Bac ES/L – Nouvelle Calédonie – Mars 2019

Nouvelle Calédonie – Mars 2019

Bac TES/TL – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. On obtient l’arbre de probabilité suivant :

    $\quad$
  2. D’après l’arbre de probabilité on a $P(F\cap M)=0,4\times 0,6=0,24$.
    $\quad$
  3. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(M)=P(F\cap M)+P(G\cap M) &\ssi 0,64=0,24+P(G\cap M) \\
    &\ssi P(G\cap M)=0,4\end{align*}$
    Par conséquent :
    $\begin{align*}P_G(M)&=\dfrac{P(G\cap M)}{P(G)} \\
    &=\dfrac{0,4}{0,6} \\
    &=\dfrac{2}{3}\\
    &\approx 0,667\end{align*}$
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_M(F)&=\dfrac{P(M\cap F)}{P(M)} \\
    &=\dfrac{0,24}{0,64}\\
    &=0,375\end{align*}$
    $\quad$

Partie B

On veut calculer :
$\begin{align*} P(X=30)&=\ds \binom{70}{30} \times 0,6^{30}\times 0,4^{40} \\
&\approx 0,001~5\end{align*}$

$\quad$

Partie C

  1. À l’aide de la calculatrice on a : $P(10 \pp Y \pp 13)\approx 0,775$
    La probabilité qu’un élève de terminale de ce lycée ait une VMA comprise entre 10 et 13 km/h est environ égale à $0,775$.
    $\quad$
  2. À l’aide de la fonction Inverse loi normale de la calculatrice on obtient $\alpha\approx 12,8$.
    Cela signifie donc que $80\%$ des élèves ont une VMA inférieure ou égale à $12,8$.
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. La fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ d’après l’énoncé.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{\dfrac{1}{x}\times x-\ln(x)}{x^2}&=\dfrac{1-\ln(x)}{x^2}\end{align*}$
    Par conséquent $f'(\e)=\dfrac{1-\ln(\e)}{\e^2}=0$.
    Réponse a
    $\quad$
  2. On appelle $x$ le taux annuel d’augmentation du prox du gaz entre janvier 2005 et décembre 2012.
    Le prix du tarif réglementé du gaz a augmenté de $80\%$ sur cette période. Le coefficient multiplicateur est donc de $1,8$.
    On doit donc résoudre l’équation :
    $\begin{align*} \left(1+\dfrac{x}{100}\right)^8=1,8 &\ssi 1+\dfrac{x}{100}=1,8^{1/8} \\
    &\ssi \dfrac{x}{100}=1,8^{1/8}-1 \\
    &\ssi x=100\times \left(1,8^{1/8}-1\right)\end{align*}$
    Par conséquent $x\approx 7,62$
    Réponse b
    $\quad$
  3. On a donc
    $\begin{align*} S&=1\ier\text{ terme}\times \dfrac{1-q^{\text{nombre de termes}}}{1-q}\\
    &=3\times \dfrac{1-1,5^{49}}{1-1,05}\end{align*}$
    Réponse d
    $\quad$
  4. On appelle $T$ la variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l’intervalle $[0;12]$.
    Ainsi $P(2\pp T\pp 5)=\dfrac{5-2}{12-0}=\dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{4}$
    Réponse a
    $\quad$

Partie B

  1. Un intervalle de confiance est de la forme $\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}};f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$ où $n$ est le nombre d’individus interrogés.
    Son amplitude est donc $a=f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\left(f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right)=\dfrac{2}{\sqrt{n}}$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} a\pp 0,02&\ssi \dfrac{2}{\sqrt{n}}\pp 0,02 \\
    &\ssi \dfrac{1}{\sqrt{n}}\pp 0,01\\
    &\ssi \sqrt{n}\pg 100\\
    &\ssi n\pg 10~000\end{align*}$
    Affirmation 1 vraie
    $\quad$
  2. On appelle $\sigma$ l’écart-type de la variable aléatoire $X$.
    On a $P(0\pp X\pp 12)=0,95 \ssi P(\mu-6\pp X\pp \mu+6)=0,95$
    Or $P(\mu-2\sigma\pp X\pp \mu+2\sigma)\approx 0,95$.
    Cela signifie donc que $2\sigma\approx 6$ soit $\sigma \approx 3$.
    Affirmation 2 fausse
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Candidats de ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de L

  1. a. $160\times 0,8+50=178$.
    $178$ étaient inscrits à l’été 2018 selon cette estimation.
    $\quad$
    b. $\dfrac{178}{10}=17,8$.
    Il faut donc prévoir au minimum $18$ tentes pour loger l’ensemble des inscrits pendant l’été 2018.
    $\quad$
  2. $80\%$ des enfants déjà inscrits une année se réinscrivent l’année suivante. Cela correspond donc à $0,8u_n$.
    Chaque année $50$ nouveaux enfants les rejoignent.
    Donc, pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=0,8u_n+50$.
    $\quad$
  3. a. On a pu saisir la formule $=0,8*B2+50$.
    $\quad$
    b. On obtient le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    &\text{A}&\text{B}&\text{C}&\text{D}&\text{E}&\text{F}&\text{G}\\
    \hline
    1&\text{indice }n&0&1&2&3&4&5\\
    \hline
    2&\text{valeur de }u(n)&160&178&192&204&213&221\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    c. D’après le tableau précédent $u_4\approx 213$.
    On peut estimer qu’il y aura environ $213$ inscrits en 2021.
    $\quad$
  4. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=u_n-250$ soit $u_n=v_n+250$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-250\\
    &=0,8u_n+50-250\\
    &=0,8u_n-200\\
    &=0,8\left(v_n+250\right)-200\\
    &=0,8v_n+200-200\\
    &=0,8v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,8$ et de premier terme $v_0=u_0-250=-90$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=-90\times 0,8^n$.
    $\quad$
    c. Pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=v_n+250=250-90\times 0,8^n$.
    $\quad$
    d. On a $0<0,8<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,8^n=0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=250$.
    Cela signifie qu’au bout d’un grand nombre d’années le nombre d’inscrits sera de $250$.
    $\quad$
  5. a. On obtient l’algorithme suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    U\leftarrow 160\\
    N\leftarrow 0\\
    \text{Tant que }U<220\text{ faire}\\
    \hspace{1cm} U\leftarrow 0,8U+50\\
    \hspace{1cm} N\leftarrow N+1\\
    \text{Fin tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. D’après la question 3.b. on a $u_4\approx 213$ et $u_5\approx 221$
    Donc l’algorithme fournira la valeur $N=5$.
    $\quad$
    Autre méthode :
    On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
    $\begin{align*}u_n\pg 220&\ssi 250-90\times 0,8^n\pg 220\\
    &\ssi -90\times 0,8^n\pg-30\\
    &\ssi 0,8^n \pp \dfrac{1}{3}\\
    &\ssi n\ln(0,8)\pp \ln\left(\dfrac{1}{3}\right)\\
    &\ssi n\pg \dfrac{\ln\left(\dfrac{1}{3}\right)}{\ln(0,8)}\end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln\left(\dfrac{1}{3}\right)}{\ln(0,8)} \approx 4,9$.
    Donc l’algorithme fournira la valeur $N=5$.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie A

  1. On a $f(0)=3$.
    $\quad$
  2. $f'(0)$ est le coefficient de la tangente à la courbe $C$ au point $A$.
    Donc $f'(0)=-1$.
    Ainsi une équation de la droite $T$ est $y=-x+3$.
    $\quad$
  3. La fonction $f$ semble croissante sur l’intervalle $[-2;-1]$ et décroissante sur l’intervalle $[-1;6]$.
    Par conséquent $f'(x)\pp 0$ sur l’intervalle $[-2;-1]$ et $f'(x)\pg 0$ sur l’intervalle $[-1;6]$.
    La courbe $C$ possède une tangente horizontale au point $B$ donc $f'(-1)=0$.
    $\quad$
  4. Le point $A$ est l’unique point d’inflexion de la courbe $C$ sur l’intervalle $[-2;6]$.
    Par conséquent la fonction $f$ est concave sur l’intervalle $[-2;0]$ et convexe sur l’intervalle $[0;6]$.
    $\quad$
  5. La fonction $f$ est continue et positive sur l’intervalle $[-1;0]$.
    Donc $\ds \int_{-1}^0 f(x)\dx$ est donc l’aire du domaine compris entre la courbe $C$, l’axe des abscisses, la droite d’équation $x=-1$ et la droite d’équation $x=0$.
    Ainsi $3\times 1 \pp \ds \int_{-1}^0 f(x)\dx \pp 4\times 1$.
    Soit $3 \pp \ds \int_{-1}^0 f(x)\dx \pp 4$.
    $\quad$

Partie B

  1. On a $f(6)=(6+2)\e^{-6}+1=8\e^{-6}+1 \approx 1,2$
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[-2;6]$ en tant que produit et somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x \in[-2;6]$ on a :
    $\begin{align*}f'(x)&=1\times \e^{-x}+(x+2)\times (-1)\times \e^{-x}\\
    &=(1-x-2)\e^{-x}\\
    &=(-x-1)\e^{-x}\end{align*}$
    $\quad$
  3. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $-x-1$.
    Or $-x-1=0\ssi x=-1$ et $-x-1>0\ssi x<-1$.
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    $\quad$
  4. a. Une primitive de la fonction $f$ est donc la fonction $F$ définie sur l’intervalle $[-2;6]$ par $F(x)=(-x-3)\e^{-x}+x$.
    Cette fonction $F$ est en effet dérivable sur l’intervalle $[-2;6]$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Et pour tout réel $x\in[-2;6]$ on a $F'(x)=(x+2)\e^{-x}+1=f(x)$.
    $\quad$
    b. La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-1;0]$ est :
    $\begin{align*}m&=\dfrac{1}{0-(-1)}\int_{-1}^0 f(x)\dx\\
    &=F(0)-F(-1)\\
    &=-3-\left(-2\e-1\right)\\
    &=2\e-2\\
    &\approx 3,4\end{align*}$

Énoncé

Exercice 1     5 points

Des professeurs d’éducation physique et sportive proposent à leurs élèves de terminale un cycle de demi-fond qui consiste à courir $3$ fois $500$ mètres.
Le temps cumulé obtenu à l’issue d’un cycle définit une note de performance notée sur $14$ points.
Le barème est différent entre les garçons et les filles.
$4$ classes sont regroupées et $40\%$ des élèves sont des filles.
$60\%$ des filles obtiennent une note de performance supérieure ou égale à $7$ sur $14$.

Les parties A, B et C sont indépendantes.

Partie A

On choisit un élève au hasard parmi les $120$ élèves.
On note :

  • $F$ l’événement : « L’élève est une fille »;
  • $G$ l’événement : « L’élève est un garçon »;
  • $M$ l’événement : « La note de performance est supérieure ou égale à $7$ sur $14$ ».

Pour tout événement $E$, on note $E$ l’événement contraire de $E$ et $P(E)$ sa probabilité. Pour tout événement $F$ de probabilité non nulle, on note $P_F (E)$ la probabilité de $E$ sachant que $F$ est réalisé.

  1. Construire un arbre de probabilités correspondant à cette situation.
    $\quad$
  2. Déterminer $P(F \cap M)$.
    $\quad$
  3. Sachant que $P(M) = 0,64$, déterminer $P(G \cap M)$ puis en déduire $P_G (M)$, arrondie au millième.
    $\quad$
  4. Sachant qu’une personne interrogée a obtenu une note de performance supérieure ou égale à $7$ points sur $14$, quelle est la probabilité que ce soit une fille?
    $\quad$

Partie B

On considère un groupe de $7$0 filles d’un autre établissement.
On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de filles de ce groupe ayant une note de performance supérieure ou égale à $7$ sur $14$.
Les notes obtenues sont indépendantes les unes des autres.
On admet que $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 70$ et $p = 0,6$.
Calculer la probabilité arrondie au dix-millième qu’exactement $30$ filles obtiennent une note de performance supérieure ou égale à $7$.
$\quad$

Partie C

Cette épreuve permet de développer sa VMA (vitesse maximale aérobie) qui correspond à une vitesse de course rapide. L’unité de mesure de la VMA est le km/h.
On choisit un élève au hasard parmi les $120$ élèves.
On admet que la VMA d’un élève pris au hasard est modélisée par une variable aléatoire $Y $qui suit la loi normale d’espérance $\mu = 11,8$ et d’écart type $\sigma = 1,2$.

  1. Quelle est la probabilité arrondie à $10^{−3}$, qu’un élève de terminale de ce lycée ait une VMA comprise entre $10$ et $13$ km/h ?
    $\quad$
  2. Déterminer la valeur arrondie au dixième de $\alpha$ tel que $P(Y \pp \alpha) = 0,8$. Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

Exercice 2     5 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponse est exacte.
Une réponse exacte rapporte 0,75 point, une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point.
Aucune justification n’est demandée.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la lettre de la réponse choisie.

Partie A

  1. . Soit $f$ la fonction continue et dérivable sur $]0 ; +\infty[$ définie par $f(x) = \dfrac{\ln(x)}{x}$.
    La valeur exacte de $f'(\e)$ est :
    a. $0$
    b. $\dfrac{1}{\e}$
    c. $1$
    d. $\e^2$
    $\quad$
  2. Entre janvier 2005 et décembre 2012, le prix hors taxe du tarif réglementé du gaz a augmenté de $80\%$.
    Quel est le taux annuel d’augmentation du prix du gaz sur la même période arrondi à $0,01\%$ ?
    a. $10\%$
    b. $7,62\%$
    c. $6,75\%$
    d. $8,76\%$
    $\quad$
  3. Soit $\left(u_n\right)$ la suite géométrique de raison $q=1,05$ et de premier terme $u_1=3$.
    La valeur exacte de $S=u_1+u_2+u_3+\ldots+u_{49}$ est égale à :
    a. $S=\dfrac{1-1,05^{49}}{1-1,05}$
    b. $S=3\times \dfrac{1+1,05^{49}}{1+1,05}$
    c. $S=595,280$
    d. $S=3\times \dfrac{1-1,05^{49}}{1-1,05}$
    $\quad$
  4. Lors du passage en caisse dans un supermarché, on considère que le temps d’attente d’un client, exprimé en minute, suit la loi uniforme sur l’intervalle $[0 ; 12]$.
    Quelle est la probabilité que le temps d’attente d’un client soit compris entre $2$ et $5$ minutes ?
    a. $\dfrac{1}{4}_{\phantom{x} }$
    b. $\dfrac{7}{12}_{\phantom{x} }$
    c. $\dfrac{1}{12}_{\phantom{x} }$
    d. $\dfrac{1}{3}_{\phantom{x} }$
    $\quad$

Partie B

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier.
Une réponse exacte justifiée rapporte 1 point, une réponse fausse, non justifiée ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.

  1. Lors d’une élection, un candidat sollicite un institut de sondage pour qu’il détermine un intervalle de confiance au niveau de confiance $0,95$ de la proportion des intentions de vote en sa faveur.
    $\quad$
    Affirmation 1 : Afin que cet intervalle ait une amplitude inférieure ou égale à $0,02$, l’institut de
    sondage doit interroger au minimum $10~000$ personnes.
    $\quad$
  2. On considère une variable aléatoire $X$ suivant une loi normale de moyenne $6$.
    On donne ci-dessous la courbe qui représente la densité f associée à la variable aléatoire $X$.
    La partie grisée vaut $0,95$ unité d’aire.


    Affirmation 2 : L’écart type de $X$ est égal à $6$.
    $\quad$

 

Exercice 3     5 points

Candidats de ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de L

Une colonie de vacances héberge des enfants dans des tentes de $10$ places chacune. Pendant l’été 2017, $160$ enfants ont participé à cette colonie.
À la suite d’une étude prévisionnelle, on estime que, chaque année, $80\%$ des enfants déjà inscrits se réinscrivent l’année suivante et $50$ nouveaux enfants les rejoignent.

  1. a. Donner une estimation du nombre d’enfants inscrits à l’été 2018.
    $\quad$
    b. Donner le nombre minimal de tentes nécessaire pour loger l’ensemble des inscrits pendant l’été 2018.
    $\quad$
  2. Soit $\left(u_n\right)$ la suite numérique qui modélise le nombre d’inscrits lors de l’année 2017$+n$. Ainsi $u_0 = 160$.
    Expliquer pourquoi, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} = 0,8u_n +50$.
    $\quad$
  3. Voici la copie d’écran d’une feuille de tableur utilisée pour déterminer les valeurs des termes de la suite.

    a. Quelle formule peut-on saisir dans la cellule $C2$ pour obtenir, par recopie vers la droite, le nombre d’inscrits l’année 2017$+n$?
    $\quad$
    b. Recopier et compléter ce tableau en arrondissant chacune des valeurs à l’entier.
    $\quad$
    c. Donner une estimation du nombre d’inscrits en 2021.
    $\quad$
  4. Soit $\left(v_n\right)$ la suite numérique dont le terme général est défini par $v_n = u_n−250$ pour tout $n \in \N$.
    a. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $0,8$ et préciser son terme initial.
    $\quad$
    b. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$.
    $\quad$
    c. Montrer que, pour tout $n \in \N$, $u_n = 250−90×0,8^n$.
    $\quad$
    d. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
    Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  5. En 2017, la colonie comptait $22$ tentes.
    Afin de déterminer à partir de quelle année il sera nécessaire de construire une nouvelle tente, on propose l’algorithme ci-dessous :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    U\leftarrow 160\\
    N\leftarrow 0\\
    \text{Tant que} \ldots\ldots\ldots\ldots \text{ faire}\\
    \hspace{1cm} U\leftarrow 0,8U+50\\
    \hspace{1cm} N\leftarrow \ldots\ldots\ldots\\
    \text{Fin tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    a. Recopier et compléter cet algorithme afin qu’il permette de répondre au problème.
    $\quad$
    b. Quelle est la valeur de $N$ obtenue après exécution de cet algorithme ?
    $\quad$

Exercice 4     5 points

On considère la fonction f définie et dérivable sur $[-2 ; 6]$ dont la courbe représentative C est donnée ci-dessous.
Le point $A$ de coordonnées $(0 ; 3)$ est l’unique point d’inflexion de la courbe $\mathscr{C}$ sur l’intervalle $[-2 ; 6]$.
La droite $T$ est la tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point $A$.
La courbe $\mathscr{C}$ admet une tangente horizontale au point $B$ d’abscisse $-1$.

Partie A

En utilisant le graphique, répondre aux questions suivantes :

  1. Déterminer $f(0)$.
    $\quad$
  2. Déterminer $f'(0)$. En déduire une équation de la tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point $A$.
    $\quad$
  3. Déterminer le signe de $f’$ sur $[-2 ; 6]$.
    $\quad$
  4. Donner la convexité de $f$ sur $[-2 ; 6]$.
    $\quad$
  5. Donner un encadrement par deux entiers consécutifs de $I = \ds \int_{-1}^0 f(x)\dx$.
    $\quad$

Partie B

La fonction $f$ est définie par $f(x) = (x +2)\e ^{-x} +1$ pour tout $x \in [-2 ; 6]$.

  1. Déterminer la valeur exacte de $f(6)$ puis en donner la valeur arrondie au centième.
    $\quad$
  2. Montrer que, pour tout $x \in [-2 ; 6]$, $f'(x) = (-x-1)\e^{-x}$.
    $\quad$
  3. Étudier le signe de $f’$ sur $[-2 ; 6]$ puis donner le tableau des variations de $f$ sur $[-2 ; 6]$.
    $\quad$
  4. Un logiciel de calcul formel donne l’information suivante :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{Dériver }\left((-x-3)\e^{-x}\right) \\
    \hline
    \hspace{5cm}(x+2)\e^{-x}\\
    \hline
    \end{array}$$
    a. Déterminer une primitive de $f$ sur $[-2 ; 6]$.
    $\quad$
    b. Calculer la valeur moyenne de $f$ sur $[-1 ; 0]$. On donnera sa valeur exacte puis sa valeur arrondie au dixième.
    $\quad$

 

Bac ES/L – Nouvelle Calédonie – Novembre 2018

Nouvelle Calédonie – Novembre 2018

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. Pour tout réel $x$ de l’intervalle $]0;5]$ on a $f(x)=x\ln(x)+1$.
    D’après l’énoncé, la fonction $f$ est dérivable sur $]0;5]$.
    On a $u(x)=x$ donc $u'(x)=1$
    et $v(x)=\ln(x)$ soit $v'(x)=\dfrac{1}{x}$
    Par conséquent :
    $\begin{align*} f'(x)&=\ln(x)+x\times \dfrac{1}{x} \\
    &=\ln(x)+1\end{align*}$
    Réponse d
    $\quad$
  2. Il semblerait que la courbe $C$ possède un point d’inflexion sur $[0;2]$.
    Réponse c
    $\quad$
  3. Sur $\R$ une primitive de la fonction $f$ définie par $f(x)=3\e^x$ est la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=3\e^x$.
    Ainsi :
    $\begin{align*}I&= \ds \int_0^{\ln 2} 3\e^x \dx \\
    &= F(\ln 2)-F(0)\\
    &=3\e^{\ln 2}-3 \\
    &=3\times 2-3 \\
    &=3\end{align*}$
    Réponse a
    $\quad$
  4. $P(X=3)=\ds\binom{10}{3}0,3^3\times (1-0,3)^{10-3}=120\times 0,3^3\times 0,7^7$
    $P(X\pg 1)=1-P(X=0)=1-0,7^{10}\approx 0,972 \checkmark$
    $E(X)=np=3$
    Réponse c
    $\quad$

Ex 2 obl

Exercice 2

Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L

  1. $u_1=490$
    Donc $u_2=(1-0,375)u_1+123 \approx 429$
    et $u_3=(1-0,375)u_2+123 \approx 391$
    Ainsi il y avait $429$ demandeurs d’emploi au début du deuxième trimestre et $391$ au début du troisième trimestre 2017.
    $\quad$
  2. $37,5\%$ des chômeurs trouvent un emploi et sont retirés des listes. Il en reste donc $62,5\%$ d’un trimestre sur l’autre. Cela représente donc $0,625u_n$.
    Chaque trimestre $123$ nouveaux demandeurs d’emploi s’inscrivent.
    Ainsi, pour tout entier naturel $n$ non nul on a $u_{n+1}=0,625u_n+123$.
    $\quad$
  3. a. Pour tout entier naturel $n$ non nul on a $v_n=u_n-328$ soit $u_n=v_n+328$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-328 \\
    &=0,625u_n+123-328 \\
    &=0,625u_n-205 \\
    &=0,625\left(v_n+328\right)-205\\
    &=0,625v_n+205-205\\
    &=0,625v_n
    \end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,625$ et de premier terme $v_1=u_1-328=162$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ non nul on a donc $v_n=162\times 0,625^{n-1}$.
    $\quad$
    c. Ainsi pour tout entier naturel $n$ non nul on a :
    $u_n=v_n+328=162\times 0,625^{n-1}+328$.
    $\quad$
  4. Au début du deuxième trimestre 2019 on a  $n=10$ :
    $u_{10}=162\times 0,625^9+328\approx 330$
    Il y aura donc environ $330$ demandeurs d’emploi au début du deuxième trimestre 2019.
    $\quad$
  5. On veut donc qu’il y ait au plus $0,7\times 490=343$ demandeurs d’emploi.
    On veut ainsi déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
    $\begin{align*} u_n\pp 343 &\ssi 162\times 0,625^{n-1}+328 \pp 343 \\
    &\ssi 162\times 0,625^{n-1} \pp 15 \\
    &\ssi 0,625^{n-1} \pp \dfrac{15}{162} \\
    &\ssi (n-1)\ln(0,625) \pp \ln \left(\dfrac{15}{162}\right) \\
    &\ssi n-1 \pg \dfrac{\ln \left(\dfrac{15}{162}\right)}{\ln(0,625)} \\
    &\ssi n \pg 1+\dfrac{\ln \left(\dfrac{15}{162}\right)}{\ln(0,625)} \end{align*}$
    Or $1+\dfrac{\ln \left(\dfrac{15}{162}\right)}{\ln(0,625)} \approx 6,06$.
    C’est donc à partir de $n=7$ que $u_n \pp 343$.
    Son objectif sera donc atteint à partir du troisième trimestre 2018.
    Remarque : on pouvait également calculer les sept premiers termes de la suite.
    $\quad$

Ex 2 spé

Exercice 2

Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

  1. a. Les sommets $A$ et $D$ ne sont pas adjacents. Le graphe n’est donc pas complet.
    $\quad$
    b. La chaîne $A-S-B-D-C-B-E-A$ contient tous les sommets du graphe.
    Le graphe est donc connexe.
    $\quad$
  2. Déterminons le degré des sommets :
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|s|}
    \hline
    \text{Sommet}&A&B&C&D&E&S \\
    \hline
    \text{Degré}&2&4&2&4&3&3\\
    \hline
    \end{array}$
    Il existe donc exactement deux sommets ($E$ et $S$) de degré impair. Le graphe étant connexe, il possède donc une chaîne eulérienne.
    Naïma pourra déposer ses affiches sur tous les panneaux en allant de son école de musique à la salle de spectacle et en empruntant une et une seule fois chaque piste cyclable.
    Il y a par exemple le trajet $E-D-B-C-D-S-B-E-A-S$.
    $\quad$
  3. La matrice d’adjacence est :
    $$M=\begin{pmatrix}
    0&1&1&0&1&0\\
    1&0&0&0&0&1\\
    1&0&0&1&1&1\\
    0&0&1&0&1&0\\
    1&0&1&1&0&1\\
    0&1&1&0&1&0\end{pmatrix}$$
    $\quad$
  4. a. On a ${M^2}_{(1,4)}=0\times 0+1\times 0+1\times 1+0\times 0+1\times 1+0\times 0=2$
    Puisqu’il y a autant de chemins permettant de se rendre du panneau $C$ à l’école de musique en empruntant exactement deux pistes cyclables que de chemins permettant de se rendre de l’école de musique au panneau $C$ en empruntant exactement deux pistes cyclables on a ${M^2}_{(4,1)}=2$.
    $\quad$
    b. D’après le coefficient de la matrice $M^2$ de la première ligne, sixième colonne est $3$. Il existe donc $3$ chemins permettant de se rendre de l’école de musique à la salle de spectacle en empruntant exactement deux pistes cyclables.
    $\quad$
  5. On va utiliser l’algorithme de Dijsktra
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    E&A&B&C&D&S&\text{Sommet}\\
    \hline
    0&  &   &   &   &  & E\\
    \hline
    \phantom{9(E)}  &9(E) &4(E) & &7(E)&  & B \\
    \hline
    &9(E) &  &6(B) &5(B)&12(B)  & D \\
    \hline
    &9(E) &  &6(B) & &8(D)  & C \\
    \hline
    &9(E) &  & & &8(D)  & S \\
    \hline
    &9(E) &  & & &  & A \\
    \hline
    \end{array}$
    Le chemin le plus court est donc $E-B-D-S$. Il a une durée de $8$ minutes.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. a. On a $P(C\cap R)=0,6\times 0,075=0,045$.
    $4,5\%$ des employés utilise les transports en commun et ont un trajet d’une durée inférieure à $30$ minutes.
    $\quad$
    b. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(R)&=P(C\cap R)+P\left(\conj{C}\cap R\right) \\
    &=0,6\times 0,075+0,4\times 0,285 \\
    &=0,159\end{align*}$
    $\quad$
  3. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_R(C)&=\dfrac{P(R\cap C)}{P(R)} \\
    &=\dfrac{0,045}{0,159} \\
    &\approx 0,283\end{align*}$
    La probabilité qu’il utilise les transports en commun sachant que le trajet a duré moins de $30$ minutes.
    $\quad$

Partie B

  1. D’après la calculatrice on a :
    $P(X\pp 30)=0,5-P(30\pp X\pp 40)\approx 0,159$
    On retrouve ainsi le résultat de la question A.2.b.
    $\quad$
  2. $P(20 \pp X \pp 40)=P(\mu-2\sigma\pp X \pp \mu+2\sigma) \approx 0,954$
    On a $P(X>60)=P(X<20)$
    et $P(X<20)+P(20\pp X \pp 60)+P(X>60)=1$
    Donc $2P(X>60)=1-P(20 \pp X \pp 60)$
    D’où $P(X>60)=\dfrac{1-P(20\pp X \pp 60)}{2} \approx 0,421$.
    $\quad$
  3. a. On obtient l’algorithme suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    a\leftarrow 60\\
    Y\leftarrow 0,023\\
    \text{Tant que } Y> 0,008\\
    \hspace{1cm}a\leftarrow a+1\\
    \hspace{1cm} P(X\pg a)\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. On obtient alors le tableau suivant :
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    a&60&61&62&63&64&65\\
    \hline
    Y&0,023&0,018&0,014&0,011&0,009&0,006\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
  4. On obtient ainsi, à l’aide de l’algorithme, la valeur $a=65$.
    Cela signifie qu’environ $0,8\%$ des employés ont un trajet qui dure plus de $65$ minutes.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

Partie A : lecture graphique

  1. Le coût de production de $200$ litres de peinture est, d’après le graphique, de $3~000$ euros.
    $\quad$
  2. D’après le graphique, il faut produire $500$ litres de peinture pour avoir une recette de $5~000$ euros.
    $\quad$
  3. L’entreprise réalise un bénéfice à partir de $320$ litres de peinture vendus.
    $\quad$
  4. Le plus grand bénéfice, d’après le graphique, est obtenu quand $800$ litres de peinture sont vendus. Le bénéfice est alors d’environ $2~000$ euros.
    L’entreprise ne peut donc pas réaliser un bénéfice de plus de $3~000$ euros pour une production quotidienne variant entre $0$ et $800$ litres.
    $\quad$

Partie B : étude du bénéfice

  1. $f(0)=0-150\e=-150\e$
    $f(8)=200-150\e^{-3}$
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[0;8]$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $\begin{align*} f'(x)&=25-150\times (-0,5)\e^{-0,5x+1} \\
    &=25+75\e^{-0,5x+1}\end{align*}$
    $\quad$
  3. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Par conséquent $f'(x)>25>0$.
    La fonction $f$ est donc strictement croissante sur l’intervalle $[0;8]$.
    $\quad$
  4. a. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur l’intervalle $[0;8]$.
    $f(0) \approx -408<0$ et $f(8) \approx 193>0$
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires l’équation $f(x)=0$ possède donc une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[0;8]$.
    Et $\alpha \approx 3,24$
    $\quad$
    b. L’entreprise réalise donc un bénéfice à partir de $324$ litres de peinture produite et vendue.
    $\quad$

 

Énoncé

Exercice 1     4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point. Aucune justification n’est demandée.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la lettre de la réponse choisie.

