Bac S – Nouvelle Calédonie – Mars 2016

Nouvelle Calédonie – Mars 2016

Bac S – Mathématiques

La correction de ce sujet de bac est disponible ici.

Exercice 1  –  6 points

Les parties A et B sont indépendantes

Partie A

Une boite contient $200$ médailles souvenir dont $50$ sont argentées, les autres dorées.
Parmi les argentées $60\%$ représentent le château de Blois, $30\%$ le château de Langeais, les autres le château de Saumur.
Parmi les dorées $40\%$ représentent le château de Blois, les autres le château de Langeais.
On tire au hasard une médaille de la boite. Le tirage est considéré équiprobable et on note :

  • $A$ l’événement “la médaille tirée est argentée” ;
  • $D$ l’événement “la médaille tirée est dorée” ;
  • $B$ l’événement “la médaille tirée représente le château de Blois” ;
  • $L$ l’événement “la médaille tirée représente le château de Langeais” ;
  • $S$ l’événement “la médaille tirée représente le château de Saumur”.
  1. Dans cette question, on donnera les résultats sous la forme d’une fraction irréductible.
    a. Calculer la probabilité que la médaille tirée soit argentée et représente le château de Langeais.
    $\quad$
    b. Montrer que la probabilité que la médaille tirée représente le château de Langeais est égale à $\dfrac{21}{40}$.
    $\quad$
    c. \item Sachant que la médaille tirée représente le château de Langeais, quelle est la probabilité que celle-ci soit dorée ?
    $\quad$
  2. Sachant que la médaille tirée représente le château de Saumur, donner la probabilité que celle-ci soit argentée.
    $\quad$

Partie B

Une médaille est dite conforme lorsque sa masse est comprise entre $9,9$ et $10,1$ grammes.
On dispose de deux machines M$_1$ et M$_2$ pour produire les médailles.

  1. Après plusieurs séries de tests, on estime qu’une machine M$_1$ produit des médailles dont la masse $X$ en grammes suit la loi normale d’espérance $10$ et d’écart-type $0,06$.
    On note $C$ l’événement “la médaille est conforme”.
    Calculer la probabilité qu’une médaille produite par la machine M$_1$ ne soit pas conforme. On donnera le résultat arrondi à $10^{-3}$ près.
    $\quad$
  2. La proportion des médailles non conformes produites par la machine M$_1$ étant jugée trop importante, on utilise une machine M$_2$ qui produit des médailles dont la masse $Y$ en grammes suit la loi normale d’espérance $\mu = 10$ et d’écart-type $\sigma$.
    a. Soit $Z$ la variable aléatoire égale à $\dfrac{Y – 10}{\sigma}$. Quelle est la loi suivie par la variable $Z$ ?
    $\quad$
    b. Sachant que cette machine produit $6\%$ de pièces non conformes, déterminer la valeur arrondie au millième de $\sigma$.
    $\quad$

Exercice 2  –  3 points

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur l’intervalle $[0;16]$ par
$$f(x) = \ln(x + 1)\quad \text{et}\quad g(x) = \ln(x + 1) + 1-\cos(x).$$

Dans un repère du plan $\Oij$, on note $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$.
Ces courbes sont données en annexe.

Comparer les aires des deux surfaces hachurées sur ce graphique.

Annexe

Bac S - nouvelle Calédonie - mars 2016 - ex 2

Exercice 3  –  6 points

Dans le repère orthonormé $\Oijk$ de l’espace, on considère pour tout réel $m$, le plan $P_m$ d’équation
$$\dfrac{1}{4} m^2x + (m-1)y + \dfrac{1}{2} mz-3 = 0.$$

  1. Pour quelle(s) valeur(s) de $m$ le point $A(1;1;1)$ appartient-il au plan $P_m$ ?
    $\quad$
  2. Montrer que les plans $P_1$ et $P_{-4}$ sont sécants selon la droite $(d)$ de représentation paramétrique
    $$(d) \begin{cases} x = 12-2t\\y = 9-2t\\z =t \end{cases}\quad \text{avec }t \in \R$$
    $\quad$
  3. a. Montrer que l’intersection entre $P_0$ et $(d)$ est un point noté $B$ dont on déterminera les coordonnées.
    $\quad$
    b. Justifier que pour tout réel $m$, le point $B$ appartient au plan $P_m$.
    $\quad$
    c. Montrer que le point $B$ est l’unique point appartenant à $P_m$ pour tout réel $m$.
    $\quad$
  4. Dans cette question, on considère deux entiers relatifs $m$ et $m’$ tels que
    $$- 10 \leqslant m \leqslant 10\quad \text{et}\quad – 10 \leqslant m’ \leqslant 10.$$
    On souhaite déterminer les valeurs de $m$ et de $m’$ pour lesquelles $P_m$ et $P_{m’}$ sont perpendiculaires.
    a. Vérifier que $P_1$ et $P_{-4}$ sont perpendiculaires.
    $\quad$
    b. Montrer que les plans $P_m$ et $P_{m’}$ sont perpendiculaires si et seulement si
    $$\left(\dfrac{mm’}{4}\right)^2 + (m-1)\left(m’-1\right) + \dfrac{mm’}{4} = 0.$$
    $\quad$
    c. On donne l’algorithme suivant :
    Variables :
    $\quad$ $m$ et $m’$ entiers relatifs
    Traitement :
    $\quad$ Pour $m$ allant de $- 10$ à 10
    $\qquad$ Pour $m’$ allant de $- 10$ à 10
    $\quad$ $\qquad$ Si $\left(mm’\right)^2 + 16(m-1)\left(m’-1\right) + 4mm’ = 0$
    $\qquad$ $\qquad$ Alors Afficher $\left(m;m’\right)$
    $\qquad$ Fin du Pour
    $\quad$ Fin du Pour
    $\quad$
    Quel est le rôle de cet algorithme?
    $\quad$
    d. Cet algorithme affiche six couples d’entiers dont $(- 4;1)$, $(0;1)$ et $(5;- 4)$.
    Écrire les six couples dans l’ordre d’affichage de l’algorithme.

Exercice 4  –  5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

On considère les nombres complexes $z_n$ définis, pour tout entier naturel $n$, par
$$z_0 = 1\quad \text{et}\quad z_{n+1} = \left(1 + \ic\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)z_n.$$

On note $A_n$ le point d’affixe $z_n$ dans le repère orthonormé $\Ouv$ de l’annexe.
L’objet de cet exercice est d’étudier la construction des points $A_n$.

  1. a. Vérifier que $1 + \ic\dfrac{\sqrt{3}}{3} = \dfrac{2}{\sqrt{3}}\e^{\ic\frac{\pi}{6}}$.
    $\quad$
    b. En déduire $z_1$ et $z_2$ sous forme exponentielle.
    $\quad$
  2. a. Montrer que pour tout entier naturel $n$,
    $$z_n = \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}} \right)^n \e^{\ic n\frac{\pi}{6}}.$$
    $\quad$
    b. Pour quelles valeurs de $n$, les points $O$, $A_0$ et $A_n$ sont-ils alignés ?
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n$, on pose $d_n = \left|z_{n+1}-z_n\right|$.
    a. Interpréter géométriquement $d_n$.
    $\quad$
    b. Calculer $d_0$.
    $\quad$
    c. Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul,
    $$z_{n+2} – z_{n+1} = \left(1 + \ic\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right) \left(z_{n+1} – z_n\right).$$
    $\quad$
    d. En déduire que la suite $\left(d_n\right)_{n \geqslant 0}$ est géométrique puis que pour tout entier naturel $n$,
    \[d_n = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^n.$$
    $\quad$
  4. a. Montrer que pour tout entier naturel $n$,
    $$\left|z_{n+1}\right|^2 = \left|z_{n}\right|^2 + d_n^2.$$
    $\quad$
    c. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, le triangle $OA_nA_{n+1}$ est rectangle en $A_n$.
    $\quad$
    c. Construire, à la règle non graduée et au compas, le point $A_5$ sur la figure de l’annexe à rendre avec la copie.
    $\quad$
    d. Justifier cette construction.
    $\quad$

Annexe

Bac S - nouvelle Calédonie - mars 2016 - ex 4 obl

Exercice 4  –  5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante

Partie A

Afin de crypter un message, on utilise un chiffrement affine.
Chaque lettre de l’alphabet est associée à un nombre entier comme indiqué dans le tableau ci-dessous :

$$\begin{array}{l}
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
A &B &C &D &E &F &G &H &I& J &K &L &M\\\\
\hline
\phantom{1}0& \phantom{1}1 &\phantom{1}2 &\phantom{1}3 &\phantom{1}4 &\phantom{1}5 &\phantom{1}6 &\phantom{1}7 &\phantom{1}8 &\phantom{1}9 &10 &11 &12\\\\
\hline
\end{array} \\
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
N&O&P&Q&R&S&T&U&V&W&X&Y&Z\\\\
\hline
13&14&15&16&17&18&19&20&21&22&23&24&25\\\\ \hline
\end{array}\end{array}
$$

Soit $x$ le nombre associé à la lettre à coder. On détermine le reste $y$ de la division euclidienne de $7x + 5$ par $26$, puis on en déduit la lettre associée à $y$ (c’est elle qui code la lettre d’origine).

Exemple :
$M$ correspond à $x = 12$
$7 \times 12 + 5 = 89$
Or $89 \equiv 11~[26]$ et $11$ correspond à la lettre $L$,
donc la lettre M est codée par la lettre L.

  1. Coder la lettre $L$.
    $\quad$
  2. a. Soit $k$ un entier relatif. Montrer que si $k \equiv 7x ~[26]$ alors $15k \equiv x~[26]$.
    $\quad$
    b. Démontrer la réciproque de l’implication précédente.
    $\quad$
    c. En déduire que $y \equiv 7x + 5~[26]$ équivaut à $x \equiv 15y + 3~[26]$.
    $\quad$
  3. À l’aide de la question précédente décoder la lettre $F$.
    $\quad$

Partie B

On considère les suites $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$ telles que $a_0$ et $b_0$ sont des entiers compris entre 0 et 25 inclus et pour tout entier naturel $n$, $a_{n+1} = 7a_n + 5$ et $b_{n+1} = 15b_n + 3$.
Montrer que pour tout entier naturel $n$, $a_n = \left(a_0 + \dfrac{5}{6}\right) \times 7^n-\dfrac{5}{6}$.

On admet pour la suite du problème que pour tout entier naturel $n$, $ b_n = \left(b_0 + \dfrac{3}{14}\right) \times 15^n-\dfrac{3}{14}$.

Partie C

Déchiffrer un message codé avec un chiffrement affine ne pose pas de difficulté (on peut tester les $312$ couples de coefficients possibles). Afin d’augmenter cette difficulté de décryptage, on propose d’utiliser une clé qui indiquera pour chaque lettre le nombre de fois où on lui applique le chiffrement affine de la partie A.

Par exemple pour coder le mot $MATH$ avec la clé $2 – 2 – 5 – 6$, on applique “2” fois le chiffrement affine à la lettre $M$ (cela donne $E$), “2” fois le chiffrement à la lettre $A$, “5” fois le chiffrement à la lettre $T$ et enfin “6” fois le chiffrement à la lettre $H$.

Dans cette partie, on utilisera la clé $2 – 2 – 5 – 6$.

Décoder la lettre $Q$ dans le mot $IYYQ$.
$\quad$

 

Bac S – Amérique du Sud – Novembre 2015

Amérique du Sud – Novembre 2015

Bac S – Mathématiques

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Exercice 1  –  6 points

Partie A

Dans le plan muni d’un repère orthonormé $\Oij$, on désigne par $\mathscr{C}_u$ la courbe représentative de la fonction $u$ définie sur l’intervalle $]0;+ \infty[$ par :
$$u(x) = a + \dfrac{b}{x} + \dfrac{c}{x^2}$$
où $a, b$ et $c$ sont des réels fixés.
On a tracé sur le graphique ci-dessous la courbe $\mathscr{C}_u$ et la droite $\mathscr{D}$ d’équation $y = 1$.

bac S - amérique du sud - novembre 2015 - ex 1

On précise que la courbe $\mathscr{C}_u$ passe par les points $A(1;0)$ et $B(4;0)$ et que l’axe des ordonnées et la droite $\mathscr{D}$ sont asymptotes à la courbe $\mathscr{C}_u$.

  1. Donner les valeurs de $u(1)$ et $u(4)$.
    $\quad$
  2. Donner $\lim\limits_{x \to + \infty} u(x)$. En déduire la valeur de $a$.
    $\quad$
  3. En déduire que, pour tout réel $x$ strictement positif, $u(x) = \dfrac{x^2-5x+4}{x^2}$.
    $\quad$

Partie B

Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $]0;+ \infty[$ par :
$$f(x) = x-5\ln x-\dfrac{4}{x}.$$

  1. Déterminer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $0$. On pourra utiliser sans démonstration le fait que $\lim\limits_{x \to 0} x \ln x = 0$.
    $\quad$
  2. Déterminer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+ \infty$.
    $\quad$
  3. Démontrer que, pour tout réel $x$ strictement positif, $f'(x) = u(x)$.
    En déduire le tableau de variation de la fonction $f$ en précisant les limites et les valeurs particulières.
    $\quad$

Partie C

  1. Déterminer l’aire $\mathscr{A}$, exprimée en unité d’aire, du domaine hachuré sur le graphique de la partie A.
    $\quad$
  2. Pour tout réel $\lambda$ supérieur ou égal à $4$, on note $\mathscr{A}_{\lambda}$ l’aire, exprimée en unité d’aire, du domaine formé par les points $M$ de coordonnées $(x;y)$ telles que
    $$4 \leqslant x \leqslant \lambda\quad \text{et}\quad 0 \leqslant y \leqslant u(x).$$
    Existe-t-il une valeur de $\lambda$ pour laquelle $\mathscr{A}_{\lambda} = \mathscr{A}$ ?
    Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
    $\quad$

Exercice 2  –  4 points

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse.
Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. L’absence de réponse n’est pas pénalisée. Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte.

L’espace est muni d’un repère orthonormé $\Oijk$. Les points $A$, $B$, $C$ sont définis par leurs coordonnées :
$$A(3;-1;4), B(-1;2;-3), C(4;-1;2).$$
Le plan $\mathscr{P}$ a pour équation cartésienne : $2x-3y + 2z-7 = 0$.
La droite $\Delta$ a pour représentation paramétrique $\begin{cases} x =-1+4t\\y =4-t\\z = -8 + 2t\end{cases}, t \in \R$.

Affirmation 1 : Les droites $\Delta$ et $(AC)$ sont orthogonales.

Affirmation 2 : Les points $A$, $B$ et $C$ déterminent un plan et ce plan a pour équation cartésienne $2x + 5y + z-5 = 0$.

Affirmation 3 : Tous les points dont les coordonnées $(x;y;z)$ sont données par $\begin{cases} x =1 +s-2s’\\y = 1-2s + s’\\z= 1-4s + 2s’\end{cases}, s \in \R,s’ \in \R$ appartiennent au plan $\mathscr{P}$.

Affirmation 4 : Il existe un plan parallèle au plan $\mathscr{P}$ qui contient la droite $\Delta$.

$\quad$

Exercice 3  –  5 points

Les trois parties A, B et C peuvent être traitées de façon indépendante

Partie A

Le chikungunya est une maladie virale transmise d’un être humain à l’autre par les piqûres de moustiques femelles infectées.
Un test a été mis au point pour le dépistage de ce virus. Le laboratoire fabriquant ce test fournit les caractéristiques suivantes :

  • la probabilité qu’une personne atteinte par le virus ait un test positif est de $0,98$ ;
  • la probabilité qu’une personne non atteinte par le virus ait un test positif est de $0,01$.

On procède à un test de dépistage systématique dans une population “cible”. Un individu est choisi au hasard dans cette population. On appelle :

  • $M$ l’événement: “L’individu choisi est atteint du chikungunya”
  • $T$ l’événement: “Le test de l’individu choisi est positif”

 

On notera $\overline{M}$ (respectivement $\overline{T}$) l’événement contraire de l’événement $M$ (respectivement $T$).
On note $p$ $(0 \leqslant p \leqslant 1)$ la proportion de personnes atteintes par la maladie dans la population cible.

  1. Recopier et compléter l’arbre de probabilité ci-dessous.
    bac S - amérique du sud - novembre 2015 - ex 3
  2. Exprimer $P(M \cap T)$, $P\left(\overline{M} \cap T\right)$ puis $P(T)$ en fonction de $p$.
    $\quad$
  3. a. Démontrer que la probabilité de $M$ sachant $T$ est donnée par la fonction $f$ définie sur $[0;1]$ par :
    $$f(p) = \dfrac{98p}{97p+1}.$$
    $\quad$
    b. Étudier les variations de la fonction $f$.
    $\quad$
  4. On considère que le test est fiable lorsque la probabilité qu’une personne ayant un test positif soit réellement atteinte du chikungunya est supérieure à $0,95$.
    En utilisant les résultats de la question 2., à partir de quelle proportion $p$ de malades dans la population le test est-il fiable ?
    $\quad$

Partie B

En juillet 2014, l’institut de veille sanitaire d’une île, en s’appuyant sur les données remontées par les médecins, publie que $15\%$ de la population est atteinte par le virus.
Comme certaines personnes ne consultent pas forcément leur médecin, on pense que la proportion est en réalité plus importante.
Pour s’en assurer, on se propose d’étudier un échantillon de $1~000$ personnes choisies au hasard dans cette île. La population est suffisamment importante pour considérer qu’un tel échantillon résulte de tirages avec remise.
On désigne par $X$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de $1~000$ personnes choisies au hasard, fait correspondre le nombre de personnes atteintes par le virus et par $F$ la variable aléatoire donnant la fréquence associée.

