TS – Bac – Nouvelle Calédonie – février 2018

Nouvelle Calédonie – février 2018

Bac TS – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. D’après la calculatrice $P(X \pp 81,2) \approx 0,301$.
    Réponse b
    Remarque : ce ne pouvait pas être la réponse “a” car $P(X \pp 81,2) \pp P(X \pp 100)$ et  $P(X \pp 100)=0,5$.
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} P(X>52)&=P(X-50>2) \\
    &=P\left(\dfrac{X-50}{2}>1\right) \\
    &=P(N>1)
    \end{align*}$
    Or $P(-1 < N <1)=2P(N<-1)-1=2P(N>1)-1$
    Donc $P(N>1)=\dfrac{P(-1<N<1)+1}{2}$
    Ainsi $P(X>52)=\dfrac{P(-1<N<1)+1}{2}$
    Réponse c
    $\quad$
  3. On appelle $\lambda$ le paramètre de la loi exponentielle suivie par $T$.
    $\begin{align*} P(T>2)=0,5 &\ssi \e^{-2\lambda}=0,5 \\
    &\ssi -2\lambda = \ln 0,5 \\
    &\ssi \lambda = -\dfrac{\ln 0,5}{2} \\
    &\ssi \lambda = \dfrac{\ln 2}{2}
    \end{align*}$
    La loi exponentielle est une loi à durée de vie sans vieillissement donc
    $\begin{align*} P_{(T>2)}(T>5)&= P_{(T>2)}(T>2+3) \\
    &=P(T>3) \\
    &=\e^{-\frac{3\ln 2}{2}} \\
    &\approx 0,354
    \end{align*}$
    Réponse a
    $\quad$
  4. On effectue $5$ tirages identiques, indépendants et aléatoires. Chaque tirage possède $2$ issues: $S$ “la boule est grise”  et $\conj{S}$ “la boule n’est pas grise”. De plus $p(S)=\dfrac{3}{8}$.
    La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=5$ et $p=\dfrac{3}{8}$.
    Donc $E(X)=np=\dfrac{15}{8}$. On exclut les réponses a et b.
    D’après la calculatrice $P(X \pg 1) =1-P(X=0)=1-\left(\dfrac{5}{8}\right)^5\approx 0,905$
    Réponse c
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. $\quad$
    $\begin{align*} Z&=\dfrac{z_1}{z_2} \\
    &=\dfrac{1-\ic}{-8-8\sqrt{3}\ic} \\
    &=\dfrac{1-\ic}{-8-8\sqrt{3}\ic}\times \dfrac{-8+8\sqrt{3} \ic}{-8+8\sqrt{3} \ic} \\
    &=\dfrac{-8+8\sqrt{3}\ic+8\ic+8\sqrt{3}}{64+64\times 3} \\
    &=\dfrac{-8+8\sqrt{3}+\left(8+8\sqrt{3}\right)\ic}{256} \\
    &=\dfrac{-1+\sqrt{3}+\left(1+\sqrt{3}\right)\ic}{32}
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. $\left|z_1\right|=\sqrt{2}$
    Donc $z_1=\sqrt{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{\ic}{\sqrt{2}}\right)=\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\ic\right)$
    Donc $z_1=\sqrt{2}\e^{-\ic\pi/4}$
    $\quad$
    $\left|z_2\right|=\sqrt{64+64\times 3}=\sqrt{256}=16$
    Donc $z_2=16\left(-\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\ic\right)=16\e^{-2\ic\pi/3}$
    $\quad$
  3. Par conséquent :
    $\begin{align*} Z&=\dfrac{z_1}{z_2} \\
    &=\dfrac{\sqrt{2}\e^{-\ic\pi/4}}{16\e^{-2\ic\pi/3}} \\
    &=\dfrac{\sqrt{2}}{16}\e^{-\ic\pi/4+2\ic\pi/3} \\
    &=\dfrac{\sqrt{2}}{16}\e^{5\ic\pi/12}
    \end{align*}$
    La forme trigonométrique du nombre $Z$ est donc :
    $Z=\dfrac{\sqrt{2}}{16}\left(\cos \left(\dfrac{5\pi}{12}\right)+\ic \sin \left(\dfrac{5\pi}{12}\right)\right)$.
    $\quad$
  4. En identifiant la forme algébrique et la forme trigonométrique du nombre $Z$ on a :
    $\begin{align*} \dfrac{\sqrt{2}}{16}\cos \left(\dfrac{5\pi}{12}\right)=\dfrac{-1+\sqrt{3}}{32} &\ssi \cos \left(\dfrac{5\pi}{12}\right) = \dfrac{-1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} \\
    &=\dfrac{-\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4} \\
    &=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}
    \end{align*}$
    $\quad$
  5. $\quad$
    $\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)\cos x-\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)\sin x=-2\sqrt{3} $
    $\ssi \dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\cos x-\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\sin x=\dfrac{-\sqrt{3}}{2} $
    $\ssi \cos\left(\dfrac{5\pi}{12}\right)\cos x- \sin \left(\dfrac{5\pi}{12}\right) \sin x=\cos\left(\dfrac{5\pi}{6} \right)$
    $\ssi \cos\left(\dfrac{5\pi}{12}+x\right)=\cos \left(\dfrac{5\pi}{6}\right) $
    $\ssi \dfrac{5\pi}{12}+x=\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi ~~ \text{ou} ~~ \dfrac{5\pi}{12}+x=-\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi \quad k\in \Z $
    $\ssi x=\dfrac{5\pi}{6}-\dfrac{5\pi}{12}+2k\pi ~~ \text{ou} ~~ x=-\dfrac{5\pi}{6}-\dfrac{5\pi}{12}+2k\pi \quad k\in \Z $
    $\ssi x=\dfrac{5\pi}{12}+2k\pi ~~ \text{ou} ~~ x=-\dfrac{5\pi}{4}+2k\pi \quad k\in\Z$
    Or $-\dfrac{5\pi}{4}=\dfrac{3\pi}{4}-2\pi$
    Les solutions de l’équation dans $\R$ sont donc les nombres de la forme $\dfrac{5\pi}{12}+2k\pi$ ou $\dfrac{3\pi}{4}+2k\pi$ pour tout $k\in\Z$.
    $\quad$

Ex 3 obl

Exercice 3

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

  1. On a, pour tout entier naturel $n$ :
    $\begin{align*} t_{n+1}&=u_{n+1}-5 \\
    &=2u_n-5-5 \\
    &=2u_n-10\\
    &=2\left(u_n-5\right) \\
    &=2t_n
    \end{align*}$
    la suite $\left(t_n\right)$ est donc géométrique de raison $2$ et de premier terme $t_0=14-5=9$.
    Affirmation A vraie
    $\quad$
    On a donc $t_n=9\times 2^n$ pour tout entier naturel $n$.
    par conséquent $u_n=t_n+5=9\times 2^n+5$.
    Affirmation B vraie
    $\quad$
  2. Si on considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier $n$ non nul par $v_n=(-1)^n$.
    On a bien alors $-1-\dfrac{1}{n}\pp v_n \pp 1+\dfrac{1}{n}$.
    Or la suite $\left(v_n\right)$ ne converge pas.
    Affirmation C fausse
    Remarque : on ne pouvait pas appliquer le théorème des gendarmes car, dans l’inégalité, le terme de gauche tend vers $-1$ et celui de droite tend vers $1$.
    $\quad$
  3. $\quad$
    $\begin{align*} (8\times 1+3)+(8\times 2+3)+\ldots+(8\times n+3)&= 8\times (1+2+\ldots+n)+3n \\
    &=8\times \dfrac{n(n+1)}{2}+3n \\
    &=4n(n+1)+3n \\
    &=n\left[4(n+1)+3\right] \\
    &=n(4n+4+3)\\
    &=n(4n+7)
    \end{align*}$
    Affirmation D vraie
    Remarque : on pouvait également utiliser un raisonnement par récurrence
    $\quad$
  4. On considère la suite $\left(w_n\right)$ définie pour tout entier $n$ non nul par $w_n=\dfrac{1}{n}$.
    On $w_n>0$ pour tout entier naturel $n$ non nul mais $\lim\limits_{n \to +\infty} w_n=0$. La limite n’est donc pas strictement positive.
    Affirmation E fausse
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie A

  1. a. La fonction $g$ est dérivable sur $\R$.
    $g'(x)=-2\times 3x^2+2x=2x(-3x+1)$
    $2x=0 \ssi x=0$ et $2x>0 \ssi x>0$
    $-3x+1=0 \ssi x=\dfrac{1}{3}$ et $-3x+1 > 0 \ssi -3x>1 \ssi x<\dfrac{1}{3}$.La fonction $g$ est donc décroissante sur l’intervalle $]-\infty;0]$ et sur $\left[\dfrac{1}{3};+\infty\right[$. La fonction $g$ est croissante sur l’intervalle $\left[0;+\dfrac{1}{3}\right]$.
    $\quad$
    b. D’après la limite des termes de plus haut degré on a :
    $\lim\limits_{x \to -\infty} g(x)=\lim\limits_{x \to -\infty} -2x^3=+\infty$
    et
    $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x)=\lim\limits_{x \to +\infty} -2x^3=-\infty$
    $\quad$
  2. On a $g\left(\dfrac{1}{3}\right)=-\dfrac{26}{27}$
    Ainsi sur l’intervalle $[0;+\infty[$, on a $g(x)\pp -\dfrac{26}{27}<0$.
    L’équation $g(x)=0$ n’admet donc pas de solution  sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    La fonction $f$ est continue (car dérivable) et  strictement décroissante sur l’intervalle $]-\infty;0]$.
    De plus $\lim\limits_{x \to -\infty} g(x)=+\infty$ et $g(0)=-1<0$.
    Or $0\in ]-1;+\infty[$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $g(x)=0$ admet une unique solution sur l’intervalle $]-\infty;0]$.
    Par conséquent, l’équation $g(x)=0$ admet une unique solution sur $\R$.
    De plus $g(0)=-1<0$ et $g(-1)=2>0$
    Donc $\alpha \in [-1;0]$.
    $\quad$
  3. D’après les variations de la fonction $g$ et la question précédente on a :
    – $g(x)>0$ sur l’intervalle $]-\infty;\alpha[$;
    – $g(\alpha)=0$;
    – $g(x)<0$ sur l’intervalle $]\alpha;+\infty[$.
    $\quad$

Partie B

  1. $\lim\limits_{x \to -\infty} -2x+1=+\infty$ et $\lim\limits_{X \to +\infty} \e^X=+\infty$
    Donc $\lim\limits_{x \to -\infty} \e^{-2x+1}=+\infty$
    D’après la limite des termes de plus degré, on a $\lim\limits_{x \to -\infty} 1+x+x^2+x^3=\lim\limits_{x \to -\infty} x^3=-\infty$.
    Par conséquent $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)=-\infty$.
    $\quad$
  2. a. On a $1<x$ donc en multipliant les deux membres de l’inégalité par $x$ (qui est strictement positif) on obtient $x<x^2$.
    On multiplie de nouveau les deux membres de l’inégalité par $x$ on obtient $x^2<x^3$.
    On a donc, pour tout $x>1$,  $1<x<x^2<x^3$.
    $\quad$
    b. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$ et, pour tout $x>1$ on a $1<x<x^2<x^3$ donc $4<1+x+x^2+x^3<4x^3$.
    Ainsi $0<4\e^{-2x+1}<f(x)<4x^3\e^{-2x+1}$.
    $\quad$
    c. $4x^3\e^{-2x+1}=4x^3\e\e^{-2x}=\dfrac{(2x)^3}{2}\times \e\e^{-2x}=\dfrac{\e}{2}(2x)^3\e^{-2x}$
    $\lim\limits_{x\to +\infty}2x=+\infty$ et $\lim\limits_{X \to +\infty}X^3\e^{-X}=0$
    Donc $\lim\limits_{x \to +\infty} (2x)^3\e^{-2x}=0$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} 4x^3\e^{-2x+1}=0$.
    $\quad$
    d. On a, pour tout $x>1$, $0<f(x)<4x^3\e^{-2x+1}$
    Or $\lim\limits_{x \to +\infty} 4x^3\e^{-2x+1}=0$
    D’après le théorème des gendarmes on a donc $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=0$.
    La courbe $\mathscr{C}_f$ possède donc une asymptote horizontale en $+\infty$ d’équation $y=0$.
    $\quad$
  3. On a :
    $\begin{align*} f'(x)&=\left(1+2x+3x^2\right)\e^{-2x+1}+\left(1+x+x^2+x^3\right)\times (-2)\e^{-2x+1} \\
    &=\left(1+2x+3x^2-2-2x-2x^2-2x^3\right)\e^{-2x+1}\\
    &=\left(-1+x^2-2x^3\right)\e^{-2x+1} \\
    &=g(x)\e^{-2x+1}
    \end{align*}$
    $\quad$
  4. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$ donc le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $g(x)$.
    D’après la question A.3. la fonction $f$ est donc croissante sur l’intervalle $]-\infty;\alpha]$ et décroissante sur l’intervalle $[\alpha;+\infty[$.
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1     4 points

Ceci est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des questions, une seule des quatre affirmations est exacte. Le candidat recopiera sur sa copie le numéro de la question et la réponse correspondante. Aucune justification n’est demandée.
Une réponse exacte rapporte un point, une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.

  1. Une variable aléatoire $X$ suit la loi normale de moyenne $100$ et d’écart-type $36$. On a alors, à $10^{-3}$ près :
    a. $P(X \pp 81,2) \approx 0,542$
    b. $P(X \pp 81,2) \approx 0,301$
    c. $P(81,2 \pp X \pp 103,8) \approx 0,542$
    d. $P(81,2 \pp X \pp 103,8) \approx 0,301$
    $\quad$
  2. Une variable aléatoire $X$ suit la loi normale de moyenne $50$ et d’écart-type $2$.
    Une variable aléatoire $N$ suit la loi normale centrée réduite. On a alors :
    a. $P(X > 52)= \dfrac{1-P(-2<N<2)}{2}$
    b. $P(X>52)=1-P(-2<N<2)$
    c. $P(X>52)=\dfrac{1-P(-1<N<1)}{2}$
    d. $P(X>52)=1-P(-1<N<1)$
    $\quad$
  3. Une variable aléatoire $T$ suit une loi exponentielle telle que $P(T>2)=0,5$.
    Une valeur approchée à $10^{-2}$ près de la probabilité $P_{(T>2)}(T>5)$ est égale à :
    a. $0,35$
    b. $0,54$
    c. $0,53$
    d. $\dfrac{\e}{2}$
    $\quad$
  4. Une urne contient $5$ boules bleues et $3$ boules grises indiscernables au toucher.
    On tire successivement de manière indépendante $5$ boules avec remise dans cette urne. On note alors $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de boules grises tirées.
    On note $E(X)$ l’espérance de $X$. On a alors :
    a. $E(X)=3$
    b. $E(X)=\dfrac{3}{8}$
    c. $P(X\pg 1)\approx 0,905$ à $10^{-3}$ près
    d. $P(X\pg 1) \approx 0,095$ à $10^{-3}$ près
    $\quad$

Exercice 2     5 points

Soient les deux nombres complexes : $$z_1=1-\ic \quad \text{et} \quad z_2=-8-8\sqrt{3}\ic$$

On pose : $Z=\dfrac{z_1}{z_2}$.

  1. Donner la forme algébrique de $Z$.
    $\quad$
  2. Écrire $z_1$ et $z_2$ sous forme exponentielle.
    $\quad$
  3. Écrire $Z$ sous forme exponentielle puis sous forme trigonométrique.
    $\quad$
  4. En déduire que $\cos \left(\dfrac{5\pi}{12}\right)=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.
    $\quad$
  5. On admet que :
    $\bullet$ $\sin\left(\dfrac{5\pi}{12}\right)=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.
    $\bullet$ pour tous réels $a$ et $b$, $\cos a \cos b-\sin a \sin b=\cos(a+b)$.
    résoudre l’équation suivante dans l’ensemble des réels $\R$ :
    $$\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)\cos x-\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)\sin x=-2\sqrt{3}$$
    $\quad$

Exercice 3     5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Pour chacune des affirmations proposées, indiquer si elle est VRAIE ou FAUSSE et justifier cette réponse.
Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.

  1. Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $$\begin{cases} u_0=14\\u_{n+1}=2u_n-5\end{cases}$$
    Soit la suite $\left(t_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $t_n=u_n-5$.
    Affirmation A :  La suite $\left(t_n\right)$ est une suite géométrique.
    $\quad$
    Affirmation B : Pour tout entier naturel $n$, $u_n=9\times 2^n+5$.
    $\quad$
  2. Soit une suite $\left(v_n\right)$.
    Affirmation C : Si, pour tout entier naturel $n$ supérieur à $1$, $$-1-\dfrac{1}{n} \pp v_n \pp 1+\dfrac{1}{n}$$
    alors la suite $\left(v_n\right)$ converge.
    $\quad$
  3. Affirmation D : Pour tout entier naturel $n$ non nul, $$(8\times 1+3)+(8\times 2+3)+\ldots+(8\times n+3)=n(4n+7)$$
    $\quad$
  4. Soit $\left(w_n\right)$ une suite convergente.
    Affirmation E : Si, à partir d’un certain rang, tous les termes de la suite $\left(w_n\right)$ sont strictement positifs, alors la limite de la suite $\left(w_n\right)$ est aussi strictement positive.
    $\quad$

Exercice 4     6 points

Soit $\R$ l’ensemble des nombres réels.

Partie A

Soit $g$ la fonction définie et dérivable sur $\R$ telle que, pour tout réel $x$, $$g(x)=-2x^3+x^2-1$$

  1. a. Étudier les variations de la fonction $g$.
    $\quad$
    b. Déterminer les limites de la fonction $g$ en $-\infty$ et en $+\infty$.
    $\quad$
  2. Démontrer que l’équation $g(x)=0$ admet une unique solution dans $\R$, notée $\alpha$, et que $\alpha$ appartient à $[-1;0]$.
    $\quad$
  3. En déduire le signe de $g$ sur $\R$.
    $\quad$

Partie B

Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur $\R$ telle que, pour tout réel $x$, $$f(x)=\left(1+x+x^2+x^3\right)\e^{-2x+1}$$

On note $f’$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur $\R$.

  1. Démontrer que $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)=-\infty$.
    $\quad$
  2. a. Démontrer que, pour tout $x>1$, $$1<x<x^2<x^3$$
    $\quad$
    b. En déduire que, pour $x>1$, $$0<f(x)<4x^3\e^{-2x+1}$$
    $\quad$
    c. On admet que, pour tout entier naturel $n$, $\lim\limits_{x \to +\infty} x^n\e^{-x}=0$.
    Vérifier que, pour tout réel $x$, $4x^3\e^{-2x+1}=\dfrac{\e}{2}(2x)^3\e^{-2x}$ puis montrer que $$\lim\limits_{x \to +\infty}4x^3\e^{-2x+1}=0$$
    $\quad$
    d. On note $\mathscr{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère $\Oij$.
    En utilisant la question précédente, déterminer la limite de $f$ en $+\infty$ et en donner une interprétation graphique.
    $\quad$
  3. Démontrer que, pour tout $x\in \R$, $f'(x)=\left(-2x^3+x^2-1\right)\e^{-2x+1}$.
    $\quad$
  4. À l’aide des résultats de la partie A, déterminer les variations de $f$ sur $\R$.
    $\quad$

Bac S – Nouvelle Calédonie – Novembre 2017

Nouvelle Calédonie – Novembre 2017

Bac TS – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A : En utilisant le bus

  1. On veut calculer $p\left(12 \pp T_B \pp 14\right)=\dfrac{14-12}{15-12}=\dfrac{2}{3}$
    $\quad$
  2. La durée moyenne du trajet est $E\left(T_B\right)=\dfrac{12+15}{2}=13,5$ min $=13$min $30$s
    $\quad$

Partie B : En utilisant son vélo

  1. On veut calculer $p\left(T_V\pp 14\right)=0,5$ car $\mu=14$.
    $\quad$
  2. D’après la calculatrice $p\left(12\pp Tv\pp 14\right)\approx 0,409$
    $\quad$

Partie C : En jouant aux dés

  1. La probabilité d’obtenir 1 ou 2 avec le dé est $\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$.
    Un arbre pondéré représentant la situation est donc :

    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(C)&=p(B\cap C)+p(V\cap V)\\
    &=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{2}{3}+\dfrac{2}{3}\times 0,409 \\
    &\approx 0,49
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_C(B)&=\dfrac{p(C\cap B)}{p(C)} \\
    &=\dfrac{\dfrac{1}{3}\times \dfrac{2}{3}}{0,49} \\
    &\approx 0,45
    \end{align*}$
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. $\lim\limits_{x \to 0^+} \ln x=-\infty$ donc $\lim\limits_{X \to 0^+} \left(\ln x\right)^2=+\infty$
    $\lim\limits_{X \to 0^+} \dfrac{1}{x}=+\infty$ donc $\lim\limits_{X \to 0^+} f(x)=+\infty$.
    La droite d’équation $x=0$ est donc une asymptote à la courbe représentative de la fonction $f$ au voisinage de $0$.
    $\quad$
  2. a.
    $\begin{align*} 4\left(\dfrac{\ln\left(\sqrt{x}\right)}{\sqrt{x}}\right)^2 &=4\left(\dfrac{\dfrac{1}{2}\ln x}{\sqrt{x}}\right)^2 \\
    &=4\times \dfrac{\dfrac{1}{4}\left(\ln x\right)^2}{x} \\
    &=f(x)
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. $\lim\limits_{x \to +\infty} \sqrt{x}=+\infty$ et $\lim\limits_{X \to +\infty} \dfrac{\ln X}{X}=0$ donc $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln\left(\sqrt{x}\right)}{\sqrt{x}}=0$
    Ainsi $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) =0$.
    L’axe des abscisses est une asymptote à la courbe représentative de la fonction $f$ au voisinage de $+\infty$.
    $\quad$
  3. a.
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{2x\times \dfrac{1}{x}\times \ln x-\left(\ln x\right)^2}{x^2} \\
    &=\dfrac{2\ln x-\left(\ln x\right)^2}{x^2} \\
    &=\dfrac{\ln(x)\left(2-\ln(x)\right)}{x^2}
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. $2-\ln(x)=0 \ssi x=\e^2$ et $2-\ln(x)>0 \ssi 2>\ln(x)\ssi \e^2>x$
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend que du signe de $\ln(x)\left(2-\ln(x)\right)$.
    On obtient ainsi le tableau de signe suivant :
    $\quad$
    c. $\ln(1)=0$ donc $f(1)=0$
    $f\left(\e^2\right)=\dfrac{\ln\left(\e^2\right)^2}{\e^2}=\dfrac{2^2}{\e^2}=\dfrac{4}{\e^2}$
    $\quad$
  4. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur l’intervalle $]0;1]$.
    $\lim\limits_{x \to 0^+}f(x)=+\infty$ et $f(1)=0$
    Donc $1\in [0;+\infty[$
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires), l’équation $f(x)=1$ possède une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $]0;1]$.
    Sur l’intervalle $[1;+\infty[$ on a $f(x)\pp \dfrac{4}{\e^2}<1$. L’équation $f(x)=1$ ne possède donc pas de solution sur cet intervalle.
    $\quad$
    Cela signifie par conséquent que l’équation $f(x)=1$ possède une unique solution $\alpha$ sur $]0;+\infty[$ et $\alpha \in ]0,49;0,50[$ d’après la calculatrice.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A

Proposition A : Fausse

La fonction $f$ est positive sur l’intervalle $\left[0;\ln(2)\right]$. On veut donc calculer :
$\begin{align*}I&=\displaystyle \int_0^{\ln(2)} f(x)\dx \\
&=\left[2\e^x-\dfrac{1}{2}\e^{2x}\right]_0^{\ln 2} \\
&=2\times 2-\dfrac{1}{2}\times 2^2-\left(2-\dfrac{1}{2}\right) \\
&=\dfrac{1}{2}\\
&\neq 1
\end{align*}$

$\quad$

Proposition B vraie

La fonction $f_n$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
$\begin{align*} {f_n}'(x)&=2n\e^x-2\e^{2x} \\
&=2\e^x\left(n-\e^x\right)
\end{align*}$
La fonction exponentielle est strictement positive donc ${f_n}'(x)=0 \ssi n=\e^x \ssi x=\ln(n)$

$f\left(\ln(n)\right)=2n\times n-n^2=n^2$

$\quad$

 

 

Ex 4

Exercice 4

  1. a. $z_{n+4}=\dfrac{1+\ic}{(1-\ic)^n(1-\ic)^4}=\dfrac{1+\ic}{-4(1-\ic)^n}=\dfrac{-1}{4}z_n$
    Par conséquent $\dfrac{z_{n+4}}{z_n}=-\dfrac{1}{4}$.
    $\quad$
    b. Un argument de $\dfrac{z_{n+4}}{z_n}$ est donc $\pi$.
    Or $\left(\vect{OA_n},\vect{OA_{n+4}}\right)=$arg$\left(\dfrac{z_{n+4}}{z_n}\right)+2k\pi=\pi+2k\pi$
    Les points $O,A_n$ et $A_{n+4}$ sont donc alignés.
    $\quad$
  2. $|1+\ic|=\sqrt{2}$ donc $1+\ic=\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\ic\right)=\sqrt{2}\e^{\ic\pi/4}$
    De même $1-\ic=\sqrt{2}\e^{-\ic\pi/4}$
    Ainsi $z_n=\dfrac{\sqrt{2}\e^{\ic\pi/4}}{\left(\sqrt{2}\e^{-\ic\pi/4}\right)^n}=\sqrt{2}^{1-n}\e^{\ic(n+1)\pi/4}$
    $z_n$ est réel si, et seulement si, $n+1=4k$ avec $k\in \Z$
    si, et seulement si, $n=4k-1$ avec $k\in \Z$
    $\quad$

Ex 5 obl

Exercice 5 

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

  1. On peut saisir $=5/4*B3-B2/4$
    $\quad$
  2. On obtient le tableau suivant :
    $\begin{array}{|c|c|c|}
    \hline
    &\text{A}&\text{B}\\
    \hline
    1&n&u_n\\
    \hline
    2&0&3\\
    \hline
    3&1&6\\
    \hline
    4&2&\boldsymbol{6,75}\\
    \hline
    5&3&\boldsymbol{6,938}\\
    \hline
    6&4&\boldsymbol{6,984}\\
    \hline
    7&5&\boldsymbol{6,996}\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
  3. Il semblerait donc que la suite $\left(u_n\right)$ converge vers $7$.
    $\quad$

Partie B : Étude de la suite

  1. a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+2}-\dfrac{1}{4}u_{n+1}\\
    &=\dfrac{5}{4}u_{n+1}-\dfrac{1}{4}u_n-\dfrac{1}{4}u_{n+1}\\
    &=u_{n+1}-\dfrac{1}{4}u_n\\
    &=v_n
    \end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc constante et $v_0=u_1-\dfrac{u_0}{4}=\dfrac{21}{4}$.
    $\quad$
    b. Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\dfrac{21}{4}=u_{n+1}-\dfrac{1}{4}u_n \ssi u_{n+1}=\dfrac{1}{4}u_n+\dfrac{21}{4}$.
    $\quad$
  2. a. Initialisation : Si $n=0$. On a $u_0=3$ et $u_1=6$ donc $u_0<u_1<15$
    La propriété est vraie au rang $0$
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $u_n<u_{n+1}<15$
    Montrons qu’elle est encore vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $u_{n+1}<u_{n+2}<15$
    $\begin{align*} u_n<u_{n+1}<15 &\ssi \dfrac{1}{4}u_n<\dfrac{1}{4}u_{n+1}<\dfrac{15}{4} \\
    &\ssi \dfrac{1}{4}u_n+\dfrac{21}{4}<\dfrac{1}{4}u_{n+1}+\dfrac{21}{4}<\dfrac{15}{4}+\dfrac{21}{4} \\
    &\ssi u_{n+1}<u_{n+2}<9<15
    \end{align*}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n<u_{n+1}<15$.
    $\quad$
    b. La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et majorée par $15$; elle est donc convergente.
    $\quad$
  3. a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} w_n&=u_{n+1}-7 \\
    &=\dfrac{1}{4}u_n+\dfrac{21}{4}-7\\
    &=\dfrac{1}{4}u_n-\dfrac{7}{4} \\
    &=\dfrac{1}{4}\left(u_n-7\right) \\
    &=\dfrac{1}{4}w_n
    \end{align*}$
    La suite $\left(w_n\right)$ est donc géométrique de raison $\dfrac{1}{4}$ et de premier terme $w_0=3-7=-4$
    $\quad$
    b. Ainsi pour tout entier naturel $n$ on a $w_n=-4\times \left(\dfrac{1}{4}\right)^n=-\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}$
    Or $w_n=u_n-7$ donc $u_n=w_n+7=7-\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}$
    $\quad$
    c. $-1<\dfrac{1}{4}<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} \left(\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}=0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=7$.
    $\quad$

Ex 5 spé

Exercice 5

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

  1. a. On a $\begin{cases} b_1=0,3\times 1~000+0,5\times 1~500\\c_1=-0,5\times 1~000+1,3\times 1~500\end{cases}$ soit $\begin{cases} b_1=1~050\\c_1=1~450\end{cases}$
    Ainsi $U_1=\begin{pmatrix}1~050\\1~450\end{pmatrix}$
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{cases} b_{n+1}=0,3b_n+0,5c_n\\c_{n+1}=-0,5b_n+1,3c_n\end{cases} \ssi \begin{pmatrix}b_{n+1}\\c_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,3&0,5\\-0,5&1,3\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}b_n\\c_n\end{pmatrix}$ $\ssi U_{n+1}AU_n$.
    $\quad$
  2. a. $Q$ est la matrice inverse de $P$ donc
    $\begin{align*} PQ=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} &\ssi \begin{pmatrix}1&0\\1+a&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} \\
    &\ssi 1+a=0 \\
    &\ssi a=-1
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. Montrons par récurrence sur $n$ que $A^n=PT^nQ$.
    Initialisation : il est admis que $A=PTQ$. La propriété est donc vraie au rang $1$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $A^n=PT^nQ$
    Montrons qu’elle est vraie au rang suivant c’est-à-dire $A^{n+1}=PT^{n+1}Q$
    $\begin{align*} A^{n+1}&=A^nA\\
    &=PT^nQPTQ \\
    &=PT^nTQ\\
    &=PT^{n+1}Q
    \end{align*}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ non nul on a $A^n=PT^nQ$.
    $\quad$
    c. Initialisation : Si $n=1$ on a :
    $\begin{pmatrix}0,8&0,5\times 1\times 1\\0&0,8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,8&0,5\\0&0,8\end{pmatrix}=T$
    La propriété est donc vraie au rang $1$
    $\quad$
    Hérédité : On suppose que la propriété est vraie au rang $n$ : $T^n=\begin{pmatrix}0,8^n&0,5n\times 0,8^{n-1}\\0&0,8^n\end{pmatrix}$.
    Montrons qu’elle est vraie au rang suivant, c’est-à-dire que $T^{n+1}=\begin{pmatrix}0,8^{n+1}&0,5(n+1)\times 0,8^{n}\\0&0,8^{n+1}\end{pmatrix}$
    $\begin{align*} T^{n+1}&=T^nT \\
    &=\begin{pmatrix}0,8^n&0,5n\times 0,8^{n-1}\\0&0,8^n\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0,8&0,5\\0&0,8\end{pmatrix} \\
    &=\begin{pmatrix} 0,8^{n+1}+0&0,5\times 0,8^{n}+0,5n\times 0,8^n\\0&0,8^{n+1}\end{pmatrix} \\
    &=\begin{pmatrix}0,8^{n+1}&0,5\times 0,8^{n}(1+n)\\0&0,8^{n+1}\end{pmatrix}
    \end{align*}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ non nul on a :$T^n=\begin{pmatrix}0,8^n&0,5n\times 0,8^{n-1}\\0&0,8^n\end{pmatrix}$.
    $\quad$
  3. L’algorithme permet de dire qu’en 2040 le nombre de buses et celui de campagnols seront inférieurs ou égaux à $2$ (ce qui est très bas).
    $\quad$
  4. a. Pour tout entier naturel $n$ non nul on a :
    $b_n=1~000\times 0,8n+\dfrac{625}{2}n\times 0,8^n$ et $c_n=1~500\times 0,8^n+\dfrac{625}{2}n\times 0,8^n$
    On a $-1<0,8<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,8^n=0$
    On a admis que, pour tout entier naturel $n$ non nul on a :
    $n \pp 10 \times 1,1^n \ssi n \times 0,8^n \pp 10 \times 0,88^n$
    Or $-1<0,88<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,88^n=0$
    Ainsi $\lim\limits_{n \to +\infty}  b_n=0$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} c_n=0$
    $\quad$
    b. Les mesures effectuées permettent de dire que, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $b_n \pg 50$ et $c_n \pg 50$ ce qui contredit le fait que les limites respectives des suites sont nulles.
    Le modèle proposé ne paraît donc pas cohérent.
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1     4 points

Sofia souhaite se rendre au cinéma. Elle peut y aller à vélo ou en bus.

