Bac S – Nouvelle Calédonie – Mars 2014

Nouvelle Calédonie – Mars 2014

Bac S – Mathématiques

La correction de ce sujet de bac est disponible ici.

Exercice 1  –  4 points

Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiple). Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Le candidat indiquera SUR la copie le numéro de la question et la réponse choisie.
Chaque réponse exacte rapporte un point. Aucune justification n’est demandée. Aucun point n’est enlevé en l’absence de réponse ou en cas de réponse fausse.

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct $\Ouv$. Soit $z$ un nombre complexe de la forme $x + \ic y$, où $x$ et $y$ sont des réels.

  1. Soit $z$ le nombre complexe d’affixe $(1 + \text{i})^4$. L’écriture exponentielle de $z$ est :
    a. $\sqrt{2}\e^{\ic\pi}$
    $\quad$
    b. $4\e^{\ic\pi}$
    $\quad$
    c. $\sqrt{2}\e^{\ic\frac{\pi}{4}}$
    $\quad$
    d. $4\e^{\ic\frac{\pi}{4}}$
    $\quad$
  2. L’ensemble des points $M$ du plan d’affixe $z = x + \ic y$ tels que $|z – 1 + \ic| = \left|\sqrt{3} – \ic\right|$ a pour équation :
    a. $(x – 1)^2 + (y + 1)^2 = 2$
    $\quad$
    b. $(x + 1)^2 + (y – 1)^2 = 2$
    $\quad$
    c. $(x – 1)^2 + (y + 1)^2 = 4$
    $\quad$
    d. $y = x + \dfrac{\sqrt{3} – 1}{2}$
    $\quad$
  3. On considère la suite de nombres complexes $\left(Z_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $Z_{0} = 1 + \ic$ et $Z_{n+1} = \frac{1 + \ic}{2}Z_{n}$. On note $M_{n}$ le point du plan d’affixe $Z_{n}$.
    a. Pour tout entier naturel $n$, le point $M_{n}$ appartient au cercle de centre $O$ et de rayon $\sqrt{2}$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$, le triangle $OM_{n}M_{n + 1}$ est équilatéral.
    $\quad$
    c. La suite $\left(U_{n}\right)$ définie par $U_{n} = \left|Z_{n}\right|$ est convergente.
    $\quad$
    d. Pour tout entier naturel $n$, un argument de $\dfrac{Z_{n+1} – Z_{n}}{Z_{n}}$ est $\dfrac{\pi}{2}$.
    $\quad$
  4. Soit $A$, $B$, $C$ trois points du plan complexe d’affixes respectives : $$Z_A= – 1 – \ic \quad ;\quad Z_B = 2 – 2\ic\quad \text{et}\quad Z_C = 1 + 5\ic.$$
    On pose $Z = \dfrac{Z_C – Z_A}{Z_B – Z_A}$.
    a. $Z$ est un nombre réel.
    $\quad$
    b. Le triangle $ABC$ est isocèle en $A$.
    $\quad$
    c. Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
    $\quad$
    d. Le point $M$ d’affixe $Z$ appartient à la médiatrice du segment $[BC]$.
    $\quad$

Exercice 2  –  6 points

Les parties A, B et C sont indépendantes

Partie A

Restitution organisée des connaissances

L’objectif de cette partie est de démontrer le théorème suivant :

Si $X$ est une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite, alors pour tout réel $\alpha$ appartenant à l’intervalle $]0; 1[$, il existe un unique réel strictement positif $\chi_{\alpha}$ tel que $P\left(- \chi_{\alpha} \le X \le \chi_{\alpha}\right) = 1 – \alpha$.

Soit $f$ la fonction définie sur l’ensemble des nombres réels $\R$ par $$f(t) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\e^{- \frac{t^2}{2}}.$$

Soit $H$ la fonction définie et dérivable sur $[0;+ \infty[$ par $$H(x) = P(- x \le X \le x) = \int_{- x}^{x} f(t)\mathrm{d}t.$$

  1. Que représente la fonction $f$ pour la loi normale centrée réduite ?
    $\quad$
  2. Préciser $H(0)$ et la limite de $H(x)$ quand $x$ tend vers $+ \infty$.
    $\quad$
  3. À l’aide de considérations graphiques, montrer que pour tout nombre réel positif $x$, $H(x) = 2\displaystyle\int_{0}^{x} f(t)\mathrm{d}t$.
    $\quad$
  4. En déduire que la dérivée $H’$ de la fonction $H$ sur $[0;+ \infty[$ est la fonction $2f$ et dresser le tableau de variations de $H$ sur $[0;+ \infty[$.
    $\quad$
  5. Démontrer alors le théorème énoncé.
    $\quad$

Partie B

Un laboratoire se fournit en pipettes auprès de deux entreprises, notées A et B.
$60\%$ des pipettes viennent de l’entreprise A et $4,6\%$ des pipettes de cette entreprise possèdent un défaut.
Dans le stock total du laboratoire, $5\%$ des pièces présentent un défaut. On choisit au hasard une pipette dans le stock du laboratoire et on note :

  • $A$ l’événement : “La pipette est fournie par l’entreprise A”;
  • $B$ l’événement : “La pipette est fournie par l’entreprise B”;
  • $D$ l’événement : “La pipette a un défaut \fg”.
  1. La pipette choisie au hasard présente un défaut ; quelle est la probabilité qu’elle vienne de l’entreprise A ?
    $\quad$
  2. Montrer que $p(B \cap D) = 0,022~4$.
    $\quad$
  3. Parmi les pipettes venant de l’entreprise B, quel pourcentage de pipettes présente un défaut ?
    $\quad$

Partie C

Une pipette est dite conforme si sa contenance est comprise, au sens large entre $98$ millilitres (mL) et $102$ mL.
Soit $X$ la variable aléatoire qui à chaque pipette prise au hasard dans le stock d’un laboratoire associe sa contenance (en millilitres).
On admet que $X$ suit une loi normale de moyenne $\mu$ et écart type $\sigma$ tels que $\mu = 100$ et $\sigma^2 = 1,042~4$.

  1. Quelle est alors la probabilité, à $10^{-4}$ près, pour qu’une pipette prise au hasard soit conforme ? On pourra s’aider de la table ci-dessous ou utiliser une calculatrice.
    $$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Contenance }x \text{ (en mL)}& 95 &96 &97 &98 &99\\\\
    \hline
    P(X \le x) \left(\text{arrondi à } 10^{- 5}\right)&0,000~00 &0,000~04 &0,001~65 &0,025~06 &0,163~68\\\\
    \hline
    \end{array}$$
    $$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Contenance }x \text{ (en mL)}&100 &101 &102 &103 &104\\\\
    \hline
    P(X \le x) \left(\text{arrondi à }10^{- 5}\right)&\phantom{00}0,5\phantom{~00} &0,836~32 &0,974~94 &0,998~35&0,999~96\\\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    Pour la suite, on admet que la probabilité pour qu’une pipette soit non-conforme est $p = 0,05$.
    $\quad$
  2. On prélève dans le stock du laboratoire des échantillons de pipettes de taille $n$, où $n$ est un entier naturel supérieur ou égal à $100$. On suppose que le stock est assez important pour considérer ces tirages comme indépendants.
    Soit $Y_{n}$ la variable aléatoire qui à chaque échantillon de taille $n$ associe le nombre de pipettes non-conformes de l’échantillon.
    a. Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire $Y_{n}$ ?
    $\quad$
    b. Vérifier que $n \ge 30$, $np \ge 5$ et $n(1 – p) \ge 5$.
    $\quad$
    c. Donner en fonction de $n$ l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de la fréquence des pipettes non-conformes dans un échantillon.
    $\quad$

Exercice 3  –  5 points

Partie A

Soit $f$ la fonction dérivable, définie sur l’intervalle $]0;+ \infty [$ par $$f(x) = x\ln (x).$$

  1. Déterminer les limites de $f$ en $0$ et en $+ \infty$.
    $\quad$
  2. On appelle $f’$ la fonction dérivée de $f$ sur $]0;+ \infty [$.
    Montrer que $f'(x) = \ln(x) + 1$.
    $\quad$
  3. Déterminer les variations de $f$ sur $]0;+ \infty [$.
    $\quad$

Partie B

Soit $\mathscr{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal.
Soit $\mathscr{A}$ l’aire, exprimée en unités d’aire, de la partie du plan comprise entre l’axe des abscisses, la courbe $\mathscr{C}$ et les droites d’équations respectives $x = 1$ et $x = 2$.
On utilise l’algorithme suivant pour calculer, par la méthode des rectangles, une valeur approchée de l’aire $\mathscr{A}$. (voir la figure ci-après).

Bac S - Nouvelle Calédonie - mars2014 - ex3

Algorithme :

Variables :
$\quad$ $k$ et $n$ sont des entiers naturels
$\quad$ $U, V$ sont des nombres réels
Initialisation :
$\quad$ $U$ prend la valeur $0$
$\quad$ $V$ prend la valeur $0$
$\quad$ $n$ prend la valeur $4$
Traitement :
$\quad$ Pour $k$ allant de $0$ à $n – 1$
$\qquad$ Affecter à $U$ la valeur $U + \dfrac{1}{n}f\left(1 + \dfrac{k}{n}\right)$
$\quad$
$\qquad$ Affecter à $V$ la valeur $V + \dfrac{1}{n}f\left(1 + \dfrac{k + 1}{n}\right)$
$\quad$ Fin pour
Affichage :
$\quad$ Afficher $U$
$\quad$ Afficher $V$

  1. a. Que représentent $U$ et $V$ sur le graphique précédent ?
    $\quad$
    b. Quelles sont les valeurs $U$ et $V$ affichées en sortie de l’algorithme (on donnera une valeur approchée de $U$ par défaut à $10^{-4}$ près et une valeur approchée par excès de $V$ à $10^{-4}$ près) ?
    $\quad$
    c. En déduire un encadrement de $\mathscr{A}$.
    $\quad$
  2. Soient les suites $\left(U_{n}\right)$ et $\left(V_{n}\right)$ définies pour tout entier $n$ non nul par :
    $$\begin{array}{lcl}
    U_{n}& =&\dfrac{1}{n}\left[f(1) + f\left(1 + \dfrac{1}{n}\right) + f\left(1 + \dfrac{2}{n}\right) + \ldots + f\left(1 + \dfrac{n-1}{n}\right)\right]\\\\
    V_{n}&=&\dfrac{1}{n}\left[f\left(1 + \dfrac{1}{n}\right) + f\left(1 + \dfrac{2}{n}\right) + \ldots + f\left(1 + \dfrac{n-1}{n}\right) + f(2)\right]
    \end{array}$$
    On admettra que, pour tout $n$ entier naturel non nul, $U_{n} \le \mathscr{A} \le V_{n}$.
    a. Trouver le plus petit entier $n$ tel que $V_{n} – U_{n} < 0,1$.
    $\quad$
    b. Comment modifier l’algorithme précédent pour qu’il permette d’obtenir un encadrement de $\mathscr{A}$ d’amplitude inférieure à $0,1$ ?
    $\quad$

Partie C

Soit $F$ la fonction dérivable, définie sur $]0;+ \infty[$ par $$F(x) = \dfrac{x^2}{2} \ln x – \dfrac{x^2}{4}.$$

  1. Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $]0;+ \infty[$.
    $\quad$
  2. Calculer la valeur exacte de $\mathscr{A}$.
    $\quad$

Exercice 4  –  5 points

Pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

 

Soit $ABCDEFGH$ un parallélépipède rectangle tel que $AB = 2$, $AD = 3$ et $AE = 1$.
On appelle respectivement $I$, $J$ et $P$ les milieux respectifs des segments $[CD]$, $[EF]$ et $[AB]$.
On note $Q$ le point défini par $\vec{AQ}= \dfrac{1}{3}\vec{AD}$.

Bac S - Nouvelle Calédonie - mars2014 - ex4

On appelle plan médiateur d’un segment le plan perpendiculaire à ce segment et passant par son milieu.
L’objectif de l’exercice est de déterminer les coordonnées du centre d’une sphère circonscrite au tétraèdre $ABIJ$ (c’est-à-dire une sphère qui passe par les quatre points $A$, $B$, $I$, $J$).

L’espace est rapporté au repère orthonormal $\left(A;\vec{AP},\vec{AQ},\vec{AE}\right)$.

  1. Justifier que les quatre points $A$, $B$, $I$ et $J$ ne sont pas coplanaires.
    $\quad$
  2. Déterminer une équation cartésienne du plan médiateur $\left(P_{1}\right)$ du segment $[AB]$.
    $\quad$
  3. Soit $\left(P_{2}\right)$ le plan d’équation cartésienne $3y – z – 4 = 0$.
    Montrer que le plan $\left(P_{2}\right)$ est le plan médiateur du segment $[IJ]$.
    $\quad$
  4. a. Démontrer que les plans $\left(P_{1}\right)$ et $\left(P_{2}\right)$ sont sécants.
    $\quad$
    b. Montrer que leur intersection est une droite $(\Delta)$ dont une représentation paramétrique est $$\begin{cases} x = 1\\\\y = t\\\\z = 3t – 4 \end{cases}\quad \text{où } t \text{ décrit l’ensemble des nombres réels } \R.$$
    $\quad$
    c. Déterminer les coordonnées du point $\Omega$ de la droite $(\Delta)$ tel que $\Omega A = \Omega I$.
    $\quad$
    d. Montrer que le point $\Omega$ est centre de la sphère circonscrite au tétraèdre $ABIJ$.
    $\quad$

 

Bac S – Pondichéry – Avril 2014

Pondichéry – Avril 2014

Bac S – Mathématiques

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Exercice 1  –  4 points

Dans cet exercice, sauf indication contraire, les résultats seront arrondis au centième.

  1. La durée de vie, exprimée en années, d’un moteur pour automatiser un portail fabriqué par une entreprise A est une variable aléatoire $X$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, où $\lambda$ est un réel strictement positif.
    On sait que $P(X \le 2) = 0,15$.
    Déterminer la valeur exacte du réel $\lambda$.
    $\quad$
    Dans la suite de l’exercice on prendra $0,081$ pour valeur de $\lambda$.
  2. a. Déterminer $P(X \ge 3)$.
    $\quad$
    b. Montrer que pour tous réels positifs $t$ et $h$, $P_{X \ge t}(X \ge t + h) = P(X \ge h)$.
    $\quad$
    c. Le moteur a déjà fonctionné durant $3$ ans. Quelle est la probabilité pour qu’il fonctionne encore $2$ ans ?
    $\quad$
    d. Calculer l’espérance de la variable aléatoire $X$ et donner une interprétation de ce résultat.
    $\quad$
  3. Dans la suite de cet exercice, on donnera des valeurs arrondies des résultats à $10^{-3}$
    L’entreprise A annonce que le pourcentage de moteurs défectueux dans la production est égal à $1\%$. Afin de vérifier cette affirmation $800$ moteurs sont prélevés au hasard. On constate que $15$ moteurs sont détectés défectueux.
    Le résultat de ce test remet-il en question l’annonce de l’entreprise A ? Justifier. On pourra s’aider d’un intervalle de fluctuation.
    $\quad$

Exercice 2  –  4 points

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie.
Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée.
Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte.
Une absence de réponse n’est pas pénalisée.

  1. Proposition 1
    Toute suite positive croissante tend vers $+ \infty$.
    $\quad$
  2. $g$ est la fonction définie sur $\left]- \dfrac{1}{2};+ \infty\right[$ par $$g(x) = 2x \ln (2x + 1).$$
    Proposition 2
    Sur $\left]- \dfrac{1}{2};+ \infty\right[$, l’équation $g(x) = 2x$ a une unique solution : $\dfrac{\e – 1}{2}$.
    $\quad$
    Proposition 3
    Le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de la fonction $g$ au point d’abscisse $\dfrac{1}{2}$ est : $1 + \ln 4$.
    $\quad$
  3. L’espace est muni d’un repère orthonormé $\Oijk$.
    $\mathscr{P}$ et $\mathscr{R}$ sont les plans d’équations respectives : $2x + 3y – z – 11 = 0$ et $x + y + 5z – 11 = 0$.
    Proposition 4
    Les plans $\mathscr{P}$ et $\mathscr{R}$ se coupent perpendiculairement.
    $\quad$

Exercice 3  –  hfill 5 points

Candidats n’ayant pas suivi la spécialité 

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé $\Ouv$.
Pour tout entier naturel $n$, on note $A_{n}$ le point d’affixe $z_{n}$ défini par : $$z_{0} = 1\quad \text{et}\quad z_{n+1} = \left(\dfrac{3}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}\ic\right)z_{n}.$$

On définit la suite $\left(r_{n}\right)$ par $r_{n} = \left|z_{n}\right|$ pour tout entier naturel $n$.

