Bac S – Antilles Guyane – juin 2017

Antilles Guyane – Juin 2017

Bac S – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. Si $z=1$ alors $1^4+2\times 1^3-1-2=1+2-1-2=0$.
    Donc $1$ est une solution entière de $(E)$.
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align*} \left(z^2+z-2\right)\left(z^2+z+1\right)&=z^4+z^3+z^2+z^3+z^2+z-2z^2-2z-2 \\
    &=z^4+2z^3-z-2
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. $(E) \ssi \left(z^2+z-2\right)\left(z^2+z+1\right)=0$
    $\ssi \left(z^2+z-2\right) = 0$ ou $\left(z^2+z+1\right)=0$
    $\bullet$ On a $(z-1)(z+2)=z^2+2z-z-2=z^2+z-2$
    Ainsi les solutions de l’équation $ \left(z^2+z-2\right) = 0$ sont $1$ et $-2$
    $\bullet$ On considère maintenant l’équation $\left(z^2+z+1\right)=0$
    $\Delta=1^2-4=-3<0$
    L’équation possède donc deux racines complexes :
    $z_1=\dfrac{-1-\ic\sqrt{3}}{2}$ et $z_2=\conj{z_1}=\dfrac{-1+\ic\sqrt{3}}{2}$
    Les solutions de l’équation $(E)$ sont donc $1$, $-2$, $\dfrac{-1-\ic\sqrt{3}}{2}$ et $\dfrac{-1+\ic\sqrt{3}}{2}$$\quad$
  4. On note $A$ le point d’affixe $1$, $B$ le point d’affixe $\dfrac{-1+\ic\sqrt{3}}{2}$ , $C$ le point d’affixe $-2$ et $D$ celui d’affixe $\dfrac{-1-\ic\sqrt{3}}{2}$.
    On sait que $z_2=\conj{z_1}$ par conséquent le milieu du segment $[BD]$ a pour affixe $-\dfrac{1}{2}$.
    De plus $\dfrac{1+(-2)}{2}=-\dfrac{1}{2}$.
    Ainsi les diagonales du quadrilatère $ABCD$ se croisent en leur milieu : c’est un parallélogramme.
    $\begin{align*} AB^2&=\left|z_B-z_A\right|^2 \\
    &=\left|\dfrac{-1+\ic\sqrt{3}}{2}-1\right|^2 \\
    &=\left|\dfrac{-3+\ic\sqrt{3}}{2}\right|^2 \\
    &=\dfrac{9}{4}+\dfrac{3}{4}\\
    &=3
    \end{align*}$
    $\begin{align*} AD^2&=\left|z_D-z_A\right|^2 \\
    &=\left|\dfrac{-1-\ic\sqrt{3}}{2}-1\right|^2 \\
    &=\left|\dfrac{-3-\ic\sqrt{3}}{2}\right|^2 \\
    &=\dfrac{9}{4}+\dfrac{3}{4}\\
    &=3
    \end{align*}$
    Ainsi $AB=AD$
    Deux côtés consécutifs du parallélogramme ont la même longueur : c’est un losange.
    Remarque : on pouvait également remarquer que l’axe des abscisses est la médiatrice du segment $[BD]$ et donc que $AB=AD$.
    $\quad$

 

 

Ex 2

Exercice 2

  1. a. On sait $P(X>27,2)=0,023$. Puisque $\mu_1=25$ cela signifie donc que $P(X<22,8)=0,023$
    Ainsi $P(22,8<X<27,2)=1-2\times 0,023=0,954$
    $\quad$
    b. On sait que $P(\mu-2\sigma<X<\mu+2\sigma)\approx 0,954$.
    Par conséquent $27,2\approx 25-2\sigma_1$ soit $\sigma_1\approx 1,1$
    $\quad$
    c. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_{(22,8<X<27,2)}(X<24)&=\dfrac{P\left((22,8<X<27,2)\cap (X<24)\right)}{P(22,28<X<27,2)} \\
    &=\dfrac{P(22,8<X<24)}{P(22,28<X<27,2)} \\
    &\approx \dfrac{0,159}{0,954} \\
    &\approx 0,167
    \end{align*}$
  2. a. On sait que $P(22,8<Y<27,2)=0,98>P(22,8<X<27,2)$
    Donc $\sigma_1>\sigma_2$
    $\quad$
    b. On sait que $n=500\pg 30$ et $p=0,98$ donc $np=490\pg 5$ et $n(1-p)=10\pg 5$
    Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ est :
    $\begin{align*} I_{500}&=\left[0,98-1,96\sqrt{\dfrac{0,98\times 0,02}{500}};0,98+1,96\sqrt{\dfrac{0,98\times 0,02}{500}}\right] \\
    &\approx [0,967;0,993]
    \end{align*}$
    Sur les $500$ pièces testées, $485$ sont conformes.
    La fréquence observée est donc $f=\dfrac{485}{500}=0,97\in I_{500}$
    Au seuil de $95\%$ on ne peut donc pas rejeter l’affirmation de l’équipe d’ingénieurs.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. La fonction exponentielle est dérivable sur $\R$ donc les fonctions $f$ et $g$ le sont également.
    $f'(x)=\e^x$ et $g(x)=-\e^{-x}$.
    Le coefficient directeur de la tangente $T_a$ en $M$ à $\mathscr{C}_f$ est $f'(a)=\e^a$.
    Le coefficient directeur de la tangente $T’_a$ en $N$ à $\mathscr{C}_g$ est $g'(a)=-\e^{-a}$.
    Par conséquent un vecteur directeur de $T_a$ est $\vec{u}\left(1;\e^a\right)$ et un vecteur directeur de $T’_a$ est $\vec{v}\left(1;-\e^{-a}\right)$.
    Ainsi $\vec{u}.\vec{v}=1\times 1+\e^a\times \left(-\e^{-a}\right)=1-1=0$.
    Donc la tangente en $M$ à $\mathscr{C}_f$ est perpendiculaire à la tangente en $N$ en $\mathscr{C}_g$.
    $\quad$
  2. a. Il semblerait que la longueur $PQ$ soit toujours égale à $2$.
    $\quad$
    b. Cherchons une équation de $(PM)$.
    Elle est de la forme $y=f'(a)(x-a)+f(a)$
    Soit $y=\e^a(x-a)+\e^a$
    D’où $y=\e^a(x-a+1)$.
    L’abscisse du point $P$ est solution de l’équation $\e^a(x-a+1)=0 \ssi x-a+1=0 \ssi x=a-1$
    Par conséquent le point $P$ a pour coordonnées $(a-1;0)$.
    $\quad$
    Cherchons maintenant une équation de $(QN)$
    Elle est de la forme $y=g'(a)(x-a)+g(a)$
    Soit $y=-\e^{-a}(x-a)+\e^{-a}$
    D’où $y=-\e^{-a}(-x+a+1)$
    L’abscisse du point $Q$ est solution de l’équation $\e^a(-x+a+1)=0 \ssi -x+a+1=0 \ssi x=a+1$
    Par conséquent le point $Q$ a pour coordonnées $(a+1;0)$.
    $\quad$
    On en déduit alors :
    $PQ=\sqrt{\left(1+a-(a-1)\right)^2+0^2}=\sqrt{2^2}=2$
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

Partie A

  1. La fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ comme quotient de fonctions dérivables sur cet intervalle dont le dénominateur ne s’annule.
    $f'(x)=\dfrac{\dfrac{1}{x}\times x-\ln(x)}{x^2}=\dfrac{1-\ln(x)}{x^2}$
    $\quad$
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui le $1-\ln(x)$.
    Or $1-\ln(x)=0\ssi \ln(x)=1 \ssi x=\e$
    $1-\ln(x)>0 \ssi \ln(x)<1 \ssi x<\e$
    Donc la fonction $f$ est croissante sur l’intervalle $]0;\e]$ et décroissante sur l’intervalle $[\e;+\infty[$.
    $\quad$
  2. Son maximum est donc atteint pour $x=\e$ et $f(\e)=\dfrac{\ln(\e)}{\e}=\e^{-1}$.
    $\quad$

Partie B

  1. On considère un entier naturel $n\pg 3$.
    La fonction $f$ est continue et strictement croissante sur l’intervalle $[1;\e]$.
    $f(1)=0<\dfrac{1}{n}$ et $f(\e)=\e^{-1}\approx 0,37$ donc $f(\e)>\dfrac{1}{n}$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=\dfrac{1}{n}$ possède une unique solution $\alpha_n$ sur l’intervalle $[1;\e]$.
    $\quad$
  2. a. Il semblerait que la suite $\left(\alpha_n\right)$ soit décroissante.
    $\quad$
    b. On considère un entier naturel $n\pg 3$.
    On sait que $f\left(\alpha_n\right)=\dfrac{1}{n}$ et $f\left(\alpha_{n+1}\right)=\dfrac{1}{n+1}$
    Or $\dfrac{1}{n+1}<\dfrac{1}{n}$ donc $f\left(\alpha_n\right)>f\left(\alpha_{n+1}\right)$.
    La fonction $f$ est croissante sur l’intervalle $[1;\e]$. Par conséquent $\alpha_n>\alpha_{n+1}$.
    La suite $\left(\alpha_n\right)$ est donc décroissante.
    $\quad$
    c. La suite $\left(\alpha_n\right)$ est donc décroissante et minorée par $1$ (les $\alpha_n$ appartiennent à l’intervalle $[1;\e]$); elle converge donc.
    $\quad$
  3. a. D’une part $\dfrac{\ln\left(\beta_n\right)}{\beta_n}=\dfrac{1}{n}$ soit $\ln\left(\beta_n\right)=\dfrac{\beta_n}{n}$.
    D’autre part la suite $\left(\beta_n\right)$ est croissante.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n\pg 3$ on a :
    $\beta_n\pg \beta_3$ donc $ \ln\left(\beta_n\right)\pg \ln\left(\beta_3\right)$ puisque la fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$.
    Ainsi $\dfrac{\beta_n}{n}\pg \dfrac{\beta_3}{3}$
    D’où $\beta_n\pg n\dfrac{\beta_3}{3}$
    $\quad$
    b. Puisque $\beta_3>0$ on a $\lim\limits_{n\to +\infty} n\dfrac{\beta_3}{3}=+\infty$.
    On sait que $\beta_n\pg n\dfrac{\beta_3}{3}$
    D’après le théorème de comparaison $\lim\limits_{n\to +\infty} \beta_n=+\infty$.
    $\quad$

 

 

Ex 5 obl

Exercice 5

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

  1. a. $\vect{AB}(2;0;4)$ et $\vect{AC}(0;-1;1)$
    $\dfrac{0}{2}\neq \dfrac{1}{4}$
    Les vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$ ne sont pas colinéaires.
    Par conséquent les points $A,B$ et $C$ ne sont pas alignés.
    $\quad$
    b. $\vect{AB}.\vect{AC}=0+0+4=4$
    $\quad$
    c. On a également $\vect{AB}.\vect{AC}=AB\times AC\times \cos \widehat{BAC}$
    Or $AB=\sqrt{2^2+0^2+4^2}=\sqrt{20}$
    et $AC=\sqrt{0^2+(-1)^2+1^2}=\sqrt{2}$
    Donc $\vect{AB}.\vect{AC}=\sqrt{20}\times \sqrt{2}\times \cos \widehat{BAC}$
    On en déduit donc $\sqrt{40}\times \cos \widehat{BAC}=4$
    Soit $ \cos \widehat{BAC}=\dfrac{4}{\sqrt{40}}$
    et $\widehat{BAC}\approx 51$°.
    $\quad$
  2. a. $\vec{n}.\vect{AB}=4+0-4=0$
    $\vec{n}.\vect{AC}=0+1-1=0$
    Le vecteur $\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$; il est donc normal à ce plan.
    $\quad$
    b. Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc de la forme :
    $2x-y-z+d=0$
    Le point $A(-1;2;0)$ appartient à ce plan donc :
    $-2-2-0+d=0\ssi d=4$
    Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc $2x-y-z+4=0$.
    $\quad$
  3. a. Le plan $\mathscr{P}_2$ est parallèle au plan d’équation $x-2z+6=0$.
    Une équation cartésienne du plan $\mathscr{P}_2$ est donc de la forme $x-2z+d=0$.
    Le point $O$ appartient à ce plan donc $0-0+d=0 \ssi d=0$.
    Une équation cartésienne de $\mathscr{P}_2$ est donc $x-2z=0$ soit $x=2z$.
    $\quad$
    b. Un vecteur normal au plan $\mathscr{P}_1$ est $\vec{n}_1(3;1;-2)$ et un vecteur normal au plan $\mathscr{P}_2$ est $\vec{n}_2(1;0;-2)$.
    Ces deux vecteurs ne sont clairement pas colinéaires.
    Les plans $\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_2$ sont par conséquent sécants.
    $\quad$
    c. Montrons que la droite $\mathscr{D}$ est incluse dans les plans $\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_2$.
    Pour tout réel $t$ on a :
    $\bullet$ $3\times 2t+(-4t-3)-2t+3=6t-4t-3-2t+3=0$ : la droite $\mathscr{D}$ est incluse dans le plan $\mathscr{P}_1$
    $\bullet$ $2t-2t=0$ : la droite $\mathscr{D}$ est incluse dans le plan $\mathscr{P}_2$
    La droite $\mathscr{D}$ est donc incluse dans les plans $\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_2$.
    $\mathscr{D}$ est par conséquent l’intersection des plans $\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_2$.
    $\quad$
  4. Résolvons le système :
    $\begin{align*} \begin{cases} x=2t\\y=-4t-3\\z=t\\2x-y-z+4=0\end{cases} &\ssi \begin{cases} x=2t\\y=-4t-3\\z=t\\2(2t)-(-4t-3)-t+4=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=2t\\y=-4t-3\\z=t\\4t+4t+3-t+4=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=2t\\y=-4t-3\\z=t\\7t+7=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=2t\\y=-4t-3\\z=t\\t=-1\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} t=-1\\x=-2\\y=1\\z=-1\end{cases}
    \end{align*}$
    La droite $\mathscr{D}$ coupe donc le plan au point $I(-2;1;-1)$.
    $\quad$

 

 

