Bac S – Nouvelle Calédonie – Décembre 2020

Nouvelle Calédonie – Décembre 2020

Bac S – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. a. Pour tout $z\in \C$ on a
    $\begin{align*} (z-2)\left(z^2-2z+4\right)&=z^3-2z^2+4z-2z^2+4z-8 \\
    &=z^3-4z^2+8z-8\end{align*}$
    $\quad$
    b. On a donc :
    $\begin{align*} z^3=4z^2-8z+8&\ssi z^3-4z^2+8z-8=0 \\
    &\ssi (z-2)\left(z^2-2z+4\right)=0\end{align*}$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, au moins un de ses facteurs est nul.
    $z-2=0\ssi z=2$
    Déterminons le discriminant de l’équation $z^2-2z+4=0$
    $\begin{align*} \Delta &= (-2)^2-4\times 4\times 1 \\
    &=-12\\
    &<0\end{align*}$
    Les solutions de cette équation sont alors :
    $z_1=\dfrac{2-\ic\sqrt{12}}{2}= 1-\ic\sqrt{3}$ et $z_2=\conj{z_1}=1+\ic\sqrt{3}$
    Ainsi les solutions de l’équation $(E)$ sont $2$, $1-\ic\sqrt{3}$ et $1+\ic\sqrt{3}$.
    $\quad$
    c. $2=2\e^{0}$
    $\abs{1-\ic\sqrt{3}}=2$ donc
    $\begin{align*}z_1&=2\left(\dfrac{1}{2}-\ic\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\\
    &=2\e^{-\ic\pi/3}\end{align*}$
    Ainsi $z_2=\conj{z_1}=2\e^{\ic\pi/3}$
    $\quad$
  2. Le milieu de $[AC]$ a pour affixe :
    $\dfrac{z_A+z_C}{2}=\dfrac{2}{2}=1=z_D$
    Le milieu de $[OB]$ a pour affixe :
    $\dfrac{z_O+z_B}{2}=\dfrac{2}{2}=1=z_D$
    Les diagonales du quadrilatère $OABC$ se coupent en leur milieu. $OABC$ est donc un parallélogramme.
    $OA=\abs{z_A-z_O}=\abs{z_A}=2$
    $OC=\abs{z_C-z_O}=\abs{z_C}=2$
    Deux côtés consécutifs ont la même longueur. $OABC$ est donc un losange.
    $OD=\abs{z_D-z_O}=1$ et $AD=\abs{z_D-z_D}=\sqrt{3}$
    Ainsi $OABC$ n’est pas un carré.
    $\quad$
  3. a. L’affixe de $\vect{AM}$ est
    $\begin{align*} z_{\vect{AM}}&=z_M-z_A\\
    &=\dfrac{7}{4}+\ic\dfrac{\sqrt{3}}{4}-\left(1+\ic\sqrt{3}\right)\\
    &=\dfrac{3}{4}-\ic\dfrac{3\sqrt{3}}{4}\end{align*}$
    L’affixe de $\vect{AB}$ est
    $\begin{align*} z_{\vect{AB}}&=z_B-z_A\\
    &=2-\left(1+\ic\sqrt{3}\right)\\
    &=1-\ic\sqrt{3}\end{align*}$
    Ainsi $\vect{AM}=\dfrac{3}{4}\vect{AB}$
    Les deux vecteurs sont donc colinéaires. Les points $A$, $M$ et $B$ sont alignés.
    $\quad$
    b. D’après la question précédente le vecteur $\vect{AB}$ a pour coordonnées $\left(1;-\sqrt{3}\right)$.
    L’affixe du vecteur $\vect{DM}$ est :
    $\begin{align*} z_{\vect{DM}}&=z_M-z_D \\
    &=\dfrac{7}{4}+\ic\dfrac{\sqrt{3}}{4}-1\\
    &=\dfrac{3}{4}+\ic\dfrac{\sqrt{3}}{4}\end{align*}$
    Il a donc pour coordonnées $\left(\dfrac{3}{4};\dfrac{\sqrt{3}}{4}\right)$
    Par conséquent :
    $\begin{align*} \vect{AB}.\vect{DM}&=\dfrac{3}{4}-\sqrt{3}\times \dfrac{\sqrt{3}}{4}\\
    &=\dfrac{3}{4}-\dfrac{3}{4} \\
    &=0\end{align*}$
    Les vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{DM}$ sont donc orthogonaux.
    Par conséquent, le triangle $DMB$ est rectangle en $M$.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. a. Si $X$ suit une loi normale d’espérance $\mu$ et d’écart-type $\sigma$ alors la variable $Y=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.
    $\quad$
    b. On a
    $\begin{align*} P(X\pg 4)=0,146 &\ssi P(X-\mu\pg 4-\mu)=0,146 \\
    &\ssi P\left(\dfrac{X-\mu}{0,95}\pg \dfrac{4-\mu}{0,95}\right)=0,146 \\
    &\ssi P\left(Y\pg \dfrac{4-\mu}{0,95}\right)=0,146\\
    &\ssi P\left(Y\pp \dfrac{4-\mu}{0,95}\right)=0,854\end{align*}$
    À l’aide de la touche Inverse loi normale de la calculatrice on trouve :
    $\dfrac{4-\mu}{0,95}\approx 1,053~7$ donc $\mu \approx 2,998~9$
    Ainsi $\mu \approx 3$ arrondi à l’unité.
    $\quad$
  2. a. La courbe $C_2$ semble symétrique par rapport à la droite d’équation $x=3$. Elle représente donc la courbe de la fonction de densité associée à $X$.
    $\quad$
    b. On obtient le graphique suivant :
    $\quad$
  3. a. On obtient l’arbre suivant :

    $\quad$
    b. $\left(S,\conj{S}\right)$ forme un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a
    $\begin{align*} P(V)&=P(S\cap V)+P\left(\conj{S}\cap V\right) \\
    &=0,7\times 0,677+0,3\times 0,146 \\
    &=0,517~7\\
    &\approx 0,518\end{align*}$
    $\quad$
    c. On veut calculer
    $\begin{align*} P_V(S)&=\dfrac{P(V\cap S)}{P(V)} \\
    &=\dfrac{0,7\times 0,677}{0,517~7} \\
    &\approx 0,915\end{align*}$
    La probabilité que le phaéton à bec rouge vive dans un environnement sain sachant qu’il a une durée de vie d’au moins $4$ ans est environ égale à $0,915$.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. $\lim\limits_{x\to +\infty}\e^x=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{4}{\left(1+\e^x\right)}=0$
    De plus $\lim\limits_{x\to +\infty} x^2=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} x=+\infty$.
    Donc $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=+\infty$
    $\quad$
    $\lim\limits_{x\to -\infty}\e^x=0$ donc $\lim\limits_{x\to -\infty} \dfrac{4}{\left(1+\e^x\right)}=4$
    D’après la limite des termes de plus haut degré, $\lim\limits_{x\to -\infty} x^2+x+\dfrac{1}{4}=\lim\limits_{x\to -\infty} x^2=+\infty$
    Donc $\lim\limits_{x\to -\infty} g(x)=+\infty$
    $\quad$
  2. $g’$ est strictement croissante et $g'(0)=0$. Par conséquent :
    $\bullet~g'(x)<0$ sur $]-\infty;0[$ ;
    $\bullet~g'(0)=0$ ;
    $\bullet~g'(x)>0$ sur $]0;+\infty[$.
    $\quad$
  3. On obtient donc le tableau de variations suivant :

    $g(0)=\dfrac{1}{4}+\dfrac{4}{(1+1)^2}=\dfrac{5}{4}$
    D’après le tableau de variations, le minimum de la fonction $g$ est $\dfrac{5}{4}$ atteint en $0$.
    $\quad$

Partie B

  1. $f(0)=3-\dfrac{2}{1+1}=2$ donc $B(0;2)$ appartient à $C_f$.
    $\quad$
  2. Pour tout $x\in \R$
    $\begin{align*} AM^2&=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(f(x)-3\right)^2 \\
    &=x^2+x+\dfrac{1}{4}+\left(-\dfrac{2}{1+\e^x}\right)^2 \\
    &=x^2+x+\dfrac{1}{4}+\dfrac{4}{\left(1+\e^x\right)^2}\\
    &=g(x)\end{align*}$
    $\quad$
  3. $AM$ est donc minimal si, et seulement si, $g(x)$ est minimal.
    D’après la question A.3. $AM$ est donc minimal si $x=0$ c’est-à-dire si $M=B$.
    La distance $AM$ est donc minimale quand le point $M$ a pour coordonnées $(0;2)$.
    $\quad$
  4. a. Pour tout réel $x$ on a
    $\begin{align*} f'(x)&=-\dfrac{-2\e^x}{\left(1+\e^x\right)^2} \\
    &=\dfrac{2\e^x}{\left(1+\e^x\right)^2}\end{align*}$
    $\quad$
    b. Une équation de la droite $T$ est de la forme $y=f'(0)(x-0)+f(0)$
    Or $f(0)=2$ et $f'(0)=\dfrac{1}{2}$
    L’équation réduite de $T$ est donc $y=\dfrac{1}{2}x+2$.
    $\quad$
  5. Le coefficient directeur de la droite $T$ est $\dfrac{1}{2}$. Un vecteur directeur de cette droite est donc $\vec{u}\left(1;\dfrac{1}{2}\right)$
    De plus $\vect{AB}$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{1}{2};-1\right)$.
    Ainsi $\vec{u}.\vect{AB}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}=0$.
    Ces deux vecteurs sont orthogonaux.
    Par conséquent la droite $T$ est perpendiculaire à la droite $(AB)$.
    $\quad$

Ex 4 obl

Exercice 4

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

  1. $(3\ln x-5)\left(\e^x+4\right)=0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    $3\ln x-5=0 \ssi 3\ln x=5 \ssi \ln x=\dfrac{5}{3} \ssi x=\e^{5/3}$
    La fonction exponentielle est strictement positive donc $\e^x+4>4$. Ainsi l’équation $\e^x+4=0$ n’admet pas de solution.
    Par conséquent l’équation $(3\ln x-5)\left(\e^x+4\right)=0$ admet une seule solution.
    Affirmation 1 fausse
    $\quad$
  2. Montrons par récurrence sur $n$ que $u_n=3\times 2^n+5n-1$.
    Initialisation : Si $n=0$ alors $u_0=2$ et $3\times 2^0+5\times 0-1=2$
    La propriété est donc vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose la propriété vraie au rang $n$.
    $\begin{align*}u_{n+1}&=2u_n-5n+6\\
    &=2\left(3\times 2^n+5n-1\right)-5n+6\\
    &=3\times 2^{n+1}+10n-2-5n+6\\
    &=3\times 2^{n+1}+5n+4\\
    &=3\times 2^{n+1}+5(n+1)-1\end{align*}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Ainsi, pour tout $n\in \N,~u_n=3\times 2^n+5n-1$.
    Affirmation 2 vraie
    $\quad$
  3. $u_0=\dfrac{1}{2}$, $u_1=\dfrac{3}{2}$, $u_2=\dfrac{9}{2}$ et $u_3=\dfrac{19}{2}$
    Ainsi $\dfrac{u_1}{u_0}=3$ et $\dfrac{u_3}{u_2}=\dfrac{19}{9} \neq 3$
    La suite $\left(u_n\right)$ n’est donc pas géométrique.
    Affirmation 3 fausse
    $\quad$
  4. Un vecteur directeur de la droite $d’$ est $\vec{v}(2;-4;10)=2\vec{u}$. Les droites $d$ et $d’$ sont donc parallèles.
    Le point de $d’$ de paramètre $t=-1$ a pour coordonnées $(-3;7;-12)$
    Donc $A$ appartient à la droite $d’$.
    Les droites $d$ et $d’$ sont ainsi confondues.
    Affirmation 4 vraie
    $\quad$
  5. Le vecteur $\vect{MB}$ a pour coordonnées $(1-t;-t;-t)$ et le vecteur $\vect{MD}$ a pour coordonnées $(-t;1-t;-t)$.
    Les droites $(MB)$ et $(MD)$ sont orthogonales
    $\ssi \vect{MB}.\vect{MD}=0$
    $\ssi -(1-t)t-(1-t)t+t^2=0$
    $\ssi -t+t^2-t+t^2+t^2=0$
    $\ssi 3t^2-2t=0$
    $\ssi t(3t-2)=0$
    $\ssi t=0$ ou $t=\dfrac{2}{3}$
    Il y a donc exactement deux positions du point $M$ sur la droite $(AG)$ telles que les droites $(MB)$ et $(MD)$ soient orthogonales.
    Affirmation 5 vraie
    $\quad$

 

Ex 4 spé

Exercice 4

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

  1. $7\times (-1)-12\times (-1)=5$. Le couple d’entier $(-1;-1)$ est donc une solution particulière de l’équation $7x-12y=5$.
    Soit $(x;y)$ une solution de cette équation.
    On a ainsi $7\times (-1)-12\times (-1)=5$ et $7x-12y=5$
    Par différence, on obtient : $7(-1-x)-12(-1-y)=0\ssi 7(-1-x)=12(-1-y)$
    $7$ et $12$ sont premiers entre eux. D’après le théorème de Gauss, il existe un entier relatif $k$ tel que $-1-x=12k$ et $-1-y=7k$.
    Par conséquent $x=-1-12k$ et $y=-1-7k$. En posant $k=-k’$ on obtient $x=-1+12k’$ et $y=-1+7k’$.
    $x$ et $y$ sont bien deux entiers relatifs.
    Réciproquement, soit $k\in \Z$.
    $7(-1+12k)-12(-1+7k)=-7+84k+12-84k=5$
    Donc $(-1+12k;-1+7k)$ est un couple d’entiers relatifs solution de l’équation $7x-12y=5$
    En conclusion, les solutions de l’équation $7x-12y=5$, où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs sont les couples $(-1+12k;-1+7k)$ où $k$ décrit l’ensemble des entiers relatifs.
    Affirmation 1 vraie
    $\quad$
  2. $4\equiv 1~[3]$ et, pour tout $n\in \N$, $3\times 15^n \equiv 1~[3]$
    Donc $4+3\times 15^n\equiv 1~[3]$
    Affirmation 2 vraie
    $\quad$
  3. On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=2x^3-3x^2+5x-3$.
    $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que fonction polynôme.
    Pour tout réel $x$ on a $f'(x)=6x^2-6x+5$
    Le discriminant de ce polynôme du second degré est $\Delta=-84<0$.
    Son coefficient principal est $6>0$. Ainsi $f'(x)>0$ sur $\R$.
    La fonction $f$ est donc continue (car dérivable) et strictement croissante sur $\R$.
    D’après la limite des termes de plus haut degré, $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=\lim\limits_{x\to -\infty} 2x^3=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=\lim\limits_{x\to +\infty} 2x^3=+\infty$
    Or $0\in]-\infty;+\infty[$
    Ainsi, d’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\R$.
    Or $f(0)=-3<0$ et $f(1)=1>0$
    Par conséquent $\alpha\in ]0;1[$.
    Ainsi $\alpha$ n’est pas un entier naturel.
    L’équation $f(x)=0$ n’admet donc pas de solution sur $\N$. Il en est également de même pour l’équation $n\left(2n^2-3n+5\right)=3$.
    Affirmation 3 fausse$\quad$
    Autre méthode :
    $n$ divise $3$ donc $n=1$ ou $n=3$
    Si $n=1$ alors $n\left(2n^2-3n+5\right)=4\neq 3$
    Si $n=3$ alors $n\left(2n^2-3n+5\right)=42\neq 3$
    Affirmation 3 fausse
    $\quad$
  4. Pour tout $t\in \R$ on a $A^2=\begin{pmatrix} t^2+6t&0\\0&6t+t^2\end{pmatrix}$
    Or $t^2+6t=1 \ssi t^2+6t-1=0$
    Le discriminant de cette équation du second degré est $\Delta=30>0$.
    L’équation possède donc deux solutions réelles.
    Il existe donc au moins un réel $t$ tel que $A^2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$
    Affirmation 4 fausse
    $\quad$
  5. Montrons par récurrence sur $n$ que pour tout entier naturel $n \pg 2$, $A^n=\left(2^n-1\right)A+\left(2-2^n\right)I_3$
    Initialisation : $A^2=\begin{pmatrix}-2&3&-3\\-3&4&-3\\3&-3&4\end{pmatrix}$
    Et $\left(2^2-1\right)A+\left(2-2^2\right)I_3=3A-2I_3=\begin{pmatrix}-2&3&-3\\-3&4&-3\\3&-3&4\end{pmatrix}$
    La propriété est donc vraie pour $n=2$.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n\pg 2$. On suppose que la propriété est vraie au rang $n$.
    $\begin{align*} A^{n+1}&=A^nA\\
    &=\left(2^n-1\right)A^2+\left(2-2^n\right)A \\
    &=\left(2^n-1\right)\left(3A-2I_3\right)+\left(2-2^n\right)A \\
    &=\left(3\times 2^n-3+2-2^n\right)A-\left(2^{n+1}-2\right)I_3 \\
    &=\left(2\times 2^n-1\right)A+\left(2-2^{n+1}I_3\right)\\
    &=\left(2^{n+1}-1\right)A+\left(2-2^{n+1}I_3\right)\end{align*}$
    La propriété est vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $2$ et est héréditaire.
    Ainsi, pour tout entier naturel $n\pg 2$ on a $A^n=\left(2^n-1\right)A+\left(2-2^n\right)I_3$.
    Affirmation 5 vraie
    $\quad$

Énoncé obl

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Énoncé spé

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Bac S – Antilles Guyane – Septembre 2020

Antilles Guyane – Septembre 2020

Bac S – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici .

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. On obtient donc l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} P(M\cap S)&=P(M)\times P_M(S)\\
    &=0,55 \times 0,7 \\
    &=0,385\end{align*}$
    La probabilité que Louise emmène Zoé le matin et la ramène le soir est égale à $0,385$.
    $\quad$
  3. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(S)&=P(M\cap S)+P\left(\conj{M}\cap S\right) \\
    &=0,385+0,45\times 0,24 \\
    &=0,493\end{align*}$
    $\quad$
  4. On veut calculer
    $\begin{align*} P_S(M)&=\dfrac{P(M\cap S)}{P(S)} \\
    &=\dfrac{0,385}{0,493} \\
    &\approx 0,781\end{align*}$
    La probabilité que Louise ait emmenée Zoé le matin sachant qu’elle a ramené Zoé le soir est environ égale à $0,781$.
    $\quad$

Partie B

  1. On a :
    $\begin{align*} P(X\pp 25)&=P(X\pp 28)-P(25\pp X\pp 28) \\
    &=0,5-P(25\pp X\pp 28) \\
    &\approx 0,274\end{align*}$
    $\quad$
  2. D’après la calculatrice on a $P(18 \pp X\pp 38)\approx 0,954$.
    La probabilité que le temps de trajet soit compris entre $18$ et $38$ minutes est environ égale à $0,954$.
    Remarque : On pouvait voir également qu’on demandait de calculer $P(\mu-2\sigma\pp X\pp \mu+2\sigma)$.
    $\quad$
  3. $P(X\pg d)=0,1 \ssi P(X\pp d)=0,9$
    À l’aide de la touche Inverse loi normale de la calculatrice on trouve $d\approx 34$
    $\quad$
  4. La variable aléatoire $Z=\dfrac{Y-26}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.
    $\begin{align*} P(Y\pg 30)=0,1&\ssi P(Y-26\pg 4)=0,1 \\
    &\ssi P(Y-26\pp 4)=0,9 \\
    &\ssi P\left(\dfrac{Y-26}{\sigma}\pp \dfrac{4}{\sigma}\right)=0,9\\
    &\ssi P\left(Z\pp \dfrac{4}{\sigma}\right)=0,9\end{align*}$
    À l’aide de la touche Inverse loi normale de la calculatrice on trouve $\dfrac{4}{\sigma} \approx 1,282$ donc $\sigma \approx 3,12$.
    $\quad$

Partie C

On a $n=254$ et $p=0,35$
Donc $n\pg 30$, $np=88,9\pg 5$ et $n(1-p)=165,1\pg 5$
Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de la proportion de salariés pratiquant le covoiturage est :
$\begin{align*} I_{254}&=\left[0,35-1,96\sqrt{\dfrac{0,35\times 0,65}{254}};0,35+1,96\sqrt{\dfrac{0,35\times 0,65}{254}}\right] \\
&\approx [0,291;0,409]\end{align*}$

La fréquence observée est $f=\dfrac{82}{254}\approx 0,323$ donc $f\in I_{254}$.

Ce sondage ne remet donc pas en cause l’information publiée par l’entreprise sur son site.

$\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. $\lim\limits_{x\to +\infty} -x=-\infty$ et $\lim\limits_{X\to -\infty} \e^X=0$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^{-x}=0$
    Par conséquent $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=1$.
    $\quad$
  2. $g$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ d’après l’énoncé.
    Pour tout réel $x\pg 0$ on a $g'(x)=\e^{-x}$.
    La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    La fonction $g$ est donc strictement croissante sur $[0;+\infty[$
    On obtient alors le tableau de variations suivant :
    $\quad$

Partie B

  1. a. Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=\e^{-kx}+(x-1)\times (-k)\e^{-kx} \\
    &=(-kx+k+1)\e^{-kx}\end{align*}$
    $\quad$
    b. Une équation de la droite $T$ est de la forme $y=f'(1)(x-1)+f(1)$.
    $f'(1)=\e^{-k}$ et $f(1)=1$
    Ainsi l’ordonnée du point $B$ est
    $\begin{align*}y_B&=-f'(1)+f(1) \\
    &=-\e^{-k}+1 \\
    &=g(k)\end{align*}$
    $\quad$
  2. D’après la partie A, on sait que $g(x)\in [0;1]$ pour tout $x\in[0;+\infty[$.
    Par conséquent l’ordonnée du point $B$ appartient à $[0;1]$.
    Cela signifie par conséquent que $B$ appartient au segment $[OJ]$.
    $\quad$

Partie C

  1. La fonction définie sur $[0;1]$ par $x\mapsto h(x)-x$ est continue et positive.
    Ainsi l’aire du domaine $\mathscr{D}$ est $\displaystyle \int_0^1 \big[h(x)-x\big]\dx$

    $\quad$
  2. a. Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} h(x)-x&=(x-1)\e^{-2x}+1-x \\
    &=(x-1)\e^{-2x}-(x-1) \\
    &=(x-1)\left(\e^{-2x}-1\right)\end{align*}$
    $\quad$
    b. Pour tout réel $x$ on a $\e^{-2x}\pg 1-2x$
    Par conséquent $1-\e^{-2x} \pp 2x-2$
    Sur $[0;1]$ on a $1-x\pg 0$
    Donc $(1-x)\left(1-\e^{-2x}\right)\pp (1-x)(2x-2)$
    Or $(1-x)(2x-2)=2x-2-2x^2+2x=-2x^2+4x-2$
    Et $(1-x)(2x-2)-\left(2x-2x^2\right)=2x-2=2(x-1)\pp 0$
    Ainsi $h(x)-x\pp 2x-2x^2$.
    $\quad$
    c. On en déduit donc que :
    $\begin{align*} \mathscr{A}\pp \int_0^1 \left(2x-2x^2\right)\dx \\
    &\pp \left[x^2-\dfrac{2}{3}x^3\right]_0^1 \\
    &\pp 1-\dfrac{2}{3}-0\\
    &\pp \dfrac{1}{3}\end{align*}$
    $\quad$
  3. On a alors :
    $\begin{align*} \mathscr{A}&=\int_0^1 \left[h(x)-x\right]\dx \\
    &=\int_0^1 h(x)\dx-\int_0^1 x\dx\\
    &=H(1)-H(0)-\left[\dfrac{x^2}{2}\right]_0^1 \\
    &=-\dfrac{1}{4}\e^{-2}+1-\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2} \\
    &=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}\e^{-2} \\
    &=\dfrac{1-\e^{-2}}{4}\end{align*}$
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. On a $H(0;1;1)$, $M(0,5;0;0)$ et $N(1;0,5;0)$.
    $\quad$
  2. a. On a $\vect{MN}(0,5;0,5;0)$
    Une représentation paramétrique de la droite $(MN)$ est donc $\begin{cases} x=0,5+0,5k\\y=0,5k\\z=0\end{cases} \quad, k\in \R$.
    $\quad$
    b. Résolvons le système :
    $\begin{cases} x=0,5+0,5k\\y=0,5k\\z=0\\x=t\\y=1\\z=0\end{cases} \ssi \begin{cases} y=1\\z=0\\0,5+0,5k=t\\0,5k=1\\x=t \end{cases} \ssi \begin{cases} y=1\\z=0\\k=2\\t=1,5\\x=1,5\end{cases}$
    Ainsi le point $K$ a pour coordonnées $(1,5;1;0)$.
    $\quad$
  3. a. $\vect{HM}(0,5;-1;-1)$ et $\vect{HN}(1;-0,5;-1)$. Ces deux vecteurs sont donc clairement non colinéaires.
    Par conséquent :
    $\vect{HM}.\vec{n}=1+2-3=0$ et $\vect{HN}.\vec{n}=2+1-3=0$
    Le vecteur $\vec{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(HMN)$.
    $\vec{n}$ est par conséquent un vecteur normal au plan $(HMN)$.
    $\quad$
    b. Une équation cartésienne du plan $(HMN)$ est donc de la forme $2x-2y+3z+d=0$.
    Le point $M(0,5;0;0)$ appartient à ce plan. Donc $1+0+0+d=0 \ssi d=-1$
    Une équation cartésienne du plan $(HMN)$ est alors $2x-2y+3z-1=0$.
    $\quad$
    c. On a $\vect{CG}(0;0;1)$ et $C(1;1;0)$.
    Une équation cartésienne de la droite $(CG)$ est donc $\begin{cases} x=1\\y=1\\z=t\end{cases} \quad, t\in \R$
    Résolvons le système :
    $\begin{cases} 2x-2y+3z-1=0\\x=1\\y=1\\z=t\end{cases} \ssi \begin{cases} 3t-1=0\\x=1\\y=1\\z=t\end{cases} \ssi \begin{cases} t=\dfrac{1}{3}\\x=1\\y=1\\z=\dfrac{1}{3}\end{cases}$.
    Ainsi $L$ a pour coordonnées $\left(1;1;\dfrac{1}{3}\right)$.
    $\quad$
  4. On obtient la section suivante :

    $\quad$

 

Ex 4 (obl)

Exercice 4

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

  1. On a $u_0=4$, $u_1=-\dfrac{5}{3}$ et $u_2=\dfrac{19}{9}$
    Donc $v_0=\dfrac{10}{3}$, $v_1=-\dfrac{7}{3}$ et $v_2=\dfrac{13}{9}$
    Par conséquent $\dfrac{v_1}{v_0}=-\dfrac{7}{10}$ et $\dfrac{v_2}{v_1}=-\dfrac{13}{21}$
    Les quotients sont différents. La suite $\left(v_n\right)$ n’est donc pas géométrique.
    Affirmation 1 fausse
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ non nul on a :
    $\begin{align*} -1\pp \cos(n) \pp 1 &\ssi 2\pp 3+\cos(n)\pp 4\\
    &\ssi \dfrac{2}{n^2} \pp u_n \pp \dfrac{4}{n^2}\end{align*}$
    Or $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{2}{n^2}=0$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{4}{n^2}=0$
    D’après le théorème des gendarmes $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=0$.
    Affirmation 2 vraie
    $\quad$
  3. Voici les différentes valeurs prises par les variables $U$ et $N$:
    $\begin{array}{|c|c|}
    \hline
    U&N\\
    \hline
    0&5\\
    \hline
    1&7\\
    \hline
    2&13\\
    \hline
    3&31\\
    \hline
    4&85\\
    \hline
    5&247\\
    \hline
    6&733\\
    \hline
    7&2~191 \\
    \hline
    8&6~565\\
    \hline\end{array}$
    À la fin de l’exécution de l’algorithme, la variable $U$ contient donc la valeur $6~565$.
    Affirmation 3 fausse
    $\quad$
  4. Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Ainsi $z-\ic=0$ ou $z^2+z\sqrt{3}+1=0$
    $z-\ic=0\ssi z=\ic$ et $|\ic|=1$
    $\quad$
    Le discriminant de $z^2+z\sqrt{3}+1$ est :
    $\Delta=-1$ donc les racines de ce polynômes sont $z_1=\dfrac{-\sqrt{3}-\ic}{2}$ et $z_2=\dfrac{-\sqrt{3}+\ic}{2}$.
    Or $\left|z_1\right|=\sqrt{\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{4}}=1$ et $\left|z_2\right|=\left|\conj{z_1}\right|=1$.
    $\quad$
    Toutes les solutions de l’équation $(E)$ sont donc de module $1$.
    Affirmation 4 vraie
    $\quad$
  5. On a $z_0=2$, $z_1=4\ic$ et $z_2=-8$.
    Le milieu du segment $\left[M_0M_2\right]$ est donc le point d’affixe $\dfrac{2+(-8)}{2}=-3$. Par conséquent ce n’est pas le point $O$.
    Affirmation 5 fausse
    $\quad$

 

Ex 4 (spé)

Exercice 4

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

  1. Si $x\equiv 0~[2]$ et $y\equiv 0~[2]$ alors $x^2-5y^2\equiv 0~[2]$ donc $x$ et $y$ ne peuvent pas être tous les deux pairs.
    Si $x\equiv 1~[2]$ et $y\equiv 1~[2]$ alors $x^2-5y^2\equiv -4~[2]$ soit $x^25y^2\equiv 0~[2]$ donc $x$ et $y$ ne peuvent pas être tous les deux impairs.
    Par conséquent $x$ et $y$ ne peuvent pas avoir la même parité.
    $\quad$
  2. Soit $d$ un diviseur commun à $x$ et $y$.
    Il divise donc toutes leurs combinaisons linéaires, en particulier $x\times x-5y\times y$, c’est-à-dire $1$.
    Donc $d$ divise $1$.
    $x$ et $y$ sont par conséquent premiers entre eux.
    $\quad$
  3. $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \begin{array}{l} \text{Reste de la division eu-}\\\text{clidienne de $k$ par $5$}\end{array}&0&1&2&3&4\\
    \hline
    \begin{array}{l} \text{Reste de la division eu-}\\\text{clidienne de $k^2$ par $5$}\end{array}&0&1&4&4&1\\
    \hline
    \end{array}$
    Si $(x;y)$ est un couple solution de $(E)$ alors $x^2\equiv 1~[5]$.
    D’après le tableau précédent les seules possibilités pour que $x^2\equiv 1~[5]$ sont $x\equiv 1~[5]$ et $x\equiv 4~[5]$.
    Par conséquent $x\equiv 1~[5]$ ou $x\equiv 4~[5]$.
    $\quad$

Partie B

  1. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $\begin{cases} x_{n+1}=9x_n+20y_n\\y_{n+1}=4x_n+9y_n\end{cases}$
    $\quad$
  2. Initialisation : Si $n=0$ alors $x_0=1$ et $y_0=0$
    $1^2-5\times 0^2=1$ donc $\left(x_0;y_0\right)$ est solution de l’équation $(E)$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$. Donc ${x_n}^2-5{y_n}^2=1$.
    $\begin{align*} {x_{n+1}}^2-5{y_{n+1}}^2&=\left(9x_n+20y_n\right)^2-5\left(4x_n+9y_{n}\right)^2 \\
    &=81{x_n}^2+400{y_n}^2+360x_ny_n-5\left(16{x_n}^2+81{y_n}^2+72x_ny_n\right) \\
    &=81{x_n}^2+400{y_n}^2+360x_ny_n-80x{x_n}^2-405{y_n}^2-360x_ny_n\\
    &={x_n}^2-5{y_n}^2\\
    &=1\end{align*}$
    La propriété est vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Pour tout entier naturel $n$, $\left(x_n;y_n\right)$ est solution de l’équation $(E)$.
    $\quad$
  3. a. On a $A^2=\begin{pmatrix} 161&360\\72&161\end{pmatrix}$.
    $\begin{pmatrix}x_{n+2}\\y_{n+2}\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}x_{n+1}\\y_{n+1}\end{pmatrix}=A^2\begin{pmatrix}x_{n}\\y_{n}\end{pmatrix}$
    Ainsi $\begin{pmatrix}x_2\\y_2\end{pmatrix} =A^2\begin{pmatrix}x_0\\y_0\end{pmatrix}$
    Donc $x_2=161\times 1+360\times 0=161$ et $y_2=72\times 1+161\times 0=72$
    $\quad$
    b. D’après la question précédente $y_{p+2}=72x_p+161y_p$.
    $72x_p$ est divisible par $9$. Si $y_p$ est divisible par $9$ alors $y_{p+2}$ est également divisible par $9$.
    $\quad$
    c. $y_0=0$ est divisible par $9$ donc pour tout entier naturel $n$, $y_{2n}$ est divisible par $9$.
    C’est en particulier le cas pour $n=1010$.
    Ainsi $y_{2020}$ est un multiple de $9$.
    $\quad$