  1. Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur $]0;5]$ par $f(x)=x\ln(x)+1$. Pour tout $x\in]0;5]$,
    a. $f'(x)=\dfrac{1}{x}$
    b. $f'(x)=\dfrac{1}{x}+1$
    c. $f'(x)=\ln(x)+2$
    d. $f'(x)=\ln(x)+1$
    $\quad$
  2. On donne ci-dessous la courbe $C$ représentant une fonction $g$ sur $[0;2]$.

    a. $g$ est concave sur l’intervalle $[0;2]$.
    b. $g\dsec(x) \pg 0$ pour tout $x\in[0;2]$.
    c. La courbe $C$ admet un point d’inflexion sur $[0;2]$.
    d. $g'(1)>0$.
    $\quad$
  3. Soit $I=\ds\int_0^{\ln(2)} 3\e^x \dx$. On a :
    a. $I=3$
    b. $I=6$
    c. $I=-3$
    d. $I=3\ln(2)$
    $\quad$
  4. Pour tout événement $E$, on note $P(E)$ sa probabilité. Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètre $n=10$ et $p=0,3$.
    a. $P(X=3)=120\times 0,3^2\times 0,7^8$
    b. $P(X=3)=12\times 0,3^3\times 0,7^7$
    c. $P(X\pg 1)\approx 0,972$
    d. L’espérance de $X$ est $5,15$
    $\quad$

Exercice 2     5 points

Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L

Dans un quartier d’une petite ville, les services de Pôle Emploi ont relevé le nombre de demandeurs d’emploi chaque trimestre.
Après observations, ils constatent que, chaque trimestre, $123$ nouveaux demandeurs d’emploi s’inscrivent tandis que $37,5 \%$ des chômeurs trouvent un emploi et sont retirés des
listes.
Au début du premier trimestre 2017 (1$\ier$ janvier 2017), le nombre de demandeurs d’emploi était de $490$.

On note $u_n$ le nombre de demandeurs d’emploi au début du $n$-ième trimestre après le 1$\ier$ janvier 2017.
Ainsi, $u_1 = 490$.

Dans tout l’exercice, les valeurs seront arrondies à l’unité.

  1. Calculer le nombre de demandeurs d’emploi au début du deuxième et du troisième trimestre 2017.
    $\quad$
  2. Justifier que l’on peut modéliser la situation précédente par la relation, pour tout entier $n\in\N^*$ : $$ u_{n+1}= 0,625u_n + 123$$
    $\quad$
  3. On définit la suite $\left(v_n\right)$ par : pour tout entier $n\in \N^*$, $v_n=u_n-328$.
    a. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le terme initial.
    $\quad$
    b. Exprimer, pour tout entier $n\in\N^*$, $v_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
    c. En déduire que, pour tout entier $n\in\N*$, on a $u_n = 162 × 0,625^{n-1} + 328$.
    $\quad$
  4. Calculer le nombre de demandeurs d’emploi au début du deuxième trimestre 2019.
    $\quad$
  5. Le directeur de l’agence pourra-t-il atteindre son objectif de diminuer le nombre de demandeurs d’emploi de $30 \%$ par rapport au premier trimestre 2017 ? Si oui, indiquer à quelle date son objectif sera atteint. Justifier la réponse.
    $\quad$

Exercice 2     5 points

Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Naïma fait partie d’une école de musique. En vue du spectacle de fin d’année, elle souhaite déposer à vélo des affiches publicitaires sur les panneaux de sa ville. Les pistes cyclables reliant
ces panneaux sont représentées sur le graphe $\mathscr{G}$ ci-dessous.
Le sommet $E$ désigne son école de musique, le sommet $S$ la salle de spectacle et les sommets $A$, $B$, $C$, et $D$ les panneaux d’affichage.

  1. Déterminer, en justifiant la réponse, si le graphe $\mathscr{G}$ est :
    a. complet;
    $\quad$
    b. connexe.
    $\quad$
  2. Naïma pourra-t-elle déposer ses affiches sur tous les panneaux en allant de son école de musique à la salle de spectacle et en empruntant une et une seule fois chaque piste cyclable ?
    Justifier la réponse. Si un tel trajet existe, en citer un.
    $\quad$
  3. Donner la matrice d’adjacence $M$ liée à ce graphe dans laquelle les sommets seront classés dans l’ordre suivant : $E$, $A$, $B$, $C$, $D$, $S$.
    $\quad$
  4. On donne la matrice incomplète $M^2$ : $M^2 =\begin{pmatrix}3&0&1&\ldots&1&3\\0&2&2&0&2&0\\1&2&4&1&3&1\\\ldots&0&1&2&1&2\\1&2&3&1&4&1\\3&0&1&2&1&3\end{pmatrix}$.
    a. Déterminer les coefficients manquants de la matrice $M^2$, en détaillant les calculs.
    $\quad$
    b. Combien existe-t-il de chemins permettant de se rendre de l’école de musique à la salle de spectacle en empruntant exactement deux pistes cyclables ?
    $\quad$
  5. Lorsqu’elle a déposé ses affiches, Naïma a relevé le temps de trajet entre chaque panneau d’affichage. Le graphe ci-dessous indique ces durées, exprimées en minutes.

    Indiquer, à l’aide d’un algorithme, le chemin permettant à Naïma de se rendre le plus rapidement possible de son école de musique à la salle de spectacle le soir de la représentation.
    Donner la durée de ce parcours.
    $\quad$

Exercice 3     6 points

Dans une entreprise, $60 \%$ des salariés viennent au travail en transports en commun et parmi eux, seulement $7,5 \%$ ont un trajet d’une durée inférieure à $30$ minutes. Parmi les employés qui n’utilisent pas les transports en commun, $28,5 \%$ ont un trajet d’une durée inférieure à $30$ minutes.

Pour tout événement $E$, on note $\conj{E}$ l’événement contraire de $E$ et $P(E)$ sa probabilité. Pour tout événement $F$ de probabilité non nulle, on note $P_F(E)$ la probabilité de $E$ sachant que $F$ est réalisé.

On interroge au hasard un employé de l’entreprise et on considère les événements suivants :

  • $C$ : « l’employé utilise les transports en commun » ;
  • $R$ : « le trajet de l’employé a une durée inférieure à $30$ minutes ».

Dans cet exercice, les résultats seront arrondis au millième.

Partie A

  1. Construire l’arbre pondéré représentant la situation et le compléter.
    $\quad$
  2. a. Calculer $P(C\cap R)$ et interpréter le résultat obtenu.
    $\quad$
    b. Montrer que $P(R)=0,159$
    $\quad$
  3. On interroge un employé choisi au hasard dont la durée du trajet est inférieure à $30$ minutes. Calculer la probabilité qu’il utilise les transports en commun.
    $\quad$

Partie B

Une étude a montré que la durée du trajet en minutes d’un employé peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale d’espérance $\mu = 40$ et d’écart type $\sigma = 10$.

  1. Déterminer $P(X\pp 30)$. Indiquer si ce résultat est cohérent avec la partie A, en justifiant la réponse.
    $\quad$
  2. Déterminer $P(20 \pp X\pp 60)$ et en déduire $P(X>60)$.
    $\quad$
  3. Dans cette question, on se propose de déterminer le plus petit entier $a$ tel que $P(X\pg a)\approx 0,008$.
    a. On admet que lorsque la valeur de $a$ augmente, la valeur de $P(X\pg a)$ diminue.
    On considère l’algorithme ci-dessous, où $X$ est une variable aléatoire qui suit une loi normale d’espérance $\mu = 40$ et d’écart type $\sigma = 10$.
    Recopier et compléter l’algorithme afin qu’il permette de répondre à la question.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    a\leftarrow 60\\
    Y\leftarrow 0,023\\
    \text{Tant que }Y>0,008\\
    \hspace{1cm} a\leftarrow \ldots\\
    \hspace{1cm} Y\leftarrow P(X\pg a)\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. On exécute cet algorithme.
    Recopier et compléter le tableau suivant, en utilisant autant de colonnes que nécessaire.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    ~~a~~&60&61&62&&&\\
    \hline
    ~~Y~~&0,023&0,018&0,014&\phantom{0,023}&\phantom{0,023}&\phantom{0,023}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  4. Donner la valeur de $a$ obtenue après exécution de l’algorithme.
    Interpréter ce résultat dans le contexte de l’énoncé.
    $\quad$

Exercice 4     5 points

L’entreprise ECOLOR est spécialisée dans la production et la vente de peinture écoresponsable. La production quotidienne varie entre 0 et 800 litres. Toute la production est vendue. Les montants de la recette et du coût sont exprimés en dizaine d’euros.

 

Partie A : lecture graphique

À l’aide du graphique ci-dessus, répondre aux questions suivantes.

  1.  Déterminer le coût de production de $200$ litres de peinture.
    $\quad$
  2. Quelle est la production de peinture pour avoir une recette de $5~000$ euros ?
    $\quad$
  3. À partir de combien de litres de peinture vendus l’entreprise réalise-t-elle un bénéfice ?
    $\quad$
  4. L’entreprise peut-elle réaliser un bénéfice de plus de $3~000$ euros pour une production quotidienne variant entre $0$ et $800$ litres ? Justifier.
    $\quad$

Partie B : étude du bénéfice

Le bénéfice en dizaine d’euros correspondant à la vente de $x$ centaines de litres de peinture est donné par la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0 ; 8]$ par :

$$f(x) = 25x−150\e^{-0,5x+1}$$

  1. Donner les valeurs exactes de $f(0)$ et de $f(8)$, puis en donner les valeurs arrondies au centième.
    $\quad$
  2. Montrer que la dérivée $f’$ de la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0 ; 8]$ est : $$f'(x) = 25 + 75\e^{-0,5x+1}$$
    $\quad$
  3. Déterminer le signe de $f’$ et en déduire les variations de $f$ sur l’intervalle $[0 ; 8]$.
    $\quad$
  4. a. Justifier que l’équation $f(x)= 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[0 ; 8]$ puis en donner la valeur arrondie au centième.
    $\quad$
    b. En déduire la quantité de peinture produite et vendue à partir de laquelle l’entreprise ECOLOR réalisera un bénéfice. Donner le résultat au litre près.
    $\quad$

 

Bac ES/L – Amérique du Sud – Novembre 2018

Amérique du Sud – Novembre 2018

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. La fonction $f$ est dérivable sur $[0;12]$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;12]$ on note :
    $u(x)=2x$ et $v(x)=\e^{-x}$
    Donc $u'(x)=2$ et $v'(x)=-1\times \e^{-x}$
    $\begin{align*} f'(x)&=2\times \e^{-x}+2x\times \left(-1\times \e^{-x}\right) \\
    &=(2-2x)\e^{-x}\\
    &=2(1-x)\e^{-x}\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $1-x$.
    Or $1-x=0 \ssi x=1$ et $1-x>0 \ssi 1>x$
    On obtient donc le tableau de variation suivant :

    $\quad$
    b. Sur l’intervalle $[0;1]$ la fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante.
    On a $f(0)=0<0,5$ et $f(1)=2\e^{-1}\approx 0,74 > 0,5$
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $f(x)=0,5$ admet une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[0;1]$ et $\alpha \approx 0,36$.
    $\quad$
    Sur l’intervalle $[1;12]$ la fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante.
    On a $f(1)=2\e^{-1}\approx 0,74 > 0,5$ et $f(12)=24\e^{-12}\approx 0,0001<0,5$
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $f(x)=0,5$ admet une unique solution $\beta$ sur l’intervalle $[1;12]$ et $\beta \approx 2,15$.
    $\quad$
    L’équation $f(x)=0,5$ admet donc exactement deux solutions sur l’intervalle $[0;12]$ dont les valeurs approchées au centième sont  $\alpha \approx 0,36$ et $\beta \approx 2,15$.
    $\quad$
  3. D’après les résultats du logiciel de calcul formel on a :
    $f\dsec(x)=2(x-2)\e^{-x}$.
    La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $f\dsec(x)$ ne dépend donc que de celui de $x-2$.
    Or $x-2=0 \ssi x=2$ et $x-2>0 \ssi x>2$.
    La fonction $f$ est donc concave sur l’intervalle $[0;2]$ et convexe sur l’intervalle $[2;12]$.
    $\quad$

Partie B

  1. a. D’après la question 2.a. le taux d’alcoolémie de cette personne augmente lors de la première heure et diminue ensuite.
    D’après l’étude de la convexité de la fonction $f$, c’est à partir de la deuxième heure que la diminution du taux d’alcoolémie s’accélère.
    $\quad$
    b. La fonction $f$ admet un maximum en $1$ et $f(1)=2\e^{-1}\approx 0,73$.
    Le taux d’alcoolémie est maximal au bout d’une heure et vaut environ $0,73$ g/L.
    $\quad$
  2. D’après la réponse à la question 2.b. le taux d’alcoolémie de l’automobiliste reprend une valeur conforme à la législation au bout de $2,16$ heures soit $2$ heures et $10$ minutes.
    En effet $\beta \approx 2,153 \in ]2,15;2,16[$.
    À $2,15$ heures le taux d’alcoolémie de l’automobiliste ne lui permet pas encore de conduire.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
    $\quad$
  2. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(R)&=p(R\cap D)+p\left(R\cap \conj{R}\right) \\
    &=0,3\times 0,98+0,7\times 0,95 \\
    &=0,959\end{align*}$
    La probabilité que la valise choisie réussie les tests est de $0,959$.
    $\quad$
  3. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_R\left(\conj{D}\right) &=\dfrac{p\left(R\cap\conj{D}\right)}{p(R)} \\
    &=\dfrac{0,7\times 0,95}{0,959} \\
    &\approx 0,693\end{align*}$
    La probabilité que la valise choisie ait quatre roues sachant qu’elle a réussi les tests est d’environ $0,693$.
    $\quad$

Partie B

  1. On veut calculer $P(X\pg 52)=0,5-P(41\pp X <52) \approx 0,033$
    La probabilité qu’une valise à deux roues ait une durée de vie supérieure à $52$ kilomètres est d’environ $0,033$.
    $\quad$
  2. On a $\mu=41$ et $\mu’=52$.
    La courbe 1 représente donc la fonction de densité de la variable aléatoire $X$ et la courbe 2 représente donc la fonction de densité de la variable aléatoire $Y$.
    On a ainsi $P(Y\pg 52)=0,5$
    Or $P(Y\pg 50) \pg P(Y\pg 52)$ donc $P(Y\pg 50)\pg 0,5$.
    Mais $P(X\pp 41)=0,5$ et $P(X \pp 50) > P(X \pp 41)$
    Donc $P(X \pp 50)\pg 0,5$ et $P(X \pg 50)\pp 0,5$.
    La probabilité que la valise à quatre roues ait une durée de vie supérieure ou égale à $50$ kilomètres est donc supérieure à la probabilité que la valise à deux roues ait une durée de vie supérieure ou égale à $50$ kilomètres.
    $\quad$

Partie C

  1. On a $n=2~000$ et $f=\dfrac{872}{2~000}=0,436$.
    Ainsi $n\pg 30$, $nf=872 \pg 5$ et $n(1-f)=1~128\pg 5$.
    Un intervalle de confiance au niveau de confiance de $95\%$ de la proportion de consommateurs pour lesquels est le principal critère de choix est :
    $\begin{align*} I_{2~000}&=\left[0,436-\dfrac{1}{\sqrt{2~000}};0,436+\dfrac{1}{\sqrt{2~000}}\right] \\
    &\approx [0,413;0,459]
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. Un intervalle de confiance au niveau de confiance de $95\%$ est de la forme $\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}};f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$.
    L’amplitude d’un tel intervalle est :
    $f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\left(f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right)=\dfrac{2}{\sqrt{n}}$.
    On veut donc résoudre l’équation :
    $\dfrac{2}{\sqrt{n}}=0,04 \ssi \sqrt{n}=\dfrac{2}{0,04} \ssi \sqrt{n}=50$.
    Par conséquent $n=50^2=2~500$.
    La taille de l’échantillon pour obtenir un intervalle de confiance d’amplitude égale à $0,04$ est donc de $2~500$.
    $\quad$

Ex 3 obl

Exercice 3

Candidats de ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de L.

  1. a. $97\%$ des ascenseurs entretenus par la société A seront toujours entretenu l’année suivante et $5\%$ des ascenseurs entretenus par la société B seront entretenus par la société A l’année suivante.
    Ainsi :
    $\begin{align*} a_1&=0,97a_0+0,05b_0 \\
    &=0,97\times 0,3+0,05\times 0,7\\
    &=0,326\end{align*}$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} a_{n+1}&=\left(1-\dfrac{3}{100}\right)a_n+\dfrac{5}{100}b_n \\
    &=0,97a_n+0,05b_n
    \end{align*}$
    On sait de plus que les deux sociétés se partagent le marché. Donc $a_n+b_n=1$ soit $b_n=1-a_n$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} a_{n+1}&=0,97a_n+0,05b_n \\
    &=0,97a_n+0,05\left(1-a_n\right) \\
    &=0,97a_n+0,05-0,05a_n\\
    &=0,92a_n+0,05\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. Le test de la boucle Tant que de l’algorithme 2 n’est pas correct : avec la valeur initiale $A=0,3$ on ne parcourt jamais cette boucle.
    Dans l’algorithme 3, la valeur de la variable $N$ n’est modifiée qu’une seule fois, après avoir parcourue la boucle tant que.
    C’est donc l’algorithme 1 qui donne l’année à partir de laquelle la proportion d’ascenseurs entretenus par la société A dépasse $50\%$.
    $\quad$
    b. Voici l’évolution des valeurs prises par les variables $A$ et $N$ au fil du temps, arrondies au milième :
    $\begin{array}{|c|c|}
    \hline
    N&A\\
    \hline
    0&0,3\\
    \hline
    1&0,326\\
    \hline
    2&0,350\\
    \hline
    3&0,372\\
    \hline
    4&0,392\\
    \hline
    5&0,411\\
    \hline
    6&0,428\\
    \hline
    7&0,444\\
    \hline
    8&0,458\\
    \hline
    9&0,472\\
    \hline
    10&0,484\\
    \hline
    11&0,495\\
    \hline
    12&0,506\\
    \hline\end{array}$
    L’algorithme affiche donc l’année $2029$.
    $\quad$
  3. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=a_n-0,625$ soit $a_n=u_n+0,625$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} u_{n+1}&=a_{n+1}-0,625 \\
    &=0,92a_n+0,05-0,625\\
    &=0,92a_n-0,575\\
    &=0,92\left(u_n+0,625\right)-0,575\\
    &=0,92u_n+0,575-0,575\\
    &=0,92u_n\end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,92$ et de premier terme $u_0=a_0-0,625=-0,325$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_n=-0,325\times 0,92^n$.
    On a également $a_n=u_n+0,625=0,625-0,325\times 0,92^n$.
    $\quad$
    c. On a $0<0,92<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,92^n=0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} a_n=0,625$.
    Cela signifie donc, qu’au bout d’un grand nombre d’années, la proportion des ascenseurs seront entretenus par la société A se stabilisera autour de $62,5\%$.
    $\quad$
  4. On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
    $\begin{align*} a_n \pg 0,5 &\ssi 0,625-0,325\times 0,92^n \pg 0,5 \\
    &\ssi -0,325\times 0,92^n \pg -0,125 \\
    &\ssi 0,92^n \pp \dfrac{5}{13} \\
    &\ssi n\ln 0,92 \pp \ln \dfrac{5}{13} \\
    &\ssi n \pg \dfrac{\ln \dfrac{5}{13}}{\ln 0,92}\end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln \dfrac{5}{13}}{\ln 0,92} \approx 11,46$.
    C’est donc à partir de $n=12$ que $a_n \pg 0,5$.
    On retrouve ainsi la réponse à la question 2.b.$\quad$

Ex 3 spé

Exercice 3

Candidats de ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

  1. a. On obtient le graphe probabiliste suivant :

    $\quad$
    b. La matrice de transition est donc : $M=\begin{pmatrix} 0,97&0,03 \\0,05&0,95\end{pmatrix}$
    $\quad$
  2. On a $P_1=P_0\times M=\begin{pmatrix} 0,326&0,674\end{pmatrix}$
    Par conséquent la probabilité que l’ascenseur choisi soit entretenu par la société A en 2018 est de $32,6\%$.
    $\quad$
  3. On a :
    $\begin{align*} P\times M&=\begin{pmatrix} 0,625\times 0,97+0,05\times 0,375&0,03\times 0,625+0,95\times 0,375 \end{pmatrix} \\
    &=\begin{pmatrix} 0,625&0,375\end{pmatrix} \\
    &=P\end{align*}$
    $P$ est donc un état stable de la matrice $M$.
    Sur le long terme, $62,5\%$ des ascenseurs seront entretenus par la société A et $32,5\%$ le seront par la société B.
    $\quad$
  4. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $P_{n+1}=P_n\times M$
    $\ssi \begin{pmatrix} a_{n+1}&b_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0,97a_n+0,05b_n&0,03a_n+0,95b_n\end{pmatrix}$.
    Par conséquent $a_{n+1}=0,97a_n+0,05b_n$.
    On sait de plus que les deux sociétés se partagent le marché. Donc $a_n+b_n=1$ soit $b_n=1-a_n$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} a_{n+1}&=0,97a_n+0,05b_n \\
    &=0,97a_n+0,05\left(1-a_n\right) \\
    &=0,97a_n+0,05-0,05a_n\\
    &=0,92a_n+0,05\end{align*}$
    $\quad$

Partie B

  1. a. Le test de la boucle Tant que de l’algorithme 2 n’est pas correct : avec la valeur initiale $A=0,3$ on ne parcourt jamais cette boucle.
    Dans l’algorithme 3, la valeur de la variable $N$ n’est modifiée qu’une seule fois, après avoir parcourue la boucle tant que.
    C’est donc l’algorithme 1 qui donne l’année à partir de laquelle la proportion d’ascenseurs entretenus par la société A dépasse $50\%$.
    $\quad$
    b. Voici l’évolution des valeurs prises par les variables $A$ et $N$ au fil du temps, arrondies au milième :
    $\begin{array}{|c|c|}
    \hline
    N&A\\
    \hline
    0&0,3\\
    \hline
    1&0,326\\
    \hline
    2&0,350\\
    \hline
    3&0,372\\
    \hline
    4&0,392\\
    \hline
    5&0,411\\
    \hline
    6&0,428\\
    \hline
    7&0,444\\
    \hline
    8&0,458\\
    \hline
    9&0,472\\
    \hline
    10&0,484\\
    \hline
    11&0,495\\
    \hline
    12&0,506\\
    \hline\end{array}$
    L’algorithme affiche donc l’année $2029$.
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=a_n-0,625$ soit $a_n=u_n+0,625$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} u_{n+1}&=a_{n+1}-0,625 \\
    &=0,92a_n+0,05-0,625\\
    &=0,92a_n-0,575\\
    &=0,92\left(u_n+0,625\right)-0,575\\
    &=0,92u_n+0,575-0,575\\
    &=0,92u_n\end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,92$ et de premier terme $u_0=a_0-0,625=-0,325$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_n=-0,325\times 0,92^n$.
    On a également $a_n=u_n+0,625=0,625-0,325\times 0,92^n$.
    $\quad$
    c. On a $0<0,92<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,92^n=0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} a_n=0,625$.
    Cela signifie donc, qu’au bout d’un grand nombre d’années, la proportion des ascenseurs seront entretenus par la société A se stabilisera autour de $62,5\%$.
    $\quad$
  3. On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
    $\begin{align*} a_n \pg 0,5 &\ssi 0,625-0,325\times 0,92^n \pg 0,5 \\
    &\ssi -0,325\times 0,92^n \pg -0,125 \\
    &\ssi 0,92^n \pp \dfrac{5}{13} \\
    &\ssi n\ln 0,92 \pp \ln \dfrac{5}{13} \\
    &\ssi n \pg \dfrac{\ln \dfrac{5}{13}}{\ln 0,92}\end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln \dfrac{5}{13}}{\ln 0,92} \approx 11,46$.
    C’est donc à partir de $n=12$ que $a_n \pg 0,5$.
    On retrouve ainsi la réponse à la question 1.b.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. On a $n=400$ et $p=0,1$.
    Donc $n\pg 30$, $np=40\pg 5$ et $n(1-p)=360\pg 5$.
    Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de la proportion de présence du caractère dans la population est :
    $\begin{align*} I_{400}&=\left[0,1-1,96\sqrt{\dfrac{0,1\times 0,9}{400}};0,1+1,96\sqrt{\dfrac{0,1\times 0,9}{400}}\right] \\
    &=[0,070~6;0,129~4]\end{align*}$
    La fréquence observée est $f=\dfrac{78}{400}=0,195\notin I_{400}$.
    Au risque d’erreur de $5\%$, cet échantillon n’est pas représentatif de la population totale pour ce caractère.
    Affirmation 1 fausse
    $\quad$
  2. Le temps d’attente moyen à ce guichet est $E(X)=\dfrac{1+7}{2}=4$ minutes.
    Affirmation 2 vraie
    $\quad$
  3. Une primitive de la fonction $g$ sur $\R$ est la fonction $G$ définie sur $\R$ par $G(x)=\dfrac{x^3}{3}$.
    La valeur moyenne de la fonction $g$ sur l’intervalle $[-2;2]$ est :
    $\begin{align*} m&=\dfrac{1}{2-(-2)}\times \ds \int_{-2}^2 g(x)\dx \\
    &=\dfrac{G(2)-G(-2)}{4} \\
    &=\dfrac{1}{4}\times \left(\dfrac{8}{3}+\dfrac{8}{3}\right) \\
    &=\dfrac{4}{3}\\
    &\notin \dfrac{16}{3}\end{align*}$
    Affirmation 3 fausse
    $\quad$
  4. Pour tout réel $x$ négatif on a :
    $\begin{align*} \ln\left(\e^{x+1}\right)-\ln\left(\e^x\right)\\
    &=\ln\left(\dfrac{\e^{x+1}}{\e^x}\right) \\
    &=\ln\left(\e^1\right) \\
    &=1\\
    &>0\end{align*}$
    Affirmation 4 vraie
    $\quad$
    Remarque : On pouvait également écrire :
    $\ln\left(\e^{x+1}\right)-\ln\left(\e^x\right)=(x+1)-x=1$
    $\quad$

 

Énoncé

Exercice 1     5 points

$f$ est la fonction définie sur $[0;12]$ par $fx)=2x\e^{-x}$.

