Bac S – Nouvelle Calédonie – Novembre 2019

Nouvelle Calédonie – Novembre 2019

Bac S – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici .

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. On a $P(F)=0,0225$.
    On veut calculer :
    $\begin{align*} P_F(M)&=\dfrac{P(F\cap M)}{P(F)} \\
    &=\dfrac{0,25\times 0,06}{0,0225} \\
    &=\dfrac{2}{3}\end{align*}$
    La probabilité qu’il s’agisse d’un carreau avec motif sachant qu’il est fissuré est égale à $\dfrac{2}{3}$.
    $\quad$
  3. On a :
    $\begin{align*} P_{\conj{M}}(F)&=\dfrac{P\left(\conj{M}\cap F\right)}{P\left(\conj{M}\right)} \\
    &=\dfrac{0,25\times 0,94}{0,75} \\
    &=\dfrac{47}{150}\end{align*}$
    $\quad$

Partie B

  1. On a :
    $\begin{align*} P(10,1<X<11,9)=0,99 &\ssi 1-P(X<10,1)-P(X>11,9)=0,99 \\
    &\ssi -2P(X<10,1)=-0,01 \\
    &\ssi P(X<10,1)=0,005\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. $Z$ suit la loi normale centrée réduite.
    $\quad$
    b. On a :
    $\begin{align*} P(10,1<X<11,9)=0,99 &\ssi P(-0,9 < X-11 <0,9)=0,99 \\
    &\ssi P\left(-\dfrac{0,9}{\sigma} <\dfrac{X-11}{\sigma}<\dfrac{0,9}{\sigma}\right)=0,99 \\
    &\ssi P\left(-\dfrac{0,9}{\sigma} <Z<\dfrac{0,9}{\sigma}\right)=0,99 \\
    &\ssi 2P\left(Z>-\dfrac{0,9}{\sigma}\right)-1=0,99 \\
    &\ssi 2P\left(Z>-\dfrac{0,9}{\sigma}\right)=1,99 \\
    &\ssi P\left(Z>-\dfrac{0,9}{\sigma}\right)=0,995 \\
    &\ssi P\left(Z \pp -\dfrac{0,9}{\sigma}\right)=0,005\end{align*}$
    $\quad$
    c. À l’aide de la touche inverse loi normale de la calculatrice on trouve :
    $\dfrac{-0,9}{\sigma}\approx -2,576$ et donc $\sigma \approx 0,35$.
    $\quad$

Partie C

  1. Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;2\pi]$ on a :
    $\begin{align*} -1\pp \cos x\pp 1 &\ssi -1,5 \pp -1,5\cos x \pp 1,5\\
    &\ssi 0 \pp -1,5\cos x +1,5 \pp 3 \end{align*}$
    Donc $f(x)\pg 0$ sur l’intervalle $[0;2\pi]$.
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est continue et positive sur l’intervalle $[0;2\pi]$.
    Ainsi l’aire du domaine compris entre l’axe des abscisses, la courbe $\mathscr{C}_1$ et les droites d’équation $x=0$ et $x=2\pi$ (il n’est pas nécessaire de rajouter cette information sur les droites puisque la fonction $f$ s’annule en $0$ et $2\pi$; il faut dans ce cas spécifier ces valeurs) est :
    $\begin{align*} \mathscr{A}_1&=\ds \int_0^{2\pi} f(x)\dx \\
    &=\left[-1,5\sin(x)+1,5x\right]_0^{2\pi} \\
    &=3\pi \end{align*}$
    Par symétrie, on a $\mathscr{A}=2\times 3\pi=6\pi$ u.a.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. D’après la limite des termes de plus haut degré on a : $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{3x+1}{x+1}=\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{3x}{x}=3$
    Par conséquent $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=\ln 3$.
    $\quad$
  2. a. Pour tout réel $x$ positif on a $f(x)=\ln\left(u(x)\right)$ avec $u(x)=\dfrac{3x+1}{x+1}$.
    $u$ est dérivable sur l’intervalle $[0;+\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas.
    $u'(x)=\dfrac{3(x+1)-1\times(3x+1)}{(x+1)^2}=\dfrac{2}{(x+1)^2}$.
    Ainsi :
    $\begin{align*}f'(x)&=\dfrac{u'(x)}{u(x)} \\
    &=\dfrac{~~\dfrac{2}{(x+1)^2}~~}{\dfrac{3x+1}{x+1}} \\
    &=\dfrac{2}{(x+1)^2}\times \dfrac{x+1}{3x+1} \\
    &=\dfrac{2}{(x+1)(3x+1)}\end{align*}$
    $\quad$
    b. Pour tout réel $x$ positif on a $x+1>0$ et $3x+1>0$
    Ainsi $f'(x)>0$ et la fonction $f$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
    $\quad$

Partie B

  1. Initialisation : on a $u_0=3$ et $u_1=f(3)=\ln 2,5 \approx 0,92$.
    Donc $\dfrac{1}{2}\pp u_1 \pp u_0$.
    La propriété est donc vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$. On a donc $\dfrac{1}{2} \pp u_{n+1} \pp u_n$.
    Montrons que la propriété est vraie au rang suivant, c’est-à-dire que $\dfrac{1}{2} \pp u_{n+2} \pp u_{n+1}$.
    La fonction $f$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
    Par conséquent $f\left(\dfrac{1}{2}\right) \pp f\left(u_{n+1}\right) \pp f\left(u_n\right)$.
    Soit $\ln \dfrac{5}{3} \pp u_ {n+2} \pp u_{n+1}$
    Or $\ln \dfrac{5}{3} > 0,51>\dfrac{1}{2}$.
    On a donc $\dfrac{1}{2} \pp u_{n+2} \pp u_{n+1}$.
    La propriété est ainsi vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Pour tout entier naturel $n$ on a donc $\dfrac{1}{2} \pp u_{n+1} \pp u_n$.
    $\quad$
  2. La suite $\left(u_n\right)$ est donc décroissante et minorée par $\dfrac{1}{2}$.
    Elle converge donc vers un réel $\ell$ vérifiant $\ell \pg \dfrac{1}{2}>0$.
    $\quad$

Partie C

  1. La fonction $g$ est strictement croissante sur l’intervalle $\left[0;x_0\right]$ et $g(0)=0$.
    Par conséquent pour tout réel $x$ de l’intervalle $\left[0;x_0\right]$ on a $g(x)>0$ et l’équation $g(x)=0$ n’admet pas de solution strictement positive sur cet intervalle.
    $\quad$
    La fonction $g$ est continue (somme de fonctions continue) et strictement décroissante sur l’intervalle $\left[x_0;+\infty\right[$.
    $g\left(x_0\right) \approx 0,088>0$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x)=-\infty$
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $\left[x_0;+\infty\right[$.
    $\quad$
    L’équation $g(x)=0$ admet donc une unique solution strictement positive sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    $\quad$
  2. a. On obtient l’algorithme suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    x\leftarrow 0,22 \\
    \text{Tant que $\ln\left(\dfrac{3x+1}{x+1}\right)-x>0$ faire}\\
    \hspace{1cm} x\leftarrow x+0,01\\
    \text{Fin de Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    b. On $g(0,52)\approx 0,001>0$ et $g(0,53)\approx -0,004<0$
    Par conséquent la dernière valeur prise par la variable $x$ lors de l’exécution de l’algorithme est $0,53$.
    $\quad$
  3. On a $g(0,522) \approx 0,000~3>0$ et $g(0,523)\approx -0,0002<0$
    Une valeur approchée de la limite $\ell$ à $0,01$ près est donc $0,52$.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. $I$ est le milieu de $[ED]$.
    Par conséquent $\begin{cases} x_I=\dfrac{0+0}{2}\\y_I=\dfrac{1+0}{2} \\z_I=\dfrac{0+1}{2}\end{cases}$ ainsi $I$ a pour coordonnées $(0;0,5;0,5)$.
    $\quad$
    a. Les coordonnées du point $F$ sont $(1;0;1)$.
    On a donc $\vect{FI}(-1;0,5;-0,5)$ et $\vect{FJ}(0;1;-0,6)$. Ces deux vecteurs sont clairement non colinéaires.
    Par conséquent $\vec{n}.\vect{FI}=1+1,5-2,5=0$ et $\vec{n}.\vect{FJ}=0+3-3=0$.
    Le vecteur $\vec{n}$ est donc orthogonal a deux vecteurs non colinéaires du plan $(FIJ)$. Il est par conséquent normal à ce plan.
    $\quad$
    b. Une équation cartésienne du plan $(FIJ)$ est donc de la forme $-x+3y+5z+d=0$.
    Le point $F(1;0;1)$ appartient à ce plan.
    Donc $-1+5+d=0 \ssi d=-4$.
    Une équation cartésienne du plan $(FIJ)$ est donc $-x+3y+5z-4=0$.
    $\quad$
  2. a. Le vecteur $\vec{n}$ est un vecteur directeur de la droite $d$.
    Une représentation paramétrique de cette droite est donc $\begin{cases} x=1-t\\y=3t\\z=5t\end{cases} \quad t\in\R$.
    $\quad$
    b. Prenons, dans la représentation paramétrique précédente $t=\dfrac{1}{7}$.
    On a alors $\begin{cases} x=1-\dfrac{1}{7}\\y=\dfrac{3}{7}\\z=\dfrac{5}{7}\end{cases}$ soit $\begin{cases} x={6}{7}\\y=\dfrac{3}{7}\\z=\dfrac{5}{7}\end{cases}$
    Le point $M\left(\dfrac{6}{7};\dfrac{3}{7};\dfrac{5}{7}\right)$ appartient donc à la droite $d$.
    $\quad$
    $-\dfrac{6}{7}+3\times \dfrac{3}{7}+5\times \dfrac{5}{7}-4=-\dfrac{6}{7}+\dfrac{9}{7}+\dfrac{25}{7}-\dfrac{28}{7}=0$
    Le point $M\left(\dfrac{6}{7};\dfrac{3}{7};\dfrac{5}{7}\right)$ appartient donc au plan $(FIJ)$.
    $\quad$
    La droite $d$ est par définition orthogonale au plan $(FIJ)$; elle n’est donc pas incluse dans ce celui-ci.
    Le point $M\left(\dfrac{6}{7};\dfrac{3}{7};\dfrac{5}{7}\right)$est donc le point d’intersection de la droite $(d)$ et du plan $(FIJ)$.
    $\quad$
  3. a. On a $\vect{BM}\left(-\dfrac{1}{7};\dfrac{3}{7};\dfrac{5}{7}\right)$ et $\vect{BF}(0;0;1)$.
    Par conséquent $\vect{BM}.\vect{BF}=0+0+\dfrac{5}{7}=\dfrac{5}{7}$.
    $\quad$
    b. On a $BM=\sqrt{\left(-\dfrac{1}{7}\right)^2+\left(\dfrac{3}{7}\right)^2+\left(\dfrac{5}{7}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{5}{7}}$ et $BF=1$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} \vect{BM}.\vect{BF}=\dfrac{5}{7}&\ssi BM\times BF\times \cos \widehat{MBF}=\dfrac{5}{7} \\
    &\ssi \sqrt{\dfrac{5}{7}}\times \cos \widehat{MBF}=\dfrac{5}{7} \\
    &\ssi \cos \widehat{MBF} = \dfrac{\dfrac{5}{7}}{\sqrt{\dfrac{5}{7}}} \\
    &\ssi \cos \widehat{MBF} = \sqrt{\dfrac{5}{7}}\end{align*}$
    Et $\widehat{MBF}\approx 32$°.
    $\quad$

Partie B

  1. D’après l’énoncé la section du cube par le plan $(FIJ)$ est le quadrilatère $FKLJ$.
    Les plans $(FGC)$ et $(EHG)$ sont parallèles. Le plan $(FIJ)$ coupe ces plans selon les droites $(FJ)$ et $(KL)$. Elles sont donc parallèles.
    Les plans $(FEA)$ et $(GHD)$ sont parallèles. Le plan $(FIJ)$ coupe ces plans selon les droites $(FK)$ et $(JL)$. Elles sont donc parallèles.
    Les côtés du quadrilatère $FKLJ$ sont deux à deux parallèles. C’est donc un parallélogramme.
    $\quad$
  2. On a $\vect{FL}\left(-1;1;\dfrac{a}{2}-1\right)$.
    On appelle $N$ le milieu de $[FL]$. Le point $N$ a donc pour coordonnées $\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};\dfrac{1+\dfrac{a}{2}}{2}\right)$.
    Ainsi $\vect{NJ}\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};a-\dfrac{1+\dfrac{a}{2}}{2}\right)$ soit $\vect{NJ}\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};\dfrac{3a-2}{4}\right)$
    $FKLJ$ est un parallélogramme si, et seulement si, ses diagonales sont perpendiculaires.
    $\ssi \vect{NJ}.\vect{FL}=0$
    $\ssi -\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\left(\dfrac{a}{2}-1\right)\left(\dfrac{3a-2}{4}\right)=0$
    $\ssi \left(\dfrac{a}{2}-1\right)\left(\dfrac{3a-2}{4}\right)=0$
    $\ssi \dfrac{a}{2}-1=0$ ou $\dfrac{3a-2}{4}=0$
    $\ssi a=2$ ou $a=\dfrac{2}{3}$
    Or $2\notin [0;1]$ et $\dfrac{2}{3}\in [0;1]$.
    Le quadrilatère $FKLJ$ est un losange si, et seulement si, $a=\dfrac{2}{3}$.
    $\quad$

Ex 4 obl

Exercice 4

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

  1. $25z^2-14z+25=0$
    Le discriminant de cette équation du second degré est $\Delta = (-14)^2-4\times 25\times 25=-2~304<0$
    Les solutions complexes de cette équation sont donc :
    $z_1=\dfrac{14-\ic\sqrt{2~304}}{50}=\dfrac{7-24\ic}{25}$ et $z_2=\conj{z_1}=\dfrac{7+24\ic}{25}$
    $\quad$
  2. On a $\left|z_1\right|=\sqrt{\left(\dfrac{7}{25}\right)^2+\left(\dfrac{24}{25}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{49}{625}+\dfrac{576}{625}}=1$
    Puisque $z_2=\conj{z_1}$ alors $\left|z_2\right|=1$.
    Les solutions de $(E)$ sont donc de module $1$.
    $\quad$
  3. On a donc $z_2=\dfrac{7}{24}+\dfrac{24}{25}\ic=\cos \alpha+\ic \sin \alpha=\e^{\ic \alpha}$
    Ainsi $z_1=\e^{-\ic \alpha}$.
    $\quad$
  4. $\dfrac{7}{24}>0$ donc on ne s’intéresse qu’au point dont l’abscisse est positive.
    De plus $\dfrac{7}{24}<\dfrac{1}{2}$ ce qui exclut les points $B$ et $C$.
    Les points $A$ et $D$ ont par conséquent une affixe solution de l’équation $(E)$.
    $\quad$

Partie B

  1. On appelle $a=\dfrac{1}{2}+\ic\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\e^{\ic \pi /3}$
    Par conséquent $a^{2~019}=\e^{2~019\ic \pi/3}=\e^{673\ic\pi}=-1$ car $673$ est impair.
    Affirmation A fausse
    $\quad$
  2. $z=\dfrac{1}{6}(2+5\ic)$
    Par conséquent $|z|=\dfrac{\sqrt{2^2+5^2}}{6}=\dfrac{\sqrt{29}}{6}$
    Par conséquent la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=|z|^n$ est une suite géométrique de raison $q=\dfrac{\sqrt{29}}{6}$.
    Or $0<q<1$ donc $\lim\limits_{n\to +infty}u_n=0$.
    Affirmation B vraie
    $\quad$
  3. $a\in[-\pi;0]$ donc $\sin (a)<0$.
    Pour tout réel $a$ on a $\cos^2 (a)+\sin^2(a)=1$ donc $\cos^2(a)=1-\sin^2(a)$.
    $\begin{align*} \cos(2a)=\dfrac{7}{25}&\ssi \cos^2(a)-\sin^2(a)=\dfrac{7}{25} \\
    &\ssi 1-\sin^2(a)-\sin^2(a)=\dfrac{7}{25} \\
    &\ssi -2\sin^2(a)=-\dfrac{18}{25} \\
    &\ssi \sin^2(a)=\dfrac{9}{25} \\
    &\ssi \sin(a)=\dfrac{3}{5} \text{ ou } \sin(a)=-\dfrac{3}{5}\end{align*}$
    Puisque $\sin (a)<0$ on a donc $\sin(a)=-\dfrac{3}{5}$.
    Affirmation C vraie
    $\quad$

Ex 4 spé

Exercice 4

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

  1. $a_2=\dfrac{4^{4+1}+1}{5}=205$ et $a_3=\dfrac{4^{6+1}+1}{5}=3~277$.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} a_{n+1}&=\dfrac{4^{2(n+1)}+1}{5}\\
    &=\dfrac{4^{2n+2+1}+1}{5}\\
    &=\dfrac{4^{2n+1}\times 4^2+1}{5} \\
    &=\dfrac{4^{2n+1}\times 16+16-16+1}{5} \\
    &=16\times\dfrac{4^{2n+1}+1}{5}+\dfrac{1-16}{5}\\
    &=16a_n-5\end{align*}$
    $\quad$
  3. Montrons par récurrence sur $n$ que $a_n$ est un entier naturel non nul.
    Initialisation : Si $n=0$ alors $a_0=\dfrac{4^1+1}{5}=1 \in \N$
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $a_n$ est un entier naturel non nul.
    Montrons qu’elle est vraie au rang suivant, c’est-à-dire que $a_{n+1}$ est un entier naturel non nul.
    $16a_n$ est un entier naturel non nul donc $16a_n-3$ est un entier relatif.
    Or $a_n \pg 1 \ssi 16a_n\pg 16 \ssi 16a_n-3\pg 13$.
    Ainsi $a_{n+1}=16a_n-3$ est un entier naturel non nul.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, $a_n$ est un entier naturel non nul.
    $\quad$
  4. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $a_{n+1}=16a_n-3 \ssi a_{n+1}-16a_n=-3$.
    Par conséquent $d_n$ divise $-3$.
    Donc $d_n$ est égal à $1$ ou $3$.
    $\quad$
    b. $16 \equiv 1~~[3]$ et $-3\equiv 0~~[3]$
    Donc $a_{n+1}\equiv 16a_n-3~~[3]$
    Soit $a_{n+1}\equiv a_n~~[3]$
    $\quad$
    c. $a_0=1$ donc $a_0\equiv 1~~[3]$.
    $a_0$ n’est donc pas divisible par $3$. Par conséquent $d_0$ ne peut pas être égal à $3$.
    Pour tout entier naturel $n$ on a donc $a_n\equiv 1~~[3]$.
    Par conséquent $a_n$ n’est pas divisible par $3$.
    $\quad$
    d. Cela signifie donc que pour tout entier naturel $n$ on a $d_n=1$ et donc que les nombres $a_n$ et $a_{n+1}$ sont premiers entre eux.
    $\quad$
  5. a. Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égale à $2$ on a $5a_n=b_nc_n$.
    D’après le théorème de Gauss, $5$ divise donc $b_n$ ou $c_n$.
    $\quad$
    b. On considère un entier naturel $n$ supérieur supérieur ou égal à $2$
    $2^n-1 \pg 2^2-1$ soit $2^n-1 \pg 3$
    Donc $2^{n+1}\left(2^n-1\right)\pg 2^3\times 3$ soit $2^{n+1}\left(2^n-1\right) \pg 24$
    Par conséquent $b_n\pg 25 >5$
    $\quad$
    $2^n+1 \pg 2^2+1$ soit $2^n+1 \pg 5$
    Donc $2^{n+1}\left(2^n+1\right)\pg 2^3\times 5$ soit $2^{n+1}\left(2^n-1\right) \pg 40$
    Par conséquent $c_n\pg 41 >5$
    $\quad$
    c. Si $5$ divise $b_n$ il existe alors, d’après la question précédente, un entier naturel $k_n$ supérieur ou égal à $2$ tel que $b_n=5k_n$.
    On a alors $5a_n=5k_nc_n$ soit $a_n=k_nc_n$
    D’après le théorème de Gauss, le nombre $k_n$ divise donc $a_n$.
    Or $k_n \pg 2$ donc $a_n$ n’est pas un nombre premier.
    $\quad$
    Si $5$ divise $c_n$ il existe alors, d’après la question précédente, un entier naturel $k_n$ supérieur ou égal à $2$ tel que $c_n=5k_n$.
    On a alors $5a_n=5k_nb_n$ soit $a_n=k_nb_n$
    D’après le théorème de Gauss, le nombre $k_n$ divise donc $a_n$.
    Or $k_n \pg 2$ donc $a_n$ n’est pas un nombre premier.
    $\quad$

 

Énoncé

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Bac S – Amérique du Sud – Novembre 2019

Amérique du Sud – Novembre 2019

Bac S – Mathématiques – Correction

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Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. On a $E(T)=\dfrac{1}{\lambda}\approx 18$.
    La durée de vie moyenne d’un chronomètre est d’environ $18$ mois.
    $\quad$
  2. On veut calculer :
    $P(12 \pp T\pp 24)=\e^{-12\times \lambda}-\e^{-24\times \lambda} \approx 0,250$.
    La probabilité qu’un chronomètre ait une durée de vie comprise entre un et deux ans est environ égale à $0,250$.
    $\quad$
  3. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_{T\pg 24}(T\pg 36)&= P_{T\pg 24}(T\pg 24+12) \\
    &=P(T\pg 12) \qquad (*)\\
    &=\e^{-12\lambda}\\
    &\approx 0,514\end{align*}$
    $(*)$ car la loi exponentielle est à durée de vie sans vieillissement.
    Sachant que l’entraîneur n’a pas changé son chronomètre depuis deux ans, la probabilité qu’il soit encore en état de fonctionner au moins un an de plus est environ égale à $0,514$.
    $\quad$

Partie B

  1. a. On a donc $p(A)=0,4$ et $p_A(D)=0,03$.
    Par conséquent $P(A\cap D)=0,4\times 0,03=0,012$.
    La probabilité que le roulement provienne du fournisseur A et soit défectueux est égale à $0,012$.
    $\quad$
    b. On a $p(B)=1-0,4=0,6$ et $p_B(D)=0,05$.
    Par conséquent $p(B\cap D)=0,6\times 0,05=0,03$.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(D)&=p(A\cap D)+p(B\cap D) \\
    &=0,012+0,03\\
    &=0,042\end{align*}$
    Ainsi :
    $\begin{align*} p_D(B)&=\dfrac{p(B\cap D)}{p(D)} \\
    &=\dfrac{0,03}{0,042} \\
    &\approx 0,714\end{align*}$
    La probabilité que le roulement provienne du fournisseur B sachant qu’il est défectueux est environ égale à $0,714$.
    $\quad$
  2. On note $p(A)=x$ donc $p(B)=1-x$.
    D’après la formule des probabilités totales on a donc :
    $\begin{align*} p(D)&=p(A\cap D)+p(B\cap D) \\
    &=0,03x+0,05(1-x) \\
    &=0,05-0,02x\end{align*}$
    On veut donc résoudre l’inéquation :
    $\begin{align*} p(D)\pp 0,035 &\ssi 0,05-0,02x \pp 0,035 \\
    &\ssi -0,02x \pp -0,015 \\
    &\ssi x \pg 0,75\end{align*}$
    La proportion de roulements commandés au fournisseur A doit donc au être égale à $0,75$ pour que moins de $3,5\%$ des roulements soient défectueux.
    $\quad$

Partie C

  1. On veut calculer $P(7,8 \pp X \pp 8,2) \approx 0,954$.
    On pouvait remarquer que $P(7,8 \pp X \pp 8,2)=P(\mu-2\sigma\pp X \pp \mu+2\sigma)$.
    La probabilité qu’un roulement soit conforme est environ égale à $0,954$.
    $\quad$
  2. On a $n=30\times 16=480\pg 30$, $np=24 \pg 5$ et $n(1-p)=456\pg 5$.
    Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de la proportion de roulements non conforme est donc :
    $\begin{align*} I_{480}&=\left[0,05-1,96\sqrt{\dfrac{0,05\times 0,95}{480}};0,05+1,96\sqrt{\dfrac{0,05\times 0,95}{480}}\right] \\
    &\approx [0,030;0,070]\end{align*}$
    La fréquence observée est $f=\dfrac{38}{480}\approx 0,079 \notin I_{480}$
    Ce contrôle remet donc en cause, au risque de $5\%$, l’affirmation du fournisseur B.
    $\quad$
  3. a. La variable aléatoire $Z=\dfrac{X-8}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.
    $\quad$
    b. On a donc :
    $\begin{align*} P(7,8 \pp X\pp 8,2)=0,96 &\ssi P(-0,2\pp X-8 \pp 0,2)=0,96 \\
    &\ssi P\left(-\dfrac{0,2}{\sigma} \pp \dfrac{X-8}{\sigma} \pp \dfrac{0,2}{\sigma}\right)=0,96\\
    &\ssi P\left(-\dfrac{0,2}{\sigma} \pp Z \pp \dfrac{0,2}{\sigma}\right)=0,96\\
    &\ssi 2P\left(Z\pp \dfrac{0,2}{\sigma}\right)-1=0,96 \\
    &\ssi 2P\left(Z\pp \dfrac{0,2}{\sigma}\right)=1,96 \\
    &\ssi P\left(Z\pp \dfrac{0,2}{\sigma}\right)=0,98 \end{align*}$
    À l’aide de la fonction Inverse loi normale de la calculatrice on trouve $\dfrac{0,2}{\sigma} \approx 2,054$.
    Par conséquent $\sigma \approx 0,097$.
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

  1. a. $f(0)=3\times 0\e^0+2=2$.
    À l’instant $t=0$ le taux de vasopressine dans le sang est de $2$ µg/mL.
    $\quad$
    b. $12$ s $= 0,2$ min
    $f(0,2)=3\times 0,2\e^{-0,2/4}+2 \approx 2,57 > 2,5$.
    Douze secondes après une hémorragie, le taux de vasopressine dans le sang n’est pas normal.
    $\quad$
    c. Pour tout réel $t$ positif ou nul on a :
    $\begin{align*} f(t)&=3t\e^{-t/4}+2 \\
    &=\dfrac{3t}{\e^{t/4}}+2 \\
    &=\dfrac{12\dfrac{t}{4}}{\e^{t/4}}+2 \\
    &=12\times \dfrac{1}{~~\dfrac{\e^{t/4}~~}{\dfrac{t}{4}}}+2\end{align*}$
    Or $\lim\limits_{t\to +\infty} \dfrac{t}{4}=+\infty$ et $\lim\limits_{X\to +\infty}\dfrac{\e^X}{X}=+\infty$
    Par conséquent $\lim\limits{t \to +\infty}\dfrac{\e^{t/4}}{\dfrac{t}{4}}=+\infty$ et $\lim\limits_{t\to +\infty} \dfrac{1}{~~\dfrac{\e^{t/4}~~}{\dfrac{t}{4}}}=0$
    Ainsi $\lim\limits_{t\to +\infty} f(t)=2$.
    Sur le long terme le taux de vasopressine dans le sang sera donc de $2$ µg/mL.
    $\quad$
  2. Pour tout réel $t$ positif on a :
    $\begin{align*} f'(t)&=3\e^{-t/4}+3t\times \left(-\dfrac{1}{4}\right)\e^{-t/4} \\
    &=\left(3-\dfrac{3t}{4}\right)\e^{-t/4} \\
    &=\dfrac{3}{4}(4-t)\e^{-t/4}\end{align*}$
    $\quad$
  3. a. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $f'(t)$ ne dépend donc que de celui de $4-t$.
    Or $4-t=0 \ssi t=4$ et $4-t>0 \ssi t<4$.
    On obtient donc le tableau de variations suivant :
    $\quad$
    b. La fonction $f$ atteint son maximum pour $t=4$.
    Le taux de vasopressine dans le sang est donc maximal au bout de $4$ minutes.
    $f(4)=\dfrac{12}{\e}+2 \approx 6,415$.
    Ce taux est alors d’environ $6,415$ µg/mL.
    $\quad$
  4. a. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur l’intervalle $[0;4]$.
    De plus $f(0)=2<2,5$ et $f(4) > 2,5$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=2,5$ admet une unique solution $t_0$ sur l’intervalle $[0;4]$.
    D’après la calculatrice, on a $t_0\approx 0,174$.
    $\quad$
    b. Le taux de vasopressine reste supérieur à $2,5$ µg/mL dans le sang chez une personne victime d’une hémorragie pendant $t_1-t_0 \approx 18,756$ minutes.
    $\quad$
  5. a. La fonction $F$ est dérivable sur l’intervalle $[0;+\infty[$ en tant que somme, produit et composée de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $t$ positif on a :
    $\begin{align*} F'(t)&=-12\e^{-t/4}-12(t+4)\times \left(-\dfrac{1}{4}\right)\e^{-t/4}+2 \\
    &=\left(-12+\dfrac{12(t+4)}{4}\right)\e^{-t/4}+2 \\
    &=(-12+3t+12)\e^{-t/4}+2\\
    &=3t\e^{-t/4}+2\\
    &=f(t)\end{align*}$
    Par conséquent $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    $\quad$
    Ainsi :
    $\ds \begin{align*} \int_{t_0}^{t_1}f(t)\dt&=F\left(t_1\right)-F\left(t_0\right) \\
    &\approx 83\end{align*}$
    $\quad$
    b. Le taux moyen de vasopressine lors d’un accident hémorragique durant la période où ce taux est supérieur à $2,5$ µg/ml est :
    $m=\ds \dfrac{\int_{t_0}^{t_1}f(t)\dt}{t_1-t_0} \approx 4,4$.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

  1. D’une part:
    $\begin{align*} \vect{MI}&=\vect{MB}+\vect{BI} \\
    &=\dfrac{1}{2}\vect{FB}+\dfrac{1}{2}\vect{BC} \\
    &=\dfrac{1}{2}\left(\vect{FB}+\vect{BC}\right) \\
    &=\dfrac{1}{2}\vect{FC}\end{align*}$
    D’autre part :
    $\begin{align*} \vect{IN}&=\vect{IC}+\vect{CN} \\
    &=\dfrac{1}{2}\vect{BC}+\dfrac{1}{2}\vect{GC} \\
    &=\dfrac{1}{2}\left(\vect{BC}+\vect{GC}\right) \\
    &=\dfrac{1}{2}\left(\vect{BC}+\vect{FB}\right) \\
    &=\dfrac{1}{2}\vect{FC} \\
    &=\vect{MI}\end{align*}$
    Ainsi $I$ est le milieu de $[MN]$ et de $[BC]$.
    La droite $(MN)$ coupe le segment $[BC]$ en son milieu $I$.
    Autre méthode :
    On a $\vect{CN}=\dfrac{1}{2}\vect{GC}=\dfrac{1}{2}\vect{FB}=\vect{MB}$
    Ainsi le quadrilatère $MBNC$ est un parallélogramme. Ses diagonales se coupent donc en leur milieu.
    La droite $(MN)$ coupe le segment $[BC]$ en son milieu $I$.
    $\quad$
  2. On obtient la figure suivante :

