Bac ES/L – Polynésie – Juin 2018

Polynésie – Juin 2018

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. $\quad$
    $\begin{align*} f(x)=0&\ssi x^2(1-\ln x)=0 \\
    &\ssi x^2=0 \text{ ou } 1-\ln x=0 \\
    &\ssi \ln x = 1 \text{ car } x>0\\
    &\ssi x=\e
    \end{align*}$
    Réponse a
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align*} -1-2\ln x>0 &\ssi -2\ln x>1 \\
    &\ssi \ln x < -\dfrac{1}{2} \\
    &\ssi x < \e^{-1/2}
    \end{align*}$
    Et $-1-2\ln x=0 \ssi x=\e^{-1/2}=\dfrac{1}{\e^{1/2}}=\dfrac{1}{\sqrt{\e}}$
    Réponse b
    $\quad$
  3. $\quad$
    $\begin{align*} f'(x)=2x(1-\ln x)-x^2\times \dfrac{1}{x} \\
    &=2x-2x\ln x-x\\
    &=x-2x\ln x \\
    &=x(1-2\ln x)
    \end{align*}$
    Réponse a
    $\quad$
  4. $f\dsec(x)$ sur $\left[\dfrac{1}{\sqrt{\e}};3\right]$
    Or $\dfrac{1}{\sqrt{\e}} \approx 0,6$ donc $f\dsec(x)<0$ sur l’intervalle $[1;3]$ et $f’$ est décroissante sur cet intervalle.
    Réponse c
    $\quad$
  5. Une équation de la tangente à $\mathscr{C}$ au point d’abscisse $\e$ est de la forme $y=f'(\e)(x-\e)+f(\e)$.
    Or $f'(\e)=\e(1-2)=-\e$.
    Et $f(\e)=\e^2(1-1)=0$.
    Une équation de la tangente cherchée est donc $y=-\e(x-\e)$ soit $y=-\e x+\e^2$.
    Réponse c
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. a. $P(A)=\dfrac{450}{450+230+320}=0,45$.
    $\quad$
    b. D’après l’énoncé $P_A(T)=0,4$.
    $\quad$
    c. On obtient l’arbre de probabilité suivant :
    $\quad$
  2. On a $P(A\cap T)=0,45 \times 0,4=0,18$.
    La probabilité que l’employé choisi soit du service A et qu’il réside à moins de $30$ minutes de son lieu de travail est donc égale à $0,18$.
    $\quad$
  3. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(T)&=P(A\cap T)+P(B\cap T)+P(C \cap T) \\
    &=0,45\times 0,4+0,23\times 0,2+0,32\times 0,8 \\
    &=0,482
    \end{align*}$
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_{\conj{T}}(C)&=\dfrac{P\left(C \cap \conj{T}\right)}{P\left(\conj{T}\right)} \\
    &=\dfrac{0,32\times 0,2}{1-0,482} \\
    &\approx 0,124
    \end{align*}$
    $\quad$
  5. On effectue successivement $5$ tirages aléatoires, indépendants et identiques.
    À chaque tirage, il y a $2$ issues : $T$ et $\conj{T}$.
    De plus $P(T)=0,482$.
    La variable aléatoire $R$ comptant le nombre d’employés qui résident à moins de $30$ minutes de leur lieu de travail suit donc la loi binomiale de paramètres $n=5$ et $p=0,482$.
    $P(R=2)=\ds \binom{5}{2}\times 0,482^2\times 0,518^3 \approx 0,323$.
    $\quad$

Partie B

  1. D’après la calculatrice $P(20 \pp X \pp 40) \approx 0,477$
    Calculer la probabilité que le trajet dure entre $20$ minutes et $40$ minutes est donc environ égale à $0,477$.
    $\quad$
  2. $P(X > 50)=0,5-P(40 \pp X \pp 50) \approx 0,159$
    $\quad$
  3. $P(X > a)=0,2 \ssi P(X \pp a)=0,8$.
    En utilisant la touche inverse loi normale de la calculatrice on trouve $a\approx 48$.
    Environ $20\%$ des employés ont mettent plus $48$ minutes pour se rendre à leur travail.
    $\quad$

Partie C

Un intervalle de confiance est de la forme $\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}};f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$.
Son amplitude est donc $f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\left(f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right)=\dfrac{2}{\sqrt{n}}$.

$\begin{align*} \dfrac{2}{\sqrt{n}}<0,15 &\ssi \dfrac{2}{0,15}<\sqrt{n} \\
&\ssi \dfrac{40}{3}<\sqrt{n} \\
&\ssi n > \dfrac{1~600}{9}
\end{align*}$

Or $\dfrac{1~600}{9} \approx 177,8$.

Il faut donc consulter au moins $178$ employés.
$\quad$

Ex 3 obl

Exercice 3

Candidats de ES n’ayant pas suivis l’enseignement de spécialité et candidats de L

  1. $u_1=1,02\times 10~000-500=9~700$
    $u_2=1,02\times 9~700-500=9~394$.
    À la fin du mois de mars 2018 le résultat net est de $9~394$ €.
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $a_n=u_n-25~000$ soit $u_n=an+25~000$.
    $\begin{align*} a_{n+1}&=u_{n+1}-25~000 \\
    &=1,02u_n-500-25~000 \\
    &=1,02u_n-25~500 \\
    &=1,02\left(a_n+25~000\right)-25~500 \\
    &=1,02a_n+25~500-25~500 \\
    &=1,02a_n
    \end{align*}$
    La suite $\left(a_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,02$ et de premier terme $a_0=10~000-25~000=-15~000$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a $a_n=-15~000\times 1,02^n$
    Donc $u_n=a_n+25~000=-15~000\times 1,02^n+25~000$.
    $\quad$
    c. $\quad$
    $\begin{align*} 25~000-15~000 \times 1,02^n > 0 &\ssi -15~000\times 1,02^n > -25~000 \\
    &\ssi 1,02^n < \dfrac{5}{3} \\
    &\ssi n \ln 1,02 < \ln \dfrac{5}{3} \\
    &\ssi n < \dfrac{\ln \dfrac{5}{3}}{\ln 1,02}
    \end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln \dfrac{5}{3}}{\ln 1,02} \approx 15,8$ donc $n \pp 25$.
    Le résultat net est positif jusqu’au $25\ieme$ mois soit jusqu’à fin février 2020.
    $\quad$
  3. On obtient l’algorithme suivant :
    $\begin{array}{|l|}
    \hline
    U \leftarrow 10~000 \\
    S \leftarrow 0 \\
    N \leftarrow 0 \\
    \text{Tant que } U > 0\\
    \hspace{1cm} S \leftarrow S+U \\
    \hspace{1cm} U \leftarrow 1,02\times U-500 \\
    \hspace{1cm} N \leftarrow N+1\\
    \text{Fin tant que}\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$

Ex 3 spé

Exercice 3

Candidats de ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

  1. a. Il y a $6$ sommets. Le graphe est donc d’ordre $6$.
    $\quad$
    b. Le sommet $P$, par exemple, n’est pas relié au sommet $T$. Le graphe n’est donc pas complet.
    $\quad$
  2. a. Voici le degré des sommets :
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Sommet}&B&L&M&N&P&T \\
    \hline
    \text{degré}&4&5&2&3&4&4\\
    \hline
    \end{array}$
    Le graphe possède exactement $2$ sommets de degré impair. Il possède donc une chaîne Eulérienne.
    Le journaliste pourra donc parcourir chacune des liaisons une et une seule fois.
    $\quad$
    b. Tous les sommets ne sont pas de degré pair. Le graphe ne possède donc pas de cycle eulérien.
    Le journaliste ne pourra pas louer sa voiture dans un aéroport parisien, parcourir chacune des liaisons une et une seule fois puis rendre la voiture dans le même aéroport.
    $\quad$
  3. a. On a :
    $G=\begin{pmatrix} 0&1&0&1&1&1\\
    1&0&1&1&1&1\\
    0&1&0&0&0&1\\
    1&1&0&0&1&0\\
    1&1&0&1&0&1\\
    1&1&1&0&1&0
    \end{pmatrix}$
    $
    $\quad$
    b. Le coefficient ${G^3}_{(5;3)}=5$ de la matrice $G^3$ permet de dire qu’il existe $5$ trajets possibles pour relier Paris à Marseille en trois jours en s’arrêtant chaque jour dans une ville différente .
    $\quad$

Partie B

On utilise l’algorithme de Dijkstra :

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
B&L&M&N&P&T&\text{sommet}\\
\hline
&&&0&&&N \\
\hline
206(N)&396(N)&&\phantom{222(N)}&222(N)&&B\\
\hline
&396(N)&&&222(N)&359(B)&P\\
\hline
&396(N)&&&&359(B)&L\\
\hline
&&610(L)&&&359(B)&T\\
\hline
&&595(T)&&&&M\\
\hline
\end{array}$

Le trajet Nantes – Bordeaux – Toulouse – Marseille minimalise son temps de trajet ($595$ minutes).

$\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie A

  1. Le produit B dépasse le produit A à partir du $5,3\ieme$ mois.
    $\quad$
  2. Cette quantité sera atteinte au bout de $12,6$ mois.
    $\quad$

Partie B

  1. a. La fonction $h$ modélise la quantité totale, en tonnes, de produits A et B confondus.
    $\quad$
    b. $h(x)=2~000\e^{-0,2x}+15x^2+50x$
    Donc :
    $\begin{align*} h'(x)&=2~000\times (-0,2)\e^{-0,2x}+15\times 2x+50 \\
    &=-400\e^{-0,2x}+30x+50
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. a. La fonction $h’$ est strictement croissante et continue sur l’intervalle $[0;14]$.
    $h'(0)=-350<0$ et $h'(14)\approx 446 > 0$.
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires l’équation $h'(x)=0$ possède une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[0;14]$.
    D’après la calculatrice $4,1 < \alpha < 4,2$.
    $\quad$
    b. La fonction $h$ est donc décroissante sur l’intervalle $[0;\alpha]$ (puisque $h'(x)\pp 0$ sur cet intervalle) et croissante sur l’intervalle $[\alpha;14]$ (on $h'(x)\pg 0$ sur cet intervalle).
    $\quad$
  3. a. D’après la question B.2.a. la variable $X$ contiendra alors la valeur $4,2$.
    $\quad$
    b. On doit modifier la ligne $X \leftarrow X+0,1$ en $X \leftarrow X+0,001$.
    $\quad$
  4. a. La fonction $H$ est dérivable sur l’intervalle $[0;14]$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $\begin{align*} H'(x)&=-10~000\times (-0,2)\e^{-0,2x}+3\times 5x^2+2\times 25x \\
    &=2~000\e^{-0,2x}+15x^2+50x \\
    &=h(x)
    \end{align*}$
    La fonction $H$ est donc une primitive de la fonction $h$ sur l’intervalle $[0;14]$.
    $\quad$
    b. On a :
    $\begin{align*} \ds \dfrac{1}{12}\int_0^{12} h(x)\dx &=\dfrac{1}{12}\left(H(12)-H(0)\right) \\
    &=\dfrac{1}{12}\left(-10~000\e^{-2,4}+12~240+10~000\right) \\
    &=\dfrac{1}{12}\left(22~240-10~000\e^{-2,4}\right) \\
    &\approx 1~778
    \end{align*}$
    $\quad$
    c. L’usine a donc fabriqué en moyenne sur les $12$ premiers mois $1~778$ produits A et B confondus par mois.
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1     5 points

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]0;3]$ par $f(x)=x^2(1-\ln x)$.
On donne co-dessous sa courbe représentative $\mathscr{C}$.

On admet que $f$ est deux dérivable sur $]0;3]$, on note $f’$ sa fonction dérivée et on admet que dérivée seconde $f\dsec$ est définie sur $]0;3]$ par $f\dsec(x)=-1-2\ln x$.

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions posées, une seule réponse est exacte. Aucune justification n’est demandée.
Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point. Une réponse multiple ne rapporte aucun point.

