Bac ES/L – Nouvelle Calédonie – Novembre 2018

Nouvelle Calédonie – Novembre 2018

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

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Ex 1

Exercice 1

  1. Pour tout réel $x$ de l’intervalle $]0;5]$ on a $f(x)=x\ln(x)+1$.
    D’après l’énoncé, la fonction $f$ est dérivable sur $]0;5]$.
    On a $u(x)=x$ donc $u'(x)=1$
    et $v(x)=\ln(x)$ soit $v'(x)=\dfrac{1}{x}$
    Par conséquent :
    $\begin{align*} f'(x)&=\ln(x)+x\times \dfrac{1}{x} \\
    &=\ln(x)+1\end{align*}$
    Réponse d
    $\quad$
  2. Il semblerait que la courbe $C$ possède un point d’inflexion sur $[0;2]$.
    Réponse c
    $\quad$
  3. Sur $\R$ une primitive de la fonction $f$ définie par $f(x)=3\e^x$ est la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=3\e^x$.
    Ainsi :
    $\begin{align*}I&= \ds \int_0^{\ln 2} 3\e^x \dx \\
    &= F(\ln 2)-F(0)\\
    &=3\e^{\ln 2}-3 \\
    &=3\times 2-3 \\
    &=3\end{align*}$
    Réponse a
    $\quad$
  4. $P(X=3)=\ds\binom{10}{3}0,3^3\times (1-0,3)^{10-3}=120\times 0,3^3\times 0,7^7$
    $P(X\pg 1)=1-P(X=0)=1-0,7^{10}\approx 0,972 \checkmark$
    $E(X)=np=3$
    Réponse c
    $\quad$

Ex 2 obl

Exercice 2

Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L

  1. $u_1=490$
    Donc $u_2=(1-0,375)u_1+123 \approx 429$
    et $u_3=(1-0,375)u_2+123 \approx 391$
    Ainsi il y avait $429$ demandeurs d’emploi au début du deuxième trimestre et $391$ au début du troisième trimestre 2017.
    $\quad$
  2. $37,5\%$ des chômeurs trouvent un emploi et sont retirés des listes. Il en reste donc $62,5\%$ d’un trimestre sur l’autre. Cela représente donc $0,625u_n$.
    Chaque trimestre $123$ nouveaux demandeurs d’emploi s’inscrivent.
    Ainsi, pour tout entier naturel $n$ non nul on a $u_{n+1}=0,625u_n+123$.
    $\quad$
  3. a. Pour tout entier naturel $n$ non nul on a $v_n=u_n-328$ soit $u_n=v_n+328$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-328 \\
    &=0,625u_n+123-328 \\
    &=0,625u_n-205 \\
    &=0,625\left(v_n+328\right)-205\\
    &=0,625v_n+205-205\\
    &=0,625v_n
    \end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,625$ et de premier terme $v_1=u_1-328=162$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ non nul on a donc $v_n=162\times 0,625^{n-1}$.
    $\quad$
    c. Ainsi pour tout entier naturel $n$ non nul on a :
    $u_n=v_n+328=162\times 0,625^{n-1}+328$.
    $\quad$
  4. Au début du deuxième trimestre 2019 on a  $n=10$ :
    $u_{10}=162\times 0,625^9+328\approx 330$
    Il y aura donc environ $330$ demandeurs d’emploi au début du deuxième trimestre 2019.
    $\quad$
  5. On veut donc qu’il y ait au plus $0,7\times 490=343$ demandeurs d’emploi.
    On veut ainsi déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
    $\begin{align*} u_n\pp 343 &\ssi 162\times 0,625^{n-1}+328 \pp 343 \\
    &\ssi 162\times 0,625^{n-1} \pp 15 \\
    &\ssi 0,625^{n-1} \pp \dfrac{15}{162} \\
    &\ssi (n-1)\ln(0,625) \pp \ln \left(\dfrac{15}{162}\right) \\
    &\ssi n-1 \pg \dfrac{\ln \left(\dfrac{15}{162}\right)}{\ln(0,625)} \\
    &\ssi n \pg 1+\dfrac{\ln \left(\dfrac{15}{162}\right)}{\ln(0,625)} \end{align*}$
    Or $1+\dfrac{\ln \left(\dfrac{15}{162}\right)}{\ln(0,625)} \approx 6,06$.
    C’est donc à partir de $n=7$ que $u_n \pp 343$.
    Son objectif sera donc atteint à partir du troisième trimestre 2018.
    Remarque : on pouvait également calculer les sept premiers termes de la suite.
    $\quad$

Ex 2 spé

Exercice 2

Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

  1. a. Les sommets $A$ et $D$ ne sont pas adjacents. Le graphe n’est donc pas complet.
    $\quad$
    b. La chaîne $A-S-B-D-C-B-E-A$ contient tous les sommets du graphe.
    Le graphe est donc connexe.
    $\quad$
  2. Déterminons le degré des sommets :
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|s|}
    \hline
    \text{Sommet}&A&B&C&D&E&S \\
    \hline
    \text{Degré}&2&4&2&4&3&3\\
    \hline
    \end{array}$
    Il existe donc exactement deux sommets ($E$ et $S$) de degré impair. Le graphe étant connexe, il possède donc une chaîne eulérienne.
    Naïma pourra déposer ses affiches sur tous les panneaux en allant de son école de musique à la salle de spectacle et en empruntant une et une seule fois chaque piste cyclable.
    Il y a par exemple le trajet $E-D-B-C-D-S-B-E-A-S$.
    $\quad$
  3. La matrice d’adjacence est :
    $$M=\begin{pmatrix}
    0&1&1&0&1&0\\
    1&0&0&0&0&1\\
    1&0&0&1&1&1\\
    0&0&1&0&1&0\\
    1&0&1&1&0&1\\
    0&1&1&0&1&0\end{pmatrix}$$
    $\quad$
  4. a. On a ${M^2}_{(1,4)}=0\times 0+1\times 0+1\times 1+0\times 0+1\times 1+0\times 0=2$
    Puisqu’il y a autant de chemins permettant de se rendre du panneau $C$ à l’école de musique en empruntant exactement deux pistes cyclables que de chemins permettant de se rendre de l’école de musique au panneau $C$ en empruntant exactement deux pistes cyclables on a ${M^2}_{(4,1)}=2$.
    $\quad$
    b. D’après le coefficient de la matrice $M^2$ de la première ligne, sixième colonne est $3$. Il existe donc $3$ chemins permettant de se rendre de l’école de musique à la salle de spectacle en empruntant exactement deux pistes cyclables.
    $\quad$
  5. On va utiliser l’algorithme de Dijsktra
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    E&A&B&C&D&S&\text{Sommet}\\
    \hline
    0&  &   &   &   &  & E\\
    \hline
    \phantom{9(E)}  &9(E) &4(E) & &7(E)&  & B \\
    \hline
    &9(E) &  &6(B) &5(B)&12(B)  & D \\
    \hline
    &9(E) &  &6(B) & &8(D)  & C \\
    \hline
    &9(E) &  & & &8(D)  & S \\
    \hline
    &9(E) &  & & &  & A \\
    \hline
    \end{array}$
    Le chemin le plus court est donc $E-B-D-S$. Il a une durée de $8$ minutes.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. a. On a $P(C\cap R)=0,6\times 0,075=0,045$.
    $4,5\%$ des employés utilise les transports en commun et ont un trajet d’une durée inférieure à $30$ minutes.
    $\quad$
    b. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(R)&=P(C\cap R)+P\left(\conj{C}\cap R\right) \\
    &=0,6\times 0,075+0,4\times 0,285 \\
    &=0,159\end{align*}$
    $\quad$
  3. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_R(C)&=\dfrac{P(R\cap C)}{P(R)} \\
    &=\dfrac{0,045}{0,159} \\
    &\approx 0,283\end{align*}$
    La probabilité qu’il utilise les transports en commun sachant que le trajet a duré moins de $30$ minutes.
    $\quad$

Partie B

  1. D’après la calculatrice on a :
    $P(X\pp 30)=0,5-P(30\pp X\pp 40)\approx 0,159$
    On retrouve ainsi le résultat de la question A.2.b.
    $\quad$
  2. $P(20 \pp X \pp 40)=P(\mu-2\sigma\pp X \pp \mu+2\sigma) \approx 0,954$
    On a $P(X>60)=P(X<20)$
    et $P(X<20)+P(20\pp X \pp 60)+P(X>60)=1$
    Donc $2P(X>60)=1-P(20 \pp X \pp 60)$
    D’où $P(X>60)=\dfrac{1-P(20\pp X \pp 60)}{2} \approx 0,421$.
    $\quad$
  3. a. On obtient l’algorithme suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    a\leftarrow 60\\
    Y\leftarrow 0,023\\
    \text{Tant que } Y> 0,008\\
    \hspace{1cm}a\leftarrow a+1\\
    \hspace{1cm} P(X\pg a)\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. On obtient alors le tableau suivant :
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    a&60&61&62&63&64&65\\
    \hline
    Y&0,023&0,018&0,014&0,011&0,009&0,006\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
  4. On obtient ainsi, à l’aide de l’algorithme, la valeur $a=65$.
    Cela signifie qu’environ $0,8\%$ des employés ont un trajet qui dure plus de $65$ minutes.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

Partie A : lecture graphique

  1. Le coût de production de $200$ litres de peinture est, d’après le graphique, de $3~000$ euros.
    $\quad$
  2. D’après le graphique, il faut produire $500$ litres de peinture pour avoir une recette de $5~000$ euros.
    $\quad$
  3. L’entreprise réalise un bénéfice à partir de $320$ litres de peinture vendus.
    $\quad$
  4. Le plus grand bénéfice, d’après le graphique, est obtenu quand $800$ litres de peinture sont vendus. Le bénéfice est alors d’environ $2~000$ euros.
    L’entreprise ne peut donc pas réaliser un bénéfice de plus de $3~000$ euros pour une production quotidienne variant entre $0$ et $800$ litres.
    $\quad$

Partie B : étude du bénéfice

  1. $f(0)=0-150\e=-150\e$
    $f(8)=200-150\e^{-3}$
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[0;8]$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $\begin{align*} f'(x)&=25-150\times (-0,5)\e^{-0,5x+1} \\
    &=25+75\e^{-0,5x+1}\end{align*}$
    $\quad$
  3. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Par conséquent $f'(x)>25>0$.
    La fonction $f$ est donc strictement croissante sur l’intervalle $[0;8]$.
    $\quad$
  4. a. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur l’intervalle $[0;8]$.
    $f(0) \approx -408<0$ et $f(8) \approx 193>0$
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires l’équation $f(x)=0$ possède donc une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[0;8]$.
    Et $\alpha \approx 3,24$
    $\quad$
    b. L’entreprise réalise donc un bénéfice à partir de $324$ litres de peinture produite et vendue.
    $\quad$

 

Énoncé

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Bac ES/L – Amérique du Sud – Novembre 2018

Amérique du Sud – Novembre 2018

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

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Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. La fonction $f$ est dérivable sur $[0;12]$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;12]$ on note :
    $u(x)=2x$ et $v(x)=\e^{-x}$
    Donc $u'(x)=2$ et $v'(x)=-1\times \e^{-x}$
    $\begin{align*} f'(x)&=2\times \e^{-x}+2x\times \left(-1\times \e^{-x}\right) \\
    &=(2-2x)\e^{-x}\\
    &=2(1-x)\e^{-x}\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $1-x$.
    Or $1-x=0 \ssi x=1$ et $1-x>0 \ssi 1>x$
    On obtient donc le tableau de variation suivant :

    $\quad$
    b. Sur l’intervalle $[0;1]$ la fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante.
    On a $f(0)=0<0,5$ et $f(1)=2\e^{-1}\approx 0,74 > 0,5$
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $f(x)=0,5$ admet une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[0;1]$ et $\alpha \approx 0,36$.
    $\quad$
    Sur l’intervalle $[1;12]$ la fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante.
    On a $f(1)=2\e^{-1}\approx 0,74 > 0,5$ et $f(12)=24\e^{-12}\approx 0,0001<0,5$
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $f(x)=0,5$ admet une unique solution $\beta$ sur l’intervalle $[1;12]$ et $\beta \approx 2,15$.
    $\quad$
    L’équation $f(x)=0,5$ admet donc exactement deux solutions sur l’intervalle $[0;12]$ dont les valeurs approchées au centième sont  $\alpha \approx 0,36$ et $\beta \approx 2,15$.
    $\quad$
  3. D’après les résultats du logiciel de calcul formel on a :
    $f\dsec(x)=2(x-2)\e^{-x}$.
    La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $f\dsec(x)$ ne dépend donc que de celui de $x-2$.
    Or $x-2=0 \ssi x=2$ et $x-2>0 \ssi x>2$.
    La fonction $f$ est donc concave sur l’intervalle $[0;2]$ et convexe sur l’intervalle $[2;12]$.
    $\quad$

Partie B

  1. a. D’après la question 2.a. le taux d’alcoolémie de cette personne augmente lors de la première heure et diminue ensuite.
    D’après l’étude de la convexité de la fonction $f$, c’est à partir de la deuxième heure que la diminution du taux d’alcoolémie s’accélère.
    $\quad$
    b. La fonction $f$ admet un maximum en $1$ et $f(1)=2\e^{-1}\approx 0,73$.
    Le taux d’alcoolémie est maximal au bout d’une heure et vaut environ $0,73$ g/L.
    $\quad$
  2. D’après la réponse à la question 2.b. le taux d’alcoolémie de l’automobiliste reprend une valeur conforme à la législation au bout de $2,16$ heures soit $2$ heures et $10$ minutes.
    En effet $\beta \approx 2,153 \in ]2,15;2,16[$.
    À $2,15$ heures le taux d’alcoolémie de l’automobiliste ne lui permet pas encore de conduire.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
    $\quad$
  2. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(R)&=p(R\cap D)+p\left(R\cap \conj{R}\right) \\
    &=0,3\times 0,98+0,7\times 0,95 \\
    &=0,959\end{align*}$
    La probabilité que la valise choisie réussie les tests est de $0,959$.
    $\quad$
  3. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_R\left(\conj{D}\right) &=\dfrac{p\left(R\cap\conj{D}\right)}{p(R)} \\
    &=\dfrac{0,7\times 0,95}{0,959} \\
    &\approx 0,693\end{align*}$
    La probabilité que la valise choisie ait quatre roues sachant qu’elle a réussi les tests est d’environ $0,693$.
    $\quad$

Partie B

  1. On veut calculer $P(X\pg 52)=0,5-P(41\pp X <52) \approx 0,033$
    La probabilité qu’une valise à deux roues ait une durée de vie supérieure à $52$ kilomètres est d’environ $0,033$.
    $\quad$
  2. On a $\mu=41$ et $\mu’=52$.
    La courbe 1 représente donc la fonction de densité de la variable aléatoire $X$ et la courbe 2 représente donc la fonction de densité de la variable aléatoire $Y$.
    On a ainsi $P(Y\pg 52)=0,5$
    Or $P(Y\pg 50) \pg P(Y\pg 52)$ donc $P(Y\pg 50)\pg 0,5$.
    Mais $P(X\pp 41)=0,5$ et $P(X \pp 50) > P(X \pp 41)$
    Donc $P(X \pp 50)\pg 0,5$ et $P(X \pg 50)\pp 0,5$.
    La probabilité que la valise à quatre roues ait une durée de vie supérieure ou égale à $50$ kilomètres est donc supérieure à la probabilité que la valise à deux roues ait une durée de vie supérieure ou égale à $50$ kilomètres.
    $\quad$

Partie C

  1. On a $n=2~000$ et $f=\dfrac{872}{2~000}=0,436$.
    Ainsi $n\pg 30$, $nf=872 \pg 5$ et $n(1-f)=1~128\pg 5$.
    Un intervalle de confiance au niveau de confiance de $95\%$ de la proportion de consommateurs pour lesquels est le principal critère de choix est :
    $\begin{align*} I_{2~000}&=\left[0,436-\dfrac{1}{\sqrt{2~000}};0,436+\dfrac{1}{\sqrt{2~000}}\right] \\
    &\approx [0,413;0,459]
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. Un intervalle de confiance au niveau de confiance de $95\%$ est de la forme $\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}};f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$.
    L’amplitude d’un tel intervalle est :
    $f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\left(f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right)=\dfrac{2}{\sqrt{n}}$.
    On veut donc résoudre l’équation :
    $\dfrac{2}{\sqrt{n}}=0,04 \ssi \sqrt{n}=\dfrac{2}{0,04} \ssi \sqrt{n}=50$.
    Par conséquent $n=50^2=2~500$.
    La taille de l’échantillon pour obtenir un intervalle de confiance d’amplitude égale à $0,04$ est donc de $2~500$.
    $\quad$

Ex 3 obl

Exercice 3

Candidats de ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de L.

  1. a. $97\%$ des ascenseurs entretenus par la société A seront toujours entretenu l’année suivante et $5\%$ des ascenseurs entretenus par la société B seront entretenus par la société A l’année suivante.
    Ainsi :
    $\begin{align*} a_1&=0,97a_0+0,05b_0 \\
    &=0,97\times 0,3+0,05\times 0,7\\
    &=0,326\end{align*}$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} a_{n+1}&=\left(1-\dfrac{3}{100}\right)a_n+\dfrac{5}{100}b_n \\
    &=0,97a_n+0,05b_n
    \end{align*}$
    On sait de plus que les deux sociétés se partagent le marché. Donc $a_n+b_n=1$ soit $b_n=1-a_n$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} a_{n+1}&=0,97a_n+0,05b_n \\
    &=0,97a_n+0,05\left(1-a_n\right) \\
    &=0,97a_n+0,05-0,05a_n\\
    &=0,92a_n+0,05\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. Le test de la boucle Tant que de l’algorithme 2 n’est pas correct : avec la valeur initiale $A=0,3$ on ne parcourt jamais cette boucle.
    Dans l’algorithme 3, la valeur de la variable $N$ n’est modifiée qu’une seule fois, après avoir parcourue la boucle tant que.
    C’est donc l’algorithme 1 qui donne l’année à partir de laquelle la proportion d’ascenseurs entretenus par la société A dépasse $50\%$.
    $\quad$
    b. Voici l’évolution des valeurs prises par les variables $A$ et $N$ au fil du temps, arrondies au milième :
    $\begin{array}{|c|c|}
    \hline
    N&A\\
    \hline
    0&0,3\\
    \hline
    1&0,326\\
    \hline
    2&0,350\\
    \hline
    3&0,372\\
    \hline
    4&0,392\\
    \hline
    5&0,411\\
    \hline
    6&0,428\\
    \hline
    7&0,444\\
    \hline
    8&0,458\\
    \hline
    9&0,472\\
    \hline
    10&0,484\\
    \hline
    11&0,495\\
    \hline
    12&0,506\\
    \hline\end{array}$
    L’algorithme affiche donc l’année $2029$.
    $\quad$
  3. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=a_n-0,625$ soit $a_n=u_n+0,625$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} u_{n+1}&=a_{n+1}-0,625 \\
    &=0,92a_n+0,05-0,625\\
    &=0,92a_n-0,575\\
    &=0,92\left(u_n+0,625\right)-0,575\\
    &=0,92u_n+0,575-0,575\\
    &=0,92u_n\end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,92$ et de premier terme $u_0=a_0-0,625=-0,325$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_n=-0,325\times 0,92^n$.
    On a également $a_n=u_n+0,625=0,625-0,325\times 0,92^n$.
    $\quad$
    c. On a $0<0,92<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,92^n=0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} a_n=0,625$.
    Cela signifie donc, qu’au bout d’un grand nombre d’années, la proportion des ascenseurs seront entretenus par la société A se stabilisera autour de $62,5\%$.
    $\quad$
  4. On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
    $\begin{align*} a_n \pg 0,5 &\ssi 0,625-0,325\times 0,92^n \pg 0,5 \\
    &\ssi -0,325\times 0,92^n \pg -0,125 \\
    &\ssi 0,92^n \pp \dfrac{5}{13} \\
    &\ssi n\ln 0,92 \pp \ln \dfrac{5}{13} \\
    &\ssi n \pg \dfrac{\ln \dfrac{5}{13}}{\ln 0,92}\end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln \dfrac{5}{13}}{\ln 0,92} \approx 11,46$.
    C’est donc à partir de $n=12$ que $a_n \pg 0,5$.
    On retrouve ainsi la réponse à la question 2.b. 

