Bac S – Nouvelle Calédonie – Novembre 2013

Nouvelle Calédonie – Novembre 2013

Bac S – Mathématiques – Correction

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Exercice 1 – 5 points

Soit $f$ la fonction dérivable, définie sur l’intervalle $]0; +\infty[$ par $$f(x) = \e^x + \dfrac{1}{x}.$$

Étude d’une fonction auxiliaire
a. Soit la fonction $g$ dérivable, définie sur $[0; +\infty[$ par $$g(x) = x^2\e^x – 1.$$
Étudier le sens de variation de la fonction $g$.
$\quad$
b. Démontrer qu’il existe un unique réel $a$ appartenant à $[0; +\infty[$ tel que $g(a) = 0$.
Démontrer que $a$ appartient à l’intervalle $[0,703;0,704[$.
$\quad$
c. Déterminer le signe de $g(x)$ sur $[0;+\infty[$.
$\quad$
Étude de la fonction $f$
a. Déterminer les limites de la fonction $f$ en $0$ et en $+ \infty$.
$\quad$
b. On note $f’$ la fonction dérivée de $f$ sur l’intervalle $]0; +\infty[$.
Démontrer que pour tout réel strictement positif $x$, $f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^2}$.
$\quad$
c. En déduire le sens de variation de la fonction $f$ et dresser son tableau de variation sur l’intervalle $]0; +\infty[$.
$\quad$
d. Démontrer que la fonction $f$ admet pour minimum le nombre réel $m = \dfrac{1}{a^2} + \dfrac{1}{a}$.
$\quad$
e. Justifier que $3,43 < m < 3,45$.
$\quad$

Exercice 2 – 5 points

Soient deux suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ définies par $u_{0} = 2$ et $v_{0} = 10$ et pour tout entier naturel $n$, $$u_{n+1} = \dfrac{2u_{n} + v_{n}}{3} \quad \text{et}\quad v_{n+1} = \dfrac{u_{n} + 3v_{n}}{4}.$$

PARTIE A

On considère l’algorithme suivant :

Variables :
$\quad$ $N$ est un entier
$\quad$ $U$, $V$, $W$ sont des réels
$\quad$ $K$ est un entier
Début :
$\quad$ Affecter $0$ à $K$
$\quad$ Affecter $2$ à $U$
$\quad$ Affecter $10$ à $V$
$\quad$ Saisir $N$
$\quad$ Tant que $K < N$
$\qquad$ Affecter $K + 1$ à $K$
$\qquad$ Affecter $U$ à $W$
$\qquad$ Affecter $\dfrac{2U+V}{3}$ à $U$
$\qquad$ Affecter $\dfrac{W+3V}{4}$ à $V$
$\quad$ Fin tant que
$\quad$ Afficher $U$
$\quad$ Afficher $V$
Fin

On exécute cet algorithme en saisissant $N = 2$. Recopier et compléter le tableau donné ci-dessous donnant l’état des variables au cours de l’exécution de l’algorithme.

$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
K & W& U & V \\
\hline
0& & & \\
\hline
1 & & &\\
\hline
2 & & & \\
\hline
\end{array}$$

PARTIE B

a. Montrer que pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1} – u_{n+1} = \dfrac{5}{12} \left(v_{n} – u_{n}\right)$.
$\quad$
b. Pour tout entier naturel $n$ on pose $w_{n} = v_{n} – u_{n}$.
Montrer que pour tout entier naturel $n$, $w_{n} = 8 \left(\dfrac{5}{12} \right)^n$.
$\quad$
a. Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante et que la suite $\left(v_{n}\right)$ est décroissante.
$\quad$
b. Déduire des résultats des questions 1. b. et 2. a. que pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n} \le 10$ et $v_{n} \ge 2$.
$\quad$
c. En déduire que tes suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ sont convergentes.
$\quad$
Montrer que les suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ ont la même limite.
$\quad$
Montrer que la suite $\left(t_{n}\right)$ définie par $t_{n} = 3u_{n} + 4v_{n}$ est constante.
En déduire que la limite commune des suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ est $\dfrac{46}{7}$.
$\quad$

Exercice 3 – 5 points

Tous les résultats numériques devront être donnés sous forme décimale et arrondis au dix-millième

Une usine fabrique des billes sphériques dont le diamètre est exprimé en millimètres.
Une bille est dite hors norme lorsque son diamètre est inférieur à $9$ mm ou supérieur à $11$ mm.

Partie A

On appelle $X$ la variable aléatoire qui à chaque bille choisie au hasard dans la production associe son diamètre exprimé en mm.
On admet que la variable aléatoire $X$ suit la loi normale d’espérance $10$ et d’écart-type $0,4$.
Montrer qu’une valeur approchée à $0,000~1$ près de la probabilité qu’une bille soit hors norme est $0,012~4$. On pourra utiliser la table de valeurs donnée en annexe.
$\quad$
On met en place un contrôle de production tel que $98\%$ des billes hors norme sont écartés et $99\%$ des billes correctes sont conservées.
On choisit une bille au hasard dans la production. On note $N$ l’événement : “la bille choisie est aux normes”, $A$ l’événement : “la bille choisie est acceptée à l’issue du contrôle”.
a. Construire un arbre pondéré qui réunit les données de l’énoncé.
$\quad$
b. Calculer la probabilité de l’événement $A$.
$\quad$
c. Quelle est la probabilité pour qu’une bille acceptée soit hors norme ?
$\quad$

Partie B

Ce contrôle de production se révélant trop coûteux pour l’entreprise, il est abandonné : dorénavant, toutes les billes produites sont donc conservées, et elles sont conditionnées par sacs de $100$ billes.
On considère que la probabilité qu’une bille soit hors norme est de $0,012~4$.
On admettra que prendre au hasard un sac de $100$ billes revient à effectuer un tirage avec remise de $100$ billes dans l’ensemble des billes fabriquées.
On appelle $Y$ la variable aléatoire qui à tout sac de $100$ billes associe le nombre de billes hors norme de ce sac.

Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire $Y$ ?
$\quad$
Quels sont l’espérance et l’écart-type de la variable aléatoire $Y$ ?
$\quad$
Quelle est la probabilité pour qu’un sac de $100$ billes contienne exactement deux billes hors norme ?
$\quad$
Quelle est la probabilité pour qu’un sac de $100$ billes contienne au plus une bille hors norme ?
$\quad$

Annexe

Copie d’écran d’une feuille de calcul

Exercice 4 – 5 points

Pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct $\Ouv$.
On note $\C$ l’ensemble des nombres complexes.

Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.

Proposition : Pour tout entier naturel $n$ : $(1 + \ic)^{4n} = (- 4)^n$.
$\quad$
Soit $(E)$ l’équation $(z – 4)\left(z^2 – 4z + 8\right) = 0$ où $z$ désigne un nombre complexe.
Proposition : Les points dont les affixes sont les solutions, dans $\C$, de $(E)$ sont les sommets d’un triangle d’aire $8$.
$\quad$
Proposition : Pour tout nombre réel $\alpha$, $1 + \e^{2\ic\alpha} = 2\e^{\ic\alpha} \cos(\alpha)$.
$\quad$
Soit $A$ le point d’affixe $z_A = \dfrac{1}{2}(1 + \ic)$ et $M_{n}$ le point d’affixe $\left(z_A\right)^n$ où $n$ désigne un entier naturel supérieur ou égal à $2$.
Proposition : si $n – 1$ est divisible par $4$, alors les points $O$, $A$ et $M_{n}$ sont alignés.
$\quad$
Soit $j$ le nombre complexe de module $1$ et d’argument $\dfrac{2\pi}{3}$.
Proposition : $1 + j + j^2 = 0$.
$\quad$

Exercice 4 – 5 points

Pour les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

On note $E$ l’ensemble des vingt-sept nombres entiers compris entre $0$ et $26$.
On note $A$ l’ensemble dont les éléments sont les vingt-six lettres de l’alphabet et un séparateur entre deux mots, noté “$\star$” considéré comme un caractère.
Pour coder les éléments de $A$, on procède de la façon suivante :

Premièrement : On associe à chacune des lettres de l’alphabet, rangées par ordre alphabétique, un nombre entier naturel compris entre $0$ et $25$, rangés par ordre croissant. On a donc $a \to 0$, $b \to 1$, $\ldots z \to 25$.
On associe au séparateur “$\star$” le nombre $26$.
$$\begin{array}{l}
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
a & b & c & d & e & f & g & h & i & j & k & l & m & n \\\\
\hline
\phantom{1}0 & \phantom{1}1 & \phantom{1}2 & \phantom{1}3 & \phantom{1}4 & \phantom{1}5 & \phantom{1}6 & \phantom{1}7 & \phantom{1}8 & \phantom{1}9 & 1 0 & 1 1 & 12 & 13\\\\
\hline
\end{array} \\
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
o & p & q & r & s & t & u & v & w & x & y &z & \star \\\\
\hline
14 & 15 & 13 & 17 & 18 & 19 & 20 & 21 & 22 & 23 & 24 & 25 & 26 \\\\
\hline
\end{array}
\end{array}$$
On dit que $a$ a pour rang $0, b$ a pour rang $1$, $\ldots$, $z$ a pour rang $25$ et le séparateur “$\star$” a pour rang $26$.
Deuxièmement : à chaque élément $x$ de $E$, l’application $g$ associe le reste de la division euclidienne de $4x + 3$ par $27$.
On remarquera que pour tout $x$ de $E$, $g(x)$ appartient à $E$.
Troisièmement : Le caractère initial est alors remplacé par le caractère de rang $g(x)$.
$\quad$
Exemple :
$s \to 18, \quad g(18) = 21$ et $21 \to v$. Donc la lettre $s$ est remplacée lors du codage par la lettre $v$.

Trouver tous les entiers $x$ de $E$ tels que $g(x) = x$ c’est-à-dire invariants par $g$.
En déduire les caractères invariants dans ce codage.
$\quad$
Démontrer que, pour tout entier naturel $x$ appartenant à $E$ et tout entier naturel $y$ appartenant à $E$, si $y \equiv 4x + 3$ modulo $27$ alors $x \equiv 7y + 6$ modulo $27$.
En déduire que deux caractères distincts sont codés par deux caractères distincts.
$\quad$
Proposer une méthode de décodage.
$\quad$
Décoder le mot “$vfv$”.
$\quad$

Bac S – Amérique du Sud – Novembre 2013

Amérique du Sud – Novembre 2013

Bac S – Mathématiques

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Exercice 1 – 6 points

Partie A

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $$f(x) = x \e^{1-x}.$$

Vérifier que pour tout réel $x$, $f(x)= \e \times \dfrac{x}{\e^x}$.
$\quad$
Déterminer la limite de la fonction $f$ en $- \infty$.
$\quad$
Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. Interpréter graphiquement cette limite.
$\quad$
Déterminer la dérivée de la fonction $f$.
$\quad$
Étudier les variations de la fonction $f$ sur $\R$ puis dresser le tableau de variation.
$\quad$

Partie B

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on considère les fonctions $g_{n}$ et $h_{n}$ définies sur $\R$ par :
$$g_{n}(x) = 1 + x + x^2 + \ldots + x^n \quad \text{et}\quad h_{n}(x) = 1 + 2x + \ldots + nx^{n-1}.$$

Vérifier que, pour tout réel $x$ : $(1 – x)g_{n}(x) = 1 – x^{n+1}$.
On obtient alors, pour tout réel $x \neq 1$ : $g_{n}(x) = \dfrac{1 – x^{n+1}}{1 – x}$.
$\quad$
Comparer les fonctions $h_{n}$ et $g’_{n}$, $g’_{n}$ étant la dérivée de la fonction $g_{n}$.
En déduire que, pour tout réel $x \neq 1$ : $h_{n}(x) = \dfrac{nx^{n+1} -(n+1)x^n + 1}{(1-x)^2}$.
$\quad$
Soit $S_{n} = f(1) + f(2) + … + f(n)$, $f$ étant la fonction définie dans la partie A.
En utilisant les résultats de la partie B, déterminer une expression de $S_{n}$ puis sa limite quand $n$ tend vers $+ \infty$.
$\quad$

Exercice 2 – 4 points

On considère le cube $ABCDEFGH$, d’arête de longueur $1$, représenté ci-dessous et on munit l’espace du repère orthonormé $\left(A;\vec{AB},\vec{AD},\vec{AE}\right)$.

Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(FD)$.
$\quad$
Démontrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}1\\- 1\\1\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(BGE)$ et déterminer une équation du plan $(BGE)$.
$\quad$
Montrer que la droite $(FD)$ est perpendiculaire au plan $(BGE)$ en un point $K$ de coordonnées $K\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{2}{3}\right)$.
$\quad$
Quelle est la nature du triangle $BEG$ ? Déterminer son aire.
$\quad$
En déduire le volume du tétraèdre $BEGD$.
$\quad$

Exercice 3 – 5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct.
On considère l’équation $$(E) :\quad z^2 – 2z\sqrt{3} + 4 = 0.$$

Résoudre l’équation $(E)$ dans l’ensemble $\C$ des nombres complexes.
$\quad$
On considère la suite $\left(M_{n}\right)$ des points d’affixes $z_{n} = 2^n \e^{\ic(- 1)^n\frac{\pi}{6}}$, définie pour $n \ge 1$.
a. Vérifier que $z_{1}$ est une solution de $(E)$.
$\quad$
b. Écrire $z_{2}$ et $z_{3}$ sous forme algébrique.
$\quad$
c. Placer les points $M_{1}$, $M_{2}$, $M_{3}$ et $M_{4}$ sur la figure donnée en annexe et tracer, sur la figure donnée en annexe, les segments $\left[M_{1}, M_{2}\right]$, $\left[M_{2},M_{3}\right]$ et $\left[M_{3}, M_{4}\right]$.
$\quad$
Montrer que, pour tout entier $n \ge 1$, $z_{n} = 2^n \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{(- 1)^n \ic}{2}\right)$.
$\quad$
Calculer les longueurs $M_{1}M_{2}$ et $M_{2}M_{3}$.
$\quad$
Pour la suite de l’exercice, on admet que, pour tout entier $n \ge 1$, $M_{n}M_{n+1} = 2^n \sqrt{3}$.
$\quad$
On note $\ell^n = M_{1}M_{2} + M_{2}M_{3} + \ldots + M_{n}M_{n+1}$.
a. Montrer que, pour tout entier $n \ge 1, \ell^n = 2\sqrt{3}\left(2^n – 1\right)$.
$\quad$
b. Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $\ell^n \ge 1~000$.
$\quad$

Annexe

Exercice 3 – 5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Le gestionnaire d’un site web, composé de trois pages web numérotées de $1$ à $3$ et reliées entre elles par des liens hypertextes, désire prévoir la fréquence de connexion sur chacune de ses pages web.

Des études statistiques lui ont permis de s’apercevoir que :

Si un internaute est sur la page n° $1$, alors il ira, soit sur la page n° $2$ avec la probabilité $\dfrac{1}{4}$, soit sur la page n° $3$ avec la probabilité $\dfrac{3}{4}$.
Si un internaute est sur la page n° $2$, alors, soit il ira sur la page n° $1$ avec la probabilité $\dfrac{1}{2}$ soit il restera sur la page n° $2$ avec la probabilité $\dfrac{1}{4}$, soit il ira sur la page n° $3$ avec la probabilité $\dfrac{1}{4}$.
Si un internaute est sur la page n° $3$, alors, soit il ira sur la page n° $1$ avec la probabilité $\dfrac{1}{2}$, soit il ira sur la page n° $2$ avec la probabilité $\dfrac{1}{4}$,soit il restera sur la page n° $3$ avec la probabilité $\dfrac{1}{4}$.

Pour tout entier naturel $n$, on définit les événements et les probabilités suivants :

$A_{n}$ : “Après la $n$-ième navigation, l’internaute est sur la page n° $1$” et on note $a_{n} = P\left(A_{n}\right)$.
$B_{n}$ : “Après la $n$-ième navigation, l’internaute est sur la page n° $2$” et on note $b_{n} = P\left(B_{n}\right)$.
$C_{n}$ : “Après la $n$-ième navigation, l’internaute est sur la page n° $3$” et on note $c_{n} = P\left(C_{n}\right)$.

Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $a_{n+1} = \dfrac{1}{2} b_{n} + \dfrac{1}{2}c_{n}$.
On admet que, de m\^eme, $b_{n+1} = \dfrac{1}{4}a_{n} + \dfrac{1}{4}b_{n} + \dfrac{1}{4}c_{n}$ et $c_{n+1} = \dfrac{3}{4}a_{n} + \dfrac{1}{4}b_{n} + \dfrac{1}{4}c_{n}$.
Ainsi :
$$\begin{cases} a_{n+1} = \dfrac{1}{2} b_{n} + \dfrac{1}{2}c_{n}\\\\
b_{n+1} = \dfrac{1}{4}a_{n} + \dfrac{1}{4}b_{n} + \dfrac{1}{4}c_{n}\\\\
c_{n+1} = \dfrac{3}{4}a_{n} + \dfrac{1}{4}b_{n} + \dfrac{1}{4}c_{n}
\end{cases}$$
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$, on pose $U_{n} = \begin{pmatrix} a_{n}\\b_{n}\\c_{n}\end{pmatrix}$.
$U_{0} = \begin{pmatrix} a_{0}\\b_{0}\\c_{0}\end{pmatrix}$ représente la situation initiale, avec $a_{0} + b_{0} + c_{0} = 1$.
Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $U_{n+1} = MU_{n}$ où $M$ est une matrice $3 \times 3$ que l’on précisera.
En déduire que, pour tout entier naturel $n, U_{n} = M^nU_{0}$.
$\quad$
Montrer qu’il existe une seule matrice colonne $U =\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$ telle que : $x + y + z = 1$ et $MU = U$.
$\quad$
Un logiciel de calcul formel a permis d’obtenir l’expression de $M^n$, $n$ étant un entier naturel non nul : $$M^n = \begin{pmatrix} \dfrac{1}{3} + \dfrac{\left( \dfrac{- 1}{2}\right)^n \times 2}{3}&\dfrac{1}{3} + \dfrac{\left( \dfrac{- 1}{2}\right)^n }{- 3}&\dfrac{1}{3} + \dfrac{\left(\dfrac{- 1}{2}\right)^n}{- 3}\\\\
\dfrac{1}{4}&\dfrac{1}{4}&\dfrac{1}{4}\\\\
\dfrac{5}{12} + \dfrac{\left(-\left(\dfrac{- 1}{2}\right)^n\right) \times 2}{3}&\dfrac{5}{12} + \dfrac{-\left(\dfrac{- 1}{2}\right)^n}{-3}&\dfrac{5}{12} + \dfrac{-\left(\dfrac{- 1}{2}\right)^n }{- 3}
\end{pmatrix}$$
Pour tout entier naturel $n$ non nul, exprimer $a_{n}$, $b_{n}$ et $c_{n}$ en fonction de $n$. En déduire que les suites $\left(a_{n}\right)$, $\left(b_{n}\right)$ et $\left(c_{n}\right)$ convergent vers des limites que l’on précisera.
$\quad$
c. Interpréter les résultats obtenus et donner une estimation des pourcentages de fréquentation du site à long terme.
$\quad$

Exercice 4 – 5 points

Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à $10^{-4}$ près.

Partie A

En utilisant sa base de données, la sécurité sociale estime que la proportion de Français présentant, à la naissance, une malformation cardiaque de type anévrisme est de $10\%$. L’étude a également permis de prouver que $30\%$ des Français présentant, à la naissance, une malformation cardiaque de type anévrisme, seront victimes d’un accident cardiaque au cours de leur vie alors que cette proportion n’atteint plus que $8\%$ pour ceux qui ne souffrent pas de cette malformation congénitale.

On choisit au hasard une personne dans la population française et on considère les événements :

$M$ : “La personne présente, à la naissance, une malformation cardiaque de type anévrisme”
$C$ : “La personne est victime d’un accident cardiaque au cours de sa vie”.

a. Montrer que $P(M \cap C) = 0,03$.
$\quad$
b. Calculer $P(C)$.
$\quad$
On choisit au hasard une victime d’un accident cardiaque. Quelle est la probabilité qu’elle présente une malformation cardiaque de type anévrisme ?
$\quad$

Partie B

La sécurité sociale décide de lancer une enquête de santé publique, sur ce problème de malformation cardiaque de type anévrisme, sur un échantillon de $400$ personnes, prises au hasard dans la population française.

On note $X$ la variable aléatoire comptabilisant le nombre de personnes de l’échantillon présentant une malformation cardiaque de type anévrisme.

Définir la loi de la variable aléatoire $X$.
$\quad$
Déterminer $P(X = 35)$.
$\quad$
Déterminer la probabilité que $30$ personnes de ce groupe, au moins, présentent une malformation cardiaque de type anévrisme.
$\quad$

Partie C

On considère la variable aléatoire $F$, définie par $F = \dfrac{X}{400}$, $X$ étant la variable aléatoire de la partie B.
Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique de la variable aléatoire $F$ au seuil de $95\%$.
$\quad$
Dans l’échantillon considéré, $60$ personnes présentent une malformation cardiaque de type anévrisme.
Qu’en pensez-vous ?
$\quad$

Bac S – Antilles Guyane – Septembre 2013

Antilles Guyane – Septembre 2013

Bac S – Mathématiques

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Exercice 1 – 5 points

Partie A

Restitution organisée de connaissances

Soit $\Delta$ une droite de vecteur directeur $\vec{v}$ et soit P un plan.
On considère deux droites sécantes et contenues dans P : la droite D$_{1}$ de vecteur directeur $\vec{u_{1}}$ et la droite D$_{2}$ de vecteur directeur $\vec{u_{2}}$.
Montrer que $\Delta$ est orthogonale à toute droite de P si et seulement si $\Delta$ est orthogonale à D$_{1}$ et à D$_{2}$.

Partie B

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé, on considère les trois points $$A(0;- 1;1),\quad B(4;-3;0) \text{ et } C(- 1;-2;-1).$$

On appelle $P$ le plan passant par $A$, $B$ et $C$.
On appelle $\Delta$ la droite ayant pour représentation paramétrique $\begin{cases} x = t\\\\y = 3t – 1\\\\z = -2t + 8 \end{cases}$ avec $t$ appartenant à $\R$.
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse.

Affirmation 1 : $\Delta$ est orthogonale à toute droite du plan $P$.
$\quad$
Affirmation 2 : les droites $\Delta$ et $(AB)$ sont coplanaires.
$\quad$
Affirmation 3 : Le plan $P$ a pour équation cartésienne $x + 3y – 2z + 5 = 0$.
$\quad$
On appelle $D$ la droite passant par l’origine et de vecteur directeur $\vec{u}(11;- 1;4)$.
Affirmation 4 : La droite $D$ est strictement parallèle au plan d’équation $x + 3y – 2z + 5 = 0$.
$\quad$

Exercice 2 – 6 points

Pour tout réel $k$ strictement positif, on désigne par $f_{k}$ la fonction définie et dérivable sur l’ensemble des nombres réels $\R$ telle que : $$f_{k}(x) = kx\e^{-kx}.$$
On note $\mathscr{C}_{k}$ sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthogonal $\Oij$.

Partie A : Étude du cas $k = 1$

On considère donc la fonction $f_{1}$ définie sur $\R$ par $$f_{1}(x) = x\e^{- x}.$$

Déterminer les limites de la fonction $f_{1}$ en $- \infty$ et en $+ \infty$. En déduire que la courbe $\mathscr{C}_{1}$ admet une asymptote que l’on précisera.
$\quad$
Étudier les variations de $f_{1}$ sur $\R$ puis dresser son tableau de variation sur $\R$.
$\quad$
Démontrer que la fonction $g_{1}$ définie et dérivable sur $\R$ telle que : $$g_{1}(x) = – (x + 1)\e^{- x}$$ est une primitive de la fonction $f_{1}$ sur $\R$.
$\quad$
Étudier le signe de $f_{1}(x)$ suivant les valeurs du nombre réel $x$.
$\quad$
Calculer, en unité d’aire, l’aire de la partie du plan délimitée par la courbe $\mathscr{C}_{1}$, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x = 0$ et $x = \ln 10$.
$\quad$

Partie B : Propriétés graphiques

On a représenté sur le graphique ci-dessous les courbes $\mathscr{C}_{2}$, $\mathscr{C}_{a}$ et $\mathscr{C}_{b}$ où $a$ et $b$ sont des réels strictement positifs fixés et $T$ la tangente à $\mathscr{C}_{b}$ au point $O$ origine du repère.

Montrer que pour tout réel $k$ strictement positif, les courbes $\mathscr{C}_{k}$ passent par un même point.
$\quad$
a. Montrer que pour tout réel $k$ strictement positif et tout réel $x$ on a $$f’_{k}(x) = k(1 – kx)\e^{- kx}.$$
$\quad$
b. Justifier que, pour tout réel $k$ strictement positif, $f_{k}$ admet un maximum et calculer ce maximum.
$\quad$
c. En observant le graphique ci-dessus, comparer $a$ et $2$. Expliquer la démarche.
$\quad$
d. Écrire une équation de la tangente à $\mathscr{C}_{k}$ au point $O$ origine du repère.
$\quad$
e. En déduire à l’aide du graphique une valeur approchée de $b$.
$\quad$

Exercice 3 – 4 points

Une entreprise industrielle fabrique des pièces cylindriques en grande quantité. Pour toute pièce prélevée au hasard, on appelle $X$ la variable aléatoire qui lui associe sa longueur en millimètre et $Y$ la variable aléatoire qui lui associe son diamètre en millimètre.
On suppose que $X$ suit la loi normale de moyenne $\mu_{1} = 36$ et d’écart-type $\sigma_{1} = 0,2$ et que $Y$ suit la loi normale de moyenne $\mu_{2} = 6$ et d’écart-type $\sigma_{2} = 0,05$.

Une pièce est dite conforme pour la longueur si sa longueur est comprise entre $\mu_{1} – 3\sigma_{1}$ et $\mu_{1} + 3\sigma_{1}$. Quelle est une valeur approchée à $10^{- 3}$ près de la probabilité $p_{1}$ pour qu’une pièce prélevée au hasard soit conforme pour la longueur ?
$\quad$
Une pièce est dite conforme pour le diamètre si son diamètre est compris entre $5,88$ mm et $6,12$ mm. Le tableau donné ci-dessous a été obtenu à l’aide d’un tableur. Il indique pour chacune des valeurs de $k$, la probabilité que $Y$ soit inférieure ou égal à cette valeur.
Déterminer à $10^{- 3}$ près la probabilité $p_{2}$ pour qu’une pièce prélevée au hasard soit conforme pour le diamètre (on pourra s’aider du tableau ci-contre).
$$\begin{array}{|c|c|}\hline
k & p(Y \le k)\\
\hline
5,8 & 3,167~12\text{E}-05\\
\hline
5,82 & 0,000~159~109\\
\hline
5,84 & 0,000~687~138 \\
\hline
5,86 & 0,002~555~13 \\
\hline
5,88 & 0,008~197~536 \\
\hline
5,9 & 0,022~750~132 \\
\hline
5,92 & 0,054~799~292 \\
\hline
5,94 & 0,115~069~67 \\
\hline
5,96 & 0,211~855~399 \\
\hline
5,98 & 0,344~578~258 \\
\hline
6 & 0,5 \\
\hline
6,02 & 0,655~421~742 \\
\hline
6,04 & 0,788~144~601 \\
\hline
6,06 & 0,884~930~33 \\
\hline
6,08 & 0,945~200~708 \\
\hline
6,1 & 0,977~249~868 \\
\hline
6,12 & 0,991~802~464 \\
\hline
6,14 & 0,997~444~87 \\
\hline
6,16 & 0,999~312~862 \\
\hline
6,18 & 0,999~840~891 \\
\hline
6,2 & 0,999~968~329 \\
\hline
\end{array}$$
On prélève une pièce au hasard. On appelle $L$ l’événement “la pièce est conforme pour la longueur” et $D$ l’événement “la pièce est conforme pour le diamètre”. On suppose que les évènements $L$ et $D$ sont indépendants.
a. Une pièce est acceptée si elle est conforme pour la longueur et pour le diamètre.
Déterminer la probabilité pour qu’une pièce prélevée au hasard ne soit pas acceptée (le résultat sera arrondi à $10^{-2}$).
$\quad$
b. Justifier que la probabilité qu’elle soit conforme pour le diamètre sachant qu’elle n’est pas conforme pour la longueur, est égale à $p_{2}$.
$\quad$

Exercice 4 – 5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Les deux parties sont indépendantes

Le robot Tom doit emprunter un pont sans garde-corps de $10$ pas de long et de $2$ pas de large. Sa démarche est très particulière :

Soit il avance d’un pas tout droit ;
Soit il se déplace en diagonale vers la gauche (déplacement équivalent à un pas vers la gauche et un pas tout droit) ;
Soit il se déplace en diagonale vers la droite (déplacement équivalent à un pas vers la droite et un pas tout droit).

On suppose que ces trois types de déplacement sont aléatoires et équiprobables.
L’objectif de cet exercice est d’estimer la probabilité $p$ de l’événement $S$ “Tom traverse le pont” c’est-à-dire “Tom n’est pas tombé dans l’eau et se trouve encore sur le pont au bout de $10$ déplacements”.

Partie A : modélisation et simulation

On schématise le pont par un rectangle dans le plan muni d’un repère orthonormé $(O , I, J)$ comme l’indique la figure ci-dessous. On suppose que Tom se trouve au point de coordonnées $(0;0)$ au début de la traversée. On note $(x;y)$ les coordonnées de la position de Tom après $x$ déplacements.

On a écrit l’algorithme suivant qui simule la position de Tom au bout de $x$ déplacements :

$x, y, n$ sont des entiers
Affecter à $x$ la valeur $0$
Affecter à $y$ la valeur $0$
Tant que $y \ge – 1$ et $y \le 1$ et $x \le 9$
Affecter à $n$ une valeur choisie au hasard entre $- 1$, $0$ et $1$
$\quad$ Affecter à $y$ la valeur $y + n$
$\quad$ Affecter à $x$ la valeur $x + 1$
Fin tant que
Afficher “la position de Tom est” $(x;y)$

On donne les couples suivants : $(-1;1)$; $(10;0)$; $(2;4)$; $(10;2)$.
Lesquels ont pu être obtenus avec cet algorithme ? Justifier la réponse.
$\quad$
Modifier cet algorithme pour qu’à la place de “la position de Tom est $(x;y)$”, il affiche finalement “Tom a réussi la traversée” ou “Tom est tombé”.
$\quad$

Partie B

Pour tout $n$ entier naturel compris entre $0$ et $10$, on note :
$A_{n}$ l’événement “après $n$ déplacements, Tom se trouve sur un point d’ordonnée $- 1$”.
$B_{n}$ l’événement “après $n$ déplacements, Tom se trouve sur un point d’ordonnée $0$”.
$C_{n}$ l’événement “après $n$ déplacements, Tom se trouve sur un point d’ordonnée $1$”.
On note $a_{n}$, $b_{n}$, $c_{n}$ les probabilités respectives des événements $A_{n}$, $B_{n}$, $C_{n}$.

