Bac S – Polynésie – juin 2016 – Énoncé

Polynésie – juin 2016

Bac S – Mathématiques – Énoncé

La correction de ce sujet de bac est disponible ici.

Exercice 1    7 points

Partie A

Voici deux courbes $\mathscr{C}_1$ et $\mathscr{C}_2$ qui donnent pour deux personnes $P_1$ et $P_2$ de corpulences différentes la concentration $C$ d’alcool dans le sang (taux d’alcoolémie) en fonction du temps $t$ après ingestion de la même quantité d’alcool. L’instant $t = 0$ correspond au moment où les deux individus ingèrent l’alcool.
$C$ est exprimée en gramme par litre et $t$ en heure.

Définition : La corpulence est le nom scientifique correspondant au volume du corps

 

  1. La fonction $C$ est définie sur l’intervalle $[0;+\infty[$ et on note $C’$ sa fonction dérivée. À un instant $t$ positif ou nul, la vitesse d’apparition d’alcool dans le sang est donnée par $C'(t)$.
    À quel instant cette vitesse est-elle maximale ?
    On dit souvent qu’une personne de faible corpulence subit plus vite les effets de l’alcool.
    $\quad$
  2. Sur le graphique précédent, identifier la courbe correspondant à la personne la plus corpulente. Justifier le choix effectué.
    $\quad$
  3. Une personne à jeun absorbe de l’alcool. On admet que la concentration $C$ d’alcool dans son sang peut être modélisée par la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $$f(t) = A t\e^{-t}$$ où $A$ est une constante positive qui dépend de la corpulence et de la quantité d’alcool absorbée.
    a. On note $f’$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Déterminer $f'(0)$.
    $\quad$
    b. L’affirmation suivante est-elle vraie ?
    “À quantité d’alcool absorbée égale, plus $A$ est grand, plus la personne est corpulente.”
    $\quad$

Partie B – Un cas particulier

Paul, étudiant de 19 ans de corpulence moyenne et jeune conducteur, boit deux verres de rhum. La concentration $C$ d’alcool dans son sang est modélisée en fonction du temps $t$, exprimé en heure, par la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $$f(t) = 2 t\e^{-t}$$

  1. Étudier les variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    $\quad$
  2. À quel instant la concentration d’alcool dans le sang de Paul est-elle maximale ? Quelle est alors sa valeur? Arrondir à $10^{-2}$ près.
    $\quad$
  3. Rappeler la limite de $\dfrac{e^t}{t}$ lorsque $t$ tend vers $+ \infty$ et en déduire celle de $f(t)$ en $+ \infty$.
    Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  4. Paul veut savoir au bout de combien de temps il peut prendre sa voiture. On rappelle que la législation autorise une concentration maximale d’alcool dans le sang de $0,2$ g.L$^{-1}$ pour un jeune conducteur.
    a. Démontrer qu’il existe deux nombres réels $t_1$ et $t_2$ tels que $f\left(t_1\right) = f\left(t_2\right) = 0,2$.
    $\quad$
    b. Quelle durée minimale Paul doit-il attendre avant de pouvoir prendre le volant en toute légalité ?
    Donner le résultat arrondi à la minute la plus proche.
    $\quad$
  5. La concentration minimale d’alcool détectable dans le sang est estimée à $5 \times 10^{-3}$ g.L$^{-1}$.
    a. Justifier qu’il existe un instant $T$ à partir duquel la concentration d’alcool dans le sang n’est plus détectable.
    $\quad$
    b. On donne l’algorithme suivant où $f$ est la fonction définie par $f(t) = 2 t\e^{-t}$.
    Initialisation :
    $\quad$ $t$ prend la valeur $3,5$
    $\quad$ $p$ prend la valeur $0,25$
    $\quad$ $C$ prend la valeur $0,21$
    Traitement :
    $\quad$ Tant que $C > 5 \times 10^{-3}$ faire :
    $\qquad$ $t$ prend la valeur $t+p$
    $\qquad$ $C$ prend la valeur $f(t)$
    $\quad$ Fin Tant que
    Sortie:
    $\quad$ Afficher $t$
    $\quad$
    Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant en exécutant cet algorithme.
    Arrondir les valeurs à $10^{-2}$ près.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    &\text{Initialisation}&\text{Étape }1&\text{Étape }2\\
    \hline
    p &0,25 & &\\
    \hline
    t &3,5 & &\\
    \hline
    C &0,21 & &\\
    \hline
    \end{array}$
    Que représente la valeur affichée par cet algorithme ?
    $\quad$


$\quad$

Exercice 2    3 points

Soit $u$ la suite définie par $u_0 = 2$ et, pour tout entier naturel $n$, par $$u_{n+1} = 2u_n+2n^2-n$$

On considère également la suite $v$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $$v_n = u_n+2n^2+3n+5$$

  1. Voici un extrait de feuille de tableur :

    Quelles formules a-t-on écrites dans les cellules $C2$ et $B3$ et copiées vers le bas pour afficher les termes des suites $u$ et $v$ ?
    $\quad$
  2. Déterminer, en justifiant, une expression de $v_n$ et de $u_n$ en fonction de $n$ uniquement.
    $\quad$

Exercice 3    5 points

Partie A

Un astronome responsable d’un club d’astronomie a observé le ciel un soir d’août 2015 pour voir des étoiles filantes. Il a effectué des relevés du temps d’attente entre deux apparitions d’étoiles filantes. Il a alors modélisé ce temps d’attente, exprimé en minutes, par une variable aléatoire $T$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$. En exploitant les données obtenues, il a établi que $\lambda = 0,2$.
Il prévoit d’emmener un groupe de nouveaux adhérents de son club lors du mois d’août 2016 pour observer des étoiles filantes. Il suppose qu’il sera dans des conditions d’observation analogues à celles d’août 2015.
L’astronome veut s’assurer que le groupe ne s’ennuiera pas et décide de faire quelques calculs de probabilités dont les résultats serviront à animer la discussion.

  1. Lorsque le groupe voit une étoile filante, vérifier que la probabilité qu’il attende moins de $3$ minutes pour voir l’étoile filante suivante est environ $0,451$.
    $\quad$
  2. Lorsque le groupe voit une étoile filante, quelle durée minimale doit-il attendre pour voir la suivante avec une probabilité supérieure à $0,95$ ? Arrondir ce temps à la minute près.
    $\quad$
  3. L’astronome a prévu une sortie de deux heures. Estimer le nombre moyen d’observations d’étoiles filantes lors de cette sortie.
    $\quad$

Partie B

Ce responsable adresse un questionnaire à ses adhérents pour mieux les connaître. Il obtient les informations suivantes :

  • $64\%$ des personnes interrogées sont des nouveaux adhérents ;
  • $27\%$ des personnes interrogées sont des anciens adhérents qui possèdent un télescope personnel ;
  • $65\%$ des nouveaux adhérents n’ont pas de télescope personnel.
  1. On choisit un adhérent au hasard.
    Montrer que la probabilité que cet adhérent possède un télescope personnel est $0,494$.
    $\quad$
  2. On choisit au hasard un adhérent parmi ceux qui possèdent un télescope personnel.
    Quelle est la probabilité que ce soit un nouvel adhérent? Arrondir à $10^{-3}$ près.
    $\quad$

Partie C

Pour des raisons pratiques, l’astronome responsable du club souhaiterait installer un site d’observation sur les hauteurs d’une petite ville de $2~500$ habitants. Mais la pollution lumineuse due à l’éclairage public nuit à la qualité des observations. Pour tenter de convaincre la mairie de couper l’éclairage nocturne pendant les nuits d’observation, l’astronome réalise un sondage aléatoire auprès de $100$~habitants et obtient $54$ avis favorables à la coupure de l’éclairage nocturne.

L’ astronome fait l’hypothèse que $50\%$ de la population du village est favorable à la coupure de l’éclairage nocturne. Le résultat de ce sondage l’amène-t-il à changer d’avis ?
$\quad$

Exercice 4    5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Pour chacune des cinq propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie.
Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte. Une absence de réponse n’est pas pénalisée.

  1. Proposition 1 :
    Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé, les points $A$, $B$ et $C$ d’affixes respectives $z_{A} = \sqrt{2} + 3\ic$, $z_{B} = 1 + \ic$ et $z_{C} = -4\ic$ ne sont pas alignés.
    $\quad$
  2. Proposition 2 :
    Il n’existe pas d’entier naturel $n$ non nul tel que $\left[\ic(1 + \ic)\right]^{2n}$ soit un réel strictement positif.
    $\quad$
  3. $ABCDEFGH$ est un cube de côté $1$. Le point $L$ est tel que $\vect{EL} = \dfrac{1}{3}\vect{EF}$.

    Proposition 3 : 
    La section du cube par le plan $(BDL)$ est un triangle.
    $\quad$
    Proposition 4 : Le triangle $DBL$ est rectangle en $B$.
    $\quad$
  4. On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[2;5]$ et dont on connaît le tableau de variations donné ci-dessous :

    Proposition 5 : L’intégrale $\displaystyle\int_2^5 f(x)\dx$ est comprise entre $1,5$ et $6$.
    $\quad$

Exercice 4    5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Pour chacune des cinq propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie.
Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte. Une absence de réponse n’est pas pénalisée.

  1. Proposition 1
    Pour tout entier naturel $n$, le chiffre des unités de $n^2 + n$ n’est jamais égal à $4$.
    $\quad$
  2. On considère la suite $u$ définie, pour $n \pg 1$, par $$u_n = \dfrac{1}{n} \text{pgcd}(20;n).$$
    Proposition 2
    La suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
    $\quad$
  3. Proposition 3
    Pour toutes matrices $A$ et $B$ carrées de dimension 2, on a $A \times B = B \times A$.
    $\quad$
  4. Un mobile peut occuper deux positions $A$ et $B$. À chaque étape, il peut soit rester dans la position dans laquelle il se trouve, soit en changer.
    Pour tout entier naturel $n$, on note :
    $\bullet$ $A_n$ l’événement “le mobile se trouve dans la position $A$ à l’étape $n$” et $a_n$ sa probabilité.
    $\bullet$ $B_n$ l’événement “le mobile se trouve dans la position $B$ à l’étape $n$” et $b_n$ sa probabilité.
    $\bullet$ $X_n$ la matrice colonne $\begin{pmatrix}a_n\\b_n\end{pmatrix}$.
    On admet que, pour tout entier nature $n$, $X_{n+1} = M \times X_n$ avec $M = \begin{pmatrix}0,55&0,3\\ 0,45&0,7\end{pmatrix}$.
    Proposition 4
    La probabilité $P_{A_n} \left(B_{n+1}\right)$ vaut $0,45$.
    $\quad$
    Proposition 5
    Il existe un état initial $X_0 = \begin{pmatrix}a_0\\b_0\end{pmatrix}$ tel que la probabilité d’être en $B$ à l’étape $1$ est trois fois plus grande que celle d’être en $A$ à l’étape $1$, autrement dit tel que $b_1 = 3a_1$.
    $\quad$

Bac S – Centres étrangers – juin 2016 – énoncé

Centres étrangers – Juin 2016

Bac S – Mathématiques – Énoncé 

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Exercice 1    4 points

Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte. une absence de réponse n’est pas pénalisée.

  1. Dans une boulangerie industrielle, on prélève au hasard une baguette de pain dans la production.
    On admet que la variable aléatoire exprimant sa masse, en gramme, suit la loi normale d’espérance $200$ et d’écart-type $10$.
    $\quad$
    Affirmation 1
    La probabilité que la masse de la baguette soit supérieure à $187$ g est supérieure à $0,9$.
    $\quad$
  2. Affirmation 2
    L’équation $x-\cos x=0$ admet une unique solution dans l’intervalle $\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$.
    $\quad$
    Dans les questions 3. et 4., l’espace est rapporté à un repère orthonormal et l’on considère les droites $\mathscr{D}_1$ et $\mathscr{D}_2$ qui admettent pour représentations paramétriques respectives :
    $$\begin{cases}x=1+2t\\y=2-3t\\z=4t\end{cases},~~ t\in\mathbb{R}\text{ et }\begin{cases}x=-5t’+3\\y=2t’\\z=t’+4\end{cases},~~ t’ \in \R$$
    $\quad$
  3. Affirmation 3
    Les droites $\mathscr{D}_1$ et $\mathscr{D}_2$ sont sécantes.
    $\quad$
  4. Affirmation 4
    La droite $\mathscr{D}_1$ est parallèle au plan d’équation $x+2y+z-3=0$.
    $\quad$

Exercice 2    6 points

Soit $f$ une fonction définie sur l’intervalle $[0;1]$, continue et positive sur cet intervalle, et $a$ une réel tel que $0<a<1$.
On note :

  • $\mathscr{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal ;
  • $\mathscr{A}_1$ l’aire du domaine plan limité par l’axe des abscisses et la courbe $\mathscr{C}$ d’une part, les droites d’équations $x=0$ et $x=a$ d’autre part.
  • $\mathscr{A}_2$ l’aire du domaine plan limité par l’axe des abscisses et la courbe $\mathscr{C}$ d’une part, les droites d’équations $x=a$ et $x=1$ d’autre part.

 

Le but de cet exercice est de déterminer, pour différentes fonctions $f$, une valeur du réel $a$ vérifiant la condition $(E)$ : “les aires $\mathscr{A}_1$ et $\mathscr{A}_2$ sont égales”.
On admet l’existence d’un tel réel $a$ pour chacune des fonctions considérées.

Partie A : Étude de quelques exemples

  1. Vérifier que dans les cas suivants, la condition $(E)$ est remplie pour un unique réel $a$ et déterminer sa valeur.
    a. $f$ est une fonction constante strictement positive.
    $\quad$
    b. $f$ est définie sur $[0;1]$ par $f(x)=x$.
    $\quad$
  2. a. À l’aide d’intégrales, exprimer, en unités d’aires, les aires $\mathscr{A}_1$ et $\mathscr{A}_2$.
    $\quad$
    b. On note $F$ une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;1]$.
    Démontrer que si le réel $a$ satisfait la condition $(E)$, alors $F(a)=\dfrac{F(0)+F(1)}{2}$.
    La réciproque est-elle vraie ?
    $\quad$
  3. Dans cette question, on envisage deux autres fonctions particulières.
    a. La fonction $f$ est définie pour tout réel $x$ de $[0;1]$ par $f(x)=\e^{x}$.
    Vérifier que la condition $(E)$ est vérifiée pour un unique réel $a$ et donner sa valeur.
    $\quad$
    b. La fonction $f$ définie pour tout réel $x$ de $\left[0;1\right]$ par $f(x)=\dfrac{1}{(x+2)^2}$.
    Vérifier que la valeur $a=\dfrac{2}{5}$ convient.
    $\quad$

Partie B : Utilisation d’une suite pour déterminer une valeur approchée de $\boldsymbol{a}$

Dans cette partie, on considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ de $[0;1]$ par $f(x)=4-3x^2$.

  1. Démontrer que si $a$ est un réel satisfaisant la condition $(E)$, alors $a$ est solution de l’équation : $$x=\dfrac{x^3}{4}+\dfrac{3}{8}$$
    Dans la suite de l’exercice, on admettra que cette équation a une unique solution dans l’intervalle $[0;1]$. On note $a$ cette solution.
    $\quad$
  2. On considère la fonction $g$ définie pour tout réel $x$ de $[0;1]$ par $g(x)=\dfrac{x^3}{4}+\dfrac{3}{8}$ et la suite $\left(u_n\right)$ définie par : $u_0=0$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=g\left(u_n\right)$.
    $\quad$
  3. Calculer $u_1$.
    $\quad$
  4. Démontrer que la fonction $g$ est croissante sur l’intervalle $[0;1]$.
    $\quad$
  5. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a $0\pp u_n\leqslant u_{n+1}\pp 1$.
    $\quad$
  6. Prouver que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
    À l’aide des opérations sur les limites, prouver que la limite est $a$.
    $\quad$
  7. On admet que le réel $a$ vérifie l’inégalité $0< a-u_{10}<10^{-9}$. Calculer $u_{10}$ à $10^{-8}$ près.
    $\quad$


$\quad$

Exercice 3    5 points

Un institut effectue un sondage pour connaître, dans une population donnée, la proportion de personnes qui sont favorables à un projet d’aménagement du territoire. Pour cela, on interroge un échantillon aléatoire de personnes de cette population, et l’on pose une question à chaque personne.

Les trois parties sont relatives à cette même situation, mais peuvent être traitées de manière indépendante.

Partie A : Nombre de personnes qui acceptent de répondre au sondage

On admet dans cette partie que la probabilité qu’une personne interrogée accepte de répondre à la question est égale à $0,6$.

  1. L’institut de sondage interroge $700$ personnes. On note $X$ la variable aléatoire correspondant au nombre de personnes interrogées qui acceptent de répondre à la question posée.
    a. Quelle est la loi de la variable aléatoire $X$ ? Justifier la réponse.
    $\quad$
    b. Quelle est la meilleure approximation de $P(X\pg 400)$ parmi les nombres suivants ?
    $$0,92\qquad 0,93\qquad 0,94\qquad0,95$$
    $\quad$
  2. Combien de personnes l’institut doit-il interroger au minimum pour garantir, avec une probabilité supérieur à $0,9$, que le nombre de personnes répondant au sondage soit supérieur ou égal à $400$.
    $\quad$

Partie B : Proportion de personnes favorables au projet dans la population

Dans cette partie, on suppose que $n$ personnes ont répondu à la question, et on admet que ces personnes constituent un échantillon aléatoire de taille $n$ (où $n$ est un entier naturel supérieur à $50$).
Parmi ces personnes, $29\%$ sont favorables au projet d’aménagement.

  1. Donner un intervalle de confiance, au niveau de confiance de $95\%$, de la proportion de personnes qui sont favorables au projet dans la population totale.
    $\quad$
  2. Déterminer la valeur minimale de l’entier $n$ pour que l’intervalle de confiance, au niveau de confiance de $95\%$, ait une amplitude inférieure ou égale à $0,04$.
    $\quad$

Partie C : Correction due à l’insincérité de certaines réponses

Dans cette partie, on suppose que, parmi les personnes sondées qui ont accepté de répondre à la question posée, $29\%$ affirment qu’elles sont favorables au projet.
L’institut de sondage sait par ailleurs que la question posée pouvant être gênante pour les personnes interrogées, certaines d’entre elles ne sont pas sincères et répondent le contraire de leur opinion véritable. Ainsi, une personne qui se dit favorable peut :

  • soit être en réalité favorable au projet si elle est sincère.
  • soit être en réalité défavorable au projet si elle n’est pas sincère.

Par expérience, l’institut estime à $15\%$ le taux de réponses non sincères parmi les personnes ayant répondu, et admet que ce taux est le même quelle que soit l’opinion de la personne interrogée.
Le but de cette partie est, à partir de ces données, de déterminer le taux réel de personnes favorables au projet, à l’aide d’un modèle probabiliste. On prélève au hasard la fiche d’une personne ayant répondu, et on définit :

  • $F$ l’événement “la personne est en réalité favorable au projet” ;
  • $\conj{F}$ l’événement “la personne est en réalité défavorable au projet” ;
  • $A$ l’événement “la personne affirme qu’elle est favorable au projet” ;
  • $\conj{A}$ l’événement “la personne affirme qu’elle est défavorable au projet”.

Ainsi, d’après les données, on a $p(A) = 0,29$.

  1. En interprétant les données de l’énoncé, indiquer les valeurs de $P_F(A)$ et $P_{\conj{F}}(A)$.
    $\quad$
  2. On pose $x = P(F)$.
    a. Reproduire sur la copie et compléter l’arbre de probabilité ci-dessous.

    $\quad$
    b. En déduire une égalité vérifiée par le réel $x$.
    $\quad$
  3. Déterminer, parmi les personnes ayant répondu au sondage, la proportion de celles qui sont réellement favorables au projet.
    $\quad$

 

Exercice 4    5 points

Candidat/e/s n’ayant pas choisi la spécialité mathématique

On veut modéliser dans le plan la coquille d’un nautile(photo ci-dessous) à l’aide d’une ligne brisée en forme de spirale. On s’intéresse à l’aire délimitée par cette ligne.

On munit le plan d’un repère orthonormal direct $\Ouv$.
Soit $n$ un entier supérieur ou égal à 2. Pour tout entier $k$ allant de 0 à $n$, on définit les nombres complexes $z_k=\left(1+\dfrac{k}{n}\right)\e^{\ic\frac{2k\pi}{n}}$ et on note $M_k$ le point d’affixe $z_k$.
Dans ce modèle, le pourtour du nautile est la ligne brisée reliant tous les points $M_k$ avec $0\pp k\pp n$.
Par exemple, pour les entiers $n=6$, $n=10$ et $n=20$, on obtient les figures ci-dessous.

Partie A : Ligne brisée formée à partir de sept points

Dans cette partie, on suppose que $n=6$. Ainsi, pour $0\pp k\pp 6$, on a $z_k=\left(1+\dfrac{k}{6}\right)\e^{\ic\frac{2k\pi}{6}}$.

  1. Déterminer la forme algébrique de $z_1$.
    $\quad$
  2. Vérifier que $z_0$ et $z_6$ sont des entiers que l’on déterminera.
    $\quad$
  3. Calculer la longueur de la hauteur issue de $M_1$ dans le triangle $OM_0M_1$ puis établir que l’aire de ce triangle est égale à $\dfrac{7\sqrt{3}}{24}$.
    $\quad$

Partie B : Ligne brisée formée à partir de $\boldsymbol{n+1}$ points

Dans cette partie, $n$ est un entier supérieur ou égal à $2$.

  1. Pour tout entier $k$ tel que $0\pp \pp n$, déterminer la longueur $OM_k$.
    $\quad$
  2. Pour $k$ entier tel que $0\pp k\pp n-1$, déterminer une mesure des angles $\left(\vec{u};\vect{OM_k}\right)$ et $\left(\vec{u};\vect{OM_{k+1}}\right)$.
    En déduire une mesure de l’angle $\left(\vect{OM_k};\vect{OM_{k+1}}\right)$.
    $\quad$
  3. Pour $k$ entier tel que $0\pp k\pp n-1$, démontrer que la longueur de la hauteur issue de $M_{k+1}$ dans le triangle $OM_kM_{k+1}$ est égale à $\left(1+\dfrac{k+1}{n}\right)\times \sin\left(\dfrac{2\pi}{n}\right)$.
    $\quad$
  4. On admet que l’aire du triangle $OM_kM_{k+1}$ est égale à $a_k=\dfrac{1}{2}\sin\left(\dfrac{2\pi}{n}\right)\times \left(1+\dfrac{k}{n}\right)\left(1+\dfrac{k+1}{n}\right)$ et que l’aire totale délimitée par la ligne brisée est égale à $A_n = a_0 + a_1 + \ldots + a_{n-1}$.
    L’algorithme suivant permet de calculer l’aire $A_n$ lorsqu’on entre l’entier $n$ :
    VARIABLES
    $\quad$ $A$ est un nombre réel
    $\quad$ $k$ est un entier
    $\quad$ $n$ est un entier
    $\quad$
    $\quad$ Lire la valeur de $n$
    $\quad$$A$ prend la valeur $0$
    $\quad$ Pour $k$ allant de $0$ à $n-1$
    $\qquad$ $A$ prend la valeur $A+\dfrac{1}{2}\sin\left(\dfrac{2\pi}{n}\right)\times \left(1+\dfrac{k}{n}\right)\left(1+\dfrac{k+1}{n}\right)$
    $\quad$ Fin Pour
    SORTIE
    $\quad$ Afficher $A$
    $\quad$
    On entre dans l’algorithme $n=10$
    Recopier et compléter le tableau ci-dessous qui illustre le fonctionnement de l’algorithme.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    k&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\
    \hline
    A&0,323&0,711&1,170&1,705&2,322&3,027&3,826&4,726&&\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  5. On admet que $A_2=0$ et que la suite $\left(A_n\right)$ converge et que $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}A_n=\dfrac{7\pi}{3}\approx 7,3$.
    Recopier et compléter les lignes $L6$ et $L13$ de l’algorithme ci-après qui permet de déterminer le plus petit entier $n$ tel que $A_n\pg 7,2$. On ne demande pas de déterminer $n$.
    $\quad$
    $L1$ $\text{VARIABLES :}$ $A$ est un nombre réel
    $L2$ $\phantom{\text{VARIABLES :}}$ $k$ est un entier
    $L3$ $\phantom{\text{VARIABLES :}}$ $n$ est un entier
    $L4$ $\text{TRAITEMENT :}$ $n$ prend la valeur $2$
    $L5$ $\phantom{\text{TRAITEMENT :}}$ $A$ prend la valeur $0$
    $\boldsymbol{L6}$ $\phantom{\text{TRAITEMENT :}}$ Tant que $\ldots\ldots\ldots\ldots$
    $L7$ $\phantom{\text{TRAITEMENT :}}$ $\quad$ $n$ prend la valeur $n+1$
    $L8$ $\phantom{\text{TRAITEMENT :}}$ $\quad$ $A$ prend la valeur $0$
    $L9$ $\phantom{\text{TRAITEMENT :}}$ $\quad$ Pour $k$ allant de 0 à $n-1$
    $L10$ $\phantom{\text{TRAITEMENT :}}$ $\qquad$ $A$ prend la valeur $A+\dfrac{1}{2}\sin\left(\dfrac{2\pi}{n}\right)\times \left(1+\dfrac{k}{n}\right)\left(1+\dfrac{k+1}{n}\right)$
    $L11$ $\phantom{\text{TRAITEMENT :}}$ $\qquad$ Fin Pour
    $L12$ $\phantom{\text{TRAITEMENT :}}$ Fin Tant que
    $\boldsymbol{L13}$ $\text{SORTIE :}$ Afficher $\ldots$
    $\quad$

 

Exercice 4    5 points

Candidat/e/s ayant choisi la spécialité mathématique

Le but de cet exercice est d’étudier, sur un exemple, une méthode de chiffrement publiée en 1929 par le mathématicien et cryptologue Lester Hill. Ce chiffrement repose sur la donnée d’une matrice $A$, connue uniquement de l’émetteur et du destinataire.
Dans tout l’exercice, on note $A$ la matrice définie par : $A = \begin{pmatrix}5&2\\7&7\end{pmatrix}$.

Partie A – Chiffrement de Hill

Voici les différentes étapes de chiffrement pour un mot comportant un nombre pair de lettres :

Étape 1 : On divise le mot en blocs de deux lettres consécutives puis, pour chaque bloc, on effectue chacune des étapes suivantes.
Étape 2 : On associe aux deux lettres du bloc les deux entiers $x_1$ et $x_2$ tous deux compris entre $0$ et $25$, qui correspondent aux deux lettres dans le même ordre, dans le tableau suivant :
$$\begin{array}{l}
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
A &B &C &D &E &F &G &H &I& J &K &L &M\\
\hline
\phantom{1}0& \phantom{1}1 &\phantom{1}2 &\phantom{1}3 &\phantom{1}4 &\phantom{1}5 &\phantom{1}6 &\phantom{1}7 &\phantom{1}8 &\phantom{1}9 &10 &11 &12\\
\hline
\end{array} \\
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
N&O&P&Q&R&S&T&U&V&W&X&Y&Z\\
\hline
13&14&15&16&17&18&19&20&21&22&23&24&25\\ \hline
\end{array}\end{array}
$$
Étape 3 : On transforme la matrice $X = \begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}$ en la matrice $Y = \begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix}$ vérifiant $Y = A X$.
Étape 4 : On transforme la matrice $Y = \begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix}$ en la matrice $R = \begin{pmatrix}r_1\\r_2\end{pmatrix}$, où $r_1$ est le reste de la division euclidienne de $y_1$ par 26 et $r_2$ celui de la division euclidienne de $y_2$ par 26.
Étape 5 : On associe aux entiers $r_1$ et $r_2$ les deux lettres correspondantes du tableau de l’étape 2.
Le bloc chiffré est le bloc obtenu en juxtaposant ces deux lettres.

Question : utiliser la méthode de chiffrement exposée pour chiffrer le mot “HILL”.

$\quad$

Partie B – Quelques outils mathématiques nécessaires au déchiffrement

  1. Soit $a$ un entier relatif premier avec $26$.
    Démontrer qu’il existe un entier relatif $u$ tel que $u \times a \equiv 1 \text{ modulo } 26$.
    $\quad$
  2. On considère l’algorithme suivant :
    VARIABLES :
    $\quad$ $a, u$, et $r$ sont des nombres ($a$ est naturel et premier avec $26$)
    TRAITEMENT :
    $\quad$ Lire $a$
    $\quad$ $u$ prend la valeur $0$, et $r$ prend la valeur $0$
    $\quad$ Tant que $r \ne 1$
    $\qquad$ $u$ prend la valeur $u + 1$
    $\qquad$ $r$ prend la valeur du reste de la division euclidienne de $u \times a$ par $26$
    $\quad$ Fin du Tant que
    SORTIE :
    $\quad$ Afficher $u$
    $\quad$
    On entre la valeur $a = 21$ dans cet algorithme.
    a. Reproduire sur la copie et compléter le tableau suivant, jusqu’à l’arrêt de l’algorithme.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    u&0&1&2&\ldots\\
    \hline
    r&0&21&\ldots&\ldots\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    b. En déduire que $5 \times 21 \equiv 1 \text{ modulo } 26$.
    $\quad$
  3. On rappelle que $A$ est la matrice $A = \begin{pmatrix}5&2\\7&7\end{pmatrix}$ et on note $I$ la matrice : $I = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$.
    a. Calculer la matrice $12A-A^2$.
    $\quad$
    b. En déduire la matrice $B$ telle que $BA = 21I$.
    $\quad$
    c. Démontrer que si $A X = Y$, alors $21 X = B Y$.
    $\quad$

Partie C – Déchiffrement

On veut déchiffrer le mot $VLUP$.
On note $X = \begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}$ la matrice associée, selon le tableau de correspondance, à un bloc de deux lettres avant chiffrement, et $Y = \begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix}$ la matrice définie par l’égalité : $Y = A X = \begin{pmatrix}5&2\\7&7\end{pmatrix}X$.
Si $r_1$ et $r_2$ sont les restes respectifs de $y_1$ et $y_2$ dans la division euclidienne par 26, le bloc de deux lettres après chiffrement est associé à la matrice $R = \begin{pmatrix}r_1\\r_2\end{pmatrix}$.