    $\quad$

Ex 3 spé

Exercice 3

Candidats de ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

  1. a. On obtient le graphe probabiliste suivant :

    $\quad$
    b. La matrice de transition est donc : $M=\begin{pmatrix} 0,97&0,03 \\0,05&0,95\end{pmatrix}$
    $\quad$
  2. On a $P_1=P_0\times M=\begin{pmatrix} 0,326&0,674\end{pmatrix}$
    Par conséquent la probabilité que l’ascenseur choisi soit entretenu par la société A en 2018 est de $32,6\%$.
    $\quad$
  3. On a :
    $\begin{align*} P\times M&=\begin{pmatrix} 0,625\times 0,97+0,05\times 0,375&0,03\times 0,625+0,95\times 0,375 \end{pmatrix} \\
    &=\begin{pmatrix} 0,625&0,375\end{pmatrix} \\
    &=P\end{align*}$
    $P$ est donc un état stable de la matrice $M$.
    Sur le long terme, $62,5\%$ des ascenseurs seront entretenus par la société A et $32,5\%$ le seront par la société B.
    $\quad$
  4. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $P_{n+1}=P_n\times M$
    $\ssi \begin{pmatrix} a_{n+1}&b_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0,97a_n+0,05b_n&0,03a_n+0,95b_n\end{pmatrix}$.
    Par conséquent $a_{n+1}=0,97a_n+0,05b_n$.
    On sait de plus que les deux sociétés se partagent le marché. Donc $a_n+b_n=1$ soit $b_n=1-a_n$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} a_{n+1}&=0,97a_n+0,05b_n \\
    &=0,97a_n+0,05\left(1-a_n\right) \\
    &=0,97a_n+0,05-0,05a_n\\
    &=0,92a_n+0,05\end{align*}$
    $\quad$

Partie B

  1. a. Le test de la boucle Tant que de l’algorithme 2 n’est pas correct : avec la valeur initiale $A=0,3$ on ne parcourt jamais cette boucle.
    Dans l’algorithme 3, la valeur de la variable $N$ n’est modifiée qu’une seule fois, après avoir parcourue la boucle tant que.
    C’est donc l’algorithme 1 qui donne l’année à partir de laquelle la proportion d’ascenseurs entretenus par la société A dépasse $50\%$.
    $\quad$
    b. Voici l’évolution des valeurs prises par les variables $A$ et $N$ au fil du temps, arrondies au milième :
    $\begin{array}{|c|c|}
    \hline
    N&A\\
    \hline
    0&0,3\\
    \hline
    1&0,326\\
    \hline
    2&0,350\\
    \hline
    3&0,372\\
    \hline
    4&0,392\\
    \hline
    5&0,411\\
    \hline
    6&0,428\\
    \hline
    7&0,444\\
    \hline
    8&0,458\\
    \hline
    9&0,472\\
    \hline
    10&0,484\\
    \hline
    11&0,495\\
    \hline
    12&0,506\\
    \hline\end{array}$
    L’algorithme affiche donc l’année $2029$.
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=a_n-0,625$ soit $a_n=u_n+0,625$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} u_{n+1}&=a_{n+1}-0,625 \\
    &=0,92a_n+0,05-0,625\\
    &=0,92a_n-0,575\\
    &=0,92\left(u_n+0,625\right)-0,575\\
    &=0,92u_n+0,575-0,575\\
    &=0,92u_n\end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,92$ et de premier terme $u_0=a_0-0,625=-0,325$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_n=-0,325\times 0,92^n$.
    On a également $a_n=u_n+0,625=0,625-0,325\times 0,92^n$.
    $\quad$
    c. On a $0<0,92<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,92^n=0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} a_n=0,625$.
    Cela signifie donc, qu’au bout d’un grand nombre d’années, la proportion des ascenseurs seront entretenus par la société A se stabilisera autour de $62,5\%$.
    $\quad$
  3. On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
    $\begin{align*} a_n \pg 0,5 &\ssi 0,625-0,325\times 0,92^n \pg 0,5 \\
    &\ssi -0,325\times 0,92^n \pg -0,125 \\
    &\ssi 0,92^n \pp \dfrac{5}{13} \\
    &\ssi n\ln 0,92 \pp \ln \dfrac{5}{13} \\
    &\ssi n \pg \dfrac{\ln \dfrac{5}{13}}{\ln 0,92}\end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln \dfrac{5}{13}}{\ln 0,92} \approx 11,46$.
    C’est donc à partir de $n=12$ que $a_n \pg 0,5$.
    On retrouve ainsi la réponse à la question 1.b.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. On a $n=400$ et $p=0,1$.
    Donc $n\pg 30$, $np=40\pg 5$ et $n(1-p)=360\pg 5$.
    Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de la proportion de présence du caractère dans la population est :
    $\begin{align*} I_{400}&=\left[0,1-1,96\sqrt{\dfrac{0,1\times 0,9}{400}};0,1+1,96\sqrt{\dfrac{0,1\times 0,9}{400}}\right] \\
    &=[0,070~6;0,129~4]\end{align*}$
    La fréquence observée est $f=\dfrac{78}{400}=0,195\notin I_{400}$.
    Au risque d’erreur de $5\%$, cet échantillon n’est pas représentatif de la population totale pour ce caractère.
    Affirmation 1 fausse
    $\quad$
  2. Le temps d’attente moyen à ce guichet est $E(X)=\dfrac{1+7}{2}=4$ minutes.
    Affirmation 2 vraie
    $\quad$
  3. Une primitive de la fonction $g$ sur $\R$ est la fonction $G$ définie sur $\R$ par $G(x)=\dfrac{x^3}{3}$.
    La valeur moyenne de la fonction $g$ sur l’intervalle $[-2;2]$ est :
    $\begin{align*} m&=\dfrac{1}{2-(-2)}\times \ds \int_{-2}^2 g(x)\dx \\
    &=\dfrac{G(2)-G(-2)}{4} \\
    &=\dfrac{1}{4}\times \left(\dfrac{8}{3}+\dfrac{8}{3}\right) \\
    &=\dfrac{4}{3}\\
    &\notin \dfrac{16}{3}\end{align*}$
    Affirmation 3 fausse
    $\quad$
  4. Pour tout réel $x$ négatif on a :
    $\begin{align*} \ln\left(\e^{x+1}\right)-\ln\left(\e^x\right)\\
    &=\ln\left(\dfrac{\e^{x+1}}{\e^x}\right) \\
    &=\ln\left(\e^1\right) \\
    &=1\\
    &>0\end{align*}$
    Affirmation 4 vraie
    $\quad$
    Remarque : On pouvait également écrire :
    $\ln\left(\e^{x+1}\right)-\ln\left(\e^x\right)=(x+1)-x=1$
    $\quad$

 

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Bac ES/L – Métropole – Septembre 2018

Métropole – Septembre 2018

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. Voici les différentes valeurs prises, arrondies au centième, par les variables $v$ et $S$ au cours du temps quand $N=3$.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    i&&1&2&3\\
    \hline
    v&9&6,75&5,06&3,80\\
    \hline
    S&9&15,75&20,81&24,61\\
    \hline
    \end{array}$
    Une valeur approchée au dixième du contenu de la variable $S$ est $24,6$.
    Réponse a
    $\quad$
  2. $\dfrac{2\e^{a-1}}{\left(\e^a\right)^2}=\dfrac{2\e^{a-1}}{\e^{2a}}=2\e^{a-1-2a}=2\e^{-1-a}=\dfrac{2}{\e^{a+1}}$
    Réponse d
    $\quad$
  3. La courbe $\mathscr{C}_f$ possède deux tangentes horizontales. L’équation $f'(x)=0$ possède donc $2$ solutions.
    Réponse c
    $\quad$
  4. Sur l’intervalle $[-1;6]$ une valeur approchée de la solution de l’équation $f(x)=-0,3$ est $-0,3$.
    Réponse b
    $\quad$
    Remarque : $-3$ semble également être une valeur approchée d’une solution de l’équation mais n’appartient pas à l’intervalle $[-1;6]$.
    $\quad$
  5. La courbe $\mathscr{C}_f$ semble posséder $3$ points d’inflexion (en environ $-1,8$, $0$ et $1,8$).
    Réponse d
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. On veut calculer $p(G\cap F)=0,129\times 0,4=0,051~6$.
    $\quad$
  3. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(F)=p(G\cap F)+p\left(\conj{G}\cap F\right) &\ssi 0,51=0,051~6+p\left(\conj{G}\cap F\right) \\
    &\ssi p\left(\conj{G}\cap F\right) =0,51-0,051~6 \\
    &\ssi p\left(\conj{G}\cap F\right) =0,458~4\end{align*}$
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_F\left(\conj{G}\right)&=\dfrac{p\left(F\cap \conj{G}\right)}{p(F)} \\
    &=\dfrac{0,458~4}{0,51} \\
    &\approx 0,899
    \end{align*}$
    La probabilité qu’en présence d’une élève fille celle-ci soit droitière est environ égale à $0,899$.
    $\quad$

Partie B

  1. La fréquence observée est $f=\dfrac{110}{230}$
    $\quad$
  2. On a $n=230$ et $p=0,13$.
    Donc $n=230\pg 30$, $np=29,9 \pg 5$ et $n(1-p)=200,1  \pg 5$.
    Un intervalle de fluctuation asymptotique de $95\%$ de la proportion de gauchers dans la population française est :
    $\begin{align*} I_{230}&=\left[0,13-1,96\sqrt{\dfrac{0,13\times 0,87}{230}};0,13+1,96\sqrt{\dfrac{0,13\times 0,87}{230}}\right] \\
    &\approx [0,087;0,174]\end{align*}$
    Or $f\approx 0,478 \notin I_{230}$.
    Au risque d’erreur de $5\%$, le club d’escrime n’est pas représentatif de la population française.
    $\quad$

Partie C

  1. a. D’après la calculatrice on a :
    $P(X\pp 300) = 0,5+P(268\pp X\pp 300) \approx 0,945$
    et $P(Y\pp 300)=0,5+P(280 \pp Y\pp 300) \approx 0,818$
    $\quad$
    b. Cela signifie donc qu’environ $94,5\%$ des gauchers ont un temps de réaction inférieur à $300$ millisecondes tandis qu’environ $81,8\%$ des droitiers ont un temps de réaction inférieur à $300$ millisecondes.
    $\quad$
  2. La droite d’équation $x=268$ semble être un axe de symétrie de la courbe $C$ et la droite d’équation $x=280$ semble être un axe de symétrie de la courbe $C’$.
    La courbe $C$ représente donc la fonction de densité de la variable aléatoire $X$ et la courbe $C’$ représente la fonction de densité de la variable aléatoire $Y$.
    $\quad$

Ex 3 obl

Exercice 3

Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L

Partie A

  1. En $C3$ on peut saisir $=C2*1,15-90$.
    $\quad$
  2. En $E3$ on peut saisir $=E2+D3$.
    $\quad$
  3. On obtient le tableau suivant :
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{année}&\text{rang de l’année}&\text{nombre d’inscrits}&\text{bénéfice annuel}&\text{bénéfices cumulés}\\
    \hline
    2016&0&800&16~000&16~000\\
    \hline
    2017&1&830&16~600&32~600\\
    \hline
    2018&2&865&17~300&49~900\\
    \hline
    2019&3&904&18~080&67~980\\
    \hline
    2020&4&950&19~000&86~980\\
    \hline
    2021&5&1~002&20~040&107~020\\
    \hline
    2022&6&1~063&21~260&128~280\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
  4. D’après le tableau précédent, l’école pourra construire sa nouvelle classe de dans en 2022.
    $\quad$

Partie B

  1. Une augmentation de $15\%$ des inscriptions se traduit par $1,15u_n$.
    Il y a $90$ désinscriptions. Donc, pour tout entier naturel $n$ on a  $u_{n+1}=1,15u_n-90$.
    On a $u_0=800$.
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=u_n-600$ donc $u_n=v_n+600$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-600 \\
    &=1,15u_n-90-600\\
    &=1,15u_n-690\\
    &=1,15\left(v_n+600\right)-690\\
    &=1,15v_n+690-690\\
    &=1,15v_n
    \end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,15$ et de premier terme $v_0=u_0-600=200$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $v_n=200\times 1,15^n$.
    $\quad$
    c. On a $u_n=v_n+600$ donc, pour tout entier naturel $n$, on peut écrire $u_n=200\times 1,15^n+600$.
    $\quad$
  3. On cherche le plus petit entier naturel $n$ tel que :
    $\begin{align*} u_n \pg 2~000 &\ssi 200\times 1,15^n+600\pg 2~000 \\
    &\ssi 200\times 1,15^n \pg 1~400 \\
    &\ssi n \ln (1,15) \pg \ln (7) \\
    &\ssi n \pg \dfrac{\ln (7)}{\ln (1,15)}
    \end{align*}$.
    Or $\dfrac{\ln (7)}{\ln (1,15)} \approx 13,9$ donc $n \pg 14$.
    Par conséquent, c’est à partir de l’année 2030 que l’école accueillera plus de $2~000$ adhérents.
    $\quad$

Ex 3 spé

Exercice 3

Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

  1. a. Le graphe est connexe.
    Le tableau suivant donne le degré des sommets de ce graphe.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Sommet}&A&B&C&D&E&F&G\\
    \hline
    \text{Degré}&3&4&4&3&4&4&2\\
    \hline
    \end{array}$
    Exactement $2$ sommets de ce graphe sont de degré impair.
    Il possède donc une chaîne eulérienne.
    L’investisseur peut ainsi emprunter, une et une seule fois, chacune des rues reliant les biens.
    $\quad$
    b. On peut choisir, par exemple, le trajet $A-F-C-E-F-G-D-B-A-C-B-E-D$.
    Sa durée correspond à la somme des différents poids soit $145$ minutes
    $\quad$
  2. Pour répondre à la question nous allons utiliser l’algorithme de Dijkstra.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    A&B&C&D&E&F&G&\text{Sommet}\\
    \hline
    0&&&&&&&A\\
    \hline
    &8(A)&12(A)&&&14(A)&&B\\
    \hline
    &&12(A)&24(B)&23(B)&14(A)&&C\\
    \hline
    &&&24(B)&22(C)&14(A)&&F\\
    \hline
    &&&24(B)&22(C)&&33(F)&E\\
    \hline
    &&&24(B)&&&33(F)&D\\
    \hline
    &&&&&&30(D)&G\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$

Partie B

  1. On obtient le graphe probabiliste suivant.

    $\quad$
  2. a. La matrice de transition est : $M=\begin{pmatrix} 0,5&0,5\\0,25&0,75 \end{pmatrix}$.
    $\quad$
    b. L’état initial est $P_0=\begin{pmatrix} 0,8&0,2\end{pmatrix}$.
    $\quad$
    c. En 2023, on a $n=5$
    Donc $P_5=\begin{pmatrix} s_5&t_5\end{pmatrix}=P_0M^5 \approx \begin{pmatrix} 0,334&0,666\end{pmatrix}$.
    Par conséquent, en 2023, environ $33,4\%$ des locataires occuperont un studio.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. D’après l’énoncé $r(1)=7$.
    $\quad$
  2. a. La fonction $r$ est dérivable sur l’intervalle $[1;5]$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x$ de cet intervalle on a $r'(x)=1+\dfrac{2}{x}=\dfrac{x+2}{x}$.
    $\quad$
    b. Sur l’intervalle $[1;5]$ on a $x>0$ donc $x+2>0$. Par conséquent $r'(x)>0$.
    Ainsi la fonction $r$ est strictement croissante sur l’intervalle $[1;5]$.
    $\quad$
  3. a. La fonction $r$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur l’intervalle $[1;5]$.
    De plus $r(1)=7<10$ et $r(5)=11+2\ln(5)\approx 14,2 >10$.
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires l’équation $r(x)=10$ possède une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[1;5]$.
    D’après la calculatrice $\alpha \approx 2,318$.
    $\quad$
    b. D’après la question précédente, l’entreprise réalise une recette supérieure à $100~000$ euros à partir de $2~318$ voitures télécommandées vendues.
    $\quad$
  4. a. La fonction $G$ est dérivable sur l’intervalle $[1;5]$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout $x$ appartenant à l’intervalle $[1;5]$ on a :
    $\begin{align*} G'(x)&=2\left[\ln(x)-1\right]+2x\times \dfrac{1}{x} \\
    &=2\ln(x)-2+2 \\
    &=2\ln(x)\\
    &=g(x)\end{align*}$
    La fonction $G$ est donc une primitive de la fonction $g$ sur l’intervalle $[1;5]$.
    $\quad$
    b. Ainsi une primitive de la fonction $r$ sur l’intervalle $[1;5]$ est la fonction $R$ définie par $R(x)=6x+\dfrac{1}{2}x^2+2x\left[\ln(x)-1\right]$.
    $\quad$
    c. La valeur moyenne de la fonction $r$ sur l’intervalle $[2;4]$ est :
    $\begin{align*} m&=\dfrac{1}{4-2}\int_2^4 r(x)\dx \\
    &=\dfrac{1}{2}\left(R(4)-R(2)\right] \\
    &=\dfrac{24+8+8\left[\ln(4)-1\right]-12-2-4\left[\ln(2)-1\right]}{2}\\
    &=\dfrac{14+8\ln(4)-4\ln(2)}{2}\\
    &=7+4\ln(4)-2\ln(2)\\
    &=7+8\ln(2)-2\ln(2)\\
    &=7+6\ln(2) \\
    &\approx 11,159
    \end{align*}$
    La valeur moyenne de la recette totale de l’entreprise lorsqu’elle vend entre $2~000$ et $4~000$ voitures télécommandées est donc d’environ $111~590$ euros.
    $\quad$

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Bac ES/L – Polynésie – Septembre 2018

Polynésie – Septembre 2018

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

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Ex 1

Exercice 1

Affirmation A vraie

Trois  augmentations successives de $10\%$ se traduit par un coefficient multiplicateur de $\left(1+\dfrac{10}{100}\right)^3=1,1^3$.
Une baisse de $25\%$ se traduit par un coefficient multiplicateur de $\left(1-\dfrac{25}{100}\right)=0,75$.
Par conséquent $1,1^3\times 0,75=0,998~25<1$
Le prix de cet objet sera inférieur à son prix initial après les différentes variations.
$\quad$

Affirmation B vraie

Une équation de la tangente $T$ à $\mathscr{C}$ au point d’abscisse $1$ est de la forme $y=f'(1)(x-1)+f(1)$.
Or $f'(x)=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}$ donc $f'(1)=2$
De plus $f(1)=1$.
Une équation de $T$ est donc : $y=2(x-1)+1$ soit $y=2x-1$.
Si $x=2$ alors $y=2\times 2-1=3$.
Le point de coordonnées $(2;3)$ appartient donc à $T$.
$\quad$

Affirmation C fausse

On veut calculer :
$\begin{align*} u_0+u_1+\ldots u_{11} &=4\times \dfrac{1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{12}}{1-\dfrac{1}{3}} \\
&=4\times \dfrac{1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{12}}{\dfrac{2}{3}} \\
&=4\times \dfrac{3}{2}\left(1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{12}\right)\\
&=6\times \left(1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{12}\right) \end{align*}$
$\quad$

Affirmation D fausse

On veut calculer :
$\begin{align*} p(X>10,25)&=p(10,25<x<11) \\
&=\dfrac{11-10,25}{11-9} \\
&=0,375
\end{align*}$

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. On obtient l’arbre de probabilité suivant :

    $\quad$
  2. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(S)&=P(U\cap S)+P\left(\conj{U}\cap S\right) \\
    &=0,1\times 0,25+0,9\times 0,95 \\
    &=0,88 \end{align*}$
    $\quad$
  3. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_S(U)&=\dfrac{P(S\cap U)}{P(S)} \\
    &=\dfrac{0,1\times 0,25}{0,88} \\
    &=\dfrac{5}{176}\\
    &\approx 0,028\end{align*}$
    $\quad$

Partie B

  1. On a $P(2,6<T<9,4) \approx 0,95 \ssi P(\mu-2\sigma < T <\mu +2\sigma) \approx 0,95$.
    Par conséquent $\mu+2\sigma=9,4 \ssi 6+2\sigma=9,4 \ssi 2\sigma=3,4 \ssi \sigma =1,7$.
    $\quad$
  2. a. À l’aide de la calculatrice on trouve : $P(T>7) \approx 0,278)$.
    $\quad$
    b. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_{(T\pg 7)}(T\pg 9)&=\dfrac{P\left(T\pg 7)\cap (T\pg 9)\right)}{P(T\pg 7)} \\
    &=\dfrac{P(T\pg 9)}{P(T\pg 7)} \\
    &\approx 0,140
    \end{align*}$
    $\quad$

Partie C

On a $n=57$ et $p=0,8$.
Donc $n=57 \pg 30$, $np=45,6 \pg 5$ et $n(1-p)=11,4 \pg 5$.

Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de la proportion de batteries pouvant assurer $350$ cycles de rechargement complet sans perte significative de puissance est :
$\begin{align*} I_{57}&=\left[0,8-1,96\sqrt{\dfrac{0,8\times 0,2}{57}};0,8+1,96\sqrt{\dfrac{0,8\times 0,2}{57}}\right] \\
&\approx [0,696;0,904]\end{align*}$

La fréquence observée est $f=\dfrac{40}{57}\approx 0,702 \in I_{57}$.

