Bac ES/L – Métropole – Septembre 2019

Métropole La Réunion – Septembre 2019

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici .

Ex 1

Exercice 1

  1. On a $u_0=225$ et $u_1=\left(1-\dfrac{4}{100}\right)u_0+8=0,96\times 225+8=224$
    $\quad$
  2. Chaque année, $4\%$ des médecins cessent leur activité. Cela signifie donc que $96\%$ des médecins continuent. Cela représente donc $0,96u_n$.
    Chaque année $8~000$ nouveaux médecins ($8$ milliers) s’installent.
    Donc, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}=0,96u_n+8$.
    $\quad$
  3. On obtient l’algorithme suivant :
    $\begin{array}{|l|}
    \hline
    U\leftarrow 225\\
    \text{Pour $N$ allant de $2~019$ à $2~031$} \\
    \hspace{1cm} U\leftarrow 0,96\times U+8\\
    \text{Fin Pour}\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
  4. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=u_n-200\ssi u_n=v_n+200$
    $\begin{align*}
    v_{n+1}&=u_{n+1}-200\\
    &=0,96u_n+8-200\\
    &=0,96u_n-192\\
    &=0,96\left(v_n+200\right)-192\\
    &=0,96v_n+192-192\\
    &=0,96v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,96$ et de premier terme $v_0=u_0-200=25$.
    $\quad$
    b. Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $v_n=25\times 0,96^n$.
    $\quad$
    c. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a :
    $u_n=v_n+200=25\times 0,96^n+200$
    $\quad$
  5. a. Pour tout entier naturel $n$, on a $-0,96^n<0$.
    Par conséquent $u_{n+1}-u_n=-0,96^n<0$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc strictement décroissante.
    $\quad$
    b. Cela signifie que chaque année le nombre de médecins actifs va diminuer.
    $\quad$
  6. a. On veut déterminer l’ensemble des entiers naturels $n$ tels que :
    $\begin{align*} 25\times 0,96^n+200<210&\ssi 25\times 0,96^n<10 \\
    &\ssi 0,96^n<0,4 \\
    &\ssi n\ln 0,96< \ln 0,4\\
    &\ssi n>\dfrac{\ln 0,4}{\ln 0,96}\end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln 0,4}{\ln 0,96}\approx 22,4$.
    L’ensemble solution de l’inéquation est l’ensemble des entiers naturels supérieurs ou égaux à $23$.
    $\quad$
    b. Cela signifie qu’à partir de 2041 il y a aura strictement moins de $210~000$ médecins actifs en France.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. $P(X>14)=P(X>12)-P(12<X<14)=0,5-P(12<X<14)$
    $P(X<11)=P(X<12)-P(11<X<12)=0,5-P(12<X<13)$ car $P(\mu-1<X<\mu)=P(\mu<X<\mu+1)$.
    Donc $P(X<11) \neq P(X>14)$.
    Affirmation A fausse
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est continue sur $\R$ en tant que composée de fonctions continues sur $\R$. Elle admet donc une primitive $F$ définie également sur $\R$.
    Pour tout réel $x$, on a donc $F(x)=\dfrac{5}{-0,3}\e^{-0,3x}+x$
    La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;5]$ est :
    $\begin{align*} m&=\dfrac{1}{5-0}\ds \int_0^5f(x)\dx \\
    &=\dfrac{1}{5}\left(F(5)-F(0)\right) \\
    &=\dfrac{-\dfrac{5}{0,3}\e^{-1,5}+5+\dfrac{5}{0,3}}{5} \\
    &\approx 3,6\end{align*}$
    Affirmation B vraie
    $\quad$
  3. On a $n=180$ et $p=\dfrac{1}{3}$
    Par conséquent $n=180\pg 5$, $np=60\pg 5$ et $n(1-p)=120\pg 5$.
    Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de confiance de $95\%$ de la proportion d’employés intéressé par une telle salle est donc :
    $\begin{align*} I_{180}&=\left[\dfrac{1}{3}-1,96\sqrt{\dfrac{\dfrac{1}{3}\times \dfrac{2}{3}}{180}};\dfrac{1}{3}+1,96\sqrt{\dfrac{\dfrac{1}{3}\times \dfrac{2}{3}}{180}}\right] \\
    &\approx [0,264;0,403]\end{align*}$
    La fréquence observée est $f=\dfrac{72}{180}=0,4 \in I_{180}$
    Affirmation C fausse
    $\quad$
  4. Graphiquement, sur l’intervalle $[1;3]$ la fonction $f$ est décroissante. Cela signifie donc que $f'(x)\pp 0$ sur cet intervalle.
    Or $f’$ est la dérivée seconde de la fonction $F$.
    Par conséquent $F$ est concave sur l’intervalle $[1;3]$.
    Affirmation D fausse
    $\quad$
    Remarque : On pouvait directement conclure quant à la convexité de la fonction $F$ à partir des variations de la fonction $f$.
    $\quad$
  5. $f$ est une fonction polynôme du second degré définie sur l’intervalle $[0;1]$.
    Elle est donc continue sur cet intervalle.
    $\Delta=(-4)^2-4\times 3\times 2=16-24=-8<0$
    Puisque $a=3>0$, la fonction $f$ est donc positive sur l’intervalle $[0;1]$.
    De plus :
    $\begin{align*} \ds \int_0^1 f(x)\dx&=\int_0^1\left(3x^2-4x+2\right)\dx \\
    &=\left[x^3-2x^2+2x\right]_0^1 \\
    &=1-2+2-0\\
    &=1\end{align*}$
    La fonction $f$ est donc une fonction de densité sur l’intervalle $[0;1]$.
    Affirmation E vraie
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A : étude graphique

  1. Graphiquement, une valeur approchée du minimum de la fonction $f$ sur l’intervalle $[1,1;8]$ est $4,3$. Il semble être atteint pour $x=2$.
    $\quad$
  2. La fonction $f$ semble croissante sur l’intervalle $[4;8]$.
    Par conséquent $f'(5)>0$.
    $\quad$
  3. La fonction $f$ est continue et positive sur l’intervalle $[2;4]$.
    L’intégrale cherchée est donc égale à l’aire du domaine compris entre l’axe des abscisses, la courbe et les droites d’équation $x=2$ et $x=4$.
    Ce domaine contient est contenu dans un rectangle de taille $2\times 5$ et contient $8$ carrés unités entiers et deux morceaux de carré dont la somme des aires est supérieure à $1$.
    Par conséquent $9\pp \ds \int_2^4 f(x)\dx \pp 10$.
    $\quad$
  4. Il semblerait que sur l’intervalle $[6;8]$ la courbe se situe sous ses tangentes. La fonction $f$ serait donc concave sur cet intervalle.
    La fonction $f$ ne semble donc pas convexe sur l’intervalle $[1,1;8]$.
    $\quad$

Partie B : étude analytique

  1. D’après l’énoncé la fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[1,1;8]$.
    Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[1,1;8]$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{2\ln(x)-\dfrac{1}{x}(2x-1)}{\left(\ln(x)\right)^2} \\
    &=\dfrac{2\ln(x)-2+\dfrac{1}{x}}{\left(\ln(x)\right)^2}\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. La fonction $h$ est dérivable sur l’intervalle $[1,1;8]$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x$ de l’intervalle $[1,1;8]$ on a :
    $h'(x)=2\times \dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{2x-1}{x^2}$
    $\quad$
    b. $x^2>0$ sur l’intervalle $[1,1;8]$.
    De plus $2x-1=0 \ssi x=\dfrac{1}{2}$ et $2x-1>0 \ssi 2x>1\ssi x>\dfrac{1}{2}$.
    Par conséquent $h'(x)>0$ sur l’intervalle $[1,1;8]$.
    La fonction $h$ est donc strictement croissante sur l’intervalle $[1,1;8]$.
    $\quad$
    c. La fonction $h$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur l’intervalle $[1,1;8]$.
    On a $h(1,1)\approx -0,9<0$ et $h(8)\approx 2,3>0$
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires l’équation $h(x)=0$ possède une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[1,1;8]$.
    D’après la calculatrice on a $h(2)\approx -0,11$ et $h(3)\approx 0,53$.
    Donc $2<\alpha<3$.
    $\quad$
  3. Cela signifie donc que :
    $\bullet$ $h(x)<0$ sur l’intervalle $[1,1;\alpha[$;
    $\bullet$ $h(\alpha)=0$;
    $\bullet$ $h(x)>0$ sur l’intervalle $]\alpha;8]$.
    $\quad$
  4. Pour tout réel $x$ de l’intervalle $[1,1;8]$ on a $f'(x)=\dfrac{h(x)}{\left(\ln(x)\right)^2}$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $h(x)$.
    D’après la question précédente, cela signifie alors que la fonction $h$ est strictement décroissante sur l’intervalle $[1,1;\alpha]$ et strictement croissante sur l’intervalle $[\alpha;8]$.
    $\quad$

 

Ex 4 obl

Exercice 4

Partie A

  1. On a $P(R)=0,32$ et $P_A(R)=0,25$.
    $\quad$
  2. On obtient donc l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  3. D’après l’arbre pondéré on a $P(A\cap R)=0,53\times 0,25=0,132~5$.
    La probabilité que le client ait plus de 50 ans et soit intéressé par des placements dits risqués est $0,132~5$.
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_R(A)&=\dfrac{P(A\cap R)}{P(R)} \\
    &=\dfrac{0,132~5}{0,32} \\
    &\approx 0,414\end{align*}$
    Sachant que le client est intéressé par des placements dits risqués, quelle est la probabilité qu’il ait plus de 50 ans est environ égale à $0,414$.
    $\quad$
  5. D’après la formule des probabilités totales, on a :
    $\begin{align*} &P(R)=P(A\cap R)+P\left(\conj{A}\cap R\right) \\
    \ssi & 0,32=0,132~5+P\left(\conj{A}\cap R\right) \\
    \ssi & P\left(\conj{A}\cap R\right) =0,187~5\end{align*}$
    La probabilité que le client ait moins de 50 ans et soit intéressé par des placements dits risqués est $0,187~5$.
    $\quad$
    $\begin{align*} P_{\conj{A}}(R)&=\dfrac{P\left(\conj{A}\cap R\right) }{P\left(\conj{A}\right)} \\
    &=\dfrac{0,187~5}{0,47} \\
    &\approx 0,399\end{align*}$
    La probabilité que le client soit intéressé par des placements dits risqués sachant qu’il a moins de 50 ans est environ égale à $0,399$.
    $\quad$

Partie B

  1. On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de clients faisant un placement $R_1$.
    On effectue donc $45$ tirages aléatoires, identiques et indépendants. À chaque tirage il n’y a que deux issues : $R_1$ et $\conj{R_1}$. De plus $P\left(R_1\right)=0,23$.
    La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=45$ et $p=0,23$.
    a. Par conséquent $P(X=10)=\ds \binom{45}{10}0,23^{10}\times (1-0,23)^{45-10}\approx 0,141$.
    La probabilité que Camille place le produit R1 auprès de 10 clients exactement ce mois-ci est environ égale à $0,141$.
    $\quad$
    b. $P(X\pg 15)=1-P(X<14)\approx 0,075$
    La probabilité que Camille ait 300( de prime est environ égale à $0,075$.
    $\quad$
    c. $P(10\pp X\pp 14)=P(X\pp 14)-P(X\pp 9) \approx 0,532$
    La probabilité que Camille ait 150( exactement de prime est environ de
    $0,532$.
    $\quad$
  2. On appelle $x$ le taux d’intérêt annuel moyen du placement $R_1$ sur ces $5$ dernières années.
    On a donc :
    $\begin{align*} \left(1+\dfrac{x}{100}\right)^5=1+\dfrac{30}{100} &\ssi 1+\dfrac{x}{100}=1,3^{1/5} \\
    &\ssi \dfrac{x}{100}=1,3^{1/5}-1 \\
    &\ssi x=100\left(1,3^{1/5}-1\right)\end{align*}$
    Par conséquent $x\approx 5,39$.
    Le taux d’intérêt annuel moyen du placement $R_1$ sur ces $5$ dernières années est environ égal à $5,39\%$.
    $\quad$

 

 

Ex 4 spé

Exercice 4

  1. Le cycle $N-K-I-H-L-M-G-E-F-J-N$ contient tous les sommets du graphe.
    Deux sommets quelconque du graphe sont donc reliés par une chaîne.
    Le graphe est connexe.
    $\quad$
  2. Au moins trois sommets ($F$, $G$ et $L$) sont de degrés impairs.
    Le graphe de possède donc pas de chaîne eulérienne.
    Louisa a donc raison.
    $\quad$
  3. a. Le sommets $E$ et $I$ ne sont pas adjacents. Donc $a=0$.
    Les sommets $K$ et $I$ sont adjacents. Donc $b=1$ et $c=1$.
    $\quad$
    b. Le coefficient ${M^3}_{2,8}=4$.
    Il existe donc exactement $4$ chemins de longueur $3$ reliant $F$ à $L$ : $F-E-H-L$, $F-J-M-L$, $F-G-H-L$ et $F-G-M-L$
    $\quad$
    c. $4+7+8+7+1+4+2+2+5+3=43$.
    $43$ chemins de longueur $3$ partent de $E$.
    $\quad$
    d. Le coefficient $11$ de la matrice $S$ situé à l’intersection de la première ligne et de la troisième colonne signifie que $11$ chemins de longueur $1$, $2$ ou $3$ relient $E$ et $G$.
    $\quad$
  4. a. On utilise l’algorithme de Dijkstra :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    E&F&G&H&I&J&K&L&M&N&\text{Sommet}\\
    \hline
    0&\phantom{12(H)}&\phantom{12(H)}&\phantom{12(H)}&\phantom{12(H)}&\phantom{12(H)}&\phantom{12(H)}&\phantom{12(H)}&\phantom{12(H)}&\phantom{12(H)}&E\\
    \hline
    \phantom{12(H)}&5(E)&3(E)&6(E)&&&&&&&G\\
    \hline
    &5(E)&&5(G)&&9(G)&&&11(G)&&F\\
    \hline
    &&&5(G)&&9(G)&&&11(G)&&H\\
    \hline
    &&&&12(H)&9(G)&&9(H)&11(G)&&J\\
    \hline
    &&&&12(H)&&&9(H)&11(G)&17(J)&L\\
    \hline
    &&&&12(H)&&15(L)&&10(L)&17(J)&M\\
    \hline
    &&&&12(H)&&15(L)&&&15(M)&I\\
    \hline
    &&&&&&15(L)&&&15(M)&K\\
    \hline
    &&&&&&&&&15(M)&N\\
    \hline
    \end{array}$$
    Le chemin le plus rapide ($15$ minutes) que doivent emprunter Louisa et Antoine pour se rendre du restaurant au départ du défilé le plus rapidement possible est $E-G-H-L-M-N$.
    $\quad$
    b. Ils doivent donc quitter le restaurant au plus tard à 15h45 pour assister au début du défilé.
    $\quad$

 

Énoncé

Télécharger (PDF, 97KB)

Si l’énoncé ne s’affiche pas directement rafraîchissez l’affichage.

Bac ES/L – Antilles Guyane – Septembre 2019

Antilles Guyane – Septembre 2019

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici .

Ex 1

Exercice 1

  1. Sur l’intervalle $]-1;+\infty[$
    $\begin{align*} \ln 5+\ln(x+1)=1&\ssi \ln\left(5(x+1)\right)=\ln \e \\
    &\ssi 5(x+1)=\e \\
    &\ssi x+1=\dfrac{\e}{5} \\
    &\ssi x=\dfrac{\e}{5}-1\end{align*}$
    Réponse c
    $\quad$
  2. Pour tout réel $x>0$ on a :
    $f'(x)=2\times \dfrac{1}{x}-1$
    Donc $f'(2)=2\times \dfrac{1}{2}-1=0$
    Réponse b
    $\quad$
  3. On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ vérifiant :
    $\begin{align*} 2^n>175&\ssi n\ln 2>\ln 175 \\
    &\ssi n>\dfrac{\ln 175}{\ln 2}\end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln 175}{\ln 2}\approx 7,45$
    Ainsi, le plus petit entier naturel $n$ cherché est $8$.
    Réponse c
    $\quad$
  4. $f’$ est la dérivée seconde de la fonction $F$.
    $f'(x)>0$ sur l’intervalle $[-3;-1]$ donc $F$ est convexe sur cet intervalle.
    Réponse c
    $\quad$

 

Ex 2 obl

Exercice 2

Partie A

La situation peut être représentée à l’aide de cet arbre pondéré :

  1. On veut calculer $P(A\cap C)=\dfrac{900}{1~500}\times 0,95=0,57$
    La probabilité que le flacon provienne du site A et ait un aspect conforme au cahier des charges est égale à $0,57$.

    $\quad$

  2. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*}P(C)&=P(A\cap C)+P(B\cap C) \\
    &=0,57+\dfrac{600}{1~500}\times 0,92 \\
    &=0,938\end{align*}$

    La probabilité que le flacon ait un aspect conforme au cahier des charges est $0,938$.

    $\quad$

  3. On veut calculer :
    $\begin{align*}P_{\conj{C}}(B)&=\dfrac{P\left(B\cap \conj{C}\right)}{P\left(\conj{C}\right)} \\
    &=\dfrac{\dfrac{600}{1~500}\times 0,08}{1-0,938}\\
    &\approx 0,516\end{align*}$

    La probabilité que le flacon provienne du site B sachant qu’il un aspect non conforme est environ égale à $0,516$.
    $\quad$

Partie B

On a :
$\begin{align*}P(X\pg 98)&=P(98\pp X\pp 100)+P(X\pg 100) \\
&=P(98\pp X\pp 100)+0,5 \\
&\approx 0,977\end{align*}$

La probabilité qu’un flacon prélevé au hasard soit correctement rempli est environ égale à $0,977$.
$\quad$
Partie C
On a $n=120$ et $p=0,96$
Ainsi $n=120\pg 30$, $np=115,2 \pg 5$ et $n(1-p)=4,8<5$
Normalement, on ne peut pas utiliser les formules vues en terminales sur les intervalles de fluctuation asymptotique à $95\%$.
On considère la variable aléatoire $X$ qui suit la loi binomiale de paramètres $n=120$ et $p=0,96$ comptant le nombre de flacons correctement remplis.
On doit donc chercher les plus petites valeurs de $a$ et $b$ telles que $P(X\pp a)>0,025$ et $P(X\pp b)\pg 0,975$.
À l’aide de la calculatrice, on trouve $a=111$ et $b=119$
On obtient ainsi l’intervalle de fluctuation (pas asymptotique, attention) au seuil de $95\%$ :
$\begin{align*} I_{120}&=\left[\dfrac{111}{120};\dfrac{119}{120}\right] \\
&\approx [0,925;0,992]\end{align*}$
La fréquence observée est $f=\dfrac{120-18}{120}=0,85 \notin I_{120}$.
Au risque d’erreur de $95\%$, l’affirmation du producteur est fausse.
$\quad$
Si la vérification des conditions n’a pas été faite au préalable, voici les résultats obtenus (mais faux!).
Un intervalle de fluctuation asymptotique, au seuil de $95\%$,  de la proportion de flacons correctement remplis est :
$\begin{align*} I_{120}&=\left[0,96-1,96\sqrt{\dfrac{0,96\times 0,04}{120}};0,96+1,96\sqrt{\dfrac{0,96\times 0,04}{120}}\right] \\
&\approx [0,924;0,996]\end{align*}$
La fréquence observée est $f=\dfrac{120-18}{120}=0,85 \notin I_{120}$.
Au risque d’erreur de $95\%$, l’affirmation du producteur est fausse.
$\quad$

 

Ex 2 spé

Exercice 2

  1. Nous allons déterminer le degré des sommets.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Sommet}&A&B&C&D&E&F&G\\
    \hline
    \text{Degré}&5&4&4&2&4&5&2\\
    \hline
    \end{array}$
    Exactement deux sommets de ce graphe connexe sont de degré impair.
    Il est donc impossible de construire un cycle eulérienne.
    Le chasse-neige ne peut pas, par conséquent, partir de la station $G$ et y revenir en parcourant une et une seule fois chacune des routes.
    $\quad$
  2. D’après la question précédente, le graphe connexe possède une chaîne eulérienne.
    Elle peut donc parcourir une et une seule fois chacune des routes pour traiter l’ensemble du secteur.
    $\quad$
  3. Le nombre $10$ signifie qu’il existe $10$ exactement chemins permettant de relier les sommets $G$ et $D$ en $4$ étapes.
    $\quad$
  4. Nous allons utiliser l’algorithme de Dijsktra.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    A&B&C&D&E&F&G&\text{Sommet}\\
    \hline
    \phantom{111(A)}&\phantom{111(A)}&\phantom{111(A)}&\phantom{111(A)}&\phantom{111(A)}&\phantom{111(A)}&0&G\\
    \hline
    14(G)&38(G)&&&&&\phantom{111(A)}&A\\
    \hline
    &38(G)&78(A)&&49(A)&106(A)&&B\\
    \hline
    &&78(A)&&49(A)&106(A)&&E\\
    \hline
    &&78(A)&111(E)&&72(E)&&F\\
    \hline
    &&78(A)&89(F)&&&&C\\
    \hline
    &&&89(F)&&&&D\\
    \hline
    \end{array}$$
    Le parcours le plus rapide est $G-A-E-F-D$. Il faut $89$ minutes pour aller de la station $G$ à la station $D$.
    $\quad$
  5. Le parcours le plus rapide, dans ce cas, est $G-A-E-D$. Il mettrait alors $111$ minutes.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. a. On a $u_1=(1-0,2)\times u_0+600=0,8\times 10~000+600=8~600$
    et $u_2=0,8\times 8~600+600=7~480$
    $\quad$
    b. Il coupe $20\%$ des arbres chaque année. Cela signifie donc qu’il en conserve $80\%$, ce qui représente $0,8u_n$.
    Chaque année, il plante également $600$ nouveaux pieds d’arbre.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=0,8\times u_n+600$.
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=u_n-3~000 \ssi u_n=v_n+3~000$.
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-3~000 \\
    &=0,8u_n+600-3~000\\
    &=0,8u_n-2~400\\
    &=0,8\left(v_n+3~000\right)-2~400\\
    &=0,8v_n+2~400-2~400\\
    &=0,8v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,8$ et de premier terme $v_0=u_0-3~000=7~000$.
    $\quad$
    b. Cela signifie donc que, pour tout entier naturel $n$, on a $v_n=7~000\times 0,8^n$.
    $\quad$
    c. Par conséquent $u_n=v_n+3~000=7~000\times 0,8^n+7~000$.
    $\quad$
    d. $0<0,8<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,8^n=0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=3~000$.
    Si le réaménagement de cette parcelle se poursuit selon ce même modèle, il y aura $3~000$ arbres sur la parcelle sur le long terme.
    $\quad$

Partie B

  1. Dans l’algorithme 1, comme la condition de la boucle est $U\pp 4~000$, on ne rentre jamais dans celle-ci.
    Dans l’algorithme 2, il ne faut élever $0,8$ à la puissance $N$ (il s’agit d’un mélange entre la formule par récurrence et la formule explicite de $u_n$).
    $\quad$
  2. On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
    $\begin{align*} u_n\pp 4~000&\ssi 7~000\times 0,8^n+3~000 \pp 4~000 \\
    &\ssi 7\times 0,8^n+3\pp 4 \\
    &\ssi 7\times 0,8^n\pp 1 \\
    &\ssi 0,8^n \pp \dfrac{1}{7} \\
    &\ssi n\ln 0,8 \pp \ln \dfrac{1}{7} \\
    &\ssi n \pg \dfrac{\ln \dfrac{1}{7}}{\ln 0,8}\end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln \dfrac{1}{7}}{\ln 0,8} \approx 8,7$.
    La plus petite valeur de $n$ cherchée est donc $9$.
    C’est donc en 2027 qu’il devra cesser cesser son plan de réaménagement.
    $\quad$

 

 

Ex 4

Exercice 4

Partie A

  1. La droite $\mathscr{D}$ passe par les points $O(0;0)$ et $A(0,5;1)$.
    $0\neq 0,5$ par conséquent le coefficient directeur de cette droite est :
    $a=\dfrac{1-0}{0,5-0}=2$.
    La droite $\mathscr{D}$ passant par l’origine du repère a alors pour équant $y=2x$.
    $\quad$
  2. La tangente $T$ est horizontale. Par conséquent $f'(1)=0$.
    $\quad$
  3. La fonction $f$ semble concave sur l’intervalle $[0;1,75]$. La courbe $\mathscr{C}$ semble en effet située sous ses tangentes sur cet intervalle.
    $\quad$

Partie B

  1. a. D’après l’énoncé la fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[0;3]$.
    Pour tout réel $x$ de cet intervalle, on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=2\e^{-0,5x^2}+2x\times (-0,5\times 2x)\e^{-0,5x^2} \\
    &=(2-2x^2)\e^{-0,5x^2}\end{align*}$
    $\quad$
    b. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $2-2x^2$.
    Mais $2-2x^2=2\left(1-x^2\right)=2(1-x)(1+x)$
    Sur l’intervalle $[0;3]$, on a $1+x>0$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $1-x$.
    Or $1-x=0 \ssi x=1$
    et $1-x>0 \ssi -x>-1 \ssi x<1$.
    On obtient donc le tableau de variations suivant :
    $\quad$
  2. La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;3]$ est :
    $\begin{align*} m&=\dfrac{1}{3-0}\ds \int_0^3 f(x)\dx \\
    &=\dfrac{1}{3}\left(F(3)-F(0)\right) \\
    &=\dfrac{1}{3}\left(2-2\e^{-4,5}\right)\\
    &\approx 0,659\end{align*}$
    $\quad$

Partie C

La fonction $f$ atteint son maximum pour $x=1$ et $f(1)=2\e^{-0,5}\approx 1,21$.
Cela signifie donc qu’environ $1,21$ millions de lits étaient occupés lors du pic de la maladie. La première affirmation est donc vraie.

D’après la question B.2. la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;3]$ est environ égale à $0,659$.
Cela signifie que sur les trois mois d’été, en moyenne, environ $659~000$ lits ont été occupés.
La seconde affirmation est donc fausse.

$\quad$

 

 

Énoncé

Exercice 1     5 points

Les trois parties de l’exercice peuvent être traitées indépendamment.

Une association offre à ses adhérents des paniers de légumes. Chaque adhérent a le choix entre trois tailles de panier :

  • un panier de petite taille;
  • un panier de taille moyenne;
  • un panier de grande taille.

Partie A

L’association envisage de proposer en outre des livraisons d’œufs frais. Pour savoir si ses adhérents sont intéressés, elle réalise un sondage.
On interroge un adhérent au hasard. On considère les évènements suivants :

  • $A$ : « l’adhérent choisit un panier de petite taille »;
  • $B$ : « l’adhérent choisit un panier de taille moyenne »;
  • $C$ : « l’adhérent choisit un panier de grande taille »;
  • $F$ : « l’adhérent est intéressé par une livraison d’œufs frais ».