  1. a. Sous l’hypothèse $p = 0,15$, déterminer la loi de $X$.
    $\quad$
    b. Dans un échantillon de $1~000$ personnes choisies au hasard dans l’île, on dénombre $197$ personnes atteintes par le virus.
    Quelle conclusion peut-on tirer de cette observation à propos du chiffre de $15\%$ publié par l’institut de veille sanitaire ?
    Justifier. (On pourra s’aider du calcul d’un intervalle de fluctuation au seuil de $95\%$.)
    $\quad$
  2. On considère désormais que la valeur de $p$ est inconnue.
    En utilisant l’échantillon de la question 1. b., proposer un intervalle de confiance de la valeur de $p$, au niveau de confiance de $95\%$.
    $\quad$

Partie C

Le temps d’incubation, exprimé en heures, du virus peut être modélisé par une variable aléatoire $T$ suivant une loi normale d’écart type $\sigma = 10$.
On souhaite déterminer sa moyenne $\mu$.
La représentation graphique de la fonction densité de probabilité de $T$ est donnée en annexe.

  1. a. Conjecturer, à l’aide du graphique, une valeur approchée de $\mu$.
    $\quad$
    b. On donne $p(T < 110) = 0,18$. Hachurer sur le graphique un domaine dont l’aire correspond à la probabilité donnée.
    $\quad$
  2. On note $T’$ la variable aléatoire égale à $\dfrac{T-\mu}{10}$.
    a. Quelle loi la variable aléatoire $T’$ suit-elle ?
    $\quad$
    b. Déterminer une valeur approchée à l’unité près de la moyenne $\mu$ de la variable aléatoire $T$ et vérifier la conjecture de la question 1.
    $\quad$

Annexe Exercice 3

bac S - amérique du sud - novembre 2015 - ex 3annexe

 

Exercice 4  –  5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Dans un pays de population constante égale à $120$ millions, les habitants vivent soit en zone rurale, soit en ville. Les mouvements de population peuvent être modélisés de la façon suivante :

  • en 2010, la population compte $90$ millions de ruraux et $30$ millions de citadins ;
  • chaque année, $10\%$ des ruraux émigrent à la ville ;
  • chaque année, $5\%$ des citadins émigrent en zone rurale.

Pour tout entier naturel $n$, on note :

  • $u_n$ la population en zone rurale, en l’année $2010 + n$, exprimée en millions d’habitants ;
  • $v_n$ la population en ville, en l’année $2010 + n$, exprimée en millions d’habitants.

On a donc $u_0 = 90$ et $v_0 = 30$.

Partie A

  1. Traduire le fait que la population totale est constante par une relation liant $u_n$ et $v_n$.
    $\quad$
  2. On utilise un tableur pour visualiser l’évolution des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$.
    Quelles formules peut-on saisir dans les cellules B3 et C3 qui, recopiées vers le bas, permettent d’obtenir la feuille de calcul ci-dessous :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    &A &B&C\\
    \hline
    1&n &\begin{array}{c}\text{Population en}\\\text{zone rurale}\end{array} &\begin{array}{c} \text{Population} \\ \text{en ville} \end{array} \\
    \hline
    2&0 &90 &30\\
    \hline
    3&1 &82,5 &37,5\\
    \hline
    4&2 &76,125 &43,875\\
    \hline
    5&3 &70,706 &49,294\\
    \hline
    6&4 &66,100 &53,900\\
    \hline
    7&5 &62,185 &57.815\\
    \hline
    8&6 &58,857 &61,143\\
    \hline
    9&7 &56,029 &63,971\\
    \hline
    10&8&53,625 &66,375\\
    \hline
    11&9&51,581 &68,419\\
    \hline
    12&10&49,844 &70,156\\
    \hline
    13&11&48,367 &71,633\\
    \hline
    14&12&47,112 &72,888\\
    \hline
    15&13&46,045 &73,955\\
    \hline
    16&14&45,138 &74,862\\
    \hline
    17&15&44,368 &75,632\\
    \hline
    18&16&43,713 &76,287\\
    \hline
    19&17&43,156 &76,844\\
    \hline
    20&18&42,682 &77,318\\
    \hline
    21&19&42,280 &77,720\\
    \hline
    22&20&41,938 &78,062\\
    \hline
    \ldots& \ldots & \ldots & \ldots\\
    \hline
    59&57 &40,005 &79,995\\
    \hline
    60&58 &40,004 &79,996\\
    \hline
    61&59 &40,003 &79,997\\
    \hline
    62&60 &40,003 &79,997\\
    \hline
    63&61 &40,002 &79,998\\
    \hline
    \end{array}$$
  3. Quelles conjectures peut-on faire concernant l’évolution à long terme de cette population ?
    $\quad$

Partie B

On admet dans cette partie que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 0,85u_n + 6$.

  1. a. Démontrer par récurrence que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
    $\quad$
    b. On admet que $u_n$ est positif pour tout entier naturel $n$.
    Que peut-on en déduire quant à la suite $\left(u_n\right)$ ?
    $\quad$
  2. On considère la suite $\left(w_n\right)$, définie par : $w_n = u_n-40$, pour tout $n \geqslant 0$.
    $\quad$
    a. Démontrer que $\left(w_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,85$.
    $\quad$
    b. En déduire l’expression de $w_n$ puis de $u_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
    c. Déterminer l’expression de $v_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  3. Valider ou invalider les conjectures effectuées à la question 3. de la partie A.
    $\quad$
  4. On considère l’algorithme suivant :
    Entrée :
    $\quad$ $n$ et $u$ sont des nombres
    Initialisation :
    $\quad$ $n$ prend la valeur $0$
    $\quad$ $u$ prend la valeur $90$
    Traitement :
    $\quad$ Tant que $u \geqslant 120-u$ faire
    $\qquad$ $n$ prend la valeur $n + 1$
    $\qquad$ $u$ prend la valeur $0,85 \times u + 6$
    $\quad$ Fin Tant que
    Sortie :
    $\quad$ Afficher $n$
    $\quad$
    a. Que fait cet algorithme ?
    $\quad$
    b. Quelle valeur affiche-t-il ?
    $\quad$

Exercice 4  –  5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Dans un pays de population constante égale à $120$ millions, les habitants vivent soit en zone rurale, soit en ville. Les mouvements de population peuvent être modélisés de la façon suivante :

  • en 2010, la population compte $90$ millions de ruraux et $30$ millions de citadins ;
  • chaque année, $10\%$ des ruraux émigrent à la ville;
  • chaque année, $5\%$ des citadins émigrent en zone rurale.

Pour tout entier naturel $n$, on note :

  • $R_n$ l’effectif de la population rurale, exprimé en millions d’habitants, en l’année $2010 + n$,
  • $C_n$ l’effectif de la population citadine, exprimé en millions d’habitants, en l’année $2010+n$.

On a donc $R_0 = 90$ et $C_0 = 30$.

  1. On considère les matrices $M = \begin{pmatrix}0,9& 0,05\\0,1& 0,95\end{pmatrix}$ et, pour tout entier naturel $n$, $U_n = \begin{pmatrix}R_n\\C_n \end{pmatrix}$.
    a. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $U_{n+1} = MU_n$.
    $\quad$
    b. Calculer $U_1$. En déduire le nombre de ruraux et le nombre de citadins en 2011.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ non nul, exprimer $U_n$ en fonction de $M^n$ et de $U_0$.
    $\quad$
  3. Soit la matrice $P = \begin{pmatrix}1&1\\2&- 1 \end{pmatrix}$. Montrer que la matrice $\begin{pmatrix}\dfrac{1}{3}&\dfrac{1}{3}\\\dfrac{2}{3}&-\dfrac{1}{3}\end{pmatrix}$ est la matrice inverse de $P$ et on la notera $P^{-1}$.
    $\quad$
  4. a. On pose $\Delta = P^{-1}MP$. Calculer $\Delta$ à l’aide de la calculatrice.
    $\quad$
    b. Démontrer que : $M = P\Delta P^{-1}$.
    $\quad$
    c. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ non nul: $$M^n = P\Delta^nP^{-1}.$$
    $\quad$
  5. a. On admet que le calcul matriciel précédent donne :
    $$M^n = \begin{pmatrix}\dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{3} \times 0,85^n&\dfrac{1}{3} – \dfrac{1}{3} \times 0,85^n\\\dfrac{2}{3} – \dfrac{2}{3} \times 0,85^n&\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{3} \times 0,85^n\end{pmatrix}.$$
    En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $R_n = 50 \times 0,85^n + 40$ et déterminer l’expression de $C_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
    b. Déterminer la limite de $R_n$ et de $C_n$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$.
    Que peut-on en conclure pour la population étudiée ?
    $\quad$
  6. a. On admet que $\left(R_n\right)$ est décroissante et que $\left(C_n\right)$ est croissante.
    Compléter l’algorithme donné en annexe afin qu’il affiche le nombre d’années au bout duquel la population urbaine dépassera la population rurale.
    $\quad$
    b. En résolvant l’inéquation d’inconnue $n$, $50 \times 0,85^n + 40 < 80-50 \times 0,85^n$, retrouver la valeur affichée par l’algorithme.
    $\quad$

Annexe Exercice 4 spécialité

Entrée :
$\quad$ $n$, $R$ et $C$ sont des nombres
Initialisation :
$\quad$ $n$ prend la valeur $0$
$\quad$ $R$prend la valeur $90$
$\quad$ $C$ prend la valeur $30$
Traitement :
$\quad$ Tant que \ldots \ldots faire
$\qquad$ $n$ prend la valeur \ldots
$\qquad$ $R$ prend la valeur $50 \times 0,85^n + 40$
$\qquad$ $C$ prend la valeur \ldots
$\quad$ Fin Tant que
Sortie :
Afficher $n$

 

 

 

Bac S – Antilles Guyane – Septembre 2015

Antilles Guyane – Septembre 2015

Bac S – Mathématiques

La correction de ce sujet de bac est disponible ici.

Exercice 1  –  6 points

Soit $n$ un entier naturel non nul.
On considère la fonction $f_n$ définie et dérivable sur l’ensemble $\R$ des nombres réels par $$f_n(x) = x^2 \e^{- 2nx}.$$
On note $\mathscr{C}_n$ la courbe représentative de la fonction $f_n$ dans un repère orthogonal.
On définit, pour tout entier naturel $n$ non nul, $I_n = \displaystyle\int_0^1 f_n(x) \dx$.

Partie A : Étude de la fonction $\boldsymbol{f_1}$ 

  1. La fonction $f_1$ est définie sur $\R$ par $f_1(x) = x^2\e^{-2x}$.
    On admet que $f_1$ est dérivable sur $\R$ et on note $f_1’$ sa dérivée.
    a. Justifier que pour tout réel $x$, $f_1′(x) = 2x\e^{-2x}(1 – x)$.
    $\quad$
    b. Étudier les variations de la fonction $f_1$ sur $\R$.
    $\quad$
    c. Déterminer la limite de $f_1$ en $- \infty$.
    $\quad$
    d. Vérifier que pour tout réel $x$, $f_1(x) = \left(\dfrac{x}{\e^x}\right)^2$. En déduire la limite de $f_1$ en $+ \infty$.
    $\quad$
  2. En utilisant un système de calcul formel, on trouve qu’une primitive $F_1$ de la fonction $f_1$ est donnée par $F_1(x) = – \e^{-2x}\left(\dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{4}\right)$.
    En déduire la valeur exacte de $I_1$.
    $\quad$

Partie B : Étude de la suite $\boldsymbol{\left(I_n\right)}$

  1. Soit $n$ un entier naturel non nul.
    a. Interpréter graphiquement la quantité $I_n$.
    $\quad$
    b. Émettre alors une conjecture sur le sens de variation et sur la limite éventuelle de la suite $\left(I_n\right)$. Expliciter la démarche qui a mené à cette conjecture.
    $\quad$
  2. a. Justifier que, pour tout entier naturel $n$ non nul et pour tout réel $x$ appartenant à $[0;1]$, $$f_{n+1}(x) = \e^{-2x}f_n(x).$$
    $\quad$
    b. En déduire, pour tout entier naturel $n$ non nul et pour tout réel $x$ appartenant à $[0;1]$, $$f_{n+1}(x) \leqslant f_n(x).$$
    $\quad$
    c. Déterminer alors le sens de variation de la suite $\left(I_n\right)$.
    $\quad$
  3. Soit $n$ un entier naturel non nul.
    a. Justifier que pour tout entier naturel $n$ non nul et pour tout réel $x$ appartenant à $[0;1]$, $$0 \leqslant f_n(x) \leqslant \e^{-2nx}.$$
    $\quad$
    b. En déduire un encadrement de la suite $\left(I_n\right)$, puis sa limite.
    $\quad$

Exercice 2  –  5 points

Dans un supermarché, on réalise une étude sur la vente de bouteilles de jus de fruits sur une période d’un mois.

  • $40\%$ des bouteilles vendues sont des bouteilles de jus d’orange ;
  • $25\%$ des bouteilles de jus d’orange vendues possèdent l’appellation “pur jus”.

Parmi les bouteilles qui ne sont pas de jus d’orange, la proportion des bouteilles de “pur jus” est notée $x$, où $x$ est un réel de l’intervalle $[0;1]$.
Par ailleurs, $20\%$ des bouteilles de jus de fruits vendues possèdent l’appellation “pur jus”.

On prélève au hasard une bouteille de jus de fruits passée en caisse. On définit les événements suivants :

$R$ : la bouteille prélevée est une bouteille de jus d’orange ;
$J$ : la bouteille prélevée est une bouteille de “pur jus”.

Partie A

  1. Représenter cette situation à l’aide d’un arbre pondéré.
    $\quad$
  2. Déterminer la valeur exacte de $x$.
    $\quad$
  3. Une bouteille passée en caisse et prélevée au hasard est une bouteille de “pur jus”.
    Calculer la probabilité que ce soit une bouteille de jus d’orange.
    $\quad$

Partie B

Afin d’avoir une meilleure connaissance de sa clientèle, le directeur du supermarché fait une étude sur un lot des $500$ dernières bouteilles de jus de fruits vendues.
On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de bouteilles de “pur jus” dans ce lot.
On admettra que le stock de bouteilles présentes dans le supermarché est suffisamment important pour que le choix de ces $500$ bouteilles puisse être assimilé à un tirage au sort avec remise.

  1. Déterminer la loi suivie par la variable aléatoire $X$. On en donnera les paramètres.
    $\quad$
  2. Déterminer la probabilité pour qu’au moins $75$ bouteilles de cet échantillon de $500$ bouteilles soient de “pur jus”. On arrondira le résultat au millième.
    $\quad$

Partie C

Un fournisseur assure que $90\%$ des bouteilles de sa production de pur jus d’orange contiennent moins de $2\%$ de pulpe. Le service qualité du supermarché prélève un échantillon de $900$ bouteilles afin de vérifier cette affirmation. Sur cet échantillon, $766$ bouteilles présentent moins de $2\%$ de pulpe.

  1. Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique de la proportion de bouteilles contenant moins de $2\%$ de pulpe au seuil de $95\%$.
    $\quad$
  2. Que penser de l’affirmation du fournisseur ?
    $\quad$

Exercice 3  –  4 points

Les trois questions sont indépendantes.

Toute réponse doit être justifiée.

  1. On définit une suite $\left(u_n\right)$ de réels strictement positifs par $$u_0 = 1\quad \text{et pour tout entier naturel } , \ln \left(u_{n+1}\right) = \ln \left(u_{n}\right) – 1.$$
    La suite $\left(u_n\right)$ est-elle géométrique ?
    $\quad$
  2. Soit $\left(v_n\right)$ une suite à termes strictement positifs.
    On définit la suite $\left(w_n\right)$ par, pour tout entier naturel $n$, $w_n = 1 – \ln \left(v_{n}\right)$.
    La proposition $(\mathscr{P})$ suivante est-elle vraie ou fausse ?
    $$(\mathscr{P}) : \text{si la suite } \left(v_{n}\right) \text{ est majorée alors la suite } \left(w_{n}\right) \text{ est majorée.}$$
    $\quad$
  3. La suite $\left(z_{n}\right)$ de nombres complexes est définie par
    $$z_0 = 2 + 3\ic\ \text{ et, pour tout entier naturel } n \text{ par } z_{n+1} = \left(\dfrac{\sqrt{2}}{4} + \ic\dfrac{\sqrt{6}}{4} \right)z_n.$$
    Pour quelles valeurs de $n$, $\left|z_n\right|$ est-il inférieur ou égal à $10^{-20}$ ?
    $\quad$

Exercice 4  –  5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Soit $ABCDEFGH$ le cube ci-dessous.

bac S - antilles guyane - septembre 2015 - ex 4

 

On se place dans le repère orthonormé $\left(A;\vect{AB},\vect{AD},\vect{AE}\right)$.