Partie A : En utilisant le bus

On suppose dans cette partie que Sofia utilise le bus pour se rendre au cinéma. La durée du trajet entre son domicile et le cinéma (exprimée en minutes) est modélisée par la variable aléatoire $T_B$ qui suit la loi uniforme sur $[12 ; 15]$.

  1. Démontrer que la probabilité que Sofia mette entre $12$ et $14$ minutes est de $\dfrac{2}{3}$.
    $\quad$
  2. Donner la durée moyenne du trajet.
    $\quad$

Partie B : En utilisant son vélo

On suppose à présent que Sofia choisit d’utiliser son vélo.
La durée du parcours (exprimée en minutes) est modélisée par la variable aléatoire $T_V$ qui suit la loi normale d’espérance $\mu = 14$ et d’écart-type $\sigma = 1,5$.

  1. Quelle est la probabilité que Sofia mette moins de $14$ minutes pour se rendre au cinéma?
    $\quad$
  2. Quelle est la probabilité que Sofia mette entre $12$ et $14$ minutes pour se rendre au cinéma ? On arrondira le résultat à $10^{−3}$.
    $\quad$

Partie C : En jouant aux dés

Sofia hésite entre le bus et le vélo. Elle décide de lancer un dé équilibré à $6$ faces.
Si elle obtient $1$ ou $2$, elle prend le bus, sinon elle prend son vélo. On note :

  • $B$ l’événement « Sofia prend le bus »;
  • $V$ l’événement « Sofia prend son vélo »;
  • $C$ l’événement « Sofia met entre 12 et 14 minutes pour se rendre au cinéma ».
  1. Démontrer que la probabilité, arrondie à $10^{−2}$, que Sofia mette entre $12$ et $14$ minutes est de $0,49$.
    $\quad$
  2. Sachant que Sofia a mis entre $12$ et $14$ minutes pour se rendre au cinéma, quelle est la probabilité, arrondie à $10^{−2}$, qu’elle ait emprunté le bus ?
    $\quad$

Exercice 2     5 points

On considère la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par $$f(x)=\dfrac{\left(\ln x\right)^2}{x}$$

On note $\mathscr{C}$ la courbe représentative d $f$ dans un repère orthonormé.

  1. a. Déterminer la limite en $0$ de la fonction $f$ et interpréter graphiquement le résultat.
    $\quad$
  2. a. Démontrer que, pour tout $x$ appartenant à $]0;+\infty[$, $$f(x)=4\left(\dfrac{\ln\left(\sqrt{x}\right)}{\sqrt{x}}\right)^2$$
    $\quad$
    b. En déduire que l’axe des abscisses est une asymptote à la courbe représentative de la fonction $f$ au voisinage de $+\infty$.
    $\quad$
  3. On admet que $f$ est dérivable sur $]0;+\infty$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.
    a. Démontrer que, pour tout $x$ appartenant à $]0;+\infty[$, $$f'(x)=\dfrac{\ln(x)\left(2-\ln(x)\right)}{x^2}$$
    $\quad$
    b. En déduire que l’axe des abscisses est une asymptote à la courbe représentative de la fonction $f$ au voisinage de $+\infty$.
    $\quad$
  4. On admet que $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.
    a. Démontrer que, pour tout $x$ appartenant à $]0;+\infty[$, $$f'(x)=\dfrac{\ln(x)\left(2-\ln(x)\right)}{x^2}$$
    $\quad$
    b. Étudier le signe de $f'(x)$ selon les valeurs du nombre réel $x$ strictement positif.
    $\quad$
    c. Calculer $f (1)$ et $f\left(\e^2\right)$.
    On obtient alors le tableau de variation ci-dessous.

    $\quad$
  5. Démontrer que l’équation $f(x)=1$ admet une unique solution $\alpha$ sur $]0;+\infty[$ et donner un encadrement de $\alpha$ d’amplitude $10^{-2}$.
    $\quad$

Exercice 3     3 points 

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes

Partie A

Soit la fonction $f$ définie sur l’ensemble des nombres réels par $$f(x)=2\e^x-\e^{2x}$$ et $\mathscr{C}$ sa représentation graphique dans un repère orthonormé.
On admet que, pour tout $x$ appartenant à $\left[0;\ln(2)\right]$, $f(x)$ est positif.
Indiquer si la proposition suivante est vraie ou fausse en justifiant votre réponse.

Proposition A:

L’aire du domaine délimité par les droites d’équations $x=0$ et $x=\ln(2)$, l’axe des abscisses et la courbe $\mathscr{C}$ est égale à $1$ unité d’aire.

$\quad$

Partie B

Soit $n$ un entier strictement positif.
Soit la fonction $f_n$ définie sur l’ensemble des nombres réels par $$f_n(x)=2n\e^x-\e^{2x}$$ et $\mathscr{C}_n$ sa représentation graphique dans un repère orthonormé.
On admet que $f_n$ est dérivable et que $\mathscr{C}_n$ admet une tangente horizontale en unique point $S_n$.
Indiquer si la proposition suivante est vraie ou fausse en justifiant votre réponse.

Proposition B :

Pour tout entier strictement positif $n$, l’ordonnée du point $S_n$ est $n^2$.

$\quad$

Exercice 4    3 points

Les questions 1. et 2. de cet exercice pourront être traitées de manières indépendante

On considère la suite des nombres complexes $\left(z_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $$z_n\dfrac{1+\ic}{(1-\ic)^{n}}$$

On se place dans le plan complexe d’origine $O$.

  1. Pour tout entier naturel $n$, on note $A_n$ le point d’affixe $z_n$.
    a. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $\dfrac{z_{n+4}}{z_n}$ est réel.
    $\quad$
    b. Démontrer alors que, pour tout entier naturel $n$, les points $O,A_n$ et $A_{n+4}$ sont alignés.
    $\quad$
  2. Pour quelles valeurs de $n$ le nombre $z_n$ est-il réel?
    $\quad$

Exercice 5     5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_0=3$, $u_1=6$  et, pour tout entier naturel $n$ : $$u_{n+2}=\dfrac{5}{4}u_{n+1}-\dfrac{1}{4}u_n$$

Le but de cet exercice est d’étudier la limite éventuelle de la suite $\left(u_n\right)$.

Partie A 

On souhaite calculer les valeurs des premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$ à l’aide d’un tableur.
On a reproduit ci-dessous une partie d’une feuille de calcul, où figurent les valeurs de $u_0$ et de $u_1$.

  1. Donner une formule qui, saisie dans la cellule $B4$, puis recopiée vers le bas, permet d’obtenir des valeurs de la suite $\left(u_n\right)$ dans la colonne $B$.
    $\quad$
  2. Recopier et compléter le tableau ci-dessus. On donnera des valeurs approchées à $10^{−3}$ près de $u_n$ pour $n$ allant de $2$ à $5$.
    $\quad$
  3. Que peut-on conjecturer à propos de la convergence de la suite $\left(u_n\right)$?
    $\quad$

Partie B : Étude de la suite

On considère les suite $\left(v_n\right)$ et $\left(w_n\right)$ définies pour tout entier naturel $n$ par $$v_n=u_{n+1}-\dfrac{1}{4}u_n \quad \text{et} \quad w_n=u_n-7$$

  1. a. Démontrer que $\left(v_n\right)$ est une suite constante.
    $\quad$
    b. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\dfrac{1}{4}u_n+\dfrac{21}{4}$.
    $\quad$
  2. a. En utilisant le résultat de la question 1.b., montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $u_n<u_{n+1}<15$.
    $\quad$
    b. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
    $\quad$
  3. a. Démontrer que $\left(w_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
    $\quad$
    b. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n=7-\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}$.
    $\quad$
    c. Calculer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$

Exercice 5     5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Dans un territoire donné, on s’intéresse à l’évolution couplée de deux espèces : les buses (les prédateurs) et les campagnols (les proies).
Des scientifiques modélisent, pour tout entier naturel $n$, cette évolution par :

$$\begin{cases} b_0&=1~000\\c_0&=1~500\\b_{n+1}&=0,3b_n+0,5c_n\\c_{n+1}&=-0,5b_n+1,3c_n\end{cases}$$

où $b_n$ représente approximativement le nombre de buses et $c_n$ le nombre approximatif de campagnols le 1$^{\text{er}}$ juin de l’année 2000+$n$ (où $n$ désigne un entier naturel).

  1. On note $A$ la matrice $\begin{pmatrix} 0,3&0,5\\-0,5&1,3\end{pmatrix}$ et, pour tout entier naturel $n$, $U_n$ la matrice colonne $\begin{pmatrix} b_n\\c_n\end{pmatrix}$.
    a. Vérifier que $U_1=\begin{pmatrix}1~050\\1~450\end{pmatrix}$ et calculer $U_2$.
    $\quad$
    b. Vérifier que, pour tout entier naturel $n$, $U_{n+1}=AU_n$.
    On donne les matrices $P=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}$, $T=\begin{pmatrix}0,8&0,5\\0&0,8\end{pmatrix}$ et $I=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$.
    $\quad$
  2. On admet que $P$ a pour inverse une matrice $Q$ de la forme $\begin{pmatrix}1&0\\a&1\end{pmatrix}$ où $a$ est un réel.
    a. Déterminer la valeur de $a$ en justifiant.
    $\quad$
    b. On admet que $A=PTQ$ démontrer que, pour tout entier $n$ non nul, on a $A^n=PT^nQ$.
    $\quad$
    c. Démontrer à l’aide d’un raisonnement par récurrence que, pour tout entier $n$ non nul, $$T^n=\begin{pmatrix}0,8^n&0,5n\times 0,8^{n-1}\\0&0,8^n\end{pmatrix}$$
    $\quad$
  3. Lucie exécute l’algorithme ci-dessous et obtient en sortie $N=40$
    Quelle conclusion Lucie peut-elle énoncer pour les buses et les campagnols?
    Initialisation :
    $\quad$ $N$ prend la valeur $0$
    $\quad$ $B$ prend la valeur $1~000$
    $\quad$ $C$ prend la valeur $1~500$
    Traitement :
    $\quad$ Tant que $B>2$ ou $C>2$
    $\qquad$ $N$ prend la valeur $N+1$
    $\qquad$ $R$ prend la valeur $B$
    $\qquad$ $B$ prend la valeur $0,3R+0,5C$
    $\qquad$ $C$ prend la valeur $-0,5R+1,3C$
    $\quad$ Fin Tant que
    Sortie :
    $\quad$ Afficher $N$
    $\quad$
  4. On admet que, pour tout entier naturel $n$ non nul on a $$U_n=\begin{pmatrix} 1~000\times 0,8^n+\dfrac{625}{2}n\times 0,8^n\\1~500 \times 0,8^n+\dfrac{625}{2}n\times 0,8^n\end{pmatrix}$$
    et
    $$n\pp 10\times 1,1^n$$
    a. En déduire les limites des suites $\left(b_n\right)$ et $\left(c_n\right)$.
    $\quad$
    b. Des mesures effectuées dans des territoires comparables montrent que la population de campagnols reste toujours supérieur à au moins $50$ individus.
    À la lumière de ces informations, le modèle proposé dans l’exercice vous paraît-il cohérent?
    $\quad$

 

 

Bac S – Amérique du Sud – Novembre 2017

Amérique du Sud – Septembre 2017

Bac S – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A : modélisation par une fonction

  1. a. $\varphi(1)=1^2-1+3\ln(1)=0$
    $\lim\limits_{x \to 0^+}x^2-1=-1$ et $\lim\limits_{x \to 0^+} \ln(x)=-\infty$
    Donc $\lim\limits_{x \to 0^+}=-\infty$
    $\quad$
    b. La fonction $\varphi$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $\varphi'(x)=2x+\dfrac{3}{x} >0$ sur $]0;+\infty[$.
    La fonction $\varphi$ est donc strictement croissante sur $]0;+\infty[$.
    $\quad$
    Puisque $\varphi(1)=0$ cela signifie donc que :
    – $\varphi(x)<0$ sur l’intervalle $]0;1[$
    – $\varphi(1)=0$
    – $\varphi(x)>0$ sur l’intervalle $]1;+\infty[$
    $\quad$
  2. a. $f(x)=\dfrac{x^2-2x-2-3\ln(x)}{x}$
    $\lim\limits_{x \to 0^+}x^2-2x-2=-2$ et $\lim\limits_{x \to 0^+} -3\ln(x)=+\infty$
    Donc $\lim\limits_{x \to 0^+} x^2-2x-2-3\ln(x)=+\infty$
    $\lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x}=+\infty$
    Par conséquent $\lim\limits_{x \to 0^+} f(x)=+\infty$
    $\quad$
    $f(x)=x-2-\dfrac{2}{x}-3\dfrac{\ln(x)}{x}$
    $\lim\limits_{x \to +\infty}x-2=+\infty$, $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{2}{x}=0$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x}=0$
    Donc $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=+\infty$
    $\quad$
    b. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $]0;+\infty[$ en tant que somme et quotient de fonctions dérivables sur cet intervalle dont le dénominateur ne s’annule pas.
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{\left(2x-2-\dfrac{3}{x}\right)x-\left(x^2-2x-2-3\ln(x)\right)}{x^2} \\
    &=\dfrac{2x^2-2x-3-x^2+2x+2+3\ln(x)}{x^2}\\
    &=\dfrac{x^2-1+3\ln(x)}{x^2}\\
    &=\dfrac{\varphi(x)}{x^2}
    \end{align*}$
    $\quad$

    $\quad$
    c. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur l’intervalle $]0;1]$.
    $\lim\limits_{x \to 0^+} f(x)=+\infty$ et $f(1)=-3$
    Donc $0\in[-3;+\infty[$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=0$ possède une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $]0;1]$.
    À l’aide de la calculatrice on trouve $\alpha\approx 0,41$
    $\quad$
    d. $F$ est dérivable sur l’intervalle $]0;+\infty[$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $\begin{align*} F'(x)&=\dfrac{1}{2}\times 2x-2-\dfrac{2}{x}-\dfrac{3}{2}\times 2\times \dfrac{1}{x}\times \ln(x) \\
    &=x-2-\dfrac{2}{x}-\dfrac{3\ln(x)}{x} \\
    &=\dfrac{x^2-2x-2-3\ln(x)}{x}\\
    &=f(x)
    \end{align*}$
    La fonction $F$ est donc une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $]0;1[$.
    $\quad$

Partie B

La fonction $-f$ est positive sur l’intervalle $[\alpha;\beta]$.
Calculons l’aire $I$ du domaine compris entre la courbe $C’$, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=\alpha$ et $x=\beta$.
$\begin{align*} I&=\ds \int_{\alpha}^{\beta} -f(x)\dx \\
&=-\left(F(\beta)-F(\alpha)\right) \\
&\approx 5,598
\end{align*}$

L’aire $\mathscr{A}$ de la face supérieure est donc $2I\approx 11,196$ u.a.
Or $1$u.a. = 2 cm$^2$
Donc $\mathscr{A}\approx 22,392$ cm$^2$.

Le volume du palet est $V=\mathscr{A} \times 0,5\approx 11,196$ cm$^2$.

Par conséquent $80$ palets ont un volume de $80V\approx 895,68$ cm$^3$ (qui est bien inférieur à $1$ litre $=1~000$ cm$^3$) .

La contrainte de rentabilité est donc respectée.

$\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. a. $\vect{AC}+\vect{AE}=\vect{AC}+\vect{CG}=\vect{AG}$ d’après la relation de Chasles.
    $\quad$
    b.
    $\begin{align*} \vect{AG}.\vect{BD}&=\left(\vect{AC}+\vect{AE}\right).\vect{BD} \\
    &=\vect{AC}.\vect{BD}+\vect{AE}.\vect{BD} \\
    &=0+0\\
    &=0
    \end{align*}$
    $\vect{AC}.\vect{BD}=0$ car $[AC]$ et $[BD]$ sont les diagonales du carré $BCD$ (donc perpendiculaires entre-elles).
    $\vect{AE}.\vect{BD}=0$ car $\vect{AE}$ est orthogonale au plan $BCD$
    $\quad$
    c. Le vecteur $\vect{AG}$ est othogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(BDE)$. Il est donc orthogonal à ce plan.
    Par conséquent la droite $(AG)$ est orthogonale au plan $(BDE)$.
    $\quad$
  2. a. Dans le repère $\left(A;\vect{AB},\vect{AD},\vect{AE}\right)$ on a $A(0;0;0)$ et $G(1;1;1)$.
    Par conséquent $\vect{AG}(1;1;1)$.
    Une équation cartésienne du plan $(BDE)$ est donc de la forme $x+y+z+d=0$.
    Le point $B(1;0;0)$ appartient à ce plan donc $1+0+0+d=0 \ssi d=-1$.
    Une équation cartésienne du plan $(BDE)$ est donc $x+y+z+z-1=0$.
    $\quad$
    b. Une représentation paramétrique de la droite $(AG)$ est $\begin{cases} x=k\\y=k\\z=k\end{cases}$ $\quad k\in \R$.
    Le point $K$ appartient à la fois à la droite $(AG)$ et au plan $(BDE)$.
    Ses coordonnées sont donc solution du système :
    $\begin{align*} \begin{cases} x=k\\y=k\\z=k\\x+y+z-1=0\end{cases} & \ssi \begin{cases} x=k\\y=k\\z=k\\3k-1=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=k\\y=k\\z=k\\k=\dfrac{1}{3}\end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases} x=\dfrac{1}{3}\\y=\dfrac{1}{3}\\z=\dfrac{1}{3}\\k=\dfrac{1}{3}\end{cases}
    \end{align*}$.
    Donc $K\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3}\right)$.
    $\quad$
    c. On a $KG=\sqrt{\left(1-\dfrac{1}{3}\right)^2+\left(1-\dfrac{1}{3}\right)^2+\left(1-\dfrac{1}{3}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{12}{9}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$.
    Le volume de la pyramide $BDEG$ est :
    $\begin{align*} V&=\dfrac{\text{aire}_{BDE}\times KG}{3}\\
    &=\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}\times \dfrac{2\sqrt{3}}{3}}{3} \\
    &=\dfrac{1}{3}
    \end{align*}$
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A

On va utiliser le centre de chacune des classes et utiliser le tableau suivant pour calculer, à l’aide de la calculatrice, les valeurs demandées.

$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Centre}&110&125&135&145&155&170\\
\hline
\text{Effectif}&1~597&1~284&2~255&1~808&1~345&1~711\\
\hline
\end{array}$

Une estimation de la moyenne est $\conj{x}=140,21$ et une estimation de l’écart-type est $\sigma\approx 19,16$.

$\quad$

Partie B

  1. a. Le nombre de bactéries présentes dépend de plusieurs facteurs : températures, hygiène, soucis sur la chaîne de production, … Une loi normale est donc bien appropriée pour modéliser la situation étudiée.
    À la partie A, nous avons obtenu des estimations de moyenne et d’écart-type très proche des valeurs proposées.
    Le choix de modélisation proposé est donc pertinent.
    $\quad$
    b. $p=P(X\pg 160)=0,5-P(140\pp X \pp 160) \approx 0,146$
    $\quad$
  2. a. On a $n=50 \pg 30$ et $p=0,146$ donc $np=7,3\pg 5$ et $n(1-p)=42,7\pg 5$
    Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ est
    $\begin{align*} I_{50}&=\left[0,146-1,96\sqrt{\dfrac{0,146\times 0,854}{50}};0,146+1,96\sqrt{\dfrac{0,146\times 0,854}{50}}\right] \\
    &\approx [0,048;0,244]
    \end{align*}$
    La fréquence observée est $f=\dfrac{13}{50}=0,26\notin I_{50}$
    On peut donc affirmer au risque de $5\%$ qu’il y a une anomalie dans la production.
    $\quad$
    b. Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $99\%$ est
    $\begin{align*} J_{50}&=\left[0,146-2,58\sqrt{\dfrac{0,146\times 0,854}{50}};0,146+2,58\sqrt{\dfrac{0,146\times 0,854}{50}}\right] \\
    &\approx [0,017;0,275]
    \end{align*}$
    La fréquence observée $f$ appartient alors à l’intervalle $J_{50}$.
    Au risque de $1\%$, on ne peut donc pas affirmer qu’il y a une anomalie dans la production.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. $\dfrac{z_B-z_O}{z_A-z_O}=\dfrac{2\e^{\ic \pi/4}}{2\e^{3\ic \pi/4}}=\e^{\ic \pi/2}$.
    Par conséquent $\left(\vect{OA};\vect{OB}\right)=$arg$\left(\dfrac{z_B-z_O}{z_A-z_O}\right)=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi$ avec $k\in \Z$.
    De plus $\left|\dfrac{z_B-z_O}{z_A-z_O}\right|=1$.
    Le triangle $OAB$ est donc rectangle isocèle en $O$.
    $\quad$
  2. Le centre $I$ du cercle circonscrit au triangle $OAB$ est le milieu de l’hypoténuse $[AB]$.
    Par conséquent
    $\begin{align*}z_I&=\dfrac{z_A+z_B}{2}\\
    &=\dfrac{2\left(\cos \dfrac{\pi}{4}+\ic \sin \dfrac{\pi}{4}\right)+2\left(\cos \dfrac{3\pi}{4}+\ic \sin \dfrac{3\pi}{4}\right)}{2}\\
    &=\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\ic \dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\ic \dfrac{\sqrt{2}}{2}\\
    &=\ic\sqrt{2}
    \end{align*}$
    $OA=\left|z_A\right|=2$.
    On applique le théorème de Pythagore dans le triangle $OAB$ : $AB^2=OA^2+OB^2=8$.
    Donc $AB=2\sqrt{2}$.
    Le rayon du cercle circonscrit au cercle $OAB$ est donc $R=\dfrac{AB}{2}=\sqrt{2}$.
    On considère l’équation $(E)~~ :~~ z^2-\sqrt{6}z+2=0$
    $\Delta=6-8=-2<0$
    Il y a donc deux solutions complexes :
    $z_1=\dfrac{\sqrt{6}-\ic\sqrt{2}}{2}$ et $z_2=\conj{z_1}=\dfrac{\sqrt{6}+\ic\sqrt{2}}{2}$
    $\begin{align*} \left|z_2-z_I\right|&=\left|\dfrac{\sqrt{6}+\ic\sqrt{2}}{2}-\ic\sqrt{2}\right| \\
    &=\left|\dfrac{\sqrt{6}-\ic\sqrt{2}}{2}\right|\\
    &=\sqrt{\dfrac{6+2}{4}}\\
    &=\sqrt{2}\\
    &=R
    \end{align*}$
    Ainsi le point d’affixe $z_2$ appartient au cercle circonscrit au triangle $OAB$.
    $\quad$

Ex 5 obl

Exercice 5

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Partie A : un premier modèle

  1. Chaque année la population est multipliée par $1,05$.
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,05$ et de premier terme $v_0=12$.
    Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $v_n=12\times 1,05^n$.
    $\quad$
  2. $1,05>1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 1,05^n=+\infty$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} v_n=+\infty$
    Ce modèle ne répond donc pas aux contraintes du milieu naturel.
    $\quad$

Partie B : un second modèle

  1. a. La fonction $g$ est dérivable sur l’intervalle $[0;60]$ en tant que fonction polynôme.
    $g'(x)=-\dfrac{-2,2}{605}x+1,1$
    Donc
    $\begin{align*} g'(x)>0 &\ssi -\dfrac{-2,2}{605}x+1,1>0 \\
    &\ssi -\dfrac{2,2}{605}x > -1,1 \\
    &\ssi x<302,5
    \end{align*}$
    La fonction $g$ est donc croissante sur l’intervalle $[0;60]$.
    b.
    $\begin{align*} g(x)=x &\ssi -\dfrac{1,1}{605}x^2+1,1x=x \\
    &\ssi -\dfrac{1,1}{605}x^2+0,1x=0 \\
    &\ssi x\left(-\dfrac{1,1}{605}x+0,1\right)=0 \\
    &\ssi x=0 \text{ ou } -\dfrac{1,1}{605}x+0,1=0\\
    &\ssi x=0 \text{ ou} x= 55
    \end{align*}$
    L’équation $g(x)=x$ possède donc solution dans $\R$ qui sont $0$ et $55$.
    $\quad$
  2. a. $u_1=g(12)\approx 12,938$.
    Cela signifie donc qu’en 2017 la population de l’espèce sera environ de $12~938$ individus.
    $\quad$
    b. Initialisation : Si $n=0$ alors $u_0=12$ donc $0 \pp u_0 \pp 55$.
    La propriété est vraie au rang $0$
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $0 \pp u_n \pp 55$.
    Montrons qu’elle est encore vraie au rang suivant, c’est-à-dire que $0 \pp u_{n+1} \pp 55$.
    La fonction $g$ est croissante sur l’intervalle $[0;60]$
    Puisque $u_{n+1}=g\left(u_n\right)$
    Cela signifie que $g(0) \pp u_{n+1} \pp g(55) \ssi 0 \pp u_{n+1} \pp 55$.
    La propriété est vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $0 \pp u_n \pp 55$
    $\quad$
    c. Montrons par récurrence que pour tout entier naturel $n$ on a $u_n \pp u_{n+1}$
    Initialisation : $u_0=12$ et $u_1\approx 12,938$
    Donc $u_0\pp u_1$
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $u_n \pp u_{n+1}$
    Montrons qu’elle est encore vraie au rang suivant, c’est-à-dire que $u_{n+1} \pp u_{n+2}$
    On sait que $u_n \pp u_{n+1}$ et que $0\pp u_n\pp 55$.
    Puisque la fonction $g$ est croissante sur l’intervalle $[0;60]$ on obtient donc :
    $g\left(u_n\right) \pp g\left(u_{n+1}\right) \ssi u_{n+1} \pp u_{n+2}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n\pp u_{n+1}$ et la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
    $\quad$
    d. La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et majorée par $55$: elle est donc convergente.
    $\quad$
    e. D’après la question B.1.b. les solutions de l’équation $g(\ell)=\ell$ sont $0$ et $55$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et $u_0=12$ donc $\ell=55$.
    Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty}u_n=55$.
    Cela signifie que la population étudiée, au bout d’un grand nombre d’années, sera de $55~000$ individus.
    Les contraintes du milieu naturel sont donc respectées.
    $\quad$
  3. Variables :
    $\quad$ $n$ un entier naturel
    $\quad$ $u$ un nombre réel
    Traitement :
    $\quad$ $n$ prend la valeur $0$
    $\quad$ $u$ prend la valeur $12$
    $\quad$ Tant Que $u< 50$
    $\qquad$ $u$ prend la valeur $-\dfrac{1,1}{605}u^2+1,1u$
    $\qquad$ $n$ prend la valeur $n+1$
    $\quad$ Fin Tant Que
    Sortie :
    $\quad$ Afficher $n$
    $\quad$

Ex 5 spé

Exercice 5

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

  1. Un joueur solitaire garde ce statut le jour suivant avec une probabilité de $\dfrac{1}{7}$;il rejoint l’équipe B avec une probabilité $3$ fois plus élevée que celle de rejoindre l’équipe A.
    Cela signifie donc que :
    $\begin{align*} \dfrac{1}{7}+3p+p=1 &\ssi 4p=\dfrac{6}{7} \\
    &\ssi p=\dfrac{3}{14}
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. a.
    $\quad$
    b. Montrons par récurrence cette propriété.
    Initialisation : Si $n=0$ on a $U_0=U_0=U_0T^0$.
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $U_n=U_0T^n$
    Montrons que la propriété est vraie au rang suivant, c’est-à-dire que $U_{n+1}=U_0T^{n+1}$
    $\begin{align*} U_{n+1}&=U_nT\\
    &=U_0TT^n\\
    &=U_0T^{n+1}
    \end{align*}$
    La propriété est vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a : $U_n=U_0T^n$.
    $\quad$
    c. On a $U_7=U_0T^7\approx\begin{pmatrix} 0,338&0,457&0,205\end{pmatrix}$
    Au bout d’une semaine on a : $a_1 \approx 0,338$, $b_1\approx 0,457$ et $s_1\approx 0,205$.
    $\quad$
  3. a. On a $VT=\begin{pmatrix}300&405&182\end{pmatrix}=V$
    $\quad$
    b. L’état $V$ est donc stable d’un jour sur l’autre.
    $\quad$
  4. a. L’algorithme affiche donc $a_7 \approx 0,338$.
    Au bout de $7$ jours, environ $33,8\%$ des joueurs sont dans l’équipe A.
    $\quad$
    b. On peut utilise l’algorithme suivant :
    Variables :
    $\quad$ $k$ un entier naturel
    $\quad$ $U$ une matrice de taille $1\times 3$
    $\quad$ $T$ une matrice carrée d’ordre $3$
    Traitement :
    $\quad$ $U$ prend la valeur $\begin{pmatrix}0&0&1\end{pmatrix}$
    $\quad$ $T$ prend la valeur $\begin{pmatrix} \dfrac{3}{5}&\dfrac{3}{20}&\dfrac{1}{4}\\
    \dfrac{1}{5}&\dfrac{3}{5}&\dfrac{1}{5}\\
    \dfrac{3}{14}&\dfrac{9}{14}&\dfrac{1}{7}\end{pmatrix}$
    $\quad$ Pour $k$ allant de $1$ à $13$
    $\qquad$ $U$ prend la valeur $UT$
    $\quad$ Fin Pour
    Sortie :
    $\quad$ Afficher $U[3]$.
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1     5 points

La chocolaterie Delmas décide de commercialiser de nouvelles confiseries : des palets au chocolat en forme de goutte d’eau.
Pour cela, elle doit fabriquer des moules sur mesure qui doivent répondre à la contrainte suivante : pour que cette gamme de bonbons soit rentable, la chocolaterie doit pouvoir en fabriquer au moins $80$ avec $1$ litre de pâte liquide au chocolat.