Ex 5 spé

Exercice 5

  1. Démontrons par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=9\times 2^n-6$
    Initialisation : $u_0=3$ et $9\times 2^0-6=9-6=3$
    La propriété est donc vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $u_n=9\times 2^n-6$
    $\begin{align*} u_{n+1}&=2u_n+6\\
    &=2\left(9\times 2^n-6\right)+6\\
    &=9\times 2^{n+1}-12+6\\
    &=9\times 2^{n+1}-6
    \end{align*}$
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=9\times 2^n-6$.
    $\quad$
  2. Pour tout entier $n\pg 1$ on a
    $\begin{align*} u_n&=9\times 2^n-6\\
    &=3\times 3\times 2\times 2^{n-1}-6 (*)\\
    &=6 \left(3\times 2^{n-1}-1\right)
    \end{align*}$
    $(*)$ $2^{n-1}$ est un nombre entier puisque $n\pg 1$
    Ainsi $u_n$ est divisible par $6$.
    $\quad$
  3. On a $u_6=9\times 2^6-6=570$ donc $v_6=\dfrac{570}{6}=95$ qui est divisible par $5$.
    L’affirmation est donc fausse.
    $\quad$
  4. a.
    $\begin{align*} v_{n+1}-2v_n&=\dfrac{u_{n+1}}{6}-\dfrac{2u_n}{6} \\
    &=\dfrac{9\times 2^{n+1}-6}{6}-\dfrac{9\times 2^{n+1}-12}{6} \\
    &=\dfrac{9\times 2^{n+1}-6-9\times 2^{n+1}+12}{6}\\
    &=\dfrac{6}{6}\\
    &=1
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. D’après le théorème de Bezout cela signifie donc que les nombres $v_n$ et $v_{n+1}$ sont premiers entre eux.
    $\quad$
    c. Pour tout entier $n\pg 1$ on a $u_n=6v_n$ et $u_{n+1}=6v_{n+1}$
    Comme $v_n$ et $v_{n+1}$ sont premiers entre eux et que $6$ divise $u_n$  alors le PGCD de $u_n$ et $u_{n+1}$ est $6$.
    $\quad$
  5. a. $2^4=16=15+1\equiv 1~~[5]$
    $\quad$
    b. S’il existe un entier naturel $k$ tel que $n=4k+2$ alors :
    $\begin{align*} u_n&=9\times 2^n-6 \\
    &=9\times 2^{4k+2}-6\\
    &=9\times 2^{4k}\times 2^2-6\\
    &=36\times \left(2^4\right)^k-6\\
    &\equiv 1\times 1^k-6~~[5]\\
    &\equiv -5~~[5] \\
    &\equiv 0~~[5]
    \end{align*}$
    $u_n$ est donc divisible par $5$ si $n$ est de la forme $4k+2$.
    $\quad$
    c. $\bullet$ Si $n$ est de la forme $4k$ alors
    $\begin{align*} u_n&=9\times 2^n-6 \\
    &=9\times 2^{4k}-6\\
    &=9\times 2^{4k}-6\\
    &\equiv 9\times 1^k-6~~[5]\\
    &\equiv 4-6~~[5]\\
    &\equiv -2~~[5]
    \end{align*}$
    $u_n$ n’est pas divisible par $5$
    $\quad$
    $\bullet$ Si $n$ est de la forme $4k+1$ alors
    $\begin{align*} u_n&=9\times 2^n-6 \\
    &=9\times 2^{4k+1}-6\\
    &=9\times 2^{4k}\times 2-6\\
    &=18\times 2^{4k}\times 2-6\\
    &\equiv 18\times 1^k-6~~[5]\\
    &\equiv 3-6~~[5]\\
    &\equiv -3~~[5]
    \end{align*}$
    $u_n$ n’est pas divisible par $5$
    $\quad$
    $\bullet$ Si $n$ est de la forme $4k+3$ alors
    $\begin{align*} u_n&=9\times 2^n-6 \\
    &=9\times 2^{4k+3}-6\\
    &=9\times 2^{4k}\times 2^3-6\\
    &=72\times 2^{4k}\times 2-6\\
    &\equiv 72\times 1^k-6~~[5]\\
    &\equiv 2-6~~[5]\\
    &\equiv -4~~[5]
    \end{align*}$
    $u_n$ n’est pas divisible par $5$
    $\quad$
    par conséquent $u_n$ n’est pas divisible par $5$ pour les autres valeurs de $n$.
    $\quad$

 

Énoncé

Exercice 1    3 points

On munit le plan complexe d’un repère orthonormé direct.
On considère l’équation $$(E) :\quad z^4 + 2z^3 – z – 2 = 0$$ ayant pour inconnue le nombre complexe $z$.

  1. Donner une solution entière de $(E)$.
    $\quad$
  2. Démontrer que, pour tout nombre complexe $z$, $$z^4 + 2z^3-z-2 = \left(z^2 + z-2\right)\left(z^2 + z + 1\right).$$
    $\quad$
  3. Résoudre l’équation $(E)$ dans l’ensemble des nombres complexes.
    $\quad$
  4. Les solutions de l’équation $(E)$ sont les affixes de quatre points $A$, $B$, $C$, $D$ du plan complexe tels que $ABCD$ est un quadrilatère non croisé.
    Le quadrilatère $ABCD$ est-il un losange ? Justifier.
    $\quad$

Exercice 2    4 points

Dans une usine automobile, certaines pièces métalliques sont recouvertes d’une fine couche de nickel qui les protège contre la corrosion et l’usure. Le procédé utilisé est un nickelage par électrolyse.

On admet que la variable aléatoire $X$, qui à chaque pièce traitée associe l’épaisseur de nickel déposé, suit la loi normale d’espérance $\mu_1 = 25$ micromètres (µm) et d’écart type $\sigma_1$.

Une pièce est conforme si l’épaisseur de nickel déposé est comprise entre $22,8$ µm et $27,2$ µm.

La fonction de densité de probabilité de $X$ est représentée ci-dessous. On a pu déterminer que $P(X > 27,2) = 0,023$.

 

  1. a. Déterminer la probabilité qu’une pièce soit conforme.
    $\quad$
    b. Justifier que $1,1$ est une valeur approchée de $\sigma_1$ à $10^{-1}$ près.
    $\quad$
    c. Sachant qu’une pièce est conforme, calculer la probabilité que l’épaisseur de nickel déposé sur celle-ci soit inférieure à $24$ µm. Arrondir à $10^{-3}$.
    $\quad$
  2. Une équipe d’ingénieurs propose un autre procédé de nickelage, obtenu par réaction chimique sans aucune source de courant. L’équipe affirme que ce nouveau procédé permet théoriquement d’obtenir $98\%$ de pièces conformes.
    La variable aléatoire $Y$ qui, à chaque pièce traitée avec ce nouveau procédé, associe l’épaisseur de nickel déposé suit la loi normale d’espérance $\mu_2 = 25 $ µm et d’écart-type $\sigma_2$.
    a. En admettant l’affirmation ci-dessus, comparer $\sigma_1$ et $\sigma_2$.
    $\quad$
    b. Un contrôle qualité évalue le nouveau procédé; il révèle que sur 500 pièces testées, $15$ ne sont pas conformes.
    Au seuil de $95\%$, peut-on rejeter l’affirmation de l’équipe d’ingénieurs ?
    $\quad$

Exercice 3    3 points

Soient $f$ et $g$ les fonctions définies sur l’ensemble $\R$ des nombres réels par $$f(x) = e^x\text{ et } g(x) = \e^{- x}$$

On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ et $\mathcal{C}_g$ celle de la fonction $g$ dans un repère orthonormé du plan.
Pour tout réel $a$, on note $M$ le point de $\mathcal{C}_f$ d’abscisse $a$ et $N$ le point de $\mathcal{C}_g$ d’abscisse $a$.
La tangente en $M$ à $\mathcal{C}_f$ coupe l’axe des abscisses en $P$, la tangente en $N$ à $\mathcal{C}_g$ coupe l’axe des abscisses en $Q$.
À l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique, on a représenté la situation pour différentes valeurs de $a$ et on a relevé dans un tableur la longueur du segment $[PQ]$ pour chacune de ces valeurs de $a$.

Les questions 1 et 2 peuvent être traitées de manière indépendante.

  1. Démontrer que la tangente en $M$ à $\mathcal{C}_f$ est perpendiculaire à la tangente en $N$ à $\mathcal{C}_g$.
    $\quad$
  2. a. Que peut-on conjecturer pour la longueur $PQ$ ?
    $\quad$
    b. Démontrer cette conjecture.
    $\quad$

Exercice 4    5 points

Dans tout l’exercice, $n$ désigne un entier naturel strictement positif. Le but de l’exercice est d’étudier l’équation $$\left(E_n\right) :  \dfrac{\ln (x)}{x} = \dfrac{1}{n}$$ ayant pour inconnue le nombre réel strictement positif $x$.

Partie A

Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $]0;+ \infty[$ par $$f(x) = \dfrac{\ln (x)}{x}$$
On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $]0;+ \infty[$.
On a donné en ANNEXE, qui n’est pas à rendre, la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ dans un repère orthogonal.

  1. Étudier les variations de la fonction $f$.
    $\quad$
  2. Déterminer son maximum.
    $\quad$

Partie B

  1. Montrer que, pour $n \pg 3$, l’équation $f(x) = \dfrac{1}{n}$ possède une unique solution sur $[1;\e]$ notée $\alpha_n$.
    $\quad$
  2. D’après ce qui précède, pour tout entier $n \pg 3$, le nombre réel $\alpha_n$ est solution de l’équation $\left(E_n\right)$.
    a. Sur le graphique sont tracées les droites $D_3$, $D_4$ et $D_5$ d’équations respectives $y= \dfrac{1}{3}$, $y= \dfrac{1}{4}$, $y= \dfrac{1}{5}$.
    Conjecturer le sens de variation de la suite $\left(a_n\right)$.
    $\quad$
    b. Comparer, pour tout entier $n \pg 3$, $f\left(\alpha_n\right)$ et $f\left(\alpha_{n+1}\right)$.
    Déterminer le sens de variation de la suite $\left(\alpha_n\right)$.
    $\quad$
    c. En déduire que la suite $\left(\alpha_n\right)$ converge.
    Il n’est pas demandé de calculer sa limite.
    $\quad$
  3. On admet que, pour tout entier $n \pg 3$, l’équation $\left(E_n\right)$ possède une autre solution $\beta_n$ telle que $$1 \pp \alpha_n \pp \e \pp \beta_n$$
    a. On admet que la suite $\left(\beta_n\right)$ est croissante.
    Établir que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $3$, $$\beta_n \pg n\dfrac{\beta_3}{3}$$
    $\quad$
    b. En déduire la limite de la suite $\left(\beta_n\right)$.
    $\quad$

Annexe

$\quad$

Exercice 5    5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

On note $\R$ l’ensemble des nombres réels.
L’espace est muni d’un repère orthonormé $\Oijk$.
On considère les points $A(- 1;2;0)$, $B(1;2;4)$ et $C(-1;1;1)$.

  1. a. Démontrer que les points $A, B$ et $C$ ne sont pas alignés.
    $\quad$
    b. Calculer le produit scalaire $\vect{AB} \cdot \vect{AC}$.
    $\quad$
    c. En déduire la mesure de l’angle $\widehat{BAC}$, arrondie au degré.
    $\quad$
  2. Soit $\vec{n}$ le vecteur de coordonnées $\begin{pmatrix}2\\-1\\-1\end{pmatrix}$.
    a. Démontrer que $\vec{n}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.
    $\quad$
    b. Déterminer une équation cartésienne du plan $(ABC)$.
    $\quad$
  3. Soient $\mathcal{P}_1$ le plan d’équation $3x+y-2z+3 = 0$ et $\mathscr{P}_2$ le plan passant par $O$ et parallèle au plan d’équation $x-2z+6 = 0$.
    a. Démontrer que le plan $\mathscr{P}_2$ a pour équation $x = 2z$.
    $\quad$
    b. Démontrer que les plans $\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_2$ sont sécants.
    $\quad$
    c. Soit la droite $\mathscr{D}$ dont un système d’équations paramétriques est $$\begin{cases}x=2t\\y=-4t-3\\z=t\end{cases}, t \in \R$$
    Démontrer que $\mathscr{D}$ est l’intersection des plans $\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_2$.
    $\quad$
  4. Démontrer que la droite $\mathscr{D}$ coupe le plan $(ABC)$ en un point $I$ dont on déterminera les coordonnées.
    $\quad$

Exercice 5    5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

On considère la suite définie par son premier terme $u_0 = 3$ et, pour tout entier naturel $n$, par $$u_{n+1} = 2u_n + 6$$

  1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $$u_n = 9 \times 2^n-6$$
    $\quad$
  2. Démontrer que, pour tout entier $n \pg 1$, $u_n$ est divisible par $6$.
    $\quad$

On définit la suite d’entiers $\left(v_n\right)$ par, pour tout entier naturel $n \pg 1$, $v_n = \dfrac{u_n}{6}$.