Cette étude ne remet donc pas en cause l’affirmation du constructeur.
$\quad$

Ex 3 obl

Exercice 3

Candidats de ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de L

Partie A

  1. On a $u_0=16~000$.
    $u_1=u_0\times \left(1-\dfrac{15}{100}\right)=0,85\times 16~000=13~600$
    $u_2=0,85\times 13~600=11~560$
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $u_{n+1}=u_n\times \left(1-\dfrac{15}{100}\right)=0,85u_n$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $q=0,85$.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=16~000\times 0,85^n$.
    $\quad$
  3. a. La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $q=0,85$.
    Or $0<0,85<1$. Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=0$.
    $\quad$
    b. Cela signifie donc que sur le long teme madame DURAND n’aura plus de capital disponible.
    $\quad$
  4. a. On peut donc écrire :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    U\leftarrow 16~000\\
    N \leftarrow 0\\
    \text{Tant que } U\pg 2~000\\
    \hspace{1cm} N\leftarrow N+1\\
    \hspace{1cm} U \leftarrow 0,85\times U\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=16~000\times 0,85^n$.
    On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
    $\begin{align*} u_n <2~000 &\ssi 16~000 \times 0,85^n<2~000\\
    &\ssi 0,85^n < 0,125 \\
    &\ssi n\ln 0,85 < \ln 0,125 \\
    &\ssi n > \dfrac{\ln 0,125}{\ln 0,85} \end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln 0,125}{\ln 0,85} \approx 12,8$.
    Cela signifie que la variable $N$ contiendra la valeur $13$ à la fin de l’exécution de l’algorithme.
    $\quad$

Partie B

  1. Chaque année elle prélève $15\%$ de son capital. Il lui reste donc $85\%$ de son capital soit $0,85v_n$.
    Elle ajoute $300$ € chaque $1\ier$ décembre. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $v_{n+1}=0,85v_n+300$.
    $\quad$
  2. a. On a $w_0=v_0-2~000=14000~$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a $w_n=v_n-2~000$ soit $v_n=w_n+2~000$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} w_{n+1}&=v_{n+1}-2~000 \\
    &=0,85v_n+300-2~000 \\
    &=0,85v_n-1~700 \\
    &=0,85\left(w_n+2~000\right)-1~700 \\
    &=0,85w_n+1~700-1~700\\
    &=0,85w_n\end{align*}$
    La suite $\left(w_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,85$.
    $\quad$
    c. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $w_n=14~000\times 0,85^n$.
    Or $v_n=w_n+2~000$ donc $v_n=14~000\times 0,85^n+2~000$.
    $\quad$
  3. $0<0,85<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,85^n=0$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} v_n=2~000$.
    Sur le long terme, son capital disponible sera de $2~000$.
    Il ne sera donc pas toujours supérieur à $2~500$ €.
    $\quad$

Ex 3 spé

Exercice 3

Candidats de ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

  1. Le degré des sommets est donné par le tableau suivant :
    $\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Sommet}&A&B&C&D&E&F&G\\
    \hline
    \text{Degré}&2&4&5&4&3&4&2\\
    \hline
    \end{array}$
    Le graphe est connexe et possède exactement deux sommets de degré impair.
    Il possède donc une chaîne eulérienne.
    Ils peuvent donc effectuer un trajet empruntant une et seule fois tous les sentiers.
    $\quad$
  2. Nous allons utiliser l’algorithme de Diskstra pour répondre à la question.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    A&B&C&D&E&F&G&\text{Sommet}\\
    \hline
    0&&&&&&&A\\
    \hline
    \phantom{11(A)}&13(A)&17(A)&&&&&B\\
    \hline
    &&17(A)&23(B)&20(B)&&&C\\
    \hline
    &&&22(C)&19(C)&29(C)&&E\\
    \hline
    &&&22(C)&&29(C)&&D\\
    \hline
    &&&&&26(D)&44(D)&E\\
    \hline
    &&&&&&41(F)&G\\
    \hline
    \end{array}$
    Le trajet le plus plus court pour relier la station A à la station G est $A-C-D-F-G$ (il faut $41$ minutes).

Partie B

  1. On obtient le graphe probabiliste suivant :

    $\quad$
  2. La matrice de transition est $M=\begin{pmatrix} 0,9&0,1\\0,15&0,85\end{pmatrix}$.
    $\quad$
  3. a. $P_1=P_0M=\begin{pmatrix}0,525&0,475\end{pmatrix}$
    Donc $P_2=P_1M =\begin{pmatrix}0,543~75&0,456~25\end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} 0,544&0,456\end{pmatrix}$.
    $\quad$
    b. Cela signifie donc qu’à la fin de la $2\ieme$ journée environ $54,4\%$ des audio-guide sont rendus sur le site B et environ $45,6\%$ d’entre-eux sont rendus sur le site G.
    $\quad$
  4. Pour tout entier naturel $n$ on a $b_{n+1}=0,75b_n+0,15$.
    On va tester chacune des propositions au rang $0$.
    Proposition a. : $-0,1+0,6=0,5=b_0$
    Proposition c. : $0,1+0,6=0,7\neq b_0$
    Proposition b. : $-0,6+0,1=-0,5\neq b_0$
    Proposition d. : $-0,1-0,6=-0,7\neq b_0$
    Par conséquent la bonne expression est celle de la proposition a : $b_n=-0,1\times 0,75^n+0,6$.
    $\quad$
  5. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $g_n=1-b_n=0,4+0,1\times 0,75^n$.
    On veut résoudre :
    $\begin{align*} g_n<0,35 &\ssi 0,4+0,1\times 0,75^n<0,35 \\
    &\ssi 0,1\times 0,75^n<-0,05
    \end{align*}$
    Un produit de nombres positifs reste positif. L’inéquation précédente n’a donc pas de solution.
    La personne chargée de la gestion des audio-guides a par conséquent tort.
    $\quad$

$\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. a. D’après le graphique, on a $f(0)=0$.
    $\quad$
    b.La droite $\mathscr{D}$ passe par les points $O(0;0)$ et $B(4;6)$.
    On a donc $f'(0)=\dfrac{6-0}{4-0}=1,5$.
    $\quad$
    c. La courbe $\mathscr{C}$ semble être au-dessus de ses tangentes sur l’intervalle $[-6;4]$. La fonction $f$ semble donc être convexe sur cet intervalle.
    $\quad$
  2. a. Pour tout réel $x$ on a :
    $f'(x)=2-\dfrac{1}{2}\e^{-\frac{1}{2}x}$.
    $\quad$
    b. On veut résoudre sur l’intervalle $[-6;4]$ l’inéquation :
    $\begin{align*} f'(x)>0 &\ssi 2-\dfrac{1}{2}\e^{-\frac{1}{2}x} > 0\\
    &\ssi -\dfrac{1}{2}\e^{-\frac{1}{2}x}> -2 \\
    &\ssi \e^{-\frac{1}{2}x}<4 \\
    &\ssi -\dfrac{1}{2}x<\ln(4) \\
    &\ssi  x>-2\ln(4)\end{align*}$
    L’ensemble solution est donc $\left[-2\ln(4);4\right]$.
    $\quad$
    c. $-2\ln(4) =-2\ln\left(2^2\right)=-4\ln(2)$.
    On obtient ainsi le tableau de variation suivant :

    $\quad$
    d. Sur l’intervalle $\left[-6;-4\ln(2)\right]$, la fonction est continue (car dérivable) et strictement décroissante.
    De plus $f(-6)=-13+\e^3 \approx 7,09>0$ et $f\left(-4\ln(2)\right) \approx -2,55<0$.
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires l’équation $f(x)=0$ possède une unique solution sur l’intervalle $\left[-6;-4\ln(2)\right]$.
    $\quad$
    Sur l’intervalle $\left[-4\ln(2);4\right]$, la fonction est continue (car dérivable) et strictement croissante.
    De plus $f\left(-4\ln(2)\right) \approx -2,55<0$ et $f(4)=7+\e^{-2}\approx 7,14>0$.
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires l’équation $f(x)=0$ possède une unique solution sur l’intervalle $\left[-4\ln(2);4\right]$.
    $\quad$
    L’équation $f(x)=0$ possède donc deux solutions sur l’intervalle $[-6;4]$.
  3. On a $f(0)=0-1+1=0$ et $0\in \left[-4\ln(2);4\right]$
    La solution non nulle $\alpha$ appartient donc à l’intervalle $\left[-6;-4\ln(2)\right]$.
    À l’aide de la calculatrice on obtient $-4,68 <\alpha <-4,67$.
    $\quad$
  4. Pour tout réel $x$ on a : $f'(x)=2-\dfrac{1}{2}\e^{-\frac{1}{2}x}$
    Donc $f\dsec(x)=-\dfrac{1}{2}\times \left(-\dfrac{1}{2}\e^{-\frac{1}{2}x}\right)=\dfrac{1}{4}\e^{-\frac{1}{2}x}$
    La fonction exponentielle est strictement positive sur l’intervalle $[-6;4]$. Par conséquent $f\dsec(x)>0$ sur cet intervalle et la fonction $f$ est convexe sur $[-6;4]$.
    $\quad$
  5. a. Pour tout réel $x$ on a $g'(x)=2x-1-2\times \left(-\dfrac{1}{2}\e^{-\frac{1}{2}x}\right)=2x-1-\dfrac{1}{2}\e^{-\frac{1}{2}x}=f(x)$.
    La fonction $g$ est donc une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;4]$.
    $\quad$
    b. La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;4]$ est :
    $\begin{align*} m&=\dfrac{1}{4-0}\ds \int_0^4 f(x)\dx \\
    &=\dfrac{1}{4}\left(g(4)-g(0)\right) \\
    &=\dfrac{1}{4}\left(12-2\e^{-2}+2\right) \\
    &=\dfrac{14-2\e^{-2}}{4} \\
    &=\dfrac{7-\e^{-2}}{2} \\
    &\approx 3,43\end{align*}$
    $\quad$

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Énoncé spé

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Bac ES/L – Antilles Guyane – Septembre 2018

Antilles Guyane – Septembre 2018

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. Le taux d’évolution du chiffre d’affaires entre 2012 et 2013 est :
    $t=\dfrac{361-330}{330} \approx 9 \%$
    $\quad$
  2. a. Dans l’algorithme A, la variable $U$ n’est pas actualisée.
    Dans l’algorithme C, à chaque tour de boucle, la variable $U$ prend la valeur $330$.
    $\quad$
    b. On obtient le tableau suivant :
    $\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{valeur de }i&&1&2&3&4&5\\
    \hline
    \text{valeur de }U&330&360&392&427&466&508\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    c. En 2017, pour $n=5$, par exemple, on devrait obtenir une valeur proche de $539$ et on obtient $508$.
    Ces deux valeurs sont trop différentes pour que ce modèle soit pertinent.
    $\quad$
  3. a. $v_0=432$
    $v_1=0,9v_0+110=498,8 \approx 499$
    $v_2=0,9v_1+110=558,92 \approx 559$
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a $w_n=v_n-1~100$ soit $v_n=w_n+1~100$.
    $\begin{align*} w_{n+1}&=v_{n+1}-1~100 \\
    &=0,9v_n+110-1~100 \\
    &=0,9v_n-990\\
    &=0,9\left(w_n+1~100\right)-990 \\
    &=0,9w_n+990-990 \\
    &=0,9w_n\end{align*}$
    La suite $\left(w_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,9$ et de premier terme $w_0=v_0-1~100=-668$.
    $\quad$
    c. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $w_n=-668 \times 0,9^n$.
    Donc $v_n=w_n+1~100=1~100-668\times 0,9^n$.
    $\quad$
    d. On a $0<0,9<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,9^n=0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n=1~100$.
    La suite dont le terme général est $668\times 0,9^n$ est décroissante.
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc croissante.
    Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a $v_n\pp 1~100<2~000$
    Le chiffre d’affaires ne dépassera donc jamais $2$ millions d’euros.
    $\quad$

Ex 2 obl

Exercice 2

Candidats ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats L

Partie A

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p\left(\conj{E}\right)&=p\left(A\cap \conj{E}\right)+p\left(I\cap \conj{E}\right) \\
    &=0,3\times 0,05+0,7\times 0,02 \\
    &=0,029
    \end{align*}$
    La probabilité qu’un client ne se présente pas à l’embarquement est de $0,029$.
    $\quad$
  3. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_{\conj{E}}(A)&=\dfrac{p\left(\conj{E}\cap A\right)}{p\left(\conj{E}\right)} \\
    &=\dfrac{0,3\times 0,05}{0,029}\\
    &\approx 0,517\end{align*}$
    $\quad$

Partie B

  1. On veut calculer $p(X=202)=\ds \binom{202}{202}\times 0,971^{202} \approx 0,003$
    La probabilité que tous les clients se présentent à l’embarquement est environ égale à $0,003$.
    $\quad$
  2. On veut calculer $p(X=201) = \ds \binom{202}{201} \times 0,971^{201}\times (1-0,971) \approx 0,016$.
    La probabilité qu’un seul client parmi les $202$ qui ont réservé ne se présente pas à l’embarquement est environ égale à $0,016$.
    $\quad$
  3. Ainsi $p(X>200)=p(X=201)+p(X=202) \approx 0,018$.
    La probabilité que la compagnie se trouve en situation de surréservation est environ égale à $0,019$.
    Remarque : Si on n’utilise pas les arrondis précédents mais la valeur donnée directement par la calculatrice quand on calcule $p(X>200)=1-p(X\pp 200)$ on obtient $p(X>200) \approx 0,018$.
    $\quad$

Partie C

On a $n=400$ et $p=0,98$.
Ainsi $n \pg 30$, $np=392 \pg 5$ et $n(1-p)=8 \pg 5$.
Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ est donc :

$\begin{align*} I_{400}&=\left[0,98-1,96\sqrt{\dfrac{0,98\times 0,02}{400}};0,98+1,96\sqrt{\dfrac{0,98\times 0,02}{400}}\right] \\
&\approx [0,966;0,994]\end{align*}$

La fréquence observée est $f=\dfrac{383}{400}=0,957~5 \notin I_{400}$.

Au risque de $5\%$, ce résultat contredit l’affirmation de la compagnie.

$\quad$

 

 

Ex 2 spé

Exercice 2

Candidats de ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

  1. Cette espèce compte initialement $2$ centaines d’individus.
    Donc $f(0)=2$.
    Or $f(0)=d$ donc $d=2$.
    $\quad$
  2. On a :
    $f(2)=8a+4b+2c+2=18 \ssi 8a+4b+2c=16$
    $f(3)=27a+9b+3c+2=30,5\ssi 27a+9b+3c=28,5$
    $f(10)=1~000a+100b+10c+2=90 \ssi 1~000a+100b+10c=88$.
    Les nombres $a,b$ et $c$ sont donc solutions du système :
    $$\begin{cases} 8a+4b+2c&=&16 \\
    27a+9b+3c&=&28,5\\
    1~000a+100b+10c&=&88\end{cases}$$
    $\quad$
  3. On pose $A=\begin{pmatrix} 8&4&2\\27&9&3\\1~000&100&10\end{pmatrix}$ , $X=\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}16\\28,5\\88\end{pmatrix}$.
    Le système précédent est alors équivalent à $AX=B$.
    $\quad$
  4. À l’aide de la calculatrice on trouve : $X=A^{-1}B=\begin{pmatrix}-0,575\\7,375\\-7,45\end{pmatrix}$
    Ainsi $\begin{cases} a&=&-0,2\\b&=&2,5\\c&=&3,8\end{cases}$.
    $\quad$
  5. Par conséquent $f(x)=-0,2x^3+2,5x^2+3,8x+2$.
    Ainsi $f'(x)=-0,6x^2+5x+3,8$.
    $\Delta=5^2-4\times (-0,6)\times 3,8=34,12>0$
    $f'(x)$ possède donc deux racines réelles :
    $x_1=\dfrac{-5-\sqrt{34,12}}{-1,2} \approx 9$ et $x_2=\dfrac{-5+\sqrt{34,12}}{-1,2}<0$
    $x$ représente un nombre de semaines. Par conséquent $x\pg 0$.
    Ainsi, puisque $a=-0,6<0$ on a $f'(x) \pg 0 $ sur l’intervalle $\left[0;x_1\right]$ et $f'(x)\pp 0$ sur l’intervalle $\left[x_1;+\infty\right[$.
    La fonction $f$ atteint donc son maximum sur l’intervalle $[0;+\infty[$ en $x_1$.
    Le nombre d’individus de l’espèce étudiée sera maximal au bout d’environ $9$ semaines.
    $\quad$

Partie B

  1. a. Étudions le degré des sommets de ce graphe connexe.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Sommet}&C&E&F&L&M&O&P&R&S\\
    \hline
    \text{Degré}&3&4&4&3&4&2&4&2&2 \\
    \hline
    \end{array}$
    Tous les sommets de ce graphe ne sont pas pairs.
    Il ne possède donc pas de cycle eulérien. Il n’existe pas de parcours  empruntant toutes les allées, une et une seule fois, en partant du
    local technique ($L$) et en y revenant.
    $\quad$
    b. Exactement $2$ sommets de ce graphe connexe possède un degré impair.
    Il possède donc une chaîne eulérienne.
    Il existe alors un parcours empruntant toutes les allées, une et une seule fois, en partant du local technique ($L$) et sans nécessairement y revenir.
    On peut effectuer, par exemple, le parcours : $L-R-F-M-O-P-M-E-P-F-E-C-L-S-C$.
    $\quad$
  2. Pour déterminer un parcours de distance minimale joignant les sommets $L$ et $O$ on va utiliser l’algorithme de Dijkstra.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    L&C&E&F&M&O&P&R&S&\text{Sommet}\\
    \hline
    0&&&&&&&&&L\\
    \hline
    \phantom{310(L)}&310(L)&&&&&&280(L)&300(L)&R\\
    \hline
    &310(L)&&390(R)&&&&&300(L)&C\\
    \hline
    &&460(C)&390(R)&&&&&&F\\
    \hline
    &&450(F)&&460(F)&&650(F)&&&E\\
    \hline
    &&&&460(F)&&640(E)&&&M\\
    \hline
    &&&&&560(M)&510(M)&&&P\\
    \hline
    &&&&&550(P)&&&&O\\
    \hline
    \end{array}$
    Le parcours le plus court est donc $L-R-F-M-P-O$ pour une distance de $550$ m.
    $\quad$

 

 

Ex 3

Exercice 3

On a $f(x)=x-\ln(x)$ pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $]0;+\infty[$.
La fonction $f$ est dérivable sur cet intervalle et, pour tout réel $x$ strictement positif on a :
$f'(x)=1-\dfrac{1}{x}$.

$f'(3)=1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$ et $f(3)=3-\ln(3)$.

Une équation de $T$ est $y=f'(3)(x-3)+f(3)$.
Soit $y=\dfrac{2}{3}x-2+3-\ln(3)$
Ou encore $y=\dfrac{2}{3}x+1-\ln(3)$.

L’ordonnée à l’origine n’est pas nulle. Par conséquent la droite $T$ ne passe pas par l’origine du repère.

$\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie A

  1. Si on a choisit $F(x)=(-7x+7)\e^x$ alors, pour tout réel $x$ on a :
    $F'(x)=-7\e^x+(-7x+7)\e^x=-7\e^x-7x\e^x+7\e^x=-7x\e^x=f(x)$.
    $F$ est donc une primitive de $f$ sur $\R$.
    Réponse d
    $\quad$
  2. On veut déterminer, puisque la fonction $f$ est positive sur l’intervalle $[-3;0]$ :
    $\begin{align*} A&=\ds \int_{-3}^0 f(x)\dx&=F(0)-F(-3) \\
    &=7-28\e^{-3} \\
    &\approx 5,61
    \end{align*}$
    Ainsi $5<A<6$.
    Réponse b
    $\quad$
  3. Pour tout réel $x$ on a :
    $f'(x)=-7\e^x-7x\e^x=(-7-7x)\e^x$
    $f\dsec(x)=-7\e^x+(-7-7x)\e^x=(-14-7x)\e^x$.
    La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $f\dsec(x)$ ne dépend donc que de celui de $-14-7x$.
    Or $-14-7x=0\ssi x=-2$
    Et $-14-7x>0 \ssi -7x>14 \ssi x<-2$.
    La fonction $f\dsec$ change donc de signe en $x=-2$.
    Réponse d
    $\quad$

Partie B

  1. À l’aide de la calculatrice on trouve $P(19 \pp X \pp 25)\approx 0,385$.
    Réponse a
    $\quad$
  2. $P(X \pg 25)=0,5-P(19\pp X \pp 25) \approx 0,115$.
    Réponse b
    $\quad$
  3. D’après la calculatrice (touche Inverse loi normale) on obtient
    $P(X>k) \approx 0,42$ si $k \approx 20$.
    Réponse c
    $\quad$

Énoncé

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Bac ES/L – Métropole – Juin 2018

Métropole – Juin 2018

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. a. La variable aléatoire $X$ suit une loi continue donc $p(X=10)=0$.
    $\quad$
    b. $X$ suit la loi normale d’espérance $\mu=45$ et d’écart-type $\sigma=12$.
    Donc $p(X\pg 45)=p(X\pg \mu)=0,5$
    $\quad$
    c. $p(21 \pp X \pp 69)=p(\mu-2\sigma\pp X \pp \mu+2\sigma) \approx 0,95$.
    $\quad$
    d. $p(21 \pp X \pp 45)=p(45 \pp X \pp 69)$.
    Donc $p(21 \pp X \pp 45)=\dfrac{1}{2}p(21 \pp X \pp 69) \approx 0,475$
    $\quad$
  2. À l’aide de la calculatrice, on trouve $p(30 \pp X \pp 60) \approx 0,789$
    $\quad$
  3. En utilisant la fonction inverse loi normale de la calculatrice, on trouve $a\approx 39$.
    Cela signifie donc que la probabilité qu’un client passe moins de $39$ minutes dans le supermarché est de $30\%$.
    $\quad$

Partie B

  1. On a $n=300$ et $p=0,89$.
    Par conséquent $n\pg 30$, $np=267\pg 5$ et $n(1-p)=33$.
    Un intervalle de fluctuation au seuil de $95\%$ de la proportion de clients satisfaits est :
    $\begin{align*} I_{300}&=\left[0,89-1,96\sqrt{\dfrac{0,89\times 0,11}{300}};0,89+1,96\sqrt{\dfrac{0,89\times 0,11}{300}}\right] \\
    &\approx [0,854;0,925]
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. La fréquence observée de clients satisfaits est $f=\dfrac{286}{300}\approx 0,953$.
    $\quad$
  3. On constate donc que $f\notin I_{300}$.
    Au risque d’erreur de $5\%$, on ne peut pas affirmer que le taux de satisfaction des clients est resté stable entre 2013 et 2018.
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. $p_{\conj{F}}(S)$ est la probabilité que l’élève soit inscrit dans un club de sport sachant que ce n’est pas une fille.
    Réponse a
    $\quad$
  2. On a
    $\begin{align*} p_F(S)=&\dfrac{p(F\cap S)}{p(F)}\\
    &=\dfrac{0,3\times 0,4}{0,47}\\
    &\approx 0,255
    \end{align*}$
    Réponse b
    $\quad$