Partie A : modélisation par une fonction
Le demi contour de la face supérieure du palet sera modélisé par une portion de la courbe de la fonction $f$ définie sur $]0 ; +\infty[$ par : $$f(x)=\dfrac{x^2-2x-2-3\ln x}{x}$$

La représentation graphique de la fonction $f$ est donnée ci-dessous.

Le repère est orthogonal d’unité $2$ cm en abscisses et $1$ cm en ordonnées

  1. Soir $\varphi$ la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par : $$\varphi(x)=x^2-1+3\ln x$$
    a. Calculer $\varphi(1)$ et la limite de $\varphi$ en $0$.
    $\quad$
    b. Étudier les variations de $\varphi$ sur $]0;+\infty[$.
    En déduire le signe de $\varphi(x)$ selon les valeurs de $x$.
    $\quad$
  2. a. Calculer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition.
    $\quad$
    b. Montrer que sur $]0;+\infty[$ : $f'(x)=\dfrac{\varphi(x)}{x^2}$.
    En déduire le tableau de variation de $f$.
    $\quad$
    c. Prouver que l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $]0;1[$.
    Déterminer à la calculatrice une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.
    On admettra que l’équation $f(x)=0$ a également une unique soution $\beta$ sur $[1;+\infty[$ avec $\beta\approx 3,61$ à $10^{-2}$ près.
    $\quad$
    d. soit $F$ la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par : $$F(x)=\dfrac{1}{2}x^2-2x-2\ln x-\dfrac{3}{2}(\ln x)^2$$
    Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $]0;+\infty[$.
    $\quad$

Partie B : résolution du problème
Dans cette partie, les calculs seront effectués avec les valeurs approchées à $10^−2$ près de $\alpha$ et $\beta$ de la partie A.
Pour obtenir la forme de la goutte, on considère la courbe représentative $C$ de la fonction $f$ restreinte à l’intervalle $[\alpha ; \beta]$ ainsi que son symétrique $C’$ par rapport à l’axe des abscisses.
Les deux courbes $C$ et $C’$ délimitent la face supérieure du palet. Pour des raisons esthétiques, le chocolatier aimerait que ses palets aient une épaisseur de $0,5$ cm.
Dans ces conditions, la contrainte de rentabilité serait-elle respectée ?

$\quad$

Exercice 2     4 points

On considère un cube $ABCDEFGH$.

  1. a. Simplifier le vecteur $\vect{AC}+\vect{AE}$.
    $\quad$
    b. En déduire que $\vect{AG}.\vect{BD}=0$.
    $\quad$
    c. On admet que $\vect{AG}.\vect{BE}=0$.
    Démontrer que la droite $(AG)$ est orthogonale au plan $(BDE)$.
    $\quad$
  2. L’espace est muni du repère orthonormé $\left(A;\vect{AB},\vect{AD},\vect{AE}\right)$.
    a. Démontrer qu’une équation cartésienne du plan $(BDE)$ est $x+y+z-1=0$.
    $\quad$
    b. Déterminer les coordonnées du point d’intersection $K$ de la droite $(AG)$ et du plan $(BDE)$.
    $\quad$
    c. On admet que l’aire, en unité d’aire, du triangle $BDE$ est égale à $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
    Calculer le volume de la pyramide $BDEG$.
    $\quad$

Exercice 3     3 points

Partie A :
Un organisme de contrôle sanitaire s’intéresse au nombre de bactéries d’un certain type contenues dans la crème fraîche. Pour cela, il effectue des analyses portant sur $10~000$ prélèvements de $1$ ml de crème fraîche dans l’ensemble de la production française.
Les résultats sont donnés dans le tableau et représentés dans l’histogramme ci-dessous :

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\begin{array}{l}\text{Nombre de bacté-}\\\text{ries (en milliers)}\end{array}&[100;120[&[120;130[&[130;140[&[140;150[&[150;160[&[160;180[\\
\hline
\begin{array}{l} \text{Nombre de prélè-}\\\text{vements}\end{array}&1~597&1~284&2~255&1~808&1~345&1~711 \\
\hline
\end{array}$

À l’aide de la calculatrice, donner une estimation de la moyenne et de l’écart-typedu nombre de bactéries par prélèvement.
$\quad$

Partie B :
L’organisme décide alors de modéliser le nombre de bactéries étudiées (en milliers par ml) présentes dans la crème fraîche par une variable aléatoire $X$ suivant la loi normale de paramètres $\mu = 140$ et $\sigma = 19$.

  1. a. Ce choix de modélisation est-il pertinent ? Argumenter.
    $\quad$
    b. On note $p = P(X > 160)$. Déterminer la valeur arrondie de $p$ à $10^−3$.
    $\quad$
  2. Lors de l’inspection d’une laiterie, l’organisme de contrôle sanitaire analyse un échantillon de $50$ prélèvements de $1$ ml de crème fraîche dans la production de cette laiterie; $13$ prélèvements contiennent plus de $160$ milliers de bactéries.
    a. L’organisme déclare qu’il y a une anomalie dans la production et qu’il peut l’affirmer en ayant une probabilité de $0,05$ de se tromper. Justifier sa déclaration.
    $\quad$
    b. Aurait-il pu l’affirmer avec une probabilité de $0,01$ de se tromper ?
    $\quad$

Exercice 4     3 points

Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct $\Ouv$, on considère les points $A$ et $B$ d’affixes respectives $z_A=2\e^{\ic \pi/4}$ et $z_b=2\e^{\ic 3\pi/4}$.

  1. Montrer que $OAB$ est un triangle rectangle isocèle.
    $\quad$
  2. On considère l’équation $$(E) : z^2-\sqrt{6}z+2=0$$
    Montrer qu’une des solutions de $(E)$ est l’affixe d’un point situé sur le cercle circonscrit au triangle $OAB$.
    $\quad$

Exercice 5     5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Un biologiste souhaite étudier l’évolution de la population d’une espèce animale dans une réserve.
Cette population est estimée à $12~000$ individus en 2016. Les contraintes du milieu naturel font que la population ne peut pas dépasser les $60~000$ individus.

Partie A : un premier modèle

Dans une première approche, le biologiste estime que la population croît de $5\%$ par an.
L’évolution annuelle de la population est ainsi modélisée par une suite $\left(v_n\right)$ où $v_n$ représente le nombre d’individus, exprimé en milliers, en 2016$+n$. On a donc $v_0 = 12$.

  1. Déterminer la nature de la suite $\left(v_n\right)$ et donner l’expression de $v_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  2. Ce modèle répond-il aux contraintes du milieu naturel ?
    $\quad$

Partie B : un second modèle

Le biologiste modélise ensuite l’évolution annuelle de la population par une suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 12$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=-\dfrac{1,1}{605}{u_n}^2+1,1u_n$.

  1. On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par $$g(x)=-\dfrac{1,1}{605}x^2+1,1x$$.
    a. Justifier que $g$ est croissante sur $[0;60]$.
    $\quad$
    b. Résoudre dans $\R$ l’équation $g(x)=x$.
    $\quad$
  2. On remarquera que $u_{n+1}=g\left(u_n\right)$.
    a. Calculer la valeur arrondie à $10^{-3}$ de $u_1$. Interpréter.
    $\quad$
    b. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $0\pp u_n\pp 55$.
    $\quad$
    c. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
    $\quad$
    d. En déduire la convergence de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
    e. On admet que la limite $\ell$ de la suite $\left(u_n\right)$ vérifie $g(\ell)=\ell$. En déduire sa valeur et interpréter dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  3. Le biologiste souhaite déterminer le nombre d’années au bout duquel la population dépassera les $50~000$ individus avec ce second modèle.
    Il utilise l’algorithme suivant.
  4. Variables :
    $\quad$ $n$ un entier naturel
    $\quad$ $u$ un nombre réel
    Traitement :
    $\quad$ $n$ prend la valeur $0$
    $\quad$ $u$ prend la valeur $12$
    $\quad$ Tant Que $\ldots\ldots\ldots$
    $\qquad$ $u$ prend la valeur $\ldots\ldots\ldots$
    $\qquad$ $n$ prend la valeur $\ldots\ldots\ldots$
    $\quad$ Fin Tant Que
    Sortie :
    $\quad$ Afficher $\ldots\ldots\ldots$
    $\quad$
    Recopier et compléter cet algorithme afin qu’il affiche en sortie le plus petit entier $r$ tel que $u_r \pg 50$.
    $\quad$

Exercice 5     5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Dans un jeu vidéo en ligne, les joueurs peuvent décider de rejoindre l’équipe A (statut noté $A$) ou l’équipe B (statut noté $B$) ou bien de n’en rejoindre aucune et rester ainsi solitaire (statut noté $S$). Chaque jour, chaque joueur peut changer de statut mais ne peut pas se retirer du jeu.
Les données recueillies sur les premières semaines après le lancement du jeu ont permis de dégager les tendances suivantes :

  • un joueur de l’équipe A y reste le jour suivant avec une probabilité de $0,6$; il devient joueur solitaire avec une probabilité de $0,25$. Sinon, il rejoint l’équipe B;
  • un joueur de l’équipe B y reste le jour suivant avec une probabilité de $0,6$; sinon, il devient joueur solitaire avec une probabilité identique à celle de rejoindre l’équipe A;
  • un joueur solitaire garde ce statut le jour suivant avec une probabilité de $\dfrac{1}{7}$; il rejoint l’équipe B avec une probabilité $3$ fois plus élevée que celle de rejoindre l’équipe A.

Au début du jeu, à la clôture des inscriptions, tous les joueurs sont solitaires.
On note $U_n = \begin{pmatrix} a_n &b_n &s_n \end{pmatrix}$ l’état probabiliste des statuts d’un joueur au bout de $n$ jours. Ainsi $a_n$ est la probabilité d’être dans l’équipe A, $b_n$ celle d’être dans l’équipe
B et $s_n$ celle d’être un joueur solitaire, après $n$ jours de jeu.
On a donc : $a_0 = 0$, $b_0 = 0$ et $s_0 = 1$.

  1. On note $p$ la probabilité qu’un joueur solitaire un jour donné passe dans l’équipe A le jour suivant. Justifier que $p=\dfrac{3}{14}$.
    $\quad$
  2. a. Recopier et compléter le graphe probabiliste ci-contre représentant la situation$\quad$
    b. On admet que la matrice de transition est $T=\begin{pmatrix} \dfrac{3}{5}&\dfrac{3}{20}&\dfrac{1}{4}\\\dfrac{1}{5}&\dfrac{3}{5}&\dfrac{1}{5}\\\dfrac{3}{14}&\dfrac{9}{14}&\dfrac{1}{7} \end{pmatrix}$.
    Pour tout entier naturel $n$, on a donc $U_{n+1}=U_nT$.
    Montrer alors que, pour tout entier naturel $n$, on a $U_n=U_0T^n$.
    $\quad$
    c. Déterminer l’état probabiliste au bout d’une semaine, en arrondissant au millième.
    $\quad$
  3. On pose $V=\begin{pmatrix}300&405&182\end{pmatrix}$.
    a. Donner, sans détailler les calculs, le produit matriciel $VT$. Que constate-t-on?
    $\quad$
    b. En déduire un état probabiliste qui reste stable d’un jour sur l’autre.
    $\quad$
  4. On donne l’algorithme suivant, où la commande “$U[i]$” renvoie le coefficient de la $i$-ième colonne d’une matrice ligne $U$.
  5. Variables :
    $\quad$ $k$ un entier naturel
    $\quad$ $U$ une matrice de taille $1\times 3$
    $\quad$ $T$ une matrice carrée d’ordre $3$
    Traitement :
    $\quad$ $U$ prend la valeur $\begin{pmatrix}0&0&1\end{pmatrix}$
    $\quad$ $T$ prend la valeur $\begin{pmatrix} \dfrac{3}{5}&\dfrac{3}{20}&\dfrac{1}{4}\\
    \dfrac{1}{5}&\dfrac{3}{5}&\dfrac{1}{5}\\
    \dfrac{3}{14}&\dfrac{9}{14}&\dfrac{1}{7}\end{pmatrix}$
    $\quad$ Pour $k$ allant de $1$ à $7$
    $\qquad$ $U$ prend la valeur $UT$
    $\quad$ Fin Pour
    Sortie :
    $\quad$ Afficher $U[1]$.
    $\quad$
    a. Quelle est la valeur numérique arrondie au millième de la sortie de cet algorithme? L’interpréter dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
    b. Recopier et modifier cet algorithme pour qu’il affiche la fréquence de joueurs solitaires au bout de $13$ jours.
    $\quad$

Bac S – Polynésie – septembre 2017

Polynésie – Septembre 2017

Bac S – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. a. On veut calculer :
    $P(T\pg 140) = 0,5+P(140 \pp T \pp 165) \approx 0,894~4$.
    La probabilité qu’un visiteur ait la taille requise pour accéder à ce grand huit est environ $0,894~4$.
    $\quad$
    b. On veut calculer :
    $P(10 \pp X \pp 70) \approx 0,871~0$
    La probabilité qu’un visiteur ait l’âge requis pour accéder à ce grand huit est environ $0,871~0$.
    $\quad$
    c. On appelle $A$ l’événement “le visiteur à l’âge requis” et $B$ l’événement “le visiteur à la taille requise”.
    On sait donc que $p(A\cup B) = 1-0,08=0,92$
    De plus $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
    $\ssi 0,92=0,89+0,87-P(A\cap B)$
    $\ssi P(A\cap B)=0,84$
    $84\%$ des visiteurs vérifient donc les 2 conditions.
    $\quad$
  2. a. On peut représenter la situation à l’aide de l’arbre pondéré suivant :

    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(S)&=P(S\cap A)+P\left(S\cap \conj{A}\right) \\
    &=0,75 \times 0,78+0,25\times 0,95 \\
    &=0,822~5
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. On veut calculer la probabilité :
    $\begin{align*} P_{\conj{S}}\left(\conj{A}\right) &=\dfrac{P\left(\conj{S}\cap\conj{A}\right)}{P\left(\conj{S}\right)} \\
    &=\dfrac{0,25\times 0,05}{1-0,822~5} \\
    &\approx 0,070~4
    \end{align*}$
    La probabilité que ce visiteur ait attendu moins de $30$ minutes est environ $0,070~4$.
    $\quad$
  3. On a $n=200 \pg 30$ et $p=0,822~5$ donc $np=164,5 \pg 5$ et $n(1-p)=35,5 \pg 5$
    Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de la proportion de visiteurs satisfaits est donc :
    $\begin{align*} I_{200}&=\left[0,822~5-1,96\sqrt{\dfrac{0,822~5\times 0,177~5}{200}};0,822~5+1,96\sqrt{\dfrac{0,822~5\times 0,177~5}{200}}\right] \\
    &\approx [0,655~0;0,990~0]
    \end{align*}$
    La fréquence observée de visiteurs satisfaits est donc $f=\dfrac{200-46}{200}=0,77 \in I_{200}$.
    Le directeur peut donc être rassuré.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. On sait que
    $\begin{align*} N(14)=2N_0 &\ssi 2N_0=N_0\e^{14a} \\
    &\ssi 2=e^{14a} \\
    &\ssi \ln(2)=14a \\
    &\ssi a=\dfrac{\ln(2)}{14}
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. On veut résoudre l’inéquation :
    $\begin{align*} N(t)\pg 10^9 &\ssi 10^4\e^{0,05t} \pg 10^9 \\
    &\ssi e^{0,05t}\pg 10^5 \\
    &\ssi 0,05t \pg \ln\left(10^5\right) \\
    &\ssi t \pg \dfrac{ \ln\left(10^5\right)}{0,05}
    \end{align*}$
    C’est donc entre la $230^{\e}$ et la $231^{\e}$ semaine que la tumeur pourrait redevenir détectable au toucher.
    $\quad$

Partie B

  1. Détermination de la clairance
    a.
    Avec $D=112$, $k$ est solution de l’équation :
    $\begin{align*}c(6)=6,8 &\ssi \dfrac{112}{k}\left(1-\e^{-\frac{6k}{80}}\right)=6,8 \\
    &\ssi 112\left(1-\e^{-\frac{3k}{40}}\right)=6,8k \\
    &\ssi 112\left(1-\e^{-\frac{3k}{40}}\right)-6,8k=0
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=112\left(1-\e^{-\frac{3x}{40}}\right)-6,8x$.
    Cette fonction est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que somme de fonction dérivables sur cet intervalle.
    $\begin{align*} f'(x)&=112\times \dfrac{3}{40}\e^{-\frac{3x}{40}}-6,8 \\
    &=8,4\e {-\frac{3x}{40}}-6,8
    \end{align*}$
    $\begin{align*} f'(x)=0 &\ssi 8,4\e {-\frac{3x}{40}}-6,8 = 0 \\
    &\ssi \e^{-\frac{3x}{40}}=\dfrac{17}{21} \\
    &\ssi -\dfrac{3x}{40}=\ln\left(\dfrac{17}{21}\right)\\
    &\ssi x=-\dfrac{40}{3}\ln\left(\dfrac{17}{21}\right)
    \end{align*}$
    et
    $\begin{align*} f'(x)>0 &\ssi 8,4\e {-\frac{3x}{40}}-6,8 > 0 \\
    &\ssi \e^{-\frac{3x}{40}}>\dfrac{17}{21} \\
    &\ssi -\dfrac{3x}{40}>\ln\left(\dfrac{17}{21}\right)\\
    &\ssi x<-\dfrac{40}{3}\ln\left(\dfrac{17}{21}\right)
    \end{align*}$
    On note $\alpha = -\dfrac{40}{3}\ln\left(\dfrac{17}{21}\right)$.
    La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $[0;\alpha]$ et strictement décroissante sur $[\alpha;+\infty[$.
    $f(0)=0$ donc, puisque la fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $[0;\alpha]$, pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $]0;\alpha[$ on a $f(x)>0$ et l’équation $f(x)=0$ ne possède pas de solution sur ce dernier intervalle.
    $\quad$
    Sur l’intervalle $[\alpha;+\infty[$, la fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante.
    $f(\alpha) \approx 2,17 > 0$
    $\lim\limits_{x \to +\infty} -\dfrac{3x}{40}=-\infty$ et $\lim\limits_{X \to -\infty} \e^X=0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{x \to +\infty} \e^{-\frac{3x}{40}}=0$ etc $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=-\infty$.
    Or $0\in \left]-\infty;f(\alpha)\right[$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=0$ possède une unique solution $k_0$ sur l’intervalle $[\alpha;+\infty[$ et donc finalement sur $]0;+\infty[$.
    $\quad$
    c. D’après la calculatrice $k_0\approx 5,85$.
    La clairance du patient est donc de $5,85$L.h$^{-1}$.
    $\quad$
  2. Réglage du débit
    a.
    Puisque $k>0$ on a $\lim\limits_{t \to +\infty} -\dfrac{kt}{80}=-\infty$ et $\lim\limits_{X \to -\infty} \e^X=0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{t \to +\infty} c(t)=\dfrac{D}{k}$
    $\quad$
    b. On veut que $\dfrac{D}{5,85}<16 \ssi D < 93,6$.
    Le débit doit donc être de $93,6$ µmol.L$^{-1}$.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. $-\dfrac{\pi}{4} < x< \dfrac{3\pi}{4} \ssi -\dfrac{\pi}{2} < \theta-\dfrac{\pi}{4} < \dfrac{\pi}{2} \ssi 0 < \cos \left(\theta-\dfrac{\pi}{4}\right) \pp 1$.
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align*} M\in \mathscr{D} &\ssi \rho\sin \theta=-\rho \cos \theta +2 \text{ et } \rho >0 \\
    &\ssi \rho\sin\theta+\rho \cos \theta = 2 \text{ et } \rho >0\\
    &\ssi \rho\left(\cos \theta+\sin \theta\right)=2 \text{ et } \rho >0\\
    &\ssi \rho=\dfrac{2}{\cos \theta+\sin \theta} \text{ et } \rho >0 \\
    &\ssi \rho=\dfrac{\sqrt{2}}{\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cos \theta+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\sin \theta} \text{ et } \rho >0 \\
    &\ssi \rho = \dfrac{\sqrt{2}}{\cos\left(\theta-\dfrac{\pi}{4}\right)} \text{ et } \rho >0 \\
    &\ssi \rho = \dfrac{\sqrt{2}}{\cos\left(\theta-\dfrac{\pi}{4}\right)} \text{ et } \cos\left(\theta-\dfrac{\pi}{4}\right) > 0 \\
    &\ssi \rho = \dfrac{\sqrt{2}}{\cos\left(\theta-\dfrac{\pi}{4}\right)} \text{ et } \theta \in \left]-\dfrac{\pi}{4};\dfrac{3\pi}{4}\right[
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. $M$, appartenant à la droite $\mathscr{D}$, est le plus proche de $O$ quand $\rho$ est le plus petit c’est-à-dire quand $\cos\left(\theta-\dfrac{\pi}{4}\right)$ est le plus grand soit quand $\theta=\dfrac{\pi}{4}$.
    $\quad$

Ex 4 obl

Exercice 4

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

  1. $u_1=0,9\times 0,3(1-0,3)=0,189$
    $u_2=0,9\times 0,189(1-0,189)\approx 0,138$
    Au début de l’année 2001 il y avait donc $189$ tortues et $138$ au début de l’année 2002.
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ on sait que $u_n \pg 0$.
    De plus :
    $u_{n+1}-0,9u_n=0,9u_n\left(1-u_n\right)-0,9u_n=0,9u_n\left(1-u_n-1\right)=-0,9{u_n}^2\pp 0$
    Par conséquent $0\pp u_{n+1} \pp 0,9u_n$.
    $\quad$
    b. Montrons ce résultat par récurrence.
    Initialisation : si $n=0$ alors $u_0=0,3$ et $0,3 \times 0,9^0=0,3$ ainsi $0 \pp u_0 \pp 0,3 \times 0,9^0$.
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $ 0\pp u_n \pp 0,3 \times 0,9^n$
    Montrons qu’elle est vraie au rang $n+1$ c’est-à-dire que $0 \pp u_{n+1} \pp 0,3\times 0,9^{n+1}$
    On sait que $0 \pp u_{n+1} \pp 0,9u_n \pp 0,3 \times 0,9^n \times 0,9$
    Soit $0 \pp u_{n+1} \pp 0,3\times 0,9^{n+1} $
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $0 \pp u_n \pp 0,3 \times 0,9^n$.
    $\quad$
  3. Variables :
    $\quad$ $u$ est un réel
    $\quad$  $n$ est un entier naturel
    Traitement :
    $\quad$ $u$ prend la valeur $0,3$
    $\quad$ $n$ prend la valeur $0$
    $\quad$ Tant que $u \pg 0,03$ faire
    $\qquad$ $u$ prend la valeur $0,9u(1-u)$
    $\qquad$ $n$ prend la valeur $n+1$
    $\quad$ Fin Tant que
    Sortie :
    $\quad$ Afficher $1999+n$
    $\quad$

Partie B

  1. $v_{11}=1,06\times 0,032(1-0,032) \approx 0,033$
    $v_{12}=1,06\times 0,033(1-0,033) \approx 0,034$
    Il y a donc $33$ tortues au début de l’année 2011 et $34$ au début de l’année 2012.
    $\quad$
  2. $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n =\ell$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} v_{n+1} =\ell$
    De plus $\lim\limits_{n \to +\infty}1,06v_n\left(1-v_n\right)=1,06\ell(1-\ell)$.
    Par conséquent $\ell$ vérifie $\ell=1,06\ell(1-\ell)$.
    $\quad$
  3. $\ell=1,06\ell(1-\ell) \ssi 1,06\ell(1-\ell)-\ell =0\ssi \ell(0,06-1,06\ell)=0$
    $\ssi \ell=0$ ou $0,06-1,06\ell=0$
    $\ssi \ell=0$ ou $\ell=\dfrac{3}{53}$
    La suite $\left(v_n\right)$ étant croissante et convergente sa limite est $\ell=\dfrac{3}{53}>0,03$.
    L’espèce n’est plus menacée d’extinction.
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1    6 points

Un parc d’attraction propose à son public un tout nouveau grand huit. Pour des raisons de sécurité, son accès n’est autorisé qu’aux personnes dont la taille est supérieure ou égale à $1,40$ m et dont l’âge est compris entre $10$ et $70$ ans.
des études statistiques sont menées pour évaluer l’affluence et la satisfaction des visiteurs pour ce manège.

On arrondira, si nécessaire, les probabilités à $10^{-4}$.

  1. a. La taille en centimètres d’un visiteur du parc, choisi au hasard, est modélisée par la variable aléatoire $T$ qui suit la loi normale d’espérance $165$ et d’écart-type $20$.
    Quelle est la probabilité qu’un visiteur ait la taille requise pour accéder à ce grand huit?
    $\quad$
    b. L’âge d’un visiteur du parc, choisi au hasard, est modélisée par la variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d’espérance $30$ et d’écart-type $17$.
    Quelle est la probabilité qu’un visiteur ait l’âge requis pour accéder à ce grand huit?
    $\quad$
    c. Les études menées permettent d’établir que $89\%$ des visiteurs ont la taille exigées, $87\%$ ont l’âge requis mais $8\%$ n’ont ni la taille, ni l’âge obligatoires. Quelle est alors la proportion des visiteurs vérifiant les conditions requises pour essayer la nouvelle attraction?
    $\quad$
  2. Un sondage est réalisé à la sortie du grand huit et révèle que $25\%$ des personnes ont attendu moins de $30$ min avant de pouvoir essayer le manège. Parmi elles, $95\%$ sont satisfaites de l’attraction.
    En revanche, $22\%$ des personnes ayant attendu plus de $30$ min ne sont pas satisfaites de l’attraction.
    On choisit au hasard un visiteur à sa sortie du grand huit.
    On note $A$ l’événement “le visiteur a attendu plus de $30$ min” et $S$ l’événement “le visiteur est satisfait de l’attraction”.
    a. Montrer que la probabilité qu’un visiteur soit satisfait de l’attraction vaut $0,822~5$.
    $\quad$
    b. Le directeur rencontre un visiteur insatisfait. Quelle est la probabilité que ce visiteur ait attendu moins de $30$ min?
    $\quad$
  3. Le directeur est soucieux de savoir si le temps d’attente, plus important les jours de grande affluence, remet en cause le taux de satisfaction des visiteurs. Pour cela, on interroge $200$ personnes au hasard à la sortie du grand huit. Parmi elles, $46$ se disent insatisfaites.
    Le directeur peut-il être rassuré?
    $\quad$

Exercice 2    6 points

Les parties A et B sont indépendantes

Partie A

On s’intéresse à l’évolution au cours du temps d’une tumeur composée de cellules cancéreuses. On note $N(t)$ le nombre de cellules cancéreuses après un temps $t$ exprimé en semaines et $N(0)=N_0$ le nombre de cellules cancéreuses au premier examen. Pour tout réel $t$ positif ou nul, on admet qu’il existe un nombre $a$ tel que $$N(t)=N_0\e^{at}$$

  1. Des cultures en laboratoire ont montré que le nombre de cellules de la tumeur double en $14$ semaines.
    En déduire la valeur du paramètre $a$.
    $\quad$
  2. En arrondissant la valeur de $a$ obtenue, on peut écrire pour tout réel $t\pg 0$, $$N(t)=N_0\e^{0,05t}$$
    La plus petite tumeur détectable au toucher contient environ $10^9$ cellules. Lorsqu’une tumeur est détectable, on décide d’opérer le patient afin de la retirer. Or, après intervention il est possible qu’il reste jusqu’au $10^4$ cellules indétectables.
    En l’absence de suivi médical, au bout de combien de temps la tumeur pourrait-elle redevenir détectable au toucher?
    $\quad$

Partie B

Pour atténuer le risque de récidive, le médecin peut proposer de compléter l’opération par une chimiothérapie. Lors d’un traitement par chimiothérapie en intraveineuse, la concentration du médicament dans l’organisme, exprimée en µmol.L$^{-1}$, peut être modélisée ne fonction du temps $t$, exprimée en heure, par la fonction $c$ définie sur l’intervalle $[0;+\infty[$ par $$c(t)=\dfrac{D}{k}\left(1-\e^{-\frac{k}{80}t}\right)$$

  • $D$ est un réel positif qui représente le débit d’écoulement du médicament dans la perfusion, exprimée en micromole par heure;
  • $k$ est un réel positif qui représente la clairance du patient, exprimée en litre par heure.

La clairance traduit la capacité interne du patient à éliminer plus ou moins vite le médicament de son organisme. Elle est propre à chaque individu et est inconnue au début du traitement. Il est nécessaire de la déterminer afin que le médecin puisse adapter le traitement en ajustant le débit $D$.

