Bac ES/L – Métropole – Septembre 2020

Métropole – Septembre 2020

Bac ES/L- Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. La fonction $g$ définie sur $\R$ par $f(x)=-x^2+1$ est dérivable et pour tout réel $x$ on a $g'(x)=-2x$.
    On a $f(x)=\e^{f(x)}$.
    Ainsi la fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et $f'(x)=g'(x)\e^{g(x)}$ c’est-à-dire $g'(x)=-2x\e^{-x^2+1}$.
    Réponse c
    $\quad$
  2. Pour tout réel $a$ on a :
    $\begin{align*} B&=\dfrac{\e^a\times \e^{3-a}}{\e} \\
    &=\e^{a+3-a-1} \\
    &=\e^2\end{align*}$
    Réponse a
    $\quad$
  3. On a $n=1~408$ et $f=0,28$
    Par conséquent $n\pg 30$, $nf=394,24 \pg 5$ et $n(1-f)=1~013,76\pg 5$.
    Un intervalle de confiance au niveau de confiance $0,95$ est :
    $\begin{align*} I_{1~408}&=\left[0,28-\dfrac{1}{\sqrt{1~408}};0,28+\dfrac{1}{\sqrt{1~408}}\right] \\
    &\approx [0,253;0,307]\end{align*}$
    Réponse a
    $\quad$
  4. $g'(4)$ est le coefficient directeur de la droite $(AB)$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} g'(4)&=\dfrac{5-3}{4-(-8)} \\
    &=\dfrac{2}{12} \\
    &=\dfrac{1}{6}\end{align*}$
    Réponse d
    $\quad$
  5. Chaque petit rectangle a une aire de $2$ u.a.
    La fonction $g$ est positive et continue sur l’intervalle $[-2;4]$.
    Par conséquent $I$ est l’aire du domaine compris entre la courbe représentant la fonction $g$, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=-2$ et $x=4$.
    Ainsi $12\times 2 \pp I \pp 15\times 2$ soit $24\pp I\pp 30$.
    Réponse b
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. $90~000\times (1-0,21)+29~400=100~500$.
    Il y avait donc $100~500$ adhérents au début de l’année 2018.
    $100~500\times (1-0,21)+29~400=108~795$.
    Il y avait donc $108~795$ adhérents au début de l’année 2019.
    $\quad$
  2. $21 \%$ des adhérents ne renouvellent pas leur adhésion. Donc $79\%$ la renouvellent. Cela représente donc $0,79u_n$3
    $29~400$ nouveaux pratiquants s’inscrivent.
    Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=0,79u_n+29~400$.
    $\quad$
  3. a. On obtient l’algorithme suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    N \leftarrow 0\\
    U \leftarrow 90~000\\
    \text{Tant que } U\pp 135~000\\
    \hspace{1cm} N\leftarrow N+1\\
    \hspace{1cm} U \leftarrow 0,79\times U+29~400\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. Voici les valeurs, arrondies à l’unité, prises par les variables $N$ et $U$
    $\begin{array}{|c|c|}
    \hline
    N& U \\ \hline
    0 &90~000\\ \hline
    1 &100~500\\ \hline
    2 &108~795\\ \hline
    3 &115~349\\ \hline
    4 &120~525\\ \hline
    5 &124~615\\ \hline
    6 &127~846\\ \hline
    7 &130~398\\ \hline
    8 &132~415\\ \hline
    9 &134~007\\ \hline
    10 &135~266\\ \hline
    \end{array}$
    Par conséquent, après l’exécution de l’algorithme, la variable $N$ contient la valeur $10$.
    Cela signifie que c’est à partir de 2027 que cette fédération comptera plus de $135~000$ adhérents.
    $\quad$
  4. a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-140~000 \\
    &=0,79u_n+29~400-140~000 \\
    &=0,79u_n-110~600\\
    &=0,79\left(v_n+140~000\right)-110~600 \\
    &=0,79v_n+110~600-110~600\\
    &=0,79v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,79$ et de premier terme $v_0=u_0-140~000=-50~000$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $v_n=-50~000\times 0,79^n$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} u_n&=v_n+140~000 \\
    &=-50~000\times 0,79^n+140~000\end{align*}$
    $\quad$
    c. Pour tout entier naturel $n$ on a $-50~000\times 0,79^n<0$ donc $u_n< 140~000$.
    La FFME ne pourra donc jamais dépasse les $140~000$ adhérents.
    $\quad$
  5. a. On peut saisir $=0,79*B2+29400$ dans la cellule $B3$.
    $\quad$
    $\quad$
    b. On peut saisir $=0,21*B2$ dans la cellule $C3$.
    $\quad$

 

 

Ex 3 (obl)

Exercice 3

Candidats de ES n’ayant pas suivi la spécialité ou candidats de L

Partie A

  1. a. On a $p(C)=0,2$, $p_C(D)=0,46$ et $p_S(D)=0,25$.
    $\quad$
    b. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$

  2. On veut calculer :
    $\begin{align*} p(C\cap D)&=p(C)\times p_C(D)\\
    &=0,20\times 0,46 \\
    &=0,092\end{align*}$
    La probabilité que la planche soit en chêne et déclassée est égale à $0,092$.
    $\quad$
  3. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} &p(D)=p(C\cap D)+p(S\cap D)+p(T\cap D) \\
    \ssi~ & 0,32=0,092+0,66\times 0,25+p(T\cap D) \\
    \ssi~ & p(T\cap D)=0,063\end{align*}$
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_T(D)&=\dfrac{p(T\cap D)}{p(T)} \\
    &=\dfrac{0,063}{0,14}\\
    &=0,45\end{align*}$
    La probabilité que la planche soit déclassée sachant qu’on a choisi une planche de la production en bois de hêtre est égale à $0,45$.
    $\quad$

Partie B

  1. On a $p(X=4)=\dbinom{10}{4}0,32^{4}\times 0,68^{10-4}\approx 0,218$.
    La probabilité que $4$ planches soit déclassées est environ égale à $0,218$.
    $\quad$
  2. On veut calculer :
    $\begin{align*} p(X\pg 1)&=1-p(X=0) \\
    &=1-0,68^{10} \\
    &\approx 0,979\end{align*}$
    $\quad$

 

Partie C

  1. D’après la calculatrice $p(26,5 \pp Y\pp 27,5)\approx 0,789$.
    $\quad$
  2. a. On a $\mu_S=27$ donc la courbe $\mathscr{C}_3$ représente la fonction de densité de $Y$.
    $\quad$
    b. On a $\sigma_C>\sigma_S$ donc la courbe $\mathscr{C}_1$ représente la fonction de densité de $Z$.
    $\quad$
  3. On sait que $p(\mu_c-2\sigma_c\pp Z\pp \mu_c+2\sigma_c)\approx 0,95$.
    Par conséquent $p(25-2\sigma_C\pp Z\pp 25+2\sigma_C) \approx 0,95$.
    Or $p(24\pp Z\pp 26)\approx 0,95$ soit $p(25-1\pp Z\pp 25+1)\approx 0,95$.
    Par conséquent $2\sigma \approx 1$ soit $\sigma \approx 0,5$.
    $\quad$

Ex 3 (spé)

Exercice 3

Candidats de ES ayant suivi la spécialité

  1. a. Le graphe possède $6$ sommets. Il est donc d’ordre $6$.
    $\quad$
    b. Les sommets $A$ et $R$ ne sont pas adjacents. Le graphe n’est donc pas complet.
    $\quad$
    c. On a la chaîne $R-B-P-C-F-B-R$. Deux sommets quelconque peuvent donc être reliés entre eux. Le graphe est par conséquent connexe.
    $\quad$
  2. a. Déterminons le degré des sommets.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Sommet}&A&B&C&F&P&R\\
    \hline
    \text{Degré}&4&5&4&4&3&2\\
    \hline
    \end{array}$
    Exactement deux sommets sont de degré impair. Il existe donc une chaîne eulérienne.
    L’organisatrice peut envisager un parcours passant par tous ces lieux en empruntant une seule fois chacune des rues.
    $\quad$
    b. Tous les sommets ne sont pas de degré pair. Il n’existe donc pas de cycle eulérien.
    Elle ne peut pas envisager un parcours passant par tous ces lieux en empruntant une seule fois chacune des rues, et dont le départ et l’arrivée se font au même endroit.
    $\quad$
  3. La matrice d’adjacence de ce graphe est :
    $\begin{pmatrix}0&1&1&1&1&0\\
    1&0&1&1&1&1\\
    1&1&0&1&1&0\\
    1&1&1&0&0&1\\
    1&1&1&0&0&0\\
    0&1&0&1&0&0\end{pmatrix}$
    $\quad$
  4. On a ${M^3}_{(1,6)}=5$. Il existe donc $5$ parcours joignant Alexanderplatz au Reichstag passant exactement par $3$ rues.
    $\quad$
  5. On utilise l’algorithme de Dijkstra :
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    A& B& C& F& P& R& Sommet\\\hline
    0& & & & & & A\\\hline
    & 6(A)& 5(A)& 3,5(A)& 2(A)& & P\\\hline
    & 6(A)& 4(P)& 3,5(A)& & & F\\\hline
    & 6(A)& 4(P)& & & 8,5(F)& C\\\hline
    & 6(A) & & & &8,5(F)& B\\\hline
    & & & & & 6,5(B)& R\\\hline
    \end{array}$
    Le parcours le plus court est $A-B-R$. Il mesure $6,5$ km.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie A

  1. a. Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[1;4]$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=-2x+4+6\times \dfrac{1}{x} \\
    &=\dfrac{-2x^2+4x+6}{x}\end{align*}$
    $\quad$
    b. Le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $-2x^2+4x+6$.
    Son discriminant est $\Delta=4^2-4\times (-2)\times 6=64>0$.
    Les racines de ce polynôme du second degré sont $x_1=\dfrac{-4-\sqrt{64}}{-4}=3$ et $\dfrac{-4+\sqrt{64}}{-4}=-1$.
    Le coefficient principal est $a=-2<0$.
    On obtient donc le tableau de signes et de variations suivant :
    $\quad$
    c. Voir le tableau ci-dessus avec $f(3)=-2+6\ln(3)\approx 4,592$ et $f(4)=-5+6\ln(4)\approx 3,318$.
    $\quad$
  2. a. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur l’intervalle $[1;3]$
    On a $f(1)=-2<0$ et $f(3)\approx 4,592>0$
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires l’équation $f(x)=0$ possède une unique solution sur $[1;3]$.
    $\quad$
    Pour tout $x\in [3;4]$ on a $f(x)\pg f(4)$ et $f(4)\approx 3,318$.
    L’équation $f(x)=0$ ne possède donc pas de solution sur l’intervalle $[3;4]$.
    $\quad$
    L’équation $f(x)=0$ possède donc une unique solution $\alpha$.
    D’après la calculatrice on a $1,28 \pp \alpha \pp 1,29$.
    $\quad$
    b. Cela signifie donc que :
    $\bullet f(x)<0$ sur $[1;\alpha[$;
    $\bullet f(\alpha)=0$;
    $\bullet f(x)>0$ sur $]\alpha;4]$.
    $\quad$
  3. a. D’après le logiciel, pour tout $x\in[1;4]$, on a $f^{\dsec}(x)=-2-\dfrac{6}{x^2}<0$
    La fonction $f$ est donc concave sur $[1;4]$.
    La courbe $\mathscr{C}$ est par conséquent située en-dessous de toutes ses tangentes.
    $\quad$
    b. D’après le logiciel, la fonction $F$ définie sur $[1;4]$ par $F(x)=-\dfrac{x^3}{3}+2x^2-11x+6x\ln(x)$ est une primitive de la fonction $f$ sur $[1;4]$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} I&=\int_1^4 f(x)\dx \\
    &=F(4)-F(1) \\
    &=-\dfrac{100}{3}+24\ln(4)-\left(-\dfrac{28}{3}\right)\\
    &=-24+24\ln(4)\\
    &\approx 9,271\end{align*}$
    $\quad$

Partie B

  1. $f$ atteint son maximum pour $x=3$ et $f(3)\approx 4,592$.
    Le bénéfice maximal est environ égal à $4~592$ euros.
    $\quad$
  2. D’après la question A.2.b. il faut fabriquer au moins $129$ prothèses pour obtenir un bénéfice positif.
    $\quad$
  3. La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[1;4]$ est :
    $\begin{align*} m&=\dfrac{I}{4-1} \\
    &=\dfrac{-24+24\ln(4)}{3} \\
    &=-8+8\ln(4)\\
    &\approx 3,090\end{align*}$
    En produisant entre $100$ et $400$ prothèses le bénéfice moyen mensuel est environ égal à $3~090$ euros.
    $\quad$

 

 

Énoncé

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Bac ES/L – Antilles Guyane – Septembre 2020

Antilles Guyane – Septembre 2020

Bac ES/L- Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. D’après le graphique, on a $f'(x)\pg 0$ sur l’intervalle $[-2;0]$.
    La fonction $f$ est donc croissante sur l’intervalle $[-2;0]$.
    Réponse b
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est décroissante sur l’intervalle $[0;2]$.
    $f$ est donc concave sur l’intervalle $[0;2]$.
    Réponse c
    $\quad$

Partie B

  1. D’après la graphique, la fonction $g$ est décroissante sur (environ) l’intervalle $[-5,2;0]$. Ainsi $g'(x)\pp 0$ sur cet intervalle. Cela exclut les propositions a. et c. .
    La fonction $g$ est croissante sur l’intervalle $[0;2]$.
    Réponse b
    $\quad$
  2. $g'(1)$ est le  coefficient directeur de la droite $(AB)$.
    Par conséquent $g'(1)=\dfrac{-3-(-5)}{1-0}=2$.
    Réponse c
    $\quad$

Partie C

  1. Pour tout réel $x$ on a :
    $f'(x)=5\times \left(-\dfrac{1}{3}\right)\e^{-x/3}=-\dfrac{5}{3}\e^{-x/3}$
    Réponse c
    $\quad$
  2. L’algorithme permet de déterminer une valeur approchée à $0,01$ près par excès de la solution positive de $f(x)=0$.
    Graphiquement on voit que l’abscisse de cette solution est comprise entre $1,5$ et $1,6$.
    Réponse a
    $\quad$

Ex 2 (obl)

Exercice 2

Partie A

  1. a. On a :
    $\begin{align*} u_1&=\left(1-\dfrac{5}{100}\right)u_0+12 \\
    &=0,95\times 300+12\\
    &=297\end{align*}$
    $\quad$
    b. “La quantité de déchets de l’agglomération à incinérer devrait diminuer de $5 \%$ par an”. D’une année sur l’autre il reste donc $95\%$ de la quantité précédente soit $0,95u_n$.
    La ville s’engage à “incinérer 12 000 tonnes de déchets
    supplémentaires par an provenant d’une commune voisine”.
    Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=0,95u_n+12$.
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*}
    v_{n+1}&=u_{n+1}-240 \\
    &=0,95u_n+12-240\\
    &=0,95\left(240+v_n\right)-228 \\
    &=228+0,95v_n-228\\
    &=0,95v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,95$ et de premier terme $v_0=u_0-240=60$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $v_n=60\times 0,95^n$.
    $\quad$
    c. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} u_n&=v_n+240 \\
    &=60\times 0,95^n+240\end{align*}$
    $\quad$
  3. $0<0,95<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 60\times 0,95^n=0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=240$.
    $\quad$

Partie B

  1. En 2039 on a $u_{20}=60\times 0,95^{20}+240 \approx 261,51$
    L’objectif d’une réduction de la quantité de déchets incinérés de $15\%$ par rapport à 2019  correspond à $0,85\times u_0 =255$.
    On constate donc que $u_{20} > 255$.
    L’objectif fixé ne sera donc pas atteint selon ces prévisions.
    $\quad$
  2. a. On obtient l’algorithme suivant :
    $\begin{array}{|l|}
    \hline
    N\leftarrow 2019\\
    U\leftarrow 300\\
    \text{Tant que } U  > 255 \\
    \hspace{0.5cm} N\leftarrow N+1\\
    \hspace{0.5cm} U\leftarrow 0,95\times U+12 \\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    b. On constate qu’en 2046 on a $u_{27} \approx 255,02$ et qu’en 2047 on a $u_{28} \approx 254,3$.
    L’objectif sera donc atteint en 2047.
    Remarque : En toute rigueur il faudrait soit montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante soit fournir toutes les valeurs prises par la suite jusqu’au rang $28$.
    $\quad$

Ex 2 (spé)

Exercice 2

Partie A

  1. a. Les sommets HENDAYE et LYON ne sont pas adjacents. Le graphe n’est donc pas complet.
    $\quad$
    b. On a un cycle :
    HENDAYE – BORDEAUX – CLERMONT FERRAND – LYON – NICE – AVIGNON – MONTELLIER – TOULOUSE – HENDAYE.
    Le graphe est donc connexe.
    $\quad$
    c. Le graphe possède au moins trois sommets de degré $3$ : BORDEAUX, LYON et AVIGNON.
    Il n’existe donc pas de chaîne eulérienne.
    $\quad$
  2. On utilise l’algorithme de Dijkstra.
    En utilisant les initiales des différentes villes on obtient le tableau suivant :
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    H& B& C& L& T& M& A& N& Sommet\\
    \hline
    0& & & & & & & & H\\
    \hline
    & 14 (A)& & & 27 (A)& & & & B\\
    \hline
    & & 41 (B) & & 26 (B)& & & & T\\
    \hline
    & & 41 (B) & & 56 (T) & & & C\\
    \hline
    & & & 53 (C)& & 55(C)& & & L\\
    \hline
    & & & & & 55(C)& 74 (L)& 90 (L) & M\\
    \hline
    & & & & & & 62 (M)& 90 (L)& A\\
    \hline
    & & & & & & & 81 (A)& N\\
    \hline
    \end{array}$
    Le trajet le plus économique ($81$ €) est :
    HENDAYE – BORDEAUX – CLERMONT FERRAND – MONTPELLIER – AVIGNON – NICE
    $\quad$

Partie B

  1. Il  a effectué $40$ trajets donc $x+y+z=40$.
    Il a parcouru $19~200$ km donc $480x+680y+200z=19~200$ soit en divisant les deux membres par $40$ : $12x+17y+5z=480$.
    Il a roulé $236$ heures donc $5x+9y+3z=236$.
    $(x,y,z)$ est donc solution du système $\begin{cases} x+y+z=40\\12x+17y+5z=480\\5x+9y+3z=236\end{cases}$.
    $\quad$
  2. En posant $A=\begin{pmatrix}1&1&1\\12&17&5\\5&9&3\end{pmatrix}$, $X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}40\\480\\236\end{pmatrix}$ on a écrit le système précédent sous la forme $AX=B$.
    $\quad$
  3. La calculatrice nous indique que la matrice $A$ est inversible.
    Donc $X=A^{-1}B$ soit $X=\begin{pmatrix}16\\14\\10\end{pmatrix}$.
    Le commercial a donc réalisé $16$ trajets aller-retour Montpellier-Toulouse, $14$ trajets aller-retour Montpelier- Clermont Ferrand et $10$ trajets aller-retour Montpellier-Avignon.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. On a $p(U)=\dfrac{276~110}{385~628} \approx 0,716$.
    $\quad$
  2. On obtient l’arbre pondéré complété suivant :
    $\quad$
  3. On veut calculer :
    $\begin{align*} p(U\cap T)&=p(U)\times p_U(T)\\
    &=0,716\times 0,6 \\
    &= 0,4296\end{align*}$
    La probabilité que l’habitant de e l’agglomération interrogé réside dans la zone urbaine et utilise régulièrement le tramway est environ égale à $0,430$.
    $\quad$
  4. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(T)=p(U\cap T)+p(R\cap T) &\ssi 0,51=0,43+p(R)\times p_R(T)\\
    &\ssi 0,08=0,284p_R(T) \end{align*}$
    Par conséquent $p_R(T)\approx 0,282$.
    $\quad$
  5. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_T(U)&=\dfrac{p(T\cap U)}{p(T)} \\
    &=\dfrac{0,43}{0,51} \\
    &\approx 0,843\end{align*}$
    La probabilité pour que l’habitant qui utilise régulièrement le tramway habite dans la zone urbaine est environ égale à $0,843$.
    $\quad$

Partie B

  1. On veut calculer :
    $\begin{align*} P(X\pp 60)&=P(X\pp 65)-P(60\pp X\pp 65) \\
    &=0,5-P(60\pp X\pp 65) \\
    &\approx 0,238\end{align*}$
    La probabilité pour qu’un tel trajet dure moins d’une heure est environ égale à $0,238$.
    $\quad$
  2. On effectue donc $180$ tirages aléatoires, identiques et indépendants. Chaque tirage possède deux issues “le trajet à une durée inférieure à une heure” et “le trajet a une durée supérieure à une heure”.
    La variable aléatoire $N$ comptant le nombre de trajets dont la durée est inférieure à une heure suit donc la loi binomiale de paramètres $n=180$ et $p=0,238$.
    Ainsi $P(N\pp 40) \approx 0,346$ d’après la calculatrice.
    La probabilité qu’il ait au plus $40$ fois une durée de trajet inférieure à une heure dans l’année est donc environ égale à $0,346$.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

On appelle $f$ la fonction définie sur $[0;1]$ par $f(x)=x-\left(2,1x^3-1,8x^2+0,7x\right)$
Ainsi, $f(x)=-2,1x^3+1,8x^2+0,3x$.
D’après l’énoncé on sait que la courbe $(C)$ est située au-dessous du segment $[OA]$ d’équation $y = x$. Cela signifie donc que $f(x)\pg 0$ sur $[0;1]$.
De plus $f$ est continue sur $[0;1]$ en tant que fonction polynomiale.
L’aire de la partie grisée est donc :
$\begin{align*} \gamma&=\int_0^1 f(x) \dx \\
&=\left[-\dfrac{2,1}{4}x^4+0,6x^3+\dfrac{0,3}{2}x^2\right]_0^1 \\
& =0,225\\
&<0,289\end{align*}$

En 2017, la répartition des richesses du pays étudié était plus égalitaire qu’en France.
$\quad$

Énoncé

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Bac ES/L – Polynésie – Septembre 2020

Polynésie – Septembre 2020

Bac ES/L- Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Affirmation 1 fausse
$g'(1)$ est le coefficient directeur de la droite $(d)$.
Cette droite n’est pas parallèle à l’axe des abscisses. Donc $g'(1) \neq 0$.
$\quad$

Affirmation 2 fausse
D’après le graphique $g(x)<0$ sur $[0;1[$ donc toute primitive de $g$ sur $[0;3]$ sera décroissante sur l’intervalle $[0;1]$.
$\quad$

Affirmation 3 vraie
D’après le graphique, la tangente au point $B$ coupe la courbe $C$ en $B$.
Ainsi $B$ est un point d’inflexion de la courbe représentative de la fonction $g$.
$\quad$

Affirmation 4 fausse
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=\e^{3x}+x\times 3\e^{3x} \\
&=(1+3x)\e^{3x}\end{align*}$

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. On veut calculer :
    $\begin{align*} p(S\cap A)&=p(S)\times p_S(A) \\
    &=0,41\times 0,12 \\
    &=0,049~2\end{align*}$
    La probabilité que la personne choisie soit en surpoids et souffre d’apnée du sommeil est $0,049~2$.
    $\quad$
  3. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(A)&=p(S\cap A)+p\left(\conj{S}\cap A\right) \\
    &=0,049~2+0,59\times 0,04\\
    &=0,072~8\end{align*}$
    La probabilité que la personne choisie souffre d’apnée du sommeil est égale à $0,072~8$.
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_A(S)&=\dfrac{p(A\cap S)}{p(A)} \\
    &=\dfrac{0,049~2}{0,072~8} \\
    &\approx 0,675~8\end{align*}$
    La probabilité qu’une personne soit en surpoids sachant qu’elle souffre du syndrome d’apnée du sommeil est environ égale à $0,675~8$.
    $\quad$

Partie B

  1. D’après la calculatrice on a $p(14\pp D\pp 30)\approx 0,95$.
    Remarque : on pouvait également voir qu’il s’agissait de calculer $p(\mu-2\sigma \pp D\pp \mu+2\sigma)$.
    La probabilité qu’une apnée du sommeil dure entre $14$ et $30$ secondes est environ égale à $0,95$.
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} p(D\pg 30)&=p(D\pg 22)-p(22\pp D\pp 30) \\
    &=0,5-p(22 \pp D\pp 30) \\
    &\approx 0,02\end{align*}$
    La probabilité qu’une apnée de ce patient dure plus de $30$ secondes est environ égale à $0,02$.
    $\quad$

Partie C

On a $n=348$ et $p=0,91$
Ainsi $n\pg 30$, $np=316,68 \pg 5$ et $n(1-p)=31,32\pg 5$.

Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de la fréquence des patients ayant ressenti une amélioration est :
$\begin{align*} I_{348}&=\left[0,91-1,96\sqrt{\dfrac{0,91\times 0,09}{348}};0,91+1,96\sqrt{\dfrac{0,91\times 0,09}{348}}\right] \\
&\approx [0,879;0,941]\end{align*}$

La fréquence observée est $f=\dfrac{290}{348}\approx 0,833$
Donc $f\in I_{348}$.

