Bac S – Asie – Juin 2019

Asie – Juin 2019

Bac S – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. La température du café sera toujours supérieure ou égale à celle du milieu dans lequel il est placé. Donc ici, on aura toujours $T_n\pg 10$.
    Ainsi $T_n-10\pg 0$.
    Cela signifie donc, que pour tout entier naturel $n$ on a : $T_{n+1}-T_n=-0,2\left(T_n-10\right)\pp 0$.
    On peut donc conjecturer que la suite $\left(T_n\right)$ est décroissante.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} T_{n+1}-T_n=-0,2\left(T_n-10\right) &\ssi T_{n+1}-T_n=-0,2T_n+2 \\
    &\ssi T_{n+1}=T_n-0,2T_n+2\\
    &\ssi T_{n+1}=0,8T_n+2\end{align*}$
    $\quad$
  3. a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} u_{n+1}&=T_{n+1}-10\\
    &=0,8T_n+2-10\\
    &=0,8T_n-8\\
    &=0,8\left(T_n-10\right)\\
    &=0,8u_n\end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,8$ et de premier terme $u_0=T_0-10=70$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_n=70\times 0,8^n$.
    Donc $T_n=u_n+10=70\times 0,8^n+10$.
    $\quad$
    c. On a $-1<0,8<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,8^n=0$ et $\lim\limits_{n \to +\infty}T_n=10$.
    $\quad$
  4. a. Voici les différentes valeurs prises par les variables :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \hspace{0.5cm}n\hspace{0.5cm}&\hspace{0.5cm}0\hspace{0.5cm}&\hspace{0.5cm}1\hspace{0.5cm}&\hspace{0.5cm}2\hspace{0.5cm}&\hspace{0.5cm}3\hspace{0.5cm}&\hspace{0.5cm}4\hspace{0.5cm}\\
    \hline
    T&80&66&54,8&45,84&38,672\\
    \hline
    \end{array}$$
    À la fin de l’exécution de l’algorithme la variable $n$ contient la valeur $4$.
    $\quad$
    b. Cela signifie qu’il faut $4$ minutes pour que la température du café soit inférieure à $40$ degré Celcius.
    $\quad$

Partie B

  1. a. La fonction $t\mapsto -0,2t$ est dérivable sur l’intervalle $[0;+\infty[$ et la fonction exponentielle est dérivable sur $\R$. La fonction $t\mapsto \e^{-0,2t}$ est donc dérivable sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[0;+\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables sur cet intervalle dont le dénominateur ne s’annule pas (la fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$).
    $\quad$
    Pour tout réel $t\pg 0$ on a :
    $\begin{align*} f'(t)&=\dfrac{\Theta'(t)\times \e^{-0,2t}-\Theta(t)\times \left(-0,2\e^{-0,2t}\right)}{\e^{-0,4t}}\\
    &=\dfrac{\left(\Theta'(t)+0,2\Theta(t)\right)\e^{-0,2t}}{\e^{-0,4t}}\\
    &=\dfrac{-0,2\Theta(t)+0,2\Theta(t)}{\e^{-0,2t}}\\
    &=0\end{align*}$
    $\quad$
    b. On a $f(0)=\dfrac{\Theta(0)}{\e^0}=80$.
    D’après la question 1.a. la fonction $f$ est donc constante.
    Et pour tout réel $t\pg 0$ on a $f(t)=80$.
    Cela signifie donc que : $$80=\dfrac{\Theta(t)}{\e^{-0,2t}} \ssi \Theta(t)=80\e^{-0,2t}$$
    $\quad$
    c. On considère la fonction $\Theta$ définie sur l’intervalle $[0;+\infty[$ par $\Theta(t)=80\e^{-0,2t}$.
    Ainsi $\Theta(0)=80$.
    La fonction $\Theta$ est dérivable sur l’intervalle $[0;+\infty[$ en tant que produit d’une fonction dérivable sur cet intervalle par un réel.
    De plus, pour tout réel $t \pg 0$ on a :
    $\Theta'(t)=80\times \left(-0,2\e^{-0,2t}\right)=-0,2\Theta(t)$.
    La fonction $\Theta$ est donc solution du problème.
    $\quad$
  2. D’après l’énoncé, la fonction $g$ est dérivable sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    Pour tout réel $t\pg 0$ on a $g'(t)=70\times \left(-0,2\e^{-0,2t}\right)=-14\e^{-0,2t}$.
    La fonction exponentielle étant strictement positive sur $\R$, cela signifie donc que $g'(t)<0$.
    La fonction $g$ est donc décroissante sur $[0;+\infty[$. Elle est de plus continue (car dérivable) sur cet intervalle.
    $g(0)=80$
    $\lim\limits_{t\to +\infty} -0,2t=-\infty$ et $\lim\limits_{T \to -\infty}\e^{T}=0$ donc $\lim\limits_{t\to +\infty} \e^{-0,2t}=0$ et $\lim\limits_{t\to +\infty} g(t)=10$.
    Or $40\in]10;80]$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $g(t)=40$ possède une unique solution $t_0$.
    D’après la calculatrice $t_0\approx 4,236$.
    $0,436$ min $\approx 26$ s.
    Ainsi $t_0 \approx 4$ min $26$ s.
    $\quad$

 

 

Ex 2

Exercice 2

  1. $\bullet$ On constate que les coordonnées fournies dans l’affirmation A ne vérifie par l’équation cartésienne du plan $p$.
    $\bullet$ Les vecteur $\vec{n}(3;2;9)$, normal au plan $p$, et $\vec{u}(4;-1;-1)$, vecteur directeur de la droite $d$, ne sont ni orthogonaux (produit scalaire non nul) ni colinéaires. Les affirmations B et C sont donc fausse.
    $\bullet$ $3\times (-353)+2\times 91+9\times 98-5=0$. Le point $A(-353;91;98)$ appartient au plan $p$.
    En prenant $t=-89$ (il suffit de résoudre l’équation $-t+9=98$) on constate que le point $A$ appartient également à la droite $d$.
    Affirmation D vraie
    $\quad$
  2. On obtient la figure suivante :

    Les droites $(JK)$ et $(IM)$ d’une part et $(IJ)$ et $(KL)$ d’autre part sont parallèles.
    Affirmation C
    $\quad$
  3. On a :
    $\begin{align*} AM^2&=(t+2+2)^2+(2-1)^2+(5t-6)^2 \\
    &=(t+4)^2+1+(5t-6)^2\\
    &=t^2+8t+16+1+25t^2-60t+36\\
    &=26t^2-52t+53\end{align*}$
    $a=26>0$ : le polynôme du second degré atteint donc son minimum pour $t=-\dfrac{-52}{2\times 26}=1$.
    Ce minimum vaut $27$.
    Ainsi la plus petite longueur $AM$ est égale à $\sqrt{27}$.
    Affirmation B
    $\quad$
  4. $\bullet$ $\vec{n}(1;2;-3)$ est un vecteur normal au plan $p$ et $\vec{n’}(2;-1;0)$ est un vecteur normal au plan $p’$.
    Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires. Affirmation A fausse.
    $\bullet$ Le point $B$ ne vérifie pas l’équation cartésienne du plan $p’$. Affirmation B fausse.
    $\bullet$ $\vec{n}.\vec{u}=-1\neq 0$. Aucune droite de vecteur directeur $\vec{u}$ n’est incluse dans le plan $p$.
    $\bullet$ $\vec{n}.\vec{u}=0$ et $\vec{n’}.\vec{u}=0$. De plus les coordonnées du point $D$ vérifient les deux équations cartésiennes.
    Affirmation D vraie
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. On a $P(F)=0,52$, $P(B)=0,92$ et $P_B(F)=0,55$.
    $\quad$
  2. a. On a :
    $\begin{align*}P(F\cap B)&=P_B(F)\times P(B)\\
    &=0,55\times 0,92\\
    &=0,506\end{align*}$
    $\quad$
    b. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_F(B)&=\dfrac{P(F\cap B)}{P(F)} \\
    &=\dfrac{0,506}{0,52} \\
    &\approx 0,973\end{align*}$
    La probabilité qu’une personne ait consommé des produits bio en 2017, sachant que c’est une femme, est environ égale à $0,973$.
    $\quad$
  3. On a : $P\left(\conj{B}\right)=1-P(B)=0,08$.
    De plus $P_F(B)=0,973$ donc $P_F\left(\conj{B}\right)=0,027$
    Par conséquent $P\left(F\cap \conj{B}\right)=0,027\times 0,52=0,014~04$
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} & P\left(\conj{B}\right)=P\left(H\cap \conj{B}\right)+P\left(F\cap \conj{B}\right) \\
    \ssi & 0,08=P\left(H\cap \conj{B}\right)+0,014~04\\
    \ssi & P\left(H\cap \conj{B}\right)=0,065~96\end{align*}$
    Ainsi :
    $\begin{align*} P_H\left(\conj{B}\right)&=\dfrac{P\left(H\cap \conj{B}\right)}{P(H)} \\
    &=\dfrac{0,065~96}{1-0,52}\\
    &\approx 0,137\end{align*}$
    La probabilité qu’une personne n’ait jamais consommé des produits bio en 2017, sachant que c’est un homme, est environ égale à $0,137$.
    $\quad$

Partie B

On a $n=2~000$ et $p=0,75$.
Par conséquent $n\pg 30$, $np=1~500\pg 5$ et $n(1-p)=500\pg 5$.
Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de la proportion de personne consommant des produits bio au moins une fois par mois est :

$\begin{align*} I_{2~000}&=\left[0,75-1,96\sqrt{\dfrac{0,75\times 0,25}{2~000}};0,75+1,96\sqrt{\dfrac{0,75\times 0,25}{2~000}}\right]\\
&\approx [0,731;0,769]\end{align*}$

La fréquence observée est $f=\dfrac{1~421}{2~000}=0,710~5\notin I_{2~000}$.

Au risque d’erreur de $5\%$ on peut dire que l’affirmation du chef de rayon est fausse.
$\quad$

Partie C

  1. La fonction $f$ est définie sur l’intervalle $[3;4]$. Elle est également continue sur cet intervalle en tant que quotient de fonctions continues sur $[3;4]$ dont le dénominateur ne s’annule pas.
    La fonction carré est positive sur $\R$. Par conséquent, pour tout réel $x\in[2;3]$ on a $f(x)\pg 0$.
    $\begin{align*} I&=\ds \int_3^4 f(x)\dx \\
    &=2\left[-\dfrac{1}{x-2}\right]_3^4\\
    &=2\left(-\dfrac{1}{2}+1\right)\\
    &=1\end{align*}$
    La fonction $f$ est une fonction de densité d’une loi de probabilité sut l’intervalle $[3;4]$.
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} P(3,2\pp X\pp 3,5)&=\ds \int_{3,2}^{3,5}f(x)\dx \\
    &=2\left[-\dfrac{1}{x-2}\right]_{3,2}^{3,5}\\
    &=2\left(-\dfrac{2}{3}+\dfrac{5}{6}\right)\\
    &=\dfrac{1}{3}\end{align*}$
    L’annonce est donc exacte.
    $\quad$
  3. a. La fonction $G$ est dérivable sur l’intervalle $[3;4]$ en tant que somme et quotient de fonctions dérivables sur cet intervalle dont le dénominateur ne s’annule pas.
    Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[3;4]$ on a :
    $\begin{align*} G'(x)&=\dfrac{1}{x-2}-\dfrac{1\times (x-2)-x\times 1}{(x-2)^2}\\
    &=\dfrac{1}{x-2}+\dfrac{2}{(x-2)^2} \\
    &=\dfrac{x-2+2}{(x-2)^2}\\
    &=\dfrac{x}{(x-2)^2}\\
    &=g(x)\end{align*}$
    La fonction $G$ est donc une primitive de la fonction $g$ sur l’intervalle $[3;4]$.
    $\quad$
    b. Ainsi :
    $\begin{align*} E(X)&=\int_3^4xf(x)\dx \\
    &=2\int_3^4g(x)\dx \\
    &=2\left(G(4)-G(3)\right)\\
    &=2\left(\ln(2)-2-\left(\ln(1)-3\right)\right)\\
    &=2\left(\ln(2)+1\right)\\
    &\approx 3,39\end{align*}$
    En moyenne le contenu du panier déposé par les clients a une masse d’abricots environ égale à $3,39$ kg.
    $\quad$

 

Ex 4 obl

Exercice 4

Candidats n’ayant pas suivi la spécialité mathématique

  1. a.
    $\begin{align*} &(-2\ic)^3+\left(-2\sqrt{3}+2\ic\right)\times (-2\ic)^2+\left(4-4\ic\sqrt{3}\right)\times (-2\ic)+8\ic\\
    =& 8\ic -4\left(-2\sqrt{3}+2\ic\right)-\left(8\ic+8\sqrt{3}\right)+8\ic\\
    =& 8\ic+8\sqrt{3}-8\ic-8\ic-8\sqrt{3}+8\ic\\
    =& 0\end{align*}$
    $-2\ic$ est donc une solution de l’équation $(E)$.
    $\quad$
    b. On a :
    $\begin{align*}& (z+2\ic)\left(z^2-2\sqrt{3}z+4\right)\\
    =& z^3-2\sqrt{3}z^2+4z+2\ic z^2-4\ic\sqrt{3}z+8\ic \\
    =& z^3+\left(2\ic-2\sqrt{3}\right)z^2+\left(4-4\ic\sqrt{3}\right)z+8\ic\end{align*}$
    $\quad$
    c. Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Donc $(E)\ssi z+2\ic=0$ ou $z^2-2\sqrt{3}z+4=0$
    $z+2\ic =0\ssi z=-2\ic$
    On considère maintenant l’équation $z^2-2\sqrt{3}z+4=0$
    $\Delta=\left(-2\sqrt{3}\right)^2-4\times 1\times 4=-4<0$
    Les solutions de cette équation sont donc :
    $z_1=\dfrac{2\sqrt{3}-2\ic}{2}=\sqrt{3}-\ic$ et $z_2=\conj{z_1}=\sqrt{3}+\ic$
    Ainsi les solutions de l’équation $(E)$ sont $-2\ic$, $\sqrt{3}+\ic$ et $\sqrt{3}-\ic$.
    $\quad$
    d. $-2\ic=2\e^{-\ic\pi/2}$
    $\left|\sqrt{3}+\ic\right|=2$ donc $\sqrt{3}+\ic=2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\ic}{2}\right)=2\e^{\ic\pi/6}$
    et $\sqrt{3}-\ic=2\e^{-\ic\pi/6}$
    $\quad$
  2. a. Les trois nombres complexes sont tous de module $2$.
    Par conséquent $OA=OB=OC=2$.
    Les points $A$, $B$ et $C$ appartiennent donc au cercle de centre $O$ et de rayon $2$.
    $\quad$
    b. Voir figure en fin d’exercice
    $\quad$
    c. $D$ est le milieu du segment $[OB]$.
    Ainsi $z_D=\dfrac{z_O+z_B}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\ic}{2}$.
    $\quad$
    $AODL$ est un parallélogramme
    $\ssi \vect{AL}=\vect{OD}$
    $\ssi z_L-z_A=z_D-z_O$
    $\ssi z_L=z_D+z_A$
    $\ssi z_L=\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\ic}{2}-2\ic$
    $\ssi z_L=\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{3\ic}{2}$
    $\quad$
  3. a. On note $z=x+\ic y$ et $z’=x’+\ic y’$.
    Ainsi
    $\begin{align*} z\conj{z’}&=(x+\ic y)\left(x’-\ic y’\right)\\
    &=xx’-\ic xy’+\ic yx’+yy’ \\
    &=xx’+yy’+(x’y-xy’)\ic\end{align*}$
    Par conséquent :
    $z\conj{z’}$ est un imaginaire pur
    $\ssi xx’+yy’=0$
    $\ssi \vect{u}$ et $\vect{v}$ sont orthogonaux
    $\quad$
    b. L’affixe du vecteur $\vect{OL}$ est $z=\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{3\ic}{2}$
    L’affixe du vecteur $\vect{AL}$ est $z’=\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{3\ic}{2}+2\ic=\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{3\ic}{2}+\dfrac{\ic}{2}$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} z\conj{z’}&=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{3\ic}{2}\right)\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{\ic}{2}\right) \\
    &=\dfrac{3}{4}-\dfrac{\sqrt{3}\ic}{4}-\dfrac{3\ic\sqrt{3}}{4}-\dfrac{3}{4} \\
    &=-\ic\sqrt{3}\end{align*}$
    $z\conj{z’}$ est donc un imaginaire pur. Les vecteurs $\vect{OL}$ et $\vect{AL}$ sont donc orthogonaux et le triangle $AOL$ est rectangle en $L$.
    $\quad$

$\quad$

Ex 4 spé

Exercice 4

Candidats ayant suivi la spécialité mathématique

  1. a. On considère deux entiers relatifs $a$ et $b$.
    $aU+BV=\begin{pmatrix}2a+b\\a+2b\end{pmatrix}$
    Ainsi :
    $\begin{align*} X=aU+bV&\ssi \begin{cases} 2a+b=10\\a+2b=10\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} b=10-2a\\a+2(10-2a)=10\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} b=10-2a\\-3a+20=10\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} b=10-2a\\-3a=-10\end{cases}\end{align*}$
    $10$ n’est pas divisible par $3$ donc l’équation $-3a=-10$ ne possède pas de solution dans $\Z$.
    $X$ ne peut donc pas s’écrire sous la forme $X=aU+bV$ avec $a$ et $b$ entiers relatifs.
    $\quad$
    b. $X=\begin{pmatrix}10\\10\end{pmatrix}$ ne peut pas s’écrire sous la forme $aU+bV$.
    Par conséquent $(U,V)$ n’est pas une base de $r$.
    $\quad$
  2. a. $d(A)=1\ssi 6v_2+11v_1=1$
    $\quad$
    b. $11\times (-1)+6\times 2=-11+12=1$
    Le couple $(-1;2)$ est donc une solution particulière de l’équation $(E)$.
    $\quad$
    c. On considère une solution $(x;y)$ de l’équation $(E)$.
    On a donc $11\times (-1)+6\times 2=1$ et $11x+6y=1$.
    Par différence, on obtient $11(-1-x)+6(2-y)=0 \ssi 6(2-y)=11(1+x)$.
    $6$ et $11$ sont premiers entre eux.
    D’après le théorème de Gauss, il existe un entier relatif $k$ tel que $2-y=11k$ et $1+x=6k$.
    Par conséquent $x=6k-1$ et $y=2-11k$.
    $\quad$
    Réciproquement, on considère un entier relatif $k$.
    $11(6k-1)+6(2-11k)=66k-11+12-66k=1$
    $\quad$
    Les solutions de l’équation $(E)$ sont donc les couples $(6k-1;2-11k)$ pour $k\in\Z$.
    $\quad$
    d. D’après la question précédente, il existe un entier relatif $k$ tel que $v_1=6k-1$ et $v_2=2-11k$.
    De plus :
    $0\pp v_1\pp 10\ssi 0\pp 6k-1\pp 10 \ssi 1\pp 6k \pp 9 \ssi \dfrac{1}{6} \pp k\pp \dfrac{3}{2} \ssi k=1$.
    Ainsi $v_1=5$ et $v_2=-9$
    Par conséquent $V=\begin{pmatrix} 5\\-9\end{pmatrix}$.
    $\quad$
  3. a. On considère les matrices $A=\begin{pmatrix}6&5\\-11&-9\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}-9&-5\\11&6\end{pmatrix}$
    $\begin{align*}AB&=\begin{pmatrix}-9\times 6+5\times 11&6\times (-5)+5\times 6\\-11\times (-9)+-9\times 11&-11\times (-5)+6\times (-9)\end{pmatrix} \\
    &=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\end{align*}$
    On obtient de même $BA=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$.
    La matrice $A$ est donc inversible et $A^{-1}=\begin{pmatrix}-9&-5\\11&6\end{pmatrix}$.
    $\quad$
    b. Soit $X=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ un élément de $r$.
    $\begin{align*} X=aU+bV&\ssi \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=a\begin{pmatrix}6\\-11\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}5\\-9\end{pmatrix} \\
    &\ssi \begin{cases}x=6a+5b\\y=-11a-9b\end{cases} \\
    &\ssi X=A\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\end{align*}$
    $\quad$
    c. $X=A\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\ssi \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}=A^{-1}X$.
    Ainsi pour une matrice $X$ de $r$ donnée il existe une unique matrice $\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$ telle que $X=A\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$.
    $\quad$
    d. Si $X=\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$ alors :
    $X=A\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\ssi \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}=A^{-1}\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}\ssi \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-33\\40\end{pmatrix}$
    $\quad$

 

 

Énoncé

Exercice 1     6 points

La loi de refroidissement de Newton stipule que le taux d’évolution de la température d’un corps est proportionnel à la différence entre la température de ce corps et celle du milieu environnant.

Une tasse de café est servie à une température initiale de $80$° C dans un milieu dont la température, exprimée en degré Celsius, supposée constante, est notée $M$.
Le but de cet exercice est d’étudier le refroidissement du café en appliquant la loi de Newton suivant deux modèles. L’un, dans la partie A, utilise une suite ; l’autre, dans la partie B, utilise une fonction.

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

Dans cette partie, pour tout entier naturel $n$, on note $T_n$ la température du café à l’instant $n$, avec $T_n$ exprimé en degré Celsius et n en minute. On a ainsi $T_0 = 80$ .
On modélise la loi de Newton entre deux minutes consécutives quelconques $n$ et $n+1$ par l’égalité : $$T_{n+1}-T_n=k\left(T_n-M\right)$$
où k est une constante réelle.
Dans la suite de la partie A, on choisit $M =10$ et $k =-0,2$.
Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a : $T_{n+1}-T_n=-0,2\left(T_n-10\right)$.

  1. D’après le contexte, peut-on conjecturer le sens de variations de la suite $\left(T_n\right)$?
    $\quad$
  2. Montrer que pour tout entier naturel $n$ : $T_{n+1}=0,8T_n+2$.
    $\quad$
  3. On pose, pour tout entier naturel $n$ :  $u_n=T_n-10$.
    a. Montrer que $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique. Préciser sa raison et son premier terme $u_0$.
    $\quad$
    b. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $T_n=70\times 0,8^n+10$.
    $\quad$
    c) Déterminer la limite de la suite $\left(T_n\right)$.
    $\quad$
  4. On considère l’algorithme suivant :  $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{Tant que $T\pg 40$}\\
    \hspace{1cm} T\leftarrow 0,8T+2\\
    \hspace{1cm} n\leftarrow n+1\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    a. Au début, on affecte la valeur $80$ à la variable $T$ et la valeur $0$ à la variable $n$.
    Quelle valeur numérique contient la variable $n$ à la fin de l’exécution de l’algorithme ?
    $\quad$
    b. Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

Partie B
Dans cette partie, pour tout réel $t$ positif ou nul, on note $\Theta(t)$ la température du café à l’instant $t$, avec $\Theta(t)$ exprimé en degré Celsius et $t$ en minute. On a ainsi $\Theta(0)=80$.
Dans ce modèle, plus précis que celui de la partie A, on suppose que $\Theta$ est une fonction dérivable sur l’intervalle $[0,+\infty[$ et que, pour tout réel $t$ de cet intervalle, la loi de Newton se modélise par l’égalité : $\Theta'(t)=-0,2\left(\Theta(t)-M\right)$.

  1. Dans cette question, on choisit $M = 0$ . On cherche alors une fonction $\Theta$ dérivable sur l’intervalle $[0,+\infty[$ vérifiant $\Theta(0)=80$ et, pour tout réel $t$ de cet intervalle : $\Theta'(t)=-0,2\Theta(t)$.
    a. Si $\Theta$ est une telle fonction, on pose pour tout $t$ de l’intervalle $[0,+\infty[$, $f(t)=\dfrac{\Theta(t)}{\e^{-0,2t}}$.
    Montrer que la fonction $f$ est dérivable sur $[0,+\infty[$ et que, pour tout réel $t$ de cet intervalle, $f'(t)=0$.
    $\quad$
    b. En conservant l’hypothèse du a., Calculer $f(0)$.
    En déduire, pour tout $t$ de l’intervalle $[0,+\infty[$ , une expression de $f(t)$, puis de $\Theta(t)$.
    $\quad$
    c. Vérifier que la fonction $\Theta$ trouvée en b. est solution du problème.
    $\quad$
  2. Dans cette question, on choisit $M =10$ . On admet qu’il existe une unique fonction $g$ dérivable sur $[0,+\infty[$ , modélisant la température du café à tout instant positif $t$, et que, pour tout $t$ de l’intervalle $[0,+\infty[$ : $$g(t)=10+70\e^{-0,2t},$$
    où $t$ est exprimé en minute et $g(t)$ en degré Celsius.
    Une personne aime boire son café à $40$° C.
    Montrer qu’il existe un unique réel $t_0$ dans $[0,+ \infty[$ tel que $\left(t_0\right)=40$.
    Donner la valeur de $t_0$ arrondie à la seconde.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     4 points

Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre affirmations est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la lettre correspondant à l’affirmation exacte. Il est attribué un point si la lettre correspond à l’affirmation exacte, 0 sinon.

Dans tout l’exercice, on se place dans un repère orthonormé $\Oijk$ de l’espace.
Les quatre questions sont indépendantes. Aucune justification n’est demandée.

  1. On considère le plan $p$ d’équation cartésienne $3x+2y+9z-5=0$ et la droite $d$ dont une représentation paramétrique est : $\begin{cases} x=4t+3\\y=-t+2\\z=-t+9\end{cases} \quad, t\in \R$.
    Affirmation A : l’intersection du plan $p$ et de la droite $d$ est réduite au point de coordonnées $(3 ;2 ;9)$.
    Affirmation B : le plan $p$ et la droite d sont orthogonaux.
    Affirmation C : le plan $p$ et la droite d sont parallèles.
    Affirmation D : l’intersection du plan $p$ et de la droite $d$ est réduite au point de coordonnées $(-353 ;91 ;98)$.
    $\quad$
  2. On considère le cube $ABCDEFGH$ représenté ci-dessous et les points $I$, $J$ et $K$ définis par les égalités vectorielles : $$\vect{Ai}=\dfrac{3}{4}\vect{AB} ~,~ \vect{DJ}=\dfrac{1}{4}\vect{DC}~,~\vect{HK}=\dfrac{3}{4}\vect{HG}$$

    Affirmation A
    : la section du cube $ABCDEFGH$ par le plan $(IJK)$ est un triangle.
    Affirmation B : la section du cube $ABCDEFGH$ par le plan $(IJK)$ est un quadrilatère.
    Affirmation C : la section du cube $ABCDEFGH$ par le plan $(IJK)$ est un pentagone.
    Affirmation D : la section du cube $ABCDEFGH$ par le plan $(IJK)$ est un hexagone.
    $\quad$
  3. On considère la droite $d$ dont une représentation paramétrique est $\begin{cases}x=t+2\\y=2\\z=5t-6\end{cases} \quad, t\in \R$ et le
    point $A (-2 ;1 ;0)$. Soit $M$ un point variable de la droite $d$.
    Affirmation A : la plus petite longueur $AM$ est égale à $\sqrt{53}$ .
    Affirmation B : la plus petite longueur $AM$ est égale à $\sqrt{27}$ .
    Affirmation C : la plus petite longueur $AM$ est atteinte lorsque le point $M$ a pour coordonnées $(-2 ;1 ;0)$.
    Affirmation D : la plus petite longueur $AM$ est atteinte lorsque le point $M$ a pour coordonnées $(2 ;2 ; -6)$.
    $\quad$
  4. On considère le plan $p$ d’équation cartésienne $x+2y-3z+1=0$ et le plan $p’$ d’équation cartésienne $2x-y+2=0$.
    Affirmation A : les plans $p$ et $p’$ sont parallèles.
    Affirmation B : l’intersection des plans $p$ et $p’$ est une droite passant par les points $A(5 ;12 ;10)$ et $B(3 ;1 ;2)$.
    Affirmation C : l’intersection des plans $p$ et $p’$ est une droite passant par le point $C(2 ;6 ;5)$ et dont un vecteur directeur est $\vec{u}(1 ;2 ;2)$.
    Affirmation D : l’intersection des plans $p$ et $p’$ est une droite passant par le point $D (-1 ;0 ;0)$ et dont un vecteur directeur est $\vec{v}(3 ;6 ;5)$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     5 points

Les parties A, B et C sont indépendantes.

Dans tout l’exercice, on arrondira les résultats au millième.

Partie A
En France, la consommation de produits bio croît depuis plusieurs années.
En 2017, le pays comptait $52 \%$ de femmes. Cette même année, $92 \%$ des Français avaient déjà consommé des produits bio. De plus, parmi les consommateurs de produits bio, $55 \%$ étaient des femmes.

On choisit au hasard une personne dans le fichier des Français de 2017. On note :

  • $F$ l’évènement « la personne choisie est une femme » ;
  • $H$ l’évènement « la personne choisie est un homme » ;
  • $B$ l’évènement « la personne choisie a déjà consommé des produits bio ».
  1. Traduire les données numériques de l’énoncé à l’aide des évènements $F$ et $B$.
    $\quad$
  2. a. Montrer que $P(F\cap B)= 0,506$.
    $\quad$
    b. En déduire la probabilité qu’une personne ait consommé des produits bio en 2017, sachant que c’est une femme.
    $\quad$
  3. Calculer $P_H\left(\conj{B}\right)$ . Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

Partie B
Dans un supermarché, un chef de rayon souhaite développer l’offre de produits bio.
Afin de justifier sa démarche, il affirme à son responsable que 75 % des clients achètent des produits bio au moins une fois par mois.
Le responsable souhaite vérifier ses dires. Pour cela, il organise un sondage à la sortie du magasin.
Sur $2~000$ personnes interrogées, $1~421$ répondent qu’elles consomment des produits bio au moins une fois par mois.

Au seuil de $95 \%$, que peut-on penser de l’affirmation du chef de rayon ?
$\quad$

Partie C
Pour promouvoir les produits bio de son enseigne, le responsable d’un magasin décide d’organiser un jeu qui consiste, pour un client, à remplir un panier avec une certaine masse d’abricots issus de l’agriculture biologique. Il est annoncé que le client gagne le contenu du panier si la masse d’abricots déposés est comprise entre $3,2$ et $3,5$ kilogrammes.

La masse de fruits en kg, mis dans le panier par les clients, peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ suivant la loi de probabilité de densité f définie sur l’intervalle $[3 ; 4]$ par : $$f(x)=\dfrac{2}{(x-2)^2}$$

Rappel : on appelle fonction de densité d’une loi de probabilité sur l’intervalle $[a, b]$ toute fonction $f$ définie, continue et positive sur $[a, b]$, telle que l’intégrale de $f$ sur $[a, b]$ est égale à $1$.

  1. Vérifier que la fonction $f$ précédemment définie est bien une fonction de densité d’une loi de probabilité sur l’intervalle $[3 ; 4]$.
    $\quad$
  2. Le magasin annonce : « Un client sur trois gagne le panier ! ». Cette annonce est-elle exacte ?
    $\quad$
  3. Cette question a pour but de calculer l’espérance mathématique $E(X)$ de la variable aléatoire $X$.
    On rappelle que, pour une variable aléatoire $X$ de densité $f$ sur l’intervalle $[a, b]$, $E(X)$ est donnée par : $E(X)=\ds \int_a^b xf(x)\dx$.
    a. Vérifier que la fonction $G$, définie sur l’intervalle $[3 ; 4]$ par $G(x)=\ln(x-2)-\dfrac{x}{x-2}$, est une primitive de la fonction $x\mapsto \dfrac{x}{(x-2)^2}$ sur cet intervalle.
    $\quad$
    b) En déduire la valeur exacte de $E(X)$ , puis sa valeur arrondie au centième.
    Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     5 points

Candidats n’ayant pas suivi la spécialité mathématique

  1. On considère dans l’ensemble des nombres complexes l’équation $(E)$ à l’inconnue $z$ : $$z^3+\left(-2\sqrt{3}+2\ic\right)z^2+\left(4-4\ic\sqrt{3}\right)\ic +8\ic=0 \quad (E)$$
    a. Montrer que le nombre $-2\ic$ est une solution de l’équation $(E)$.
    $\quad$
    b. Vérifier que, pour tout nombre complexe $z$, on a : $$z^3+\left(-2\sqrt{3}+2\ic\right)z^2+\left(4-4\ic\sqrt{3}\right)\ic +8\ic=(z+2\ic)\left(z^2-2\sqrt{3}\ic+4\right)$$
    $\quad$
    c. Résoudre l’équation $(E)$ dans l’ensemble des nombres complexes.
    $\quad$
    d. Écrire les solutions de l’équation $(E)$ sous forme exponentielle.
    $\quad$

Dans la suite, on se place dans le plan muni d’un repère orthonormé direct d’origine $O$.

  1. On considère les points $A$, $B$, $C$ d’affixes respectives $-2\ic$ , $\sqrt{3}+\ic$ et $\sqrt{3}-\ic$.
    a. Montrer que $A$, $B$ et $C$ appartiennent à un même cercle de centre $O$ dont on déterminera le rayon.
    $\quad$
    b. Placer ces points sur une figure que l’on complètera par la suite.
    $\quad$
    c. On note $D$ le milieu du segment $[OB]$. Déterminer l’affixe $z_L$ du point $L$ tel que $AODL$ soit un parallélogramme.
    $\quad$
    3. On rappelle que, dans un repère orthonormé du plan, deux vecteurs de coordonnées respectives $(x,y)$ et $(x’,y’)$ sont orthogonaux si et seulement si $xx’+yy’=0$.
    a. Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs du plan, d’affixes respectives $z$ et $z’$.
    Montrer que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si et seulement si $zz’$ est un imaginaire pur.
    $\quad$
    b. À l’aide de la question 3.a., démontrer que le triangle $AOL$ est rectangle en $L$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     5 points

On note $r$ l’ensemble des matrices colonnes à $2$ lignes, à coefficients entiers.

Soit $U=\begin{pmatrix}u_1\\u_2\end{pmatrix}$ et $V=\begin{pmatrix}v_1\\v_2\end{pmatrix}$ deux éléments de $r$. À $U$ et $V$, on associe la matrice $A=\begin{pmatrix}u_1&v_1\\u_2&v_2\end{pmatrix}$ et le nombre $d(A)=u_1v_2-u_2v_1$.

On dit que $(U, V)$ est une base de $r$ si et seulement si, pour tout élément $X$ de $r$, il existe un unique couple d’entiers relatifs $a,b)$ tel que $X= aU+ bV$.

  1. Dans cette question, on pose $U=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$, $V=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$ et $X=\begin{pmatrix}10\\10\end{pmatrix}$.
    a. Montrer que $X$ ne peut pas s’écrire $X=aU+bV$, avec $a$ et $b$ entiers relatifs.
    $\quad$
    b) Le couple $(U,V)$ est-il une base de $r$?
    $\quad$

Dans la suite de l’exercice, on souhaite illustrer sur un exemple la propriété :
$\hspace{3cm}$ « si $d(A)=1$ , alors $(U,V)$ est une base de $r$ ».