On dispose de certaines données, qui sont résumées dans l’arbre ci-dessous :

  1. Dans cette question, on ne cherchera pas à compléter l’arbre.
    a. Calculer la probabilité que l’adhérent choisisse un panier de petite taille et soit intéressé par une livraison d’œufs frais.
    $\quad$
    b. Calculer $P\left(B\cap \conj{F}\right)$, puis interpréter ce résultat à l’aide d’une phrase.
    $\quad$
    c. La livraison d’œufs frais ne sera mise en place que si la probabilité de l’évènement $F$ est supérieure à $0,6$. Pourquoi peut-on affirmer que cette livraison sera mise en place ?
    $\quad$
  2. Dans cette question, on suppose que $P(F) = 0,675$.
    a. Démontrer que la probabilité conditionnelle de $F$ sachant $C$, notée $P_C (F)$, est égale à $0,3$.
    $\quad$
    b. L’adhérent interrogé est intéressé par la livraison d’œufs frais.
    Quelle est la probabilité qu’il ait choisi un panier de grande taille ? Arrondir le résultat à $10^{-2}$.
    $\quad$.

Partie B

  1. La masse, en gramme, d’un panier de grande taille peut être modélisée par une variable aléatoire, notée $X$, suivant une loi normale d’espérance $5~000$ et d’écart-type $420$. Un panier de grande taille est déclaré non conforme lorsque sa masse est inférieure à $4,5$ kg.
    On choisit au hasard un panier de grande taille.
    Quelle est la probabilité, arrondie au centième, qu’il soit non conforme ?
    $\quad$
  2. Les responsables de l’association décident de modifier la méthode de remplissage. Avec cette nouvelle méthode, la masse, en gramme, d’un panier de grande taille est désormais modélisée par une variable aléatoire, notée $Y$ , suivant une loi normale d’espérance $5~000$ et d’écart-type $\sigma$. La probabilité qu’un panier de grande taille choisi au hasard soit non conforme est alors de $0,04$.
    Déterminer la valeur de σ arrondie à l’unité.
    $\quad$

Partie C

Depuis plusieurs années, les associations distribuant des produits frais à leurs adhérents se développent dans tout le pays et connaissent un succès grandissant.
Lors d’une émission de radio consacrée à ce sujet, un journaliste annonce que $88 \%$ des adhérents de ces associations sont satisfaits.
Un auditeur intervient dans l’émission pour contester le pourcentage avancé par le journaliste. à l’appui de son propos, l’auditeur déclare avoir réalisé un sondage auprès de $120$ adhérents de ces associations et avoir constaté que, parmi eux, seuls $100$ ont indiqué être satisfaits.
La contestation de l’auditeur est-elle fondée ?
$\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

L’espace est rapporté à un repère orthonormé $\Oijk$.
On considère les points $A(10; 0; 1)$, $B(1; 7; 1)$ et $C(0; 0; 5)$.

  1. a. Démontrer que les droites $(OA)$ et $(OB)$ ne sont pas perpendiculaires.
    $\quad$
    b. Déterminer la mesure, en degré, de l’angle $\widehat{AOB}$, arrondie au dixième.
    $\quad$
  2. Vérifier que $7x +9y-70z = 0$ est une équation cartésienne du plan $(OAB)$.
    $\quad$
  3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(CA)$.
    $\quad$
  4. Soit $D$ le milieu du segment $[OC]$. Déterminer une équation du plan $P$ parallèle au plan $(OAB)$ passant par $D$.
    $\quad$
  5. Le plan $P$ coupe la droite $(CB)$ en $E$ et la droite $(CA)$ en $F$.
    Déterminer les coordonnées du point $F$. On admet que le point $E$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{7}{2};3\right)$.
    $\quad$
  6. Démontrer que la droite $(EF)$ est parallèle à la droite $(AB)$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     5 points

Soit $g$ la fonction définie sur $]0 ; +\infty[$ par $$g (x) = 4x-x\ln x$$
On admet que la fonction $g$ est dérivable sur $]0 ; +\infty[$ et on note $g’$ sa dérivée.

Partie A

Le graphique ci-dessous représente une partie de la courbe représentative de la fonction $g$ obtenue par un élève sur sa calculatrice. Cet élève émet les deux conjectures suivantes :

  • il semble que la fonction g soit positive;
  • il semble que la fonction g soit strictement croissante.

 

L’objectif de cette partie est de valider ou d’invalider chacune de ces conjectures.

  1. Résoudre l’équation $g(x) = 0$ sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$.
    $\quad$
  2. Déterminer le signe de $g(x)$ sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$.
    $\quad$
  3. Les conjectures de l’élève sont-elles vérifiées ?
    $\quad$

Partie B

Dans cette partie, on poursuit l’étude de la fonction $g$.

  1. a. On rappelle que $$\lim\limits_{t\to +\infty} \dfrac{\ln t}{t}=0$$ En déduire que $$\lim\limits_{x\to 0} x\ln x=0$$
    $\quad$
    b. Calculer la limite de $g(x)$ lorsque $x$ tend vers $0$.
    $\quad$
  2. a. Démontrer que, pour tout réel $x$ strictement positif, $g'(x) = 3-lnx$.
    $\quad$
    b. Dresser le tableau de variations de la fonction $g$.
    $\quad$
  3. On désigne par $G$ la fonction définie sur $]0 ; +\infty[$ par $$G(x)=\dfrac{1}{4}x^2(9-2\ln x)$$
    On admet que la fonction $G$ est dérivable sur $]0 ; +\infty[$.
    a. Démontrer que la fonction $G$ est une primitive de la fonction $g$ sur $]0 ; +\infty[$.
    $\quad$
    b. L’affirmation suivante est-elle vraie ?
    « Il n’existe aucun réel $\alpha$ strictement supérieur à $1$ tel que $\ds\int_1^{\alpha} g(x)\dx = 0$. »
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes.

Partie A

Pour chacune des trois affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse.
Il est attribué un point par réponse correctement justifiée. Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte, une absence de réponse n’est pas pénalisée.

  1. On considère la suite $\left(p_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $$p_n=n^2-42n+4$$
    Affirmation 1 : La suite $\left(p_n\right)$ est strictement décroissante.
    $\quad$
  2. Soit $a$ un nombre réel. On considère les suite $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ définies par :
    $\bullet$ $u_0=a$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\dfrac{1}{3}\sqrt{{u_n}^2+8}$.
    $\bullet$ $v_n={u_n}^2-1$ pour tout entier naturel $n$.
    Affirmation 2 : La suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique.
    $\quad$
  3. On considère une suite $\left(w_n\right)$ qui vrifie, pour tout entier naturel $n$, $$n^2 \pp (n+1)^2 w_n \pp n^2+n$$
    Affirmation $3$ : La suite $\left(w_n\right)$ converge.
    $\quad$

Partie B

On considère la suite $\left(U_n\right)$ définie par $u_0=\dfrac{1}{2}$ et, pour tout entier naturel $n$, $$U_{n+1}=\dfrac{2U_n}{1+U_n}$$

  1. Calculer $U_1$ que l’on écrira sous la forme d’une fraction irréductible.
    $\quad$
  2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $$U_n=\dfrac{2^n}{1+2^n}$$
    $\quad$
  3. On considère les trois algorithmes suivants dans lesquels les variables $n$, $p$ et $u$ sont du type nombre. Pour un seul de ces trois algorithmes la variable $u$ ne contient pas le terme $U_n$ en fin d’exécution.
    Déterminer lequel en justifiant votre choix.
    $$\begin{array}{|l|l|l|}
    \hline
    \textbf{Algorithme 1}&\textbf{Algorithme 2}&\textbf{Algorithme 3}\\
    u\leftarrow \dfrac{1}{2}&&\\
    i\leftarrow 0 &u\leftarrow \dfrac{1}{2}&\\
    \text{Tant que }i<n&\text{Pour $i$ allant de $0$ à $n$}&p\leftarrow 2^n\\
    \hspace{1cm} u\leftarrow \dfrac{2u}{u+1}&\hspace{1cm} u\leftarrow \dfrac{2u}{u+1}&u\leftarrow \dfrac{2u}{u+1}\\
    \hspace{1cm} i\leftarrow i+1&\text{Fin Pour}&\\
    \text{Fin Tant que}&&\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Une ville possède deux ports maritimes :

  • un port de plaisance A;
  • un port de commerce B.

Le port de plaisance A n’a pas d’accès direct à l’océan mais est relié au port de commerce B qui, lui, est ouvert sur l’océan. Un passant, installé en terrasse sur le port de plaisance A, jette une bouteille dans l’eau.
À l’instant $0$, la bouteille se trouve dans le port A.
Soit $n$ un entier naturel.
On admet que :

  • quand la bouteille est dans le port A au bout de $n$ heures, la probabilité qu’elle y soit encore l’heure suivante est $\dfrac{3}{5}$;
  • quand la bouteille est dans le port B au bout de $n$ heures, la probabilité qu’elle soit dans le port A l’heure suivante est $\dfrac{1}{10}$ et la probabilité qu’elle se trouve toujours dans le port B l’heure suivante est $\dfrac{1}{15}$;
  • le port A n’ayant pas d’accès direct à l’océan, lorsque la bouteille est dans le port A, elle ne peut pas se trouver dans l’océan l’heure suivante;
  • une fois dans l’océan, la bouteille ne revient jamais dans les ports.

Soient les évènements :

  • $A_n$ : « la bouteille se trouve dans le port A au bout de $n$ heures »;
  • $B_n$ : « la bouteille se trouve dans le port B au bout de $n$ heures »;
  • $C_n$ : « la bouteille se trouve dans l’océan au bout de $n$ heures ».

On note $a_n$, $b_n$ et $c_n$ les probabilités respectives de ces évènements.
Ainsi on a $a_0 = 1$, $b_0 = 0$ et $c_0 = 0$.

  1. a. Compléter l’arbre fourni en ANNEXE à rendre avec la copie.
    $\quad$
    b. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $$\begin{cases} a_{n+1}&=\dfrac{3}{5}a_n+\dfrac{1}{10}b_n\\b_{n+1}&=\dfrac{2}{5}a_n+\dfrac{1}{15}b_n\end{cases}$$
    Soient les matrices suivantes : $$M=\dfrac{1}{30}\begin{pmatrix}18&3\\12&2\end{pmatrix} \text{  et  } U_n=\begin{pmatrix}a_n\\b_n\end{pmatrix}$$
    $\quad$
    c. Démontrer que, pour tout entier strictement positif $n$, $U_n = M^nU_0$.
    $\quad$
  2. a. Donner $U_0$.
    $\quad$
    b. Calculer $M^2$ en détaillant les calculs de l’un des coefficients et en déduire qu’il existe un réel $k$ tel que $M^2 = kM$.
    $\quad$
    c. Démontrer par récurrence que, pour tout entier $n$ strictement positif, $$M^n=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}M$$
    $\quad$
    d. En déduire que, pour tout entier $n$ strictement positif, $$U_n=\begin{pmatrix}\dfrac{3}{5}\times \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}\\\dfrac{2}{5}\times \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}\end{pmatrix}$$
    $\quad$
  3. Soit $n$ un entier strictement positif.
    a. Démontrer que la probabilité que la bouteille soit dans l’océan au bout de $n$ heures est égale à $1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}$.
    $\quad$
    b. On considère l’algorithme ci-dessous : $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    n\leftarrow 1\\
    \text{Tant que }1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}<0,9\\
    \hspace{1cm} n\leftarrow n+1\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline\end{array}$$
    Indiquer sans justification le nombre contenu dans la variable $n$ de cet algorithme à la fin de son exécution.
    Interpréter ce nombre dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

ANNEXE

$\quad$

Bac ES/L – Polynésie – Juin 2019

Polynésie – Juin 2019

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $]0;+\infty[$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=-1,5\times 2x+2x\times \ln(x)+x^2\times \dfrac{1}{x} \\
    &=-3x+2x\ln(x)+x\\
    &=-2x+2x\ln(x)\end{align*}$
    Réponse b
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} 2\times \left(1+\dfrac{x}{100}\right)^{12}=3,5&\ssi \left(1+\dfrac{x}{100}\right)^{12}=1,75 \\
    &\ssi 1+\dfrac{x}{100}=1,75^{1/12}\\
    &\ssi \dfrac{x}{100}=1,75^{1/12}-1\\
    &\ssi x=100\left(1,75^{1/12}-1\right)\end{align*}$
    Ainsi $x\approx 4,77$
    Réponse b
    Remarque : On pouvait également tester les différentes valeurs proposées
    $\quad$
  3. On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de victoires.
    Il y a $13$ tirages identiques, indépendantes et aléatoires. À chaque tirage, il y a deux issues : $S$, “la partie est gagnée” et $\conj{S}$.
    De plus $p(S)=\dfrac{1}{25}=0,04$.
    Ainsi, $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=13$ et $p=0,04$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} P(X\pg 1)&=1-P(X=0) \\
    &=1-(1-0,04)^{13}\\
    &\approx 0,412\end{align*}$
    Réponse b
    $\quad$
  4. La courbe $\mathscr{C}_g$ semble être sous ses tangentes sur l’intervalle $[-1;5]$.
    La fonction est donc concave sur l’intervalle $[-1;5]$.
    Réponse b
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. a. On a $p(D)=0,03$, $p_D(C)=0,02$ et p(C)=0,05$.
    $\quad$
    b. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
    c. On a $p(D\cap C)=0,03\times 0,02=0,000~6$.
    $\quad$
    d. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_C(D)&=\dfrac{p(C\cap D)}{p(C)} \\
    &=\dfrac{0,000~6}{0,05}\\
    &=0,012\end{align*}$
    La probabilité que le téléviseur ait un défaut sur la dalle sachant qu’il un défaut sur le condensateur.
    $\quad$
    e. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(C)=p(C\cap D)+p\left(\conj{D}\cap C\right) &\ssi 0,05=0,000~6+p\left(\conj{D}\cap C\right) \\
    &\ssi p\left(\conj{D}\cap C\right)=0,049~4\end{align*}$.
    $\quad$
  2. a. On a :
    $\begin{align*} P(T\pg 72)&=P(72\pp T\pp 84)+P(T\pg 84) \\
    &=P(72\pp T\pp 84)+0,5\\
    &\approx 0,98\end{align*}$
    La probabilité qu’un téléviseur tombe en panne pour la première dois après $72$ mois d’utilisation est environ égale à $0,98$.
    $\quad$
    b. On veut calculer $P(6\times 12\pp T\pp 8\times 12)\approx 0,95$.
    On pouvait également remarquer qu’on voulait calculer $P(\mu-2\sigma \pp T\pp \mu+2\sigma)$.
    La probabilité que la première panne arrive entre $6$ années et $8$ années.
    $\quad$
    c. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_{T\pg 72}(T\pp 96)&=\dfrac{P(72\pp T\pp 96)}{P(\pg 72)} \\
    &\approx \dfrac{0,95}{0,98}\\
    &\approx 0,97\end{align*}$
    La probabilité que le téléviseur tombe en panne avant $8$ années d’utilisation sachant qu’il n’a pas de panne après $6$ années d’utilisation est environ égale à $0,97$.
    Remarque : Si on n’utilise pas les arrondis trouvés précédemment la probabilité cherchée est environ égale à $0,98$.
    $\quad$

Partie B

On a $n=300$ et $p=0,9$.
Par conséquent $n\pg 30$, $np=270 \pg 5$ et $n(1-p)=30\pg 5$.
Un intervalle de fluctuation au seuil de $95\%$ de la proportion de clients satisfaits est :
$\begin{align*} I_{300}&=\left[0,9-1,96\sqrt{\dfrac{0,9\times 0,1}{300}};0,9-1,96\sqrt{\dfrac{0,9\times 0,1}{300}}\right] \\
&\approx [0,866;0,934]\end{align*}$

La fréquence observée est $f=\dfrac{265}{300}\in I_{300}$
Les résultats de cette étude ne remettent donc pas en cause l’affirmation de l’entreprise.
$\quad$

 

Ex 3 obl

Exercice 3

  1. Avec l’offre le prix unitaire d’une capsule est $\dfrac{60}{150}=0,40$ €.
    $\dfrac{0,4-0,6}{0,6}=-\dfrac{1}{3} \approx -33,33 \%$.
    On a ainsi une réduction d’environ $33,33\%$.
    $\quad$
  2. a. on considère un entier naturel $n$.
    $10\%$ des propriétaires cessent d’utiliser la machine. Cela signifie donc $90\%$ des propriétaires continuent à l’utiliser, cela représente donc $0,9u_n$.
    Chaque mois il y a $24~000$ nouveaux utilisateurs. Donc $u_{n+1}=0,9u_n+24~000$.
    De plus en 2017, on comptait $60~000$ utilisateurs. Donc $u_0=60~000$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=u_n-240~000$ donc $_n=v_n+240~000$.
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-240~000\\
    &=0,9u_n+24~000-240~000\\
    &=0,9u_n-216~000\\
    &=0,9\left(v_n+240~000\right)-216~000\\
    &=0,9v_n+216~000-216~000\\
    &=0,9v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,9$ et de premier terme $v_0=u_0-240~000=-180~000$.
    $\quad$
  3. a. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $^v_n=-180~000\times 0,9^n$.
    $\quad$
    b. Ainsi, $u_n=v_n+240~000=240~000-180~000\times 0,9^n$.
    $\quad$
  4. On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
    $\begin{align*} u_n\pg 230~000 &\ssi 240~000-180~000\times 0,9^n \pg 230~000 \\
    &\ssi -180~000\times 0,9^n \pg -10~000 \\
    &\ssi 0,9^n\pp \dfrac{1}{18} \\
    &\ssi n\ln 0,9\pp \ln \dfrac{1}{18} \\
    &\ssi n\pg \dfrac{\ln \dfrac{1}{18}}{\ln 0,9}\end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln \dfrac{1}{18}}{\ln 0,9}\approx 27,4$.
    Le nombre d’utilisateurs de cette machine à café dépassera donc pour la première fois $230~000$ au bout de $28$ mois.
    $\quad$
  5. Pour tout entier naturel $n$ on a $-180~000\times 0,9^n<0$.
    Par conséquent $u_n<240~000<250~000$.
    L’affirmation est donc fausse.
    $\quad$

Ex 3 spé

Exercice 3

  1. On obtient le graphe probabiliste suivant :

    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{cases} a_{n+1}&=0,94a_n+0,14b_n\\b_{n+1}=0,06a_n+0,86b_n\end{cases}$.
    Ainsi la matrice de transition est $T=\begin{pmatrix} 0,94&0,06\\0,14&0,86\end{pmatrix}$
    $\quad$
    b. En 2020 on a $n=3$.
    Ainsi, $P_3=P_0T^3=\begin{pmatrix}0,572&0,428\end{pmatrix}$.
    Le grossiste A possédera donc, en 2020, $57,2\%$ des parts de marché et le grossiste B $42,8\%$.
    $\quad$
  3. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=a_n-0,7 \ssi a_n=u_n+0,7$.
    $\begin{align*} u_{n+1}&=a_{n+1}-0,7\\
    &=0,8a_n+0,14-0,7\\
    &=0,8a_n-0,56\\
    &=0,8\left(u_n+0,7\right)-0,56\\
    &=0,8u_n+0,56-0,56\\
    &=0,8u_n\end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,8$ et de premier terme $u_0=a_0-0,7=-0,25$.
    $\quad$
    b. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=-0,25\times 0,8^n$.
    Et $a_n=u_n+0,7=0,7-0,25\times 0,8^n$.
    $\quad$
    c. $0<0,8<0$. Donc $\lim\limits_{n\to +\infty}0,8^n=0$ et $\lim\limits_{n\to +\infty}a_n=0,7$.
    Sur le long terme le grossiste A peut espérer $70\%$ du marché.
    $\quad$
    d. On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
    $\begin{align*} a_n\pg 0,65 &\ssi 0,7-0,25\times 0,8^n\pg 0,65\\
    &\ssi -0,25\times 0,8^n \pg -0,05\\
    &\ssi 0,8^n\pp 0,2 \\
    &\ssi n\ln 0,8\pp \ln 0,2\\
    &\ssi n \pg \dfrac{\ln 0,2}{\ln 0,8}\end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln 0,2}{\ln 0,8}\approx 7,2$ par conséquent $n\pg 8$.
    À partir de 2025 le grossiste détiendra plus de $65\%$ du marché.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

Partie A

  1. Pour tout réel $x$ de l’intervalle $[1;9]$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=0,5\times 2x-7+6\times \dfrac{1}{x} \\
    &=x-7+\dfrac{6}{x} \\
    &=\dfrac{x^2-7x+6}{x}\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. Sur l’intervalle $[1;9]$ le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $x^2-7x+6$.
    $\Delta=(-7)^2-4\times 1\times 6=25>0$.
    Il y a donc deux racines $x_1=\dfrac{7-\sqrt{25}}{2}=1$ et $x_2=\dfrac{7+\sqrt{25}}{2}=6$.
    Ainsi :
    – sur l’intervalle $[1;6]$, $f'(x)\pp 0$
    – sur l’intervalle $[6;9]$, $f'(x)\pg 0$.
    La fonction $f$ est donc décroissante sue l’intervalle $[1;6]$ et croissante sur l’intervalle $[6;9]$.
    $\quad$
    b. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur l’intervalle $[1;6]$.
    De plus $f(1)=7,5>5$ et $f(6)\approx 0,75<5$.
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires l’équation $f(x)=5$ possède une unique solution sur l’intervalle $[1;6]$.
    $\quad$
    La fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $[6;9]$ et $f(9)\approx 4,68<5$.
    L’équation $f(x)=5$ ne possède donc pas de solution sur l’intervalle $[6;9]$.
    $\quad$
    Par conséquent l’équation $f(x)=5$ possède une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[1;9]$.
    $\quad$
    c. D’après la calculatrice on a $2,55\pp \alpha \pp 2,56$
    $\quad$
    d. D’après la question précédente la variable $X$ contient donc la valeur $2,56$.
    $\quad$
  3. D’après le tableau de variations la fonction $f$ atteint son minimum pour $x=6$.
    Le coût moyen annuel de fabrication d’un pneu est donc minimal quant l’entreprise fabrique $600$ pneus.
    $f(6)\approx 0,75$.
    Le coût moyen annuel de fabrication d’un pneu s’élève alors environ à $75$ €.
    $\quad$

Partie B

  1. Une primitive de la fonction $g$ sur l’intervalle $[0;100]$ est la fonction $G$ définie sur le même intervalle par $G(x)=x^2-x+\dfrac{\e^{0,05x}}{0,05}$ ou encore $G(x)=x^2-x+20\e^{0,05x}$.
    $\quad$
  2. La valeur moyenne de la fonction $g$ sur l’intervalle $[0;100]$ est :
    $\begin{align*} \ds m&=\dfrac{1}{100-0}\int_0^{100} g(x) \dx \\
    &=0,01\left(G(100)-G(0)\right) \\
    &=0,01\left(9~900+20\e^5-20\right) \\
    &=0,01\left(9~880+20\e^5\right)\\
    &=98,8+0,2\e^5\\
    &\approx 128,48\end{align*}$
    $\quad$
  3. Cela signifie qu’un semoir coûte en moyenne $128,48\times 100=12~848$ € à fabriquer.
    $\quad$

 

 

Énoncé

Exercice 1     4 points

Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre propositions est exacte. Aucune justification n’est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point.
Pour répondre, recopier sur la copie le numéro de la question et indiquer la réponse choisie.

    1. On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $]0 ; +\infty[$ d’expression $f(x) = -1,5 x^2+x^2\ln( x)$.
      La fonction dérivée de $f$ est donnée pour tout $x$ de $]0 ;+\infty[$ par :
      a. $f'(x)=-x+\dfrac{1}{x}$
      b. $f'(x)=2x\ln(x)-2x$
      c. $f'(x)=-3x+2$
      d. $f'(x)=-x\ln(x)-0,5x$
      $\quad$
    2. Entre 2006 et 2018, dans un restaurant universitaire, le prix d’un repas est passé de $2$ euros à $3,5$ euros en augmentant chaque année de $x \%$. Parmi ces valeurs, la valeur la plus proche de $x$ est :
      a. $6,25$
      b. $4,77$
      c. $14,58$
      d. $0,85$
      $\quad$
    3. Un adolescent joue à un jeu dont les parties successives sont indépendantes.
      À chaque partie, il a une chance sur $25$ de sortir vainqueur. Après $13$ parties, à $10^{-3}$ près, la probabilité qu’il ait gagné au moins une fois est :
      a. $0,588$
      b. $0,412$
      c. $0,025$
      d. $0,975$
      $\quad$
    4. On considère une fonction $g$ définie sur $\R$, dont la courbe représentative $\mathscr{C}_g$ est donnée ci-dessous.

La fonction $g$ admet une primitive sur $\R$ notée $G$.
La fonction $G$ est :
a. convexe sur l’intervalle $[-1 ; 5]$.
b. concave sur l’intervalle $[-1 ; 5]$.
c. croissante sur l’intervalle $[2 ; 5]$.
d. décroissante sur l’intervalle $[2 ; 5]$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

Les parties sont indépendantes.

Une entreprise vend des téléviseurs.
Pour tout évènement $E$, on note $\conj{E}$ l’évènement contraire de $E$ et $p(E)$ sa probabilité. Pour tout évènement $F$ de probabilité non nulle, on note $p_F(E)$ la probabilité de $E$ sachant que $F$ est réalisé.

Partie A

Une étude a montré que ces téléviseurs peuvent rencontrer deux types de défauts : un défaut sur la dalle, un défaut sur le condensateur.
L’étude indique que :

  • $3 \%$ des téléviseurs présentent un défaut sur la dalle et parmi ceux-ci $2 \%$ ont aussi un défaut sur le condensateur.
  • $5 \%$ des téléviseurs ont un défaut sur le condensateur.