    On trace la droite parallèle à la droite $(MI)$ passant par $P$.
    $\quad$

Partie B

  1. On a $M(1;0;0,5)$, $N(1;1;-0,5)$ et $P(0;0,5;0,5)$
    Ainsi $\vect{MN}(0;1;-1)$ et $\vect{MP}(-1;0,5;0)$
    Ces deux vecteurs ne sont clairement pas colinéaires.
    De plus $\vec{n}.\vect{MN}=0+2-2=0$ et $\vec{n}.\vect{MP}=-1+1+0=0$.
    Le vecteur $\vec{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(MNP)$.
    Par conséquent $\vec{n}$ est un vecteur normal au plan $(MNP)$.
    $\quad$
    Une équation cartésienne du plan $(MNP)$ est donc de la forme $x+2y+2z+d=0$.
    Or $M(1;0;0,5)$ appartient au plan $(MNP)$.
    Donc $1+0+1+d=0 \ssi d=-2$.
    Une équation cartésienne du plan $(MNP)$ est donc $x+2y+2z-2=0$.
    $\quad$
  2. On a $G(1;1;1)$.
    $\vec{n}$ est un vecteur directeur de la droite $d$.
    Un système d’équations paramétriques de la droite $(d)$ est donc $\begin{cases}x=1+t\\y=1+2t\\z=1+2t\end{cases} ,\qquad t\in \R$.
    $\quad$
  3. Si $t=-\dfrac{1}{3}$ dans le système précédent on obtient les coordonnées suivantes $\begin{cases} x=\dfrac{2}{3}\\y=\dfrac{1}{3}\\z=\dfrac{1}{3}\end{cases}$. Donc $K$ appartient à la droite $d$.
    De plus $\dfrac{2}{3}+2\times \dfrac{1}{3}+2\times \dfrac{1}{3}-2=2-2=0$ et le point $K$ appartient au plan $(MNP)$.
    La droite $d$ n’est pas incluse, par définition, dans le plan $(MNP)$.
    Par conséquent le point d’intersection de la droite $d$ et du plan $(MNP)$ est le point $K$ de coordonnées $\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3}\right)$.
    $\quad$
    On a $\vect{GK}\left(\dfrac{2}{3}-1;\dfrac{1}{3}-1;\dfrac{1}{3}-1\right)$ soit $\vect{GK}\left(-\dfrac{1}{3};-\dfrac{2}{3};-\dfrac{2}{3}\right)$.
    $\begin{align*} GK&=\sqrt{\left(-\dfrac{1}{3}\right)^2+\left(-\dfrac{2}{3}\right)^2+\left(-\dfrac{2}{3}\right)^2} \\
    &=\sqrt{\dfrac{1}{9}+\dfrac{4}{9}+\dfrac{4}{9}}\\
    &=1\end{align*}$
    $\quad$
  4. $(GK)$ est la hauteur issue du point $G$ de la pyramide $GMEDI$.
    Ainsi, le volume de cette pyramide est :
    $\begin{align*} \mathscr{V}&=\dfrac{GK\times \dfrac{9}{8}}{3} \\
    &=\dfrac{1\times \dfrac{9}{8}}{3} \\
    &=\dfrac{3}{8}\end{align*}$
    $\quad$

 

Ex 4 obl

Exercice 4

Partie A

  1. $u_1=3-\dfrac{10}{5+4}=\dfrac{17}{9}$
    $u_2=3-\dfrac{10}{\dfrac{17}{9}+4}=\dfrac{69}{53}$
    $\quad$
  2. Initialisation : $u_0=5 \pg 1$.
    La propriété est donc vraie au rang $1$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$. Donc $u_n \pg 1$.
    Montrons qu’elle est encore vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $u_{n+1} \pg 1$.
    $\begin{align*} u_{n} \pg 1 &\ssi u_n+4 \pg 5 \\
    &\ssi 0<\dfrac{1}{u_n+4}\pp \dfrac{1}{5} \\
    &\ssi 0<\dfrac{10}{u_n+4} \pp 2 \\
    &\ssi 0> -\dfrac{10}{u_n+4} \pg -2 \\
    &\ssi 3>3-\dfrac{10}{u_n+4} \pg 1 \\
    &\ssi 3>u_{n+1} \pg 1\end{align*}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : la propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n\pg 1$.
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=3-\dfrac{10}{u_n+4}-u_n \\
    &=\dfrac{3\left(u_n+4\right)}{u_n+4}-\dfrac{10}{u_n+4}-\dfrac{u_n\left(u_n+4\right)}{u_n+4} \\
    &=\dfrac{3u_n+12-10-{u_n}^2-4u_n}{u_n+4} \\
    &=\dfrac{-{u_n}^2-u_n+2}{u_n+4}\end{align*}$
    Or $\left(1-u_n\right)\left(u_n+2\right)=u_n+2-{u_n}^2-2u_n=-{u_n}^2-u_n+2$.
    Par conséquent $u_{n+1}-u_n=\dfrac{\left(1-u_n\right)\left(u_n+2\right)}{u_n+4}$.
    $\quad$
  4. D’après la question A.2. on a $u_n\pg 1$
    Donc $1-u_n\pp 0$, $u_n+2 \pg 3>0$ et $u_n+4 \pg 5>0$.
    Ainsi $u_{n+1}-u_n \pp 0$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc décroissante.
    $\quad$
  5. La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et minorée par $1$. Elle est donc convergente.
    $\quad$

Partie B

  1. a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} v_{n+1}&=\dfrac{u_{n+1}-1}{u_{n+1}+2} \\
    &=\dfrac{3-\dfrac{10}{u_n+4}-1}{3-\dfrac{10}{u_n+4}+2} \\
    &=\dfrac{2-\dfrac{10}{u_n+4}}{5-\dfrac{10}{u_n+4}} \\
    &=\dfrac{~~\dfrac{2\left(u_n+4\right)-10}{u_n+4}~~}{\dfrac{5\left(u_n+4\right)-10}{u_n+4}} \\
    &=\dfrac{2u_n+8-10}{5u_n+20-10} \\
    &=\dfrac{2u_n-2}{5u_n+10}\\
    &=\dfrac{2\left(u_n-1\right)}{5\left(u_n+2\right)} \\
    &=\dfrac{2}{5}\times \dfrac{u_n-1}{u_n+2} \\
    &=\dfrac{2}{5}v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $\dfrac{2}{5}$ et de premier terme $v_0=\dfrac{u_0-1}{u_0+2}=\dfrac{4}{7}$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $v_n=\dfrac{2}{3}\times \left(\dfrac{2}{5}\right)^n$.
    On a $-1<\dfrac{2}{5}<1$ et $v_0>0$ : la suite $\left(v_n\right)$ est donc décroissante.
    Pour tout entier naturel $n$, on a ainsi $v_n \pp v_0$ soit $v_n \pp \dfrac{2}{3}<1$.
    Donc $v_n \neq 1$.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} v_n=\dfrac{u_n-1}{u_n+2}&\ssi v_n\left(u_n+2\right)=u_n-1 \\
    &\ssi v_n\times u_n+2v_n=u_n-1 \\
    &\ssi v_n\times u_n-u_n=-1-2v_n \\
    &\ssi u_n\left(v_n-1\right)=-1-2v_n \\
    &\ssi u_n=\dfrac{-1-2v_n}{v_n-1} \quad \text{ car } v_n \neq 1\\
    &\ssi u_n=\dfrac{2v_n+1}{1-v_n}\end{align*}$
    $\quad$
  3. On a $-1<\dfrac{2}{5}<1$. Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n=0$
    Donc $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=\dfrac{0+1}{1-0}=1$.
    $\quad$

Partie C

  1. Voici les différentes valeurs prises par les variables $u$, arrondie à $10^{-3}$ et $n$.
    $\begin{array}{|c|c|}
    \hline
    n& un \\
    \hline
    0& 5\\
    \hline
    1& 1,889\\
    \hline
    2& 1,302\\
    \hline
    3& 1,114\\
    \hline
    4& 1,04\\
    \hline
    5& 1,018\\
    \hline
    6& 1,008\\
    \hline
    \end{array}$
    Donc, après l’exécution de cet algorithme, la variable $n$ contient la valeur $6$.
    $\quad$
  2. Cela signifie donc qu’à partir du rang $6$ on a $u_n < 1,01$.
    $\quad$

 

Ex 4 spé

Exercice 4

Partie A

  1. Si $m$ est le PGCD de $a$ et $b$ alors il divise également $a-b$ et $b$.
    Réciproquement, si $m$ est le PGCD de $a-b$ et $b$ alors c’est également un diviseur de $(a-b)+b$ et $b$ c’est-à-dire de $a$ et $b$.
    Par conséquent PGCD$(a,b)=$PGCD$(a-b,b)$.
    $\quad$
  2. On a $4^3-1=63$ et $4^2-1=15$
    Ainsi
    PGCD$(63,15)=$PGCD$(48,15)=$PGCD$(33,15)$
    $=$PGCD$(18,15)=$PGCD$(3,15)=3$
    $\quad$
  3. On obtient l’algorithme suivant :
    $\begin{array}{|l|}
    \hline
    A\leftarrow 4^3-1\\
    B\leftarrow 4^2-1\\
    \text{Tant que } A\neq B :\\
    \hspace{1cm} \text{Si $A>B$, alors } :\\
    \hspace{2cm} A\leftarrow A-B\\
    \hspace{1cm} \text{Sinon}:\\
    \hspace{2cm} B\leftarrow B-A\\
    \hspace{1cm} \text{Fin Si}\\
    \text{Fin Tant que} \\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$

Partie B

  1. On a $V_{n+1}=\begin{pmatrix}u_{n+2}\\u_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5u_{n+1}-4u_n\\u_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&-4\\1&0\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}u_{n+1}\\u_n\end{pmatrix}$
    Donc en notant $A=\begin{pmatrix}5&-4\\1&0\end{pmatrix}$ on a $V_{n+1}=AV_n$.
    $\quad$
  2. a. On a $1\times 1-4\times 1=-3\neq 0$
    La matrice $P$ est donc inversible.
    Et $P^{-1}=-\dfrac{1}{3}\begin{pmatrix}1&-4\\-1&1\end{pmatrix}$
    $\quad$
    b. On a :
    $P^{-1}A=-\dfrac{1}{3}\begin{pmatrix}1&-4\\-4&4\end{pmatrix}$
    Donc $P^{-1}AP=\begin{pmatrix}1&0\\0&4\end{pmatrix}$
    $\quad$
  3. Initialisation : On a $P^{-1}AP=D$ donc $A=PDP^{-1}$
    La propriété est vraie au rang $1$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$. On a donc $A^n=PD^nP^{-1}$.
    Montrons que la propriété est vraie au rang $n+1$, c’est-çà-dire que $A^{n+1}=PD^{n+1}P^{-1}$.
    $\begin{align*} A^{n+1}&=A\times A^n\\
    &=PDP^{-1}PD^nP^{-1} \\
    &=PDD^nP^{-1}\\
    &=PD^{n+1}P^{-1}\end{align*}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $A^n=PD^nP^{-1}$.
    $\quad$
  4. Pour tout entier naturel $n$ non nul on a :
    $PD^n=\begin{pmatrix}1&4^{n+1}\\1&4^n\end{pmatrix}$
    Par conséquent :
    $A^n=PD^nP^{-1}=-\dfrac{1}{3}\begin{pmatrix}1-4^{n+1}&-4+4^{n+1}\\1-4^n&-4+4^n\end{pmatrix}$.
    $\quad$
  5. On a $V_0=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$.
    Pour tout entier naturel $n$ non nul,
    $V_n=A^nV_0=-\dfrac{1}{3}\begin{pmatrix}1-4^{n+1}\\1-4^n\end{pmatrix}$
    Par conséquent $u_n=\dfrac{4^n-1}{3}=-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}\times 4^n$.
    $\quad$
  6. a. Pour tout entier naturel $n$, on a :
    $\begin{align*}4u_n+1&=-\dfrac{4}{3}+\dfrac{1}{3}\times 4^{n+1}+1 \\
    &=-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}\times 4^{n+1} \\
    &=-u_{n+1}\end{align*}$
    $\quad$b. Pour tout entier naturel $n$, on a :
    PGCD$\left(u_{n+1},u_n\right)=$PGCD$\left(4u_n+1,u_n\right)=$PGCD$\left(3u_n+1,u_n\right)$
    $=$PGCD$\left(2u_n+1,u_n\right)=$PGCD$\left(u_n+1,u_n\right)=$PGCD$\left(1,u_n\right)=1$
    $\quad$
    c. Pour tout entier naturel $n$, on a :
    PGCD$\left(4^{n+1}-1,4^n-1\right)=3\times$PGCD$\left(u_{n+1},u_n\right)=3$.
    $\quad$

 

 

 

Énoncé

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Bac S – Polynésie – Septembre 2019

Polynésie – Septembre 2019

Bac S – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici .

Ex 1

Exercice 1

Partie A — Étude d’un modèle discret d’évolution

  1. En 2018, on a $T_0=0,9$
    En 2019, on a $T_1=T_0-0,1{T_0}^2=0,819$
    En 2020, on a $T_2=T_1-0,1{T_1}^2\approx 0,752$
    En 2021, on a $T_3=T_2-0,1{T_2}^2\approx 0,695$
    En 2022, on a $T_4=T_3-0,1{T_3}^2\approx 0,647$
    L’estimation faite n’est donc pas conforme à celle du modèle choisi.
    $\quad$
  2. a. La fonction $f$ est dérivable sur $[0;1]$ en tant que fonction polynôme.
    Pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0;1]$ on a $f'(x)=1-0,2x$.
    Or $1-0,2x=0\ssi 0,2x=1\ssi x=5$
    et $1-0,2x>0\ssi -0,2x>-1 \ssi x<5$
    Par conséquent $f'(x)<0$ sur l’intervalle $[0;1]$.
    La fonction $f$ est strictement croissante sur $[0;1]$.
    $\quad$
    b. Montrons par récurrence sur $n$ que $0 \pp T_{n+1}\pp T_n \pp 1$.
    Initialisation : Si $n=0$ alors $T_0=0,9$ et $T_1=0,819$.
    On a bien $0\pp T_1 \pp T_0\pp 0$
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$, soit $0 \pp T_{n+1}\pp T_n \pp 1$.
    Montrons qu’elle est encore vraie au rang suivant, c’est-à-dire $0 \pp T_{n+2}\pp T_{n+1} \pp 1$.
    La fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $[0;1]$ et $0 \pp T_{n+1}\pp T_n \pp 1$.
    Donc $f(0) \pp f\left(T_{n+1}\right) \pp f\left(T_n\right) \pp f(1)$
    D’où $0\pp T_{n+2}\pp T_{n+1} \pp 0,9\pp 1$
    La propriété est vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $0 \pp T_{n+1}\pp T_n \pp 1$.
    $\quad$
    c. La suite $\left(T_n\right)$ est décroissante et minorée par $0$.
    La suite $\left(T_n\right)$ est donc convergente.
    $\quad$
  3. À l’aide la calculatrice on trouve $T_{13}\approx 0,400~8$ et $T_{14} \approx 0,3848$.
    C’est donc en 2032 que le seuil de $0,4$ sera atteint la première fois.
    $\quad$

Partie B — Étude d’un modèle continu d’évolution

  1. La fonction $P$ est dérivable sur l’intervalle $[0;+\infty[$ en tant que composée et quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur $[0;+\infty[$.
    Pour tout réel $t$ de $[0;+\infty[$ on a :
    $P'(t)=-\dfrac{1~000\times (-0,5)\times 3,6\e^{-0,5t}}{\left(0,4+3,6\e^{-0,5t}\right)^2}=\dfrac{1~800\e^{-0,5t}}{\left(0,4+3,6\e^{-0,5t}\right)^2}$.
    $\quad$
  2. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Par conséquent, pour tout réel $t$ positif on a $P'(t)>0$.
    $\lim\limits_{t \to +\infty} -0,5t=-\infty$ et $\lim\limits_{T \to -\infty} \e^T=0$
    Donc $\lim\limits_{t \to +\infty}\e^{-0,5t}=0$ et $\lim\limits_{t \to +\infty} P(t)=2~500$.
    $\quad$
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    $\quad$
  3. La fonction $P$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    De plus $P(0)=250<2~000$ et $\lim\limits_{t\to +\infty} P(t)=2~500>2~000$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $P(t)=2~000$ possède une unique solution $t_0$ sur $[0;+\infty[$.
    D’après la calculatrice on a $t_0\approx 7,2$.
    $\quad$
  4. Selon ce modèle la population de l’étang aura dépassé pour la première fois les $2~000$ grenouilles en 2026.
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. On effectue $8$ tirages aléatoires, indépendants et identiques. À chaque tirage, il n’y a que deux issues : $B$, : «le bit est mal transmis », et $\conj{B}$, : «le bit est bien transmis».
    De plus $P(B)=0,01$.
    La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=8$ et $p=0,01$.
    $\quad$
  2. Par conséquent $P(X=2)=\ds \binom{8}{2}\times 0,01^2\times 0,99^6\approx 0,002~6$
    La probabilité qu’exactement deux bits de l’octet soient mal transmis est environ égale à $0,002~6$.
    $\quad$
  3. $P(X\pg 3)=1-P(X\pp 2) \approx 0,000~05$
    La probabilité que le nombre de bits mal transmis de l’octet
    soit au moins égal à trois est donc négligeable.
    L’affirmation est vraie.
    $\quad$

Partie B

On a :
$\begin{align*} P(R\pp 0,4)&=P(R\pp 1)+P(0,4\pp R\pp 1) \\
&=0,5-P(0,4\pp R\pp 1) \\
&\approx 0,022~8\end{align*}$

La probabilité que le bit reçu ne soit pas correctement interprété est environ égale à $0,022~8$.

$\quad$

Partie C

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
    $\quad$
  2. On veut calculer :
    $\begin{align*} p(E\cap B)&=p(E)\times p_E(B) \\
    &=0,075\times 0,9 \\
    &=0,067~5\end{align*}$

    La probabilité que l’octet soit transmis avec une erreur exactement et que le bit de parité soit
    transmis sans erreur est $0,067~5$.
    $\quad$
  3. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*}p(B)&= p(Z\cap B)+p(E\cap B)+p(D\cap B)  \\
    &=0,922\times 0,99+0,075\times 0,9+0,003\times 0,99\\
    &=0,983~25\end{align*}$
    La probabilité de l’événement $B$ est donc égale à $0,983~25$.
    $\quad$

 

 

Ex 3

Exercice 3

  1. On a $|Z|=\sqrt{1+3}=2$ donc $Z=2\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{\ic\sqrt{3}}{2}\right)=2\e^{\ic\pi/3}$
    Donc $Z^2=4\e^{2\ic\pi/3}$
    Or $\dfrac{2\pi}{3}$ n’est pas un multiple entier de $\pi$
    Par conséquent, $Z^2$ n’est pas un réel positif.
    Affirmation 1 fausse
    $\quad$
    Un argument de $Z^{2~019}$ est $2~019\times \dfrac{\pi}{3}=673\pi$ soit $\pi$ modulo $2\pi$.
    Affirmation 2 fausse
    $\quad$
  2. On veut résoudre l’équation $2z^2-3z+5=0$
    Le discriminant est $\Delta=(-3)^2-4\times 2\times 5=9-40=-31<0$
    L’équaation possède donc deux solutions complexes $z_1=\dfrac{3-\ic\sqrt{31}}{4}$ et $z_2=\conj{z_1}=\dfrac{3+\ic\sqrt{31}}{4}$
    Les images de ces points sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses.
    Affirmation 3 fausse
    $\quad$
  3. On pose $Z=x+\ic y$
    On veut résoudre, dans $\C$, l’équation :
    $\begin{align*} z=z’&\ssi z=\conj{z}(1-z) \\
    &\ssi z=\conj{z}-z\conj{z} \\
    &\ssi x+\ic y=x-\ic y-x^2-y^2 \\
    &\ssi 2\ic y=-x^2-y^2\\
    &\ssi \begin{cases} 2y=0 \\x^2+y^2=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=0\\y=0\end{cases}\end{align*}$
    Affirmation 4 fausse
    $\quad$

 

Ex 4 obl

Exercice 4

Pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

  1. a. Dans le repère $\left(A;\vec{i},\vec{j},\vec{k}\right)$ on a :
    $E(0;0;6)$, $I(6;0;3)$ et $L(6;3;6)$.
    Par conséquent $\vect{EI}\begin{pmatrix}6\\0\\-3\end{pmatrix}$ et $\vect{EL}\begin{pmatrix}6\\3\\0\end{pmatrix}$. Ces deux vecteurs sont clairement non colinéaires (ils n’ont pas la même coordonnée nulle).
    Donc $\vect{EI}.\vec{n}=6\times 1-2\times 0-3\times 2=0$
    et $\vect{EL}.\vec{n}=6\times 1-2\times 3+0\times 2=0$.
    Le vecteur $\vec{n}$ est orthogonal a deux vecteurs non colinéaires du plan $P$. Il est donc normal à ce plan.
    $\quad$
    b. Une équation cartésienne du plan $P$ est donc de la forme $x-2y+2z+d=0$.
    Le point $E(0;0;6)$ appartient à ce plan. Ces coordonnées vérifient donc son équation.
    Ainsi $0-0+12+d=0\ssi d=-12$.
    Une équation cartésienne du plan $P$ est $x-2y+2z-12=0$.
    $\quad$
  2. On a $FL=3$, $EF=6$ et $FI=3$.
    Par conséquent l’aire du triangle $EFI$ rectangle en $F$ est $\mathscr{A}=\dfrac{6\times 3}{2}=9$ cm$^2$.
    Le volume du tétraèdre $FELI$ est donc $\mathscr{V}=\dfrac{\mathscr{A}\times FL}{3}=\dfrac{9\times 3}{3}=9$ cm$^3$.
    $\quad$
  3. a. Un vecteur directeur de la droite $\Delta$ est $\vec{n}$.
    Le point $F$ a pour coordonnées $(6;0;6)$.
    Une équation paramétrique de la droite $\Delta$ est donc $\begin{cases}x=6+t\\y=-2t\\z=6+2t\end{cases} \quad t\in\R$.
    $\quad$
    b. Le point $F$ appartient à la droite $\Delta$ mais pas au plan $P$. La droite $\Delta$ n’est donc pas incluse dans le plan $P$.
    $\quad$
    Montrons que le point $K$ appartient à la fois à la droite $\Delta$ et au plan $P$.
    Si $t=-\dfrac{2}{3}$ (obtenu en résolvant $-2t=\dfrac{4}{3}$) alors :
    $\begin{cases} x=-\dfrac{2}{3}+6 \\y=-2\times \left(-\dfrac{2}{3}\right)\\z=2\times \left(-\dfrac{2}{3}\right)+6\end{cases} \ssi \begin{cases}x=\dfrac{16}{3}\\y=\dfrac{4}{3}\\z=\dfrac{14}{3}\end{cases} \ssi K\in \Delta$
    De plus :
    $\dfrac{16}{3}-2\times \dfrac{4}{3}+2\dfrac{14}{3}-12=\dfrac{16}{3}-\dfrac{8}{3}+\dfrac{28}{3}-12=12-12=0$
    Le point $K$ appartient donc à la fois au plan $P$ et à la droite $\Delta$.
    L’intersection de la droite $\Delta$ et du plan $P$ est donc le point $K\left(\dfrac{16}{3};\dfrac{4}{3};\dfrac{14}{3}\right)$.
    $\quad$
  4. On a $FK=\sqrt{\left(\dfrac{16}{3}-6\right)^2+\left(\dfrac{4}{3}-0\right)^2+\left(\dfrac{14}{3}-6\right)^2}=2$
    $[FK]$ est la hauteur issue du point $F$ du tétraèdre $FELI$ dont la base est le triangle $ELI$.
    Par conséquent l’aire $\mathscr{A}_{ELI}$ de ce triangle vérifie :
    $9=\dfrac{\mathscr{A}_{ELI}\times 4}{3} \ssi \mathscr{A}_{ELI}=\dfrac{27}{4}$.
    L’aire du triangle $ELI$ est donc égale à $\dfrac{27}{4}$ cm$^2$.
    $\quad$
  5. On trace la parallèle à la droite $(EL)$ passant par $G$. Elle coupe le segment $[EH]$ en $M$.
    On trace la pparallèe à la droite $(IL)$ passant par $G$. Il s’agit de la droite $(BG)$.
    La parallèle à la droite $(BG)$ passant par le point $M$ coupe le segment $[AE]$ en $N$.
    La section du cube par le plan parallèle au plan $P$ passant par le point $G$ est le trapèze $BGMN$.

    $\quad$

 

 

Énoncé

Exercice 1     6 points

Les parties A et B peuvent être abordées de façon indépendante.

Deux groupes de scientifiques, des spécialistes en environnement et des biologistes, étudient l’évolution d’une population de grenouilles autour d’un étang.

Partie A — Étude d’un modèle discret d’évolution

Le groupe de spécialistes en environnement étudie le taux de disponibilité des ressources nécessaires pour le développement de la population de grenouilles autour de l’étang. Ce taux dépend notamment du nombre de grenouilles présentes sur les lieux, de la quantité de nourriture à disposition, de l’espace disponible et de la qualité de l’environnement.

Une étude, menée en 2018 par ce premier groupe de scientifiques, a permis d’estimer le taux de disponibilité des ressources à $0,9$ ; cela signifie que $90 \%$ des ressources sont disponibles.

On modélise le taux de disponibilité des ressources par la suite $\left(T_n\right)$ qui, à tout entier naturel $n$, associe le taux de disponibilité des ressources $n$ années après 2018. On a ainsi $T_0 = 0,9$.

Le modèle choisi est tel que, pour tout entier naturel $n$, on a : $T_{n+1}=T_n-0,1{T_n}^2$.

  1. Certains spécialistes en environnement estiment qu’en 2022, le taux de disponibilité des ressources sera proche de $0,4$. Cette affirmation est-elle conforme au modèle ? Pourquoi ?
    $\quad$
  2. On définit la fonction $f$ sur l’intervalle $[0 ; 1]$ par $f(x) =x-0,1x^2$. Ainsi, la suite $\left(T_n\right)$ vérifie pour tout entier naturel $n$, $T_{n+1}=f\left(T_n\right)$.
    a. Étudier les variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0 ; 1]$.
    $\quad$
    b. Montrer que pour tout $n$ entier naturel, on a : $\pp T_{n+1}\pp T_n\pp 1$.
    $\quad$
    c. La suite $\left(T_n\right)$ est-elle convergente ? Justifier la réponse.
    $\quad$
  3. Le groupe de spécialistes en environnement affirme que, selon ce modèle, le taux de disponibilité des ressources peut être inférieur à $0,4$ au cours des vingt premières années qui suivent le début de l’étude et qu’il est capable de déterminer en quelle année, ce seuil serait atteint pour la première fois.
    Cette affirmation est-elle conforme au modèle ? Pourquoi ?
    $\quad$

Partie B — Étude d’un modèle continu d’évolution

Le groupe de biologistes a choisi une autre option et travaille sur le nombre de grenouilles peuplant l’étang. Au $1\ier$ janvier 2018, il avait été dénombré $250$ grenouilles.

Les biologistes estiment que le nombre de grenouilles présentes autour de l’étang peut être modélisé par la fonction $P$ définie sur l’intervalle $[0;+\infty[$ par $P(t)=\dfrac{1~000}{0,4+3,6\e^{-0,5t}}$ où $t$ est le temps, mesuré en années, écoulé depuis le $1\ier$ janvier 2018 (cette fonction découle d’un modèle continu, usuel en biologie, le modèle de Verhulst).

  1. Calculer $P'(t)$ où $P’$ est la fonction dérivée de $P$ puis étudier le signe de $P'(t)$ pour $t$ appartenant à l’intervalle $[0 ; +\infty[$.
    $\quad$
  2. Déterminer la limite de la fonction $P$ en $+\infty$ puis dresser le tableau de variation de la fonction $P$ sur l’intervalle $[0 ; +\infty[$.
    $\quad$
  3. Montrer qu’il existe une unique valeur $t_0\in [0 ; +\infty[$ telle que $P\left(t_0\right) = 2~000$ . Déterminer cette valeur à $10^{-1}$ près.
    $\quad$
  4. Selon ce modèle, déterminer au cours de quelle année la population de l’étang aura dépassé pour la première
    fois les $2~000$ grenouilles.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

Dans cet exercice, les probabilités demandées seront précisées à $10^{-4}$ près.

Lors d’une communication électronique, tout échange d’information se fait par l’envoi d’une suite de $0$ ou de $1$, appelés bits, et cela par le biais d’un canal qui est généralement un câble électrique, des ondes radio …
Une suite de $8$ bits est appelé un octet. Par exemple, $10010110$ est un octet.

Partie A

On se place dans le cas où l’on envoie, sur le canal, successivement $8$ bits qui forment un octet.

On envoie un octet au hasard. On suppose la transmission de chaque bit indépendante de la transmission des bits précédents. On admet que la probabilité qu’un bit soit mal transmis est égale à $0,01$.

On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de bits mal transmis dans l’octet lors de cette communication.

  1. Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$? Justifier.
    $\quad$
  2. Déterminer la probabilité qu’exactement deux bits de l’octet soient mal transmis.
    $\quad$
  3. Que peut-on penser de l’affirmation suivante : « La probabilité que le nombre de bits mal transmis de l’octet soit au moins égal à trois est négligeable » ? Argumenter.
    $\quad$

Partie B

Les erreurs de transmission des bits sont liées à la présence de bruits parasites sur le canal de communication comme l’illustre la figure ci-dessous :

On admet que l’information d’un bit reçu, incluant le bruit, peut être modélisée à l’aide d’une variable aléatoire continue qui suit une loi normale dont l’espérance est liée à la valeur du bit envoyé.
On envoie un bit de valeur $1$. On admet que l’information reçue d’un bit de valeur $1$ peut être modélisée par une variable aléatoire $R$ qui suit la loi normale d’espérance $1$ et d’écart-type $0,3$.
On considère que le bit reçu n’est pas correctement interprété lorsque la valeur de $R$ est inférieure ou égale à $0,4$.
Calculer la probabilité que le bit reçu ne soit pas correctement interprété.

$\quad$

Partie C

Afin de détecter si un ou plusieurs bits de l’octet sont mal transmis, on utilise un protocole de détection d’erreur. Il consiste à ajouter, à la fin de l’octet à transmettre, un bit, appelé bit de parité et qui est transmis après les huit bits de l’octet.
On s’intéresse désormais à la transmission de l’octet suivi de son bit de parité.

Une étude statistique a permis d’obtenir que :

  • la probabilité que les huit bits (octet) soient transmis sans erreur vaut $0,922$ ;
  • la probabilité que les huit bits (octet) soient transmis avec exactement une erreur vaut $0,075$ ;
  • si les huit bits (octet) ont été transmis sans erreur, la probabilité que le bit de parité soit envoyé sans erreur vaut $0,99$ ;
  • si les huit bits (octet) ont été transmis avec exactement une erreur, la probabilité que le bit de parité ait été envoyé sans erreur vaut $0,9$ ;
  • si les huit bits (octet) ont été transmis avec au moins deux erreurs, la probabilité que le bit de parité soit envoyé sans erreur vaut $0,99$ ;

On choisit au hasard un octet suivi de son bit de parité. On considère les évènements suivants :

  • $Z$ : « les huit bits de l’octet sont transmis avec aucune erreur » ;
  • $E$ : « les huit bits de l’octet sont transmis avec exactement une erreur » ;
  • $D$ : « les huit bits de l’octet sont transmis avec au moins deux erreurs » ;
  • $B$ : « le bit de parité est transmis sans erreur ».
  1. Compléter l’arbre pondéré de l’annexe à rendre avec la copie.
    $\quad$
  2. Quelle est la probabilité que l’octet soit transmis avec une erreur exactement et que le bit de parité soit transmis sans erreur ?
    $\quad$
  3. Calculer la probabilité de l’événement $B$.
    $\quad$

Annexe

$\quad$

Exercice 3     4 points

Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse.
Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte.

  1. On considère le nombre complexe $Z=1+\ic \sqrt{3}$.
    Affirmation 1 : Le nombre complexe $Z^2$ est un réel positif.
    $\quad$
    Affirmation 2 : L’argument du nombre complexe $Z^{2~019}$ vaut $0$ modulo $2\pi$.
    $\quad$

Dans ce qui suit, le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct $\Ouv$.