Justifier que $a_{0} = 0$, $b_{0} = 1$, $c_{0} = 0$.
$\quad$
Montrer que pour tout entier naturel $n$ compris entre $0$ et $9$, on a $$\begin{cases} a_{n+1} = \dfrac{a_{n} + b_{n}}{3}\\\\b_{n+1} = \dfrac{a_{n} + b_{n} + c_{n}}{3} \end{cases}.$$
On pourra s’aider d’un arbre pondéré.
$\quad$
Calculer les probabilités $p\left(A_{1}\right)$, $p\left(B_{1}\right)$ et $p\left(C_{1}\right)$.
$\quad$
Calculer la probabilité que Tom se trouve sur le pont au bout de deux déplacements.
$\quad$
À l’aide d’un tableur, on a obtenu la feuille de calcul ci-dessous qui donne des valeurs approchées de $a_{n}$, $b_{n}$, $c_{n}$ pour $n$ compris entre $0$ et $10$.
Donner une valeur approchée à $0,001$ près de la probabilité que Tom traverse le pont (on pourra s’aider du tableau ci-dessous).
$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
n & a_{n} & b_{n} & c_{n} \\
\hline
0 &0 &1 &0\\
\hline
1 & 0,333~333 & 0,333~333 & 0,333~333 \\
\hline
2 & 0,222~222 & 0,333~333 & 0,222~222 \\
\hline
3 & 0,185~185 & 0,259~259 & 0,185~185 \\
\hline
4 & 0,148~148 & 0,209~877 & 0,148~148 \\
\hline
5 & 0,119~342 & 0,168~724 & 0,119~342 \\
\hline
6 & 0,096~022 & 0,135~802 & 0,096~022 \\
\hline
7 & 0,077~275 & 0,109~282 & 0,077~275 \\
\hline
8 & 0,062~186 & 0,087~944 & 0,062~186 \\
\hline
9 & 0,050~043 & 0,070~772 & 0,050~043 \\
\hline
10 & 0,040~272 & 0,056~953 & 0,040~272\\
\hline
\end{array}$$

Exercice 4 – 5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

On considère l’algorithme suivant :

$A$ et $X$ sont des nombres entiers
Saisir un entier positif $A$
Affecter à $X$ la valeur de $A$
Tant que $X$ supérieur ou égal à $26$
$\quad$ Affecter à $X$ la valeur $X – 26$
Fin du tant que
Afficher $X$

Qu’affiche cet algorithme quand on saisit le nombre $3$ ?
$\quad$
Qu’affiche cet algorithme quand on saisit le nombre $55$ ?
$\quad$
Pour un nombre entier saisi quelconque, que représente le résultat fourni par cet algorithme?
$\quad$

Partie B

On veut coder un bloc de deux lettres selon la procédure suivante (détaillée en quatre étapes) :

Étape 1 : chaque lettre du bloc est remplacée par un entier en utilisant le tableau ci-dessous:
$$\begin{array}{l}
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
A &B &C &D &E &F &G &H &I& J &K &L &M\\\\
\hline
\phantom{1}0& \phantom{1}1 &\phantom{1}2 &\phantom{1}3 &\phantom{1}4 &\phantom{1}5 &\phantom{1}6 &\phantom{1}7 &\phantom{1}8 &\phantom{1}9 &10 &11 &12\\\\
\hline
\end{array} \\
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
N&O&P&Q&R&S&T&U&V&W&X&Y&Z\\\\
\hline
13&14&15&16&17&18&19&20&21&22&23&24&25\\\\ \hline
\end{array}\end{array}$$
On obtient une matrice colonne $\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}$ où $x_{1}$ correspond à la première lettre du mot et $x_{2}$ correspond à la deuxième lettre du mot.
Étape 2 : $\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}$ est transformé en $\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}$ tel que $$\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3&1\\5&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}$$
La matrice $C = \begin{pmatrix}3&1\\5&2\end{pmatrix}$ est appelée la matrice de codage.
Étape 3 : $\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}$ est transformé en $\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\end{pmatrix}$ tel que $$\begin{cases} z_{1} \equiv y_{1}\quad (26) \text{ avec } 0 &\le z_{1} \le 25\\\\ z_{2} \equiv y_{2}\quad (26) \text{ avec } 0 &\le z_{2}\le & 25 \end{cases}$$
Étape 4 : $\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\end{pmatrix}$ est transformé en un bloc de deux lettres en utilisant le tableau de correspondance donné dans l’étape 1.

Exemple
$RE \to \begin{pmatrix}17\\4\end{pmatrix}\to \begin{pmatrix}55\\93\end{pmatrix} \to \begin{pmatrix}3\\15\end{pmatrix}\to DP$
Le bloc $RE$ est donc codé en $DP$

Justifier le passage de $\begin{pmatrix}17\\4\end{pmatrix}$ à $\begin{pmatrix}55\\93\end{pmatrix}$ puis à $\begin{pmatrix}3\\15\end{pmatrix}$.

Soient $x_{1}$, $x_{2}$, $x’_{1}$, $x’_{2}$ quatre nombres entiers compris entre $0$ et $25$ tels que $\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix}x’_{1}\\x’_{2}\end{pmatrix}$ sont transformés lors du procédé de codage en $\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\end{pmatrix}$.
a. Montrer que $\begin{cases} 3x_{1}+ x_{2} \equiv 3x’_{1} + x’_{2} \quad (26)\\\\ 5x_{1}+ 2x_{2} \equiv 5x’_{1} + 2x’_{2} \quad (26)\end{cases}$
$\quad$
b. En déduire que $x_{1} \equiv x’_{1}\quad (26)$ et $x_{2} \equiv x’_{2} \quad (26)$ puis que $x_{1} = x’_{1}$ et $x_{2} = x’_{2}$.
$\quad$
On souhaite trouver une méthode de décodage pour le bloc $DP$ :
a. Vérifier que la matrice $C’ = \begin{pmatrix}2&- 1\\- 5&3\end{pmatrix}$ est la matrice inverse de $C$.
$\quad$
b. Calculer $\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}$ tels que $\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2&- 1\\- 5&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3\\15\end{pmatrix}$.
$\quad$
c. Calculer $\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}$ tels que $\begin{cases}x_{1} \equiv y_{1}\quad (26) \text{ avec } 0 \le x_{1} \le 25\\\\
x_{2} \equiv y_{2}\quad (26) \text{ avec } 0 \le x_{2} \le 25\\\\ \end{cases}$
$\quad$
c. Quel procédé général de décodage peut-on conjecturer ?
$\quad$
Dans cette question nous allons généraliser ce procédé de décodage.
On considère un bloc de deux lettres et on appelle $z_{1}$ et $z_{2}$ les deux entiers compris entre $0$ et $25$ associés à ces lettres à l’étape 3. On cherche à trouver deux entiers $x_{1}$ et $x_{2}$ compris entre $0$ et $25$ qui donnent la matrice colonne $\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\end{pmatrix}$ par les étapes 2 et 3 du procédé de codage.
Soient $y’_{1}$ et $y’_{2}$ tels que $\begin{pmatrix}y’_{1}\\y_{2}\end{pmatrix} = C’ \begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\end{pmatrix}$ où $C’ = \begin{pmatrix}2&- 1\\- 5&3\end{pmatrix}$.
Soient $x_{1}$ et $x_{2}$, les nombres entiers tels que $\begin{cases} x_{1} \equiv y’_{1} \quad (26) \text{ avec } 0 \le x_{1} \le 25\\\\
x_{2} \equiv y’_{2} \quad (26) \text{ avec } 0 \le x_{2} \le 25 \end{cases}$
Montrer que $\begin{cases} 3x_{1}+ x_{2} \equiv z_{1} \quad (26)\\\\
5x_{1}+ 2x_{2} \equiv z_{2} \quad (26) \end{cases}$.
Conclure.
$\quad$
Décoder QC.
$\quad$

Bac S – Métropole – Septembre 2013

Métropole – Septembre 2013

Bac S – Mathématiques

La correction de ce sujet de bac est disponible ici.

Exercice 1 – 6 points

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\R$. On note $\mathscr{C}$ sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère $\Oij$.

Partie A

Sur les graphiques ci-dessous, on a représenté la courbe $\mathscr{C}$ et trois autres courbes $\mathscr{C}_{1}$, $\mathscr{C}_{2}$, $\mathscr{C}_{3}$ avec la tangente en leur point d’abscisse $0$.

Donner par lecture graphique, le signe de $f(x)$ selon les valeurs de $x$.
$\quad$
On désigne par $F$ une primitive de la fonction $f$ sur $\R$.
a. À l’aide de la courbe $\mathscr{C}$, déterminer $F'(0)$ et $F'(- 2)$.
$\quad$
b. L’une des courbes $\mathscr{C}_{1}$, $\mathscr{C}_{2}$, $\mathscr{C}_{3}$ est la courbe représentative de la fonction $F$.
Déterminer laquelle en justifiant l’élimination des deux autres.
$\quad$

Partie B

Dans cette partie, on admet que la fonction $f$ évoquée dans la partie A est la fonction définie sur $\R$ par $$f(x) = (x + 2) \e^{\frac{1}{2}x}.$$

L’observation de la courbe $\mathscr{C}$ permet de conjecturer que la fonction $f$ admet un minimum.
a. Démontrer que pour tout réel $x$, $f'(x) = \dfrac{1}{2}(x + 4)\e^{\frac{1}{2}x}$.
$\quad$
b. En déduire une validation de la conjecture précédente.
$\quad$
On pose $I = \displaystyle\int_{0}^1 f(x)\mathrm{d}x$.
a. Interpréter géométriquement le réel $I$.
$\quad$
b. Soient $u$ et $v$ les fonctions définies sur $\R$ par $u(x) = x$ et $v(x) = \e^{\frac{1}{2}x}$.
Vérifier que $f = 2\left(u’v + uv’\right)$.
$\quad$
c. En déduire la valeur exacte de l’intégrale $I$.
$\quad$
On donne l’algorithme ci-dessous.
Variables :
$\quad$ $k$ et $n$ sont des nombres entiers naturels.
$\quad$ $s$ est un nombre réel.
Entrée :
$\quad$ Demander à l’utilisateur la valeur de $n$.
Initialisation :
$\quad$ Affecter à $s$ la valeur $0$.
Traitement :
$\quad$ Pour $k$ allant de $0$ à $n – 1$
$\qquad$ Affecter à $s$ la valeur $s + \dfrac{1}{n}f\left(\dfrac{k}{n}\right)$.
$\quad$ Fin de boucle.
Sortie :
$\quad$ Afficher $s$.
$\quad$
On note $s_{n}$ le nombre affiché par cet algorithme lorsque l’utilisateur entre un entier naturel strictement positif comme valeur de $n$.
a. Justifier que $s_{3}$ représente l’aire, exprimée en unités d’aire, du domaine hachuré sur le graphique ci-dessous où les trois rectangles ont la même largeur.

b. Que dire de la valeur de $s_{n}$ fournie par l’algorithme proposé lorsque $n$ devient grand ?
$\quad$

Exercice 2 – 4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.

Pour chaque question, trois réponses sont proposées et une seule d’entre elles est exacte.
Le candidat portera sur la copie le numéro de la question suivi de la réponse choisie et justifiera son choix.

Il est attribué un point par réponse correcte et convenablement justifiée. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte. Aucun point n’est enlevé en l’absence de réponse ou en cas de réponse fausse.

Pour les questions 1 et 2, l’espace est muni d’un repère orthonormé $\Oijk$.

La droite $\mathscr{D}$ est définie par la représentation paramétrique $\begin{cases} x = 5 – 2t\\\\y = 1 + 3t\\\\z = 4 \end{cases} \quad t \in \R.$

On note $\mathscr{P}$ le plan d’équation cartésienne $3x + 2y + z – 6 = 0$.
a. La droite $\mathscr{D}$ est perpendiculaire au plan $\mathscr{P}$.
$\quad$
b. La droite $\mathscr{D}$ est parallèle au plan $\mathscr{P}$.
$\quad$
c. La droite $\mathscr{D}$ est incluse dans le plan $\mathscr{P}$.
$\quad$
On note $\mathscr{D}’$ la droite qui passe par le point $A$ de coordonnées $(3;1;1)$ et a pour vecteur directeur $\vec{u} = 2\vec{i} – \vec{j} + 2\vec{k}$.
a. Les droites $\mathscr{D}$ et $\mathscr{D}’$ sont parallèles.
$\quad$
b. Les droites $\mathscr{D}$ et $\mathscr{D}’$ sont sécantes.
$\quad$
c. Les droites $\mathscr{D}$ et $\mathscr{D}’$ ne sont pas coplanaires.
$\quad$
Pour les questions 3 et 4, le plan est muni d’un repère orthonormé direct d’origine $O$.
$\quad$
Soit $\mathscr{E}$ l’ensemble des points $M$ d’affixe $z$ vérifiant $|z + \ic| = |z – \ic|$.
a. $\mathscr{E}$ est l’axe des abscisses.
$\quad$
b. $\mathscr{E}$ est l’axe des ordonnées.
$\quad$
c. $\mathscr{E}$ est le cercle ayant pour centre $O$ et pour rayon $1$.
$\quad$
On désigne par $B$ et $C$ deux points du plan dont les affixes respectives $b$ et $c$ vérifient l’égalité $\dfrac{c}{b} = \sqrt{2}\e^{\ic\frac{\pi}{4}}$.
a. Le triangle $OBC$ est isocèle en $O$.
$\quad$
b. Les points $O$, $B$, $C$ sont alignés.
$\quad$
c. Le triangle $OBC$ est isocèle et rectangle en $B$.
$\quad$

Exercice 3 – 5 points

Dans une usine, on utilise deux machines A et B pour fabriquer des pièces.

La machine A assure $40\%$ de la production et la machine B en assure $60\%$.
On estime que $10\%$ des pièces issues de la machine A ont un défaut et que $9\%$ des pièces issues de la machine B ont un défaut.
On choisit une pièce au hasard et on considère les événements suivants :
• $A$ : “La pièce est produite par la machine A”
• $B$ : “La pièce est produite par la machine B”
• $D$ : “La pièce a un défaut”
• $\overline{D}$, l’événement contraire de l’événement $D$.
a. Traduire la situation à l’aide d’un arbre pondéré.
$\quad$
b. Calculer la probabilité que la pièce choisie présente un défaut et ait été fabriquée par la machine A.
$\quad$
c. Démontrer que la probabilité $P(D)$ de l’événement $D$ est égale à $0,094$.
$\quad$
d. On constate que la pièce choisie a un défaut.
Quelle est la probabilité que cette pièce provienne de la machine A ?
$\quad$
On estime que la machine A est convenablement réglée si $90\%$ des pièces qu’elle fabrique sont conformes.
On décide de contrôler cette machine en examinant $n$ pièces choisies au hasard ($n$ entier naturel) dans la production de la machine A. On assimile ces $n$ tirages à des tirages successifs indépendants et avec remise.
On note $X_{n}$ le nombre de pièces qui sont conformes dans l’échantillon de $n$ pièces, et $F_{n} = \dfrac{X_{n}}{n}$ la proportion correspondante.
a. Justifier que la variable aléatoire $X_{n}$ suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
$\quad$
b. Dans cette question, on prend $n = 150$.
Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique $I$ au seuil de $95\%$ de la variable aléatoire $F_{150}$.
$\quad$
c. Un test qualité permet de dénombrer $21$ pièces non conformes sur un échantillon de $150$ pièces produites.
Cela remet-il en cause le réglage de la machine ? Justifier la réponse.
$\quad$

Exercice 4 – 5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie sur $\N$ par : $$u_{0} = 2\quad \text{et pour tout entier naturel } n, u_{n+1} = \dfrac{u_{n}+ 2}{2u_{n} + 1}.$$

On admet que pour tout entier naturel $n, u_{n} > 0$.

a. Calculer $u_{1}, u_{2}, u_{3}, u_{4}$. On pourra en donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près.
$\quad$
b. Vérifier que si $n$ est l’un des entiers 0, 1, 2, 3, 4 alors $u_{n} – 1$ a le même signe que $(- 1)^n$.
$\quad$
c. Établir que pour tout entier naturel $n, u_{n+ 1} – 1 = \dfrac{- u_{n} + 1}{ 2u_{n} + 1}$.
$\quad$
d. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_{n} – 1$ a le même signe que $(- 1)^n$
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_{n} = \dfrac{u_{n} – 1}{u_{n} + 1}$.
a. Établir que pour tout entier naturel $n, v_{n+1} = \dfrac{- u_{n} + 1}{3u_{n} + 3}$.
$\quad$
b. Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $- \dfrac{1}{3}$.
En déduire l’expression de $v_{n}$ en fonction de $n$.
$\quad$
c. On admet que pour tout entier naturel $n, u_{n} = \dfrac{1 + v_{n}}{1 – v_{n}}$.
Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ et déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
$\quad$

Exercice 4 – 5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment l’une de l’autre

Dans un village imaginaire isolé, une nouvelle maladie contagieuse mais non mortelle a fait son apparition.
Rapidement les scientifiques ont découvert qu’un individu pouvait être dans l’un des trois états suivants :

$S$ : “l’individu est sain, c’est-à-dire non malade et non infecté”,
$I$ : “l’individu est porteur sain, c’est-à-dire non malade mais infecté”,
$M$ : “l’individu est malade et infecté”.

Partie A

Les scientifiques estiment qu’un seul individu est à l’origine de la maladie sur les $100$ personnes que compte la population et que, d’une semaine à la suivante, un individu change d’état suivant le processus suivant :

parmi les individus sains, la proportion de ceux qui deviennent porteurs sains est égale à $\dfrac{1}{3}$ et la proportion de ceux qui deviennent malades est égale à $\dfrac{1}{3}$,
parmi les individus porteurs sains, la proportion de ceux qui deviennent malades est égale à $\dfrac{1}{2}$.

La situation peut être représentée par un graphe probabiliste comme ci-dessous.

On note $P_{n} = \begin{pmatrix} s_{n}& i_{n}& m_{n} \end{pmatrix}$ la matrice ligne donnant l’état probabiliste au bout de $n$ semaines où $s_{n}, i_{n}$ et $m_{n}$désignent respectivement la probabilité que l’individu soit sain, porteur sain ou malade la $n$-ième semaine.

