Bac S – Liban – Mai 2013

Liban – Mai 2013

Bac S – Mathématiques

La correction de ce sujet de bac est disponible ici.

Exercice 1  –  4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n’est demandée. Pour chacune des questions, une seule des propositions est correcte.
Chaque réponse correcte rapporte un point. Une réponse erronée ou une absence de réponse n’ôte pas de point. On notera sur la copie le numéro de la question, suivi de la lettre correspondant à la proposition choisie.

L’espace est rapporté à un repère orthonormé $\Oijk$.
Les points $A$, $B$, $C$ et $D$ ont pour coordonnées respectives $A(1;-1;2)$, $B(3;3;8)$, $C(-3;5;4)$ et $D(1;2;3)$.
On note $\mathscr{D}$ la droite ayant pour représentation paramétrique $\begin{cases} x=t + 1\\\\ y = 2t – 1\\\\z = 3t+2 \end{cases} \quad t \in \R$ et $\mathscr{D}’$ la droite ayant pour représentation paramétrique $\begin{cases} x= k + 1\\\\y = k + 3\\\\z =-k + 4\end{cases}\quad k \in \R$.
On note $\mathscr{P}$ le plan d’équation $x + y – z + 2 = 0$.

Question 1 :
Proposition a. Les droites $\mathscr{D}$ et $\mathscr{D}’$ sont parallèles.
Proposition b. Les droites $\mathscr{D}$ et $\mathscr{D}’$ sont coplanaires.
Proposition c. Le point $C$ appartient à la droite $\mathscr{D}$.
Proposition d. Les droites $\mathscr{D}$ et $\mathscr{D}’$ sont orthogonales.

Question 2 :
Proposition a. Le plan $\mathscr{P}$ contient la droite $\mathscr{D}$ et est parallèle à la droite $\mathscr{D}’$.
Proposition b. Le plan $\mathscr{P}$ contient la droite $\mathscr{D}’$ et est parallèle à la droite $\mathscr{D}$.
Proposition c. Le plan $\mathscr{P}$ contient la droite $\mathscr{D}$ et est orthogonal à la droite $\mathscr{D}’$.
Proposition d. Le plan $\mathscr{P}$ contient les droites $\mathscr{D}$ et $\mathscr{D}’$.

Question 3 :
Proposition a. Les points $A$, $D$ et $C$ sont alignés.
Proposition b. Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
Proposition c. Le triangle $ABC$ est équilatéral.
Proposition d. Le point $D$ est le milieu du segment $[AB]$. 

Question 4 :
On note $\mathscr{P}’$ le plan contenant la droite $\mathscr{D}’$ et le point $A$. Un vecteur normal à ce plan est :
Proposition a. $\vec{n}(-1;5;4)$
Proposition b. $\vec{n}(3;-1;2)$
Proposition c. $\vec{n}(1;2;3)$
Proposition d. $\vec{n}(1;1;-1)$
$\quad$

Exercice 2  –  5 points

L’entreprise Fructidoux fabrique des compotes qu’elle conditionne en petits pots de $50$ grammes. Elle souhaite leur attribuer la dénomination “compote allégée”.
La législation impose alors que la teneur en sucre, c’est-à-dire la proportion de sucre dans la compote, soit comprise entre $0,16$ et $0,18$. On dit dans ce cas que le petit pot de compote est conforme.
L’entreprise possède deux chaînes de fabrication $F_{1}$ et $F_{2}$.

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment

Partie A

La chaîne de production $F_{2}$ semble plus fiable que la chaîne de production $F_{1}$. Elle est cependant moins rapide.
Ainsi, dans la production totale, $70\%$ des petits pots proviennent de la chaîne $F_{1}$ et $30\%$ de la chaîne $F_{2}$.
La chaîne $F_{1}$ produit $5\%$ de compotes non conformes et la chaîne $F_{2}$ en produit $1\%$.
On prélève au hasard un petit pot dans la production totale. On considère les événements :

  • $E$ : “Le petit pot provient de la chaîne $F_{2}$”
  • $C$ : “Le petit pot est conforme.”
  1. Construire un arbre pondéré sur lequel on indiquera les données qui précèdent.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité de l’événement : “Le petit pot est conforme et provient de la chaîne de production $F_{1}$.”
    $\quad$
  3. Déterminer la probabilité de l’événement $C$.
    $\quad$
  4. Déterminer, à $10^{-3}$ près, la probabilité de l’événement $E$ sachant que l’événement $C$ est réalisé.
    $\quad$

Partie B

  1. On note $X$ la variable aléatoire qui, à un petit pot pris au hasard dans la production de la chaîne $F_{1}$, associe sa teneur en sucre.
    On suppose que $X$ suit la loi normale d’espérance $m_{1} = 0,17$ et d’écart-type $\sigma_{1} = 0,006$.
    Dans la suite, on pourra utiliser le tableau ci-dessous.
    $$\begin{array}{|c|c|c|}
    \hline
    \alpha & \beta & P(\alpha \le X \le \beta)\\\\
    \hline
    0,13 & 0,15 &0,000~4 \\\\
    \hline
    0,14 & 0,16 &0,047~8\\\\
    \hline
    0,15 & 0,17 & 0,499~6 \\\\
    \hline
    0,16 & 0,18 & 0,904~4 \\\\
    \hline
    0,17 & 0,19 & 0,499~6\\\\
    \hline
    0,18 & 0,20 & 0,047~8 \\\\
    \hline
    0,19 & 0,21 & 0,000~4 \\\\
    \hline
    \end{array}$$
    Donner une valeur approchée à $10^{-4}$ près de la probabilité qu’un petit pot prélevé au hasard dans la production de la chaîne $F_{1}$ soit conforme.
    $\quad$
  2. On note $Y$ la variable aléatoire qui, à un petit pot pris au hasard dans la production de la chaîne $F_{2}$, associe sa teneur en sucre.
    On suppose que $Y$ suit la loi normale d’espérance $m_{2} = 0,17$ et d’écart-type $\sigma_{2}$.
    On suppose de plus que la probabilité qu’un petit pot prélevé au hasard dans la production de la chaîne F$_{2}$ soit conforme est égale à $0,99$.
    Soit $Z$ la variable aléatoire définie par $Z = \dfrac{Y – m_{2}}{\sigma_{2}}$.
    a. Quelle loi la variable aléatoire $Z$ suit-elle ?
    $\quad$
    b. Déterminer, en fonction de $\sigma_{2}$ l’intervalle auquel appartient $Z$ lorsque $Y$ appartient à l’intervalle $[0,16;0,18]$.
    $\quad$
    c. En déduire une valeur approchée à $10^{-3}$ près de $\sigma_{2}$.
    On pourra utiliser le tableau donné ci-dessous, dans lequel la variable aléatoire $Z$ suit la loi normale d’espérance $0$ et d’écart-type $1$.
    $$ \begin{array}{|c|c|}
    \hline
    \beta & P(- \beta \le Z \le \beta)\\\\
    \hline
    2,432~4 &0,985\\\\
    \hline
    2,457~3 &0,986\\\\
    \hline
    2,483~8 &0,987\\\\
    \hline
    2,512~1 &0,988\\\\
    \hline
    2,542~7 &0,989\\\\
    \hline
    2,575~8 &0,990\\\\
    \hline
    2,612~1 &0,991\\\\
    \hline
    2,652~1 &0,992\\\\
    \hline
    2,696~8 &0,993\\\\
    \hline
    \end{array}$$

 

Exercice 3  –  6 points

Étant donné un nombre réel $k$, on considère la fonction $f_{k}$ définie sur $\R$ par $$f_{k}(x) = \dfrac{1}{1 + \e^{- kx}}.$$
Le plan est muni d’un repère orthonormé $\Oij$.

Partie A

Dans cette partie on choisit $k = 1$. On a donc, pour tout réel $x,f_{1}(x) = \dfrac{1}{1 + \e^{- x}}$.
La représentation graphique $\mathscr{C}_{1}$ de la fonction $f_{1}$ dans le repère $\Oij$ est donnée en annexe, à rendre avec la copie.

  1. Déterminer les limites de $f_{1}(x)$ en $+ \infty$ et en $- \infty$ et interpréter graphiquement les résultats obtenus.
    $\quad$
  2. Démontrer que, pour tout réel $x, f_{1}(x) = \dfrac{\e^{x}}{1 + \e^{x}}$.
    $\quad$
  3. On appelle $f’_{1}$ la fonction dérivée de $f_{1}$ sur $\R$. Calculer, pour tout réel $x$, $f’_{1}(x)$.
    En déduire les variations de la fonction $f_{1}$ sur $\R$.
    $\quad$
  4. On définit le nombre $I = \displaystyle\int_{0}^1 f_{1}(x)\mathrm{d}x$.
    Montrer que $I = \ln \left(\dfrac{1 + \e}{2}\right)$. Donner une interprétation graphique de $I$.
    $\quad$

Partie B

Dans cette partie, on choisit $k = – 1$ et on souhaite tracer la courbe $\mathscr{C}_{- 1}$ représentant la fonction $f_{- 1}$.
Pour tout réel $x$, on appelle $P$ le point de $\mathscr{C}_{1}$ d’abscisse $x$ et $M $ le point de $\mathscr{C}_{- 1}$ d’abscisse $x$.
On note $K$ le milieu du segment $[MP]$.

  1. Montrer que, pour tout réel $x$, $f_{1}(x) + f_{- 1}(x) = 1$.
    $\quad$
  2. En déduire que le point $K$ appartient à la droite d’équation $y = \dfrac{1}{2}$.
    $\quad$
  3. Tracer la courbe $\mathscr{C}_{- 1}$ sur l’annexe à rendre avec la copie.
    $\quad$
  4. En déduire l’aire, en unités d’aire, du domaine délimité par les courbes $\mathscr{C}_{1}$, $\mathscr{C}_{- 1}$ l’axe des ordonnées et la droite d’équation $x = 1$.
    $\quad$

Partie C

Dans cette partie, on ne privilégie pas de valeur particulière du paramètre $k$.
Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse.

  1. Quelle que soit la valeur du nombre réel $k$, la représentation graphique de la fonction $f_{k}$ est strictement comprise entre les droites d’équations $y = 0$ et $y = 1$.
    $\quad$
  2. Quelle que soit la valeur du réel $k$, la fonction $f_{k}$ est strictement croissante.
    $\quad$
  3. Pour tout réel $k \ge 10$, $f_{k}\left(\dfrac{1}{2}\right) \ge 0,99$.
    $\quad$

Annexe
Représentation graphique $\mathcal{C}_{1}$ de la fonction $f_{1}$

Bac S - liban - mai 2013 - ex3 annexe1

Exercice 4  –  5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

On considère la suite numérique $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $\begin{cases}v_{0} = 1\\\\v_{n + 1}= \dfrac{9}{6 – v_{n}} \end{cases}$

Partie A

  1. On souhaite écrire un algorithme affichant, pour un entier naturel $n$ donné, tous les termes de la suite, du rang $0$ au rang $n$.
    Parmi les trois algorithmes suivants, un seul convient. Préciser lequel en justifiant la réponse.

     Algorithme 1 Algorithme 2 Algorithme 3
    Variables :
    $\quad$ $v$ est un réel
    $\quad$ $i$ et $n$ sont des entiers naturels
    Début de l’algorithme :
    $\quad$ Lire $n$
    $\quad$ $v$ prend la valeur $1$
    $\quad$ Pour $i$ variant de $1$ à $n$ faire
    $\qquad$ $v$ prend la valeur $\dfrac{9}{6 – v}$
    $\quad$ Fin pour
    $\quad$ Afficher $v$
    Fin algorithme
     Variables :
    $\quad$ $v$ est un réel
    $\quad$ $i$ et $n$ sont des entiers naturels
    Début de l’algorithme :
    $\quad$ Lire $n$
    $\quad$ Pour $i$ variant de $1$ à $n$ faire
    $\quad$ $v$ prend la valeur $1$
    $\quad$ Afficher $v$
    $\qquad$ $v$ prend la valeur $\dfrac{9}{6 – v}$
    $\quad$ Fin pour
    Fin algorithme
    Variables :
    $\quad$ $v$ est un réel
    $\quad$ $i$ et $n$ sont des entiers naturels
    Début de l’algorithme :
    $\quad$ Lire $n$
    $\quad$ $v$ prend la valeur $1$
    $\quad$ Pour $i$ variant de $1$ à $n$ faire
    $\quad$ Afficher $v$
    $\qquad$ $v$ prend la valeur $\dfrac{9}{6 – v}$
    $\quad$ Fin pour
    $\quad$ Afficher $v$
    Fin algorithme

    $\quad$

  2. Pour $n = 10$ on obtient l’affichage suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    1&1,800&2,143&2,333&2,455&2,538&2,600&2,647&2,684&2,714\\\\
    \hline
    \end{array}$$
    Pour $n = 100$, les derniers termes affichés sont :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    2,967&2,968&2,968&2,968&2,969&2,969&2,969&2,970&2,970&2,970\\\\
    \hline
    \end{array}$$
    Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite $\left(v_{n}\right)$ ?
    $\quad$
  3. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $0 < v_{n} < 3$.
    $\quad$
    b. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1} – v_{n} = \dfrac{\left(3 – v_{n} \right)^2}{6 – v_{n}}$.
    La suite $\left(v_{n}\right)$ est-elle monotone ?
    $\quad$
    c. Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est convergente.
    $\quad$

Partie B Recherche de la limite de la suite $\left(v_{n}\right)$

On considère la suite $\left(w_{n}\right)$ définie pour tout $n$ entier naturel par $$w_{n} = \dfrac{1}{v_{n} – 3}.$$

  1. Démontrer que $\left(w_{n}\right)$ est une suite arithmétique de raison $- \dfrac{1}{3}$
    $\quad$
  2. En déduire l’expression de $\left(w_{n}\right)$, puis celle de $\left(v_{n}\right)$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  3. Déterminer la limite de la suite $\left(v_{n}\right)$.
    $\quad$

Exercice 4  –  5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

 

On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 3$, $u_{1} = 8$ et, pour tout $n$ supérieur ou égal à $0$ : $$ u_{n + 2} = 5u_{n+1} – 6u_{n}.$$

  1. Calculer $u_{2}$ et $u_{3}$.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n \ge 2$, on souhaite calculer $u_{n}$ à l’aide de l’algorithme suivant :
    Variables :
    $\quad$ $a$, $b$ et $c$ sont des nombres réels
    $\quad$ $i$ et $n$ sont des nombres entiers naturels supérieurs ou égaux à $2$
    Initialisation :
    $\quad$ $a$ prend la valeur $3$
    $\quad$ $b$ prend la valeur $8$
    Traitement :
    $\quad$ Saisir $n$
    $\quad$ Pour $i$ variant de $2$ à $n$ faire
    $\qquad$ $c$ prend la valeur $a$
    $\qquad$ $a$ prend la valeur $b$
    $\qquad$ $b$ prend la valeur $\ldots$
    $\quad$ Fin Pour
    Sortie :
    $\quad$ Afficher $b$
    $\quad$
    a. Recopier la ligne de cet algorithme comportant des pointillés et les compléter.
    On obtient avec cet algorithme le tableau de valeurs suivant:
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    n& 7 &8 &9 &10 &11 &12 &13 &14 &15\\
    \hline
    u_{n}&\scriptsize{4~502} &\scriptsize{13~378} &\scriptsize{39~878} &\scriptsize{119~122} &\scriptsize{356~342} &\scriptsize{1~066~978} &\scriptsize{3~196~838} &\scriptsize{9~582~322} &\scriptsize{28~730~582}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. Quelle conjecture peut-on émettre concernant la monotonie de la suite $\left(u_{n}\right)$ ?$\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n$, on note $C_{n}$ la matrice colonne $\begin{pmatrix}u_{n+1}\\u_{n}\end{pmatrix}$.
    On note $A$ la matrice carrée d’ordre $2$ telle que, pour tout entier naturel $n$, $C_{n+1} = AC_{n}$.
    Déterminer $A$ et prouver que, pour tout entier naturel $n$, $C_{n} = A^nC_{0}$.
    $\quad$
  4. Soient $P = \begin{pmatrix}2&3\\1&1 \end{pmatrix}$, $D = \begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}$ et $Q = \begin{pmatrix}- 1&3\\1&- 2 \end{pmatrix}$.
    Calculer $QP$.
    On admet que $A = PDQ$.
    Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel non nul $n$, $A^n = PD^nQ$.
    $\quad$
  5. À l’aide des questions précédentes, on peut établir le résultat suivant, que l’on admet.
    Pour tout entier naturel non nul $n$, $$A^n = \begin{pmatrix}- 2^{n+1} +3^{n+1}& 3\times 2^{n+1} – 2\times 3^{n+1}\\\\- 2^n +3^n& 3 \times 2^n – 2 \times 3^n \end{pmatrix}.$$
    En déduire une expression de $u_{n}$ en fonction de $n$.
    La suite $\left(u_{n}\right)$ a-t-elle une limite ?
    $\quad$

 

 

 

Bac S – Pondichéry – Avril 2013

Pondichéry  – Avril 2013

Bac S – Mathématiques – Correction

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Exercice 1  –  5 points

Partie 1

On s’intéresse à l’évolution de la hauteur d’un plant de maïs en fonction du temps. Le graphique en annexe 1 représente cette évolution. La hauteur est en mètres et le temps en jours.
On décide de modéliser cette croissance par une fonction logistique du type : $$h(t) = \dfrac{a}{1 + b\e^{- 0,04t}}$$ où $a$ et $b$ sont des constantes réelles positives, $t$ est la variable temps exprimée en jours et $h(t)$ désigne la hauteur du plant, exprimée en mètres.
On sait qu’initialement, pour $t = 0$, le plant mesure $0,1$ m et que sa hauteur tend vers une hauteur limite de $2$ m.