Partie B

  1. Une équation de la tangente est de la forme $y=g'(1)(x-1)+g(1)$.
    Or $g(1)=1$
    et $g'(x)=-3x^2+6x$ donc $g'(1)=3$.
    Une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_g$ au point d’abscisse $1$ est :
    $y=3(x-1)+1$ soit $y=3x-3+1$ ou encore $y=3x-2$.
    Réponse b
    $\quad$
  2. Une primitive de la fonction $g$ sur l’intervalle $[-1;4]$ est la fonction $G$ définie sur cet intervalle par $G(x)=-\dfrac{1}{4}x^4+x^3-x$.
    La valeur moyenne de la fonction $g$ sur l’intervalle $[-1;a]$ est :
    $\begin{align*} \ds m_a&=\dfrac{1}{a-(-1)}\int_{-1}^a g(x)\dx \\
    &=\dfrac{1}{a+1}\left(G(a)-G(-1)\right) \\
    &=\dfrac{1}{a+1}\left(-\dfrac{a^4}{4}+a^3-a+\dfrac{1}{4}\right)
    \end{align*}$
    On teste les valeurs proposées et on trouve que si $a=1$ alors $m_a=0$.
    Réponse b
    $\quad$

Ex 3 obl

Exercice 3

Candidats de ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de L

  1. a. On a :
    $u_1=u_0\times (1+0,06)-15=605\times 1,06-15=626,3$ cm
    Le 2 janvier 2018 à midi le niveau de l’eau est de $626,3$ cm.
    $\quad$
    b. Augmenter un nombre de $6\%$ revient à le multiplier par $1,06$.
    Ainsi l’augmentation de $6\%$ se traduit par $1,06u_n$.
    Il y a ensuite une baisse de $15$ cm donc $u_{n+1}=1,06u_n-15$.
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=u_n-250$ donc $u_n=v_n+250$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-250 \\
    &=1,06 u_n-15-250 \\
    &=1,06 u_n-265 \\
    &=1,06\left(v_n+250\right)-265 \\
    &=1,06v_n+265-265 \\
    &=1,06
    \end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,06$ et de premier terme $v_0=u_0-250=355$.
    $\quad$
    b. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $v_n=355\times 1,06^n$.
    Donc $u_n=v_n+250=250+355\times 1,06^n$.
    $\quad$
  3. a. On a $1,06>1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 1,6^n=+\infty$.
    Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=+\infty$.
    $\quad$
    b. La limite de la suite $\left(u_n\right)$ étant $+\infty$, cela signifie qu’il existe un rang $n_0$ à partir duquel $u_{n_0} >1~000$.
    L’équipe d’entretien devra donc ouvrir les vannes.
    $\quad$
  4. a. On obtient l’algorithme suivant :
    $\begin{array}{|l|}
    \hline
    N\leftarrow 0\\
    U \leftarrow 605 \\
    \text{Tant que $U\pp 1000$ faire}\\
    \hspace{1cm} U\leftarrow 1,06\times U-15 \\
    \hspace{1cm} N\leftarrow N+1\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    b. On a $u_{12} \approx 964$ et $u_{13} \approx 1~007$.
    Donc, à la fin de l’exécution de l’algorithme, on a $N=13$.
    $\quad$
    c. Les techniciens devront intervenir pour la première fois le 14 janvier 2018.
    $\quad$

Ex 3 spé

Exercice 3

Candidats de ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

  1. Le graphe possède $5$ sommets. Il est donc d’ordre $5$.
    $\quad$
  2. a. On a alors :
    $M=\begin{pmatrix} 0&1&0&1&0\\
    0&0&0&1&0\\
    1&1&0&0&1\\
    0&0&0&0&0\\
    1&1&0&1&0
    \end{pmatrix}$
    $\quad$
    b. Le coefficient ${M^3}_{(3,4)}=3$.
    On peut donc aller de $D$ en $F$ en faisant un parcours constitué de $3$ arêtes.
    Il existe $3$ parcours différents : $D-H-A-F$, $D-H-B-F$ et $D-A-B-F$.
    $\quad$
  3. On utilise l’algorithme de Dijsktra.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    A&B&D&F&H&\text{Sommet} \\
    \hline
    &&0&&&D\\
    \hline
    28(D)&40(D)&&&19(D)&H\\
    \hline
    28(D)&35(H)&&51(H)&&A\\
    \hline
    &35(H)&&51(H)&&B\\
    \hline
    &&&49(B)&&F\\
    \hline
    \end{array}$
    Le trajet pour lequel le temps de course est minimal est $D-H-B-F$. Il dure $49$ minutes.
    $\quad$

Partie B

$\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=2\e^{-2x}-2(2x+1)\e^{-2x} \\
    &=(2-4x-2)\e^{-2x} \\
    &=-4x\e^{-2x}
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. La fonction exponentielle est strictement positive sur l’intervalle $[-2;4]$. Par conséquent le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $-4x$.
    Ainsi, $f'(x)>0$ sur l’intervalle $[-2;0[$, $f'(0)=0$ et $f'(x)<0$ sur l’intervalle $]0;4]$.
    Donc la fonction $f$ est croissante sur l’intervalle $[-2;0]$ et décroissante sur l’intervalle $[0;4]$.
    $\quad$
  3.  La fonction $f$ est continue et strictement croissante sur l’intervalle $[-2;0]$.
    $f(-2) \approx -160,8<0$ et $f(0)=4>0$
    D’après le corollaire du théorème de la bijection l’équation $f(x)=0$ possède une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[-2;0]$.
    De plus $\alpha\approx -0,8$.
    $\quad$
  4. a. La fonction exponentielle est strictement positive sur l’intervalle $[-2;4]$.
    Le signe de $f\dsec (x)$ ne dépend donc que de celui de $8x-4$.
    Or $8x-4=0 \ssi x=0,5$
    $8x-4>0 \ssi x>0,5$.
    $8x-4<0\ssi x<0,5$.
    La fonction $f\dsec$ est donc négative sur l’intervalle $[-2;0,5[$, nulle en $0,5$ et positive sur l’intervalle $]0,5;4]$.
    $\quad$
    b. La fonction $f$ est donc concave sur l’intervalle $[-2;0,5]$ et convexe sur l’intervalle $[0,5;4]$.
    $\quad$
  5. a. Pour tout réel $x$ de l’intervalle $[-2;4]$ on a :
    $\begin{align*} G'(x)&=-\e^{-2x}-2(-x-1)\e^{-2x} \\
    &=(-1+2x+2)\e^{-2x} \\
    &=(2x+1)\e^{-2x} \\
    &=g(x)
    \end{align*}$
    La fonction $G$ est donc une primitive de la fonction $g$ sur l’intervalle $[-2;4]$.
    $\quad$
    b. Une primitive de $f$ est donc la fonction $F$ définie sur l’intervalle $[-2;4]$ par $F(x)=(-x-1)\e^{-2x}+3x$.
    $\quad$
  6. On obtient le graphique suivant :
    $\quad$
    b. Graphiquement on peut dire que $3< \mathscr{A} < 4$.
    En effet la partie hachurée est incluse dans un rectangle de dimension $1\times 4$ et contient un rectangle de dimension $1\times 3$.
    $\quad$
    c. On a :
    $\begin{align*} \mathscr{A}&=\ds \int_0^1 f(x)\dx \\
    &=F(1)-F(0) \\
    &=-2\e^{-2}+3+1\\
    &=4-2\e^{-2} \\
    &\approx 3,73 \text{u.a.}
    \end{align*}$
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1     5 points

Les parties A et B sont indépendantes

Partie A

Le temps passé par un client, en minute, dans un supermarché peut être modélisé par une variable aléatoire $X$ suivant la loi normale d’espérance $\mu = 45$ et d’écart type $\sigma = 12$.

Pour tout événement $E$, on note $p(E)$ sa probabilité.

  1. Déterminer, en justifiant :
    a. $p(X=10)$
    $\quad$
    b. $p(X\pg 45)$
    $\quad$
    c. $p(21 \pp X \pp 69)$
    $\quad$
    d. $p(21 \pp X \pp 45)$
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité, arrondie au millième, qu’un client passe entre $30$ et $60$ minutes dans ce supermarché.
    $\quad$
  3. Déterminer la valeur de $a$, arrondie à l’unité, telle que $P(X \pp a) = 0,30$. Interpréter la valeur de $a$ dans le contexte de l’énoncé.
    $\quad$

Partie B
En 2013, une étude a montré que $89 \%$ des clients étaient satisfaits des produits de ce supermarché.

  1. Déterminer un intervalle de fluctuation au seuil de $95 \%$ de la proportion de clients satisfaits pour un échantillon de $300$ clients pris au hasard en 2013.
    $\quad$
    Lors d’une enquête réalisée en 2018 auprès de $300$ clients choisis au hasard, $286$ ont déclaré être satisfaits.
    $\quad$
  2. Calculer la fréquence de clients satisfaits dans l’enquête réalisée en 2018.
    $\quad$
  3. Peut-on affirmer, au seuil de $95 \%$, que le taux de satisfaction des clients est resté stable entre 2013 et 2018 ? Justifier.
    $\quad$

Exercice 2     4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule des
quatre réponses proposées est correcte.

Reporter sur la copie le numéro de la question ainsi que la lettre correspondant à la réponse choisie.

Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point. Aucune justification n’est demandée.

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

Dans un établissement scolaire, $30 \%$ des élèves sont inscrits dans un club de sport, et parmi eux, $40 \%$ sont des filles. Parmi ceux n’étant pas inscrits dans un club de sport, $50 \%$ sont des garçons.
Pour tout événement $E$, on note $\conj{E}$ l’événement contraire de $E$ et $p(E)$ sa probabilité. Pour tout événement $F$ de probabilité non nulle, on note $p_F(E)$ la probabilité de $E$ sachant que $F$ est réalisé.

On interroge un élève au hasard et on considère les événements suivants :

  • $S$ : « l’élève est inscrit dans un club de sport »
  • $F$ : « l’élève est une fille »

La situation est représentée par l’arbre pondéré ci-dessous.

  1. La probabilité $p_{\conj{F}}(S)$ est la probabilité que l’élève soit :
    a. inscrit dans un club de sport sachant que c’est un garçon ;
    b. un garçon inscrit dans un club de sport ;
    c. inscrit dans un club de sport ou un garçon ;
    d. un garçon sachant qu’il est inscrit dans un club de sport.
    $\quad$
  2. On admet que $p(F)=0,47$. La valeur arrondie au millième de $p_F(S)$ est :
    a. $0,141$
    b. $0,255$
    c. $0,400$
    d. $0,638$
    $\quad$

Partie B

Soit $g$ la fonction définie sur $[-1;4]$ par $g(x)=-x^3+3x^2-1$ et $\mathcal{C}_g$ sa courbe représentative dans un repère.

  1. La tangente à la courbe $\mathcal{C}_g$ au point d’abscisse $1$ a pour équation :
    a. $y=-3x^2+6x$
    b. $y=3x-2$
    c. $y=3x-3$
    d. $y=2x-1$
    $\quad$
  2. La valeur moyenne de la fonction $g$ sur l’intervalle $[-1;a]$ est nulle pour :
    a. $a=0$
    b. $a=1$
    c. $a=2$
    d. $a=3$
    $\quad$

Exercice 3    5 points 

Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de
série L

Un lac de montagne est alimenté par une rivière et régulé par un barrage, situé en aval, d’une hauteur de $10$ m.
On mesure le niveau d’eau du lac chaque jour à midi.

Le 1$\ier$ janvier 2018, à midi, le niveau d’eau du lac était de $6,05$ m.

Entre deux mesures successives, le niveau d’eau du lac évolue de la façon suivante :

  • d’abord une augmentation de $6 \%$ (apport de la rivière) ;
  • ensuite une baisse de $15$ cm (écoulement à travers le barrage).
  1. On modélise l’évolution du niveau d’eau du lac par une suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$, le terme $u_n$ représentant le niveau d’eau du lac à midi, en cm, $n$ jours après le $1\ier$ janvier 2018.
    Ainsi le niveau d’eau du lac le $1\ier$ janvier 2018 à midi est donné par $u_0=605$.
    a. Calculer le niveau du lac, en cm, le $2$ janvier 2018 à midi.
    $\quad$
    b. Montrer que, pour tout $n\in \N$, $u_{n+1}=1,06u_n-15$.
    $\quad$
  2. On pose, pour tout $n\in N$, $v_n=u_n-250$.
    a. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $1,06$.
    Préciser son terme initial.
    b. Montrer que, pour tout $n\in \N$, $u_n=355\times 1,06^n+250$.
    $\quad$
  3. Lorsque le niveau du lac dépasse $10$ m, l’équipe d’entretien doit agrandir l’ouverture des vannes du barrage.
    a. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
    b. L’équipe d’entretien devra-t-elle ouvrir les vannes afin de réguler le niveau
    d’eau ? Justifier la réponse.
    $\quad$
  4. Afin de déterminer la première date d’intervention des techniciens, on souhaite utiliser l’algorithme incomplet ci-dessous.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    N \leftarrow 0\\
    U\leftarrow 605\\
    \text{Tant que } \ldots\ldots\ldots \text{ faire}\\
    \hspace{1cm} U\leftarrow \ldots\ldots\ldots\\
    \hspace{1cm} N\leftarrow N+1\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    a. Recopier et compléter l’algorithme.
    $\quad$
    b. À la fin de l’exécution de l’algorithme, que contient la variable $N$?
    $\quad$
    c. En déduire la première date d’intervention des techniciens sur les vannes du
    barrage.
    $\quad$

Exercice 3    5 points 

Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

Un parcours sportif est composé d’un banc pour abdominaux, de haies et d’anneaux. Le graphe orienté ci-dessous indique les différents parcours conseillés partant de $D$ et terminant à $F$.

Les sommets sont : $D$ (départ), $B$ (banc pour abdominaux), $H$ (haies), $A$ (anneaux) et $F$ (fin du parcours).
Les arêtes représentent les différents sentiers reliant les sommets.

  1. Quel est l’ordre du graphe?
    $\quad$
  2. On note $M$ la matrice d’adjacence de ce graphe où les sommets sont rangés dans l’ordre alphabétique.
    a. Déterminer $M$.
    $\quad$
    b. On donne $M^3=\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&1&0&3&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&1&0\end{pmatrix}$
    $\quad$
    Assia souhaite aller de $D$ à $F$ en faisant un parcours constitué de $3$ arêtes.
    Est-ce possible ? Si oui, combien de parcours différents pourra-t-elle emprunter ?
    Préciser ces trajets.
    $\quad$
  3. Assia a relevé ses temps de course en minute entre les différents sommets. Ces durées sont portées sur le graphe ci-dessous.
    Lors d’un entraînement, Assia souhaite courir le moins longtemps possible en allant de $D$ à $F$. Déterminer le trajet pour lequel le temps de course est minimal et préciser la durée de sa course.

    $\quad$

Partie B

Le responsable souhaite ajouter une barre de traction notée $T$. De nouveaux sentiers sont construits et de nouveaux parcours sont possibles.

La matrice d’adjacence $N$ associée au graphe représentant les nouveaux parcours, dans lequel les sommets sont classés dans l’ordre alphabétique, est $$N=\begin{pmatrix} 0&1&0&1&0&1\\0&0&0&1&0&0\\1&1&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&0\\1&1&0&1&0&1\\0&0&0&1&0&0\end{pmatrix}$$

Compléter l’annexe à rendre avec la copie, en ajoutant les arêtes nécessaires au graphe orienté correspondant à la matrice $N$.
$\quad$

Annexe 

$\quad$

Exercice 4     6 points

On désigne par $f$ la fonction définie sur l’intervalle $[-2;4]$ par $$f(x)=(2x+1)\e^{-2x}+3$$

On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère. Une représentation graphique est donnée en annexe.

  1. On note $f’$ la fonction dérivée de $f$. Montrer que, pour tout $x\in[-2;4]$ $$f'(x)=-4x\e^{-2x}$$
    $\quad$
  2. Étudier les variations de $f$.
    $\quad$
  3. Montrer que l’équation $f(x) = 0$ admet une unique solution sur l’intervalle $[−2 ; 0]$ et donner une valeur approchée au dixième de cette solution.
    $\quad$
  4. On note $f\dsec$ la fonction dérivé de $f’$. On admet que, pour tout $x\in[-2;4]$, $$f\dsec(x)=(8x-4)\e^{-2x}$$
    a. Étudier le signe de $f\dsec$ sur l’intervalle $[-2;4]$.
    $\quad$
    b. En déduire le plus grand intervalle dans $[-2;4]$ sur lequel $f$ est convexe.
    $\quad$
  5. On note $g$ la fonction définie sur l’intervalle $[-2;4]$ par $g(x)=(2x+1)\e^{-2x}$.
    a. Vérifier que la fonction $G$ définie pour tout $x\in[-2;4]$ par $G(x)=(-x-1)\e^{-2x}$ est une primitive de la fonction $g$.
    $\quad$
    b. En déduire une primitive $F$ de $f$.
    $\quad$
  6. On note $\mathscr{A}$ l’aire du domaine $\mathcal{D}$ compris entre la courbe $\mathcal{C}_f$, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=0$ et $x=1$.
    a. Hachurer le domaine $\mathcal{D}$ sur le graphique donné en annexe, à rendre avec la copie.
    $\quad$
    b. Par lecture graphique, donner un encadrement de $\mathscr{A}$, en unité d’aire, par deux entiers consécutifs.
    $\quad$
    c. Calculer la valeur exacte de $\mathscr{A}$, puis une valeur approchée au centième.
    $\quad$

Annexe

 

Bac ES/L – Antilles Guyane – Juin 2018

Antilles Guyane – Juin 2018

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. La fonction exponentielle est strictement positive.
    Par conséquent $f(x)=0\ssi 2x-3=0 \ssi x=1,5$.
    Réponse b
    $\quad$
  2. Une équation de la tangente au point d’abscisse $1$ est $y=f'(1)(x-1)+f(1)$.
    Or $f'(x)=\dfrac{1}{x}$ donc $f'(1)=\dfrac{1}{1}=1$ et $f(1)=0$.
    Une équation de la tangente au point d’abscisse $1$ est $y=x-1$.
    Réponse b
    $\quad$
  3. $P(X>t)=0,025 \ssi P(X \pp t)=0,975$.
    À l’aide de la touche inverse loi normale de la calculatrice, on trouve $t\approx 30,88$
    Réponse d
    $\quad$
  4. On appelle $T$ la variable aléatoire suivant la loi uniforme sur $[8,5;10]$.
    La probabilité qu’Anne appelle Benoît alors qu’il est dans le train est :
    $P(X\pg 9)=P(9\pp X \pp 10)=\dfrac{10-9}{10-8,5}=\dfrac{2}{3}$.
    Réponse b
    $\quad$

Ex 2 obl

Exercice 2

Partie A

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. On veut calculer $p(A\cap C)=0,5\times 0,4=0,2$.
    La probabilité que Victor obtienne et conserve un personnage de type « Air »est $0,2$.
    $\quad$
  3. D’après la formule des probabilités totales, on a :
    $\begin{align*} p(C)&=p(T\cap C)+p(A\cap C)+p(F\cap C) \\
    &=0,3\times 0,5+0,2+0,2\times 0,9 \\
    &=0,53 \end{align*}$
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*}p_C(A)&=\dfrac{p(A\cap C)}{p(C)} \\
    &=\dfrac{0,2}{0,53} \\
    &=\dfrac{20}{53}\\
    &\approx 0,38
    \end{align*}$
    $\quad$

Partie B

  1. Il y a $10$ tirages indépendants, aléatoires, identiques.
    À chaque tirage, il n’y a que deux issues : $T$ et $\conj{T}$.
    De plus $p(T)=0,3$
    La variable aléatoire $Y$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,3$.
    $\quad$
  2. $P(Y=3)=\ds \binom{10}{3}\times 0,3^3\times 0,7^{10-3}\approx 0,27$
    La probabilité que Victor ait obtenu exactement $3$ personnages de type « Terre » au début de ses $10$ parties est environ égale à $0,27$
    $\quad$
  3. $P(Y\pg 1)=1-P(Y=0)=1-0,7^{10}\approx 0,97$.
    La probabilité que Victor ait obtenu au moins une fois un personnage de type « Terre » au début de ses $10$ parties est environ égal à $0,97$.
    $\quad$

Ex 2 spé

Exercice 2

Partie A

  1. On obtient le graphe probabiliste suivant :

    $\quad$
  2. a. On a donc $\begin{cases} g_{n+1}=0,65g_n+0,42p_n \\p_{n+1}=0,35g_n+0,58p_n\end{cases}$
    On note $A_n=\begin{pmatrix} g_n&p_n\end{pmatrix}$ pour tout entier naturel $n$ non nul.
    La matrice de transition est $M=\begin{pmatrix}0,65&0,35\\0,42&0,58\end{pmatrix}$
    $\quad$
    b. On a $A_1=\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix}$
    Par conséquent $A_3=A_1M^2=\begin{pmatrix}0,569~5&0,430~5\end{pmatrix}$.
    Ainsi, la probabilité que Franck gagne la troisième partie est $0,569~5$.
    $\quad$
  3. L’état stable $S=\begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}$ vérifie :
    $\begin{align*} \begin{cases} S=SM\\x+y=1\end{cases}&\ssi \begin{cases} x=0,65x+0,42y\\y=0,35x+0,58y\\x+y=1\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} -0,35x+0,42y=0\\0,35x-0,42y=0\\x=1-y\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} -0,35+0,35y+0,42y=0\\x=1-y \end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} 0,77y=0,35\\x=1-y \end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} y=\dfrac{5}{11} \\x=\dfrac{6}{11} \end{cases} \end{align*}$
    L’état stable est donc $S=\begin{pmatrix} \dfrac{6}{11}&\dfrac{5}{11}\end{pmatrix}$.
    Cela signifie que sur le long terme, la probabilité que Franck gagne une partie est $\dfrac{6}{11}$.
    $\quad$