  1. On considère l’affirmation : “pour tout entier naturel $n$ non nul, $v_n$ est un nombre premier”.
    Indiquer si cette affirmation est vraie ou fausse en justifiant la réponse.
    $\quad$
  2. a. Démontrer que, pour tout entier $n \pg 1$, $v_{n+1}-2v_n = 1$.
    $\quad$
    b. En déduire que, pour tout entier $n \pg 1$, $v_n$ et $v_{n+1}$ sont premiers entre eux.
    $\quad$
    c. En déduire, pour tout entier $n \pg 1$, le PGCD de $u_n$ et $u_{n+1}$.
    $\quad$
  3. a. Vérifier que $2^4 \equiv 1~~[5]$.
    $\quad$
    b. En déduire que si $n$ est de la forme $4k + 2$ avec $k$ entier naturel, alors $u_n$ est divisible par $5$.
    $\quad$
    c. Le nombre $u_n$ est-il divisible par 5 pour les autres valeurs de l’entier naturel $n$ ?
    Justifier.
    $\quad$

Bac S – Polynésie – juin 2017

Polynésie – Juin 2017

Bac S – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A – Durée d’attente

  1. a. La variable aléatoire $D_1$ suit la loi exponentielle de paramètre $0,6$.
    Par conséquent $E\left(D_1\right)=\dfrac{1}{0,6}\approx 1,667$
    Le temps d’attente moyen est d’environ $1,667$ minutes soit environ $1$minute $40,02$ secondes.
    $\quad$
    b. On veut calculer :
    $\begin{align*} P\left(D_1\pp 5\right)&=1-\e^{-0,6\times 5} \\
    &=1-\e^{-3}\\
    &\approx 0,950
    \end{align*}$
    La probabilité que la durée d’attente d’un client Internet choisi au hasard soit inférieure à $5$ minutes est environ $0,950$.
    $\quad$
  2. a. La variable aléatoire $D_2$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.
    $\begin{align*} P\left(D_2\pp 4\right)=0,798 &\ssi 1-\e^{-4\lambda}=0,798 \\
    &\ssi -\e^{-4\lambda}=0,798-1\\
    &\ssi \e^{-4\lambda}=0,202 \\
    &\ssi -4\lambda = \ln (0,202) \\
    &\ssi \lambda =\dfrac{\ln(0,202)}{-4}
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. $P\left(D_2\pg 5\right)=\e^{-0,4\times 5} \approx 0,135 > 0,1$.
    On peut donc pas considérer que moins de $10\%$ des clients mobile choisis au hasard attendent plus de $5$ minutes avant de joindre un opérateur.
    $\quad$

Partie B – Obtention d’un opérateur

  1. On appelle :
    – $I$ l’événement “L’appel provient d’un client Internet”;
    – $M$ l’événement “l’appel provient d’un client mobile”;
    – $A$ le client a joint un opérateur de l’assistance téléphonique.
    On obtient ainsi l’arbre pondéré suivant :

    D’après la formule des probabilités totale, on a :
    $\begin{align*} p(A)&=p(I\cap A)+p(M\cap A) \\
    &=0,7\times 0,95+0,3\times 0,87 \\
    &=0,926
    \end{align*}$
    La probabilité que le client joigne un opérateur est $0,926$.
    $\quad$
  2. On a : $p\left(\conj{A}\right)=1-0,926=0,074$
    $\begin{align*} p_{\conj{A}}(M)&=\dfrac{p\left(\conj{A}\cap M\right)} {p\left(\conj{A}\right)} \\
    &=\dfrac{0,3\times 0,13}{0,074}\\
    &\approx 0,527
    \end{align*}$
    et
    $\begin{align*} p_{\conj{A}}(I)&=\dfrac{p\left(\conj{A}\cap I\right)} {p\left(\conj{A}\right)} \\
    &=\dfrac{0,7\times 0,05}{0,074}\\
    &\approx 0,473
    \end{align*}$
    On constate donc que $p_{\conj{A}}(M) > p_{\conj{A}}(I)$.
    Il est donc plus probable que ce soit un client mobile.
    $\quad$

Partie C

On a $n=1~303 \pg 30$ et $p=0,85$ donc $np=1~107,55\pg 5$ et $n(1-p)=195,45\pg 5$

Un intervalle de fluctuation asymptotique au niveau de confiance de $95\%$ est :
$\begin{align*} I_{1~303}&=\left[0,85-1,96\sqrt{\dfrac{0,85\times 0,15}{1~303}};0,85+1,96\sqrt{\dfrac{0,85\times 0,15}{1~303}}\right] \\
&\approx [0,830;0,869]
\end{align*}$
La fréquence observée est $f=\dfrac{1~150}{1~303} \notin I_{1~303}$.
Cela remet en cause l’annonce de la société au risque de $5\%$.
Le taux de satisfaction de l’échantillon est cependant supérieur à celui annoncé par la société.
$\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

  1. a. On considère le triangle rectangle obtenu dans la 3ème figure et on applique le théorème de Pythagore.
    On obtient ainsi :
    $\begin{align*} R^2=h^2+\ell^2 &\ssi \ell^2=R^2-h^2 \\
    &\ell^2=400-h^2
    \end{align*}$.
    L’aire du disque de base est $\mathscr{A}=\pi\ell^2=\pi\left(400-h^2\right)$.
    Ainsi $V(h)=\dfrac{\mathscr{A}h}{3}=\dfrac{\pi\left(400-h^2\right)h}{3}$
    $\quad$
    b. La fonction $V$ est dérivable sur l’intervalle $[0;20]$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $\begin{align*} V'(h)&=\dfrac{\pi}{3}\left(-2h\times h+\left(400-h^2\right)\right) \\
    &=\dfrac{\pi}{3}\left(-2h^2+400-h^2\right) \\
    &=\dfrac{\pi}{3}\left(-3h^2+400\right)
    \end{align*}$
    Le signe de $V'(h)$ ne dépend que de celui de $-3h^2+400$.
    $\begin{align*} -3h^2+400&=-3\left(h^2-\dfrac{400}{3}\right)\\
    &=-3\left(h-\dfrac{20}{\sqrt{3}}\right)\left(h+\dfrac{20}{\sqrt{3}}\right)\end{align*}$
    Donc $-3h^2+400=0 \ssi h=\dfrac{20}{\sqrt{3}}$ ou $h=-\dfrac{20}{\sqrt{3}}$.
    $h-\dfrac{20}{\sqrt{3}}>0 \ssi h>\dfrac{20}{\sqrt{3}}$
    $h+\dfrac{20}{\sqrt{3}}>0 \ssi h>-\dfrac{20}{\sqrt{3}}$
    On obtient donc le tableau de variation suivant :

    La valeur $\dfrac{20}{\sqrt{3}}$ rend le volume maximum.
    Et le volume maximal est :
    $\begin{align*}V_{max}&=V\left(\dfrac{20}{\sqrt{3}}\right) \\
    &\dfrac{\pi}{3}\left(400-\dfrac{400}{3}\right)\times \dfrac{20}{\sqrt{3}} \\
    &=\dfrac{\pi}{3}\times \dfrac{800}{3}\times \dfrac{20}{\sqrt{3}} \\
    &=\dfrac{16~000\pi}{9\sqrt{3}}
    \end{align*} $
    $\quad$
    c. Le rayon du cercle de base est donc, d’après les calculs faits à la question 1.a avec $h=\dfrac{20}{\sqrt{3}}$:
    $\begin{align*} \ell&=\sqrt{400-h^2} \\
    &=\sqrt{400-\dfrac{400}{3}} \\
    &=\sqrt{\dfrac{800}{3}} \\
    &=\dfrac{20\sqrt{2}}{\sqrt{3}}
    \end{align*}$
    Le périmètre de ce cercle est $P=2\pi\times \dfrac{20\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$
    Le secteur angulaire, de la 2ème figure, associé à ce cercle a un angle égale à $2\pi-\alpha$.
    La longueur de cet arc de cercle est donc $R(2\pi-\alpha)$.
    On cherche alors de $\alpha$ telle que :
    $\begin{align*} R(2\pi-\alpha)=2\pi\times \dfrac{20\sqrt{2}}{\sqrt{3}} &\ssi 20(2\pi-\alpha)=2\pi\times \dfrac{20\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \\
    &\ssi 2\pi-\alpha=\dfrac{2\pi\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \\
    &\ssi \alpha = 2\pi-\dfrac{2\pi\sqrt{2}}{\sqrt{3}}
    \end{align*}$
    Ainsi une valeur en degré cet angle est :
    $\left(2\pi-\dfrac{2\pi\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right)\times \dfrac{180}{\pi} \approx 66$°
    $\quad$
  2. Si on reprend les calculs précédents sans choisir de valeur pour $R$ on obtient :
    $\ell^2=R^2-h^2$ soit $\ell=\sqrt{R^2-h^2}$
    $h_{max}=\dfrac{R}{\sqrt{3}}$ donc $\ell=\sqrt{R^2-\dfrac{R^2}{3}}=\dfrac{R\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$
    $P_{max}=2\pi\times \dfrac{R\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$
    On cherche alors de $\alpha$ telle que :
    $\begin{align*} R(2\pi-\alpha)=2\pi\times \dfrac{R\sqrt{2}}{\sqrt{3}} &\ssi  2\pi-\alpha=\dfrac{2\pi\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \\
    &\ssi \alpha = 2\pi-\dfrac{2\pi\sqrt{2}}{\sqrt{3}}
    \end{align*}$
    Donc $\alpha$ ne dépend pas du rayon du disque en carton.

 

 

Ex 3

Exercice 3

  1. Les segments $[AH]$, $[HF]$, $[FC]$, $[AC]$ et $[AF]$ sont des diagonales des carrés correspondant à des faces du cube. Ils ont donc tous la même longueur.
    Le tétraèdre $ACFH$ est donc régulier.
    On peut par conséquent inscrire le tétraèdre associé à la molécule de méthane dans un cube $ABCDEFGH$ en positionnant les atomes d’hydrogène sur les sommes $A$, $C$, $F$ et $H$.
    On obtient :
  2. L’atome de carbone doit être à égale distance des atomes d’hydrogène.
    Or le centre du cube $\Omega$ est à égale distance de tous les sommets du cube en particulier des sommets $A, C, F$ et $H$.
    L’atome de carbone est donc au centre du cube.
    $\quad$
  3. Dans le repère proposé on a $A(0;0;0)$, $C(1;1;0)$ et $\Omega(0,5;0,5;0,5)$.
    Ainsi $\vect{\Omega C}(0,5;0,5;-0,5)$ et $\vect{\Omega A}(-0,5;-0,5;-0,5)$.
    $\Omega C=\sqrt{0,5^2+0,5^2+(-0,5)^2}=\sqrt{0,75}$
    $\Omega A=\sqrt{(-0,5)^2+(-0,5)^2+(-0,5)^2}=\sqrt{0,75}$
    D’une part $\vect{\Omega A}.\vect{\Omega C}=-0,25-0,25+0,25=-0,25$
    D’autre part
    $\begin{align*} \vect{\Omega A}.\vect{\Omega C}&=\Omega A\times \Omega C\times \cos\left(\vect{\Omega A},\vect{\Omega C}\right) \\
    &=\sqrt{0,75}\times \sqrt{0,75}\times \cos \widehat{A\Omega C} \\
    &=0,75\times \cos \widehat{A\Omega C}
    \end{align*}$
    Par conséquent
    $\begin{align*} -0,25=0,75 \times \cos \widehat{A\Omega C} &\ssi \cos \widehat{A\Omega C}=\dfrac{-0,25}{0,75} \\
    &\ssi \cos \widehat{A\Omega C}=\dfrac{-0,25}{0,75} \\
    &\ssi \cos \widehat{A\Omega C}=-\dfrac{1}{3}
    \end{align*}$
    Donc $\widehat{A\Omega C} \approx 109,5$

 

 

Ex4 obl

Exercice 4

Partie A – Cas général

  1. $k$ et $m$ étant positif la fonction $t \to -\dfrac{k}{m}t$ est strictement décroissante sur $[0;+\infty[$.
    La fonction exponentielle étant croissante sur $\R$, la fonction $t \to \e^{-\frac{k}{m}t}$ est strictement décroissante sur $[0;+\infty[$.
    Par conséquent la fonction $t \to 1-\e^{-\frac{k}{m}t}$ est strictement croissante sur $[0;+\infty$.
    On en déduit donc que la fonction $v$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
    $\quad$
  2. La fonction $v$ étant strictement croissante sur $[0;+\infty[$, la goutte ne ralentit pas au cours de sa chute.
    $\quad$
  3. $k$ et $m$ étant positif, on a $\lim\limits_{t \to +\infty} -\dfrac{k}{m}t=-\infty$
    Or $\lim\limits_{T \to -\infty} \e^T=0$
    Donc $\lim\limits_{t \to +\infty} \e^{-\frac{k}{m}t}=0$
    Par conséquent $\lim\limits_{t \to +\infty} v(t)=9,91\dfrac{m}{k}$.
    $\quad$
  4. $\quad$
    $\begin{align*} v\left(\dfrac{5m}{k}\right)&=9,81\dfrac{m}{k}\left(1-\e^{-\dfrac{k}{m}\times \dfrac{5m}{k}}\right) \\
    &=9,81\dfrac{m}{k}\left(1-\e^{-5}\right)
    \end{align*}$
    Or $1-\e^{-5} \approx 0,993$.
    Donc au bout d’une durée de chute égale à $\dfrac{5m}{k}$ la vitesse de la goutte dépasse bien $99\%$ de sa vitesse limite.
    $\quad$

Partie B

  1. $v(t)=9,81\times \dfrac{6}{3,9}\left(1-\e^{-\dfrac{3,9}{6}t}\right)$.
    On veut donc résoudre :
    $\begin{align*} v(t)=15&\ssi 9,81\times \dfrac{6}{3,9}\left(1-\e^{-\dfrac{3,9}{6}t}\right)=15 \\
    &\ssi 1-\e^{-\dfrac{3,9}{6}t}=\dfrac{15\times 3,9}{9,81 \times 6} \\
    &\ssi 1-\e^{-0,65t}=\dfrac{58,5}{58,86} \\
    &\ssi \e^{-0,65t}=1-\dfrac{58,5}{58,86} \\
    &\ssi -0,65t=\ln\left(1-\dfrac{58,5}{58,86}\right) \\
    &\ssi t=\dfrac{\ln\left(1-\dfrac{58,5}{58,86}\right) }{-0,65}
    \end{align*}$
    Donc $t\approx 7,8$ seconde.
    La goutte s’est détachée de son nuage il y a environ $7,8$ s
    $\quad$
  2. Sa vitesse moyenne est donc :
    $\begin{align*} V&=\dfrac{1}{7,8}\displaystyle \int_0^{7,8}v(t)\dt \\
    &=\dfrac{1}{7,8}\left[9,81\times \dfrac{6}{3,9}\left(t+\dfrac{6}{3,9}\e^{-0,65t}\right)\right]_0^{7,8} \\
    &=\dfrac{1}{7,8}\left(9,81\times \dfrac{6}{3,9}\left(7,8+\dfrac{6}{3,9}\e^{-5,07}-\dfrac{6}{3,9}\right)\right) \\
    &\approx 12,1
    \end{align*}$
    La vitesse moyenne de cette goutte sur cette intervalle de temps est d’environ $12,1$ m.s$^{-1}$.
    $\quad$

 

 