  1. Sur $]0;3]$, $\mathscr{C}$ coupe l’axe des abscisses au point d’abscisse :
    a. $\e$
    b. $2,72$
    c. $\dfrac{1}{2}\e+1$
    $\quad$
  2. $\mathscr{C}$ admet un point d’inflexion d’abscisse :
    a. $\e$
    b. $\dfrac{1}{\sqrt{\e}}$
    c. $\sqrt{\e}$
    $\quad$
  3. Pour tout nombre réel $x$ de l’intervalle $]0;3]$ on a :
    a. $f'(x)=x(1-2\ln x)$
    b. $f'(x)=-\dfrac{2}{x}$
    c. $f'(x)=-2$
    $\quad$
  4. Sur l’intervalle $[1;3]$ :
    a. $f$ est convexe
    b. $f$ est décroissante
    c. $f’$ est décroissante
    $\quad$
  5. Une équation de la tangente à $\mathscr{C}$ au point d’abscisse $\e$ d’écrit :
    a. $y=-x+\e$
    b. $y=-\e x$
    c. $y=-\e x+\e^2$
    $\quad$

Exercice 2     5 points 

Les parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.
Les résultats numériques seront donnés, si nécessaire, sous forme approchée à $0,001$ près.

Partie A

Une entreprise est composée de $3$ services A, B et C d’effectifs respectifs $450$, $230$ et $320$ employés.
Une enquête effectuée sur le temps de parcours quotidien entre le domicile des employés et l’entreprise a montré que :
$40\%$ des employés du service A résident à moins de $30$ minutes de l’entreprise ;
$20\%$ des employés du service B résident à moins de $30$ minutes de l’entreprise ;
$80\%$ des employés du service C résident à moins de $30$ minutes de l’entreprise.
On choisit au hasard un employé de cette entreprise et on considère les événements suivants :

  • $A$ : « l’employé fait partie du service A » ;
  • $B$ : « l’employé fait partie du service B » ;
  • $C$ : « l’employé fait partie du service C » ;
  • $T$ : « l’employé réside à moins de 30 minutes de l’entreprise » .

On rappelle que si $E$ et $F$ sont deux événements, probabilité d’un événement $E$ est notée $P(E)$ et celle de $E$ sachant $F$ est notée $P_F(E)$.

  1. a. Justifier que $P(A)=0,45$.
    $\quad$
    b. Donner $P_A(T)$.
    $\quad$
    c. Représenter la situation à l’aide d’un arbre pondéré en indiquant les probabilités associées à chaque branche.
    $\quad$
  2. Déterminer la probabilité que l’employé choisi soit du service A et qu’il réside à moins de $30$ minutes de son lieu de travail.
    $\quad$
  3. Montrer que $P(T)=0,482$.
    $\quad$
  4. Sachant qu’un employé de l’entreprise réside à plus de $30$ minutes de son lieu de travail, déterminer la probabilité qu’il fasse partie du service C.
    $\quad$
  5. On choisit successivement de manière indépendante $5$ employés de l’entreprise. On considère que le nombre d’employés est suffisamment grand pour que ce tirage soit assimilé à un tirage avec remise. Déterminer la probabilité qu’exactement $2$ d’entre eux résident à moins de $30$ minutes de leur lieu de travail.
    $\quad$

Partie B

Soit $X$ la variable aléatoire qui, à chaque employé en France, associe son temps de trajet quotidien, en minutes, entre son domicile et l’entreprise. Une enquête montre que $X$ suit une loi normale d’espérance $40$ et d’écart type $10$.

  1. Calculer la probabilité que le trajet dure entre $20$ minutes et 40 minutes.
    $\quad$
  2. Déterminer $P( X > 50)$.
    $\quad$
  3. À l’aide de la méthode de votre choix, déterminer une valeur approchée du nombre $a$ à l’unité près, tel que $P( X > a)=0,2$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

Partie C

Cette entreprise souhaite faire une offre de transport auprès de ses employés. Un sondage auprès de quelques employés est effectué afin d’estimer la proportion d’employés dans l’entreprise intéressés par cette offre de transport. On souhaite ainsi obtenir un intervalle de confiance d’amplitude strictement inférieure à $0,15$ avec un niveau de confiance de $0,95$. Quel est le nombre minimal d’employés à consulter ?
$\quad$

Exercice 3     4 points

Candidats de ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de L

En économie le résultat net désigne la différence entre la recette et les charges d’une entreprise sur une période donnée. Lorsqu’il est strictement positif, c’est un bénéfice.
Propriétaire d’une société, Pierre veut estimer son résultat net à la fin de chaque mois.
À la fin du mois de janvier 2018, celui-ci était de $10~000$ euros.
Pierre modélise ce résultat net par une suite $\left(u_n\right)$ de premier terme $u_0=10~000$ et de terme général $u_n$ tel que $u_{n+1}=1,02u_n−500$ où $n$ désigne le nombre de mois écoulés depuis janvier 2018.

  1. Quel est le montant du résultat net réalisé à la fin du mois de mars 2018?
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$, on pose $a_n=u_n-25~000$.
    a. Montrer que la suite $\left(a_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme $a_0$ et la raison.
    $\quad$
    b. Exprimer $a_n$ en fonction de $n$ et montrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_n=25~000-15~000\times 1,02^n$.
    $\quad$
    c. Résoudre l’inéquation $25~000-15~000\times 1,02^n>0$ où $n$ désigne un entier naturel.
    Interpréter le résultat obtenu dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  3. À l’aide d’un algorithme, Pierre souhaite déterminer le cumul total des résultats nets mensuels de la société jusqu’au dernier mois où l’entreprise est bénéficiaire.
    Recopier et compléter l’algorithme pour qu’à la fin de son exécution, la variable $N$ contienne le nombre de mois pendant lesquels l’entreprise est bénéficiaire et la variable $S$ le cumul total des résultats nets mensuels sur cette période.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    U\leftarrow 10~000\\
    S\leftarrow 0\\
    N\leftarrow 0\\
    \text{Tant que }\ldots\ldots\ldots \\
    \hspace{1cm} S \ldots\ldots\ldots\\
    \hspace{1cm} U \ldots\ldots\ldots\\
    \hspace{1cm} N \ldots\ldots\ldots\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$

Exercice 3     4 points

Candidats de ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Un journaliste britannique d’une revue consacrée à l’automobile doit tester les autoroutes françaises. Pour remplir sa mission, il décide de louer une voiture et de circuler entre six grandes
villes françaises : Bordeaux $(B)$, Lyon $(L)$, Marseille $(M)$, Nantes $(N)$, Paris $(P)$ et Toulouse $(T)$.
Le réseau autoroutier reliant ces six villes est modélisé par le graphe ci-dessous sur lequel les sommets représentent les villes et les arêtes les liaisons autoroutières entre ces villes.

Partie A

  1.  a. Quel est l’ordre du graphe?
    $\quad$
    b. Le graphe est-il complet? Justifier la réponse.
    $\quad$
  2. a. On admet que le graphe est connexe. Le journaliste envisage de parcourir chacune des liaisons modélisées sur le graphe une fois et une seule. Est-ce possible ? Justifier la réponse.
    $\quad$
    b. Le journaliste va-t-il pouvoir louer sa voiture dans un aéroport parisien, parcourir chacune des liaisons une et une seule fois puis rendre la voiture dans le même aéroport ? Justifier la réponse.
    $\quad$
  3. On nomme G la matrice d’adjacence du graphe (les villes étant rangées dans l’ordre alphabétique). On donne :
    $$G=\begin{pmatrix}0&\ldots&0&1&1&1\\
    \ldots&0&1&1&1&1\\
    0&1&\ldots&0&\ldots&1\\
    1&1&0&0&1&0\\
    1&1&\ldots&1&0&1\\
    1&1&1&0&1&0\end{pmatrix} \text{ et } G^3=\begin{pmatrix}10&13&5&10&11&12\\
    13&12&8&11&13&12\\
    5&8&2&5&5&7\\
    10&11&5&6&10&7\\
    11&13&5&10&10&12\\
    12&12&7&7&12&8\end{pmatrix}$$
    a. recopier et compléter la matrice d’adjacence.
    $\quad$
    b. Alors qu’il se trouve à Paris, le rédacteur en chef demande au journaliste d’être à Marseille exactement trois jours plus tard pour assister à une course automobile. Le journaliste décide chaque jour de s’arrêter dans une ville différente. Déterminer le nombre de trajets possibles.

Partie B

On a indiqué sur le graphe ci-dessous le temps nécessaire en minutes pour parcourir chacune des liaisons autoroutières.

Le journaliste se trouve à Nantes et désire se rendre le plus rapidement possible à Marseille.
Déterminer un trajet qui minimise son temps de parcours.

$\quad$

Exercice 4     6 points

Les parties de cet exercice peuvent être traitées indépendamment.

Une usine qui fabrique un produit A, décide de fabriquer un nouveau produit B afin d’augmenter son chiffre d’affaires. La quantité, exprimée en tonnes, fabriquée par jour par l’usine est modélisée par :

  • la fonction $f$ définie sur $[0;14]$ par $f(x)=2~000\e^{-0,2x}$ pour le produit A;
  • la fonction $g$ définie sur $[0;14]$ par $g(x)=15x^2+50x$ pour le produit B,

où $x$ est la durée écoulée depuis le lancement du nouveau produit B exprimée en mois.

Partie A

Par lecture graphique, sans justification et avec la précision permise par le graphique :

  1. Déterminer la durée nécessaire pour que la quantité de produit B dépasse celle du produit A.
    $\quad$
  2. L’usine ne peut pas fabriquer une quantité journalière de produit B supérieure à $3~000$ tonnes.
    Au bout de combien de mois cette quantité journalière sera atteinte ?
    $\quad$

Partie B

Pour tout nombre réel $x$ de l’intervalle $[0;14]$ on pose $h(x)=f(x)+g(x)$.
On admet que la fonction $h$ ainsi définie est dérivable sur $[0;14]$.

  1. a. Que modélise cette fonction dans le contexte de l’exercice?
    $\quad$
    b. Montrer que, pour tout nombre réel $x$ de l’intervalle $[0;14]$ : $$h'(x)=-400\e^{-0,2x}+30x+50$$
    $\quad$
  2. On admet que le tableau de variation de la fonction $h’$ sur l’intervalle est :

    a. Justifier que l’équation $h'(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[0;14]$ et donner un encadrement d’amplitude $0,1$ de $\alpha$.
    $\quad$
    b. En déduire les variations de la fonction $h$ sur l’intervalle $[0;14]$.
    $\quad$
  3. Voici un algorithme :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    Y\leftarrow -400\exp(-0,2X)+30X+50\\
    \text{Tant que } Y\pp 0\\
    \hspace{1cm} X\leftarrow X+0,1\\
    \hspace{1cm} Y\leftarrow -400\exp(-0,2X)+30X+50\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    a. Si la variable $X$ contient la valeur $3$ avant l’exécution de cet algorithme, que contient la variable $X$ après l’exécution de cet algorithme ?
    $\quad$
    b. En supposant toujours que la variable $X$ contient la valeur $3$ avant l’exécution de cet algorithme, modifier l’algorithme de façon à ce que $X$ contienne une valeur approchée à $0,001$ près de $\alpha$ après l’exécution de l’algorithme.
    $\quad$
  4. a. Vérifier qu’une primitive $H$ de la fonction $h$ sur $[0;14]$ est :
    $H(x)=-10~000\e^{-0,2x}+5x^3+25x^2$.
    $\quad$
    b. Calculer une valeur approchée à l’unité près de $\ds \dfrac{1}{12}\int_0^{12}h(x)\dx$.
    $\quad$
    c. Donner une interprétation dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

 

 