  1. Donner la forme exponentielle du nombre complexe $\dfrac{3}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}\ic$.
    $\quad$
  2. a. Montrer que la suite $\left(r_{n}\right)$ est géométrique de raison $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
    $\quad$
  3. En déduire l’expression de $r_{n}$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  4. Que dire de la longueur $OA_{n}$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$ ?
    $\quad$
  5. On considère l’algorithme suivant :
    Variables
    $\quad$ $n$ entier naturel
    $\quad$ $R$ réel
    $\quad$ $P$ réel strictement positif
    Entrée
    $\quad$ Demander la valeur de $P$
    Traitement
    $\quad$ $R$ prend la valeur $1$
    $\quad$ $n$ prend la valeur $0$
    $\quad$ Tant que $R > P$
    $\qquad$ $n$ prend la valeur $n + 1$
    $\qquad$ $R$ prend la valeur $\dfrac{\sqrt{3}}{2}R$
    $\quad$ Fin tant que
    Sortie
    $\quad$ Afficher $n$
    $\quad$
    a. Quelle est la valeur affichée par l’algorithme pour $P = 0,5$ ?
    $\quad$
    b. Pour $P = 0,01$ on obtient $n = 33$. Quel est le rôle de cet algorithme ?
    $\quad$
  6. a. Démontrer que le triangle $OA_{n}A_{n+1}$ est rectangle en $A_{n+1}$.
    $\quad$
    b. On admet que $z_{n} = r_{n}\e^{\ic\frac{n\pi}{6}}$.
    Déterminer les valeurs de $n$ pour lesquelles $A_{n}$ est un point de l’axe des ordonnées.
    $\quad$
    c. Compléter la figure donnée en annexe, à rendre avec la copie, en représentant les points $A_{6}, A_{7}, A_{8}$ et $A_{9}$.
    Les traits de construction seront apparents.
    $\quad$

Annexe

Bac S - Pondichéry - avril 2014 - ex3

Exercice 3  –  5 points

Candidats ayant suivi la spécialité

Chaque jeune parent utilise chaque mois une seule marque de petits pots pour bébé. Trois marques X, Y et Z se partagent le marché. Soit $n$ un entier naturel.
On note :

  • $X_{n}$ l’événement “la marque X est utilisée le mois $n$”,
  • $Y_{n}$ l’événement “la marque Y est utilisée le mois $n$”,
  • $Z_{n}$ l’événement “la marque Z est utilisée le mois $n$”.

Les probabilités des événements $X_{n}, Y_{n}, Z_{n}$ sont notées respectivement $x_{n}, y_{n}, z_{n}$.
La campagne publicitaire de chaque marque fait évoluer la répartition.
Un acheteur de la marque X le mois $n$, a le mois suivant :

  • $50\%$ de chance de rester fidèle à cette marque,
  • $40\%$ de chance d’acheter la marque Y,
  • $10\%$ de chance d’acheter la marque Z.

Un acheteur de la marque Y le mois $n$, a le mois suivant :

  • $30\%$ de chance de rester fidèle à cette marque,
  • $50\%$ de chance d’acheter la marque X,
  • $20\%$ de chance d’acheter la marque Z.

Un acheteur de la marque Z le mois $n$, a le mois suivant :

  • $70\%$ de chance de rester fidèle à cette marque,
  • $10\%$ de chance d’acheter la marque X,
  • $20\%$ de chance d’acheter la marque Y.
  1. a. Exprimer $x_{n+1}$ en fonction de $x_{n}, y_{n}$ et $z_{n}$.
    On admet que :
    $y_{n+1} = 0,4x_{n} + 0,3y_{n} + 0,2z_{n}$ et que $z_{n+1} = 0,1x_{n} + 0,2y_{n} + 0,7 z_{n}$.
    $\quad$
    b. Exprimer $z_{n}$ en fonction de $x_{n}$ et $y_{n}$. En déduire l’expression de $x_{n+1}$ et $y_{n+1}$ en fonction de $x_{n}$ et $y_{n}$.
    $\quad$
  2. On définit la suite $\left(U_{n}\right)$ par $U_{n} = \begin{pmatrix}x_{n}\\y_{n}\end{pmatrix}$ pour tout entier naturel $n$.
    On admet que, pour tout entier naturel $n$, $U_{n+1} = A \times U_{n} + B$ où $A = \begin{pmatrix}0,4&0,4\\0,2&0,1\end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix}0,1\\0,2\end{pmatrix}$.
    Au début de l’étude statistique (mois de janvier 2014 : $n = 0$), on estime que $U_{0} = \begin{pmatrix}0,5\\0,3\end{pmatrix}$.
    On considère l’algorithme suivant :
    Variables
    $\quad$ $n$ et $i$ des entiers naturels.
    $\quad$ $A$, $B$ et $U$ des matrices
    Entrée et initialisation
    $\quad$ Demander la valeur de $n$
    $\quad$ $i$ prend la valeur $0$
    $\quad$ $A$ prend la valeur $\begin{pmatrix}0,4&0,4\\0,2&0,1\end{pmatrix}$
    $\quad$ $B$ prend la valeur $\begin{pmatrix}0,1\\0,2\end{pmatrix}$
    $\quad$ $U$ prend la valeur $\begin{pmatrix}0,5\\0,3\end{pmatrix}$
    Traitement
    $\quad$ Tant que i < n
    $\qquad$ $U$ prend la valeur $A \times U + B$
    $\qquad$ $i$ prend la valeur $i + 1$
    $\quad$ Fin de Tant que
    Sortie
    $\quad$ Afficher $U$
    $\quad$
    a. Donner les résultats affichés par cet algorithme pour $n = 1$ puis pour $n = 3$.
    $\quad$
    b. Quelle est la probabilité d’utiliser la marque X au mois d’avril ?
    Dans la suite de l’exercice, on cherche à déterminer une expression de $U_{n}$ en fonction de $n$.
    On note $I$ la matrice $\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ et $N$ la matrice $I – A$.
    $\quad$
  3. On désigne par $C$ une matrice colonne à deux lignes.
    a. Démontrer que $C = A \times C + B$ équivaut à $N \times C = B$.
    $\quad$
    b. On admet que $N$ est une matrice inversible et que $N^{-1} = \begin{pmatrix}\dfrac{45}{23}&\dfrac{20}{23}\\\\\dfrac{10}{23}&\dfrac{30}{23}\end{pmatrix}$.
    En déduire que $C = \begin{pmatrix}\dfrac{17}{46}\\\\\dfrac{7}{23}\end{pmatrix}$.
    $\quad$
  4. On note $V_{n}$ la matrice telle que $V_{n} = U_{n} – C$ pour tout entier naturel $n$.
    a. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $V_{n+1} = A \times V_{n}$.
    $\quad$
    b. On admet que $U_{n} = A^n \times \left(U_{0} – C\right) + C$.
    Quelles sont les probabilités d’utiliser les marques X, Y et Z au mois de mai ?
    $\quad$

Exercice 4  –  7 points

Partie A

$f$ est une fonction définie et dérivable sur $\R$. $f’$ est la fonction dérivée de la fonction $f$.
Dans le plan muni d’un repère orthogonal, on nomme $\mathscr{C}_{1}$ la courbe représentative de la fonction $f$ et $\mathscr{C}_{2}$ la courbe représentative de la fonction $f’$.
Le point $A$ de coordonnées $(0;2)$ appartient à la courbe $\mathscr{C}_{1}$.
Le point $B$ de coordonnées $(0;1)$ appartient à la courbe $\mathscr{C}_{2}$.

  1. Dans les trois situations ci-dessous, on a dessiné la courbe représentative $\mathscr{C}_{1}$ de la fonction $f$. Sur l’une d’entre elles, la courbe $\mathscr{C}_{2}$ de la fonction dérivée $f’$ est tracée convenablement. Laquelle ? Expliquer le choix effectué.Situation 1
    Bac S - Pondichéry - avril 2014 - ex4.1
    Situation 2Bac S - Pondichéry - avril 2014 - ex4.2

    Situation 3
    Bac S - Pondichéry - avril 2014 - ex4.3

  2. Déterminer l’équation réduite de la droite $\Delta$ tangente à la courbe $\mathscr{C}_{1}$ en $A$.
    $\quad$
  3. On sait que pour tout réel $x$, $f(x) = \e^{-x} + ax + b$ où $a$ et $b$ sont deux nombres réels.
    a. Déterminer la valeur de $b$ en utilisant les renseignements donnés par l’énoncé.
    $\quad$
    b. Prouver que $a = 2$.
    $\quad$
  4. Étudier les variations de la fonction $f$ sur $\R$.
    $\quad$
  5. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.
    $\quad$

Partie B

Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x) = f(x) – (x + 2)$.

  1. a. Montrer que la fonction $g$ admet $0$ comme minimum sur $\R$.
    $\quad$
    b. En déduire la position de la courbe $\mathscr{C}_{1}$ par rapport à la droite $\Delta$.
    $\quad$
    La figure 2 ci-dessous représente le logo d’une entreprise. Pour dessiner ce logo, son créateur s’est servi de la courbe $\mathscr{C}_{1}$ et de la droite $\Delta$, comme l’indique la figure 3 ci-dessous. Afin d’estimer les coûts de peinture, il souhaite déterminer l’aire de la partie colorée en gris.
    Figure 2
    Bac S - Pondichéry - avril 2014 - ex4.4
    Figure 3
    Bac S - Pondichéry - avril 2014 - ex4.5

    Le contour du logo est représenté par le trapèze $DEFG$ où :
    — $D$ est le point de coordonnées $(-2;0)$,
    — $E$ est le point de coordonnées $(2;0)$,
    — $F$ est le point d’abscisse $2$ de la courbe $\mathscr{C}_{1}$,
    — $G$ est le point d’abscisse $- 2$ de la courbe $\mathscr{C}_{2}$.
    La partie du logo colorée en gris correspond à la surface située entre la droite $\Delta$, la courbe $\mathcal{C}_{1}$, la droite d’équation $x = – 2$ et la droite d’équation $x = 2$.
    $\quad$
  2. Calculer, en unités d’aire, l’aire de la partie du logo colorée en gris (on donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie à $10^{-2}$ du résultat).

 

 

Bac S – Amérique du Nord – Mai 2014

Amérique du Nord – Mai 2014

Bac S – Mathématiques

La correction de ce sujet de bac est disponible ici.

Exercice 1  –  5 points

Dans cet exercice, tous les résultats demandés seront arrondis à $10^{-3}$ près.

Une grande enseigne de cosmétiques lance une nouvelle crème hydratante.

Partie A : Conditionnement des pots

Cette enseigne souhaite vendre la nouvelle crème sous un conditionnement de $50$ mL et dispose pour ceci de pots de contenance maximale $55$ mL.
On dit qu’un pot de crème est non conforme s’il contient moins de $49$ mL de crème.

  1. Plusieurs séries de tests conduisent à modéliser la quantité de crème, exprimée en mL, contenue dans chaque pot par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d’espérance $\mu = 50$ et d’écart-type $\sigma = 1,2$.
    Calculer la probabilité qu’un pot de crème soit non conforme.
    $\quad$
  2. La proportion de pots de crème non conformes est jugée trop importante. En modifiant la viscosité de la crème, on peut changer la valeur de l’écart-type de la variable aléatoire $X$, sans modifier son espérance $\mu = 50$. On veut réduire à $0,06$ la probabilité qu’un pot choisi au hasard soit non conforme.
    On note $\sigma’$ le nouvel écart-type, et $Z$ la variable aléatoire égale à $\dfrac{X – 50}{\sigma’}$
    a. Préciser la loi que suit la variable aléatoire $Z$.
    $\quad$
    b. Déterminer une valeur approchée du réel $u$ tel que $p(Z \le u) = 0, 06$.
    $\quad$
    c. En déduire la valeur attendue de $\sigma’$.
    $\quad$
  3. Une boutique commande à son fournisseur $50$ pots de cette nouvelle crème.
    On considère que le travail sur la viscosité de la crème a permis d’atteindre l’objectif fixé et donc que la proportion de pots non conformes dans l’échantillon est $0,06$.
    Soit $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de pots non conformes parmi les $50$ pots reçus.
    a. On admet que $Y$ suit une loi binomiale. En donner les paramètres.
    $\quad$
    b. Calculer la probabilité que la boutique reçoive deux pots non conformes ou moins de deux pots non conformes.
    $\quad$

Partie B : Campagne publicitaire

Une association de consommateurs décide d’estimer la proportion de personnes satisfaites par l’utilisation de cette crème.
Elle réalise un sondage parmi les personnes utilisant ce produit. Sur $140$  personnes interrogées, $99$ se déclarent satisfaites.
Estimer, par intervalle de confiance au seuil de $95\%$, la proportion de personnes satisfaites parmi les utilisateurs de la crème.
$\quad$

Exercice 2  –  6 points

On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $$f(x) = 5 \e^{-x} – 3\e^{-2x} + x – 3.$$

On note $\mathscr{C}_{f}$ la représentation graphique de la fonction $f$ et $\mathscr{D}$ la droite d’équation $y = x – 3$ dans un repère orthogonal du plan.

Partie A : Positions relatives de $\mathscr{C}_{f}$ et $\mathscr{D}$

Soit $g$ la fonction définie sur l’intervalle $[0;+\infty[$ par $g(x) = f(x) – (x – 3)$.

  1. Justifier que, pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0;+\infty[$, $g(x) > 0$.
    $\quad$
  2. La courbe $\mathscr{C}_{f}$ et la droite $\mathscr{D}$ ont-elles un point commun ? Justifier.
    $\quad$

Partie B : Étude de la fonction $g$ 

On note $M$ le point d’abscisse $x$ de la courbe $\mathscr{C}_{f}$, $N$ le point d’abscisse $x$ de la droite $\mathscr{D}$ et on s’intéresse à l’évolution de la distance $MN$.

  1. Justifier que, pour tout $x$ de l’intervalle $[0;+\infty[$, la distance $MN$ est égale à $g(x)$.
    $\quad$
  2. On note $g’$ la fonction dérivée de la fonction $g$ sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    Pour tout $x$ de l’intervalle $[0;+\infty[$, calculer $g'(x)$.
    $\quad$
  3. Montrer que la fonction $g$ possède un maximum sur l’intervalle $[0;+\infty[$ que l’on déterminera.
    En donner une interprétation graphique.
    $\quad$

Partie C : Étude d’une aire

On considère la fonction $\mathscr{A}$ définie sur l’intervalle $[0;+\infty[$ par $$\mathscr{A}(x) = \int_{0}^x [f(t) – (t – 3)] \mathrm{d}t.$$

  1. Hachurer sur le graphique donné en annexe 1 (à rendre avec la copie) le domaine dont l’aire est donnée par $\mathscr{A}(2)$.
    $\quad$
  2. Justifier que la fonction $\mathscr{A}$ est croissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    $\quad$
  3. Pour tout réel $x$ strictement positif, calculer $\mathscr{A}(x)$.
    $\quad$
  4. Existe-t-il une valeur de $x$ telle que $\mathscr{A}(x) = 2$ ?
    $\quad$

Annexe 1

Bac s -amérique du nord - mai 2014 - ex2

 

Exercice 3  –  4 points

On considère un cube $ABCDEFCH$ donné en annexe 2 (à rendre avec la copie).

On note $M$ le milieu du segment $[EH]$, $N$ celui de $[FC]$ et $P$ le point tel que $\vec{HP} = \dfrac{1}{4} \vec{HG}$.

Partie A : Section du cube par le plan $(MNP)$

  1. Justifier que les droites $(MP)$ et $(FG)$ sont sécantes en un point $L$.
    Construire le point $L$.
    $\quad$
  2. On admet que les droites $(LN)$ et $(CG)$ sont sécantes et on note $T$ leur point d’intersection.
    On admet que les droites $(LN)$ et $(BF)$ sont sécantes et on note $Q$ leur point d’intersection.
    a. Construire les points $T$ et $Q$ en laissant apparents les traits de construction.
    $\quad$
    b. Construire l’intersection des plans $(MNP)$ et $(ABF)$.
    $\quad$
    c. En déduire une construction de la section du cube par le plan $(MNP)$.
    $\quad$

Partie B

L’espace est rapporté au repère $\left(A;\vec{AB}, \vec{AD}, \vec{AE}\right)$.