  1. En posant $U=\begin{pmatrix}6\\-11\end{pmatrix}$, le but de cette question est de déterminer $V=\begin{pmatrix}v_1\\v_2\end{pmatrix}$
    tel que $d(A) = 1$ . On rappelle dans ce cas que la matrice A associée au couple $(U,V)$ s’écrit : $A=\begin{pmatrix}6&v_1\\-11&v_2\end{pmatrix}$.
    a. Exprimer la condition $d(A) =1$ par une égalité reliant $v_1$ et $v_2$.
    $\quad$
    b. On considère l’équation $(E) : 11x+6y=1$ , où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs.
    Donner une solution particulière de l’équation $(E)$.
    $\quad$
    c. Résoudre l’équation $(E)$ dans l’ensemble des entiers relatifs.
    $\quad$
    d. Déterminer alors une matrice $V=\begin{pmatrix}v_1\\v_2\end{pmatrix}$ de $r$ vérifiant d’une part l’égalité $d(A) =1$ et, d’autre part, la condition $0\pp v_1 \pp 10$.
    $\quad$
  2. Dans cette question, on pose $U=\begin{pmatrix}6\\-11\end{pmatrix}$ et $V=\begin{pmatrix} 5\\-9\end{pmatrix}$. Ainsi $A=\begin{pmatrix} 6&5\\-11&-9\end{pmatrix}$.
    a. Montrer que la matrice $A$ est inversible et donner sa matrice inverse $A^{-1}$.
    $\quad$
    b. Soit $X$ un élément de $r$.
    Montrer que l’égalité $X= aU+ bV$ s’écrit matriciellement $X=A\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$.
    $\quad$
    c. Déduire des questions précédentes qu’il existe un unique couple d’entiers relatifs $(a,b)$ tel que $X=aU+bV$ , c’est-à-dire tel que $(U, V)$ est une base de $r$.
    $\quad$
    d. Déterminer ce couple $(a,b)$ lorsque $X=\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$.
    $\quad$.

 

 

Bac S – Polynésie – Juin 2019

Polynésie – juin 2019

Bac S – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. a. D’après l’énoncé, on a $E(X)=10$.
    Or $E(X)=\dfrac{1}{\lambda}$ donc $\dfrac{1}{\lambda}=10 \ssi \lambda =0,1$.
    $\quad$
    b. On veut calculer $P(X\pg 6)=\e^{-0,1\times 6}=\e^{-0,6}\approx 0,55$.
    La probabilité que le distributeur de glaces à l’italienne n’ait connu aucune panne pendant les six premiers mois est environ égale à $0,55$.
    $\quad$
    c. La loi exponentielle est une loi à durée de vie sans vieillissement. Donc :
    $\begin{align*} P_{X\pg 6}(X\pg 12)&=P_{X\pg 6}(X\pg 6+6)\\
    &=P(X\pg 6)\\
    &=\e^{-0,6}\\
    &\approx 0,55\end{align*}$.
    Sachant que le distributeur n’a connu aucune panne pendant les six premiers mois, la probabilité qu’il n’en connaisse aucune jusqu’à la fin de la première année est environ égale à $0,55$.
    $\quad$
    d. On cherche à résoudre l’équation :
    $\begin{align*} P(X>t)=0,05 &\ssi \e^{-0,1t}=0,05 \\
    &\ssi -0,1t=\ln 0,05\\
    &\ssi t=-10\ln 0,05\end{align*}$
    Ainsi $t\approx 30$.
    $\quad$
  2. a. On a $P(55 \pp M\pp 65)=P(\mu-2\sigma\pp \X\pp \mu+2\sigma)\approx 0,95$.
    Remarque : On pouvait également retrouver cette valeur directement avec la calculatrice.
    $\quad$
    b. On veut déterminer le réel $m$ tel que $P(M\pg m)\pg 0,99 \ssi P(M\pp m)\pp 0,01$.
    À l’aide de la touche Inverse loi normale de la calculatrice on trouve $m\approx 54$.
    $\quad$
  3. On a $n=120$ et la probabilité théorique qu’un consommateur choisisse la glace à la vanille est $p=\dfrac{2}{3}$.
    Ainsi $n\pg 30$, $np=80\pg 5$ et $n(1-p)=40\pg 5$.
    Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de la proportion de consommateurs choisissant la glace à la vanille est :
    $\begin{align*} I_{120}&=\left[\dfrac{2}{3}-1,96\sqrt{\dfrac{\dfrac{2}{3}\times \dfrac{1}{3}}{120}};\dfrac{2}{3}+1,96\sqrt{\dfrac{\dfrac{2}{3}\times \dfrac{1}{3}}{120}}\right] \\
    &\approx [0,58;0,76]\end{align*}$
    La fréquence observée est $f=\dfrac{65}{120}\approx 0,54 \notin I_{120}$.
    Au risque d’erreur de $5\%$ cela remet en cause l’hypothèse faite par le commerçant.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. Si une expression algébrique de $f$ est, sur l’intervalle $]0;1]$, $f(x)=ax^2+bx+c$ alors $\lim\limits_{x \to 0^+}=c$
    D’après l’énoncé on a $\lim\limits_{x\to 0^+}=-\infty$.
    La fonction $f$ ne donc pas une fonction polynôme du second degré.
    $\quad$
  2. a. La fonction $g$ est dérivable sur l’intervalle $]0;1]$ en tant que produit d’une fonction dérivable sur cet intervalle par un réel.
    Ainsi, pour tout réel $x\in]0;1]$ on a : $g'(x)=\dfrac{k}{x}$.
    Par conséquent $g'(1)=k$.
    Si la fonction $g$ vérifie les trois conditions (H) on a donc $g'(1)=0,25$ et donc $k=0,25$.
    Ainsi $g(x)=0,25\ln x$.
    De plus $g(1)=0,25\ln 1=0$
    Et, puisque $\lim\limits_{x \to 0^+} \ln x=-\infty$ et que $0,25>0$, on a$\lim\limits_{x \to 0^+}g(x)=-\infty$.
    $\quad$
    b. On a $f(0,25)< -5,5$ et $g(0,25)\approx -0,34>-5,5$.
    La courbe représentative de la fonction $g$ ne coïncide donc pas avec la courbe $C$.
    $\quad$
  3. On a $h(1)=a+b=0 \ssi a=-b$.
    La fonction $h$ est dérivable sur l’intervalle $]0;1]$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Ainsi, pour tout réel $x\in]0;1]$ on a $h'(x)=-\dfrac{4a}{x^5}+b$.
    Or $h'(1)=0,25 \ssi -4a+b=0,25$.
    On doit donc résoudre le système :
    $\begin{align*} \begin{cases}a=-b\\-4a+b=0,25\end{cases} &\ssi \begin{cases} a=-b\\4b+b=0,25\end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases} a=-b\\5b=0,25 \end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases} b=0,05\\a=-0,05\end{cases}\end{align*}$
    Ainsi $h(x)=0,05x-\dfrac{0,05}{x^4}$.
    Vérifions que les trois conditions sont bien vérifiées :
    $h(1)=0,05-0,05=0$.
    $h'(1)=0,05+\dfrac{4\times 0,05}{1^5}=0,25$.
    $\lim\limits_{x\to 0^+} h(x)=\lim\limits_{x\to 0^+}-\dfrac{0,05}{x^4}=-\infty$.
    $\quad$

Partie B

  1. On a $f(x)=\dfrac{1}{20}\left(x-\dfrac{1}{x^4}\right)$ sur l’intervalle $]0;1]$.
    Ainsi $f'(x)=\dfrac{1}{20}\left(1+\dfrac{4}{x^5}\right)$.
    Par conséquent, $f'(x)>0$ sur l’intervalle $]0;1]$ en tant que somme de fonctions positives sur cet intervalle.
    La fonction $f$ est donc continue et strictement croissante sur l’intervalle $]0;1]$.
    $\lim\limits_{x \to 0^+} f(x)=-\infty$ et $f(1)=0$.
    Or $-5\in]-\infty;0]$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=-5$ possède une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $]0;1]$.
    D’après la calculatrice $\alpha\approx 0,32$.
    $\quad$
  2. a. Sur l’intervalle $]0;1]$ on a $u'(x)=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{-2}{x^3}=-\dfrac{1}{x^3}$.
    $\quad$
    b. On a :
    $\begin{align*} \ds V&=\int_{\alpha}^1 \pi x^2 f'(x)\dx \\
    &=\pi \int_{\alpha}^1 \left(\dfrac{1}{20}\left(1+\dfrac{4}{x^5}\right)\right)\times x^2\dx \\
    &=\dfrac{\pi}{20}\int_{\alpha}^1 \left(x^2+\dfrac{4}{x^3}\right)\dx \\
    &=\dfrac{\pi}{20}\left[\dfrac{x^3}{3}-4\times \dfrac{1}{2x^2}\right]_{\alpha}^1 \\
    &=\dfrac{\pi}{20}\left(\dfrac{1}{3}-2-\left(\dfrac{\alpha^3}{3}-\dfrac{2}{\alpha^2}\right)\right) \\
    &=\dfrac{\pi}{20}\left(-\dfrac{5}{3}-\dfrac{\alpha^3}{3}+\dfrac{2}{\alpha^2}\right)\\
    &\approx 2,8 \text{ cm}^3\end{align*}$.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. On a :
    $\begin{align*} I_0&=\int_0^{1/2}\dfrac{1}{1-x}\dx \\
    &=\left[-\ln(1-x)\right]_0^{1/2} \\
    &=-\ln(0,5)+\ln(1)\\
    &=\ln(2)\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. On a :
    $\begin{align*} I_0-I_1&=\ds\int_0^{1/2}\dfrac{1}{1-x}\dx-\int_0^{1/2}\dfrac{x}{1-x}\dx \\
    &=\int_0^{1/2}\dfrac{1-x}{1-x}\dx \\
    &=\int_0^{1/2}1\dx \\
    &=\big[x\big]_0^{1/2}\\
    &=\dfrac{1}{2}\end{align*}$
    $\quad$
    b. Donc $\ln(2)-I_1=\dfrac{1}{2}\ssi I_1=\ln(2)-\dfrac{1}{2}$.
    $\quad$
  3. a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} I_n-I_{n+1}&=\ds \int_0^{1/2}\dfrac{x^n}{1-x}\dx-\int_0^{1/2}\dfrac{x^{n+1}}{1-x}\dx \\
    &=\int_0^{1/2}\dfrac{x^n-x^{n+1}}{1-x}\dx \\
    &=\int_0^{1/2}\dfrac{x^n(1-x)}{1-x}\dx \\
    &=\int_0^{1/2}x^n\dx \\
    &=\left[\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\right]_0^{1/2}\\
    &=\dfrac{\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}}{n+1} \end{align*}$
    $\quad$
    b. On a donc, pour tout entier naturel $n$, $I_{n+1}=I_n-\dfrac{\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}}{n+1} $.
    On peut donc utiliser l’algorithme suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    I\leftarrow \ln(2)\\
    \text{Si }n>0 \\
    \hspace{1cm} \text{Pour $k$ allant de $0$ à $n-1$ faire}\\
    \hspace{2cm} I\leftarrow I-\dfrac{\left(\dfrac{1}{2}\right)^{k+1}}{k+1} \\
    \hspace{1cm} \text{Fin Pour}\\
    \text{Fin Si}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  4. a. On considère un entier naturel $n$ non nul.
    Sur l’intervalle $\left[0;\dfrac{1}{2}\right]$ on a $0\pp \dfrac{x^n}{1-x}\pp \dfrac{1}{2^{n-1}}$.
    En intégrant cette inégalité sur l’intervalle $\left[0;\dfrac{1}{2}\right]$ on obtient :
    $0\pp \ds \int_0^{1/2} \dfrac{x^n}{1-x}\dx \\\int_0^{1/2}\dfrac{1}{2^{n-1}}\dx$
    Or $\ds \int_0^{1/2}\dfrac{1}{2^{n-1}}\dx=\dfrac{1}{2^{n-1}}\big[x\big]_0^{1/2}=\dfrac{1}{2^{n-1}}\times \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2^{n}}$
    Donc $0\pp I_n\pp \dfrac{1}{2^{n}}$.
    $\quad$
    b. On a $-1<\dfrac{1}{2}<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty}\dfrac{1}{2^n}= \lim\limits_{n\to +\infty} \left(\dfrac{1}{2}\right)^n=0$.
    D’après le théorème des gendarmes on a donc $\lim\limits_{n\to +\infty} I_n=0$.
    $\quad$
  5. a. Montrons par récurrence sur $n$, entier naturel non nul, que $S_n=I_0-I_n$.
    Initialisation : Si $n=1$ alors $I_0-I_1=\dfrac{1}{2}=S_1$.
    La propriété est vraie au rang $1$.
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$. On a donc $S_n=I_0-I_n$.
    Montrons que la propriété est encore vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $S_{n+1}=I_0-I_{n+1}$.
    $\begin{align*} S_{n+1}&=S_n+\dfrac{\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}}{n+1} \\
    &=I_0-I_n+\dfrac{\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}}{n+1}\\
    &=I_0-\left(I_n-\dfrac{\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}}{n+1}\right) \\
    &=I_0-I_{n+1}\end{align*}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $S_n=I_0-I_n$.
    $\quad$
    b. On sait que $\lim\limits_{n\to +\infty}I_n=0$.
    Donc $\lim\limits_{n\to +\infty}S_n=I_0=\ln(2)$.
    $\quad$

Ex 4 obl

Exercice 4

Pour les candidats n’ayant pas suivi la spécialité

  1. Montrons que les coordonnées des points $E, B$ et $D$ sont solutions de l’équation fournie.
    Pour le point $E$ : $3\times 0+2\times 0+6\times 6-36=36-36=0$.
    Pour le point $B$ : $3\times 12+2\times 0+6\times 0-36=36-36=0$.
    Pour le point $D$ : $3\times 0+2\times 18+6\times 0-36=36-36=0$.
    Une équation cartésienne du plan $(EBD)$ est donc $3x+2y+6z-36=0$.
    $\quad$
  2. a. On a $\vect{AG}(12;18;6)$.
    Ainsi une représentation paramétrique de la droite $(AG)$ est : $$\begin{cases} x=12t\\y=18t\\z=6t\end{cases} \quad, t\in\R$$
    $\quad$
    b. Prenons $t=\dfrac{1}{3}$. On a alors $\begin{cases} 12t=4\\18t=6\\6t=3\end{cases}$. Le point $K(4;6;3)$ appartient donc à la droite $(AG)$.
    De plus $3\times 4+2\times 6+6\times 2-36=12+12+12-36=0$.
    Le point $K$ appartient également au plan $(EBD)$.
    Un vecteur normal au plan $(EBD)$ est $\vec{n}(3;2;6)$
    $\vec{n}.\vect{AG}=3\times 12+2\times 18+6\times 6=108\neq 0$. La droite $(AG)$ n’est donc pas incluse dans le plan $(EBD)$.
    Ainsi la droite $(AG)$ coupe le plan $(EBD)$ en un point $K$ de coordonnées $(4;6;3)$.
    $\quad$
  3. On a $\vect{AG}(12;18;6)$ et $\vec{n}(3;2;6)$.
    Ils ont la même troisième coordonnée mais les deux autres sont différentes. Ces deux vecteurs ne sont donc pas colinéaires et la droite $(AG)$ n’est pas orthogonale au plan $(EBD)$.
    $\quad$
  4. a. Le point $M$ est le milieu du segment $[ED]$.
    Ainsi $x_M=\dfrac{0+0}{2}$, $y_M=\dfrac{18+0}{2}=9$ et $z_M=\dfrac{0+6}{2}=3$.
    Les coordonnées du points $M$ sont donc $(0;9;3)$.
    Par conséquent :
    – les coordonnées du vecteur sont $\vect{BM}(-12;9;3)$;
    – les coordonnées du vecteur sont $\vect{BK}(-8;6;2)$.
    $\dfrac{-12}{-8}=1,5$, $\dfrac{9}{6}=1,5$ et $\dfrac{3}{2}=1,5$.
    Cela signifie donc que $\vect{BM}=1,5\vect{BK}$.
    Les deux vecteurs sont colinéaires et les points $B$, $M$ et $K$ sont alignés.
    $\quad$
    b. Le point $K$ est donc le point d’intersection des droites $(AG)$ et $(BM)$.
    $\quad$
  5. a. Les plans $(AED)$ et $(EBD)$ se coupent selon la droite $(ED)$.
    Le plan $P$ est parallèle au plan $(AED)$ et passe par le point $K$.
    Le point $K$ appartient donc aux plans $(EBD)$ et $P$.
    Par conséquent l’intersection du plan $P$ et du plan $(EBD)$ est une droite parallèle à la droite $(ED)$ passant par le point $K$.
    $\quad$
    b. L’intersection du plan $P$ et de la face $EBD$ est représentée en bleue.

    $\quad$

Ex 4 spé

Exercice 4

Pour les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

  1. Il semblerait que les valeurs possibles du chiffre des unités des termes de la suite $\left(v_n\right)$ soit $0$, $1$, $4$, $5$, $6$ et $9$.
    $\quad$
  2. a. D’après la calculatrice on a $M^3=\begin{pmatrix}26&45\\15&26\end{pmatrix}$.
    Pour tout entier naturel $n$ on a donc :
    $\begin{pmatrix}u_{n+3}\\v_{n+3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}26&45\\15&26\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}u_{n}\\v_{n}\end{pmatrix}$
    Par conséquent $\begin{cases} u_{n+3}=26u_n+45v_n\\v_{n+3}=15u_n+26v_n\end{cases}$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a donc : $v_{n+3}\equiv 26v_n~[5]$ soit $v_{n+3}\equiv v_n~[5]$.
    $\quad$
  3. Soit $r$ un entier naturel fixé.
    Montrons par récurrence sur l’entier naturel $q$ que $v_{3q+r}\equiv v_r~[5]$.
    Initialisation : Si $q=0$ alors $v_{3q+r}=v_r\equiv v_r~[5]$.
    La propriété est vraie au rang $1$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $q$. Donc $v_{3q+r}\equiv v_r~[5]$.
    Montrons qu’elle encore vraie au rang $q+1$, c’est-à-dire que $v_{3(q+1)+r}\equiv v_r~[5]$ soit encore $v_{3q+r+3}\equiv v_r~[5]$.
    D’après la question précédente, en prenant $n=3q+r$, on a $v_{3q+r+3}\equiv v_{3q+r}~[5]$.
    D’après l’hypothèse de récurrence on a $v_{3q+r}\equiv v_r~[5]$.
    Par conséquent $v_{3(q+1)+r}\equiv v_r~[5]$
    La propriété est vraie au rang $q+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $q$ on a $v_{3q+r}\equiv v_r~[5]$.
    $\quad$
  4. Ainsi, pour tout entier naturel $q$ on a :
    – $v_{3q}\equiv v_0~[5]$ soit $v_{3q}\equiv 0~[5]$
    – $v_{3q+1}\equiv v_1~[5]$ soit $v_{3q+1}\equiv 1~[5]$
    – $v_{3q+2}\equiv v_2~[5]$ soit $v_{3q+2}\equiv 4~[5]$
    On a ainsi parcouru tous les termes de la suite $\left(v_n\right)$.
    Pour tout entier naturel $n$, le terme $v_n$ est donc congru à $0$, $1$ ou $4$ modulo $5$.
    $\quad$
  5. Pour tout entier naturel $n$, il existe un entier naturel $k$ tel que $v_n=0+5k$, $v_n=1+5k$ ou $v_n=4+5k$.
    – Si $k$ est pair il s’écrit alors sous la forme $k=2p$ et on a donc :
    $v_n=0+10p$, $v_n=1+10p$ ou $v_n=4+10p$ ce qui signifie que $v_n$ est congru à $0$, $1$ ou $4$.
    – Si $k$ est impair il s’écrit alors sous la forme $k=2p+1$ et on a donc :
    $v_n=0+10p+5$, $v_n=1+10p+5$ ou $v_n=4+10p+5$ ce qui signifie que $v_n$ est congru à $5$, $6$ ou $9$.
    L’ensemble des valeurs prises par le chiffre des unités des termes de la suite $\left(v_n\right)$ est donc $\left\{0;1;4;5;6;9\right\}$.
    $\quad$

Partie B

  1. On a donc $\sqrt{3}=\dfrac{p}{q}$.
    Puisque $\sqrt{3}>1$, cela signifie que $p>q$.
    $\sqrt{3}=\dfrac{p}{q} \ssi p=q\sqrt{3}$ et donc $p^2=3q^2<4q^2$.
    Comme $p$ et $q$ sont des entiers naturels non nuls on a donc $p<2q$.
    Ainsi $q<p<2q$.
    $\quad$
  2. On a $M^{-1}=\begin{pmatrix}2&-3\\-1&2\end{pmatrix}$
    $\quad$
    $\quad$
  3. a. On a :
    $\begin{align*} \begin{pmatrix} p’\\q’\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2&-3\\-1&2\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}p\\q\end{pmatrix} &\ssi \begin{pmatrix}p’\\q’\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2p-3q\\-p+2q\end{pmatrix} \\
    &\ssi \begin{cases} p’=2p-3q\\q’=-p+2q\end{cases}\end{align*}$
    $\quad$
    b. $p$ et $q$ sont des entiers naturels donc $2p-3q$ et $-p+2q$ sont des entiers.
    On sait que $q<p<2q$
    Donc $2q-3q<2p-3q<4q-3q \ssi -q<p'<q$ : ce qui signifie que $p’\in \Z$.
    De même $-2q<-p<-q \ssi 0<-p+2q<q$ : ce qui signifie que $q’\in \N$ et donc $q’\in \Z$.
    $(p’,q’)$ est par conséquent un couple d’entier relatifs.
    $\quad$
    c. On a $q’=-p+2q=-q\sqrt{3}+2q=\left(2-\sqrt{3}\right)q$.
    Donc
    $\begin{align*}q&=\dfrac{q’}{2-\sqrt{3}}\\
    &=\dfrac{q’}{2-\sqrt{3}}\times \dfrac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}\\
    &=\left(2+\sqrt{3}\right)q’\end{align*}$.
    De plus :
    $\begin{align*} p’&=2p-3q\\
    &=2q\sqrt{3}-3q\\
    &=\left(2\sqrt{3}-3\right)q\\
    &=\left(2\sqrt{3}-3\right)\times \left(2+\sqrt{3}\right)q’\\
    &=q’\sqrt{3}\end{align*}$
    $\quad$
    d. On a montré à la question 3.b. que $q’>0$.
    D’après la question précédente on a $q=\left(2+\sqrt{3}\right)q’$.
    Or $2+\sqrt{3}>2>1$ donc $q>q’$.
    Par conséquent $0<q'<q$.
    $\quad$
    e. On a donc montrer qu’on pouvait écrire $\sqrt{3}=\dfrac{p’}{q’}$ où $p$ et $q$ sont des entiers relatifs.
    De plus $0<q'<q$. Cela signifie donc, puisque $q’$ et $\sqrt{3}$ sont positifs que $p’$ l’est aussi.
    Or $q$ le plus petit entier naturel tel que $\sqrt{3}$ s’écrive sous la forme $\dfrac{p}{q}$.
    Il y a donc une absurdité et $\sqrt{3}$ n’est pas un rationnel.
    $\quad$

 

 

Énoncé

Exercice 1     5 points

Les probabilités demandées seront arrondies à $0,01$.

Un commerçant vient de s’équiper d’un distributeur de glaces à l’italienne.

  1. La durée, en mois, de fonctionnement sans panne de son distributeur de glaces à l’italienne est modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ où $\lambda$ est un réel strictement positif (on rappelle que la fonction $f$ de densité de la loi exponentielle est donnée sur $[0 ; +\infty[$ par $f(x) = \lambda\e^{-\lambda x}$).
    $\quad$
    Le vendeur de l’appareil assure que la durée moyenne de fonctionnement sans panne de ce type de distributeur, c’est-à-dire l’espérance mathématique de $X$, est de $10$ mois.
    a. Justifier que $\lambda = 0,1$.
    $\quad$
    b. Calculer la probabilité que le distributeur de glaces à l’italienne n’ait connu aucune panne pendant les six premiers mois.
    $\quad$
    c. Sachant que le distributeur n’a connu aucune panne pendant les six premiers mois, quelle est la probabilité qu’il n’en connaisse aucune jusqu’à la fin de la première année ?
    Justifier.
    $\quad$
    d. Le commerçant remplacera son distributeur de glaces à l’italienne au bout d’un temps $t$, exprimé en mois, qui vérifie que la probabilité de l’événement $(X > t)$ est égale à $0,05$.
    Déterminer la valeur de $t$ arrondie à l’entier.
    $\quad$
  2. La notice du distributeur de glaces précise que le distributeur fournit des glaces à l’italienne dont la masse est comprise entre $55$ g et $65$ g.
    On considère la variable aléatoire $M$ représentant la masse, en grammes, d’une glace distribuée. On admet que $M$ suit la loi normale d’espérance $60$ et d’écart-type $2,5$.
    a. Calculer la probabilité que la masse d’une glace à l’italienne choisie au hasard parmi celles distribuées soit comprise entre $55$ g et $65$ g.
    $\quad$
    b. Déterminer la plus grande valeur de m, arrondie au gramme près, telle que la probabilité $P(M\pg m)$ soit supérieure ou égale à $0,99$.
    $\quad$
  3. Le distributeur de glaces à l’italienne permet de choisir un seul des deux parfums : vanille ou fraise. Pour mieux gérer ses achats de matières premières, le commerçant fait l’hypothèse qu’il y aura en proportion deux acheteurs de glace à la vanille pour un acheteur de glace à la fraise.
    Le premier jour d’utilisation de son distributeur, il constate que sur $120$ consommateurs, $65$ ont choisi de la glace à la vanille.
    Pour quelle raison mathématique pourrait-il mettre en doute son hypothèse ? Justifier.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

L’écoulement de l’eau d’un robinet a un débit constant et modéré.

On s’intéresse en particulier à une partie du profil d’écoulement représentée en annexe par la courbe 𝐶 dans un repère orthonormé.

Partie A

On considère que la courbe $C$ donnée en annexe est la représentation graphique d’une fonction $f$ dérivable sur l’intervalle $]0 ; 1]$ qui respecte les trois conditions suivantes : $$(H) : f(1)=0 \qquad f'(1)=0,25 \qquad \text{et} \qquad \lim\limits_{\begin{array}{l}x\to 0\\x>0\end{array}}f(x)=-\infty$$

  1. La fonction $f$ peut-elle être une fonction polynôme du second degré ? Pourquoi ?
    $\quad$
  2. Soit $g$ la fonction définie sur l’intervalle $]0 ; 1]$ par $g(𝑥) = k \ln x$ .
    a. Déterminer le réel $k$ pour que la fonction $g$ respecte les trois conditions $(H)$.
    $\quad$
    b. La courbe représentative de la fonction $g$ coïncide-t-elle avec la courbe $C$ ? Pourquoi ?
    $\quad$
  3. Soit $h$ la fonction définie sur l’intervalle $]0 ; 1]$ par $h(x) =\dfrac{a}{x^4}+bx$ où $a$ et $b$ sont des réels.
    Déterminer $a$ et $b$ pour que la fonction ℎ respecte les trois conditions $(H)$.
    $\quad$

Partie B

On admet dans cette partie que la courbe $C$ est la représentation graphique d’une fonction $f$ continue, strictement croissante, définie et dérivable sur l’intervalle $]0 ; 1]$ d’expression : $$f(x)=\dfrac{1}{20}\left(x-\dfrac{1}{x^4}\right)$$

  1. Justifier que l’équation $f(𝑥) =-5$ admet sur l’intervalle $]0 ; 1]$ une unique solution qui sera notée $\alpha$. Déterminer une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.
    $\quad$
  2. On admet que le volume d’eau en cm$^3$, contenu dans les $5$ premiers centimètres de l’écoulement, est donné par la formule : $V=\ds\int_{\alpha}^1 \pi x^2f'(x)\dx$.
    a. Soit $u$ la fonction dérivable sur $]0 ; 1]$ définie par $u(x)=\dfrac{1}{2x^2}$. Déterminer sa fonction dérivée.
    $\quad$
    b. Déterminer la valeur exacte de $V$. En utilisant la valeur approchée de $\alpha$ obtenue à la question 1, donner alors une valeur approchée de $V$.
    $\quad$

Annexe 

$\quad$

Exercice 3     5 points

On considère la suite $\left(I_n\right)$ définie par $I_0=\ds \int_0^{1/2}\dfrac{1}{1-x}\dx$ et pour tout entier naturel $n$ non nul $I_n=\ds \int_0^{1/2} \dfrac{x^n}{1-x}\dx$.

  1. Montrer que $I_0= \ln(2)$.
    $\quad$
  2. a. Calculer $I_0-I_1$.
    $\quad$
    b. En déduire $I_1$.
    $\quad$
  3. a. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $I_n-I_{n+1}=\dfrac{\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}}{n+1}$.
    $\quad$
    b. Proposer un algorithme permettant de déterminer, pour un entier naturel $n$ donné, la valeur de $I_n$ .
    $\quad$
  4. Soit $n$ un entier naturel non nul.
    On admet que si $x$ appartient à l’intervalle $\left[0 ;\dfrac{1}{2}\right]$ alors $0 \pp \dfrac{x^n}{1-x}\pp \dfrac{1}{2^{n-1}}$.
    a. Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, $0\pp I_n \pp \dfrac{1}{2^n}$.
    $\quad$
    b. En déduire la limite de la suite $\left(I_n\right)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ .
    $\quad$
  5. Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose $S_n =\dfrac{1}{2}+\dfrac{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2}{2}+\dfrac{\left(\dfrac{1}{2}\right)^3}{3}+\ldots+\dfrac{\left(\dfrac{1}{2}\right)^n}{n}$.
    a. Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, $S_n=I_0-I_n$.
    $\quad$
    b. Déterminer la limite de $S_n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     5 points

Pour les candidats n’ayant pas suivi la spécialité

Sur la figure donnée en annexe à rendre avec la copie :

  • $ABCDEFGH$ est un parallélépipède rectangle tel que $AB = 12$, $AD = 18$ et $AE = 6$.
  • $EBDG$ est un tétraèdre.

L’espace est rapporté à un repère orthonormal d’origine $A$ dans lequel les points $B$, $D$ et $E$ ont pour coordonnées respectives $B(12 ; 0 ; 0)$, $D(0 ; 18 ; 0)$ et $E(0 ; 0 ; 6)$.

  1. Démontrer que le plan $(EBD)$ a pour équation cartésienne $3x+2y+6z-36 = 0$.
    $\quad$
  2. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(AG)$.
    $\quad$
    b. En déduire que la droite $(AG)$ coupe le plan $(EBD)$ en un point $K$ de coordonnées $(4 ; 6 ; 2)$ .
    $\quad$
  3. La droite $(AG)$ est-elle orthogonale au plan $(EBD)$ ? Justifier.
    $\quad$
  4. a. Soit $M$ le milieu du segment $[ED]$. Démontrer que les points $B$, $K$ et $M$ sont alignés.
    $\quad$
    b. Construire alors le point $K$ sur la figure donnée en annexe à rendre avec la copie.
    $\quad$
  5. On note $P$ le plan parallèle au plan $(ADE)$ passant par le point $K$.
    a. Démontrer que le plan $P$ coupe le plan $(EBD)$ selon une parallèle à la droite $(ED)$.
    $\quad$
    b. Construire alors sur l’annexe à rendre avec la copie l’intersection du plan $P$ et de la face $EBD$ du tétraèdre $EBDG$.
    $\quad$

Annexe

$\quad$

Exercice 4     5 points

Pour les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

On considère la matrice $M=\begin{pmatrix}2&3\\1&2\end{pmatrix}$ et les suites d’entiers naturels $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ définies par :
$u_0=1$, $v_0=0$, et pour tout entier naturel $n$, $\begin{pmatrix}u_{n+1}\\v_{n+1}\end{pmatrix}=M\begin{pmatrix}u_{n}\\v_{n}\end{pmatrix}$.

Les deux parties peuvent être traitées de façon indépendante.

Partie A

On a calculé les premiers termes de la suite$\left(v_n\right)$ :

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
n&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\
\hline
v_n&0&1&4&15&56&209&780&2911&10864&40545&151316&564719&2107560\\
\hline
\end{array}$

  1. Conjecturer les valeurs possibles du chiffre des unités des termes de la suite $\left(v_n\right)$.
    $\quad$
  2. On admet que pour tout entier naturel $n$, $\begin{pmatrix}u_{n+3}\\v_{n+3}\end{pmatrix}=M^3\begin{pmatrix}u_n\\v_n\end{pmatrix}$.
    a. Justifier que pour tout entier naturel $n$,  $\begin{cases} u_{n+3}=26u_n+45v_n\\v_{n+3}=15u_n+26v_n\end{cases}$.
    $\quad$
    b. En déduire que pour tout entier naturel $n$ : $v_{n+3}\equiv v_n~[5]$.
    $\quad$
  3. Soit $r$ un entier naturel fixé. Démontrer, à l’aide d’un raisonnement par récurrence, que, pour tout entier naturel $q$, $v_{3q+r}\equiv v_n~[5]$.
    $\quad$
  4. En déduire que pour tout entier naturel $n$ le terme $v_n$ est congru à $0$, à $1$ ou à $4$ modulo $5$.
    $\quad$
  5. Conclure quant à l’ensemble des valeurs prises par le chiffre des unités des termes de la suite $\left(v_n\right)$.
    $\quad$

Partie B

L’objectif de cette partie est de démontrer que $\sqrt{3}$ n’est pas un nombre rationnel en utilisant la matrice $M$.

Pour cela, on effectue un raisonnement par l’absurde et on suppose que $\sqrt{3}$ est un nombre rationnel.
Dans ce cas, $\sqrt{3}$ peut s’écrire sous la forme d’une fraction irréductible $\dfrac{p}{q}$ où $p$ et $q$ sont des entiers naturels non nuls, avec $q$ le plus petit entier naturel possible.

  1. Montrer que $q < p < 2q$.
    $\quad$
  2. On admet que la matrice $M$ est inversible. Donner son inverse $M^{-1}$
    (aucune justification n’est attendue).
    $\quad$

Soit $\left(p’,q’\right)$ défini par $\begin{pmatrix} p’\\q’\end{pmatrix} M^{-1}\begin{pmatrix}p\\q\end{pmatrix}$.