Partie B

  1. a. Le degré des sommets de ce graphe  est donné par le tableau suivant :
    $\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Sommet}&A&B&C&D&E&F&G\\
    \hline
    \text{Degré}&2&4&4&4&4&4&2\\
    \hline
    \end{array}$
    Tous les degrés sont pairs.
    Le graphe est de plus connexe. Il possède donc un cycle eulérien.
    Il est par conséquent possible, au départ d’une salle quelconque, d’y revenir après avoir parcouru tous les couloirs une et une seule fois.
    $\quad$
    b. On peut, par exemple, faire le chemin $A-B-F-G-E-F-D-E-C-D-B-C-A$.
    $\quad$
  2. Tous les degrés des sommets sont pairs. Le graphe ne possède donc pas de chaîne eulérienne.
    Il n’existe pas, par conséquent, de chemin permettant de se rendre de la salle $A$ à la salle $G$ en passant une et une seule fois par tous les couloirs.
    $\quad$
  3. On utilise l’algorithme de Dijkstra :
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    A&B&C&D&E&F&G&\text{Sommet} \\
    \hline
    &&&&&&0&G\\
    \hline
    &&&&7(G)&5(G)&&F\\
    \hline
    &27(F)&&8(F)&7(G)&&&E\\
    \hline
    &27(F)&26(E)&8(F)&&&&D\\
    \hline
    &15(D)&13(D)&&&&&C\\
    \hline
    25(C)&15(D)&&&&&&B\\
    \hline
    25(C)&&&&&&&A\\
    \hline
    \end{array}$
    Le chemin permettant d’affronter le moins de chemin est $G-F-D-C-A$.
    Il rencontrera alors $25$ monstres.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. a. Pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}-u_n=0,4$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc arithmétique de raison $0,4$.
    On a $v_{n+1}=1,028v_n$. Par conséquent, la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $1,028$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a alors :
    $$u_n=10+0,4n \quad \text{et} \quad v_n=8\times 1,028^n$$
    $\quad$
  2. Cela signifie que c’est à partir du rang $46$ que $v_n\pg u_n$.
    $\quad$
  3. a. $u_{10}=8\times 1,028^{10} \approx 10,544$
    Selon ce modèle, la population de l’Angleterre en 1810 était de $10,544$ millions d’habitants environ.
    $\quad$
    b. On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
    $\begin{align*} u_n \pg 16 &\ssi 8\times 1,028^n \pg 16 \\
    &\ssi 1,028^n \pg 2 \\
    &\ssi n\ln 1,028 \pg \ln 2 \\
    &\ssi n \pg \dfrac{\ln 2}{\ln 1,028}
    \end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln 2}{\ln 1,028} \approx 25,1$.
    Par conséquent $n\pg 26$
    C’est donc à partir de 1826 que la population aurait dépassé $16$ millions d’habitants.
    $\quad$
    c. La suite $\left(u_n\right)$ décrit le nombre d’habitant en Angleterre durant l’année 1800$+n$ et la suite $\left(v_n\right)$ décrit le nombre d’habitants que l’agriculture peut nourrir.
    D’après la réponse à la question 2. c’est à partir de 1846 que la population de l’Angleterre serait devenue trop grande pour ne plus être suffisamment nourrie par son agriculture.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie A

  1. La fonction $f$ semble atteindre son maximum en $x_0$ tel que $1\pp x_0 \pp 2$.
    $\quad$
  2. a. La fonction $f$ semble convexe sur l’intervalle $[2,8;5]$ (intervalle sur lequel la fonction $f\dsec$ semble être positive).
    $\quad$
    b. La fonction $f\dsec$ change de signe en $x_1$ tel que $2\pp x_1 \pp 3$.
    La fonction $f$ possède donc un point d’inflexion dont l’abscisse est comprise entre $2$ et $3$.
    $\quad$
  3. On peut lire que $f'(0)=2$ et $f(0)=0$.
    Une équation de la tangente au point d’abscisse $0$ est $y=f'(0)x+f(0)$.
    Par conséquent une équation de cette tangente est $y=2x$.
    $\quad$
  4. $I$ correspond à l’aire du domaine compris entre la courbe $C_{f’}$, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=0$ et $x=1$.
    $\quad$

Partie B

  1. a. Pour tout réel de l’intervalle $[0;5]$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=(2x+2)\e^{-x}-\left(x^2+2x\right)\e^{-x} \\
    &=\left(2x+2-x^2-2x\right) \e^{-x} \\
    &=\left(2-x^2\right)\e^{-x}
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. La fonction exponentielle est strictement positive sur l’intervalle $[0;5]$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $-x^2+2$.
    Or $-x^2+2=0\ssi x^2=2\ssi x=-\sqrt{2}$ ou $x=\sqrt{2}$
    Sur l’intervalle $[0;5]$, $-x^2+2=0\ssi x=\sqrt{2}$
    Sur ce même intervalle, $-x^2+2>0 \ssi -x^2>-2\ssi x^2<2\ssi 0\pp x<\sqrt{2}$.
    La fonction $f$ est donc croissante sur l’intervalle $\left[0;\sqrt{2}\right]$ et décroissante sur l’intervalle $\left[\sqrt{2};5\right]$.
    Elle atteint son maximum au point d’abscisse $\sqrt{2}$.
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} \ds \int_0^1 f'(x)\dx &=f(1)-f(0) \\
    &=f(1)-\left(0^2+2\times 0\right)\times 1\\
    &=f(1)
    \end{align*}$
    Ces deux valeurs sont donc égales.
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1     4 points

Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l’absence de réponse ne rapportent, ni n’enlèvent aucun point.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie.

  1. Soit la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[-10;10]$ par $f(x)=(2x-3)\e^{-3x}$.
    L’équation $f(x)=0$ admet sur l’intervalle $[-10;10]$.
    a. $0$ solution
    b. $1$ solution
    c. $2$ solutions
    d. $3$ solutions ou plus
    $\quad$
  2. Dans un repère $\Oij$ on considère la courbe représentative de la fonction $x\mapsto \ln(x)$; l’équation de sa tangente au point d’abscisse $1$ est :
    a. $y=1$
    b. $y=x-1$
    c. $y=1-x$
    d. $y=x+1$
    $\quad$
  3. Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi normale de paramètres $\mu=25$ et $\sigma=3$.
    La meilleure valeur approchée du réel $t$ tel que $P(X > t)=0,025$ est :
    a. $t\approx 0,97$
    b. $t\approx 19,12$
    c. $t\approx 28$
    d. $t\approx 30,88$
    $\quad$
  4. Anne prévoit d’appeler Benoît par téléphone à un moment choisi au hasard entre $8$ h $30$ et $10$ h. Benoît sera dans un train à partir de $9$ h pour un trajet de plusieurs heures.
    Quelle est la probabilité qu’Anne appelle Benoît alors qu’il est dans le train ?
    a. $\dfrac{60}{150}$
    b. $\dfrac{2}{3}$
    c. $\dfrac{6}{13}$
    d. $\dfrac{1}{3}$
    $\quad$

Exercice 2     5 points

Candidats de ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de L

Dans tout cet exercice les résultats seront arrondis au centième si nécessaire.

Les parties A et B sont indépendantes

Partie A

Victor a téléchargé un jeu sur son téléphone. Le but de ce jeu est d’affronter des obstacles à l’aide de personnages qui peuvent être de trois types : « Terre », « Air » ou « Feu ».

Au début de chaque partie, Victor obtient de façon aléatoire un personnage d’un des trois types et peut, en cours de partie, conserver ce personnage ou changer une seule fois de type de personnage.

Le jeu a été programmé de telle sorte que :

  • la probabilité que la partie débute avec un personnage de type « Terre » est $0,3$;
  • la probabilité que la partie débute avec un personnage de type « Air » est $0,5$;
  • si la partie débute avec un personnage de type « Terre », la probabilité que celui-ci soit conservé est $0,5$;
  • si la partie débute avec un personnage de type « Air », la probabilité que celui-ci soit conservé est $0,4$;
  • si la partie débute avec un personnage de type « Feu », la probabilité que celui-ci soit conservé est $0,9$.

On note les événements suivants :

  • T : la partie débute avec un personnage de type « Terre »;
  • A : la partie débute avec un personnage de type « Air »;
  • F : la partie débute avec un personnage de type « Feu »;
  • C : Victor conserve le même personnage tout au long de la partie.
  1. Recopier et compléter l’arbre de probabilités ci-dessous.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité que Victor obtienne et conserve un personnage de type « Air ».
    $\quad$
  3. Justifier que la probabilité que Victor conserve le personnage obtenu en début de partie est $0,53$.
    $\quad$
  4. On considère une partie au cours de laquelle Victor a conservé le personnage obtenu en début de partie.
    Quelle est la probabilité que ce soit un personnage de type « Air » ?
    $\quad$

Partie B

On considère $10$ parties jouées par Victor, prises indépendamment les unes des autres.
On rappelle que la probabilité que Victor obtienne un personnage de type « Terre » est $0,3$.
$Y$ désigne la variable aléatoire qui compte le nombre de personnages de type « Terre » obtenus au début de ses $10$ parties.

  1. Justifier que cette situation peut être modélisée par une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité que Victor ait obtenu exactement 3 personnages de type « Terre » au début de ses $10$ parties.
    $\quad$
  3. Calculer la probabilité que Victor ait obtenu au moins une fois un personnage de type « Terre » au début de ses $10$ parties.
    $\quad$

Exercice 2     5 points

Candidats de ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Les parties A et B sont indépendantes.
Franck joue en ligne sur internet.
Partie A

Après plusieurs semaines, des statistiques données par le logiciel lui permettent de dire que :

  • quand il gagne une partie, la probabilité qu’il gagne la suivante est égale à $0,65$;
  • quand il perd une partie, la probabilité qu’il gagne la suivante est égale à $0,42$.

On note $G$ l’état : “Franck gagne la partie” et $P$ l’état : “Franck perd la partie”.
Sur une période donnée, on note, pour tout entier naturel $n$ non nul :

  • $g_n$ la probabilité que Franck gagne la $n$-ième partie;
  • $p_n$ la probabilité que Franck perde la $n$-ième partie.

Dans cette période, Franck a gagné la première partie

  1. Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets notés $G$ et $P$.
    $\quad$
  2. a. Écrire la matrice de transition $M$ dans l’ordre $G-P$.
    $\quad$
    b. Calculer la probabilité que Franck gagne la troisième partie.
    $\quad$
  3. Déterminer l’état stable du système et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.

Partie B
Dans ce jeu vidéo, Franck circule dans des catacombes infestées de monstres qu’il doit combattre.

On a représenté ci-dessous le graphe modélisant ces catacombes.
Les sommets représentent les salles et les arêtes représentent les couloirs.
Les étiquettes du graphe correspondent au nombre de monstres présents dans chaque
couloir.

  1. a. Justifier qu’il est possible, au départ d’une salle quelconque, d’y revenir après
    avoir parcouru tous les couloirs une et une seule fois.
    $\quad$
    b. Donner un tel chemin.
    $\quad$
  2. Franck débute le jeu dans la salle A et doit atteindre l’adversaire final en salle $G$.
    Existe-t-il un chemin permettant de se rendre de la salle $A$ à la salle $G$ en passant une et une seule fois par tous les couloirs ?
    $\quad$
  3. Une fois arrivé en salle $G$, Franck souhaite revenir en salle A en affrontant le moins de monstres possible afin de recommencer une nouvelle partie.
    Déterminer ce trajet minimal et préciser le nombre de monstres affrontés.
    $\quad$

Exercice 3     5 points

On définit deux suite $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ par, pour tout entier naturel $n$ $$\begin{cases} u_0=10\\u_{n+1}=u_n+0,4\end{cases} \quad \text{et} \quad \begin{cases} v_0=8\\v_{n+1}=1,028v_n\end{cases}$$

  1. a. Parmi ces deux suites, préciser laquelle est arithmétique et laquelle est géométrique; donner leur raisons respectives.
    $\quad$
    b. Exprimer $u_n$ et $v_n$ en fonction de l’entier naturel $n$.
    $\quad$
  2. On donne l’algorithme suivant dans lequel $n$ est un entier naturel, et $U$ et $V$ sont des réels qui désignent respectivement les termes de rang $n$ des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ : $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    n\leftarrow 0\\
    U\leftarrow 10\\
    V\leftarrow 8\\
    \text{Tant que } U>V\\
    \hspace{1cm} U\leftarrow U+0,4\\
    \hspace{1cm} V\leftarrow V\times 1,028\\
    \hspace{1cm} n\leftarrow n+1\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    En sortie de cet algorithme, $n$ a pour valeur $46$.
    Interpréter ce résultat.
    $\quad$
  3. En 1798, l’économiste anglais Thomas Malthus publie “An essay on the principle of population” dans lequel il émet l’hypothèse que l’accroissement de la population, beaucoup plus rapide que celui des ressources alimentaires, conduira son pays à la famine.
    Il écrit :
    $\quad$
    “Nous pouvons donc tenir pour certain que, lorsque la population n’est arrêtée par aucun obstacle, elle va doublant tous les vingt-cinq ans, et croît de période en période selon une progression géométrique. […] Nous sommes donc en état de prononcer, en partant de l’état actuel de la terre habitée, que les moyens de subsistance, dans les circonstances les plus favorables de l’industrie, ne peuvent jamais augmenter plus rapidement que selon une progression arithmétique.”
    $\quad$
    En 1800, la population de l’Angleterre était estimée à $8$ millions d’habitants et l’agriculture anglaise pouvait nourrir $10$ millions de personnes. Le modèle de Malthus admet que la population augmente de $2,8 \%$ chaque année et que les progrès de l’agriculture permettent de nourrir $0,4$ million de personnes de plus chaque année.
    On utilisera ce modèle pour répondre aux questions suivantes.
    a. Quelle aurait été, en million d’habitants, la population de l’Angleterre en 1810 ?
    On arrondira le résultat au millième.
    $\quad$
    b. À partir de quelle année la population de l’Angleterre aurait-elle dépassé $16$ millions d’habitants ?
    $\quad$
    c. À partir de quelle année la population de l’Angleterre serait-elle devenue trop grande pour ne plus être suffisamment nourrie par son agriculture ?
    $\quad$

Exercice 4     6 points

On donne ci-dessus la courbe $C_f$ représentative dans un repère donné d’une fonction $f$ définie et dérivable sur l’intervalle $[0; 5]$ ainsi que les courbes représentatives $C_{f’}$ et $C_{f\dsec}$ respectivement de la dérivée $f’$et de la dérivée seconde $f\dsec$ de la fonction $f$.

Partie A

Dans cette partie les réponses seront obtenues à l’aide de lectures graphiques.

  1. Donner un encadrement par deux entiers consécutifs du nombre réel pour lequel la
    fonction $f$ semble atteindre son maximum.
    $\quad$
  2. a. Donner un intervalle défini par deux entiers sur lequel la fonction $f$ semble convexe.
    $\quad$
    b. Expliquer pourquoi on peut conjecturer que la courbe $C_f$ admet un point d’inflexion. Donner un encadrement par deux entiers consécutifs de l’abscisse de ce
    point d’inflexion.
    $\quad$
  3. Parmi les équations suivantes quelle est l’équation de la tangente à la courbe $C_f$ au point d’abscisse $0$ ?
    $\begin{array}{llll}
    y=x&y=2x+1&y=2x&y=\dfrac{3}{4}x \end{array}$
    $\quad$
  4. On note $I=\ds \int_0^1 f'(x)\dx$ où $f’$ est la fonction dérivée de $f$.
    Commet s’interprète graphiquement ce nombre $I$?
    $\quad$

Partie B

La fonction $f$ représentée ci-dessus est définie sur l’intervalle $[0;5]$ par $f(x)=\left(x^2+2x\right)\e^{-x}$.

  1. a. Montrer que la dérivée $f’$ de $f$ est définie par $f'(x)=\left(-x^2+2\right)\e^{-x}$ pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0;5]$.
    $\quad$
    b. Déterminer les variations de $f$ sur $[0; 5]$ et préciser l’abscisse de son maximum.
    $\quad$
    c. Donner la valeur arrondie au millième du maximum de $f$ .
    $\quad$
  2. Avec un outil de calcul on obtient, pour $\ds \int_0^1 f'(x)\dx$ et $f(1)$, la même valeur approchée $1,103~64$.
    Ces deux valeur sont-elles égales?
    $\quad$

 

 

 

Bac ES/L – Centres étrangers – Juin 2018

Centres étrangers – Juin 2018

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. On a $f(x)=\e^{-3x}+\e^2$
    Donc $f'(x)=-3\e^{-3x}$ en utilisant la dérivée de $\e^u$ qui est $u’\e^u$.
    Réponse C
    $\quad$
  2. On cherche la valeur de $x$ telle que :
    $\begin{align*} 4\left(1+\dfrac{x}{100}\right)^7=15&\ssi \left(1+\dfrac{x}{100}\right)^7=3,75 \\
    &\ssi 1+\dfrac{x}{100}=3,75^{1/7} \\
    &\ssi \dfrac{x}{100}=3,75^{1/7}-1 \\
    &\ssi x=100\left(3,75^{1/7}-1\right)
    \end{align*}$
    Donc $x \approx 20,8$
    Réponse D
    $\quad$
  3. $P(X \pg 12,5)=0,5+P(12,5 \pp X \pp 13) \approx 0,58$.
    Réponse A
    $\quad$
  4. $P(X \pp 15,5)=P(14\pp X \pp 15,5)=\dfrac{15,5-14}{16-14}=\dfrac{1,5}{2}=0,75$
    Réponse B
    $\quad$

Ex 2 obl

Exercice 2

Candidats de ES n’ayant pas suivi la spécialité mathématique et candidats de L

  1. La masse d’algue augmente de $2\%$. À la fin de la journée, on a donc $1,02\times 2~000=2~040$ kg d’algues.
    Le système de filtration en retire $100$ kg.
    Donc $a_1=1~940$.
    La masse d’algue augmente de nouveau de $2\%$. On obtient ainsi $1,02\times 1~940=1~978,8$ kg d’algues.
    À la fin de la nuit, il reste donc $a_2=1~978,8-100=1~878,8$ kg d’algues.
    $\quad$
  2. a. La masse d’algues augmente de $2\%$. On arrive donc à $1,02a_n$ kg d’algues.
    Le système de filtration en retire $100$ kg.
    Donc $a_{n+1}=1,02a_n-100$.
    $\quad$
    b. Pour tout tout entier naturel $n$, on a $b_n=a_n-5~000 \ssi a_n=b_n+5~000$.
    $\begin{align*} b_{n+1}&=a_{n+1}-5~000 \\
    &=1,02a_n-100-5~000 \\
    &=1,02a_n-5~100 \\
    &=1,02\left(b_n+5~000\right)-5~100\\
    &=1,02b_n+5~100-5~100 \\
    &=1,02b_n
    \end{align*}$
    La suite $\left(b_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,02$ et de premier terme $b_0=a_0-5~000=-3~000$.
    $\quad$
    c. Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $b_n=-3~000\times 1,02^n$
    Et $a_n=b_n+5~000=5~000-3~000\times 1,02^n$.
    $\quad$
    d. On a $1,02>1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 1,02^n=+\infty$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} a_n=-\infty$.
    Les quantités d’algues va donc être nulle au bout d’un certain nombre de jours.
    $\quad$
  3. a. On obtient l’algorithme suivant :
    $\begin{array}{|l|}
    \hline
    N \leftarrow 0\\
    A \leftarrow 2~000 \\
    \text{Tant que } A>0 \\
    \hspace{1cm} A\leftarrow 1,02\times A-100 \\
    \hspace{1cm} N \leftarrow N+1\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \text{Afficher } N\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    b. À l’aide de la calculatrice on trouve que l’algorithme affiche le nombre $26$.
    $\quad$
  4. a.
    $\begin{align*} 5~000-3~000\times 1,02^n \pp 0 &\ssi 5~000 \pp 3~000 \times 1,02^n \\
    &\ssi 5\pp 3\times 1,02^n \\
    &\ssi \dfrac{5}{3} \pp 1,02^n \\
    &\ssi \ln \left(\dfrac{5}{3}\right) \pp n\ln(1,02) \\
    &\ssi n \pg \dfrac{\ln \left(\dfrac{5}{3}\right)}{\ln(1,02)}
    \end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln \left(\dfrac{5}{3}\right)}{\ln(1,02)} \approx 25,8$.
    Le plus petit entier naturel $n$ solution de l’inéquation est donc $26$.
    Ainsi $n\pg 26$.
    $\quad$
    b. On retrouve ainsi la réponse à la question 3.b.
    $\quad$

Ex 2 Spé

Exercice 2

Candidats de ES ayant suivi la spécialité mathématique

  1. a. On obtient le graphe probabiliste suivant :