Énoncé

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Bac S – Polynésie – Septembre 2020

Polynésie – Septembre 2020

Bac S- Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. On appelle $R$ l’événement “obtenir que des boules rouges”.
    Ainsi $p(R)=\left(\dfrac{5}{8}\right)^4$.
    La probabilité d’obtenir au moins $1$ boule blanche est :
    $\begin{align*} p&=1-p(R)\\
    &=1-\left(\dfrac{5}{8}\right)^4 \\
    &\approx 0,85\end{align*}$
    Réponse D
    $\quad$
  2. Parmi les $2n$ côtés, $n+1$ sont des « FACE »
    Ainsi la probabilité d’obtenir le côté « FACE » est $\dfrac{n+1}{n}$.
    Réponse B
    $\quad$
  3. On a :
    $\begin{align*} P_{(T>60)}(T>72)&=\dfrac{P\left((T>60)\cap(T>72)\right)}{P(T>60)} \\
    &=\dfrac{P(T>72)}{0,5} \\
    &=\dfrac{P(T>60)-P(60<T<72)}{0,5} \\
    &=\dfrac{0,5-P(60<T<72)}{0,5} \\
    &\approx 0,045\end{align*}$
    $\quad$
  4. On appelle $X$ la variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$.
    Ainsi :
    $P(X>3)=\e^{-3\lambda}$.
    Réponse A
    $\quad$
  5. Sur $\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$ on a $\cos x>\dfrac{1}{2} \ssi x\in \left[0;\dfrac{\pi}{3}\right[$.
    Ainsi la probabilité qu’une valeur prise par la variable aléatoire $X$ soit solution de l’inéquation $\cos x>\dfrac{1}{2}$ est $\dfrac{\dfrac{\pi}{3}-0}{\dfrac{\pi}{2}-0}=\dfrac{2}{3}$
    Réponse A
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. On a $B(1;0;0)$ et $H(0;1;1)$ par conséquent $\vect{BH}(-1;1;1)$
    On a également $\vect{BM}(-t;t;t)$.
    Par conséquent $\vect{BM}=t\vect{BH}$
    Ainsi, pour tout réel $t$, le point $M$ appartient à la droite $(BH)$.
    $\quad$
  2. Un vecteur directeur de la droite $(BH)$ est $\vect{BH}(-1;1;1)$ et un vecteur directeur de la droite $(FC)$ est $\vect{FC}(0;1;-1)$.
    Ainsi $\vect{BH}.\vect{FC}=0+1-1=0$.
    Ces deux vecteurs sont donc orthogonaux.
    Les droites $(BH)$ et $(FC)$ sont par conséquent orthogonales.
    $\quad$
    Résolvons le système :
    $\begin{cases} x=1-t\\y=t\\z=t\\x=1\\y=t’\\z=1-t’\end{cases} \ssi \begin{cases} x=1-t\\y=t\\z=t\\t=0\\y=t’\\z=1-t’\end{cases} \ssi \begin{cases} t=0\\x=1\\y=0\\z=0\\y=t’\\z=1-t’\end{cases}$
    On ne peut pas avoir à la fois $t’=0$ et $1-t’=0$.
    Le système n’admet donc pas de solution.
    Les droites $(BH)$ et $(FC)$ ne sont par conséquent pas sécantes et donc pas coplanaires.
    $\quad$
  3. a. Pour tous réels $t$ et $t’$ on a
    $\begin{align*} MM’^2&=\left(1-(1-t)\right)^2+(t’-t)^2+(1-t’-t)^2 \\
    &=t^2+t’^2+t^2-2tt’+1+t’^2+t^2-2t’-2t+2t’t\\
    &=3t^2+2t’^2-2t’-2t+1\\
    &=3\left(t-\dfrac{1}{3}\right)^2-\dfrac{1}{3}+2\left(t’-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{1}{2}+1 \\
    &=3\left(t-\dfrac{1}{3}\right)^2+2\left(t’-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{6}\end{align*}$
    $\quad$
    b. $MM’^2$ est donc une somme de termes positifs.
    La distance $MM’$ est donc  minimale quand $t-\dfrac{1}{3}=0$ et $t’-\dfrac{1}{2}=0$ c’est-à-dire quand $t=\dfrac{1}{3}$ et $t’=\dfrac{1}{2}$.
    $\quad$
  4. $\vect{PQ}\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{6};\dfrac{1}{6}\right)$
    Ainsi :
    $\vect{PQ}.\vect{BH}=-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}=0$
    et
    $\vect{PQ}.\vect{FC}=0+\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{6}=0$
    Ainsi $(PQ)$ est orthogonales aux droites $(BH)$ et $(FC)$.
    Le point $P$ appartient à la droite $(BH)$ $\Big( t=\dfrac{1}{3}\Big)$ donc $(PQ)$ est perpendiculaire à $(BH)$.
    Le point $Q$ appartient à la droite $(FC)$ $\Big( t’=\dfrac{1}{2}\Big)$ donc $(PQ)$ est perpendiculaire à $(FC)$.
    $\quad$

Ex 3

  1. a. Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f(x)&=x\e^{-x^2+1} \\
    &=\dfrac{x^2}{x} \times \dfrac{\e}{\e^{x^2}} \\
    &=\dfrac{\e}{x}\times \dfrac{x^2}{\e^{x^2}}\end{align*}$
    $\quad$
    b. $\lim\limits_{x\to +\infty} x^2=+\infty$ et $\lim\limits_{X\to +\infty} \dfrac{e^X}{X}=+\infty$ donc $\lim\limits_{X\to +\infty} \dfrac{X}{\e^X}=0$
    Par conséquent $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{x^2}{\e^{x^2}}=0$
    De plus $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\e}{x}=0$
    Donc $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=0$.
    $\quad$
  2. a. Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f(-x)&=-x\e^{-(-x)^2+1} \\
    &=-x\e^{-x^2+1}\\
    &=-f(x)\end{align*}$
    Remarque : on dit que la fonction $f$ est impaire.
    Ainsi l’abscisse du milieu du segment $[MN]$ est $\dfrac{-x+x}{2}=0$ et son ordonnée est $\dfrac{-f(x)+f(x)}{2}=0$.
    Le point $O$ est le milieu du segment $[MN]$.
    $\quad$
    b. La courbe $(C)$ est donc symétrique par rapport à l’origine du repère.
    $\quad$
  3. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
    Pour tout réel $x$ on a
    $\begin{align*} f'(x)&=\e^{-x^2+1}+x\times (-2x)\e^{-x^2+1} \\
    &=\left(1-2x^2\right)\e^{-x^2+1}\end{align*}$
    La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Ainsi $f'(x)$ est du signe de $1-2x^2$.
    $1-2x^2>0 \ssi -2x^2>-1 \ssi x^2<1/2 \ssi -\dfrac{1}{\sqrt{2}}<x<\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
    La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur $\left[\dfrac{1}{\sqrt{2}};+\infty\right[$ et croissante sur $\left[0;\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right]$.
    $\quad$
  4. a. La fonction $f$ est strictement croissante et continue (car dérivable) sur l’intervalle $\left[0;\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right]$.
    $f(0)=0<0,5$ et $f\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)\approx 1,17>0,5$
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=0,5$ possède une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $\left[0;\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right]$.
    $\quad$
    La fonction $f$ est strictement décroissante et continue (car dérivable) sur l’intervalle $\left[\dfrac{1}{\sqrt{2}};+\infty\right[$.
    $f\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)\approx 1,17>0,5$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=0<0,5$
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=0,5$ possède une unique solution $\beta$ sur l’intervalle $\left[\dfrac{1}{\sqrt{2}};+\infty\right[$.
    $\quad$
    L’équation $f(x)=0,5$ possède donc deux solutions sur $[0;+\infty[$.
    $\quad$
    b. L’ensemble solution de l’inéquation $f(x)\pg 0,5$ est donc, d’après les questions précédentes $[\alpha;\beta]$.
    $\quad$
    c. D’après la calculatrice on a $\alpha \approx 0,19$ et $\beta\approx 1,43$.
    $\quad$
  5. a. On a
    $\begin{align*} I_A&=\int_0^A f(x)\dx \\
    &=\int_0^A \left(-\dfrac{1}{2}\right)\times (-2x)\e^{-x^2+1}\dx \\
    &=-\dfrac{1}{2}\left[\e^{-x^2+1}\right]_0^A\\
    &=-\dfrac{1}{2}\left(\e^{-A^2+1}-\e\right)\\
    &=\dfrac{1}{2}\left(1-\e^{-A^2+1}\right)\end{align*}$
    $\quad$
    b. $\lim\limits_{A\to +\infty} -A^2+1=-\infty$ et $\lim\limits_{X\to -\infty} \e^X=0$ ainsi $\lim\limits_{A\to +\infty} \e^{-A^2+1}=0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{A\to +\infty} I_A=\dfrac{\e}{2}$.
    $\quad$
  6. L’aire d’un disque est $\mathscr{A}_1=\pi 0,5^2=0,25\pi$ u.a.
    L’aire comprise entre les courbes $(C)$ et $(C’)$ pour $x\pg 0$ est $\mathscr{A}_2=2\times \dfrac{\e}{2}=\e$ u.a.
    Donc l’aire de la partie grisée est $\mathscr{A}=2\left(\e-0,25\pi\right)$ u.a.
    $\quad$

Ex 4 (obl)

  1. a. $z_1=(1+\ic)z_0-\ic=-\ic$
    $\begin{align*} z_2&=(1+\ic)z_1-\ic\\
    &=(1+\ic)(-\ic)-\ic\\
    &=-\ic +1-\ic\\
    &=1-2\ic\end{align*}$
    $\quad$
    b. On a :
    $\begin{align*} z_3&=(1+\ic)z_2-\ic \\
    &=(1+\ic)(1-2\ic)-\ic\\
    &=1-2\ic+\ic+2-\ic\\
    &=3-2\ic\end{align*}$
    $\quad$
    c. On obtient le graphique suivant :

    $\quad$
    d. On a $BA_1=|-\ic-1|=\sqrt{2}$
    $BA_2=|1-2\ic-1|=2$
    $A_1A_2=|1-2\ic+\ic|=|1-\ic|=\sqrt{2}$
    On a $BA_1=A_1A_2$ : le triangle $BA_1A_2$ est isocèle.
    Dans le triangle $BA_1A_2$ le plus grand côté est $\left[A_1A_2\right]$.
    D’une part $BA_1^2+A_1A_2^2=2+2=4$
    D’autre part $BA_2^2=4$
    Donc $BA_2^2=BA_1^2+A_1A_2^2$
    D’après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle $BA_1A_2$ est rectangle en $A_1$.
    Ainsi ce triangle est rectangle et isocèle en $A_1$.
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} u_{n+1}&=\left|z_{n+1}-1\right| \\
    &=\left|(1+\ic)z_n-i-1\right| \\
    &=\left|(1+\ic)\left(z_n-1\right)\right| \\
    &=|1+\ic|\left|z_n-1\right| \\
    &=\sqrt{2} u_n\end{align*}$
    $\quad$
    b. La suite $u_n$ est donc géométrique de raison $\sqrt{2}$ et de premier terme $u_0=|0-1|=1$.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=\sqrt{2}^{n}$
    Or pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=BA_n$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} BA_n>1~000 &\ssi \sqrt{2}^{n}>1~000 \\
    &\ssi n\ln\left(\sqrt{2}\right)>\ln(1~000)\\
    &\ssi n>\dfrac{\ln(1~000)}{\dfrac{1}{2}\ln(2)}  \end{align*}$
    Or $dfrac{\ln(1~000)}{\dfrac{1}{2}\ln(2)}\approx 19,9$
    C’est donc à partir du rang $20$ que $BA_n>1~000$.
    $\quad$
  3. a. $|1+\ic|=\sqrt{2}$
    Donc $1+\ic=\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\ic\right)=\sqrt{2}\e^{\ic\pi/4}$
    $\quad$
    b. Initialisation : si $n=0$ alors $z_0=0$ et $1-\left(\sqrt{2}\right)^0\e^{0}=0$.
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie à un rang $n$.
    $\begin{align*} z_{n+1}&=(1+\ic)z_n-\ic \\
    &=(1+\ic)\left(1-\left(\sqrt{2}\right)^n\e^{\ic n\pi/4}\right)-\ic \\
    &=1+\ic-\left(\sqrt{2}\right)^n\e^{\ic n\pi/4}+\ic \left(\sqrt{2}\right)^n\e^{\ic n\pi/4}-\ic \\
    &=1-\left(\sqrt{2}\right)^n\e^{\ic n\pi/4}(1+\ic) \\
    &=1-\left(\sqrt{2}\right)^n\e^{\ic n\pi/4}\times \sqrt{2}\e^{\ic\pi /4} \\
    &=1\left(\sqrt{2}\right)^{n+1}\e^{\ic (n+1)\pi/4}\end{align*}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Pour tout entier naturel $n$ on a $z_n=1-\left(\sqrt{2}\right)^n\e^{\ic n\pi/4}$.
    $\quad$
    c. On a :
    $\begin{align*}
    z_{2020}&=1-\left(\sqrt{2}\right)^{2020}\e^{2020\ic \pi/4}\\
    &=1-2^{1010}\e^{505\ic \pi}\\
    &=1-2^{1010}\times (-1)\\
    &=1+2^{1010}\end{align*}$
    Ainsi $z_{2020}$ est un réel. Le point $A_{2020}$ appartient à l’axe des abscisses.
    $\quad$

Ex 4 (spé)

  1. On a $a_2=a1+b_1=1$, $b_2=2a_1=2$
    $a_3=a_2+b_2=3$ et $b_3=2a_2=2$
    $\quad$
  2. On a $M^2=\begin{pmatrix}2&1&1&\\1&2&1\\1&1&2\end{pmatrix}$
    Par conséquent $M^2=\begin{pmatrix}2&0&0&\\0&2&0\\0&0&2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&1&1&\\1&0&1\\1&1&0\end{pmatrix}$
    C’est-à-dire que $M^2=M+2I$.
    $\quad$
  3. a. Pour tout entier naturel $n$ non nul on a :
    $AX_n=\begin{pmatrix} a_n+b_n\\2a_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{n+1}\\b_{n+1}\end{pmatrix}=X_{n+1}$
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n\pg 1$ on a $X_n=A^{n-1}X_1$.
    $\quad$
    c. On note $Q=\begin{pmatrix} \frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{pmatrix}$
    Ainsi
    $\begin{align*} PQ&=\begin{pmatrix}1&1\\1&-2\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} \frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{pmatrix} \\
    &=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\end{align*}$
    Ainsi $P$ est inversible d’inverse $\begin{pmatrix} \frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{pmatrix}$.
    $\quad$
    d. On a :
    $\begin{align*} P^{-1}AP&=\begin{pmatrix} \frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1&1\\2&0\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}1&1\\1&-2\end{pmatrix} \\
    &=\begin{pmatrix} \frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}2&-1\\2&2\end{pmatrix} \\
    &=\begin{pmatrix}2&0\\0&-1\end{pmatrix}\end{align*}$
    Ainsi $D=P^{-1}AP$ est bien une matrice diagonale et $D=\begin{pmatrix}2&0\\0&-1\end{pmatrix}$.
    $\quad$
    e. Initialisation : si $n=1$ alors $PDP^{-1}=PP^{-1}APP^{-1}=A=A^{-1}$
    La propriété est donc vraie au rang $1$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$.
    $\begin{align*} A^{n+1}&=A\times A^n \\
    &=PDP^{-1}PD^nP^{-1} \\
    &=PDD^nP^{-1}\\
    &=PD^{n+1}P^{-1}\end{align*}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
    Pour tout entier naturel $n$ non nul on a donc $A^n=PD^nP^{-1}$.
    $\quad$
    f. On a $X_1=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$
    Ainsi, pour tout entier naturel $n \pg 1$ on a :
    $\begin{align*} X_n&=A^{n-1}X_1  \\
    &\begin{pmatrix} \dfrac{1}{3}\left(2^n+(-1)^{n-1}\right)\\ \dfrac{1}{3}\left(2^n-2\times (-1)^{n-1}\right)\end{pmatrix}\end{align*}$
    Ainsi $a_n=\dfrac{1}{3}\left(2^n+(-1)^{n-1}\right)$.
    $\quad$
  4. $2^4=16$ donc $2^4 \equiv 1~[5]$.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $k$ $2^{4k}\equiv 1~[5]$ et $2^{4k}-1\equiv 0~[5]$.
    $\quad$
  5. a. Pour tout entier naturel $n$ non nul multiple de $4$ il existe un entier naturel $k$ non nul tel que $n=4k$.
    On a alors $3a_n=2^{4k}+(-1)^{4k-1}=2^{4k}-1$.
    D’après la question précédente on a donc $3a_n\equiv 0~[5]$. et $3a_n$ est divisible par $5$.
    $\quad$
    b. $5$ divise $3a_n$ mais $5$ et $3$ sont premiers entre eux.
    D’après le théorème de Gauss, $a_n$ est divisible par $5$.
    $\quad$

Énoncé obl

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Énoncé spé

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Bac S – Métropole – Septembre 2020

Métropole – Septembre 2020

Bac TS- Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Partie A

  1. $\lim\limits_{x\to -\infty} \e^x=0$ donc $\lim\limits_{x\to -\infty} \e^x+1=1$ et $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=0$
    La droite d’équation $y=0$ est donc une asymptote à la courbe $\mathscr{C}$.
    $\quad$
  2. Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f(x)&=\dfrac{2\e^x}{\e^x\left(1+\e^{-x}\right)}\\
    &=\dfrac{2}{1+\e^{-x}}\end{align*}$
    $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^{-x}=0$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=2$.
    La droite d’équation $y=2$ est asymptote horizontale à la courbe $\mathscr{C}$.
    $\quad$
  3. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que quotient de fonctions dérivables sur $\R$ dont le dénominateur ne s’annule pas.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{2\e^x\left(\e^x+1\right)-\e^x\times 2\e^x}{\left(\e^x+1\right)^2} \\
    &=\dfrac{2\e^{2x}+2\e^x-2\e^{2x}}{\left(\e^x+1\right)^2} \\
    &=\dfrac{2\e^x}{\left(\e^x+1\right)^2}\\
    &=\dfrac{2\e^x}{\e^x+1}\times \dfrac{1}{\e^x+1}\\
    &=\dfrac{f(x)}{\e^x+1}\end{align*}$
    $\quad$
  4. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. La fonction $f$ est donc strictement positive sur $\R$ en tant que quotient de nombres strictement positifs.
    Par conséquent pour tout $x\in \R$, $f'(x)$ est strictement positif en tant que quotient de nombres strictement positifs également.
    Ainsi la fonction $f$ est strictement croissante sur $\R$.
    $\quad$
  5. $f(0)=\dfrac{2}{1+1}=1$ donc le point $I(0;1)$ appartient à la courbe $\mathscr{C}$.
    Le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point $I$ est $f'(1)$.
    Or $f'(1)=\dfrac{f(1)}{1+1}=0,5$.
    $\quad$

Partie B

  1. Pour tout réel $x\pg 0$ on a :
    $\begin{align*} \left(f(x)\right)^2&=\left(\dfrac{2\e^x}{\e^x+1}\right)^2 \\
    &=4\left(\dfrac{\e^{2x}}{\left(\e^x+1\right)^2}\right) \\
    &=4\left(\dfrac{\e^{2x}+\e^x-\e^x}{\left(\e^x+1\right)^2}\right) \\
    &=4\left(\dfrac{\e^x\left(\e^x+1\right)-\e^x}{\left(\e^x+1\right)^2}\right) \\
    &=4\left(\dfrac{\e^x}{\e^x+1}+\dfrac{-\e^x}{\left(\e^x+1\right)^2}\right) \\
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. Une primitive de $g$ sur $\R$ est la fonction $G$ définie sur $\R$ par $G(x)=\ln\left(\e^x+1\right)$.
    En effet $g$ est de la forme $\dfrac{u’}{u}$ où $u$ est la fonction définie sur $\R$ par $u(x)=\e^x+1$.
    $\quad$
    Une primitive de $h$ sur $\R$ est la fonction $H$ définie sur $\R$ par $H(x)=\dfrac{1}{\e^x+1}$.
    En effet $h$ est de la forme $\dfrac{-u’}{u^2}$ où $u$ est la fonction définie sur $\R$ par $u(x)=\e^x+1$.
    $\quad$
  3. Pour tout $a>0$ on a :
    $\begin{align*} V(a)&=\pi \int_0^a \left(f(x)\right)^2\dx \\
    &=4\pi \Big[G(x)+H(x)\Big]_0^a \\
    &= 4\pi \left(\ln\left(\e^a+1\right)-\ln(2)+\dfrac{1}{\e^a+1}-\dfrac{1}{2}\right) \\
    &=4\pi\left(\ln\left(\dfrac{\e^a +1}{2}\right)+\dfrac{1}{\e^a+1}-\dfrac{1}{2}\right)\end{align*}$
    $\quad$
  4. On a $V(11,14) \approx 124,996$
    Une valeur approchée de $a$ à $0,1$ près est donc $11,1$.
    $\quad$

Partie C

On a $n=400$ et $p=0,98$
donc $n\pg 30$, $np=392\pg 5$ et $n(1-p)=8\pg 5$
Un intervalle de fluctuation asymptotique de la fréquence des flûtes conformes au seuil de $95\%$ est :
$\begin{align*} I_{400}&=\left[0,98-1,96\sqrt{\dfrac{0,98\times 0,02}{400}};0,98+1,96\sqrt{\dfrac{0,98\times 0,02}{400}}\right]\\
&=[0,966~28;0,993~72]\end{align*}$
La fréquence observée est $f=\dfrac{400-13}{400}=0,967~5 \in I_{400}$
On ne peut pas remettre en doute l’affirmation du responsable.

$\quad$

Ex 2

Partie A

  1. À l’aide de la calculatrice on obtient $P(51\pp M\pp 53)\approx 0,978$.
    Une valeur approchée à $10^{-1}$ de cette probabilité est donc $1$.
    $\quad$
  2. La variable $Z=\dfrac{M-52}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.
    $\begin{align*} P(51 \pp M\pp 53) \pg 0,99&\ssi  P(-1 \pp M-52 \pp 1) \pg 0,99 \\
    &\ssi P\left(-\dfrac{1}{\sigma}\pp \dfrac{M-52}{\sigma} \pp \dfrac{1}{\sigma}\right) \pg 0,99 \\
    &\ssi P\left(-\dfrac{1}{\sigma}\pp Z \pp \dfrac{1}{\sigma}\right) \pg 0,99 \\
    &\ssi 2P\left(Z\pp \dfrac{1}{\sigma}\right) -1 \pg 0,99 \\
    &\ssi 2P\left(Z\pp \dfrac{1}{\sigma}\right) \pg 1,99 \\
    &\ssi P\left(Z\pp \dfrac{1}{\sigma}\right) \pg 0,995 \end{align*}$
    D’après la calculatrice $\dfrac{1}{\sigma} \pg 2,575~8$ (environ) donc $\sigma \pp 0,388$ (environ).
    $\quad$

Partie B

  1. a. La fonction de densité associée à la variable aléatoire $T$ est la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=\lambda \e^{-\lambda x}$.
    Ainsi $f(0)=\lambda$.
    D’après le graphique $0,04 \pp \lambda \pp 0,06$.
    $\quad$
    b. On sait donc que $P(X\pp 11)=0,45$.
    Or $P(X\pp 11)=1-\e^{-11\lambda}$
    Ainsi :
    $\begin{align*} 1-\e^{-11\lambda}=0,45 &\ssi -\e^{-11\lambda}=-0,55 \\
    &\ssi \e^{-11\lambda}=0,55 \\
    &\ssi -11\lambda =\ln(0,55) \\
    &\ssi \lambda =-\dfrac{\ln(0,55)}{11}\end{align*}$
    $\quad$
  2. L’espérance de la variable aléatoire $T$ est :
    $E(T)=\dfrac{1}{\lambda} \approx 18,52$.
    La durée moyenne d’utilisation d’une balance sans qu’elle ne se dérègle est, à un jour près, égale à $19$ jours.
    $\quad$
  3. La loi exponentielle est une loi à durée de vie sans vieillissement.
    On veut calculer :
    $\begin{align*} P_{T\pg 20}(T\pg 31)&=P_{T\pg 20}(T\pg 20+11) \\
    &=P(T\pg 11) \\
    &=1-P(T< 11) \\
    &=1-0,45\\
    &=0,55\end{align*}$
    $\quad$

Partie C

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. a. On a
    $\begin{align*} p(A)&=p\left(U_{-1}\cap V_{-1}\right) \\
    &=\dfrac{3}{4}\times \dfrac{1}{5}\\
    &=\dfrac{3}{20}\end{align*}$
    $\quadb. $t^2+2t+5=0$
    $\Delta=4-20=-16$
    Les solutions sont donc $t_1=\dfrac{-2-4\ic}{2}=-1-2\ic$ et $t_2=-1+2\ic$.
    On a
    $\begin{align*} p(B)&=p\left(U_{-1}\cap V_{2}\right) \\
    &=\dfrac{3}{4}\times \dfrac{3}{5}\\
    &=\dfrac{9}{20}\end{align*}$
    $\quad$
    b. Si $x=\pm 1$ et $y=\pm 1$ alors $|z|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\neq 2$
    Si $x=\pm 1$ et $y=2$ alors $|z|=\sqrt{5}\neq 2$
    Donc $p(C)=0$
    $\quad$
  3. On a donc $z=1+\ic$
    $|z|=\sqrt{2}$ ainsi
    $\begin{align*}z&=\sqrt{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{\ic}{\sqrt{2}}\right)\\
    &=\sqrt{2}\e^{\ic\pi/4}\end{align*}$
    Par conséquent :
    $\begin{align*} z^{2020}&=\sqrt{2}^{2020}\e^{2020\ic\pi/4}\\
    &=2^{1010}\e^{505\ic\pi}\\
    &=2^{1010}\e^{(2\times 252+1)\pi}\\
    &=-2^{1010}\end{align*}$
    $\quad$

Ex 3

  1. a. $\vect{AB}\begin{pmatrix}3\\1\\1\end{pmatrix}$, $\vect{AC}\begin{pmatrix}2\\-1\\-6\end{pmatrix}$. Ces deux vecteurs ne sont clairement pas colinéaires.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} \vect{AB}.\vec{n}&=3\times 1+1\times (-4)+1\times 1\\
    &=0\end{align*}$
    $\begin{align*} \vect{AC}.\vec{n}&=2\times 1+(-1)\times (-4)+(-6)\times 1\\
    &=0\end{align*}$
    Le vecteur $\vec{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $\mathscr{P}$. Il est donc normal à ce plan.
    $\quad$
    b. Une équation du plan $\mathscr{P}$ est donc de la forme $x-4y+z+d=0$.
    Le point $A(1;1;4)$ appartient à ce plan.
    Ainsi $1-4+4+d=0\ssi d=-1$
    Une équation cartésienne du plan $\mathscr{P}$ est donc $x-4y+z-1=0$.
    $\quad$
    d. On a :
    $\begin{align*} \vec{u}.\vec{v}&=1-4+3 \\
    &=0\end{align*}$
    Un vecteur normal du plan $\mathscr{P}$ est donc orthogonal à un vecteur directeur de la droite $\mathscr{D}$.
    $\mathscr{D}$ est par conséquent parallèle à $\mathscr{P}$.
    $\quad$
  2. a. On a $\vect{IH}\begin{pmatrix}2\\-8\\2\end{pmatrix}=2\vec{n}$.
    Le point $H$ appartient donc à $\Delta$.
    $3\times 1-4\times 1+2\times 1 -1=0$ donc $H$ appartient à $\mathscr{P}$.
    La droite $\Delta$ coupe donc le plan $\mathscr{P}$ au point $H(3;1;2)$.
    $\quad$
    b.
    $\begin{align*} IH&=\sqrt{2^2+(-8)^2+2^2}\\
    &=\sqrt{72}\end{align*}$
    $\quad$
    c. Pour tout point $M$ du plan $\mathscr{P}$ on a $IM\pg IH>6$ Le plan $\mathscr{P}$ ne coupe donc pas la sphère $\mathscr{S}$.
    $\quad$
  3. a. Une représentation paramétrique de la droite $\mathscr{D}$ est $\begin{cases} x=1+t\\y=4+t\\z=2+3t\end{cases} \quad, t\in \R$.
    $\quad$
    b. Un point $M(x;y;z)$ appartient à la sphère $\mathscr{S}$ si, et seulement si $IM=6$
    $\ssi IM^2=36$ (une longueur étant toujours positive)
    $\ssi (x-1)^2+(y-9)^2+z^2=36$
    $\quad$
    c. Les coordonnées des points d’intersection de la droite $\mathscr{D}$ et de la sphère vérifient :
    $\begin{align*} &\begin{cases} (x-1)^2+(y-9)^2+z^2=36\\
    x=1+t\\y=4+t\\z=2+3t\end{cases} \\
    &\begin{cases} x=1+t\\y=4+t\\z=2+3t\\(1+t-1)^2+(4+t-9)^2+(2+3t)^2=36\end{cases}\\
    &\begin{cases} x=1+t\\y=4+t\\z=2+3t\\ t^2+(t-5)^2+4+12t+9t^2=36\end{cases} \\
    &\begin{cases} x=1+t\\y=4+t\\z=2+3t \\t^2+t^2-10t+25+4+12t+9t^2-36=0\end{cases}\\
    &\begin{cases} x=1+t\\y=4+t\\z=2+3t\\11t^2+2t-7=0\end{cases}\end{align*}$
    Le discriminant de $11t^2+2t-7$ est $\Delta=312>0$. Par conséquent l’équation $11t^2+2t-7=0$ possède deux solutions réelles et il existe deux points d’intersection distincts.
    $\quad$

Ex 4 (obl)

Pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

  1. On a $u_1=\dfrac{3}{4}$, $u_2=\dfrac{8}{9}$.
    Donc $v_2=\dfrac{3}{4}\times \dfrac{8}{9}=\dfrac{2}{3}$
    $\quad$
    $u_3=\dfrac{15}{16}$ donc $v_3=\dfrac{2}{3}\times \dfrac{15}{16}=\dfrac{5}{8}$.
    $\quad$
  2. On obtient l’algorithme suivant :
    $$\begin{array}{|cl|}
    \hline
    &\text{Algorithme}\\
    \hline
    1.&V\leftarrow 1\\
    2.&\text{Pour $i$ variant de $1$ à $n$}\\
    3.&\quad U\leftarrow \dfrac{i(i+2)}{(i+1)^2}\\
    4.&\quad V\leftarrow V\times U\\
    5.&\text{Fin Pour}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  3. a. Pour tout $n\in \N^*$ on a :
    $\begin{align*} 1-\dfrac{1}{(n+1)^2}&=\dfrac{(n+1)^2-1}{(n+1)^2} \\
    &=\dfrac{n^2+2n+1-1}{(n+1)^2} \\
    &=\dfrac{n^2+2n}{(n+1)^2}\\
    &=\dfrac{n(n+2)}{(n+1)^2}\\
    &=u_n\end{align*}$
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ non nul on a $u_n=\dfrac{n(n+2)}{(n+1)^2}$. Par conséquent $u_n>0$ en tant que quotient de nombres strictement positifs.
    De plus $u_n=1-\dfrac{1}{(n+1)^2}$. Or $\dfrac{1}{(n+1)^2}>0$ donc $u_n<1$.
    Ainsi $0<u_n<1$.
    $\quad$
  4. a. Pour tout entier naturel $n$ non nul on a
    $v_n>0$ en tant que produit de nombres strictement positifs.
    On a, d’après la question 1, $v_1<v_2$
    Pour tout $n\in \N, n\pg 2$
    $0<u_n<1$ donc, $0<v_{n-1}<v_{n-1}$ soit $0<v_n<v_{n-1}$.
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc décroissante.
    $\quad$
    b. La suite $\left(v_n\right)$ est donc décroissante et minorée par $0$. Elle est par conséquent convergente.
    $\quad$
  5. a. Pour tout entier naturel $n$ non nul on a :
    $\begin{align*} v_{n+1}&=v_n\times u_{n+1} \\
    &=v_n\times \dfrac{(n+1)(n+1+2)}{(n+1+1)^2} \\
    &=v_n\times \dfrac{(n+1)(n+3)}{(n+2)^2}\end{align*}$
    $\quad$
    b. Initialisation : Su $n=1$ alors $v_1=\dfrac{3}{4}$ et $\dfrac{n+2}{2(n+1)}=\dfrac{3}{4}$.
    La propriété est donc vraie au rang $1$.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n\in \N^*$, on suppose que la propriété est vraie au rang $n$ soit $v_n=\dfrac{n+2}{2(n+1)}$
    $\begin{align*} v_{n+1}&=v_n\times \dfrac{(n+1)(n+3)}{(n+2)^2} \\
    &=\dfrac{n+2}{2(n+1)}\times \dfrac{(n+1)(n+3)}{(n+2)^2}\\
    &=\dfrac{n+3}{2(n+2)}\end{align*}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout $n\in \N^*$ on a $v_n=\dfrac{n+2}{2(n+1)}$.
    $\quad$
    c. Pour tout $n\in \N^*$ on a :
    $\begin{align*} v_n&=\dfrac{n\left(1+\dfrac{2}{n}\right)}{2n\left(1+\dfrac{1}{n}\right)}\\
    &=\dfrac{1+\dfrac{2}{n}}{2\left(1+\dfrac{1}{n}\right)}\end{align*}$
    Or $\lim\limits_{n\to +\infty} 1+\dfrac{2}{n}=1$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} 1+\dfrac{1}{n}=1$
    Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} v_n=\dfrac{1}{2}$.
    $\quad$
  6. On a :
    $\begin{align*} w_7&=\ln\left(u_1\right)+\ln\left(u_2\right)+\ldots+\ln\left(u_7\right)\\
    &=\ln\left(u_1u_2\times \ldots u_7\right) \\
    &=\ln\left(v_7\right) \\
    &=\ln\left(\dfrac{7+2}{2(7+1)}\right)\\
    &=\ln\left(\dfrac{9}{16}\right)\\
    &=\ln\left[\left(\dfrac{3}{4}\right)^2\right]\\
    &=2\ln\left(\dfrac{3}{4}\right)\\
    &=2\ln\left(u_1\right)\\
    &=2w_1
    \end{align*}$
    $\quad$

Ex 4 (spé)

Pour les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

  1. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $5\equiv 1~[4]$ donc $5^n \equiv 1~[4]$
    Par conséquent $a_n\equiv 6\times 1-2~[4]$ soit $a_n\equiv 0~[4]$ et $b_n\equiv 3\times 1+1~[4]$ soit $b_n\equiv 0~[4]$.
    Pour tout entier naturel $n$, chacun des entiers $a_n$ et $b_n$ est congru à $0$ modulo $4$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} 2b_n-a_n&=2\left(3\times 5^n+1\right)-\left(6\times 5^n-2\right) \\
    &=6\times 5^n+2-6\times 5^n+2 \\
    &=4\end{align*}$
    $\quad$
    c. D’après la question précédente le PGCD de $a_n$ et $b_n$ est un diviseur de $2b_n-a_n$ c’est-à-dire de $4$.
    D’après la question 1.a. on sait que $4$ divise $a_n$ et $b_n$.
    Ainsi $4$ est un diviseur du PGCD de $a_n$ et $b_n$.
    Par conséquent le PGCD de $a_n$ et $b_n$ est $4$.
    $\quad$
  2. a. On a $5\equiv -2~[7]$ par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $5^n\equiv (-2)^n~[7]$.
    Ainsi $b_{2020}\equiv 3\times (-2)^{2020}+1~[7]$ soit, puisque $2020$ est pair, $b_n\equiv 3\times 2^{2020}+1$.
    $\quad$
    b. $2^{2020}=2^{3\times 673+1}=\left(2^3\right)^{673}\times 2=8^{673}\times 2$.
    Or $8\equiv 1~[7]$ donc $2^{2020}\equiv 1^{673}\times 2$ soit $2^{2020}\equiv 2~[7]$.
    Par conséquent $b_{2020}\equiv 3\times 2+1~[7]$ et donc $b_{2020}\equiv 0~[7]$.
    $b_{2020}$ est donc divisible par $7$.
    $\quad$
    c. On a $a_{2020}=6\times 5^{2020}-2$ donc $a_{2020}\equiv 6\times 2^{2020}-2~[7]$.
    Par conséquent $a_{2020}\equiv 6\times 2-2~[7]$ soit $a_{2020}\equiv 10~[7]$.
    L’entier $a_{2020}$ n’est donc pas divisible par $7$.
    $\quad$

Partie B

  1. On obtient le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|}
    \hline
    U&V&K\\
    \hline
    1&1&0\\
    \hline
    7&10&1\\
    \hline
    61&91&2\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  2. On a $v_1=4$ par conséquent l’algorithme ne permet de calculer $v_N$ correctement pour une valeur de $N$ donnée.
    $\quad$
    On peut utiliser l’algorithme suivant :
    $$\begin{array}{|cl|}
    \hline
    1.&U\leftarrow 1\\
    2.&V\leftarrow 1\\
    3.&K\leftarrow 0\\
    4.&\text{Tant que } K<N\\
    5.&W\leftarrow U\\
    6.&U\leftarrow 3U+4V\\
    7.&V\leftarrow W+3V\\
    8.&K\leftarrow K+1\\
    9.&\text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$

Partie C

  1. En prenant $A=\begin{pmatrix}3&4\\1&3\end{pmatrix}$ on obtient $X_{n+1}=AX_n$.
    $\quad$
  2. Initialisation : Si $n=0$ alors $A^0=I_2$ donc $A^0X_0=X_0$ et la propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$, c’est-à-dire que $X_n=A^n X_0$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} X_{n+1}&=AX_n \\
    &=A\times A^n X_0\\
    &=A^{n+1} X_0\end{align*}$
    La propriété est vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Pour tout entier naturel $n$ on a donc $X_n=A^n X_0$.
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} X_n&=A^n X_0 \\
    &=\dfrac{1}{4} \begin{pmatrix} 2\times 5^n+2+4\times 5^n-4\\5^n-1+2\times 5^n+2\end{pmatrix} \\
    &=\dfrac{1}{4}\begin{pmatrix}6\times 5^n-2\\3\times 5^n+1\end{pmatrix}\end{align*}$
    Par conséquent $u_n=\dfrac{a_n}{4}$ et $v_n=\dfrac{b_n}{4}$.
    $\quad$
  4. Le PGCD de $a_n$ et $b_n$ est $4$ par conséquent le PGCD de $\dfrac{a_n}{4}$ et $\dfrac{b_n}{4}$ est $1$.
    Les nombres $u_n$ et $v_n$ sont dont premiers entre eux.
    $\quad$

Énoncé

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Bac S – Nouvelle Calédonie – Février 2020

Nouvelle Calédonie – février 2019

Bac TS – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. La courbe coupe l’axe des ordonnées au point d’ordonnée $1$ donc $f(0)=1$.
    La courbe admet une tangente horizontale au point d’abscisse $1$ donc $f'(1)=0$.
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[0;+\infty[$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x$ positif on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=a\e^{-\frac{x}{2}}+(ax+b)\times \left(-\dfrac{1}{2}\right)\e^{-\frac{x}{2}} \\
    &=\left(a-\dfrac{1}{2}ax-\dfrac{1}{2}b\right)\e^{-\frac{x}{2}}\\
    &=\left(-\dfrac{1}{2}ax-\dfrac{1}{2}b+a\right)\e^{-\frac{x}{2}}\end{align*}$
    $\quad$
  3. On a $f(0)=(a\times 0+b)\e^{0}=b$ et $f'(1)=\left(\dfrac{1}{2}a\times 1-\dfrac{1}{2}b+a\right)\e^{-\frac{1}{2}}=\left(-\dfrac{1}{2}b+\dfrac{1}{2}a\right)\e^{-\frac{1}{2}}$
    Par conséquent :
    $\begin{align*} \begin{cases} b=1\\\left(-\dfrac{1}{2}b+\dfrac{1}{2}a\right)\e^{-\frac{1}{2}}=0\end{cases} &\ssi \begin{cases}b=1\\-\dfrac{1}{2}b+\dfrac{1}{2}a=0 \qquad (*)\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} b=1\\a=b \end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} a=1\\b=1\end{cases}\end{align*}$
    $(*)$ la fonction exponentielle est en effet strictement positive sur $\R$.
    $\quad$

Partie B

  1. a. Pour tout réel $x$ positif on a :
    $\begin{align*} f(x)&=(x+1)\e^{-\frac{x}{2}} \\
    &=x\times \e^{-\frac{x}{2}}+\e^{-\frac{x}{2}} \\
    &=\dfrac{x}{~\e^{\frac{x}{2}}~}+\e^{-\frac{x}{2}} \\
    &=\dfrac{2\times \dfrac{1}{2}\times x}{~\e^{\frac{x}{2}}~}+\e^{-\frac{x}{2}} \\
    &=2\dfrac{\dfrac{1}{2}x}{~\e^{\frac{x}{2}}~}+\e^{-\frac{x}{2}} \end{align*}$
    $\quad$
    b. $\lim\limits_{x\to +\infty} -\dfrac{1}{2}x=-\infty$ et $\lim\limits_{X \to -\infty} \e^X=0$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^{-\frac{x}{2}}=0$.
    $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{1}{2}x=+\infty$ et $\lim\limits_{X\to +\infty} \dfrac{\e^X}{X}=+\infty$ donc $\lim\limits_{X\to +\infty} \dfrac{1}{\dfrac{\e^X}{X}}=0$
    Par conséquent $\lim\limits_{X\to +\infty} \dfrac{X}{\e^X}=0$ et $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{\dfrac{1}{2}x}{~\e^{\frac{x}{2}}~}=0$.
    Ainsi $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=0$
    $\quad$
  2. Pour tout réel $x$ positif on a, d’après la question A.2 :
    $f'(x)=\left(-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}\right)\e^{-\frac{x}{2}}=\dfrac{1}{2}(-x+1)\e^{-\frac{x}{2}}$
    La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $(-x+1)$.
    Or $-x+1=0 \ssi x=1$ et $-x+1>0 \ssi x<1$.
    La fonction $f$ est donc strictement croissante sur l’intervalle $[0;1]$ et strictement décroissante sur l’intervalle $[1;+\infty[$.
    On obtient ainsi le tableau de variations suivant :


    Avec $f(1)=2\e^{-\frac{1}{2}}$.
    $\quad$

  3. Sur l’intervalle $[0;1]$, on a $f(x)\pg 1$. L’équation $f(x)=0,07$ n’admet donc aucune solution sur l’intervalle $[0;1]$.
    $\quad$
    La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur l’intervalle $[1;+\infty[$.
    De plus $f(1)=2\e^{-\frac{1}{2}} \approx 1,21$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=0$.
    Donc $0,07$ appartient à l’intervalle $\left]0;f(1)\right]$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=0,07$ admet une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[1;+\infty[$.
    $\quad$
    Par conséquent l’équation $f(x)=0,07$ admet une unique solution sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    $\quad$
  4. D’après la calculatrice $\alpha \approx 10,14$.
    Par conséquent $\alpha \approx 10$ arrondi à l’unité.
    $\quad$

Partie C

  1. $7$ cm $=0,07$ m
    D’après la question B.4. l’unique solution de l’équation $f(x)=0,07$ est $\alpha \approx 10$.
    Le mur de droite, selon les contraintes fournies, soit donc être placé à environ $10$ mètres du mur de gauche.
    $\quad$
  2. La fonction $G$ est dérivable sur l’intervalle $[0;10]$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;10]$ on a :
    $\begin{align*} G'(x)&=-2\e^{-\frac{x}{2}}+(-2x-4)\times \left(-\dfrac{1}{2}\right)\e^{-\frac{x}{2}} \\
    &=(-2+x+2)\e^{-\frac{x}{2}} \\
    &=x\e^{-\frac{x}{2}}\\
    &=g(x)\end{align*}$
    La fonction $G$ est donc bien une primitive de la fonction $g$ sur l’intervalle $[0;10]$.
    $\quad$
  3. Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;10]$ on a :
    $\begin{align*} f(x)&=(x+1)\e^{-\frac{x}{2}} \\
    &=x\e^{-\frac{x}{2}}+\e^{-\frac{x}{2}}\\
    &=g(x)+\e^{-\frac{x}{2}}\end{align*}$
    Ainsi une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;10]$ est la fonction $F$ définie sur cet intervalle par :
    $\begin{align*} F(x)&=(-2x-4)\e^{-\frac{x}{2}}-2\e^{-\frac{x}{2}} \\
    &=(-2x-4-2)\e^{-\frac{x}{2}} \\
    &=(-2x-6)\e^{-\frac{x}{2}}\end{align*}$
    $\quad$
  4. Calculons l’aire de la zone correspondant au tas de sable.
    La fonction $f$ est continue et, d’après la partie B., positive sur l’intervalle $[0;10]$.
    L’aire du domaine compris entre la courbe $\mathscr{C}_f$, l’axe des abscisses, la droite d’équation $x=0$ et la droite d’équation $x=10$ est donc :
    $\begin{align*} \ds \mathscr{A}&=\int_0^{10}f(x)\dx \\
    &=F(10)-F(0) \\
    &=-26\e^{-5}+6\end{align*}$
    Une fois le tas de sable nivelé, on obtient donc (pour la section observée) un rectangle de longueur $10$ et d’aire $\mathscr{A}=6-26\e^{-5}$.
    La hauteur du tas de sable sera alors $h=\dfrac{6-26\e^{-5}}{10}\approx 0,58 m$.

$\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. On veut calculer :
    $p(A\cap V)=p(A)\times p_A(V)=0,4\times 0,1=0,04$
    La probabilité que la communication passe par l’opérateur A et utilise le canal vocal est égale à $0,04$.
    $\quad$
  3. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} &p(V)=p(A\cap V)+p(B\cap V)+p(C\cap V) \\
    \ssi &0,2=0,04+0,25\times 0,2+p(C\cap V) \\
    \ssi p(C\cap V)=0,11\end{align*}$
    On voulait déterminer :
    $\begin{align*} p_C(V)&=\dfrac{p(C\cap V)}{p(C)} \\
    &=\dfrac{0,11}{0,35} \\
    &=\dfrac{11}{35} \\
    &\approx 0,314\end{align*}$
    La probabilité que la communication soit acheminée par le canal vocal sachant qu’elle passe par l’opérateur C est environ égale à $0,314$.
    $\quad$

Partie B

  1. On effectue $1~600$ tirages aléatoires, identiques et indépendant. À chaque tirage, il n’y a que deux issues $V$ et $\conj{V}$. De plus $p(V)=0,2$.
    La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=1~600$ et $p=0,2$.
    $\quad$
  2. L’espérance de la variable aléatoire $X$ est :
    $\begin{align*} E(X)&=np \\
    &=320\end{align*}$
    Cela signifie donc qu’en moyenne $320$ personnes passent un appel à un moment donné.
    $\quad$
  3. D’après la calculatrice, on a $P(X\pp 350) \approx 0,971$
    La probabilité que l’antenne ne soit pas saturée est environ égale à $0,971$.
    $\quad$

Partie C

  1. a. On obtient le graphique suivant :
    b. D’après l’énoncé on a :
    $\begin{align*} P(Y>350)=0,001~5 &\ssi P(Y\pp 350)=0,998~5 \\
    &\ssi P(Y-335\pp 15)=0,998~5 \\
    &\ssi P\left(\dfrac{Y-335}{\sigma}\pp \dfrac{15}{\sigma}\right)=0,998~5 \end{align*}$
    La variable aléatoire $Y^*=\dfrac{Y-335}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.
    On a donc $P\left(Y^*\pp \dfrac{15}{\sigma}\right)=0,998~5$.
    À l’aide de la touche inverse loi normale de la calculatrice on trouve, $\dfrac{15}{\sigma} \approx 2,967~7$
    Ainsi $\sigma \approx 5$
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} P(Y\pp 330)&=P(Y\pp 335)-P(330 \pp Y\pp 335) \\
    &=0,5-P(330 \pp Y\pp 335) \\
    &\approx 0,159\end{align*}$
    La probabilité que l’antenne soit en mode « économie d’énergie » est environ égale à $0,159$.

$\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. Pour tout nombre complexe $z$ on a :
    $\begin{align*} &(z-2)\left(z^2+2\sqrt{2}z+4\right) \\
    =&z^3+2\sqrt{2}z^2+4z-2z^2-4\sqrt{2}z-8 \\
    =&z^3+2\left(\sqrt{2}-1\right)z^2+4\left(z-\sqrt{2}\right)z-8\end{align*}$
    $\quad$
  2. D’après la question précédente on a :
    $\begin{align*} &z^3+2\left(\sqrt{2}-1\right)z^2+4\left(z-\sqrt{2}\right)z-8=0 \\
    \ssi &(z-2)\left(z^2+2\sqrt{2}z+4\right)=0 \end{align*}$
    Il s’agit d’une équation de produit nul.
    Par conséquent $z-2=0$ ou $z^2+2\sqrt{2}z+4=0$
    $z-2=0 \ssi z=2$
    Résolvons maintenant $z^2+2\sqrt{2}z+4=0$
    $\Delta = 8-16=-8<0$
    L’équation possède donc deux racines complexes :
    $z_1=\dfrac{-2\sqrt{2}-\ic\sqrt{8}}{2}=-\sqrt{2}-\ic \sqrt{2}$ et $z_2=\conj{z_1}=-\sqrt{2}+\ic \sqrt{2}$
    Les solutions de l’équation $(E)$ sont donc $2$, $-\sqrt{2}-\ic \sqrt{2}$ et $-\sqrt{2}+\ic \sqrt{2}$.
    $\quad$
  3. On a $2=2\e^0$
    $\left|-\sqrt{2}-\ic \sqrt{2}\right|=\sqrt{2+2}=2$
    Par conséquent :
    $\begin{align*}z_1&=-\sqrt{2}-\ic \sqrt{2}\\
    &=2\left(-\dfrac{\sqrt{2}}-\ic \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\\
    &=2\e^{5\ic\pi/4}\end{align*}$
    Par conséquent $z_2=\conj{z_1}=2\e^{-5\ic\pi/4}$ soit également $z_2=2\e^{3\ic\pi/4}$
    $\quad$

Partie B

  1. On a $OA=\left|z_A-z_O\right|=\left|z_A\right|=2$
    De même $OB=\left|z_B-z_O\right|=\left|z_B\right|=2$
    Le triangle $OAB$ est donc isocèle en $O$.
    Remarque : On pourrait vérifier, en calculant $AB$, que le triangle est équilatéral ou seulement isocèle mais un triangle équilatéral est également isocèle.
    $\quad$
  2. La droite $(OI)$ est la médiane du triangle $OAB$ issue du sommet $O$.
    Le triangle $OAB$ étant isocèle en $O$ cette droite est également la bissectrice de l’angle $\widehat{AOB}$.
    Ainsi $\left(\vect{OA};\vect{OI}\right)=\dfrac{~\dfrac{3\pi}{4}~}{2}=\dfrac{3\pi}{8}$
    Le point $A$ appartient à l’axe des abscisses et possède une abscisse positive. Par conséquent $\vect{OA}$ et $\vec{u}$ sont colinéaires et de même sens.
    Ainsi $\left(\vect{OA};\vect{OI}\right)=\left(\vec{u};\vect{OI}\right)=\dfrac{3\pi}{8}$.
  3. $I$ est le milieu de $[AB]$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} z_I&=\dfrac{z_A+z_B}{2} \\
    &=\dfrac{2+2\e^{3\ic\pi/4}}{2} \\
    &=1+\e^{3\ic\pi/4} \\
    &=1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\ic\end{align*}$
    On a donc :
    $\begin{align*} \left|z_I\right|&=\sqrt{\left(1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} \\
    &=\sqrt{1-\sqrt{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}}\\
    &=\sqrt{2-\sqrt{2}}\end{align*}$
    $\quad$
  4. D’après la question B.2. un argument de $z_I$ est $\dfrac{\pi}{8}$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} z_I&=\sqrt{2-\sqrt{2}}\e^{3\ic\pi/8} \\
    &=\sqrt{2-\sqrt{2}}\cos\left(\dfrac{3\pi}{8}\right)+\sqrt{2-\sqrt{2}}\ic \sin\left(\dfrac{3\pi}{8}\right)\end{align*}$
    En identifiant avec la forme algébrique trouvée à la question B.3. on obtient :
    $\begin{cases} 1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2-\sqrt{2}}\cos\left(\dfrac{3\pi}{8}\right) \\\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2-\sqrt{2}}\sin\left(\dfrac{3\pi}{8}\right) \end{cases} \ssi \begin{cases} \cos\left(\dfrac{3\pi}{8}\right)  = \dfrac{1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{2-\sqrt{2}}}\\\sin\left(\dfrac{3\pi}{8}\right)=\dfrac{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{2-\sqrt{2}}}\end{cases}$

$\quad$

Ex 4 Obl

 

Exercice 4

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

  1. Montrons par récurrence sur $n$, entier naturel, que $u_n=2\left(\dfrac{3}{4}\right)^n+4$.
    Initialisation : Si $n=0$ $2\left(\dfrac{3}{4}\right)^0+4=2+4=6=u_0$.
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$.
    On a donc $u_n=2\left(\dfrac{3}{4}\right)^n+4$.
    Montrons que la propriété est vraie au rang suivant, c’est-à-dire que $u_{n+1}=2\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n+1}+4$.
    $\begin{align*} u_{n+1}&=\dfrac{3}{4}u_n+1 \\
    &=\dfrac{3}{4}\left(2\left(\dfrac{3}{4}\right)^n+4\right)+1 \\
    &=2\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n+1}+3+1\\
    &=2\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n+1}+4
    \end{align*}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_n=2\left(\dfrac{3}{4}\right)^n+4$.
    Affirmation 1 vraie.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*}S_n&=2\times \dfrac{1-\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n+1}}{1-\dfrac{1}{4}} \\
    &=2\times \dfrac{1-\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n+1}}{\dfrac{3}{4}} \\
    &=8\times \dfrac{1-\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n+1}}{3} \end{align*}$
    Or $-1<\dfrac{1}{4}<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} \left(\dfrac{1}{4}\right)^{n+1}=0$
    Ainsi $\lim\limits_{n\to +\infty} S_n=\dfrac{8}{3}$
    Affirmation 2 fausse.
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n$ non nul on a :
    $\begin{align*} &-1\pp \cos(n) \pp 1 \\
    \ssi &-\dfrac{1}{n} \pp\dfrac{\cos(n)}{n} \pp \dfrac{1}{n} \\
    \ssi &1-\dfrac{1}{n} \pp 1+\dfrac{\cos(n)}{n} \pp 1+\dfrac{1}{n} \\
    \ssi &1-\dfrac{1}{n} \pp c_n \pp 1+\dfrac{1}{n} \end{align*}$
    Or $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{1}{n}=0$
    Donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 1-\dfrac{1}{n}=1$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} 1+\dfrac{1}{n}=1$
    D’après le théorème des gendarmes on a $\lim\limits_{n\to +\infty} c_n=1$
    Affirmation 3 vraie.
    $\quad$
  4. Un vecteur directeur de $(AB)$ est $\vect{AB}(2;-2;6)$.
    Une représentation paramétrique de la droite $(AB)$ est donc $\begin{cases} x=1+2k\\y=2-2k\\z=6k \end{cases} \qquad k\in \R$.
    Un vecteur directeur de $(CD)$ est $\vect{CD}(-10;5;-15)$.
    Une représentation paramétrique de la droite $(CD)$ est donc $\begin{cases} x=6-10t\\y=-1+5t\\z=9-15t \end{cases} \qquad t\in \R$.
    Les deux vecteurs ne sont clairement pas colinéaires. Les droites ne sont donc pas parallèles.
    Regardons si elles sont sécantes.
    Pour cela, essayons de résoudre le système :
    $\begin{align*}\begin{cases} 1+2k=6-10t\\2-2k=-1+5t\\6k=9-15t \end{cases} &\ssi \begin{cases} 2k=5-10t\\-2k=-3+5t\\2k=3-5t\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} 2k=5-10t\\2k=3-5t\end{cases} \qquad (*)\\
    &\ssi \begin{cases} 2k=5-10t\\5-10t=3-5t\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} 2k=5-10t\\-5t=-2\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases}t=0,4\\2k=5-10\times 0,4\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} t=0,4\\2k=1\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} t=0,4\\k=0,5\end{cases}\end{align*}$$(*)$ en effet les équations $-2k=-3+5t$ et $2k=3-5t$ sont équivalentes.
    Le système admet donc une unique solution. Les droites sont par conséquent sécantes.
    Affirmation 4 vraie.
    $\quad$
  5. Un vecteur directeur de la droite $\mathscr{D}$ est $\vec{u}(1;-1;2)$.
    $\vec{n}.\vec{u}=6-4-2=0$
    La droite $\mathscr{D}$ est donc parallèle au plan $\mathscr{P}$. Elle est donc soit incluse dans le plan, soit strictement parallèle à celui-ci.
    Regardons si le point $A$ appartient à la droite $\mathscr{D}$.
    On doit donc résoudre le système :
    $\begin{cases} t+1=1\\-t-1=2\\2t+3=0 \end{cases} \ssi \begin{cases}t=0 \\t=-1 \\t=-\dfrac{2}{3}\end{cases}$
    Le système n’admet donc pas de solution.
    La droite et le plan sont strictement parallèles.
    Affirmation 5 vraie.
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1     6 points

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0 ; +\infty[$ par $$f(x)=(ax+b)\e^{-\frac{1}{2}x},$$ où $a$ et $b$ désignent deux nombres réels. On admet que cette fonction est dérivable sur l’intervalle $[0 ; +\infty[$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.
Sa courbe représentative $\mathscr{C}_f$ est tracée ci-dessous.

 

Elle coupe l’axe des ordonnées au point d’ordonnée $1$ et admet une tangente horizontale au point d’abscisse $1$.

  1. Donner les valeurs de $f (0)$ et $f'(1)$.
    $\quad$
  2. Démontrer que, pour tout réel positif $x$, $f'(x)=\left(-\dfrac{1}{2}ax-\dfrac{1}{2}b+a\right)\e^{-\frac{1}{2}x}$.
    $\quad$
  3. Déterminer les valeurs de $a$ et $b$.
    $\quad$

Partie B

Pour la suite de l’exercice, on admet que la fonction $f$ est définie sur $[0 ; +\infty[$ par : $$f(x)=(x+1)\e^{-\frac{1}{2}x}$$

  1. a. Justifier que, pour tout réel $x$ positif, $f (x) = 2\left(\dfrac{\dfrac{1}{2}x}{\e^{\frac{1}{2}x}}\right)+\e^{-\frac{1}{2}x}$.
    $\quad$
    b. Calculer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$
    $\quad$
  2. Étudier les variations de la fonction $f$ sur $[0 ; +\infty[$ et construire son tableau de variations.
    $\quad$
  3. Démontrer que l’équation $f(x) = 0,07$ admet une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[0 ; +\infty[$.
    $\quad$
  4. Donner l’arrondi de $\alpha$ à l’unité.
    $\quad$

Partie C – Modélisation d’un tas de sable

Dans cette partie, on considère que la courbe de la fonction $f$ modélise le profil d’un tas de sable.
La longueur $x$ et la hauteur $f(x)$ sont exprimées en mètres.
Ainsi, le fait que $f(0) = 1$ signifie qu’à son extrémité gauche, la hauteur du tas de sable est de $1$ mètre.
On souhaite que le tas de sable soit limité par deux murs comme indiqué sur le schéma ci-dessous.
Le mur de gauche coïncide avec l’axe des ordonnées et le mur de droite est placé de telle sorte que la hauteur de sable à cet endroit est de $7$ cm.

  1. Pourquoi le mur de droite doit-il être placé à environ $10$ mètres du mur de gauche ?
    $\quad$
  2. Vérifier que la fonction $G$ définie sur $[0; 10]$ par $G(x) = (-2x-4) \e^{-\frac{1}{2}x}$ est une primitive de la fonction $g$ définie sur $[0; 10]$ par $g(x) = x\e^{-frac{1}{2}x}$.
    $\quad$
  3. En déduire une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0; 10]$.
    $\quad$
  4. Pour pouvoir créer un terrain de sport sur sable, on décide de niveler le tas de sable, c’est-à-dire de l’étaler à une même hauteur entre les deux murs.
    Quelle sera la hauteur du tas de sable une fois le nivellement réalisé ? Expliquer le raisonnement et arrondir le résultat au centimètre.
    $\quad$

Exercice 2     5 points

Les probabilités seront arrondies si nécessaire au millième.

Partie A

Une antenne relais chargée d’acheminer des communications est exploitée par trois opérateurs : l’opérateur A, l’opérateur B et l’opérateur C.
Par ailleurs, cette antenne utilise deux types de canal : le canal vocal (pour les communications téléphoniques) et le canal internet (pour les communications par texto ou par mail).
On dispose des données suivantes :

  • $40 \%$ des communications passent par l’opérateur A;
  • $25 \%$ des communications passent par l’opérateur B;
  • $10 \%$ des communications passant par l’opérateur A utilisent le canal vocal;
  • $20 \%$ des communications passant par l’opérateur B utilisent le canal vocal;
  • $20 \%$ de l’ensemble des communications utilisent le canal vocal.

On choisit une communication au hasard et on considère les évènements :

  • $A$ : « la communication passe par l’opérateur A »;
  • $B$ : « la communication passe par l’opérateur B »;
  • $C$ : « la communication passe par l’opérateur C »;
  • $V$ : « la communication utilise le canal vocal ».
  1. À l’aide des valeurs de l’énoncé, compléter les pointillés indiqués sur les branches de l’arbre pondéré donné en ANNEXE à rendre avec la copie.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité que la communication passe par l’opérateur A et utilise le canal vocal.
    $\quad$
  3. La communication passe par l’opérateur C. Quelle est la probabilité qu’elle soit acheminée par le canal vocal ?
    $\quad$

Partie B

Cette antenne relais couvre une zone géographique bien définie appelée cellule. Dans cette cellule, les ressources radio sont limitées à $350$ appels simultanés. Cela signifie qu’au-delà de $350$ appels, l’antenne relais est saturée.
Dans cette cellule, $1~600$ personnes possèdent chacune un téléphone mobile.
À un instant donné, on choisit au hasard une personne parmi les $1~600$ personnes de la cellule.
On admet que la probabilité que cette personne passe un appel téléphonique est égale à $0,2$.
On admet en outre que les $1~600$ personnes de la cellule agissent indépendamment les unes des autres.
On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de personnes passant un appel à un instant donné dans cette cellule.