Partie A

Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants :

$$\begin{array} {|c|l|}
\hline
1&\begin{array}{l}
\text{Dériver(2*x*exp(-x))}\\ \hline \hspace{3cm}\hfill-2*x*\exp(-x)+2*\exp(-x)\end{array}\\
\hline
2&\begin{array}{l}
\text{Factoriser(-2*x*exp(-x)+2*exp(-x))}\\ \hline \hspace{5cm}\hfill 2*(1-x)*\exp(-x)\end{array}\\
\hline
3&\begin{array}{l}
\text{Dériver(2*(1-x)*exp(-x))}\\ \hline \hspace{3.42cm}\hfill 2*x*\exp(-x)-4*\exp(-x)\end{array}\\
\hline
4&\begin{array}{l}
\text{Factoriser(2*x*exp(-x)-4*exp(-x)) }\\ \hline \hspace{5cm}\hfill 2*(x-2)*\exp(-x)\end{array}\\
\hline
\end{array}$$

  1. Vérifier le résultat de la ligne 1 donné par le logiciel de calcul formel.

Dans la suite, on pourra utiliser les résultats donnés par le logiciel de calcul formel sans les justifier. 

  1. a. Dresser le tableau des variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;12]$ en le justifiant.
    $\quad$
    b. Démontrer que l’équation $f(x)=0,5$ admet deux solutions dans $[0;12]$.
    Donner à l’aide de la calculatrice une valeur approchée au centième de chacune de ces solutions.
    $\quad$
  2. Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;12]$.
    $\quad$

Partie B

Le taux d’alcoolémie d’une personne pendant les $12$ heures suivant la consommation d’une certaine quantité d’alcool est modélisé par la fonction $f$ :

  • $x$ représente le temps (exprimé en heure) écoulé depuis la consommation d’alcool ;
  • $f(x)$ représente le taux d’alcoolémie (exprimé en g/L) de cette personne.
  1. a. Décrire les variations du taux d’alcoolémie de cette personne pendant les $12$ heures suivant la consommation d’alcool.
    $\quad$
    b. À quel instant le taux d’alcoolémie de cette personne est-il maximal ?
    Quelle est alors sa valeur ? Arrondir au centième.
    $\quad$
  2. Le Code de la route interdit toute conduite d’un véhicule lorsque le taux d’alcoolémie est supérieur ou égal à $0,5$ g/L.
    Une fois l’alcool consommé, au bout de combien de temps le taux d’alcoolémie de l’automobiliste reprend-il une valeur conforme à la législation ?
    $\quad$

Exercice 2     6 points

Tous les résultats demandés dans cet exercice seront arrondis au millième.
Les parties A, B et C peuvent être traitées de façon indépendante.

Partie A

Une entreprise produit des valises de deux types : des valises à deux roues et des valises à quatre roues. Sur chacun des deux modèles, on effectue des tests afin d’évaluer leur solidité.
On dispose des informations suivantes sur le stock de production de cette entreprise :

  • le stock contient $30 \%$ de valises à deux roues ;
  • $98 \%$ des valises à deux roues réussissent les tests ;
  • $95 \%$ des valises à quatre roues réussissent les tests.

On choisit au hasard une valise de ce stock. On considère les événements suivants :

  • $D$ : « La valise a deux roues » ;
  • $R$ : « La valise réussit les tests ».
  1. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous, illustrant cette situation.

    $\quad$
  2. Démontrer que la probabilité que la valise choisie réussisse les tests est de $0,959$.
    $\quad$
  3. Sachant que la valise réussit les tests, quelle est la probabilité que ce soit une valise à quatre roues ?
    $\quad$

Partie B

Parmi les tests de solidité effectués, l’un d’eux consiste à charger la valise et à la faire rouler sur une piste bosselée. On appelle « durée de vie » de la valise, le nombre de kilomètres parcourus avant d’atteindre une certaine usure des roues.

On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque valise à deux roues, associe sa durée de vie en kilomètre. On admet que $X$ suit la loi normale d’espérance $\mu = 41$ et d’écart-type $\sigma=6$.

On note $Y$ la variable aléatoire qui, à chaque valise à quatre roues, associe sa durée de vie en kilomètre. On admet que $Y$ suit la loi normale d’espérance $\mu’= 52$ et d’écart-type $\sigma’=10$.

  1. Quelle est la probabilité qu’une valise à deux roues ait une durée de vie supérieure à $52$ kilomètres ?
    $\quad$
  2. Sur le graphique ci-dessous, on a représenté les densités associées aux variables aléatoires $X$ et $Y$.
    À l’aide de ce graphique, déterminer pour quel type de valise (à deux roues ou à quatre roues) la probabilité que la durée de vie soit supérieure ou égale à $50$ kilomètres est la plus grande. Expliquer.

    $\quad$

Partie C

L’entreprise souhaite commercialiser un nouveau modèle de valises. Afin de mieux connaître les attentes des consommateurs, elle réalise un sondage auprès de $2~000$ personnes. Parmi elles, $872$ déclarent que la solidité est le principal critère pris en compte lors de l’achat (devant la légèreté, le prix, la couleur…).

  1. Estimer par un intervalle de confiance au niveau de confiance de $95 \%$ la proportion de consommateurs pour lesquels la solidité est le principal critère de choix.
    $\quad$
  2. Quelle aurait dû être la taille de l’échantillon pour obtenir un intervalle de confiance d’amplitude égale à $0,04$ ?
    $\quad$

Exercice 3     5 points

Élèves de ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et élèves de L

On s’intéresse à l’ensemble des ascenseurs d’une grande ville en 2017. Pour chacun d’eux, un contrat annuel d’entretien doit être souscrit.

Deux sociétés d’ascensoristes, notées $A$ et $B$, se partagent ce marché.
En 2017, la société $A$ entretient $30 \%$ de ces ascenseurs.

On estime que, chaque année :

  • $3 \%$ des ascenseurs entretenus par la société $A$ seront entretenus par la société $B$ l’année suivante ;
  • $5 \%$ des ascenseurs entretenus par la société $B$ seront entretenus par la société $A$ l’année suivante ;
  • les autres ascenseurs ne changeront pas de société d’ascensoristes l’année suivante.

On étudie l’évolution, au fil des années, de la répartition des contrats d’entretien de ces ascenseurs entre les sociétés $A$ et $B$.

On note $a_n$ la proportion d’ascenseurs entretenus par la société $A$ pendant l’année $($2017 + $n)$. De même, on note $b_n$ la proportion d’ascenseurs entretenus par la société $B$ lors de l’année $($2017 +$n)$.

On a donc $a_0=0,3$ et $b_0=0,7$.

  1. a. Calculer$a_1$. Interpréter le résultat.
    $\quad$
    b. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $a_{n+1}=0,97a_n+0,05b_n$ puis en déduire que $a_{n+1}=0,92a_n+0,05$
    $\quad$
  2. a. Le directeur de la société $A$ constate que la proportion d’ascenseurs entretenus par sa société augmente au cours des années et se stabilise à $62,5 \%$.
    Indiquer, en le justifiant, lequel des algorithmes suivants donne l’année à partir de laquelle cette proportion dépasse $50 \%$.
    $$\begin{array}{lll}
    \begin{array}{|l|}
    \hline
    \hspace{1.5cm} \text{Algorithme } 1\\
    \hline
    A\leftarrow 0,3\\
    N\leftarrow 0\\
    \text{Tant que }A\pp 0,5\\
    \hspace{1cm} A\leftarrow0,92\times A+0,05\\
    \hspace{1cm} N\leftarrow N+1\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \text{Afficher }2017+N\\
    \hline
    \end{array}&
    \begin{array}{|l|}
    \hline
    \hspace{1.5cm} \text{Algorithme } 2\\
    \hline
    A\leftarrow 0,3\\
    N\leftarrow 0\\
    \text{Tant que }A> 0,5\\
    \hspace{1cm} A\leftarrow0,92\times A+0,05\\
    \hspace{1cm} N\leftarrow N+1\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \text{Afficher }2017+N\\
    \hline
    \end{array}&
    \begin{array}{|l|}
    \hline
    \hspace{1.5cm} \text{Algorithme } 3\\
    \hline
    A\leftarrow 0,3\\
    N\leftarrow 0\\
    \text{Tant que }A\pp 0,5\\
    \hspace{1cm} A\leftarrow0,92\times A+0,05\\
    \text{Fin Tant que}\\
    N\leftarrow N+1\\
    \text{Afficher }2017+N\\
    \hline
    \end{array}\end{array}$$
    $\quad$
    b. Exécuter l’algorithme qui détermine l’année en question.
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n$, on pose , $u_n=a_n-0,625$.
    a. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme $u_0$.
    $\quad$
    b. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a : $$a_n=-0,325\times 0,92^n+0,625$$
    $\quad$
    c. Déterminer la limite de la suite $\left(a_n\right)$. Interpréter le résultat.
    $\quad$
  4. À l’aide de l’expression donnée dans la question 3.b. , résoudre l’inéquation $a_n\pg 0,5$. Quel résultat antérieur retrouve-t-on ?
    $\quad$

Exercice 3     5 points

Élèves de ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.

On s’intéresse à l’ensemble des ascenseurs d’une grande ville en 2017. Pour chacun d’eux, un contrat annuel d’entretien doit être souscrit.

Deux sociétés d’ascensoristes, notées $A$ et $B$, se partagent ce marché.
En 2017, la société $A$ entretient $30 \%$ de ces ascenseurs.

On estime que, chaque année :

  • $3 \%$ des ascenseurs entretenus par la société $A$ seront entretenus par la société $B$ l’année suivante ;
  • $5 \%$ des ascenseurs entretenus par la société $B$ seront entretenus par la société $A$ l’année suivante ;
  • les autres ascenseurs ne changeront pas de société d’ascensoristes l’année suivante.

On étudie l’évolution, au fil des années, de la répartition des contrats d’entretien de ces ascenseurs entre les sociétés $A$ et $B$.

Pour un ascenseur choisi au hasard, et pour tout entier naturel $n$, on note  :

  • $a_n$ la probabilité que l’ascenseur choisi soit entretenu par la société $A$ lors de l’année $($2017 + $n)$;
  • $b_n$ la probabilité que l’ascenseur choisi soit entretenu par la société $B$ lors de l’année $($2017 + $n)$;
  • $P_n=\begin{pmatrix} a_n&b_n\end{pmatrix}$ l’état probabiliste de l’année $($2017 + $n)$.

On a donc $P_0=\begin{pmatrix} 0,3&0,7\end{pmatrix}$.

Partie A

  1. a. Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets $A$ et $B$.
    $\quad$
    b. Écrire la matrice de transition $M$ associée à ce graphe en prenant les sommets dans l’ordre alphabétique.
    $\quad$
  2. Déterminer la probabilité que l’ascenseur choisi soit entretenu par la société $A$ en 2018.
    $\quad$
  3. Montrer que $P=\begin{pmatrix} 0,625&0,375\end{pmatrix}$ est un état stable de la matrice et interpréter le résultat.
    $\quad$
  4. Démontrer que pour tout entier naturel $n$ on a : $$a_n=0,92a_n+0,05$$
    $\quad$

Partie B

Le directeur de la société $A$ constate que la proportion d’ascenseurs entretenus par sa société augmente au cours des années et se stabilise à $62,5 \%$.

  1. a. Indiquer, en le justifiant, lequel des algorithmes suivants donne l’année correspondante.
    $$\begin{array}{lll}
    \begin{array}{|l|}
    \hline
    \hspace{1.5cm} \text{Algorithme } 1\\
    \hline
    A\leftarrow 0,3\\
    N\leftarrow 0\\
    \text{Tant que }A\pp 0,5\\
    \hspace{1cm} A\leftarrow0,92\times A+0,05\\
    \hspace{1cm} N\leftarrow N+1\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \text{Afficher }2017+N\\
    \hline
    \end{array}&
    \begin{array}{|l|}
    \hline
    \hspace{1.5cm} \text{Algorithme } 2\\
    \hline
    A\leftarrow 0,3\\
    N\leftarrow 0\\
    \text{Tant que }A> 0,5\\
    \hspace{1cm} A\leftarrow0,92\times A+0,05\\
    \hspace{1cm} N\leftarrow N+1\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \text{Afficher }2017+N\\
    \hline
    \end{array}&
    \begin{array}{|l|}
    \hline
    \hspace{1.5cm} \text{Algorithme } 3\\
    \hline
    A\leftarrow 0,3\\
    N\leftarrow 0\\
    \text{Tant que }A\pp 0,5\\
    \hspace{1cm} A\leftarrow0,92\times A+0,05\\
    \text{Fin Tant que}\\
    N\leftarrow N+1\\
    \text{Afficher }2017+N\\
    \hline
    \end{array}\end{array}$$
    $\quad$
    b. Exécuter l’algorithme qui détermine l’année en question.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$, on pose , $u_n=a_n-0,625$.
    a. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme $u_0$.
    $\quad$
    b. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a : $$a_n=-0,325\times 0,92^n+0,625$$
    $\quad$
    c. Déterminer la limite de la suite $\left(a_n\right)$. Interpréter le résultat.
    $\quad$
  3. À l’aide de l’expression donnée dans la question 2.b. , résoudre l’inéquation $a_n\pp 0,5$.
    Quel résultat antérieur retrouve-t-on?
    $\quad$

Exercice 4     5 points

Pour chacune des quatre affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Les quatre affirmations sont indépendantes.

  1. Un caractère est présent dans une population selon une proportion $p = 0,1$.
    Dans un échantillon de $400$ personnes, on observe ce caractère sur $78$ individus.

Affirmation 1 :  Au seuil de $95\%$, cet échantillon est représentatif de la population totale pour ce caractère.

Rappel : Lorsque la proportion $p$ d’un caractère dans la population est connue, l’intervalle $I$ de fluctuation asymptotique au seuil de $95 \%$ d’une fréquence de ce caractère obtenue sur un échantillon de taille $n$ est donné par :
$$I=\left[p-1,96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}};p+1,96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\right]$$
$\quad$

  1. Dans une gare, le temps d’attente à un guichet donné, exprimé en minute, peut être modélisé par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi uniforme sur l’intervalle $[1 ; 7]$.

Affirmation 2 : Le temps d’attente moyen à ce guichet est de $4$ minutes.
$\quad$

  1. La fonction $g$ est définie sur $\R$ par $g(x)=x^2$.

Affirmation 3 : La valeur moyenne de $g$ sur l’intervalle $[−2;2]$ est égale à $\dfrac{16}{3}$.
$\quad$

  1. $x$ désigne un nombre réel négatif.

Affirmation 4 : $\ln\left(\e^{x+1}\right)-\ln\left(\e^x\right)$ est un nombre positif quel que soit le nombre réel $x$.
$\quad$

 

 

Bac ES/L – Métropole – Septembre 2018

Métropole – Septembre 2018

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. Voici les différentes valeurs prises, arrondies au centième, par les variables $v$ et $S$ au cours du temps quand $N=3$.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    i&&1&2&3\\
    \hline
    v&9&6,75&5,06&3,80\\
    \hline
    S&9&15,75&20,81&24,61\\
    \hline
    \end{array}$
    Une valeur approchée au dixième du contenu de la variable $S$ est $24,6$.
    Réponse a
    $\quad$
  2. $\dfrac{2\e^{a-1}}{\left(\e^a\right)^2}=\dfrac{2\e^{a-1}}{\e^{2a}}=2\e^{a-1-2a}=2\e^{-1-a}=\dfrac{2}{\e^{a+1}}$
    Réponse d
    $\quad$
  3. La courbe $\mathscr{C}_f$ possède deux tangentes horizontales. L’équation $f'(x)=0$ possède donc $2$ solutions.
    Réponse c
    $\quad$
  4. Sur l’intervalle $[-1;6]$ une valeur approchée de la solution de l’équation $f(x)=-0,3$ est $-0,3$.
    Réponse b
    $\quad$
    Remarque : $-3$ semble également être une valeur approchée d’une solution de l’équation mais n’appartient pas à l’intervalle $[-1;6]$.
    $\quad$
  5. La courbe $\mathscr{C}_f$ semble posséder $3$ points d’inflexion (en environ $-1,8$, $0$ et $1,8$).
    Réponse d
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. On veut calculer $p(G\cap F)=0,129\times 0,4=0,051~6$.
    $\quad$
  3. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(F)=p(G\cap F)+p\left(\conj{G}\cap F\right) &\ssi 0,51=0,051~6+p\left(\conj{G}\cap F\right) \\
    &\ssi p\left(\conj{G}\cap F\right) =0,51-0,051~6 \\
    &\ssi p\left(\conj{G}\cap F\right) =0,458~4\end{align*}$
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_F\left(\conj{G}\right)&=\dfrac{p\left(F\cap \conj{G}\right)}{p(F)} \\
    &=\dfrac{0,458~4}{0,51} \\
    &\approx 0,899
    \end{align*}$
    La probabilité qu’en présence d’une élève fille celle-ci soit droitière est environ égale à $0,899$.
    $\quad$

Partie B

  1. La fréquence observée est $f=\dfrac{110}{230}$
    $\quad$
  2. On a $n=230$ et $p=0,13$.
    Donc $n=230\pg 30$, $np=29,9 \pg 5$ et $n(1-p)=200,1  \pg 5$.
    Un intervalle de fluctuation asymptotique de $95\%$ de la proportion de gauchers dans la population française est :
    $\begin{align*} I_{230}&=\left[0,13-1,96\sqrt{\dfrac{0,13\times 0,87}{230}};0,13+1,96\sqrt{\dfrac{0,13\times 0,87}{230}}\right] \\
    &\approx [0,087;0,174]\end{align*}$
    Or $f\approx 0,478 \notin I_{230}$.
    Au risque d’erreur de $5\%$, le club d’escrime n’est pas représentatif de la population française.
    $\quad$

Partie C

  1. a. D’après la calculatrice on a :
    $P(X\pp 300) = 0,5+P(268\pp X\pp 300) \approx 0,945$
    et $P(Y\pp 300)=0,5+P(280 \pp Y\pp 300) \approx 0,818$
    $\quad$
    b. Cela signifie donc qu’environ $94,5\%$ des gauchers ont un temps de réaction inférieur à $300$ millisecondes tandis qu’environ $81,8\%$ des droitiers ont un temps de réaction inférieur à $300$ millisecondes.
    $\quad$
  2. La droite d’équation $x=268$ semble être un axe de symétrie de la courbe $C$ et la droite d’équation $x=280$ semble être un axe de symétrie de la courbe $C’$.
    La courbe $C$ représente donc la fonction de densité de la variable aléatoire $X$ et la courbe $C’$ représente la fonction de densité de la variable aléatoire $Y$.
    $\quad$

Ex 3 obl

Exercice 3

Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L

Partie A

  1. En $C3$ on peut saisir $=C2*1,15-90$.
    $\quad$
  2. En $E3$ on peut saisir $=E2+D3$.
    $\quad$
  3. On obtient le tableau suivant :
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{année}&\text{rang de l’année}&\text{nombre d’inscrits}&\text{bénéfice annuel}&\text{bénéfices cumulés}\\
    \hline
    2016&0&800&16~000&16~000\\
    \hline
    2017&1&830&16~600&32~600\\
    \hline
    2018&2&865&17~300&49~900\\
    \hline
    2019&3&904&18~080&67~980\\
    \hline
    2020&4&950&19~000&86~980\\
    \hline
    2021&5&1~002&20~040&107~020\\
    \hline
    2022&6&1~063&21~260&128~280\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
  4. D’après le tableau précédent, l’école pourra construire sa nouvelle classe de dans en 2022.
    $\quad$

Partie B

  1. Une augmentation de $15\%$ des inscriptions se traduit par $1,15u_n$.
    Il y a $90$ désinscriptions. Donc, pour tout entier naturel $n$ on a  $u_{n+1}=1,15u_n-90$.
    On a $u_0=800$.
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=u_n-600$ donc $u_n=v_n+600$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-600 \\
    &=1,15u_n-90-600\\
    &=1,15u_n-690\\
    &=1,15\left(v_n+600\right)-690\\
    &=1,15v_n+690-690\\
    &=1,15v_n
    \end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,15$ et de premier terme $v_0=u_0-600=200$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $v_n=200\times 1,15^n$.
    $\quad$
    c. On a $u_n=v_n+600$ donc, pour tout entier naturel $n$, on peut écrire $u_n=200\times 1,15^n+600$.
    $\quad$
  3. On cherche le plus petit entier naturel $n$ tel que :
    $\begin{align*} u_n \pg 2~000 &\ssi 200\times 1,15^n+600\pg 2~000 \\
    &\ssi 200\times 1,15^n \pg 1~400 \\
    &\ssi n \ln (1,15) \pg \ln (7) \\
    &\ssi n \pg \dfrac{\ln (7)}{\ln (1,15)}
    \end{align*}$.
    Or $\dfrac{\ln (7)}{\ln (1,15)} \approx 13,9$ donc $n \pg 14$.
    Par conséquent, c’est à partir de l’année 2030 que l’école accueillera plus de $2~000$ adhérents.
    $\quad$

Ex 3 spé

Exercice 3

Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

  1. a. Le graphe est connexe.
    Le tableau suivant donne le degré des sommets de ce graphe.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Sommet}&A&B&C&D&E&F&G\\
    \hline
    \text{Degré}&3&4&4&3&4&4&2\\
    \hline
    \end{array}$
    Exactement $2$ sommets de ce graphe sont de degré impair.
    Il possède donc une chaîne eulérienne.
    L’investisseur peut ainsi emprunter, une et une seule fois, chacune des rues reliant les biens.
    $\quad$
    b. On peut choisir, par exemple, le trajet $A-F-C-E-F-G-D-B-A-C-B-E-D$.
    Sa durée correspond à la somme des différents poids soit $145$ minutes
    $\quad$
  2. Pour répondre à la question nous allons utiliser l’algorithme de Dijkstra.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    A&B&C&D&E&F&G&\text{Sommet}\\
    \hline
    0&&&&&&&A\\
    \hline
    &8(A)&12(A)&&&14(A)&&B\\
    \hline
    &&12(A)&24(B)&23(B)&14(A)&&C\\
    \hline
    &&&24(B)&22(C)&14(A)&&F\\
    \hline
    &&&24(B)&22(C)&&33(F)&E\\
    \hline
    &&&24(B)&&&33(F)&D\\
    \hline
    &&&&&&30(D)&G\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$

Partie B

  1. On obtient le graphe probabiliste suivant.

    $\quad$
  2. a. La matrice de transition est : $M=\begin{pmatrix} 0,5&0,5\\0,25&0,75 \end{pmatrix}$.
    $\quad$
    b. L’état initial est $P_0=\begin{pmatrix} 0,8&0,2\end{pmatrix}$.
    $\quad$
    c. En 2023, on a $n=5$
    Donc $P_5=\begin{pmatrix} s_5&t_5\end{pmatrix}=P_0M^5 \approx \begin{pmatrix} 0,334&0,666\end{pmatrix}$.
    Par conséquent, en 2023, environ $33,4\%$ des locataires occuperont un studio.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. D’après l’énoncé $r(1)=7$.
    $\quad$
  2. a. La fonction $r$ est dérivable sur l’intervalle $[1;5]$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x$ de cet intervalle on a $r'(x)=1+\dfrac{2}{x}=\dfrac{x+2}{x}$.
    $\quad$
    b. Sur l’intervalle $[1;5]$ on a $x>0$ donc $x+2>0$. Par conséquent $r'(x)>0$.
    Ainsi la fonction $r$ est strictement croissante sur l’intervalle $[1;5]$.
    $\quad$
  3. a. La fonction $r$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur l’intervalle $[1;5]$.
    De plus $r(1)=7<10$ et $r(5)=11+2\ln(5)\approx 14,2 >10$.
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires l’équation $r(x)=10$ possède une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[1;5]$.
    D’après la calculatrice $\alpha \approx 2,318$.
    $\quad$
    b. D’après la question précédente, l’entreprise réalise une recette supérieure à $100~000$ euros à partir de $2~318$ voitures télécommandées vendues.
    $\quad$
  4. a. La fonction $G$ est dérivable sur l’intervalle $[1;5]$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout $x$ appartenant à l’intervalle $[1;5]$ on a :
    $\begin{align*} G'(x)&=2\left[\ln(x)-1\right]+2x\times \dfrac{1}{x} \\
    &=2\ln(x)-2+2 \\
    &=2\ln(x)\\
    &=g(x)\end{align*}$
    La fonction $G$ est donc une primitive de la fonction $g$ sur l’intervalle $[1;5]$.
    $\quad$
    b. Ainsi une primitive de la fonction $r$ sur l’intervalle $[1;5]$ est la fonction $R$ définie par $R(x)=6x+\dfrac{1}{2}x^2+2x\left[\ln(x)-1\right]$.
    $\quad$
    c. La valeur moyenne de la fonction $r$ sur l’intervalle $[2;4]$ est :
    $\begin{align*} m&=\dfrac{1}{4-2}\int_2^4 r(x)\dx \\
    &=\dfrac{1}{2}\left(R(4)-R(2)\right] \\
    &=\dfrac{24+8+8\left[\ln(4)-1\right]-12-2-4\left[\ln(2)-1\right]}{2}\\
    &=\dfrac{14+8\ln(4)-4\ln(2)}{2}\\
    &=7+4\ln(4)-2\ln(2)\\
    &=7+8\ln(2)-2\ln(2)\\
    &=7+6\ln(2) \\
    &\approx 11,159
    \end{align*}$
    La valeur moyenne de la recette totale de l’entreprise lorsqu’elle vend entre $2~000$ et $4~000$ voitures télécommandées est donc d’environ $111~590$ euros.
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1     5 points

Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte. Recopier sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse exacte. Aucune justification n’est demandée.
Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.

  1. On considère l’algorithme ci-dessous :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    v\leftarrow 9\\
    S\leftarrow 9\\
    \text{Pour $i$ allant de $1$ à $N$}\\
    \hspace{1cm} v\leftarrow 0,75\times v\\
    \hspace{1cm} v\leftarrow S+ v\\
    \text{Fin Pour}\\
    \hline
    \end{array}$$
    On affecte $3$ à la variable ܰ$N$.
    Que contient la variable ܵ$S$, arrondie au dixième, à la fin de l’exécution de l’algorithme ?
    a. $24,6$
    b. $-25$
    c. $27$
    d. $20,8$
    $\quad$
  2. Soit $a$ un réel, l’expression $\dfrac{2\e^{a-1}}{\left(\e^a\right)^2}$ est égale à :
    a. $1$
    b. $2\e^{3a-1}$
    c. $\e^{-2}$
    d. $\dfrac{2}{\e^{a+1}}$
    $\quad$

Pour les questions 3, 4 et 5, on considère la fonction ݂$f$ définie et dérivable sur $\R$ dont la courbe représentative $C_f$ est donnée ci-dessous.
On note ݂$f’$ la fonction dérivée de $f$ ݂et ݂$f\dsec$ la fonction dérivée de ݂$f’$.

  1. Le nombre de solutions dans $[-7;7]$ de l’équation $f'(x)=0$ est :
    a. $0$
    b. $1$
    c. $2$
    d. $3$
    $\quad$
  2. Une valeur approchée de la solution de l’équation ݂$f(x)=-0,3$ sur l’intervalle $[-1;6]$ est :
    a. $-3$
    b. $-0,3$
    c. $0,3$
    d. $3$
    $\quad$
  3. Le nombre de points d’inflexion dans $[-7;7]$ de $C_f$ est :
    a. $0$
    b. $1$
    c. $2$
    d. $3$
    $\quad$

 

Exercice 2     5 points

Les parties A, B et C sont indépendantes.
Dans tout l’exercice, les résultats seront arrondis, si besoin, au millième.

Partie A

Une étude réalisée dans des écoles en France indique que $12,9 \%$ des élèves sont gauchers. Parmi ces gauchers, on trouve $40$ % de filles.
On choisit au hasard un élève et on considère les événements suivants :

  • $G$ : « l’élève est gaucher » ;
  • $F$ : « l’élève est une fille ».

Pour tout événement $A$, on note $P(A)$ sa probabilité et $\conj{A}$ son événement contraire. De plus, si $B$ est un événement de probabilité non nulle, on note $P_B(A)$ la probabilité de $A$ sachant $B$.

