C)&A\\
    \hline
    &&&280(C)&&250(C)&W\\
    \hline
    &&&280(C)&&&M\\
    \hline
    \end{array}$
    Le trajet le moins cher pour relier Boston à Miami est donc le trajet $B-C-M$. Le coût de ce trajet est de $280$ dollars.
    $\quad$
  3. a. La matrice adjacente est :
    $P=\begin{pmatrix}0&0&1&0&0&1\\
    0&0&1&0&1&0\\
    1&1&0&1&0&1\\
    0&0&1&0&1&1\\
    0&1&0&1&0&1\\
    1&0&1&1&1&0
    \end{pmatrix}$
    $\quad$
    b. Il n’y a aucun trajet reliant Atlanta à Boston directement.
    $P^2=\begin{pmatrix}2&1&1&2&1&1\\
    1&2&0&2&0&2\\
    1&0&4&1&3&2\\
    2&2&1&3&1&2\\
    1&0&3&1&3&1\\
    1&2&2&2&1&4
    \end{pmatrix}$
    Il y a donc $1$ trajet pour aller d’Atlanta à Boston en deux liaisons.
    $P^3=\begin{pmatrix}2&2&6&3&4&6\\
    2&0&7&2&6&3\\
    6&7&4&9&3&9\\
    3&2&9&4&7&7\\
    4&6&3&7&2&8\\
    6&3&9&7&8&6
    \end{pmatrix}$
    Il y a donc $2$ trajets pour aller d’Atlanta à Boston en trois liaisons.
    Finalement, $3$ trajets permettent de relier Atlanta à Boston en trois liaison aériennes maximum : $A-C-B$, $A-W-N-B$, $A-W-C-B$
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie A

  1. Graphiquement les deux solutions, $x_1$ et $x_2$, de l’équation $f(x)=10$ sur l’intervalle $[0;7]$ sont telles que :
    $0<x_1<1$ et $2<x_2<3$
    $\quad$
  2. Le maximum de la fonction $f$ vaut environ $14,8$ et il est atteint pour $x=1$.
    $\quad$
  3. L’intégrale correspond à l’aire du domaine compris entre la courbe, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=1$ et $x=3$.

    Elle est donc supérieure à l’aire du trapèze : $\dfrac{(14+6)\times 2}{2}=20$ u.a. et inférieure à la somme des aires des deux rectangles $15\times 1+11\times 1 =26$.
    Donc la valeur de l’intégrale appartient à l’intervalle $[18;26]$ Réponse b
    $\quad$

Partie B

  1. $f'(x)=2\e^{-x+3}-2x\e^{-x+3}=(2-2x)\e^{-x+3}$
    $\quad$
  2. a. La fonction exponentielle est strictement positive. Par conséquent le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $2-2x$.
    $2-2x=0 \ssi x=1$ et $2-2x>0 \ssi x<1$
    On obtient donc le tableau de variation suivant :
    $\quad$
    b. Le maximum de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;7]$ est $2\e^2$.
    $\quad$
  3. a. Sur l’intervalle $[0;1]$, la fonction $f$ est continue et strictement croissante.
    $f(0)=0<10$ et $f(1)=2e^{2}>10$
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires l’équation $f(x)=10$ possède une unique solution sur l’intervalle $[0;1]$.
    $\quad$
    Sur l’intervalle $[1;7]$, la fonction $f$ est continue et strictement décroissante.
    $f(1)=2e^{2}>10$ et $f(7)=14\e^{-4}<10$
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires l’équation $f(x)=10$ possède une unique solution sur l’intervalle $[1;7]$.
    $\quad$
    L’équation $f(x)=10$ possède donc deux solutions sur l’intervalle $[0;7]$.
    $\quad$
    b. A l’aide de la calculatrice on trouve $\beta \approx 2,16$.
    $\quad$
  4. a. $F'(x)=-2\e^{-x+3}-(-2x-2)\e^{-x+3}=(-2+2x+2)\e^{-x+3}=f(x)$.
    $F$ est donc une primitive de $f$ sur l’intervalle $[0;7]$.
    $\quad$
    b. La valeur de l’aire du domaine est
    $\begin{align*} \mathscr{A}&=\displaystyle \int_1^3 f(x)\dx \\
    &=F(3)-F(1)\\
    &=-8+4\e^{2} \text{u.a}
    \end{align*}$
    $\quad$
  5. a. La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[1;3]$ est :
    $\begin{align*} m&=\displaystyle \dfrac{1}{3-1}\int_1^3 f(x)\dx\\
    &=\dfrac{4\e^2-8}{2}\\
    &\approx 10,778
    \end{align*}$
    Par conséquent la valeur moyenne du bénéfice lorsque l’entreprise vend entre $100$ et $300$ objets est $10~778$ euros.
    $\quad$
    b. On cherche donc à résoudre l’inéquation $f(x) > 10$.
    D’après la question 3.a. la solution est $]\alpha;\beta[$.
    L’entreprise doit donc vendre entre $36$ et $216$ objets pour que son bénéfice soit supérieur à $10~000$ euros.
    $\quad$

 

Énoncé

Exercice 1    4 points

Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des questions posées, une seule des trois réponses est exacte. Recopier le numéro de la question et la réponse exacte. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte $1$ point, une réponse fausse ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point. Une réponse multiple ne rapporte aucun point.