Bac ES/L – Amérique du Nord – Mai 2018

Amérique du Nord – Mai 2018

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le nombre bulbes qui germent.
    On effectue $20$ tirages indépendants, aléatoires et identiques. À chaque tirage il n’y a que deux issues : $S$ : “le bulbe germe” et $\conj{S}$.
    De plus $p(S)=0,85$.
    La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=0,85$.
    À l’aide de la calculatrice on trouve :
    $P(X \pp 15) \approx 0,170$.
    $P(X \pg 15) = 1-P(X\pp 14) \approx 0,933$.
    Réponse D
    $\quad$
  2. $\ds \int_2^4 f(x)\dx$ correspond à l’aire du domaine compris entre la courbe représentant la fonction $f$, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=2$ et $x=4$.
    Ce domaine contient $8$ carreaux d’aire $1$ u.a. et un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit mesurent $1$ et $2$ unités.
    Donc l’aire est au mois égale à $8+\dfrac{2\times 1}{2}=9$.
    De plus le domaine est compris dans un rectangle mesurant $2\times 5$ unités.
    Par conséquent $9 \pp \ds \int_2^4 f(x)\dx \pp 10$
    Réponse B
    $\quad$
  3. On considère la fonction $G$ définie sur $]0;+\infty[$ par $G(x)=x\ln(x)-x$.
    $G'(x)=\ln(x)+x\times \dfrac{1}{x}-1=\ln(x)=g(x)$.
    $G$ est donc une primitive de $g$ sur l’intervalle $]0;+\infty[$.
    Réponse C
    $\quad$
  4. La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$ et $\ln(1)=0$.
    Donc $\ln(x)>0$ sur l’intervalle $]1;+\infty[$.
    Réponse C
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. On a $n=400$ et $p=0,05$.
    Par conséquent $n\pg 30$, $np=20 \pg 5$ et $n(1-p)=380 \pg 5$.
    Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de la proportion de rubans défectueux est :
    $\begin{align*} I_{400}&=\left[0,05-1,96\sqrt{\dfrac{0,05\times 0,95}{400}};0,05+1,96\sqrt{\dfrac{0,05\times 0,95}{400}}\right] \\
    &\approx [0,028;0,072]
    \end{align*}$
    La fréquence observée est $f=\dfrac{25}{400}=0,062~5 \in I_{400}$.
    Ce contrôle ne remet donc pas en cause l’affirmation du fournisseur.
    $\quad$
  2. On a $n=400 \pg 30$ et $f=\dfrac{38}{400}=0,095$.
    Donc $nf=38\pg 5$ et $n(1-f)=362 \pg 5$.
    Un intervalle de confiance de la proportion de rubans défectueux au seuil de confiance de $95\%$ est :
    $\begin{align*} J_{400} &=\left[0,095-\dfrac{1}{\sqrt{400}};0,095+\dfrac{1}{\sqrt{400}}\right] \\
    &\approx [0,045;0,145]
    \end{align*}$
    $\quad$

Partie B

  1. À l’aide de la calculatrice on obtient :
    $P(2~100\pp X \pp 2~900) \approx 0,683$
    Remarque : C’est une valeur connue $P(\mu-\sigma \pp X\pp \mu+\sigma)$.
    $\quad$
  2. a. À l’aide de la calculatrice (inverse loi normale) on obtient $a\approx 3~158$.
    $\quad$
    b. Cela signifie donc que la probabilité qu’il $5\%$ de chance qu’il y ait rupture de stock si le site produit $3~158$ rubans.
    $\quad$

Partie C

  1. Voir l’arbre à la fin de cette partie.
    $\quad$
  2. On veut calculer $P(E\cap D)=0,2\times 0,05=0,01$.
    La probabilité que le ruban LED soit d’extérieur et défectueux est $1\%$.
    $\quad$
  3. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(D)=0,06 &\ssi 0,06=P(E\cap D)+P\left(\conj{E}\cap D\right) \\
    &\ssi 0,06=0,01+P\left(\conj{E}\cap D\right) \\
    &\ssi P\left(\conj{E}\cap D\right) =0,05
    \end{align*}$
    $\begin{align*} P_{\conj{E}}(D)&=\dfrac{P\left(\conj{E}\cap D\right)}{1-P(E)}\\
    &= \dfrac{0,05}{0,8} \\
    &=\dfrac{1}{16}
    \end{align*}$
    Cela signifie donc que la probabilité qu’un ruban soit défectueux sachant que c’est un ruban d’intérieur est $\dfrac{1}{16}$.
    $\quad$

Ex 3 obl

Exercice 3

Candidats de ES n’ayant pas suivi la spécialité et candidats de L

  1. a. Chaque année $14\%$ de contrats supplémentaires sont souscrits. Cela représente donc $\left(1+\dfrac{14}{100}\right)u_n=1,14u_n$.
    $7$ contrats sont également résiliés.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}=1,14u_n-7$.
    $\quad$
    b. En 2018, on a $n=1$.
    Et $u_1=1,14\times 120-7=129,8$.
    Il y aura donc $130$ contrats d’entretien en 2018.
    $\quad$
  2. a. On obtient l’algorithme suivant :
    $\begin{array}{|l|}
    \hline
    n\leftarrow 0\\
    u\leftarrow 120\\
    \text{Tant que } u\pp 190\\
    \hspace{1cm} n\leftarrow n+1\\
    \hspace{1cm} u\leftarrow 1,14\times u-7\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \text{Afficher } 2017+n\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    b. On a $u_5 \approx 185$ et $u_6\approx 204$.
    L’algorithme affichera donc l’année 2023.
    C’est donc à partir de 2023 que l’entreprise devra embaucher davantage de personnel.
    $\quad$
  3. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=u_n-50$ soit $u_n=v_n+50$.
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-50 \\
    &=1,14u_n-7-50\\
    &=1,14\left(v_n+50\right)-57 \\
    &=1,14v_n+57-57\\
    &=1,14v_n
    \end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,14$ et de premier terme $v_0=u_0-50=70$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $v_n=70\times 1,14^n$.
    Or $u_n=v_n+50=70\times 1,14^n+50$.
    $\quad$
    c.
    $\begin{align*} u_n> 190 &\ssi 70\times 1,14^n+50 > 190 \\
    &\ssi 70\times 1,14^n>140 \\
    &\ssi 1,14^n > 2\\
    &\ssi n\ln(1,14)>\ln 2 \\
    &\ssi n > \dfrac{\ln(2)}{\ln(1,14)}
    \end{align*}$
    Mais $\dfrac{\ln(2)}{\ln(1,14)} \approx 5,29$.
    La solution de l’inéquation $u_n>190$ est donc $n\in[6;+\infty[$.
    On retrouve le résultat trouvé à la question 2.b.
    $\quad$

Ex 3 spé

Exercice 3

Candidats de ES ayant suivi la spécialité

Partie A

  1. On obtient le graphe probabiliste suivant :

    La matrice de transition est $M=\begin{pmatrix} 0,85&0,15\\0,25&0,75\end{pmatrix}$.
    $\quad$
  2. $P\times M=\begin{pmatrix} 0,531~25+0,093~75&0,093~75+0,281~25 \end{pmatrix}=P$
    Donc $P=\begin{pmatrix} 0,625&0,375\end{pmatrix}$ est bien un état stable de la matrice.
    $\quad$
  3. Sur le long terme l’entreprise Alphacopy obtiendra $62,5\%$ des contrats d’entretien de photocopieurs.
    Son objectif sera donc atteint.
    $\quad$

Partie B

  1. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $P_{n+1}=P_n\times M=\begin{pmatrix} 0,85a_n+0,25b_n&0,25a_n+0,75b_n \end{pmatrix}$
    Donc $a_{n+1} = 0,85a_n+0,25b_n$.
    $\quad$
    De plus on a $a_n+b_n=1 \ssi b_n=1-a_n$.
    Donc :
    $\begin{align*} a_{n+1}&=0,85a_n+0,25\left(1-a_n\right) \\
    &=0,85a_n+0,25-0,25a_n \\
    &=0,60a_n+,025
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. a. On obtient l’algorithme suivant :
    $\begin{array}{|l|}
    \hline
    n\leftarrow 0\\
    a\leftarrow 0,46\\
    \text{Tant que } a\pp 0,62\\
    \hspace{1cm} n\leftarrow n+1\\
    \hspace{1cm} a\leftarrow 0,6\times a+0,25\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \text{Afficher } 2017+n\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    b. À l’aide du menu table de la calculatrice on trouve $a_6\approx 0,617$ et $a_7\approx 0,6204$
    Donc l’algorithme affichera l’année 2024.
    Cela signifie donc que l’entreprise dépassera son objectif à partir de l’année 2024.
    $\quad$
  3. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=a_n-0,625$ soit $a_n=u_n+0,625$.
    $\begin{align*} u_{n+1}&=a_{n+1}-0,625 \\
    &=0,6a_n+0,25-0,625\\
    &=0,6a_n-0,375 \\
    &=0,6\left(u_n+0,625\right)-0,375 \\
    &=0,6u_n+0,375-0,375\\
    &=0,6u_n
    \end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,6$ et de premier terme $u_0=a_0-0,625=-0,165$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a alors $v_n=-0,165\times 0,6^n$.
    Or $a_n=u_n+0,625=-0,165\times 0,6^n+0,625$.
    $\quad$
    c.
    $\begin{align*} a_n \pg 0,62 &\ssi -0,165\times 0,6^n+0,625 \pg 0,62 \\
    &\ssi -0,165 \times 0,6^n \pg -0,005 \\
    &\ssi 0,6^n \pp \dfrac{1}{33} \\
    &\ssi n\ln(0,6) \pp \ln \dfrac{1}{33} \\
    &\ssi n \pg \dfrac{\ln \dfrac{1}{33}}{\ln(0,6)} \end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln \dfrac{1}{33}}{\ln(0,6)}\approx 6,8$.
    La solution de l’inéquation $a_n\pg 0,62$ est donc $n\in[7;+\infty[$.
    On retrouve le résultat trouvé à la question 2.b.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

Partie A

  1. Lorsqu’il travaille $3$ heures par jour il y a “saturation”.
    $\quad$
  2. Il y a rejet lorsque la fonction est décroissante donc lorsqu’il travaille entre $3$, exclus, et $6$ heures.
    $\quad$

Partie B

  1. Pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0;30]$ on a
    $\begin{align*} g'(x)&=12,5\e^{-0,125x+1}-0,125\times 12,5x\e^{-0,125x+1} \\
    &=\left(12,5-1,562~5x\right)\e^{-0,125x+1}
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. La fonction exponentielle est strictement positive sur l’intervalle $[0;30]$.
    Le signe de $g'(x)$ ne dépend donc que de celui de $12,5-1,562~5x$.
    Or $12,5-1,562~5x > 0 \ssi 12,5> 1,562~5x \ssi 8>x$
    Et  $12,5-1,562~5x = 0 \ssi 12,5= 1,562~5x \ssi 8=x$
    On obtient alors le tableau de variation suivant :
  3. L’effet de “saturation” intervient au bout de $8$ jours.
    $\quad$

Partie C

  1. D’après le second résultat donné par le logiciel de calcul formel on a
    $$h\sec(x)=\dfrac{5,625\e^{-0,25x+6}\left(\e^{-0,25x+6}-1\right)}{\left(1+\e^{-0,25x+6}\right)^3}$$
    $\quad$
  2. Dans l’intervalle $[10;50]$ on a :
    $\begin{align*} \e^{-0,25x+6}-1>0 &\ssi \e^{-0,25x+6} > 1\\
    &\ssi -0,25x+6 > 0 \\
    &\ssi -0,25x > -6 \\
    &\ssi x < 24
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. La fonction exponentielle est strictement positive sur l’intervalle $[10;50]$.
    Par conséquent le signe de $h\sec(x)$ ne dépend que de celui de $\e^{-0,25x+6}-1$.
    Ainsi la fonction $h$ est convexe sur l’intervalle $[0;24[$ et concave sur l’intervalle $]24;50]$.
    Elle admet un point d’inflexion pour $x=24$.
    $\quad$
  4. La fonction “envie” décroit quand la fonction $h\sec$ est négative donc à partir d’un salaire annuel de $24~000$ euros.
    $\quad$
  5. On veut résoudre l’équation :
    $\begin{align*} h(x)=80 &\ssi \dfrac{90}{1+\e^{-0,25x+6}}=80 \\
    &\ssi 90=80\left(1+\e^{-0,25x+6}\right)\\
    &\ssi \dfrac{9}{8}=1+\e^{-0,25x+6} \\
    &\ssi \dfrac{1}{8}=\e^{-0,25x+6} \\
    &\ssi \ln\left(\dfrac{1}{8}\right)=-0,25x+6 \\
    &\ssi -\ln(8)-6=-0,25x \\
    &\ssi x=4\ln(8)+24
    \end{align*}$
    La fonction “satisfaction” atteint $80$ pour un salaire annuel d’environ $32~000$.
    $\quad$

 

 

Énoncé

Exercice 1     4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l’absence de réponse à une question ne rapportent ni
n’enlèvent de point. Pour répondre, vous recopierez sur votre copie le numéro de la question et indiquerez la seule réponse choisie.