    $\quad$
    b. Le nombre $1$ signifie que $100\%$ des automates défaillants le restent.
    $\quad$
    c. Le coefficient $0,2$ signifie que $20\%$ des automates se trouvant dans l’état $S$ passent à l’état $D$.
    $\quad$
  2. a. $P_1=P_0\times M=\begin{pmatrix} 0,9&0,1&0\end{pmatrix}$
    $\quad$
    b. $P_2=P_1\times M=\begin{pmatrix}0,81&0,17&0,02\end{pmatrix}$
    et $P_3=P_2 \times M=\begin{pmatrix}0,729&0,217&0,054\end{pmatrix}$
    $\quad$
    c. L’état stable $P=\begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix}$ vérifie :
    $\begin{align*} \begin{cases} P=P\times M\\x+y+z=1 \end{cases} &\ssi \begin{cases} x=0,9x \\y=0,1x+0,8y \\z=0,2y+z\\x+y+z=1 \end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=0\\y=0\\z=1 \end{cases} \end{align*}$
    Ce graphe possède donc un unique état stable $P=\begin{pmatrix}0&0&1\end{pmatrix}$.
    Cela signifie qu’au bout d’un certain temps tous les automates sont défaillants.
    $\quad$
  3. a. On a $P_{n+1}=P_n \times M$
    $\ssi \begin{pmatrix} f_{n+1}&s_{n+1}&d_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}s_n&f_n&d_n\end{pmatrix} \times M$
    $\ssi \begin{pmatrix} f_{n+1}&s_{n+1}&d_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,9f_n&0,1f_n+0,8s_n&0,2s_n+d_n\end{pmatrix}$
    Donc $s_{n+1}=0,1f_n+0,8s_n$.
    $\quad$
    b. On obtient l’algorithme suivant :
    $\begin{array}{|l|}
    \hline
    D\leftarrow 0\\
    S\leftarrow 0 \\
    F \leftarrow 1\\
    N\leftarrow 0 \\
    \text{Tant que } F<0,3 \\
    \hspace{1cm} D\leftarrow 0,2\times S+D\\
    \hspace{1cm} S \leftarrow 0,1\times F+0,8\times S \\
    \hspace{1cm} F \leftarrow 0,9\times F \\
    \hspace{1cm} N \leftarrow N+1\\
    \text{Fin Tant que} \\
    \text{Afficher }N\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    c. À l’aide de la calculatrice, on trouve que l’algorithme affiche le nombre $8$.
    Cela signifie donc qu’au bout de $8$ jours au moins $30\%$ des automates sont défaillants.
    $\quad$
    d. Si on ne respecte pas cet ordre, par exemple en échangeant les lignes d’affectation de $S$ et $D$ alors la valeur de $S$ utilisée pour calculer la nouvelle valeur de $D$ serait celle de l’étape $N+1$ et non celle de l’étape $N$.
    Il est donc important de conserver cet ordre d’affectation.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. a. L’arbre pondéré est :
    $\quad$
    b. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(I)&=P(A\cap I)+P(B\cap I) \\
    &=0,4\times \dfrac{1}{4}+0,6\times \dfrac{1}{3} \\
    &=0,3
    \end{align*}$
    $\quad$
    c. D’une part :
    $\begin{align*} P_{\conj{I}}(A)&=\dfrac{P\left(\conj{I}\cap A\right)}{1-P(I)} \\
    &=\dfrac{0,4\times \dfrac{3}{4}}{0,7} \\
    &=\dfrac{3}{7}
    \end{align*}$
    D’autre part $P_{\conj{I}}(B)=1-\dfrac{3}{7}=\dfrac{4}{7}$.
    Le responsable a donc tort.
    $\quad$
  2. Le prix moyen d’une guirlande prélevée au hasard dans le stock est :
    $P=0,3\times 3+0,7\times 5=4,4$ €.
    $\quad$
  3. On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de guirlandes défectueuses.
    On effectue $50$ tirages aléatoires, identiques, indépendants et identiques.
    Chaque tirage possède deux issues : $D$ : “la guirlande est défectueuse” et $\conj{D}$.
    De plus $P(D)=0,02$.
    La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=50$ et $p=0,02$.
    $P( X \pg 1)=1-P(X=0)=1-0,98^{50} \approx 0,636$.
    $\quad$
  4. L’amplitude d’un intervalle de confiance au niveau de confiance de $95\%$ est $f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\left(f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right)=\dfrac{2}{\sqrt{n}}$.
    On veut donc que $\dfrac{2}{\sqrt{n}}\pp 0,08 \ssi \sqrt{n} \pg 25 \ssi n \pg 625$.
    L’entreprise doit donc interroger au moins $625$ clients.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie A – Étude graphique

  1. Graphiquement  la solution de $f(x)=3~000 $ est $6,8$.
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est continue et positive sur l’intervalle $[2;8]$ donc $\ds \int_2^8 f(x)\dx$ correspond à l’aire du domaine compris entre la courbe, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=2$ et $x=8$.
    On peut approximer l’aire de ce domaine à l’aide d’un trapèze de base $4~700$ et $2~600$.
    Donc $\ds \int_2^8 f(x)\dx \approx \dfrac{(4~700+2~600)\times 6}{2}$ soit $\ds \int_2^8 f(x)\dx \approx 21~900$ u.a.
    $\quad$

Partie B – Étude théorique

  1. On a, pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0;20]$
    $\begin{align*} f'(x)&=1~000\left[\e^{-0,2x}-0,2(x+5)\e^{-0,2x}\right] \\
    &=1~000\left[\e^{-0,2x}-(0,2x-1)\e^{-0,2x}\right] \\
    &=1~000(-0,2x)\e^{-0,2x} \\
    &=-200x\e^{-0,2x}
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. La fonction exponentielle est strictement positive sur l’intervalle $[0;20]$.
    Sur l’intervalle $[0;20]$, on a $-200x \pp 0$.
    Donc, sur cet intervalle, on a $f'(x)\pp 0$.
    La fonction $f$ est par conséquent décroissante sur l’intervalle $[0;20]$.
    On obtient ainsi le tableau de variation suivant :
    $\quad$
  3. La fonction $f$ est continue et strictement décroissante sur l’intervalle $[0;20]$.
    De plus $f(0)=5~000>3~000$ et $f(20) \approx 458 <3~000$.
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires l’équation $f(x)=3~000$ possède une unique solution $\alpha \approx 6,88$ sur l’intervalle $[0;20]$.
    $\quad$
  4. On a :
    $\begin{align*}\ds \int_2^8 f(x)\dx &=F(8)-F(2) \\
    &=-90~000\e^{-1,6}+60~000\e^{-0,4} \\
    &\approx 22~049
    \end{align*}$
    $\quad$

Partie C – Application économique

  1. D’après la question B.3. la demande est supérieure à $3~000$ objets lorsque le prix unitaire est inférieur à $6,88$ €.
    $\quad$
  2. La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[2;8]$ est :
    $m=\ds \dfrac{1}{8-2}\int_2^8f(x)\dx \approx 3~675$.
    Cela signifie que si lorsque le prix varie unitaire de $2$ € à $8$ € alors la demande moyenne est d’environ $3~675$ objets.
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1     4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l’absence de réponse à une question ne rapportent ni n’enlèvent de point. Pour répondre, vous recopierez sur votre copie le numéro de la
question et indiquerez la seule réponse choisie.

  1. Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ par $f(x)=\e^{-3x}+\e^2$.
    a. $f'(x)=-3\e^{-3x}+2\e$
    b. $f'(x)=-3\e^{-3x}+\e^2$
    c. $f'(x)=-3\e^{-3x}$
    d. $f'(x)=\e^{-3x}$
    $\quad$
  2. D’après une étude, le nombre d’objets connectés à Internet à travers le monde est passé de $4$ milliards en 2010 à $15$ milliards en 2017. L’arrondi au dixième du taux d’évolution annuel moyen est de :
    a. $10,5\%$
    b. $68,8\%$
    c. $39,3\%$
    d. $20,8\%$
    $\quad$
  3. Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi normale d’espérance $\mu=13$ et d’écart-type $\sigma=2,4$. L’arrondi au centième de $P(X \pg 12,5)$ est :
    a. $0,58$
    b. $0,42$
    c. $0,54$
    d. $0,63$
    $\quad$
  4. Soit $Y$ une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l’intervalle $[14;16]$.
    $P(X \pp 15,5)$ est égal à :
    a. $0,97$
    b. $0,75$
    c. $0,5$
    d. $\dfrac{1}{4}$
    $\quad$

Exercice 2     5 points

Candidats de ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de L

Des algues prolifèrent dans un étang. Pour s’en débarrasser, le propriétaire installe un système de filtration.

En journée, la masse d’algues augmente de $2\%$, puis à la nuit tombée, le propriétaire actionne pendant une heure le système de filtration qui retire $100$ kg d’algues. On admet que les algues ne prolifèrent pas la nuit.

Le propriétaire estime que la masse d’algues dans l’étang au matin de l’installation du système de filtration est de $2~000$ kg.

On modélise par $a_n$( la masse d’algues dans l’étang, exprimée en kg, après utilisation du système de filtration pendant ) jours ; ainsi, $a_0 = 2~000$. On admet que cette modélisation demeure valable tant que $a_n$ reste positif.

  1. Vérifier par le calcul que la masse $a_2$ d’algues après deux jours de fonctionnement du système de filtration est de $1~878,8$ kg.
    $\quad$
  2. On affirme que pour tout entier naturel $n$ $a_{n+1}=1,02a_n-100$.
    a. Justifier à l’aide de l’énoncé la relation précédente.
    $\quad$
    b. On considère la suite $\left(b_n\right)$ définie pour tout nombre entier naturel $n$ par : $$b_n=a_n-5~000$$
    Démontrer que la suite $\left(b_n\right)$ est géométrique. Préciser sont premier terme $b_0$ et sa raison.
    $\quad$
    c. En déduire pour tout entier naturel $n$, une expression de $b_n$ en fonction de $n$, puis montrer que $a_n=5~000-3~000\times 1,02^n$.
    $\quad$
    d. En déterminant la limite de la suite $\left(a_n\right)$, justifier que les algues finissent par disparaître.
    $\quad$
  3. a. Recopier et compléter l’algorithme suivant afin qu’il détermine le nombre de jours nécessaire à la disparition des algues.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    N \leftarrow 0\\
    A \leftarrow 2~000\\
    \text{Tant que } \ldots\\
    \hspace{1cm} A \leftarrow \ldots \\
    \hspace{1cm} N \leftarrow N+1\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \text{Afficher } \ldots\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. Quel est le résultat renvoyé par l’algorithme?
    $\quad$
  4. a. Résoudre par le calcul l’inéquation $5~000-3~000\times 1,02^n\pp 0$.
    $\quad$
    b. Quel résultat précédemment obtenu retrouve-t-on?
    $\quad$

Exercice 2     5 points

Candidats de ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Une société d’autoroute étudie l’évolution de l’état de ses automates de péage en
l’absence de maintenance.

Un automate peut se trouver dans l’un des états suivants :

  • fonctionnel ($F$) ;
  • en sursis ($S$) s’il fonctionne encore, mais montre des signes de faiblesse ;
  • défaillant ($D$) s’il ne fonctionne plus.

La société a observé que d’un jour sur l’autre :

  • concernant les automates fonctionnels, $90\%$ le restent et $10\%$ deviennent
    en sursis ;
  • concernant les automates en sursis, $80\%$ le restent et $20\%$ deviennent défaillants.
  1. a. Reproduire et compléter le graphe probabiliste ci-après qui représente les évolutions possibles de l’état d’un automate.

    $\quad$
    b.  Interpréter le nombre $1$ qui apparaît sur ce graphe.
    $\quad$
    c. Voici la matrice de transition $M=\begin{pmatrix} 0,9&0,1&0\\0&0,8&0,2\\0&0&1\end{pmatrix}$ associée à ce graphe en prenant les sommets dans l’ordre $F,S,D$.
    Préciser la signification du coefficient $0,2$ dans cette matrice.
    $\quad$

  2. À compter d’une certaine date, la société relève chaque jour à midi l’état de ses automates. On note ainsi pour tout entier naturel $n$ :
    $\bullet$ $f_n$ la probabilité qu’un automate soit fonctionnel le $n\ieme$ jour;
    $\bullet$ $s_n$ la probabilité qu’un automate soit en sursus $n\ieme$ jour;
    $\bullet$ $d_n$ la probabilité qu’un automate soit défaillant le $n\ieme$ jour.
    $\quad$
    On note alors $P_n=\begin{pmatrix}f_n&s_n&d_n\end{pmatrix}$ la matrice ligne de l’état probabiliste le $n\ieme$ jour.
    Enfin, la société observe qu’au début de l’expérience tous ses automates sont fonctionnels : on a donc $P_0=\begin{pmatrix}1&0&0\end{pmatrix}$.
    a. Calculer $P_1$.
    $\quad$
    b. Montrer que, le $3\ieme$ jour, l’état probabiliste est $\begin{pmatrix} 0,729&0,217&0,054\end{pmatrix}$.
    $\quad$
    c. Vérifier que ce graphe possède un unique état stable $P=\begin{pmatrix}0&0&1\end{pmatrix}$.
    Quelle est la signification de ce résultat pour la situation étudiée?
    $\quad$
  3. a. Justifier que pour tout entier naturel $n$, $s_{n+1}=0,1f_n+0,8s_n$.
    $\quad$
    b. On vérifierait de même que pour tout entier naturel $n$, $$d_{n+1}=0,2s_n+d_n \text{ et } f_{n+1}=0,9f_n$$
    Compléter l’algorithme ci-dessous de sorte qu’il affiche le nombre de jours au bout duquel $30 \%$ des automates ne fonctionnent plus.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    D\leftarrow 0\\
    S\leftarrow \ldots\\
    F\leftarrow 1\\
    N\leftarrow 0\\
    \text{Tant que } \ldots\ldots\\
    \hspace{1cm} D \leftarrow 0,2\times S+D\\
    \hspace{1cm} S \leftarrow 0,1\times F+0,8\times D\\
    \hspace{1cm} F \leftarrow 0,9\times F\\
    \hspace{1cm} D \leftarrow \ldots \\
    \text{Fin Tant que}\\
    \text{Afficher } \ldots \\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    c. Au bout de combien de jours la proportion d’automates défaillants devient-elle supérieure à $30\%$?
    $\quad$
    d. Dans le codage de la boucle « Tant que », l’ordre d’affectation des variables $D$, $S$ et $F$ est-il important ? Justifier.
    $\quad$

Exercice 3     5 points

Une entreprise dispose d’un stock de guirlandes électriques. On sait que $40\%$ des guirlandes proviennent d’un fournisseur A et le reste d’un fournisseur B.
Un quart des guirlandes provenant du fournisseur A et un tiers des guirlandes provenant du fournisseur B peuvent être utilisées uniquement en intérieur pour des raisons de sécurité. Les autres guirlandes peuvent être utilisées aussi bien en intérieur qu’en extérieur.

  1. On choisit au hasard une guirlande dans le stock.
    $\bullet$ On note $A$ l’événement « la guirlande provient du fournisseur A » et
    $B$ l’événement « la guirlande provient du fournisseur B ».
    $\bullet$ On note $I$ l’événement « la guirlande peut être utilisée uniquement en
    intérieur ».
    a. Construire un arbre pondéré décrivant la situation.
    $\quad$
    b. Montrer que la probabilité $P(I)$ de l’événement $I$ est $0,3$.
    $\quad$
    c. On choisit une guirlande pouvant être utilisée aussi bien en intérieur qu’en extérieur. Le responsable de l’entreprise estime qu’il y a autant de chance qu’elle provienne du fournisseur A que du fournisseur B.
    Le responsable a-t-il raison ? Justifier.
    $\quad$
  2. Une guirlande pouvant être utilisée aussi bien en intérieur qu’en extérieur est vendue $5$€ et une guirlande pouvant être utilisée uniquement en intérieur est
    vendue $3$€.
    Calculer le prix moyen d’une guirlande prélevée au hasard dans le stock.
    $\quad$
  3. Lors d’un contrôle qualité, on prélève au hasard $50$ guirlandes dans le stock. Le stock est suffisamment grand pour que l’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise. On admet que la proportion de guirlandes défectueuses est égale à $0,02$.
    Calculer la probabilité qu’au moins une guirlande soit défectueuse. Arrondir le résultat à $10^{-3}$.
    $\quad$
  4. L’entreprise souhaite connaître l’opinion de ses clients quant à la qualité de ses guirlandes électriques. Pour cela elle souhaite obtenir, à partir d’un échantillon aléatoire, une estimation de la proportion de clients satisfaits au niveau de confiance de $95\%$ à l’aide d’un intervalle de confiance d’amplitude inférieure ou égale à $8\%$.
    Combien l’entreprise doit-elle interroger de clients au minimum ?
    $\quad$

Exercice 4     6 points

On considère la fonction dérivable $f$ définie sur $I=[0;20]$ par : $$f(x)=1~000(x+5)\e^{-0,2x}$$

Partie A – Étude graphique

On a représenté sur le graphique ci-dessous, la courbe représentative de la fonction $f$.

Répondre aux questions suivantes par lecture graphique.

  1. Résoudre graphiquement et de façon approchée l’équation $f(x)=3~000$.
    $\quad$
  2. Donner graphiquement une valeur approchée de l’intégrale de $f$ entre $2$ et $8 $ à une unité d’aire près. Justifier la démarche.
    $\quad$

Partie B – Étude théorique

  1. On note $f’$ la dérivée de la fonction $f$ sur $[0;20]$
    Démontrer que pour tout $x$ de $[0;20]$, $f'(x)=-200x\e^{-0,2x}$.
    $\quad$
  2. En déduire le sens de variation de $f$ et dresser son tableau des variations sur l’intervalle $[0;20]$. Si nécessaire, arrondir à l’unité les valeurs présentes dans
    le tableau.
    $\quad$
  3. Démontrer que l’équation $f(x)=3~000$ admet une unique solution $\alpha$ sur
    $[0;20]$, puis donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près à l’aide de la calculatrice.
    $\quad$
  4. On admet que la fonction $F$ définie sur l’intervalle $[0 ; 20]$ par l’expression $F(x)=-5~000(x+10)\e^{-0,2x}$ est une primitive de la fonction $f$ sur $[0 ; 20]$.
    Calculer $\ds \int_2^8 f(x)\dx$. On donnera la valeur exacte, puis la valeur arrondie à l’unité.
    $\quad$

Partie C – Application économique

La fonction de demande d’un produit est modélisée sur l’intervalle $[0;20]$ par la fonction $f$ étudiée dans les parties A et B.
Le nombre $f(x)$ représente la quantité d’objets demandés lorsque le prix unitaire est
égal à $x$ euros.

Utiliser les résultats de la partie B afin de répondre aux questions suivantes :

  1. En-dessous de quel prix unitaire, arrondi au centime, la demande est-elle supérieure à $3~000$ objets ?
    $\quad$
  2. Déterminer la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[2 ; 8]$. Interpréter ce résultat.
    $\quad$

 

 

Bac ES/L – Asie – juin 2018

Asie – Juin 2018

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. On effectue $25$ tirages aléatoires, identiques et indépendants.
    À chaque tirage il n’y a que deux issues : l’événement $E$ “l’entreprise lui répond” et $\conj{E}$.
    De plus $p(E)=0,2$.
    La variable aléatoire $X$ comptant le nombre de réponse suit donc la loi binomiale de paramètres $n=25$ et $p=0,2$.
    Ainsi $p(X\pg 5)=1-p(X \pp 4) \approx 0,58$.
    Réponse d
    $\quad$
  2. La variable aléatoire $X$ suit la loi normale d’espérance $\mu=30$ et d’écart type $\sigma$.
    Alors $P(X> \mu-10)=P(X> \mu+10)$
    Soit $P(X < 20)=P(X > 40)$
    Réponse c
    $\quad$
  3. Le taux d’évolution est $t=\dfrac{4,3-6,2}{6,2}\approx -0,306$.
    Les ventes ont donc diminué, entre 2014 et 2016, d’environ $31\%$.
    Réponse b
    $\quad$
  4. D’après le graphique, la fonction $f$ est négative sur l’intervalle $[-3;-1]$.
    La fonction $F$ est donc décroissante sur cet intervalle.
    Réponse d
    $\quad$
  5. La fonction $f$ semble avoir deux points d’inflexion d’abscisse $\alpha \approx =-0,5$ et $\beta\approx 3,5$.
    La fonction $f$ semble être convexe sur les intervalles $]-\infty;\alpha]$ et $[beta;+\infty[$ et concave sur l’intervalle $[\alpha;\beta]$.
    La fonction $f\dsec$ est donc positive sur les intervalles $]-\infty;\alpha]$ et $[beta;+\infty[$ et négative sur l’intervalle $[\alpha;\beta]$.
    Réponse d
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. On appelle $D$ la variable aléatoire qui suit la loi normale de paramètres $\mu=7$ et $\sigma=1$.
    On alors, à l’aide de la calculatrice, $P(5\pp D\pp 8)\approx 0,819$.
    La probabilité que le navigateur termine sa course entre $5$ jours et $8$ jours après le départ est environ égale à $0,819$.
    $\quad$
  2. On a $P(D <5) = 0,5-P(5\pp D\pp 7) \approx 0,023$.
    La probabilité que le navigateur batte le record du monde est environ égale à $2,3\%$.
    $\quad$

Partie B

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
    $\quad$
  2. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p\left(\conj{F}\right) &= p\left(\conj{M}\cap \conj{F}\right)+p\left(M\cap\conj{F}\right) \\
    &=0,16\times 0,05+0,84\times 0,5 \\
    &=0,428
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_{\conj{F}}(M)&=\dfrac{p(M\cap F)}{p\left(\conj{M}\right)} \\
    &=\dfrac{0,16\times 0,05}{0,428} \\
    &\approx 0,019
    \end{align*}$
    La probabilité que le navigateur ait réalisé la traversée en moins de $6$ jours sachant que l’entreprise a choisi de ne pas le financer est environ égale à $1,9\%$.
    $\quad$

Partie C

On a $n=280$ et $p=0,97$.
Donc $n\pg 30$, $np=271,6\pg 5$ et $n(1-p)=8,4\pg 5$.
Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ est donc :
$\begin{align*} I_{280}&=\left[0,97-1,96\sqrt{\dfrac{0,97\times 0,03}{280}};0,97+1,96\sqrt{\dfrac{0,97\times 0,03}{280}}\right] \\
&\approx [0,950;0,990]
\end{align*}$

La fréquence observée est $f=\dfrac{263}{280} \approx 0,940 \notin I_{280}$.