 

  1. a. Montrer que la droite $(DB)$ admet pour représentation paramétrique
    $$\begin{cases} x = s\\y =1-s \\z =0\end{cases} ,\text{ où s décrit l’ensemble } \R \text{ des nombres réels}.$$
    $\quad$
    b. Montrer que les points de la droite $(AG)$ sont les points de coordonnées $(t;t;t)$ où $t$ est un réel.
    $\quad$
  2. Soit $M$ un point quelconque de la droite $(DB)$ et $N$ un point quelconque de la droite $(AG)$.
    Démontrer que la droite $(MN)$ est perpendiculaire aux deux droites $(AG)$ et $(DB)$ si et seulement si $M$ et $N$ ont pour coordonnées respectives $\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};0\right)$ et $\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3}\right)$.
    $\quad$
  3. Soit $s$ et $t$ deux réels quelconques. On note $M(s;1-s;0)$ un point de la droite $(DB)$ et $N(t;t;t)$ un point de la droite $(AG)$.
    a. Montrer que $MN^2 = 3 \left(t-\dfrac{1}{3}\right)^2 + 2\left(s-\dfrac{1}{2}\right)^2 + \dfrac{1}{6}$.
    $\quad$
    b. En déduire la position des points $M$ et $N$ pour laquelle la distance $MN$ est minimale.
    Que peut-on dire de la droite $(MN)$ dans ce cas ?
    $\quad$

 

Exercice 4  –  5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

On considère l’équation $$51x-26y = 1$$
où $x$ et $y$ sont des nombres entiers relatifs.

  1. Justifier, en énonçant un théorème du cours, que cette équation admet au moins un couple solution.
    $\quad$
  2. a. Donner un couple solution $\left(x_0;y_0\right)$ de cette équation.
    $\quad$
    b. Déterminer l’ensemble des couples solutions de cette équation.
    $\quad$

Partie B

On fait correspondre à chaque lettre de l’alphabet un nombre entier comme l’indique le tableau ci-dessous :

$$\begin{array}{l}
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
A &B &C &D &E &F &G &H &I& J &K &L &M\\\\
\hline
\phantom{1}0& \phantom{1}1 &\phantom{1}2 &\phantom{1}3 &\phantom{1}4 &\phantom{1}5 &\phantom{1}6 &\phantom{1}7 &\phantom{1}8 &\phantom{1}9 &10 &11 &12\\\\
\hline
\end{array} \\
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
N&O&P&Q&R&S&T&U&V&W&X&Y&Z\\\\
\hline
13&14&15&16&17&18&19&20&21&22&23&24&25\\\\ \hline
\end{array}\end{array}
$$

Afin de coder une lettre de l’alphabet, correspondant à un entier $x$ compris entre $0$ et $25$, on définit une fonction de codage $f$ par $f(x) = y$, où $y$ est le reste de la division euclidienne de $51x + 2$ par $26$.
La lettre de l’alphabet correspondant à l’entier $x$ est ainsi codée par la lettre correspondant à l’entier $y$.

  1. Coder la lettre $N$.
    $\quad$
  2. En utilisant la partie A, déterminer l’entier $a$ tel que $0 \leqslant a \leqslant 25$ et $51a \equiv 1~[26]$.
    $\quad$
  3. Démontrer que si la lettre correspondant à un entier $x$ est codée par une lettre correspondant à un entier $y$, alors $x$ est le reste de la division euclidienne de $ay + 2$ par $26$.
    $\quad$
  4. Déterminer alors la lettre qui est codée par la lettre $N$.
    $\quad$
  5. On applique $100$ fois de suite la fonction de codage $f$ à un nombre $x$ correspondant à une certaine lettre. Quelle lettre obtient-on ?
    $\quad$

 

Bac S – Nouvelle Calédonie – Novembre 2015

Nouvelle Calédonie – Novembre 2015

Bac S – Mathématiques – Enoncé

La correction de ce sujet de bac est disponible ici.

Exercice 1    7 points

Une usine produit de l’eau minérale en bouteilles. Lorsque le taux de calcium dans une bouteille est inférieur à $6,5$ mg par litre, on dit que l’eau de cette bouteille est très peu calcaire.

Dans cet exercice les résultats approchés seront arrondis au millième.

Partie A

L’eau minérale provient de deux sources, notées “source A” et “source B”.

La probabilité que l’eau d’une bouteille prélevée au hasard dans la production d’une journée de la source A soit très peu calcaire est $0,17$. La probabilité que l’eau d’une bouteille prélevée au hasard dans la production d’une journée de la source B soit très peu calcaire est $0,10$.

La source A fournit $70\%$ de la production quotidienne totale des bouteilles d’eau et la source B le reste de cette production.

On prélève au hasard une bouteille d’eau dans la production totale de la journée. On considère les événements suivants :

• $A$ : “La bouteille d’eau provient de la source A”
• $B$ : “La bouteille d’eau provient de la source B”
• $S$ : “L’eau contenue dans la bouteille d’eau est très peu calcaire”.

  1. Déterminer la probabilité de l’événement $A \cap S$.
    $\quad$
  2. Montrer que la probabilité de l’événement $S$ vaut $0,149$.
    $\quad$
  3. Calculer la probabilité que l’eau contenue dans une bouteille provienne de la source A sachant qu’elle est très peu calcaire.
    $\quad$
  4. Le lendemain d’une forte pluie, l’usine prélève un échantillon de $1~000$ bouteilles provenant de la source A. Parmi ces bouteilles, $211$ contiennent de l’eau très peu calcaire.
    Donner un intervalle permettant d’estimer au seuil de $95\%$ la proportion de bouteilles contenant de l’eau très peu calcaire sur l’ensemble de la production de la source A après cette intempérie.
    $\quad$

Partie B

On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque bouteille prélevée au hasard dans la production d’une journée de la source A, associe le taux de calcium de l’eau qu’elle contient. On suppose que $X$ suit la loi normale de moyenne $8$ et d’écart-type $1,6$.
On note $Y$ la variable aléatoire qui, à chaque bouteille prélevée au hasard dans la production d’une journée de la source B, associe le taux de calcium qu’elle contient. On suppose que $Y$ suit la loi normale de moyenne $9$ et d’écart-type $\sigma$.

  1. Déterminer la probabilité pour que le taux de calcium mesuré dans une bouteille prise au hasard dans la production d’une journée de la source A soit compris entre $6,4$ mg et $9,6$ mg.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité $p(X \leqslant 6,5)$.
    $\quad$
  3. Déterminer $\sigma$ sachant que la probabilité qu’une bouteille prélevée au hasard dans la production d’une journée de la source B contienne de l’eau très peu calcaire est $0,1$.
    $\quad$

Partie C

Le service commercial a adopté pour les étiquettes des bouteilles la forme représentée ci-dessous dans un repère orthonormé du plan.
La forme de ces étiquettes est délimitée par l’axe des abscisses et la courbe $\mathscr{C}$ d’équation $y = a\cos x$ avec $x \in \left[\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]$ et $a$ un réel strictement positif.

Un disque situé à l’intérieur est destiné à recevoir les informations données aux acheteurs. On considère le disque de centre le point A de coordonnées $\left(0;\dfrac{a}{2}\right)$ et de rayon $\dfrac{a}{2}$. On admettra que ce disque se trouve entièrement en dessous de la courbe $\mathscr{C}$ pour des valeurs de $a$ inférieures à $1,4$.

  1. Justifier que l’aire du domaine compris entre l’axe des abscisses, les droites d’équation $x = – \dfrac{\pi}{2}$ et $x = \dfrac{\pi}{2}$, et la courbe $\mathcal{C}$ est égale à $2a$ unités d’aire.
    $\quad$
  2. Pour des raisons esthétiques, on souhaite que l’aire du disque soit égale à l’aire de la surface grisée. Quelle valeur faut-il donner au réel $a$ pour respecter cette contrainte ?
    $\quad$

 

 

$\quad$

Exercice 2    3 points

Pour chaque réel $a$, on considère la fonction $f_a$ définie sur l’ensemble des nombres réels $\R$ par $$f_a(x) = \e^{x – a} – 2x + \e^{a}.$$

  1. Montrer que pour tour réel $a$, la fonction $f_a$ possède un minimum.
    $\quad$
  2. Existe-t-il une valeur de $a$ pour laquelle ce minimum est le plus petit possible ?
    $\quad$

Exercice 3    5 points

Soient $x,y$ et $z$ trois nombres réels. On considère les implications $\left(P_1\right)$ et $\left(P_2\right)$ suivantes :

$$\left(P_1\right)\qquad (x + y + z = 1) \Rightarrow \left(x^2 + y^2 + z^2 \geqslant \dfrac{1}{3} \right)$$

$$\left(P_2\right) \qquad \left(x^2 + y^2 + z^2 \geqslant \dfrac{1}{3} \right) \Rightarrow (x + y + z = 1)$$

Partie A

L’implication $\left(P_2\right)$ est-elle vraie ?
$\quad$

Partie B

Dans l’espace, on considère le cube $ABCDEFGH$, représenté ci-dessous, et on définit le

repère orthonormé $\left(A; \vect{AB}, \vect{AD}, \vect{AE}\right)$.

 

bac S - nouvelle calédonie - nov 2015 -ex2

  1. a. Vérifier que le plan d’équation $x + y + z = 1$ est le plan $(BDE)$.
    $\quad$
    b. Montrer que la droite ($AG$) est orthogonale au plan $(BDE)$.
    $\quad$
    c. Montrer que l’intersection de la droite $(AG)$ avec le plan $(BDE)$ est le point $K$ de coordonnées $\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3}\right)$.
    $\quad$
  2. Le triangle $BDE$ est-il équilatéral?
    $\quad$
  3. Soit $M$ un point de l’espace.
    $\quad$
    a. Démontrer que si $M$ appartient au plan $(BDE)$, alors $AM^2 = AK^2 + MK^2$.
    $\quad$
    b. En déduire que si $M$ appartient au plan $(BDE)$, alors $AM^2 \geqslant AK^2$.
    $\quad$
    c. Soient $x,y$ et $z$ des réels quelconques. En appliquant le résultat de la question précédente au point $M$ de coordonnées $(x;y;z)$, montrer que l’implication $\left(P_1\right)$ est vraie.
    $\quad$

Exercice 4    5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

On considère deux suites de nombres réels $\left(d_n\right)$ et $\left(a_n\right)$ définies par $d_0 = 300$, $a_0 = 450$ et, pour tout entier naturel $n \geqslant 0$ $$\begin{cases} d_{n+1}=\dfrac{1}{2}d_n+100\\a_{n+1}=\dfrac{1}{2}d_n+\dfrac{1}{2}a_n+70\end{cases}$$

  1. Calculer $d_1$ et $a_1$.
    $\quad$
  2. On souhaite écrire un algorithme qui permet d’afficher en sortie les valeurs de $d_n$ et $a_n$ pour une valeur entière de $n$ saisie par l’utilisateur.
    L’algorithme suivant est proposé :
    Variables :
    $\quad$ $n$ et $k$ sont des entiers naturels
    $\quad$ $D$ et $A$ sont des réels
    Initialisation :
    $\quad$ $D$ prend la valeur $300$
    $\quad$ &$A$ prend la valeur $450$
    $\quad$ Saisir la valeur de $n$
    Traitement :
    $\quad$ Pour $k$ variant de $1$ à $n$
    $\qquad$ $D$ prend la valeur $\dfrac{D}{2} + 100$
    $\qquad$ $A$ prend la valeur $\dfrac{A}{2} + \dfrac{D}{2} + 70$
    $\quad$ Fin pour
    Sortie :
    $\quad$ Afficher $D$
    $\quad$ Afficher $A$
    $\quad$
    a. Quels nombres obtient-on en sortie de l’algorithme pour $n = 1$ ?
    Ces résultats sont-ils cohérents avec ceux obtenus à la question 1. ?
    $\quad$
    b. Expliquer comment corriger cet algorithme pour qu’il affiche les résultats souhaités.
    $\quad$
  3. a. Pour tout entier naturel $n$, on pose $e_n = d_n-200$.
    Montrer que la suite $\left(e_n\right)$ est géométrique.
    $\quad$
    b. En déduire l’expression de $d_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
    c. La suite $\left(d_n\right)$ est-elle convergente ? Justifier.
    $\quad$
  4. On admet que pour tout entier naturel $n$, $$a_n = 100n\left(\dfrac{1}{2}\right)^n + 110\left(\dfrac{1}{2}\right)^n + 340.$$
    a. Montrer que pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $3$, on a $2n^2 \geqslant (n + 1)^2$.
    $\quad$
    b. Montrer par récurrence que pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $4$, $2^n \geqslant n^2$.
    $\quad$
    c. En déduire que pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $4$, $0 \leqslant 100n\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \leqslant \dfrac{100}{n}$.
    $\quad$
    d. Étudier la convergence de la suite $\left(a_n\right)$.
    $\quad$

Exercice 4    5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Un organisme propose un apprentissage de langues étrangères en ligne. Deux niveaux sont présentés : débutant ou avancé. Au début de chaque mois, un internaute peut s’inscrire, se désinscrire ou changer de niveau.
On souhaite étudier l’évolution sur le long terme, de la fréquentation du site à partir d’un mois noté $0$.
Des relevés de la fréquentation du site ont conduit aux observations suivantes :

  • Au début du mois $0$, il y avait $300$ internautes au niveau débutant et $450$ au niveau avancé.
  • Chaque mois, la moitié des débutants passe au niveau avancé, l’autre moitié reste au niveau débutant et la moitié des avancés ayant terminé leur formation, se désinscrit du site.
  • Chaque mois, $100$ nouveaux internautes s’inscrivent en débutant et $70$ en avancé.

On modélise cette situation par deux suites de nombres réels $\left(d_n\right)$ et $\left(a_n\right)$. Pour tour entier naturel $n,d_n$ et $a_n$ sont respectivement des approximations du nombre de débutants et du nombre d’avancés au début du mois $n$.
Pour tout entier naturel $n$, on note $U_n$ la matrice colonne $\begin{pmatrix}d_n\\a_n\end{pmatrix}$.
On pose $d_0 = 300$, $a_0 = 450$ et, pour tout entier $n \geqslant 0$ $$\begin{cases} d_{n+1} =\dfrac{1}{2}d_n + 100\\a_{n+1}=\dfrac{1}{2}d_n + \dfrac{1}{2}a_n + 70\end{cases}$$

  1. a. Justifier l’égalité $a_{n+1} = \dfrac{1}{2}d_n + \dfrac{1}{2}a_n + 70$ dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
    b. Déterminer les matrices $A$ et $B$ telles que pour tout entier naturel $n$, $$U_{n+1} = AU_n + B.$$
    $\quad$
  2. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, on a
    $$A^n = \left(\dfrac{1}{2}\right)^n\left(I_2 + nT \right)\quad \text{où } T = \begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix} \quad \text{et } I_2 = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.$$
  3. a. Déterminer la matrice $C$ qui vérifie l’égalité $C = AC + B$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier $n \geqslant 0$, on pose $V_n = U_n – \begin{pmatrix}200\\340\end{pmatrix}$.
    Montrer que pour tout entier naturel $n$, $$V_{n+1} = AV_n$$
    $\quad$
    c. On admet que pour tout entier $n \geqslant 1$, $V_n = A^nV_0$.
    En déduire que pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, $$U_n = \begin{pmatrix} 100\left(\dfrac{1}{2}\right)^n + 200\\100n\left(\dfrac{1}{2}\right)^n + 110\left(\dfrac{1}{2}\right)^n + 340 \end{pmatrix}$$
    $\quad$
  4. a. On admet que pour tout entier $n \geqslant 4$, $2^n \geqslant n^2$.
    En déduire que pour tout entier $n \geqslant 4$, $$0 \leqslant 100n\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \leqslant \dfrac{100}{n}.$$
    $\quad$
    b. En utilisant les questions précédentes, que peut-on prévoir pour l’évolution de la fréquentation du site sur le long terme ?
    $\quad$

Bac S – Nouvelle Calédonie – Mars 2016

Nouvelle Calédonie – Mars 2016

Bac S – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Exercice 1

Partie A

La situation peut-être modélisée par cet arbre pondéré.

bac S - nouvelle calédonie - mars 2016 -ex1

  1. a. On veut calculer $p(A\cap L)=\dfrac{1}{4} \times \dfrac{3}{10} = \dfrac{3}{40}$
    $\quad$
    b. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*}
    p(L)&=p(A\cap L)+p(D\cap L) \\
    &=\dfrac{3}{40}+\dfrac{3}{4} \times \dfrac{3}{5} \\
    &= \dfrac{21}{40}
    \end{align*}$
    $\quad$
    c. On veut calculer $p_L(D)=\dfrac{p(L\cap D)}{p(L)}$ $=\dfrac{\dfrac{9}{20}}{\dfrac{21}{40}}$ $=\dfrac{6}{7}$
    $\quad$
  2. On veut calculer $p_S(A)$.
    Les médailles représentant le château de Saumur sont exclusivement argentées. Donc $p_S(A)=1$.
    $\quad$

Partie B

  1. $P(9,9 \le X \le 10,1) \approx 0,904$.
    Donc $p(C)=1-P(9,9 \le X \le 10,1) \approx 0,096$.
    $\quad$
  2. a. La variable aléatoire $Z$ suit la loi normale centrée réduite.
    $\quad$
    b. $6\%$ des pièces ne sont pas conformes. Par conséquent $94\%$ des pièces le sont.
    Donc :
    $\begin{align*} P(9,9 \le Y \le 10,1) = 0,94
    &\ssi P(-0,1 \le Y -10 \le 0,1)=0,94 \\
    &\ssi P\left(-\dfrac{0,1}{\sigma} \le \dfrac{Y-10}{\sigma} \le \dfrac{0,1}{\sigma}\right) = 0,94\\
    &\ssi P\left(-\dfrac{0,1}{\sigma} \le Z \le \dfrac{0,1}{\sigma}\right) = 0,94\\
    &\ssi 2P\left(Z\le \dfrac{0,1}{\sigma}\right)-1 = 0,94 \\
    &\ssi 2P\left(Z\le \dfrac{0,1}{\sigma}\right) = 1,94 \\
    &\ssi P\left(Z\le \dfrac{0,1}{\sigma}\right) = 0,97 \\
    \end{align*}$
    A l’aide de la calculatrice on trouve que $\dfrac{0,1}{\sigma}\approx 1,881$ et donc $\sigma \approx 0,053$.
    $\quad$

Exercice 2

$f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur $[0;16]$ en tant que composée et somme de fonction continues sur cet intervalle.