  1. Un pépiniériste cultive des bulbes de fleurs. La probabilité qu’un bulbe germe, c’est-à-dire qu’il donne naissance à une plante qui fleurit, est de $0,85$.
    Il prélève au hasard $20$ bulbes du lot. La production est assez grande pour que l’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de $20$ bulbes.
    On peut affirmer que :
    a. La probabilité qu’au maximum $15$ bulbes germent est proche de $0,103$
    b. La probabilité qu’au maximum $15$ bulbes germent est proche de $0,067$
    c. La probabilité qu’au minimum $15$ bulbes germent est proche de $0,830$
    d. La probabilité qu’au minimum $15$ bulbes germent est proche de $0,933$
    $\quad$
  2. On considère une fonction $f$ définie sur $[0;8]$ dont $\mathcal{C}_f$ est la courbe représentative dessinée ci-dessous :

    a. $\ds 8\pp \int_2^4 f(x)\dx \pp 9$
    b. $\ds 9\pp \int_2^4 f(x)\dx \pp 10$
    c. $\ds \int_2^4 f(x)\dx =f(4)-f(2)$
    d. $\ds \int_2^4 f(x)\dx =9$
    $\quad$
  3. On considère la fonction $g$ définie sur $]0;+\infty[$ par $g(x)=\ln(x)$.
    Une primitive de $g$ sur $]0;+\infty[$ est la fonction $G$ définie par :
    a. $G(x)=\ln(x)$
    b. $G(x)=x\ln(x)$
    c. $G(x)=x\ln(x)-x$
    d. $G(x)=\dfrac{1}{x}$
    $\quad$
  4. L’ensemble des solutions de l’inéquation $\ln(x)>0$ est :
    a. $]0;+\infty[$
    b. $]0;1[$
    c. $]1;+\infty[$
    d. $]\e;+\infty[$
    $\quad$

Exercice 2     5 points

Tous les résultats demandés dans cet exercice seront arrondis au millième.

Les parties A, B et C sont indépendantes.

Le site internet « ledislight.com » spécialisé dans la vente de matériel lumineux vend deux sortes de rubans LED flexibles : un premier modèle dit d’« intérieur » et un deuxième modèle dit d’« extérieur ». Le site internet dispose d’un grand stock de ces
rubans LED.

Partie A

  1. Le fournisseur affirme que, parmi les rubans LED d’extérieur expédiés au site internet, $5\%$ sont défectueux. Le responsable du site internet désire vérifier la validité de cette affirmation. Dans son stock, il prélève au hasard $400$ rubans LED d’extérieur parmi lesquels $25$ sont défectueux.
    $\quad$
    Ce contrôle remet-il en cause l’affirmation du fournisseur?
    $\quad$
    Rappel : Lorsque la proportion ” d’un caractère dans la population est connue, l’intervalle $I$ de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ d’une fréquence
    d’apparition de ce caractère obtenue sur un échantillon de taille
     $n$ est donnée par :  $$I=\left[p-1,96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}};p+1,96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\right]$$
    $\quad$
  2. Le fournisseur n’a donné aucune information concernant la fiabilité des rubans LED d’intérieur. Le directeur du site souhaite estimer la proportion de rubans LED d’intérieur défectueux. Pour cela, il prélève un échantillon aléatoire de
    $400$ rubans d’intérieur, parmi lesquels $38$ sont défectueux.
    Donner un intervalle de confiance de cette proportion au seuil de confiance de $95\%$.
    $\quad$

Partie B

À partir d’une étude statistique réalisée sur de nombreux mois, on peut modéliser le nombre de rubans LED d’intérieur vendus chaque mois par le site à l’aide d’une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale de moyenne $\mu = 2~500$ et d’écart-type $\sigma= 400$.

  1. Quelle est la probabilité que le site internet vende entre $2~100$ et $2~900$ rubans LED d’intérieur en un mois?
    $\quad$
  2. a. Trouver, arrondie à l’entier, la valeur de $a$ tel que $P(X\pp a)=0,95$.
    $\quad$
    b. Interpréter la valeur de $a$ obtenue ci-dessus en termes de probabilité de rupture de stock.
    $\quad$

Partie C

On admet maintenant que :

  • $20\%$ des rubans LED proposés à la vente sont d’extérieur ;
  • $5\%$ des rubans LED d’extérieur sont défectueux.

On prélève au hasard un ruban LED dans le stock.

On appelle :

  • $E$ l’événement : « le ruban LED est d’extérieur » ;
  • $D$ l’événement : « le ruban LED est défectueux ».
  1. Représenter la situation à l’aide d’un arbre pondéré, que l’on complétera au fur et à mesure.
    $\quad$
  2. Déterminer la probabilité que le ruban LED soit d’extérieur et défectueux.
    $\quad$
  3. D’autre part on sait que $6\%$ de tous les rubans LED sont défectueux. Calculer puis interpréter $P_{\conj{E}}(D)$.
    $\quad$

Exercice 3     5 points

Candidats de ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de L

Une société propose des contrats annuels d’entretien de photocopieurs. Le directeur de cette société remarque que, chaque année, $14\%$ de contrats supplémentaires sont souscrits et $7$ contrats sont résiliés.

En 2017, l’entreprise dénombrait $120$ contrats souscrits.

On modélise la situation par une suite $\left(u_n\right)$ où $u_n$ est le nombre de contrats souscrits l’année 2017 $+n$.

Ainsi, on a $u_0= 120$.

  1. a. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}=1,14u_n-7$.
    $\quad$
    b. Estimer le nombre de contrats d’entretien en 2018.
    $\quad$
  2. Compte tenu de ses capacités structurelles actuelles, l’entreprise ne peut prendre en charge qu’un maximum de $190$ contrats. Au-delà, l’entreprise devra embaucher davantage de personnel.
    On cherche donc à savoir en quelle année, l’entreprise devra embaucher.
    Pour cela, on utilise l’algorithme suivant : $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    n\leftarrow 0\\
    u\leftarrow 120\\
    \text{Tant que }\ldots\ldots\ldots\\
    \hspace{1cm} n\leftarrow n+1\\
    \hspace{1cm} \ldots\ldots\ldots\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \text{Afficher }2017+n\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    a. Recopier et compléter l’algorithme ci-dessus.
    $\quad$
    b. Quelle est l’année affichée en sortie de l’algorithme? Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  3. On définit la suite $\left(v_n\right)$ par $v_n=u_n-50$ pour tout entier naturel $n$.
    a. Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est un suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme $v_0$.
    $\quad$
    b. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$ puis démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $$u_n=70\times 1,14^n+50$$
    $\quad$
    c. résoudre par le calcul l’inéquation $u_n>190$.
    Quel résultat de la question 2. retrouve-t-on?
    $\quad$

Exercice 3     5 points

Candidats de ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Deux entreprises concurrentes « Alphacopy » et « Bêtacopy » proposent des contrats annuels d’entretien de photocopieurs. Ces deux entreprises se partagent le marché des contrats d’entretien sur un secteur donné.

Le patron de Alphacopy remarque que, chaque année :

  • $15\%$ des clients qui avaient souscrit un contrat d’entretien chez Alphacopy décident de souscrire un contrat d’entretien chez Bêtacopy. Les autres restent fidèles à Alphacopy.
  • $25\%$ des clients qui avaient souscrit un contrat d’entretien chez Bêtacopy décident de souscrire un contrat d’entretien chez Alphacopy. Les autres restent fidèles à Bêtacopy.

On définit les événements suivants :

  • $A$ : « le client est sous contrat avec l’entreprise Alphacopy » ;
  • $B$ : « le client est sous contrat avec l’entreprise Bêtacopy ».

À partir de 2017, on choisit au hasard un client ayant un contrat d’entretien de photocopieurs et on note, pour tout entier naturel $n$ :

  • $a_n$ la probabilité que le client soit sous contrat avec l’entreprise Alphacopy l’année 2017 $+n$ ;
  • $b_n$ la probabilité que le client soit sous contrat avec l’entreprise Bêtacopy l’année 2017 $+n$.

On note $P_n=\begin{pmatrix}a_n&b_n\end{pmatrix}$ la matrice ligne de l’état probabiliste pour l’année 2017$+n$.

L’objectif de l’entreprise Alphacopy est d’obtenir au moins 62 % des contrats d’entretien de photocopieurs.

Partie A

  1. Représenter le graphe probabiliste de cette situation et donner la matrice de transition $M$ associée au graphe dont les sommets sont pris dans l’ordre alphabétique.
    $\quad$
  2. Montrer que $P=\begin{pmatrix}0,625&0,375\end{pmatrix}$ est un état stable de la matrice.
    $\quad$
  3. À votre avis, l’entreprise Alphacopy peut-elle espérer atteindre son objectif ?
    $\quad$

Partie B

En 2017, on sait que $46 \%$ des clients ayant un contrat d’entretien de photocopieurs étaient sous contrat avec l’entreprise Alphacopy.
On a ainsi $P_0=\begin{pmatrix}0,46&0,54\end{pmatrix}$.

  1. On rappelle que pour tout entier naturel $n$, $P_{n+1}=P_n\times M$.
    Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $a_{n+1}=0,85a_n+0,25b_n$ puis que $$a_{n+1}=0,60a_n+0,25$$
  2. À l’aide de l’algorithme ci-dessous, on cherche à déterminer en quelle année l’entreprise Alphacopy atteindra son objectif.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    n\leftarrow 0\\
    a\leftarrow 0,46\\
    \text{Tant que } \ldots\ldots\ldots\\
    \hspace{1cm} n\leftarrow n+1\\
    \hspace{1cm} \ldots\ldots\ldots\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \text{Afficher }2017+n\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    a. Recopier et compléter l’algorithme ci-dessus.
    $\quad$
    b. Quelle est l’année affichée en sortie de l’algorithme ? Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  3. On définit la quite $\left(u_n\right)$ par $u_n=a_n-0,625$ pour tout entier naturel $n$.
    a. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme $u_0$.
    $\quad$
    b. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ puis démontrer que, pour tout entier $n$, $$a_n=-0,165\times 0,60^n+0,625$$
    $\quad$
    c. Résoudre par le calcul l’inéquation $a_n\pg 0,62$.
    Quel résultat de la question 2. retrouve-t-on?
    $\quad$

Exercice 4     6 points

On appelle fonction « satisfaction » toute fonction dérivable qui prend ses valeurs entre $0$ et $100$. Lorsque la fonction « satisfaction » atteint la valeur $100$, on dit qu’il y a « saturation ».

On définit aussi la fonction « envie » comme la fonction dérivée de la fonction « satisfaction ». On dira qu’il y a « souhait » lorsque la fonction « envie » est positive ou nulle et qu’il y a « rejet » lorsque la fonction « envie » est strictement négative.

Dans chaque partie, on teste un modèle de fonction « satisfaction » différent.
Les parties A, B et C sont indépendantes.

Partie A

Un étudiant prépare un concours, pour lequel sa durée de travail varie entre $0$ et $6$ heures par jour. Il modélise sa satisfaction en fonction de son temps de travail quotidien par la fonction « satisfaction » $f$ dont la courbe représentative est donnée ci-dessous ( est exprimé en heure).

 

Par lecture graphique, répondre aux questions suivantes.

  1. Lire la durée de travail quotidien menant à « saturation ».
    $\quad$
  2. Déterminer à partir de quelle durée de travail il y a « rejet ».
    $\quad$

Partie B

Le directeur d’une agence de trekking modélise la satisfaction de ses clients en fonction de la durée de leur séjour. On admet que la fonction « satisfaction » $g$ est définie sur l’intervalle $[0; 30]$ par $g(x)=12,5x\e^{-0,125x+1}$ ($x$ est exprimé en jour).

