Bac ES/L – Pondichéry / Centres étrangers – Juin 2019

Pondichéry / Centres étrangers – Juin 2019

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

La correction de ce sujet de bac sera mise en ligne dès que le sujet sera disponible.
Il est important de s’entraîner sur les sujets de l’année pour bien préparer sa propre épreuve. On se fait ainsi une idée des tendances de l’année.
L’intégralité des sujets corrigés cette année et les années précédentes se trouve ici.

Les sujets tombés  les années précédentes sont dans les onglets situés en dessous. Pour les corrections, il suffit de suivre ces liens :

Pondichéry 2018

Exercice 1     5 points

Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des questions posées, une seule des trois réponses est exacte. Recopier le numéro de la question et la réponse exacte. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse ou l’absence de réponse ne rapporte
ni n’enlève de point. Une réponse multiple ne rapporte aucun point.

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0,5;5]$ par : $$f(x)=\dfrac{5+5\ln(x)}{x}$$

Sa représentation graphique est la courbe $\mathscr{C}$ donnée ci-dessous dans un repère d’origine $O$. On admet que le point $A$ placé sur le graphique est le seul point d’inflexion de la courbe $\mathscr{C}$ sur l’intervalle $[0,5;5]$. On note $B$ le point de cette courbe d’abscisse $\e$.

On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur cet intervalle.

On rappelle que $f’$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$ et $f\dsec$ sa fonction dérivée seconde.

On admet que pour tout $x$ de l’intervalle $[0,5;5]$ on a :
$$\begin{array}{lcr}
f'(x)=\dfrac{-5\ln x}{x^2}&\hspace{2cm}&f\dsec(x)= \dfrac{10\ln x-5}{x^3}
\end{array}$$

  1. La fonction $f’$ est :
    a. positive ou nulle sur l’intervalle $[0,5;5]$
    b. négative ou nulle sur l’intervalle $[1;5]$
    c. négative ou nulle sur l’intervalle $[0,5;1]$
    $\quad$
  2. Le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point $B$ est égal à :
    a. $-\dfrac{5}{\e^2}$
    b. $\dfrac{10}{\e}$
    c. $\dfrac{5}{\e^3}$
    $\quad$
  3. La fonction $f’$ est :
    a. croissante sur l’intervalle $[0,5;1]$
    b. décroissante sur l’intervalle $[1;5]$
    c. croissante sur l’intervalle $[2;5]$
    $\quad$
  4. La valeur exacte de l’abscisse du point $A$ de la courbe $\mathscr{C}$ est égale à :
    a. $1,65$
    b. $1,6$
    c. $\e^{0,5}$
    $\quad$
  5. On note $\mathscr{A}$ l’aire, mesurée en unités d’aires, du domaine plan délimité par la courbe $\mathscr{C}$, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=1$ et $x=4$. Cette aire vérifie :
    a. $20 \pp \mathscr{A} \pp 30$
    b. $10 \pp \mathscr{A} \pp 15$
    c. $5 \pp \mathscr{A} \pp 8$
    $\quad$

Exercice 2     5 points

Les différentes parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.
Les résultats numériques seront données, si nécessaire, sous forme approchée à $0, 01$ près.

Partie A

Un commerçant dispose dans sa boutique d’un terminal qui permet à ses clients, s’ils souhaitent régler leurs achats par carte bancaire, d’utiliser celle-ci en mode sans contact (quand le montant de la transaction est inférieur ou égal à $30$ €) ou bien en mode code secret (quel que soit le montant de la transaction).
Il remarque que :

  • $80\%$ de ses clients règlent des sommes inférieures ou égales à $30$ €. Parmi eux :
    – $40\%$ paient en espèces ;
    – $40\%$ paient avec une carte bancaire en mode sans contact ;
    – les autres paient avec une carte bancaire en mode code secret.
  • $20\%$ de ses clients règlent des sommes strictement supérieures à $30$ €. Parmi eux :
    – $70\%$ paient avec une carte bancaire en mode code secret ;
    – les autres paient en espèces.

On interroge au hasard un client qui vient de régler un achat dans la boutique.
On considère les événements suivants :

  • $V$ : ≪ pour son achat, le client a réglé un montant inférieur ou égal à $30$ € ≫ ;
  • $E$ : ≪ pour son achat, le client a réglé en espèces ≫ ;
  • $C$ : ≪ pour son achat, le client a réglé avec sa carte bancaire en mode code secret ≫ ;
  • $S$ : ≪ pour son achat, le client a réglé avec sa carte bancaire en mode sans contact ≫.
  1. a. Donner la probabilité de l’événement $V$, notée $P(V)$, ainsi que la probabilité de $S$ sachant $V$ notée $P_V(S)$.
    $\quad$
    b. Traduire la situation de l’énoncé à l’aide d’i, arbre pondéré.
    $\quad$
  2. a. Calculer la probabilité que pour son achat, le client ait réglé un montant inférieur ou égal à $30$ €  et qu’il ait utilisé sa carte bancaire en mode sans contact.
    $\quad$
    b. Montrer que la probabilité de l’événement : ≪ pour son achat, le client a réglé avec sa carte bancaire en utilisant l’un des deux modes ≫ est égale à $0, 62$.
    $\quad$

Partie B

On note $X$ la variable aléatoire qui prend pour valeur la dépense en euros d’un client suite à un achat chez ce commerçant.
On admet que $X$ suit la loi normale de moyenne $27, 5$ et d’écart-type $3$. On interroge au hasard un client qui vient d’effectuer un achat dans la boutique.

  1. Calculer la probabilité que ce client ait dépensé moins de $30$ €.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité que ce client ait dépensé entre $24, 5$ € et $30,5$ €.
    $\quad$

Partie C

Une enquête de satisfaction a été réalisée auprès d’un échantillon de $200$ clients de cette boutique.
Parmi eux, $175$ trouvent que le dispositif sans contact du terminal est pratique.
Déterminer, avec un niveau de confiance de $0, 95$, l’intervalle de confiance de la proportion $p$ de clients qui trouvent que le dispositif sans contact est pratique.
$\quad$

Exercice 3     5 points

Candidats de ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de L

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=65$ et pour tout entier naturel $n$ : $$u_{n+1}=0,8u_n+18$$

  1. Calculer $u_1$ et $u_2$.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$, on pose : $v_n=u_n-90$.
    a. Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $0,8$.
    On précisera la valeur de $v_0$.
    b. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ :
    $$u_n=90-25\times 0,8^n$$
    $\quad$
  3. On considère l’algorithme ci-dessous :
    $$\begin{array}{|c|l|}
    \hline
    \text{ligne }1&u \leftarrow 65 \\
    \text{ligne }2&n \leftarrow 0 \\
    \text{ligne }3& \text{Tant que } \ldots\ldots\\
    \text{ligne }4& \hspace{1cm}  n\leftarrow n+1 \\
    \text{ligne }5& \hspace{1cm} u\leftarrow 0,8\times u+18 \\
    \text{ligne }6&\text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    a. Recopier et compléter la ligne 3 de cet algorithme afin qu’il détermine le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n \pg 85$.
    $\quad$
    b. Quelle est la valeur de la variable $n$ à la fin de l’exécution de l’algorithme?
    $\quad$
    c. Retrouver par le calcul le résultat de la question précédente en résolvant l’inéquation $u_n\pg 85$.
    $\quad$
  4. La société Biocagette propose la livraison hebdomadaire d’un panier bio qui contient des fruits et des légumes de saison issus de l’agriculture biologique. Les clients ont la possibilité de souscrire un abonnement de $52$ € par mois qui permet de recevoir chaque semaine ce panier bio.
    En juillet 2017, $65$ particuliers ont souscrit cet abonnement.
    Les responsables de la société Biocagette font les hypothèses suivantes :
    $\bullet$ d’un mois à l’autre, environ $20\%$ des abonnements sont résiliés ;
    $\bullet$ chaque mois, $18$ particuliers supplémentaires souscrivent à l’abonnement.
    a. Justifier que la suite $(u_n)$ permet de modéliser le nombre d’abonnés au panier bio le $n$-ième mois qui suit le mois de juillet 2017.
    $\quad$
    b. Selon ce modèle, la recette mensuelle de la société Biocagette va-t-elle dépasser $4~420$ € durant l’année 2018 ? Justifier la réponse.
    $\quad$
    c. Selon ce modèle, vers quelle valeur tend la recette mensuelle de la société Biocagette ?
    Argumenter la réponse.
    $\quad$

Exercice 3     5 points

Candidats de ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Les différentes parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

Partie A

Le graphe pondéré ci-dessous représente les différents lieux $A, B, C, D, E, F, G$ et $H$ dans lesquels Louis est susceptible de se rendre chaque jour. Le lieu $A$ désigne son domicile et $G$ le lieu de son site de travail. Le poids de chaque arête représente la distance, en kilomètres, entre les deux lieux reliés par l’arête.

Déterminer le chemin le plus court qui permet à Louis de relier son domicile à son travail. On pourra utiliser un algorithme. Préciser la distance, en kilomètres, de ce chemin.

Partie B

Afin de réduire son empreinte énergétique, Louis décide d’utiliser lors de ses trajets quotidiens soit les transports en commun, soit le covoiturage.

  • s’il a utilisé les transports en commun lors d’un trajet, il utilisera le covoiturage lors de son prochain déplacement avec une probabilité de $0,53$ ;
  • s’il a utilisé le covoiturage lors d’un trajet, il effectuera le prochain déplacement en transport en commun avec une probabilité de $0,78$.

Louis décide de mettre en place ces résolutions au 1$\ier$ janvier 2018.