  1. Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$ ? On précisera ses paramètres.
    $\quad$
  2. Calculer l’espérance de la variable aléatoire $X$ et interpréter le résultat.
    $\quad$
  3. Calculer la probabilité que l’antenne ne soit pas saturée.
    $\quad$

Partie C
On considère une autre cellule dans laquelle le nombre de personnes passant un appel téléphonique au même moment est modélisé par une variable aléatoire $Y$ suivant une loi normale d’espérance $\mu = 335$ et d’écart-type $\sigma$ inconnu.

  1. On a constaté que, dans cette cellule, la probabilité que l’antenne soit saturée est $0,001~5$.
    On rappelle que l’antenne est saturée lorsque le nombre de personnes passant un appel téléphonique au même moment est supérieur à $350$.
    a. Sur l’ANNEXE à rendre avec la copie, on a réalisé un croquis donnant l’allure de la courbe de la fonction densité de la variable aléatoire $Y$.
    Hachurer sur cette annexe le domaine correspondant à la probabilité que l’antenne soit saturée.
    $\quad$
    b. Justifier que la valeur de $\sigma$, arrondie à l’unité, vaut $5$.
    $\quad$
  2. L’antenne dispose d’un mode « économie d’énergie » qui s’active lorsque moins de $330$ personnes passent un appel téléphonique au même moment.
    Calculer la probabilité que l’antenne soit en mode « économie d’énergie ».
    $\quad$

ANNEXE Partie A

ANNEXE Partie B

$\quad$

Exercice 3     4 points 

Les PARTIES A et B peuvent être traitées de manière indépendante.

PARTIE A

On considère l’équation suivante : $$(E): \quad z^3+2\left(\sqrt{2}-1\right)z^2+4\left(1-\sqrt{2}\right)z-8=0$$ ayant pour inconnue le nombre complexe $z$.

  1. Démontrer que, pour tout nombre complexe $z$, $$(z-2)\left(z^2-2\sqrt{2}z+4\right)=z^3+2\left(\sqrt{2}-1\right)z^2+4\left(1-\sqrt{2}\right)z-8$$
    $\quad$
  2. Résoudre dans $\C$ l’équation $(E)$ en donnant ses solutions sous forme algébrique.
    $\quad$
  3. Écrire toutes les solutions de l’équation $(E)$ sous forme exponentielle.
    $\quad$

Partie B

Dans cette partie, on cherche à déterminer les valeurs exactes de $\cos\left(\dfrac{3\pi}{8}\right)$ et $\sin\left(\dfrac{3\pi}{8}\right)$.
On munit le plan complexe d’un repère orthonormé direct $\Ouv$.
On considère les points $A$ et $B$ du plan complexe d’affixes respectives $z_A=2$ et $z_b=2\e^{\ic \frac{3\pi}{4}}$ et $I$ le milieu du segment $[AB]$ d’affixe $z_I$.

  1. Démontrer que le triangle $OAB$ est un triangle isocèle.
    $\quad$
  2. Démontrer qu’une mesure de l’angle $\left(\vec{u};\vect{OI}\right)$ est $\dfrac{3\pi}{8}$.
    $\quad$
  3. Déterminer la forme algébrique de l’affixe $z_I$ puis le module de $z_I$.
    $\quad$
  4. En déduire les valeurs exactes de $\cos\left(\dfrac{3\pi}{8}\right)$ et $\sin\left(\dfrac{3\pi}{8}\right)$.
    $\quad$

Exercice 4     5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.
Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.

  1. On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 6$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} =\dfrac{3}{4}u_n+1$.
    Affirmation 1 : Pour tout entier naturel $n$, $u_n = 2\left(\dfrac{3}{4}\right)^n+4$.
    $\quad$
  2. Soit $\left(t_n\right)$ une suite géométrique de premier terme $t_0 = 2$ et de raison $\dfrac{1}{4}$.
    On appelle $S_n$ la somme des $n+1$ premiers termes de la suite $\left(t_n\right)$, soit $S_n=t_0+t_1+\ldots+t_n$.
    Affirmation 2 : La suite $\left(S_n\right)$ a pour limite $+\infty$.
    $\quad$
  3. On définit la suite $\left(c_n\right)$, pour tout entier naturel $n$ non nul, par $$c_n=1+\dfrac{\cos(n)}{n}$$
    Affirmation 3 : La suite $\left(c_n\right)$ est convergente.
    $\quad$
  4. Dans un repère orthonormé $\Oijk$ de l’espace, on considère les points $A(1; 2; 0)$ , $B(3; 0; 6)$ , $C(6 ; −1 ; 9)$ et $D(−4 ; 4 ; −6)$.
    Affirmation 4 : Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont sécantes.
    $\quad$
  5. L’espace est muni du repère orthonormé $\Oijk$. Soit $\mathscr{P}$ le plan passant par $A(1; 2; 0)$ et de vecteur normal $\vec{n} (6 ; 4 ; −1)$.
    Soit $\mathscr{D}$ la droite de représentation paramétrique $\begin{cases} x=t+1 \\y=-t-1\\z=2t+3\end{cases} \qquad, t\in \R$.
    Affirmation 5 : Le plan $\mathscr{P}$ et la droite $\mathscr{D}$ ne possèdent aucun point commun.
    $\quad$

 

Bac S – Nouvelle Calédonie – Novembre 2019

Nouvelle Calédonie – Novembre 2019

Bac S – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici .

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. On a $P(F)=0,0225$.
    On veut calculer :
    $\begin{align*} P_F(M)&=\dfrac{P(F\cap M)}{P(F)} \\
    &=\dfrac{0,25\times 0,06}{0,0225} \\
    &=\dfrac{2}{3}\end{align*}$
    La probabilité qu’il s’agisse d’un carreau avec motif sachant qu’il est fissuré est égale à $\dfrac{2}{3}$.
    $\quad$
  3. On a :
    $\begin{align*} P_{\conj{M}}(F)&=\dfrac{P\left(\conj{M}\cap F\right)}{P\left(\conj{M}\right)} \\
    &=\dfrac{0,25\times 0,94}{0,75} \\
    &=\dfrac{47}{150}\end{align*}$
    $\quad$

Partie B

  1. On a :
    $\begin{align*} P(10,1<X<11,9)=0,99 &\ssi 1-P(X<10,1)-P(X>11,9)=0,99 \\
    &\ssi -2P(X<10,1)=-0,01 \\
    &\ssi P(X<10,1)=0,005\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. $Z$ suit la loi normale centrée réduite.
    $\quad$
    b. On a :
    $\begin{align*} P(10,1<X<11,9)=0,99 &\ssi P(-0,9 < X-11 <0,9)=0,99 \\
    &\ssi P\left(-\dfrac{0,9}{\sigma} <\dfrac{X-11}{\sigma}<\dfrac{0,9}{\sigma}\right)=0,99 \\
    &\ssi P\left(-\dfrac{0,9}{\sigma} <Z<\dfrac{0,9}{\sigma}\right)=0,99 \\
    &\ssi 2P\left(Z>-\dfrac{0,9}{\sigma}\right)-1=0,99 \\
    &\ssi 2P\left(Z>-\dfrac{0,9}{\sigma}\right)=1,99 \\
    &\ssi P\left(Z>-\dfrac{0,9}{\sigma}\right)=0,995 \\
    &\ssi P\left(Z \pp -\dfrac{0,9}{\sigma}\right)=0,005\end{align*}$
    $\quad$
    c. À l’aide de la touche inverse loi normale de la calculatrice on trouve :
    $\dfrac{-0,9}{\sigma}\approx -2,576$ et donc $\sigma \approx 0,35$.
    $\quad$

Partie C

  1. Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;2\pi]$ on a :
    $\begin{align*} -1\pp \cos x\pp 1 &\ssi -1,5 \pp -1,5\cos x \pp 1,5\\
    &\ssi 0 \pp -1,5\cos x +1,5 \pp 3 \end{align*}$
    Donc $f(x)\pg 0$ sur l’intervalle $[0;2\pi]$.
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est continue et positive sur l’intervalle $[0;2\pi]$.
    Ainsi l’aire du domaine compris entre l’axe des abscisses, la courbe $\mathscr{C}_1$ et les droites d’équation $x=0$ et $x=2\pi$ (il n’est pas nécessaire de rajouter cette information sur les droites puisque la fonction $f$ s’annule en $0$ et $2\pi$; il faut dans ce cas spécifier ces valeurs) est :
    $\begin{align*} \mathscr{A}_1&=\ds \int_0^{2\pi} f(x)\dx \\
    &=\left[-1,5\sin(x)+1,5x\right]_0^{2\pi} \\
    &=3\pi \end{align*}$
    Par symétrie, on a $\mathscr{A}=2\times 3\pi=6\pi$ u.a.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. D’après la limite des termes de plus haut degré on a : $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{3x+1}{x+1}=\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{3x}{x}=3$
    Par conséquent $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=\ln 3$.
    $\quad$
  2. a. Pour tout réel $x$ positif on a $f(x)=\ln\left(u(x)\right)$ avec $u(x)=\dfrac{3x+1}{x+1}$.
    $u$ est dérivable sur l’intervalle $[0;+\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas.
    $u'(x)=\dfrac{3(x+1)-1\times(3x+1)}{(x+1)^2}=\dfrac{2}{(x+1)^2}$.
    Ainsi :
    $\begin{align*}f'(x)&=\dfrac{u'(x)}{u(x)} \\
    &=\dfrac{~~\dfrac{2}{(x+1)^2}~~}{\dfrac{3x+1}{x+1}} \\
    &=\dfrac{2}{(x+1)^2}\times \dfrac{x+1}{3x+1} \\
    &=\dfrac{2}{(x+1)(3x+1)}\end{align*}$
    $\quad$
    b. Pour tout réel $x$ positif on a $x+1>0$ et $3x+1>0$
    Ainsi $f'(x)>0$ et la fonction $f$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
    $\quad$

Partie B

  1. Initialisation : on a $u_0=3$ et $u_1=f(3)=\ln 2,5 \approx 0,92$.
    Donc $\dfrac{1}{2}\pp u_1 \pp u_0$.
    La propriété est donc vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$. On a donc $\dfrac{1}{2} \pp u_{n+1} \pp u_n$.
    Montrons que la propriété est vraie au rang suivant, c’est-à-dire que $\dfrac{1}{2} \pp u_{n+2} \pp u_{n+1}$.
    La fonction $f$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
    Par conséquent $f\left(\dfrac{1}{2}\right) \pp f\left(u_{n+1}\right) \pp f\left(u_n\right)$.
    Soit $\ln \dfrac{5}{3} \pp u_ {n+2} \pp u_{n+1}$
    Or $\ln \dfrac{5}{3} > 0,51>\dfrac{1}{2}$.
    On a donc $\dfrac{1}{2} \pp u_{n+2} \pp u_{n+1}$.
    La propriété est ainsi vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Pour tout entier naturel $n$ on a donc $\dfrac{1}{2} \pp u_{n+1} \pp u_n$.
    $\quad$
  2. La suite $\left(u_n\right)$ est donc décroissante et minorée par $\dfrac{1}{2}$.
    Elle converge donc vers un réel $\ell$ vérifiant $\ell \pg \dfrac{1}{2}>0$.
    $\quad$

Partie C

  1. La fonction $g$ est strictement croissante sur l’intervalle $\left[0;x_0\right]$ et $g(0)=0$.
    Par conséquent pour tout réel $x$ de l’intervalle $\left[0;x_0\right]$ on a $g(x)>0$ et l’équation $g(x)=0$ n’admet pas de solution strictement positive sur cet intervalle.
    $\quad$
    La fonction $g$ est continue (somme de fonctions continue) et strictement décroissante sur l’intervalle $\left[x_0;+\infty\right[$.
    $g\left(x_0\right) \approx 0,088>0$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x)=-\infty$
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $\left[x_0;+\infty\right[$.
    $\quad$
    L’équation $g(x)=0$ admet donc une unique solution strictement positive sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    $\quad$
  2. a. On obtient l’algorithme suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    x\leftarrow 0,22 \\
    \text{Tant que $\ln\left(\dfrac{3x+1}{x+1}\right)-x>0$ faire}\\
    \hspace{1cm} x\leftarrow x+0,01\\
    \text{Fin de Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    b. On $g(0,52)\approx 0,001>0$ et $g(0,53)\approx -0,004<0$
    Par conséquent la dernière valeur prise par la variable $x$ lors de l’exécution de l’algorithme est $0,53$.
    $\quad$
  3. On a $g(0,522) \approx 0,000~3>0$ et $g(0,523)\approx -0,0002<0$
    Une valeur approchée de la limite $\ell$ à $0,01$ près est donc $0,52$.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. $I$ est le milieu de $[ED]$.
    Par conséquent $\begin{cases} x_I=\dfrac{0+0}{2}\\y_I=\dfrac{1+0}{2} \\z_I=\dfrac{0+1}{2}\end{cases}$ ainsi $I$ a pour coordonnées $(0;0,5;0,5)$.
    $\quad$
    a. Les coordonnées du point $F$ sont $(1;0;1)$.
    On a donc $\vect{FI}(-1;0,5;-0,5)$ et $\vect{FJ}(0;1;-0,6)$. Ces deux vecteurs sont clairement non colinéaires.
    Par conséquent $\vec{n}.\vect{FI}=1+1,5-2,5=0$ et $\vec{n}.\vect{FJ}=0+3-3=0$.
    Le vecteur $\vec{n}$ est donc orthogonal a deux vecteurs non colinéaires du plan $(FIJ)$. Il est par conséquent normal à ce plan.
    $\quad$
    b. Une équation cartésienne du plan $(FIJ)$ est donc de la forme $-x+3y+5z+d=0$.
    Le point $F(1;0;1)$ appartient à ce plan.
    Donc $-1+5+d=0 \ssi d=-4$.
    Une équation cartésienne du plan $(FIJ)$ est donc $-x+3y+5z-4=0$.
    $\quad$
  2. a. Le vecteur $\vec{n}$ est un vecteur directeur de la droite $d$.
    Une représentation paramétrique de cette droite est donc $\begin{cases} x=1-t\\y=3t\\z=5t\end{cases} \quad t\in\R$.
    $\quad$
    b. Prenons, dans la représentation paramétrique précédente $t=\dfrac{1}{7}$.
    On a alors $\begin{cases} x=1-\dfrac{1}{7}\\y=\dfrac{3}{7}\\z=\dfrac{5}{7}\end{cases}$ soit $\begin{cases} x={6}{7}\\y=\dfrac{3}{7}\\z=\dfrac{5}{7}\end{cases}$
    Le point $M\left(\dfrac{6}{7};\dfrac{3}{7};\dfrac{5}{7}\right)$ appartient donc à la droite $d$.
    $\quad$
    $-\dfrac{6}{7}+3\times \dfrac{3}{7}+5\times \dfrac{5}{7}-4=-\dfrac{6}{7}+\dfrac{9}{7}+\dfrac{25}{7}-\dfrac{28}{7}=0$
    Le point $M\left(\dfrac{6}{7};\dfrac{3}{7};\dfrac{5}{7}\right)$ appartient donc au plan $(FIJ)$.
    $\quad$
    La droite $d$ est par définition orthogonale au plan $(FIJ)$; elle n’est donc pas incluse dans ce celui-ci.
    Le point $M\left(\dfrac{6}{7};\dfrac{3}{7};\dfrac{5}{7}\right)$est donc le point d’intersection de la droite $(d)$ et du plan $(FIJ)$.
    $\quad$
  3. a. On a $\vect{BM}\left(-\dfrac{1}{7};\dfrac{3}{7};\dfrac{5}{7}\right)$ et $\vect{BF}(0;0;1)$.
    Par conséquent $\vect{BM}.\vect{BF}=0+0+\dfrac{5}{7}=\dfrac{5}{7}$.
    $\quad$
    b. On a $BM=\sqrt{\left(-\dfrac{1}{7}\right)^2+\left(\dfrac{3}{7}\right)^2+\left(\dfrac{5}{7}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{5}{7}}$ et $BF=1$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} \vect{BM}.\vect{BF}=\dfrac{5}{7}&\ssi BM\times BF\times \cos \widehat{MBF}=\dfrac{5}{7} \\
    &\ssi \sqrt{\dfrac{5}{7}}\times \cos \widehat{MBF}=\dfrac{5}{7} \\
    &\ssi \cos \widehat{MBF} = \dfrac{\dfrac{5}{7}}{\sqrt{\dfrac{5}{7}}} \\
    &\ssi \cos \widehat{MBF} = \sqrt{\dfrac{5}{7}}\end{align*}$
    Et $\widehat{MBF}\approx 32$°.
    $\quad$

Partie B

  1. D’après l’énoncé la section du cube par le plan $(FIJ)$ est le quadrilatère $FKLJ$.
    Les plans $(FGC)$ et $(EHG)$ sont parallèles. Le plan $(FIJ)$ coupe ces plans selon les droites $(FJ)$ et $(KL)$. Elles sont donc parallèles.
    Les plans $(FEA)$ et $(GHD)$ sont parallèles. Le plan $(FIJ)$ coupe ces plans selon les droites $(FK)$ et $(JL)$. Elles sont donc parallèles.
    Les côtés du quadrilatère $FKLJ$ sont deux à deux parallèles. C’est donc un parallélogramme.
    $\quad$
  2. On a $\vect{FL}\left(-1;1;\dfrac{a}{2}-1\right)$.
    On appelle $N$ le milieu de $[FL]$. Le point $N$ a donc pour coordonnées $\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};\dfrac{1+\dfrac{a}{2}}{2}\right)$.
    Ainsi $\vect{NJ}\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};a-\dfrac{1+\dfrac{a}{2}}{2}\right)$ soit $\vect{NJ}\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};\dfrac{3a-2}{4}\right)$
    $FKLJ$ est un parallélogramme si, et seulement si, ses diagonales sont perpendiculaires.
    $\ssi \vect{NJ}.\vect{FL}=0$
    $\ssi -\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\left(\dfrac{a}{2}-1\right)\left(\dfrac{3a-2}{4}\right)=0$
    $\ssi \left(\dfrac{a}{2}-1\right)\left(\dfrac{3a-2}{4}\right)=0$
    $\ssi \dfrac{a}{2}-1=0$ ou $\dfrac{3a-2}{4}=0$
    $\ssi a=2$ ou $a=\dfrac{2}{3}$
    Or $2\notin [0;1]$ et $\dfrac{2}{3}\in [0;1]$.
    Le quadrilatère $FKLJ$ est un losange si, et seulement si, $a=\dfrac{2}{3}$.
    $\quad$

Ex 4 obl

Exercice 4

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

  1. $25z^2-14z+25=0$
    Le discriminant de cette équation du second degré est $\Delta = (-14)^2-4\times 25\times 25=-2~304<0$
    Les solutions complexes de cette équation sont donc :
    $z_1=\dfrac{14-\ic\sqrt{2~304}}{50}=\dfrac{7-24\ic}{25}$ et $z_2=\conj{z_1}=\dfrac{7+24\ic}{25}$
    $\quad$
  2. On a $\left|z_1\right|=\sqrt{\left(\dfrac{7}{25}\right)^2+\left(\dfrac{24}{25}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{49}{625}+\dfrac{576}{625}}=1$
    Puisque $z_2=\conj{z_1}$ alors $\left|z_2\right|=1$.
    Les solutions de $(E)$ sont donc de module $1$.
    $\quad$
  3. On a donc $z_2=\dfrac{7}{24}+\dfrac{24}{25}\ic=\cos \alpha+\ic \sin \alpha=\e^{\ic \alpha}$
    Ainsi $z_1=\e^{-\ic \alpha}$.
    $\quad$
  4. $\dfrac{7}{24}>0$ donc on ne s’intéresse qu’au point dont l’abscisse est positive.
    De plus $\dfrac{7}{24}<\dfrac{1}{2}$ ce qui exclut les points $B$ et $C$.
    Les points $A$ et $D$ ont par conséquent une affixe solution de l’équation $(E)$.
    $\quad$

Partie B

  1. On appelle $a=\dfrac{1}{2}+\ic\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\e^{\ic \pi /3}$
    Par conséquent $a^{2~019}=\e^{2~019\ic \pi/3}=\e^{673\ic\pi}=-1$ car $673$ est impair.
    Affirmation A fausse
    $\quad$
  2. $z=\dfrac{1}{6}(2+5\ic)$
    Par conséquent $|z|=\dfrac{\sqrt{2^2+5^2}}{6}=\dfrac{\sqrt{29}}{6}$
    Par conséquent la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=|z|^n$ est une suite géométrique de raison $q=\dfrac{\sqrt{29}}{6}$.
    Or $0<q<1$ donc $\lim\limits_{n\to +infty}u_n=0$.
    Affirmation B vraie
    $\quad$
  3. $a\in[-\pi;0]$ donc $\sin (a)<0$.
    Pour tout réel $a$ on a $\cos^2 (a)+\sin^2(a)=1$ donc $\cos^2(a)=1-\sin^2(a)$.
    $\begin{align*} \cos(2a)=\dfrac{7}{25}&\ssi \cos^2(a)-\sin^2(a)=\dfrac{7}{25} \\
    &\ssi 1-\sin^2(a)-\sin^2(a)=\dfrac{7}{25} \\
    &\ssi -2\sin^2(a)=-\dfrac{18}{25} \\
    &\ssi \sin^2(a)=\dfrac{9}{25} \\
    &\ssi \sin(a)=\dfrac{3}{5} \text{ ou } \sin(a)=-\dfrac{3}{5}\end{align*}$
    Puisque $\sin (a)<0$ on a donc $\sin(a)=-\dfrac{3}{5}$.
    Affirmation C vraie
    $\quad$

Ex 4 spé

Exercice 4

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

  1. $a_2=\dfrac{4^{4+1}+1}{5}=205$ et $a_3=\dfrac{4^{6+1}+1}{5}=3~277$.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} a_{n+1}&=\dfrac{4^{2(n+1)}+1}{5}\\
    &=\dfrac{4^{2n+2+1}+1}{5}\\
    &=\dfrac{4^{2n+1}\times 4^2+1}{5} \\
    &=\dfrac{4^{2n+1}\times 16+16-16+1}{5} \\
    &=16\times\dfrac{4^{2n+1}+1}{5}+\dfrac{1-16}{5}\\
    &=16a_n-5\end{align*}$
    $\quad$
  3. Montrons par récurrence sur $n$ que $a_n$ est un entier naturel non nul.
    Initialisation : Si $n=0$ alors $a_0=\dfrac{4^1+1}{5}=1 \in \N$
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $a_n$ est un entier naturel non nul.
    Montrons qu’elle est vraie au rang suivant, c’est-à-dire que $a_{n+1}$ est un entier naturel non nul.
    $16a_n$ est un entier naturel non nul donc $16a_n-3$ est un entier relatif.
    Or $a_n \pg 1 \ssi 16a_n\pg 16 \ssi 16a_n-3\pg 13$.
    Ainsi $a_{n+1}=16a_n-3$ est un entier naturel non nul.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, $a_n$ est un entier naturel non nul.
    $\quad$
  4. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $a_{n+1}=16a_n-3 \ssi a_{n+1}-16a_n=-3$.
    Par conséquent $d_n$ divise $-3$.
    Donc $d_n$ est égal à $1$ ou $3$.
    $\quad$
    b. $16 \equiv 1~~[3]$ et $-3\equiv 0~~[3]$
    Donc $a_{n+1}\equiv 16a_n-3~~[3]$
    Soit $a_{n+1}\equiv a_n~~[3]$
    $\quad$
    c. $a_0=1$ donc $a_0\equiv 1~~[3]$.
    $a_0$ n’est donc pas divisible par $3$. Par conséquent $d_0$ ne peut pas être égal à $3$.
    Pour tout entier naturel $n$ on a donc $a_n\equiv 1~~[3]$.
    Par conséquent $a_n$ n’est pas divisible par $3$.
    $\quad$
    d. Cela signifie donc que pour tout entier naturel $n$ on a $d_n=1$ et donc que les nombres $a_n$ et $a_{n+1}$ sont premiers entre eux.
    $\quad$
  5. a. Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égale à $2$ on a $5a_n=b_nc_n$.
    D’après le théorème de Gauss, $5$ divise donc $b_n$ ou $c_n$.
    $\quad$
    b. On considère un entier naturel $n$ supérieur supérieur ou égal à $2$
    $2^n-1 \pg 2^2-1$ soit $2^n-1 \pg 3$
    Donc $2^{n+1}\left(2^n-1\right)\pg 2^3\times 3$ soit $2^{n+1}\left(2^n-1\right) \pg 24$
    Par conséquent $b_n\pg 25 >5$
    $\quad$
    $2^n+1 \pg 2^2+1$ soit $2^n+1 \pg 5$
    Donc $2^{n+1}\left(2^n+1\right)\pg 2^3\times 5$ soit $2^{n+1}\left(2^n-1\right) \pg 40$
    Par conséquent $c_n\pg 41 >5$
    $\quad$
    c. Si $5$ divise $b_n$ il existe alors, d’après la question précédente, un entier naturel $k_n$ supérieur ou égal à $2$ tel que $b_n=5k_n$.
    On a alors $5a_n=5k_nc_n$ soit $a_n=k_nc_n$
    D’après le théorème de Gauss, le nombre $k_n$ divise donc $a_n$.
    Or $k_n \pg 2$ donc $a_n$ n’est pas un nombre premier.
    $\quad$
    Si $5$ divise $c_n$ il existe alors, d’après la question précédente, un entier naturel $k_n$ supérieur ou égal à $2$ tel que $c_n=5k_n$.
    On a alors $5a_n=5k_nb_n$ soit $a_n=k_nb_n$
    D’après le théorème de Gauss, le nombre $k_n$ divise donc $a_n$.
    Or $k_n \pg 2$ donc $a_n$ n’est pas un nombre premier.
    $\quad$

 

Énoncé

Exercice 1     5 points

Une entreprise est spécialisée dans la vente de carrelage.

Les parties A, B et C sont indépendantes.

Partie A

On suppose dans cette partie que l’entreprise vend des lots de carrelage contenant $25\%$ de carreaux avec motif et $75\%$ de carreaux blancs.
Lors d’un contrôle qualité on observe que:

  • $2,25 \%$ des carreaux sont fissurés ;
  • $6\%$ des carreaux avec motif sont fissurés.

On prélève au hasard un carreau.
On note $M$ l’évènement « le carreau a un motif » et $F$ l’évènement « le carreau est fissuré ».

  1. Traduire la situation par un arbre pondéré.
    $\quad$
  2. On sait que le carreau prélevé est fissuré.
    Démontrer que la probabilité qu’il s’agisse d’un carreau avec motif est $\dfrac{2}{3}$.
    $\quad$
  3. Calculer $P_{\conj{M}}(F)$, probabilité de $F$ sachant $\conj{M}$.
    $\quad$

Partie B

On modélise l’épaisseur en millimètre d’un carreau pris au hasard par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale d’espérance $\mu = 11$ et d’écart type $\sigma$.
Un carreau est commercialisable si son épaisseur mesure entre $10,1$ mm et $11,9$ mm.
On sait que $99\%$ des carreaux sont commercialisables.

  1. Démontrer que $P(X < 10,1) = 0,005$.
    $\quad$
  2. On introduit la variable aléatoire $Z$ telle que $$Z = \dfrac{X-11}{\sigma}$$
    a. Donner la loi suivie par la variable aléatoire $Z$.
    $\quad$
    b. Démontrer que $P\left(Z \pp-\dfrac{0,9}{\sigma}\right) = 0,005$.
    $\quad$
    c. En déduire la valeur de $\sigma$ arrondie au centième.
    $\quad$

Partie C

On considère la fonction $f$ définie sur $[0;2\pi]$ par $$f(x) = -1,5 \cos(x) + 1,5$$

On admet que la fonction $f$ est continue sur $[0;2\pi]$.
On note $\mathscr{C}_1$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé.

 

  1. Démontrer que la fonction $f$ est positive sur $[0;2\pi]$.
    $\quad$
  2. Sur la figure ci-dessus, la courbe tracée en tiretés, notée $\mathscr{C}_2$, est la courbe symétrique de $\mathscr{C}_1$ par rapport à l’axe des abscisses.
    La forme d’un carreau est celle de la zone délimitée par les courbes $\mathscr{C}_1$ et $\mathscr{C}_2$.
    On note $\mathscr{A}$ son aire, exprimée en unité d’aire.
    Calculer $\mathscr{A}$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2      5 points

On considère la fonction $f$ définie sur $[0; +\infty[$ par $$f(x) = \ln \left(\dfrac{3x+ 1}{x + 1}\right)$$

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $[0; +\infty[$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.
On note $\mathscr{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal.

 

 

 

  1. Déterminer $\ds\lim_{x \to + \infty}f(x)$ et en donner une interprétation graphique.
    $\quad$
  2. a. Démontrer que, pour tout nombre réel $x$ positif ou nul, $$f'(x) = \dfrac{2}{(x + 1)(3x + 1)}$$
    $\quad$
    b. En déduire que la fonction $f$ est strictement croissante sur $[0; +\infty[$.
    $\quad$

Partie B

Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $$u_0 = 3\quad \text{et, pour tout entier naturel }n,~~ u_{n+1} = f\left(u_n\right)$$

  1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $\dfrac{1}{2} \pp u_{n+1} \pp u_n$.
    $\quad$
  2. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ converge vers une limite strictement positive.
    $\quad$

Partie C

On note $\ell$ la limite de la suite $\left(u_n\right)$. On admet que $f(\ell) = \ell$.

L’objectif de cette partie est de déterminer une valeur approchée de $\ell$.
On introduit pour cela la fonction $g$ définie sur $[0; +\infty[$ par $g(x) = f(x)-x$.

On donne ci-dessous le tableau de variations de la fonction $g$ sur $[0;+\infty[$ où $x_0 = \dfrac{-2+ \sqrt{7}}{3} \approx 0,215$ et $g\left(x_0\right) \approx 0,088$, en arrondissant à $10^{-3}$.

  1. Démontrer que l’équation $g(x) = 0$ admet une unique solution strictement positive. On la note $\alpha$.
    $\quad$
  2. a. Recopier et compléter l’algorithme ci-dessous afin que la dernière valeur prise par la variable $x$ soit une valeur approchée de $\alpha$ par excès à $0,01$ près.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    x \gets 0,22\\
    \text{Tant que }\ldots \ldots \ldots \text{ faire}\\
    \hspace{1.cm}x \gets x + 0,01\\
    \text{Fin de Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. Donner alors la dernière valeur prise par la variable $x$ lors de l’exécution de l’algorithme.
    $\quad$
  3. En déduire une valeur approchée à 0,01 près de la limite $\ell$ de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     5 points

Soit $ABCDEFGH$ un cube et I le centre du carré $ADHE$, c’est-à-dire, le milieu du segment $[AH]$ et du segment $[ED]$. Soit $J$ un point du segment $[CG]$.
La section du cube $ABCDEFGH$ par le plan $(FIJ)$ est le quadrilatère $FKLJ$.

 

On se place dans le repère orthonormé $\left(\text{A}; \vect{AB},\vect{AD},\vect{AE}\right)$.
On a donc $A(0;0;0)$, $B(1;0;0)$, $D(0;1;0)$ et $E(0;0;1)$.

Les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante.

Partie A

Dans cette partie, le point $J$ a pour coordonnées $\left(1;1;\dfrac{2}{5}\right)$

  1. Démontrer que les coordonnées du point I sont $\left(0;\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}\right)$.
    $\quad$
  2. a. Démontrer que le vecteur $\vect{n}\begin{pmatrix}-1\\3\\5\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(FIJ)$.
    $\quad$
    b. Démontrer qu’une équation cartésienne du plan $(FIJ)$ est $$-x + 3y + 5z-4 = 0$$
    $\quad$
  3. Soit $d$ la droite orthogonale au plan $(FIJ)$ et passant par $B$.
    a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$.
    $\quad$
    b. On note $M$ le point d’intersection de la droite $d$ et du plan $(FIJ)$.
    Démontrer que M $\left(\dfrac{6}{7};\dfrac{3}{7};\dfrac{5}{7}\right)$.
    $\quad$
    $\quad$
    4. a. Calculer $\vect{BM} . \vect{BF}$.
    $\quad$
    b. En déduire une valeur approchée au degré près de l’angle $\widehat{MBF}$.
    $\quad$

Partie B

Dans cette partie, $J$ est un point quelconque du segment $[CG]$.
Ses coordonnées sont donc $(1;1; a)$, où $a$ est un réel de l’intervalle $[0;1]$.