  1. On considère dans $\C$ l’équation $2z^2-3z+5=0$.
    Affirmation 3 : Cette équation admet deux solutions dont les images sont symétriques par rapport à l’origine du repère.
    $\quad$
  2. À tout point $M$ d’affixe $z$ du plan complexe, on associe le point $M’$ d’affixe $z’$ par définie par : $$z’=\conj{z}(1-z)$$
    Affirmation 4 : Il existe une infinité de points $M$ confondus avec leur point image $M’$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     5 points

Pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Sur la figure donnée en annexe à rendre avec la copie , on considère le cube $ABCDEFGH$ de côté $6$ cm dans le repère orthonormé $\left(A,\vec{i},\vec{j},\vec{k}\right)$, l’unité étant le cm.
On admet que le point $I$ a pour coordonnées $(6 ; 0 ;3)$ dans ce repère.
On appelle $L$ le milieu du segment $[FG]$.
On appelle $P$ le plan défini par les trois points $E$, $I$ et $L$.
$\quad$

On rappelle que le volume du tétraèdre est donné par la formule $V=\dfrac{\text{aire de la base $\times$ hauteur}}{3}$.

  1. a. Montrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $P$.
    $\quad$
    b. Déterminer une équation cartésienne du plan $P$.
    $\quad$
  2. Justifier que le volume du tétraèdre $FELI$ est $9$ cm$^3$.
    $\quad$
  3. a. Soit $\Delta$ la perpendiculaire au plan $P$ passant par le point $F$ . Justifier que la droite $\Delta$ admet pour
    représentation paramétrique : $\begin{cases} x=t+6\\y=-2t\\z=2t+6\end{cases}$ avec $t\in \R$.
    $\quad$
    b. Montrer que l’intersection de la droite $\Delta$ et du plan $P$ est le point $K\left(\dfrac{16}{3};\dfrac{4}{3};\dfrac{14}{3}\right)$.
    $\quad$
  4. Calculer l’aire en cm$^2$ du triangle $ELI$.
    $\quad$
  5. Tracer sur le graphique fourni en annexe à rendre avec la copie , la section du cube $ABCDEFGH$ par le plan parallèle au plan $P$ passant par le point $G$ et en donner la nature précise sans justification.
    $\quad$

Annexe

$\quad$

 

 

Bac S – Métropole – Septembre 2019

Métropole La Réunion – Septembre 2019

Bac S – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici .

Ex 1

Exercice 1

  1. On veut calculer :
    $\begin{align*} P(X\pg 10)&=P(10\pp X\pp 11,3)+P(X\pg 11,3)\\
    &=P(10\pp X\pp 11,3)+0,5 \\
    &\approx 0,67\end{align*}$
    La probabilité que le dossier soit celui d’un candidat reçu à l’examen est environ égale à $0,67$.
    $\quad$
  2. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(R)&=P(A\cap R)+P(B\cap R) \\
    &\approx 0,6\times 0,67+0,4\times 0,7 \\
    &\approx 0,68 \end{align*}$
    La probabilité que le dossier choisi soit celui d’un candidat reçu à l’examen est environ égale à $0,68$.
    $\quad$
  3. On a $n=500$ et $p=0,68$.
    Par conséquent $n=500\pg 30$, $np=340\pg 5$ et $n(1-p)=160\pg 5$
    Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de confiance de $95\%$ de la proportion d’élèves reçu à l’examen est :
    $\begin{align*} I_{500}&=\left[0,68-1,96\sqrt{\dfrac{0,68\times 0,32}{500}};0,68+1,96\sqrt{\dfrac{0,68\times 0,32}{500}} \right] \\
    &\approx [0,63;0,73]\end{align*}$
    La fréquence observée est $f=\dfrac{368}{500}=0,736 \notin I_{500}$.
    Au risque d’erreur de $5\%$, cela confirme l’affirmation du membre du jury.
    $\quad$
  4. On a :
    D’après la formule des probabilités totales, la probabilité que le dossier choisi obtienne le « prix du jury » est, en supposant que $N\pg 13$ :
    $\begin{align*} a&=0,6P(X\pg N)+0,4P(Y\pg N) \\
    &=0,6\left(P(X\pg 11,3)-P(11,3\pp X\pp N)\right) +0,4\left(P(Y\pg 12,4)-P(12,4\pp Y\pp N)\right) \\
    &=0,6\left(0,5-P(11,3\pp X\pp N)\right) +0,4\left(0,5-P(12,4\pp Y\pp N)\right) \\
    &=0,5-0,6P(11,3\pp X\pp N)-0,4P(12,4\pp Y\pp N)\end{align*}$
    À l’aide de la calculatrice, on obtient, arrondi au centième :
    $\begin{array}{|c|c|}
    \hline
    N&a\\
    \hline
    13&0,35\\
    \hline
    14&0,26\\
    \hline
    15&0,38\\
    \hline
    16&0,12\\
    \hline
    \end{array}$
    Par conséquent $N=16$
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. La courbe $\mathscr{C}_g$ se situe dans le demi-plan $y>0$. Cela signifie donc que, pour tout réel $x$ on a $g(x)>0$.
    Par définition de la fonction $G$, la fonction $g$ est la dérivée de la fonction $G$.
    Ainsi, $G$ est strictement croissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    $\quad$
  2. $G(1)=\ds\int_0^1 g(u)\mathrm{d}u$.
    La fonction $g$ est continue et positive sur l’intervalle $[0;1]$.
    Par conséquent $G(1)$ est l’aire du domaine compris entre la courbe, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=0$ et $x=1$.
    Graphiquement, on constate que ce domaine est inclus dans un carré de côté $1$  auquel on a retiré un rectangle de taille $0,5\times 0,2$ (le rectangle dont les abscisses sont comprises entre $0,5$ et $1$ et dont les ordonnées sont comprises entre $0,8$ et $1$).
    Donc $G(1)\pp 1\times 1-0,5\times 0,2$ soit $g(1) \pp 0,9$.
    $\quad$
  3. La fonction $g$ est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
    Par conséquent, pour tout réel $t\pg 0$ on a :
    $\begin{align*} \ds G(-t)&= \int_0^{-t} g(u)\mathrm{d}u\\
    &=-\int_{-t}^0 g(u)\mathrm{d}u\\
    &=-\int_0^{t}g(u)\mathrm{d}u\\
    &= -G(t)\end{align*}$
    Par définition, la fonction $G$ est une primitive de la fonction $g$ qui s’annule en $0$.
    D’après la question A.1. la fonction $G$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
    Comme $G(0)=0$, cela signifie donc que $G(t)> 0$ pour tout réel $t$ strictement positif.
    Par conséquent $G(-t) < 0$.
    La fonction $G$ n’est donc pas positive sur $\R$.
    $\quad$

Partie B

  1. a. $\lim\limits_{u\to -\infty} -u^2=-\infty$  or $\lim\limits_{U\to -\infty} \e^U=0$
    Donc $\lim\limits_{u\to -\infty} g(u)=0$.
    $\lim\limits_{u\to +\infty} -u^2=-\infty$  or $\lim\limits_{U\to -\infty} \e^U=0$
    Donc $\lim\limits_{u\to -\infty} g(u)=0$.
    $\quad$
    b. La fonction $g$ est dérivable sur $\R$ en tant que fonction composée de fonctions dérivables sur $\R$.
    Pour tout réel $u$ on a donc $g'(u)=-2u\e^{u^2}$.
    La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. Le signe de $g'(u)$ ne dépend donc que de celui de $-2x$.
    $-2x=0 \ssi x=0$ et $-2x>0 \ssi x<0$
    On obtient donc le tableau de signes et de variations suivant :

    $\quad$
    c. D’après le tableau de variations précédent, le maximum de la fonction $g$ est $1$ atteint en $0$.
    Cela signifie donc que, pour tout réel $u$ on a $g(u)\pp 1$.
    En particulier $g(1)\pp 1$.
    $\quad$
  2. a. $23$ points n’appartiennent pas à l’ensemble $E$.
    Par conséquent $f=\dfrac{100-23}{100}=0,77$
    $\quad$
  3. On obtient l’algorithme suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    c\leftarrow 0\\
    \text{Pour $i$ variant de $1$ à $n$ faire :} \hspace{1cm}\\
    \hspace{1cm} x\leftarrow \text{ALEA}\\
    \hspace{1cm} y\leftarrow \text{ALEA}\\
    \hspace{1cm} \text{Si }y\pp \e^{-x^2} \text{ alors}\\
    \hspace{2cm}c\leftarrow c+1\\
    \hspace{1cm}\text{fin Si}\\
    \text{fin Pour}\\
    f\leftarrow \dfrac{c}{n}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    c. On a $n=1~000$ et $f=0,757$.
    Par conséquent $n=1~000\pg 30$, $nf=757\pg 5$ et $n(1-f)=0,243\pg 5$
    Un intervalle de confiance au niveau de confiance de $95\%$ de la valeur exacte de $I$ est donc :
    $\begin{align*}I_{1~000}&=\left[0,757-\dfrac{1}{\sqrt{1~000}};0,757+\dfrac{1}{\sqrt{1~000}}\right] \\
    &\approx [0,725;0,789]\end{align*}$
    $\quad$

Partie C

  1. Pour tout réel $t\pg 1$ on a :
    $\begin{align*} \ds \int_1^t g(u)\mathrm{d}u &\pp \ds \int_1^t \dfrac{1}{u^2}\mathrm{d}u \\
    &\pp \left[-\dfrac{1}{u}\right]_1^t \\
    &\pp -\dfrac{1}{t}+1\end{align*}$
    $\quad$
  2. Par conséquent, pour tout réel $t \pg 1$ on a :
    $\begin{align*} G(t)&=\ds \int_0^t g(u) \mathrm{d}u \\
    &=\int_0^1 g(u) \mathrm{d}u + \int_1^t g(u) \mathrm{d}u  \qquad (*)\\
    &\pp \int_0^1 1\mathrm{d}u+1-\dfrac{1}{t} \\
    &\pp 1+1-\dfrac{1}{t}\\
    &\pp 2-\dfrac{1}{t}\end{align*}$
    $(*)$ en effet, la fonction $g$ est strictement croissante sur l’intervalle $[0;1]$ et $g(1)=1$. Donc pour tout réel $x\in [0;1]$ on a $g(x)\pp 1$.
    $\quad$
    On a $\lim\limits_{t\to +\infty}2-\dfrac{1}{t}=2$.
    D’après la partie A, la fonction $G$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$ et positive.
    Par conséquent, la limite éventuelle de $G(t)$ lorsque $t$ tend vers $+\infty$ est comprise entre $0$ et $2$.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. a. On a donc l’équation $2z^2-3z+4=0$
    Le discriminant de cette équation du second degré est :
    $\Delta=(-3)^2-4\times 2\times 4=-23<0$
    L’équation possède donc deux solutions complexes non réelles.
    Affirmation 1 fausse
    $\quad$
    b. Si l’équation $(E)$ admet des solutions complexes non réelles alors celles-ci sont de la forme :
    $z_1=\dfrac{-(m-5)-\sqrt{-\Delta}}{4}$ et $z_2=\dfrac{-(m-5)+\sqrt{-\Delta}}{4}$ où $\Delta$ est le discriminant de ce polynôme du second degré.
    Ces solutions sont des imaginaires purs si, et seulement si, $-(m-5)=0 \ssi m=5$.
    Affirmation 2 vraie
    $\quad$
  2. On appelle $A$ le point d’affixe $6$ et $B$ celui d’affixe $-5\ic$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} |z-6|=|z+5\ic| &\ssi |z-6|=\left|z-(-5\ic)\right| \\
    &\ssi AM=BM\end{align*}$
    Le point $M$ appartient donc à la médiatrice du segment $[AB]$
    Affirmation 3 fausse
    $\quad$
  3. Un vecteur directeur de la droite $d$ est $\vec{u}(1;-1;1)$.
    $\dfrac{1}{5} \neq \dfrac{-1}{2}$
    Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont donc pas colinéaires.
    Cela signifie par conséquent que les droites $d$ et $d’$ ne sont pas parallèles.
    Une représentation paramétrique de la droite $d’$ est : $\begin{cases}x=4+5k\\y=4+2k\\z=-6-9k\end{cases} \quad k\in \R$.
    Si les droites $d$ et $d’$ sont sécantes alors les coordonnées du point d’intersection sont solutions su système.
    $\begin{align*} \begin{cases} x=-1+t\\y=2-t\\z=3+t\\x=4+5k\\y=4+2k\\z=-6-9k\end{cases} &\ssi \begin{cases} x=-1+t\\y=2-t\\z=3+t\\-1+t=4+5k\\2-t=4+2k\\3+t=-6-9k\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=-1+t\\y=2-t\\z=3+t\\t=5+5k\\t=-2-2k\\t=-9-9k\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=-1+t\\y=2-t\\z=3+t\\t=5+5k\\5+5k=-2-2k\\5+5k=-9-9k\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=-1+t\\y=2-t\\z=3+t\\t=5+5k\\k=-1\\k=-1\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} k=-1\\t=0\\ x=-1\\y=2\\z=3\t=5+5k\\k=-1\\k=-1\end{cases} \\
    \end{align*}$
    Par conséquent les droites $d$ et $d’$ sont sécantes donc coplanaires.
    Affirmation 4 vraie
    $\quad$
  4. Les diagonales d’un carré sont perpendiculaires.
    Cela signifie donc que les vecteurs $\vect{BG}$ et ${FC}$ sont orthogonaux
    Or les vecteurs $\vect{FC}$ et $\vect{DE}$ sont colinéaires
    Donc les vecteurs $\vect{BG}$ et $\vect{DE}$ sont orthogonaux.
    Les plants $(ABE)$ et $(AED)$ sont perpendiculaires. Tout vecteur du plan $(ABE)$ est donc orthogonal à tout vecteur du plan $(AED)$. En particulier $\vect{AB}$ et \vect{DE}$ sont orthogonaux.
    Le vecteur $\vect{DE}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non orthogonaux du plan $(ABG)$. Il est par conséquent normal à ce plan.
    Affirmation 5 vraie
    $\quad$

 

Ex 4 obl

Exercice 4

Partie A

  1. $u_1=f(3)=\dfrac{11}{7}$
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[0;4]$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas.
    Pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0;4]$ on a:
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{3(4+x)-(2+3x)}{(4+x)^2} \\
    &=\dfrac{12+3x-2-3x}{(4+x)^2} \\
    &=\dfrac{10}{(4+x)^2}\\
    &>0\end{align*}$
    La fonction $f$ est donc strictement croissante sur l’intervalle $[0;4]$.
    $\quad$
  3. Montrons cette propriété par récurrence.
    Initialisation : Si $n=0$ alors on a $u_0=3$ et $u_1=\dfrac{11}{7}$
    Donc $1\pp u_1\pp u_0\pp 3$
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ donc $1\pp u_{n+1}\pp u_n \pp 3$
    Montrons qu’elle est encore vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $1\pp u_{n+2} \pp u_{n+1} \pp 3$.
    La fonction $f$ est croissante sur l’intervalle $[0;4]$.
    Par conséquent $f(1) \pp f\left(u_{n+1}\right) \pp f\left(u_n\right)\pp f(3)$
    soit $1\pp u_{n+2}\pp u_{n+1} \pp \dfrac{11}{7} \pp 3$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$  et est héréditaire.
    Pour tout entier naturel $n$ on a donc $1\pp u_{n+1} \pp u_n \pp 3$.
    $\quad$
  4. a. D’après la question précédente, la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et minorée par $1$. Elle converge donc.
    $\quad$
    b. la fonction $f$ est continue sur $[0;4]$ comme quotient de fonctions continues dont le dénominateur ne s’annule pas sur $[0;4]$.
    La suite $\left(u_n\right)$ converge vers $\ell$ et pour tout entier naturel $n$ on a $u_n\in[1;3]$.
    Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} f\left(u_n\right)=f(\ell)$.
    La suite $\left(u_n\right)$ converge vers le réel $\ell$. Donc $\lim\limits_{n\to +\infty} u_{n+1}=\ell$.
    Or, pour tout entier naturel, on a $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$.
    D’après l’unicité de la limite d’une suite on a alors $\ell=f(\ell)$.
    $\quad$
    c.
    $\begin{align*} \ell=\dfrac{2+3\ell}{4+\ell} &\ssi \dfrac{2+3\ell}{4+\ell}-\ell=0 \\
    &\ssi \dfrac{2+3\ell-\ell(4+\ell)}{4+\ell}=0 \\
    &\ssi \dfrac{2+3\ell-4\ell-\ell^2}{4+\ell}=0 \\
    &\ssi \dfrac{-\ell^2-\ell+2}{4+\ell}=0\end{align*}$
    On considère le polynôme du second dégré $P$ défini sur $\R$ par $P(x)=-x^2-x+2$.
    $\Delta=(-1)^2-4\times (-1)\times 2=9>0$.
    Les racines sont $x_1=\dfrac{1-\sqrt{9}}{-2}=1$ et $x_2=\dfrac{1+\sqrt{9}}{-2}=-2$.
    Or $\ell\in[1;3]$.
    Donc $\ell =1$.
    $\quad$

Partie B

  1. On obtient le graphique suivant :

    La suite $\left(v_n\right)$ semble donc croissante et converger vers $1$.
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} 1-v_{n+1}&=1-\dfrac{2+3v_n}{4+v_n} \\
    &=\dfrac{4+v_n-2-3v_n}{4+v_n} \\
    &=\dfrac{2-2v_n}{4+v_n} \\
    &=\dfrac{2}{4+v_n}(1-v_n)\end{align*}$
    $\quad$
    b. Initialisation : Si $n=0$ alors $1-v_0=0,9$ et $\left(\dfrac{1}{2}\right)^0=1$.
    Par conséquent $0\pp 1-v_0 \pp \left(\dfrac{1}{2}\right)^0$.
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$. Donc $0\pp 1-v_n\pp \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$.
    Montrons que la propriété est vraie au rang suivant, c’est-à-dire que $0\pp 1-v_{n+1} \pp \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}$
    $1-v_{n+1}=\dfrac{2}{4+v_n}(1-v_n)$
    Donc $0 \pp 1-v_{n+1} \pp \dfrac{2}{4+v_n}\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \quad (*)$
    Par hypothèse $0\pp 1-v_n\pp \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$ donc $v_n\pg 1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\pg 0$
    Ainsi $4+v_n\pg 4 \ssi 0\pp \dfrac{1}{4+v_n} \pp \dfrac{1}{4}$
    Par conséquent, en reprenant la relation $(*)$ on obtient :
    $0 \pp 1-v_{n+1} \pp \dfrac{2}{4}\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$
    Soit $0\pp 1-v_{n+1} \pp \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}$
    La propriété est vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang$0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $0\pp 1-v_n\pp \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$.
    $\quad$
  3. $-1<\dfrac{1}{2}<1$ par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} \left(\dfrac{1}{2}\right)^n=0$.
    D’après le théorème des gendarmes, on a donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 1-v_n=0$ ce qui signifie que $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n=1$.
    $\quad$

 

Ex 4 spé

Exercice 4

Partie A

  1. Chaque semaine, il reste donc $25\%$ des adultes et $50\%$ des larves deviennent des adultes.
    Donc, pour tout entier naturel $n$, on a $a_{n+1}=0,25a_n+0,5\ell_n$
    Chaque semaine, chaque adulte donne naissance à $2$ larves et $25\%$ ($100-50-25$) restent au stade larvaire.
    Donc, pour tout entier naturel $n$, on a $\ell_{n+1}=2a_n+0,25\ell_n$.
    Ainsi $\begin{pmatrix} \ell_{n+1}\\a_{n+1}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0,25\ell_n+2a_n\\0,5\ell_n+ 0,25a_n\end{pmatrix}$
    Soit $X_{n+1}=AX_n$ où $A=\begin{pmatrix}0,25&2\\0,5&0,25\end{pmatrix}$.
    $\quad$
  2. a. $AU=\begin{pmatrix}0,25\times 2+2\times 1\\2\times 0,5+1\times 0,25\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2,5\\1,25\end{pmatrix}=1,25U$
    $\quad$
    b. Pour tout réel $a$ on a :
    $AV=\begin{pmatrix}0,25a+2\\0,5a+0,25\end{pmatrix}$
    Par conséquent :
    $\begin{align*} AV=-0,75V&\ssi \begin{cases} 0,25a+2=-0,75a\\0,5a+0,25=-0,75\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} 2=-a\\0,5a=-1\end{cases} \\
    &\ssi a=-2\end{align*}$
    $\quad$
  3. a. Montrons la propriété par récurrence.
    Initialisation : Si $n=0$ alors $X_0=\alpha U+\beta V$
    Et $\alpha (1,25)^0U+\beta(-0,75)^0V=\alpha U+\beta V=X_0$.
    La propriété est donc vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$, $X_n=\alpha(1,25)^nU+\beta(-0,75)^nV$
    Montrons que la propriété est vraie au rang suivant, c’est-à-dire que $X_{n+1}=\alpha(1,25)^{n+1}U+\beta(-0,75)^{n+1}V$.
    $\begin{align*} X_{n+1}&=AX_n \\
    &=A\left(\alpha(1,25)^{n}U+\beta(-0,75)^{n}V\right) \\
    &=\alpha(1,25)^nAU+\beta(-0,75)^nAV \\
    &=\alpha(1,25)^n\times 1,25U+\beta(-0,75)^n\times (-0,75V) \\
    &=\alpha(1,25)^{n+1}U+\beta(-0,75)^{n+1}V\end{align*}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $X_n=\alpha(1,25)^{n}U+\beta(-0,75)^{n}V$
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$, on a, puisque $a=-2$ :
    $\begin{align*} X_n&=X_n=\alpha(1,25)^{n}U+\beta(-0,75)^{n}V \\
    &=\begin{pmatrix} 2\alpha(1,25)^n-2\beta(-0,75)^n \\\alpha(1,25)^n+\beta(-0,75)^n\end{pmatrix} \\
    &=\begin{pmatrix} 2(1,25)^n\alpha-2\beta\times (1,25)^n\times \dfrac{(-0,75)^n}{2(1,25)^n} \\(1,25)^n\alpha+(1,25)^n\beta\times \dfrac{(-0,75)^n}{(1,25)^n} \end{pmatrix} \\
    &=\begin{pmatrix}2(1,25)^n\left(\alpha-\beta(-0,6)^n\right) \\(1,25)^n\left(\alpha+\beta(-0,6)^n\right)\end{pmatrix}\end{align*}$
    Par conséquent $\begin{cases} \ell_n &=&2(1,25)^n\left(\alpha-\beta(-0,6)^n\right) \\a_n&=&(1,25)^n\left(\alpha+\beta(-0,6)^n\right)\end{cases}$
    $\quad$
  4. Pour tout entier naturel $n$, on a, si $a_n\neq 0$,
    $\begin{align*} \dfrac{\ell_n}{a_n}&=\dfrac{2(1,25)^n\left(\alpha-\beta(-0,6)^n\right)}{(1,25)^n\left(\alpha+\beta(-0,6)^n\right)} \\
    &=\dfrac{2\left(\alpha-\beta(-0,6)^n\right)}{\alpha+\beta(-0,6)^n}\end{align*}$
    Or $-1<-0,6<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} (-0,6)^n=0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{\ell_n}{a_n}=\dfrac{2\alpha}{\alpha}=2$.
    Cela signifie donc que, sur le long terme, il y a deux plus de larves que d’adultes.
    $\quad$

Partie B

  1. On a $19\times 1-6\times 3=19-18=1$.
    Le couple $(1;3)$ est donc solution de l’équation $(E)$.
    On considère un autre couple $(x;y)$ de cette équation.
    On a alors :
    $19\times 1-6\times 3=1$ et $19x-6y=1$
    Par différence, on obtient : $19(1-x)-6(3-y)=0 \ssi 19(1-x)=6(3-y)$.
    $19$ et $6$ sont premiers entre eux.
    D’après le théorème de Gauss, il existe donc un entier relatif $k$ tel que $1-x=6k$ et $3-y=19k$.
    Ainsi $x=1-6k$ et $y=3-19k$.
    $\quad$
    Réciproquement, soit $k$ un entier relatif. Alors :
    $19(1-6k)-6(3-19k)=19-114k-18+114k=1$.
    Les solutions de l’équation $(E)$ sont donc les couples $(1-6k;3-19k)$ pour tout entier relatif $k$.
    On cherche les entiers relatifs $k$ tels que :
    $\begin{align*} 2~000\pp x \pp 2~100 &\ssi 2~000\pp 1-6k\pp 2~100 \\
    &\ssi 1~999 \pp 6k \pp 2~099 \\
    &\ssi  \dfrac{1~999}{6}\pp k \pp \dfrac{2~099}{6}\end{align*}$
    Or $\dfrac{1~999}{6}\approx 333,2$ et $\dfrac{2~099}{6}\approx 349,8$.
    $k$ peut donc prendre toutes les valeurs entières comprises entre $334$ et $349$ toutes les deux incluses. Cela  représente donc $16$ valeurs.
    Il existe donc $16$ couples d’entiers $(x;y)$ solutions de l’équation $(E)$ vérifiant $2~000\pp x\pp 2~100$.
    $\quad$
  2. On suppose qu’il existe un entier naturel $a$ strictement supérieur à $1$ qui divise à la fois $n+3$ et $2n+3$.
    Il existe donc des entiers naturels $b$ et $c$ tels que $n+3=ab$ et $2n+3=ac$
    Par conséquent $n=ab-3$
    Ainsi :
    $\begin{align*} 2n+3=ac &\ssi 2(ab-3)+3=ac \\
    &\ssi 2ab-6+3=ac \\
    &\ssi 2ab-3=ac \\
    &\ssi 2ab-ac=3 \\
    &\ssi a(2b-c)=3\end{align*}$
    $a$ divise donc $3$. Par conséquent $a=1$ (ce qui est interdit puisque $a>1$) ou $a=3$.
    Si $a=3$ on a alors $n=ab-3=3b-3=3(b-1)$ et $n$ est un multiple de $3$.
    $\quad$
    Réciproquement, si $n$ est un multiple de $3$ il existe alors un entier naturel $k$ tel que $n=3k$.
    Ainsi $n+3=3k+3=3(k+1)$ et $2n+3=6k+3=3(2k+1)$
    $n+3$ et $2n+3$ sont divisibles également par $3$ et ne sont pas premiers entre-eux.
    $\quad$
    Par conséquent $n+3$ et $2n+3$ ne sont pas premiers entre-eux si, et seulement si, $n$ est divisible par $3$.
    Donc $n+3$ et $2n+3$ sont premiers entre-eux si, et seulement si, $n$ n’est pas un multiple de $3$.
    $\quad$

 

Énoncé

Exercice 1     4 points

Lors d’un examen professionnel, chaque candidat doit présenter un dossier de type A ou un dossier de type B; $60 \%$ des candidats présentent un dossier de type A, les autres présentant un dossier de type B.
Le jury attribue à chaque dossier une note comprise entre $0$ et $20$. Un candidat est reçu si la note attribuée à son dossier est supérieure ou égale à $10$.
On choisit au hasard un dossier.
On admet qu’on peut modéliser la note attribuée à un dossier de type A par une variable aléatoire $X$ suivant la loi normale d’espérance $11,3$ et d’écart-type $3$, et la note attribuée à un dossier de type B par une variable aléatoire $Y$ suivant la loi normale d’espérance $12,4$ et d’écart type $4,7$.
On pourra noter $A$ l’évènement : « le dossier est un dossier de type A », $B$ l’évènement : « le dossier est un dossier de type B », et $R$ l’évènement : « le dossier est celui d’un candidat reçu à l’examen ».
Les probabilités seront arrondies au centième.

  1. Le dossier choisi est de type A. Quelle est la probabilité que ce dossier soit celui d’un candidat reçu à l’examen ? On admet que la probabilité que le dossier choisi, sachant qu’il est de type B, soit celui d’un candidat reçu est égale à $0,70$.
    $\quad$
  2. Montrer que la probabilité, arrondie au centième, que le dossier choisi soit celui d’un candidat reçu à l’examen est égale à $0,68$.
    $\quad$
  3. Le jury examine $500$ dossiers choisis aléatoirement parmi les dossiers de type B. Parmi ces dossiers, $368$ sont ceux de candidats reçus à l’examen.
    Un membre du jury affirme que cet échantillon n’est pas représentatif. Il justifie son affirmation en expliquant que dans cet échantillon, la proportion de candidats reçus est trop grande.
    Quel argument peut-on avancer pour confirmer ou contester ses propos ?
    $\quad$
  4. Le jury décerne un « prix du jury » aux dossiers ayant obtenu une note supérieure ou égale à $N$, où $N$ est un nombre entier. La probabilité qu’un dossier choisi au hasard obtienne le « prix du jury » est comprise entre $0,10$ et $0,15$.
    Déterminer le nombre entier $N$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     6 points

On donne ci-dessous la représentation graphique $\mathscr{C}_g$ dans un repère orthogonal d’une fonction $g$ définie et continue sur $R$. La courbe $\mathscr{C}_g$ est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées et se situe
dans le demi-plan $y > 0$.

Pour tout $t\in \R$ on pose $$G(t)=\ds \int_0^t g(u)\mathrm{d}u$$

Partie A

Les justifications des réponses aux questions suivantes pourront s’appuyer sur des considérations graphiques.

  1. La fonction $G$ est-elle croissante sur $[0 ; +\infty[$ ? Justifier.
    $\quad$
  2. Justifier graphiquement l’inégalité $G(1) \pp 0,9$.
    $\quad$
  3. La fonction $G$ est-elle positive sur R? Justifier.
    $\quad$

Dans la suite du problème, la fonction $\boldsymbol{g}$ est définie sur $\boldsymbol{R}$ par $\boldsymbol{g (u) = e^{-u^2}}$.

Partie B

  1. Étude de $g$
    a. Déterminer les limites de la fonction $g$ aux bornes de son ensemble de définition.
    $\quad$
    b. Calculer la fonction dérivée de $g$ et en déduire le tableau de variations de $g$ sur $\R$.
    $\quad$
    c. Préciser le maximum de $g$ sur $R$. En déduire que $g(1) \pp 1$.
    $\quad$
  2. On note $E$ l’ensemble des points $M$ situés entre la courbe $\mathscr{C}_g$ , l’axe des abscisses et les droites d’équation $x = 0$ et $x = 1$. On appelle $I$ l’aire de cet ensemble.
    On rappelle que : $$I=G(1)=\ds \int_0^1g(u)\mathrm{d}u$$
    On souhaite estimer l’aire $I$ par la méthode dite « de Monte-Carlo » décrite ci-dessous.
    $\bullet$ On choisit un point $M(x ; y)$ en tirant au hasard de façon indépendante ses coordonnées $x$ et $y$ selon la loi uniforme sur l’intervalle $[0 ; 1]$. On admet que la probabilité que le point $M$ appartienne à l’ensemble $E$ est égale à $I$.
    $\bullet$ On répète $n$ fois l’expérience du choix d’un point $M$ au hasard. On compte le nombre $c$ de points appartenant à l’ensemble $E$ parmi les $n$ points obtenus.
    $\bullet$ La fréquence $f =\dfrac{c}{n}$ est une estimation de la valeur de $I$.
    $\quad$
    a. La figure ci-dessous illustre la méthode présentée pour $n = 100$. Déterminer la valeur de $f$ correspondant à ce graphique.

    b. L’exécution de l’algorithme ci-dessous utilise la méthode de Monte-Carlo décrite précédemment pour déterminer une valeur du nombre $f$ .
    Recopier et compléter cet algorithme.
    $f$ , $x$ et $y$ sont des nombres réels, $n$, $c$ et $i$ sont des entiers naturels.
    ALEA est une fonction qui génère aléatoirement un nombre compris entre $0$ et $1$. $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    c\leftarrow 0\\
    \text{Pour $i$ variant de $1$ à $n$ faire :}\\
    \hspace{1cm} x\leftarrow \text{ALEA}\\
    \hspace{1cm} y\leftarrow \text{ALEA}\\
    \hspace{1cm} \text{Si $y\pp \ldots$ alors }\\
    \hspace{2cm} x\leftarrow \ldots\\
    \hspace{1cm} \text{Fin Si}\\
    \text{Fin Pour}\\
    f\leftarrow \ldots \\
    \hline
    \end{array}$$
    c. Une exécution de l’algorithme pour $n = 1~000$ donne $f = 0,757$.
    En déduire un intervalle de confiance, au niveau de confiance de $95 \%$, de la valeur exacte de $I$.
    $\quad$

Partie C

On rappelle que la fonction $g$ est définie sur $\R$ par $g(u) = e^{-u^2}$ et que la fonction $G$ est définie sur $\R$ par : $$G(t)=\ds \int_0^tg(u)\mathrm{d}u$$
On se propose de déterminer une majoration de $G(t)$ pour $t \pg 1$.