Pour tout entier naturel $n$, on note :

  • $c_n$ la probabilité que Louis utilise le covoiturage $n$ jour(s) après le 1$\ier$ janvier 2018 ;
  • $t_n$ la probabilité que Louis utilise les transports en commun $n$ jour(s) après le 1$\ier$ janvier 2018 ;

La matrice ligne $P_n =\begin{pmatrix} c_n&t_n\end{pmatrix}$ traduit l’état probabiliste $n$ jour(s) après le 1$\ier$ janvier 2018.
Le 1$\ier$ janvier 2018, Louis décide d’utiliser le covoiturage.

  1. a. Préciser l’état probabiliste initial $P_0$.
    $\quad$
    b. Traduire les données de l’énoncé par un graphe probabiliste.
    On notera ≪ $C$ ≫ et ≪ $T$ ≫ ses deux sommets :
    $\bullet$  ≪ $C$ ≫ pour indiquer que Louis utilise le covoiturage ;
    $\bullet$ ≪ $T$ ≫ pour indiquer que Louis utilise les transports en commun.
    $\quad$
  2. Déterminer la matrice de transition du graphe probabiliste en considérant ses sommets dans l’ordre alphabétique.
    $\quad$
  3. Calculer l’état probabiliste $P_2$ et interpréter ce résultat dans le cadre de l’exercice.
    $\quad$
  4. Soit la matrice ligne$P = \begin{pmatrix}x;y \end{pmatrix}$ associée à l’état stable du graphe probabiliste.
    a. Calculer les valeurs exactes de $x$ et de $y$ puis en donner une valeur approchée à $0,01$ près.
    $\quad$
    b. Selon ce modèle, peut-on dire qu’ à long terme, Louis utilisera aussi souvent le covoiturage que les transports en commun ? Justifier la réponse.$\quad$

Exercice 4     5 points

Dans cet exercice, si nécessaire, les valeurs numériques approchées seront données à $0,01$ près.

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0;4]$ par :

$$f(x)=(3,6x+2,4)\e^{-0,6x}-1,4$$

Partie A

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[0;4]$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.

  1. Justifier que pour tout nombre réel $x$ de l’intervalle $[0;4]$ on a :
    $$f'(x)=(-2,16x+2,16)\e^{-0,6x}$$
    $\quad$
  2. a. Étudier le signe de $f'(x)$ sur l’intervalle $[0;4]$.
    $\quad$
    b. Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur cet intervalle.
    On donnera les valeurs numériques qui apparaissent dans le tableau de variation sous forme approchée.
    $\quad$
  3. On admet que la fonction $F$ définie par : $$F(x)=(-6x-15)\e^{-0,6x}-1,4x$$ est une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;4]$.
    Calculer la valeur exacte de $\ds \int_0^4 f(x)\dx$ puis en donner une valeur numérique approchée.
    $\quad$

Partie B

On note $\mathscr{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;4]$.
On considère la fonction $g$ définie par : $$g(x)=4x^2-4x+1$$
On note $\mathscr{C}_g$ la courbe représentative de cette fonction sur l’intervalle $[0;0,5]$.

On a tracé ci-dessous les courbes $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ dans un repère d’origine $O$ et, en pointillés, les courbes obtenues par symétrie de $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ par rapport à l’axe des abscisses :

  1. Montrer que $\ds \int_0^{0,5} g(x)\dx=\dfrac{1}{6}$.
    $\quad$
  2. On considère le domaine plan délimité par les courbes $\mathscr{C}_f$, $\mathscr{C}_g$, leurs courbes symétriques (en pointillés) ainsi que la droite d’équation $x=4$.
    Ce domaine apparaît grisé sur la figure ci-dessus.
    Calculer une valeur approchée de l’aire, en unités d’aire, de ce domaine.
    $\quad$

 

CE 2018

Exercice 1     4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l’absence de réponse à une question ne rapportent ni n’enlèvent de point. Pour répondre, vous recopierez sur votre copie le numéro de la
question et indiquerez la seule réponse choisie.

  1. Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ par $f(x)=\e^{-3x}+\e^2$.
    a. $f'(x)=-3\e^{-3x}+2\e$
    b. $f'(x)=-3\e^{-3x}+\e^2$
    c. $f'(x)=-3\e^{-3x}$
    d. $f'(x)=\e^{-3x}$
    $\quad$
  2. D’après une étude, le nombre d’objets connectés à Internet à travers le monde est passé de $4$ milliards en 2010 à $15$ milliards en 2017. L’arrondi au dixième du taux d’évolution annuel moyen est de :
    a. $10,5\%$
    b. $68,8\%$
    c. $39,3\%$
    d. $20,8\%$
    $\quad$
  3. Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi normale d’espérance $\mu=13$ et d’écart-type $\sigma=2,4$. L’arrondi au centième de $P(X \pg 12,5)$ est :
    a. $0,58$
    b. $0,42$
    c. $0,54$
    d. $0,63$
    $\quad$
  4. Soit $Y$ une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l’intervalle $[14;16]$.
    $P(X \pp 15,5)$ est égal à :
    a. $0,97$
    b. $0,75$
    c. $0,5$
    d. $\dfrac{1}{4}$
    $\quad$

Exercice 2     5 points

Candidats de ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de L

Des algues prolifèrent dans un étang. Pour s’en débarrasser, le propriétaire installe un système de filtration.

En journée, la masse d’algues augmente de $2\%$, puis à la nuit tombée, le propriétaire actionne pendant une heure le système de filtration qui retire $100$ kg d’algues. On admet que les algues ne prolifèrent pas la nuit.

Le propriétaire estime que la masse d’algues dans l’étang au matin de l’installation du système de filtration est de $2~000$ kg.

On modélise par $a_n$( la masse d’algues dans l’étang, exprimée en kg, après utilisation du système de filtration pendant ) jours ; ainsi, $a_0 = 2~000$. On admet que cette modélisation demeure valable tant que $a_n$ reste positif.

  1. Vérifier par le calcul que la masse $a_2$ d’algues après deux jours de fonctionnement du système de filtration est de $1~878,8$ kg.
    $\quad$
  2. On affirme que pour tout entier naturel $n$ $a_{n+1}=1,02a_n-100$.
    a. Justifier à l’aide de l’énoncé la relation précédente.
    $\quad$
    b. On considère la suite $\left(b_n\right)$ définie pour tout nombre entier naturel $n$ par : $$b_n=a_n-5~000$$
    Démontrer que la suite $\left(b_n\right)$ est géométrique. Préciser sont premier terme $b_0$ et sa raison.
    $\quad$
    c. En déduire pour tout entier naturel $n$, une expression de $b_n$ en fonction de $n$, puis montrer que $a_n=5~000-3~000\times 1,02^n$.
    $\quad$
    d. En déterminant la limite de la suite $\left(a_n\right)$, justifier que les algues finissent par disparaître.
    $\quad$
  3. a. Recopier et compléter l’algorithme suivant afin qu’il détermine le nombre de jours nécessaire à la disparition des algues.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    N \leftarrow 0\\
    A \leftarrow 2~000\\
    \text{Tant que } \ldots\\
    \hspace{1cm} A \leftarrow \ldots \\
    \hspace{1cm} N \leftarrow N+1\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \text{Afficher } \ldots\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. Quel est le résultat renvoyé par l’algorithme?
    $\quad$
  4. a. Résoudre par le calcul l’inéquation $5~000-3~000\times 1,02^n\pp 0$.
    $\quad$
    b. Quel résultat précédemment obtenu retrouve-t-on?
    $\quad$

Exercice 2     5 points

Candidats de ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Une société d’autoroute étudie l’évolution de l’état de ses automates de péage en
l’absence de maintenance.

Un automate peut se trouver dans l’un des états suivants :

  • fonctionnel ($F$) ;
  • en sursis ($S$) s’il fonctionne encore, mais montre des signes de faiblesse ;
  • défaillant ($D$) s’il ne fonctionne plus.

La société a observé que d’un jour sur l’autre :

  • concernant les automates fonctionnels, $90\%$ le restent et $10\%$ deviennent
    en sursis ;
  • concernant les automates en sursis, $80\%$ le restent et $20\%$ deviennent défaillants.
  1. a. Reproduire et compléter le graphe probabiliste ci-après qui représente les évolutions possibles de l’état d’un automate.
    $\quad$
    b.  Interpréter le nombre $1$ qui apparaît sur ce graphe.
    $\quad$
    c. Voici la matrice de transition $M=\begin{pmatrix} 0,9&0,1&0\\0&0,8&0,2\\0&0&1\end{pmatrix}$ associée à ce graphe en prenant les sommets dans l’ordre $F,S,D$.
    Préciser la signification du coefficient $0,2$ dans cette matrice.
    $\quad$
  2. À compter d’une certaine date, la société relève chaque jour à midi l’état de ses automates. On note ainsi pour tout entier naturel $n$ :
    $\bullet$ $f_n$ la probabilité qu’un automate soit fonctionnel le $n\ieme$ jour;
    $\bullet$ $s_n$ la probabilité qu’un automate soit en sursus $n\ieme$ jour;
    $\bullet$ $d_n$ la probabilité qu’un automate soit défaillant le $n\ieme$ jour.
    $\quad$
    On note alors $P_n=\begin{pmatrix}f_n&s_n&d_n\end{pmatrix}$ la matrice ligne de l’état probabiliste le $n\ieme$ jour.
    Enfin, la société observe qu’au début de l’expérience tous ses automates sont fonctionnels : on a donc $P_0=\begin{pmatrix}1&0&0\end{pmatrix}$.
    a. Calculer $P_1$.
    $\quad$
    b. Montrer que, le $3\ieme$ jour, l’état probabiliste est $\begin{pmatrix} 0,729&0,217&0,054\end{pmatrix}$.
    $\quad$
    c. Vérifier que ce graphe possède un unique état stable $P=\begin{pmatrix}0&0&1\end{pmatrix}$.
    Quelle est la signification de ce résultat pour la situation étudiée?
    $\quad$
  3. a. Justifier que pour tout entier naturel $n$, $s_{n+1}=0,1f_n+0,8s_n$.
    $\quad$
    b. On vérifierait de même que pour tout entier naturel $n$, $$d_{n+1}=0,2s_n+d_n \text{ et } f_{n+1}=0,9f_n$$
    Compléter l’algorithme ci-dessous de sorte qu’il affiche le nombre de jours au bout duquel $30 \%$ des automates ne fonctionnent plus.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    D\leftarrow 0\\
    S\leftarrow \ldots\\
    F\leftarrow 1\\
    N\leftarrow 0\\
    \text{Tant que } \ldots\ldots\\
    \hspace{1cm} D \leftarrow 0,2\times S+D\\
    \hspace{1cm} S \leftarrow 0,1\times F+0,8\times D\\
    \hspace{1cm} F \leftarrow 0,9\times F\\
    \hspace{1cm} D \leftarrow \ldots \\
    \text{Fin Tant que}\\
    \text{Afficher } \ldots \\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    c. Au bout de combien de jours la proportion d’automates défaillants devient-elle supérieure à $30\%$?
    $\quad$
    d. Dans le codage de la boucle « Tant que », l’ordre d’affectation des variables $D$, $S$ et $F$ est-il important ? Justifier.
    $\quad$