Au risque d’erreur de $5\%$, on peut remettre en cause le slogan.
$\quad$

 

 

Ex 3 obl

Exercice 3

Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L

  1. a. Augmenter un nombre de $12\%$ revient à le multiplier par $1,12$.
    En 2018, il y aura donc $300\times 1,12-18=318$ loups dans ce pays.
    $\quad$
    $\quad$
    b. La population des loups croît naturellement au rythme de $12\%$ par an. L’année $n+1$ on a donc $1,12 u_n$ loups.
    $18$ loups sont tués par an.
    On a donc $u_{n+1}=1,12u_n-18$.
    $\quad$
  2. On obtient l’algorithme suivant :
    $\begin{array}{|l|}
    \hline
    N\leftarrow 0 \\
    U\leftarrow 300\\
    \text{Tant que } U<300 \text{ faire}\\
    \hspace{1cm} U\leftarrow 1,12\times U-18\\
    \hspace{1cm} N\leftarrow N+1\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
  3. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=u_n-150$ soit $u_n=v_n+150$.
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-150 \\
    &=1,12u_n-18-150\\
    &=1,12u_n-168 \\
    &=1,12\left(v_n+150\right)-168\\
    &=1,12v_n+168-168\\
    &=1,12v_n
    \end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,12$ et de premier terme $v_0=u_0-150=150$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $v_n=150\times 1,12^n$.
    Par conséquent $u_n=v_n+150=150\times 1,12^n+150$.
    $\quad$
    c. $1,12>1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 1,12^n=+\infty$
    Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=+\infty$.
    $\quad$
    Le nombre de loups dans ce pays va continuer à augmenter indéfiniment au fil des ans.
    $\quad$
  4. a.
    $\begin{align*} 150+1,12^n\times 150>600 &\ssi 150\times 1,12^n>450 \\
    &\ssi 1,12^n > 3 \\
    &\ssi n\ln (1,12) > \ln (3) \\
    &\ssi n > \dfrac{\ln (3)}{\ln (1,12)}
    \end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln(3)}{\ln (1,12)} \approx 9,69$.
    La solution, dans l’ensemble des entiers naturels, de l’inéquation est l’ensemble des entiers naturels supérieurs ou égaux à $10$.
    $\quad$
    b. Cela signifie qu’à partir de l’année 2027 il y a aura plus de $600$ loups dans ce pays.
    $\quad$
  5. Voici, arrondis à l’unité, le nombre de loups sur les premières années à partir de 2023 :
    $\begin{array}{|c|c|}
    \hline
    \text{Année}&\text{Nombre de loups}\\
    \hline
    2023&446\\
    \hline
    2024&465\\
    \hline
    2025&485\\
    \hline
    2026&508\\
    \hline
    2027&535\\
    \hline
    2028&564\\
    \hline
    2029&596\\
    \hline
    2030&632\\
    \hline
    \end{array}$
    C’est donc, selon ce nouveau modèle, en 2030 que la population de loups dépassera $600$ loups.
    $\quad$

Ex 3 spé

Exercice 3

  1. a. On obtient le graphe probabiliste suivant :
    $\quad$
    b. La matrice de transition est donc $M=\begin{pmatrix} 0,7&0,3\\0,5&0,5\end{pmatrix}$.
    $\quad$
  2. a. On a $a_1=1$ et $b_1=0$
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ non nul on note $P_n=\begin{pmatrix} a_n&b_n\end{pmatrix}$.
    On a donc $P_{n}=P_1\times M^{n-1}$ avec $p_0=\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix}$.
    Donc $P_8=P_1\times M^7$
    On obtient ainsi $a_8\approx 0,63$.
    La probabilité que Lisa prenne le vélo le 8$\ieme$ jour est d’environ $0,63$.
    $\quad$
  3. Soit $P=\begin{pmatrix} x&y\end{pmatrix}$ l’état stable du graphe.
    On a alors :
    $\begin{align*} \begin{cases} x+y=1\\P=PM\end{cases} &\ssi \begin{cases} x+y=1 \\x=0,7x+0,5y\\y=0,3x+0,5y \end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=y-1 \\-0,3x+0,5y=0\\0,3x-0,5y=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=y-1\\-0,3(1-y)+0,5y=0 \end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=y-1\\-0,3+0,3y+0,5y=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=y-1\\0,8y=0,3 \end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=y-1\\y=\dfrac{3}{8}\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=\dfrac{5}{8} \\y=\dfrac{3}{8} \end{cases}
    \end{align*}$
    L’état stable est donc $\begin{pmatrix} \dfrac{5}{8}&\dfrac{3}{8}\end{pmatrix}$.
    $\quad$
  4. a. Pour tout entier naturel $n$ non nul on a : $P_{n+1}=P_n\times M$
    Soit $\begin{cases} a_{n+1}=0,7a_n+0,5b_n \\b_{n+1}=0,3a_n+0,5b_n\end{cases}$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ non nul on a :
    $\begin{align*} \begin{cases} a_n+b_n=1\\a_{n+1}=0,7a_n+0,5b_n \end{cases} &\ssi \begin{cases} b_n=1-a_n\\a_{n+1}=0,7a_n+0,5\left(1-a_n\right) \end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} b_n=1-a_n\\a_{n+1}=0,2a_n+0,5\end{cases} \end{align*}$
  5. a. On obtient l’algorithme suivant :
    $\begin{array}{|l|}
    \hline
    N\leftarrow 1\\
    A\leftarrow 1\\
    \text{Tant que $A\pg 0,626$ faire}\\
    \hspace{1cm} A\leftarrow 0,2\times A+0,5 \\
    \hspace{1cm} N \leftarrow N+1\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    b. À la fin de l’algorithme la variable $N$ contient le nombre $5$.
    Cela signifie que c’est à partir du $5\ieme$ jour que la probabilité que Lisa prenne le vélo est inférieure à $0,626$.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie A

  1. Graphiquement $f(x)=6$ si $x=12$.
    $\quad$
  2. a. Le coefficient directeur de la droite $T$ est :
    $\begin{align*} m&=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A} \\
    &=\dfrac{14,2-7}{2-0}\\
    &=3,6
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. Pour tout $x\in[0;25]$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=a\e^{-0,2x}-0,2(ax+b)\e^{-0,2x} \\
    &=(a-0,2ax-0,2b)\e^{-0,2x} \\
    &=(-0,2ax+a-0,2b)\e^{-0,2x}
    \end{align*}$
    $\quad$
    c. Le point $A$ appartient à la courbe $\mathcal{C}_f$.
    On a donc $f(0)=7 \ssi b=7$
    La droite $T$ est la tangente à cette courbe au point $A$.
    On a donc $f'(0)=3,6 \ssi a-0,2b=3,6$.
    Les nombres $a$ et $b$ sont par conséquent solutions du système $\begin{cases} b=7\\a-0,2b=3,6\end{cases}$.
    $\ssi \begin{cases} b=7\\a-1,4=3,6 \end{cases}$
    $\ssi \begin{cases} b=7\\a=5\end{cases}$
    Ainsi $a=5$.
    $\quad$

Partie B

  1. Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;25]$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=5\e^{-0,2x}-0,2(5x+7)\e^{-0,2x} \\
    &=(5-x-1,4)\e^{-0,2x} \\
    &=(-x+3,6)\e^{-0,2x}
    \end{align*}$
    La fonction exponentielle est strictement positive sur l’intervalle $[0;25]$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui le $-x+3,6$.
    Or $-x+3,6=0 \ssi x=3,6$
    Et $-x+3,6>0 \ssi -x>-3,6 \ssi x<3,6$
    La fonction $f$ est donc strictement croissante sur l’intervalle $[0;3,6]$ et strictement décroissante sur l’intervalle $[3,6;25]$.
    $\quad$
  2. On a $f(0)=7$.
    La fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $[0;3,6]$. Par conséquent sur cet intervalle on a $f(x)\pg 7$.
    L’équation $f(x)=6$ ne possède pas de solution sur l’intervalle $[0;3,6]$.
    $\quad$
    La fonction $f$ est continue et strictement décroissante sur l’intervalle $[3,6;25]$.
    $f(3,6) \approx 12,17 > 6$ et $f(25)\approx 0,89<6$.
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $f(x)=6$ possède une unique solution sur l’intervalle $[3,6;25]$.
    $\quad$
    L’équation $f(x)=6$ possède donc une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[0;25]$ et, d’après la calculatrice, $\alpha \approx 12,1$.
    $\quad$
  3. D’après le logiciel de calcul formel, la fonction $F$ définie sur l’intervalle $[0;25]$ par $F(x)=(-25x-160)\e^{-0,2x}$ est une primitive de la fonction $f$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} \ds \int_0^{25} f(x)\dx &=F(25)-F(0) \\
    &=-785\e^{-5}+160 \\
    &\approx 154,711
    \end{align*}$
    $\quad$

Partie C

  1. La fonction $f$ est continue et positive sur l’intervalle $[0;25].
    D’après la question B.3. l’aire de la partie hachurée est $\ds \int_0^{25} f(x)\dx = 160-785\e^{-5}$ m$^2$.
    $\quad$
  2. Soit $\ell$ la longueur de la largeur.
    On a donc $25\ell = 160-785\e^{-5}$
    Soit $\ell =\dfrac{160-785\e^{-5}}{25} \approx 6,2$ m.
    La piscine aura donc une largeur d’environ $6,2$ m.
    $\quad$

 

Énoncé

Exercice 1     5 points

Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point.

  1. Pour la recherche d’un emploi, une personne envoie sa candidature à $25$ entreprises.
    La probabilité qu’une entreprise lui réponde est de $0,2$ et on suppose que ces réponses sont indépendantes.
    Quelle est la probabilité, arrondie au centième, que la personne reçoive au moins $5$ réponses ?
    a. $0,20$
    b. $0,62$
    c. $0,38$
    d. $0,58$
    $\quad$
  2. Pour tout événement $E$ on note $P(E)$ sa probabilité. $X$ est une variable aléatoire suivant la loi normale d’espérance $30$ et d’écart type $\sigma$. alors :
    a. $P(X=30)=0,5$
    b. $P(X<40)<0,5$
    c. $P(X<20)=P(X>40)$
    d. $P(X<20)>P(X<30)$
    $\quad$
  3. En France, les ventes de tablettes numériques sont passées de $6,2$ millions d’unités en 2014 à $4,3$ millions d’unités en 2016. Les ventes ont diminué, entre 2014 et 2016, d’environ :
    a. $65\%$
    b. $31\%$
    c. $20\%$
    d. $17\%$
    $\quad$
    Pour les questions 4 et 5, on donne ci-dessous la représentation graphique d’une fonction $f$ définie sur $\R$.
  4. Soit $f’$ la dérivée de $f$ et $F$ une primitive de $f$ sur $\R$.
    a. $f’$ est positive sur $[2;4]$.
    b. $f’$ est négative sur $[-3;-1]$.
    c. $F$ est décroissante sur $[2;4]$.
    d. $F$ est décroissante sur $[-3;-1]$.
    $\quad$
  5. Une des courbes ci-dessous représente la fonction $f\dsec$. Laquelle?

    $\quad$

Exercice 2     4 points

Un navigateur s’entraîne régulièrement dans le but de battre le record du monde de traversée de l’Atlantique à la voile.

Dans cet exercice, les résultats seront arrondis au millième si nécessaire.

Pour tous événements $A$ et $B$, on note $\conj{A}$ l’événement contraire de $A$, $P(A)$ la probabilité de $A$ et si $B$ est de probabilité non nulle, $P_B(A)$ la probabilité de $A$ sachant $B$.

Partie A

Le navigateur décide de modéliser la durée de sa traversée en jour par une loi normale de paramètres $\mu=7$ et $\sigma=1$.

  1. Quelle est la probabilité que le navigateur termine sa course entre $5$ et $8$ jours après le départ ?
    $\quad$
  2. Dans sa catégorie de voilier, le record du monde actuel est de $5$ jours.
    Quelle est la probabilité que le navigateur batte le record du monde ?µ
    $\quad$

Partie B

Une entreprise, nommée « Régate », s’intéresse aux résultats de ce navigateur.
La probabilité qu’il réalise la traversée en moins de $6$ jours est de $0,16$.
Si le navigateur réalise la traversée en moins de $6$ jours, l’entreprise le sponsorise avec une probabilité de $0,95$.
Sinon, l’entreprise hésite et le sponsorise avec une probabilité de $0,50$
On note :

  • $M$ l’événement  « la traversée est réalisée par le navigateur en moins de $6$ jours » ;
  • $F$ l’événement « l’entreprise sponsorise le navigateur ».
  1. Représenter cette situation à l’aide d’un arbre pondéré.
    $\quad$
  2. Montrer que la probabilité que l’entreprise ne sponsorise pas le navigateur à la prochaine course est $0,428$.
    $\quad$
  3. L’entreprise a finalement choisi de ne pas financer le navigateur.
    Calculer la probabilité que le navigateur ait tout de même réalisé la traversée en moins de $6$ jours.
    $\quad$

Partie C

L’entreprise « Régate » sponsorise plusieurs catégories de sportifs dans le monde nautique.
Ces derniers doivent afficher le slogan « Avec Régate, j’ai $97 \%$ de chance d’être sur le podium ! ».
L’étude des résultats sportifs de l’année a révélé que, parmi $280$ sportifs de chez « Régate », $263$ sont montés sur le podium. Que penser du slogan ?
$\quad$

Exercice 3     5 points

Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L

Un pays compte $300$ loups en 2017. On estime que la population des loups croît naturellement au rythme de $12 \%$ par an. Pour réguler la population des loups, le gouvernement autorise les chasseurs à tuer un quota de $18$ loups par an.
On modélise la population par une suite $\left(u_n\right)$, le terme $u_n$ représentant le nombre de loups de ce pays en 2017$+n$.

  1. a. Avec ce modèle, vérifier que le nombre de loups de ce pays en 2018 sera de $318$.
    $\quad$
    b. Justifier que, pour tout entier $n\in\N$, $u_{n+1}=1,12u_n-18$.
    $\quad$
  2. Recopier et compléter l’algorithme suivant pour qu’il détermine au bout de combien d’années la population de loups aura doublé.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    N\leftarrow 0\\
    U\leftarrow 300\\
    \text{Tant que $\ldots$ faire}\\
    \hspace{1cm} U\leftarrow \ldots\\
    \hspace{1cm} N\leftarrow \ldots \\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  3. On définit la suite $\left(v_n\right)$ par $v_n=u_n-150$ pour tout $n\in \N$.
    a. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $1,12$.
    Préciser son terme initial.
    b. Exprimer, pour tout $n\in\N$, $v_n$ en fonction de $n$.
    En déduire $u_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
    c. Quelle est la limite de la suite $\left(u_n\right)$? Justifier. Que peut-on en déduire?
    $\quad$
  4. a. Résoudre dans l’ensemble des entiers naturels l’inéquation : $$150+1,12^n\times 150>600$$
    $\quad$
    b. Interpréter le résultat précédent dans le contexte de l’énoncé.
    $\quad$
  5. En 2023, avec ce modèle, la population de loups est estimée à $446$ loups et le rythme de croissance annuel de la population reste identique. Dans ce cas, une nouvelle décision sera prise par le gouvernement : afin de gérer le nombre de loups dans le pays, il autorisera les chasseurs à tuer un quota de $35$ loups par an. En quelle année la population de loups dépassera-t-elle $600$ loups ?
    Toute trace de recherche sera valorisée dans cette question.
    $\quad$

Exercice 3     5 points

Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Pour la nouvelle année, Lisa prend la bonne résolution d’aller au travail tous les matins à vélo. Le premier jour, très motivée, Lisa se rend au travail à vélo. Par la suite, elle se rend toujours au travail à vélo ou en voiture.
Elle se rend compte que :

  • si elle a pris son vélo un jour, cela renforce sa motivation et elle reprend le vélo le lendemain avec une probabilité de $0,7$ ;
  • si elle a pris sa voiture un jour, la probabilité qu’elle reprenne la voiture le lendemain est de $0,5$.

Cette situation peut être modélisée par un graphe probabiliste de sommets $A$ et $B$ où :

  • $A$ est l’événement « Lisa prend le vélo » ;
  • $B$ est l’événement « Lisa prend la voiture ».

On note, pour tout entier naturel ݊$n$ non nul :

  • $a_n$ la probabilité que Lisa aille au travail à vélo le jour ݊$n$;
  • $b_n$ la probabilité que Lisa aille au travail en voiture le jour ݊$n$.
  1. a. Traduire les données par un graphe probabiliste.
    $\quad$
    b. En déduire la matrice de transition $M$.
    $\quad$
  2. a. Donner les valeurs de ܽ$a_1$ et ܾ$b_1$ correspondant à l’état initial.
    $\quad$
    b. Calculer la probabilité arrondie au centième que Lisa prenne le vélo le $8^{\e}$ jour.
    $\quad$
  3. Déterminer l’état stable du graphe puis interpréter le résultat obtenu.
    $\quad$
  4. a. Montrer que, pour tout nombre entier naturel $n$ non nul : a$_{n+1}=0,7a_n+0,5b_n$.
    $\quad$
    b. En déduire que pour tout entier naturel non nul $n$ : $a_{n+1}=0,2a_n+0,5$.
    $\quad$
  5. a. Recopier et compléter l’algorithme suivant permettant de déterminer le plus petit entier $n$ tel que $a_n<0,626$.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    N\leftarrow 1\\
    A\leftarrow 1\\
    \text{Tant que $\ldots\ldots\ldots$ faire}\\
    \hspace{1cm} A\leftarrow \ldots\ldots\ldots\\
    \hspace{1cm} N\leftarrow \ldots\ldots\ldots\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. Quelle est la valeur de $N$ après exécution de l’algorithme? Interpréter ce résultat.
    $\quad$

Exercice 4     6 points

Partie A

On a tracé sur le graphique ci-dessous la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ d’une fonction $f$ définie sur $[0;25]$ par : $f(x)=(ax+b)\e^{-0,2x}$ où $a$ et $b$ sont deux nombres réels.
On a représenté également sa tangente $T$ au points $A(0;7)$. $T$ passe par le point $B(2;14,2)$.

  1. Résoudre graphiquement l’équation $f(x)=6$.
    $\quad$
  2. a. Déterminer, par un calcul, le coefficient directeur de la droite $T$.
    $\quad$
    b. Exprimer, pour tout $x\in [0;25]$, $f'(x)$ en fonction de $a$ et $b$.
    $\quad$
    c. Montrer que $a$ et $b$ sont solutions du système $\begin{cases} a-0,2b&=3,6\\b&=7\end{cases}$.
    En déduite la valeur de $a$.
    $\quad$

Partie B

  1. Étudier les variations de la fonction $f$ définie sur $[0;25]$ par $f(x)=(5x+7)\e^{-0,2}$.
    Justifier.
    $\quad$
  2. Montrer que l’équation $f(x)=6$ admet une solution $\alpha$ sur l’intervalle $[0;25]$.
    Donner une valeur approchée au dixième de $\alpha$.
    $\quad$
  3. Un logiciel de calcul formel donne le résultat suivant.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{Deriver}((-25x-160)\e^{-0,2x})\\
    \hline
    \hspace{3cm}(5x+7)\e^{-0,2x}\\
    \hline
    \end{array}$$
    Exploiter ce résultat pour donner la valeur exacte puis la valeur arrondie au millième de $\ds \int_0^{25}f(x)\dx$.
    $\quad$

Partie C

Un organisme de vacances souhaite ouvrir un nouveau centre avec une piscine bordée de sable. Il dispose d’un espace rectangulaire de $25$ mètres de longueur sur $14$ mètres de largeur et souhaite que la piscine et la « plage » se partagent l’espace comme indiqué sur le schéma ci-dessous.
La bordure est modélisée par la fonction $f$ étudiée dans la partie précédente.

  1. Quelle est l’aire en m$^2$ de la zone hachurée représentant la piscine?
    $\quad$
  2. L’organisme décide de remplacer cette piscine par une piscine rectangulaire de $25$ mètres de longueur et de même superficie.
    Quelle en sera la largeur arrondie au dixième de mètre ?