  1. Donner les coordonnées des points $M$, $N$ et $P$ dans ce repère.
    $\quad$
  2. Déterminer les coordonnées du point $L$.
    $\quad$
  3. On admet que le point $T$ a pour coordonnées $\left(1;1;\dfrac{5}{8}\right)$.
    Le triangle $TPN$ est-il rectangle en $T$ ?
    $\quad$

Annexe 2

Bac s -amérique du nord - mai 2014 - ex3

 

Exercice 4  –  5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Un volume constant de $2~200$ m$^3$ d’eau est réparti entre deux bassins A et B.
Le bassin A refroidit une machine. Pour des raisons d’équilibre thermique on crée un courant d’eau entre les deux bassins à l’aide de pompes.
On modélise les échanges entre les deux bassins de la façon suivante :

  • au départ, le bassin A contient $800$ m$^3$ d’eau et le bassin B contient $1~400$ m$^3$ d’eau ;
  • tous les jours, $15\%$ du volume d’eau présent dans le bassin B au début de la journée est transféré vers le bassin A ;
  • tous les jours, $10\%$ du volume d’eau présent dans le bassin A au début de la journée est transféré vers le bassin B.

Pour tout entier naturel $n$, on note :

  • $a_{n}$ le volume d’eau, exprimé en m$^3$, contenu dans le bassin A à la fin du $n$-ième jour de fonctionnement ;
  • $b_{n}$ le volume d’eau, exprimé en m$^3$, contenu dans le bassin B à la fin du $n$-ième jour de fonctionnement.

On a donc $a_{0} = 800$ et $b_{0} = 1~400$.

  1. Par quelle relation entre $a_{n}$ et $b_{n}$ traduit-on la conservation du volume total d’eau du circuit ?
    $\quad$
  2. Justifier que, pour tout entier naturel $n,\: a_{n+1} = \dfrac{3}{4} a_{n} + 330$.
    $\quad$
  3. L’algorithme ci-dessous permet de déterminer la plus petite valeur de $n$ à partir de laquelle $a_{n}$ est supérieur ou égal à $1~100$.
    Recopier cet algorithme en complétant les parties manquantes.
    Variables :
    $\quad$ $n$ est un entier naturel
    $\quad$ $a$ est un réel
    Initialisation :
    $\quad$ Affecter à $n$ la valeur $0$
    $\quad$ Affecter à $a$ la valeur $800$
    Traitement :
    $\quad$ Tant que $a < 1~100$, faire :
    $\qquad$ Affecter à $a$ la valeur $\ldots$
    $\qquad$ Affecter à $n$ la valeur $\ldots$
    $\quad$ Fin Tant que
    Sortie :
    $\quad$ Afficher $n$
    $\quad$
  4. Pour tout entier naturel $n$, on note $u_{n} = a_{n} – 1~320$.
    a. Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
    $\quad$
    b. Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$.
    En déduire que, pour tout entier naturel $n$ , $a_{n} = 1~320 – 520 \times \left(\dfrac{3}{4}\right)^n$.
    $\quad$
  5. On cherche à savoir si, un jour donné, les deux bassins peuvent avoir, au mètre cube près, le même volume d’eau.
    Proposer une méthode pour répondre à ce questionnement.
    $\quad$

Exercice 4  –  5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Un volume constant de $2~200$ m$^3$ d’eau est réparti entre deux bassins A et B.
Le bassin A refroidit une machine. Pour des raisons d’équilibre thermique on crée un courant d’eau entre les deux bassins à l’aide de deux pompes.

On modélise les échanges entre les deux bassins de la façon suivante :

  • au départ, le bassin A contient $1~100$ m$^3$ d’eau et le bassin B contient $1~100$ m$^3$ d’eau ;
  • tous les jours, $15\%$ du volume d’eau présent en début de journée dans le bassin B est transféré vers le bassin A ;
  • tous les jours, $10\%$ du volume d’eau présent en début de journée dans le bassin du bassin A est transféré vers le bassin B, et pour des raisons de maintenance, on transfère également $5$ m$^3$ du bassin A vers le bassin B.

Pour tout entier naturel $n$, on note :

  • $a_{n}$ le volume d’eau, exprimé en m$^3$, contenu dans le bassin A à la fin du $n$-ième jour de fonctionnement ;
  • $b_{n}$ le volume d’eau, exprimé en m$^3$, contenu dans le bassin B à la fin du $n$-ième jour de fonctionnement.

On a donc $a_{0} = 1~100$ et $b_{0} = 1~100$.

Les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante

Partie A

  1. Traduire la conservation du volume total d’eau du circuit par une relation liant $a_{n}$ et $b_{n}$.
    $\quad$
  2. On utilise un tableur pour visualiser l’évolution du volume d’eau dans les bassins.
    Donner les formules à écrire et à recopier vers le bas dans les cellules $B3$ et $C3$ permettant d’obtenir la feuille de calcul ci-dessous :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    &A &B &C \\ \hline
    1& \text{Jour } n& \text{Volume bassin A}& \text{Volume bassin B}\\
    \hline
    2 &0 &1100,00 &1100,00\\
    \hline
    3 &1 & &\\
    \hline
    4 & 2 &1~187,50 &1~012,50\\
    \hline
    5 &3 &1~215,63 &984,38\\
    \hline
    6 &4 &1~236,72 &963,28\\
    \hline
    7 &5 &1~252,54 &947,46\\
    \hline
    8 & 6 &1~264,40 &935,60\\
    \hline
    9 &7 &1~273,30 &926,10\\
    \hline
    10 &8 &1~279,98 &920,02\\
    \hline
    11 &9 &1~234,98 &915,02\\
    \hline
    12 &10 &1~288,74 &911,26\\
    \hline
    13 &11 &1~291,55 &908,45\\
    \hline
    14 &12 &1~293,66 &906,34\\
    \hline
    15 &13 &1~295,25 &904,75\\
    \hline
    16 &14 &1~296,44 &903,56\\
    \hline
    17 &15 &1~297,33 &902,67\\
    \hline
    18 &16 &1~298,00 &902,00\\
    \hline
    19 &17 &1~298,50 &901,50\\
    \hline
    20 &18 &1~298,87 &901,13\\
    \hline
    \end{array}$$
  3. Quelles conjectures peut-on faire sur l’évolution du volume d’eau dans chacun des bassins ?

Partie B

On considère la matrice carrée $M = \begin{pmatrix}0,9& 0,15\\0,1&0,85 \end{pmatrix}$ et les matrices colonnes $R = \begin{pmatrix}-5\\5 \end{pmatrix}$ et $X_{n} = \begin{pmatrix}a_{n}\\b_{n}\end{pmatrix}$.

On admet que, pour tout entier naturel $n$,$X_{n+1} = M X_{n} + R$.

  1. On note $S = \begin{pmatrix} 1~300\\ 900\end{pmatrix}$.
    Vérifier que $S = MS + R$.
    En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $X_{n+1} – S = M\left(X_{n} – S\right)$.
    Dans la suite, on admettra que, pour tout entier naturel $n$, $X_{n} – S = M^n\left(X_{0} – S\right)$ et que $M^n = \begin{pmatrix} 0,6 + 0,4 \times 0,75^n& 0,6 – 0,6 \times 0,75^n\\0,4 – 0,4 \times 0,75^n& 0,4 + 0,6 \times 0,75^n \end{pmatrix}$.
    $\quad$
  2. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $X_{n} = \begin{pmatrix}1~300 – 200 \times 0,75^n\\900 + 200 \times 0,75^n \end{pmatrix}$.
    $\quad$
  3. Valider ou invalider les conjectures effectuées à la question 3. de la partie A.
    $\quad$
  4. On considère que le processus est stabilisé lorsque l’entier naturel $n$ vérifie $$1~300 – a_{n} < 1,5\quad \text{et} \quad b_{n} – 900 < 1,5.$$
    Déterminer le premier jour pour lequel le processus est stabilisé.

 

 

Bac S – Centres étrangers – Juin 2014

Centres Étrangers – Juin 2014

Bac S – Mathématiques 

La correction de ce sujet de bac est disponible ici.

Dans l’ensemble du sujet, et pour chaque question, toute trace de recherche même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Exercice 1  –  4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples comportant quatre questions indépendantes.
Pour chaque question, une seule des quatre affirmations proposées est exacte.
Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à l’affirmation exacte. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte un point ; une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point.

Question 1

Dans un hypermarché, $75\%$ des clients sont des femmes. Une femme sur cinq achète un article au rayon bricolage, alors que sept hommes sur dix le font.
Une personne, choisie au hasard, a fait un achat au rayon bricolage.
La probabilité que cette personne soit une femme a pour valeur arrondie au millième :

a. $0,750$ $\qquad$ b. $0,1250$ $\qquad$ c. $0,462$ $\qquad$ d. $0,700$
$\quad$

Question 2

Dans cet hypermarché, un modèle d’ordinateur est en promotion. Une étude statistique a permis d’établir que, chaque fois qu’un client s’intéresse à ce modèle, la probabilité qu’il l’achète est égale à $0,3$. On considère un échantillon aléatoire de dix clients qui se sont intéressés à ce modèle.
La probabilité qu’exactement trois d’entre eux aient acheté un ordinateur de ce modèle a pour valeur arrondie au millième :

a. $0,900$ $\qquad$ b. $0,092$ $\qquad$ c. $0,002$ $\qquad$d. $0,267$
$\quad$

Question 3

Cet hypermarché vend des téléviseurs dont la durée de vie, exprimée en année, peut être modélisée par une variable aléatoire réelle qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$. La durée de vie moyenne d’un téléviseur est de huit ans, ce qui se traduit par : $\lambda = \dfrac{1}{8}$.
La probabilité qu’un téléviseur pris au hasard fonctionne encore au bout de six ans a pour valeur arrondie au millième :

a. $0,750$ $\qquad$ b. $0,250$ $\qquad$ c. $0,472$ $\qquad$ d. $0,528$
$\quad$

Question 4

Cet hypermarché vend des baguettes de pain dont la masse, exprimée en gramme, est une variable aléatoire réelle qui suit une loi normale de moyenne $200$ g.
La probabilité que la masse d’une baguette soit comprise entre $184$ g et $216$ g est égale à $0,954$.
La probabilité qu’une baguette prise au hasard ait une masse inférieure à $192$ g a pour valeur arrondie au centième :

a. $0,16$ $\qquad$ b. $0,32$ $\qquad$ c. $0,84$ $\qquad$ d. $0,48$
$\quad$

Exercice 2  –  4 points

On définit, pour tout entier naturel $n$, les nombres complexes $z$ par : $$\begin{cases} z_0 = 16 \\z_{n+1} = \dfrac{1 + \ic}{2}z_n, ~\text{pour tout entier naturel } n. \end{cases}$$

On note $r_{n}$ le module du nombre complexe $z_{n}$ :$r_{n} =\left|z_{n}\right|$.

Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct d’origine $O$, on considère les points $A_{n}$ d’affixes $z_{n}$.

  1. a. Calculer $z_{1}, z_{2}$ et $z_{3}$.
    $\quad$
    b. Placer les points $A_{1}$ et $A_{2}$ sur le graphique de l’annexe, à rendre avec la copie.
    $\quad$
    c. Écrire le nombre complexe $\dfrac{1 + \ic}{2}$ sous forme trigonométrique.
    $\quad$
    d. Démontrer que le triangle $OA_{0}A_{1}$ est isocèle rectangle en $A_{1}$.
    $\quad$
  2. Démontrer que la suite $\left(r_{n}\right)$ est géométrique, de raison $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
    La suite $\left(r_{n}\right)$ est-elle convergente ?
    Interpréter géométriquement le résultat précédent.
    $\quad$
    On note $L_{n}$ la longueur de la ligne brisée qui relie le point $A_{0}$ au point $A_{n}$ en passant successivement par les points $A_{1}, A_{2}, A_{3}$, etc.
    Ainsi $L_{n} = \displaystyle\sum_{i=0}^{n-1} A_{i}A_{i+1} = A_{0}A_{1} + A_{1}A_{2} + \ldots + A_{n-1}A_{n}.$
  3. a. Démontrer que pour tout entier naturel $n$ : $A_{n}A_{n+1} = r_{n+1}$.
    $\quad$
    b. Donner une expression de $L_{n}$ en fonction de $n$.
    $\quad$
    c. Déterminer la limite éventuelle de la suite $\left(L_{n}\right)$.
    $\quad$

Annexe exercice 2

Bac s - centres étrangers - Juin 2014 - ex2

Exercice 3  –  7 points

Les parties A et B sont indépendantes

Une image numérique en noir et blanc est composée de petits carrés (pixels) dont la couleur va du blanc au noir en passant par toutes les nuances de gris. Chaque nuance est codée par un réel $x$ de la façon suivante :

  • $x = 0$ pour le blanc ;
  • $x = 1$ pour le noir;
  • $x = 0,01$; $x = 0,02$ et ainsi de suite jusqu’à $x = 0,99$ par pas de $0,01$ pour toutes les nuances intermédiaires (du clair au foncé).

L’image A, ci-après, est composée de quatre pixels et donne un échantillon de ces nuances avec leurs codes.
Un logiciel de retouche d’image utilise des fonctions numériques dites “fonctions de retouche”.
Une fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0;1]$ est dite $fonction de retouche$ si elle possède les quatre propriétés suivantes :

  • $f(0) = 0$ ;
  • $f(1) = 1$ ;
  • $f$ est continue sur l’intervalle $[0;1] ;
  • $f$ est croissante sur l’intervalle $[0;1]$.

Une nuance codée $x$ est dite assombrie par la fonction $f$ si $f(x) > x$, et éclaircie, si $f(x) < x$.
Ainsi, si $f(x) = x^2$, un pixel de nuance codée $0,2$ prendra la nuance codée  $0,2^2 = 0,04$. L’image A sera transformée en l’image B ci-dessous.
Si $f(x) = \sqrt{x}$, la nuance codée $0,2$ prendra la nuance codée $\sqrt{0,2} \approx 0,45$. L’image A sera transformée en l’image C ci-dessous.

Bac s - centres étrangers - Juin 2014 - ex3

Partie A

  1. On considère la fonction $f_{1}$ définie sur l’intervalle $[0;1]$ par : $$f_{1}(x) = 4x^3 – 6x^2 + 3x.$$
    a. Démontrer que la fonction $f_{1}$ est une fonction de retouche.
    $\quad$
    b. Résoudre graphiquement l’inéquation $f_{1}(x) \le x$, à l’aide du graphique donné en annexe, à rendre avec la copie, en faisant apparaître les pointillés utiles.
    Interpréter ce résultat en termes d’éclaircissement ou d’assombrissement.
    $\quad$
  2. On considère la fonction $f_{2}$ définie sur l’intervalle $[0;$~1] par : $$f_{2}(x) = \ln [1 + (\e – 1)x].$$
    On admet que $f_{2}$ est une fonction de retouche.
    On définit sur l’intervalle $[0;1]$ la fonction $g$ par : $g(x) = f_{2}(x) – x$.
    a. Établir que, pour tout $x$ de l’intervalle $[0;1]$ : $g'(x) = \dfrac{(\e – 2) – (\e – 1)x}{1 + (\e – 1)x}$.
    $\quad$
    b. Déterminer les variations de la fonction $g$ sur l’intervalle $[0;1]$.
    Démontrer que la fonction $g$ admet un maximum en $\dfrac{\e – 2}{\e – 1}$, maximum dont une valeur arrondie au centième est $0,12$.
    $\quad$
    c. Établir que l’équation $g(x) = 0,05$ admet sur l’intervalle $[0;1]$ deux solutions $\alpha$ et $\beta$, avec $\alpha < \beta$.
    On admettra que : $0,08 < \alpha < 0,09$ et que : $0,85 < \beta < 0,86$.
    $\quad$

Partie B

On remarque qu’une modification de nuance n’est perceptible visuellement que si la valeur absolue de l’écart entre le code de la nuance initiale et le code de la nuance modifiée est supérieure ou égale à $0,05$.