  1. Démontrer que, pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0;30]$, $$g'(x)=(12,5-1,562~5x)\e^{-0,125x+1}$$
    $\quad$
  2. Étudier le signe de $g'(x)$ sur l’intervalle $[0;30]$ puis dresser le tableau des variations de $g$ sur cet intervalle.
    $\quad$
  3. Quelle durée de séjour correspond-elle à l’effet de « saturation » ?
    $\quad$

Partie C

La direction des ressources humaines d’une entreprise modélise la satisfaction d’un salarié en fonction du salaire annuel qu’il perçoit. On admet que la fonction «satisfaction » $h$, est définie sur l’intervalle $[10; 50]$ par $$h(x)=\dfrac{90}{1+\e^{-0,25x+6}}$$
($x$ est exprimé en millier d’euros).
La courbe $mathscr{C}_h$ de la fonction $h$ est représentée ci-dessous :

Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants :

$$\begin{array}{|c|l|}
\hline
&\text{Dériver(90/(1 + exp(-0.25 * x + 6)))}\\
1&\\
&\hspace{3cm}\dfrac{22,5\e^{-0,25x+6}}{\left(1+\e^{-0,25x+6}\right)^2}\\
\hline
&\text{Dériver(22.5 * exp(-0.25 * x + 6)/(1 + exp(-0.25 * x + 6))$^2$)}\\
2&\\
&\hspace{3cm} \dfrac{5,625\e^{-0,25x+6}\left(\e^{-0,25x+6}-1\right)}{\left(1+\e^{-0,25x+6}\right)^3}\\
\hline
\end{array}$$

  1. Donner sans justification une expression de $h\dsec(x)$.
    $\quad$
  2. Résoudre dans l’intervalle $[10;50]$ l’inéquation $\e^{-0,25x+6}-1>0$.
    $\quad$
  3. Étudier la convexité de la fonction $h$ sur l’intervalle $[10; 50]$.
    $\quad$
  4. À partir de quel salaire annuel peut-on estimer que la fonction « envie » décroît ? Justifier.
    $\quad$
  5. Déterminer, en le justifiant, pour quel salaire annuel la fonction « satisfaction » atteint $80$. Arrondir au millier d’euros.
    $\quad$

 

 


Bac ES/L – Liban – Mai 2018

Liban – Juin 2018

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

La correction de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. a. On a $P(M)=\dfrac{1}{500}$, $P_M(S)=0,98$ et $P_{\conj{M}}\left(\conj{S}\right)=0,98$.
    $\quad$
    b. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
    c. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(S)&=P(S\cap M)+P\left(S\cap \conj{M}\right) \\
    &=\dfrac{1}{500}\times 0,98+\dfrac{499}{500}\times 0,02 \\
    &=0,021~92
    \end{align*}$
    $\quad$
    d. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_S(M)&=\dfrac{P(S\cap M)}{P(S)} \\
    &=\dfrac{0,98\times \dfrac{1}{500}}{0,021~92} \\
    &=\approx 0,089
    \end{align*}$
    La probabilité qu’un voyageur porte un objet métallique sachant qu’il a fait sonner le portique est très faible. Il y a donc de forte chance que ce voyageur ne porte pas d’objet métallique.
    $\quad$
  2. a. On répète $80$ fois la même expérience aléatoire. Toutes les “tirages” sont identiques, indépendants. Chaque expérience possède exactement deux issues : $S$ et $\conj{S}$.
    De plus $P(S)=0,021~92$.
    $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=80$ et $p=0,021~92$.
    $\quad$
    b. $E(X)=np=1,753~6$.
    Un moyenne environ $1,7$ personnes feront sonner le portique.
    $\quad$
    c. La probabilité qu’au moins une personne du groupe fasse sonner le portique est :
    $P(X \pg 1)=1-P(X=0)=1-(1-0,021~92)^{80} \approx 0,830$
    $\quad$
    La probabilité qu’au maximum $5$ personnes fassent sonner le portique est :
    $P(X \pp 5) \approx 0,992$ d’après la calculatrice.
    $\quad$
    d. En utilisant le mode table de la calculatrice on obtient :
    $P(X \pp 2) \approx 0,744$ et $P(X \pp 3) \approx 0,901$
    Donc $3$ est le plus petit entier tel que $P(X \pp n) \pg 0,9$.
    $\quad$

Ex 2 obl

Exercice 2

Candidats de ES n’ayant pas suivi la spécialité et candidats de L

  1. a. À la fin du $1\ier$ mois Maya a dépensé $\dfrac{1}{4}\times 20=5$ €.
    Il lui reste donc $15$ €.
    Elle place $20$ € supplémentaires.
    Elle possède donc dans sa tirelire $35$ € à la fin du $1\ier$ mois.
    $\quad$
    b. Ainsi $u_1=35$.
    $u_2=\left(1-\dfrac{1}{4}\right)\times u_1+20=46,25$.
    $\quad$
  2. a.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Valeur de }U&20&35&46,25&54,69&61,02&65,76&69,32&71,99 \\
    \hline
    \text{Valeur de }N&0&1&2&3&4&5&6&7\\
    \hline
    \begin{array}{c} \text{Condition}\\U<70\end{array}&\text{vrai}&\text{vrai}&\text{vrai}&\text{vrai}&\text{vrai}&\text{vrai}&\text{vrai}&\text{faux}\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    b. À la fin de l’exécution, l’algorithme affiche $7$.
    Cela signifie donc qu’à partir du $7^{\text{ième}}$ mois Maya aura plus de $70$ € dans sa tirelire.
    $\quad$
  3. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=u_n-80$ donc $u_n=v_n+80$.
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-80 \\
    &=0,75u_n+20-80\\
    &=0,75u_n-60 \\
    &=0,75\left(v_n+80\right)-60 \\
    &=0,75v_n+60-60\\
    &=0,75v_n
    \end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,75$.
    $\quad$
    b. Son premier terme est $v_0=u_0-80=-60$.
    $\quad$
    c. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $v_n=-60\times 0,75^n$.
    Or $u_n=v_n+80=80-60\times 0,75^n$.
    $\quad$
    d. Au $1\ier$ juin 2019 on a $n=12$ donc $u_{12}=80-60\times 0,75^{12}\approx 78,10$.
    Maya possèdera donc $78,10$ €.
    $\quad$
    e. On a $0<0,75<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,75^n=0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n=0$.
    $\quad$
    f. Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=80$.
    Au bout d’un grand nombre de mois, Maya aura donc $80$ € dans sa tirelire.
    $\quad$

Ex 2 spé

Exercice 2

Candidats de ES ayant suivi la spécialité 

  1. On obtient le graphe probabiliste suivant :
  2. a. La matrice de transition associée au graphe est :
    $M=\begin{pmatrix} 0,7&0,3\\0,45&0,55 \end{pmatrix}$
    $\quad$
    b. On a $P_2=P_0\times M^2=\begin{pmatrix}0,568~75&0,431~25\end{pmatrix}$
    Donc environ $57\%$ des clients ont un contrat avec l’opérateur EfficaceRéseau au $1\ier$ janvier 2020.
    $\quad$
  3. a. On a $P_{n+1}=P_n\times M$
    Donc $\begin{pmatrix} e_{n+1}&g_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}e_n&g_n\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0,7&0,3\\0,45&0,55 \end{pmatrix}$
    Par conséquent $e_{n+1}=0,7e_n+0,45g_n$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} \begin{cases} e_n+g_n=1\\e_{n+1}=0,7e_n+0,45g_n\end{cases} &\ssi \begin{cases} g_n=1-e_n \\e_{n+1}=0,7e_n+0,45\left(1-e_n\right) \end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} g_n=1-e_n \\e_{n+1}=0,7e_n+0,45-0,45e_n \end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases}g_n=1-e_n \\e_{n+1}=0,25e_n+0,45\end{cases} \end{align*}$
    Donc $e_{n+1}=0,25e_n+0,45$.
    $\quad$
  4. a. On obtient l’algorithme suivant :
    $\begin{array}{|l|}
    \hline
    E\leftarrow 0,1\\
    G \leftarrow 0,9\\
    \text{Pour $I$ allant de $1$ à $N$}\\
    \hspace{1cm} E\leftarrow 0,25\times E+0,45 \\
    \hspace{1cm} G\leftarrow 1-E\\
    \text{Fin Pour}\\
    \text{Afficher $E$ et $G$}\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    b. Voici les différents états pris par les variables $E$ et $G$ arrondis au centième :
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    E&0,1&0,475&0,57&0,59\\
    \hline
    G&0,9&0,525&0,43&0,41\\
    \hline
    \end{array}$
    L’algorithme affichera donc $0,59$ et $0,41$.
    $\quad$
    c. L’état stable $P=\begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}$ vérifie :
    $\begin{align*} \begin{cases} x+y=1\\P=P\times M\end{cases} &\ssi \begin{cases} x=1-y \\x=0,7x+0,45y\\y=0,3x+0,55y\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=1-y\\-0,3x+0,45y=0 \\0,3x-0,45y=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=1-y\\-0,3+0,3y+0,45y=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=1-y\\0,75y=0,3 \end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=1-y \\y=0,4\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases}x=0,6\\y=0,4\end{cases}
    \end{align*}$
    Sur le long terme $60\%$ des clients auront un contrat avec EfficaceRéseau et $40\%$ avec GénialPhone.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. $f'(4)$ correspond au coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse $4$. Elle passe par les points de coordonnées $(4;2)$ et $(-2;-1)$.
    Donc $f'(4)=\dfrac{2-(-1)}{4-(-2)} = \dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$.
    Réponse C
    $\quad$
  2. La courbe représentant la fonction $f$ est sous ses tangentes sur l’intervalle $[2;5]$. La fonction $f$ est donc convexe sur cet intervalle.
    Réponse D
    $\quad$
  3. La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;5]$ est
    $m=\displaystyle \dfrac{1}{5-0} \int_0^5 f(x)\dx$
    La fonction $f$ est positive et continue sur l’intervalle $[0;5]$.
    Par conséquent $\displaystyle \int_0^5 f(x)\dx$ est l’aire du domaine compris entre la courbe, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=0$ et $x=5$.
    Ce domaine contient $13$ carrés entiers (en comptant comme entier $2$ carrés qui le sont presque) et est contenu dans un domaine de $17$ carrés entiers.
    Ainsi $\dfrac{13}{5} \pp m \pp \dfrac{17}{5}$.
    Donc $m \approx 2,9$.
    Réponse C
    $\quad$
  4. Sur le graphique on lit que $\mu=650$.
    Donc :
    $\begin{align*} P(649 \pp X \pp 651)&=1-P(X \pp 649)-P(X \pg 651) \\
    &=1-2P(X \pp 649) \\
    &\approx 0,683
    \end{align*}$
    Réponse B
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. a. En utilisant la dérivée d’un quotient, on obtient, pour tout $x$ appartenant à l’intervalle $[1;25]$.
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{\left(1-\dfrac{1}{x}\right)x-\left(x+2-\ln(x)\right)}{x^2} \\
    &=\dfrac{x-1-x-2+\ln(x)}{x^2} \\
    &=\dfrac{-3+\ln(x)}{x^2}
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. Surl’intervalle $[1;25]$
    $\begin{align*} -3+\ln(x) > 0 &\ssi \ln(x) > 3 \\
    &\ssi x > \e^3
    \end{align*}$
    La solution est donc $\left]\e^3;+\infty\right[$.
    $\quad$
    c. De plus $-3+\ln(x)=0 \ssi \ln(x)=3 \ssi x=\e^3$.
    On obtient le tableau de variation suivant :
    $\quad$
    d. On a $f(25) \approx 0,95$.
    Donc, d’après le tableau de variation, pour tout réel appartenant à l’intervalle $\left[\e^3;25\right]$ on a $f(x) \pp f(25) < 1,5$.
    L’équation $f(x)=1,5$ n’admet aucune solution sur cet intervalle.
    Sur l’intervalle $\left[1;\e^3\right]$, la fonction $f$ est continue et strictement décroissante sur cet intervalle.
    De plus $f(1)=3 > 1,5$ et $f\left(\e^3\right)\approx 0,95<1,5$.
    Donc $1,5\in\left[f\left(\e^3\right);3\right]$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=1,5$ possède une unique solution sur l’intervalle $\left[1;\e^3\right]$.
    Par conséquent, l’équation $f(x)=1,5$ possède une unique solution sur l’intervalle $[1;25]$.
    $\quad$
    e. À l’aide du menu table de la calculatrice on trouve $2,31 <\alpha <2,32$.
    $\quad$
  2. a. D’après le tableau de variation, la fonction $f$ atteint un minimum pour $x=\e^3\approx 20,09$.
    L’entreprise doit donc produire environ $2~009$ pièces pour que le coût moyen de fabrication d’une pièce soit minimal.
    Le coût moyen de fabrication est alors $f\left(\e^3\right) \approx 0,95$ €.
    $\quad$
    b. D’après le tableau de variation et la question 1.e. il faut produire au moins $232$ pièces pour que le coût moyen de fabrication d’une pièce soit inférieur ou égal à $1,50$ euros.
    $\quad$
    c. La fonction $f$ admet pour minimum $f\left(\e^3\right) > 0,5$.
    Il est donc impossible que le coût moyen de fabrication d’une pièce soit de $50$ centimes.
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1     6 points

Dans un aéroport, les portiques de sécurité servent à détecter les objets métalliques
que peuvent emporter les voyageurs.
On choisit au hasard un voyageur franchissant un portique.
On note :

  • $S$ l’événement « le voyageur fait sonner le portique » ;
  • $M$ l’événement « le voyageur porte un objet métallique ».