Déterminer les constantes $a$ et $b$ afin que la fonction $h$ corresponde à la croissance du plant de maïs étudié.

 

Partie 2

On considère désormais que la croissance du plant de maïs est donnée par la fonction $f$ définie sur $[0;250]$ par

$$f(t) = \dfrac{2}{1 + 19\e^{- 0,04t}}$$

  1. Déterminer $f'(t)$ en fonction de $t$ ($f’$ désignant la fonction dérivée de la fonction $f$).
    En déduire les variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;250]$.
    $\quad$
  2. Calculer le temps nécessaire pour que le plant de maïs atteigne une hauteur supérieure à $1,5$ m.
    $\quad$
  3. a. Vérifier que pour tout réel $t$ appartenant à l’intervalle $[0;250]$ on a $f(t) = \dfrac{2\e^{0,04t}}{\e^{0,04t} + 19}$.
    $\quad$
    Montrer que la fonction $F$ définie sur l’intervalle $[0;250]$ par $F(t) = 50\ln \left(\e^{0,04t} + 19\right)$ est une primitive de la fonction $f$.
    $\quad$
    b. Déterminer la valeur moyenne de $f$ sur l’intervalle $[50;100]$.
    En donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près et interpréter ce résultat.
    $\quad$
  4. On s’intéresse à la vitesse de croissance du plant de maïs ; elle est donnée par la fonction dérivée de la fonction $f$.
    La vitesse de croissance est maximale pour une valeur de $t$.
    En utilisant le graphique donné en annexe, déterminer une valeur approchée de celle-ci. Estimer alors la hauteur du plant.
    $\quad$

Annexe 1

Bac S - Pondichéry - avril 2013 - ex1 annexe

 

 

Exercice 2  –  4 points

Pour chacune des questions, quatre propositions de réponse sont données dont une seule est exacte. Pour chacune des questions indiquer, sans justification, la bonne réponse sur la copie. Une réponse exacte rapporte $1$ point. Une réponse fausse ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point. Il en est de même dans le cas où plusieurs réponses sont données pour une même question.

L’espace est rapporté à un repère orthonormal. $t$ et $t’$ désignent des paramètres réels.
Le plan $(P)$ a pour équation $x – 2y + 3z + 5 = 0$.
Le plan $(S)$ a pour représentation paramétrique $\begin{cases} x=- 2 + t + 2t’\\\\y=- t – 2t’\\\\z=- 1 – t + 3t’ \end{cases}$
La droite $(D)$ a pour représentation paramétrique $\begin{cases}x=- 2 + t\\\\y=- t \\\\z=- 1 – t \end{cases}$
On donne les points de l’espace $M(-1;2;3)$ et $N(1;-2;9)$.

  1. Une représentation paramétrique du plan $(P)$ est :
    a. $\begin{cases}x= t\\\\y= 1- 2t\\\\ z= -1 + 3t \end{cases}$
    $\quad$
    b. $\begin{cases} x= t + 2t’\\\\y= 1- t + t’\\\\z= – 1 – t\end{cases}$
    $\quad$
    c. $\begin{cases} x=t + t’\\\\ y= 1 – t- 2t’\\\\z= 1 – t – 3t’\end{cases}$
    $\quad$
    d. $\begin{cases} x= 1 + 2t + t’\\\\y= 1 – 2t + 2t’\\\\z= – 1 – t’\end{cases}$
    $\quad$
  2. a. La droite $(D)$ et le plan $(P)$ sont sécants au point $A(- 8;3;2)$.
    $\quad$
    b. La droite $(D)$ et le plan $(P)$ sont perpendiculaires.
    $\quad$
    c. La droite $(D)$ est une droite du plan $(P)$.
    $\quad$
    d. La droite $(D)$ et le plan $(P)$ sont strictement parallèles.
    $\quad$
  3. a. La droite $(MN)$ et la droite $(D)$ sont orthogonales.
    $\quad$
    b. La droite $(MN)$ et la droite $(D)$ sont parallèles.
    $\quad$
    c. La droite $(MN)$ et la droite $(D)$ sont sécantes.
    $\quad$
    d. La droite $(MN)$ et la droite $(D)$ sont confondues.
    $\quad$
  4. a. Les plans $(P)$ et $(S)$ sont parallèles.
    $\quad$
    b. La droite $(\Delta)$ de représentation paramétrique $\begin{cases}x=t\\\\y=- 2 – t\\\\z = -3-t \end{cases}$ est la droite d’intersection des plans $(P)$ et $(S)$.
    $\quad$
    c. Le point $M$ appartient à l’intersection des plans $(P)$ et $(S)$.
    $\quad$
    d. Les plans $(P)$ et $(S)$ sont perpendiculaires.
    $\quad$

Exercice 3  –  5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct $\Ouv$.
On note $\ic$ le nombre complexe tel que $\ic^2 = – 1$.
On considère le point $A$ d’affixe $z_A = 1$ et le point $B$ d’affixe $z_B = \ic$.
À tout point $M$ d’affixe $z_{M} = x + \ic y$, avec $x$ et $y$ deux réels tels que $y \neq 0$, on associe le point $M’$ d’affixe $z_{M’} = – \ic z_{M}$.
On désigne par $I$ le milieu du segment $[AM]$.
Le but de l’exercice est de montrer que pour tout point $M$ n’appartenant pas à $(OA)$, la médiane $(OI)$ du triangle $OAM$ est aussi une hauteur du triangle $OBM’$ (propriété 1) et que $BM’ = 2 OI$ (propriété 2).

  1. Dans cette question et uniquement dans cette question, on prend $z_{M} = 2\e^{- \ic\frac{\pi}{3}}$.
    a. Déterminer la forme algébrique de $z_{M}$.
    $\quad$
    b. Montrer que $z_{M’} = – \sqrt{3} – \ic$.
    $\quad$
    c. Déterminer le module et un argument de $z_{M’}$.
    $\quad$
    d. Placer les points $A$, $B$, $M$, $M’$ et $I$ dans le repère $\Ouv$ en prenant $2$ cm pour unité graphique.
    Tracer la droite $(OI)$ et vérifier rapidement les propriétés 1 et 2 à l’aide du graphique.
    $\quad$
  2. On revient au cas général en prenant $z_{M} = x + \ic y$ avec $y \neq 0$.
    a. Déterminer l’affixe du point $I$ en fonction de $x$ et $y$.
    $\quad$
    b. Déterminer l’affixe du point $M’$ en fonction de $x$ et $y$.
    $\quad$
    c. Écrire les coordonnées des points $I$, $B$ et $M’$.
    $\quad$
    d. Montrer que la droite $(OI)$ est une hauteur du triangle $OBM’$.
    $\quad$
    e. Montrer que $BM’ = 2 OI$.
    $\quad$

Exercice 3  –  5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

On étudie l’évolution dans le temps du nombre de jeunes et d’adultes dans une population d’animaux.
Pour tout entier naturel $n$, on note $j_{n}$ le nombre d’animaux jeunes après $n$ années d’observation et $a_{n}$ le nombre d’animaux adultes après $n$ années d’observation.
Il y a au début de la première année de l’étude, $200$ animaux jeunes et $500$ animaux adultes.
Ainsi $j_{0} = 200$ et $a_{0} = 500$.
On admet que pour tout entier naturel $n$ on a : $$\begin{cases} j_{n+ 1}  = 0,125j_{n} + 0,525a_{n}\\\\a_{n+1} = 0,625j_{n} + 0,625a_{n} \end{cases}$$
On introduit les matrices suivantes :
$A = \begin{pmatrix} 0,125 &0,525\\ 0,625& 0,625\\ \end{pmatrix}$ et, pour tout entier naturel $n, U_{n} = \begin{pmatrix}j_{n}\\a_{n}\end{pmatrix}$.

  1. a. Montrer que pour tout entier naturel $n, U_{n+ 1} = A \times U_{n}$.
    $\quad$
    b. Calculer le nombre d’animaux jeunes et d’animaux adultes après un an d’observation puis après deux ans d’observation (résultats arrondis à l’unité près par défaut).
    c. Pour tout entier naturel $n$ non nul, exprimer $U_{n}$ en fonction de $A^n$ et de $U_{0}$.
    $\quad$
  2. On introduit les matrices suivantes $Q = \begin{pmatrix}7&3\\-5& 5\\ \end{pmatrix}$ et $D = \begin{pmatrix}- 0,25&0\\0& 1\end{pmatrix}$.
    $\quad$
    a. On admet que la matrice $Q$ est inversible et que $Q^{- 1} = \begin{pmatrix} 0,1&-0,06\\0,1& 0,14\end{pmatrix}$.
    Montrer que $Q \times D \times Q^{- 1} = A$.
    $\quad$
    b. Montrer par récurrence sur $n$ que pour tout entier naturel $n$ non nul : $A^n = Q \times D^n \times Q^{- 1}$.
    $\quad$
    c. Pour tout entier naturel $n$ non nul, déterminer $D^n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  3. On admet que pour tout entier naturel $n$ non nul, $$A^n = \begin{pmatrix}0,3 + 0,7 \times (- 0,25)^n&0,42 – 0,42 \times (- 0,25)^n \\\\ 0,5 – 0,5 \times (- 0,25)^n& 0,7 + 0,3 \times (- 0,25)^n\end{pmatrix}$$
    a. En déduire les expressions de $j_{n}$ et $a_{n}$ en fonction de $n$ et déterminer les limites de ces deux suites.
    $\quad$
    b. Que peut-on en conclure pour la population d’animaux étudiée ?
    $\quad$

Exercice 4  –  6 points

Dans une entreprise, on s’intéresse à la probabilité qu’un salarié soit absent durant une période d’épidémie de grippe.

  • Un salarié malade est absent
  • La première semaine de travail, le salarié n’est pas malade.
  • Si la semaine $n$ le salarié n’est pas malade, il tombe malade la semaine $n + 1$ avec une probabilité égale à $0,04$.
  • Si la semaine $n$ le salarié est malade, il reste malade la semaine $n + 1$ avec une probabilité égale à $0,24$.

On désigne, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, par $E_{n}$ l’événement “le salarié est absent pour cause de maladie la $n$-ième semaine”. On note $p_{n}$ la probabilité de l’événement $E_{n}$.
On a ainsi : $p_{1} = 0$ et, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1 : $0 \le p_{n} < 1$.

  1. a. Déterminer la valeur de $p_{3}$ à l’aide d’un arbre de probabilité.
    $\quad$
    b. Sachant que le salarié a été absent pour cause de maladie la troisième semaine, déterminer la probabilité qu’il ait été aussi absent pour cause de maladie la deuxième semaine.
    $\quad$
  2. a. Recopier sur la copie et compléter l’arbre de probabilité donné ci-dessous
    Bac S - Pondichéry - avril 2013 - ex4$\quad$
    b. Montrer que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1$, $p_{n+ 1} = 0,2p_{n} + 0,04$.
    $\quad$
    c. Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1$ par $u_{n} = p_{n} – 0,05$ est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison $r$.
    En déduire l’expression de $u_{n}$ puis de $p_{n}$ en fonction de $n$ et $r$.
    $\quad$
    d. En déduire la limite de la suite $\left(p_{n}\right)$.
    $\quad$
    e. On admet dans cette question que la suite $\left(p_{n}\right)$ est croissante. On considère l’algorithme suivant :
    Variables
    $\quad$ $K$ et $J$ sont des entiers naturels, $P$ est un nombre réel
    Initialisation
    $\quad$ $P$ prend la valeur $0$
    $\quad$ $J$ prend la valeur $1$
    Entrée
    $\quad$ Saisir la valeur de $K$
    Traitement
    $\quad$ Tant que $P < 0,05 – 10^{- K}$
    $\qquad$ $P$ prend la valeur $0,2 \times P + 0,04$
    $\qquad$ $J$ prend la valeur $J + 1$
    $\quad$ Fin tant que
    Sortie
    $\quad$ Afficher $J$
    $\quad$
    À quoi correspond l’affichage final $J$ ?
    Pourquoi est-on sûr que cet algorithme s’arrête ?
    $\quad$
  3. Cette entreprise emploie $220$ salariés. Pour la suite on admet que la probabilité pour qu’un salarié soit malade une semaine donnée durant cette période d’épidémie est égale à $p = 0,05$.
    On suppose que l’état de santé d’un salarié ne dépend pas de l’état de santé de ses collègues.
    On désigne par $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de salariés malades une semaine donnée.
    a. Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
    Calculer l’espérance mathématique $\mu$ et l’écart type $\sigma$ de la variable aléatoire $X$.
    $\quad$
    b. On admet que l’on peut approcher la loi de la variable aléatoire $\dfrac{X – \mu}{\sigma}$ par la loi normale centrée réduite c’est-à-dire de paramètres $0$ et $1$.
    On note $Z$ une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite.
    Le tableau suivant donne les probabilités de l’événement $Z < x$ pour quelques valeurs du nombre réel $x$.
    $$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    x& -1,55 &-1,24 &-0,93 &- 0,62 &- 0,31 &0,00 &0,31 &0,62 &0,93 &1,24 &1,55\\\\
    \hline
    P(Z < x)& 0,061 &0,108 &0,177 &0,268 &0,379 &0,500 &0,621 &0,732 &0,823 &0,892 &0,939\\\\
    \hline
    \end{array}$$
    Calculer, au moyen de l’approximation proposée en question b., une valeur approchée à $10^{-2}$ près de la probabilité de l’événement : “le nombre de salariés absents dans l’entreprise au cours d’une semaine donnée est supérieur ou égal à $7$ et inférieur ou égal à $15$”
    $\quad$

TS – Polynésie – Juin 2013

Polynésie – Juin 2013

Bac S – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac se trouve ici.