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur l’intervalle $]0;10]$ dont la courbe représentative $\mathscr{C}_{f}$ est donnée ci-dessous dans un repère d’origine $O$ :

On rappelle que $f’$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$.

  1. Le nombre de solutions sur l’intervalle $]0;10]$ de l’équation $f'(x) = 0$ est égal à :
    a. $1$
    b. $2$
    c. $3$
    $\quad$
  2. Le nombre réel $f'(7)$ est :
    a. nul
    b. strictement positif
    c. strictement négatif
    $\quad$
  3. La fonction $f’$ est :
    a. croissante sur $]0;10]$
    b. croissante sur $[4;7]$
    c. décroissante sur $[4;7]$
    $\quad$
  4. On admet que pour tout $x$ de l’intervalle $]0;10]$ on a: $f'(x) = \ln x-\dfrac{x}{2}+1$.
    La courbe $\mathscr{C}_{f}$ admet sur cet intervalle un point d’inflexion:
    a. d’abscisse $2,1$
    b. d’abscisse $0,9$
    c. d’abscisse $2$
    $\quad$

Exercice 2    5 points

Un marathon est une épreuve sportive de course à pied.
Dans cet exercice, tous les résultats approchés seront donnés à $10^{-3}$ près.
Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

Partie A

Une étude portant sur le marathon de Tartonville montre que :

  • $34\%$ des coureurs terminent la course en moins de $234$ minutes;
  • parmi les coureurs qui terminent la course en moins de $234$ minutes, $5\%$ ont plus de $60$ ans;
  • parmi les coureurs qui terminent la course en plus de $234$ minutes, $84\%$ ont moins de $60$ ans.

On sélectionne au hasard un coureur et on considère les événements suivants:

  • $A$ : “le coureur a terminé le marathon en moins de $234$ minutes” ;
  • $B$ : “le coureur a moins de $60$ ans”.

On rappelle que si $E$ et $F$ sont deux événements, la probabilité de l’événement $E$ est notée $P(E)$ et celle de $E$ sachant $F$ est notée $P_F(E)$. De plus $\conj{E}$ désigne l’événement contraire de $E$.

  1. Recopier et compléter l’arbre de probabilité ci-dessous associé à la situation de l’exercice :
  2. a. Calculer la probabilité que la personne choisie ait terminé le marathon en moins de $234$ minutes et soit âgée de plus de $60$ ans.
    $\quad$
    b. Vérifier que $P\left(\conj{B}\right) \approx 0,123$.
    $\quad$
    c. Calculer $P_{\conj{B}}(A)$ et interpréter le résultat dans le cadre de l’exercice.
    $\quad$

Partie B

On suppose que le temps en minutes mis par un marathonien pour finir le marathon de Tartonville est modélisé par une variable aléatoire $T$ qui suit une loi normale d’espérance $\mu = 250$ et d’écart type $\sigma = 39$.

  1. Calculer $P(210 \pp T \pp 270)$.
    $\quad$
  2. Un coureur est choisi au hasard parmi les coureurs qui ont mis entre $210$ minutes et $270$ minutes pour finir le marathon.
    Calculer la probabilité que ce coureur ait terminé la course en moins de $240$ minutes.
    $\quad$
  3. a. Calculer $P (T \pp 300)$.
    $\quad$
    b. Par la méthode de votre choix, estimer la valeur du nombre réel $t$, arrondi à l’unité, vérifiant $P(T \pg t) = 0,9$.
    $\quad$
    c. Interpréter le résultat obtenu dans le cadre de l’exercice.
    $\quad$

Exercice 3    5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité, candidats L

Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 150$ et pour tout entier naturel $n$ $u_{n+1} = 0,8 u_n + 45$.