  1. Détermination de la clairance
    Afin de déterminer la clairance, on effectue les mesures suivantes. On règle le débit de la perfusion sur $112$ µmol.h$^{-1}$; au bout de $6$ heures, on prélève un échantillon de sang du patient et on mesure la concentration du médicament :e elle est égale à $6,8$ µmol.L$^{-1}$.
    a. Justifier que la clairance $k$ du patient est solution de l’équation $112\left(1-\e^{-\dfrac{3}{40}k}\right)-6,8k=0$.
    $\quad$
    b. Démontrer que cette équation admet une unique solution sur l’intervalle $]0;+\infty[$.
    $\quad$
    c. Donner une valeur approchée à $10^{-2}$ de cette solution. Interpréter ce résultat.
    $\quad$
  2. Réglage du débit
    a. Déterminer la limite $\ell$ de la fonction $c$ en $+\infty$ en fonction du débit $D$ et de la clairance $k$.
    $\quad$
    b. La concentration du médicament dans le sang se rapproche rapidement de sa limite $\ell$.
    Pour que le traitement soit efficace sans devenir toxique, cette concentration limite doit être de $16$ µmol.L$^{-1}$.
    En déduire le débit $D$, à régler par le médecin, lorsque la clairance du patient est de $5,85$ L.h$^{-1}$.
    $\quad$

Exercice 3    3 points

On rappelle que pour tout réel $a$ et tout réel $b$, $\cos(a-b)=\cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b)$.

Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct $\Ouv$.
On considère la droite $\mathscr{D}$ d’équation $y=-x+2$.

  1. Montrer que si le réel $\theta$ appartient à l’intervalle $\left]-\dfrac{\pi}{4};\dfrac{3\pi}{4}\right]$, alors $\cos\left(\theta-\dfrac{\pi}{4}\right)>0$.
    $\quad$
  2. Soit $M$ un point du plan complexe d’affixe $z$ non nulle. On note $\rho=|z|$ le module de $z$ et $\theta=$arg$(z)$ un argument de $z$; les nombres $\rho$ et $\theta$ sont appelés coordonnées polaires du point $M$.
    Montrer que le point $M$ appartient à la droite $\mathscr{D}$ si et seulement si ses coordonnées polaires sont liées par la relation : $$\rho=\dfrac{\sqrt{2}}{\cos\left(\theta-\dfrac{\pi}{4}\right)}, \text{ avec} \theta\in\left]-\dfrac{\pi}{4};\dfrac{3\pi}{4}\right[\text{ et } \rho>0$$
    $\quad$
  3. Déterminer les coordonnées du point de la droite $\mathscr{D}$ le plus proche de l’origine $O$ du repère.
    $\quad$

Exercice 4    5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Les parties A et B sont indépendantes.

On s’intéresse à une population de tortues vivant sur une île et dont le nombre d’individus diminue de façon inquiétante.

Partie A

Au début de l’an 2000, on comptait $300$ tortues. Une étude a permis de modéliser ce nombre de tortues par la suite $\left(u_n\right)$ définie par : $$\begin{cases}u_0=0,3\\u_{n+1}=0,9u_n\left(1-u_n\right)\end{cases}$$ où pour tout entier naturel $n$, $u_n$ modélise le nombre de tortues, en milliers, au début de l’année 2000$+n$.

  1. Calculer, dans ce modèle, le nombre de tortues au début de l’année 2001 puis de l’année 2002.
    $\quad$
  2. On admet que, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ et $1-u_n$ appartiennent à l’intervalle $[0;1]$.
    a. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $0\pp u_{n+1}\pp 0,9u_n$.
    $\quad$
    b. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $0 \pp u_n \pp 0,3\times 0,9^n$.
    $\quad$
    c. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$. Que peut-on en conclure sur l’avenir de cette population de tortues?
    $\quad$
  3. Des études permettent d’affirmer que, si le nombre de tortues à une date donnée est inférieur au seuil critique de $30$ individus, alors l’espèce est menacée d’extinction.
    On souhaite qu’à la fin de son exécution, l’algorithme ci-dessous affiche la dernière année avant laquelle il reste au moins $30$ tortues.
    Recopier et compléter l’algorithme afin qu’il satisfasse cette exigence.
    Variable :
    $\quad$ $u$ est un réel
    $\quad$ $n$ est un entier naturel
    Traitement :
    $\quad$ $u$ prend la valeur $0,3$
    $\quad$ $n$ prend la valeur $0$
    $\quad$ Tant que $\ldots$ faire :
    $\quad$ $\ldots$
    $\quad$ $\ldots$
    $\quad$ $\ldots$
    $\quad$ Fin tant que
    Sortie :
    $\quad$ Afficher $\ldots$
    $\quad$

Partie B

Au début de l’année 2010, il ne reste que $32$ tortues. Afin d’assurer la pérennité de l’espèce, des actions sont menées pour améliorer la fécondité des tortues. L’évolution de la population est alors modifiée et le nombre de tortues peut être modélisé par la suite $\left(v_n\right)$ définie par : $$\begin{cases} v_{10}=0,032\\v_{n+1}=1,06v_n\left(1-v_n\right)\end{cases}$$
où pour tout entier naturel $n\pg 10$, $v_n$ modélise le nombre de tortues, en milliers, au début de l’année 2000$+n$.

  1. Calculer le nombre de tortues au début de l’année 2011 puis de l’année 2012.
    $\quad$
  2. On admet que, dans ce modèle, la suite $\left(v_n\right)$ est croissante et convergente. On appelle $\ell$ sa limite. Montrer que $\ell$ vérifie : $$\ell=1,06\ell(1-\ell)$$
    $\quad$
  3. La population de tortues est-elle encore en voie d’extinction?
    $\quad$

 

Bac S – Antilles Guyane – septembre 2017

Antilles Guyane – Septembre 2017

Bac S – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. $\quad$

    $\quad$
  2. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(V)&=P(E\cap V)+P\left(\conj{E}\cap V\right) \\
    &=0,9p+0,6(1-p)\\
    &=0,3p+0,6
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. a. On résout l’équation $0,3p+0,6=0,675 \ssi 0,3p=0,075 \ssi p = 0,25$
    $\quad$
    b. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_V(E)&=\dfrac{P(E\cap V)}{P(V)} \\
    &=\dfrac{0,25 \times 0,9}{0,675} \\
    &=\dfrac{1}{3}
    \end{align*}$
    $\quad$

Partie B

  1. L’écart-type le plus petit fournit la courbe dont le maximum est le plus grand.
    La droite d’équation $x=\mu$ est l’axe de symétrie pour chacune des courbes.
    Donc $\mu_V= 14$ et $\mu_C=16$.
    $\quad$
  2. On calculer $P\left(10 \pp T_V \pp 15\right) \approx 0,8413$
    $\quad$
  3. $\mu_V<15<\mu_C$ donc $P\left(T_V\pp 15\right) > 0,5$ et $P\left(T_C\pp 15\right) <0,5$
    Romane doit donc privilégier les trajets en vélo.
    $\quad$

Partie C

  1. $\quad$
    $\begin{align*} P(X \pp b)&= \int_0^b f(t) \dt \\
    &=\int_0^b \lambda \e^{-\lambda t} \dt \\
    &=\left[-\e^{-\lambda t}\right]_0^b \\
    &=-\e^{-\lambda b}+1
    \end{align*}$
  2. a. On sait que :
    $\begin{align*} P(X \pg 50)=0,9 &\ssi P(X \pp 50)=0,1 \\
    &\ssi 1-\e^{-50\lambda}=0,1 \\
    &\ssi \e^{-50\lambda}=0,9 \\
    &\ssi -50\lambda =\ln 0,9 \\
    &\ssi \lambda =-\dfrac{\ln 0,9}{50}
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. On veut calculer $P_{X \pg 200}(X \pg 250)=P_{X \pg 200}(X \pg 200+50)=P(X \pg 50)=0,9$
    Car la loi exponentielle est une loi à durée de vie sans vieillissement.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. On a, pour tout entier naturel $n$ :
    $z_{n+2}=\dfrac{\ic}{3}z_{n+1}=\dfrac{\ic}{3}\times \dfrac{\ic}{3}z_n = -\dfrac{1}{9}z_n$
    Par conséquent $\vect{OM_{n+2}}=-\dfrac{1}{9}\vect{OM_n}$.
    Les points $O$, $M_n$ et $M_{n+2}$ sont donc alignés.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on note :
    $r_n=OM_n=\left|z_n\right|$
    Ainsi :
    $\begin{align*} r_{n+1}&=\left|\dfrac{\ic}{3}z_n\right| \\
    &=\left|\dfrac{\ic}{3}\right|\times \left|z_n\right| \\
    &=\dfrac{1}{3} r_n
    \end{align*}$
    La suite $\left(r_n\right)$ est donc géométrique de raison $\dfrac{1}{3}$ et de premier terme $r_0=100$.
    $-1 < \dfrac{1}{3} < 1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} r_n=0$.
    Il existe donc un rang $n_0$ à partir duquel $r_n<1$ c’est-à-dire à partir duquel tous les points $M_n$ appartiennent au disque de centre $O$ et de rayon $1$.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x}=0$. Par conséquent la courbe $\mathscr{C}$ possède une asymptote horizontale d’équation $y=0$.
    $\quad$
  2. D’après l’énoncé la fonction $f$ est dérivable sur $[1;+\infty[$.
    $\begin{align*} f'(x)&=-\dfrac{1}{x^2}\ln(x)+\dfrac{1}{x}\times \dfrac{1}{x^2} \\
    &=\dfrac{-\ln(x)+1}{x^2}
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $-\ln(x)+1$.
    $-\ln(x)+1=0 \ssi \ln(x)=1 \ssi x=\e$
    $-\ln(x)+1>0 \ssi \ln(x)<1 \ssi x<\e$
    Par conséquent la fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $[1;\e]$ et strictement décroissante sur l’intervalle $[\e;+\infty[$.
    $\quad$

Partie B

  1. $\quad$
    $\begin{align*} u_0&=\int_1^2 \dfrac{1}{x}\ln(x) \dx \\
    &=\left[\dfrac{1}{2}\left(\ln(x)\right)^2\right]_1^2 \\
    &=\dfrac{1}{2}\left[\ln(2)\right]^2
    \end{align*}$
    Cela signifie donc que l’aire du domaine compris entre la courbe $\mathscr{C}$, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=1$ et $x=2$ a une aire de $\dfrac{1}{2}\left[\ln(2)\right]^2$ u.a.
    $\quad$
  2. La fonction $\ln$ est strictement croissante sur l’intervalle $[1;2]$.
    Par conséquent :
    $0 \pp \ln(x) \pp \ln(2) \ssi 0 \pp \dfrac{1}{x^{n+1}} \ln(x) \pp \dfrac{1}{x^{n+1}}\ln(2)$.
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n$, la fonction $x\mapsto \dfrac{1}{x^{n+1}}\ln(x)$ est continue et positive sur l’intervalle $[1;2]$.
    Donc, d’après la question précédente, pour tout entier naturel $n$ non nul :
    $\begin{align*} 0 \pp \dfrac{1}{x^{n+1}} \ln(x) \pp \dfrac{1}{x^{n+1}}\ln(2)& \ssi 0 \pp u_n \pp \int_0^n \dfrac{1}{x^{n+1}}\ln(2) \dx \\
    &\ssi 0 \pp u_n \pp \left[-\dfrac{\ln(2)}{n}\times \dfrac{1}{x^n}\right]_1^2 \\
    &\ssi 0 \pp u_n \pp -\dfrac{\ln(2)}{n}\left(\dfrac{1}{2^n}-1\right)\\
    &\ssi 0 \pp u_n \pp \dfrac{\ln(2)}{n}\left(1-\dfrac{1}{2^n}\right)
    \end{align*}$
    $\quad$
  4. $-1<\dfrac{1}{2} <1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{2^n}=0$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{\ln(2)}{n}\left(1-\dfrac{1}{2^n}\right) = 0$.
    D’après le théorème des gendarmes $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n =0$.
    $\quad$

Ex 4 obl

Exercice 4

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

  1. a. $\vect{AB}\begin{pmatrix}-1\\0\\-6\end{pmatrix}$ et $\vect{AC}\begin{pmatrix}-3\\1\\-10\end{pmatrix}$. ces deux vecteurs ne sont clairement pas colinéaires (une coordonnée nulle). Les points $A,B$ et $C$ définissent donc un plan.
    $\quad$
    b. $\vec{n}.\vect{AB}=-6+0+6=0$ et $\vec{n}.\vect{AC}=-18+8+10=0$.
    Le vecteur $\vec{n}$ est donc orthogonal aux vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$.
    c. Le vecteur $\vec{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$; il est normal à ce plan.
    Une équation du plan $(ABC)$ est donc de la forme $$6x+8y-z+d=0$$
    Le point $A(1;1;14)$ appartient à ce plan donc :
    $6+8-14+d=0 \ssi d=0$.
    Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc $6x+8y-z=0$.
    $\quad$
  2. a. Un vecteur directeur de la droite $\Delta$ est donc $\vec{u}\begin{pmatrix}2\\1\\4\end{pmatrix}$.
    $\quad$
    b. Regardons si $\vec{u}$ et $\vec{n}$ sont orthogonaux.
    $\vec{u}.\vec{n}=12+8-4=16\neq 0$.
    La droite $\Delta$ n’est donc pas parallèle au plan $(ABC)$; ils sont donc sécants.
    $\quad$
  3. Soit $M(x;y;z)$ un éventuel point d’intersection de l’ensemble $(E)$ avec le plan $(ABC)$.
    Ses coordonnées sont donc solutions du système :
    $\begin{cases} x=t^3+t\\y=t+1\\z=2t\\6x+8y-z=0\end{cases} \ssi \begin{cases} x=t^3+t\\y=t+1\\z=2t\\6t^3+6t+8t+8-2t=0\end{cases} \ssi \begin{cases} x=t^3+t\\y=t+1\\z=2t\\6t^3+12t+8=0\end{cases}$
    On appelle $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(t)=6t^3+12t+8$.
    La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que fonction polynôme (donc continue sur $\R$).
    $f'(t)=18t^2+12>0$ (somme de termes positifs).
    La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $\R$.
    De plus, d’après la limite des termes de plus haut degré on a :
    $\lim\limits_{x \to -\infty} f(t)=\lim\limits_{x \to -\infty} 6t^3=-\infty$
    $\lim\limits_{x \to +\infty} f(t)=\lim\limits_{x \to +\infty} 6t^3=+\infty$
    Or $0\in ]-\infty;+\infty[$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(t)=0$ possède une unique solution sur $\R$.
    Il existe donc un unique point $M$ qui appartient à la fois à l’ensemble $(E)$ et au plan $(ABC)$.
    $\quad$

Ex 4 spé

Exercice 4

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

  1. a. $3(-p)+4p=-3p+4p=p$
    $\quad$
    b. Soit $(x;y)$ un couple solution de l’équation $\left(E_p\right)$.
    $3(-p)+4p=p$ et $3x+4y=p$
    Par différence :
    $3(-p-x)+4(p-y)=0$ soit $3(p+x)=4(p-y)$.
    $3$ et $4$ sont premiers entre eux. Donc d’après le théorème de Gauss, il existe un entier relatif $k$ tel que :
    $p+x=4k$ et $p-y=3k$ soit $x=4k-p$ et $y=p-3k$.
    Réciproquement, on considère un entier relatif $k$.
    $3(-p+4k)+4(p-3k)=-3p+12k+4p-12k=p$.
    $\quad$
    Donc l’ensemble des solutions de $\left(E_p\right)$ est l’ensemble des couples de la forme $(-p+4k;p-3k)$ où $k$ est un entier relatif.
  2. a. On a donc $6x_0+8y_0-z_0=0 \ssi z_0=6x_0+8y_0 \ssi 2(3x_0+4y_0)$.
    Donc $z_0$ est pair.
    $\quad$
    b.$6x_0+8y_0-2p=0 \ssi 6x_0+8y_0=2p \ssi 3x_0+4y_0=p$
    Donc $\left(x_0;y_0\right)$ est solution de l’équation $\left(E_p\right)$.
    $\quad$
    c. D’après la question 1.b. l’ensemble des points du plans $P$ à coordonnées entières sont les points de coordonnées $(-p+4k;p-3k;2p)$ où $k$ et $p$ sont des entiers relatifs.
    $\quad$
  3. a. On a donc :
    $\begin{cases} x’=31x+75y+180z\\y’=56x+41y-144z\\z’=28x-30y+29z\end{cases}$
    Par conséquent :
    $\begin{align*} 6x’+8y’-z’&=6(31x+75y+180z)+8(56x+41y-144z)-(28x-30y+29z) \\
    &=186x+450y+1~080z+448x+328y-1~152z-28x+30y-29z \\
    &=606x+808y-101z\\
    &=101(6x+8y-z)
    \end{align*}$
    b. Si $M$ est un point du plan $P$ alors $6x+8y-z=0$.
    Par conséquent $101(6x+8y-z)=0$ et $M’$ est donc un point du plan $P$.
    $\quad$
    c. Un vecteur directeur de $\Delta$ est donc $\vec{n}\begin{pmatrix}6\\8\\-1\end{pmatrix}$.
    Une représentation paramétrique de $\Delta$ est alors $\begin{cases} x=6t\\y=8t\\z=-t\end{cases} \quad, t\in \R$.
    Supposons que le point $M$ appartienne à la droite $\Delta$. Il existe un réel $t$ tel que :
    $\begin{cases} x’=31\times 6t+75\times 8t-180t\\y’=56\times 6t+41\times 8t+144t\\z’=28\times 6t-30\times 8t-29t\end{cases}$
    soit $\begin{cases} x’=606t\\y’=808t\\z’=-101t\end{cases}$
    par conséquent $\begin{cases} x’=6\times 101t\\y’=8\times 101t\\z’=-101t\end{cases}$
    Le point $M’$ est un point de $\Delta$ de paramètre $101t$.
    $\quad$

Énoncé

 

Exercice 1    7 points

Les parties A, B et C sont indépendantes.

Romane utilise deux modes de déplacement pour se déplacer entre son domicile et
son lieu de travail : le vélo ou les transports en commun.

Partie A
Lorsque la journée est ensoleillée, Romane se déplace en vélo $9$ fois sur $10$.
Lorsque la journée n’est pas ensoleillée, Romane se déplace en vélo $6$ fois sur $10$.
La probabilité qu’une journée soit ensoleillée, dans la ville où habite Romane, est
notée $p$.
Pour une journée donnée, on note :

  • $E$ l’événement “La journée est ensoleillée”;
  • $V$ l’événement  “Romane se déplace en vélo”.
  1. Construire l’arbre pondéré représentant la situation.
    $\quad$
  2. Montrer que la probabilité que Romane se déplace en vélo lors d’une journée donnée est : $$P(V ) = 0,3p +0,6$$
    On constate que dans $67,5\%$ des cas, c’est en vélo que Romane se déplace
    entre son domicile et son lieu de travail.
    a. Calculer la valeur de $p$.
    $\quad$
    b. Sachant que Romane s’est déplacée en vélo, montrer que la probabilité
    que la journée soit ensoleillée est $\dfrac{1}{3}$.
    $\quad$

Partie B
Lorsque Romane se déplace en vélo, on modélise son temps de trajet, exprimé en
minutes, entre son domicile et son lieu de travail par une variable aléatoire $T_V$ suivant une loi normale d’espérance $\mu_V$ et d’écart-type $1$ minute.
Lorsqu’elle effectue ce trajet en transports en commun, on modélise son temps de
trajet, exprimé en minutes, par une variable aléatoire $T_C$ suivant une loi normale d’espérance $\mu_C$ et d’écart-type $3$ minutes.

  1. On nomme $\mathscr{C}_C$ et $\mathscr{C}_V$ les courbes représentatives des fonctions de densité des variables aléatoires $T_V$ et $T_C$ représentées dans la figure ci-dessous.
    Déterminer, en justifiant votre réponse, $\mu_V$ et $\mu_C$ .
  2. Calculer la probabilité que pour Romane un trajet domicile-travail en vélo dure entre $10$ et $15$ minutes. Arrondir la réponse à $10^{-4}$.
    $\quad$
  3. Quel mode de déplacement Romane doit-elle privilégier si elle souhaite mettre moins de $15$ minutes pour se rendre au travail?
    $\quad$

Partie C

En hiver, Romane roule en vélo de nuit. Son vélo est visible grâce à une ampoule
dont la durée de fonctionnement en heures peut être modélisée par une variable
aléatoire, notée $X$, suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, réel strictement positif.
La fonction de densité associée est donc la fonction f définie sur $[0;+\inf[$ par $f (t) = \lambda \e^{-\lambda t}$.

  1. Soit $b$ un réel positif.
    Démontrer, à l’aide d’une intégrale, que $P(X \pp b) = 1−\e^{\lambda b}$.
    $\quad$
  2. On sait que la probabilité que l’ampoule fonctionne encore après $50$ heures
    d’utilisation est $0,9$.
    a. En déduire la valeur exacte de $\lambda$.
    $\quad$
    b. Calculer la probabilité que la durée de fonctionnement de l’ampoule
    soit supérieure à $250$ heures sachant que l’ampoule a déjà fonctionné
    $200$ heures.
    $\quad$

Exercice 2    3 points

Soit la suite de nombres complexes $\left(z_n\right)$ définie par : $\begin{cases} z_0=100\\z_{n+1}=\dfrac{\ic}{3}z_n\quad \text{pour tout entier natuel }n\end{cases}$.
Le plan est muni d’un repère orthonormé direc $\Ouv$.
Pour tout entier naturel $n$, on note $M_n$ le point d’affixe $z_n$.

  1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, les points $O,M_n$ et $M_{n+2}$ sont alignés.
    $\quad$
  2. On rappelle qu’un disque de centre $A$ et de rayon $r$, où $r$ est un nombre réel positif, est l’ensemble des points $M$ du plan tels que $AM\pp r$.
    Démontrer que, à partir d’un certain rang, tous les points $M_n$ appartiennent au disque de centre $O$ et de rayon $1$.
    $\quad$

Exercice 3    5 points

Partie A

Soit la fonction $f$ définie et dérivable sur $[1;+\infty[$ telle que, pour tout nombre réel $x$ supérieur ou égal à $1$, $f(x)=\dfrac{1}{x}\ln(x)$.

On note $\mathscr{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé.

  1. Démontrer que la courbe $\mathscr{C}$ admet une asymptote horizontale.
    $\quad$
  2. Déterminer la fonction dérivée $f’$ de la fonction $f$ sur $[1;+\inf[$.
    $\quad$
  3. . Étudier les variations de la fonction $f$ sur $[1;+\infty[$.
    $\quad$

Partie B

On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie par $u_n=\ds \int_1^2 \dfrac{1}{x^{n+1}}\ln(x)\dx$ pour tout entier naturel $n$.

  1. Démontrer que $u_0=\dfrac{1}{2}\left[\ln(2)\right]^2$.
    Interpréter graphiquement ce résultat.
    $\quad$
  2. Prouver que, pour tout entier naturel $n$ et pour tout nombre réel $x$ de l’intervalle $[1;2]$, on a :
    $$0 \pp \dfrac{1}{x^{n+1}}\ln(x) \pp \dfrac{1}{x^{n+1}}\ln(2)$$
    $\quad$
  3. En déduire que, pour tout entier naturel non nul $n$, on a :
    $$0\pp u_n\pp \dfrac{\ln(2)}{n}\left(1-\dfrac{1}{2^n}\right)$$
    $\quad$
  4. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$

Exercice 4    5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

On note $\R$ l’ensemble des nombres réels.
L’espace est rapporté à un repère orthonormé $\Oijk$.
On considère les points $A(1;1;14)$, $B(0;1;8)$ et $C(-2;2;4)$ ainsi que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}6\\8\\-1\end{pmatrix}$.

  1. a. Justifier que les points $A,B$ et$C$ définissent un plan.
    $\quad$
    b. Démontrer que le vecteur $\vec{n}$ est orthogonal aux vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$.
    $\quad$
    c. Démontrer que le plan $(ABC)$ a pour équation cartésienne $6x+8y-z=0$.
    $\quad$
  2. On considère la droite $\Delta$ des points $M$ dont les coordonnées $(x;y;z)$ sont données par :
    $$\begin{cases}x=2t-3\\y=t-\dfrac{1}{2}\\z=4t+2\end{cases}, \quad t\in \R$$
    a. Donner un vecteur directeur de la droite $\Delta$.
    $\quad$
    b. La droite $\Delta$ et le plan $(ABC)$ sont-ils sécants?
    $\quad$
  3. Dans cette question, on considère l’ensemble $(E)$ des points $M$ dont les coordonnées $(x;y;z)$ sont données par : $$\begin{cases}x=t^3+t\\y=t+1\\z=2t\end{cases}, \quad t\in\R$$.
    Démontrer qu’il existe un unique point $M$ qui appartient à la fois à $(E)$ et à $(ABC)$.
    Il n’est pas demandé de déterminer ses coordonnées.
    $\quad$

Exercice 4    5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

  1. Soit $p$ un entier relatif donné.
    On s’intéresse dans cette question à l’équation $\left(E_p\right)$
    $$3x+4y=p$$
    où $(x;y)$ est un couple d’entier relatifs.
    a. Vérifier que le couple $(-p;p)$ est une solution particulière de l’équation.
    $\quad$
    b. Démontrer que l’ensemble des solutions de $\left(E_p\right)$ est l’ensemble des couples de la forme $(-p+4k;p-3k)$ où $k$ est un entier relatif.
    $\quad$

Dans la suite de l’exercice, l’espace est muni d’un repère orthonormé $\Oijk$. On considère le plan $\mathscr{P}$ d’équation cartésienne $6x+8y-z=0$.

  1. Soit $M_0$ un point de coordonnées $\left(x_0;y_0;z_0\right)$ qui appartient au plan $\mathscr{P}$ et dont les trois coordonnées sont des entiers relatifs.
    a. Démontrer que $z_0$ est pair.
    $\quad$
    b. On pose $z_0=2p$ o ù $p$ est un entier relatif.
    Prouver que le couple $\left(x_0;y_0\right)$ est solution de l’équation $\left(E_p\right)$.
    $\quad$
  2. En utilisant la question 1., déterminer l’ensemble des points du plan $\mathscr{p}$ à coordonnées entières.
    $\quad$
  3. À tout point $M$ de coordonnées $(x;y;z)$, on associe le point $M’$ de coordonnées $\left(x’;y’;z’\right)$ avec :
    $$\begin{pmatrix}x’\\y’\\z’\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}31&75&180\\56&41&-144\\28&-30&29\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$$
    a. Montrer que $6x’+8y’-z’=101(6x+8y-z)$.
    $\quad$
    b. En déduire que si le point $M$ est un point du plan $\mathscr{P}$, alors le point $M’$ est aussi un point du plan $\mathscr{P}$.
    $\quad$
    c. Soit $\Delta$ la droite perpendiculaire à $\mathscr{P}$ passant par $O$.
    Montrer que si le point $M$ appartient à $\Delta$, alors le point $M’$ appartient aussi à $\Delta$.
    $\quad$

Bac S – Métropole – septembre 2017

Métropole – Septembre 2017

Bac S – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1.  a. Soit $n$ un entier naturel.
    $\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=\int_0^{n+1}\e^{-x^2}\dx-\int_0^n \e^{-x^2}\dx \\
    &=\int_n^{n+1} \e^{-x^2}\dx
    \end{align*}$
    La fonction $x \mapsto \e^{-x^2}$ est continue et positive sur l’intervalle $[n;n+1]$.
    Par conséquent $\ds \int_n^{n+1} \e^{-x^2}\dx \pg 0$
    Ainsi $u_{n+1}-u_n \pg 0$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc croissante.
    $\quad$
    b.
    $\begin{align*}(x-1)^2 \pg 0 &\ssi x^2-2x+1 \pg 0\\
    &\ssi -2x+1\pg -x^2 \\
    &\ssi -x^2 \pp -2x+1
    \end{align*}$
    La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\R$.
    Par conséquent $\e^{-x^2} \pp \e^{-2x+1}$.
    On en déduit donc que :
    $\begin{align*}
    u_n&=\int_0^n \e^{-x^2}\dx \\
    &\pp \int_0^n \e^{-2x+1}\dx \\
    &\pp \left[-\dfrac{1}{2}\e^{-2x+1}\right]_0^n \\
    &\pp -\dfrac{1}{2}\e^{-2n+1}+\dfrac{1}{2}\e \\
    &\pp \dfrac{\e}{2}
    \end{align*}$
    $\quad$
    c. La suite $\left(u_n\right)$ est donc croissante et majorée; elle converge.
    $\quad$
  2. a. On a $p=\dfrac{\text{Aire de }\mathcal{D}}{\text{Aire de }OABC}$
    $\ssi p=\dfrac{u_2}{2\times 1}$
    $\ssi 2p=u_2$
    $\quad$
    b. i. La ligne L8 permet de savoir si le point $M(X;Y)$ appartient au domaine $\mathcal{D}$
    $\quad$
    ii. La valeur $F$ correspond à la fréquence des points appartenant au domaine $\mathcal{D}$ sur $N$ tirages aléatoires.
    $\quad$
    iii. On peut donc conjecturer que $F$ va tendre vers $p$ lorsque $N$ devient très grand.
    $\quad$
    c. On a donc $p\approx \dfrac{441~138}{10^6}$ et $u_2 \approx 2\times \dfrac{441~138}{10^6}$
    Soit $u_2\approx 0,88$
    $\quad$

Partie B

  1. Pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0;2]$ on a :
    $A(x)=ON \times OP = x \times \e^{-x^2}$
    $\quad$
  2. La fonction $A$ est dérivable sur l’intervalle $[0;2]$ en tant que composée et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $\begin{align*} A'(x)&=\e^{-x^2}-x\times 2x\e^{-x^2} \\
    &\left(1-2x^2\right)e^{-x^2}
    \end{align*}$
    La fonction exponentielle est strictement positive. Le signe de $A'(x)$ ne dépend donc que de celui de $1-2x^2$.
    Sur l’intervalle $[0;2]$ :
    $\begin{align*} 1-2x^2 > 0 &\ssi 1>2x^2 \\
    &\ssi \dfrac{1}{2}>x^2 \\
    &\ssi \dfrac{1}{\sqrt{2}} > x >0 \\
    &\ssi \dfrac{\sqrt{2}}{2}>x>0
    \end{align*}$
    La fonction $A$ est donc croissante sur l’intervalle $\left[0;\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right]$ et décroissante sur l’intervalle $\left[\dfrac{\sqrt{2}}{2};2\right]$.
    L’aire du rectangle $ONMP$ est donc maximale quand $x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
    $\quad$
  3. L’aire de la partie peinte en bleue est donc $A\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) \approx 0,43$ m$^2$.
    L’aire de la partie blanche est donc $u_2-A\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) \approx 0,88-0,43$ soit environ $0,45$ m$^2$.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. On considère l’équation $-z^2+2z-2=0$.
    Son discriminant est $\Delta = 2^2-4\times (-1) \times (-2) = -4<0$
    Cette équation possède donc deux racines complexes:
    $z_1=\dfrac{-2-\sqrt{4}\ic}{-2}=1+\ic$ et $z_2=\conj{z_1}=1-\ic$
    Les points dont l’image est le point d’affixe $2$ vérifie $z’=2 \ssi -z^2+2z-2=0$.
    Ce sont donc les points d’affixe $1-\ic$ et $1+\ic$.
    $\quad$
  2. On appelle $P$ le milieu du segment $\left[NM’\right]$.
    Son affixe est :
    $\begin{align*} z_P&=\dfrac{z_n+z_{M’}}{2} \\
    &=\dfrac{z^2-z^2+2z}{2} \\
    &=z
    \end{align*}$
    Par conséquent $M$ est le milieu du segment $\left[NM’\right]$
    $\quad$
  3. a. Le point $M$ appartient au cercle $\mathcal{C}$. Par conséquent $|z|=1$ et arg$(z)=\theta$.
    $z_N=z^2=1^2\times \e^{2\ic \theta}=\e^{2\ic\theta}$
    Ainsi $\left|z_N\right|=1$ et arg$\left(z_N\right)=2\theta$.
    $\quad$
    b.