  1. Montrer que la section du cube par le plan $(FIJ)$ est un parallélogramme.
    $\quad$
  2. On admet alors que $L$ a pour coordonnées $\left(0; 1;\dfrac{a}{2}\right)$.
    Pour quelle(s) valeur(s) de $a$ le quadrilatère $FKLJ$ est-il un losange ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

On considère l’équation $(E)$ : $$25z^2-14z + 25 = 0$$

  1. Résoudre dans $\C$ l’équation $(E)$. On écrira les solutions sous forme algébrique.
    $\quad$
  2. Démontrer que les solutions de $(E)$ sont de module $1$.
    $\quad$
  3. On note $\alpha$ le réel de l’intervalle $\left]0;\dfrac{\pi}{2}\right[$ tel que $$\cos \alpha = \dfrac{7}{25} \quad \text{ et }\quad \sin \alpha = \dfrac{24}{25}$$
    Écrire les solutions de $(E)$ sous forme exponentielle en fonction de $\alpha$.
  4. La figure ci-dessous fait apparaître huit points du cercle unité. Deux de ces huit points ont une affixe solution de l’équation $(E)$. Lesquels ?

$\quad$

Partie B

Pour chacune des trois affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse.
Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Une absence de réponse n’est pas pénalisée.

  1. Affirmation A : $$\left(\dfrac{1}{2} + \ic\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)^{2~019} = 1$$
    $\quad$
  2. Soit $z$ le nombre complexe $\dfrac{1}{6}(2 + 5\ic)$.
    Affirmation B : $$\ds\lim_{n \to + \infty} |z|^n = 0$$
    $\quad$
  3. On rappelle que, pour tout nombre réel $x$, $$\cos(2x) = \cos^2 (x)-\sin^2 (x)$$
    Affirmation C : Pour tout nombre réel $a$ de $[-\pi; 0]$ tel que $\cos (2a) = \dfrac{7}{25}$, on a $\sin (a) = -\dfrac{3}{5}$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

On considère la suite $\left(a_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $$a_n = \dfrac{4^{2n+1} +1}{5}$$

  1. Calculer $a_2$ et $a_3$.
    $\quad$
  2. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $a_{n+1} = 16a_n – 3$.
    $\quad$
  3. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $a_n$ est un nombre entier naturel.
    $\quad$
  4. Dans cette question on utilise l’égalité de la question 2. afin de démontrer plusieurs propriétés des termes de la suite $\left(a_n\right)$.
    a. Pour tout entier naturel $n$, on note $d_n$ le plus grand diviseur commun de $a_n$ et $a_{n+1}$.
    Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $d_n$ est égal à $1$ ou à $3$.
    $\quad$
    b. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $a_{n+1} \equiv a_n~~[3]$.
    $\quad$
    c. Vérifier que $a_0 \equiv 1~~[3]$.
    En déduire que, pour tout entier naturel $n$, le nombre $a_n$ n’est pas divisible par $3$.
    $\quad$
    d. Démontrer alors que, pour tout entier naturel $n$, $a_n$ et $a_{n+1}$ sont premiers entre eux.
    $\quad$
  5. L’objectif de cette question est de démontrer que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $2$, le nombre $a_n$ n’est pas premier.
    On pose, pour tout entier naturel $n$, $$b_n = 2^{n+1}\left(2^n-1\right) +1\quad \text{et}\quad c_n = 2^{n+1}\left(2^n + 1\right) +1.$$
    On admet que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $2$, $$5a_n = b_nc_n$$
    a. Démontrer que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $2$, $$5\text{ divise } b_n \quad \text{ou} \quad 5 \text{ divise } c_n$$
    $\quad$
    b. Soit $n$ un entier supérieur ou égal à $2$. Démontrer que $b_n > 5$ et $c_n > 5$.
    $\quad$
    c. En déduire que $a_n$ n’est pas un nombre premier.
    $\quad$

 

Bac S – Amérique du Sud – Novembre 2019

Amérique du Sud – Novembre 2019

Bac S – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici .

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. On a $E(T)=\dfrac{1}{\lambda}\approx 18$.
    La durée de vie moyenne d’un chronomètre est d’environ $18$ mois.
    $\quad$
  2. On veut calculer :
    $P(12 \pp T\pp 24)=\e^{-12\times \lambda}-\e^{-24\times \lambda} \approx 0,250$.
    La probabilité qu’un chronomètre ait une durée de vie comprise entre un et deux ans est environ égale à $0,250$.
    $\quad$
  3. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_{T\pg 24}(T\pg 36)&= P_{T\pg 24}(T\pg 24+12) \\
    &=P(T\pg 12) \qquad (*)\\
    &=\e^{-12\lambda}\\
    &\approx 0,514\end{align*}$
    $(*)$ car la loi exponentielle est à durée de vie sans vieillissement.
    Sachant que l’entraîneur n’a pas changé son chronomètre depuis deux ans, la probabilité qu’il soit encore en état de fonctionner au moins un an de plus est environ égale à $0,514$.
    $\quad$

Partie B

  1. a. On a donc $p(A)=0,4$ et $p_A(D)=0,03$.
    Par conséquent $P(A\cap D)=0,4\times 0,03=0,012$.
    La probabilité que le roulement provienne du fournisseur A et soit défectueux est égale à $0,012$.
    $\quad$
    b. On a $p(B)=1-0,4=0,6$ et $p_B(D)=0,05$.
    Par conséquent $p(B\cap D)=0,6\times 0,05=0,03$.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(D)&=p(A\cap D)+p(B\cap D) \\
    &=0,012+0,03\\
    &=0,042\end{align*}$
    Ainsi :
    $\begin{align*} p_D(B)&=\dfrac{p(B\cap D)}{p(D)} \\
    &=\dfrac{0,03}{0,042} \\
    &\approx 0,714\end{align*}$
    La probabilité que le roulement provienne du fournisseur B sachant qu’il est défectueux est environ égale à $0,714$.
    $\quad$
  2. On note $p(A)=x$ donc $p(B)=1-x$.
    D’après la formule des probabilités totales on a donc :
    $\begin{align*} p(D)&=p(A\cap D)+p(B\cap D) \\
    &=0,03x+0,05(1-x) \\
    &=0,05-0,02x\end{align*}$
    On veut donc résoudre l’inéquation :
    $\begin{align*} p(D)\pp 0,035 &\ssi 0,05-0,02x \pp 0,035 \\
    &\ssi -0,02x \pp -0,015 \\
    &\ssi x \pg 0,75\end{align*}$
    La proportion de roulements commandés au fournisseur A doit donc au être égale à $0,75$ pour que moins de $3,5\%$ des roulements soient défectueux.
    $\quad$

Partie C

  1. On veut calculer $P(7,8 \pp X \pp 8,2) \approx 0,954$.
    On pouvait remarquer que $P(7,8 \pp X \pp 8,2)=P(\mu-2\sigma\pp X \pp \mu+2\sigma)$.
    La probabilité qu’un roulement soit conforme est environ égale à $0,954$.
    $\quad$
  2. On a $n=30\times 16=480\pg 30$, $np=24 \pg 5$ et $n(1-p)=456\pg 5$.
    Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de la proportion de roulements non conforme est donc :
    $\begin{align*} I_{480}&=\left[0,05-1,96\sqrt{\dfrac{0,05\times 0,95}{480}};0,05+1,96\sqrt{\dfrac{0,05\times 0,95}{480}}\right] \\
    &\approx [0,030;0,070]\end{align*}$
    La fréquence observée est $f=\dfrac{38}{480}\approx 0,079 \notin I_{480}$
    Ce contrôle remet donc en cause, au risque de $5\%$, l’affirmation du fournisseur B.
    $\quad$
  3. a. La variable aléatoire $Z=\dfrac{X-8}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.
    $\quad$
    b. On a donc :
    $\begin{align*} P(7,8 \pp X\pp 8,2)=0,96 &\ssi P(-0,2\pp X-8 \pp 0,2)=0,96 \\
    &\ssi P\left(-\dfrac{0,2}{\sigma} \pp \dfrac{X-8}{\sigma} \pp \dfrac{0,2}{\sigma}\right)=0,96\\
    &\ssi P\left(-\dfrac{0,2}{\sigma} \pp Z \pp \dfrac{0,2}{\sigma}\right)=0,96\\
    &\ssi 2P\left(Z\pp \dfrac{0,2}{\sigma}\right)-1=0,96 \\
    &\ssi 2P\left(Z\pp \dfrac{0,2}{\sigma}\right)=1,96 \\
    &\ssi P\left(Z\pp \dfrac{0,2}{\sigma}\right)=0,98 \end{align*}$
    À l’aide de la fonction Inverse loi normale de la calculatrice on trouve $\dfrac{0,2}{\sigma} \approx 2,054$.
    Par conséquent $\sigma \approx 0,097$.
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

  1. a. $f(0)=3\times 0\e^0+2=2$.
    À l’instant $t=0$ le taux de vasopressine dans le sang est de $2$ µg/mL.
    $\quad$
    b. $12$ s $= 0,2$ min
    $f(0,2)=3\times 0,2\e^{-0,2/4}+2 \approx 2,57 > 2,5$.
    Douze secondes après une hémorragie, le taux de vasopressine dans le sang n’est pas normal.
    $\quad$
    c. Pour tout réel $t$ positif ou nul on a :
    $\begin{align*} f(t)&=3t\e^{-t/4}+2 \\
    &=\dfrac{3t}{\e^{t/4}}+2 \\
    &=\dfrac{12\dfrac{t}{4}}{\e^{t/4}}+2 \\
    &=12\times \dfrac{1}{~~\dfrac{\e^{t/4}~~}{\dfrac{t}{4}}}+2\end{align*}$
    Or $\lim\limits_{t\to +\infty} \dfrac{t}{4}=+\infty$ et $\lim\limits_{X\to +\infty}\dfrac{\e^X}{X}=+\infty$
    Par conséquent $\lim\limits{t \to +\infty}\dfrac{\e^{t/4}}{\dfrac{t}{4}}=+\infty$ et $\lim\limits_{t\to +\infty} \dfrac{1}{~~\dfrac{\e^{t/4}~~}{\dfrac{t}{4}}}=0$
    Ainsi $\lim\limits_{t\to +\infty} f(t)=2$.
    Sur le long terme le taux de vasopressine dans le sang sera donc de $2$ µg/mL.
    $\quad$
  2. Pour tout réel $t$ positif on a :
    $\begin{align*} f'(t)&=3\e^{-t/4}+3t\times \left(-\dfrac{1}{4}\right)\e^{-t/4} \\
    &=\left(3-\dfrac{3t}{4}\right)\e^{-t/4} \\
    &=\dfrac{3}{4}(4-t)\e^{-t/4}\end{align*}$
    $\quad$
  3. a. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $f'(t)$ ne dépend donc que de celui de $4-t$.
    Or $4-t=0 \ssi t=4$ et $4-t>0 \ssi t<4$.
    On obtient donc le tableau de variations suivant :
    $\quad$
    b. La fonction $f$ atteint son maximum pour $t=4$.
    Le taux de vasopressine dans le sang est donc maximal au bout de $4$ minutes.
    $f(4)=\dfrac{12}{\e}+2 \approx 6,41$.
    Ce taux est alors d’environ $6,41$ µg/mL.
    $\quad$
  4. a. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur l’intervalle $[0;4]$.
    De plus $f(0)=2<2,5$ et $f(4) > 2,5$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=2,5$ admet une unique solution $t_0$ sur l’intervalle $[0;4]$.
    D’après la calculatrice, on a $t_0\approx 0,174$.
    $\quad$
    b. Le taux de vasopressine reste supérieur à $2,5$ µg/mL dans le sang chez une personne victime d’une hémorragie pendant $t_1-t_0 \approx 18,756$ minutes.
    $\quad$
  5. a. La fonction $F$ est dérivable sur l’intervalle $[0;+\infty[$ en tant que somme, produit et composée de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $t$ positif on a :
    $\begin{align*} F'(t)&=-12\e^{-t/4}-12(t+4)\times \left(-\dfrac{1}{4}\right)\e^{-t/4}+2 \\
    &=\left(-12+\dfrac{12(t+4)}{4}\right)\e^{-t/4}+2 \\
    &=(-12+3t+12)\e^{-t/4}+2\\
    &=3t\e^{-t/4}+2\\
    &=f(t)\end{align*}$
    Par conséquent $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    $\quad$
    Ainsi :
    $\ds \begin{align*} \int_{t_0}^{t_1}f(t)\dt&=F\left(t_1\right)-F\left(t_0\right) \\
    &\approx 83\end{align*}$
    $\quad$
    b. Le taux moyen de vasopressine lors d’un accident hémorragique durant la période où ce taux est supérieur à $2,5$ µg/ml est :
    $m=\ds \dfrac{\int_{t_0}^{t_1}f(t)\dt}{t_1-t_0} \approx 4,4$.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

  1. D’une part:
    $\begin{align*} \vect{MI}&=\vect{MB}+\vect{BI} \\
    &=\dfrac{1}{2}\vect{FB}+\dfrac{1}{2}\vect{BC} \\
    &=\dfrac{1}{2}\left(\vect{FB}+\vect{BC}\right) \\
    &=\dfrac{1}{2}\vect{FC}\end{align*}$
    D’autre part :
    $\begin{align*} \vect{IN}&=\vect{IC}+\vect{CN} \\
    &=\dfrac{1}{2}\vect{BC}+\dfrac{1}{2}\vect{GC} \\
    &=\dfrac{1}{2}\left(\vect{BC}+\vect{GC}\right) \\
    &=\dfrac{1}{2}\left(\vect{BC}+\vect{FB}\right) \\
    &=\dfrac{1}{2}\vect{FC} \\
    &=\vect{MI}\end{align*}$
    Ainsi $I$ est le milieu de $[MN]$ et de $[BC]$.
    La droite $(MN)$ coupe le segment $[BC]$ en son milieu $I$.
    Autre méthode :
    On a $\vect{CN}=\dfrac{1}{2}\vect{GC}=\dfrac{1}{2}\vect{FB}=\vect{MB}$
    Ainsi le quadrilatère $MBNC$ est un parallélogramme. Ses diagonales se coupent donc en leur milieu.
    La droite $(MN)$ coupe le segment $[BC]$ en son milieu $I$.
    $\quad$
  2. On obtient la figure suivante :

    On trace la droite parallèle à la droite $(MI)$ passant par $P$.
    $\quad$

Partie B

  1. On a $M(1;0;0,5)$, $N(1;1;-0,5)$ et $P(0;0,5;0,5)$
    Ainsi $\vect{MN}(0;1;-1)$ et $\vect{MP}(-1;0,5;0)$
    Ces deux vecteurs ne sont clairement pas colinéaires.
    De plus $\vec{n}.\vect{MN}=0+2-2=0$ et $\vec{n}.\vect{MP}=-1+1+0=0$.
    Le vecteur $\vec{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(MNP)$.
    Par conséquent $\vec{n}$ est un vecteur normal au plan $(MNP)$.
    $\quad$
    Une équation cartésienne du plan $(MNP)$ est donc de la forme $x+2y+2z+d=0$.
    Or $M(1;0;0,5)$ appartient au plan $(MNP)$.
    Donc $1+0+1+d=0 \ssi d=-2$.
    Une équation cartésienne du plan $(MNP)$ est donc $x+2y+2z-2=0$.
    $\quad$
  2. On a $G(1;1;1)$.
    $\vec{n}$ est un vecteur directeur de la droite $d$.
    Un système d’équations paramétriques de la droite $(d)$ est donc $\begin{cases}x=1+t\\y=1+2t\\z=1+2t\end{cases} ,\qquad t\in \R$.
    $\quad$
  3. Si $t=-\dfrac{1}{3}$ dans le système précédent on obtient les coordonnées suivantes $\begin{cases} x=\dfrac{2}{3}\\y=\dfrac{1}{3}\\z=\dfrac{1}{3}\end{cases}$. Donc $K$ appartient à la droite $d$.
    De plus $\dfrac{2}{3}+2\times \dfrac{1}{3}+2\times \dfrac{1}{3}-2=2-2=0$ et le point $K$ appartient au plan $(MNP)$.
    La droite $d$ n’est pas incluse, par définition, dans le plan $(MNP)$.
    Par conséquent le point d’intersection de la droite $d$ et du plan $(MNP)$ est le point $K$ de coordonnées $\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3}\right)$.
    $\quad$
    On a $\vect{GK}\left(\dfrac{2}{3}-1;\dfrac{1}{3}-1;\dfrac{1}{3}-1\right)$ soit $\vect{GK}\left(-\dfrac{1}{3};-\dfrac{2}{3};-\dfrac{2}{3}\right)$.
    $\begin{align*} GK&=\sqrt{\left(-\dfrac{1}{3}\right)^2+\left(-\dfrac{2}{3}\right)^2+\left(-\dfrac{2}{3}\right)^2} \\
    &=\sqrt{\dfrac{1}{9}+\dfrac{4}{9}+\dfrac{4}{9}}\\
    &=1\end{align*}$
    $\quad$
  4. $(GK)$ est la hauteur issue du point $G$ de la pyramide $GMEDI$.
    Ainsi, le volume de cette pyramide est :
    $\begin{align*} \mathscr{V}&=\dfrac{GK\times \dfrac{9}{8}}{3} \\
    &=\dfrac{1\times \dfrac{9}{8}}{3} \\
    &=\dfrac{3}{8}\end{align*}$
    $\quad$

 

Ex 4 obl

Exercice 4

Partie A

  1. $u_1=3-\dfrac{10}{5+4}=\dfrac{17}{9}$
    $u_2=3-\dfrac{10}{\dfrac{17}{9}+4}=\dfrac{69}{53}$
    $\quad$
  2. Initialisation : $u_0=5 \pg 1$.
    La propriété est donc vraie au rang $1$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$. Donc $u_n \pg 1$.
    Montrons qu’elle est encore vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $u_{n+1} \pg 1$.
    $\begin{align*} u_{n} \pg 1 &\ssi u_n+4 \pg 5 \\
    &\ssi 0<\dfrac{1}{u_n+4}\pp \dfrac{1}{5} \\
    &\ssi 0<\dfrac{10}{u_n+4} \pp 2 \\
    &\ssi 0> -\dfrac{10}{u_n+4} \pg -2 \\
    &\ssi 3>3-\dfrac{10}{u_n+4} \pg 1 \\
    &\ssi 3>u_{n+1} \pg 1\end{align*}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : la propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n\pg 1$.
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=3-\dfrac{10}{u_n+4}-u_n \\
    &=\dfrac{3\left(u_n+4\right)}{u_n+4}-\dfrac{10}{u_n+4}-\dfrac{u_n\left(u_n+4\right)}{u_n+4} \\
    &=\dfrac{3u_n+12-10-{u_n}^2-4u_n}{u_n+4} \\
    &=\dfrac{-{u_n}^2-u_n+2}{u_n+4}\end{align*}$
    Or $\left(1-u_n\right)\left(u_n+2\right)=u_n+2-{u_n}^2-2u_n=-{u_n}^2-u_n+2$.
    Par conséquent $u_{n+1}-u_n=\dfrac{\left(1-u_n\right)\left(u_n+2\right)}{u_n+4}$.
    $\quad$
  4. D’après la question A.2. on a $u_n\pg 1$
    Donc $1-u_n\pp 0$, $u_n+2 \pg 3>0$ et $u_n+4 \pg 5>0$.
    Ainsi $u_{n+1}-u_n \pp 0$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc décroissante.
    $\quad$
  5. La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et minorée par $1$. Elle est donc convergente.
    $\quad$

Partie B

  1. a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} v_{n+1}&=\dfrac{u_{n+1}-1}{u_{n+1}+2} \\
    &=\dfrac{3-\dfrac{10}{u_n+4}-1}{3-\dfrac{10}{u_n+4}+2} \\
    &=\dfrac{2-\dfrac{10}{u_n+4}}{5-\dfrac{10}{u_n+4}} \\
    &=\dfrac{~~\dfrac{2\left(u_n+4\right)-10}{u_n+4}~~}{\dfrac{5\left(u_n+4\right)-10}{u_n+4}} \\
    &=\dfrac{2u_n+8-10}{5u_n+20-10} \\
    &=\dfrac{2u_n-2}{5u_n+10}\\
    &=\dfrac{2\left(u_n-1\right)}{5\left(u_n+2\right)} \\
    &=\dfrac{2}{5}\times \dfrac{u_n-1}{u_n+2} \\
    &=\dfrac{2}{5}v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $\dfrac{2}{5}$ et de premier terme $v_0=\dfrac{u_0-1}{u_0+2}=\dfrac{4}{7}$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $v_n=\dfrac{2}{3}\times \left(\dfrac{2}{5}\right)^n$.
    On a $-1<\dfrac{2}{5}<1$ et $v_0>0$ : la suite $\left(v_n\right)$ est donc décroissante.
    Pour tout entier naturel $n$, on a ainsi $v_n \pp v_0$ soit $v_n \pp \dfrac{2}{3}<1$.
    Donc $v_n \neq 1$.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} v_n=\dfrac{u_n-1}{u_n+2}&\ssi v_n\left(u_n+2\right)=u_n-1 \\
    &\ssi v_n\times u_n+2v_n=u_n-1 \\
    &\ssi v_n\times u_n-u_n=-1-2v_n \\
    &\ssi u_n\left(v_n-1\right)=-1-2v_n \\
    &\ssi u_n=\dfrac{-1-2v_n}{v_n-1} \quad \text{ car } v_n \neq 1\\
    &\ssi u_n=\dfrac{2v_n+1}{1-v_n}\end{align*}$
    $\quad$
  3. On a $-1<\dfrac{2}{5}<1$. Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n=0$
    Donc $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=\dfrac{0+1}{1-0}=1$.
    $\quad$

Partie C

  1. Voici les différentes valeurs prises par les variables $u$, arrondie à $10^{-3}$ et $n$.
    $\begin{array}{|c|c|}
    \hline
    n& un \\
    \hline
    0& 5\\
    \hline
    1& 1,889\\
    \hline
    2& 1,302\\
    \hline
    3& 1,114\\
    \hline
    4& 1,04\\
    \hline
    5& 1,018\\
    \hline
    6& 1,008\\
    \hline
    \end{array}$
    Donc, après l’exécution de cet algorithme, la variable $n$ contient la valeur $6$.
    $\quad$
  2. Cela signifie donc qu’à partir du rang $6$ on a $u_n < 1,01$.
    $\quad$

 

Ex 4 spé

Exercice 4

Partie A

  1. Si $m$ est le PGCD de $a$ et $b$ alors il divise également $a-b$ et $b$.
    Réciproquement, si $m$ est le PGCD de $a-b$ et $b$ alors c’est également un diviseur de $(a-b)+b$ et $b$ c’est-à-dire de $a$ et $b$.
    Par conséquent PGCD$(a,b)=$PGCD$(a-b,b)$.
    $\quad$
  2. On a $4^3-1=63$ et $4^2-1=15$
    Ainsi
    PGCD$(63,15)=$PGCD$(48,15)=$PGCD$(33,15)$
    $=$PGCD$(18,15)=$PGCD$(3,15)=3$
    $\quad$
  3. On obtient l’algorithme suivant :
    $\begin{array}{|l|}
    \hline
    A\leftarrow 4^3-1\\
    B\leftarrow 4^2-1\\
    \text{Tant que } A\neq B :\\
    \hspace{1cm} \text{Si $A>B$, alors } :\\
    \hspace{2cm} A\leftarrow A-B\\
    \hspace{1cm} \text{Sinon}:\\
    \hspace{2cm} B\leftarrow B-A\\
    \hspace{1cm} \text{Fin Si}\\
    \text{Fin Tant que} \\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$

Partie B

  1. On a $V_{n+1}=\begin{pmatrix}u_{n+2}\\u_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5u_{n+1}-4u_n\\u_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&-4\\1&0\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}u_{n+1}\\u_n\end{pmatrix}$
    Donc en notant $A=\begin{pmatrix}5&-4\\1&0\end{pmatrix}$ on a $V_{n+1}=AV_n$.
    $\quad$
  2. a. On a $1\times 1-4\times 1=-3\neq 0$
    La matrice $P$ est donc inversible.
    Et $P^{-1}=-\dfrac{1}{3}\begin{pmatrix}1&-4\\-1&1\end{pmatrix}$
    $\quad$
    b. On a :
    $P^{-1}A=-\dfrac{1}{3}\begin{pmatrix}1&-4\\-4&4\end{pmatrix}$
    Donc $P^{-1}AP=\begin{pmatrix}1&0\\0&4\end{pmatrix}$
    $\quad$
  3. Initialisation : On a $P^{-1}AP=D$ donc $A=PDP^{-1}$
    La propriété est vraie au rang $1$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$. On a donc $A^n=PD^nP^{-1}$.
    Montrons que la propriété est vraie au rang $n+1$, c’est-çà-dire que $A^{n+1}=PD^{n+1}P^{-1}$.
    $\begin{align*} A^{n+1}&=A\times A^n\\
    &=PDP^{-1}PD^nP^{-1} \\
    &=PDD^nP^{-1}\\
    &=PD^{n+1}P^{-1}\end{align*}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $A^n=PD^nP^{-1}$.
    $\quad$
  4. Pour tout entier naturel $n$ non nul on a :
    $PD^n=\begin{pmatrix}1&4^{n+1}\\1&4^n\end{pmatrix}$
    Par conséquent :
    $A^n=PD^nP^{-1}=-\dfrac{1}{3}\begin{pmatrix}1-4^{n+1}&-4+4^{n+1}\\1-4^n&-4+4^n\end{pmatrix}$.
    $\quad$
  5. On a $V_0=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$.
    Pour tout entier naturel $n$ non nul,
    $V_n=A^nV_0=-\dfrac{1}{3}\begin{pmatrix}1-4^{n+1}\\1-4^n\end{pmatrix}$
    Par conséquent $u_n=\dfrac{4^n-1}{3}=-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}\times 4^n$.
    $\quad$
  6. a. Pour tout entier naturel $n$, on a :
    $\begin{align*}4u_n+1&=-\dfrac{4}{3}+\dfrac{1}{3}\times 4^{n+1}+1 \\
    &=-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}\times 4^{n+1} \\
    &=-u_{n+1}\end{align*}$
    $\quad$b. Pour tout entier naturel $n$, on a :
    PGCD$\left(u_{n+1},u_n\right)=$PGCD$\left(4u_n+1,u_n\right)=$PGCD$\left(3u_n+1,u_n\right)$
    $=$PGCD$\left(2u_n+1,u_n\right)=$PGCD$\left(u_n+1,u_n\right)=$PGCD$\left(1,u_n\right)=1$
    $\quad$
    c. Pour tout entier naturel $n$, on a :
    PGCD$\left(4^{n+1}-1,4^n-1\right)=3\times$PGCD$\left(u_{n+1},u_n\right)=3$.
    $\quad$

 

 

 

Énoncé

Exercice 1     6 points

Les parties A, B et C peuvent être traitées de façon indépendante.
Dans tout l’exercice, les résultats seront arrondis à $10^{-3}$.

Le roller de vitesse est un sport qui consiste à parcourir une certaine distance le plus rapidement possible en rollers. Dans le but de faire des économies, un club de roller de vitesse s’intéresse à la gestion de ses chronomètres et des roulements de ses rollers.

Partie A :

On note $T$ la variable aléatoire égale à la durée de vie, en mois, d’un chronomètre et on admet qu’elle suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda= 0,055~5$.

  1. Calculer la durée de vie moyenne d’un chronomètre (arrondie à l’unité).
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité qu’un chronomètre ait une durée de vie comprise entre un et deux ans.
    $\quad$
  3. Un entraîneur n’a pas changé son chronomètre depuis deux ans. Quelle est la probabilité qu’il soit encore en état de fonctionner au moins un an de plus ?
    $\quad$

Partie B :

Ce club fait des commandes groupées de roulements pour ses adhérents auprès de deux fournisseurs A et B.

  • Le fournisseur A propose des tarifs plus élevés mais les roulements qu’il vend sont sans défaut avec une probabilité de $0,97$.
  • Le fournisseur B propose des tarifs plus avantageux mais ses roulements sont défectueux avec une probabilité de $0,05$.

On choisit au hasard un roulement dans le stock du club et on considère les évènements:

$A$ : « le roulement provient du fournisseur A »,
$B$ : « le roulement provient du fournisseur B »,
$D$ : « le roulement est défectueux ».

  1. Le club achète $40\%$ de ses roulements chez le fournisseur A et le reste chez le fournisseur B.
    a. Calculer la probabilité que le roulement provienne du fournisseur A et soit défectueux.
    $\quad$
    b. Le roulement est défectueux. Calculer la probabilité qu’il provienne du fournisseur B.
    $\quad$
  2. Si le club souhaite que moins de $3,5\%$ des roulements soient défectueux, quelle proportion minimale de roulements doit-il commander au fournisseur A ?
    $\quad$

Partie C :

Le diamètre intérieur standard d’un roulement sur une roue de roller est de $8$ mm.
On note $X$ la variable aléatoire donnant en mm le diamètre d’un roulement et on admet que $X$ suit une loi normale d’espérance $8$ et d’écart type $0,1$.
Un roulement est dit conforme si son diamètre est compris entre $7,8$ mm et $8,2$ mm.

  1. Calculer la probabilité qu’un roulement soit conforme.
    $\quad$
  2. Le fournisseur B vend ses roulements par lots de $16$ et affirme que seulement $5\%$ de ses roulements sont non conformes.
    Le président du club, qui lui a acheté $30$ lots, constate que $38$ roulements sont non conformes. Ce contrôle remet-il en cause l’affirmation du fournisseur B ?
    On pourra utiliser un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$.
    $\quad$
  3. Le fabricant de roulements de ce fournisseur décide d’améliorer la production de ses roulements. Le réglage de la machine qui les fabrique est modifié de sorte que $96\%$ des roulements soient conformes. On suppose qu’après réglage la variable aléatoire $X$ suit une loi normale d’espérance $8$ et d’écart-type $\sigma$.
    a. Quelle est la loi suivie par $\dfrac{X-8}{\sigma}$ ?
    $\quad$
    b. Déterminer $\sigma$ pour que le roulement fabriqué soit conforme avec une probabilité égale à $0,96$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

La vasopressine est une hormone favorisant la réabsorption de l’eau par l’organisme.

Le taux de vasopressine dans le sang est considéré normal s’il est inférieur à $2,5$ $\mu$g/mL.
Cette hormone est sécrétée dès que le volume sanguin diminue. En particulier, il y a production de vasopressine suite à une hémorragie.

On utilisera dans la suite la modélisation suivante: $$f(t) = 3t\e^{-t/4} +2 ~~ \text{ avec } t \pg 0$$
où $f(t)$ représente le taux de vasopressine (en $\mu$g/mL) dans le sang en fonction du temps $t$ (en minute) écoulé après le début d’une hémorragie.