  1. Un résultat préliminaire.
    On admet que, pour tout réel $u \pg 1$, on a $g(u) \pp \dfrac{1}{u^2}$.
    En déduire que, pour tout réel $t \pg 1$, on a : $$\ds \int_1^t g(u)\mathrm{d}u \pp 1-\dfrac{1}{t}$$.
    $\quad$
  2. Montrer que, pour tout réel $t \pg 1$, $$G(t)\pp 2-\dfrac{1}{t}$$
    Que peut-on dire de la limite éventuelle de $G(t)$ lorsque $t$ tend vers $+\infty$?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     5 points

Préciser si chacune des affirmations suivantes est vraie ou fausse en justifiant votre réponse.

  1. Soit $m$ un nombre réel et soit l’équation $(E) : \quad 2z^2+(m-5)z+m=0$.
    a. Affirmation 1 :
    « Pour $m = 4$, l’équation $(E)$ admet deux solutions réelles. »
    $\quad$
    b. Affirmation 2:
    « Il n’existe qu’une seule valeur de $m$ telle que $(E)$ admette deux solutions complexes qui soient des imaginaires purs. »
    $\quad$
  2. Dans le plan complexe, on considère l’ensemble $S$ des points $M$ d’affixe $z$ vérifiant : $$|z-6|=|z+5\ic|$$
    Affirmation 3 :
    « L’ensemble $S$ est un cercle. »
    $\quad$
  3. On munit l’espace d’un repère orthonormé $\Oijk$. On note $d$ la droite dont une représentation paramétrique est :  $$d:\begin{cases} x&=&-1+t\\y&=&2-t\\z&=&3+t\end{cases} \quad t\in \R$$
    On note $d’$ la droite passant par le point $B(4 ; 4 ;−6)$ et de vecteur directeur $\vec{v}(5 ; 2 ; −9)$.
    Affirmation 4 :
    « Les droites $d$ et $d’$ sont coplanaires. »
    $\quad$
  4. On considère le cube $ABCDEFGH$ représenté ci-dessous.

    Affirmation 5 :
    « Le vecteur $\vect{DE}$ est un vecteur normal au plan $(ABG)$. »
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     5 points

Pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $[0; 4]$ par $$f(x)=\dfrac{2+3x}{4+x}$$

Partie A

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par :
$\hspace{3cm} u_0=3$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$.

On admet que cette suite est bien définie.

  1. Calculer $u_1$.
    $\quad$
  2. Montrer que la fonction $f$ est croissante sur l’intervalle $[0; 4]$.
    $\quad$
  3. Montrer que pour tout entier naturel $n$, $$1 \pp u_{n+1} \pp u_n\pp 3$$
    $\quad$
  4. a. Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
    $\quad$
    b. On appelle $\ell$ la limite de la suite $\left(u_n\right)$; montrer l’égalité : $$\ell=\dfrac{2+3\ell}{4+\ell}$$
    $\quad$
    c. Déterminer la valeur de la limite $\ell$.
    $\quad$

Partie B

On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie par :
$\hspace{3cm} v_0=0,1$ et pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1}=f\left(v_n\right)$.

  1. On donne en Annexe, à rendre avec la copie, la courbe représentative, $\mathscr{C}_f$, de la fonction $f$ et la droite $D$ d’équation $y = x$.
    Placer sur l’axe des abscisses par construction géométrique les termes $v_1$, $v_2$ et $v_3$ sur l’annexe, à rendre avec la copie.
    Quelle conjecture peut-on formuler sur le sens de variation et le comportement de la suite $\left(v_n\right)$ quand $n$ tend vers l’infini ?
    $\quad$
  2. a. Montrer que pour tout entier naturel $n$, $$1-v_{n+1}=\left(\dfrac{2}{4+v_n}\right)\left(1-v_n\right)$$
    $\quad$
    b. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $$0\pp 1-v_n\pp \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$$
    $\quad$
  3. La suite $\left(v_n\right)$ converge-t-elle ? Si oui, préciser sa limite.
    $\quad$

Annexe

 

$\quad$

 

Exercice 4     5 points

Pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Les deux parties sont indépendantes.

Partie A

Un laboratoire étudie l’évolution d’une population d’insectes parasites de plantes.
Cette évolution comporte deux stades : un stade larvaire et un stade adulte qui est le seul au cours duquel les insectes peuvent se reproduire.
L’observation de l’évolution de cette population conduit à proposer le modèle suivant.
Chaque semaine :

  • Chaque adulte donne naissance à $2$ larves puis $75 \%$ des adultes meurent.
  • $25 \%$ des larves meurent et $50 \%$ des larves deviennent adultes.

Pour tout entier naturel $n$, on note $\ell_n$ le nombre de larves et $a_n$ le nombre d’adultes au bout de $n$ semaines.
Pour tout entier naturel $n$, on note $X_n$ la matrice colonne définie par : $X_n =\begin{pmatrix} \ell_n\\a_n\end{pmatrix}$.

  1. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $X_{n+1} = AX_n$ où $A$ est la matrice : $$A=\begin{pmatrix}0,25&2\\0,5&0,25\end{pmatrix}$$
    $\quad$
  2. On note $U$ et $V$ les matrices colonnes : $U = \begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$ et $V=\begin{pmatrix}a\\1\end{pmatrix}$, où $a$ est un nombre réel.
    a. Montrer que $AU = 1,25U$.
    $\quad$
    b. Déterminer le réel $a$ tel que $AV = -0,75V$.

Dans les questions 3 et 4, le réel $a$ est fixé de sorte qu’il est la solution de $AV = -0,75V$ .

  1. On admet qu’il existe deux nombres réels $\alpha$ et $\beta$ tels que : $X_0 = \alpha U +\beta V$ et $\alpha > 0$.
    a. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $X_n = \alpha(1,25)^n U+\beta(-0,75)^n V$.
    $\quad$
    b. En déduire que pour tout entier naturel $n$ : $\begin{cases} \ell_n&=&2(1,25)^n\left(\alpha-\beta(-0,6)^n\right)\\a_n&=&(1,25)^n\left(\alpha+\beta(-0,6)^n\right)\end{cases}$.
    $\quad$
  2. Montrer que $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{\ell_n}{a_n}=2$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

Partie B

  1. On considère l’équation $(E) :~~ 19x-6y = 1$. Déterminer le nombre de couples d’entiers $(x ; y)$ solutions de l’équation $(E)$ et vérifiant $2~000 \pp x \pp 2~100$.
    $\quad$
  2. Soit $n$ un entier naturel. Montrer que les entiers $(2n + 3)$ et $(n + 3)$ sont premiers entre eux si et seulement si $n$ n’est pas un multiple de $3$.
    $\quad$

c

Bac S – Antilles Guyane – Septembre 2019

Antilles Guyane – Septembre 2019

Bac S – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici .

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. a. On veut calculer $P(A\cap F)=\dfrac{2}{3}\times \dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{2}$ d’après l’arbre pondéré.
    La probabilité que l’adhérent choisisse un panier de petite taille et soit intéressé par une livraison d’œufs frais est égale à $\dfrac{1}{2}$.
    $\quad$
    b. On a $P\left(B\cap \conj{F}\right)=\dfrac{1}{4}\times \left(1-\dfrac{3}{5}\right)=\dfrac{1}{10}$.
    La probabilité que l’adhérent choisisse un panier de taille moyenne et qu’il ne soit pas intéressé par une livraison d’œufs frais est égale à $\dfrac{1}{10}$.
    $\quad$
    c. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(F)&=P(A\cap F)+P(B\cap F)+P(C\cap F) \\
    &=\dfrac{2}{3}\times \dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{4}\times \dfrac{3}{5}+P(C\cap F) \\
    &=0,65+P(C\cap F) \\
    &>0,6\end{align*}$
    On peut donc affirmer que cette livraison sera mise en place.
    $\quad$
  2. a. D’après la question précédente, on a :
    $P(F)=0,65+P(C\cap F) \ssi 0,675=0,65+P(C\cap F) \ssi P(C\cap F) =0,025$
    De plus $P(C)=1-P(A)-P(B)=1-\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{12}$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} P_C(F)&=\dfrac{P(C\cap F)}{P(C)} \\
    &=\dfrac{0,025}{\dfrac{1}{12}} \\
    &=0,3\end{align*}$
    $\quad$
    b. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_F(C)&=\dfrac{P(F\cap C)}{P(F)} \\
    &=\dfrac{0,025}{0,675} \\
    &=\dfrac{1}{27} \\
    &\approx 0,04\end{align*}$
    La probabilité qu’il ait choisi un panier de grande taille est donc environ égale à $0,04$.
    $\quad$

Partie B

  1. On veut calculer :
    $\begin{align*}P(X\pp 4~500)&=P(X<5~000)-P(4~500<X<5~000) \\
    &=0,5-P(4~500<X<5~000) \\
    &\approx 0,12\end{align*}$
    La probabilité que le panier ne soit pas conforme est environ égale à $0,12$.
    $\quad$
  2. La variable aléatoire $Z=\dfrac{Y-5~000}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.
    $\begin{align*} P(Y<4~500)=0,04 &\ssi P(Y-5~000<-500)=0,04 \\
    &\ssi P\left(\dfrac{Y-5~000}{\sigma}<-\dfrac{500}{\sigma}\right)=0,04 \\
    &\ssi P\left(Z<-\dfrac{500}{\sigma}\right)=0,04 \end{align*}$
    À l’aide de la touche Inverse loi normale de la calculatrice on trouve $-\dfrac{500}{\sigma} \approx -1,75 \ssi \sigma \approx 286$.
    $\quad$

Partie C

On a $n=120$ et $p=0,88$.
Par conséquent $n=120\pg 30$ , $np=105,6\pg 5$ et $n(1-p)=14,4\pg 5$.

Un intervalle de fluctuation asymptotique de la fréquence des adhérents satisfaits est :
$\begin{align*} I_{120}&=\left[0,88-1,96\sqrt{\dfrac{0,12\times 0,88}{120}},0,88+1,96\sqrt{\dfrac{0,12\times 0,88}{120}}\right] \\
&\approx [0,821,0,939]\end{align*}$

La fréquence observée est $f=\dfrac{100}{120}\approx 0,833$
Donc $f\in I_{120}$.

La contestation de l’auditeur n’est donc pas fondée.

$\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. a. On a $\vect{OA}(10;0;1)$ et $\vect{OB}(1;7;1)$.
    Par conséquent $\vect{OA}.\vect{OB}=10\times 1+0\times 7+1\times 1=11 \neq 0$.
    Cela signifie donc que les deux vecteurs ne sont pas orthogonaux et que les droites $(OA)$ et $(OB)$ ne sont pas perpendiculaires.
    $\quad$
    b. $OA=\sqrt{10^2+0^2+1^2}=\sqrt{101}$ et $OB=\sqrt{1^2+7^2+1^2}=\sqrt{51}$.
    Ainsi $\vect{OA}.\vect{OB}=11$
    et $\vect{OA}.\vect{OB}=OA\times OB\times \cos \widehat{AOB}=\sqrt{101}\times \sqrt{51}\times \cos \widehat{AOB}$
    Par conséquent $\cos \widehat{AOB}=\dfrac{11}{\sqrt{101}\times \sqrt{51}}$
    On obtient alors $\widehat{AOB}\approx 81$°.
    $\quad$
  2. Nous allons vérifier que les coordonnées des points $O$, $A$ et $B$ vérifient bien l’équation proposée.
    Pour le point $O$ : $7\times 0+9\times 0-70\times 0=0 \quad \checkmark$
    Pour le point $A$ : $7\times 10+9\times 0-70\times 1=70-70=0 \quad \checkmark$
    Pour le point $B$ : $7\times 1+9\times 7-70\times 1=7+63-70=0 \quad \checkmark$
    Une équation du plan $(OAB)$ est donc $7x+9y-70z=0$.
    $\quad$
  3. On a $\vect{CA}(10;0;-4)$.
    Une représentation paramétrique de la droite $(CA)$ est donc $$\begin{cases} x=10k\\y=0\\z=5-4k\end{cases} \quad, k\in \R$$
    $\quad$
  4. $D$ est le milieu du segment $[OC]$. Par conséquent $D(0;0;2,5)$.
    Le plan $P$ est parallèle au plan $(OAB)$.
    Une équation cartésienne de $P$ est donc de la forme $7x+9y-70z+d=0$
    Ainsi $0+0-70\times 2,5+d=0 \ssi d=175$.
    Une équation cartésienne du plan $P$ est par conséquent $7x+9y-70z+175=0$.
    $\quad$
  5. Les coordonnées du point $E$ sont solutions du système suivant :
    $\begin{align*}\begin{cases} 7x+9y-70z+175=0\\x=10k\\y=0\\z=5-4k\end{cases} &\ssi \begin{cases} 7\times 10k-70(5-4k)+175=0\\x=10k\\y=0\\z=5-4k\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} 70k-350+280k+175=0\\x=10k\\y=0\\z=5-4k\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} 350k=175\\x=10k\\y=0\\z=5-4k\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} k=0,5\\x=5\\y=0\\z=3\end{cases} \end{align*}$
    Le point $F$ a donc pour coordonnées $(5;0;3)$.
    $\quad$
  6. On a donc $\vect{EF}\left(\dfrac{9}{2};-\dfrac{7}{2};0\right)$ et $\vect{AB}(-9;7;0)$
    Par conséquent $\vect{AB}=-2\vect{EF}$.
    Ces deux vecteurs sont colinéaires et les droites $(EF)$ et $(AB)$ sont donc parallèles.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. Sur $]0;+\infty[$ on a $g(x)=0 \ssi 4x-x\ln x=0 \ssi x(4-\ln x)=0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Donc $x=0$ (ce qui est impossible) ou $4-\ln x=0 \ssi x=\e^4$.
    La solution de l’équation $g(x)=0$ est donc $\e^4$.
    $\quad$
  2. $g(x)=x(4-\ln x)$
    Sur $]0;+\infty[$, le signe de $g(x)$ ne dépend donc que de celui de $4-\ln x$.
    Or $4-\ln x>0 \ssi -\ln x>-4 \ssi \ln x<4 \ssi x<\e^4$.
    Ainsi :
    $\bullet$ $g(x)>0$ sur l’intervalle $\left]0;\e^4\right[$
    $\bullet$ $g\left(\e^4\right)=0$
    $\bullet$ $g(x)<0$ sur l’intervalle $\left]\e^4;+\infty\right[$
    $\quad$
  3. D’après la question précédente, la fonction $g$ change de signe : la première conjecture est donc fausse.
    $g(x)$ est d’abord positif puis négatif : la fonction $g$ ne peux pas être strictement croissante. La seconde conjecture est également fausse.
    $\quad$

Partie B

  1. a. On a, pour tout réel $x$ strictement positif, $x\ln x=-\dfrac{\ln \dfrac{1}{x}}{\dfrac{1}{x}}$
    Or $\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{1}{x}=+\infty$ et $\lim\limits_{t\to +\infty} \dfrac{\ln t}{t}=0$
    Donc $\lim\limits_{x\to 0^+}x\ln x=0$.
    $\quad$
    b. On a $\lim\limits_{x\to 0^+}x\ln x=0$ et $\lim\limits_{x\to 0^+}4x=0$.
    Donc $\lim\limits_{x\to 0^+}g(x)=0$.
    $\quad$
  2. a. D’après l’énoncé, la fonction $g$ est dérivable sur $]0;+\infty[$.
    Pour tout réel $x>0$, on a :
    $\begin{align*} g'(x)&=4-\ln x-x\times \dfrac{1}{x} \\
    &=4-\ln x-1 \\
    &=3-\ln x\end{align*}$
    $\quad$
    b. $3-\ln x=0 \ssi x=\e^3$ et $3-\ln x>0 \ssi -\ln x>-3 \ssi x<\e^3$
    On obtient donc le tableau de signes suivant :

    On a $g(x)=x(4-\ln x)$
    $\lim\limits_{x \to +\infty} \ln x=+\infty$ donc $\lim\limits_{x \to +\infty} 4-\ln x=-\infty$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x)=-\infty$.
    $\quad$
  3. a. D’après l’énoncé la fonction $G$ est dérivable sur l’intervalle $]0;+\infty[$.
    Pour tout réel $x>0$ on a :
    $\begin{align*} G'(x)&=\dfrac{1}{4}\left(2x(9-2\ln x)-2x^2\times \dfrac{1}{x}\right) \\
    &=\dfrac{1}{4}\left(18x-4x\ln x-2x\right) \\
    &=4x-x\ln x \\
    &=g(x)\end{align*}$
    La fonction $G$ est donc bien une primitive de la fonction $g$ sur l’intervalle $]0;+\infty[$.
    $\quad$
    b. Pour tout réel $a>1$ on a :
    $\begin{align*} \ds \int_1^a g(x)\dx&=G(a)-G(1) \\
    &=\dfrac{1}{4}a^2\left(9-2\ln a\right)-\dfrac{9}{4}\\
    &=\dfrac{1}{4}\left(a^2\left(9-2\ln a\right)-9\right)\end{align*}$
    On considère la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=x^2(9-2\ln x)-9$.
    Cette fonction est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout $x>0$ on a :
    $f'(x)=2x(9-2\ln x)-2x^2\times \dfrac{1}{x}=18x-4x\ln x-2x=4g(x)$.
    Par conséquent, d’après la question A.2 la fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur l’intervalle $\left[\e^4;+\infty\right[$.
    De plus $f\left(\e^4\right)=\e^8-9>0$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=-\infty$ (produit de deux limites infinies de signes contraires).
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$.
    Cela signifie donc que $\ds \int_1^{\alpha} g(x)\dx =0$.
    L’affirmation est donc fausse.
    $\quad$

Ex 4 obl

Exercice 4

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

  1. En calculant les premières valeurs de la suite $\left(p_n\right)$, on constate que $p_{21}=-437$ et $p_{22}=-436>p_{21}$.
    La suite $\left(p_n\right)$ n’est donc pas strictement décroissante.
    Affirmation 1 fausse
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} v_{n+1}&={u_{n+1}}^2-1 \\
    &=\dfrac{1}{9}\left({u_n}^2+8\right)-\dfrac{9}{9}\\
    &=\dfrac{1}{9}\left({u_n}^2-1\right) \\
    &=\dfrac{1}{9}v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $\dfrac{1}{9}$.
    Affirmation 2 vraie
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $\dfrac{n^2}{(n+1)^2} \pp w_n \pp \dfrac{n^2+n}{(n+1)^2}$
    Or, d’après la limite des termes de plus haut degré, on a $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{n^2}{(n+1)^2}=\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{n^2}{n^2}=1$
    et $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{n^2+n}{(n+1)^2}=\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{n^2}{n^2}=1$
    D’après le théorème des gendarmes la suite $\left(w_n\right)$ converge donc vers $1$.
    Affirmation 3 vraie
    $\quad$

Partie B

  1. $U_1=\dfrac{2U_0}{1+U_0}=\dfrac{1}{~~\dfrac{3}{2}~~}=\dfrac{2}{3}$.
    $\quad$
  2. Initialisation : Si $n=0$ alors $\dfrac{2^n}{1+2^n}=\dfrac{1}{2}=U_0$.
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$. Par conséquent $U_n=\dfrac{2^n}{1+2^n}$
    Montrons qu’elle est encore vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire $U_{n+1}=\dfrac{2^{n+1}}{1+2^{n+1}}$
    $\begin{align*} U_{n+1}&=\dfrac{2U^n}{1+U_n} \\\\
    &=\dfrac{\dfrac{2^{n+1}}{1+2^n}}{1+\dfrac{2^n}{1+2^n}} \\\\
    &=\dfrac{\dfrac{2^{n+1}}{1+2^n}}{\dfrac{1+2^n+2^n}{1+2^n}} \\\\
    &=\dfrac{\dfrac{2^{n+1}}{1+2^n}}{\dfrac{1+2\times 2^n}{1+2^n}} \\\\
    &=\dfrac{\dfrac{2^{n+1}}{1+2^n}}{\dfrac{1+\times 2^{n+1}}{1+2^n}} \\\\
    &=\dfrac{2^{n+1}}{1+2^{n+1}} \end{align*}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $U_n=\dfrac{2^n}{1+2^n}$.
    $\quad$
  3. L’algorithme 2 fournit le terme $U_{n+1}$ et non $U_n$ puisque la boucle Pour est effectuée $n+1$ fois.
    $\quad$

 

Ex 4 spé

Exercice 4

  1. a. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
    b. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} a_{n+1}&=p\left(A_{n+1}\right)\\
    &=p\left(A_n\cap A_{n+1}\right)+p\left(B_n\cap A_{n+1}\right) \\
    &=\dfrac{3}{5}a_n+\dfrac{1}{10}b_n \end{align*}$
    et
    $\begin{align*} b_{n+1}&=p\left(B_{n+1}\right)\\
    &=p\left(A_n\cap B_{n+1}\right)+p\left(B_n\cap B_{n+1}\right) \\
    &=\dfrac{2}{5}a_n+\dfrac{1}{15}b_n \end{align*}$
    Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{cases} a_{n+1}=\dfrac{3}{5}a_n+\dfrac{1}{10}b_n \\\\b_{n+1}=\dfrac{2}{5}a_n+\dfrac{1}{15}b_n\end{cases}$
    $\quad$
    c. Pour tout entier naturel $n$ on a $MU_n=\begin{pmatrix} \dfrac{3}{5}a_n+\dfrac{1}{10}b_n\\\dfrac{2}{5}a_n+\dfrac{1}{2}b_n\end{pmatrix}=U_{n+1}$
    Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a $U_{n+1}=MU_n$.
    Donc $U_n=M^nU_0$.
    $\quad$
  2. a. On a $U_0=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$.
    $\quad$
    b. $M^2=M\times M=\dfrac{1}{900}\begin{pmatrix}18^2+3\times 12&18\times 3+2\times 3\\12\times 18+2\times 2&12\times 3+2\times 2\end{pmatrix}=\dfrac{1}{45}\begin{pmatrix}18&3\\12&2\end{pmatrix}$
    On constate donc que $M^2=\dfrac{2}{3}M$.
    $\quad$
    c. Initialisation : Si $n=1$ alors $\left(\dfrac{2}{3}\right)^0M=M=M^1$.
    La propriété est vraie au rang $1$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n\pg 1$. Ainsi $M^n=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}M$.
    Montrons qu’elle est encore vraie au rang $n+1$ c’est-à-dire que $M^{n+1}=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}M$.
    $\begin{align*} M^{n+1}&=M^n\times M \\
    &=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}M \times M \\
    &=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}M^2 \\
    &=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1} \times \dfrac{2}{3}M \\
    &=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}M\end{align*}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n\pg 1$ on a $M^n=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}M$.
    $\quad$
    d. Pour tout entier naturel $n\pg 1$ on a :
    $\begin{align*} U_{n}&=M^nU_0 \\
    &=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}MU_0 \\
    &=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}\times \dfrac{1}{30}\begin{pmatrix}18\\12 \end{pmatrix}\\
    &=\begin{pmatrix}\dfrac{3}{5}\times \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}\\\dfrac{2}{5}\times \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}\end{pmatrix}\end{align*}$
    $\quad$
  3. a. Pour tout entier naturel $n$ on a donc :
    $\begin{align*} c_n&=1-a_n-b_n \\
    &=1-\dfrac{3}{5}\times \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}-\dfrac{2}{5}\times \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1} \\
    &=1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}\end{align*}$
    $\quad$
    b. D’après la calculatrice $c_6\approx 0,87$ et $c_7\approx 0,91$.
    Une fois l’algorithme terminé, la variable $n$ contient donc le nombre $7$.
    Cela signifie, qu’au bout de $7$ heures, la probabilité que la bouteille se trouve dans l’océan est supérieure à $0,9$.

$\quad$

 

 

 

Énoncé

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Bac S – Asie – Juin 2019

Asie – Juin 2019

Bac S – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. La température du café sera toujours supérieure ou égale à celle du milieu dans lequel il est placé. Donc ici, on aura toujours $T_n\pg 10$.
    Ainsi $T_n-10\pg 0$.
    Cela signifie donc, que pour tout entier naturel $n$ on a : $T_{n+1}-T_n=-0,2\left(T_n-10\right)\pp 0$.
    On peut donc conjecturer que la suite $\left(T_n\right)$ est décroissante.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} T_{n+1}-T_n=-0,2\left(T_n-10\right) &\ssi T_{n+1}-T_n=-0,2T_n+2 \\
    &\ssi T_{n+1}=T_n-0,2T_n+2\\
    &\ssi T_{n+1}=0,8T_n+2\end{align*}$
    $\quad$
  3. a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} u_{n+1}&=T_{n+1}-10\\
    &=0,8T_n+2-10\\
    &=0,8T_n-8\\
    &=0,8\left(T_n-10\right)\\
    &=0,8u_n\end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,8$ et de premier terme $u_0=T_0-10=70$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_n=70\times 0,8^n$.
    Donc $T_n=u_n+10=70\times 0,8^n+10$.
    $\quad$
    c. On a $-1<0,8<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,8^n=0$ et $\lim\limits_{n \to +\infty}T_n=10$.
    $\quad$
  4. a. Voici les différentes valeurs prises par les variables :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \hspace{0.5cm}n\hspace{0.5cm}&\hspace{0.5cm}0\hspace{0.5cm}&\hspace{0.5cm}1\hspace{0.5cm}&\hspace{0.5cm}2\hspace{0.5cm}&\hspace{0.5cm}3\hspace{0.5cm}&\hspace{0.5cm}4\hspace{0.5cm}\\
    \hline
    T&80&66&54,8&45,84&38,672\\
    \hline
    \end{array}$$
    À la fin de l’exécution de l’algorithme la variable $n$ contient la valeur $4$.
    $\quad$
    b. Cela signifie qu’il faut $4$ minutes pour que la température du café soit inférieure à $40$ degré Celcius.
    $\quad$

Partie B

  1. a. La fonction $t\mapsto -0,2t$ est dérivable sur l’intervalle $[0;+\infty[$ et la fonction exponentielle est dérivable sur $\R$. La fonction $t\mapsto \e^{-0,2t}$ est donc dérivable sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[0;+\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables sur cet intervalle dont le dénominateur ne s’annule pas (la fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$).
    $\quad$
    Pour tout réel $t\pg 0$ on a :
    $\begin{align*} f'(t)&=\dfrac{\Theta'(t)\times \e^{-0,2t}-\Theta(t)\times \left(-0,2\e^{-0,2t}\right)}{\e^{-0,4t}}\\
    &=\dfrac{\left(\Theta'(t)+0,2\Theta(t)\right)\e^{-0,2t}}{\e^{-0,4t}}\\
    &=\dfrac{-0,2\Theta(t)+0,2\Theta(t)}{\e^{-0,2t}}\\
    &=0\end{align*}$
    $\quad$
    b. On a $f(0)=\dfrac{\Theta(0)}{\e^0}=80$.
    D’après la question 1.a. la fonction $f$ est donc constante.
    Et pour tout réel $t\pg 0$ on a $f(t)=80$.
    Cela signifie donc que : $$80=\dfrac{\Theta(t)}{\e^{-0,2t}} \ssi \Theta(t)=80\e^{-0,2t}$$
    $\quad$
    c. On considère la fonction $\Theta$ définie sur l’intervalle $[0;+\infty[$ par $\Theta(t)=80\e^{-0,2t}$.
    Ainsi $\Theta(0)=80$.
    La fonction $\Theta$ est dérivable sur l’intervalle $[0;+\infty[$ en tant que produit d’une fonction dérivable sur cet intervalle par un réel.
    De plus, pour tout réel $t \pg 0$ on a :
    $\Theta'(t)=80\times \left(-0,2\e^{-0,2t}\right)=-0,2\Theta(t)$.
    La fonction $\Theta$ est donc solution du problème.
    $\quad$
  2. D’après l’énoncé, la fonction $g$ est dérivable sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    Pour tout réel $t\pg 0$ on a $g'(t)=70\times \left(-0,2\e^{-0,2t}\right)=-14\e^{-0,2t}$.
    La fonction exponentielle étant strictement positive sur $\R$, cela signifie donc que $g'(t)<0$.
    La fonction $g$ est donc décroissante sur $[0;+\infty[$. Elle est de plus continue (car dérivable) sur cet intervalle.
    $g(0)=80$
    $\lim\limits_{t\to +\infty} -0,2t=-\infty$ et $\lim\limits_{T \to -\infty}\e^{T}=0$ donc $\lim\limits_{t\to +\infty} \e^{-0,2t}=0$ et $\lim\limits_{t\to +\infty} g(t)=10$.
    Or $40\in]10;80]$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $g(t)=40$ possède une unique solution $t_0$.
    D’après la calculatrice $t_0\approx 4,236$.
    $0,436$ min $\approx 26$ s.
    Ainsi $t_0 \approx 4$ min $26$ s.
    $\quad$

 

 

Ex 2

Exercice 2

  1. $\bullet$ On constate que les coordonnées fournies dans l’affirmation A ne vérifie par l’équation cartésienne du plan $p$.
    $\bullet$ Les vecteur $\vec{n}(3;2;9)$, normal au plan $p$, et $\vec{u}(4;-1;-1)$, vecteur directeur de la droite $d$, ne sont ni orthogonaux (produit scalaire non nul) ni colinéaires. Les affirmations B et C sont donc fausse.
    $\bullet$ $3\times (-353)+2\times 91+9\times 98-5=0$. Le point $A(-353;91;98)$ appartient au plan $p$.
    En prenant $t=-89$ (il suffit de résoudre l’équation $-t+9=98$) on constate que le point $A$ appartient également à la droite $d$.
    Affirmation D vraie
    $\quad$
  2. On obtient la figure suivante :

    Les droites $(JK)$ et $(IM)$ d’une part et $(IJ)$ et $(KL)$ d’autre part sont parallèles.
    Affirmation C
    $\quad$
  3. On a :
    $\begin{align*} AM^2&=(t+2+2)^2+(2-1)^2+(5t-6)^2 \\
    &=(t+4)^2+1+(5t-6)^2\\
    &=t^2+8t+16+1+25t^2-60t+36\\
    &=26t^2-52t+53\end{align*}$
    $a=26>0$ : le polynôme du second degré atteint donc son minimum pour $t=-\dfrac{-52}{2\times 26}=1$.
    Ce minimum vaut $27$.
    Ainsi la plus petite longueur $AM$ est égale à $\sqrt{27}$.
    Affirmation B
    $\quad$
  4. $\bullet$ $\vec{n}(1;2;-3)$ est un vecteur normal au plan $p$ et $\vec{n’}(2;-1;0)$ est un vecteur normal au plan $p’$.
    Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires. Affirmation A fausse.
    $\bullet$ Le point $B$ ne vérifie pas l’équation cartésienne du plan $p’$. Affirmation B fausse.
    $\bullet$ $\vec{n}.\vec{u}=-1\neq 0$. Aucune droite de vecteur directeur $\vec{u}$ n’est incluse dans le plan $p$.
    $\bullet$ $\vec{n}.\vec{u}=0$ et $\vec{n’}.\vec{u}=0$. De plus les coordonnées du point $D$ vérifient les deux équations cartésiennes.
    Affirmation D vraie
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. On a $P(F)=0,52$, $P(B)=0,92$ et $P_B(F)=0,55$.
    $\quad$
  2. a. On a :
    $\begin{align*}P(F\cap B)&=P_B(F)\times P(B)\\
    &=0,55\times 0,92\\
    &=0,506\end{align*}$
    $\quad$
    b. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_F(B)&=\dfrac{P(F\cap B)}{P(F)} \\
    &=\dfrac{0,506}{0,52} \\
    &\approx 0,973\end{align*}$
    La probabilité qu’une personne ait consommé des produits bio en 2017, sachant que c’est une femme, est environ égale à $0,973$.
    $\quad$
  3. On a : $P\left(\conj{B}\right)=1-P(B)=0,08$.
    De plus $P_F(B)=0,973$ donc $P_F\left(\conj{B}\right)=0,027$
    Par conséquent $P\left(F\cap \conj{B}\right)=0,027\times 0,52=0,014~04$
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} & P\left(\conj{B}\right)=P\left(H\cap \conj{B}\right)+P\left(F\cap \conj{B}\right) \\
    \ssi & 0,08=P\left(H\cap \conj{B}\right)+0,014~04\\
    \ssi & P\left(H\cap \conj{B}\right)=0,065~96\end{align*}$
    Ainsi :
    $\begin{align*} P_H\left(\conj{B}\right)&=\dfrac{P\left(H\cap \conj{B}\right)}{P(H)} \\
    &=\dfrac{0,065~96}{1-0,52}\\
    &\approx 0,137\end{align*}$
    La probabilité qu’une personne n’ait jamais consommé des produits bio en 2017, sachant que c’est un homme, est environ égale à $0,137$.
    $\quad$

Partie B

On a $n=2~000$ et $p=0,75$.
Par conséquent $n\pg 30$, $np=1~500\pg 5$ et $n(1-p)=500\pg 5$.
Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de la proportion de personne consommant des produits bio au moins une fois par mois est :

$\begin{align*} I_{2~000}&=\left[0,75-1,96\sqrt{\dfrac{0,75\times 0,25}{2~000}};0,75+1,96\sqrt{\dfrac{0,75\times 0,25}{2~000}}\right]\\
&\approx [0,731;0,769]\end{align*}$

La fréquence observée est $f=\dfrac{1~421}{2~000}=0,710~5\notin I_{2~000}$.