On a alors $P_{0} = \begin{pmatrix} 0,99& 0& 0,01\end{pmatrix}$ et pour tout entier naturel $n$, $$\begin{cases} s_{n+1} =\dfrac{1}{3}s_{n}\\\\ i_{n+1} = \dfrac{1}{3}s_{n} + \dfrac{1}{2}i_{n}\\\\ m_{n+1} = \dfrac{1}{3}s_{n} + \dfrac{1}{2}i_{n} + m_{n} \end{cases}$$

Écrire la matrice $A$ appelée matrice de transition, telle que pour tout entier naturel $n$, $P_{n+1} = P_{n} \times A$.
$\quad$
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ non nul, $P_{n} = P_{0} \times A^n$.
$\quad$
Déterminer l’état probabiliste $P_{4}$ au bout de quatre semaines. On pourra arrondir les valeurs à $10^{- 2}$.
Quelle est la probabilité qu’un individu soit sain au bout de quatre semaines ?
$\quad$

Partie B

La maladie n’évolue en réalité pas selon le modèle précédent puisqu’au bout de 4 semaines de recherche, les scientifiques découvrent un vaccin qui permet d’enrayer l’endémie et traitent immédiatement l’ensemble de la population.
L’évolution hebdomadaire de la maladie après vaccination est donnée par la matrice de transition :$$B = \begin{pmatrix} \dfrac{5}{12} & \dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{3} \\\\ \dfrac{5}{12} & \dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{3} \\\\ \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{3} \end{pmatrix}. $$

On note $Q_{n}$ la matrice ligne donnant l’état probabiliste au bout de $n$ semaines après la mise en place de ces nouvelles mesures de vaccination. Ainsi, $Q_{n} = \begin{pmatrix} S_{n}& I_{n}& M_{n}\end{pmatrix}$ où $S_{n}$, $I_{n}$ et $M_{n}$ désignent respectivement la probabilité que l’individu soit sain, porteur sain et malade la $n$-ième semaine après la vaccination.
Pour tout entier naturel $n$, on a alors $Q_{n+1} = Q_{n} \times B$.
D’après la partie A, $Q_{0} = P_{4}$. Pour la suite, on prend $Q_{0} = \begin{pmatrix} 0,01& 0,10& 0,89\end{pmatrix}$ où les coefficients ont été arrondis à $10^{–2}$.

Exprimer $S_{n+1}, I_{n+1}$ et $M_{n+1}$ en fonction de $S_{n}$, $I_{n}$ et $M_{n}$.
$\quad$
Déterminer la constante réelle $k$ telle que $B^2 = kJ$ où $J$ est la matrice carrée d’ordre $3$ dont tous les coefficients sont égaux à $1$.
On en déduit que pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 2, $B^n = B^2$.
$\quad$
a. Démontrer que pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 2, $Q_{n} = \begin{pmatrix} \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{3}\end{pmatrix}$.
$\quad$
b. Interpréter ce résultat en terme d’évolution de la maladie.
Peut-on espérer éradiquer la maladie grâce au vaccin ?
$\quad$

Bac S – Métropole – Juin 2013

Métropole – Juin 2013

Bac S – Mathématiques

La correction de ce sujet de bac est disponible ici.

Exercice 1 – 4 points

Une jardinerie vend de jeunes plants d’arbres qui proviennent de trois horticulteurs : $35\%$ des plants proviennent de l’horticulteur $H_1$, $25\%$ de l’horticulteur $H_2$ et le reste de l’horticulteur $H_3$. Chaque horticulteur livre deux catégories d’arbres : des conifères et des arbres à feuilles.

La livraison de l’horticulteur $H_1$ comporte $80\%$ de conifères alors que celle de l’horticulteur $H_2$ n’en comporte que $50\%$ et celle de l’horticulteur $H_3$ seulement $30\%$.

Le gérant de la jardinerie choisit un arbre au hasard dans son stock.
On envisage les événements suivants :
• $H_1$ : “l’arbre choisi a été acheté chez l’horticulteur $H_1$”,
• $H_2$ : “l’arbre choisi a été acheté chez l’horticulteur $H_2$”,
• $H_3$ : “l’arbre choisi a été acheté chez l’horticulteur $H_3$”,
• $C$ : “l’arbre choisi est un conifère”,
• $F$ : “l’arbre choisi est un arbre feuillu”.
a. Construire un arbre pondéré traduisant la situation.
$\quad$
b. Calculer la probabilité que l’arbre choisi soit un conifère acheté chez l’horticulteur $H_3$.
$\quad$
c. Justifier que la probabilité de l’événement $C$ est égale à $0,525$.
$\quad$
d. L’arbre choisi est un conifère.
Quelle est la probabilité qu’il ait été acheté chez l’horticulteur $H_1$ ? On arrondira à $10^{-3}$.
$\quad$
On choisit au hasard un échantillon de $10$ arbres dans le stock de cette jardinerie. On suppose que ce stock est suffisamment important pour que ce choix puisse être assimilé à un tirage avec remise de $10$ arbres dans le stock.
On appelle $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de conifères de l’échantillon choisi.
a. Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
$\quad$
b. Quelle est la probabilité que l’échantillon prélevé comporte exactement $5$ conifères?
On arrondira à $10^{-3}$.
$\quad$
c. Quelle est la probabilité que cet échantillon comporte au moins deux arbres feuillus ?
On arrondira à $10^{-3}$.
$\quad$

Exercice 2 – 7 points

Sur le graphique ci-dessous, on a tracé, dans le plan muni d’un repère orthonormé $\Oij$, la courbe représentative $\mathscr{C}$ d’une fonction $f$ définie et dérivable sur l’intervalle $] 0;+ \infty[$.

On dispose des informations suivantes :

les points $A$, $B$, $C$ ont pour coordonnées respectives $(1;0)$, $(1;2)$, $(0;2)$ ;
la courbe $\mathscr{C}$ passe par le point $B$ et la droite $(BC)$ est tangente à $\mathscr{C}$ en $B$ ;
il existe deux réels positifs $a$ et $b$ tels que pour tout réel strictement positif $x$, $$f(x) = \dfrac{a + b\ln x}{x}.$$

a. En utilisant le graphique, donner les valeurs de $f(1)$ et $f'(1)$.
$\quad$
b. Vérifier que pour tout réel strictement positif $x$, $f'(x) = \dfrac{(b – a) – b \ln x}{x^2}$.
$\quad$
c. En déduire les réels $a$ et $b$.
$\quad$
a. Justifier que pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $]0;+\infty[$, $f'(x)$ a le même signe que $- \ln x$.
$\quad$
b. Déterminer les limites de $f$ en 0 et en $+ \infty$. On pourra remarquer que pour tout réel $x$ strictement positif, $f(x) = \dfrac{2}{x} + 2\dfrac{\ln x}{x}$.
$\quad$
c. En déduire le tableau de variations de la fonction $f$.
$\quad$
a. Démontrer que l’équation $f(x) = 1$ admet une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $]0;1]$.
$\quad$
b. Par un raisonnement analogue, on démontre qu’il existe un unique réel $\beta$ de l’intervalle $]1;+ \infty[$ tel que $f(\beta) = 1$.
Déterminer l’entier $n$ tel que $n < \beta < n + 1$.
$\quad$
On donne l’algorithme ci-dessous.
Variables :
$\quad$ $a, b$ et $m$ sont des nombres réels.
Initialisation :
$\quad$ Affecter à $a$ la valeur $0$.
$\quad$ Affecter à $b$ la valeur $1$.
Traitement :
$\quad$ Tant que $b – a > 0,1$
$\qquad$ Affecter à $m$ la valeur $\dfrac{1}{2}(a + b)$.
$\qquad$ Si $f(m) < 1$ alors Affecter à $a$ la valeur $m$.
$\qquad$ Sinon Affecter à $b$ la valeur $m$.
$\qquad$ Fin de Si.
$\quad$ Fin de Tant que.
Sortie :
$\quad$ Afficher $a$.
$\quad$ Afficher $b$.
$\quad$
a. Faire tourner cet algorithme en complétant le tableau ci-dessous que l’on recopiera sur la copie.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
&\text{étape } 1 &\text{étape } 2 &\text{étape } 3 &\text{étape } 4 &\text{étape } 5 \\
\hline
a & 0 & & & & \\
\hline
b & 1 & & & & \\
\hline
b – a& & & & & \\
\hline
m & & & & & \\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
b. Que représentent les valeurs affichées par cet algorithme ?
$\quad$
c. Modifier l’algorithme ci-dessus pour qu’il affiche les deux bornes d’un encadrement de $\beta$ d’amplitude $10^{-1}$.
$\quad$
Le but de cette question est de démontrer que la courbe $\mathscr{C}$ partage le rectangle $OABC$ en deux domaines d’aires égales.
a. Justifier que cela revient à démontrer que $\displaystyle\int_{\frac{1}{\e}}^1 f(x)\mathrm{d}x = 1$.
$\quad$
b. En remarquant que l’expression de $f(x)$ peut s’écrire $\dfrac{2}{x} + 2 \times \dfrac{1}{x} \times \ln x$, terminer la démonstration.
$\quad$

Exercice 3 – 4 points

Pour chacune des quatre propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie.
Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte. Une absence de réponse n’est pas pénalisée.

Proposition 1 : Dans le plan muni d’un repère orthonormé, l’ensemble des points $M$ dont l’affixe $z$ vérifie l’égalité $|z – \ic| = |z + 1|$ est une droite.
$\quad$
Proposition 2 : Le nombre complexe $\left(1 + \ic\sqrt{3}\right)^4$ est un nombre réel.
$\quad$
Soit $ABCDEFGH$ un cube.

Proposition 3 : Les droites $(EC)$ et $(BG)$ sont orthogonales.
$\quad$
L’espace est muni d’un repère orthonormé $\Oijk$. Soit le plan $\mathscr{P}$ d’équation cartésienne $x + y + 3z + 4 = 0$. On note $S$ le point de coordonnées $(1;-2;- 2)$.
Proposition 4 : La droite qui passe par $S$ et qui est perpendiculaire au plan $\mathscr{P}$ a pour représentation paramétrique $\begin{cases} x =2 + t\\\\y = – 1 + t\\\\ z = 1 + 3t \end{cases}$, $\quad t \in \textbf{R}$.
$\quad$

Exercice 4 – 5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Soit la suite numérique $\left(u_{n}\right)$ définie sur $\N$ par : $$u_{0} = 2 \quad \text{et pour tout entier naturel } n, u_{n+1} = \dfrac{2}{3}u_n + \dfrac{1}{3}n + 1.$$

a. Calculer $u_{1}, u_{2}, u_{3}$ et $u_{4}$. On pourra en donner des valeurs approchées à $10^{- 2}$ près.
$\quad$
b. Formuler une conjecture sur le sens de variation de cette suite.
$\quad$
a. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $$u_{n} \le n + 3.$$
$\quad$
b. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $$u_{n+1} – u_{n} = \dfrac{1}{3} \left(n + 3 – u_{n}\right).$$
$\quad$
c. En déduire une validation de la conjecture précédente.
$\quad$
On désigne par $\left(v_{n}\right)$ la suite définie sur $\N$ par $v_{n} = u_{n} – n$.
a. Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{2}{3}$.
$\quad$
b. En déduire que pour tout entier naturel $n$, $$u_{n} = 2\left(\dfrac{2}{3} \right)^n + n$$
$\quad$
c. Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
$\quad$
Pour tout entier naturel non nul $n$, on pose: $$S_{n} = \sum_{k=0}^n u_{k} = u_{0} + u_{1} + \ldots + u_{n}\quad \text{et} \quad T_{n} = \dfrac{S_{n}}{n^2}.$$
a. Exprimer $S_{n}$ en fonction de $n$.
$\quad$
b. Déterminer la limite de la suite $\left(T_{n}\right)$.
$\quad$

Exercice 4 – 5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

On étudie la population d’une région imaginaire. Le $1^{\text{er}}$ janvier 2013, cette région comptait $250~000$ habitants dont $70\%$ résidaient à la campagne et $30\%$ en ville.
L’examen des données statistiques recueillies au cours de plusieurs années amène à choisir de modéliser l’évolution de la population pour les années à venir de la façon suivante :

l’effectif de la population est globalement constant,
chaque année, $5\%$ de ceux qui résident en ville décident d’aller s’installer à la campagne et $1\%$ de ceux qui résident à la campagne choisissent d’aller habiter en ville.

Pour tout entier naturel $n$, on note $v_{n}$ le nombre d’habitants de cette région qui résident en ville au $1^{\text{er}}$ janvier de l’année $(2013 + n)$ et $c_{n}$ le nombre de ceux qui habitent à la campagne à la même date.

Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_{n+1}$ et $c_{n+1}$ en fonction de $v_{n}$ et $c_{n}$.
$\quad$
Soit la matrice $A = \begin{pmatrix}0,95&0,01\\0,05& 0,99\end{pmatrix}$.
On pose $X = \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$ où $a, b$ sont deux réels fixés et $Y = AX$.
Déterminer, en fonction de $a$ et $b$, les réels $c$ et $d$ tels que $Y = \begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix}$.
$\quad$
Les résultats précédents permettent d’écrire que pour tout entier naturel $n$, $X_{n+1} = AX_{n}$ où $X_{n} = \begin{pmatrix}v_{n}\\c_{n}\end{pmatrix}$. On peut donc en déduire que pour tout entier naturel $n$, $X_{n} = A^n X_{0}$.
$\quad$
Soient les matrices $P = \begin{pmatrix}1&- 1\\5&1\end{pmatrix}$ et $Q = \begin{pmatrix}1&1\\- 5&1\end{pmatrix}$.
a. Calculer $PQ$ et $QP$. En déduire la matrice $P^{-1}$ en fonction de $Q$.
$\quad$
b. Vérifier que la matrice $P^{-1}AP$ est une matrice diagonale $D$ que l’on précisera.
$\quad$
c. Démontrer que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1$, $A^n = P D^n P^{- 1}$.
$\quad$
Les résultats des questions précédentes permettent d’établir que
$$v_{n} = \dfrac{1}{6}\left(1 + 5 \times 0,94^n\right)v_{0} + \dfrac{1}{6}\left(1 – 0,94^n\right)c_{0}.$$
Quelles informations peut-on en déduire pour la répartition de la population de cette région à long terme ?
$\quad$

Bac S – Antilles Guyane – Juin 2013

Antilles Guyane – Juin 2013

Bac S – Mathématiques – Correction

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Exercice 1 – 5 points

Description de la figure dans l’espace muni du repère orthonormé $\left(A;\vec{AB};\vec{AD};\vec{AE}\right)$:
$ABCDEFGH$ désigne un cube de côté $1$.
On appelle $\mathscr{P}$ le plan $(AFH)$.
Le point $I$ est le milieu du segment $[AE]$, le point $J$ est le milieu du segment $[BC]$, le point $K$ est le milieu du segment $[HF]$, le point $L$ est le point d’intersection de la droite $(EC)$ et du plan $\mathscr{P}$.

Ceci est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des questions, une seule des quatre affirmations est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte un point, une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte aucun point.

a. Les droites $(IJ)$ et $(EC)$ sont strictement parallèles.
$\quad$
b. Les droites $(IJ)$ et $(EC)$ sont non coplanaires.
$\quad$
c. Les droites $(IJ)$ et $(EC)$ sont sécantes.
$\quad$
d. Les droites $(IJ)$ et $(EC)$ sont confondues.
$\quad$
a. Le produit scalaire $\vec{AF}\cdot\vec{BG}$ est égal à $0$.
$\quad$
b. Le produit scalaire $\vec{AF}\cdot\vec{BG}$ est égal à $(-1)$.
$\quad$
c. Le produit scalaire $\vec{AF}\cdot\vec{BG}$ est égal à $1$.
$\quad$
d. Le produit scalaire $\vec{AF}\cdot\vec{BG}$ est égal à $2$.
$\quad$
Dans le repère orthonormé $\left(A;\vec{AB};\vec{AD};\vec{AE}\right)$:
a. Le plan $\mathscr{P}$ a pour équation cartésienne : $x + y + z – 1=0$.
$\quad$
b. Le plan $\mathscr{P}$ a pour équation cartésienne : $x- y + z=0$.
$\quad$
c. Le plan $\mathscr{P}$ a pour équation cartésienne : $- x + y + z=0$.
$\quad$
d. Le plan $\mathscr{P}$ a pour équation cartésienne : $x + y – z = 0$.
$\quad$
a. $\vec{EG}$ est un vecteur normal au plan $\mathscr{P}$.
$\quad$
b. $\vec{EL}$ est un vecteur normal au plan $\mathscr{P}$.
$\quad$
c. $\vec{IJ}$ est un vecteur normal au plan $\mathscr{P}$.
$\quad$
d. $\vec{DI}$ est un vecteur normal au plan $\mathscr{P}$.
$\quad$
a. $\vec{AL}=\dfrac{1}{2}\vec{AH} + \dfrac{1}{2}\vec{AF}$.
$\quad$
b. $\vec{AL}=\dfrac{1}{3}\vec{AK}$.
$\quad$
c. $\vec{ID}=\dfrac{1}{2}\vec{IJ}$.
$\quad$
d. $\vec{AL}=\dfrac{1}{3}\vec{AB}+\dfrac{1}{3}\vec{AD}+\dfrac{2}{3}\vec{AE}$.
$\quad$

Exercice 2 – 5 points

Partie A

Soient $n$ un entier naturel, $p$ un nombre réel compris entre $0$ et $1$, et $X_n$ une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$. On note $F_n = \dfrac{X_n}{n}$ et $f$ une valeur prise par $F_n$. On rappelle que, pour $n$ assez grand, l’intervalle $\left[p-\dfrac{1}{\sqrt{n}};p+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$ contient la fréquence $f$ avec une probabilité au moins égale à $0,95$.