Exercice 3     5 points

Une entreprise dispose d’un stock de guirlandes électriques. On sait que $40\%$ des guirlandes proviennent d’un fournisseur A et le reste d’un fournisseur B.
Un quart des guirlandes provenant du fournisseur A et un tiers des guirlandes provenant du fournisseur B peuvent être utilisées uniquement en intérieur pour des raisons de sécurité. Les autres guirlandes peuvent être utilisées aussi bien en intérieur qu’en extérieur.

  1. On choisit au hasard une guirlande dans le stock.
    $\bullet$ On note $A$ l’événement « la guirlande provient du fournisseur A » et
    $B$ l’événement « la guirlande provient du fournisseur B ».
    $\bullet$ On note $I$ l’événement « la guirlande peut être utilisée uniquement en
    intérieur ».
    a. Construire un arbre pondéré décrivant la situation.
    $\quad$
    b. Montrer que la probabilité $P(I)$ de l’événement $I$ est $0,3$.
    $\quad$
    c. On choisit une guirlande pouvant être utilisée aussi bien en intérieur qu’en extérieur. Le responsable de l’entreprise estime qu’il y a autant de chance qu’elle provienne du fournisseur A que du fournisseur B.
    Le responsable a-t-il raison ? Justifier.
    $\quad$
  2. Une guirlande pouvant être utilisée aussi bien en intérieur qu’en extérieur est vendue $5$€ et une guirlande pouvant être utilisée uniquement en intérieur est
    vendue $3$€.
    Calculer le prix moyen d’une guirlande prélevée au hasard dans le stock.
    $\quad$
  3. Lors d’un contrôle qualité, on prélève au hasard $50$ guirlandes dans le stock. Le stock est suffisamment grand pour que l’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise. On admet que la proportion de guirlandes défectueuses est égale à $0,02$.
    Calculer la probabilité qu’au moins une guirlande soit défectueuse. Arrondir le résultat à $10^{-3}$.
    $\quad$
  4. L’entreprise souhaite connaître l’opinion de ses clients quant à la qualité de ses guirlandes électriques. Pour cela elle souhaite obtenir, à partir d’un échantillon aléatoire, une estimation de la proportion de clients satisfaits au niveau de confiance de $95\%$ à l’aide d’un intervalle de confiance d’amplitude inférieure ou égale à $8\%$.
    Combien l’entreprise doit-elle interroger de clients au minimum ?
    $\quad$

Exercice 4     6 points

On considère la fonction dérivable $f$ définie sur $I=[0;20]$ par : $$f(x)=1~000(x+5)\e^{-0,2x}$$

Partie A – Étude graphique

On a représenté sur le graphique ci-dessous, la courbe représentative de la fonction $f$.

Répondre aux questions suivantes par lecture graphique.

  1. Résoudre graphiquement et de façon approchée l’équation $f(x)=3~000$.
    $\quad$
  2. Donner graphiquement une valeur approchée de l’intégrale de $f$ entre $2$ et $8 $ à une unité d’aire près. Justifier la démarche.
    $\quad$

Partie B – Étude théorique

  1. On note $f’$ la dérivée de la fonction $f$ sur $[0;20]$
    Démontrer que pour tout $x$ de $[0;20]$, $f'(x)=-200x\e^{-0,2x}$.
    $\quad$
  2. En déduire le sens de variation de $f$ et dresser son tableau des variations sur l’intervalle $[0;20]$. Si nécessaire, arrondir à l’unité les valeurs présentes dans
    le tableau.
    $\quad$
  3. Démontrer que l’équation $f(x)=3~000$ admet une unique solution $\alpha$ sur
    $[0;20]$, puis donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près à l’aide de la calculatrice.
    $\quad$
  4. On admet que la fonction $F$ définie sur l’intervalle $[0 ; 20]$ par l’expression $F(x)=-5~000(x+10)\e^{-0,2x}$ est une primitive de la fonction $f$ sur $[0 ; 20]$.
    Calculer $\ds \int_2^8 f(x)\dx$. On donnera la valeur exacte, puis la valeur arrondie à l’unité.
    $\quad$

Partie C – Application économique

La fonction de demande d’un produit est modélisée sur l’intervalle $[0;20]$ par la fonction $f$ étudiée dans les parties A et B.
Le nombre $f(x)$ représente la quantité d’objets demandés lorsque le prix unitaire est
égal à $x$ euros.

Utiliser les résultats de la partie B afin de répondre aux questions suivantes :

  1. En-dessous de quel prix unitaire, arrondi au centime, la demande est-elle supérieure à $3~000$ objets ?
    $\quad$
  2. Déterminer la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[2 ; 8]$. Interpréter ce résultat.
    $\quad$

Pondichéry 2017

Exercice 1    4 points

Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des questions posées, une seule des trois réponses est exacte. Recopier le numéro de la question et la réponse exacte. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte $1$ point, une réponse fausse ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point. Une réponse multiple ne rapporte aucun point.

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur l’intervalle $]0;10]$ dont la courbe représentative $\mathscr{C}_{f}$ est donnée ci-dessous dans un repère d’origine $O$ :

On rappelle que $f’$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$.

  1. Le nombre de solutions sur l’intervalle $]0;10]$ de l’équation $f'(x) = 0$ est égal à :
    a. $1$
    b. $2$
    c. $3$
    $\quad$
  2. Le nombre réel $f'(7)$ est :
    a. nul
    b. strictement positif
    c. strictement négatif
    $\quad$
  3. La fonction $f’$ est :
    a. croissante sur $]0;10]$
    b. croissante sur $[4;7]$
    c. décroissante sur $[4;7]$
    $\quad$
  4. On admet que pour tout $x$ de l’intervalle $]0;10]$ on a: $f'(x) = \ln x-\dfrac{x}{2}+1$.
    La courbe $\mathscr{C}_{f}$ admet sur cet intervalle un point d’inflexion:
    a. d’abscisse $2,1$
    b. d’abscisse $0,9$
    c. d’abscisse $2$
    $\quad$

Exercice 2    5 points

Un marathon est une épreuve sportive de course à pied.
Dans cet exercice, tous les résultats approchés seront donnés à $10^{-3}$ près.
Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

Partie A

Une étude portant sur le marathon de Tartonville montre que :

  • $34\%$ des coureurs terminent la course en moins de $234$ minutes;
  • parmi les coureurs qui terminent la course en moins de $234$ minutes, $5\%$ ont plus de $60$ ans;
  • parmi les coureurs qui terminent la course en plus de $234$ minutes, $84\%$ ont moins de $60$ ans.

On sélectionne au hasard un coureur et on considère les événements suivants:

  • $A$ : “le coureur a terminé le marathon en moins de $234$ minutes” ;
  • $B$ : “le coureur a moins de $60$ ans”.

On rappelle que si $E$ et $F$ sont deux événements, la probabilité de l’événement $E$ est notée $P(E)$ et celle de $E$ sachant $F$ est notée $P_F(E)$. De plus $\conj{E}$ désigne l’événement contraire de $E$.

  1. Recopier et compléter l’arbre de probabilité ci-dessous associé à la situation de l’exercice :
  2. a. Calculer la probabilité que la personne choisie ait terminé le marathon en moins de $234$ minutes et soit âgée de plus de $60$ ans.
    $\quad$
    b. Vérifier que $P\left(\conj{B}\right) \approx 0,123$.
    $\quad$
    c. Calculer $P_{\conj{B}}(A)$ et interpréter le résultat dans le cadre de l’exercice.
    $\quad$

Partie B

On suppose que le temps en minutes mis par un marathonien pour finir le marathon de Tartonville est modélisé par une variable aléatoire $T$ qui suit une loi normale d’espérance $\mu = 250$ et d’écart type $\sigma = 39$.