  1. a. Vérifier que $p’ = 2p-3q$ et que $q’=-p+2q$.
    $\quad$
    b. Justifier que $\left(p’,q’\right)$ est un couple d’entiers relatifs.
    $\quad$
    c. On rappelle que $p=q\sqrt{3}$. Montrer que $p’=q’\sqrt{3}$.
    $\quad$
    d. Montrer que $0 < q’ < q$.
    $\quad$
    e. En déduire que $\sqrt{3}$ n’est pas un rationnel.
    $\quad$

 

 

Bac S – Antilles/Guyane – Juin 2019

Antilles/Guyane – juin 2019

Bac S – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. Le point $A(0;0,5)$ appartient à la courbe $\mathscr{C}_f$.
    Donc
    $\begin{align*} f(0)=0,5&\ssi \dfrac{a}{1+1} =0,5 \\
    &\ssi a=1\end{align*}$
    $\quad$
  2. Pour tout réel $x\pg 0$ on a $f(x)=\dfrac{1}{1+\e^{-bx}}$
    Donc :
    $\begin{align*} f'(x)&=-\dfrac{-b\e^{-bx}}{\left(1+\e^{-bx}\right)^2 }\\
    &=\dfrac{b\e^{-bx}}{\left(1+\e^{-bx}\right)^2 }\end{align*}$
    $\quad$
    Le coefficient directeur de la tangente à la courbe $C_f$ passe également par le point $B(10;1)$.
    Son coefficient directeur est donc $a=\dfrac{1-0,5}{10-0}=0,05$.
    On a également $a=f'(0)$.
    Or $f'(0)=\dfrac{b}{(1+1)^2}=\dfrac{b}{4}$
    Par conséquent $\dfrac{b}{4}=0,05\ssi b=0,2$
    $\quad$

Partie B

  1. Au $1\ier$ janvier 2010 on a $x=10$
    Or $p(10)=\dfrac{1}{1+\e^{-2}}\approx 0,88$.
    Ainsi, environ $88\%$ des individus sont équipés au $1\ier$ janvier 2010.
    $\quad$
  2. a. La fonction $p$ correspond à la fonction $f$ pour $b=0,2$.
    La fonction $p$ est donc dérivable sur l’intervalle $[0;+\infty[$ et $p'(x)=\dfrac{\e^{-0,2x}}{\left(1+\e^{-0,2x}\right)^2}$.
    La fonction carré est positive et la fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Par conséquent, pour tout réel $x\pg 0$ on a $p'(x)>0$ et la fonction $p$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
    $\quad$
    b. $\lim\limits_{x\to +\infty} -0,2x=-\infty$ et $\lim\limits_{X \to -\infty} \e^X=0$.
    Donc $\lim\limits_{x \to +\infty} \e^{-0,2x}=0$ et $\lim\limits_{x \to +\infty}p(x)=1$.
    $\quad$
    c. Cela signifie donc que sur le long terme tous les individus seront équipés.
    $\quad$
  3. On veut résoudre l’inéquation
    $\begin{align*} p(x)>0,95 &\ssi \dfrac{1}{1+\e^{-0,2x}}>0,95 \\
    &\ssi 1+\e^{-0,2x}<\dfrac{1}{0,95} \\
    &\ssi \e^{-0,2x}<\dfrac{0,05}{0,95} \\
    &\ssi -0,2x<\ln \dfrac{1}{19} \\
    &\ssi x>-5\ln \dfrac{1}{19}\end{align*}$
    Or $-5\ln \dfrac{1}{19} \approx 14,72$.
    C’est au cours de l’année 2014, entre août et septembre, que le marché sera saturé.
    $\quad$
  4. a. Pour tout réel $x\pg 0$ on a :
    $\begin{align*} p(x)&=\dfrac{1}{1+\e^{-0,2x}} \\
    &=\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{\e^{0,2x}}} \\
    &=\dfrac{1}{\dfrac{\e^{0,2x}+1}{\e^{0,2x}}} \\
    &=\dfrac{\e^{0,2x}}{1+\e^{0,2x}}\end{align*}$
    $\quad$
    b. Pour tout réel $x$ on a $p(x)=\dfrac{1}{0,2}\times \dfrac{0,2\e^{0,2x}}{1+\e^{0,2x}}$.
    On a donc une expression de la forme $\dfrac{u’}{u}$.
    Une primitive de la fonction $p$ sur cet intervalle est donc la fonction $P$ définie sur l’intervalle $[0;+\infty[$ par $P(x)=\dfrac{\ln\left(1+\e^{0,2x}\right)}{0,2}$.
    $\quad$
    c. Ainsi :
    $\begin{align*} m&=\ds\dfrac{1}{2}\int_8^{10}p(x)\dx \\
    &=\dfrac{1}{2}\left(P(10)-P(8)\right)\\
    &=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{0,2}\left(\ln\left(1+\e^2\right)-\ln\left(1+\e^{1,6}\right)\right)\\
    &=\dfrac{1}{0,4}\ln\dfrac{1+\e^2}{1+\e^{1,6}}\\
    &\approx 0,86\end{align*}$
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A : Étude de la trajectoire du drone d’Alex

  1. On a $\vect{AB}(0;2;0,5)$.
    Une représentation paramétrique de la droite $(AB)$ est donc : $\begin{cases} x=2\\y=4+2t\\z=0,25+0,5t\end{cases} \quad, t\in\R$.
    $\quad$
  2. a. On a $\vect{PQ}(0;1;1)$ et $\vect{PU}(10;0;0)$.
    Ces deux vecteurs sont clairement non colinéaires.
    D’une part $\vec{n}.\vect{PQ}=0+1-1=0$;
    D’autre part $\vec{n}.\vect{PU}=0+0+0=0$.
    Le vecteur $\vec{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(PQU)$.
    Le vecteur $\vec{n}$ est par conséquent normal au plan $(PQU)$.
    $\quad$
    b. Une équation cartésienne du plan $(PQU)$ est donc de la forme $y-z+d=0$.
    Le point $P(0;10;0)$ appartient à ce plan.
    Donc $10-0+d=0 \ssi d=-10$.
    Une équation cartésienne du plan $(PQU)$ est donc $$y-z-10=0$$
    $\quad$
  3. Montrons que le point $I$ appartient à la droite $(AB)$.
    Résolvons pour cela l’équation :
    $4+2t=\dfrac{37}{3} \ssi 2t=\dfrac{25}{3} \ssi t=\dfrac{25}{6}$
    De plus $0,25+0,5\times \dfrac{25}{6}=\dfrac{1}{4}+\dfrac{25}{12}=\dfrac{7}{3}$
    Le point $I$ appartient donc à la droite $(AB)$.
    $\quad$
    $\dfrac{37}{3}-\dfrac{7}{3}-10=\dfrac{30}{3}-10=10-10=0$. Le point $I$ appartient également au plan $(PQU)$.
    $\quad$
    De plus $\vect{AB}(0;2;0,5)$ et $\vec{n}(0;1;-1)$ ne sont pas colinéaires.
    La droite $(AB)$ et le plan $(PQU)$ sont donc sécants au point $I$ de coordonnées $\left(2;\dfrac{37}{3};\dfrac{7}{3}\right)$.
    $\quad$
  4. On a $\dfrac{37}{3}\approx 12,33 > 11$ (deuxième coordonnée des points $Q$ et $T$).
    En suivant cette trajectoire, le drone d’Alex ne rencontre pas l’obstacle.
    Remarque : $\dfrac{7}{3}>1$. On pouvait donc également dire que la côte du point $I$ était supérieure à celle des points $Q$ et $T$.
    $\quad$

Partie B : Distance minimale entre les deux trajectoires

  1. On a $\vect{AM}(0;2a;0,5a)$ et $\vect{CD}(-2;0;0)$
    Donc $\vect{CN}(-2b;0;0)$
    De plus $\vect{AC}(2;2;0)$.
    Or $\vect{MN}=\vect{MA}+\vect{AC}+\vect{CN}$.
    Les coordonnées du vecteur $\vect{MN}$ sont donc $(2-2b;-2a+2;-0,5a)$.
    $\quad$
  2. On a $\vect{MN}.\vect{CD}=-2(2-2b)$ et $\vect{MN}.\vect{AB}=2(2-2a)+0,5(-0,5a)$
    La droite $(MN)$ est perpendiculaire à la fois à la droite $(AB)$ et à la droite $(CD)$
    $\begin{align*}&\ssi \begin{cases} -2(2-2b)=0\\2(2-2a)+0,5(-0,5a)=0 \end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases} 2-2b=0\\4-4a-0,25a=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} b=1\\4,25a=4\end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases} b=1\\a=\dfrac{16}{17}\end{cases}\end{align*}$
    La distance est donc minimale lorsque $a=\dfrac{16}{17}$ et $b=1$.
    $\quad$
  3. Les coordonnées du vecteur $\vect{MN}$ sont donc $\left(0;\dfrac{2}{17};-\dfrac{8}{17}\right)$.
    Ainsi $MN=\sqrt{0^2+\left(\dfrac{2}{17}\right)^2+\left(-\dfrac {8}{17}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{4}{17}}=\dfrac{2}{\sqrt{17}}$.
    Or $\dfrac{2}{\sqrt{17}}\approx 0,49$
    Ainsi la distance minimale qui sépare les deux drones est environ égale à $4,9$ m, qui est bien supérieure à la distance de $4$ m imposée. Il n’y aura pas de collision entre les deux drones.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. On a :
    $\begin{align*} c&=\dfrac{1}{2}\e^{\ic  \pi/3} \\
    &=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) \\
    &=\dfrac{1}{4}\left(1+\ic \sqrt{3}\right)\end{align*}$
    Par conséquent $c\neq \dfrac{1}{4}\left(1-\ic \sqrt{3}\right)$.
    Affirmation 1 fausse
    $\quad$
  2. On considère un entier naturel $n$.
    On a donc $c^{3n}=\dfrac{1}{2^{3n}}\e^{n \ic \pi}$
    Or $\e^{n \ic \pi} \in \left\{-1;1\right\}$.
    Donc $c^{3n}\in \R$.
    Affirmation 2 vraie
    $\quad$
  3. On a $\dfrac{1}{c}=2\e^{-\ic \pi/3}$ et $c^2=\dfrac{1}{4}\e^{2\ic \pi/3}$
    L’affixe du vecteur $\vect{OS}$ est $z_{\vect{OS}}=\dfrac{1}{4}\e^{2\ic \pi/3}$ et celle du vecteur $\vect{OT}$ est $z_{\vect{OT}}=2\e^{-\ic \pi/3}=2\e^{2\ic \pi/3-\ic \pi}=2\e^{-ic \pi}\e^{2\ic \pi/3}=-2\e^{2\ic \pi/3}$.
    Ainsi $z_{\vect{OT}}=-8z_{\vect{OS}}$.
    Les deux vecteurs sont colinéaires et les points $O, S$ et $T$ sont alignés.
    Affirmation 3 vraie
    $\quad$
  4. On a $|c|=\dfrac{1}{2}$.
    Donc, pou tout entier naturel $n$ non nul on a :
    $\begin{align*} |c|+\left|c^2\right|+\ldots+\left|c^n\right|&=\dfrac{1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}}{1-\dfrac{1}{2}} -1\\
    &=\dfrac{1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}}{\dfrac{1}{2}}-1 \\
    &=2\left(1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}\right)-1 \\
    &=2-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}-1\\
    &= 1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}\end{align*}$
    Affirmation 4 vraie
    $\quad$

Ex 4 obl

Exercice 4

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. On a $P(M\cap E)=0,56\times 0,25=0,14$
    $\quad$
  3. a. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(E)&=P(M\cap E)+P\left(\conj{M}\cap E\right) \\
    &=0,14+0,44x\end{align*}$
    $\quad$
    b. On sait que $P(E)=0,162$
    Par conséquent $0,44x+014=0,162\ssi 0,44x=0,022\ssi x=0,05$.
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_{\conj{E}}(M)&=\dfrac{P\left(\conj{E}\cap M\right)}{1-P(E)} \\
    &=\dfrac{0,75\times 0,56}{0,838}\\
    &\approx 0,50\end{align*}$
    La probabilité que le téléspectateur ait regardé le match sachant qu’il n’a pas regardé l’émission est environ égale à $0,50$.
    $\quad$

Partie B

  1. On a $P(1\pp T\pp 2)\approx 0,682$.
    On remarque qu’il s’agit du calcul de $P(\mu-\sigma\pp T\pp \mu+\sigma)$.
    La probabilité qu’un spectateur ait passé entre une heure et deux heures devant sa télévision le soit du match est environ égale à $0,682$.
    $\quad$
  2. On a :$P(T\pg t)=0,066 \ssi P(T<t)=0,934$
    À l’aide de la touche Inverse loi normale on obtient $tt\approx 2,25$.
    $6,6\%$ des spectateurs ont passé plus de $2$h $15$ minutes devant la télévision le soir du match.
    $\quad$

Partie C

On a $P(1\pp S\pp 2)=\e^{-\lambda}-\e^{-2\lambda}$
Par conséquent $\e^{-\lambda}-\e^{-2\lambda}=0,25$
On pose $X=\e^{-\lambda}$.
On a donc l’équation $-X^2+X-0,25=0 \ssi -(X-0,5)^2=0 \ssi X=0,5$.

Ainsi $\e^{-\lambda}=0,5 \ssi \lambda =-\ln 0,5 \ssi \lambda =\ln 2$.

La durée  de vie moyenne des boîtiers est $E(S)=\dfrac{1}{\ln 2}\approx 1,44<3$.

L’affirmation de l’usine est fausse.
$\quad$

 

Ex 4 spé

Exercice 4

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

  1. a. On peut représenter la situation à l’aide du graphe suivant :

    Donc, pour tout entier naturel $n$ on a :
    $a_{n+1}=0,5a_n+0,1b_n+0,2c_n$
    $\quad$
    b. On sait également que, pour tout entier naturel $n$ on a $a_n+b_n+c_n=1\ssi c_n=1-a_n-b_n$.
    Donc :
    $\begin{align*} a_{n+1}&=0,5a_n+0,1b_n+0,2\left(1-a_n-b_n\right) \\
    &=0,5a_n+0,1b_n+0,2-0,2a_n-0,2b_n\\
    &=0,3a_n-0,1b_n+0,2\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. On a donc, pour tout entier naturel $n$, $\begin{cases} a_{n+1}=0,3a_n-0,1b_n+0,2\\b_{n+1}=0,2a_n+0\times b_n+0,2\end{cases}$
    $\ssi \begin{pmatrix} a_{n+1}\\b_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,3&-0,1\\0,2&0\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}a_n\\b_n\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0,2\\0,2\end{pmatrix}$.
    Par conséquent $U_{n+1}=MU_n+R$
    $\quad$
    b. On a :
    $\begin{align*} Y=MY+R&\ssi \begin{cases} \alpha=0,3\alpha-0,1\beta+0,2\\\beta=0,2\alpha+0,2 \end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} \beta=0,2\alpha+0,2 \\\alpha=0,3\alpha-0,1(0,2\alpha+0,2)+0,2\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} \beta=0,2\alpha+0,2\\\alpha=0,28\alpha+0,18\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases}\beta=0,2\alpha+0,2\\0,72\alpha=0,18\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} \alpha =0,25\\beta=0,25\end{cases}\end{align*}$$\quad$
  3. a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} V_{n+1}&=U_{n+1}-Y \\
    &=MU_n+R-(MY+R) \\
    &=MU_n+R-MY-R\\
    &=M\left(U_n-Y\right)\\
    &=MV_n\end{align*}$
    $\quad$
    b. Initialisation : Si $n=1$ alors $V_1=V_{0+1}=MV_0$.
    La propriété est vraie au rang $1$.
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au  rang $n$. On a donc $V_n=M^nV_0$.
    Montrons que la propriété est vraie au rang $n+1$.
    $V_{n+1}=MV_n=M\times M^nV_0=M^{n+1}V_0$.
    La propriété est vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ strictement positif on a $V_n=M^nV_0$.
    $\quad$
  4. a. On a $V_0=U_0-Y=\begin{pmatrix}0,75\\-0,25\end{pmatrix}$.
    De plus $V_n=U_n-Y \ssi U_n=V_n+Y\ssi U_n=M^nV_0+Y$
    Par conséquent
    $\begin{align*} a_n&=0,75\left(2\times 0,2^n-0,1^n\right)-0,25\left(0,1^n-0,2^n\right)+0,25 \\
    &=1,75\times 0,2^n-0,1^n+0,25\end{align*}$
    $\quad$
    b. On a $-1<0,2<1$ et $-1<0,1<1$
    Donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,2^n=0$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,1^n=0$
    Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} a_n=0,25$.
    $\quad$
  5. On a :
    $\begin{align*} c_n\pp 0,5 &\ssi 0,5+3\times 0,1^n-3,5\times 0,2^n\pp 0,5 \\
    &\ssi 3\times 0,1^n\pp 3,5\times 0,2^n \\
    &\ssi \left(\dfrac{0,1}{0,2}\right)^n \pp \dfrac{3,5}{3} \\
    &\ssi 0,5^n \pp \dfrac{3,5}{3} \\
    &\ssi n\ln 0,5 \pp \ln \dfrac{3,5}{3}\\
    &\ssi n \pg \dfrac{\ln \dfrac{3,5}{3}}{\ln 0,5} \end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln \dfrac{3,5}{3}}{\ln 0,5}<0$.
    Donc pour  tout entier naturel $n$ on a $c_n\pp 0,5$.
    La probabilité que le temps soit pluvieux au bout de $n$ jours ne dépassera jamais $0,5$.
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1     6 points

Partie A

Soit $a$ et $b$ des nombres réels. On considère une fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $$f(x)=\dfrac{a}{1+\e^{-bx}}$$

La courbe $C_f$ représentant la fonction $f$ dans un repère orthogonal est donnée ci-dessous.
La courbe $C_f$ passe par le point $A(0;0,5)$.
La tangente à la courbe $C_f$ au point $A$ passe par le point $B(10 ; 1)$.

  1. Justifier que $a=1$.
    On obtient alors, pour tout réel $x\pg 0$, $$f(x)=\dfrac{1}{1+\e^{-bx}}$$
    $\quad$
  2. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $[0 ; +\infty[$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.
    Vérifier que, pour tout réel $x\pg 0$, $$f'(x)=\dfrac{b\e^{-bx}}{\left(1+\e^{-bx}\right)^2}$$
    $\quad$
  3. En utilisant les données de l’énoncé, déterminer $b$.
    $\quad$

Partie B

La proportion d’individus qui possèdent un certain type d’équipement dans une population est modélisée par la fonction $p$ définie sur $[0 ; +\infty[$ par $$p(x)=\dfrac{1}{1+\e^{-0,2x}}$$
Le réel $x$ représente le temps écoulé, en année, depuis le 1$\ier$ janvier 2000.
Le nombre $p(x)$ modélise la proportion d’individus équipés après $x$ années.
Ainsi, pour ce modèle, $p(0)$ est la proportion d’individus équipés au 1$\ier$ janvier 2000 et $p(3,5)$ est la proportion d’individus équipés au milieu de l’année 2003.

  1. Quelle est, pour ce modèle, la proportion d’individus équipés au 1$\ier$ janvier 2010 ? On en donnera une valeur arrondie au centième.
    $\quad$
  2. a. Déterminer le sens de variation de la fonction $p$ sur $[0 ; +\infty[$.
    $\quad$
    b. Calculer la limite de la fonction $p$ en $+\infty$.
    $\quad$
    c. Interpréter cette limite dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  3. On considère que, lorsque la proportion d’individus équipés dépasse $95 \%$, le marché est saturé.
    Déterminer, en expliquant la démarche, l’année au cours de laquelle cela se produit.
    $\quad$
  4. On définit la proportion moyenne d’individus équipés entre 2008 et 2010 par $$m=\dfrac{1}{2}\int_8^{10}p(x)\dx$$
    a. Vérifier que, pour tout réel $x\pg 0$, $$p(x)=\dfrac{\e^{0,2x}}{1+\e^{0,2x}}$$
    $\quad$
    b. En déduire une primitive de la fonction $p$ sur $[0 ; +\infty[$.
    $\quad$
    c. Déterminer la valeur exacte de $m$ et son arrondi au centième.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.
Alex et Élisa, deux pilotes de drones, s’entraînent sur un terrain constitué d’une partie plane qui est bordée par un obstacle.
On considère un repère orthonormé $\Oijk$, une unité correspondant à dix
mètres. Pour modéliser le relief de la zone, on définit six points $O$, $P$, $Q$, $T$, $U$ et $V$ par leurs coordonnées dans ce repère :
$O(0 ; 0 ; 0)$, $P(0 ; 10 ; 0)$, $Q(0 ; 11 ; 1)$, $T(10 ; 11 ; 1)$, $U(10 ; 10 ; 0)$ et $V(10 ; 0 ; 0)$
La partie plane est délimitée par le rectangle $OPUV$ et l’obstacle par le rectangle $PQTU$.

Les deux drones sont assimilables à deux points et on suppose qu’ils suivent des trajectoires rectilignes :

  • le drone d’Alex suit la trajectoire portée par la droite $(AB)$ avec $A(2 ; 4 ; 0,25)$ et $B(2 ; 6 ; 0,75)$ ;
  • le drone d’Élisa suit la trajectoire portée par la droite $(CD)$ avec $C(4 ; 6 ; 0,25)$ et $D(2 ; 6 ; 0,25)$.

Partie A : Étude de la trajectoire du drone d’Alex

  1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(AB)$.
    $\quad$
  2. a. Justifier que le vecteur $\vec{n}(0 ; 1 ;-1)$ est un vecteur normal au plan $(PQU)$.
    $\quad$
    b. En déduire une équation cartésienne du plan $(PQU)$.
    $\quad$
  3. Démontrer que la droite $(AB)$ et le plan $(PQU)$ sont sécants au point $I$ de coordonnées $\left(2;\dfrac{37}{3};\dfrac{7}{3}\right)$.
    $\quad$
  4. Expliquer pourquoi, en suivant cette trajectoire, le drone d’Alex ne rencontre pas l’obstacle.
    $\quad$

Partie B : Distance minimale entre les deux trajectoires

Pour éviter une collision entre leurs deux appareils, Alex et Élisa imposent une distance minimale de $4$ mètres entre les trajectoires de leurs drones.
L’objectif de cette partie est de vérifier si cette consigne est respectée.
Pour cela, on considère un point $M$ de la droite $(AB)$ et un point $N$ de la droite $(CD)$.
Il existe alors deux réels $a$ et $b$ tels que $\vect{AM}=a\vect{AB}$ et $\vect{CN}=b\vect{CD}$.
On s’intéresse donc à la distance $MN$.

  1. Démontrer que les coordonnées du vecteur $\vect{MN}$ sont $(2-2b ; 2-2a ; -0,5a)$.
    $\quad$
  2. On admet que les droites $(AB)$ et $(CD)$ ne sont pas coplanaires. On admet également que la distance $MN$ est minimale lorsque la droite $(MN)$ est perpendiculaire à la fois à la droite $(AB)$ et à la droite $(CD)$.
    Démontrer alors que la distance $MN$ est minimale lorsque $a=\dfrac{16}{17}$ et $b=1$.
    $\quad$
  3. En déduire la valeur minimale de la distance $MN$ puis conclure.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     4 points

Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse.
Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Une absence de réponse n’est pas pénalisée.
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct $\Ouv$.
On considère le nombre complexe $c=\dfrac{1}{2}\e^{\ic \pi/3}$ et les points $S$ et $T$ d’affixes respectives $c^2$ et $\dfrac{1}{c}$.

  1. Affirmation 1 :
    Le nombre $c$ peut s’écrire $c=\dfrac{1}{4}\left(1-\ic\sqrt{3}\right)$.
    $\quad$
  2. Affirmation 2 :
    Pour tout entier naturel $n$, $c^{3n}$ est un nombre réel.
    $\quad$
  3. Affirmation 3 :
    Les points $O$, $S$ et $T$ sont alignés.
    $\quad$
  4. Affirmation 4 :
    Pour tout entier naturel non nul, $n$, $\left|c\right|+\left|c^2\right|+\ldots+\left|c^n\right|=1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^n$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.

Partie A

Lors d’une soirée, une chaîne de télévision a retransmis un match. Cette chaîne a ensuite proposé une émission d’analyse de ce match.
On dispose des informations suivantes :

  • $56 \%$ des téléspectateurs ont regardé le match ;
  • un quart des téléspectateurs ayant regardé le match ont aussi regardé l’émission ;
  • $16,2 \%$ des téléspectateurs ont regardé l’émission.

On interroge au hasard un téléspectateur. On note les événements :

  • $M$ : « le téléspectateur a regardé le match » ;
  • $E$ : « le téléspectateur a regardé l’émission ».

On note $x$ la probabilité qu’un téléspectateur ait regardé l’émission sachant qu’il n’a pas regardé le match.

  1. Construire un arbre pondéré illustrant la situation.
    $\quad$
  2. Déterminer la probabilité de $M\cap E$.
    $\quad$
  3. a. Vérifier que $P(E) = 0,44x + 0,14$.
    $\quad$
    b. En déduire la valeur de $x$.
    $\quad$
  4. Le téléspectateur interrogé n’a pas regardé l’émission. Quelle est la probabilité, arrondie à $10^{-2}$, qu’il ait regardé le match ?
    $\quad$

Partie B

Pour déterminer l’audience des chaînes de télévision, un institut de sondage recueille, au moyen de boîtiers individuels, des informations auprès de milliers de foyers français.
Cet institut décide de modéliser le temps passé, en heure, par un téléspectateur devant la télévision le soir du match, par une variable aléatoire 𝑇 suivant la loi normale d’espérance $\mu = 1,5$ et d’écart-type $\sigma = 0,5$.

  1. Quelle est la probabilité, arrondie à $10^{-3}$, qu’un téléspectateur ait passé entre une heure et deux heures devant sa télévision le soir du match ?
    $\quad$
  2. Déterminer l’arrondi à $10^{-2}$ du réel $t$ tel que $P(T\pg t) = 0,066$.
    Interpréter le résultat.
    $\quad$

Partie C

La durée de vie d’un boîtier individuel, exprimée en année, est modélisée par une
variable aléatoire notée $S$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ strictement positif. On rappelle que la densité de probabilité de $S$ est la fonction $f$ définie sur $[0; +\infty[$ par $$f(x)=\lambda\e^{-\lambda x}$$
L’institut de sondage a constaté qu’un quart des boîtiers a une durée de vie comprise entre un et deux ans.
L’usine qui fabrique les boîtiers affirme que leur durée de vie moyenne est supérieure à trois ans.
L’affirmation de l’usine est-elle correcte ? La réponse devra être justifiée.
$\quad$

$\quad$

Exercice 4     5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

On étudie l’évolution quotidienne des conditions météorologiques d’un village sur une certaine période. On suppose que, pour un jour donné, il existe trois états météorologiques possibles : « ensoleillé », « nuageux sans pluie » et « pluvieux ».

On sait que :

  • si le temps est ensoleillé un jour donné, la probabilité qu’il le soit encore le lendemain est $0,5$ et celle qu’il soit pluvieux est $0,1$ ;
  • si le temps est nuageux sans pluie un jour donné, la probabilité qu’il le soit encore le lendemain est $0,2$ et celle qu’il soit pluvieux est $0,7$ ;
  • si le temps est pluvieux un jour donné, la probabilité qu’il le soit encore le lendemain est $0,6$ et celle qu’il soit ensoleillé $0,2$.

Pour tout entier naturel $n$, on note les événements :

  • $A_n$ : « le temps est ensoleillé au bout de $n$ jours» ;
  • $B_n$ : « le temps est nuageux sans pluie au bout de $n$ jours» ;
  • $C_n$ : « le temps est pluvieux au bout de $n$ jours».

Pour tout entier naturel $n$, on note respectivement $a_n$, $b_n$ et $c_n$ les probabilités des événements $A_n$, $B_n$ et $C_n$. Ainsi, pour tout entier naturel $n$, $a_n+b_n+c_n=1$.

On suppose qu’initialement, le temps est ensoleillé.
On a donc $a_0 = 1$, $b_0 = 0$ et $c_0 = 0$.

  1. a. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $a_{n+1}=0,5a_n + 0,1b_n + 0,2c_n$.
    $\quad$
    b. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $a_{n+1}=0,3a_n- 0,1b_n +0,2$.
    $\quad$

On admet que, pour tout entier naturel $n$, $b_{n+1}= 0,2a_n + 0,2$.

  1. On considère les matrices
    $$\begin{pmatrix}0,3&-0,1\\0,2&0\end{pmatrix}, U_n=\begin{pmatrix}a_n\\b\n\end{pmatrix} \text{ et } R=\begin{pmatrix}0,2\\0,2\end{pmatrix}$$
    a. Justifier que pour tout entier naturel $n$, $U_{n+1}=MU_n+R$.
    $\quad$
    b. Soit $Y=\begin{pmatrix} \alpha\\\beta\end{pmatrix}$ tel que $Y = MY+R$. Démontrer que $\alpha=\beta=0,25$.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel 𝑛, on pose $V_n = U_n-Y$.
    a. En utilisant la question 2., vérifier que, pour tout entier naturel $n$,
    $$V_{n+1}MV_n$$
    $\quad$
    b. Démontrer par récurrence que, pour tout entier $n$ strictement positif,
    $$V_n=M^nV_0$$
    $\quad$
  3. On admet que, pour tout entier naturel strictement positif $n$, $$M^n=\begin{pmatrix}2\times 0,2^n-0,1^n&0,1^n-0,2^n\\
    2\times 0,2^n-2\times 0,1^n&2\times 0,1^n-0,2^n\end{pmatrix}$$
    a. Déterminer l’expression de $a_n$ en fonction de l’entier strictement
    positif $n$.
    $\quad$
    b. Déterminer la limite de la suite $\left(a_n\right)$.
    $\quad$
  4. On admet que, pour tout entier naturel $n$, $c_n=0,5+3\times 0,1^n-3,5\times 0,2^n$.
    La probabilité que le temps soit pluvieux au bout de $n$ jours peut-elle
    dépasser $0,5$ ?
    $\quad$

 

 

 

2018 – 2019


Vous trouverez ici les corrections des sujets de l’année 2018 – 2019 pour la TS

Amérique du nord mai 2019

Liban mai 2019

Centres étrangers/Pondichery juin 2019

Antilles-Guyane juin 2019

Polynésie juin 2019

Métropole juin 2019

Asie juin 2019

Antilles Guyane septembre 2019

Métropole septembre 2019

Amérique du Sud novembre 2019

Nouvelle-Calédonie novembre 2019

Nouvelle-Calédonie mars 2020

Bac S – Métropole – Juin 2019

Métropole – Juin 2019

Bac S – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. a. On a $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^x=+\infty$.
    De plus $\lim\limits_{x\to +\infty} -x=-\infty$ et $\lim\limits_{X \to -\infty} \e^X=0$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^{-x}=0$
    Par conséquent $\lim\limits_{x\to +\infty} -\dfrac{1}{2}\left(\e^x+\e^{-x}\right)=-\infty$.
    Donc $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=-\infty$.
    $\quad$
    b. Le fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme de fonctions dérivables sur $\R$.
    De plus, pour tout réel $x$ on a : $ f'(x)=-\dfrac{1}{2}\left(\e^x-\e^{-x}\right)$
    Pour tout réel $x$ strictement positif on a $x>-x$.
    La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\R$ donc $\e^x>\e^{-x}$.
    Par conséquent, pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;+\infty[$ on a $\e^x-\e^{-x}>0$ et $f'(x)<0$.
    La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    $\quad$
    c. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    $f(0)=2,5$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=-\infty$.
    Or $0\in ]-\infty;2,5]$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=0$ possède une unique solution sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    $\quad$
  2. Pour tout réel $x$ positif on a :
    $\begin{align*} f(-x)&=\dfrac{7}{2}-\dfrac{1}{2}\left(\e^{-x}+\e^x\right) \\
    &=f(x)\end{align*}$
    La fonction $f$ est donc paire.
    L’équation $f(x)=0$ possède une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[0;+\infty[$. Par conséquent l’équation $f(x)=0$ possède une unique solution $-\alpha$ sur l’intervalle $]-\infty;0]$.
    $\quad$
    L’équation $f(x)=0$ possède donc exactement deux solutions sur $\R$ : $\alpha$ et $-\alpha$.
    $\quad$

Partie B

  1. La fonction $f$ est strictement décroissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    On sait que pour tout réel $x$ positif on a $f(-x)=f(x)$.
    La fonction $f$ est donc strictement croissante sur l’intervalle $]-\infty;0]$.
    Par conséquent la fonction $f$ atteint son maximum en $0$.
    Ainsi la hauteur d’un arceau est $h=f(0)=2,5$ m.
    $\quad$
  2. a. Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} 1+\left(f'(x)\right)^2&=1+\left(-\dfrac{1}{2}\left(\e^x-\e^{-x}\right)\right)^2 \\
    &=1+\dfrac{1}{4}\left(\e^x-\e^{-x}\right)^2\\
    &=1+\dfrac{1}{4}\left(\e^{2x}-2+\e^{-2x}\right) \\
    &=\dfrac{1}{4}\e^{2x}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}\e^{-2x}\\
    &=\dfrac{1}{4}\left(\e^x+\e^{-x}\right)^2\end{align*}$
    $\quad$
    b. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. Pour tout réel $x$ on a donc $\e^x+\e^{-x}>0$.
    On a donc :
    $\begin{align*} \ds I&=\int_0^{\alpha}\sqrt{1+\left(f'(x)\right)^2}\dx \\
    &=\int_0^{\alpha} \sqrt{\dfrac{1}{4}\left(\e^x+\e^{-x}\right)^2}\dx \\
    &=\int_0^{\alpha}\dfrac{1}{2}\left(\e^x+\e^{-x}\right) \dx \\
    &=\dfrac{1}{2}\left[\e^x-\e^{x-}\right]_0^{\alpha}\\
    &=\dfrac{1}{2}\left(\e^{\alpha}-\e^{-\alpha}-0\right)\\
    &=\dfrac{\e^{\alpha}-\e^{-\alpha}}{2}\end{align*}$
    La longueur d’un arceau est $L=2I=\e^{\alpha}-\e^{-\alpha}$.
    $\quad$

Partie C

  1. L’aire de la bâche recouvrant la façade nord est l’aire du domaine compris entre la courbe $\mathscr{C}$ et l’axe des abscisses sur l’intervalle $[-\alpha;\alpha]$ soit, puisque la fonction $f$ est continue et positive sur cet intervalle :
    $J=\ds \int_{-\alpha}^{\alpha} f(x)\dx=2\int_0^{\alpha} f(x)\dx$.
    L’aire de la porte est $P=2\times 1=2$.
    Ainsi la quantité de bâche nécessaire pour recouvrir les deux façades est :
    $\mathscr{A}=2J-2=4\int_0^{\alpha} f(x)\dx-2$.
    $\quad$
  2. Le rectangle recouvrant la serre a pour dimensions : $4,5$ et $\e^{\alpha}-\e^{-\alpha}$.
    Son aire est donc $4,5\left(\e^{\alpha}-\e^{-\alpha}\right)$.
    L’aire totale de la bâche est donc :
    $T=4,5\left(\e^{\alpha}-\e^{-\alpha}\right)+4\int_0^{\alpha} f(x)\dx-2$.
    Or :
    $\begin{align*}\ds \int_0^{\alpha} f(x)\dx &=\left[\dfrac{7}{2}-\dfrac{1}{2}\left(\e^x-\e^{-x}\right)\right]_0^{\alpha} \\
    &=\dfrac{7\alpha}{2}-\dfrac{1}{2}\left(\e^{\alpha}-\e^{-\alpha}\right)\end{align*}$
    Par conséquent :
    $\begin{align*} T&=4,5\left(\e^{\alpha}-\e^{-\alpha}\right)+4\int_0^{\alpha} f(x)\dx-2 \\
    &=4,5\left(\e^{\alpha}-\e^{-\alpha}\right)+4\left(\dfrac{7\alpha}{2}-\dfrac{1}{2}\left(\e^{\alpha}-\e^{-\alpha}\right)\right)-2\\
    &=2,5\left(\e^{\alpha}-\e^{-\alpha}\right)+14\alpha-2\\
    &\approx 41,57\end{align*}$
    Il faut donc prévoir environ $42$ m$^2$ de bâche pour réaliser cette serre.a.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. a. La variable aléatoire $X_A$ suit la loi uniforme sur l’intervalle $[9;25]$ donc $E\left(X_A\right)=\dfrac{9+25}{2}=17$.
    Une partie de type $A$ dure donc en moyenne $17$ minutes.
    $\quad$
    b. L’axe de symétrie de la représentation graphique de la fonction de densité semble avoir pour équation $x=17$.
    Une partie de type $B$ dure donc en moyenne $17$ minutes également.
    $\quad$
  2. On a $P\left(X_A\pp 20\right)=\dfrac{20-9}{25-9}=0,687~5$.
    et
    $\begin{align*} P\left(X_B\pp 20\right)&=P\left(X_B\pp 17\right)+P\left(17\pp X_B\pp 20\right) \\
    &=0,5+P\left(17\pp X_B\pp 20\right) \\
    &\approx 0,841~3\end{align*}$
    On choisit de manière équiprobable un type de jeu.
    La probabilité que la durée d’une partie soit inférieure à $20$ minutes est donc :
    $\begin{align*} p&=\dfrac{1}{2}\left(P\left(X_A\pp 20\right)+P\left(X_B\pp 20\right) \right) \\
    &\approx 0,76\end{align*}$
    $\quad$