    $\quad$
    c. Le point $N$ appartient au cercle de centre $M$ et de rayon $MA$.
    $M$ est le milieu du segment $\left[NM’\right]$. Ainsi $MN=MM’$.
    Donc $MA=MM’$.
    Le triangle $AMM’$ est par conséquent isocèle en $M$.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1.  a. On veut calculer $P(1,04 \pp T \pp 2,64) = P(\mu-2\sigma \pp T \pp \mu +2\sigma) \approx 0,954$
    $\quad$
    b. $P(T \pg 1,2)=0,5+P(1,2 \pp T \pp 1,84) \approx 0,945$
    $\quad$
  2. a.

    $\quad$
    b. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(B)&=p(M\cap B)+p\left(\conj{M}\cap B\right) \\
    &=0,6\times 0,8+0,4\times 0,1 \\
    &=0,52
    \end{align*}$
    c. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_B(M)&=\dfrac{p(M\cap B)}{p(B)} \\
    &=\dfrac{0,6\times 0,8}{0,52} \\
    &=\dfrac{12}{13} \\
    &\approx 0,923
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. a. On a $n=100 \pg 30$ et $p=0,3$ donc $np=30 \pg 5$ et $n(1-p)=70 \pg 5$
    Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de la proportion de patients suivant ce traitement et présentant des effets secondaires est donc :
    $\begin{align*} I_{100}&=\left[0,3-1,96\sqrt{\dfrac{0,3\times 0,7}{100}};0,3-1,96\sqrt{\dfrac{0,3\times 0,7}{100}}\right]\\
    &\approx [0,210;0,390]
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. La fréquence observée est $f=0,37\in I_{100}$
    Au risque d’erreur de $5\%$, on ne peut pas rejeter l’annonce du laboratoire.
    $\quad$
    c. Un intervalle de confiance est de la forme $\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}};f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$
    On sait que $0,37$ appartient à cet intervalle mais pas $0,30$.
    Par conséquent, on cherche le plus petit entier naturel $n$ tel que :
    $\begin{align*} 0,3 < 0,37-\dfrac{1}{\sqrt{n}}&\ssi -0,07 < -\dfrac{1}{\sqrt{n}} \\
    &\ssi \sqrt{n} > \dfrac{1}{0,07} \\
    &\ssi n > \dfrac{1}{0,07^2} \\
    &\ssi n \pg 205
    \end{align*}$
    $\quad$

Ex 4 obl

Exercice 4

Pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

  1.  On a $A(0;0;0)$, $B(1;0;0)$, $D(0;1;0)$, $E(0;0;1)$, $H(0;1;1)$ et $F(1;0;1)$.
    $I$ est le milieu du segment $[EH]$ donc $I\left(\dfrac{0+0}{2};\dfrac{0+1}{2};\dfrac{1+1}{2}\right)$ soit $I(0;0,5;1)$.
    $J$ est le milieu du segment $[FN]$ donc $J\left(\dfrac{1+1}{2};\dfrac{0+0}{2};\dfrac{0+1}{2}\right)$ soit $J(1;0;0,5)$.
    $\quad$
  2. a. On a $\vect{BG}\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$ et $\vect{BI}\begin{pmatrix}-1\\0,5\\1\end{pmatrix}$.
    Ces deux vecteurs ne sont clairement pas colinéaires.
    Par conséquent :
    $\vec{n}.\vect{BG}=0-2+2=0$ et $\vec{n}.\vect{BI}=-1-1+2=0$
    Le vecteur $\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(BGI)$.
    C’est donc un vecteur normal au plan $(BGI)$.
    $\quad$
    b. Une équation cartésienne du plan $(BGI)$ est alors de la forme :
    $$x-2y+2z+d=0$$
    Le point $B(1;0;0)$ appartient à ce plan.
    Donc $1-0+0+d=0 \ssi d=-1$.
    Une équation cartésienne du plan $(BGI)$ est donc $x-2y+2z-1=0$.
    $\quad$
    c. $K$ est le milieu du segment $[HJ]$.
    Donc $K\left(\dfrac{0+1}{2};\dfrac{1+0}{2};\dfrac{1+0,5}{2}\right)$ soit $K(0,5;0,5;0,75)$.
    Regardons si les coordonnées de ce point vérifie l’équation du plan $(BGI)$ trouvée à la question précédente.
    $0,5-2\times 0,5+2\times 0,75-1=0,5-1+1,5-1=0$.
    Donc $K$ appartient au plan $(BGI)$.
    $\quad$
  3. a. Le triangle $FIG$ est isocèle en $I$. Donc en appelant $I’$ le milieu du segment $[FG]$ l’aire de ce triangle est :
    $\mathscr{A}=\dfrac{II’\times FG}{2}=\dfrac{1\times 1}{2}=0,5$.
    Ainsi le volume du tétraèdre $FBIG$ est $\mathscr{V}=\dfrac{\mathscr{A}\times FB}{3}=\dfrac{0,5\times 1}{3}=\dfrac{1}{6}$.
    $\quad$
    b. La droite $\Delta$ passe par le point $F(1;0;1)$ est est dirigée par le vecteur $\vec{n}$.
    Une représentation paramétrique de cette droite est donc :
    $\begin{cases} x=1+t\\y=-2t\\z=1+2t\end{cases} \quad, t\in \R$
    $\quad$
    c. Montrons que le points $F’\left(\dfrac{7}{9};\dfrac{4}{9};\dfrac{5}{9}\right)$ appartient à la fois à la droite $\Delta$ et à au plan $(BGI)$.
    Dans la représentation paramétrique de $\Delta$, si on prend $t=-\dfrac{2}{9}$ (solution de l’équation $-2t=\dfrac{4}{9}$ par exemple)alors on obtient :
    $\begin{cases} x=1-\dfrac{2}{9}=\dfrac{7}{9}\\y=-2\times \left(-\dfrac{2}{9}\right)=\dfrac{4}{9}\\z=1-2\times \dfrac{2}{9}=\dfrac{5}{9}\end{cases}$
    Donc $F’\in \Delta$.
    $\dfrac{7}{9}-2\times \dfrac{4}{9}+2\times \dfrac{5}{9}-1=\dfrac{7}{9}-\dfrac{8}{9}+\dfrac{10}{9}-\dfrac{9}{9}=0$
    Donc $F’\in (BGI)$.
    Le vecteur $\vec{n}$ est un vecteur directeur de la droite $\Delta$ et un vecteur normal au plan $(BGI)$: la droite et plan sont donc sécants.
    Le point $F’$ appartient à chacun d’entre eux. C’est donc leur point d’intersection.
    $\quad$
    d. $FF’=\sqrt{\left(1-\dfrac{7}{9}\right)^2+\left(0-\dfrac{4}{9}\right)^2+\left(1-\dfrac{5}{9}\right)^2}=\dfrac{2}{3}$.
    Le volume du tétraèdre $FBIG$ est :
    $\mathscr{V}=\dfrac{1}{6}\ssi \dfrac{FF’\times \text{aire }_{BGI}}{3}=\dfrac{1}{6}$
    Par conséquent l’aire du triangle $BGI$ est $\mathscr{A}’=\dfrac{\dfrac{1}{6}\times 3}{\dfrac{2}{3}}=\dfrac{3}{4}$.
    $\quad$

Ex 4 spé

Exercice 4

Pour les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

  1. Le point $A(1;5;-2)$ appartient au plan $\mathcal{P}$. Par conséquent $a+5b-2c=73$.
    Le point $B(7;-1;3)$ appartient au plan $\mathcal{P}$. Par conséquent $7a-b+3c=73$.
    Le point $C(-2;7;-2)$ appartient au plan $\mathcal{P}$. Par conséquent $-2a+7b-2c=73$.
    On obtient ainsi le système suivant :
    $\begin{cases} a+5b-2c=73\\7a-b+3c=73\\-2a+7b-2c=73\end{cases}$
    Par conséquent $X$ vérifie bien la relation $MX=73Y$.
    $\quad$
  2. On note $I_3$ la matrice identité d’ordre $3$.
    On a donc d’après ces copies d’écran $M\times N=N \times N=73 I_3$
    Par conséquent $M^{-1}=\dfrac{1}{73}N$.
    $\quad$
  3. $MX=73Y \ssi X=73M^{-1}Y\ssi X=NY$
    Ainsi $X=\begin{pmatrix}19&4&-13\\-8&6&17\\-47&17&36\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10\\15\\6\end{pmatrix}$
    Par conséquent, une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ est $10x+15y+6z=73$.
    $\quad$

Partie B

  1. a. On sait donc que $M(x;y;3)$ appartient au plan $\mathcal{P}$.
    Ainsi $10x+15y+18=73 \ssi 10x+15y=55\ssi 2x+3y=11$.
    $\quad$
    b. $2\times 7+3\times (-1)=14-3=11$.
    Par conséquent $(7;-1)$ est une solution particulière de $(E)$.
    On appelle $(x;y)$ une solution de $(E)$ : $2x+3y=11$
    Par différence on obtient :
    $2(7-x)+3(-1-y)=0$
    $\ssi 2(7-x)=3(1+y)$
    $2$ et $3$ sont premiers entre eux. D’après le théorème de Gauss, il existe un entier relatif $k$ tel que $1+y=2k$ et $7-x=3k$.
    Soit $y=2k-1$ et $x=7-3k$.
    Réciproquement, on considère un entier relatif $k$ et le couple $(7-3k;2k-1)$.
    $2(7-3k)+3(2k-1)=14-6k+6k-3=11$.
    Le couple $(7-3k;2k-1)$ est donc solution de l’équation $(E)$.
    Les solution de $(E)$ dans $\Z$ sont donc les couples $(7-3k;2k-1)$ pour tout entier relatif $k$.
    $\quad$
    c. On cherche les entiers relatifs $k$ qui vérifient :
    $\begin{cases} 7-3k\pg 0 \\2k-1 \pg 0 \end{cases} \ssi \begin{cases} 7\pg 3k \\2k \pg 1 \end{cases} \ssi \dfrac{1}{2} \pp k \pp \dfrac{7}{3}$.
    Par conséquent $k=1$ ou $k=2$.
    Si $k=1$ alors les coordonnées du point du plan associé sont $(4;1;3)$.
    Si $k=2$ alors les coordonnées du point du plan associé sont $(1;3;3)$.
    $\quad$
  2. a. Soit $(x;y;z)$ une solution de l’équation $(E)$.
    $10x+15y+6z=73 \ssi 15y=73-10x-6z$
    Si $y$ est pair alors $15y \equiv 0~~[2]$
    et $73-10x-6z \equiv 1~~[2]$.
    Ainsi $y$ ne peut pas être pair. $y$ est donc pair.
    $\quad$
    b. On a $10x=73-15y-6z$.
    On a $10\equiv 1~~[3]$ et $73-15y-6z\equiv 1~~[3]$.
    Par conséquent $x\equiv 1~~[3]$.
    $\quad$
    c.
    $\begin{align*} M(x;y;z)\in \mathcal{P}&\ssi 10(1+3p)+15(1+2q)+6(3+5r)=73 \\
    &\ssi 10+30p+15+30q+18+30r=73 \\
    &\ssi 30p+30q+30r=30 \\
    &\ssi p+q+r=1
    \end{align*}$
    $\quad$
    d. D’après les questions B.2.a et B.2.b on sait que $y\equiv 0~~[2]$, $x\equiv 1~~[3]$ et $z\equiv 3~~[5]$.
    Donc il existe trois entiers naturels $p,q$ et $r$ tels que $x=1+3p$, $y=1+2q$ et $z=3+5r$.
    On sait que $p+q+r=1$.
    Par conséquent :
    $\bullet$ $p=1$ et $q=r=0$ : on a donc le point de coordonnées $(4;1;3)$.
    $\bullet$ $q=1$ et $p=r=0$ : on a donc le point de coordonnées $(1;3;3)$.
    $\bullet$ $R=1$ et $p=q=0$ : on a donc le point de coordonnées $(1;1;8)$.
    Les coordonnées des points du plan $\mathscr{P}$ à coordonnées entières sont donc $(4;1;3)$, $(1;3;3)$ et $(1;1;8)$.
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1    6 points

Partie A

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $$u_n=\ds\int_0^n \e^{-x^2}\dx$$
On ne cherchera pas à calculer $u_n$ en fonction de $n$.

  1. a. Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
    $\quad$
    b. Démontrer que pour tout réel $x \pg 0$, on a : $-x^2 \pp -2x+1$, puis : $\e^{-x^2} \pp \e^{-2x+1}$.
    En déduire que pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n < \dfrac{\e}{2}$.
    $\quad$
    c. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente. On ne cherchera pas à calculer sa limite.
    $\quad$
  2. Dans cette question, on se propose d’obtenir une valeur approchée de $u_2$.
    Dans le repère orthonormé $\Oij$ ci-dessous, on a tracé la courbe $\mathscr{C}$ représentative de la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0;2]$ par $f(x)=\e^{-x^2}$, et le rectangle $OABC$ où $A(2;0)$, $B(2;1)$ et $C(0;1)$.
    On a hachuré le domaine $\mathcal{D}$ compris entre la courbe $\mathscr{C}$, l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées et la droite d’équation $x=2$.

    On considère l’expérience aléatoire consistant à choisir un point $M$ au hasard à l’intérieur du rectangle $OABC$.
    On admet que la probabilité $p$ que ce point appartienne au domaine $\mathcal{D}$ est $p=\dfrac{\text{Aire de }\mathcal{D}}{\text{Aire de }OABC}$.
    a. Justifier que $u_2=2p$
    $\quad$
    b. On considère l’algorithme suivant :
    $\begin{array}{|l|l|}
    \hline
    \text{L}1&\textbf{Variables : } N,C \text{ nombres entiers ;}X,Y,F \text{ nombres réels}\\
    \text{L}2&\textbf{Entrée : } \text{saisir }N\\
    \text{L}3&\textbf{Initialisation : } C\text{ prend la valeur }0\\
    \text{L}4&\textbf{Traitement :}\\
    \text{L}5&\text{Pour }k\text{ variant de }1 \text{ à } N\\
    \text{L}6&\quad X \text{ prend la valeur d’un nombre aléatoire entre }0\text{ et } 2\\
    \text{L}7&\quad Y \text{ prend la valeur d’un nombre aléatoire entre }0\text{ et } 1\\
    \text{L}8& \quad \text{Si }Y \pp \e^{-X^2} \text{ alors} \\
    \text{L}9& \qquad C \text{ prend la valeur } C+1\\
    \text{L}10& \quad \text{Fin si}\\
    \text{L}11& \text{Fin pour}\\
    \text{L}12& \text{Aficher } C\\
    \text{L}13&F \text{ prend la valeur }C/N\\
    \text{L}14&\text{Afficher } F\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$ i. Que permet de tester la condition de la ligne L$8$ concernant la position du point $M(X;Y)$?
    $\quad$ ii. Interpréter la valeur $F$ affichée par cet algorithme.
    $\quad$ iii. Que peut-on conjecturer sur la valeur de $F$ lorsque $N$ devient très grand?
    $\quad$
    c. En faisant fonctionner cet algorithme pour $N=10^6$, on obtient $C=441~138$.
    On admet dans ce cas que la valeur $F$ affichée par l’algorithme est une valeur approchée de la probabilité $p$ à $10^{-3}$ près.
    En déduire une valeur approchée de $u_2$ à $10^{-2}$ près.
    $\quad$

Partie B

Une entreprise spécialisée est chargée par l’office de tourisme d’une station de ski de la conception d’un panneau publicitaire ayant la forme d’une piste de ski.
Afin de donner des informations sur la station, une zone rectangulaire est insérée sur le panneau comme indiqué sur la figure ci-dessous.


Le panneau, modélisée par le domaine $\mathcal{D}$ définie dans la Partie A, est découpé dans une plaque rectangulaire de $2$ mètre sur $1$ mètre. Il est représentée ci-dessous dans un repère orthonormé $\Oij$; l’unité choisie est le mètre.

Pour $x$ nombre réel appartenant à l’intervalle $[0;2]$, on note :

  • $M$ le point de la courbe $\mathscr{C}$ de coordonnées $\left(x;\e^{-x^2}\right)$,
  • $N$ le point de coordonnées $(x;0)$,
  • $P$ le point de coordonnées $\left(0;\e^{-x^2}\right)$,
  • $A(x)$ l’aire du rectangle $ONMP$.

  1. Justifier que pour tout nombre réel $x$ de l’intervalle $[0;2]$, on a : $A(x)=x\e^{-x^2}$.
    $\quad$
  2. Déterminer la position du point $M$ sur la courbe $\mathscr{C}$ pour laquelle l’aire du rectangle $ONMP$ est maximale.
    $\quad$
  3. Le rectangle $ONMP$ d’aire maximale obtenu à la question 2. doit être peint en bleu, et le reste du panneau en blanc. Déterminer, en m$^2$ et à $10^{-2}$ près, la mesure de la surface à peindre en bleu et celle de la surface à peindre en blanc.
    $\quad$

Exercice 2    4 points

Le plan complexe est  rapporté à un repère orthonormé $\Ouv$. À tout point $M$ d’affixe $z$, on associe le point $M’$ d’affixe $z’=-z^2+2z$. Le point $M’$ est appelé image du point $M$.

  1. Résoudre dans l’ensemble $\C$ des nombres complexes l’équation : $-z^2+2z-2=0$.
    En déduire les affixes des points dont l’image est le point d’affixe $2$.
    $\quad$
  2. Soit $M$ un point d’affixe $z$ et $M’$ son image d’affixe $z’$.
    On note $N$ le point d’affixe $z_N=z^2$.
    Montrer que $M$ est le milieu du segment $[NM’]$.
    $\quad$
  3. Dans cette question, on suppose que le point $M$ ayant pour affixe $z$, appartient au cercle $\mathcal{C}$ de centre $O$ et de rayon $1$. On note $\theta$ un argument de $z$.
    a. Déterminer le module de chacun des nombres complexes $z$ et $z_N$, ainsi qu’un argument de $z_N$ en fonction de $\theta$.
    $\quad$
    b. Sur la figure donnée en annexe, on a représenté un point $M$ sur le cercle $\mathcal{C}$.
    Construire sur cette figure les points $N$ et $M’$ en utilisant une règle et un compas (on laissera les traits de construction apparents).
    $\quad$
    c. Soit $A$ le point d’affixe $1$. Quelle est la nature du triangle $AMM’$?

Annexe

 

Exercice 3    5 points

Tous les résultats demandés seront arrondis au millième.

  1. Une étude effectuée sur une population d’hommes âgés de $35$ à $40$ ans a montré que le taux de cholestérol total dans le sang, exprimé en grammes par litre, peut être modélisé par une variable aléatoire $T$ qui suit une loi normale d’espérance $\mu=1,84$ et d’écart-type $\sigma=0,4$.
    a. Déterminer selon cette modélisation la probabilité qu’un sujet tiré au hasard dans cette population ait un taux de cholestérol compris entre $1,04$ g/L et $2,64$ g/L.
    $\quad$
    b. Déterminer selon cette modélisation la probabilité qu’un sujet tiré au hasard dans cette population ait un taux de cholestérol supérieur à $1,2$ g/L.
    $\quad$
  2. Afin de tester l’efficacité d’un médicament contre le cholestérol, des patients nécessitant d’être traités ont accepté de participer à un essai clinique organisé par un laboratoire.
    Dans cet essai, $60\%$ des patients ont pris le médicament pendant un mois, les autres ayant pris un placebo (comprimé neutre).
    On étudie la baisse du taux de cholestérol après l’expérimentation.
    On constate une baisse de ce taux chez $80\%$ des patients ayant pris le médicament.
    On ne constate aucune baisse pour $90\%$ des personnes ayant pris le placebo.
    $\quad$
    On choisit au hasard un patient ayant participé à l’expérimentation et on note :
    $\quad$ $\bullet$ $M$ l’événement “le patient a pris le médicament”;
    $\quad$ $\bullet$ $B$ l’événement “le taux de cholestérol a baissé chez le patient”.
    a. Traduire les données de l’énoncé à l’aide d’un arbre pondéré.
    $\quad$
    b. Calculer la probabilité de l’événement $B$.
    $\quad$
    c. Calculer la probabilité qu’un patient ait pris le médicament sachant que son taux de cholestérol a baissé.
    $\quad$
  3. Le laboratoire qui produit ce médicament annonce que $30\%$ des patients qui l’utilisent présentent des effets secondaires.
    Afin de tester cette hypothèse, un cardiologue sélectionne de manière aléatoire $100$ patients traités avec ce médicament.
    a. Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de la proportion de patients suivant ce traitement et présentant des effets secondaires.
    $\quad$
    b. L’étude réalisée auprès des $100$ patients a dénombré $37$ personnes présentant des effets secondaires.
    Que peut-on en conclure?
    $\quad$
    c. Pour estimer la proportion d’utilisateurs de ce médicament présentant des effets secondaires, un organisme indépendant réalise une étude basée sur un intervalle de confiance au niveau de confiance $95\%$.
    Cette étude aboutit à une fréquence observée de $37\%$ de patients présentant des effets secondaires, et à un intervalle de confiance qui ne contient pas la fréquence $30\%$.
    Quel est l’effectif minimal de l’échantillon de cette étude?
    $\quad$

Exercice 4    5 points

Pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Dans l’espace, on considère le cube $ABCDEFGH$ représenté ci-dessous.
On note $I$ et $J$ les milieux respectifs des egments $[EH]$ et $[FB]$.
On munit l’espace du repère orthonormé $\left(A;\vect{AB},\vect{AD},\vect{AE}\right)$.

  1. Donner les coordonnées des points $I$ et $J$.
    $\quad$
  2. a. Montrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(BGI)$.
    $\quad$
    b. En déduire une équation cartésienne du plan $(BGI)$.
    $\quad$
    c. On note $K$ le milieu du segment $[HJ]$. Le point $K$ appartient-il au plan $(BGI)$?
    $\quad$
  3. Le but de cette question est de calculer l’aire du triangle $BGI$.
    a. En utilisant par exemple le triangle $FIG$ pour base, démontrer que le volume du tétraèdre $FBIG$ est égal à $\dfrac{1}{6}$.
    On rappelle que le volume $V$ d’un tétraèdre est donné par la formule : $V=\dfrac{1}{3}B\times h$ où $B$ désigne l’aire d’une base et $h$ la hauteur correspondante.
    $\quad$
    b. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ passant par $F$ et orthogonale au plan $(BGI)$.
    $\quad$
    c. La droite $\Delta$ coupe le plan $(BGI)$ en $F’$. Montrer que le point $F’$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{7}{9};\dfrac{4}{9};\dfrac{5}{9}\right)$.
    $\quad$
    d. Calculer la longueur $FF’$. En déduire l’aire du triangle $BGI$.
    $\quad$

Exercice 4    5 points

Pour les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé $\Oijk$, on considère les points $A(1;5;-2)$, $B(7;-1;3)$ et $C(-2;7;-2)$ et on note $\mathcal{P}$ le plan $(ABC)$.
On cherche une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ sous la forme $ax+by+cz=73$, où $a,b$ et $c$ sont des nombres réels.
On note $X$ et $Y$ les matrices colonnes : $X=\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ et $Y=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$.

  1. Montrer que $X$ vérifie la relation : $MX=73Y$, où $M$ est la matrice $M=\begin{pmatrix}1&5&-2\\7&-1&3\\-2&7&-2\end{pmatrix}$.
    $\quad$
  2. Soit $N$ la matrice : $N=\begin{pmatrix}19&4&-13\\-8&6&17\\-47&17&36\end{pmatrix}$.
    À l’aide d’une calculatrice, on a calculé les produits $M\times N$ et $N\times M$, et on a obtenu les copies d’écran suivantes :

    À l’aide de ces informations, justifier que la matrice $M$ est inversible et exprimer sa matrice inverse $M^{-1}$ en fonction de la matrice $N$.
    $\quad$
  3. Montrer alors que : $X=NY$.
    En déduire que le plan $\mathcal{P}$ admet pour équation cartésienne : $10x+15y+6z=73$.
    $\quad$

Partie B

L’objectif de cette partie est l’étude des points à coordonnées entières du plan $\mathcal{P}$ ayant pour équation cartésienne : $10x+15y+6z=73$.

  1. Soit $M(x;y;z)$ un point appartenant au plan $\mathscr{P}$ et au plan d’équation $z=3$. On suppose que les coordonnées $x,y$ et $z$ appartiennent à l’ensemble $\Z$ des entiers relatifs.
    a. Montrer que les éntiers $x$ et $y$ sont solutions de l’équation $(E):2x+3y=11$.
    $\quad$
    b. Justifier que le couple $(7;-1)$ est une solution particulière de $(E)$ puis résoudre l’équation $(E)$ pour $x$ et $y$ appartenant à $\Z$.
    $\quad$
    c. Montrer qu’il existe exactement deux points appartenant au plan $\mathcal{P}$ et au plan d’équation $z=3$ et dont les coordonnées appartiennent à l’ensemble $\N$ des entiers naturels. Déterminer les coordonnées de ces deux points.
    $\quad$
  2. Dans cette question, on se propose de déterminer tous les points $M(x;y;z)$ du plan $\mathscr{P}$ dont les coordonnées sont des entiers naturels.
    Soient $x,y$ et $z$ des entiers naturels tels que $10x+15y+6z=73$.
    a. Montrer que $y$ est impair.
    $\quad$
    b. Montrer que : $x\equiv 1~~[3]$. On admet que : $z\equiv 3~~[5]$.
    $\quad$
    c. On pose alors : $x= 1+3p$, $y=1+2q$ et $z=3+5r$, où $p,q$ et $r$ sont des entiers naturels.
    Montrer que le point $M(x;y;z)$ appartient au plan $\mathcal{P}$ si et seulement si $p+q+r=1$.
    $\quad$
    d. En déduire qu’il existe exactement trois points du plan $\mathscr{P}$ dont les coordonnées sont des entiers naturels. Déterminer les coordonnées de ces points.
    $\quad$

Bac S – Amérique du Nord – Juin 2016 – Énoncé

Amérique du Nord – Juin 2016

Bac S – Mathématiques – Énoncé

La correction de ce sujet de bac est disponible ici :

Exercice 1    6 points

Une entreprise fabrique des billes en bois sphériques grâce à deux machines de production A et B. L’entreprise considère qu’une bille peut être vendue uniquement lorsque son diamètre est compris entre $0,9$ cm et $1,1$ cm.

Les parties A, B et C sont indépendantes.

Partie A

Une étude du fonctionnement des machines a permis d’établir les résultats suivants :

  • $96\%$ de la production journalière est vendable.
  • La machine A fournit $60\%$ de la production journalière.
  • La proportion de billes vendables parmi la production de la machine A est $98\%$.

On choisit une bille au hasard dans la production d’un jour donné. On définit les événements suivants :

$A$ : “la bille a été fabriquée par la machine A”;
$B$ : “la bille a été fabriquée par la machine B”;
$V$ : “la bille est vendable”.

  1. Déterminer la probabilité que la bille choisie soit vendable et provienne de la machine A.
    $\quad$
  2. Justifier que $P(B \cap V) = 0,372$ et en déduire la probabilité que la bille choisie soit vendable sachant qu’elle provient de la machine B.
    $\quad$
  3. Un technicien affirme que $70\%$ des billes non vendables proviennent de la machine B.
    A-t-il raison ?
    $\quad$

Partie B

Dans cette partie, on s’intéresse au diamètre, exprimé en cm, des billes produites par les machines A et B.

  1. Une étude statistique conduit à modéliser le diamètre d’une bille prélevée au hasard dans la production de la machine B par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale d’espérance $\mu = 1$ et d’écart-type $\sigma = 0,055$.
    Vérifier que la probabilité qu’une bille produite par la machine B soit vendable est bien celle trouvée dans la partie A, au centième près.
    $\quad$
  2. De la même façon, le diamètre d’une bille prélevée au hasard dans la production de la machine A est modélisé à l’aide d’une variable aléatoire $Y$ qui suit une loi normale d’espérance $\mu = 1$ et d’écart-type $\sigma’$, $\sigma’$ étant un réel strictement positif.
    Sachant que $P(0,9 \pp Y \pp 1,1) = 0,98$, déterminer une valeur approchée au millième de $\sigma’$.
    $\quad$

Partie C

Les billes vendables passent ensuite dans une machine qui les teinte de manière aléatoire et équiprobable en blanc, noir, bleu, jaune ou rouge. Après avoir été mélangées, les billes sont conditionnées en sachets. La quantité produite est suffisamment importante pour que le remplissage d’un sachet puisse être assimilé à un tirage successif avec remise de billes dans la production journalière.
Une étude de consommation montre que les enfants sont particulièrement attirés par les billes de couleur noire.

  1. Dans cette question seulement, les sachets sont tous composés de $40$ billes.
    a. On choisit au hasard un sachet de billes. Déterminer la probabilité que le sachet choisi contienne exactement $10$ billes noires. On arrondira le résultat à $10^{-3}$.
    $\quad$
    b. Dans un sachet de $40$ billes, on a compté $12$ billes noires. Ce constat permet-t-il de remettre en cause le réglage de la machine qui teinte les billes ?
    $\quad$
  2. Si l’entreprise souhaite que la probabilité d’obtenir au moins une bille noire dans un sachet soit supérieure ou égale à $99\%$, quel nombre minimal de billes chaque sachet doit-il contenir pour atteindre cet objectif ?
    $\quad$

$\quad$


$\quad$

Exercice 2    6 points

Un particulier veut faire fabriquer un récupérateur d’eau.
Ce récupérateur d’eau est une cuve qui doit respecter le cahier des charges suivant :

  • elle doit être située à deux mètres de sa maison;
  • la profondeur maximale doit être de deux mètres;
  • elle doit mesurer cinq mètres de long;
  • elle doit épouser la pente naturelle du terrain.