  1. Calculer $P(210 \pp T \pp 270)$.
    $\quad$
  2. Un coureur est choisi au hasard parmi les coureurs qui ont mis entre $210$ minutes et $270$ minutes pour finir le marathon.
    Calculer la probabilité que ce coureur ait terminé la course en moins de $240$ minutes.
    $\quad$
  3. a. Calculer $P (T \pp 300)$.
    $\quad$
    b. Par la méthode de votre choix, estimer la valeur du nombre réel $t$, arrondi à l’unité, vérifiant $P(T \pg t) = 0,9$.
    $\quad$
    c. Interpréter le résultat obtenu dans le cadre de l’exercice.
    $\quad$

Exercice 3    5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité, candidats L

Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 150$ et pour tout entier naturel $n$ $u_{n+1} = 0,8 u_n + 45$.

  1. Calculer $u_1$ et $u_2$.
    $\quad$
  2. Voici deux propositions d’algorithmes :

    a. Un seul de ces algorithmes permet de calculer puis d’afficher le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n \pg 220$.
    Préciser lequel en justifiant pourquoi l’autre algorithme ne le permet pas.
    $\quad$
    b. Quelle est la valeur numérique affichée par l’algorithme choisi à la question précédente ?
    $\quad$
  3. On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $v_n = u_n-225$.
    a. Démontrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique et préciser son premier terme et sa raison.
    $\quad$
    b. En déduire que pour tout entier naturel $n$, $u_n = 225-75 \times 0,8^n$.
    $\quad$
  4. Une petite ville de province organise chaque année une course à pied dans les rues de son centre. En 2015, le nombre de participants à cette course était de $150$.
    On fait l’hypothèse que d’une année sur l’autre :
    $\bullet$ $20\%$ des participants ne reviennent pas l’année suivante ;
    $\bullet$ $45$ nouveaux participants s’inscrivent à la course.
    La petite taille des ruelles du centre historique de la ville oblige les organisateurs à limiter le nombre de participants à $250$.
    Vont-ils devoir refuser des inscriptions dans les années à venir ? Justifier la réponse.
    $\quad$

Exercice 3    5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Alexis part en voyage dans l’Est des Etats-Unis. Il souhaite visiter les villes suivantes :

Atlanta (A), Boston (B), Chicago (C), Miami (M), New York (N) et Washington (W).

Une compagnie aérienne propose les liaisons suivantes représentées par le graphe ci-dessous :

 

Les nombres présents sur chacune des branches indiquent le tarif, en dollars, du vol en avion.

  1. a. Quelles caractéristiques du graphe permettent d’affirmer qu’il existe un trajet qui permet à Alexis d’emprunter chaque liaison aérienne une et une seule fois ?
    $\quad$
    b. Donner un exemple d’un tel trajet.
    $\quad$
  2. Alexis veut relier Boston à Miami.
    En utilisant un algorithme, déterminer le trajet le moins cher ainsi que le coût de ce trajet.
    $\quad$
  3. a. Donner la matrice d’adjacence $P$ de ce graphe en classant les sommets par ordre alphabétique.
    $\quad$
    b. Alexis souhaite aller d’Atlanta à Boston en utilisant au maximum trois liaisons aériennes.
    Combien y a-t-il de trajets possibles ? Justifier la démarche puis décrire chacun de ces trajets.
    $\quad$

Exercice 4    6 points

Commun à tous les candidats

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

Partie A

Dans cette partie, les réponses seront données sans justification, avec la précision permise par le graphique situé en annexe.
Celui-ci présente dans un repère d’origine $O$ la courbe représentative $\mathscr{C}$ d’une fonction $f$ définie et dérivable sur l’intervalle $[0;7]$.

  1. Encadrer par deux entiers consécutifs chacune des solutions de l’équation $f(x) = 10$ sur l’intervalle $[0;7]$.
    $\quad$
  2. Donner le maximum de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;7]$ et préciser la valeur en laquelle il est atteint.
    $\quad$
  3. La valeur de l’intégrale $\displaystyle\int_1^3 f(x)\dx$ appartient à un seul des intervalles suivants. Lequel ?
    a. $[9;17]$
    b. $[18;26]$
    c. $[27;35]$
    $\quad$

Partie B

La courbe donnée en annexe est la représentation graphique de la fonction $f$ définie et dérivable sur l’intervalle $[0;7]$ d’expression: $$f(x) = 2x\e^{-x+3}$$

On rappelle que $f’$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$.

  1. Montrer que pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0;7]$, $f'(x) = (-2x+2)\e^{-x+3}$.
    $\quad$
  2. a. Étudier le signe de $f'(x)$ sur l’intervalle $[0;7]$ puis en déduire le tableau de variation de la fonction $f$ sur ce même intervalle.
    $\quad$
    b. Calculer le maximum de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;7]$.
    $\quad$
  3. a. Justifier que l’équation $f(x) = 10$ admet deux solutions sur l’intervalle $[0;7]$ que l’on notera $\alpha$ et $\beta$ avec $\alpha < \beta$.
    $\quad$
    b. On admet que $\alpha \approx 0,36$ à $10^{-2}$ près.
    Donner une valeur approchée de $\beta$ à $10^{-2}$ près.
    $\quad$
  4. On considère la fonction $F$ définie sur l’intervalle $[0;7]$ par: $$F(x) = (-2x-2)\e^{-x+3}$$
    a. Justifier que $F$ est une primitive de $f$ sur l’intervalle $[0;7]$.
    $\quad$
    b. Calculer la valeur exacte de l’aire, en unités d’aire, du domaine plan délimité par les droites d’équation $x = 1$, $x = 3$, l’axe des abscisses et la courbe $\mathscr{C}$.
    $\quad$
  5. La fonction $f$ étudiée modélise le bénéfice d’une entreprise, en milliers d’euros, réalisé pour la vente de $x$ centaines d’objets ($x$ compris entre $0$ et $7$).
    a. Calculer la valeur moyenne du bénéfice, à l’euro près, lorsque l’entreprise vend entre $100$ et $300$ objets.
    $\quad$
    b. L’entreprise souhaite que son bénéfice soit supérieur à $10~000$ euros.
    Déterminer le nombre d’objets possibles que l’entreprise devra vendre pour atteindre son objectif.
    $\quad$

Annexe (n’est pas à rendre avec la copie)

CE 2017

Exercice 1    4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte.

Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

  1. Une variable aléatoire $X$ suit une loi uniforme sur l’intervalle $[1;9]$, alors:
    a. $p(1 < X < 9) = \dfrac{1}{8}$
    b. $p(5 < X < 9) = \dfrac{1}{2}$
    c. $p(1 < X < 3) = \dfrac{3}{8}$
    d. $p(1 < X < 2) = \dfrac{1}{2}$
    $\quad$
  2. Une enquête sanitaire a pour objectif d’estimer la proportion de personnes qui respectent le calendrier de vaccinations préconisé par le Haut Conseil de la Santé Publique. Pour obtenir un intervalle de confiance d’amplitude $0,01$ au niveau de confiance $0,95$ de cette proportion, il faut interroger :
    a. $200$ personnes
    b. $400$ personnes
    c. $10~000$ personnes
    d. $40~000$ personnes
    $\quad$
  3. La solution de l’équation $x^{23} = 92$ est égale à :
    a. $4$
    b. $1,2$
    c. $\e^{\frac{\ln(92)}{23}}$
    d. $\e^{\frac{\ln(23)}{92}}$
    $\quad$
  4. On considère la fonction $g$ définie sur l’intervalle $[-10;10]$ dont le tableau de variation est donné ci-dessous:

    On note $I = \displaystyle\int_{-5}^3 g(x)\dx$. On peut affirmer que :
    a. $-5 \pp I \pp 3$
    b. $2 \pp I \pp 4$
    c. $16 \pp I \pp 32$
    d. $4\pp I \pp 8$
    $\quad$

Exercice 2    6 points

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[-20;20]$ par $f(x) = (-2x+30)\e^{0,2x-3}$.

  1. a. Montrer que $f’ (x) = (-0,4x+4)\e^{0,2x-3}$ pour tout réel $x$ de l’intervalle $[- 20;20]$.
    $\quad$
    b. Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $[- 20; 20]$ .
    On précisera la valeur exacte du maximum de $f$.
    $\quad$
  2. a. Montrer que, sur l’intervalle $[-20;20]$, l’équation $f(x) = – 2$ admet une unique solution $\alpha$.
    $\quad$
    b. Donner un encadrement de $\alpha$ d’amplitude $0,1$.
    $\quad$
  3. Un logiciel de calcul formel donne les résultats ci-dessous:
    $\begin{array}{|c|lr|}
    \hline
    1 &\text{Dériver } (-10x+200)\e^{0,2x-3}&\\
    & &(-2x+30)\e^{0,2x-3}\\
    \hline
    2 &\text{Dériver } (-2x+30)\e^{0,2x-3}&\\
    & &(-0,4x+4)\e^{0,2x-3}\\
    \hline
    3 &\text{Dériver } (-0,4x+4)\e^{0,2x-3}&\\
    & &(-0,08x+0,4)\e^{0,2x-3}\\
    \hline
    \end{array}$
    Répondre aux deux questions suivantes en utilisant les résultats donnés par le logiciel:
    a. Calculer la valeur exacte de $\displaystyle\int_{10}^{15} f(x)\dx$.
    $\quad$
    b. Déterminer le plus grand intervalle sur lequel la fonction $f$ est convexe et préciser l’abscisse du point d’inflexion.
    $\quad$

Partie B

Une station de ski souhaite ouvrir une nouvelle piste au public. Le relief de cette piste est modélisé ci-dessous par la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ définie dans la partie A sur l’intervalle $[0;10]$. Le point $B$ représente le départ de la nouvelle piste et le point $A$ représente la station de ski où se trouve l’arrivée.