Partie B

  1. a. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n\pg 1$, d’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} a_{n+1}&=P\left(A_{n+1}\right) \\
    &=P\left(A_n\cap A_{n+1}\right)+P\left(B_n\cap A_{n+1}\right) \\
    &=0,8a_n+0,3\left(1-a_n\right) \\
    &=0,5a_n+0,3\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. Initialisation : si $n=1$ alors $a_1=0,5 \in[0;0,6]$.
    La propriété est vraie au rang $1$.
    $\quad$.
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$. Donc $0\pp a_n\pp 0,6$.
    Montrons qu’elle est vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $0\pp a_{n+1}\pp 0,6$.
    $\begin{align*} 0\pp a_n\pp 0,6&\ssi 0\pp 0,5a_n\pp 0,3\\
    &\ssi 0,3\pp 0,5a_n+0,3\pp 0,6\\
    &\ssi 0,3\pp a_{n+1}\pp 0,6\end{align*}$
    Par conséquent $0\pp a_{n+1}\pp 0,6$.
    La propriété est vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n\pg 1$ on a $0\pp a_n\pp 0,6$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n \pg 1$ :
    $\begin{align*} a_{n+1}-a_n&=0,5a_n+0,3-a_n \\
    &=0,3-0,5a_n \\
    &\pg 0,3-0,5\times 0,6\\
    &\pg 0\end{align*}$
    La suite $\left(a_n\right)$ est donc croissante.
    $\quad$
    c. La suite $\left(a_n\right)$ est croissante et majorée; elle converge donc vers un réel $\ell$.
    Le réel $\ell$ est solution de l’équation :
    $\ell=0,5\ell+0,3 \ssi 0,5\ell=0,3\ssi \ell =0,6$.
    La suite $\left(a_n\right)$ converge donc vers $0,6$.
    $\quad$
  3. a. Pour tout entier naturel $n\pg 1$, on a $u_n=a_n-0,6 \ssi a_n=u_n+0,6$.
    $\begin{align*} u_{n+1}&=a_{n+1}-0,6\\
    &=0,5a_n+0,3-0,6\\
    &=0,5a_n-0,3\\
    &=0,5\left(u_n+0,6\right)-0,3\\
    &=0,5u_n+0,3-0,3\\
    &=0,5u_n\end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,5$ et de premier terme $u_0=a_0-0,6=a-0,6$.
    $\quad$
    b. Ainsi, pour tout entier naturel $n\pg 1$ on a $u_n=(a-0,6)\times 0,5^{n-1}$.
    Donc $a_n=u_n+0,6=(a-0,6)\times 0,5^{n-1}+0,6$.
    $\quad$
    c. $-1<0,5<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,5^{n-1}=0$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} a_n=0,6$.
    Cette limite ne dépend donc pas de $a$.
    $\quad$
    d. Sur le long terme, la probabilité que le joueur fasse une partie de type A est égale à $0,6$ et celle qu’il fasse une partie de type B est égale à $0,4$.
    Il verra donc plus souvent la publicité insérée au début des parties de type A.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

  1. On considère l’équation $z^2-2\sqrt{3}z+4=0$.
    Son discriminant est $\Delta=\left(-2\sqrt{3}\right)^2-4\times 1\times 4=-4<0$
    Les solutions complexes de cette équation sont donc :
    $z_1=\dfrac{2\sqrt{3}-2\ic}{2}=\sqrt{3}-\ic$ et $z_2=\conj{z_2}=\sqrt{3}+\ic$.
    On note $A$ le point d’affixe $z_1$ et $B$ celui d’affixe $z_2$.
    $OA=\left|z_1\right|=2$ et $OB=\left|z_2\right|=2$
    $AB=\left|z_2-z_1\right|=|2\ic|=2$.
    Ainsi $AB=OA=OB$. Le triangle $OAB$ est équilatéral.
    Affirmation  1 vraie.
    $\quad$
  2. On a $|u|=2$ donc $u=2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\ic}{2}\right)=2\e^{\ic \pi/6}$.
    Ainsi $\conj{u}=2\e^{-\ic\pi/6}$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} u^{2019}+\conj{u}^{2019}&=2^{2019}\e^{336,5\ic\pi}+2^{2019}\e^{-336,5\ic\pi} \\
    &=2^{2019}\left(\e^{(168\times 2\pi +\pi/2)\ic}+\e^{-(168\times 2\pi +\pi/2}\ic)\right)\\
    &=2^{2019}\left(\ic-\ic\right)\\
    &=0\end{align*}$
    Affirmation 2 fausse
    $\quad$
  3. Soit $n$ un entier naturel non nul.
    La fonction $f_n$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $\begin{align*} {f_n}'(x)&=\e^{-nx+1}+x\times \left(-n\e^{-nx+1}\right) \\
    &=(1-nx)\e^{-nx+1}\end{align*}$
    La fonction exponentielle est strictement positive.
    Le signe de ${f_n}'(x)$ ne dépend donc que de celui de $1-nx$.
    Or $1-nx=0 \ssi x=\dfrac{1}{n}$ et $1-nx>0 \ssi x<\dfrac{1}{n}$.
    La fonction $f_n$ est ainsi croissante sur l’intervalle $\left[0;\dfrac{1}{n}\right]$ et décroissante sur l’intevalle $\left[\dfrac{1}{n};+\infty\right[$.
    Pour tout entier naturel $n\pg 1$, la fonction $f_n$ admet donc un maximum en $\dfrac{1}{n}$.
    Affirmation 3 vraie
    $\quad$
  4. Pour tout réel $x$ on a $-1\pp \cos x\pp 1$.
    Donc $-\e^{-x}\pp f(x)\pp \e^{-x}$.
    Or $\lim\limits_{x\to +\infty} -x=-\infty$ et $\lim\limits_{X \to -\infty} \e^X=0$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^{-x}=0$
    D’après le théorème des gendarmes, on a $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=0$.
    La courbe $\mathcal{C}$ admet donc une asymptote en $+\infty$.
    Affirmation 4 vraie
    $\quad$
  5. D’après l’algorithme on a : $2^{14} \pp A < 2^{15}$
    Donc, en utilisant la strictement croissance de la fonction $\ln$ sur $]0;+\infty[$ on a :
    $14\ln(2) \pp \ln(A) < 15\ln(2)$.
    Affirmation 5 fausse
    $\quad$

 

Ex 4 obl

Exercice 4

Partie A

  1. Les droites $(AE)$ et $(HK)$ sont incluses dans le plan $(EAH)$. Le point $M$ est donc le point d’intersection de ces deux droites.
    Voir la figure à la fin de l’exercice.
    $\quad$
  2. D’après le théorème des milieux, appliqué dans le triangle $EFH$, les droites $(IJ)$ et $(FH)$ sont parallèles.
    La droite $(FM)$ est l’intersection des plans $(AEF)$ et $(FHK)$.
    L’intersection du plan $\mathcal{P}$ et de la face $ABFE$ est donc la droite parallèle à la droite $(FM)$ passant par le point $I$.
    $\quad$

Partie B

  1. a. Les coordonnées du point :
    – $F$ sont $(1;0;1)$
    – $H$ sont $(0;1;1)$
    – $K$ sont $(0;0,25;0)$.
    Ainsi $\vect{FH}(-1;1;0)$ et $\vect{FK}(-1;0,25;-1)$. Ces deux vecteurs ne sont clairement pas colinéaires.
    Donc $\vec{n}.\vect{FH}=-4+4+0=0$ et $\vec{n}.\vect{FK}=-4+1+3=0$.
    Le vecteur $\vec{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(FHK)$.
    C’est un vecteur normal à ce plan.
    $\quad$
    b. Une équation cartésienne du plan $(FHK)$ est donc de la forme $4x+4y-3z+d=0$.
    Le point $F(1;0;1)$ appartient à ce plan donc $4+0-3+d=0\ssi d=-1$.
    Une équation cartésienne du plan $(FHK)$ est dp,c $4x+4y-3z-1=0$.
    $\quad$
    c. Les plans $^\mathcal{P}$ et $(FHK)$ sont parallèles. Par conséquent, le vecteur $\vec{n}$ est aussi un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$.
    Une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ est donc de la forme $4x+4y-3z+d=0$.
    Le point $I$ a pour coordonnées $(0,5;0;1)$.
    Ainsi $2+0-3+d=0 \ssi d=1$.
    Une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ est $4x+4y-3z+1=0$.
    $\quad$
    d. On a $\vect{AE}(0;0;1)$.
    Une représentation paramétrique de la droite $(AE)$ est donc $\begin{cases} x=0\\y=0\\z=t\end{cases} \quad, t\in \R$.
    Les coordonnées du point d’intersection de la $(AE)$ et du plan $\mathscr{P}$ sont solutions du système :
    $\begin{cases} 4x+4y-3z+1=0 \\x=0\\y=0\\z=t\end{cases} \ssi \begin{cases} -3t+1=0\\x=0\\y=0\\z=t\end{cases}\ssi \begin{cases} t=\dfrac{1}{3}\\x=0\\y=0\\z=\dfrac{1}{3}\end{cases}$.
    Le point $M’$ a donc pour coordonnées $\left(0;0;\dfrac{1}{3}\right)$.
    $\quad$
  2. a. Le vecteur $\vec{n}$ est donc un vecteur directeur de $\Delta$.
    Une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est : $$\begin{cases} x=4k\\y=4k\\z=1-3k\end{cases}\quad ,k\in \R$$
    $\quad$
    b. Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est $z=0$.
    Les coordonnées du point $L$ sont donc solution du système :
    $\begin{cases}z=0\\x=4k\\y=4k\\z=1-3k\end{cases}\ssi\begin{cases}1-3k=0\\x=4k\\y=4k\\z=1-3k\end{cases}\ssi \begin{cases} k=\dfrac{1}{3}\\x=\dfrac{4}{3}\\y=\dfrac{4}{3}\\z=0\end{cases}$.
    Donc $L$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{4}{3};\dfrac{4}{3};0\right)$.
    $\quad$
    c. Voir figure.
    $\quad$
    d. Le point $L$ n’appartient pas au plan $(ABE)$ tandis que les points $E, B$ et $F$ y appartiennent.
    Par conséquent les droites $\Delta$ et $(BF)$ ne sont pas sécantes.
    $\quad$
    Si, dans la représentation paramétrique de $\Delta$ on prend $k=\dfrac{1}{4}$ on obtient le point de coordonnées $(1;1;0,25)$ qui appartient à la droite $(CG)$. Les droites $\Delta$ et $(CG)$ sont donc sécantes.
    $\quad$

 

Ex 4 spé

Exercice 4

Partie A : Quelques exemples de matrices appartenant à l’ensemble $S$

  1. On a $6\times (-4)-5\times (-5)=-24+25=1$. Donc $A\in S$.
    $\quad$
  2. On veut que $ad-6=1 \ssi ad=7$ avec $a$ et $d$ entiers relatifs.
    $7$ est un nombre premier.
    Par conséquent $a=1$ et $d=7$
    ou $a=7$ et $d=1$
    ou $a=-1$ et $d=-7$
    ou $a=-7$ et $d=-1$.
    Il existe donc exactement quatre matrices de la forme souhaitée qui sont $\begin{pmatrix} 1&2\\3&7\end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 7&2\\3&1\end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} -1&2\\3&-7\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} -7&2\\3&-1\end{pmatrix}$.
    $\quad$
  3. a. On a $5\times 1-2\times 2=5-4=1$. Le couple $(1;2)$ est donc solution de l’équation $(E)$.
    On considère une autre solution $(x;y)$ de $(E)$
    Ainsi : $5\times 1-2\times 2=1$ et $5x-2y=1$.
    Par différence on a $5(1-x)-2(2-y)=0$ soit $5(1-x)=2(2-y)$.
    $5$ et $2$ sont premiers entre eux.
    D’après le théorème de Gauss, il existe un entier relatif $k$ tel que $1-x=2k$ et $2-y=5k$ soit $x=1-2k$ et $y=2-5k$.
    $\quad$
    Réciproquement : soit $k$ un entier relatif.
    $5(1-2k)-2(2-5k)=5-10k-4+10k=1$.
    Les solutions de $(E)$ sont les couples de la forme $(1-2k;2-5k)$ pour $k\in\Z$.
    $\quad$
    b. $A\in S\ssi 5a-2b=1$
    D’après la question précédente $(a,b)=(1-2k;2-5k)$ pour $k\in\Z$ sont solutions de cette équation.
    Il existe ainsi une infinité de matrices solutions qui s’écrivent alors :
    $$\begin{pmatrix}1-2k&2-5k\\2&5\end{pmatrix} \quad k\in\Z$$
    $\quad$

Partie B : Quelques propriétés des matrices appartenant à l’ensemble $S$

  1. On a $ad-bc=1 \ssi a\times d+b\times (-x)=1$. D’après le théorème de Bezout les nombres $a$ et $b$ sont premiers entre eux.
    $\quad$
  2. a. On a $AB=\begin{pmatrix} ad-bc&0\\0&ad-bc\end{pmatrix}=I$.
    $\quad$
    b. Ainsi $A$ est inversible et $A^{-1}=B$.
    $\quad$
    c. On a $da-(-b)\times (-c)=ad-bc=1$.
    Donc $A^{-1}\in S$.
    $\quad$
  3. a. On a :
    $\begin{align*} \begin{pmatrix}x’\\y’\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} &\ssi
    \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=A^{-1}\begin{pmatrix}x’\\y’\end{pmatrix} \\
    &\ssi \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}dx’-by’\\-cx’+ay’\end{pmatrix}\end{align*}$
    $\quad$
    b. $D’$ divise à la fois $x’$ et $y’$ il divise donc également $x=dx’-by’$ et $y=ay’-cx’$.
    Par conséquent $D$ divise $D’$.
    On a également $x’=ax+by$ et $y’=cx+dy$
    Donc, pour la même raison, $D$ divise également $x’$ et $y’$.
    Ainsi $D’$ divise $D$.
    Par conséquent $D=D’$.
    $\quad$
  4. On a: $2019=3\times 673$.
    Le PGCD de $x_0$ et $y_0$ est donc $673$.
    D’après la question précédente $673$ est également le PGCD des entiers $x_n$ et $y_n$.
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1     6 points

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur l’ensemble $\R$ des nombres réels par : $$f(x)=\dfrac{7}{2}-\dfrac{1}{2}\left(\e^x+\e^{-x}\right)$$

  1. a. Déterminer la limite de la fonction $f$ en  $+\infty$.
    $\quad$
    b. Montrer que la fonction $f$ est strictement décroissante sur l’intervalle $[0; +\infty[$.
    $\quad$
    c. Montrer que l’équation $f(x)=0$ admet, sur l’intervalle $[0;+\infty[$, une unique solution, qu’on note $\alpha$.
    $\quad$
  2. En remarquant que, pour tout réel $x$, $f(-x)=f(x)$, justifier que l’équation $f(x) = 0$ admet exactement deux solutions dans $\R$ et qu’elles sont opposées.
    $\quad$

Partie B

Les serres en forme de tunnel sont fréquemment utilisées pour la culture des plantes fragiles ; elles limitent les effets des intempéries ou des variations de température.
Elles sont construites à partir de plusieurs arceaux métalliques identiques qui sont ancrés au sol et supportent une bâche en plastique.

Le plan est rapporté à un repère orthonormé d’unité 1 mètre. La fonction $f$ et le réel $\alpha$ sont définis dans la partie A. Dans la suite de l’exercice, on modélise un arceau de serre par la courbe $\mathscr{C}$ de la fonction $f$ sur
l’intervalle $[-\alpha;\alpha]$.
On a représenté ci-dessous la courbe $\mathscr{C}$ sur l’intervalle $[-\alpha;\alpha]$.

On admettra que la courbe $\mathscr{C}$ admet l’axe des ordonnées pour axe de symétrie.

  1. Calculer la hauteur d’un arceau.
    $\quad$
  2. a. Dans cette question, on se propose de calculer la valeur exacte de la longueur de la courbe $\mathscr{C}$ sur l’intervalle $[0; \alpha]$. On admet que cette longueur est donnée, en mètre, par l’intégrale : $$I=\int_0^{\alpha} \sqrt{1+\left(f'(x)\right)^2}\dx$$
    Montrer que pour tout réel $x$, on a $1+\left(f'(x)\right)^2=\dfrac{1}{4}\left(\e^x+\e^{-x}\right)^2$.
    $\quad$
    b. En déduire la valeur de l’intégrale $I$ en fonction de $\alpha$.
    Justifier que la longueur d’un arceau, en mètre, est égale à : $\e^{\alpha}-\e^{-\alpha}$.
    $\quad$

Partie C

On souhaite construire une serre de jardin en forme de tunnel.
On fixe au sol quatre arceaux métalliques, dont la forme est celle décrite dans la partie précédente, espacés de $1,5$ mètre, comme indiqué sur le schéma ci-dessous.
Sur la façade sud, on prévoit une ouverture modélisée sur le schéma par le rectangle $ABCD$ de largeur $1$ mètre et de longueur $2$ mètres.

On souhaite connaître la quantité, exprimée en m², de bâche plastique nécessaire pour réaliser cette serre.
Cette bâche est constituée de trois parties, l’une recouvrant la façade nord, l’autre la façade sud (sauf l’ouverture), la troisième partie de forme rectangulaire recouvrant le dessus de la serre.

  1. Montrer que la quantité de bâche nécessaire pour recouvrir les façades sud et nord est donnée, en m$^2$ , par : $$\mathscr{A}=4\int_0^{\alpha}f(x)\dx-2$$
    $\quad$
  2. On prend $1,92$ pour valeur approchée de $\alpha$. Déterminer, au m$^2$ près, l’aire totale de la bâche plastique nécessaire pour réaliser cette serre.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

Une plateforme informatique propose deux types de jeux vidéo : un jeu de type A et un jeu de type B.

Partie A

Les durées des parties de type A et de type B, exprimées en minutes, peuvent être modélisées respectivement par deux variables aléatoires notées $X_A$ et $X_B$.
La variable aléatoire $X_A$ suit la loi uniforme sur l’intervalle $[9; 25]$.
La variable aléatoire $X_B$ suit la loi normale de moyenne $\mu$ et d’écart type $3$. La représentation graphique de la fonction de densité de cette loi normale et son axe de symétrie sont donnés ci-dessous.

  1. a. Calculer la durée moyenne d’une partie de type A.
    $\quad$
    b. Préciser à l’aide du graphique la durée moyenne d’une partie de type B.
    $\quad$
  2. On choisit au hasard, de manière équiprobable, un type de jeu. Quelle est la probabilité que la durée d’une partie soit inférieure à $20$ minutes ? On donnera le résultat arrondi au centième.
    $\quad$

Partie B

On admet que, dès que le joueur achève une partie, la plateforme lui propose une nouvelle partie selon le modèle suivant :

  • si le joueur achève une partie de type A, la plateforme lui propose de jouer à nouveau une partie de type A avec une probabilité de $0,8$ ;
  • si le joueur achève une partie de type B, la plateforme lui propose de jouer à nouveau une partie de type B avec une probabilité de $0,7$.

Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1$, on note $A_n$ et $B_n$ les évènements :
$A_n$ : « la $n$-ième partie est une partie de type A. »
$B_n$ : « la $n$-ième partie est une partie de type B. »
Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1$, on note $a_n$ la probabilité de l’évènement $A_n$.

  1. a. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous.

    $\quad$
    b. Montrer que pour tout entier naturel $n \pg 1$, on a : $$a_{n+1}=0,5a_n+0,3$$
    $\quad$

Dans la suite de l’exercice, on note $a$ la probabilité que le joueur joue au jeu A lors de sa première partie, où $a$ est un nombre réel appartenant à l’intervalle $[0; 1]$. La suite $\left(a_n\right)$ est donc définie par :
$a_1=a$, et pour tout entier naturel $n\pg 1, $a_{n+1}=0,5a_n+0,3$.

  1. Étude d’un cas particulier : Dans cette question, on suppose que $a = 0,5$.
    a. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n\pg 1$, on a : $0\pg a_n \pg 0,6$.
    $\quad$
    b. Montrer que la suite $\left(a_n\right)$ est croissante.
    $\quad$
    c. Montrer que la suite $\left(a_n\right)$ est convergente et préciser sa limite.
    $\quad$
  2. Étude du cas général : Dans cette question, le réel $a$ appartient à l’intervalle $[0; 1]$.
    On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n>1 1$ par : $u_n=a_n-0,6$.
    a. Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique.
    $\quad$
    b. En déduire que pour tout entier naturel $n \pg 1$ on a : $a_n= (a-0,6)\times 0,5^{n-1}+0,6$.
    $\quad$
    c. Déterminer la limite de la suite $\left(a_n\right)$. Cette limite dépend-elle de la valeur de $a$ ?
    $\quad$
    d. La plateforme diffuse une publicité insérée en début des parties de type A et une autre publicité insérée en début des parties de type B. Quelle devrait être la publicité la plus vue par un joueur s’adonnant intensivement aux jeux vidéo ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     4 points

Les cinq questions de cet exercice sont indépendantes.
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie.
Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte. Une absence de réponse n’est pas pénalisée.

  1. Dans l’ensemble $\C$ des nombres complexes, on considère l’équation $(E)~~ :~~  z^2-2\sqrt{3}z+4=0$.
    On note $A$ et $B$ les points du plan dont les affixes sont les solutions de $(E)$.
    Affirmation 1 : Le triangle $OAB$ est équilatéral.
    $\quad$
  2. On note $u$ le nombre complexe : $u=\sqrt{3}+\ic$ et on note $\conj{u}$ son conjugué.
    Affirmation 2 : $u^{2019}+\conj{u}^{2019}=2^{2019}$.
    $\quad$
  3. Soit $n$ un entier naturel non nul. On considère la fonction $f_n$ définie sur l’intervalle $[0; +\infty[$ par : $$f_n(x)=x\e^{-nx+1}$$
    Affirmation 3 : Pour tout entier naturel $n\pg 1$, la fonction $f_n$ admet un maximum.
    $\quad$
  4. On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $\R$ par : $f(x)=\cos(x)\e^{-x}$.
    Affirmation 4 : La courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote en $+\infty$.
    $\quad$
  5. Soit $A$ un nombre réel strictement positif.
    On considère l’algorithme ci-dessous.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    I\leftarrow 0\\
    \text{Tant que }2^I\pp A\\
    \hspace{1cm} I\leftarrow I+1\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    On suppose que la variable $I$ contient la valeur $15$ en fin d’exécution de cet algorithme.
    Affirmation 5 : $15 \ln(2) \pp ln(A) \pp 16 \ln(2)$
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     5 points

pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante.

On considère un cube $ABCDEFGH$ d’arête de longueur $1$, dont la figure est donnée en annexe.
On note $I$ le milieu du segment $[EF]$, $J$ le milieu du segment $[EH]$ et $K$ le point du segment $[AD]$ tel que $\vect{AK}=\dfrac{1}{4}\vect{AD}$.
On note $\mathcal{P}$ le plan passant par $I$ et parallèle au plan $(FHK)$.
$\quad$

Partie A

Dans cette partie, les constructions demandées seront effectuées sans justification sur la figure donnée en annexe, à rendre avec la copie.

  1. Le plan $(FHK)$ coupe la droite $(AE)$ en un point qu’on note $M$. Construire le point $M$.
    $\quad$
  2. Construire la section du cube par le plan $\mathcal{P}$.
    $\quad$

Partie B

Dans cette partie, on munit l’espace du repère orthonormé $\left(A;\vect{AB};\vect{AD};\vect{AE}\right)$.
On rappelle que $\mathcal{P}$ est le plan passant par $I$ et parallèle au plan $(FHK)$.

  1. a. Montrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}4\\4\\3\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(FHK)$.
    $\quad$
    b. En déduire qu’une équation cartésienne du plan $(FHK)$ est : $4x+4y-3z-1=0$.
    $\quad$
    c. Déterminer une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$.
    $\quad$
    d. Calculer les coordonnées du point $M′$, point d’intersection du plan $\mathcal{P}$ et de la droite $(AE)$.
    $\quad$
  2. On note $\Delta$ la droite passant par le point $E$ et orthogonale au plan $\mathcal{P}$.
    a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$.
    $\quad$
    b. Calculer les coordonnées du point $L$, intersection de la droite $\Delta$ et du plan $(ABC)$.
    $\quad$
    c. Tracer la droite $\Delta$ sur la figure donnée en annexe, à rendre avec la copie.
    $\quad$
    d. Les droites $\Delta$ et $(BF)$ sont-elles sécantes ? Qu’en est-il des droites $\Delta$ et $(CG)$ ? Justifier.
    $\quad$

Annexe


$\quad$

Exercice 4     5 points

pour les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

On note $\Z$ l’ensemble des entiers relatifs.
Dans cet exercice, on étudie l’ensemble $S$ des matrices $A$ qui s’écrivent sous la forme $A=\begin{pmatrix} a&b\\c&d\end{pmatrix}$, où $a$, $b$, $c$ et $d$ appartiennent à l’ensemble $\Z$ et vérifient : $ad-bc=1$.
On note $I$ la matrice identité $I=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$.

Partie A : Quelques exemples de matrices appartenant à l’ensemble $S$

  1. . Vérifier que la matrice $A=\begin{pmatrix}6&5\\-5&-4\end{pmatrix}$
    appartient à l’ensemble $S$.
    $\quad$
  2. Montrer qu’il existe exactement quatre matrices de la forme $A=\begin{pmatrix}a&2\\3&d\end{pmatrix}$ appartenant à l’ensemble $S$ ; les expliciter.
    $\quad$
  3. a. Résoudre dans $\Z$ l’équation $(E) ∶ 5x-2y=1$. On pourra remarquer que le couple $(1;2)$ est une solution particulière de cette équation.
    $\quad$
    b. En déduire qu’il existe une infinité de matrices de la forme $A=\begin{pmatrix}a&b\\2&5\end{pmatrix}$ qui appartiennent à l’ensemble $S$. Décrire ces matrices.
    $\quad$

Partie B : Quelques propriétés des matrices appartenant à l’ensemble $S$

Dans cette partie, on note $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ une matrice appartenant à l’ensemble $S$. On rappelle que $a$, $b$, $c$ et $d$ sont des nombres entiers relatifs tels que $ad-bc=1$.

  1. Montrer que les entiers $a$ et $b$ sont premiers entre eux.
    $\quad$
  2. Soit $B$ la matrice : $B=\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$.
    a. Calculer le produit $AB$. On admet que l’on a $AB = BA$.
    $\quad$
    b. En déduire que la matrice $A$ est inversible et donner sa matrice inverse $A^{-1}$.
    $\quad$
    c. Montrer que la matrice $A^{-1}$ appartient à l’ensemble $S$.
    $\quad$
  3. Soient $x$ et $y$ deux entiers relatifs. On note $x’$ et $y’$ les entiers relatifs tels que $\begin{pmatrix} x’\\y’\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$.
    a. Montrer que $x=dx’-by’$. On admet de même que $y=ay’-cx’$.
    $\quad$
    b. On note $D$ le PGCD de $x$ et $y$ et on note $D’$ le PGCD de $x’$ et $y’$. Montrer que $D=D’$.
    $\quad$
  4. On considère les suites d’entiers naturels $\left(x_n\right)$ et $\left(y_n\right)$ définies par : $x_0= 2019$, $y_0 = 673$ et pour tout
    entier naturel $n$ : $\begin{cases}x_{n+1}=2x_n+3y_n\\y_{n+1}=x_n+2y_n\end{cases}$.
    En utilisant la question précédente, déterminer, pour tout entier naturel $n$, le PGCD des entiers$x_n$ et $y_n$.
    $\quad$

 

 

Bac S – Pondichéry / Centres étrangers – Juin 2019

Pondichéry / Centres étrangers – Juin 2019

Bac S – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici .

Ex 1

Exercice 1     

  1. On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de clients pratiquant le surf.
    On effectue $80$ tirages aléatoires, indépendants, identiques. À chaque tirage il y a deux issues :
    – $S$ : “le client pratique le surf”;
    – $\conj{S}$ : “le client ne pratique pas le surf”.
    De plus $p(S)=0,25$
    La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=80$ et $p=0,25$.
    Par conséquent :
    $P(X=20)=\ds \binom{80}{20}\times 0,25^{20}\times 0,75^{60}\approx 0,103$
    Réponse d
    $\quad$
  2. On a $P(X\pg 200)=P(X\pg 150+50)=0,025$
    Donc $P(X\pp 150-50)=0,025$ soit $P(X\pp 100)=0,025$.
    Ainsi $P(X\pg 100)=1-0,025=0,975$.
    Réponse d
    $\quad$
  3. $E(T)=5$ par conséquent la variable aléatoire suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda=\dfrac{1}{5}=0,2$.
    Ainsi $P(T\pg 5)=\e^{-0,2\times 5}=\e^{-1}$
    Réponse c
    $\quad$
  4. L’amplitude d’un intervalle de confiance au niveau de confiance $0,95$ est :
    $a=f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\left(f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right)=\dfrac{2}{\sqrt{n}}$.
    On veut donc que $\dfrac{2}{\sqrt{n}}=0,04 \ssi \sqrt{n}=\dfrac{2}{0,04}$.
    Donc $\sqrt{n}=50$ et $n=2~500$.
    Réponse b
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2     

Partie A

  1. Si $u_1=0$ alors :
    $u_2=(1+1)\times u_1-1=2\times 0-1=-1$
    $u_3=(2+1)\times u_2-1=3\times (-1)-1=-4$
    $u_4=(3+1)\times u_3-1=4\times (-4)-1=-17$
    $\quad$
  2. On a l’algorithme suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{Pour $N$ allant de $1$ à $12$}\\
    \hspace{1cm} U\leftarrow (N+1)\times U-1\\
    \text{Fin Pour}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  3. Si $u_1=0,7$ alors il semblerait que la limite de cette suite soit $-\infty$.
    Si $u_1=0,8$ alors il semblerait que la limite de cette suite soit $+\infty$.
    $\quad$

Partie B

  1. La fonction $F$ est dérivable sur l’intervalle $[0;1]$ en tant que composée et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0;1]$ on a :
    $\begin{align*} F'(x)&=-1\times \e^{1-x}+(-1-x)\times (-1)\times \e^{1-x} \\
    &=(-1+1+x)\e^{1-x}\\
    &=x\e^{1-x}\\
    &=f(x)\end{align*}$
    La fonction $F$ est donc une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;1]$.
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} \ds I_1&=\int_0^1 x\e^{1-x}\dx \\
    &=F(1)-F(0)\\
    &=-2-(-1)\e^1 \\
    &=\e-2\end{align*}$
    $\quad$
  3. On a $I_1=\e-2$ et
    $I_2=(1+1)I_1-1=2(\e-2)-1=2\e-5$
    $\quad$
  4. a. On a $0\pp x\pp 1$ donc $-1\pp x \pp 0$ et $0\pp 1-x\pp 1$
    La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\R$.
    Ainsi $\e^0\pp \e^{1-x}\pp \e^1$
    Donc $1\pp \e^{1-x} \pp \e$
    En multipliant chaque terme de ces inégalités par $x^n$, réel positif, on obtient, pour tout entier naturel $n$ :
    $x^n\pp x^n\e^{1-x}x^\e$.
    Puisque $x\in [0;1]$ on a également $x^n\in [0;1]$ en particulier $x^n\pg 0$.
    Par conséquent $0\pp x^n\e^{1-x}\pp x^n\e$.
    $\quad$
    b. On a, pour tout entier naturel $n$ :
    $\begin{align*} \ds \int_0^1 x^n\e \dx &=\left[\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\e\right]_0^1 \\
    &=\dfrac{\e}{n+1}\end{align*}$
    c. On intègre sur l’intervalle $[0;1]$ l’inégalité obtenue à la question 4.a.
    Ainsi :
    $\ds \int_0^1 0\dx \pp \int_0^1 x^n\e^{1-x}\dx \pp \int_0^1 x^n\e \dx $
    Par conséquent $0\pp I_n\pp \dfrac{\e}{n+1}$.
    $\quad$
    d. On a $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{\e}{n+1}=0$ et $0\pp I_n\pp \dfrac{\e}{n+1}$.
    D’après le théorème des gendarmes, on a alors $\lim\limits_{n\to +\infty} I_n=0$.
    $\quad$

Partie C

  1. Initialisation : Si $n=1$ on a :
    $1!\left(u_1-\e+2\right)+I_1=u_1-\e+2+\e-2=u_1$.
    La propriété est vraie au rang $1$.
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ où $n$ est un entier naturel non nul. On a alors $u_n=n!\left(u_1-\e+2\right)+I_n$.
    Montrons qu’elle est vraie au rang suivant, c’est-à-dire $u_{n+1}=(n+1)!\left(u_1-\e+2\right)+I_{n+1}$.
    $\begin{align*} u_{n+1}&=(n+1)u_n-1 \\
    &=(n+1)n!\left(u_1-\e+2\right)+(n+1)I_n-1\\
    &=(n+1)!\left(u_1-\e+2\right)+I_{n+1}\end{align*}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a : $u_n=n!\left(u_1-\e+2\right)+I_n$.
    $\quad$
  2. a. Si $u_1=0,7$ alors $u_1-\e+2\approx -0,018<0$.
    Donc $\lim\limits_{n\to +\infty} n!\left(u_1-\e+2\right)=-\infty$. De plus $\lim\limits_{n\to +\infty} I_n=0$.
    Donc $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=-\infty$.
    $\quad$
    b. Si $u_1=0,8$ alors $u_1-\e+2\approx 0,082>0$.
    Donc $\lim\limits_{n\to +\infty} n!\left(u_1-\e+2\right)=+\infty$. De plus $\lim\limits_{n\to +\infty} I_n=0$.
    Donc $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=+\infty$.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3   