On ne peut donc pas remettre en cause l’affirmation.
$\quad$

 

Ex 3 (obl)

Exercice 3

candidats de ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de L

  1. $\dfrac{80}{100}\times 450~000+180~000=540~000$
    Ainsi, selon ce modèle, il y aura $540~000$ abonnés au 31 décembre 2018.
    $\quad$
  2. Chaque année $80\%$ des abonnés renouvellent leur abonnement soit $\dfrac{80}{100}\times u_n=0,8u_n$.
    Chaque année, il y a $180$ milliers de nouveaux abonnés.
    Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=0,8u_n+180$.
    $\quad$
  3. a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-900 \\
    &=0,8u_n+180-900\\
    &=0,8u_n-720 \\
    &=0,8\left(v_n+900\right)-720\\
    &=0,8v_n+720-720\\
    &=0,8v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,8$ et de premier terme $v_0=u_0-900=-450$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $v_n=-450\times 0,8^n$.
    $\quad$
    c. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} u_n&=v_n+900 \\
    &=-450\times 0,8^n+900\end{align*}$
    $\quad$
  4. Pour tout entier naturel $n$ on a $-450\times 0,8^n <0$
    Donc $u_n <900$.
    Le nombre d’abonnés ne dépassera donc jamais $900~000$.
    L’affirmation est fausse.
    $\quad$
  5. On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
    $\begin{align*} u_n\pg 800&\ssi -450\times 0,8^n+900 \pg 800 \\
    &\ssi -450\times 0,8^n \pg -100 \\
    &\ssi 0,8^n \pp \dfrac{2}{9} \\
    &\ssi n\ln(0,8) \pp \ln\left(\dfrac{2}{9}\right)\\
    &\ssi n\pg \dfrac{\ln\left(\dfrac{2}{9}\right)}{\ln(0,8)} \end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln\left(\dfrac{2}{9}\right)}{\ln(0,8)} \approx 6,74$.
    Donc $n\pg 7$.
    C’est par conséquent à partir de l’année 2024 que le nombre d’abonnés dépassera $800~000$ pour la première fois.
    $\quad$
  6. a. Voici les valeurs prises par les variables $I$, $U$ et $S$ :
    $\begin{array}{|c|c|c|}
    \hline
    I& U& S\\
    \hline
    &450& 450\\
    \hline
    1& 540& 990\\
    \hline
    2& 612& 1~602\\
    \hline
    3& 669,6& 2~271,6\\
    \hline
    \end{array}$
    Ainsi $S$ contiendra la valeur $2~271,6$.
    $\quad$
    b. Cela signifie qu’entre 2017 et 2020 la direction aura versé $2~271~600$ euros à l’association.
    $\quad$

Ex 3 (spé)

Exercice 3

candidats de ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

  1. On obtient le graphe probabiliste suivant :

    $\quad$
  2. a. On obtient la matrice de transition $M=\begin{pmatrix} 0,89 &0,11\\0,09&0,91\end{pmatrix}$.
    $\quad$
    b. On a donc $P_2=M^2P_0=\begin{pmatrix}0,565~2&0,434~8\end{pmatrix}$.
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n$ on a $w_n+y_n=1 \ssi y_n=1-w_n$ et:
    $\begin{align*}
    w_{n+1}&=0,89w_n+0,09y_n \\
    &=0,89w_n+0,09\left(1-w_n\right) \\
    &=0,89w_n +0,09-0,09w_n\\
    &=0,8w_n+0,09\end{align*}$
    $\quad$
  4. a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} a_{n+1}&=w_{n+1}-0,45 \\
    &=0,8w_n+0,09-0,45 \\
    &=0,8w_n-0,36\\
    &=0,8\left(a_n+0,45\right)-0,36 \\
    &=0,8a_n+0,36-0,36\\
    &=0,8a_n\end{align*}$
    La suite $\left(a_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,8$ et de premier terme $a_0=w_0-0,45=0,18$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $a_n=0,18\times 0,8^n$.
    $\quad$
    c. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} w_n&=a_n+0,45 \\
    &=0,18\times 0,8^n+0,45\end{align*}$
    $\quad$
  5. $0<0,8<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,8^n=0$ par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty}w_n=0,45$.
    Sur le long terme la société Weblic ne restera pas le leader du marché.
    $\quad$

Partie B

  1. On utilise l’algorithme de Dijkstra.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    A& B& C& D& E& F& G& H&\text{Sommet}\\
    \hline
    0& & & & & & & & A\\
    \hline
    & 31(A)& 26(A)& 43(A)& & & & & C\\
    \hline
    & 31(A)& & 43(A)& & 55(C)& & & B\\
    \hline
    & & & 43(A)& 52(B)& 55(C)& & & D\\
    \hline
    & & & & 52(B)& 55(C)& & & E\\
    \hline
    & & & & & 55(C)& 68(E)& 81(E)& F\\
    \hline
    & & & & & & 68(E)& 81(E)& G\\
    \hline
    & & & & & & & 79(G)& H\\
    \hline
    \end{array}$
    Les données doivent donc suivre le chemin $A-B-E-G-H$.
    $\quad$
  2. Les données mettront alors $79$ millisecondes pour aller du serveur A au serveur H.
    $\quad$

 

 

Ex 4

Exercice 4

Partie A

  1. a. $f'(38)$ est le coefficient directeur de la droite $\mathscr{T}$.
    Les points de coordonnées $(38;4)$ et $(62;3)$ semblent appartenir à la cette droite.
    Ainsi $f'(38)\approx  \dfrac{4-3}{38-62}$ soit $f'(38)\approx -\dfrac{1}{24}$.
    $\quad$
    b. Chaque grand carré représente $10$ u.a.
    L’intégrale $\ds \int_{30}^{120} f(x)\dx$ représente l’aire du domaine compris entre les droites d’équation $x=30$ et $x=120$, l’axe des abscisses et la courbe $\mathscr{C}$.
    Ainsi, la proposition exacte est $\ds 130 \pp \int_{30}^{120} f(x)\dx \pp 190$.
    $\quad$
  2. a. Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;120]$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{4,3\times \left(-0,1\e^{0,1x-6}\right)}{\left(1+\e^{0,1x-6}\right)^2} \\
    &=\dfrac{-0,43\e^{0,1x-6}}{\left(1+\e^{0,1x-6}\right)^2} \end{align*}$
    $\quad$
    b. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$ et un carré est toujours positif.
    Par conséquent, pour tout $x\in [0;120]$ on a $f'(x)<0$.
    La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur $[0;120]$.
    $\quad$
  3. a. La fonction est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur $[0;120]$.
    De plus $f(0)\approx 4,4>1$ et $f(120)\approx 0,1<1$
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $f(x)=1$ possède une unique solution sur $[0;120]$.
    $\quad$
    b. D’après la calculatrice on a $73 <\alpha < 74$.
    $\quad$

Partie B

  1. a. Une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;120]$ est la fonction $F$ définie par $F(x)=0,1x+G(x)$.
    Par conséquent $F(x)=0,1x-43\ln\left(1+\e^{-0,1x+6}\right)$.
    $\quad$
    b. On a :
    $\begin{align*} \int_{30}^{120} f(x)\dx &=F(120)-F(30) \\
    &=12-43\ln\left(1+\e^{-6}\right)-\left(3-43\ln\left(1+\e^{3}\right)\right) \\
    &=9-43\ln\left(\dfrac{1+\e^{-6}}{1+\e^{3}}\right)\end{align*}$
    $\quad$
  2. On a $\dfrac{I}{120-30} \approx 1,56$
    Ainsi le taux de natalité moyen entre 1780 et 1870 est environ égale à $1,56\%$.
    $\quad$

 

Énoncé obl

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Énoncé spé

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Bac ES/L – Nouvelle Calédonie – Novembre 2019

Nouvelle Calédonie – Novembre 2019

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici .

Ex 1

Exercice 1

  1. On veut résoudre l’équation :
    $f(x)=2\ssi -0,9x^3+1,5x^2+1,5=2$
    En traçant la courbe sur la calculatrice, on constate qu’il y a au moins $3$ points d’intersection dont les abscisses sont environ égales à $-0,5$ ; $0,8$ et $1,4$.
    Réponse d
    $\quad$
  2. On veut résoudre dans $\N$ l’inéquation :
    $\begin{align*} 1-0,85^n>0,99 &\ssi -0,85^n>-0,01 \\
    &\ssi 0,85^n < 0,01 \\
    &\ssi n\ln 0,85 < \ln 0,01 \\
    &\ssi n> \dfrac{\ln 0,01}{\ln 0,85} \end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln 0,01}{\ln 0,85} \approx 28,3$
    L’ensemble solution est donc l’ensemble des entiers naturels supérieurs ou égaux à $29$.
    Réponse b
    $\quad$
  3. On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le fois où Esteban a oublié sa trousse.
    On effectue $162$ tirages aléatoires, indépendants et identiques. À chaque tirage il n’y a que deux issues :
    $S$ : “Esteban a oublié sa trousse” et $\conj{S}$.
    De plus $p(S)=0,2$.
    La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=162$ et $p=0,2$.
    On veut calculer $P(X=30)=\ds \displaystyle \binom{162}{30}\times 0,2^{30}\times 0,8^{132} \approx 0,07$
    Réponse b
    $\quad$
  4. Un intervalle de confiance au niveau de confiance $0,95$ est de la forme $\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}};f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$.
    L’amplitude est alors :
    $a=f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\left(f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right)=\dfrac{2}{\sqrt{n}}$
    On veut donc résoudre dans $\N$ l’inéquation :
    $\begin{align*} \dfrac{2}{\sqrt{n}} \pp 0,001 &\ssi \dfrac{\sqrt{n}}{2} \pg 1~000 \\
    &\ssi \sqrt{n} \pg 2~000 \\
    &\ssi n\pg 4~000~000\end{align*}$
    Réponse a
    $\quad$

 

Ex 2 obl

Exercice 2

Candidats de ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de L

Partie A

  1. On a $u_1=\left(1+\dfrac{20}{100}\right)\times u_0-28=1,2\times 150-28=152$
    $u_2=1,2\times 152-28=154,4$
    $\quad$
  2. On considère un entier naturel $n$.
    La responsable d’un aquarium public constate qu’en l’absence d’action particulière la population d’une espèce de poisson augmente de $20%$ par an. La population est donc de $\left(1+\dfrac{20}{100}\right)u_n=1,2u_n$.
    Pour démarrer un nouveau bassin, elle décide de prélever $28$ poissons à la fin de chaque année.
    Donc $u_{n+1}=1,2u_n-28$.
    $\quad$
  3. a. Pour tout entier naturel $n$ on a : $w_n=u_n-140 \ssi u_n=w_n+140$.
    $\begin{align*} w_{n+1}&=u_{n+1}-140 \\
    &=1,2u_n-28-140 \\
    &=1,2u_n-168 \\
    &=1,2\left(w_n+140\right)-168 \\
    &=1,2w_n+168-168 \\
    &=1,2w_n\end{align*}$
    La suite $\left(w_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,2$ et de premier terme $w_0=u_0-140=10$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $w_n=10\times 1,2^n$.
    Ainsi $u_n=w_n+140=10\times 1,2^n+140$.
    $\quad$
  4. On veut résoudre dans $\N$ l’inéquation :
    $\begin{align*} u_n>200 &\ssi 10\times 1,2^n+140>200 \\
    &\ssi 10\times 1,2^n>60 \\
    &\ssi 1,2^n>6 \\
    &\ssi n\ln 1,2>\ln 6 \\
    &\ssi n>\dfrac{\ln 6}{\ln 1,2}\end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln 6}{\ln 1,2}\approx 9,8$.
    La responsable devra par conséquent prévoir l’achat d’un nouvel aquarium en 2027.
    $\quad$

Partie B

  1. On obtient l’algorithme suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    S\leftarrow 0 \\
    V\leftarrow 1~350 \\
    \text{Pour $N$ allant de $1$ à $6$}\\
    \hspace{1cm} S\leftarrow S+V\\
    \hspace{1cm} V\leftarrow 1,12V\\
    \text{Fin Pour} \\
    S\leftarrow 8S\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  2. Le nombre total de visiteur est :
    $\begin{align*} N&=1~350+1~350\times 1,12+1~350\times 1,12^2+\ldots+1~350\times 1,12^5 \\
    &=1~350\left(1+1,12+1,12^2+\ldots +1,12^5\right) \\
    &=1~350 \times \dfrac{1-1,12^6}{1-1,12} \\
    &=11~250\left(1,12^6-1\right)\end{align*}$
    La recette totales est alors :
    $S=8N=8\times 11~250\left(1,12^6-1\right) \approx 87~644$ €.
    Remarque : En fonction de l’endroit on effectue le(s) arrondi(s) le résultat final peut sensiblement être différent.
    $\quad$

 

Ex 2 spé

Exercice 2

Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

  1. Nous allons déterminer le degré des différents sommets.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Sommet}&A&B&C&D&E&F&G&H&I\\
    \hline
    \text{Degré}&4&2&4&6&2&4&4&4&2\\
    \hline
    \end{array}$
    Tous les sommets du graphe sont donc de degré pair.
    De plus le cycle $A-B-C-D-I-H-F-G-E-D-A$ permet de parcourir tous les sommets. Le graphe est donc connexe.
    Ainsi, le graphe possède un cycle eulérien.
    Elle pourra explorer tous les sentiers en ne passant qu’une fois sur chacun d’entre eux.
    $\quad$
  2. Nous allons utiliser l’algorithme de Dijkstra.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    A&B&C&D&E&F&G&H&I&\text{Sommet}\\
    \hline
    0&&&&&&&&&A\\
    \hline
    &5(A)&8(A)&12(A)&&&8(A)&&&B\\
    \hline
    &&7(B)&12(A)&&&8(A)&&&C\\
    \hline
    &&&12(A)&&9(C)&8(A)&&&G\\
    \hline
    &&&12(A)&10(G)&9(C)&&14(G)&&F\\
    \hline
    &&&11(F)&10(G)&&&14(G)&&E\\
    \hline
    &&&11(F)&&&&14(G)&&D\\
    \hline
    &&&&&&&12(D)&18(D)&H\\
    \hline
    &&&&&&&&18(D)&I\\
    \hline
    \end{array}$$
    Le chemin le plus court est donc $A-B-C-F-D-I$. Il mesure $18$ km.
    $\quad$

Partie B

  1. 1. On obtient le graphe probabiliste suivant :
    $\quad$
  2. On a $P_0=\begin{pmatrix}0,9&0,1\end{pmatrix}$
    La matrice de transition est $M=\begin{pmatrix}0,7&0,3\\0,15&0,85\end{pmatrix}$
    $\quad$
  3. On a $P_1=P_0\times M=\begin{pmatrix}0,645&0,355\end{pmatrix}$
    $\quad$
  4. L’état stable $P=\begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}$ est tel que :
    $\begin{align*} \begin{cases} P=PM\\x+y=1\end{cases} &\ssi \begin{cases} 0,7x+0,15y=x\\0,3x+0,85y=y\\x=1-y\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} -0,3x+0,15y=0 \\0,3x-0,15y=0\\x=1-y\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases}0,3(1-y)-0,15y=0\\x=1-y\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases}0,3-0,45y=0\\x=1-y\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases}0,45y=0,3\\x=1-y\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases}y=\dfrac{2}{3}\\x=\dfrac{1}{3}\end{cases}\end{align*}$
    L’état stable est donc $P=\begin{pmatrix} \dfrac{1}{3}&\dfrac{2}{3}\end{pmatrix}$.
    Cela signifie donc que sur le long terme, $\dfrac{1}{3}$ des clients choisira un vélo classique et $\dfrac{2}{3}$ un vélo électrique.
    $\quad$

 

 

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. D’après l’énoncé on a $p\left(\conj{A}\cap B\right)=0,015$.
    $\quad$
  2. On obtient l’arbre suivant (il a été complété en entier en tenant compte des réponses suivantes) :
    $\quad$
  3. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(B)&=p(A\cap B)+p\left(\conj{A}\cap B\right) \\
    &=0,85\times 0,5+0,015 \\
    &=0,44\end{align*}$
    $\quad$
  4. a. On a :
    $\begin{align*} p_{\conj{A}}(B)&=\dfrac{p\left(\conj{A}\cap B\right)}{p\left(\conj{A}\right)} \\
    &=\dfrac{0,015}{0,15} \\
    &=0,1\end{align*}$
    $\quad$
    b. Cela signifie que la probabilité  que le touriste voit des bébés éléphants dans la journée sachant qu’il n’a pas vu d’éléphant adulte est égale à $0,1$.
    $\quad$

Partie B

  1. On appelle $T$ la variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l’intervalle $[0;90]$.
    On a donc $P(T\pg 60)=\dfrac{90-60}{90-0}=\dfrac{1}{3}$
    La probabilité que le groupe attende plus d’une heure avant d’apercevoir les éléphants est égale à $\dfrac{1}{3}$.
    $\quad$
  2. On a $E(X)=\dfrac{90+0}{2}=45$.
    Il faut donc, en moyenne, attendre $45$ minutes pour observer des éléphants.
    L’heure moyenne d’arrivée des éléphants est donc $20$h$45$.
    $\quad$

Partie C

  1. a. Les éléphants d’Afrique sont généralement plus grands que ceux d’Asie.
    Par conséquent $\mu>\mu’$.
    Ainsi la courbe $\mathscr{C}_1$ est associée à la variable aléatoire $X$ et la courbe $\mathscr{C}_2$ est associée à la variable aléatoire $Y$.
    $\quad$
    b. Graphiquement on a $\mu\approx 330$ et $\mu’\approx 270$.
    $\quad$
  2. On obtient :

    Graphiquement, on conclut donc que $P(X>330)>P(Y>330)$.
    $\quad$
  3. a. À l’aide de la calculatrice on trouve
    $\begin{align*} P(Y>330)&=P(Y>268)-P(268<Y<330) \\
    &=0,5-P(268<Y<330) \\
    &\approx 0,11\end{align*}$
    $\quad$
    b. La probabilité qu’un éléphant d’Asie ait une taille supérieure à $330$ cm est environ égale à $0,11$.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. a $f(0)=5\e^0=5$.
    Les coordonnées du point $A$ sont donc $(0;5)$
    $\quad$
    b. On veut résoudre l’équation $f(x)=0 \ssi \left(-5x^2+5\right)\e^x=0$.
    La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Cela revient donc à $-5x^2+5=0$
    $\ssi 5x^2=5$
    $\ssi x^2=1$
    $\ssi x=1$ ou $x=-1$
    La courbe $\mathscr{C}$ coupe donc l’axe des abscisses en deux points $B(-1;0)$ et $C(1;0)$.
    $\quad$
    c. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=-10x\e^x+\left(-5x^2+5\right)\e^x \\
    &=\left(-5x^2-10x+5\right)\e^x\end{align*}$
    $\quad$
    d. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $-5x^2-10x+5$.
    Le discriminant de ce polynôme du second degré est :
    $\Delta=(-10)^-2-4\times (-5)\times 5=200>0$
    Il possède deux racines réelles :
    $x_1=\dfrac{10-\sqrt{200}}{-10}=-1+\sqrt{2}$ et $x_2=\dfrac{10+\sqrt{200}}{-10}=-1-\sqrt{2}$
    Le coefficient principal est $a=-5<0$.
    Par conséquent $f'(x)>0$ sur l’intervalle $\left]-1-\sqrt{2};-1+\sqrt{2}\right[$.
    La fonction $f$ est donc décroissante sur l’intervalle $\left]-\infty,-1-\sqrt{2}\right[$ et $\left]-1+\sqrt{2};+\infty\right[$ et croissante sur l’intervalle $\left]-1-\sqrt{2};-1+\sqrt{2}\right[$.
    $\quad$
  2. a. Une équation de la tangente est de la forme : $y=f'(0)(x-0)+f(0)$.
    $f'(0)=5\e^0=5$ et $f(0)=5$.
    Une équation de $\Delta$ est donc $y=5x+5$.
    $\quad$
    b. Cf graphique
    $\quad$
  3. a. D’après le logiciel on a :
    $\begin{align*} f\dsec(x)&=-20x\e^x-5x^2\e^x-5\e^x \\
    &=\left(-20x-5x^2-5\right)\e^x \\
    &=-\left(5x^2+20x+5\right)\e^x\end{align*}$
    $\quad$
    b. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $f\dsec(x)$ ne dépend donc que de celui de $-\left(5x^2+20x+5\right)$.
    D’après le logiciel, les racines sont $-\sqrt{3}-2$ et $\sqrt{3}-2$.
    Le coefficient principal est $a=-5$.
    La fonction est donc concave sur $\left]-5;-\sqrt{3}-2\right[$ et $\left]\sqrt{3}-2;2\right[$ et convexe sur l’intervalle $\left]-\sqrt{3}-2;-\sqrt{3}-2\right[$.
    $\quad$
  4. a. Cf Graphique
    $\quad$
    b. L’aire $\mathscr{A}$ est donc inférieure à celle du triangle $AOB$.
    Par conséquent $\mathscr{A}\pp \dfrac{1\times 5}{2}$ soit $\mathscr{A}\pp 2,5$ u.a.
    $\quad$
    c. On a :
    $\begin{align*} \ds \int_{-1}^0 f(x)\dx&=F(0)-F(-1) \\
    &=-5\e^0-(-5-10-5)\e^{-1} \\
    &=-5+20\e^{-1} \text{ u.a.} \\
    &\approx 2,37 \text{ u.a.} \end{align*}$
    $\quad$

$\quad$

Énoncé

Exercice 1     4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Chaque question comporte quatre réponses possibles. Pour chacune de ces questions, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Recopier pour chaque question son numéro et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.
Chaque réponse exacte rapporte 1 point, une mauvaise réponse ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point.

  1. Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=-0,9x^3 + 1,5 x^2 + 1,5$ et $\mathscr{C}$ sa courbe représentative dans un repère. Le nombre de points d’intersection entre la courbe $\mathscr{C}$ et la droite d’équation $y=2$ est :
    a. $0$
    b. $1$
    c. $2$
    d. $3$
    $\quad$
  2. Une des solutions de l’inéquation $1-0,85^n > 0,99$ d’inconnue $n$ entier naturel est :
    a. $28$
    b. $29$
    c. $\dfrac{\ln 0,85}{\ln 0,01}$
    d. $28,336$
    $\quad$
  3. Esteban va à l’école chaque matin avec une trousse. À la fin de la journée, il oublie sa trousse avec une probabilité de $0,2$. Dans l’année le nombre de jours d’école est de $162$. On considère que les oublis journaliers sont indépendants les uns des autres. La probabilité qu’il oublie sa trousse $30$ fois exactement dans l’année est environ :
    a. $0,19$
    b. $0,07$
    c. $0,60$
    d. $0,36$
    $\quad$
  4. Une enquête a pour objectif d’estimer la proportion de personnes partant en vacances à l’étranger durant la semaine de Noël. Pour obtenir un intervalle de confiance d’amplitude $0,001$ au niveau de confiance $0,95$ de cette proportion, la taille de l’échantillon doit être égale à :
    a. $4~000~000$
    b. $1~000$
    c. $2~000$
    d. $1~000~000$
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

Candidats de ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de L

Les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante.

Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à l’unité.

Partie A

La responsable d’un aquarium public constate qu’en l’absence d’action particulière la population d’une espèce de poisson augmente de $20\%$ par an.
Pour démarrer un nouveau bassin, elle décide de prélever $28$ poissons à la fin de chaque année.
La situation est modélisée par une suite $\left(u_n\right)$ de terme initial $u_0=150$, le terme $u_n$ donnant une estimation du nombre de poissons au 1$\ier$ janvier de l’année 2018$+n$.

  1. Calculer $u_1$ et $u_2$.
    $\quad$
  2. Justifier que, pour tout $n\in\N$, $u_{n+1} = 1,2u_n-28$.
    $\quad$
  3. On définit la suite $\left(w_n\right)$ par : $w_n = u_n-140$ pour tout $n\in\N$.
    a. Montrer que la suite $\left(w_n\right)$ est une suite géométrique de raison $1,2$.
    Préciser son terme initial.
    $\quad$
    b. Exprimer pour tout $n\in\N$, $w_n$ en fonction de $n$.
    En déduire $u_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  4. Sachant que l’aquarium ne peut contenir plus de $200$ poissons, la responsable doit-elle prévoir l’achat d’un autre aquarium dans les années à venir? Si oui, en quelle année?
    $\quad$

Partie B

On sait qu’il y a eu $1~350$ visiteurs le premier mois et que le prix d’entrée est fixé à $8$ euros.
La responsable fait l’hypothèse d’une augmentation mensuelle de la fréquentation des visiteurs de $12\%$.
Elle veut alors savoir, sous cette hypothèse, la recette totale accumulée durant les six premiers mois.

  1. Recopier et compléter l’algorithme suivant pour qu’il détermine la recette cherchée.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    S \gets 0\\
    V \gets 1~350\\
    \text{Pour $N$ allant de $1$ à $\dots$}\\
    \hspace{1cm} S \gets \dots\\
    \hspace{1cm} V \leftarrow 1,12 V\\
    \text{Fin Pour}\\
    S \gets 8S\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  2. Quel est le montant de la recette cherchée?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante.

Partie A

Sur son lieu de vacances d’été, Inaé décide de pratiquer son activité favorite: le vélo tout terrain (VTT). Le plan des sentiers VTT de la région est représenté par le graphe ci-dessous.
Les arêtes représentent les sentiers, les sommets représentent les intersections de ces sentiers et le poids des arêtes désigne la distance en km entre chaque intersection.

 

  1. Pourra-t-elle explorer tous les sentiers en ne passant qu’une fois sur chacun d’entre eux? Justifier.
    $\quad$
  2. Inaé se trouve en $A$ et a rendez-vous au point $I$. Elle veut s’y rendre en empruntant l’itinéraire le plus court. Déterminer à l’aide d’un algorithme cet itinéraire en en préciser la longueur.
    $\quad$

Partie B

En 2018, des vélos électriques ont été mis en location. Les clients ont donc eu le choix entre des vélos classiques et des vélos électriques. En 2018, seulement $10\%$ des clients ont loué des vélos électriques.

On admet que tous les clients louent un vélo et que:

  • $85\%$ des clients ayant loué un vélo électrique une année en relouent un l’année suivante;
  • $70\%$ des clients ayant loué un vélo classique une année en relouent un l’année suivante.

On suppose que le nombre de clients chaque été reste constant. On s’intéresse à la répartition des clients dans les années à venir.