Ex4 spé

Exercice 4

Partie A

  1. Il y a $15,9\%$ de O dans le texte codé. La lettre E a donc été codé par O d’après le tableau des fréquences des lettres dans un texte écrit en français.
    Il y a $9,4\%$ de E dans le texte codé. La lettre A a donc été codé par E d’après le tableau des fréquences des lettres dans un texte écrit en français.
    $\quad$
  2. E, associé au nombre $4$ a été codé en O, associé au nombre $14$ : donc $4a+b \equiv 14~~[26]$.
    A, associé au nombre $0$ a été codé en E, associé au nombre $4$ : donc $0+b \equiv 4~~[26]$ soit $b \equiv 4~~[26]$.
    $\quad$
    $a$ et $b$ sont donc solutions du système $\begin{cases}4a+b\equiv 14~~[26] \\b\equiv 4~~[26] \end{cases}$
    $\quad$
  3. $\begin{cases}4a+b\equiv 14~~[26] \\b\equiv 4~~[26] \end{cases} \ssi \begin{cases}4a\equiv 10~~[26] \\b\equiv 4~~[26] \end{cases}$
    Donc $b=4$
    Faisons un tableau de distinction des cas pour $a$.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    a&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\
    \hline
    4a&0\phantom{0}&4\phantom{0}&8\phantom{0}&12&16&20&24&28&32&36&40&44&48\\
    \hline
    4a\text{ mod }26&0&4&8&12&16&20&24&2&6&10&14&18&22\\
    \hline
    \end{array}$
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    a&13&14&15&16&17&18&19&20&21&22&23&24&25\\
    \hline
    4a&52&56&60&64&68&72&76&80&84&88&92&96&100\\
    \hline
    4a\text{ mod }26&0&4&8&12&16&20&24&2&6&10&14&18&22\\
    \hline
    \end{array}$
    Donc $a=9$ ou $a=22$.
    Les couples solutions sont donc $(9;4)$ et $(22;4)$.
    $\quad$

Partie B

  1. a. K est associé au nombre $10$ : $22\times 10+4=224\equiv 16~~[26]$.
    Donc K est codé en Q.
    X est associé au nombre $23$ : $22 \times 23+4=510\equiv 16~~[26]$.
    Donc X est codé en Q.
    $\quad$
    b. Deux lettres différentes sont codés par la même lettre. Ce codage n’est donc pas envisageable.
    $\quad$
  2. a.
    $\begin{align*} m\equiv 9n+4~~[26] &\ssi 3m\equiv 27n+12~~[26] \\
    &\ssi 3m \equiv n+12~~[26] \\
    &\ssi 3m+14\equiv n+26~~[26]\\
    &\ssi 3m+14\equiv n~~[26]
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. D’après la question précédente si la lettre associé au nombre $n$ a été codé en la lettre associé au nombre $m$ alors $n\equiv 3m+14~~[26]$
    A est associé au nombre $0$ : $3\times 0+14=14\equiv 14~~~[26]$. Donc $O$ a été codé en A.
    Q est associé au nombre $16$ : $3\times 16+14=62\equiv 10~~~[26]$. Donc $K$ a été codé en Q.
    Si le mot codé est AQ alors le mot initial était OK.
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1    6 points

La société Fibration fournit des abonnements Internet et des abonnements de téléphone mobile. Un client de la société Fibration souscrit soit un abonnement Internet, soit un abonnement de téléphone mobile, il ne cumule pas les deux. En cas de difficulté, la société Fibration propose à ses clients une ligne d’assistance téléphonique: le client doit d’abord signaler s’il est client Internet ou s’il est client mobile puis son appel est mis en attente de réponse par un opérateur.

Les parties A, B et C sont indépendantes.
Si nécessaire, les résultats seront arrondis à $10^{-3}$.

Partie A – Durée d’attente 

  1. Dans cette question, on s’intéresse à la durée d’attente d’un client Internet lorsqu’il contacte l’assistance téléphonique avant de joindre un opérateur.
    Une étude permet de modéliser cette durée d’attente en minutes par la variable aléatoire $D_1$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $0,6$.
    a. Quelle est la durée d’attente moyenne que peut espérer un client Internet qui appelle cette ligne d’assistance ?
    $\quad$
    b. Calculer la probabilité que la durée d’attente d’un client Internet choisi au hasard soit inférieure à $5$ minutes.
    $\quad$
  2. Dans cette question, on s’intéresse à la durée d’attente d’un client mobile lorsqu’il contacte l’assistance téléphonique avant de joindre un opérateur. On modélise cette durée d’attente en minutes par la variable aléatoire $D_2$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, $\lambda$ étant un réel strictement positif.
    a. Sachant que $P\left(D_2\pp 4\right) = 0,798$, déterminer la valeur de $\lambda$.
    $\quad$
    b. En prenant $\lambda = 0,4$, peut-on considérer que moins de $10\%$ des clients mobile choisis au hasard attendent plus de $5$ minutes avant de joindre un opérateur?
    $\quad$

Partie B – Obtention d’un opérateur

Si la durée d’attente avant l’obtention d’un opérateur dépasse $5$ minutes, l’appel prend automatiquement fin. Sinon, l’appelant obtient un opérateur.

On choisit au hasard un client qui appelle la ligne d’assistance.

On admet que la probabilité que l’appel émane d’un client Internet est $0,7$.

De plus, d’après la partie A, on prend les données suivantes :

  • Si l’appel provient d’un client Internet alors la probabilité d’obtenir un opérateur est égale à $0,95$.
  • Si l’appel provient d’un client mobile alors la probabilité d’obtenir un opérateur est égale à $0,87$.
  1. Déterminer la probabilité que le client joigne un opérateur.
    $\quad$
  2. Un client se plaint que son appel a pris fin après $5$ minutes d’attente sans avoir obtenu d’opérateur. Est-il plus probable que ce soit un client Internet ou un client mobile?
    $\quad$

Partie C – Enquête de satisfaction

La société annonce un taux de satisfaction de $85\%$ pour ses clients ayant appelé et obtenu un opérateur.

Une association de consommateurs souhaite vérifier ce taux et interroge $1~303$ personnes. Parmi celles-ci, $1~150$ se disent satisfaites. Que pensez-vous du taux de satisfaction annoncé par la société ?

$\quad$

Exercice 2    5 points

Dans un disque en carton de rayon $R$ , on découpe un secteur angulaire correspondant à un angle de mesure $\alpha$ radians. On superpose les bords afin de créer un cône de révolution. On souhaite choisir l’angle $\alpha$ pour obtenir un cône de volume maximal.

On appelle $\ell$ le rayon de la base circulaire de ce cône et $h$ sa hauteur.

On rappelle que :

  • le volume d’un cône de révolution de base un disque d’aire $\mathscr{A}$ et de hauteur $h$ est $\dfrac{1}{3}\mathscr{A}h$.
  • la longueur d’un arc de cercle de rayon $r$ et d’angle $\theta$, exprimé en radians, est $r\theta$.
  1. On choisit $R = 20$ cm.
    a. Montrer que le volume du cône, en fonction de sa hauteur $h$, est $V(h) = \dfrac{1}{3}\pi\left(400-h^2\right)h$.
    $\quad$
    b. Justifier qu’il existe une valeur de $h$ qui rend le volume du cône maximum. Donner cette valeur.
    $\quad$
    c. Comment découper le disque en carton pour avoir un volume maximum ? Donner un arrondi de $\alpha$ au degré près.
    $\quad$
  2. L’angle $\alpha$ dépend-il du rayon $R$ du disque en carton ?
    $\quad$

Exercice 3    4 points

Les interactions électriques conduisent à modéliser la molécule de méthane CH$_4$ de la façon suivante :

  • Les noyaux d’atomes d’hydrogène occupent les positions des quatre sommets d’un tétraèdre régulier.
  • Le noyau de carbone au centre de la molécule est à égale distance des quatre atomes d’hydrogène.

L’objectif est de déterminer une mesure de l’angle entre deux liaisons carbone- hydrogène.

Un tétraèdre régulier est un polyèdre dont les quatre faces sont des triangles équilatéraux.

  1. Justifier qu’on peut inscrire ce tétraèdre dans un cube $ABCDEFGH$ en positionnant deux atomes d’hydrogène sur les sommets $A$ et $C$ du cube et les deux autres atomes d’hydrogène sur deux autres sommets du cube.
    Représenter la molécule dans le cube donné en annexe.
    Dans la suite de l’exercice, on pourra travailler dans le repère $\left(A;\vect{AB};\vect{AD};\vect{AE}\right)$.
    $\quad$
  2. Démontrer que l’atome de carbone est au centre $\Omega$ du cube.
    $\quad$
  3. Déterminer l’arrondi au dixième de degré de la mesure de l’angle que forment entre elles les liaisons carbone-hydrogène, c’est-à-dire l’angle $\widehat{A\Omega C}$.
    $\quad$

Annexe

$\quad$

Exercice 4    5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

On s’intéresse à la chute d’une goutte d’eau qui se détache d’un nuage sans vitesse initiale. Un modèle très simplifié permet d’établir que la vitesse instantanée verticale, exprimée en m.s$^{-1}$, de chute de la goutte en fonction de la durée de chute $t$ est donnée par la fonction $v$ définie ainsi :
pour tout réel positif ou nul $t$, $v(t) = 9,81\dfrac{m}{k}\left(1-\e^{-\frac{k}{m}t}\right)$ ; la constante $m$ est la masse de la goutte en milligramme et la constante $k$ est un coefficient strictement positif lié au frottement de l’air.

On rappelle que la vitesse instantanée est la dérivée de la position.
Les parties
A et B sont indépendantes.

Partie A – Cas général

  1. Déterminer les variations de la vitesse de la goutte d’eau.
    $\quad$
  2. La goutte ralentit -elle au cours de sa chute ?
    $\quad$
  3. Montrer que $\lim\limits_{t\to +\infty}v(t)=9,81\dfrac{m}{k}$. Cette limite s’appelle vitesse limite de la goutte.
    $\quad$
  4. Un scientifique affirme qu’au bout d’une durée de chute égale à $\dfrac{5m}{k}$, la vitesse de la goutte dépasse $99\%$ de sa vitesse limite. Cette affirmation est-elle correcte ?
    $\quad$

Partie B

Dans cette partie, on prend $m = 6$ et $k = 3,9$.

À un instant donné, la vitesse instantanée de cette goutte est $15$ m.s$^{-l}.$

  1. Depuis combien de temps la goutte s’est -elle détachée de son nuage ? Arrondir la réponse au dixième de seconde.
    $\quad$
  2. En déduire la vitesse moyenne de cette goutte entre le moment où elle s’est détachée du nuage et l’instant où on a mesuré sa vitesse. Arrondir la réponse au dixième de m.s$^{-1}$.
    $\quad$

Exercice 4     5 points

\textbf{Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité}

Les parties A et B sont indépendantes.

Une personne a mis au point le procédé de cryptage suivant :

  • À chaque lettre de l’alphabet, on associe un entier n comme indiqué ci-dessous :
    $$\begin{array}{l}
    \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    A &B &C &D &E &F &G &H &I& J &K &L &M\\
    \hline
    \phantom{1}0& \phantom{1}1 &\phantom{1}2 &\phantom{1}3 &\phantom{1}4 &\phantom{1}5 &\phantom{1}6 &\phantom{1}7 &\phantom{1}8 &\phantom{1}9 &10 &11 &12\\
    \hline
    \end{array} \\
    \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    N&O&P&Q&R&S&T&U&V&W&X&Y&Z\\
    \hline
    13&14&15&16&17&18&19&20&21&22&23&24&25\\ \hline
    \end{array}\end{array}$$
  • On choisit deux entiers $a$ et $b$ compris entre $0$ et $25$.
  • Tout nombre entier $n$ compris entre $0$ et $25$ est codé par le reste de la division euclidienne de $an+ b$ par $26$.

Le tableau suivant donne les fréquences $f$ en pourcentage des lettres utilisées dans un texte écrit en français.

$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Lettre}&A &B &C &D &E &F &G &H &I &J&K &L &M\\
\hline
\text{Fréquence}&9,42&1,02&2,64&3,38&15,87&0,94&1,04&0,77&8,41&0,89&0,00&5,33&3,23\\
\hline
\hline
\text{Lettre}&N&O&P&Q&R&S&T&U&V&W&X&Y&Z\\
\hline
\text{Fréquence}&7,14&5,13&2,86&1,06&6,46&7,90&7,26&6,24&2,15&0,00&0,30&0,24&0,32\\
\hline
\end{array}$

Partie A 

Un texte écrit en français et suffisamment long a été codé selon ce procédé. L’analyse fréquentielle du texte codé a montré qu’il contient $15,9\%$ de $O$ et $9,4\%$ de $E$.
On souhaite déterminer les nombres $a$ et $b$ qui ont permis le codage.

  1. Quelles lettres ont été codées par les lettres $O$ et $E$ ?
    $\quad$
  2. Montrer que les entiers $a$ et $b$ sont solutions du système $$\begin{cases}4a + b\equiv 14~~[26] \\b \equiv 4~~[26] \end{cases}$$
    $\quad$
  3. Déterminer tous les couples d’entiers $(a,b)$ ayant pu permettre le codage de ce texte.
    $\quad$

Partie B

  1. On choisit $a = 22$ et $b = 4$.
    a. Coder les lettres $K$ et $X$.
    $\quad$
    b. Ce codage est-il envisageable?
    $\quad$
  2. On choisit $a = 9$ et $b = 4$.
    a. Montrer que pour tous entiers naturels $n$ et $m$, on a :$$m \equiv 9 n + 4~~[26]\ssi n\equiv 3 m + 14~~[26]$$
    b. Décoder le mot $AQ$.
    $\quad$

Bac S – Centres étrangers – juin 2017

Centres étrangers – Juin 2017

Bac S – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici :

Ex 1

Exercice 1

Question 1 : On appelle $\sigma$ l’écart-type associé à la variable aléatoire $X$.

$\begin{align*} P(X \pp 170)=0,02 &\ssi P(X-175 \pp -5)=0,02 \\
P(\left(\dfrac{X-175}{\sigma} \pp -\dfrac{5}{\sigma}\right)=0,02
\end{align*}$

La variable aléatoire $X’=\dfrac{X-175}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite et on a donc $P(\left(X’ \pp -\dfrac{0,05}{\sigma}\right)=0,02$.
En utilisant la touche inverse loi normale de la calculatrice on trouve $-\dfrac{5}{\sigma}\approx -2,054$.
Soit $\sigma \approx 2,434$.

On en déduit donc que $P(170\pp X\pp 180) \approx 0,96$.
Réponse b

$\quad$
Remarque : Il y avait beaucoup plus rapide en voyant que :
$\begin{align*} P(170\pp X\pp 180)&=2P(P(170\pp X\pp 175) \\
&=2\left(0,5-P(X \pp 170)\right)\\
&=2(0,5-0,02) \\
&=0,96
\end{align*}$

$\quad$

Question 2 : On appelle $B$ la variable aléatoire comptant le nombre de bonbons déformés.
Il y a $50$ tirages aléatoires, indépendants et identiques (on suppose le nombre de bonbons suffisamment important pour que ce soit le cas). A chaque tirage, il n’y a que $2$ issues : le bonbon est déformé ou ne l’est pas. La probabilité qu’il soit déformé est $0,05$.
La variable aléatoire $B$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=50$ et$ p=0,05$.