Partie A : étude d’exemples

  1. Un premier exemple
    a.
    $z^2=\ic^2=-1$
    $\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{\ic}=\dfrac{1}{\ic}\times \dfrac{\ic}{\ic}=\dfrac{\ic}{-1}=-\ic$.
    $\quad$
    b. Voir le graphique à la fin de l’exercice.
    $\quad$
    L’affixe du vecteur $\vect{AN_1}$ est $z_{\vect{AN_1}}=-2$ et celle du vecteur $\vect{AP_1}$ est $z_{\vect{AP_1}}=-\ic-1$.
    Ces deux vecteurs ne sont clairement pas colinéaires et les points $A, N_1$ et $P_1$ ne sont pas alignés.
    $\quad$
  2. Une équation
    On a l’équation $z^2+z+1=0$
    $\Delta=1^2-4\times 1\times 1=-3<0$.
    Les solutions de cette équation sont donc $z_1=\dfrac{-1-\ic \sqrt{3}}{2}$ et $z_2=\dfrac{-1+\ic \sqrt{3}}{2}$.
    $\quad$
  3. Un deuxième exemple
    a.
    On a $|z|=\left|-\dfrac{1}{2}+\ic\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right|=1$
    Donc $z=\e^{2\ic \pi/3} $
    $\quad$
    Ainsi $z^2=\e^{2\times 2\ic\pi/3}=\e^{4\ic\pi/3}$
    et $\dfrac{1}{z}=\e^{-2\ic \pi/3}$.
    $\quad$
    b. Voir le graphique à la fin de l’exercice.$\quad$
    $z^2=\e^{4\ic\pi/3}=\e^{4\ic\pi/3-2\pi}=\e^{-2\ic\pi/3}=\dfrac{1}{z}$.
    Les points $N_2$ et $P_2$ sont confondus.
    Par conséquent, les points $A, N_2$ et $P_2$ sont alignés.
    $\quad$

Partie B : étude du cas général

  1. Pour tout nombre $z$ différent de $0$ on a :
    $\begin{align*} \left(z^2+z+1\right)\left(1-\dfrac{1}{z}\right) &=z^2-z+z-1+1-\dfrac{1}{z} \\
    &=z^2-\dfrac{1}{z}\end{align*}$
    $\quad$
  2. On considère un nombre complexe $z$ non nul.
    L’affixe du vecteur $\vect{PN}$ est $z^2-\dfrac{1}{z}$.
    L’affixe du vecteur $\vect{PA}$ est $1-\dfrac{1}{z}$.
    Ces deux vecteurs sont colinéaires si, et seulement si, il existe un réel $k$ tel que $z^2-\dfrac{1}{z}=k\left(1-\dfrac{1}{z}\right)$.
    $\ssi \left(z^2+z+1\right)\left(1-\dfrac{1}{z}\right) =k\left(1-\dfrac{1}{z}\right)$
    $\ssi z^2+z+1=k$ ou $z=1$
    $\ssi z^2+z+1\in \R$ ou $z=1$
    $\ssi z^2+z+1\in \R$ (en effet si $z=1$ alors $z^2+z+1=3 \in \R)$.
    $\quad$
  3. Soient $x$ et $y$ des nombres réels et $z=x+\ic y$.
    $\begin{align*} z^2+z+1&=(x+\ic y)^2+x+\ic y+1 \\
    &=x^2+2\ic xy-y^2+x+\ic y+1\\
    &=x^2-y^2+x+1+\ic(2xy+y)\end{align*}$
    $\quad$
  4. a. $z^2+z+1$ est un réel si, et seulement si, $2xy+y=0$
    si, et seulement si, $y(2x+1)=0$
    si, et seulement si, $y=0$ ou $2x+1=0$
    si, et seulement si, $y=0$ ou $x=-\dfrac{1}{2}$
    Ainsi l’ensemble cherché la réunion des droites d’équation $y=0$ (l’axe des abscisses) et $x=-\dfrac{1}{2}$ privé du point $O$.
    b. On obtient la figure suivante :
    $\quad$

Ex 4 obl

Exercice 4     

  1. a. On a $P(2;0;0)$, $Q(0;0;2)$ et $\Omega(3;3;3)$
    $\quad$
    b. On a $\vect{PQ}(-2;0;2)$, $R(0;4;6)$ et $\vect{PR}(-2;4;6)$.
    Si le vecteur $\vec{n}$ est normal au plan $(PQR)$ on a alors :
    $\vec{n}.\vect{PQ}=0 \ssi -2+0+2c=0 \ssi c=1$ et
    $\vec{n}.\vect{PR}=0 \ssi -2+4b+6c=0 \ssi -2+4b+6=0\ssi b=-1$.
    $\quad$
    c. Le vecteur $\vec{n}(1;-1;1)$ est normal au plan $(PQR)$. Une équation cartésienne de ce plan est alors de la forme $x-y+z+d=0$
    Le point $P(2;0;0)$ appartient au plan.
    Donc $2-0+0+d=0 \ssi d=-2$
    Une équation cartésienne du plan $(PQR)$ est donc $x-y+z-2=0$.
    $\quad$
  2. a. Le vecteur $\vec{n}$ est un vecteur directeur de la droite $\Delta$.
    Une représentation paramétrique de cette droite est donc $$\begin{cases} x=t+3\\y=-t+3\\z=t+3\end{cases} \quad, t\in\R$$
    $\quad$
    b. Par définition, le plan $(PQR)$ et la droite $\Delta$ sont sécants. Montrons que le point $I\left(\dfrac{8}{3};\dfrac{10}{3};\dfrac{8}{3}\right)$ appartient à la fois à la droite et au plan.
    Si $t=-\dfrac{1}{3}$ alors : $\begin{cases} x=-\dfrac{1}{3}+3=\dfrac{8}{3}\\y=\dfrac{1}{3}+3=\dfrac{10}{3}\\z=-\dfrac{1}{3}+3=\dfrac{8}{3}\end{cases}$.
    Donc $I\in \Delta$
    $\quad$
    $\begin{align*} &\dfrac{8}{3}-\dfrac{10}{3}+\dfrac{8}{3}-2\\
    &=\dfrac{6}{3}-2 \\
    &=0\end{align*}$
    Le point $I$ appartient également au plan $(PQR)$.
    Par conséquent, le point d’intersection de la droite $\Delta$ et du plan $(PQR)$ est $I\left(\dfrac{8}{3};\dfrac{10}{3};\dfrac{8}{3}\right)$.
    $\quad$
    c. $\Omega I^2=\left(\dfrac{8}{3}-3\right)^2+\left(\dfrac{10}{3}-3\right)^2+\left(\dfrac{8}{3}-3\right)^2=\dfrac{1}{3}$
    Par conséquent $\Omega I=\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
    $\quad$
  3. a. $6-4+0-2=6-6=0$ donc $J\in (PQR)$.
    $\quad$
    b. On a$\vect{JK}(0;2;2)$ et $\vect{QR}(0;4;4)$
    Ainsi $\vect{QR}=2\vect{JK}$
    Ces deux vecteurs sont colinéaires. Les droites $(JK)$ et $(QR)$ sont donc parallèles.
    $\quad$
    c. On place le point $J(6;4;0)$ (on reporte la distance $HR$ à partir de $C$).
    On trace la parallèle à la droite $(QR)$ passant par $J$. Elle coupe la droite $(GC)$ en $K$.
    On trace la parallèle à la droite $(PJ)$ passant par $R$. Elle coupe la droite $(HG)$ en $S$.

    $\quad$

Ex 4 spé

Exercice 4     

Partie A

  1. On a $29+11=40$ et les nombres $29$ et $11$ sont deux nombres premiers.
    $\quad$
  2. On a $20\times 2+19\times 0=40$. Le couple $(2;0)$ est donc solution de l’équation $20x+19y=40$.
    On considère un couple solution $(x;y)$ de cette même équation.
    Ainsi $20\times 2+19\times 0=40$ et $20x+19y=40$.
    Par différence on a $20 (2-x)+19(-y)=0$.
    Soit $20(2-x)=19y$.
    $19$ et $20$ sont premiers entre eux.
    D’après le théorème de Gauss, il existe alors un entier relatif $k$ tel que $y=20k$ et $2-x=19k$
    Soit $x=2-19k$ et $y=20k$.
    $\quad$
    Réciproquement, on considère un entier relatif $k$.
    $20(2-19k)+19\times 20k=40-380k+380k=40$.
    Ainsi la solution de l’équation $(20x+19y=40$ est l’ensemble des couples $(2-19k;20k)$ pour $k\in \Z$.
    $\quad$
  3. a. $40=8\times 5=2^3\times 5$
    $\quad$
    b. Supposons que $x-y$ soit pair. Il existe alors un entier relatif $k$ tel que $x-y=2k$.
    $(x-y)+(x+y)=2x$ soit $2k+x+y=2x$.
    Par conséquent $x+y=2(x-k)$ et $x+y$ est pair.
    $\quad$
    Supposons maintenant que $x-y$ soit impair. Il existe alors un entier relatif $k$ tel que $x-y=2k+1$.
    $(x-y)+(x+y)=2x$ soit $2k+1+x+y=2x$.
    Par conséquent $x+y=2(x-k)-1$ et $x+y$ est impair.
    $\quad$
    $x+y$ et $x-y$ ont donc la même parité.
    $\quad$
    c. $x^2-y^2=40\ssi (x+y)(x-y)=2^3\times 5$.
    Puisque $5$ et $2^3$ n’ont pas la même parité, on ne peut pas avoir $x+y=5$ et $x-y=2^3$ ou $x+y=2^3$ et $x-y=5$.
    Pour la même raison, on ne peut pas avoir $x+y=1$ et $x-y=40$ ou $x+y=40$ et $x-y=1$.
    Les seules possibilités pour les couples $(x+y;x-y)$ sont donc $(4;10)$, $(10;4)$, $(2;20)$ et $(20;2)$.
    $\begin{cases}x+y=4\\x-y=10\end{cases} \ssi \begin{cases}x=7\\y=-3\end{cases}$
    $\begin{cases}x+y=10\\x-y=4\end{cases} \ssi \begin{cases} x=7\\y=3\end{cases}$
    $\begin{cases} x+y=2\\x-y=20\end{cases} \ssi \begin{cases} x=11\\y=-9\end{cases}$
    $\begin{cases} x+y=20\\x-y=2\end{cases}\ssi \begin{cases} x=11\\y=9\end{cases}$
    $x$ et $y$ devant être des entiers naturels, les solutions de l’équation $x^2-y^2=40$ sont donc les couples $(7;3)$ et $(11;9)$.
    $\quad$

Partie B : « sommes » de cubes

  1. a. $40=27+13=3^3+1^3+7^3+10^3-11^3$.
    $\quad$
    b. On a
    $\begin{align*} 48&=6\times 8 \\
    &=(8+1)^3+(8-1)^3-8^3-8^3\\
    &=9^3+7^3-8^3-8^3\end{align*}$
    $\quad$
    Or $40=48-8=9^3+7^3-8^3-8^3-2^3$
    $\quad$
  2. a. On a :
    $\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \begin{array}{l}\text{Reste de la division}\\\text{euclidienne de $n$ par $9$}\end{array}&0&1&2&3&4&5&6&7&8\\
    \hline
    \begin{array}{l}\text{Reste de la division}\\\text{euclidienne de $n^3$ par $9$}\end{array}&0&1&8&0&1&8&0&1&8\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    b. Or $8\equiv -1~[9]$ donc, pour tout entier naturel $n$ on a $n^3$ est congru modulo $9$ soit à $0$, soit à $1$ soit à $-1$.
    Par conséquent, la somme de $3$ cubes est congrue modulo $9$ appartient à $\left\{-3;-2;-1;0;1;2;3\right\}$.
    Mais $40\equiv 4~[9]$.
    Donc $40$ ne peut pas être décomposé en « somme »de $3$ cubes.
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1     4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (Q.C.M.) qui envisage quatre situations relatives à une station de ski.
Les quatre questions sont indépendantes.

Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse exacte. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte un point, une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.

  1. Une étude statistique a établi qu’un client sur quatre pratique le surf.
    Dans une télécabine accueillant $80$ clients de la station, la probabilité arrondie au millième qu’il y ait exactement 20 clients pratiquant le surf est :
    a. $0,560$
    b. $0,25$
    c. $1$
    d. $0,103$
    $\quad$
  2. L’épaisseur maximale d’une avalanche, exprimée en centimètre, peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale de moyenne $\mu = 150$ cm et d’écart-type inconnu.
    On sait que $P(X \pg  200)= 0,025$ . Quelle est la probabilité $P( X \pg 100)$ ?
    a. On ne peut pas répondre car il manquent des éléments dans l’énoncé.
    b. $0,025$
    c. $0,95$
    d. $0,975$
    $\quad$
  3. Dans un couloir neigeux, on modélise l’intervalle de temps séparant deux avalanches successives, appelé temps d’occurrence d’une avalanche, exprimé en année, par une variable aléatoire $T$ qui suit une loi exponentielle.
    On a établi qu’une avalanche se déclenche en moyenne tous les $5$ ans. Ainsi $E (T ) = 5$ .
    La probabilité $P (T \pg 5)$ est égale à :
    a. $0,5$
    b. $1-\e^{-1}$
    c. $\e^{-1}$
    d. $\e^{-25}$
    $\quad$
  4. L’office de tourisme souhaite effectuer un sondage pour estimer la proportion de clients satisfaits des prestations offertes dans la station de ski.
    Pour cela, il utilise un intervalle de confiance de longueur 0,04 avec un niveau de confiance de $0,95$.
    Le nombre de clients à interroger est :
    a. $50$
    b. $2~500$
    c. $25$
    d. $625$
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     6 points

Le but de cet exercice est d’étudier la suite $\left(u_n\right)$ définie par la donnée de son premier terme $u_1$ et, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1$, par la relation : $$u_{n+1}=(n+1)u_n-1$$

Partie A

  1. Vérifier, en détaillant le calcul, que si $u_1= 0$ alors $u_4=-17$.
    $\quad$
  2. Recopier et compléter l’algorithme ci-dessous pour qu’en saisissant préalablement dans $U$ une valeur de $u_1$, il calcule les termes de la suite $\left(u_n\right)$ de $u_2$ à $u_{13}$.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{Pour $N$ allant de $1$ à $12$}\\
    \hspace{1cm} U\leftarrow\\
    \text{Fin Pour}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  3. On a exécuté cet algorithme pour $u_1=0,7$ puis pour $u_1= 0,8$ .
    Voici les valeurs obtenues.
    $$\begin{array}{|r|r|}
    \hline
    \hspace{1cm}\text{Pour }u_1=0,7\hspace{1cm}&\hspace{1cm}\text{Pour }u_1=0,8\hspace{1cm}\\
    \hline
    0,4&0,6\\
    0,2&0,8\\
    -0,2&2,2\\
    -2&10\\
    -13&59\\
    -92&412\\
    -737&3295\\
    -6634&29654\\
    -66341&296539\\
    -729752&3261928\\
    -8757025&39143135\\
    -113841326&508860754\\
    \hline
    \end{array}$$
    Quelle semble être la limite de cette suite si $u_1= 0,7$ ? Et si $u_1 = 0,8$ ?
    $\quad$

Partie B

On considère la suite $\left(I_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$, supérieur ou égal à $1$, par : $$I_n=\int_0^1 x^n\e^{1-x}\dx$$
On rappelle que le nombre $e$ est la valeur de la fonction exponentielle en $1$, c’est-à-dire que $\e=\e^1$.

  1. Prouver que la fonction $F$ définie sur l’intervalle $[0;1]$ par $F(x)=(-1-x)\e^{1-x}$ est une primitive sur l’intervalle $[0;1]$ de la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0;1]$ par $f(x)=x\e^{1-x}$.
    $\quad$
  2. En déduire que $I_1=\e-2$.
    $\quad$
  3. On admet que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1$, on a : $$I_{n+1}=(n+1)I_n-1$$
    Utiliser cette formule pour calculer $I_2$.
    $\quad$
  4. a. Justifier que, pour tout nombre réel $x$ de l’intervalle $[0;1]$ et pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1$, on a : $0\pp x^n\e^{1-x}\pp x_n\e$.
    $\quad$
    b. Justifier que $\ds \int_0^1 x^n\e \dx=\dfrac{\e}{n+1}$.
    $\quad$
    c. En déduire que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1$, on a : $0\pp I_n\pp \dfrac{\e}{n+1}$.
    $\quad$
    d. Déterminer $\lim\limits_{n\to +\infty} I_n$.
    $\quad$

Partie C

Dans cette partie, on note $n!$ le nombre défini, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à $1$, par : $$\begin{array}{c}
1!=1\\
2!=2\times 1\\
\text{et si }n\pg 3 :
n!=n\times (n-1)\times \ldots \times 1\end{array}$$
On a ainsi par exemple $$\begin{array}{c}
3!=3\times 2\times 1=3\times (2\times 1)=3\times 2!\\
4!=4\times 3\times 2\times 1=4\times (3\times 2 \times 1)=4\times 3!\\
8!=8\times 7\times 6 \times 5\times 4\times 3\times 2\times 1=8\times (7\times 6 \times 5\times 4\times 3\times 2\times 1)=8\times 7!\end{array}$$
Et, plus généralement : $$(n+1)!=(n+1)\times n!$$

  1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1$, on a : $$u_n=n!\left(u_1-\e+2\right)+I_n$$
    On rappelle que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1$, on a : $$u_{n+1}=(n+1)u_n-1 \quad et \quad I_{n+1}=(n+1)I_n-1$$
    $\quad$
  2. On admet que : $\lim\limits_{n \to +\infty} n!=+\infty$.
    a. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$ lorsque $u_1 = 0,7$.
    $\quad$
    b. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$ lorsque $u_1 = 0,8$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     5 points

Le plan est muni d’un repère orthonormé direct $\Ouv$.
Le but de cet exercice est de déterminer les nombres complexes $z$ non nuls tels que les points d’affixes $1$, $z^2$ et $\dfrac{1}{z}$ soient alignés.
Sur le graphique fourni en annexe, le point $A$ a pour affixe $1$.

Partie A : étude d’exemples

  1. Un premier exemple
    Dans cette question, on pose : $z = \ic$ .
    a. Donner la forme algébrique des nombre complexes $z^2$ et $\dfrac{1}{z}$.
    $\quad$
    b. Placer les points $N_1$ d’affixe $z^2$ et $P_1$ d’affixe $\dfrac{1}{z}$ sur le graphique donné en annexe.
    On remarque que dans ce cas les points $A$, $N_1$
    et $P_1$ ne sont pas alignés.
    $\quad$
  2. Une équation
    Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation d’inconnue $z$ : $z^2+z+1=0$.
    $\quad$
  3. Un deuxième exemple
    Dans cette question, on pose : $z=-\dfrac{1}{2}+\ic\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
    a. Déterminer la forme exponentielle de $z$, puis celles des nombres complexes $z^2$ et $\dfrac{1}{z}$.
    $\quad$
    b. Placer les points $N_2$ d’affixe $z^2$ et $P_2$ d’affixe $\dfrac{1}{z}$ sur le graphique donné en annexe.
    On remarque que dans ce cas les points $A$, $N_2$ et $P_2$ sont alignés.
    $\quad$

Partie B : étude du cas général

Soit $z$ un nombre complexe non nul.
On note $N$ le point d’affixe $z^2$ et $P$ le point d’affixe $\dfrac{1}{z}$.

  1. Établir que, pour tout nombre complexe $z$ différent de $0$, on a : $$z^2-\dfrac{1}{z}=\left(z^2+z+1\right)\left(1-\dfrac{1}{z}\right)$$
    $\quad$
  2. On rappelle que si $\vect{U}$ est un vecteur non nul et $\vect{V}$ un vecteur, d’affixes respectives $z_{\vect{U}}$ et $z_{\vect{V}}$, les vecteurs $\vect{U}$ et $\vect{V}$ sont colinéaires si et seulement si il existe un nombre réel $k$ tel que $z_{\vect{V}}=kz_{\vect{U}}$ .
    En déduire que, pour $z \neq 0$ , les points $A$, $N$ et $P$ définis ci-dessus sont alignés si et seulement si $z^2+z+1$ est un réel.
    $\quad$
  3. On pose $z=x+\ic y$ , où $x$ et $y$ désignent des nombres réels.
    Justifier que : $z^2+z+1=x^2-y^2+x+1+\ic(2xy+y)$.
    $\quad$
  4. a. Déterminer l’ensemble des points $M$ d’affixe $z \neq 0$ tels que les points $A$, $N$ et $P$ soient alignés.
    $\quad$
    b. Tracer cet ensemble de points sur le graphique donné en annexe.
    $\quad$

Annexe

$\quad$

Exercice 4     5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Dans l’espace, on considère un cube $ABCDEFGH$ de centre $\Omega$ et d’arête de longueur $6$.

Les points $P$, $Q$ et $R$ sont définis par : $$\vect{AP}=\dfrac{1}{3}\vect{AB}, \vect{AQ}=\dfrac{1}{3}\vect{AE} \quad \text{et} \quad \vect{HR}=\dfrac{1}{3}\vect{HE}$$
Dans tout ce qui suit on utilise le repère orthonormé $\left(A;\vec{i},\vec{j},\vec{k}\right)$ avec : $$\vec{i}=\dfrac{1}{6}\vect{AB}, \vec{j}=\dfrac{1}{6}\vect{AD} \quad \text{et} \quad \vec{k}=\dfrac{1}{6}\vect{AE}$$
Dans ce repère, on a par exemple : $$B(6;0;0), F(6;0;6) \quad \text{et} \quad R(0;4;6)$$

  1. a. Donner, sans justifier, les coordonnées des points $P$, $Q$ et $\Omega$.
    $\quad$
    b. Déterminer les nombres réels $b$ et $c$ tels que $\vec{n}(1;b;c)$ soit un vecteur normal au plan $(PQR)$.
    $\quad$
    c. En déduire qu’une équation du plan $(PQR)$ est : $x-y+z-2=0$.
    $\quad$
  2. a. On note $\Delta$ la droite perpendiculaire au plan $(PQR)$ passant par le point $\Omega$, centre du cube.
    Donner une représentation paramétrique de la droite $\Delta$.
    $\quad$
    b. En déduire que la droite $\Delta$ coupe le plan $(PQR)$ au point $I\left(\dfrac{8}{3};\dfrac{10}{3};\dfrac{8}{3}\right)$.
    $\quad$
    c. Calculer la distance ${\Omega}I$.
    $\quad$
  3. On considère les points $J(6;4;0)$ et $K(6;6;2)$.
    a. Justifier que le point $J$ appartient au plan $(PQR)$.
    $\quad$
    b. Vérifier que les droites $(JK)$ et $(QR)$ sont parallèles.
    $\quad$
    c. Sur la figure donnée en annexe, tracer la section du cube par le plan $(PQR)$ .
    On laissera apparents les traits de construction, ou bien on expliquera la démarche.
    $\quad$

Annexe

$\quad$

Exercice 4     5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Le but de cet exercice est d’envisager plusieurs décompositions arithmétiques du nombre $40$.

Partie A :

Les questions 1., 2. et 3. sont indépendantes.

  1. Sans justifier, donner deux nombres premiers $x$ et $y$ tels que $40 = x+y$ .
    $\quad$
  2. On considère l’équation $20x+19y=40$ , où $x$ et $y$ désignent deux entiers relatifs.
    Résoudre cette équation.
    $\quad$
  3. Le nombre $40$ est une somme de deux carrés puisque $40=2^2+6^2$. On veut savoir si $40$ est aussi différence de deux carrés, autrement dit on s’intéresse à l’équation$x^2-y^2=40$ , où $x$ et $y$ désignent deux entiers naturels.
    a. Donner la décomposition de $40$ en produit de facteurs premiers.
    $\quad$
    b. Montrer que, si $x$ et $y$ désignent des entiers naturels, les nombres $x-y$ et $x+y$ ont la même parité.
    $\quad$
    c. Déterminer toutes les solutions de l’équation 2$x^2-y^2=40$ , où $x$ et $y$ désignent deux entiers naturels.
    $\quad$

Partie B : « sommes » de cubes

Les questions 1. et 2. sont indépendantes.

Certains nombres entiers peuvent se décomposer en somme ou différence de cubes d’entiers naturels.
Par exemple : $$13=4^3+7^3+7^3-9^3-2^3\\
13=-1^3-1^3-1^3+2^3+2^3\\
13=1^3+7^3+10^3-11^3$$
Dans tout ce qui suit, on écrira pour simplifier « somme de cubes » à la place de « somme ou différence de cubes d’entiers naturels ».
Les deux premiers exemples montrent que $13$ peut se décomposer en « somme » de $5$ cubes.
Le troisième exemple montre que $13$ peut se décomposer en « somme » de $4$ cubes.

  1. a. En utilisant l’égalité $13=1^3+7^3+10^3-11^3$ , donner une décomposition de $40$ en « somme » de $5$ cubes.
    $\quad$
    b. On admet que pour tout entier naturel n on a : $$6n=(n+1)^3+(n-1)^3-n^3-n^3$$
    En déduire une décomposition de $48$ en « somme » de $4$ cubes, puis une décomposition de $40$ en « somme » de $5$ cubes, différente de celle donnée en 1.a.
    $\quad$
  2. Le nombre $40$ est une « somme » de $4$ cubes : $40=4^3-2^3-2^3-2^3$.
    On veut savoir si $40$ peut être décomposé en « somme » de $3$ cubes.
    a. Recopier et compléter sans justifier :
    $\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \begin{array}{l}\text{Reste de la division}\\\text{euclidienne de $n$ par $9$}\end{array}&0&1&2&3&4&5&6&7&8\\
    \hline
    \begin{array}{l}\text{Reste de la division}\\\text{euclidienne de $n^3$ par $9$}\end{array}&&&&&1&&&&\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    b. On déduit du tableau précédent que, pour tout entier naturel $n$, l’entier naturel $n^3$ est congru modulo $9$ soit à $0$, soit à $1$, soit à $-1$.
    Prouver que $40$ ne peut pas être décomposé en « somme » de $3$ cubes.
    $\quad$

Bac S – Liban – Mai 2019

Liban – Mai 2019

Bac S – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici .

Ex 1

Exercice 1     

  1. a. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables.
    Pour tout réel $x\in ]0;1]$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=\left(1-\ln x\right)^2+x\times \dfrac{-2}{x}\times \left(1-\ln x\right) \\
    &=\left(1-\ln x\right)\left(\left(1-\ln x\right)-2\right)\\
    &=\left(1-\ln x\right)\left(-1-\ln x\right) \\
    &=-\left(1-\ln x\right)\left(1+\ln x\right)\\
    &=\left(\ln x-1\right)\left(1+\ln x\right)\end{align*}$
    $\quad$
    b. Pour tout réel $x\in ]0;1]$ on a $\ln x\pp 0$ donc $\ln x-1\pp 0$.
    $1+\ln x=0 \ssi \ln x=-1 \ssi x=\e^{-1}$
    et $1+\ln x>0 \ssi \ln x>-1 \ssi x>\e^{-1}$.
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    $\quad$
  2. a. Graphiquement l’aire du triangle $ON_{0,2}P_{0,2}$ est $\mathscr{A}(0,2)=\dfrac{0,52\times 2,6}{2}=0,676$ u.a.
    $\quad$
    b. Par définition de la fonction $\ln$ la fonction $g$ est dérivable sur l’intervalle $]0;1]$.
    Une équation de la tangente $d_{0,2}$ est de la forme :
    $y=g'(0,2)(x-0,2)+g(0,2)$
    Or $g'(x)=\dfrac{1}{x}$ donc $g'(0,2)=5$.
    Une équation de cette tangente est donc :
    $y=5(x-0,2)+\ln(0,2)$ soit $y=5x+\ln(0,2)-1$.
    $\quad$
    c. Ainsi le point$P_{0,2}$ a pour coordonnées $\left(0;\ln(0,2)-1\right)$.
    et $5x+\ln(0,2)-1=0\ssi x=\dfrac{1-\ln(0,2)}{5}$
    Le point $N_{0,2}$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{1-\ln(0,2)}{5};0\right)$.
    L’aire du triangle $ON_{0,2}P_{0,2}$ est donc :
    $\begin{align*} \mathscr{A}(0,2)&=\dfrac{\left|\dfrac{1-\ln(0,2)}{5}\times \left(\ln(0,2)-1\right)\right|}{2}\\
    &=\dfrac{\left(1-\ln(0,2)\right)^2}{10}\end{align*}$
    $\quad$
  3. On a ainsi $\mathscr{A}(a)=\dfrac{f(a)}{2}$.
    D’après le tableau de variation de la fonction $f$, l’aire est donc maximale pour $a=\e^{-1}$ et elle vaut alors $2\e^{-1}$.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. a. On a :
    $\begin{align*} z_{A’}&=-\dfrac{1}{-1+\ic}\\
    &=-\dfrac{-1-\ic}{(-1)^2+1^2}\\
    &=\dfrac{1+\ic}{2}\end{align*}$
    $\quad$
    b. On a :
    $\begin{align*} z_{B’}&=-\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}\e^{\ic \pi/3}} \\
    &=-2\e^{-\ic \pi/3}\\
    &=2\e^{\ic \pi} \e^{-\ic \pi/3} \\
    &=2\e^{2\ic \pi/3}\end{align*}$
    $\quad$
    c.

    $\quad$
  2. a. On a :
    $\begin{align*} z’&=-\dfrac{1}{r\e^{\ic \theta}} \\
    &=-\dfrac{1}{r}\e^{\ic \theta}\\
    &=\e^{\ic \pi}\times \dfrac{1}{r}\e^{\ic \theta}\\
    &=\dfrac{1}{r}\e^{\ic(\pi-\theta)}\end{align*}$
    $\quad$
    b. Si un point $M$ appartient au disque de centre $O$ et de rayon $1$ sans appartenir au cercle de centre $O$ et de rayon $1$ alors $r<1$.
    Donc $\left|z’\right|=\dfrac{1}{r}>1$
    Ainsi le point $M’$ est à l’extérieur de ce disque.
    L’affirmation est donc vraie.
    $\quad$
  3. a. Une équation cartésienne du cercle $\Gamma$ est :
    $\begin{align*} &\left(x-\left(-\dfrac{1}{2}\right)\right)^2+y^2=\dfrac{1}{2^2}\\
    \ssi & x^2+x+\dfrac{1}{4}+y^2=\dfrac{1}{4} \\
    \ssi &x^2+x+y^2=0\end{align*}$
    $\quad$
    b. Si $z=x+\ic y$ alors :
    $\begin{align*} z’&=-\dfrac{1}{x+\ic y} \\
    &=-\dfrac{x-\ic y}{x^2+y^2} \\
    &=\dfrac{-x+\ic y}{x^2+y^2}
    \end{align*}$
    $\quad$
    c. Soit $M$ un point du cercle $\Gamma$ distinct du point $O$ on a donc $x^2+x+y^2=0$ et $(x;y)\neq (0,0)$.
    Ainsi $x=-\left(x^2+y^2\right)$.
    Par conséquent
    $\begin{align*} z’&=\dfrac{x^2+y^2+\ic y}{x^2+y^2} \\
    &=1+\dfrac{y}{x^2+y^2}\ic\end{align*}$
    Le point $M’$ appartient donc bien à la droite d’équation $x=1$.
    Remarque : Une bonne question serait de se demander si tous les points de la droite sont atteints.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. La droite $d$ est orthogonale au plan $P$. Elle est donc orthogonale à toutes les droites de ce plan, en particulier à la droite $(AC)$.
    Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. Par conséquent la droite $(AC)$ est perpendiculaire à la droite $(AB)$.
    Par construction les droites $(AB)$ et $d$ sont sécantes
    La droite $(AC)$ est donc orthogonale à deux droites sécantes du plan $(BAD)$. Elle est donc orthogonale à ce plan.
    $\quad$
  2. La droite $d$ est orthogonale à toutes les droites du plan $(ABC)$. Par conséquent les triangles $DBA$ et $DBC$ sont rectangles en $B$.
    Par définition le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
    Et
    $\begin{align*} \vect{AD}.\vect{AC}&=\left(\vect{AB}+\vect{BD}\right).\vect{AC} \\
    &=\vect{AB}.\vect{AC}+\vect{BD}.\vect{AC} \\
    &=0+0 \\
    &=0
    \end{align*}$
    Par conséquent le triangle $ADC$ est rectangle en $D$.
    Remarque : Puisque la droite $(AC)$ est orthogonale au plan $(BAD)$, elle est en particulier orthogonale à la droite $(BD)$ et donc $\vect{BD}.\vect{AC}=0$.
    $\quad$
  3. a. Le triangle $ABD$ est rectangle en $B$ donc $AD>AB$ et $AD>BD$.
    Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ donc $BC>AB$ et $BC>AC$.
    Le triangle $BCD$ est rectangle en $B$ donc $DC>BD$ et $DC>BC$.
    Le triangle $ADC$ est rectangle en $A$ donc $DC>AD$ et $DC>AC$.
    Ainsi $DC>AD>AB$, $DC>AD>AB$ et $DC>AC$.
    L’arête $[CD]$ est bien la plus longue arête du bicoin $ABCD$.
    $\quad$
    b. $I$ est le milieu de l’hypoténuse $[DC]$ du triangle $ADC$ rectangle en $A$. C’est donc le centre du cercle circonscrit à ce triangle et $IA=IC=ID$.
    $I$ est le milieu de l’hypoténuse $[DC]$ du triangle $BCD$ rectangle en $B$. C’est donc le centre du cercle circonscrit à ce triangle et $IB=IC=ID$.
    Ainsi $IA=IB=IC=ID$ et le point $I$ est équidistant des $4$ sommets.
    $\quad$

Partie B

  1. Un vecteur directeur de la droite $d$ est $\vec{u}(2;-2;1)$.
    Ce vecteur est normal au plan $P$.
    Une équation cartésienne de ce plan est donc de la forme $2x-2y+z+d=0$.
    Le point $A$ appartient à ce plan.
    Ainsi $6-2-5+d=0 \ssi d=1$
    Une équation cartésienne de $P$ est donc $2x-2y+z+1=0$.
    $\quad$
  2. En prenant $t=2$ dans la représentation paramétrique de la droite $d$ on retrouve les coordonnées du point $B$.
    Et $2\times 5-2\times 5-1+1=10-10=0$.
    Le point $B$ appartient donc à la fois au plan $P$ et à la droite $d$.
    La droite $d$, par définition, n’est pas incluse dans le plan $P$.
    Ainsi le point $B(5;5;-1)$ est le point d’intersection du plan $P$ et de la droite $d$.
    $\quad$
  3. $2\times 7-2\times 3-9+1=14-6-9+1=0$.
    Le point $C$ appartient donc au plan $P$.
    On a de plus :
    $AB^2=(5-3)^2+(5-1)^2+(-1+5)^2=36$
    $AC^2=(7-3)^2+(3-1)^2+(-9+5)^2=36$
    $BC^2=(7-5)^2+(3-5)^2+(-9+1)^2=72$
    Ainsi $AB^2+AC^2=BC^2$
    D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
    Puisque $AB^2=AC^2$, le triangle $ABC$ est également isocèle en $A$.
    $\quad$
  4. a. les points $M$ et $B$ appartiennent à la droite $d$ orthogonale au plan $P$ et donc en particulier à la droite $(AB)$.
    Ainsi le triangle $ABM$ est rectangle en $B$.
    $\quad$
    b.
      Le point $M$ a pour coordonnées $(2t+1;-2t+9;t-3)$ avec $t\neq 2$.
    On a alors :
    $\begin{align*} BM^2&=(2t+1-5)^2+(-2t+9-5)^2+(t-3+1)^2\\
    &=(2t-4)^2+(-2t+4)^2+(t-2)^2\\
    &=4t^2-16t+16+4t^2-16t+16+t^2-4t+4\\
    &=9t^2-36t+36\end{align*}$
    Par conséquent, $AB$ et $BM$ étant des nombres positifs on a :
    $\begin{align*} AB=BM&\ssi AB^2=BM^2 \\
    &\ssi 9t^2-36t+36=36 \\
    &\ssi 9t^2-36t=0\\
    &\ssi t^2-4t=0\end{align*}$
    Le triangle $ABM$ est donc isocèle en $B$ si, et seulement si, le réel $t$ vérifie l’équation $t^2-4t=0$.
    $\quad$
    c. Or $t^2-4t=0\ssi t(t-4)=0\ssi t=0$ ou $t=4$.
    Si $t=0$ on obtient le point $M_1(1;9;-3)$
    Si $t=4$ on obtient le point $M_2(9;1;1)$
    D’après les deux questions précédentes, les triangles $ABM_1$ et $ABM_2$ sont rectangles et isocèles en $B$.
    $\quad$

Partie C

On appelle $I$ le milieu de l’arête $[CD]$.
Ainsi le point $I$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{7+9}{2};\dfrac{1+3}{2};\dfrac{1-9}{2}\right)$ soit $(8;2;-4)$.
D’après les parties A et B, le tétraèdre $ABCD$ est un bicoin et $I$ est équidistant des quatre sommets de ce bicoin.
$I$ est donc le centre de la sphère cherchée.