On note pour tout entier naturel $n$:

  • $c_n$ la probabilité qu’un client pris au hasard choisisse un vélo classique l’année 2018$+n$;
  • $e_n$ la probabilité qu’un client pris au hasard choisisse un vélo électrique l’année 2018$+n$;
  • $P_n=\begin{pmatrix} c_n & e_n \end{pmatrix}$ la matrice correspondant à l’état probabiliste l’année 2018$+n$.
  1. Représenter la situation par un graphe probabiliste.
    On notera $C$ l’évènement « le client loue un vélo classique » et $E$ l’évènement « le client loue un vélo électrique ».
    $\quad$
  2. Donner la matrice $P_0$ traduisant l’état probabiliste initial ainsi que la matrice de transition $M$ en respectant l’ordre $C$ puis $E$ des sommets.
    $\quad$
  3. Calculer $P_1$.
    $\quad$
  4. Déterminer l’état stable du graphe probabiliste et interpréter le résultat obtenu dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     5 points

Les parties A, B et C peuvent être traitées de manière indépendante.

Les résultats seront arrondis au centième.

Partie A

Lors d’un safari photo en Afrique, un groupe de touristes souhaite observer des familles d’éléphants. Le guide leur explique que :

  • la probabilité de voir des éléphants adultes dans la journée est de $0,85$;
  • la probabilité de voir des bébés éléphants sachant que l’on voit des éléphants adultes est de $0,5$;
  • la probabilité d’observer des bébés éléphants mais pas d’adultes éléphants dans la journée est de $0,015$.

On choisit au hasard un touriste de ce groupe et on considère les évènements suivants :

  • $A$: « Le touriste voit des éléphants adultes dans la journée »;
  • $B$: « Le touriste voit des bébés éléphants dans la journée ».

Pour tous évènements $E$ et $F$, on note $\conj{E}$ l’évènement contraire de $E$, $p(E)$ la probabilité de $E$ et, si $F$ est de probabilité non nulle, $p_F(E)$ la probabilité de $E$ sachant $F$.

  1. Donner $p\left (\conj{A}\cap B \right )$.
    $\quad$
  2. Représenter la situation à l’aide d’un arbre pondéré qui sera complété au fur et à mesure de l’exercice.
    $\quad$
  3. Montrer que $p(B)=0,44$.
    $\quad$
  4. a. Calculer $p_{\conj{A}}(B)$.
    $\quad$
    b. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

Partie B

À 20 h, le groupe de touristes fait une pause autour d’un point d’eau pour observer le bain des éléphants. On considère que le temps d’attente en minute nécessaire pour observer des éléphants suit la loi uniforme sur l’intervalle $[0;90]$.

  1. Quelle est la probabilité que le groupe attende plus d’une heure avant d’apercevoir les éléphants?
    $\quad$
  2. Calculer l’heure moyenne d’arrivée des éléphants.
    $\quad$

Partie C

Lors de leur séjour, les touristes ont appris que les éléphants d’Afrique sont généralement plus grands que les éléphants d’Asie.
On modélise la taille en centimètre d’un éléphant d’Afrique par une variable aléatoire $X$ suivant la loi normale de moyenne $\mu$ et d’écart type $\sigma$. De même, on modélise la taille en centimètre d’un éléphant d’Asie par une variable aléatoire $Y$ suivant une loi normale de moyenne $\mu’$ et d’écart type $\sigma’$.
Les courbes $\mathscr{C}_1$ et $\mathscr{C}_2$ des densités de probabilité associées à $X$ et $Y$ sont données en annexe.

  1. a. Associer chaque courbe $\mathscr{C}_1$ et $\mathscr{C}_2$ à sa variable aléatoire.
    $\quad$
    b. Donner une valeur approchée à la dizaine de l’espérance pour chacune d’entre elles.
    $\quad$
  2. Représenter graphiquement $p(X>330)$ et $p(Y>330)$ puis comparer ces deux probabilités.
    $\quad$
  3. a. Calculer à l’aide de la calculatrice $p(Y>330)$ sachant que $\mu’=268$ et $\sigma’=50$.
    $\quad$
    b. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

Annexe

$\quad$

Exercice 4     6 points

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par: $$f(x) = (-5x^2+5)\e^{x}$$
On note $f’$ la fonction dérivée de $f$, et $f”$ la fonction dérivée seconde.
On note $\mathscr{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère du plan, donnée en annexe.

  1. a. Calculer les coordonnées du point A, intersection de la courbe $\mathscr{C}$ avec l’axe des ordonnées. Placer le point $A$ dans le repère fourni en annexe.
    $\quad$
    b. Démontrer que $\mathscr{C}$ coupe l’axe des abscisses en deux points. Déterminer leurs coordonnées et les placer dans le repère fourni en annexe.
    $\quad$
    c. Montrer que pour tout $x\in\R$, $f'(x)=(-5x^2-10x+5)\e^{x}$.
    $\quad$
    d. Étudier les variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-5; 2]$.
    $\quad$
  2. Soit $\Delta$ la tangente à $\mathscr{C}$ au point d’abscisse $0$.
    a. Montrer qu’une équation de $\Delta$ est $y=5x+5$.
    $\quad$
    b. Tracer la droite $\Delta$ dans le repère fourni en annexe.
    $\quad$
  3. Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants que l’on pourra utiliser sans justification :
    a. Montrer que, pour tout $x\in [-5;2]$, $f”(x)=-(5x^2+20x+5)\e^{x}$.
    $\quad$
    b. Étudier la convexité de le fonction $f$ sur l’intervalle $[-5;2]$.
    $\quad$
  4. On s’intéresse à l’aire $\mathscr{A}$, en unité d’aire, du domaine délimité par $\mathscr{C}$, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x =- 1$ et $x = 0$.
    a. Hachurer sur l’annexe ce domaine.
    $\quad$
    b. On admet que sur l’intervalle $[-1; 0]$, la droite $\Delta$ est au-dessus de la courbe $\mathscr{C}$.
    Justifier que l’aire $\mathscr{A}$ est inférieure à $2,5$ unités d’aire.
    $\quad$
    c. On admet que la fonction $F$ définie sur $\R$ par $$F(x) = (-5x^2+10x-5)\e^{x}$$ est une primitive de $f$.
    Calculer $\ds\int_{-1}^{0} f(x) \dx$.
    On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie au centième.
    $\quad$

Annexe

$\quad$

 

Bac ES/L – Amérique du Sud – Novembre 2019

Amérique du Sud – Novembre 2019

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici .

Ex 1

Exercice 1

  1. On a
    $\begin{align*} P(X<249)&=P(X<250)-P(249<X<250) \\
    &=0,5-P(249<X<250) \\
    &\approx 0,159 \end{align*}$
    Réponse C
    $\quad$
  2. On a $n=900\pg 30$ et $f=\dfrac{864}{900}$ donc $nf=864\pg 5$ et $n(1-f)=36 \pg 5$.
    Un intervalle de confiance, au seuil de $95\%$, de la proportion de plaquettes de beurre conformes est :
    $\begin{align*} I_{900}&=\left[\dfrac{864}{900}-\dfrac{1}{\sqrt{900}};\dfrac{864}{900}+\dfrac{1}{\sqrt{900}}\right] \\
    &\approx [0,926;0,994]\end{align*}$
    Réponse B
    $\quad$
  3. On a $n=200\pg 30$ et $p=0,2$ donc $np=40\pg 5$ et $n(1-p)=160\pg 5$.
    Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de la fréquence observée des tickets gagnants est :
    $\begin{align*} I_{200}&=\left[0,2-1,96\sqrt{\dfrac{0,2\times 0,8}{200}};0,2+1,96\sqrt{\dfrac{0,2\times 0,8}{200}}\right] \\
    &\approx [0,144;0;256]\end{align*}$
    Réponse D
    $\quad$
  4. La fonction $f$ est dérivable deux fois sur l’intervalle $[0;30]$ en  tant que fonction polynôme.
    Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;30]$ on a :
    $f'(x)=3x^2-78x+315$
    $f\dsec(x)=6x-78$
    Or $6x-78=0 \ssi 6x=78 \ssi x=13$
    et $6x-78>0 \ssi 6x>78 \ssi x>13$
    La fonction $f\dsec$ s’annule en changeant de signe pour $x=13$.
    La courbe $\mathscr{C}$ admet donc un point d’inflexion au point d’abscisse $13$.
    Réponse C
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. $u_1=0,96u_0+300=0,96\times 5~000+300=5~100$
    $u_2=0,96u_1+300=0,96\times 5~100+300=5~196$
    Au 1$\ier$ janvier 2020 l’arboriculteur aura $5~196$ pommiers.
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=u_n-7~500$ donc $u_n=v_n+7~500$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-7~500 \\
    &=0,96u_n+300-7~500 \\
    &=0,96u_n-7~200 \\
    &=0,96\left(v_n+7~500\right)-7~200\\
    &=0,96v_n+7~200-7~200\\
    &=0,96v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,96$ et de premier terme $v_0=u_0-7~500=-2~500$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $v_n=-2~500\times 0,96^n$.
    $\quad$
    c. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $u_n=v_n+7~500=7~500-2~500\times 0,96^n$.
    $\quad$
  3. a. On obtient l’algorithme suivant :
    $$\begin{array}{|ll|l|}
    \hline
    \text{Ligne }1& \hspace{2cm}&n\leftarrow 0 \\
    \text{Ligne }2&&u\leftarrow 5~000\\
    \text{Ligne }3&&\text{Tant que }u\pp 6~000\\
    \text{Ligne }4&& \hspace{1cm} n\leftarrow n+1 \\
    \text{Ligne }5&& \hspace{1cm} u\leftarrow 0,96\times u+300\\
    \text{Ligne }6&&\text{Fin tant que} \\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. Voici les valeurs prises par les variables $n$ et $u$ (arrondies à l’unité)
    $\begin{array}{|c|c|}
    \hline
    n &u\\
    \hline
    0 &5~000\\
    \hline
    1 &5~100\\
    \hline
    2 &5~196\\
    \hline
    3 &5~288\\
    \hline
    4 &5~377\\
    \hline
    5 &5~462\\
    \hline
    6 &5~543\\
    \hline
    7 &5~621\\
    \hline
    8 &5~697\\
    \hline
    9 &5~769\\
    \hline
    10 &5~838\\
    \hline
    11 &5~904\\
    \hline
    12 &5~968\\
    \hline
    13 &6~029\\
    \hline
    \end{array}$
    À la fin de l’exécution de l’algorithme la variable $n$ a la valeur $13$.
    Cela signifie qu’il faut $13$ années à l’arboriculteur pour atteindre sa capacité maximale.
    $\quad$
  4. $0<0,96<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,96^n=0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=7~500$.
    À terme, cet arboriculteur possèdera $7~500$ pommiers selon ce modèle.
    $\quad$

Ex 3 obl

Exercice 3

  1. D’après l’énoncé on a $P(L)=0,7$, $P_L(M)=0,66$ et $P_{\conj{L}}\left(\conj{M}\right)=0,83$.
    $\quad$
  2. On obtient donc l’arbre de probabilité suivant :

    $\quad$
  3. On a$P(L\cap M)=0,7\times 0,66=0,462$
    Cela signifie donc que la probabilité que le cycliste interrogé soit licencié dans un club et ait réalisé le parcours en moins de $5$ heures est égale à $46,2\%$.
    $\quad$
  4. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(M)&=P(M\cap L)+P\left(M\cap \conj{L}\right) \\
    &=0,462+0,3\times 0,17 \\
    &=0,462+0,051\\
    &=0,513\end{align*}$
    $\quad$
  5. On a :
    $\begin{align*} P_M(L)&=\dfrac{P(M\cap L)}{P(M)} \\
    &=\dfrac{0,462}{0,513} \\
    &\approx 0,900~6\end{align*}$
    Par conséquent au moins $90\%$ des cyclistes ayant fait le parcours en moins de $5$ heures sont licenciés dans un club.
    L’organisateur a donc raison.
    $\quad$
  6. a. On effectue $10$ tirages aléatoires, identiques et indépendants.
    À chaque tirage, il y a $2$ issues : $M$ et $\conj{M}$.
    De plus $p(M)=0,513$.
    La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,513$.
    $\quad$
    b. On veut calculer $P(X=4)=\ds \binom{10}{4}\times 0,513^4\times (1-0,513)^6 \approx 0,194$
    La probabilité qu’exactement quatre des dix cyclistes aient réalisé le parcours en moins de cinq heures est environ égale à $0,194$
    $\quad$
    c. on veut calculer $P(X \pp 3)=\approx 0,151$ d’après la calculatrice.
    La probabilité qu’au plus trois des dix cyclistes aient réalisé le parcours en moins de cinq heures est environ égale à $0,151$.
    $\quad$

Ex 3 spé

Exercice 3

Partie A

  1. On obtient le graphe probabiliste suivant :

    $\quad$
  2. On a donc $g_{n+1}=0,9g_n+0,15s_n$ et $s_{n+1}=0,1g_n+0,85s_n$.
    On obtient donc la matrice de transition suivant $M=\begin{pmatrix}0,9&0,1\\
    0,15&0,85\end{pmatrix}$
    $\quad$
  3. On a $P_0=\begin{pmatrix} 0,42&0,58\end{pmatrix}$
    Donc $P_1=P_0\times M=\begin{pmatrix}0,465&0,535\end{pmatrix}$
    D’après ce modèle, $46,5\%$ des cyclistes participeront au grand parcours en 2019.
    $\quad$
  4. a. On a :
    $\begin{align*} \begin{cases} P=PM\\x+y=1\end{cases} &\ssi \begin{cases} 0,9x+0,15y=x\\0,1x+0,85y=y\\x=1-y\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} -0,1x+0,15y=0 \\0,1x-0,15y=0\\x=1-y\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} -0,1(1-y)+0,15y=0\\x=1-y\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} -0,1+0,1y+0,15y=0\\x=1-y\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} 0,25y=0,1 \\x=1-y\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} y=0,4\\x=0,6\end{cases}\end{align*}$
    $\quad$
    b. Selon ce modèle, sur le long terme, $60\%$ des cyclistes participeront au grand parcours et $40\%$ des cyclistes participeront au petit parcours.
    Le grand parcours aura donc plus de succès que le petit à long terme.
    $\quad$

Partie B

  1. Les sommets $B$ et $A$ ne sont pas adjacents. Ce graphe n’est donc pas complet.
    Le cycle $A-C-H-B-R-T-A$ contient tous les sommets du graphe. Il est donc connexe.
    $\quad$
  2. On détermine le degré de tous les sommets.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Sommet}&A&B&C&H&R&T\\
    \hline
    \text{Degré}&4&2&3&4&4&3\\
    \hline
    \end{array}$
    Exactement $2$ sommets ont un degré impair. Le graphe est connexe et possède donc une chaîne eulérienne.
    Il est donc possible de visiter tous les stands en empruntant une et une seule fois chacune des allées.
    On peut utiliser le trajet suivant : $C-H-A-C-R-B-H-T-R-A-T$.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

Partie A

  1. Le nombre de téléspectateurs a diminué entre les années 2000 et 2003 , passant de $460~000$ à environ $300~000$, puis a augmenté a augmenté de 2003 à 2019, passant d’environ $300~000$ à environ $910~000$.
    $\quad$
  2. En 2014, il y avait environ $800~000$ téléspectateurs.
    $\quad$
  3. $f'(0)$ est le coefficient directeur de la droite $(AB)$, tangente à la courbe $(\mathscr{C})$ au point $A$.
    Ainsi $f'(0)=\dfrac{460-82}{0-3}=-126$.
    $\quad$

Partie B

  1. $f(14)=\left(20\times 14^2-80\times 14+460\right)\e^{-1,4}\approx 804$.
    Il y avait donc environ $804~000$ téléspectateurs le 1$\ier$ janvier 2014$.
    $\quad$
  2. a. La fonction est dérivable sur $[0;29]$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0;29]$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=(20\times 2x-80)\e^{-0,1x}+\left(20x^2-80x+460\right)\times (-0,1)\e^{-0,1x} \\
    &=\left(40x-80-2x^2+8x-46\right)\e^{-0,1x} \\
    &=\left(-2x^2+48x-126\right)\e^{-0,1x}\end{align*}$
    $\quad$
    b. On considère l’équation $-2x^2+48x-126=0$
    $\Delta=48^2-4\times (-2)\times (-126)=1~296>0$
    L’équation possède donc deux solutions :
    $x_1=\dfrac{-48-\sqrt{1~296}}{-4}=21$ et $x_2=\dfrac{-48+\sqrt{1~296}}{-4}=3$
    On a bien retrouvé les valeurs fournies par le logiciel.
    $\quad$
    c. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $-2x^2+48x-12$.
    Le coefficient principal est $a=-2<0$.
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    On a $f(3)=400\e^{-0,3}\approx 296$
    $f(21)= 7~600\e^{-2,1}\approx 931$
    $f(29)=14~960\e^{-2,9}\approx 823$
    $\quad$
    d. Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;29]$ on a $f(x)\pp f(21)<1~000$.
    Le nombre journalier de téléspectateur de cette chaîne de télévision ne dépassera jamais la barre du million avant l’année 2029.
    $\quad$
  3. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur l’intervalle $[3;21]$.
    $f(3)\approx 296 <800$ et $f(21) \approx 931 > 800$
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $f(x)=800$ admet une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[3;21]$.
    À l’aide de la calculatrice on trouve $13<\alpha<14$.
    C’est donc au cours de l’année 2013 que le nombre journalier de téléspectateur de la chaîne de télévision dépassera $800~000$.
    $\quad$
  4. L’audience journalière moyenne de téléspectateur de la chaîne de télévision entre le 1$\ier$ janvier 2018 et le 1$\ier$ janvier 2019 est :
    $\begin{align*} m&=\dfrac{1}{19-18}\ds \int_{18}^{19} f(x)\dx  \\
    &=F(19)-F(18) \\
    &=-169~600\e^{-1,9}+159~000\e^{-1,8}\\
    &\approx 916\end{align*}$
    Sur cette période, l’audience journalière moyenne de la chaîne de télévision était d’environ $916~000$ de téléspectateur.
    $\quad$

 

 

Énoncé

Exercice 1     4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Une bonne réponse rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point.
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.

Pour les questions 1 et 2, on considère une entreprise qui produit des plaquettes de beurre de $250$ grammes.

  1. La masse des plaquettes est modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d’espérance $\mu = 250$ et d’écart type $\sigma = 1$.
    Alors, à $10^{-3}$ près, on a :
    A. $P(X < 250) \approx 0,459$
    B. $P(X > 249) \approx 0,659$
    C. $P(X < 249) \approx 0,159$
    D. $P(X < 252) \approx 0,997$
    $\quad$
  2. Pour être conformes, ces plaquettes de beurre doivent avoir une masse nette comprise entre $248$ et $252$ grammes.
    Un contrôleur prélève au hasard un échantillon de $900$ plaquettes et constate que $864$ sont conformes.
    L’intervalle de confiance, au seuil de confiance de $95\,\%$, de la proportion de plaquettes de beurre conformes est, avec les bornes données à $10^{-3}$ près :
    A. $[0,91~;~1,01]$
    B. $[0,926~;~0,994]$
    C. $[0,245~;~0,255]$
    D. $[0,958~;~0,962]$
    $\quad$
  3. Lors d’une tombola, les organisateurs affirment que $20\%$ des tickets sont gagnants. L’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de la fréquence observée des tickets gagnants pour un échantillon de $200$ tickets tirés au hasard est, avec des valeurs approchées des bornes données à $10^{-3}$ près:
    A. $[0,150~;~0,250]$
    B. $[0,195~;~0,205]$
    C. $[0,182~;~0,218]$
    D. $[0,144~;~0,256]$
    $\quad$
  4. Soit $f$ une fonction définie sur l’intervalle $[0;30]$ par: $$f(x) = x^3-39x^2 + 315x + 45$$
    On note $\mathscr{C}$ sa courbe représentative. On a alors :
    A. $f$ est convexe sur l’intervalle $[0;30]$
    B. $f$ est concave sur l’intervalle $[5;21]$
    C. $\mathscr{C}$ admet un point d’inflexion au point d’abscisse $13$
    D. Si $f’$ désigne la fonction dérivée de $f$, alors $f’$ est croissante sur l’intervalle $[0;5]$ et sur l’intervalle $[21;30]$
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

Au 1$\ier$ janvier 2018, un arboriculteur possède $5~000$ pommiers. Chaque année:

  • il arrache $4\%$ des pommiers car ils sont endommagés;
  • il replante $300$ nouveaux pommiers.

On modélise la situation par une suite $(u_n)$ où, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ représente le nombre de pommiers possédés par l’arboriculteur au 1$\ier$ janvier de l’année $($2018$+ n)$.
On obtient ainsi une suite $(u_n)$ telle que: $u_0 = 5~000$ et $u_{n+1} = 0,96u_n + 300$, pour tout entier naturel $n$.

  1. Calculer $u_1$ et $u_2$.
    Combien de pommiers possèdera l’arboriculteur au 1$\ier$ janvier 2020 ?
    $\quad$
  2. On définit la suite $\left(v_n\right)$ par $v_n = u_n-7~500$, pour tout entier naturel $n$.
    a. Montrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme $v_0$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
    c. En déduire que, pour tout entier naturel $n$: $u_n = 7~500-2~500 \times 0,96^n$.
    $\quad$
  3. La superficie des terrains de l’arboriculteur lui permet d’avoir au maximum $6~000$ pommiers. L’arboriculteur voudrait savoir en quelle année il devra acquérir un autre terrain pour pouvoir planter de nouveaux pommiers.
    On considère l’algorithme ci-dessous
    $$\begin{array}{|l|l|}
    \hline
    \text{Ligne } 1 &  n\gets 0\\
    \text{Ligne } 2 & u\gets 5~000\\
    \text{Ligne } 3 & \text{Tant que } \ldots\ldots\\
    \text{Ligne } 4 & \hspace{1cm} n \gets n+1\\
    \text{Ligne } 5 & \hspace{1cm} u \gets \ldots\ldots\\
    \text{Ligne } 6 & \text{Fin tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    a. Recopier et compléter les lignes 3 et 5 de cet algorithme afin qu’il réponde à la problématique énoncée ci-dessus.
    $\quad$
    b. Quelle est la valeur de la variable $n$ à la fin de l’exécution de l’algorithme? Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  4. Si l’évolution se poursuit toujours selon ce modèle, vers quelle valeur va tendre à terme le nombre de pommiers de cet arboriculteur? Justifier la réponse.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     5 points

Candidats de ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de L

Lors d’une course cyclosportive, $70\%$ des participants sont licenciés dans un club, les autres ne sont pas licenciés.
Aucun participant n’abandonne la course.

  • Parmi les licenciés, $66\%$ font le parcours en moins de 5 heures; les autres en plus de 5 heures.
  • Parmi les non licenciés, $83\%$ font le parcours en plus de 5 heures; les autres en moins de 5 heures.

On interroge au hasard un cycliste ayant participé à cette course et on note:

  • $L$ « le cycliste est licencié dans un club » et $\conj{L}$ son évènement contraire,
  • $M$ l’évènement « le cycliste fait le parcours en moins de 5 heures » et $\conj{M}$ son évènement contraire.
  1. À l’aide des données de l’énoncé préciser les valeurs de $P(L)$, $P_L(M)$ et $P_{\conj{L}}\left (\conj{M}\right )$.
    $\quad$
  2. Recopier et compléter l’arbre pondéré suivant représentant la situation.

    $\quad$
  3. Calculer la probabilité que le cycliste interrogé soit licencié dans un club et ait réalisé le parcours en moins de 5 heures.
    $\quad$
  4. Justifier que $P(M) = 0,513$.
    $\quad$
  5. Un organisateur affirme qu’au moins $90\%$ des cyclistes ayant fait le parcours en moins de 5 heures sont licenciés dans un club. A-t-il raison? Justifier la réponse.
    $\quad$
  6. Un journaliste interroge indépendamment dix cyclistes au hasard. On note $X$ la variable aléatoire qui donne, parmi les dix cyclistes interrogés, le nombre de cyclistes ayant fait le parcours en moins de cinq heures. On suppose le nombre de cyclistes suffisamment important pour assimiler le choix de dix cyclistes à un tirage aléatoire avec remise.
    a. Quelle est la loi de probabilité suivie par $X$?
    $\quad$
    b. Calculer la probabilité, arrondie au millième, qu’exactement quatre des dix cyclistes aient réalisé le parcours en moins de cinq heures.
    $\quad$
    c. Calculer la probabilité, arrondie au millième, qu’au plus trois des dix cyclistes aient réalisé le parcours en moins de cinq heures?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     5 points

Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment.

Partie A

Une course cyclosportive propose deux parcours: un grand de $130$ kilomètres et un petit de $70$ kilomètres.
L’étude ci-après porte sur les cyclistes fidèles qui participent tous les ans à cette épreuve.

En 2018, $42\%$ des cyclistes ont fait le grand parcours, les autres le petit.

Ces dernières années, les organisateurs ont constaté que:

  • $90\%$ des cyclistes ayant fait le grand parcours une année se réinscrivent pour ce même parcours l’année suivante; les autres s’inscrivent pour faire le petit parcours.
  • $15\%$ des cyclistes ayant fait le petit parcours une année s’inscrivent sur le grand parcours l’année suivante; les autres restent fidèles au petit parcours.

On note $G$ l’état: « le cycliste fait le grand parcours », $S$ l’état : « le cycliste fait le petit parcours » et $P_n = \begin{pmatrix} g_n & s_n\end{pmatrix}$ désigne la matrice ligne donnant la probabilité, pour un cycliste, de participer respectivement au grand et au petit parcours lors de la course de l’année $($2018$+ n)$.