  1. Recopier l’arbre pondéré ci-dessous et traduire sur cet arbre les données de l’exercice.

    $\quad$
  2. Quelle est la probabilité que l’élève choisi soit une fille gauchère ?
    $\quad$
  3. Dans ces écoles, il y a $51 \%$ de filles.
    Montrer que $P\left(\conj{G}\cap F\right)  = 0,458~4$.
    $\quad$
  4. Sachant que l’on est en présence d’une élève fille, quelle est la probabilité qu’elle soit droitière ?
    $\quad$

Partie B

En France, la proportion de gauchers est de $13 \%$.
Un club d’escrime compte $230$ adhérents dont $110$ gauchers.

  1. Quelle est la fréquence de gauchers observée dans le club d’escrime ?
    $\quad$
  2. À l’aide d’un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95 \%$, déterminer si le club d’escrime est représentatif de la population française.
    $\quad$

Partie C

Le temps de réaction en milliseconde chez les escrimeurs gauchers est modélisé par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d’espérance $\mu_1 = 268$ et d’écart type $\sigma_1 = 20$.
Le temps de réaction en milliseconde chez les escrimeurs droitiers est modélisé par une variable aléatoire $Y$ qui suit la loi normale d’espérance $\mu_2 = 280$ et d’écart type $\sigma_2= 22$.

  1. a. Déterminer $P(X\pp 300)$ et $P(Y \pp 300)$.
    $\quad$
    b) Interpréter ces résultats dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  2. Sur le graphique ci-dessous, les courbes $C$ et $C’$ représentent les fonctions de densité des variables aléatoires $X$ et $Y$.
    Indiquer, pour chaque variable aléatoire $X$ et $Y$, la courbe correspondante. Justifier.

    $\quad$

 

Exercice 3     5 points

Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L

Une école de danse a ouvert ses portes en 2016. Cette année là, elle comptait $800$ inscrits.
Chaque année, elle prévoit une augmentation de $15 \%$ des inscriptions ainsi que $90$ désinscriptions.
Pour tout entier naturel ݊$n$, on note $u_n$ le nombre d’inscrits l’année 2016$+n$.
Chaque inscrit paye une cotisation annuelle de $150$ euros, sur laquelle l’école conserve un bénéfice de $20$ euros après avoir payé tous ses frais fixes. L’école économise ce bénéfice afin de construire une nouvelle salle de danse. Pour cela, elle a besoin d’un budget de $125~000$ euros.

Partie A

Les données sont saisies dans une feuille de calcul donnée en annexe.
Le format de cellule a été choisi pour que les nombres de la colonne $C$ soient arrondis à l’unité.

  1. Quelle formule peut-on saisir en $C3$ pour obtenir, par recopie vers le bas, le nombre d’inscrits l’année $n$ ?
    $\quad$
  2. Quelle formule peut-on saisir en $E3$ pour obtenir, par recopie vers le bas, le bénéfice cumulé à l’année ݊$n$?
    $\quad$
  3. Compléter sur l’annexe, à rendre avec la copie, les six cellules des lignes qui correspondent aux années 2021 et 2022.
    $\quad$
  4. En quelle année l’école pourra-t-elle construire sa nouvelle salle de danse ?
    $\quad$

Partie B

  1. Justifier que, pour tout entier naturel ݊$n$, $u_{n+1}=1,15u_n-90$ et préciser $u_0$.
    $\quad$
  2. On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout entier naturel ݊$n$, par $v_n=u_n-600$.
    a. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique.
    Préciser sa raison et son premier terme $v_0$
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel ݊$n$, exprimer $v_n$ en fonction de ݊$n$.
    $\quad$
    c. En déduire que pour tout entier naturel ݊$n$, $u_n=200\times 1,15^n+600$.
    $\quad$
  3. À partir de quelle année, cette école accueillera-t-elle plus de $2~000$ adhérents ?
    $\quad$

Annexe

$\quad$

 

Exercice 3     5 points

Candidats de la série ES ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

 Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

Un investisseur immobilier doit visiter plusieurs biens à vendre dans une ville.
Le graphe ci-dessous représente le plan de la ville. Les biens à visiter sont identifiés par les lettres $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$ et $G$.

Les poids des arêtes sont les durées de parcours, en minute, entre deux biens.

  1. a. Afin de découvrir la ville, l’investisseur souhaite emprunter, une fois et une seule, chacune des rues reliant les biens. Quelles caractéristiques du graphe permettent d’affirmer qu’il existe un tel trajet ?
    $\quad$
    b. Donner un exemple d’un tel trajet et préciser sa durée en minute.
    $\quad$
  2. Lorsque l’investisseur immobilier termine ses visites par le bien $A$, il souhaite revenir au bien $G$ le plus rapidement possible. Déterminer ce plus court chemin à l’aide d’un algorithme. Quelle est sa durée en minute ?
    $\quad$

Partie B

L’investisseur commande une étude sur la population de sa ville qui lui révèle qu’en 2018, $80 \%$ des locataires occupent un studio et $20 \%$ des locataires occupent un T2 (appartement de deux pièces).
Le nombre total de locataires ne varie pas mais chaque année :

  • la moitié des locataires en studio le conserve tandis que l’autre moitié change pour un T2;
  • un quart des locataires en T2 change pour un studio tandis que les autres conservent leur T2

On considère les événements suivants :

  • $S$ : « le locataire occupe un studio »;
  • $T$ : « le locataire occupe un T2 ».
  1. Traduire les données de l’énoncé par un graphe probabiliste de sommets $S$ et $T$.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$, on note $s_n$ la proportion de locataires en studio et $t_n$ la proportion de locataires en T2 l’année 2018$+n$.
    a. Donner la matrice de transition associée à ce graphe.
    $\quad$
    b. Donner l’état initial du graphe.
    $\quad$
    c. Quel sera le pourcentage, arrondi à $0,1 \%$, de locataires en studio en 2023 ?
    $\quad$

 

Exercice 4     5 points

Une entreprise vend des voitures télécommandées. La vente mensuelle varie entre $1~000$ et $5~000$ voitures.
Une étude montre que la recette mensuelle totale de l’entreprise est de $70~000$ euros lorsqu’elle vend $1~000$ voitures.

On note $r(x)$ la recette mensuelle réalisée par l’entreprise, exprimée en dizaine de milliers d’euros, pour la vente de $x$ milliers de voitures.

  1. Donner $r(1)$.
    $\quad$
  2. On admet que, pour tout $x\in [1 ; 5]$, la recette mensuelle est modélisée par : $$r(𝑥) = 6 + x + 2 \ln(x)$$
    a. Montrer que, pour tout $x\in [1 ; 5]$,
    $$r'(x)=\dfrac{x+2}{x}$$
    $\quad$
    b. Étudier les variations de 𝑟 sur l’intervalle [1 ; 5].
    $\quad$
  3. a. Justifier que l’équation $r(𝑥) = 10$ admet une unique solution $\alpha$ dans l’intervalle $[1 ; 5]$, puis donner une valeur approchée de $\alpha$ au millième.
    $\quad$
    b. Déterminer le nombre minimal de voitures télécommandées vendues à partir duquel l’entreprise réalise une recette supérieure à $100~000$ euros.
    $\quad$
  4. a. Soit $g$ la fonction définie pour tout $x\in [1 ; 5]$ par $g(x) = 2 \ln(x)$.
    Montrer que la fonction $G$ définie pour tout $x\in [1 ; 5]$ par $$G(x) = 2x\left(\ln(x)−1\right)$$ est une primitive de la fonction $g$.
    $\quad$
    b. En déduire une primitive $R$ de la fonction $r$ sur l’intervalle $[1 ; 5]$.
    $\quad$
    c. Donner une valeur approchée à la dizaine d’euros de la valeur moyenne de la recette totale lorsque l’entreprise vend entre $2~000$ et $4~000$ voitures télécommandées.
    $\quad$

 

 

Bac ES/L – Polynésie – Septembre 2018

Polynésie – Septembre 2018

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Affirmation A vraie

Trois  augmentations successives de $10\%$ se traduit par un coefficient multiplicateur de $\left(1+\dfrac{10}{100}\right)^3=1,1^3$.
Une baisse de $25\%$ se traduit par un coefficient multiplicateur de $\left(1-\dfrac{25}{100}\right)=0,75$.
Par conséquent $1,1^3\times 0,75=0,998~25<1$
Le prix de cet objet sera inférieur à son prix initial après les différentes variations.
$\quad$

Affirmation B vraie

Une équation de la tangente $T$ à $\mathscr{C}$ au point d’abscisse $1$ est de la forme $y=f'(1)(x-1)+f(1)$.
Or $f'(x)=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}$ donc $f'(1)=2$
De plus $f(1)=1$.
Une équation de $T$ est donc : $y=2(x-1)+1$ soit $y=2x-1$.
Si $x=2$ alors $y=2\times 2-1=3$.
Le point de coordonnées $(2;3)$ appartient donc à $T$.
$\quad$

Affirmation C fausse

On veut calculer :
$\begin{align*} u_0+u_1+\ldots u_{11} &=4\times \dfrac{1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{12}}{1-\dfrac{1}{3}} \\
&=4\times \dfrac{1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{12}}{\dfrac{2}{3}} \\
&=4\times \dfrac{3}{2}\left(1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{12}\right)\\
&=6\times \left(1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{12}\right) \end{align*}$
$\quad$

Affirmation D fausse

On veut calculer :
$\begin{align*} p(X>10,25)&=p(10,25<x<11) \\
&=\dfrac{11-10,25}{11-9} \\
&=0,375
\end{align*}$

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. On obtient l’arbre de probabilité suivant :

    $\quad$
  2. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(S)&=P(U\cap S)+P\left(\conj{U}\cap S\right) \\
    &=0,1\times 0,25+0,9\times 0,95 \\
    &=0,88 \end{align*}$
    $\quad$
  3. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_S(U)&=\dfrac{P(S\cap U)}{P(S)} \\
    &=\dfrac{0,1\times 0,25}{0,88} \\
    &=\dfrac{5}{176}\\
    &\approx 0,028\end{align*}$
    $\quad$

Partie B

  1. On a $P(2,6<T<9,4) \approx 0,95 \ssi P(\mu-2\sigma < T <\mu +2\sigma) \approx 0,95$.
    Par conséquent $\mu+2\sigma=9,4 \ssi 6+2\sigma=9,4 \ssi 2\sigma=3,4 \ssi \sigma =1,7$.
    $\quad$
  2. a. À l’aide de la calculatrice on trouve : $P(T>7) \approx 0,278)$.
    $\quad$
    b. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_{(T\pg 7)}(T\pg 9)&=\dfrac{P\left(T\pg 7)\cap (T\pg 9)\right)}{P(T\pg 7)} \\
    &=\dfrac{P(T\pg 9)}{P(T\pg 7)} \\
    &\approx 0,140
    \end{align*}$
    $\quad$

Partie C

On a $n=57$ et $p=0,8$.
Donc $n=57 \pg 30$, $np=45,6 \pg 5$ et $n(1-p)=11,4 \pg 5$.

Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de la proportion de batteries pouvant assurer $350$ cycles de rechargement complet sans perte significative de puissance est :
$\begin{align*} I_{57}&=\left[0,8-1,96\sqrt{\dfrac{0,8\times 0,2}{57}};0,8+1,96\sqrt{\dfrac{0,8\times 0,2}{57}}\right] \\
&\approx [0,696;0,904]\end{align*}$

La fréquence observée est $f=\dfrac{40}{57}\approx 0,702 \in I_{57}$.

Cette étude ne remet donc pas en cause l’affirmation du constructeur.
$\quad$

Ex 3 obl

Exercice 3

Candidats de ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de L

Partie A

  1. On a $u_0=16~000$.
    $u_1=u_0\times \left(1-\dfrac{15}{100}\right)=0,85\times 16~000=13~600$
    $u_2=0,85\times 13~600=11~560$
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $u_{n+1}=u_n\times \left(1-\dfrac{15}{100}\right)=0,85u_n$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $q=0,85$.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=16~000\times 0,85^n$.
    $\quad$
  3. a. La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $q=0,85$.
    Or $0<0,85<1$. Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=0$.
    $\quad$
    b. Cela signifie donc que sur le long teme madame DURAND n’aura plus de capital disponible.
    $\quad$
  4. a. On peut donc écrire :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    U\leftarrow 16~000\\
    N \leftarrow 0\\
    \text{Tant que } U\pg 2~000\\
    \hspace{1cm} N\leftarrow N+1\\
    \hspace{1cm} U \leftarrow 0,85\times U\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=16~000\times 0,85^n$.
    On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
    $\begin{align*} u_n <2~000 &\ssi 16~000 \times 0,85^n<2~000\\
    &\ssi 0,85^n < 0,125 \\
    &\ssi n\ln 0,85 < \ln 0,125 \\
    &\ssi n > \dfrac{\ln 0,125}{\ln 0,85} \end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln 0,125}{\ln 0,85} \approx 12,8$.
    Cela signifie que la variable $N$ contiendra la valeur $13$ à la fin de l’exécution de l’algorithme.
    $\quad$

Partie B

  1. Chaque année elle prélève $15\%$ de son capital. Il lui reste donc $85\%$ de son capital soit $0,85v_n$.
    Elle ajoute $300$ € chaque $1\ier$ décembre. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $v_{n+1}=0,85v_n+300$.
    $\quad$
  2. a. On a $w_0=v_0-2~000=14000~$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a $w_n=v_n-2~000$ soit $v_n=w_n+2~000$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} w_{n+1}&=v_{n+1}-2~000 \\
    &=0,85v_n+300-2~000 \\
    &=0,85v_n-1~700 \\
    &=0,85\left(w_n+2~000\right)-1~700 \\
    &=0,85w_n+1~700-1~700\\
    &=0,85w_n\end{align*}$
    La suite $\left(w_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,85$.
    $\quad$
    c. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $w_n=14~000\times 0,85^n$.
    Or $v_n=w_n+2~000$ donc $v_n=14~000\times 0,85^n+2~000$.
    $\quad$
  3. $0<0,85<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,85^n=0$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} v_n=2~000$.
    Sur le long terme, son capital disponible sera de $2~000$.
    Il ne sera donc pas toujours supérieur à $2~500$ €.
    $\quad$

Ex 3 spé

Exercice 3

Candidats de ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

  1. Le degré des sommets est donné par le tableau suivant :
    $\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Sommet}&A&B&C&D&E&F&G\\
    \hline
    \text{Degré}&2&4&5&4&3&4&2\\
    \hline
    \end{array}$
    Le graphe est connexe et possède exactement deux sommets de degré impair.
    Il possède donc une chaîne eulérienne.
    Ils peuvent donc effectuer un trajet empruntant une et seule fois tous les sentiers.
    $\quad$
  2. Nous allons utiliser l’algorithme de Diskstra pour répondre à la question.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    A&B&C&D&E&F&G&\text{Sommet}\\
    \hline
    0&&&&&&&A\\
    \hline
    \phantom{11(A)}&13(A)&17(A)&&&&&B\\
    \hline
    &&17(A)&23(B)&20(B)&&&C\\
    \hline
    &&&22(C)&19(C)&29(C)&&E\\
    \hline
    &&&22(C)&&29(C)&&D\\
    \hline
    &&&&&26(D)&44(D)&E\\
    \hline
    &&&&&&41(F)&G\\
    \hline
    \end{array}$
    Le trajet le plus plus court pour relier la station A à la station G est $A-C-D-F-G$ (il faut $41$ minutes).

Partie B

  1. On obtient le graphe probabiliste suivant :

    $\quad$
  2. La matrice de transition est $M=\begin{pmatrix} 0,9&0,1\\0,15&0,85\end{pmatrix}$.
    $\quad$
  3. a. $P_1=P_0M=\begin{pmatrix}0,525&0,475\end{pmatrix}$
    Donc $P_2=P_1M =\begin{pmatrix}0,543~75&0,456~25\end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} 0,544&0,456\end{pmatrix}$.
    $\quad$
    b. Cela signifie donc qu’à la fin de la $2\ieme$ journée environ $54,4\%$ des audio-guide sont rendus sur le site B et environ $45,6\%$ d’entre-eux sont rendus sur le site G.
    $\quad$
  4. Pour tout entier naturel $n$ on a $b_{n+1}=0,75b_n+0,15$.
    On va tester chacune des propositions au rang $0$.
    Proposition a. : $-0,1+0,6=0,5=b_0$
    Proposition c. : $0,1+0,6=0,7\neq b_0$
    Proposition b. : $-0,6+0,1=-0,5\neq b_0$
    Proposition d. : $-0,1-0,6=-0,7\neq b_0$
    Par conséquent la bonne expression est celle de la proposition a : $b_n=-0,1\times 0,75^n+0,6$.
    $\quad$
  5. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $g_n=1-b_n=0,4+0,1\times 0,75^n$.
    On veut résoudre :
    $\begin{align*} g_n<0,35 &\ssi 0,4+0,1\times 0,75^n<0,35 \\
    &\ssi 0,1\times 0,75^n<-0,05
    \end{align*}$
    Un produit de nombres positifs reste positif. L’inéquation précédente n’a donc pas de solution.
    La personne chargée de la gestion des audio-guides a par conséquent tort.
    $\quad$

$\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. a. D’après le graphique, on a $f(0)=0$.
    $\quad$
    b.La droite $\mathscr{D}$ passe par les points $O(0;0)$ et $B(4;6)$.
    On a donc $f'(0)=\dfrac{6-0}{4-0}=1,5$.
    $\quad$
    c. La courbe $\mathscr{C}$ semble être au-dessus de ses tangentes sur l’intervalle $[-6;4]$. La fonction $f$ semble donc être convexe sur cet intervalle.
    $\quad$
  2. a. Pour tout réel $x$ on a :
    $f'(x)=2-\dfrac{1}{2}\e^{-\frac{1}{2}x}$.
    $\quad$
    b. On veut résoudre sur l’intervalle $[-6;4]$ l’inéquation :
    $\begin{align*} f'(x)>0 &\ssi 2-\dfrac{1}{2}\e^{-\frac{1}{2}x} > 0\\
    &\ssi -\dfrac{1}{2}\e^{-\frac{1}{2}x}> -2 \\
    &\ssi \e^{-\frac{1}{2}x}<4 \\
    &\ssi -\dfrac{1}{2}x<\ln(4) \\
    &\ssi  x>-2\ln(4)\end{align*}$
    L’ensemble solution est donc $\left[-2\ln(4);4\right]$.
    $\quad$
    c. $-2\ln(4) =-2\ln\left(2^2\right)=-4\ln(2)$.
    On obtient ainsi le tableau de variation suivant :

    $\quad$
    d. Sur l’intervalle $\left[-6;-4\ln(2)\right]$, la fonction est continue (car dérivable) et strictement décroissante.
    De plus $f(-6)=-13+\e^3 \approx 7,09>0$ et $f\left(-4\ln(2)\right) \approx -2,55<0$.
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires l’équation $f(x)=0$ possède une unique solution sur l’intervalle $\left[-6;-4\ln(2)\right]$.
    $\quad$
    Sur l’intervalle $\left[-4\ln(2);4\right]$, la fonction est continue (car dérivable) et strictement croissante.
    De plus $f\left(-4\ln(2)\right) \approx -2,55<0$ et $f(4)=7+\e^{-2}\approx 7,14>0$.
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires l’équation $f(x)=0$ possède une unique solution sur l’intervalle $\left[-4\ln(2);4\right]$.
    $\quad$
    L’équation $f(x)=0$ possède donc deux solutions sur l’intervalle $[-6;4]$.
  3. On a $f(0)=0-1+1=0$ et $0\in \left[-4\ln(2);4\right]$
    La solution non nulle $\alpha$ appartient donc à l’intervalle $\left[-6;-4\ln(2)\right]$.
    À l’aide de la calculatrice on obtient $-4,68 <\alpha <-4,67$.
    $\quad$
  4. Pour tout réel $x$ on a : $f'(x)=2-\dfrac{1}{2}\e^{-\frac{1}{2}x}$
    Donc $f\dsec(x)=-\dfrac{1}{2}\times \left(-\dfrac{1}{2}\e^{-\frac{1}{2}x}\right)=\dfrac{1}{4}\e^{-\frac{1}{2}x}$
    La fonction exponentielle est strictement positive sur l’intervalle $[-6;4]$. Par conséquent $f\dsec(x)>0$ sur cet intervalle et la fonction $f$ est convexe sur $[-6;4]$.
    $\quad$
  5. a. Pour tout réel $x$ on a $g'(x)=2x-1-2\times \left(-\dfrac{1}{2}\e^{-\frac{1}{2}x}\right)=2x-1-\dfrac{1}{2}\e^{-\frac{1}{2}x}=f(x)$.
    La fonction $g$ est donc une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;4]$.
    $\quad$
    b. La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;4]$ est :
    $\begin{align*} m&=\dfrac{1}{4-0}\ds \int_0^4 f(x)\dx \\
    &=\dfrac{1}{4}\left(g(4)-g(0)\right) \\
    &=\dfrac{1}{4}\left(12-2\e^{-2}+2\right) \\
    &=\dfrac{14-2\e^{-2}}{4} \\
    &=\dfrac{7-\e^{-2}}{2} \\
    &\approx 3,43\end{align*}$
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1     4 points

Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Une justification est attendue.

Affirmation A
Un objet subit trois augmentations successives de $10 \%$. Une baisse de $25 \%$ suffit à ramener le prix de cet objet en dessous de son prix initial.
$\quad$

Affirmation B
Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=\ln(x)-\dfrac{1}{x}+2$ et $\mathscr{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
La tangente à $\mathscr{C}$ au point d’abscisse $1$ passe par le point de coordonnées $(2;3)$.
$\quad$

Affirmation C
La valeur exacte de la somme des $12$ premiers termes de la suite géométrique $\left(u_n\right)$ de premier terme $4$ et de raison $\dfrac{1}{3}$ est : $6\left[1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{13}\right]$.
$\quad$

Affirmation D
Dans un hôtel, le petit déjeuner n’est servi que jusqu’à $10$ heures $15$ minutes. Pierre, qui réside dans cet hôtel, se lève entre $9$ heures et $11$ heures.
On admet que l’heure de lever de Pierre est modélisée par une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l’intervalle $[9;11]$ . La probabilité que Pierre ne puisse pas prendre son petit-déjeuner est $0,425$.
$\quad$

 

Exercice 2     5 points

Les différentes parties de cet exercice sont indépendantes.
Sauf mention contraire, les résultats seront donnés sous forme approchée à $\boldsymbol{0,001}$ près.

Partie A

Une étude portant sur la recharge des véhicules électriques indique que $10 \%$ des recharges sont effectuées sur des bornes publiques. Dans les autres cas, la recharge s’effectue chez des particuliers.
Il existe deux types de recharge : la recharge « standard » et la recharge « accélérée ».
Les recharges « standard » représentent $25 \%$ des recharges effectuées sur des bornes publiques et $95 \%$ des recharges effectuées chez les particuliers.
On choisit au hasard un véhicule électrique qui vient d’être rechargé et on considère les événements suivants :

  • $U$ : « la recharge a été effectuée sur une borne publique » ;
  • $S$ : « la recharge a été effectuée de façon standard ».

On rappelle que si $A$ et $B$ sont deux événements, la probabilité de l’événement $A$ est notée $P(A)$ et celle de $A$ sachant $B$ est notée $P_B(A)$. De plus, $\conj{A}$ désigne l’événement contraire de $A$.

  1. Recopier et compléter l’arbre de probabilités ci-dessous :
    $\quad$
  2. Justifier que $P(S)=0,88$ .
    $\quad$
  3. Sachant que le véhicule choisi a été rechargé de façon standard, calculer la probabilité que la recharge ait été effectuée sur une borne publique.
    $\quad$

Partie B

Une société fabriquant des batteries pour véhicules électriques effectue une charge complète de chacune de ses batteries lors de la fabrication. Des études statistiques ont permis de modéliser la durée de charge de ces batteries, exprimée en heures, par une variable aléatoire $T$ suivant une loi normale de moyenne $6$ et d’écart type $\sigma$.

  1. Sachant qu’environ $95 \%$ des durées de charge sont comprises entre $2,6$ h et $9,4$ h, justifier que l’on peut choisir $\sigma = 1,7$.
    $\quad$
  2. a. Calculer $P(T>7)$ .
    $\quad$
    b. Sachant que l’une des batteries mise en charge n’est pas rechargée complètement au bout de $7$ heures, quelle est la probabilité qu’elle ne le soit toujours pas au bout de
    $9$ heures ?
    $\quad$

Partie C
Le fabriquant de batteries affirme que $80 \%$ de ses batteries peuvent assurer $350$ cycles de rechargement complet sans perte significative de puissance.
Une association de consommateurs réalise une enquête sur $57$ batteries de cette marque. Parmi celles-ci, seules $40$ n’ont pas subi de perte de puissance significative. Cette étude peut-elle remettre en cause l’affirmation du constructeur ? Justifier la réponse.
$\quad$

 

Exercice 3     5 points

candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Les différentes parties de cet exercice sont indépendantes.

Au 1$\ier$ janvier 2018, madame DURAND dispose d’un capital de $16~000$ €. Le 1$\ier$ juillet de chaque année, elle prélève $15 \%$ du capital disponible en prévision de ses vacances estivales.

Partie A

On modélise le montant du capital de madame DURAND au 1$\ier$ janvier par une suite $\left(u_n\right)$ . Plus
précisément, si n est un entier naturel, $u_n$ désigne le montant du capital de madame DURAND disponible le 1$\ier$ janvier de l’année 2018$+n$ .
On a donc $u_0=16~000$ .

  1. Calculer $u_1$ et $u_2$ .
    $\quad$
  2. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ pour tout $n$ entier naturel.
    $\quad$
  3. a. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$ en justifiant votre réponse.
    $\quad$
    b. Interpréter ce résultat dans le cadre de l’énoncé.
    $\quad$
  4. À l’aide d’un algorithme, madame DURAND souhaite déterminer le nombre d’années à partir duquel son capital devient inférieur ou égal à $2~000$ €.
    a. Recopier et compléter l’algorithme ci-dessous pour qu’à la fin de son exécution, la variable N contienne le résultat attendu.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    U\leftarrow \ldots \\
    N\leftarrow 0\\
    \text{Tant que } U\ldots\ldots\\
    \hspace{1cm} N \leftarrow \ldots\\
    \hspace{1cm} U \leftarrow \ldots\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. Quelle est la valeur numérique contenue par la variable $N$ à la fin de l’exécution de cet algorithme ?
    $\quad$

Partie B

Cherchant à anticiper la diminution de son capital disponible, madame DURAND décide d’ajouter à son capital disponible $300$ € chaque 1$\ier$ décembre.

On note $v_n$ la valeur du capital le 1$\ier$ janvier de l’année 2018$+n$. On a ainsi $v_0=16~000$.

  1. Justifier que, pour tout entier naturel $n$ , on a $v_{n+1}=0,85×v_n+300$.
    $\quad$
  2. On considère la suite $\left(w_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $w_n=v_n−2~000$ .
    a. Calculer $w_0$.
    $\quad$
    b. Montrer que la suite $\left(w_n\right)$ est géométrique de raison $0,85$.
    $\quad$
    c. En déduire que, pour tout entier $n$ , $v_n=2~000+14~000×0,85n$ .
    $\quad$
  3. En s’y prenant ainsi, madame DURAND espère toujours disposer d’un capital supérieur à $2~500$ €. A-t-elle raison ?
    $\quad$

 

Exercice 3     5 points

candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

En vacances, Assan et Chloé projettent de visiter sept sites touristiques et se sont procurés le plan des sentiers reliant ces sites. Ci-dessous, ils ont représenté ce plan par un graphe connexe pondéré par les temps de parcours en minutes séparant les lieux de visites notés $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$ et $G$.

Partie A

  1. Est-il possible, pour Assan et Chloé, d’effectuer un trajet empruntant une et une seule fois tous les sentiers ? Justifier votre réponse.
    $\quad$
  2. Déterminer, par la méthode de votre choix, le trajet le plus court leur permettant de relier la station $A$ à la station $G$ en précisant le temps de parcours.
    $\quad$

Partie B

Sur les sites $B$ et $G$, l’office de tourisme loue des audio-guides que les visiteurs peuvent rendre sur l’un ou l’autre des deux sites à la fin de la journée. Une étude a mis en évidence que chaque jour :

  • $10 \%$ des audio-guides loués sur le site $B$ sont rendus sur le site $G$, les autres étant rendus sur le site $B$ ;
  • $15 \%$ des audio-guides loués sur le site $G$ sont rendus sur le site $B$, les autres étant rendus sur le site $G$.