Cette cuve est schématisée ci-dessous.

 

La partie incurvée est modélisée par la courbe $\mathscr{C}_f$ de la fonction $f$ sur l’intervalle $[2;2 \e]$ définie par: $$f(x) = x\ln \left(\dfrac{x}{2}\right)-x+2$$

La courbe $\mathscr{C}_f$ est représentée ci-dessous dans un repère orthonormé d’unité $\boldsymbol{1}$ m et constitue une vue de profil de la cuve.

On considère les points $A(2;2)$, $I(2;0)$ et $B(2\e;2)$.

 

Partie A

L’objectif de cette partie est d’évaluer le volume de la cuve.

  1. Justifier que les points $B$ et $I$ appartiennent à la courbe $\mathscr{C}_f$ et que l’axe des abscisses est tangent à la courbe $\mathscr{C}_f$ au point $I$.
    $\quad$
  2. On note $\mathscr{T}$ la tangente à la courbe $\mathscr{C}_f$ au point $B$, et $D$ le point d’intersection de la droite $\mathscr{T}$ avec l’axe des abscisses.
    a. Déterminer une équation de la droite$\mathscr{T}$ et en déduire les coordonnées de $D$.
    $\quad$
    b. On appelle $S$ l’aire du domaine délimité par la courbe $\mathscr{C}_f$, les droites d’équations $y = 2, x = 2$ et $x = 2\e$.
    $S$ peut être encadrée par l’aire du triangle $ABI$ et celle du trapèze $AIDB$.
    Quel encadrement du volume de la cuve peut-on en déduire ?
    $\quad$
  3. a. Montrer que, sur l’intervalle $[2;2e]$, la fonction $G$ définie par $$G(x) = \dfrac{x^2}{2}\ln \left( \dfrac{x}{2}\right)-\dfrac{x^2}{4}$$
    est une primitive de la fonction $g$ définie par $g(x) = x\ln \left(\dfrac{x}{2}\right)$.
    b. En déduire une primitive $F$ de la fonction $f$ sur l’intervalle $[2;2e]$.
    $\quad$
    c. Déterminer la valeur exacte de l’aire $S$ et en déduire une valeur approchée du volume $V$ de la cuve au m$^3$ près.
    $\quad$

Partie B

Pour tout réel $x$ compris entre $2$ et $2e$, on note $v(x)$ le volume d’eau, exprimé en m$^3$, se trouvant dans la cuve lorsque la hauteur d’eau dans la cuve est égale à $f(x)$.
On admet que, pour tout réel $x$ de l’intervalle $[2;2e]$,

$$v(x) = 5\left[\dfrac{x^2}{2}\ln \left( \dfrac{x}{2}\right)-2x\ln\left(\dfrac{x}{2}\right)-\dfrac{x^2}{4} + 2x – 3\right]$$

 

  1. Quel volume d’eau, au m$^3$ près, y a-t-il dans la cuve lorsque la hauteur d’eau dans la cuve est de un mètre ?
    $\quad$
  2. On rappelle que $V$ est le volume total de la cuve, $f$ est la fonction définie en début d’exercice et $v$ la fonction définie dans la partie B.
    On considère l’algorithme ci-dessous.
    Interpréter le résultat que cet algorithme permet d’afficher.
    Variables :
    $\quad$ $a$ est un réel
    $\quad$ $b$ est un réel
    Traitement :
    $\quad$ $a$ prend la valeur $2$
    $\quad$ $b$ prend la valeur $2\e$
    $\quad$ Tant que $v(b)-v(a) > 10^{-3}$ faire :
    $\qquad$ $c$ prend la valeur $(a+b)/2$
    $\qquad$ Si $v(c) < V/2$, alors
    $\qquad$ $\quad$ $a$ prend la valeur $c$
    $\qquad$ Sinon
    $\qquad$ $\quad$ $b$ prend la valeur $c$
    $\qquad$ Fin Si
    $\quad$ Fin Tant que
    Sortie :
    $\quad$ Afficher $f(c)$
    $\quad$

Exercice 3    3 points

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $\Ouv$.
On considère le point $A$ d’affixe $4$, le point $B$ d’affixe $4\ic$ et les points $C$ et $D$ tels que $ABCD$ est un carré de centre $O$.
Pour tout entier naturel non nul $n$, on appelle $M_n$ le point d’affixe $z_n = (1+\ic)^n$.

  1. Écrire le nombre $1+\ic$ sous forme exponentielle.
    $\quad$
  2. Montrer qu’il existe un entier naturel $n_0$, que l’on précisera, tel que, pour tout entier $n \pg n_0$, le point $M_n$ est à l’extérieur du carré $ABCD$.
    $\quad$

Exercice 4    5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

On considère la pyramide régulière $SABCD$ de sommet $S$ constituée de la base carrée $ABCD$ et de triangles équilatéraux représentée ci-dessous.

 

 

Le point $O$ est le centre de la base $ABCD$ avec $OB=1$.
On rappelle que le segment $[SO]$ est la hauteur de la pyramide et que toutes les arêtes ont la même longueur.

  1. Justifier que le repère $\left(O;\vect{OB},\vect{OC},\vect{OS}\right)$ est orthonormé.
    Dans la suite de l’exercice, on se place dans le repère $\left(O;\vect{OB},\vect{OC},\vect{OS}\right)$.
    $\quad$
  2. On définit le point $K$ par la relation $\vect{SK} = \dfrac{1}{3} \vect{SD}$ et on note $I$ le milieu du segment $[SO]$.
    a. Déterminer les coordonnées du point $K$.
    $\quad$
    b. En déduire que les points $B$, $I$ et $K$ sont alignés.
    $\quad$
    c. On note $L$ le point d’intersection de l’arête $[SA]$ avec le plan $(BCI)$.
    Justifier que les droites $(AD)$ et $(KL)$ sont parallèles.
    $\quad$
    d. Déterminer les coordonnées du point $L$.
    $\quad$
  3. On considère le vecteur $\vect{n}\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}$ dans le repère $\left(O; \vect{OB},\vect{OC},\vect{OS}\right)$.
    a. Montrer que $\vect{n}$ est un vecteur normal au plan $(BCI)$.
    $\quad$
    b. Montrer que les vecteurs $\vect{n}$, $\vect{AS}$ et $\vect{DS}$ sont coplanaires.
    $\quad$
    c. Quelle est la position relative des plans $(BCI)$ et $(SAD)$ ?
    $\quad$

Exercice 4    5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

On dispose de deux urnes U et V contenant chacune deux boules. Au départ, l’urne U contient deux boules blanches et l’urne V contient deux boules noires.
On effectue des tirages successifs dans ces urnes de la façon suivante : chaque tirage consiste à prendre au hasard, de manière simultanée, une boule dans chaque urne et à la mettre dans l’autre urne.
Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $X_n$ la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches que contient l’urne U à la fin du $n$-ième tirage.

  1. a. Traduire par une phrase la probabilité $P_{(X_n=1)} \left(X_{n+1}=1\right)$ puis déterminer les probabilités conditionnelles suivantes : $$P_{(X_n=0)} \left(X_{n+1}=1\right) , P_{(X_n=1)} \left(X_{n+1}=1\right) \text{ et } P_{(X_n=2)} \left(X_{n+1}=1\right)$$
    $\quad$
    b. Exprimer $P\left(X_{n+1}=1\right)$ en fonction de $P\left(X_n=0\right)$,  $P\left(X_n=1\right)$ et $P\left(X_n=2\right)$.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $R_n$ la matrice ligne définie par : $$R_n = \begin{pmatrix}P\left(X_n=0\right)& P\left(X_n=1\right)& P\left(X_n=2\right)\end{pmatrix}$$ et on considère $M$ la matrice $\begin{pmatrix}0&1&0\\\dfrac{1}{4}&\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{4}\\0&1&0\end{pmatrix}$.
    On note $R_0$ la matrice ligne $\begin{pmatrix}0 &0 &1\end{pmatrix}$.
    On admettra par la suite que, pour tout entier naturel $n$, $R_{n+1}=R_n \times M$.
    Déterminer $R_1$ et justifier que, pour tout entier naturel $n$, $R_n = R_0 \times M^n$.
    $\quad$
  3. On admet que $M=P \times D \times P^{- 1}$ avec : $$P = \dfrac{1}{6} \begin{pmatrix}2&3&1\\-1&0&1\\2&- 3&1\end{pmatrix}, ~~ D = \begin{pmatrix}- \dfrac{1}{2}&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}\text{ et } P^{-1} = \begin{pmatrix}1&-2&1\\1&0&-1\\1&4&1\end{pmatrix}$$
    Établir que, pour tout entier naturel $n$, $M^n=P \times D^n \times P^{-1}$.
    On admettra que, pour tout entier naturel $n$, $D^n=\begin{pmatrix} \left(-\dfrac{1}{2}\right)^n&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}$.
    $\quad$
  4. a. Calculer $D^n \times P^{-1}$ en fonction de $n$.
    $\quad$
    b. Sachant que $R_0P = \begin{pmatrix}\dfrac{1}{3}&-\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{6} \end{pmatrix}$, déterminer les coefficients de $R_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  5. Déterminer $\lim\limits_{n \to + \infty} P\left(X_n = 0\right)$,  $\lim\limits_{n \to + \infty} P\left(X_n = 1\right)$ et $\lim\limits_{n \to + \infty} P\left(X_n = 2\right)$.
    Interpréter ces résultats.
    $\quad$

Bac S – Pondichéry avril 2016 – énoncé

Pondichéry – Avril 2016

Bac S – Mathématiques – Enoncé

La correction de ce sujet de bac est disponible ici.

Exercice 1  –  4 points

Les deux parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante

Partie A

Des études statistiques ont permis de modéliser le temps hebdomadaire, en heures, de connexion à internet des jeunes en France âgés de 16 à 24 ans par une variable aléatoire $T$ suivant une loi normale de moyenne $\mu = 13,9$ et d’écart type $\sigma$.
La fonction densité de probabilité de $T$ est représentée ci-dessous :

bac S - pondichery 2016 - ex1 - énoncé

  1. On sait que $p(T \pg 22) = 0,023$.
    En exploitant cette information :
    a. hachurer sur le graphique donné en annexe, deux domaines distincts dont l’aire est égale à $0,023$ ;
    $\quad$
    b. déterminer $P(5,8 \pp T \pp 22)$. Justifier le résultat.
    Montrer qu’une valeur approchée de $\sigma$ au dixième est $4,1$.
    $\quad$
  2. On choisit un jeune en France au hasard.
    Déterminer la probabilité qu’il soit connecté à internet plus de 18 heures par semaine.
    Arrondir au centième.
    $\quad$

Partie B

Dans cette partie, les valeurs seront arrondies au millième.
La Hadopi (Haute Autorité pour la diffusion des Œuvres et la Protection des droits sur Internet) souhaite connaître la proportion en France de jeunes âgés de 16 à 24 ans pratiquant au moins une fois par semaine le téléchargement illégal sur internet. Pour cela, elle envisage de réaliser un sondage.
Mais la Hadopi craint que les jeunes interrogés ne répondent pas tous de façon sincère. Aussi, elle propose le protocole $(\mathscr{P})$ suivant :

On choisit aléatoirement un échantillon de jeunes âgés de 16 à 24 ans.
Pour chaque jeune de cet échantillon :

  • le jeune lance un dé équilibré à 6 faces ; l’enquêteur ne connaît pas le résultat du lancer ;
  • l’enquêteur pose la question : “Effectuez-vous un téléchargement illégal au moins une fois par semaine ?”;

♦ si le résultat du lancer est pair alors le jeune doit répondre à la question par “Oui” ou “Non” de façon sincère ;
♦ si le résultat du lancer est “1” alors le jeune doit répondre “Oui”;
♦ si le résultat du lancer est “3 ou 5” alors le jeune doit répondre “Non”.

Grâce à ce protocole, l’enquêteur ne sait jamais si la réponse donnée porte sur la question posée ou résulte du lancer de dé, ce qui encourage les réponses sincères.

On note $p$ la proportion inconnue de jeunes âgés de 16 à 24 ans qui pratiquent au moins une fois par semaine le téléchargement illégal sur internet.

  1. Calculs de probabilités
    On choisit aléatoirement un jeune faisant parti du protocole $(\mathscr{P})$.
    On note : $R$ l’événement “le résultat du lancer est pair”, $O$ l’événement éle jeune a répondu Oui”.
    Reproduire et compléter l’arbre pondéré ci-dessous :
    bac S - pondichery 2016 - ex1.2 - énoncé
    $\quad$
    En déduire que la probabilité $q$ de l’événement “le jeune a répondu Oui”est : $$q = \dfrac{1}{2}p + \dfrac{1}{6}.$$
  2. Intervalle de confiance
    a. À la demande de l’Hadopi, un institut de sondage réalise une enquête selon le protocole $(\mathscr{P})$. Sur un échantillon de taille $1~500$, il dénombre $625$ réponses “Oui”.
    Donner un intervalle de confiance, au niveau de confiance de $95\%$, de la proportion $q$ de jeunes qui répondent “Oui” à un tel sondage, parmi la population des jeunes français âgés de 16 à 24 ans.
    $\quad$
    b. Que peut-on en conclure sur la proportion $p$ de jeunes qui pratiquent au moins une fois par semaine le téléchargement illégal sur internet ?
    $\quad$

Annexe Exercice 1

bac S - pondichery 2016 - ex1 - énoncé

Exercice 2  –  3 points

L’objectif de cet exercice est de trouver une méthode pour construire à la règle et au compas un pentagone régulier.

Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct $\Ouv$, on considère le pentagone régulier $A_0A_1A_2A_3A_4$, de centre $O$ tel que $\vect{OA_0} = \vect{u}$.
On rappelle que dans le pentagone régulier $A_0A_1A_2A_3A_4$, ci-dessous:

  • les cinq côtés sont de même longueur;
  • les points $A_0,\:A_1,\:A_2,\:A_3$ et $A_4$ appartiennent au cercle trigonométrique ;
  • pour tout entier $k$ appartenant à $\{0;1;2;3\}$ on a $\left(\vect{OA_k};\vect{OA_{k+1}}\right) = \dfrac{2\pi}{5}$.

bac S - pondichery 2016 - ex2 - énoncé

  1. On considère les points $B$ d’affixe $- 1$ et $J$ d’affixe $\dfrac{\ic}{2}$.
    Le cercle $\mathscr{C}$ de centre $J$ et de rayon $\dfrac{1}{2}$ coupe le segment $[BJ]$ en un point $K$.
    Calculer $BJ$, puis en déduire $BK$.
    $\quad$
  2. a. Donner sous forme exponentielle l’affixe du point $A_2$. Justifier brièvement.
    $\quad$
    b. Démontrer que $BA_2 ^2 = 2 + 2\cos \left(\dfrac{4\pi}{5}\right)$.
    $\quad$
    c. Un logiciel de calcul formel affiche les résultats ci-dessous, que l’on pourra utiliser sans justification :
    $$\begin{array}{|c|c|}
    \hline
    &\text{Calcul formel}\\
    \hline
    1&\cos (4*\text{pi}/5)\\
    &\to \dfrac{1}{4}\left(- \sqrt{5}-1\right)\\
    \hline
    2&\text{sqrt}((3 – \text{sqrt}(5))/2)\\
    \hline
    &\to \dfrac{1}{2}\left(\sqrt{5}-1\right)$\\
    \hline
    \end{array}$$
    “sqrt”  signifie “racine carrée”
    En déduire, grâce à ces résultats, que $BA_2 = BK$.
    $\quad$
  3. Dans le repère $\Ouv$ donné en annexe, construire à la règle et au compas un pentagone régulier. N’utiliser ni le rapporteur ni les graduations de la règle et laisser apparents les traits de construction.

Annexe Exercice 2

bac S - pondichery 2016 - ex2.2 - énoncé

 

Exercice 3  –  5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

bac S - pondichery 2016 - ex3 - énoncé

$ABCDEFGH$ désigne un cube de côté $1$.
Le point $I$ est le milieu du segment $[BF]$.
Le point $J$ est le milieu du segment $[BC]$.
Le point $K$ est le milieu du segment $[CD]$.

Partie A

Dans cette partie, on ne demande aucune justification

On admet que les droites $(IJ)$ et $(CG)$ sont sécantes en un point $L$.
Construire, sur la figure fournie en annexe et en laissant apparents les traits de construction:

  • Le point L;
  • l’intersection $\mathscr{D}$ des plans $(IJK)$ et $(CDH)$;
  • la section du cube par le plan $(IJK)$.

Partie B

L’espace est rapporté au repère $\left(A;\vect{AB},\vect{AD},\vect{AE}\right)$.

  1. Donner les coordonnées de $A$, $G$, $I$, $J$ et $K$ dans ce repère.
    a. Montrer que le vecteur $\vect{AG}$ est normal au plan $(IJK)$.
    $\quad$
    b. En déduire une équation cartésienne du plan $(IJK)$.
    $\quad$
  2. On désigne par $M$ un point du segment $[AG]$ et $t$ le réel de l’intervalle $[0;1]$ tel que $\vect{AM} = t\vect{AG}$.
    a. Démontrer que $MI^2 = 3t^2-3t+\dfrac{5}{4}$.
    $\quad$
    b. Démontrer que la distance $MI$ est minimale pour le point N$\left(\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}\right)$.
    $\quad$
  3. Démontrer que pour ce point $N\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}\right)$ :
    a. $N$ appartient au plan $(IJK)$.
    $\quad$
    b. La droite $(IN)$ est perpendiculaire aux droites $(AG)$ et $(BF)$.
    $\quad$

Exercice 3  –  5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

On considère les matrices $M$ de la forme $M = \begin{pmatrix}a&b\\5&3\end{pmatrix}$ où $a$ et $b$ sont des nombres entiers.
Le nombre $3a-5b$ est appelé le déterminant de $M$. On le note det$(M)$.
Ainsi det$(M) = 3a-5b$.

  1. Dans cette question on suppose que det$(M) \ne 0$ et on pose $N = \dfrac{1}{\text{det}(M)}\begin{pmatrix}3&- b\\- 5&a\end{pmatrix}$.
    Justifier que $N$ est l’inverse de $M$.
    $\quad$
  2. On considère l’équation $(E)$ det$(M) = 3$.
    On souhaite déterminer tous les couples d’entiers $(a;b)$ solutions de l’équation $(E)$.
    a. Vérifier que le couple $(6;3)$ est une solution de $(E)$.
    $\quad$
    b. Montrer que le couple d’entiers $(a;b)$ est solution de $(E)$ si et seulement si $3(a-6) = 5(b-3)$.
    En déduire l’ensemble des solutions de l’équation $(E)$.
    $\quad$

Partie B

  1. On pose $Q = \begin{pmatrix}6&3\\5& 3\end{pmatrix}$.
    En utilisant la partie A, déterminer la matrice inverse de $Q$.
    $\quad$
  2. Codage avec la matrice  $Q$
    Pour coder un mot de deux lettres à l’aide de la matrice $Q = \begin{pmatrix}6&3\\5& 3\end{pmatrix}$ on utilise la procédure ci-après :
    Étape 1 : On associe au mot la matrice $X = \begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}$ où $x_1$ est l’entier correspondant à la première lettre du mot et $x_2$ l’entier correspondant à la deuxième lettre du mot selon le tableau de correspondance ci-dessous :
    $$\begin{array}{l}
    \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    A &B &C &D &E &F &G &H &I& J &K &L &M\\
    \hline
    \phantom{1}0& \phantom{1}1 &\phantom{1}2 &\phantom{1}3 &\phantom{1}4 &\phantom{1}5 &\phantom{1}6 &\phantom{1}7 &\phantom{1}8 &\phantom{1}9 &10 &11 &12\\
    \hline
    \end{array} \\
    \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    N&O&P&Q&R&S&T&U&V&W&X&Y&Z\\
    \hline
    13&14&15&16&17&18&19&20&21&22&23&24&25\\ \hline
    \end{array}\end{array}
    $$
    Étape 2 : La matrice $X$ est transformée en la matrice $Y = \begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix}$ telle que $Y = QX$.
    Étape 3 : La matrice $Y$ est transformée en la matrice $R = \begin{pmatrix}r_1\\r_2\end{pmatrix}$ telle que $r_1$ est le reste de la division euclidienne de $y_1$ par $26$ et $r_2$ est le reste de la division euclidienne de $y_2$ par $26$.
    Étape 4 : À la matrice $R = \begin{pmatrix}r_1\\r_2\end{pmatrix}$ on associe un mot de deux lettres selon le tableau de correspondance de l’étape 1.
    $\quad$
    $$\text{Exemple} : JE \to X = \begin{pmatrix}9\\4\end{pmatrix} \to Y=\begin{pmatrix}66\\57\end{pmatrix} \to R=\begin{pmatrix}14\\5\end{pmatrix} \to OF.$$
    Le mot $JE$ est codé en le mot $OF$.
    Coder le mot $DO$.
    $\quad$
  3. Procédure de décodage
    On conserve les mêmes notations que pour le codage.
    Lors du codage, la matrice $X$ a été transformée en la matrice $Y$ telle que $Y = QX$.
    a. Démontrer que $3X = 3Q^{-1}Y$ puis que $\begin{cases}3x_1\equiv3r_1-3r_2 \quad [26]\\3x_2\equiv-5r_1+6r_2 \quad [26]\end{cases}$
    $\quad$
    b. En remarquant que $9 \times 3 \equiv 1 \quad [26]$, montrer que $\begin{cases}x_1\equiv r_1-r_2 \quad [26]\\x_2\equiv 7r_1 + 2r_2 \quad [26]\end{cases}$
    $\quad$
    c. Décoder le mot $SG$.
    $\quad$

Exercice 4  –  3 points

Soit $f$ la fonction définie sur $]0;14]$ par $$f(x) = 2-\ln\left(\dfrac{x}{2}\right).$$
La courbe représentative $\mathscr{C}_f$ de la fonction $f$ est donnée dans le repère orthogonal d’origine $O$ ci-dessous :

bac S - pondichery 2016 - ex4 - énoncé

À tout point $M$ appartenant à $\mathscr{C}_f$ on associe le point $P$ projeté orthogonal de $M$ sur l’axe des abscisses, et le point $Q$ projeté orthogonal de $M$ sur l’axe des ordonnées.

  • L’aire du rectangle O$PMQ$ est-elle constante quelle que soit la position du point $M$ sur $\mathcal{C}_f$ ?
    $\quad$
  • L’aire du rectangle O$PMQ$ peut-elle être maximale ?
    Si oui, préciser les coordonnées du point $M$ correspondant.
    $\quad$

Justifier les réponses.

Exercice 5  –  5 points

On souhaite stériliser une boîte de conserve.
Pour cela, on la prend à la température ambiante $T_0 = 25°$C et on la place dans un four à température constante $T_F = 100°$C.
La stérilisation débute dès lors que la température de la boîte est supérieure à $85°$C.

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes

Partie A : Modélisation discrète

Pour $n$ entier naturel, on note $T_n$ la température en degré Celsius de la boîte au bout de $n$ minutes. On a donc $T_0 = 25$.
Pour $n$ non nul, la valeur $T_n$ est calculée puis affichée par l’algorithme suivant :

Initialisation :
$\quad$ $T$ prend la valeur $25$
Traitement :
$\quad$ Demander la valeur de $n$
$\quad$ Pour $i$ allant de $1$ à $n$ faire
$\qquad$ $T$ prend la valeur $0,85 \times T+15$
$\quad$ Fin Pour
Sortie :
$\quad$ Afficher $T$

  1. Déterminer la température de la boîte de conserve au bout de $3$ minutes.
    Arrondir à l’unité.
    $\quad$
  2. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $T_n = 100-75 \times 0,85^n$.
    $\quad$
  3. Au bout de combien de minutes la stérilisation débute-elle ?
    $\quad$

Partie B : Modélisation continue

Dans cette partie, $t$ désigne un réel positif.
On suppose désormais qu’à l’instant $t$ (exprimé en minutes), la température de la boîte est donnée par $f(t)$ (exprimée en degré Celsius) avec : $$f(t) = 100-75\e^{-\frac{\ln 5}{10}t}.$$

  1. a. Étudier le sens de variations de $f$ sur $[0;+ \infty[$.
    $\quad$
    b. Justifier que si $t \pg 10$ alors $f(t) \pg 85$.
    $\quad$
  2. Soit $\theta$ un réel supérieur ou égal à $10$.
    On note $\mathscr{A}(\theta)$ le domaine délimité par les droites d’équation $t = 10, t = \theta,$ $y = 85$ et la courbe représentative $\mathscr{C}_f$ de $f$.
    On considère que la stérilisation est finie au bout d’un temps $\theta$, si l’aire, exprimée en unité d’aire du domaine $\mathscr{A}(\theta)$ est supérieure à $80$.
    bac S - pondichery 2016 - ex5 - énoncé
  3. Justifier, à l’aide du graphique donné en annexe, que l’on a $\mathscr{A}(25) > 80$.
    $\quad$
  4. Justifier que, pour $\theta \pg 10$, on a $\mathscr{A}(\theta) = 15(\theta-10)-75 \displaystyle\int_{10}^{\theta} \e^{- \frac{\ln 5}{10}t}\dt$.
    $\quad$
  5. La stérilisation est-elle finie au bout de $20$ minutes ?
    $\quad$

Annexe Exercice 5

bac S - pondichery 2016 - ex5 - énoncé

 

 

Bac S – Asie – Juin 2017

Asie – Juin 2017

Bac S – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A : étude d’un cas particulier

  1. La fonction $C$ est dérivable sur l’intervalle $[0;+\infty[$ comme composée et somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $\begin{align*} C'(t) &=12\left(-\left(-\dfrac{7}{80}\right)\e^{-\frac{7}{80}t}\right) \\
    &=\dfrac{21}{20}\e^{-\frac{7}{80}t}
    \end{align*}$
    La fonction exponentielle étant strictement positive, on a $C'(t)>0$ pour tout réel $t$ positif.
    La fonction $C$ est donc strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\left.\begin{array}{l}\lim\limits_{t \to +\infty} -\dfrac{7}{80}t=-\infty \\ \lim\limits_{T \to -\infty} \e^T=0\end{array} \right\}$ donc $\lim\limits_{t \to +\infty}\e^{-\frac{7}{80}t}=0$
    Ainsi $\lim\limits_{t \to +\infty} C(t)=12\neq 15$
    Le traitement de ce patient n’est donc pas efficace.
    $\quad$

Partie B : étude de fonctions

  1. La fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ comme composée, sommet et quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur cet intervalle.
    $\begin{align*} f'(x)&=105\times \dfrac{-x\times\left(-\dfrac{3}{40}\e^{-\frac{3}{40}x}\right)-\left(1-\e^{-\frac{3}{40}x}\right)}{x^2} \\
    &=105\times \dfrac{\dfrac{3x}{40}\e^{-\frac{3}{40}x}+\e^{-\frac{3}{40}x}-1}{x^2} \\
    &=\dfrac{105g(x)}{x^2}
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. D’après le tableau de variation de la fonction $g$ on sait que $g(x)\pp 0$ pour tout réel $x$ positif.
    Par conséquent, pour tout réel $x$ strictement positif, $f'(x)\pp 0$.
    La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur l’intervalle $]0;+\infty[$.
    $\quad$
  3. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur l’intervalle $[1;80]$.
    $f(1)=105\left(1-\e^{-\frac{3}{40}}\right)\approx 7,59 >5,9$
    $f(80)=\dfrac{105}{80}\left(1-\e^{-6}\right) \approx 1,31<5,9$
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=5,9$ possède une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[1;80]$.
    D’après la calculatrice $\alpha \approx 8,1$
    $\quad$

Partie C : détermination d’un traitement adéquat

  1. a. $C(6)=\dfrac{105}{a}\left(1-\e^{-\frac{3a}{40}}\right)=f(a)$
    $\quad$
    b. D’après la question B.3. on en déduit que $a\approx 8,1$ l.m$^{-1}$.
    $\quad$
  2. On a donc $C(t)=\dfrac{d}{8,1}\left(1-\e^{-\frac{8,1}{80}t}\right)$.
    $\left.\begin{array}{l}\lim\limits_{t \to +\infty} -\dfrac{8,1}{80}t=-\infty \\ \lim\limits_{T \to -\infty} \e^T=0\end{array} \right\}$ donc $\lim\limits_{t \to +\infty}\e^{-\frac{8,1}{80}t}=0$
    Ainsi $\lim\limits_{t \to +\infty} C(t)=\dfrac{d}{8,1}$
    On veut que le plateau soit égal à $15$
    $\ssi \dfrac{d}{8,1}=15$
    $\ssi d= 121,5$ µmol.h$^{-1}$.
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

  1. On peut écrire dans la cellule $B3$ la formule $=A3/(2*A2+4)*B2$
    $\quad$
  2. a. Il semblerait que $u_n=0,5^n$ pour tout entier naturel $n$.
    $\quad$
    b. Montrons cette propriété par récurrence.
    Initialisation : Si $n=0$, $v_0=1$ et $0,5^0=1$.
    La propriété est donc vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$. On a donc $v_n=0,5^n$
    $\begin{align*} v_{n+1}&=(n+2)u_{n+1} \\
    &=\dfrac{(n+2)(n+1)}{2n+4}u_n \\
    &=\dfrac{(n+2)(n+1)}{2(n+2)}u_n\\
    &=\dfrac{n+1}{2}u_n\\
    &=0,5v_n \\
    &=0,5^{n+1}
    \end{align*}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $v_n=0,5^n$.
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=\dfrac{v_n}{n+1}=\dfrac{0,5^n}{n+1}$
    $-1<0,5<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,5^n=0$.
    De plus $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n+1}=0$.
    Donc $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=0$.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

  1. On appelle :
    $\bullet$ $T$ l’événement “le dé choisi est truqué”;
    $\bullet$ $S$ l’événement “on obtient $6$”.
    On obtient donc l’arbre pondéré suivant :