On choisit au hasard un téléviseur et on considère les évènements suivants :

  • $D$ : « le téléviseur a un défaut sur la dalle »
  • $C$ : « le téléviseur a un défaut sur le condensateur ».
  1. Les résultats seront approchés si nécessaire à $10^{-4}$ près.
    a. Exprimer les trois données numériques de l’énoncé sous forme de probabilités.
    $\quad$
    b. Recopier l’arbre ci-dessous et compléter uniquement les pointillés par les probabilités associées :

    c. Calculer la probabilité $p(D\cap C)$ de l’événement $D\cap C$.
    $\quad$
    d. Le téléviseur choisi a un défaut sur le condensateur. Quelle est alors la probabilité qu’il ait un défaut sur la dalle ?
    $\quad$
    e. La probabilité que le téléviseur choisi ait un défaut sur le condensateur mais pas de défaut sur la dalle vaut $0,0494$. Justifier cette affirmation.
    $\quad$
  2. Les résultats seront approchés à $10^{-2}$ près.
    On note $T$ la variable aléatoire qui, à chaque téléviseur prélevé, associe le temps exprimé en mois avant la première panne. On admet que $T$ suit la loi normale d’espérance $\mu = 84$ et d’écart type $\sigma = 6$.
    a. Donner la probabilité qu’un téléviseur tombe en panne pour la première fois après $72$ mois d’utilisation.
    $\quad$
    b. Quelle est la probabilité que la première panne arrive entre $6$ années et $8$ années d’utilisation.
    $\quad$
    c. Le téléviseur n’a pas eu de panne après $6$ années d’utilisation. Quelle est la probabilité qu’il tombe en panne avant $8$ années d’utilisation ?
    $\quad$

Partie B

Afin de satisfaire davantage de clients, l’entreprise décide d’apporter des améliorations à son service d’assistance. Après quelques mois de mise en place du nouveau service, elle affirme que $90 \%$ des clients sont maintenant satisfaits. Un service de contrôle indépendant veut vérifier cette affirmation. Pour cela il interroge au hasard $300$ clients. Parmi eux, $265$ affirment être satisfaits.

Les résultats de cette étude remettent-ils en cause l’affirmation de l’entreprise ? Justifier la réponse.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3     5 points

candidats de ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de L

Sur un site de vente en ligne, Antoine a commandé une machine à café à capsules.

  1. Chaque capsule achetée à l’unité coûte $0,60$ €. Une offre permet d’acquérir $150$ capsules au prix de $60$ €.
    De quel pourcentage de réduction bénéficie-t-on grâce à l’offre par rapport à un achat à l’unité ?
    $\quad$
  2. Au 1$\ier$ janvier 2017, on comptait $60~000$ utilisateurs de cette machine à café. On estime que chaque mois, $10 \%$ des propriétaires cessent de l’utiliser mais on compte $24~000$ nouveaux utilisateurs.
    a. Expliquer pourquoi le nombre d’utilisateurs de cette machine à café n mois après le 1$\ier$ janvier 2017, peut être modélisé par la suite $\left(u_n\right)$ définie par : $$u_0
    = 60~000 \text{ et } u_{n+1}= 0,9u_n+ 24~000$$
    $\quad$
    b. On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par : $v_n= u_n−240~000$.
    Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
    $\quad$
  3. a. $n$ étant un entier naturel, exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
    b. En déduire que pour tout entier naturel $n$, $u_n= 240~000−180~000×0,9^n$.
    $\quad$
  4. Au bout de combien de mois le nombre d’utilisateurs de cette machine à café dépassera-t-il pour la première fois $230~000$ ?
    $\quad$
  5. L’entreprise qui fabrique cette machine à café prétend qu’elle touchera un certain mois plus de $250~000$ utilisateurs. Que penser de cette affirmation ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     5 points

candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Deux grossistes A et B se partagent la clientèle d’un liquide industriel.
On suppose que le nombre total de clients reste fixe d’une année sur l’autre.
En 2017, $45 \%$ des clients se fournissaient chez le grossiste A et $55 \%$ chez le grossiste B.
D’une année sur l’autre, $6 \%$ des clients du grossiste A deviennent clients du grossiste B tandis que le grossiste B conserve $86 \%$ de ses clients.
Chaque année, on choisit au hasard un client ayant acheté le liquide.
Pour tout entier naturel $n$ on note :

  • $a_n$ la probabilité qu’il soit client du grossiste A en (2017$+n$),
  • $b_n$ la probabilité qu’il soit client du grossiste B en (2017$+n$).

Pour tout entier naturel $n$, on note $P_n = \begin{pmatrix}a_n&b_n\end{pmatrix}$ la matrice ligne représentant l’état probabiliste de l’année (2017$+n$). On rappelle que $a_n + b_n = 1$.
On a donc $P_0 = \begin{pmatrix}0,45& 0,55\end{pmatrix}$.

  1. Représenter cette situation par un graphe probabiliste dans lequel les sommets A et B correspondent aux noms des grossistes.
    $\quad$
  2. a. Donner la matrice de transition $T$ associée à ce graphe (les sommets seront rangés par ordre alphabétique).
    $\quad$
    b. Quelle sera, exprimée en pourcentage, la répartition prévisible des ventes entre ces deux grossistes en 2020 ? Justifier la réponse. On arrondira les résultats à $0,1 \%$ près.
    $\quad$
  3. On admet que pour tout entier naturel $n$, $a_{n+1}= 0,8a_n
    + 0,14$ .
    a. On pose pour tout naturel $n$ : $u_n= a_n-0,7$ .
    Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
    $\quad$
    b. En déduire que pour tout entier naturel $n$, $a_n= -0,25×0,8^n+ 0,7$.
    $\quad$
    c. Quelle part du marché, exprimée en pourcentage, le grossiste A peut-il espérer à long terme ? Justifier la réponse.
    $\quad$
    d. À partir de quelle année le grossiste A détiendra t-il plus de $65 \%$ du marché ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     6 points

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

Partie A

Une entreprise produit chaque année entre $100$ et $900$ pneus pour tracteurs.
On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[1 ; 9]$ par $f(x )=0,5x^2-7x+14+6 \ln(x)$ .
On admet que la fonction $f$ modélise le coût moyen annuel de fabrication d’un pneu, exprimé en centaines d’euros, pour $x$ centaines de pneus produits.

  1. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[1 ; 9]$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.
    Démontrer que pour tout réel $x$ de l’intervalle $[1 ; 9]$ on a : $f ‘( x)=\dfrac{x^2−7 x + 6}{x}$.
    $\quad$
  2. a. Justifier les variations suivantes de la fonction $f$ sur l’intervalle $[1 ; 9]$ :

    b. Justifier que, sur l’intervalle $[1 ; 9]$, l’équation $f (x) = 5$ admet une unique solution $\alpha$.
    $\quad$
    c. Donner un encadrement au centième près de $\alpha$.
    $\quad$
    d. On considère l’algorithme ci-dessous : $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    X\leftarrow 1\\
    Y\leftarrow 7,5\\
    \text{Tant que } Y>5\\
    \hspace{1cm}X\leftarrow X+0,01\\
    \hspace{1cm}Y\leftarrow0,5X^2-7X+14+6*\ln(X)\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    À la fin de l’exécution de l’algorithme, quelle valeur numérique contient la variable $X$ ?
    $\quad$
  3. Pour quelle quantité de pneus, le coût moyen annuel de fabrication d’un pneu est-il minimal ?
    À combien s’élève-t-il ?
    $\quad$

Partie B

Cette même entreprise envisage la fabrication de semoirs (gros matériel agricole).
On admet que la fonction $g$ définie sur l’intervalle $[0 ; 100]$ par $g(x) = 2 x−1 + \e^{0,05 x}$ modélise le coût de fabrication, exprimé en centaines d’euros, de $x$ semoirs.

  1. Donner une primitive $G$ de la fonction g sur l’intervalle $[0 ; 100]$.
    $\quad$
  2. Calculer la valeur moyenne de la fonction $g$ sur l’intervalle $[0 ; 100]$.
    $\quad$
  3. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

$\quad$

 

Bac ES/L – Asie – Juin 2019

Asie – Juin 2019

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. D’après la calculatrice on a $P(X\pp 4) \approx 0,05$.
    Réponse c
    $\quad$
  2. $\left(\e^x\right)^2=3\e^x\ssi \e^{2x}-3\e^x=0\ssi \e^x\left(\e^x-3\right)=0$.
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs est nul.
    L’équation $\e^x=0$ ne possède pas de solution
    et $\e^x-3=0\ssi \e^x=3\ssi x=\ln 3$.
    Réponse b
    $\quad$
  3. Pour tout réel $x$ on a $f(x)=\dfrac{x}{\e^x}=x\e^{-x}$.
    Réponse d
    $\quad$
  4. D’après le graphique on a $\mu=200$.
    De plus $p(170\pp X\pp 230)=0,95 \ssi p(\mu-30\pp X\pp \mu+30)=0,95$
    Or $p(\mu-2\sigma\pp X\pp \mu+2\sigma) \approx 0,95$.
    Donc $2\sigma \approx 30$ et $\sigma \approx 15$.
    Par conséquent $p(X\pg a)=0,1 \ssi p(X\pp a)=0,9$.
    À l’aide de la touche Inverse loi normale de la calculatrice on trouve : $a\approx 219,2$.
    Réponse c
    $\quad$

 

 

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. Voir figure à la fin de partie
    $\quad$
  2. D’après l’arbre pondéré on a $p(M\cap G)=0,4\times 0,6=0,24$
    $\quad$
  3. a. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} &p(G)=p(F\cap G)+p(M\cap G)+p(E\cap G)\\
    &\ssi 0,58=p(F\cap G)+0,24+0,27\\
    &\ssi p(F\cap G)=0,07\end{align*}$
    $\quad$
    b. Par conséquent :
    $\begin{align*} p_F(G)&=\dfrac{p(F\cap G)}{p(F)} \\
    &=\dfrac{0,07}{0,1}\\
    &=0,7\end{align*}$
    $\quad$
    c. On a $p_F(G)=0,7>0,47$.
    La présence de Claire semble favoriser la victoire de l’équipe féminine.
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_G(F)&=\dfrac{p(G\cap F)}{p(G)}\\
    &=\dfrac{0,07}{0,58}\\
    &\approx 0,12\end{align*}$
    La probabilité que Claire ait suivi le match d’une équipe adulte féminine sachant qu’elle a assisté à la victoire d’une équipe du club est environ égale à $0,12$.
    $\quad$

$\quad$

Partie B

  1. $\mu=30$ donc en moyenne ce supporter attend $30$ minutes au guichet.
    $\quad$
  2. On a
    $\begin{align*} P(X\pp 15)&=P(X\pp 30)-P(15\pp X\pp 30) \\
    &=0,5-P(15\pp X\pp 30) \\
    &\approx 0,07\end{align*}$
    La probabilité qu’il puisse acheter son billet avant le début du match est environ égale à $0,07$.
    $\quad$

Partie C

  1. On a $n=75$ et $p=0,6$
    Donc $n\pg 30$, $np=45\pg 5$ et $n(1-p)=30\pg 5$.
    Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la proportion d’enfants se réinscrivant d’une année sur l’autre est :
    $\begin{align*} I_{75}&=\left[0,6-1,96\sqrt{\dfrac{0,6\times 0,4}{75}};0,6+1,96\sqrt{\dfrac{0,6\times 0,4}{75}}\right]\\
    &\approx [0,48;0,72]\end{align*}$
    $\quad$
  2. La fréquence observée est $f=\dfrac{52}{75}\in I_{75}$
    La victoire de la France n’a pas eu d’effet sur les réinscriptions en septembre 2018 dans ce club.
    $\quad$

 

Ex 3 obl

Exercice 3

Candidats de ES n’ayant pas suivi la spécialité et candidats de L

Partie A

  1. On a $u_1=(230-8,5)\times 1,04=230,36$.
    Richard disposera de $230,36$ tonnes sur les plages au 1$\ier$ septembre 2019.
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=u_n-221 \ssi u_n=v_n+221$.
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-221\\
    &=1,04u_n-8,84-221\\
    &=1,04u_n-229,84\\
    &=1,04\left(v_n+221\right)-229,84\\
    &=1,04v_n+229,84-229,84\\
    &=1,04v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,04$ et de premier terme $v_0=u_0-221=9$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $v_n=9\times 1,04^n$.
    $\quad$
    c. Et $u_n=v_n+221=9\times 1,04^n+221$.
    $\quad$
  3. On veut déterminer le plus petit entier naturel tel que :
    $\begin{align*} u_n\pg 250 &\ssi 9\times 1,04^n+221\pg 250\\
    &\ssi 9\times 1,04^n\pg 29 \\
    &\ssi 1,04^n\pg \dfrac{29}{9}\\
    &\ssi n\ln 1,04\pg \ln \dfrac{29}{9} \\
    &\ssi n\pg \dfrac{\ln \dfrac{29}{9}}{\ln 1,04}\end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln \dfrac{29}{9}}{\ln 1,04}\approx 29,8$.
    C’est donc au bout de $30$ ans que la quantité d’algues présentes sur ces plages dépassera $250$ tonnes.
    $\quad$

Partie B

  1. $A$ contient la quantité d’algues sur les plages.
    $B$ contient la quantité d’algues prélevées par l’entreprise.
    $\quad$
  2. On obtient le tableau : $$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \hspace{0.7cm}K\hspace{0.7cm} & \hspace{0.7cm}A\hspace{0.7cm} & \hspace{0.7cm}B\hspace{0.7cm} \\ \hline
    \bbox[lightgray]{\phantom{NNNNNN}}
    & 230 & 8,5 \\ \hline 1 &230,36 & 9,35\\ \hline 2 & 229,85& 10,29\\ \hline 3 & 228,35 & 11,31\\ \hline 4 & 225,72 & 12,44\\ \hline 5 & 221,80 & 13,69\\ \hline 6 & 216,44 & 15,06\\ \hline 7 & 209,43 & 16,56\\ \hline 8 & 200,58 & 18,22\\ \hline 9 & 189,66 & 20,04\\ \hline 10 & 176,40 & 22,05\\ \hline 11 & 160,53 & 24,25\\ \hline 12 & 141,73 & 26,68\\ \hline 13 & 119,65 & 29,34\\ \hline 14 & 93,92 & 32,28\\ \hline 15 & 64,11 & 35,51\\ \hline 16 & 29,75 & 39,06\\ \hline \end{array}$$
    $\quad$
  3. En 2034 il n’aura pas assez d’algues à prélever.
    $\quad$

Ex 3 spé

Exercice 3

  1. Les sommets $A$ et $L$, par exemple, ne sont pas liés. Le graphe n’est donc pas complet.
    Cela signifie donc que la compagnie ne dessert pas tous les aéroports à partir de chacun d’entre eux.
    $\quad$
  2. On a :
    $$\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1\\ 1&0&0&0&0&0&1&1&1\\
    0&0&0&1&0&0&1&0&0 \\
    0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$
    $\quad$
  3. Le coefficient ${M^3}_{4,5}$ vaut $5$.
    Il existe donc $5$ trajets possibles à un avion partant de l’aéroport F d’effectuer $3$ vols avant d’arriver à l’aéroport B.
    $\quad$
  4. a. On étudie le degré des sommets.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Sommet}&A&B&C&F&G&L&M&P&V\\
    \hline
    \text{Degré}&4&4&2&4&3&2&4&4&3\\
    \hline
    \end{array}$
    Ainsi, exactement $2$ sommets de ce graphe connexe sont de degrés impairs.
    Il possède donc une chaîne eulérienne.
    Un même avion peut ainsi parcourir successivement une fois et une seule
    chaque liaison.
    Il doit utiliser comme aéroports de départ et d’arrivée les aéroports $G$ et $V$.
    $\quad$
    b. Le sommet $P$ possède $4$ liaisons.
    Chacune d’entre-elle ne peut être utilisée qu’une seule fois.
    L’avion de posera donc $2$ fois à l’aéroport $P$.
    $\quad$

Partie B

On utilise l’algorithme de Dijsktra.

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
A & B & C & F & G & L & M & P & V & \text{Sommet} \\
\hline
\phantom{11111} & \phantom{11111} & \phantom{11111} & \phantom{11111} & \phantom{11111} & \phantom{11111} & \phantom{11111} & \phantom{11111} & 0 & V \\
\hline
1(V) & 2(V) &  &  &  &  &  & 4(V) & \phantom{11111} & A \\
\hline
& 2(V) &  &  & 5(A) &  & 6(A) & 4(V) &  & B \\
\hline
&  &  &  & 5(A) &  & 4(B) & 4(V) &  & M \\
\hline
&  & 8(M) &  & 5(A) &  & 4(B) & 4(V) &  & P \\
\hline
&  & 8(M) & 10(P) & 5(A) & 5(M) &  &  &  & G \\
\hline
&  & 8(M) & 10(P) &  & 5(M) &  &  &  & L \\
\hline
&  & 8(M) & 9(L) &  &  &  &  &  & C \\
\hline
&  &  & 9(L) &  &  &  &  &  & F \\
\hline
\end{array}$$
Ainsi le chemin le plus court est $V-B-M-L-F$. Sa durée est de $9$ heures.
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. a. Graphiquement on a $f'(1)=0$ puisque la tangente $T_1$ est horizontale.
    $\quad$
    b. Il semblerait que le point $B$ soit le seul point d’inflexion de la courbe $\mathscr{C}$.
    $\quad$
    c. L’aire du domaine compris entre la courbe $\mathscr{C}$, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=6$ et $x=8$ contient entre $4$ et $5$ “rectangles” unité .
    Ainsi $\ds 4\pp \int_6^8 f(x)\dx \pp 5$.
    $\quad$
  2. a. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[0,5;12]$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x \in[0,5;12]$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^2} \\
    &=\dfrac{x-1}{x^2}\end{align*}$
    $\quad$
    b. La fonction carré est positive. Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $x-1$.
    $x-1=0 \ssi x=1$ et $x-1>0\ssi x>1$.
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    Avec $f(0,5)\approx 1,3$ et $f(12)\approx 2,6$
    $\quad$
  3. D’après le logiciel de calcul formel on a, pour tout réel $x\in[0,5;12]$ $\dsec(x)=\dfrac{-x+2}{x^3}$
    $-x+2=0\ssi x=2$ et $-x+2>0\ssi x<2$.
    La fonction $f$ est donc convexe sur l’intervalle $[0,5;2]$ et concave sur l’intervalle $[2;12]$.
    $\quad$
  4. a. La fonction $F$ est dérivable sur l’intervalle $[0,5;12]$ en tant que produit et somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x\in[0,5;12]$ on a :
    $\begin{align*} F'(x)&=\ln (x)+(x+1)\times \dfrac{1}{x}-1 \\
    &=\ln (x)+1+\dfrac{1}{x}-1 \\
    &=\ln (x)+\dfrac{1}{x}\\
    &=f(x)\end{align*}$
    La fonction $F$ est donc une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0,5;12]$.
    $\quad$
    b. La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0,5;12]$ est :
    $\begin{align*} \ds m&=\dfrac{1}{12-0,5}\int_{0,5}^12f(x)\dx \\
    &=\dfrac{1}{11,5}\left(F(12)-F(0,5)\right) \\
    &=\dfrac{1}{11,5}\left(13\ln (12)-12-1,5\ln (0,5)+0,5\right) \\
    &=\dfrac{13\ln (12)-1,5\ln (0,5)-11,5}{11,5}\\
    &\approx 1,90\end{align*}$
    $\quad$

 

 

Énoncé

Exercice 1     4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Chaque question comporte quatre réponses possibles. Pour chacune de ces questions, une seule des quatre
réponses proposées est exacte.
Recopier pour chaque question son numéro et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.
Chaque réponse exacte rapporte 1 point, une mauvaise réponse ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point.
Pour tout événement $E$ ,on note $p(E)$ sa probabilité.

  1. Soit ܺ$X$ la variable aléatoire suivant la loi binomiale $B(20;0,4)$.
    a. $p(X=7)=20\times 0,4^7$
    b. $p(X>4)=0,98$ arrondie au centième
    c. $p(X\pp 4)=0,05$  arrondie au centième
    d. $p(X\pp 7)=0,25$ arrondie au centième
    $\quad$
  2. L’équation $\left(\e^x\right)^2=3\e^x$ possède :
    a. une unique solution $3$
    b. une unique solution $\ln(3)$
    c. deux solutions $0$ et $\ln(3)$
    d. deux solutions $0$ et $3$
    $\quad$
  3. Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par ݂$f(x)=\dfrac{x}{\e^x}$.
    Une autre expression de ݂$f(x)$ est :
    a. $f(x)=\dfrac{\e^{-x}}{-x}$
    b. $f(x)=-x\e^{-x}$
    c. $f(x)=\dfrac{\e^{-x}}{x}$
    d. $f(x)= x\e^{-x}$
    $\quad$
  4. Soit ܺ$X$ une variable aléatoire suivant une loi normale dont la densité de probabilité est représentée ci-dessous. Sur le graphique, la surface grisée correspond à une probabilité de $0,95$

    Une valeur approchée à $0,1$ près du nombre ܽ$a$ tel que $p(X\pg a)=0,1$ est :
    a. $a\approx 180,8$
    b. $a\approx 212,6$
    c. $a\approx 219,2$
    d. $a\approx 238,4$
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     6 points

Les parties A, B et C sont indépendantes.
Si nécessaire, les résultats seront arrondis au centième.

Partie A

Un club de football est composé d’équipes adultes masculines, adultes féminines et d’équipes d’enfants. Chaque week-end, la présidente Claire assiste au match d’une seule des équipes du club et elle suit :

  • dans $10 \%$ des cas, le match d’une équipe adulte féminine ;
  • dans $40 \%$ des cas, le match d’une équipe adulte masculine ;
  • dans les autres cas, le match d’une équipe d’enfants.

Lorsqu’elle assiste au match d’une équipe masculine, la probabilité que celle-ci gagne est $0,6$. Lorsqu’elle assiste au match d’une équipe d’enfants, la probabilité que celle-ci gagne est $0,54$.
La probabilité que Claire voie l’équipe de son club gagner est $0,58$.
On choisit un week-end au hasard. On note les événements suivants :

  • $F$ : « Claire assiste au match d’une équipe adulte féminine »
  • $M$ : « Claire assiste au match d’une équipe adulte masculine »
  • $E$ : « Claire assiste au match d’une équipe d’enfants »
  • $G$ : « l’équipe du club de Claire gagne le match »

Pour tous événements $A$ et $B$, on note $\conj{A}$ l’événement contraire de $A$, $p(A)$ la probabilité de $A$ et, si $B$ est de probabilité non nulle, $p_B(A)$ la probabilité de $A$ sachant $B$.

  1. L’arbre de probabilité est donné en annexe. Le compléter au fur et à mesure de l’exercice.
    $\quad$
  2. Déterminer la probabilité $p(M\cap G)$.
    $\quad$
  3. a. Démontrer que $p(F\cap G)=0,07$.
    $\quad$
    b. En déduire $p_F(G)$.
    $\quad$
    c. La probabilité que l’équipe adulte féminine gagne un match est $0,47$. La présence de Claire semble-t-elle favoriser la victoire de l’équipe adulte féminine ?
    $\quad$
  4. Claire annonce avoir assisté à la victoire d’une équipe du club. Quelle est la probabilité qu’elle ait suivi le match d’une équipe adulte féminine ?
    $\quad$

Partie B

Au guichet, un supporter attend pour acheter son billet. On modélise le temps d’attente en minute par une variable aléatoire ܺ qui suit la loi normale d’espérance $\mu=30$ et d’écart type $\sigma=10$.

  1. En moyenne, combien de temps attend ce supporter au guichet ?
    $\quad$
  2. Déterminer $p(25\pp X\pp 35)$. Interpréter dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  3. Le supporter ne dispose que de $15$ minutes avant le début du match pour acheter son billet.
    Quelle est la probabilité qu’il puisse acheter son billet avant le début du match ?
    $\quad$

Partie C

Des études statistiques ont montré que la probabilité qu’un enfant se réinscrive d’une année sur l’autre dans le même club de football est $0,6$.

  1. Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95 \%$ de la proportion d’enfants se réinscrivant d’une année sur l’autre pour un échantillon de $75$ enfants pris au hasard dans le même club de football.
    $\quad$
  2. $52$ des $75$ enfants du club de Claire veulent se réinscrire en septembre 2018.
    La victoire de la France aux championnats du monde en 2018 a-t-elle eu un effet sur les réinscriptions en septembre 2018 dans ce club ? Justifier.
    $\quad$

Annexe

 

$\quad$

Exercice 3     5 points

Candidats de ES n’ayant pas suivi la spécialité ou candidats de L

Partie A

Tous les ans, au mois de septembre, Richard prélève 8,5 tonnes d’algues sur les plages de sa commune.
Au 1$\ier$ septembre 2018, il y avait $230$ tonnes d’algues sur ces plages.
Tous les ans, entre le 1$\ier$ octobre et le 1$\ier$ septembre suivant, la quantité d’algues sur ces plages augmente de $4 \%$.
On note $u_n$ la quantité en tonnes d’algues présente sur les plages au 1$\ier$ septembre de l’année 2018 $+n$ ݊. Ainsi, $u_0=230$.

  1. Vérifier par le calcul que Richard disposera de $230,36$ tonnes sur les plages au 1er septembre 2019.
    On admet que, pour tout ݊ $n\in \N$, $u_{n+1}=1,04u_n-8,84$
    $\quad$
  2. Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie par, pour tout ݊$n\in \N$, v_n=u_n-221$
    a. Démontrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $1,04$.
    Préciser son premier terme.
    $\quad$
    b. Exprimer, pour tout ݊$n\in \N$ en fonction de ݊$n$.
    $\quad$
    c. En déduire que, pour tout ݊$n\in\N$, $u_n=221+9\times 1,04^n$.
    $\quad$
  3. La quantité d’algues présentes sur ces plages dépassera-t-elle un jour $250$ tonnes ? Si oui, préciser au bout de combien d’années cette quantité sera atteinte.
    $\quad$

Partie B

Pour développer son entreprise, à partir du 1$\ier$ septembre 2019, Richard a besoin de $10 \%$ d’algues de plus que l’année précédente.
On rappelle qu’au 1$\ier$ septembre 2018, il disposait de $230$ tonnes d’algues et qu’il en avait consommé $8,5$ tonnes en septembre 2018. Dans cette nouvelle situation, il disposera de $230,36$ tonnes d’algues au 1$\ier$ septembre 2019 et en utilisera $9,35$ tonnes pendant ce mois.
Richard souhaite étudier la quantité d’algues sur les plages concernées pour les $16$ prochaines années selon ce modèle.
Pour cela, il rédige l’algorithme ci-dessous. $$\begin{array}{|l|}
\hline
A\leftarrow 230\\
B\leftarrow 8,5\\
\text{Pour $K$ allant de $1$ à $16$}\\
\hspace{1cm} A\leftarrow (A-B)\times 1,04\\
\hspace{1cm} B\leftarrow B\times 1,1\\
\text{Fin Pour}\\
\hline
\end{array}$$

  1. Que représentent les variables $A$ et $B$ de l’algorithme ?
    $\quad$
  2. Dans le tableau en annexe, on a obtenu différentes valeurs de $A$ et $B$ de l’algorithme.
    Compléter les lignes du tableau pour les valeurs de $K = 1$ et $K = 2$. Arrondir les résultats au centième.
    $\quad$
  3. Que peut conclure Richard pour 2034 ?
    $\quad$

Annexe

$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \hspace{0.7cm}K\hspace{0.7cm} & \hspace{0.7cm}A\hspace{0.7cm} & \hspace{0.7cm}B\hspace{0.7cm} \\ \hline \bbox[lightgray]{\phantom{NNNNNN}} & 230 & 8,5 \\ \hline 1 & & \\ \hline 2 & & \\ \hline 3 & 228,35 & 11,31\\ \hline 4 & 225,72 & 12,44\\ \hline 5 & 221,80 & 13,69\\ \hline 6 & 216,44 & 15,06\\ \hline 7 & 209,43 & 16,56\\ \hline 8 & 200,58 & 18,22\\ \hline 9 & 189,66 & 20,04\\ \hline 10 & 176,40 & 22,05\\ \hline 11 & 160,53 & 24,25\\ \hline 12 & 141,73 & 26,68\\ \hline 13 & 119,65 & 29,34\\ \hline 14 & 93,92 & 32,28\\ \hline 15 & 64,11 & 35,51\\ \hline 16 & 29,75 & 39,06\\ \hline \end{array}$

$\quad$
$\quad$

Exercice 3     5 points

Candidats de ES ayant suivi la spécialité

Les différentes parties sont indépendantes.