On étudie l’évolution de la répartition des audio-guides sur les deux sites.
Pour tout entier naturel non nul $n$ :

  • on note $b_n$ la probabilité qu’un audio-guide choisi au hasard soit rendu sur le site $B$ à la fin de la $n$-ième journée,
  • on note $g_n$ la probabilité qu’un audio-guide choisi au hasard soit rendu sur le site $G$ à la fin de la $n$-ième journée.

À l’ouverture de la saison, il y a autant d’audio-guides sur le site $B$ que sur le site $G$.

pour tout entier naturel non nul $n$, on note $P_n=\begin{pmatrix}b_n&g_n\end{pmatrix}$ la matrice de l’état probabiliste à la fin de la $n$-ième journée. On rappelle que $b_n+g_n=1$. On pose $P_0=\begin{pmatrix}0,5&0,5\end{pmatrix}$.

  1. Recopier et compléter le graphe probabiliste suivant :
    $\quad$
  2. Donner la matrice de transition $M$ associée au graphe.
    $\quad$
  3. On rappelle que, pour tout entier naturel $n$ , $P_{n+1}=P_nM$ .
    a. Calculer $P_2$ . On approchera les valeurs à $10^{-3}$ près.
    $\quad$
    b. Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
    Dans la suite, on admettra que pour tout entier naturel $n$, on a $b_{n+1}=0,75b_n+0,15$ .
  4. Parmi les quatre propositions suivantes, une seule fournit, pour tout entier $n$, l’expression de $b_n$ en fonction de $n$. Préciser laquelle et justifier votre réponse :
    a. $b_n=−0,1×0,75n+0,6$
    b. $b_n=−0,6×0,75n+0,1$
    c. $b_n=+0,1×0,75n+0,6$
    d. $b_n=−0,1×0,75n−0,6$
    $\quad$
  5. La personne chargée de la gestion des audio-guides prétend que le site $G$ accueillera un jour moins de $35 \%$ des audio-guides. Qu’en pensez-vous ? Justifier votre réponse.
    $\quad$

 

Exercice 4     6 points

Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $[−6;4 ]$ et dont la courbe $\mathscr{C}$ est représentée ci-dessous.
On admet que la fonction f est deux fois dérivable sur l’intervalle $[−6 ;4 ]$ .
On note $f’$ sa dérivée et $f\dsec$ sa dérivée seconde sur l’intervalle $[−6 ;4 ]$ .

On a représenté $\mathscr{D}$, la tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point d’abscisse $0$.
La droite $\mathscr{C}$ passe par l’origine du repère et par le point $B(4; 6)$ .

  1. Avec la précision permise par le graphique :
    a. donner la valeur de $f(0)$ ;
    $\quad$
    b. donner la valeur de $f'(0)$ ;
    $\quad$
    c. conjecturer la convexité de la fonction $f$ sur l’intervalle $[−6 ;4 ]$ .
    $\quad$
  2. On admet que la fonction $f$ est définie et dérivable sur l’intervalle $[−6 ;4 ]$ et que son expression est $f(x )=2 x−1+\e^{-\frac{1}{2}x}$ .
    a. Calculer $f'(x)$ sur l’intervalle $[−6 ;4 ]$ .
    $\quad$
    b. Montrer que l’ensemble des solutions de l’inéquation $f'( x)\pg 0$ est l’intervalle $[−2\ln (4);4 ]$ .
    $\quad$
    c. Établir le tableau de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $[−6 ;4 ]$ .
    $\quad$
    d. En déduire le nombre de solutions de l’équation $f(x )=0$ sur l’intervalle $[−6 ;4 ]$ .
    $\quad$
  3. Donner un encadrement au centième près de la solution non nulle de l’équation $f(x )=0$ sur l’intervalle $[−6 ;4 ]$ .
    $\quad$
  4. Démontrer la conjecture émise dans la question 1.c.
    $\quad$
  5. Soit $g$ la fonction définie sur l’intervalle $[0 ; 4 ]$ par $g( x)=x^2−x−2\e^{-\frac{1}{2}x}$ .
    On admet que la fonction $g$ est dérivable sur $[0 ; 4 ]$ .
    a. Montrer que la fonction $g$ est une primitive la fonction $f$ sur l’intervalle $[0 ; 4 ]$ .
    $\quad$
    b. En déduire la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0 ; 4 ]$ . En donner une valeur approchée à $0,01$ près.
    $\quad$

 

 

Bac ES/L – Antilles Guyane – Septembre 2018

Antilles Guyane – Septembre 2018

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. Le taux d’évolution du chiffre d’affaires entre 2012 et 2013 est :
    $t=\dfrac{361-330}{330} \approx 9 \%$
    $\quad$
  2. a. Dans l’algorithme A, la variable $U$ n’est pas actualisée.
    Dans l’algorithme C, à chaque tour de boucle, la variable $U$ prend la valeur $330$.
    $\quad$
    b. On obtient le tableau suivant :
    $\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{valeur de }i&&1&2&3&4&5\\
    \hline
    \text{valeur de }U&330&360&392&427&466&508\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    c. En 2017, pour $n=5$, par exemple, on devrait obtenir une valeur proche de $539$ et on obtient $508$.
    Ces deux valeurs sont trop différentes pour que ce modèle soit pertinent.
    $\quad$
  3. a. $v_0=432$
    $v_1=0,9v_0+110=498,8 \approx 499$
    $v_2=0,9v_1+110=558,92 \approx 559$
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a $w_n=v_n-1~100$ soit $v_n=w_n+1~100$.
    $\begin{align*} w_{n+1}&=v_{n+1}-1~100 \\
    &=0,9v_n+110-1~100 \\
    &=0,9v_n-990\\
    &=0,9\left(w_n+1~100\right)-990 \\
    &=0,9w_n+990-990 \\
    &=0,9w_n\end{align*}$
    La suite $\left(w_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,9$ et de premier terme $w_0=v_0-1~100=-668$.
    $\quad$
    c. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $w_n=-668 \times 0,9^n$.
    Donc $v_n=w_n+1~100=1~100-668\times 0,9^n$.
    $\quad$
    d. On a $0<0,9<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,9^n=0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n=1~100$.
    La suite dont le terme général est $668\times 0,9^n$ est décroissante.
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc croissante.
    Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a $v_n\pp 1~100<2~000$
    Le chiffre d’affaires ne dépassera donc jamais $2$ millions d’euros.
    $\quad$

Ex 2 obl

Exercice 2

Candidats ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats L

Partie A

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p\left(\conj{E}\right)&=p\left(A\cap \conj{E}\right)+p\left(I\cap \conj{E}\right) \\
    &=0,3\times 0,05+0,7\times 0,02 \\
    &=0,029
    \end{align*}$
    La probabilité qu’un client ne se présente pas à l’embarquement est de $0,029$.
    $\quad$
  3. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_{\conj{E}}(A)&=\dfrac{p\left(\conj{E}\cap A\right)}{p\left(\conj{E}\right)} \\
    &=\dfrac{0,3\times 0,05}{0,029}\\
    &\approx 0,517\end{align*}$
    $\quad$

Partie B

  1. On veut calculer $p(X=202)=\ds \binom{202}{202}\times 0,971^{202} \approx 0,003$
    La probabilité que tous les clients se présentent à l’embarquement est environ égale à $0,003$.
    $\quad$
  2. On veut calculer $p(X=201) = \ds \binom{202}{201} \times 0,971^{201}\times (1-0,971) \approx 0,016$.
    La probabilité qu’un seul client parmi les $202$ qui ont réservé ne se présente pas à l’embarquement est environ égale à $0,016$.
    $\quad$
  3. Ainsi $p(X>200)=p(X=201)+p(X=202) \approx 0,018$.
    La probabilité que la compagnie se trouve en situation de surréservation est environ égale à $0,019$.
    Remarque : Si on n’utilise pas les arrondis précédents mais la valeur donnée directement par la calculatrice quand on calcule $p(X>200)=1-p(X\pp 200)$ on obtient $p(X>200) \approx 0,018$.
    $\quad$

Partie C

On a $n=400$ et $p=0,98$.
Ainsi $n \pg 30$, $np=392 \pg 5$ et $n(1-p)=8 \pg 5$.
Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ est donc :

$\begin{align*} I_{400}&=\left[0,98-1,96\sqrt{\dfrac{0,98\times 0,02}{400}};0,98+1,96\sqrt{\dfrac{0,98\times 0,02}{400}}\right] \\
&\approx [0,966;0,994]\end{align*}$

La fréquence observée est $f=\dfrac{383}{400}=0,957~5 \notin I_{400}$.

Au risque de $5\%$, ce résultat contredit l’affirmation de la compagnie.

$\quad$

 

 

Ex 2 spé

Exercice 2

Candidats de ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

  1. Cette espèce compte initialement $2$ centaines d’individus.
    Donc $f(0)=2$.
    Or $f(0)=d$ donc $d=2$.
    $\quad$
  2. On a :
    $f(2)=8a+4b+2c+2=18 \ssi 8a+4b+2c=16$
    $f(3)=27a+9b+3c+2=30,5\ssi 27a+9b+3c=28,5$
    $f(10)=1~000a+100b+10c+2=90 \ssi 1~000a+100b+10c=88$.
    Les nombres $a,b$ et $c$ sont donc solutions du système :
    $$\begin{cases} 8a+4b+2c&=&16 \\
    27a+9b+3c&=&28,5\\
    1~000a+100b+10c&=&88\end{cases}$$
    $\quad$
  3. On pose $A=\begin{pmatrix} 8&4&2\\27&9&3\\1~000&100&10\end{pmatrix}$ , $X=\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}16\\28,5\\88\end{pmatrix}$.
    Le système précédent est alors équivalent à $AX=B$.
    $\quad$
  4. À l’aide de la calculatrice on trouve : $X=A^{-1}B=\begin{pmatrix}-0,575\\7,375\\-7,45\end{pmatrix}$
    Ainsi $\begin{cases} a&=&-0,2\\b&=&2,5\\c&=&3,8\end{cases}$.
    $\quad$
  5. Par conséquent $f(x)=-0,2x^3+2,5x^2+3,8x+2$.
    Ainsi $f'(x)=-0,6x^2+5x+3,8$.
    $\Delta=5^2-4\times (-0,6)\times 3,8=34,12>0$
    $f'(x)$ possède donc deux racines réelles :
    $x_1=\dfrac{-5-\sqrt{34,12}}{-1,2} \approx 9$ et $x_2=\dfrac{-5+\sqrt{34,12}}{-1,2}<0$
    $x$ représente un nombre de semaines. Par conséquent $x\pg 0$.
    Ainsi, puisque $a=-0,6<0$ on a $f'(x) \pg 0 $ sur l’intervalle $\left[0;x_1\right]$ et $f'(x)\pp 0$ sur l’intervalle $\left[x_1;+\infty\right[$.
    La fonction $f$ atteint donc son maximum sur l’intervalle $[0;+\infty[$ en $x_1$.
    Le nombre d’individus de l’espèce étudiée sera maximal au bout d’environ $9$ semaines.
    $\quad$

Partie B

  1. a. Étudions le degré des sommets de ce graphe connexe.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Sommet}&C&E&F&L&M&O&P&R&S\\
    \hline
    \text{Degré}&3&4&4&3&4&2&4&2&2 \\
    \hline
    \end{array}$
    Tous les sommets de ce graphe ne sont pas pairs.
    Il ne possède donc pas de cycle eulérien. Il n’existe pas de parcours  empruntant toutes les allées, une et une seule fois, en partant du
    local technique ($L$) et en y revenant.
    $\quad$
    b. Exactement $2$ sommets de ce graphe connexe possède un degré impair.
    Il possède donc une chaîne eulérienne.
    Il existe alors un parcours empruntant toutes les allées, une et une seule fois, en partant du local technique ($L$) et sans nécessairement y revenir.
    On peut effectuer, par exemple, le parcours : $L-R-F-M-O-P-M-E-P-F-E-C-L-S-C$.
    $\quad$
  2. Pour déterminer un parcours de distance minimale joignant les sommets $L$ et $O$ on va utiliser l’algorithme de Dijkstra.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    L&C&E&F&M&O&P&R&S&\text{Sommet}\\
    \hline
    0&&&&&&&&&L\\
    \hline
    \phantom{310(L)}&310(L)&&&&&&280(L)&300(L)&R\\
    \hline
    &310(L)&&390(R)&&&&&300(L)&C\\
    \hline
    &&460(C)&390(R)&&&&&&F\\
    \hline
    &&450(F)&&460(F)&&650(F)&&&E\\
    \hline
    &&&&460(F)&&640(E)&&&M\\
    \hline
    &&&&&560(M)&510(M)&&&P\\
    \hline
    &&&&&550(P)&&&&O\\
    \hline
    \end{array}$
    Le parcours le plus court est donc $L-R-F-M-P-O$ pour une distance de $550$ m.
    $\quad$

 

 

Ex 3

Exercice 3

On a $f(x)=x-\ln(x)$ pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $]0;+\infty[$.
La fonction $f$ est dérivable sur cet intervalle et, pour tout réel $x$ strictement positif on a :
$f'(x)=1-\dfrac{1}{x}$.

$f'(3)=1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$ et $f(3)=3-\ln(3)$.

Une équation de $T$ est $y=f'(3)(x-3)+f(3)$.
Soit $y=\dfrac{2}{3}x-2+3-\ln(3)$
Ou encore $y=\dfrac{2}{3}x+1-\ln(3)$.

L’ordonnée à l’origine n’est pas nulle. Par conséquent la droite $T$ ne passe pas par l’origine du repère.

$\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie A

  1. Si on a choisit $F(x)=(-7x+7)\e^x$ alors, pour tout réel $x$ on a :
    $F'(x)=-7\e^x+(-7x+7)\e^x=-7\e^x-7x\e^x+7\e^x=-7x\e^x=f(x)$.
    $F$ est donc une primitive de $f$ sur $\R$.
    Réponse d
    $\quad$
  2. On veut déterminer, puisque la fonction $f$ est positive sur l’intervalle $[-3;0]$ :
    $\begin{align*} A&=\ds \int_{-3}^0 f(x)\dx&=F(0)-F(-3) \\
    &=7-28\e^{-3} \\
    &\approx 5,61
    \end{align*}$
    Ainsi $5<A<6$.
    Réponse b
    $\quad$
  3. Pour tout réel $x$ on a :
    $f'(x)=-7\e^x-7x\e^x=(-7-7x)\e^x$
    $f\dsec(x)=-7\e^x+(-7-7x)\e^x=(-14-7x)\e^x$.
    La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $f\dsec(x)$ ne dépend donc que de celui de $-14-7x$.
    Or $-14-7x=0\ssi x=-2$
    Et $-14-7x>0 \ssi -7x>14 \ssi x<-2$.
    La fonction $f\dsec$ change donc de signe en $x=-2$.
    Réponse d
    $\quad$

Partie B

  1. À l’aide de la calculatrice on trouve $P(19 \pp X \pp 25)\approx 0,385$.
    Réponse a
    $\quad$
  2. $P(X \pg 25)=0,5-P(19\pp X \pp 25) \approx 0,115$.
    Réponse b
    $\quad$
  3. D’après la calculatrice (touche Inverse loi normale) on obtient
    $P(X>k) \approx 0,42$ si $k \approx 20$.
    Réponse c
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1     6 points

Dans tout cet exercice, les résultats seront arrondis à l’unité.

Une grande enseigne souhaite étudier l’évolution du chiffre d’affaires des ventes de ses produits « bio ». Les données collectées ces dernières années sont les suivantes :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Années}&2012&2013&2014&2015&2016&2017\\
\hline
\text{Chiffre d’affaires(millier d’euros)}&330&361&392&432&489&539\\
\hline
\end{array}$$

  1. Calculer le taux d’évolution en pourcentage du chiffre d’affaires entre 2012 et 2013.
    $\quad$
  2. Un cabinet d’étude avait, en 2012, conduit une étude et modélisé le chiffre d’affaires des ventes de produits bio par une suite $\left(u_n\right)$ où, pour tout entier naturel $n$, un représentait le chiffre d’affaires, exprimé en millier d’euros, de l’année 2012$+n$.
    Dans cette modélisation, on suppose que le chiffre d’affaires augmente de $9 \%$ chaque année à partir de 2012 et on construit un algorithme donnant en sortie le terme $u_n$ pour un entier naturel $n$ donné par l’utilisateur.
    a. Dans les algorithmes ci-dessous, $N$ est un entier, donné par l’utilisateur, qui désigne le nombre d’années écoulées depuis l’année 2012 et $U$ un nombre réel qui désigne le chiffre d’affaires en 2012$+ N$.
    Justifier que les algorithmes A et C ne conviennent pas.
    $$\begin{array}{ccc}
    \textbf{Algorithme A}&\textbf{Algorithme B}&\textbf{Algorithme C}\\
    \begin{array}{|l|}
    \hline
    U\leftarrow 330\\
    \text{Pour $i$ allant de $1$ à $N$}\\
    \hspace{1cm}W\leftarrow 1,09\times U\\
    \text{Fin Pour}\\
    \hline
    \end{array}&\begin{array}{|l|}
    \hline
    U\leftarrow 330\\
    \text{Pour $i$ allant de $1$ à $N$}\\
    \hspace{1cm}U\leftarrow 1,09\times U\\
    \text{Fin Pour}\\
    \hline
    \end{array}&\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{Pour $i$ allant de $1$ à $N$}\\
    \hspace{1cm} U\leftarrow 330\\
    \hspace{1cm}U\leftarrow 1,09\times U\\
    \text{Fin Pour}\\
    \hline\end{array}
    \end{array}$$
    On admet que l’algorithme B convient.
    $\quad$
    b. Pour la valeur $5$ de $N$ saisie dans l’algorithme B, recopier puis compléter, en le prolongeant avec autant de colonnes que nécessaire, le tableau ci-dessous.
    $$\begin{array}{|l|c|c|cc}
    \hline
    \text{Valeur de $i$}&&1&\ldots&\\
    \hline \text{Valeur de $U$}&330&\phantom{330}&\ldots&\hspace{2cm}\\
    \hline\end{array}$$
    $\quad$
  3. Le cabinet d’étude décide de modéliser ce chiffre d’affaires, exprimé en millier d’euros, par la suite $\left(v_n\right)$ définie par $v_0 = 432$ et $v_{n+1} = 0, 9v_n +110$ pour tout entier naturel $n$.
    Le terme $v_n$ représente alors ce chiffre d’affaires en 2015$+n$.
    a. Calculer $v_1$ et $v_2$.
    $\quad$
    b. On pose $w_n = v_n−1100$ pour tout entier naturel $n$. Montrer que la suite $\left(w_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
    $\quad$
    c. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $w_n$ en fonction de $n$.
    En déduire que $v_n = 1~100−668×0, 9^n$ pour tout entier naturel $n$.
    $\quad$
    d. Ce modèle permet-il d’envisager que le chiffre d’affaires dépasse un jour $2$ millions d’euros ?
    $\quad$

 

Exercice 2     5 points

Candidats ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats L

Dans cet exercice, les résultats seront arrondis au millième si nécessaire.
Une compagnie aérienne a mis en place pour une de ses lignes un système de surréservation afin d’abaisser les coûts.
Les réservations ne peuvent se faire qu’auprès d’une agence ou sur le site Internet de la compagnie.

Partie A

Une étude réalisée par la compagnie a établi que, sur cette ligne, pour une réservation en agence, $5\%$ des clients ne se présentent pas à l’embarquement alors que, pour une réservation par Internet, $2 \%$ des clients ne se présentent pas à l’embarquement.

Les réservations en agence représentent $30\%$ de l’ensemble des réservations.

Pour un embarquement donné et une réservation prise au hasard, on considère les événements suivants :

  • $A$ : « la réservation a été faite en agence »;
  • $I$ : « la réservation a été faite par Internet »;
  • $E$ : « le passager se présente à l’embarquement ».
  1. Construire un arbre pondéré traduisant cette situation.
    $\quad$
  2. Démontrer que la probabilité qu’un client ne se présente pas à l’embarquement est de $0,029$.
    $\quad$
  3. Calculer la probabilité que la réservation ait été faite en agence sachant que le client ne s’est pas présenté à l’embarquement.
    $\quad$

Partie B

Sur cette ligne, la compagnie affrète un appareil de $200$ places et a vendu $202$ réservations.

On suppose que le nombre de clients se présentant à l’embarquement peut être modélisé par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi binomiale de paramètres $n = 202$ et $p = 0,971$.

  1. Calculer la probabilité que tous les clients se présentent à l’embarquement.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité qu’un seul client parmi les $202$ qui ont réservé ne se présente pas à l’embarquement.
    $\quad$
  3. En déduire la probabilité que la compagnie se trouve en situation de surréservation (c’est-à-dire avec plus de clients qui se présentent à l’embarquement que de places).
    $\quad$

Partie C

Cette compagnie affirme que $98 \%$ de ses clients sont satisfaits.
Sur les $400$ réponses à une enquête de satisfaction, il y a $383$ réponses exprimant leur satisfaction. Ce résultat contredit-il l’affirmation de la compagnie ?
$\quad$

 

Exercice 2     5 points

Candidats ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

Un laboratoire en botanique étudie l’évolution d’une espèce végétale en fonction du temps.
Cette espèce compte initialement $2$ centaines d’individus.
Au bout de $2$ semaines, l’espèce végétale compte $18$ centaines d’individus.
Au bout de $3$ semaines, l’espèce végétale prolifère et s’élève à $30,5$ centaines d’individus.
Au bout de $10$ semaines, on en compte $90$ centaines.
On modélise cette évolution par une fonction polynomiale $f$ donnant le nombre d’individus
de l’espèce, exprimé en centaine, en fonction du temps écoulé $x$, exprimé en semaine.
Ainsi $f(2) = 18$ ; $f(3) = 30,5$ et $f(10) = 90$.
On admet que $f(x)$ peut s’écrire $f(x) = ax^3 +bx^2 +cx +d$, où $a$, $b$, $c$ et $d$, sont des réels.
$\quad$

  1. Justifier que $d=2$.
    $\quad$
  2. Montrer que $a$, $b$ et $c$ sont solutions du système : $\begin{cases}8a+4b+2c=16\\27a+9b+3c=28,5\\1~000a+100b+10c=88\end{cases}$.
    $\quad$
  3. Déterminer les matrices $A$, $X$ et $B$ qui permettent d’écrire le système précédent sous la forme $AX = B$.
    $\quad$
  4. Résoudre le système.
    $\quad$
  5. En supposant que l’évolution suit, sur l’intervalle $[0; 13]$, le modèle décrit par la fonction $f$ , déterminer au bout de combien de temps la quantité de l’espèce étudiée sera maximale (arrondir à la semaine près).
    $\quad$

Partie B

Le laboratoire en botanique possède un parc d’étude dans lequel est observée l’évolution de différentes espèces d’arbres.
Les agents chargés du nettoyage circulent dans le parc depuis le local technique ($L$) jusqu’aux différentes parcelles plantées d’arbres : $C$, $E$, $F$, $M$, $O$, $P$, $R$ et $S$.

Les sommets du graphe ci-dessus représentent les différentes parcelles, et les arêtes marquent les allées permettant de se déplacer dans le parc. Les étiquettes rapportent la distance en mètre entre les parcelles.

  1. a. Existe-t-il un parcours empruntant toutes les allées, une et une seule fois, en partant du local technique ($L$) et en y revenant ? Si oui, donner un tel parcours.
    $\quad$
    b. Existe-t-il un parcours empruntant toutes les allées, une et une seule fois, en partant du local technique ($L$) et sans nécessairement y revenir ? Si oui, donner un tel
    parcours.
    $\quad$
  2. Déterminer un parcours de distance minimale joignant le local technique à la parcelle $O$.
    $\quad$

Exercice 3     3 points

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0 ; +\infty[$ par $f(x) = x−\ln(x)$.

On appelle $C_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère $Oij$ et $T$ la tangente à $C_f$ au point d’abscisse $x = 3$.

Cette tangente $T$ à $C_f$ passe-t-elle par l’origine du repère?
$\quad$

 

Exercice 4     6 points

Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l’absence de réponse ne rapportent, ni n’enlèvent aucun point.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie

Les parties A et B sont indépendantes

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $$f(x) = −7x\e^x$$
Cette fonction admet sur $\R$ une dérivée $f’$ et une dérivée seconde $f\dsec$.
On donne ci-dessous la courbe $C_f$ représentative de la fonction $f$ .

  1. On note $F$ une primitive de $f$ sur $\R$, une expression de $F(x)$ peut être :
    a. $(−7−7x)\e^x$
    b. $−7\e^x$
    c. $−7x\e^x$
    d. $(−7x +7)\e^x$
    $\quad$
  2. Soit $A$ l’aire, exprimée en unité d’aire, comprise entre la courbe représentative de $f$ ,l’axe des abscisses et les droites d’équation $x =−3$ et $x = 0$ . On a :
    a. $3 < A < 4$
    b. $5 < A < 6$
    c. $A < 0$
    d. $A > 7$
    $\quad$
  3. On a :
    a. $f’$ est positive sur l’intervalle $[−6 ; 0]$;
    b. $f$ est convexe sur l’intervalle $[−1 ; 0]$;
    c. $C_f$ admet un point d’inflexion pour $x = −1$;
    d. $f\dsec$ change de signe en $x = −2$.
    $\quad$

Partie B

On considère la loi normale $X$ de paramètres $\mu = 19$ et $\sigma = 5$.