On considère qu’un voyageur sur $500$ porte sur lui un objet métallique.

  1. On admet que :
    $\bullet$ Lorsqu’un voyageur franchit le portique avec un objet métallique, la probabilité que le portique sonne est égale à $0,98$;
    $\bullet$ Lorsqu’un voyageur franchit le portique sans objet métallique, la probabilité que le portique ne sonne pas est aussi égale à $0,98$.
    a. À l’aide des données de l’énoncé, préciser les valeurs de $P(M)$, $P_M(S)$ et $P_M\left(\conj{S}\right)$.
    $\quad$
    b. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous illustrant cette situation.

    $\quad$
    c. Montrer que : $P(S)=0,021~92$.
    $\quad$
    d. En déduire la probabilité qu’un voyageur porte un objet métallique sachant qu’il a fait sonner le portique. (On arrondira le résultat à $10^{-3}$).
    Commenter le résultat obtenu.
    $\quad$
  2. $80$ personnes s’apprêtent à passer le portique de sécurité. On suppose que pour chaque personne la probabilité que le portique sonne est égale à $0,021~92$.
    Soit $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de personnes faisant sonner le portique, parmi les $80$ personnes de ce groupe.
    a. Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
    $\quad$
    b. Calculer l’espérance de $X$ et interpréter le résultat.
    $\quad$
    c. Sans le justifier, donner la valeur arrondie à $10^{-3}$ de :
    $\bullet$ la probabilité qu’au moins une personne du groupe fasse sonner le
    portique ;
    $\bullet$ la probabilité qu’au maximum $5$ personnes fassent sonner le portique.
    $\quad$
    d. Sans le justifier, donner la valeur du plus petit entier $n$ tel que $P(X \pp n)\pg 0,9$.
    $\quad$

Exercice 2     5 points

Candidats de ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de L

Maya possède $20$ € dans sa tirelire au 1$\ier$ juin 2018.
À partir de cette date, chaque mois elle dépense un quart du contenu de sa tirelire puis y place $20$ € supplémentaires.
Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la somme d’argent contenue dans la tirelire de Maya à la fin du $n\ieme$ mois. On a $u_0= 20$.

  1. a. Montrer que la somme d’argent contenue dans la tirelire de Maya à la fin du 1$\ier$ mois est de $35$ €.
    $\quad$
    b. Calculer $u_2$.
    $\quad$
  2. On admet que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=0,75u_n+20$.
    On considère l’algorithme suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    U \leftarrow 20\\
    N \leftarrow 0\\
    \text{Tant que } U<70 \\
    \hspace{1cm} U \leftarrow 0,75\times U+20\\
    \hspace{1cm} N \leftarrow N+1\\
    \text{Fin Tant que}
    \text{Afficher }N\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    a. Recopier et compléter le tableau ci-dessous qui retrace les différentes étapes de l’exécution de l’algorithme. On ajoutera autant de colonnes que nécessaire à la place de celle laissée en pointillés. Arrondir les résultats au centième.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Valeur de }U&20&\ldots&&\\
    \hline
    \text{Valeur de }N&0&\ldots&&\\
    \hline
    \begin{array}{c}
    \text{Condition}\\U<70\end{array}&\text{vrai}&\ldots&\text{vrai}&\text{faux}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. Quelle valeur est affichée à la fin de l’exécution de cet algorithme ?
    Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  3. Pour tout entier $n$, on pose $v_n=u_n-80$.
    a. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,75$.
    $\quad$
    b. Préciser son premier terme $v_0$.
    $\quad$
    c. En déduire que, pour tout entier $n$, $u_n=80-60\times 0,75^n$.
    $\quad$
    d. Déterminer, au centime près, le montant que Maya possédera dans sa tirelire au 1$\ier$ juin 2019.
    $\quad$
    e. Déterminer la limite de la suite $\left(v_n\right)$.
    $\quad$
    f. En déduire la limite $\left(u_n\right)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

Exercice 2     5 points

Candidats de ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Dans un pays deux opérateurs se partagent le marché des télécommunications
mobiles. Une étude révèle que chaque année :

  • parmi les clients de l’opérateur EfficaceRéseau, $70\%$ se réabonnent à ce même opérateur et $30\%$ souscrivent un contrat avec l’opérateur GenialPhone ;
  • parmi les clients de l’opérateur GenialPhone, $55\%$ se réabonnent à ce même opérateur et $45\%$ souscrivent un contrat avec l’opérateur EfficaceRéseau.

On note $E$ l’état : « la personne possède un contrat chez l’opérateur EfficaceRéseau » et $G$ l’état : « la personne possède un contrat chez l’opérateur GenialPhone ».

À partir de 2018, on choisit au hasard un client de l’un des deux opérateurs.

On note également :

  • $e_n$ la probabilité que le client possède un contrat avec l’opérateur EfficaceRéseau au 1$\ier$ janvier $(2018+n)$;
  • $g_n$ la probabilité que le client possède un contrat avec l’opérateur GenialPhone au 1$\ier$ janvier $(2018+n)$ ;
  • $P_n=\begin{pmatrix} e_n&g_n\end{pmatrix}$ désigne la matrice ligne traduisant l’état probabiliste du système au 1$\ier$ janvier $(2018+n)$.

Au 1$\ier$ janvier 2018, on suppose que $10\%$ des clients possèdent un contrat chez EfficaceRéseau, ainsi $P_0=\begin{pmatrix}0,1&0,9\end{pmatrix}$.

  1. Représenter cette situation par un graphe probabiliste de sommets $E$ et $G$.
    $\quad$
  2. a. Déterminer la matrice de transition associée au graphe en rangeant les
    sommets dans l’ordre alphabétique.
    $\quad$
    b. Vérifier qu’au 1$\ier$ janvier 2020, environ $57\%$ des clients ont un contrat avec l’opérateur EfficaceRéseau.
    $\quad$
  3. a. On rappelle que pour tout entier naturel $n$, $P_{n+1}=P_n\times M$.
    Exprimer $e_{n+1}$ en fonction de $e_n$ et $g_n$.
    $\quad$
    b. En déduire que pour tout entier naturel $n$, $e_{n+1}=0,25e_n+0,45$.
    $\quad$
  4. a. Recopier et compléter l’algorithme ci-dessous de façon à ce qu’il affiche l’état probabiliste au 1$\ier$ janvier $(2018+n)$ :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    E\leftarrow 0,1\\
    G\leftarrow 0,9\\
    \text{Pour $I$ allant de $1$ à $N$}\\
    \hspace{1cm} E \leftarrow \ldots \times E + \ldots \\
    \hspace{1cm} G \leftarrow \ldots\\
    \text{Fin Pour}\\
    \text{Afficher $E$ et $G$}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. Déterminer l’affichage de cet algorithme pour $N = 3$. Arrondir au centième.
    $\quad$
    c. Déterminer l’état stable du système et interpréter votre réponse dans le
    contexte de l’exercice.
    $\quad$

Exercice 3     4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre propositions est exacte. Aucune justification n’est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l’absence de réponse à une question ne rapportent ni n’enlèvent de point. Pour répondre, vous recopierez sur votre copie le numéro de la question et indiquerez la seule bonne réponse.

Pour les questions 1. et 2. et 3., on a représenté ci-dessous la courbe représentative d’une fonction $f$ ainsi que deux de ses tangentes aux points d’abscisses respectives $2$ et $4$.

  1. $f'(4)$ est égal à :
    a. $2$
    b. $-1$
    c. $0,5$
    d. $0$
    $\quad$
  2. $f$ est convexe sur l’intervalle :
    a. $]-\infty;2]$
    b. $]-\infty;0,5]$
    c. $[0;4]$
    d. $[2;5]$
    $\quad$
  3. Une valeur approchée au dixième de la valeur moyenne de $f$ sur l’intervalle $[0;5]$ est :
    a. $-0,1$
    b. $-2,5$
    c. $2,9$
    d. $14,5$
    $\quad$
  4. Dans le repère ci-dessous, on a tracé la courbe représentative de la fonction de densité de probabilité d’une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale et telle que $$P(X\pp 649) \approx 0,158~7$$
    On note respectivement $\mu$ et $\sigma$ l’espérance et l’écart-type de cette loi normale.

    a. $P(X\pp 651) \approx 0,658~7$
    b. $P(649 \pp X \pp 651) \approx 0,683$
    c. $\sigma = 650$
    d. $\mu=649$
    $\quad$

Exercice 4     5 points

  1. Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $[1;25]$ par $$f(x)=\dfrac{x+2-\ln(x)}{x}$$
    a. On admet que $f$ est dérivable sur $[1;25]$.
    Démontrer que pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[1;25]$, $$f'(x)=\dfrac{-3+\ln(x)}{x^2}$$
    $\quad$
    b. Résoudre dans $[1;25]$ l’inéquation $-3+\ln(x)>0$.
    $\quad$
    c. Dresser le tableau des variations de la fonction $f$ sur $[1;25]$.
    $\quad$
    d. Démontrer que dans l’intervalle $[1;25]$, l’équation $f(x)=1,5$ admet une seule solution. On notera $\alpha$ cette solution.
    $\quad$
    e. Déterminer un encadrement d’amplitude $0,01$ de $\alpha$ à l’aide de la calculatrice.
    $\quad$
  2. Une entreprise fabrique chaque jour entre $100$ et $2~500$ pièces électroniques pour des vidéoprojecteurs. Toutes les pièces fabriquées sont  identiques.
    On admet que lorsque $x$ centaines de pièces sont fabriquées, avec $1 \pp x\pp 25$, le coût moyen de fabrication d’une pièce est de $f(x)$ euros.En utilisant les résultats obtenus à la question 1. :
    a. Déterminer, à l’unité près, le nombre de pièce à fabriquer pour que le coût moyen de fabrication d’une pièce soit minimal.
    Déterminer alors ce coût moyen, au centime d’euro près.
    $\quad$
    b. Déterminer le nombre minimal de pièces à fabriquer pour que le coût moyen de fabrication d’une pièce soit inférieur ou égal à $1,50$ euros.
    $\quad$
    c. Est-il possible que le coût moyen de fabrication d’une pièce soit de $50$ centimes? Justifier.
    $\quad$

 

 

 

2017 – 2018


La correction des différents sujets de mathématiques du bac ES/L de l’année 2017-2018 sont disponibles ici :