  1. Démontrer que : $\begin{cases}21x_1 =7y_1 – 2y_2\\21x_2 =- 7y_1 + 5 y_2\end{cases}.$
    $\quad$
  2. En utilisant la question B .2., établir que: $\begin{cases}x_1 \equiv 9r_1 + 16r_2 \text{ modulo } 26\\x_2 \equiv 17r_1 + 25r_2 \text{ modulo } 26\end{cases}$
    $\quad$
  3. Déchiffrer le mot $VLUP$, associé aux matrices $\begin{pmatrix}21\\11\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix}20\\15\end{pmatrix}$.
    $\quad$

Bac S – Liban mai 2016 – énoncé

Liban – mai 2016

Bac S – Mathématiques – Énoncé 

La correction de ce sujet de bac est disponible ici.

Exercice 1    4 points

On considère un solide $ADECBF$ constitué de deux pyramides identiques ayant pour base commune le carré $ABCD$ de centre $I$. Une représentation en perspective de ce solide est donnée en annexe (à rendre avec la copie). Toutes les arêtes sont de longueur $1$.

L’espace est rapporté au repère orthonormé $\left(A;\vect{AB},\vect{AD},\vect{AK}\right)$.

  1. a. Montrer que $IE = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$. En déduire les coordonnées des points $I$, $E$ et $F$.
    $\quad$
    b. Montrer que le vecteur $\vect{n}\begin{pmatrix}0\\- 2\\\sqrt{2}\end{pmatrix}$ est normal au plan $(ABE)$.
    $\quad$
    c. Déterminer une équation cartésienne du plan $(ABE)$.
    $\quad$
  2. On nomme $M$ le milieu du segment $[DF]$ et $N$ celui du segment $[AB]$.
    a. Démontrer que les plans $(FDC)$ et $(ABE)$ sont parallèles.
    $\quad$
    b. Déterminer l’intersection des plans $(EMN)$ et $(FDC)$.
    $\quad$
    c. Construire sur l’annexe (à rendre avec la copie) la section du solide $ADECBF$ par le plan $(EMN)$.
    $\quad$

 

$\quad$

Exercice 2    4 points

Sur un court de tennis, un lance-balle permet à un joueur de s’entraîner seul. Cet appareil envoie des balles une par une à une cadence régulière. Le joueur frappe alors la balle puis la balle suivante arrive.
Suivant le manuel du constructeur, le lance-balle envoie au hasard la balle à droite ou à gauche avec la même probabilité.

Dans tout l’exercice, on arrondira les résultats à $10^{-3}$ près.

Partie A

Le joueur s’apprête à recevoir une série de $20$ balles.

  1. Quelle est la probabilité que le lance-balle envoie $10$ balles à droite ?
    $\quad$
  2. Quelle est la probabilité que le lance-balle envoie entre $5$ et $10$ balles à droite ?
    $\quad$

Partie B

Le lance-balle est équipé d’un réservoir pouvant contenir $100$ balles. Sur une séquence de $100$ lancers, $42$ balles ont été lancées à droite. Le joueur doute alors du bon fonctionnement de l’appareil. Ses doutes sont-ils justifiés ?

$\quad$

Partie C

Pour augmenter la difficulté le joueur paramètre le lance-balle de façon à donner un effet aux balles lancées. Elles peuvent être soit “liftées” soit “coupées”. La probabilité que le lance-balle envoie une balle à droite est toujours égale à la probabilité que le lance-balle envoie une balle à gauche.

Les réglages de l’appareil permettent d’affirmer que :

  • la probabilité que le lance-balle envoie une balle liftée à droite est $0,24$ ;
  • la probabilité que le lance-balle envoie une balle coupée à gauche est $0,235$.

Si le lance-balle envoie une balle coupée, quelle est la probabilité qu’elle soit envoyée à droite ?

$\quad$

Exercice 3    4 points

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0;1]$ par : $$f(x) = \dfrac{1}{1 + \e^{1 – x}}$$

Partie A

  1. Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;1]$.
    $\quad$
  2. Démontrer que pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0;1]$, $f(x) = \dfrac{\e^x}{\e^x + \e}$ (on rappelle que $\e = \e^1$).
    $\quad$
  3. Montrer alors que $\displaystyle\int_0^1 f(x)\dx = \ln (2) + 1 – \ln (1 + \e)$.
    $\quad$

Partie B

Soit $n$ un entier naturel. On considère les fonctions $f_n$ définies sur $[0;1]$ par : $$f_n(x) = \dfrac{1}{1 + n\e^{1 – x}}$$

On note $\mathscr{C}_n$ la courbe représentative de la fonction $f_n$ dans le plan muni d’un repère orthonormé.
On considère la suite de terme général $$u_n = \displaystyle\int_0^1 f_n(x)\dx.$$

  1. On a tracé en annexe les courbes représentatives des fonctions $f_n$ pour $n$ variant de $1$ à $5$. Compléter le graphique en traçant la courbe $\mathscr{C}_0$ représentative de la fonction $f_0$.
    $\quad$
  2. Soit $n$ un entier naturel, interpréter graphiquement $u_n$ et préciser la valeur de $u_0$.
    $\quad$
  3. Quelle conjecture peut-on émettre quant au sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$ ?
    Démontrer cette conjecture.
    $\quad$
  4. La suite $\left(u_n\right)$ admet-elle une limite ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4    5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Un point est attribué par réponse exacte justifiée. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte et l’absence de réponse n’est pas pénalisée.

  • Sur le schéma ci-dessous on a représenté la courbe de densité d’une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale d’espérance $\mu = 20$. La probabilité que la variable aléatoire $X$ soit comprise entre $20$ et $21,6$ est égale à $0,34$.

    Affirmation 1
    La probabilité que la variable aléatoire $X$ appartienne à l’intervalle $[23,2;+\infty[$ vaut environ $0,046$.
    $\quad$
  • Soit $z$ un nombre complexe différent de $2$. On pose : $$Z = \dfrac{\ic z}{z-2}$$
    Affirmation 2 : L’ensemble des points du plan complexe d’affixe $z$ tels que $|Z| = 1$ est une droite passant par le point $A(1;0)$.
    $\quad$
    Affirmation 3 : $Z$ est un imaginaire pur si et seulement si $z$ est réel.
    $\quad$
  • Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : $$f(x) = \dfrac{3}{4 + 6\e^{-2x}}$$
    Affirmation 4 : L’équation $f(x) = 0,5$ admet une unique solution sur $\R$.
    $\quad$
    Affirmation 5 : L’ algorithme suivant affiche en sortie la valeur $0,54$.
    $\quad$
    Variables :
    $\quad$  $X$ et $Y$ sont des réels
    Initialisation :
    $\quad$ $X$ prend la valeur $0$
    $\quad$ $Y$ prend la valeur $\dfrac{3}{10}$
    Traitement :
    $\quad$ Tant que $Y < 0,5$
    $\qquad$ $X$ prend la valeur $X + 0,01$
    $\qquad$ $Y$ prend la valeur $\dfrac{3}{4 + 6\e^{-2X}}$
    $\quad$ Fin Tant que
    Sortie :
    $\quad$ Afficher $X$

$\quad$

Exercice 4    5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Un point est attribué par réponse exacte justifiée. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte et l’absence de réponse n’est pas pénalisée.

  • On considère le système $\begin{cases} n \equiv  1 \quad [5]\\n \equiv  3 \quad[4] \end{cases}$ d’inconnue $n$ entier relatif.
    Affirmation 1 : Si $n$ est solution de ce système alors $n-11$ est divisible par $4$ et par $5$.
    $\quad$
    Affirmation 2 : Pour tout entier relatif $k$, l’entier $11 + 20k$ est solution du système.
    $\quad$
    Affirmation 3 : Si un entier relatif $n$ est solution du système alors il existe un entier relatif $k$ tel que $n = 11 + 20k$.
    $\quad$
  • Un automate peut se trouver dans deux états $A$ ou $B$. À chaque seconde il peut soit rester dans l’état où il se trouve, soit en changer, avec des probabilités données par le graphe probabiliste ci-dessous. Pour tout entier naturel $n$, on note $a_n$ la probabilité que l’automate se trouve dans l’état $A$ après $n$ secondes et $b_n$ la probabilité que l’automate se trouve dans l’état $B$ après $n$ secondes. Au départ, l’automate est dans l’état $B$.
    On considère l’algorithme suivant :
    Variables :
    $\quad$ $a$ et $b$ sont des réels
    Initialisation :
    $\quad$ $a$ prend la valeur $0$
    $\quad$ $b$ prend la valeur $1$
    Traitement :
    $\quad$ Pour $k$ allant de $1$ à $10$
    $\qquad$ $a$ prend la valeur $0,8a + 0,3b$
    $\qquad$ $b$ prend la valeur $1-a$
    $\quad$ Fin Pour
    Sortie :
    $\quad$ Afficher $a$
    $\quad$ Afficher $b$
    $\quad$
    Affirmation 4 : En sortie, cet algorithme affiche les valeurs de $a_{10}$ et $b_{10}$.
    $\quad$
    Affirmation 3 : Après $4$ secondes, l’automate a autant de chances d’être dans l’état $A$ que d’être dans l’état $B$.

$\quad$

Exercice 5    3 points

On considère la suite $\left(z_n\right)$ de nombres complexes définie pour tout entier naturel $n$ par : $$\begin{cases} z_0 = 0\\z_{n+ 1} = \dfrac{1}{2} \ic \times z_n + 5\end{cases}$$

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on note $M_n$ le point d’affixe $z_n$.
On considère le nombre complexe $z_{\text{A}} = 4 + 2\text{i}$ et A le point du plan d’affixe $z_{\text{A}}$.

  1. Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = z_n – z_A$.
    a. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = \dfrac{1}{2} \ic \times u_n$.
    $\quad$
    b. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ : $$u_n = \left(\dfrac{1}{2} \ic\right)^n (- 4 – 2\ic)$$
    $\quad$
  2. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, les points A, $M_n$ et $M_{n+4}$ sont alignés.
    $\quad$

 

TS – Bac – Nouvelle Calédonie – Mars 2017

Nouvelle Calédonie – Mars 2017

Bac TS – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. $f(0)=0\times \e^{-0}=0\times 1 = 0$
    $f(x)=-(-x)\e^{-x}$
    $\left.\begin{array}{l}\lim\limits_{x\to+\infty} -x=-\infty \\
    \lim\limits_{X \to -\infty}X\e^X=0\end{array}\right\}$ donc $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=0$
    La fonction $f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $f'(x)=\e^{-x}-x\e^{-x}=(1-x)\e^{-x}$
    La fonction exponentielle est strictement positive.
    Par conséquent le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $1-x$.
    Or $1-x>0 \ssi x<1$ et $1-x=0\ssi x=1$
    On en déduit donc que la fonction $f$ est croissante sur l’intervalle $[0;1]$ et décroissante sur l’intervalle $[1;+\infty[$.
    De plus $f(1)=1\times \e^{-1}=\dfrac{1}{\e}$.
    $\quad$
  2. $F$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ d’après l’énoncé.
    $F'(x)=-1\times \e^{-x}-(-x-1)\e^{-x}=(-1+x+1)\e^{-x}=x\e^{-x}=f(x)$.
    La fonction $F$ est donc une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    $\quad$

Partie B

  1. On veut résoudre l’équation $f(x)=ax \ssi x\e^{-x}=ax \ssi x\e^{-x}-ax=0\ssi x\left(\e^{-x}-a\right)=0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Donc $x=0$ ou $\e^{-x}-a=0$
    Or $\e^{-x}-a=0\ssi \e^{-x}=a \ssi -x=\ln a \ssi x=-\ln a$
    La droite $D_a$ et la courbe $\mathscr{C}_f$ ont donc un unique point d’intersection distinct de l’origine d’abscisse $x_M=-\ln a$.
    $\quad$
  2. $\mathscr{H}_a$ est l’aire du domaine compris entre la droite $D_a$, la courbe $\mathscr{C}_f$ et les droites d’équation $x=0$ et $x=-\ln a$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} \mathscr{H}_a&=\displaystyle \int_0^{-\ln a} \left(f(x)-ax\right) \dx \\
    &=\left[(-x-1)\e^{-x}-\dfrac{ax^2}{2}\right]_0^{-\ln a} \\
    &=\left(\ln a-1\right)\e^{\ln a}-\dfrac{a\left(\ln a\right)^2}{2}-(-1)\e^0 \\
    &=\left(\ln a-1\right)\times a-\dfrac{1}{2}a\left(\ln a\right)^2+1\\
    &=a\ln a-a-\dfrac{1}{2}a\left(\ln a\right)^2+1\\
    &=a\ln a-\dfrac{1}{2}a\left(\ln a\right)^2+1-a
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. La fonction $\mathscr{H}$ est continue (car dérivable) sur l’intervalle $]0;1]$ et strictement décroissante sur cet intervalle.
    De plus $\mathscr{H}(0)=1>0,5$ et $\mathscr{H}(1)=0<0,5$. Or $0,5\in]0;1[$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $\mathscr{H}(x)=0,5$ possède une unique solution sur l’intervalle $]0;1[$.
    $\quad$
  4. Les valeurs $A$ et $B$ sont, respectivement, un minorant et un majorant de $\alpha$ d’amplitude inférieure ou égale à $10^{-p}$.
    $\quad$
  5. A l’aide de la calculatrice, on obtient l’encadrement $0,06< \alpha<0,07$ d’amplitude $0,01$.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. La durée de vie moyenne est de quatre ans. Donc $E(T)=4=\dfrac{1}{\lambda}$ Par conséquent $\lambda =\dfrac{1}{4}=0,25$.
    On veut calculer $P_{(T\pg 3)}(T\pg 2+3)=P(T\pg 2)$ (durée de vie sans vieillissement)
    Or $P(T \pg 2)=\e^{-0,25 \times 2}=\e^{-0,5}\approx 0,61$
    L’affirmation est donc fausse.
    $\quad$
  2. $z^3-3z^2+3z=0\ssi z\left(z^2-3z+3\right)=0 \ssi z=0$ ou $z^2-3z+3=0$
    On calcule le discriminant de $z^2-3z+3=0$
    $\Delta = (-3)^-3\times 4= -3<0$
    L’équation du second degré possède donc deux solutions complexes $z_1=\dfrac{3-\ic\sqrt{3}}{2}$ et $z_2=\conj{z_1}=\dfrac{3+\ic\sqrt{3}}{2}$.
    Les solutions de l’équation $z^3-3z^2+3z=0$ sont donc $0$, $\dfrac{3-\ic\sqrt{3}}{2}$ et $\dfrac{3+\ic\sqrt{3}}{2}$.
    On appelle respectivement $O$, $A$ et $B$ les points d’affixes  $0$, $\dfrac{3-\ic\sqrt{3}}{2}$ et $\dfrac{3+\ic\sqrt{3}}{2}$.
    $OA=\left|z_A\right| = \sqrt{\dfrac{9}{4}+\dfrac{3}{4}}=\sqrt{3}$
    $OB=\left|z_B\right|=\left|\conj{z_A}\right|=\sqrt{3}$
    $AB=\left|z_B-z_A\right|=\left|\ic \sqrt{3}\right|=\sqrt{3}$.
    Le triangle $OAB$ est donc équilatéral.
    L’affirmation est donc vraie.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A

On a $n=34 \pg 30$, $p=0,5$ donc $np=17 \pg 5$ et $n(1-p)=17 \pg 5$.
Un intervalle de fluctuation asymptotique de la fréquence du thème A à l’examen est donc

$\begin{align*} I_{34}&=\left[0,5-1,96\sqrt{\dfrac{0,5 \times 0,5}{34}};0,5-1,96\sqrt{\dfrac{0,5 \times 0,5}{34}}\right] \\
&\approx [0,331;0,669]
\end{align*}$

La fréquence observée est $f=\dfrac{22}{34}\approx 0,647 \in I_{34}$.

On ne peut donc pas rejeter, au seuil de $95\%$ l’affirmation faite.
$\quad$

Partie B

On appelle $S$ l’événement “l’étudiant a suivi le stage” et $A$ l’événement “l’élève a traité le thème A”. On obtient ainsi l’arbre pondéré suivant :

On veut calculer $p_{\overline{A}}(S)$

D’après la formule des probabilités totales on a :

$\begin{align*} p\left(\overline{A}\right)&=p\left(S\cap \conj{A}\right)+p\left(\conj{S}\cap \conj{A}\right) \\
&=0,2\times \dfrac{1}{6}+0,8\times 0,3 \\
&=\dfrac{41}{150}
\end{align*}$

Par conséquent :

$\begin{align*} p_{\overline{A}}(S)&=\dfrac{p\left(\overline{A}\cap S\right)}{p\left(\conj{A}\right)} \\
&=\dfrac{0,2 \times \dfrac{1}{6}}{\dfrac{41}{150}} \\
&=\dfrac{5}{41} \\
&\approx 0,122
\end{align*}$
$\quad$

Partie C

On a :

$\begin{align*} P(T\pp 235) = 0,98 &\ssi P(T-225 \pp 235 -225) = 0,98 \\
&\ssi P(T-225 \pp 10)=0,98 \\
&\ssi P\left(\dfrac{T-225}{\sigma}\pp \dfrac{10}{\sigma}\right)=0,98
\end{align*}$

La variable aléatoire $Z=\dfrac{T-225}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.
Or, d’après la calculatrice, $P(Z\pp k)=0,98$ si $ k\approx 2,05$

Par conséquent $\dfrac{10}{\sigma} \approx 2,05$ soit $\sigma \approx 4,9$.

$\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

Montrons par récurrence sur $n$ que $u_n=\dfrac{n}{n+1}$ pour tout entier naturel $n$.

Initialisation : $u_0=0$ et $\dfrac{0}{0+1}=0$. La propriété est donc vraie au rang $0$.

$\quad$

Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $u_n=\dfrac{n}{n+1}$.

$\begin{align*} u_{n+1}&=\dfrac{1}{2-u_n} \\
&=\dfrac{1}{2-\dfrac{n}{n+1}} \\
&=\dfrac{1}{\dfrac{2(n+1)-n}{n+1}} \\
&=\dfrac{1}{\dfrac{2n+2-n}{n+1}} \\
&=\dfrac{1}{\dfrac{n+2}{n+1}} \\
&=\dfrac{n+1}{n+2}
\end{align*}$

La propriété est vraie au rang $n+1$.

Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=\dfrac{n}{n+1}$

D’après la limite des termes de plus haut degré, on a $\lim\limits_{n\to +\infty}\dfrac{n}{n+1}=\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{n}{n}=1$.

Par conséquent la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.

$\quad$

Ex 5 obl

Exercice 5

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

  1. a. $\vect{AB}\begin{pmatrix}7\\-4\\1\end{pmatrix}$
    $\vect{AC}\begin{pmatrix}2\\3\\-2\end{pmatrix}$
    $\dfrac{7}{2} \neq \dfrac{-4}{3}$
    Les vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$ ne sont pas colinéaires et définissent donc bien un plan.
    $\quad$
    b. $\vec{n}.\vect{AB}=5\times 7+16\times (-4)+29\times 1 =0$
    $\vec{n}.\vect{AC}=5\times 2+16\times 3+29\times (-2) =0$
    Le vecteur $\vec{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$. C’est un vecteur normal au plan $(ABC)$.
    $\quad$
    c. Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc de la forme :
    $5x+16y+29z+d=0$.
    Le point $A(-1;-1;0)$ appartient au plan $(ABC)$.
    Par conséquent $-5-16+d=0 \ssi d=21$.
    Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc $5x+16y+29z+21=0$.
    $\quad$
  2. a. $\vect{AB}.\vect{AC}=14-12-2=0$.
    Le triangle $ABC$ est donc rectangle en $A$.
    Regardons s’il est également isocèle.
    $AB=\sqrt{49+16+1}=\sqrt{66}$
    $AC=\sqrt{4+9+4}=\sqrt{17}\neq AB$.
    Le triangle $ABC$ n’est donc pas isocèle.
    $\quad$
    b. L’aire du triangle $ABC$ est donc :
    $\begin{align*} \mathscr{A}&=\dfrac{AB\times AC}{2}\\
    &=\dfrac{\sqrt{66}\times \sqrt{17}}{2} \\
    &=\dfrac{\sqrt{1~122}}{2}
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. a. Regardons si les coordonnées du point $S(13;37;54)$ vérifient l’équation cartésienne du plan $(ABC)$.
    $5\times 13+16\times 37+29\times 54+21=2~244\neq 0$.
    Le point $S$ n’appartient donc pas au plan $(ABC)$ : les points $A,B,C$ et $S$ ne sont pas coplanaires.
    $\quad$
    b. La droite $(\Delta)$ est perpendiculaire au plan $(ABC)$. Le vecteur $\vec{n}$ est donc un vecteur directeur de la droite $(\Delta)$.
    Un représentation paramétrique de la droite $(\Delta)$ est donc :
    $\begin{cases} x=13+5t \\y=37+16t \qquad t\in \R \\z=54+29t\end{cases}$
    Les coordonnées du point $H$, point d’intersection du plan $(ABC)$ et de la droite $(\Delta)$ sont donc solution du système :
    $\begin{cases} x=13+5t \\y=37+16t \\z=54+29t\\5x+16y+29z+21=0\end{cases}$
    $\ssi \begin{cases} x=13+5t \\y=37+16t \\z=54+29t\\5(13+5t)+16(37+16t)+29(54+29t)+21=0\end{cases}$
    $\ssi \begin{cases} x=13+5t \\y=37+16t \\z=54+29t\\65+25t+592+256t+1~566+841t+21=0\end{cases} $
    $\ssi \begin{cases} x=13+5t \\y=37+16t \\z=54+29t\\1~122t+2~244=0\end{cases} $
    $\ssi \begin{cases} x=13+5t \\y=37+16t \\z=54+29t\\t=-2\end{cases} $
    $\ssi \begin{cases} t=-2\\x=3\\y=5 \\z=-4\end{cases} $
    Le point $H$ a donc pour coordonnées $(3;5;-4)$.
    $\quad$
  4. Calculons tout d’abord $SH=\sqrt{(3-13)^2+(37-5)^2+(-4-54)^2}=\sqrt{4~488}$
    Le volume du tétraèdre $SABC$ est donc :
    $\begin{align*} \mathscr{V}&=\dfrac{\mathscr{A}\times SH}{3} \\
    &=\dfrac{\dfrac{\sqrt{1122}}{2}\times \sqrt{4~488}}{3}\\
    &=374
    \end{align*}$
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1    5 points

On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $[0; +\infty[$ par $$f(x) = x\e^{- x}$$ et on note $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

Partie A

  1. Justifier toutes les informations du tableau de variations de $f$ donné ci-dessous.
    $\quad$
  2. Soit $F$ la fonction définie et dérivable sur $[0; +\infty[$ par $$F(x) = (-x-1)\e^{- x}$$
    Démontrer que la fonction $F$ est une primitive de $f$ sur $[0;+\infty[$.
    $\quad$

Partie B

Soit $a$ un nombre réel tel que $0 < a < 1$. On considère la droite $D_a$ d’équation $y = ax$ et $M$ le point d’intersection de la droite $D_a$ avec la courbe $\mathscr{C}_f$. On note $x_M$ l’abscisse du point $M$.
On note $\mathscr{H}(a)$ l’aire, exprimée en unités d’aire, du domaine hachuré sur le graphique ci-dessous, c’est-à-dire du domaine situé sous la courbe $\mathscr{C}_f$ au-dessus de la droite $D_a$ et entre les droites d’équation $x = 0$ et $x = x_M$.
Le but de cette partie est d’établir l’existence et l’unicité de la valeur de $a$ telle que $\mathscr{H}(a) = 0,5$ puis d’étudier un algorithme.

  1. Prouver que la droite $D_a$ et la courbe $\mathscr{C}_f$ ont un unique point d’intersection $M$ distinct de l’origine.
    $\quad$

On admet dans la suite de l’exercice que le point $M$ a pour abscisse $x_M = -\ln a$ et que la courbe $\mathscr{C}_f$ est située au-dessus de la droite $D_a$ sur l’intervalle $[0;-\ln (a)]$.

  1. Montrer que $\mathscr{H}(a) = a \ln (a)-\dfrac{1}{2}a(\ln (a))^2 + 1-a$.
    $\quad$
  2. Soit la fonction $\mathscr{H}$ définie sur $]0;1]$ par $\mathscr{H}(x) = x \ln (x)-\dfrac{1}{2}x(\ln (x))^2 + 1-x$.
    On admet que $\mathscr{H}$ est dérivable sur $]0;1]$ et que son tableau de variations correspond à celui qui est proposé ci-dessous.

    Justifier qu’il existe un unique réel $\alpha \in ]0;1[$ tel que $\mathscr{H}(\alpha) = 0,5$.
    $\quad$
  3. On considère l’algorithme présenté ci-dessous.
    VARIABLES :
    $\quad$ $A$, $B$ et $C$ sont des nombres ;
    $\quad$& $p$ est un entier naturel.
    INITIALISATION :
    $\quad$ Demander la valeur de $p$
    $\quad$ $A$ prend la valeur $0$
    $\quad$ $B$ prend la valeur $1$
    TRAITEMENT :
    $\quad$ Tant que $B-A > 10^{-p}$
    $\qquad$ $C$ prend la valeur $(A + B)/2$
    $\qquad$ Si $\mathscr{H}(C) > 0,5$
    $\qquad \quad$ Alors $A$ prend la valeur de $C$
    $\qquad \quad$ Sinon $B$ prend la valeur de $C$
    $\qquad$ Fin de la boucle Si
    $\quad$ Fin de la boucle Tant que
    SORTIE :
    $\quad$ Afficher $A$ et $B$.
    $\quad$
    Que représentent les valeurs $A$ et $B$ affichées en sortie de cet algorithme ?
    $\quad$
  4. Donner un encadrement d’amplitude $0,01$ de $\alpha$.
    $\quad$

Exercice 2    3 points

Répondre à chacune des affirmations ci-dessous par Vrai ou Faux en justifiant la réponse. Toute réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.
Les deux questions sont indépendantes l’une de l’autre.

  1. La durée de vie $T$ (exprimée en années) d’un appareil électronique suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ où $\lambda > 0$.
    On sait qu’un tel appareil a une durée de vie moyenne de quatre ans.
    La probabilité que cet appareil fonctionne deux années de plus sachant qu’il a déjà fonctionné trois ans est d’environ $0,39$ à $0,01$ près.
    $\quad$
  2. Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal $\Ouv$.
    L’équation $z^3-3z^2+3z = 0$ admet trois solutions dans l’ensemble des nombres complexes $\C$, qui sont les affixes de trois points formant un triangle équilatéral.
    $\quad$

Exercice 3    4 points

Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.

Des étudiants d’une université se préparent à passer un examen pour lequel quatre thèmes (A, B, C et D) sont au programme.

Partie A

Sur les $34$ sujets de l’examen déjà posés, $22$ portaient sur le thème A.
Peut-on rejeter au seuil de $95\%$ l’affirmation suivante : “il y a une chance sur deux que le thème A soit évalué le jour de l’examen”?
$\quad$

Partie B

Le thème A reste pour beaucoup d’étudiants une partie du programme difficile à maîtriser. Un stage de préparation est alors proposé pour travailler ce thème.
Lors de l’examen, on a constaté que s’il y a un exercice portant sur le thème A :

  • $30\%$ des étudiants n’ayant pas suivi le stage ne traitent pas l’exercice;
  • $\dfrac{5}{6}$ des étudiants ayant suivi le stage l’ont traité.