Au risque d’erreur de $5\%$ on peut dire que l’affirmation du chef de rayon est fausse.
$\quad$

Partie C

  1. La fonction $f$ est définie sur l’intervalle $[3;4]$. Elle est également continue sur cet intervalle en tant que quotient de fonctions continues sur $[3;4]$ dont le dénominateur ne s’annule pas.
    La fonction carré est positive sur $\R$. Par conséquent, pour tout réel $x\in[2;3]$ on a $f(x)\pg 0$.
    $\begin{align*} I&=\ds \int_3^4 f(x)\dx \\
    &=2\left[-\dfrac{1}{x-2}\right]_3^4\\
    &=2\left(-\dfrac{1}{2}+1\right)\\
    &=1\end{align*}$
    La fonction $f$ est une fonction de densité d’une loi de probabilité sut l’intervalle $[3;4]$.
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} P(3,2\pp X\pp 3,5)&=\ds \int_{3,2}^{3,5}f(x)\dx \\
    &=2\left[-\dfrac{1}{x-2}\right]_{3,2}^{3,5}\\
    &=2\left(-\dfrac{2}{3}+\dfrac{5}{6}\right)\\
    &=\dfrac{1}{3}\end{align*}$
    L’annonce est donc exacte.
    $\quad$
  3. a. La fonction $G$ est dérivable sur l’intervalle $[3;4]$ en tant que somme et quotient de fonctions dérivables sur cet intervalle dont le dénominateur ne s’annule pas.
    Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[3;4]$ on a :
    $\begin{align*} G'(x)&=\dfrac{1}{x-2}-\dfrac{1\times (x-2)-x\times 1}{(x-2)^2}\\
    &=\dfrac{1}{x-2}+\dfrac{2}{(x-2)^2} \\
    &=\dfrac{x-2+2}{(x-2)^2}\\
    &=\dfrac{x}{(x-2)^2}\\
    &=g(x)\end{align*}$
    La fonction $G$ est donc une primitive de la fonction $g$ sur l’intervalle $[3;4]$.
    $\quad$
    b. Ainsi :
    $\begin{align*} E(X)&=\int_3^4xf(x)\dx \\
    &=2\int_3^4g(x)\dx \\
    &=2\left(G(4)-G(3)\right)\\
    &=2\left(\ln(2)-2-\left(\ln(1)-3\right)\right)\\
    &=2\left(\ln(2)+1\right)\\
    &\approx 3,39\end{align*}$
    En moyenne le contenu du panier déposé par les clients a une masse d’abricots environ égale à $3,39$ kg.
    $\quad$

 

Ex 4 obl

Exercice 4

Candidats n’ayant pas suivi la spécialité mathématique

  1. a.
    $\begin{align*} &(-2\ic)^3+\left(-2\sqrt{3}+2\ic\right)\times (-2\ic)^2+\left(4-4\ic\sqrt{3}\right)\times (-2\ic)+8\ic\\
    =& 8\ic -4\left(-2\sqrt{3}+2\ic\right)-\left(8\ic+8\sqrt{3}\right)+8\ic\\
    =& 8\ic+8\sqrt{3}-8\ic-8\ic-8\sqrt{3}+8\ic\\
    =& 0\end{align*}$
    $-2\ic$ est donc une solution de l’équation $(E)$.
    $\quad$
    b. On a :
    $\begin{align*}& (z+2\ic)\left(z^2-2\sqrt{3}z+4\right)\\
    =& z^3-2\sqrt{3}z^2+4z+2\ic z^2-4\ic\sqrt{3}z+8\ic \\
    =& z^3+\left(2\ic-2\sqrt{3}\right)z^2+\left(4-4\ic\sqrt{3}\right)z+8\ic\end{align*}$
    $\quad$
    c. Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Donc $(E)\ssi z+2\ic=0$ ou $z^2-2\sqrt{3}z+4=0$
    $z+2\ic =0\ssi z=-2\ic$
    On considère maintenant l’équation $z^2-2\sqrt{3}z+4=0$
    $\Delta=\left(-2\sqrt{3}\right)^2-4\times 1\times 4=-4<0$
    Les solutions de cette équation sont donc :
    $z_1=\dfrac{2\sqrt{3}-2\ic}{2}=\sqrt{3}-\ic$ et $z_2=\conj{z_1}=\sqrt{3}+\ic$
    Ainsi les solutions de l’équation $(E)$ sont $-2\ic$, $\sqrt{3}+\ic$ et $\sqrt{3}-\ic$.
    $\quad$
    d. $-2\ic=2\e^{-\ic\pi/2}$
    $\left|\sqrt{3}+\ic\right|=2$ donc $\sqrt{3}+\ic=2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\ic}{2}\right)=2\e^{\ic\pi/6}$
    et $\sqrt{3}-\ic=2\e^{-\ic\pi/6}$
    $\quad$
  2. a. Les trois nombres complexes sont tous de module $2$.
    Par conséquent $OA=OB=OC=2$.
    Les points $A$, $B$ et $C$ appartiennent donc au cercle de centre $O$ et de rayon $2$.
    $\quad$
    b. Voir figure en fin d’exercice
    $\quad$
    c. $D$ est le milieu du segment $[OB]$.
    Ainsi $z_D=\dfrac{z_O+z_B}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\ic}{2}$.
    $\quad$
    $AODL$ est un parallélogramme
    $\ssi \vect{AL}=\vect{OD}$
    $\ssi z_L-z_A=z_D-z_O$
    $\ssi z_L=z_D+z_A$
    $\ssi z_L=\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\ic}{2}-2\ic$
    $\ssi z_L=\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{3\ic}{2}$
    $\quad$
  3. a. On note $z=x+\ic y$ et $z’=x’+\ic y’$.
    Ainsi
    $\begin{align*} z\conj{z’}&=(x+\ic y)\left(x’-\ic y’\right)\\
    &=xx’-\ic xy’+\ic yx’+yy’ \\
    &=xx’+yy’+(x’y-xy’)\ic\end{align*}$
    Par conséquent :
    $z\conj{z’}$ est un imaginaire pur
    $\ssi xx’+yy’=0$
    $\ssi \vect{u}$ et $\vect{v}$ sont orthogonaux
    $\quad$
    b. L’affixe du vecteur $\vect{OL}$ est $z=\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{3\ic}{2}$
    L’affixe du vecteur $\vect{AL}$ est $z’=\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{3\ic}{2}+2\ic=\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{3\ic}{2}+\dfrac{\ic}{2}$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} z\conj{z’}&=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{3\ic}{2}\right)\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{\ic}{2}\right) \\
    &=\dfrac{3}{4}-\dfrac{\sqrt{3}\ic}{4}-\dfrac{3\ic\sqrt{3}}{4}-\dfrac{3}{4} \\
    &=-\ic\sqrt{3}\end{align*}$
    $z\conj{z’}$ est donc un imaginaire pur. Les vecteurs $\vect{OL}$ et $\vect{AL}$ sont donc orthogonaux et le triangle $AOL$ est rectangle en $L$.
    $\quad$

$\quad$

Ex 4 spé

Exercice 4

Candidats ayant suivi la spécialité mathématique

  1. a. On considère deux entiers relatifs $a$ et $b$.
    $aU+BV=\begin{pmatrix}2a+b\\a+2b\end{pmatrix}$
    Ainsi :
    $\begin{align*} X=aU+bV&\ssi \begin{cases} 2a+b=10\\a+2b=10\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} b=10-2a\\a+2(10-2a)=10\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} b=10-2a\\-3a+20=10\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} b=10-2a\\-3a=-10\end{cases}\end{align*}$
    $10$ n’est pas divisible par $3$ donc l’équation $-3a=-10$ ne possède pas de solution dans $\Z$.
    $X$ ne peut donc pas s’écrire sous la forme $X=aU+bV$ avec $a$ et $b$ entiers relatifs.
    $\quad$
    b. $X=\begin{pmatrix}10\\10\end{pmatrix}$ ne peut pas s’écrire sous la forme $aU+bV$.
    Par conséquent $(U,V)$ n’est pas une base de $r$.
    $\quad$
  2. a. $d(A)=1\ssi 6v_2+11v_1=1$
    $\quad$
    b. $11\times (-1)+6\times 2=-11+12=1$
    Le couple $(-1;2)$ est donc une solution particulière de l’équation $(E)$.
    $\quad$
    c. On considère une solution $(x;y)$ de l’équation $(E)$.
    On a donc $11\times (-1)+6\times 2=1$ et $11x+6y=1$.
    Par différence, on obtient $11(-1-x)+6(2-y)=0 \ssi 6(2-y)=11(1+x)$.
    $6$ et $11$ sont premiers entre eux.
    D’après le théorème de Gauss, il existe un entier relatif $k$ tel que $2-y=11k$ et $1+x=6k$.
    Par conséquent $x=6k-1$ et $y=2-11k$.
    $\quad$
    Réciproquement, on considère un entier relatif $k$.
    $11(6k-1)+6(2-11k)=66k-11+12-66k=1$
    $\quad$
    Les solutions de l’équation $(E)$ sont donc les couples $(6k-1;2-11k)$ pour $k\in\Z$.
    $\quad$
    d. D’après la question précédente, il existe un entier relatif $k$ tel que $v_1=6k-1$ et $v_2=2-11k$.
    De plus :
    $0\pp v_1\pp 10\ssi 0\pp 6k-1\pp 10 \ssi 1\pp 6k \pp 9 \ssi \dfrac{1}{6} \pp k\pp \dfrac{3}{2} \ssi k=1$.
    Ainsi $v_1=5$ et $v_2=-9$
    Par conséquent $V=\begin{pmatrix} 5\\-9\end{pmatrix}$.
    $\quad$
  3. a. On considère les matrices $A=\begin{pmatrix}6&5\\-11&-9\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}-9&-5\\11&6\end{pmatrix}$
    $\begin{align*}AB&=\begin{pmatrix}-9\times 6+5\times 11&6\times (-5)+5\times 6\\-11\times (-9)+-9\times 11&-11\times (-5)+6\times (-9)\end{pmatrix} \\
    &=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\end{align*}$
    On obtient de même $BA=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$.
    La matrice $A$ est donc inversible et $A^{-1}=\begin{pmatrix}-9&-5\\11&6\end{pmatrix}$.
    $\quad$
    b. Soit $X=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ un élément de $r$.
    $\begin{align*} X=aU+bV&\ssi \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=a\begin{pmatrix}6\\-11\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}5\\-9\end{pmatrix} \\
    &\ssi \begin{cases}x=6a+5b\\y=-11a-9b\end{cases} \\
    &\ssi X=A\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\end{align*}$
    $\quad$
    c. $X=A\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\ssi \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}=A^{-1}X$.
    Ainsi pour une matrice $X$ de $r$ donnée il existe une unique matrice $\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$ telle que $X=A\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$.
    $\quad$
    d. Si $X=\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$ alors :
    $X=A\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\ssi \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}=A^{-1}\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}\ssi \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-33\\40\end{pmatrix}$
    $\quad$

 

 

Énoncé

Exercice 1     6 points

La loi de refroidissement de Newton stipule que le taux d’évolution de la température d’un corps est proportionnel à la différence entre la température de ce corps et celle du milieu environnant.

Une tasse de café est servie à une température initiale de $80$° C dans un milieu dont la température, exprimée en degré Celsius, supposée constante, est notée $M$.
Le but de cet exercice est d’étudier le refroidissement du café en appliquant la loi de Newton suivant deux modèles. L’un, dans la partie A, utilise une suite ; l’autre, dans la partie B, utilise une fonction.

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

Dans cette partie, pour tout entier naturel $n$, on note $T_n$ la température du café à l’instant $n$, avec $T_n$ exprimé en degré Celsius et n en minute. On a ainsi $T_0 = 80$ .
On modélise la loi de Newton entre deux minutes consécutives quelconques $n$ et $n+1$ par l’égalité : $$T_{n+1}-T_n=k\left(T_n-M\right)$$
où k est une constante réelle.
Dans la suite de la partie A, on choisit $M =10$ et $k =-0,2$.
Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a : $T_{n+1}-T_n=-0,2\left(T_n-10\right)$.

  1. D’après le contexte, peut-on conjecturer le sens de variations de la suite $\left(T_n\right)$?
    $\quad$
  2. Montrer que pour tout entier naturel $n$ : $T_{n+1}=0,8T_n+2$.
    $\quad$
  3. On pose, pour tout entier naturel $n$ :  $u_n=T_n-10$.
    a. Montrer que $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique. Préciser sa raison et son premier terme $u_0$.
    $\quad$
    b. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $T_n=70\times 0,8^n+10$.
    $\quad$
    c) Déterminer la limite de la suite $\left(T_n\right)$.
    $\quad$
  4. On considère l’algorithme suivant :  $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{Tant que $T\pg 40$}\\
    \hspace{1cm} T\leftarrow 0,8T+2\\
    \hspace{1cm} n\leftarrow n+1\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    a. Au début, on affecte la valeur $80$ à la variable $T$ et la valeur $0$ à la variable $n$.
    Quelle valeur numérique contient la variable $n$ à la fin de l’exécution de l’algorithme ?
    $\quad$
    b. Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

Partie B
Dans cette partie, pour tout réel $t$ positif ou nul, on note $\Theta(t)$ la température du café à l’instant $t$, avec $\Theta(t)$ exprimé en degré Celsius et $t$ en minute. On a ainsi $\Theta(0)=80$.
Dans ce modèle, plus précis que celui de la partie A, on suppose que $\Theta$ est une fonction dérivable sur l’intervalle $[0,+\infty[$ et que, pour tout réel $t$ de cet intervalle, la loi de Newton se modélise par l’égalité : $\Theta'(t)=-0,2\left(\Theta(t)-M\right)$.

  1. Dans cette question, on choisit $M = 0$ . On cherche alors une fonction $\Theta$ dérivable sur l’intervalle $[0,+\infty[$ vérifiant $\Theta(0)=80$ et, pour tout réel $t$ de cet intervalle : $\Theta'(t)=-0,2\Theta(t)$.
    a. Si $\Theta$ est une telle fonction, on pose pour tout $t$ de l’intervalle $[0,+\infty[$, $f(t)=\dfrac{\Theta(t)}{\e^{-0,2t}}$.
    Montrer que la fonction $f$ est dérivable sur $[0,+\infty[$ et que, pour tout réel $t$ de cet intervalle, $f'(t)=0$.
    $\quad$
    b. En conservant l’hypothèse du a., Calculer $f(0)$.
    En déduire, pour tout $t$ de l’intervalle $[0,+\infty[$ , une expression de $f(t)$, puis de $\Theta(t)$.
    $\quad$
    c. Vérifier que la fonction $\Theta$ trouvée en b. est solution du problème.
    $\quad$
  2. Dans cette question, on choisit $M =10$ . On admet qu’il existe une unique fonction $g$ dérivable sur $[0,+\infty[$ , modélisant la température du café à tout instant positif $t$, et que, pour tout $t$ de l’intervalle $[0,+\infty[$ : $$g(t)=10+70\e^{-0,2t},$$
    où $t$ est exprimé en minute et $g(t)$ en degré Celsius.
    Une personne aime boire son café à $40$° C.
    Montrer qu’il existe un unique réel $t_0$ dans $[0,+ \infty[$ tel que $\left(t_0\right)=40$.
    Donner la valeur de $t_0$ arrondie à la seconde.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     4 points

Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre affirmations est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la lettre correspondant à l’affirmation exacte. Il est attribué un point si la lettre correspond à l’affirmation exacte, 0 sinon.

Dans tout l’exercice, on se place dans un repère orthonormé $\Oijk$ de l’espace.
Les quatre questions sont indépendantes. Aucune justification n’est demandée.

  1. On considère le plan $p$ d’équation cartésienne $3x+2y+9z-5=0$ et la droite $d$ dont une représentation paramétrique est : $\begin{cases} x=4t+3\\y=-t+2\\z=-t+9\end{cases} \quad, t\in \R$.
    Affirmation A : l’intersection du plan $p$ et de la droite $d$ est réduite au point de coordonnées $(3 ;2 ;9)$.
    Affirmation B : le plan $p$ et la droite d sont orthogonaux.
    Affirmation C : le plan $p$ et la droite d sont parallèles.
    Affirmation D : l’intersection du plan $p$ et de la droite $d$ est réduite au point de coordonnées $(-353 ;91 ;98)$.
    $\quad$
  2. On considère le cube $ABCDEFGH$ représenté ci-dessous et les points $I$, $J$ et $K$ définis par les égalités vectorielles : $$\vect{Ai}=\dfrac{3}{4}\vect{AB} ~,~ \vect{DJ}=\dfrac{1}{4}\vect{DC}~,~\vect{HK}=\dfrac{3}{4}\vect{HG}$$

    Affirmation A
    : la section du cube $ABCDEFGH$ par le plan $(IJK)$ est un triangle.
    Affirmation B : la section du cube $ABCDEFGH$ par le plan $(IJK)$ est un quadrilatère.
    Affirmation C : la section du cube $ABCDEFGH$ par le plan $(IJK)$ est un pentagone.
    Affirmation D : la section du cube $ABCDEFGH$ par le plan $(IJK)$ est un hexagone.
    $\quad$
  3. On considère la droite $d$ dont une représentation paramétrique est $\begin{cases}x=t+2\\y=2\\z=5t-6\end{cases} \quad, t\in \R$ et le
    point $A (-2 ;1 ;0)$. Soit $M$ un point variable de la droite $d$.
    Affirmation A : la plus petite longueur $AM$ est égale à $\sqrt{53}$ .
    Affirmation B : la plus petite longueur $AM$ est égale à $\sqrt{27}$ .
    Affirmation C : la plus petite longueur $AM$ est atteinte lorsque le point $M$ a pour coordonnées $(-2 ;1 ;0)$.
    Affirmation D : la plus petite longueur $AM$ est atteinte lorsque le point $M$ a pour coordonnées $(2 ;2 ; -6)$.
    $\quad$
  4. On considère le plan $p$ d’équation cartésienne $x+2y-3z+1=0$ et le plan $p’$ d’équation cartésienne $2x-y+2=0$.
    Affirmation A : les plans $p$ et $p’$ sont parallèles.
    Affirmation B : l’intersection des plans $p$ et $p’$ est une droite passant par les points $A(5 ;12 ;10)$ et $B(3 ;1 ;2)$.
    Affirmation C : l’intersection des plans $p$ et $p’$ est une droite passant par le point $C(2 ;6 ;5)$ et dont un vecteur directeur est $\vec{u}(1 ;2 ;2)$.
    Affirmation D : l’intersection des plans $p$ et $p’$ est une droite passant par le point $D (-1 ;0 ;0)$ et dont un vecteur directeur est $\vec{v}(3 ;6 ;5)$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     5 points

Les parties A, B et C sont indépendantes.

Dans tout l’exercice, on arrondira les résultats au millième.

Partie A
En France, la consommation de produits bio croît depuis plusieurs années.
En 2017, le pays comptait $52 \%$ de femmes. Cette même année, $92 \%$ des Français avaient déjà consommé des produits bio. De plus, parmi les consommateurs de produits bio, $55 \%$ étaient des femmes.

On choisit au hasard une personne dans le fichier des Français de 2017. On note :

  • $F$ l’évènement « la personne choisie est une femme » ;
  • $H$ l’évènement « la personne choisie est un homme » ;
  • $B$ l’évènement « la personne choisie a déjà consommé des produits bio ».
  1. Traduire les données numériques de l’énoncé à l’aide des évènements $F$ et $B$.
    $\quad$
  2. a. Montrer que $P(F\cap B)= 0,506$.
    $\quad$
    b. En déduire la probabilité qu’une personne ait consommé des produits bio en 2017, sachant que c’est une femme.
    $\quad$
  3. Calculer $P_H\left(\conj{B}\right)$ . Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

Partie B
Dans un supermarché, un chef de rayon souhaite développer l’offre de produits bio.
Afin de justifier sa démarche, il affirme à son responsable que 75 % des clients achètent des produits bio au moins une fois par mois.
Le responsable souhaite vérifier ses dires. Pour cela, il organise un sondage à la sortie du magasin.
Sur $2~000$ personnes interrogées, $1~421$ répondent qu’elles consomment des produits bio au moins une fois par mois.

Au seuil de $95 \%$, que peut-on penser de l’affirmation du chef de rayon ?
$\quad$

Partie C
Pour promouvoir les produits bio de son enseigne, le responsable d’un magasin décide d’organiser un jeu qui consiste, pour un client, à remplir un panier avec une certaine masse d’abricots issus de l’agriculture biologique. Il est annoncé que le client gagne le contenu du panier si la masse d’abricots déposés est comprise entre $3,2$ et $3,5$ kilogrammes.

La masse de fruits en kg, mis dans le panier par les clients, peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ suivant la loi de probabilité de densité f définie sur l’intervalle $[3 ; 4]$ par : $$f(x)=\dfrac{2}{(x-2)^2}$$

Rappel : on appelle fonction de densité d’une loi de probabilité sur l’intervalle $[a, b]$ toute fonction $f$ définie, continue et positive sur $[a, b]$, telle que l’intégrale de $f$ sur $[a, b]$ est égale à $1$.

  1. Vérifier que la fonction $f$ précédemment définie est bien une fonction de densité d’une loi de probabilité sur l’intervalle $[3 ; 4]$.
    $\quad$
  2. Le magasin annonce : « Un client sur trois gagne le panier ! ». Cette annonce est-elle exacte ?
    $\quad$
  3. Cette question a pour but de calculer l’espérance mathématique $E(X)$ de la variable aléatoire $X$.
    On rappelle que, pour une variable aléatoire $X$ de densité $f$ sur l’intervalle $[a, b]$, $E(X)$ est donnée par : $E(X)=\ds \int_a^b xf(x)\dx$.
    a. Vérifier que la fonction $G$, définie sur l’intervalle $[3 ; 4]$ par $G(x)=\ln(x-2)-\dfrac{x}{x-2}$, est une primitive de la fonction $x\mapsto \dfrac{x}{(x-2)^2}$ sur cet intervalle.
    $\quad$
    b) En déduire la valeur exacte de $E(X)$ , puis sa valeur arrondie au centième.
    Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     5 points

Candidats n’ayant pas suivi la spécialité mathématique

  1. On considère dans l’ensemble des nombres complexes l’équation $(E)$ à l’inconnue $z$ : $$z^3+\left(-2\sqrt{3}+2\ic\right)z^2+\left(4-4\ic\sqrt{3}\right)\ic +8\ic=0 \quad (E)$$
    a. Montrer que le nombre $-2\ic$ est une solution de l’équation $(E)$.
    $\quad$
    b. Vérifier que, pour tout nombre complexe $z$, on a : $$z^3+\left(-2\sqrt{3}+2\ic\right)z^2+\left(4-4\ic\sqrt{3}\right)\ic +8\ic=(z+2\ic)\left(z^2-2\sqrt{3}\ic+4\right)$$
    $\quad$
    c. Résoudre l’équation $(E)$ dans l’ensemble des nombres complexes.
    $\quad$
    d. Écrire les solutions de l’équation $(E)$ sous forme exponentielle.
    $\quad$

Dans la suite, on se place dans le plan muni d’un repère orthonormé direct d’origine $O$.

  1. On considère les points $A$, $B$, $C$ d’affixes respectives $-2\ic$ , $\sqrt{3}+\ic$ et $\sqrt{3}-\ic$.
    a. Montrer que $A$, $B$ et $C$ appartiennent à un même cercle de centre $O$ dont on déterminera le rayon.
    $\quad$
    b. Placer ces points sur une figure que l’on complètera par la suite.
    $\quad$
    c. On note $D$ le milieu du segment $[OB]$. Déterminer l’affixe $z_L$ du point $L$ tel que $AODL$ soit un parallélogramme.
    $\quad$
    3. On rappelle que, dans un repère orthonormé du plan, deux vecteurs de coordonnées respectives $(x,y)$ et $(x’,y’)$ sont orthogonaux si et seulement si $xx’+yy’=0$.
    a. Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs du plan, d’affixes respectives $z$ et $z’$.
    Montrer que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si et seulement si $zz’$ est un imaginaire pur.
    $\quad$
    b. À l’aide de la question 3.a., démontrer que le triangle $AOL$ est rectangle en $L$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     5 points

On note $r$ l’ensemble des matrices colonnes à $2$ lignes, à coefficients entiers.

Soit $U=\begin{pmatrix}u_1\\u_2\end{pmatrix}$ et $V=\begin{pmatrix}v_1\\v_2\end{pmatrix}$ deux éléments de $r$. À $U$ et $V$, on associe la matrice $A=\begin{pmatrix}u_1&v_1\\u_2&v_2\end{pmatrix}$ et le nombre $d(A)=u_1v_2-u_2v_1$.

On dit que $(U, V)$ est une base de $r$ si et seulement si, pour tout élément $X$ de $r$, il existe un unique couple d’entiers relatifs $a,b)$ tel que $X= aU+ bV$.

  1. Dans cette question, on pose $U=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$, $V=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$ et $X=\begin{pmatrix}10\\10\end{pmatrix}$.
    a. Montrer que $X$ ne peut pas s’écrire $X=aU+bV$, avec $a$ et $b$ entiers relatifs.
    $\quad$
    b) Le couple $(U,V)$ est-il une base de $r$?
    $\quad$

Dans la suite de l’exercice, on souhaite illustrer sur un exemple la propriété :
$\hspace{3cm}$ « si $d(A)=1$ , alors $(U,V)$ est une base de $r$ ».

  1. En posant $U=\begin{pmatrix}6\\-11\end{pmatrix}$, le but de cette question est de déterminer $V=\begin{pmatrix}v_1\\v_2\end{pmatrix}$
    tel que $d(A) = 1$ . On rappelle dans ce cas que la matrice A associée au couple $(U,V)$ s’écrit : $A=\begin{pmatrix}6&v_1\\-11&v_2\end{pmatrix}$.
    a. Exprimer la condition $d(A) =1$ par une égalité reliant $v_1$ et $v_2$.
    $\quad$
    b. On considère l’équation $(E) : 11x+6y=1$ , où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs.
    Donner une solution particulière de l’équation $(E)$.
    $\quad$
    c. Résoudre l’équation $(E)$ dans l’ensemble des entiers relatifs.
    $\quad$
    d. Déterminer alors une matrice $V=\begin{pmatrix}v_1\\v_2\end{pmatrix}$ de $r$ vérifiant d’une part l’égalité $d(A) =1$ et, d’autre part, la condition $0\pp v_1 \pp 10$.
    $\quad$
  2. Dans cette question, on pose $U=\begin{pmatrix}6\\-11\end{pmatrix}$ et $V=\begin{pmatrix} 5\\-9\end{pmatrix}$. Ainsi $A=\begin{pmatrix} 6&5\\-11&-9\end{pmatrix}$.
    a. Montrer que la matrice $A$ est inversible et donner sa matrice inverse $A^{-1}$.
    $\quad$
    b. Soit $X$ un élément de $r$.
    Montrer que l’égalité $X= aU+ bV$ s’écrit matriciellement $X=A\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$.
    $\quad$
    c. Déduire des questions précédentes qu’il existe un unique couple d’entiers relatifs $(a,b)$ tel que $X=aU+bV$ , c’est-à-dire tel que $(U, V)$ est une base de $r$.
    $\quad$
    d. Déterminer ce couple $(a,b)$ lorsque $X=\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$.
    $\quad$.