En déduire que l’intervalle $\left[f – \dfrac{1}{\sqrt{n}};f + \dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$ contient $p$ avec une probabilité au moins égale à $0,95$.

Partie B

On cherche à étudier le nombre d’étudiants connaissant la signification du sigle URSSAF. Pour cela, on les interroge en proposant un questionnaire à choix multiples. Chaque étudiant doit choisir parmi trois réponses possibles, notées $A$, $B$ et $C$, la bonne réponse étant la $A$.
On note $r$ la probabilité pour qu’un étudiant connaisse la bonne réponse. Tout étudiant connaissant la bonne réponse répond $A$, sinon il répond au hasard (de façon équiprobable).

On interroge un étudiant au hasard. On note:
• $A$ l’événement “l’étudiant répond $A$”,
• $B$ l’événement “l’étudiant répond $B$”,
• $C$ l’événement “l’étudiant répond $C$”,
• $R$ l’événement “l’étudiant connait la réponse”,
• $\overline{R}$ l’événement contraire de $R$.
a. Traduire cette situation à l’aide d’un arbre de probabilité.
$\quad$
b. Montrer que la probabilité de l’événement $A$ est $P(A)=\dfrac{1}{3}\left(1+2r\right)$.
$\quad$
c. Exprimer en fonction de $r$ la probabilité qu’une personne ayant choisie $A$ connaisse la bonne réponse.
$\quad$
Pour estimer $r$, on interroge $400$ personnes et on note $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de bonnes réponses. On admettra qu’interroger au hasard $400$ étudiants revient à effectuer un tirage avec remise de $400$ étudiants dans l’ensemble de tous les étudiants.
a. Donner la loi de $X$ et ses paramètres $n$ et $p$ en fonction de $r$.
$\quad$
b. Dans un premier sondage, on constate que $240$ étudiants répondent $A$, parmi les $400$ interrogés.
Donner un intervalle de confiance au seuil de $95\%$ de l’estimation de $p$.
En déduire un intervalle de confiance au seuil de $95\%$ de $r$.
$\quad$
c. Dans la suite, on suppose que $r = 0,4$. Compte-tenu du grand nombre d’étudiants, on considérera que $X$ suit une loi normale.
$\quad$ i. Donner les paramètres de cette loi normale.
$\quad$
$\quad$ ii. Donner une valeur approchée de $P(X\le 250)$ à $10^{-2}$ près.
On pourra s’aider de la table en annexe 1, qui donne une valeur approchée de $P(X\le t)$ où $X$ est la variable aléatoire de la question 2. c.
$\quad$

Annexe 1

Exemple d’utilisation: au croisement de la ligne 12 et de la colonne E le nombre $0,706$ correspond à $P(X\le 245,3)$.

Exercice 3 – 5 points

Dans tout ce qui suit, $m$ désigne un nombre réel quelconque.

Partie A

Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur l’ensemble des nombres réels $\R$ telle que:
$$f(x) = (x + 1)\e^x.$$

Calculer la limite de $f$ en $+ \infty$ et $- \infty$.
$\quad$
On note $f’$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur $\R$.
Démontrer que pour tout réel $x$, $f'(x) = (x + 2)\e^x$.
$\quad$
Dresser le tableau de variation de $f$ sur $\R$.
$\quad$

Partie B

On définie la fonction $g_m$ sur $\R$ par: $$g_m(x)=x+1-m\e^{-x}$$ et on note $\mathscr{C}_m$ la courbe de la fonction $g_m$ dans un repère $\Oij$ du plan.

a. Démontrer que $g_m(x) = 0$ si et seulement si $f(x)=m$.
$\quad$
b. Déduire de la partie $A$, sans justification, le nombre de points d’intersection de la courbe $\mathscr{C}_m$ avec l’axe des abscisses en fonction du réel $m$.
$\quad$
On a représenté en annexe 2 les courbes $\mathscr{C}_0$, $\mathscr{C}_{\e}$, et $\mathscr{C}_{-\e}$ (obtenues en prenant respectivement pour $m$ les valeurs 0, $\e$ et $-\e$).
Identifier chacune de ces courbes sur la figure de l’annexe en justifiant.
$\quad$
Étudier la position de la courbe $\mathscr{C}_m$ par rapport à la droite $\mathscr{D}$ d’équation $y=x+1$ suivant les valeurs du réel $m$.
$\quad$
a. On appelle $D_2$ la partie du plan comprise entre les courbes $\mathscr{C}_{\e}$, $\mathscr{C}_{-\e}$, l’axe $(Oy)$ et la droite $x = 2$. Hachurer $D_2$ sur l’annexe 2.
$\quad$
b. Dans cette question, $a$ désigne un réel positif, $D_a$ la partie du plan comprise entre $\mathscr{C}_{\e}$, $\mathscr{C}_{-\e}$, l’axe $(Oy)$ et la droite $\Delta_a$ d’équation $x=a$. On désigne par $\mathscr{A}(a)$ l’aire de cette partie du plan, exprimée en unités d’aire.
Démontrer que pour tout réel $a$ positif: $\mathscr{A}(a)=2\e-2\e^{1-a}$.
En déduire la limite de $\mathscr{A}(a)$ quand $a$ tend vers $+ \infty$.
$\quad$

Annexe 2

Exercice 4 – 5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

On définit les suite $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ sur l’ensemble $\N$ des entiers naturels par:
$$ u_0=0~;~v_0=1~,~\text{et}~ \begin{cases} u_{n+1} = \dfrac{u_n+v_n}{2}\\\\ v_{n+1} = \dfrac{u_n+2v_n}{3} \end{cases}$$

Le but de cet exercice est d’étudier la convergence des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$.

Calculer $u_1$ et $v_1$.
$\quad$
On considère l’algorithme suivant:
Variables :
$\quad$ $u$, $v$ et $w$ des nombres réels
$\quad$ $N$ et $k$ des nombres entiers
Initialisation :
$\quad$ $u$ prend la valeur $0$
$\quad$ $v$ prend la valeur $1$
Début de l’algorithme
$\quad$ Entrer la valeur de $N$
$\quad$ Pour $k$ variant de $1$ à $N$
$\qquad$ $w$ prend la valeur $u$
$\quad$ $u$ prend la valeur $\dfrac{w+v}{2}$
$\quad$ $v$ prend la valeur $\dfrac{w+2v}{3}$
$\quad$ Fin du Pour
$\quad$ Afficher $u$
$\quad$ Afficher $v$
Fin de l’algorithme
a. On exécute cet algorithme en saisissant $N=2$. Recopier et compléter le tableau donné ci-dessous contenant l’état des variables au cours de l’exécution de l’algorithme.
$$ \begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
k & w & u & v \\\\
\hline
1 & & & \\\\
\hline
2 & & & \\\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
b. Pour un nombre $N$ donné, à quoi correspondent les valeurs affichées par l’algorithme par rapport à la situation étudiée dans cet exercice?
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ on définit le vecteur colonne $X_n$ par $X_n=\begin{pmatrix} u_n\\v_n \end{pmatrix}$ et la matrice $A$ par $A=\begin{pmatrix} \dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{2}\\\\\dfrac{1}{3}&\dfrac{2}{3} \end{pmatrix}$.
a. Vérifier que, pour tout entier naturel $n$, $X_{n+1}= AX_n$.
$\quad$
b. Démontrer par récurrence que $X_n = A^nX_0$ pour tout entier naturel $n$.
$\quad$
On définit les matrices $P$, $P’$ et $B$ par $P = \begin{pmatrix} \dfrac{4}{5}&\dfrac{6}{5}\\-\dfrac{6}{5}&\dfrac{6}{5} \end{pmatrix}$, $P’=\begin{pmatrix} \dfrac{1}{2}&-\dfrac{1}{2}\\\\ \dfrac{1}{2}& \dfrac{1}{3} \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} 1&0\\\\0&\dfrac{1}{6}
\end{pmatrix}$.
a. Calculer le produit $PP’$.
On admet que $P’BP=A$.
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $A^n=P’B^nP$.
$\quad$
b. On admet que pour tout entier naturel $n$, $B^n=\begin{pmatrix} 1&0\\\\0&\left(\dfrac{1}{6}\right)^n \end{pmatrix}$.
En déduire l’expression de la matrice $A^n$ en fonction de $n$.
$\quad$
a. Montrer que $X_n=\begin{pmatrix} \dfrac35-\dfrac{3}{5}\left(\dfrac{1}{6}\right)^n\\\\ \dfrac{3}{5}+\dfrac{2}{5}\left(\dfrac{1}{6}\right)^n \end{pmatrix}$ pour tout entier naturel $n$.
En déduire les expressions de $u_n$ et $v_n$ en fonction de $n$.
$\quad$
b. Déterminer alors les limites des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$.
$\quad$

Exercice 4 – 5 points

Commun n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

On considère la suite $(z_n)$ à termes complexes définie par $z_0 = 1 + \ic$ et, pour tout entier naturel $n$, par $$z_{n+1} = \dfrac{z_n + \left|z_n\right|}{3}.$$
Pour tout entier naturel $n$, on pose: $z_n=a_n + \ic b_n$, où $a_n$ est la partie réelle de $z_n$ et $b_n$ est la partie imaginaire de $z_n$.

Le but de cet exercice est d’étudier la convergence des suites $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$.

Partie A

Donner $a_0$ et $b_0$.
$\quad$
Calculer $z_1$, puis en déduire que $a_1=\dfrac{1 + \sqrt{2}}{3}$ et $b_1 = \dfrac{1}{3}$.
$\quad$
On considère l’algorithme suivant:
Variables :
$\quad$ $A$ et $B$ des nombres réels
$\quad$ $K$ et $N$ des nombres entiers
Initialisation :
$\quad$ Affecter à $A$ la valeur $1$
$\quad$ Affecter à $B$ la valeur $1$
Traitement :
$\quad$ Entrer la valeur de N
$\quad$ Pour $K$ variant de $1$ à $N$
$\quad$ Affecter à $A$ la valeur $\dfrac{A+\sqrt{A^2+B^2}}{3}$
$\quad$ Affecter à $B$ la valeur $\dfrac{B}{3}$
$\quad$ FinPour
$\quad$ Afficher A
a. On exécute cet algorithme en saisissant $N=2$. Recopier et compléter le tableau ci-dessous contenant l’état des variables au cours de l’exécution de l’algorithme (on arrondira les valeurs calculées à $10^{-4}$ près).
$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
K & A & B \\\\
\hline
1& & \\\\
\hline
2& & \\\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
b. Pour un nombre $N$ donné, à quoi correspond la valeur affichée par l’algorithme par rapport à la situation étudiée dans cet exercice?
$\quad$

Partie B

Pour tout entier naturel $n$, exprimer $z_{n+1}$ en fonction de $a_n$ et $b_n$.
En déduire l’expression de $a_{n+1}$ en fonction de $a_n$ et $b_n$, et l’expression de $b_{n+1}$ en fonction de $a_n$ et $b_n$.
$\quad$
Quelle est la nature de la suite $\left(b_n \right)$? En déduire l’expression de $b_n$ en fonction de $n$, et déterminer la limite de $\left(b_n \right)$.
$\quad$
a. On rappelle que pour tous nombres complexes $z$ et $z’$: $$ \left|z + z’\right|\le \left|z\right|+\left|z’\right|\qquad\text{(inégalité triangulaire)}. $$
Montrer que pour tout entier naturel $n$, $$\left|z_{n+1}\right|\le \dfrac{2\left| z_n \right|}{3}. $$
$\quad$
b. Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n=\left|z_n\right|$.
Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $$ u_n\le \left(\dfrac{2}{3}\right)^n\sqrt{2}.$$
En déduire que la suite $\left(u_n \right)$ converge vers une limite que l’on déterminera.
$\quad$
b. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $\left|a_n\right|\le u_n$. En déduire que la suite $\left(a_n \right)$ converge vers une limite que l’on déterminera.
$\quad$

Bac S – Asie – Juin 2013

Asie – Juin 2013

Bac S – Mathématiques

La correction de ce sujet de bac est disponible ici.

Exercice 1 – 5 points

Dans cet exercice, les probabilités seront arrondies au centième.

Partie A

Un grossiste achète des boîtes de thé vert chez deux fournisseurs. Il achète $80\%$ de ses boîtes chez le fournisseur A et $20\%$ chez le fournisseur B.

$10\%$ des boîtes provenant du fournisseur A présentent des traces de pesticides et $20\%$ de celles provenant du fournisseur B présentent aussi des traces de pesticides.
On prélève au hasard une boîte du stock du grossiste et on considère les événements suivants :

événement $A$ : “la boîte provient du fournisseur A” ;
événement $B$ : “la boîte provient du fournisseur B” ;
événement $S$ : “la boîte présente des traces de pesticides”.

Traduire l’énoncé sous forme d’un arbre pondéré.
$\quad$
a. Quelle est la probabilité de l’événement $B \cap \overline{S}$ ?
$\quad$
b. Justifier que la probabilité que la boîte prélevée ne présente aucune trace de pesticides est égale à $0,88$.
$\quad$
On constate que la boîte prélevée présente des traces de pesticides.
Quelle est la probabilité que cette boîte provienne du fournisseur B ?
$\quad$

Partie B

Le gérant d’un salon de thé achète $10$~boîtes chez le grossiste précédent. On suppose que le stock de ce dernier est suffisamment important pour modéliser cette situation par un tirage aléatoire de $10$ boîtes avec remise.
On considère la variable aléatoire $X$ qui associe à ce prélèvement de $10$ boîtes, le nombre de boîtes sans trace de pesticides.

Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
$\quad$
Calculer la probabilité que les $10$ boîtes soient sans trace de pesticides.
$\quad$
Calculer la probabilité qu’au moins $8$ boîtes ne présentent aucune trace de pesticides.
$\quad$

Partie C

À des fins publicitaires, le grossiste affiche sur ses plaquettes: “$88\%$ de notre thé est garanti sans trace de pesticides”.
Un inspecteur de la brigade de répression des fraudes souhaite étudier la validité de l’affirmation. À cette fin, il prélève $50$ boîtes au hasard dans le stock du grossiste et en trouve $12$ avec des traces de pesticides.

On suppose que, dans le stock du grossiste, la proportion de boîtes sans trace de pesticides est bien égale à $0,88$.
On note $F$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de $50$ boîtes, associe la fréquence des boîtes ne contenant aucune trace de pesticides.

Donner l’intervalle de fluctuation asymptotique de la variable aléatoire $F$ au seuil de $95\%$.
$\quad$
L’inspecteur de la brigade de répression peut-il décider, au seuil de $95\%$, que la publicité est mensongère ?
$\quad$

Exercice 2 – 6 points

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies pour tout réel $x$ par : $$f(x) = \e^x \quad \text{et}\quad g(x) = 1 – \e^{- x}.$$
Les courbes représentatives de ces fonctions dans un repère orthogonal du plan, notées respectivement $\mathscr{C}_{f}$ et $\mathscr{C}_{g}$, sont fournies en annexe.

Partie A

Ces courbes semblent admettre deux tangentes communes. Tracer aux mieux ces tangentes sur la figure de l’annexe.