On sait de plus que $20\%$ des étudiants participent au stage.
Lors des résultats de l’examen, un étudiant s’exclame : “Je n’ai pas du tout traité le thème A”.
Quelle est la probabilité que cet étudiant ait suivi le stage ? On arrondira le résultat à $0,001$ près.
$\quad$

Partie C

On suppose que la variable aléatoire $T$, associant la durée (exprimée en minutes) que consacre un étudiant de cette université pour la composition de cet examen, suit la loi normale d’espérance $\mu = 225$ et d’écart-type $\sigma$ où $\sigma > 0$.
La probabilité qu’un étudiant finisse son examen en moins de $235$ minutes est de $0,98$.
Déterminer une valeur approchée de $\sigma$ à $0,1$ près.
$\bigg($ On pourra, par exemple, introduire la variable aléatoire $Z = \dfrac{T-225}{\sigma}\bigg)$.
$\quad$

Exercice 4    3 points

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $$\begin{cases} u_0=0\\u_{n+1}=\dfrac{1}{2-u_n}\text{ pour tout entier naturel }n \pg 0\end{cases}$$

On obtient à l’aide d’un tableur les premiers termes de cette suite:

Prouver que la suite $\left(u_n\right)$ converge.
$\quad$

Exercice 5    5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

L’espace est muni d’un repère orthonormé $(O;I,J,K)$.
On considère les points $$A(-1;-1;0),B(6;-5;1),C(1;2;-2)\text{ et }S(13;37;54)$$

  1. a. Justifier que les points $A$, $B$ et $C$ définissent bien un plan.
    $\quad$
    b. Prouver que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}5\\16\\29\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.
    $\quad$
    c. En déduire une équation cartésienne du plan $(ABC)$.
    $\quad$
  2. a. Déterminer la nature du triangle $ABC$.
    $\quad$
    b. Démontrer que la valeur exacte de l’aire du triangle $ABC$ est, en unités d’aire, $\dfrac{\sqrt{1~122}}{2}$.
    $\quad$
  3. a. Prouver que les points $A, B, C$ et $S$ ne sont pas coplanaires.
    $\quad$
    b. La droite $(\Delta)$ perpendiculaire au plan $(ABC)$ passant par le point $S$ coupe le plan $(ABC)$ en un point noté $H$.
    Déterminer les coordonnées du point $H$.
    $\quad$
  4. Déterminer le volume du tétraèdre $SABC$.
    On rappelle que le volume d’une pyramide est donné par :
    $$\dfrac{\text{Aire de la base} \times \text{hauteur} }{3}$$
    $\quad$

Bac S – Amérique du Sud – Novembre 2016

Amérique du Sud – Novembre 2016

Bac S – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. On peut lire que $f(0)=0$ et que $f'(0)=2$ (coefficient directeur de la tangente $(OA)$).
    Or $f(0)=b$ donc $b=0$
    La fonction $f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que produit et composition de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    On a $f(x)=ax\e^{-x^2}$ car on vient de montrer que $b=0$.
    $f'(x)=a\e^{-x^2}-2ax^2\e^{-x^2}$
    Donc $f'(0)=a$. Par conséquent $a=2$.
    $\quad$
  2. a. $\lim\limits_{x \to +\infty} x^2=+\infty$ et $\lim\limits_{X \to +\infty} \dfrac{e^X}{X}=+\infty$.
    Donc $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\e^{x^2}}{x^2}=+\infty$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x^2}{\e^{x^2}}=0$
    De plus $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{2}{x}=0$
    Par produit on a donc $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=0$.
    $\quad$
    b. Pour tout réel $x\pg 0$, $f'(x)=2\e^{-x^2}-4x^2\e^{-x^2}=2(1-2x^2)\e^{-x^2}$
    La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$ donc le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $1-2x^2$.
    Or $1-2x^2=\left(1-\sqrt{2}x\right)\times \left(1+\sqrt{x}\right)$.
    Sur $[0;+\infty[$ on a $\left(1+\sqrt{x}\right) >0$.
    $1-\sqrt{2}x=0 \ssi x=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \ssi x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
    On en déduit donc le tableau de variation suivant :
    ts-amerique-du-sud-nov2016-ex11
    $\quad$
  3. a. $f$ est de la forme $-u’\e^{u}$.
    Donc une primitive de la fonction $f$ sur $[0;+\infty[$ est de la forme $g(x)=-\e^{-x^2}+c$.
    On sait que $g(0)=-1$ puisque la courbe $\mathscr{C}_g$ passe par le point $B(0;-1)$.
    Or $g(0)=-1+c$.
    Par conséquent $-1+c=-1$ et $c=0$.
    On en déduit donc que, sur $[0;+\infty[$, une primitive de la fonction $f$ est la fonction $g$ définie par $g(x)=-\e^{-x^2}$ dont la courbe représentative passe par le point $B$.
    $\quad$
    b.
    $\begin{align*} I_m&=\int_0^m f(t)\dt \\
    &=g(m)-g(0) \\
    &=-\e^{-m^2}+1
    \end{align*}$
    $\quad$
    c. $\lim\limits_{m \to +\infty} -m^2=-\infty$ et $\lim\limits_{X \to -\infty} \e^X=0$ donc $\lim\limits_{m \to +\infty} e^{-x^2}=0$ et $\lim\limits_{m \to +\infty} I_m=1$
    $\quad$
  4. a. Pour tout réel $x$ positif on a : $2x \pg 0$ et $\e^{-x^2} \pg 0$ (car la fonction exponentielle est strictement positive).
    Par conséquent $f(x) \pg 0$. (on pouvait également utiliser le tableau de variation)
    $f$ est continue sur $[0;+\infty[$ en tant que produit de fonctions continues sur cet intervalle.
    De plus, d’après la question précédente, $\lim\limits_{m \to +\infty} \displaystyle \int_0^m f(t)\dt = 0$.
    La fonction $f$ est donc une fonction densité de probabilité sur $[0;+\infty[$.
    $\quad$
    b. Pour tout réel $x$ positif, on a :
    $P(X \pp x) = \displaystyle \int_0^x f(t)\dt=g(x)-g(0)=g(x)+1$
    $\quad$
    c.
    $\begin{align*} P(X \pp \alpha) = 0,5 &\ssi g(\alpha)+1=0,5 \\
    &\ssi g(\alpha)=-0,5 \\
    &\ssi -\e^{-\alpha^2}=-0,5 \\
    &\ssi \e^{-\alpha^2}=0,5 \\
    &\ssi -\alpha^2 = \ln 0,5 \\
    &\ssi v^2=-\ln 0,5 \\
    &\ssi \alpha^2=- \left(-\ln 2\right) \\
    &\ssi \alpha^2=\ln 2 \\
    &\ssi \alpha=\sqrt{\ln 2} \text{ ou } \alpha=-\sqrt{\ln 2} \\
    &\ssi \alpha=\sqrt{\ln 2} \text{ car } \alpha \pg 0
    \end{align*}$
    $\quad$
    d. D’après la question précédente $\alpha$ est tel que $g(\alpha)=-0,5$.

    ts-amerique-du-sud-nov2016-ex12

Ex 2

Exercice 2

Proposition 1

On appelle $B$ le point d’affixe $4$, $C$ celui d’affixe $-2\ic$ et $M$ celui d’affixe $z$.
Par conséquent $|z-4|=|z+2\ic| \ssi BM=CM$.
L’ensemble cherché est donc la médiatrice du segment $[BC]$.
Calculons $AB=|4-3\ic|=\sqrt{4^2+(-3)^2}=5$
et $AC=|-2\ic-3\ic|=|-5\ic|=5$.
Ainsi $AB=AC$. Le point $A$ appartient à la médiatrice du segment $[BC]$.
La proposition est vraie.

$\quad$

Proposition 2

Résolvons tout d’abord l’équation $z^2-8z+25=0$
$\Delta = (-8)^2-4\times 25 = -36<0$
Cette équation possède donc deux racines complexes conjuguées :
$z_1=\dfrac{8-\ic\sqrt{36}}{2}=4-3\ic$ et $z_2=4+3\ic$

$(z-1)(z^2-8z+25)=0 \ssi z-1=0 \text{ ou } z^2-8z+25=0$
Les solutions de l’équation $(E)$ sont donc $\lbrace 1;4-3\ic;4+3\ic \rbrace$

On appelle $A$ le point d’affixe $1$, $B$ celui d’affixe $4-3\ic$ et $C$ celui d’affixe $4+3\ic$.

$AB=\left|4-3\ic-1\right| = \left|3-3\ic\right|=\sqrt{18}$

$AC=\left|4+3\ic-1\right| = \left|3+3\ic\right|=\sqrt{18}$

$BC=\left|4+3\ic-4+3\ic\right|=\left|6\ic\right|=6$

Dans le triangle $ABC$, le plus grand côté est $[BC]$.
D’une part $BC^2=36$.
D’autre part $AB^2+AC^2=18+18=36$.

D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
La proposition est vraie.

Remarque : on pouvait également déterminer l’argument du nombre complexe $\dfrac{z_1-1}{z_2-1}$ et montrer que celui-ci était égal à $\pm \dfrac{\pi}{2}$.

$\quad$

Proposition 3

On a $\left|-\sqrt{3}+\ic\right|=2$ donc $\sqrt{3}+\ic=2\left|-\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\ic}{2}\right|=2\e^{5\ic\pi/6}$.
Par conséquent un argument de $\left(-\sqrt{3}+\ic\right)$ est $8\times \dfrac{5\pi}{6}=\dfrac{20\pi}{3}=6\pi+\dfrac{2\pi}{3}$.
Par conséquent, la mesure principale de cet argument est $\dfrac{2\pi}{3}$ et non $\dfrac{\pi}{3}$.
La proposition est fausse.

Ex 3

Exercice 3

  1. a. En calculant les premiers termes de la suite on obtient :
    $u_0=0$ $\quad$ $u_1=\dfrac{1}{2}$ $\quad$ $u_2=\dfrac{2}{3}$ $\quad$ $u_3=\dfrac{3}{4}$ $\quad$ $u_4=\dfrac{4}{5}$.
    Il semblerait donc que, pour tout entier naturel $n$ on ait $u_n=\dfrac{n}{n+1}$.
    Montrons ce résultat par récurrence :
    Initialisation : Si $n=0$ $\dfrac{n}{n+1}=\dfrac{0}{1}=0=u_0$.
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $u_n=\dfrac{n}{n+1}$.
    Alors :
    $\begin{align*} u_{n+1}&=\dfrac{1}{2-u_n} \\
    &=\dfrac{1}{2-\dfrac{n}{n+1}} \\
    &=\dfrac{1}{\dfrac{2(n+1)-n}{n+1}} \\
    &=\dfrac{1}{\dfrac{2n+2-n}{n+1}} \\
    &=\dfrac{1}{\dfrac{n+2}{n+1}} \\
    &=\dfrac{n+1}{n+2}
    \end{align*}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, $u_n=\dfrac{n}{n+1}$.
    $\quad$
    b. D’après la limite des termes de plus haut degré :
    $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{n}{n}=1$.
    $\quad$
  2. On obtient l’algorithme suivant :
    Variables :
    $\quad$ $n,a$ et $b$ sont des nombres.
    Initialisation : 
    $\quad$ $n$ prend la valeur $0$
    $\quad$ $a$ prend la valeur $0$
    $\quad$ $b$ prend la valeur $0,5$
    Traitement :
    $\quad$ Tant que $|b-a| > 10^{-3}$
    $\qquad$ $n$ prend la valeur $n+1$
    $\qquad$ $a$ prend la valeur $\dfrac{1}{2-a}$
    $\qquad$ $b$ prend la valeur $\dfrac{1}{2-b}$
    $\quad$ Fin Tant que.
    Sortie :
    $\quad$ Afficher $n$
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie A : Un calcul de volume sans repère

  1. Les diagonales d’un carré sont de même longueur et se coupent en leur milieu.
    Par conséquent le triangle $AOB$ est rectangle et $OS=OA=OB$.
    Les faces latérales de la pyramide sont des triangles équilatéraux. Par conséquent $AS=AB=BC$.
    Dans le triangle $AOB$ rectangle en $O$ on applique le théorème de Pythagore :
    $AB^2=AO^2+OB^2 \ssi AS^2=OS^2+OA^2$
    Ainsi, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $AOS$ est rectangle en $O$.
    On montre de la même façon que le triangle $OSB$ est rectangle en $O$.
    La droite $(OS)$ est donc perpendiculaire à deux droites sécantes, $(OA)$ et $(OB)$, du plan $(ABC)$ : elle est orthogonale au plan $(ABC)$.
    $\quad$
  2. On a $OA=\dfrac{24}{2}=12$ cm.
    En reprenant le calcul du théorème de Pythagore dans le triangle $AOB$ de la question précédente on a :
    $\begin{align*} AB^2&=AO^2+OB^2 \\
    &=12^2+12^2 \\
    &=288
    \end{align*}$
    Par conséquent l’aire du carré $ABCS$ est $\mathscr{A}=AB^2=288$ cm$^2$.
    Et le volume de la pyramide $SABCD$ est :
    $\mathscr{V}=\dfrac{\mathscr{A}\times SO}{3}=\dfrac{288 \times 12}{3}=1~152$ cm$^3$.
    $\quad$

Partie B : Dans un repère

  1. a. Dans le repère orthonormé $\left(O;\vect{OA},\vect{OB},\vect{OS}\right)$ on a :
    $O(0,0,0)$, $A(1,0,0)$, $B(0,1,0)$ et $S(0,0,1)$.
    Les points $P$ et $Q$ sont les milieux respectifs des segments $[AS]$ et $[BS]$.
    Ainsi $P\left(\dfrac{1}{2},0,\dfrac{1}{2}\right)$ et $Q\left(0,\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right)$.
    On a également $C(-1,0,0)$ car $\vect{OC}=-\vect{OA}$
    Donc $\vect{PQ}\left(-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2},0\right)$
    et $\vect{PC}\left(-\dfrac{3}{2},0,-\dfrac{1}{2}\right)$
    Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires car ils n’ont pas la même coordonnée nulle.
    Calculons les produits scalaires :
    $\vec{n}.\vect{PQ}=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-3\times 0 = 0$.
    $\vec{n}.\vect{PC}=-\dfrac{3}{2}-3\times \left(-\dfrac{1}{2}\right)=0$.
    Le vecteur $\vec{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(PQC)$ : il est donc normal à ce plan.
    $\quad$
    b. Une équation cartésienne du plan $(PQC)$ est donc de la forme $x+y-3z+d=0$.
    Le point $C$ appartient à ce plan: ses coordonnées vérifient donc cette équation.
    Ainsi $-1+0+0+d=0$ soit $d=1$.
    Une équation cartésienne du plan $PQC$ est donc $x+y-3z+1=0$.
    $\quad$
  2. a. $\vec{n}$ est un vecteur directeur de la droite $(SH)$.
    Une représentation paramétrique de la droite $(SH)$ est donc :
    $\begin{cases} x=t\\y=t \quad t \in \R\\z=1-3t\end{cases}$
    $\quad$
    b. Le point $H$ est le point d’intersection du plan $(PQC)$ et de la droite $(SH)$.
    Ces coordonnées vérifient donc les équations de la droite et du plan.
    On a donc :
    $\begin{cases} x=t\\y=t\\z=1-3t\\x+y-3z+1=0\end{cases}$
    Par conséquent $t+t-3(1-3t)+1=0$
    Soit $2t-3+9t+1=0$ d’où $11t=2$ et donc $t=\dfrac{2}{11}$.
    Les coordonnées du point $H$ sont donc $\left(\dfrac{2}{11};\dfrac{2}{11};\dfrac{5}{11}\right)$.
    $\quad$
    c. Ainsi :
    $\begin{align*} SH&=\sqrt{\left(\dfrac{2}{11}\right)^2+\left(\dfrac{2}{11}\right)^2+\left(\dfrac{5}{11}-1\right)^2} \\
    &=\sqrt{\dfrac{4}{121}+\dfrac{4}{121}+\dfrac{36}{121}} \\
    &=\sqrt{\dfrac{44}{121}}\\
    &=\dfrac{2\sqrt{11}}{11}
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. Le volume de la pyramide $SPQCD$ est :
    $\begin{align*} \mathscr{V}_1&=\dfrac{\dfrac{3\sqrt{11}}{8}\times \dfrac{2\sqrt{11}}{11}}{3} \\
    &=\dfrac{1}{4}
    \end{align*}$
    Le volume de cette pyramide est donc de $0,25$ unité de volume.
    $\quad$

Partie C : partage équitable

La découpe proposée par Anne revient à obtenir la pyramide $SPQCD$ de la partie précédente.

Le volume, en cm$^3$, de cette pyramide est donné par $12^3\times 0,25=432$ cm$^3$.

Ainsi $\dfrac{432}{1~152}\approx 0,37 \neq 0,5$.

Le partage ne sera donc pas équitable.
$\quad$

Ex 5 obl

Exercice 5

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Partie A : Étude des pannes du module mécanique

  1. $\quad$
    $\begin{align*} P(D \pg 48)=0,797~7 &\ssi P(D-50\pg -2)=0,797~7 \\
    &\ssi P\left(\dfrac{D-50}{\sigma} \pg -\dfrac{2}{\sigma}\right)=0,797~7 \\
    &\ssi P\left(\dfrac{D-50}{\sigma} \pp -\dfrac{2}{\sigma}\right)=0,202~3
    \end{align*}$
    La variable aléatoire $\dfrac{D-50}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.
    En utilisant la fonction inverse loi normale de la calculatrice on obtient :
    $-\dfrac{2}{\sigma} \approx -0,833~4 \ssi \sigma \approx 2,399~8$.
    $\quad$
  2. On veut calculer $P(45 \pp D \pp 52) \approx 0,779~1$
    $\quad$
  3. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_{(D \pg 48)}(D\pg 54)&=\dfrac{P(D\pg 54)}{P(D\pg 48)} \\
    &=\dfrac{0,5-P(50 \pp D\pp 54)}{0,5+P(48 \pp D\pp 50)} \\
    &\approx 0,059~9
    \end{align*}$
    Remarque : $(D\pg 48)\cap(D\pg 54)=(D\pg 54)$.

Partie B : Étude des pannes d’origine électronique

  1. $\quad$
    $\begin{align*} P(0\pp T\pp 24)=0,03 &\ssi 1-\e^{-24\lambda} = 0,03 \\
    &\ssi \e^{-24\lambda}=0,97 \\
    &\ssi -24\lambda = \ln 0,97 \\
    &\ssi \lambda = -\dfrac{\ln 0,97}{24}
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. On veut calculer :
    $\begin{align*} P(24 \pp T \pp 48)&=\e^{-0,001~27\times 24}-\e^{-0,001~27\times 48} \\
    &\approx 0,029~1
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. a.
    $\begin{align*} P_{T\pg t}(T \pg t+h)&=\dfrac{P\left(T\pg t)\cap (T\pg t+h)\right)}{P(T\pg t)} \\
    &=\dfrac{P(T\pg t+h)}{P(T\pg t)} \\
    &=\dfrac{\e^{-(t+h)\lambda}}{\e^{-t\lambda}}\\
    &=\e^{-h\lambda}\\
    &P(T \pg h)
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_{T \pg 36}(T \pg 36+12) &=P(T\pg 12) \quad \text{ cf B.3.a} \\
    &=\e^{-12\times 0,001~27}\\
    &\approx 0,984~9
    \end{align*}$
    $\quad$

Partie C : Pannes d’origine mécanique et électronique

On veut calculer :
$\begin{align*} P\left((D \pg 48)\cap (T\pg 48)\right)&=P(D \pg 48)\times P(T \pg 48) \quad \text{indépendance} \\
&=0,797~7 \times \e^{-0,001~27\times 48} \\
& \approx 0,7505
\end{align*}$
$\quad$

Partie D : Cas particulier d’un garage de l’enseigne

On a $n=300 \pg 30$ et $p=0,797~7$ donc $np=239,31 \pg 5$ et $n(1-p)=60,69\pg 5$.

Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ est :

$\begin{align*} I_{300}&=\left[0,797~7-1,96\sqrt{\dfrac{0,797~7\times 0,220~3}{300}};0,797~7+1,96\sqrt{\dfrac{0,797~7\times 0,220~3}{300}} \right] \\
&\approx [0,732~8;0,843~2]
\end{align*}$

La fréquence observée est $f=\dfrac{246}{300}=0,82 \in I_{300}$

Cela ne remet donc pas en cause, au risque de $5\%$, le résultat donné par le service statistique de l’enseigne.

$\quad$

 

Ex 5 spé

Exercice 5

candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A : divisibilité des rep-units dans quelques cas particuliers

  1. Le chiffre des unités de $N_p$ est $1$.
    Un nombre est divisible par $2$ si son chiffre des unités est pair.
    Un nombre est divisible par $5$ si son chiffre des unités est $0$ ou $5$.
    Par conséquent $N_p$ n’est divisible ni par $2$ ni par $5$.
    $\quad$
  2. a. $10\equiv 1$ mod $3$ donc pour tout entier naturel $j$ on a $10^j \equiv 1$ mod $3$.
    $\quad$
    b. $\displaystyle \sum_{k=0}^{k=p-1} 10^k \equiv \sum_{k=0}^{k=p-1} 1$ mod $3$ $\equiv p$ mod $3$.
    $\quad$
    c. $N_p$ est divisible par $3$ si, et seulement si, $p$ mod $3 = 0$ c’est-à-dire si, et seulement si, $p$ est un multiple de $3$.
    $\quad$
  3. a.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    m&0&1&2&3&4&5&6 \\
    \hline
    a&1&3&2&-1&-3&-2&1\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    b. On a $p=6q+r$ ou $q$ est un entier relatif et $q$ un entier naturel strictement inférieur à $6$.
    Ainsi $10^p=\left(10^6\right)^q\times 10^r \equiv 1^q\times 10^r$ mod $7$.
    D’après le tableau précédent $10^p\equiv 1$ mod $7$ si, et seulement si, $p=0$ ou $p=6$.
    Ainsi $10^p \equiv 1$ mod $7$ si, et seulement si, $r=0$ c’est-à-dire si, et seulement si, $p$ est un multiple de $6$.
    $\quad$
    c. Pour tout entier naturel $p$ non nul, $N_p$ est la somme des $p$ premiers termes de la suite géométrique de premier terme $1$ et de raison $10$.
    Ainsi $N_p=\dfrac{1-10^p}{1-10}=\dfrac{10^p-1}{9}$.
    $\quad$
    d. $7$ et $9$ sont premiers entre eux donc, d’après le théorème de Gauss, $7$ divise $N_p$ est équivalent à $7$ divise $9N_p$.
    $\quad$
    e.
    $\begin{align*} N_p \equiv 0 \text{ mod } 7&\ssi 9N_p\equiv 0 \text{ mod } 7 \\
    &\ssi 10^p-1 \equiv 0 \text{ mod } 7 \\
    &\ssi 10^p \equiv 1 \text{ mod } 7\\
    &\ssi p \equiv 0 \text{ mod } 6
    \end{align*}$
    Donc $N_p$ est divisible par $7$ si, et seulement si, $p$ est un multiple de $6$.
    $\quad$

Partie B : un rep-unit strictement supérieur à $1$ n’est jamais un carré parfait

  1. a.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    n\equiv \ldots ~[10]&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9 \\
    \hline
    n^2=\ldots ~[10]&0&1&4&9&6&5&6&9&4&1\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    b. Le chiffre des unités de $n^2$ se termine par le chiffre $1$ si, et seulement si, le chiffre des unités de $n$ se termine par $1$ ou par $9$.
    Or $9\equiv -1$ mod $10$
    Cela signifie donc qu’il existe un entier naturel $m$ tel que $n=10m+1$ ou $n=10m-1$.
    $\quad$
    c. Si $n=10m+1$ alors $n^2=100m^2+20m+1 \equiv 1$ mod $20$.
    Si $n=10m-1$ alors $n^2=100m^2-20m+1\equiv 1$ mod $20$.
    Dans tous les cas $n^2\equiv 1$ mod $20$.
    $\quad$
  2. Si $n\pg 2$ alors $N_p=\underbrace{11\ldots 1}_{p-2 \text{ fois}}00+11=100\displaystyle \sum_{k=2}^{k=p-1}10^{k-2}+11 \equiv 11$ mod $20$
    $\quad$
  3. D’après la question B.1.c. si $n^2 \equiv 1$ mod $10$ alors $n^2 \equiv 1$ mod $20$.
    Or $N_p\equiv 1$ mod $10$ et $N_p \equiv 11$ mod $20$.
    Donc $N_p$ n’est pas le carré d’un entier.

Énoncé

Exercice 1    5 points

Les courbes $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ données en annexe  sont les représentations graphiques, dans un repère orthonormé $\Oij$, de deux fonctions $f$ et $g$ définies sur $[0;+ \infty[$.
On considère les points $A(0,5;1)$ et $B(0;-1)$ dans le repère $\Oij$.
On sait que $O$ appartient à $\mathscr{C}_f$ et que la droite $(OA)$ est tangente à $\mathscr{C}_f$ au point $O$.

  1. On suppose que la fonction $f$ s’écrit sous la forme $f(x) = (ax + b)\e^{- x^2}$ où $a$ et $b$ sont des réels. Déterminer les valeurs exactes des réels $a$ et $b$, en détaillant la démarche.
    $\quad$

Désormais, on considère que $\boldsymbol{f(x) = 2x\e^{- x^2}}$ pour tout $\boldsymbol{x}$ appartenant à $\boldsymbol{[0;+ \infty[}$

  1. a. On admettra que, pour tout réel $x$ strictement positif, $f(x) = \dfrac{2}{x}\times \dfrac{x^2}{\e^{x^2}}$.
    Calculer $\lim\limits_{x \to + \infty} f(x)$.
    $\quad$
    b. Dresser, en le justifiant, le tableau de variations de la fonction $f$ sur $[0;+ \infty[$.
    $\quad$
  2. La fonction $g$ dont la courbe représentative $\mathscr{C}_g$ passe par le point $B(0;-1)$ est une primitive de la fonction $f$ sur $[0;+ \infty[$.
    a. Déterminer l’expression de $g(x)$.
    $\quad$
    b. Soit $m$ un réel strictement positif.
    Calculer $I_m = \displaystyle\int_0^{m} f(t)\dt$ en fonction de $m$.
    $\quad$
    c. Déterminer $\lim\limits_{m \to + \infty} I_m$.
    $\quad$
  3. a. Justifier que $f$ est une fonction densité de probabilité sur $[0;+ \infty[$.
    $\quad$
    b. Soit $X$ une variable aléatoire continue qui admet la fonction $f$ comme densité de probabilité. Justifier que, pour tout réel $x$ de $[0;+ \infty[$, $P(X \pp x) = g(x) + 1$.
    $\quad$
    c. En déduire la valeur exacte du réel $\alpha$ tel que $P(X \pp \alpha) = 0,5$.
    $\quad$
    d. Sans utiliser une valeur approchée de $\alpha$, construire dans le repère de l’annexe le point de coordonnées $(\alpha;0)$ en laissant apparents les traits de construction.
    Hachurer ensuite la région du plan correspondant à $P(X \pp \alpha)$.
    $\quad$
    Annexe exercice 1

 

Exercice 2    3 points

Pour chacune des trois propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie.
Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte.

On munit le plan complexe d’un repère orthonormé direct $\Ouv$.

Proposition 1

L’ensemble des points du plan d’affixe $z$ tels que $|z – 4| = |z + 2\ic|$ est une droite qui passe par le point $A$ d’affixe $3\ic$.

$\quad$

Proposition 2

Soit $(E)$ l’équation $(z -1)\left(z^2 – 8z + 25\right) = 0$ où $z$ appartient à l’ensemble $\C$ des nombres complexes.
Les points du plan dont les affixes sont les solutions dans $\C$ de l’équation $(E)$ sont les sommets d’un triangle rectangle.

$\quad$

Proposition 3

$\dfrac{\pi}{3}$ est un argument du nombre complexe $\left(- \sqrt{3} + \ic\right)^8$.

$\quad$

Exercice 3    3 points

La suite $\left(u_n\right)$ est définie par : $$ u_0 = 0 \quad \text{et, pour tout entier naturel } n, u_{n+1} = \dfrac{1}{2-u_n}$$

  1. a. À l’aide du calcul des premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$, conjecturer la forme explicite de $u_n$ en fonction de $n$. Démontrer cette conjecture.
    $\quad$
    b. En déduire la valeur de la limite $\ell$ de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
  2. Compléter, dans l’annexe, l’algorithme permettant de déterminer la valeur du plus petit entier $n$ tel que $\left|u_{n+1} – u_n\right| \pp 10^{-3}$.
    $\quad$

Annexe exercice 3

Variables :
$\quad$ $n,a$ et $b$ sont des nombres.
Initialisation : 
$\quad$ $n$ prend la valeur $0$
$\quad$ $a$ prend la valeur $0$
$\quad$ $b$ prend la valeur $0,5$
Traitement :
$\quad$ Tant que $\ldots\ldots$
$\qquad$ $n$ prend la valeur $\ldots\ldots$
$\qquad$ $a$ prend la valeur $\ldots\ldots$
$\qquad$ $b$ prend la valeur $\ldots\ldots$
$\quad$ Fin Tant que.
Sortie :
$\quad$ Afficher $\ldots\ldots$
$\quad$

Exercice 4    4 points

Partie A : un calcul de volume sans repère

On considère une pyramide équilatère $SABCD$ (pyramide à base carrée dont toutes les faces latérales sont des triangles équilatéraux) représentée ci-dessous.
Les diagonales du carré $ABCD$ mesurent $24$ cm. On note $O$ le centre du carré $ABCD$.
On admettra que $OS = OA$

 

  1. a. Sans utiliser de repère, démontrer que la droite $(SO)$ est orthogonale au plan $(ABC)$.
    $\quad$
    b. En déduire le volume, en cm$^3$, de la pyramide $SABCD$.
    $\quad$

Partie B : dans un repère

On considère le repère orthonormé $\left(O;\vect{OA}, \vect{OB},\vect{OS}\right)$.

  1. On note $P$ et $Q$ les milieux respectifs des segments $[AS]$ et $[BS]$.
    a. Justifier que $\vect{n}(1;1;-3)$ est un vecteur normal au plan $(PQC)$.
    $\quad$
    b. En déduire une équation cartésienne du plan $(PQC)$.
    $\quad$
  2. Soit $H$ le point du plan $(PQC)$ tel que la droite $(SH)$ est orthogonale au plan $(PQC)$.
    a. Donner une représentation paramétrique de la droite $(SH)$.
    $\quad$
    b. Calculer les coordonnées du point $H$.
    $\quad$
    c. Montrer alors que la longueur $SH$, en unité de longueur, est $\dfrac{2\sqrt{11}}{11}$.
    $\quad$
  3. On admettra que l’aire du quadrilatère $PQCD$, en unité d’aire, est égale à $\dfrac{3\sqrt{11}}{8}$
    Calculer le volume de la pyramide $SPQCD$, en unité de volume.
    $\quad$

Partie C : partage équitable

Pour l’anniversaire de ses deux jumelles Anne et Fanny, Madame Nova a confectionné un joli gâteau en forme de pyramide équilatère dont les diagonales du carré de base mesurent $24$ cm.
Elle s’apprête à le partager en deux, équitablement, en plaçant son couteau sur le sommet. C’est alors qu’Anne arrête son geste et lui propose une découpe plus originale :
“Place la lame sur le milieu d’une arête, parallèlement à un côté de la base, puis coupe en te dirigeant vers le côté opposé”.

 

Fanny a des doutes, les parts ne lui semblent pas équitables.
Est-ce le cas ? Justifier la réponse.
$\quad$

Exercice 5    5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Dans cet exercice, toutes les probabilités demandées seront arrondies à $\boldsymbol{10^{-4}}$

On étudie un modèle de climatiseur d’automobile composé d’un module mécanique et d’un module électronique.
Si un module subit une panne, il est changé.

Partie A : Étude des pannes du module mécanique

Une enseigne d’entretien automobile a constaté, au moyen d’une étude statistique, que la durée de fonctionnement (en mois) du module mécanique peut être modélisée par une variable aléatoire $D$ qui suit une loi normale d’espérance $\mu = 50$ et d’écart-type $\sigma$ :

  1. Déterminer l’arrondi à $10^{-4}$ de $\sigma$ sachant que le service statistique indique que $P(D \pg 48) = 0,797~7$.
    $\quad$

Pour la suite de cet exercice, on prendra $\boldsymbol{\sigma = 2,4}$.

  1. Déterminer la probabilité que la durée de fonctionnement du module mécanique soit comprise entre $45$ et $52$ mois.
    $\quad$
  2. Déterminer la probabilité que le module mécanique d’un climatiseur ayant fonctionné depuis $48$ mois fonctionne encore au moins $6$ mois.
    $\quad$

Partie B : Étude des pannes d’origine électronique

Sur le même modèle de climatiseur, l’enseigne d’entretien automobile a constaté que la durée de fonctionnement (en mois) du module électronique peut être modélisée par une variable aléatoire $T$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.