Exercice 1

  1. a. Points d’intersection avec l’axe des abscisses :
    On cherche donc à résoudre:
    $$\begin{align} f(x) = 0 & \Leftrightarrow (x+2)\text{e}^{-x} = 0 \\
    & \Leftrightarrow x+2 = 0 \\
    & \Leftrightarrow x = -2
    \end{align}
    $$
    La fonction exponentielle ne s’annule jamais.
    Le point d’intersection de $\mathscr{C}$ avec l’axe des abscisses a pour coordonnées $(-2;0)$
    $~$
    Point d’intersection avec l’axe des ordonnées : $f(0)=2$.
    Le point d’intersection avec l’axe des ordonnées a pour coordonnées $(0;2)$.
    $~$
    b. $\lim\limits_{x \rightarrow – \infty} x+2 = -\infty$ et $\lim\limits_{x \rightarrow – \infty} \text{e}^{-x} = +\infty$ donc $\lim\limits_{x \rightarrow – \infty} f(x) = -\infty$
    $~$
    $f(x) = x\text{e}^{-x} + 2\text{e}^{-x}$.
    Par conséquent $\lim\limits_{x \rightarrow + \infty} x\text{e}^{-x} = \lim\limits_{x \rightarrow – \infty}-x\text{e}^x = 0$ et $\lim\limits_{x \rightarrow + \infty} \text{e}^{-x} = 0$ donc $\lim\limits_{x \rightarrow + \infty} f(x) = 0$
    Il y a donc une asymptote horizontale d’équation $y=0$
    $~$
    c. $f$ est un produit de fonctions dérivables sur $\R$, elle est donc dérivable sur $\R$ également.
    $$f'(x) = \text{e}^{-x}-(x+2)\text{e}^{-x} = -(x+1)\text{e}^{-x}$$
    La fonction exponentielle étant toujours positive, le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $-(x+1)$.ts - polynésie - juin2013 - ex1
    $f(-1)=\text{e}$
    La fonction $f$ est donc croissante sur $]-\infty;-1]$ et décroissante sur $[-1;+\infty[$.
    $~$
  2. a. On a donc $$\begin{align} S &= \dfrac{1}{4}\left(f(0)+f\left(\dfrac{1}{4}\right) + f\left(\dfrac{1}{2} \right) + f\left(\dfrac{3}{4} \right) \right) \\\\
    & = 1,642 \text{ à} 10^{-3} \text{ près}
    \end{align}
    $$
    b. Chacun des $N$ rectangles a une largeur de $\dfrac{1}{N}$
    $~$
    Variables :
    $\quad$ $k$ est un nombre entier
    $\quad$ $S$ est un nombre réel
    $\quad$ $N$ est un nombre entier supérieur ou égal à $2$
    Initialisation :
    $\quad$ Affecter à $S$ la valeur $0$
    Traitement :
    $\quad$ Pour $k$ variant de $0$ à $N-1$
    $\qquad$ Affecter à $S$ la valeur $S + \dfrac{1}{N}f\left( \dfrac{k}{N} \right)$
    $\quad$ Fin Pour
    Sortie :
    $\quad$ Afficher $S$
    $~$
  3. a.
    La fonction $f$ étant positive sur l’intervalle $[0;1]$ on a donc :
    $$ \begin{align} \mathscr{A} &= \int_0^1 f(x) \text{d}x \\\\
    & =g(1) – g(0) \\\\
    &=-4\text{e}^{-1} + 3 \text{ u.a.}
    \end{align}$$
    b. L’erreur commise est donc : $S – \mathscr{A} \approx 0,114$ à $10^{-3}$ près.

$~$

Exercice 2

  1. $\text{i} \dfrac{z_1}{z_2} $ $=\text{e}^{\text{i}\pi/2}\dfrac{\sqrt{6}\text{e}^{\text{i}\pi/4}}{\sqrt{2}\text{e}^{-\text{i}\pi/3}}$ $=\sqrt{3}\text{e}^{\text{i}(\pi/2+\pi/4+\pi/3)}$ $=\sqrt{3}\text{e}^{13\text{i}\pi/12}$
    Réponse d
    $~$
  2. On pose $z=x+iy$
    $$-z=\bar{z} \Leftrightarrow -x-\text{i}y = x – iy \Leftrightarrow x = 0$$
    Réponse c
    $~$
  3. $\vec{AB}(-2;3;1)$ et $C(-1;0;4)$
    Une réprésentation paramétrique de cette droite est donc :
    $$\begin{cases} x=-1-2t \\\\
    y=0+3t \qquad t \in \R \\\\
    z=4+t
    \end{cases}$$
    Réponse a
    $~$
  4. Un vecteur directeur de $\Delta$ est $\vec{u}(1;1;2)$.$\vec{u}.\vec{n} = 1 \times 3 + 1 \times (-5) + 2\times 1 = 0$.
    Par conséquent ces $2$ vecteurs sont orthogonaux et $\Delta$ est parallèles à $\mathscr{P}$.
    $~$
    Une équation cartésienne du plan est de la forme : $$3x-5y+z-d=0$$
    Or $D \in \mathscr{P}$ .
    Donc $3 \times (-1) – 5 \times 2 + 3 + d = 0$ et $d= 10$.
    Une équation de $\mathscr{P}$ est, par conséquent : $$3x-5y+z+10=0$$
    Le point de coordonnées (-7;3;5) appartient à $\Delta$.
    Regardons si ce point appartient également au plan :
    $$3 \times (-7) – 5\times 3 + 5 + 10 = -21 \ne 0$$
    Réponse b
    $~$

Exercice 3

Partie 1

  1. $~$
    ts - polynésie - juin2013 - ex3
    On a donc $p(C \cap H) = 0,3 \times \dfrac{5}{6} = 0,25$
    $~$
  2. a. $p(H) \times p(C) = \dfrac{13}{20} \times 0,3 = 0,195 \ne 0,25$
    Donc les $2$ événements ne sont pas indépendants.
    $~$
    b. $p(H) = p(J \cap H) + p(V \cap H) + p(C \cap H)$
    Donc $p(J \cap H) = \dfrac{13}{20} – \dfrac{4}{9} \times 0,45 – 0,25 = 0,2$.
    $~$
    Par conséquent $$p_J(H) = \dfrac{p(J \cap H)}{p(J)} = 0,8$$

$~$

Partie 2

  1. $n = 60 \ge 30$ $np = 60 \times 0,3 = 18 \ge 5$ et $n(1-p) = 60 \times 0,7 = 42 \ge 5$
    Un intervalle de fluctuation au seuil de $95\%$ est donc :
    $$\begin{align} I_{60} &= \left[ 0,3 – 1,96 \times \dfrac{\sqrt{0,3 \times 0,7}}{\sqrt{60}};0,3 + 1,96 \times \dfrac{\sqrt{0,3 \times 0,7}}{\sqrt{60}} \right] \\\\
    & = \left[ 0,3 – 1,96 \sqrt{0,0035};0,3+1,96\sqrt{0,0035} \right] \\\\
    & (\approx [0,184;0,416])
    \end{align}$$
  2. La fréquence observée est donc $\dfrac{12}{60} = 0,2 \in I_{60}$.
    La lecture aléatoire n’est donc pas défectueuse.
    $~$

Partie 3

  1. $P(180 \le X \le 220) = P(x \le 220) – P(X \le 180)$ $ = 0,841 – 0,159 $ $= 0,682$
    $~$
  2. On cherche donc :
    $$\begin{align} P(X \ge 240) & = 1 – P(0 \le X \le 240) \\\\
    & = 1 – 0,977 \\\\
    & = 0,023
    \end{align}$$

$~$

Exercice 4

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

  1. a. $u_1 = \dfrac{3u_0}{1+2u_0} = 0,75$ $\quad$ $u_2 = \dfrac{3u_1}{1+2u_1} = 0,9$
    $~$
    b. Initialisation : $u_0 = 0,5 > 0$. La propriété est donc vraie au rang $0$
    $~$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $0 < u_n$.
    Alors $u_{n+1} = \dfrac{3u_n}{1+2u_n}$ est un quotient dont le numérateur et le dénominateur sont positifs.
    Donc $u_{n+1} > 0$
    La propriété est, par conséquent, vraie au rang $n+1$.
    $~$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$. En la supposant vraie au rang $n$, elle est encore vraie au rang $n+1$.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, $0< u_n$.
    $~$
  2. a. $~$
    $$\begin{align} u_{n+1}-u_{n} &= \dfrac{3u_n}{1+2u_n} – u_n \\\\
    & = \dfrac{3u_n}{1+2u_n} – \dfrac{u_n+2u_n^2}{1+2u_n} \\\\
    & = \dfrac{2u_n-2u_n^2}{1+2u_n} \\\\
    & = \dfrac{2u_n(1-u_n)}{1+2u_n}
    \end{align}$$
    On sait que $0 < u_n < 1$ donc $u_{n+1} – u_n > 0$.
    La suite $(u_n)$ est donc croissante.
    $~$
    b. La suite $(u_n)$ est croissante et majorée; elle est donc convergente.
    $~$
  3. a. $~$
    $$\begin{align} v_{n+1} &= \dfrac{u_{n+1}}{1-u_{n+1}} \\\\
    & = \dfrac{\dfrac{3u_n}{1+2u_n}}{1 – \dfrac{3u_n}{1+2u_n}} \\\\
    &= \dfrac{\dfrac{3u_n}{1+2u_n}}{\dfrac{1+2u_n-3u_n}{1+2u_n}} \\\\
    &=\dfrac{3u_n}{1+2u_n} \times \dfrac{1+2u_n}{1-u_n} \\\\
    &= 3 \dfrac{u_n}{1-u_n} \\\\&=3v_n
    \end{align}$$
    $(v_n)$ est donc une suite géométrique de raison $3$.
    $~$
    b. $v_0 = \dfrac{0,5}{1 – 0,5} = 1$ donc $v_n = 3^n$.
    $~$
    c. $~$
    $$ \begin{align} v_n = \dfrac{u_n}{1-u_n}& \Leftrightarrow 3^n = \dfrac{u_n}{1-u_n} \\\\
    &\Leftrightarrow (1-u_n) \times 3^n = u_n \\\\
    & \Leftrightarrow 3^n = u_n + 3^n u_n \\\\
    & \Leftrightarrow u_n = \dfrac{3^n}{1+3^n}
    \end{align}$$
    d. $\dfrac{1+3^n}{3^n} = \dfrac{1}{3^n} + 1$ or $\lim\limits_{n \rightarrow + \infty} \dfrac{1}{3^n} = 0$ (car $3 > 1$).
    Par conséquent $\lim\limits_{n \rightarrow + \infty} \dfrac{1}{u_n} = \lim\limits_{n \rightarrow + \infty} \dfrac{1 + 3^n}{3^n} = 1$ et $\lim\limits_{n \rightarrow + \infty} u_n = 1$

$~$

Exercice 4

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

  1. a. $a_1 = 0,7 \times 300 + 0,2 \times 300 + 60 = 330$
    et $b_1 = 0,1 \times 300 + 0,6 \times 300 + 70 = 280$
    Donc $U_1 = \begin{pmatrix} 330 \\\\280 \end{pmatrix}$.
    $~$
    b. $~$
    $$ \begin{align} M \times U_n + P &= \begin{pmatrix} 0,7\times a_n + 0,2\times b_n \\\\0,1 \times a_n + 0n6 \times b_n \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 60 \\\\70 \end{pmatrix} \\\\
    &= \begin{pmatrix} 0,7 \times a_n + 0,2\times b_n + 60\\\\0,1 \times a_n + 0,6 \times b_n + 70 \end{pmatrix} \\\\
    &=\begin{pmatrix} a_{n+1}\\\\b_{n+1} \end{pmatrix} \\\\
    &=U_{n+1}
    \end{align}$$
  2. a. $(I – M) = \begin{pmatrix} 0,3&-0,2 \\\\ -0,1&0,4 \end{pmatrix}$
    Donc $(I-M) \times \begin{pmatrix} 4&2\\\\1&3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&0 \\\\0&1 \end{pmatrix} = I$.
    $~$
    b. Par conséquent $I-M$ est inversible et son inverse est $\begin{pmatrix} 4&2\\\\1&3 \end{pmatrix}$.
    $~$
    c. On veut que :
    $$\begin{align} U = M \times U + P & \Leftrightarrow U – M \times U = P \\\\
    & \Leftrightarrow (I-M)U = P \\\\
    &\Leftrightarrow U = (I – M)^{-1} \times P \\\\
    & \Leftrightarrow U = \begin{pmatrix} 380 \\\\270 \end{pmatrix}
    \end{align}$$
  3. a. $~$
    $$\begin{align} V_{n+1} &= U_{n+1}-U \\\\
    & = M \times U_n + P -(M \times U + P) \\\\
    &= M \times U_n – M \times U \\\\
    &= M \times (U_n – U) \\\\
    &= M \times V_n
    \end{align}$$
    b. Montrons ce résultat par récurrence.
    Initialisation : $M^0 \times V_0 = I \times V_0 = V_0$.
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $~$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $V_n = M^n \times V_0$.
    Alors $V_{n+1} = M \times V_n = M \times M^n \times V_0 = M^{n+1} \times V_0$.
    La propriété est vraie au rang $n+1$.
    $~$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$. En la supposant vraie au rang $n$, elle est encore vraie au rang $n+1$.
    Donc pour tout entier naturel $n$, $V_n = M^n \times V_0$.
    $~$
  4. a. On a donc $$U_n = V_n + U = \begin{pmatrix} \dfrac{-100}{3} \times 0,8^n – \dfrac{140}{3} \times 0,5^n + 380 \\\\ \dfrac{-50}{3} \times 0,8^n + \dfrac{140}{3} \times 0,5^n + 270 \end{pmatrix}$$
    Par conséquent $a_n = \dfrac{-100}{3} \times 0,8^n – \dfrac{140}{3} \times 0,5^n + 380$.
    Or $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} 0,8^n = 0$ car $-1 < 0,8 < 1$
    et $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} 0,5^n = 0$ car $-1 < 0,5 < 1$.
    Donc $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} a_n = 380$.
    $~$
    b. A long terme l’opérateur A aura donc $380~000$ abonnés.

TS – Métropole – Juin 2013

Métropole –  Juin 2013

Bac S – Mathématiques – Correction

Vous pouvez trouver l’énoncé de ce sujet de bac ici.

Exercice 1

  1. a.
    TS - métropole - juin 2013 - ex1
    b. $p(C \cap H_3) = 0,4 \times 0,3 = 0,12$
    $~$
    c. D’après la propriété des probabilités totales on a :
    $$\begin{align} p(C) &= p(C \cap H_1) + p(C \cap H_2) + p(C \cap H_3) \\\\
    &=0,35 \times 0,8 + 0,25 \times 0,5 + 0,12 \\\\
    &=0,525
    \end{align}$$
    d. $p_C(H_1) = \dfrac{p(C \cap H_1)}{p(C)} = \dfrac{0,35 \times 0,8}{0,525} \approx 0,533$
    $~$
  2. a. Les $10$ tirages sont aléatoires, identiques et indépendants. Chaque tirage ne possède que $2$ issues : $C$ et $\bar{C}$. De plus $p(C) = 0,525$.
    La variable aléatoire $X$ suit donc une loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,525$.
    $~$
    b. $P(x=5) = \binom{10}{5}0,525^5 \times (1-0,525)^{10-5} \approx 0,243$
    $~$
    c. $P(X \le 8) = 1 – P(x = 9) – P(X = 10) = 0,984$

$~$

Exercice 2

  1. a. $f(1) = 2$ et $f'(1) = 0$ (tangente horizontale)
    $~$
    b. $f'(x) = \dfrac{\dfrac{b}{x} \times x – (a + b\ln x)}{x^2} = \dfrac{b-a-b\ln x}{x^2}$
    $~$
    c. $f(1) = a = 2$ et $f'(1) = b-a = 0$ donc $b=a=2$
    $~$
  2. a. On a donc $f'(x) = \dfrac{-2\ln x}{x^2}$.
    $x^2 > 0$ donc le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $-\ln x$.
    $~$
    b. $\lim\limits_{x \rightarrow 0} 2 + 2\ln x = -\infty$ $\quad$ $\lim\limits_{x \rightarrow 0} \dfrac{1}{x} = +\infty$ $\quad$ donc $\lim\limits_{x \rightarrow 0}f(x) = -\infty$.
    On a également :
    $$f(x) = \dfrac{2+2\ln x}{x} = \dfrac{2}{x} + \dfrac{2\ln x}{x}$$
    $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{2}{x} = 0$ $\quad$ $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{\ln x}{x} = 0$ $\quad$ donc $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x) = 0$
    $~$
    c.
    TS - métropole - juin 2013 - ex2
  3. a. La fonction $f$ est continue et strictement croissante sur $[0;1]$.
    $\lim\limits_{x \rightarrow 0} = -\infty$ et $f(1) = 2$.
    Donc $1 \in ]-\infty;2]$
    D’après le théorème de la bijection, l’équation $f(x) = 1$ possède donc une unique solution sur $[0;1].
    $~$
    b. $f(5) \approx 1,04$ et $f(6)\approx 0,93$.On a donc $5 < \beta < 6$ et $n=5$
    $~$
  4. a.
    étape $1$ étape $2$ étape $3$ étape $4$ étape $5$
    $a$ $0$ $0$ $0,25$ $0,375$ $0,4375$
    $b$ $1$ $0,5$ $0,5$ $0,5$ $0,5$
    $b-a$ $1$ $0,5$ $0,25$ $0,125$ $0,0625$
    $m$ $0,5$ $0,25$ $0,375$ $0,4375$

    b. L’algorithme fournit les $2$ bornes d’un encadrement d’amplitude $10^{-1}$ de $\alpha$.
    $~$
    c. Dans l’initialisation il faut écrire :
    $\qquad$ Affecter à $a$ la valeur $5$
    $\qquad$ Affecter à $b$ la valeur $6$
    Dans le traitement :
    $\qquad$ Si $f(m) > 1$ alors affecter à $a$ la valeur $m$
    Dans la sortie (si on veut respecter exactement l’amplitude de $10^{-1}$ :
    à la place de “Afficher $b$” il faut écrire “Afficher $a+0,1$
    $~$