  1. Représenter la situation à l’aide d’un graphe probabiliste de sommets $G$ et $S$.
    $\quad$
  2. Recopier et compléter la matrice de transition $M$ de ce graphe en respectant l’ordre des sommets $G$ puis $S$:
    $$M= \begin{pmatrix} 0,9 & \ldots \\ \ldots & \ldots \end{pmatrix}$$
    $\quad$
  3. Déterminer l’état initial $P_0$ et l’état $P_1$.
    En déduire le pourcentage de cyclistes qui, selon ce modèle, participeront au grand parcours en 2019.
    $\quad$
  4. On note $P = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix}$ la matrice associée à l’état stable de ce graphe.
    a. Calculer $x$ et $y$ en résolvant un système.
    $\quad$
    b. Selon ce modèle, peut-on dire qu’à long terme le grand parcours aura plus de succès que le petit?
    $\quad$

Partie B

Au village départ de cette course cyclosportive, les différents stands présents sont:

  • le stand des vélos de routes $(R)$,
  • le stand des VTT $(T)$,
  • le stand des BMX $(B)$,
  • le stand de l’habillement $(H)$,
  • le stand des compteurs et GPS $(C)$,
  • le stand des accessoires et pièces détachées $(A)$.

Le graphe ci-dessous représente le plan du village départ: les sommets correspondent aux stands et les arêtes aux allées qui les relient.

  1. Ce graphe est-il complet ? Est-il connexe ? Justifier les réponses.
    $\quad$
  2. Un cycliste peut-il visiter tous les stands en empruntant une et une seule fois chacune des allées? Justifier la réponse. Si oui, donner un trajet possible en précisant le stand de départ et celui d’arrivée.
    $\quad$

$\quad$

 

Exercice 4     6 points

Partie A

La courbe $(\mathscr{C})$ ci-dessous, associée à une fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0;19]$, représente l’audience journalière d’une chaîne de télévision entre le 1$\ier$ janvier 2000 (année numéro $0$) et le 1$\ier$ janvier 2019 (année numéro $19$), c’est-à-dire le nombre quotidien de téléspectateurs, en milliers.

 

Ainsi, le 1$\ier$ janvier 2000 la chaîne a été regardée par environ $460~000$ téléspectateurs.

  1. Décrire l’évolution de l’audience journalière de cette chaîne de télévision entre le 1$\ier$ janvier 2000 et le 1$\ier$ janvier 2019.
    $\quad$
  2. Donner une valeur approchée du nombre de téléspectateurs le 1$\ier$ janvier 2014.
    $\quad$
  3. La droite $(AB)$, où les points $A$ et $B$ ont pour coordonnées $A(0;460)$ et $B(3; 82)$, est la tangente à la courbe $(\mathscr{C})$ au point $A$.
    Déterminer la valeur de $f'(0)$ où $f’$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$ représentée par $(\mathscr{C})$?
    $\quad$

Partie B

On cherche maintenant à prévoir l’évolution de l’audience de cette chaîne de télévision lors des dix prochaines années.
On considère que le nombre journalier (exprimé en milliers) de téléspectateurs de la chaîne est modélisé par la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0;29]$ par: $$f(x)= (20 x^2-80 x + 460) \e^{-0,1x}$$
où $x$ représente le nombre d’années depuis 2000 (par exemple $x = 19$ pour l’année 2019).

  1. Donner une valeur approchée au millier du nombre de téléspectateurs de la chaîne le 1$\ier$ janvier 2014.
    $\quad$
  2. On note $f’$ la fonction dérivée de $f$ sur l’intervalle $[0;29]$.
    a. Démontrer que $f’$ est définie par: $$f'(x)= (-2 x^2 +48 x-126) \e^{-0,1x}$$
    $\quad$
    b. On considère l’équation: $-2 x^2 +48 x-126=0$.
    Un logiciel de calcul formel donne:
    $$\begin{array}{|l|l|}
    \hline
    \textbf{Instruction:} & \textbf{Résultat:}\\
    \hline
    \text{Solve}(-2 x^2+48 x-126=0) & \hspace{2.5cm} 3 \text{ et } 21\\
    \hline
    \end{array}$$
    Retrouver ce résultat par le calcul.
    $\quad$
    c. En déduire le signe de $f'(x)$ sur l’intervalle $[0;29]$ et construire le tableau des variations de $f$ sur l’intervalle $[0;29]$. Arrondir les éléments du tableau à l’unité.
    $\quad$
    d. Le nombre journalier de téléspectateurs de cette chaîne de télévision dépassera-t-il la barre du million avant l’année 2029? Justifier.
    $\quad$
  3. Montrer que l’équation $f(x) = 800$ admet une unique solution $\alpha$ dans l’intervalle $[3;21]$. Déterminer un encadrement d’amplitude $1$ de $\alpha$.
    Au cours de quelle année le nombre journalier de téléspectateurs de la chaîne de télévision dépassera-t-il $800~000$ ?
    $\quad$
  4. On admet que la fonction $F$ définie sur l’intervalle $[0;29]$ par: $$F(x)=(-200x^2-3~200x-36~600)\e^{-0,1x}$$
    est une primitive de la fonction $f$.
    Déterminer à mille près l’audience journalière moyenne de téléspectateurs de la chaîne de télévision entre le 1$\ier$ janvier 2018 et le 1$\ier$ janvier 2019.
    $\quad$

$\quad$

Bac ES/L – Métropole – Septembre 2019

Métropole La Réunion – Septembre 2019

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici .

Ex 1

Exercice 1

  1. On a $u_0=225$ et $u_1=\left(1-\dfrac{4}{100}\right)u_0+8=0,96\times 225+8=224$
    $\quad$
  2. Chaque année, $4\%$ des médecins cessent leur activité. Cela signifie donc que $96\%$ des médecins continuent. Cela représente donc $0,96u_n$.
    Chaque année $8~000$ nouveaux médecins ($8$ milliers) s’installent.
    Donc, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}=0,96u_n+8$.
    $\quad$
  3. On obtient l’algorithme suivant :
    $\begin{array}{|l|}
    \hline
    U\leftarrow 225\\
    \text{Pour $N$ allant de $2~019$ à $2~031$} \\
    \hspace{1cm} U\leftarrow 0,96\times U+8\\
    \text{Fin Pour}\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
  4. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=u_n-200\ssi u_n=v_n+200$
    $\begin{align*}
    v_{n+1}&=u_{n+1}-200\\
    &=0,96u_n+8-200\\
    &=0,96u_n-192\\
    &=0,96\left(v_n+200\right)-192\\
    &=0,96v_n+192-192\\
    &=0,96v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,96$ et de premier terme $v_0=u_0-200=25$.
    $\quad$
    b. Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $v_n=25\times 0,96^n$.
    $\quad$
    c. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a :
    $u_n=v_n+200=25\times 0,96^n+200$
    $\quad$
  5. a. Pour tout entier naturel $n$, on a $-0,96^n<0$.
    Par conséquent $u_{n+1}-u_n=-0,96^n<0$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc strictement décroissante.
    $\quad$
    b. Cela signifie que chaque année le nombre de médecins actifs va diminuer.
    $\quad$
  6. a. On veut déterminer l’ensemble des entiers naturels $n$ tels que :
    $\begin{align*} 25\times 0,96^n+200<210&\ssi 25\times 0,96^n<10 \\
    &\ssi 0,96^n<0,4 \\
    &\ssi n\ln 0,96< \ln 0,4\\
    &\ssi n>\dfrac{\ln 0,4}{\ln 0,96}\end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln 0,4}{\ln 0,96}\approx 22,4$.
    L’ensemble solution de l’inéquation est l’ensemble des entiers naturels supérieurs ou égaux à $23$.
    $\quad$
    b. Cela signifie qu’à partir de 2041 il y a aura strictement moins de $210~000$ médecins actifs en France.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. $P(X>14)=P(X>12)-P(12<X<14)=0,5-P(12<X<14)$
    $P(X<11)=P(X<12)-P(11<X<12)=0,5-P(12<X<13)$ car $P(\mu-1<X<\mu)=P(\mu<X<\mu+1)$.
    Donc $P(X<11) \neq P(X>14)$.
    Affirmation A fausse
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est continue sur $\R$ en tant que composée de fonctions continues sur $\R$. Elle admet donc une primitive $F$ définie également sur $\R$.
    Pour tout réel $x$, on a donc $F(x)=\dfrac{5}{-0,3}\e^{-0,3x}+x$
    La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;5]$ est :
    $\begin{align*} m&=\dfrac{1}{5-0}\ds \int_0^5f(x)\dx \\
    &=\dfrac{1}{5}\left(F(5)-F(0)\right) \\
    &=\dfrac{-\dfrac{5}{0,3}\e^{-1,5}+5+\dfrac{5}{0,3}}{5} \\
    &\approx 3,6\end{align*}$
    Affirmation B vraie
    $\quad$
  3. On a $n=180$ et $p=\dfrac{1}{3}$
    Par conséquent $n=180\pg 5$, $np=60\pg 5$ et $n(1-p)=120\pg 5$.
    Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de confiance de $95\%$ de la proportion d’employés intéressé par une telle salle est donc :
    $\begin{align*} I_{180}&=\left[\dfrac{1}{3}-1,96\sqrt{\dfrac{\dfrac{1}{3}\times \dfrac{2}{3}}{180}};\dfrac{1}{3}+1,96\sqrt{\dfrac{\dfrac{1}{3}\times \dfrac{2}{3}}{180}}\right] \\
    &\approx [0,264;0,403]\end{align*}$
    La fréquence observée est $f=\dfrac{72}{180}=0,4 \in I_{180}$
    Affirmation C fausse
    $\quad$
  4. Graphiquement, sur l’intervalle $[1;3]$ la fonction $f$ est décroissante. Cela signifie donc que $f'(x)\pp 0$ sur cet intervalle.
    Or $f’$ est la dérivée seconde de la fonction $F$.
    Par conséquent $F$ est concave sur l’intervalle $[1;3]$.
    Affirmation D fausse
    $\quad$
    Remarque : On pouvait directement conclure quant à la convexité de la fonction $F$ à partir des variations de la fonction $f$.
    $\quad$
  5. $f$ est une fonction polynôme du second degré définie sur l’intervalle $[0;1]$.
    Elle est donc continue sur cet intervalle.
    $\Delta=(-4)^2-4\times 3\times 2=16-24=-8<0$
    Puisque $a=3>0$, la fonction $f$ est donc positive sur l’intervalle $[0;1]$.
    De plus :
    $\begin{align*} \ds \int_0^1 f(x)\dx&=\int_0^1\left(3x^2-4x+2\right)\dx \\
    &=\left[x^3-2x^2+2x\right]_0^1 \\
    &=1-2+2-0\\
    &=1\end{align*}$
    La fonction $f$ est donc une fonction de densité sur l’intervalle $[0;1]$.
    Affirmation E vraie
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A : étude graphique

  1. Graphiquement, une valeur approchée du minimum de la fonction $f$ sur l’intervalle $[1,1;8]$ est $4,3$. Il semble être atteint pour $x=2$.
    $\quad$
  2. La fonction $f$ semble croissante sur l’intervalle $[4;8]$.
    Par conséquent $f'(5)>0$.
    $\quad$
  3. La fonction $f$ est continue et positive sur l’intervalle $[2;4]$.
    L’intégrale cherchée est donc égale à l’aire du domaine compris entre l’axe des abscisses, la courbe et les droites d’équation $x=2$ et $x=4$.
    Ce domaine contient est contenu dans un rectangle de taille $2\times 5$ et contient $8$ carrés unités entiers et deux morceaux de carré dont la somme des aires est supérieure à $1$.
    Par conséquent $9\pp \ds \int_2^4 f(x)\dx \pp 10$.
    $\quad$
  4. Il semblerait que sur l’intervalle $[6;8]$ la courbe se situe sous ses tangentes. La fonction $f$ serait donc concave sur cet intervalle.
    La fonction $f$ ne semble donc pas convexe sur l’intervalle $[1,1;8]$.
    $\quad$

Partie B : étude analytique

  1. D’après l’énoncé la fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[1,1;8]$.
    Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[1,1;8]$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{2\ln(x)-\dfrac{1}{x}(2x-1)}{\left(\ln(x)\right)^2} \\
    &=\dfrac{2\ln(x)-2+\dfrac{1}{x}}{\left(\ln(x)\right)^2}\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. La fonction $h$ est dérivable sur l’intervalle $[1,1;8]$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x$ de l’intervalle $[1,1;8]$ on a :
    $h'(x)=2\times \dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{2x-1}{x^2}$
    $\quad$
    b. $x^2>0$ sur l’intervalle $[1,1;8]$.
    De plus $2x-1=0 \ssi x=\dfrac{1}{2}$ et $2x-1>0 \ssi 2x>1\ssi x>\dfrac{1}{2}$.
    Par conséquent $h'(x)>0$ sur l’intervalle $[1,1;8]$.
    La fonction $h$ est donc strictement croissante sur l’intervalle $[1,1;8]$.
    $\quad$
    c. La fonction $h$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur l’intervalle $[1,1;8]$.
    On a $h(1,1)\approx -0,9<0$ et $h(8)\approx 2,3>0$
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires l’équation $h(x)=0$ possède une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[1,1;8]$.
    D’après la calculatrice on a $h(2)\approx -0,11$ et $h(3)\approx 0,53$.
    Donc $2<\alpha<3$.
    $\quad$
  3. Cela signifie donc que :
    $\bullet$ $h(x)<0$ sur l’intervalle $[1,1;\alpha[$;
    $\bullet$ $h(\alpha)=0$;
    $\bullet$ $h(x)>0$ sur l’intervalle $]\alpha;8]$.
    $\quad$
  4. Pour tout réel $x$ de l’intervalle $[1,1;8]$ on a $f'(x)=\dfrac{h(x)}{\left(\ln(x)\right)^2}$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $h(x)$.
    D’après la question précédente, cela signifie alors que la fonction $h$ est strictement décroissante sur l’intervalle $[1,1;\alpha]$ et strictement croissante sur l’intervalle $[\alpha;8]$.
    $\quad$

 

Ex 4 obl

Exercice 4

Partie A

  1. On a $P(R)=0,32$ et $P_A(R)=0,25$.
    $\quad$
  2. On obtient donc l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  3. D’après l’arbre pondéré on a $P(A\cap R)=0,53\times 0,25=0,132~5$.
    La probabilité que le client ait plus de 50 ans et soit intéressé par des placements dits risqués est $0,132~5$.
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_R(A)&=\dfrac{P(A\cap R)}{P(R)} \\
    &=\dfrac{0,132~5}{0,32} \\
    &\approx 0,414\end{align*}$
    Sachant que le client est intéressé par des placements dits risqués, quelle est la probabilité qu’il ait plus de 50 ans est environ égale à $0,414$.
    $\quad$
  5. D’après la formule des probabilités totales, on a :
    $\begin{align*} &P(R)=P(A\cap R)+P\left(\conj{A}\cap R\right) \\
    \ssi & 0,32=0,132~5+P\left(\conj{A}\cap R\right) \\
    \ssi & P\left(\conj{A}\cap R\right) =0,187~5\end{align*}$
    La probabilité que le client ait moins de 50 ans et soit intéressé par des placements dits risqués est $0,187~5$.
    $\quad$
    $\begin{align*} P_{\conj{A}}(R)&=\dfrac{P\left(\conj{A}\cap R\right) }{P\left(\conj{A}\right)} \\
    &=\dfrac{0,187~5}{0,47} \\
    &\approx 0,399\end{align*}$
    La probabilité que le client soit intéressé par des placements dits risqués sachant qu’il a moins de 50 ans est environ égale à $0,399$.
    $\quad$

Partie B

  1. On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de clients faisant un placement $R_1$.
    On effectue donc $45$ tirages aléatoires, identiques et indépendants. À chaque tirage il n’y a que deux issues : $R_1$ et $\conj{R_1}$. De plus $P\left(R_1\right)=0,23$.
    La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=45$ et $p=0,23$.
    a. Par conséquent $P(X=10)=\ds \binom{45}{10}0,23^{10}\times (1-0,23)^{45-10}\approx 0,141$.
    La probabilité que Camille place le produit R1 auprès de 10 clients exactement ce mois-ci est environ égale à $0,141$.
    $\quad$
    b. $P(X\pg 15)=1-P(X\pp 14)\approx 0,075$
    La probabilité que Camille ait $300$ € de prime est environ égale à $0,075$.
    $\quad$
    c. $P(10\pp X\pp 14)=P(X\pp 14)-P(X\pp 9) \approx 0,532$
    La probabilité que Camille ait 150( exactement de prime est environ de $0,532$.
    $\quad$
  2. On appelle $x$ le taux d’intérêt annuel moyen du placement $R_1$ sur ces $5$ dernières années.
    On a donc :
    $\begin{align*} \left(1+\dfrac{x}{100}\right)^5=1+\dfrac{30}{100} &\ssi 1+\dfrac{x}{100}=1,3^{1/5} \\
    &\ssi \dfrac{x}{100}=1,3^{1/5}-1 \\
    &\ssi x=100\left(1,3^{1/5}-1\right)\end{align*}$
    Par conséquent $x\approx 5,39$.
    Le taux d’intérêt annuel moyen du placement $R_1$ sur ces $5$ dernières années est environ égal à $5,39\%$.
    $\quad$

 

 

Ex 4 spé

Exercice 4

  1. Le cycle $N-K-I-H-L-M-G-E-F-J-N$ contient tous les sommets du graphe.
    Deux sommets quelconque du graphe sont donc reliés par une chaîne.
    Le graphe est connexe.
    $\quad$
  2. Au moins trois sommets ($F$, $G$ et $L$) sont de degrés impairs.
    Le graphe de possède donc pas de chaîne eulérienne.
    Louisa a donc raison.
    $\quad$
  3. a. Le sommets $E$ et $I$ ne sont pas adjacents. Donc $a=0$.
    Les sommets $K$ et $I$ sont adjacents. Donc $b=1$ et $c=1$.
    $\quad$
    b. Le coefficient ${M^3}_{2,8}=4$.
    Il existe donc exactement $4$ chemins de longueur $3$ reliant $F$ à $L$ : $F-E-H-L$, $F-J-M-L$, $F-G-H-L$ et $F-G-M-L$
    $\quad$
    c. $4+7+8+7+1+4+2+2+5+3=43$.
    $43$ chemins de longueur $3$ partent de $E$.
    $\quad$
    d. Le coefficient $11$ de la matrice $S$ situé à l’intersection de la première ligne et de la troisième colonne signifie que $11$ chemins de longueur $1$, $2$ ou $3$ relient $E$ et $G$.
    $\quad$
  4. a. On utilise l’algorithme de Dijkstra :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    E&F&G&H&I&J&K&L&M&N&\text{Sommet}\\
    \hline
    0&\phantom{12(H)}&\phantom{12(H)}&\phantom{12(H)}&\phantom{12(H)}&\phantom{12(H)}&\phantom{12(H)}&\phantom{12(H)}&\phantom{12(H)}&\phantom{12(H)}&E\\
    \hline
    \phantom{12(H)}&5(E)&3(E)&6(E)&&&&&&&G\\
    \hline
    &5(E)&&5(G)&&9(G)&&&11(G)&&F\\
    \hline
    &&&5(G)&&9(G)&&&11(G)&&H\\
    \hline
    &&&&12(H)&9(G)&&9(H)&11(G)&&J\\
    \hline
    &&&&12(H)&&&9(H)&11(G)&17(J)&L\\
    \hline
    &&&&12(H)&&15(L)&&10(L)&17(J)&M\\
    \hline
    &&&&12(H)&&15(L)&&&15(M)&I\\
    \hline
    &&&&&&15(L)&&&15(M)&K\\
    \hline
    &&&&&&&&&15(M)&N\\
    \hline
    \end{array}$$
    Le chemin le plus rapide ($15$ minutes) que doivent emprunter Louisa et Antoine pour se rendre du restaurant au départ du défilé le plus rapidement possible est $E-G-H-L-M-N$.
    $\quad$
    b. Ils doivent donc quitter le restaurant au plus tard à 15h45 pour assister au début du défilé.
    $\quad$

 

Énoncé

Exercice 1     5 points

En 2018, la France comptait environ $225~000$ médecins actifs. On prévoit que chaque année, $4\%$ des médecins cessent leur activité tandis que $8~000$ nouveaux médecins s’installent.
Pour étudier l’évolution du nombre de médecins en activité dans les années à venir, on modélise la situation par une suite $\left(u_n\right)$. Pour tout entier naturel $n$, le terme $u_n$ représente le nombre de médecins en 2018$+ n$, exprimé en millier.

  1. Donner $u_0$ et calculer $u_1$.
    $\quad$
  2. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} = 0,96u_n + 8$.
    $\quad$
  3. Recopier et compléter l’algorithme suivant afin qu’il calcule, selon cette modélisation, le nombre de médecins que compterait la France en 2031.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    U \gets 225\\
    \text{Pour $N$ allant de $\ldots$  à $\ldots$}\\
    \hspace{1cm}U \gets \ldots\ldots\\
    \text{Fin Pour}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  4. On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie par, pour tout entier naturel $n$ : $$v_n = u_n-200$$
    a. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $0,96$.
    Préciser son terme initial.
    $\quad$
    b. Exprimer, pour tout entier naturel $n$, $v_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
    c. En déduire que pour tout entier naturel $n$, $u_n = 25 \times 0,96^n + 200$.
    $\quad$
  5. On admet que pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1}-u_n = -0,96^n$.
    a. En déduire le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
    b. Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  6. a. Résoudre dans l’ensemble des entiers naturels l’inéquation $$25 \times 0,96^n + 200 < 210$$
    b. Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

Pour chacune des cinq affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée.
Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte. Une absence de réponse n’est pas pénalisée.

  1. Un laboratoire reçoit un lot de prélèvements sanguins et réalise des analyses sur ce lot. On choisit un prélèvement au hasard et on note $X$ la variable aléatoire égale au taux d’hémoglobine dans ce prélèvement. On admet que $X$ suit une loi normale d’espérance $\mu = 12$.
    Pour tout évènement $A$, on note $P(A)$ sa probabilité.
    Affirmation A : $P(X > 14) = P(X < 11)$.
    $\quad$
  2. Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = 5\e^{-0,3x} + 1$.
    Affirmation B : La valeur moyenne de $f$ sur l’intervalle $[0;5]$ est égale à $3,6$, arrondie au dixième.
    $\quad$
  3. Un comité d’entreprise souhaite mettre à disposition des salariés une salle de sport. Son directeur affirme qu’un tiers des employés serait intéressé par une telle salle. On réalise un sondage dans lequel on interroge $180$ employés au hasard, parmi lesquels $72$ se déclarent intéressés.
    Affirmation C : Ce sondage remet en question l’affirmation du directeur.
    $\quad$
  4. Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\R$, dont la courbe représentative est donnée ci-dessous.

    Soit $F$ une primitive de $f$ sur $\R$.
    Affirmation D : La fonction $F$ est convexe sur $[1;3]$.
    $\quad$

  5. Soit $f$ la fonction définie sur $[0;1]$ par $f(x) = 3x^2-4x + 2$.
    Affirmation E : $f$ est une fonction de densité sur $[0;1]$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     5 points

La courbe $\mathscr{C}_f$ ci-dessous est la courbe représentative d’une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur l’intervalle $[1,1;8]$.

 

Les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante.

Partie A : étude graphique

  1. Donner une valeur approchée du minimum de la fonction $f$ sur l’intervalle $[1,1;8]$
    $\quad$
  2. Quel est le signe de $f'(5)$ ? Justifier.
    $\quad$
  3. Encadrer l’intégrale $\ds\int_2^4 f(x)\dx$ par deux entiers consécutifs.
    $\quad$
  4. La fonction $f$ est-elle convexe sur $[1,1;3]$ ? Justifier.
    $\quad$

Partie B : étude analytique

On admet que $f$ est la fonction définie sur l’intervalle $[1,1;8]$ par $$f(x) = \dfrac{2x-1}{\ln (x)}$$

  1. Montrer que, pour tout réel $x$ de l’intervalle $[1,1;8]$, on a : $$f'(x) = \dfrac{2\ln (x)-2 + \dfrac{1}{x}}{(\ln (x))^2}$$
    $\quad$
  2. Soit $h$ la fonction définie sur $[1,1;8]$ par : $h(x) = 2\ln (x)-2 + \dfrac{1}{x}$.
    a. Soit $h’$ la fonction dérivée de $h$ sur l’intervalle $[1,1; 8]$.
    Montrer que, pour tout réel $x$ de l’intervalle $[1,1;8]$, $$h'(x) = \dfrac{2x-1}{x^2}$$
    $\quad$
    b. En déduire les variations de la fonction $h$ sur l’intervalle $[1,1;8]$.
    $\quad$
    c. Montrer que l’équation $h(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[1,1;8]$. Donner un encadrement de $\alpha$ par deux entiers consécutifs.
    $\quad$
  3. Déduire des résultats précédents le signe de $h(x)$ sur l’intervalle $[1,1;8]$.
    $\quad$
  4. À l’aide des questions précédentes, donner les variations de $f$ sur $[1,1;8]$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     5 points

Candidats de ES n’ayant pas suivi la spécialité ou candidats de L

Pour tous évènements $E$ et $F$, on note $\conj{E}$ l’évènement contraire de $E$, $p(E)$ la probabilité de $E$ et, si $F$ est de probabilité non nulle, $P_F(E)$ la probabilité de $E$ sachant $F$.
On arrondira les résultats au millième si besoin.

Partie A

Pour mieux cerner le profil de ses clients, une banque réalise un sondage qui permet d’établir que :

  • $53\%$ de ses clients ont plus de 50 ans;
  • $32\%$ de ses clients sont intéressés par des placements dits risqués ;
  • $25\%$ de ses clients de plus de 50 ans sont intéressés par des placements dits risqués.

On choisit au hasard un client de cette banque et on considère les évènements suivants:

  • $A$ : « Le client a plus de 50 ans » ;
  • $R$ : « Le client est intéressé par des placements dits risqués ».
  1. Donner $P(R)$ et $P_A(R)$.
    $\quad$
  2. Représenter la situation par un arbre pondéré. Cet arbre pourra être complété par la suite.
    $\quad$
  3. Montrer que la probabilité que le client ait plus de $50$ ans et soit intéressé par des placements dits risqués est $0,132~5$.
    $\quad$
  4. Sachant que le client est intéressé par des placements dits risqués, quelle est la probabilité qu’il ait plus de $50$ ans ?
    $\quad$
  5. Calculer $P\left(\conj{A} \cap R\right)$ puis en déduire $P_{\conj{A}}(R)$.
    Interpréter les deux résultats obtenus.
    $\quad$

Partie B

L’une des agences de cette banque charge ses conseillers de proposer un placement dit risqué, $R_1$ à tous ses clients.
Elle promet à ses conseillers une prime de $150$ € s’ils convainquent au moins $10$ clients d’effectuer ce placement en un mois et une prime supplémentaire de $150$ € s’ils convainquent au moins $15$ clients d’effectuer ce placement en un mois.
L’une des conseillères de cette banque, Camille, reçoit $45$ clients ce mois-ci.