 

 

Bac S – Polynésie – Juin 2019

Polynésie – juin 2019

Bac S – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. a. D’après l’énoncé, on a $E(X)=10$.
    Or $E(X)=\dfrac{1}{\lambda}$ donc $\dfrac{1}{\lambda}=10 \ssi \lambda =0,1$.
    $\quad$
    b. On veut calculer $P(X\pg 6)=\e^{-0,1\times 6}=\e^{-0,6}\approx 0,55$.
    La probabilité que le distributeur de glaces à l’italienne n’ait connu aucune panne pendant les six premiers mois est environ égale à $0,55$.
    $\quad$
    c. La loi exponentielle est une loi à durée de vie sans vieillissement. Donc :
    $\begin{align*} P_{X\pg 6}(X\pg 12)&=P_{X\pg 6}(X\pg 6+6)\\
    &=P(X\pg 6)\\
    &=\e^{-0,6}\\
    &\approx 0,55\end{align*}$.
    Sachant que le distributeur n’a connu aucune panne pendant les six premiers mois, la probabilité qu’il n’en connaisse aucune jusqu’à la fin de la première année est environ égale à $0,55$.
    $\quad$
    d. On cherche à résoudre l’équation :
    $\begin{align*} P(X>t)=0,05 &\ssi \e^{-0,1t}=0,05 \\
    &\ssi -0,1t=\ln 0,05\\
    &\ssi t=-10\ln 0,05\end{align*}$
    Ainsi $t\approx 30$.
    $\quad$
  2. a. On a $P(55 \pp M\pp 65)=P(\mu-2\sigma\pp \X\pp \mu+2\sigma)\approx 0,95$.
    Remarque : On pouvait également retrouver cette valeur directement avec la calculatrice.
    $\quad$
    b. On veut déterminer le réel $m$ tel que $P(M\pg m)\pg 0,99 \ssi P(M\pp m)\pp 0,01$.
    À l’aide de la touche Inverse loi normale de la calculatrice on trouve $m\approx 54$.
    $\quad$
  3. On a $n=120$ et la probabilité théorique qu’un consommateur choisisse la glace à la vanille est $p=\dfrac{2}{3}$.
    Ainsi $n\pg 30$, $np=80\pg 5$ et $n(1-p)=40\pg 5$.
    Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de la proportion de consommateurs choisissant la glace à la vanille est :
    $\begin{align*} I_{120}&=\left[\dfrac{2}{3}-1,96\sqrt{\dfrac{\dfrac{2}{3}\times \dfrac{1}{3}}{120}};\dfrac{2}{3}+1,96\sqrt{\dfrac{\dfrac{2}{3}\times \dfrac{1}{3}}{120}}\right] \\
    &\approx [0,58;0,76]\end{align*}$
    La fréquence observée est $f=\dfrac{65}{120}\approx 0,54 \notin I_{120}$.
    Au risque d’erreur de $5\%$ cela remet en cause l’hypothèse faite par le commerçant.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. Si une expression algébrique de $f$ est, sur l’intervalle $]0;1]$, $f(x)=ax^2+bx+c$ alors $\lim\limits_{x \to 0^+}=c$
    D’après l’énoncé on a $\lim\limits_{x\to 0^+}=-\infty$.
    La fonction $f$ ne donc pas une fonction polynôme du second degré.
    $\quad$
  2. a. La fonction $g$ est dérivable sur l’intervalle $]0;1]$ en tant que produit d’une fonction dérivable sur cet intervalle par un réel.
    Ainsi, pour tout réel $x\in]0;1]$ on a : $g'(x)=\dfrac{k}{x}$.
    Par conséquent $g'(1)=k$.
    Si la fonction $g$ vérifie les trois conditions (H) on a donc $g'(1)=0,25$ et donc $k=0,25$.
    Ainsi $g(x)=0,25\ln x$.
    De plus $g(1)=0,25\ln 1=0$
    Et, puisque $\lim\limits_{x \to 0^+} \ln x=-\infty$ et que $0,25>0$, on a$\lim\limits_{x \to 0^+}g(x)=-\infty$.
    $\quad$
    b. On a $f(0,25)< -5,5$ et $g(0,25)\approx -0,34>-5,5$.
    La courbe représentative de la fonction $g$ ne coïncide donc pas avec la courbe $C$.
    $\quad$
  3. On a $h(1)=a+b=0 \ssi a=-b$.
    La fonction $h$ est dérivable sur l’intervalle $]0;1]$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Ainsi, pour tout réel $x\in]0;1]$ on a $h'(x)=-\dfrac{4a}{x^5}+b$.
    Or $h'(1)=0,25 \ssi -4a+b=0,25$.
    On doit donc résoudre le système :
    $\begin{align*} \begin{cases}a=-b\\-4a+b=0,25\end{cases} &\ssi \begin{cases} a=-b\\4b+b=0,25\end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases} a=-b\\5b=0,25 \end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases} b=0,05\\a=-0,05\end{cases}\end{align*}$
    Ainsi $h(x)=0,05x-\dfrac{0,05}{x^4}$.
    Vérifions que les trois conditions sont bien vérifiées :
    $h(1)=0,05-0,05=0$.
    $h'(1)=0,05+\dfrac{4\times 0,05}{1^5}=0,25$.
    $\lim\limits_{x\to 0^+} h(x)=\lim\limits_{x\to 0^+}-\dfrac{0,05}{x^4}=-\infty$.
    $\quad$

Partie B

  1. On a $f(x)=\dfrac{1}{20}\left(x-\dfrac{1}{x^4}\right)$ sur l’intervalle $]0;1]$.
    Ainsi $f'(x)=\dfrac{1}{20}\left(1+\dfrac{4}{x^5}\right)$.
    Par conséquent, $f'(x)>0$ sur l’intervalle $]0;1]$ en tant que somme de fonctions positives sur cet intervalle.
    La fonction $f$ est donc continue et strictement croissante sur l’intervalle $]0;1]$.
    $\lim\limits_{x \to 0^+} f(x)=-\infty$ et $f(1)=0$.
    Or $-5\in]-\infty;0]$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=-5$ possède une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $]0;1]$.
    D’après la calculatrice $\alpha\approx 0,32$.
    $\quad$
  2. a. Sur l’intervalle $]0;1]$ on a $u'(x)=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{-2}{x^3}=-\dfrac{1}{x^3}$.
    $\quad$
    b. On a :
    $\begin{align*} \ds V&=\int_{\alpha}^1 \pi x^2 f'(x)\dx \\
    &=\pi \int_{\alpha}^1 \left(\dfrac{1}{20}\left(1+\dfrac{4}{x^5}\right)\right)\times x^2\dx \\
    &=\dfrac{\pi}{20}\int_{\alpha}^1 \left(x^2+\dfrac{4}{x^3}\right)\dx \\
    &=\dfrac{\pi}{20}\left[\dfrac{x^3}{3}-4\times \dfrac{1}{2x^2}\right]_{\alpha}^1 \\
    &=\dfrac{\pi}{20}\left(\dfrac{1}{3}-2-\left(\dfrac{\alpha^3}{3}-\dfrac{2}{\alpha^2}\right)\right) \\
    &=\dfrac{\pi}{20}\left(-\dfrac{5}{3}-\dfrac{\alpha^3}{3}+\dfrac{2}{\alpha^2}\right)\\
    &\approx 2,8 \text{ cm}^3\end{align*}$.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. On a :
    $\begin{align*} I_0&=\int_0^{1/2}\dfrac{1}{1-x}\dx \\
    &=\left[-\ln(1-x)\right]_0^{1/2} \\
    &=-\ln(0,5)+\ln(1)\\
    &=\ln(2)\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. On a :
    $\begin{align*} I_0-I_1&=\ds\int_0^{1/2}\dfrac{1}{1-x}\dx-\int_0^{1/2}\dfrac{x}{1-x}\dx \\
    &=\int_0^{1/2}\dfrac{1-x}{1-x}\dx \\
    &=\int_0^{1/2}1\dx \\
    &=\big[x\big]_0^{1/2}\\
    &=\dfrac{1}{2}\end{align*}$
    $\quad$
    b. Donc $\ln(2)-I_1=\dfrac{1}{2}\ssi I_1=\ln(2)-\dfrac{1}{2}$.
    $\quad$
  3. a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} I_n-I_{n+1}&=\ds \int_0^{1/2}\dfrac{x^n}{1-x}\dx-\int_0^{1/2}\dfrac{x^{n+1}}{1-x}\dx \\
    &=\int_0^{1/2}\dfrac{x^n-x^{n+1}}{1-x}\dx \\
    &=\int_0^{1/2}\dfrac{x^n(1-x)}{1-x}\dx \\
    &=\int_0^{1/2}x^n\dx \\
    &=\left[\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\right]_0^{1/2}\\
    &=\dfrac{\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}}{n+1} \end{align*}$
    $\quad$
    b. On a donc, pour tout entier naturel $n$, $I_{n+1}=I_n-\dfrac{\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}}{n+1} $.
    On peut donc utiliser l’algorithme suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    I\leftarrow \ln(2)\\
    \text{Si }n>0 \\
    \hspace{1cm} \text{Pour $k$ allant de $0$ à $n-1$ faire}\\
    \hspace{2cm} I\leftarrow I-\dfrac{\left(\dfrac{1}{2}\right)^{k+1}}{k+1} \\
    \hspace{1cm} \text{Fin Pour}\\
    \text{Fin Si}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  4. a. On considère un entier naturel $n$ non nul.
    Sur l’intervalle $\left[0;\dfrac{1}{2}\right]$ on a $0\pp \dfrac{x^n}{1-x}\pp \dfrac{1}{2^{n-1}}$.
    En intégrant cette inégalité sur l’intervalle $\left[0;\dfrac{1}{2}\right]$ on obtient :
    $0\pp \ds \int_0^{1/2} \dfrac{x^n}{1-x}\dx \\\int_0^{1/2}\dfrac{1}{2^{n-1}}\dx$
    Or $\ds \int_0^{1/2}\dfrac{1}{2^{n-1}}\dx=\dfrac{1}{2^{n-1}}\big[x\big]_0^{1/2}=\dfrac{1}{2^{n-1}}\times \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2^{n}}$
    Donc $0\pp I_n\pp \dfrac{1}{2^{n}}$.
    $\quad$
    b. On a $-1<\dfrac{1}{2}<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty}\dfrac{1}{2^n}= \lim\limits_{n\to +\infty} \left(\dfrac{1}{2}\right)^n=0$.
    D’après le théorème des gendarmes on a donc $\lim\limits_{n\to +\infty} I_n=0$.
    $\quad$
  5. a. Montrons par récurrence sur $n$, entier naturel non nul, que $S_n=I_0-I_n$.
    Initialisation : Si $n=1$ alors $I_0-I_1=\dfrac{1}{2}=S_1$.
    La propriété est vraie au rang $1$.
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$. On a donc $S_n=I_0-I_n$.
    Montrons que la propriété est encore vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $S_{n+1}=I_0-I_{n+1}$.
    $\begin{align*} S_{n+1}&=S_n+\dfrac{\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}}{n+1} \\
    &=I_0-I_n+\dfrac{\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}}{n+1}\\
    &=I_0-\left(I_n-\dfrac{\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}}{n+1}\right) \\
    &=I_0-I_{n+1}\end{align*}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $S_n=I_0-I_n$.
    $\quad$
    b. On sait que $\lim\limits_{n\to +\infty}I_n=0$.
    Donc $\lim\limits_{n\to +\infty}S_n=I_0=\ln(2)$.
    $\quad$

Ex 4 obl

Exercice 4

Pour les candidats n’ayant pas suivi la spécialité

  1. Montrons que les coordonnées des points $E, B$ et $D$ sont solutions de l’équation fournie.
    Pour le point $E$ : $3\times 0+2\times 0+6\times 6-36=36-36=0$.
    Pour le point $B$ : $3\times 12+2\times 0+6\times 0-36=36-36=0$.
    Pour le point $D$ : $3\times 0+2\times 18+6\times 0-36=36-36=0$.
    Une équation cartésienne du plan $(EBD)$ est donc $3x+2y+6z-36=0$.
    $\quad$
  2. a. On a $\vect{AG}(12;18;6)$.
    Ainsi une représentation paramétrique de la droite $(AG)$ est : $$\begin{cases} x=12t\\y=18t\\z=6t\end{cases} \quad, t\in\R$$
    $\quad$
    b. Prenons $t=\dfrac{1}{3}$. On a alors $\begin{cases} 12t=4\\18t=6\\6t=3\end{cases}$. Le point $K(4;6;3)$ appartient donc à la droite $(AG)$.
    De plus $3\times 4+2\times 6+6\times 2-36=12+12+12-36=0$.
    Le point $K$ appartient également au plan $(EBD)$.
    Un vecteur normal au plan $(EBD)$ est $\vec{n}(3;2;6)$
    $\vec{n}.\vect{AG}=3\times 12+2\times 18+6\times 6=108\neq 0$. La droite $(AG)$ n’est donc pas incluse dans le plan $(EBD)$.
    Ainsi la droite $(AG)$ coupe le plan $(EBD)$ en un point $K$ de coordonnées $(4;6;3)$.
    $\quad$
  3. On a $\vect{AG}(12;18;6)$ et $\vec{n}(3;2;6)$.
    Ils ont la même troisième coordonnée mais les deux autres sont différentes. Ces deux vecteurs ne sont donc pas colinéaires et la droite $(AG)$ n’est pas orthogonale au plan $(EBD)$.
    $\quad$
  4. a. Le point $M$ est le milieu du segment $[ED]$.
    Ainsi $x_M=\dfrac{0+0}{2}$, $y_M=\dfrac{18+0}{2}=9$ et $z_M=\dfrac{0+6}{2}=3$.
    Les coordonnées du points $M$ sont donc $(0;9;3)$.
    Par conséquent :
    – les coordonnées du vecteur sont $\vect{BM}(-12;9;3)$;
    – les coordonnées du vecteur sont $\vect{BK}(-8;6;2)$.
    $\dfrac{-12}{-8}=1,5$, $\dfrac{9}{6}=1,5$ et $\dfrac{3}{2}=1,5$.
    Cela signifie donc que $\vect{BM}=1,5\vect{BK}$.
    Les deux vecteurs sont colinéaires et les points $B$, $M$ et $K$ sont alignés.
    $\quad$
    b. Le point $K$ est donc le point d’intersection des droites $(AG)$ et $(BM)$.
    $\quad$
  5. a. Les plans $(AED)$ et $(EBD)$ se coupent selon la droite $(ED)$.
    Le plan $P$ est parallèle au plan $(AED)$ et passe par le point $K$.
    Le point $K$ appartient donc aux plans $(EBD)$ et $P$.
    Par conséquent l’intersection du plan $P$ et du plan $(EBD)$ est une droite parallèle à la droite $(ED)$ passant par le point $K$.
    $\quad$
    b. L’intersection du plan $P$ et de la face $EBD$ est représentée en bleue.

    $\quad$

Ex 4 spé

Exercice 4

Pour les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

  1. Il semblerait que les valeurs possibles du chiffre des unités des termes de la suite $\left(v_n\right)$ soit $0$, $1$, $4$, $5$, $6$ et $9$.
    $\quad$
  2. a. D’après la calculatrice on a $M^3=\begin{pmatrix}26&45\\15&26\end{pmatrix}$.
    Pour tout entier naturel $n$ on a donc :
    $\begin{pmatrix}u_{n+3}\\v_{n+3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}26&45\\15&26\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}u_{n}\\v_{n}\end{pmatrix}$
    Par conséquent $\begin{cases} u_{n+3}=26u_n+45v_n\\v_{n+3}=15u_n+26v_n\end{cases}$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a donc : $v_{n+3}\equiv 26v_n~[5]$ soit $v_{n+3}\equiv v_n~[5]$.
    $\quad$
  3. Soit $r$ un entier naturel fixé.
    Montrons par récurrence sur l’entier naturel $q$ que $v_{3q+r}\equiv v_r~[5]$.
    Initialisation : Si $q=0$ alors $v_{3q+r}=v_r\equiv v_r~[5]$.
    La propriété est vraie au rang $1$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $q$. Donc $v_{3q+r}\equiv v_r~[5]$.
    Montrons qu’elle encore vraie au rang $q+1$, c’est-à-dire que $v_{3(q+1)+r}\equiv v_r~[5]$ soit encore $v_{3q+r+3}\equiv v_r~[5]$.
    D’après la question précédente, en prenant $n=3q+r$, on a $v_{3q+r+3}\equiv v_{3q+r}~[5]$.
    D’après l’hypothèse de récurrence on a $v_{3q+r}\equiv v_r~[5]$.
    Par conséquent $v_{3(q+1)+r}\equiv v_r~[5]$
    La propriété est vraie au rang $q+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $q$ on a $v_{3q+r}\equiv v_r~[5]$.
    $\quad$
  4. Ainsi, pour tout entier naturel $q$ on a :
    – $v_{3q}\equiv v_0~[5]$ soit $v_{3q}\equiv 0~[5]$
    – $v_{3q+1}\equiv v_1~[5]$ soit $v_{3q+1}\equiv 1~[5]$
    – $v_{3q+2}\equiv v_2~[5]$ soit $v_{3q+2}\equiv 4~[5]$
    On a ainsi parcouru tous les termes de la suite $\left(v_n\right)$.
    Pour tout entier naturel $n$, le terme $v_n$ est donc congru à $0$, $1$ ou $4$ modulo $5$.
    $\quad$
  5. Pour tout entier naturel $n$, il existe un entier naturel $k$ tel que $v_n=0+5k$, $v_n=1+5k$ ou $v_n=4+5k$.
    – Si $k$ est pair il s’écrit alors sous la forme $k=2p$ et on a donc :
    $v_n=0+10p$, $v_n=1+10p$ ou $v_n=4+10p$ ce qui signifie que $v_n$ est congru à $0$, $1$ ou $4$.
    – Si $k$ est impair il s’écrit alors sous la forme $k=2p+1$ et on a donc :
    $v_n=0+10p+5$, $v_n=1+10p+5$ ou $v_n=4+10p+5$ ce qui signifie que $v_n$ est congru à $5$, $6$ ou $9$.
    L’ensemble des valeurs prises par le chiffre des unités des termes de la suite $\left(v_n\right)$ est donc $\left\{0;1;4;5;6;9\right\}$.
    $\quad$

Partie B

  1. On a donc $\sqrt{3}=\dfrac{p}{q}$.
    Puisque $\sqrt{3}>1$, cela signifie que $p>q$.
    $\sqrt{3}=\dfrac{p}{q} \ssi p=q\sqrt{3}$ et donc $p^2=3q^2<4q^2$.
    Comme $p$ et $q$ sont des entiers naturels non nuls on a donc $p<2q$.
    Ainsi $q<p<2q$.
    $\quad$
  2. On a $M^{-1}=\begin{pmatrix}2&-3\\-1&2\end{pmatrix}$
    $\quad$
    $\quad$
  3. a. On a :
    $\begin{align*} \begin{pmatrix} p’\\q’\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2&-3\\-1&2\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}p\\q\end{pmatrix} &\ssi \begin{pmatrix}p’\\q’\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2p-3q\\-p+2q\end{pmatrix} \\
    &\ssi \begin{cases} p’=2p-3q\\q’=-p+2q\end{cases}\end{align*}$
    $\quad$
    b. $p$ et $q$ sont des entiers naturels donc $2p-3q$ et $-p+2q$ sont des entiers.
    On sait que $q<p<2q$
    Donc $2q-3q<2p-3q<4q-3q \ssi -q<p'<q$ : ce qui signifie que $p’\in \Z$.
    De même $-2q<-p<-q \ssi 0<-p+2q<q$ : ce qui signifie que $q’\in \N$ et donc $q’\in \Z$.
    $(p’,q’)$ est par conséquent un couple d’entier relatifs.
    $\quad$
    c. On a $q’=-p+2q=-q\sqrt{3}+2q=\left(2-\sqrt{3}\right)q$.
    Donc
    $\begin{align*}q&=\dfrac{q’}{2-\sqrt{3}}\\
    &=\dfrac{q’}{2-\sqrt{3}}\times \dfrac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}\\
    &=\left(2+\sqrt{3}\right)q’\end{align*}$.
    De plus :
    $\begin{align*} p’&=2p-3q\\
    &=2q\sqrt{3}-3q\\
    &=\left(2\sqrt{3}-3\right)q\\
    &=\left(2\sqrt{3}-3\right)\times \left(2+\sqrt{3}\right)q’\\
    &=q’\sqrt{3}\end{align*}$
    $\quad$
    d. On a montré à la question 3.b. que $q’>0$.
    D’après la question précédente on a $q=\left(2+\sqrt{3}\right)q’$.
    Or $2+\sqrt{3}>2>1$ donc $q>q’$.
    Par conséquent $0<q'<q$.
    $\quad$
    e. On a donc montrer qu’on pouvait écrire $\sqrt{3}=\dfrac{p’}{q’}$ où $p$ et $q$ sont des entiers relatifs.
    De plus $0<q'<q$. Cela signifie donc, puisque $q’$ et $\sqrt{3}$ sont positifs que $p’$ l’est aussi.
    Or $q$ le plus petit entier naturel tel que $\sqrt{3}$ s’écrive sous la forme $\dfrac{p}{q}$.
    Il y a donc une absurdité et $\sqrt{3}$ n’est pas un rationnel.
    $\quad$

 

 

Énoncé

Exercice 1     5 points

Les probabilités demandées seront arrondies à $0,01$.

Un commerçant vient de s’équiper d’un distributeur de glaces à l’italienne.

  1. La durée, en mois, de fonctionnement sans panne de son distributeur de glaces à l’italienne est modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ où $\lambda$ est un réel strictement positif (on rappelle que la fonction $f$ de densité de la loi exponentielle est donnée sur $[0 ; +\infty[$ par $f(x) = \lambda\e^{-\lambda x}$).
    $\quad$
    Le vendeur de l’appareil assure que la durée moyenne de fonctionnement sans panne de ce type de distributeur, c’est-à-dire l’espérance mathématique de $X$, est de $10$ mois.
    a. Justifier que $\lambda = 0,1$.
    $\quad$
    b. Calculer la probabilité que le distributeur de glaces à l’italienne n’ait connu aucune panne pendant les six premiers mois.
    $\quad$
    c. Sachant que le distributeur n’a connu aucune panne pendant les six premiers mois, quelle est la probabilité qu’il n’en connaisse aucune jusqu’à la fin de la première année ?
    Justifier.
    $\quad$
    d. Le commerçant remplacera son distributeur de glaces à l’italienne au bout d’un temps $t$, exprimé en mois, qui vérifie que la probabilité de l’événement $(X > t)$ est égale à $0,05$.
    Déterminer la valeur de $t$ arrondie à l’entier.
    $\quad$
  2. La notice du distributeur de glaces précise que le distributeur fournit des glaces à l’italienne dont la masse est comprise entre $55$ g et $65$ g.
    On considère la variable aléatoire $M$ représentant la masse, en grammes, d’une glace distribuée. On admet que $M$ suit la loi normale d’espérance $60$ et d’écart-type $2,5$.
    a. Calculer la probabilité que la masse d’une glace à l’italienne choisie au hasard parmi celles distribuées soit comprise entre $55$ g et $65$ g.
    $\quad$
    b. Déterminer la plus grande valeur de m, arrondie au gramme près, telle que la probabilité $P(M\pg m)$ soit supérieure ou égale à $0,99$.
    $\quad$
  3. Le distributeur de glaces à l’italienne permet de choisir un seul des deux parfums : vanille ou fraise. Pour mieux gérer ses achats de matières premières, le commerçant fait l’hypothèse qu’il y aura en proportion deux acheteurs de glace à la vanille pour un acheteur de glace à la fraise.
    Le premier jour d’utilisation de son distributeur, il constate que sur $120$ consommateurs, $65$ ont choisi de la glace à la vanille.
    Pour quelle raison mathématique pourrait-il mettre en doute son hypothèse ? Justifier.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

L’écoulement de l’eau d’un robinet a un débit constant et modéré.

On s’intéresse en particulier à une partie du profil d’écoulement représentée en annexe par la courbe 𝐶 dans un repère orthonormé.

Partie A

On considère que la courbe $C$ donnée en annexe est la représentation graphique d’une fonction $f$ dérivable sur l’intervalle $]0 ; 1]$ qui respecte les trois conditions suivantes : $$(H) : f(1)=0 \qquad f'(1)=0,25 \qquad \text{et} \qquad \lim\limits_{\begin{array}{l}x\to 0\\x>0\end{array}}f(x)=-\infty$$

  1. La fonction $f$ peut-elle être une fonction polynôme du second degré ? Pourquoi ?
    $\quad$
  2. Soit $g$ la fonction définie sur l’intervalle $]0 ; 1]$ par $g(𝑥) = k \ln x$ .
    a. Déterminer le réel $k$ pour que la fonction $g$ respecte les trois conditions $(H)$.
    $\quad$
    b. La courbe représentative de la fonction $g$ coïncide-t-elle avec la courbe $C$ ? Pourquoi ?
    $\quad$
  3. Soit $h$ la fonction définie sur l’intervalle $]0 ; 1]$ par $h(x) =\dfrac{a}{x^4}+bx$ où $a$ et $b$ sont des réels.
    Déterminer $a$ et $b$ pour que la fonction ℎ respecte les trois conditions $(H)$.
    $\quad$

Partie B

On admet dans cette partie que la courbe $C$ est la représentation graphique d’une fonction $f$ continue, strictement croissante, définie et dérivable sur l’intervalle $]0 ; 1]$ d’expression : $$f(x)=\dfrac{1}{20}\left(x-\dfrac{1}{x^4}\right)$$

  1. Justifier que l’équation $f(𝑥) =-5$ admet sur l’intervalle $]0 ; 1]$ une unique solution qui sera notée $\alpha$. Déterminer une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.
    $\quad$
  2. On admet que le volume d’eau en cm$^3$, contenu dans les $5$ premiers centimètres de l’écoulement, est donné par la formule : $V=\ds\int_{\alpha}^1 \pi x^2f'(x)\dx$.
    a. Soit $u$ la fonction dérivable sur $]0 ; 1]$ définie par $u(x)=\dfrac{1}{2x^2}$. Déterminer sa fonction dérivée.
    $\quad$
    b. Déterminer la valeur exacte de $V$. En utilisant la valeur approchée de $\alpha$ obtenue à la question 1, donner alors une valeur approchée de $V$.
    $\quad$

Annexe 

$\quad$

Exercice 3     5 points

On considère la suite $\left(I_n\right)$ définie par $I_0=\ds \int_0^{1/2}\dfrac{1}{1-x}\dx$ et pour tout entier naturel $n$ non nul $I_n=\ds \int_0^{1/2} \dfrac{x^n}{1-x}\dx$.

  1. Montrer que $I_0= \ln(2)$.
    $\quad$
  2. a. Calculer $I_0-I_1$.
    $\quad$
    b. En déduire $I_1$.
    $\quad$
  3. a. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $I_n-I_{n+1}=\dfrac{\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}}{n+1}$.
    $\quad$
    b. Proposer un algorithme permettant de déterminer, pour un entier naturel $n$ donné, la valeur de $I_n$ .
    $\quad$
  4. Soit $n$ un entier naturel non nul.
    On admet que si $x$ appartient à l’intervalle $\left[0 ;\dfrac{1}{2}\right]$ alors $0 \pp \dfrac{x^n}{1-x}\pp \dfrac{1}{2^{n-1}}$.
    a. Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, $0\pp I_n \pp \dfrac{1}{2^n}$.
    $\quad$
    b. En déduire la limite de la suite $\left(I_n\right)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ .
    $\quad$
  5. Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose $S_n =\dfrac{1}{2}+\dfrac{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2}{2}+\dfrac{\left(\dfrac{1}{2}\right)^3}{3}+\ldots+\dfrac{\left(\dfrac{1}{2}\right)^n}{n}$.
    a. Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, $S_n=I_0-I_n$.
    $\quad$
    b. Déterminer la limite de $S_n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     5 points

Pour les candidats n’ayant pas suivi la spécialité

Sur la figure donnée en annexe à rendre avec la copie :

  • $ABCDEFGH$ est un parallélépipède rectangle tel que $AB = 12$, $AD = 18$ et $AE = 6$.
  • $EBDG$ est un tétraèdre.

L’espace est rapporté à un repère orthonormal d’origine $A$ dans lequel les points $B$, $D$ et $E$ ont pour coordonnées respectives $B(12 ; 0 ; 0)$, $D(0 ; 18 ; 0)$ et $E(0 ; 0 ; 6)$.

  1. Démontrer que le plan $(EBD)$ a pour équation cartésienne $3x+2y+6z-36 = 0$.
    $\quad$
  2. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(AG)$.
    $\quad$
    b. En déduire que la droite $(AG)$ coupe le plan $(EBD)$ en un point $K$ de coordonnées $(4 ; 6 ; 2)$ .
    $\quad$
  3. La droite $(AG)$ est-elle orthogonale au plan $(EBD)$ ? Justifier.
    $\quad$
  4. a. Soit $M$ le milieu du segment $[ED]$. Démontrer que les points $B$, $K$ et $M$ sont alignés.
    $\quad$
    b. Construire alors le point $K$ sur la figure donnée en annexe à rendre avec la copie.
    $\quad$
  5. On note $P$ le plan parallèle au plan $(ADE)$ passant par le point $K$.
    a. Démontrer que le plan $P$ coupe le plan $(EBD)$ selon une parallèle à la droite $(ED)$.
    $\quad$
    b. Construire alors sur l’annexe à rendre avec la copie l’intersection du plan $P$ et de la face $EBD$ du tétraèdre $EBDG$.
    $\quad$

Annexe

$\quad$

Exercice 4     5 points

Pour les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

On considère la matrice $M=\begin{pmatrix}2&3\\1&2\end{pmatrix}$ et les suites d’entiers naturels $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ définies par :
$u_0=1$, $v_0=0$, et pour tout entier naturel $n$, $\begin{pmatrix}u_{n+1}\\v_{n+1}\end{pmatrix}=M\begin{pmatrix}u_{n}\\v_{n}\end{pmatrix}$.

Les deux parties peuvent être traitées de façon indépendante.

Partie A

On a calculé les premiers termes de la suite$\left(v_n\right)$ :

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
n&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\
\hline
v_n&0&1&4&15&56&209&780&2911&10864&40545&151316&564719&2107560\\
\hline
\end{array}$

  1. Conjecturer les valeurs possibles du chiffre des unités des termes de la suite $\left(v_n\right)$.
    $\quad$
  2. On admet que pour tout entier naturel $n$, $\begin{pmatrix}u_{n+3}\\v_{n+3}\end{pmatrix}=M^3\begin{pmatrix}u_n\\v_n\end{pmatrix}$.
    a. Justifier que pour tout entier naturel $n$,  $\begin{cases} u_{n+3}=26u_n+45v_n\\v_{n+3}=15u_n+26v_n\end{cases}$.
    $\quad$
    b. En déduire que pour tout entier naturel $n$ : $v_{n+3}\equiv v_n~[5]$.
    $\quad$
  3. Soit $r$ un entier naturel fixé. Démontrer, à l’aide d’un raisonnement par récurrence, que, pour tout entier naturel $q$, $v_{3q+r}\equiv v_n~[5]$.
    $\quad$
  4. En déduire que pour tout entier naturel $n$ le terme $v_n$ est congru à $0$, à $1$ ou à $4$ modulo $5$.
    $\quad$
  5. Conclure quant à l’ensemble des valeurs prises par le chiffre des unités des termes de la suite $\left(v_n\right)$.
    $\quad$

Partie B

L’objectif de cette partie est de démontrer que $\sqrt{3}$ n’est pas un nombre rationnel en utilisant la matrice $M$.

Pour cela, on effectue un raisonnement par l’absurde et on suppose que $\sqrt{3}$ est un nombre rationnel.
Dans ce cas, $\sqrt{3}$ peut s’écrire sous la forme d’une fraction irréductible $\dfrac{p}{q}$ où $p$ et $q$ sont des entiers naturels non nuls, avec $q$ le plus petit entier naturel possible.

  1. Montrer que $q < p < 2q$.
    $\quad$
  2. On admet que la matrice $M$ est inversible. Donner son inverse $M^{-1}$
    (aucune justification n’est attendue).
    $\quad$

Soit $\left(p’,q’\right)$ défini par $\begin{pmatrix} p’\\q’\end{pmatrix} M^{-1}\begin{pmatrix}p\\q\end{pmatrix}$.