  1. La meilleure valeur approchée de $P(19 \pp X \pp 25)$ est :
    a. $0,385$
    b. $0,084$
    c. $0,885$
    d. $0,5$
    $\quad$
  2. Une valeur approchée à $10^{−3}$ près de la probabilité $P(X \pg 25)$ est :
    a. $p \approx 0,885$
    b. $p \approx 0,115$
    c. $p \approx 0,385$
    d. $p \approx 0,501$
    $\quad$
  3. Le nombre entier $k$ tel que $P$(X > k) \approx 0,42$ à $10^{−2}$ près est :
    a. $k = 19$
    b. $k = 29$
    c. $k = 20$
    d. $k = 14$
    $\quad$

 

 

 

Bac ES/L – Métropole – Juin 2018

Métropole – Juin 2018

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. a. La variable aléatoire $X$ suit une loi continue donc $p(X=10)=0$.
    $\quad$
    b. $X$ suit la loi normale d’espérance $\mu=45$ et d’écart-type $\sigma=12$.
    Donc $p(X\pg 45)=p(X\pg \mu)=0,5$
    $\quad$
    c. $p(21 \pp X \pp 69)=p(\mu-2\sigma\pp X \pp \mu+2\sigma) \approx 0,95$.
    $\quad$
    d. $p(21 \pp X \pp 45)=p(45 \pp X \pp 69)$.
    Donc $p(21 \pp X \pp 45)=\dfrac{1}{2}p(21 \pp X \pp 69) \approx 0,475$
    $\quad$
  2. À l’aide de la calculatrice, on trouve $p(30 \pp X \pp 60) \approx 0,789$
    $\quad$
  3. En utilisant la fonction inverse loi normale de la calculatrice, on trouve $a\approx 39$.
    Cela signifie donc que la probabilité qu’un client passe moins de $39$ minutes dans le supermarché est de $30\%$.
    $\quad$

Partie B

  1. On a $n=300$ et $p=0,89$.
    Par conséquent $n\pg 30$, $np=267\pg 5$ et $n(1-p)=33$.
    Un intervalle de fluctuation au seuil de $95\%$ de la proportion de clients satisfaits est :
    $\begin{align*} I_{300}&=\left[0,89-1,96\sqrt{\dfrac{0,89\times 0,11}{300}};0,89+1,96\sqrt{\dfrac{0,89\times 0,11}{300}}\right] \\
    &\approx [0,854;0,925]
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. La fréquence observée de clients satisfaits est $f=\dfrac{286}{300}\approx 0,953$.
    $\quad$
  3. On constate donc que $f\notin I_{300}$.
    Au risque d’erreur de $5\%$, on ne peut pas affirmer que le taux de satisfaction des clients est resté stable entre 2013 et 2018.
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. $p_{\conj{F}}(S)$ est la probabilité que l’élève soit inscrit dans un club de sport sachant que ce n’est pas une fille.
    Réponse a
    $\quad$
  2. On a
    $\begin{align*} p_F(S)=&\dfrac{p(F\cap S)}{p(F)}\\
    &=\dfrac{0,3\times 0,4}{0,47}\\
    &\approx 0,255
    \end{align*}$
    Réponse b
    $\quad$

Partie B

  1. Une équation de la tangente est de la forme $y=g'(1)(x-1)+g(1)$.
    Or $g(1)=1$
    et $g'(x)=-3x^2+6x$ donc $g'(1)=3$.
    Une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_g$ au point d’abscisse $1$ est :
    $y=3(x-1)+1$ soit $y=3x-3+1$ ou encore $y=3x-2$.
    Réponse b
    $\quad$
  2. Une primitive de la fonction $g$ sur l’intervalle $[-1;4]$ est la fonction $G$ définie sur cet intervalle par $G(x)=-\dfrac{1}{4}x^4+x^3-x$.
    La valeur moyenne de la fonction $g$ sur l’intervalle $[-1;a]$ est :
    $\begin{align*} \ds m_a&=\dfrac{1}{a-(-1)}\int_{-1}^a g(x)\dx \\
    &=\dfrac{1}{a+1}\left(G(a)-G(-1)\right) \\
    &=\dfrac{1}{a+1}\left(-\dfrac{a^4}{4}+a^3-a+\dfrac{1}{4}\right)
    \end{align*}$
    On teste les valeurs proposées et on trouve que si $a=1$ alors $m_a=0$.
    Réponse b
    $\quad$

Ex 3 obl

Exercice 3

Candidats de ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de L

  1. a. On a :
    $u_1=u_0\times (1+0,06)-15=605\times 1,06-15=626,3$ cm
    Le 2 janvier 2018 à midi le niveau de l’eau est de $626,3$ cm.
    $\quad$
    b. Augmenter un nombre de $6\%$ revient à le multiplier par $1,06$.
    Ainsi l’augmentation de $6\%$ se traduit par $1,06u_n$.
    Il y a ensuite une baisse de $15$ cm donc $u_{n+1}=1,06u_n-15$.
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=u_n-250$ donc $u_n=v_n+250$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-250 \\
    &=1,06 u_n-15-250 \\
    &=1,06 u_n-265 \\
    &=1,06\left(v_n+250\right)-265 \\
    &=1,06v_n+265-265 \\
    &=1,06
    \end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,06$ et de premier terme $v_0=u_0-250=355$.
    $\quad$
    b. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $v_n=355\times 1,06^n$.
    Donc $u_n=v_n+250=250+355\times 1,06^n$.
    $\quad$
  3. a. On a $1,06>1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 1,6^n=+\infty$.
    Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=+\infty$.
    $\quad$
    b. La limite de la suite $\left(u_n\right)$ étant $+\infty$, cela signifie qu’il existe un rang $n_0$ à partir duquel $u_{n_0} >1~000$.
    L’équipe d’entretien devra donc ouvrir les vannes.
    $\quad$
  4. a. On obtient l’algorithme suivant :
    $\begin{array}{|l|}
    \hline
    N\leftarrow 0\\
    U \leftarrow 605 \\
    \text{Tant que $U\pp 1000$ faire}\\
    \hspace{1cm} U\leftarrow 1,06\times U-15 \\
    \hspace{1cm} N\leftarrow N+1\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    b. On a $u_{12} \approx 964$ et $u_{13} \approx 1~007$.
    Donc, à la fin de l’exécution de l’algorithme, on a $N=13$.
    $\quad$
    c. Les techniciens devront intervenir pour la première fois le 14 janvier 2018.
    $\quad$

Ex 3 spé

Exercice 3

Candidats de ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

  1. Le graphe possède $5$ sommets. Il est donc d’ordre $5$.
    $\quad$
  2. a. On a alors :
    $M=\begin{pmatrix} 0&1&0&1&0\\
    0&0&0&1&0\\
    1&1&0&0&1\\
    0&0&0&0&0\\
    1&1&0&1&0
    \end{pmatrix}$
    $\quad$
    b. Le coefficient ${M^3}_{(3,4)}=3$.
    On peut donc aller de $D$ en $F$ en faisant un parcours constitué de $3$ arêtes.
    Il existe $3$ parcours différents : $D-H-A-F$, $D-H-B-F$ et $D-A-B-F$.
    $\quad$
  3. On utilise l’algorithme de Dijsktra.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    A&B&D&F&H&\text{Sommet} \\
    \hline
    &&0&&&D\\
    \hline
    28(D)&40(D)&&&19(D)&H\\
    \hline
    28(D)&35(H)&&51(H)&&A\\
    \hline
    &35(H)&&51(H)&&B\\
    \hline
    &&&49(B)&&F\\
    \hline
    \end{array}$
    Le trajet pour lequel le temps de course est minimal est $D-H-B-F$. Il dure $49$ minutes.
    $\quad$

Partie B

$\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=2\e^{-2x}-2(2x+1)\e^{-2x} \\
    &=(2-4x-2)\e^{-2x} \\
    &=-4x\e^{-2x}
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. La fonction exponentielle est strictement positive sur l’intervalle $[-2;4]$. Par conséquent le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $-4x$.
    Ainsi, $f'(x)>0$ sur l’intervalle $[-2;0[$, $f'(0)=0$ et $f'(x)<0$ sur l’intervalle $]0;4]$.
    Donc la fonction $f$ est croissante sur l’intervalle $[-2;0]$ et décroissante sur l’intervalle $[0;4]$.
    $\quad$
  3.  La fonction $f$ est continue et strictement croissante sur l’intervalle $[-2;0]$.
    $f(-2) \approx -160,8<0$ et $f(0)=4>0$
    D’après le corollaire du théorème de la bijection l’équation $f(x)=0$ possède une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[-2;0]$.
    De plus $\alpha\approx -0,8$.
    $\quad$
  4. a. La fonction exponentielle est strictement positive sur l’intervalle $[-2;4]$.
    Le signe de $f\dsec (x)$ ne dépend donc que de celui de $8x-4$.
    Or $8x-4=0 \ssi x=0,5$
    $8x-4>0 \ssi x>0,5$.
    $8x-4<0\ssi x<0,5$.
    La fonction $f\dsec$ est donc négative sur l’intervalle $[-2;0,5[$, nulle en $0,5$ et positive sur l’intervalle $]0,5;4]$.
    $\quad$
    b. La fonction $f$ est donc concave sur l’intervalle $[-2;0,5]$ et convexe sur l’intervalle $[0,5;4]$.
    $\quad$
  5. a. Pour tout réel $x$ de l’intervalle $[-2;4]$ on a :
    $\begin{align*} G'(x)&=-\e^{-2x}-2(-x-1)\e^{-2x} \\
    &=(-1+2x+2)\e^{-2x} \\
    &=(2x+1)\e^{-2x} \\
    &=g(x)
    \end{align*}$
    La fonction $G$ est donc une primitive de la fonction $g$ sur l’intervalle $[-2;4]$.
    $\quad$
    b. Une primitive de $f$ est donc la fonction $F$ définie sur l’intervalle $[-2;4]$ par $F(x)=(-x-1)\e^{-2x}+3x$.
    $\quad$
  6. On obtient le graphique suivant :
    $\quad$
    b. Graphiquement on peut dire que $3< \mathscr{A} < 4$.
    En effet la partie hachurée est incluse dans un rectangle de dimension $1\times 4$ et contient un rectangle de dimension $1\times 3$.
    $\quad$
    c. On a :
    $\begin{align*} \mathscr{A}&=\ds \int_0^1 f(x)\dx \\
    &=F(1)-F(0) \\
    &=-2\e^{-2}+3+1\\
    &=4-2\e^{-2} \\
    &\approx 3,73 \text{u.a.}
    \end{align*}$
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1     5 points

Les parties A et B sont indépendantes

Partie A

Le temps passé par un client, en minute, dans un supermarché peut être modélisé par une variable aléatoire $X$ suivant la loi normale d’espérance $\mu = 45$ et d’écart type $\sigma = 12$.

Pour tout événement $E$, on note $p(E)$ sa probabilité.

  1. Déterminer, en justifiant :
    a. $p(X=10)$
    $\quad$
    b. $p(X\pg 45)$
    $\quad$
    c. $p(21 \pp X \pp 69)$
    $\quad$
    d. $p(21 \pp X \pp 45)$
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité, arrondie au millième, qu’un client passe entre $30$ et $60$ minutes dans ce supermarché.
    $\quad$
  3. Déterminer la valeur de $a$, arrondie à l’unité, telle que $P(X \pp a) = 0,30$. Interpréter la valeur de $a$ dans le contexte de l’énoncé.
    $\quad$

Partie B
En 2013, une étude a montré que $89 \%$ des clients étaient satisfaits des produits de ce supermarché.

  1. Déterminer un intervalle de fluctuation au seuil de $95 \%$ de la proportion de clients satisfaits pour un échantillon de $300$ clients pris au hasard en 2013.
    $\quad$
    Lors d’une enquête réalisée en 2018 auprès de $300$ clients choisis au hasard, $286$ ont déclaré être satisfaits.
    $\quad$
  2. Calculer la fréquence de clients satisfaits dans l’enquête réalisée en 2018.
    $\quad$
  3. Peut-on affirmer, au seuil de $95 \%$, que le taux de satisfaction des clients est resté stable entre 2013 et 2018 ? Justifier.
    $\quad$

Exercice 2     4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule des
quatre réponses proposées est correcte.

Reporter sur la copie le numéro de la question ainsi que la lettre correspondant à la réponse choisie.

Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point. Aucune justification n’est demandée.

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

Dans un établissement scolaire, $30 \%$ des élèves sont inscrits dans un club de sport, et parmi eux, $40 \%$ sont des filles. Parmi ceux n’étant pas inscrits dans un club de sport, $50 \%$ sont des garçons.
Pour tout événement $E$, on note $\conj{E}$ l’événement contraire de $E$ et $p(E)$ sa probabilité. Pour tout événement $F$ de probabilité non nulle, on note $p_F(E)$ la probabilité de $E$ sachant que $F$ est réalisé.

On interroge un élève au hasard et on considère les événements suivants :

  • $S$ : « l’élève est inscrit dans un club de sport »
  • $F$ : « l’élève est une fille »

La situation est représentée par l’arbre pondéré ci-dessous.

  1. La probabilité $p_{\conj{F}}(S)$ est la probabilité que l’élève soit :
    a. inscrit dans un club de sport sachant que c’est un garçon ;
    b. un garçon inscrit dans un club de sport ;
    c. inscrit dans un club de sport ou un garçon ;
    d. un garçon sachant qu’il est inscrit dans un club de sport.
    $\quad$
  2. On admet que $p(F)=0,47$. La valeur arrondie au millième de $p_F(S)$ est :
    a. $0,141$
    b. $0,255$
    c. $0,400$
    d. $0,638$
    $\quad$

Partie B

Soit $g$ la fonction définie sur $[-1;4]$ par $g(x)=-x^3+3x^2-1$ et $\mathcal{C}_g$ sa courbe représentative dans un repère.

  1. La tangente à la courbe $\mathcal{C}_g$ au point d’abscisse $1$ a pour équation :
    a. $y=-3x^2+6x$
    b. $y=3x-2$
    c. $y=3x-3$
    d. $y=2x-1$
    $\quad$
  2. La valeur moyenne de la fonction $g$ sur l’intervalle $[-1;a]$ est nulle pour :
    a. $a=0$
    b. $a=1$
    c. $a=2$
    d. $a=3$
    $\quad$

Exercice 3    5 points 

Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de
série L

Un lac de montagne est alimenté par une rivière et régulé par un barrage, situé en aval, d’une hauteur de $10$ m.
On mesure le niveau d’eau du lac chaque jour à midi.

Le 1$\ier$ janvier 2018, à midi, le niveau d’eau du lac était de $6,05$ m.

Entre deux mesures successives, le niveau d’eau du lac évolue de la façon suivante :

  • d’abord une augmentation de $6 \%$ (apport de la rivière) ;
  • ensuite une baisse de $15$ cm (écoulement à travers le barrage).
  1. On modélise l’évolution du niveau d’eau du lac par une suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$, le terme $u_n$ représentant le niveau d’eau du lac à midi, en cm, $n$ jours après le $1\ier$ janvier 2018.
    Ainsi le niveau d’eau du lac le $1\ier$ janvier 2018 à midi est donné par $u_0=605$.
    a. Calculer le niveau du lac, en cm, le $2$ janvier 2018 à midi.
    $\quad$
    b. Montrer que, pour tout $n\in \N$, $u_{n+1}=1,06u_n-15$.
    $\quad$
  2. On pose, pour tout $n\in N$, $v_n=u_n-250$.
    a. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $1,06$.
    Préciser son terme initial.
    b. Montrer que, pour tout $n\in \N$, $u_n=355\times 1,06^n+250$.
    $\quad$
  3. Lorsque le niveau du lac dépasse $10$ m, l’équipe d’entretien doit agrandir l’ouverture des vannes du barrage.
    a. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
    b. L’équipe d’entretien devra-t-elle ouvrir les vannes afin de réguler le niveau
    d’eau ? Justifier la réponse.
    $\quad$
  4. Afin de déterminer la première date d’intervention des techniciens, on souhaite utiliser l’algorithme incomplet ci-dessous.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    N \leftarrow 0\\
    U\leftarrow 605\\
    \text{Tant que } \ldots\ldots\ldots \text{ faire}\\
    \hspace{1cm} U\leftarrow \ldots\ldots\ldots\\
    \hspace{1cm} N\leftarrow N+1\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    a. Recopier et compléter l’algorithme.
    $\quad$
    b. À la fin de l’exécution de l’algorithme, que contient la variable $N$?
    $\quad$
    c. En déduire la première date d’intervention des techniciens sur les vannes du
    barrage.
    $\quad$

Exercice 3    5 points 

Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

Un parcours sportif est composé d’un banc pour abdominaux, de haies et d’anneaux. Le graphe orienté ci-dessous indique les différents parcours conseillés partant de $D$ et terminant à $F$.

Les sommets sont : $D$ (départ), $B$ (banc pour abdominaux), $H$ (haies), $A$ (anneaux) et $F$ (fin du parcours).
Les arêtes représentent les différents sentiers reliant les sommets.

  1. Quel est l’ordre du graphe?
    $\quad$
  2. On note $M$ la matrice d’adjacence de ce graphe où les sommets sont rangés dans l’ordre alphabétique.
    a. Déterminer $M$.
    $\quad$
    b. On donne $M^3=\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&1&0&3&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&1&0\end{pmatrix}$
    $\quad$
    Assia souhaite aller de $D$ à $F$ en faisant un parcours constitué de $3$ arêtes.
    Est-ce possible ? Si oui, combien de parcours différents pourra-t-elle emprunter ?
    Préciser ces trajets.
    $\quad$
  3. Assia a relevé ses temps de course en minute entre les différents sommets. Ces durées sont portées sur le graphe ci-dessous.
    Lors d’un entraînement, Assia souhaite courir le moins longtemps possible en allant de $D$ à $F$. Déterminer le trajet pour lequel le temps de course est minimal et préciser la durée de sa course.

    $\quad$

Partie B

Le responsable souhaite ajouter une barre de traction notée $T$. De nouveaux sentiers sont construits et de nouveaux parcours sont possibles.

La matrice d’adjacence $N$ associée au graphe représentant les nouveaux parcours, dans lequel les sommets sont classés dans l’ordre alphabétique, est $$N=\begin{pmatrix} 0&1&0&1&0&1\\0&0&0&1&0&0\\1&1&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&0\\1&1&0&1&0&1\\0&0&0&1&0&0\end{pmatrix}$$

Compléter l’annexe à rendre avec la copie, en ajoutant les arêtes nécessaires au graphe orienté correspondant à la matrice $N$.
$\quad$

Annexe 

$\quad$

Exercice 4     6 points

On désigne par $f$ la fonction définie sur l’intervalle $[-2;4]$ par $$f(x)=(2x+1)\e^{-2x}+3$$

On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère. Une représentation graphique est donnée en annexe.

  1. On note $f’$ la fonction dérivée de $f$. Montrer que, pour tout $x\in[-2;4]$ $$f'(x)=-4x\e^{-2x}$$
    $\quad$
  2. Étudier les variations de $f$.
    $\quad$
  3. Montrer que l’équation $f(x) = 0$ admet une unique solution sur l’intervalle $[−2 ; 0]$ et donner une valeur approchée au dixième de cette solution.
    $\quad$
  4. On note $f\dsec$ la fonction dérivé de $f’$. On admet que, pour tout $x\in[-2;4]$, $$f\dsec(x)=(8x-4)\e^{-2x}$$
    a. Étudier le signe de $f\dsec$ sur l’intervalle $[-2;4]$.
    $\quad$
    b. En déduire le plus grand intervalle dans $[-2;4]$ sur lequel $f$ est convexe.
    $\quad$
  5. On note $g$ la fonction définie sur l’intervalle $[-2;4]$ par $g(x)=(2x+1)\e^{-2x}$.
    a. Vérifier que la fonction $G$ définie pour tout $x\in[-2;4]$ par $G(x)=(-x-1)\e^{-2x}$ est une primitive de la fonction $g$.
    $\quad$
    b. En déduire une primitive $F$ de $f$.
    $\quad$
  6. On note $\mathscr{A}$ l’aire du domaine $\mathcal{D}$ compris entre la courbe $\mathcal{C}_f$, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=0$ et $x=1$.
    a. Hachurer le domaine $\mathcal{D}$ sur le graphique donné en annexe, à rendre avec la copie.
    $\quad$
    b. Par lecture graphique, donner un encadrement de $\mathscr{A}$, en unité d’aire, par deux entiers consécutifs.
    $\quad$
    c. Calculer la valeur exacte de $\mathscr{A}$, puis une valeur approchée au centième.
    $\quad$

Annexe

 

Bac ES/L – Antilles Guyane – Juin 2018

Antilles Guyane – Juin 2018

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. La fonction exponentielle est strictement positive.
    Par conséquent $f(x)=0\ssi 2x-3=0 \ssi x=1,5$.
    Réponse b
    $\quad$
  2. Une équation de la tangente au point d’abscisse $1$ est $y=f'(1)(x-1)+f(1)$.
    Or $f'(x)=\dfrac{1}{x}$ donc $f'(1)=\dfrac{1}{1}=1$ et $f(1)=0$.
    Une équation de la tangente au point d’abscisse $1$ est $y=x-1$.
    Réponse b
    $\quad$
  3. $P(X>t)=0,025 \ssi P(X \pp t)=0,975$.
    À l’aide de la touche inverse loi normale de la calculatrice, on trouve $t\approx 30,88$
    Réponse d
    $\quad$
  4. On appelle $T$ la variable aléatoire suivant la loi uniforme sur $[8,5;10]$.
    La probabilité qu’Anne appelle Benoît alors qu’il est dans le train est :
    $P(X\pg 9)=P(9\pp X \pp 10)=\dfrac{10-9}{10-8,5}=\dfrac{2}{3}$.
    Réponse b
    $\quad$

Ex 2 obl

Exercice 2

Partie A

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. On veut calculer $p(A\cap C)=0,5\times 0,4=0,2$.
    La probabilité que Victor obtienne et conserve un personnage de type « Air »est $0,2$.
    $\quad$
  3. D’après la formule des probabilités totales, on a :
    $\begin{align*} p(C)&=p(T\cap C)+p(A\cap C)+p(F\cap C) \\
    &=0,3\times 0,5+0,2+0,2\times 0,9 \\
    &=0,53 \end{align*}$
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*}p_C(A)&=\dfrac{p(A\cap C)}{p(C)} \\
    &=\dfrac{0,2}{0,53} \\
    &=\dfrac{20}{53}\\
    &\approx 0,38
    \end{align*}$
    $\quad$

Partie B

  1. Il y a $10$ tirages indépendants, aléatoires, identiques.
    À chaque tirage, il n’y a que deux issues : $T$ et $\conj{T}$.
    De plus $p(T)=0,3$
    La variable aléatoire $Y$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,3$.
    $\quad$
  2. $P(Y=3)=\ds \binom{10}{3}\times 0,3^3\times 0,7^{10-3}\approx 0,27$
    La probabilité que Victor ait obtenu exactement $3$ personnages de type « Terre » au début de ses $10$ parties est environ égale à $0,27$
    $\quad$
  3. $P(Y\pg 1)=1-P(Y=0)=1-0,7^{10}\approx 0,97$.
    La probabilité que Victor ait obtenu au moins une fois un personnage de type « Terre » au début de ses $10$ parties est environ égal à $0,97$.
    $\quad$

Ex 2 spé

Exercice 2

Partie A

  1. On obtient le graphe probabiliste suivant :

    $\quad$
  2. a. On a donc $\begin{cases} g_{n+1}=0,65g_n+0,42p_n \\p_{n+1}=0,35g_n+0,58p_n\end{cases}$
    On note $A_n=\begin{pmatrix} g_n&p_n\end{pmatrix}$ pour tout entier naturel $n$ non nul.
    La matrice de transition est $M=\begin{pmatrix}0,65&0,35\\0,42&0,58\end{pmatrix}$
    $\quad$
    b. On a $A_1=\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix}$
    Par conséquent $A_3=A_1M^2=\begin{pmatrix}0,569~5&0,430~5\end{pmatrix}$.
    Ainsi, la probabilité que Franck gagne la troisième partie est $0,569~5$.
    $\quad$
  3. L’état stable $S=\begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}$ vérifie :
    $\begin{align*} \begin{cases} S=SM\\x+y=1\end{cases}&\ssi \begin{cases} x=0,65x+0,42y\\y=0,35x+0,58y\\x+y=1\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} -0,35x+0,42y=0\\0,35x-0,42y=0\\x=1-y\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} -0,35+0,35y+0,42y=0\\x=1-y \end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} 0,77y=0,35\\x=1-y \end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} y=\dfrac{5}{11} \\x=\dfrac{6}{11} \end{cases} \end{align*}$
    L’état stable est donc $S=\begin{pmatrix} \dfrac{6}{11}&\dfrac{5}{11}\end{pmatrix}$.
    Cela signifie que sur le long terme, la probabilité que Franck gagne une partie est $\dfrac{6}{11}$.
    $\quad$

Partie B

  1. a. Le degré des sommets de ce graphe  est donné par le tableau suivant :
    $\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Sommet}&A&B&C&D&E&F&G\\
    \hline
    \text{Degré}&2&4&4&4&4&4&2\\
    \hline
    \end{array}$
    Tous les degrés sont pairs.
    Le graphe est de plus connexe. Il possède donc un cycle eulérien.
    Il est par conséquent possible, au départ d’une salle quelconque, d’y revenir après avoir parcouru tous les couloirs une et une seule fois.
    $\quad$
    b. On peut, par exemple, faire le chemin $A-B-F-G-E-F-D-E-C-D-B-C-A$.
    $\quad$
  2. Tous les degrés des sommets sont pairs. Le graphe ne possède donc pas de chaîne eulérienne.
    Il n’existe pas, par conséquent, de chemin permettant de se rendre de la salle $A$ à la salle $G$ en passant une et une seule fois par tous les couloirs.
    $\quad$
  3. On utilise l’algorithme de Dijkstra :
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    A&B&C&D&E&F&G&\text{Sommet} \\
    \hline
    &&&&&&0&G\\
    \hline
    &&&&7(G)&5(G)&&F\\
    \hline
    &27(F)&&8(F)&7(G)&&&E\\
    \hline
    &27(F)&26(E)&8(F)&&&&D\\
    \hline
    &15(D)&13(D)&&&&&C\\
    \hline
    25(C)&15(D)&&&&&&B\\
    \hline
    25(C)&&&&&&&A\\
    \hline
    \end{array}$
    Le chemin permettant d’affronter le moins de chemin est $G-F-D-C-A$.
    Il rencontrera alors $25$ monstres.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. a. Pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}-u_n=0,4$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc arithmétique de raison $0,4$.
    On a $v_{n+1}=1,028v_n$. Par conséquent, la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $1,028$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a alors :
    $$u_n=10+0,4n \quad \text{et} \quad v_n=8\times 1,028^n$$
    $\quad$
  2. Cela signifie que c’est à partir du rang $46$ que $v_n\pg u_n$.
    $\quad$
  3. a. $u_{10}=8\times 1,028^{10} \approx 10,544$
    Selon ce modèle, la population de l’Angleterre en 1810 était de $10,544$ millions d’habitants environ.
    $\quad$
    b. On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
    $\begin{align*} u_n \pg 16 &\ssi 8\times 1,028^n \pg 16 \\
    &\ssi 1,028^n \pg 2 \\
    &\ssi n\ln 1,028 \pg \ln 2 \\
    &\ssi n \pg \dfrac{\ln 2}{\ln 1,028}
    \end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln 2}{\ln 1,028} \approx 25,1$.
    Par conséquent $n\pg 26$
    C’est donc à partir de 1826 que la population aurait dépassé $16$ millions d’habitants.
    $\quad$
    c. La suite $\left(u_n\right)$ décrit le nombre d’habitant en Angleterre durant l’année 1800$+n$ et la suite $\left(v_n\right)$ décrit le nombre d’habitants que l’agriculture peut nourrir.
    D’après la réponse à la question 2. c’est à partir de 1846 que la population de l’Angleterre serait devenue trop grande pour ne plus être suffisamment nourrie par son agriculture.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie A

  1. La fonction $f$ semble atteindre son maximum en $x_0$ tel que $1\pp x_0 \pp 2$.
    $\quad$
  2. a. La fonction $f$ semble convexe sur l’intervalle $[2,8;5]$ (intervalle sur lequel la fonction $f\dsec$ semble être positive).
    $\quad$
    b. La fonction $f\dsec$ change de signe en $x_1$ tel que $2\pp x_1 \pp 3$.
    La fonction $f$ possède donc un point d’inflexion dont l’abscisse est comprise entre $2$ et $3$.
    $\quad$
  3. On peut lire que $f'(0)=2$ et $f(0)=0$.
    Une équation de la tangente au point d’abscisse $0$ est $y=f'(0)x+f(0)$.
    Par conséquent une équation de cette tangente est $y=2x$.
    $\quad$
  4. $I$ correspond à l’aire du domaine compris entre la courbe $C_{f’}$, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=0$ et $x=1$.
    $\quad$

Partie B

  1. a. Pour tout réel de l’intervalle $[0;5]$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=(2x+2)\e^{-x}-\left(x^2+2x\right)\e^{-x} \\
    &=\left(2x+2-x^2-2x\right) \e^{-x} \\
    &=\left(2-x^2\right)\e^{-x}
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. La fonction exponentielle est strictement positive sur l’intervalle $[0;5]$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $-x^2+2$.
    Or $-x^2+2=0\ssi x^2=2\ssi x=-\sqrt{2}$ ou $x=\sqrt{2}$
    Sur l’intervalle $[0;5]$, $-x^2+2=0\ssi x=\sqrt{2}$
    Sur ce même intervalle, $-x^2+2>0 \ssi -x^2>-2\ssi x^2<2\ssi 0\pp x<\sqrt{2}$.
    La fonction $f$ est donc croissante sur l’intervalle $\left[0;\sqrt{2}\right]$ et décroissante sur l’intervalle $\left[\sqrt{2};5\right]$.
    Elle atteint son maximum au point d’abscisse $\sqrt{2}$.
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} \ds \int_0^1 f'(x)\dx &=f(1)-f(0) \\
    &=f(1)-\left(0^2+2\times 0\right)\times 1\\
    &=f(1)
    \end{align*}$
    Ces deux valeurs sont donc égales.
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1     4 points

Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l’absence de réponse ne rapportent, ni n’enlèvent aucun point.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie.

  1. Soit la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[-10;10]$ par $f(x)=(2x-3)\e^{-3x}$.
    L’équation $f(x)=0$ admet sur l’intervalle $[-10;10]$.
    a. $0$ solution
    b. $1$ solution
    c. $2$ solutions
    d. $3$ solutions ou plus
    $\quad$
  2. Dans un repère $\Oij$ on considère la courbe représentative de la fonction $x\mapsto \ln(x)$; l’équation de sa tangente au point d’abscisse $1$ est :
    a. $y=1$
    b. $y=x-1$
    c. $y=1-x$
    d. $y=x+1$
    $\quad$
  3. Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi normale de paramètres $\mu=25$ et $\sigma=3$.
    La meilleure valeur approchée du réel $t$ tel que $P(X > t)=0,025$ est :
    a. $t\approx 0,97$
    b. $t\approx 19,12$
    c. $t\approx 28$
    d. $t\approx 30,88$
    $\quad$
  4. Anne prévoit d’appeler Benoît par téléphone à un moment choisi au hasard entre $8$ h $30$ et $10$ h. Benoît sera dans un train à partir de $9$ h pour un trajet de plusieurs heures.
    Quelle est la probabilité qu’Anne appelle Benoît alors qu’il est dans le train ?
    a. $\dfrac{60}{150}$
    b. $\dfrac{2}{3}$
    c. $\dfrac{6}{13}$
    d. $\dfrac{1}{3}$
    $\quad$

Exercice 2     5 points

Candidats de ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de L

Dans tout cet exercice les résultats seront arrondis au centième si nécessaire.