Pour tout réel $x$, $1-\cos x \ge 0$ donc $f(x) \le g(x)$. et $f(x)=g(x)  \ssi x=2k\pi $ où $k\in \Z$.

Par conséquent l’abscisse de $A$ est $2\pi$ et celle de $B$ est $4\pi$.

Il s’agit alors de calculer l’aire du domaine compris entre $\mathscr{C}_g$ et $\mathscr{C}_g$ et les droites d’équations $x=0$ et $x=2\pi$ dans un premier temps et $x=2\pi$ et $x=4\pi$.

On veut donc comparer $\displaystyle I=\int_0^{2\pi} \left(g(x)-f(x)\right)\mathrm{d}x$ et $\displaystyle I=\int_{2\pi}^{4\pi} \left(g(x)-f(x)\right)\mathrm{d}x$.

Or $g(x)-f(x)=1-\cos x$.

Donc

$\begin{align*} I&=\int_0^{2\pi} \left(1-\cos x\right)\mathrm{d}x \\
&=\left[x-\sin x\right]_0^{2\pi} \\
&= 2\pi
\end{align*}$

$\begin{align*} J&=\int_{2\pi}^{4\pi} \left(1-\cos x\right)\mathrm{d}x \\
&=\left[x-\sin x\right]_{2\pi}^{4\pi} \\
&= 4\pi-2\pi \\
&=2\pi
\end{align*}$

$\quad$

Exercice 3

  1. Si le point $A(1;1;1)$ appartient au plan $P_m$ alors ses coordonnées vérifient l’équation du plan :
    $\dfrac{1}{4}m^2+m-1+\dfrac{1}{2}m-3 = 0$
    $\ssi \dfrac{1}{4}m^2+\dfrac{3}{2}m-4=0$
    $\ssi m^2 + 6m-16=0$
    $\Delta = 36+4\times 16 = 100>0$
    Il y a donc deux racines réelles $m_1 = \dfrac{-6-\sqrt{100}}{2} = -8$ et $m_2=\dfrac{-6+\sqrt{100}}{2}=2$.
    Le point $A$ appartient donc au plan $P_m$ si $m=-8$ ou si $m=2$.
    $\quad$
  2. Une équation de $P_1$ est $\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{2}z-3=0$
    Une équation de $P_{-4}$ est $4x-5y-2z-3=0$
    $\quad$
    Regardons si la droite $(d)$ est bien incluse dans chacun des deux plans.
    On remplace $x$, $y$ et $z$ par les équations de $(d)$ dans chacune des deux équations.
    Pour $P_1$ : $\dfrac{12-2t}{4}+\dfrac{1}{2}t-3 = 3-\dfrac{1}{2}t+\dfrac{1}{2}t-3=0$
    Pour $P_{-4}$ : $4(12-2t)-5(9-2t)-2t-3=48-8t-45+10t-2t-3=0$.
    La droite $(d)$ est donc incluse dans chacun des deux plans.
    $\quad$
    Un vecteur normal à $P_1$ est $\overrightarrow{n_1}\left(\dfrac{1}{4};0;\dfrac{1}{2}\right)$.
    Un vecteur normal à $P_{-4}$ est $\overrightarrow{n_{-4}}\left(4;-5;-2\right)$.
    Ces deux vecteurs ne sont clairement pas colinéaires. Les plans sont donc sécants selon la droite $(d)$.
    $\quad$
  3. a. Une équation de $P_0$ est $-y-3=0$ soit $y=-3$.
    Cherchons l’ensemble des points de $(d)$ tels que $y=-3$.
    On résout l’équation $9-2t=-3 \ssi 12=2t \ssi t=6$.
    La droite $(d)$ et le plan $P_0$ ont donc le point $B(0;-3;6)$ comme intersection.
    $\quad$
    b. Regardons si les coordonnées de $B$ vérifient l’équation de $P_m$ pour tout $m$.
    $\dfrac{1}{4}m^2 \times 0 – 3(m-1)+\dfrac{6m}{2}-3 = -3m+3+3m-3=0$
    Donc $B$ appartient bien à $P_m$ pour tout réel $m$.
    $\quad$
    c. Supposons qu’il existe un autre point $C$ commun à tous les plans $P_m$.
    La droite $(d)$ étant l’intersection des plans $P_1$ et $P_{-4}$ cela signifie que ce point $C$ appartient à $(d)$.
    Or la droite $(d)$ et le plan $P_0$ n’ont que le point $B$ en commun.
    Ainsi le point $B$ est l’unique point commun à tous les plans $P_m$.
    $\quad$
  4. a. On sait que :
    – Un vecteur normal à $P_1$ est $\overrightarrow{n_1}\left(\dfrac{1}{4};0;\dfrac{1}{2}\right)$.
    – Un vecteur normal à $P_{-4}$ est $\overrightarrow{n_{-4}}\left(4;-5;-2\right)$.
    Or $\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_{-4}} = 1 + 0-1 = 0$.
    Les plans $P_1$ et $P_{-4}$ sont donc perpendiculaires.
    $\quad$
    b. Un vecteur normal à $P_m$ est $\overrightarrow{n_m}\left(\dfrac{1}{4}m^2;m-1;\dfrac{m}{2}\right)$.
    b. Un vecteur normal à $P_{m’}$ est $\overrightarrow{n_{m’}}\left(\dfrac{1}{4}m’^2;m’-1;\dfrac{m’}{2}\right)$
    $P_m$ et $P_{m’}$ sont perpendiculaires si, et seulement si, $\overrightarrow{n_m}.\overrightarrow{n_{m’}}=0$
    Or $\overrightarrow{n_m}.\overrightarrow{n_{m’}}=\dfrac{\left(mm’\right)^2}{16}+(m-1)\left(m’-1\right)+\dfrac{mm’}{4}$.
    Par conséquent, $P_m$ et $P_{m’}$ sont perpendiculaires si, et seulement si, $\left(\dfrac{mm’}{4}\right)^2+(m-1)\left(m’-1\right)+\dfrac{mm’}{4} = 0$.
    $\quad$
    c. Cet algorithme fournit tous les couples $\left(m;m’\right)$ d’entiers appartenant à $[-10;10]$ pour lesquels $P_m$ et $P_{m’}$ sont perpendiculaires.
    Remarque : Il fallait voir que la condition dans le test SI est équivalente à la condition vue en 4.b. (il suffit de diviser par $16$).
    $\quad$
    d. Si un couple $\left(m;m’\right)$ convient alors le couple $\left(m’;m\right)$ convient également.
    Les six couples d’entiers sont donc $(-4;1)$, $(1;-4)$, $(0;1)$, $(1;0)$, $(5;-4)$ et $(-4;5)$.
    Ils apparaîtront dans l’ordre suivant : $(-4;1)$, $(-4;5)$, $(0;1)$, $(1;-4)$, $(1;0)$ et $(5;-4)$.
    $\quad$

Exercice 4

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

  1. a.
    $$\begin{align*} \dfrac{2}{\sqrt{3}}\e^{\ic \frac{\pi}{6}} &=\dfrac{2}{\sqrt{3}}\left(\cos \dfrac{\pi}{6}+\ic \sin \dfrac{\pi}{6}\right) \\\\
    &=\dfrac{2}{\sqrt{3}}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\ic}{2}\right) \\\\
    &=1+\dfrac{\ic}{\sqrt{3}} \\\\
    &=1+\dfrac{\sqrt{3}}{3}\ic
    \end{align*}$$
    $\quad$
    b. $z_1 = \left(1+\ic\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right) \times 1 = \dfrac{2}{\sqrt{3}}\e^{\ic \frac{\pi}{6}}$
    $z_2 = \left(1+\ic\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right) \times z_1 = \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\e^{\ic \frac{\pi}{6}}\right)^2 =\dfrac{4}{3}\e^{\ic\frac{\pi}{3}}$
    $\quad$
  2. a. Montrons ce résultat par récurrence sur $n$.
    Initialisation : Si $n=0$ alors $z_0=1$ et $\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^0\e^{\ic\times 0}=1$.
    La propriété est donc vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $z_n=\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^n\e^{\ic n\frac{\pi}{6}}$
    $\begin{align*} z_{n+1} &=\left(1+\ic\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right) \times z_n \\\\
    &= \left(1+\ic\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right) \times \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^n\e^{\ic n\frac{\pi}{6}} \\\\
    &= \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^{n+1}\e^{\ic (n+1)\frac{\pi}{6}}
    \end{align*}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Donc, pour tout entier naturel $n$, on a $z_n=\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^n\e^{\ic n\frac{\pi}{6}}$
    $\quad$
    b. $O$, $A_0$ et $A_n$ sont alignés si, et seulement si, $A_n$ est sur l’axe des réels
    si, et seulement si, $z_n$ est réel
    si, et seulement si, $n\dfrac{\pi}{6} =k\pi$ avec $k\in \Z$
    si, et seulement si, $n$ est un multiple de $6$
    $\quad$
  3. a. $d_n = \left|z_{n+1}-z_n\right| = A_nA_{n+1}$
    $d_n$ est donc la distance séparant les points $A_{n+1}$ et $A_n$.
    $\quad$
    b. $d_0=\left|1+\ic\dfrac{\sqrt{3}}{3}-1\right|$ $=\left|\ic\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right|$ $=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
    $\quad$
    c. Pour tout entier naturel $n$ non nul,
    $\begin{align*} z_{n+2}-z_{n+1} &= \left(1+\ic\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right) \times z_{n+1}-\left(1+\ic\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right) \times z_n \\\\
    &=\left(1+\ic\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right) \times \left(z_{n+1}-z_n\right)
    \end{align*}$
    $\quad$
    d. Par conséquent :
    $\begin{align*} d_{n+1} &=\left|z_{n+2}-z_{n+1}\right| \\\\
    &=\left|\left(1+\ic\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right) \times \left(z_{n+1}-z_n\right) \right| \\\\
    &= \left|\left(1+\ic\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)\right| \times \left|z_{n+1}-z_{n}\right| \\\\
    &=\dfrac{2}{\sqrt{3}}d_n
    \end{align*}$
    La suite $\left(d_n\right)$ est donc géométrique de raison $\dfrac{2}{\sqrt{3}}$ et de premier terme $d_0=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
    Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a $d_n = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^n$.
    $\quad$
  4. a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} \left|z_n\right|^2+d_n^2 &= \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2n} + \dfrac{1}{3} \times \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2n} \\\\
    &=\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2n} \times \left(1+\dfrac{1}{3}\right) \\\\
    &=\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2n} \times \dfrac{4}{3} \\\\
    &=\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2n} \times \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^2 \\\\
    &=\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2n+2} \\\\
    &=\left|z_{n+1}\right|^2
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. Dans le triangle $OA_nA_{n+1}$ on a :
    $\begin{align*} OA_{n+1}^2 &= \left|z_{n+1}\right|^2  \\
    &= \left|z_n\right|^2+d_n^2 \\
    &=OA_n^2+A_nA_{n+1}^2
    \end{align*}$
    D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $OA_nA_{n+1}$ est rectangle en $A_n$.
    $\quad$
    c. $\quad$
    bac S - nouvelle calédonie - mars 2016 -ex4d. On trace la droite $\left(OA_4\right)$ et on reporte la longueur $OA_4$ afin de placer le point $A$ symétrique de $O$ par rapport à $A_4$.
    A l’aide du compas, on trace la médiatrice de $[AO]$. Cela nous permet de tracer la droite perpendiculaire à $\left[OA_4\right]$ passant par $A_4$.
    A l’aide du compas, on trace la médiatrice de $\left[OA_6\right]$. On obtient le milieu $I$ de $\left[OA_6\right]$.
    On trace le demi-cercle de diamètre $\left[OA_6\right]$ situé au-dessus de l’axe des abscisses.
    Les triangles $OA_5A_4$ et $OA_5A_6$ étant respectivement rectangles en $A_4$ et $A_5$, le point $A_5$ appartient à la médiatrice de $[AO]$ et au demi-cercle.
    $\quad$

Exercice 4

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

  1. $L$ est associé au nombre $11$.
    $7\times 11+5 = 82 \equiv 4\quad[26]$
    $4$ correspond à la lettre $E$.
    Ainsi $L$ est codé en $E$.
    $\quad$
  2. a. Si $k\equiv 7x \quad[26]$ alors $15k \equiv 105x \quad [26] \equiv x \quad [26]$.
    $\quad$
    b. Si $15k\equiv x \quad [26]$ alors $105k \equiv 7x \quad [26]$ soit $k\equiv 7x \quad [26]$.
    $\quad$
    c. $y\equiv 7x+5 \quad [26]$
    équivaut à $7x \equiv y-5 \quad [26]$
    équivaut à, d’après la question 2.a. $x \equiv 15(y-5) \quad [26]$
    équivaut à $x \equiv 15y – 75 \quad [26]$
    équivaut à $x \equiv 15y +3  \quad [26]$
    $\quad$
  3. La lettre $E$ est associée au nombre $4$.
    Donc $y=4$ et $x \equiv 15 \times 4+3 \quad [26] \equiv 63 \quad [26]$ $\equiv 11 \quad [26]$.
    Ainsi $E$ se décode en $L$.
    $\quad$

Partie B

Montrons le résultat par récurrence.

Initialisation : Si $n=0$ alors $\left(a_0+\dfrac{5}{6}\right) \times 7^0-\dfrac{5}{6}$ $ = a_0+\dfrac{5}{6}-\dfrac{5}{6}$ $=a_0$.
La propriété est vraie au rang $0$.

Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $a_n= \left(a_0+\dfrac{5}{6}\right) \times 7^n-\dfrac{5}{6}$

Donc :

$$\begin{align*} a_{n+1} &=7a_n+5 \\\\
&=7 \left(\left(a_0+\dfrac{5}{6}\right) \times 7^n-\dfrac{5}{6}\right)+5 \\\\
&= \left(a_0+\dfrac{5}{6}\right) \times 7^{n+1}-\dfrac{35}{6}+5 \\\\
&= \left(a_0+\dfrac{5}{6}\right) \times 7^{n+1}-\dfrac{5}{6}
\end{align*}$$
La propriété est donc vraie au rang $n+1$.

Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $a_n= \left(a_0+\dfrac{5}{6}\right) \times 7^n-\dfrac{5}{6}$.

Partie C

La lettre $Q$ est associée au nombre $16$
Le chiffrement affine a été appliqué six fois pour obtenir la lettre $Q$.
Pour retrouver la lettre initiale on va déterminer la valeur de $b_6$ quand $b_0=16$.

Ainsi $b_6=184~690~848 \equiv 4\quad [26]$

Ainsi $Q$ se décode en $E$.