  1. a. Vérifier que $p’ = 2p-3q$ et que $q’=-p+2q$.
    $\quad$
    b. Justifier que $\left(p’,q’\right)$ est un couple d’entiers relatifs.
    $\quad$
    c. On rappelle que $p=q\sqrt{3}$. Montrer que $p’=q’\sqrt{3}$.
    $\quad$
    d. Montrer que $0 < q’ < q$.
    $\quad$
    e. En déduire que $\sqrt{3}$ n’est pas un rationnel.
    $\quad$

 

 

Bac S – Antilles/Guyane – Juin 2019

Antilles/Guyane – juin 2019

Bac S – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. Le point $A(0;0,5)$ appartient à la courbe $\mathscr{C}_f$.
    Donc
    $\begin{align*} f(0)=0,5&\ssi \dfrac{a}{1+1} =0,5 \\
    &\ssi a=1\end{align*}$
    $\quad$
  2. Pour tout réel $x\pg 0$ on a $f(x)=\dfrac{1}{1+\e^{-bx}}$
    Donc :
    $\begin{align*} f'(x)&=-\dfrac{-b\e^{-bx}}{\left(1+\e^{-bx}\right)^2 }\\
    &=\dfrac{b\e^{-bx}}{\left(1+\e^{-bx}\right)^2 }\end{align*}$
    $\quad$
    Le coefficient directeur de la tangente à la courbe $C_f$ passe également par le point $B(10;1)$.
    Son coefficient directeur est donc $a=\dfrac{1-0,5}{10-0}=0,05$.
    On a également $a=f'(0)$.
    Or $f'(0)=\dfrac{b}{(1+1)^2}=\dfrac{b}{4}$
    Par conséquent $\dfrac{b}{4}=0,05\ssi b=0,2$
    $\quad$

Partie B

  1. Au $1\ier$ janvier 2010 on a $x=10$
    Or $p(10)=\dfrac{1}{1+\e^{-2}}\approx 0,88$.
    Ainsi, environ $88\%$ des individus sont équipés au $1\ier$ janvier 2010.
    $\quad$
  2. a. La fonction $p$ correspond à la fonction $f$ pour $b=0,2$.
    La fonction $p$ est donc dérivable sur l’intervalle $[0;+\infty[$ et $p'(x)=\dfrac{\e^{-0,2x}}{\left(1+\e^{-0,2x}\right)^2}$.
    La fonction carré est positive et la fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Par conséquent, pour tout réel $x\pg 0$ on a $p'(x)>0$ et la fonction $p$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
    $\quad$
    b. $\lim\limits_{x\to +\infty} -0,2x=-\infty$ et $\lim\limits_{X \to -\infty} \e^X=0$.
    Donc $\lim\limits_{x \to +\infty} \e^{-0,2x}=0$ et $\lim\limits_{x \to +\infty}p(x)=1$.
    $\quad$
    c. Cela signifie donc que sur le long terme tous les individus seront équipés.
    $\quad$
  3. On veut résoudre l’inéquation
    $\begin{align*} p(x)>0,95 &\ssi \dfrac{1}{1+\e^{-0,2x}}>0,95 \\
    &\ssi 1+\e^{-0,2x}<\dfrac{1}{0,95} \\
    &\ssi \e^{-0,2x}<\dfrac{0,05}{0,95} \\
    &\ssi -0,2x<\ln \dfrac{1}{19} \\
    &\ssi x>-5\ln \dfrac{1}{19}\end{align*}$
    Or $-5\ln \dfrac{1}{19} \approx 14,72$.
    C’est au cours de l’année 2014, entre août et septembre, que le marché sera saturé.
    $\quad$
  4. a. Pour tout réel $x\pg 0$ on a :
    $\begin{align*} p(x)&=\dfrac{1}{1+\e^{-0,2x}} \\
    &=\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{\e^{0,2x}}} \\
    &=\dfrac{1}{\dfrac{\e^{0,2x}+1}{\e^{0,2x}}} \\
    &=\dfrac{\e^{0,2x}}{1+\e^{0,2x}}\end{align*}$
    $\quad$
    b. Pour tout réel $x$ on a $p(x)=\dfrac{1}{0,2}\times \dfrac{0,2\e^{0,2x}}{1+\e^{0,2x}}$.
    On a donc une expression de la forme $\dfrac{u’}{u}$.
    Une primitive de la fonction $p$ sur cet intervalle est donc la fonction $P$ définie sur l’intervalle $[0;+\infty[$ par $P(x)=\dfrac{\ln\left(1+\e^{0,2x}\right)}{0,2}$.
    $\quad$
    c. Ainsi :
    $\begin{align*} m&=\ds\dfrac{1}{2}\int_8^{10}p(x)\dx \\
    &=\dfrac{1}{2}\left(P(10)-P(8)\right)\\
    &=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{0,2}\left(\ln\left(1+\e^2\right)-\ln\left(1+\e^{1,6}\right)\right)\\
    &=\dfrac{1}{0,4}\ln\dfrac{1+\e^2}{1+\e^{1,6}}\\
    &\approx 0,86\end{align*}$
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A : Étude de la trajectoire du drone d’Alex

  1. On a $\vect{AB}(0;2;0,5)$.
    Une représentation paramétrique de la droite $(AB)$ est donc : $\begin{cases} x=2\\y=4+2t\\z=0,25+0,5t\end{cases} \quad, t\in\R$.
    $\quad$
  2. a. On a $\vect{PQ}(0;1;1)$ et $\vect{PU}(10;0;0)$.
    Ces deux vecteurs sont clairement non colinéaires.
    D’une part $\vec{n}.\vect{PQ}=0+1-1=0$;
    D’autre part $\vec{n}.\vect{PU}=0+0+0=0$.
    Le vecteur $\vec{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(PQU)$.
    Le vecteur $\vec{n}$ est par conséquent normal au plan $(PQU)$.
    $\quad$
    b. Une équation cartésienne du plan $(PQU)$ est donc de la forme $y-z+d=0$.
    Le point $P(0;10;0)$ appartient à ce plan.
    Donc $10-0+d=0 \ssi d=-10$.
    Une équation cartésienne du plan $(PQU)$ est donc $$y-z-10=0$$
    $\quad$
  3. Montrons que le point $I$ appartient à la droite $(AB)$.
    Résolvons pour cela l’équation :
    $4+2t=\dfrac{37}{3} \ssi 2t=\dfrac{25}{3} \ssi t=\dfrac{25}{6}$
    De plus $0,25+0,5\times \dfrac{25}{6}=\dfrac{1}{4}+\dfrac{25}{12}=\dfrac{7}{3}$
    Le point $I$ appartient donc à la droite $(AB)$.
    $\quad$
    $\dfrac{37}{3}-\dfrac{7}{3}-10=\dfrac{30}{3}-10=10-10=0$. Le point $I$ appartient également au plan $(PQU)$.
    $\quad$
    De plus $\vect{AB}(0;2;0,5)$ et $\vec{n}(0;1;-1)$ ne sont pas colinéaires.
    La droite $(AB)$ et le plan $(PQU)$ sont donc sécants au point $I$ de coordonnées $\left(2;\dfrac{37}{3};\dfrac{7}{3}\right)$.
    $\quad$
  4. On a $\dfrac{37}{3}\approx 12,33 > 11$ (deuxième coordonnée des points $Q$ et $T$).
    En suivant cette trajectoire, le drone d’Alex ne rencontre pas l’obstacle.
    Remarque : $\dfrac{7}{3}>1$. On pouvait donc également dire que la côte du point $I$ était supérieure à celle des points $Q$ et $T$.
    $\quad$

Partie B : Distance minimale entre les deux trajectoires

  1. On a $\vect{AM}(0;2a;0,5a)$ et $\vect{CD}(-2;0;0)$
    Donc $\vect{CN}(-2b;0;0)$
    De plus $\vect{AC}(2;2;0)$.
    Or $\vect{MN}=\vect{MA}+\vect{AC}+\vect{CN}$.
    Les coordonnées du vecteur $\vect{MN}$ sont donc $(2-2b;-2a+2;-0,5a)$.
    $\quad$
  2. On a $\vect{MN}.\vect{CD}=-2(2-2b)$ et $\vect{MN}.\vect{AB}=2(2-2a)+0,5(-0,5a)$
    La droite $(MN)$ est perpendiculaire à la fois à la droite $(AB)$ et à la droite $(CD)$
    $\begin{align*}&\ssi \begin{cases} -2(2-2b)=0\\2(2-2a)+0,5(-0,5a)=0 \end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases} 2-2b=0\\4-4a-0,25a=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} b=1\\4,25a=4\end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases} b=1\\a=\dfrac{16}{17}\end{cases}\end{align*}$
    La distance est donc minimale lorsque $a=\dfrac{16}{17}$ et $b=1$.
    $\quad$
  3. Les coordonnées du vecteur $\vect{MN}$ sont donc $\left(0;\dfrac{2}{17};-\dfrac{8}{17}\right)$.
    Ainsi $MN=\sqrt{0^2+\left(\dfrac{2}{17}\right)^2+\left(-\dfrac {8}{17}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{4}{17}}=\dfrac{2}{\sqrt{17}}$.
    Or $\dfrac{2}{\sqrt{17}}\approx 0,49$
    Ainsi la distance minimale qui sépare les deux drones est environ égale à $4,9$ m, qui est bien supérieure à la distance de $4$ m imposée. Il n’y aura pas de collision entre les deux drones.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. On a :
    $\begin{align*} c&=\dfrac{1}{2}\e^{\ic  \pi/3} \\
    &=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) \\
    &=\dfrac{1}{4}\left(1+\ic \sqrt{3}\right)\end{align*}$
    Par conséquent $c\neq \dfrac{1}{4}\left(1-\ic \sqrt{3}\right)$.
    Affirmation 1 fausse
    $\quad$
  2. On considère un entier naturel $n$.
    On a donc $c^{3n}=\dfrac{1}{2^{3n}}\e^{n \ic \pi}$
    Or $\e^{n \ic \pi} \in \left\{-1;1\right\}$.
    Donc $c^{3n}\in \R$.
    Affirmation 2 vraie
    $\quad$
  3. On a $\dfrac{1}{c}=2\e^{-\ic \pi/3}$ et $c^2=\dfrac{1}{4}\e^{2\ic \pi/3}$
    L’affixe du vecteur $\vect{OS}$ est $z_{\vect{OS}}=\dfrac{1}{4}\e^{2\ic \pi/3}$ et celle du vecteur $\vect{OT}$ est $z_{\vect{OT}}=2\e^{-\ic \pi/3}=2\e^{2\ic \pi/3-\ic \pi}=2\e^{-ic \pi}\e^{2\ic \pi/3}=-2\e^{2\ic \pi/3}$.
    Ainsi $z_{\vect{OT}}=-8z_{\vect{OS}}$.
    Les deux vecteurs sont colinéaires et les points $O, S$ et $T$ sont alignés.
    Affirmation 3 vraie
    $\quad$
  4. On a $|c|=\dfrac{1}{2}$.
    Donc, pou tout entier naturel $n$ non nul on a :
    $\begin{align*} |c|+\left|c^2\right|+\ldots+\left|c^n\right|&=\dfrac{1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}}{1-\dfrac{1}{2}} -1\\
    &=\dfrac{1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}}{\dfrac{1}{2}}-1 \\
    &=2\left(1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}\right)-1 \\
    &=2-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}-1\\
    &= 1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}\end{align*}$
    Affirmation 4 vraie
    $\quad$

Ex 4 obl

Exercice 4

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. On a $P(M\cap E)=0,56\times 0,25=0,14$
    $\quad$
  3. a. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(E)&=P(M\cap E)+P\left(\conj{M}\cap E\right) \\
    &=0,14+0,44x\end{align*}$
    $\quad$
    b. On sait que $P(E)=0,162$
    Par conséquent $0,44x+014=0,162\ssi 0,44x=0,022\ssi x=0,05$.
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_{\conj{E}}(M)&=\dfrac{P\left(\conj{E}\cap M\right)}{1-P(E)} \\
    &=\dfrac{0,75\times 0,56}{0,838}\\
    &\approx 0,50\end{align*}$
    La probabilité que le téléspectateur ait regardé le match sachant qu’il n’a pas regardé l’émission est environ égale à $0,50$.
    $\quad$

Partie B

  1. On a $P(1\pp T\pp 2)\approx 0,682$.
    On remarque qu’il s’agit du calcul de $P(\mu-\sigma\pp T\pp \mu+\sigma)$.
    La probabilité qu’un spectateur ait passé entre une heure et deux heures devant sa télévision le soit du match est environ égale à $0,682$.
    $\quad$
  2. On a :$P(T\pg t)=0,066 \ssi P(T<t)=0,934$
    À l’aide de la touche Inverse loi normale on obtient $tt\approx 2,25$.
    $6,6\%$ des spectateurs ont passé plus de $2$h $15$ minutes devant la télévision le soir du match.
    $\quad$

Partie C

On a $P(1\pp S\pp 2)=\e^{-\lambda}-\e^{-2\lambda}$
Par conséquent $\e^{-\lambda}-\e^{-2\lambda}=0,25$
On pose $X=\e^{-\lambda}$.
On a donc l’équation $-X^2+X-0,25=0 \ssi -(X-0,5)^2=0 \ssi X=0,5$.

Ainsi $\e^{-\lambda}=0,5 \ssi \lambda =-\ln 0,5 \ssi \lambda =\ln 2$.

La durée  de vie moyenne des boîtiers est $E(S)=\dfrac{1}{\ln 2}\approx 1,44<3$.

L’affirmation de l’usine est fausse.
$\quad$

 

Ex 4 spé

Exercice 4

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

  1. a. On peut représenter la situation à l’aide du graphe suivant :

    Donc, pour tout entier naturel $n$ on a :
    $a_{n+1}=0,5a_n+0,1b_n+0,2c_n$
    $\quad$
    b. On sait également que, pour tout entier naturel $n$ on a $a_n+b_n+c_n=1\ssi c_n=1-a_n-b_n$.
    Donc :
    $\begin{align*} a_{n+1}&=0,5a_n+0,1b_n+0,2\left(1-a_n-b_n\right) \\
    &=0,5a_n+0,1b_n+0,2-0,2a_n-0,2b_n\\
    &=0,3a_n-0,1b_n+0,2\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. On a donc, pour tout entier naturel $n$, $\begin{cases} a_{n+1}=0,3a_n-0,1b_n+0,2\\b_{n+1}=0,2a_n+0\times b_n+0,2\end{cases}$
    $\ssi \begin{pmatrix} a_{n+1}\\b_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,3&-0,1\\0,2&0\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}a_n\\b_n\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0,2\\0,2\end{pmatrix}$.
    Par conséquent $U_{n+1}=MU_n+R$
    $\quad$
    b. On a :
    $\begin{align*} Y=MY+R&\ssi \begin{cases} \alpha=0,3\alpha-0,1\beta+0,2\\\beta=0,2\alpha+0,2 \end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} \beta=0,2\alpha+0,2 \\\alpha=0,3\alpha-0,1(0,2\alpha+0,2)+0,2\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} \beta=0,2\alpha+0,2\\\alpha=0,28\alpha+0,18\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases}\beta=0,2\alpha+0,2\\0,72\alpha=0,18\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} \alpha =0,25\\beta=0,25\end{cases}\end{align*}$$\quad$
  3. a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} V_{n+1}&=U_{n+1}-Y \\
    &=MU_n+R-(MY+R) \\
    &=MU_n+R-MY-R\\
    &=M\left(U_n-Y\right)\\
    &=MV_n\end{align*}$
    $\quad$
    b. Initialisation : Si $n=1$ alors $V_1=V_{0+1}=MV_0$.
    La propriété est vraie au rang $1$.
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au  rang $n$. On a donc $V_n=M^nV_0$.
    Montrons que la propriété est vraie au rang $n+1$.
    $V_{n+1}=MV_n=M\times M^nV_0=M^{n+1}V_0$.
    La propriété est vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ strictement positif on a $V_n=M^nV_0$.
    $\quad$
  4. a. On a $V_0=U_0-Y=\begin{pmatrix}0,75\\-0,25\end{pmatrix}$.
    De plus $V_n=U_n-Y \ssi U_n=V_n+Y\ssi U_n=M^nV_0+Y$
    Par conséquent
    $\begin{align*} a_n&=0,75\left(2\times 0,2^n-0,1^n\right)-0,25\left(0,1^n-0,2^n\right)+0,25 \\
    &=1,75\times 0,2^n-0,1^n+0,25\end{align*}$
    $\quad$
    b. On a $-1<0,2<1$ et $-1<0,1<1$
    Donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,2^n=0$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,1^n=0$
    Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} a_n=0,25$.
    $\quad$
  5. On a :
    $\begin{align*} c_n\pp 0,5 &\ssi 0,5+3\times 0,1^n-3,5\times 0,2^n\pp 0,5 \\
    &\ssi 3\times 0,1^n\pp 3,5\times 0,2^n \\
    &\ssi \left(\dfrac{0,1}{0,2}\right)^n \pp \dfrac{3,5}{3} \\
    &\ssi 0,5^n \pp \dfrac{3,5}{3} \\
    &\ssi n\ln 0,5 \pp \ln \dfrac{3,5}{3}\\
    &\ssi n \pg \dfrac{\ln \dfrac{3,5}{3}}{\ln 0,5} \end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln \dfrac{3,5}{3}}{\ln 0,5}<0$.
    Donc pour  tout entier naturel $n$ on a $c_n\pp 0,5$.
    La probabilité que le temps soit pluvieux au bout de $n$ jours ne dépassera jamais $0,5$.
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1     6 points

Partie A

Soit $a$ et $b$ des nombres réels. On considère une fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $$f(x)=\dfrac{a}{1+\e^{-bx}}$$

La courbe $C_f$ représentant la fonction $f$ dans un repère orthogonal est donnée ci-dessous.
La courbe $C_f$ passe par le point $A(0;0,5)$.
La tangente à la courbe $C_f$ au point $A$ passe par le point $B(10 ; 1)$.

  1. Justifier que $a=1$.
    On obtient alors, pour tout réel $x\pg 0$, $$f(x)=\dfrac{1}{1+\e^{-bx}}$$
    $\quad$
  2. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $[0 ; +\infty[$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.
    Vérifier que, pour tout réel $x\pg 0$, $$f'(x)=\dfrac{b\e^{-bx}}{\left(1+\e^{-bx}\right)^2}$$
    $\quad$
  3. En utilisant les données de l’énoncé, déterminer $b$.
    $\quad$

Partie B

La proportion d’individus qui possèdent un certain type d’équipement dans une population est modélisée par la fonction $p$ définie sur $[0 ; +\infty[$ par $$p(x)=\dfrac{1}{1+\e^{-0,2x}}$$
Le réel $x$ représente le temps écoulé, en année, depuis le 1$\ier$ janvier 2000.
Le nombre $p(x)$ modélise la proportion d’individus équipés après $x$ années.
Ainsi, pour ce modèle, $p(0)$ est la proportion d’individus équipés au 1$\ier$ janvier 2000 et $p(3,5)$ est la proportion d’individus équipés au milieu de l’année 2003.

  1. Quelle est, pour ce modèle, la proportion d’individus équipés au 1$\ier$ janvier 2010 ? On en donnera une valeur arrondie au centième.
    $\quad$
  2. a. Déterminer le sens de variation de la fonction $p$ sur $[0 ; +\infty[$.
    $\quad$
    b. Calculer la limite de la fonction $p$ en $+\infty$.
    $\quad$
    c. Interpréter cette limite dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  3. On considère que, lorsque la proportion d’individus équipés dépasse $95 \%$, le marché est saturé.
    Déterminer, en expliquant la démarche, l’année au cours de laquelle cela se produit.
    $\quad$
  4. On définit la proportion moyenne d’individus équipés entre 2008 et 2010 par $$m=\dfrac{1}{2}\int_8^{10}p(x)\dx$$
    a. Vérifier que, pour tout réel $x\pg 0$, $$p(x)=\dfrac{\e^{0,2x}}{1+\e^{0,2x}}$$
    $\quad$
    b. En déduire une primitive de la fonction $p$ sur $[0 ; +\infty[$.
    $\quad$
    c. Déterminer la valeur exacte de $m$ et son arrondi au centième.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.
Alex et Élisa, deux pilotes de drones, s’entraînent sur un terrain constitué d’une partie plane qui est bordée par un obstacle.
On considère un repère orthonormé $\Oijk$, une unité correspondant à dix
mètres. Pour modéliser le relief de la zone, on définit six points $O$, $P$, $Q$, $T$, $U$ et $V$ par leurs coordonnées dans ce repère :
$O(0 ; 0 ; 0)$, $P(0 ; 10 ; 0)$, $Q(0 ; 11 ; 1)$, $T(10 ; 11 ; 1)$, $U(10 ; 10 ; 0)$ et $V(10 ; 0 ; 0)$
La partie plane est délimitée par le rectangle $OPUV$ et l’obstacle par le rectangle $PQTU$.

Les deux drones sont assimilables à deux points et on suppose qu’ils suivent des trajectoires rectilignes :

  • le drone d’Alex suit la trajectoire portée par la droite $(AB)$ avec $A(2 ; 4 ; 0,25)$ et $B(2 ; 6 ; 0,75)$ ;
  • le drone d’Élisa suit la trajectoire portée par la droite $(CD)$ avec $C(4 ; 6 ; 0,25)$ et $D(2 ; 6 ; 0,25)$.

Partie A : Étude de la trajectoire du drone d’Alex

  1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(AB)$.
    $\quad$
  2. a. Justifier que le vecteur $\vec{n}(0 ; 1 ;-1)$ est un vecteur normal au plan $(PQU)$.
    $\quad$
    b. En déduire une équation cartésienne du plan $(PQU)$.
    $\quad$
  3. Démontrer que la droite $(AB)$ et le plan $(PQU)$ sont sécants au point $I$ de coordonnées $\left(2;\dfrac{37}{3};\dfrac{7}{3}\right)$.
    $\quad$
  4. Expliquer pourquoi, en suivant cette trajectoire, le drone d’Alex ne rencontre pas l’obstacle.
    $\quad$

Partie B : Distance minimale entre les deux trajectoires

Pour éviter une collision entre leurs deux appareils, Alex et Élisa imposent une distance minimale de $4$ mètres entre les trajectoires de leurs drones.
L’objectif de cette partie est de vérifier si cette consigne est respectée.
Pour cela, on considère un point $M$ de la droite $(AB)$ et un point $N$ de la droite $(CD)$.
Il existe alors deux réels $a$ et $b$ tels que $\vect{AM}=a\vect{AB}$ et $\vect{CN}=b\vect{CD}$.
On s’intéresse donc à la distance $MN$.

  1. Démontrer que les coordonnées du vecteur $\vect{MN}$ sont $(2-2b ; 2-2a ; -0,5a)$.
    $\quad$
  2. On admet que les droites $(AB)$ et $(CD)$ ne sont pas coplanaires. On admet également que la distance $MN$ est minimale lorsque la droite $(MN)$ est perpendiculaire à la fois à la droite $(AB)$ et à la droite $(CD)$.
    Démontrer alors que la distance $MN$ est minimale lorsque $a=\dfrac{16}{17}$ et $b=1$.
    $\quad$
  3. En déduire la valeur minimale de la distance $MN$ puis conclure.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     4 points

Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse.
Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Une absence de réponse n’est pas pénalisée.
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct $\Ouv$.
On considère le nombre complexe $c=\dfrac{1}{2}\e^{\ic \pi/3}$ et les points $S$ et $T$ d’affixes respectives $c^2$ et $\dfrac{1}{c}$.

  1. Affirmation 1 :
    Le nombre $c$ peut s’écrire $c=\dfrac{1}{4}\left(1-\ic\sqrt{3}\right)$.
    $\quad$
  2. Affirmation 2 :
    Pour tout entier naturel $n$, $c^{3n}$ est un nombre réel.
    $\quad$
  3. Affirmation 3 :
    Les points $O$, $S$ et $T$ sont alignés.
    $\quad$
  4. Affirmation 4 :
    Pour tout entier naturel non nul, $n$, $\left|c\right|+\left|c^2\right|+\ldots+\left|c^n\right|=1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^n$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.

Partie A

Lors d’une soirée, une chaîne de télévision a retransmis un match. Cette chaîne a ensuite proposé une émission d’analyse de ce match.
On dispose des informations suivantes :

  • $56 \%$ des téléspectateurs ont regardé le match ;
  • un quart des téléspectateurs ayant regardé le match ont aussi regardé l’émission ;
  • $16,2 \%$ des téléspectateurs ont regardé l’émission.

On interroge au hasard un téléspectateur. On note les événements :

  • $M$ : « le téléspectateur a regardé le match » ;
  • $E$ : « le téléspectateur a regardé l’émission ».

On note $x$ la probabilité qu’un téléspectateur ait regardé l’émission sachant qu’il n’a pas regardé le match.

  1. Construire un arbre pondéré illustrant la situation.
    $\quad$
  2. Déterminer la probabilité de $M\cap E$.
    $\quad$
  3. a. Vérifier que $P(E) = 0,44x + 0,14$.
    $\quad$
    b. En déduire la valeur de $x$.
    $\quad$
  4. Le téléspectateur interrogé n’a pas regardé l’émission. Quelle est la probabilité, arrondie à $10^{-2}$, qu’il ait regardé le match ?
    $\quad$

Partie B

Pour déterminer l’audience des chaînes de télévision, un institut de sondage recueille, au moyen de boîtiers individuels, des informations auprès de milliers de foyers français.
Cet institut décide de modéliser le temps passé, en heure, par un téléspectateur devant la télévision le soir du match, par une variable aléatoire 𝑇 suivant la loi normale d’espérance $\mu = 1,5$ et d’écart-type $\sigma = 0,5$.

  1. Quelle est la probabilité, arrondie à $10^{-3}$, qu’un téléspectateur ait passé entre une heure et deux heures devant sa télévision le soir du match ?
    $\quad$
  2. Déterminer l’arrondi à $10^{-2}$ du réel $t$ tel que $P(T\pg t) = 0,066$.
    Interpréter le résultat.
    $\quad$

Partie C

La durée de vie d’un boîtier individuel, exprimée en année, est modélisée par une
variable aléatoire notée $S$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ strictement positif. On rappelle que la densité de probabilité de $S$ est la fonction $f$ définie sur $[0; +\infty[$ par $$f(x)=\lambda\e^{-\lambda x}$$
L’institut de sondage a constaté qu’un quart des boîtiers a une durée de vie comprise entre un et deux ans.
L’usine qui fabrique les boîtiers affirme que leur durée de vie moyenne est supérieure à trois ans.
L’affirmation de l’usine est-elle correcte ? La réponse devra être justifiée.
$\quad$

$\quad$

Exercice 4     5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

On étudie l’évolution quotidienne des conditions météorologiques d’un village sur une certaine période. On suppose que, pour un jour donné, il existe trois états météorologiques possibles : « ensoleillé », « nuageux sans pluie » et « pluvieux ».

On sait que :

  • si le temps est ensoleillé un jour donné, la probabilité qu’il le soit encore le lendemain est $0,5$ et celle qu’il soit pluvieux est $0,1$ ;
  • si le temps est nuageux sans pluie un jour donné, la probabilité qu’il le soit encore le lendemain est $0,2$ et celle qu’il soit pluvieux est $0,7$ ;
  • si le temps est pluvieux un jour donné, la probabilité qu’il le soit encore le lendemain est $0,6$ et celle qu’il soit ensoleillé $0,2$.

Pour tout entier naturel $n$, on note les événements :

  • $A_n$ : « le temps est ensoleillé au bout de $n$ jours» ;
  • $B_n$ : « le temps est nuageux sans pluie au bout de $n$ jours» ;
  • $C_n$ : « le temps est pluvieux au bout de $n$ jours».

Pour tout entier naturel $n$, on note respectivement $a_n$, $b_n$ et $c_n$ les probabilités des événements $A_n$, $B_n$ et $C_n$. Ainsi, pour tout entier naturel $n$, $a_n+b_n+c_n=1$.

On suppose qu’initialement, le temps est ensoleillé.
On a donc $a_0 = 1$, $b_0 = 0$ et $c_0 = 0$.

  1. a. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $a_{n+1}=0,5a_n + 0,1b_n + 0,2c_n$.
    $\quad$
    b. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $a_{n+1}=0,3a_n- 0,1b_n +0,2$.
    $\quad$

On admet que, pour tout entier naturel $n$, $b_{n+1}= 0,2a_n + 0,2$.

  1. On considère les matrices
    $$\begin{pmatrix}0,3&-0,1\\0,2&0\end{pmatrix}, U_n=\begin{pmatrix}a_n\\b\n\end{pmatrix} \text{ et } R=\begin{pmatrix}0,2\\0,2\end{pmatrix}$$
    a. Justifier que pour tout entier naturel $n$, $U_{n+1}=MU_n+R$.
    $\quad$
    b. Soit $Y=\begin{pmatrix} \alpha\\\beta\end{pmatrix}$ tel que $Y = MY+R$. Démontrer que $\alpha=\beta=0,25$.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel 𝑛, on pose $V_n = U_n-Y$.
    a. En utilisant la question 2., vérifier que, pour tout entier naturel $n$,
    $$V_{n+1}MV_n$$
    $\quad$
    b. Démontrer par récurrence que, pour tout entier $n$ strictement positif,
    $$V_n=M^nV_0$$
    $\quad$
  3. On admet que, pour tout entier naturel strictement positif $n$, $$M^n=\begin{pmatrix}2\times 0,2^n-0,1^n&0,1^n-0,2^n\\
    2\times 0,2^n-2\times 0,1^n&2\times 0,1^n-0,2^n\end{pmatrix}$$
    a. Déterminer l’expression de $a_n$ en fonction de l’entier strictement
    positif $n$.
    $\quad$
    b. Déterminer la limite de la suite $\left(a_n\right)$.
    $\quad$
  4. On admet que, pour tout entier naturel $n$, $c_n=0,5+3\times 0,1^n-3,5\times 0,2^n$.
    La probabilité que le temps soit pluvieux au bout de $n$ jours peut-elle
    dépasser $0,5$ ?
    $\quad$

 

 

 

2018 – 2019


Vous trouverez ici les corrections des sujets de l’année 2018 – 2019 pour la TS

Amérique du nord mai 2019

Liban mai 2019

Centres étrangers/Pondichery juin 2019

Antilles-Guyane juin 2019

Polynésie juin 2019

Métropole juin 2019

Asie juin 2019

Antilles Guyane septembre 2019

Métropole septembre 2019

Amérique du Sud novembre 2019

Nouvelle-Calédonie novembre 2019

Nouvelle-Calédonie mars 2020

Bac S – Métropole – Juin 2019

Métropole – Juin 2019

Bac S – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. a. On a $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^x=+\infty$.
    De plus $\lim\limits_{x\to +\infty} -x=-\infty$ et $\lim\limits_{X \to -\infty} \e^X=0$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^{-x}=0$
    Par conséquent $\lim\limits_{x\to +\infty} -\dfrac{1}{2}\left(\e^x+\e^{-x}\right)=-\infty$.
    Donc $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=-\infty$.
    $\quad$
    b. Le fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme de fonctions dérivables sur $\R$.
    De plus, pour tout réel $x$ on a : $ f'(x)=-\dfrac{1}{2}\left(\e^x-\e^{-x}\right)$
    Pour tout réel $x$ strictement positif on a $x>-x$.
    La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\R$ donc $\e^x>\e^{-x}$.
    Par conséquent, pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;+\infty[$ on a $\e^x-\e^{-x}>0$ et $f'(x)<0$.
    La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    $\quad$
    c. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    $f(0)=2,5$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=-\infty$.
    Or $0\in ]-\infty;2,5]$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=0$ possède une unique solution sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    $\quad$
  2. Pour tout réel $x$ positif on a :
    $\begin{align*} f(-x)&=\dfrac{7}{2}-\dfrac{1}{2}\left(\e^{-x}+\e^x\right) \\
    &=f(x)\end{align*}$
    La fonction $f$ est donc paire.
    L’équation $f(x)=0$ possède une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[0;+\infty[$. Par conséquent l’équation $f(x)=0$ possède une unique solution $-\alpha$ sur l’intervalle $]-\infty;0]$.
    $\quad$
    L’équation $f(x)=0$ possède donc exactement deux solutions sur $\R$ : $\alpha$ et $-\alpha$.
    $\quad$

Partie B

  1. La fonction $f$ est strictement décroissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    On sait que pour tout réel $x$ positif on a $f(-x)=f(x)$.
    La fonction $f$ est donc strictement croissante sur l’intervalle $]-\infty;0]$.
    Par conséquent la fonction $f$ atteint son maximum en $0$.
    Ainsi la hauteur d’un arceau est $h=f(0)=2,5$ m.
    $\quad$
  2. a. Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} 1+\left(f'(x)\right)^2&=1+\left(-\dfrac{1}{2}\left(\e^x-\e^{-x}\right)\right)^2 \\
    &=1+\dfrac{1}{4}\left(\e^x-\e^{-x}\right)^2\\
    &=1+\dfrac{1}{4}\left(\e^{2x}-2+\e^{-2x}\right) \\
    &=\dfrac{1}{4}\e^{2x}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}\e^{-2x}\\
    &=\dfrac{1}{4}\left(\e^x+\e^{-x}\right)^2\end{align*}$
    $\quad$
    b. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. Pour tout réel $x$ on a donc $\e^x+\e^{-x}>0$.
    On a donc :
    $\begin{align*} \ds I&=\int_0^{\alpha}\sqrt{1+\left(f'(x)\right)^2}\dx \\
    &=\int_0^{\alpha} \sqrt{\dfrac{1}{4}\left(\e^x+\e^{-x}\right)^2}\dx \\
    &=\int_0^{\alpha}\dfrac{1}{2}\left(\e^x+\e^{-x}\right) \dx \\
    &=\dfrac{1}{2}\left[\e^x-\e^{x-}\right]_0^{\alpha}\\
    &=\dfrac{1}{2}\left(\e^{\alpha}-\e^{-\alpha}-0\right)\\
    &=\dfrac{\e^{\alpha}-\e^{-\alpha}}{2}\end{align*}$
    La longueur d’un arceau est $L=2I=\e^{\alpha}-\e^{-\alpha}$.
    $\quad$