  1. Calculer $u_1$ et $u_2$.
    $\quad$
  2. Voici deux propositions d’algorithmes :

    a. Un seul de ces algorithmes permet de calculer puis d’afficher le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n \pg 220$.
    Préciser lequel en justifiant pourquoi l’autre algorithme ne le permet pas.
    $\quad$
    b. Quelle est la valeur numérique affichée par l’algorithme choisi à la question précédente ?
    $\quad$
  3. On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $v_n = u_n-225$.
    a. Démontrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique et préciser son premier terme et sa raison.
    $\quad$
    b. En déduire que pour tout entier naturel $n$, $u_n = 225-75 \times 0,8^n$.
    $\quad$
  4. Une petite ville de province organise chaque année une course à pied dans les rues de son centre. En 2015, le nombre de participants à cette course était de $150$.
    On fait l’hypothèse que d’une année sur l’autre :
    $\bullet$ $20\%$ des participants ne reviennent pas l’année suivante ;
    $\bullet$ $45$ nouveaux participants s’inscrivent à la course.
    La petite taille des ruelles du centre historique de la ville oblige les organisateurs à limiter le nombre de participants à $250$.
    Vont-ils devoir refuser des inscriptions dans les années à venir ? Justifier la réponse.
    $\quad$

Exercice 3    5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Alexis part en voyage dans l’Est des Etats-Unis. Il souhaite visiter les villes suivantes :

Atlanta (A), Boston (B), Chicago (C), Miami (M), New York (N) et Washington (W).

Une compagnie aérienne propose les liaisons suivantes représentées par le graphe ci-dessous :

 

Les nombres présents sur chacune des branches indiquent le tarif, en dollars, du vol en avion.

  1. a. Quelles caractéristiques du graphe permettent d’affirmer qu’il existe un trajet qui permet à Alexis d’emprunter chaque liaison aérienne une et une seule fois ?
    $\quad$
    b. Donner un exemple d’un tel trajet.
    $\quad$
  2. Alexis veut relier Boston à Miami.
    En utilisant un algorithme, déterminer le trajet le moins cher ainsi que le coût de ce trajet.
    $\quad$
  3. a. Donner la matrice d’adjacence $P$ de ce graphe en classant les sommets par ordre alphabétique.
    $\quad$
    b. Alexis souhaite aller d’Atlanta à Boston en utilisant au maximum trois liaisons aériennes.
    Combien y a-t-il de trajets possibles ? Justifier la démarche puis décrire chacun de ces trajets.
    $\quad$

Exercice 4    6 points

Commun à tous les candidats

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

Partie A

Dans cette partie, les réponses seront données sans justification, avec la précision permise par le graphique situé en annexe.
Celui-ci présente dans un repère d’origine $O$ la courbe représentative $\mathscr{C}$ d’une fonction $f$ définie et dérivable sur l’intervalle $[0;7]$.

  1. Encadrer par deux entiers consécutifs chacune des solutions de l’équation $f(x) = 10$ sur l’intervalle $[0;7]$.
    $\quad$
  2. Donner le maximum de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;7]$ et préciser la valeur en laquelle il est atteint.
    $\quad$
  3. La valeur de l’intégrale $\displaystyle\int_1^3 f(x)\dx$ appartient à un seul des intervalles suivants. Lequel ?
    a. $[9;17]$
    b. $[18;26]$
    c. $[27;35]$
    $\quad$

Partie B

La courbe donnée en annexe est la représentation graphique de la fonction $f$ définie et dérivable sur l’intervalle $[0;7]$ d’expression: $$f(x) = 2x\e^{-x+3}$$

On rappelle que $f’$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$.

  1. Montrer que pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0;7]$, $f'(x) = (-2x+2)\e^{-x+3}$.
    $\quad$
  2. a. Étudier le signe de $f'(x)$ sur l’intervalle $[0;7]$ puis en déduire le tableau de variation de la fonction $f$ sur ce même intervalle.
    $\quad$
    b. Calculer le maximum de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;7]$.
    $\quad$
  3. a. Justifier que l’équation $f(x) = 10$ admet deux solutions sur l’intervalle $[0;7]$ que l’on notera $\alpha$ et $\beta$ avec $\alpha < \beta$.
    $\quad$
    b. On admet que $\alpha \approx 0,36$ à $10^{-2}$ près.
    Donner une valeur approchée de $\beta$ à $10^{-2}$ près.
    $\quad$
  4. On considère la fonction $F$ définie sur l’intervalle $[0;7]$ par: $$F(x) = (-2x-2)\e^{-x+3}$$
    a. Justifier que $F$ est une primitive de $f$ sur l’intervalle $[0;7]$.
    $\quad$
    b. Calculer la valeur exacte de l’aire, en unités d’aire, du domaine plan délimité par les droites d’équation $x = 1$, $x = 3$, l’axe des abscisses et la courbe $\mathscr{C}$.
    $\quad$
  5. La fonction $f$ étudiée modélise le bénéfice d’une entreprise, en milliers d’euros, réalisé pour la vente de $x$ centaines d’objets ($x$ compris entre $0$ et $7$).
    a. Calculer la valeur moyenne du bénéfice, à l’euro près, lorsque l’entreprise vend entre $100$ et $300$ objets.
    $\quad$
    b. L’entreprise souhaite que son bénéfice soit supérieur à $10~000$ euros.
    Déterminer le nombre d’objets possibles que l’entreprise devra vendre pour atteindre son objectif.
    $\quad$

Annexe (n’est pas à rendre avec la copie)