  1. Dans l’algorithme décrit ci-dessous, $f$ désigne une fonction de retouche.
    Quel est le rôle de cet algorithme ?
    Variables :
    $\quad$ $x$ (nuance initiale)
    $\quad$ $y$ (nuance retouchée)
    $\quad$ $E$ (écart)
    $\quad$ $c$ (compteur)
    $\quad$ $k$
    Initialisation :
    $\quad$ $c$ prend la valeur $0$
    Traitement :
    $\quad$ Pour $k$ allant de $0$ à $100$, faire
    $\qquad$ $x$ prend la valeur $\dfrac{k}{100}$
    $\qquad$ $y$ prend la valeur $f(x)$
    $\qquad$ $E$ prend la valeur $|y – x|$
    $\quad$ $\qquad$Si $E \ge 0,05$, faire
    $\qquad$ $\qquad$ $c$ prend la valeur $c + 1$
    $\quad$ $\qquad$ Fin si
    $\quad$ Fin pour
    Sortie :
    $\quad$ Afficher $c$
    $\quad$
  2. Quelle valeur affichera cet algorithme si on l’applique à la fonction $f_{2}$ définie dans la deuxième question de la partie A ?
    $\quad$

Partie C

Dans cette partie, on s’intéresse à des fonctions de retouche $f$ dont l’effet est d’éclaircir l’image dans sa globalité, c’est-a-dire telles que, pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0;1]$, $f(x) \le x$.
On décide de mesurer l’éclaircissement global de l’image en calculant l’aire $\mathscr{A}_{f}$ de la portion de plan comprise entre l’axe des abscisses, la courbe représentative de la fonction $f$, et les droites d’équations respectives $x = 0$ et $x = 1$.
Bac s - centres étrangers - Juin 2014 - ex3-2
Entre deux fonctions, celle qui aura pour effet d’éclaircir le plus l’image sera celle correspondant à la plus petite aire.
On désire comparer l’effet des deux fonctions suivantes, dont on admet qu’elles sont des fonctions de retouche :

 

$$[f_{3}(x) = x \e^{\left(x^2 – 1 \right)}\qquad f_{4}(x) = 4x – 15 + \dfrac{60}{x + 4}.$$

  1. a. Calculer $\mathscr{A}_{f_{3}}$.
    $\quad$
    b. Calculer $\mathscr{A}_{f_{4}}$
    $\quad$
  2. De ces deux fonctions, laquelle a pour effet d’éclaircir le plus l’image ?
    $\quad$

Annexe exercice 3

Bac s - centres étrangers - Juin 2014 - ex3-annexe

 

 

Exercice 4  –  5 points

Candidats n’ayant pas choisi l’enseignement de spécialité

 

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé, on considère les points : $A(1;2;7),\quad B(2;0;2),\quad C(3;1;3),\quad D(3; -6;1) \text{ et } E(4;-8;-4).$$

  1. Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
    $\quad$
  2. Soit $\vec{u}(1;b;c)$ un vecteur de l’espace, où $b$ et $c$ désignent deux nombres réels.
    a. Déterminer les valeurs de $b$ et $c$ telles que $\vec{u}$ soit un vecteur normal au plan $(ABC)$.
    $\quad$
    b. En déduire qu’une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est : $x – 2 y + z – 4 = 0$.
    $\quad$
    c. Le point $D$ appartient-il au plan $(ABC)$ ?
    $\quad$
  3. On considère la droite $\mathscr{D}$ de l’espace dont une représentation paramétrique est : $$\begin{cases} x =2t+3\\\\y = – 4t + 5\\\\ z =2t-1 \end{cases} \quad \text{où } t \text{ est un nombre réel.}$$
    a. La droite $\mathscr{D}$ est-elle orthogonale au plan $(ABC)$ ?
    $\quad$
    b. Déterminer les coordonnées du point $H$, intersection de la droite $\mathscr{D}$ et du plan $(ABC)$.
    $\quad$
  4. Étudier la position de la droite $(DE)$ par rapport au plan $(ABC)$.
    $\quad$

Exercice 4  –  5 points

Candidats ayant choisi l’enseignement de spécialité

 

Partie A : préliminaires

  1. a. Soient $n$ et $N$ deux entiers naturels supérieurs ou égaux à 2, tels que : $$n^2 \equiv N -1\quad \text{modulo } N.$$
    Montrer que : $n \times n^3 \equiv 1 \quad \text{modulo } N$.
    $\quad$
    b. Déduire de la question précédente un entier $k_{1}$ tel que: $5k_{1} \equiv 1\quad \text{modulo } 26$.
    On admettra que l’unique entier $k$ tel que : $ 0 \le k \le 25$ et $5k \equiv 1 \quad \text{modulo } 26$ vaut $21$.
    $\quad$
  2. On donne les matrices : $A = \begin{pmatrix}4&1\\3&2\end{pmatrix},\: B = \begin{pmatrix}2&- 1\\- 3&4\end{pmatrix},\: X = \begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}$ et $Y = \begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}$.
    a. Calculer la matrice $6A – A^2$.
    $\quad$
    b. En déduire que $A$ est inversible et que sa matrice inverse, notée $A^{- 1}$, peut s’écrire sous la forme $A^{-1} = \alpha I + \beta A$, ou $\alpha$ et $\beta$ sont deux réels que l’on déterminera.
    $\quad$
    c. Vérifier que : $B = 5A^{-1}$.
    $\quad$
    d. Démontrer que si $A X = Y$, alors $5X = BY$.
    $\quad$

Partie B : procédure de codage

Coder le mot “ET”, en utilisant la procédure de codage décrite ci-dessous.

  • Le mot à coder est remplacé par la matrice $X = \begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}$, où $x_{1}$ est l’entier représentant la première lettre du mot et $x_{2}$ l’entier représentant la deuxième, selon le tableau de correspondance ci-dessous :
    $$\begin{array}{l}
    \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    A &B &C &D &E &F &G &H &I& J &K &L &M\\\\
    \hline
    \phantom{1}0& \phantom{1}1 &\phantom{1}2 &\phantom{1}3 &\phantom{1}4 &\phantom{1}5 &\phantom{1}6 &\phantom{1}7 &\phantom{1}8 &\phantom{1}9 &10 &11 &12\\\\
    \hline
    \end{array} \\
    \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    N&O&P&Q&R&S&T&U&V&W&X&Y&Z\\\\
    \hline
    13&14&15&16&17&18&19&20&21&22&23&24&25\\\\ \hline
    \end{array}\end{array}
    $$
  • La matrice $X$ est transformée en la matrice $Y = \begin{pmatrix}y_{1}\\ y_{2} \end{pmatrix}$ telle que : $Y = AX$.
  • La matrice $Y$ est transformée en la matrice $R = \begin{pmatrix}r_{1}\\r_{2}\end{pmatrix}$, où $r_{1}$ est le reste de la division euclidienne de $y_{1}$ par $26$ et $r_{2}$ le reste de la division euclidienne de $y_{2}$ par $26$.
  • Les entiers $r_{1}$ et $r_{2}$ donnent les lettres du mot codé, selon le tableau de correspondance ci-dessus.

Exemple : “OU” (mot à coder) $\to X \begin{pmatrix}14\\20\end{pmatrix} \to Y = \begin{pmatrix}76\\82\end{pmatrix} \to R = \begin{pmatrix}24\\4 \end{pmatrix} \to $ “YE” (mot codé).

Partie C : procédure de décodage (on conserve les mêmes notations que pour le codage)

Lors du codage, la matrice $X$ a été transformée en la matrice $Y = \begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}$ telle que : $Y = A X$.

  1. Démontrer que : $\begin{cases} 5x_{1} = 2y_{1} – y_{2}\\\\5x_{2} =- 3y_{1} + 4y_{2} \end{cases}$
    $\quad$
  2. En utilisant la question 1.b. de la partie A, établir que: $$\begin{cases} x_{1} \equiv 16y_{1} + 5y_{2}\\\\ x_{2} \equiv 15y_{1} + 6y_{2} \end{cases} \quad \text{modulo } 26$$
    $\quad$
  3. Décoder le mot “QP”.
    $\quad$

 

Bac S – Polynésie – Juin 2014

Polynésie – Juin 2014

Bac S – Mathématiques – Correction

La correction de ce sujet de bac est disponible ici.

Exercice 1  –  5 points

Dans un repère orthonormé de l’espace, on considère les points $$A(5;-5;2), B(-1;1;0), C(0;1;2)\quad \text{et} \quad D(6;6;-1).$$

  1.  Déterminer la nature du triangle $BCD$ et calculer son aire.
    $\quad$
  2. a. Montrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}- 2\\3\\1\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(BCD)$.
    $\quad$
    b. Déterminer une équation cartésienne du plan $(BCD)$.
    $\quad$
  3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\mathscr{D}$ orthogonale au plan $(BCD)$ et passant par le point $A$.
    $\quad$
  4. Déterminer les coordonnées du point $H$, intersection de la droite $\mathscr{D}$ et du plan $(BCD)$.
    $\quad$
  5. Déterminer le volume du tétraèdre $ABCD$.
    On rappelle que le volume d’un tétraèdre est donné par la formule $\mathscr{V} = \dfrac{1}{3}\mathscr{B} \times h$, où $\mathscr{B}$ est l’aire d’une base du tétraèdre et $h$ la hauteur correspondante.
    $\quad$
  6. \item On admet que $AB = \sqrt{76}$ et $AC = \sqrt{61}$.
    Déterminer une valeur approchée au dixième de degré près de l’angle $\widehat{BAC}$.
    $\quad$

Exercice 2  –  5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $$u_{0} = 0\quad \text{et, pour tout entier naturel }n, u_{n+1} = u_{n} + 2n +2.$$

  1. Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$.
    $\quad$
  2. On considère les deux algorithmes suivants :

    Algorithme 1Variables :
    $\quad$ $n$ est un entier naturel
    $\quad$ $u$ est un réel
    Entrée :
    $\quad$ Saisir la valeur de $n$
    Traitement :
    $\quad$ $u$ prend la valeur $0$
    $\quad$ Pour $i$ allant de $1$ à $n$
    $\qquad$ $u$ prend la valeur $u + 2i + 2$
    $\quad$ Fin Pour
    Sortie :
    $\quad$ Afficher $u$
    Algorithme 2

    Variables :
    $\quad$ $n$ est un entier naturel
    $\quad$ $u$ est un réel
    Entrée :
    $\quad$ Saisir la valeur de $n$
    Traitement :
    $\quad$ $u$ prend la valeur $0$
    $\quad$ Pour $i$ allant de $0$ à $n-1$
    $\qquad$ $u$ prend la valeur $u + 2i + 2$
    $\quad$ Fin Pour
    Sortie :
    $\quad$ Afficher $u$

    De ces deux algorithmes, lequel permet d’afficher en sortie la valeur de $u_{n}$, la valeur de l’entier naturel $n$ étant entrée par l’utilisateur ?
    $\quad$

  3. À l’aide de l’algorithme, on a obtenu le tableau et le nuage de points ci-dessous où $n$ figure en abscisse et $u_{n}$ en ordonnée.
    $\begin{array}{|c|c|}
    \hline
    n &u_{n}\\
    \hline
    0& 0 \\
    \hline
    1& 2 \\
    \hline
    2& 6 \\
    \hline
    3& 12 \\
    \hline
    4& 20 \\
    \hline
    5& 30 \\
    \hline
    6& 42 \\
    \hline
    7& 56 \\
    \hline
    8& 72 \\
    \hline
    9& 90 \\
    \hline
    10& 110\\
    \hline
    11& 132\\
    \hline
    12& 156\\
    \hline
    \end{array}$
    Bac s - polynésie - Juin 2014 - ex2

    a. Quelle conjecture peut-on faire quant au sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$ ?
    Démontrer cette conjecture.
    $\quad$
    b. La forme parabolique du nuage de points amène à conjecturer l’existence de trois réels $a, b$ et $c$ tels que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n} = an^2 + bn + c$.
    Dans le cadre de cette conjecture, trouver les valeurs de $a, b$ et $c$ à l’aide des informations fournies.
    $\quad$

  4. On définit, pour tout entier naturel $n$, la suite $\left(v_{n}\right)$ par : $v_{n} = u_{n+1} – u_{n}$.
    a. Exprimer $v_{n}$ en fonction de l’entier naturel $n$. Quelle est la nature de la suite $\left(v_{n}\right)$ ?
    $\quad$
    b. On définit, pour tout entier naturel $n$, $S_{n} = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} v_{k} = v_{0} + v_{1} + \ldots + v_{n}$.
    Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $S_{n} = (n + 1)(n + 2)$.
    $\quad$
    c. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $S_{n} = u_{n+1} – u_{0}$, puis exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$.
    $\quad$

Exercice 2  –  5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Dans cet exercice, on appelle numéro du jour de naissance le rang de ce jour dans le mois et numéro du mois de naissance, le rang du mois dans l’année.
Par exemple, pour une personne née le $14$ mai, le numéro du jour de naissance est $14$et le numéro du mois de naissance est $5$.

Partie A

Lors d’une représentation, un magicien demande aux spectateurs d’effectuer le programme de calcul (A) suivant :

“Prenez le numéro de votre jour de naissance et multipliez-le par $12$. Prenez le numéro de votre mois de naissance et multipliez-le par $37$. Ajoutez les deux nombres obtenus. Je pourrai alors vous donner la date de votre anniversaire”.
Un spectateur annonce $308$ et en quelques secondes, le magicien déclare : “Votre anniversaire tombe le $1^{\text{er}}$ août !”.

  1. Vérifier que pour une personne née le $1^{\text{er}}$ août, le programme de calcul (A) donne effectivement le nombre $308$.
    $\quad$
  2. a. Pour un spectateur donné, on note $j$ le numéro de son jour de naissance, $m$ celui de son mois de naissance et $z$ le résultat obtenu en appliquant le programme de calcul (A).
    Exprimer $z$ en fonction de $j$ et de $m$ et démontrer que $z$ et $m$ sont congrus modulo $12$.
    $\quad$
    b. Retrouver alors la date de l’anniversaire d’un spectateur ayant obtenu le nombre $474$ en appliquant le programme de calcul (A).
    $\quad$

Partie B

Lors d’une autre représentation, le magicien décide de changer son programme de calcul. Pour un spectateur dont le numéro du jour de naissance est $j$ et le numéro du mois de naissance est $m$, le magicien demande de calculer le nombre $z$ défini par $z = 12j + 31m$.
Dans les questions suivantes, on étudie différentes méthodes permettant de retrouver la date d’anniversaire du spectateur.

  1. Première méthode :
    On considère l’algorithme suivant :
    Variables :
    $\quad$ $j$ et $m$ sont des entiers naturels
    Traitement :
    $\quad$ Pour $m$ allant de $1$ à $12$ faire :
    $\qquad$ Pour $j$ allant de $1$ à $31$ faire :
    $\quad$ $\qquad$ $z$ prend la valeur $12j + 31m$
    $\quad$ $\qquad$ Afficher $z$
    $\qquad$ Fin Pour
    $\quad$ Fin Pour
    $\quad$
    Modifier cet algorithme afin qu’il affiche toutes les valeurs de $j$ et de $m$ telles que $12j + 31m = 503$.
    $\quad$
  2. Deuxième méthode :
    a. Démontrer que $7m$ et $z$ ont le même reste dans la division euclidienne par $12$.
    $\quad$
    b. Pour $m$ variant de $1$ à $12$, donner le reste de la division euclidienne de $7m$ par $12$.
    $\quad$
    c. En déduire la date de l’anniversaire d’un spectateur ayant obtenu le nombre $503$ avec le programme de calcul (B).
    $\quad$
  3. Troisième méthode :
    a. Démontrer que le couple $(-2;17)$ est solution de l’équation $12x + 31y = 503$.
    $\quad$
    b. En déduire que si un couple d’entiers relatifs $(x;y)$ est solution de l’équation $12x + 31y = 503$, alors $12(x + 2) = 31 (17 – y)$.
    $\quad$
    c. Déterminer l’ensemble de tous les couples d’entiers relatifs $(x;y)$, solutions de l’équation $12x + 31y = 503$.
    $\quad$
    d. Démontrer qu’il existe un unique couple d’entiers relatifs $(x;y)$ tel que $1 \le y \le 12$.
    En déduire la date d’anniversaire d’un spectateur ayant obtenu le nombre $503$ avec le programme de calcul (B).
    $\quad$

Exercice 3  –  5 points

Pour chacune des cinq affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse.
Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte. Une absence de réponse n’est pas pénalisée.