On veut calculer $P(B\pg 2) = 1-P(B\pp 1) \approx 0,72$ (d’après la calculatrice).
Réponse a

$\quad$

Question 3 : On considère les événements suivants :
– $A$ : le bonbon est produit par la machine A;
– $B$ : le bonbon est produit par la machine B;
– $D$ : le bonbon est déformé.

On obtient l’arbre pondéré suivant :

D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} p(D)&=p(A\cap D)+p(B \cap D) \\
&=\dfrac{1}{3}\times 0,05+\dfrac{2}{3}\times 0,02 \\
&=0,03
\end{align*}$

On veut calculer :

$\begin{align*} p_D(B)&=\dfrac{p(D\cap B)}{p(D)} \\
&=\dfrac{\dfrac{2}{3}\times 0,02}{0,03} \\
&\approx 0,44
\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

Question 4 : La variable aléatoire $Y$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$.

On a $E(Y)=\dfrac{1}{\lambda} \ssi 500=\dfrac{1}{\lambda} \ssi \lambda=\dfrac{1}{500}$ $\ssi \lambda =0,002$.

On veut calculer $P(Y\pp 300) =1-\e^{-0,002\times 300}\approx 0,45$.

Réponse a

$\quad$

Question 5 : Un intervalle de confiance au niveau de confiance de $95\%$ est du type $\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}};f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$.

Son amplitude est donc égale à $\dfrac{2}{\sqrt{n}}$.

Par conséquent :
$\begin{align*} \dfrac{2}{\sqrt{n}}=0,05&\ssi \sqrt{n}=\dfrac{2}{0,05} \\
&\ssi \sqrt{n}=40 \\
&\ssi n=1~600
\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. La représentation paramétrique de la doite $d_1$ est $\begin{cases}x=2+t\\y=3-t\\z=t \end{cases}\qquad t\in\R$.
    Si on prend $t=0$ on obtient $\begin{cases}x=2\\y=3\\z=0\end{cases}$.
    Le point $A(2;3;0)$ appartient donc à la droite $d_1$.
    $\quad$
  2. Un vecteur directeur de la droite $d_1$ est $\vec{u}_1(1;-1;1)$ et un vecteur directeur de la droite $d_2$ est $\vec{u}_2(2;1;0)$.
    $\dfrac{1}{2}\neq -\dfrac{1}{1}$.
    Les deux vecteurs ne sont donc pas colinéaires et les droites $d_1$ et $d_2$ ne sont par conséquent pas parallèles.
    $\quad$
  3. $\vec{v}.\vec{u}_1=1+2-3=0$
    $\vec{v}.\vec{u}_2=2-2+0=0$
    Le vecteur $\vec{v}$ est donc bien orthogonal aux vecteurs $\vec{u}_1$ et $\vec{u}_2$.
    $\quad$
  4. a. le vecteur $n(5;4;-1)$ est normal au plan dont une équation cartésienne est $5x+4y-z-22=0$.
    $\vec{n}.\vec{u}_1=5-4+1=0$
    $\vec{n}.\vec{v}=5-8+3=0$
    Le vecteur $\vec{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $P$ : il donc normal au plan $P$.
    $\quad$
    Regardons si le point $A(2;3;0)$ appartient au plan dont une équation cartésienne est $5x+4y-z-22=0$.
    $5\times 2+4\times 3-0-22=10+12-22=0$ : $A\in P$.
    $\quad$
    Par conséquent une équation cartésienne du plan $P$ est $5x+4y-z-22=0$.
    $\quad$
    b. Regardons si le point $B$ appartient au plan $P$ :
    $5\times 3+4\times 3-5-22=15+12-5-22=0$ donc $B\in P$.
    Regardons si le point $B$ appartient à la droite $d_2$ :
    On résout le système :
    $\begin{cases} -5+2t’=3\\-1+t’=3\end{cases} \ssi t’=4$
    Par conséquent $B\in d_2$.
    Un vecteur directeur de $d_2$ est $\vec{u}_2(2;1;0)$.
    Or $\vec{n}.\vec{u}_2=10+4-0=14\neq 0$.
    La droite $d_2$ n’est donc pas incluse dans le plan $P$.
    On en déduit donc que la droite $d_2$ coupe le plan $P$ au point $B(3;3;5)$.
    $\quad$
    Remarque : On pouvait également résoudre un système et déterminer les coordonnées du point d’intersection du plan et de la droite.
    $\quad$
  5. a. On a $B(3;3;5)$ et $\vec{v}(1;-2;-3)$.
    Une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est $\begin{cases} x=3+k\\y=3-2k\\z=5-3k\end{cases} \qquad k\in\R$.
    $\quad$
    b. Pour déterminer si les droites $\Delta$ et $d_1$ sont sécantes nous allons résoudre le système :
    $\begin{align*} \begin{cases} 2+t=3+k\\3-t=3-2k\\t=5-3k\end{cases} &\ssi \begin{cases}t=5-3k\\2+5-3k=3+k\\3-5+3k=3-2k\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} t=5-3k\\7=3+4k\\-2+5k=3\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} t=5-3k\\k=1\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} k=1\\t=2\end{cases} \end{align*}$
    Les droites $d_1$ et $\Delta$ sont donc sécantes au point $C(4;1;2)$.
    $\quad$
    c. D’après la question 3. la droite $\Delta$ est orthogonale au droites $d_1$ et $d_2$.
    D’après la question 5b. les droites $d_1$ et $\Delta$ sont sécantes.
    Le point $B$ appartient aux droites $d_2$ et $\Delta$.
    La droite $\Delta$ est donc sécante avec les deux droites $d_1$ et $d_2$ et orthogonale à ces deux droites.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

Partie A : administration par voie intraveineuse

  1. On a $f(0)=20$. On veut donc résoudre :
    $\begin{align*} f(t)=10 &\ssi 20\e^{-0,1t}=10 \\
    &\ssi e^{-0,1t}=0,5 \\
    &\ssi -0,1t=\ln(0,5) \\
    &\ssi t=-10\ln(0,5) \\
    &\ssi t=10\ln(2)
    \end{align*}$
    On a donc $t_{0,5}=10\ln(2)$.
    $\quad$
  2. On veut résoudre l’inéquation :
    $\begin{align*} f(t)\pp 0,2 &\ssi 20\e^{-0,1t} \pp 0,2 \\
    &\ssi \e^{-0,1t} \pp 0,01 \\
    &\ssi -0,1t\pp \ln(0,01) \\
    &\ssi t \pg -10\ln(0,01) \\
    &\ssi t\pg 10\ln(100)
    \end{align*}$
    Or $10\ln(100) \approx 46,05$
    C’est après environ $46,1$ h soit $46h$ et $6$ minutes que le médicament est éliminé.
    $\quad$
  3. Montrons qu’une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;+\infty[$ est la fonction $F$ définie sur cet intervalle par $F(t)=-200\e^{-0,1t}$
    La fonction $F$ est dérivable sur l’intervalle $[0;+\infty[$ comme composée de fonctions dérivables.
    $F'(t)=-200\times (-0,1)\e^{-0,1t}=20\e^{-0,1t}=f(t)$.
    $F$ est donc une primitive de $f$ sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} \displaystyle \int_0^x f(t)\dt &=F(x)-F(0) \\
    &=-200\e^{-0,1x}+200
    \end{align*}$
    $\lim\limits_{x \to +\infty} -0,1x=-\infty$ et $\lim\limits_{X \to -\infty} \e^X=0$ donc $\lim\limits_{x \to +\infty}-200\e^{-0,1x}=0$
    Par conséquent $\lim\limits_{x \to +\infty} \int_0^x f(t)\dt=200$.
    Pour ce modèle, l’ASC est égal à $200$ µg.L$^{-1}$.h.
    $\quad$

Partie B : administration par voie orale

  1. La fonction $g$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que composée et somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $\begin{align*} g'(t)&=20\left(-0,1\e^{-0,1t}-(-1)\e^{-t}\right) \\
    &=20\left(-0,1\e^{-0,1t}+\e^{-t}\right) \\
    &=20\e^{-t}\left(-0,1\e^{-0,1t+t}+1\right)\\
    &=20\e^{-t}\left(1-0,1\e^{0,9t}\right)
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. La fonction exponentielle est strictement positive donc le signe de $g'(t)$ ne dépend que du signe de $1-0,1\e^{0,9t}$.
    $\begin{align*} 1-0,1\e^{0,9t}=0&\ssi 1=0,1\e^{0,9t} \\
    &10=\e^{0,9t} \\
    &\ln(10)=0,9t \\
    &t=\dfrac{\ln(10)}{0,9}
    \end{align*}$
    et
    $\begin{align*} 1-0,1\e^{0,9t}\pg 0&\ssi 1\pg 0,1\e^{0,9t} \\
    &10\pg \e^{0,9t} \\
    &\ln(10)\pg 0,9t \\
    &t\pp\dfrac{\ln(10)}{0,9}
    \end{align*}$
    La fonction $g$ est donc croissante sur l’intervalle $\left[0;\dfrac{\ln(10)}{0,9}\right]$ et décroissante sur l’intervalle $\left[\dfrac{\ln(10)}{0,9};+\infty\right[$.
    $\quad$
    Or $\dfrac{\ln(10)}{0,9} \approx 2,56$ h soit $\approx 2$ h $34$ min.
    La concentration est donc maximale au bout de $2$ h $34$ min.
    $\quad$

Partie C : administration répétée par voie intraveineuse

  1. Initialisation : $u_1=20$ et $40-40\times 0,5^1=40-20=20$
    La propriété est donc vraie au rang $1$.
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $u_n=40-40\times 0,5^n$.
    $\begin{align*} u_{n+1}&=0,5u_n+20 \\
    &=0,5\left( 40-40\times 0,5^n\right) +20 \\
    &=20-40\times 0,5^{n+1}+20 \\
    &=40-40\times 0,5^{n+1}
    \end{align*}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n \pg 1$ on a $u_n=40-40\times 0,5^n$.
    $\quad$
  2. $-1<0,5<1$ : donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,5^n = 0$
    Ainsi $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 40$
    $\quad$
  3. On veut donc trouver le plus petit entier naturel tel que :
    $\begin{align*} u_n \pg 38 &\ssi 40-40\times 0,5^n \pg 38 \\
    &\ssi -40 \times 0,5^n \pg -2 \\
    &\ssi 0,5^n \pp 0,05 \\
    &\ssi n\ln(0,5) \pp \ln(0,05) \\
    &\ssi n \pg \dfrac{\ln(0,05)}{\ln(0,5)} \\
    &\ssi n \pg 5
    \end{align*}$
    Il faut donc au minimum $5$ injections pour atteindre cet équilibre.
    $\quad$

 

 

Ex 4 obl

Exercice 4

Partie A : étude du cas particulier $\boldsymbol{n=6}$

  1. Les angles au centre sont tous égaux et mesurent $\dfrac{360}{6}=60$°.
    Le triangle $OA_6B_6$ est isocèle en $O$.
    Puisque l’angle au sommet principal $\widehat{A_6OB_6}$ mesure $60$° cela signifie donc que le triangle $OA_6B_6$ est équilatéral.
    $\quad$
    Tous les triangles étant superposables ont la même aire $\mathscr{A}_6$. On sait également que l’aire du polygone est égale à $1$.
    Ainsi $6\times \mathscr{A}_6=1$ soit $\mathscr{A}_6=\dfrac{1}{6}$.
    $\quad$
  2. On appelle $M$ le milieu de $\left[OA_6\right]$.
    Puisque le triangle $OA_6B_6$ est équilatéral, cela signifie que la hauteur $\left(B_6M\right)$ est également une médiane.
    Ainsi $OM=\dfrac{r_6}{2}$.
    On applique alors le théorème de Pythagore dans le triangle $OMB_6$ rectangle en $M$ :
    $\begin{align*} {OB_6}^2=OM^2+{MB_6}^2 &\ssi {r_6}^2=\dfrac{{r_6}^2}{4}+{MB_6}^2 \\
    &\ssi {MB_6}^2=\dfrac{3{r_6}^2}{4} \\
    &\ssi MB_6=\dfrac{r_6\sqrt{3}}{2}
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. L’aire du triangle $OA_6B_6$ est donc également $\begin{align*} \mathscr{A}_6&= \dfrac{r_6\times \dfrac{r_6\sqrt{3}}{2}}{2} \\
    &=\dfrac{{r_6}^2\sqrt{3}}{4}
    \end{align*}$
    Cela signifie donc que :
    $\begin{align*} \dfrac{{r_6}^2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{1}{6}&\ssi {r_6}^2=\dfrac{4}{6\sqrt{3}} \\
    &\ssi {r_6}^2=\dfrac{2}{3\sqrt{3}} \\
    &\ssi r_6=\sqrt{\dfrac{2}{3\sqrt{3}}}
    \end{align*}$
    $\quad$

Partie B : cas général avec $\boldsymbol{n \pg 4}$

  1. On appelle $M$ le pied de la hauteur issue de $B_n$.
    Dans le triangle $OMB_n$ rectangle en $M$ on a :
    $\begin{align*}\sin\left(\theta_n\right)=\dfrac{OM}{OB_n} &\ssi \sin\left(\theta_n\right)=\dfrac{OM}{r_n} \\
    &\ssi OM=r_n\sin\left(\theta_n\right)
    \end{align*}$
    $\quad$
    Remarque : On pouvait également voir la hauteur $MB_n$ comme (la valeur absolue de ) la partie imaginaire de l’affixe de $B_n$ qui est $r_n\e^{\ic \theta_n}=r_n\left(\cos \left(\theta_n\right)+\ic \sin \left(\theta_n\right)\right)$.
    $\quad$
    L’aire du triangle $OA_nB_n$ est :
    $\begin{align*} \mathscr{A}_n&=\dfrac{OA_n\times MB_n}{2} \\
    &=\dfrac{r_n\times r_n\sin \theta_n}{2} \\
    &=\dfrac{{r_n}^2}{2}\sin\left(\theta_n\right)
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. Les $n$ angles au centre ont tous la même mesure. Ainsi :
    $\begin{align*} \left(\vect{OA_n},\vect{OB_n}\right)&=\theta_n \\
    &=\dfrac{2\pi}{n}
    \end{align*}$
    $\quad$
    On sait que l’aire du polygone $P_n$ est égale à $1$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} n\times \mathscr{A}_n=1 &\ssi \dfrac{n{r_n}^2}{2}\sin\left(\dfrac{2\pi}{n}\right)=1 \\
    &\ssi {r_n}^2=\dfrac{2}{n\sin\left(\dfrac{2\pi}{n}\right)} \\
    &\ssi r_n=\sqrt{\dfrac{2}{n\sin\left(\dfrac{2\pi}{n}\right)}}
    \end{align*}$
    $\quad$