$\quad$

 

 

Bac S – Amérique du Sud – Novembre 2015

Amérique du Sud – Novembre 2015

Bac S – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Exercice 1

Partie A

  1. La courbe $\mathscr{C}_u$ passe par $A(1;0)$ par conséquent $u(1)=0$.
    Elle passe également pas $B(4;0)$ donc $u(4)=0$.
    $\quad$
  2. $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{1}{x}=0$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{1}{x^2}=0$.
    Donc $\lim\limits_{x\to +\infty} u(x)=a$.
    La droite d’équation $y=1$ étant asymptote à la courbe $\mathscr{C}_u$ cela signifie donc que $a=1$.
    $\quad$
  3. Ainsi $u(x)=1+\dfrac{b}{x}+\dfrac{c}{x^2}$.
    Puisque $u(1)=0$ on obtient $1+b+c=0$ soit $b+c=-1 \quad (1)$.
    Puisque $u(4)=0$ on obtient $1+\dfrac{b}{4}+\dfrac{c}{16}=0$ soit $16+4b+c=0$ ou encore $4b+c=-16 \quad (2)$.
    On fait $(2)-(1)$ : $3b=-15$ soit $b=-5$
    Ainsi $-5+c=-1$ soit $c=4$.
    On vérifie dans l’équation $2$ $4\times (-5)+4=-20+4=-16$
    $\quad$
    Par conséquent $u(x)=1-\dfrac{5}{x}+\dfrac{4}{x^2} = \dfrac{x^2-5x+4}{x^2}$.
    $\quad$

Partie B

  1. $f(x)=\dfrac{x^2-5x\ln x-4}{x}$.
    $\lim\limits_{x \to 0^+} x\ln x=0$ donc $\lim\limits_{x \to 0^+}x^2-5x\ln x-4 = -4$
    Or $\lim\limits_{x \to 0^+} x=0^+$
    Par conséquent $\lim\limits_{x \to 0^+} f(x)=-\infty$.
    $\quad$
  2. $f(x)=x\left(1-\dfrac{\ln x}{x}-\dfrac{4}{x^2}\right)$.
    $\lim\limits_{x \to +\infty}  \dfrac{\ln x}{x}=0$ et $\lim\limits_{x \to +\infty}  \dfrac{1}{x^2}=0$.
    Donc $\lim\limits_{x \to +\infty} \left(1-\dfrac{\ln x}{x}-\dfrac{4}{x^2}\right) =1$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=+\infty$.
    $\quad$
  3. La fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ comme somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $f'(x)=1-5\times \dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{x^2} = u(x)$.
    Le signe de $u(x)$ ne dépend que de celui de $x^2-5x+4=(x-1)(x-4)$
    On obtient ainsi le tableau de variations suivant :
    bacS -amerique du sud-nov2015-ex1

Partie C

  1. L’aire hachurée correspond à l’aire du domaine situé entre l’axe des abscisses, la courbe $\mathscr{C}_u$ et les droites d’équation $x=0$ et $x=4$.
    La fonction $-u$ est continue et positive sur $[1;4]$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} \mathscr{A}&=\int_1^4-u(x)\mathrm{d}x\phantom{\dfrac{1}{4}} \\\\
    &=-\left(f(4)-f(1)\right) \\\\
    &=-(3-5\ln 4 +3) \\\\
    &=5\ln 4-6
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. L’aire $\mathscr{A}_{\lambda}$ correspond à l’aire du domaine situé entre la courbe $\mathscr{C}_u$, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=4$ et $x=\lambda$.
    La fonction $u$ est continue et positive sur $[4;\lambda]$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} \mathscr{A}_{\lambda}&=\int_4^{\lambda}u(x)\mathrm{d}x\phantom{\dfrac{1}{4}} \\\\
    &=f(\lambda)-f(4) \\\\
    &=f(\lambda)-\left(3-5\ln 4\right) \\\\
    &=f(\lambda)-\dfrac{4}{\lambda}-3+5\ln 4
    \end{align*}$
    On veut donc résoudre l’équation $f(\lambda)-3+5\ln 4=5\ln 4 -6$
    soit $f(\lambda)=-3$.
    La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $[4;+\infty[$.
    De plus $f(4)=3-5\ln 4 <-3$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=+\infty$
    Par conséquent $-3\in [f(4);+\infty[$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires), l’équation $f(\lambda)=-3$ possède une unique solution.
    $\quad$
    Il existe donc une valeur de $\lambda$ telle que $\mathscr{A}=\mathscr{A}_{\lambda}$
    $\quad$

Exercice 2

  1. On a $\overrightarrow{AC}(1;0;-2)$.
    Un vecteur directeur de $\Delta$ est $\vec{u}(4;-1;2)$.
    Ainsi $\overrightarrow{AC}.\vec{u}=4+0-4=0$.
    Les droites $\Delta$ et $(AC)$ sont donc orthogonales.
    L’affirmation est vraie.
    $\quad$
  2. $\overrightarrow{AB}(-4;3;-7)$ et $\overrightarrow{AC}(1;0;-2)$
    $\dfrac{1}{-4} \neq \dfrac{0}{3}$. Ces deux vecteurs ne sont donc pas colinéaires et les points $A$, $B$ et $C$ définissent un plan.
    Regardons si les coordonnées des points $A, B$ et $C$ vérifient l’équation $2x+5y+z-5=0$.
    $2\times 3+5\times (-1)+4-5 = 6-5+4-5=0 \checkmark$
    $2\times (-1)+5\times 2-3-5=-2+10-3-5=0 \checkmark$
    $2\times 4+5\times (-1)+2-5=8-5+2-5=0 \checkmark$
    $2x+5y+z-5=0$ est donc une équation cartésienne du plan $(ABC)$.
    L’affirmation est vraie.
    $\quad$
  3. Regardons si les coordonnées données vérifient l’équation du plan $P$.
    $2(1+s-2s’)-3(1-2s+s’)+2(1-4s+2s’)-7$ $=2+2s-4s’-3+6s-3s’+2-8s+4s’-7$ $ = -6-3s’$.
    Or $-6-3s’$ n’est pas toujours égal à $0$.
    L’affirmation est fausse.
    $\quad$
  4. Un vecteur normal à $P$ est $\vec{n}(2;-3;2)$.
    Un vecteur directeur de $\Delta$ est $\vec{u}(4;-1;2)$.
    $\vec{n}.\vec{u}=8+3+4=15 \neq 0$
    La droite $\Delta$ ne peut donc pas appartenir à un plan parallèle à $P$.
    L’affirmation est fausse.
    $\quad$

Exercice 3

Partie A

  1. a.
    bacS -amerique du sud-nov2015-ex3

    b.
    $P(M\cap T) = 0,98p$ $\quad$ $P\left(\overline{M} \cap T\right) = 0,01(1-p)$
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(T) &= P(M \cap T) + P\left(\overline{M} \cap T\right) \\\\
    &= 0,98p + 0,01(1-p) \\\\
    &=0,98p +0,01-0,01p\\\\
    &=0,97p+0,01
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. a. On veut calculer
    $P_T(M)=\dfrac{P(M\cap T)}{P(T)}$ $ = \dfrac{0,98p}{0,97p+0,01} = \dfrac{98p}{97p+1}$
    $\quad$
    b. La fonction $f$ est dérivable sur $[0;1]$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur $[0;1]$
    $f'(p)=\dfrac{98(97p+1)-97\times 98p}{(97p+1)^2} = \dfrac{98}{(97p+1)^2} >0$.
    La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $[0;1]$.
    $\quad$
  3. On veut résoudre l’inéquation :
    $\begin{align*} f(p)> 0,95 &\ssi \dfrac{98p}{97p+1} > 0,95 \\\\
    &\ssi 98p > 0,95(97p+1) \\\\
    &\ssi 98p>92,15p+0,95 \\\\
    &\ssi 5,85p>0,95 \\\\
    &\ssi p>\dfrac{0,95}{5,85} \\\\
    &\ssi p>\dfrac{19}{117}
    \end{align*}$
    $\quad$

Partie B

  1. a. Les $1~000$ tirages sont indépendants, aléatoires avec remises et présentent chacun deux issues : $M$ et $\overline{M}$.
    De plus $P(M)=0,15$.
    $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=1~000$ et $p=0,15$.
    $\quad$
    $\quad$
    b. $n=1~000$ et $p=0,15$
    $n=1~000 \ge 30 \checkmark$ $\quad$ $np=150 \ge 5 \checkmark$ $\quad$ $n(1-p)=850 \ge 5 \checkmark$.
    Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ est alors :
    $\begin{align*} I_{1~000} &= \left[0,15-1,96\sqrt{\dfrac{0,15 \times 0,85}{1~000}};0,15+ 1,96\sqrt{\dfrac{0,15 \times 0,85}{1~000}}\right] \\\\
    &\approx [0,127;0,173]
    \end{align*}$
    La fréquence observée est $f=\dfrac{197}{1~000} = 0,197 \notin I_{1~000}$
    On peut donc remettre en cause le chiffre publié par l’institut de veille sanitaire.
    $\quad$
  2. $n=1~000 \ge 30 \checkmark$ $\quad$ $nf=197 \ge 5 \checkmark$ $\quad$ $n(1-f)=803 \ge 5 \checkmark$.
    Un intervalle de confiance au seuil de confiance de $95\%$ est :
    $\begin{align*} J_{1~000}&=\left[0,197-\dfrac{1}{\sqrt{1~000}};0,197+\dfrac{1}{\sqrt{1~000}}\right] \\\\
    &\approx [0,165;0,229]
    \end{align*}$
    $\quad$

Partie C

  1. a. D’après le graphique, on peut conjecturer que $\mu \approx 120$.
    $\quad$
    b. $\quad$
    Bac S-amérique du sud-nov2015-ex2
  2. a. $T’$ suit la loi normale centrée réduite.
    $\quad$
    b.
    $\begin{align*} p(T<110)=0,18 &\ssi p(T-\mu<110-\mu)=0,18 \\\\
    &\ssi p\left(\dfrac{T-\mu}{10}<\dfrac{110-\mu}{10}\right) = 0,18 \\\\
    &\ssi p\left(T'<\dfrac{110-\mu}{10}\right) = 0,18
    \end{align*}$
    En utilisant la calculatrice, on trouve que $\dfrac{110-\mu}{10}\approx -0,915$ soit $\mu \approx 119$.
    Cette valeur est très proche de celle conjecturée à la question 1. $\quad$

Exercice 4

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

  1. On a $u_n+v_n=120$ pour tout entier naturel $n$.
    $\quad$
  2. En $B3$ on peut saisir : $=B2*0,9+C2*0,05$ et en $C3$ : $=B2*0,1+C2*0,95$
    $\quad$
  3. On peut conjecturer que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante, la suite $\left(v_n\right)$ est croissante et que sur le long terme, il y aura $40$ millions de ruraux et $80$ millions de citadins.
    $\quad$

Partie B

  1. a. Initialisation : Si $n=0$, $u_0=90$ et $u_1=82,5$
    On a bien $u_1<u_0$. La suite est décroissante.
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $u_{n+1} \le u_n$ soit $u_{n+1}-u_n \le 0$
    $\begin{align*} u_{n+2}-u_{n+1} &= 0,85u_{n+1}+6-\left(0,85u_n+6\right) \\\\
    &=0,85u_{n+1}-0,85u_n \\\\
    &=0,85\left(u_{n+1}-u_n\right)\\\\
    &\le 0
    \end{align*}$
    Par conséquent la propriété est vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $u_{n+1} \le u_n$ et la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
    $\quad$
    b. La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et minorée par $0$. Elle est donc convergente.
    $\quad$
  2. a.
    $\begin{align*} w_{n+1} &=u_{n+1}-40 \\\\
    &=0,85u_n+6-40 \\\\
    &=0,85u_n-34\\\\
    &=0,85u_n-0,85\times 40\\\\
    &=0,85\left(u_n-40\right) \\\\
    &=0,85w_n
    \end{align*}$
    La suite $\left(w_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,85$ et de premier terme $w_0=u_0-40=50$.
    $\quad$
    b. On a donc $w_n=50\times 0,85^n$.
    Or $u_n=w_n+40$ donc $u_n = 40+50\times 0,85^n$.
    $\quad$
    c. Puisque $u_n+v_n=120$ on a alors $v_n=120-u_n = 80-50\times 0,85^n$.
    $\quad$
  3. La suite $\left(u_n\right)$ est bien décroissante et la suite $\left(v_n\right)$, du fait que la population est constante, est croissante.
    $0<0,85<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,85^n=0$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=40$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n=80$.
    Les conjectures faites à la partie A sont donc validées.
    $\quad$
  4. a. La boucle s’arrête quand $u \le 120-u$ soit $u<v$.
    Cet algorithme détermine donc le nombre d’années nécessaires pour que la population rurale soit inférieure à la population citadine
    $\quad$
    b. D’après la feuille de calcul, l’algorithme affiche $6$
    $\quad$

Exercice 4

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

  1. a. Chaque année $90\%$ des ruraux restent à la campagne et $95\%$ des citadins restent à la ville.
    Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $R_{n+1}=0,9R_n+0,05C_n$ et $C_{n+1}=0,10R_n+0,95C_n$.
    $MU_{n}=\begin{pmatrix} 0,9R_n+0,05C_n\\\\0,1R_n+0,95C_n\end{pmatrix}=U_{n+1}$
    $\quad$
    b. $U_1=\begin{pmatrix} 0,9\times 90+0,05\times 30\\\\0,1 \times 90 + 0,95 \times 30\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 82,5\\\\37,5\end{pmatrix}$
    $\quad$
    En 2011, il y avait donc $82,5$ millions de ruraux et $37,5$ millions de citadins.
    $\quad$
  2. Puisque $U_{n+1}=MU_n$ alors on a $U_n=M^nU_0$.
    $\quad$
  3. $\begin{pmatrix}1&1\\2&-1\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}\dfrac{1}{3}&\dfrac{1}{3}\\\\\dfrac{2}{3}&-\dfrac{1}{3}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}&\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3}\\\\\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{3}&\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{3}\end{pmatrix} = I_2$
    où $I_2$ est la matrice identité d’ordre $2$
    La matrice $P$ est donc inversible et son inverse est la matrice $\begin{pmatrix}\dfrac{1}{3}&\dfrac{1}{3}\\\\\dfrac{2}{3}&-\dfrac{1}{3}\end{pmatrix}$.
    $\quad$
  4. a. A l’aide de la calculatrice, on trouve $\Delta = \begin{pmatrix}1&0&\\0&0,85\end{pmatrix}$.
    $\quad$
    b. $\Delta=P^{-1}MP \ssi P\Delta=MP \ssi P\Delta P^{-1}=M$
    $\quad$
    c. Initialisation : Si $n=1$, d’après la question précédente, $M=P\Delta P^{-1}$.
    La propriété est vraie au rang $1$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $M^n=P\Delta^n P^{-1}$.
    $M^{n+1}=M^nM=P \Delta^n P^{-1}P\Delta P^{-1} = P\Delta^n \Delta P^{-1} = P\Delta^{n+1} P^{-1}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $M^n=P\Delta^n P^{-1}$.
    $\quad$
  5. a. On a $U_n=M^nU_0$ donc $U_n=\begin{pmatrix} 30+60\times 0,85^n+10-10\times 0,85^n\\\\60-60\times 0,85^n+20+10\times 0,85^n\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 40+50\times 0,85^n\\80-50\times 0,85^n\end{pmatrix}$
    On a donc $R_n=50\times 0,85^n+40$ et $C_n=80-50\times 0,85^n$.
    $\quad$
    b. $0<0,85<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,85^n=0$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} R_n=50$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} C_n=80$.
    $\quad$
  6. a.
    Entrée :
    $\quad$ $n, R$ et $C$ sont des nombres
    Initialisation :
    $\quad$ $n$ prend la valeur $0$
    $\quad$ $R$ prend la valeur $90$
    $\quad$ $C$ prend la valeur $30$
    Traitement :
    $\quad$ Tant que $R\ge C$ faire
    $\qquad$ $n$ prend la valeur $n+1$
    $\qquad$ $R$ prend la valeur $50\times 0,85^n+40$
    $\qquad$ $C$ prend la valeur $120-R$
    $\quad$ Fin Tant que
    Sortie :
    $\quad$ Afficher $n$
    $\quad$
    b.
    $\begin{align*} 50\times 0,85^n+40<80-50\times 0,85^n &\ssi 100\times 0,85^n<40 \\\\
    &\ssi 0,85^n < 0,4 \\\\
    &\ssi n \ln 0,85 < \ln 0,4 \\\\
    &\ssi n > \dfrac{\ln 0,4}{\ln 0,85}\\\\
    & \ssi n>6
    \end{align*}$
    L’algorithme affichera donc $6$.