  1. a. Quel est le taux de vasopressine dans le sang à l’instant $t = 0$ ?
    $\quad$
    b. Justifier que douze secondes après une hémorragie, le taux de vasopressine dans le sang n’est pas normal.
    $\quad$
    c. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$. Interpréter ce résultat.
    $\quad$
  2. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $[0; +\infty[$.
    Vérifier que pour tout nombre réel $t$ positif, $$f'(t) = \dfrac{3}{4}(4-t)\e^{-t/4}$$
    $\quad$
  3. a. Étudier le sens de variation de $f$ sur l’intervalle $[0;+\infty[$ et dresser le tableau de variations de la fonction $f$ (en incluant la limite en $+\infty$ ).
    $\quad$
    b. À quel instant le taux de vasopressine est-il maximal ?
    Quel est alors ce taux? On en donnera une valeur approchée à $10^{-2}$ près.
    $\quad$
  4. a. Démontrer qu’il existe une unique valeur $t_0$ appartenant à $[0;4]$ telle que $f\left(t_0\right) = 2,5$.
    En donner une valeur approchée à $10^{-3}$ près.
    $\quad$
    On admet qu’il existe une unique valeur $t_1$ appartenant à $[4;+\infty[$ vérifiant $f\left(t_1\right) = 2,5$.
    On donne une valeur approchée de $t_1$ à $10^{-3}$ près: $t_1 \approx 18,930$.
    b. Déterminer pendant combien de temps, chez une personne victime d’une hémorragie, le taux de vasopressine reste supérieur à $2,5$ $\mu$g/mL dans le sang.
    $\quad$
  5. Soit $F$ la fonction définie sur $[0; +\infty[$ par $F(t) = -12(t + 4)\e^{-t/4} + 2t$.
    a. Démontrer que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ et en déduire une valeur approchée de $\ds\int_{t_0}^{t_1} f(t)\dt$ à l’unité près.
    $\quad$
    b. En déduire une valeur approchée à $0,1$ près du taux moyen de vasopressine, lors d’un accident hémorragique durant la période où ce taux est supérieur à $2,5$ $\mu$g/mL.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     4 points

On considère un cube $ABCDEFGH$.
Le point $M$ est le milieu de [BF], I est le milieu de [BC], le point N est défini par la relation $\vect{CN} =\dfrac{1}{2}\vect{GC}$ et le point $P$ est le centre de la face $ADHE$.

Partie A :

  1. Justifier que la droite $(MN)$ coupe le segment $[BC]$ en son milieu $I$.
    $\quad$
  2. Construire, sur la figure fournie en annexe, la section du cube par le plan $(MNP)$.
    $\quad$

Partie B :

On munit l’espace du repère orthonormé $\left(A; \vect{AB},\vect{AD},\vect{AE}\right)$.

  1. Justifier que le vecteur $\vect{n}\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(MNP)$.
    En déduire une équation cartésienne du plan $(MNP)$.
    $\quad$
  2. Déterminer un système d’équations paramétriques de la droite $(d)$ passant par $G$ et orthogonale au plan $(MNP)$.
    $\quad$
  3. Montrer que la droite $(d)$ coupe le plan $(MNP)$ au point $K$ de coordonnées $\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3}\right)$.
    En déduire la distance $GK$.
    $\quad$
  4. On admet que les quatre points $M$, $E$, $D$ et $I$ sont coplanaires et que l’aire du quadrilatère $MEDI$ est $\dfrac{9}{8}$ unités d’aire.
    Calculer le volume de la pyramide $GMEDI$.
    $\quad$

Annexe

$\quad$

Exercice 4     5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier $n \pg 0$ par: $\begin{cases}u_{n+1}&=&3-\dfrac{10}{u_n + 4}\\u_0&=&5\end{cases}.$

Partie A :

  1. Déterminer la valeur exacte de $u_1$ et de $u_2$.
    $\quad$
  2. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n \pg 1$.
    $\quad$
  3. Démontrer que, pour tout entier nature $n$, $u_{n + 1}-u_n = \dfrac{\left(1-u_n \right)\left(u_n +2\right)}{u_n + 4}$.
    $\quad$
  4. En déduire le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
  5. Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ converge.
    $\quad$

Partie B :

On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = \dfrac{u_n-1}{u_n + 2}$.

  1. a. Démontrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on déterminera la raison et le premier terme $v_0$.
    $\quad$
    b. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
    En déduire que pour tout entier naturel $n$, $v_n \pg 1$.
    $\quad$
  2. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $u_n = \dfrac{2v_n + 1}{1-v_n}$.
    $\quad$
  3. En déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$

Partie C :

On considère l’algorithme ci-dessous.

$$\begin{array}{|l|}\hline
u \gets 5\\
n \gets 0\\
\text{Tant que }u \pg 1,01\\
\hspace{1cm} n \gets n+1\\
\hspace{1cm} u \gets 3-\dfrac{10}{u+4}\\
\text{Fin du Tant que}\\ \hline
\end{array}$$

  1. Après exécution de l’algorithme, quelle valeur est contenue dans la variable $n$ ?
    $\quad$
  2. À l’aide des parties A et B, interpréter cette valeur.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A :

Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels tels que $a > b$.

  1. Démontrer que PGCD$(a,b) =$ PGCD$(a-b,b)$.
    $\quad$
  2. En utilisant l’égalité précédente, calculer PGCD$\left(4^3 -1,4^2-1\right)$.
    $\quad$
  3. Compléter l’algorithme fourni en annexe de telle sorte qu’après exécution, la variable $A$ contienne PGCD$\left(4^3 -1,4^2 -1\right)$.
    $\quad$

Partie B :

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 0$, $u_1 =1$ et pour tout entier naturel $n$ par : $$u_{n+2} = 5u_{n+1}-4u_n$$
On admettra que pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_n$ est un entier naturel non nul.
On note $V_n=\begin{pmatrix} u_{n+1}\\u_{n}\end{pmatrix}$.

  1. Justifier que pour tout entier naturel $n$, $V_{n+1}= AV_n$ où $A$ est une matrice carrée d’ordre $2$ dont on précisera les coefficients.
    $\quad$
  2. On pose $P= \begin{pmatrix}1&4\\1&1\end{pmatrix}$.
    a. Justifier que $P$ est inversible et donner $P^{-1}$.
    $\quad$
    b. Vérifier que $P^{-1}AP$ est la matrice diagonale $D = \begin{pmatrix}1&0\\0&4\end{pmatrix}$.
    $\quad$
  3. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ non nul, $A^n = PD^nP^{-1}$.
    $\quad$
  4. Soit un entier naturel $n$ non nul. Calculer les coefficients de la matrice $A^n$.
    $\quad$
  5. On admettra que pour tout entier naturel $n$ non nul, $V_n= A^n V_0$.
    Justifier que pour tout entier naturel $n$,\:$u_n = -\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} \times 4^n$.
    $\quad$
  6. a. Vérifier que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 4u_n +1$.
    $\quad$
    b. En déduire PGCD$\left(u_{n+1}, u_n\right)$ pour tout entier naturel $n$.
    $\quad$
    c. Déterminer pour tout entier naturel $n$, PGCD$\left(4^{n+1} – 1,4^n -1\right)$.
    $\quad$

$\quad$

Annexe

$\begin{array}{|l|}
\hline
A \gets 4^3-1\\
B \gets 4^2-1\\
\text{Tant que }\ldots\ldots :\\
\hspace{1cm} \text{Si } A > B, \text{alors }:\\
\hspace{1.5cm} A \gets \ldots\\
\hspace{1cm} \text{Sinon}:\\
\hspace{1.5cm}B \gets \ldots\\
\hspace{1cm}\text{Fin Si} \\
\text{Fin Tant que}\\
\hline
\end{array}$

 

Bac S – Polynésie – Septembre 2019

Polynésie – Septembre 2019

Bac S – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici .

Ex 1

Exercice 1

Partie A — Étude d’un modèle discret d’évolution

  1. En 2018, on a $T_0=0,9$
    En 2019, on a $T_1=T_0-0,1{T_0}^2=0,819$
    En 2020, on a $T_2=T_1-0,1{T_1}^2\approx 0,752$
    En 2021, on a $T_3=T_2-0,1{T_2}^2\approx 0,695$
    En 2022, on a $T_4=T_3-0,1{T_3}^2\approx 0,647$
    L’estimation faite n’est donc pas conforme à celle du modèle choisi.
    $\quad$
  2. a. La fonction $f$ est dérivable sur $[0;1]$ en tant que fonction polynôme.
    Pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0;1]$ on a $f'(x)=1-0,2x$.
    Or $1-0,2x=0\ssi 0,2x=1\ssi x=5$
    et $1-0,2x>0\ssi -0,2x>-1 \ssi x<5$
    Par conséquent $f'(x)<0$ sur l’intervalle $[0;1]$.
    La fonction $f$ est strictement croissante sur $[0;1]$.
    $\quad$
    b. Montrons par récurrence sur $n$ que $0 \pp T_{n+1}\pp T_n \pp 1$.
    Initialisation : Si $n=0$ alors $T_0=0,9$ et $T_1=0,819$.
    On a bien $0\pp T_1 \pp T_0\pp 0$
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$, soit $0 \pp T_{n+1}\pp T_n \pp 1$.
    Montrons qu’elle est encore vraie au rang suivant, c’est-à-dire $0 \pp T_{n+2}\pp T_{n+1} \pp 1$.
    La fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $[0;1]$ et $0 \pp T_{n+1}\pp T_n \pp 1$.
    Donc $f(0) \pp f\left(T_{n+1}\right) \pp f\left(T_n\right) \pp f(1)$
    D’où $0\pp T_{n+2}\pp T_{n+1} \pp 0,9\pp 1$
    La propriété est vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $0 \pp T_{n+1}\pp T_n \pp 1$.
    $\quad$
    c. La suite $\left(T_n\right)$ est décroissante et minorée par $0$.
    La suite $\left(T_n\right)$ est donc convergente.
    $\quad$
  3. À l’aide la calculatrice on trouve $T_{13}\approx 0,400~8$ et $T_{14} \approx 0,3848$.
    C’est donc en 2032 que le seuil de $0,4$ sera atteint la première fois.
    $\quad$

Partie B — Étude d’un modèle continu d’évolution

  1. La fonction $P$ est dérivable sur l’intervalle $[0;+\infty[$ en tant que composée et quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur $[0;+\infty[$.
    Pour tout réel $t$ de $[0;+\infty[$ on a :
    $P'(t)=-\dfrac{1~000\times (-0,5)\times 3,6\e^{-0,5t}}{\left(0,4+3,6\e^{-0,5t}\right)^2}=\dfrac{1~800\e^{-0,5t}}{\left(0,4+3,6\e^{-0,5t}\right)^2}$.
    $\quad$
  2. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Par conséquent, pour tout réel $t$ positif on a $P'(t)>0$.
    $\lim\limits_{t \to +\infty} -0,5t=-\infty$ et $\lim\limits_{T \to -\infty} \e^T=0$
    Donc $\lim\limits_{t \to +\infty}\e^{-0,5t}=0$ et $\lim\limits_{t \to +\infty} P(t)=2~500$.
    $\quad$
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    $\quad$
  3. La fonction $P$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    De plus $P(0)=250<2~000$ et $\lim\limits_{t\to +\infty} P(t)=2~500>2~000$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $P(t)=2~000$ possède une unique solution $t_0$ sur $[0;+\infty[$.
    D’après la calculatrice on a $t_0\approx 7,2$.
    $\quad$
  4. Selon ce modèle la population de l’étang aura dépassé pour la première fois les $2~000$ grenouilles en 2026.
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. On effectue $8$ tirages aléatoires, indépendants et identiques. À chaque tirage, il n’y a que deux issues : $B$, : «le bit est mal transmis », et $\conj{B}$, : «le bit est bien transmis».
    De plus $P(B)=0,01$.
    La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=8$ et $p=0,01$.
    $\quad$
  2. Par conséquent $P(X=2)=\ds \binom{8}{2}\times 0,01^2\times 0,99^6\approx 0,002~6$
    La probabilité qu’exactement deux bits de l’octet soient mal transmis est environ égale à $0,002~6$.
    $\quad$
  3. $P(X\pg 3)=1-P(X\pp 2) \approx 0,000~05$
    La probabilité que le nombre de bits mal transmis de l’octet
    soit au moins égal à trois est donc négligeable.
    L’affirmation est vraie.
    $\quad$

Partie B

On a :
$\begin{align*} P(R\pp 0,4)&=P(R\pp 1)+P(0,4\pp R\pp 1) \\
&=0,5-P(0,4\pp R\pp 1) \\
&\approx 0,022~8\end{align*}$

La probabilité que le bit reçu ne soit pas correctement interprété est environ égale à $0,022~8$.

$\quad$

Partie C

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
    $\quad$
  2. On veut calculer :
    $\begin{align*} p(E\cap B)&=p(E)\times p_E(B) \\
    &=0,075\times 0,9 \\
    &=0,067~5\end{align*}$

    La probabilité que l’octet soit transmis avec une erreur exactement et que le bit de parité soit
    transmis sans erreur est $0,067~5$.
    $\quad$
  3. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*}p(B)&= p(Z\cap B)+p(E\cap B)+p(D\cap B)  \\
    &=0,922\times 0,99+0,075\times 0,9+0,003\times 0,99\\
    &=0,983~25\end{align*}$
    La probabilité de l’événement $B$ est donc égale à $0,983~25$.
    $\quad$

 

 

Ex 3

Exercice 3

  1. On a $|Z|=\sqrt{1+3}=2$ donc $Z=2\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{\ic\sqrt{3}}{2}\right)=2\e^{\ic\pi/3}$
    Donc $Z^2=4\e^{2\ic\pi/3}$
    Or $\dfrac{2\pi}{3}$ n’est pas un multiple entier de $\pi$
    Par conséquent, $Z^2$ n’est pas un réel positif.
    Affirmation 1 fausse
    $\quad$
    Un argument de $Z^{2~019}$ est $2~019\times \dfrac{\pi}{3}=673\pi$ soit $\pi$ modulo $2\pi$.
    Affirmation 2 fausse
    $\quad$
  2. On veut résoudre l’équation $2z^2-3z+5=0$
    Le discriminant est $\Delta=(-3)^2-4\times 2\times 5=9-40=-31<0$
    L’équaation possède donc deux solutions complexes $z_1=\dfrac{3-\ic\sqrt{31}}{4}$ et $z_2=\conj{z_1}=\dfrac{3+\ic\sqrt{31}}{4}$
    Les images de ces points sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses.
    Affirmation 3 fausse
    $\quad$
  3. On pose $Z=x+\ic y$
    On veut résoudre, dans $\C$, l’équation :
    $\begin{align*} z=z’&\ssi z=\conj{z}(1-z) \\
    &\ssi z=\conj{z}-z\conj{z} \\
    &\ssi x+\ic y=x-\ic y-x^2-y^2 \\
    &\ssi 2\ic y=-x^2-y^2\\
    &\ssi \begin{cases} 2y=0 \\x^2+y^2=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=0\\y=0\end{cases}\end{align*}$
    Affirmation 4 fausse
    $\quad$

 

Ex 4 obl

Exercice 4

Pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

  1. a. Dans le repère $\left(A;\vec{i},\vec{j},\vec{k}\right)$ on a :
    $E(0;0;6)$, $I(6;0;3)$ et $L(6;3;6)$.
    Par conséquent $\vect{EI}\begin{pmatrix}6\\0\\-3\end{pmatrix}$ et $\vect{EL}\begin{pmatrix}6\\3\\0\end{pmatrix}$. Ces deux vecteurs sont clairement non colinéaires (ils n’ont pas la même coordonnée nulle).
    Donc $\vect{EI}.\vec{n}=6\times 1-2\times 0-3\times 2=0$
    et $\vect{EL}.\vec{n}=6\times 1-2\times 3+0\times 2=0$.
    Le vecteur $\vec{n}$ est orthogonal a deux vecteurs non colinéaires du plan $P$. Il est donc normal à ce plan.
    $\quad$
    b. Une équation cartésienne du plan $P$ est donc de la forme $x-2y+2z+d=0$.
    Le point $E(0;0;6)$ appartient à ce plan. Ces coordonnées vérifient donc son équation.
    Ainsi $0-0+12+d=0\ssi d=-12$.
    Une équation cartésienne du plan $P$ est $x-2y+2z-12=0$.
    $\quad$
  2. On a $FL=3$, $EF=6$ et $FI=3$.
    Par conséquent l’aire du triangle $EFI$ rectangle en $F$ est $\mathscr{A}=\dfrac{6\times 3}{2}=9$ cm$^2$.
    Le volume du tétraèdre $FELI$ est donc $\mathscr{V}=\dfrac{\mathscr{A}\times FL}{3}=\dfrac{9\times 3}{3}=9$ cm$^3$.
    $\quad$
  3. a. Un vecteur directeur de la droite $\Delta$ est $\vec{n}$.
    Le point $F$ a pour coordonnées $(6;0;6)$.
    Une équation paramétrique de la droite $\Delta$ est donc $\begin{cases}x=6+t\\y=-2t\\z=6+2t\end{cases} \quad t\in\R$.
    $\quad$
    b. Le point $F$ appartient à la droite $\Delta$ mais pas au plan $P$. La droite $\Delta$ n’est donc pas incluse dans le plan $P$.
    $\quad$
    Montrons que le point $K$ appartient à la fois à la droite $\Delta$ et au plan $P$.
    Si $t=-\dfrac{2}{3}$ (obtenu en résolvant $-2t=\dfrac{4}{3}$) alors :
    $\begin{cases} x=-\dfrac{2}{3}+6 \\y=-2\times \left(-\dfrac{2}{3}\right)\\z=2\times \left(-\dfrac{2}{3}\right)+6\end{cases} \ssi \begin{cases}x=\dfrac{16}{3}\\y=\dfrac{4}{3}\\z=\dfrac{14}{3}\end{cases} \ssi K\in \Delta$
    De plus :
    $\dfrac{16}{3}-2\times \dfrac{4}{3}+2\dfrac{14}{3}-12=\dfrac{16}{3}-\dfrac{8}{3}+\dfrac{28}{3}-12=12-12=0$
    Le point $K$ appartient donc à la fois au plan $P$ et à la droite $\Delta$.
    L’intersection de la droite $\Delta$ et du plan $P$ est donc le point $K\left(\dfrac{16}{3};\dfrac{4}{3};\dfrac{14}{3}\right)$.
    $\quad$
  4. On a $FK=\sqrt{\left(\dfrac{16}{3}-6\right)^2+\left(\dfrac{4}{3}-0\right)^2+\left(\dfrac{14}{3}-6\right)^2}=2$
    $[FK]$ est la hauteur issue du point $F$ du tétraèdre $FELI$ dont la base est le triangle $ELI$.
    Par conséquent l’aire $\mathscr{A}_{ELI}$ de ce triangle vérifie :
    $9=\dfrac{\mathscr{A}_{ELI}\times 2}{3} \ssi \mathscr{A}_{ELI}=\dfrac{27}{2}$.
    L’aire du triangle $ELI$ est donc égale à $\dfrac{27}{2}$ cm$^2$.
    $\quad$
  5. On trace la parallèle à la droite $(EL)$ passant par $G$. Elle coupe le segment $[EH]$ en $M$.
    On trace la pparallèe à la droite $(IL)$ passant par $G$. Il s’agit de la droite $(BG)$.
    La parallèle à la droite $(BG)$ passant par le point $M$ coupe le segment $[AE]$ en $N$.
    La section du cube par le plan parallèle au plan $P$ passant par le point $G$ est le trapèze $BGMN$.

    $\quad$

 

 

Énoncé

Exercice 1     6 points

Les parties A et B peuvent être abordées de façon indépendante.

Deux groupes de scientifiques, des spécialistes en environnement et des biologistes, étudient l’évolution d’une population de grenouilles autour d’un étang.

Partie A — Étude d’un modèle discret d’évolution

Le groupe de spécialistes en environnement étudie le taux de disponibilité des ressources nécessaires pour le développement de la population de grenouilles autour de l’étang. Ce taux dépend notamment du nombre de grenouilles présentes sur les lieux, de la quantité de nourriture à disposition, de l’espace disponible et de la qualité de l’environnement.

Une étude, menée en 2018 par ce premier groupe de scientifiques, a permis d’estimer le taux de disponibilité des ressources à $0,9$ ; cela signifie que $90 \%$ des ressources sont disponibles.

On modélise le taux de disponibilité des ressources par la suite $\left(T_n\right)$ qui, à tout entier naturel $n$, associe le taux de disponibilité des ressources $n$ années après 2018. On a ainsi $T_0 = 0,9$.

Le modèle choisi est tel que, pour tout entier naturel $n$, on a : $T_{n+1}=T_n-0,1{T_n}^2$.

  1. Certains spécialistes en environnement estiment qu’en 2022, le taux de disponibilité des ressources sera proche de $0,4$. Cette affirmation est-elle conforme au modèle ? Pourquoi ?
    $\quad$
  2. On définit la fonction $f$ sur l’intervalle $[0 ; 1]$ par $f(x) =x-0,1x^2$. Ainsi, la suite $\left(T_n\right)$ vérifie pour tout entier naturel $n$, $T_{n+1}=f\left(T_n\right)$.
    a. Étudier les variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0 ; 1]$.
    $\quad$
    b. Montrer que pour tout $n$ entier naturel, on a : $\pp T_{n+1}\pp T_n\pp 1$.
    $\quad$
    c. La suite $\left(T_n\right)$ est-elle convergente ? Justifier la réponse.
    $\quad$
  3. Le groupe de spécialistes en environnement affirme que, selon ce modèle, le taux de disponibilité des ressources peut être inférieur à $0,4$ au cours des vingt premières années qui suivent le début de l’étude et qu’il est capable de déterminer en quelle année, ce seuil serait atteint pour la première fois.
    Cette affirmation est-elle conforme au modèle ? Pourquoi ?
    $\quad$

Partie B — Étude d’un modèle continu d’évolution

Le groupe de biologistes a choisi une autre option et travaille sur le nombre de grenouilles peuplant l’étang. Au $1\ier$ janvier 2018, il avait été dénombré $250$ grenouilles.

Les biologistes estiment que le nombre de grenouilles présentes autour de l’étang peut être modélisé par la fonction $P$ définie sur l’intervalle $[0;+\infty[$ par $P(t)=\dfrac{1~000}{0,4+3,6\e^{-0,5t}}$ où $t$ est le temps, mesuré en années, écoulé depuis le $1\ier$ janvier 2018 (cette fonction découle d’un modèle continu, usuel en biologie, le modèle de Verhulst).

  1. Calculer $P'(t)$ où $P’$ est la fonction dérivée de $P$ puis étudier le signe de $P'(t)$ pour $t$ appartenant à l’intervalle $[0 ; +\infty[$.
    $\quad$
  2. Déterminer la limite de la fonction $P$ en $+\infty$ puis dresser le tableau de variation de la fonction $P$ sur l’intervalle $[0 ; +\infty[$.
    $\quad$
  3. Montrer qu’il existe une unique valeur $t_0\in [0 ; +\infty[$ telle que $P\left(t_0\right) = 2~000$ . Déterminer cette valeur à $10^{-1}$ près.
    $\quad$
  4. Selon ce modèle, déterminer au cours de quelle année la population de l’étang aura dépassé pour la première
    fois les $2~000$ grenouilles.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

Dans cet exercice, les probabilités demandées seront précisées à $10^{-4}$ près.

Lors d’une communication électronique, tout échange d’information se fait par l’envoi d’une suite de $0$ ou de $1$, appelés bits, et cela par le biais d’un canal qui est généralement un câble électrique, des ondes radio …
Une suite de $8$ bits est appelé un octet. Par exemple, $10010110$ est un octet.

Partie A

On se place dans le cas où l’on envoie, sur le canal, successivement $8$ bits qui forment un octet.

On envoie un octet au hasard. On suppose la transmission de chaque bit indépendante de la transmission des bits précédents. On admet que la probabilité qu’un bit soit mal transmis est égale à $0,01$.

On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de bits mal transmis dans l’octet lors de cette communication.

  1. Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$? Justifier.
    $\quad$
  2. Déterminer la probabilité qu’exactement deux bits de l’octet soient mal transmis.
    $\quad$
  3. Que peut-on penser de l’affirmation suivante : « La probabilité que le nombre de bits mal transmis de l’octet soit au moins égal à trois est négligeable » ? Argumenter.
    $\quad$

Partie B

Les erreurs de transmission des bits sont liées à la présence de bruits parasites sur le canal de communication comme l’illustre la figure ci-dessous :

On admet que l’information d’un bit reçu, incluant le bruit, peut être modélisée à l’aide d’une variable aléatoire continue qui suit une loi normale dont l’espérance est liée à la valeur du bit envoyé.
On envoie un bit de valeur $1$. On admet que l’information reçue d’un bit de valeur $1$ peut être modélisée par une variable aléatoire $R$ qui suit la loi normale d’espérance $1$ et d’écart-type $0,3$.
On considère que le bit reçu n’est pas correctement interprété lorsque la valeur de $R$ est inférieure ou égale à $0,4$.
Calculer la probabilité que le bit reçu ne soit pas correctement interprété.

$\quad$

Partie C

Afin de détecter si un ou plusieurs bits de l’octet sont mal transmis, on utilise un protocole de détection d’erreur. Il consiste à ajouter, à la fin de l’octet à transmettre, un bit, appelé bit de parité et qui est transmis après les huit bits de l’octet.
On s’intéresse désormais à la transmission de l’octet suivi de son bit de parité.

Une étude statistique a permis d’obtenir que :

  • la probabilité que les huit bits (octet) soient transmis sans erreur vaut $0,922$ ;
  • la probabilité que les huit bits (octet) soient transmis avec exactement une erreur vaut $0,075$ ;
  • si les huit bits (octet) ont été transmis sans erreur, la probabilité que le bit de parité soit envoyé sans erreur vaut $0,99$ ;
  • si les huit bits (octet) ont été transmis avec exactement une erreur, la probabilité que le bit de parité ait été envoyé sans erreur vaut $0,9$ ;
  • si les huit bits (octet) ont été transmis avec au moins deux erreurs, la probabilité que le bit de parité soit envoyé sans erreur vaut $0,99$ ;

On choisit au hasard un octet suivi de son bit de parité. On considère les évènements suivants :

  • $Z$ : « les huit bits de l’octet sont transmis avec aucune erreur » ;
  • $E$ : « les huit bits de l’octet sont transmis avec exactement une erreur » ;
  • $D$ : « les huit bits de l’octet sont transmis avec au moins deux erreurs » ;
  • $B$ : « le bit de parité est transmis sans erreur ».
  1. Compléter l’arbre pondéré de l’annexe à rendre avec la copie.
    $\quad$
  2. Quelle est la probabilité que l’octet soit transmis avec une erreur exactement et que le bit de parité soit transmis sans erreur ?
    $\quad$
  3. Calculer la probabilité de l’événement $B$.
    $\quad$

Annexe

$\quad$

Exercice 3     4 points

Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse.
Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte.

  1. On considère le nombre complexe $Z=1+\ic \sqrt{3}$.
    Affirmation 1 : Le nombre complexe $Z^2$ est un réel positif.
    $\quad$
    Affirmation 2 : L’argument du nombre complexe $Z^{2~019}$ vaut $0$ modulo $2\pi$.
    $\quad$

Dans ce qui suit, le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct $\Ouv$.

  1. On considère dans $\C$ l’équation $2z^2-3z+5=0$.
    Affirmation 3 : Cette équation admet deux solutions dont les images sont symétriques par rapport à l’origine du repère.
    $\quad$
  2. À tout point $M$ d’affixe $z$ du plan complexe, on associe le point $M’$ d’affixe $z’$ par définie par : $$z’=\conj{z}(1-z)$$
    Affirmation 4 : Il existe une infinité de points $M$ confondus avec leur point image $M’$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     5 points

Pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Sur la figure donnée en annexe à rendre avec la copie , on considère le cube $ABCDEFGH$ de côté $6$ cm dans le repère orthonormé $\left(A,\vec{i},\vec{j},\vec{k}\right)$, l’unité étant le cm.
On admet que le point $I$ a pour coordonnées $(6 ; 0 ;3)$ dans ce repère.
On appelle $L$ le milieu du segment $[FG]$.
On appelle $P$ le plan défini par les trois points $E$, $I$ et $L$.
$\quad$

On rappelle que le volume du tétraèdre est donné par la formule $V=\dfrac{\text{aire de la base $\times$ hauteur}}{3}$.

  1. a. Montrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $P$.
    $\quad$
    b. Déterminer une équation cartésienne du plan $P$.
    $\quad$
  2. Justifier que le volume du tétraèdre $FELI$ est $9$ cm$^3$.
    $\quad$
  3. a. Soit $\Delta$ la perpendiculaire au plan $P$ passant par le point $F$ . Justifier que la droite $\Delta$ admet pour
    représentation paramétrique : $\begin{cases} x=t+6\\y=-2t\\z=2t+6\end{cases}$ avec $t\in \R$.
    $\quad$
    b. Montrer que l’intersection de la droite $\Delta$ et du plan $P$ est le point $K\left(\dfrac{16}{3};\dfrac{4}{3};\dfrac{14}{3}\right)$.
    $\quad$
  4. Calculer l’aire en cm$^2$ du triangle $ELI$.
    $\quad$
  5. Tracer sur le graphique fourni en annexe à rendre avec la copie , la section du cube $ABCDEFGH$ par le plan parallèle au plan $P$ passant par le point $G$ et en donner la nature précise sans justification.
    $\quad$

Annexe

$\quad$

 

 

Bac S – Métropole – Septembre 2019

Métropole La Réunion – Septembre 2019

Bac S – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici .

Ex 1

Exercice 1

  1. On veut calculer :
    $\begin{align*} P(X\pg 10)&=P(10\pp X\pp 11,3)+P(X\pg 11,3)\\
    &=P(10\pp X\pp 11,3)+0,5 \\
    &\approx 0,67\end{align*}$
    La probabilité que le dossier soit celui d’un candidat reçu à l’examen est environ égale à $0,67$.
    $\quad$
  2. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(R)&=P(A\cap R)+P(B\cap R) \\
    &\approx 0,6\times 0,67+0,4\times 0,7 \\
    &\approx 0,68 \end{align*}$
    La probabilité que le dossier choisi soit celui d’un candidat reçu à l’examen est environ égale à $0,68$.
    $\quad$
  3. On a $n=500$ et $p=0,68$.
    Par conséquent $n=500\pg 30$, $np=340\pg 5$ et $n(1-p)=160\pg 5$
    Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de confiance de $95\%$ de la proportion d’élèves reçu à l’examen est :
    $\begin{align*} I_{500}&=\left[0,68-1,96\sqrt{\dfrac{0,68\times 0,32}{500}};0,68+1,96\sqrt{\dfrac{0,68\times 0,32}{500}} \right] \\
    &\approx [0,63;0,73]\end{align*}$
    La fréquence observée est $f=\dfrac{368}{500}=0,736 \notin I_{500}$.
    Au risque d’erreur de $5\%$, cela confirme l’affirmation du membre du jury.
    $\quad$
  4. On a :
    D’après la formule des probabilités totales, la probabilité que le dossier choisi obtienne le « prix du jury » est, en supposant que $N\pg 13$ :
    $\begin{align*} a&=0,6P(X\pg N)+0,4P(Y\pg N) \\
    &=0,6\left(P(X\pg 11,3)-P(11,3\pp X\pp N)\right) +0,4\left(P(Y\pg 12,4)-P(12,4\pp Y\pp N)\right) \\
    &=0,6\left(0,5-P(11,3\pp X\pp N)\right) +0,4\left(0,5-P(12,4\pp Y\pp N)\right) \\
    &=0,5-0,6P(11,3\pp X\pp N)-0,4P(12,4\pp Y\pp N)\end{align*}$
    À l’aide de la calculatrice, on obtient, arrondi au centième :
    $\begin{array}{|c|c|}
    \hline
    N&a\\
    \hline
    13&0,35\\
    \hline
    14&0,26\\
    \hline
    15&0,38\\
    \hline
    16&0,12\\
    \hline
    \end{array}$
    Par conséquent $N=16$
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. La courbe $\mathscr{C}_g$ se situe dans le demi-plan $y>0$. Cela signifie donc que, pour tout réel $x$ on a $g(x)>0$.
    Par définition de la fonction $G$, la fonction $g$ est la dérivée de la fonction $G$.
    Ainsi, $G$ est strictement croissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    $\quad$
  2. $G(1)=\ds\int_0^1 g(u)\mathrm{d}u$.
    La fonction $g$ est continue et positive sur l’intervalle $[0;1]$.
    Par conséquent $G(1)$ est l’aire du domaine compris entre la courbe, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=0$ et $x=1$.
    Graphiquement, on constate que ce domaine est inclus dans un carré de côté $1$  auquel on a retiré un rectangle de taille $0,5\times 0,2$ (le rectangle dont les abscisses sont comprises entre $0,5$ et $1$ et dont les ordonnées sont comprises entre $0,8$ et $1$).
    Donc $G(1)\pp 1\times 1-0,5\times 0,2$ soit $g(1) \pp 0,9$.
    $\quad$
  3. La fonction $g$ est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
    Par conséquent, pour tout réel $t\pg 0$ on a :
    $\begin{align*} \ds G(-t)&= \int_0^{-t} g(u)\mathrm{d}u\\
    &=-\int_{-t}^0 g(u)\mathrm{d}u\\
    &=-\int_0^{t}g(u)\mathrm{d}u\\
    &= -G(t)\end{align*}$
    Par définition, la fonction $G$ est une primitive de la fonction $g$ qui s’annule en $0$.
    D’après la question A.1. la fonction $G$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
    Comme $G(0)=0$, cela signifie donc que $G(t)> 0$ pour tout réel $t$ strictement positif.
    Par conséquent $G(-t) < 0$.
    La fonction $G$ n’est donc pas positive sur $\R$.
    $\quad$

Partie B

  1. a. $\lim\limits_{u\to -\infty} -u^2=-\infty$  or $\lim\limits_{U\to -\infty} \e^U=0$
    Donc $\lim\limits_{u\to -\infty} g(u)=0$.
    $\lim\limits_{u\to +\infty} -u^2=-\infty$  or $\lim\limits_{U\to -\infty} \e^U=0$
    Donc $\lim\limits_{u\to -\infty} g(u)=0$.
    $\quad$
    b. La fonction $g$ est dérivable sur $\R$ en tant que fonction composée de fonctions dérivables sur $\R$.
    Pour tout réel $u$ on a donc $g'(u)=-2u\e^{u^2}$.
    La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. Le signe de $g'(u)$ ne dépend donc que de celui de $-2x$.
    $-2x=0 \ssi x=0$ et $-2x>0 \ssi x<0$
    On obtient donc le tableau de signes et de variations suivant :

    $\quad$
    c. D’après le tableau de variations précédent, le maximum de la fonction $g$ est $1$ atteint en $0$.
    Cela signifie donc que, pour tout réel $u$ on a $g(u)\pp 1$.
    En particulier $g(1)\pp 1$.
    $\quad$
  2. a. $23$ points n’appartiennent pas à l’ensemble $E$.
    Par conséquent $f=\dfrac{100-23}{100}=0,77$
    $\quad$
  3. On obtient l’algorithme suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    c\leftarrow 0\\
    \text{Pour $i$ variant de $1$ à $n$ faire :} \hspace{1cm}\\
    \hspace{1cm} x\leftarrow \text{ALEA}\\
    \hspace{1cm} y\leftarrow \text{ALEA}\\
    \hspace{1cm} \text{Si }y\pp \e^{-x^2} \text{ alors}\\
    \hspace{2cm}c\leftarrow c+1\\
    \hspace{1cm}\text{fin Si}\\
    \text{fin Pour}\\
    f\leftarrow \dfrac{c}{n}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    c. On a $n=1~000$ et $f=0,757$.
    Par conséquent $n=1~000\pg 30$, $nf=757\pg 5$ et $n(1-f)=0,243\pg 5$
    Un intervalle de confiance au niveau de confiance de $95\%$ de la valeur exacte de $I$ est donc :
    $\begin{align*}I_{1~000}&=\left[0,757-\dfrac{1}{\sqrt{1~000}};0,757+\dfrac{1}{\sqrt{1~000}}\right] \\
    &\approx [0,725;0,789]\end{align*}$
    $\quad$

Partie C

  1. Pour tout réel $t\pg 1$ on a :
    $\begin{align*} \ds \int_1^t g(u)\mathrm{d}u &\pp \ds \int_1^t \dfrac{1}{u^2}\mathrm{d}u \\
    &\pp \left[-\dfrac{1}{u}\right]_1^t \\
    &\pp -\dfrac{1}{t}+1\end{align*}$
    $\quad$
  2. Par conséquent, pour tout réel $t \pg 1$ on a :
    $\begin{align*} G(t)&=\ds \int_0^t g(u) \mathrm{d}u \\
    &=\int_0^1 g(u) \mathrm{d}u + \int_1^t g(u) \mathrm{d}u  \qquad (*)\\
    &\pp \int_0^1 1\mathrm{d}u+1-\dfrac{1}{t} \\
    &\pp 1+1-\dfrac{1}{t}\\
    &\pp 2-\dfrac{1}{t}\end{align*}$
    $(*)$ en effet, la fonction $g$ est strictement croissante sur l’intervalle $[0;1]$ et $g(1)=1$. Donc pour tout réel $x\in [0;1]$ on a $g(x)\pp 1$.
    $\quad$
    On a $\lim\limits_{t\to +\infty}2-\dfrac{1}{t}=2$.
    D’après la partie A, la fonction $G$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$ et positive.
    Par conséquent, la limite éventuelle de $G(t)$ lorsque $t$ tend vers $+\infty$ est comprise entre $0$ et $2$.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. a. On a donc l’équation $2z^2-3z+4=0$
    Le discriminant de cette équation du second degré est :
    $\Delta=(-3)^2-4\times 2\times 4=-23<0$
    L’équation possède donc deux solutions complexes non réelles.
    Affirmation 1 fausse
    $\quad$
    b. Si l’équation $(E)$ admet des solutions complexes non réelles alors celles-ci sont de la forme :
    $z_1=\dfrac{-(m-5)-\sqrt{-\Delta}}{4}$ et $z_2=\dfrac{-(m-5)+\sqrt{-\Delta}}{4}$ où $\Delta$ est le discriminant de ce polynôme du second degré.
    Ces solutions sont des imaginaires purs si, et seulement si, $-(m-5)=0 \ssi m=5$.
    Affirmation 2 vraie
    $\quad$
  2. On appelle $A$ le point d’affixe $6$ et $B$ celui d’affixe $-5\ic$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} |z-6|=|z+5\ic| &\ssi |z-6|=\left|z-(-5\ic)\right| \\
    &\ssi AM=BM\end{align*}$
    Le point $M$ appartient donc à la médiatrice du segment $[AB]$
    Affirmation 3 fausse
    $\quad$
  3. Un vecteur directeur de la droite $d$ est $\vec{u}(1;-1;1)$.
    $\dfrac{1}{5} \neq \dfrac{-1}{2}$
    Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont donc pas colinéaires.
    Cela signifie par conséquent que les droites $d$ et $d’$ ne sont pas parallèles.
    Une représentation paramétrique de la droite $d’$ est : $\begin{cases}x=4+5k\\y=4+2k\\z=-6-9k\end{cases} \quad k\in \R$.
    Si les droites $d$ et $d’$ sont sécantes alors les coordonnées du point d’intersection sont solutions su système.
    $\begin{align*} \begin{cases} x=-1+t\\y=2-t\\z=3+t\\x=4+5k\\y=4+2k\\z=-6-9k\end{cases} &\ssi \begin{cases} x=-1+t\\y=2-t\\z=3+t\\-1+t=4+5k\\2-t=4+2k\\3+t=-6-9k\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=-1+t\\y=2-t\\z=3+t\\t=5+5k\\t=-2-2k\\t=-9-9k\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=-1+t\\y=2-t\\z=3+t\\t=5+5k\\5+5k=-2-2k\\5+5k=-9-9k\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=-1+t\\y=2-t\\z=3+t\\t=5+5k\\k=-1\\k=-1\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} k=-1\\t=0\\ x=-1\\y=2\\z=3\t=5+5k\\k=-1\\k=-1\end{cases} \\
    \end{align*}$
    Par conséquent les droites $d$ et $d’$ sont sécantes donc coplanaires.
    Affirmation 4 vraie
    $\quad$
  4. Les diagonales d’un carré sont perpendiculaires.
    Cela signifie donc que les vecteurs $\vect{BG}$ et ${FC}$ sont orthogonaux
    Or les vecteurs $\vect{FC}$ et $\vect{DE}$ sont colinéaires
    Donc les vecteurs $\vect{BG}$ et $\vect{DE}$ sont orthogonaux.
    Les plants $(ABE)$ et $(AED)$ sont perpendiculaires. Tout vecteur du plan $(ABE)$ est donc orthogonal à tout vecteur du plan $(AED)$. En particulier $\vect{AB}$ et \vect{DE}$ sont orthogonaux.
    Le vecteur $\vect{DE}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non orthogonaux du plan $(ABG)$. Il est par conséquent normal à ce plan.
    Affirmation 5 vraie
    $\quad$

 

Ex 4 obl

Exercice 4

Partie A

  1. $u_1=f(3)=\dfrac{11}{7}$
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[0;4]$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas.
    Pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0;4]$ on a:
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{3(4+x)-(2+3x)}{(4+x)^2} \\
    &=\dfrac{12+3x-2-3x}{(4+x)^2} \\
    &=\dfrac{10}{(4+x)^2}\\
    &>0\end{align*}$
    La fonction $f$ est donc strictement croissante sur l’intervalle $[0;4]$.
    $\quad$
  3. Montrons cette propriété par récurrence.
    Initialisation : Si $n=0$ alors on a $u_0=3$ et $u_1=\dfrac{11}{7}$
    Donc $1\pp u_1\pp u_0\pp 3$
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ donc $1\pp u_{n+1}\pp u_n \pp 3$
    Montrons qu’elle est encore vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $1\pp u_{n+2} \pp u_{n+1} \pp 3$.
    La fonction $f$ est croissante sur l’intervalle $[0;4]$.
    Par conséquent $f(1) \pp f\left(u_{n+1}\right) \pp f\left(u_n\right)\pp f(3)$
    soit $1\pp u_{n+2}\pp u_{n+1} \pp \dfrac{11}{7} \pp 3$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$  et est héréditaire.
    Pour tout entier naturel $n$ on a donc $1\pp u_{n+1} \pp u_n \pp 3$.
    $\quad$
  4. a. D’après la question précédente, la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et minorée par $1$. Elle converge donc.
    $\quad$
    b. la fonction $f$ est continue sur $[0;4]$ comme quotient de fonctions continues dont le dénominateur ne s’annule pas sur $[0;4]$.
    La suite $\left(u_n\right)$ converge vers $\ell$ et pour tout entier naturel $n$ on a $u_n\in[1;3]$.
    Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} f\left(u_n\right)=f(\ell)$.
    La suite $\left(u_n\right)$ converge vers le réel $\ell$. Donc $\lim\limits_{n\to +\infty} u_{n+1}=\ell$.
    Or, pour tout entier naturel, on a $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$.
    D’après l’unicité de la limite d’une suite on a alors $\ell=f(\ell)$.
    $\quad$
    c.
    $\begin{align*} \ell=\dfrac{2+3\ell}{4+\ell} &\ssi \dfrac{2+3\ell}{4+\ell}-\ell=0 \\
    &\ssi \dfrac{2+3\ell-\ell(4+\ell)}{4+\ell}=0 \\
    &\ssi \dfrac{2+3\ell-4\ell-\ell^2}{4+\ell}=0 \\
    &\ssi \dfrac{-\ell^2-\ell+2}{4+\ell}=0\end{align*}$
    On considère le polynôme du second dégré $P$ défini sur $\R$ par $P(x)=-x^2-x+2$.
    $\Delta=(-1)^2-4\times (-1)\times 2=9>0$.
    Les racines sont $x_1=\dfrac{1-\sqrt{9}}{-2}=1$ et $x_2=\dfrac{1+\sqrt{9}}{-2}=-2$.
    Or $\ell\in[1;3]$.
    Donc $\ell =1$.
    $\quad$

Partie B

  1. On obtient le graphique suivant :

    La suite $\left(v_n\right)$ semble donc croissante et converger vers $1$.
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} 1-v_{n+1}&=1-\dfrac{2+3v_n}{4+v_n} \\
    &=\dfrac{4+v_n-2-3v_n}{4+v_n} \\
    &=\dfrac{2-2v_n}{4+v_n} \\
    &=\dfrac{2}{4+v_n}(1-v_n)\end{align*}$
    $\quad$
    b. Initialisation : Si $n=0$ alors $1-v_0=0,9$ et $\left(\dfrac{1}{2}\right)^0=1$.
    Par conséquent $0\pp 1-v_0 \pp \left(\dfrac{1}{2}\right)^0$.
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$. Donc $0\pp 1-v_n\pp \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$.
    Montrons que la propriété est vraie au rang suivant, c’est-à-dire que $0\pp 1-v_{n+1} \pp \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}$
    $1-v_{n+1}=\dfrac{2}{4+v_n}(1-v_n)$
    Donc $0 \pp 1-v_{n+1} \pp \dfrac{2}{4+v_n}\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \quad (*)$
    Par hypothèse $0\pp 1-v_n\pp \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$ donc $v_n\pg 1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\pg 0$
    Ainsi $4+v_n\pg 4 \ssi 0\pp \dfrac{1}{4+v_n} \pp \dfrac{1}{4}$
    Par conséquent, en reprenant la relation $(*)$ on obtient :
    $0 \pp 1-v_{n+1} \pp \dfrac{2}{4}\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$
    Soit $0\pp 1-v_{n+1} \pp \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}$
    La propriété est vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang$0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $0\pp 1-v_n\pp \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$.
    $\quad$
  3. $-1<\dfrac{1}{2}<1$ par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} \left(\dfrac{1}{2}\right)^n=0$.
    D’après le théorème des gendarmes, on a donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 1-v_n=0$ ce qui signifie que $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n=1$.
    $\quad$

 

Ex 4 spé

Exercice 4

Partie A

  1. Chaque semaine, il reste donc $25\%$ des adultes et $50\%$ des larves deviennent des adultes.
    Donc, pour tout entier naturel $n$, on a $a_{n+1}=0,25a_n+0,5\ell_n$
    Chaque semaine, chaque adulte donne naissance à $2$ larves et $25\%$ ($100-50-25$) restent au stade larvaire.
    Donc, pour tout entier naturel $n$, on a $\ell_{n+1}=2a_n+0,25\ell_n$.
    Ainsi $\begin{pmatrix} \ell_{n+1}\\a_{n+1}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0,25\ell_n+2a_n\\0,5\ell_n+ 0,25a_n\end{pmatrix}$
    Soit $X_{n+1}=AX_n$ où $A=\begin{pmatrix}0,25&2\\0,5&0,25\end{pmatrix}$.
    $\quad$
  2. a. $AU=\begin{pmatrix}0,25\times 2+2\times 1\\2\times 0,5+1\times 0,25\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2,5\\1,25\end{pmatrix}=1,25U$
    $\quad$
    b. Pour tout réel $a$ on a :
    $AV=\begin{pmatrix}0,25a+2\\0,5a+0,25\end{pmatrix}$
    Par conséquent :
    $\begin{align*} AV=-0,75V&\ssi \begin{cases} 0,25a+2=-0,75a\\0,5a+0,25=-0,75\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} 2=-a\\0,5a=-1\end{cases} \\
    &\ssi a=-2\end{align*}$
    $\quad$
  3. a. Montrons la propriété par récurrence.
    Initialisation : Si $n=0$ alors $X_0=\alpha U+\beta V$
    Et $\alpha (1,25)^0U+\beta(-0,75)^0V=\alpha U+\beta V=X_0$.
    La propriété est donc vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$, $X_n=\alpha(1,25)^nU+\beta(-0,75)^nV$
    Montrons que la propriété est vraie au rang suivant, c’est-à-dire que $X_{n+1}=\alpha(1,25)^{n+1}U+\beta(-0,75)^{n+1}V$.
    $\begin{align*} X_{n+1}&=AX_n \\
    &=A\left(\alpha(1,25)^{n}U+\beta(-0,75)^{n}V\right) \\
    &=\alpha(1,25)^nAU+\beta(-0,75)^nAV \\
    &=\alpha(1,25)^n\times 1,25U+\beta(-0,75)^n\times (-0,75V) \\
    &=\alpha(1,25)^{n+1}U+\beta(-0,75)^{n+1}V\end{align*}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $X_n=\alpha(1,25)^{n}U+\beta(-0,75)^{n}V$
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$, on a, puisque $a=-2$ :
    $\begin{align*} X_n&=X_n=\alpha(1,25)^{n}U+\beta(-0,75)^{n}V \\
    &=\begin{pmatrix} 2\alpha(1,25)^n-2\beta(-0,75)^n \\\alpha(1,25)^n+\beta(-0,75)^n\end{pmatrix} \\
    &=\begin{pmatrix} 2(1,25)^n\alpha-2\beta\times (1,25)^n\times \dfrac{(-0,75)^n}{2(1,25)^n} \\(1,25)^n\alpha+(1,25)^n\beta\times \dfrac{(-0,75)^n}{(1,25)^n} \end{pmatrix} \\
    &=\begin{pmatrix}2(1,25)^n\left(\alpha-\beta(-0,6)^n\right) \\(1,25)^n\left(\alpha+\beta(-0,6)^n\right)\end{pmatrix}\end{align*}$
    Par conséquent $\begin{cases} \ell_n &=&2(1,25)^n\left(\alpha-\beta(-0,6)^n\right) \\a_n&=&(1,25)^n\left(\alpha+\beta(-0,6)^n\right)\end{cases}$
    $\quad$
  4. Pour tout entier naturel $n$, on a, si $a_n\neq 0$,
    $\begin{align*} \dfrac{\ell_n}{a_n}&=\dfrac{2(1,25)^n\left(\alpha-\beta(-0,6)^n\right)}{(1,25)^n\left(\alpha+\beta(-0,6)^n\right)} \\
    &=\dfrac{2\left(\alpha-\beta(-0,6)^n\right)}{\alpha+\beta(-0,6)^n}\end{align*}$
    Or $-1<-0,6<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} (-0,6)^n=0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{\ell_n}{a_n}=\dfrac{2\alpha}{\alpha}=2$.
    Cela signifie donc que, sur le long terme, il y a deux plus de larves que d’adultes.
    $\quad$

Partie B

  1. On a $19\times 1-6\times 3=19-18=1$.
    Le couple $(1;3)$ est donc solution de l’équation $(E)$.
    On considère un autre couple $(x;y)$ de cette équation.
    On a alors :
    $19\times 1-6\times 3=1$ et $19x-6y=1$
    Par différence, on obtient : $19(1-x)-6(3-y)=0 \ssi 19(1-x)=6(3-y)$.
    $19$ et $6$ sont premiers entre eux.
    D’après le théorème de Gauss, il existe donc un entier relatif $k$ tel que $1-x=6k$ et $3-y=19k$.
    Ainsi $x=1-6k$ et $y=3-19k$.
    $\quad$
    Réciproquement, soit $k$ un entier relatif. Alors :
    $19(1-6k)-6(3-19k)=19-114k-18+114k=1$.
    Les solutions de l’équation $(E)$ sont donc les couples $(1-6k;3-19k)$ pour tout entier relatif $k$.
    On cherche les entiers relatifs $k$ tels que :
    $\begin{align*} 2~000\pp x \pp 2~100 &\ssi 2~000\pp 1-6k\pp 2~100 \\
    &\ssi 1~999 \pp 6k \pp 2~099 \\
    &\ssi  \dfrac{1~999}{6}\pp k \pp \dfrac{2~099}{6}\end{align*}$
    Or $\dfrac{1~999}{6}\approx 333,2$ et $\dfrac{2~099}{6}\approx 349,8$.
    $k$ peut donc prendre toutes les valeurs entières comprises entre $334$ et $349$ toutes les deux incluses. Cela  représente donc $16$ valeurs.
    Il existe donc $16$ couples d’entiers $(x;y)$ solutions de l’équation $(E)$ vérifiant $2~000\pp x\pp 2~100$.
    $\quad$
  2. On suppose qu’il existe un entier naturel $a$ strictement supérieur à $1$ qui divise à la fois $n+3$ et $2n+3$.
    Il existe donc des entiers naturels $b$ et $c$ tels que $n+3=ab$ et $2n+3=ac$
    Par conséquent $n=ab-3$
    Ainsi :
    $\begin{align*} 2n+3=ac &\ssi 2(ab-3)+3=ac \\
    &\ssi 2ab-6+3=ac \\
    &\ssi 2ab-3=ac \\
    &\ssi 2ab-ac=3 \\
    &\ssi a(2b-c)=3\end{align*}$
    $a$ divise donc $3$. Par conséquent $a=1$ (ce qui est interdit puisque $a>1$) ou $a=3$.
    Si $a=3$ on a alors $n=ab-3=3b-3=3(b-1)$ et $n$ est un multiple de $3$.
    $\quad$
    Réciproquement, si $n$ est un multiple de $3$ il existe alors un entier naturel $k$ tel que $n=3k$.
    Ainsi $n+3=3k+3=3(k+1)$ et $2n+3=6k+3=3(2k+1)$
    $n+3$ et $2n+3$ sont divisibles également par $3$ et ne sont pas premiers entre-eux.
    $\quad$
    Par conséquent $n+3$ et $2n+3$ ne sont pas premiers entre-eux si, et seulement si, $n$ est divisible par $3$.
    Donc $n+3$ et $2n+3$ sont premiers entre-eux si, et seulement si, $n$ n’est pas un multiple de $3$.
    $\quad$

 

Énoncé

Exercice 1     4 points

Lors d’un examen professionnel, chaque candidat doit présenter un dossier de type A ou un dossier de type B; $60 \%$ des candidats présentent un dossier de type A, les autres présentant un dossier de type B.
Le jury attribue à chaque dossier une note comprise entre $0$ et $20$. Un candidat est reçu si la note attribuée à son dossier est supérieure ou égale à $10$.
On choisit au hasard un dossier.
On admet qu’on peut modéliser la note attribuée à un dossier de type A par une variable aléatoire $X$ suivant la loi normale d’espérance $11,3$ et d’écart-type $3$, et la note attribuée à un dossier de type B par une variable aléatoire $Y$ suivant la loi normale d’espérance $12,4$ et d’écart type $4,7$.
On pourra noter $A$ l’évènement : « le dossier est un dossier de type A », $B$ l’évènement : « le dossier est un dossier de type B », et $R$ l’évènement : « le dossier est celui d’un candidat reçu à l’examen ».
Les probabilités seront arrondies au centième.

  1. Le dossier choisi est de type A. Quelle est la probabilité que ce dossier soit celui d’un candidat reçu à l’examen ? On admet que la probabilité que le dossier choisi, sachant qu’il est de type B, soit celui d’un candidat reçu est égale à $0,70$.
    $\quad$
  2. Montrer que la probabilité, arrondie au centième, que le dossier choisi soit celui d’un candidat reçu à l’examen est égale à $0,68$.
    $\quad$
  3. Le jury examine $500$ dossiers choisis aléatoirement parmi les dossiers de type B. Parmi ces dossiers, $368$ sont ceux de candidats reçus à l’examen.
    Un membre du jury affirme que cet échantillon n’est pas représentatif. Il justifie son affirmation en expliquant que dans cet échantillon, la proportion de candidats reçus est trop grande.
    Quel argument peut-on avancer pour confirmer ou contester ses propos ?
    $\quad$
  4. Le jury décerne un « prix du jury » aux dossiers ayant obtenu une note supérieure ou égale à $N$, où $N$ est un nombre entier. La probabilité qu’un dossier choisi au hasard obtienne le « prix du jury » est comprise entre $0,10$ et $0,15$.
    Déterminer le nombre entier $N$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     6 points

On donne ci-dessous la représentation graphique $\mathscr{C}_g$ dans un repère orthogonal d’une fonction $g$ définie et continue sur $R$. La courbe $\mathscr{C}_g$ est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées et se situe
dans le demi-plan $y > 0$.

Pour tout $t\in \R$ on pose $$G(t)=\ds \int_0^t g(u)\mathrm{d}u$$

Partie A

Les justifications des réponses aux questions suivantes pourront s’appuyer sur des considérations graphiques.

  1. La fonction $G$ est-elle croissante sur $[0 ; +\infty[$ ? Justifier.
    $\quad$
  2. Justifier graphiquement l’inégalité $G(1) \pp 0,9$.
    $\quad$
  3. La fonction $G$ est-elle positive sur R? Justifier.
    $\quad$

Dans la suite du problème, la fonction $\boldsymbol{g}$ est définie sur $\boldsymbol{R}$ par $\boldsymbol{g (u) = e^{-u^2}}$.

Partie B

  1. Étude de $g$
    a. Déterminer les limites de la fonction $g$ aux bornes de son ensemble de définition.
    $\quad$
    b. Calculer la fonction dérivée de $g$ et en déduire le tableau de variations de $g$ sur $\R$.
    $\quad$
    c. Préciser le maximum de $g$ sur $R$. En déduire que $g(1) \pp 1$.
    $\quad$
  2. On note $E$ l’ensemble des points $M$ situés entre la courbe $\mathscr{C}_g$ , l’axe des abscisses et les droites d’équation $x = 0$ et $x = 1$. On appelle $I$ l’aire de cet ensemble.
    On rappelle que : $$I=G(1)=\ds \int_0^1g(u)\mathrm{d}u$$
    On souhaite estimer l’aire $I$ par la méthode dite « de Monte-Carlo » décrite ci-dessous.
    $\bullet$ On choisit un point $M(x ; y)$ en tirant au hasard de façon indépendante ses coordonnées $x$ et $y$ selon la loi uniforme sur l’intervalle $[0 ; 1]$. On admet que la probabilité que le point $M$ appartienne à l’ensemble $E$ est égale à $I$.
    $\bullet$ On répète $n$ fois l’expérience du choix d’un point $M$ au hasard. On compte le nombre $c$ de points appartenant à l’ensemble $E$ parmi les $n$ points obtenus.
    $\bullet$ La fréquence $f =\dfrac{c}{n}$ est une estimation de la valeur de $I$.
    $\quad$
    a. La figure ci-dessous illustre la méthode présentée pour $n = 100$. Déterminer la valeur de $f$ correspondant à ce graphique.

    b. L’exécution de l’algorithme ci-dessous utilise la méthode de Monte-Carlo décrite précédemment pour déterminer une valeur du nombre $f$ .
    Recopier et compléter cet algorithme.
    $f$ , $x$ et $y$ sont des nombres réels, $n$, $c$ et $i$ sont des entiers naturels.
    ALEA est une fonction qui génère aléatoirement un nombre compris entre $0$ et $1$. $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    c\leftarrow 0\\
    \text{Pour $i$ variant de $1$ à $n$ faire :}\\
    \hspace{1cm} x\leftarrow \text{ALEA}\\
    \hspace{1cm} y\leftarrow \text{ALEA}\\
    \hspace{1cm} \text{Si $y\pp \ldots$ alors }\\
    \hspace{2cm} x\leftarrow \ldots\\
    \hspace{1cm} \text{Fin Si}\\
    \text{Fin Pour}\\
    f\leftarrow \ldots \\
    \hline
    \end{array}$$
    c. Une exécution de l’algorithme pour $n = 1~000$ donne $f = 0,757$.
    En déduire un intervalle de confiance, au niveau de confiance de $95 \%$, de la valeur exacte de $I$.
    $\quad$

Partie C

On rappelle que la fonction $g$ est définie sur $\R$ par $g(u) = e^{-u^2}$ et que la fonction $G$ est définie sur $\R$ par : $$G(t)=\ds \int_0^tg(u)\mathrm{d}u$$
On se propose de déterminer une majoration de $G(t)$ pour $t \pg 1$.

  1. Un résultat préliminaire.
    On admet que, pour tout réel $u \pg 1$, on a $g(u) \pp \dfrac{1}{u^2}$.
    En déduire que, pour tout réel $t \pg 1$, on a : $$\ds \int_1^t g(u)\mathrm{d}u \pp 1-\dfrac{1}{t}$$.
    $\quad$
  2. Montrer que, pour tout réel $t \pg 1$, $$G(t)\pp 2-\dfrac{1}{t}$$
    Que peut-on dire de la limite éventuelle de $G(t)$ lorsque $t$ tend vers $+\infty$?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     5 points

Préciser si chacune des affirmations suivantes est vraie ou fausse en justifiant votre réponse.

  1. Soit $m$ un nombre réel et soit l’équation $(E) : \quad 2z^2+(m-5)z+m=0$.
    a. Affirmation 1 :
    « Pour $m = 4$, l’équation $(E)$ admet deux solutions réelles. »
    $\quad$
    b. Affirmation 2:
    « Il n’existe qu’une seule valeur de $m$ telle que $(E)$ admette deux solutions complexes qui soient des imaginaires purs. »
    $\quad$
  2. Dans le plan complexe, on considère l’ensemble $S$ des points $M$ d’affixe $z$ vérifiant : $$|z-6|=|z+5\ic|$$
    Affirmation 3 :
    « L’ensemble $S$ est un cercle. »
    $\quad$
  3. On munit l’espace d’un repère orthonormé $\Oijk$. On note $d$ la droite dont une représentation paramétrique est :  $$d:\begin{cases} x&=&-1+t\\y&=&2-t\\z&=&3+t\end{cases} \quad t\in \R$$
    On note $d’$ la droite passant par le point $B(4 ; 4 ;−6)$ et de vecteur directeur $\vec{v}(5 ; 2 ; −9)$.
    Affirmation 4 :
    « Les droites $d$ et $d’$ sont coplanaires. »
    $\quad$
  4. On considère le cube $ABCDEFGH$ représenté ci-dessous.

    Affirmation 5 :
    « Le vecteur $\vect{DE}$ est un vecteur normal au plan $(ABG)$. »
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     5 points

Pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $[0; 4]$ par $$f(x)=\dfrac{2+3x}{4+x}$$

Partie A

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par :
$\hspace{3cm} u_0=3$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$.

On admet que cette suite est bien définie.

  1. Calculer $u_1$.
    $\quad$
  2. Montrer que la fonction $f$ est croissante sur l’intervalle $[0; 4]$.
    $\quad$
  3. Montrer que pour tout entier naturel $n$, $$1 \pp u_{n+1} \pp u_n\pp 3$$
    $\quad$
  4. a. Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
    $\quad$
    b. On appelle $\ell$ la limite de la suite $\left(u_n\right)$; montrer l’égalité : $$\ell=\dfrac{2+3\ell}{4+\ell}$$
    $\quad$
    c. Déterminer la valeur de la limite $\ell$.
    $\quad$

Partie B

On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie par :
$\hspace{3cm} v_0=0,1$ et pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1}=f\left(v_n\right)$.

  1. On donne en Annexe, à rendre avec la copie, la courbe représentative, $\mathscr{C}_f$, de la fonction $f$ et la droite $D$ d’équation $y = x$.
    Placer sur l’axe des abscisses par construction géométrique les termes $v_1$, $v_2$ et $v_3$ sur l’annexe, à rendre avec la copie.
    Quelle conjecture peut-on formuler sur le sens de variation et le comportement de la suite $\left(v_n\right)$ quand $n$ tend vers l’infini ?
    $\quad$
  2. a. Montrer que pour tout entier naturel $n$, $$1-v_{n+1}=\left(\dfrac{2}{4+v_n}\right)\left(1-v_n\right)$$
    $\quad$
    b. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $$0\pp 1-v_n\pp \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$$
    $\quad$
  3. La suite $\left(v_n\right)$ converge-t-elle ? Si oui, préciser sa limite.
    $\quad$

Annexe

 

$\quad$

 

Exercice 4     5 points

Pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Les deux parties sont indépendantes.

Partie A

Un laboratoire étudie l’évolution d’une population d’insectes parasites de plantes.
Cette évolution comporte deux stades : un stade larvaire et un stade adulte qui est le seul au cours duquel les insectes peuvent se reproduire.
L’observation de l’évolution de cette population conduit à proposer le modèle suivant.
Chaque semaine :

  • Chaque adulte donne naissance à $2$ larves puis $75 \%$ des adultes meurent.
  • $25 \%$ des larves meurent et $50 \%$ des larves deviennent adultes.