  5. a. Le rectangle $OABC$ a une aire de $2 \times 1 = 2$ u.a.
    On veut partager cette aire en $2$ aires égales. Il faut donc que chacune d’entre-elles ait une aire de $1$ u.a.
    $~$
    La courbe coupe l’axe des abscisses en $D\left( \dfrac{1}{e};0 \right)$.
    L’aire sous la courbe vaut donc  $\displaystyle \int_{\frac{1}{\text{e}}}^1 f(x)\text{d}x$.
    On veut donc montrer que $\displaystyle \int_{\frac{1}{\text{e}}}^1 f(x)\text{d}x = 1$.
    $~$
    b. $$\begin{align}  \int_{\frac{1}{\text{e}}}^1 f(x)\text{d}x &=  \int_{\frac{1}{\text{e}}}^1 \dfrac{2}{x}+ 2\dfrac{\ln x}{x} \text{d}x \\\\
    &=\left[2\ln(x) + (\ln x)^2 \right]_\frac{1}{\text{e}}^1 \\\\
    &=-2\ln \dfrac{1}{\text{e}} – \left(\ln \dfrac{1}{\text{e}} \right)^2 \\\\
    &=2-1 \\\\
    &=1
    \end{align}$$

Exercice 3

  1. $|z-\text{i}| = |z+1|$ est l’ensemble des points équidistants de $A(\text{i})$ et $B(-1)$.
    Il s’agit donc de la médiatrice de $[AB]$
    Affirmation vraie.
    $~$
  2. $\left(1+\text{i}\sqrt{3} \right)^4 = \left(2\text{e}^{\text{i}\pi/3}\right)^4$ $=16\text{e}^{4\text{i}\pi/3}$.
    L’argument de ce nombre complexe n’est pas congru à $0$ modulo $\pi$. Il n’est donc pas réel.
    On peut aussi déterminer l’écriture algébrique de ce nombre : $-8 – 8\text{i}\sqrt{3}$
    Affirmation fausse.
    $~$
  3. $$\begin{align} \vec{EC}.\vec{BG} &= \left(-\vec{AE} + \vec{AB} + \vec{BC} \right).\left(\vec{BC} + \vec{CG} \right) \\\\
    & = -AE^2+BC^2 \\\\
    &=-1+1 \\\\
    &= 0
    \end{align}
    $$
    Affirmation vraie.
    $~$
  4. Un vecteur normal au plan est un vecteur directeur de la droite.
    D’après l’équation cartésienne du plan, un vecteur normal est $\vec{n}(1;1;3)$.
    Une représentation paramétrique de la droite est donc :
    $$\begin{cases} x=1+t \\\\y=-2+t \qquad t \in \R \\\\z=-2+3t \end{cases}$$
    Regardons si le point $S'(2;-1;1)$ appartient à cette droite.
    Si on prend $t=1$, on obtient bien les coordonnées de $S’$.
    Affirmation vraie.

$~$

Exercice 4

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

  1. On a donc $v_{n+1} = (1 – 0,05)v_n+0,01c_n = 0,95v_n+0,01c_n$
    Et $c_{n+1} = 0,05v_n+0,99c_n$
    $~$
  2. $Y=AX$ donc $c=0,95a+0,01b$ et $d=0,05a+0,99b$
    $~$
  3. a. $PQ = \begin{pmatrix} 6&0\\\\0&6 \end{pmatrix}$ et $QP = \begin{pmatrix} 6&0 \\\\0&6 \end{pmatrix}$
    Par conséquent $P$ est inversible et $P^{-1} = \dfrac{1}{6}Q$
    $~$
    b. $P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 1&0 \\\\0&0,94 \end{pmatrix} = D$
    $~$
    c. Initialisation : Si $n=1$ alors $PDP^{-1} = PP^{-1}APP^{-1} = A$
    La propriété est vraie au rang $1$.
    Hérédité : Supposons le propriété vraie au rang $n$ : $A^n = PD^nP^{-1}$
    Alors :
    $\begin{align} A^{n+1}&=AA^n \\\\
    &= PDP^{-1}PD^nP^{-1}\\\\
    &= PDD^nP^{-1} \\\\
    &=PD^{n+1}P^{-1}
    \end{align}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$. En la supposant vraie au rang $n$, elle est encore vraie au rang suivant.
    Donc, pour tout entier naturel supérieur ou égal à $1$, $A^n=PD^nP^{-1}$
    $~$
  4. $\lim\limits_{n \rightarrow + \infty} 0,94^n$ car $-1 < 0,94 < 1$
    Donc $\lim\limits_{n \rightarrow + \infty} v_n = \dfrac{1}{6}v_0+\dfrac{1}{6}c_0 = \dfrac{1}{6}(v_0+c_0) = \dfrac{250~000}{6} = \dfrac{125~000}{3}$
    $~$
    La population citadine sera, au bout d’un grand nombre d’années de $\dfrac{125~000}{3}$ habitants.
    $~$

Exercice 4

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

  1. a. $u_1 \approx 2,33$ $\quad$ $u_2 \approx 2,89$ $\quad$ $u_3 \approx 3,59$ $\quad$ $u_4 \approx 4,40$
    $~$
    b. Il semblerait que la suite $(u_n)$ soit croissante.
    $~$
  2. a. Initialisation : $n=0$, $u_0 = 2 \le 0 +3$.
    La propriété est vraie au rang $0$.
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $u_n \le n + 3$
    Alors :
    $$\begin{align} u_{n+1} &\le \dfrac{2}{3}(n+3) + \dfrac{1}{3}n + 1 \\\\
    & \le n+2+1 \\\\
    & \le n+3 \\\\
    & \le n+1+3
    \end{align}
    $$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$. En la supposant vraie au rang $n$, elle est encore vraie au rang suivant.
    $~$
    Donc, pour tout entier naturel $n$, $u_n \le n+3$
    $~$
    b. $~$
    $\begin{align} u_{n+1}-u_n &= \dfrac{2}{3}u_n + \dfrac{1}{3}n+1 – u_n \\\\
    &= -\dfrac{1}{3}u_n + \dfrac{1}{3}(n+3) \\\\
    &=\dfrac{1}{3}(n+3-u_n)
    \end{align}$
    $~$
    c. On sait que $n+3 – u_n \ge 0$ donc $u_{n+1}-u_n \ge 0$ et la suite $(u_n)$ est croissante.
    $~$
  3. a. $~$
    $\begin{align} v_{n+1} &=u_{n+1}-n-1 \\\\
    &=\dfrac{2}{3}u_n+\dfrac{1}{3}n+1-n-1 \\\\
    &=\dfrac{2}{3}u_n-\dfrac{2}{3}n \\\\
    &= \dfrac{2}{3}v_n
    \end{align}
    $
    $~$
    La suite $(v_n)$ est donc une suite géométrique de raison $\dfrac{2}{3}$ et de premier terme $v_0=2$.
    $~$
    b. On a donc $v_n=2 \times \left(\dfrac{2}{3} \right)^n$ et $u_n = n+v_n = n+2\times \left( \dfrac{2}{3} \right)^n$.
    $~$
    c. $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} n=+\infty$ et $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}\left( \dfrac{2}{3}\right)^n = 0$ car $-1 < \dfrac{2}{3} < 1$.
    Donc $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n = +\infty$
    $~$
  4. a. $~$
    $$\begin{align} S_n &= 0 + 1 + 2 +\ldots+n+2\left(1 + \dfrac{2}{3}+\ldots+\left(\dfrac{2}{3}\right)^n\right) \\\\
    &=\dfrac{n(n+1)}{2} + 2 \dfrac{1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n+1}}{1-\dfrac{2}{3}} \\\\
    &=\dfrac{n(n+1)}{2} + 6\left(1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n+1}\right)
    \end{align}$$
    b. $~$
    $\begin{align} T_n &=\dfrac{\dfrac{n(n+1)}{2} + 6\left(1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n+1}\right)}{n^2} \\\\
    &= \dfrac{\dfrac{n(n+1)}{2}}{n^2} + \dfrac{6\left(1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n+1}\right)}{n^2}
    \end{align}
    $
    $~$
    Or $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}  \dfrac{\dfrac{n(n+1)}{2}}{n^2} = \dfrac{1}{2}$ (limite des termes de plus haut degré)
    $~$
    $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}  \dfrac{6\left(1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n+1}\right)}{n^2} = 0$
    $~$
    Donc $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} T_n = \dfrac{1}{2}$

TS – Liban – Mai 2013

Liban – Mai 2013

Bac S – Mathématiques – Correction

Vous pouvez trouver l’énoncé de ce sujet de bac ici.

Exercice 1

Question 1 : Réponse d

Un vecteur directeur de $\mathscr{D}$ est $\vec{u}(1;2;3)$.

Un vecteur directeur de $\mathscr{D}’$ est $\vec{v}(1;1;-1)$.

Donc $\vec{u}.\vec{v} = 1 \times 1 + 2\times 1 + 3\times (-1) = 1 + 2 – 3 = 0$

$~$

Question 2 : Réponse c

Vérifions que la droite $\mathscr{D}$ est incluse dans le plan $\mathscr{P}$ :

$(t+1)+(2t-1)-(3t+2)+2 = t+1+2t-1-3t-2+2=0$.

Un vecteur normal au plan $\mathscr{P}$ est $\vec{n}(1;1;-1) = \vec{v}$

$~$

Question 3 : Réponse c

$\vec{AB}(2;4;6)$ donc $AB = \sqrt{2^2+4^2+6^2} = \sqrt{56}$

$\vec{AC}(-4;6;2)$ donc $AC = \sqrt{(-2)^2+6^2+2^2} = \sqrt{56}$

$\vec{BC}(-6;2;-4)$ donc $BC = \sqrt{(-6)^2+2^2+(-4)^2} = \sqrt{56}$

$~$

Question 4 : Réponse b

Le point $E(1;3;4)$ appartient à $\mathscr{D}’$ donc $\vec{AE}(0;4;2)$.

$\vec{v}$ et $\vec{AE}$ ne sont pas colinéaires. Ils définissent donc une base de $\mathscr{P}’$.

Si on considère le vecteur $\vec{n}(3;-1;2)$ alors $\vec{n}.\vec{v} = 0$ et $\vec{n}.\vec{AE} = 0$

$~$

Exercice 2

Partie A

  1. $~$

    TS - liban - juin 2013 - ex 2
  2. On cherche donc $p \left(\bar{E} \cap C \right) = 0,7 \times 0,95 = 0,665$
    $~$
  3. D’après la propriété des probabilités totales :
    $$\begin{align} p(C) &= p \left(\bar{E} \cap C \right) + p(E \cap C) \\\\
    &=0,665 + 0,3 \times 0,99 \\\\
    &= 0,962
    \end{align}$$
  4. $p_C(E) = \dfrac{p(E \cap C)}{p(C)} = \dfrac{0,3 \times 0,99}{0,962} = 0,309$ à $10^{-2}$ près

$~$

Partie B

  1. Le petit pot est conforme quand la teneur en sucre est comprise entre $0,16$ et $0,18$.
    Or $P(0,16 \le X \le 0,18) = 0,9044$.
    La probabilité qu’un petit pot de la chaîne $F_1$ soit conforme est donc de $0,9044$.
    $~$
  2. a. Puisque la variable aléatoire $Y$ suit la loi normale $\mathscr{N}(m_2;\sigma_2^2)$ alors la variable aléatoire $Z = \dfrac{N – m_2}{\sigma_2}$ suit la loi normale centrée réduite.
    $~$
    b. $$\begin{align} 0,16 \le Y \le 0,18  &\Leftrightarrow -0,01 \le Y – m_2 \le 0,01 \\\\
    & \Leftrightarrow \dfrac{-0,01}{\sigma_2} \le \dfrac{Y-m_2}{\sigma_2} \le \dfrac{0,01}{\sigma_2} \\\\
    & \Leftrightarrow \dfrac{-0,01}{\sigma_2} \le Z \le \dfrac{0,01}{\sigma_2}
    \end{align}$$
    $~$
    c. On sait que la probabilité qu’un petit pot de la chaîne $F_2$ soit conforme est égale à $0,99$.
    Donc $P(0,16 \le Y \le 0,18) = 0,99$.
    Par conséquent $P\left(\dfrac{-0,01}{\sigma_2} \le Z \le \dfrac{0,01}{\sigma_2} \right) = 0,99$.
    D’après le tableau fourni, on en déduit donc que $\dfrac{0,01}{\sigma_2} = 2,5758$.
    Par conséquent $\sigma_2 = \dfrac{0,01}{2,5758} = 0,004$ à $10^{-3}$ près.

$~$

Exercice 3

Partie A

  1. $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty}  \text{e}^{-x} = 0$ donc $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f_1(x) = 1$.
    Cela signifie donc que la courbe $\mathscr{C}_1$ possède une asymptote horizontale d’équation $y=1$.
    $~$
    $\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \text{e}^{-x}= +\infty$ donc $\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} f_1(x) = 0$.
    Cela signifie donc que la courbe $\mathscr{C}_1$ possède une asymptote horizontale d’équation $y=0$.
    $~$
  2. $f_1(x) = \dfrac{1}{1+\text{e}^{-x}} = \dfrac{1}{1+\text{e}^{-x}} \times \dfrac{\text{e}^{x}}{\text{e}^{x}} = \dfrac{\text{e}^{x}}{\text{e}^{x}+1}$
    $~$
  3. $f_1$ est un quotient de fonctions dérivables sur $\R$ dont le dénominateur ne s’annule pas donc $f_1$ est dérivable sur $\R$.
    $$f_1′(x) = \dfrac{-(-\text{e}^{-x})}{(1+\text{e}^{-x})^2} = \dfrac{\text{e}^{-x}}{(1+\text{e}^{-x})^2} > 0$$
    Donc $f_1$ est strictement croissante sur $\R$.
    $~$
  4. $f_1(x) = \dfrac{\text{e}^{x}}{\text{e}^{x}+1}$ est de la forme $\dfrac{u’}{u}$.
    Donc une primitive de $f_1$ est $F_1$ définie par $F_1(x) = \ln(\text{e}^{x} + 1)$.
    Par conséquent :
    $$\begin{align} I &= F_1(1) – F_1(0) \\\\
    &=\ln(\text{e} + 1) – \ln(1 + 1) \\\\
    &=\ln(\text{e} + 1) – \ln(2) \\\\
    &= \ln \left(\dfrac{\text{e}+1}{2} \right)
    \end{align}$$
    Cela signifie donc que l’aire comprise entre la courbe $\mathscr{C}_1$, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=0$ et $x=1$ est de $\ln \left(\dfrac{\text{e}+1}{2} \right)$ u.a.
    $~$

Partie B

  1. $f_1(x)+f_{-1}(x) = \dfrac{\text{e}^{x}}{\text{e}^{x}+1}+\dfrac{1}{1+\text{e}^{x}} = \dfrac{\text{e}^{x}+1}{\text{e}^{x}+1} = 1$
    $~$
  2. L’ordonnée de $P$ est donc $f_1(x)$ et celle de M est $f_{-1}(x)$.
    Par conséquent l’ordonnée de $K$ est : $\dfrac{f_1(x)+f_{-1}(x)}{2} = \dfrac{1}{2}$.
    $K$ appartient donc bien à la droite d’équation $u = \dfrac{1}{2}$.
    $~$
  3. On trace donc la courbe symétrique à $\mathscr{C}_1$ par rapport à la droite d’équation $u=\dfrac{1}{2}$.
    TS - liban - juin 2013 - ex 3
  4. On cherche donc $J = \displaystyle \int_0^1 \left(f_1(x)-f_{-1}(x) \right) \text{d}x$.
    Or $f_1(x)+f_{-1}(x) = 1$
    Donc $f_{-1}(x) = 1 – f_1{x}$ et $f_1(x)-f_{-1}(x) = 2f_1(x) – 1$
    Par conséquent
    $$ \begin{align} J &= \displaystyle \int_0^1 \left( 2f_1(x)-1 \right) \text{d}(x) \\\\
    &=2I-1 \\\\
    &=2 \ln \left(\dfrac{\text{e}+1}{2} \right) – 1 \text{u.a.}
    \end{align}
    $$