Bac S – Antilles Guyane – Septembre 2015

Antilles Guyane – Septembre 2015

Bac S – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Exercice 1

Partie A : Étude de la fonction $f_1$

  1. a. Pour tout réel $x$, on a $f_1′(x)=2x\e^{-2x}-2x^2\e^{-2x}=2x\e^{-2x}(1-x)$.
    $\quad$
    b. Puisque la fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$, le signe de $f_1(x)$ ne dépend que de celui de $x(1-x)$. Il s’agit d’un polynôme du second degré dont le coefficient principal est $a=-1$ et les racines sont $0$ et $1$.
    Par conséquent $f_1′(x)$ est négatif sur les intervalles $]-\infty;0]$ et $[1;+\infty[$ et négatif sur $[0;1]$.
    Ainsi la fonction $f_1$ est décroissante sur $]-\infty;0]$, croissante sur $[0;1]$ et décroissante sur $[1;+\infty[$.
    $\quad$
    c. $\lim\limits_{x \to -\infty} -2x=+\infty$ par conséquent $\lim\limits_{x \to -\infty} \e^{-2x} = +\infty$.
    $\lim\limits_{x \to -\infty} x^2 = +\infty$ donc par produit $\lim\limits_{x \to -\infty} f_1(x)=+\infty$.
    $\quad$
    d. $f_1(x)=x^2\e^{-2x}=\dfrac{x^2}{\e^{2x}} = \dfrac{x^2}{\left(\e^x\right)^2} = \left(\dfrac{x}{\e^x}\right)^2$.
    $\quad$
    On sait que $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\e^x}{x}=+\infty$ donc $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x}{\e^x}=0$.
    Puisque $\lim\limits_{X \to +\infty} X^2 = 0$ on obtient par composition $\lim\limits_{x \to +\infty} f_1(x)=0$.
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} I_1 &= \int_0^1 f_1(x)\mathrm{d}x  \\\\
    &= F_1(1)-F_1(0) \\\\
    &=-\e^{-2} \times \dfrac{5}{4} + \dfrac{1}{4}
    \end{align*}$
    $\quad$

Partie B : Étude de la suite $\left(I_n\right)$

  1. a. La fonction $f_n$ est continue (car dérivable) sur $\R$ et positive sur $[0;1]$.
    Par conséquent $I_n$ correspond à l’aire comprise entre la courbe $\mathscr{C}_n$, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=0$ et $x=1$.
    $\quad$
    b. On calcule des valeurs approchées de $I_n$ à l’aide de la calculatrice.
    $I_1 \approx 0,0808$, $I_2 \approx 0,0238$, $I_3 \approx 0,0087$, $I_4 \approx 0,0039$, $I_{100} \approx 2 \times 10^{-7}$.
    La suite $\left(I_n\right)$ semble donc décroissante et converger vers $0$.
    $\quad$
  2. a. Soit $n$ un entier naturel non nul.
    $f_{n+1}(x)=x^2\e^{^-2(n+1)x} = x^2\e^{-2nx-2x} = x^2\e^{-2nx}\times \e^{-2x}=f_n(x)\e^{-2x}$
    $\quad$
    b. Sur $[0;1]$, la fonction $\e^{-2x} \le \e^0$ soit $\e^{-2x} \le 1$.
    Par conséquent, en multipliant les deux côtés de cette inégalité par $f_n(x)$, qui est toujours positif sur $[0;1]$ car produit de facteurs positifs, on obtient :
    $f_{n+1}(x) = f_n(x)\e^{-2x} \le f_n(x)$.
    $\quad$
    c. La suite $\left(I_n\right)$ est donc décroissante.
    $\quad$
  3. a. Sur $[0;1]$, $0 \le x^2 \le 1$.
    Par conséquent, en multipliant l’encadrement par $\e^{-2nx}$ qui est toujours positif, on obtient $0 \le f_n(x) \le \e^{-2nx}$ pour tout entier naturel $n$ non nul.
    $\quad$
    b. On a donc, en intégrant sur $[0;1]$ :
    $\begin{align*} 0 \le I_n \le \int_0^1 \e^{-2nx}\mathrm{d}x &\ssi 0 \le I_n \le \left[\dfrac{\e^{-2nx}}{-2n}\right]_0^1 \\\\
    &\ssi 0 \le I_n \le \dfrac{\e^{-2n}}{-2n}+\dfrac{1}{2n}
    \end{align*}$
    Or $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{2n}=0$, $\lim\limits_{n \to +\infty} \e^{-2n} = 0$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{\e^{-2n}}{-2n} = 0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} \left(\dfrac{\e^{-2n}}{-2n}+\dfrac{1}{2n}\right) = 0$
    D’après le théorème des gendarmes, on a donc $\lim\limits_{n \to +\infty} I_n =0$.
    $\quad$

Exercice 2

Partie A


  1. bacS - antilles guyane-sept2015-ex2
  2. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} \phantom{\ssi}p(J) &=p(R \cap J)+p\left(\overline{R} \cap J\right) \\\\
    \ssi 0,2&=0,4 \times 0,25 + 0,6x \\\\
    \ssi 0,1&=0,6x\\\\
    \ssi x&=\dfrac{1}{6}
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_J(R)&=\dfrac{p(J\cap R)}{p(J)} \\\\
    &=\dfrac{0,4 \times 0,25}{0,2} \\\\
    &=\dfrac{1}{2}
    \end{align*}$
    $\quad$

Partie B

  1. Il s’agit de $500$ tirages indépendants, avec remise, aléatoires ne présentant que deux issues : $J$ et $\overline{J}$. De plus $p(J)=0,2$.
    La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=500$ et $p=0,2$.
    $\quad$
  2. On veut calculer $P(X\ge 75) = 1-P(X \le 74) \approx 0,998$
    La probabilité qu’au moins $75$ bouteilles de cet échantillon soient pur jus est donc d’environ $99,8\%$.
    $\quad$

Partie C

  1. On a $n=900$ et $p=0,9$
    Ainsi $n = 900 \ge 30 \checkmark$ $\quad np=810 \ge 5 \checkmark$ $\quad n(1-p) = 90 \ge 5 \checkmark$.
    Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ est donc :
    $\begin{align*} I_{900} &=\left[0,9-1,96\sqrt{\dfrac{0,9 \times 0,1}{900}};0,9+1,96\sqrt{\dfrac{0,9 \times 0,1}{900}}\right] \\\\
    & =[0,8804;0,9196]
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. La fréquence observée est $f=\dfrac{766}{900} \approx 0,851 \notin I_{900}$.
    Par conséquent, au risque de $5\%$ on peut remettre en question l’affirmation du fournisseur.
    $\quad$

Exercice 3

  1. On a $\ln\left(u_{n+1}\right) = \ln \left(u_n\right) -1 = \ln \dfrac{u_n}{\e}$.
    Cela signifie donc que $u_{n+1}=\dfrac{u_n}{\e}$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $\dfrac{1}{\e}$ et de premier terme $u_0=1$.
    $\quad$
  2. Prenons par exemple la suite $\left(v_n\right)$ définie par $v_n=\e^{-n}$.
    Pour tout entier naturel $n$, on a $v_n \le 1$. La suite $\left(v_n\right)$ est donc majorée.
    $w_n=1-\ln\left(v_n\right)=1-\ln \e^{-n} = 1-(-n)=1+n$.
    La suite $\left(w_n\right)$ n’est donc pas majorée.
    La proposition est donc fausse.
    $\quad$
  3. $\left|\dfrac{\sqrt{2}}{4}+\ic\dfrac{\sqrt{6}}{4}\right|=\sqrt{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
    On a donc $\left|z_{n+1}\right|=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left|z_n\right|$.
    La suite $\left(\left|z_n\right|\right)$ est donc géométrique de raison $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
    Son premier terme est $\left|z_0\right| = \sqrt{13}$.
    Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $\left|z_n\right|=\sqrt{13}\times \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^n$.
    On cherche la plus petite valeur de $n$ telle que :
    $\begin{align*} \sqrt{13}\times \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^n \le 10^{-20} &\ssi \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^n \le \dfrac{10^{-20}}{\sqrt{13}} \\\\
    &\ssi n\ln \dfrac{\sqrt{2}}{2} \le \ln \dfrac{10^{-20}}{\sqrt{13}} \\\\
    &\ssi n \ge \dfrac{\ln \dfrac{10^{-20}}{\sqrt{13}}}{\ln  \dfrac{\sqrt{2}}{2}} \\\\
    &\ssi 137
    \end{align*}$
    Par conséquent, pour tout entier naturel supérieur ou égal à $137$, $\left|z_n\right|\le 10^{20}$.
    $\quad$

Exercice 4

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

  1. a. On a $B(1;0;0)$ et $D(0;1;0)$.
    En prenant $s=1$ dans la représentation paramétrique fournie, on retrouve les coordonnées de $B$.
    En prenant $s=0$ dans la représentation paramétrique fournie, on retrouve les coordonnées de $D$.
    Il s’agit donc bien d’une représentation paramétrique de la droite $(DB)$.
    $\quad$
    b. On a $A(0;0;0)$ et $G(1;1;1)$.
    Ainsi $\overrightarrow{AG}(1;1;1)$
    Une représentation paramétrique de $(AG)$ est par conséquent $\begin{cases}x=t\\y=t \quad t\in \R\\z=t\end{cases}$.
    Les points de la droite $(AG)$ sont donc bien les points de coordonnées $(t;t;t)$ où $t$ est un réel.
    $\quad$
  2. On a $M(s;1-s;0)$ et $N(t;t;t)$. Ainsi $\overrightarrow{MN}(t-s;t+s-1;t)$.
    $\overrightarrow{AG}.\overrightarrow{MN} = t-s+t+s-1+t = 3t-1$ et $\overrightarrow{DB}.\overrightarrow{MN} = t-s-(t+s-1) = -2s+1$
    $\quad$
    $(MN)$ est perpendiculaire à $(AG)$ et $(DB)$
    si, et seulement si, $\overrightarrow{AG}.\overrightarrow{MN} =0$ et $\overrightarrow{DB}.\overrightarrow{MN} = 0$
    si, et seulement si, $3t-1=0$ et $-2s+1=0$
    si, et seulement si, $t=\dfrac{1}{3}$ et $s=\dfrac{1}{2}$
    si, et seulement si, $M\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};0\right)$ et $N\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3}\right)$
    $\quad$
  3. a.
    $\begin{align*} MN^2&=(t-s)^2+(t+s-1)^2+t^2\\\\
    &=t^2-2st+s^2+t^2+2ts-2t+s^2-2s+1+t^2 \\\\
    &=3t^2-2t+2s^2-2s+1 \\\\
    &=3\left(t^2-\dfrac{2}{3}t\right) + 2(s^2-s)+1 \\\\
    &=3\left(t-\dfrac{1}{3}\right)^2-\dfrac{1}{3}+ 2\left(s-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{1}{2}+1 \\\\
    &=3\left(t-\dfrac{1}{3}\right)^2+ 2\left(s-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{6}
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. On a donc $MN^2 \ge \dfrac{1}{6}$ et $MN^2 = \dfrac{1}{6}$ si, et seulement si, $t=\dfrac{1}{3}$ et $s=\dfrac{1}{2}$.
    La droite $(MN)$ est alors perpendiculaire aux droites $(AG)$ et $(DB)$.
    $\quad$

Exercice 4

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

  1. Les nombres $51$ et $26$ sont premiers entre eux.
    D’après le théorème de Bezout, l’équation $51x-26y=1$ admet donc au moins une solution.
    $\quad$
  2. a. $51 \times (-1)-26\times (-2) = -51+52=1$
    Le couple $(-1;-1)$ est donc solution de cette équation.
    $\quad$
    b. Soit $(x;y)$ une autre solution de cette équation.
    $51x-26y=1$ et $51 \times (-1)-26\times (-2) =1$
    Par différence, on obtient :
    $51(x+1)-26(y+2)=0$ soit $51(x+1)=26(y+2)$
    Les nombres $51$ et $26$ sont premiers entre eux.
    D’après le théorème de Gauss, il existe donc un entier relatif $k$ tel que $x+1=26k$ et $y+2=51k$
    Soit $x=26k-1$ et $y=51k-2$.
    $\quad$
    Réciproquement :
    Soit $k$ un entier relatif.
    $51(26k-1)-26(51k-2)=1326k-51-1326k+52=1$
    L’ensemble des couples solutions de l’équation est donc l’ensemble des couples $(26k-1;51k-2)$ pour tout entier relatif $k$.
    $\quad$

Partie B

  1. $N$ est associé à l’entier $13$.
    $51\times 13 + 2=665$ et $665\equiv 15~[26]$
    $N$ est donc codé par la lettre $P$.
    $\quad$
  2. $51a\equiv 1~[26]$ Il existe donc un entier relatif $b$ tel que $51a=1+26b$ soit $51a-26b=1$
    D’après la partie A, il existe donc un entier relatif $k$ tel que $a=26k-1$.
    On veut que $0 \le a \le 26$  $\ssi 0 \le 26k-1\le 1$ $\ssi 1\le 26k \le 27$ $\ssi k=1$
    Par conséquent $a=25$.
    $\quad$
  3. On a donc :
    $\begin{align*} 51x+2\equiv y~[26] & \rightarrow 51ax+2a \equiv ay~[26] \\\\
    &\rightarrow x+50 \equiv ay~[26] \\\\
    &\rightarrow x+24 \equiv ay~[26] \\\\
    &\rightarrow x \equiv ay-26~[26] \\\\
    &\rightarrow x\equiv ay+2~[26]
    \end{align*}$
    $\quad$
  4. $25 \times 13 + 2=327 \equiv 15~[26]$
    Ainsi la lettre $P$ est codée par la lettre $N$.
    $\quad$
  5. Si $f(x)=y$ alors
    $51y+2 \equiv 25y+2~[26]$ soit $f(y)=x$.
    Ainsi $f\left(f(x)\right)=x$
    Quand on applique deux fois de suite la fonction $f$ on retrouve la lettre de départ.
    Par conséquent si on applique $100$ fois de suite la fonction $f$ on obtiendra la lettre de départ.
    $\quad$

Bac S – Nouvelle Calédonie – novembre 2015

Nouvelle Calédonie – Novembre 2015

Bac S – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Exercice 1

Partie A

On peut schématiser la situation à l’aide de cet arbre pondéré.

Bac S-nouvelle calédonie-nov2015-ex1

  1. Ainsi, $p(A\cap S)=0,7\times 0,17 = 0,119$.
    $\quad$
  2. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(S) &=p(A\cap S)+p(B\cap S) \\
    &= 0,7 \times 0,17 + 0,3 \times 0,1 \\
    &= 0,149
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. On veut calculer $p_S(A) = \dfrac{p(A\cap S)}{p(S)} = \dfrac{0,119}{0,149} = \dfrac{119}{149} \approx 0,799$.
    $\quad$
  4. On a $n=1~000$ et la fréquence observée est $f=\dfrac{211}{1~000}=0,211$.
    Par conséquent $n=1~000\ge 30$, $nf = 211 \ge 5$ et $n(1-f)=789 \ge 5$.
    Les conditions pour déterminer un intervalle de confiance sont vérifiées.
    Un intervalle de confiance au seuil de $95\%$ est donc :
    $\begin{align*} I_{1~000}&=\left[0,211-\dfrac{1}{\sqrt{1~000}};0,211+\dfrac{1}{\sqrt{1~000}}\right] \\
    &\approx [0,179;0,243]
    \end{align*}$
    $\quad$

Partie B

  1. On veut calculer $P(6,4 \le X \le 9,6) \approx 0,683$.
    $\quad$
  2. On a $P(X \le 6,5) = 0,5 – P(6,5 \le X \le 8) \approx 0,174$
    $\quad$
  3. On veut que :
    $\begin{align*} P(Y \le 6,5) = 0,1 &\ssi P(Y – 9 \le -2,5)  = 0,1 \\\\
    &\ssi P\left(\dfrac{Y-9}{\sigma}\le -\dfrac{2,5}{\sigma}\right) = 0,1
    \end{align*}$
    Or la variable aléatoire $Y’=\dfrac{Y-9}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.
    A l’aide de la calculatrice, on trouve que  $P(Y’\le a)=0,1$ pour $a\approx -1,282$
    Par conséquent $-\dfrac{2,5}{\sigma} \approx -1,282 \ssi \sigma \approx \dfrac{2,5}{1,282} \ssi \sigma \approx 1,95$.
    $\quad$

Partie C

  1. On appelle $\mathscr{A}$ l’aire cherchée.
    La fonction $x \mapsto a\cos x$ est continue et positive sur $\left[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} \mathscr{A} &=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} a\cos x \mathrm{d}x \\\\
    &= \left[a\sin x\right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\\\\
    &=a-(-a) \\\\
    &=2a
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. Le rayon du disque est $\dfrac{a}{2}$. L’aire du disque est donc de $\pi\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 = \dfrac{a^2\pi}{4}$.
    On veut donc résoudre l’équation :
    $\begin{align*} 2a-\dfrac{a^2\pi}{4} = \dfrac{a^2\pi}{4} &\ssi 2a -\dfrac{a^2 \pi}{2} = 0 \\\\
    &\ssi \dfrac{4a-a^2\pi}{2}=0 \\\\
    &\ssi \dfrac{a\left(4-a\pi\right)}{2} = 0
    \end{align*}$
    $a$ étant strictement positif, l’équation précédente revient à résoudre $4-a\pi=0$ soit $a=\dfrac{4}{\pi}$.
    $\quad$

Exercice 2

  1. La fonction $f_a$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme de fonctions dérivables sur $\R$.
    Pour tout réel $x$ on a : $f'(x)=\e^{x-a}-2$.
    Or $\e^{x-a}-2 \ge 0 \ssi \e^{x-a}=2 \ssi x-a = \ln 2 \ssi x=a+\ln 2$.
    La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur $]-\infty;a+\ln 2]$ et strictement croissante sur $[a+\ln 2;+\infty[$.
    La fonction $f_a$ possède donc un minimum en $a+\ln 2$.
    $\quad$
  2. $f_a(a+\ln 2)=\e^{\ln 2} – 2(a+\ln 2) + \e^a = 2 – 2a – 2\ln 2 +\e^a$.
    On appelle $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(a) = 2-2a-2\ln 2+\e^a$.
    Cette fonction est dérivable sur $\R$ en tant que somme de fonctions dérivables sur $\R$.
    $g'(a)=-2+\e^a$.
    Or $g'(a) = 0 \ssi \e^a = 2 \ssi a = \ln 2$.
    $g'(a) < 0$ si $a < \ln 2$ et $g'(a) >0$ si $a > \ln 2$.
    Ainsi le plus petit minimum est atteint en $\ln 2$ et vaut $g(\ln 2) = 2 -4\ln 2 + 2 = 4-4\ln 2$.
    $\quad$

Exercice 3

Partie A

Prenons par exemple le triplet $(-1;-1;-1)$ on a alors $(-1)^2+(-1)^2+(-1)^2 = 3 \ge \dfrac{1}{3}$ et pourtant $-1-1-1=-3 \neq 1$.
Par conséquent $\left(P_2\right)$ est fausse.