  1. Déterminer la valeur exacte de $\lambda$, sachant que le service statistique indique que $P(0 \pp T \pp 24) = 0,03$.

Pour la suite de cet exercice, on prendra $\boldsymbol{\lambda} = 0,001~27$.

  1. Déterminer la probabilité que la durée de fonctionnement du module électronique soit comprise entre $24$ et $48$ mois.
    $\quad$
  2. a. Démontrer que, pour tous réels $t$ et $h$ positifs, on a : $P_{T \pg t}(T \pg t + h) = P(T \pg h)$, c’est-à-dire que la variable aléatoire $T$ est sans vieillissement.
    $\quad$
    b. Le module électronique du climatiseur fonctionne depuis $36$ mois. Déterminer la probabilité qu’il fonctionne encore les $12$ mois suivants.
    $\quad$

Partie C : Pannes d’origine mécanique et électronique

On admet que les événements $(D \pg 48)$ et $(T \pg 48)$ sont indépendants.
Déterminer la probabilité que le climatiseur ne subisse aucune panne avant $48$ mois.

Partie D : Cas particulier d’un garage de l’enseigne

Un garage de l’enseigne a étudié les fiches d’entretien de $300$ climatiseurs de plus de $4$ ans. Il constate que $246$ d’entre eux ont leur module mécanique en état de fonctionnement depuis $4$ ans.
Ce bilan doit-il remettre en cause le résultat donné par le service statistique de l’enseigne, à savoir que $P(D \pg 48) = 0,797~7$ ? Justifier la réponse.
$\quad$

Exercice 5    5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Les entiers naturels $1$, $11$, $111$, $1~111$, $\ldots$ sont des rep-units. On appelle ainsi les entiers naturels ne s’écrivant qu’avec des $1$.
Pour tout entier naturel $p$ non nul, on note $N_p$ le rep-unit s’écrivant avec $p$ fois le chiffre $1$ :

$$N_p = \underbrace{11 \ldots 1}_{\begin{array}{c}\small{p \text{ répétitions}} \\ \small{ \text{du chiffre }1} \end{array}} = \displaystyle\sum_{k=0}^{k=p-1} 10^k$$

Dans tout l’exercice, $p$ désigne un entier naturel non nul.
L’objet de cet exercice est d’étudier quelques propriétés des rep-units.

Partie A : divisibilité des rep-units dans quelques cas particuliers

  1. Montrer que $N_p$ n’est divisible ni par $2$ ni par $5$.
    $\quad$
  2. Dans cette question, on étudie la divisibilité de $N_p$ par $3$.
    a. Prouver que, pour tout entier naturel $j$, $10^j \equiv 1 \text{ mod } 3$.
    $\quad$
    b. En déduire que $N_p \equiv p \text{ mod } 3$.
    $\quad$
    c. Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que le rep-unit $N_p$ soit divisible par $3$.
    $\quad$
  3. Dans cette question, on étudie la divisibilité de $N_p$ par $7$.
    a. Recopier et compléter le tableau de congruences ci-dessous, où $a$ est l’unique entier relatif appartenant à $\{-3;-2;- 1;0;1;2;3\}$ tel que $10^m \equiv a \text{ mod }7$.
    On ne demande pas de justification.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    m &0 &1 &2 &3 &4 &5 &6\\
    \hline
    a & & & & & & &\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    b. Soit $p$ un entier naturel non nul.
    Montrer que $10^p \equiv 1 \text{ mod } 7$ si et seulement si $p$ est un multiple de $6$.
    On pourra utiliser la division euclidienne de $p$ par $6$.
    $\quad$
    c. Justifier que, pour tout entier nature $p$ non nul, $N_p = \dfrac{10^p-1}{9}$.
    d. Démontrer que “$7$ divise $N_p$”  est équivalent à “$7$ divise $9N_p$”.
    $\quad$
    e. En déduire que $N_p$ est divisible par $7$ si et seulement si $p$ est un multiple de $6$.
    $\quad$

Partie B : un rep-unit strictement supérieur à $\boldsymbol{1}$ n’est jamais un carré parfait

  1. Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$.
    On suppose que l’écriture décimale de $n^2$ se termine par le chiffre $1$, c’est-à-dire $n^2 \equiv 1 \text{ mod } 10$.
    a. Recopier et compléter le tableau de congruences ci-dessous.
    $\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    n \equiv \ldots  ~~[10]& 0 & 1 & 2 & 3 & 4 &5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\
    \hline
    n^2 \equiv \ldots  ~~[10]\phantom{2^5}&&&&&&&&&&\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    b. En déduire qu’il existe un entier naturel $m$ tel que: $n = 10m + 1$ ou $n = 10m-1$.
    $\quad$
    c. Conclure que $n^2 \equiv 1 \text{ mod } 20$.
    $\quad$
  2. Soit $p$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$.
    Quel est le reste de la division euclidienne de $N_p$ par $20$ ?
    $\quad$
  3. En déduire que, pour $p$ entier naturel supérieur ou égal à $2$, le rep-unit $N_p$ n’est pas le carré d’un entier.
    $\quad$

Bac S – Nouvelle Calédonie – Novembre 2016

Nouvelle Calédonie – Novembre 2016

Bac S – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. $f(x)=x\e^{-x}-0,1=\dfrac{x}{\e^x}-0,1=\dfrac{1}{\dfrac{\e^x}{x}}-0,1$.
    Or $\lim\limits_{x \to  +\infty} \dfrac{\e^x}{x}=+\infty$ donc $\lim\limits_{x \to  +\infty} \dfrac{1}{\dfrac{\e^x}{x}}$
    Par conséquent $ \lim\limits_{x \to  +\infty} f(x)=-0,1$.
    $\quad$
  2. D’après l’énoncé, la fonction $f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$.
    $f'(x)=\e^{-x}-x\e^{-x}=(1-x)\e^{-x}$
    La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de $1-x$.
    Ainsi $f$ est croissante sur $[0;1]$ et décroissante sur $[1;+\infty[$.
    On obtient donc le tableau de variation suivant :
    bac-s-nouvelle-caledonie-nov2016-ex1
    $\quad$
  3. La fonction $f$ est continue (car dérivable) sur $[0;1]$ et strictement croissante sur cet intervalle.
    $f(0)=-0,1<0$ et $f(1)=\e^{-1}-0,1 \approx 0,27 >0$.
    Donc $0\in\left[-0,1;\e^{-1}-0,1\right]$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires), l’équation $f(x)=0$ possède une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[0;1]$.
    $\quad$
  4. La fonction $F$ est dérivable sur $[\alpha;\beta]$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $\begin{align*} F'(x)&=-\e^{-x}-\left(-(x+1)\e^{-x}\right)-0,1\\
    &=-\e^{-x}+(x+1)\e^{-x}-0,1\\
    &=(-1+x+1)\e^{-x}-0,1\\
    &=x\e^{-x}-0,1\\
    &=f(x)
    \end{align*}$
    $F$ est bien une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $[\alpha;\beta]$.
    $\quad$
  5. Calculons dans un premier temps l’aire du domaine compris entre la courbe l’axe des abscisses, la courbe $\mathscr{C}$ et les droites d’équations $x=\alpha$ et $x=\beta$.
    Cette aire vaut :
    $\begin{align*} \mathscr{A}_1&=\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}f(x)\dx \\
    &=F(\beta)-F(\alpha)
    \end{align*}$
    Par conséquent, du fait de la symétrie des deux courbes, l’aire du domaine compris entre les courbes $\mathscr{C}$ et $\mathscr{C}’$ vaut :
    $\begin{align*} \mathscr{A}&=2\left(F(\beta)-F(\alpha)\right) \\
    &=2\left(-(\beta+1)\e^{-\beta}-0,1\beta-\left(-(\alpha+1)\e^{-\alpha}-0,1\alpha\right)\right) \\
    &\approx 1,040
    \end{align*}$
    $\quad$
    Le domaine sur chaque axe représente $5$ mètres. L’aire du domaine est donc d’environ $1,040\times 5^2$ soit $26$ m$^2$.
    On devra donc planter $36\times 26 = 936$ plants de tulipes.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. a. La variable aléatoire $X$ suit la loi normale de moyenne $\mu=125$.
    Par conséquent, pour tout nombre réel $t$ positif, on a :
    $P(X \pp 125-t)=P(X \pg 125+t)$
    $\quad$
    b. Par conséquent $P(X \pg 129)$ $= P(X \pg 125+4)$ $= P(X \pp 125-4)$ $= P(X \pp 121)$ $=0,023$.
    Ainsi $P(121 \pp X \pp 129)$ $=1-\left(P(X \pp 121)+P(X \pg 129)\right)$ $=0,954$.
    $\quad$
  2. On sait que $P(\mu-\sigma \pp X \pp \mu+\sigma) \approx 0,68$.
    Or $P(123 \pp X \pp 127)=0,68$
    Par conséquent $125-\sigma \approx 123$ et $\sigma \approx 2$.
    $\quad$
    Remarque : On pouvait faire un raisonnement similaire avec $P(121 \pp X \pp 129) = 0,954$ en utilisant $P(\mu-2\sigma \pp X \pp \mu+2\sigma) \approx 0,954$
    $\quad$
  3. a. On veut calculer $P(120 \pp X \pp 130) \approx 0,987~6$ à $10^{-4}$ près.
    $\quad$
    b. On appelle $C$ l’événement “le pot de confiture est conforme” et $M$ l’événement “le pot de confiture a une masse de confiture inférieure à $130$ grammes”.
    On veut calculer :
    $\begin{align*} p_M\left(\overline{C}\right)&=\dfrac{p\left(\overline{C}\cap M\right)}{p(M)} \\
    &=\dfrac{P(X\pp 120)}{P( X \pp 130)}\\
    &=\dfrac{0,5-P(120 \pp X \pp 125)}{0,5+P(125 \pp X \pp 130)} \\
    &\approx 0,006~2
    \end{align*}$
    $\quad$
  4. On note $n=900 \pg 30$, $p=0,988$ donc $np=889,2 \pg 5$ et $n(1-p)=10,8 \pg 5$.
    Un intervalle de fluctuation au seuil de $95\%$ de la masse de confiture dans un pot est :
    $\begin{align*} I_{900}&=\left[0,988-1,96\sqrt{\dfrac{0,988\times 0,012}{900}};0,988+1,96\sqrt{\dfrac{0,988\times 0,012}{900}}\right] \\
    &\approx [0,980;0,996]
    \end{align*}$
    La fréquence observée est $f=\dfrac{871}{900} \approx 0,968 \notin I_{900}$.
    On peut donc rejeter, au risque de $5\%$, l’hypothèse selon laquelle la machine est bien réglée.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. a. $|a|=\sqrt{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}}=1$
    Donc $a=\e^{3\ic \pi/4}$.
    $\quad$
    b.
    $\begin{align*} f(a)&=\e^{3\ic \pi/4} + \dfrac{1}{\e^{3\ic \pi/4}} \\
    &=\e^{3\ic \pi/4} + \e^{-3\ic \pi/4} \\
    &=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\ic \dfrac{\sqrt{2}}{2} -\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\ic \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\
    &=-\sqrt{2}
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align*} f(z)=1 &\ssi z+\dfrac{1}{z}=1 \\
    &\ssi z^2+1=z \quad \text{et } z\neq 0 \\
    &\ssi z^2-z+1=0 \quad \text{et} z\neq 0
    \end{align*}$
    $\Delta=(-1)^2-4\times 1\times 1 = -3<0$.
    Il y a donc deux racines complexes conjuguées :
    $z_1=\dfrac{1-\ic\sqrt{3}}{2}$ et $z_2=\dfrac{1+\ic\sqrt{3}}{2}$
    $\quad$
  3. a. Tout nombre complexe $z$ peut s’écrire sous la forme $z=|z|\e^{\ic \theta}$.
    Or ici $|z|=OM=1$.
    Donc $z$ peut s’écrire sous la forme $z=\e^{\ic \theta}$.
    b.
    $\begin{align*} f(z)&=\e^{\ic \theta}+\dfrac{1}{\e^{\ic \theta}} \\
    &=\e^{\ic \theta}+\e^{-\ic \theta} \\
    &=\cos(\theta)+\ic \sin(\theta)+\cos(-\theta)+\ic \sin(-\theta) \\
    &=\cos(\theta)+\ic \sin(\theta)+\cos(\theta)-\ic \sin(\theta) \\
    &=2\cos(\theta)
    \end{align*}$
    Donc $f(z)$ est un nombre réel.
    Remarque : On a en fait redémontré la formule d’Euler pour le cosinus.
    $\quad$
  4. On note $z=r\e^{\ic \theta}$ avec $r>0$
    $\begin{align*} f(z)&=r\e^{\ic \theta}+\dfrac{1}{r\e^{\ic \theta}} \\
    &=r\e^{\ic \theta}+\dfrac{1}{r}\e^{-\ic \theta} \\
    &=r\cos(\theta)+r\ic \sin(\theta)+\dfrac{1}{r}\cos(\theta)-\dfrac{\ic}{r}\sin(\theta) \\
    &=r\cos(\theta)+\dfrac{1}{r}\cos(\theta)+\ic\left(r\sin(\theta)-\dfrac{1}{r}\sin(\theta)\right)
    \end{align*}$
    $f(z)$ est un nombre réel si, et seulement si, $r\sin(\theta)-\dfrac{1}{r}\sin(\theta)=0$.
    Or $r\sin(\theta)-\dfrac{1}{r}\sin(\theta)=\sin(\theta)\left(r-\dfrac{1}{r}\right)$.
    Ainsi $f(z)$ est un réel si, et seulement si, $\sin(\theta)=0$ ou $r-\dfrac{1}{r}=0$.
    Or $\sin(\theta)=0 \ssi \theta = k\pi$ où $k\in \Z$ : $z$ est un réel non nul.
    Et $r-\dfrac{1}{r}=0 \ssi r=1$ ou $r=-1$ : $r=-1$ est impossible.
    Donc l’ensemble des points $M$ d’affixe $z$ tels que $f(z)$ soit un nombre réel est composé du cercle trigonométrique et de l’axe des réels privé de l’origine du repère.
    bac-s-nouvelle-caledonie-nov2016-ex3

Ex 4

Exercice 4

  1. On trace la parallèle à $(IJ)$ passant par $K$ pour obtenir le point $L$.
    bac-s-nouvelle-caledonie-nov2016-ex41
  2. Le point $M$ est l’intersection de $[GF]$ et $[JL]$.
    bac-s-nouvelle-caledonie-nov2016-ex42
  3. On considère la figure suivante :

    bac-s-nouvelle-caledonie-nov2016-ex43-1
    On souhaite que le triangle $IJN$ soit équilatéral cela signifie donc que le triangle $GPN$ est rectangle isocèle en $G$. Par conséquent on considère le point $P$ tel que $\vect{FP}=\dfrac{3}{4}\vect{FB}$
    Dans les triangles $FLP$ et $GPJ$ :
    – les droites $(GJ)$ et $(PF)$ sont parallèles;
    – les droites $(PJ)$ et $(FG)$ sont sécantes en $N$.
    D’après le théorème de Thalès on a :
    $\dfrac{NG}{NP}=\dfrac{NJ}{NP}=\dfrac{GJ}{FP}$
    Or $\dfrac{GJ}{FP}=\dfrac{1}{3}$
    Ainsi $\dfrac{NG}{NP}=\dfrac{1}{3}$ et $GN=GJ$.
    Il existe donc un point $P$ de la droite $(BF)$ tel que la section du cube par le plan $(IJP)$ soit un triangle équilatéral.
    $\quad$

Ex 5 obl

Exercice 5

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

  1. A l’aide de la calculatrice on obtient :
    $u_0=1 \quad u_1=1,8 \quad u_2=2,44 \quad u_3=2,952 \quad u_4=3,361~6$
    Il semblerait donc que la suite $\left(u_n\right)$ soit croissante.
    Sa limite semble être $5$.
    $\quad$
  2. Initialisation : Si $n=0$ $u_0=1$ et $5-4\times 0,8^n=5-4=1$.
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $u_n=5-4\times 0,8^n$.
    $\begin{align*} u_{n+1}&=0,8u_n+1 \\
    &=0,8\left(5-4\times 0,8^n\right)+1\\
    &=4-4\times 0,8^{n+1}+1\\
    &=5-4\times 0,8^{n+1}
    \end{align*}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Pour tout entier naturel$n$ on a donc $u_n=5-4\times 0,8^n$.
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=5-4\times 0,8^{n+1}-\left(5-4\times 0,8^n\right) \\
    &=-4\times 0,8^{n+1}+4\times 0,8^n \\
    &=4\times 0,8^n(-0,8+1) \\
    &=4\times 0,8^n\times 0,2 \\
    &=0,8^{n+1} \\
    &>0
    \end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc croissante.
    $\quad$
    Puisque $-1<0,8<1$ alors $\lim\limits_{n \to +\infty}0,8^n=0$
    Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=5$.
    $\quad$
    Si l’apiculteur achète chaque année $10~000$ abeilles alors son nombres d’abeilles augmentera chaque année et sera de $50~000$ au bout d’un grand nombre d’années.
    $\quad$

Partie B

  1. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-5c \\
    &=0,8u_n+c-5c\\
    &=0,8u_n-4c\\
    &=0,8\left(u_n-5c\right) \\
    &=0,8v_n
    \end{align*}$
    $\quad$
    autre méthode : $u_n=v_n+5c$.
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-5c \\
    &=0,8u_n+c-5c\\
    &=0,8u_n-4c\\
    &=0,8\left(v_n+5c\right)-4c\\
    &=0,8v_n+4c-4c\\
    &=0,8v_n
    \end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,8$ et de premier terme $v_0=u_0-5c=1-5c$.
    $\quad$
  2. Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a : $v_n=(1-5c)\times 0,8^n$
    $\quad$
  3. On a alors, pour tout entier naturel $n$ : $u_n=(1-5c)\times 0,8^n+5c$
    Pour la même raison qu’à la question A.3 $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=5c$.
    L’apiculteur souhaite que $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=10$.
    Il faut donc que $c=2$.
    $\quad$

Ex 5 spé

Exercice 5

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

  1. $u_{n+2}-u_{n+1}=0,9\left(u_{n+1}-u_n\right)$
    Donc $u_{n+2}=u_{n+1}+0,9\left(u_{n+1}-u_n\right)=1,9u_{n+1}-0,9u_n$
    Ainsi
    $\begin{align*} u_2&=1,9u_1-0,9u_0 \\
    &=1,9\times 5,1-0,9\times 5\\
    &=5,19
    \end{align*}$
  2. a.
    $\begin{align*}AV_n&=\begin{pmatrix}1,9&-0,9\\1&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}u_{n+1}\\u_n\end{pmatrix} \\
    &=\begin{pmatrix}1,9u_{n+1}-0,9u_n\\u_{n+1}\end{pmatrix} \\
    &=\begin{pmatrix}u_{n+2}\\u_{n+1}\end{pmatrix}\\
    &=V_{n+1}
    \end{align*}$
    b. A l’aide de la calculatrice on obtient $P^{-1}=\begin{pmatrix}-10&10\\10&-9\end{pmatrix}$
    $\quad$
    $\begin{align*}D&=P^{-1}AP \\
    &=\begin{pmatrix}-10&10\\10&-9\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}1,9&-0,9\\1&0\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0,9&1\\1&1\end{pmatrix} \\
    &=\begin{pmatrix}-19+10&9\\19-9&-9\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}0,9&1\\1&1\end{pmatrix} \\
    &=\begin{pmatrix}-9&10\\10&-9\end{pmatrix} \times\begin{pmatrix}0,9&1\\1&1\end{pmatrix} \\
    &=\begin{pmatrix}-8,1+9&-10+10\\9-9&10-9\end{pmatrix} \\
    &=\begin{pmatrix}0,9&0\\0&1\end{pmatrix}
    \end{align*}$
    $\quad$
    c. Initialisation : Si $n=0$ alors $PD^0P^{-1} = PP^{-1}=I_2$ où $I_2$ est la matrice identité d’ordre $2$.
    $A^0=I_2$.
    La propriété est donc vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $A^n=PD^nP^{-1}$.
    On sait que D=P^{-1}AP$ donc $PDP^{-1}=A$.
    $\begin{align*} A^{n+1}&=A^n \times A \\
    &=PD^nP^{-1} \times PDP^{-1} \\
    &=PD^nDP^{-1} \\
    &=PD^{n+1}P^{-1}
    \end{align*}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $A^n=PD^nP^{-1}$.
    $\quad$
    d. On sait que $V_n=A^nV_0$
    Donc $\begin{pmatrix}u_{n+1}\\u_n\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5,1\left(-10\times 0,9^{n+1}+10\right)+5\left(10\times 0,9^{n+1}-9\right) \\5,1\left(-10\times 0,9^n+10\right)+5\left(10\times 0,9^n-9\right)\end{pmatrix}$
    Par conséquent
    $\begin{align*} u_n&=5,1\left(-10\times 0,9^n+10\right)+5\left(10\times 0,9^n-9\right) \\
    &=-51\times 0,9^n+51+50\times 0,9^n-45 \\
    &=6-0,9^n
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. $u_{10}=6-0,9^{10}\approx 5,651$.
    La colonie compte donc environ $5~651$ fourmis au bout du $10^{\e}$ jour.
    $\quad$
  4. $-1 <0,9<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty}0,9^n=0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=6$.
    Au bout d’un grand nombre de jours, la colonie comptera $6~000$ fourmis.

Énoncé

Exercice 1    4 points

On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l’intervalle $[0; +\infty[$ par $$f(x) = x\e^{-x}-0,1$$

  1. Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
    $\quad$
  2. Étudier les variations de $f$ sur $[0;+ \infty[$ et dresser le tableau de variations.
    $\quad$
  3. Démontrer que l’équation $f(x) = 0$ admet une unique solution notée $\alpha$ sur l’intervalle $[0;1]$.
    $\quad$

On admet l’existence du nombre réel strictement positif $\beta$ tel que $\alpha < \beta$ et $f(\beta) = 0$.

On note $\mathscr{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ sur l’intervalle $[\alpha;\beta]$ dans un repère orthogonal et $\mathscr{C}’$ la courbe symétrique de $\mathscr{C}$ par rapport à l’axe des abscisses.

L’unité sur chaque axe représente $\boldsymbol{5}$ mètres.

Ces courbes sont utilisées pour délimiter un massif floral en forme de flamme de bougie sur lequel seront plantées des tulipes.

  1. Démontrer que la fonction $F$, définie sur l’intervalle $[\alpha;\beta]$ par $$F(x) = -(x + 1)\text{e}^{-x}-0,1x$$ est une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $[\alpha;\beta]$.
    $\quad$
  2. Calculer, en unités d’aire, une valeur arrondie à $0,01$ près de l’aire du domaine compris entre les courbes $\mathscr{C}$ et $\mathscr{C}’$.
    On utilisera les valeurs arrondies à $0,001$ près suivantes : $\alpha \approx 0,112$ et $\beta \approx 3,577$.
    $\quad$
  3. Sachant que l’on peut disposer $36$ plants de tulipes par mètre carré, calculer le nombre de plants de tulipes nécessaire à la réalisation de ce massif.
    $\quad$

Exercice 2    4 points

La société “Bonne Mamie” utilise une machine pour remplir à la chaîne des pots de confiture. On note $X$ la variable aléatoire qui à chaque pot de confiture produit associe la masse de confiture qu’il contient, exprimée en grammes.
Dans le cas où la machine est correctement réglée, on admet que $X$ suit une loi normale de moyenne $\mu = 125$ et d’écart-type $\sigma$.

  1. a. Pour tout nombre réel $t$ positif, déterminer une relation entre $P(X \pp 125 – t)$ et $P(X \pg 125 + t)$.
    $\quad$
    b. On sait que $2,3\%$ des pots de confiture contiennent moins de $121$ grammes de confiture. En utilisant la relation précédente, déterminer $P(121 \pp X \pp 129)$.
    $\quad$
  2. Déterminer une valeur arrondie à l’unité près de $\sigma$ telle que $P(123 \pp X \pp 127) = 0,68$.
    $\quad$

Dans la suite de l’exercice, on suppose que $\boldsymbol{\sigma = 2}$.

  1. On estime qu’un pot de confiture est conforme lorsque la masse de confiture qu’il contient est comprise entre $120$ et $130$ grammes.
    a. On choisit au hasard un pot de confiture de la production. Déterminer la probabilité que ce pot soit conforme. On donnera le résultat arrondi à $10^{-4}$ près.
    $\quad$
    b. On choisit au hasard un pot parmi ceux qui ont une masse de confiture inférieure à $130$ grammes. Quelle est la probabilité que ce pot ne soit pas conforme?
    On donnera le résultat arrondi à $10^{-4}$ près.
    $\quad$
  2. On admet que la probabilité, arrondie à $10^{-3}$ près, qu’un pot de confiture soit conforme est $0,988$.
    On choisit au hasard $900$ pots dans la production. On constate que $871$ de ces pots sont conformes. Au seuil de $95\%$ peut-on rejeter l’hypothèse suivante : “La machine est bien réglée” ?
    $\quad$

Exercice 3    4 points

On se place dans le plan complexe rapporté au repère $\Ouv$.
Soit $f$ la transformation qui à tout nombre complexe $z$ non nul associe le nombre complexe $f(z)$ défini par : $$f(z) = z + \dfrac{1}{z}$$
On note $M$ le point d’affixe $z$ et $M’$ le point d’affixe $f(z)$.

  1. On appelle A le point d’affixe $a = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \ic\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
    a. Déterminer la forme exponentielle de $a$.
    $\quad$
    b. Déterminer la forme algébrique de $f(a)$.
    $\quad$
  2. Résoudre, dans l’ensemble des nombres complexes, l’équation $f(z) = 1$.
    $\quad$
  3. Soit $M$ un point d’affixe $z$ du cercle $\mathscr{C}$ de centre $O$ et de rayon $1$.
    a. Justifier que l’affixe $z$ peut s’écrire sous la forme $z = \e^{\ic\theta}$ avec $\theta$ un nombre réel.
    $\quad$
    b. Montrer que $f(z)$ est un nombre réel.
    $\quad$
  4. Décrire et représenter l’ensemble des points $M$ d’affixe $z$ tels que $f(z)$ soit un nombre réel.
    $\quad$

Exercice 4    3 points

On considère le cube $ABCDEFGH$ représenté ci-dessous.
On définit les points I et J respectivement par $\vect{HI} = \dfrac{3}{4} \vect{HG}$ et $\vect{JG} = \dfrac{1}{4} \vect{CG}$.

 

  1. Sur le document réponse donné en annexe, à rendre avec la copie, tracer, sans justifier, la section du cube par le plan $(IJK)$ où $K$ est un point du segment $[BF]$.

    $\quad$
  2. Sur le document réponse donné en annexe, à rendre avec la copie, tracer, sans justifier, la section du cube par le plan $(IJL)$ où $L$ est un point de la droite $(BF)$.
    $\quad$
  3. Existe-t-il un point $P$ de la droite $(BF)$ tel que la section du cube par le plan $(IJP)$ soit un triangle équilatéral ? Justifier votre réponse.
    $\quad$

Exercice 5    5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Un apiculteur étudie l’évolution de sa population d’abeilles. Au début de son étude, il évalue à $10~000$ le nombre de ses abeilles.
Chaque année, l’apiculteur observe qu’il perd $20\%$ des abeilles de l’année précédente.
Il achète un nombre identique de nouvelles abeilles chaque année. On notera $c$ ce nombre exprimé en dizaines de milliers.
On note $u_0$ le nombre d’abeilles, en dizaines de milliers, de cet apiculteur au début de l’étude.
Pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_n$ désigne le nombre d’abeilles, en dizaines de milliers, au bout de la $n$-ième année. Ainsi, on a
$$u_0 = 1\quad \text{et, pour tout entier naturel }n, u_{n+ 1} = 0,8u_n + c$$

Partie A

On suppose dans cette partie seulement que $c = 1$.

  1. Conjecturer la monotonie et la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
  2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n, u_n = 5-4 \times 0,8^n$.
    $\quad$
  3. Vérifier les deux conjectures établies à la question 1. en justifiant votre réponse.
    Interpréter ces deux résultats.
    $\quad$

Partie B

L’apiculteur souhaite que le nombre d’abeilles tende vers $100~000$.
On cherche à déterminer la valeur de $c$ qui permet d’atteindre cet objectif.
On définit la suite $\left(v_n\right)$ par, pour tout entier naturel $n$,  $v_n = u_n-5c$.