Le rayon de cette sphère est :
$\begin{align*} R&=IA \\
&=\sqrt{(3-8)^2+(1-2)^2+(-5+4)^2} \\
&=\sqrt{25+1+1}\\
&=\sqrt{27}\\
&=3\sqrt{3}\end{align*}$

Ex 4 obl

Exercice 4     

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

  1. a. On obtient l’arbre de pondéré suivant :

    $\quad$
    b. On veut calculer
    $\begin{align*} P\left(R_1\cap R_2\right)&=0,9\times 0,95 \\
    &=0,855\end{align*}$
    $\quad$
    c. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P\left(R_2\right)&=P\left(R_1\cap R_2\right)+P\left(\conj{R_1}\cap R_2\right)\\
    &=0,855+0,1\times 0,2\\
    &=0,875\end{align*}$
    $\quad$
    d. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_{R_2}\left(R_1\right)&=\dfrac{P\left(R_2\cap \conj{R_1}\right)}{P\left(R_2\right)} \\
    &=\dfrac{0,02}{0,875} \\
    &\approx 0,023\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. On obtient l’arbre pondéré suivant :
    $\quad$
    b. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} r_{n+1}&=P\left(R_{n+1}\right) \\
    &=P\left(R_n\cap R_{n+1}\right)+P\left(\conj{R_n}\cap R_{n+1}\right) \\
    &=0,95r_n+0,2\left(1-r_n\right) \\
    &=0,95r_n+0,2-0,2r_n \\
    &=0,75r_n+0,2\end{align*}$
    $\quad$
    c. Montrons ce résultat par récurrence sur $n$.
    Initialisation : Si $n=1$ alors $0,1\times 0,75^0+0,8=0,9=r_1$.
    La propriété est donc vraie au rang $1$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$. Donc $r_n=0,1\times 0,75^{n-1}+0,8$.
    Montrons qu’elle est encore vraie au rang suivant, c’est-à-dire que $r_{n+1}=0,1\times 0,75^n+0,8$.
    $\begin{align*} r_{n+1}&=0,75r_n+0,2\\
    &=0,75\left(0,1\times 0,75^n+0,8\right)+0,2\\
    &=0,1\times 0,75^n+0,6+0,2\\
    &=0,1\times 0,75^n+0,8\end{align*}$
    La propriété est vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ non nul on a $r_n=0,1\times 0,75^{n-1}+0,8$.
    $\quad$
    d. On a $-1<0,75<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,75^{n-1}=0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} r_n=0,8$.
    Sur le long terme, la probabilité que le client rapporte la bouteille du panier est $0,8$.
    $\quad$

Ex 4 spé

Exercice 4     

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

  1. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $a_{n+1}=0,5a_n+0,75b_n+2$ et $b_{n+1}=0,25b_n+3$.
    Ainsi :
    $\begin{pmatrix}a_{n+1}\\b_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,5&0,75\\0&0,25\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_n\\b_n\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$.
    Soit $U_{n+1}=MU_n+C$.
    $\quad$
  2. a. On a :
    $P^2=\begin{pmatrix} 1&3-3\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$.
    Ainsi $P$ est inversible et $P^{-1}=P$.
    $\quad$
    b. On a :
    $\begin{align*} PMP&=\begin{pmatrix}1&3\\0&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0,5&0,75\\0&0,25\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&3\\0&-1\end{pmatrix}\\
    &=\begin{pmatrix}0,5&1,5\\0&-0,25\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&3\\0&-1\end{pmatrix}\\
    &=\begin{pmatrix}0,5&0\\0&0,25\end{pmatrix}\end{align*}$
    La matrice $D=PMP$ est donc une matrice diagonale et $D=\begin{pmatrix}0,5&0\\0&0,25\end{pmatrix}$.
    $\quad$
    c. On a :
    $\begin{align*} PMP=D&\ssi PPMP=PD \quad (*)\\
    &\ssi MP=PD\\
    &\ssi MPP=PDP \quad (*)\\
    &\ssi M=PDP\end{align*}$
    $(*)$ Puisque $P^{-1}=P$.
    $\quad$
    d. On note $I_2$ la matrice identité de taille $2$.
    Initialisation : Si $n=0$ on a $PD^0P=PI_2P=P^2=I_2$.
    Et $M^0=I_2$
    Donc $M^0=PD^0P$.
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $M^n=PD^nP$.
    Montrons que la propriété est vraie au rang suivant, c’est-à-dire que $M^{n+1}=PD^{n+1}P$.
    $\begin{align*} M^{n+1}&=M^nM\\
    &=PD^nPPDP\\
    &=PD^nDP\\
    &=PD^{n+1}P\end{align*}$
    La propriété est donc vraie au rang $n$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Pour tout entier naturel $n$ on a $M^n=PD^nP$.
    $\quad$
  3. On a :
    $\begin{align*} MX+C&=\begin{pmatrix}8\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix} \\
    &=\begin{pmatrix}10\\4\end{pmatrix} \\
    &=X\end{align*}$
    $\quad$
  4. a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} V_{n+1}&=U_{n+1}-X \\
    &=MU_n+C-\left(MX+C\right)\\
    &=MU_n+C-MX-C\\
    &=MU_n-MX\\
    &=M\left(U_n-X\right)\\
    &=MV_n\end{align*}$
    $\quad$
    b. On a $V_0=U_0-X=\begin{pmatrix} -9\\-3\end{pmatrix}$
    Et pour tout entier naturel $n$ :
    $\begin{align*} U_n&=V_n+X\\
    &=M^nV_0+X \\
    &=\begin{pmatrix} -9\times 0,5^n-9\times 0,5^n+9\times 0,25^n\\-3\times 0,25^n\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 10\\4\end{pmatrix} \\
    &=\begin{pmatrix}-18\times 0,5^n+9\times 0,25^n+10\\-3\times 0,25^n+4\end{pmatrix}\end{align*}$
    $\quad$
  5. a. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $b_n=-3\times 0,25^n+4$.
    Donc
    $\begin{align*} b_{n+1}-b_n&=-3\times 0,25^{n+1}+4+3\times 0,25^n-4\\
    &=-3\times 0,25^n\times (0,25-1) \\
    &=2,25\times 0,25^n\\
    &>0\end{align*}$
    La suite $\left(b_n\right)$ est donc croissante.
    De plus $b_n-4=-3\times 0,25^n<0$.
    La suite $\left(b_n\right)$ est donc croissante et majorée par $4$; elle converge donc.
    Or $-1<0,25<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,25^n=0$.
    Donc $\lim\limits_{n\to +\infty} b_n=4$.
    $\quad$
    b. $-1<0,25<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,25^n=0$ et $-1<0,5<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,5^n=0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} a_n=10$.
    $\quad$
    c. D’après les deux résultats précédents, il faut donc prévoir un bassin A de $1~000$ litres et un bassin B de $400$ litres.
    $\quad$

 

Énoncé

Exercice 1     5 points

Le plan est muni d’un repère orthogonal $(O,I,J)$.

  1. On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]0 ; 1]$ par $f(x) = x(1-\ln x)^2$.
    a. Déterminer une expression de la fonction dérivée de $f$ et vérifier que pour tout $x \in ]0 ; 1]$, $f'(x)=(\ln x + 1)(ln x-1)$.
    $\quad$
    b. Étudier les variations de la fonction $f$ et dresser son tableau de variations sur l’intervalle $]0 ; 1]$ (on admettra que la limite de la fonction $f$ en $0$ est nulle).
    $\quad$

On note $\Gamma$ la courbe représentative de la fonction $g$ définie sur l’intervalle $]0 ; 1]$ par $g(x)=\ln x$. Soit $a$ un réel de l’intervalle $]0 ; 1]$. On note $M_a$ le point de la courbe $\Gamma$ d’abscisse $a$ et $d_a$ la tangente à la courbe $\Gamma$ au point $M_𝑎$. Cette droite $d_a$ coupe l’axe des abscisses au point $N_𝑎$, et l’axe des ordonnées au point $P_a$ .

On s’intéresse à l’aire du triangle $ON_aP_a$ quand le réel $a$ varie dans l’intervalle $]0 ; 1]$.

  1. Dans cette question, on étudie le cas particulier où $a=0,2$ et on donne la figure ci-dessous.
    a. Déterminer graphiquement une estimation de l’aire du triangle $ON_{0,2}P_{0,2}$ en unités d’aire.
    $\quad$
    b. Déterminer une équation de la tangente $d_{0,2}$ .
    $\quad$
    c. Calculer la valeur exacte de l’aire du triangle $ON_{0,2}P_{0,2}$.
    $\quad$

Dans ce qui suit, on admet que, pour tout réel $a$ de l’intervalle $]0 ; 1]$, l’aire du triangle $ON_aP_a$ en unités d’aire est donnée par $A(a)=\dfrac{1}{2}a(1-\ln a)^2$.

  1. À l’aide des questions précédentes, déterminer pour quelle valeur de $a$ l’aire $A(a)$ est maximale. Déterminer cette aire maximale.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     4 points

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct $\Ouv$ d’unité $2$ cm. On appelle $f$ la fonction qui, à tout point $M$, distinct du point $O$ et d’affixe un nombre complexe $z$, associe le point $M′$ d’affixe $z’$ tel que $z=\dfrac{-1}{z}$.

  1.  On considère les points $A$ et $B$ d’affixes respectives $z_A =-1+\ic$ et $z_B=\dfrac{1}{2}\e^{\ic \pi/3}$.
    a. Déterminer la forme algébrique de l’affixe du point $A’$ image du point $A$ par la fonction $f$.
    $\quad$
    b. Déterminer la forme exponentielle de l’affixe du point $B’$ image du point $B$ par la fonction $f$.
    $\quad$
    c. Sur la copie, placer les points $A$, $B$, $A’$ et $B’$ dans le repère orthonormé direct $\Ouv$. Pour les points $B$ et $B’$, on laissera les traits de construction apparents.
    $\quad$
  2. Soit $r$ un réel strictement positif et $\theta$ un réel. On considère le complexe $z$ défini par $z = r\e^{\ic \theta}$.
    a. Montrer que $z’ = \dfrac{1}{r}\e^{\ic (\pi-\theta)}$.
    $\quad$
    b. Est-il vrai que si un point $M$, distinct de $O$, appartient au disque de centre $O$ et de rayon $1$ sans appartenir au cercle de centre $O$ et de rayon $1$, alors son image $M′$ par la fonction $f$ est à l’extérieur de ce disque ? Justifier.
    $\quad$
  3. Soit le cercle $\Gamma$ de centre $K$ d’affixe $z_K=-\dfrac{1}{2}$ et de rayon $\dfrac{1}{2}$.
    a. Montrer qu’une équation cartésienne du cercle $\Gamma$ est $x^2+x+y^2=0$.
    $\quad$
    b. Soit $z=x+\ic y$ avec $x$ et $y$ non tous les deux nuls. Déterminer la forme algébrique de $z’$ en fonction de $x$ et $y$.
    $\quad$
    c. Soit $M$ un point, distinct de $O$, du cercle $\Gamma$. Montrer que l’image $M’$ du point $M$ par la
    fonction $f$ appartient à la droite d’équation $x=1$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     6 points

Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.

Partie A
Dans un plan $P$, on considère un triangle $ABC$ rectangle en $A$.
Soit $d$ la droite orthogonale au plan $P$ et passant par le point $B$. On considère un point $D$ de cette droite distinct du point $B$.

  1. Montrer que la droite $(AC)$ est orthogonale au plan $(BAD)$.
    $\quad$

On appelle bicoin un tétraèdre dont les quatre faces sont des triangles rectangles.

  1. Montrer que le tétraèdre $ABCD$ est un bicoin.
    $\quad$
  2. a. Justifier que l’arête $[CD]$ est la plus longue arête du bicoin $ABCD$.
    $\quad$
    b. On note $I$ le milieu de l’arête $[CD]$. Montrer que le point $I$ est équidistant des $4$ sommets du bicoin $ABCD$.
    $\quad$

Partie B

Dans un repère orthonormé de l’espace, on considère le point $A(3 ; 1 ; -5)$ et la droite $d$ de représentation paramétrique $\begin{cases} x=2t+1\\y=-2t+9\\z=t-3\end{cases}$ $\quad$ où $t\in\R$.

  1. Déterminer une équation cartésienne du plan $P$ orthogonal à la droite $d$ et passant par le point $A$.
    $\quad$
  2. Montrer que le point d’intersection du plan $P$ et de la droite $d$ est le point $B(5 ; 5 ; -1)$.
    $\quad$
  3. Justifier que le point $C (7 ; 3 ; -9)$ appartient au plan $P$ puis montrer que le triangle $ABC$ est un triangle rectangle isocèle en $A$.
    $\quad$
  4. Soit $t$ un réel différent de $2$ et $M$ le point de paramètre $t$ appartenant à la droite $d$.
    a. Justifier que le triangle $ABM$ est rectangle.
    $\quad$
    b. Montrer que le triangle $ABM$ est isocèle en $B$ si et seulement si le réel $t$ vérifie l’équation $t^2-4t=0$.
    $\quad$
    c. En déduire les coordonnées des points $M_1$ et $M_2$ de la droite $d$ tels que les triangles rectangles $ABM_1$ et $ABM_2$ soient isocèles en $B$.
    $\quad$

Partie C
On donne le point $D(9 ; 1 ; 1)$ qui est un des deux points solutions de la question 4.c. de la partie B.
Les quatre sommets du tétraèdre $ABCD$ sont situés sur une sphère. En utilisant les résultats des questions des parties A et B précédentes, déterminer les coordonnées du centre de cette sphère et calculer son rayon.
$\quad$

$\quad$

Exercice 4     5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Les deux parties 1 et 2 sont indépendantes.

Chaque semaine, un agriculteur propose en vente directe à chacun de ses clients un panier de produits frais qui contient une seule bouteille de jus de fruits. Dans un esprit de développement durable, il fait le choix de bouteilles en verre incassable et demande à ce que chaque semaine, le client rapporte sa bouteille vide.

On suppose que le nombre de clients de l’agriculteur reste constant.

Une étude statistique réalisée donne les résultats suivants :

  • à l’issue de la première semaine, la probabilité qu’un client rapporte la bouteille de son panier est $0,9$ ;
  • si le client a rapporté la bouteille de son panier une semaine, alors la probabilité qu’il ramène la bouteille du panier la semaine suivante est $0,95$ ;
  • si le client n’a pas rapporté la bouteille de son panier une semaine, alors la probabilité qu’il ramène la bouteille du panier la semaine suivante est $0,2$.
    $\quad$

On choisit au hasard un client parmi la clientèle de l’agriculteur. Pour tout entier naturel n non nul, on note $R_n$ l’événement « le client rapporte la bouteille de son panier de la $n$-ième semaine ».

  1. a. Modéliser la situation étudiée pour les deux premières semaines à l’aide d’un arbre pondéré qui fera intervenir les événements $R_1$ et $R_2$.
    $\quad$
    b. Déterminer la probabilité que le client rapporte ses bouteilles des paniers de la première et de la deuxième semaine.
    $\quad$
    c. Montrer que la probabilité que le client rapporte la bouteille du panier de la deuxième semaine est égale à $0,875$.
    $\quad$
    d. Sachant que le client a rapporté la bouteille de son panier de la deuxième semaine, quelle est la probabilité qu’il n’ait pas rapporté la bouteille de son panier de la première semaine ? On arrondira le résultat à $10^{-3}$.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $r_n$ la probabilité que le client rapporte la bouteille du panier de la $n$-ième semaine. On a alors $r_n=P\left(R_n\right)$.
    a. Recopier et compléter l’arbre pondéré (aucune justification n’est attendue) :
    $\quad$
    b. Justifier que pour tout entier naturel $n$ non nul, $r_{n+1}= 0,75 \times r_n + 0,2$.
    $\quad$
    c. Démontrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, $r_n= 0,1 \times 0,75^{n-1} + 0,8$.
    $\quad$
    d. Calculer la limite de la suite $\left(r_n\right)$. Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Dans un jardin public, un artiste doit installer une œuvre aquatique commandée par la mairie. Cette œuvre sera constituée de deux bassins A et B ainsi que d’une réserve filtrante R. Au départ, les deux bassins contiennent chacun $100$ litres d’eau. Un système de canalisations devra alors permettre de réaliser, toutes les heures et dans cet ordre, les transferts d’eau suivants :

  •  dans un premier temps, la moitié du bassin A se vide dans la réserve R ;
  • ensuite, les trois quarts du bassin B se vident dans le bassin A ;
  • enfin, on rajoute $200$ litres d’eau dans le bassin A et $300$ litres d’eau dans le bassin B.

Une étude de faisabilité du projet amène à étudier la contenance des deux bassins A et B qui est à prévoir pour éviter tout débordement.

On modélise les quantités d’eau des deux bassins A et B à l’aide de deux suites $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$ : plus
précisément pour tout entier naturel $n$, on note $a_n$ et $b_n$ les quantités d’eau en centaines de litres qui seront respectivement contenues dans les bassins A et B au bout de $n$ heures. On suppose pour cette étude mathématique que les bassins sont a priori suffisamment grands pour qu’il n’y ait pas de débordement.

Pour tout entier naturel $n$, on note $U_n$ la matrice colonne $U_n=\begin{pmatrix} a_n\\b_n\end{pmatrix}$. Ainsi $U_0=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$.

  1. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, $U_{n+1}=MU_n+C$ où $M=\begin{pmatrix}0,5&0,75\\0\\0,25\end{pmatrix}$ et $C=\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$.
    $\quad$
  2. On considère la matrice $P=\begin{pmatrix}1&3\\0&-1\end{pmatrix}$.
    a. Calculer $P^2$. En déduire que la matrice $P$ est inversible et préciser sa matrice inverse.
    $\quad$
    b. Montrer que $PMP$ est une matrice diagonale $D$ que l’on précisera.
    $\quad$
    c. Calculer $PDP$.
    $\quad$
    d. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $M_n=PD^nP$.
    $\quad$

On admet par la suite que pour tout entier naturel $n$, $M_n=\begin{pmatrix}0,5^n&3\times 0,5^n-3\times 0,25^n\\0&0,25^n\end{pmatrix}$.

  1. Montrer que la matrice $X =\begin{pmatrix}10\\4\end{pmatrix}$ vérifie $X=MX+C$.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$, on définit la matrice $V_n$ par $V_n = U_n-X$.
    a. Montrer que tout entier naturel $n$, $V_{n+1}= MV_n$.
    $\quad$
    b. On admet que, pour tout entier naturel non nul $n$, $V_n= M^nV_0$.
    Montrer que pour tout entier naturel non nul $n$, $U_n=\begin{pmatrix}-18\times 0,5^n+9\times 0,25^n+10\\-3\times 0,25^n+4\end{pmatrix}$.
    $\quad$
  3. a. Montrer que la suite $\left(b_n\right)$ est croissante et majorée. Déterminer sa limite.
    $\quad$
    b. Déterminer la limite de la suite $\left(a_n\right)$.
    $\quad$
    c. On admet que la suite $\left(a_n\right)$ est croissante. En déduire la contenance des deux bassins A et B qui est à prévoir pour la faisabilité du projet, c’est-à-dire pour éviter tout débordement.
    $\quad$

 

 

Bac S – Amérique du Nord – Mai 2019

Amérique du Nord – Mai 2019

Bac S – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici .

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. a. On veut calculer $P(1,35\pp X\pp 1,65)$.
    D’après la calculatrice on trouve $P(1,35\pp X\pp 1,65)\approx 0,968$.
    $\quad$
    b. La variable $Z=\dfrac{X_1-1,5}{\sigma_1}$ suit la loi normale centrée réduite.
    On a
    $\begin{align*} P\left(1,35\pp X_1\pp 1,65\right)=0,98 &\ssi P\left(-0,15 \pp X_1-1,5\pp 0,15\right)=0,98 \\
    &\ssi P\left(-\dfrac{0,15}{\sigma_1} \pp \dfrac{X_1-1,5}{\sigma_1}\pp \dfrac{0,15}{\sigma_1}\right)=0,98 \\
    &\ssi P\left(-\dfrac{0,15}{\sigma_1} \pp Z\pp \dfrac{0,15}{\sigma_1}\right)=0,98 \\
    &\ssi 2P\left(Z\pp \dfrac{0,15}{\sigma_1}\right)-1=0,98\quad\text{(propriété du cours)}\\
    &\ssi 2P\left(Z\pp \dfrac{0,15}{\sigma_1}\right)=1,98 \\
    &\ssi P\left(Z\pp \dfrac{0,15}{\sigma_1}\right)=0,99\end{align*}$
    À l’aide de la touche Inverse loi normale de la calculatrice, on trouve $\dfrac{0,15}{\sigma_1} \approx 2,326$ et donc $\sigma_1 \approx 0,064$.
    $\quad$
  2. a. On a $n=250$ et $p=0,02$.
    Donc $n\pg 30$, $np=5\pg 5$ et $n(1-p)=245\pg 5$.
    Un intervalle de fluctuation asymptotique à $95\%$ de la fréquence des tubes non « conformes pour la longueur » est :
    $\begin{align*} I_{250}&=\left[0,02-1,96\sqrt{\dfrac{0,02\times 0,98}{250}};0,02+1,96\sqrt{\dfrac{0,02\times 0,98}{250}}\right] \\
    &\approx [0,002;0,038]\end{align*}$
    $\quad$
    b. La fréquence observée est $f=\dfrac{10}{250}=0,04\notin I_{250}$.
    Au risque d’erreur de $5\%$, il faut réviser la machine.
    $\quad$

Partie B

  1. On a $P\left(\conj{E}\cap L\right)=0,036$
    et $P\left(\conj{E}\cap L\right)=0,04P_{\conj{E}}(L)$.
    Par conséquent $P_{\conj{E}}(L)=\dfrac{0,036}{0,04}=0,9$.
    Donc $P_{\conj{E}}\left(\conj{L}\right)=1-0,9=0,1$.
    On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(L)&=P(E\cap L)+P\left(\conj{E}\cap L\right) \\
    &=0,96\times 0,95+0,036 \\
    &=0,948\end{align*}$
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

Affirmation 1 fausse

$\begin{align*} z-\ic=i(z+1)&\ssi z-\ic=\ic z+\ic \\
&\ssi z-\ic z=2\ic \\
&\ssi z(1-\ic)=2\ic \\
&\ssi z=\dfrac{2\ic}{1-\ic}\end{align*}$
Or $2\ic=2\e^{\ic \pi/2}$
et $|1-\ic|=\sqrt{2}$ donc $|1-\ic|=\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=\sqrt{2}\e^{-\ic \pi/4}$
Par conséquent :
$\begin{align*} z-\ic=i(z+1)&\ssi z=\dfrac{2\e^{\ic \pi/2}}{\sqrt{2}\e^{-\ic \pi/4}} \\
&\ssi =\sqrt{2}\e^{3\ic\pi/4}\end{align*}$
Or $\sqrt{2}\e^{3\ic\pi/4}\neq \sqrt{2}\e^{\ic\pi/4}$.

$\quad$

Affirmation 2 fausse

Pour tout réel $x\in \left]-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right[$ on a :
$\begin{align*} 2\cos x\e^{-\ic x}&=2\times \dfrac{\e^{\ic x}+\e^{-\ic x}}{2}\times \e^{-\ic x} \\
&=1+\e^{-2\ic x} \\
&=\conj{1+\e^{2\ic x}}  \end{align*}$

Or , sur l’intervalle $\left]-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right[$ on a $1+\e^{2\ic x} \neq \conj{1+\e^{2\ic x}} $ sauf si $x=0$ (seule valeur pour laquelle l’exponentielle complexe est un réel).

Remarque : La formule d’Euler $\cos x=\times \dfrac{\e^{\ic x}+\e^{-\ic x}}{2}$ n’est pas, en théorie, au programme. Voici une autre façon de traiter la question :
En testant plusieurs valeurs à la calculatrice, on se rend compte qu’il n’y a pas égalité. Prenons pas exemple : $x=\dfrac{\pi}{4}$.
D’une part $1+\e^{2\ic \pi/4}=1+\e^{\ic \pi/2}=1+\ic$;
D’autre part :
$\begin{align*} 2\cos x\e^{-\ic x}&=2\cos \dfrac{\pi}{4}\e^{-\ic \pi/4} \\
&=2\times \dfrac{\sqrt{2}}{2}\times \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\ic \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) \\
&=\sqrt{2}\times \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\ic \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) \\
&=1-\ic\end{align*}$
Or $1+\ic\neq 1-\ic$ et l’affirmation est fausse.

$\quad$

Affirmation 3 vraie

On appelle $A$ le point d’affixe $\ic$ et $B$ le point d’affixe $-1$.
Ainsi : $|z-\ic|=|z+1|\ssi AM=BM$
Le point $M$ appartient donc à la médiatrice du segment $[AB]$.
On appelle $D$ le point d’affixe $-1+\ic$.
Ainsi le quadrilatère $OBDA$ est un carré dont les diagonales sont $[OD]$ et $[AB]$.
Dans un carré, les diagonales sont perpendiculaires et une équation de la droite $(OD)$ est $y=-x$.
Par conséquent le point $M$ appartient à la droite d’équation $y=-x$.

$\quad$

Affirmation 4 fausse

Supposons que l’équation $z^5+z-\ic+1=0$ possède une solution réelle $z_0$.
On a alors ${z_0}^5+z_0+1=\ic$
Cela signifie que $\ic$ est un réel ce qui est absurde. La supposition faite est donc impossible.

$\quad$

 

 

Ex 3

Exercice 3

Partie A : établir une inégalité

  1. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[0;+\infty[$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x\in[0;+\infty[$ on a :
    $f'(x)=1-\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{x+1-1}{x+1}=\dfrac{x}{x+1}$
    Sur l’intervalle $[0;+\infty[$ on a $x\pg 0$ et $x+1>0$.
    Par conséquent $f(x)\pg 0$ et la fonction $f$ est strictement croissante sur cet intervalle.
    $\quad$
  2. De plus $f(0)=0-\ln(1)=0$.
    Pour tout réel $x\in [0;+\infty[$ on a, d’après la question précédente :  $0\pp f(0)\pp f(x)$
    Donc $0\pp x-\ln(x+1) \ssi \ln(x+1)\pp x$.
    $\quad$

Partie B : application à l’étude d’une suite

  1. On a $u_1=1-\ln(2)$
    et $u_2=1-\ln(2)-\ln\left(2-\ln(2)\right)\approx 0,039$.
    $\quad$
  2. a. Initialisation : Si $n=0$ alors $u_0=1\pg 0$.
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$, donc $u_n\pg 0$.
    Montrons que la propriété est encore vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $u_n-\ln\left(1+u_n\right) \pg 0$.
    On a $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$.
    D’après la question A.2. on sait que pour tout réel $x$ on a $f(x) \pg 0$.
    Puisque $u_n\pg 0$ on a donc $f\left(u_n\right) \pg 0$.
    La propriété est ainsi vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : la propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n\pg 0$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $u_{n+1}-u_n=-\ln\left(1+u_n\right)$
    D’après la question précédente on a $u_n\pg 0$ donc $1+u_n\pg 1$ et $\ln\left(1+u_n\right) \pg 0$.
    Ainsi $u_{n+1}-u_n\pp 0$
    et la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
    $\quad$
    La suite $\left(u_n\right)$ étant décroissante et $u_0=1$ on a donc, pour tout entier naturel $n$, $u_n\pp u_0$ soit $u_n\pp 1$.
    $\quad$
    c. La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et minorée par $0$; elle est donc convergente.
    $\quad$
  3. La limite $\ell$ est solution de l’équation :
    $\begin{align*} f(x)=x &\ssi x-\ln(1+x)=x \\
    &\ssi -\ln(1+x)=0 \\
    &\ssi 1+x=1 \\
    &\ssi x=0\end{align*}$
    Par conséquent $\ell =0$.
    $\quad$
  4. a. On peut écrire l’algorithme suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    U\leftarrow 1 \\
    N\leftarrow 0\\
    \text{Tant que }U\pg 10^{-p} \\
    \hspace{1cm} U\leftarrow U-\ln(1+U) \\
    \hspace{1cm} N\leftarrow N+1\\
    \text{Fin tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. On a $u_5\approx 3,96\times 10^{-14}$ et $u_6\approx 4,942\times 10^{-17}$.
    Puisque la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante, cela signifie que qu’à partir du rang $6$ on a $u_n\pp 10^{-15}$.
    $\quad$
    Remarque : Sur certaines calculatrices(Casio graph75/90, TI83PCE, HP Prime (sans CAS) en particulier, je ne peux pas tester les autres) la calculatrice reste “bloquée” sur environ $4,325\times 10^{-14}$ ou une autre valeur étrange. Pas de soucis avec la Numworks en revanche.
    $\quad$

 

Ex 4 obl

Exercice 4

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

  1. Les plans $(ABC)$ et $(KLM)$ sont parallèles.
    Les droites $(IN)$ et $(AE)$ sont parallèles et la droite $(AE)$ est perpendiculaire au plan $(ABC)$.
    La droite $(IN)$ est par conséquent perpendiculaire au plan $(KLM)$. Elle est donc orthogonale à toutes les droites de ce plan, en particulier à la droite $(ML)$.
    $\quad$
  2. a. On a $N(0,5;0,5;1)$ et $C(1;1;0)$
    Le vecteur $\vect{NC}$ a donc pour coordonnées $(0,5;0,5;-1)$.
    On a $M(0,5;0;0,5)$ et $L(0;0,5;0,5)$
    Le vecteur $\vect{ML}$ a donc pour coordonnées $(-0,5;0,5;0)$.
    $\quad$
    b. On a $\vect{NC}.\vect{ML}=-0,25+0,25+0=0$.
    Par conséquent les vecteurs $\vect{NC}$ et $\vect{ML}$ sont orthogonaux et les droites $(NC)$ et $(ML)$ sont orthogonales.
    $\quad$
    c. Le vecteur $\vect{ML}$ est donc aux vecteurs $\vect{IN}$ et $\vect{NC}$ qui sont deux vecteurs non colinéaires du plan $(NCI)$.
    Une équation cartésienne de ce plan est alors de la forme $-0,5x+0,5y+d=0$.
    Or $C(1;1;0)$ appartient à ce plan.
    Par conséquent $0+0+d=0\ssi d=0$.
    Une équation cartésienne du plan $(NCI)$ est donc $-0,5x+0,5y=0$.
    $\quad$
  3. a. On a :
    $N(0,5;0,5;1)$ donc $0,5-0,5+1=0+1=1\checkmark$
    $M(0,5;0;0,5)$ donc $0,5-0+0,5=1 \checkmark$
    $J(1;0,5;0,5)$ donc $1-0,5+0,5=1+0=1\checkmark$
    Les coordonnées de ces trois points vérifient l’équation $x-y+z=1$.
    Ainsi une équation cartésienne du plan $(NJM)$ est bien $x-y+z=1$.
    $\quad$
    b. Un vecteur normal au plan $(NJM)$ est donc $\vec{n}(1;-1;1)$.
    On a $D(0;1;0)$ et $F(1;0;1)$ donc $\vect{DF}(1;-1;1)$
    Ainsi $\vec{n}$ et $\vect{DF}$ sont colinéaires et la droite $(DF)$ est perpendiculaire au plan $(NIM)$.
    $\quad$
    c. On veut résoudre le système suivant :
    $\begin{cases} x-y+z=1\\-0,5x+0,5y=0 \end{cases} \ssi \begin{cases} x=y\\x-y+z=1\end{cases} \ssi \begin{cases} x=y\\z=1\end{cases}$
    L’intersection des deux plans $(NJM)$ et $(NCI)$ est donc la droite dont une représentation paramétrique est $\begin{cases} x=t\\y=t\\z=1\end{cases} \quad, t\in \R$.
    Cette droite passe donc par le point de coordonnées $(0;0;1)$ et a pour vecteur directeur le vecteur $\vec{u}(1;1;0)$.
    Le point $N$ appartient à ces deux plans et le point $E$ a pour coordonnées $(0;0;1)$.
    L’intersection des deux plans est donc la droite $(NE)$.
    $\quad$

Ex 4 spé

Exercice 4

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

  1. a. $T$ est remplacé par la matrice $\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}$
    Ainsi $\begin{pmatrix}x’\\y’\end{pmatrix}=M\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10\\24\end{pmatrix}$
    Or $10\equiv 0~[5]$ et $24\equiv 4~[5]$.
    Donc $\begin{pmatrix}r\\r’\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\4\end{pmatrix}$ ce qui représente la lettre $U$.
    $\quad$
    $E$ est remplacé par la matrice $\begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}$
    Ainsi $\begin{pmatrix}x’\\y’\end{pmatrix}=M\begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\12\end{pmatrix}$
    Or $4\equiv 4~[5]$ et $12\equiv 2~[5]$.
    Donc $\begin{pmatrix}r\\r’\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}$ ce qui représente la lettre $O$.
    $\quad$
    Le message $TE$ est donc codé par $UO$.
    $\quad$
    b. On a $PM=\begin{pmatrix} 6&10\\10&16\end{pmatrix}$
    Or $6\equiv 1~[5]$, $10\equiv 0~[5]$ et $16\equiv 1~[5]$.
    Donc $PM$ et $I$ sont congrues modulo $5$.
    $\quad$
    c. On note $A=\begin{pmatrix} a&b\\c&d\end{pmatrix}$ et $A’=\begin{pmatrix}a’&b’\\c’&d’\end{pmatrix}$
    Ainsi $AZ=\begin{pmatrix} ax+by\\cx+dy\end{pmatrix}$
    Mais :
    – si $a\equiv a’~[5]$  et $x\equiv x’~[5]$ alors $ax\equiv a’x’~[5]$
    – si $e \equiv e’~[5]$ et $f\equiv f’~[5]$ alors $e+f\equiv e’+f’~[5]$.
    Donc $ax+by\equiv a’x’+b’y’~[5]$ et $cx+dy\equiv c’x’+d’y’~[5]$.
    Par conséquent les matrices $AZ$ et $A’Z’$ sont congrues modulo $5$.
    $\quad$
    d. D’après la question précédentes, les matrices $PMX$ et $PY$ sont congrues modulo $5$.
    D’après la question 1.b. les matrices $PM$ et $I$ sont congrues modulo $5$.
    Par conséquent, les matrices $X$ et $PY$ sont congrues modulo $5$.
    $\quad$
    Ainsi si on a $MX=Y$ alors, pour décoder la lettre associée à la matrice $Y$  modulo 5 il suffit de trouver la lettre associée à la matrice $PY$ modulo $5$.
    $\quad$
    e. La lettre $D$ est associée à la matrice $Y=\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}$
    $PY=\begin{pmatrix} 9\\12\end{pmatrix}$
    qui est congrue modulo $5$ à la matrice $\begin{pmatrix} 4\\2\end{pmatrix}$.
    Ainsi la lettre $D$ est décodée en $O$.
    $\quad$
  2. a. On a $RS=\begin{pmatrix} 10&10\\20&20\end{pmatrix}$ qui est bien congru modulo $5$ à la matrice $\begin{pmatrix} 0&0\\0&0\end{pmatrix}$.
    $\quad$
    b. Si $TR$ et $I$ sont congrues modulo $5$ alors, d’après la procédure fournie, les matrices $TRS$ et $IS$ sont congrues modulo $5$.
    Cela signifie donc que $TRS$ et $S$ sont congrues modulo $5$.
    $\quad$
    c. On note $Q=\begin{pmatrix} 0&0\\0&0\end{pmatrix}$
    $RS$ est $Q$ sont congrues modulo $5$
    Donc $TRS$ et $TQ$ sont congrues modulo $5$.
    Or $TQ=\begin{pmatrix} 0&0\\0&0\end{pmatrix}=Q$.
    D’après la question précédentes cela signifie donc que $I$ et $\begin{pmatrix} 0&0\\0&0\end{pmatrix}$ sont congrues modulo $5$.
    Or $1$ et $0$ ne sont pas congrus modulo $5$.
    Ainsi la matrice $T$ n’existe pas et un message codé par la matrice $R$ ne peut être décodé.
    $\quad$

 

Énoncé

Exercice 1     5 points

Dans cet exercice et sauf mention contraire, les résultats seront arrondis à $10^{-3}$.