Partie C : étude de la suite $\boldsymbol{\left(r_n\right)}$

  1. Pour tout entier naturel $n\pg 4$ on a :
    $\begin{align*} 0<2<n<n+1&\ssi 0<\dfrac{1}{n+1}<\dfrac{1}{n}<\dfrac{1}{2} \\
    &\ssi 0 < \dfrac{2\pi}{n+1}<\dfrac{2\pi}{n}<\pi \\
    &\ssi 0<f\left(\dfrac{2\pi}{n+1}\right)<f\left(\dfrac{2\pi}{n}\right)  \quad (*)\\
    &\ssi 0<\dfrac{1}{\pi}f\left(\dfrac{2\pi}{n+1}\right)<\dfrac{1}{\pi}f\left(\dfrac{2\pi}{n}\right)  \\
    &\ssi 0<\sqrt{\dfrac{1}{\pi}f\left(\dfrac{2\pi}{n+1}\right)}<\sqrt{\dfrac{1}{\pi}f\left(\dfrac{2\pi}{n}\right) } \quad (**)\\
    &\ssi 0<r_{n+1}<r_n
    \end{align*}$
    $\quad$
    $(*)$ car la fonction $f$ est croissante et strictement positive (quotient de fonctions strictement positives sur l’intervalle d’étude) sur l’intervalle $]0;\pi[$.
    $(**)$ car la fonction racine carré est croissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$.$\quad$
    La suite $\left(r_n\right)$ est donc décroissante.
    $\quad$
  2. La suite $\left(r_n\right)$ est donc décroissante et minorée par $0$. Elle converge donc.
    $\quad$
  3. L’algorithme renvoie le plus petit entier naturel $n$ tel que $r_n\pp 0,58$.
    La suite $\left(r_n\right)$ est décroissante.
    D’après la calculatrice $r_{10} \approx 0,583~318$ et $r_{11}\approx 0,579~915$
    L’algorithme va donc afficher $11$.
    $\quad$

Ex 4 spé

Exercice 4

  1. $A=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}$
    $B=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}$
    $\quad$
  2. La matrice gauche associée à la matrice $\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}$ est :
    $C=A\times G=\begin{pmatrix}2&1\\3&2\end{pmatrix}$
    La fraction est donc $\dfrac{2+1}{3+2}=\dfrac{3}{5}$.
    $\quad$
  3. a.
    $\begin{align*} d(a+c)-c(b+d)&=ad+dc-cb-cd \\
    &=ad-bc \\
    &=1
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. On a $M\times G=\begin{pmatrix} a+c&c\\b+d&d\end{pmatrix}$
    Ainsi :
    $\Delta_{M\times G}=d(a+c)-c(b+d)$
    D’après la question précédente, puisque $\Delta_M=1$ alors $\Delta_{M\times G}=1$.
    $\quad$
  4. Pour toutes les matrices $N$ de l’arbre de Stern-Brocot on a $d(a+c)-c(b+d)=1$
    D’après le théorème de Bezout, cela signifie que $a+c$ et $b+d$ sont premiers entre-eux et donc que la fraction $\dfrac{a+c}{b+d}$ est irréductible.
    $\quad$
  5. a.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Affichage}&\phantom{\text{Gauche}}&\text{Gauche}&\text{Droite}&\text{Gauche}&\text{Gauche}\\
    \hline
    m&4&4&1&1&1\\
    \hline
    n&7&3&3&2&1\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    b. On peut émettre la conjecture suivante : “l’algorithme fournit le chemin à suivre à partir de la matrice unité pour obtenir une fraction $\dfrac{m}{n}$ donnée.
    En suivant ce chemin $GDGG$ on obtient les matrices suivantes :
    $\begin{pmatrix} 1&0\\0&1\end{pmatrix}$ $\to \begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}$ $\to \begin{pmatrix} 1&1\\1&2\end{pmatrix}$ $\to \begin{pmatrix}2&1\\3&2\end{pmatrix}$ $\to \begin{pmatrix}3&1\\5&2\end{pmatrix}$
    La fraction associée à cette dernière matrice est $f=\dfrac{3+1}{5+2}=\dfrac{4}{7}$.

Énoncé

Exercice 1    5 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (Q.C.M.). Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse exacte. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte un point, une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapportent aucun point.

On étudie la production d’une usine qui fabrique des bonbons, conditionnés en sachets.

On choisit un sachet au hasard dans la production journalière. La masse de ce sachet, exprimée en gramme, est modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale d’espérance $\mu = 175$. De plus, une observation statistique a montré que $2\%$ des sachets ont une masse inférieure ou égale à $170$ g, ce qui se traduit dans le modèle considéré par : $P(X \pp 170) = 0,02$.

Question 1 : Quelle est la probabilité, arrondie au centième, de l’événement “la masse du sachet est comprise entre $170$ et $180$ grammes” ?

Réponse a : $0,04$
Réponse b : $0,96$
Réponse c : $0,98$
Réponse d : On ne peut pas répondre car il manque des données.

$\quad$

Les différents bonbons présents dans les sachets sont tous enrobés d’une couche de cire comestible.
Ce procédé, qui déforme certains bonbons, est effectué par deux machines A et B.
Lorsqu’il est produit par la machine A, la probabilité qu’un bonbon prélevé aléatoirement soit déformé est égale à $0,05$.

Question 2 : Sur un échantillon aléatoire de $50$ bonbons issus de la machine A, quelle est la probabilité, arrondie au centième, qu’au moins $2$ bonbons soient déformés ?

Réponse a : $0,72$
Réponse b : $0,28$
Réponse c : $0,54$
Réponse d : On ne peut pas répondre car il manque des données

$\quad$

La machine A produit un tiers des bonbons de l’usine. Le reste de la production est assuré par la machine B. Lorsqu’il est produit par la machine B, la probabilité qu’un bonbon prélevé aléatoirement soit déformé est égale à $0,02$.
Dans un test de contrôle, on prélève au hasard un bonbon dans l’ensemble de la production. Celui-ci est déformé.

Question 3 : Quelle est la probabilité, arrondie au centième, qu’il soit produit par la machine B ?

Réponse a : $0,02$
Réponse b : $0,67$
Réponse c : $0,44$
Réponse d : $0,01$

$\quad$

La durée de vie de fonctionnement, exprimée en jour, d’une machine servant à l’enrobage, est modélisée par une variable aléatoire $Y$ qui suit la loi exponentielle dont l’espérance est égale à $500$ jours.

Question 4 : Quelle est la probabilité, arrondie au centième, que la durée de fonctionnement de la machine soit inférieure ou égale à $300$ jours ?

Réponse a : $0,45$
Réponse b : $1$
Réponse c : $0,55$
Réponse d : On ne peut pas répondre car il manque des données

$\quad$

L’entreprise souhaite estimer la proportion de personnes de plus de $20$ ans parmi ses clients, au niveau de confiance de $95\%$, avec un intervalle d’amplitude inférieure à $0,05$. Elle interroge pour cela un échantillon aléatoire de clients.

Question 5 : Quel est le nombre minimal de clients à interroger ?

Réponse a : $40$
Réponse b : $400$
Réponse c : $1~600$
Réponse d : $20$

$\quad$

Exercice 2    4 points

L’espace est muni d’un repère orthonormé $\Oijk$.

On considère deux droites $d_1$ et $d_2$ définies par les représentations paramétriques : $$d_1 : \begin{cases}x = 2+t \\y = 3-t\\z=t\end{cases}, t \in \R\text{ et }\begin{cases}x= -5+2t’\\y=-1+t’ \\ z=5\end{cases}, t’\in \R$$

On admet que les droites $d_1$ et $d_2$ sont non coplanaires.

Le but de cet exercice est de déterminer, si elle existe, une troisième droite $\Delta$ qui soit à la fois sécante avec les deux droites $d_1$ et $d_2$ et orthogonale à ces deux droites.

  1. Vérifier que le point $A(2;3;0)$ appartient à la droite $d_1$.
    $\quad$
  2. Donner un vecteur directeur $\vec{u_1}$ de la droite $d_1$ et un vecteur directeur $\vec{u_2}$ de la droite $d_2$.
    Les droites $d_1$ et $d_2$ sont-elles parallèles ?
    $\quad$
  3. Vérifier que le vecteur $\vec{v}(1;-2;-3)$ est orthogonal aux vecteurs $\vec{u_1}$ et $\vec{u_2}$.
    $\quad$
  4. Soit $P$ le plan passant par le point $A$, et dirigé par les vecteurs $\vec{u_1}$ et $\vec{v}$.
    On étudie dans cette question l’intersection de la droite $d_2$ et du plan $P$.
    a. Montrer qu’une équation cartésienne du plan $P$ est : $5x+4y-z-22 = 0$.
    $\quad$
    b. Montrer que la droite $d_2$ coupe le plan $P$ au point $B(3;3;5)$ .
    $\quad$
  5. On considère maintenant la droite $\Delta$ dirigée par le vecteur $\vect{v}\begin{pmatrix}1\\- 2\\- 3\end{pmatrix}$, et passant par le point $B (3;3;5)$.
    a. Donner une représentation paramétrique de cette droite $\Delta$.
    $\quad$
    b. Les droites $d_1$ et $\Delta$ sont-elles sécantes? Justifier la réponse.
    $\quad$
    c. Expliquer pourquoi la droite $\Delta$ répond au problème posé.
    $\quad$

Exercice 3    6 points

La pharmacocinétique étudie l’évolution d’un médicament après son administration dans l’organisme, en mesurant sa concentration plasmatique, c’est-dire sa concentration dans le plasma.
On étudie dans cet exercice l’évolution de la concentration plasmatique chez un patient d’une même dose de médicament, en envisageant différents modes d’administration.

Partie A : administration par voie intraveineuse

On note $f(t)$ la concentration plasmatique, exprimée en microgramme par litre $\big(\mu \text{g.L}^{-1}\big)$, du médicament, au bout de $t$ heures après administration par voie intraveineuse.
Le modèle mathématique est : $f(t) = 20\e^{-0,1t}$, avec $ t \in [0; +\infty[$.

La concentration plasmatique initiale du médicament est donc $f(0) = 20 \mu \text{g.L}^{-1}$.

  1. La demi-vie du médicament est la durée (en heure) après laquelle la concentration plasmatique du médicament est égale à la moitié de la concentration initiale.
    Déterminer cette demi-vie, notée $t_{0,5}$.
    $\quad$
  2. On estime que le médicament est éliminé dès que la concentration plasmatique est inférieure à $0,2 \mu \text{g.L}^{-1}$.
    Déterminer le temps à partir duquel le médicament est éliminé. On donnera le résultat arrondi au dixième.
    $\quad$
  3. En pharmacocinétique, on appelle ASC (ou “aire sous la courbe”), en $\mu \text{g.L}^{-1}$, le nombre $\displaystyle \lim\limits_{x\to +\infty}\int_0^x f(t)\dt$.
    Vérifier que pour ce modèle, l’ ASC est égal à $200 \mu \text{g.L}^{-1}$.
    $\quad$

Partie B : administration par voie orale

On note $g(t)$ la concentration plasmatique du médicament, exprimée en microgramme par litre ($\mu \text{g.L}^{-1}$), au bout de $t$ heures après ingestion par voie orale.
Le modèle mathématique est : $g(t) = 20 \left(\e^{-0,1t}-\e^{-t}\right)$ , avec $t \in [0;+\infty[ $.
Dans ce cas, l’effet du médicament est retardé, puisque la concentration plasmatique initiale est égale à: $g(0) = 0 \mu \text{g.L}^{-1}$.

  1. Démontrer que, pour tout $t$ de l’intervalle $[0;+ \infty[$, on a : $g'(t) = 20\e^{-t}\left(1-0,1\e^{0,9t} \right)$.
    $\quad$
  2. Étudier les variations de la fonction $g$ sur l’intervalle $[0;+ \infty[$. (On ne demande pas la limite en $+\infty$.)
    En déduire la durée après laquelle la concentration plasmatique du médicament est maximale. On donnera le résultat à la minute près.
    $\quad$

Partie C : administration répétée par voie intraveineuse

On décide d’injecter à intervalles de temps réguliers la même dose de médicament par voie intraveineuse. L’intervalle de temps (en heure) entre deux injections est choisi égal à la demi-vie du médicament, c’est-à-dire au nombre $t_{0,5}$ qui a été calculé en  A-1.

Chaque nouvelle injection entraîne une hausse de la concentration plasmatique de $20 \mu \text{g.L}^{-1}$.
On note $u_n$ la concentration plasmatique du médicament immédiatement après la $n$-ième injection.
Ainsi, $u_1 = 20$ et, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $1$, on a : $u_{n+1} = 0,5 u_n+20$.
On remarque qu’avec ce modèle, la concentration initiale du médicament après la première injection, soit $20 \mu \text{g.L}^{-1}$, est analogue à celle donnée par le modèle de la partie A, soit $f(0)$.

  1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier $n \pg 1$ : $u_n = 40-40\times 0,5^n$.
    $\quad$
  2. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$.
    $\quad$
  3. On considère que l’équilibre est atteint dès que la concentration plasmatique dépasse $38 \mu \text{g.L}^{-1}$.
    Déterminer le nombre minimal d’injections nécessaires pour atteindre cet équilibre.
    $\quad$

Exercice 4    5 points

Candidats n’ayant pas choisi la spécialité mathématique

Le plan est muni d’un repère orthonormé $\Ouv$.
Pour tout entier $n \pg 4$, on considère $P_n$ un polygone régulier à $n$ côtés, de centre $O$ et dont l’aire est égale à $1$. On admet qu’un tel polygone est constitué de $n$ triangles superposables à un triangle $OA_nB_n$ donné, isocèle en $O$.
On note $r_n = OA_n$ la distance entre le centre $O$ et le sommet $A_n$ d’un tel polygone.

Partie A : étude du cas particulier $\boldsymbol{n = 6}$

On a représenté ci-dessous un polygone $P_6$.