  1. On admet que la probabilité que Camille réussisse à placer ce produit auprès de l’un de ses clients est de $0,23$ et que la décision d’un client est indépendante de celles des autres clients.
    a. Déterminer la probabilité que Camille place le produit $R_1$ auprès de $10$ clients exactement ce mois-ci.
    $\quad$
    b. Calculer la probabilité que Camille ait $300$ € de prime.
    $\quad$
    c. Montrer que la probabilité que Camille ait $150$ € exactement de prime est environ de $0,532$.
    $\quad$
  2. Le placement $R_1$ a rapporté $30\%$ d’intérêt sur les $5$ dernières années.
    Calculer le taux d’intérêt annuel moyen du placement $R_1$ sur ces $5$ dernières années.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     5 points

Candidats de ES ayant suivi la spécialité

Deux amis, Louisa et Antoine, passent la journée dans un parc d’attraction.

Le plan du parc est donné par le graphe $\Gamma$ ci-dessous. Les arêtes de ce graphe représentent les allées du parc et les sommets correspondent aux intersections de ces allées. On a pondéré les arêtes de ce graphe par les temps de parcours en minutes.

 

  1. Le graphe est-il connexe ? Justifier.
    $\quad$
  2. Antoine prétend avoir trouvé un itinéraire permettant d’emprunter chaque allée une et une seule fois mais Louisa lui répond que c’est impossible.
    Lequel des deux a raison ? Justifier la réponse.
    $\quad$
  3. On considère la matrice $M$ ci-dessous ($a$, $b$ et $c$ sont des entiers).
    $$M = \begin{pmatrix}
    0 &1 &1 &1 &a &0 &0 &0 &0 &0\\
    1 &0 &1 &0 &0 &1 &0 &0 &0 &0\\
    1 &1 &0 &1 &0 &1 &0 &0 &1 &0\\
    1 &0 &1& 0 &1 &0 &0 &1 &0 &0\\
    0 &0 &0 &1 &0&0 &c &0 &0 &0\\
    0 &1 &1 &0 &0 &0 &0 &0 &1 &1\\
    0 &0 &0 &0 &b &0 &0 &1 &0 &1\\
    0 &0 &0 &1 &0 &0 &1 &0 &1 &0\\
    0 &0 &1 &0 &0 &1 &0 &1 &0 &1\\
    0 &0 &0 &0 &0 &1 &1 &0 &1 &0\\
    \end{pmatrix}$$
    a. Déterminer les entiers $a$, $b$ et $c$ pour que la matrice $M$ représente la matrice d’adjacence associée au graphe $\Gamma$, les sommets étant pris dans l’ordre alphabétique.
    Soit $S$ la matrice définie par : $S = M + M^2 + M3$.
    On admet que :
    $$M^3 = \begin{pmatrix}
    4 &7 &8 &7 &1 &4 &2 &2 &5 &3\\
    7 &4 &9 &3 &2 &8 &1 &4 &4 &3\\
    8 &9 &8 &10 &1 &10 & 5 &2 &11 &3\\
    7 &3 &10 &2 &6 &5 &0 &8 &2 &5\\
    4 &8 &10 &5 &2 &6 &2 &4 &8 &7\\
    2 &1 &5 &0 &5 &2 &0 &7 &1 &6\\
    2 &4 &2 &8 &0 &4 &7 &0 &8 &1\\
    5 &4 &11 &2 &4 &8 &1 &8 &4 &8\\
    3 &3 &3 &5 &0 &7 &6 &1 &8 &2\\
    \end{pmatrix}$$
    $$\text{et } S = \begin{pmatrix}
    7 &9 &11 &9 &2 &6 &2 &3 &6 &3\\
    9 &7 &12 &5 &2 &10 &1 &4 &6 &4\\
    11 &12 &13 &12 &2 &13 &5 &4 &13 &5\\
    9 &5 &12 &6 &7 &6 &2 &9 &4 &5\\
    2 &2 &2 &7 &2 &2 &6 &2 &4 &1\\
    6 &10 &13 &6 &2 &10 &3 &5 &11 &9\\
    2 &1 &5 &2 &6 &3 &3 &8 &3 &7\\
    3 &4 &4 &9 &2 &5 &8 &3 &9 &3\\
    6 &6 &13 &4 &4 &11 &3 &9 &8 &10\\
    3 &4 &5 &5 &1 &9 &7 &3 &10 &5\\
    \end{pmatrix} $$
    b. Déterminer, en justifiant, le nombre de chemins de longueur $3$ reliant $F$ à $L$.
    Préciser ces chemins.
    c. Déterminer, en justifiant, le nombre de chemins de longueur $3$ partant de $E$.
    $\quad$
    d. Que signifie le coefficient à l’intersection de la première ligne et de la troisième colonne de $S$ ?
    $\quad$
  4. Un défilé part tous les jours à $14$ h du sommet $N$. Louisa et Antoine choisissent de déjeuner dans un restaurant situé au sommet $E$ avant d’aller admirer le défilé.
    a. À l’aide d’un algorithme, déterminer le chemin que doivent emprunter Louisa et Antoine pour se rendre du restaurant au départ du défilé le plus rapidement.
    $\quad$
    b. À quelle heure au plus tard doivent-ils quitter le restaurant pour assister au début du défilé ?
    $\quad$

$\quad$

Bac ES/L – Antilles Guyane – Septembre 2019

Antilles Guyane – Septembre 2019

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici .

Ex 1

Exercice 1

  1. Sur l’intervalle $]-1;+\infty[$
    $\begin{align*} \ln 5+\ln(x+1)=1&\ssi \ln\left(5(x+1)\right)=\ln \e \\
    &\ssi 5(x+1)=\e \\
    &\ssi x+1=\dfrac{\e}{5} \\
    &\ssi x=\dfrac{\e}{5}-1\end{align*}$
    Réponse c
    $\quad$
  2. Pour tout réel $x>0$ on a :
    $f'(x)=2\times \dfrac{1}{x}-1$
    Donc $f'(2)=2\times \dfrac{1}{2}-1=0$
    Réponse b
    $\quad$
  3. On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ vérifiant :
    $\begin{align*} 2^n>175&\ssi n\ln 2>\ln 175 \\
    &\ssi n>\dfrac{\ln 175}{\ln 2}\end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln 175}{\ln 2}\approx 7,45$
    Ainsi, le plus petit entier naturel $n$ cherché est $8$.
    Réponse c
    $\quad$
  4. $f’$ est la dérivée seconde de la fonction $F$.
    $f'(x)>0$ sur l’intervalle $[-3;-1]$ donc $F$ est convexe sur cet intervalle.
    Réponse c
    $\quad$

 

Ex 2 obl

Exercice 2

Partie A

La situation peut être représentée à l’aide de cet arbre pondéré :

  1. On veut calculer $P(A\cap C)=\dfrac{900}{1~500}\times 0,95=0,57$
    La probabilité que le flacon provienne du site A et ait un aspect conforme au cahier des charges est égale à $0,57$.

    $\quad$

  2. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*}P(C)&=P(A\cap C)+P(B\cap C) \\
    &=0,57+\dfrac{600}{1~500}\times 0,92 \\
    &=0,938\end{align*}$

    La probabilité que le flacon ait un aspect conforme au cahier des charges est $0,938$.

    $\quad$

  3. On veut calculer :
    $\begin{align*}P_{\conj{C}}(B)&=\dfrac{P\left(B\cap \conj{C}\right)}{P\left(\conj{C}\right)} \\
    &=\dfrac{\dfrac{600}{1~500}\times 0,08}{1-0,938}\\
    &\approx 0,516\end{align*}$

    La probabilité que le flacon provienne du site B sachant qu’il un aspect non conforme est environ égale à $0,516$.
    $\quad$

Partie B

On a :
$\begin{align*}P(X\pg 98)&=P(98\pp X\pp 100)+P(X\pg 100) \\
&=P(98\pp X\pp 100)+0,5 \\
&\approx 0,977\end{align*}$

La probabilité qu’un flacon prélevé au hasard soit correctement rempli est environ égale à $0,977$.
$\quad$
Partie C
On a $n=120$ et $p=0,96$
Ainsi $n=120\pg 30$, $np=115,2 \pg 5$ et $n(1-p)=4,8<5$
Normalement, on ne peut pas utiliser les formules vues en terminales sur les intervalles de fluctuation asymptotique à $95\%$.
On considère la variable aléatoire $X$ qui suit la loi binomiale de paramètres $n=120$ et $p=0,96$ comptant le nombre de flacons correctement remplis.
On doit donc chercher les plus petites valeurs de $a$ et $b$ telles que $P(X\pp a)>0,025$ et $P(X\pp b)\pg 0,975$.
À l’aide de la calculatrice, on trouve $a=111$ et $b=119$
On obtient ainsi l’intervalle de fluctuation (pas asymptotique, attention) au seuil de $95\%$ :
$\begin{align*} I_{120}&=\left[\dfrac{111}{120};\dfrac{119}{120}\right] \\
&\approx [0,925;0,992]\end{align*}$
La fréquence observée est $f=\dfrac{120-18}{120}=0,85 \notin I_{120}$.
Au risque d’erreur de $95\%$, l’affirmation du producteur est fausse.
$\quad$
Si la vérification des conditions n’a pas été faite au préalable, voici les résultats obtenus (mais faux!).
Un intervalle de fluctuation asymptotique, au seuil de $95\%$,  de la proportion de flacons correctement remplis est :
$\begin{align*} I_{120}&=\left[0,96-1,96\sqrt{\dfrac{0,96\times 0,04}{120}};0,96+1,96\sqrt{\dfrac{0,96\times 0,04}{120}}\right] \\
&\approx [0,924;0,996]\end{align*}$
La fréquence observée est $f=\dfrac{120-18}{120}=0,85 \notin I_{120}$.
Au risque d’erreur de $95\%$, l’affirmation du producteur est fausse.
$\quad$

 

Ex 2 spé

Exercice 2

  1. Nous allons déterminer le degré des sommets.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Sommet}&A&B&C&D&E&F&G\\
    \hline
    \text{Degré}&5&4&4&2&4&5&2\\
    \hline
    \end{array}$
    Exactement deux sommets de ce graphe connexe sont de degré impair.
    Il est donc impossible de construire un cycle eulérienne.
    Le chasse-neige ne peut pas, par conséquent, partir de la station $G$ et y revenir en parcourant une et une seule fois chacune des routes.
    $\quad$
  2. D’après la question précédente, le graphe connexe possède une chaîne eulérienne.
    Elle peut donc parcourir une et une seule fois chacune des routes pour traiter l’ensemble du secteur.
    $\quad$
  3. Le nombre $10$ signifie qu’il existe $10$ exactement chemins permettant de relier les sommets $G$ et $D$ en $4$ étapes.
    $\quad$
  4. Nous allons utiliser l’algorithme de Dijsktra.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    A&B&C&D&E&F&G&\text{Sommet}\\
    \hline
    \phantom{111(A)}&\phantom{111(A)}&\phantom{111(A)}&\phantom{111(A)}&\phantom{111(A)}&\phantom{111(A)}&0&G\\
    \hline
    14(G)&38(G)&&&&&\phantom{111(A)}&A\\
    \hline
    &38(G)&78(A)&&49(A)&106(A)&&B\\
    \hline
    &&78(A)&&49(A)&106(A)&&E\\
    \hline
    &&78(A)&111(E)&&72(E)&&F\\
    \hline
    &&78(A)&89(F)&&&&C\\
    \hline
    &&&89(F)&&&&D\\
    \hline
    \end{array}$$
    Le parcours le plus rapide est $G-A-E-F-D$. Il faut $89$ minutes pour aller de la station $G$ à la station $D$.
    $\quad$
  5. Le parcours le plus rapide, dans ce cas, est $G-A-E-D$. Il mettrait alors $111$ minutes.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. a. On a $u_1=(1-0,2)\times u_0+600=0,8\times 10~000+600=8~600$
    et $u_2=0,8\times 8~600+600=7~480$
    $\quad$
    b. Il coupe $20\%$ des arbres chaque année. Cela signifie donc qu’il en conserve $80\%$, ce qui représente $0,8u_n$.
    Chaque année, il plante également $600$ nouveaux pieds d’arbre.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=0,8\times u_n+600$.
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=u_n-3~000 \ssi u_n=v_n+3~000$.
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-3~000 \\
    &=0,8u_n+600-3~000\\
    &=0,8u_n-2~400\\
    &=0,8\left(v_n+3~000\right)-2~400\\
    &=0,8v_n+2~400-2~400\\
    &=0,8v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,8$ et de premier terme $v_0=u_0-3~000=7~000$.
    $\quad$
    b. Cela signifie donc que, pour tout entier naturel $n$, on a $v_n=7~000\times 0,8^n$.
    $\quad$
    c. Par conséquent $u_n=v_n+3~000=7~000\times 0,8^n+7~000$.
    $\quad$
    d. $0<0,8<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,8^n=0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=3~000$.
    Si le réaménagement de cette parcelle se poursuit selon ce même modèle, il y aura $3~000$ arbres sur la parcelle sur le long terme.
    $\quad$

Partie B

  1. Dans l’algorithme 1, comme la condition de la boucle est $U\pp 4~000$, on ne rentre jamais dans celle-ci.
    Dans l’algorithme 2, il ne faut élever $0,8$ à la puissance $N$ (il s’agit d’un mélange entre la formule par récurrence et la formule explicite de $u_n$).
    $\quad$
  2. On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
    $\begin{align*} u_n\pp 4~000&\ssi 7~000\times 0,8^n+3~000 \pp 4~000 \\
    &\ssi 7\times 0,8^n+3\pp 4 \\
    &\ssi 7\times 0,8^n\pp 1 \\
    &\ssi 0,8^n \pp \dfrac{1}{7} \\
    &\ssi n\ln 0,8 \pp \ln \dfrac{1}{7} \\
    &\ssi n \pg \dfrac{\ln \dfrac{1}{7}}{\ln 0,8}\end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln \dfrac{1}{7}}{\ln 0,8} \approx 8,7$.
    La plus petite valeur de $n$ cherchée est donc $9$.
    C’est donc en 2027 qu’il devra cesser cesser son plan de réaménagement.
    $\quad$

 

 

Ex 4

Exercice 4

Partie A

  1. La droite $\mathscr{D}$ passe par les points $O(0;0)$ et $A(0,5;1)$.
    $0\neq 0,5$ par conséquent le coefficient directeur de cette droite est :
    $a=\dfrac{1-0}{0,5-0}=2$.
    La droite $\mathscr{D}$ passant par l’origine du repère a alors pour équant $y=2x$.
    $\quad$
  2. La tangente $T$ est horizontale. Par conséquent $f'(1)=0$.
    $\quad$
  3. La fonction $f$ semble concave sur l’intervalle $[0;1,75]$. La courbe $\mathscr{C}$ semble en effet située sous ses tangentes sur cet intervalle.
    $\quad$

Partie B

  1. a. D’après l’énoncé la fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[0;3]$.
    Pour tout réel $x$ de cet intervalle, on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=2\e^{-0,5x^2}+2x\times (-0,5\times 2x)\e^{-0,5x^2} \\
    &=(2-2x^2)\e^{-0,5x^2}\end{align*}$
    $\quad$
    b. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $2-2x^2$.
    Mais $2-2x^2=2\left(1-x^2\right)=2(1-x)(1+x)$
    Sur l’intervalle $[0;3]$, on a $1+x>0$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $1-x$.
    Or $1-x=0 \ssi x=1$
    et $1-x>0 \ssi -x>-1 \ssi x<1$.
    On obtient donc le tableau de variations suivant :
    $\quad$
  2. La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;3]$ est :
    $\begin{align*} m&=\dfrac{1}{3-0}\ds \int_0^3 f(x)\dx \\
    &=\dfrac{1}{3}\left(F(3)-F(0)\right) \\
    &=\dfrac{1}{3}\left(2-2\e^{-4,5}\right)\\
    &\approx 0,659\end{align*}$
    $\quad$

Partie C

La fonction $f$ atteint son maximum pour $x=1$ et $f(1)=2\e^{-0,5}\approx 1,21$.
Cela signifie donc qu’environ $1,21$ millions de lits étaient occupés lors du pic de la maladie. La première affirmation est donc vraie.

D’après la question B.2. la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;3]$ est environ égale à $0,659$.
Cela signifie que sur les trois mois d’été, en moyenne, environ $659~000$ lits ont été occupés.
La seconde affirmation est donc fausse.

$\quad$

 

 

Énoncé

Exercice 1     5 points

Les trois parties de l’exercice peuvent être traitées indépendamment.

Une association offre à ses adhérents des paniers de légumes. Chaque adhérent a le choix entre trois tailles de panier :

  • un panier de petite taille;
  • un panier de taille moyenne;
  • un panier de grande taille.

Partie A

L’association envisage de proposer en outre des livraisons d’œufs frais. Pour savoir si ses adhérents sont intéressés, elle réalise un sondage.
On interroge un adhérent au hasard. On considère les évènements suivants :

  • $A$ : « l’adhérent choisit un panier de petite taille »;
  • $B$ : « l’adhérent choisit un panier de taille moyenne »;
  • $C$ : « l’adhérent choisit un panier de grande taille »;
  • $F$ : « l’adhérent est intéressé par une livraison d’œufs frais ».

On dispose de certaines données, qui sont résumées dans l’arbre ci-dessous :

  1. Dans cette question, on ne cherchera pas à compléter l’arbre.
    a. Calculer la probabilité que l’adhérent choisisse un panier de petite taille et soit intéressé par une livraison d’œufs frais.
    $\quad$
    b. Calculer $P\left(B\cap \conj{F}\right)$, puis interpréter ce résultat à l’aide d’une phrase.
    $\quad$
    c. La livraison d’œufs frais ne sera mise en place que si la probabilité de l’évènement $F$ est supérieure à $0,6$. Pourquoi peut-on affirmer que cette livraison sera mise en place ?
    $\quad$
  2. Dans cette question, on suppose que $P(F) = 0,675$.
    a. Démontrer que la probabilité conditionnelle de $F$ sachant $C$, notée $P_C (F)$, est égale à $0,3$.
    $\quad$
    b. L’adhérent interrogé est intéressé par la livraison d’œufs frais.
    Quelle est la probabilité qu’il ait choisi un panier de grande taille ? Arrondir le résultat à $10^{-2}$.
    $\quad$.

Partie B

  1. La masse, en gramme, d’un panier de grande taille peut être modélisée par une variable aléatoire, notée $X$, suivant une loi normale d’espérance $5~000$ et d’écart-type $420$. Un panier de grande taille est déclaré non conforme lorsque sa masse est inférieure à $4,5$ kg.
    On choisit au hasard un panier de grande taille.
    Quelle est la probabilité, arrondie au centième, qu’il soit non conforme ?
    $\quad$
  2. Les responsables de l’association décident de modifier la méthode de remplissage. Avec cette nouvelle méthode, la masse, en gramme, d’un panier de grande taille est désormais modélisée par une variable aléatoire, notée $Y$ , suivant une loi normale d’espérance $5~000$ et d’écart-type $\sigma$. La probabilité qu’un panier de grande taille choisi au hasard soit non conforme est alors de $0,04$.
    Déterminer la valeur de σ arrondie à l’unité.
    $\quad$

Partie C

Depuis plusieurs années, les associations distribuant des produits frais à leurs adhérents se développent dans tout le pays et connaissent un succès grandissant.
Lors d’une émission de radio consacrée à ce sujet, un journaliste annonce que $88 \%$ des adhérents de ces associations sont satisfaits.
Un auditeur intervient dans l’émission pour contester le pourcentage avancé par le journaliste. à l’appui de son propos, l’auditeur déclare avoir réalisé un sondage auprès de $120$ adhérents de ces associations et avoir constaté que, parmi eux, seuls $100$ ont indiqué être satisfaits.
La contestation de l’auditeur est-elle fondée ?
$\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

L’espace est rapporté à un repère orthonormé $\Oijk$.
On considère les points $A(10; 0; 1)$, $B(1; 7; 1)$ et $C(0; 0; 5)$.

  1. a. Démontrer que les droites $(OA)$ et $(OB)$ ne sont pas perpendiculaires.
    $\quad$
    b. Déterminer la mesure, en degré, de l’angle $\widehat{AOB}$, arrondie au dixième.
    $\quad$
  2. Vérifier que $7x +9y-70z = 0$ est une équation cartésienne du plan $(OAB)$.
    $\quad$
  3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(CA)$.
    $\quad$
  4. Soit $D$ le milieu du segment $[OC]$. Déterminer une équation du plan $P$ parallèle au plan $(OAB)$ passant par $D$.
    $\quad$
  5. Le plan $P$ coupe la droite $(CB)$ en $E$ et la droite $(CA)$ en $F$.
    Déterminer les coordonnées du point $F$. On admet que le point $E$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{7}{2};3\right)$.
    $\quad$
  6. Démontrer que la droite $(EF)$ est parallèle à la droite $(AB)$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     5 points

Soit $g$ la fonction définie sur $]0 ; +\infty[$ par $$g (x) = 4x-x\ln x$$
On admet que la fonction $g$ est dérivable sur $]0 ; +\infty[$ et on note $g’$ sa dérivée.

Partie A

Le graphique ci-dessous représente une partie de la courbe représentative de la fonction $g$ obtenue par un élève sur sa calculatrice. Cet élève émet les deux conjectures suivantes :

  • il semble que la fonction g soit positive;
  • il semble que la fonction g soit strictement croissante.

 

L’objectif de cette partie est de valider ou d’invalider chacune de ces conjectures.

  1. Résoudre l’équation $g(x) = 0$ sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$.
    $\quad$
  2. Déterminer le signe de $g(x)$ sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$.
    $\quad$
  3. Les conjectures de l’élève sont-elles vérifiées ?
    $\quad$

Partie B

Dans cette partie, on poursuit l’étude de la fonction $g$.

  1. a. On rappelle que $$\lim\limits_{t\to +\infty} \dfrac{\ln t}{t}=0$$ En déduire que $$\lim\limits_{x\to 0} x\ln x=0$$
    $\quad$
    b. Calculer la limite de $g(x)$ lorsque $x$ tend vers $0$.
    $\quad$
  2. a. Démontrer que, pour tout réel $x$ strictement positif, $g'(x) = 3-lnx$.
    $\quad$
    b. Dresser le tableau de variations de la fonction $g$.
    $\quad$
  3. On désigne par $G$ la fonction définie sur $]0 ; +\infty[$ par $$G(x)=\dfrac{1}{4}x^2(9-2\ln x)$$
    On admet que la fonction $G$ est dérivable sur $]0 ; +\infty[$.
    a. Démontrer que la fonction $G$ est une primitive de la fonction $g$ sur $]0 ; +\infty[$.
    $\quad$
    b. L’affirmation suivante est-elle vraie ?
    « Il n’existe aucun réel $\alpha$ strictement supérieur à $1$ tel que $\ds\int_1^{\alpha} g(x)\dx = 0$. »
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes.

Partie A

Pour chacune des trois affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse.
Il est attribué un point par réponse correctement justifiée. Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte, une absence de réponse n’est pas pénalisée.

  1. On considère la suite $\left(p_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $$p_n=n^2-42n+4$$
    Affirmation 1 : La suite $\left(p_n\right)$ est strictement décroissante.
    $\quad$
  2. Soit $a$ un nombre réel. On considère les suite $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ définies par :
    $\bullet$ $u_0=a$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\dfrac{1}{3}\sqrt{{u_n}^2+8}$.
    $\bullet$ $v_n={u_n}^2-1$ pour tout entier naturel $n$.
    Affirmation 2 : La suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique.
    $\quad$
  3. On considère une suite $\left(w_n\right)$ qui vrifie, pour tout entier naturel $n$, $$n^2 \pp (n+1)^2 w_n \pp n^2+n$$
    Affirmation $3$ : La suite $\left(w_n\right)$ converge.
    $\quad$

Partie B

On considère la suite $\left(U_n\right)$ définie par $u_0=\dfrac{1}{2}$ et, pour tout entier naturel $n$, $$U_{n+1}=\dfrac{2U_n}{1+U_n}$$

  1. Calculer $U_1$ que l’on écrira sous la forme d’une fraction irréductible.
    $\quad$
  2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $$U_n=\dfrac{2^n}{1+2^n}$$
    $\quad$
  3. On considère les trois algorithmes suivants dans lesquels les variables $n$, $p$ et $u$ sont du type nombre. Pour un seul de ces trois algorithmes la variable $u$ ne contient pas le terme $U_n$ en fin d’exécution.
    Déterminer lequel en justifiant votre choix.
    $$\begin{array}{|l|l|l|}
    \hline
    \textbf{Algorithme 1}&\textbf{Algorithme 2}&\textbf{Algorithme 3}\\
    u\leftarrow \dfrac{1}{2}&&\\
    i\leftarrow 0 &u\leftarrow \dfrac{1}{2}&\\
    \text{Tant que }i<n&\text{Pour $i$ allant de $0$ à $n$}&p\leftarrow 2^n\\
    \hspace{1cm} u\leftarrow \dfrac{2u}{u+1}&\hspace{1cm} u\leftarrow \dfrac{2u}{u+1}&u\leftarrow \dfrac{2u}{u+1}\\
    \hspace{1cm} i\leftarrow i+1&\text{Fin Pour}&\\
    \text{Fin Tant que}&&\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Une ville possède deux ports maritimes :

  • un port de plaisance A;
  • un port de commerce B.