Une usine fabrique des tubes.

Partie A

Les questions 1 et 2 sont indépendantes.

On s’intéresse à deux types de tubes, appelés tubes de type 1 et tubes de type 2.

  1. Un tube de type 1 est accepté au contrôle si son épaisseur est comprise entre $1,35$ millimètres et $1,65$ millimètres.
    $\quad$
    a. On désigne par $X$ la variable aléatoire qui, à chaque tube de type 1 prélevé au hasard dans la production d’une journée, associe son épaisseur exprimée en millimètres. On suppose que la variable aléatoire $X$ suit la loi normale d’espérance $1,5$ et d’écart-type $0,07$.
    $\quad$
    On prélève au hasard un tube de type 1 dans la production de la journée. Calculer la probabilité que le tube soit accepté au contrôle.
    $\quad$
    b. L’entreprise désire améliorer la qualité de la production des tubes de type 1. Pour cela, on modifie le réglage des machines produisant ces tubes. On note $X_1$ la variable aléatoire qui, à chaque tube de type 1 prélevé dans la production issue de la machine modifiée, associe son épaisseur. On suppose que la variable aléatoire $X_1$
    suit une loi normale d’espérance $1,5$ et d’écart-type $\sigma_1$.
    $\quad$
    Un tube de type 1 est prélevé au hasard dans la production issue de la machine modifiée. Déterminer une valeur approchée à $10^{−3}$ près de $\sigma_1$ pour que la probabilité que ce tube soit accepté au contrôle soit égale à $0,98$. (On pourra utiliser la variable aléatoire $Z$ définie par $Z = \dfrac{X_1-1,5}{\sigma_1}$ qui suit la loi normale centrée réduite.)
    $\quad$
  2. Une machine produit des tubes de type 2. Un tube de type 2 est dit « conforme pour la longueur » lorsque celle-ci, en millimètres, appartient à l’intervalle $[298 ; 302]$. Le cahier des charges établit que, dans la production de tubes de type 2, une proportion de $2 \%$ de tubes non «conformes pour la longueur » est acceptable.
    $\quad$
    On souhaite décider si la machine de production doit être révisée. Pour cela, on prélève au hasard dans la production de tubes de type 2 un échantillon de $250$ tubes dans lequel 10 tubes se révèlent être non « conformes pour la longueur ».
    $\quad$
    a. Donner un intervalle de fluctuation asymptotique à $95 \%$ de la fréquence des tubes non « conformes pour la longueur » dans un échantillon de $250$ tubes.
    $\quad$
    b. Décide-t-on de réviser la machine ? Justifier la réponse.
    $\quad$

Partie B

Des erreurs de réglage dans la chaîne de production peuvent affecter l’épaisseur ou la longueur des tubes de type 2.
Une étude menée sur la production a permis de constater que :

  • $ 96 \%$ des tubes de type 2 ont une épaisseur conforme ;
  • parmi les tubes de type 2 qui ont une épaisseur conforme, $95 \%$ ont une longueur conforme ;
  • $3,6 \%$ des tubes de type 2 ont une épaisseur non conforme et une longueur conforme.

On choisit un tube de type 2 au hasard dans la production et on considère les événements :

  • $E$ : « l’épaisseur du tube est conforme » ;
  • $L$ : « la longueur du tube est conforme ».
    On modélise l’expérience aléatoire par un arbre pondéré :
  1. Recopier et compléter entièrement cet arbre.
    $\quad$
  2. Montrer que la probabilité de l’événement $L$ est égale à $0,948$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     4 points

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct $\Ouv$. Dans ce qui suit, $z$ désigne un nombre complexe.

Pour chacune des affirmations ci-dessous, indiquer sur la copie si elle est vraie ou si elle est fausse. Justifier. Toute réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

Affirmation 1 : L’équation $z-\ic = \ic (𝑧+1)$ a pour solution $z=\sqrt{2}\e^{\ic \pi/4}$.
$\quad$

Affirmation 2 : Pour tout réel $x\in\left]-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right[$, le nombre complexe $1+\e^{2\ic x}$ admet pour forme exponentielle $2\cos x \e^{-\ic x}$.
$\quad$

Affirmation 3 : Un point $M$ d’affixe $z$ tel que $|z-\ic|=|z+1|$ appartient à la droite d’équation $y=-x$.
$\quad$

Affirmation 4 :L’équation $z^5+z-\ic+1=0$ admet une solution réelle.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3     6 points

Partie A : établir une inégalité

Sur l’intervalle $[0;+\infty[$, on définit la fonction $f$ par $f(x)=x-\ln(x+1)$.

  1. . Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0; +\infty$[.
    $\quad$
  2. En déduire que pour tout $x\in [0; +\infty[$, $ln(x+1) \pp 𝑥$.
    $\quad$

Partie B : application à l’étude d’une suite

On pose $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n-\ln\left(1+u_n\right)$. On admet que la suite de terme général $u_n$ est bien définie.

  1. Calculer une valeur approchée à $10^{-3}$ près de $u_2$.
    $\quad$
  2. a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n\pg 0$.
    $\quad$
    b. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante, et en déduire que pour tout entier naturel $n$, $u_n\pp 1$ .
    $\quad$
    c. Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
    $\quad$
  3. On note $\ell$ la limite de la suite $\left(u_n\right)$ et on admet que $\ell = f(\ell)$ où $f$ est la fonction définie dans la partie A. En déduire la valeur de $\ell$.
    $\quad$
  4. a. Écrire un algorithme qui, pour un entier naturel $p$ donné, permet de déterminer le plus petit rang $N$ à partir duquel tous les termes de la suite $\left(u_n\right)$ sont inférieurs à $10^{-p}$.
    $\quad$
    b. Déterminer le plus petit entier naturel $n$ à partir duquel tous les termes de la suite $\left(u_n\right)$ sont inférieurs à $10^{-15}$.
    Remarque : De nombreuses calculatrices ne permettent pas de répondre à cette question. Explications sur TI-Planet.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

On relie les centres de chaque face d’un cube $ABCDEFGH$ pour former un solide $IJKLMN$ comme sur la figure ci-dessous.

Plus précisément, les points $I$, $J$, $K$, $L$, $M$ et $N$ sont les centres respectifs des faces carrées $ABCD$, $BCGF$ , $CDHG$, $ADHE$, $ABFE$ et $EFGH$ (donc les milieux des diagonales de ces carrés).

  1. Sans utiliser de repère (et donc de coordonnées) dans le raisonnement mené, justifier que les droites $(IN)$ et $(ML)$ sont orthogonales.

Dans la suite, on considère le repère orthonormé $\left(A,\vect{AB},\vect{AD},\vect{AE}\right)$ dans lequel, par exemple, le point $N$ a pour
coordonnées $\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};1\right)$.

  1. a. Donner les coordonnées des vecteurs $\vect{NC}$ et $\vect{ML}$.
    $\quad$
    b. En déduire que les droites $(NC)$ et $(ML)$ sont orthogonales.
    $\quad$
    c. Déduire des questions précédentes une équation cartésienne du plan $(NCI)$ .
    $\quad$
  2. a. Montrer qu’une équation cartésienne du plan $(NJM)$ est : $x-y+z=1$.
    $\quad$
    b. . La droite $(DF)$ est-elle perpendiculaire au plan $(NJM)$ ? Justifier.
    $\quad$
    c. Montrer que l’intersection des plans $(NJM)$ et $(NCI)$ est une droite dont on donnera un point et un vecteur directeur. Nommer la droite ainsi obtenue en utilisant deux points de la figure.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Deux matrices colonnes $\begin{pmatrix} x\\y\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} x’\\y’\end{pmatrix}$ à coefficients entiers sont dites congrues modulo $5$ si et seulement si $\begin{cases} x\equiv x’~[5]\\y\equiv y’~[5]\end{cases}$.
Deux matrices carrées d’ordre $2$ $\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix}a’&c’\\b’\\d’\end{pmatrix}$ à coefficients entiers sont dites congrues modulo $5$ si et seulement si $\begin{cases} a\equiv a’~[5]\\b\equiv b’~[5]\\c\equiv c’~[5]\\d\equiv d’~[5] \end{cases}$.

Alice et Bob veulent s’échanger des messages en utilisant la procédure décrite ci-dessous.

  • Ils choisissent une matrice $M$ carrées d’ordre $2$, à coefficients entiers.
  • Leur message initial est écrit en lettres majuscules sans accent.
  • Chaque lettre de ce message est remplacée par une matrice colonne $\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ déduite du tableau ci-dessous : $x$ est le chiffre situé en haut de la colonne et $y$ est le chiffre situé à la gauche de la ligne ; par exemple, la lettre $T$ d’un message initial correspond à la matrice colonne $\begin{pmatrix} 4\\3\end{pmatrix}$.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    &~0~&~1~&~2~&~3~&~4~\\
    \hline
    ~0~&A&B&C&D&E\\
    \hline
    ~1~&F&G&H&I&J\\
    \hline
    ~2~&K&L&M&N&O\\
    \hline
    ~3~&P&Q&R&S&T\\
    \hline
    ~4~&U&V&X&Y&Z\\
    \hline
    \end{array}$
    Remarque : la lettre $W$ est remplacée par les deux lettres accolées $V$.
  • On calcule une nouvelle matrice$\begin{pmatrix} x’\\y’\end{pmatrix}$ en multipliant $\begin{pmatrix} x\\y\end{pmatrix}$ à gauche par la matrice $M$ : $\begin{pmatrix}x’\\y’\end{pmatrix}=M\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$.
  • On calcule $r’$ et $t’$ les restes respectifs des divisions euclidiennes de $x’$ et $y’$ par $5$.
  • On utilise le tableau ci-dessus pour obtenir la nouvelle lettre correspondant à la matrice colonne $\begin{pmatrix}r’\\t’\end{pmatrix}$.
  1. Bob et Alice choisissent la matrice $M=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$.
    a. Montrer que la lettre « $T$ » du message initial est codée par la lettre « $U$ » puis coder le message « $TE$ ».
    $\quad$
    b. On pose $P=\begin{pmatrix} 3&1\\4&2\end{pmatrix}$. Montrer que les matrices $PM$ et $I=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ sont congrues modulo $5$.
    $\quad$
    c. On considère $A$, $A’$ deux matrices d’ordre $2$ à coefficients entiers congrues modulo $5$ et $Z = \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$, $Z’=\begin{pmatrix}x’\\y’\end{pmatrix}$ deux matrices colonnes à coefficients entiers congrues modulo $5$. Montrer alors que les matrices $AZ$ et $A’Z’$ sont congrues modulo $5$.
    $\quad$
    Dans ce qui suit, on admet que si $A$, $A’$ sont deux matrices carrées d’ordre $2$ à coefficients entiers congrues modulo $5$ et si $B$, $B’$ sont deux matrices carrées d’ordre $2$ à coefficients entiers congrues modulo $5$ alors les matrices produits $AB$ et $A’B’$ sont congrues modulo $5$.
    $\quad$
    d. On note $X=\begin{pmatrix} x_1\\x_2\end{pmatrix}$ et $Y=\begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix}$ deux matrices colonnes à coefficients entiers. Déduire des deux questions précédentes que si $MX$ et $Y$ sont congrues modulo $5$ alors les matrices $X$ et $PY$ sont congrues modulo $5$ ; ce qui permet de « décoder » une lettre chiffrée par la procédure utilisée par Alice et Bob avec la matrice $M$ choisie.
    $\quad$
    e. Décoder alors la lettre « $D$ ».
    $\quad$
  2. On souhaite déterminer si la matrice $R=\begin{pmatrix}1&2\\4&3\end{pmatrix}$ peut être utilisée pour coder un message.
    a. On pose $S=\begin{pmatrix}2&2\\4&4\end{pmatrix}$. Vérifier que la matrice $RS$ et la matrice $\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$ sont congrues modulo $5$.
    $\quad$
    b. On admet qu’un message codé par la matrice $R$ peut être décodé s’il existe une matrice $T$ telle que les matrices $TR$ et $I$ soient congrues modulo $5$. Montrer que si c’est le cas alors les matrices $TRS$ et $S$ sont congrues modulo $5$ (par la procédure expliquée en question 1.d pour le codage avec la matrice $M$).
    $\quad$
    c. En déduire qu’un message codé par la matrice $R$ ne peut être décodé.
    $\quad$

 

Bac S – Nouvelle Calédonie – Mars 2019

Nouvelle Calédonie – mars 2019

Bac TS – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. a. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
    b. D’après l’arbre précédent on a $P(G\cap R)=0,2\times 0,01=0,002$.
    $\quad$
    c. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*}P(R)&=P(G\cap R)+P\left(\conj{G}\cap R\right)\\
    &=0,002+0,8\times 0,1\\
    &=0,082\end{align*}$
    $\quad$
    d. On veut calculer :
    $\begin{align*}P_R(G)&=\dfrac{P(R\cap G)}{P(R)}\\
    &=\dfrac{0,002}{0,082}\\
    &\approx 0,024\end{align*}$
    $\quad$
  2. On appelle $X$ la variable aléatoire représentant le coût d’entretien d’une voiture.
    La loi de probabilité de $X$ est donc :
    $P(X=0)=P(G)=0,2$
    $P(X=100)=P\left(\conj{G}\cap \conj{R}\right)=0,8\times 0,9=0,72$
    $P(X=500)=P\left(\conj{G}\cap R\right)=0,8\times 0,1=0,08$
    Ainsi $E(X)=0\times 0,2+100\times 0,72+500\times 0,08=112$.
    La société de location doit donc prévoir un budget annuel de $112\times 2~500=280~000$ euros pour l’entretien de l’ensemble des voitures.
    Le budget prévu est donc insuffisant.
    $\quad$

Partie B

  1. On a $n=600 \pg 30$ et $p=0,8$ donc $np=480\pg 5$ et $n(1-p)=120\pg 5$.
    Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de la fréquence de courte durée est :
    $\begin{align*}I_{600}&=\left[0,8-1,96\sqrt{\dfrac{0,8\times 0,2}{600}};0,8+1,96\sqrt{\dfrac{0,8\times 0,2}{600}}\right]\\
    &\approx [0,767;0,833]\end{align*}$
    $\quad$
  2. La fréquence observée est $f=\dfrac{550}{600}\approx 0,917 \notin I_{600}$.
    Au risque d’erreur de $5\%$ on peut remettre en cause l’affirmation de la directrice.
    $\quad$

Partie C

  1. D’après la calculatrice $P(500 \pp Y\pp 600)\approx 0,242$.
    La probabilité que le client louant la voiture pour une semaine roule entre $500$ km et $600$ km est environ $0,242$.
    $\quad$
  2. On cherche la valeur du réel $d$ tel que $P(Y\pp d)=0,15$.
    À l’aide de la touche Inverse loi normale de la calculatrice on trouve $d\approx 346$.
    Un client sera concerné par cette offre s’il parcourt moins de $346$ km.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A : Étude d’une fonction auxiliaire

  1. $\lim\limits_{x\to +\infty} x-4=+\infty$ et $\lim\limits_{X \to +\infty}\e^X=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^{x-4}=+\infty$.
    De plus $\lim\limits_{x\to +\infty} x+2=+\infty$
    Donc $\lim\limits_{x\to +\infty}g(x)=+\infty$
    $\quad$
  2. Pour tout réel $x$ on a
    $\begin{align*} g(x)&=(x-4+6)\e^{x-4}-2 \\
    &=(x-4)\e^{x-4}+6\e^{x-4}-2\end{align*}$
    Or $\lim\limits_{x\to -\infty}x-4=-\infty$ et $\lim\limits_{X\to -\infty}X\e^X=0$ donc $\lim\limits_{x\to -\infty}(x-4)\e^{x-4}=0$.
    $\lim\limits_{x\to -\infty}x-4=-\infty$ et $\lim\limits_{X\to -\infty}\e^X=0$ donc $\lim\limits_{x\to -\infty}\e^{x-4}=0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{x\to -\infty} g(x)=-2$.
    $\quad$
  3. Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} g'(x)&=\e^{x-4}+(x+2)\e^{x-4}\\
    &=(1+x+2)\e^{x-4}\\
    &=(x+3)\e^{x-4}\end{align*}$
    La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $g'(x)$ ne dépend donc que de celui de $x+3$.
    Or $x+3=0\ssi x=-3$ et $x+3>0\ssi x>-3$.
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    Avec $g(-3)\approx -2,000~91$.
    $\quad$
  4. Sur l’intervalle $]-\infty;-3]$ on a $g(x)\pp -2$.
    L’équation $g(x)=0$ ne possède donc pas de solution sur cet intervalle.
    Sur l’intervalle $[-3;+\infty[$ lafonction $g$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante.
    De plus $g(-3)<0$ et $\lim\limits_{x \to +\infty}g(x)=+\infty$.
    D’après la théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $g(x)=0$ ne possède qu’une solution sur l’intervalle $[-3;+\infty[$.
    Finalement l’équation $g(x)=0$ ne possède qu’une seule solution $\alpha$ sur $\R$.
    $\quad$
  5. D’après le tableau de variations de $g$ et la question précédente on a :
    – sur $]-\infty,\alpha[$, $g(x)<0$ ;
    – $g(\alpha)=0$ ;
    – sur  $]\alpha;+\infty[$, $g(x)>0$.
    $\quad$
  6. D’après la calculatrice on a $3,069 < \alpha < 3,070$.
    $\quad$

Partie B : Étude de la fonction $f$

  1. Pour tout réel $x$ :
    $\begin{align*} f(x)=0&\ssi x^2-x^2\e^{x-4}=0 \\
    &\ssi x^2\left(1-\e^{x-4}\right)=0\\
    &\ssi x=0 \text{ ou } \e^{x-4}=1 \\
    &\ssi x=0 \text{ ou } x-4=0\\
    &\ssi x=0 \text{ ou } x=4\end{align*}$
    Les solutions de l’équation $f(x)=0$ sont $0$ et $4$.
    $\quad$
  2. Pour tout réel $x$ on a $f'(x)=-xg(x)$.
    On obtient le tableau de variations suivant :

    La fonction $f$ est décroissante sur les intervalles $]-\infty;0]$ et $[\alpha;+\infty[$. Elle est croissante sur l’intervalle $[0;\alpha]$.
    $\quad$
  3. La fonction $f$ admet donc un maximum en $\alpha$ sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    Or :
    $\begin{align*} g(\alpha)=0&\ssi (\alpha+2)\e^{\alpha-4}-2=0\\
    &\ssi\e^{\alpha-4}=\dfrac{2}{\alpha+2}\end{align*}$
    Par conséquent :
    $\begin{align*} f(\alpha)&=\alpha^2-\alpha^2\e^{\alpha-4} \\
    &=\alpha^2\left(1-\e^{\alpha-4}\right) \\
    &=\alpha^2\left(1-\dfrac{2}{\alpha+2}\right) \\
    &=\alpha^2\times \dfrac{\alpha+2-2}{\alpha+2} \\
    &=\dfrac{\alpha^3}{\alpha+2}\end{align*}$
    $\quad$

Partie C : Aire d’un domaine

  1. Pour tout réel $x$ on a $f(x)-x^2=-x^2\e^{x-4}\pp 0$.
    La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    La courbe $\mathscr{C}_f$ est donc toujours située sous la parabole $\mathscr{P}$.
    $\quad$
  2. La fonction $h$ définie sur $\R$ par $h(x)=x^2-f(x)=x^2\e^{x-4}$ est donc continue, comme produit de fonctions continues sur $\R$, et positive.
    Ainsi l’aire du domaine $\mathscr{D}$ est:
    $\begin{align*}\mathscr{A}&=\int_0^4 h(x)\dx\\
    &=\left[\dfrac{x^3}{3}-F(x)\right]_0^4\\
    &=\left[\left(x^2-2x+2\right)\e^{x-4}\right]_0^4\\
    &=(16-8+2)\e^0-2\e^{-4}\\
    &=10-2\e^{-4} \text{u.a.}\end{align*}$
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. $z\left(z^2-8z+32\right)=0\ssi z=0$ ou $z^2-8z+32=0$.
    Or $z^2=0 \ssi z=0$
    Calculons le discriminant de $z^2-8z+32=0$
    $\Delta=(-8)^2-4\times 32=-64<0$
    Les solutions de l’équation $z^2-8z+32=0$ sont donc
    $z_1=\dfrac{8-\ic\sqrt{64}}{2}=4-4\ic$ et $z_2=\conj{z_1}=4+4\ic$.
    On appelle $A$ le point d’affixe $4+4\ic$ et $B$ celui d’affixe $4-4\ic$.
    Ces deux points sont donc symétriques par rapport à l’axe des abscisses. Or $O$ appartient à cet axe.
    Le triangle $OAB$ est donc isocèle en $O$.
    Le milieu de $[AB]$ est le point $C$ d’affixe $4$.
    Par conséquent $OC=4$ et $AB=\left|z_B-z_A\right|=\left|8\ic\right|=8$.
    L’aire du triangle $OAB$ est alors $\mathscr{A}=\dfrac{OC\times AB}{2}=\dfrac{4\times 8}{2}=16$ unités d’aire.
    Affirmation 1 vraie
    $\quad$
  2. On appelle $M$ le point d’affixe $z$, $A$ celui d’affixe $3$ et $B$ celui d’affixe $-3$.
    Ainsi $|z-3|=|z+3|\ssi AM=BM$
    $\mathscr{E}$ est donc la médiatrice du segment $[AB]$.
    Affirmation 2 fausse
    $\quad$
  3. L’affixe du vecteur $\vect{OM_n}$ est $z_1=z_n-z_0=\left(1-\ic\sqrt{3}\right)^n$.
    L’affixe du vecteur $\vect{OM_{n+3}}$ est
    $\begin{align*} z_2&=z_{n+3}-z_0\\
    &=\left(1-\ic\sqrt{3}\right)^{n+3}\\
    &=\left(1-\ic\sqrt{3}\right)^{3}\times \left(1-\ic\sqrt{3}\right)^{n}\\
    &=\left(1-\ic\sqrt{3}\right)^{3}z_n\end{align*}$
    Les vecteurs $\vect{OM_{n}}$ et $\vect{OM_{n+3}}$ sont donc colinéaires et les points $O$, $M_n$ et $M_{n+3}$ sont alignés.
    Affirmation 3 vraie
    $\quad$
  4. Pour tout réel $x\in ]-\pi;\pi]$ on a :
    $\sin(x)\left(2\cos^2(x)-1\right)=0$
    $\ssi \sin(x)=0$ ou $2\cos^2(x)-1=0$
    Or $\sin(x)=0 \ssi x=0$ ou $x=\pi$ sur $]-\pi;\pi]$.
    $\begin{align*} 2\cos^2(x)-1=0&\ssi \cos^2(x)=\dfrac{1}{2} \\
    &\ssi \cos(x)=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \text{ou } \cos(x)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\
    &\ssi x=\dfrac{\pi}{4} \text{ ou } x=-\dfrac{\pi}{4} \text{ ou }x=\dfrac{3\pi}{4} \text{ ou }x=-3\dfrac{\pi}{4}\end{align*}$
    L’équation $\sin(x)\left(2\cos^2(x)-1\right)=0$ possède donc $6$ solutions sur l’intervalle $]-\pi;\pi]$.
    Affirmation 4 fausse
    $\quad$

Ex 4 obl

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Exercice 4

Partie A : Conjectures

  1. On peut écrire $=B2/(B2+8)$.
    $\quad$
  2. Il semblerait que la suite $\left(u_n\right)$ soit décroissante.
    $\quad$
  3. Il semblerait la suite converge vers $0$.
    $\quad$
  4. On peut utiliser l’algorithme suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    U\leftarrow 1\\
    \text{Pour $k$ allant de $1$ à $30$}\\
    \hspace{1cm} U\leftarrow \dfrac{U}{U+8}\\
    \text{Fin Pour}\\
    \text{Afficher }U\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$

Partie B : Étude générale

  1. Initialisation : Si $n=0$ alors $u_0=1>0$
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$. On a donc $u_n>0$.
    On veut montrer que la propriété est vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $u_{n+1}>0$.
    Or $u_{n+1}=\dfrac{u_n}{u_n+8}$
    Il s’agit d’un quotient de nombres strictement positifs. Par conséquent $u_{n+1}>0$.
    La propriété est vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Donc, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n>0$.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=\dfrac{u_n}{u_n+8}-u_n\\
    &=\dfrac{u_n-{u_n}^2-8u_n}{u_n+8}\\
    &=\dfrac{-7u_n-{u_n}^2}{u_n+8}\end{align*}$
    Or, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n>0$. On a alors $-7u_n<0$ et $u_n+8>0$.
    De plus, pour tout entier naturel $n$ on a $-{u_n}^2<0$.
    Par conséquent $u_{n+1}-u_n$ est un quotient de nombres de signes contraires et $u_{n+1}-u_n<0$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
    $\quad$
  3. La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et minorée par $0$. Elle est donc convergente.
    $\quad$

Partie C : Recherche d’une expression du terme général

  1. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} v_{n+1}&=1+\dfrac{7}{u_{n+1}} \\
    &=1+\dfrac{7\left(u_n+8\right)}{u_n}\\
    &=1+7+\dfrac{56}{u_n}\\
    &=8+\dfrac{56}{u_n}\\
    &=8\left(1+\dfrac{7}{u_n}\right)\\
    &=8v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $8$ et de premier terme $v_0=1+\dfrac{7}{u_0}=8$.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $v_n=8\times 8^n=8^{n+1}$.
    De plus :
    $\begin{align*}v_n=1+\dfrac{7}{u_n}&\ssi v_n-1=\dfrac{7}{u_n}\\
    &\ssi u_n=\dfrac{7}{v_n-1}\\
    &\ssi u_n=\dfrac{7}{8^{n+1}-1}\end{align*}$
    $\quad$
  3. $8>1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty}8^{n+1}=+\infty$
    Ainsi, $\lim\limits_{n\to +\infty}u_n=0$.
    $\quad$
  4. On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que
    $\begin{align*} u_n<10^{-18} &\ssi \dfrac{7}{8^{n+1}-1}<10^{-18} \\
    &\ssi\dfrac{8^{n+1}-1}{7}>10^{18}\\
    &\ssi 8^{n+1}-1>7\times 10^{18}\\
    &\ssi 8^{n+1}>7\times 10^{18}+1\\
    &\ssi (n+1)\ln(8)>\ln\left(7\times 10^{18}+1\right)\\
    &\ssi n+1>\dfrac{\ln\left(7\times 10^{18}+1\right)}{\ln(8)}\\
    &\ssi n>\dfrac{\ln\left(7\times 10^{18}+1\right)}{\ln(8)}-1\end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln\left(7\times 10^{18}+1\right)}{\ln(8)}-1\approx 19,87$.
    par conséquent $n_0=20$.
    Le plus petit entier naturel $n_0$ tel que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $n_0$ on a $u_n<10^{-18}$ est $n_0=20$.
    $\quad$

 

 

Énoncé

Exercice 1     5 points

Les parties A, B et C peuvent être traitées indépendamment.

Partie A

Une société de location de voitures s’intéresse à l’état mécanique de son parc automobile afin d’anticiper les frais d’entretien.
On dispose des données suivantes :

  • $20 \%$ des voitures sont sous garantie;
  • pour $1 \%$ des voitures sous garantie, une réparation est nécessaire;
  • pour $10 \%$ de celles qui ne sont plus sous garantie, une réparation est nécessaire.

On choisit une voiture au hasard dans le parc et on considère les événements suivants :

  • $G$ : « la voiture est sous garantie »;
  • $R$ : « une réparation est nécessaire ».
  1. a. Traduire la situation par un arbre pondéré.
    $\quad$
    b. Calculer la probabilité que la voiture choisie soit sous garantie et nécessite une réparation.
    $\quad$
    c. Justifier que $P(R) = 0,082$.
    $\quad$
    d. Il s’avère que la voiture choisie nécessite une réparation.
    Quelle est la probabilité qu’elle soit sous garantie ? On arrondira le résultat à $10^{−3}$.
    $\quad$
  2. La société de location fait appel à un garage pour l’entretien de son parc automobile.
    L’entretien consiste en une révision à laquelle s’ajoutent d’éventuelles réparations. Les conditions commerciales du garage sont les suivantes :
    $\bullet$ si la voiture est encore sous garantie, l’entretien est gratuit;
    $\bullet$ si la voiture n’est plus sous garantie, l’entretien est facturé de la manière suivante : la révision coûte $100$ € et, si une réparation est nécessaire, il faut rajouter $400$ €.
    Sachant que son parc automobile compte $2~500$ voitures, est-il raisonnable pour la société de location de prévoir un budget annuel de $250~000$ euros pour l’entretien de l’ensemble des voitures ?
    On pourra introduire la variable aléatoire $X$ qui représente le coût d’entretien d’une voiture.
    $\quad$

Partie B

La société de location propose à ses clients deux contrats de location : un contrat de courte durée (inférieure à $2$ jours) et un contrat de longue durée (de $3$ à $7$ jours).
La directrice de cette société affirme que $80 \%$ des clients demandent un contrat de courte durée.
Sur les $600$ derniers contrats signés l’année précédente, $550$ étaient des contrats de courte durée.

  1. En supposant que l’affirmation de la directrice est correcte, déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95 \%$ de la fréquence des contrats de courte durée.
    $\quad$
  2. Que peut-on penser de l’affirmation de la directrice ?
    $\quad$

Partie C

On modélise le nombre de kilomètres parcourus par les clients louant une voiture pour une semaine par une variable aléatoire $Y$ suivant la loi normale d’espérance $\mu = 450$ et d’écart-type $\sigma = 100$.

  1. Quelle est la probabilité que le client louant la voiture pour une semaine roule entre $500$ km et $600$ km ? On arrondira le résultat à $10^{−3}$.
    $\quad$
  2. La société de location souhaite faire une offre promotionnelle aux $15 \%$ de ses clients parcourant le moins de kilomètres en une semaine.
    En-dessous de quel kilométrage hebdomadaire, arrondi à l’unité, un client sera-t-il concerné par cette offre ?
    $\quad$

Exercice 2     6 points

Partie A : Étude d’une fonction auxiliaire

Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $$ g(x)=(x+2)\e^{x-4}-2$$

  1. Déterminer la limite de $g$ en $\infty$.
    $\quad$
  2. Démontrer que la limite de $g$ en $-\infty$ vaut $-2$.
    $\quad$
  3. On admet que la fonction $g$ est dérivable sur $R$ et on note $g’$ sa dérivée.
    Calculer $g'(x)$ pour tout réel $x$ puis dresser le tableau de variations de $g$ .
    $\quad$
  4. Démontrer que l’équation $g (x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\R$.
    $\quad$
  5. En déduire le signe de la fonction $g$ sur $\R$.
    $\quad$
  6. À l’aide de la calculatrice, donner un encadrement d’amplitude $10^{−3}$ de $\alpha$.
    $\quad$

Partie B : Étude de la fonction $\boldsymbol{f}$

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $$f(x)=x^2-x^2\e^{x-4}$$

  1. Résoudre l’équation $f(x) = 0$ sur $\R$.
    $\quad$
  2. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $R$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.
    On admet par ailleurs que, pour tout réel $x$, $f'(x) = −xg(x)$ où la fonction $g$ est celle définie à la partie A.
    Étudier les variations de la fonction $f$ sur $R$.
    $\quad$
  3. Démontrer que le maximum de la fonction $f$ sur $[0 ; +\infty[$ est égal à $\dfrac{\alpha^3}{\alpha+2}$.
    $\quad$

Partie C : Aire d’un domaine

Dans un repère orthonormé $\Oij$, on note $\mathscr{D}$ le domaine compris entre la courbe représentative $\mathscr{C}_f$ de la fonction $f$, la parabole $\mathscr{P}$ d’équation $y=x^2$ et les droites d’équations $x=0$ et $x=4$.

  1. Déterminer la position relative des courbes $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{P}$.
    $\quad$
  2. . On admet qu’une primitive de la fonction $f$ sur $\R$ est définie par : $$F(x)=\dfrac{x^3}{3}-\left(x^2-2x+2\right)\e^{x-4}$$
    Calculer l’aire du domaine $\mathscr{D}$ en unité d’aire. On donnera la valeur exacte.
    $\quad$

Exercice 3     4 points

Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie.
Il est attribué 1 point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Une absence de réponse n’est pas pénalisée.
Pour les questions 1 à 3, on se place dans un plan muni du repère orthonormé direct $\Ouv$.