    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(S)&=p(T\cap S)+p\left(\conj{T}\cap S\right) \\
    &=0,5\times 0,5+0,5\times \dfrac{1}{6} \\
    &=\dfrac{1}{3}
    \end{align*}$
    On veut calculer :
    $\begin{align*} p_S(T)&=\dfrac{p(T\cap S)}{p(S)} \\
    &=\dfrac{0,5\times 0,5}{\dfrac{1}{3}} \\
    &=\dfrac{3}{4}\\
    &\neq \dfrac{2}{3}
    \end{align*}$
    Affirmation 1 fausse.
    $\quad$
  2. On a $z_M=2\e^{-\ic \frac{\pi}{3}}=1-\ic\sqrt{3}$
    $\begin{align*} z_N&=\dfrac{3-\ic}{2+\ic} \\
    &=\dfrac{(3-\ic)(2-\ic)}{2^2+1^2} \\
    &=\dfrac{5-5\ic}{5}\\
    &=1-\ic
    \end{align*}$
    L’affixe du vecteur $\vect{MN}$ est donc :
    $\begin{align*} z_{\vect{MN}}&=z_n-z_M\\
    &=1-\ic-\left(1-\ic\sqrt{3}\right) \\
    &=\left(\sqrt{3}-1\right)\ic
    \end{align*}$
    Le vecteur $\vect{MN}$ est donc colinéaire à un vecteur directeur de l’axe des ordonnées.
    Affirmation 2 vraie.
    $\quad$
  3. Un vecteur directeur de la droite $d$ est $\vec{u}(1;0;2)$.
    $\vect{AB}(2;-1;-1)$ et $\vect{AC}(6;0;-3)$
    Les vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$ ne sont clairement pas colinéaires.
    $\vec{u}.\vect{AB}=2+0-2=0$
    $\vect{u}.\vect{AC}=6+0-6=0$
    Le vecteur $\vec{u}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$.
    La droite $d$ est ainsi orthogonale au plan $(ABC)$.
    Affirmation 3 vraie.
    $\quad$
  4. Le vecteur $\vec{u}(1;0;2)$ dirige la droite $d$ et le vecteur $\vec{v}(2;1;3)$ dirige la droite $\Delta$.
    Ces deux vecteurs ne sont clairement pas colinéaires. Donc les droites $d$ et $\Delta$ ne sont pas parallèles.
    Regardons si les droites sont sécantes.
    Une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est $\begin{cases} x=1+2k\\y=4+k\\z=1+3k\end{cases} \quad ,k\in\R$.
    On veut résoudre le système :
    $\begin{align*} \begin{cases} 1+t=1+2k\\2=4+k\\3+2t=1+3k\end{cases} &\ssi \begin{cases} t=2k\\k=-2\\2+2t=3k\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} k=-2\\t=-4\\2-8=-6 \end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} k=-2\\t=-4\\-6=-6\end{cases}\end{align*}$
    Les deux droites sont donc sécantes en $D(-3;2;-5)$.
    Elles sont par conséquent coplanaires.
    Affirmation 4 fausse.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie A : valeur exacte de l’intégrale $\boldsymbol{I}$

  1. $I$ est l’aire du domaine compris entre la courbe représentant la fonction $x\mapsto \dfrac{1}{1+x}$, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=0$ et $x=1$.
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align*} \displaystyle I&=\int_0^1\dfrac{1}{1+x}\dx \\
    &=\big[\ln(1+x)\big]_0^1 \\
    &=\ln(2)-\ln(1) \\
    &=\ln(2)
    \end{align*}$
    $\quad$

Partie B : estimation de la valeur de $J$

  1. Variables
    $\quad$ $n,c,f,i,x,y$ sont des nombres
    Traitement
    $\quad$ Lire la valeur de $n$
    $\quad$ $c$ prend la valeur $0$
    $\quad$ pour $i$ allant de $1$ à $n$ faire
    $\qquad$ $x$ prend une valeur aléatoire entre $0$ et $1$
    $\qquad$ $y$ prend la valeur une valeur aléatoire entre $0$ et $1$
    $\qquad$ Si $\dfrac{1}{1+x^2}\pg y$ alors
    $\qquad$ $\quad$ $c$ prend la valeur $c+1$
    $\qquad$ Fin si
    $\quad$ Fin pour
    $\quad$ $f$ prend la valeur $\dfrac{c}{n}$
    Sortie
    $\quad$ Afficher $f$
    $\quad$
  2. On a $n=1~000 \pg 30$ et $f=0,781$ donc $nf=781 \pg 5$ et $n(1-f)=219\pg 5$.
    Un intervalle de confiance au niveau de confiance de $95\%$, est donc :
    $\begin{align*} I_{1~000}&=\left[0,781-\dfrac{1}{\sqrt{1~000}};0,781+\dfrac{1}{\sqrt{1~000}}\right] \\
    &\approx [0,749;0,813]
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. Un intervalle de confiance est de la forme $\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}};f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$.
    Donc son amplitude est $f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\left(f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right)=\dfrac{2}{\sqrt{n}}$.
    On veut donc résoudre :
    $\dfrac{2}{\sqrt{n}}=0,02 \ssi \sqrt{n}=100 \ssi n=10~000$
    $\quad$

Ex 5 obl

Exercice 5

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Question préliminaire

$\begin{align*} P(T>a)&=\displaystyle 1-P(\pp a) \\
&1-\int_0^a \lambda\e^{-\lambda t}\dt \\
&=1-\left[-\e^{-\lambda t}\right]_0^a \\
&=1+\e^{-\lambda a}-1\\
&=\e^{-\lambda a}
\end{align*}$

Partie A : étude d’un exemple

  1. On veut calculer $P(T\pg 180)=\e^{-\frac{180}{2~800}}$ $=\e^{-\frac{9}{140}}$ $\approx 0,938$
    $\quad$
  2. On veut calculer :
    $P_{(T\pg 180)}(T \pg 180+180) = P(T\pg 180)$ $\approx 0,938$ car la loi exponentielle est à durée de vie sans vieillissement.
    $\quad$

Partie B : contrôle de la durée de vie moyenne

On a $n=400 \pg 30$ et $p=0,94$ donc $np=376 \pg 5$ et $n(1-p)=24 \pg 5$.
Un intervalle de fluctuation au seuil de $95\%$ est donc :
$\begin{align*} I_{400}&=\left[0,94-1,96\sqrt{\dfrac{0,94\times 0,06}{400}};0,94+1,96\sqrt{\dfrac{0,94\times 0,06}{400}}\right] \\
&\approx [0,916;0,964]
\end{align*}$
$32$ lampes sont en panne; cela signifie donc que $368$ ont une durée de vie supérieure à $180$ heures.
La fréquence observée est donc $f=\dfrac{368}{400}=0,92 \in I_{400}$
Ces tests ne remettent donc pas, au risque de $5\%$, la proportion annoncée par le fabricant.
$\quad$

Partie C : dans une salle de spectacle

  1. $P(X>445)=0,5-P(440<X<445) \approx 0,247$ d’après la calculatrice.
    $\quad$
  2. À l’aide de la touche Inverser loi normale de la calculatrice, on trouve la valeur de $a$ telle que $P(X>a)>0,95 \ssi P(X\pp a)<0,05$ et on obtient $a\approx 427,993$.
    On doit donc prévoir un stock d’au moins $500-427=73$ lampes pour que la probabilité de pouvoir changer toutes les lampes défectueuses, après un an, soit supérieure à $95\%$.
    $\quad$

 

Ex 5 spé

Exercice 5

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A : ligne de transmission

  1. a. On considère la matrice $P=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}$
    Son déterminant est : $1\times (-1)-1\times 1=-1-1=-2\neq 0$
    La matrice $P$ est donc inversible.
    L’inverse de la matrice $P$ est alors :
    $$P^{-1}=\begin{pmatrix}0,5&0,5\\0,5&-0,5\end{pmatrix}$$
    $\quad$
    b. On a $DP^{-1}=\begin{pmatrix}0,5&0,5\\p-0,5&0,5-p\end{pmatrix}$
    Donc $PDP^{-1}=\begin{pmatrix}0,5+p-0,5&0,5+0,5-p\\0,5+0,5-p&0,5-0,5+p\end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix}p&1-p\\1-p&p\end{pmatrix}$ $=A$
    $\quad$
    c. Initialisation : Si $n=1$
    D’après la question précédente, la propriété est vraie au rang $1$.
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $A^n=PD^nP^{-1}$.
    $\begin{align*} A^{n+1}&=AA^n\\
    &=PDP^{-1}PD^nP^{-1}\\
    &=PDD^nP^{-1}\\
    &=PD^{n+1}P^{-1}
    \end{align*}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n\pg 1$ on a $A^n=PDP^{-1}$.
    $\quad$
    d. D’après le logiciel de calcul formel on a :
    $A_n=\begin{pmatrix}p_n\\q_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{(2p-1)^n+1}{2}\\\dfrac{-(2p-1)^n+1}{2}\end{pmatrix}$
    Donc $q_n=\dfrac{1-(2p-1)^n}{2}$
    $\quad$
  2. On a $q_n=\dfrac{1-0,96^n}{2}$
    On veut donc trouver la plus grande valeur de l’entier naturel $n$ tel que :
    $\begin{align*} \dfrac{1-0,96^n}{2} \pp 0,25 &\ssi 1-0,96^n\pp 0,5 \\
    &-0,96^n \pp -0,5\\
    &0,96^n\pg 0,5 \\
    &n\ln(0,96) \pg \ln(0,5)\\
    &n\pp \dfrac{\ln(0,5)}{\ln(0,96)}
    \end{align*}$
    Ainsi $n \pp 16$
    On peut donc aligner au maximum $16$ lignes de transmission.
    $\quad$

Partie B : étude d’un code correcteur, le code de Hamming $\boldsymbol{(7,4)}$

  1. a. $c_1$, $c_2$ et $c_3$ sont des restes de division euclidienne par $2$. Leurs valeurs ne peuvent donc être que $0$ ou $1$.
    $\quad$
    b. $b_2+b_3+b_4=1$. Or $1\equiv 1~~[2]$ donc $c_1=1$
    $b_1+b_3+b_4=2$. Or $2\equiv 0~~[2]$ donc $c_2=0$
    $b_1+b_2+b_4=2$ donc $c_3=0$
    Ainsi la clé de contrôle associée au mot $1001$ est $100$.
    $\quad$
  2. $\bullet$ $c_1$ ne dépend pas de $b_1$ donc la valeur de $c_1$ est inchangée.
    $\bullet$ Si $b_1=0$ alors $b_1$ prend la valeur $1$
    $\quad$ Si $c_2=0$ alors $c_2$ prend la valeur $0+1$ modulo $2$ soit $1$
    $\quad$ Si $c_2=1$ alors $c_2$ prend la valeur $1+1$ modulo $2$ soit $0$
    $\phantom{\bullet$}$ Si $b_1=1$ alors $b_1$ prend la valeur $0$
    $\quad$ Si $c_2=0$ alors $c_2$ prend la valeur $0-1$ modulo $2$ soit $1$
    $\quad$ Si $c_2=1$ alors $c_2$ prend la valeur $1-1$ modulo $2$ soit $0$
    Dans tous les cas $c_2$ a été modifié.
    $\bullet$ Si $b_1=0$ alors $b_1$ prend la valeur $1$
    $\quad$ Si $c_3=0$ alors $c_3$ prend la valeur $0+1$ modulo $2$ soit $1$
    $\quad$ Si $c_3=1$ alors $c_3$ prend la valeur $1+1$ modulo $2$ soit $0$
    $\phantom{\bullet$}$ Si $b_1=1$ alors $b_1$ prend la valeur $0$
    $\quad$ Si $c_3=0$ alors $c_3$ prend la valeur $0-1$ modulo $2$ soit $1$
    $\quad$ Si $c_3=1$ alors $c_3$ prend la valeur $1-1$ modulo $2$ soit $0$
    Dans tous les cas $c_3$ a été modifié.
    $\quad$
  3. $\quad$
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    &b_1&b_2&b_3&b_4&c_1&c_2&c_3&\text{Aucun}\\
    \hline
    c_1&J&F&F&F&F&J&J&J\\
    \hline
    c_2&F&J&F&F&J&F&J&J\\
    \hline
    c_3&F&F&J&F&J&J&F&J\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
  4. Si aucun bit n’est modifié alors :
    $c_1+b_2+b_3+b_4\equiv 0~~[2] \quad (1)$
    $c_2+b_1+b_3+b_4\equiv 0~~[2] \quad (2)$
    $c_3+b_1+b_2+b_4\equiv 0~~[2] \quad (3)$
    En revanche si un bit reçu est erroné alors
    L’une des sommes précédentes est égale à $1$ modulo $2$.
    On est donc en mesure de signaler une erreur.
    Si les sommes $(2)$ et $(3)$ sont égales à $(1)$ modulo $2$ alors l’erreur est sur $b_1$.
    On peut faire les mêmes raisonnements pour $b_2$ et $b_3$.
    Si les trois sommes sont égales à $1$ modulo $2$ alors l’erreur est sur $b_4$.
    Si seule la somme $(1)$ est égale à $1$ modulo $2$ alors l’erreur est sur $c_1$.
    On peut faire un raisonnement similaire pour $c_2$ et $c_3$.
    Dans tous les cas on peut diagnostiquer l’erreur et la corriger.
    $\quad$
  5. $A=0100010$
    Alors $c_1+b_2+b_3+b_4\equiv 1~~[2]$
    $c_2+b_1+b_3+b_4\equiv 1~~[2]$
    $c_3+b_1+b_2+b_4\equiv 1~~[2]$
    L’erreur porte donc sur $b_4$ et le message corrigé est $0101010$
    $\quad$
    $B=1101001$
    Alors $c_1+b_2+b_3+b_4\equiv 0~~[2]$
    $c_2+b_1+b_3+b_4\equiv 0~~[2]$
    $c_3+b_1+b_2+b_4\equiv 0~~[2]$
    Le message ne comporte pas d’erreur de transmission.

Énoncé

Exercice 1    5 points

Un protocole de traitement d’une maladie, chez l’enfant, comporte une perfusion longue durée d’un médicament adapté. La concentration dans le sang du médicament au cours du temps est modélisée par la fonction $C$ définie sur l’intervalle $[0;+ \infty[$ par : $$C(t) = \dfrac{d}{a}\left(1-\e^{-\frac{a}{80} t}\right)$$ où
$C$ désigne la concentration du médicament dans le sang, exprimée en micromole par litre,
$t$ le temps écoulé depuis le début de la perfusion, exprimé en heure,
$d$ le débit de la perfusion, exprimé en micromole par heure,
$a$ un paramètre réel strictement positif, appelé clairance, exprimé en litre par heure.
Le paramètre $a$ est spécifique à chaque patient.

En médecine, on appelle “plateau” la limite en $+ \infty$ de la fonction $C$.

Partie A : étude d’un cas particulier

La clairance $a$ d’un certain patient vaut $7$, et on choisit un débit $d$ égal à $84$.
Dans cette partie, la fonction $C$ est donc définie sur $[0;+ \infty[$ par : $C(t) = 12\left(1-\e^{-\frac{7}{80} t}\right)$.

  1. Étudier le sens de variation de la fonction $C$ sur $[0;+ \infty[$.
    $\quad$
  2. Pour être efficace, le plateau doit être égal à $15$. Le traitement de ce patient est-il efficace ?
    $\quad$

Partie B : étude de fonctions

  1. Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+ \infty[$ par : $f(x) = \dfrac{105}{x} \left(1-\e^{-\frac{3}{40}x}\right)$.
    Démontrer que, pour tout réel $x$ de $]0;+ \infty[$, $f'(x) = \dfrac{105g(x)}{x^2}$, où $g$ est la fonction définie sur $[0;+ \infty[$ par : $g(x) = \dfrac{3x}{40}\e^{-\frac{3}{40}x}\ + \e^{-\frac{3}{40}x}-1$.
    $\quad$
  2. On donne le tableau de variation de la fonction $g$ :

    En déduire le sens de variation de la fonction $f$.
    On ne demande pas les limites de la fonction $f$.
    $\quad$
  3. Montrer que l’équation $f(x) = 5,9$ admet une unique solution sur l’intervalle $[1;80]$.
    En déduire que cette équation admet une unique solution sur l’intervalle $]0;+ \infty[$.
    Donner une valeur approchée de cette solution au dixième près.
    $\quad$

Partie C : détermination d’un traitement adéquat

Le but de cette partie est de déterminer, pour un patient donné, la valeur du débit de la perfusion qui permette au traitement d’être efficace, c’est-à-dire au plateau d’être égal à $15$.
Au préalable, il faut pouvoir déterminer la clairance $a$ de ce patient. À cette fin, on règle provisoirement le débit $d$ à $105$, avant de calculer le débit qui rende le traitement efficace.
On rappelle que la fonction $C$ est définie sur l’ intervalle $[0;+ \infty[$ par : $C(t) = \dfrac{d}{a}\left(1-\e^{-\frac{a}{80} t}\right)$.

  1. On cherche à déterminer la clairance a d’un patient. Le débit est provisoirement réglé à $105$.
    a. Exprimer en fonction de $a$ la concentration du médicament $6$ heures après le début de la perfusion.
    $\quad$
    b. Au bout de $6$ heures, des analyses permettent de connaître la concentration du médicament dans le sang; elle est égale à $5,9$ micromole par litre.
    Déterminer une valeur approchée, au dixième de litre par heure, de la clairance de ce patient.
    $\quad$
  2. Déterminer la valeur du débit $d$ de la perfusion garantissant l’efficacité du traitement.
    $\quad$

Exercice 2    3 points

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par: $u_0=1$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\left(\dfrac{n+1}{2n+4}\right)u_n$.

On définit la suite $\left(v_n\right)$ par : pour tout entier naturel $n$, $v_n=(n+1)u_n$.

  1. La feuille de calcul ci-dessous présente les valeurs des premiers termes des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$, arrondies au cent-millième.
    Quelle formule, étirée ensuite vers le bas, peut-on écrire dans la cellule $B3$ de la feuille de calcul pour obtenir les termes successifs de $\left(u_n\right)$ ?
  2. a. Conjecturer l’expression de $v_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
    b. Démontrer cette conjecture.
    $\quad$
  3. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$

Exercice 3    4 points

Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte. Une absence de réponse n’est pas pénalisée.

  1. On dispose de deux dés, identiques d’aspect, dont l’un est truqué de sorte que le $6$ apparaît avec la probabilité $\dfrac{1}{2}$. On prend un des deux dés au hasard, on le lance, et on obtient $6$.
    Affirmation 1 : la probabilité que le dé lancé soit le dé truqué est égale à $\dfrac{2}{3}$.
    $\quad$
  2. Dans le plan complexe, on considère les points $M$ et $N$ d’affixes respectives $z_{M} = 2\e^{-\ic\frac{\pi}{3}}$ et $z_{N} = \dfrac{3 -\ic}{2 +\ic}$.
    Affirmation 2 : la droite $(MN)$ est parallèle à l’axe des ordonnées.
    $\quad$

Dans les questions 3. et 4., on se place dans un repère orthonormé $\Oijk$ de l’espace et l’on considère la droite $d$ dont une représentation paramétrique est : $\begin{cases}x =1+ t\\y= 2\\z= 3+2t\end{cases}, t \in \R$.

  1. On considère les points $A$, $B$ et $C$ avec $A(-2;2;3)$, $B(0;1;2)$ et $C(4;2;0)$.
    On admet que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
    Affirmation 3 : la droite $d$ est orthogonale au plan $(ABC)$.
    $\quad$
  2. On considère la droite $\Delta$ passant par le point $D(1;4;1)$ et de vecteur directeur $\vec{v}(2;1;3)$.
    Affirmation 4 : la droite $d$ et la droite $\Delta$ ne sont pas coplanaires.
    $\quad$

Exercice 4    3 points

L’objet du problème est l’étude des intégrales $I$ et $J$ définies par : $$I = \int_0^1 \dfrac{1}{1+x}\dx\quad \text{ et }\quad J = \int_0^1 \dfrac{1}{1+x^2}\dx$$

Partie A : valeur exacte de l’intégrale $\boldsymbol{I}$

  1. Donner une interprétation géométrique de l’intégrale $I$.
    $\quad$
  2. Calculer la valeur exacte de $I$.
    $\quad$

Partie B : estimation de la valeur de $\boldsymbol{J}$

Soit $g$ la fonction définie sur l’intervalle $[0;1]$ par $g(x) = \dfrac{1}{1+x^2}$.

On note $C_g$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan.

On a donc : $J = \displaystyle\int_0^1 g(x)\dx$.
Le but de cette partie est d’évaluer l’intégrale $J$ à l’aide de la méthode probabiliste décrite ci-après.
On choisit au hasard un point $M(x;y)$ en tirant de façon indépendante ses coordonnées $x$ et $y$ au hasard selon la loi uniforme sur $[0;1]$.
On admet que la probabilité $p$ qu’un point tiré de cette manière soit situé sous la courbe $C_g$ est égale à l’intégrale $J$.
En pratique, on initialise un compteur $c$ à $0$, on fixe un entier naturel $n$ et on répète $n$ fois le processus suivant :

  • on choisit au hasard et indépendamment deux nombres $x$ et $y$, selon la loi uniforme sur $[0;1]$ ;
  • si $M(x;y)$ est au-dessous de la courbe $C_g$ on incrémente le compteur $c$ de $1$.

On admet que $f=\dfrac{c}{n}$ est une valeur approchée de $J$. C’est le principe de la méthode dite de Monte-Carlo.

La figure ci-dessous illustre la méthode présentée pour $n = 100$.
$100$ points ont été placés aléatoirement dans le carré.
Les disques noirs correspondent aux points sous la courbe, les disques blancs aux points au-dessus de la courbe.
Le rapport du nombre de disques noirs par le nombre total de disques donne une estimation de l’aire sous la courbe.

 

  1. Recopier et compléter l’algorithme ci-après pour qu’il affiche une valeur approchée de $J$.
    Variables
    $\quad$ $n$, $c$, $f$, $i$, $x$, $y$ sont des nombres
    Traitement
    $\quad$ Lire la valeur de $n$
    $\quad$ $c$ prend la valeur $\ldots\ldots$
    $\quad$ Pour $i$ allant de $1$ à $\ldots\ldots$ faire
    $\qquad$ $x$ prend une valeur aléatoire entre $0$ et $1$
    $\qquad$ $y$ prend $\ldots\ldots$
    $\qquad$ Si $\ldots\ldots$ alors
    $\qquad$ $\ldots\ldots$ prend la valeur $\ldots\ldots$
    $\qquad$ Fin si
    $\quad$ Fin pour
    $f$ prend la valeur $\ldots\ldots$
    Sortie
    $\quad$ Afficher $f$
    $\quad$
  2. Pour $n = 1~000$, l’algorithme ci-dessus a donné pour résultat : $f = 0,781$.
    Donner un intervalle de confiance, au niveau de confiance de $95\%$, de la valeur exacte de $J$.
    $\quad$
  3. Quelle doit-être, au minimum, la valeur de $n$ pour que l’intervalle de confiance, au niveau de confiance de $95\%$, ait une amplitude inférieure ou égale à $0,02$ ?
    $\quad$

Exercice 5    5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Question préliminaire

Soit $T$ une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, où $\lambda$ désigne un réel strictement positif.
On rappelle que, pour tout réel $a$ positif, on a : $P( T \pp a) = \displaystyle\int_0^{a}\lambda \e^{-\lambda t}\dt$.
Démontrer que, pour tout réel $a$ positif, $P(T > a) = \e^{-\lambda a}$.

Dans la suite de l’exercice, on considère des lampes à led dont la durée de vie, exprimée en jour, est modélisée par une variable aléatoire $T$ suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda = \dfrac{1}{2~800}$.

Les durées seront données au jour près, et les probabilités au millième près

Partie A : étude d’un exemple

  1. Calculer la probabilité qu’une lampe fonctionne au moins $180$ jours.
    $\quad$
  2. Sachant qu’une telle lampe a déjà fonctionné $180$ jours, quelle est la probabilité qu’elle fonctionne encore au moins $180$ jours?
    $\quad$

Partie B : contrôle de la durée de vie moyenne

Le fabricant de ces lampes affirme que, dans sa production, la proportion de lampes qui ont une durée de vie supérieure à $180$ heures est de $94\%$.
Un laboratoire indépendant qui doit vérifier cette affirmation fait fonctionner un échantillon aléatoire de $400$ lampes pendant $180$ jours.
On suppose que les lampes tombent en panne indépendamment les unes des autres.
Au bout de ces $180$ jours, $32$ de ces lampes sont en panne.
Au vu des résultats des tests, peut-on remettre en cause, au seuil de $95\%$, la proportion annoncée par le fabricant ?

Partie C : dans une salle de spectacle

Pour éclairer une salle de spectacle, on installe dans le plafond $500$ lampes à led.
On modélise le nombre de lampes fonctionnelles après $1$ an par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale de moyenne $\mu = 440$ et d’écart-type $\sigma = 7,3$.

  1. Calculer $P (X > 445)$, la probabilité que plus de $445$ lampes soient encore fonctionnelles après un an.
    $\quad$
  2. Lors de l’installation des lampes dans le plafond, la direction de la salle veut constituer un stock de lampes.
    Quelle doit-être la taille minimale de ce stock pour que la probabilité de pouvoir changer toutes les lampes défectueuses, après un an, soit supérieure à $95\%$ ?
    $\quad$

Exercice 5    5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Les deux parties sont indépendantes

Un bit est un symbole informatique élémentaire valant soit $0$, soit $1$.

Partie A : ligne de transmission

Une ligne de transmission transporte des bits de données selon le modèle suivant :

  • elle transmet le bit de façon correcte avec une probabilité $p$ ;
  • elle transmet le bit de façon erronée (en changeant le $1$ en $0$ ou le $0$ en $1$) avec une probabilité $1-p$.

On assemble bout à bout plusieurs lignes de ce type, et on suppose qu’elles introduisent des erreurs de façon indépendante les unes des autres.

On étudie la transmission d’un seul bit, ayant pour valeur $1$ au début de la transmission.
Après avoir traversé $n$ lignes de transmission, on note :

  • $p_n$ la probabilité que le bit reçu ait pour valeur $1$ ;
  • $q_n$ la probabilité que le bit reçu ait pour valeur $0$.

On a donc $p_0 = 1$ et $q_0 = 0$.
On définit les matrices suivantes :
$$A = \begin{pmatrix}p& 1-p\\1-p&p\end{pmatrix}\quad X_n = \begin{pmatrix}p_n\\q_n\end{pmatrix} \quad P = \begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}$$

On admet que, pour tout entier $n$, on a : $X_{n+1} = AX_n$ et donc, $X_n = A^n X_0$.

  1. a. Montrer que $P$ est inversible et déterminer $P^{-1}$.
    $\quad$
    b. On pose : $D = \begin{pmatrix} 1&0\\0 & 2p-1\end{pmatrix}$.
    Vérifier que : $A = PDP^{-1}$.
    $\quad$
    c. Montrer que, pour tout entier $n \pg 1$, $$A^n = PD^n P^{-1}.$$
    $\quad$
    d. En vous appuyant sur la copie d’écran d’un logiciel de calcul formel donnée ci-dessous, déterminer l’expression de $q_n$ en fonction de $n$.
  2. On suppose dans cette question que $p$ vaut $0,98$. On rappelle que le bit avant transmission a pour valeur $1$. On souhaite que la probabilité que le bit reçu ait pour valeur $0$ soit inférieure ou égale à $0,25$. Combien peut-on, au maximum, aligner de telles lignes de transmission ?
    $\quad$

Partie B : étude d’un code correcteur, le code de Hamming $\boldsymbol{(7, 4)}$

On rappelle qu’un bit est un symbole informatique élémentaire valant soit $0$, soit $1$.

On considère un “mot” formé de $4$ bits que l’on note $b_1$, $b_2$, $b_3$ et $b_4$.
Par exemple, pour le mot “$1101$”, on a $b_1 = 1$, $b_2 = 1$, $b_3 = 0$ et $b_4 = 1$.
On ajoute à cette liste une clé de contrôle $c_1c_2c_3$ formée de trois bits :

  • $c_1$ est le reste de la division euclidienne de $b_2 + b_3 + b_4$ par $2$ ;
  • $c_2$ est le reste de la division euclidienne de $b_1 + b_3 + b_4$ par $2$ ;
  • $c_3$ est le reste de la di vision euclidienne de $b_1 + b_2 + b_4$ par $2$.

On appelle alors “message” la suite de $7$ bits formée des $4$ bits du mot et des $3$ bits de contrôle.