$\quad$

Partie B

  1. a. On a $B(1;0;0)$, $D(0;1;0)$ et $E(0;0;1)$.
    Les trois points ne sont pas alignés et définissent bien un plan. Regardons si les coordonnées de ces points vérifient l’équation $x+y+z=1$.
    $1+0+0=1$, $0+1+0=1$ et $0+0+1 = 1$.
    Par conséquent une équation du plan $(BDE)$ est $x+y+z=1$.
    $\quad$
    b. On a $A(0;0;0)$ et $G(1;1;1)$. Ainsi $\overrightarrow{AG}(1;1;1)$.
    De plus $\overrightarrow{BD}(-1;1;0)$ et $\overrightarrow{BE}(-1;0;1)$.
    Or $\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{AG} = -1+1+0 = 0$ et $\overrightarrow{BE}.\overrightarrow{AG} = -1+0+1 = 0$
    Ainsi le vecteur $\overrightarrow{AG}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(BDE)$. Il est par conséquent normal au plan.
    $\quad$
    c. Une représentation paramétrique de la droite $(AG)$ est $\begin{cases}x=t\\y=t \qquad t\in \R \\z=t\end{cases}$.
    Le point $K$ appartient à la droite $(AG)$ et au plan $(BDE)$. Ses coordonnées vérifient donc l’équation du plan et celles de la représentation paramétrique.
    Par conséquent $t+t+t=1$ et $t=\dfrac{1}{3}$.
    Les coordonnées de $K$ sont donc $\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3}\right)$.
    $\quad$
  2. Les segments $[BE]$, $[BD]$ et $[ED]$ sont des diagonales de carrés de côté $1$. Ils ont donc la même longueur.
    Le triangle $BDE$ est par conséquent équilatéral.
    $\quad$
  3. a. Si $M$ est un point du plan $(BDE)$ différent de $K$.
    La droite $(AK)$ est dirigée par le vecteur normal au plan $(BDE)$. Elle est donc orthogonale à toutes les droites du plan $(BDE)$, en particulier à la droite $(KM)$.
    Le triangle $AKM$ est donc rectangle en $K$ et d’après le théorème de Pythagore, on a $AM^2=AK^2+MK^2$.
    $\quad$
    Si $M=K$ alors $AM=AK$ et $MK=KK=0$.
    On a donc toujours $AM^2=AK^2+MK^2$.
    $\quad$
    b. $MK^2 \ge 0$ donc, d’après la question précédente, $AM^2 \ge AK^2$.
    $\quad$
    c. Soit $M(x;y;z)$ un point du plan $(BDE)$ alors $x+y+z=1$.
    $AM^2=x^2+y^2+z^2$ et $AK^2=\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{9}=\dfrac{1}{3}$
    D’après la question précédente on obtient donc :$x^2+y^2+z^2 \ge \dfrac{1}{3}$.
    Par conséquent $\left(P_1\right)$ est vraie.
    $\quad$

Exercice 4

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

  1. $d_1=\dfrac{1}{2}d_0+100 = 150 + 100 = 250$
    $a_1=\dfrac{1}{2}d_0+\dfrac{1}{2}a_0+70 = 150 + 225 + 70 = 445$
    $\quad$
  2. a. Si $n=1$ on obtient alors $D=250$ et $A=420$ car la variable $D$ a été modifiée (et ne vaut plus $300$) quand on calcule la valeur de $A$.
    $\quad$
    Ce n’est pas cohérent avec la réponse trouvée à la question précédente.
    $\quad$
    b. Pour corriger cet algorithme, il faut :
    $\quad$ – Créer une nouvelle variable $T$ réelle;
    $\quad$ – Dans la boucle “Pour” avant l’instruction “$D$ prend …” écrire “$T$ prend la valeur $D$”;
    $\quad$ – Remplacer l’instruction “$A$ prend …” par “$A$ prend la valeur $\dfrac{A}{2}+\dfrac{T}{2}+70$”.
    $\quad$
  3. a.
    $\begin{align*} e_{n+1} &=d_{n+1}-200 \\\\
    &=\dfrac{d_n}{2}+100-200\\\\
    &=\dfrac{d_n}{2}-100\\\\
    &=\dfrac{d_n-200}{2} \\\\
    &=\dfrac{e_n}{2}
    \end{align*}$
    La suite $\left(e_n\right)$ est donc géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$ et de premier terme $e_0=300-200=100$.
    $\quad$
    b. On a ainsi $e_0 = 100 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$ et $d_n = 200+100\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$.
    $\quad$
    c. $-1 < \dfrac{1}{2} < 1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} \left(\dfrac{1}{2}\right)^n = 0$.
    Ainsi $\lim\limits_{n \to +\infty} d_n = 200$.
    La suite $\left(d_n\right)$ converge donc vers $200$.
    $\quad$
  4. a. $P(n)=2n^2-(n+1)^2 = 2n^2-n^2-2n-1 = n^2-2n-1$
    $\Delta = 4+4=8$.
    Ce polynôme possède donc deux racines : $n_1 = \dfrac{2-\sqrt{8}}{2}=1-\sqrt{2} \approx -0,41$ et $n_2=1+\sqrt{2}\approx 2,41$.
    Le polynôme $P(n)$ est donc positif à l’extérieur des racines.
    Par conséquent pour tout entier naturel $n \ge n_2$ on a $2n^2 – (n+1)^2 \ge 0$.
    On obtient ainsi le résultat : pour tout entier naturel supérieur ou égal à $3$ $2n^2 \ge (n+1)^2$.
    $\quad$
    b.
    Initialisation : Si $n=4$ on a : $2^4 = 16$ et $4^2 = 16$.
    Par conséquent la propriété est vraie au rang $4$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $2^n \ge n^2$.
    $\begin{align*} 2^{n+1} &= 2\times 2^n \\\\
    & \ge 2n^2 \\\\
    & \ge (n+1)^2  \quad \text{d’après la question précédente}
    \end{align*}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $4$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $4$, $2^n \ge n^2$.
    $\quad$
    c. Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $4$.
    On a donc $100n \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \ge 0$ en tant que produit de facteurs positifs.
    $\begin{align*} 100n\left(\dfrac{1}{2}\right)^n &=\dfrac{100n}{2^n} \\\\
    & \le \dfrac{100n}{n^2} \\\\
    & \le \dfrac{100}{n}
    \end{align*}$
    Ainsi $0 \le 100n \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \le \dfrac{100}{n}$
    $\quad$
    Or $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{100}{n} = 0$.
    D’après le théorème des gendarmes on a donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 100n \left(\dfrac{1}{2}\right)^n = 0$.
    Or $\lim\limits_{n\to +\infty} 110\left(\dfrac{1}{2}\right)^n = 0$.
    Ainsi, par somme de limites, $\lim\limits_{n\to +\infty} a_n = 340$.
    La suite $\left(a_n\right)$ converge donc vers $340$.
    $\quad$

Exercice 4

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

  1. a. A la fin du  mois $n$, il ne reste plus, au niveau avancé, que la moitié  des internautes soit $\dfrac{1}{2}a_n$.
    La moitié des débutants rejoint ce groupe soit $\dfrac{1}{2}d_n$.
    Il y a $70$ nouveaux internautes.
    On a donc bien au début mois $n+1$ il y a donc bien $\dfrac{1}{2}d_n+\dfrac{1}{2}a_n+70$ internautes au niveau avancé.
    $\quad$
    b. On pose $A=\begin{pmatrix} 0,5&0 \\0,5&0,5\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} 100\\70\end{pmatrix}$
    Ainsi $U_{n+1}=AU_n+B$.
    $\quad$
  2. Initialisation : Soit $n=1$. On a $A^1 = A = \begin{pmatrix} 0,5&0 \\0,5&0,5\end{pmatrix}$
    Or $\dfrac{1}{2}\left(I_2+T\right) = \dfrac{1}{2}\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix} = A$
    La propriété est donc vraie au rang $1$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $A^n=\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\left(I_2+nT\right)$.
    $\begin{align*} A^{n+1} &= A \times A^n \\\\
    &= \dfrac{1}{2}\left(I_2+T\right) \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n\left(I_2+nT\right) \\\\
    &= \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}\left(I_2+nT+T+nT^2 \right) \\\\
    &= \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}\left(I_2+(n+1)T+nT^2 \right)
    \end{align*}$
    Or $T^2 = \begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$
    Donc $A^n=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}\left(I_2+(n+1)T\right)$.
    La propriété est vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $A^n=\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\left(I_2+nT\right)$.
    $\quad$
  3. a. $C=AC+B \ssi C-AC = B \ssi \left(I_2-A\right)C=B$.
    Or $I_2-A=\begin{pmatrix}0,5 & 0 \\-0,5&0,5 \end{pmatrix}$.
    Cette matrice est inversible car $0,5\times 0,5 – (-0,5)\times 0 =0,25 \neq 0$.
    Son inverse est la matrice $\left(I_2-A\right)^{1}=\begin{pmatrix}2&0\\2&2\end{pmatrix}$.
    Ainsi $C=\left(I_2-A\right)^{1} \times B = \begin{pmatrix}200\\340\end{pmatrix}$.
    $\quad$
    b.
    $\begin{align*} V_{n+1} &=U_{n+1}-\begin{pmatrix}200\\340\end{pmatrix} \\\\
    &= AU_n+B-C \\\\
    &=AU_n+B-(AC+B) \\\\
    &=A\left(U_n-C\right) \\\\
    &=AV_n
    \end{align*}$
    $\quad$
    c. On a $V_0=\begin{pmatrix}100\\110\end{pmatrix}$ et $U_n=A^nV_0+\begin{pmatrix}200\\340\end{pmatrix}$.
    Or $A^n=\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\left(I_2+nT\right) = \begin{pmatrix}\left(\dfrac{1}{2}\right)^n &0 \\\\n\left(\dfrac{1}{2}\right)^n + \left(\dfrac{1}{2}\right)^n\end{pmatrix}$
    Ainsi $U_n= \begin{pmatrix} 100\left(\dfrac{1}{2}\right)^n+200\\\\100n\left(\dfrac{1}{2}\right)^n+110\left(\dfrac{1}{2}\right)^n+340\end{pmatrix}$.
    $\quad$
  4. a. Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $4$.
    On a donc $100n \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \ge 0$ en tant que produit de facteurs positifs.
    $\begin{align*} 100n\left(\dfrac{1}{2}\right)^n &=\dfrac{100n}{2^n} \\\\
    & \le \dfrac{100n}{n^2} \\\\
    & \le \dfrac{100}{n}
    \end{align*}$
    Ainsi $0 \le 100n \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \le \dfrac{100}{n}$
    $\quad$
    b. Puisque $-1 <\dfrac{1}{2} < 1$ on a donc $\lim\limits_{n \to +\infty} \left(\dfrac{1}{2}\right)^n =0$. Ainsi $\lim\limits_{n \to +\infty} d_n = 200$
    $\quad$
    De plus $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{100}{n} = 0$.
    D’après le théorème des gendarmes on a donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 100n \left(\dfrac{1}{2}\right)^n = 0$.
    Or $\lim\limits_{n\to +\infty} 110\left(\dfrac{1}{2}\right)^n = 0$.
    Ainsi, par somme de limites, $\lim\limits_{n\to +\infty} a_n = 340$.
    La suite $\left(a_n\right)$ converge donc vers $340$.
    $\quad$
    Ainsi sur le long terme le site aura $200$ internautes présents au niveau débutant et $340$ internautes au niveau avancé.

Bac S – Polynésie – Septembre 2015

Polynésie – Septembre 2015

Bac S – Mathématiques – Enoncé

La correction de ce sujet de bac est disponible ici.

Exercice 1  –  7 points

Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.

Partie A

On rappelle que la partie réelle d’un nombre complexe $z$ est notée $\Re (z)$.

  1. Déterminer l’écriture exponentielle du nombre complexe $u = 1 – \ic$.
    $\quad$
  2. Déterminer, pour tout réel $\theta$, la forme algébrique et l’écriture exponentielle du nombre complexe $\e^{\ic \theta} (1 – \ic)$.
    $\quad$
  3. Déduire des questions précédentes que, pour tout réel $\theta$,
    $\cos(\theta) + \sin(\theta) = \sqrt{2} \cos \left(\theta – \dfrac{\pi}{4}\right)$.
    $\quad$

Partie B

Dans cette partie, on admet que, pour tout réel $\theta$, $\cos(\theta) + \sin(\theta) = \sqrt{2} \cos \left(\theta – \dfrac{\pi}{4}\right)$.

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur l’intervalle $[0;+ \infty[$ par: $$f(x) = \e^{-x} \cos(x)\quad \text{et}\quad g(x) = \e^{-x}.$$

On définit la fonction $h$ sur $[0;+ \infty[$ par $h(x) = g(x) – f(x)$.

Les représentations graphiques $\mathscr{C}_f$, $\mathscr{C}_g$ et $\mathscr{C}_h$ des fonctions $f,\: g$ et $h$ sont données, en annexe, dans un repère orthogonal.

  1. Conjecturer:
    a. les limites des fonctions $f$ et $g$ en $+\infty$ ;
    $\quad$
    b. la position relative de $\mathscr{C}_f$ par rapport à $\mathscr{C}_g$ ;
    $\quad$
    c. la valeur de l’abscisse $x$ pour laquelle l’écart entre les deux courbes $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ est maximal.
    $\quad$
  2. Justifier que $\mathscr{C}_g$ est située au-dessus de $\mathscr{C}_f$ sur l’intervalle $[0;+ \infty[$.
    $\quad$
  3. Démontrer que la droite d’équation $y = 0$ est asymptote horizontale aux courbes $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$.
    $\quad$
  4. a. On note $h’$ la fonction dérivée de la fonction $h$ sur l’intervalle $[0;+ \infty[$.
    Démontrer que, pour tout $x$ de l’intervalle $[0;+ \infty[$, $h'(x) = \e^{-x} \left[\sqrt{2}\cos \left(x – \dfrac{\pi}{4}\right) – 1\right]$.
    $\quad$
    b. Justifier que, sur l’intervalle $\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$, $\sqrt{2} \cos \left(x – \dfrac{\pi}{4}\right) – 1 \ge 0$ et que, sur l’intervalle $\left[\dfrac{\pi}{2};2\pi\right]$, $ \sqrt{2} \cos \left(x – \dfrac{\pi}{4}\right) – 1 \le 0$.
    $\quad$
    c. En déduire le tableau de variation de la fonction $h$ sur l’intervalle $[0;2\pi]$.
    $\quad$
  5. On admet que, sur l’intervalle $[0;+ \infty[$, la fonction $H$ définie par $$H(x) = \dfrac{1}{2} \e^{-x} [- 2 + \cos (x) – \sin (x)$$ est une primitive de la fonction $h$.
    On note $\mathscr{D}$ le domaine du plan délimité par les courbes $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$, et les droites d’équations $x = 0$ et $x = 2\pi$.
    Calculer l’aire $\mathscr{A}$ du domaine $\mathscr{D}$, exprimée en unités d’aire.
    $\quad$

Annexe

TS-polynésie-sept2015-ex1

 

 Exercice 2  –  5 points

 Partie A

On étudie une maladie dans la population d’un pays. On a constaté que le taux, en nanogrammes par millilitre (ng.mL$^{-1}$), d’une substance Gamma présente dans le sang est plus élevé chez les personnes atteintes de cette maladie que chez les personnes qui n’en sont pas atteintes.