  1. Soit $(E)$ l’équation d’inconnue le nombre complexe $z$ $$z\left(z^2-8z+32\right)=0$$
    Affirmation 1 : Les points dont les affixes sont les solutions de l’équation $(E)$ sont les sommets d’un triangle d’aire égale à $16$ unités d’aire.
    $\quad$
  2. Soit $\mathscr{E}$ l’ensemble des points dont les affixes $z$ vérifient $$|z-3|=|z+3|$$
    Affirmation 2 : L’ensemble $\mathscr{E}$ est le cercle de centre $O$ et de rayon $3$.
    $\quad$
  3. On considère la suite de nombres complexes $\left(z_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $$z_n=\left(1-\ic\sqrt{3}\right)^2$$
    Pour tout entier naturel $n$, on note $M_n$ le point d’affixe $z_n$.
    Affirmation 3 : Pour tout entier naturel $n$, les points $M_n$, $O$ et $M_{n+3}$ sont alignés.
    $\quad$
  4. On considère l’équation d’inconnue le nombre réel $x$ $$\sin(x)\left(2\cos^2(x)-1\right)=0$$
    Affirmation 4 : Cette équation admet exactement quatre solutions sur l’intervalle $]-\pi;\pi]$ qui sont $-\dfrac{\pi}{4}$; $0$; $\dfrac{\pi}{4}$ et $\pi$.
    $\quad$

Exercice 4     5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

On considère la suite $\left(u_n\right)$ à valeurs réelles définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$, $$u_{n+1}=\dfrac{u_n}{u_n+8}$$

Partie A : Conjectures

Les premières valeurs de la suite $\left(un\right)$ ont été calculées à l’aide d’un tableur dont voici une capture d’écran :

  1. Quelle formule peut-on entrer dans la cellule $B3$ et copier vers le bas pour obtenir les valeurs des premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$?
    $\quad$
  2. Quelle conjecture peut-on faire sur les variations de la suite $\left(u_n\right)$?
    $\quad$
  3. Quelle conjecture peut-on faire sur la limite de la suite $\left(u_n\right)$?
    $\quad$
  4. Écrire un algorithme calculant $u_{30}$.
    $\quad$

Partie B : Étude générale

  1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $u_n > 0$.
    $\quad$
  2. Étudier les variations de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
  3. La suite $\left(u_n\right)$ est-elle convergente ? Justifier
    $\quad$

Partie C : Recherche d’une expression du terme général

On définit la suite $\left(v_n\right)$ en posant, pour tout entier naturel $n$, $$v_n=1+\dfrac{7}{u_n}$$

  1. Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $8$ dont on déterminera le premier terme.
    $\quad$
  2. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, $$u_n =\dfrac{7}{8^{n+1}-1}$$
    $\quad$
  3. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$
    $\quad$
  4. On cherche dans cette question le plus petit entier naturel $n_0$ tel que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $n_0$, $u_n < 10^{−18}$.
    Justifier l’existence d’un tel entier $n_0$ et déterminer sa valeur.
    $\quad$

 

 

Bac S – Nouvelle Calédonie – Novembre 2018

Nouvelle Calédonie – Novembre 2018

Bac S – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A – Conjecture graphique

  1. Graphiquement, une solution de l’équation $f(x)=g(x)$ est $1$.
    $\quad$
  2. Graphiquement, une solution de l’équation $g'(x)=0$ est $0,5$ (la dérivée s’annule en l’abscisse d’un sommet).
    $\quad$

 

Partie B – Étude de la fonction $\boldsymbol{g}$

  1. $\lim\limits_{x\to +\infty} -\dfrac{1}{x}=0$ et $\lim\limits_{X \to 0} \e^X=0$ donc$\lim\limits_{x \to +\infty} \e^{-1/x}=0$.
    De plus $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x^2}=0$.
    Donc, par produit de limites, $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x)=0$.
    $\quad$
  2. a. Pour tout réel $x$ strictement positif on a :
    $\begin{align*} h(x)&=\ln\left(g(x)\right) \\
    &=\ln\left(\dfrac{1}{x^2}\e^{-1/x}\right) \\
    &=\ln\left(\dfrac{1}{x^2}\right)+\ln\left(\e^{-1/x}\right)\\
    &=-\ln\left(x^2\right)-\dfrac{1}{x} \\
    &=-2\ln(x)-\dfrac{1}{x} \\
    &=\dfrac{-2x\ln(x)-1}{x}\end{align*}$
    $\quad$
    b. $\lim\limits_{x\to 0^+} x\ln(x)=0$ donc $\lim\limits_{x\to 0^+}-2x\ln(x)-1=-1$.
    De plus, $\lim\limits_{x\to 0^+} \dfrac{1}{x}=+\infty$.
    Donc, par produit de limites, $\lim\limits_{x \to 0^+} h(x)=-\infty$.
    $\quad$
    c. Pour tout réel $x$ strictement positif on a $h(x)=\ln\left(g(x)\right) \ssi g(x)=\e^{h(x)}$.
    Or $\lim\limits_{x \to 0^+} h(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{X \to -\infty} =0$.
    Donc, par composition de limite on a $\lim\limits_{x \to 0^+} g(x)=0$.
    $\quad$
  3. La fonction $g$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ d’après l’énoncé.
    $\begin{align*} g'(x)&=\dfrac{-2}{x^3}\e^{-1/x}+\dfrac{1}{x^2}\times \dfrac{1}{x^2}\e^{-1/x} \\
    &=\left(\dfrac{-2}{x^3}+\dfrac{1}{x^4}\right)\e^{-1/x} \\
    &=\dfrac{(-2x+1)\e^{-1/x}}{x^4} \end{align*}$
    $\quad$
  4. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. De plus, pour tout $x>0$, on a $x^4>0$.
    Le signe de $g'(x)$ ne dépend donc que de celui de $1-2x$.
    Or $1-2x=0 \ssi x=1/2$ et $1-2x>0\ssi -2x>-1 \ssi x<\dfrac{1}{2}$.
    Ainsi $g'(x)<0$ sur l’intervalle $\left]\dfrac{1}{2};+\infty\right[$
    $g\left(\dfrac{1}{2}\right)=0$
    et $g'(x)>0$ sur l’intervalle $\left]0;\dfrac{1}{2}\right[$.
    Par conséquent, la fonction $g$ est croissante sur l’intervalle $\left]0;\dfrac{1}{2}\right[$ et décroissante sur l’intervalle $\left]\dfrac{1}{2};+\infty\right[$.
    $\quad$

Partie C – Aire des deux domaines compris entre les courbes $\boldsymbol{\mathscr{C}_f}$ et $\boldsymbol{\mathscr{C}_g}$

  1. $f(1)=\e^{-1}$ et $g(1)=\dfrac{1}{1^2}\e^{-1/1}=\e^{-1}$.
    Ainsi le point $A$ de coordonnées $\left(1;\e^{-1}\right)$ est un point d’intersection de $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$.
    $\quad$
  2. Pour tout réel $a$ et $b$ strictement positifs on a :
    $\begin{align*} \ds \int_a^b \left(f(x)-g(x)\right)\dx &=\int_a^b \left(\e^{-x}-\dfrac{1}{x^2}\e^{-1/x}\right) \dx \\
    &=\left[-\e^{-x}-\e^{-1/x}\right]_a^b \\
    &=-\e^{-b}-\e^{-1/b}+\e^{-a}+\e^{-1/a} \\
    &=\e^{-a}+\e^{-1/a}-\e^{-b}-\e^{-1/b}\end{align*}$
    $\quad$
  3. $\lim\limits_{a \to 0} \e^{-a}=\e^0=1$
    $\lim\limits_{a \to 0^+} -\dfrac{1}{a}=-\infty$ et $\lim\limits_{x \to -\infty} \e^x=0$. Donc $\lim\limits_{a \to 0^+} \e^{-1/a}=0$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} \ds \lim\limits_{a \to 0^+} \int_a^1 \left(f(x)-g(x)\right)\dx&=1+0-\e^{-1}-\e^{-1} \\
    &=1-2\e^{-1}\end{align*}$
    $\quad$
  4. Cette égalité signifie que l’aire du domaine compris entre $\mathscr{C}_f$, $\mathscr{C}_g$ et les droites d’équation $x=0$ et $x=1$ est égale à celle du domaine compris entre $\mathscr{C}_g$ et  $\mathscr{C}_f$ pour tous les points dont l’abscisse est supérieure à $1$.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. a. Les vingt questions sont indépendantes. Les “tirages” sont aléatoires, identiques et possèdent deux issues :”Anselme répond correctement” ou non.
    La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=0,25$.
    $\quad$
    b. À l’aide de la calculatrice on obtient $P(X\pg 10) =1-P(X\pp 9) \approx 0,014$.
    $\quad$
  2. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(M)&=p(M\cap A)+p(M\cap B)+p(M\cap C) \\
    &\approx \dfrac{1}{3}\times 0,014+\dfrac{1}{3}\times 0,588+\dfrac{1}{3}\times 0,962 \\
    &\approx 0,521 \end{align*}$
    Par conséquent
    $\begin{align*} p_M(B)&=\dfrac{p(M\cap B)}{p(M)} \\
    &\approx \dfrac{\dfrac{1}{3}\times 0,588}{0,521} \\
    &\approx 0,376 \end{align*}$
    La probabilité qu’il s’agisse de la copie de Barbara sachant que la note est supérieure ou égale à $10$ est d’environ $0,376$.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. Le point $P$ a pour coordonnées $(1;0;1)$.
    Le point $F$ a pour coordonnées $(2;0;2)$ et le point $G$ a pour coordonnées $(2;2;2)$.
    Ainsi le point $Q$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{2+2}{2};\dfrac{0+2}{2};\dfrac{2+2}{2}\right)$ soit $(2;1;2)$.
    Dans la représentation paramétrique proposée :
    $\bullet$ Si $t=0$ alors $\begin{cases} x=1\\y=0\\z=1\end{cases}$ et on obtient les coordonnées du point $P$.
    $\bullet$ Si $t=1$ alors $\begin{cases} x=2\\y=1\\z=2\end{cases}$ et on obtient les coordonnées du point $Q$.
    Une représentation paramétrique de la droite $(PQ)$ est donc bien $\begin{cases} x=1+t\\y=t\\z=1+t\end{cases}, \quad t\in \R$.
    $\quad$
  2. a. Les coordonnées du point $I$ sont $(0;1;0)$ et celles du point $J$ sont $(2;1;0)$.
    Ainsi les coordonnées du vecteur $\vect{IJ}$ sont $(2;0;0)$.
    On considère le point $K’$ de coordonnées $(1+t;1;0)$.
    Alors les coordonnées du vecteur $\vect{MK’}$ sont $(0;1-t;-1-t)$.
    $\vect{IJ}.\vect{MK’}=0+0+0=0$.
    Les vecteurs $\vect{IJ}$ et $\vect{MK’}$ sont orthogonaux.
    $\quad$
    Une représentation paramétrique de la droite $(IJ)$ est $\begin{cases} x=r\\y=1\\z=0\end{cases}, \quad r\in \R$.
    En prenant $r=1+t$ on obtient le fait que $K’$ appartient à la droite $(IJ)$.
    $\quad$
    Le point $K’$ appartient à la droite $(IJ)$ et est tel que $(MK’)$ soit orthogonal à $(IJ)$. Un tel point est unique d’après l’énoncé.
    Par conséquent les coordonnées du point $K$ sont bien $(1+t;1;0)$.
    $\quad$
    b.
    $\begin{align*} MK&=\left\| \vect{MK}\right\| \\
    &=\sqrt{0^2+(1-t)^2+(-1-t)^2} \\
    &=\sqrt{1-2t+t^2+1+2t+t^2}\\
    &=\sqrt{2+2t^2}\end{align*}$
    $\quad$
  3. a. Le point $H$ a pour coordonnées $(0;2;2)$ et $y_H-z_H=2-2=0$. Donc $H$ appartient au plan d’équation $y-z=0$.
    Le point $G$ a pour coordonnées $(2;2;2)$ et $y_G-z_G=2-2=0$. Donc $G$ appartient au plan d’équation $y-z=0$.
    Le point $B$ a pour coordonnées $(2;0;0)$ et $y_B-z_B=0-0=0$. Donc $B$ appartient au plan d’équation $y-z=0$.
    Ainsi, une équation cartésienne du plan $(HGB)$ est $y-z=0$.
    $\quad$
    b. On note $L’$ le point de coordonnées $\left(1+t;\dfrac{1}{2}+t;\dfrac{1}{2}+t\right)$.
    $y_L-z_L=\dfrac{1}{2}+t-\dfrac{1}{2}-t=0$ donc $L’$ appartient au plan $(HGB)$.
    $\quad$
    Les coordonnées du vecteur $\vect{ML’}$ sont $\left(0;\dfrac{1}{2}+t-t;\dfrac{1}{2}+t-1-t\right)$ soit $\left(0;\dfrac{1}{2};-\dfrac{1}{2}\right)$.
    Un vecteur normal au plan $(HGB)$ est $\vec{n}(0;1;-1)$.
    Par conséquent $\vect{ML’}=\dfrac{1}{2}\vec{n}$.
    Le vecteur $\vect{ML’}$ est bien orthogonal au plan $(HGB)$.
    $\quad$
    Le point $L’$ appartient au plan $(HGB)$ et est tel que $(ML’)$ soit orthogonal à $(HGB)$. Un tel point est unique.
    Les coordonnées du point $L$ sont donc $\left(0;\dfrac{1}{2}+t-t;\dfrac{1}{2}+t-1-t\right)$.
    $\quad$
    c.
    $\begin{align*} ML&=\left\| \vect{ML}\right\| \\
    &=\sqrt{0^2+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2} \\
    &=\sqrt{\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}}\\
    &=\sqrt{\dfrac{1}{2}}\\
    &=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\end{align*}$
    $\quad$
  4. On veut résoudre l’équation :
    $ ML=MK \ssi \sqrt{\dfrac{1}{2}}=\sqrt{2+2t^2}$
    Or, pour tout réel $t$ on a  $2+2t^2\pg 2>\dfrac{1}{2}$.
    Il n’existe donc pas de valeur de $t$ pour laquelle la distance $MK$ est égale à la distance $ML$.
    $\quad$

Ex 4 obl

Exercice 4

  1. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} u_{n+1}&=z_{n+1}-\ic \\
    &=\dfrac{1}{3}z_n+\dfrac{2}{3}\ic-\ic \\
    &=\dfrac{1}{3}z_n-\dfrac{1}{3}\ic \\
    &=\dfrac{1}{3}\left(z_n-\ic\right)\\
    &=\dfrac{1}{3}u_n\end{align*}$
    $\quad$
  2. Démontrons, par récurrence sur $n$, que, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=\left(\dfrac{1}{3}\right)^n(1-\ic)$.
    Initialisation :
    Si $n=0$ alors $\left(\dfrac{1}{3}\right)^n(1-\ic)=1-\ic=z_0-\ic=u_0$.
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : Supposons que la propriété soit vraie au rang $n$, c’est-à-dire que $u_n=\left(\dfrac{1}{3}\right)^n(1-\ic)$.
    Montrons qu’elle est encore vraie au rang $n+1$ c’est-à-dire que $u_{n+1}=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n+1}(1-\ic)$
    $\begin{align*} u_{n+1}&=\dfrac{1}{3}u_n \\
    &=\dfrac{1}{3}\times \left(\dfrac{1}{3}\right)^n(1-\ic)\\
    &=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n+1}(1-\ic) \end{align*}$
    La propriété est vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=\left(\dfrac{1}{3}\right)^n(1-\ic)$.
    $\quad$
  3. a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*}\left|u_n\right|&=\left|\left(\dfrac{1}{3}\right)^n(1-\ic)\right| \\
    &=\left(\dfrac{1}{3}\right)^n\left|1-\ic\right| \\
    &=\left(\dfrac{1}{3}\right)^n\times \sqrt{1^2+(-1)^2} \\
    &=\sqrt{2}\times \left(\dfrac{1}{3}\right)^n\end{align*}$
    $\quad$
    b. $-1 < \dfrac{1}{3} <1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} \left(\dfrac{1}{3}\right)^n=0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} \left|u_n\right|=0$
    C’est-à-dire $\lim\limits_{n \to +\infty} \left|z_n-\ic\right|=0$.
    $\quad$
    c. Géométriquement, cela signifie que, pour de grandes valeur de $n$, le point $A_n$ est très proche du point $C$.
    $\quad$
  4. a. On a $|1-\ic|=\sqrt{2}$ donc $1-\ic=\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\ic\right)=\sqrt{2}\e^{-\ic\pi/4}$.
    Par conséquent $u_n=\left(\dfrac{1}{3}\right)^n\times \sqrt{2}\e^{-\ic\pi/4}$.
    Un argument de $u_n$ est donc $-\dfrac{\pi}{4}$.
    $\quad$
    b. On considère deux entiers naturels non nuls $n$ et $m$.
    L’affixe du vecteur $\vect{B_0B_n}$ est
    $\begin{align*} c_n&=u_n-u_0\\
    &=\left(\dfrac{1}{3}\right)^n(1-\ic)-(1-\ic) \\
    &=(1-\ic)\times \left(\left(\dfrac{1}{3}\right)^n-1\right) \end{align*}$
    L’affixe du vecteur $\vect{B_0B_m}$ est
    $\begin{align*} d_n&=u_m-u_0\\
    &=\left(\dfrac{1}{3}\right)^m(1-\ic)-(1-\ic) \\
    &=(1-\ic)\times \left(\left(\dfrac{1}{3}\right)^m-1\right) \end{align*}$
    Par conséquent $d_n=\dfrac{\left(\dfrac{1}{3}\right)^m-1}{\left(\dfrac{1}{3}\right)^n-1}c_n$.
    Les vecteurs $\vect{B_0B_n}$ et $\vect{B_0B_m}$ sont colinéaires.
    Les points $B_0$, $B_n$ et $B_m$ sont donc alignés.
    $\quad$
    Autre méthode :
    On considère deux entiers naturels $n$ et $m$.
    $\begin{align*} \left(\vect{OB_n},\vect{OB_m}\right)&=\left(\vec{u},\vect{OB_m}\right)-\left(\vect{OB_n},\vec{u}\right) \\
    &=-\dfrac{\pi}{4}-\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) ~~[2\pi] \\
    &=0~~[2\pi]\end{align*}$
    Les points $O$, $B_n$ et $B_M$ sont donc alignés.
    Cela signifie donc que tous les points $B_n$ appartiennent à la droite $\left(OB_0\right)$.
    $\quad$
    c. On a $u_0=1-\ic$. Une équation de la droite $\left(OB_0\right)$ est donc $y=-x$.
    Pour tout entier naturel $n$, il existe donc un réel $x_n$ tel que m’affixe du point $B_n$  soit $u_n=x_n(1-\ic)$.
    Or l’affixe du point $B_n$ est $u_n=z_n-\ic$.
    Par conséquent, en notant $a_n+\ic b_n$ la forme algébrique de $z_n$ on a :
    $\begin{align*} x_n(1-\ic)=a_n+\ic b_n-\ic &\ssi \begin{cases} a_n=x_n \\-x_n=b_n-1\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} a_n=x_n \\b_n=-a_n+1\end{cases} \end{align*}$
    Le point $A_n$ appartient donc à la droite d’équation $y=-x+1$.
    $\quad$

 

Ex 4 spé

Exercice 4

Partie A

  1. a. On a :
    $u_0=0$, $u_1=1$, $u_2=1$, $u_3=2$, $u_4=3$, $u_5=5$, $u_6=8$, $u_7=13$, $u_8=21$, $u_9=34$ et $u_{10}=55$
    $\quad$
    b. Il semblerait que pour tout entier naturel $n$ le PGCD de $u_n$ et de $u_{n+1}$ soit égal à $1$.
    $\quad$
  2. a. Soit $n$ un entier naturel non nul.
    $\begin{align*} v_{n+1}&={u_{n+1}}^2-u_{n+2}\times u_n \\
    &={u_{n+1}}^2-\left(u_{n+1}+u_n\right)\times u_n \\
    &={u_{n+1}}^2-u_{n+1}\times u_n-{u_n}^2 \\
    &=-{u_n}^2+u_{n+1}\left(u_{n+1}-u_n\right)\end{align*}$
    Or, $u_{n+1}=u_n+u_{n-1} \ssi u_{n-1}=u_{n+1}-u_n$.
    Par conséquent $v_{n+1}=-{u_n}^2+u_{n+1}\times u_{n-1}=-v_n$.
    $\quad$
    b. La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $-1$ et de premier terme $v_1={u_1}^2-u_2\times u_0=1$.
    Ainsi, pour tout entier naturel $n$ non nul on a $v_n=(-1)^{n-1}$.
    Par conséquent ${u_n}^2-u_{n+1}\times u_{n-1}=(-1)^{n-1}$.
    $\quad$
    c. Soit $n$ un entier naturel $n$ non nul.
    Si $n$ est impair alors $n-1$ est pair et
    ${u_n}^2-u_{n+1}\times u_{n-1}=1$
    $\ssi u_n\times u_n-u_{n+1}\times u_{n-1}=1$
    D’après le théorème de Bezout les nombres $u_n$ et $u_{n+1}$ sont premiers entre eux.
    $\quad$
    Si $n$ est pair alors $n-1$ est impair et
    ${u_n}^2-u_{n+1}\times u_{n-1}=-1$
    $\ssi -{u_n}^2+u_{n+1}\times u_{n-1}=1$
    $\ssi -u_n\times u_n++u_{n+1}\times u_{n-1}=1$
    D’après le théorème de Bezout les nombres $u_n$ et $u_{n+1}$ sont premiers entre eux.
    La conjecture de la question est donc vraie pour tout entier naturel $n$ non nul.
    De plus le PGCD de $0$ et $1$ est $1$. La conjecture est également vraie pour $n=0$.
    La conjecture de la question est donc vraie pour tout entier naturel $n$.
    $\quad$

Partie B

  1. On a $F^2=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}$ et $F^3=\begin{pmatrix}3&2\\2&1\end{pmatrix}$.
    $\quad$
  2. Montrons cette propriété par récurrence.
    Initialisation : Si $n=1$ alors $F^1=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}u_2&u_1\\u_1&u_0\end{pmatrix}$.
    La propriété est vraie au rang $1$.
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$, c’est à dire $F^n=\begin{pmatrix}u_{n+1}&u_n\\u_n&u_{n-1}\end{pmatrix}$.
    Montrons que la propriété est encore vraie au rang $n+1$, soit $F^{n+1}=\begin{pmatrix}u_{n+2}&u_{n+1}\\u_{n+1}&u_{n}\end{pmatrix}$.
    $\begin{align*} F^{n+1}&=F\times F_n \\
    &=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}u_{n+1}&u_n\\u_n&u_{n-1}\end{pmatrix} \\
    &=\begin{pmatrix} u_{n+1}+u_n&u_n+u_{n-1}\\u_{n+1}&u_n\end{pmatrix} \\
    &=\begin{pmatrix} u_{n+2}&u_{n+1}\\u_{n+1}&u_n\end{pmatrix}\end{align*}$
    La propriété est vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $F_n=\begin{pmatrix} u_{n+1}&u_n\\u_n&u_{n-1}\end{pmatrix}$.
    $\quad$
  3. a. Soit $n$ un entier naturel non nul.
    $F^{2n+2}=F^{n+2+n}=F^{n+2}\times F_n$.
    Par conséquent :
    $\begin{pmatrix} u_{2n+3}&u_{2n+2}\\u_{2n+2}&u_{2n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} u_{n+3}&u_{n+2}\\u_{n+2}&u_{n+1}\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} u_{n+1}&u_n\\u_n&u_{n-1}\end{pmatrix}$
    En identifiant les coefficients de la $2\ieme$ ligne, $1^{\text{ère}}$ colonne on obtient $u_{2n+2}=u_{n+2}\times u_{n+1}+u_{n+1}\times u_n$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+2}=u_{n+1}+u_n$ soit $u_{n+1}=u_{n+2}-u_n$
    Ainsi, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a :
    $\begin{align*} u_{2n+2}&=u_{n+2}\times u_{n+1}+u_{n+1}\times u_n \\
    &=u_{n+1}\left(u_{n+2}+u_n\right) \\
    &=\left(u_{n+2}-u_n\right)\left(u_{n+2}+u_n\right) \\
    &={u_{n+2}}^2-{u_n}^2\end{align*}$
    $\quad$
  4. D’après la question précédente on a, pour tout entier naturel $n$ non nul, ${u_{n+2}}^2=u_{2n+2}+{u_n}^2$
    La solution de l’équation $2n+2=12$ est $n=5$.
    Par conséquent :
    ${u_7}^2=u_{12}+{u_5}^2$
    $\ssi 13^2=144+5^2$
    $\ssi 13^2=12^2+5^2$
    D’après la réciproque du théorème de Pythagore, un triangle dont les côtés mesurent $5$, $12$ et $13$ unités est rectangle.
    $\quad$

 

 

Énoncé

Exercice 1     6 points

Soient $f$ et $g$ les fonctions définies sur $]0;+\infty[$ par $$f(x)=\e^{-x} \quad \text{et} \quad g(x)=\dfrac{1}{x^2}\e^{-1/x}$$

On admet que $f$ et $g$ sont dérivables sur $]0;+\infty[$. On note $f’$ et $g’$ leurs fonctions dérivées respectives.

Les représentations graphiques de $f$ et $g$ dans un repère orthogonal, nommées respectivement $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ sont données ci-dessous :

Partie A – Conjectures graphiques

Dans chacune des questions de cette partie, aucune justification n’est demandée.

  1. Conjecturer graphiquement une solution de l’équation $f(x)=g(x)$ sur $]0:+\infty[$.
    $\quad$
  2. Conjecturer graphiquement une solution de l’équation $g'(x)=0$ sur $]0:+\infty[$.
    $\quad$

Partie B – Étude de la fonction 

  1. Calculer la limite de $g(x)$ quand $x$ tend vers $+\infty$.
    $\quad$
  2. On admet que la fonction $g$ est strictement positive sur $]0;+\infty[$.
    Soit $h$ la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par $h(x)=\ln\left(g(x)\right)$.
    a. Démontrer que, pour tout nombre réel $x$ strictement positif, $$h(x)=\dfrac{-1-2x\ln x}{x}$$
    $\quad$
    b. Calculer la limite de $h(x)$ quand $x$ tend vers $0$.
    $\quad$
    c. En déduire la limite de $g(x)$ quand $x$ tend vers $0$.
    $\quad$
  3. Démontrer que, pour tout nombre $x$ strictement positif, $$g'(x)=\dfrac{\e^{-1/x}(1-2x)}{x^4}$$
    $\quad$
  4. En déduire les variations de la fonction $g$ sur $]0;+\infty[$.
    $\quad$

Partie C – Aire des deux domaines compris entre les courbes $\boldsymbol{\mathcal{C}_f}$ et $\boldsymbol{\mathcal{C}_g}$

  1. Démontrer que le point $A$ de coordonnées $\left(1;\e^-1\right)$ est un point d’intersection de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$
    $\quad$
    On admet que ce point est l’unique point d’intersection de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$, et que $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $\mathcal{C}_g$ sur l’intervalle $]0;1[$ et e dessous sur l’intervalle $]1;+\infty[$.
    $\quad$
  2. Soient $a$ et $b$ deux réels strictement positifs. Démontrer que $$\int_a^b \left(f(x)-g(x)\right)\dx =\e^{-a}+\e^{-1/a}-\e^{-b}-\e^{-1/b}$$
    $\quad$
  3. Démontrer que $$\lim\limits_{a \to 0} \int_a^1 \left(f(x)-g(x)\right)\dx=1-2\e^{-1}$$
    $\quad$
  4. On admet que $$\lim\limits_{a \to 0} \int_a^1 \left(f(x)-g(x)\right)\dx=\lim\limits_{b \to +\infty} \int_1^{+\infty} \left(g(x)-f(x)\right)\dx$$
    Interpréter graphiquement cette égalité.
    $\quad$

Exercice 2     3 points

Une épreuve de culture générale consiste en un questionnaire à choix multiple (QCM) de vingt questions. Pour chacune d’entre elles, le sujet propose quatre réponses possibles, dont une seule est correcte. À chaque question, le candidat ou la candidate doit nécessairement choisir une seule réponse. Cette personne gagne un point par réponse correcte et ne perd aucun point si sa réponse est fausse.

On considère trois candidats :

  • Anselme répond complètement au hasard à chacune des vingt questions.
    Autrement dit, pour chacune des questions, la probabilité qu’il réponde correctement est égale à $\dfrac{1}{4}$;
  • Barbara est un peu mieux préparée. On considère que pour chacune des vingt questions, la probabilité qu’elle réponde correctement est de $\dfrac{1}{2}$;
  • Camille fait encore mieux : pour chacune des questions, la probabilité qu’elle réponde correctement est égale à $\dfrac{2}{3}$.
  1. On note $X$, $Y$ et $Z$ les variables aléatoires égales aux notes respectivement obtenues par Anselme, Barbara et Camille.
    a. Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$ ? Justifier.
    $\quad$
    b. À l’aide de la calculatrice, donner l’arrondi au millième de la probabilité $P(X \pg 10)$.
    $\quad$
    Dans la suite, on admettra que $P(Y\pg 10) \approx 0,588$ et $P(Z \pg 10)\approx 0,962$.
    $\quad$
  2. On choisit au hasard la copie d’un de ces trois candidats.
    On note $A$, $B$, $C$ et $M$ les événements :
    $\bullet$ $A$ : « la copie choisie est celle d’Anselme » ;
    $\bullet$ $B$ : « la copie choisie est celle de Barbara » ;
    $\bullet$ $C$ : « la copie choisie est celle de Camille » ;
    $\bullet$ $M$ : « la copie choisie obtient une note supérieure ou égale à $10$ ».
    On constate, après l’avoir corrigée, que la copie choisie obtient une note supérieure ou égale à $10$ sur $20$.
    $\quad$
    Quelle est la probabilité qu’il s’agisse de la copie de Barbara ?
    On donnera l’arrondi au millième de cette probabilité.
    $\quad$

 

Exercice 3     6 points

Soit $ABCDEFGH$ le cube représenté ci-dessous.
On considère :

  • $I$ et $J$ les milieux respectifs des segments $[AD]$ et $[BC]$ ;
  • $P$ le centre de la face $ABFE$, c’est-à-dire l’intersection des diagonales $(AF)$ et $(BE)$ ;
  • $Q$ le milieu du segment $[FG]$.

On se place dans le repère orthonormé $\left(A;\dfrac{1}{2}\vect{AB},\dfrac{1}{2}\vect{AD},\dfrac{1}{2}\vect{AE}\right)$.
Dans tout l’exercice, on pourra utiliser les coordonnées des points de la figure sans les justifier.
On admet qu’une représentation paramétrique de la droite $(IJ)$ est $$\begin{cases} x=r\\y=1\\z=0\end{cases}, \quad r\in \R$$

  1. Vérifier qu’une représentation paramétrique de la droite $(PQ)$ est $$\begin{cases} x=1+t\\y=t\\z=1+t\end{cases}, \quad t\in \R$$
    $\quad$
    Soient 𝑡 un nombre réel et $M (1 + t;t; 1 + t)$ le point de la droite $(PQ)$ de paramètre $t$.
    $\quad$
  2. a. On admet qu’il existe un unique point $K$ appartenant à la droite $(IJ)$ tel que $(MK)$ soit orthogonale à $(IJ)$.
    Démontrer que les coordonnées de ce point $K$ sont
    $$(1 + t; 1; 0)$$
    $\quad$
    b. En déduire que $MK=\sqrt{2+2t^2}$.
    $\quad$
  3. a. Vérifier que $y=z = 0$ est une équation cartésienne du plan $(HGB)$.
    $\quad$
    b. On admet qu’il existe un unique point $L$ appartenant au plan $(HGB)$ tel que $(ML)$ soit orthogonale à $(HGB)$.
    Vérifier que les coordonnées de ce point $L$ sont $$\left(1+t;\dfrac{1}{2}+t;\dfrac{1}{2}+t\right)$$
    $\quad$
    c. En déduire que la distance $ML$ est indépendante de $t$.
    $\quad$
  4. Existe-t-il une valeur de $t$ pour laquelle la distance $MK$ est égale à la distance $ML$ ?
    $\quad$

 

Exercice 4     5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

On définit la suite de nombres complexes $\left(z_n\right)$ de la manière suivante : $𝑧_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$, $$z_{n+1}=\dfrac{1}{3}z_n+\dfrac{2}{3}\ic$$

On se place dans un plan muni d’un repère orthonormé direct $\Ouv$.
Pour tout entier naturel $n$, on note $A_n$ le point du plan d’affixe $z_n$.
Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n = z_n−\ic$ et on note $B_n$ le point d’affixe $u_n$.
On note $C$ le point d’affixe $\ic$.

  1. Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$, pour tout entier naturel $n$.
    $\quad$
  2. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $$u_n=\left(\dfrac{1}{3}\right)^n(1-\ic)$$
    $\quad$
  3. a. Pour tout entier naturel $n$, calculer, en fonction de $n$, le module de $u_n$.
    $\quad$
    b. Démontrer que $$\lim\limits_{n \to +\infty} \left|z_n-\ic\right|=0$$
    $\quad$
    c. Quelle interprétation géométrique peut-on donner de ce résultat ?
    $\quad$
  4. a. Soit $n$ un entier naturel. Déterminer un argument de $u_n$.
    $\quad$
    b. Démontrer que, lorsque $n$ décrit l’ensemble des entiers naturels, les points $B_n$ sont alignés.
    $\quad$
    c. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, le point $A_n$ appartient à la droite d’équation réduite $$
    y=-x+1$$
    $\quad$

 

Exercice 4     5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

On appelle suite de Fibonacci la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=0$, $u_1=1$ et, pour tout entier naturel $n$, $$u_{n+2}=u_{n+1}+u_n$$
On admet que, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ est un entier naturel.
Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.

Partie A

  1. a. Calculer les termes de la suite de Fibonacci jusqu’à $u_{10}$
    $\quad$
    b. Que peut-on conjecturer sur le PGCD de $u_n$ et $u_{n+1}$ pour tout entier naturel $n$ ?
    $\quad$
  2. On définit la suite $\left(v_n\right)$ par $v_n={u_n}^2-u_{n+1}\times u_{n-1}$ pour tout entier naturel $n$ non nul.
    a. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $v_{n+1} = -v_n$ .
    $\quad$
    b. En déduire que, pour tout entier naturel $n$ non nul,
    $${u_n}^2-u_{n+1}\times u_{n-1}=(-1)^{n-1}$$
    $\quad$
    c. Démontrer alors la conjecture émise à la question 1.b.
    $\quad$

Partie B

On considère la matrice $F=\begin{pmatrix} 1&1\\1&0\end{pmatrix}$.

  1. Calculer $F^2$ et $F^3$. On pourra utiliser la calculatrice.
    $\quad$
  2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $$F^n=\begin{pmatrix}u_{n+1} u_n\\u_n&u_{n-1}\end{pmatrix}$$
    $\quad$
  3. a. Soit $n$ un entier naturel non nul. En remarquant que $F^{2n+2}=F^{n+2}\times F^n$, démontrer que $$u_{2n+2}=u_{n+2}\times u_{n+1}+u_{n+1}\times u_n$$
    $\quad$
    b. En déduire que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $$u_{2n+2}={u_{n+2}}^2-{u_n}^2$$
    $\quad$
  4. On donne $u_{12} = 144$.
    Démontrer en utilisant la question 3. qu’il existe un triangle rectangle dont les longueurs des côtés sont toutes des nombres entiers, l’une étant égale à $12$.
    Donner la longueur des deux autres côtés.
    $\quad$