    $\quad$

 

 

 

 

Bac ES/L – Polynésie – Juin 2018

Polynésie – Juin 2018

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. $\quad$
    $\begin{align*} f(x)=0&\ssi x^2(1-\ln x)=0 \\
    &\ssi x^2=0 \text{ ou } 1-\ln x=0 \\
    &\ssi \ln x = 1 \text{ car } x>0\\
    &\ssi x=\e
    \end{align*}$
    Réponse a
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align*} -1-2\ln x>0 &\ssi -2\ln x>1 \\
    &\ssi \ln x < -\dfrac{1}{2} \\
    &\ssi x < \e^{-1/2}
    \end{align*}$
    Et $-1-2\ln x=0 \ssi x=\e^{-1/2}=\dfrac{1}{\e^{1/2}}=\dfrac{1}{\sqrt{\e}}$
    Réponse b
    $\quad$
  3. $\quad$
    $\begin{align*} f'(x)=2x(1-\ln x)-x^2\times \dfrac{1}{x} \\
    &=2x-2x\ln x-x\\
    &=x-2x\ln x \\
    &=x(1-2\ln x)
    \end{align*}$
    Réponse a
    $\quad$
  4. $f\dsec(x)$ sur $\left[\dfrac{1}{\sqrt{\e}};3\right]$
    Or $\dfrac{1}{\sqrt{\e}} \approx 0,6$ donc $f\dsec(x)<0$ sur l’intervalle $[1;3]$ et $f’$ est décroissante sur cet intervalle.
    Réponse c
    $\quad$
  5. Une équation de la tangente à $\mathscr{C}$ au point d’abscisse $\e$ est de la forme $y=f'(\e)(x-\e)+f(\e)$.
    Or $f'(\e)=\e(1-2)=-\e$.
    Et $f(\e)=\e^2(1-1)=0$.
    Une équation de la tangente cherchée est donc $y=-\e(x-\e)$ soit $y=-\e x+\e^2$.
    Réponse c
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. a. $P(A)=\dfrac{450}{450+230+320}=0,45$.
    $\quad$
    b. D’après l’énoncé $P_A(T)=0,4$.
    $\quad$
    c. On obtient l’arbre de probabilité suivant :
    $\quad$
  2. On a $P(A\cap T)=0,45 \times 0,4=0,18$.
    La probabilité que l’employé choisi soit du service A et qu’il réside à moins de $30$ minutes de son lieu de travail est donc égale à $0,18$.
    $\quad$
  3. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(T)&=P(A\cap T)+P(B\cap T)+P(C \cap T) \\
    &=0,45\times 0,4+0,23\times 0,2+0,32\times 0,8 \\
    &=0,482
    \end{align*}$
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_{\conj{T}}(C)&=\dfrac{P\left(C \cap \conj{T}\right)}{P\left(\conj{T}\right)} \\
    &=\dfrac{0,32\times 0,2}{1-0,482} \\
    &\approx 0,124
    \end{align*}$
    $\quad$
  5. On effectue successivement $5$ tirages aléatoires, indépendants et identiques.
    À chaque tirage, il y a $2$ issues : $T$ et $\conj{T}$.
    De plus $P(T)=0,482$.
    La variable aléatoire $R$ comptant le nombre d’employés qui résident à moins de $30$ minutes de leur lieu de travail suit donc la loi binomiale de paramètres $n=5$ et $p=0,482$.
    $P(R=2)=\ds \binom{5}{2}\times 0,482^2\times 0,518^3 \approx 0,323$.
    $\quad$

Partie B

  1. D’après la calculatrice $P(20 \pp X \pp 40) \approx 0,477$
    Calculer la probabilité que le trajet dure entre $20$ minutes et $40$ minutes est donc environ égale à $0,477$.
    $\quad$
  2. $P(X > 50)=0,5-P(40 \pp X \pp 50) \approx 0,159$
    $\quad$
  3. $P(X > a)=0,2 \ssi P(X \pp a)=0,8$.
    En utilisant la touche inverse loi normale de la calculatrice on trouve $a\approx 48$.
    Environ $20\%$ des employés ont mettent plus $48$ minutes pour se rendre à leur travail.
    $\quad$

Partie C

Un intervalle de confiance est de la forme $\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}};f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$.
Son amplitude est donc $f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\left(f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right)=\dfrac{2}{\sqrt{n}}$.

$\begin{align*} \dfrac{2}{\sqrt{n}}<0,15 &\ssi \dfrac{2}{0,15}<\sqrt{n} \\
&\ssi \dfrac{40}{3}<\sqrt{n} \\
&\ssi n > \dfrac{1~600}{9}
\end{align*}$

Or $\dfrac{1~600}{9} \approx 177,8$.

Il faut donc consulter au moins $178$ employés.
$\quad$

Ex 3 obl

Exercice 3

Candidats de ES n’ayant pas suivis l’enseignement de spécialité et candidats de L

  1. $u_1=1,02\times 10~000-500=9~700$
    $u_2=1,02\times 9~700-500=9~394$.
    À la fin du mois de mars 2018 le résultat net est de $9~394$ €.
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $a_n=u_n-25~000$ soit $u_n=an+25~000$.
    $\begin{align*} a_{n+1}&=u_{n+1}-25~000 \\
    &=1,02u_n-500-25~000 \\
    &=1,02u_n-25~500 \\
    &=1,02\left(a_n+25~000\right)-25~500 \\
    &=1,02a_n+25~500-25~500 \\
    &=1,02a_n
    \end{align*}$
    La suite $\left(a_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,02$ et de premier terme $a_0=10~000-25~000=-15~000$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a $a_n=-15~000\times 1,02^n$
    Donc $u_n=a_n+25~000=-15~000\times 1,02^n+25~000$.
    $\quad$
    c. $\quad$
    $\begin{align*} 25~000-15~000 \times 1,02^n > 0 &\ssi -15~000\times 1,02^n > -25~000 \\
    &\ssi 1,02^n < \dfrac{5}{3} \\
    &\ssi n \ln 1,02 < \ln \dfrac{5}{3} \\
    &\ssi n < \dfrac{\ln \dfrac{5}{3}}{\ln 1,02}
    \end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln \dfrac{5}{3}}{\ln 1,02} \approx 15,8$ donc $n \pp 25$.
    Le résultat net est positif jusqu’au $25\ieme$ mois soit jusqu’à fin février 2020.
    $\quad$
  3. On obtient l’algorithme suivant :
    $\begin{array}{|l|}
    \hline
    U \leftarrow 10~000 \\
    S \leftarrow 0 \\
    N \leftarrow 0 \\
    \text{Tant que } U > 0\\
    \hspace{1cm} S \leftarrow S+U \\
    \hspace{1cm} U \leftarrow 1,02\times U-500 \\
    \hspace{1cm} N \leftarrow N+1\\
    \text{Fin tant que}\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$

Ex 3 spé

Exercice 3

Candidats de ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

  1. a. Il y a $6$ sommets. Le graphe est donc d’ordre $6$.
    $\quad$
    b. Le sommet $P$, par exemple, n’est pas relié au sommet $T$. Le graphe n’est donc pas complet.
    $\quad$
  2. a. Voici le degré des sommets :
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Sommet}&B&L&M&N&P&T \\
    \hline
    \text{degré}&4&5&2&3&4&4\\
    \hline
    \end{array}$
    Le graphe possède exactement $2$ sommets de degré impair. Il possède donc une chaîne Eulérienne.
    Le journaliste pourra donc parcourir chacune des liaisons une et une seule fois.
    $\quad$
    b. Tous les sommets ne sont pas de degré pair. Le graphe ne possède donc pas de cycle eulérien.
    Le journaliste ne pourra pas louer sa voiture dans un aéroport parisien, parcourir chacune des liaisons une et une seule fois puis rendre la voiture dans le même aéroport.
    $\quad$
  3. a. On a :
    $G=\begin{pmatrix} 0&1&0&1&1&1\\
    1&0&1&1&1&1\\
    0&1&0&0&0&1\\
    1&1&0&0&1&0\\
    1&1&0&1&0&1\\
    1&1&1&0&1&0
    \end{pmatrix}$
    $
    $\quad$
    b. Le coefficient ${G^3}_{(5;3)}=5$ de la matrice $G^3$ permet de dire qu’il existe $5$ trajets possibles pour relier Paris à Marseille en trois jours en s’arrêtant chaque jour dans une ville différente .
    $\quad$

Partie B

On utilise l’algorithme de Dijkstra :

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
B&L&M&N&P&T&\text{sommet}\\
\hline
&&&0&&&N \\
\hline
206(N)&396(N)&&\phantom{222(N)}&222(N)&&B\\
\hline
&396(N)&&&222(N)&359(B)&P\\
\hline
&396(N)&&&&359(B)&L\\
\hline
&&610(L)&&&359(B)&T\\
\hline
&&595(T)&&&&M\\
\hline
\end{array}$

Le trajet Nantes – Bordeaux – Toulouse – Marseille minimalise son temps de trajet ($595$ minutes).

$\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie A

  1. Le produit B dépasse le produit A à partir du $5,3\ieme$ mois.
    $\quad$
  2. Cette quantité sera atteinte au bout de $12,6$ mois.
    $\quad$

Partie B

  1. a. La fonction $h$ modélise la quantité totale, en tonnes, de produits A et B confondus.
    $\quad$
    b. $h(x)=2~000\e^{-0,2x}+15x^2+50x$
    Donc :
    $\begin{align*} h'(x)&=2~000\times (-0,2)\e^{-0,2x}+15\times 2x+50 \\
    &=-400\e^{-0,2x}+30x+50
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. a. La fonction $h’$ est strictement croissante et continue sur l’intervalle $[0;14]$.
    $h'(0)=-350<0$ et $h'(14)\approx 446 > 0$.
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires l’équation $h'(x)=0$ possède une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[0;14]$.
    D’après la calculatrice $4,1 < \alpha < 4,2$.
    $\quad$
    b. La fonction $h$ est donc décroissante sur l’intervalle $[0;\alpha]$ (puisque $h'(x)\pp 0$ sur cet intervalle) et croissante sur l’intervalle $[\alpha;14]$ (on $h'(x)\pg 0$ sur cet intervalle).
    $\quad$
  3. a. D’après la question B.2.a. la variable $X$ contiendra alors la valeur $4,2$.
    $\quad$
    b. On doit modifier la ligne $X \leftarrow X+0,1$ en $X \leftarrow X+0,001$.
    $\quad$
  4. a. La fonction $H$ est dérivable sur l’intervalle $[0;14]$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $\begin{align*} H'(x)&=-10~000\times (-0,2)\e^{-0,2x}+3\times 5x^2+2\times 25x \\
    &=2~000\e^{-0,2x}+15x^2+50x \\
    &=h(x)
    \end{align*}$
    La fonction $H$ est donc une primitive de la fonction $h$ sur l’intervalle $[0;14]$.
    $\quad$
    b. On a :
    $\begin{align*} \ds \dfrac{1}{12}\int_0^{12} h(x)\dx &=\dfrac{1}{12}\left(H(12)-H(0)\right) \\
    &=\dfrac{1}{12}\left(-10~000\e^{-2,4}+12~240+10~000\right) \\
    &=\dfrac{1}{12}\left(22~240-10~000\e^{-2,4}\right) \\
    &\approx 1~778
    \end{align*}$
    $\quad$
    c. L’usine a donc fabriqué en moyenne sur les $12$ premiers mois $1~778$ produits A et B confondus par mois.
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1     5 points

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]0;3]$ par $f(x)=x^2(1-\ln x)$.
On donne co-dessous sa courbe représentative $\mathscr{C}$.

On admet que $f$ est deux dérivable sur $]0;3]$, on note $f’$ sa fonction dérivée et on admet que dérivée seconde $f\dsec$ est définie sur $]0;3]$ par $f\dsec(x)=-1-2\ln x$.

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions posées, une seule réponse est exacte. Aucune justification n’est demandée.
Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point. Une réponse multiple ne rapporte aucun point.

  1. Sur $]0;3]$, $\mathscr{C}$ coupe l’axe des abscisses au point d’abscisse :
    a. $\e$
    b. $2,72$
    c. $\dfrac{1}{2}\e+1$
    $\quad$
  2. $\mathscr{C}$ admet un point d’inflexion d’abscisse :
    a. $\e$
    b. $\dfrac{1}{\sqrt{\e}}$
    c. $\sqrt{\e}$
    $\quad$
  3. Pour tout nombre réel $x$ de l’intervalle $]0;3]$ on a :
    a. $f'(x)=x(1-2\ln x)$
    b. $f'(x)=-\dfrac{2}{x}$
    c. $f'(x)=-2$
    $\quad$
  4. Sur l’intervalle $[1;3]$ :
    a. $f$ est convexe
    b. $f$ est décroissante
    c. $f’$ est décroissante
    $\quad$
  5. Une équation de la tangente à $\mathscr{C}$ au point d’abscisse $\e$ d’écrit :
    a. $y=-x+\e$
    b. $y=-\e x$
    c. $y=-\e x+\e^2$
    $\quad$

Exercice 2     5 points 

Les parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.
Les résultats numériques seront donnés, si nécessaire, sous forme approchée à $0,001$ près.

Partie A

Une entreprise est composée de $3$ services A, B et C d’effectifs respectifs $450$, $230$ et $320$ employés.
Une enquête effectuée sur le temps de parcours quotidien entre le domicile des employés et l’entreprise a montré que :
$40\%$ des employés du service A résident à moins de $30$ minutes de l’entreprise ;
$20\%$ des employés du service B résident à moins de $30$ minutes de l’entreprise ;
$80\%$ des employés du service C résident à moins de $30$ minutes de l’entreprise.
On choisit au hasard un employé de cette entreprise et on considère les événements suivants :

  • $A$ : « l’employé fait partie du service A » ;
  • $B$ : « l’employé fait partie du service B » ;
  • $C$ : « l’employé fait partie du service C » ;
  • $T$ : « l’employé réside à moins de 30 minutes de l’entreprise » .

On rappelle que si $E$ et $F$ sont deux événements, probabilité d’un événement $E$ est notée $P(E)$ et celle de $E$ sachant $F$ est notée $P_F(E)$.

  1. a. Justifier que $P(A)=0,45$.
    $\quad$
    b. Donner $P_A(T)$.
    $\quad$
    c. Représenter la situation à l’aide d’un arbre pondéré en indiquant les probabilités associées à chaque branche.
    $\quad$
  2. Déterminer la probabilité que l’employé choisi soit du service A et qu’il réside à moins de $30$ minutes de son lieu de travail.
    $\quad$
  3. Montrer que $P(T)=0,482$.
    $\quad$
  4. Sachant qu’un employé de l’entreprise réside à plus de $30$ minutes de son lieu de travail, déterminer la probabilité qu’il fasse partie du service C.
    $\quad$
  5. On choisit successivement de manière indépendante $5$ employés de l’entreprise. On considère que le nombre d’employés est suffisamment grand pour que ce tirage soit assimilé à un tirage avec remise. Déterminer la probabilité qu’exactement $2$ d’entre eux résident à moins de $30$ minutes de leur lieu de travail.
    $\quad$

Partie B

Soit $X$ la variable aléatoire qui, à chaque employé en France, associe son temps de trajet quotidien, en minutes, entre son domicile et l’entreprise. Une enquête montre que $X$ suit une loi normale d’espérance $40$ et d’écart type $10$.

  1. Calculer la probabilité que le trajet dure entre $20$ minutes et 40 minutes.
    $\quad$
  2. Déterminer $P( X > 50)$.
    $\quad$
  3. À l’aide de la méthode de votre choix, déterminer une valeur approchée du nombre $a$ à l’unité près, tel que $P( X > a)=0,2$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

Partie C

Cette entreprise souhaite faire une offre de transport auprès de ses employés. Un sondage auprès de quelques employés est effectué afin d’estimer la proportion d’employés dans l’entreprise intéressés par cette offre de transport. On souhaite ainsi obtenir un intervalle de confiance d’amplitude strictement inférieure à $0,15$ avec un niveau de confiance de $0,95$. Quel est le nombre minimal d’employés à consulter ?
$\quad$

Exercice 3     4 points

Candidats de ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de L

En économie le résultat net désigne la différence entre la recette et les charges d’une entreprise sur une période donnée. Lorsqu’il est strictement positif, c’est un bénéfice.
Propriétaire d’une société, Pierre veut estimer son résultat net à la fin de chaque mois.
À la fin du mois de janvier 2018, celui-ci était de $10~000$ euros.
Pierre modélise ce résultat net par une suite $\left(u_n\right)$ de premier terme $u_0=10~000$ et de terme général $u_n$ tel que $u_{n+1}=1,02u_n−500$ où $n$ désigne le nombre de mois écoulés depuis janvier 2018.

  1. Quel est le montant du résultat net réalisé à la fin du mois de mars 2018?
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$, on pose $a_n=u_n-25~000$.
    a. Montrer que la suite $\left(a_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme $a_0$ et la raison.
    $\quad$
    b. Exprimer $a_n$ en fonction de $n$ et montrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_n=25~000-15~000\times 1,02^n$.
    $\quad$
    c. Résoudre l’inéquation $25~000-15~000\times 1,02^n>0$ où $n$ désigne un entier naturel.
    Interpréter le résultat obtenu dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  3. À l’aide d’un algorithme, Pierre souhaite déterminer le cumul total des résultats nets mensuels de la société jusqu’au dernier mois où l’entreprise est bénéficiaire.
    Recopier et compléter l’algorithme pour qu’à la fin de son exécution, la variable $N$ contienne le nombre de mois pendant lesquels l’entreprise est bénéficiaire et la variable $S$ le cumul total des résultats nets mensuels sur cette période.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    U\leftarrow 10~000\\
    S\leftarrow 0\\
    N\leftarrow 0\\
    \text{Tant que }\ldots\ldots\ldots \\
    \hspace{1cm} S \ldots\ldots\ldots\\
    \hspace{1cm} U \ldots\ldots\ldots\\
    \hspace{1cm} N \ldots\ldots\ldots\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$

Exercice 3     4 points

Candidats de ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Un journaliste britannique d’une revue consacrée à l’automobile doit tester les autoroutes françaises. Pour remplir sa mission, il décide de louer une voiture et de circuler entre six grandes
villes françaises : Bordeaux $(B)$, Lyon $(L)$, Marseille $(M)$, Nantes $(N)$, Paris $(P)$ et Toulouse $(T)$.
Le réseau autoroutier reliant ces six villes est modélisé par le graphe ci-dessous sur lequel les sommets représentent les villes et les arêtes les liaisons autoroutières entre ces villes.

Partie A

  1.  a. Quel est l’ordre du graphe?
    $\quad$
    b. Le graphe est-il complet? Justifier la réponse.
    $\quad$
  2. a. On admet que le graphe est connexe. Le journaliste envisage de parcourir chacune des liaisons modélisées sur le graphe une fois et une seule. Est-ce possible ? Justifier la réponse.
    $\quad$
    b. Le journaliste va-t-il pouvoir louer sa voiture dans un aéroport parisien, parcourir chacune des liaisons une et une seule fois puis rendre la voiture dans le même aéroport ? Justifier la réponse.
    $\quad$
  3. On nomme G la matrice d’adjacence du graphe (les villes étant rangées dans l’ordre alphabétique). On donne :
    $$G=\begin{pmatrix}0&\ldots&0&1&1&1\\
    \ldots&0&1&1&1&1\\
    0&1&\ldots&0&\ldots&1\\
    1&1&0&0&1&0\\
    1&1&\ldots&1&0&1\\
    1&1&1&0&1&0\end{pmatrix} \text{ et } G^3=\begin{pmatrix}10&13&5&10&11&12\\
    13&12&8&11&13&12\\
    5&8&2&5&5&7\\
    10&11&5&6&10&7\\
    11&13&5&10&10&12\\
    12&12&7&7&12&8\end{pmatrix}$$
    a. recopier et compléter la matrice d’adjacence.
    $\quad$
    b. Alors qu’il se trouve à Paris, le rédacteur en chef demande au journaliste d’être à Marseille exactement trois jours plus tard pour assister à une course automobile. Le journaliste décide chaque jour de s’arrêter dans une ville différente. Déterminer le nombre de trajets possibles.

Partie B

On a indiqué sur le graphe ci-dessous le temps nécessaire en minutes pour parcourir chacune des liaisons autoroutières.

Le journaliste se trouve à Nantes et désire se rendre le plus rapidement possible à Marseille.
Déterminer un trajet qui minimise son temps de parcours.

$\quad$

Exercice 4     6 points

Les parties de cet exercice peuvent être traitées indépendamment.

Une usine qui fabrique un produit A, décide de fabriquer un nouveau produit B afin d’augmenter son chiffre d’affaires. La quantité, exprimée en tonnes, fabriquée par jour par l’usine est modélisée par :

  • la fonction $f$ définie sur $[0;14]$ par $f(x)=2~000\e^{-0,2x}$ pour le produit A;
  • la fonction $g$ définie sur $[0;14]$ par $g(x)=15x^2+50x$ pour le produit B,

où $x$ est la durée écoulée depuis le lancement du nouveau produit B exprimée en mois.

Partie A

Par lecture graphique, sans justification et avec la précision permise par le graphique :

  1. Déterminer la durée nécessaire pour que la quantité de produit B dépasse celle du produit A.
    $\quad$
  2. L’usine ne peut pas fabriquer une quantité journalière de produit B supérieure à $3~000$ tonnes.
    Au bout de combien de mois cette quantité journalière sera atteinte ?
    $\quad$

Partie B

Pour tout nombre réel $x$ de l’intervalle $[0;14]$ on pose $h(x)=f(x)+g(x)$.
On admet que la fonction $h$ ainsi définie est dérivable sur $[0;14]$.

  1. a. Que modélise cette fonction dans le contexte de l’exercice?
    $\quad$
    b. Montrer que, pour tout nombre réel $x$ de l’intervalle $[0;14]$ : $$h'(x)=-400\e^{-0,2x}+30x+50$$
    $\quad$
  2. On admet que le tableau de variation de la fonction $h’$ sur l’intervalle est :

    a. Justifier que l’équation $h'(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[0;14]$ et donner un encadrement d’amplitude $0,1$ de $\alpha$.
    $\quad$
    b. En déduire les variations de la fonction $h$ sur l’intervalle $[0;14]$.
    $\quad$
  3. Voici un algorithme :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    Y\leftarrow -400\exp(-0,2X)+30X+50\\
    \text{Tant que } Y\pp 0\\
    \hspace{1cm} X\leftarrow X+0,1\\
    \hspace{1cm} Y\leftarrow -400\exp(-0,2X)+30X+50\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    a. Si la variable $X$ contient la valeur $3$ avant l’exécution de cet algorithme, que contient la variable $X$ après l’exécution de cet algorithme ?
    $\quad$
    b. En supposant toujours que la variable $X$ contient la valeur $3$ avant l’exécution de cet algorithme, modifier l’algorithme de façon à ce que $X$ contienne une valeur approchée à $0,001$ près de $\alpha$ après l’exécution de l’algorithme.
    $\quad$
  4. a. Vérifier qu’une primitive $H$ de la fonction $h$ sur $[0;14]$ est :
    $H(x)=-10~000\e^{-0,2x}+5x^3+25x^2$.
    $\quad$
    b. Calculer une valeur approchée à l’unité près de $\ds \dfrac{1}{12}\int_0^{12}h(x)\dx$.
    $\quad$
    c. Donner une interprétation dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$