Partie C

  1. Vrai
    Pour tout $x \in \R$ et pour tout réel $k$, $1+\text{e}^{-kx} > 0$ donc $f_k(x) > 0$.
    $$ \begin{align} f_k(x) -1 &= \dfrac{1}{1+ \text{e}^{-kx}} – 1 \\\\
    &= \dfrac{1}{1+\text{e}^{-kx}} – \dfrac{1+\text{e}^{-kx}}{1+\text{e}^{-kx}} \\\\
    &=\dfrac{-\text{e}^{-kx}}{1+\text{e}^{-kx}} < 0
    \end{align}$$
    Donc la représentation graphique de la fonction $f_k$ est comprise entre les droites d’équation $y=0$ et $y=1$
    $~$
  2. Faux
    La courbe représentative de la fonction $f_{-1}$ étant la symétrique par rapport à la droite d’équation $y=\dfrac{1}{2}$ de celle de la fonction $f_1$, la fonction $f_{-1}$ est donc décroissante.
    $~$
  3. Vrai
    $f \left(\dfrac{1}{2} \right) = \dfrac{1}{1+\text{e}^{-0,5x}}$
    $$\begin{align} k \ge 10 & \Leftrightarrow -0,5k \le -5 \\\\
    & \Leftrightarrow \text{e}^{-0,5k} \le \text{e}^{-5} \\\\
    & \Leftrightarrow 1+\text{e}^{-0,5k} \le 1+ \text{e}^{-5} \\\\
    & \Leftrightarrow f_k \left(\dfrac{1}{2} \right) \ge  \dfrac{1}{1+\text{e}^{-5}} \ge 0,993 > 0,99
    \end{align}$$

Exercice 4

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

  1. La suite $(v_n)$ est définie par récurrence. Il faut donc, qu’à chaque étape de calcul, la variable $v$ prenne la valeur $\dfrac{9}{6-v}$ et qu’on affiche cette valeur. L’affichage doit donc avoir lieu avant la fin de la boucle “pour” : on rejette donc l’algorithme $1$.
    $~$
    Dans l’algorithme $2$, la variable $v$ est, à chaque tour, initialisée à $1$ : on rejette donc cet algorithme.
    $~$
    Il ne reste donc que l’algorithme $3$.
    $~$
  2. Il semblerait donc que la suite $(v_n)$ soit positive, croissante et de limite $2,970$.
    $~$
  3. a. Initialisation : $v_0 = 1$ donc $0 < v_0 < 3$
    La propriété est vraie au rang $0$.
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ :
    $$\begin{align} 0 < v_n < 3 & \Leftrightarrow -3 < -v_n < 0 \\\\
    & \Leftrightarrow 3 < 6 – v_n < 6 \\\\
    & \Leftrightarrow \dfrac{1}{6} \le \dfrac{1}{6 – v_n} \le \dfrac{1}{3} \\\\
    & \Leftrightarrow \dfrac{9}{6} \le v_{n+1} \le \dfrac{9}{3}
    \end{align}$$
    Donc $0 \le v_{n+1} \le 3$.
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    Conclusion : la propriété est vraie au rang $0$. En la supposant vraie au rang $n$, elle est encore vraie au rang $n+1$.
    $~$
    Par conséquent, pour tout entier $n$, $0 < v_n < 3$.
    $~$
    b. $~$
    $$\begin{align} v_{n+1} – v_n &= \dfrac{9}{6 – v_n} – v_n \\\\
    &= \dfrac{9 – 6v_n + v_n^2}{6-v_n} \\\\
    &=\dfrac{(3-v_n)^2}{6-v_n}
    \end{align}$$
    On sait que $0<v_n<3$ donc $6-v_n > 0$.
    Par conséquent $v_{n+1}-v_n > 0$ et la suite $(v_n)$ est croissante.
    $~$
    c. La suite $(v_n)$ est croissante et majorée par $3$. Elle est donc convergente.
    $~$

Partie B : Recherche de la limite de la suite $(v_n)$

  1. $$\begin{align} w_{n+1}& = \dfrac{1}{v_{n+1} – 3}  \\\\
    & =\dfrac{1}{\dfrac{9}{6-v_n}-3} \\\\
    &= \dfrac{6-v_n}{9-18+3v_n} \\\\
    &=\dfrac{6-v_n}{-9+3v_n}
    \end{align}$$
    $$\begin{align} w_n-\dfrac{1}{3} &= \dfrac{1}{v_n-3} – \dfrac{1}{3} \\\\
    &=\dfrac{3-(v_n-3)}{3(v_n-3)} \\\\
    &=\dfrac{6-v_n}{3v_n-9} = w_{n+1}
    \end{align} $$
    La suite $(w_n)$ est donc bien arithmétique de raison $- \dfrac{1}{3}$
    $~$
  2. Le premier terme est $w_0 = \dfrac{1}{v_0-3} = – \dfrac{1}{2}$ donc, pour tout $n \in \N$ on a $w_n = – \dfrac{1}{2} – \dfrac{n}{3}$
    $~$
    $w_n = \dfrac{1}{v_n – 3}$ $\Leftrightarrow v_n – 3 = \dfrac{1}{w_n}$ $\Leftrightarrow v_n = 3 + \dfrac{1}{- \dfrac{1}{2} – \dfrac{n}{3}}$
    $~$
  3. $\lim\limits_{n \rightarrow + \infty} – \dfrac{1}{2} – \dfrac{n}{3} = -\infty$ donc $\lim\limits_{n \rightarrow + \infty} \dfrac{1}{- \dfrac{1}{2} – \dfrac{n}{3}} = 0$ et $\lim\limits_{n \rightarrow + \infty} v_n = 3$.
    $~$

Exercice 4

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

  1. $u_2 = 5u_1-6u_0 = 5\times 8 – 6\times 3 = 22$
    $u_3 = 5u_2 – 6u_1 = 5 \times 22 – 6 \times 8 = 62$
    $~$
  2. a. “$b$ prend la velaur $5b-6c$” ou “$b$ prend la valeur $5a-6c$”
    $~$
    b. Il semblerait que la suite $(u_n)$ soit croissante.
    $~$
  3. On a $u_{n+2}=5u_{n+1}-6u_n$ et $u_{n+1} = u_{n+1}$.
    $~$
    Donc $A \begin{pmatrix} 5&-6 \\\\1&0 \end{pmatrix}$
    $~$
    Initialisation : $A^0 = \begin{pmatrix} 1&0 \\\\0&1 \end{pmatrix}$ .
    Donc $C_0 = A^0A_0$.
    La propriété est donc vraie au rang $0$.
    Hérédite : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $C_n = A^nC_0$
    Alors $C_{n+1} = AC_n=A\times A^nC_0 = A_{n+1}C_0$.
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$.
    En la supposant vraie au rang $n$, elle est encore vraie au rang $n+1$.
    Donc pour tout entier naturel $n$, $C_n = A^nC_0$
    $~$
  4. $QP = \begin{pmatrix} 1&0 \\\\0&1 \end{pmatrix}$
    Initialisation : $A = PDQ$. La propriété est donc vraie au rang $1$.
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $A^n = PD^nQ$
    Alors $A^{n+1} = A \times A^n = PDQ \times PD^nQ=PDD^nQ  = PD^{n+1}Q$.
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    Conclusion : la propriété est vraie au rang $1$. En la supposant vraie au rang $n$, elle est encore vraie au rang $n+1$.
    Donc, pour tout entier naturel non nul,  $A^n = PD^nQ$
    $~$
  5. On a donc $\begin{pmatrix} u_{n+1} \\\\u_n \end{pmatrix} = A^n \begin{pmatrix} 8 \\\\3 \end{pmatrix}$.
    Donc $u_n = 8 \times (-2^n+3^n) + 3(3 \times 2^n – 2\times 3^n) = 2^n + 2\times 3^n$
    $~$
    $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} 2^n = +\infty$ et $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} 3^n = +\infty$
    $~$
    Donc $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}u_n = +\infty$.

 

TS – Centres étrangers – Juin 2013

Centres Étrangers – Juin 2013

Bac S – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Exercice 1

Partie A

  1. La durée moyenne est donnée par $E(T) = \dfrac{1}{\lambda} = 5~000$ heures.
    $~$
  2. On veut calculer $P(T > 6~000) = \text{e}^{-6~000\lambda} = \text{e}^{-1,2}$.
    $~$

Partie B

  1. TS - centres étrangers - juin 2013 - ex1
  2. On a :
    $$ \begin{align} p(E) &= p(F_1) + p\left(\bar{F_1} \cap F_2 \cap F_3 \right) \\\\
    & =0,3 + 0,7 \times 0,3 \times 0,3  \\\\
    &=0,363
    \end{align}
    $$
  3. On veut donc calculer :
    $$\begin{align} p_E(F_1) = &\dfrac{p(E \cap F_1)}{p(E)} \\\\
    &=\dfrac{p(F_1)}{p(E)} \\\\
    &=\dfrac{0,3}{0,363} \\\\
    & \approx 0,826
    \end{align}
    $$

Partie C

  1. $n= 400 \ge 30$, $np = 8 \ge 5$ et $n(1-p) = 392 \ge 5$.
    Un intervalle de fluctuation au seuil de $95\%$ est donc :
    $$\begin{align} I_{400} &= \left[0,02 – 1,96 \dfrac{\sqrt{0,02 \times 0,98}}{\sqrt{400}};0,02 + 1,96 \dfrac{\sqrt{0,02 \times 0,98}}{\sqrt{400}} \right] \\\\
    & = [0,00628;0,03372]
    \end{align}
    $$
  2. La fréquence observée est $f = \dfrac{10}{400} = 0,025$. Donc $f \in I_{400}$.
    On ne peut donc pas remettre en cause l’affirmation de l’industriel.
    $~$

Partie D

  1. La calculatrice nous donne : $P(760 \le D \le 840) \approx 0,683$.
    $~$
  2. $P(D \le 880) = \dfrac{1}{2} + P(800 \le D \le 880) \approx 0,5 + 0,477 = 0,977$
    $~$
  3. $P(D > 880) = 1 – P(D \le 880) = 0,023 = 2,3 \%$
    La probabilité que la demande dépasse les $880$ est donc de $2,3\%$ ce qui est supérieur au $1\%$ supposé par l’industriel. Il a donc tort.

$~$

Exercice 2

Affirmation 1 : FAUSSE

Une équation cartésienne d’un plan parallèle à $\mathscr{P}$ est de la forme : $2x+ y -2z+d=0$
Il passe par $A$ donc : $2 \times 12 + d = 0$ et $d = -24$

On obtient donc $2x+y\color{Red}{-}2z-24=0$ et non $2x+y\color{Red}{+}2z-24=0$

$~$

Affirmation 2 : VRAIE

Regardons si les coordonnées des points $A$ et $C$ vérifient l’équation fournie.

Si $t=-1$ alors $\begin{cases} x= 9 – 3 \times (-1) = 12 \\\\y= 0 \\\\z=5+5\times(-1) = 0 \end{cases}$. C’est bon pour le point $A$.

Si $t=3$ alors  $\begin{cases} x= 9 – 3 \times 3 = 0 \\\\y= 0 \\\\z=5+5\times 3= 20 \end{cases}$. C’est bon pour le point $C$.

$~$

Affirmation 3 : FAUSSE

$\vec{DE}(5;-4;3)$. Une équation paramétrique de $(DE)$ est donc :
$$\begin{cases} x = 2 +5t \\\\y=7-4t \qquad t \in \R \\\\z=-6+3t \end{cases}$$

Injectons ces équations dans celle de $\mathscr{P}$ :
$$\begin{cases} & 2(2+5t) +(7-4t)-2(-6+3t)-5=0 \\\\
& \Leftrightarrow 4 + 10t + 7 – 4t + 12 – 6t – 5 = 0 \\\\
& \Leftrightarrow 11 + 12 – 5 = 0 \quad \text{impossible}
\end{cases}
$$
$~$

Affirmation 4 : VRAIE

$\vec{AB}(-12;-15;0) \quad \vec{AC}(-12;0;20) \quad \vec{DE}(5;-4;3)$
$\vec{AB} et \vec{AC}$ ne sont pas colinéaires. Ce sont donc $2$ vecteurs de base de $(ABC)$.

$\vec{AB}.\vec{DE} = -12 \times 5 – 15 \times (-4) + 0 = -60 + 60 = 0$
$\vec{AC}.\vec{DE} = -12 \times 5 0 + 20 \times 3 = -60 + 60 = 0$

Donc le vecteur $\vec{DE}$ est orthogonal à $2$ vecteurs de base de $(ABC)$.

$~$

Exercice 3

Partie A

  1. a. $\mathscr{A}_1 = \displaystyle \int_0^a g(x)\text{d}x = \left[ x-\text{e}^{-x}\right]_0^a = a – \text{e}^{-a} + 1$
    $~$
    b. $\mathscr{A}_2 = \displaystyle \int_a^1 g(x)\text{d}x = \left[ x-\text{e}^{-x}\right]_a^1 = 1 – \text{e}^{-1} – a + \text{e}^{-a}$
    $~$
  2. a. La fonction $f$ est une somme de fonctions dérivables sur $[0;1]$. Elle l’est donc aussi.
    $f'(x) = 2 + 2\text{e}^{-x} > 0$ puisque la fonction exponentielle est toujours positive.
    TS - centres étrangers - juin 2013 - ex3
    $f(0) = -2 + \dfrac{1}{\text{e}}$ et $f(1) = -2 – 2\text{e}^{-1} + \dfrac{1}{\text{e}}$
    $~$
    b. La fonction $f$ est continue et strictement croissante sur $[0;1]$.
    De plus $f(0) <0$ et $f(1) > 0$.
    Donc $0 \in \left[ f(0);f(1) \right]$.
    D’après le théorème de la bijection, il existe donc une unique valeur $\alpha$ telle que $f(\alpha) = 0$ et $0,452 < \alpha < 0,453$ donc $\alpha \approx 0,45$
    $~$
  3. $$\begin{align} \text{Les}  2 \text{ aires sont égales} &\Leftrightarrow a – \text{e}^{-a} + 1 = 1 – \text{e}^{-1} – a + \text{e}^{-a} \\\\
    & \Leftrightarrow 2a – 2\text{e}^{-a} + \text{e}^{-1} = 0 \\\\
    & \Leftrightarrow f(a) = 0
    \end{align}
    $$
    Une valeur approchée de la solution est donc $0,45$.
    $~$

Partie B

  1. Il faut que $b < g(1)$ car sinon la portion de $\mathscr{D}$ au-dessus de la droite est inférieure à $(2-g(1)) \times (1-0) = 2-(1+\text{e}^{-1} = 1 – \text{e}^{-1}$ (aire du rectangle incluant cette portion).
    L’aire de la portion de $\mathscr{D}$ sous la droite est donc supérieure à $g(1) \times (1-0) = 1 + \text{e}^{-1}$.
    $~$
  2. On veut que $\displaystyle \int_0^1 g(x)\text{d}x – b\times(1-0) = b \times (1-0) \Leftrightarrow \int_0^1 g(x) \text{d}x = 2b$
    Par conséquent :
    $$ \begin{align} b &= \dfrac{1}{2} \int_0^1 g(x)\text{d}x \\\\
    & = \dfrac{1}{2} \left[ x – \text{e}^{-x} \right]_0^1 \\\\
    &=\dfrac{1}{2}((1 – \text{e}^{-1} + 1) \\\\
    &=\dfrac{1}{2}(2-\text{e}^{-1})
    \end{align}
    $$

Exercice 4

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A : Algorithmique et conjectures

  1. Il faut modifier l’algorithme de la sorte :
    Tant que $i <n$ faire
    $\quad$ Affecter à $i$ la valeur $i+1$
    $\quad$ Afficher $i$
    $\quad$Affecter à $c$ la valeur $0,8a+0,3b)$
    $\quad$ Afficher $c$
    $\quad$ Affecter à $b$ la valeur $(0,2a+0,7b)$
    $\quad$ Afficher $b$
    $\quad$ Affecter à $a$ la valeur $c$
    Fin du Tant que
    $~$
  2. Il semblerait que $(a_n)$ converge vers $18$ et $(b_n)$ vers $12$.
    $~$