 

  1. Zoé se rend à son travail à pied ou en voiture. Là où elle habite, il pleut un jour sur quatre.
    Lorsqu’il pleut, Zoé se rend en voiture à son travail dans $80\%$ des cas.
    Lorsqu’il ne pleut pas, elle se rend à pied à son travail avec une probabilité égale à $0,6$.
    Affirmation n° 1 :
    “Zoé utilise la voiture un jour sur deux.”
    $\quad$
  2. Dans l’ensemble $E$ des issues d’une expérience aléatoire, on considère deux évènements $A$ et $B$.
    $\quad$
    Affirmation n° 2 :
    “Si $A$ et $B$ sont indépendants, alors $A$ et $\overline{B}$ sont aussi indépendants.”
    $\quad$
  3. On modélise le temps d’attente, exprimé en minutes, à un guichet, par une variable aléatoire $T$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $0,7$.
    Affirmation n° 3 :
    “La probabilité qu’un client attende au moins cinq minutes à ce guichet est $0,7$ environ.”
    $\quad$
    Affirmation n°4 :
    “Le temps d’attente moyen à ce guichet est de sept minutes.”
    $\quad$
  4. On sait que $39\%$ de la population française est du groupe sanguin A+.
    On cherche à savoir si cette proportion est la même parmi les donneurs de sang.
    On interroge $183$ donneurs de sang et parmi eux, $34\%$ sont du groupe sanguin A+.
    Affirmation n° 5 :
    “On ne peut pas rejeter, au seuil de $5\%$, l’hypothèse selon laquelle la proportion de personnes du groupe sanguin A+ parmi les donneurs de sang est de $39\%$ comme dans l’ensemble de la population.”
    $\quad$

Exercice 4  –  5 points

 

Soient $f$ et $g$ les fonctions définies sur $\R$ par $$f(x) = \e^x \quad \text{et} \quad g(x) = 2\e^{\frac{x}{2}} – 1.$$
On note $\mathscr{C}_{f}$ et $\mathscr{C}_{g}$ les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ dans un repère orthogonal.

  1. Démontrer que les courbes $\mathscr{C}_{f}$ et $\mathscr{C}_{g}$ ont un point commun d’abscisse $0$ et qu’en ce point, elles ont la même tangente $\Delta$ dont on déterminera une équation.
    $\quad$
  2. Étude de la position relative de la courbe $\mathscr{C}_{g}$ et de la droite $\Delta$.
    Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par $h(x) = 2\e^{\frac{x}{2}} – x – 2$.
    a. Déterminer la limite de la fonction $h$ en $- \infty$.
    $\quad$
    b. Justifier que, pour tout réel $x, h(x) = x\left(\dfrac{\e^{\frac{x}{2}}}{\frac{x}{2}} – 1 – \dfrac{2}{x}\right)$.
    En déduire la limite de la fonction $h$ en $+ \infty$.
    $\quad$
    c. On note $h’$ la fonction dérivée de la fonction $h$ sur $\R$.
    Pour tout réel $x$, calculer $h'(x)$ et étudier le signe de $h'(x)$ suivant les valeurs de $x$.
    $\quad$
    d. Dresser le tableau de variations de la fonction $h$ sur $\R$.
    $\quad$
    e. En déduire que, pour tout réel $x$, $2\e^{\frac{x}{2}} – 1 \ge x + 1$.
    $\quad$
    f. Que peut-on en déduire quant à la position relative de la courbe $\mathscr{C}_{g}$ et de la droite $\Delta$ ?
    $\quad$
  3. Étude de la position relative des courbes $\mathscr{C}_{f}$ et $\mathscr{C}_{g}$
    a. Pour tout réel $x$, développer l’expression $\left(\e^{\frac{x}{2}} – 1\right)^2$.
    $\quad$
    b. Déterminer la position relative des courbes $\mathscr{C}_{f}$ et $\mathscr{C}_{g}$.
    $\quad$
  4. Calculer, en unité d’aire, l’aire du domaine compris entre les courbes $\mathscr{C}_{f}$ et $\mathscr{C}_{g}$ et les droites d’équations respectives $x = 0$ et $x = 1$.

Bac S – Asie – Juin 2014

Asie – Juin 2014

Bac S – Mathématiques

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Exercice 1  –  4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples comportant quatre questions indépendantes.
Pour chaque question, une seule des quatre affirmations proposées est exacte.
Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à l’affirmation exacte. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte un point ; une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point.

Dans l’espace, rapporté à un repère orthonormal, on considère les points $A(1;- 1;- 1)$, $B(1;1;1)$, $C(0;3;1)$ et le plan $\mathscr{P}$ d’équation $2x + y – z + 5 = 0$.

Question 1

Soit $\mathscr{D}_{1}$ la droite de vecteur directeur $\vec{u}(2;-1;1)$ passant par $A$.
Une représentation paramétrique de la droite $\mathscr{D}_{1}$ est :

a. $\begin{cases}x = 2+t \\\\y =- 1 – t\\\\ z=1 – t\end{cases} \quad (t \in \R)$

b. $\begin{cases} x =- 1 + 2t \\\\ y=1 – t\\\\ z=1 + t \end{cases} \quad (t \in \R)$

c. $\begin{cases} x = 5 + 4t \\\\ y =- 3 – 2t\\\\ z = 1 + 2t \end{cases} \quad (t \in \R)$

d. $\begin{cases} x=4 – 2t \\\\ y=- 2 + t\\\\ z=3 – 4 t \end{cases} \quad (t \in \R)$

 

Question 2

Soit $\mathscr{D}_{2}$ la droite de représentation paramétrique $\begin{cases} x=1 + t \\\\y=- 3 – t\\\\z=2 – 2 t \end{cases} \quad (t \in \R)$.

a. La droite $\mathscr{D}_{2}$ et le plan $\mathscr{P}$ ne sont pas sécants

b. La droite $\mathscr{D}_{2}$ est incluse dans le plan $\mathscr{P}$.

c. La droite $\mathscr{D}_{2}$ et le plan $\mathscr{P}$ se coupent au point $E\left(\dfrac{1}{3};- \dfrac{7}{3};\dfrac{10}{3} \right)$.

d. La droite $\mathscr{D}_{2}$ et le plan $\mathscr{P}$ se coupent au point $F\left(\dfrac{4}{3};- \dfrac{1}{3};\dfrac{22}{3} \right)$.

 

Question 3

a.  L’intersection du plan $\mathscr{P}$ et du plan $(ABC)$ est réduite à un point.

b. Le plan $\mathscr{P}$ et le plan $(ABC)$ sont confondus.

c. Le plan $\mathscr{P}$ coupe le plan $(ABC)$ selon une droite.

d. Le plan $\mathscr{P}$ et le plan $(ABC)$ sont strictement parallèles.

 

Question 4

Une mesure de l’angle $\widehat{BAC}$ arrondie au dixième de degré est égale à :

a. $22,2°$ $\qquad$ b.  $0,4°$ $\qquad$ c. $67,8°$ $\qquad$ d. $1,2°$
$\quad$

Exercice 2  –  6 points

Le taux d’hématocrite est le pourcentage du volume de globules rouges par rapport au volume total du sang. On note $X$ la variable aléatoire donnant le taux d’hématocrite d’un adulte choisi au hasard dans la population française. On admet que cette variable suit une loi normale de moyenne $\mu = 45,5$ et d’écart-type $\sigma$.

Partie A

On note $Z$ la variable aléatoire $Z = \dfrac{X – \mu}{\sigma} = \dfrac{X – 45,5}{\sigma}$.

  1. a. Quelle est la loi de la variable aléatoire $Z$ ?
    $\quad$
    b. Déterminer $P(X \le \mu)$.
    $\quad$
  2. En prenant $\sigma = 3,8$, déterminer $P(37,9 \le X \le 53,1)$. Arrondir le résultat au centième.
    $\quad$

Partie B

Une certaine maladie V est présente dans la population française avec la fréquence $1\%$. On sait d’autre part que $30\%$ de la population française a plus de 50 ans, et que $90\%$ des porteurs de la maladie V dans la population française ont plus de 50 ans.

On choisit au hasard un individu dans la population française.

On note $\alpha$ l’unique réel tel que $P(X \le \alpha) = 0,995$, où $X$ est la variable aléatoire définie au début de l’exercice. On ne cherchera pas à calculer $\alpha$.

On définit les événements :

  • $M$ “l’individu est porteur de la maladie V” ;
  • $S$ “l’individu a plus de 50 ans” ;
  • $H$ “l’individu a un taux d’hématocrite supérieur à $\alpha$”.

Ainsi $P(M) = 0,01, \quad P_{M}(S) = 0,9$ et $P(H) = P(X > \alpha)$.

D’autre part, une étude statistique a révélé que $60\%$ des individus ayant un taux d’hématocrite supérieur à $\alpha$ sont porteurs de la maladie V.

  1. Déterminer $P(M \cap S)$.
    $\quad$
  2. On choisit au hasard un individu ayant plus de 50 ans. Montrer que la probabilité qu’il soit porteur de la maladie V est égale à $0,03$.
    $\quad$
  3. a. Calculer la probabilité $P(H)$.
    $\quad$
    b. L’individu choisi au hasard a un taux d’hématocrite inférieur ou égal à $\alpha$. Calculer la probabilité qu’il soit porteur de la maladie V. Arrondir au millième.
    $\quad$

Partie C

Le but de cette partie est d’étudier l’influence d’un gène sur la maladie V.

  1. Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de la fréquence de la maladie V dans les échantillons de taille $1~000$, prélevés au hasard et avec remise dans l’ensemble de la population française. On arrondira les bornes de l’intervalle au millième.
    $\quad$
  2. Dans un échantillon aléatoire de $1~000$ personnes possédant le gène, on a trouvé $14$ personnes porteuses de la maladie V.
    Au regard de ce résultat, peut-on décider, au seuil de $95\%$, que le gène a une influence sur la maladie ?
    $\quad$

Exercice 3  –  5 points

Une chaîne, suspendue entre deux points d’accroche de même hauteur peut être modélisée par la représentation graphique d’une fonction $g$ définie sur $[-1;1]$ par $$g(x) = \dfrac{1}{2a} \left(\e^{ax} + \e^{- ax}\right)$$

où $a$ est un paramètre réel strictement positif. On ne cherchera pas à étudier la fonction $g$.

On montre en sciences physiques que, pour que cette chaîne ait une tension minimale aux extrémités, il faut et il suffit que le réel $a$ soit une solution strictement positive de l’équation $$(x – 1)\e^{2x} – 1 – x = 0.$$

Dans la suite, on définit sur $[0;+ \infty[$ la fonction $f$ par $f(x) = (x – 1)\e^{2x} – 1 – x$ pour tout réel $x \ge 0$.

  1. Déterminer la fonction dérivée de la fonction $f$.
    Vérifier que $f'(0) = – 2$ et que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f'(x) = + \infty$.
    $\quad$
  2. On note $f\prime \prime$ la fonction dérivée de $f’$.
    Vérifier que, pour tout réel $x \ge 0$, $f\prime \prime (x) = 4x\e^{2x}$.
    $\quad$
  3. Montrer que, sur l’intervalle $[0;+ \infty[$ la fonction $f’$ s’annule pour une unique valeur, notée $x_{0}$.
    $\quad$
  4. a. Déterminer le sens de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;+ \infty[$, puis montrer que $f(x)$ est négatif pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $\left[0;x_{0}\right]$.
    $\quad$
    b. Calculer $f(2)$.
    En déduire que sur l’intervalle $[0;+ \infty[$, la fonction $f$ s’annule pour une unique valeur.
    Si l’on note $a$ cette valeur, déterminer à l’aide de la calculatrice la valeur de $a$ arrondie au centième.
    $\quad$
  5. On admet sans démonstration que la longueur $L$ de la chaîne est donnée par l’expression $$L = \int_{0}^1 \left(\e^{ax} + \e^{- ax}\right)\mathrm{d}x.$$
    Calculer la longueur de la chaîne ayant une tension minimale aux extrémités, en prenant $1,2$ comme valeur approchée du nombre $a$.
    $\quad$

Exercice 4  –  5 points

Candidats n’ayant pas choisi l’enseignement de spécialité

Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $1$.
On note $f_{n}$ la fonction définie pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0;1]$ par $$f_{n}(x) = \dfrac{1}{1 + x^n}.$$

Pour tout entier $n \ge 1$, on définit le nombre $I_{n}$ par $$I_{n} = \int_{0}^1 f_{n}(x)\mathrm{d}x = \int_{0}^1 \dfrac{1}{1 + x^n}\mathrm{d}x.$$

  1. Les représentations graphiques de certaines fonctions $f_{n}$ obtenues à l’aide d’un logiciel sont tracées ci-après.
    Bac s - Asie - Juin 2014 - ex4
    En expliquant soigneusement votre démarche, conjecturer, pour la suite $\left(I_{n}\right)$ l’existence et la valeur éventuelle de la limite, lorsque $n$ tend vers $+ \infty$.
    $\quad$
  2. Calculer la valeur exacte de $I_{1}$.
    $\quad$
  3. a. Démontrer que, pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0;1]$ et pour tout entier naturel $n \ge 1$, on a : $$\dfrac{1}{1 + x^n} \le 1.$$
    $\quad$
    b. En déduire que, pour tout entier naturel $n \ge 1$, on a : $I_{n} \le 1$.
    $\quad$
  4. Démontrer que, pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0;1]$ et pour tout entier naturel $n \ge 1$, on a : $$1 – x^n \le \dfrac{1}{1 + x^n}.$$
    $\quad$
  5. Calculer l’intégrale $\displaystyle\int_{0}^1 \left( 1 – x^n\right)\mathrm{d}x$.
    $\quad$
  6. À l’aide des questions précédentes, démontrer que la suite $\left(I_{n}\right)$ est convergente et déterminer sa limite.
    $\quad$
  7. On considère l’algorithme suivant :
    Variables :
    $\quad$ $n$, $p$ et $k$ sont des entiers naturels
    $\quad$ $x$ et $I$ sont des réels
    Initialisation :
    $\quad$ $I$ prend la valeur $0$
    Traitement :
    $\quad$ Demander un entier $n \ge 1$
    $\quad$ Demander un entier $p \ge 1$
    $\quad$ Pour $k$ allant de $0$ à $p – 1$ faire :
    $\qquad$ $x$ prend la valeur $\dfrac{k}{p}$
    $\qquad$ $I$ prend la valeur $I + \dfrac{1}{1 + x^n} \times \dfrac{1}{p}$
    $\quad$ Fin Pour
    $\quad$ Afficher $I$
    $\quad$
    a. Quelle valeur, arrondie au centième, renvoie cet algorithme si l’on entre les valeurs $n = 2$ et $p = 5$ ?
    On justifiera la réponse en reproduisant et en complétant le tableau suivant avec les différentes valeurs prises par les variables, à chaque étape de l’algorithme. Les valeurs de $I$ seront arrondies au millième.
    $$\begin{array}{|c|c|c|}
    \hline
    k& x&I\\\\
    \hline
    0&&\\\\
    \hline
    &&\\\\
    \hline
    &&\\\\
    \hline
    &&\\\\
    \hline
    4&&\\\\
    \hline
    \end{array}$$
    b. Expliquer pourquoi cet algorithme permet d’approcher l’intégrale $I_{n}$.
    $\quad$

Exercice 4  –  5 points

Candidats ayant choisi la spécialité mathématique

Partie A

Le but de celle partie est de démontrer que l’ensemble des nombres premiers est infini en raisonnant par l’absurde.

  1. On suppose qu’il existe un nombre fini de nombres premiers notés $p_{1}$, $p_{2}$, $\ldots$,  $p_{n}$.
    On considère le nombre $E$ produit de tous les nombres premiers augmenté de $1$ :
    $$E = p_{1} \times p~_{2} \times \ldots\times p_{n} + 1.$$
    Démontrer que $E$ est un entier supérieur ou égal â 2, et que $E$ est premier avec chacun des nombres $p_{1}$, $ p_{2}$, $dots$, $p_{n}$.
    $\quad$
  2. En utilisant le fait que $E$ admet un diviseur premier conclure.
    $\quad$

Partie B

Pour tout entier naturel $k \ge 2$, on pose $M_{k} = 2^k -1$.
On dit que $M_{k}$ est le $k$-ième nombre de Mersenne.