Partie A

Une compagnie aérienne a représenté à l’aide d’un graphe les
différentes liaisons assurées par ses avions. Les sommets du graphe représentent les initiales des aéroports desservis et les arêtes correspondent aux vols effectués par un avion de cette compagnie entre deux aéroports.
Par exemple, l’arête entre $A$ et $G$ signifie qu’un avion effectue le vol entre les aéroports $A$ et $G$, en partant de $A$ vers $G$ ou en partant de $G$ vers $A$.

  1. Le graphe est-il complet ?
    Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  2. On note $M$ la matrice d’adjacence du graphe ci-dessus, en classant les sommets par ordre alphabétique. Compléter les deux lignes manquantes de la matrice $M$ donnée en annexe.
    $\quad$
  3. La compagnie souhaite qu’un avion partant de l’aéroport $F$ effectue $3$ vols avant d’arriver à l’aéroport $B$. À l’aide de la matrice $M^3$ donnée ci-après, déterminer le nombre de trajets possibles. $$M^3=\begin{pmatrix}
    4&9&2&5&8&2&8&4&9\\
    9&6&2&5&4&2&8&9&7\\
    2&2&0&6&2&0&6&2&3\\
    5&5&6&2&6&6&2&7&3\\
    8&4&2&6&2&2&4&8&3\\
    2&2&0&6&2&0&6&2&3\\
    8&8&6&2&4&6&2&6&3\\
    4&9&2&7&8&2&6&4&8\\
    9&7&3&3&3&3&3&8&4\end{pmatrix}$$
    $\quad$
  4. L’entreprise souhaite qu’un même avion puisse parcourir successivement une fois et une seule chaque liaison.
    a. Justifier qu’un avion peut le faire et préciser les aéroports de départ et d’arrivée possibles.
    $\quad$
    b. Lors de ce trajet, combien de fois cet avion doit-il se poser à l’aéroport $P$ ?
    Expliquer la réponse.
    $\quad$

Partie B
Sur le graphe ci-dessous sont indiqués les différents temps de vol en heure entre deux aéroports.

 

Un client souhaite utiliser une offre promotionnelle de cette compagnie pour voyager de l’aéroport $V$ jusqu’à l’aéroport $F$. Combien d’heures de vol doit-il envisager au minimum ?
Préciser le trajet.

Annexe

$M=\begin{pmatrix}0&1&0&0&1&0&1&0&1\\
\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\
\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\
0&0&1&0&1&1&0&1&0\\
1&0&0&1&0&0&0&1&0\\
0&0&0&1&0&0&1&0&0\\
1&1&1&0&0&1&0&0&0\\
0&1&0&1&1&0&0&0&1\\
1&1&0&0&0&0&0&1&0\end{pmatrix}$

$\quad$

Exercice 3     5 points

On a représenté ci-dessous la courbe $\mathscr{C}$ représentative d’une fonction ݂ définie et dérivable sur$[0,5;12]$ la tangente ܶ$T_1$ à $\mathscr{C}$ au point $A$ d’abscisse $1$ et la tangente ܶ$T_2$ à $\mathscr{C}$ au point $B$ d’abscisse $2$. La tangente ܶ$T_1$ est parallèle à l’axe des abscisses.
La tangente ܶ$T_2$ traverse la courbe $\mathscr{C}$ en $B$. On note ݂$f’$ la fonction dérivée de ݂$f$.

  1. Par lecture graphique :
    a. Déterminer ݂$f'(1)$.
    $\quad$
    b) Déterminer les éventuels points d’inflexion de  $\mathscr{C}$
    $\quad$
    c) Déterminer un encadrement de $\ds \int_6^8 f(x)\dx$ par deux entiers consécutifs.
    $\quad$
  2.  On admet que la fonction ݂$f$ est définie sur $[0,5;12]$ par $f(x)=\ln(x)+\dfrac{1}{x}$
    a. Vérifier que, pour tout $x\in[0,5;12]$, $f'(x)=\dfrac{x-1}{x^2}$.
    $\quad$
    b. Déterminer le signe d$f'(x)$ et en déduire le tableau de variations de ݂$f$.
    Si nécessaire, on arrondira à $0,1$ les valeurs numériques.
    $\quad$
  3. À l’aide d’un logiciel de calcul formel, on a obtenu les résultats suivants que l’on pourra admettre.

    Déterminer par le calcul le plus grand intervalle sur lequel ݂ est concave.
    $\quad$
  4. Soit $F$ la fonction définie sur $[0,5;12]$ par $F(x)=(x+1)\ln(x)-x$.
    a. Vérifier que $F$ est une primitive de ݂$f$ sur $[0,5;12]$.
    $\quad$
    b. En déduire la valeur exacte puis la valeur arrondie au centième de la valeur moyenne de ݂$f$ sur l’intervalle $[6;8]$.
    $\quad$

 

 

Bac ES/L – Métropole – Juin 2019

Métropole – Juin 2019

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(S)&=p(R\cap S)+p\left(\conj{R}\cap S\right) \\
    &=0,7\times 0,4+0,3\times 0,2 \\
    &=0,34\end{align*}$
    Par conséquent :
    $\begin{align*} p_S\left(\conj{R}\right)&=\dfrac{p\left(S\cap \conj{R}\right)}{p(S)} \\
    &=\dfrac{0,3\times 0,2}{0,34} \\
    &\approx 0,18\end{align*}$
    Affirmation 1 fausse
    $\quad$
  2. L’espérance de $X$ est $E(X)=\dfrac{k+18}{2}$
    Par conséquent $\dfrac{k+18}{2}=12\ssi k+18=24\ssi k=6$.
    Affirmation 2 fausse
    $\quad$
  3. L’équation est définie sur $]0;+\infty[$.
    $\begin{align*} &\ln\left(x^2\right)-\ln\left(\dfrac{x^5}{\e}\right)+\ln(2)=\ln(2x)+5 \\
    \ssi& 2\ln(x)-\ln\left(x^5\right)+\ln(\e)+\ln(2)=\ln(2)+\ln(x)+5\\
    \ssi &2\ln(x)-5\ln(x)+1=\ln(x)+5\\
    \ssi &-4\ln(x)=4\\
    \ssi &\ln(x)=-1\\
    \ssi &x=\e^{-1}\\
    \ssi &x=\dfrac{1}{\e}\end{align*}$
    Affirmation 3 vraie
    $\quad$
  4. La fonction $f’$ est continue et strictement décroissante sur l’intervalle $[0;5]$.
    $f(0)=30>0$ et $f(5)=-5<0$.
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $f(x)=0$ possède une unique solution sur $[0;5]$.
    $\quad$
    La fonction $f’$ est continue et strictement croissante sur l’intervalle $[5;15]$.
    $f(15)=20>0$ et $f(5)=-5<0$.
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $f(x)=0$ possède une unique solution sur $[5;15]$
    La fonction $f’$ s’annule donc deux fois sur $[0;15]$.
    La courbe représentative de la fonction $f$ possède ainsi deux tangentes parallèle à l’axe des abscisses.
    Affirmation 4 fausse.
  5. La fonction $f’$ est strictement croissante sur l’intervalle $[5;15]$.
    La fonction $f$ est donc convexe sur cet intervalle.
    Affirmation 5 vraie.

Ex 2 obl

Exercice 2

Candidats de ES n’ayant pas suivi la spécialité ou candidats de L

  1. a. On considère un entier naturel $n$.
    Chaque année, Laurence éliminera $4 \%$ des pommiers existants. Il restera donc $0,96u_n$ pommiers d’une année sur l’autre.
    […] et replantera $22$ nouveaux pommiers par hectare.
    Ainsi $u_{n+1}=0,96u_n+22$.
    $\quad$
    b. En 2020 on a $n=2$.
    $u_1=0,96\times 300+22=310$ et $u_2=0,96\times 310+22=319,6$.
    Il y aura donc environ $320$ pommiers par hectare en 2020.
    $\quad$
  2. a. On obtient l’algorithme suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    n\leftarrow 0\\
    U\leftarrow 300\\
    \text{Tant que } U\pp 400\\
    \hspace{1cm} N\leftarrow N+1\\
    \hspace{1cm} U\leftarrow 0,96\times U+22\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. Voici les différentes valeurs prises par les deux variables.
    $\begin{array}{|c|c|}
    \hline
    N&U\\
    \hline
    0&300\\
    \hline
    1&310\\
    \hline
    2&319,6\\
    \hline
    3&328,81\\
    \hline
    4&337,66\\
    \hline
    5&346,15\\
    \hline
    6&354,31\\
    \hline
    7&362,13\\
    \hline
    8&369,65\\
    \hline
    9&376,86\\
    \hline
    10&383,79\\
    \hline
    11&390,44\\
    \hline
    12&396,82\\
    \hline
    13&402,94\\
    \hline
    \end{array}$
    En sortie de l’algorithme on a $N=13$.
    $\quad$
  3. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=u_n-550 \ssi u_n=v_n+550$.
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-550\\
    &=0,96u_n+22-550\\
    &=0,96u_n-528\\
    &=0,96\left(v_n+550\right)-528\\
    &=0,96v_n+528-528 \\
    &=0,96v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,96$ et de premier terme $v_0=u_0-550=-250$.
    $\quad$
    b. Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=-250\times 0,96^n$.
    Et $u_n=v_n+550=550-250\times 0,96^n$.
    $\quad$
    c. En 2025 on a $n=7$.
    $u_7=550-250\times 0,96^7\approx 362,14$
    En 2025, Laurence aura donc $362,14\times 14=5~069,96$ soit $5~070$ pommiers sur son exploitation.
    $\quad$
    d. On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
    $\begin{align*} u_n>400 &\ssi 550-250\times 0,96^n>400 \\
    &\ssi -250\times 0,96^n>-150 \\
    &\ssi 0,96^n<0,6 \\
    &\ssi n\ln 0,96<\ln 0,6\\
    &\ssi n> \dfrac{\ln 0,6}{\ln 0,96} \end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln 0,6}{\ln 0,96}\approx 12,51$.
    Ainsi $u_n>400$ pour $n\pg 13$.
    On retrouve bien le résultat de la question 2.b.
    $\quad$

 

Ex 2 spé

Exercice 2

Candidats de ES ayant suivi la spécialité

  1. a. On obtient le graphe suivant :
    $\quad$
    b. On obtient la matrice de transition suivante : $\begin{pmatrix} 0,8&0,2\\0,4&0,6\end{pmatrix}$
    $\quad$
  2. a. On a $P_1=\begin{pmatrix} 0&1\end{pmatrix}$.
    $\quad$
    b. On a : $$\begin{align*}M^2&=M\times M\\
    &=\begin{pmatrix} 0,8^2+0,4\times 0,2&0,8\times 0,2+0,6\times 0,2\\
    0,4\times 0,8+0,6\times 0,4&0,4\times 0,2+0,6^2\end{pmatrix} \\
    &=\begin{pmatrix}0,72&0,28\\0,56&0,44\end{pmatrix}\end{align*}$$
    $\quad$
    On a $P_3=P_1\times M^2=\begin{pmatrix}0,56&0,44\end{pmatrix}$.
    La probabilité que Julie emprunte les routes départementales le 3$\ieme$ jour est $0,56$.
    $\quad$
  3. a. Pour tout entier $n$ on a $P_{n+1}=P_n\times M$.
    Donc $\begin{cases} d_{n+1}=0,8d_n+0,4r_n\\r_{n+1}=0,2d_n+0,6r_n\end{cases}$
    $\quad$
    b. Dans l’algorithme 1, la variable $D$ est modifiée pour le calcul de $R$. Il ne convient pas.
    On ne veut calculer que $2$ termes de la suite. L’algorithme 2 ne convient pas.
    Il faut donc utiliser l’algorithme 3.
    $\quad$
  4. Pour tout entier naturel $n$ non nul on a :
    $d_n+r_n=1 \ssi d_n=1-r_n$
    Donc :
    $\begin{align*} r_{n+1}&=0,2d_n+0,6r_n\\
    &=0,2\left(1-r_n\right)+0,6r_n\\
    &=0,2-0,2r_n+0,6r_n\\
    &=0,4r_n+0,2\end{align*}$
    $\quad$
  5. a. Pour tout entier naturel $n$ non nul on a $v_n=r_n-\dfrac{1}{3} \ssi r_n=v_n+\dfrac{1}{3}$.
    $\begin{align*} v_{n+1}&=r_{n+1}-\dfrac{1}{3} \\
    &=0,4r_n+0,2-\dfrac{1}{3}\\
    &=0,4r_n-\dfrac{2}{15}\\
    &=0,4\left(v_n+\dfrac{1}{3}\right)-\dfrac{2}{15}\\
    &=0,4v_n+\dfrac{2}{15}-\dfrac{2}{15}\\
    &=0,4v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,4$ et de premier terme $v_0=r_0-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$.
    $\quad$
    b. Ainsi, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $v_n=\dfrac{2}{3}\times 0,4^{n-1}$
    Et :
    $\begin{align*} r_n&=v_n+\dfrac{1}{3}\\
    &=\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}\times 0,4^{n-1}\\
    &=\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}\times 0,4^{n}\times \dfrac{1}{0,4}\\
    &=\dfrac{1}{3}+\dfrac{5}{3}\times 0,4^n\end{align*}$
    $\quad$
    c. $0<0,4<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,4^n=0$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} r_n=\dfrac{1}{3}$.
    Sur le long terme, la probabilité que Julie emprunte la voie rapide est $\dfrac{1}{3}$.
    $\quad$

 

 

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. On a :
    $\begin{align*} P(D<8)&=P(D<15,5)-P(8<D<15,5)\\
    &=0,5-P(8<D<15,5) \\
    &\approx 0,11\end{align*}$
    La probabilité qu’il y ait pénurie d’eau est environ égale à $0,11$.
    $\quad$
  2. On a :
    $P(8\pp D\pp 26) \approx 0,85$
    La probabilité qu’il n’y ait pas de vigilance particulière est environ égale à $0,85$.
    $\quad$
  3. On a $P(3,5<D<27,5)=P(\mu-2\sigma<D<\mu+2\sigma)\approx 0,95$.
    la probabilité que le débit observé soit compris entre $3,5$ m$^3$.s$^{-1}$ et $27,5$ m$^3$.s$^{-1}$ est d’environ $0,95$.
    $\quad$

Partie B

  1. On effectue $10$ tirages aléatoires, indépendants et identiques.
    À chaque tirage il y a deux issues $S$ : “L’équipe de Sébastien a effectué le relevé” et $\conj{S}$.
    De plus $p(S)=0,25$.
    On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de relevés effectués par l’équipe de Sébstien.
    $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,25$.
    $\quad$
  2. On a $P(X=4)=\ds \binom{10}{4}0,25^4\times 0,75^6\approx 0,15$.
    La probabilité que $4$ relevés exactement soient effectués par l’équipe de Sébastien est environ égale à $0,15$.
    $\quad$
  3. On a :
    $P(X\pg 2)=1-P(X<2)=1-P(X\pp 1) \approx 0,76$.
    La probabilité qu’au moins $2$ relevés soient effectués par l’équipe de Sébastien est environ égale à $0,76$.
    $\quad$

Partie C

Un intervalle de confiance est $I_n=\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}};f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$
Son amplitude est $\dfrac{2}{\sqrt{n}}$.

On veut donc résoudre :
$\begin{align*} \dfrac{2}{\sqrt{n}}\pp 0,1 &\ssi \sqrt{n}\pg 20\\
&\ssi n\pg 400\end{align*}$

Il faut donc réaliser au moins $400$ mesures.

$\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

Partie A

  1. Graphiquement $f(0)=112$ et $f(60)=70$.
    $\quad$
  2. Le point $A$ d’abscisse $7$ est un point d’inflexion. Donc $f\dsec(7)=0$.
    $\quad$
  3. a.

    $\quad$
    b. L’aire du domaine contient au moins $20$ carreaux.
    Chaque carreau a une aire de $10\times 20=200$ u.a.
    L’aire du domaine est donc supérieure ou égale à $20\times 200=4~000$ u.a.
    L’affirmation n’est donc pas correcte.
    $\quad$

Partie B

  1. D’après l’énoncé la fonction $f$ est dérivable.
    Pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0;60]$ on a:
    $\begin{align*} f'(x)&=14\e^{-x/5}+(14x+42)\times \left(-\dfrac{1}{5}\e^{-x/5}\right) \\
    &=\left(14-\dfrac{1}{5}\times (14x+42)\right)\e^{-x/5} \\
    &=\dfrac{1}{5}\left(70-14x-42\right)\e^{-x/5}\\
    &=\dfrac{1}{5}(-14x+28)\e^{-x/5}\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $-14x+28$.
    $-14x+28=0 \ssi 14x=28\ssi x=2$
    $-14x+28>0\ssi -14x>-28\ssi x<2$
    Ainsi :
    – $f'(x)<0$ sur l’intervalle $[0;2[$;
    – $f'(2)=0$;
    – $f'(x)<0$ sur l’intervalle $]2;60]$.
    $\quad$
    b. On obtient donc le tableau de variations suivant :

    $\quad$
  3. D’après le logiciel de calcul formel on a $f\dsec(x)=14\e^{-x/5}\times \dfrac{x-7}{25}$.
    La fonction exponentielle est strictement croissante sur l’intervalle $[0;60]$.
    Le signe de $f\dsec(x)$ ne dépend donc que de celui de $x-7$.
    Or $x-7=0 \ssi x=7$ et $x-7>0\ssi x>7$.
    La fonction $f$ est donc concave sur l’intervalle $[0;7]$ et convexe sur l’intervalle $[7;60]$.
    $\quad$
  4. a. La fonction $G$ est dérivable sur l’intervalle $[0;60]$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $\begin{align*} G'(x)&=-70\e^{-x/5}+(-70x-560)\times \left(-\dfrac{1}{5}\e^{-x/5}\right) \\
    &=(-70+14x+112)\e^{-x/5}\\
    &=(14x+112)\e^{-x/5}\\
    &=g(x)\end{align*}$
    La fonction $G$ est donc une primitive de la fonction $g$ sur l’intervalle $[0;60]$.
    $\quad$
    b. Une primitive de la fonction $f$ est donc la fonction $F$ définie sur l’intervalle $[0;60]$ par $F(x)=70x+(-70x-560)\e^{-x/5}$
    $\quad$
    c. On a :
    $\begin{align*} I&=\ds \int_0^{60} f(x)\dx \\
    &=F(60)-F(0) \\
    &=4~200-4~760\e^{-12}+560\\
    &=4~760\left(1-\e^{-12}\right)\\
    &\approx 4~760 \text{ u.a.}\end{align*}$
    $\quad$

Partie C

La surface à vernir a une aire égale à :
$\begin{align*} \mathscr{A}&=2I+5~400 \\
&\approx 14~920\text{ cm}^2 \end{align*}$

Or $\dfrac{1}{4}\times 10$ m$^2$ $=25~000$ cm$^2$ $>14~960$ cm$^2$.

L’ébéniste aura donc suffisamment de vernis.
$\quad$

 

Énoncé

Exercice 1     5 points

Pour chacune des cinq affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse donnée.

  1. Pour tout événement $E$, on note $\conj{E}$ l’événement contraire de $E$.
    On considère l’arbre pondéré suivant :

    Affirmation 1 : La probabilité de ܴ$\conj{R}$ sachant ܵest $0,06$.
    $\quad$
  2. Soit ݇ un réel tel que $0\pp k<18$. Soit ܺ$X$ une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l’intervalle $[݇k ; 18]$. On suppose que l’espérance de ܺ$X$ est égale à $12$.

    Affirmation 2 : La valeur de $k$ est $9$.
    $\quad$

  3. On considère l’équation suivante : $$\ln\left(x^2\right)-\ln\left(\dfrac{x^5}{\e}\right)+\ln(2)=\ln(2x)+5$$

    Affirmation 3 :$\dfrac{1}{\e}$ est l’unique solution de cette équation.
    $\quad$

  4. Soit ݂$f$ une fonction dérivable sur l’intervalle $[0 ; 15]$. On suppose que sa fonction dérivée, notée ݂$f’$, est continue sur $[0 ; 15]$. Les variations de $f’$ sont représentées dans le tableau ci-dessous.

    Affirmation 4 : La courbe représentative $C_f$ de la fonction ݂$f$ admet une et une seule tangente parallèle à l’axe des abscisses.
    $\quad$
    Affirmation 5 : La fonction ݂$f$ est convexe sur $[5 ; 15]$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

Candidats de ES n’ayant pas suivi la spécialité ou candidats de L

En 2018, Laurence, souhaitant se lancer dans l’agriculture biologique, a acheté une ferme de $14$ hectares de pommiers. Elle estime qu’il y a $300$ pommiers par hectare.
Chaque année, Laurence éliminera $4 \%$ des pommiers existants et replantera $22$ nouveaux pommiers par hectare.
Pour tout entier naturel $n$ ݊, on note $u_n$ le nombre de pommiers par hectare l’année 2018 $+n$ ݊. On a ainsi $u_0=300$.

  1.  a. Justifier que, pour tout entier naturel ݊$n$, on a $u_{n+1}=0,96u_n+22$
    $\quad$
    b. Estimer le nombre de pommiers par hectare, arrondi à l’unité, en 2020.
    $\quad$
  2. Laurence veut savoir à partir de quelle année la densité de pommiers dépassera $400$ pommiers par hectare. Pour cela, on utilise l’algorithme suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    N\leftarrow 0\\
    U\leftarrow 300\\
    \text{Tant que } U\ldots\\
    \hspace{1cm} N\leftarrow N+1\\
    \hspace{1cm} U\leftarrow \ldots\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    a. Recopier et compléter l’algorithme ci-dessus pour qu’il détermine le rang de l’année cherchée.
    $\quad$
    b. Quelle est la valeur de ܰ en sortie de l’algorithme ?
    $\quad$
  3. On définit la suite $\left(v_n\right)$ en posant $v_n=u_n-550$, pour tout entier naturel ݊.
    a. Démontrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme $v_0$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel ݊$n$, exprimer $v_n$ en fonction de ݊$n$ puis démontrer que : $$u_n=550-250\times 0,96^n$$
    $\quad$
    c. Estimer le nombre de pommiers de l’exploitation de Laurence en 2025.
    $\quad$
    d. En résolvant l’inéquation $u_n>400$ , retrouver le résultat obtenu à la question 2. b.
    $\quad$

Exercice 2     5 points

Candidats de ES ayant suivi la spécialité

Pour se rendre à l’université, Julie peut emprunter deux itinéraires, l’un passant par des routes départementales, l’autre par une voie rapide. Elle teste les deux itinéraires.
Lorsque Julie emprunte la voie rapide un jour, la probabilité qu’elle emprunte le même itinéraire le lendemain est de $0,6$.
Lorsque Julie emprunte les routes départementales un jour, la probabilité qu’elle emprunte la voie rapide le lendemain est de $0,2$.
Le premier jour, Julie emprunte la voie rapide.
On note :

  • $D$ l’événement « Julie emprunte les routes départementales » ;
  • $R$ l’événement « Julie emprunte la voie rapide ».
  1. a. Traduire ces informations à l’aide d’un graphe probabiliste dont les sommets seront notés $D$ et ܴ$R$.
    $\quad$
    b. Donner la matrice de transition $M$ correspondant au graphe probabiliste.
    Les sommets du graphe seront rangés dans l’ordre alphabétique.
    $\quad$
  2. Pour tout entier ݊ supérieur ou égal à $1$, l’état probabiliste le ݊$n$-ième jour est défini par la matrice ܲ$P_n=\begin{pmatrix}d_n&r_n\end{pmatrix}$ désigne la probabilité que Julie emprunte les routes départementales le ݊$n$-ième jour et $r_n$ la probabilité que Julie emprunte la voie rapide le ݊$n$-ième jour.
    a. Donner ܲ$P_1$.
    $\quad$
    b. Calculer $M^2$ et en déduire la probabilité que Julie emprunte les routes départementales le $3^{\e}$ jour.
    $\quad$
  3. a. Exprimer, pour tout entier naturel ݊$n$ non nul, ܲ$P_{n+1}$ en fonction de ܲ$P_n$ et en déduire les expressions de ݀$d_{n+1}$ et $r_{n+1}$ en fonction de ݀$d_n$ et $r_n$.
    $\quad$
    b. Parmi les algorithmes suivants, lequel donne les termes $d_3$ et $r_3$ ?
    $\quad$
    $$\begin{array}{|l|l|l|}
    \hline
    \text{Algorithme 1}&\text{Algorithme 2}&\text{Algorithme 3}\\
    \hline
    D\leftarrow 0&D\leftarrow 0&D\leftarrow 0\\
    R\leftarrow 1&R\leftarrow 1&R\leftarrow 1\\
    \text{Pour $N$ allant de $1$ à $3$}&\text{Pour $N$ allant de $1$ à $3$}&\text{Pour $N$ allant de $1$ à $3$}\\
    \hspace{1cm}D\leftarrow 0,8D+0,4R&\hspace{1cm}D\leftarrow 0,8D+0,4R&\hspace{1cm}D\leftarrow 0,8D+0,4R\\
    \hspace{1cm}R\leftarrow 0,2D+0,6R&\hspace{1cm}R\leftarrow 1-D&\hspace{1cm}R\leftarrow 1-D\\
    \text{Fin Pour}&\text{Fin Pour}&\text{Fin Pour}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  4. Montrer que, pour tout entier naturel ݊$n$ non nul, $r_{n+1}=0,4r_n+0,2$.
    $\quad$
  5. On définit la suite $\left(v_n\right)$ par $v_n=r_n-\dfrac{1}{3}$ pour tout entier naturel ݊$n$ non nul.
    a. Démontrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme $v_1$.
    $\quad$
    b. Exprimer $v_n$ en fonction de ݊$n$ puis démontrer que, pour tout entier naturel ݊$n$ non nul : $$r_n=\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}\times 0,4^{n-1}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{5}{3}\times 0,4^n$$
    $\quad$
    c. Que peut-on prévoir sur le long terme ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     5 points

Les trois parties peuvent être traitées de manière indépendante.
Les résultats seront arrondis au centième.