Partie B : Etude mathématiques

  1. $a_{n+1}=0,8a_n+0,3b_n \quad$ et $ \quad b_{n+1} = 0,2a_n+0,7b_n$
    On peut donc prendre $M = \begin{pmatrix} 0,8&0,3 \\\\0,2&0,7 \end{pmatrix}$
    $~$
  2. Initialisation : $0,6+0,4 \times 0,5^1 = 0,6 + 0,2 = 0,8$.
    La propriété est donc vraie au rang $1$.
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$
    $M^{n+1} = M \times M^{n}$
    Le premier coefficient de $M^{n+1}$ est donc :
    $$\begin{align} & 0,8 \times (0,6 + 0,4 \times 0,5^n) + 0,3 \times (0,4 – 0,4 – 0,5^n)\\\\
    &= 0,48 + 0,32 \times 0,5^n + 0,12 – 0,12 \times 0,5^n \\\\
    &=0,6 + 0,2 \times 0,5^n \\\\
    &=0,6 + 0,4 \times 0,5 \times 0,5^n \\\\
    &=0,6 + 0,4 \times 0,5^{n+1}
    \end{align}
    $$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    Conclusion : la propriété est vraie au rang $1$. En la supposant raie au rang $n$, elle est encore vraie au rang suivant.
    Donc pour tout entier naturel $n \ge 1$, on a bien :
    $$M^n = \begin{pmatrix} 0,6+0,4\times 0,5^n&0,6-0,6\times 0,5^n \\\\0,4-0,4\times0,5^n&0,4+0,6\times 0,5^n \end{pmatrix}$$
    $~$
  3. On en déduit donc que :
    $\begin{align} a_n &= (0,6+0,4\times 0,5^n)\times a_0 + (0,6-0,6\times 0,5^n)\times b_0 \\\
    &=(0,6 + 0,4\times 0,5^n) \times 20 + (0,6 – 0,6\times 0,5^n)\times 10 \\\\
    &=18 – 2 \times 0,5^n
    \end{align}$
  4. $-1 < 0,5 < 1$ donc $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} 0,5^n = 0$ et par conséquent $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}a_n = 18$

Exercice 4

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Partie A : Algorithmique et conjectures

  1. Tant que $n<9$
    $\quad$ Affecter à $u$ lavaleur $\dfrac{n\times u + 1}{2(n+1)}$
    $\quad$Affecter à $n$ la valeur $n+1$
    Fin Tant que
    $~$
  2. Il faudrait écrire :
    Tant que $n < 9$
    $\quad$ Affecter à $u$ la valeur $\dfrac{n\times u+1}{2(n+1)}$
    $\quad$ Afficher la variable $u$
    $\quad$ Affecter à $n$ la valeur $n+1$
    Fin Tant que
    $~$
    Et supprimer l’affichage de Sortie
    $~$
  3. Il semblerait que la suite $(u_n)$ soit décroissante et convege vers $0$.
    $~$

Partie B : Etude mathématiques

  1. $~$
    $$\begin{align} v_{n+1} &= (n+1)u_{n1} – 1 \\\\
    &=(n+1) \times \dfrac{n\times u_n + 1}{2(n+1)} – 1\\\\
    &=\dfrac{n \times u_n + 1}{2} – \dfrac{2}{2} \\\\
    &=\dfrac{n \times u_n – 1}{2} \\\\
    &=\dfrac{1}{2} \times v_n
    \end{align}
    $$
    $(v_n)$ est donc une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$.
    Son premier terme est $v_1 = 1\times u_1 – 1 = \dfrac{1}{2}$.
    $~$
  2. On a donc $v_n = 0,5 \times 0,5^{n-1} = 0,5^n$.
    Par conséquent $u_n = \dfrac{v_n+1}{n} = \dfrac{1+0,5^n}{n}$
    $~$
  3. $-1 < 0,5 < 1$ donc $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} 0,5^n = 0$. De plus $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{1}{n} = 0$.
    Donc $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}u_n = 0$
    $~$
  4. $~$
    $$\begin{align} u_{n+1}-u_n &= \dfrac{1+0,5^{n+1}}{n+1} – \dfrac{1 + 0,5^n}{n} \\\\
    &= \dfrac{n+n\times 0,5^{n+1} – (n+1) – (n+1) \times 0,5^n}{n(n+1)} \\\\
    &=\dfrac{-1 + n \times 0,5^{n+1} – (n+1) \times 0,5^n}{n(n+1)} \\\\
    &=\dfrac{-1 + (0,5n-n-1) \times 0,5^n}{n(n+1)} \\\\
    &=\dfrac{-1 + (-0,5n-1) \times 0,5^n}{n(n+1)} \\\\
    &= – \dfrac{1 + (0,5n+1) \times 0,5^n}{n(n+1)}
    \end{align}
    $$
    Le numérateur et le dénominateur de la fraction sont positifs.
    Donc $u_{n+1}-u_n <0$. La suite $(u_n)$ est par conséquent décroissante.
    $~$

Partie C : retour à l’algorithmique

Variables :
$\qquad$ $n$ est un entier naturel
$\qquad$ $u$ est un réel
Initialisation :
$\qquad$ Affecter à $n$ la valeur $1$
$\qquad$ Affecter à$u$ la valeur $1,5$
Traitement :
$\qquad$ Tant que $u > 0,001$
$\qquad$ $\quad$ Affecter à $u$ la valeur $\dfrac{n\times u + 1}{2(n+1)}$
$\qquad$ $\quad$ Affecter à $n$ la valeur $n+1$
$\qquad$ Fin Tant que
Sortie :
$\qquad$ Afficher la variable $n$

TS – Asie – Juin 2013

Asie – Juin 2013

Bac S – Mathématiques – Correction

Vous trouverez l’énoncé de ce sujet ici.

Exercice 1

Partie A

  1. TS - asie -juin2013 - ex1
  2. a. $p \left( B \cap \bar{S} \right) = 0,2 \times 0,8 = 0,16$
    $~$
    b. On utilise la propriété des probabilités totales.
    $p\left( \bar{S} \right) = p \left( A \cap \bar{S} \right) + p \left( B \cap \bar{S} \right)$ $=0,8\times 0,9 + 0,16 $ $=0,88$
    $~$
  3. On cherche $p_S(B) = \dfrac{p(B \cap S)}{p(S)} = \dfrac{0,2 \times 0,2}{1 – 0,88}$ $= \dfrac{1}{3}$ $\approx 0,33$
    $~$

Partie B

  1. Les $10$ tirages sont aléatoires, identiques et indépendants. Chaque tirage ne possède que $2$ issues : $S$ et $\bar{S}$.
    $p\left(\bar{S} \right) = 0,88$.
    La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,88$.
    $~$
  2. $P(X=10) = \binom{10}{10}0,88^{10}\times(1-0,88)^0$ $=0,88^{10}$ $\approx 0,28$.
    $~$
  3. $P(X \ge 8) = \binom{10}{8} 0,88^8 \times (1-0,88)^2 + \binom{10}{9}0,88^9\times (1-0,88)^1$ +$\binom{10}{10}0,88^{10} \times(1-0,88)^0$ $\approx 0,89$

Partie C

  1. $n = 50 \ge 30$ , $np = 50 \times 0,88 = 4 \ge 5$ et  $n(1-p) = 50 \times 0,12 = 6 \ge 5$.
    Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ est donc :
    $$I_{50} = \left[0,88 – 1,96 \times \dfrac{\sqrt{0,88 \times 0,12}}{\sqrt{50}};0,88 + 1,96 \times \dfrac{\sqrt{0,88 \times 0,12}}{\sqrt{50}} \right]$$
    $$I_{50}= [0,78;0,98]$$
  2. La fréquence observée du nombres de boîtes ne contenant pas de pesticides est $f = \frac{50 – 12}{50} = 0,76$.
    $~$
    Mais $f \notin I_{50}$ et $f < 0,78$. L’échantillon n’est pa représentatif de ce qu’annonce le grossiste.
    $~$
    L’inspecteur de la brigade de répression peut décider que la publicité est mensongère.

Exercice 2

Partie A

TS - asie -juin2013 - ex2

Partie B

  1. a. Le coefficient directeur cherché correspond à $f'(a) = \text{e}^a$
    $~$.
    b. Le coefficient directeur cherché correspond à $g'(b) = -(-\text{e}^{-b}) = \text{e}^{-b}$.
    $~$
    c. Si les tangentes sont communes cela signifie donc qu’elles ont le même coefficient directeur.
    Par conséquent :
    $$\text{e}^a = \text{e}^{-b} \Leftrightarrow a = -b$$
  2. Une équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ en $a$ est :
    $$y=f'(a)(x-a)+f(a)=\text{e}^a(x-a)+\text{e}^a$$
    Cette droite passe par le point de $\mathcal{C}_g$ d’abscisse b=-a et d’ordonnée $1-\text{e}^a$.
    $~$
    Par conséquent :
    $$1-\text{e}^a = \text{e}^a(-a-a) + \text{e}^a$$
    $$\Leftrightarrow 1 – \text{e}^a +2a\text{e}^a-\text{e}^a = 0$$
    $$\Leftrightarrow 2(a-1)\text{e}^a+1=0$$

Partie C

  1. $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} 2(x-1) = +\infty$ et $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \text{e}^x=+\infty$.
    Donc :
    $$\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \varphi(x)=+\infty$$
    $\varphi(x)=2x\text{e}^x-2\text{e}^x+1$ or $\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}x\text{e}^x=0$ et $\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}\text{e}^x=0$.
    Donc :
    $$\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \varphi(x)=1$$
    b. $\phi$ est un produit de fonctions dérivables sur $\R$ donc $\phi$ est dérivable sur $\R$.
    $$\varphi'(x) = 2\text{e}^x+2(x-1)\text{e}^x = 2x\text{e}^x$$
    Par conséquent, si $x <0$ alors $\varphi'(x) < 0$ et si $x>0$ alors $\varphi'(x) > 0$
    $~$
    c.TS - asie -juin2013 - ex3
    $~$
  2. a. Sur l’intervalle $]-\infty;0]$, la fonction $\varphi$ est continue et strictement décroissante.
    De plus $\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \varphi(x) = 1$ et $\varphi(0) = -1$ $\quad 0 \in ]-1;1[$
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires), l’équation $\varphi(x)=0$ possède une unique solution sur $]-\infty;0]$
    $~$
    Sur l’intervalle $[0;+\infty[$, la fonction $\varphi$ est continue et strictement décroissante.
    De plus $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \varphi(x) = +\infty$ et $\varphi(0) = -1$ $\quad 0 \in ]-1;+\infty[$
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires), l’équation $\varphi(x)=0$ possède une unique solution sur $[0;+\infty[$
    $~$
    b. $-1,68 < \alpha < -1,67$ et $0,76 < \beta < 0,77$
    $~$

Partie D

  1. $E(a;\text{e}^a)$ et $F(-a;1-\text{e}^a)$.
    La tangente en $E$ a pour équation $y=\text{e}^a(x-a) + \text{e}^a$.
    Montrons que $F$ appartient à cette droite.
    Si $x=-a$ alors $y=\text{e}^a(-2a)+\text{e}^a = -2a\text{e}^a+\text{e}^a\quad (1)$
    Or $a$ est solution de $\varphi(x)=0$. Par conséquent :
    $$2(a-1)\text{e}^a+1 = 0 \text{  soit  } 2a\text{e}^a=2\text{e}^a-1\quad (2)$$
    En injectant dans $(1)$ on a :
    $$-(2\text{e}^a-1)-1+\text{e}^a = 1-\text{e}^a = y_E$$
    Donc $F$ appartient bien à cette tangente. Elle passe évidemment par $E$.
    Donc $(EF)$ est tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$
    $~$
  2. La tangente en $F$ a pour équation $y=\text{e}^a(x+a)+1-\text{e}^a$.
    Montrons que $E$ appartient à cette droite.
    Si $x=a$ alors $y=2a\text{e}^a + 1 – \text{e}^a$
    $~$
    D’après $(2)$ on obtient :
    $$y=2\text{e}^a-1+1-\text{e}^a  = \text{e}^a = y_E$$
    Donc $E$ appartient bien à cette tangente. Elle passe évidemment par $F$.
    Donc $(EF)$ est tangente à la courbe $\mathcal{C}_g$.
    $~$

Exercice 3

  1. $b-a=-\sqrt{3}+\text{i}-2-2\text{i}$ $=-2-\sqrt{3}-\text{i}$
    $c-a=1+\text{i}\sqrt{3}-2-2\text{i}$ $=-1+\left(-2+\sqrt{3} \right)\text{i}$
    Mais $\left(2+\sqrt{3}\right)(c-a) = -2-\sqrt{3} + \left(2+\sqrt{3}\right) \left(-2+\sqrt{3}\right)\text{i}$ $=-2\sqrt{3}-\text{i}=b-a$
    Donc :
    $$\dfrac{b-a}{c-a} = 2+\sqrt{3} \in \R$$
    Les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.
    Affirmation vraie
    $~$
  2. $|e-b|=\sqrt{8}$ $\quad |e-c-=\sqrt{8}$ $\quad |e-d| = 2+\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
    Affirmation fausse
    $~$
  3. Une équation cartésienne de $(IJK)$ est de la forme $ax+by+cz+d=0$
    $I \in (IJK)$ donc $a+d=0$. On obtient de même $b+d=0$ et $c+d=0$.
    Soit $a=b=c=-d$. Prenons $d=-1$.
    Une équation de $(IJK)$ est donc
    $$x+y+z-1=0$$
    Regardons si $E$ appartient à ce plan : $\dfrac{-1}{2}+1+\dfrac{1}{2}-1 = 0$. C’est effectivement le cas.
    De plus $E \in \mathcal{D}$ (il suffit de prendre $t=\frac{5}{2}$).
    Affirmation vraie
    $~$
  4. $\vec{AT}.\vec{EC}$ $ = \left(\vec{AE}+\dfrac{1}{2}\left(\vec{AB}+\vec{AD} \right) \right).\left(-\vec{AE}+\vec{AB}+\vec{AC} \right)$
    $\vec{AT}.\vec{EC}$ $=-AE^2+\dfrac{1}{2}AB^2+\dfrac{1}{2}AD^2 = 0$
    Affirmation fausse

Exercice 4

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

  1. Initialisation : $u_0 = 2>1$. La propriété est vraie au rang $0$.
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $u_n > 1$
    Alors
    $$u_{n+1} = \dfrac{1+3u_n}{3+u_n}=\dfrac{3+u_n+2u_n-2}{3+u_n}$$
    $$u_{n+1}=1+\dfrac{2u_n-2}{3+u_n}$$
    D’après l’hypothèse de récurrence : $2u_n-2 > 0$. On a de plus $3+u_n > 0$. Donc $u_{n+1} > 1$.
    La propriété est vraie au rang $n+1$.
    Conclusion : la propriété est vraie au rang $0$.
    En la supposant vraie au rang $n$, elle est encore vraie au rang suivant.
    Donc pour tout entier naturel, $u_n > 1$.
    $~$
    Remarquene surtout pas faire la division des $2$ inégalités obtenues pour le numérateur et le dénominateur car le passage à l(inverse change le sens des inégalités !
    $~$
  2. a. $u_{n+1} – u_n = \dfrac{1+3u_n}{3+u_n} – u_n $ $=\dfrac{1 + 3u_n -3u_n-u_n^2}{3+u_n}$ $=\dfrac{(1-u_n)(1+u_n)}{3+u_n}$
    $~$
    b. D’après la question $1.$ on sait que $1-u_n < 0$. De plus $1+u_n > 0$ et $3+u_n > 0$
    Donc $u_{n+1}-u_n < 0$.
    La suite $(u_n)$ est donc décroissante.
    La suite est décroissante et minorée par $1$. Elle converge donc.
    $~$

Partie B

  1. i $1$ $2$ $3$
    u $0,800$ $1,077$ $0,976$
  2. Il semblerait que la suite $(u_n)$ “oscille” autour de $1$ tout en tendant vers $1$.
    $~$
  3. a. $$v_{n+1} = \dfrac{u_{n+1}-1}{u_{n+1}+1}=\dfrac{ \dfrac{1+0,5u_n}{0,5+u_n}-1}{1+\dfrac{1+0,5u_n}{0,5+u_n} }=\dfrac{\dfrac{1+0,5u_n-0,5-u_n}{0,5+u_n} }{\dfrac{0,5+u_n+1+0,5u_n}{0,5+u_n}}$$
    $$v_{n+1}=\dfrac{0,5-0,5u_n}{1,5+1,5u_n}\dfrac{-0,5}{1,5} \times \dfrac{u_n-1}{1+u_n}=\dfrac{-1}{3}v_n$$
    $(v_n)$ est donc une suite géométrique de raison $\dfrac{-1}{3}$ et de premier terme $v_0=\dfrac{1}{3}$
    $~$
    b. Donc $v_n=\dfrac{1}{3}\times \left(\dfrac{-1}{3} \right)^n$
    $~$
  4. a. Pour tout entier naturel $n$ on a : $\left(\dfrac{-1}{3} \right)^n \le 1$ donc $v_n \le \dfrac{1}{3}$ et $v_n \ne 1$
    $~$
    b. $v_n = \dfrac{u_n-1}{1+u_n}$ donc
    $$(1+u_n)v_n = u_n – 1$$
    $$\Leftrightarrow v_n+1=u_n-u_n \times v_n$$
    $$\Leftrightarrow u_n = \dfrac{1+v_n}{1-v_n}$$
    $~$
    c. $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} v_n=0$ car $-1 < \dfrac{-1}{3} < 1$.
    Par conséquent :
    $$ \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n = 1$$

$~$

Exercice 4

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

  1. a. Pour $E’$ : $\begin{cases} x’=\dfrac{5}{4} \times 2 + \dfrac{3}{4} \times 2 \\\\y’ = \dfrac{3}{4} \times 2 + \dfrac{5}{4} \times 2 \end{cases}$ $ \Leftrightarrow \begin{cases} x’=4 \\\\y’=4 \end{cases}$
    Pour $F’$ : $\begin{cases} x’ = \dfrac{5}{4} \times (-1) + \dfrac{3}{4} \times 5 \\\\y’ = \dfrac{3}{4} \times (-1) + \dfrac{5}{4} \times 5 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \begin{cases} x’=2,5 \\\\y’=5,5 \end{cases}$
    Pour $G’$ : $\begin{cases} x’ = \dfrac{5}{4} \times (-3) + \dfrac{3}{4} \times 3 \\\\y’ = \dfrac{3}{4} \times (-3) + \dfrac{5}{4} \times 3 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \begin{cases} x’=-1,5 \\\\y’=1,5 \end{cases}$
    $~$
    b. $OE = \sqrt{2^2+2^2} = \sqrt{8}$ $\quad OE’ = \sqrt{4^2+4^2} = \sqrt{32}$. Donc $OE’ = 2OE$
    $OG = \sqrt{(-3)^2+3^2} = \sqrt{18}$ $\quad OG’ = \sqrt{(-1,5)^2+1,5^2} = \sqrt{4,5}$. Donc $OG = 2OG’$
    On a donc : $A = \begin{pmatrix} \dfrac{5}{4}&\dfrac{3}{4} \\\\ \dfrac{3}{4}&\dfrac{5}{4} \end{pmatrix}$

Partie B

  1.  On veut afficher les images successives. Pour cela, il faut intégrer dans la boucle “Pour”, l’affiche de $x$ et de $y$.
    $\ldots$
    Affecter à $x$ la valeur $a$
    Affecter à $y$ la valeur $b$
    Afficher $x$
    Afficher $y$
    FIN POUR
    $~$
  2. La suit constituée des abscisses des points semble être croissante et aurait pour limite $+\infty$.
    Il en est de même pour les ordonnées.