  1. a. Reproduire et compléter le tableau suivant, qui donne quelques valeurs de $M_{k}$ :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    k&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\\\
    \hline
    M_{k}&3&&&&&&&&\\\\
    \hline
    \end{array}$$
    b. D’après le tableau précédent, si $k$ est un nombre premier, peut-on conjecturer que le nombre $M_{k}$ est premier ?
    $\quad$
  2. Soient $p$ et $q$ deux entiers naturels non nuls.
    a. En déduire que $2^{pq} – 1$ est divisible par $2^p – 1$.
    $\quad$
    b. En déduire que si un entier $k$ supérieur ou égal à $2$ n’est pas premier, alors $M_{k}$ ne l’est pas non plus.
    $\quad$
  3. a. Prouver que le nombre de Mersenne $M_{11}$ n’est pas premier.
    $\quad$
    b. Que peut-on en déduire concernant la conjecture de la question 1. b. ?
    $\quad$

Partie C

Le test de Lucas-Lehmer permet de déterminer si un nombre de Mersenne donné est premier. Ce test utilise la suite numérique $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 4$ et pour tout entier naturel $n$ :$$u_{n+1} = u_{n}^2 – 2.$$

Si $n$ est un entier naturel supérieur ou égal à $2$, le test permet d’affirmer que le nombre $M_{n}$ est premier si et seulement si $u_{n-2} \equiv 0$ modulo $M_{n}$. Cette propriété est admise dans la suite.

  1. Utiliser le test de Lucas-Lehmer pour vérifier que le nombre de Mersenne $M_{5}$ est premier.
    $\quad$
  2. Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $3$.
    L’algorithme suivant, qui est incomplet, doit permettre de vérifier si le nombre de Mersenne $M_{n}$ est premier, en utilisant le test de Lucas-Lehmer.
    Variables :
    $\quad$ $u, M, n$ et $i$ sont des entiers naturels
    Initialisation :
    $\quad$ $u$ prend la valeur $4$
    Traitement :
    $\quad$ Demander un entier $n \ge 3$
    $\quad$ $M$ prend la valeur $\ldots \ldots$
    $\quad$ Pour $i$ allant de $1$ à $\ldots$ faire
    $\qquad$ $u$ prend la valeur $\ldots$
    $\quad$ Fin Pour
    $\quad$ Si $M$ divise $u$ alors afficher “$M \ldots \ldots \ldots$”
    $\quad$ sinon afficher “$M \ldots \ldots \ldots$”
    $\quad$
    Recopier et compléter cet algorithme de façon à ce qu’il remplisse la condition voulue.
    $\quad$

Bac S – Antilles Guyane – Juin 2014

Antilles Guyane – Juin 2014

Bac S – Mathématiques

La correction de ce sujet de bac est disponible ici.

Exercice 1  –  5 points

 Les parties A et B sont indépendantes
Les résultats seront arrondis à $10^{-4}$ près

Partie A

Un ostréiculteur élève deux espèces d’huîtres : “la plate” et “la japonaise”. Chaque année, les huîtres plates représentent $15\%$ de sa production.
Les huîtres sont dites de calibre n° 3 lorsque leur masse est comprise entre $66$ g et $85$ g.
Seulement $10\%$ des huîtres plates sont de calibre n° 3, alors que $80\%$ des huîtres japonaises le sont.

  1. Le service sanitaire prélève une huître au hasard dans la production de l’ostréiculteur. On suppose que toutes les huîtres ont la même chance d’être choisies.
    On considère les événements suivants :
    • $J$ : “l’huître prélevée est une huître japonaise”,
    • $C$ : “l’huître prélevée est de calibre n° 3”.
    a. Construire un arbre pondéré complet traduisant la situation.
    $\quad$
    b. Calculer la probabilité que l’huître prélevée soit une huître plate de calibre n° 3.
    $\quad$
    c. Justifier que la probabilité d’obtenir une huître de calibre n° 3 est $0,695$.
    $\quad$
    d. Le service sanitaire a prélevé une huître de calibre n° 3.
    Quelle est la probabilité que ce soit une huître plate ?
    $\quad$
  2. La masse d’une huître peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ suivant la loi normale de moyenne $\mu = 90$ et d’écart-type $\sigma = 2$.
    a. Donner la probabilité que l’huître prélevée dans la production de l’ostréiculteur ait une masse comprise entre $87$ g et $89$ g.
    $\quad$
    b. Donner $P(X \ge 91)$.
    $\quad$

Partie B

Cet ostréiculteur affirme que $60\%$ de ses huîtres ont une masse supérieure à $91$ g.
Un restaurateur souhaiterait lui acheter une grande quantité d’huîtres mais il voudrait, auparavant, vérifier l’affirmation de l’ostréiculteur.

Le restaurateur achète auprès de cet ostréiculteur $10$ douzaines d’huîtres qu’on considérera comme un échantillon de $120$ huîtres tirées au hasard. Sa production est suffisamment importante pour qu’on l’assimile à un tirage avec remise.

Il constate que $65$ de ces huîtres ont une masse supérieure à $91$ g.

  1. Soit $F$ la variable aléatoire qui à tout échantillon de $120$ huîtres associe la fréquence de celles qui ont une masse supérieure à $91$ g.
    Après en avoir vérifié les conditions d’application, donner un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de la variable aléatoire $F$.
    $\quad$
  2. Que peut penser le restaurateur de l’affirmation de l’ostréiculteur ?
    $\quad$

Exercice 2  –  6 points

On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l’ensemble $\R$ des nombres réels par $$f(x) = x + 1 + \dfrac{x}{\e^x}.$$

On note $\mathscr{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $\Oij$.

Partie A

  1. Soit $g$ la fonction définie et dérivable sur l’ensemble $\R$ par $$g(x) = 1 – x + \e^x.$$
    Dresser, en le justifiant, le tableau donnant les variations de la fonction $g$ sur $\R$ (les limites de $g$ aux bornes de son ensemble de définition ne sont pas attendues).
    En déduire le signe de $g(x)$.
    $\quad$
  2. Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$ puis la limite de $f$ en $+ \infty$.
    $\quad$
  3. On appelle $f’$ la dérivée de la fonction $f$ sur $\R$.
    Démontrer que, pour tout réel $x$, $$f'(x) = \e^{- x}g(x).$$
    $\quad$
  4. En déduire le tableau de variation de la fonction $f$ sur $\R$.
    $\quad$
  5. Démontrer que l’équation $f(x) = 0$ admet une unique solution réelle $\alpha$ sur $\R$.
    Démontrer que $-1 < \alpha < 0$.
    $\quad$
  6. a. Démontrer que la droite $T$ d’équation $y = 2x + 1$ est tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point d’abscisse $0$.
    $\quad$
    b. Étudier la position relative de la courbe $\mathscr{C}$ et de la droite $T$.
    $\quad$

Partie B

  1. Soit $H$ la fonction définie et dérivable sur $\R$ par $$H(x) = (- x – 1)\text{e}^{- x}.$$
    Démontrer que $H$ est une primitive sur $\R$ de la fonction $h$ définie par $h(x) = x\e^{- x}$.
    $\quad$
  2. On note $\mathscr{D}$ le domaine délimité par la courbe $\mathscr{C}$, la droite $T$ et les droites d’équation $x = 1$ et $x = 3$.
    Calculer, en unité d’aire, l’aire du domaine $\mathscr{D}$.
    $\quad$

Exercice 3  –  4 points

Pour chacune des quatre propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. 
Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte. Une absence de réponse n’est pas pénalisée.

L’espace est muni d’un repère orthonormé $\Oijk$.
On considère les points $A(1;2;5)$, $B(-1;6;4)$, $C(7;- 10;8)$ et $D(-1;3;4)$.

  1. Proposition 1 : Les points $A$, $B$ et $C$ définissent un plan.
    $\quad$
  2. On admet que les points $A$, $B$ et $D$ définissent un plan.
    Proposition 2 : Une équation cartésienne du plan $(ABD)$ est $x – 2z + 9 = 0$.
    $\quad$
  3. Proposition 3 : Une représentation paramétrique de la droite $(AC)$ est $$\begin{cases} x = \dfrac{3}{2}t – 5\\\\
    y = – 3t + 14\\\\
    z =- \dfrac{3}{2}t + 2
    \end{cases} \quad t \in \R$$
    $\quad$
  4. Soit $\mathscr{P}$ le plan d’équation cartésienne $2x – y + 5z + 7 = 0$ et $\mathscr{P}’$ le plan d’équation cartésienne $- 3x – y + z + 5 = 0$.
    Proposition 4 : Les plans $\mathscr{P}$ et $\mathscr{P}’$ sont parallèles.
    $\quad$

Exercice 4  –  5 points

Candidats n’ayant pas choisi l’enseignement de spécialité

Soit la suite numérique $\left(u_{n}\right)$ définie sur l’ensemble des entiers naturels $\N$ par $$\begin{cases} u_{0} = 2\\\\ \text{et pour tout entier naturel } n, u_{n+1} = \dfrac{1}{5} u_{n} + 3 \times 0,5^n.\end{cases}$$

  1. a. Recopier et, à l’aide de la calculatrice, compléter le tableau des valeurs de la suite $\left(u_{n}\right)$ approchées à $10^{-2}$ près:
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    n& 0&1&2&3&4&5&6&7&8\\\\
    \hline
    u_{n}&2&&&&&&&&\\\\
    \hline
    \end{array}$$
    b. D’après ce tableau, énoncer une conjecture sur le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$.
    $\quad$
  2. a. Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n$ non nul on a $$u_{n} \ge \dfrac{15}{4} \times 0,5^n.$$
    $\quad$
    b. En déduire que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_{n+1} – u_{n} \le 0$.
    $\quad$
    c. Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente.
    $\quad$
  3. On se propose, dans cette question de déterminer la limite de la suite  $\left(u_{n}\right)$.
    Soit $\left(v_{n}\right)$ la suite définie sur $\N$ par $v_{n} = u_{n} – 10 \times 0,5^n$.
    a. Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{5}$. On précisera le premier terme de la suite $\left(v_{n}\right)$.
    $\quad$
    b. En déduire, que pour tout entier naturel $n$, $$u_{n} = – 8 \times \left(\dfrac{1}{5}\right)^n + 10 \times 0,5^n.$$
    $\quad$
    c. Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$
    $\quad$
  4. Recopier et compléter les lignes (1), (2) et (3) de l’algorithme suivant, afin qu’il affiche la plus petite valeur de $n$ telle que $u_{n} \le 0,01$.
    Entrée :
    $\quad$ $n$ et $u$ sont des nombres
    Initialisation :
    $\quad$ $n$ prend la valeur $0$
    $\quad$ $u$ prend la valeur $2$
    Traitement :
    $\quad$ Tant que $\ldots$ (1)
    $\qquad$ $n$ prend la valeur $\ldots$ (2)
    $\qquad$ $u$ prend la valeur $\ldots$ (3)
    $\quad$ Fin Tant que
    Sortie :
    $\quad$ Afficher $n$
    $\quad$

Exercice 4  –  5 points

Candidats ayant choisi l’enseignement de spécialité

En montagne, un randonneur a effectuéŽ des réservations dans deux types d’hŽébergements:
L’héŽbergement A et l’hébergement B.
Une nuit en hŽébergement A coûžte $24$ € et une nuit en héŽbergement B cožûte $45$ €.
Il se rappelle que le cožût total de sa rŽéservation est de $438$ €.
On souhaite retrouver les nombres $x$ et $y$ de nuitŽées passéŽes respectivement en héŽbergement A et en hŽébergement B

  1. a. Montrer que les nombres $x$ et $y$ sont respectivement inféŽrieurs ou Žégaux àˆ $18$ et $9$.
    $\quad$
    b. Recopier et compléter les lignes (1), (2) et (3) de l’algorithme suivant afin qu’il affiche les couples $(x ; y)$ possibles.
    EntréŽe :
    $\quad$ $x$ et $y$ sont des nombres
    Traitement :
    $\quad$ Pour $x$ variant de $0$ ˆ $\ldots$ (1)
    $\qquad$ Pour $y$ variant de $0$ ˆ $\ldots$ (2)
    $\qquad$ $\quad$ Si $\ldots$ (3)
    $\qquad$ $\qquad$ Afficher $x$ et $y$
    $\qquad$ $\quad$ Fin Si
    $\qquad$ Fin Pour
    $\quad$ Fin Pour
    Fin traitement
    $\quad$
  2. Justifier que le coûžt total de la réŽservation est un multiple de $3$.
    $\quad$
  3. a. Justifier que l’Žéquation $8x + 15y = 1$ admet pour solution au moins un couple d’entiers relatifs.
    $\quad$
    b. DŽéterminer une telle solution.
    $\quad$
    c. RéŽsoudre l’Žéquation (E) : $8x + 15y = 146$ où $x$ et $y$ sont des nombres entiers relatifs.
    $\quad$
  4. Le randonneur se souvient avoir passŽé au maximum $13$ nuits en hŽébergement A.
    Montrer alors qu’il peut retrouver le nombre exact de nuits passéŽes en hŽébergement A et celui des nuits passéŽes en hŽébergement B.
    Calculer ces nombres.

Bac S – Métropole – Juin 2014

Métropole – Juin 2014

Bac S – Mathématiques

La correction de ce sujet de bac est disponible ici.

Exercice 1  –  5 points

Partie A

Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on désigne par $\mathscr{C}_1$ la courbe représentative de la fonction $f_1$ définie sur $\R$ par : $$f_1(x) = x + \e^{-x}.$$

  1. Justifier que $\mathscr{C}_1$ passe par le point $A$ de coordonnées $(0;1)$.
    $\quad$
  2. Déterminer le tableau de variation de la fonction $f_1$. On précisera les limites de $f_1$ en $+ \infty$ et en $- \infty$.
    $\quad$

Partie B

L’objet de cette partie est d’étudier la suite $\left(I_n\right)$ définie sur $\N$ par : $$I_n = \int_0^1 \left(x + \e^{- nx}\right)\mathrm{d}x.$$

  1. Dans le plan muni d’un repère orthonormé $\Oij$ , pour tout entier naturel $n$, on note $\mathscr{C}_n$ la courbe représentative de la fonction $f_n $ définie sur $\R$ par $$f_n(x) = x + \e^{- nx}. $$
    Sur le graphique ci-dessous on a tracé la courbe $\mathscr{C}_n$ pour plusieurs valeurs de l’entier $n$ et la droite $\mathscr{D}$ d’équation $x = 1$.Bac S - métropole - juin2014 - ex1
    a. Interpréter géométriquement l’intégrale $I_{n}$.
    $\quad$
    b. En utilisant cette interprétation, formuler une conjecture sur le sens de variation de la suite $\left(I_n\right)$ et sa limite éventuelle. On précisera les éléments sur lesquels on s’appuie pour conjecturer.
    $\quad$
  2. Démontrer que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1$, $$I_{n+1} – I_{n} = \int_{0}^1 \e^{-(n + 1)x} \left(1 – \e^{x}\right)\mathrm{d}x.$$
    En déduire le signe de $I_{n+1} – I_{n}$ puis démontrer que la suite $\left(I_n\right)$ est convergente.
    $\quad$
  3. Déterminer l’expression de $I_{n}$ en fonction de $n$ et déterminer la limite de la suite $\left(I_n\right)$.
    $\quad$

Exercice 2  –  5 points

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment.

Partie A

Un laboratoire pharmaceutique propose des tests de dépistage de diverses maladies. Son service de communication met en avant les caractéristiques suivantes :

  • la probabilité qu’une personne malade présente un test positif est $0,99$ ;
  • la probabilité qu’une personne saine présente un test positif est $0,001$.
  1. Pour une maladie qui vient d’apparaître, le laboratoire élabore un nouveau test. Une étude statistique permet d’estimer que le pourcentage de personnes malades parmi la population d’une métropole est égal à $0,1\%$. On choisit au hasard une personne dans cette population et on lui fait subir le test.
    On note $M$ l’événement “la personne choisie est malade” et $T$ l’événement “le test est positif”.
    a. Traduire l’énoncé sous la forme d’un arbre pondéré.
    $\quad$
    b. Démontrer que la probabilité $p(T)$ de l’événement $T$ est égale à $1,989 \times 10^{-3}$.
    $\quad$
    c. L’affirmation suivante est-elle vraie ou fausse ? Justifier la réponse.
    Affirmation : “Si le test est positif, il y a moins d’une chance sur deux que la personne soit malade”.
    $\quad$
  2. Le laboratoire décide de commercialiser un test dès lors que la probabilité qu’une personne testée positivement soit malade est supérieure ou égale à $0,95$. On désigne par $x$ la proportion de personnes atteintes d’une certaine maladie dans la population.
    À partir de quelle valeur de $x$ le laboratoire commercialise-t-il le test correspondant ?
    $\quad$

Partie B

La chaine de production du laboratoire fabrique, en très grande quantité, le comprimé d’un médicament.