Partie A

Les cours d’eau français sont surveillés quotidiennement afin de prévenir la population en cas de crue ou pénurie d’eau.
Dans une station hydrométrique, on mesure le débit quotidien d’une rivière.
Ce débit en mètre cube par seconde ($\text{m}^3.\text{s}^{-1}$) peut être modélisé par une variable aléatoire $D$ qui suit la loi normale de paramètres $\mu=15,5$ et $\sigma=6$.
On estime qu’il y a pénurie d’eau lorsque le débit de la rivière est inférieur à $8 \text{ m}^3.\text{s}^{-1}$.
On estime qu’il y a un risque de crue lorsque le débit est supérieur à $26\text{ m}^3.\text{s}^{-1}$.
Entre ces deux débits, il n’y a pas de vigilance particulière.

  1. Calculer la probabilité qu’il y ait pénurie d’eau.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité qu’il n’y ait pas de vigilance particulière.
    $\quad$
  3. Justifier, sans utiliser la calculatrice, que la probabilité que le débit observé soit compris entre $3,5\text{ m}^3.\text{s}^{-1}$ et $27,5\text{ m}^3.\text{s}^{-1}$ est d’environ $0,95$.
    $\quad$

Partie B
Deux équipes effectuent les relevés de débit du cours d’eau sur la station hydrométrique. Sébastien appartient à la première équipe.
Un quart des relevés est effectué par l’équipe de Sébastien, le reste par la seconde équipe.
On choisit $10$ relevés au hasard sur l’ensemble des relevés de la station, ensemble qui est suffisamment grand pour que ce choix puisse être assimilé à $10$ tirages avec remise. On s’intéresse au nombre de relevés effectués par l’équipe de Sébastien parmi ces $10$ relevés.

  1. Quelle loi de probabilité modélise cette situation ? Préciser les paramètres de cette loi.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité que $4$ relevés exactement soient effectués par l’équipe de Sébastien.
    $\quad$
  3. Calculer la probabilité qu’au moins $2$ relevés soient effectués par l’équipe de Sébastien.
    $\quad$

Partie C
Ces relevés sont utilisés pour tester la qualité de l’eau : « satisfaisante » ou « non satisfaisante ». On s’intéresse à la proportion de relevés de qualité « satisfaisante ».
Combien, au minimum, faut-il effectuer de relevés pour obtenir un intervalle au niveau de confiance de $95 \%$ dont l’amplitude est inférieure à $0,1$ ?
$\quad$

$\quad$

Exercice 4     5 points

Un ébéniste décide de refaire les accoudoirs d’un fauteuil (ébauche du fauteuil en annexe). On modélise l’accoudoir à l’aide de la fonction $f$ définie sur $[0 ; 60]$ par : $$f(x)=70+(14x+42)\e^{-x/5}$$
La courbe représentative de $f$ ݂, notée $C_f$ est donnée en annexe.
On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur l’intervalle $[0 ; 60]$. On note $f’$ sa fonction dérivée et ݂$f\dsec$ sa fonction dérivée seconde.

Partie A
Dans toute cette partie, les réponses sont obtenues graphiquement à partir de la courbe représentative de $f$ donnée en annexe.

On admet que le point $A$ de $C_f$ d’abscisse $7$ est un point d’inflexion de $C_f$.

  1. Déterminer une valeur approchée de ݂$f(0)$ et ݂$f(60)$.
    $\quad$
  2. Déterminer ݂$f\dsec(7)$.
    $\quad$
  3. On considère la surface située entre l’axe des abscisses, la courbe $C_f$ et les droites d’équation $x=0$ et $x=60$.
    a. Hachurer la surface décrite ci-dessus sur l’annexe.
    $\quad$
    b. L’ébéniste estime l’aire de cette surface à $3~800$ unités d’aire. Cette estimation est-elle correcte ?
    $\quad$

Partie B

  1. Justifier que pour tout nombre réel $x$ de l’intervalle $[0 ; 60]$ on a : $$f'(x)=\dfrac{1}{5}(-14x+25)\e^{-x/5}$$
    $\quad$
  2. a. Étudier le signe de ݂$f'(x)$ sur l’intervalle $[0 ; 60]$.
    $\quad$
    b. Dresser le tableau de variations de la fonction ݂$f$ sur l’intervalle $[0 ; 60]$.
    On arrondira à l’unité près les valeurs numériques qui apparaissent dans le tableau de variations.
    $\quad$
  3. Un logiciel de calcul formel permet d’afficher les lignes suivantes :


    En utilisant les résultats ci-dessus, étudier la convexité de ݂$f$.
    $\quad$

  4. Pour tout nombre réel $x$ de l’intervalle $[0 ; 60]$, on pose :
    $$g(x)=(14x+42)\e^{-x/5} \quad \text{et} \quad G(x)=(-70x-560)\e^{-x/5}$$
    a. Montrer que $G$ est une primitive de ݃$g$ sur l’intervalle $[0 ; 60]$.
    $\quad$
    b. En déduire une primitive de ݂$f$ sur l’intervalle $[0 ; 60]$.
    $\quad$
    c. Calculer la valeur exacte de $\ds \int_0^{60} f(x)\dx$ , puis en donner une valeur approchée à l’unité d’aire près.
    $\quad$

Partie C
L’ébéniste découpe $2$ accoudoirs identiques sur le modèle de la surface hachurée de l’annexe en choisissant comme unité le cm.
Il souhaite vernir les deux faces de chaque accoudoir (annexe) ainsi que le dossier du fauteuil dont l’aire est égale à $5~400$ cm$^2$. Or il lui reste le quart d’un petit pot de vernis pouvant couvrir $10$ m$^2$. Aura-t-il suffisamment de vernis ?
$\quad$

Annexe

 

 

 

 

 

Bac ES/L – Antilles/Guyane – Juin 2019

Antilles/Guyane – juin 2019

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. “Chaque client tire au hasard une carte sur laquelle figure un nombre de $1$ à $50$, chaque numéro ayant la même probabilité d’être découvert”.
    On a donc $P(N)=\dfrac{15}{50}=0,3$.
    $\quad$
    “S’il découvre un numéro compris entre $1$ et $15$, il fait tourner une roue divisée en $10$ secteurs de même taille dont $8$ secteurs contiennent une étoile”.
    Par conséquent $P_N(E)=\dfrac{8}{10}=0,8$.
    $\quad$
  2. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  3. D’après la formule des probabilités totales, on a :
    $\begin{align*} P(E)&=P(N\cap E)+P\left(\conj{N}\cap E\right) \\
    &=0,3\times 0,8+0,7\times 0,1\\
    &=0,24+0,07\\
    &=0,31\end{align*}$
    La probabilité que le client gagne un bon d’achat est égale à $0,31$.
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_E(N)&=\dfrac{P(E\cap N)}{P(E)} \\
    &=\dfrac{0,3\times 0,8}{0,31} \\
    &=\dfrac{24}{31} \end{align*}$
    $\quad$

Partie B

  1. $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=100$ et $p=0,31$.
    $\quad$
  2. On a donc :
    $\begin{align*} \ds P(X=30)&=\binom{100}{30}\times 0,31^{30} \times 0,69^{70} \\
    &\approx 0,085\end{align*}$
    $\quad$
  3. On a $E(X)=np=31$.
    Le montant moyen de la somme totale offerte en bons d’achat est donc $31\times 10=310>250$.
    Le budget prévisionnel n’est par conséquent pas suffisant.
    $\quad$

Partie C

  1. On a $P(30 \pp Y\pp 60)\approx 0,997$.
    On remarque qu’on a calculé $P(\mu-3\sigma\pp Y\pp \mu+3\sigma)$.
    La probabilité qu’un client pris au hasard dans ce magasin reste entre $30$ et $60$ minutes est environ égale à $0,997$.
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} P(X\pg 50)&=P(X\pg 45)-P(45\pp X\pp 50) \\
    &=0,5-P(45\pp X\pp 50) \\
    &\approx 0,159\end{align*}$
    La probabilité qu’un client pris au hasard dans ce magasin reste plus de $50$ minutes est environ égale à $0,159$.
    $\quad$

Ex 2 obl

Exercice 2

Candidats de ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de L

  1. On a $u_1=(1+0,05)u_0+20=1,05\times 100+20=125$
    et $u_2=1,05u_1+20=1,05\times 125+20=151,25$.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    “la taille augmente d’un mois sur l’autre de $5 \%$ : soit $1,05u_n$.
    “… auxquels s’ajoutent $20$ cm” : donc $u_{n+1}=1,05u_n+20$.
    $\quad$
  3. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=u_n+400 \ssi u_n=v_n-400$.
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}+400 \\
    &=1,05u_n+20+400\\
    &=1,05\left(v_n-400\right)+420\\
    &=1,05v_n-420+420\\
    &=1,05v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,05$ et de premier terme $v_0=u_0+400=500$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $v_n=500\times 1,05^n$.
    $\quad$
    c. et $u_n=v_n-400=500\times 1,05^n-400$.
    $\quad$
    d. À la fin du $7\ieme$ mois on a $n=7$.
    Or $u_7=500\times 1,05^7-400\approx 303,55$.
    Le bambou mesurera environ $3,04$ m à la fin du $7\ieme$ mois.
    $\quad$
  4. a. On obtient le tableau suivant
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Test }u<200&\bbox[black]{\phantom{Nég}}&\text{vrai}&\text{vrai}&\text{vrai}&\text{vrai}&\text{faux}\\
    \hline
    \text{Valeur de }u&100&125&151,25&178,8125&207,753125&\\
    \hline
    \text{Valeur de }n&0&1&2&3&4&\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    b. À la fin de l’exécution de l’algorithme on a $n=4$.
    Cela signifie donc qu’au bout de $4$ mois, la taille du bambou dépasse $2$ m.
    $\quad$
    c. On peut utiliser l’algorithme suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    u\leftarrow 50\\
    n\leftarrow 0\\
    \text{Tant que }u<1000 \text{ faire}\\
    \hspace{1cm} u\leftarrow 1,05\times u+20\\
    \hspace{1cm} n\leftarrow n+1\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$

Ex 2 spé

Exercice 2

Candidats de ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

  1. On obtient le graphe suivant :
    $\quad$
  2. On a $\begin{cases} a_{n+1}=0,9a_n+0,3b_n \\b_{n+1}=0,1a_n+0,7b_n\end{cases}$
    Par conséquent, la matrice de transition est $M=\begin{pmatrix} 0,9&0,1\\0,3&0,7\end{pmatrix}$.
    $\quad$
  3. a. On a $M^2=\begin{pmatrix} 0,84&0,16\\0,48&0,52\end{pmatrix}$
    Ainsi $\begin{pmatrix}a_2&b_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,2&0,8\end{pmatrix}\times M^2=\begin{pmatrix}0,552&0,448\end{pmatrix}$.
    Donc $a_2=0,552$ et $b=0,448$.
    $\quad$
    b. Cela signifie donc qu’en 2020 $55,2\%$ des 12-18 ans posséderont la carte.
    $\quad$
  4. a. On note $P=\begin{pmatrix} a&b\end{pmatrix}$ l’état stable.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} \begin{cases} P=P\times A\\a+b=1 \end{cases} &\ssi \begin{cases} a=0,9a+0,3b\\b=0,1a+0,7b\\a+b=1\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases}-0,1a+0,3b=0\\0,1a-0,3b=0\\a+b=1\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} -0,1a+0,3b=0\\a+b=1\end{cases}\end{align*}$
    $\quad$
    b. On a :
    $\begin{align*} \begin{cases} -0,1a+0,3b=0\\a+b=1\end{cases} &\ssi \begin{cases} 0,1a=0,3b\\a+b=1\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} a=3b\\4b=1\end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases} b=0,25\\a=0,75\end{cases}\end{align*}$
    Sur le long terme, $75\%$ des 12-18 ans possédera car la carte.
    La mairie peut espérer qu’à l’avenir au moins $70 \%$ de la population des 12-18 ans possèdent la carte.
    $\quad$

Partie B

  1. On a l’algorithme :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    A\leftarrow 0,2\\
    N\leftarrow 0\\
    \text{Tant que $A<0,7$ faire}\\
    \hspace{1cm} A \text{ prend la valeur }0,6\times A+0,3\\
    \hspace{1cm} N \text{ prend la valeur }N+1\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  2. D’après l’énoncé, la suite $\left(a_n\right)$ est croissante et définie par $a_0=0,2$ et, pour tout entier naturel $n$, $a_{n+1}=0,6a_n+0,3$.
    D’après la calculatrice $a_4\approx 0,679 <0,7$ et $a_5\approx 0,707>0,7$.
    C’est donc en 2023 que l’objectif sera atteint.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. La tangente $T$ semble passer par les points $A(-5;1,4)$ et le point de coordonnées $(-10,3)$.
    Le coefficient directeur de la tangente $T$ est :
    $a\approx \dfrac{3-1,4}{-10-(-5)}$ soit $a\approx -0,32$.
    La meilleure approximation fournie est donc $-\dfrac{1}{3}$.
    Réponse a
    $\quad$
  2. La courbe $\mathscr{C}$ semble en-dessous de ses tangentes sur l’intervalle $[-10;-5]$ et au-dessus sur l’intervalle $[-5;5]$.
    La fonction $f$ semble donc concave sur l’intervalle $[-10;-5]$ et convexe sur l’intervalle $[-5;5]$.
    Réponse d
    $\quad$
  3. L’aire du domaine $S$ semble approximativement égal à $5$ u.a.
    Or $5\in[4;7]$.
    Réponse b
    $\quad

Partie B

  1. a. Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)=1\times \e^{0,2x}+(x-5)\times 0,2\e^{0,2x} \\
    &=\left(1+0,2(x-5)\right)\e^{0,2x} \\
    &=(1+0,2x-1)\e^{0,2x} \\
    &=0,2x\e^{0,2x}\end{align*}$
    $\quad$
    b. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $x$.
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    avec $f(-10)=-15\e^{-2}+5$.
    $\quad$
    c. Le coefficient directeur de la tangente $T$ est $f'(-5)=-\e^{-1}$.
    $\quad$
  2. a. D’après le logiciel de calcul formel on a, pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[-10;5]$ :
    $\begin{align*} f\dsec(x)&=\dfrac{1}{25}x\e^{x/5}+\dfrac{1}{5}\e^{x/5}  \\
    &=0,04x\e^{0,2x}+0,2\e^{0,2x}\\
    &=(0,2+0,04x)\e^{0,2x}\end{align*}$
    $\quad$
    b. La fonction exponentielle est strictement positive.
    Le signe de $f\dsec(x)$ ne dépend donc que de celui de $0,2+0,04x$.
    Or $0,2+0,04x=0 \ssi 0,04x=-0,2 \ssi x=-5$
    et $0,2+0,04x>0 \ssi 0,04x>-0,2 \ssi x>-5$.
    La fonction $f$ est donc concave sur l’intervalle $[-10;-5]$ et convexe sur l’intervalle $[-5;5]$.
    $\quad$
  3. a. On a donc :
    $\begin{align*} I&=\ds \int_0^5 f(x)\dx \\
    &=F(5)-F(0) \\
    &=-25\e+25+50\\
    &=75-25\e\end{align*}$
    $\quad$
    b. L’aire du domaine du plan situé sous la drite $\mathscr{D}$, au-dessus de l’axe des abscisses et compris entre les droites d’équation $x=0$ et $x=5$ est :
    $J=\ds \int_0^5 x\dx =\left[\dfrac{x^2}{2}\right]_0^5=\dfrac{25}{2}=12,5$ u.a.
    $\quad$
    c. L’aire du domaine $S$ est donc :
    $\begin{align*} A&=\ds \int_0^5 \left(x-f(x)\right)\dx \\
    &=\int_0^5 x\dx -\int_0^5 f(x)\dx \\
    &=J-I\\
    &=12,5-75+25\e\\
    &\approx 5,46 \text{u.a.}\end{align*}$
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. Le taux d’évolution de l’émission de CO$_2$ par cette entreprise entre 2014 et 2015 est $t=\dfrac{14,7-15}{15}=-0,02=-2\%$.
    L’entreprise a diminué ses émissions de CO$_2$ de $2\%$ entre 2014 et 2015.
    $\quad$
  2. Le coefficient multiplicateur associé à cette baisse de $2\%$ est $1-0,02=0,98$.
    Le taux de diminution annuel de CO2 émis restera constant pendant les années suivantes.
    On veut donc déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
    $\begin{align*} 15\times 0,98^n\pp 12 &\ssi 0,98^n \pp 0,8 \\
    &\ssi n\ln 0,98 \pp \ln 0,8\\
    &\ssi n \pg \dfrac{\ln 0,8}{\ln 0,98}\end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln 0,8}{\ln 0,98}\approx 11,05$. Ainsi $n\pg 12$
    C’est donc à partir de l’année 2026 que la quantité de CO2 émise par cette entreprise passera en dessous de ce seuil de $12$ milliers de tonnes.$\quad$

Énoncé

Exercice 1     5 points

La partie C est indépendante des parties A et B.

Une grande enseigne décide d’organiser un jeu permettant de gagner un bon d’achat. Le jeu se déroule en deux étapes :

  • Étape 1 : chaque client tire au hasard une carte sur laquelle figure un nombre de $1$ à $50$, chaque numéro ayant la même probabilité d’être découvert;
  • Étape 2 :
    – s’il découvre un numéro compris entre $1$ et $15$, il fait tourner une roue divisée en $10$ secteurs de même taille dont $8$ secteurs contiennent une étoile;
    – sinon, il fait tourner une autre roue divisée elle aussi en $10$ secteurs de même taille dont un seul secteur contient une étoile.

Un bon d’achat est gagné par le client si la roue s’arrête sur une étoile.

Partie A

Un client joue à ce jeu. On note :
$N$ l’évènement « Le client découvre un numéro entre $1$ et $15$ »;
$E$ l’évènement « Le client obtient une étoile ».

  1. a. Justifier que $P(N) = 0,3$ et que $P_N(E) = 0,8$.
    $\quad$
    b. Représenter cette situation à l’aide d’un arbre pondéré.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité que le client trouve un numéro entre $1$ et $15$ et une étoile.
    $\quad$
  3. Justifier que la probabilité que le client gagne un bon d’achat est égale à $0,31$.
    $\quad$
  4. Le client a gagné un bon d’achat. Quelle est la probabilité qu’il ait obtenu un numéro entre $1$ et $15$ à la première étape ?
    $\quad$

Partie B

Le montant d’un bon d’achat est de $10$ euros.
Pour ce jeu, le directeur de l’hypermarché a prévu un budget de $250$ euros par tranche de $100$ clients y participant. Pour vérifier que son budget est suffisant, il simule $100$ fois le jeu d’un client à l’aide d’un logiciel.
On appelle $X$ la variable aléatoire qui, à $100$ jeux simulés, associe le nombre de bons d’achat gagnés. On admet que $X$ suit une loi binomiale.

  1. Préciser les paramètres de $X$.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité pour qu’il y ait exactement $30$ clients gagnants.
    $\quad$
  3. Quel est le montant moyen de la somme totale offerte en bons d’achat ?
    Le budget prévisionnel est-il suffisant ?
    $\quad$

Partie C
La direction de l’hypermarché étudie le temps que les clients passent dans son magasin.
On admet que le temps, exprimé en minute, passé dans ce magasin par un client peut être modélisé par une variable aléatoire $Y$ qui suit la loi normale d’espérance $\mu = 45$ et d’écart type $\sigma = 5$.

  1. Calculer la probabilité qu’un client pris au hasard dans ce magasin reste entre $30$ et $60$ minutes.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité qu’un client pris au hasard dans ce magasin reste plus de $50$ minutes.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

Candidats de ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de L

Un infographiste simule sur ordinateur la croissance d’un bambou. Il prend pour modèle un bambou d’une taille initiale de $1$ m dont la taille augmente d’un mois sur l’autre de $5 \%$ auxquels s’ajoutent $20$ cm.

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note un la taille, exprimée en centimètre, qu’aurait le bambou à la fin du $n$-ième mois, et $u_0 = 100$.

  1. Calculer $u_1$ et $u_2$.
    $\quad$
  2. Expliquer pourquoi, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 1, 05\times u_n +20$.
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n$, on pose : $v_n = u_n +400$.
    a. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme $v_0$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
    c. En déduire que pour tout entier naturel $n$, $u_n = 500\times 1, 05^n-400$.
    $\quad$
    d. Calculer la taille du bambou, au centimètre près, à la fin du $7\ieme$ mois.
    $\quad$
  4. On considère l’algorithme ci-dessous dans lequel $n$ est un entier naturel et $u$ est un nombre réel.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    u\leftarrow 100\\
    n\leftarrow 0\\
    \text{Tant que $<200$ faire}\\
    \hspace{1cm}\begin{array}{|l} u\leftarrow 1,05\times u+20\\
    n\leftarrow n+1\end{array}\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline\end{array}$$
    a. Recopier et compléter le tableau ci-dessous en ajoutant autant de colonnes que nécessaire pour retranscrire l’exécution de l’algorithme.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Test }u<200&\bbox[black]{\phantom{Nég}}&\text{vrai}& \phantom{vrai}& \hspace{1cm} \ldots \hspace{1cm}\\
    \hline
    \text{Valeur de }u&100&&&\ldots\\
    \hline
    \text{Valeur de }n&0&&&\ldots\\
    \hline \end{array}$$
    b. Quelle est la valeur de la variable $n$ à la fin de l’exécution de l’algorithme ?
    Interpréter le résultat au regard de la situation étudiée dans cet exercice.
    $\quad$
    c. Modifier les lignes nécessaires dans l’algorithme pour déterminer le nombre de mois qu’il faudrait à un bambou de $50$ cm pour atteindre ou dépasser $10$ m.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

Candidats de ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

La mairie d’une ville propose une carte jeune annuelle donnant droit à des réductions sur les activités culturelles et de loisirs. La mairie espère que dans l’avenir, au moins $70 \%$ de la population des 12-18 ans possèdent la carte et si oui, en quelle année cela se produirait.

Ces dernières années, lors du renouvellement de la carte, on a constaté que $10 \%$ des possesseurs de la carte ne la rachètent pas. Dans le même temps, $30 \%$ de la population des 12-18 ans qui ne la possédaient pas l’année précédente achètent la carte. On fait l’hypothèse que l’effectif de la population des 12-18 ans est constant et que l’évolution va rester la même pour les prochaines années.
En 2018, 80 % des jeunes de 12-18 ans ne possédaient pas la carte.

On note, pour tout entier naturel $n$, $a_n$ la part de la population des 12-18 ans de la ville possédant la carte l’année 2018$+n$, et $b_n$ la part de la population des 12-18 ans ne la possédant pas.

Partie A

  1. Représenter cette situation par un graphe probabiliste de sommets $A$ et $B$ où le sommet $A$ représente l’état « posséder une carte jeune » et $B$ l’état « ne pas posséder une carte jeune ».
    $\quad$
  2. Déterminer la matrice de transition $M$ de ce graphe en respectant l’ordre $A$ puis $B$ des sommets.
    $\quad$
  3. a. Vérifier que $a_2 = 0,552$ et $b_2 = 0,448$.
    $\quad$
    b. Interpréter le coefficient $0,552$ dans le contexte de l’énoncé.
    $\quad$
  4. On note $a$ et $b$ les coefficients de la matrice $P$ correspondant à l’état stable de ce graphe.
    a. Montrer que les nombres $a$ et $b$ sont solutions du système $\begin{cases}-0,1a+0,3b=0\\a+b=1\end{cases}$.
    $\quad$
    b. Justifier que la mairie peut espérer qu’à l’avenir au moins $70 \%$ de la population des 12-18 ans possèdent la carte.
    $\quad$

Partie B

On admet que pour tout entier naturel $n$, $a_{n+1} = 0, 6 a_n + 0, 3$ et que la suite $\left(a_n\right)$ est croissante.

  1. On donne l’algorithme suivant dans lequel A est un nombre réel et N est un entier naturel.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    A\leftarrow 0,2\\
    N\leftarrow 0\\
    \text{Tant que $\ldots\ldots$ faire}\\
    \hspace{1cm}\begin{array}{|l} A \text{ prend la valeur }\ldots \ldots \\
    B \text{ prend la valeur }\ldots \ldots\end{array}\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline\end{array}$$
    Recopier puis compléter les pointillés des lignes 3 à 5 de l’algorithme ci-dessus pour qu’il affiche le nombre d’années nécessaires à la mairie pour atteindre son objectif qu’au moins $70 \%$ de la population des 12-18 ans possèdent la carte.
    $\quad$
  2. En quelle année l’objectif sera-t-il atteint ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     7 points

Dans la figure ci-dessous sont représentés dans un repère orthogonal :
$\qquad$ – la courbe $\mathscr{C}$ représentative d’une fonction $f$ définie sur l’intervalle $[-10 ; 5]$;
$\qquad$ – la tangente $T$ à $\mathscr{C}$ au point $A$ d’abscisse $-5$;
$\qquad$ – la droite $\mathscr{D}$ d’équation $y = x$ ;
$\qquad$ – le domaine $S$ situé entre la droite $\mathscr{D}$ et la courbe $\mathscr{C}$ , grisé sur la figure.

Partie A
Dans cette partie les estimations seront obtenues par lecture graphique.
Cette partie A est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est demandée.
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l’absence de réponse à une question ne rapportent ni n’enlèvent de point.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante.

  1. Parmi les quatre valeurs ci-dessous, la meilleure valeur approchée du coefficient directeur de la tangente $T$ est :
    a. $-\dfrac{1}{3}$
    b. $-3$
    c. $3$
    d. $\dfrac{1}{3}$
    $\quad$
  2. La fonction $f$ semble :
    a. concave sur $[-3;0]$
    b. concave sur $[-10;0]$
    c. convexe sur $[-10;5]$
    d. convexe sur $[-5;5]$
    $\quad$
  3. L’aire du domaine S, en unité d’aire, appartient à l’intervalle :
    a. $[-4;-2]$
    b. $[4;7]$
    c. $[0;3]$
    d. $[7;10]$
    $\quad$

Partie B
La fonction $f$ précédente, définie et dérivable sur l’intervalle $[-10 ; 5 ]$, a pour expression $f (x) = (x-5)\e^{0,2x} +5$.