Le port de plaisance A n’a pas d’accès direct à l’océan mais est relié au port de commerce B qui, lui, est ouvert sur l’océan. Un passant, installé en terrasse sur le port de plaisance A, jette une bouteille dans l’eau.
À l’instant $0$, la bouteille se trouve dans le port A.
Soit $n$ un entier naturel.
On admet que :

  • quand la bouteille est dans le port A au bout de $n$ heures, la probabilité qu’elle y soit encore l’heure suivante est $\dfrac{3}{5}$;
  • quand la bouteille est dans le port B au bout de $n$ heures, la probabilité qu’elle soit dans le port A l’heure suivante est $\dfrac{1}{10}$ et la probabilité qu’elle se trouve toujours dans le port B l’heure suivante est $\dfrac{1}{15}$;
  • le port A n’ayant pas d’accès direct à l’océan, lorsque la bouteille est dans le port A, elle ne peut pas se trouver dans l’océan l’heure suivante;
  • une fois dans l’océan, la bouteille ne revient jamais dans les ports.

Soient les évènements :

  • $A_n$ : « la bouteille se trouve dans le port A au bout de $n$ heures »;
  • $B_n$ : « la bouteille se trouve dans le port B au bout de $n$ heures »;
  • $C_n$ : « la bouteille se trouve dans l’océan au bout de $n$ heures ».

On note $a_n$, $b_n$ et $c_n$ les probabilités respectives de ces évènements.
Ainsi on a $a_0 = 1$, $b_0 = 0$ et $c_0 = 0$.

  1. a. Compléter l’arbre fourni en ANNEXE à rendre avec la copie.
    $\quad$
    b. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $$\begin{cases} a_{n+1}&=\dfrac{3}{5}a_n+\dfrac{1}{10}b_n\\b_{n+1}&=\dfrac{2}{5}a_n+\dfrac{1}{15}b_n\end{cases}$$
    Soient les matrices suivantes : $$M=\dfrac{1}{30}\begin{pmatrix}18&3\\12&2\end{pmatrix} \text{  et  } U_n=\begin{pmatrix}a_n\\b_n\end{pmatrix}$$
    $\quad$
    c. Démontrer que, pour tout entier strictement positif $n$, $U_n = M^nU_0$.
    $\quad$
  2. a. Donner $U_0$.
    $\quad$
    b. Calculer $M^2$ en détaillant les calculs de l’un des coefficients et en déduire qu’il existe un réel $k$ tel que $M^2 = kM$.
    $\quad$
    c. Démontrer par récurrence que, pour tout entier $n$ strictement positif, $$M^n=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}M$$
    $\quad$
    d. En déduire que, pour tout entier $n$ strictement positif, $$U_n=\begin{pmatrix}\dfrac{3}{5}\times \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}\\\dfrac{2}{5}\times \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}\end{pmatrix}$$
    $\quad$
  3. Soit $n$ un entier strictement positif.
    a. Démontrer que la probabilité que la bouteille soit dans l’océan au bout de $n$ heures est égale à $1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}$.
    $\quad$
    b. On considère l’algorithme ci-dessous : $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    n\leftarrow 1\\
    \text{Tant que }1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}<0,9\\
    \hspace{1cm} n\leftarrow n+1\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline\end{array}$$
    Indiquer sans justification le nombre contenu dans la variable $n$ de cet algorithme à la fin de son exécution.
    Interpréter ce nombre dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

ANNEXE

$\quad$

Bac ES/L – Polynésie – Juin 2019

Polynésie – Juin 2019

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $]0;+\infty[$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=-1,5\times 2x+2x\times \ln(x)+x^2\times \dfrac{1}{x} \\
    &=-3x+2x\ln(x)+x\\
    &=-2x+2x\ln(x)\end{align*}$
    Réponse b
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} 2\times \left(1+\dfrac{x}{100}\right)^{12}=3,5&\ssi \left(1+\dfrac{x}{100}\right)^{12}=1,75 \\
    &\ssi 1+\dfrac{x}{100}=1,75^{1/12}\\
    &\ssi \dfrac{x}{100}=1,75^{1/12}-1\\
    &\ssi x=100\left(1,75^{1/12}-1\right)\end{align*}$
    Ainsi $x\approx 4,77$
    Réponse b
    Remarque : On pouvait également tester les différentes valeurs proposées
    $\quad$
  3. On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de victoires.
    Il y a $13$ tirages identiques, indépendantes et aléatoires. À chaque tirage, il y a deux issues : $S$, “la partie est gagnée” et $\conj{S}$.
    De plus $p(S)=\dfrac{1}{25}=0,04$.
    Ainsi, $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=13$ et $p=0,04$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} P(X\pg 1)&=1-P(X=0) \\
    &=1-(1-0,04)^{13}\\
    &\approx 0,412\end{align*}$
    Réponse b
    $\quad$
  4. Sur l’intervalle $[2;5]$ on a $g(x)\pg 0$.
    La fonction $G$ est donc croissante sur l’intervalle $[2;5]$.
    Réponse c
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. a. On a $p(D)=0,03$, $p_D(C)=0,02$ et $p(C)=0,05$.
    $\quad$
    b. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
    c. On a $p(D\cap C)=0,03\times 0,02=0,000~6$.
    $\quad$
    d. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_C(D)&=\dfrac{p(C\cap D)}{p(C)} \\
    &=\dfrac{0,000~6}{0,05}\\
    &=0,012\end{align*}$
    La probabilité que le téléviseur ait un défaut sur la dalle sachant qu’il un défaut sur le condensateur.
    $\quad$
    e. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(C)=p(C\cap D)+p\left(\conj{D}\cap C\right) &\ssi 0,05=0,000~6+p\left(\conj{D}\cap C\right) \\
    &\ssi p\left(\conj{D}\cap C\right)=0,049~4\end{align*}$.
    $\quad$
  2. a. On a :
    $\begin{align*} P(T\pg 72)&=P(72\pp T\pp 84)+P(T\pg 84) \\
    &=P(72\pp T\pp 84)+0,5\\
    &\approx 0,98\end{align*}$
    La probabilité qu’un téléviseur tombe en panne pour la première dois après $72$ mois d’utilisation est environ égale à $0,98$.
    $\quad$
    b. On veut calculer $P(6\times 12\pp T\pp 8\times 12)\approx 0,95$.
    On pouvait également remarquer qu’on voulait calculer $P(\mu-2\sigma \pp T\pp \mu+2\sigma)$.
    La probabilité que la première panne arrive entre $6$ années et $8$ années.
    $\quad$
    c. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_{T\pg 72}(T\pp 96)&=\dfrac{P(72\pp T\pp 96)}{P(\pg 72)} \\
    &\approx \dfrac{0,95}{0,98}\\
    &\approx 0,97\end{align*}$
    La probabilité que le téléviseur tombe en panne avant $8$ années d’utilisation sachant qu’il n’a pas de panne après $6$ années d’utilisation est environ égale à $0,97$.
    Remarque : Si on n’utilise pas les arrondis trouvés précédemment la probabilité cherchée est environ égale à $0,98$.
    $\quad$

Partie B

On a $n=300$ et $p=0,9$.
Par conséquent $n\pg 30$, $np=270 \pg 5$ et $n(1-p)=30\pg 5$.
Un intervalle de fluctuation au seuil de $95\%$ de la proportion de clients satisfaits est :
$\begin{align*} I_{300}&=\left[0,9-1,96\sqrt{\dfrac{0,9\times 0,1}{300}};0,9-1,96\sqrt{\dfrac{0,9\times 0,1}{300}}\right] \\
&\approx [0,866;0,934]\end{align*}$

La fréquence observée est $f=\dfrac{265}{300}\in I_{300}$
Les résultats de cette étude ne remettent donc pas en cause l’affirmation de l’entreprise.
$\quad$

 

Ex 3 obl

Exercice 3

  1. Avec l’offre le prix unitaire d’une capsule est $\dfrac{60}{150}=0,40$ €.
    $\dfrac{0,4-0,6}{0,6}=-\dfrac{1}{3} \approx -33,33 \%$.
    On a ainsi une réduction d’environ $33,33\%$.
    $\quad$
  2. a. on considère un entier naturel $n$.
    $10\%$ des propriétaires cessent d’utiliser la machine. Cela signifie donc $90\%$ des propriétaires continuent à l’utiliser, cela représente donc $0,9u_n$.
    Chaque mois il y a $24~000$ nouveaux utilisateurs. Donc $u_{n+1}=0,9u_n+24~000$.
    De plus en 2017, on comptait $60~000$ utilisateurs. Donc $u_0=60~000$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=u_n-240~000$ donc $_n=v_n+240~000$.
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-240~000\\
    &=0,9u_n+24~000-240~000\\
    &=0,9u_n-216~000\\
    &=0,9\left(v_n+240~000\right)-216~000\\
    &=0,9v_n+216~000-216~000\\
    &=0,9v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,9$ et de premier terme $v_0=u_0-240~000=-180~000$.
    $\quad$
  3. a. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $^v_n=-180~000\times 0,9^n$.
    $\quad$
    b. Ainsi, $u_n=v_n+240~000=240~000-180~000\times 0,9^n$.
    $\quad$
  4. On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
    $\begin{align*} u_n\pg 230~000 &\ssi 240~000-180~000\times 0,9^n \pg 230~000 \\
    &\ssi -180~000\times 0,9^n \pg -10~000 \\
    &\ssi 0,9^n\pp \dfrac{1}{18} \\
    &\ssi n\ln 0,9\pp \ln \dfrac{1}{18} \\
    &\ssi n\pg \dfrac{\ln \dfrac{1}{18}}{\ln 0,9}\end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln \dfrac{1}{18}}{\ln 0,9}\approx 27,4$.
    Le nombre d’utilisateurs de cette machine à café dépassera donc pour la première fois $230~000$ au bout de $28$ mois.
    $\quad$
  5. Pour tout entier naturel $n$ on a $-180~000\times 0,9^n<0$.
    Par conséquent $u_n<240~000<250~000$.
    L’affirmation est donc fausse.
    $\quad$

Ex 3 spé

Exercice 3

  1. On obtient le graphe probabiliste suivant :

    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{cases} a_{n+1}&=0,94a_n+0,14b_n\\b_{n+1}=0,06a_n+0,86b_n\end{cases}$.
    Ainsi la matrice de transition est $T=\begin{pmatrix} 0,94&0,06\\0,14&0,86\end{pmatrix}$
    $\quad$
    b. En 2020 on a $n=3$.
    Ainsi, $P_3=P_0T^3=\begin{pmatrix}0,572&0,428\end{pmatrix}$.
    Le grossiste A possédera donc, en 2020, $57,2\%$ des parts de marché et le grossiste B $42,8\%$.
    $\quad$
  3. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=a_n-0,7 \ssi a_n=u_n+0,7$.
    $\begin{align*} u_{n+1}&=a_{n+1}-0,7\\
    &=0,8a_n+0,14-0,7\\
    &=0,8a_n-0,56\\
    &=0,8\left(u_n+0,7\right)-0,56\\
    &=0,8u_n+0,56-0,56\\
    &=0,8u_n\end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,8$ et de premier terme $u_0=a_0-0,7=-0,25$.
    $\quad$
    b. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=-0,25\times 0,8^n$.
    Et $a_n=u_n+0,7=0,7-0,25\times 0,8^n$.
    $\quad$
    c. $0<0,8<0$. Donc $\lim\limits_{n\to +\infty}0,8^n=0$ et $\lim\limits_{n\to +\infty}a_n=0,7$.
    Sur le long terme le grossiste A peut espérer $70\%$ du marché.
    $\quad$
    d. On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
    $\begin{align*} a_n\pg 0,65 &\ssi 0,7-0,25\times 0,8^n\pg 0,65\\
    &\ssi -0,25\times 0,8^n \pg -0,05\\
    &\ssi 0,8^n\pp 0,2 \\
    &\ssi n\ln 0,8\pp \ln 0,2\\
    &\ssi n \pg \dfrac{\ln 0,2}{\ln 0,8}\end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln 0,2}{\ln 0,8}\approx 7,2$ par conséquent $n\pg 8$.
    À partir de 2025 le grossiste détiendra plus de $65\%$ du marché.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

Partie A

  1. Pour tout réel $x$ de l’intervalle $[1;9]$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=0,5\times 2x-7+6\times \dfrac{1}{x} \\
    &=x-7+\dfrac{6}{x} \\
    &=\dfrac{x^2-7x+6}{x}\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. Sur l’intervalle $[1;9]$ le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $x^2-7x+6$.
    $\Delta=(-7)^2-4\times 1\times 6=25>0$.
    Il y a donc deux racines $x_1=\dfrac{7-\sqrt{25}}{2}=1$ et $x_2=\dfrac{7+\sqrt{25}}{2}=6$.
    Ainsi :
    – sur l’intervalle $[1;6]$, $f'(x)\pp 0$
    – sur l’intervalle $[6;9]$, $f'(x)\pg 0$.
    La fonction $f$ est donc décroissante sue l’intervalle $[1;6]$ et croissante sur l’intervalle $[6;9]$.
    $\quad$
    b. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur l’intervalle $[1;6]$.
    De plus $f(1)=7,5>5$ et $f(6)\approx 0,75<5$.
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires l’équation $f(x)=5$ possède une unique solution sur l’intervalle $[1;6]$.
    $\quad$
    La fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $[6;9]$ et $f(9)\approx 4,68<5$.
    L’équation $f(x)=5$ ne possède donc pas de solution sur l’intervalle $[6;9]$.
    $\quad$
    Par conséquent l’équation $f(x)=5$ possède une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[1;9]$.
    $\quad$
    c. D’après la calculatrice on a $2,55\pp \alpha \pp 2,56$
    $\quad$
    d. D’après la question précédente la variable $X$ contient donc la valeur $2,56$.
    $\quad$
  3. D’après le tableau de variations la fonction $f$ atteint son minimum pour $x=6$.
    Le coût moyen annuel de fabrication d’un pneu est donc minimal quant l’entreprise fabrique $600$ pneus.
    $f(6)\approx 0,75$.
    Le coût moyen annuel de fabrication d’un pneu s’élève alors environ à $75$ €.
    $\quad$

Partie B

  1. Une primitive de la fonction $g$ sur l’intervalle $[0;100]$ est la fonction $G$ définie sur le même intervalle par $G(x)=x^2-x+\dfrac{\e^{0,05x}}{0,05}$ ou encore $G(x)=x^2-x+20\e^{0,05x}$.
    $\quad$
  2. La valeur moyenne de la fonction $g$ sur l’intervalle $[0;100]$ est :
    $\begin{align*} \ds m&=\dfrac{1}{100-0}\int_0^{100} g(x) \dx \\
    &=0,01\left(G(100)-G(0)\right) \\
    &=0,01\left(9~900+20\e^5-20\right) \\
    &=0,01\left(9~880+20\e^5\right)\\
    &=98,8+0,2\e^5\\
    &\approx 128,48\end{align*}$
    $\quad$
  3. Cela signifie qu’un semoir coûte en moyenne $128,48\times 100=12~848$ € à fabriquer.
    $\quad$

 

 

Énoncé

Exercice 1     4 points

Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre propositions est exacte. Aucune justification n’est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point.
Pour répondre, recopier sur la copie le numéro de la question et indiquer la réponse choisie.

    1. On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $]0 ; +\infty[$ d’expression $f(x) = -1,5 x^2+x^2\ln( x)$.
      La fonction dérivée de $f$ est donnée pour tout $x$ de $]0 ;+\infty[$ par :
      a. $f'(x)=-x+\dfrac{1}{x}$
      b. $f'(x)=2x\ln(x)-2x$
      c. $f'(x)=-3x+2$
      d. $f'(x)=-x\ln(x)-0,5x$
      $\quad$
    2. Entre 2006 et 2018, dans un restaurant universitaire, le prix d’un repas est passé de $2$ euros à $3,5$ euros en augmentant chaque année de $x \%$. Parmi ces valeurs, la valeur la plus proche de $x$ est :
      a. $6,25$
      b. $4,77$
      c. $14,58$
      d. $0,85$
      $\quad$
    3. Un adolescent joue à un jeu dont les parties successives sont indépendantes.
      À chaque partie, il a une chance sur $25$ de sortir vainqueur. Après $13$ parties, à $10^{-3}$ près, la probabilité qu’il ait gagné au moins une fois est :
      a. $0,588$
      b. $0,412$
      c. $0,025$
      d. $0,975$
      $\quad$
    4. On considère une fonction $g$ définie sur $\R$, dont la courbe représentative $\mathscr{C}_g$ est donnée ci-dessous.

      La fonction $g$ admet une primitive sur $\R$ notée $G$.
      La fonction $G$ est :
      a. convexe sur l’intervalle $[-1 ; 5]$.
      b. concave sur l’intervalle $[-1 ; 5]$.
      c. croissante sur l’intervalle $[2 ; 5]$.
      d. décroissante sur l’intervalle $[2 ; 5]$.
      $\quad$

 

$\quad$

Exercice 2     5 points

Les parties sont indépendantes.

Une entreprise vend des téléviseurs.
Pour tout évènement $E$, on note $\conj{E}$ l’évènement contraire de $E$ et $p(E)$ sa probabilité. Pour tout évènement $F$ de probabilité non nulle, on note $p_F(E)$ la probabilité de $E$ sachant que $F$ est réalisé.

Partie A

Une étude a montré que ces téléviseurs peuvent rencontrer deux types de défauts : un défaut sur la dalle, un défaut sur le condensateur.
L’étude indique que :

  • $3 \%$ des téléviseurs présentent un défaut sur la dalle et parmi ceux-ci $2 \%$ ont aussi un défaut sur le condensateur.
  • $5 \%$ des téléviseurs ont un défaut sur le condensateur.

On choisit au hasard un téléviseur et on considère les évènements suivants :

  • $D$ : « le téléviseur a un défaut sur la dalle »
  • $C$ : « le téléviseur a un défaut sur le condensateur ».
  1. Les résultats seront approchés si nécessaire à $10^{-4}$ près.
    a. Exprimer les trois données numériques de l’énoncé sous forme de probabilités.
    $\quad$
    b. Recopier l’arbre ci-dessous et compléter uniquement les pointillés par les probabilités associées :

    c. Calculer la probabilité $p(D\cap C)$ de l’événement $D\cap C$.
    $\quad$
    d. Le téléviseur choisi a un défaut sur le condensateur. Quelle est alors la probabilité qu’il ait un défaut sur la dalle ?
    $\quad$
    e. La probabilité que le téléviseur choisi ait un défaut sur le condensateur mais pas de défaut sur la dalle vaut $0,0494$. Justifier cette affirmation.
    $\quad$
  2. Les résultats seront approchés à $10^{-2}$ près.
    On note $T$ la variable aléatoire qui, à chaque téléviseur prélevé, associe le temps exprimé en mois avant la première panne. On admet que $T$ suit la loi normale d’espérance $\mu = 84$ et d’écart type $\sigma = 6$.
    a. Donner la probabilité qu’un téléviseur tombe en panne pour la première fois après $72$ mois d’utilisation.
    $\quad$
    b. Quelle est la probabilité que la première panne arrive entre $6$ années et $8$ années d’utilisation.
    $\quad$
    c. Le téléviseur n’a pas eu de panne après $6$ années d’utilisation. Quelle est la probabilité qu’il tombe en panne avant $8$ années d’utilisation ?
    $\quad$

Partie B

Afin de satisfaire davantage de clients, l’entreprise décide d’apporter des améliorations à son service d’assistance. Après quelques mois de mise en place du nouveau service, elle affirme que $90 \%$ des clients sont maintenant satisfaits. Un service de contrôle indépendant veut vérifier cette affirmation. Pour cela il interroge au hasard $300$ clients. Parmi eux, $265$ affirment être satisfaits.

Les résultats de cette étude remettent-ils en cause l’affirmation de l’entreprise ? Justifier la réponse.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3     5 points

candidats de ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de L

Sur un site de vente en ligne, Antoine a commandé une machine à café à capsules.

  1. Chaque capsule achetée à l’unité coûte $0,60$ €. Une offre permet d’acquérir $150$ capsules au prix de $60$ €.
    De quel pourcentage de réduction bénéficie-t-on grâce à l’offre par rapport à un achat à l’unité ?
    $\quad$
  2. Au 1$\ier$ janvier 2017, on comptait $60~000$ utilisateurs de cette machine à café. On estime que chaque mois, $10 \%$ des propriétaires cessent de l’utiliser mais on compte $24~000$ nouveaux utilisateurs.
    a. Expliquer pourquoi le nombre d’utilisateurs de cette machine à café n mois après le 1$\ier$ janvier 2017, peut être modélisé par la suite $\left(u_n\right)$ définie par : $$u_0
    = 60~000 \text{ et } u_{n+1}= 0,9u_n+ 24~000$$
    $\quad$
    b. On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par : $v_n= u_n−240~000$.
    Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
    $\quad$
  3. a. $n$ étant un entier naturel, exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
    b. En déduire que pour tout entier naturel $n$, $u_n= 240~000−180~000×0,9^n$.
    $\quad$
  4. Au bout de combien de mois le nombre d’utilisateurs de cette machine à café dépassera-t-il pour la première fois $230~000$ ?
    $\quad$
  5. L’entreprise qui fabrique cette machine à café prétend qu’elle touchera un certain mois plus de $250~000$ utilisateurs. Que penser de cette affirmation ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     5 points

candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Deux grossistes A et B se partagent la clientèle d’un liquide industriel.
On suppose que le nombre total de clients reste fixe d’une année sur l’autre.
En 2017, $45 \%$ des clients se fournissaient chez le grossiste A et $55 \%$ chez le grossiste B.
D’une année sur l’autre, $6 \%$ des clients du grossiste A deviennent clients du grossiste B tandis que le grossiste B conserve $86 \%$ de ses clients.
Chaque année, on choisit au hasard un client ayant acheté le liquide.
Pour tout entier naturel $n$ on note :

  • $a_n$ la probabilité qu’il soit client du grossiste A en (2017$+n$),
  • $b_n$ la probabilité qu’il soit client du grossiste B en (2017$+n$).

Pour tout entier naturel $n$, on note $P_n = \begin{pmatrix}a_n&b_n\end{pmatrix}$ la matrice ligne représentant l’état probabiliste de l’année (2017$+n$). On rappelle que $a_n + b_n = 1$.
On a donc $P_0 = \begin{pmatrix}0,45& 0,55\end{pmatrix}$.

  1. Représenter cette situation par un graphe probabiliste dans lequel les sommets A et B correspondent aux noms des grossistes.
    $\quad$
  2. a. Donner la matrice de transition $T$ associée à ce graphe (les sommets seront rangés par ordre alphabétique).
    $\quad$
    b. Quelle sera, exprimée en pourcentage, la répartition prévisible des ventes entre ces deux grossistes en 2020 ? Justifier la réponse. On arrondira les résultats à $0,1 \%$ près.
    $\quad$
  3. On admet que pour tout entier naturel $n$, $a_{n+1}= 0,8a_n
    + 0,14$ .
    a. On pose pour tout naturel $n$ : $u_n= a_n-0,7$ .
    Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
    $\quad$
    b. En déduire que pour tout entier naturel $n$, $a_n= -0,25×0,8^n+ 0,7$.
    $\quad$
    c. Quelle part du marché, exprimée en pourcentage, le grossiste A peut-il espérer à long terme ? Justifier la réponse.
    $\quad$
    d. À partir de quelle année le grossiste A détiendra t-il plus de $65 \%$ du marché ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     6 points

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

Partie A

Une entreprise produit chaque année entre $100$ et $900$ pneus pour tracteurs.
On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[1 ; 9]$ par $f(x )=0,5x^2-7x+14+6 \ln(x)$ .
On admet que la fonction $f$ modélise le coût moyen annuel de fabrication d’un pneu, exprimé en centaines d’euros, pour $x$ centaines de pneus produits.

  1. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[1 ; 9]$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.
    Démontrer que pour tout réel $x$ de l’intervalle $[1 ; 9]$ on a : $f ‘( x)=\dfrac{x^2−7 x + 6}{x}$.
    $\quad$
  2. a. Justifier les variations suivantes de la fonction $f$ sur l’intervalle $[1 ; 9]$ :

    b. Justifier que, sur l’intervalle $[1 ; 9]$, l’équation $f (x) = 5$ admet une unique solution $\alpha$.
    $\quad$
    c. Donner un encadrement au centième près de $\alpha$.
    $\quad$
    d. On considère l’algorithme ci-dessous : $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    X\leftarrow 1\\
    Y\leftarrow 7,5\\
    \text{Tant que } Y>5\\
    \hspace{1cm}X\leftarrow X+0,01\\
    \hspace{1cm}Y\leftarrow0,5X^2-7X+14+6*\ln(X)\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    À la fin de l’exécution de l’algorithme, quelle valeur numérique contient la variable $X$ ?
    $\quad$
  3. Pour quelle quantité de pneus, le coût moyen annuel de fabrication d’un pneu est-il minimal ?
    À combien s’élève-t-il ?
    $\quad$

Partie B

Cette même entreprise envisage la fabrication de semoirs (gros matériel agricole).
On admet que la fonction $g$ définie sur l’intervalle $[0 ; 100]$ par $g(x) = 2 x−1 + \e^{0,05 x}$ modélise le coût de fabrication, exprimé en centaines d’euros, de $x$ semoirs.