  1. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
    $\quad$
  2. En déduire une expression du terme général de la suite $\left(v_n\right)$en fonction de $n$.
    $\quad$
  3. Déterminer la valeur de $c$ pour que l’apiculteur atteigne son objectif.
    $\quad$

Exercice 5    5 points

Candidats avant suivi l’enseignement de spécialité

On observe la taille d’une colonie de fourmis tous les jours.
Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $u_n$ le nombre de fourmis, exprimé en milliers. dans cette population au bout du $n$-ième jour.
Au début de l’étude la colonie compte $5~000$ fourmis et au bout d’un jour elle compte $5~100$ fourmis. Ainsi, on a $u_0 = 5$ et $u_1 = 5,1$.
On suppose que l’accroissement de la taille de la colonie d’un jour sur l’autre diminue de $10\%$ chaque jour.
En d’autres termes, pour tout entier naturel $n$, $$u_{n+2}-u_{n+1} = 0,9\left(u_{n+1}-u_n\right)$$

  1. Démontrer, dans ces conditions, que $u_2 = 5,19$.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$, on pose $V_n = \begin{pmatrix}u_{n+1}\\u_n\end{pmatrix}$ et $A = \begin{pmatrix}1,9& -0,9\\1& 0\end{pmatrix}$.
    a. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $V_{n+1} = AV_n$.
    On admet alors que, pour tout entier naturel $n$, $V_n = A^nV_0$.
    $\quad$
    b. On pose $P = \begin{pmatrix}0,9&1\\1&1\end{pmatrix}$. On admet que la matrice $P$ est inversible.
    À l’aide de la calculatrice, déterminer la matrice $P^{-1}$.
    En détaillant les calculs, déterminer la matrice $D$ définie par $D = P^{-1} AP$.
    $\quad$
    c. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a $A^n = PD^nP^{-1}$.
    Pour tout entier naturel $n$, on admet que $$A^n = \begin{pmatrix}-10 \times 0,9^{n+1} + 10& 10 \times 0,9^{n+1}-9\\-10 \times 0,9^n + 10& 10 \times 0,9^n-9\end{pmatrix}.$$
    $\quad$
    d. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = 6-0,9^n$.
    $\quad$
  3. Calculer la taille de la colonie au bout du $10^{\e}$ jour. On arrondira le résultat à une fourmi près.
    $\quad$
  4. Calculer la limite de la suite $\left(u_n\right)$. Interpréter ce résultat dans le contexte.
    $\quad$

Bac S – Antilles – Guyane – Septembre 2016

Antilles Guyane – septembre 2016

Bac S – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A – Étude Graphique

  1. $u_n$ correspond à l’aire du domaine compris entre l’axe des abscisses, la courbe $\mathscr{C}_n$ et les droites d’équation $x=0$ et $x=1$.
    $\quad$
  2. Il semblerait que la suite $\left(u_n\right)$ soit décroissante et converge vers $0$.
    $\quad$
    $\quad$
  3. Chaque carreau du quadrillage à une aire de $0,01$ u.a.
    On s’intéresse au domaine compris entre l’axe des abscisses, la courbe $\mathscr{C}_4$ et les droites d’équation $x=0$ et $x=1$.
    On peut inscrire 11 carrés unités dans ce domaine qui lui même est inscrit dans 16 carrés unité.
    On obtient ainsi $11 \times 0,01 \pp u_4 \pp 16 \times 0,01$
    Soit $0,11 \pp u_4 \pp 0,16$.
    $\quad$

Partie B – Étude théorique

  1. $\quad$
    $$\begin{align*} u_0 &=\int_0^1 \dfrac{\e^{-(0-1)x}}{1+\e^x}\dx \\
    &=\int_0^1 \dfrac{\e^x}{1+\e^x}\dx \\
    &=\Big[\ln\left(1+\e^x\right)\Big]_0^1 \\
    &=\ln(1+\e)-\ln 2\\
    &=\ln \left(\dfrac{1+\e}{2}\right)
    \end{align*}$$
    $\quad$
  2. $\quad$
    $$\begin{align*} u_0+u_1&=\int_0^1 \dfrac{\e^{-(0-1)x}}{1+\e^x}\dx + \int_0^1 \dfrac{\e^{-(1-1)x}}{1+\e^x}\dx\\
    &=\int_0^1 \dfrac{\e^{x}}{1+\e^x}\dx + \int_0^1 \dfrac{1}{1+\e^x}\dx \\
    &=\int_0^1 \dfrac{1+\e^{x}}{1+\e^x}\dx \\
    &=\int_0^1 1\dx \\
    &=\Big[x\Big]_0^1 \\
    &=1-0\\
    &=1
    \end{align*}$$
    Donc $u_1=1-u_0=1-\ln \left(\dfrac{1+\e}{2}\right)$
    $\quad$
  3. La fonction exponentielle est une fonction strictement positive.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ et tout réel $x$ on a $f_n(x) \pg 0$.
    On intègre une fonction continue positive sur l’intervalle $[0;1]$.
    Par conséquent $u_n \pg 0$.
    $\quad$
  4. a.
    $$\begin{align*} d_n&=f_{n+1}(x)-f_n(x) \\
    &=\dfrac{\e^{-nx}}{1+\e^x}-\dfrac{\e^{-(n-1)x}}{1+\e^x} \\
    &=\dfrac{\e^{-nx}-\e^{-(n-1)x}}{1+\e^x} \\
    &=\dfrac{\e^{-nx}\left(1-\e^x\right)}{1+\e^x} \\
    &=e^{-nx}\dfrac{1-\e^x}{1+\e^x}
    \end{align*}$$
    $\quad$
    b. La fonction exponentielle est strictement positive.
    Par conséquent le signe de $d_n(x)$ ne dépend que de celui de $1-\e^x$.
    Or, pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;1]$, on a $\e^x\pg 1$.
    Par conséquent, pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0;1]$, $d_n(x)\pp 0$.
    Sur l’intervalle $[0;1]$, la fonction $d_n$ est donc négative.
    $\quad$
  5. $u_{n+1}-u_n=\displaystyle \int_0^1 d_n(x)\dx$.
    Puisque $d_n(x) \pp 0$ sur $[0;1]$, cela signifie donc que $u_{n+1}-u_n\pp 0$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est par conséquent décroissante.
    $\quad$
    La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et minorée par $0$; elle est donc convergente.
    $\quad$
  6. a.
    $$\begin{align*} u_n+u_{n+1}&=\int_0^1\dfrac{\e^{-(n-1)x}}{1+\e^x}\dx+\int_0^1 \dfrac{\e^{-nx}}{1+\e^x} \\
    &=\int_0^1\dfrac{\e^{-(n-1)x}+\e^{-nx}}{1+\e^x}\dx \\
    &=\int_0^1\dfrac{\e^{-nx}\left(\e^{x}+1\right)}{1+\e^x}\dx \\
    &=\int_0^1 \e^{-nx}\dx \\
    &=\Big[-\dfrac{\e^{-nx}}{n}\Big]_0^1\\
    &=-\dfrac{\e^{-n}}{n}+\dfrac{1}{n}\\
    &=\dfrac{1-\e^{-n}}{n}
    \end{align*}$$
    $\quad$
    b. D’une part $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n+u_{n+1}=2\ell$.
    D’autre part $\lim\limits_{n \to +\infty} \e^{-n}=0$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1-\e^{-n}}{n}=0$.
    Par conséquent $2\ell = 0$ et $\ell = 0$.
    $\quad$
    c. On obtient l’algorithme suivant :
    Entrée :
    $\quad$ $N$ est un entier naturel non nul
    Variables :
    $\quad$ $U$ est un nombre réel
    $\quad$ $K$ est un entier naturel
    Initialisation :
    $\quad$ Affecter $1$ à $K$
    $\quad$ Affecter $1-\ln \left(\dfrac{1+\e}{2}\right)$ à $U$
    $\quad$ Demander à l’utilisateur la valeur de $N$
    Traitement :
    $\quad$ Tant que $K<N$
    $\qquad$ Affecter $\dfrac{1-\e^{-K}}{K}-U$ à $U$
    $\qquad$ Affecter $K+1$ à $K$
    $\quad$ Fin Tant que
    Sortie :
    $\quad$ Afficher $U$
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. Dans le repère orthonormé $\left(B;\vect{BA},\vect{BC},\vect{BF}\right)$ on a $B(0;0;0)$ et $H(1;1;1)$.
    Ainsi $\vect{BH}(1;1;1)$.
    Une équation paramétrique de la droite $(BH)$ est donc $\begin{cases} x=t\\y=t \qquad t\in\R\\z=t\end{cases}$.
    $\quad$
  2. On a $D(1;1;0)$, $E(1;0;1)$ et $G(0;1;1)$
    Ainsi $\vect{DE}(0;-1;1)$ et $\vect{DG}(-1;0;1)$.
    Par conséquent $\vect{BH}.\vect{DE}=0-1+1=0$ et $\vect{BH}.\vect{DG}=-1+0+1=0$.
    Les deux vecteurs $\vect{DE}$ et $\vect{DG}$ ne sont clairement pas colinéaires.
    Par conséquent, le vecteur $\vect{BH}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(DEG)$ : la droite $(BH)$ est donc perpendiculaire au plan $(DEG)$.
    $\quad$
  3. Le vecteur $\vect{BH}$ est normal au plan $(DEG)$.
    Une équation cartésienne de ce plan est donc de la forme : $$x+y+z+d=0$$
    Le point $D$ appartient à ce plan. Ses coordonnées vérifient alors son équation.
    Ainsi $1+1+0+d=0$ et $d=-2$.
    Une équation cartésienne de $(DEG)$ est donc $x+y+z-2=0$.
    $\quad$
  4. Le point $P(x;y;z)$ vérifient à la fois l’équation cartésienne du plan $(DEG)$ et l’équation paramétrique de la droite $(BH)$.
    par conséquent, en injectant les équations paramétriques dans l’équation cartésienne, on obtient :
    $t+t+t-2=0$ doit $t=\dfrac{2}{3}$
    Cela signifie, par conséquent, que les coordonnées de $P$ sont $\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3}\right)$.
    $\quad$
  5. Montrons que $P$ est le centre de gravité du triangle $DEG$.
    On appelle $I$ le milieu du segment $[DE]$
    Ainsi $I\left(1;\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}\right)$
    Et $\vect{GI}\left(1;-\dfrac{1}{2};-\dfrac{1}{2}\right)$
    Or $\vect{GP}\left(\dfrac{2}{3};-\dfrac{1}{3};-\dfrac{1}{3}\right)$.
    Par conséquent $\vect{GP}=\dfrac{2}{3}\vect{GI}$.
    $P$ est bien le centre de gravité du triangle $DEG$.
    $\quad$
    Chacun des côtés du triangle $DEG$ est une diagonale d’une face du cube. Le triangle $DEG$ est donc équilatéral.
    Par conséquent $P$ est aussi le centre du cercle circonscrit au triangle, son orthocentre et le centre de son cercle inscrit.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. Calculons le discriminant de cette équation du second degré :
    $\Delta = 4a^2-4\left(a^2+1\right) = -4$.
    L’équation $(E)$ possède donc deux solutions complexes (non réelles) conjuguées (donc même module).
    Pour toute valeur de $\boldsymbol{a}$, les solutions de $\boldsymbol{(E)}$ dans $\boldsymbol{\C}$ ne sont pas réelles et leurs modules sont égaux.
    $\quad$
  2. On peut raisonner par élimination. Mais on peut aussi chercher la forme exponentielle de $z$.
    $$\begin{align*}z&=1+\e^{\ic \theta} \\
    &=\e^0+\e^{\ic \theta} \\
    &=\e^{\frac{\ic \theta}{2}}\left(\e^{-\frac{\ic \theta}{2}}+\e^{\frac{\ic \theta}{2}}\right) \\
    &=2\cos \left(\dfrac{\theta}{2}\right) \e^{\frac{\ic \theta}{2}}
    \end{align*}$$
    Car, pour tout réel $x$, $\cos(x)=\dfrac{\e^{\ic x}+\e^{-\ic x}}{2}$.
    Puisque $\theta$ appartient à l’intervalle $]0;\pi[$ alors $\dfrac{\theta}{2}$ appartient à $\left]0;\dfrac{\pi}{2}\right[$. Ainsi $2\cos \left(\dfrac{\theta}{2}\right) > 0$.
    On a donc obtenu la forme exponentielle de $z$.
    Un argument de $\boldsymbol{z}$ est $\boldsymbol{\dfrac{\theta}{2}}$.
    $\quad$
  3. $f'(x)=-\e^{-x}\sin x+\e^{-x}\cos x=\e^{-x}\left(\cos(x)-\sin(x)\right)$
    $f’\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\e^{-\pi/4}\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)-\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\right) = 0$
    Soit $\boldsymbol{f’}$ la fonction dérivée de $\boldsymbol{f}$. On a $\boldsymbol{f’\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=0}$.
    $\quad$
  4. On a $P(X\pp 30) = 1-\e^{-0,02\times 30} \approx 0,45$.
    $\boldsymbol{P(X\pp 30) \approx 0,45}$
    $\quad$

Ex 4 spé

Exercice 4

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
    bac-s-antilles-guyane-sept2016-ex4
    Où on appelle $F_n$ l’événement “l’ordinateur est défaillant le jour $n$”.
    ou le graphe suivant :
    bac-s-antilles-guyane-sept2016-ex41
    où on appelle $F$ l’événement l’ordinateur est défaillant.
    $\quad$
  2. On a $a_0=0,4$ et $b_0=0,6$
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $a_1=0,4\times 0,97+0,6\times 0,07 = 0,43$
    Donc $b_1=1-a_1=0,57$.
    $\quad$
  3. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $a_{n+1}=a_n\times 0,97+b_n\times 0,07$ et $b_{n+1}=a_n\times 0,03+b_n\times 0,93$.
    $\quad$
  4. a. $AX_n=\begin{pmatrix} 0,97a_n+0,07b_n\\0,03a_n+0,93b_n\end{pmatrix}=X_{n+1}$
    $\quad$
    b. Initialisation :  Si $n=0$, $A^0X_0=I_2X_0=X_0$ où $I_2$ est la matrice identité.
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $X_n=A^nX_0$
    $X_{n+1}=AX_n=A\times A^nX_0=A^{n+1}X_0$
    La propriété est vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ : $X_n=A^nX_0$.
    $\quad$
    c. $X_{30}\approx \begin{pmatrix}0,687\\0,313\end{pmatrix}$
    Cela signifie donc, qu’au bout de $30$ jours, $68,7\%$ des ordinateurs n’ont pas de failles de sécurité.
    $\quad$

Partie B

  1. a. A tout instant, un ordinateur présente ou ne présente pas de failles de sécurité donc $a_{n+1}+b_{n+1}=1$ pour tout entier naturel $n$.
    $\quad$
    b. $DX_n+B=\begin{pmatrix}0,9a_n+0,07\\0,09b_n+0,03\end{pmatrix}$
    Or :
    $\begin{align*} a_{n+1}&=0,97a_n+0,07b_n \\
    &=0,97a_n+0,07\left(1-a_n\right) \\
    &=0,07-0,9a_n
    \end{align*}$
    Et
    $\begin{align*} b_{n+1}a&=0,03a_n+0,93b_n\\
    &=0,03\left(1-b_n\right)+0,93b_n \\
    &=0,03+0,9b_n
    \end{align*}$
    Pour tout entier naturel $n$, on a $X_{n+1}=DX_n+B$.
    $\quad$
  2. a.
    $$\begin{align*}Y_{n+1}&=X_{n+1}-10B \\
    &=DX_n+B-10B\\
    &=DX_n-9B\\
    &=DX_n-10DB\\
    &=D\left(X_n-10B\right)\\
    &=DY_n
    \end{align*}$$
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $X_n=Y_n+10B=D^nY_0+10B=D^n\left(X_0-10B\right)+10B$
    $\quad$
    c. Pour tout entier naturel $n$ on a $D^n=\begin{pmatrix}0,9^n&0\\0&0,9^n\end{pmatrix}$
    Donc $a_{n+1}=0,9^n(0,4-0,7)+0,7 = -0,3\times 0,9^n+0,7$
    Et $b_{n+1}=0,9^n(0,6-0,3)+0,3=0,3\times 0,9^n+0,3$
    $\quad$
  3. $-1<0,9<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,9^n = 0$
    Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} a_n=0,7$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} b_n=0,3$.
    Sur le long terme, $70\%$ des ordinateurs seront sains et $30\%$ présenteront des failles de sécurités.

Énoncé

Exercice 1    6 points

Le plan est muni d’un repère orthonormal $\Oij$.
Pour tout entier naturel $n$, on considère la fonction $f_n$ définie et dérivable sur l’ensemble des nombres réels $\R$ par $$f_n(x) = \dfrac{\e^{-(n-1)x}}{1 + \e^{x}}$$
On désigne par $\mathscr{C}_n$ la courbe représentative de $f_n$ dans le repère $\Oij$.
On a représenté ci-dessous les courbes $\mathscr{C}_n$ pour différentes valeurs de $n$.
Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $$u_n = \displaystyle\int_0^1 f_n(x)\dx$$

 

Partie A – Étude graphique

  1. Donner une interprétation graphique de $u_n$.
    $\quad$
  2. Quelles conjectures peut-on faire concernant les variations et la convergence de la suite $\left(u_n\right)$ ?
    $\quad$
  3. Proposer, à l’aide du graphique et en expliquant la démarche, un encadrement de $u_4$ d’amplitude $0,05$.
    $\quad$

Partie B – Étude théorique

  1. Montrer que $u_0 = \ln \left(\dfrac{1+\e}{2}\right)$.
    $\quad$
  2. Montrer que $u_0 + u_1 = 1$ puis en déduire $u_1$.
    $\quad$
  3. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_n \pg 0$.
    $\quad$
  4. On pose pour tout entier naturel $n$ et pour tout $x$ réel, $d_n(x) = f_{n+1}(x)- f_n(x)$.
    a. Montrer que, pour tout nombre réel $x, d_n(x) = \e^{-nx} \dfrac{1-\e^x}{1 + \e^x}$.
    $\quad$
    b. Étudier le signe de la fonction $d_n$ sur l’intervalle $[0;1]$.
    $\quad$
  5. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
    $\quad$
  6. On note $\ell$ la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
    a. Montrer que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $1$, on a : $$u_n + u_{n + 1} = \dfrac{1-\e^{-n}}{n}$$
    $\quad$
    b. En déduire la valeur de $\ell$.
    $\quad$
    c. On souhaite construire un algorithme qui affiche la valeur de $u_N$ pour un entier naturel $N$ non nul donné.
    Recopier et compléter les quatre lignes de la partie Traitement de l’algorithme suivant.
    Entrée :
    $\quad$ $N$ est un entier naturel non nul
    Variables :
    $\quad$ $U$ est un nombre réel
    $\quad$ $K$ est un entier naturel
    Initialisation :
    $\quad$ Affecter $1$ à $K$
    $\quad$ Affecter $1-\ln \left(\dfrac{1 +\e}{2}\right)$ à $U$
    $\quad$ Demander à l’utilisateur la valeur de $N$
    Traitement :
    $\quad$ Tant que $K < N$
    $\qquad$ Affecter $\ldots\ldots\ldots$ à $U$
    $\qquad$ Affecter $\ldots\ldots\ldots$ à $K$
    $\quad$ Fin Tant que
    Sortie :
    $\quad$ Afficher $U$
    $\quad$

Exercice 2    5 points

On considère un cube $ABCDEFGH$ de côté $1$.

On se place dans le repère orthonormé $\left(B;\vect{BA},\vect{BC},\vect{BF}\right)$.

  1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(BH)$.
    $\quad$
  2. Démontrer que la droite $(BH)$ est perpendiculaire au plan $(DEG)$.
    $\quad$
  3. Déterminer une équation cartésienne du plan $(DEG)$.
    $\quad$
  4. On note $P$ le point d’intersection du plan $(DEG)$ et de la droite $(BH)$.
    Déduire des questions précédentes les coordonnées du point $P$.
    $\quad$
  5. Que représente le point $P$ pour le triangle $DEG$ ? Justifier la réponse.
    $\quad$

Exercice 3    4 points

Pour chacune des quatre questions, une seule des quatre propositions est exacte.
Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et recopiera la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée. Il sera attribué un point si la réponse est exacte, zéro sinon.

  1. On note $\C$ l’ensemble des nombres complexes et $(E)$ l’équation d’inconnue complexe $z$ $$(E) \quad z^2+2az+a^2+1=0$$ où $a$ désigne un nombre réel quelconque.
    $\bullet$ Pour toute valeur de $a$, $(E)$ n’a pas de solution dans $\C$.
    $\bullet$ Pour toute valeur de $a$, les solutions de $(E)$ dans $\C$ ne sont pas réelles et leurs modules sont distincts.
    $\bullet$ Pour toute valeur de $a$, les solutions de $(E)$ dans $\C$ ne sont pas réelles et leurs modules sont égaux.
    $\bullet$ Il existe une valeur de $a$ pour laquelle $(E)$ admet au moins une solution réelle.
    $\quad$
  2. Soit $\theta$ un nombre réel dans l’intervalle $]0;\pi[$ et $z$ le nombre complexe
    $z = 1 + \e^{\ic\theta}$.
    Pour tout réel $\theta$ dans l’intervalle $]0;\pi[$ :
    $\bullet$ Le nombre $z$ est un réel positif.
    $\bullet$ Le nombre $z$ est égal à $1$.
    $\bullet$ Un argument de $z$ est $\theta$.
    $\bullet$ Un argument de $z$ est $\dfrac{\theta}{2}$.
    $\quad$
  3. Soit la fonction $f$ définie et dérivable pour tout nombre réel $x$ par $$f(x) = \e^{-x} \sin x$$
    $\bullet$ La fonction $f$ est décroissante sur l’intervalle $\left]\dfrac{\pi}{4}; +\infty \right[$.
    $\bullet$ Soit $f’$ la fonction dérivée de $f$. On a $f’\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = 0$.
    $\bullet$ La fonction $f$ est positive sur l’intervalle $]0;+ \infty[$.
    $\bullet$ Soit $F$ la fonction définie, pour tout réel $x$, par $F(x) = \e^{-x} (\cos x-\sin x)$.
    La fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$.
    $\quad$
  4. Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre $0,02$.
    $0,45$ est une valeur approchée à $10^{-2}$ près de :
    $\bullet$ $P(X = 30)$
    $\bullet$ $P(X \pp 60)$
    $\bullet$] $P(X \pp 30)$
    $\bullet$] $P(30 \pp X \pp 40)$
    $\quad$

Exercice 4    5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Parmi les ordinateurs d’un parc informatique, $60\%$ présentent des failles de sécurité. Afin de pallier ce problème, on demande à un technicien d’intervenir chaque jour pour traiter les défaillances.
On estime que chaque jour, il remet en état $7\%$ des ordinateurs défaillants, tandis que de nouvelles failles apparaissent chez $3\%$ des ordinateurs sains. On suppose de plus que le nombre d’ordinateurs est constant sur la période étudiée.

Pour tout entier naturel $n$, on note $a_n$ la proportion d’ordinateurs sains de ce parc informatique au bout de $n$ jours d’intervention, et $b_n$ la proportion d’ordinateurs défaillants au bout de $n$ jours.
Ainsi $a_0 = 0,4$ et $b_0 = 0,6$.

Partie A

  1. Décrire la situation précédente à l’aide d’un graphe ou d’un arbre pondéré.
    $\quad$
  2. Déterminer $a_1$ et $b_1$.
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $a_{n+1}$ et $b_{n+1}$ en fonction de $a_n$ et $b_n$.
    $\quad$
  4. Soit la matrice $A = \begin{pmatrix}0,97&0,07\\0,03 &0,93\end{pmatrix}$. On pose $X_n = \begin{pmatrix}a_n\\b_n\end{pmatrix}$.
    a. Justifier que pour tout entier naturel $n$, $X_{n+1} = AX_n$.
    $\quad$
    b. Montrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n$, $X_n = A^n X_0$.
    $\quad$
    c. Calculer, à l’aide de la calculatrice, $X_{30}$. En donner une interprétation concrète (les coefficients seront arrondis au millième).
    $\quad$

Partie B

  1. On pose $D = \begin{pmatrix}0,9&0\\0 &0,9\end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix}0,07\\ 0,03\end{pmatrix}$.
    a. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, $a_{n+1} + b_{n+1} = 1$.
    $\quad$
    b. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $$X_{n+1} = DX_n + B$$
    $\quad$
  2. On pose, pour tout entier naturel $n$, $Y_n = X_n-10B$.
    a. Montrer que pour tout entier naturel $n$, $Y_{n+1} = DY_n$.
    $\quad$
    b. On admet que pour tout entier naturel $n$, $Y_n = D^nY_0$.
    En déduire que pour tout entier naturel $n$, $X_n = D^n\left(X_0-10B\right) + 10B$.
    $\quad$
    c. Donner l’expression de $D^n$ puis en déduire $a_{n+1}$ et $b_{n+1}$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  3. Selon cette étude, que peut-on dire de la proportion d’ordinateurs défaillants sur le long terme ?
    $\quad$

 

Bac S – Métropole – Septembre 2016

Métropole – septembre 2016

Bac S – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie 1

  1. $\quad$
    ts-metropole-sept-2016-ex1
  2. a. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(D)&=p(D\cap R)+p\left(D\cap \overline{R}\right) \\
    &=0,461\times 0,064+0,539\times 0,099 \\
    &=0,082~865 \\
    &\approx 0,083
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_D(R)&=\dfrac{p(D \cap R)}{p(D)} \\
    &\approx\dfrac{0,461 \times 0,064}{0,083} \\
    &\approx 0,355
    \end{align*}$
    Remarque : On obtient environ $0,356$ quand on garde la valeur exacte trouvée à la question 2.a.
    $\quad$

Partie 2

  1. On veut calculer $P(70\pp X \pp 110)$.
    On sait que $P(X > 110) = 0,052$.
    Or $\mu=90$ donc $P(X<70)=P(X>110)$.
    Ainsi
    $\begin{align*} P(70\pp X \pp 110) &=1-P(X<70)-P(X>110) \\
    &=1-0,052-0,052 \\
    &=0,896
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. On note $Z=\dfrac{X-90}{\sigma}$.
    Cette variable aléatoire suit la loi normale centrée réduite.
    $\begin{align*} P(70\pp X \pp 110) =0,896 &\ssi P(-20 \pp X-90 \pp 20) = 0,896\\
    &\ssi P\left(-\dfrac{20}{\sigma} \pp \dfrac{X-90}{\sigma} \pp \dfrac{20}{\sigma}\right) = 0,896 \\
    &\ssi P\left(-\dfrac{20}{\sigma} \pp Z \pp \dfrac{20}{\sigma}\right) = 0,896 \\
    &\ssi 2P\left(Z \pp \dfrac{20}{\sigma}\right)-1= 0,896 \\
    &\ssi 2P\left(Z \pp \dfrac{20}{\sigma}\right)= 1,896 \\
    &\ssi P\left(Z \pp \dfrac{20}{\sigma}\right)= 0,948
    \end{align*}$
    Par conséquent, en utilisant la fonction inverse loi normale de la calculatrice, on trouve $\dfrac{20}{\sigma} \approx 1,626$.
    Donc $\sigma \approx \dfrac{20}{1,626}$ soit $\sigma \approx 12,3$
    $\quad$
  3. A l’aide de la calculatrice, on trouve :
    $P(X<60) = 0,5-P(60<X<90)\approx 0,006$.
    $\quad$

Partie 3

  1. La fréquence observée est $f=\dfrac{716}{10~000}=0,071~6$
    Un intervalle de confiance au niveau de confiance $95\%$ est :
    $\begin{align*} I_{10~000}&=\left[0,071~6-\dfrac{1}{\sqrt{10~000}};0,071~6+\dfrac{1}{\sqrt{10~000}} \right] \\
    &=[0,061~6;0,0816]
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. On appelle $n$ la taille de l’échantillon étudié pour un caractère dont la fréquence d’apparition est $f$.
    L’amplitude de l’intervalle de confiance est alors :
    $\begin{align*} A&=f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\left(f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right) \\
    &=\dfrac{2}{\sqrt{n}}
    \end{align*}$
    On veut donc que :
    $\begin{align*} \dfrac{2}{\sqrt{n}} \pp 0,01 &\ssi \sqrt{n}\pg\dfrac{2}{0,01} \\
    &\ssi \sqrt{n} \pg 200 \\
    &\ssi n\pg 40~000
    \end{align*}$
    Il faut donc interroger au moins $40~000$ personnes.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. a. Si $z_0=2$ alors $z_1 = 1-\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}$
    $z_2=1-\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}}=-1$
    $z_3=1-\dfrac{1}{-1}=2$
    $z_4=\dfrac{1}{2}$
    $z_5=-1$
    $z_6=2$
    $\quad$
    b. Si $z_0=\ic$ alors $z_1=1-\dfrac{1}{\ic}=1+\ic$
    $z_2=1-\dfrac{1}{1+\ic} = \dfrac{1}{2}+\dfrac{\ic}{2}$
    $z_3=1-\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}+\dfrac{\ic}{2}}=\ic$
    $z_4=1+\ic$
    $z_5=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\ic}{2}$
    $z_6=\ic$
    $\quad$
    c. On peut conjecturer que, pour tout entier naturel $n$, on a $z_{3n}=z_0$
    Initialisation : Si $n=0$ alors $z_{3n}=z_{3\times 0}=z_0$.
    La propriété est vraie au rang $n$.
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $z_{3n}=z_0$.
    $z_{3n+1}=1-\dfrac{1}{z_0}=\dfrac{z_0-1}{z_0}$
    $z_{3n+2}=1-\dfrac{1}{\dfrac{z_0-1}{z_0}} = 1-\dfrac{z_0}{z_0-1}=\dfrac{-1}{z_0-1}$
    $z_{3n+3}=1-\dfrac{1}{\dfrac{-1}{z_0-1}} = 1+z_0-1=z_0$
    Par conséquent $z_{3(n+1)}=z_0$.
    La propriété est vraie au rang $n+1$
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $z_{3n}=z_0$.
    $\quad$
  2. $2016=3\times 672$ donc $z_{2016}=z_0=1+\ic$.
    $\quad$
  3. On cherche la valeur de $z_0$ telle que :
    $\begin{align*} z_0=1-\dfrac{1}{z_0} &\ssi \dfrac{z_0^2-z_0+1}{z_0} = 0\\
    &\ssi z_0^2-z_0+1=0 \text{  et  } z_0\neq = 0
    \end{align*}$
    $\Delta = -3 <0$
    Il y a donc deux solutions complexes : $\dfrac{1-\ic\sqrt{3}}{2}$ et $\dfrac{1+\ic\sqrt{3}}{2}$.
    Par conséquent si $z_0 \in \left\{\dfrac{1-\ic\sqrt{3}}{2};\dfrac{1+\ic\sqrt{3}}{2}\right\}$ alors $z_0=z_1$.
    La suite $\left(z_n\right)$ est alors stationnaire.