  1. On note $f’$ la fonction dérivée de $f$ sur l’intervalle $[-10 ; 5]$ .
    a. Montrer que $f'(x)=0, 2x\e^{0,2x}$.
    $\quad$
    b. Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-10 ; 5 ]$.
    $\quad$
    c. Déterminer la valeur exacte du coefficient directeur de la tangente $T$ à $\mathscr{C}$ au point $A$ d’abscisse $-5$.
    $\quad$
  2. Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants :
    $$\begin{array}{c|l}
    \hline
    ~1~&g(x)=0.2x*\exp(0.2x)\\
    & \phantom{g(x)}\rightarrow \quad g(x)=\dfrac{1}{5}x\e^{\frac{1}{5}x}\\
    \hline
    2&\text{Dérivée }\quad g'(x)=\dfrac{1}{25}x\e^{\frac{1}{5}x}+\dfrac{1}{5}\e^{\frac{1}{5}x}\phantom{\dfrac{\dfrac{1}{1}}{\dfrac{1}{1}}}\\
    \hline
    \end{array}$$
    a. En utilisant ces résultats, justifier que la dérivée seconde de $f$ , notée $f\dsec$, est définie par $f\dsec(x)=(0, 2+0, 04x)\e^{0,2x}$.
    $\quad$
    b. Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-10 ; 5 ]$.
    $\quad$
  3. On admet qu’une primitive de $f$ sur l’intervalle $[-10 ; 5]$ est la fonction $F$ définie par $F(x) = (5x−50)\e^{0,2x} +5x$.
    a. Déterminer la valeur exacte de $I$ définie par $I = \ds \int_0^5 f(x)\dx$.
    $\quad$
    b. Montrer que l’aire du domaine du plan situé sous la droite $\mathscr{D}$, au-dessus de l’axe des abscisses et limité par la droite d’équation $x = 5$ vaut $12, 5$ unités d’aire.
    $\quad$
    c. En déduire une valeur approchée de l’aire du domaine $S$ en unité d’aire.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     3 points

Afin de respecter l’accord signé sur la pollution de l’air, certaines entreprises, dès l’année 2014, ont été contraintes de diminuer chaque année la quantité de CO$_2$ qu’elles produisent.
Une de ces entreprises émettait $15$ milliers de tonnes de CO$_2$ en 2014 et $14,7$ milliers de tonnes en 2015.
On suppose que le taux de diminution annuel de CO$_2$ émis restera constant pendant les années suivantes.

  1. Calculer le taux d’évolution de l’émission de CO$_2$ par cette entreprise entre 2014 et 2015.
    $\quad$
  2. L’accord prévoit que cette entreprise devra produire moins de 12 milliers de tonnes de CO$_2$ par an. En détaillant la méthode employée, déterminer à partir de quelle année la quantité de CO$_2$ émise par cette entreprise passera en dessous de ce seuil de $12$ milliers de tonnes.
    $\quad$

 

 

 

2018 – 2019


La correction des différents sujets de mathématiques du bac ES/L de l’année 2018-2019 sont disponibles ici :

Amérique du Nord – mai 2019

Liban – mai 2019

Centres étrangers/Pondichéry – juin 2019

Antilles Guyane – juin 2019

Métropole – juin 2019

Asie – juin 2019

Polynésie – juin 2019

Antilles Guyane – septembre 2019

Polynésie – septembre 2019

Métropole – septembre 2019

Amérique du Sud – novembre 2019

Nouvelle-Calédonie – novembre 2019

Nouvelle-Calédonie – mars 2020

 

Bac ES/L – Pondichéry / Centres étrangers – Juin 2019

Pondichéry / Centres étrangers – Juin 2019

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici .

Ex 1

Exercice 1     

Partie A

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(A)&=p(B\cap A)+p\left(\conj{B}\cap A\right)\\
    &=0,7\times 0,35+0,3\times 0,55\\
    &=0,41\end{align*}$
    $\quad$
  3. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_A(B)&=\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)} \\
    &=\dfrac{0,7\times 0,35}{0,41} \\
    &\approx 0,598\\
    &>0,5\end{align*}$
    Le directeur va donc décider de proposer à l’avenir la location de l’audioguide sur le site internet du musée.
    $\quad$

Partie B

  1. On veut calculer :
    $\begin{align*} P(T\pp 6)&=P(T\pp 10)-P(6\pp T\pp 10) \\
    &=0,5-P(6\pp T\pp 10) \\
    &\approx 0,023\end{align*}$
    La probabilité qu’un visiteur reste moins de six minutes dans la boutique est environ égale à $0,023$.
    $\quad$
  2. D’après la calculatrice on a $P(6\pp T\pp 14)\approx 0,954$.
    On pouvait également remarquer que $P(6\pp T\pp 14)=P(\mu-2\sigma\pp T\pp \mu+2\sigma)\approx 0,954$.
    $\quad$
  3. On a $P(T\pg a)=0,25 \ssi P(T\pp a)=0,75$
    À l’aide de la touche Inverse loi normale on obtient $a\approx 11,3$.
    Cela signifie donc qu’un quart des visiteurs reste  plus de $11,3$ minutes, environ, dans la boutique.
    $\quad$
  4. On a $n=720$ et $p=0,25$.
    Donc $n\pg 30$, $np=180\pg 5$ et $n(1-p)=540\pg 5$.
    Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ du nombre de visiteurs ayant passé plus de $15$ minutes dans la boutique est :
    $\begin{align*} I_{720}&=\left[0,25-1,96\sqrt{\dfrac{0,25\times 0,75}{720}};0,25+1,96\sqrt{\dfrac{0,25\times 0,75}{720}}\right] \\
    &\approx [0,218;0,282]\end{align*}$
    La fréquence observée est $f=\dfrac{161}{720}\approx 0,224\in I_{720}$.
    L’étude confirme donc les résultats de l’étude.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2     

  1. On a $n=3~000$ et $f=\dfrac{817}{3~000}$
    Par conséquent $n\pg 30$, $nf=817\pg 5$ et $n(1-f)=2~183\pg 5$
    Un intervalle de confiance au seuil de $0,95$ de la proportion de la région trouvant que la publicité est attractive est :
    $\begin{align*} I_{3~000}&=\left[\dfrac{817}{3~000}-\dfrac{1}{\sqrt{3~000}};\dfrac{817}{3~000}+\dfrac{1}{\sqrt{3~000}}\right] \\
    &\approx [0,254;0,291]\end{align*}$
    Réponse D
    $\quad$
  2. $\dfrac{36}{100}\times 4~200=1~512$
    Réponse B
    $\quad$
  3. On rejette les algorithmes A et C car la variable $N$ n’est pas modifiée dans la boucle Tant que.
    On rejette l’algorithme D car la condition $A>30~000$ de la boucle ne convient pas (on ne rentre pas dans la boucle puisque $150<30~000$).
    Réponse B
    $\quad$
  4. On appelle $X$ une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l’intervalle $[1;10]$.
    On veut déterminer :
    $\begin{align*} P(X\pg 5)&=P(5\pp X\pp 10)\\
    &=\dfrac{10-5}{10-1}\\
    &=\dfrac{5}{9}\end{align*}$
    Réponse D
    $\quad$

 

Ex 3 obl

Exercice 3   

Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L.

  1. a. On veut calculer $u_1=(1-0,2)\times u_0+35=0,8\times 150+35=155$.
    Au $1\ier$ juillet 2019 il y aura donc $155$ vélos dans le stock.
    $\quad$
    b. On considère un entier naturel $n$.
    Le loueur se sépare de $20\%$ du stock chaque hiver. Il reste donc $0,8u_n$ vélos.
    Il achète ensuite $35$ nouveaux vélos.
    Par conséquent $u_{n+1}=0,8u_n+35$.
    $\quad$
  2. a. On a pu saisir en $B3$ la formule $=0,8*B2+35$.
    $\quad$
    b. D’après les résultats obtenus, il semblerait que la limite de la suite $\left(u_n\right)$ soit $175$.
    $\quad$
  3. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=u_n-175$ soit $u_n=v_n+175$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-175 \\
    &=0,8u_n+35-175\\
    &=0,8u_n-140 \\
    &=0,8\left(v_n+175\right)-140\\
    &=0,8v_n+140-140\\
    &=0,8v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,8$ et de premier terme $v_0=u_0-175=-25$.
    $\quad$
    b. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=-25\times 0,8^n$.
    De plus $u_n=v_n+175=175-25\times 0,8^n$.
    $\quad$
    c. On a $0<0,8<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,8^n=0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=175$.
    $\quad$
  4. On veut résoudre, dans l’ensemble des entiers naturels :
    $\begin{align*} u_n\pg 170 &\ssi -25\times 0,8^n+175\pg 170 \\
    &\ssi -25\times 0,8^n\pg -5 \\
    &\ssi 0,8^n \pp 0,2 \\
    &\ssi n\ln 0,8\pp \ln 0,2 \\
    &\ssi n \pg \dfrac{\ln 0,2}{\ln 0,8} \end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln 0,2}{\ln 0,8}\approx 7,21$.
    L’ensemble des solutions cherché est l’ensemble des entiers naturels supérieurs ou égaux à $8$.
    C’est donc à partir du $1\ier$ juillet 2026 que le loueur possédera au moins $170$ vélos.
    $\quad$

Ex 3 spé

Exercice 3

Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité.

  1. a. Les sommets $E$ et $V$ ne sont pas adjacents. Le graphe n’est donc pas complet.
    $\quad$
    b. Le cycle $M-E-R-P-V-F-M$ permet de passer au moins une fois par tous les sommets. Le graphe est donc connexe.
    $\quad$
  2. On détermine le degré de chacun des sommets :
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Sommet}&E&F&M&P&R&V\\
    \hline
    \text{Degré}&4&4&2&4&3&3\\
    \hline
    \end{array}$
    Exactement $2$ sommets de ce graphe connexe sont de degré impair. Il possède donc une chaîne eulérienne.
    Le restaurateur pourra ainsi organiser une visite de tous ses producteurs en partant de son restaurant en empruntant une fois et une seule chaque route. Il terminera sa visite chez le vigneron.
    Voici un parcours qui convient $R-E-M-F-E-P-R-V-P-F-V$.
    $\quad$
  3. a. La matrice d’adjacence associée à ce graphe est : $$N=\begin{pmatrix}
    0&1&1&1&1&0\\
    1&0&1&1&0&1\\
    1&1&0&0&0&0\\
    1&1&0&0&1&1\\
    1&0&0&1&0&1\\
    0&1&0&1&1&0\end{pmatrix}$$
    $\quad$
    b. Le coefficient de la matrice $N^3$ situé à la première ligne et sixième colonne est $5$.
    Il existe donc $5$ chemins de longueur $3$ reliant l’éleveur au vigneron.
    $\quad$
  4. On utilise l’algorithme de Dijkstra :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    E & F & M & P & R & V & \text{Sommet} \\
    \hline
    &  &  &  & 0 &  & R \\
    \hline
    5(R) &  & &   4(R)& & 10(R) & P \\
    \hline
    5(R) & 11(P) &  &  &\phantom{10(R)}  & 9(P) & E \\
    \hline
    & 11(P) & 13(E) &  &  & 9(P) & V \\
    \hline
    & 10(V) & 13(E) &  &  &  & F \\
    \hline
    \phantom{10(R)}&  & 12(F) &  \phantom{10(R)}&  &  & M \\
    \hline
    \end{array}$$
    Le chemin le plus cours est donc $R-P-V-F-M$.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie A

  1. Graphiquement $f(0)=2$ et $f(2)=0$.
    $\quad$
  2. La tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d’abscisse $1$ est horizontale. Donc $f'(1)=0$.
    $\quad$
  3. Graphiquement, le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A$ est $1$.
    Une équation de cette tangente est donc $y=x+2$.
    $\quad$
  4. Graphiquement, la courbe $\mathcal{C}_f$ ne coupe $2$ fois la droite d’équation $y=1$.
    L’équation $f(x)=1$ ne possède donc $2$ solutions.
    $\quad$
  5. La fonction semble :
    – croissante sur l’intervalle $[-10;1]$;
    – décroissante sur l’intervalle $[1;2]$.
    $\quad$
  6. La courbe $\mathcal{C}_f$ semble être au-dessus de ses tangentes sur l’intervalle $[-10;0]$ et en-dessous sur l’intervalle $[0;2]$.
    La fonction $f$ semble donc convexe sur l’intervalle $[-10;0]$ et concave sur l’intervalle $[0;2]$.
    $\quad$
  7. a. On obtient le graphique suivant :

    $\quad$
    b. Graphiquement, en comptant le nombre de carreaux (dont l’aire est $0,25$ u.a.) contenus dans ce domaine, il semblerait que $4\pp I\pp 5$.
    $\quad$

Partie B

  1. $f(0)=(2-0)\e^0=2$ et $f(2)=(2-2)\e^2=0$
    $\quad$
  2. a. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[-10;2]$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[-10;2]$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=-1\times \e^x+(2-x)\times \e^x \\
    &=(-1+2-x)\e^x\\
    &=(1-x)\e^x\end{align*}$
    $\quad$
    b. Ainsi $f'(1)=(1-1)\e^1=0$.
    $\quad$
  3. Une équation de la tangente $T$ à la courbe représentative de la fonction $f$ au point d’abscisse $0$ est de la forme $y=f'(0)(x-0)+f(0)$.
    Or $f'(0)=\e^0=1$ et $f(0)=2\e^0=2$.
    Une équation de $T$ est donc $y=x+2$.
    $\quad$
  4. a. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $1-x$.
    Or $1-x=0 \ssi x=1$ et $1-x>0\ssi x<1$.
    On obtient donc le tableau des variations suivant :

    $\quad$
    b. Sur l’intervalle $[-10;1]$ la fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante.
    $f(-10)=12\e^{-10}\approx 0,000~5<1$ et $f(1)=\e>1$
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $f(x)=1$ possède une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[-10;1]$.
    $\quad$
    Sur l’intervalle $[1;2]$ la fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante.
    $f(1)=\e>1$ et $f(2)=0<1$
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $f(x)=1$ possède une unique solution $\beta$ sur l’intervalle $[1;2]$.
    $\quad$
    D’après la calculatrice on a $\alpha\approx -1,15$ et $\beta\approx 1,84$.
    $\quad$
  5. D’après le logiciel de calcul formel on a $f^{dsec}(x)=-x\e^x$.
    La fonction exponentielle étant strictement positive sur $\R$, le signe de $f^{\dsec}$ ne dépend que de celui de $-x$.
    Ainsi :
    – $f^{\dsec}(x)>0$ sur $[-10;0[$;
    – $f^{\dsec}(0)=0$;
    – $f^{\dsec}(0)<0$ sur $]0;2]$.
    La fonction $f$ est donc convexe sur l’intervalle $[-10;0]$ et concave sur l’intervalle $[0;2]$.
    $\quad$
  6. a. La fonction $F$ est dérivable sur l’intervalle $[-10;2]$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x$ de l’intervalle $[-10;2]$ on a :
    $\begin{align*} F'(x)&=-1\times \e^x+(3-x)\times \e^x \\
    &=(-1+3-x)\e^x\\
    &=(2-x)\e^x\\
    &=f(x)\end{align*}$
    La fonction $F$ est donc une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-10;2]$.
    $\quad$
    b. On a donc :
    $$\begin{align*} I&=\ds \int_0^2 f(x)\dx \\
    &=F(2)-F(0)\\
    &=\e^2-3\\
    &\approx 4,39\end{align*}$$
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1     5 points

Les deux parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.
Les résultats approchés seront arrondis au millième.

Partie A

On s’intéresse à la clientèle d’un musée.
Chaque visiteur peut acheter son billet sur internet avant sa visite ou l’acheter aux caisses du musée à son arrivée.
Pour l’instant, la location d’un audioguide pour la visite n’est possible qu’aux caisses du musée. Le directeur s’interroge sur la pertinence de proposer la réservation des audioguides sur internet. Une étude est réalisée. Elle révèle que :

  • $70 \%$ des clients achètent leur billet sur internet ;
  • parmi les clients achetant leur billet sur internet, $35 \%$ choisissent à leur arrivée au musée une visite avec un audioguide ;
  • parmi les clients achetant leur billet aux caisses du musée, $55 \%$ choisissent une visite avec un audioguide.

On choisit au hasard un client du musée. On considère les événements suivants :

  • $A$ : « Le client choisit une visite avec un audioguide » ;
  • $B$ : « Le client achète son billet sur internet avant sa visite ».
  1. Représenter la situation à l’aide d’un arbre pondéré.
    $\quad$
  2. Démontrer que la probabilité que le client choisisse une visite avec un audioguide est égale à $0,41$.
    $\quad$
  3. On s’intéresse aux clients qui visitent le musée avec un audioguide.
    Si plus de la moitié d’entre eux ont acheté leur billet sur internet alors le directeur proposera à l’avenir la location de l’audioguide sur le site internet du musée.
    D’après les résultats de cette étude, que va décider le directeur ? Justifier la réponse.
    $\quad$

Partie B

On s’intéresse désormais à la fréquentation de la boutique du musée.
On note $T$ la variable aléatoire qui, à chaque visiteur, associe la durée en minutes passée dans la boutique.
Une étude statistique a montré que la variable aléatoire $T$ suit la loi normale de moyenne $\mu=10$ et d’écart-type $\sigma = 2$.

  1. Quelle est la probabilité qu’un visiteur reste moins de six minutes dans la boutique ?
    $\quad$
  2. Calculer $P(6 \pp T \pp 14)$.
    $\quad$
  3. Déterminer une valeur approchée au dixième du nombre réel $a$ tel que $P(T\pg a) = 0,25$.
    Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  4. Les recettes obtenues par la boutique ne sont pas jugées satisfaisantes ; celle-ci est donc réaménagée. Une étude menée suite à ce réaménagement montre que $25 \%$ des visiteurs passent désormais au moins $15$ minutes dans la boutique.
    Pour s’en assurer le gérant de la boutique constitue un échantillon aléatoire de $720$ visiteurs. Il constate que $161$ d’entre eux sont restés $15$ minutes ou plus.
    Cet échantillon confirme-t-il les résultats de l’étude ? Justifier la réponse.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Reporter sur la copie le numéro de la question ainsi que la lettre correspondant à la réponse choisie.
Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.
Aucune justification n’est demandée.

Un constructeur automobile commercialise un nouveau véhicule. Afin de le faire connaître, une campagne publicitaire est organisée. On étudie l’impact de cette campagne publicitaire dans une certaine région.

  1. On montre la publicité à $3~000$ habitants de cette région. Parmi eux, $817$ la trouvent attractive. Un intervalle de confiance au seuil de $0,95$ de la proportion d’habitants de la région trouvant que la publicité est attractive est (les bornes ont été arrondies à $10^{-3}$) :
    $$\begin{array}{|l|l|}
    \hline
    \hspace{1cm} \textbf{A. } [0,271;0,273]\hspace{1cm} &\hspace{1cm} \textbf{B. } [0,211;0,333]\hspace{1cm} \\
    \hline
    \hspace{1cm} \textbf{C. } [0,254;0,333] \hspace{1cm} &\hspace{1cm} \textbf{D. } [0,254;0,291]\hspace{1cm} \\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  2. Dans une ville de la région, sur une population de $4~200$ habitants, $36\%$ ont pris connaissance de la publicité lors de la première semaine de la campagne.
    Le nombre d’habitants de cette ville ayant pris connaissance de la publicité lors de la première semaine de la campagne est :
    $$\begin{array}{|l|l|}
    \hline
    \hspace{1cm} \textbf{A. } 2~688\hspace{1cm} &\hspace{1cm} \textbf{B. } 1~512\hspace{1cm} \\
    \hline
    \hspace{1cm} \textbf{C. } 1~167\hspace{1cm} &\hspace{1cm} \textbf{D. } 4~164 \hspace{1cm} \\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  3. Le premier jour de la campagne publicitaire, $150$ habitants de la région ont pris connaissance de la publicité. Chaque jour, le nombre d’habitants de la région ayant pris connaissance de la publicité est multiplié par $2$.
    On souhaite écrire un algorithme qui détermine le nombre de jours au bout desquels au moins $30~000$ habitants de la région auront pris connaissance de la publicité.
    $\quad$
    Parmi ces algorithmes, quel est celui dont le contenu de la variable $N$, après exécution de l’algorithme, répond au problème ?
    $$\begin{array}{|l|l|}
    \hline
    \hspace{3cm}\textbf{A.}\hspace{3cm}&\hspace{3cm}\textbf{B.}\hspace{3cm} \\
    A\leftarrow 150&A\leftarrow 150\\
    N\leftarrow 1&N\leftarrow 1\\
    \text{Tant que }A<30~000&\text{Tant que }A<30~000\\
    \hspace{1cm}A\leftarrow 2A&\hspace{1cm}A\leftarrow 2A\\
    \text{Fin Tant que}&\hspace{1cm} N\leftarrow N+1\\
    N\leftarrow N+1&\text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \hspace{3cm}\textbf{C.}\hspace{3cm}&\hspace{3cm}\textbf{D.}\hspace{3cm} \\
    A\leftarrow 150&A\leftarrow 150\\
    N\leftarrow 1&N\leftarrow 1\\
    \text{Tant que }A<30~000&\text{Tant que }A>30~000\\
    \hspace{1cm}A\leftarrow 2A&\hspace{1cm}A\leftarrow 2A\\
    \text{Fin Tant que}&\hspace{1cm} N\leftarrow N+1\\
    &\text{Fin Tant que}\\
    \hline\end{array}$$
    $\quad$
  4. Dans une concession automobile de la région, le temps d’attente, exprimé en minutes, avant d’être reçu par un conseiller commercial peut être modélisé par une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l’intervalle $[1; 10]$.
    Un visiteur se présente. Quelle est la probabilité qu’il attende au moins $5$ minutes avant d’être reçu par un conseiller commercial ?
    $$\begin{array}{|l|l|}
    \hline
    \hspace{1cm} \textbf{A. } 0,4\hspace{1cm} &\hspace{1cm} \textbf{B. }0,5\hspace{1cm} \\
    \hline
    \hspace{1cm} \textbf{C. } \dfrac{4}{9} \hspace{1cm} &\hspace{1cm} \textbf{D. } \dfrac{5}{9}\hspace{1cm} \\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     5 points

Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L.

Afin de conserver au fil des années un parc en bon état, un loueur de vélos se sépare chaque hiver de $20 \%$ de son stock et achète ensuite $35$ nouveaux vélos.
On modélise la situation par une suite $\left(u_n\right)$ où, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ représente le nombre de vélos présents dans le stock de ce loueur au $1\ier$ juillet de l’année (2018 $+n$).
Au $1\ier$ juillet 2018, le loueur possède $150$ vélos, ainsi $u_0 = 150$.

  1. a. Déterminer le nombre de vélos dans le stock du loueur au $1\ier$ juillet 2019.
    $\quad$
    b. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1}=0,8u_n+35$.
    $\quad$
  2. On a calculé les premiers termes de cette suite à l’aide d’un tableur.
    Une copie d’écran est donnée ci-dessous :
    $$\begin{array}{|c|c|c|}
    \hline
    &\text{A}&\text{B}\\
    \hline
    \hspace{1cm}1\hspace{1cm}&\hspace{1cm}\text{rang }n\hspace{1cm}&\hspace{1cm}\text{terme }u_n\hspace{1cm}\\
    \hline
    2&0&150\\
    \hline
    3&1&155\\
    \hline
    4&2&159\\
    \hline
    5&3&162,2\\
    \hline
    \end{array}$$
    a. Quelle formule peut-on saisir dans la cellule $B3$ pour obtenir, par copie vers le bas, les termes successifs de la suite $\left(u_n\right)$ ?
    $\quad$
    b) Pour les termes de rang $36$, $37$, $38$, $39$ et $40$, on obtient les résultats suivants (arrondis au millième) :
    $$\begin{array}{|c|c|c|}
    \hline
    \hspace{1cm}38\hspace{1cm}&\hspace{1cm}36\hspace{1cm}&\hspace{1cm}174,992\hspace{1cm}\\
    \hline
    39&37&174,994\\
    \hline
    40&38&174,995\\
    \hline
    41&39&174,996\\
    \hline
    42&40&174,997\\
    \hline
    \end{array}$$
    Conjecturer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
  3. Dans cette question, on cherche à démontrer la conjecture émise à la question précédente.
    Pour cela, on pose pour tout entier naturel $n$ : $v_n=u_n-175$.
    a. Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
    $\quad$
    b. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n=-25\times 0,8^n+175$.
    $\quad$
    c. Déterminer alors la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
  4. On admet que la suite $\left(u_n\right)$est croissante. Déterminer l’ensemble des entiers naturels $n$ tels que : $u_n\pg 170$.
    Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     5 points

Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité.

Un restaurateur se fournit auprès de $5$ producteurs locaux. Le graphe ci-dessous représente la situation géographique du restaurateur et de ses fournisseurs, les arêtes correspondant au réseau routier et les sommets aux producteurs :

  1. a. Le graphe est-il complet ? Justifier la réponse.
    $\quad$
    b. Le graphe est-il connexe ? Justifier la réponse.
    $\quad$
  2. Est-il possible pour le restaurateur d’organiser une visite de tous ses producteurs en partant de son restaurant et en empruntant une fois et une seule chaque route ? Justifier la réponse. Si oui, préciser le point d’arrivée et proposer un tel parcours.
    $\quad$
  3. On appelle $N$ la matrice d’adjacence associée à ce graphe, les sommets étant pris dans l’ordre alphabétique.
    a. Déterminer la matrice $N$.
    $\quad$
    b. On donne la matrice $N^3=\begin{pmatrix}6&10&6&10&9&5\\
    10&6&6&10&5&9\\
    6&6&2&4&4&4\\
    10&10&4&8&8&8\\
    9&5&4&8&4&8\\
    5&9&4&8&8&4\end{pmatrix}$
    Déterminer, en justifiant la réponse, le nombre de chemins de longueur $3$ reliant l’éleveur au vigneron.
    $\quad$
  4. Les arêtes du graphe sont pondérées par les distances, exprimées en kilomètre, entre les différents lieux :

    Le restaurateur doit se rendre chez le maraîcher en partant de chez lui. Quel est le plus court chemin pour effectuer ce trajet ? Justifier la réponse à l’aide d’un algorithme.
    $\quad$

$\quad

Exercice 4     6 points

Partie A
Dans le repère ci-dessous, on note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative d’une fonction $f$ définie sur l’intervalle $[-10 ; 2]$. On a placé les points $A(0 ; 2)$, $B(2 ; 0)$ et $C(-2 ; 0)$.
On dispose des renseignements suivants :

  • Le point $B$ appartient à la courbe $\mathcal{C}_f$.
  • La droite $(AC)$ est tangente en $A$ à la courbe $\mathcal{C}_f$.
  • La tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d’abscisse $1$ est une droite horizontale.

Répondre aux questions suivantes par lecture graphique.