Partie B

Dans cette partie, on admet l’existence de ces tangentes communes.
On note $\mathscr{D}$ l’une d’entre elles. Cette droite est tangente à la courbe $\mathscr{C}_{f}$ au point $A$ d’abscisse $a$ et tangente à la courbe $\mathscr{C}_{g}$ au point $B$ d’abscisse $b$.

a. Exprimer en fonction de $a$ le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathscr{C}_{f}$ au point $A$.
$\quad$
b. Exprimer en fonction de $b$ le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathscr{C}_{g}$ au point $B$.
$\quad$
c. En déduire que $b = – a$.
$\quad$
Démontrer que le réel $a$ est solution de l’équation $$2( x – 1)\e^x + 1 = 0.$$
$\quad$

Partie C

On considère la fonction $\varphi$ définie sur $\R$ par $$\varphi(x) = 2(x -1)\e^x + 1.$$

a. Calculer les limites de la fonction $\varphi$ en $- \infty$ et $+ \infty$.
$\quad$
b. Calculer la dérivée de la fonction $\varphi$, puis étudier son signe.
$\quad$
c. Dresser le tableau de variation de la fonction $\varphi$ sur $\R$. Préciser la valeur de $\varphi(0)$.
$\quad$
a. Démontrer que l’équation $\varphi(x) = 0$ admet exactement deux solutions dans $\R$.
$\quad$
b. On note $\alpha$ la solution négative de l’équation $\varphi(x) = 0$ et $\beta$ la solution positive de cette équation.
À l’aide d’une calculatrice, donner les valeurs de $\alpha$ et $\beta$ arrondies au centième.
$\quad$

Partie D

Dans cette partie, on démontre l’existence de ces tangentes communes, que l’on a admise dans la partie B.
On note $E$ le point de la courbe $\mathscr{C}_{f}$ d’abscisse $\alpha$ et $F$ le point de la courbe $\mathscr{C}_{g}$ d’abscisse $- \alpha$ ($\alpha$ est le nombre réel défini dans la partie C).

Démontrer que la droite $(EF)$ est tangente à la courbe $\mathscr{C}_{f}$ au point $E$.
$\quad$
Démontrer que $(EF)$ est tangente à $\mathscr{C}_{g}$ au point $F$.
$\quad$

Annexe

Exercice 3 – 4 points

Les quatre questions de cet exercice sont indépendantes.
Pour chaque question, une affirmation est proposée. Indiquer si chacune d’elles est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

Dans les questions 1. et 2., le plan est rapporté au repère orthonormé direct $\Ouv$.
On considère les points $A$, $B$, $C$, $D$ et $E$ d’affixes respectives :
$$a = 2 + 2\ic,\quad b = – \sqrt{3} + \ic,\quad c = 1 + \ic\sqrt{3},\quad d = – 1 + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\ic\quad \text{et}\quad e = – 1 + \left(2 + \sqrt{3} \right)\ic.$$

Affirmation 1 : les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.
$\quad$
Affirmation 2 : les points $B$, $C$ et $D$ appartiennent à un même cercle de centre $E$.
$\quad$
Dans cette question, l’espace est muni d’un repère $\Oijk$.
On considère les points $I(1;0;0)$, $J(0;1;0)$ et $K(0;0;1)$.
Affirmation 3 : la droite $\mathscr{D}$ de représentation paramétrique $\begin{cases} x = 2 – t \\\\y = 6 – 2 t\\\\z =-2 + t \end{cases}$ où $t \in \R$, coupe le plan $(IJK)$ au point $E\left(- \dfrac{1}{2};1;\dfrac{1}{2} \right)$.
$\quad$
Dans le cube $ABCDEFGH$, le point $T$ est le milieu du segment $[HF]$.
$\quad$

Affirmation 4 : les droites $(AT)$ et $(EC)$ sont orthogonales
$\quad$

Exercice 4 – 5 points

Candidats n’ayant pas choisi l’enseignement de spécialité

Partie A

On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par : $u_{0} = 2$ et, pour tout entier nature $n$ : $$u_{n+1} = \dfrac{1 + 3u_{n}}{3 + u_{n}}.$$
On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.

Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n} > 1$.
$\quad$
a. Établir que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1}- u_{n} = \dfrac{\left(1 – u_{n} \right)\left(1 + u_{n} \right)}{3+ u_{n}}$.
$\quad$
b. Déterminer le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$.
En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ converge.
$\quad$

Partie B

On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par : $u_{0} = 2$ et, pour tout entier nature $n$ : $$u_{n+1} = \dfrac{1 + 0,5u_{n}}{0,5 + u_{n}}.$$
On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.

On considère l’algorithme suivant :
Entrée
$\quad$ Soit un entier naturel non nul $n$
Initialisation
$\quad$ Affecter à $u$ la valeur $2$
Traitement et sortie
$\quad$ POUR $i$ allant de 1 à $n$
$\qquad$ Affecter à $u$ la valeur $\dfrac{1 + 0,5u}{0,5 + u}$
$\quad$ Afficher $u$
$\quad$ FIN POUR
$\quad$
Reproduire et compléter le tableau suivant, en faisant fonctionner cet algorithme pour $n = 3$. Les valeurs de $u$ seront arrondies au millième.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
i&1&2& 3\\\\
\hline
u& & &\\\\
\hline
\end{array}$$
Pour $n = 12$, on a prolongé le tableau précédent et on a obtenu :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
i&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\\\
\hline
u & \scriptsize{1,008~3}&\scriptsize{0,997~3}&\scriptsize{1,000~9}&\scriptsize{0,999~7}&\scriptsize{1,000~1}&\scriptsize{0,999~97}&\scriptsize{1,000~01}&\scriptsize {0,999~996}&\scriptsize{1,000~001}\\\\
\hline
\end{array}$$
Conjecturer le comportement de la suite $\left(u_{n}\right)$ à l’infini.
$\quad$
On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par : $v_{n} = \dfrac{u_{n} – 1}{u_{n} + 1}$.
a. Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique de raison $- \dfrac{1}{3}$.
$\quad$
b. Calculer $v_{0}$ puis écrire $v_{n}$ en fonction de $n$.
$\quad$
a. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $v_{n} \neq 1$.
$\quad$
b. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n} = \dfrac{1 + v_{n}}{1 – v_{n}}$.
$\quad$
c. Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
$\quad$

Exercice 4 – 5 points

Candidats ayant choisi l’enseignement de spécialité

Un logiciel permet de transformer un élément rectangulaire d’une photographie.
Ainsi, le rectangle initial $OEFG$ est transformé en un rectangle $OE’F’G’$, appelé image de $OEFG$.

L’objet de cet exercice est d’étudier le rectangle obtenu après plusieurs transformations successives.

Partie A

Le plan est rapporté à un repère orthonormé $\Oij$.
Les points $E$, $F$ et $G$ ont pour coordonnées respectives $(2;2)$, $(-1;5)$ et $(-3;3)$.
La transformation du logiciel associe à tout point $M(x;y)$ du plan le point $M'(x’;y’)$, image du point $M$ tel que: $$\begin{cases} x’=\dfrac{5}{4}x + \dfrac{3}{4}y\\\\y’=\dfrac{3}{4}x + \dfrac{5}{4}y \end{cases}$$

a. Calculer les coordonnées des points $E’$, $F’$ et $G’$, images des points $E$, $F$ et $G$ par cette transformation.
$\quad$
b. Comparer les longueurs $OE$ et $OE’$ d’une part, $OG$ et $OG’$ d’autre part.
Donner la matrice carrée d’ordre $2$, notée $A$, telle que: $\begin{pmatrix}x’\\y’ \end{pmatrix}= A \begin{pmatrix}x\\y \end{pmatrix}$.
$\quad$

Partie B

Dans cette partie, on étudie les coordonnées des images successives du sommet $F$ du rectangle $OEFG$ lorsqu’on applique plusieurs fois la transformation du logiciel.

On considère l’algorithme suivant destiné à afficher les coordonnées de ces images successives.
Une erreur a été commise.
Modifier cet algorithme pour qu’il permette d’afficher ces coordonnées.
Entrée
$\quad$ Saisir un entier naturel non nul $N$
Initialisation
$\quad$ Affecter à $x$ la valeur $- 1$
$\quad$ &Affecter à $y$ la valeur $5$
Traitement
$\quad$ POUR $i$ allant de $1$ à $N$
$\qquad$ Affecter à $a$ la valeur $\dfrac{5}{4} x + \dfrac{3}{4}y$
$\qquad$ Affecter à $b$ la valeur $\dfrac{3}{4}x + \dfrac{5}{4}y$
$\qquad$ Affecter à $x$ la valeur $a$
$\qquad$ Affecter à $y$ la valeur $b$
$\quad$ FIN POUR
Sortie
$\quad$ Afficher $x$, afficher $y$
$\quad$
On a obtenu le tableau suivant :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
i &1 &2 &3 &4 &5 &10 &15\\\\
\hline
x &2,5 &7,25 &15,625 &31,812~5 &63,906~3 &2~047,997~1 &65~535,999~9\\\\
\hline
y &5,5 &8,75 &16,375 &32,187~5 &64,093~8 &2~048,002~9 &65~536,000~1\\\\
\hline
\end{array}$$
Conjecturer le comportement de la suite des images successives du point $F$.
$\quad$

Partie C

Dans cette partie, on étudie les coordonnées des images successives du sommet $E$ du rectangle $OEFG$. On définit la suite des points $E_{n}\left(x_{n};y_{n}\right)$ du plan par $E_{0} =$ E et la relation de récurrence :
$$\begin{pmatrix}x_{n+1}\\y_{n+1}\end{pmatrix} = A\begin{pmatrix}x_{n}\\y_{n}\end{pmatrix},$$
où $\left(x_{n+1};y_{n+1}\right)$ désignent les coordonnées du point $E_{n+1}$.
Ainsi $x_{0} = 2$ et $y_{0} = 2$.

On admet que, pour tout entier $n \ge 1$, la matrice $A^n$ peut s’écrire sous la forme : $A^{n} = \begin{pmatrix}\alpha_{n}&\beta_{n}\\\beta_{n}&\alpha_{n}\end{pmatrix}$.
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n \ge 1$, on a :
$$\alpha_{n} = 2^{n-1} + \dfrac{1}{2^{n+1}} \quad \text{et}\quad \beta_{n} = 2^{n-1} – \dfrac{1}{2^{n+1}}.$$
$\quad$
a. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, le point $E_{n}$ est situé sur la droite d’équation $y = x$.
On pourra utiliser que, pour tout entier naturel $n$, les coordonnées $\left(x_{n};y_{n}\right)$ du point $E_{n}$ vérifient : $$\begin{pmatrix}x_{n}\\y_{n}\end{pmatrix} = A^n \begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}.$$
$\quad$
b. Démontrer que la longueur $OE_{n}$ tend vers $+ \infty$ quand $n$ tend vers $+ \infty$.
$\quad$

Bac S – Polynésie – Juin 2013

Polynésie – Juin 2013

Bac S – Mathématiques

La correction du sujet de mathématiques est disponible ici.

Exercice 1 – 6 points

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $$f(x) = (x + 2)\e^{-x}.$$
On note $\mathscr{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal.

Étude de la fonction $f$.
a. Déterminer les coordonnées des points d’intersection de la courbe $\mathscr{C}$ avec les axes du repère.
$\quad$
b. Étudier les limites de la fonction $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$. En déduire les éventuelles asymptotes de la courbe $\mathscr{C}$.
$\quad$
c. Étudier les variations de $f$ sur $\R$.
$\quad$
Calcul d’une valeur approchée de l’aire sous une courbe.
On note $\mathscr{D}$ le domaine compris entre l’axe des abscisses, la courbe $\mathscr{C}$ et les droites d’équation $x=0$ et $x=1$. On approche l’aire du domaine $\mathscr{D}$ en calculant une somme d’aires de rectangles.
a. Dans cette question, on découpe l’intervalle $[0;1]$ en quatre intervalles de même longueur :
• Sur l’intervalle $\left[0;\dfrac{1}{4} \right]$, on construit un rectangle de hauteur $f(0)$
• Sur l’intervalle $\left[\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{2} \right]$, on construit un rectangle de hauteur $f\left( \dfrac{1}{4} \right)$
• Sur l’intervalle $\left[\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{4} \right]$, on construit un rectangle de hauteur $f\left(\dfrac{1}{2} \right)$
• Sur l’intervalle $\left[ \dfrac{3}{4};1 \right]$, on construit un rectangle de hauteur $f\left( \dfrac{3}{4} \right)$
Cette construction est illustrée ci-dessous.

L’algorithme ci-dessous permet d’obtenir une valeur approchée de l’aire du domaine $\mathscr{D}$ en ajoutant les aires des quatre rectangles précédents :
Variables :
$\quad$ $k$ est un nombre entier
$\quad$ $S$ est un nombre réel
Initialisation :
$\quad$ Affecter à $S$ la valeur $0$
Traitement :
$\quad$ & Pour $k$ variant de $0$ à $3$
$\qquad$ Affecter à $S$ la valeur $S+\dfrac{1}{4} f\left( \dfrac{k}{4} \right)$
$\quad$ Fin Pour
Sortie :
$\quad$ Afficher $S$
$\quad$
Donner une valeur approchée à $10^{-3}$ près du résultat affiché par cet algorithme.
$\quad$
b. Dans cette question, $N$ est un nombre entier strictement supérieur à $1$. On découpe l’intervalle $[0;1]$ en $N$ intervalles de même longueur. Sur chacun de ces intervalles, on construit un rectangle en procédant de la même manière qu’à la question 2.a.
Modifier l’algorithme précédent afin qu’il affiche en sortie la somme des aires des $N$ rectangles ainsi construits.
$\quad$
Calcul de la valeur exacte de l’aire sous une courbe.
Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $$g(x)=(- x – 3) \e^{-x}.$$
On admet que $g$ est une primitive de la fonction $f$ sur $\R$.
a. Calculer l’aire $\mathscr{A}$ du domaine $\mathscr{D}$, exprimée en unités d’aire.
$\quad$
b. Donner une valeur approchée à $10^{-3}$ près de l’erreur commise en remplaçant $\mathscr{A}$ par la valeur approchée trouvée au moyen de l’algorithme de la question 2. a, c’est-à-dire l’écart entre ces deux valeurs.
$\quad$

Exercice 2 – 4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n’est demandée. Pour chacune des questions, une seule des quatre propositions est exacte. Chaque réponse correcte rapporte $1$ point. Une réponse erronée ou une absence de réponse n’ôte pas de point. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.

Soit $z_1 = \sqrt{6} \e^{\ic \frac{\pi}{4}}$ et $z_2 = \sqrt{2} \e^{-\ic \frac{\pi}{3}}$. La forme exponentielle de $\ic \dfrac{z_1}{z_2}$ est :
a. $\sqrt{3}\e^{\ic \frac{19\pi}{12}}$
$\quad$
b. $\sqrt{12} \e^{-\ic \frac{\pi}{12}}$
$\quad$
c. $\sqrt{3}\e^{\ic \frac{7\pi}{12}}$
$\quad$
d. $\sqrt{3}\e^{\ic \frac{13\pi}{12}}$
$\quad$
L’équation $- z = \overline{z}$, d’inconnue complexe $z$, admet :
a. une solution
$\quad$
b. deux solutions
$\quad$
c. une infinité de solutions dont les points images dans le plan complexe sont situés sur une droite.
$\quad$
d. une infinité de solutions dont les points images dans le plan complexe sont situés sur un cercle.
$\quad$
Dans un repère de l’espace, on considère les trois points $A(1;2;3)$, $B(-1;5;4)$ et $C(-1;0;4)$. La droite parallèle à la droite $(AB)$ passant par le point $C$ a pour représentation paramétrique :
a. $\begin{cases} x = -2t-1 \\\\ y=3t \\\\ z=t+4 \end{cases} \quad t\in \R$
$\quad$
b. $\begin{cases} x=-1 \\\\ y=7t \\\\ z=7t+4 \end{cases} \quad t \in \R$
$\quad$
c. $\begin{cases} x=-1-2t \\\\ y=5+3t \\\\ z=4+t \end{cases}\quad t \in \R$
$\quad$
d. $\begin{cases} x=2t \\\\ y=-3t \\\\ z=-t \end{cases} \quad t \in \R$
$\quad$
Dans un repère orthonormé de l’espace, on considère le plan $\mathscr{P}$ passant par le point $D(-1;2;3)$ et de vecteur normal $\vec{n}(3~;~-5~;~1)$, et la droite $\Delta$ de représentation paramétrique $\begin{cases} x = t – 7 \\\\ y = t + 3 \\\\ z = 2t + 5 \end{cases} \quad t \in \R$.
a. La droite $\Delta$ est perpendiculaire au plan $\mathscr{P}$.
$\quad$
b. La droite $\Delta$ est parallèle au plan $\mathscr{P}$ et n’a pas de point commun avec le plan $\mathscr{P}$.
$\quad$
c. La droite $\Delta$ et le plan $\mathscr{P}$ sont sécants.
$\quad$
d. La droite $\Delta$ est incluse dans le plan $\mathscr{P}$.
$\quad$

Exercice 3 – 5 points

Les $3$ parties peuvent être traitées de façon indépendante.