 


Le réel $x$ représente la distance horizontale, exprimée en km, depuis la station de ski et $f(x)$ représente l’altitude, exprimée en km.

On appelle pente de la piste au point $M$, le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $M$. Par exemple, une pente de $15\%$ en un point de la piste correspond à un coefficient directeur de $\dfrac{15}{100} = 0,15$.

  1. On appelle dénivelé d’une piste de ski, la différence d’altitude entre le point de départ et le point d’arrivée de cette piste. Calculer le dénivelé de cette nouvelle piste. On arrondira le résultat au mètre.
    $\quad$
  2. La station de ski doit déterminer la difficulté de cette nouvelle piste en fonction de la pente.
    $\bullet$ La piste sera classée noire, c’est-à-dire très difficile, si au moins une portion de la piste a une pente supérieure ou égale à $40\%$.
    $\bullet$ La piste sera classée rouge, c’est-à-dire difficile, si au moins une portion de la piste a une pente strictement comprise entre $25\%$ et $40\%$ (et aucune portion avec une pente supérieure ou égale à $40\%$).
    $\bullet$ Si toutes les portions de la piste ont une pente inférieure ou égale à $25\%$ alors la piste sera classée bleue, c’est-à-dire facile.
    Déterminer le niveau de difficulté de cette nouvelle piste. Justifier la réponse.
    $\quad$

Exercice 3    5 points

Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L

La renouée du Japon est une plante à croissance très rapide et très invasive.
Un jardinier souhaite faire disparaître de son terrain cette espèce qui occupe une superficie de $120$ m$^2$ au 1$^{\text{er}}$ janvier 2017. Pour cela, chaque année au printemps, il procède à un arrachage qui permet de réduire de $10\%$ la superficie de terrain envahi l’année précédente. Cependant, cette espèce de plante ayant une puissance de dissémination très importante, de nouvelles pousses apparaissent chaque été et envahissent une nouvelle parcelle de terrain d’une superficie de $4$ m$^2$.

  1. Déterminer la superficie de terrain envahi par cette plante au 1$^{\text{er}}$ janvier 2018.

On modélise la situation par une suite $\left(u_n\right)$ où $u_n$ représente la superficie de terrain en m$^2$ envahi par la Renouée du Japon au 1$^{\text{er}}$ janvier de l’année $2017 + n$.
La suite $\left(u_n\right)$ est donc définie par $u_0 = 120$ et, pour tout entier naturel $n$, par $u_{n + 1} = 0,9u_n+4$.

  1. Le jardinier souhaite connaître l’année à partir de laquelle il aura réduit au moins de moitié la superficie de terrain envahi par rapport au 1$^{\text{er}}$ janvier de l’année 2017.
    Recopier et compléter les lignes $\text{L}1$, $\text{L}3$, $\text{L}4$ et $\text{L}7$ de l’algorithme suivant afin qu’il détermine l’année souhaitée.
    On ne demande pas de faire fonctionner l’ algorithme.
    $\begin{array}{|ll|}
    \hline
    \text{L}1&U \text{ prend la valeur } \ldots\\
    \text{L}2 &N\text{ prend la valeur } 0 \\
    \text{L}3 &\text{Tant que } \ldots\ldots\ldots\\
    \text{L}4 & \quad U \text{ prend la valeur }\ldots\ldots\ldots\\
    \text{L}5 &\quad N \text{ prend la valeur } N+1\\
    \text{L}6 &\text{Fin tant que} \\
    \text{L}7 &\text{Afficher } \ldots\ldots\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
  2. On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = u_n-40$.
    a. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $q=0,9$ et préciser le premier terme.
    $\quad$
    b. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$.
    $\quad$
    c. Justifier que $u_n = 80 \times 0,9^n+40$ pour tout entier naturel $n$.
    $\quad$
  3. a. Résoudre dans l’ensemble des entiers naturels l’inéquation $80\times 0,9^n+40 \pp 60$.
    $\quad$
    b. En déduire l’année à partir de laquelle la superficie envahie par la plante sera réduite au moins de moitié par rapport au 1$^{\text{er}}$ janvier de l’année 2017 .
    $\quad$
  4. Le jardinier arrivera-t-il à faire disparaître complètement la plante de son terrain ? Justifier la réponse.
    $\quad$

Exercice 3    5 points

Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Un parti politique organise une élection en son sein pour désigner son candidat à l’élection présidentielle. Seuls les adhérents de ce parti peuvent voter à cette élection et ils ont le choix entre deux candidats A et B.
Pendant la campagne électorale, certains adhérents indécis changent d’avis.
Un institut de sondage consulte chaque mois le même échantillon d’adhérents et recueille leurs intentions de vote.
Il observe que l’évolution de l’état de l’opinion peut être modélisée de la façon suivante.
Chaque mois :

  • $5\%$ des adhérents ayant déclaré vouloir voter pour le candidat A le mois précédent changent d’avis et déclarent vouloir voter pour le candidat B.
  • $3\%$ des adhérents ayant déclaré vouloir voter pour le candidat B le mois précédent déclarent vouloir voter pour le candidat A.

Au début de la campagne électorale, $65\%$ des adhérents déclarent vouloir voter pour le candidat A. On représente ce modèle par un graphe probabiliste $(\mathcal{G})$ de sommets $A$ et $B$ où :

  • $A$ est l’événement : “l’adhérent déclare vouloir voter pour le candidat A” ;
  • $B$ est l’événement : “l’adhérent déclare vouloir voter pour le candidat B”.

Dans la suite de l’exercice, on note:

  • $a_n$ la probabilité qu’un adhérent déclare vouloir voter pour le candidat A, le $n$-ième mois après le début de la campagne. On a donc $a_0 = 0,65$ .
  • $b_n$ la probabilité qu’un adhérent déclare vouloir voter pour le candidat B, le $n$-ième mois après le début de la campagne.

On note $P_n = \begin{pmatrix}a_n& b_n \end{pmatrix}$ l’état probabiliste correspondant aux intentions de vote le $n$-ième mois après le début de la campagne. On a donc $P_0 = \begin{pmatrix}0,65& 0,35\end{pmatrix}$.

  1. a. Dessiner le graphe probabiliste $(\mathcal{G})$ de sommets A et B.
    $\quad$
    b. Écrire la matrice de transition $M$ associée à ce graphe en prenant les sommets dans l’ordre alphabétique.
    $\quad$
  2. Démontrer que $P_1 = \begin{pmatrix}0,628& 0,372\end{pmatrix}$.
    $\quad$
  3. On note $P = \begin{pmatrix}a& b\end{pmatrix}$ l’état stable associé à ce graphe.
    a. Démontrer que les nombres $a$ et $b$ sont solutions du système $\begin{cases} 0,05a-0,03b = 0\\a + b=1\end{cases}$.
    $\quad$
    b. Résoudre le système précédent.
    $\quad$
    c. Interpréter dans le contexte de l’exercice la solution obtenue à la question 3b.
    $\quad$
  4. a. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $a_{n+ 1} = 0,92a_n + 0,03$.
    $\quad$
    b. On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = a_n-0,375$.
    Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $q = 0,92$ et préciser le premier terme.
    $\quad$
    c. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$ et en déduire que : $a_n = 0,275 \times 0,92^n+0,375$.
    $\quad$
  5. La campagne électorale dure $11$ mois. Si la modélisation de l’institut de sondage est valable, quel candidat sera probablement élu ? Justifier la réponse.
    $\quad$

Exercice 4    5 points

Une base nautique propose la location de différentes embarcations pour visiter les gorges du Verdon. Les touristes peuvent louer des kayaks, des pédalos ou des bateaux électriques, pour une durée de $1$ heure ou $2$ heures.

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

Une étude statistique met en évidence que :

  • $40\%$ des embarcations louées sont des pédalos ;
  • $35\%$ des embarcations louées sont des kayaks ;
  • les autres embarcations louées sont des bateaux électriques ;
  • $60\%$ des pédalos sont loués pour une durée de $1$ heure ;
  • $70\%$ des kayaks sont loués pour une durée de $1$ heure ;
  • la moitié des bateaux électriques sont loués pour une durée de $1$ heure.
    $\quad$

On interroge au hasard un touriste qui vient pour louer une embarcation.

On note $A$, $B$, $C$, $D$ et $E$ les événements suivants :

  • $A$ : “l’embarcation louée est un pédalo” ;
  • $B$ : “l’embarcation louée est un kayak” ;
  • $C$ : ” l’embarcation louée est un bateau électrique” ;
  • $D$ : “l’embarcation est louée pour une durée de $1$ heure” ;
  • $E$ : “l’embarcation est louée pour une durée de $2$ heures”.
  1. Traduire la situation par un arbre pondéré.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité $p(A \cap E)$.
    $\quad$
  3. Montrer que la probabilité que l’embarcation soit louée pour une durée de $2$ heures est égale à $0,39$.
    $\quad$
  4. Sachant que l’embarcation a été louée pendant $2$ heures, quelle est la probabilité que ce soit un bateau électrique ? Arrondir le résultat au centième.
    $\quad$
  5. La base nautique pratique les tarifs suivants :
    $\begin{array}{|l|c|c|}
    \hline
    &1 \text{ heure} &2 \text{ heures} \\
    \hline
    \text{Pédalo} &15 € &25 €\\
    \hline
    \text{Kayak} &10 € &16 € \\
    \hline
    \text{Bateau électrique} &35 € & 60 €\\
    \hline
    \end{array}$
    En moyenne, $200$ embarcations sont louées par jour. Déterminer la recette journalière que peut espérer la base nautique.
    $\quad$

Partie B

Dans cette partie les résultats seront arrondis au millième.