Partie C

  1. L’aire de la bâche recouvrant la façade nord est l’aire du domaine compris entre la courbe $\mathscr{C}$ et l’axe des abscisses sur l’intervalle $[-\alpha;\alpha]$ soit, puisque la fonction $f$ est continue et positive sur cet intervalle :
    $J=\ds \int_{-\alpha}^{\alpha} f(x)\dx=2\int_0^{\alpha} f(x)\dx$.
    L’aire de la porte est $P=2\times 1=2$.
    Ainsi la quantité de bâche nécessaire pour recouvrir les deux façades est :
    $\mathscr{A}=2J-2=4\int_0^{\alpha} f(x)\dx-2$.
    $\quad$
  2. Le rectangle recouvrant la serre a pour dimensions : $4,5$ et $\e^{\alpha}-\e^{-\alpha}$.
    Son aire est donc $4,5\left(\e^{\alpha}-\e^{-\alpha}\right)$.
    L’aire totale de la bâche est donc :
    $T=4,5\left(\e^{\alpha}-\e^{-\alpha}\right)+4\int_0^{\alpha} f(x)\dx-2$.
    Or :
    $\begin{align*}\ds \int_0^{\alpha} f(x)\dx &=\left[\dfrac{7}{2}-\dfrac{1}{2}\left(\e^x-\e^{-x}\right)\right]_0^{\alpha} \\
    &=\dfrac{7\alpha}{2}-\dfrac{1}{2}\left(\e^{\alpha}-\e^{-\alpha}\right)\end{align*}$
    Par conséquent :
    $\begin{align*} T&=4,5\left(\e^{\alpha}-\e^{-\alpha}\right)+4\int_0^{\alpha} f(x)\dx-2 \\
    &=4,5\left(\e^{\alpha}-\e^{-\alpha}\right)+4\left(\dfrac{7\alpha}{2}-\dfrac{1}{2}\left(\e^{\alpha}-\e^{-\alpha}\right)\right)-2\\
    &=2,5\left(\e^{\alpha}-\e^{-\alpha}\right)+14\alpha-2\\
    &\approx 41,57\end{align*}$
    Il faut donc prévoir environ $42$ m$^2$ de bâche pour réaliser cette serre.a.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. a. La variable aléatoire $X_A$ suit la loi uniforme sur l’intervalle $[9;25]$ donc $E\left(X_A\right)=\dfrac{9+25}{2}=17$.
    Une partie de type $A$ dure donc en moyenne $17$ minutes.
    $\quad$
    b. L’axe de symétrie de la représentation graphique de la fonction de densité semble avoir pour équation $x=17$.
    Une partie de type $B$ dure donc en moyenne $17$ minutes également.
    $\quad$
  2. On a $P\left(X_A\pp 20\right)=\dfrac{20-9}{25-9}=0,687~5$.
    et
    $\begin{align*} P\left(X_B\pp 20\right)&=P\left(X_B\pp 17\right)+P\left(17\pp X_B\pp 20\right) \\
    &=0,5+P\left(17\pp X_B\pp 20\right) \\
    &\approx 0,841~3\end{align*}$
    On choisit de manière équiprobable un type de jeu.
    La probabilité que la durée d’une partie soit inférieure à $20$ minutes est donc :
    $\begin{align*} p&=\dfrac{1}{2}\left(P\left(X_A\pp 20\right)+P\left(X_B\pp 20\right) \right) \\
    &\approx 0,76\end{align*}$
    $\quad$

Partie B

  1. a. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n\pg 1$, d’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} a_{n+1}&=P\left(A_{n+1}\right) \\
    &=P\left(A_n\cap A_{n+1}\right)+P\left(B_n\cap A_{n+1}\right) \\
    &=0,8a_n+0,3\left(1-a_n\right) \\
    &=0,5a_n+0,3\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. Initialisation : si $n=1$ alors $a_1=0,5 \in[0;0,6]$.
    La propriété est vraie au rang $1$.
    $\quad$.
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$. Donc $0\pp a_n\pp 0,6$.
    Montrons qu’elle est vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $0\pp a_{n+1}\pp 0,6$.
    $\begin{align*} 0\pp a_n\pp 0,6&\ssi 0\pp 0,5a_n\pp 0,3\\
    &\ssi 0,3\pp 0,5a_n+0,3\pp 0,6\\
    &\ssi 0,3\pp a_{n+1}\pp 0,6\end{align*}$
    Par conséquent $0\pp a_{n+1}\pp 0,6$.
    La propriété est vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n\pg 1$ on a $0\pp a_n\pp 0,6$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n \pg 1$ :
    $\begin{align*} a_{n+1}-a_n&=0,5a_n+0,3-a_n \\
    &=0,3-0,5a_n \\
    &\pg 0,3-0,5\times 0,6\\
    &\pg 0\end{align*}$
    La suite $\left(a_n\right)$ est donc croissante.
    $\quad$
    c. La suite $\left(a_n\right)$ est croissante et majorée; elle converge donc vers un réel $\ell$.
    Le réel $\ell$ est solution de l’équation :
    $\ell=0,5\ell+0,3 \ssi 0,5\ell=0,3\ssi \ell =0,6$.
    La suite $\left(a_n\right)$ converge donc vers $0,6$.
    $\quad$
  3. a. Pour tout entier naturel $n\pg 1$, on a $u_n=a_n-0,6 \ssi a_n=u_n+0,6$.
    $\begin{align*} u_{n+1}&=a_{n+1}-0,6\\
    &=0,5a_n+0,3-0,6\\
    &=0,5a_n-0,3\\
    &=0,5\left(u_n+0,6\right)-0,3\\
    &=0,5u_n+0,3-0,3\\
    &=0,5u_n\end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,5$ et de premier terme $u_0=a_0-0,6=a-0,6$.
    $\quad$
    b. Ainsi, pour tout entier naturel $n\pg 1$ on a $u_n=(a-0,6)\times 0,5^{n-1}$.
    Donc $a_n=u_n+0,6=(a-0,6)\times 0,5^{n-1}+0,6$.
    $\quad$
    c. $-1<0,5<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,5^{n-1}=0$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} a_n=0,6$.
    Cette limite ne dépend donc pas de $a$.
    $\quad$
    d. Sur le long terme, la probabilité que le joueur fasse une partie de type A est égale à $0,6$ et celle qu’il fasse une partie de type B est égale à $0,4$.
    Il verra donc plus souvent la publicité insérée au début des parties de type A.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

  1. On considère l’équation $z^2-2\sqrt{3}z+4=0$.
    Son discriminant est $\Delta=\left(-2\sqrt{3}\right)^2-4\times 1\times 4=-4<0$
    Les solutions complexes de cette équation sont donc :
    $z_1=\dfrac{2\sqrt{3}-2\ic}{2}=\sqrt{3}-\ic$ et $z_2=\conj{z_2}=\sqrt{3}+\ic$.
    On note $A$ le point d’affixe $z_1$ et $B$ celui d’affixe $z_2$.
    $OA=\left|z_1\right|=2$ et $OB=\left|z_2\right|=2$
    $AB=\left|z_2-z_1\right|=|2\ic|=2$.
    Ainsi $AB=OA=OB$. Le triangle $OAB$ est équilatéral.
    Affirmation  1 vraie.
    $\quad$
  2. On a $|u|=2$ donc $u=2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\ic}{2}\right)=2\e^{\ic \pi/6}$.
    Ainsi $\conj{u}=2\e^{-\ic\pi/6}$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} u^{2019}+\conj{u}^{2019}&=2^{2019}\e^{336,5\ic\pi}+2^{2019}\e^{-336,5\ic\pi} \\
    &=2^{2019}\left(\e^{(168\times 2\pi +\pi/2)\ic}+\e^{-(168\times 2\pi +\pi/2}\ic)\right)\\
    &=2^{2019}\left(\ic-\ic\right)\\
    &=0\end{align*}$
    Affirmation 2 fausse
    $\quad$
  3. Soit $n$ un entier naturel non nul.
    La fonction $f_n$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $\begin{align*} {f_n}'(x)&=\e^{-nx+1}+x\times \left(-n\e^{-nx+1}\right) \\
    &=(1-nx)\e^{-nx+1}\end{align*}$
    La fonction exponentielle est strictement positive.
    Le signe de ${f_n}'(x)$ ne dépend donc que de celui de $1-nx$.
    Or $1-nx=0 \ssi x=\dfrac{1}{n}$ et $1-nx>0 \ssi x<\dfrac{1}{n}$.
    La fonction $f_n$ est ainsi croissante sur l’intervalle $\left[0;\dfrac{1}{n}\right]$ et décroissante sur l’intevalle $\left[\dfrac{1}{n};+\infty\right[$.
    Pour tout entier naturel $n\pg 1$, la fonction $f_n$ admet donc un maximum en $\dfrac{1}{n}$.
    Affirmation 3 vraie
    $\quad$
  4. Pour tout réel $x$ on a $-1\pp \cos x\pp 1$.
    Donc $-\e^{-x}\pp f(x)\pp \e^{-x}$.
    Or $\lim\limits_{x\to +\infty} -x=-\infty$ et $\lim\limits_{X \to -\infty} \e^X=0$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^{-x}=0$
    D’après le théorème des gendarmes, on a $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=0$.
    La courbe $\mathcal{C}$ admet donc une asymptote en $+\infty$.
    Affirmation 4 vraie
    $\quad$
  5. D’après l’algorithme on a : $2^{14} \pp A < 2^{15}$
    Donc, en utilisant la strictement croissance de la fonction $\ln$ sur $]0;+\infty[$ on a :
    $14\ln(2) \pp \ln(A) < 15\ln(2)$.
    Affirmation 5 fausse
    $\quad$

 

Ex 4 obl

Exercice 4

Partie A

  1. Les droites $(AE)$ et $(HK)$ sont incluses dans le plan $(EAH)$. Le point $M$ est donc le point d’intersection de ces deux droites.
    Voir la figure à la fin de l’exercice.
    $\quad$
  2. D’après le théorème des milieux, appliqué dans le triangle $EFH$, les droites $(IJ)$ et $(FH)$ sont parallèles.
    La droite $(FM)$ est l’intersection des plans $(AEF)$ et $(FHK)$.
    L’intersection du plan $\mathcal{P}$ et de la face $ABFE$ est donc la droite parallèle à la droite $(FM)$ passant par le point $I$.
    $\quad$

Partie B

  1. a. Les coordonnées du point :
    – $F$ sont $(1;0;1)$
    – $H$ sont $(0;1;1)$
    – $K$ sont $(0;0,25;0)$.
    Ainsi $\vect{FH}(-1;1;0)$ et $\vect{FK}(-1;0,25;-1)$. Ces deux vecteurs ne sont clairement pas colinéaires.
    Donc $\vec{n}.\vect{FH}=-4+4+0=0$ et $\vec{n}.\vect{FK}=-4+1+3=0$.
    Le vecteur $\vec{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(FHK)$.
    C’est un vecteur normal à ce plan.
    $\quad$
    b. Une équation cartésienne du plan $(FHK)$ est donc de la forme $4x+4y-3z+d=0$.
    Le point $F(1;0;1)$ appartient à ce plan donc $4+0-3+d=0\ssi d=-1$.
    Une équation cartésienne du plan $(FHK)$ est dp,c $4x+4y-3z-1=0$.
    $\quad$
    c. Les plans $^\mathcal{P}$ et $(FHK)$ sont parallèles. Par conséquent, le vecteur $\vec{n}$ est aussi un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$.
    Une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ est donc de la forme $4x+4y-3z+d=0$.
    Le point $I$ a pour coordonnées $(0,5;0;1)$.
    Ainsi $2+0-3+d=0 \ssi d=1$.
    Une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ est $4x+4y-3z+1=0$.
    $\quad$
    d. On a $\vect{AE}(0;0;1)$.
    Une représentation paramétrique de la droite $(AE)$ est donc $\begin{cases} x=0\\y=0\\z=t\end{cases} \quad, t\in \R$.
    Les coordonnées du point d’intersection de la $(AE)$ et du plan $\mathscr{P}$ sont solutions du système :
    $\begin{cases} 4x+4y-3z+1=0 \\x=0\\y=0\\z=t\end{cases} \ssi \begin{cases} -3t+1=0\\x=0\\y=0\\z=t\end{cases}\ssi \begin{cases} t=\dfrac{1}{3}\\x=0\\y=0\\z=\dfrac{1}{3}\end{cases}$.
    Le point $M’$ a donc pour coordonnées $\left(0;0;\dfrac{1}{3}\right)$.
    $\quad$
  2. a. Le vecteur $\vec{n}$ est donc un vecteur directeur de $\Delta$.
    Une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est : $$\begin{cases} x=4k\\y=4k\\z=1-3k\end{cases}\quad ,k\in \R$$
    $\quad$
    b. Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est $z=0$.
    Les coordonnées du point $L$ sont donc solution du système :
    $\begin{cases}z=0\\x=4k\\y=4k\\z=1-3k\end{cases}\ssi\begin{cases}1-3k=0\\x=4k\\y=4k\\z=1-3k\end{cases}\ssi \begin{cases} k=\dfrac{1}{3}\\x=\dfrac{4}{3}\\y=\dfrac{4}{3}\\z=0\end{cases}$.
    Donc $L$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{4}{3};\dfrac{4}{3};0\right)$.
    $\quad$
    c. Voir figure.
    $\quad$
    d. Le point $L$ n’appartient pas au plan $(ABE)$ tandis que les points $E, B$ et $F$ y appartiennent.
    Par conséquent les droites $\Delta$ et $(BF)$ ne sont pas sécantes.
    $\quad$
    Si, dans la représentation paramétrique de $\Delta$ on prend $k=\dfrac{1}{4}$ on obtient le point de coordonnées $(1;1;0,25)$ qui appartient à la droite $(CG)$. Les droites $\Delta$ et $(CG)$ sont donc sécantes.
    $\quad$

 

Ex 4 spé

Exercice 4

Partie A : Quelques exemples de matrices appartenant à l’ensemble $S$

  1. On a $6\times (-4)-5\times (-5)=-24+25=1$. Donc $A\in S$.
    $\quad$
  2. On veut que $ad-6=1 \ssi ad=7$ avec $a$ et $d$ entiers relatifs.
    $7$ est un nombre premier.
    Par conséquent $a=1$ et $d=7$
    ou $a=7$ et $d=1$
    ou $a=-1$ et $d=-7$
    ou $a=-7$ et $d=-1$.
    Il existe donc exactement quatre matrices de la forme souhaitée qui sont $\begin{pmatrix} 1&2\\3&7\end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 7&2\\3&1\end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} -1&2\\3&-7\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} -7&2\\3&-1\end{pmatrix}$.
    $\quad$
  3. a. On a $5\times 1-2\times 2=5-4=1$. Le couple $(1;2)$ est donc solution de l’équation $(E)$.
    On considère une autre solution $(x;y)$ de $(E)$
    Ainsi : $5\times 1-2\times 2=1$ et $5x-2y=1$.
    Par différence on a $5(1-x)-2(2-y)=0$ soit $5(1-x)=2(2-y)$.
    $5$ et $2$ sont premiers entre eux.
    D’après le théorème de Gauss, il existe un entier relatif $k$ tel que $1-x=2k$ et $2-y=5k$ soit $x=1-2k$ et $y=2-5k$.
    $\quad$
    Réciproquement : soit $k$ un entier relatif.
    $5(1-2k)-2(2-5k)=5-10k-4+10k=1$.
    Les solutions de $(E)$ sont les couples de la forme $(1-2k;2-5k)$ pour $k\in\Z$.
    $\quad$
    b. $A\in S\ssi 5a-2b=1$
    D’après la question précédente $(a,b)=(1-2k;2-5k)$ pour $k\in\Z$ sont solutions de cette équation.
    Il existe ainsi une infinité de matrices solutions qui s’écrivent alors :
    $$\begin{pmatrix}1-2k&2-5k\\2&5\end{pmatrix} \quad k\in\Z$$
    $\quad$

Partie B : Quelques propriétés des matrices appartenant à l’ensemble $S$

  1. On a $ad-bc=1 \ssi a\times d+b\times (-x)=1$. D’après le théorème de Bezout les nombres $a$ et $b$ sont premiers entre eux.
    $\quad$
  2. a. On a $AB=\begin{pmatrix} ad-bc&0\\0&ad-bc\end{pmatrix}=I$.
    $\quad$
    b. Ainsi $A$ est inversible et $A^{-1}=B$.
    $\quad$
    c. On a $da-(-b)\times (-c)=ad-bc=1$.
    Donc $A^{-1}\in S$.
    $\quad$
  3. a. On a :
    $\begin{align*} \begin{pmatrix}x’\\y’\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} &\ssi
    \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=A^{-1}\begin{pmatrix}x’\\y’\end{pmatrix} \\
    &\ssi \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}dx’-by’\\-cx’+ay’\end{pmatrix}\end{align*}$
    $\quad$
    b. $D’$ divise à la fois $x’$ et $y’$ il divise donc également $x=dx’-by’$ et $y=ay’-cx’$.
    Par conséquent $D$ divise $D’$.
    On a également $x’=ax+by$ et $y’=cx+dy$
    Donc, pour la même raison, $D$ divise également $x’$ et $y’$.
    Ainsi $D’$ divise $D$.
    Par conséquent $D=D’$.
    $\quad$
  4. On a: $2019=3\times 673$.
    Le PGCD de $x_0$ et $y_0$ est donc $673$.
    D’après la question précédente $673$ est également le PGCD des entiers $x_n$ et $y_n$.
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1     6 points

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur l’ensemble $\R$ des nombres réels par : $$f(x)=\dfrac{7}{2}-\dfrac{1}{2}\left(\e^x+\e^{-x}\right)$$

  1. a. Déterminer la limite de la fonction $f$ en  $+\infty$.
    $\quad$
    b. Montrer que la fonction $f$ est strictement décroissante sur l’intervalle $[0; +\infty[$.
    $\quad$
    c. Montrer que l’équation $f(x)=0$ admet, sur l’intervalle $[0;+\infty[$, une unique solution, qu’on note $\alpha$.
    $\quad$
  2. En remarquant que, pour tout réel $x$, $f(-x)=f(x)$, justifier que l’équation $f(x) = 0$ admet exactement deux solutions dans $\R$ et qu’elles sont opposées.
    $\quad$

Partie B

Les serres en forme de tunnel sont fréquemment utilisées pour la culture des plantes fragiles ; elles limitent les effets des intempéries ou des variations de température.
Elles sont construites à partir de plusieurs arceaux métalliques identiques qui sont ancrés au sol et supportent une bâche en plastique.

Le plan est rapporté à un repère orthonormé d’unité 1 mètre. La fonction $f$ et le réel $\alpha$ sont définis dans la partie A. Dans la suite de l’exercice, on modélise un arceau de serre par la courbe $\mathscr{C}$ de la fonction $f$ sur
l’intervalle $[-\alpha;\alpha]$.
On a représenté ci-dessous la courbe $\mathscr{C}$ sur l’intervalle $[-\alpha;\alpha]$.

On admettra que la courbe $\mathscr{C}$ admet l’axe des ordonnées pour axe de symétrie.

  1. Calculer la hauteur d’un arceau.
    $\quad$
  2. a. Dans cette question, on se propose de calculer la valeur exacte de la longueur de la courbe $\mathscr{C}$ sur l’intervalle $[0; \alpha]$. On admet que cette longueur est donnée, en mètre, par l’intégrale : $$I=\int_0^{\alpha} \sqrt{1+\left(f'(x)\right)^2}\dx$$
    Montrer que pour tout réel $x$, on a $1+\left(f'(x)\right)^2=\dfrac{1}{4}\left(\e^x+\e^{-x}\right)^2$.
    $\quad$
    b. En déduire la valeur de l’intégrale $I$ en fonction de $\alpha$.
    Justifier que la longueur d’un arceau, en mètre, est égale à : $\e^{\alpha}-\e^{-\alpha}$.
    $\quad$

Partie C

On souhaite construire une serre de jardin en forme de tunnel.
On fixe au sol quatre arceaux métalliques, dont la forme est celle décrite dans la partie précédente, espacés de $1,5$ mètre, comme indiqué sur le schéma ci-dessous.
Sur la façade sud, on prévoit une ouverture modélisée sur le schéma par le rectangle $ABCD$ de largeur $1$ mètre et de longueur $2$ mètres.

On souhaite connaître la quantité, exprimée en m², de bâche plastique nécessaire pour réaliser cette serre.
Cette bâche est constituée de trois parties, l’une recouvrant la façade nord, l’autre la façade sud (sauf l’ouverture), la troisième partie de forme rectangulaire recouvrant le dessus de la serre.

  1. Montrer que la quantité de bâche nécessaire pour recouvrir les façades sud et nord est donnée, en m$^2$ , par : $$\mathscr{A}=4\int_0^{\alpha}f(x)\dx-2$$
    $\quad$
  2. On prend $1,92$ pour valeur approchée de $\alpha$. Déterminer, au m$^2$ près, l’aire totale de la bâche plastique nécessaire pour réaliser cette serre.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

Une plateforme informatique propose deux types de jeux vidéo : un jeu de type A et un jeu de type B.

Partie A

Les durées des parties de type A et de type B, exprimées en minutes, peuvent être modélisées respectivement par deux variables aléatoires notées $X_A$ et $X_B$.
La variable aléatoire $X_A$ suit la loi uniforme sur l’intervalle $[9; 25]$.
La variable aléatoire $X_B$ suit la loi normale de moyenne $\mu$ et d’écart type $3$. La représentation graphique de la fonction de densité de cette loi normale et son axe de symétrie sont donnés ci-dessous.

  1. a. Calculer la durée moyenne d’une partie de type A.
    $\quad$
    b. Préciser à l’aide du graphique la durée moyenne d’une partie de type B.
    $\quad$
  2. On choisit au hasard, de manière équiprobable, un type de jeu. Quelle est la probabilité que la durée d’une partie soit inférieure à $20$ minutes ? On donnera le résultat arrondi au centième.
    $\quad$

Partie B

On admet que, dès que le joueur achève une partie, la plateforme lui propose une nouvelle partie selon le modèle suivant :

  • si le joueur achève une partie de type A, la plateforme lui propose de jouer à nouveau une partie de type A avec une probabilité de $0,8$ ;
  • si le joueur achève une partie de type B, la plateforme lui propose de jouer à nouveau une partie de type B avec une probabilité de $0,7$.

Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1$, on note $A_n$ et $B_n$ les évènements :
$A_n$ : « la $n$-ième partie est une partie de type A. »
$B_n$ : « la $n$-ième partie est une partie de type B. »
Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1$, on note $a_n$ la probabilité de l’évènement $A_n$.

  1. a. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous.

    $\quad$
    b. Montrer que pour tout entier naturel $n \pg 1$, on a : $$a_{n+1}=0,5a_n+0,3$$
    $\quad$

Dans la suite de l’exercice, on note $a$ la probabilité que le joueur joue au jeu A lors de sa première partie, où $a$ est un nombre réel appartenant à l’intervalle $[0; 1]$. La suite $\left(a_n\right)$ est donc définie par :
$a_1=a$, et pour tout entier naturel $n\pg 1, $a_{n+1}=0,5a_n+0,3$.

  1. Étude d’un cas particulier : Dans cette question, on suppose que $a = 0,5$.
    a. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n\pg 1$, on a : $0\pg a_n \pg 0,6$.
    $\quad$
    b. Montrer que la suite $\left(a_n\right)$ est croissante.
    $\quad$
    c. Montrer que la suite $\left(a_n\right)$ est convergente et préciser sa limite.
    $\quad$
  2. Étude du cas général : Dans cette question, le réel $a$ appartient à l’intervalle $[0; 1]$.
    On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n>1 1$ par : $u_n=a_n-0,6$.
    a. Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique.
    $\quad$
    b. En déduire que pour tout entier naturel $n \pg 1$ on a : $a_n= (a-0,6)\times 0,5^{n-1}+0,6$.
    $\quad$
    c. Déterminer la limite de la suite $\left(a_n\right)$. Cette limite dépend-elle de la valeur de $a$ ?
    $\quad$
    d. La plateforme diffuse une publicité insérée en début des parties de type A et une autre publicité insérée en début des parties de type B. Quelle devrait être la publicité la plus vue par un joueur s’adonnant intensivement aux jeux vidéo ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     4 points

Les cinq questions de cet exercice sont indépendantes.
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie.
Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte. Une absence de réponse n’est pas pénalisée.

  1. Dans l’ensemble $\C$ des nombres complexes, on considère l’équation $(E)~~ :~~  z^2-2\sqrt{3}z+4=0$.
    On note $A$ et $B$ les points du plan dont les affixes sont les solutions de $(E)$.
    Affirmation 1 : Le triangle $OAB$ est équilatéral.
    $\quad$
  2. On note $u$ le nombre complexe : $u=\sqrt{3}+\ic$ et on note $\conj{u}$ son conjugué.
    Affirmation 2 : $u^{2019}+\conj{u}^{2019}=2^{2019}$.
    $\quad$
  3. Soit $n$ un entier naturel non nul. On considère la fonction $f_n$ définie sur l’intervalle $[0; +\infty[$ par : $$f_n(x)=x\e^{-nx+1}$$
    Affirmation 3 : Pour tout entier naturel $n\pg 1$, la fonction $f_n$ admet un maximum.
    $\quad$
  4. On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $\R$ par : $f(x)=\cos(x)\e^{-x}$.
    Affirmation 4 : La courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote en $+\infty$.
    $\quad$
  5. Soit $A$ un nombre réel strictement positif.
    On considère l’algorithme ci-dessous.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    I\leftarrow 0\\
    \text{Tant que }2^I\pp A\\
    \hspace{1cm} I\leftarrow I+1\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    On suppose que la variable $I$ contient la valeur $15$ en fin d’exécution de cet algorithme.
    Affirmation 5 : $15 \ln(2) \pp ln(A) \pp 16 \ln(2)$
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     5 points

pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante.

On considère un cube $ABCDEFGH$ d’arête de longueur $1$, dont la figure est donnée en annexe.
On note $I$ le milieu du segment $[EF]$, $J$ le milieu du segment $[EH]$ et $K$ le point du segment $[AD]$ tel que $\vect{AK}=\dfrac{1}{4}\vect{AD}$.
On note $\mathcal{P}$ le plan passant par $I$ et parallèle au plan $(FHK)$.
$\quad$

Partie A

Dans cette partie, les constructions demandées seront effectuées sans justification sur la figure donnée en annexe, à rendre avec la copie.

  1. Le plan $(FHK)$ coupe la droite $(AE)$ en un point qu’on note $M$. Construire le point $M$.
    $\quad$
  2. Construire la section du cube par le plan $\mathcal{P}$.
    $\quad$

Partie B

Dans cette partie, on munit l’espace du repère orthonormé $\left(A;\vect{AB};\vect{AD};\vect{AE}\right)$.
On rappelle que $\mathcal{P}$ est le plan passant par $I$ et parallèle au plan $(FHK)$.

  1. a. Montrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}4\\4\\3\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(FHK)$.
    $\quad$
    b. En déduire qu’une équation cartésienne du plan $(FHK)$ est : $4x+4y-3z-1=0$.
    $\quad$
    c. Déterminer une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$.
    $\quad$
    d. Calculer les coordonnées du point $M′$, point d’intersection du plan $\mathcal{P}$ et de la droite $(AE)$.
    $\quad$
  2. On note $\Delta$ la droite passant par le point $E$ et orthogonale au plan $\mathcal{P}$.
    a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$.
    $\quad$
    b. Calculer les coordonnées du point $L$, intersection de la droite $\Delta$ et du plan $(ABC)$.
    $\quad$
    c. Tracer la droite $\Delta$ sur la figure donnée en annexe, à rendre avec la copie.
    $\quad$
    d. Les droites $\Delta$ et $(BF)$ sont-elles sécantes ? Qu’en est-il des droites $\Delta$ et $(CG)$ ? Justifier.
    $\quad$

Annexe


$\quad$

Exercice 4     5 points

pour les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

On note $\Z$ l’ensemble des entiers relatifs.
Dans cet exercice, on étudie l’ensemble $S$ des matrices $A$ qui s’écrivent sous la forme $A=\begin{pmatrix} a&b\\c&d\end{pmatrix}$, où $a$, $b$, $c$ et $d$ appartiennent à l’ensemble $\Z$ et vérifient : $ad-bc=1$.
On note $I$ la matrice identité $I=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$.

Partie A : Quelques exemples de matrices appartenant à l’ensemble $S$

  1. . Vérifier que la matrice $A=\begin{pmatrix}6&5\\-5&-4\end{pmatrix}$
    appartient à l’ensemble $S$.
    $\quad$
  2. Montrer qu’il existe exactement quatre matrices de la forme $A=\begin{pmatrix}a&2\\3&d\end{pmatrix}$ appartenant à l’ensemble $S$ ; les expliciter.
    $\quad$
  3. a. Résoudre dans $\Z$ l’équation $(E) ∶ 5x-2y=1$. On pourra remarquer que le couple $(1;2)$ est une solution particulière de cette équation.
    $\quad$
    b. En déduire qu’il existe une infinité de matrices de la forme $A=\begin{pmatrix}a&b\\2&5\end{pmatrix}$ qui appartiennent à l’ensemble $S$. Décrire ces matrices.
    $\quad$

Partie B : Quelques propriétés des matrices appartenant à l’ensemble $S$

Dans cette partie, on note $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ une matrice appartenant à l’ensemble $S$. On rappelle que $a$, $b$, $c$ et $d$ sont des nombres entiers relatifs tels que $ad-bc=1$.

  1. Montrer que les entiers $a$ et $b$ sont premiers entre eux.
    $\quad$
  2. Soit $B$ la matrice : $B=\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$.
    a. Calculer le produit $AB$. On admet que l’on a $AB = BA$.
    $\quad$
    b. En déduire que la matrice $A$ est inversible et donner sa matrice inverse $A^{-1}$.
    $\quad$
    c. Montrer que la matrice $A^{-1}$ appartient à l’ensemble $S$.
    $\quad$
  3. Soient $x$ et $y$ deux entiers relatifs. On note $x’$ et $y’$ les entiers relatifs tels que $\begin{pmatrix} x’\\y’\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$.
    a. Montrer que $x=dx’-by’$. On admet de même que $y=ay’-cx’$.
    $\quad$
    b. On note $D$ le PGCD de $x$ et $y$ et on note $D’$ le PGCD de $x’$ et $y’$. Montrer que $D=D’$.
    $\quad$
  4. On considère les suites d’entiers naturels $\left(x_n\right)$ et $\left(y_n\right)$ définies par : $x_0= 2019$, $y_0 = 673$ et pour tout
    entier naturel $n$ : $\begin{cases}x_{n+1}=2x_n+3y_n\\y_{n+1}=x_n+2y_n\end{cases}$.
    En utilisant la question précédente, déterminer, pour tout entier naturel $n$, le PGCD des entiers$x_n$ et $y_n$.
    $\quad$