  1. Donner une primitive $G$ de la fonction g sur l’intervalle $[0 ; 100]$.
    $\quad$
  2. Calculer la valeur moyenne de la fonction $g$ sur l’intervalle $[0 ; 100]$.
    $\quad$
  3. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

$\quad$

 

Bac ES/L – Asie – Juin 2019

Asie – Juin 2019

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. D’après la calculatrice on a $P(X\pp 4) \approx 0,05$.
    Réponse c
    $\quad$
  2. $\left(\e^x\right)^2=3\e^x\ssi \e^{2x}-3\e^x=0\ssi \e^x\left(\e^x-3\right)=0$.
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs est nul.
    L’équation $\e^x=0$ ne possède pas de solution
    et $\e^x-3=0\ssi \e^x=3\ssi x=\ln 3$.
    Réponse b
    $\quad$
  3. Pour tout réel $x$ on a $f(x)=\dfrac{x}{\e^x}=x\e^{-x}$.
    Réponse d
    $\quad$
  4. D’après le graphique on a $\mu=200$.
    De plus $p(170\pp X\pp 230)=0,95 \ssi p(\mu-30\pp X\pp \mu+30)=0,95$
    Or $p(\mu-2\sigma\pp X\pp \mu+2\sigma) \approx 0,95$.
    Donc $2\sigma \approx 30$ et $\sigma \approx 15$.
    Par conséquent $p(X\pg a)=0,1 \ssi p(X\pp a)=0,9$.
    À l’aide de la touche Inverse loi normale de la calculatrice on trouve : $a\approx 219,2$.
    Réponse c
    $\quad$

 

 

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. Voir figure à la fin de partie
    $\quad$
  2. D’après l’arbre pondéré on a $p(M\cap G)=0,4\times 0,6=0,24$
    $\quad$
  3. a. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} &p(G)=p(F\cap G)+p(M\cap G)+p(E\cap G)\\
    &\ssi 0,58=p(F\cap G)+0,24+0,27\\
    &\ssi p(F\cap G)=0,07\end{align*}$
    $\quad$
    b. Par conséquent :
    $\begin{align*} p_F(G)&=\dfrac{p(F\cap G)}{p(F)} \\
    &=\dfrac{0,07}{0,1}\\
    &=0,7\end{align*}$
    $\quad$
    c. On a $p_F(G)=0,7>0,47$.
    La présence de Claire semble favoriser la victoire de l’équipe féminine.
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_G(F)&=\dfrac{p(G\cap F)}{p(G)}\\
    &=\dfrac{0,07}{0,58}\\
    &\approx 0,12\end{align*}$
    La probabilité que Claire ait suivi le match d’une équipe adulte féminine sachant qu’elle a assisté à la victoire d’une équipe du club est environ égale à $0,12$.
    $\quad$

$\quad$

Partie B

  1. $\mu=30$ donc en moyenne ce supporter attend $30$ minutes au guichet.
    $\quad$
  2. On a
    $\begin{align*} P(X\pp 15)&=P(X\pp 30)-P(15\pp X\pp 30) \\
    &=0,5-P(15\pp X\pp 30) \\
    &\approx 0,07\end{align*}$
    La probabilité qu’il puisse acheter son billet avant le début du match est environ égale à $0,07$.
    $\quad$

Partie C

  1. On a $n=75$ et $p=0,6$
    Donc $n\pg 30$, $np=45\pg 5$ et $n(1-p)=30\pg 5$.
    Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la proportion d’enfants se réinscrivant d’une année sur l’autre est :
    $\begin{align*} I_{75}&=\left[0,6-1,96\sqrt{\dfrac{0,6\times 0,4}{75}};0,6+1,96\sqrt{\dfrac{0,6\times 0,4}{75}}\right]\\
    &\approx [0,48;0,72]\end{align*}$
    $\quad$
  2. La fréquence observée est $f=\dfrac{52}{75}\in I_{75}$
    La victoire de la France n’a pas eu d’effet sur les réinscriptions en septembre 2018 dans ce club.
    $\quad$

 

Ex 3 obl

Exercice 3

Candidats de ES n’ayant pas suivi la spécialité et candidats de L

Partie A

  1. On a $u_1=(230-8,5)\times 1,04=230,36$.
    Richard disposera de $230,36$ tonnes sur les plages au 1$\ier$ septembre 2019.
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=u_n-221 \ssi u_n=v_n+221$.
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-221\\
    &=1,04u_n-8,84-221\\
    &=1,04u_n-229,84\\
    &=1,04\left(v_n+221\right)-229,84\\
    &=1,04v_n+229,84-229,84\\
    &=1,04v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,04$ et de premier terme $v_0=u_0-221=9$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $v_n=9\times 1,04^n$.
    $\quad$
    c. Et $u_n=v_n+221=9\times 1,04^n+221$.
    $\quad$
  3. On veut déterminer le plus petit entier naturel tel que :
    $\begin{align*} u_n\pg 250 &\ssi 9\times 1,04^n+221\pg 250\\
    &\ssi 9\times 1,04^n\pg 29 \\
    &\ssi 1,04^n\pg \dfrac{29}{9}\\
    &\ssi n\ln 1,04\pg \ln \dfrac{29}{9} \\
    &\ssi n\pg \dfrac{\ln \dfrac{29}{9}}{\ln 1,04}\end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln \dfrac{29}{9}}{\ln 1,04}\approx 29,8$.
    C’est donc au bout de $30$ ans que la quantité d’algues présentes sur ces plages dépassera $250$ tonnes.
    $\quad$

Partie B

  1. $A$ contient la quantité d’algues sur les plages.
    $B$ contient la quantité d’algues prélevées par l’entreprise.
    $\quad$
  2. On obtient le tableau : $$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \hspace{0.7cm}K\hspace{0.7cm} & \hspace{0.7cm}A\hspace{0.7cm} & \hspace{0.7cm}B\hspace{0.7cm} \\ \hline
    \bbox[lightgray]{\phantom{NNNNNN}}
    & 230 & 8,5 \\ \hline 1 &230,36 & 9,35\\ \hline 2 & 229,85& 10,29\\ \hline 3 & 228,35 & 11,31\\ \hline 4 & 225,72 & 12,44\\ \hline 5 & 221,80 & 13,69\\ \hline 6 & 216,44 & 15,06\\ \hline 7 & 209,43 & 16,56\\ \hline 8 & 200,58 & 18,22\\ \hline 9 & 189,66 & 20,04\\ \hline 10 & 176,40 & 22,05\\ \hline 11 & 160,53 & 24,25\\ \hline 12 & 141,73 & 26,68\\ \hline 13 & 119,65 & 29,34\\ \hline 14 & 93,92 & 32,28\\ \hline 15 & 64,11 & 35,51\\ \hline 16 & 29,75 & 39,06\\ \hline \end{array}$$
    $\quad$
  3. En 2034 il n’aura pas assez d’algues à prélever.
    $\quad$

Ex 3 spé

Exercice 3

  1. Les sommets $A$ et $L$, par exemple, ne sont pas liés. Le graphe n’est donc pas complet.
    Cela signifie donc que la compagnie ne dessert pas tous les aéroports à partir de chacun d’entre eux.
    $\quad$
  2. On a :
    $$\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1\\ 1&0&0&0&0&0&1&1&1\\
    0&0&0&1&0&0&1&0&0 \\
    0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$
    $\quad$
  3. Le coefficient ${M^3}_{4,5}$ vaut $5$.
    Il existe donc $5$ trajets possibles à un avion partant de l’aéroport F d’effectuer $3$ vols avant d’arriver à l’aéroport B.
    $\quad$
  4. a. On étudie le degré des sommets.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Sommet}&A&B&C&F&G&L&M&P&V\\
    \hline
    \text{Degré}&4&4&2&4&3&2&4&4&3\\
    \hline
    \end{array}$
    Ainsi, exactement $2$ sommets de ce graphe connexe sont de degrés impairs.
    Il possède donc une chaîne eulérienne.
    Un même avion peut ainsi parcourir successivement une fois et une seule
    chaque liaison.
    Il doit utiliser comme aéroports de départ et d’arrivée les aéroports $G$ et $V$.
    $\quad$
    b. Le sommet $P$ possède $4$ liaisons.
    Chacune d’entre-elle ne peut être utilisée qu’une seule fois.
    L’avion de posera donc $2$ fois à l’aéroport $P$.
    $\quad$

Partie B

On utilise l’algorithme de Dijsktra.

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
A & B & C & F & G & L & M & P & V & \text{Sommet} \\
\hline
\phantom{11111} & \phantom{11111} & \phantom{11111} & \phantom{11111} & \phantom{11111} & \phantom{11111} & \phantom{11111} & \phantom{11111} & 0 & V \\
\hline
1(V) & 2(V) &  &  &  &  &  & 4(V) & \phantom{11111} & A \\
\hline
& 2(V) &  &  & 5(A) &  & 6(A) & 4(V) &  & B \\
\hline
&  &  &  & 5(A) &  & 4(B) & 4(V) &  & M \\
\hline
&  & 8(M) &  & 5(A) &  & 4(B) & 4(V) &  & P \\
\hline
&  & 8(M) & 10(P) & 5(A) & 5(M) &  &  &  & G \\
\hline
&  & 8(M) & 10(P) &  & 5(M) &  &  &  & L \\
\hline
&  & 8(M) & 9(L) &  &  &  &  &  & C \\
\hline
&  &  & 9(L) &  &  &  &  &  & F \\
\hline
\end{array}$$
Ainsi le chemin le plus court est $V-B-M-L-F$. Sa durée est de $9$ heures.
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. a. Graphiquement on a $f'(1)=0$ puisque la tangente $T_1$ est horizontale.
    $\quad$
    b. Il semblerait que le point $B$ soit le seul point d’inflexion de la courbe $\mathscr{C}$.
    $\quad$
    c. L’aire du domaine compris entre la courbe $\mathscr{C}$, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=6$ et $x=8$ contient entre $4$ et $5$ “rectangles” unité .
    Ainsi $\ds 4\pp \int_6^8 f(x)\dx \pp 5$.
    $\quad$
  2. a. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[0,5;12]$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x \in[0,5;12]$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^2} \\
    &=\dfrac{x-1}{x^2}\end{align*}$
    $\quad$
    b. La fonction carré est positive. Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $x-1$.
    $x-1=0 \ssi x=1$ et $x-1>0\ssi x>1$.
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    Avec $f(0,5)\approx 1,3$ et $f(12)\approx 2,6$
    $\quad$
  3. D’après le logiciel de calcul formel on a, pour tout réel $x\in[0,5;12]$ $\dsec(x)=\dfrac{-x+2}{x^3}$
    $-x+2=0\ssi x=2$ et $-x+2>0\ssi x<2$.
    La fonction $f$ est donc convexe sur l’intervalle $[0,5;2]$ et concave sur l’intervalle $[2;12]$.
    $\quad$
  4. a. La fonction $F$ est dérivable sur l’intervalle $[0,5;12]$ en tant que produit et somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x\in[0,5;12]$ on a :
    $\begin{align*} F'(x)&=\ln (x)+(x+1)\times \dfrac{1}{x}-1 \\
    &=\ln (x)+1+\dfrac{1}{x}-1 \\
    &=\ln (x)+\dfrac{1}{x}\\
    &=f(x)\end{align*}$
    La fonction $F$ est donc une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0,5;12]$.
    $\quad$
    b. La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0,5;12]$ est :
    $\begin{align*} \ds m&=\dfrac{1}{12-0,5}\int_{0,5}^12f(x)\dx \\
    &=\dfrac{1}{11,5}\left(F(12)-F(0,5)\right) \\
    &=\dfrac{1}{11,5}\left(13\ln (12)-12-1,5\ln (0,5)+0,5\right) \\
    &=\dfrac{13\ln (12)-1,5\ln (0,5)-11,5}{11,5}\\
    &\approx 1,90\end{align*}$
    $\quad$

 

 

Énoncé

Exercice 1     4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Chaque question comporte quatre réponses possibles. Pour chacune de ces questions, une seule des quatre
réponses proposées est exacte.
Recopier pour chaque question son numéro et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.
Chaque réponse exacte rapporte 1 point, une mauvaise réponse ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point.
Pour tout événement $E$ ,on note $p(E)$ sa probabilité.

  1. Soit ܺ$X$ la variable aléatoire suivant la loi binomiale $B(20;0,4)$.
    a. $p(X=7)=20\times 0,4^7$
    b. $p(X>4)=0,98$ arrondie au centième
    c. $p(X\pp 4)=0,05$  arrondie au centième
    d. $p(X\pp 7)=0,25$ arrondie au centième
    $\quad$
  2. L’équation $\left(\e^x\right)^2=3\e^x$ possède :
    a. une unique solution $3$
    b. une unique solution $\ln(3)$
    c. deux solutions $0$ et $\ln(3)$
    d. deux solutions $0$ et $3$
    $\quad$
  3. Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par ݂$f(x)=\dfrac{x}{\e^x}$.
    Une autre expression de ݂$f(x)$ est :
    a. $f(x)=\dfrac{\e^{-x}}{-x}$
    b. $f(x)=-x\e^{-x}$
    c. $f(x)=\dfrac{\e^{-x}}{x}$
    d. $f(x)= x\e^{-x}$
    $\quad$
  4. Soit ܺ$X$ une variable aléatoire suivant une loi normale dont la densité de probabilité est représentée ci-dessous. Sur le graphique, la surface grisée correspond à une probabilité de $0,95$

    Une valeur approchée à $0,1$ près du nombre ܽ$a$ tel que $p(X\pg a)=0,1$ est :
    a. $a\approx 180,8$
    b. $a\approx 212,6$
    c. $a\approx 219,2$
    d. $a\approx 238,4$
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     6 points

Les parties A, B et C sont indépendantes.
Si nécessaire, les résultats seront arrondis au centième.

Partie A

Un club de football est composé d’équipes adultes masculines, adultes féminines et d’équipes d’enfants. Chaque week-end, la présidente Claire assiste au match d’une seule des équipes du club et elle suit :

  • dans $10 \%$ des cas, le match d’une équipe adulte féminine ;
  • dans $40 \%$ des cas, le match d’une équipe adulte masculine ;
  • dans les autres cas, le match d’une équipe d’enfants.

Lorsqu’elle assiste au match d’une équipe masculine, la probabilité que celle-ci gagne est $0,6$. Lorsqu’elle assiste au match d’une équipe d’enfants, la probabilité que celle-ci gagne est $0,54$.
La probabilité que Claire voie l’équipe de son club gagner est $0,58$.
On choisit un week-end au hasard. On note les événements suivants :

  • $F$ : « Claire assiste au match d’une équipe adulte féminine »
  • $M$ : « Claire assiste au match d’une équipe adulte masculine »
  • $E$ : « Claire assiste au match d’une équipe d’enfants »
  • $G$ : « l’équipe du club de Claire gagne le match »

Pour tous événements $A$ et $B$, on note $\conj{A}$ l’événement contraire de $A$, $p(A)$ la probabilité de $A$ et, si $B$ est de probabilité non nulle, $p_B(A)$ la probabilité de $A$ sachant $B$.

  1. L’arbre de probabilité est donné en annexe. Le compléter au fur et à mesure de l’exercice.
    $\quad$
  2. Déterminer la probabilité $p(M\cap G)$.
    $\quad$
  3. a. Démontrer que $p(F\cap G)=0,07$.
    $\quad$
    b. En déduire $p_F(G)$.
    $\quad$
    c. La probabilité que l’équipe adulte féminine gagne un match est $0,47$. La présence de Claire semble-t-elle favoriser la victoire de l’équipe adulte féminine ?
    $\quad$
  4. Claire annonce avoir assisté à la victoire d’une équipe du club. Quelle est la probabilité qu’elle ait suivi le match d’une équipe adulte féminine ?
    $\quad$

Partie B

Au guichet, un supporter attend pour acheter son billet. On modélise le temps d’attente en minute par une variable aléatoire ܺ qui suit la loi normale d’espérance $\mu=30$ et d’écart type $\sigma=10$.

  1. En moyenne, combien de temps attend ce supporter au guichet ?
    $\quad$
  2. Déterminer $p(25\pp X\pp 35)$. Interpréter dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  3. Le supporter ne dispose que de $15$ minutes avant le début du match pour acheter son billet.
    Quelle est la probabilité qu’il puisse acheter son billet avant le début du match ?
    $\quad$

Partie C

Des études statistiques ont montré que la probabilité qu’un enfant se réinscrive d’une année sur l’autre dans le même club de football est $0,6$.

  1. Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95 \%$ de la proportion d’enfants se réinscrivant d’une année sur l’autre pour un échantillon de $75$ enfants pris au hasard dans le même club de football.
    $\quad$
  2. $52$ des $75$ enfants du club de Claire veulent se réinscrire en septembre 2018.
    La victoire de la France aux championnats du monde en 2018 a-t-elle eu un effet sur les réinscriptions en septembre 2018 dans ce club ? Justifier.
    $\quad$

Annexe

 

$\quad$

Exercice 3     5 points

Candidats de ES n’ayant pas suivi la spécialité ou candidats de L

Partie A

Tous les ans, au mois de septembre, Richard prélève 8,5 tonnes d’algues sur les plages de sa commune.
Au 1$\ier$ septembre 2018, il y avait $230$ tonnes d’algues sur ces plages.
Tous les ans, entre le 1$\ier$ octobre et le 1$\ier$ septembre suivant, la quantité d’algues sur ces plages augmente de $4 \%$.
On note $u_n$ la quantité en tonnes d’algues présente sur les plages au 1$\ier$ septembre de l’année 2018 $+n$ ݊. Ainsi, $u_0=230$.

  1. Vérifier par le calcul que Richard disposera de $230,36$ tonnes sur les plages au 1er septembre 2019.
    On admet que, pour tout ݊ $n\in \N$, $u_{n+1}=1,04u_n-8,84$
    $\quad$
  2. Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie par, pour tout ݊$n\in \N$, v_n=u_n-221$
    a. Démontrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $1,04$.
    Préciser son premier terme.
    $\quad$
    b. Exprimer, pour tout ݊$n\in \N$ en fonction de ݊$n$.
    $\quad$
    c. En déduire que, pour tout ݊$n\in\N$, $u_n=221+9\times 1,04^n$.
    $\quad$
  3. La quantité d’algues présentes sur ces plages dépassera-t-elle un jour $250$ tonnes ? Si oui, préciser au bout de combien d’années cette quantité sera atteinte.
    $\quad$

Partie B

Pour développer son entreprise, à partir du 1$\ier$ septembre 2019, Richard a besoin de $10 \%$ d’algues de plus que l’année précédente.
On rappelle qu’au 1$\ier$ septembre 2018, il disposait de $230$ tonnes d’algues et qu’il en avait consommé $8,5$ tonnes en septembre 2018. Dans cette nouvelle situation, il disposera de $230,36$ tonnes d’algues au 1$\ier$ septembre 2019 et en utilisera $9,35$ tonnes pendant ce mois.
Richard souhaite étudier la quantité d’algues sur les plages concernées pour les $16$ prochaines années selon ce modèle.
Pour cela, il rédige l’algorithme ci-dessous. $$\begin{array}{|l|}
\hline
A\leftarrow 230\\
B\leftarrow 8,5\\
\text{Pour $K$ allant de $1$ à $16$}\\
\hspace{1cm} A\leftarrow (A-B)\times 1,04\\
\hspace{1cm} B\leftarrow B\times 1,1\\
\text{Fin Pour}\\
\hline
\end{array}$$

  1. Que représentent les variables $A$ et $B$ de l’algorithme ?
    $\quad$
  2. Dans le tableau en annexe, on a obtenu différentes valeurs de $A$ et $B$ de l’algorithme.
    Compléter les lignes du tableau pour les valeurs de $K = 1$ et $K = 2$. Arrondir les résultats au centième.
    $\quad$
  3. Que peut conclure Richard pour 2034 ?
    $\quad$

Annexe

$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \hspace{0.7cm}K\hspace{0.7cm} & \hspace{0.7cm}A\hspace{0.7cm} & \hspace{0.7cm}B\hspace{0.7cm} \\ \hline \bbox[lightgray]{\phantom{NNNNNN}} & 230 & 8,5 \\ \hline 1 & & \\ \hline 2 & & \\ \hline 3 & 228,35 & 11,31\\ \hline 4 & 225,72 & 12,44\\ \hline 5 & 221,80 & 13,69\\ \hline 6 & 216,44 & 15,06\\ \hline 7 & 209,43 & 16,56\\ \hline 8 & 200,58 & 18,22\\ \hline 9 & 189,66 & 20,04\\ \hline 10 & 176,40 & 22,05\\ \hline 11 & 160,53 & 24,25\\ \hline 12 & 141,73 & 26,68\\ \hline 13 & 119,65 & 29,34\\ \hline 14 & 93,92 & 32,28\\ \hline 15 & 64,11 & 35,51\\ \hline 16 & 29,75 & 39,06\\ \hline \end{array}$

$\quad$
$\quad$

Exercice 3     5 points

Candidats de ES ayant suivi la spécialité

Les différentes parties sont indépendantes.

Partie A

Une compagnie aérienne a représenté à l’aide d’un graphe les
différentes liaisons assurées par ses avions. Les sommets du graphe représentent les initiales des aéroports desservis et les arêtes correspondent aux vols effectués par un avion de cette compagnie entre deux aéroports.
Par exemple, l’arête entre $A$ et $G$ signifie qu’un avion effectue le vol entre les aéroports $A$ et $G$, en partant de $A$ vers $G$ ou en partant de $G$ vers $A$.

  1. Le graphe est-il complet ?
    Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  2. On note $M$ la matrice d’adjacence du graphe ci-dessus, en classant les sommets par ordre alphabétique. Compléter les deux lignes manquantes de la matrice $M$ donnée en annexe.
    $\quad$
  3. La compagnie souhaite qu’un avion partant de l’aéroport $F$ effectue $3$ vols avant d’arriver à l’aéroport $B$. À l’aide de la matrice $M^3$ donnée ci-après, déterminer le nombre de trajets possibles. $$M^3=\begin{pmatrix}
    4&9&2&5&8&2&8&4&9\\
    9&6&2&5&4&2&8&9&7\\
    2&2&0&6&2&0&6&2&3\\
    5&5&6&2&6&6&2&7&3\\
    8&4&2&6&2&2&4&8&3\\
    2&2&0&6&2&0&6&2&3\\
    8&8&6&2&4&6&2&6&3\\
    4&9&2&7&8&2&6&4&8\\
    9&7&3&3&3&3&3&8&4\end{pmatrix}$$
    $\quad$
  4. L’entreprise souhaite qu’un même avion puisse parcourir successivement une fois et une seule chaque liaison.
    a. Justifier qu’un avion peut le faire et préciser les aéroports de départ et d’arrivée possibles.
    $\quad$
    b. Lors de ce trajet, combien de fois cet avion doit-il se poser à l’aéroport $P$ ?
    Expliquer la réponse.
    $\quad$

Partie B
Sur le graphe ci-dessous sont indiqués les différents temps de vol en heure entre deux aéroports.

 

Un client souhaite utiliser une offre promotionnelle de cette compagnie pour voyager de l’aéroport $V$ jusqu’à l’aéroport $F$. Combien d’heures de vol doit-il envisager au minimum ?
Préciser le trajet.

Annexe

$M=\begin{pmatrix}0&1&0&0&1&0&1&0&1\\
\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\
\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\
0&0&1&0&1&1&0&1&0\\
1&0&0&1&0&0&0&1&0\\
0&0&0&1&0&0&1&0&0\\
1&1&1&0&0&1&0&0&0\\
0&1&0&1&1&0&0&0&1\\
1&1&0&0&0&0&0&1&0\end{pmatrix}$

$\quad$

Exercice 3     5 points

On a représenté ci-dessous la courbe $\mathscr{C}$ représentative d’une fonction ݂ définie et dérivable sur$[0,5;12]$ la tangente ܶ$T_1$ à $\mathscr{C}$ au point $A$ d’abscisse $1$ et la tangente ܶ$T_2$ à $\mathscr{C}$ au point $B$ d’abscisse $2$. La tangente ܶ$T_1$ est parallèle à l’axe des abscisses.
La tangente ܶ$T_2$ traverse la courbe $\mathscr{C}$ en $B$. On note ݂$f’$ la fonction dérivée de ݂$f$.

  1. Par lecture graphique :
    a. Déterminer ݂$f'(1)$.
    $\quad$
    b) Déterminer les éventuels points d’inflexion de  $\mathscr{C}$
    $\quad$
    c) Déterminer un encadrement de $\ds \int_6^8 f(x)\dx$ par deux entiers consécutifs.
    $\quad$
  2.  On admet que la fonction ݂$f$ est définie sur $[0,5;12]$ par $f(x)=\ln(x)+\dfrac{1}{x}$
    a. Vérifier que, pour tout $x\in[0,5;12]$, $f'(x)=\dfrac{x-1}{x^2}$.
    $\quad$
    b. Déterminer le signe d$f'(x)$ et en déduire le tableau de variations de ݂$f$.
    Si nécessaire, on arrondira à $0,1$ les valeurs numériques.
    $\quad$
  3. À l’aide d’un logiciel de calcul formel, on a obtenu les résultats suivants que l’on pourra admettre.

    Déterminer par le calcul le plus grand intervalle sur lequel ݂ est concave.
    $\quad$
  4. Soit $F$ la fonction définie sur $[0,5;12]$ par $F(x)=(x+1)\ln(x)-x$.
    a. Vérifier que $F$ est une primitive de ݂$f$ sur $[0,5;12]$.
    $\quad$
    b. En déduire la valeur exacte puis la valeur arrondie au centième de la valeur moyenne de ݂$f$ sur l’intervalle $[6;8]$.
    $\quad$

 

 

Bac ES/L – Métropole – Juin 2019

Métropole – Juin 2019

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(S)&=p(R\cap S)+p\left(\conj{R}\cap S\right) \\
    &=0,7\times 0,4+0,3\times 0,2 \\
    &=0,34\end{align*}$
    Par conséquent :
    $\begin{align*} p_S\left(\conj{R}\right)&=\dfrac{p\left(S\cap \conj{R}\right)}{p(S)} \\
    &=\dfrac{0,3\times 0,2}{0,34} \\
    &\approx 0,18\end{align*}$
    Affirmation 1 fausse
    $\quad$
  2. L’espérance de $X$ est $E(X)=\dfrac{k+18}{2}$
    Par conséquent $\dfrac{k+18}{2}=12\ssi k+18=24\ssi k=6$.
    Affirmation 2 fausse
    $\quad$
  3. L’équation est définie sur $]0;+\infty[$.
    $\begin{align*} &\ln\left(x^2\right)-\ln\left(\dfrac{x^5}{\e}\right)+\ln(2)=\ln(2x)+5 \\
    \ssi& 2\ln(x)-\ln\left(x^5\right)+\ln(\e)+\ln(2)=\ln(2)+\ln(x)+5\\
    \ssi &2\ln(x)-5\ln(x)+1=\ln(x)+5\\
    \ssi &-4\ln(x)=4\\
    \ssi &\ln(x)=-1\\
    \ssi &x=\e^{-1}\\
    \ssi &x=\dfrac{1}{\e}\end{align*}$
    Affirmation 3 vraie
    $\quad$
  4. La fonction $f’$ est continue et strictement décroissante sur l’intervalle $[0;5]$.
    $f(0)=30>0$ et $f(5)=-5<0$.
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $f(x)=0$ possède une unique solution sur $[0;5]$.
    $\quad$
    La fonction $f’$ est continue et strictement croissante sur l’intervalle $[5;15]$.
    $f(15)=20>0$ et $f(5)=-5<0$.
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $f(x)=0$ possède une unique solution sur $[5;15]$
    La fonction $f’$ s’annule donc deux fois sur $[0;15]$.
    La courbe représentative de la fonction $f$ possède ainsi deux tangentes parallèle à l’axe des abscisses.
    Affirmation 4 fausse.
  5. La fonction $f’$ est strictement croissante sur l’intervalle $[5;15]$.
    La fonction $f$ est donc convexe sur cet intervalle.
    Affirmation 5 vraie.