Les bateaux électriques sont équipés d’une batterie d’une autonomie moyenne de $500$ minutes.
Les batteries des bateaux sont rechargées uniquement à la fin de chaque journée d’utilisation.
On note $X$ la variable aléatoire correspondant à la durée de fonctionnement de la batterie d’un bateau, exprimée en minutes. On admet que $X$ suit la loi normale d’espérance $\mu = 500$ et d’écart-type $\sigma = 10$.

  1. À l’aide de la calculatrice, calculer $p(490 < X < 520)$.
    $\quad$
  2. Chaque jour, les bateaux sont utilisés pendant une durée de $8$ heures sans être rechargés.
    Déterminer la probabilité que la batterie d’un bateau soit déchargée avant la fin de la journée.
    $\quad$
  3. Déterminer l’entier $a$ tel que $p(X < a) \approx 0,01$. Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

Bac ES/L – Amérique du Nord – Mai 2019

Amérique du Nord – Mai 2019

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

La correction de ce sujet de bac sera mise en ligne dès que le sujet sera disponible.
Il est important de s’entraîner sur les sujets de l’année pour bien préparer sa propre épreuve. On se fait ainsi une idée des tendances de l’année.
L’intégralité des sujets corrigés cette année et les années précédentes se trouve ici.

Les sujets tombés  les années précédentes sont dans les onglets situés en dessous. Pour les corrections, il suffit de suivre ces liens :

Année 2018

Exercice 1     4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l’absence de réponse à une question ne rapportent ni
n’enlèvent de point. Pour répondre, vous recopierez sur votre copie le numéro de la question et indiquerez la seule réponse choisie.

  1. Un pépiniériste cultive des bulbes de fleurs. La probabilité qu’un bulbe germe, c’est-à-dire qu’il donne naissance à une plante qui fleurit, est de $0,85$.
    Il prélève au hasard $20$ bulbes du lot. La production est assez grande pour que l’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de $20$ bulbes.
    On peut affirmer que :
    a. La probabilité qu’au maximum $15$ bulbes germent est proche de $0,103$
    b. La probabilité qu’au maximum $15$ bulbes germent est proche de $0,067$
    c. La probabilité qu’au minimum $15$ bulbes germent est proche de $0,830$
    d. La probabilité qu’au minimum $15$ bulbes germent est proche de $0,933$
    $\quad$
  2. On considère une fonction $f$ définie sur $[0;8]$ dont $\mathcal{C}_f$ est la courbe représentative dessinée ci-dessous :

    a. $\ds 8\pp \int_2^4 f(x)\dx \pp 9$
    b. $\ds 9\pp \int_2^4 f(x)\dx \pp 10$
    c. $\ds \int_2^4 f(x)\dx =f(4)-f(2)$
    d. $\ds \int_2^4 f(x)\dx =9$
    $\quad$
  3. On considère la fonction $g$ définie sur $]0;+\infty[$ par $g(x)=\ln(x)$.
    Une primitive de $g$ sur $]0;+\infty[$ est la fonction $G$ définie par :
    a. $G(x)=\ln(x)$
    b. $G(x)=x\ln(x)$
    c. $G(x)=x\ln(x)-x$
    d. $G(x)=\dfrac{1}{x}$
    $\quad$
  4. L’ensemble des solutions de l’inéquation $\ln(x)>0$ est :
    a. $]0;+\infty[$
    b. $]0;1[$
    c. $]1;+\infty[$
    d. $]\e;+\infty[$
    $\quad$

Exercice 2     5 points

Tous les résultats demandés dans cet exercice seront arrondis au millième.

Les parties A, B et C sont indépendantes.

Le site internet « ledislight.com » spécialisé dans la vente de matériel lumineux vend deux sortes de rubans LED flexibles : un premier modèle dit d’« intérieur » et un deuxième modèle dit d’« extérieur ». Le site internet dispose d’un grand stock de ces
rubans LED.

Partie A

  1. Le fournisseur affirme que, parmi les rubans LED d’extérieur expédiés au site internet, $5\%$ sont défectueux. Le responsable du site internet désire vérifier la validité de cette affirmation. Dans son stock, il prélève au hasard $400$ rubans LED d’extérieur parmi lesquels $25$ sont défectueux.
    $\quad$
    Ce contrôle remet-il en cause l’affirmation du fournisseur?
    $\quad$
    Rappel : Lorsque la proportion ” d’un caractère dans la population est connue, l’intervalle $I$ de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ d’une fréquence
    d’apparition de ce caractère obtenue sur un échantillon de taille
     $n$ est donnée par :  $$I=\left[p-1,96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}};p+1,96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\right]$$
    $\quad$
  2. Le fournisseur n’a donné aucune information concernant la fiabilité des rubans LED d’intérieur. Le directeur du site souhaite estimer la proportion de rubans LED d’intérieur défectueux. Pour cela, il prélève un échantillon aléatoire de
    $400$ rubans d’intérieur, parmi lesquels $38$ sont défectueux.
    Donner un intervalle de confiance de cette proportion au seuil de confiance de $95\%$.
    $\quad$

Partie B

À partir d’une étude statistique réalisée sur de nombreux mois, on peut modéliser le nombre de rubans LED d’intérieur vendus chaque mois par le site à l’aide d’une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale de moyenne $\mu = 2~500$ et d’écart-type $\sigma= 400$.

  1. Quelle est la probabilité que le site internet vende entre $2~100$ et $2~900$ rubans LED d’intérieur en un mois?
    $\quad$
  2. a. Trouver, arrondie à l’entier, la valeur de $a$ tel que $P(X\pp a)=0,95$.
    $\quad$
    b. Interpréter la valeur de $a$ obtenue ci-dessus en termes de probabilité de rupture de stock.
    $\quad$

Partie C

On admet maintenant que :

  • $20\%$ des rubans LED proposés à la vente sont d’extérieur ;
  • $5\%$ des rubans LED d’extérieur sont défectueux.

On prélève au hasard un ruban LED dans le stock.

On appelle :

  • $E$ l’événement : « le ruban LED est d’extérieur » ;
  • $D$ l’événement : « le ruban LED est défectueux ».
  1. Représenter la situation à l’aide d’un arbre pondéré, que l’on complétera au fur et à mesure.
    $\quad$
  2. Déterminer la probabilité que le ruban LED soit d’extérieur et défectueux.
    $\quad$
  3. D’autre part on sait que $6\%$ de tous les rubans LED sont défectueux. Calculer puis interpréter $P_{\conj{E}}(D)$.
    $\quad$

Exercice 3     5 points

Candidats de ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de L

Une société propose des contrats annuels d’entretien de photocopieurs. Le directeur de cette société remarque que, chaque année, $14\%$ de contrats supplémentaires sont souscrits et $7$ contrats sont résiliés.

En 2017, l’entreprise dénombrait $120$ contrats souscrits.

On modélise la situation par une suite $\left(u_n\right)$ où $u_n$ est le nombre de contrats souscrits l’année 2017 $+n$.

Ainsi, on a $u_0= 120$.

  1. a. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}=1,14u_n-7$.
    $\quad$
    b. Estimer le nombre de contrats d’entretien en 2018.
    $\quad$
  2. Compte tenu de ses capacités structurelles actuelles, l’entreprise ne peut prendre en charge qu’un maximum de $190$ contrats. Au-delà, l’entreprise devra embaucher davantage de personnel.
    On cherche donc à savoir en quelle année, l’entreprise devra embaucher.
    Pour cela, on utilise l’algorithme suivant : $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    n\leftarrow 0\\
    u\leftarrow 120\\
    \text{Tant que }\ldots\ldots\ldots\\
    \hspace{1cm} n\leftarrow n+1\\
    \hspace{1cm} \ldots\ldots\ldots\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \text{Afficher }2017+n\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    a. Recopier et compléter l’algorithme ci-dessus.
    $\quad$
    b. Quelle est l’année affichée en sortie de l’algorithme? Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  3. On définit la suite $\left(v_n\right)$ par $v_n=u_n-50$ pour tout entier naturel $n$.
    a. Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est un suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme $v_0$.
    $\quad$
    b. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$ puis démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $$u_n=70\times 1,14^n+50$$
    $\quad$
    c. résoudre par le calcul l’inéquation $u_n>190$.
    Quel résultat de la question 2. retrouve-t-on?
    $\quad$

Exercice 3     5 points

Candidats de ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Deux entreprises concurrentes « Alphacopy » et « Bêtacopy » proposent des contrats annuels d’entretien de photocopieurs. Ces deux entreprises se partagent le marché des contrats d’entretien sur un secteur donné.

Le patron de Alphacopy remarque que, chaque année :

  • $15\%$ des clients qui avaient souscrit un contrat d’entretien chez Alphacopy décident de souscrire un contrat d’entretien chez Bêtacopy. Les autres restent fidèles à Alphacopy.
  • $25\%$ des clients qui avaient souscrit un contrat d’entretien chez Bêtacopy décident de souscrire un contrat d’entretien chez Alphacopy. Les autres restent fidèles à Bêtacopy.

On définit les événements suivants :

  • $A$ : « le client est sous contrat avec l’entreprise Alphacopy » ;
  • $B$ : « le client est sous contrat avec l’entreprise Bêtacopy ».

À partir de 2017, on choisit au hasard un client ayant un contrat d’entretien de photocopieurs et on note, pour tout entier naturel $n$ :

  • $a_n$ la probabilité que le client soit sous contrat avec l’entreprise Alphacopy l’année 2017 $+n$ ;
  • $b_n$ la probabilité que le client soit sous contrat avec l’entreprise Bêtacopy l’année 2017 $+n$.