  1. Justifier le fait que le triangle $OA_6B_6$ est équilatéral, et que son aire est égale à $\dfrac{1}{6}$.
    $\quad$
  2. Exprimer en fonction de $r_6$ la hauteur du triangle $OA_6B_6$ issue du sommet $B_6$.
    $\quad$
  3. En déduire que $r_6 = \sqrt{\dfrac{2}{3\sqrt{3}}}$.
    $\quad$

Partie B : cas général avec $\boldsymbol{n\pg 4}$

Dans cette partie, on considère le polygone $P_n$ avec $n \pg 4$, construit de telle sorte que le point A$_n$ soit situé sur l’axe réel, et ait pour affixe $r_n$.
On note alors $r_n \e^{\ic\theta_n}$ l’affixe de $B_n$ où $\theta_n$ est un réel de l’intervalle $\left]0;\dfrac{\pi}{2}\right]$.

 

  1. Exprimer en fonction de $r_n$ et $\theta_n$ la hauteur issue de $B_n$ dans le triangle $OA_nB_n$ puis établir que l’aire de ce triangle est égale à $\dfrac{r_n^2}{2} \sin \left(\theta_n \right)$.
    $\quad$
  2. On rappelle que l’aire du polygone $P_n$ est égale à $1$.
    Donner, en fonction de $n$, une mesure de l’angle $\left(\vect{OA_n},\vect{OB_n}\right)$, puis démontrer que :
    $$r_n = \sqrt{\dfrac{2}{n \sin \left(\dfrac{2\pi}{n}\right)}}$$
    $\quad$

Partie C : étude de la suite $\boldsymbol{\left(r_n\right)}$

On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ de l’intervalle $]0;\pi[$ par $f(x) = \dfrac{\sin x}{x}$.
Ainsi, le nombre $r_n$, défini dans la partie B pour $n \pg 4$, s’exprime à l’aide de la fonction f par : $$r_n=\sqrt{\dfrac{1}{\pi}f\left(\dfrac{2\pi}{n}\right)}$$

On admet que la fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $]0;\pi[$.

  1. Montrer que la suite $\left(r_n\right)$ est décroissante. On pourra pour cela commencer par démontrer que pour tout $n \pg 4$, on a : $0 < \dfrac{2\pi}{n+1} < \dfrac{2\pi}{n} < \pi$.
    $\quad$
  2. En déduire que la suite $\left(r_n\right)$ converge. On ne demande pas de déterminer sa limite $L$, et on admet dans la suite de l’exercice que $L = \dfrac{1}{\sqrt{\pi}}$.
    $\quad$
  3. On considère l’algorithme suivant.
    VARIABLES :
    $\quad$ $n$ est un nombre entier
    TRAITEMENT :
    $\quad$ $n$ prend la valeur $4$
    $\quad$ Tant que $\sqrt{\dfrac{2}{n \sin \left(\dfrac{2\pi}{n}\right)}}> 0,58$ faire
    $\qquad$ $n$ prend la valeur $n + 1$
    $\quad$ Fin Tant que
    SORTIE :
    $\quad$ Afficher $n$
    $\quad$
    Quelle valeur numérique de $n$ va afficher en sortie cet algorithme ?
    $\quad$

Exercice 4    5 points

Candidats ayant choisi la spécialité mathématique

L’arbre de Stern-Brocot a été découvert séparément par le mathématicien allemand Moritz Abraham Stern (1858) et par Achille Brocot (1861), horloger français qui l’a utilisé pour concevoir des systèmes d’engrenages avec un rapport entre rouages proche d’une valeur souhaitée.
Cet exercice aborde la méthode avec des matrices carrées.

On considère les deux matrices $G = \begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}$ et $D = \begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$.

On construit un arbre descendant à partir d’une matrice initiale, de la façon suivante : de chaque matrice carrée $M$ de l’arbre partent deux nouvelles branches vers les deux autres matrices $M \times G$ (à gauche) et $M \times D$ (à droite). Ces deux nouvelles matrices sont appelées les matrices filles de $M$.}

Dans la méthode considérée, on prend comme matrice initiale la matrice $I = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$.

  1. Déterminer les deux matrices manquantes $A$ et $B$, dans la troisième ligne de l’arbre de Stern-Brocot ci-dessous.

    Dans la suite de l’exercice, on admet que pour toute matrice $M = \begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}$ de l’arbre de Stern-Brocot, les nombres $a$, $b$, $c$, $d$ sont des entiers vérifiant : $b + d \ne 0$.
    $\quad$
  2. On associe à une matrice $M = \begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}$ de l’arbre de Stern-Brocot la fraction $\dfrac{a + c}{b + d}$.
    Montrer que, dans cette association, le trajet “gauche-droite-gauche” à partir de la matrice initiale dans l’arbre, aboutit à une matrice correspondant à la fraction $\dfrac{3}{5}$.
    $\quad$
  3. Soit $M = \begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}$ une matrice de l’arbre. On rappelle que $a$, $b$, $c$, $d$ sont des entiers.
    On note $\Delta_M = ad-bc$, la différence des produits diagonaux de cette matrice.
    a. Montrer que si $ad-bc = 1$, alors $d(a+c)-c(b+d) = 1$.
    $\quad$
    b. En déduire que si $M = \begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}$ est une matrice de l’arbre de Stern-Brocot telle que $\Delta_M = ad-bc = 1$, alors $\Delta_{M\times G} = 1$, c’est-à-dire que la différence des produits diagonaux de la matrice $M \times G$ est aussi égale à $1$.
    On admet de même que $\Delta_{M \times D} = 1$, et que toutes les autres matrices $N$ de l’arbre de Stern-Brocot vérifient l’égalité $\Delta_N = 1$.
    $\quad$
  4. Déduire de la question précédente que toute fraction associée à une matrice de l’arbre de Stern-Brocot est irréductible.
    $\quad$
  5. Soit $m$ et $n$ deux entiers naturels non nuls premiers entre eux. Ainsi la fraction $\dfrac{m}{n}$ est irréductible. On considère l’algorithme suivant.
    VARIABLES :
    $\quad$ $m$ et $n$ sont des entiers naturels non nuls et premiers entre eux
    TRAITEMENT :
    $\quad$ Tant que $m \ne n$, faire
    $\qquad$ Si $m < n$
    $\qquad \quad$ Afficher “Gauche”
    $\qquad \quad$ $n$ prend la valeur $n-m$
    $\qquad$ Sinon
    $\qquad \quad$ Afficher “Droite”
    $\qquad$ $m$ prend la valeur $m-n$
    $\quad$
    a. Recopier et compléter le tableau suivant, indiquer ce qu’affiche l’algorithme lorsqu’on le fait fonctionner avec les valeurs $m = 4$ et $n = 7$.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Affichage}&\phantom{\text{Gauche}}&\text{Gauche}&\phantom{\ldots}\dots\phantom{\ldots}&\phantom{\ldots}\dots\phantom{\ldots}&\phantom{\ldots}\dots\phantom{\ldots}\\
    \hline
    m&4&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\
    \hline
    n&7&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    b. Conjecturer le rôle de cet algorithme. Vérifier par un calcul matriciel le résultat fourni avec les valeurs $m = 4$ et $n = 7$.
    $\quad$

Bac S – Liban – juin 2017

Liban – Juin 2017

Bac S – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici :

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. On a : $D(0;0;0)$, $F(1;1;1)$, $B(1;1;0)$, $E(1;0;1)$ et $G(0;1;1)$.
    Ainsi $\vect{DF}(1;1;1)$, $\vect{BE}(0;-1;1)$ et $\vect{BG}(-1;0;1)$.
    Les vecteurs $\vect{BE}$ et $\vect{BG}$ ne sont clairement pas colinéaires.
    De plus :
    $\vect{DF}.\vect{BE}=0-1+1=0$ et $\vect{DF}.\vect{BG}=-1+0+1=0$.
    Le vecteur $\vect{DF}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(EBG)$. Il est par conséquent normal au plan $(EBG)$.
    $\quad$
  2. Une équation cartésienne du plan $(EBG)$ est donc de la forme : $x+y+z+d=0$.
    Le point $E(1;0;1)$ appartient au plan donc $1+0+1+d=0 \ssi d=-2$.
    Une équation cartésienne du plan $(EBG)$ est donc :
    $$x+y+z-2=0$$
    $\quad$
  3. Une représentation paramétrique de la droite $(DF)$ est :
    $\begin{cases} x=t\\y=t\\z=t\end{cases} \qquad t\in \R$.
    Les coordonnées du point $I$ sont solution du système :
    $\begin{align*} \begin{cases}x+y+z-2=0\\ x=t\\y=t\\z=t\end{cases} &\ssi \begin{cases} t+t+t-2=0\\x=t\\y=t\\z=t\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases}3t=2\\x=t\\y=t\\z=t\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} t=\dfrac{2}{3} x=\dfrac{2}{3}\\y=\dfrac{2}{3}\\z=\dfrac{2}{3}\end{cases} \end{align*}$
    Ainsi $I$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3}\right)$.
    $\quad$

Partie B

  1. Les côtés $[ED]$, $[DB]$ et $[EB]$ du triangle $EDB$ sont les diagonales de carré de côté de longueur $1$.
    Le triangle $EDB$ est donc équilatéral et tous ses angles mesurent $\dfrac{\pi}{3}$ radian.
    Si le point $M$ est confondu avec le point $D$ alors l’angle $\widehat{EMB}=\dfrac{\pi}{3}$.
    $\quad$
    Le triangle $EFB$ est rectangle en $F$.
    Si le point $M$ est confondu avec le point $F$ alors l’angle $\widehat{EMB}=\dfrac{\pi}{2}$.
    $\quad$
  2. a. On a $\vect{DM}=x\vect{DF}$ avec $\vect{DF}(1;1;1)$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} \vect{DM}=x\vect{DF} &\ssi \begin{cases} x_M-0=x\times 1\\y_M-0=x\times 1\\z_M-0=x\times 1 \end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x_M=x\\y_M=x\\z_m=x\end{cases}\end{align*}$.
    Ainsi les coordonnées du point $M$ sont $(x;x;x)$.
    $\quad$
    b. On a $\vect{ME}(1-x;-x;1-x)$ et $\vect{MB}(1-x;1-x;-x)$.
    $\begin{align*} \vect{ME}.\vect{MB}&= (1-x)^2-x(1-x)+(1-x)\times -x \\
    &=1-2x+x^2-x+x^2-x+x^2\\
    &=1-4x+3x^2
    \end{align*}$
    $ME=\sqrt{(1-x)^2+(-x)^2+(1-x)^2}$ et $MB=\sqrt{(1-x)^2+(1-x)^2+(-x)^2}$.
    Donc
    $\begin{align*} ME\times MB &= (1-x)^2+(-x)^2+(1-x)^2 \\
    &=1-2x+x^2+x^2+1-2x+x^2 \\
    &=2-4x+3x^2
    \end{align*}
    $\begin{align*} \vect{ME}.\vect{MB}=ME\times MB\times \cos(\theta) &\ssi 1-4x+3x^2=\left(2-4x+3x^2\right)\cos(\theta) \\
    &\ssi \cos(\theta)=\dfrac{3x^2-4x+1}{3x^2-4x+2}
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. a. Le triangle $MEB$ est rectangle en $M$ si, et seulement si, $\cos(\theta)=0$.
    $\bullet$ La fonction $f$ est strictement décroissante et continue  sur l’intervalle $\left[0;\dfrac{2}{3}\right]$.
    $f(0)=\dfrac{1}{2}>0$ et $f\left(\dfrac{2}{3}\right)=-\dfrac{1}{2}<0$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=0$ possède une unique solution sur l’intervalle $\left[0;\dfrac{2}{3}\right]$.
    Or $f\left(\dfrac{1}{3}\right)=0$. Le point $M$ est confondu avec le point $J$.
    $\bullet$ Sur l’intervalle $\left[\dfrac{2}{3};1\right[$, on a $f(x)<0$.
    L’équation $f(x)=0$ ne possède aucune solution sur l’intervalle $\left[\dfrac{2}{3};1\right[$.
    $\bullet$ $f(1)=0$. Le point $M$ est confondu avec le point $F$.
    $\bullet$ Les seules positions du point $M$ sur le segment $[DF]$ pour lesquelles le triangle $MEB$ est rectangle en $M$ sont lorsque $M$ est confondu avec le point $J$ ou confondu avec le point $F$.
    $\quad$
    b. La fonction $\cos$ est décroissante sur l’intervalle $[0;\pi]$.
    Ainsi l’angle $\theta$ est maximal quand $\cos(\theta)$ est minimal.
    La fonction $f$ atteint son minimum pour $x=\dfrac{2}{3}$.
    L’angle $\theta$ est maximal quand $M$ est confondu avec le point $I$.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A – Durée d’attente pour entrer dans un parking souterrain

  1. Pour déterminer une estimation de la durée moyenne d’attente on va utiliser le centre des classes.
    $\begin{align*} \dfrac{1\times 75+3\times 19+5\times 10+7\times 5}{75+19+10+5}&=\dfrac{217}{109} \\
    &\approx 1,991
    \end{align*}$
    Une voiture à l’entrée du parking attend en moyenne environ $2$ minutes.
    $\quad$
  2. a. On a  :
    $\begin{align*} E(T)=\dfrac{1}{\lambda}&\ssi 2=\dfrac{1}{\lambda} \\
    &\ssi \lambda =\dfrac{1}{2}
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. On veut  calculer
    $\begin{align*} P(T\pp 2)&= 1-\e^{-0,5\times 2}\\
    &=1-\e^{-1} \\
    &\approx 0,632~1
    \end{align*}$
    $\quad$
    c. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_{T\pg 1}(T\pp 2)&=\dfrac{P(1\pp T\pp 2)}{P(T\pg 1)} \\
    &=\dfrac{\e^{-0,5\times 1}-\e^{-0,5 \times 2}}{\e^{-0,5\times 1}} \\
    &=\dfrac{\e^{-0,5}-\e^{-1}}{\e^{-0,5}} \\
    &\approx 0,393~5
    \end{align*}$
    $\quad$

Partie B – Durée et tarifs de stationnement dans ce parking souterrain

  1. a. D’après l’énoncé $E(D)=70$.
    La durée moyenne de stationnement d’une voiture est donc de $70$ minutes.
    $\quad$
    b. On veut calculer :
    $P(D\pg 120)=0,5-P(70\pp D\pp 120) \approx 0,047~8$
    $\quad$
    c. On veut trouver la valeur de $d$ telle que $P(D\pp d)=0,99$.
    En utilisant la touche inverse loi normale de la calculatrice on trouve $d\approx 140$.
    $99\%$ des voitures stationnement au plus environ $140$ minutes dans le parking.
    $\quad$
  2. $P(D\pp 15)=0,5-P(15\pp D\pp 70)\approx 0,033~4$.
    $P(15\pp D\pp 60)\approx 0,336~1$
    $P(60 \pp D\pp 120) \approx 0,582~8$ : première heure supplémentaire
    $P(120 \pp D\pp 180) \approx 0,047~8$ : deuxième heure supplémentaire
    Le gestionnaire veut que :
    $\begin{align*} E(D)=5&\ssi 0,336~1\times 3,5+0,582~8\times (3,5+t)+0,047~8\times (3,5+2t)=5 \\
    &\ssi 1,176~35+2,0398+0,582~8t+0,167~3+0,095~6t=5\\
    &\ssi 0,678~4t=1,616~55 \\
    &\ssi t=\dfrac{1,616~55}{0,678~4}
    \end{align*}$
    Ainsi $t\approx 2,38$ euros.
    L’heure supplémentaire doit donc être facturée environ $2,38$ euros.
    $\quad$

Partie C

On a donc $\mu=30$ et :
$\begin{align*} P(T’ \pp 37)=0,75 &\ssi P(T’-30\pp 7)=0,75 \\
&\ssi P\left(\dfrac{T’-30}{\sigma’}\pp \dfrac{7}{\sigma’}\right)=0,75
\end{align*}$

Or la variable aléatoire $X=\dfrac{T’-30}{\sigma’}$ suit la loi normale centrée réduite.