  1. Indiquer les valeurs de $f(0)$ et de $f(2)$.
    $\quad$
  2. Indiquer la valeur de $f'(1)$.
    $\quad$
  3. Donner une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A$.
    $\quad$
  4. Indiquer le nombre de solutions de l’équation $f(x) = 1$ dans l’intervalle $[−10 ; 2]$.
    $\quad$
  5. Indiquer les variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-10 ; 2]$.
    $\quad$
  6. Déterminer l’intervalle sur lequel la fonction $f$ est convexe, et celui sur lequel elle est concave.
    $\quad$
  7. On s’intéresse au nombre $\ds I=\int_0^2 f(x)\dx$.
    a. Sur le graphique donné en annexe à rendre avec la copie, hachurer le domaine du plan dont l’aire, exprimée en unités d’aire, est égale à $I$.
    $\quad$
    b. Donner un encadrement du nombre $I$ par deux entiers consécutifs.
    $\quad$

Partie B

Dans cette partie, on cherche à vérifier par le calcul les résultats lus graphiquement dans la partie A.

On sait désormais que la fonction $f$ est définie sur l’intervalle $[-10 ; 2]$ par : $$f(x)=(2-x)\e^x$$

  1. Calculer $f(0)$ et $f(2)$.
    $\quad$
  2. a. Calculer $f'(x)$ pour tout nombre $x$ appartenant à l’intervalle $[−10 ; 2]$.
    $\quad$
    b. En déduire la valeur de $f'(1)$.
    $\quad$
  3. Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d’abscisse $0$.
    $\quad$
  4. a. Dresser le tableau des variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-10 ; 2]$.
    $\quad$
    b. En déduire le nombre de solutions de l’équation $f(x) = 1$ dans l’intervalle $[-10 ; 2]$, puis donner une valeur approchée au centième de chacune de ces solutions.
    $\quad$
  5. Un logiciel de calcul formel fournit le résultat suivant :
    $$\begin{array}{|l|l|}
    \hline
    1\hspace{0.3cm}&f(x):=(2-x)*exp(x)\\
    \hline
    &\hspace{2cm} f(x):=(-x+2)\e^x\\
    \hline
    2&\text{Simplifier(Dérivée(Dérivée($f(x)$)))}\hspace{1.5cm}\\
    \hline
    &\hspace{3cm}-x\e^x\\
    \hline
    \end{array}$$
    Utiliser le résultat du logiciel pour étudier la convexité de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-10 ; 2]$.
    $\quad$
  6. On considère la fonction $F$ définie sur l’intervalle $[-10 ; 2]$ par : $$F(x) = (3-x)\e^x$$
    a. Vérifier que $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-10 ; 2]$.
    $\quad$
    b. En déduire la valeur exacte et une valeur approchée au centième du nombre $I=\ds\int_0^2f(x)\dx$.
    $\quad$

 

     

     

 

Bac ES/L – Liban – Mai 2019

Liban – Mai 2019

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici .

Ex 1

Exercice 1     

  1. La fonction $u$ est dérivable sur l’intervalle $]0;+\infty[$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x>0$ on a :
    $u'(x)=3\times \dfrac{1}{x}-2=\dfrac{3}{x}-2$.
    Une équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse $1$ est de la forme : $y=f'(1)(x-1)+f(1)$.
    Or $f(1)=0-2+1=-1$ et $f'(1)=3-2=1$.
    Ainsi une équation de la tangente cherchée est : $y=(x-1)-1$
    Soit $y=x-1-1$ et donc $y=x-2$.
    Affirmation 1 vraie
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est continue et définie sur l’intervalle $\left[\e;\e^2\right]$ en tant que produit d’une fonction continue et définie sur cet intervalle par un réel.
    La fonction exponentielle  est strictement positive donc $\e^2>0$.
    Pour tout réel $x>1$ on a $\ln x>0$. Donc sur l’intervalle $\left[\e;\e^2\right]$ on a $f(x)>0$.
    On appelle $F$ la fonction définie sur l’intervalle $\left[\e;\e^2\right]$ par $F(x)=x\ln(x)-x$.
    On a ainsi :
    $\begin{align*} \int_{\e}^{\e^2}f(x)\dx&=\dfrac{1}{\e^2}\int_{\e}^{\e^2}\ln(x)\dx \\
    &=\dfrac{1}{\e^2}\times \left(F\left(\e^2\right)-F(\e)\right) \\
    &=\dfrac{2\e^2-\e^2-\e+\e}{\e^2} \\
    &=\dfrac{\e^2}{\e^2} \\
    &=1\end{align*}$
    La fonction $f$ est donc une fonction de densité sur l’intervalle $\left[\e;\e^2\right]$.
    Affirmation 2 vraie
    $\quad$
  3. La fonction $G$ est dérivable sur $\R$ en tant que composée de fonctions dérivables sur $\R$.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $G'(x)=-6\times (-2)\e^{-2x+1}=12\e^{-2x+1} \neq g(x)$.
    La fonction $G$ n’est donc pas une primitive de la fonction $g$.
    Affirmation 3 fausse
    $\quad$
  4. La fonction $h$ est deux fois dérivable sur $[-8;-0,5]$ en tant que quotient de fonctions polynômes dont le dénominateur ne s’annule pas sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} h'(x)&=\dfrac{4x^2-(4x+1)\times 2x}{x^4} \\
    &=\dfrac{4x^-8x^2-2x}{x^4} \\
    &=\dfrac{-4x^2-2x}{x^4} \\
    &=\dfrac{-4x-2}{x^3} \end{align*}$
    et
    $\begin{align*} h\dsec(x)&=\dfrac{-4x^3-(-4x-2)\times 3x^2}{x^6} \\
    &=\dfrac{-4x^3+12x^3+6x^2}{x^6} \\
    &=\dfrac{8x^3+6x^2}{x^6} \\
    &=\dfrac{8x+6}{x^4}\end{align*}$
    Pour tout réel $x$ de l’intervalle $[-8;-0,5]$ on a $x^4>0$.
    Le signe de $h\dsec(x)$ ne dépend donc que de celui de $8x+6$.
    De plus $8x+6< 0\ssi 8x< -6 \ssi x< -0,75$.
    La fonction $h$ est donc concave sur l’intervalle $[-8;-0,75]$.
    Affirmation 4 vraie
    $\quad$

Ex 2 obl

Exercice 2

Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L

Partie 1 : Modèle 1

  1. On a $u_1=q\times u_0=158,11$
    et $u_2=q\times u_1=257,719~3 \approx 258$.
    $\quad$
  2. $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison $1,63$ et de premier terme $u_0=97$.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=97\times 1,63^n$.
    $\quad$
  3. On a $u_0=97>0$ et $1,63>1$.
    La suite suite géométrique $\left(u_n\right)$ de raison $1,63$ et de premier terme $u_0=97$ est donc croissante.
    $\quad$
  4. Le 12 juin 2018 on a $n=11$.
    Or $u_{11}=97\times 1,63^{11}\approx 20~900$
    Il y aura donc environ $2~093~300$ chenilles le 12 juin 2018.
    $\quad$

Partie 2 : Modèle 2

  1. Le 13 juin 2018 on a $n=12$.
    $v_{12}=\dfrac{1}{3}\left(-2~809\times 0,91^{12}+3~100\right) \approx 731$.
    Selon ce modèle il y aura environ $73~100$ chenilles le 13 juin 2018.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} v_{n+1}-v_n&=\dfrac{1}{3}\left(-2~809\times 0,91^{n+1}+3~100\right)-\dfrac{1}{3}\left(-2~809\times 0,91^{n}+3~100\right) \\
    &=\dfrac{1}{3}\times -2~809\times\left( 0,91^{n+1}-0,91^n\right)\\
    &=-\dfrac{2~809}{3}\times 0,91^n\times (0,91-1) \\
    &=-\dfrac{2~809}{3}\times 0,91^n\times (-0,09) \\
    &=84,27\times 0,91^n\\
    &>0\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc croissante.
    $\quad$

Partie 3 : Comparaison des différents modèles

  1. On a $u_{12}=97 \times 1,63^{12} \approx 34~121$ et $v_{12} \approx 731$.
    $v_{12}$ est plus proche de $745$ que $u_{12}$
    Le modèle 2 paraît donc le plus adapté.
    $\quad$
  2. b.
    $\begin{align*} b_n\pg 1~000 &\ssi \dfrac{1}{3}\left(-2~809\times 0,91^n+3~100\right)\pg 1~000 \\
    &\ssi -2~809\times 0,91^n+3~100 \pg 3~000 \\
    &\ssi -2~809 \times 0,91^n \pg -100 \\
    &\ssi 0,91^n \pp \dfrac{100}{2~809} \\
    &\ssi n\ln 0,91 \pp \ln \dfrac{100}{2~809} \\
    &\ssi n \pg \dfrac{\ln \dfrac{100}{2~809}}{\ln 0,91} \end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln \dfrac{100}{2~809}}{\ln 0,91} \approx 35,4$.
    La solution de l’inéquation $v_n\pg 1~000$ est donc l’ensemble des entiers naturels supérieurs ou égaux à $36$.
    $\quad$
    c. Cela signifie donc que, selon le modèle 2, il y aura au moins $100~000$ chenilles à partir du  7 juillet 2018.
    $\quad$

Ex 2 spé

Exercice 2

Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie 1

  1. On obtient le graphe probabiliste suivant :

    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{cases} a_{n+1}=0,3a_n+0,6b_n+0,35c_n\\
    b_{n+1}=0,5a_n+0,3b_n+0,45c_n\\
    c_{n+1}=0,2a_n+0,1b_n+0,2c_n\end{cases}$
    La matrice de transition est donc $M=\begin{pmatrix}0,3&0,5&0,2\\
    0,6&0,3&0,1\\
    0,35&0,45&0,2\end{pmatrix}$
    $\quad$
  3. On a $P_1=\begin{pmatrix} 0,355&0,405&0,24\end{pmatrix}$
    Donc :
    $\begin{align*} P_2&=P_1\times M\\
    &=\begin{pmatrix}0,433~5&0,407&0,159~5\end{pmatrix}\end{align*}$
    $\quad$
  4. On a :
    $\begin{align*} P_{12}&=P_1\times M^11 \\
    &\approx \begin{pmatrix} 0,431&0,41&0,159\end{pmatrix} \end{align*}$
    et
    $\begin{align*} P_{13}&=P_1\times M^12 \\
    &\approx \begin{pmatrix} 0,431&0,41&0,159\end{pmatrix} \end{align*}$
    Ainsi $c_{12} \approx c_{13}$ et le restaurateur a raison.
    $\quad$

Partie 2

  1. a. On détermine le degré de chacun des sommets.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Sommet}&H_1&H_2&H_3&H_4&H_5&H_6&H_7&H_8\\
    \hline
    \text{Degré}&3&4&6&2&2&3&4&2\\
    \hline
    \end{array}$$
    Ce graphe connexe possède exactement deux sommets de degré impair. Il possède donc une chaîne eulérienne et il existe un parcours qui emprunte toutes les rues une et une seule fois.
    $\quad$
    b. Tous les sommets n’étant pas de degré pair, ce graphe ne possède pas de cycle eulérien et il est impossible de trouver un parcours partant de $H_1$, empruntant toutes les rues une et une seule fois et revenant en $H_1$.
    $\quad$
  2. À l’aide de l’algorithme de Disjktra on obtient :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    H_1&H_2&H_3&H_4&H_5&H_6&H_7&H_8&\text{Degré} \\
    \hline
    &&&0&&&&&H_4\\
    \hline
    8\left(H_4\right)&&&&15\left(H_4\right)&&&&H_1\\
    \hline
    &17\left(H_1\right)&24\left(H_1\right)&&15\left(H_4\right)&&&&H_5\\
    \hline
    &17\left(H_1\right)&22\left(H_5\right)&&&&&&H_2\\
    \hline
    &&22\left(H_5\right)&&&34\left(H_2\right)&28\left(H_2\right)&&H_3\\
    \hline
    &&&&&27\left(H_3\right)&26\left(H_3\right)&50\left(H_3\right)&H_7\\
    \hline
    &&&&&27\left(H_3\right)&&35\left(H_7\right)&H_6\\
    \hline
    &&&\phantom{27\left(H_3\right)}&&&&35\left(H_7\right)&H_8\\
    \hline
    \end{array}$$
    Le temps minimal pour aller de $H_4$ à $H_8$ est de $35$ minutes. Il faut pour cela utiliser le trajet $H_4H_5H_3H_7H_8$.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[-4;10]$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x\in[-4;10]$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=\left(-4\times 2x-10\right)\e^{-0,5x}+\left(-4x^2-10x+8\right)\times (-0,5)\e^{-0,5x} \\
    &=\left(-8x-10+2x^2+5x-4\right)\e^{-0,5x} \\
    &=\left(2x^2-3x-14\right)\e^{-0,5x}\end{align*}$
    $\quad$
  2. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$ donc le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $2x^2-3x-14$.
    Le discriminant de ce polynôme du second degré est :
    $\Delta=(-3)^2-4\times 2\times (-14)=121>0$
    Les deux racines réelles sont donc :
    $x_1=\dfrac{3-\sqrt{121}}{4}=-2$ et $x_2=\dfrac{3+\sqrt{121}}{4}=3,5$.
    Le coefficient principal est $a=2>0$.
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    avec $f(-4)=1-16\e^2$
    $f(-2)=1+12\e$
    $f(3,5)=1-76\e^{-1,75}$
    $f(10)=1-492\e^{-5}$
    $\quad$
  3. a. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur l’intervalle $[-4;10]$.
    De plus $f(-4)=1-16\e^{2}<0$ et $f(-2)=1+12\e^>0$.
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires l’équation $f(x)=0$ possède une unique solution sur l’intervalle $[-4;-2]$.
    $\quad$
    b. On obtient le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    &m&\text{signe de }p&a&b&b-a&b-a>10^{-1}\\
    \hline
    \text{Initialisation}&\bbox[black]{\phantom{Nég}}&\bbox[black]{\phantom{\text{Négatif}}}&-4&-2&2&\text{VRAI}\\
    \hline
    \begin{array}{c}\text{Après le 1$\ier$  passage}\\\text{dans la boucle}\end{array}&-3&\text{Négatif}&-4&-3&1&\text{VRAI}\\
    \hline
    \begin{array}{c}\text{Après le 2$^\text{ième}$ passage}\\\text{dans la boucle}\end{array}&-3,5&\text{Positif}&-3,5&-3&0,5&\text{VRAI}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    c. Cela signifie donc que la solution de l’équation $f(x)=0$ sur l’intervalle $[-4;-2]$ est comprise entre $-3,187~5$ et $-3,125$.
    Remarque : Il s’agit ici de l’algorithme de dichotomie.
    $\quad$
  4. La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-4;10]$ est :
    $\begin{align*} m&=\dfrac{1}{10-(-4)}\int_{-4}^{10}f(x)\dx \\
    &=\dfrac{1}{14}\left(F(10)-F(-4)\right) \\
    &=\dfrac{10+1~408\e^{-5}-\left(-4+8\e^{2}\right)}{14} \\
    &=\dfrac{14+1~408\e^{-5}-8\e^2}{14}\\
    &\approx -2,54 \end{align*}$
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4     

Partie A

  1. Les $300$ tirages sont aléatoires, identiques et indépendants.
    À chaque tirage il y a deux issues $S$ : “la personne choisie est respectueuse de son environnement” et $\conj{S}$.
    De plus $P(S)=0,72$.
    La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=300$ et $p=0,72$.
    $\quad$
  2. On veut calculer :
    $\begin{align*} P(X=190)&=\ds \binom{300}{190} \times 0,72^{190}\times 0,28^{110} \\
    &\approx 0,000~2\end{align*}$
    La probabilité que $190$ personnes soient respectueuses de leur environnement est environ égale à $0,000~2$.
    $\quad$
  3. On veut calculer :
    $\begin{align*} P(X\pg 220)&=1-P(X<220) \\
    &=1-P(X\pp 219)\\
    &\approx 0,329~1\end{align*}$
    $\quad$

Partie 2

  1. Le discriminant du polynôme du second degré $2x^2-7x-4$ est :
    $\Delta = (-7)^2-4\times 2\times (-4)=81>0$
    Les racines de ce polynômes sont $x_1=\dfrac{7-\sqrt{81}}{4}=-0,5$ et $x_2=\dfrac{7+\sqrt{81}}{4}=4$.
    Le coefficient principal est $a=2>0$.
    Ainsi les solutions de l’inéquation $2x^2-7x-4\pg 0$ est $]-\infty;-0,5]\cup[4;+\infty[$.
    $\quad$
  2. On appelle $Y$ la variable aléatoire que suit la loi uniforme sur l’intervalle $[0;10]$.
    On veut calculer :
    $\begin{align*} P(4\pp Y\pp 10)&=\dfrac{10-4}{10-0} \\
    &=0,6\end{align*}$
    La probabilité que ce nombre soit solution de l’inéquation $x^2-7x-4\pg 0$ est $0,6$.
    $\quad$

Partie 3

  1. a. D’après la calculatrice on a :
    $P(2,18 \pp Z\pp 2,42) \approx 0,72$.
    $\quad$
    b. On a :
    $\begin{align*} P(Z \pg 2,25)&=P(2,25\pp Z \pp 2,3)+P(Z\pg 2,3) \\
    &= P(2,25\pp Z \pp 2,3)+0,5\\
    &\approx 0,68\end{align*}$
    $\quad$
  2. On a $P(2,18\pp Z\pp 2,42)\approx 0,95$
    Donc $P(\mu-0,12\pp Z \pp \mu +0,12)\approx 0,95$
    Or $P(\mu-2\sigma \pp Z\pp \mu+2\sigma)\approx 0,95$.
    Par conséquent $2\sigma \approx 0,12$ soit $\sigma \approx 0,06$.
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1     4 points

Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.
Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte.

  1. Soit $u$ la fonction définie sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$[ par : $u(x) = 3\ln(x)-2x+1$.
    Soit $C_u$ la courbe représentative de la fonction $u$ dans un repère.
    $\quad$
    Affirmation 1 : $y=x-2$ est l’équation réduite de la tangente à $C_u$ au point d’abscisse $1$.
    $\quad$
  2. Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $\left[\e;\e^2\right]$ par : $f(x)=\dfrac{1}{\e^2}\ln(x)$.
    On admet que la fonction $x\mapsto x\ln(x)-x$ est une primitive de la fonction $x\mapsto \ln(x)$ sur l’intervalle $\left[\e;\e^2\right]$.
    $\quad$
    Affirmation 2 : $f$ est une fonction de densité sur l’intervalle $\left[\e;\e^2\right]$.
    $\quad$
  3. Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par : $g(x)=3\e^{-2x+1}$.
    $\quad$
    Affirmation 3 : La fonction $G$ définie sur $\R$ par $G(x)=-6\e^{-2x+1}+6$ est la primitive de $g$ qui s’annule en $\dfrac{1}{2}$.
    $\quad$
  4. Soit $h$ la fonction définie sur l’intervalle $[-8;-0,5]$ par : $h(x)=\dfrac{4x+1}{x^2}$.
    $\quad$
    Affirmation 4 : La fonction $h$ est concave sur l’intervalle $[-8;-0,75]$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L.

La Pyrale du buis est une espèce de lépidoptères de la famille des Crambidæ, originaire d’Extrême-Orient. Introduite accidentellement en Europe dans les années 2000, elle y est rapidement devenue invasive. Une étude décomptant le nombre de chenilles de Pyrale dans un camping d’Ardèche donne les estimations suivantes :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{Date}&01/06/18&02/06/18&03/06/18\\
\hline
n&0&1&2\\
\hline
\text{Nombre de chenilles en centaines}&97&181&258\\
\hline
\end{array}$$
L’exercice étudie et compare deux modélisations de l’évolution du nombre de chenilles.

Partie 1 : Modèle 1
Dans cette partie, on modélise le nombre de chenilles le $n$-ième jour après le $1\ier$ juin 2018 (nombre exprimé en centaines) par une suite géométrique $\left(u_n\right)$ de raison $q=1,63$. Ainsi $u_0 = 97$.

  1. Calculer $u_ç2$. Arrondir à l’unité.
    $\quad$
  2. Exprimer 𝑢𝑛 en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$.
    $\quad$
  3. Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
    $\quad$
  4. Selon ce modèle, quel sera le nombre de chenilles le 13 juin 2018 ? Arrondir à la centaine.
    $\quad$

Partie 2 : Modèle 2
Dans cette partie, on modélise le nombre de chenilles le $n$-ième jour après le $1\ier$ juin 2018 (nombre exprimé en centaines) par une suite $\left(v_n\right)$ telle que :
$\hspace{2cm} v_0=97$ et, pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1}= 0,91v_n+93$.

  1. On admet que, pour tout entier naturel $n$ : $v_n=\dfrac{1}{3}\left(-2~809\times 0,91^n+3~100\right)$.
    Selon ce modèle, quel sera le nombre de chenilles le 13 juin 2018 ? Arrondir à la centaine.
    $\quad$
  2. En étudiant le signe de $v_{n+1}-v_n$, montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est croissante.
    $\quad$

Partie 3 : Comparaison des différents modèles
La valeur relevée dans le camping le 13 juin 2018 est de $745$ centaines de chenilles.

  1. À partir de ce relevé, quel modèle paraît le plus adapté ?
    $\quad$
  2. On reprend l’étude du deuxième modèle.
    a. Résoudre l’inéquation : $v_n\pg 1~000$.
    $\quad$
    b. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité.

Partie 1

Les clients d’un restaurant sont des habitués qui y déjeunent tous les jours. En septembre 2018, le restaurateur propose trois nouveaux plats : plat A, plat B et plat C.

D’un jour sur l’autre, il constate que :

  • Parmi les clients ayant choisi le plat A : $30 \%$ reprennent le plat A le lendemain, $50 \%$ prennent le plat B le lendemain.
  • Parmi les clients ayant choisi le plat B : $30 \%$ reprennent le plat B le lendemain, $60 \%$ prennent le plat A le lendemain.
  • Parmi les clients ayant choisi le plat C : $35 \%$ prennent le plat A le lendemain, $45 \%$ prennent le plat B le lendemain.
    $\quad$

On note pour tout entier $n$ non nul :

  • $a_n$ la proportion de clients ayant choisi le plat A le $n$-ième jour.
  • $b_n$ la proportion de clients ayant choisi le plat B le $n$-ième jour.
  • $c_n$ la proportion de clients ayant choisi le plat C le $n$-ième jour.

Pour tout entier $n\pg 1$, on note $P_n=\begin{pmatrix}a_n&b_n&c_n\end{pmatrix}$ l’état probabiliste le $n$-ième jour.

  1. Représenter cette situation par un graphe probabiliste.
    $\quad$
  2. Donner la matrice de transition $M$ de ce graphe, en respectant l’ordre alphabétique des sommets.
    $\quad$
  3. Le restaurateur a noté que le premier jour $35,5 \%$ des clients ont pris le plat A, $40,5 \%$ ont pris le plat B et $24 \%$ ont pris le plat C.
    Calculer $P_2$
    $\quad$
  4. Le restaurateur affirme que le douzième jour, la proportion de clients qui choisiront le plat C sera à peu près la même que le treizième jour, soit environ $15,9 \%$.
    A-t-il raison ? Justifier.
    $\quad$

Partie 2

Pour le dîner, le restaurateur décide de proposer des livraisons à domicile. Il fait un essai avec huit clients.
Sur le graphe ci-dessous, les sommets représentent les différents lieux d’habitation de ces huit clients. Les arêtes représentent les rues et les valeurs indiquent les durées moyennes des trajets exprimées en minutes.

  1. Répondre aux questions suivantes en justifiant.
    a. Existe-t-il un parcours qui emprunte toutes les rues une et une seule fois ?
    $\quad$
    b. Un tel parcours peut-il partir de $H_1$ et y revenir ?
    $\quad$
  2. En utilisant l’algorithme de Dijkstra, déterminer le temps minimal pour aller de $H_4$ vers $H_8$. Préciser le trajet correspondant.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     6 points

Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $[-4,10]$ par : $$f(x)=1+\left(-4x^2-10x+8\right)\e^{-0,5x}$$

  1. . On note $f’$ la fonction dérivée de $f$.
    Montrer que, pour tout réel $x$ de l’intervalle $[−4 ; 10]$ : $$f'(x)=\left(2x^2-3x-14\right)\e^{-0,5x}$$
    $\quad$
  2. Dresser, en justifiant, le tableau des variations de $f$ sur l’intervalle $[−4 ; 10]$.
    On donnera les valeurs exactes des éléments du tableau.
    $\quad$
  3. a. Montrer que l’équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[−4 ; −2]$.
    $\quad$
    b. On considère l’algorithme suivant.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    a\leftarrow -4\\
    b\leftarrow -2\\
    \text{Tant que }(b-a)>10^{-1}\\
    \hspace{1cm} m\leftarrow \dfrac{a+b}{2}\\
    \hspace{1cm} p\leftarrow f(a)\times f(m)\\
    \hspace{1cm} \text{Si } p>0 \text{ alors }\\
    \hspace{2cm} a\leftarrow m\\
    \hspace{1cm} \text{Sinon}\\
    \hspace{2cm} b\leftarrow m\\
    \hspace{1cm} \text{Fin Si}\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    Recopier et compléter la deuxième ligne du
    tableau ci-dessous correspondant au
    deuxième passage dans la boucle.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    &m&\text{signe de }p&a&b&b-a&b-a>10^{-1}\\
    \hline
    \text{Initialisation}&\bbox[black]{\phantom{Nég}}&\bbox[black]{\phantom{\text{Négatif}}}&-4&-2&2&\text{VRAI}\\
    \hline
    \begin{array}{c}\text{Après le 1$\ier$  passage}\\\text{dans la boucle}\end{array}&-3&\text{Négatif}&-4&-3&1&\text{VRAI}\\
    \hline
    \begin{array}{c}\text{Après le 2$^\text{ième}$ passage}\\\text{dans la boucle}\end{array}&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    c. À la fin de l’exécution de l’algorithme, les variables $a$ et $b$ contiennent les valeurs $-3,187~5$ et $-3,125$. Interpréter ces résultats dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  4. On admet qu’une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-4 ; 10]$ est la fonction $F$ définie par $F(x)=x +\left(8x^2+52x+88\right)\e^{-0,5𝑥}$.
    Calculer la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-4 ; 10]$. Arrondir au centième.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     5 points

Cet exercice est composé de trois parties indépendantes.

Partie 1
D’après un sondage sur la fréquence de rejet de produits polluants dans les canalisations, on estime que $72\%$ de la population est respectueuse de son environnement.
On interroge $300$ personnes choisies au hasard pour savoir si elles jettent régulièrement des produits polluants dans les canalisations, ce qui permet de repérer les personnes respectueuses de leur environnement. On estime que la population est suffisamment grande pour que ce choix de $300$ personnes soit assimilable à un
tirage avec remise.

Soit $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de personnes respectueuses de leur environnement dans un échantillon de $300$ personnes choisies au hasard.