  1. Un comprimé est conforme si sa masse est comprise entre $890$ et $920$ mg. On admet que la masse en milligrammes d’un comprimé pris au hasard dans la production peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale $\mathscr{N}\left(\mu,\sigma^2\right)$, de moyenne $\mu = 900$ et d’écart-type $\sigma = 7$.
    a. Calculer la probabilité qu’un comprimé prélevé au hasard soit conforme. On arrondira à $10^{-2}$.
    $\quad$
    b. Déterminer l’entier positif $h$ tel que $P(900 – h \le X \le 900 + h) \approx 0,99$ à $10^{-3}$ près.
    $\quad$
  2. La chaîne de production a été réglée dans le but d’obtenir au moins $97\%$ de comprimés conformes. Afin d’évaluer l’efficacité des réglages, on effectue un contrôle en prélevant un échantillon de $1~000$ comprimés dans la production. La taille de la production est supposée suffisamment grande pour que ce prélèvement puisse être assimilé à $1~000$ tirages successifs avec remise.
    Le contrôle effectué a permis de dénombrer $53$ comprimés non conformes sur l’échantillon prélevé.
    Ce contrôle remet-il en question les réglages faits par le laboratoire ? On pourra utiliser un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$.
    $\quad$

Exercice 3  –  5 points

On désigne par $(E)$ l’équation $$z^4 + 4z^2 + 16 = 0$$  d’inconnue complexe $z$.

  1. Résoudre dans $\C$ l’équation $Z^2 +4Z + 16 = 0$.
    Écrire les solutions de cette équation sous une forme exponentielle.
    $\quad$
  2. On désigne par $a$ le nombre complexe dont le module est égal à $2$ et dont un argument est égal à $\dfrac{\pi}{3}$.
    Calculer $a^2$ sous forme algébrique.
    En déduire les solutions dans $\C$ de l’équation $z^2 = – 2 + 2\ic\sqrt{3}$. On écrira les solutions sous forme algébrique.
    $\quad$
  3. Restitution organisée de connaissances
    On suppose connu le fait que pour tout nombre complexe $z = x + \ic y$ où $x \in \R$ et $y \in R$, le conjugué de $z$ est le nombre complexe $z$ défini par $z = x – \ic y$.
    Démontrer que :
    — Pour tous nombres complexes $z_{1}$ et $z_{2}$, $\overline{z_{1}z_{2}} = \overline{z_{1}}.\overline{z_{2}}$.
    $\quad$
    —Pour tout nombre complexe $z$ et tout entier naturel non nul $n$, $\overline{z^{n}} = \left(\overline{z}\right)^n$.
    $\quad$
  4. Démontrer que si $z$ est une solution de l’équation $(E)$ alors son conjugué $\overline{z}$ est également une solution de $(E)$.
    En déduire les solutions dans $\C$ de l’équation $(E)$. On admettra que $(E)$ admet au plus quatre solutions.
    $\quad$

Exercice 4  –  5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Dans l’espace, on considère un tétraèdre $ABCD$ dont les faces $ABC$, $ACD$ et $ABD$ sont des triangles rectangles et isocèles en $A$. On désigne par $E$, $F$ et $G$ les milieux respectifs des côtés $[AB]$, $[BC]$ et $[CA]$.
O
n choisit $AB$ pour unité de longueur et on se place dans le repère orthonormé $\left(A;\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}\right)$ de l’espace.

  1. On désigne par $\mathscr{P}$ le plan qui passe par $A$ et qui est orthogonal à la droite $(DF)$.
    On note $H$ le point d’intersection du plan $\mathscr{P}$ et de la droite $(DF)$.
    a. Donner les coordonnées des points $D$ et $F$.
    $\quad$
    b. Donner une représentation paramétrique de la droite $(DF)$.
    $\quad$
    c. Déterminer une équation cartésienne du plan $\mathscr{P}$.
    $\quad$
    d. Calculer les coordonnées du point $H$.
    $\quad$
    e. Démontrer que l’angle $\widehat{EHG}$ est un angle droit.
    $\quad$
  2. On désigne par $M$ un point de la droite $(DF)$ et par $t$ le réel tel que $\vec{DM} = t\vec{DF}$. On note $\alpha$ la mesure en radians de l’angle géométrique $\widehat{EMG}$.
    Le but de cette question est de déterminer la position du point $M$ pour que $\alpha$ soit maximale.
    a. Démontrer que $ME^2 = \dfrac{3}{2}t^2 – \dfrac{5}{2}t + \dfrac{5}{4}$.
    $\quad$
    b. Démontrer que le triangle $MEG$ est isocèle en $M$.
    En déduire que $ME\sin \left(\dfrac{\alpha}{2} \right) = \dfrac{1}{2\sqrt{2}}$.
    $\quad$
    c. Justifier que $\alpha$ est maximale si et seulement si $\sin \left(\dfrac{\alpha}{2} \right)$ est maximal.
    En déduire que $\alpha$ est maximale si et seulement si $ME^2$ est minimal.
    $\quad$
    d. Conclure.
    $\quad$

Exercice 4  –  5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Un pisciculteur dispose de deux bassins A et B pour l’élevage de ses poissons. Tous les ans à la même période :

  • il vide le bassin B et vend tous les poissons qu’il contenait et transfère tous les poissons du bassin A dans le bassin B ;
  • la vente de chaque poisson permet l’achat de deux petits poissons destinés au bassin A.
    Par ailleurs, le pisciculteur achète en plus $200$ poissons pour le bassin A et $100$ poissons pour le bassin B.

Pour tout entier naturel supérieur ou égal à $1$, on note respectivement $a_{n}$ et $b_{n}$ les effectifs de poissons des bassins A et B au bout de $n$ années.
En début de première année, le nombre de poissons du bassin A est $a_{0} = 200$ et celui du bassin B est $b_{0} = 100$.

  1. Justifier que $a_{1} = 400$ et $b_{1} = 300$ puis calculer $a_{2}$ et $b_{2}$.
    $\quad$
  2. On désigne par $A$ et $B$ les matrices telles que $A = \begin{pmatrix}0&2\\1&0\end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix}200\\100\end{pmatrix}$ et pour tout entier naturel $n$, on pose $X_{n} = \begin{pmatrix}a_{n}\\b_{n}\end{pmatrix}$.
    a. Expliquer pourquoi pour tout entier naturel $n$, $X_{n+1} = AX_{n} + B$.
    $\quad$
    b. Déterminer les réels $x$ et $y$ tels que $\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = A\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} + B$.
    $\quad$
    c. Pour tout entier naturel $n$, on pose $Y_{n} = \begin{pmatrix}a_{n} + 400\\b_{n} + 300\end{pmatrix}$.
    Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $Y_{n+1} = AY_{n}$.
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n$, on pose $Z_{n} = Y_{2n}$.
    a. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $Z_{n+1} = A^2 Z_{n}$. En déduire que pour tout entier naturel $n, Z_{n+1} = 2Z_{n}$.
    $\quad$
    b. On admet que cette relation de récurrence permet de conclure que pour tout entier naturel $n$, $$Y_{2n} = 2^n Y_{0}.$$
    En déduire que $Y_{2n + 1} = 2^nY_{1}$ puis démontrer que pour tout entier naturel $n$, $$a_{2n} = 600 \times 2^n – 400\quad \text{et}\quad a_{2n+1} = 800 \times 2^n – 400.$$
    $\quad$
  4. Le bassin A a une capacité limitée à $10~000$ poissons.
    a. On donne l’algorithme suivant.
    Variables :
    $\quad$ $a, p$ et $n$ sont des entiers naturels.
    Initialisation :
    $\quad$ Demander à l’utilisateur la valeur de $p$.
    Traitement :
    $\quad$ Si $p$ est pair
    $\qquad$ Affecter à $n$ la valeur $\dfrac{p}{2}$
    $\qquad$ Affecter à $a$ la valeur $600 \times 2^n – 400$.
    $\quad$ Sinon
    $\qquad$ Affecter à $n$ la valeur $\dfrac{p – 1}{2}$
    $\qquad$ Affecter à $a$ la valeur $800 \times 2^n – 400$.
    $\quad$ Fin de Si.
    Sortie :
    $\quad$ Afficher $a$.
    $\quad$
    Que fait cet algorithme ? Justifier la réponse.
  5. Écrire un algorithme qui affiche le nombre d’années pendant lesquelles le pisciculteur pourra utiliser le bassin A.
    $\quad$

Bac S – Métropole – Septembre 2014

Métropole – Septembre 2014

Bac S – Mathématiques

La correction de ce sujet de bac est disponible ici.

Exercice 1  –  5 points

Sur le graphique ci-dessous, on a tracé, dans un repère orthonormé $\Oij$, une courbe $\mathscr{C}$ et la droite $(AB)$ où $A$ et $B$ sont les points de coordonnées respectives $(0;1)$ et $(-1;3)$.

Bac S - métropole - sept2014 - ex1
On désigne par $f$ la fonction dérivable sur $\R$ dont la courbe représentative est $\mathscr{C}$.
On suppose, de plus, qu’il existe un réel $a$ tel que pour tout réel $x$,$$f(x) = x + 1 + ax\e^{- x^2}.$$

  1. a. Justifier que la courbe $\mathscr{C}$ passe par le point $A$.
    $\quad$
    b. Déterminer le coefficient directeur de la droite $(AB)$.
    $\quad$
    c. Démontrer que pour tout réel $x$, $$f'(x) = 1 – a\left(2x^2 – 1\right)\e^{- x^2}.$$
    $\quad$
    d. On suppose que la droite $(AB)$ est tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point $A$.
    Déterminer la valeur du réel $a$.
    $\quad$
  2. D’après la question précédente, pour tout réel $x$, $$f(x) = x + 1 – 3x\e^{- x^2}\quad \text{et} \quad f'(x) = 1 + 3\left(2x^2 – 1\right)\e^{- x^2}.$$
    a. Démontrer que pour tout réel $x$ de l’intervalle $]- 1;0]$, $f(x) > 0$.
    $\quad$
    b. Démontrer que pour tout réel $x$ inférieur ou égal à $- 1$, $f'(x) > 0$.
    $\quad$
    c. Démontrer qu’il existe un unique réel $c$ de l’intervalle $\left[- \dfrac{3}{2};- 1\right]$ tel que $f(c) = 0$.
    Justifier que $c < – \dfrac{3}{2} + 2.10^{-2}$.
    $\quad$
  3. On désigne par $\mathscr{A}$ l’aire, exprimée en unités d’aire, du domaine défini par : $$c \le x \le 0\quad \text{et}\quad 0 \le y \le f(x).$$
    $\quad$
  4. Écrire $\mathscr{A}$ sous la forme d’une intégrale.
    $\quad$
  5. On admet que l’intégrale $I = \displaystyle\int_{-\frac{3}{2}}^0 f(x)\mathrm{d}x$ est une valeur approchée de $\mathscr{A}$ à $10^{-3}$ près.
    Calculer la valeur exacte de l’intégrale $I$.
    $\quad$

Exercice 2  –  5 points

Dans cet exercice, on s’intéresse au mode de fonctionnement de deux restaurants : sans réservation ou avec réservation préalable.

  1. Le premier restaurant fonctionne sans réservation mais le temps d’attente pour obtenir une table est souvent un problème pour les clients.
    On modélise ce temps d’attente en minutes par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ où $\lambda$ est un réel strictement positif. On rappelle que l’espérance mathématique de $X$ est égale à $\dfrac{1}{\lambda}$.
    Une étude statistique a permis d’observer que le temps moyen d’attente pour obtenir une table est de $10$ minutes.
    a. Déterminer la valeur de $\lambda$.
    $\quad$
    b. Quelle est la probabilité qu’un client attende entre $10$ et $20$ minutes pour obtenir une table ? On arrondira à $10^{-4}$.
    $\quad$
    c. Un client attend depuis $10$ minutes. Quelle est la probabilité qu’il doive attendre au moins $5$ minutes de plus pour obtenir une table ? On arrondira à $10^{-4}$.
    $\quad$
  2. Le deuxième restaurant a une capacité d’accueil de $70$ places et ne sert que des personnes ayant réservé au préalable. La probabilité qu’une personne ayant réservé se présente au restaurant est estimée à $0,8$.
    On note $n$ le nombre de réservations prises par le restaurant et $Y$ la variable aléatoire correspondant au nombre de personnes ayant réservé qui se présentent au restaurant.
    On admet que les comportements des personnes ayant réservé sont indépendants les uns des autres. La variable aléatoire $Y$ suit alors une loi binomiale.
    a. Préciser, en fonction de $n$, les paramètres de la loi de la variable aléatoire $Y$, son espérance mathématique $E(Y)$ et son écart-type $\sigma(Y)$.
    $\quad$
    b. Dans cette question, on désigne par $Z$ une variable aléatoire suivant la loi normale $\mathcal{N}\left(\mu, \sigma^2\right)$ de moyenne $\mu = 64,8$ et d’écart-type $\sigma = 3,6$.
    Calculer la probabilité $p_{1}$ de l’évènement $\{Z \leqslant 71\}$ à l’aide de la calculatrice.
    $\quad$
    c. On admet que lorsque $n = 81$, $p_{1}$ est une valeur approchée à $10^{-2}$ près de la probabilité $p(Y \le 70)$ de l’évènement $\lbrace Y \le 70 \rbrace$.
    Le restaurant a reçu $81$ réservations.
    Quelle est la probabilité qu’il ne puisse pas accueillir certains des clients qui ont réservé et se présentent ?
    $\quad$

Exercice 3  –  5 points

On administre à un patient un médicament par injection intraveineuse. La quantité de médicament dans le sang diminue en fonction du temps.
Le but de l’exercice est d’étudier pour différentes hypothèses, l’évolution de cette quantité minute par minute.