Pondichéry – mai 2018

Liban – mai 2018

Amérique du Nord – mai 2018

Centres étrangers – juin 2018

Antilles Guyane – juin 2018

Métropole – juin 2018

Asie – juin 2018

Polynésie – juin 2018

Antilles Guyane – septembre 2018

Polynésie – septembre 2018

Métropole – septembre 2018

Amérique du Sud – novembre 2018

Nouvelle-Calédonie – novembre 2018

Nouvelle-Calédonie – mars 2019

 

Bac ES/L – Pondichéry – mai 2018

Pondichéry – Mai 2018

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici 

Ex 1

Exercice 1

  1. Le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $-\ln x$.
    On sait que la fonction $\ln$ est négative ou nulle sur l’intervalle $]0;1]$ et positive ou nulle sur l’intervalle $[1;+\infty[$.
    Par conséquent $-\ln x$ est négative ou nulle sur l’intervalle $[1;5]$
    Réponse b
    $\quad$
  2. Le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point $B$ est :
    $f'(\e)=-\dfrac{5\ln \e}{\e^2}=-\dfrac{5}{\e^2}$
    Réponse a
    $\quad$
  3. On étudie le signe de $f\dsec(x)$.
    Sur l’intervalle $[0,5;5]$ le signe de $f\dsec(x)$ ne dépend que de celui de $10\ln x-5$.
    Or $10\ln x-5>0 \ssi \ln x>0,5 \ssi x > \e^{0,5}$
    La fonction $f’$ est donc croissante sur l’intervalle $\left[\e^{0,5};5\right]$.
    Mais $\e^{0,5} \approx 1,65<2$
    Réponse c
    $\quad$
  4. L’abscisse de $A$ vérifie $f\dsec(x)=0$
    Soit $10\ln x-5=0 \ssi \ln x=0,5 \ssi x=\e^{0,5}$
    Réponse c
    $\quad$
  5. Le domaine contient $20$ carrés d’aire $0,5$ u.a.
    Donc $\mathscr{A}\pg 10$.
    De plus il est contenu dans un rectangle de taille $3\times 5=15$ u.a.
    Par conséquent $\mathscr{A} \pp 15$.
    Réponse b
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. a. On a $P(V)=0,8$ et $P_V(S)=0,4$
    $\quad$
    b. On obtient l’arbre pondéré suivant :
  2. a. On veut calculer $P(V\cap S)=0,8\times 0,4 = 0,32$
    $\quad$
    b. Calculons tout d’abord $P(E)$.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(E)&=P(V\cap E)+P\left(\conj{V}\cap E\right) \\
    &=0,8 \times 0,4+0,2\times 0,3 \\
    &=0,38
    \end{align*}$
    Ainsi la probabilité de l’événement “pour son achat, le client a réglé avec sa carte bancaire en utilisant l’un des deux modes” est $1-0,38=0,62$.
    $\quad$

Partie B

  1. On veut calculer :
    $P(X \pp 30) = 0,5+P(27,5 \pp X \pp 30) \approx 0,798$
    Donc $P(X \pp 30) \approx 0,80$ à $0,01$ près.
    $\quad$
  2. $P(24,5 \pp X \pp 30,5) = P(\mu-\sigma \pp X \pp \mu+\sigma) \approx 0,68$.
    $\quad$

Partie C

On a $n=200$ et $f=\dfrac{175}{200}=0,875$
Donc $n \pg 30$, $nf=175 \pg 5$ et $n(1-f)=25 \pg 30$.
Un intervalle de confiance au niveau de confiance de $0,95$ de la proportion $p$ est :
$\begin{align*} I_{200}&=\left[0,875-\dfrac{1}{\sqrt{200}};0,875+\dfrac{1}{\sqrt{200}}\right] \\
&\approx [0,80;0,95]
\end{align*}$
$\quad$

Ex 3 obl

Exercice 3

Candidats de ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de L

  1. $u_1=0,8\times 65+18=70$
    $u_2=0,8\times 70+18=74$
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=u_n-90$ donc $u_n=v_n+90$.
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-90 \\
    &=0,8u_n+18-90 \\
    &=0,8u_n-72 \\
    &=0,8\left(v_n+90\right)-72 \\
    &=0,8v_n+72-72 \\
    &=0,8v_n
    \end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,8$ et de premier terme $v_0=65-90=-25$.
    $\quad$
    b. Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=-25\times 0,8^n$.
    Donc $u_n=v_n+90=90-25\times 0,8^n$
    $\quad$
  3. a.
    $\begin{array}{|c|l|}
    \hline
    \text{ligne }1&u \leftarrow 65 \\
    \text{ligne }2&n \leftarrow 0 \\
    \text{ligne }3& \text{Tant que } u<85 \\
    \text{ligne }4& \hspace{1cm}  n\leftarrow n+1 \\
    \text{ligne }5& \hspace{1cm} u\leftarrow 0,8\times u+18 \\
    \text{ligne }6&\text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    b. En utilisant la fonction Table de la calculatrice on obtient que $n=8$ à la fin de l’algorithme.
    $\quad$
    c. On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
    $\begin{align*} u_n \pg 85&\ssi 90-25\times 0,8^n \pg 85 \\
    &\ssi -25\times 0,8^n \pg -5 \\
    &\ssi 0,8^n\pp 0,2 \\
    &\ssi n\ln 0,8 \pp \ln 0,2 \\
    &\ssi n \pg \dfrac{\ln 0,2}{\ln 0,8}
    \end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln 0,2}{\ln 0,8} \approx 7,21$.
    Donc le plus petit entier naturel vérifiant $u_n\pg 85$ est $8$.
    On retrouve bien le résultat de l’équation précédente.
    $\quad$
  4. a. Au mois de juillet, $65$ particuliers ont souscrit à l’abonnement. Soit $u_0=65$.
    D’un mois sur l’autre, environ $20\%$ des abonnements sont résiliés. Il reste donc $80\%$ des abonnements soit $0,8u_n$.
    Chaque mois, $18$ particuliers supplémentaires souscrivent à l’abonnement donc $u_{n+1}=0,8u_n+18$.
    La suite $\left(u_n\right)$ permet bien de modéliser le nombre d’abonnés au panier bio le $n$-ième mois qui suit le mois de juillet 2017.
    $\quad$
    b. Chaque abonnement coûte $52$ € par mois.
    La recette mensuelle de la société est donc $52u_n$.
    On veut donc résoudre $52u_n \pg 4~420 \ssi u_n \pg 85$.
    On a vu à la question 3.c. que la solution de cette inéquation était $n\pg 8$.
    C’est donc à partir du mois de mars 2018 que la recette mensuelle dépassera $4~420$ €.
    Elle dépassera donc $4~420$ € durant l’année 2018.
    $\quad$
    c. On a $0<0,8<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,8^n=0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=90$.
    La recette mensuelle de la société va donc tendre vers $90\times 52=4~680$ €.
    $\quad$

Ex 3 spé

Exercice 3

Candidats de ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

On va utiliser l’algorithme de Dijkstra.

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
A&B&C&D&E&F&G&H&\text{Sommet} \\
\hline
0&&&&&&&&A\\
\hline
\phantom{47(A)}&47(A)&56(A)&&23(A)&30(A)&&&E\\
\hline
&43(E)&56(A)&65(E)&&30(A)&&63(E)&F\\
\hline
&43(E)&56(A)&65(E)&&&&58(F)&B\\
\hline
&&56(A)&65(E)&&&&58(F)&C\\
\hline
&&&65(E)&&&&58(F)&H\\
\hline
&&&65(E)&&&81(H)&&D\\
\hline
&&&&&&80(D)&&G\\
\hline
\end{array}$

Le chemin le plus court est donc $A-E-D-G$. Sa distance est de $80$ km.

$\quad$

Partie B

  1. a. On a $P_0=\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix}$
    $\quad$
    b. On a le graphe probabiliste suivant :
  2. La matrice de transition est donc $M=\begin{pmatrix}0,22 &78\\0,53&0,47\end{pmatrix}$
    $\quad$
  3. On a $P_2=P_0\times M^2=\begin{pmatrix}0,4~618&0,5~382\end{pmatrix}$
    Au bout de $2$ jours la probabilité que Louis utilise la covoiturage est de $46,18\%$ et la probabilité qu’il utilise les transports en commun est de $53,82\%$.
    $\quad$
  4. a. L’état stable vérifie :
    $\begin{align*} \begin{cases} x+y=1 \\0,22x+0,53y=x\\0,78x+0,47y=y\end{cases} &\ssi \begin{cases} x=1-y \\-0,78x+0,53y=0\\0,78x-0,53y=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=1-y\\0,78-0,78y-0,53y=0 \end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=1-y\\1,31y=0,78 \end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=1-y\\y=\dfrac{78}{131} \end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=\dfrac{53}{131}\\y=\dfrac{78}{131}\end{cases} \end{align*}$
    L’état stable est donc $P=\begin{pmatrix}\dfrac{53}{131}&\dfrac{73}{131}\end{pmatrix}$.
    $\quad$
    b. $\dfrac{53}{131} \approx 0,4$.
    À long terme, la probabilité que Louis utilise le covoiturage est de $40\%$ et celle qu’il utilise les transports en commun est de $60\%$.
    Selon ce modèle, on ne peut donc pas dire, qu’à long terme, Louis utilisera aussi souvent le covoiturage que les transports en commun.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie A

  1. On a :
    $\begin{align*} f'(x)&=3,6\e^{-0,6x}-0,6(3,6x+2,4)\e^{-0,6x} \\
    &=(3,6-2,16x-1,44)\e^{-0,6x} \\
    &=(-2,16x-2,16)\e^{-0,6x}
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. a. La fonction exponentielle est strictement positive.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépendra que de celui de $-2,16x+2,16=2,16(-x+1)$.
    Or $-x+1=0 \ssi x=1$ et $-x+1>0 \ssi x<1$.
    Par conséquent :
    $\bullet$ $f'(x)<0$ sur l’intervalle $]1;4]$
    $\bullet$ $f'(1)=0$
    $\bullet$ $f'(x)>0$ sur l’intervalle $[0;1]$.
    $\quad$
    b. On obtient le tableau de variation suivant :
  3. On a donc :
    $\begin{align*} \displaystyle \int_0^4 f(x)\dx &=F(4)-F(0) \\
    &=-38\e^{-2,4}-5,6+14 \\
    &=8,4-38\e^{-2,4}\\
    &\approx 4,95
    \end{align*}$
    $\quad$

Partie B

  1. Une primitive de la fonction $g$ sur l’intervalle $[0;4]$ est la fonction $G$ définie sur cet intervalle part $G(x)=\dfrac{4}{3}x^3-2x^2+x$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} \displaystyle \int_0^{0,5} g(x)\dx&=G(0,5)-G(0) \\
    &=\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2} \\
    &=\dfrac{1}{6}
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. L’aire du domaine du plan délimité par les courbes $\mathscr{C}_f$, $\mathscr{C}_g$, l’axe des abscisses et la droite d’équation $x=4$ est :
    $\displaystyle \begin{align*} \mathscr{A}_1&=\int_0^{0,5} \left[f(x)-g(x)\right]\dx+\int_{0,5}^4 f(x)\dx \\
    &=\int_0^4 f(x)\dx-\int_0^{0,5} g(x)\dx \\
    &=8,4-38\e^{-2,4}-\dfrac{1}{6}\\
    &=\dfrac{247}{30}-38\e^{-2,4}
    \end{align*}$
    L’aire du domaine grisé est donc :
    $\begin{align*} \mathscr{A}&=2\mathscr{A}_1 \\
    &=\dfrac{247}{15}-76\e^{-2,4} \\
    &\approx 9,57 \text{ u.a}
    \end{align*}$
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1     5 points

Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des questions posées, une seule des trois réponses est exacte. Recopier le numéro de la question et la réponse exacte. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse ou l’absence de réponse ne rapporte
ni n’enlève de point. Une réponse multiple ne rapporte aucun point.

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0,5;5]$ par : $$f(x)=\dfrac{5+5\ln(x)}{x}$$

Sa représentation graphique est la courbe $\mathscr{C}$ donnée ci-dessous dans un repère d’origine $O$. On admet que le point $A$ placé sur le graphique est le seul point d’inflexion de la courbe $\mathscr{C}$ sur l’intervalle $[0,5;5]$. On note $B$ le point de cette courbe d’abscisse $\e$.