Les parties A et B sont indépendantes

Partie A

Victor a téléchargé un jeu sur son téléphone. Le but de ce jeu est d’affronter des obstacles à l’aide de personnages qui peuvent être de trois types : « Terre », « Air » ou « Feu ».

Au début de chaque partie, Victor obtient de façon aléatoire un personnage d’un des trois types et peut, en cours de partie, conserver ce personnage ou changer une seule fois de type de personnage.

Le jeu a été programmé de telle sorte que :

  • la probabilité que la partie débute avec un personnage de type « Terre » est $0,3$;
  • la probabilité que la partie débute avec un personnage de type « Air » est $0,5$;
  • si la partie débute avec un personnage de type « Terre », la probabilité que celui-ci soit conservé est $0,5$;
  • si la partie débute avec un personnage de type « Air », la probabilité que celui-ci soit conservé est $0,4$;
  • si la partie débute avec un personnage de type « Feu », la probabilité que celui-ci soit conservé est $0,9$.

On note les événements suivants :

  • T : la partie débute avec un personnage de type « Terre »;
  • A : la partie débute avec un personnage de type « Air »;
  • F : la partie débute avec un personnage de type « Feu »;
  • C : Victor conserve le même personnage tout au long de la partie.
  1. Recopier et compléter l’arbre de probabilités ci-dessous.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité que Victor obtienne et conserve un personnage de type « Air ».
    $\quad$
  3. Justifier que la probabilité que Victor conserve le personnage obtenu en début de partie est $0,53$.
    $\quad$
  4. On considère une partie au cours de laquelle Victor a conservé le personnage obtenu en début de partie.
    Quelle est la probabilité que ce soit un personnage de type « Air » ?
    $\quad$

Partie B

On considère $10$ parties jouées par Victor, prises indépendamment les unes des autres.
On rappelle que la probabilité que Victor obtienne un personnage de type « Terre » est $0,3$.
$Y$ désigne la variable aléatoire qui compte le nombre de personnages de type « Terre » obtenus au début de ses $10$ parties.

  1. Justifier que cette situation peut être modélisée par une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité que Victor ait obtenu exactement 3 personnages de type « Terre » au début de ses $10$ parties.
    $\quad$
  3. Calculer la probabilité que Victor ait obtenu au moins une fois un personnage de type « Terre » au début de ses $10$ parties.
    $\quad$

Exercice 2     5 points

Candidats de ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Les parties A et B sont indépendantes.
Franck joue en ligne sur internet.
Partie A

Après plusieurs semaines, des statistiques données par le logiciel lui permettent de dire que :

  • quand il gagne une partie, la probabilité qu’il gagne la suivante est égale à $0,65$;
  • quand il perd une partie, la probabilité qu’il gagne la suivante est égale à $0,42$.

On note $G$ l’état : “Franck gagne la partie” et $P$ l’état : “Franck perd la partie”.
Sur une période donnée, on note, pour tout entier naturel $n$ non nul :

  • $g_n$ la probabilité que Franck gagne la $n$-ième partie;
  • $p_n$ la probabilité que Franck perde la $n$-ième partie.

Dans cette période, Franck a gagné la première partie

  1. Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets notés $G$ et $P$.
    $\quad$
  2. a. Écrire la matrice de transition $M$ dans l’ordre $G-P$.
    $\quad$
    b. Calculer la probabilité que Franck gagne la troisième partie.
    $\quad$
  3. Déterminer l’état stable du système et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.

Partie B
Dans ce jeu vidéo, Franck circule dans des catacombes infestées de monstres qu’il doit combattre.

On a représenté ci-dessous le graphe modélisant ces catacombes.
Les sommets représentent les salles et les arêtes représentent les couloirs.
Les étiquettes du graphe correspondent au nombre de monstres présents dans chaque
couloir.

  1. a. Justifier qu’il est possible, au départ d’une salle quelconque, d’y revenir après
    avoir parcouru tous les couloirs une et une seule fois.
    $\quad$
    b. Donner un tel chemin.
    $\quad$
  2. Franck débute le jeu dans la salle A et doit atteindre l’adversaire final en salle $G$.
    Existe-t-il un chemin permettant de se rendre de la salle $A$ à la salle $G$ en passant une et une seule fois par tous les couloirs ?
    $\quad$
  3. Une fois arrivé en salle $G$, Franck souhaite revenir en salle A en affrontant le moins de monstres possible afin de recommencer une nouvelle partie.
    Déterminer ce trajet minimal et préciser le nombre de monstres affrontés.
    $\quad$

Exercice 3     5 points

On définit deux suite $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ par, pour tout entier naturel $n$ $$\begin{cases} u_0=10\\u_{n+1}=u_n+0,4\end{cases} \quad \text{et} \quad \begin{cases} v_0=8\\v_{n+1}=1,028v_n\end{cases}$$

  1. a. Parmi ces deux suites, préciser laquelle est arithmétique et laquelle est géométrique; donner leur raisons respectives.
    $\quad$
    b. Exprimer $u_n$ et $v_n$ en fonction de l’entier naturel $n$.
    $\quad$
  2. On donne l’algorithme suivant dans lequel $n$ est un entier naturel, et $U$ et $V$ sont des réels qui désignent respectivement les termes de rang $n$ des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ : $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    n\leftarrow 0\\
    U\leftarrow 10\\
    V\leftarrow 8\\
    \text{Tant que } U>V\\
    \hspace{1cm} U\leftarrow U+0,4\\
    \hspace{1cm} V\leftarrow V\times 1,028\\
    \hspace{1cm} n\leftarrow n+1\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    En sortie de cet algorithme, $n$ a pour valeur $46$.
    Interpréter ce résultat.
    $\quad$
  3. En 1798, l’économiste anglais Thomas Malthus publie “An essay on the principle of population” dans lequel il émet l’hypothèse que l’accroissement de la population, beaucoup plus rapide que celui des ressources alimentaires, conduira son pays à la famine.
    Il écrit :
    $\quad$
    “Nous pouvons donc tenir pour certain que, lorsque la population n’est arrêtée par aucun obstacle, elle va doublant tous les vingt-cinq ans, et croît de période en période selon une progression géométrique. […] Nous sommes donc en état de prononcer, en partant de l’état actuel de la terre habitée, que les moyens de subsistance, dans les circonstances les plus favorables de l’industrie, ne peuvent jamais augmenter plus rapidement que selon une progression arithmétique.”
    $\quad$
    En 1800, la population de l’Angleterre était estimée à $8$ millions d’habitants et l’agriculture anglaise pouvait nourrir $10$ millions de personnes. Le modèle de Malthus admet que la population augmente de $2,8 \%$ chaque année et que les progrès de l’agriculture permettent de nourrir $0,4$ million de personnes de plus chaque année.
    On utilisera ce modèle pour répondre aux questions suivantes.
    a. Quelle aurait été, en million d’habitants, la population de l’Angleterre en 1810 ?
    On arrondira le résultat au millième.
    $\quad$
    b. À partir de quelle année la population de l’Angleterre aurait-elle dépassé $16$ millions d’habitants ?
    $\quad$
    c. À partir de quelle année la population de l’Angleterre serait-elle devenue trop grande pour ne plus être suffisamment nourrie par son agriculture ?
    $\quad$

Exercice 4     6 points

On donne ci-dessus la courbe $C_f$ représentative dans un repère donné d’une fonction $f$ définie et dérivable sur l’intervalle $[0; 5]$ ainsi que les courbes représentatives $C_{f’}$ et $C_{f\dsec}$ respectivement de la dérivée $f’$et de la dérivée seconde $f\dsec$ de la fonction $f$.

Partie A

Dans cette partie les réponses seront obtenues à l’aide de lectures graphiques.

  1. Donner un encadrement par deux entiers consécutifs du nombre réel pour lequel la
    fonction $f$ semble atteindre son maximum.
    $\quad$
  2. a. Donner un intervalle défini par deux entiers sur lequel la fonction $f$ semble convexe.
    $\quad$
    b. Expliquer pourquoi on peut conjecturer que la courbe $C_f$ admet un point d’inflexion. Donner un encadrement par deux entiers consécutifs de l’abscisse de ce
    point d’inflexion.
    $\quad$
  3. Parmi les équations suivantes quelle est l’équation de la tangente à la courbe $C_f$ au point d’abscisse $0$ ?
    $\begin{array}{llll}
    y=x&y=2x+1&y=2x&y=\dfrac{3}{4}x \end{array}$
    $\quad$
  4. On note $I=\ds \int_0^1 f'(x)\dx$ où $f’$ est la fonction dérivée de $f$.
    Commet s’interprète graphiquement ce nombre $I$?
    $\quad$

Partie B

La fonction $f$ représentée ci-dessus est définie sur l’intervalle $[0;5]$ par $f(x)=\left(x^2+2x\right)\e^{-x}$.

  1. a. Montrer que la dérivée $f’$ de $f$ est définie par $f'(x)=\left(-x^2+2\right)\e^{-x}$ pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0;5]$.
    $\quad$
    b. Déterminer les variations de $f$ sur $[0; 5]$ et préciser l’abscisse de son maximum.
    $\quad$
    c. Donner la valeur arrondie au millième du maximum de $f$ .
    $\quad$
  2. Avec un outil de calcul on obtient, pour $\ds \int_0^1 f'(x)\dx$ et $f(1)$, la même valeur approchée $1,103~64$.
    Ces deux valeur sont-elles égales?
    $\quad$

 

 

 

Bac ES/L – Centres étrangers – Juin 2018

Centres étrangers – Juin 2018

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. On a $f(x)=\e^{-3x}+\e^2$
    Donc $f'(x)=-3\e^{-3x}$ en utilisant la dérivée de $\e^u$ qui est $u’\e^u$.
    Réponse C
    $\quad$
  2. On cherche la valeur de $x$ telle que :
    $\begin{align*} 4\left(1+\dfrac{x}{100}\right)^7=15&\ssi \left(1+\dfrac{x}{100}\right)^7=3,75 \\
    &\ssi 1+\dfrac{x}{100}=3,75^{1/7} \\
    &\ssi \dfrac{x}{100}=3,75^{1/7}-1 \\
    &\ssi x=100\left(3,75^{1/7}-1\right)
    \end{align*}$
    Donc $x \approx 20,8$
    Réponse D
    $\quad$
  3. $P(X \pg 12,5)=0,5+P(12,5 \pp X \pp 13) \approx 0,58$.
    Réponse A
    $\quad$
  4. $P(X \pp 15,5)=P(14\pp X \pp 15,5)=\dfrac{15,5-14}{16-14}=\dfrac{1,5}{2}=0,75$
    Réponse B
    $\quad$

Ex 2 obl

Exercice 2

Candidats de ES n’ayant pas suivi la spécialité mathématique et candidats de L

  1. La masse d’algue augmente de $2\%$. À la fin de la journée, on a donc $1,02\times 2~000=2~040$ kg d’algues.
    Le système de filtration en retire $100$ kg.
    Donc $a_1=1~940$.
    La masse d’algue augmente de nouveau de $2\%$. On obtient ainsi $1,02\times 1~940=1~978,8$ kg d’algues.
    À la fin de la nuit, il reste donc $a_2=1~978,8-100=1~878,8$ kg d’algues.
    $\quad$
  2. a. La masse d’algues augmente de $2\%$. On arrive donc à $1,02a_n$ kg d’algues.
    Le système de filtration en retire $100$ kg.
    Donc $a_{n+1}=1,02a_n-100$.
    $\quad$
    b. Pour tout tout entier naturel $n$, on a $b_n=a_n-5~000 \ssi a_n=b_n+5~000$.
    $\begin{align*} b_{n+1}&=a_{n+1}-5~000 \\
    &=1,02a_n-100-5~000 \\
    &=1,02a_n-5~100 \\
    &=1,02\left(b_n+5~000\right)-5~100\\
    &=1,02b_n+5~100-5~100 \\
    &=1,02b_n
    \end{align*}$
    La suite $\left(b_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,02$ et de premier terme $b_0=a_0-5~000=-3~000$.
    $\quad$
    c. Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $b_n=-3~000\times 1,02^n$
    Et $a_n=b_n+5~000=5~000-3~000\times 1,02^n$.
    $\quad$
    d. On a $1,02>1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 1,02^n=+\infty$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} a_n=-\infty$.
    Les quantités d’algues va donc être nulle au bout d’un certain nombre de jours.
    $\quad$
  3. a. On obtient l’algorithme suivant :
    $\begin{array}{|l|}
    \hline
    N \leftarrow 0\\
    A \leftarrow 2~000 \\
    \text{Tant que } A>0 \\
    \hspace{1cm} A\leftarrow 1,02\times A-100 \\
    \hspace{1cm} N \leftarrow N+1\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \text{Afficher } N\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    b. À l’aide de la calculatrice on trouve que l’algorithme affiche le nombre $26$.
    $\quad$
  4. a.
    $\begin{align*} 5~000-3~000\times 1,02^n \pp 0 &\ssi 5~000 \pp 3~000 \times 1,02^n \\
    &\ssi 5\pp 3\times 1,02^n \\
    &\ssi \dfrac{5}{3} \pp 1,02^n \\
    &\ssi \ln \left(\dfrac{5}{3}\right) \pp n\ln(1,02) \\
    &\ssi n \pg \dfrac{\ln \left(\dfrac{5}{3}\right)}{\ln(1,02)}
    \end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln \left(\dfrac{5}{3}\right)}{\ln(1,02)} \approx 25,8$.
    Le plus petit entier naturel $n$ solution de l’inéquation est donc $26$.
    Ainsi $n\pg 26$.
    $\quad$
    b. On retrouve ainsi la réponse à la question 3.b.
    $\quad$

Ex 2 Spé

Exercice 2

Candidats de ES ayant suivi la spécialité mathématique

  1. a. On obtient le graphe probabiliste suivant :

    $\quad$
    b. Le nombre $1$ signifie que $100\%$ des automates défaillants le restent.
    $\quad$
    c. Le coefficient $0,2$ signifie que $20\%$ des automates se trouvant dans l’état $S$ passent à l’état $D$.
    $\quad$
  2. a. $P_1=P_0\times M=\begin{pmatrix} 0,9&0,1&0\end{pmatrix}$
    $\quad$
    b. $P_2=P_1\times M=\begin{pmatrix}0,81&0,17&0,02\end{pmatrix}$
    et $P_3=P_2 \times M=\begin{pmatrix}0,729&0,217&0,054\end{pmatrix}$
    $\quad$
    c. L’état stable $P=\begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix}$ vérifie :
    $\begin{align*} \begin{cases} P=P\times M\\x+y+z=1 \end{cases} &\ssi \begin{cases} x=0,9x \\y=0,1x+0,8y \\z=0,2y+z\\x+y+z=1 \end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=0\\y=0\\z=1 \end{cases} \end{align*}$
    Ce graphe possède donc un unique état stable $P=\begin{pmatrix}0&0&1\end{pmatrix}$.
    Cela signifie qu’au bout d’un certain temps tous les automates sont défaillants.
    $\quad$
  3. a. On a $P_{n+1}=P_n \times M$
    $\ssi \begin{pmatrix} f_{n+1}&s_{n+1}&d_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}s_n&f_n&d_n\end{pmatrix} \times M$
    $\ssi \begin{pmatrix} f_{n+1}&s_{n+1}&d_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,9f_n&0,1f_n+0,8s_n&0,2s_n+d_n\end{pmatrix}$
    Donc $s_{n+1}=0,1f_n+0,8s_n$.
    $\quad$
    b. On obtient l’algorithme suivant :
    $\begin{array}{|l|}
    \hline
    D\leftarrow 0\\
    S\leftarrow 0 \\
    F \leftarrow 1\\
    N\leftarrow 0 \\
    \text{Tant que } F<0,3 \\
    \hspace{1cm} D\leftarrow 0,2\times S+D\\
    \hspace{1cm} S \leftarrow 0,1\times F+0,8\times S \\
    \hspace{1cm} F \leftarrow 0,9\times F \\
    \hspace{1cm} N \leftarrow N+1\\
    \text{Fin Tant que} \\
    \text{Afficher }N\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    c. À l’aide de la calculatrice, on trouve que l’algorithme affiche le nombre $8$.
    Cela signifie donc qu’au bout de $8$ jours au moins $30\%$ des automates sont défaillants.
    $\quad$
    d. Si on ne respecte pas cet ordre, par exemple en échangeant les lignes d’affectation de $S$ et $D$ alors la valeur de $S$ utilisée pour calculer la nouvelle valeur de $D$ serait celle de l’étape $N+1$ et non celle de l’étape $N$.
    Il est donc important de conserver cet ordre d’affectation.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. a. L’arbre pondéré est :
    $\quad$
    b. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(I)&=P(A\cap I)+P(B\cap I) \\
    &=0,4\times \dfrac{1}{4}+0,6\times \dfrac{1}{3} \\
    &=0,3
    \end{align*}$
    $\quad$
    c. D’une part :
    $\begin{align*} P_{\conj{I}}(A)&=\dfrac{P\left(\conj{I}\cap A\right)}{1-P(I)} \\
    &=\dfrac{0,4\times \dfrac{3}{4}}{0,7} \\
    &=\dfrac{3}{7}
    \end{align*}$
    D’autre part $P_{\conj{I}}(B)=1-\dfrac{3}{7}=\dfrac{4}{7}$.
    Le responsable a donc tort.
    $\quad$
  2. Le prix moyen d’une guirlande prélevée au hasard dans le stock est :
    $P=0,3\times 3+0,7\times 5=4,4$ €.
    $\quad$
  3. On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de guirlandes défectueuses.
    On effectue $50$ tirages aléatoires, identiques, indépendants et identiques.
    Chaque tirage possède deux issues : $D$ : “la guirlande est défectueuse” et $\conj{D}$.
    De plus $P(D)=0,02$.
    La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=50$ et $p=0,02$.
    $P( X \pg 1)=1-P(X=0)=1-0,98^{50} \approx 0,636$.
    $\quad$
  4. L’amplitude d’un intervalle de confiance au niveau de confiance de $95\%$ est $f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\left(f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right)=\dfrac{2}{\sqrt{n}}$.
    On veut donc que $\dfrac{2}{\sqrt{n}}\pp 0,08 \ssi \sqrt{n} \pg 25 \ssi n \pg 625$.
    L’entreprise doit donc interroger au moins $625$ clients.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie A – Étude graphique

  1. Graphiquement  la solution de $f(x)=3~000 $ est $6,8$.
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est continue et positive sur l’intervalle $[2;8]$ donc $\ds \int_2^8 f(x)\dx$ correspond à l’aire du domaine compris entre la courbe, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=2$ et $x=8$.
    On peut approximer l’aire de ce domaine à l’aide d’un trapèze de base $4~700$ et $2~600$.
    Donc $\ds \int_2^8 f(x)\dx \approx \dfrac{(4~700+2~600)\times 6}{2}$ soit $\ds \int_2^8 f(x)\dx \approx 21~900$ u.a.
    $\quad$

Partie B – Étude théorique

  1. On a, pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0;20]$
    $\begin{align*} f'(x)&=1~000\left[\e^{-0,2x}-0,2(x+5)\e^{-0,2x}\right] \\
    &=1~000\left[\e^{-0,2x}-(0,2x-1)\e^{-0,2x}\right] \\
    &=1~000(-0,2x)\e^{-0,2x} \\
    &=-200x\e^{-0,2x}
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. La fonction exponentielle est strictement positive sur l’intervalle $[0;20]$.
    Sur l’intervalle $[0;20]$, on a $-200x \pp 0$.
    Donc, sur cet intervalle, on a $f'(x)\pp 0$.
    La fonction $f$ est par conséquent décroissante sur l’intervalle $[0;20]$.
    On obtient ainsi le tableau de variation suivant :
    $\quad$
  3. La fonction $f$ est continue et strictement décroissante sur l’intervalle $[0;20]$.
    De plus $f(0)=5~000>3~000$ et $f(20) \approx 458 <3~000$.
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires l’équation $f(x)=3~000$ possède une unique solution $\alpha \approx 6,88$ sur l’intervalle $[0;20]$.
    $\quad$
  4. On a :
    $\begin{align*}\ds \int_2^8 f(x)\dx &=F(8)-F(2) \\
    &=-90~000\e^{-1,6}+60~000\e^{-0,4} \\
    &\approx 22~049
    \end{align*}$
    $\quad$

Partie C – Application économique

  1. D’après la question B.3. la demande est supérieure à $3~000$ objets lorsque le prix unitaire est inférieur à $6,88$ €.
    $\quad$
  2. La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[2;8]$ est :
    $m=\ds \dfrac{1}{8-2}\int_2^8f(x)\dx \approx 3~675$.
    Cela signifie que si lorsque le prix varie unitaire de $2$ € à $8$ € alors la demande moyenne est d’environ $3~675$ objets.
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1     4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l’absence de réponse à une question ne rapportent ni n’enlèvent de point. Pour répondre, vous recopierez sur votre copie le numéro de la
question et indiquerez la seule réponse choisie.

  1. Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ par $f(x)=\e^{-3x}+\e^2$.
    a. $f'(x)=-3\e^{-3x}+2\e$
    b. $f'(x)=-3\e^{-3x}+\e^2$
    c. $f'(x)=-3\e^{-3x}$
    d. $f'(x)=\e^{-3x}$
    $\quad$
  2. D’après une étude, le nombre d’objets connectés à Internet à travers le monde est passé de $4$ milliards en 2010 à $15$ milliards en 2017. L’arrondi au dixième du taux d’évolution annuel moyen est de :
    a. $10,5\%$
    b. $68,8\%$
    c. $39,3\%$
    d. $20,8\%$
    $\quad$
  3. Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi normale d’espérance $\mu=13$ et d’écart-type $\sigma=2,4$. L’arrondi au centième de $P(X \pg 12,5)$ est :
    a. $0,58$
    b. $0,42$
    c. $0,54$
    d. $0,63$
    $\quad$
  4. Soit $Y$ une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l’intervalle $[14;16]$.
    $P(X \pp 15,5)$ est égal à :
    a. $0,97$
    b. $0,75$
    c. $0,5$
    d. $\dfrac{1}{4}$
    $\quad$

Exercice 2     5 points

Candidats de ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de L

Des algues prolifèrent dans un étang. Pour s’en débarrasser, le propriétaire installe un système de filtration.

En journée, la masse d’algues augmente de $2\%$, puis à la nuit tombée, le propriétaire actionne pendant une heure le système de filtration qui retire $100$ kg d’algues. On admet que les algues ne prolifèrent pas la nuit.

Le propriétaire estime que la masse d’algues dans l’étang au matin de l’installation du système de filtration est de $2~000$ kg.

On modélise par $a_n$( la masse d’algues dans l’étang, exprimée en kg, après utilisation du système de filtration pendant ) jours ; ainsi, $a_0 = 2~000$. On admet que cette modélisation demeure valable tant que $a_n$ reste positif.

  1. Vérifier par le calcul que la masse $a_2$ d’algues après deux jours de fonctionnement du système de filtration est de $1~878,8$ kg.
    $\quad$
  2. On affirme que pour tout entier naturel $n$ $a_{n+1}=1,02a_n-100$.
    a. Justifier à l’aide de l’énoncé la relation précédente.
    $\quad$
    b. On considère la suite $\left(b_n\right)$ définie pour tout nombre entier naturel $n$ par : $$b_n=a_n-5~000$$
    Démontrer que la suite $\left(b_n\right)$ est géométrique. Préciser sont premier terme $b_0$ et sa raison.
    $\quad$
    c. En déduire pour tout entier naturel $n$, une expression de $b_n$ en fonction de $n$, puis montrer que $a_n=5~000-3~000\times 1,02^n$.
    $\quad$
    d. En déterminant la limite de la suite $\left(a_n\right)$, justifier que les algues finissent par disparaître.
    $\quad$
  3. a. Recopier et compléter l’algorithme suivant afin qu’il détermine le nombre de jours nécessaire à la disparition des algues.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    N \leftarrow 0\\
    A \leftarrow 2~000\\
    \text{Tant que } \ldots\\
    \hspace{1cm} A \leftarrow \ldots \\
    \hspace{1cm} N \leftarrow N+1\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \text{Afficher } \ldots\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. Quel est le résultat renvoyé par l’algorithme?
    $\quad$
  4. a. Résoudre par le calcul l’inéquation $5~000-3~000\times 1,02^n\pp 0$.
    $\quad$
    b. Quel résultat précédemment obtenu retrouve-t-on?
    $\quad$

Exercice 2     5 points

Candidats de ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Une société d’autoroute étudie l’évolution de l’état de ses automates de péage en
l’absence de maintenance.

Un automate peut se trouver dans l’un des états suivants :

  • fonctionnel ($F$) ;
  • en sursis ($S$) s’il fonctionne encore, mais montre des signes de faiblesse ;
  • défaillant ($D$) s’il ne fonctionne plus.

La société a observé que d’un jour sur l’autre :

  • concernant les automates fonctionnels, $90\%$ le restent et $10\%$ deviennent
    en sursis ;
  • concernant les automates en sursis, $80\%$ le restent et $20\%$ deviennent défaillants.
  1. a. Reproduire et compléter le graphe probabiliste ci-après qui représente les évolutions possibles de l’état d’un automate.

    $\quad$
    b.  Interpréter le nombre $1$ qui apparaît sur ce graphe.
    $\quad$
    c. Voici la matrice de transition $M=\begin{pmatrix} 0,9&0,1&0\\0&0,8&0,2\\0&0&1\end{pmatrix}$ associée à ce graphe en prenant les sommets dans l’ordre $F,S,D$.
    Préciser la signification du coefficient $0,2$ dans cette matrice.
    $\quad$

  2. À compter d’une certaine date, la société relève chaque jour à midi l’état de ses automates. On note ainsi pour tout entier naturel $n$ :
    $\bullet$ $f_n$ la probabilité qu’un automate soit fonctionnel le $n\ieme$ jour;
    $\bullet$ $s_n$ la probabilité qu’un automate soit en sursus $n\ieme$ jour;
    $\bullet$ $d_n$ la probabilité qu’un automate soit défaillant le $n\ieme$ jour.
    $\quad$
    On note alors $P_n=\begin{pmatrix}f_n&s_n&d_n\end{pmatrix}$ la matrice ligne de l’état probabiliste le $n\ieme$ jour.
    Enfin, la société observe qu’au début de l’expérience tous ses automates sont fonctionnels : on a donc $P_0=\begin{pmatrix}1&0&0\end{pmatrix}$.
    a. Calculer $P_1$.
    $\quad$
    b. Montrer que, le $3\ieme$ jour, l’état probabiliste est $\begin{pmatrix} 0,729&0,217&0,054\end{pmatrix}$.
    $\quad$
    c. Vérifier que ce graphe possède un unique état stable $P=\begin{pmatrix}0&0&1\end{pmatrix}$.
    Quelle est la signification de ce résultat pour la situation étudiée?
    $\quad$
  3. a. Justifier que pour tout entier naturel $n$, $s_{n+1}=0,1f_n+0,8s_n$.
    $\quad$
    b. On vérifierait de même que pour tout entier naturel $n$, $$d_{n+1}=0,2s_n+d_n \text{ et } f_{n+1}=0,9f_n$$
    Compléter l’algorithme ci-dessous de sorte qu’il affiche le nombre de jours au bout duquel $30 \%$ des automates ne fonctionnent plus.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    D\leftarrow 0\\
    S\leftarrow \ldots\\
    F\leftarrow 1\\
    N\leftarrow 0\\
    \text{Tant que } \ldots\ldots\\
    \hspace{1cm} D \leftarrow 0,2\times S+D\\
    \hspace{1cm} S \leftarrow 0,1\times F+0,8\times D\\
    \hspace{1cm} F \leftarrow 0,9\times F\\
    \hspace{1cm} D \leftarrow \ldots \\
    \text{Fin Tant que}\\
    \text{Afficher } \ldots \\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    c. Au bout de combien de jours la proportion d’automates défaillants devient-elle supérieure à $30\%$?
    $\quad$
    d. Dans le codage de la boucle « Tant que », l’ordre d’affectation des variables $D$, $S$ et $F$ est-il important ? Justifier.
    $\quad$

Exercice 3     5 points

Une entreprise dispose d’un stock de guirlandes électriques. On sait que $40\%$ des guirlandes proviennent d’un fournisseur A et le reste d’un fournisseur B.
Un quart des guirlandes provenant du fournisseur A et un tiers des guirlandes provenant du fournisseur B peuvent être utilisées uniquement en intérieur pour des raisons de sécurité. Les autres guirlandes peuvent être utilisées aussi bien en intérieur qu’en extérieur.