  1. On effectue à l’instant $0$ une injection de $10$ mL de médicament. On estime que $20\%$ du médicament est éliminé par minute. Pour tout entier naturel $n$, on note $u_{n}$ la quantité de médicament, en mL, restant dans le sang au bout de $n$ minutes. Ainsi $u_{0} = 10$.
    a. Quelle est la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$ ?
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$, donner l’expression de $u_{n}$ en fonction de $n$.
    $\quad$
    c. Au bout de combien de temps la quantité de médicament restant dans le sang devient-elle inférieure à $1\%$ de la quantité initiale ? Justifier la réponse.
    $\quad$
  2. Une machine effectue à l’instant $0$ une injection de $10$ mL de médicament. On estime que $20\%$ du médicament est éliminé par minute. Lorsque la quantité de médicament tombe en-dessous de $5$ mL, la machine réinjecte $4$ mL de produit.
    Au bout de $15$ minutes, on arrête la machine.
    Pour tout entier naturel $n$, on note $v_{n}$ la quantité de médicament, en mL, restant dans le sang à la minute $n$.
    L algorithme suivant donne la quantité restante de médicament minute par minute.
    Variables :
    $\quad$ $n$ est un entier naturel.
    $\quad$ $v$ est un nombre réel.
    Initialisation :
    $\quad$  Affecter à $v$ la valeur $10$.
    Traitement :
    $\quad$ Pour $n$ allant de $1$ à $15$
    $\qquad$ Affecter à $v$ la valeur $0,8 \times v$.
    $\qquad$ Si $v < 5$ alors affecter à $v$ la valeur $v + 4$
    $\qquad$ Afficher $v$.
    $\quad$ Fin de boucle.
    $\quad$
    a. Calculer les éléments manquants du tableau ci-dessous donnant, arrondie à $10^{-2}$ et pour $n$ supérieur ou égal à $1$, la quantité restante de médicament minute par minute obtenue avec l’algorithme.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    n &0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 &11 &12 &13 &14 & 15 \\\\
    \hline
    v_{n} &10 &8 &6,4 &&&&&8,15 &6,52 &5,21 &8,17 &6,54 &5,23 &8,18 &6,55 &5,24\\\\
    \hline
    \end{array}$$
    b. Au bout de $15$ minutes, quelle quantité totale de médicament a été injectée dans l’organisme ?
    $\quad$
    c. On souhaite programmer la machine afin qu’elle injecte $2$ mL de produit lorsque la quantité de médicament dans le sang est inférieure ou égale à $6$ mL et qu’elle s’arrête au bout de $30$ minutes.
    Recopier l’algorithme précédent en le modifiant pour qu’il affiche la quantité de médicament, en mL, restant dans le sang minute par minute avec ce nouveau protocole.
    $\quad$
  3. On programme la machine de façon que :
    — à l’instant $0$, elle injecte $10$ mL de médicament,
    — toutes les minutes, elle injecte $1$ mL de médicament.
    On estime que $20\%$ du médicament présent dans le sang est éliminé par minute.
    Pour tout entier naturel $n$, on note $w_{n}$ la quantité de médicament, en mL, présente dans le sang du patient au bout de $n$ minutes.
    a. Justifier que pour tout entier naturel $n$,  $w_{n+1} = 0,8 w_{n} + 1$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$, on pose $z_{n} = w_{n} – 5$.
    Démontrer que $\left(z_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
    $\quad$
    c. En déduire l’expression de $w_{n}$ en fonction de $n$.
    $\quad$
    d. Quelle est la limite de la suite $\left(w_{n}\right)$ ? Quelle interprétation peut-on en donner?
    $\quad$

Exercice 4  –  5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé $\Oijk$, on considère le tétraèdre $ABCD$ dont les sommets ont pour coordonnées: $$A\left(1;- \sqrt{3};0\right) ; B\left(1; \sqrt{3};0\right) ; C(-2;0;0) ; D\left(0;0;2\sqrt{2}\right).$$

  1. Démontrer que le plan $(ABD)$ a pour équation cartésienne $4x + z\sqrt{2} = 4$.
    $\quad$
  2. On note $\mathscr{D}$ la droite dont une représentation paramétrique est $$\begin{cases} x= t\\\\y=0\\\\z=t\sqrt{2} \end{cases},\quad t \in \R$$
    a. Démontrer que $\mathscr{D}$ est la droite qui est parallèle à $(CD)$ et passe par $O$.
    $\quad$
    b. Déterminer les coordonnées du point $G$, intersection de la droite $\mathscr{D}$ et du plan $(ABD)$.
    $\quad$
  3. a. On note $L$ le milieu du segment $[AC]$.
    Démontrer que la droite $(BL)$ passe par le point $O$ et est orthogonale à la droite $(AC)$.
    $\quad$
    b. Prouver que le triangle $ABC$ est équilatéral et déterminer le centre de son cercle circonscrit.
    $\quad$
  4. Démontrer que le tétraèdre $ABCD$ est régulier c’est-à-dire un tétraèdre dont les six arêtes ont la même longueur.
    $\quad$

Exercice 4  –  5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Dans le cadre d’une étude sur les interactions sociales entre des souris, des chercheurs enferment des souris de laboratoire dans une cage comportant deux compartiments A et B. La porte entre ces compartiments est ouverte pendant dix minutes tous les jours à midi.
On étudie la répartition des souris dans les deux compartiments. On estime que chaque jour

  • $20\%$ des souris présentes dans le compartiment A avant l’ouverture de la porte se trouvent dans le compartiment B après fermeture de la porte,
  • $10\%$ des souris qui étaient dans le compartiment B avant l’ouverture de la porte se trouvent dans le compartiment A après fermeture de la porte.

On suppose qu’au départ, les deux compartiments A et B contiennent le même effectif de souris. On pose $a_{0} = 0,5$ et $b_{0} = 0,5$.
Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1$, on note $a_{n}$ et $b_{n}$ les proportions de souris présentes respectivement dans les compartiments A et B au bout de $n$ jours, après fermeture de la porte. On désigne par $U_{n}$ la matrice $\begin{pmatrix}a_{n}\\b_{n}\end{pmatrix}$.

  1. Soit $n$ un entier naturel.
    a. Justifier que $U_{1} = \begin{pmatrix}0,45\\0,55\end{pmatrix}$.
    $\quad$
    b. Exprimer $a_{n+1}$ et $b_{n+1}$ en fonction de $a_{n}$ et $b_{n}$.
    $\quad$
    c. En déduire que $U_{n+1} = MU_{n}$ où $M$ est une matrice que l’on précisera.
    On admet sans démonstration que $U_{n} = M^n U_{0}$.
    $\quad$
    d. Déterminer la répartition des souris dans les compartiments A et B au bout de $3$ jours.
    $\quad$
  2. Soit la matrice $P = \begin{pmatrix}1&1\\2&-1\end{pmatrix}$.
    a. Calculer $P^2$. En déduire que $P$ est inversible et $P^{-1} = \dfrac{1}{3}P$.
    $\quad$
    b. Vérifier que $P^{- 1} MP$ est une matrice diagonale $D$ que l’on précisera.
    $\quad$
    c. Démontrer que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1$, $M^n = P D^n P^{- 1}$.
    À l’aide d’un logiciel de calcul formel, on obtient $$M^n = \begin{pmatrix}\dfrac{1 +2 \times 0,7^n}{3}&\dfrac{1 – 0,7^n}{3}\\\\ \dfrac{2 – 2 \times 0,7^n}{3}&\dfrac{2 + 0,7^n}{3}\end{pmatrix}.$$
  3. En s’aidant des questions précédentes, que peut-on dire de la répartition à long terme des souris dans les compartiments A et B de la cage ?
    $\quad$

 

Bac S – Antilles Guyane – Septembre 2014

Antilles Guyane – Septembre 2014

Bac S – Mathématiques

La correction de ce sujet de bac est disponible ici.

Exercice 1  –  6 points

Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue divers tests permettant de rejeter les peluches ne répondant pas aux normes en vigueur. D’expérience, le concepteur sait que $9\%$ des nouveaux jouets ne répondent pas aux normes.

À l’issue des tests, il est noté que

  • $96\%$ des peluches répondant aux normes sont acceptées par les tests ;
  • $97\%$ des peluches ne répondant pas aux normes ne sont pas acceptées à l’issue des tests.

On prélève une peluche au hasard dans la production de l’entreprise. On note

  • $N$ l’événement : “la peluche répond aux normes en vigueur”;
  • $A$ l’événement : “la peluche est acceptée à l’issue des tests”.

Partie A

  1. Construire un arbre pondéré représentant la situation exposée précédemment.
    $\quad$
  2. Démontrer que la probabilité qu’une peluche soit acceptée à l’issue des tests est $0,876~3$.
    $\quad$
  3. Calculer la probabilité qu’une peluche qui a été acceptée à l’issue des tests soit véritablement aux normes en vigueur. Arrondir le résultat au dix-millième.
    $\quad$

Partie B

On considère que la vie d’une peluche se termine lorsqu’elle subit un dommage majeur (déchirure, arrachage … ). On admet que la durée de vie en années d’une peluche, notée $D$, suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.

  1. On sait que $P(D \le 4) = 0,5$. Interpréter ce résultat dans le contexte de cet exercice.
    Calculer la valeur exacte de $\lambda$.
    $\quad$
  2. On prendra ici $\lambda = 0,173~3$.

Le jour de ses trois ans, un enfant qui joue avec cette peluche depuis sa naissance décide, voyant qu’elle est encore en parfait état, de la donner à sa sœur qui vient de naître.
Calculer la probabilité pour que sa sœur la garde sans dommage majeur au moins cinq années supplémentaires. Arrondir le résultat au dix-millième.
$\quad$

Partie C

Un cabinet de sondages et d’expertise souhaite savoir quel est le réel intérêt des enfants pour ce jouet. À la suite d’une étude, il apparaît que pour un enfant de quatre ans, le nombre de jours, noté $J$, où la peluche est son jouet préféré suit une loi normale de paramètres $\mu$ et $\sigma$. Il apparaît que $\mu = 358$ jours.

  1. Soit $X = \dfrac{J – 358}{\sigma}$. Quelle est la loi suivie par $X$ ?
    $\quad$
  2. On sait que $P(J \le 385) = 0,975$. Déterminer la valeur de $\sigma$ arrondie à l’entier le plus proche.
    $\quad$

Exercice 2  –  6 points

Partie A

On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l’intervalle $[0; + \infty[$ par $$f(x) = x\e^{-x}.$$

  1. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.
    $\quad$
  2. \item Déterminer la dérivée $f’$ de la fonction $f$ sur $[0; + \infty[$ et en déduire le tableau de variations de $f$ sur $[0; + \infty[$.
    $\quad$

On donne en annexe la courbe $\mathscr{C}_{f}$ représentative de la fonction $f$ dans un repère du plan. La droite $\Delta$ d’équation $y = x$ a aussi été tracée.

Partie B

Soit la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 1$ et, pour tout entier naturel $n,\: u_{n+1} = f\left(u_{n}\right)$.

  1. Placer sur le graphique donné en annexe, en utilisant la courbe $\mathscr{C}_{f}$ et la droite $\Delta$, les points $A_{0},\, A_{1}$ et $A_{2}$ d’ordonnées nulles et d’abscisses respectives $u_{0},\, u_{1}$ et $u_{2}$. Laisser les tracés explicatifs apparents.
    $\quad$
  2. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_{n} > 0$.
    $\quad$
  3. Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante.
    $\quad$
  4. a. Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente.
    $\quad$
    b. On admet que la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$ est solution de l’équation $x\e^{- x} = x$.
    Résoudre cette équation pour déterminer la valeur de cette limite.
    $\quad$

Partie C

On considère la suite $\left(S_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $$S_{n} = \sum_{k= 0}^{k=n} u_{k} = u_{0} + u_{1} + \ldots + u_{n}.$$
Compléter l’algorithme donné en annexe afin qu’il calcule $S_{100}$.

Annexe – Partie B

Bac S - Antilles guyane - sept2014 - ex2

Annexe – Partie C

Déclaration des variables :
$\quad$ $S$ et $u$ sont des nombres réels
$\quad$ $k$ est un nombre entier
Initialisation :
$\quad$ $u$ prend la valeur \ldots \ldots
$\quad$ $S$ prend la valeur \ldots \ldots
Traitement :
$\quad$ Pour $k$ variant de $1$ à \ldots
$\qquad$ $u$ prend la valeur $u \times \e^{- u}$
$\qquad$ $S$ prend la valeur \ldots
$\quad$ Fin Pour
$\quad$ Afficher \ldots \ldots
$\quad$

Exercice 3  –  3 points

On considère l’équation $\left(E_{1}\right)$ : $$\e^x – x^n = 0$$
où $x$ est un réel strictement positif et $n$ un entier naturel non nul.

  1. Montrer que l’équation $\left(E_{1}\right)$ est équivalente à l’équation $\left(E_{2}\right)$ : $$\ln (x) – \dfrac{x}{n} = 0.$$
    $\quad$
  2. Pour quelles valeurs de $n$ l’équation $\left(E_{1}\right)$ admet-elle deux solutions ?
    $\quad$

Exercice 4  –  5 points

Réservé aux candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

On note $\C$ l’ensemble des nombres complexes.
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé $\Ouv$. On prendra comme unité $2$ cm sur chaque axe.
Le graphique sera fait sur une feuille de papier millimétré et complété au fur et à mesure des questions.
On considère la fonction $f$ qui à tout nombre complexe $z$ associe $$f(z) = z^2 + 2z + 9.$$

  1. Calculer l’image de $- 1 + \ic\sqrt{3}$ par la fonction $f$.
    $\quad$
  2. Résoudre dans $\C$ l’équation $f(z) = 5$.
    Écrire sous forme exponentielle les solutions de cette équation.
    Construire alors sur le graphique, à la règle et au compas, les points $A$ et $B$ dont l’affixe est solution de l’équation ($A$ étant le point dont l’affixe a une partie imaginaire positive).
    On laissera les traits de construction apparents.
    $\quad$
  3. Soit $\lambda$ un nombre réel. On considère l’équation $f(z) = \lambda$ d’inconnue $z$.
    Déterminer l’ensemble des valeurs de $\lambda$ pour lesquelles l’équation $f(z) = \lambda$ admet deux solutions complexes conjuguées.
    $\quad$
  4. Soit $(F)$ l’ensemble des points du plan complexe dont l’affixe $z$ vérifie $$|f(z) – 8| = 3.$$
    Prouver que $(F)$ est le cercle de centre $\Omega(-1;0)$ et de rayon $\sqrt{3}$.
    Tracer $(F)$ sur le graphique.
    $\quad$
  5. Soit $z$ un nombre complexe, tel que $z = x + \ic y$ où $x$ et $y$ sont des nombres réels.
    a. Montrer que la forme algébrique de $f(z)$ est $$x^2 – y^2 + 2x + 9 + \ic (2xy + 2y).$$
    $\quad$
    b. On note $(E)$ l’ensemble des points du plan complexe dont l’affixe $z$ est telle que $f(z)$ soit un nombre réel.
    Montrer que $(E)$ est la réunion de deux droites $D_{1}$ et $D_{2}$ dont on précisera les équations.
    Compléter le graphique de l’annexe en traçant ces droites.
    $\quad$
  6. Déterminer les coordonnées des points d’intersection des ensembles $(E)$ et $(F)$.
    $\quad$

Exercice 4  –  5 points

Réservé aux candidats ayant suivi la spécialité

Dans une ville, une enseigne de banque nationale possède deux agences, appelées $X$ et $Y$.
D’une année sur l’autre, une partie des fonds de l’agence $X$ est transférée à l’agence $Y$, et réciproquement. De plus, chaque année, le siège de la banque transfère une certaine somme à chaque agence.

Soit $n$ un entier naturel. On note $x_{n}$ la quantité de fonds détenue par l’agence $X$, et $y_{n}$ la quantité de fonds détenue par l’agence $Y$ au $1^\text{er}$ janvier de l’année $2014 + n$, exprimées en millions d’euros.

On note $U_{n}$ la matrice $\begin{pmatrix}x_{n}\\y_{n}\end{pmatrix}$ et on note $I = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$.

On suppose que le $1^\text{er}$ janvier de l’année 2014, l’agence $X$ possède $50$ millions d’euros et l’agence $Y$ possède $10$ millions d’euros.

L’évolution de la quantité de fonds est régie par la relation suivante :
$$U_{n+1} = AU_{n} + B, ~~ \text{ où }~~ A = \begin{pmatrix}0,6&0,15\\0,2&0,4\end{pmatrix} ~~\text{ et }~~ B = \begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}.$$

  1. Interpréter dans le contexte de l’exercice le coefficient $0,6$ de la matrice $A$ et le coefficient $3$ de la matrice $B$.
    $\quad$
  2. Donner la matrice $U_{0}$ puis calculer la quantité de fonds détenue par chacune des agences $X$ et $Y$ en $2015$, exprimée en millions d’euros.
    $\quad$
  3. On note $D = \begin{pmatrix}0,3&0\\0&0,7\end{pmatrix},\: P = \begin{pmatrix}1&3\\- 2&2\end{pmatrix}$ et $Q = \begin{pmatrix}0,25&- 0,375\\0,25 &0,125\end{pmatrix}$.
    a. Donner sans détailler le calcul, la matrice $PDQ$.
    $\quad$
    b. Expliciter le calcul du coefficient de la première ligne et de la deuxième colonne du produit matriciel $QP$. Dans la suite, on admettra que $QP = I$.
    $\quad$
    On admettra dans la suite de cet exercice que pour tout entier naturel non nul $n,$ $A^n = PD^nQ$.
    $\quad$
  4. On pose pour tout entier naturel $n$, $V_{n} = U_{n} – \begin{pmatrix}5\\20/3\end{pmatrix}$.
    a. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $V_{n+1} = AV_{n}$.
    $\quad$
    b. Déterminer $V_{0}$ puis pour tout entier naturel $n$, donner l’expression de $V_{n}$ en fonction de $A$, $n$ et $V_{0}$.
    $\quad$
  5. Soit $n$ un entier naturel. On admet que $$A^n = \begin{pmatrix}0,25 \times 0,3^n + 0,75 \times 0,7^n&0,375\left(- 0,3^n + 0,7^n\right) \\\\0,5\left(- 0,3^n + 0,7^n\right)& 0,75 \times 0,3^n + 0,25 \times 0,7^n\end{pmatrix}.$$
    a. Déterminer le coefficient de la première ligne de la matrice $V_{n}$ en détaillant les calculs.
    $\quad$
    b. En déduire l’expression de $x_{n}$ en fonction de $n$.
    $\quad$
    c. Déterminer la limite de $x_{n}$ quand $n$ tend vers $+ \infty$ et interpréter ce résultat dans le cadre du problème.
    $\quad$