$~$

Partie C

  1. Initialisation : Pour $n=1$ : $2^0+\dfrac{1}{2^2} = \dfrac{5}{4}$ et $2^0 – \dfrac{1}{2^2} = \dfrac{3}{4}$
    La propriété est donc vraie au rang $1$.
    initialisation : Supposons la propriété vraie au rang $n$.
    $A^{n+1} = A \times A^n$
    Alors $\alpha_{n+1} = \dfrac{5}{4}\alpha_n+\dfrac{3}{4}\beta_n = \left(\dfrac{5}{4}+\dfrac{3}{4} \right)2^{n-1} + \left(\dfrac{5}{4} – \dfrac{3}{4} \right) \times \dfrac{1}{2^{n+1}}$ $=2\times 2^{n-1} + \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2^{n+1}} $ $=2^n + \dfrac{1}{2^{n+2}}$.
    $\beta_{n+1} = \dfrac{3}{4}\alpha_n+\dfrac{5}{4}\beta_n = \left(\dfrac{5}{4}+\dfrac{3}{4} \right)2^{n-1} + \left(\dfrac{3}{4} – \dfrac{5}{4} \right) \times \dfrac{1}{2^{n+1}}$ $=2\times 2^{n-1} – \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2^{n+1}} $ $=2^n – \dfrac{1}{2^{n+2}}$.
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$.
    En la supposant vraie au rang $n$, elle reste vraie au rang suivant.
    Donc pour tout entier naturel $n \ge 1$ on a : $\alpha_n = 2^{n-1}+\dfrac{1}{2^{n+1}}$ et $\beta_n = 2^{n-1} – \dfrac{1}{2^{n+1}}$.
    $~$
  2. a. On a $\begin{pmatrix}x_n \\\\y_n \end{pmatrix} =A^n \begin{pmatrix} 2\\\\2 \end{pmatrix}$.
    Donc $x_n = 2\alpha_n + 2\beta_n$ et $y_n=2\beta_n+2\alpha_n$ donc $x_n=y_n$.
    $~$
    b. $OE_n = \sqrt{x_n^2+y_n^2}$. Or $\lim\limits_{n \rightarrow + \infty}  2^n = +\infty$ et $\lim\limits_{n \rightarrow + \infty} \dfrac{1}{2^{n+1}} = 0$.
    Donc $$\lim\limits_{n \rightarrow + \infty} \alpha_n = \lim\limits_{n \rightarrow + \infty} \beta_n = +\infty$$
    Par conséquent $$\lim\limits_{n \rightarrow + \infty} x_n = \lim\limits_{n \rightarrow + \infty} y_n = +\infty$$
    Finalement :$$\lim\limits_{n \rightarrow + \infty} OE_n = +\infty$$

TS – Pondichéry – avril 2013

Pondichéry  – Avril 2013

Bac S – Mathématiques – Correction

Vous pouvez trouver l’énoncé de ce sujet de bac ici.

Exercice 1

Partie 1

On sait que $h(0) = 0,1$ c’est-à-dire que $\dfrac{a}{1+b} = 0,1\quad (1)$.

On sait également que $\lim\limits_{t \rightarrow +\infty} h(t) = 2$.
Or $\lim\limits_{t \rightarrow +\infty} 1 + b\text{e}^{-0,04t} =1$ donc $\lim\limits_{t \rightarrow +\infty} h(t) =a$.

Par conséquent $a = 2$.

On utilise alors l’équation $(1)$ et on trouve donc $2 = 0,1(1 +b)$ soit $b=19$.

Par conséquent :

$$h(t) = \dfrac{2}{1+19\text{e}^{-0,04t}}$$

Partie 2

  1. La fonction exponentielle est dérivable sur $\R$. Par conséquent la fonction $f$ est dérivable sur $[0;250]$ comme composée et quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas.
    $$f'(t) = -\dfrac{2 \times 19 \times (-0,04)\text{e}^{-0,04t}}{\left(1+19\text{e}^{-0,04t}\right)^2} = \dfrac{1,52\text{e}^{-0,04t}}{\left(1+19\text{e}^{-0,04t}\right)^2}$$
    La fonction exponentielle est positive. Donc $f'(t) \ge 0$ sur $[0;250]$.
    la fonction $f$ est donc croissante sur $[0;250]$.
    $~$
  2. On cherche donc :
    $$\begin{align*}f(t) \ge 1,5& \Leftrightarrow \dfrac{2}{1 + 19\text{e}^{-0,04t}} \ge 1,5 \\
    &\Leftrightarrow 2 \ge 1,5 \left(1+19\text{e}^{-0,04t} \right) \\
    & \Leftrightarrow \dfrac{4}{3} \ge 1 + 19\text{e}^{-0,04t}\\
    &\Leftrightarrow \dfrac{1}{3} \ge 19 \text{e}^{-0,04t}\\
    &\Leftrightarrow \dfrac{1}{57} \ge \text{e}^{-0,04t}\\
    &\Leftrightarrow \text{ln} \dfrac{1}{57} \ge -0,04t\\
    &\Leftrightarrow – \text{ln } 57 \ge -0,04t\\
    & \Leftrightarrow \dfrac{\text{ln }57}{0,04} \le t\quad (t \approx 101,07)
    \end {align*}$$
    Par conséquent le plan de maïs attient une hauteur supérieure à $1,5$ m au bout de $102$ jours.
    $~$
  3. a. $f(t) = \dfrac{2}{1+19\text{e}^{-0,04t}} $ $= \dfrac{2}{1+19\text{e}^{-0,04t}} \times \dfrac{\text{e}^{0,04t}}{\text{e}^{0,04t}}$ $ = \dfrac{2\text{e}^{0,04t}}{\text{e}^{0,04t}+19}$
    $~$
    La fonction $F$ est dérivable comme composée et somme de fonction dérivables sur $[0;250]$.
    $$F'(t) = \dfrac{50 \times 0,04\text{e}^{-0,04t}}{\text{e}^{-0,04t} + 19} = f(t)$$
    Donc $F$ est une primitive de $f$.
    $~$
    b. La valeur moyenne de $f$ sur $[50;100]$ est donnée par :
    $$M = \dfrac{1}{100-50} \int_{50}^{100} f(t) \text{d}t = \dfrac{1}{50}\left(F(100) – F(50) \right)$$
    Par conséquent $M = \dfrac{50\text{ln }\left(\text{e}^{4} + 19 \right) – 50\text{ln }\left(\text{e}^{2} + 19 \right)}{50}$ $=\text{ln }\left(\text{e}^{4} + 19 \right) – \text{ln }\left(\text{e}^{2} + 19 \right)$ $= 1,03$ à $10^{-2}$ près.
    La hauteur moyenne d’un plan de maïs entre le $50^\text{ème}$ et le $100^\text{ème}$ jour est de $1,03$ m.
    $~$
  4. La dérivée de la fonction $f$ est maximale quand le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de $f$ est le plus grand.
    TS - pondichery- avril2013 - ex1
    La vitesse de croissance est donc maximale pour $t \approx 75$.
    $f'(75) \approx 0,0199$ m/j.
    Le plan de maïs a alors une hauteur de $f(75) = 1,04$ m.

Exercice 2

  1. Un vecteur normal à $(P)$ est $\vec{n}(1;-2;3)$. Le point $A(0;1;-1)$ appartient à ce plan.
    L’équation (a) est celle d’une droite.
    Dans l’équation (b), $2$ vecteurs de base sont $\vec{u}(1;-1;-1)$ et $\vec{v}(2;1;0)$
    De plus $\vec{n}.\vec{u} = 1 + 2 – 3 = 0$ et $\vec{n}.\vec{v} = 2 – 2 + 0 = 0$.
    Par conséquent $\vec{n}$ est normal au plan défini par l’équation (b).
    $A$ vérifie également cette équation.
    Réponse b
    $~$
  2. Un vecteur directeur de $(D)$ est $\vec{k}(1;-1;-1)$ et $\vec{n}.\vec{k} = 1 + 2 – 3= 0$.
    Par conséquent $(D)$ est parallèle (au sens large) au plan $(P)$.
    Un point de $(D)$ est $B(-2;0;-1)$. Regardons si ce point appartient à $(P)$.
    $-2 + 0 – 3 + 5 = 0$. Donc $(D)$ est une droite de $(P)$.
    Réponse c
    $~$
  3. $\vec{MN}(2;-4;6)$ donc $\vec{MN}$ et $\vec{k}$ ne sont pas colinéaires.
    $\vec{MN}.\vec{k} = 2 + 4 – 6 = 0$. Donc $(MN)$ et $(D)$ sont orthogonales.
    Réponse a
    $~$
  4. Si on remplace les coordonnées $x$, $y$ et $z$ de $(\Delta)$ dans l’équation de $(P)$, on se retrouve avec l’équation :
    $$t – 2(-2 -t) + 3(-3-t) + 5 = 0 \Leftrightarrow 0 = 0$$
    Donc $(\Delta)$ est incluse dans $(P)$.
    On cherche donc à voir si $(\Delta)$ est également une droite de $(S)$.
    On résout le système :
    $$\left\{ \begin{array}{l} -2 + t + 2t’ = k \\\\ -t – 2t’ = -2 – k \\\\-1 -t + 3t’ = -3 – k \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} t’ = 0 \\\\ -t= -2 – k \end{array} \right.$$
    Donc $(\Delta)$ est incluse dans $(S)$.
    $(\Delta)$ appartient donc à l’intersection des $2$ plans.
    Réponse b

Exercice 3

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

  1. a. $Z_M = 2 \left( \cos \dfrac{-\pi}{3} + \text{i} \sin \dfrac{-\pi}{3} \right) = 1 – \text{i} \sqrt{3}$
    $~$
    b. $Z_{M’} = -\text{i}\left(1 – \text{i}\sqrt{3} \right) = -\sqrt{3} – \text{i}$
    $|Z_{M’}| = |-\text{i}|\times |Z_M| = 1 \times 2 = 2$
    $\text{arg }\left( Z_{M’}\right) = \text{arg }(-\text{i}) + \text{arg }\left(Z_M \right) = -\dfrac{\pi}{2} – \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{-5\pi}{6} [2\pi]$
    $~$
    c.
    TS - pondichery- avril2013 - ex3$~$
    On constate effectivement que la droite $(OI)$ est bien perpendiculaire à $(BM’)$ et que $BM’ = 2OI$.
    $~$
  2. a. $Z_I = \dfrac{Z_A+Z_M}{2} = \dfrac{1+x}{2} + \text{i}\dfrac{y}{2}$
    $~$
    b. $Z_{M’} = -\text{i}(x+iy) = -\text{i}x+y$
    $~$
    c. Par conséquent $I\left(\dfrac{1+x}{2};\dfrac{y}{2} \right)$,$B(0;1)$ et $M'(y;-x)$
    $~$
    d. Calculons le produit scalaire $\vec{OI}.\vec{BM’}$ $=\dfrac{1+x}{2} \times y + \dfrac{y}{2} \times (-x-1) = 0$.
    Donc $(OI)$ est une hauteur de $OBM’$.
    $~$
    e. $BM’ = \sqrt{y^2+(-x-1)^2} = \sqrt{y^2+(x+1)^2}$
    $OI = \sqrt{\left(\dfrac{1+x}{2} \right)^2 + \left(\dfrac{y}{2} \right)^2} = \dfrac{\sqrt{(1+x)^2+y^2}}{2}$
    Donc $BM’ = 2OI$

$~$

Exercice 3

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

  1. a. $A \times U_n = \begin{pmatrix} 0,125j_n+0,525a_n\\\\0,625j_n+0,625a_n \end{pmatrix}$ $ = \begin{pmatrix} j_{n+1} \\\\a_{n+1} \end{pmatrix}$ $=U_{n+1}$
    $~$
    b. On cherche donc $U_1$ et $U_2$
    $U_1 = A\times U_0 = \begin{pmatrix} 287,5 \\\\437,5 \end{pmatrix}$
    $~$
    Il y a donc $287$ animaux jeunes et $437$ animaux adultes (arrondis par défaut) la première année.
    $~$
    $U_2 = A \times U_1 = \begin{pmatrix} 265,62 \\\\453,12 \end{pmatrix}$
    $~$
    Il y a donc $265$ animaux jeunes et $453$ animaux adultes la $2^\text{ème}$ année.
    $~$
    c. Puisque, pour tout $n$, $U_{n+1} = A \times U_n$, on peut écrire que $U_n = A^n \times U_0$.
    $~$
  2. a.$Q \times D = \begin{pmatrix} -1,75&3\\\\1,25&5 \end{pmatrix}$
    Par conséquent $Q\times D \times Q^{-1} = \begin{pmatrix} 0,125&0,525\\\\0,625&0,625 \end{pmatrix} = A$
    $~$
    b. Initialisation : $Q \times D \times Q^{-1} = A$ donc la la propriété est vraie au rang $1$.
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $A^n = Q\times D^n \times Q^{-1}$.
    Alors $A^{n+1} = A^n \times A = Q \times D^n \times Q^{-1} \times Q \times A \times Q^{-1}$ $= Q \times D^{n+1} \times Q^{-1}$.
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$. En la supposant vraie au rang $n$, elle est encore vraie au rang suivant.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ non nul, $A^n = Q \times D^n \times Q${-1}$.
    $~$
    c. Pour tout entier naturel $n$ non nul, $D^n = \begin{pmatrix} (-0,25)^n&0 \\\\0&1 \end{pmatrix}$
    $~$
  3. a. On a donc :
    $U_n = \begin{pmatrix} 60 +140\times (-0,25)^n+210-210 \times (-0,25)^n \\\\100-100\times (-0,25)^n+350+150\times(-0,25)^n \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} 270-70\times (-025)^n \\\\450+50\times(-0,25)^n \end{pmatrix}$
    $~$
    Par conséquent $j_n = 270 – 70 \times (-0,25)^n$ et $a_n=450 + 50\times (-0,25)^n$
    $~$
    b. $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}(-0,25)^n = 0$ donc  $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} j_n = 270$ et  $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} a_n = 450$.
    Au bout d’un grand nombre d’années, la population des jeunes animaux sera de $270$ et celle des adultes de $450$.