  1. On choisit au hasard une guirlande dans le stock.
    $\bullet$ On note $A$ l’événement « la guirlande provient du fournisseur A » et
    $B$ l’événement « la guirlande provient du fournisseur B ».
    $\bullet$ On note $I$ l’événement « la guirlande peut être utilisée uniquement en
    intérieur ».
    a. Construire un arbre pondéré décrivant la situation.
    $\quad$
    b. Montrer que la probabilité $P(I)$ de l’événement $I$ est $0,3$.
    $\quad$
    c. On choisit une guirlande pouvant être utilisée aussi bien en intérieur qu’en extérieur. Le responsable de l’entreprise estime qu’il y a autant de chance qu’elle provienne du fournisseur A que du fournisseur B.
    Le responsable a-t-il raison ? Justifier.
    $\quad$
  2. Une guirlande pouvant être utilisée aussi bien en intérieur qu’en extérieur est vendue $5$€ et une guirlande pouvant être utilisée uniquement en intérieur est
    vendue $3$€.
    Calculer le prix moyen d’une guirlande prélevée au hasard dans le stock.
    $\quad$
  3. Lors d’un contrôle qualité, on prélève au hasard $50$ guirlandes dans le stock. Le stock est suffisamment grand pour que l’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise. On admet que la proportion de guirlandes défectueuses est égale à $0,02$.
    Calculer la probabilité qu’au moins une guirlande soit défectueuse. Arrondir le résultat à $10^{-3}$.
    $\quad$
  4. L’entreprise souhaite connaître l’opinion de ses clients quant à la qualité de ses guirlandes électriques. Pour cela elle souhaite obtenir, à partir d’un échantillon aléatoire, une estimation de la proportion de clients satisfaits au niveau de confiance de $95\%$ à l’aide d’un intervalle de confiance d’amplitude inférieure ou égale à $8\%$.
    Combien l’entreprise doit-elle interroger de clients au minimum ?
    $\quad$

Exercice 4     6 points

On considère la fonction dérivable $f$ définie sur $I=[0;20]$ par : $$f(x)=1~000(x+5)\e^{-0,2x}$$

Partie A – Étude graphique

On a représenté sur le graphique ci-dessous, la courbe représentative de la fonction $f$.

Répondre aux questions suivantes par lecture graphique.

  1. Résoudre graphiquement et de façon approchée l’équation $f(x)=3~000$.
    $\quad$
  2. Donner graphiquement une valeur approchée de l’intégrale de $f$ entre $2$ et $8 $ à une unité d’aire près. Justifier la démarche.
    $\quad$

Partie B – Étude théorique

  1. On note $f’$ la dérivée de la fonction $f$ sur $[0;20]$
    Démontrer que pour tout $x$ de $[0;20]$, $f'(x)=-200x\e^{-0,2x}$.
    $\quad$
  2. En déduire le sens de variation de $f$ et dresser son tableau des variations sur l’intervalle $[0;20]$. Si nécessaire, arrondir à l’unité les valeurs présentes dans
    le tableau.
    $\quad$
  3. Démontrer que l’équation $f(x)=3~000$ admet une unique solution $\alpha$ sur
    $[0;20]$, puis donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près à l’aide de la calculatrice.
    $\quad$
  4. On admet que la fonction $F$ définie sur l’intervalle $[0 ; 20]$ par l’expression $F(x)=-5~000(x+10)\e^{-0,2x}$ est une primitive de la fonction $f$ sur $[0 ; 20]$.
    Calculer $\ds \int_2^8 f(x)\dx$. On donnera la valeur exacte, puis la valeur arrondie à l’unité.
    $\quad$

Partie C – Application économique

La fonction de demande d’un produit est modélisée sur l’intervalle $[0;20]$ par la fonction $f$ étudiée dans les parties A et B.
Le nombre $f(x)$ représente la quantité d’objets demandés lorsque le prix unitaire est
égal à $x$ euros.

Utiliser les résultats de la partie B afin de répondre aux questions suivantes :

  1. En-dessous de quel prix unitaire, arrondi au centime, la demande est-elle supérieure à $3~000$ objets ?
    $\quad$
  2. Déterminer la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[2 ; 8]$. Interpréter ce résultat.
    $\quad$

 

 

Bac ES/L – Asie – juin 2018

Asie – Juin 2018

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. On effectue $25$ tirages aléatoires, identiques et indépendants.
    À chaque tirage il n’y a que deux issues : l’événement $E$ “l’entreprise lui répond” et $\conj{E}$.
    De plus $p(E)=0,2$.
    La variable aléatoire $X$ comptant le nombre de réponse suit donc la loi binomiale de paramètres $n=25$ et $p=0,2$.
    Ainsi $p(X\pg 5)=1-p(X \pp 4) \approx 0,58$.
    Réponse d
    $\quad$
  2. La variable aléatoire $X$ suit la loi normale d’espérance $\mu=30$ et d’écart type $\sigma$.
    Alors $P(X> \mu-10)=P(X> \mu+10)$
    Soit $P(X < 20)=P(X > 40)$
    Réponse c
    $\quad$
  3. Le taux d’évolution est $t=\dfrac{4,3-6,2}{6,2}\approx -0,306$.
    Les ventes ont donc diminué, entre 2014 et 2016, d’environ $31\%$.
    Réponse b
    $\quad$
  4. D’après le graphique, la fonction $f$ est négative sur l’intervalle $[-3;-1]$.
    La fonction $F$ est donc décroissante sur cet intervalle.
    Réponse d
    $\quad$
  5. La fonction $f$ semble avoir deux points d’inflexion d’abscisse $\alpha \approx =-0,5$ et $\beta\approx 3,5$.
    La fonction $f$ semble être convexe sur les intervalles $]-\infty;\alpha]$ et $[beta;+\infty[$ et concave sur l’intervalle $[\alpha;\beta]$.
    La fonction $f\dsec$ est donc positive sur les intervalles $]-\infty;\alpha]$ et $[beta;+\infty[$ et négative sur l’intervalle $[\alpha;\beta]$.
    Réponse d
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. On appelle $D$ la variable aléatoire qui suit la loi normale de paramètres $\mu=7$ et $\sigma=1$.
    On alors, à l’aide de la calculatrice, $P(5\pp D\pp 8)\approx 0,819$.
    La probabilité que le navigateur termine sa course entre $5$ jours et $8$ jours après le départ est environ égale à $0,819$.
    $\quad$
  2. On a $P(D <5) = 0,5-P(5\pp D\pp 7) \approx 0,023$.
    La probabilité que le navigateur batte le record du monde est environ égale à $2,3\%$.
    $\quad$

Partie B

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
    $\quad$
  2. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p\left(\conj{F}\right) &= p\left(\conj{M}\cap \conj{F}\right)+p\left(M\cap\conj{F}\right) \\
    &=0,16\times 0,05+0,84\times 0,5 \\
    &=0,428
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_{\conj{F}}(M)&=\dfrac{p(M\cap F)}{p\left(\conj{M}\right)} \\
    &=\dfrac{0,16\times 0,05}{0,428} \\
    &\approx 0,019
    \end{align*}$
    La probabilité que le navigateur ait réalisé la traversée en moins de $6$ jours sachant que l’entreprise a choisi de ne pas le financer est environ égale à $1,9\%$.
    $\quad$

Partie C

On a $n=280$ et $p=0,97$.
Donc $n\pg 30$, $np=271,6\pg 5$ et $n(1-p)=8,4\pg 5$.
Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ est donc :
$\begin{align*} I_{280}&=\left[0,97-1,96\sqrt{\dfrac{0,97\times 0,03}{280}};0,97+1,96\sqrt{\dfrac{0,97\times 0,03}{280}}\right] \\
&\approx [0,950;0,990]
\end{align*}$

La fréquence observée est $f=\dfrac{263}{280} \approx 0,940 \notin I_{280}$.

Au risque d’erreur de $5\%$, on peut remettre en cause le slogan.
$\quad$

 

 

Ex 3 obl

Exercice 3

Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L

  1. a. Augmenter un nombre de $12\%$ revient à le multiplier par $1,12$.
    En 2018, il y aura donc $300\times 1,12-18=318$ loups dans ce pays.
    $\quad$
    $\quad$
    b. La population des loups croît naturellement au rythme de $12\%$ par an. L’année $n+1$ on a donc $1,12 u_n$ loups.
    $18$ loups sont tués par an.
    On a donc $u_{n+1}=1,12u_n-18$.
    $\quad$
  2. On obtient l’algorithme suivant :
    $\begin{array}{|l|}
    \hline
    N\leftarrow 0 \\
    U\leftarrow 300\\
    \text{Tant que } U<300 \text{ faire}\\
    \hspace{1cm} U\leftarrow 1,12\times U-18\\
    \hspace{1cm} N\leftarrow N+1\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
  3. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=u_n-150$ soit $u_n=v_n+150$.
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-150 \\
    &=1,12u_n-18-150\\
    &=1,12u_n-168 \\
    &=1,12\left(v_n+150\right)-168\\
    &=1,12v_n+168-168\\
    &=1,12v_n
    \end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,12$ et de premier terme $v_0=u_0-150=150$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $v_n=150\times 1,12^n$.
    Par conséquent $u_n=v_n+150=150\times 1,12^n+150$.
    $\quad$
    c. $1,12>1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 1,12^n=+\infty$
    Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=+\infty$.
    $\quad$
    Le nombre de loups dans ce pays va continuer à augmenter indéfiniment au fil des ans.
    $\quad$
  4. a.
    $\begin{align*} 150+1,12^n\times 150>600 &\ssi 150\times 1,12^n>450 \\
    &\ssi 1,12^n > 3 \\
    &\ssi n\ln (1,12) > \ln (3) \\
    &\ssi n > \dfrac{\ln (3)}{\ln (1,12)}
    \end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln(3)}{\ln (1,12)} \approx 9,69$.
    La solution, dans l’ensemble des entiers naturels, de l’inéquation est l’ensemble des entiers naturels supérieurs ou égaux à $10$.
    $\quad$
    b. Cela signifie qu’à partir de l’année 2027 il y a aura plus de $600$ loups dans ce pays.
    $\quad$
  5. Voici, arrondis à l’unité, le nombre de loups sur les premières années à partir de 2023 :
    $\begin{array}{|c|c|}
    \hline
    \text{Année}&\text{Nombre de loups}\\
    \hline
    2023&446\\
    \hline
    2024&465\\
    \hline
    2025&485\\
    \hline
    2026&508\\
    \hline
    2027&535\\
    \hline
    2028&564\\
    \hline
    2029&596\\
    \hline
    2030&632\\
    \hline
    \end{array}$
    C’est donc, selon ce nouveau modèle, en 2030 que la population de loups dépassera $600$ loups.
    $\quad$

Ex 3 spé

Exercice 3

  1. a. On obtient le graphe probabiliste suivant :
    $\quad$
    b. La matrice de transition est donc $M=\begin{pmatrix} 0,7&0,3\\0,5&0,5\end{pmatrix}$.
    $\quad$
  2. a. On a $a_1=1$ et $b_1=0$
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ non nul on note $P_n=\begin{pmatrix} a_n&b_n\end{pmatrix}$.
    On a donc $P_{n}=P_1\times M^{n-1}$ avec $p_0=\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix}$.
    Donc $P_8=P_1\times M^7$
    On obtient ainsi $a_8\approx 0,63$.
    La probabilité que Lisa prenne le vélo le 8$\ieme$ jour est d’environ $0,63$.
    $\quad$
  3. Soit $P=\begin{pmatrix} x&y\end{pmatrix}$ l’état stable du graphe.
    On a alors :
    $\begin{align*} \begin{cases} x+y=1\\P=PM\end{cases} &\ssi \begin{cases} x+y=1 \\x=0,7x+0,5y\\y=0,3x+0,5y \end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=y-1 \\-0,3x+0,5y=0\\0,3x-0,5y=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=y-1\\-0,3(1-y)+0,5y=0 \end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=y-1\\-0,3+0,3y+0,5y=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=y-1\\0,8y=0,3 \end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=y-1\\y=\dfrac{3}{8}\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=\dfrac{5}{8} \\y=\dfrac{3}{8} \end{cases}
    \end{align*}$
    L’état stable est donc $\begin{pmatrix} \dfrac{5}{8}&\dfrac{3}{8}\end{pmatrix}$.
    $\quad$
  4. a. Pour tout entier naturel $n$ non nul on a : $P_{n+1}=P_n\times M$
    Soit $\begin{cases} a_{n+1}=0,7a_n+0,5b_n \\b_{n+1}=0,3a_n+0,5b_n\end{cases}$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ non nul on a :
    $\begin{align*} \begin{cases} a_n+b_n=1\\a_{n+1}=0,7a_n+0,5b_n \end{cases} &\ssi \begin{cases} b_n=1-a_n\\a_{n+1}=0,7a_n+0,5\left(1-a_n\right) \end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} b_n=1-a_n\\a_{n+1}=0,2a_n+0,5\end{cases} \end{align*}$
  5. a. On obtient l’algorithme suivant :
    $\begin{array}{|l|}
    \hline
    N\leftarrow 1\\
    A\leftarrow 1\\
    \text{Tant que $A\pg 0,626$ faire}\\
    \hspace{1cm} A\leftarrow 0,2\times A+0,5 \\
    \hspace{1cm} N \leftarrow N+1\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    b. À la fin de l’algorithme la variable $N$ contient le nombre $5$.
    Cela signifie que c’est à partir du $5\ieme$ jour que la probabilité que Lisa prenne le vélo est inférieure à $0,626$.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie A

  1. Graphiquement $f(x)=6$ si $x=12$.
    $\quad$
  2. a. Le coefficient directeur de la droite $T$ est :
    $\begin{align*} m&=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A} \\
    &=\dfrac{14,2-7}{2-0}\\
    &=3,6
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. Pour tout $x\in[0;25]$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=a\e^{-0,2x}-0,2(ax+b)\e^{-0,2x} \\
    &=(a-0,2ax-0,2b)\e^{-0,2x} \\
    &=(-0,2ax+a-0,2b)\e^{-0,2x}
    \end{align*}$
    $\quad$
    c. Le point $A$ appartient à la courbe $\mathcal{C}_f$.
    On a donc $f(0)=7 \ssi b=7$
    La droite $T$ est la tangente à cette courbe au point $A$.
    On a donc $f'(0)=3,6 \ssi a-0,2b=3,6$.
    Les nombres $a$ et $b$ sont par conséquent solutions du système $\begin{cases} b=7\\a-0,2b=3,6\end{cases}$.
    $\ssi \begin{cases} b=7\\a-1,4=3,6 \end{cases}$
    $\ssi \begin{cases} b=7\\a=5\end{cases}$
    Ainsi $a=5$.
    $\quad$

Partie B

  1. Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;25]$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=5\e^{-0,2x}-0,2(5x+7)\e^{-0,2x} \\
    &=(5-x-1,4)\e^{-0,2x} \\
    &=(-x+3,6)\e^{-0,2x}
    \end{align*}$
    La fonction exponentielle est strictement positive sur l’intervalle $[0;25]$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui le $-x+3,6$.
    Or $-x+3,6=0 \ssi x=3,6$
    Et $-x+3,6>0 \ssi -x>-3,6 \ssi x<3,6$
    La fonction $f$ est donc strictement croissante sur l’intervalle $[0;3,6]$ et strictement décroissante sur l’intervalle $[3,6;25]$.
    $\quad$
  2. On a $f(0)=7$.
    La fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $[0;3,6]$. Par conséquent sur cet intervalle on a $f(x)\pg 7$.
    L’équation $f(x)=6$ ne possède pas de solution sur l’intervalle $[0;3,6]$.
    $\quad$
    La fonction $f$ est continue et strictement décroissante sur l’intervalle $[3,6;25]$.
    $f(3,6) \approx 12,17 > 6$ et $f(25)\approx 0,89<6$.
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $f(x)=6$ possède une unique solution sur l’intervalle $[3,6;25]$.
    $\quad$
    L’équation $f(x)=6$ possède donc une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[0;25]$ et, d’après la calculatrice, $\alpha \approx 12,1$.
    $\quad$
  3. D’après le logiciel de calcul formel, la fonction $F$ définie sur l’intervalle $[0;25]$ par $F(x)=(-25x-160)\e^{-0,2x}$ est une primitive de la fonction $f$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} \ds \int_0^{25} f(x)\dx &=F(25)-F(0) \\
    &=-785\e^{-5}+160 \\
    &\approx 154,711
    \end{align*}$
    $\quad$

Partie C

  1. La fonction $f$ est continue et positive sur l’intervalle $[0;25].
    D’après la question B.3. l’aire de la partie hachurée est $\ds \int_0^{25} f(x)\dx = 160-785\e^{-5}$ m$^2$.
    $\quad$
  2. Soit $\ell$ la longueur de la largeur.
    On a donc $25\ell = 160-785\e^{-5}$
    Soit $\ell =\dfrac{160-785\e^{-5}}{25} \approx 6,2$ m.
    La piscine aura donc une largeur d’environ $6,2$ m.
    $\quad$

 

Énoncé

Exercice 1     5 points

Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point.

  1. Pour la recherche d’un emploi, une personne envoie sa candidature à $25$ entreprises.
    La probabilité qu’une entreprise lui réponde est de $0,2$ et on suppose que ces réponses sont indépendantes.
    Quelle est la probabilité, arrondie au centième, que la personne reçoive au moins $5$ réponses ?
    a. $0,20$
    b. $0,62$
    c. $0,38$
    d. $0,58$
    $\quad$
  2. Pour tout événement $E$ on note $P(E)$ sa probabilité. $X$ est une variable aléatoire suivant la loi normale d’espérance $30$ et d’écart type $\sigma$. alors :
    a. $P(X=30)=0,5$
    b. $P(X<40)<0,5$
    c. $P(X<20)=P(X>40)$
    d. $P(X<20)>P(X<30)$
    $\quad$
  3. En France, les ventes de tablettes numériques sont passées de $6,2$ millions d’unités en 2014 à $4,3$ millions d’unités en 2016. Les ventes ont diminué, entre 2014 et 2016, d’environ :
    a. $65\%$
    b. $31\%$
    c. $20\%$
    d. $17\%$
    $\quad$
    Pour les questions 4 et 5, on donne ci-dessous la représentation graphique d’une fonction $f$ définie sur $\R$.
  4. Soit $f’$ la dérivée de $f$ et $F$ une primitive de $f$ sur $\R$.
    a. $f’$ est positive sur $[2;4]$.
    b. $f’$ est négative sur $[-3;-1]$.
    c. $F$ est décroissante sur $[2;4]$.
    d. $F$ est décroissante sur $[-3;-1]$.
    $\quad$
  5. Une des courbes ci-dessous représente la fonction $f\dsec$. Laquelle?

    $\quad$

Exercice 2     4 points

Un navigateur s’entraîne régulièrement dans le but de battre le record du monde de traversée de l’Atlantique à la voile.

Dans cet exercice, les résultats seront arrondis au millième si nécessaire.

Pour tous événements $A$ et $B$, on note $\conj{A}$ l’événement contraire de $A$, $P(A)$ la probabilité de $A$ et si $B$ est de probabilité non nulle, $P_B(A)$ la probabilité de $A$ sachant $B$.

Partie A

Le navigateur décide de modéliser la durée de sa traversée en jour par une loi normale de paramètres $\mu=7$ et $\sigma=1$.

  1. Quelle est la probabilité que le navigateur termine sa course entre $5$ et $8$ jours après le départ ?
    $\quad$
  2. Dans sa catégorie de voilier, le record du monde actuel est de $5$ jours.
    Quelle est la probabilité que le navigateur batte le record du monde ?µ
    $\quad$

Partie B

Une entreprise, nommée « Régate », s’intéresse aux résultats de ce navigateur.
La probabilité qu’il réalise la traversée en moins de $6$ jours est de $0,16$.
Si le navigateur réalise la traversée en moins de $6$ jours, l’entreprise le sponsorise avec une probabilité de $0,95$.
Sinon, l’entreprise hésite et le sponsorise avec une probabilité de $0,50$
On note :

  • $M$ l’événement  « la traversée est réalisée par le navigateur en moins de $6$ jours » ;
  • $F$ l’événement « l’entreprise sponsorise le navigateur ».
  1. Représenter cette situation à l’aide d’un arbre pondéré.
    $\quad$
  2. Montrer que la probabilité que l’entreprise ne sponsorise pas le navigateur à la prochaine course est $0,428$.
    $\quad$
  3. L’entreprise a finalement choisi de ne pas financer le navigateur.
    Calculer la probabilité que le navigateur ait tout de même réalisé la traversée en moins de $6$ jours.
    $\quad$

Partie C

L’entreprise « Régate » sponsorise plusieurs catégories de sportifs dans le monde nautique.
Ces derniers doivent afficher le slogan « Avec Régate, j’ai $97 \%$ de chance d’être sur le podium ! ».
L’étude des résultats sportifs de l’année a révélé que, parmi $280$ sportifs de chez « Régate », $263$ sont montés sur le podium. Que penser du slogan ?
$\quad$

Exercice 3     5 points

Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L

Un pays compte $300$ loups en 2017. On estime que la population des loups croît naturellement au rythme de $12 \%$ par an. Pour réguler la population des loups, le gouvernement autorise les chasseurs à tuer un quota de $18$ loups par an.
On modélise la population par une suite $\left(u_n\right)$, le terme $u_n$ représentant le nombre de loups de ce pays en 2017$+n$.

  1. a. Avec ce modèle, vérifier que le nombre de loups de ce pays en 2018 sera de $318$.
    $\quad$
    b. Justifier que, pour tout entier $n\in\N$, $u_{n+1}=1,12u_n-18$.
    $\quad$
  2. Recopier et compléter l’algorithme suivant pour qu’il détermine au bout de combien d’années la population de loups aura doublé.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    N\leftarrow 0\\
    U\leftarrow 300\\
    \text{Tant que $\ldots$ faire}\\
    \hspace{1cm} U\leftarrow \ldots\\
    \hspace{1cm} N\leftarrow \ldots \\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  3. On définit la suite $\left(v_n\right)$ par $v_n=u_n-150$ pour tout $n\in \N$.
    a. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $1,12$.
    Préciser son terme initial.
    b. Exprimer, pour tout $n\in\N$, $v_n$ en fonction de $n$.
    En déduire $u_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
    c. Quelle est la limite de la suite $\left(u_n\right)$? Justifier. Que peut-on en déduire?
    $\quad$
  4. a. Résoudre dans l’ensemble des entiers naturels l’inéquation : $$150+1,12^n\times 150>600$$
    $\quad$
    b. Interpréter le résultat précédent dans le contexte de l’énoncé.
    $\quad$
  5. En 2023, avec ce modèle, la population de loups est estimée à $446$ loups et le rythme de croissance annuel de la population reste identique. Dans ce cas, une nouvelle décision sera prise par le gouvernement : afin de gérer le nombre de loups dans le pays, il autorisera les chasseurs à tuer un quota de $35$ loups par an. En quelle année la population de loups dépassera-t-elle $600$ loups ?
    Toute trace de recherche sera valorisée dans cette question.
    $\quad$

Exercice 3     5 points

Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Pour la nouvelle année, Lisa prend la bonne résolution d’aller au travail tous les matins à vélo. Le premier jour, très motivée, Lisa se rend au travail à vélo. Par la suite, elle se rend toujours au travail à vélo ou en voiture.
Elle se rend compte que :

  • si elle a pris son vélo un jour, cela renforce sa motivation et elle reprend le vélo le lendemain avec une probabilité de $0,7$ ;
  • si elle a pris sa voiture un jour, la probabilité qu’elle reprenne la voiture le lendemain est de $0,5$.

Cette situation peut être modélisée par un graphe probabiliste de sommets $A$ et $B$ où :

  • $A$ est l’événement « Lisa prend le vélo » ;
  • $B$ est l’événement « Lisa prend la voiture ».

On note, pour tout entier naturel ݊$n$ non nul :

  • $a_n$ la probabilité que Lisa aille au travail à vélo le jour ݊$n$;
  • $b_n$ la probabilité que Lisa aille au travail en voiture le jour ݊$n$.
  1. a. Traduire les données par un graphe probabiliste.
    $\quad$
    b. En déduire la matrice de transition $M$.
    $\quad$
  2. a. Donner les valeurs de ܽ$a_1$ et ܾ$b_1$ correspondant à l’état initial.
    $\quad$
    b. Calculer la probabilité arrondie au centième que Lisa prenne le vélo le $8^{\e}$ jour.
    $\quad$
  3. Déterminer l’état stable du graphe puis interpréter le résultat obtenu.
    $\quad$
  4. a. Montrer que, pour tout nombre entier naturel $n$ non nul : a$_{n+1}=0,7a_n+0,5b_n$.
    $\quad$
    b. En déduire que pour tout entier naturel non nul $n$ : $a_{n+1}=0,2a_n+0,5$.
    $\quad$
  5. a. Recopier et compléter l’algorithme suivant permettant de déterminer le plus petit entier $n$ tel que $a_n<0,626$.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    N\leftarrow 1\\
    A\leftarrow 1\\
    \text{Tant que $\ldots\ldots\ldots$ faire}\\
    \hspace{1cm} A\leftarrow \ldots\ldots\ldots\\
    \hspace{1cm} N\leftarrow \ldots\ldots\ldots\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. Quelle est la valeur de $N$ après exécution de l’algorithme? Interpréter ce résultat.
    $\quad$

Exercice 4     6 points

Partie A

On a tracé sur le graphique ci-dessous la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ d’une fonction $f$ définie sur $[0;25]$ par : $f(x)=(ax+b)\e^{-0,2x}$ où $a$ et $b$ sont deux nombres réels.
On a représenté également sa tangente $T$ au points $A(0;7)$. $T$ passe par le point $B(2;14,2)$.

  1. Résoudre graphiquement l’équation $f(x)=6$.
    $\quad$
  2. a. Déterminer, par un calcul, le coefficient directeur de la droite $T$.
    $\quad$
    b. Exprimer, pour tout $x\in [0;25]$, $f'(x)$ en fonction de $a$ et $b$.
    $\quad$
    c. Montrer que $a$ et $b$ sont solutions du système $\begin{cases} a-0,2b&=3,6\\b&=7\end{cases}$.
    En déduite la valeur de $a$.
    $\quad$

Partie B

  1. Étudier les variations de la fonction $f$ définie sur $[0;25]$ par $f(x)=(5x+7)\e^{-0,2}$.
    Justifier.
    $\quad$
  2. Montrer que l’équation $f(x)=6$ admet une solution $\alpha$ sur l’intervalle $[0;25]$.
    Donner une valeur approchée au dixième de $\alpha$.
    $\quad$
  3. Un logiciel de calcul formel donne le résultat suivant.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{Deriver}((-25x-160)\e^{-0,2x})\\
    \hline
    \hspace{3cm}(5x+7)\e^{-0,2x}\\
    \hline
    \end{array}$$
    Exploiter ce résultat pour donner la valeur exacte puis la valeur arrondie au millième de $\ds \int_0^{25}f(x)\dx$.
    $\quad$

Partie C

Un organisme de vacances souhaite ouvrir un nouveau centre avec une piscine bordée de sable. Il dispose d’un espace rectangulaire de $25$ mètres de longueur sur $14$ mètres de largeur et souhaite que la piscine et la « plage » se partagent l’espace comme indiqué sur le schéma ci-dessous.
La bordure est modélisée par la fonction $f$ étudiée dans la partie précédente.

  1. Quelle est l’aire en m$^2$ de la zone hachurée représentant la piscine?
    $\quad$
  2. L’organisme décide de remplacer cette piscine par une piscine rectangulaire de $25$ mètres de longueur et de même superficie.
    Quelle en sera la largeur arrondie au dixième de mètre ?


    $\quad$