On note $P_n=\begin{pmatrix}a_n&b_n\end{pmatrix}$ la matrice ligne de l’état probabiliste pour l’année 2017$+n$.

L’objectif de l’entreprise Alphacopy est d’obtenir au moins 62 % des contrats d’entretien de photocopieurs.

Partie A

  1. Représenter le graphe probabiliste de cette situation et donner la matrice de transition $M$ associée au graphe dont les sommets sont pris dans l’ordre alphabétique.
    $\quad$
  2. Montrer que $P=\begin{pmatrix}0,625&0,375\end{pmatrix}$ est un état stable de la matrice.
    $\quad$
  3. À votre avis, l’entreprise Alphacopy peut-elle espérer atteindre son objectif ?
    $\quad$

Partie B

En 2017, on sait que $46 \%$ des clients ayant un contrat d’entretien de photocopieurs étaient sous contrat avec l’entreprise Alphacopy.
On a ainsi $P_0=\begin{pmatrix}0,46&0,54\end{pmatrix}$.

  1. On rappelle que pour tout entier naturel $n$, $P_{n+1}=P_n\times M$.
    Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $a_{n+1}=0,85a_n+0,25b_n$ puis que $$a_{n+1}=0,60a_n+0,25$$
  2. À l’aide de l’algorithme ci-dessous, on cherche à déterminer en quelle année l’entreprise Alphacopy atteindra son objectif.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    n\leftarrow 0\\
    a\leftarrow 0,46\\
    \text{Tant que } \ldots\ldots\ldots\\
    \hspace{1cm} n\leftarrow n+1\\
    \hspace{1cm} \ldots\ldots\ldots\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \text{Afficher }2017+n\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    a. Recopier et compléter l’algorithme ci-dessus.
    $\quad$
    b. Quelle est l’année affichée en sortie de l’algorithme ? Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  3. On définit la quite $\left(u_n\right)$ par $u_n=a_n-0,625$ pour tout entier naturel $n$.
    a. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme $u_0$.
    $\quad$
    b. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ puis démontrer que, pour tout entier $n$, $$a_n=-0,165\times 0,60^n+0,625$$
    $\quad$
    c. Résoudre par le calcul l’inéquation $a_n\pg 0,62$.
    Quel résultat de la question 2. retrouve-t-on?
    $\quad$

Exercice 4     6 points

On appelle fonction « satisfaction » toute fonction dérivable qui prend ses valeurs entre $0$ et $100$. Lorsque la fonction « satisfaction » atteint la valeur $100$, on dit qu’il y a « saturation ».

On définit aussi la fonction « envie » comme la fonction dérivée de la fonction « satisfaction ». On dira qu’il y a « souhait » lorsque la fonction « envie » est positive ou nulle et qu’il y a « rejet » lorsque la fonction « envie » est strictement négative.

Dans chaque partie, on teste un modèle de fonction « satisfaction » différent.
Les parties A, B et C sont indépendantes.

Partie A

Un étudiant prépare un concours, pour lequel sa durée de travail varie entre $0$ et $6$ heures par jour. Il modélise sa satisfaction en fonction de son temps de travail quotidien par la fonction « satisfaction » $f$ dont la courbe représentative est donnée ci-dessous ( est exprimé en heure).

 

Par lecture graphique, répondre aux questions suivantes.

  1. Lire la durée de travail quotidien menant à « saturation ».
    $\quad$
  2. Déterminer à partir de quelle durée de travail il y a « rejet ».
    $\quad$

Partie B

Le directeur d’une agence de trekking modélise la satisfaction de ses clients en fonction de la durée de leur séjour. On admet que la fonction « satisfaction » $g$ est définie sur l’intervalle $[0; 30]$ par $g(x)=12,5x\e^{-0,125x+1}$ ($x$ est exprimé en jour).

  1. Démontrer que, pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0;30]$, $$g'(x)=(12,5-1,562~5x)\e^{-0,125x+1}$$
    $\quad$
  2. Étudier le signe de $g'(x)$ sur l’intervalle $[0;30]$ puis dresser le tableau des variations de $g$ sur cet intervalle.
    $\quad$
  3. Quelle durée de séjour correspond-elle à l’effet de « saturation » ?
    $\quad$

Partie C

La direction des ressources humaines d’une entreprise modélise la satisfaction d’un salarié en fonction du salaire annuel qu’il perçoit. On admet que la fonction «satisfaction » $h$, est définie sur l’intervalle $[10; 50]$ par $$h(x)=\dfrac{90}{1+\e^{-0,25x+6}}$$
($x$ est exprimé en millier d’euros).
La courbe $mathscr{C}_h$ de la fonction $h$ est représentée ci-dessous :

Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants :

$$\begin{array}{|c|l|}
\hline
&\text{Dériver(90/(1 + exp(-0.25 * x + 6)))}\\
1&\\
&\hspace{3cm}\dfrac{22,5\e^{-0,25x+6}}{\left(1+\e^{-0,25x+6}\right)^2}\\
\hline
&\text{Dériver(22.5 * exp(-0.25 * x + 6)/(1 + exp(-0.25 * x + 6))$^2$)}\\
2&\\
&\hspace{3cm} \dfrac{5,625\e^{-0,25x+6}\left(\e^{-0,25x+6}-1\right)}{\left(1+\e^{-0,25x+6}\right)^3}\\
\hline
\end{array}$$

  1. Donner sans justification une expression de $h\dsec(x)$.
    $\quad$
  2. Résoudre dans l’intervalle $[10;50]$ l’inéquation $\e^{-0,25x+6}-1>0$.
    $\quad$
  3. Étudier la convexité de la fonction $h$ sur l’intervalle $[10; 50]$.
    $\quad$
  4. À partir de quel salaire annuel peut-on estimer que la fonction « envie » décroît ? Justifier.
    $\quad$
  5. Déterminer, en le justifiant, pour quel salaire annuel la fonction « satisfaction » atteint $80$. Arrondir au millier d’euros.
    $\quad$

 

Année 2017

Exercice 1    4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est demandée.
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante.

  1. Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x) = x \ln (x)-x$. On note $f’$ sa fonction dérivée.
    On a alors :
    a. $f'(x) = 0$
    b. $f'(x) = \ln (x)$
    c. $f'(x) = \dfrac{1}{x}- 1$
    d. $f'(x) = \dfrac{1}{x}-x$
    $\quad$
  2. Les entiers naturels $n$ vérifiant l’inéquation $6 \times 0,95^n-1 \pp 2$ appartiennent à l’intervalle :
    a. $\left]-\infty;\dfrac{\ln 3}{\ln (5,7)}\right]$
    b. $\left]-\infty;\ln \left(\frac{0,5}{0,95}\right)\right]$
    c. $\left]-\infty;\dfrac{\ln (0,5)}{\ln (0,95)}\right]$
    d. $\left[\dfrac{\ln (0,5)}{\ln (0,95)};+ \infty\right[$
    $\quad$
  3. Une entreprise fabrique des tubes métalliques de longueur $2$ m.
    Un tube métallique est considéré comme étant dans la norme si sa longueur est comprise entre $1,98$ m et $2,02$ m. On prélève au hasard un échantillon de $1~000$ tubes, on observe que $954$ tubes sont dans la norme.
    L’intervalle de confiance de la fréquence des tubes dans la norme pour cette entreprise au niveau de confiance de $95\%$, avec les bornes arrondies à $10^{-3}$, est :
    a. $[0,922;0,986]$
    b. $[0,947;0,961]$
    c. $[1,98;2,02]$
    d. $[0,953;0,955]$
    $\quad$
  4. Pour un archer, la probabilité d’atteindre la cible est de $0,8$. Les tirs sont supposés indépendants.
    Quelle est la probabilité qu’il touche $3$ fois la cible sur une série de $6$ tirs ?
    a. $0,512$
    b. $2,4$
    c. $0,262~144$
    d. $0,081~92$
    $\quad$

Exercice 2    5 points

Une grande université, en pleine croissance d’effectifs, accueillait $27~500$ étudiants en septembre 2016.
Le président de l’université est inquiet car il sait que, malgré une gestion optimale des locaux et une répartition des étudiants sur les divers sites de son université, il ne pourra pas accueillir plus de $33~000$ étudiants.
Une étude statistique lui permet d’élaborer un modèle de prévisions selon lequel, chaque année :

  • $150$ étudiants démissionnent en cours d’année universitaire (entre le 1$^{\text{er}}$ septembre et le 30 juin) ;
  • les effectifs constatés à la rentrée de septembre connaissent une augmentation de $4\%$ par rapport à ceux du mois de juin qui précède.

Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ le nombre d’étudiants estimé selon ce modèle à la rentrée de septembre $2016+n$, on a donc $u_0 = 27~500$.