Ex 2 obl

Exercice 2

Candidats de ES n’ayant pas suivi la spécialité ou candidats de L

  1. a. On considère un entier naturel $n$.
    Chaque année, Laurence éliminera $4 \%$ des pommiers existants. Il restera donc $0,96u_n$ pommiers d’une année sur l’autre.
    […] et replantera $22$ nouveaux pommiers par hectare.
    Ainsi $u_{n+1}=0,96u_n+22$.
    $\quad$
    b. En 2020 on a $n=2$.
    $u_1=0,96\times 300+22=310$ et $u_2=0,96\times 310+22=319,6$.
    Il y aura donc environ $320$ pommiers par hectare en 2020.
    $\quad$
  2. a. On obtient l’algorithme suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    n\leftarrow 0\\
    U\leftarrow 300\\
    \text{Tant que } U\pp 400\\
    \hspace{1cm} N\leftarrow N+1\\
    \hspace{1cm} U\leftarrow 0,96\times U+22\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. Voici les différentes valeurs prises par les deux variables.
    $\begin{array}{|c|c|}
    \hline
    N&U\\
    \hline
    0&300\\
    \hline
    1&310\\
    \hline
    2&319,6\\
    \hline
    3&328,81\\
    \hline
    4&337,66\\
    \hline
    5&346,15\\
    \hline
    6&354,31\\
    \hline
    7&362,13\\
    \hline
    8&369,65\\
    \hline
    9&376,86\\
    \hline
    10&383,79\\
    \hline
    11&390,44\\
    \hline
    12&396,82\\
    \hline
    13&402,94\\
    \hline
    \end{array}$
    En sortie de l’algorithme on a $N=13$.
    $\quad$
  3. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=u_n-550 \ssi u_n=v_n+550$.
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-550\\
    &=0,96u_n+22-550\\
    &=0,96u_n-528\\
    &=0,96\left(v_n+550\right)-528\\
    &=0,96v_n+528-528 \\
    &=0,96v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,96$ et de premier terme $v_0=u_0-550=-250$.
    $\quad$
    b. Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=-250\times 0,96^n$.
    Et $u_n=v_n+550=550-250\times 0,96^n$.
    $\quad$
    c. En 2025 on a $n=7$.
    $u_7=550-250\times 0,96^7\approx 362,14$
    En 2025, Laurence aura donc $362,14\times 14=5~069,96$ soit $5~070$ pommiers sur son exploitation.
    $\quad$
    d. On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
    $\begin{align*} u_n>400 &\ssi 550-250\times 0,96^n>400 \\
    &\ssi -250\times 0,96^n>-150 \\
    &\ssi 0,96^n<0,6 \\
    &\ssi n\ln 0,96<\ln 0,6\\
    &\ssi n> \dfrac{\ln 0,6}{\ln 0,96} \end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln 0,6}{\ln 0,96}\approx 12,51$.
    Ainsi $u_n>400$ pour $n\pg 13$.
    On retrouve bien le résultat de la question 2.b.
    $\quad$

 

Ex 2 spé

Exercice 2

Candidats de ES ayant suivi la spécialité

  1. a. On obtient le graphe suivant :
    $\quad$
    b. On obtient la matrice de transition suivante : $\begin{pmatrix} 0,8&0,2\\0,4&0,6\end{pmatrix}$
    $\quad$
  2. a. On a $P_1=\begin{pmatrix} 0&1\end{pmatrix}$.
    $\quad$
    b. On a : $$\begin{align*}M^2&=M\times M\\
    &=\begin{pmatrix} 0,8^2+0,4\times 0,2&0,8\times 0,2+0,6\times 0,2\\
    0,4\times 0,8+0,6\times 0,4&0,4\times 0,2+0,6^2\end{pmatrix} \\
    &=\begin{pmatrix}0,72&0,28\\0,56&0,44\end{pmatrix}\end{align*}$$
    $\quad$
    On a $P_3=P_1\times M^2=\begin{pmatrix}0,56&0,44\end{pmatrix}$.
    La probabilité que Julie emprunte les routes départementales le 3$\ieme$ jour est $0,56$.
    $\quad$
  3. a. Pour tout entier $n$ on a $P_{n+1}=P_n\times M$.
    Donc $\begin{cases} d_{n+1}=0,8d_n+0,4r_n\\r_{n+1}=0,2d_n+0,6r_n\end{cases}$
    $\quad$
    b. Dans l’algorithme 1, la variable $D$ est modifiée pour le calcul de $R$. Il ne convient pas.
    On ne veut calculer que $2$ termes de la suite. L’algorithme 2 ne convient pas.
    Il faut donc utiliser l’algorithme 3.
    $\quad$
  4. Pour tout entier naturel $n$ non nul on a :
    $d_n+r_n=1 \ssi d_n=1-r_n$
    Donc :
    $\begin{align*} r_{n+1}&=0,2d_n+0,6r_n\\
    &=0,2\left(1-r_n\right)+0,6r_n\\
    &=0,2-0,2r_n+0,6r_n\\
    &=0,4r_n+0,2\end{align*}$
    $\quad$
  5. a. Pour tout entier naturel $n$ non nul on a $v_n=r_n-\dfrac{1}{3} \ssi r_n=v_n+\dfrac{1}{3}$.
    $\begin{align*} v_{n+1}&=r_{n+1}-\dfrac{1}{3} \\
    &=0,4r_n+0,2-\dfrac{1}{3}\\
    &=0,4r_n-\dfrac{2}{15}\\
    &=0,4\left(v_n+\dfrac{1}{3}\right)-\dfrac{2}{15}\\
    &=0,4v_n+\dfrac{2}{15}-\dfrac{2}{15}\\
    &=0,4v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,4$ et de premier terme $v_0=r_0-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$.
    $\quad$
    b. Ainsi, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $v_n=\dfrac{2}{3}\times 0,4^{n-1}$
    Et :
    $\begin{align*} r_n&=v_n+\dfrac{1}{3}\\
    &=\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}\times 0,4^{n-1}\\
    &=\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}\times 0,4^{n}\times \dfrac{1}{0,4}\\
    &=\dfrac{1}{3}+\dfrac{5}{3}\times 0,4^n\end{align*}$
    $\quad$
    c. $0<0,4<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,4^n=0$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} r_n=\dfrac{1}{3}$.
    Sur le long terme, la probabilité que Julie emprunte la voie rapide est $\dfrac{1}{3}$.
    $\quad$

 

 

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. On a :
    $\begin{align*} P(D<8)&=P(D<15,5)-P(8<D<15,5)\\
    &=0,5-P(8<D<15,5) \\
    &\approx 0,11\end{align*}$
    La probabilité qu’il y ait pénurie d’eau est environ égale à $0,11$.
    $\quad$
  2. On a :
    $P(8\pp D\pp 26) \approx 0,85$
    La probabilité qu’il n’y ait pas de vigilance particulière est environ égale à $0,85$.
    $\quad$
  3. On a $P(3,5<D<27,5)=P(\mu-2\sigma<D<\mu+2\sigma)\approx 0,95$.
    la probabilité que le débit observé soit compris entre $3,5$ m$^3$.s$^{-1}$ et $27,5$ m$^3$.s$^{-1}$ est d’environ $0,95$.
    $\quad$

Partie B

  1. On effectue $10$ tirages aléatoires, indépendants et identiques.
    À chaque tirage il y a deux issues $S$ : “L’équipe de Sébastien a effectué le relevé” et $\conj{S}$.
    De plus $p(S)=0,25$.
    On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de relevés effectués par l’équipe de Sébstien.
    $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,25$.
    $\quad$
  2. On a $P(X=4)=\ds \binom{10}{4}0,25^4\times 0,75^6\approx 0,15$.
    La probabilité que $4$ relevés exactement soient effectués par l’équipe de Sébastien est environ égale à $0,15$.
    $\quad$
  3. On a :
    $P(X\pg 2)=1-P(X<2)=1-P(X\pp 1) \approx 0,76$.
    La probabilité qu’au moins $2$ relevés soient effectués par l’équipe de Sébastien est environ égale à $0,76$.
    $\quad$

Partie C

Un intervalle de confiance est $I_n=\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}};f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$
Son amplitude est $\dfrac{2}{\sqrt{n}}$.

On veut donc résoudre :
$\begin{align*} \dfrac{2}{\sqrt{n}}\pp 0,1 &\ssi \sqrt{n}\pg 20\\
&\ssi n\pg 400\end{align*}$

Il faut donc réaliser au moins $400$ mesures.

$\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

Partie A

  1. Graphiquement $f(0)=112$ et $f(60)=70$.
    $\quad$
  2. Le point $A$ d’abscisse $7$ est un point d’inflexion. Donc $f\dsec(7)=0$.
    $\quad$
  3. a.

    $\quad$
    b. L’aire du domaine contient au moins $20$ carreaux.
    Chaque carreau a une aire de $10\times 20=200$ u.a.
    L’aire du domaine est donc supérieure ou égale à $20\times 200=4~000$ u.a.
    L’affirmation n’est donc pas correcte.
    $\quad$

Partie B

  1. D’après l’énoncé la fonction $f$ est dérivable.
    Pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0;60]$ on a:
    $\begin{align*} f'(x)&=14\e^{-x/5}+(14x+42)\times \left(-\dfrac{1}{5}\e^{-x/5}\right) \\
    &=\left(14-\dfrac{1}{5}\times (14x+42)\right)\e^{-x/5} \\
    &=\dfrac{1}{5}\left(70-14x-42\right)\e^{-x/5}\\
    &=\dfrac{1}{5}(-14x+28)\e^{-x/5}\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $-14x+28$.
    $-14x+28=0 \ssi 14x=28\ssi x=2$
    $-14x+28>0\ssi -14x>-28\ssi x<2$
    Ainsi :
    – $f'(x)<0$ sur l’intervalle $[0;2[$;
    – $f'(2)=0$;
    – $f'(x)<0$ sur l’intervalle $]2;60]$.
    $\quad$
    b. On obtient donc le tableau de variations suivant :

    $\quad$
  3. D’après le logiciel de calcul formel on a $f\dsec(x)=14\e^{-x/5}\times \dfrac{x-7}{25}$.
    La fonction exponentielle est strictement croissante sur l’intervalle $[0;60]$.
    Le signe de $f\dsec(x)$ ne dépend donc que de celui de $x-7$.
    Or $x-7=0 \ssi x=7$ et $x-7>0\ssi x>7$.
    La fonction $f$ est donc concave sur l’intervalle $[0;7]$ et convexe sur l’intervalle $[7;60]$.
    $\quad$
  4. a. La fonction $G$ est dérivable sur l’intervalle $[0;60]$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $\begin{align*} G'(x)&=-70\e^{-x/5}+(-70x-560)\times \left(-\dfrac{1}{5}\e^{-x/5}\right) \\
    &=(-70+14x+112)\e^{-x/5}\\
    &=(14x+112)\e^{-x/5}\\
    &=g(x)\end{align*}$
    La fonction $G$ est donc une primitive de la fonction $g$ sur l’intervalle $[0;60]$.
    $\quad$
    b. Une primitive de la fonction $f$ est donc la fonction $F$ définie sur l’intervalle $[0;60]$ par $F(x)=70x+(-70x-560)\e^{-x/5}$
    $\quad$
    c. On a :
    $\begin{align*} I&=\ds \int_0^{60} f(x)\dx \\
    &=F(60)-F(0) \\
    &=4~200-4~760\e^{-12}+560\\
    &=4~760\left(1-\e^{-12}\right)\\
    &\approx 4~760 \text{ u.a.}\end{align*}$
    $\quad$

Partie C

La surface à vernir a une aire égale à :
$\begin{align*} \mathscr{A}&=2I+5~400 \\
&\approx 14~920\text{ cm}^2 \end{align*}$

Or $\dfrac{1}{4}\times 10$ m$^2$ $=25~000$ cm$^2$ $>14~960$ cm$^2$.

L’ébéniste aura donc suffisamment de vernis.
$\quad$

 

Énoncé

Exercice 1     5 points

Pour chacune des cinq affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse donnée.

  1. Pour tout événement $E$, on note $\conj{E}$ l’événement contraire de $E$.
    On considère l’arbre pondéré suivant :

    Affirmation 1 : La probabilité de ܴ$\conj{R}$ sachant ܵest $0,06$.
    $\quad$
  2. Soit ݇ un réel tel que $0\pp k<18$. Soit ܺ$X$ une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l’intervalle $[݇k ; 18]$. On suppose que l’espérance de ܺ$X$ est égale à $12$.

    Affirmation 2 : La valeur de $k$ est $9$.
    $\quad$

  3. On considère l’équation suivante : $$\ln\left(x^2\right)-\ln\left(\dfrac{x^5}{\e}\right)+\ln(2)=\ln(2x)+5$$

    Affirmation 3 :$\dfrac{1}{\e}$ est l’unique solution de cette équation.
    $\quad$

  4. Soit ݂$f$ une fonction dérivable sur l’intervalle $[0 ; 15]$. On suppose que sa fonction dérivée, notée ݂$f’$, est continue sur $[0 ; 15]$. Les variations de $f’$ sont représentées dans le tableau ci-dessous.

    Affirmation 4 : La courbe représentative $C_f$ de la fonction ݂$f$ admet une et une seule tangente parallèle à l’axe des abscisses.
    $\quad$
    Affirmation 5 : La fonction ݂$f$ est convexe sur $[5 ; 15]$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

Candidats de ES n’ayant pas suivi la spécialité ou candidats de L

En 2018, Laurence, souhaitant se lancer dans l’agriculture biologique, a acheté une ferme de $14$ hectares de pommiers. Elle estime qu’il y a $300$ pommiers par hectare.
Chaque année, Laurence éliminera $4 \%$ des pommiers existants et replantera $22$ nouveaux pommiers par hectare.
Pour tout entier naturel $n$ ݊, on note $u_n$ le nombre de pommiers par hectare l’année 2018 $+n$ ݊. On a ainsi $u_0=300$.

  1.  a. Justifier que, pour tout entier naturel ݊$n$, on a $u_{n+1}=0,96u_n+22$
    $\quad$
    b. Estimer le nombre de pommiers par hectare, arrondi à l’unité, en 2020.
    $\quad$
  2. Laurence veut savoir à partir de quelle année la densité de pommiers dépassera $400$ pommiers par hectare. Pour cela, on utilise l’algorithme suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    N\leftarrow 0\\
    U\leftarrow 300\\
    \text{Tant que } U\ldots\\
    \hspace{1cm} N\leftarrow N+1\\
    \hspace{1cm} U\leftarrow \ldots\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    a. Recopier et compléter l’algorithme ci-dessus pour qu’il détermine le rang de l’année cherchée.
    $\quad$
    b. Quelle est la valeur de ܰ en sortie de l’algorithme ?
    $\quad$
  3. On définit la suite $\left(v_n\right)$ en posant $v_n=u_n-550$, pour tout entier naturel ݊.
    a. Démontrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme $v_0$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel ݊$n$, exprimer $v_n$ en fonction de ݊$n$ puis démontrer que : $$u_n=550-250\times 0,96^n$$
    $\quad$
    c. Estimer le nombre de pommiers de l’exploitation de Laurence en 2025.
    $\quad$
    d. En résolvant l’inéquation $u_n>400$ , retrouver le résultat obtenu à la question 2. b.
    $\quad$

Exercice 2     5 points

Candidats de ES ayant suivi la spécialité

Pour se rendre à l’université, Julie peut emprunter deux itinéraires, l’un passant par des routes départementales, l’autre par une voie rapide. Elle teste les deux itinéraires.
Lorsque Julie emprunte la voie rapide un jour, la probabilité qu’elle emprunte le même itinéraire le lendemain est de $0,6$.
Lorsque Julie emprunte les routes départementales un jour, la probabilité qu’elle emprunte la voie rapide le lendemain est de $0,2$.
Le premier jour, Julie emprunte la voie rapide.
On note :

  • $D$ l’événement « Julie emprunte les routes départementales » ;
  • $R$ l’événement « Julie emprunte la voie rapide ».
  1. a. Traduire ces informations à l’aide d’un graphe probabiliste dont les sommets seront notés $D$ et ܴ$R$.
    $\quad$
    b. Donner la matrice de transition $M$ correspondant au graphe probabiliste.
    Les sommets du graphe seront rangés dans l’ordre alphabétique.
    $\quad$
  2. Pour tout entier ݊ supérieur ou égal à $1$, l’état probabiliste le ݊$n$-ième jour est défini par la matrice ܲ$P_n=\begin{pmatrix}d_n&r_n\end{pmatrix}$ désigne la probabilité que Julie emprunte les routes départementales le ݊$n$-ième jour et $r_n$ la probabilité que Julie emprunte la voie rapide le ݊$n$-ième jour.
    a. Donner ܲ$P_1$.
    $\quad$
    b. Calculer $M^2$ et en déduire la probabilité que Julie emprunte les routes départementales le $3^{\e}$ jour.
    $\quad$
  3. a. Exprimer, pour tout entier naturel ݊$n$ non nul, ܲ$P_{n+1}$ en fonction de ܲ$P_n$ et en déduire les expressions de ݀$d_{n+1}$ et $r_{n+1}$ en fonction de ݀$d_n$ et $r_n$.
    $\quad$
    b. Parmi les algorithmes suivants, lequel donne les termes $d_3$ et $r_3$ ?
    $\quad$
    $$\begin{array}{|l|l|l|}
    \hline
    \text{Algorithme 1}&\text{Algorithme 2}&\text{Algorithme 3}\\
    \hline
    D\leftarrow 0&D\leftarrow 0&D\leftarrow 0\\
    R\leftarrow 1&R\leftarrow 1&R\leftarrow 1\\
    \text{Pour $N$ allant de $1$ à $3$}&\text{Pour $N$ allant de $1$ à $3$}&\text{Pour $N$ allant de $1$ à $3$}\\
    \hspace{1cm}D\leftarrow 0,8D+0,4R&\hspace{1cm}D\leftarrow 0,8D+0,4R&\hspace{1cm}D\leftarrow 0,8D+0,4R\\
    \hspace{1cm}R\leftarrow 0,2D+0,6R&\hspace{1cm}R\leftarrow 1-D&\hspace{1cm}R\leftarrow 1-D\\
    \text{Fin Pour}&\text{Fin Pour}&\text{Fin Pour}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  4. Montrer que, pour tout entier naturel ݊$n$ non nul, $r_{n+1}=0,4r_n+0,2$.
    $\quad$
  5. On définit la suite $\left(v_n\right)$ par $v_n=r_n-\dfrac{1}{3}$ pour tout entier naturel ݊$n$ non nul.
    a. Démontrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme $v_1$.
    $\quad$
    b. Exprimer $v_n$ en fonction de ݊$n$ puis démontrer que, pour tout entier naturel ݊$n$ non nul : $$r_n=\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}\times 0,4^{n-1}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{5}{3}\times 0,4^n$$
    $\quad$
    c. Que peut-on prévoir sur le long terme ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     5 points

Les trois parties peuvent être traitées de manière indépendante.
Les résultats seront arrondis au centième.

Partie A

Les cours d’eau français sont surveillés quotidiennement afin de prévenir la population en cas de crue ou pénurie d’eau.
Dans une station hydrométrique, on mesure le débit quotidien d’une rivière.
Ce débit en mètre cube par seconde ($\text{m}^3.\text{s}^{-1}$) peut être modélisé par une variable aléatoire $D$ qui suit la loi normale de paramètres $\mu=15,5$ et $\sigma=6$.
On estime qu’il y a pénurie d’eau lorsque le débit de la rivière est inférieur à $8 \text{ m}^3.\text{s}^{-1}$.
On estime qu’il y a un risque de crue lorsque le débit est supérieur à $26\text{ m}^3.\text{s}^{-1}$.
Entre ces deux débits, il n’y a pas de vigilance particulière.

  1. Calculer la probabilité qu’il y ait pénurie d’eau.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité qu’il n’y ait pas de vigilance particulière.
    $\quad$
  3. Justifier, sans utiliser la calculatrice, que la probabilité que le débit observé soit compris entre $3,5\text{ m}^3.\text{s}^{-1}$ et $27,5\text{ m}^3.\text{s}^{-1}$ est d’environ $0,95$.
    $\quad$

Partie B
Deux équipes effectuent les relevés de débit du cours d’eau sur la station hydrométrique. Sébastien appartient à la première équipe.
Un quart des relevés est effectué par l’équipe de Sébastien, le reste par la seconde équipe.
On choisit $10$ relevés au hasard sur l’ensemble des relevés de la station, ensemble qui est suffisamment grand pour que ce choix puisse être assimilé à $10$ tirages avec remise. On s’intéresse au nombre de relevés effectués par l’équipe de Sébastien parmi ces $10$ relevés.

  1. Quelle loi de probabilité modélise cette situation ? Préciser les paramètres de cette loi.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité que $4$ relevés exactement soient effectués par l’équipe de Sébastien.
    $\quad$
  3. Calculer la probabilité qu’au moins $2$ relevés soient effectués par l’équipe de Sébastien.
    $\quad$

Partie C
Ces relevés sont utilisés pour tester la qualité de l’eau : « satisfaisante » ou « non satisfaisante ». On s’intéresse à la proportion de relevés de qualité « satisfaisante ».
Combien, au minimum, faut-il effectuer de relevés pour obtenir un intervalle au niveau de confiance de $95 \%$ dont l’amplitude est inférieure à $0,1$ ?
$\quad$

$\quad$

Exercice 4     5 points

Un ébéniste décide de refaire les accoudoirs d’un fauteuil (ébauche du fauteuil en annexe). On modélise l’accoudoir à l’aide de la fonction $f$ définie sur $[0 ; 60]$ par : $$f(x)=70+(14x+42)\e^{-x/5}$$
La courbe représentative de $f$ ݂, notée $C_f$ est donnée en annexe.
On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur l’intervalle $[0 ; 60]$. On note $f’$ sa fonction dérivée et ݂$f\dsec$ sa fonction dérivée seconde.

Partie A
Dans toute cette partie, les réponses sont obtenues graphiquement à partir de la courbe représentative de $f$ donnée en annexe.

On admet que le point $A$ de $C_f$ d’abscisse $7$ est un point d’inflexion de $C_f$.

  1. Déterminer une valeur approchée de ݂$f(0)$ et ݂$f(60)$.
    $\quad$
  2. Déterminer ݂$f\dsec(7)$.
    $\quad$
  3. On considère la surface située entre l’axe des abscisses, la courbe $C_f$ et les droites d’équation $x=0$ et $x=60$.
    a. Hachurer la surface décrite ci-dessus sur l’annexe.
    $\quad$
    b. L’ébéniste estime l’aire de cette surface à $3~800$ unités d’aire. Cette estimation est-elle correcte ?
    $\quad$

Partie B

  1. Justifier que pour tout nombre réel $x$ de l’intervalle $[0 ; 60]$ on a : $$f'(x)=\dfrac{1}{5}(-14x+25)\e^{-x/5}$$
    $\quad$
  2. a. Étudier le signe de ݂$f'(x)$ sur l’intervalle $[0 ; 60]$.
    $\quad$
    b. Dresser le tableau de variations de la fonction ݂$f$ sur l’intervalle $[0 ; 60]$.
    On arrondira à l’unité près les valeurs numériques qui apparaissent dans le tableau de variations.
    $\quad$
  3. Un logiciel de calcul formel permet d’afficher les lignes suivantes :


    En utilisant les résultats ci-dessus, étudier la convexité de ݂$f$.
    $\quad$

  4. Pour tout nombre réel $x$ de l’intervalle $[0 ; 60]$, on pose :
    $$g(x)=(14x+42)\e^{-x/5} \quad \text{et} \quad G(x)=(-70x-560)\e^{-x/5}$$
    a. Montrer que $G$ est une primitive de ݃$g$ sur l’intervalle $[0 ; 60]$.
    $\quad$
    b. En déduire une primitive de ݂$f$ sur l’intervalle $[0 ; 60]$.
    $\quad$
    c. Calculer la valeur exacte de $\ds \int_0^{60} f(x)\dx$ , puis en donner une valeur approchée à l’unité d’aire près.
    $\quad$

Partie C
L’ébéniste découpe $2$ accoudoirs identiques sur le modèle de la surface hachurée de l’annexe en choisissant comme unité le cm.
Il souhaite vernir les deux faces de chaque accoudoir (annexe) ainsi que le dossier du fauteuil dont l’aire est égale à $5~400$ cm$^2$. Or il lui reste le quart d’un petit pot de vernis pouvant couvrir $10$ m$^2$. Aura-t-il suffisamment de vernis ?
$\quad$

Annexe