Pour tout entier naturel $n$, on note $\ell_n$ le nombre de larves et $a_n$ le nombre d’adultes au bout de $n$ semaines.
Pour tout entier naturel $n$, on note $X_n$ la matrice colonne définie par : $X_n =\begin{pmatrix} \ell_n\\a_n\end{pmatrix}$.

  1. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $X_{n+1} = AX_n$ où $A$ est la matrice : $$A=\begin{pmatrix}0,25&2\\0,5&0,25\end{pmatrix}$$
    $\quad$
  2. On note $U$ et $V$ les matrices colonnes : $U = \begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$ et $V=\begin{pmatrix}a\\1\end{pmatrix}$, où $a$ est un nombre réel.
    a. Montrer que $AU = 1,25U$.
    $\quad$
    b. Déterminer le réel $a$ tel que $AV = -0,75V$.

Dans les questions 3 et 4, le réel $a$ est fixé de sorte qu’il est la solution de $AV = -0,75V$ .

  1. On admet qu’il existe deux nombres réels $\alpha$ et $\beta$ tels que : $X_0 = \alpha U +\beta V$ et $\alpha > 0$.
    a. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $X_n = \alpha(1,25)^n U+\beta(-0,75)^n V$.
    $\quad$
    b. En déduire que pour tout entier naturel $n$ : $\begin{cases} \ell_n&=&2(1,25)^n\left(\alpha-\beta(-0,6)^n\right)\\a_n&=&(1,25)^n\left(\alpha+\beta(-0,6)^n\right)\end{cases}$.
    $\quad$
  2. Montrer que $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{\ell_n}{a_n}=2$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

Partie B

  1. On considère l’équation $(E) :~~ 19x-6y = 1$. Déterminer le nombre de couples d’entiers $(x ; y)$ solutions de l’équation $(E)$ et vérifiant $2~000 \pp x \pp 2~100$.
    $\quad$
  2. Soit $n$ un entier naturel. Montrer que les entiers $(2n + 3)$ et $(n + 3)$ sont premiers entre eux si et seulement si $n$ n’est pas un multiple de $3$.
    $\quad$

c

Bac S – Antilles Guyane – Septembre 2019

Antilles Guyane – Septembre 2019

Bac S – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici .

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. a. On veut calculer $P(A\cap F)=\dfrac{2}{3}\times \dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{2}$ d’après l’arbre pondéré.
    La probabilité que l’adhérent choisisse un panier de petite taille et soit intéressé par une livraison d’œufs frais est égale à $\dfrac{1}{2}$.
    $\quad$
    b. On a $P\left(B\cap \conj{F}\right)=\dfrac{1}{4}\times \left(1-\dfrac{3}{5}\right)=\dfrac{1}{10}$.
    La probabilité que l’adhérent choisisse un panier de taille moyenne et qu’il ne soit pas intéressé par une livraison d’œufs frais est égale à $\dfrac{1}{10}$.
    $\quad$
    c. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(F)&=P(A\cap F)+P(B\cap F)+P(C\cap F) \\
    &=\dfrac{2}{3}\times \dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{4}\times \dfrac{3}{5}+P(C\cap F) \\
    &=0,65+P(C\cap F) \\
    &>0,6\end{align*}$
    On peut donc affirmer que cette livraison sera mise en place.
    $\quad$
  2. a. D’après la question précédente, on a :
    $P(F)=0,65+P(C\cap F) \ssi 0,675=0,65+P(C\cap F) \ssi P(C\cap F) =0,025$
    De plus $P(C)=1-P(A)-P(B)=1-\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{12}$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} P_C(F)&=\dfrac{P(C\cap F)}{P(C)} \\
    &=\dfrac{0,025}{\dfrac{1}{12}} \\
    &=0,3\end{align*}$
    $\quad$
    b. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_F(C)&=\dfrac{P(F\cap C)}{P(F)} \\
    &=\dfrac{0,025}{0,675} \\
    &=\dfrac{1}{27} \\
    &\approx 0,04\end{align*}$
    La probabilité qu’il ait choisi un panier de grande taille est donc environ égale à $0,04$.
    $\quad$

Partie B

  1. On veut calculer :
    $\begin{align*}P(X\pp 4~500)&=P(X<5~000)-P(4~500<X<5~000) \\
    &=0,5-P(4~500<X<5~000) \\
    &\approx 0,12\end{align*}$
    La probabilité que le panier ne soit pas conforme est environ égale à $0,12$.
    $\quad$
  2. La variable aléatoire $Z=\dfrac{Y-5~000}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.
    $\begin{align*} P(Y<4~500)=0,04 &\ssi P(Y-5~000<-500)=0,04 \\
    &\ssi P\left(\dfrac{Y-5~000}{\sigma}<-\dfrac{500}{\sigma}\right)=0,04 \\
    &\ssi P\left(Z<-\dfrac{500}{\sigma}\right)=0,04 \end{align*}$
    À l’aide de la touche Inverse loi normale de la calculatrice on trouve $-\dfrac{500}{\sigma} \approx -1,75 \ssi \sigma \approx 286$.
    $\quad$

Partie C

On a $n=120$ et $p=0,88$.
Par conséquent $n=120\pg 30$ , $np=105,6\pg 5$ et $n(1-p)=14,4\pg 5$.

Un intervalle de fluctuation asymptotique de la fréquence des adhérents satisfaits est :
$\begin{align*} I_{120}&=\left[0,88-1,96\sqrt{\dfrac{0,12\times 0,88}{120}},0,88+1,96\sqrt{\dfrac{0,12\times 0,88}{120}}\right] \\
&\approx [0,821,0,939]\end{align*}$

La fréquence observée est $f=\dfrac{100}{120}\approx 0,833$
Donc $f\in I_{120}$.

La contestation de l’auditeur n’est donc pas fondée.

$\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. a. On a $\vect{OA}(10;0;1)$ et $\vect{OB}(1;7;1)$.
    Par conséquent $\vect{OA}.\vect{OB}=10\times 1+0\times 7+1\times 1=11 \neq 0$.
    Cela signifie donc que les deux vecteurs ne sont pas orthogonaux et que les droites $(OA)$ et $(OB)$ ne sont pas perpendiculaires.
    $\quad$
    b. $OA=\sqrt{10^2+0^2+1^2}=\sqrt{101}$ et $OB=\sqrt{1^2+7^2+1^2}=\sqrt{51}$.
    Ainsi $\vect{OA}.\vect{OB}=11$
    et $\vect{OA}.\vect{OB}=OA\times OB\times \cos \widehat{AOB}=\sqrt{101}\times \sqrt{51}\times \cos \widehat{AOB}$
    Par conséquent $\cos \widehat{AOB}=\dfrac{11}{\sqrt{101}\times \sqrt{51}}$
    On obtient alors $\widehat{AOB}\approx 81$°.
    $\quad$
  2. Nous allons vérifier que les coordonnées des points $O$, $A$ et $B$ vérifient bien l’équation proposée.
    Pour le point $O$ : $7\times 0+9\times 0-70\times 0=0 \quad \checkmark$
    Pour le point $A$ : $7\times 10+9\times 0-70\times 1=70-70=0 \quad \checkmark$
    Pour le point $B$ : $7\times 1+9\times 7-70\times 1=7+63-70=0 \quad \checkmark$
    Une équation du plan $(OAB)$ est donc $7x+9y-70z=0$.
    $\quad$
  3. On a $\vect{CA}(10;0;-4)$.
    Une représentation paramétrique de la droite $(CA)$ est donc $$\begin{cases} x=10k\\y=0\\z=5-4k\end{cases} \quad, k\in \R$$
    $\quad$
  4. $D$ est le milieu du segment $[OC]$. Par conséquent $D(0;0;2,5)$.
    Le plan $P$ est parallèle au plan $(OAB)$.
    Une équation cartésienne de $P$ est donc de la forme $7x+9y-70z+d=0$
    Ainsi $0+0-70\times 2,5+d=0 \ssi d=175$.
    Une équation cartésienne du plan $P$ est par conséquent $7x+9y-70z+175=0$.
    $\quad$
  5. Les coordonnées du point $E$ sont solutions du système suivant :
    $\begin{align*}\begin{cases} 7x+9y-70z+175=0\\x=10k\\y=0\\z=5-4k\end{cases} &\ssi \begin{cases} 7\times 10k-70(5-4k)+175=0\\x=10k\\y=0\\z=5-4k\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} 70k-350+280k+175=0\\x=10k\\y=0\\z=5-4k\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} 350k=175\\x=10k\\y=0\\z=5-4k\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} k=0,5\\x=5\\y=0\\z=3\end{cases} \end{align*}$
    Le point $F$ a donc pour coordonnées $(5;0;3)$.
    $\quad$
  6. On a donc $\vect{EF}\left(\dfrac{9}{2};-\dfrac{7}{2};0\right)$ et $\vect{AB}(-9;7;0)$
    Par conséquent $\vect{AB}=-2\vect{EF}$.
    Ces deux vecteurs sont colinéaires et les droites $(EF)$ et $(AB)$ sont donc parallèles.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. Sur $]0;+\infty[$ on a $g(x)=0 \ssi 4x-x\ln x=0 \ssi x(4-\ln x)=0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Donc $x=0$ (ce qui est impossible) ou $4-\ln x=0 \ssi x=\e^4$.
    La solution de l’équation $g(x)=0$ est donc $\e^4$.
    $\quad$
  2. $g(x)=x(4-\ln x)$
    Sur $]0;+\infty[$, le signe de $g(x)$ ne dépend donc que de celui de $4-\ln x$.
    Or $4-\ln x>0 \ssi -\ln x>-4 \ssi \ln x<4 \ssi x<\e^4$.
    Ainsi :
    $\bullet$ $g(x)>0$ sur l’intervalle $\left]0;\e^4\right[$
    $\bullet$ $g\left(\e^4\right)=0$
    $\bullet$ $g(x)<0$ sur l’intervalle $\left]\e^4;+\infty\right[$
    $\quad$
  3. D’après la question précédente, la fonction $g$ change de signe : la première conjecture est donc fausse.
    $g(x)$ est d’abord positif puis négatif : la fonction $g$ ne peux pas être strictement croissante. La seconde conjecture est également fausse.
    $\quad$

Partie B

  1. a. On a, pour tout réel $x$ strictement positif, $x\ln x=-\dfrac{\ln \dfrac{1}{x}}{\dfrac{1}{x}}$
    Or $\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{1}{x}=+\infty$ et $\lim\limits_{t\to +\infty} \dfrac{\ln t}{t}=0$
    Donc $\lim\limits_{x\to 0^+}x\ln x=0$.
    $\quad$
    b. On a $\lim\limits_{x\to 0^+}x\ln x=0$ et $\lim\limits_{x\to 0^+}4x=0$.
    Donc $\lim\limits_{x\to 0^+}g(x)=0$.
    $\quad$
  2. a. D’après l’énoncé, la fonction $g$ est dérivable sur $]0;+\infty[$.
    Pour tout réel $x>0$, on a :
    $\begin{align*} g'(x)&=4-\ln x-x\times \dfrac{1}{x} \\
    &=4-\ln x-1 \\
    &=3-\ln x\end{align*}$
    $\quad$
    b. $3-\ln x=0 \ssi x=\e^3$ et $3-\ln x>0 \ssi -\ln x>-3 \ssi x<\e^3$
    On obtient donc le tableau de signes suivant :

    On a $g(x)=x(4-\ln x)$
    $\lim\limits_{x \to +\infty} \ln x=+\infty$ donc $\lim\limits_{x \to +\infty} 4-\ln x=-\infty$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x)=-\infty$.
    $\quad$
  3. a. D’après l’énoncé la fonction $G$ est dérivable sur l’intervalle $]0;+\infty[$.
    Pour tout réel $x>0$ on a :
    $\begin{align*} G'(x)&=\dfrac{1}{4}\left(2x(9-2\ln x)-2x^2\times \dfrac{1}{x}\right) \\
    &=\dfrac{1}{4}\left(18x-4x\ln x-2x\right) \\
    &=4x-x\ln x \\
    &=g(x)\end{align*}$
    La fonction $G$ est donc bien une primitive de la fonction $g$ sur l’intervalle $]0;+\infty[$.
    $\quad$
    b. Pour tout réel $a>1$ on a :
    $\begin{align*} \ds \int_1^a g(x)\dx&=G(a)-G(1) \\
    &=\dfrac{1}{4}a^2\left(9-2\ln a\right)-\dfrac{9}{4}\\
    &=\dfrac{1}{4}\left(a^2\left(9-2\ln a\right)-9\right)\end{align*}$
    On considère la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=x^2(9-2\ln x)-9$.
    Cette fonction est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout $x>0$ on a :
    $f'(x)=2x(9-2\ln x)-2x^2\times \dfrac{1}{x}=18x-4x\ln x-2x=4g(x)$.
    Par conséquent, d’après la question A.2 la fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur l’intervalle $\left[\e^4;+\infty\right[$.
    De plus $f\left(\e^4\right)=\e^8-9>0$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=-\infty$ (produit de deux limites infinies de signes contraires).
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$.
    Cela signifie donc que $\ds \int_1^{\alpha} g(x)\dx =0$.
    L’affirmation est donc fausse.
    $\quad$

Ex 4 obl

Exercice 4

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

  1. En calculant les premières valeurs de la suite $\left(p_n\right)$, on constate que $p_{21}=-437$ et $p_{22}=-436>p_{21}$.
    La suite $\left(p_n\right)$ n’est donc pas strictement décroissante.
    Affirmation 1 fausse
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} v_{n+1}&={u_{n+1}}^2-1 \\
    &=\dfrac{1}{9}\left({u_n}^2+8\right)-\dfrac{9}{9}\\
    &=\dfrac{1}{9}\left({u_n}^2-1\right) \\
    &=\dfrac{1}{9}v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $\dfrac{1}{9}$.
    Affirmation 2 vraie
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $\dfrac{n^2}{(n+1)^2} \pp w_n \pp \dfrac{n^2+n}{(n+1)^2}$
    Or, d’après la limite des termes de plus haut degré, on a $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{n^2}{(n+1)^2}=\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{n^2}{n^2}=1$
    et $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{n^2+n}{(n+1)^2}=\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{n^2}{n^2}=1$
    D’après le théorème des gendarmes la suite $\left(w_n\right)$ converge donc vers $1$.
    Affirmation 3 vraie
    $\quad$

Partie B

  1. $U_1=\dfrac{2U_0}{1+U_0}=\dfrac{1}{~~\dfrac{3}{2}~~}=\dfrac{2}{3}$.
    $\quad$
  2. Initialisation : Si $n=0$ alors $\dfrac{2^n}{1+2^n}=\dfrac{1}{2}=U_0$.
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$. Par conséquent $U_n=\dfrac{2^n}{1+2^n}$
    Montrons qu’elle est encore vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire $U_{n+1}=\dfrac{2^{n+1}}{1+2^{n+1}}$
    $\begin{align*} U_{n+1}&=\dfrac{2U^n}{1+U_n} \\\\
    &=\dfrac{\dfrac{2^{n+1}}{1+2^n}}{1+\dfrac{2^n}{1+2^n}} \\\\
    &=\dfrac{\dfrac{2^{n+1}}{1+2^n}}{\dfrac{1+2^n+2^n}{1+2^n}} \\\\
    &=\dfrac{\dfrac{2^{n+1}}{1+2^n}}{\dfrac{1+2\times 2^n}{1+2^n}} \\\\
    &=\dfrac{\dfrac{2^{n+1}}{1+2^n}}{\dfrac{1+\times 2^{n+1}}{1+2^n}} \\\\
    &=\dfrac{2^{n+1}}{1+2^{n+1}} \end{align*}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $U_n=\dfrac{2^n}{1+2^n}$.
    $\quad$
  3. L’algorithme 2 fournit le terme $U_{n+1}$ et non $U_n$ puisque la boucle Pour est effectuée $n+1$ fois.
    $\quad$

 

Ex 4 spé

Exercice 4

  1. a. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
    b. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} a_{n+1}&=p\left(A_{n+1}\right)\\
    &=p\left(A_n\cap A_{n+1}\right)+p\left(B_n\cap A_{n+1}\right) \\
    &=\dfrac{3}{5}a_n+\dfrac{1}{10}b_n \end{align*}$
    et
    $\begin{align*} b_{n+1}&=p\left(B_{n+1}\right)\\
    &=p\left(A_n\cap B_{n+1}\right)+p\left(B_n\cap B_{n+1}\right) \\
    &=\dfrac{2}{5}a_n+\dfrac{1}{15}b_n \end{align*}$
    Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{cases} a_{n+1}=\dfrac{3}{5}a_n+\dfrac{1}{10}b_n \\\\b_{n+1}=\dfrac{2}{5}a_n+\dfrac{1}{15}b_n\end{cases}$
    $\quad$
    c. Pour tout entier naturel $n$ on a $MU_n=\begin{pmatrix} \dfrac{3}{5}a_n+\dfrac{1}{10}b_n\\\dfrac{2}{5}a_n+\dfrac{1}{2}b_n\end{pmatrix}=U_{n+1}$
    Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a $U_{n+1}=MU_n$.
    Donc $U_n=M^nU_0$.
    $\quad$
  2. a. On a $U_0=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$.
    $\quad$
    b. $M^2=M\times M=\dfrac{1}{900}\begin{pmatrix}18^2+3\times 12&18\times 3+2\times 3\\12\times 18+2\times 2&12\times 3+2\times 2\end{pmatrix}=\dfrac{1}{45}\begin{pmatrix}18&3\\12&2\end{pmatrix}$
    On constate donc que $M^2=\dfrac{2}{3}M$.
    $\quad$
    c. Initialisation : Si $n=1$ alors $\left(\dfrac{2}{3}\right)^0M=M=M^1$.
    La propriété est vraie au rang $1$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n\pg 1$. Ainsi $M^n=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}M$.
    Montrons qu’elle est encore vraie au rang $n+1$ c’est-à-dire que $M^{n+1}=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}M$.
    $\begin{align*} M^{n+1}&=M^n\times M \\
    &=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}M \times M \\
    &=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}M^2 \\
    &=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1} \times \dfrac{2}{3}M \\
    &=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}M\end{align*}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n\pg 1$ on a $M^n=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}M$.
    $\quad$
    d. Pour tout entier naturel $n\pg 1$ on a :
    $\begin{align*} U_{n}&=M^nU_0 \\
    &=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}MU_0 \\
    &=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}\times \dfrac{1}{30}\begin{pmatrix}18\\12 \end{pmatrix}\\
    &=\begin{pmatrix}\dfrac{3}{5}\times \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}\\\dfrac{2}{5}\times \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}\end{pmatrix}\end{align*}$
    $\quad$
  3. a. Pour tout entier naturel $n$ on a donc :
    $\begin{align*} c_n&=1-a_n-b_n \\
    &=1-\dfrac{3}{5}\times \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}-\dfrac{2}{5}\times \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1} \\
    &=1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}\end{align*}$
    $\quad$
    b. D’après la calculatrice $c_6\approx 0,87$ et $c_7\approx 0,91$.
    Une fois l’algorithme terminé, la variable $n$ contient donc le nombre $7$.
    Cela signifie, qu’au bout de $7$ heures, la probabilité que la bouteille se trouve dans l’océan est supérieure à $0,9$.

$\quad$

 

 

 

Énoncé

Exercice 1     4 points

Les trois parties de l’exercice peuvent être traitées indépendamment.

Une association offre à ses adhérents des paniers de légumes. Chaque adhérent a le choix entre trois tailles de panier:

  • un panier de petite taille;
  • un panier de taille moyenne;
  • un panier de grande taille.

Partie A

L’association envisage de proposer en outre des livraisons d’œufs frais. Pour savoir si ses adhérents sont intéressés, elle réalise un sondage.
On interroge un adhérent au hasard. On considère les évènements suivants:

  • $A$ : « l’adhérent choisit un panier de petite taille »;
  • $B$ : « l’adhérent choisit un panier de taille moyenne »;
  • $C$ : « l’adhérent choisit un panier de grande taille »;
  • $F$ : « l’adhérent est intéressé par une livraison d’œufs frais ».

On dispose de certaines données, qui sont résumées dans l’arbre ci-dessous:

  1. Dans cette question, on ne cherchera pas à compléter l’arbre.
    a. Calculer la probabilité que l’adhérent choisisse un panier de petite taille et soit intéressé par une livraison d’œufs frais.
    $\quad$
    b. Calculer $P\left(B \cap \overline{F}\right)$, puis interpréter ce résultat à l’aide d’une phrase.
    $\quad$
    c. La livraison d’œufs frais ne sera mise en place que si la probabilité de l’évènement $F$ est supérieure à $0,6$. Pourquoi peut-on affirmer que cette livraison sera mise en place ?
    $\quad$
  2. Dans cette question, on suppose que $P(F) = 0,675$.
    a. Démontrer que la probabilité conditionnelle de $F$ sachant $C$, notée $P_C(F)$, est égale à $0,3$.
    $\quad$
    b. L’adhérent interrogé est intéressé par la livraison d’œufs frais.
    Quelle est la probabilité qu’il ait choisi un panier de grande taille ? Arrondir le résultat à $10^{-2}$.
    $\quad$

Partie B

  1. La masse, en gramme, d’un panier de grande taille peut être modélisée par une variable aléatoire, notée $X$, suivant une loi normale d’espérance $5~000$ et d’écart- type $420$. Un panier de grande taille est déclaré non conforme lorsque sa masse est inférieure à $4,5$ kg.
    On choisit au hasard un panier de grande taille.
    Quelle est la probabilité, arrondie au centième, qu’il soit non conforme ?
    $\quad$
  2. Les responsables de l’association décident de modifier la méthode de remplissage. Avec cette nouvelle méthode, la masse, en gramme, d’un panier de grande taille est désormais modélisée par une variable aléatoire, notée $Y$, suivant une loi normale d’espérance $5~000$ et d’écart-type $\sigma$. La probabilité qu’un panier de grande taille choisi au hasard soit non conforme est alors de $0,04$.
    Déterminer la valeur de $\sigma$ arrondie à l’unité.
    $\quad$

Partie C

Depuis plusieurs années, les associations distribuant des produits frais à leurs adhérents se développent dans tout le pays et connaissent un succès grandissant.
Lors d’une émission de radio consacrée à ce sujet, un journaliste annonce que $88\%$ des adhérents de ces associations sont satisfaits.
Un auditeur intervient dans l’émission pour contester le pourcentage avancé par le journaliste. à l’appui de son propos, l’auditeur déclare avoir réalisé un sondage auprès de $120$ adhérents de ces associations et avoir constaté que, parmi eux, seuls $100$ ont indiqué être satisfaits.
La contestation de l’auditeur est-elle fondée ?
$\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

L’espace est rapporté à un repère orthonormé $\Oijk$.
On considère les points $A(10;0;1)$, $B(1;7;1)$ et $C(0;0;5)$.

  1. a. Démontrer que les droites $(OA)$ et $(OB)$ ne sont pas perpendiculaires.
    $\quad$
    b. Déterminer la mesure, en degré, de l’angle $\widehat{AOB}$, arrondie au dixième.
    $\quad$
  2. Vérifier que $7x+9y-70z = 0$ est une équation cartésienne du plan $(OAB)$.
    $\quad$
  3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(CA)$.
    $\quad$
  4. Soit $D$ le milieu du segment $[OC]$. Déterminer une équation du plan $P$ parallèle au plan $(OAB)$ passant par $D$.
    $\quad$
  5. Le plan $P$ coupe la droite $(CB)$ en $E$ et la droite $(CA)$ en $F$.
    Déterminer les coordonnées du point $F$.
    On admet que le point $E$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{7}{2};3\right)$.
    $\quad$
  6. Démontrer que la droite $(EF)$ est parallèle à la droite $(AB)$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     5 points

Soit $g$ la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par $$g(x) = 4x-x \ln x$$
On admet que la fonction $g$ est dérivable sur $]0; +\infty[$ et on note $g’$ sa dérivée.

Partie A

Le graphique ci-dessous représente une partie de la courbe représentative de la fonction $g$ obtenue par un élève sur sa calculatrice.

Cet élève émet les deux conjectures suivantes :

  • il semble que la fonction $g$ soit positive ;
  • il semble que la fonction $g$ soit strictement croissante.

L’objectif de cette partie est de valider ou d’invalider chacune de ces conjectures.

  1. Résoudre l’équation $g(x) = 0$ sur l’intervalle $]0; +\infty[$.
    $\quad$
  2. Déterminer le signe de $g(x)$ sur l’intervalle $]0; +\infty[$.
    $\quad$
  3. Les conjectures de l’élève sont-elles vérifiées ?
    $\quad$

Partie B

Dans cette partie, on poursuit l’étude de la fonction $g$.

  1. a. On rappelle que $$\lim\limits_{t \to + \infty} \dfrac{\ln t}{t} = 0$$
    En déduire que $$\lim\limits_{x \to 0} x \ln x = 0$$
    $\quad$
    b. Calculer la limite de $g(x)$ lorsque $x$ tend vers $0$.
    $\quad$
  2. a. Démontrer que, pour tout réel $x$ strictement positif, $g'(x) = 3-\ln x$.
    $\quad$
    b. Dresser le tableau de variations de la fonction $g$.
    $\quad$
  3. On désigne par $G$ la fonction définie sur $]0; +\infty[$ par $$G(x) = \dfrac{1}{4}x^2(9-2\ln x)$$
    On admet que la fonction $G$ est dérivable sur $]0; +\infty[$.
    a. Démontrer que la fonction $G$ est une primitive de la fonction $g$ sur $]0; +\infty[$.
    $\quad$
    b. L’affirmation suivante est-elle vraie ?
    « Il n’existe aucun réel $\alpha$ strictement supérieur à $1$ tel que $\ds \int_1^{\alpha} g(x) \dx = 0$. »
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes.

Partie A

Pour chacune des trois affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse.
Il est attribué un point par réponse correctement justifiée. Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte, une absence de réponse n’est pas pénalisée.

  1. On considère la suite $\left(p_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$, par $$p_n = n^2-42n + 4$$
    Affirmation 1 : La suite $\left(p_n\right)$ est strictement décroissante.
    $\quad$
  2. Soit $a$ un nombre réel. On considère les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ définies par :
    $\quad$ $\bullet~~$ $U_0 = a$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = \dfrac{1}{3}\sqrt{{u_n}^2 + 8}$ ;
    $\quad$ $\bullet~~$ $v_n = {u_n}^2-1$ pour tout entier naturel $n$.
    Affirmation 2 : La suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique.
    $\quad$
  3. On considère une suite $\left(w_n\right)$ qui vérifie, pour tout entier naturel $n$, $$n^2 \pp (n+1)^2w_n \pp n^2 +n.$$
    Affirmation 3 : La suite $\left(w_n\right)$ converge.
    $\quad$

Partie B

On considère la suite $\left(U_n\right)$ définie par $U_0 = \dfrac{1}{2}$ et, pour tout entier naturel $n$, $$U_{n+1} = \dfrac{2U_n}{1 + U_n}$$

  1. Calculer $U_1$ que l’on écrira sous la forme d’une fraction irréductible.
    $\quad$
  2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $$U_n = \dfrac{2^n}{1 + 2^n}$$
    $\quad$
  3. On considère les trois algorithmes suivants dans lesquels les variables $n$, $p$ et $u$ sont du type nombre. Pour un seul de ces trois algorithmes la variable $u$ ne contient pas le terme $U_n$ en fin d’exécution.
    Déterminer lequel en justifiant votre choix.
    $$\begin{array}{|l|l|l|}
    \hline
    \textbf{Algorithme 1}&\textbf{Algorithme 2}&\textbf{Algorithme 3}\\
    \begin{array}{l}
    u\gets \dfrac{1}{2}\\
    i \gets 0\\
    \text{Tant que } i < n\\
    \hspace{1cm} u\gets \dfrac{2u}{u+1}\\
    \hspace{1cm} i \gets i + 1\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \end{array}&
    \begin{array}{l}
    u\gets \dfrac{1}{2}\\
    \text{Pour $i$ allant de $0$ à $n$}\\
    \hspace{1cm} u\gets \dfrac{2u}{u+1}\\
    \text{Fin Pour}\\
    \end{array}&
    \begin{array}{l}
    p \gets 2^n\\
    u \gets \dfrac{p}{p + 1}\\
    \end{array}\\ \hline
    \end{array}$$
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Une ville possède deux ports maritimes:

  • un port de plaisance A ;
  • un port de commerce B.

Le port de plaisance A n’a pas d’accès direct à l’océan mais est relié au port de commerce B qui, lui, est ouvert sur l’océan. Un passant, installé en terrasse sur le port de plaisance A, jette une bouteille dans l’eau.
À l’instant $0$, la bouteille se trouve dans le port A.
Soit $n$ un entier naturel.

On admet que :

  • quand la bouteille est dans le port A au bout de $n$ heures, la probabilité qu’elle y soit encore l’heure suivante est $\dfrac{3}{5}$ ;
  • quand la bouteille est dans le port B au bout de $n$ heures, la probabilité qu’elle soit dans le port A l’heure suivante est $\dfrac{1}{10}$ et la probabilité qu’elle se trouve toujours dans le port B l’heure suivante est $\dfrac{1}{15}$ ;
  • le port A n’ayant pas d’accès direct à l’océan, lorsque la bouteille est dans le port A, elle ne peut pas se trouver dans l’océan l’heure suivante;
  • une fois dans l’océan, la bouteille ne revient jamais dans les ports.

Soient les évènements :

  • $A_n$ : « la bouteille se trouve dans le port A au bout de $n$ heures »;
  • $B_n$ : « la bouteille se trouve dans le port B au bout de $n$ heures »;
  • $C_n$ : « la bouteille se trouve dans l’océan au bout de $n$ heures ».

On note $a_n$, $b_n$ et $c_n$ les probabilités respectives de ces évènements.
Ainsi on a $a_0 = 1$, $b_0 = 0$ et $c_0 = 0$.

  1. a. Compléter l’arbre fourni en ANNEXE à rendre avec la copie.
    $\quad$
    b. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $$\begin{cases} a_{n+1}&=&\dfrac{3}{5}a_n + \dfrac{1}{10}b_n\\\\b_{n+1}&=&\dfrac{2}{5}a_n + \dfrac{1}{15}b_n\end{cases}$$
    $\quad$
    Soient les matrices suivantes : $$M = \dfrac{1}{30} \begin{pmatrix}18&3\\12& 2 \end{pmatrix}\quad \text{et}\quad U_n = \begin{pmatrix}a_n\\b_n\end{pmatrix}$$
    c. Démontrer que, pour tout entier strictement positif $n$, $U_n = M^nU_0$.
    $\quad$
  2. a. Donner $U_0$.
    $\quad$
    b. Calculer $M^2$ en détaillant les calculs de l’un des coefficients et en déduire qu’il existe un réel $k$ tel que $M^2 = kM$.
    $\quad$
    c. Démontrer par récurrence que, pour tout entier $n$ strictement positif, $$M^n = \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1} M$$
    $\quad$
    d. En déduire que, pour tout entier $n$ strictement positif, $$U_n = \begin{pmatrix}\dfrac{3}{5}\times\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}\\
    \dfrac{2}{5}\times\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}\end{pmatrix}$$
    $\quad$
  3. Soit $n$ un entier strictement positif.
    a. Démontrer que la probabilité que la bouteille soit dans l’océan au bout de $n$ heures est égale à $1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}$.
    $\quad$
    b. On considère l’algorithme ci-dessous :
    $$ \begin{array}{|l|}
    \hline
    n\gets 1\\
    \text{Tant que } 1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1} < 0,9 \\
    \hspace{0.8cm} n \gets n+1\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    Indiquer sans justification le nombre contenu dans la variable $n$ de cet algorithme à la fin de son exécution.
    Interpréter ce nombre dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

ANNEXE

$\quad$