  1. Le taux de cette substance Gamma dans la population des personnes qui ne sont pas atteintes par la maladie est modélisé par une variable aléatoire $T$ qui suit la loi normale d’espérance $\mu = 40$ et d’écart-type $\sigma = 8$.
    On choisit au hasard une personne parmi celles qui ne sont pas atteintes par la maladie étudiée.
    Calculer la probabilité que le taux dans le sang de la substance Gamma soit supérieur à $60$ ng.mL$^{-1}$.
    $\quad$
  2. Des études ont mis en évidence que le taux moyen de la substance Gamma chez les personnes atteintes par la maladie étudiée est de $50$ ng.mL$^{-1}$ et que $10\%$ d’entre elles ont un taux de substance Gamma inférieur à 43 ng.mL$^{-1}$.
    On appelle $T’$ la variable aléatoire qui modélise le taux de la substance Gamma en ng.mL$^{-1}$ chez une personne atteinte par la maladie étudiée.
    On admet que $T’$ suit la loi normale d’espérance $\mu’$ et d’écart-type $\sigma’$.
    Préciser la valeur de $\mu’$ et déterminer la valeur de $\sigma’$.
    $\quad$

Partie B

Pour dépister chez une personne la maladie étudiée, on effectue une prise de sang. On considère que le dépistage est positif si le taux de la substance Gamma est supérieur ou égal à 45 ng.mL$^{-1}$.
Une personne étant choisie au hasard dans la population, on appelle :

  • $M$ l’événement “le patient est atteint par la maladie étudiée” ;
  • $D$ l’événement “le patient a un dépistage positif”.

On admet que :

  • $82\%$ des personnes atteintes par la maladie étudiée ont un dépistage positif ;
  • $73\%$ des personnes non atteintes par cette maladie ont un dépistage négatif.

On sait de plus que $10\%$ de la population étudiée est atteinte par cette maladie.

  1. Démontrer que la probabilité qu’un patient ait un dépistage positif est de $0,325$.
    $\quad$
  2. Calculer $P_{\overline{D}}(M)$. Interpréter ce résultat.
    $\quad$
  3. Un patient a un dépistage positif. Le médecin le rassure en lui indiquant qu’il n’a qu’une chance sur quatre d’avoir contracté la maladie. Qu’en pensez- vous ?
    $\quad$

Partie C

Lors du dépistage précédent, la prise de sang est effectuée chez des sujets à jeun. Les données montrent que $82\%$ des patients malades ont un dépistage positif.
Pour améliorer le confort des personnes susceptibles de subir cet examen sanguin, on souhaite vérifier si le fait d’être à jeun est une condition indispensable dans le protocole.
On considère un groupe de $300$ personnes malades sur lesquelles la prise de sang n’est pas effectuée à jeun.
Le dépistage se révèle positif pour $74\%$ d’entre elles.
Ce dépistage peut-il être effectué sur des personnes qui ne sont pas à jeun ?
$\quad$

Exercice 3  –  3 points

$ABCDEFGH$ est un cube. $I$ est le milieu de $[AB]$, $J$ est le milieu de $[HD]$ et $K$ est le milieu de $[HG]$.

On se place dans le repère $\left(A;\vec{AB},\vec{AD},\vec{AE}\right)$.
TS-polynésie-sept2015-ex3

  1. Démontrer que le vecteur $\vec{CE}$ est un vecteur normal au plan $(IJK)$.
    $\quad$
  2. Démontrer que la droite $(BD)$ est parallèle au plan $(IJK)$.
    $\quad$
  3. Soit $M$ un point de la droite $(CE)$. Quelle est la position du point $M$ sur la droite $(CE)$ pour laquelle le plan $(BDM)$ est parallèle au plan $(IJK)$ ?
    $\quad$

Exercice 4  –  5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on appelle $S(n)$ le nombre égal à la somme des diviseurs positifs de $n$.

  1. Vérifier que $S(6) = 12$ et calculer $S(7)$.
    $\quad$
  2. a. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 2, $S(n) \ge 1 + n$.
    $\quad$
    b. Quels sont les entiers naturels $n$ tels que $S(n) = 1 + n$ ?
    $\quad$
  3. On suppose dans cette question que $n$ s’écrit $p \times q$ où $p$ et $q$ sont des nombres premiers distincts.
    a. Démontrer que $S(n) = (1 + p)(1 + q)$.
    $\quad$
    b. On considère la proposition suivante : “Pour tous entiers naturels $n$ et $m$ non nuls distincts, $S(n \times m) = S(n) \times S(m)$”.
    Cette proposition est-elle vraie ou fausse ? Justifier.
    $\quad$
  4. On suppose dans cette question que l’entier $n$ s’écrit $p^k$, où $p$ est un nombre premier et $k$ un nombre entier naturel non nul.
    a. Quels sont les diviseurs de $n$ ?
    $\quad$
    b. En déduire que $S(n) = \dfrac{1- p^{k+1}}{1- p}$.
    $\quad$
  5. On suppose dans cette question que $n$ s’écrit $p^{13} \times q^7$, où $p$ et $q$ sont des nombres premiers distincts.
    a. Soit $m$ un entier naturel.
    Démontrer que $m$ divise $n$ si, et seulement si, il existe deux nombres entiers $s$ et $t$ avec $0 \le s \le 13$ et $0 \le t \le 7$ tels que $m = p^s \times q^t$.
    $\quad$
    b. Démontrer que $S(n) = \dfrac{1 – p^{14}}{1 – p} \times \dfrac{1 – q^8}{1 – q}$.
    $\quad$

Bac S – Métropole – Septembre 2015

Métropole – Septembre 2015

Bac S – Mathématiques – Correction

La correction de ce sujet de bac est disponible ici.

Exercice 1  –  5 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions, quatre réponses sont proposées, dont une seule est exacte. Le candidat portera sur la copie le numéro de la question suivi de la réponse choisie. On ne demande pas de justification. Il est attribué $1$ point si la réponse est exacte. Aucun point n’est enlevé en l’absence de réponse ou en cas de réponse fausse.

Question 1

On considère l’arbre de probabilités ci-dessous :

S-metropole-sept2015-eno-ex1

 

Quelle est la probabilité de l’événement $B$ ?

a. $0,12$ $\qquad$ b. $0,2$ $\qquad$ c. $0,24$ $\qquad$ d. $0,5$

$\quad$

Question 2

Le césium 137 est un élément radioactif qui constitue une des principales sources de radioactivité des déchets des réacteurs nucléaires. Le temps $T$, en années, durant lequel un atome de césium 137 reste radioactif peut être assimilé à une variable aléatoire $T$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = \dfrac{\ln 2}{30}$.

Quelle est la probabilité qu’un atome de césium 137 reste radioactif durant au moins $60$ ans ?

a. $0,125$ $\qquad$ b. $0,25$ $\qquad$ c. $0,75$ $\qquad$ d. $0,875$

$\quad$

Question 3

Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi normale d’espérance $\mu = 110$ et d’écart-type $\sigma = 25$.

Quelle est la valeur arrondie au millième de la probabilité $P( X \ge 135)$ ?

a. $0,159$ $\qquad$ b. $0,317$ $\qquad$ c. $0,683$ $\qquad$ d. $0,841$

$\quad$

Question 4

On lance une pièce de monnaie bien équilibrée $100$ fois de suite.

Lequel des intervalles ci-dessous est un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de la fréquence d’apparition de la face pile de cette pièce ?

a. $[0,371;0,637]$
b. $[0,480;0,523]$
c. $[0,402;0,598]$
d. $[0,412;0,695]$

$\quad$

Question 5

Une entreprise souhaite obtenir une estimation de la proportion de personnes de plus de $60$ ans parmi ses clients, au niveau de confiance de $95\%$, avec un intervalle d’amplitude inférieure à $0,05$.

Quel est le nombre minimum de clients à interroger ?

a. $400$ $\qquad b. $800$ $\qquad$ c.$1~600$ d. $3~200$

$\quad$

Exercice 2  –  7 points

Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur l’intervalle $[0;+\infty[$ telle que : $$f(x) = \dfrac{x}{\e^x – x}$$
On admet que la fonction $f$ est positive sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
On note $\mathscr{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal du plan.
La courbe $\mathscr{C}$ est représentée en annexe, à rendre avec la copie.


Partie A

Soit la suite $\left(I_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $I_n = \displaystyle\int_0^n f(x) \mathrm{d}x$.
On ne cherchera pas à calculer la valeur exacte de $I_n$ en fonction de $n$.

  1. Montrer que la suite $\left(I_n\right)$ est croissante.
    $\quad$
  2. On admet que pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0;+ \infty[$, $\e^x – x \ge \dfrac{\e^x}{2}$.
    a. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $I_n \leq\displaystyle\int_0^n 2x \e^{- x}\mathrm{d}x$.
    $\quad$
    b. Soit $H$ la fonction définie et dérivable sur l’intervalle $[0;+ \infty[$ telle que : $$H(x) = (- x – 1)\e^{- x}$$
    Déterminer la fonction dérivée $H’$ de la fonction $H$.
    $\quad$
    c. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $I_n \le 2$.
    $\quad$
  3. Montrer que la suite $\left(I_n\right)$ est convergente. On ne demande pas la valeur de sa limite.
    $\quad$

Partie B

On considère l’algorithme suivant dans lequel les variables sont

  • $K$ et $i$ des entiers naturels, $K$ étant non nul;
  • $A$, $x$ et $h$ des réels.

Entrée :
$\quad$ Saisir $K$ entier naturel non nul

Initialisation :
$\quad$ Affecter à $A$ la valeur $0$
$\quad$ Affecter à $x$ la valeur $0$
$\quad$ Affecter à $h$ la valeur $\dfrac{1}{K}$

Traitement :
$\quad$ Pour $i$ variant de 1 à $K$
$\qquad$ Affecter à $A$ la valeur $A + h \times f(x)$
$\qquad$ Affecter à $x$ la valeur $x + h$
$\quad$ Fin Pour

Sortie :
$\quad$ Afficher $A$

  1. Reproduire et compléter le tableau suivant, en faisant fonctionner cet algorithme pour $K = 4$. Les valeurs successives de $A$ seront arrondies au millième.
    $$\begin{array}{|c|c|c|}
    \hline
    i & A & x\\
    \hline
    1 & &\\
    \hline
    2 & &\\
    \hline
    3 & &\\
    \hline
    4 & &\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  2. En l’illustrant sur l’annexe à rendre avec la copie, donner une interprétation graphique du résultat affiché par cet algorithme pour $K = 8$.
    $\quad$
  3. Que donne l’algorithme lorsque $K$ devient grand ?
    $\quad$

Annexe 1

Courbe $\mathscr{C}$, représentative de la fonction $f$ sur $[0;6]$

S-metropole-sept2015-eno-ex2
Annexe 2

Courbe $\mathscr{C}$, représentative de la fonction $f$ sur $[0;1]$

S-metropole-sept2015-eno-ex2.1

 

Exercice 3  –  5 points

Candidats n’ayant pas suivi la spécialité

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé, on considère :

  • les points A$(0;1;-1)$ et B$(- 2;2;- 1)$.
    $\quad$
  • La droite $\mathscr{D}$ de représentation paramétrique $\begin{cases} x=-2 + t\\\\y=1 + t \qquad t\in\R \\\\z=-1 – t \end{cases}$
  1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(AB)$.
    $\quad$
  2. a. Montrer que les droites $(AB)$ et $\mathscr{D}$ ne sont pas parallèles.
    $\quad$
    b. Montrer que les droites $(AB)$ et $\mathscr{D}$ ne sont pas sécantes.
    $\quad$
    Dans la suite la lettre $u$ désigne un nombre réel.
    On considère le point $M$ de la droite $\mathscr{D}$ de coordonnées $(-2 + u;1 + u;-1 – u)$.
  3. Vérifier que le plan $\mathscr{P}$ d’équation $x + y – z – 3u = 0$ est orthogonal à la droite $\mathscr{D}$ et passe par le point $M$.
    $\quad$
  4. \item Montrer que le plan $\mathcal{P}$ et la droite (AB) sont sécants en un point $N$ de coordonnées $(-4 + 6u;3 – 3u;-1)$.
    $\quad$
  5. a. Montrer que la droite $(MN)$ est perpendiculaire à la droite $\mathscr{D}$.
    $\quad$
    b. Existe-t-il une valeur du nombre réel $u$ pour laquelle la droite $(MN)$ est perpendiculaire à la droite $(AB)$ ?
    $\quad$
  6. a. Exprimer $MN^2$ en fonction de $u$.
    $\quad$
    b. En déduire la valeur du réel $u$ pour laquelle la distance $MN$ est minimale.
    $\quad$

Exercice 3  –  5 points

Pour les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

On considère l’équation (E) : $15x – 26k = m$ où $x$ et $k$ désignent des nombres entiers relatifs et $m$ est un paramètre entier non nul.

 

  1. Justifier, en énonçant un théorème, qu’il existe un couple d’entiers relatifs $(u;v)$ tel que $15u – 26v = 1$.
    Trouver un tel couple.
    $\quad$
  2. En déduire une solution particulière $\left(x_0;k_0\right)$ de l’équation (E).
    $\quad$
  3. Montrer que $(x;k)$ est solution de l’équation (E) si et seulement si $15\left(x-x_0\right)-26\left(k-k_0\right) = 0$.
    $\quad$
  4. Montrer que les solutions de l’équation (E) sont exactement les couples $(x;k)$ d’entiers relatifs tels que : $$\begin{cases} x=26q + 7m \\\\k=15q +4m\end{cases} \quad \text{ où } q \in \Z.$$
    $\quad$

Partie B

On fait correspondre à chaque lettre de l’alphabet un nombre entier comme l’indique le tableau ci-dessous.

$$\begin{array}{l}
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
A &B &C &D &E &F &G &H &I& J &K &L &M\\\\
\hline
\phantom{1}0& \phantom{1}1 &\phantom{1}2 &\phantom{1}3 &\phantom{1}4 &\phantom{1}5 &\phantom{1}6 &\phantom{1}7 &\phantom{1}8 &\phantom{1}9 &10 &11 &12\\\\
\hline
\end{array} \\
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
N&O&P&Q&R&S&T&U&V&W&X&Y&Z\\\\
\hline
13&14&15&16&17&18&19&20&21&22&23&24&25\\\\ \hline
\end{array}\end{array}
$$

 

On définit un système de codage :

  • à chaque lettre de l’alphabet, on associe l’entier $x$ correspondant,
  • on associe ensuite à $x$ l’entier $y$ qui est le reste de la division euclidienne de $15x + 7$ par $26$,
  • \item on associe à $y$ la lettre correspondante.

Ainsi, par cette méthode, la lettre $E$ est associée à $4$, $4$ est transformé en $15$ et $15$ correspond à la lettre $P$ et donc la lettre $E$ est codée par la lettre $P$.

  1. Coder le mot $MATHS$.
    $\quad$
  2. Soit $x$ le nombre associé à une lettre de l’alphabet à l’aide du tableau initial et $y$ le reste de la division euclidienne de $15x + 7$ par $26$.
    a. Montrer alors qu’il existe un entier relatif $k$ tel que $15x-26k = y-7$.
    $\quad$
    b. En déduire que $x = 7y + 3$ (mod $26$).
    $\quad$
    c. En déduire une description du système de décodage associé au système de codage considéré.
    $\quad$
  3. Expliquer pourquoi la lettre $W$ dans un message codé sera décodée par la lettre $B$.
    Décoder le mot $WHL$.
    $\quad$
  4. Montrer que, par ce système de codage, deux lettres différentes sont codées par deux lettres différentes.
    $\quad$

Exercice 4  –  3 points

 

On considère la fonction $f$ définie sur $]0; +\infty[$ par $$f(x) = \dfrac{1}{x}(1 + \ln x)$$

    1. Dans les trois situations suivantes, on a dessiné, dans un repère orthonormé, la courbe représentative $\mathscr{C}_f$ de la fonction $f$ et une courbe $\mathscr{C}_F$. Dans une seule situation, la courbe $\mathscr{C}_F$ est la courbe représentative d’une primitive $F$ de la fonction $f$. Laquelle ? Justifier la réponse.Situation 1
      S-metropole-sept2015-eno-ex4.1

      Situation 2
      S-metropole-sept2015-eno-ex4.2

      Situation 3
      S-metropole-sept2015-eno-ex4.3
    2.  Dans la situation retenue à la question 1, on appelle :
      • $K$ le point d’intersection de la courbe $\mathscr{C}_f$ et de l’axe des abscisses et $\mathscr{D}$ la droite passant par $K$ et parallèle à l’axe des ordonnées ;
      •  $L$ le point d’intersection de $\mathscr{C}_F$ et de l’axe des abscisses, ayant une abscisse supérieure à $\dfrac{1}{2}$ et $\Delta$ la droite passant par $L$ et parallèle à l’axe des ordonnées.
      $\quad$
      a. Déterminer une valeur approchée de l’aire du domaine du plan délimité par les droites $\mathscr{D}$ et $\Delta$, par la courbe $\mathscr{C}_f$ et par l’axe des abscisses.
      $\quad$
      b. Peut-on déterminer la valeur exacte de cette aire ?
      $\quad$