Ex 3 obl

Exercice 3

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

  1. a.
    $$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{variables}&i&d&a&b&s\\
    \hline
    \text{initialisation}&\text{X}&\text{X}&0&0&\text{X}\\
    \hline
    1^{\e}\text{ passage boucle Pour}&1&1&1&0&1\\
    \hline
    2^{\e}\text{ passage boucle Pour}&2&6&1&0&1\\
    \hline
    3^{\e}\text{ passage boucle Pour}&3&4&1&1&2\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. A chaque étape la variable $s$ détermine le nombre de pièces se trouvant du côté pile.
    Cet algorithme permet donc bien de décider si à la fin les deux pièces sont du côté pile.
    $\quad$
  2. a. $P\left(X_0\right)=1$, $P\left(Y_0\right)=0$ et $P\left(Z_0\right)=0$
    $\quad$
    b. On appelle $D$ la variable indiquant la face du dé obtenue.
    $P_{X_n}\left(X_{n+1}\right)=P\left(D\in\left\{5;6\right\}\right) = \dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$.
    $\quad$
    c. Si les pièces sont du côté face alors au bout de $n$ lancers alors, au lancer $n+1$, soit les pièces sont du côté face, soit une est du côté pile et l’autre du côté face.
    Par conséquent $P\left(X_n\cap Y_{n+1}\right)=1-\dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}$.
    $\quad$
    Si, au lancer $n$, une pièce est du côté pile et l’autre est du côté face, alors la seule possibilité de conserver un tel état, au lancer $n+1$, est d’obtenir $5$ ou $6$ avec le dé.
    Donc $P\left(Y_n\cap Y_{n+1}\right)=\dfrac{1}{3}$.
    De même $P\left(Y_n\cap X_{n+1}\right) =\dfrac{1}{3}$ et $P\left(Y_n\cap Z_{n+1}\right)=\dfrac{1}{3}$
    $\quad$
    Si, au lancer $n$, les deux pièces sont du côté pile alors, au lancer $n+1$, on ne peut avoir que deux possibilités : les deux pièces sont toujours du côté pile ou alors l’une est du côté pile et l’autre du côté face.
    Pour garder les pièces du côté pile il faut obtenir $5$ ou $6$ avec le dé.
    Donc $P\left(Z_n\cap Z_{n+1}\right)=\dfrac{1}{3}$ et $P\left(Z_n\cap Y_{n+1}\right)=\dfrac{2}{3}$
    $\quad$
    ts-metropole-sept-2016-ex3obl-1
    d. Pour tout entier naturel $n$, on a $x_n+y_n+z_n=1$ donc $z_n=1-x_n-y_n$.
    $\quad$
    e.
    D’après la formule des probabilité totale on a :
    $\begin{align*} y_{n+1}&=P\left(Y_{n+1}\right) \\
    &=P\left(X_n\cap Y_{n+1}\right)+P\left(Y_n\cap Y_{n+1}\right)+P\left(Z_n\cap Y_{n+1}\right) \\
    &=\dfrac{2}{3}x_n+\dfrac{1}{3}y_n+\dfrac{2}{3}z_n \\
    &=\dfrac{2}{3}x_n+\dfrac{1}{3}y_n+\dfrac{2}{3}\left(1-x_n-y_n\right) \\
    &=-\dfrac{1}{3}y_n+\dfrac{2}{3}
    \end{align*}$
    $\quad$
    f. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} b_{n+1}&=y_{n+1}-\dfrac{1}{2} \\
    &=-\dfrac{1}{3}y_n+\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{2} \\
    &=-\dfrac{1}{3}y_n+\dfrac{1}{6} \\
    &=-\dfrac{1}{3}\left(y_n-\dfrac{1}{2}\right)\\
    &=-\dfrac{1}{3}b_n
    \end{align*}$
    La suite $\left(b_n\right)$ est donc géométrique de raison $-\dfrac{1}{3}$ et de premier terme $b_0=0-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{2}$
    Par conséquent $b_n=-\dfrac{1}{2}\times \left(-\dfrac{1}{3}\right)^n$
    Et $y_n=b_n+\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\times \left(-\dfrac{1}{3}\right)^n$
    $\quad$
    g. $-1<-\dfrac{1}{3}<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} \left(-\dfrac{1}{3}\right)^n=0$
    Ainsi $\lim\limits_{n \to +\infty} y_n=\dfrac{1}{2}$.
    $\quad$
    Cela signifie donc, qu’au bout d’un grand nombre de lancers, la probabilité d’obtenir une pièce du côté pile et une du côté face est de $50\%$.
    $\quad$

Ex 3 spé

Exercice 3

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

  1.  a.
    $$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{variables}&i&d&a&b&c&s\\
    \hline
    \text{initialisation}&\text{X}&\text{X}&0&0&0&\text{X}\\
    \hline
    1^{\e}\text{ passage boucle Pour}&1&1&1&0&0&1\\
    \hline
    2^{\e}\text{ passage boucle Pour}&2&4&1&1&0&2\\
    \hline
    3^{\e}\text{ passage boucle Pour}&3&2&0&1&0&1\\
    \hline
    \end{array}$$
    b. A chaque étape la variable $s$ détermine le nombre de pièces se trouvant du côté pile.
    L’algorithme permet donc de dite si, après $n$ tirages, les trois pièces sont du côté pile.
    $\quad$
  2. a. Au début du jeu, toutes les pièces sont du côté face.
    Donc $p\left(X_0\right)=1$, $p\left(Y_0\right)=0$, $p\left(Z_0\right)=0$ et $p\left(T_0\right)=0$.
    $\quad$
    b.
    ts-metropole-sept-2016-ex3spe
  3. a. On a $U_0=\begin{pmatrix}1&0&0&0\end{pmatrix}$
    $\quad$
    b. On a $M=\begin{pmatrix}0&\dfrac{1}{3}&0&0\\1&0&\dfrac{2}{3}&0\\0&\dfrac{2}{3}&\dfrac{1}{3}&1\\0&0&0&1 \end{pmatrix}$
    $\quad$
  4. Montrons par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ on a $U_{n+1}=U_0\times M^n$
    Initialisation : Si $n=0$ alors $U_0\times M^0=U_0\times I_4=U_0$ où $I_4$ est la matrice identité.
    La propriété est donc vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $U_n=U_0\times M^n$
    $\begin{align*} U_{n+1}&=U_n\times M \\
    &=U_0\times M^n\times M \\
    &=U_0\times M^{n+1}
    \end{align*}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Donc pour tout entier naturel $n$ on a $U_n=U_0 \times M^n$.
    $\quad$
  5. a. On veut calculer $y_5=\dfrac{-3\times \left(-\dfrac{1}{3}\right)^5+3\times \left(\dfrac{1}{3}\right)^5-(-1)^5\times 3+3}{8}$
    Soit $y_5 \approx 0,753$.
    $\quad$
    b. Première affirmation : fausse
    Si $n$ est pair alors $(-1)^n=1$ et $\left(-\dfrac{1}{3}\right)^n=\dfrac{1}{3^n}$
    Donc $t_n=\dfrac{-1+\dfrac{3}{3^n}-\dfrac{3}{3^n}+1}{8}=0$
    $\quad$
    Deuxième affirmation : fausse
    On a vu que si $n$ est pair alors $t_n=0$
    Si $n$ est impair alors $(-1)^n=-1$ et $\left(-\dfrac{1}{3}\right)^n=-\dfrac{1}{3^n}$
    Donc $t_n=\dfrac{1-\dfrac{3}{3^n}-\dfrac{3}{3^n}+1}{8}=\dfrac{1-\dfrac{1}{3^{n-1}}}{4}<4$ si $n\pg 1$
    $\quad$
    Troisième affirmation : vraie
    $t_7\approx 0,249~66 >0,249 $
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie 1

  1. La fonction $v_1$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables sur cet intervalle dont le dénominateur ne s’annule pas.
    $\begin{align*} v_1′(t)&=5\times \dfrac{0,3\e^{0,3t}\left(e^{0,3t}+1\right)-0,3\e^{0,3t}\left(\e^{0,3t}-1\right)}{\left(\e^{0,3t}+1\right)^2} \\
    &=5\times 0,3 \times \dfrac{\e^{0,6t}+\e^{0,3t}-\e^{0,6t}+\e^{0,3t}}{\left(\e^{0,3t}+1\right)^2}\\
    &=1,5 \times \dfrac{2\times \e^{0,3t}}{\left(\e^{0,3t}+1\right)^2} \\
    &=3\times \dfrac{\e^{0,3t}}{\left(\e^{0,3t}+1\right)^2} \\
    &>0
    \end{align*}$
    La fonction exponentielle étant effectivement strictement positive sur $\R$ et donc sur $[0;+\infty[$.
    $\quad$
    Par conséquent la fonction $v_1$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
    $\quad$
  2. On va donc déterminer $\lim\limits_{t \to +\infty} 5 \times \dfrac{\e^{0,3t}-1}{\e^{0,3t}+1}$.
    $\dfrac{\e^{0,3t}-1}{\e^{0,3t}+1} = \dfrac{\e^{0,3t}\left(1-\e^{-0,3t}\right)}{\e^{0,3t}\left(1+\e^{-0,3t}\right)}=\dfrac{1-\e^{-0,3t}}{1+\e^{-0,3t}}$
    Or $\lim\limits_{t \to +\infty} \e^{-0,3t}=0$
    Donc $\lim\limits_{t \to +\infty} \dfrac{\e^{0,3t}-1}{\e^{0,3t}+1} = 5$ et $\lim\limits_{t \to +\infty} v_1(t)=5$.
    La fonction $v_1$ est strictement croissante et sa limite en $+\infty$ est $5$.
    Par conséquent, pour tout $t \pg 0$, on a $v_1(t)\pp 5$.
    Le colis ne sera donc pas endommagé lorsque le parachute s’ouvre correctement.
    $\quad$

Partie 2

  1. $v_2(10)=32,7\left(1-\e^{-3}\right) \approx 31,1$ m.s$^{-1}$.
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align*} v_2(t)=30 &\ssi 32,7\left(1-\e^{-0,3t}\right) = 30 \\
    &\ssi 1-\e^{-0,3t}=\dfrac{30}{32,7} \\
    &\ssi -\e^{-0,3t}=\dfrac{30}{32,7}-1\\
    &\ssi \e^{-0,3t}=\dfrac{2,7}{32,7}\\
    &\ssi -0,3t=\ln \dfrac{2,7}{32,7}\\
    &\ssi t=\dfrac{\ln \dfrac{2,7}{32,7}}{-0,3}
    \end{align*}$
    Par conséquent $t\approx 8,3$ s.
    Cela signifie qu’au bout de $8,3$ secondes environ le colis a atteint la vitesse de $30$ m.s$^{-1}$.
    $\quad$
  3. a.
    $\begin{align*} d(T)&=\int_0^T v_2(t)\dt \\
    &=\int_0^T \left(32,7-32,7\e^{-0,3t}\right)\dt \\
    &=\left[32,7t-\dfrac{32,7}{-0,3}\e^{-0,3t}\right]_0^T \\
    &=32,7T+109\e^{-0,3T}-109 \\
    &=109\left(\e^{-0,3T}+0,3T-1\right)
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. On veut calculer $d(20) = 109\left(\e^{-6}+6-1\right) = 109\left(\e^{-6}+5\right)\approx 545$ m.
    Le colis a donc parcouru environ $545$ mètres avant d’atteindre le sol.
    $\quad$
  4. On veut résoudre l’équation $d(T)=700$
    Soit $109\left(\e^{-0,3T}+0,3T-1\right)=700$
    A l’aide de la fonction table de la calculatrice on trouve $\approx 24,7 < T <24,8$.
    $\quad$

 

Énoncé

Exercice 1    6 points

Les trois parties sont indépendantes. Les résultats des probabilités seront arrondis à $10^{-3} $ près.

Partie 1

On estime qu’en 2013 la population mondiale est composée de $4,6$ milliards de personnes âgées de 20 à 79 ans et que $46,1\%$ des personnes âgées de 20 à 79 ans vivent en zone rurale et $53,9\%$ en zone urbaine.
En 2013, d’après la fédération internationale du diabète, $9,9\%$ de la population mondiale âgée de 20 à 79 ans vivant en zone urbaine est atteinte de diabète et $6,4\%$ de la population mondiale âgée de 20 à 79 ans vivant en zone rurale est atteinte de diabète.
On interroge au hasard une personne âgée de 20 à 79 ans. On note :

  • $R$ l’événement : “la personne choisie habite en zone rurale”,
  • $D$ l’événement: “la personne choisie est atteinte de diabète”.
  1. Traduire cette situation à l’aide d’un arbre de probabilité.
    $\quad$
  2. a. Calculer la probabilité que la personne interrogée soit diabétique.
    $\quad$
    b. La personne choisie est diabétique. Quelle est la probabilité qu’elle habite en zone rurale ?
    $\quad$

Partie 2

Une personne est dite en hypoglycémie si sa glycémie à jeun est inférieure à $60$ mg.dL$^{-1}$ et elle est en hyperglycémie si sa glycémie à jeun est supérieure à $110$ mg. dL$^{-1}$. La glycémie à jeun est considérée comme “normale” si elle est comprise entre $70$ mg. dL$^{-1}$ et $110$ mg.dL$^{-1}$. Les personnes ayant un taux de glycémie compris entre $60$ et $70$ mg.rdL$^{-1}$ ne font pas l’objet d’un suivi particulier.
On choisit au hasard un adulte dans cette population. Une étude a permis d’établir que la probabilité qu’il soit en hyperglycémie est $0,052$ à $10^{-3}$ près. Dans la suite on admettra que cette probabilité est égale à $0,052$.
On modélise la glycémie à jeun, exprimée en mg.dL$^{-1}$, d’un adulte d’une population donnée, par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale d’espérance $\mu$ et d’écart-type $\sigma$.
On donne ci-dessous la représentation graphique de la densité de probabilité de la variable aléatoire $X$.

 

  1. Quelle est la probabilité que la personne choisie ait une glycémie à jeun “normale” ?
    $\quad$
  2. Déterminer la valeur de $\sigma$ arrondie au dixième.
    $\quad$
  3. Dans cette question, on prend $\sigma = 12$. Calculer la probabilité que la personne choisie soit en hypoglycémie.
    $\quad$

Partie 3

Afin d’estimer la proportion, pour l’année 2013, de personnes diagnostiquées diabétiques dans la population française âgée de 20 à 79 ans, on interroge au hasard $10~000$ personnes.
Dans l’échantillon étudié, $716$ personnes ont été diagnostiquées diabétiques.

  1. À l’aide d’un intervalle de confiance au niveau de confiance $95\%$ , estimer la proportion de personnes diagnostiquées diabétiques dans la population française âgée de 20 à 79 ans.
    $\quad$
  2. Quel doit être le nombre minimal de personnes à interroger si l’on veut obtenir un intervalle de confiance d’amplitude inférieure ou égale à $0,01$ ?
    $\quad$

Exercice 2    4 points

On considère les nombres complexes $z_n$ définis pour tout entier $n \pg 0$ par la donnée de $z_0$, où $z_0$ est différent de $0$ et de $1$, et la relation de récurrence: $$z_{n+1} = 1- \dfrac{1}{z_n}$$

  1. a. Dans cette question, on suppose que $z_0 = 2$. Déterminer les nombres $z_1$, $z_2$, $z_3$, $z_4$, $z_5$ et $z_6$.
    $\quad$
    b. Dans cette question, on suppose que $z_0 = \ic$. Déterminer la forme algébrique des nombres complexes $z_1$, $z_2$, $z_3$, $z_4$, $z_5$ et $z_6$.
    $\quad$
    c. Dans cette question on revient au cas général où $z_0$ est un complexe donné. Que peut-on conjecturer pour les valeurs prises par $z_{3n}$ selon les valeurs de l’entier naturel $n$ ?
    Prouver cette conjecture.
    $\quad$
  2. Déterminer $z_{2~016}$ dans le cas où $z_0 = 1 + \ic$.
    $\quad$
  3. Existe-t-il des valeurs de $z_0$ tel que $z_0 = z_1$ ? Que peut-on dire de la suite $\left(z_n\right)$ dans ce cas ?
    $\quad$

Exercice 3    5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

On dispose d’un dé équilibré à 6 faces numérotées de $1$ à $6$ et de $2$ pièces A et B ayant chacune un côté pile et un côté face. Un jeu consiste à lancer une ou plusieurs fois le dé.
Après chaque lancer de dé, si l’on obtient $1$ ou $2$, alors on retourne la pièce A, si l’on obtient $3$ ou $4$, alors on retourne la pièce B et si l’on obtient $5$ ou $6$, alors on ne retourne aucune des deux pièces.
Au début du jeu, les $2$ pièces sont du côté face.

  1. Dans l’algorithme ci-dessous, $0$ code le côté face d’une pièce et $1$ code le côté pile. Si $a$ code le côté de la pièce A à un instant donné, alors $1-a$ code le côté de la pièce A après l’avoir retournée.
    Variables :
    $\quad$ $a$, $b$, $d$, $s$ sont des entiers
    $\quad$ $i$, $n$ sont des entiers supérieurs ou égaux à $1$
    Initialisation :
    $\quad$ $a$ prend la valeur $0$
    $\quad$ $b$ prend la valeur $0$
    $\quad$ Saisir $n$
    Traitement :
    $\quad$ Pour $i$ allant de $1$ à $n$ faire
    $\qquad$ $d$ prend la valeur d’un entier aléatoire compris entre $1$ et $6$
    $\qquad$ Si $d \pg 2$
    $\qquad \quad$ alors $a$ prend la valeur $1-a$
    $\qquad \quad $ sinon Si $d \pp 4$
    $\qquad \qquad \qquad$ alors $b$ prend la valeur $1-b$
    $\qquad \qquad \quad$ Fin Si
    $\quad$ Fin Si
    $\quad$ $s$ prend la valeur $a + b$
    Fin Pour
    Sortie :
    $\quad$ Afficher $s$
    $\quad$
    a. On exécute cet algorithme en saisissant $n = 3$ et en supposant que les valeurs aléatoires générées successivement pour $d$ sont $1$ ; $6$ et $4$. Recopier et compléter le tableau donné ci-dessous contenant l’état des variables au cours de l’exécution de l’algorithme :
    $\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{variables}&i&d&a&b&s\\
    \hline
    \text{initialisation}&\text{X}&\text{X}&&&\text{X}\\
    \hline
    1^{\text{er}} \text{ passage boucle Pour}&&&&&\\
    \hline
    2^{\text{e}} \text{ passage boucle Pour}&&&&&\\
    \hline
    3^{\text{e}} \text{ passage boucle Pour}&&&&&\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    b. Cet algorithme permet-il de décider si à la fin les deux pièces sont du côté pile ?
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$, on note :
    $\bullet$ $X_n$ l’événement : “À l’issue de $n$ lancers de dés, les deux pièces sont du côté face”
    $\bullet$ $Y_n$ l’événement : “À l’issue de $n$ lancers de dés, une pièce est du côté pile et l’autre est du côté face”
    $\bullet$ $Z_n$ l’événement : “À l’issue de $n$ lancers de dés, les deux pièces sont du côté pile”.
    De plus on note, $x_n = P\left(X_n\right)$ ; $y_n = P\left(Y_n\right)$ et $z_n = P\left(Z_n\right)$ les probabilités respectives des événements $X_n$, $Y_n$ et $Z_n$.
    a. Donner les probabilités $x_0$ , $y_0$ et $z_0$ respectives qu’au début du jeu il y ait $0$, $1$ ou $2$ pièces du côté pile.
    $\quad$
    b. Justifier que $P_{X_n}\left(X_{n+1}\right) = \dfrac{1}{3}$.
    $\quad$
    c. Recopier l’arbre ci-dessous et compléter les probabilités sur ses branches, certaines pouvant être nulles :

    $\quad$
    d. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $z_n$ en fonction de $x_n$ et $y_n$.
    $\quad$
    e. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $y_{n+1} = -\dfrac{1}{3}y_n + \dfrac{2}{3}$.
    $\quad$
    f. On pose, pour tout entier naturel $n$, $b_n = y_n-\dfrac{1}{2}$.
    Montrer que la suite $\left(b_n\right)$ est géométrique.
    En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $y_n = \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\times \left(-\dfrac{1}{3}\right)^n$.
    $\quad$
    g. Calculer $\lim\limits_{n \to + \infty} y_n$.
    Interpréter le résultat.
    $\quad$

Exercice 3    5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

On dispose d’un dé équilibré à $6$ faces numérotées de $1$ à $6$ et de $3$ pièces A, B et C ayant chacune un côté pile et un côté face.
Un jeu consiste à lancer une ou plusieurs fois le dé.
Après chaque lancer de dé, si l’on obtient $1$ ou $2$, alors on retourne la pièce A, si l’on obtient $3$ ou $4$, alors on retourne la pièce B et si l’on obtient $5$ ou $6$, alors on retourne la pièce C.
Au début du jeu, les $3$ pièces sont toutes du côté face.

  1. Dans l’algorithme ci-dessous, $0$ code le côté face et $1$ code le côté pile. Si $a$ code un côté de la pièce A, alors $1-a$ code l’autre côté de la pièce A.
    Variables :
    $\quad$ $a$, $b$, $c$, $d$, $s$ sont des entiers naturels
    $\quad$ $i$, $n$ sont des entiers supérieurs ou égaux à $1$
    Initialisation :
    $\quad$ $a$ prend la valeur $0$
    $\quad$ $b$ prend la valeur $0$
    $\quad$ $c$ prend la valeur $0$
    $\quad$ &Saisir $n$
    Traitement :
    $\quad$ Pour $i$ allant de $1$ à $n$ faire
    $\qquad$ $d$ prend la valeur d’un entier aléatoire compris entre $1$ et $6$
    $\qquad$ Si $d \pp 2$
    $\qquad \quad$ alors $a$ prend la valeur $1-a$
    $\qquad \quad$ sinon Si $d \pp 4$
    $\qquad \qquad$ alors $b$ prend la valeur $1-b$
    $\qquad \qquad$ sinon $c$ prend la valeur $1-c$
    $\qquad \quad$ Fin Si
    $\qquad$ Fin Si
    $\qquad$ $s$ prend la valeur $a + b + c$
    $\quad$ Fin Pour
    Sortie :
    $\quad$ Afficher $s$
    $\quad$
    a. On exécute cet algorithme en saisissant $n = 3$ et en supposant que les valeurs aléatoires générées successivement pour $d$ sont $1$ ; $4$ et $2$. Recopier et compléter le tableau donné ci-dessous contenant l’état des variables au cours de l’exécution de l’algorithme :
    $\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{variables}&i&d&a&b&c&s\\
    \hline
    \text{initialisation}&\text{X}&\text{X}&&&&\text{X}\\
    \hline
    1^{\text{er}} \text{ passage boucle Pour}&&&&&&\\
    \hline
    2^{\text{e}} \text{ passage boucle Pour}&&&&&&\\
    \hline
    3^{\text{e}} \text{ passage boucle Pour}&&&&&&\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    b. Cet algorithme permet-il de savoir si, après une exécution de $n$ tirages, les trois pièces sont du côté pile ?
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$, on note :
    $\bullet$ $X_n$ l’événement: “À l’issue de $n$ lancers de dés, les trois pièces sont du côté face”
    $\bullet$ $Y_n$ l’événement: “À l’issue de $n$ lancers de dés, une seule pièce est du côté pile et les autres sont du côté face”
    $\bullet$ $Z_n$ l’événement: “À l’issue de $n$ lancers de dés, exactement deux pièces sont du côté pile et l’autre est du côté face”
    $\bullet$ $T_n$ l’événement: “À l’issue de $n$ lancers de dés, les trois pièces sont du côté pile”.
    De plus on note, $x_n = p\left(X_n\right)$ ; $y_n = p\left(Y_n\right)$ ; $z_n = p\left(Z_n\right)$ et $t_n = p\left(T_n\right)$ les probabilités respectives des évènements $X_n$, $Y_n$, $Z_n$ et $T_n$.
    a. Donner les probabilités $x_0$ ,$y_0$, $z_0$ et $t_0$ respectives qu’au début du jeu il y ait $0$, $1$, $2$ ou $3$ pièces du côté pile.
    $\quad$
    b. Recopier l’arbre ci-dessous et compléter les probabilités sur ses branches : 
  3. Pour tout entier naturel $n$, on note $U_n$ la matrice ligne $\begin{pmatrix}x_n& y_n& z_n& t_n\end{pmatrix}$.
    a. Donner la matrice $U_0$.
    $\quad$
    b. À l’aide de l’arbre précédemment rempli, déterminer la matrice carrée $M$ telle que, pour tout entier naturel $n$, $U_{n+1} = U_n \times M$.
    $\quad$
  4. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $U_n = U_0 \times M^n$.
    $\quad$
  5. On admet que, pour tout entier $n \pg 1$,
    $x_n = \dfrac{(-1)^n + 3 \times \left(-\dfrac{1}{3}\right)^n + 3\times \left(\dfrac{1}{3}\right)^n + 1}{8}$ ;
    $\quad$
    $y_n = \dfrac{-3 \times \left(-\dfrac{1}{3}\right)^n + 3 \times \left(\dfrac{1}{3}\right)^n-(-1)^n \times 3 + 3}{8}$;
    $\quad$
    $z_n = \dfrac{-3 \times \left(-\dfrac{1}{3}\right)^n-3 \times \left(\dfrac{1}{3}\right)^n + (- 1)^n\times 3 + 3}{8}$ ;
    $\quad$
    $t_n = \dfrac{-(-1)^n + 3 \times \left(-\dfrac{1}{3}\right)^n-3\times \left(\dfrac{1}{3}\right)^n + 1}{8}$.
    $\quad$
    a. Calculer la probabilité, arrondie à $10^{-3}$ près, qu’au bout de $5$ lancers de dés, une seule des trois pièces soit du côté pile.
    $\quad$
    b. Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte
    $\bullet$ Première affirmation :
    “À l’issue d’un nombre pair de lancers de dés, les pièces peuvent être toutes les trois du côté pile”.
    $\bullet$ Deuxième affirmation:
    “Au cours du jeu, la probabilité que les pièces soient toutes les trois du côté pile peut être supérieure ou égale à $\dfrac{1}{4}$”.
    $\bullet$ Troisième affirmation:
    “Au cours du jeu, la probabilité que les pièces soient toutes les trois du côté pile peut être supérieure ou égale à $0,249$”.
    $\quad$

Exercice 4    5 points

Un hélicoptère est en vol stationnaire au-dessus d’une plaine. Un passager lâche verticalement un colis muni d’un parachute.

Partie 1

Soit $v_1$ la fonction définie sur $[0;+\infty[$ par : $$v_1(t) = 5 \times \dfrac{\e^{0,3t}-1}{\e^{0,3t} + 1}$$

  1. Déterminer le sens de variation de la fonction $v_1$.
    $\quad$
  2. On suppose, dans cette question, que le parachute fonctionne correctement.
    On admet que $t$ secondes après qu’il a été lâché, la vitesse du colis (exprimée en m.s$^{-1}$) est égale, avant d’atteindre le sol, à $v_1(t)$.
    On considère que le colis arrive en bon état sur le sol si sa vitesse à l’arrivée n’excède pas 6 m.s$^{-1}$.
    Le colis risque-t-il d’être endommagé lorsque le parachute s’ouvre correctement ? Justifier.
    $\quad$

Partie 2

On suppose, dans cette partie, que le parachute ne s’ouvre pas.
On admet que, dans ce cas, avant que le colis atteigne le sol, sa vitesse (exprimée en m.s$^{-1}$), $t$ secondes après avoir été lâché par le passager, est donnée par : $$v_2(t) = 32,7 \left(1-\e^{- 0,3t}\right)$$

  1.  Quelle est la vitesse, exprimée en m.s$^{-1}$, atteinte par le colis au bout de $10$ secondes ? Arrondir à $0,1$ m.s$^{-1}$.
    $\quad$
  2. Résoudre l’équation $v_2(t) = 30$ m.s$^{-1}$. Donner une interprétation concrète de la solution de cette équation dans le cadre de cet exercice.
    $\quad$
  3. On sait que la chute du colis dure $20$ secondes.
    On admet que la distance, en mètres, qui sépare l’hélicoptère du colis, $T$ secondes après avoir été lâché par le passager, est donnée par: $$d(T) = \displaystyle\int_0^T v_2(t)\dt$$
    a. Montrer que, pour tout réel $T$ de l’intervalle $[0;20]$, $d(T) = 109\left(\e^{-0,3 T} + 0,3 T-1\right)$.
    $\quad$
    b. Déterminer une valeur approchée à $1$ m près de la distance parcourue par le colis lorsqu’il atteint le sol.
    $\quad$
  4. Déterminer un encadrement d’amplitude $0,1$ s du temps mis par le colis pour atteindre le sol si on l’avait lâché d’une hauteur de $700$ mètres.
    $\quad$

Bac S – Asie – Juin 2016

Asie – juin 2016

Bac S – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A : production de fraises

On appelle :

• $A$ l’événement “la fleur de fraisier vient de la serre A”;
• $B$ l’événement “la fleur de fraisier vient de la serre B”;
• $F$ l’événement “la fleur donne un fruit”;

Bac S - asie - juin 2016 - ex1


Proposition 1 : vraie

D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} p(F)&=p(A\cap F)+p(B \cap F) \\
&=0,55\times 0,88 + 0,45 \times 0,84 \\
&=0,862
\end{align*}$

$\quad$

Proposition 2 : fausse

On veut calculer :
$\begin{align*} p_F(A)&=\dfrac{p(A \cap F)}{p(F)} \\
&=\dfrac{0,55 \times 0,88}{0,862} \\
& \approx 0,561
\end{align*}$

$\quad$

Partie B : conditionnement des fraises

  1. $250-237 = 13$ et $250+13=263$. Donc $P(X \geqslant 263)=P(X \leqslant 237)=0,14$.
    $\begin{align*} P(237 \leqslant X \leqslant 263)&=1-\left(P(X \leqslant 237)+P(X \geqslant 263)\right) \\
    &= 1-0,28 \\
    &=0,72
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. a. La variable aléatoire $Y=\dfrac{X-250}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.
    $\quad$
    b.
    $\begin{align*} P(X \leqslant 237) = 0,14 &\ssi P\left(\dfrac{X-250}{\sigma} \leqslant \dfrac{237-250}{\sigma}\right) = 0,14 \\
    &\ssi \ssi P\left(Y{\sigma} \leqslant -\dfrac{13}{\sigma}\right) = 0,14
    \end{align*}$
    c. Donc, en utilisant la touche inverse loi normale de la calculatrice on trouve que :
    $-\dfrac{13}{\sigma} \approx -1,08$
    Par conséquent $\sigma \approx \dfrac{-1,08}{-13}$ soit $\sigma \approx 12$.
    $\quad$
  3. a. On veut trouver le plus petit entier naturel $n$ tel que :
    $ \begin{align*} P(250-n \leqslant X \leqslant 250+n) \geqslant 0,95 &\ssi P\left(\dfrac{-n}{12} \leqslant \dfrac{X-250}{12} \leqslant \dfrac{n}{12}\right) \geqslant 0,95 \\
    &\ssi 2P\left(\dfrac{X-250}{12} \leqslant \dfrac{n}{12}\right)-1\geqslant 0,95 \\
    &\ssi 2P\left(\dfrac{X-250}{12} \leqslant \dfrac{n}{12}\right) \geqslant 1,95 \\
    &\ssi P\left(\dfrac{X-250}{12} \leqslant \dfrac{n}{12}\right) \geqslant 0,975
    \end{align*}$
    Puisque la variable aléatoire $\dfrac{X-250}{12}$ suit la loi normale centrée réduite on trouve donc, à l’aide de la calculatrice, $\dfrac{n}{12} \geqslant 1,960$ soit $n \geqslant 23,52$ et donc $n \geqslant 24$.
    Remarque : On pouvait remarquer qu’on nous demandait de trouver $u_{\alpha}$ tel que $P\left(-u_{\alpha} \leqslant X \leqslant u_{\alpha}\right) = 1-0,05$ et d’après le cours $u_{\alpha}\approx 1,96$.
    $\quad$
    b. On veut trouver la plus petite valeur de $m$ telle que :
    $\begin{align*} P(230 \leqslant X \leqslant m) \geqslant 0,95 &\ssi 1-P(X \leqslant 230)-P(X \geqslant m) \geqslant 0,95\\
    &\ssi P(X \leqslant m)-P(X \leqslant 230) \geqslant 0,95 \\
    &\ssi P(X \leqslant m)-\left(0,5-P(230 \leqslant X \leqslant 250)\right)\geqslant 0,95 \\
    &\ssi P(X \leqslant m)-0,047~8\geqslant 0,95 \\
    &\ssi P(X \leqslant m) \geqslant 0,9978 \\
    &\ssi m\geqslant 284,18
    \end{align*}$
    La plus petite valeur de $m$ cherchée est donc environ $285$

Ex 2

Exercice 2

  1. Si $a=0$ alors $f_0(x)=0$
    Par conséquent $I(0)=\displaystyle \int_0^1 f_0(x)\mathrm{d}x=0$.
    $\quad$
  2. a. $a=1$ et $f_1(x)=\e^x+1$
    On obtient ainsi la représentation suivante où $I(1)$ correspond à l’aire de la partie coloriée.
    Bac S - asie - juin 2016 - ex2 (1)
    $\quad$
    b.
    $\begin{align*} I(1) &= \displaystyle \int_0^1 \left(\e^x+1\right)\mathrm{d}x \\
    &=\big[\e^x+x\big]_0^1 \\
    &=\e^1+1-1 \\
    &=\e \\
    &\approx 2,7
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. Une primitive de $f_a$ sur $[0;1]$ est la fonction $F_a$ définie par $F_a(x)=\e^{ax}+ax$ pour tout $x\in[0;1]$.
    Par conséquent $I(a)=F_a(1)-F_a(0)=\e^a+a-1$.
    On appelle $g$ la fonction définie sur $[0;1]$ par $g(x)=\e^x+x-1$
    $g$ est continue sur $[0;1]$ en tant que somme de fonctions continues sur cet intervalle et est strictement croissante en tant que somme de fonctions strictement croissante (la fonction exponentielle et une fonction affine).
    $g(0)=1-1=0<2$
    $g(1)=\e>2$
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires), il existe donc une unique solution à l’équation $g(x)=2$.
    A l’aide de la calculatrice, on trouve $0,792 < \alpha < 0,793$.