On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur cet intervalle.

On rappelle que $f’$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$ et $f\dsec$ sa fonction dérivée seconde.

On admet que pour tout $x$ de l’intervalle $[0,5;5]$ on a :
$$\begin{array}{lcr}
f'(x)=\dfrac{-5\ln x}{x^2}&\hspace{2cm}&f\dsec(x)= \dfrac{10\ln x-5}{x^3}
\end{array}$$

  1. La fonction $f’$ est :
    a. positive ou nulle sur l’intervalle $[0,5;5]$
    b. négative ou nulle sur l’intervalle $[1;5]$
    c. négative ou nulle sur l’intervalle $[0,5;1]$
    $\quad$
  2. Le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point $B$ est égal à :
    a. $-\dfrac{5}{\e^2}$
    b. $\dfrac{10}{\e}$
    c. $\dfrac{5}{\e^3}$
    $\quad$
  3. La fonction $f’$ est :
    a. croissante sur l’intervalle $[0,5;1]$
    b. décroissante sur l’intervalle $[1;5]$
    c. croissante sur l’intervalle $[2;5]$
    $\quad$
  4. La valeur exacte de l’abscisse du point $A$ de la courbe $\mathscr{C}$ est égale à :
    a. $1,65$
    b. $1,6$
    c. $\e^{0,5}$
    $\quad$
  5. On note $\mathscr{A}$ l’aire, mesurée en unités d’aires, du domaine plan délimité par la courbe $\mathscr{C}$, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=1$ et $x=4$. Cette aire vérifie :
    a. $20 \pp \mathscr{A} \pp 30$
    b. $10 \pp \mathscr{A} \pp 15$
    c. $5 \pp \mathscr{A} \pp 8$
    $\quad$

Exercice 2     5 points

Les différentes parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.
Les résultats numériques seront données, si nécessaire, sous forme approchée à $0, 01$ près.

Partie A

Un commerçant dispose dans sa boutique d’un terminal qui permet à ses clients, s’ils souhaitent régler leurs achats par carte bancaire, d’utiliser celle-ci en mode sans contact (quand le montant de la transaction est inférieur ou égal à $30$ €) ou bien en mode code secret (quel que soit le montant de la transaction).
Il remarque que :

  • $80\%$ de ses clients règlent des sommes inférieures ou égales à $30$ €. Parmi eux :
    – $40\%$ paient en espèces ;
    – $40\%$ paient avec une carte bancaire en mode sans contact ;
    – les autres paient avec une carte bancaire en mode code secret.
  • $20\%$ de ses clients règlent des sommes strictement supérieures à $30$ €. Parmi eux :
    – $70\%$ paient avec une carte bancaire en mode code secret ;
    – les autres paient en espèces.

On interroge au hasard un client qui vient de régler un achat dans la boutique.
On considère les événements suivants :

  • $V$ : ≪ pour son achat, le client a réglé un montant inférieur ou égal à $30$ € ≫ ;
  • $E$ : ≪ pour son achat, le client a réglé en espèces ≫ ;
  • $C$ : ≪ pour son achat, le client a réglé avec sa carte bancaire en mode code secret ≫ ;
  • $S$ : ≪ pour son achat, le client a réglé avec sa carte bancaire en mode sans contact ≫.
  1. a. Donner la probabilité de l’événement $V$, notée $P(V)$, ainsi que la probabilité de $S$ sachant $V$ notée $P_V(S)$.
    $\quad$
    b. Traduire la situation de l’énoncé à l’aide d’i, arbre pondéré.
    $\quad$
  2. a. Calculer la probabilité que pour son achat, le client ait réglé un montant inférieur ou égal à $30$ €  et qu’il ait utilisé sa carte bancaire en mode sans contact.
    $\quad$
    b. Montrer que la probabilité de l’événement : ≪ pour son achat, le client a réglé avec sa carte bancaire en utilisant l’un des deux modes ≫ est égale à $0, 62$.
    $\quad$

Partie B

On note $X$ la variable aléatoire qui prend pour valeur la dépense en euros d’un client suite à un achat chez ce commerçant.
On admet que $X$ suit la loi normale de moyenne $27, 5$ et d’écart-type $3$. On interroge au hasard un client qui vient d’effectuer un achat dans la boutique.

  1. Calculer la probabilité que ce client ait dépensé moins de $30$ €.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité que ce client ait dépensé entre $24, 5$ € et $30,5$ €.
    $\quad$

Partie C

Une enquête de satisfaction a été réalisée auprès d’un échantillon de $200$ clients de cette boutique.
Parmi eux, $175$ trouvent que le dispositif sans contact du terminal est pratique.
Déterminer, avec un niveau de confiance de $0, 95$, l’intervalle de confiance de la proportion $p$ de clients qui trouvent que le dispositif sans contact est pratique.
$\quad$

Exercice 3     5 points

Candidats de ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de L

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=65$ et pour tout entier naturel $n$ : $$u_{n+1}=0,8u_n+18$$

  1. Calculer $u_1$ et $u_2$.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$, on pose : $v_n=u_n-90$.
    a. Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $0,8$.
    On précisera la valeur de $v_0$.
    b. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ :
    $$u_n=90-25\times 0,8^n$$
    $\quad$
  3. On considère l’algorithme ci-dessous :
    $$\begin{array}{|c|l|}
    \hline
    \text{ligne }1&u \leftarrow 65 \\
    \text{ligne }2&n \leftarrow 0 \\
    \text{ligne }3& \text{Tant que } \ldots\ldots\\
    \text{ligne }4& \hspace{1cm}  n\leftarrow n+1 \\
    \text{ligne }5& \hspace{1cm} u\leftarrow 0,8\times u+18 \\
    \text{ligne }6&\text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    a. Recopier et compléter la ligne 3 de cet algorithme afin qu’il détermine le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n \pg 85$.
    $\quad$
    b. Quelle est la valeur de la variable $n$ à la fin de l’exécution de l’algorithme?
    $\quad$
    c. Retrouver par le calcul le résultat de la question précédente en résolvant l’inéquation $u_n\pg 85$.
    $\quad$
  4. La société Biocagette propose la livraison hebdomadaire d’un panier bio qui contient des fruits et des légumes de saison issus de l’agriculture biologique. Les clients ont la possibilité de souscrire un abonnement de $52$ € par mois qui permet de recevoir chaque semaine ce panier bio.
    En juillet 2017, $65$ particuliers ont souscrit cet abonnement.
    Les responsables de la société Biocagette font les hypothèses suivantes :
    $\bullet$ d’un mois à l’autre, environ $20\%$ des abonnements sont résiliés ;
    $\bullet$ chaque mois, $18$ particuliers supplémentaires souscrivent à l’abonnement.
    a. Justifier que la suite $(u_n)$ permet de modéliser le nombre d’abonnés au panier bio le $n$-ième mois qui suit le mois de juillet 2017.
    $\quad$
    b. Selon ce modèle, la recette mensuelle de la société Biocagette va-t-elle dépasser $4~420$ € durant l’année 2018 ? Justifier la réponse.
    $\quad$
    c. Selon ce modèle, vers quelle valeur tend la recette mensuelle de la société Biocagette ?
    Argumenter la réponse.
    $\quad$

Exercice 3     5 points

Candidats de ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Les différentes parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

Partie A

Le graphe pondéré ci-dessous représente les différents lieux $A, B, C, D, E, F, G$ et $H$ dans lesquels Louis est susceptible de se rendre chaque jour. Le lieu $A$ désigne son domicile et $G$ le lieu de son site de travail. Le poids de chaque arête représente la distance, en kilomètres, entre les deux lieux reliés par l’arête.

Déterminer le chemin le plus court qui permet à Louis de relier son domicile à son travail. On pourra utiliser un algorithme. Préciser la distance, en kilomètres, de ce chemin.

Partie B

Afin de réduire son empreinte énergétique, Louis décide d’utiliser lors de ses trajets quotidiens soit les transports en commun, soit le covoiturage.

  • s’il a utilisé les transports en commun lors d’un trajet, il utilisera le covoiturage lors de son prochain déplacement avec une probabilité de $0,53$ ;
  • s’il a utilisé le covoiturage lors d’un trajet, il effectuera le prochain déplacement en transport en commun avec une probabilité de $0,78$.

Louis décide de mettre en place ces résolutions au 1$\ier$ janvier 2018.

Pour tout entier naturel $n$, on note :

  • $c_n$ la probabilité que Louis utilise le covoiturage $n$ jour(s) après le 1$\ier$ janvier 2018 ;
  • $t_n$ la probabilité que Louis utilise les transports en commun $n$ jour(s) après le 1$\ier$ janvier 2018 ;

La matrice ligne $P_n =\begin{pmatrix} c_n&t_n\end{pmatrix}$ traduit l’état probabiliste $n$ jour(s) après le 1$\ier$ janvier 2018.
Le 1$\ier$ janvier 2018, Louis décide d’utiliser le covoiturage.

  1. a. Préciser l’état probabiliste initial $P_0$.
    $\quad$
    b. Traduire les données de l’énoncé par un graphe probabiliste.
    On notera ≪ $C$ ≫ et ≪ $T$ ≫ ses deux sommets :
    $\bullet$  ≪ $C$ ≫ pour indiquer que Louis utilise le covoiturage ;
    $\bullet$ ≪ $T$ ≫ pour indiquer que Louis utilise les transports en commun.
    $\quad$
  2. Déterminer la matrice de transition du graphe probabiliste en considérant ses sommets dans l’ordre alphabétique.
    $\quad$
  3. Calculer l’état probabiliste $P_2$ et interpréter ce résultat dans le cadre de l’exercice.
    $\quad$
  4. Soit la matrice ligne$P = \begin{pmatrix}x;y \end{pmatrix}$ associée à l’état stable du graphe probabiliste.
    a. Calculer les valeurs exactes de $x$ et de $y$ puis en donner une valeur approchée à $0,01$ près.
    $\quad$
    b. Selon ce modèle, peut-on dire qu’ à long terme, Louis utilisera aussi souvent le covoiturage que les transports en commun ? Justifier la réponse.$\quad$

Exercice 4     5 points

Dans cet exercice, si nécessaire, les valeurs numériques approchées seront données à $0,01$ près.

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0;4]$ par :

$$f(x)=(3,6x+2,4)\e^{-0,6x}-1,4$$

Partie A

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[0;4]$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.

  1. Justifier que pour tout nombre réel $x$ de l’intervalle $[0;4]$ on a :
    $$f'(x)=(-2,16x+2,16)\e^{-0,6x}$$
    $\quad$
  2. a. Étudier le signe de $f'(x)$ sur l’intervalle $[0;4]$.
    $\quad$
    b. Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur cet intervalle.
    On donnera les valeurs numériques qui apparaissent dans le tableau de variation sous forme approchée.
    $\quad$
  3. On admet que la fonction $F$ définie par : $$F(x)=(-6x-15)\e^{-0,6x}-1,4x$$ est une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;4]$.
    Calculer la valeur exacte de $\ds \int_0^4 f(x)\dx$ puis en donner une valeur numérique approchée.
    $\quad$

Partie B

On note $\mathscr{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;4]$.
On considère la fonction $g$ définie par : $$g(x)=4x^2-4x+1$$
On note $\mathscr{C}_g$ la courbe représentative de cette fonction sur l’intervalle $[0;0,5]$.

On a tracé ci-dessous les courbes $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ dans un repère d’origine $O$ et, en pointillés, les courbes obtenues par symétrie de $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ par rapport à l’axe des abscisses :

  1. Montrer que $\ds \int_0^{0,5} g(x)\dx=\dfrac{1}{6}$.
    $\quad$
  2. On considère le domaine plan délimité par les courbes $\mathscr{C}_f$, $\mathscr{C}_g$, leurs courbes symétriques (en pointillés) ainsi que la droite d’équation $x=4$.
    Ce domaine apparaît grisé sur la figure ci-dessus.
    Calculer une valeur approchée de l’aire, en unités d’aire, de ce domaine.
    $\quad$