  1. a. Estimer le nombre d’étudiants en juin 2017.
    $\quad$
    b. Estimer le nombre d’étudiants à la rentrée de septembre 2017.
    $\quad$
  2. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1} = 1,04u_n-156$.
    $\quad$
  3. Recopier et compléter les lignes $\text{L5}$, $\text{L6}$, $\text{L7}$ et $\text{L9}$ de l’algorithme suivant afin qu’il donne l’année à partir de laquelle le nombre d’étudiants à accueillir dépassera la capacité maximale de l’établissement.
    $\begin{array}{lll}
    \text{L1}& \textbf{Variables :} &n \text{ est un nombre entier naturel}\\
    \text{L2}& &U \text{ est un nombre réel}\\
    \text{L3}& \textbf{Traitement :}&n \text{ prend la valeur } 0\\
    \text{L4}& &U \text{ prend la valeur } 27~500\\
    \text{L5}& &\text{Tant que } U \pp \ldots\ldots \ldots \text{ faire}\\
    \text{L6}& & \quad n \text{ prend la valeur } \ldots\ldots\ldots\\
    \text{L7}& & \quad U \text{ prend la valeur } \ldots\ldots\ldots\\
    \text{L8}& &\text{Fin Tant que}\\
    \text{L9}& \textbf{Sortie:} &\text{Afficher} \ldots\ldots\ldots\\
    \end{array}$
    $\quad$
  4. a. On fait fonctionner cet algorithme pas à pas.
    Recopier le tableau suivant et le compléter en ajoutant le nombre nécessaire de colonnes; on arrondira les valeurs de $U$ à l’unité.
    $\begin{array}{|l|l|l|l|}
    \hline
    &\text{Initialisation} &\text{Étape 1} &\ldots\\
    \hline
    \text{Valeur de } n& 0 &\ldots&\\
    \hline
    \text{Valeur de } U& 27~500&\ldots&\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    b. Donner la valeur affichée en sortie de cet algorithme.
    $\quad$
  5. On cherche à calculer explicitement le terme général $u_n$ en fonction de $n$.
    Pour cela, on note $\left(v_n\right)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = u_n-3~900$.
    a. Montrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
    $\quad$
    b. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = 23~600\times 1,04^n + 3~900$.
    $\quad$
    c. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$ et en donner une interprétation dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

Exercice 3    5 points

Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L

D’après l’AFDIAG (Association Française Des Intolérants au Gluten), la maladie cœliaque, aussi appelée intolérance au gluten, est une des maladies digestives les plus fréquentes. Elle touche environ $1\%$ de la population.
On estime que seulement $20\%$ des personnes intolérantes au gluten passent le test pour être diagnostiquées.
On considère que si une personne n’est pas intolérante au gluten, elle ne passe pas le test pour être diagnostiquée.
On choisit au hasard une personne dans la population française qui compte environ $66,6$ millions d’habitants au 1$^{\text{er}}$ janvier 2016.
On considère les événements:

  • $I$ : “la personne choisie est intolérante au gluten” ;
  • $T$ : “la personne choisie passe le test pour être diagnostiquée”.

Partie A

  1. Recopier et compléter l’arbre de probabilités ci-dessous :
  2. Calculer la probabilité que la personne choisie soit intolérante au gluten et ne passe pas le test pour être diagnostiquée.
    $\quad$
  3. Montrer que $p(T) = 0,002$.
    $\quad$

Partie B

L’AFDIAG a fait une enquête et a constaté que la maladie cœliaque était diagnostiquée en moyenne 11 ans après les premiers symptômes.

On note $X$ la variable aléatoire représentant le temps en années mis pour diagnostiquer la maladie cœliaque à partir de l’apparition des premiers symptômes.
On admet que la loi de $X$ peut être assimilée à la loi normale d’espérance $\mu = 11$ et d’écart-type $\sigma = 4$.

  1. Calculer la probabilité que la maladie soit diagnostiquée entre $9$ ans et $13$ ans après les premiers symptômes. Arrondir le résultat à $10^{-3}$.
    $\quad$
  2. Calculer $p(X \pp 6)$. Arrondir le résultat à $10^{-3}$.
    $\quad$
  3. Sachant que $p(X \pp a) = 0,84$, donner la valeur de $a$ arrondie à l’unité.
    Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  4. Laquelle de ces trois courbes représente la fonction de densité de la loi normale d’espérance $\mu = 11$ et d’écart-type $\sigma = 4$ ? Justifier le choix. On pourra s’aider des réponses aux questions précédentes.

$\quad$

Exercice 3    4 points

Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Sarah, une jeune étudiante en géologie, souhaite partir en voyage en Islande avec des amis. Elle a loué une voiture tout terrain pour pouvoir visiter les lieux remarquables qu’elle a sélectionnés.
Sarah a construit le graphe ci-dessous dont les sommets représentent les lieux à visiter et les arêtes représentent les routes ou pistes:

B : Le lagon bleu.
D : Chute d’eau de Dettifoss.
G : Geyser de Geysir.
H : Rocher Hvitserkur.
J : Lagune glacière de Jökulsárlón.
L : Massif du Landmannalaugar.
M : Lac de Mývatn.
R : Capitale Reykjavik.
V: Ville de Vik.

  1. Dans cette question, chaque réponse sera justifiée.
    a. Déterminer l’ordre du graphe.
    $\quad$
    b. Déterminer si le graphe est connexe.
    $\quad$
    c. Déterminer si le graphe est complet.
    $\quad$
  2. Sarah désire emprunter toutes les routes une et une seule fois. Déterminer, en justifiant, si cela est possible.
    $\quad$
  3. On appelle $M$ la matrice associée au graphe précédent sachant que les sommets sont placés dans l’ordre alphabétique. On donne ci-dessous une partie de la matrice $M$ ainsi que la matrice $M^4$ : $$M = \begin{pmatrix}
    0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &1 &1 \\
    0 &0 &0 &0 &0 &0 &1 &0 &0 \\
    0 &0 &0 &0 &0 &1 &0 &1 &1 \\
    0 &0 &0 &0 &0 &0 &1 &1 &0 \\
    0 &0 &0 &0 &0 &0 &1 &1 &0\\
    0 &0 &1 &0 &1 &0 &1 &0 &1\\
    \ldots&\ldots&\ldots&1 &1 &1 &0 &0 &1\\
    \ldots&\ldots&\ldots&1 &0 &0 &0 &0 &0\\
    \ldots&\ldots&\ldots&0 &1 &1 &1 &0 &0
    \end{pmatrix}$$
    $$ M^4=\begin{pmatrix}
    12 &3 &16 &8 &14 &13 &15 &2 &10\\
    3 &5 &5 &6 &9 &11 &6 &3 &12\\
    16 &5 &24 &11 &23 &21 &26 &5 &20\\
    8 &6 &11 &10 &13 &14 &9 &3 &14\\
    14 &9 &23 &13 &28 &29 &29 &8 &30\\
    13 &11&21 &14 &29 &38 &32 &15 &40\\
    15 &6 &26 &9 &29 &32 &43 &14 &34\\
    2 &3 &5 &3 &8 &15 &14 &15 &21\\
    10 &12&20 &14 &30 &40 &34 &21 &49
    \end{pmatrix}$$
    a. Il manque certains coefficients de la matrice $M$. Compléter et recopier uniquement la partie manquante de cette matrice.
    $\quad$
    b. Donner, en le justifiant, le nombre de chemins de longueur $4$ permettant d’aller de B à D.
    $\quad$
  4. Sur le graphe pondéré ci-dessous, on a indiqué sur les arêtes les distances en kilomètre entre les différents lieux :

    Déterminer à l’aide de l’algorithme de Dijkstra la distance minimale permettant d’aller du sommet B (Lagon bleu) au sommet D (Chute d’eau de Dettifoss).
    Préciser alors le trajet à emprunter.
    $\quad$

Exercice 4    6 points

Soit $f$ une fonction définie sur l’intervalle $[0,7;6]$ ; on suppose que $f$ est dérivable.

Partie A: Étude graphique

On a représenté la fonction $f$ sur le graphique ci-dessous.

  1. La tangente au point d’abscisse $3$ à la courbe représentative de $f$ passe par les points $A(3;4)$ et $B(4;0)$. Déterminer $f'(3)$.
    $\quad$
  2. D’après le graphique ci-dessus, donner le tableau de signe de $f’$ sur l’intervalle $[0,7;6]$ .
    $\quad$

Partie B : Étude théorique

On admet que la fonction $f$ est définie par $f(x) = \left(x^2-2x +1\right)\e^{-2x+6}$.

  1. Montrer que $f'(x) = \left(-2x^2+6x-4\right)\e^{-2x+6}$ , où $f’$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$.
    $\quad$
  2. Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0,7;6]$ et dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0,7;6]$. On ne demande pas de calculer les ordonnées.
    $\quad$
  3. À l’aide d’un logiciel de calcul formel, on obtient les résultats ci-dessous qui pourront être utilisés sans être démontrés.
    $\begin{array}{|l|l|}
    \hline
    L1 &f'(x) := \left(- 2x\hat~ 2+6x-4\right ) * \e\hat~ (-2x+6)\\
    &\to f'(x) = \left(-2x^2+6x-4\right )\e^{-2x+6}\\
    \hline
    L2 &g(x) := \text{Dérivée}[f'(x)]\\
    &\to g(x) = -16x\e^{-2x+6}+4x^2\e^{-2x+6}+14\e^{-2x+6}\\
    \hline
    L3 & \text{Factoriser}[g(x)]\\
    &\to 2\e^{-2x+6}\left(2x^2-8x+7\right)\\
    \hline
    L4 & \text{Résoudre}[g(x) = 0]\\
    &\to \left\{x =\dfrac{-\sqrt{2}+4}{2};x =\dfrac{\sqrt{2}+4}{2}\right\}\\
    \hline
    L5 & F(x) := \text{Primitive}[f(x)]\\
    &\to F(x) = \dfrac{1}{4}\left(-2x^2+2x-1\right)\e^{-2x+6}\\
    \hline
    \end{array}$
    a. Déterminer le plus grand intervalle sur lequel la fonction $f$ est concave.
    $\quad$
    b. La courbe représentative de la fonction $f$ admet-elle des points d’inflexion ? Si oui, en donner l’abscisse.
    $\quad$
    c. On pose $I = \displaystyle\int_3^5 f(x)\dx$. Calculer la valeur exacte de $I$ puis la valeur arrondie à $10^{-1}$.
    $\quad$