Ex 3

Exercice 3

Partie A : premier modèle – avec une suite

  1. a. $1$ kg $=1~000$ g, ce qui nous donne $u_0$.
    Chaque jour la masse des bactéries augmente de $20\%$. Elle est donc multipliée chaque jour par $1,2$ d’où le terme $1,2u_n$.
    $100$ g de bactéries sont perdues chaque jour.
    Donc la  masse, en grammes, des bactéries est représentée par la suite $\left(u_n\right)$  définie par $\begin{cases}u_0=1~000\\u_{n+1}=1,2u_n-100\end{cases}$.
    $\quad$
    b. On veut déterminer le premier rang à partir duquel $u_n > 30~000$.
    La calculatrice nous indique que $u_{22} \approx 28~103$ et $u_{23}\approx 33~623$ (on n’a cependant pas prouvé que la suite était croissante; ce qui serait à faire pour une étude rigoureuse).
    Au bout de $23$ jours la masse de bactérie dépasse $30$ kg.
    $\quad$
    c. Variables :
    $\quad$ $u$ et $n$ sont des nombres
    Traitement :
    $\quad$ $u$ prend la valeur $1~000$
    $\quad$ $n$ prend la valeur $0$
    $\quad$ Tant que $u\leqslant 30$ faire
    $\qquad$ $u$ prend la valeur $1,2u-100$
    $\qquad$ $n$ prend la valeur $n+1$
    $\quad$ Fin Tant que
    Sortie
    $\quad$ Afficher $n$
    $\quad$
  2. a. Initialisation : si $n=0$, $u=1~000 \geqslant 1~000$.
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $u_n \geqslant 1~000$
    $\begin{align*} u_{n+1} &=1,2u_n-100 \\
    &\geqslant 1,2 \times 1~000-100 \\
    &\geqslant 1~100 \\
    &\geqslant 1~000
    \end{align*}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, $u_n \geqslant 1~000$.
    $\quad$
    b.
    $\begin{align*} u_{n+1}-u_n &=1,2u_n-100-u_n \\
    &=0,2u_n-100 \\
    &\geqslant 0,2 \times 1~000-100 \\
    &\geqslant 100 \\
    & \geqslant 0
    \end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc croissante.
    $\quad$
  3. a.
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-500 \\
    &=1,2u_n-100-500 \\
    &=1,2u_n-600 \\
    &=1,2\left(u_n-\dfrac{600}{1,2}\right) \\
    &=1,2\left(u_n-500\right) \\
    &=1,2v_n
    \end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,2$ et de premier terme $v_0=u_0-500=500$.
    $\quad$
    b. On a donc, pour tout entier naturel $n$ :
    $v_n=500\times 1,2^n$
    et $u_n=v_n-500=500\times 1,2^n-500$
    $\quad$
    c. $1,2>1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 1,2^n=+\infty$.
    Ainsi $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=+\infty$.
    $\quad$

Partie B : second modèle – avec une fonction

  1. a. $f(0)=\dfrac{50}{1+49}=1$.
    $\quad$
    b. Pour tout réel $t\geqslant 0$ on a :
    $\begin{align*} f(t)-50 = \dfrac{50}{1+49\e^{-0,2t}}-50 \\
    &=50\left(\dfrac{1}{1+49\e^{-0,2t}}-1\right) \\
    &=50\times\dfrac{1-1-49\e^{-0,2t}}{1+49\e^{-0,2t}} \\
    &=\dfrac{-50\times 49\e^{-0,2t}}{1+49\e^{-0,2t}}
    \end{align*}$
    La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$ donc $f(t)-50 < 0$ sur $[0;+\infty[$ soit $f(t) <50$ pour tout $t \geqslant 0$.
    $\quad$
    c. Sur $[0;+\infty[$, la fonction $t \to -0,2t$ est strictement décroissante.
    Puisque la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\R$ la fonction $t \to 1+49\e^{-0,2t}$ est strictement décroissante sur $[0;+\infty[$.
    La fonction inverse est strictement décroissante sur $]0;+\infty[$ donc la fonction $f$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
    Remarque : On pouvait évidemment étudier le signe de la dérivée mais c’était pour changer 😉 .
    $\quad$
    d. $\lim\limits_{t \to +\infty} -0,2t=-\infty$ et $\lim\limits_{T \to -\infty} e^T=0$.
    Donc $\lim\limits_{t \to +\infty} 1+49\e^{-0,2t}=1$.
    Et $\lim\limits_{t \to +\infty} f(t)=50$.
    $\quad$
  2. Cela signifie donc que :
    • A l’instant $t=0$ jour, il y a $1$ kg de bactéries dans la cuve;
    • La masse de bactéries ne dépassera jamais $50$ kg;
    • La masse de bactéries ne cesse d’augmenter;
    • Au bout d’un grand nombre de jours, il y aura $50$ kg de bactéries dans la cuve.
    $\quad$
  3. $\quad$
    $\begin{align*} f(t) > 30 &\ssi \dfrac{50}{1+49\e^{-0,2t}} > 30 \\
    &\ssi 50 > 30\left(1+49\e^{-0,2t}\right) \quad \text{car } 1+49\e^{-0,2t}>0 \text{ pour tout } t \geqslant 0 \\
    &\ssi 20 > 1~470\e^{-0,2t} \\
    &\ssi \dfrac{2}{147} > \e^{-0,2t} \\
    &\ssi \ln \dfrac{2}{147} > -0,2t \\
    &\ssi -\dfrac{\ln \dfrac{2}{147}}{0,2} < t \\
    &\ssi \dfrac{\ln \dfrac{147}{2}}{0,2} < t
    \end{align*}$
    La solution de l’inéquation $f(t)>30$ est l’intervalle $\left]\dfrac{\ln \dfrac{147}{2}}{0,2};+\infty\right[$.
    Or $\dfrac{\ln \dfrac{147}{2}}{0,2} \approx 21,48$.
    C’est donc le cinquième jour que la masse de bactéries dépassera $22$ kg.
    $\quad$

Partie C : un contrôle de qualité

On a $n=200 \geqslant 30$ et $p=0,8$ donc $np=160 \geqslant5$ et $n(1-p)=40 \geqslant 5$.
Un intervalle de fluctuation au seuil de $95\%$ est :
$\begin{align*} I_{200}&=\left[0,8-1,96\sqrt{\dfrac{0,8\times 0,2}{200}};0,8+1,96\sqrt{\dfrac{0,8\times 0,2}{200}} \right] \\
&\approx [0,744;0,856]
\end{align*}$

La fréquence observée est $f=\dfrac{146}{200}=0,73 \notin I_{200}$

Au risque d’erreur de $5\%$ l’affirmation de l’entreprise doit être remise en cause.

Ex 4 obl

Exercice 4

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

  1. On considère un vecteur directeur $\vec{v}(a;b;c)$ d’un rayon.
    Un vecteur directeur du rayon réfléchi par le plan $(OAB)$ est $\vect{v_1}(a;b-c)$.
    Un vecteur directeur du rayon réfléchi ensuite par le plan $(OBC)$ est $\vect{v_2}(-a;b;-c)$.
    Enfin un vecteur directeur du rayon réfléchi par le plan $(OAC)$ est $\vect{v_3}(-a;-b-;-c)$.
    $\vec{v_3}=-\vec{v}$
    Le rayon final est donc parallèle au rayon initial.
    $\quad$
  2. a. Une représentation paramétrique de la droite $d_2$ est :
    $\begin{cases} x=2-2t\\y=3-t \quad t\in \R \\z=t \end{cases}$
    $\quad$
    b. Un vecteur normal au plan $(OBC)$ est $\vect{OA}(1;0;0)$.
    Une équation cartésienne du plan $(OBC)$ est donc de la forme $x+d=0$.
    Puisque $O$ appartient à ce plan on a $d=0$ et par conséquent une équation cartésienne du plan $(OBC)$ est $x=0$.
    $\quad$
    c. Si on prend $t=1$ dans la représentation paramétrique de $d_2$ on obtient $\begin{cases} x=0\\y=2\\z=1\end{cases}$. Donc le point $I_2$ appartient bien à $d_2$.
    L’abscisse de $I_2$ vaut $0$. $I_2$ appartient donc également au plan $(OBC)$.
    $\vect{OA}$ et $\vect{v_2}$ ne sont clairement pas colinéaires : la droite et le plan ne sont pas parallèles.
    Par conséquent la droite $d_2$ et le plan $(OBC)$ sont sécants en $I_2$.
    $\quad$
  3. Une équation cartésienne du plan $(OAC)$ est $y=0$.
    Une représentation paramétrique de la droite $d_3$ est $\begin{cases} x=2t\\y=2-t \quad t \in \R \\z=1+t \end{cases}$
    Le point d’intersection de  ce plan et de cette droite est $I_3$.
    Ses coordonnées vérifient à la fois les équations de la droite et celle du plan.
    Donc $2-t=0$ soit $t=2$.
    Par conséquent $\begin{cases} x=4\\y=0\\z=3 \end{cases}$
    Finalement $I_3(4;0;3)$.
    $\quad$
  4. a. $\vec{u}.\vect{v_1}=1\times (-2)+(-1)\times (-2)+0=0$
    $\vec{u}.\vect{v_2}=1\times (-2)+(-2)\times (-1)+0=0$
    Le vecteur $\vec{u}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $\mathscr{P}$.
    C’est par conséquent un vecteur normal à ce plan.
    $\quad$
    b. Une équation cartésienne du plan $\mathscr{P}$ est donc de la forme $x-2y+d=0$.
    Le point $I_1(2;3,0)$ appartient à $\mathscr{P}$ car il appartient à $d_1$.
    Donc $2-6+d=0$ soit $d=4$.
    Une équation cartésienne de $\mathscr{P}$ est par conséquent $x-2y+4=0$.
    $\quad$
    Le point $I_3(4;0;3)$ appartient à $d_3$
    Mais $4-2\times 0+4\neq 0$. Le point $I_3$ n’appartient pas à $\mathscr{P}$.
    Les droites $d_1$, $d_2$ et $d_3$ ne sont pas situées dans un même plan.
    $\quad$
    c. Le vecteur $\vect{v_1}$ est un vecteur directeur de la droite $d_4$. Le point $I_3$ appartient à cette droite.
    Le point $I_3$ n’appartient pas au plan $\mathscr{P}$ défini par les droites $d_1$ et $d_2$.
    Par conséquent les droites $d_1$, $d_2$ et $d_4$ ne sont pas situées dans un même plan.

Ex 4 spé

Exercice 4

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A : quelques résultats

  1. a. $9\times 3-26\times 1 = 27-26=1$.
    Le couple $(3;1)$ est donc solution de l’équation $(E)$.
    $\quad$
    b. Soit $(d;m)$ un couple solution de $(E)$.
    On a donc :
    $9d-26m=1$ et $9\times 3-26\times 1=1$
    Par différence on obtient :
    $9(d-3)-26(m-1)=0$ soit $9(d-3)=26(m-1)$.
    $\quad$
    c. $26$ et $9$ sont premiers entre eux.
    D’après le théorème de Gauss, il existe donc un entier relatif $k$ tel que :
    $d-3=26k$ et $m-1=9k$
    Soit $d=3+26k$ et $m=1+9k$
    $\quad$
    Réciproquement, soit $k$ un entier relatif.
    $9(3+26k)-26(1+9k)=27-9\times 26k-26+26\times 9k = 1$.
    $\quad$
    Les solutions de l’équation $(E)$ sont les nombres entiers relatifs de la forme :
    $\begin{cases} d=26k+3\\m=9k+1\end{cases}$, avec $k\in \Z$.
    $\quad$
  2. a. Soit $n$ un nombre entier. Si $n=26k-1$ alors $26k-n\times 1 = 1$.
    D’après le théorème de Bezout, $n$ et $26$ sont donc premiers entre eux.
    $\quad$
    b. Soit $k$ un entier relatif.
    $\begin{align*}9d-28&= 9(26k+3)-28 \\
    &=26 \times 9k + 27-28 \\
    &=26 \times 9k-1 \\
    &=26k’-1
    \end{align*}$
    Avec $k’=9k$.
    D’après la question précédente,  $9d-28$ et $26$ sont premiers entre eux.
    $\quad$

Partie B : cryptage et décryptage

  1. ES est associé à la matrice colonne $C=\begin{pmatrix}4\\18\end{pmatrix}$.
    $AC=\begin{pmatrix}108\\82\end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix}4\\4\end{pmatrix}$.
    Donc ESPION est codé par EELZWH.
    $\quad$
  2. Méthode de décryptage
    a. Le déterminant de $A$ est $d=9\times 3-4\times 7 = -1\neq 0$. Donc $A$ est inversible.
    On considère la matrice $B=\begin{pmatrix}-3&4\\7&-9\end{pmatrix}$
    Alors $AB=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$.
    Ainsi l’inverse de $A$ est la matrice $A^{-1}=\begin{pmatrix}-3&4\\7&-9\end{pmatrix}$.
    $\quad$
    b. On considère deux matrices colonnes $X$ et $Y$.
    Si $AX=Y$ alors $X=A^{-1}Y$.
    XQ est associé à la matrice $C_1=\begin{pmatrix} 23\\16\end{pmatrix}$
    Donc $A^{1}C_1=\begin{pmatrix}-5\\17\end{pmatrix}\equiv \begin{pmatrix} 21\\17\end{pmatrix}$ qui est associée à VR.
    GY est associé à la matrice $C_2=\begin{pmatrix} 6\\24\end{pmatrix}$
    Donc $A^{1}C_2=\begin{pmatrix}78\\-174\end{pmatrix}\equiv \begin{pmatrix} 0\\8\end{pmatrix}$ qui est associée à AI.
    $\quad$
    Le mot XQGY se décrypte en VRAI.
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1    5 points

Un maraîcher est spécialisé dans la production de fraises.
Cet exercice envisage dans la partie A la production de fraises, et dans la partie B leur conditionnement.

Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

Partie A : production de fraises

Le maraîcher produit ses fraises dans deux serres notées A et B ; $55\%$ des fleurs de fraisier se trouvent dans la serre A, et $45\%$ dans la serre B.
Dans la serre A, la probabilité pour chaque fleur de donner un fruit est égale à $0,88$ ; dans la serre B, elle est égale à $0,84$.

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.

Proposition 1:
La probabilité qu’une fleur de fraisier, choisie au hasard dans cette exploitation, donne un fruit est égale à $0,862$.
$\quad$
Proposition 2 :
On constate qu’une fleur, choisie au hasard dans cette exploitation, donne un fruit.
La probabilité qu’elle soit située dans la serre A, arrondie au millième, est égale à $0,439$.
$\quad$

Partie B : conditionnement des fraises

Les fraises sont conditionnées en barquettes. La masse (exprimée en gramme) d’une barquette peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d’espérance $\mu=250$ et d’écart-type $\sigma$.
La représentation graphique de la fonction densité de la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ est donnée ci-après:

  1. On donne $P(X \pp 237)=0,14$. Calculer la probabilité de l’événement “la masse de la barquette est comprise entre 237 et 263 grammes”.
    $\quad$
  2. On note $Y$ la variable aléatoire définie par: $Y=\dfrac{X-250}{\sigma}$.
    a. Quelle est la loi de la variable aléatoire $Y$?
    $\quad$
    b. Démontrer que $P\left (Y \pp -\dfrac{13}{\sigma}\right )=0,14$.
    $\quad$
    c. En déduire la valeur de $\sigma$ arrondie à l’entier.
    $\quad$
  3. Dans cette question, on admet que $\sigma$ vaut $12$. On désigne par $n$ et $m$ deux nombres entiers.
    a. Une barquette est conforme si sa masse, exprimée en gramme, se trouve dans l’intervalle $[250-n;250+n]$. Déterminer la plus petite valeur de $n$ pour qu’une barquette soit conforme, avec une probabilité supérieure ou égale à $95\%$.
    $\quad$
    b. On considère dans cette question qu’une barquette est conforme si sa masse, exprimée en gramme,se trouve dans l’intervalle $[230;m]$. Déterminer la plus petite valeur de $m$ pour qu’une barquette soit conforme, avec une probabilité supérieure ou égale à $95\%$.
    $\quad$

Exercice 2    3 points

Soit $a$ un nombre réel compris entre $0$ et $1$. On note $f_a$ la fonction définie sur $\R$ par: $$f_a(x) = a \e^{ax} + a$$
On note $I(a)$ l’intégrale de la fonction $f_a$ entre $0$ et $1$: $$I(a)=\displaystyle\int_0^1 f_a(x) \dx$$

  1. On pose dans cette question $a=0$. Déterminer $I(0)$.
    $\quad$
  2. On pose dans cette question $a=1$.
    On étudie donc la fonction $f_1$ définie sur $\R$ par: $$f_1(x)=\e^{x} +1$$
    a. Sans étude, représenter graphiquement sur la copie la fonction $f_1$ dans un repère orthogonal et faire apparaître le nombre $I(1)$.
    $\quad$
    b. Calculer la valeur exacte de $I(1)$, puis arrondir au dixième.
    $\quad$
  3. Existe-il une valeur de $a$ pour laquelle $I(a)$ est égale à $2$?
    Si oui, en donner un encadrement d’amplitude $10^{-2}$.
    $\quad$

Exercice 3    7 points

Une société produit des bactéries pour l’industrie.
En laboratoire, il a été mesuré que, dans un milieu nutritif approprié, la masse de ces bactéries, mesurée en grammes, augmente de $20\%$ en un jour.
La société met en place le dispositif industriel suivant.
Dans une cuve de milieu nutritif, on introduit initialement $1$ kg de bactéries. Ensuite, chaque jour, à heure fixe, on remplace le milieu nutritif contenu dans la cuve. Durant cette opération, $100$ g de bactéries sont perdus.
L’entreprise se fixe pour objectif de produire $30$ kg de bactéries.

Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

Partie A: premier modèle – avec une suite

On modélise l’évolution de la population de bactéries dans la cuve par la suite $(u_n)$ définie de la façon suivante: $$u_0=1~000 \text{ et, pour tout entier naturel } n, u_{n+1}=1,2 u_n-100$$

  1. a. Expliquer en quoi ce modèle correspond à la situation de l’énoncé.
    On précisera en particulier ce que représente $u_n$.
    $\quad$
    b. L’entreprise souhaite savoir au bout de combien de jours la masse de bactéries dépassera $30$ kg. À l’aide de la calculatrice, donner la réponse à ce problème.
    $\quad$
    c. On peut également utiliser l’algorithme suivant pour répondre au problème posé dans la question précédente.
    Recopier et compléter cet algorithme.
    Variables
    $\quad$ $u$ et $n$ sont des nombres
    Traitement
    $\quad$ $u$ prend la valeur $1~000$
    $\quad$ $n$ prend la valeur $0$
    $\quad$ Tant que $\ldots\ldots\ldots$ faire
    $\qquad$ $u$ prend la valeur $\ldots\ldots\ldots$
    $\qquad$ $n$ prend la valeur $n+1$
    $\quad$ Fin Tant que
    Sortie
    $\quad$ Afficher $\ldots\ldots\ldots$
    $\quad$
  2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $u_n \pg 1~000$.
    $\quad$
  3. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
    $\quad$
  4. On définit la suite $\left(v_n\right)$ par: pour tout entier naturel $n$, $v_n=u_n-500$.
    a. Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique.
    $\quad$
    b. Exprimer $v_n$, puis $u_n$, en fonction de $n$.
    $\quad$
    c. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$

Partie B: second modèle – avec une fonction

On constate qu’en pratique, la masse de bactéries dans la cuve ne dépassera jamais $50$ kg. Cela conduit à étudier un second modèle dans lequel la masse de bactéries est modélisée par la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty]$ par : $$ f(t)= \dfrac{50}{1 + 49 \e^{-0,2 t}}$$
où $t$ représente le temps exprimé en jours et où $f(t)$ représente la masse, exprimée en kg, de bactéries au temps $t$.

  1. a. Calculer $f(0)$.
    $\quad$
    b. Démontrer que, pour tout réel $t\pg 0$, $f(t) < 50$.
    $\quad$
    c. Étudier le sens de variation de la fonction $f$.
    $\quad$
    d. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
    $\quad$
  2. Interpréter les résultats de la question 1 par rapport au contexte.
    $\quad$
  3. En utilisant ce modèle, on cherche à savoir au bout de combien de jours la masse de bactéries dépassera $30$ kg.
    Résoudre l’inéquation d’inconnue $t$: $f(t) > 30$.
    En déduire la réponse au problème.
    $\quad$

Partie C: un contrôle de qualité

Les bactéries peuvent être de deux types: le type A, qui produit effectivement une protéine utile à l’industrie, et le type B, qui ne la produit pas et qui est donc inutile d’un point de vue commercial.

L’entreprise affirme que $80\%$ des bactéries produites sont de type A.

Pour vérifier cette affirmation, un laboratoire analyse un échantillon aléatoire de $200$ bactéries en fin de production.
L’analyse montre que $146$ d’entre elles sont de type A.
L’affirmation de l’entreprise doit-elle être remise en cause ?
$\quad$

Exercice 4    4 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Un catadioptre est un dispositif optique formé de trois miroirs en forme de “coin de cube”, les faces réfléchissantes tournées vers l’intérieur. On en trouve dans les réflecteurs de certains véhicules ainsi que dans les appareils de topographie.

Les points $O, A, B$ et $C$ sont des sommets d’un cube, de telle sorte que le repère $\left (O;\vect{OA},\vect{OB},\vect{OC}\right )$ soit un repère orthonormé. On utilisera ce repère dans tout l’exercice.

Les trois miroirs du catadioptre sont représentés par les plans $(OAB)$, $(OBC)$ et $(OAC)$. Les rayons lumineux sont modélisés par des droites.

Règles de réflexion d’un rayon lumineux (admises):

  • lorsqu’un rayon lumineux de vecteur directeur $\vec{v}(a;b;c)$ est réfléchi par le plan $(OAB)$, un vecteur directeur du rayon réfléchi est $\vec{v}(a;b;- c)$;
  • lorsqu’un rayon lumineux de vecteur directeur $\vec{v}(a;b;c)$ est réfléchi par le plan $(OBC)$, un vecteur directeur du rayon réfléchi est $\vect{v}(-a;b;c)$;
  • lorsqu’un rayon lumineux de vecteur directeur $\vec{v}(a;b;c)$ est réfléchi par le plan $(OAC)$, un vecteur directeur du rayon réfléchi est $\vec{v}(a;- b;c)$ ;

  1. Propriété des catadioptres
    En utilisant les règles précédentes, démontrer que si un rayon lumineux de vecteur directeur $\vec{v}(a;b;c)$ est réfléchi successivement par les plans $(OAB)$, $(OBC)$ et $(OAC)$, le rayon final est parallèle au rayon initial.
    $\quad$
    Pour la suite, on considère un rayon lumineux modélisé par une droite $d_1$ de vecteur directeur $\vec{v_1}(-2;-1;-1)$ qui vient frapper le plan $(OAB)$ au point $I_1(2;3;0)$. Le rayon réfléchi est modélisé par la droite $d_2$ de vecteur directeur $\vec{v_2}(-2;-1;1)$ et passant par le point $I_1$.
    $\quad$
  2. Réflexion de $d_2$ sur le plan $(OBC)$
    a. Donner une représentation paramétrique de la droite $d_2$.
    $\quad$
    b. Donner, sans justification, un vecteur normal au plan $(OBC)$ et une équation cartésienne de ce plan.
    $\quad$
    c. Soit $I_2$ le point de coordonnées $(0;2;1)$.
    Vérifier que le plan $(OBC)$ et la droite $d_2$ sont sécants en $I_2$.
    $\quad$
    On note $d_3$ la droite qui représente le rayon lumineux après réflexion sur le plan $(OBC)$. $d_3$ est donc la droite de vecteur directeur $\vec{v_3}(2;-1;1)$ passant par le point $I_2(0;2;1)$.
    $\quad$
  3. Réflexion de $d_3$ sur le plan $(OAC)$
    Calculer les coordonnées du point d’intersection $I_3$ de la droite $d_3$ avec le plan $(OAC)$.
    $\quad$
    On note $d_4$ la droite qui représente le rayon lumineux après réflexion sur le plan $(OAC)$. Elle est donc parallèle à la droite $d_1$.
    $\quad$
  4. Étude du trajet de la lumière
    On donne le vecteur $\vec{u}(1;-2;0)$, et on note $\mathscr P$ le plan défini par les droites $d_1$ et $d_2$.
    a. Démontrer que le vecteur $\vec{u}$ est un vecteur normal au plan $\mathscr P$.
    $\quad$
    b. Les droites $d_1$, $d_2$ et $d_3$ sont-elles situées dans un même plan?
    $\quad$
    c. Les droites $d_1$, $d_2$ et $d_4$ sont-elles situées dans un même plan?
    $\quad$

Exercice 4    5 points

Candidat/e/s ayant suivi l’enseignement de spécialité 

L’objet du problème est l’étude d’une méthode de cryptage, dite “chiffrement de Hill”, dans un cas particulier. Cette méthode nécessite une matrice de la forme $\begin{pmatrix}a&b\\c&s\end{pmatrix}$, dont les coefficients sont des nombres entiers choisis entre $0$ et $25$, et tels que $ad-bc$ soit premier avec $26$.
Cette matrice est connue seulement de l’émetteur et du destinataire.