$~$

Exercice 4

  1. a.
    TS - pondichery- avril2013 - ex4
    Donc d’après la propriété des probabilités totales $p_3 = 0,04 \times 0,24 + 0,96 \times 0,04 = 0,048$
    $~$
    b. On cherche donc $p_{E_3}(E_2) = \dfrac{0,04 \times 0,24}{0,048} = 0,2$
    $~$
  2. a.
    TS - pondichery- avril2013 - ex42
    b. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $p_{n+1} = 0,24p_n+0,04(1-p_n) = 0,2p_n + 0,04$
    $~$
    c. $u_{n+1} = p_{n+1} – 0,05 = 0,2p_n + 0,04 – 0,05 $ $= 0,2p_n – 0,01 = 0,2(p_n-0,05) = 0,2u_n$
    $u_1 = -0,05$
    Donc $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $0,2$ et de premier terme $-0,05$.
    Par conséquent :
    $$u_n=-0,05 \times 0,2^{n-1} \qquad  \text{et} \qquad p_n = 0,05 – 0,05 \times 0,2^{n-1}$$
    $~$
    d. $\lim\limits_{n \rightarrow + \infty} 0,2^n = 0$ car $-1 < 0,2 <1$.
    Donc $\lim\limits_{n \rightarrow + \infty}p_n = 0,05$
    $~$
    e. La variable J correspond au rang à partir duquel $0,05 – 10^{-K} \le p_n \le 0,05$
    $\quad$
    La suite $(p_n)$ est croissante et sa limite est $0,05$.
    Donc pour tout réel $\lambda > 0$, il existe un rang à partir duquel $p_n> 0,05 – \lambda$.
    En particulier si $\lambda = 10^{-K}$.
    Le programme va donc s’arrêter.
    $~$
  3. a. Parmi les $220$ salariés, le choix d’un salarié est fait au hasard et son état de santé n’a pas d’incidence sur celui d’un autre salarié. Chaque salarié est soit malade, soit en bonne santé. La probabilité qu’un salarié soit malade est de $0,05$.
    Par conséquent $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n=220$ et $p=0,05$.
    Donc $µ = 220 \times 0,05 = 11$ et $\sigma = \sqrt{220 \times 0,05 \times 0,95} = \sqrt{10,45}$.
    $~$
    b. On cherche donc $P(7 \le X \le 15) = P \left(\dfrac{7 – µ}{\sigma} \le \dfrac{X – µ}{\sigma} \le \dfrac{15 – µ}{\sigma} \right)$ $=P(-1,24 \le Z \le 1,24)$
    Donc $P(7 \le X \le 15) = 0,892 – 0,108 = 0,784$

Antilles Guyane – Juin 2013

Antilles Guyane – Juin 2013

Bac S – Mathématiques – Correction

Vous pouvez trouver l’énoncé de ce sujet de bac ici.

Exercice 1

  1. Les plans $(AEC)$ et $(IEC)$ sont confondus. J n’appartient pas à $(AEC)$. Réponse b
    $~$
  2. $\vec{AF}.\vec{BG} = \left(\vec{AB}+\vec{BF} \right).\left(\vec{BC}+\vec{CG}\right)$ $=\left(\vec{AB}+\vec{AE} \right).\left(\vec{AD}+\vec{AE}\right)$
    $\vec{AF}.\vec{BG} = \vec{AB}.\vec{AD} + \vec{AB}.\vec{AE} + \vec{AE}.\vec{AD} + \vec{AE}.\vec{AE}$ $=AE^2=1$. Réponse c
    $~$
  3. $\vec{AF}(1;0;1)$  et $\vec{AH}(0;1;1)$ sont $2$ vecteurs non colinéaires. Ce sont donc des vecteurs de base du plan $\mathcal{P}$. Il faut donc que le produit scalaire du vecteur normal au plan avec ces $2$ vecteurs soit nul.
    $A(0;0;0) \in \mathcal{P}$ : ce ne peut donc pas être l’équation a.
    Dans l’équation b : le vecteur normal est $\vec{n}(1;-1;1)$. Mais $\vec{n}.\vec{AF} = 1 + 1 =2$
    Dans l’équation c : le vecteur normal est $\vec{n}(-1;1;1)$. Mais $\vec{n}.\vec{AH} = 1 + 1 =2$
    Dans l’équation d : le vecteur normal est $\vec{n}(1;1;-1)$. Et $\vec{n}.\vec{AF} = 1 – 1 = 0$ et $\vec{n}.\vec{AH} = 1 – 1 = 0$. Réponse d
    $~$
  4. Un vecteur normal est $\vec{n}(1;1;-1)$. Il faut donc que le vecteur choisi soit colinéaire à $\vec{n}$.
    Or $\vec{EC}(1;1;-1)$. $\vec{EL}$ et $\vec{EC}$ sont colinéaires. Réponse b
    $~$
  5. Déterminons les coordonnées de $L$.
    Une équation paramétrique de $(EC)$ est :
    $\left\{ \begin{array}{l} x=t \\\\ y=t \qquad t \in \R \\\\z = 1 -t \end{array} \right.$
    Injectons ces équations dans l’équation de $\mathcal{P}$ : $t+t-1+t=0 \Leftrightarrow t = \dfrac{1}{3}$. Réponse d
    $~$

Exercice 2

Partie A

$p-\dfrac{1}{\sqrt{n}} \le f \le p + \dfrac{1}{\sqrt{n}}$
$\Leftrightarrow-\dfrac{1}{\sqrt{n}} \le f-p \le \dfrac{1}{\sqrt{n}}$
$\Leftrightarrow -f-\dfrac{1}{\sqrt{n}} \le -p \le \dfrac{1}{\sqrt{n}} – f $
$\Leftrightarrow f-\dfrac{1}{\sqrt{n}} \le p \le f+ \dfrac{1}{\sqrt{n}}$

Partie B

  1. a.
    TS - antilles guyane - juin2013 - ex2$~$
    b. D’après la propriété des probabilités totales :
    $$p(A) = r +(1-r) \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{3}(1+2r)$$
    $~$
    c. $p_A(R) = \dfrac{p(A \cap R)}{p(A)} = \dfrac{r}{\dfrac{1}{3}(1+2r)} = \dfrac{3r}{1+2r}$
    $~$
  2. a. Les $400$ tirages sont aléatoires, indépendants et identiques.
    A chaque tirage, il n’y a que $2$ issues : $R$ et $\bar{R}$. $p(R) = r$.
    $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n = 400$ et $p=\dfrac{1}{3}(1+2r)$
    $~$
    b. La fréquence observée est $f = \dfrac{240}{400} = 0,6$.
    Un intervalle de confiance au seuil de $95 \%$ est donc :
    $$I_{400} = \left[0,6 – \dfrac{1}{\sqrt{400}};0,6+\dfrac{1}{\sqrt{400}} \right] = [0,55;0,65]$$
    Par conséquent :
    $0,55 \le \dfrac{1}{3}(1+2r) \le 0,65$
    $\Leftrightarrow 1,65 \le 1+2r \le 1,95$
    $\Leftrightarrow 0,65 \le 2r \le 0,95$
    $\Leftrightarrow 0,325 \le r \le 0,475$
    $~$
    c. i. Si $r=0,4$ alors $p=0,6$
    Par conséquent $E(X) = np = 240$ et $V(X) = np(1-p) = 96 = \sigma^2$
    X suit donc la loi normale $\mathcal{N}(240;96)$
    $~$
    ii. $P(X \le 250) = 0,5 + P(240 \le X \le 250) = 0,846$
    $~$

Exercice 3

Partie A

  1. $\lim\limits_{x \rightarrow + \infty} x+1 = +\infty$ $\quad \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \text{e}^x = +\infty$ donc $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x) = +\infty$
    $~$
    $f(x)=x\text{e}^x+\text{e}^x$.
    $\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} x\text{e}^x=0$ et $\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \text{e}^x = 0$ donc $\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} f(x) = 0$.
    $~$
  2. $f$ est un produit de fonctions dérivables sur $\R$. Elle est donc également dérivable sur $\R$.
    $f'(x)=\text{e}^x+(x+1)\text{e}^x=(x+2)\text{e}^x$.
    $~$
  3. $f(-2)=-\text{e}^{-2}$
    TS - antilles guyane - juin2013 - ex3

Partie B

  1. a. $g_m(x)=0 \Leftrightarrow x+1=m\text{e}^{-x} \Leftrightarrow (x+1)\text{e}^{x} = m \Leftrightarrow f(x) = m$
    $~$
    b. D’après le tableau de variations :
    Si $m > 0$, l’équation $f(x)=m$ possède une unique solution
    Si $m\in [0;-\text{e}^{-2}]$, l’équation possède $2$ solutions
    Si $m = -\text{e}^{-2}$, l’équation possède une solution
    Si $m < -\text{e}^{-2}$, l’équation ne possède pas de solution
    $~$
  2. La courbe $1$ n’a pas de point commun avec l’axe des abscisses. Donc $m <-\text{e}^{-2}$.
    Par conséquent $m=-\text{e}$.
    Le point de coordonnées $(0;1)$ appartient à la courbe $2$. Cela n’est possible que pour $m=0$.
    La courbe $3$ correspond donc à $m=e$
    $~$
  3. $g_m(x)-(x+1) = -m\text{e}^{-x}$. La fonction exponentielle est toujours positive. Le signe de cette expression ne dépend donc que de celui de $m$.
    Si $m > 0$, alors la droite est au-dessus de la courbe.
    Si $m = 0$, la courbe et la droite sont confondues.
    Si $m < 0$, alors la droite est au-dessous de la courbe.
    $~$
  4. a.
    TS - antilles guyane - juin2013 - ex31
    b. $\mathcal{A}(a) = \displaystyle \int_0^a \left(x+1+\text{e}\times \text{e}^{-x} – (x+1- \text{e} \times \text{e}^{-x}) \right) \text{d}x$ $= \displaystyle\int_0^a 2\text{e}\times \text{e}^{-x} \text{d}x$ $=\left[-2\text{e} \times \text{e}^{-x} \right]_0^a$ $=-2\text{e} \times \text{e}^{-a} + 2\text{e}$ $=2\text{e} – 2\text{e}^{1-a}$.
    Par conséquent $\lim\limits_{a \rightarrow -\infty} \mathcal{A}(a) = 2\text{e}$
    $~$

Exercice 4

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

  1. $z_0 = 1 + \text{i}$ donc $a_0 = 1$ et $b_0 = 1$
    $~$
  2. $z_1 = \dfrac{1+\text{i} + \sqrt{2}}{3} = \dfrac{1+\sqrt{2}}{3} + \dfrac{1}{3}\text{i}$
    donc $a_1 = \dfrac{1+\sqrt{2}}{3}$ et $b_1 = \dfrac{1}{3}$.
    $~$
  3. $K$ $A$ $B$
    $1$ $0,8047$ $0,3333$
    $2$ $0,5586$ $0,1111$

    $~$

  4. L’algorithme renvoie la valeur de $a_N$.
    $~$

Partie B

  1. $z_{n+1} = \dfrac{a_n+\text{i}b_n+\sqrt{a_n^2+b_n^2}}{3} = \dfrac{a_n+\sqrt{a_n^2+b_n^2}}{3}+\dfrac{b_n}{3}\text{i}$
    Donc $a_{n+1} = \dfrac{a_n+\sqrt{a_n^2+b_n^2}}{3}$ et $b_{n+1}=\dfrac{b_n}{3}$
    $~$
  2. La suite $(b_n)$ est donc une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{3}$ et de premier terme $b_0 = 1$.
    Donc $b_n=\dfrac{1}{3^n}$. Or $-1 < \dfrac{1}{3} < 1$ alors $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} b_n=0$
    $~$
  3. a. $|z_{n+1}| = \left|\dfrac{z_n+|z_n|}{3}\right| \le \dfrac{1}{3} \left(|z_n|+|z_n| \right)$.
    Donc $|z_{n+1}| \le \dfrac{2|z_n|}{3}$
    $~$
    b. Initialisation : $u_0 = \sqrt{2} \le 1 \times \sqrt{2}$
    La propriété est vraie au rang $0$.
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $u_n \le \left(\dfrac{2}{3} \right) ^n \sqrt{2}$
    Alors $u_{n+1} = |z_{n+1}| \le \dfrac{2|z_n|}{3}$
    Par conséquent $u_{n+1} \le \dfrac{2}{3}u_n \le \dfrac{2}{3} \times \left(\dfrac{2}{3} \right) ^n \sqrt{2}$.
    Donc $u_{n+1} \le \left(\dfrac{2}{3} \right) ^{n+1} \sqrt{2}$.
    La propriété est vraie au rang $n+1$.
    Conclusion : la propriété est vraie au rang $0$. En la supposant vraie au rang $n$, elle reste vraie au rang suivant.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, $u_n \le \left(\dfrac{2}{3} \right) ^n \sqrt{2}$
    $-1 < \dfrac{2}{3} < 1$ donc $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \left(\dfrac{2}{3} \right) ^n \sqrt{2} = 0$
    $~$
    De plus on a : $0 \le u_n \le \left(\dfrac{2}{3}\right)^n \times \sqrt{2}$.
    D’après le théorème des gendarmes $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 0$.
    $\quad$
    c. $u_n = |z_n| = |a_n+\text{i}b_n| = \sqrt{a_n^2+b_n^2} \ge \sqrt{a_n^2}$ Donc $u_n \ge |a_n| > 0$
    Or $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n = 0$
    D’après le théorème des gendarmes : $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} |a_n| = 0$ et $\lim\limits_{n \rightarrow} a_n = 0$.
    $~$

Exercice 4

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

  1. $u_1=\dfrac{0+1}{2} = 0,5$ $\qquad v_1 = \dfrac{0 + 2\times 1}{3} = \dfrac{2}{3}$.
    $~$
  2. a.

    $w$ $w$ $u$ $v$
    $1$ $0$ $0,5000$ $0,667$
    $2$ $0,5000$ $0,5833$ $0,6111$

    $~$
    b. Les valeurs affichées correspondent à $u_N$ et $v_N$.
    $~$

  3. a. $u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_n + \dfrac{1}{2}v_n$
    $b_{n+1} = \dfrac{1}{3}u_n+\dfrac{2}{3}v_n$
    Donc $X_{n+1} = AX_n$
    $~$
    b. Initialisation : Si $n=0$ alors $A^0X_0 = I_2X_0=X_0$. La propriété est vraie au rang $0$.
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $X_n = A^nX_0$
    Alors $X_{n+1} = AX_n = A\times A^nX_0 = A^{n+1}X_0$.
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$. En la supposant vraie au rang $n$, elle est encore vraie au rang suivant.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, $X_n = A^nX^0$
    $~$
  4. a. $PP’ = \begin{pmatrix} 1&0 \\\\0&1 \end{pmatrix}$
    Initialisation : Si $n=0$ alors $P’B^0P = P’P = I_2 =A^0$.
    La propriété est vraie au rang $0$.
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $A^n = P’B^nP$
    Alors $A^{n+1} = A\times A^n = P’BP\times P’B^nP = P’B^{n+1}P$.
    La propriété est vraie au rang $n+1$.
    Conclusion : La propriété est vraie au rang 0. En la supposant vraie au rang $n$, elle est encore vraie au rang suivant.
    Par conséquent, pour tout entier $n$, $A^n = P’B^nP$.
    $~$
    b. On a donc $A^n = \begin{pmatrix} \dfrac{1}{10 \times 6^{n-1}} + \dfrac{2}{5}&- \dfrac{1}{10 \times 6^{n-1}} + \dfrac{3}{5} \\\\- \dfrac{1}{ 15 \times 6^{n-1}} + \dfrac{2}{5} &  \dfrac{1}{ 15 \times 6^{n-1}} + \dfrac{3}{5} \end{pmatrix}$
    $~$
  5. a. $X_n = A^n \begin{pmatrix}0\\\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} – \dfrac{1}{10 \times 6^{n-1}} + \dfrac{3}{5} \\\\  \dfrac{1}{ 15 \times 6^{n-1}} + \dfrac{3}{5} \end{pmatrix}$ $= \begin{pmatrix} – \dfrac{3}{5 \times 6^{n}} + \dfrac{3}{5} \\\\  \dfrac{2}{ 5 \times 6^{n}} + \dfrac{3}{5} \end{pmatrix}$
    $~$
    Par conséquent $u_n = – \dfrac{3}{5 \times 6^{n}} + \dfrac{3}{5} $ et $v_n = – \dfrac{2}{5 \times 6^{n}} + \dfrac{3}{5} $
    $~$
    b. $-1 < \dfrac{1}{6} < 1$ donc $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{1}{6^n} = 0$ et $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n = \lim\limits_{n \rightarrow +\infty}v_n = \dfrac{3}{5}$.