  1. Quelle est la loi suivie par $X$ ? Justifier.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité que $190$ personnes soient respectueuses de leur environnement. Arrondir à $10^{-4}$.
    $\quad$
  3. Calculer la probabilité qu’au moins $220$ personnes soient respectueuses de leur environnement. Arrondir à $10^{-4}$.
    $\quad$

Partie 2

  1. Résoudre dans ℝ l’inéquation : $2𝑥^2-7x-4\pg 0$.
    $\quad$
  2. On choisit un nombre au hasard dans l’intervalle $[0;10]$. Calculer la probabilité que ce nombre soit solution de l’inéquation précédente.
    $\quad$

Partie 3

  1. Soit $Z$ une variable aléatoire qui suit la loi normale d’espérance $2,3$ et d’écart-type $0,11$.
    a. Calculer $P(2,18 \pp Z \pp 2,42)$. Arrondir à $10^{-2}$.
    $\quad$
    b. Calculer $P((Z \pp 2,25)$. Arrondir à $10^{-2}$.
    $\quad$
  2. On suppose maintenant que $Z$ suit une loi normale d’espérance $2,3$ et d’écart-type $\sigma$.
    Donner une valeur approchée de $\sigma$ pour que $P(2,18 \pp Z \pp 2,42) \approx 0,95$.
    Justifier.
    $\quad$

 

     

 

Bac ES/L – Amérique du Nord – Mai 2019

Amérique du Nord – Mai 2019

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici .

Ex 1

Exercice 1     

Partie A

  1. On obtient l’arbre de probabilité suivant :

    $\quad$
  2. On veut calculer $P(C\cap N)=0,7\times 0,4=0,28$ (d’après l’arbre précédent).
    La probabilité que Fabien commence par une séance de course à pied et enchaîne par une séance de natation est $0,28$.
    $\quad$
  3. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(N)&=P(C\cap N)+P\left(L\cap \conj{N}\right) \\
    &=0,28+0,3\times 0,8 \\
    &=0,28+0,24\\
    &=0,52\end{align*}$
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_{\conj{N}}(V)&=\dfrac{P\left(\conj{N}\cap V\right)}{P\left(\conj{N}\right)} \\
    &=\dfrac{0,3\times 0,2}{1-0,52} \\
    &=0,125\\
    \end{align*}$
    La probabilité que Fabien ait commencé son entraînement par une séance de vélo sachant qu’il n’a pas fait de natation est $0,125$

Partie B

  1. On a :
    $\begin{align*} P(T\pg 3)&=P(T\pg 2,5)-P(2,5\pp T\pp 3)\\
    &=0,5-P(2,5\pp T\pp 3)\\
    &\approx 0,023\end{align*}$
    Cela signifie donc qu’environ $2,3\%$ des participants ont mis plus de $3$ heures pour effectuer les trois épreuves du parcours.
    $\quad$
  2. D’après la calculatrice $P(2\pp T\pp 3)\approx 0,954$
    Remarque : On pouvait également utiliser le fait que $P(2\pp T\pp 3)=P(\mu-2\sigma\pp X\pp \mu+2\sigma)$.
    $\quad$
  3. À l’aide de la touche Inverse loi normale de la calculatrice on trouve $t\approx 2,669$.
    $0,669\times 60=40,14$.
    Cela signifie donc que $75\%$ des participants ont effectuer les trois épreuves en moins de $2$ heures et $40$ minutes environ.
    $\quad$

Partie C

  1. On a $n=60$ et $p=0,5$.
    Ainsi $n\pg 30$, $np=30\pg 5$ et $n(1-p)\pg 5$
    Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de la proportion de femmes est :
    $\begin{align*} I_{60}&=\left[0,5-1,96\sqrt{\dfrac{0,5\times 0,5}{60}};0,5+1,96\sqrt{\dfrac{0,5\times 0,5}{60}}\right] \\
    &\approx [0,373;0,627]\end{align*}$
    $\quad$
  2. La fréquence observée est $f=\dfrac{25}{60}\approx 0,417 \in I_{60}$.
    Ce constat ne remet donc pas en question l’affirmation de l’organisateur.
    $\quad$

Ex 2 obl

Exercice 2     

Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L

  1. Au mois de février on a $n=1$.
    $u_1=0,9u_0+42=0,9\times 280+42=294$.
    $294$ voitures ont dont été louées avec ce système de location au mois de février 2019.
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=u_n-420$ soit $u_n=v_n+420$.
    $\begin{align*}
    v_{n+1}&=u_{n+1}-420\\
    &=0,9u_n+42-420\\
    &=0,9u_n-378\\
    &=0,9\left(v_n+420\right)-378\\
    &=0,9v_n+378-378\\
    &=0,9v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,9$ et de premier terme $v_0=280-420=-140$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $v_n=-140\times 0,9^n$.
    Et $u_n=v_n+420=420-140\times 0,9^n$.
    $\quad$
  3. $0<0,9<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty}0,9^n=0$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=420$.
    Sur le long terme, cela signifie donc que $420$ voitures seront louées chaque mois.
    $\quad$
  4. a. On obtient l’algorithme suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    N\leftarrow 0\\
    U\leftarrow 280\\
    \text{Tant que }U\pp 380\\
    \hspace{1cm} N\leftarrow N+1\\
    \hspace{1cm} U\leftarrow0,9\times U+42\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. Voici les différentes valeurs prises par $U$, arrondie au dixième et $N$
    $\begin{array}{|c|c|}
    \hline
    N&U\\
    \hline
    0&280\\
    \hline
    1&294\\
    \hline
    2&306,6\\
    \hline
    3&317,9\\
    \hline
    4&328,1\\
    \hline
    5&337,3\\
    \hline
    6&345,6\\
    \hline
    7&353,0\\
    \hline
    8&359,7\\
    \hline
    9&365,8\\
    \hline
    10&371,2\\
    \hline
    11&376,1\\
    \hline
    12&380,5\\
    \hline\end{array}$
    $N$ contient donc la valeur $12$.
    C’est donc en janvier 2020 que la commune devra augmenter le nombre de voitures.
    $\quad$
  5. On veut déterminer résoudre :
    $\begin{align*} -140\times 0,9^n+420>380 &\ssi -140\times 0,9^n>-40\\
    &\ssi 0,9^n< \dfrac{2}{7}\\
    &\ssi n\ln 0,9<\ln \dfrac{2}{7}\\
    &\ssi n> \dfrac{\ln \dfrac{2}{7}}{\ln 0,9}\end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln \dfrac{2}{7}}{\ln 0,9}\approx 11,89$.
    Ainsi la solution de l’inéquation est l’ensemble des entiers naturels supérieurs ou égaux à $12$.
    On retrouve bien la valeur obtenue à la question 3.b. à l’aide de l’algorithme.
    C’est donc en janvier 2020 que la commune devra augmenter le nombre de voitures.
    $\quad$

 

Ex 2 spé

Exercice 2

Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

  1. Le mot abab est reconnu par cet automate : chemin $12334$.
    Le mot abc n’est pas reconnu par cet automate.
    Le mot abbcbb est reconnu par cet automate : chemin $1234234$.
    $\quad$
  2. On obtient la matrice $M=\begin{pmatrix}0&2&1&0\\
    1&0&1&0\\
    0&0&1&1\\
    0&1&0&0\end{pmatrix}$.
    $\quad$
  3. On a ${M^4}_{(1,4)}=5$.
    Par conséquent $5$ mots de $4$ lettres sont reconnus par l’automate.
    Il s’agit de ababacbbbbab, baab et bcbb.
    $\quad$

Partie B

  1. a. On étudie le degré des sommets de graphe connexe.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Sommet}&A&B&C&E&G&L&P&V\\
    \hline
    \text{Degré}&2&2&4&4&3&5&4&4\\
    \hline
    \end{array}$
    Exactement deux sommets sont de degrés impairs. Il existe donc une chaîne eulérienne.
    On peut donc parcourir l’ensemble du réseau en empruntant chaque route une et une seule fois.
    $\quad$
    b. Le technicien doit commencer par un sommet de degré impair, c’est-à-dire par Grenoble ou Lyon.
    $\quad$
  2. a. On utilise l’algorithme de Dijsktra.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    A&B&C&E&G&L&P&V&\text{Sommet}\\
    \hline
    &0&&&&\phantom{260(L)}&&&B\\
    \hline
    &\phantom{260(L)}&&&180(B)&80(B)&&&L\\
    \hline
    &&260(L)&150(L)&180(B)&&&180(L)&E\\
    \hline
    &&260(L)&&180(B)&&230(E)&180(L)&G\\
    \hline
    &&260(L)&&&&230(E)&180(L)&V\\
    \hline
    &&260(L)&&&&230(E)&&P\\
    \hline
    410(P)&&260(L)&&&&&&C\\
    \hline
    410(P)&&&&&&&&A\\
    \hline
    \end{array}$$
    Le chemin le plus court est donc $B-L-E-P-A$.
    $\quad$
    b. Si la route entre Le-Puy-en-Velay et Aurillac est fermée à la circulation, d’après l’algorithme précédent, le chemin le plus court est $B-L-C-A$.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. On a :
    $P(X\pg 1)=1-P(X\pp 0)=1-(1-0,3)^{10}\approx 0,972$.
    Réponse A
    $\quad$
  2. $P(15\pp T\pp 25)=\dfrac{25-15}{40-10}=\dfrac{1}{3}$.
    Réponse B
    $\quad$
  3. Il s’agit de la somme des termes d’une suite géométrique de premier terme $1$ et de raison $1,2$.
    Ainsi :
    $\begin{align*}S&=1+1,2+1,2^2+1,2^3+\ldots+1,2^{10} \\
    &=1\times \dfrac{1-1,2^{11}}{1-1,2}\\
    &\approx 32,15\end{align*}$
    Réponse D$\quad$
  4. Pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0,1;10]$ on a :
    $\begin{align*} g'(x)&=2x\left(2\ln(x)-5\right)+x^2\times 2\times \dfrac{1}{x} \\
    &=4x\ln(x)-10x+2x\\
    &=4x\ln(x)-8x\end{align*}$
    et
    $\begin{align*}
    g{\dsec}(x)&=4\ln(x)+4x\times \dfrac{1}{x}-8\\
    &=4\ln(x)+4-8\\
    &=4\ln(x)-4\\
    &=4\left(\ln(x)-1\right)\end{align*}$
    Ainsi :
    $g{\dsec}(x)=0\ssi \ln(x)-1=0\ssi x=\e$
    et $g{\dsec}(x)>0 \ssi \ln(x)-1>0 \ssi x>\e$
    La fonction $g$ est donc concave sur l’intervalle $[0,1;\e]$ et convexe sur l’intervalle $[\e;10]$.
    Réponse D
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie A – Lectures graphiques

  1. On a $f(0)=-11$, $f'(0)=\dfrac{0-(-11)}{5-0}=\dfrac{11}{5}$ (coefficient directeur de la droite $(AB)$.
    $f'(11)=0$ car la tangente à la courbe au point $C$ est horizontale.
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est négative sur l’intervalle $[0;2,6]$. La fonction $F$ est donc décroissante sur cet intervalle.
    L’affirmation est donc fausse.
    $\quad$

Partie B – Étude d’une fonction

  1. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[0;30]$ d’après l’énoncé.
    Pour tout réel $x$ de cet intervalle on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=2x\e^{-0,2x}+\left(x^2-11\right)\times (-0,2)\e^{-0,2x} \\
    &=\left(2x-0,2x^2+2,2\right)\e^{-0,2x} \end{align*}$
    $\quad$
  2. La fonction exponentielle est strictement positive.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $-0,2x^2+2x+2,2$.
    On calcule le discriminant de ce polynôme du second degré :
    $\Delta = 2^2-4\times (-0,2)\times 2,2=5,76>0$
    Les racines du polynômes sont donc :
    $x_1=\dfrac{-2-\sqrt{5,76}}{-0,4}=11$ et $x_2=\dfrac{-2-\sqrt{5,76}}{-0,4}=-1$.
    Le coefficient principal est $a=-0,2<0$.
    Ainsi le polynôme est positif entre les racines et négatif à l’extérieur.
    par conséquent :
    $f'(x)<0$ sur l’intervalle $[0,11[$
    $f'(11)=0$
    $f(x)<0$ sur l’intervalle $]11;30]$
    $\quad$
    On obtient donc le tableau de variation suivant :
    $f(11)=110\e^{-2,2}\approx 12,19$
    $f(30)=889\e^{-6} \approx 2,20$
    $\quad$
  3. D’après le tableau de variation, sur l’intervalle $[11;30]$ on a $f(x)\pg f(30)>0$.
    L’équation $f(x)=0$ ne possède donc pas de solution sur cet intervalle.
    $\quad$
    La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur l’intervalle $[0;11]$
    De plus $f(0)=-11<0$ et $f(11)\approx 12,19>0$.
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires l’équation $f(x)=0$ possède une unique solution sur l’intervalle $[0;11]$.
    $\quad$
    Ainsi l’équation $f(x)=0$ possède une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[0;30]$.
    D’après la calculatrice on a $\alpha \approx 3,32$.
    $\quad$
  4. Une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;30]$ est, d’après le tableau, la fonction $F$ définie sur cet intervalle par $F(x)=\left(-5x^2-50x-195\right)\e^{-0,2x}$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} I&=\int_{10}^{20}f(x)\dx \\
    &=F(20)-F(10) \\
    &=-3~195\e^{-4}+1~195\e^{-2} \\
    &\approx 103,21\end{align*}$
    $\quad$

Partie C – Application économique

  1. $f(15)=214\times \e^{-3}\approx 10,65$
    Lorsque le prix unitaire est fixé à $15$ euros, environ $1~065~000$ objets sont demandés.
    $\quad$
  2. La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[10;20]$ est
    $\begin{align*} m&=\dfrac{1}{20-10}\int_{10}^{20}f(x)\dx \\
    &=\dfrac{1}{10}\left(F(20)-F(10)\right) \\
    &=\dfrac{-3~195\e^{-4}+1~195\e^{-2}}{10} \\
    &\approx 10,32\end{align*}$
    Lorsque le prix varie entre $10$ et $20$ euros la demande moyenne est d’environ $1~032~000$ objets.
    $\quad$
  3. On a
    $\begin{align*}E(15)&=\dfrac{f'(15)}{f(15)}\times 15\\
    &=\dfrac{-12,8\e^{-3}}{214\e^{-3}}\times 15 \\
    &=-\dfrac{192}{214} \\
    &\approx -0,90\end{align*}$
    Lorsque le prix augmente de $1\%$ la demande diminue d’environ $0,9\%$.
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1     5 points

Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à $10^{-3}$ si nécessaire.

Partie A

On rappelle que le triathlon est une discipline qui comporte trois sports : la natation, le cyclisme et la course à pied.
Fabien s’entraîne tous les jours pour un triathlon et organise son entraînement de la façon suivante :

  • chaque entraînement est composé d’un ou deux sports et commence toujours par une séance de course à pied ou de vélo ;
  • lorsqu’il commence par une séance de course à pied, il enchaîne avec une séance de natation avec une probabilité de $0,4$ ;
  • lorsqu’il commence par une séance de vélo, il enchaîne avec une séance de natation avec une probabilité de $0,8$.

Un jour d’entraînement, la probabilité que Fabien pratique une séance de vélo est de $0,3$.
On note :

  • $C$ l’événement : « Fabien commence par une séance de course à pied » ;
  • $V$ l’événement : « Fabien commence par une séance de vélo » ;
  • $N$ l’événement : « Fabien enchaîne par une séance de natation ».
  1. Recopier et compléter l’arbre de probabilité suivant représentant la situation :
    $\quad$
  2. Quelle est la probabilité que Fabien commence par une séance de course à pied et enchaîne par une séance de natation ?
    $\quad$
  3. Démontrer que : $P(N) = 0,52$.
    $\quad$
  4. Sachant que Fabien n’a pas fait de séance de natation, quelle est la probabilité qu’il ait commencé son entrainement par une séance de vélo ?
    $\quad$

Partie B

L’épreuve de triathlon s’est déroulée.

Pour chaque participant on enregistre sa performance, c’est-à-dire le temps total pour effectuer les trois épreuves du parcours.

On admet que l’ensemble des performances des participants, exprimées en heure, peut être modélisé par une variable aléatoire $T$ qui suit la loi normale d’espérance $2,5$ et d’écart-type $0,25$.

  1. Calculer $P(T\pg 3)$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité qu’une performance prise en hasard se situe entre $2$ heures et $3$ heures.
    $\quad$
  3. Déterminer $t$, à la minute près, pour que $P(T\pp t)= 0,75$ puis interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

Partie C

Chaque participant au triathlon complète une fiche d’inscription comportant différents renseignements, dont le sexe du participant.

L’organisateur affirme que le pourcentage de femmes ayant participé à ce triathlon est de $50 \%$.

En raison du très grand nombre de participants au triathlon, l’organisateur décide de vérifier cette affirmation sur la base d’un échantillon de $60$ fiches tirées au hasard.

  1. Calculer l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95 \%$ de la proportion de femmes dans un échantillon aléatoire de $60$ fiches.
    $\quad$
  2. L’échantillon prélevé au hasard comprend $25$ fiches correspondant à des femmes.
    Ce constat remet-il en question l’affirmation de l’organisateur ? Justifier la réponse.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L

Une commune dispose de $380$ voitures et propose un système de locations de ces voitures selon les modalités suivantes :

  • chaque voiture est louée pour une durée d’un mois ;
  • la location commence le 1$\ier$ jour du mois et se termine le dernier jour du même mois ;
  • le nombre de voitures louées est comptabilisé à la fin de chaque mois.

À la fin du mois de janvier 2019, $280$ voitures ont été louées avec ce système de location.

Le responsable de ce système souhaite étudier l’évolution du nombre de locations de voitures.

Pour cela il modélise le nombre de voitures louées chaque mois par une suite $\left(u_n\right)$, où, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ représente le nombre de voitures louées le $n$-ième mois après le mois de janvier 2019. Ainsi $u_0=280$.

On admet que cette modélisation conduit à l’égalité : $u_{n+1}=0,9u_n+42$.

  1. Combien de voitures ont-elles été louées avec ce système de location au mois de février 2019 ?
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$, on pose : $v_n=u_n-420$.
    a. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique. On précisera le premier terme $v_0$ et la raison.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$ et montrer que $u_n=-140\times 0,9^n+420$.
    $\quad$
  3. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$ puis interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  4. La commune, qui possède initialement $380$ véhicules, envisage d’acheter des voitures supplémentaires pour répondre à la demande. Le responsable de la commune souhaite prévoir à partir de quelle date le nombre de voitures sera insuffisant.
    On souhaite utiliser l’algorithme ci-dessous :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    N\leftarrow 0\\
    U\leftarrow 280\\
    \text{Tant que }\ldots\ldots\ldots\\
    \hspace{1cm} N\leftarrow N+1\\
    \hspace{1cm} U\leftarrow \ldots\ldots\ldots\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    a. Recopier et compléter l’algorithme.
    $\quad$
    b. Que contient la variable $N$ à la fin de l’exécution de l’algorithme ?
    $\quad$
    c. En déduire le mois durant lequel la commune devra augmenter le nombre de voitures.
    $\quad$
  5. Résoudre dans l’ensemble des entiers naturels l’inéquation : $$-140\times 0,9^n+420>380$$
    et retrouver le résultat précédent.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

Partie A

Pour accéder à un local d’une petite entreprise, les employés doivent choisir un code reconnu par l’automate suivant :

 

Une succession de lettres constitue un code possible si ces lettres se succèdent sur un chemin du graphe orienté ci-dessus, en partant du sommet ➀ et en sortant au sommet ④.

Par exemple,

  • le mot 𝑏𝑐𝑏𝑎𝑏 est un mot reconnu par cet automate, et correspond au chemin $121334$ ;
  • le mot 𝑎𝑏𝑎𝑐 n’est pas un mot reconnu par cet automate.
  1. Parmi les mots suivants, quels sont ceux qui sont reconnus par cet automate : 𝑎𝑏𝑎𝑏, 𝑎𝑏𝑐, 𝑎𝑏𝑏𝑐𝑏𝑏.
    $\quad$
  2. Recopier et compléter la matrice d’adjacence $M=\begin{pmatrix}0&2&1&0\\\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\\end{pmatrix}$ associée au graphe orienté dans laquelle les sommets sont rangés dans l’ordre croissant.
    $\quad$
  3. Un logiciel de calcul formel donne $$M^4=\begin{pmatrix}5&3&10&5\\1&6&7&4\\1&3&4&2\\2&1&4&2\end{pmatrix} \quad \text{et} \quad M^5=\begin{pmatrix}3&15&18&10\\6&6&14&7\\3&4&8&4\\1&6&7&4\end{pmatrix}$$
    Combien de mots de $4$ lettres sont-ils reconnus par l’automate ? Justifier. Quels
    sont-ils ?
    $\quad$

Partie B

Dans le graphe ci-après, on a fait figurer les distances routières, exprimées en kilomètre, entre certaines grandes villes de la région Auvergne-Rhône-Alpes.

$\hspace{1cm}$ A : Aurillac                                 G : Grenoble
$\hspace{1cm}$ B : Bourg-en-Bresse                  L : Lyon
$\hspace{1cm}$ C : Clermont-Ferrand                P : Le Puy-en-Velay
$\hspace{1cm}$ E : Saint-Étienne                       V : Valence

  1. Un technicien doit vérifier l’état des routes du réseau représenté par le graphe ci-dessus.
    a. Peut-il parcourir l’ensemble du réseau en empruntant chaque route une et une seule fois ? Justifier la réponse.
    $\quad$
    b. Si un tel parcours est possible, préciser par quelle(s) ville(s) de ce réseau routier le technicien doit commencer sa vérification.
    $\quad$
  2. Ayant terminé sa semaine de travail à Bourg-en-Bresse, le technicien souhaite retourner chez lui à Aurillac en faisant le moins de kilomètres possibles.
    a. Déterminer, en utilisant l’algorithme de Dijkstra, le plus court chemin entre les villes de Bourg-en-Bresse et Aurillac en empruntant ce réseau routier.
    $\quad$
    b. La route entre Le Puy-en-Velay et Aurillac est fermée à la circulation. Quel chemin doit-il alors emprunter ?
    $\quad$

Exercice 3     4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une bonne réponse rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

  1. La variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n= 10$ et $p= 0,3$.
    On peut affirmer que $P(X\pg 1) est égale à :
    A. environ $0,972$
    B. environ $0,999$
    C. environ $0,121$
    D. $\dfrac{3}{10}$
    $\quad$
  2. La variable aléatoire $T$ suit la loi uniforme sur l’intervalle $[10 ; 40]$.
    On peut affirmer que $P(15 \pp T\pp 25)$ est égale à :
    A. $\dfrac{2}{3}$
    B. $\dfrac{1}{3}$
    C. $\dfrac{3}{8}$
    D. $\dfrac{5}{8}$
    $\quad$
  3. L’arrondi au centième de la somme $1+1,2+1,2^2+1,2^3+\ldots+1,2^{10}$ est :
    A. $3,27$
    B. $25,96$
    C. $26,96$
    D. $32,15$
    $\quad$
  4. On considère la fonction $g$ deux fois dérivable sur $[0,1 ; 10]$ et définie par : $$g(x)=x^2\left(2\ln(x)-5\right)+2$$
    A. $g$ est concave sur $[0,1;10]$
    B. $g$ est concave sur $[\e;10]$
    C. $g$ est convexe sur $[0,1;7]$
    D. $g$ est convexe sur $[\e;10]$
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     6 points

Dans le repère orthogonal donné ci-dessous, $\mathcal{C}_f$ est la représentation graphique d’une fonction $f$ définie et dérivable sur $[0;30]$.

La tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A$ d’abscisse $0$ passe par le point $B(5 ; 0)$.
La tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $C$ d’abscisse $11$ est parallèle à l’axe des abscisses.

Dans toute la suite, on note $f’$ la dérivée de la fonction $f$ sur $[0;30]$ et $F$ une primitive
de $f$ sur $[0 ; 30]$.

Partie A – Lectures graphiques

  1. Lire graphiquement les valeurs de $f(0)$, $f'(0)$ et $f'(11)$.
    $\quad$
  2. L’affirmation « La fonction $F$ est croissante sur $[0 ; 11]$. » est-elle vraie ou fausse ? Justifier.
    $\quad$

Partie B – Étude d’une fonction

La fonction $f$ est définie sur $[0;30]$ par : $$f(x)=\left(x^2-11\right)\e^{-0,2x}$$

Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants :
$$\begin{array}{|c|l|c|}
\hline
&\hspace{1.5cm}\textbf{Instruction :}&\hspace{0.5cm}\textbf{Résultat :}\\
\hline
1&f(x):=\left(x^2-11\right)*\exp(-0,2*x)&\left(x^2-11\right)\e^{-0,2x}\\
\hline
2&\text{Dérivée}\left(f(x)\right)&\left(-0,2x^2+2x+2,2\right)\e^{-0,2x}\\
\hline
3&\text{Intégrale}\left(f(x)\right)&\left(-5x^2-50x-195\right)\e^{-0,2x}\\
\hline
\end{array}$$

  1. Pour tout réel $x\in[0 ; 30]$, justifier le résultat de l’instruction obtenu en ligne 2 du logiciel.
    $\quad$
  2. Étudier le signe de $f’$ sur $[0 ; 30]$ puis dresser le tableau des variations de $f$ sur $[0 ; 30]$.
    $\quad$
  3. Démontrer que l’équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[0 ; 11]$ puis donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.
    $\quad$
  4. En utilisant sans le démontrer un résultat du logiciel, calculer la valeur exacte puis l’arrondi à $10^{-2}$ de l’intégrale : $I=\ds \int_{10}^{20}f(x)\dx$.
    $\quad$

Partie C – Application économique

Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à $10^{-2}$ si nécessaire.

La fonction de demande d’un produit est modélisée sur l’intervalle $[5 ; 30]$ par la fonction $f$ étudiée dans la partie B.

Le nombre $f(x)$ représente la quantité demandée, exprimée en centaines de milliers d’objets, lorsque le prix unitaire est égal à $x$ euros.

  1. Calculer le nombre d’objets demandés, au millier près, lorsque le prix unitaire est fixé à $15$ euros.
    $\quad$
  2. En utilisant les résultats de la partie B, déterminer la demande moyenne, arrondie au millier d’objets, lorsque le prix unitaire varie entre $10$ et $20$ euros.
    $\quad$
  3. L’élasticité $E(x)$ de la demande par rapport au prix est le pourcentage de variation de la demande pour une augmentation de $1\%$ du prix.
    On admet qu’une bonne approximation de $E(x)$ est donnée par :
    $\hspace{3cm} E(x)=\dfrac{f'(x)}{f(x)}\times x$ lorsque $x\in [5;30]$.
    Calculer E(15) et interpréter le résultat.