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

Partie A : quelques résultats

  1. On considère l’équation $(E) : 9d-26m=1$, où $d$ et $m$ désignent deux entiers relatifs.
    a. Donner une solution simple de cette équation, de sorte que $d$ et $m$ soient des nombres entiers compris entre $0$ et $3$.
    $\quad$
    b. Démontrer que le couple $(d,m)$ est solution de l’équation $(E)$ si et seulement si : $$9(d-3) = 26 (m-1)$$
    $\quad$
    c. En déduire que les solutions de l’équation $(E)$ sont les nombres entiers relatifs de la forme : $$\begin{cases}d =26k+3\\m=9k+1\end{cases}\text{ avec }k \in \Z$$
    $\quad$
  2. Soit $n$ un nombre entier. Démontrer que si $n = 26k-1$, avec $k$ entier relatif, alors $n$ et $26$ sont premiers entre eux.
    $\quad$
  3. En déduire que les nombres $9d-28$, avec $d=26k+3$ et $k \in \Z$, sont premiers avec $26$.
    $\quad$

Partie B : cryptage et décryptage

On considère la matrice $A = \begin{pmatrix}9&4\\7&3\end{pmatrix}$.
On utilisera le tableau suivant pour la correspondance entre les lettres et les nombres.

$$\begin{array}{l}
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
A &B &C &D &E &F &G &H &I& J &K &L &M\\
\hline
\phantom{1}0& \phantom{1}1 &\phantom{1}2 &\phantom{1}3 &\phantom{1}4 &\phantom{1}5 &\phantom{1}6 &\phantom{1}7 &\phantom{1}8 &\phantom{1}9 &10 &11 &12\\
\hline
\end{array} \\
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
N&O&P&Q&R&S&T&U&V&W&X&Y&Z\\
\hline
13&14&15&16&17&18&19&20&21&22&23&24&25\\ \hline
\end{array}\end{array}
$$


Méthode de cryptage (pour un mot comportant un nombre pair de lettres) Exemple : avec le mot $\boldsymbol{MATH}$

  1. On regroupe les lettres par paires : $MA\quad TH$
  2. On remplace les lettres par les valeurs associées à l’aide du tableau précédent, et on place les couples de nombres obtenus dans des matrices colonne. $MA \to C_1 = \begin{pmatrix}12\\0\end{pmatrix}$ et $TH \to C_2 = \begin{pmatrix}19\\7\end{pmatrix}$
  3. On multiplie les matrices colonne par la gauche par la matrice $A = \begin{pmatrix}9&4\\7&3\end{pmatrix}$ : $AC_1 = \begin{pmatrix} 108\\84\end{pmatrix}$ $AC_2 = \begin{pmatrix}199\\ 154\end{pmatrix}$
  4. On remplace chaque coefficient des matrices colonne obtenues par leur reste dans la division euclidienne par $26$ : $108 = 4\times 26+4$, $84= 3 \times 26 + 6$. On obtient : $\begin{pmatrix} 4\\6\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} 17\\24\end{pmatrix}$
  5. On utilise le tableau de correspondance entre lettres et nombres pour obtenir le mot crypté. $\begin{pmatrix} 4\\6\end{pmatrix} \to EG$ et $\begin{pmatrix} 17\\24\end{pmatrix} \to RY$

  1. En cryptant par cette méthode le mot “$PION$”, on obtient “$LZWH$”. En détaillant les étapes pour les lettres “$ES$”, crypter le mot “$ESPION$”.
    $\quad$
  2. Méthode de décryptage
    Notation :
     lorsqu’on manipule des matrices de nombres entiers relatifs, on peut utiliser la notation “$\equiv$” pour parler de congruence coefficient par coefficient. Par exemple, on peut écrire :$$\begin{pmatrix}108\\84\end{pmatrix}\equiv\begin{pmatrix}4\\6\end{pmatrix} \text{ modulo } 26 \text{ car } 108 \equiv 4 \text{ modulo } 26 \text{ et } 84 \equiv 6 \text{ modulo } 26$$
    Soient $a$, $b$, $x$, $y$, $x’$ et $y’$ des nombres entiers relatifs.
    On sait que si $x \equiv x’$ modulo $26$ et $y \equiv y’$ modulo $26$ alors : $ax + by \equiv ax’ + by’$ modulo $26$.
    Ce résultat permet d’écrire que, si $A$ est une matrice $2 \times 2$, et $B$ et $C$ sont deux matrices colonne $2 \times 1$, alors: $$B \equiv C \text{ modulo } 26 \text{ implique } AB \equiv AC \text{ modulo } 26$$
    a. Établir que la matrice $A$ est inversible, et déterminer son inverse.
    $\quad$
    b. Décrypter le mot : $XQGY$.
    $\quad$

Bac S – Antilles Guyane – Juin 2016

Antilles Guyane – juin 2016

Bac S – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici .

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. a.
    bac S - antilles guyane - juin 2016 - ex1
    b. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p\left(\overline{D}\right) &=p\left(A \cap \overline{D}\right)+p\left(B \cap \overline{D}\right) \\
    &=0,65\times 0,92+0,35\times 0,95 \\
    &=0,930~5
    \end{align*}$
    $\quad$
    c. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_{\overline{D}}(A) &=\dfrac{p\left(A \cap \overline{D}\right)}{p\left(\overline{D}\right)} \\
    &=\dfrac{0,65 \times 0,92}{0,930~5} \\
    &=\dfrac{0,598}{0,930~5} \\
    &\approx 0,642~7
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le nombre d’ampoules sans défaut.
    On effectue $10$ tirages aléatoires, indépendants, identiques et possédant chacun exactement deux issues : $D$ et $\overline{D}$. On sait que $\left(\overline{D}\right)=0,930~5$.
    $n=10$ et $p=0,930~5$.
    Par conséquent $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,92$.
    On veut calculer :
    $\begin{align*} P(X\geqslant 9) &=P(X=9)+P(X = 10) \\
    &=\displaystyle \binom{10}{9}\times 0,92^9\times 0,08+\binom{10}{10} \times 0,92^{10}
    &\approx 0,812~1
    \end{align*}$
    Remarque : On pouvait également utiliser le fait que $P(X \pg 9) = 1-P(X\pp 8)$.
    $\quad$

Partie B

  1. a.
    $\begin{align*} P(T \geqslant a) &= 1-P(X\leqslant a) \\
    &=\displaystyle 1-\int_0^a \lambda\e^{-\lambda x}\mathrm{d}x \\
    &=1-\big[-\e^{-\lambda x}\big]_0^a \\
    &=1+\e^{-\lambda a}-1 \\
    &=\e^{-\lambda a}
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. Soit $t$ et $a$ deux réels positifs.
    $\begin{align*} \displaystyle P_{T \geqslant t}\left(T \geqslant t+a\right) &=\dfrac{P\left(\left(T \geqslant t\right)\cap \left(T \geqslant t+a\right)\right)}{P\left(T\geqslant t\right)} \\
    &=\dfrac{P\left(T\geqslant t+a\right)}{P\left(T \geqslant t\right)} \\
    &=\dfrac{\e^{-\lambda(t+a)}}{\e^{-\lambda t}} \\
    &=\e^{-\lambda a} \\
    &=P\left(T\geqslant a\right)
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. a. On sait que $E(T)=10~000$. Or $E(T)=\dfrac{1}{\lambda}$ donc $\lambda =\dfrac{1}{10~000} = 10^{-4}$
    $\quad$
    b. $P(T\geqslant 5~000)=\e^{-5~000\times 10^{-4}}\approx 0,606~5$
    $\quad$
    c. On veut calculer
    $\begin{align*} P_{T \geqslant 7~000}(T \geqslant 12~000) &= P_{T \geqslant 7~000}(T \geqslant 7~000+5~000) \\
    &= P(T \geqslant 5~000) \\
    &\approx 0,606~5
    \end{align*}$
    $\quad$

Partie C

  1. On a $n=1~000 \geqslant 30$ et $p=0,06$ donc $np=60 \geqslant 5$ et $n(1-p)=940 \geqslant 5$.
    Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ est :
    $\begin{align*} I_{1~000} &=\left[0,06-1,96\times \sqrt{\dfrac{0,06\times 0,94}{1~000}};0,06+1,96\times \sqrt{\dfrac{0,06\times 0,94}{1~000}} \right] \\
    &\approx [0,045~2;0,074~8]
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. La fréquence observée est $f=\dfrac{71}{1~000}=0,071\in I_{1~000}$
    Au risque d’erreur de $5\%$ on ne peut pas remettre en cause l’affirmation de l’entreprise.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. On appelle $M$ le point d’affixe $z$ et $A$ le point d’affixe $2$.
    $|z-2|=1 \ssi AM=1$
    Donc $\mathscr{C}$ est le cercle de centre $A$ et de rayon $1$.
    $\quad$
  2. Si un point $M$ appartient à la droite $\mathscr{D}$ alors ses coordonnées sont $(x;ax)$ et donc son affixe est $z=x+ax\ic$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} |x+ax \ic -2|=1 &\ssi \left|(x-2)+ax \ic\right| = 1 \\
    &\ssi (x-2)^2+(ax)^2 = 1 \\
    &\ssi x^2-4x+4+a^2x^2=1\\
    &\ssi \left(a^2+1\right)x^2-4x+3=0
    \end{align*}$
    Le discriminant est :
    $\begin{align*} \Delta &=16-12\left(1+a^2\right) \\
    &=4\left(4-3-3a^2\right) \\
    &=4\left(1-3a^2\right)
    \end{align*}$
    Or $1-3a^2=0 \ssi a^2=\dfrac{1}{3} \ssi a=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ ou $a=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
    Par conséquent :
    • si $a\in \left]-\dfrac{\sqrt{3}}{3};\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right[$ alors $\Delta >0$ et le cercle et la droite ont deux points en commun;
    • si $a=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ ou si $a=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ alors $\Delta =0$ et la droite et le cercle n’ont qu’un point en commun;
    • si $x\in \left]-\infty;-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right[\cup\left]\dfrac{\sqrt{3}}{3};+\infty\right[$ alors $\Delta <0$ et la droite et le cercle n’ont aucun point en commun.

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. $f(x)=x\e^{1-x^2}=x\e\times \dfrac{1}{\e^{x^2}}=\dfrac{\e}{x}\times \dfrac{x^2}{\e^{x^2}}$
    $\lim\limits_{x \to +\infty} x^2=+\infty$ et $\lim\limits_{X \to +\infty} \dfrac{\e^X}{X}=+\infty$ par conséquent $\lim\limits_{X \to +\infty} \dfrac{X}{\e^X}=0$
    Donc $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x^2}{\e^{x^2}}=0$.
    De plus $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\e}{x}=0$.
    Donc $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=0$
    $\quad$
  2. a.
    $\begin{align*} f'(x)&=\e^{1-x^2}+x\times (-2x)\e^{1-x^2} \\
    &=\left(1-2x^2\right)\e^{1-x^2}
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. La fonction exponentielle est strictement positive. Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $1-2x^2$.
    Or $1-2x^2=0 \ssi x^2=\dfrac{1}{2} \ssi x=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ou $x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
    et $1-2x^2>0 \ssi \dfrac{1}{2}>x^2 \ssi x \in \left[-\dfrac{\sqrt{2}}{2};\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right]$
    On obtient ainsi le tableau de variations suivant :
    bac S - antilles guyane - juin 2016 - ex3
    où $\alpha=f\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\e^{0,5}$ et $\beta =f\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\e^{0,5}$
    $\quad$

Partie B

  1. Il semblerait que $\mathscr{C}_g$ soit toujours au-dessus de $\mathscr{C}_f$.
    $\quad$
  2. Pour tout $x\in]-\infty;0]$, $f(x) \leqslant 0$ et $g(x)>0$ (car la fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$ et donc sur l’intervalle étudié).
    Donc sur cet intervalle $f(x)< g(x)$.
    $\quad$
  3. a.
    $\begin{align*} f(x) \leqslant g(x) &\ssi x\e^{1-x^2}\leqslant \e^{1-x} \\
    &\ssi x \leqslant \dfrac{\e^{1-x}}{\e^{1-x^2}} \\
    &\ssi x \leqslant \e^{x^2-x} \\
    &\ssi \ln x \leqslant x^2-x \\
    &\ssi \Phi(x) \leqslant 0
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. $\Phi'(x)=\dfrac{1}{x}-2x+1 = \dfrac{-2x^2+x+1}{x}$
    Pour tout $x\in ]0;+\infty[$, le signe de $\Phi'(x)$ ne dépend que de celui de $-2x^2+x+1$
    $\Delta = 1^-4\times (-2)=9 >0$
    Il y a donc deux racines $x_1=\dfrac{-1-3}{-4}=1$ et $x_2=\dfrac{-1+3}{-4}=-\dfrac{1}{2}$
    Le coefficient principal est $a=-2<0$.
    On obtient donc le tableau de variations suivant :
    bac S - antilles guyane - juin 2016 - ex3-2
    c. D’après le tableau de variations, pour tout réel $x >0$ on a $\Phi(x) \leqslant 0$.
    $\quad$
  4. a. D’après la question 3.a. pour tout réel $x$ strictement positif, $f(x) \leqslant g(x) \ssi \Phi(x) \leqslant 0$.
    Ainsi, $\mathscr{C}_f$ est bien toujours en dessous de $\mathscr{C}_g$ sur $]0;+\infty[$.
    On a prouvé que pour tout $x \leqslant 0$, $f(x)\leqslant g(x)$.
    Donc $\mathscr{C}_f$ est bien toujours en dessous de $\mathscr{C}_g$ sur $]-\infty;0]$.
    La conjecture de la question 1. est donc valide.
    $\quad$
    b. Sur $]-\infty;0]$, $f(x) < g(x)$ : les deux courbes n’ont pas de point commun sur cet intervalle.
    Sur $]0;+\infty[$, $f(x)=g(x) \ssi \Phi(x)=0 \ssi x=1$
    $\mathscr{C}_g$ et $\mathscr{C}_f$ ont donc un unique point commun : le point $A$ d’abscisse $1$.
    $g(1)=\e^0=1$.
    $\quad$
    c. $f'(1)=(1-2)\e^0=-1$ et $g'(1)=-\e^0=-1$
    Les deux tangentes en $A$ ont donc le même coefficient directeur. Puisqu’elles passent par le point $A$ cela signifie donc qu’elles sont confondues.
    $\quad$

Partie C

  1. Une primitive de $f$ sur $\R$ est la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=-\dfrac{1}{2}\e^{1-x^2}$
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align*} \displaystyle \int_0^1\left(\e^{1-x}-x\e^{1-x^2}\right)\mathrm{d}x &= \big[-\e^{1-x}-F(x)\big]_0^1 \\
    &=-1+\dfrac{1}{2}-\left(-\e+\dfrac{1}{2}\e\right) \\
    &=\dfrac{1}{2}\left(\e-1\right)
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. Ce résultat  correspond à l’aire du domaine compris entre $\mathscr{C}_g$, $\mathscr{C}_f$ et les droites d’équation $x=0$ et $x=1$.
    $\quad$

Ex 4 obl

Exercice 4

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

  1. a. $\vect{DF}(1;1;1)$
    $\vect{BG}(0;-1;1)$ et $\vect{BE}(-1;0;1)$ ne sont clairement pas colinéaires.
    $\vect{DF}.\vect{BG}=0-1+1=0$ et $\vect{DF}.\vect{BE}=-1+0+1=0$
    Ainsi le vecteur $\vect{DF}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(BGE)$.
    Il est par conséquent normal au plan $(BGE)$.
    $\quad$
    b. Le plan $\mathscr{P}$ est parallèle au plan $(BGE)$.
    $\vect{DF}$ est donc également normal à $(BGE)$.
    Une équation cartésienne de $\mathscr{P}$ est de la forme $$x+y+z+d=0$$
    Le point $I(0,5;1;0)$ appartient à ce plan donc :
    $$0,5+1+d=0 \ssi d=-1,5$$
    Une équation cartésienne de $\mathscr{P}$ est donc $x+y+z-1,5=0$.
    $\quad$
  2. Le point $N$ appartient à $[AE]$. Ses coordonnées sont donc $\left(0;1;z_N\right)$.
    Il appartient au plan $\mathscr{P}$ donc $0+1+z_N-1,5=0 \ssi z_N=0,5$
    Ainsi $N$ est le milieu de $[AE]$.
    $\quad$
  3. a. On a $\vect{HB}(-1;-1;1)$
    Une représentation paramétrique de la droite $(HB)$ est donc $\begin{cases} x=-t\\y=-t \quad t\in \R \\z=1+t \end{cases}$.
    b. $\vect{HB}.\vect{DF}=-1-1+1=-1 \neq 0$
    Le plan $\mathscr{P}$ et la droite $(HB)$ sont donc sécants.
    On injecte les équations de $(HB)$ dans l’équation de $\mathscr{P}$.
    $-t-t+1+t-1,5=0 \ssi -t-0,5=0 \ssi t=-0,5$
    Donc $T(0,5;0,5;0,5)$.
    $\quad$
  4. Calculons dans un premier temps l’aire du triangle $BGF$ rectangle en $F$.
    $\mathscr{A}=\dfrac{1\times 1}{2}=\dfrac{1}{2}$
    Donc le volume du tétraèdre $FBGE$ est $\mathscr{V}=\dfrac{\dfrac{1}{2} \times 1}{3}=\dfrac{1}{6}$

Ex 4 spé

Exercice 4

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

  1. Variables :
    $\quad$ $X$ est un nombre entier
    $\quad$ $Y$ est un nombre entier
    Début :
    $\quad$ Pour $X$ vairant de $-5$ à $10$
    $\qquad$ Pour $Y$ variant de $-5$ à $10$
    $\quad \qquad $ Si $7X-3Y=1$
    $\quad \qquad$ Alors Afficher $X$ et $Y$
    $\quad \qquad$ Fin Si
    $\qquad$ Fin Pour
    $\quad$ Fin Pour
    Fin
    $\quad$
  2. a. $7\times 1 -3\times 2 = 7 -6 =1$
    Le couple $(1;2)$ est donc une solution particulière de $(E)$.
    $\quad$
    b. On considère une autre solution $(x;y)$ de $(E)$.
    On a donc $7x-3y=1$ et $7 \times 1 -3\times 2 = 1$
    Par différence on obtient $7(x-1)-3(y-2)=0$
    Soit $7(x-1)=3(y-2)$
    $7$ et $3$ sont premiers entre eux.
    D’après le théorème de Gauss, il existe donc un entier relatif $k$ tel que $x-1=3k$ et $y-2=7k$
    Soit $x=1+3k$ et $y=2+7k$.
    $\quad$
    Réciproquement: soit $k$ un entier relatif alors
    $7(1+3k)-3(2+7k)=7+21k-6-21k=1$
    $\quad$
    Les solutions de l’équation $(E)$ sont donc les couples $(1+3k;2+7k)$ pour tout entier relatif $k$.
    $\quad$
    c. On veut que $-5 \leqslant 1+3k \leqslant 10$ et $-5 \leqslant 2+7k \leqslant 10$
    Soit $-6 \leqslant 3k \leqslant 9$ et $-7 \leqslant 7k \leqslant 8$
    D’où $ -2 \leqslant k \leqslant 3$ et $-1 \leqslant k \leqslant \dfrac{8}{7}$
    Les valeurs possibles pour $k$ sont donc $-1,0$ et $1$.
    Les couples recherchés sont donc $(-2;-5)$, $(1;2)$ et $(4;9)$.
    $\quad$

Partie B

  1. a. $MX_n=\begin{pmatrix} -\dfrac{13}{2}x_n+3y_n \\-\dfrac{35}{2}x_n+8y_n \end{pmatrix}=X_{n+1}$
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a $X_n=M^nX_0$.
    $\quad$
  2. a. $P^{-1}MP=\begin{pmatrix}1&0\\0&\dfrac{1}{2}\end{pmatrix}$.
    On a donc $D=\begin{pmatrix}1&0\\0&\dfrac{1}{2}\end{pmatrix}$ qui est bien une matrice diagonale.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$, on a : $D^n=\begin{pmatrix}1&0\\0&\dfrac{1}{2^n}\end{pmatrix}$.
    $\quad$
    c. Initialisation : Si $n=0$ alors $M^0=I_2$ où $I_2$ est la matrice identité.
    $PD^0P^{-1}=PI_2P^{-1}=PP^{-1}=I_2=M^0$
    La propriété est donc vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$: $M^n=PD^nP^{-1}$
    $\begin{align*} M^{n+1}&= M^n \times M \\
    &=PD^nP^{-1}\times PDP^{-1} \\
    &=PD^nDP^{-1} \\
    &=PD^{n+1}P^{-1}
    \end{align*}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $M^n=PD^nP^{-1}$.
    $\quad$
  3. On a $X_n=M^nX_0$
    Donc $\begin{cases} x_n=-14+\dfrac{15}{2^n}+12-\dfrac{12}{2^n} \\y_n=-35+\dfrac{35}{2^n}+30-\dfrac{28}{2^n} \end{cases}$ soit $\begin{cases} x_n=-2+\dfrac{3}{2^n}\\y_n=-5+\dfrac{7}{2^n}\end{cases}$.
    $\quad$
  4. On considère un entier naturel $n$.
    $\begin{align*} 7x_n-3y_n-1 &=-14+\dfrac{21}{2^n}+15-\dfrac{21}{2^n}-1 \\
    &=1-1 \\
    &=0
    \end{align*}$
    Pour tout entier naturel $n$, le point $A_n$ appartient bien à la droite $\mathscr{D}$.

Énoncé

Exercice 1    5 points

Les valeurs approchées des résultats seront données à $10^{-4}$ près.

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

Un fabricant d’ampoules possède deux machines, notées A et B. La machine A fournit $65\%$ de la production, et la machine B fournit le reste. Certaines ampoules présentent un défaut de fabrication:

  • à la sortie de la machine A, $8\%$ des ampoules présentent un défaut;
  • à la sortie de la machine B, $5\%$ des ampoules présentent un défaut.

On définit les événements suivants:

  • $A$: “l’ampoule provient de la machine A”;
  • $B$: “l’ampoule provient de la machine B”;
  • $D$: “l’ampoule présente un défaut”.
  1. On prélève un ampoule au hasard parmi la production totale d’une journée.
    a. Construire un arbre pondéré représentant la situation.
    $\quad$
    b. Montrer que la probabilité de tirer une ampoule sans défaut est égale à $0,930~5$.
    $\quad$
    c. L’ampoule tirée est sans défaut.
    Calculer la probabilité qu’elle provienne de la machine A.
    $\quad$
  2. On prélève $10$ ampoules au hasard parmi la production d’une journée à la sortie de la machine A. La taille du stock permet de considérer les épreuves comme indépendantes et d’assimiler les tirages à tirages avec remise.
    Calculer la probabilité d’obtenir au moins $9$ ampoules sans défaut.
    $\quad$

Partie B

  1. On rappelle que si $T$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ ($\lambda$ étant un réel strictement positif) alors pour tout réel positif $a$, $P(T\pp a) = \displaystyle\int_0^a\lambda\e^{-\lambda x}\dx$.
    a. Montrer que $P(T\pg a)=\e^{-\lambda a}$.
    $\quad$
    b. Montrer que si $T$ suit une loi exponentielle alors pour tous les réels positifs $t$ et $a$ on a $$P_{T\pg t}(T\pg t+a)=P(T\pg a)$$
    $\quad$
  2. Dans cette partie, la durée de vie en heures d’une ampoule sans défaut est une variable aléatoire $T$ qui suit la loi exponentielle d’espérance $10~000$.
    a. Déterminer la valeur exacte du paramètre $\lambda$ de cette loi.
    $\quad$
    b. Calculer la probabilité $P(T\pg 5~000)$.
    $\quad$
    c. Sachant qu’une ampoule sans défaut a déjà fonctionné pendant $7~000$ heures, calculer la probabilité que sa durée de vie totale dépasse $12~000$ heures.
    $\quad$

Partie C

L’entreprise a cherché à améliorer la qualité de sa production et affirme qu’il n’y a pas plus de $6\%$ d’ampoules défectueuses dans sa production. Une association de consommateurs réalise un test sur un échantillon et obtient $71$ ampoules défectueuses sur $1~000$.

  1. Dans le cas où il y aurait exactement $6\%$ d’ampoules défectueuses, déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de la fréquence d’ampoules défectueuses sur un échantillon aléatoire de taille $1~000$.
    $\quad$
  2. A-t-on des raisons de remettre en cause l’affirmation de l’entreprise?
    $\quad$

Exercice 2    3 points

On munit le plan complexe d’un repère orthonormé direct $\Ouv$.

On note $\mathscr{C}$ l’ensemble des points $M$ du plan d’affixe $z$ tels que $|z-2|=1$.

  1. Justifier que $\mathscr{C}$ est un cercle, dont on précisera le centre et le rayon.
    $\quad$
  2. Soit $a$ un nombre réel. On appelle $\mathscr{D}$ la droite d’équation $y=ax$.
    Déterminer le nombre de points d’intersection entre $\mathscr{C}$ et $\mathscr{D}$ en fonction des valeurs du réel $a$.
    $\quad$

Exercice 3    7 points

Partie A

On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par $f(x)=x\e^{1-x^2}$.

  1. Calculer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
    Indication: on pourra utiliser que pour tout réel $x$ différent de $0$, $f(x)=\dfrac{\e}{x}\times\dfrac{x^2}{\e^{x^2}}$.
    $\quad$
    On admettra que la limite de la fonction $f$ en $-\infty$ est égale à $0$.
    $\quad$
  2. a. On admet que $f$ est dérivable sur $\R$ et on note $f’$ sa dérivée.
    Démontrer que pour tout réel $x$, $$f'(x)=\left(1-2x^2\right)\e^{1-x^2}$$
    $\quad$
    b. En déduire le tableau de variations de la fonction $f$.
    $\quad$

Partie B

On considère la fonction $g$ définie pour tout réel $x$ par $g(x)=\e^{1-x}$.
Sur le graphique ci-dessous, on a tracé dans un repère les courbes représentatives $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ respectivement des fonctions $f$ et $g$.

Le but de cette partie est d’étudier la position relative de ces deux courbes.

  1. Après observation du graphique, quelle conjecture peut-on émettre?
    $\quad$
  2. Justifier que, pour tout réel $x$ appartenant à $]-\infty;0]$, $f(x)<g(x)$.
    $\quad$
  3. Dans cette question, on se place dans l’intervalle $]0;+\infty[$.
    On pose, pour tout réel $x$ strictement positif, $\Phi(x)=\ln x-x^2+x$.
    a. Montrer que, pour tout réel $x$ strictement positif, $$f(x)\pp g(x)\text{ équivaut à }\Phi(x)\pp 0$$
    On admet pour la suite que $f(x)=g(x)$ équivaut à $\Phi(x)=0$.
    $\quad$
    b. On admet que la fonction $\Phi$ est dérivable sur $]0;+\infty[$. Dresser le tableau de variation de la fonction $\Phi$. (Les limites en $0$ et $+\infty$ ne sont pas attendues.)
    $\quad$
    c. En déduire que, pour tout réel $x$ strictement positif, $\Phi(x)\pp 0$.
    $\quad$
  4. a. La conjecture émise à la question 1. de la partie B est-elle valide?
    $\quad$
    b. Montrer que $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ ont un unique point commun, noté $A$.
    $\quad$
    c. Montrer qu’en ce point $A$, ces deux courbes ont la même tangente.
    $\quad$

Partie C

  1. Trouver une primitive $F$ de la fonction $f$ sur $\R$.
    $\quad$
  2. En déduire la valeur de $\displaystyle\int_0^1\left(\e^{1-x}-x\e^{1-x^2}\right)\dx$.
    $\quad$
  3. Interpréter graphiquement ce résultat.
    $\quad$

Exercice 4    5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

$ABCDEFGH$ est un cube d’arête égale à $1$.

L’espace est muni du repère orthonormé $\left(D;\vect{DC},\vect{DA},\vect{DH}\right)$.

Dans ce repère, on a: $D(0;0;0)$, $C(1;0;0)$, $A(0;1;0)$, $H(0;0;1)$ et $E(0;1;1)$.

Soit $I$ le milieu de $[AB]$.

 

Soit $\mathscr{P}$ le plan parallèle au plan $(BGE)$ et passant par le point $I$.

On admet que la section du cube par le plan $\mathscr{P}$ représentée ci-dessus est un hexagone dont les sommets $I$, $J$, $K$, $L$, $M$, et $N$ appartiennent respectivement aux arêtes $[AB]$, $[BC]$, $[CG]$, $[GH]$, $[HE]$ et $[AE]$.

  1. a. Montrer que le vecteur $\vect{DF}$ est normal au plan $(BGE)$.
    $\quad$
    b. En déduire une équation cartésienne du plan $\mathscr{P}$.
    $\quad$
  2. Montrer que le point $N$ est le milieu du segment $[AE]$.
    $\quad$
  3. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(HB)$.
    $\quad$
    b. En déduire que la droite $(HB)$ et le plan $\mathscr{P}$ son sécants en un point $T$ dont on précisera les coordonnées.
    $\quad$
  4. Calculer, en unités de volume, le volume du tétraèdre $FBGE$.
    $\quad$

Exercice 4    5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Les parties A et B sont indépendantes

Partie A

On considère l’équation suivante d’inconnues $x$ et $y$ entiers relatifs:

$$ 7x-3y=1\quad (E)$$

  1. Un algorithme incomplet est donné ci-dessous. Le recopier et le compléter, en écrivant ses lignes manquantes (1) et (2) de manière à ce qu’il donne les solutions entières $(x;y)$ de l’équation $(E)$ vérifiant $-5\pp x\pp 10$ et $-5\pp y\pp 10$.
    Variables:
    $\quad$ $X$ est un nombre entier
    $\quad$ $Y$ est un nombre entier
    Début :
    $\quad$ Pour $X$ variant de $-5$ à $10$
    $\qquad$ (1) $\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots$
    $\qquad \quad$(2) $\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots$
    $\qquad \quad$ Alors Afficher $X$ et$ Y$
    $\qquad \quad$ Fin Si
    $\qquad$ Fin Pour
    $\quad$ Fin Pour
    Fin
    $\quad$
  2. a. Donner une solution particulière de l’équation $(E)$.
    $\quad$
    b. Déterminer l’ensemble des couples d’entiers relatifs solutions de l’équation $(E)$.
    $\quad$
    c. Déterminer l’ensemble des couples $(x;y)$ d’entiers relatifs solutions de l’équation (E) tels que $5\pp x\pp 10$ et $-5\pp y\pp 10$.
    $\quad$

Partie B

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé $\Ouv$.
On considère la droite $\mathscr{D}$ d’équation $$7x-3y-1=0$$
On définie la suite $(A_n)$ de points du plan de coordonnées $\left(x_n;y_n\right)$ vérifiant pour tout $n$ entier naturel: $$\begin{cases}x_0=1\\y_0=2\end{cases}\text{ et }\begin{cases}x_{n+1}= – \dfrac{13}{2}x_n + 3y_n\\y_{n+1}= -\dfrac{35}{2}x_n + 8y_n\end{cases}$$

  1. On note $M$ la matrice $\begin{pmatrix} \dfrac{-13}{2}&3\\\dfrac{-35}{2}&8 \end{pmatrix}$. Pour tout entier naturel $n$, on pose $X_n=\begin{pmatrix}x_n\\y_n\end{pmatrix}$.
    a. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $X_{n+1}=MX_n$.
    $\quad$
    b. Sans justifier, exprimer pour tout entier naturel $n$, $X_n$ en fonction de $M^n$ et $X_0$.
    $\quad$
  2. On considère la matrice $P=\begin{pmatrix}-2&-3\\-5&-7 \end{pmatrix}$ et on admet que la matrice inverse de $P$, notée $P^{-1}$, est définie par $P^{-1}=\begin{pmatrix} 7&-3\\-5&2 \end{pmatrix}$.
    a. Vérifier que $P^{-1}MP$ est une matrice diagonale $D$ que l’on précisera.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$, donner $D^n$ sans justification.
    $\quad$
    c. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $M^n = PD^nP^{-1}$.
    $\quad$
  3. On admet que, pour tout entier naturel $n$, $M^n=\begin{pmatrix} -14+\dfrac{15}{2^n}&6-\dfrac{6}{2^n}\\-35+\dfrac{35}{2^n}&15-\dfrac{14}{2^n}\end{pmatrix}$.
    En déduire que, pour tout entier naturel $n$, une expression de $x_n$ et $y_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  4. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, le point $A_n$ appartient à la droite $\mathscr{D}$.
    $\quad$