Thomas possède un lecteur MP3 sur lequel il a stocké plusieurs milliers de morceaux musicaux.
L’ensemble des morceaux musicaux qu’il possède se divise en trois genres distincts selon la répartition suivante :

$\qquad$ $30\%$ de musique classique, $45\%$ de variété, le reste étant du jazz.

Thomas a utilisé deux qualités d’encodage pour stocker ses morceaux musicaux : un encodage de haute qualité et un encodage standard. On sait que :

les $\dfrac{5}{6}$ des morceaux de musique classique sont encodés en haute qualité.
$\quad$
les $\dfrac{5}{9}$ des morceaux de variété sont encodés en qualité standard.

On considérera les événements suivants :

$C$ : “Le morceau écouté est un morceau de musique classique”;
$V$ : “Le morceau écouté est un morceau de variété”;
$J$ : “Le morceau écouté est un morceau de jazz”;
$H$ : “Le morceau écouté est encodé en haute qualité”;
$S$ : “Le morceau écouté est encodé en qualité standard”.

Partie 1

Thomas décide d’écouter un morceau au hasard parmi tous les morceaux stockés sur son MP3 en utilisant la fonction “lecture aléatoire”.
On pourra s’aider d’un arbre de probabilités.

Quelle est la probabilité qu’il s’agisse d’un morceau de musique classique encodé en haute qualité ?
$\quad$
On sait que $P(H)=\dfrac{13}{20}$.
a. Les événements $C$ et $H$ sont-ils indépendants ?
$\quad$
b. Calculer $P(J \cap H)$ et $P_J(H)$.
$\quad$

Partie 2

Pendant un long trajet en train, Thomas écoute, en utilisant la fonction “lecture aléatoire” de son MP3, $60$ morceaux de musique.

Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil $95\%$ de la proportion de morceaux de musique classique dans un échantillon de taille $60$.
$\quad$
Thomas a comptabilisé qu’il avait écouté $12$ morceaux de musique classique pendant son voyage. Peut-on penser que la fonction “lecture aléatoire” du lecteur MP3 de Thomas est défectueuse ?

Partie 3

On considère la variable aléatoire $X$ qui, à chaque chanson stocké sur le lecteur MP3, associe sa durée exprimée en secondes et on établit que $X$ suit la loi normale d’espérance $200$ et d’écart-type $20$.

On pourra utiliser le tableau fourni en annexe dans lequel les valeurs sont arrondies au millième le plus proche.

On écoute un morceau musical au hasard.

Donner une valeur approchée à $10^{-3}$ près de $P(180 \le X \le 220)$.
$\quad$
Donner une valeur approchée à $10^{-3}$ près de la probabilité que le morceau écouté dure plus de $4$ minutes.
$\quad$

Annexe

$X$ est une variable aléatoire normale d’espérance 200 et d’écart-type 20.

$$\begin{array}{|c|c|}
\hline
b & P(X \le b) \\
\hline
140 & 0,001 \\
\hline
150 & 0,006 \\
\hline
160 & 0,023 \\
\hline
170 & 0,067 \\
\hline
180 & 0,159 \\
\hline
190 & 0,309 \\
\hline
200 & 0,500 \\
\hline
210 & 0,691 \\
\hline
220 & 0,841 \\
\hline
230 & 0,933 \\
\hline
240 & 0,977 \\
\hline
250 & 0,994 \\
\hline
260 & 0,999 \\
\hline
\end{array}$$

Exercice 4 – 5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité mathématiques

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=\dfrac{1}{2}$ et telle que pour tout entier naturel $n$, $$u_{n+1} = \dfrac{3u_n}{1+2u_n}$$

a. Calculer $u_1$ et $u_2$.
$\quad$
b. Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n$, $0 < u_n$.
$\quad$
On admet que pour tout entier naturel $n$, $u_n<1$.
a. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
$\quad$
b. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ converge.
$\quad$
Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = \dfrac{u_n}{1 – u_n}$.
a. Montrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $3$.
$\quad$
b. Exprimer pour tout entier naturel $n$, $v_n$ en fonction de $n$.
$\quad$
c. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = \dfrac{3^n}{3^n+1}$.
$\quad$
d. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.
$\quad$

Exercice 4 – 5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité mathématiques

Un opérateur téléphonique A souhaite prévoir l’évolution de nombre de ses abonnés dans une grande ville par rapport à son principal concurrent B à partir de 2013.
En 2013, les opérateurs A et B ont chacun $300$ milliers d’abonnés.

Pour tout entier naturel $n$, on note $a_n$ le nombre d’abonnés, en milliers, de l’opérateur A la $n$-ième année après 2013, et $b_n$ le nombre d’abonnés, en milliers, de l’opérateur B la $n$-ième année après 2013.
Ainsi, $a_0 = 300$ et $b_0 = 300$.

Des observations réalisées les années précédentes conduisent à modéliser la situation par la relation suivante :
pour tout entier naturel $n$, $\begin{cases} a_{n+1} = 0,7a_n + 0,2b_n + 60 \\\\b_{n+1} = 0,1a_n + 0,6b_n + 70 \end{cases}$.

On considère les matrices $M =\begin{pmatrix} 0,7 & 0,2 \\ 0,1 & 0,6 \end{pmatrix}$ et $P = \begin{pmatrix} 60 \\ 70 \end{pmatrix}$.

Pour tout entier naturel $n$, on note $U_n = \begin{pmatrix} a_n \\ b_n \end{pmatrix}$.

a. Déterminer $U_1$.
$\quad$
b. Vérifier que, pour tout entier naturel $n$, $U_{n+1} = M \times U_n +P$.
$\quad$
On note $I$ la matrice $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.
a. Calculer $(I – M)\times \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$.
$\quad$
b. En déduire que la matrice $I – M$ est inversible et préciser son inverse.
$\quad$
c. Déterminer la matrice $U$ telle que $U = M \times U + P$.
$\quad$
Pour tout entier naturel, on pose $V_n = U_n – U$.
a. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, $V_{n+1} = M \times V_n$.
$\quad$
b. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $V_n = M^n \times V_0$.
$\quad$
On admet que, pour tout entier naturel $n$, $$V_n = \begin{pmatrix} \dfrac{-100}{3}\times 0,8^n – \dfrac{140}{3} \times 0,5^n \\\\\dfrac{-50}{3} \times 0,8^n + \dfrac{140}{3} \times 0,5^n \end{pmatrix}$$
a. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $U_n$ en fonction de $n$ et en déduire la limite de la suite $\left(a_n\right)$.
$\quad$
b. Estimer le nombre d’abonnés de l’opérateur A à long terme.
$\quad$

Bac S – Centres étrangers – Juin 2013

Centres Étrangers – Juin 2013

Bac S – Mathématiques

La correction de ce sujet de bac est disponible ici.

Exercice 1 – 6 points

Un industriel fabrique des vannes électroniques destinées à des circuits hydrauliques.
Les quatre parties A, B, C, D sont indépendantes.

Partie A

La durée de vie d’une vanne, exprimée en heures, est une variable aléatoire $T$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0,000~2 $.

Quelle est la durée de vie moyenne d’une vanne ?
$\quad$
Calculer la probabilité, à $0,001$ près, que la durée de vie d’une vanne soit supérieure à $6~000$ heures.

Partie B

Avec trois vannes identiques $V_{1}$, $V_{2}$ et $V_{3}$, on fabrique le circuit hydraulique ci-contre.
Le circuit est en état de marche si $V_{1}$ est en état d arche ou si $V_{2}$ et $V_{3}$ le sont simultanément.

On assimile à une expérience aléatoire le fait que chaque vanne est ou n’est pas en état de marche après $6~000$ heures. On note :

$F_{1}$ l’événement : “la vanne $V_{1}$ est en état de marche après $6~000$ heures”.
$F_{2}$ l’événement : “la vanne $V_{2}$ est en état de marche après $6~000$ heures”.
$F_{3}$ l’événement : “la vanne $V_{3}$ est en état de marche après $6~000$ heures”.
$E$ : l’événement : “le circuit est en état de marche après $6~000$ heures”.

On admet que les événements $F_{1}$, $F_{2}$ et $F_{3}$ sont deux à deux indépendants et ont chacun une probabilité égale à $0,3$.

L’arbre probabiliste ci-dessous représente une partie de la situation.

Reproduire cet arbre et placer les probabilités sur les branches.
$\quad$
Démontrer que $P(E) = 0,363$.
$\quad$
Sachant que le circuit est en état de marche après $6~000$ heures, calculer la probabilité que la vanne $V_{1}$ soit en état de marche à ce moment là. Arrondir au millième.
$\quad$

Partie C

L’industriel affirme que seulement $2\%$ des vannes qu’il fabrique sont défectueuses. On suppose que cette affirmation est vraie, et l’on note $F$ la variable aléatoire égale à la fréquence de vannes défectueuses dans un échantillon aléatoire de $400$ vannes prises dans la production totale.

Déterminer l’intervalle $I$ de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de la variable $F$.
$\quad$
On choisit $400$ vannes au hasard dans la production, On assimile ce choix à un tirage aléatoire de $400$ vannes, avec remise, dans la production.
Parmi ces $400$ vannes, $10$ sont défectueuses.
Au vu de ce résultat peut-on remettre en cause. au seuil de $95\%$, l’affirmation de l’industriel?$\quad$

Partie D

Dans cette partie, les probabilités calculées seront arrondies au millième.

L’industriel commercialise ses vannes auprès de nombreux clients, La demande mensuelle est une variable aléatoire $D$ qui suit la loi normale d’espérance $\mu = 800$ et d’écart-type $\sigma = 40$.

Déterminer $P(760\le D \le 840)$.
$\quad$
Déterminer $P(D\le 880)$.
$\quad$
L’industriel pense que s’il constitue un stock mensuel de $880$ vannes, il n’aura pas plus de $1\%$ de chance d’être en rupture de stock. A-t-il raison ?
$\quad$

Exercice 2 – 4 points

Les quatre questions sont indépendantes.
Pour chaque question, une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé, on considère

les points $A(12;0;0)$, $B(0;-15;0)$, $C(0;0;20)$, $D(2;7;- 6)$, $E(7;3;-3)$;
$\quad$
le plan $\mathscr{P}$ d’équation cartésienne : $2x + y – 2z – 5 = 0 $
$\quad$

Affirmation 1

Une équation cartésienne du plan parallèle à $\mathscr{P}$ et passant par le point $A$ est : $$2x + y + 2z – 24 = 0$$

Affirmation 2

Une représentation paramétrique de la droite $(AC)$ est : $\begin{cases}x=9 – 3t\\\\y=0\\\\ z=5 + 5t\end{cases} \quad t\in\R$.

Affirmation 3

La droite $(DE)$ et le plan $\mathscr{P}$ ont au moins un point commun.

Affirmation 4

La droite $(DE)$ est orthogonale au plan $(ABC)$.

$\quad$

Exercice 3 – 5 points

On considère la fonction $g$ définie pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0 ;1]$ par : $$g(x) = 1 + \e^{-x}.$$
On admet que, pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0; 1]$, $g(x) >0$.

On note $\mathscr{C}$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans un repère orthogonal, et $\mathscr{D}$ le domaine plan compris d’une part entre l’axe des abscisses et la courbe $\mathscr{C}$, d’autre part entre les droites d’équation $x = 0$ et $x = 1 $.
La courbe $\mathscr{C}$ et le domaine $\mathscr{D}$ sont représentés ci-dessous.

Le but de cet exercice est de partager le domaine $\mathscr{D}$ en deux domaines de même aire, d’abord par une droite parallèle à l’axe des ordonnées (partie A), puis par une droite parallèle à l’axe des abscisses (partie B).

Partie A

Soit $a$ un réel tel que $0\le a\le 1$.

On note $\mathscr{A}_{1}$ l’aire du domaine compris entre la courbe $\mathscr{C}$, l’axe $(Ox)$,les droites d’équation $x = 0$ et $x =a$ , puis $\mathscr{A}_{2}$ celle du domaine compris entre la courbe $\mathscr{C}$, $(Ox)$ et les droites d’équation $x = a$ et $x = 1$.
$\mathscr{A}_{1}$ et $\mathscr{A}_{2}$ sont exprimées en unités d’aire.

a. Démontrer que $\mathscr{A}_{1}= a – \e^{-a} + 1$.
$\quad$
b. Exprimer $\mathscr{A}_{2}$ en fonction de $a$.
$\quad$
Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0;1]$ par : $$f(x) =2x – 2\e^{- x} + \dfrac{1}{\e}.$$
a. Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;1]$. On précisera les valeurs exactes de $f(0)$ et $f(1)$.
$\quad$
b. Démontrer que la fonction $f$ s’annule une fois et une seule sur l’intervalle $[0;1]$. en un réel $\alpha$. Donner la valeur de $\alpha$ arrondie au centième.
$\quad$
En utilisant les questions précédentes, déterminer une valeur approchée du réel $a$ pour lequel les aires $\mathscr{A}_{1}$ et $\mathscr{A}_{2}$ sont égales.
$\quad$

Partie B

Soit $b$ un réel positif.
Dans cette partie, on se propose de partager le domaine $\mathscr{D}$ en deux domaines de même aire par la droite d’équation $y=b$. On admet qu’il existe un unique réel $b$ positif solution.

Justifier l’inégalité $b<1 + \dfrac{1}{\e}$. On pourra utiliser un argument graphique.
$\quad$
Déterminer la valeur exacte du réel $b$.
$\quad$

Exercice 4 – 5 points

Candidats n’avant pas choisi la spécialité mathématique

L’objet de cet exercice est l’étude de la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par son premier terme $u_{1}=\dfrac{3}{2}$ et la relation de récurrence : $u_{n+1} =\dfrac{nu_{n}+1}{2(n + 1)}$.

Partie A – Algorithmique et conjectures

Pour calculer et afficher le terme $u_{9}$ de la suite, un élève propose l’algorithme ci-dessous.
Il a oublié de compléter deux lignes.

Variables
$\quad$ $n$ est un entier naturel
$\quad$ $u$ est un réel
Initialisation
$\quad$ Affecter à $n$ la valeur $1$
$\quad$ Affecter à $u$ la valeur $1,5$
Traitement
$\quad$ Tant que $n<9 $
$\qquad$ Affecter à $u$ la valeur $\ldots$
$\qquad$ Affecter à $n$ la valeur $\ldots$
$\quad$ Fin Tant que
Sortie
$\quad$ Afficher la variable $u$

Recopier et compléter les deux lignes de l’algorithme où figurent des points de suspension.
$\quad$
Comment faudrait-il modifier cet algorithme pour qu’il calcule et affiche tous les termes de la suite de $u_{2}$ jusqu’à $u_{9}$ ?
$\quad$
Avec cet algorithme modifié, on a obtenu les résultats suivants, arrondis au dix-millième:
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
n &1&2 &3 &4 &5 &6 &\ldots&99 &100 \\\\
\hline
u_n &1,5 & 0,625 & 0,375 & 0,265~6 & 0,206~3 & 0,169~3 &\ldots & 0,010~2 & 0,010~1\\\\
\hline
\end{array}$$
Au vu de ces résultats, conjecturer le sens de variation et la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$.
$\quad$

Partie B – Étude mathématique

On définit une suite auxiliaire $\left(v_{n}\right)$ par : pour tout entier $n\ge 1$, $v _{n} = nu_{n} -1$.

Montrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique ; préciser sa raison et son premier terme.
$\quad$
En déduire que, pour tout entier naturel $n\ge 1$, on a : $u_{n}= \dfrac{1 + (0,5)^{n}}{n}$.
$\quad$
Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
$\quad$
Justifier que, pour tout entier $n\ge 1$ , on a : $u_{n+1}- u_{n}=- \dfrac{1 + (1 + 0,5n)(0,5)^{n}}{n(n + 1)}$.
En déduire le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$.
$\quad$

Partie C – Retour à l’algorithmique

En s’inspirant de la partie A, écrire un algorithme permettant de déterminer et d’afficher le plus petit entier $n$ tel que $u_{n} < 0,001$.
$\quad$

Exercice 4 – 5 points

Candidats ayant choisi la spécialité mathématique

Une espèce d’oiseaux ne vit que sur deux îles A et B d’un archipel.
Au début de l’année $2013$, $20$ millions d’oiseaux de cette espèce sont présents sur l’île A et $10$ millions sur l’île B.
Des observations sur plusieurs années ont permis aux ornithologues d’estimer que, compte tenu des naissances, décès, et migrations entre les deux îles, on retrouve au début de chaque année les proportions suivantes :

Sur l’île A : $80\%$ du nombre d’oiseaux présents sur l’île A au début de l’année précédente et $30\%$ du nombre d’oiseaux présents sur l’île B au début de l’année précédente;
sur l’île B : $20\%$ du nombre d’oiseaux présents sur l’île A au début de l’année précédente et $70\%$ du nombre d’oiseaux présents sur l’île B au début de l’année précédente.

Pour tout entier naturel $n$, on note $a_{n}$ (respectivement $b_{n}$) le nombre d’ oiseaux (en millions) présents sur l’île A (respectivement B) au début de l’année $(2013 + n)$.

Partie A – Algorithmique et conjectures

On donne ci-dessous un algorithme qui doit afficher le nombre d’oiseaux vivant sur chacune des deux iles, pour chaque année comprise entre $2013$ et une année choisie par l’utilisateur.

Début de l’algorithme
$\quad$ Lire $n$
$\quad$ Affecter à $a$ la valeur $20$
$\quad$ Affecter à $b$ la valeur $10$
$\quad$ Affecter à $i$ la valeur $2013$
$\quad$ Afficher $i$
$\quad$ Afficher $a$
$\quad$ Afficher $b$
$\quad$ Tant que $i < n$ faire
$\qquad$ Affecter à $c$ la valeur $(0,8a + 0,3b)$
$\qquad$ Affecter à $b$ la valeur $(0,2a + 0,7 b)$
$\qquad$ Affecter à $a$ la valeur $c$
$\quad$ Fin du Tant que
Fin de l ‘algorithme

Cet algorithme comporte des oublis dans le traitement. Repérer ces oublis et les corriger.
$\quad$
On donne ci-dessous une copie d’écran des résultats obtenus après avoir corrigé l’algorithme précédent dans un logiciel d’algorithmique, l’utilisateur avant choisi l’année $2020$.
$\quad$
$\star\star\star$ Algorithme lancé $\star\star\star$
En l’année $2013$, $a$ prend la valeur $20$ et $b$ prend la valeur $10$
En l’année $2014$, $a$ prend la valeur $19$ et $b$ prend la valeur $11$
En l’année $2015$, $a$ prend la valeur $18,5$ et $b$ prend la valeur $11,5$
En l’année $2016$, $a$ prend la valeur $18,25$ et $b$ prend la valeur $11,75$
En l’année $2017$, $a$ prend la valeur $18,125$ et $b$ prend la valeur $11,875$
En l’année $2018$, $a$ prend la valeur $18,042~5$ et $b$ prend la valeur $11,937~5$
En l’année $2019$, $a$ prend la valeur $18,031~25$ et $b$ prend la valeur $11,968~75$
En l’année $2020$, $a$ prend la valeur $18,015~625$ et $b$ prend la valeur $11,984~375$
$\star\star\star$ Algorithme terminé $\star\star\star$
$\quad$
Au vu de ces résultats, émettre des conjectures concernant le sens de variation et la convergence des suites $\left(a_{n}\right)$ et $\left(b_{n}\right)$.
$\quad$

Partie B – Étude mathématique

On note $U_{n}$ la matrice colonne $\begin{pmatrix}a_{n}\\b_{n}\end{pmatrix}$.

Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $U_{n+1}=MU_{n}$, où $M$ est une matrice carrée d’ordre 2 que l’on déterminera.
On admet alors que $U_{n}=M^{n}U_{0}$ pour tout entier naturel $n\ge1$.
$\quad$
À l’aide d’un raisonnement par récurrence, justifier que, pour tout entier naturel $n\ge1$ :
$$M^{n}= \begin{pmatrix}
0,6 + 0,4\times 0,5^{n}&0,6 – 0,6\times 0,5^{n}\\\\
0,4 – 0,4\times 0,5^{n}&0,4 + 0,6\times 0,5^{n}
\end{pmatrix}.$$
On ne détaillera le calcul que pour le premier des coefficients de la matrice $M^{n}$.
$\quad$
Exprimer $a_{n}$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n\ge 1$.
$\quad$
Avec ce modèle, peut-on dire qu’au bout d’un grand nombre d’années, le nombre d’oiseaux sur l’île A va se stabiliser? Si oui, préciser vers quelle valeur.
$\quad$

Bac S – Amérique du Nord – Mai 2013

Amérique du Nord – Mai 2013

Bac S – Mathématiques

La correction de ce sujet de bac est disponible ici.

Exercice 1 – 5 points

On se place dans l’espace muni d’un repère orthonormé.
On considère les points $A(0;4;1)$, $B (1;3;0)$, $C(2;-1;- 2)$ et $D (7;- 1;4)$.

Démontrer que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
$\quad$
Soit $\Delta$ la droite passant par le point $D$ et de vecteur directeur $\vec{u}(2;- 1;3)$.
a. Démontrer que la droite $\Delta$ est orthogonale au plan $(ABC)$.
$\quad$
b. En déduire une équation cartésienne du plan $(ABC)$.
$\quad$
c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$.
$\quad$
d. Déterminer les coordonnées du point $H$, intersection de la droite $\Delta$ et du plan $(ABC)$.
$\quad$
Soit $\mathscr{P}_{1}$ le plan d’équation $x + y + z = 0$ et $\mathscr{P}_{2}$ le plan d’équation $x + 4y + 2 = 0$.
a. Démontrer que les plans $\mathscr{P}_{1}$ et $\mathscr{P}_{2}$ sont sécants.
$\quad$
b. Vérifier que la droite $d$, intersection des plans $\mathscr{P}_{1}$ et $\mathscr{P}_{2}$, a pour représentation paramétrique $\begin{cases} x=-4t-2\\\\ y =t\\\\z = 3t + 2 \end{cases} \quad t \in \R$.
$\quad$
c. La droite $d$ et le plan $(ABC)$ sont-ils sécants ou parallèles ?
$\quad$

Exercice 2 – 5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité mathématiques

On considère la suite$\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 1$ et, pour tout entier naturel $n$, $$ u_{n+1} = \sqrt{2u_{n}}.$$

On considère l’algorithme suivant :
Variables :
$\quad$ $n$ est un entier naturel
$\quad$ $u$ est un réel positif
Initialisation :
$\quad$ Demander la valeur de $n$
$\quad$ Affecter à $u$ la valeur $1$
Traitement :
$\quad$ Pour $i$ variant de $1$ à $n$ :
$\qquad$ Affecter à $u$ la valeur $\sqrt{2u}$
$\quad$ Fin de Pour
Sortie :
$\quad$ Afficher $u$
$\quad$
a. Donner une valeur approchée à $10^{-4}$ près du résultat qu’affiche cet algorithme lorsque l’on choisit $n = 3$.
$\quad$
b. Que permet de calculer cet algorithme ?
$\quad$
c. Le tableau ci-dessous donne des valeurs approchées obtenues à l’aide de cet algorithme pour certaines valeurs de $n$.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
n & 1 &5 &10 &15 &20\\\\
\hline
\text{Valeur affichée} &1,414~2 &1,957~1 &1,998~6 &1,999~9 &1,999~9\\\\
\hline
\end{array}$$
Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite $\left(u_{n}\right)$ ?
$\quad$
a. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $0 < u_{n} \le 2$.
$\quad$
b. Déterminer le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$.
$\quad$
c. Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente. On ne demande pas la valeur de sa limite.
$\quad$
On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_{n} = \ln u_{n} – \ln 2$.
a. Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est la suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$ et de premier terme $v_{0} = – \ln 2$.
$\quad$
b. Déterminer, pour tout entier naturel $n$, l’expression de $v_{n}$ en fonction de $n$, puis de $u_{n}$ en fonction de $n$.
$\quad$
c. Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
$\quad$
d. Recopier l’algorithme ci-dessous et le compléter par les instructions du traitement et de la sortie, de façon à afficher en sortie la plus petite valeur de $n$ telle que $u_{n} > 1,999$.
Variables :
$\quad$ $n$ est un entier naturel
$\quad$ $u$ est un réel
Initialisation :
$\quad$ Affecter à $n$ la valeur $0$
$\quad$ Affecter à $u$ la valeur $1$
Traitement :
$\quad$
Sortie :
$\quad$
$\quad$

Exercice 2 – 5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité mathématiques

Partie A

On considère l’algorithme suivant :
Variables :
$\quad$ $a$ est un entier naturel
$\quad$ $b$ est un entier naturel
$\quad$ $c$ est un entier naturel
Initialisation :
$\quad$ Affecter à $c$ la valeur $0$
$\quad$ Demander la valeur de $a$
$\quad$ Demander la valeur de $b$
Traitement :
$\quad$ Tant que $a \ge b$
$\qquad$ Affecter à $c$ la valeur $c + 1$
$\qquad$ Affecter à $a$ la valeur $a – b$
$\quad$ Fin de tant que
Sortie :
$\quad$ Afficher $c$
$\quad$ Afficher $a$
$\quad$

Faire fonctionner cet algorithme avec $a = 13$ et $b = 4$ en indiquant les valeurs des variables à chaque étape.
$\quad$
Que permet de calculer cet algorithme ?
$\quad$

Partie B

À chaque lettre de l’alphabet, on associe, grâce au tableau ci-dessous, un nombre entier compris entre $0$ et $25$.

$$\begin{array}{l}
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
A &B &C &D &E &F &G &H &I& J &K &L &M\\\\
\hline
\phantom{1}0& \phantom{1}1 &\phantom{1}2 &\phantom{1}3 &\phantom{1}4 &\phantom{1}5 &\phantom{1}6 &\phantom{1}7 &\phantom{1}8 &\phantom{1}9 &10 &11 &12\\\\
\hline
\end{array} \\
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
N&O&P&Q&R&S&T&U&V&W&X&Y&Z\\\\
\hline
13&14&15&16&17&18&19&20&21&22&23&24&25\\\\ \hline
\end{array}\end{array}$$

On définit un procédé de codage de la façon suivante :

Étape 1 : À la lettre que l’on veut coder, on associe le nombre $m$ correspondant dans le tableau.
Étape 2 : On calcule le reste de la division euclidienne de $9m + 5$ par $26$ et on le note $p$.
Étape 3 : Au nombre $p$, on associe la lettre correspondante dans le tableau.

Coder la lettre $U$.
$\quad$
Modifier l’algorithme de la partie A pour qu’à une valeur de $m$ entrée par l’utilisateur, il affiche la valeur de $p$, calculée à l’aide du procédé de codage précédent.
$\quad$

Partie C

Trouver un nombre entier $x$ tel que $9x \equiv 1\quad [26]$.
$\quad$
Démontrer alors l’équivalence : $$9m + 5 \equiv p \quad [26] \ssi m \equiv 3p-15 \quad [26].$$
$\quad$
Décoder alors la lettre $B$.
$\quad$

Exercice 3 – 5 points

Les parties A B et C peuvent être traitées indépendamment les unes des autres

Une boulangerie industrielle utilise une machine pour fabriquer des pains de campagne pesant en moyenne $400$ grammes. Pour être vendus aux clients, ces pains doivent peser au moins $385$ grammes. Un pain dont la masse est strictement inférieure à $385$ grammes est un pain non-commercialisable, un pain dont la masse est supérieure ou égale à $385$ grammes est commercialisable.
La masse d’un pain fabriqué par la machine peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ suivant la loi normale d’espérance $\mu = 400$ et d’écart-type $\sigma = 11$.

Les probabilités seront arrondies au millième le plus proche

Partie A

On pourra utiliser le tableau suivant dans lequel les valeurs sont arrondies au millième le plus proche.

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x & 380 & 385 & 390 & 395 & 400 & 405 & 410 & 415 & 420 \\\\
\hline
P(X \le x) & 0,035 & 0,086 & 0,182 & 0,325 & 0,5 & 0,675 & 0,818 & 0,914 & 0,965 \\\\
\hline
\end{array}$$

Calculer $P(390 \le X \le 410)$.
$\quad$
Calculer la probabilité $p$ qu’un pain choisi au hasard dans la production soit commercialisable.
$\quad$
Le fabricant trouve cette probabilité $p$ trop faible. Il décide de modifier ses méthodes de production afin de faire varier la valeur de $\sigma$ sans modifier celle de $\mu$.
Pour quelle valeur de $\sigma$ la probabilité qu’un pain soit commercialisable est-elle égale à $96\%$ ? On arrondira le résultat au dixième.
On pourra utiliser le résultat suivant : lorsque $Z$ est une variable aléatoire qui suit la loi normale d’espérance $0$ et d’écart-type $1$, on a $P(Z \le -1,751) \approx 0,040$.
$\quad$

Partie B

Les méthodes de production ont été modifiées dans le but d’obtenir $96\%$ de pains commercialisables.
Afin d’évaluer l’efficacité de ces modifications, on effectue un contrôle qualité sur un échantillon de $300$ pains fabriqués.

Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de la proportion de pains commercialisables dans un échantillon de taille $300$.
$\quad$
Parmi les $300$ pains de l’échantillon, $283$ sont commercialisables.
Au regard de l’intervalle de fluctuation obtenu à la question 1, peut-on décider que l’objectif a été atteint ?
$\quad$

Partie C

Le boulanger utilise une balance électronique. Le temps de fonctionnement sans dérèglement, en jours, de cette balance électronique est une variable aléatoire $T$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.

On sait que la probabilité que la balance électronique ne se dérègle pas avant $30$ jours est de $0,913$. En déduire la valeur de $\lambda$ arrondie au millième.
$\quad$
Dans toute la suite on prendra $\lambda = 0,003$.
Quelle est la probabilité que la balance électronique fonctionne encore sans dérèglement après $90$ jours, sachant qu’elle a fonctionné sans dérèglement $60$ jours ?
$\quad$
Le vendeur de cette balance électronique a assuré au boulanger qu’il y avait une chance sur deux pour que la balance ne se dérègle pas avant un an. A-t-il raison ? Si non, pour combien de jours est-ce vrai ?
$\quad$

Exercice 4 – 5 points

Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $]0;+ \infty[$ par $$f(x) = \dfrac{1 + \ln (x)}{x^2}$$ et soit $\mathscr{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère du plan. La courbe $\mathscr{C}$ est donnée ci-dessous :

a. Étudier la limite de $f$ en $0$.\item Que vaut $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln (x)}{x}$ ? En déduire la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.
$\quad$
b. En déduire les asymptotes éventuelles à la courbe $\mathscr{C}$.
$\quad$
a. On note $f’$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l’intervalle $]0;+ \infty[$.
Démontrer que, pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $]0;+ \infty[$, $$f'(x) = \dfrac{- 1 – 2\ln (x)}{x^3}.$$
$\quad$
b. Résoudre sur l’intervalle $]0;+ \infty[$ l’inéquation $-1 – 2\ln (x) > 0$.
En déduire le signe de $f'(x)$ sur l’intervalle $]0;+ \infty[$.
$\quad$
c. Dresser le tableau des variations de la fonction $f$.
$\quad$
a. Démontrer que la courbe $\mathscr{C}$ a un unique point d’intersection avec l’axe des abscisses, dont on précisera les coordonnées.
$\quad$
b. En déduire le signe de $f(x)$ sur l’intervalle $]0;+ \infty[$.
$\quad$
Pour tout entier $n \ge 1$, on note $I_{n}$ l’aire, exprimée en unités d’aires, du domaine délimité par l’axe des abscisses, la courbe $\mathscr{C}$ et les droites d’équations respectives $x = \dfrac{1}{\e}$ et $x = n$.
a. Démontrer que $0 \le I_{2} \le \e – \dfrac{1}{2}$.
On admet que la fonction $F$, définie sur l’intervalle $]0;+ \infty[$ par $F(x) = \dfrac{- 2 – \ln (x)}{x}$,est une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $]0;+ \infty[$.
$\quad$
b. Calculer $I_{n}$ en fonction de $n$.
$\quad$
c. Étudier la limite de $I_{n}$ en $+ \infty$. Interpréter graphiquement le résultat obtenu.
$\quad$