  1. Préliminaires
    a. Justifier que $c_1$, $c_2$ et $c_3$ ne peuvent prendre comme valeurs que $0$ ou $1$.
    $\quad$
    b. Calculer la clé de contrôle associée au mot $1001$.
    $\quad$
  2. Soit $b_1b_2b_3b_4$ un mot de $4$ bits et $c_1c_2c_3$ la clé associée.
    Démontrer que si on change la valeur de $b_1$ et que l’on recalcule la clé, alors :
    $\checkmark$ la valeur de $c_1$ est inchangée ;
    $\checkmark$ la valeur de $c_2$ est modifiée ;
    $\checkmark$ la valeur de $c_3$ est modifiée.
    $\quad$
  3. On suppose que, durant la transmission du message, au plus un des $7$ bits a été transmis de façon erronée. À partir des quatre premiers bits du message reçu, on recalcule les $3$ bits de contrôle, et on les compare avec les bits de contrôle reçus.
    Sans justification, recopier et compléter le tableau ci-dessous. La lettre $F$ signifie que le bit de contrôle reçu ne correspond pas au bit de contrôle calculé, et $J$ que ces deux bits sont égaux.
  4. Justifier rapidement, en vous appuyant sur le tableau, que si un seul bit reçu est erroné, on peut dans tous les cas déterminer lequel, et corriger l’erreur.
    $\quad$
  5. Voici deux messages de $7$ bits : $$A = 0100010 \quad \text{et} \quad B = 1101001$$
    On admet que chacun d’eux comporte au plus une erreur de transmission.
    Dire s’ils comportent une erreur, et la corriger le cas échéant.
    $\quad$

Bac S – Métropole – juin 2017

Métropole – Juin 2017

Bac S – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. Pour tout réel $x$ on a $h(x)=x\e^{-x}=\dfrac{x}{\e^{x}}=\dfrac{1}{\dfrac{\e^{x}}{x}}$
    Or $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\e^x}{x}=+\infty$ donc  $\lim\limits_{x \to +\infty} h(x)=0^+$.
    $\quad$
  2. La fonction $h$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $f'(x)=\e^{-x}-x\e^{-x} = (1-x)\e^{-x}$
    La fonction exponentielle est strictement positive. Par conséquent le signe de $h'(x)$ ne dépend que de celui de $(1-x)$.
    $1-x=0\ssi x=1$ et $1-x>0\ssi x<1$.
    On obtient donc le tableau de variation suivant :
  3. a. Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;+\infty[$ on a :
    $\begin{align*} \e^{-x}-h'(x)&=\e^{-x}-(1-x)\e^{-x} \\
    &=\e^{-x}-\e^{-x}+x\e^{-x}\\
    &=x\e^{-x}\\
    &=h(x)
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. Une primitive de la fonction $x\mapsto \e^{-x}$ définie sur $[0;+\infty[$ est la fonction définie sur ce même intervalle par $x\mapsto -\e^{-x}$.
    $\quad$
    c. On a $h(x)=\e^{-x}-h'(x)$ pour tout réel $x\pg 0$.
    Par conséquent une primitive de la fonction $h$, continue (car dérivable) sur $[0;+\infty[$, est la fonction $H$ définie sur $[0;+\infty[$ par :
    $\begin{align*} H(x)&=-\e^{-x}-h(x)\\
    &=-\e^{-x}-x\e^{-x}\\
    &=-(1+x)\e^{-x}
    \end{align*}$
    $\quad$

Partie B

  1. a. D’après le tableau de variation de la fonction $h$, on a $h(x)=x\e^{-x}\pg 0$.
    Par conséquent, le repère étant orthonormé :
    $\begin{align*} MN&=\sqrt{(x-x)^2+\left(f(x)-g(x)\right)^2} \\
    &=\sqrt{\left(x\e^{-x}\right)^2} \\
    &=x\e^{-x}
    \end{align*}$
    $\quad$
    D’après le tableau de variation de la fonction $h$, cette distance est maximale pour $x=1$ et cette distance maximale vaut $\e^{-1}$
    $\quad$
    b. On obtient le graphique suivant :
  2. a. Voir graphique précédent
    $\quad$
    b. Les fonctions $f$ et $g$ sont continues et sur l’intervalle $[0;+\infty[$ on a $f(x)-g(x)\pg 0$.
    L’aire du domaine $D_{\lambda}$ est :
    $\begin{align*} A_{\lambda} &=\displaystyle \int_0^{\lambda} \left(f(x)-g(x)\right)\dx \\
    &=\int_0^{\lambda} x\e^{-x}\dx \\
    &=H(\lambda)-H(0) \\
    &=-(1+\lambda)\e^{-\lambda}+1\\
    &=1-\dfrac{\lambda+1}{\e^{\lambda}}
    \end{align*}$
    $\quad$
    c. On a $A_{\lambda}=1-\dfrac{\lambda}{e^{\lambda}}+\dfrac{1}{\e^{\lambda}}$
    Or $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x}{\e^x}=0$ (voir la question A.1.)
    Et  $\lim\limits_{x \to +\infty} \e^x = +\infty$ donc $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{\e^x}=0$
    Ainsi  $\lim\limits_{\lambda \to +\infty} A_{\lambda}=1$.
    $\quad$
    Cela signifie que l’aire du domaine compris entre les deux courbe $C_f$ et $C_g$ vaut $1$.
    $\quad$
  3. a. On a $A_0=0$, $A_1\approx 0,2642$, $A_2\approx 0,5940$ et $A_3\approx 0,8009$
    Donc l’algorithme affichera $3$ si $S=0,8$.
    $\quad$
    b. L’algorithme renvoie le plus petit entier naturel $\lambda$ pour lequel $A_{\lambda}\pg S$.
    $\quad$

 

 

 

 

Ex 2

Exercice 2

  1. Remplaçons $x,y$ et $z$ de l’équation du plan $\mathscr{P}$ par les coordonnées du point $A$.
    $2-a^2-3=-a^2-1=-(a^2+1)<0$ pour tout réel $a$.
    Quelle que soit la valeur du réel $a$, le point $A$ n’appartient pas au plan $\mathscr{P}$.
    $\quad$
  2. a. Un vecteur normal au plan $\mathscr{P}$ est $\vec{n}(2;0;-1)$.
    Par conséquent une représentation paramétrique de la droite $\mathscr{D}$ est :
    $\begin{cases} x=1+2t\\y=a\\z=a^2-t\end{cases}\quad,t\in \R$.
    $\quad$
    b. On a $M(1-2t;a;a^2-t)$.
    Donc, le repère étant orthonormé :
    $\begin{align*} AM&=\sqrt{(1+2t-1)^2+(a-a)^2+\left(a^2-t-a^2\right)^2} \\
    &=\sqrt{(2t)^2+0+(-t)^2}\\
    &=\sqrt{4t^2+t^2} \\
    &=\sqrt{5t^2}\\
    &=|t|\sqrt{5}
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. Le point $H$ appartient à la fois à la droite $\mathscr{D}$ et au plan $\mathscr{P}$.
    Ses coordonnées sont donc solution du système suivant :
    $\begin{align*} \begin{cases} x=1+2t\\y=a\\z=a^2-t\\2x-z-3=0\end{cases} &\ssi \begin{cases} x=1+2t\\y=a\\z=a^2-t\\2(1+2t)-\left(a^2-t\right)-3=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=1+2t\\y=a\\z=a^2-t\\2+4t-a^2+t-3=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=1+2t\\y=a\\z=a^2-t\\-a^2-1=-5t\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=1+2t\\y=a\\z=a^2-t\\t=\dfrac{1+a^2}{5}\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=1+2\times \dfrac{1+a^2}{5}\\y=a\\z=a^2-\dfrac{1+a^2}{5}\\t=\dfrac{1+a^2}{5}\end{cases} \end{align*}$
    D’après la question précédente, on a :
    $AH=\left|\dfrac{1+a^2}{5}\right|\sqrt{5}= \dfrac{1+a^2}{\sqrt{5}}$
    La fonction carré admettant un minimum en $0$, la distance $AH$ est minimale si $a=0$.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. Le point $P$ appartient au secteur $B3$.
    Par conséquent $r=z_P\in[40;60]$ et $\theta \in \left[\dfrac{\pi}{4};\dfrac{\pi}{2}\right]$.
    Proposition C
    $\quad$
  2. a. On a $z=70\e^{-\ic \frac{\pi}{3}}$.
    Ainsi $r\in[60;80]$ et $\theta\in\left]-\dfrac{\pi}{2};-\dfrac{\pi}{4}\right[$.
    donc le point appartient au secteur $G4$.
    $\quad$
    b. On a $z=-45\sqrt{3}+45\ic$
    Donc $|z|=\sqrt{\left(-45\sqrt{3}\right)^2+45^2}=90$
    Par conséquent $z=90\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\ic}{2}\right)=90\e^{\frac{5\pi}{6}}$
    Le point appartient donc au secteur $D5$.
    $\quad$

Partie B

  1. D’après la calculatrice on a $P(M<0)=0,5-P(0<M<50)=0$
    Cela signifie qu’il est impossible que le module du nombre complexe $z$ soit négative ou nul.
    $\quad$
  2. D’après la calculatrice on a $P\left(M\in]40;60[\right)\approx 0,954$.
    Remarque : On pouvait également dire que $P\left(M\in]40;60[\right)=P(\mu-2\sigma\pp M \pp \mu+2\sigma)$.
    $\quad$
  3. Les événements $(M\in I)$ et $(T\in J)$ étant indépendants on a :
    $\begin{align*} P\left(\left(M\in]40;60[\right) \cap \left(T\in\left]\dfrac{\pi}{4};\dfrac{\pi}{2}\right[\right)\right) &= P\left(M\in]40;60[\right)\times P\left(T\in\left]\dfrac{\pi}{4};\dfrac{\pi}{2}\right[\right) \\
    &\approx 0,954\times 0,819 \\
    &\approx 0,781
    \end{align*}$
    $\quad$

 

Ex 4 obl

Exercice 4

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

  1. On obtient l’arbre de probabilités suivant :
  2. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P\left(I_2\right)&=P\left(S_1\cap I_2\right)+P\left(M_1\cap I_2\right)+P\left(I_1\cap I_2\right) \\
    &=0,85\times 0,1+0,05\times 0,35+0,1\times 1 \\
    &=0,202~5
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_{I_2}\left(M_1\right)&=\dfrac{P\left(I_2\cap M_1\right)}{P\left(I_2\right)} \\
    &=\dfrac{0,05\times 0,35}{0,202~5} \\
    &=\dfrac{7}{81}\\
    &\approx 0,086\\
    \end{align*}$
    $\quad$

Partie B

  1. Chaque semaine, l’individu est soit de type $S$, soit malade ou soit immunisé.
    Donc $P\left(S_n\right)+P\left(M_n\right)+P\left(I_n\right)=1$.
    Soit $u_n+v_n+w_n=1$
    $\quad$
  2. a. On a pu saisir en $C3$ la formule $=0,65*C2+0,05*B2$
    $\quad$
    b. D’après la feuille de calcul on a :
    $v_3=0,0849$, $v_4=0,0859$ et $v_5=0,0819$
    Le pic épidémique est donc égal à$4$.
    $\quad$
  3. a. D’après l’énoncé, parmi les individus de type $S$ en semaine $n$ on observe, qu’en semaine $n+1$, $85\%$ restent de type $S$.
    Par conséquent $u_{n+1}=0,85u_n$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,85$ et de premier terme $u_0=1$.
    Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=0,85^n$.
    $\quad$
    b. Initialisation : Si $n=0$ on a $v_0=0$ et $\dfrac{1}{5}\left(0,85^0-0,65^0\right)=0$
    La propriété est donc vraie au rang $0$
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$. $v_n=\dfrac{1}{4}\left(0,85^n-0,65^n\right)$.
    $\begin{align*} v_{n+1}&=0,65v_n+0,05u_n \\
    &=0,65\times \dfrac{1}{4}\left(0,85^n-0,65^n\right)+0,05\times 0,85^n \\
    &=\dfrac{1}{4}\left(0,65\times 0,85^n-0,65^{n+1}\right)+0,05\times 0,85^n \\
    &=\dfrac{1}{4}\times 0,65\times 0,85^n-\dfrac{1}{4}\times 0,65^{n+1}+0,05\times 0,85^n \\
    &=\left(\dfrac{1}{4}\times 0,65+0,05\right)\times 0,85^n-\dfrac{1}{4}\times0,65^{n+1} \\
    &=\dfrac{1}{4}(0,65+0,2)\times 0,85^n-\dfrac{1}{4}\times0,65^{n+1} \\
    &=\dfrac{1}{4}\left(0,85^{n+1}-0,65^{n+1}\right)
    \end{align*}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=\dfrac{1}{4}\left(0,85^n-0,65^n\right)$
    $\quad$
  4. $-1<0,85<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,85^n =0$
    $-1<0,65<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,65^n =0$
    Ainsi $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=0$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n=0$.
    D’après la question 1. on a $u_n+v_n+w_n=1$ pour tout entier naturel $n$.
    Donc $\lim\limits_{n \to +\infty} w_n=1$
    Cela signifie donc que sur le long terme, selon ce modèle, tous les individus seront immunisés.
    $\quad$

 

 

Ex 4 spé

Exercice 4

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

  1. $(x;y)$ définit un TRPI
    $\ssi y^2=x^2+(x+1)^2$ d’après le théorème de Pythagore
    $\ssi y^2=x^2+x^2+2x+1 $
    $\ssi y^2=2x^2+2x+1$
    $\quad$
  2. Si $x=1$ alors $y^2=5$ mais $\sqrt{5}$ n’est pas un nombre entier.
    Si $x=2$ alors $y^2=13$ mais $\sqrt{13}$ n’est pas un nombre entier.
    Si $x=3$ alors $y^2=25$. Donc $y=5$.
    Le TRPI ayant les plus petits côtés non nuls est défini par le couple $(3;5)$.
    $\quad$
  3. a. Si $n$ est pair alors il existe un entier naturel $k$ tel que $n=2k$.
    Par conséquent
    $\begin{align*}n^2&= (2k)^2 \\
    &=4k^2\\
    &=2\times 2k^2
    \end{align*}$
    On en déduit donc que $n^2$ est également pair.
    Un nombre entier pair a donc nécessairement un carré pair.
    Cela signifie par conséquent que si $n^2$ est impair alors $n$ est impair.
    $\quad$
    b. Si $(x;y)$ définit un TRPI alors $y^2=2x^2+2x+1$
    $2x^2+2x+1\equiv 1~~[2]$
    Donc $y^2$ est impair.
    D’après la question précédente, cela signifie donc que $y$ est impair.
    $\quad$
  4. Si $(x;y)$ est un TRPI alors $y^2=2x^2+2x+1$
    Par conséquent :
    $\begin{align*} -(2+2x)x+y\times y &= -(2+2x)x+y^2 \\
    &=-2x-2x^2+2x^2+2x+1=1
    \end{align*}$
    D’après le théorème de Bezout, les nombres $x$ et $y$ sont premiers entre eux.
    $\quad$

Partie B

  1. On a :
    $x’=3x+2y+1$ et $y’=4x+3y+2$
    $\quad$
  2. a.
    $\begin{align*} {y’}^2-2x’\left(x’+1\right)&=(4x+3y+2)^2-2(3x+2y+1)(3x+2y+1+1) \\
    &=16x^2+9y^2+4+24xy+16x+12y\\
    &-(6x+4y+2)(3x+2y+2) \\
    &=16x^2+9y^2+4+24xy+16x+12y\\
    &-\left(18x^2+12xy+12x+12xy+8y^2+8y+6x+4y+4\right) \\
    &=16x^2+9y^2+4+24xy+16x+12y\\
    &-18x^2-24xy-18x-8y^2-12y-4 \\
    &=-2x^2+y^2-2x\\
    &=y^2-2x(x+1)
    \end{align*}$
    b. D’après la question A.1. $(x;y)$ définit un TRPI si, et seulement si, $y^2=2x^2+2x+1$ soit $y^2-2x^2-2x=1$ ou encore $y^2-2x(x+1)=1$
    Or ${y’}^2-2x’\left(x’+1\right)=y^2-2x(x+1)$
    $(x;y)$ définit TRPI
    $\ssi y^2-2x(x+1)=1$
    $\ssi {y’}^2-2x’\left(x’+1\right)=1$
    $\ssi \left(x’;y’\right)$ définit un TRPI
    $\quad$
  3. Initialisation : au rang $0$, on sait que le couple $(3;5)$ définit un TRPI
    La propriété est donc vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Initialisation : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $\left(x_n;y_n\right)$ définit un TRPI.
    Alors $x_{n+1}=3x_n+2y_n+1$ et $y_{n+1}=4x_n+3y_n+2$
    D’après la question précédente, puisque $\left(x_n;y_n\right)$ définit un TRPI, alors $\left(x_{n+1};y_{n+1}\right)$ définit également un TRPI.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ $\left(x_n;y_n\right)$ définit un TRPI.
    $\quad$
  4. En utilisant la relation matricielle on obtient successivement les couples suivant les couples suivants :
    $(3;5)$ ; $(20;29)$ ; $(119;169)$ ; $(696;985)$ ; $(4~059;5~741)$
    Un triangle rectangle sont les côtés de l’angle droit ont pour longueurs $4~059$ et $4~060$ définissent un TRPI dont l’hypoténuse mesure $5~741$.
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1    7 points

Partie A

On considère la fonction $h$ définie sur l’intervalle $[0;+\infty[$ par : $h(x) = x\e^{-x}$.

  1. Déterminer la limite de la fonction $h$ en $+\infty$.
    $\quad$
  2. Étudier les variations de la fonction $h$ sur l’intervalle $[0;+\infty[$ et dresser son tableau de variations.
    $\quad$
  3. L’objectif de cette question est de déterminer une primitive de la fonction $h$.
    a. Vérifier que pour tout nombre réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;+\infty[$, on a : $$h(x) =\e^{-x}-h'(x)$$ où $h’$ désigne la fonction dérivée de $h$.
    $\quad$
    b. Déterminer une primitive sur l’intervalle $[0;+\infty[$ de la fonction $x\mapsto \e^{-x}$.
    $\quad$
    c. Déduire des deux questions précédentes une primitive de la fonction $h$ sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    $\quad$

Partie B

On définit les fonctions $f$ et $g$ sur l’intervalle $[0;+\infty[$ par: $$f(x) = x\e^{-x} + \ln(x + 1)\qquad\text{ et }\qquad g(x) =\ln(x + 1)$$
On note $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ les représentations graphiques respectives des fonctions $f$ et $g$ dans un repère orthonormé.
Ces deux courbes sont tracées en annexe. Cette annexe est à rendre avec la copie.

  1. Pour un nombre réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;+\infty[$, on appelle $M$ le point de coordonnées $\left(x;f(x)\right)$ et $N$ le point de coordonnées $\left(x;g(x)\right)$ : $M$ et $N$ sont donc les points d’abscisse $x$ appartenant respectivement aux courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.
    a. Déterminer la valeur de $x$ pour laquelle la distance $MN$ est maximale et donner cette distance maximale.
    $\quad$
    b. Placer sur le graphique fourni en annexe les points $M$ et $N$ correspondant à la valeur maximale de $MN$.
    $\quad$
  2. Soit $\lambda$ un réel appartenant à l’intervalle $[0;+\infty[$. On note $D_{\lambda}$ le domaine du plan délimité par les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ et par les droites d’équations $x = 0$ et $x = \lambda$.
    a. Hachurer le domaine $D_{\lambda}$. correspondant à la valeur $\lambda$ proposée sur le graphique en annexe.
    $\quad$
    b. On note $A_{\lambda}$ l’aire du domaine $D_{\lambda}$, exprimée en unités d’aire. Démontrer que : $$A_{\lambda} = 1-\dfrac{\lambda+1}{\e^{\lambda}}$$
    $\quad$
    c. Calculer la limite de $A_{\lambda}$ lorsque $\lambda$ tend vers $+\infty$ et interpréter le résultat.
    $\quad$
  3. On considère l’algorithme suivant :
    Variables :
    $\quad$ $\lambda$ est un réel positif
    $\quad$ $S$ est un réel strictement compris entre $0$ et $1$.
    Initialisation :
    $\quad$ Saisir $S$
    $\quad$ $\lambda$ prend la valeur $0$
    Traitement :
    $\quad$ Tant Que $1-\dfrac{\lambda+1}{\e^{\lambda}}<S$ faire
    $\qquad$ $\lambda$ prend la valeur $\lambda+1$
    $\quad$ Fin Tant Que
    Sortie :
    $\quad$ Afficher $\lambda$
    $\quad$
    a. Quelle valeur affiche cet algorithme si on saisit la valeur $S=0,8$ ?
    $\quad$
    b. Quel est le rôle de cet algorithme ?
    $\quad$

Annexe

$\quad$

Exercice 2    3 points

L’espace est mini d’un repère $\Oijk$.
Soit $\mathscr{P}$ le plan d’équation cartésienne : $2x-z-3= 0$.
On note $A$ le point de coordonnées $\left(1;a;a^2\right)$ où $a$ est un nombre réel.

  1. Justifier que, quelle que soit la valeur de $a$, le point $A$ n’appartient pas au plan $\mathscr{P}$.
    $\quad$
  2. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\mathscr{D}$ (de paramètre $t$) passant par le point $A$ et orthogonale au plan $\mathscr{P}$.
    $\quad$
    b. Soit $M$ un point appartenant à la droite $\mathscr{D}$, associé à la valeur $t$ du paramètre dans la représentation paramétrique précédente.
    Exprimer la distance $AM$ en fonction du réel $t$.

On note $H$ le point d’intersection du plan $\mathscr{P}$ et de la droite $\mathscr{D}$ orthogonale à $\mathscr{P}$ et passant par le point $A$. Le point $H$ est appelé projeté orthogonal du point $A$ sur le plan $\mathscr{P}$ et la distance $AH$ est appelée distance du point $A$ au plan $\mathscr{P}$.

  1. Existe-t-il une valeur de $a$ pour laquelle la distance $AH$ du point $A$ de coordonnées $\left(1;a;a^2\right)$ au plan $\mathscr{P}$ est minimale ? Justifier la réponse.
    $\quad$

Exercice 3    5 points

Dans une vaste plaine, un réseau de capteurs permet de détecter la foudre et de produire une image des phénomènes orageux. Ces données servent en particulier aux services météorologiques pour améliorer leurs prévisions et pour permettre des interventions plus rapides sur les lieux, notamment en cas d’incendie.

Le but de l’exercice est d’étudier les impacts de foudre détectés par un capteur.
L’écran radar, sur lequel les points d’impact de foudre sont observés, a l’allure suivante :

 

Le capteur de foudre étant représenté par le centre de l’écran, cinq cercles concentrique correspondant aux rayons respectifs $20$, $40$, $60$, $80$ et $100$ kilomètres délimitent dans l’ordre cinq zones, numérotées de $1$ à $5$, définies par leur distance au capteur. De plus, huit segments partant du capteur délimitent huit portions, de même ouverture angulaire, nommées dans le sens trigonométrique de $A$ à $H$.

L’écran est ainsi partagé en quarante secteurs dénommés par une lettre et un nombre entre $1$ et $5$. Par exemple, le point $P$ positionné sur la figure est situé dans le secteur $B3$.

On assimile l’écran radar à une partie du plan complexe en définissant un repère orthonormé $\Ouv$ de la manière suivante :

  • l’origine $O$ marque la position du capteur ;
  • l’axe des abscisses est orienté d’Ouest en Est ;
  • l’axe des ordonnées est orienté du Sud au Nord ;
  • l’unité choisie est le kilomètre.

Dans la suite, un point de l’écran radar est associé à un point d’affixe $z$.

Partie A

  1. On note $z_P$ l’affixe du point $P$ situé dans le secteur $B3$ sur le graphique précédent. On appelle $r$ le module de $z_P$ et $\theta$ son argument dans l’intervalle $]-\pi;\pi]$.
    Parmi les quatre propositions suivantes, déterminer la seule qui propose un encadrement correct pour $r$ et pour $\theta$ (aucune justification n’est demandée) :
    $\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    \textbf{Proposition A }&\textbf{Proposition B }&\textbf{Proposition C }&\textbf{Proposition D }\\
    \hline
    & & & \\
    40<r< 60&20<r<40&40<r<60&0<r<60\\
    \text{et}&\text{et}&\text{et}&\text{et}\\
    0<\theta<\dfrac{\pi}{4}&\dfrac{\pi}{2}<\theta<\dfrac{3\pi}{4}&\dfrac{\pi}{4}<\theta<\dfrac{\pi}{2}&-\dfrac{\pi}{2}<\theta<-\dfrac{\pi}{4}\\
    & & & \\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
  2. Un impact de foudre est matérialisé sur l’écran en un point d’affixe $z$. Dans chacun des deux cas suivants, déterminer le secteur auquel ce point appartient :
    a. $z =70\e^{-\ic\frac\pi3} $ ;
    $\quad$
    b. $z = -45\sqrt{3}+45\ic$.
    $\quad$

Partie B

On suppose dans cette partie que le capteur affiche un impact au point $P$ d’affixe~$50\e^{\ic\frac\pi3}$.

En raison d’imprécisions de mesures, le point d’impact affiché ne donne qu’une indication approximative du point d’impact réel de la foudre.

Ainsi, lorsque le capteur affiche le point d’impact $P$ d’affixe $50\e^{\ic\frac\pi3}$, l’affixe $z$ du point d’impact réel de la foudre admet :

  • un module qui peut être modélisé par une variable aléatoire $M$ suivant une loi normale d’espérance $\mu = 50$ et d’écart type $\sigma = 5$ ;
  • un argument qui peut être modélisé par une variable aléatoire $T$ suivant une loi normale d’espérance $\dfrac{\pi}{3}$ et d’écart type $\dfrac{\pi}{12}$.

On suppose que les variables aléatoires $M$ et $T$ sont indépendantes, c’est-à-dire que, quels que soient les intervalles $I$ et $J$, les événements $(M \in I)$ et $(T\in J)$ sont indépendants.

Dans la suite les probabilités seront arrondies à $10^{-3}$ près.

  1. Calculer la probabilité $P(M < 0)$ et interpréter le résultat obtenu.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité $P(M\in ]40;60[)$.
    $\quad$
  3. On admet que $P\left(T\in\left]\dfrac{\pi}{4};\dfrac{\pi}{2}\right[\right) = 0,819$.
    En déduire la probabilité que la foudre ait effectivement frappé le secteur $B3$ selon cette modélisation.
    $\quad$

 

Exercice 4    5 points

Pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

On étudie un modèle de propagation d’un virus dans une population, semaine après semaine. Chaque individu de la population peut être, à l’exclusion de toute autre possibilité :

  • soit susceptible d’être atteint par le virus, on dira qu’il est “de type S” ;
  • soit malade (atteint par le virus) ;
  • soit immunisé (ne peut plus être atteint par le virus).

Un individu est immunisé lorsqu’il a été vacciné, ou lorsqu’il a guéri après avoir été atteint par le virus.

Pour tout entier naturel $n$, le modèle de propagation du virus est défini par les règles suivantes :

  • Parmi les individus de type S en semaine $n$, on observe qu’en semaine $n + 1$ :
    $85\%$ restent de type S,$ 5\%$ deviennent malades et $10\%$ deviennent immunisés ;
  • Parmi les individus malades en semaine $n$, on observe qu’en semaine $n + 1$ :
    $65\%$ restent malades, et $35\%$ sont guéris et deviennent immunisés.
  • Tout individu immunisé en semaine $n$ reste immunisé en semaine $n + 1$.

On choisit au hasard un individu dans la population. On considère les événements suivants :

$\quad$ $S_n$ : “l’individu est de type S en semaine $n$” ;
$\quad$ $M_n$ : “l’individu est malade en semaine $n$” ;
$\quad$ $I_n$ : “l’individu est immunisé en semaine $n$”.

En semaine $0$, tous les individus sont considérés “de type S”, on a donc les probabilités suivantes :

$$P\left(S_0\right) = 1;P\left(M_0\right) = 0\text{ et } P\left(I_0\right) = 0$$

Partie A

On étudie l’évolution de l’épidémie au cours des semaines $1$ et $2$.

  1. Reproduire sur la copie et compléter l’arbre de probabilités donné ci-dessous :
  2. Montrer que $P\left(I_2\right)= 0,202~5$.
    $\quad$
  3. Sachant qu’un individu est immunisé en semaine $2$, quelle est la probabilité, arrondie au millième, qu’il ait été malade en semaine $1$ ?
    $\quad$

Partie B

On étudie à long terme l’évolution de la maladie.
Pour tout entier naturel $n$, on : $u_n = P\left(S_n\right)$, $v_n=p\left(M_n\right)$ et $w_n=P\left(I_n\right)$ les probabilités respectives des évènements $S_n$, $M_n$ et $I_n$.

  1. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n + v_n + w_n=1$.
    $\quad$
    On admet que la suite $\left(v_n\right)$ est définie par $$v_{n+1} = 0,65v_n + 0,05u_n$$
    $\quad$
  2.  À l’aide d’un tableur, on a calculé les premiers termes des suites $\left(u_n\right)$, $\left(v_n\right)$ et $\left(w_n\right)$.

    Pour répondre aux questions a. et b. suivantes, on utilisera la feuille de calcul reproduite ci-dessus.
    a. Quelle formule, saisie dans la cellule $C3$, permet par recopie vers le bas, de calculer les termes de la suite $\left(v_n \right)$ ?
    $\quad$
    b. On admet que les termes de $\left(v_n\right)$ augmentent, puis diminuent à partir d’une certain rang $N$, appelé le “pic épidémique” : c’est l’indice de la semaine pendant laquelle la probabilité d’être malade pour un individu choisi au hasard est la plus grande.
    Déterminer la valeur du pic épidémique prévue par ce modèle.
    $\quad$
  3. a. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} = 0,85u_n$.
    En déduire l’expression de $u_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
    b. Montrer, à l’aide d’un raisonnement par récurrence, que pour tout entier naturel $n$, on a : $$v_n=\dfrac{1}{4}\left(0,85^n-0,65^n\right)$$
    $\quad$
  4. Calculer les limites de chacune des suites $\left(u_n\right)$, $\left(v_n\right)$ et $\left(w_n\right)$.
    Que peut-on en déduire quant à l’évolution de l’épidémie prévue à long terme par ce modèle ?
    $\quad$

Exercice 4    5 points

Pour les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

On appelle “triangle rectangle presque isocèle”, en abrégé TRPI, un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit ont pour longueurs $x$ et $x + 1$, et dont l ‘hypoténuse a pour longueur $y$, où $x$ et $y$ sont des entiers naturels.
Ainsi, un TRPI est un triangle rectangle dont les longueurs des côtés de l’angle droit sont deux nombres entiers consécutifs et dont la longueur de l’hypoténuse est un nombre entier.

 

Si le triangle de côtés $x$, $x + 1$ et $y$, où $y$ est la longueur de l’hypoténuse, est un TRPJ, on dira que le couple $(x;y)$ définit un TRPI.

Partie A

  1. Démontrer que le couple d’entiers naturels $(x;y)$ définit un TRPI si, et seulement si, on a : $$y^2 = 2x^2 + 2x + 1$$
    $\quad$
  2. Montrer que le TRPI ayant les plus petits côtés non nuls est défini par le couple $(3;5)$.
    $\quad$
  3. a. Soit $n$ un entier naturel. Montrer que si $n^2$ est impair alors $n$ est impair.
    $\quad$
    b. Montrer que dans un couple d’entiers $(x;y)$ définissant un TRPI, le nombre $y$ est nécessairement impair.
    $\quad$
  4. Montrer que si le couple d’entiers naturels $(x;y)$ définit un TRPI, alors $x$ et $y$ sont premiers entre eux.
    $\quad$

Partie B

On note $A$ la matrice carrée : $A =\begin{pmatrix}3&2\\4&3\end{pmatrix}$, et $B$ la matrice colonne : $B=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$.
Soient $x$ et $y$ deux entiers naturels ; on définit les entiers naturels $x’$ et $y’$ par la relation : $$\begin{pmatrix}x’\\y’\end{pmatrix} = A\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} + B$$

  1. Exprimer $x’$ et $y’$ en fonction de $x$ et $y$.
    $\quad$
  2. a. Montrer que : $y’^2-2x'(x’ + 1) = y^2-2x(x + 1)$.
    $\quad$
    b. En déduire que si le couple $(x;y)$ définit un TRPI, alors le couple $\left(x’;y’\right)$ définit également un TRPI.
    $\quad$
  3. On considère les suites $\left(x_n\right)_{n\in \N}$ et $\left(y_n\right)_{n\in\N}$ d’entiers naturels, définies par $x_0 = 3$, $y_0 = 5$ et pour tout entier naturel $n$ : $\begin{pmatrix}x_{n+1}\\y_{n+1}\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}x_n\\y_n\end{pmatrix}+B$.
    Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, le couple $\left(x_n;y_n\right)$ définit un TRPI.
    $\quad$
  4. Déterminer, par la méthode de votre choix que vous préciserez, un TRPI dont les longueurs des côtés sont supérieures à $2017$.
    $\quad$