Ainsi, d’après la touche inverse loi normale de la calculatrice on a :
$\begin{align*} P\left(X\pp \dfrac{7}{\sigma’}\right)=0,75 &\ssi \dfrac{7}{\sigma’} \approx 0,674~5 \\
&\ssi \sigma’ \approx 10,378~2
\end{align*}$

On a alors $P(10 \pp T’\pp 50) \approx 0,946~0 < 0,95$

L’objectif n’est donc pas atteint.

Ex 3

Exercice 3

La fonction $f_k$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme de fonctions dérivables sur $\R$.
On a, pour tout réel $x$, $f’_k(x)=1-k\e^{-x}$.
Ainsi
$\begin{align*} f’_k(x)=0 &\ssi k\e^{-x}=1 \\
&\ssi \e^{-x}=\dfrac{1}{k} \\
&\ssi -x=\ln \dfrac{1}{k} \\
&\ssi -x=-\ln k\\
&\ssi x=\ln k
\end{align*}$

$f(\ln k)=\ln k+k\e^{-\ln k}=1+\ln k$

Les points $A_k$ ont donc pour coordonnées $(\ln k;1+\ln k)$

 

Par conséquent les points $A_k$ appartiennent à la droite d’équation $y=1+x$.
Ils sont donc alignés.

Ex 4 obl

Exercice 4

Partie A – Modélisation de l’âge d’un épicéa

  1. On appelle $g$ la fonction définie sur $]0;1[$ par $g(x)=\dfrac{20x}{1-x}$.
    Cette fonction est dérivable sur $]0;1[$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas.
    $g'(x)=20\times \dfrac{1-x+x}{(1-x)^2}=\dfrac{20}{(1-x)^2}$.
    La fonction $f$ est dérivable sur $]0;1[$ en tant que composée de fonctions dérivables.
    Pour tout réel $x$ de l’intervalle $]0;1[$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=30\times \dfrac{\dfrac{20}{(1-x)^2}}{\dfrac{20x}{1-x}} \\
    &=30\times \dfrac{20}{(1-x)^2}\times \dfrac{1-x}{20x} \\
    &=\dfrac{30}{x(1-x)}
    \end{align*}$
    Si $x$ appartient à l’intervalle $]0;1[$ alors $x$ et $1-x$ sont positifs.
    Ainsi $f'(x)>0$ et la fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $]0;1[$.
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align*} 20 \pp f(x) \pp 120 &\ssi 20 \pp 30\ln\left(\dfrac{20x}{1-x}\right) \pp 120 \\
    &\ssi \dfrac{2}{3} \ln \left(\dfrac{20x}{1-x}\right) \pp 4 \\
    &\ssi \e^{\frac{2}{3}}\pp \dfrac{20x}{1-x} \pp \e^4
    \end{align*}$
    D’une part :
    $\begin{align*} \e^{\frac{2}{3}} \pp \dfrac{20x}{1-x} &\ssi (1-x)\e^{\frac{2}{3}} \pp 20 x \\
    &\ssi \e^{\frac{2}{3}}-\e^{\frac{2}{3}}x \pp 20x \\
    &\ssi \e^{\frac{2}{3}}\pp \left(20+\e^{\frac{2}{3}}\right)x \\
    &\ssi \dfrac{\e^{\frac{2}{3}}}{20+\e^{\frac{2}{3}}} \pp x
    \end{align*}$
    Soit, en arrondissant au cm près, $x\pg 0,09$ mètre.
    $\quad$
    D’autre part :
    $\begin{align*} \dfrac{20x}{1-x} \pp \e^4  &\ssi 20x \pp (1-x)\e^4 \\
    &\ssi 20x \pp \e^4-\e^4 x \\
    &\ssi \left(20+\e^4\right)x \pp \e^4 \\
    &\ssi x \pp \dfrac{\e^4}{20+\e^4}
    \end{align*}$
    Soit, en arrondissant au cm près, $x \pp 0,73$ mètre.
    La fonction $f$ étant strictement croissante sur l’intervalle $]0;1[$, on en déduit donc que le diamètre doit être compris entre $0,08$ mètre et $0,73$ mètre pour que ce modèle.
    $\quad$

Partie B

  1. a. Ce nombres signifie que chaque année, sur la période $70$ ans à $80$ ans, l’arbre a grandi de $0,245$ mètre.
    $\quad$
    b. En $C3$ on a saisi $=(C2-B2)/(C1-B1)$
    $\quad$
  2. $f(0,27)=30\ln\left(\dfrac{20\times 0,27}{1-0,27}\right)\approx 60$
    L’arbre a donc $60$ ans.
    Sur la période allant de $50$ ans à $70$ ans l’arbre a grandi de $0,22$ mètre par an.
    A $60$ ans, il mesure donc $11,2+10\times 0,22 = 13,4$ mètres.
    $\quad$
  3. a. On calcule les vitesse de croissance manquantes.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Âges}&50&70&80&85&90&95&100&105&110&120&130&150\\
    \hline
    \text{Vitesse}&&0,22&0,245&0,25&0,25&0,25&0,24&0,24&0,24&0,22&0,205&0,167~5\\
    \hline
    \end{array}$
    La vitesse de croissance est donc maximale entre $80$ et $95$ ans : la vitesse de croissance concerne un intervalle; donc ici les intervalles $[80;85]$, $[85;90]$ et $[90;95]$.
    $\quad$
    b. $f(0,7)=30\ln\left(\dfrac{20\times 0,7}{1-0,7}\right)\approx 115$
    Il est cohérent de demander aux bûcherons de couper les arbres lorsque leur diamètre mesure environ $70$ cm car la période durant laquelle la vitesse de croissance est maximale (et donc la qualité du bois est la meilleure) est dépassée.
    $\quad$

Ex 4 spé

Exercice 4

  1. a.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    k&0&1&2&3&4&5&6&7\\
    \hline
    a_{2k+1}&5&3&4&0&9&6&3&1\\
    \hline
    2a_{2k+1}&10&6&8&0&18&12&6&2\\
    \hline
    R&1&6&8&0&0&3&6&2\\
    \hline
    I&1&7&15&15&15&18&24&26\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    b. On a :
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    a_{2k}&6&5&0&2&5&1&4\\
    \hline
    P&6&11&11&13&18&19&23\\
    \hline
    \end{array}$
    Donc $S=26+23+c=26+23+1=50$
    $50$ est bien un multiple de $10$. Le numéro est donc correct
    $\quad$
    c.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    k&0&1&2&3&4&5&6&7\\
    \hline
    a_{2k+1}&6&3&4&0&9&6&3&1\\
    \hline
    2a_{2k+1}&12&6&8&0&18&12&6&2\\
    \hline
    R&31&6&8&0&0&3&6&2\\
    \hline
    I&3&9&17&17&17&20&26&28\\
    \hline
    \end{array}$
    De plus $P=a+17$
    On veut donc que $a+17+28+1$ soit un multiple de $10$
    Soit :
    $a+17+28+1\equiv 0~~[10] \ssi a+46\equiv 0~~[10]$
    Puisque $a$ est un entier compris entre $0$ et $9$, la seule possibilité est $a=4$.
    $\quad$
  2. Si $S$ est un multiple de $10$ alors on prend $c=0$
    Si $S$ n’est pas un multiple de $10$, il existe alors un entier naturel $n$ tel que $n<S<n+1$.
    Ainsi $0<n+1-S<10$.
    Et on note $c=n+1-S$.
    Il existe donc bien une clé $c$ rendant ce numéro correct.
    $\quad$
    Supposons qu’il existe deux clés valides : $c$ et $c’$.
    On a ainsi $I+P+c\equiv I+P+c’~~[10]$ soit $c\equiv c’~~[10]$.
    Or $c$ et $c’$ sont deux entiers naturels compris entre $0$ et $9$.
    Cela signifie donc que $c=c’$ et la clé est unique.
    $\quad$
  3. Supposons que tous les chiffres soient égaux à $n$
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    n&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\
    \hline
    2a_1&0&2&4&6&8&10&12&14&16&18\\
    \hline
    R&0&2&4&6&8&1&3&5&7&0\\
    \hline
    I&0&16&32&48&64&8&24&40&56&0\\
    \hline
    P&0&7&14&21&28&35&42&49&56&63\\
    \hline
    S&0&24&48&72&96&48&72&96&120&72\\
    \hline
    \end{array}$
    Les seuls numéros possibles de ce type sont :
    $0000~0000~0000~0000$ et $8888~8888~8888~8888$
    $\quad$
  4. D’après la question 1. le numéro $5635~4002~9561~3411$ est valide.
    $\bullet$ Si on échange le $1$ et le $6$ : $5635~4002~9516~3411$
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    k&0&1&2&3&4&5&6&7\\
    \hline
    a_{2k+1}&5&3&4&0&9&1&3&1\\
    \hline
    2a_{2k+1}&10&6&8&0&18&2&6&2\\
    \hline
    R&1&6&8&0&0&2&6&2\\
    \hline
    I&1&7&15&15&15&17&23&25\\
    \hline
    \end{array}$
    et
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    a_{2k}&6&5&0&2&5&6&4\\
    \hline
    P&6&11&11&13&18&24&28\\
    \hline
    \end{array}$
    Donc $S=25+28+1=54$
    Le numéro n’est donc pas valide.
    $\quad$
    $\bullet$ Si on échange le $1$ et le $3$ : $5635~4002~9563~1411$
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    k&0&1&2&3&4&5&6&7\\
    \hline
    a_{2k+1}&5&3&4&0&9&6&1&1\\
    \hline
    2a_{2k+1}&10&6&8&0&18&12&2&2\\
    \hline
    R&1&6&8&0&0&3&2&2\\
    \hline
    I&1&7&15&15&15&18&20&22\\
    \hline
    \end{array}$
    et
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    a_{2k}&6&5&0&2&5&3&4\\
    \hline
    P&6&11&11&13&18&21&25\\
    \hline
    \end{array}$
    Donc $S=22+25+1=48$
    Le numéro n’est donc pas valide.
    $\quad$
    Par conséquent si on permutte le $1$ et le $6$ ou le $1$ et le $3$ alors dans les deux cas le numéro n’est pas correct.
    On ne peut donc pas déterminer l’autre chiffre permuté.
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1    6 points

On considère un cube $ABCDEFGH$ dont la représentation graphique en perspective cavalière est donnée ci-dessous.
Les arêtes sont de longueur $1$.
L’espace est rapporté au repère orthonormé $\left(D;\vect{DA},\vect{DC},\vect{DH}\right)$.

Partie A

  1. Montrer que le vecteur $\vect{DF}$ est normal au plan $(EBG)$.
    $\quad$
  2. Déterminer une équation cartésienne du plan $(EBG)$.
    $\quad$
  3. En déduire les coordonnées du point I intersection de la droite $(DF)$ et du plan $(EBG)$.
    On démontrerait de la même manière que le point $J$ intersection de la droite $(DF)$ et du plan $(AHC)$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3} \right)$.
    $\quad$

Partie B

À tout réel $x$ de l’intervalle $[0;1]$, on associe le point $M$ du segment $[DF]$ tel que $\vect{DM} = x\vect{DF}$. On s’intéresse à l’évolution de la mesure $\theta$ en radian de l’angle $\widehat{EMB}$ lorsque le point $M$ parcourt le segment $[DF]$. On a $0 \pp  \theta \pp \pi$.

  1. Que vaut $\theta$ si le point $M$ est confondu avec le point $D$ ? avec le point $F$ ?
    $\quad$
  2. a. Justifier que les coordonnées du point $M$ sont $(x;x;x)$.
    $\quad$
    b. Montrer que $\cos (\theta) = \dfrac{3x^2-4x+1}{3x^2-4x+2}$. On pourra pour cela s’intéresser au produit scalaire des vecteurs $\vect{ME}$ et $\vect{MB}$.
    $\quad$
  3. On a construit ci-dessous le tableau de variations de la fonction $f : x \mapsto \dfrac{3x^2-4x+1}{3x^2-4x+2}$

    Pour quelles positions du point $M$ sur le segment $[DF]$ :
    a. le triangle $MEB$ est-il rectangle en $M$ ?
    $\quad$
    b. l’angle $\theta$ est-il maximal ?
    $\quad$

Exercice 2    6 points

Dans cet exercice, on étudie quelques grandeurs caractéristiques du fonctionnement des parkings d’une ville. Dans tout l’exercice, les probabilités seront données avec une précision de $10^{-4}$.

Les parties A, B et C sont indépendantes.

Partie A – Durée d’attente pour entrer dans un parking souterrain

On appelle durée d’attente le temps qui s’écoule entre le moment où la voiture se présente à l’entrée du parking et le moment où elle franchit la barrière d’entrée du parking. Le tableau suivant présente les observations faites sur une journée.

$\begin{array}{|l|c|c|c|c|}
\hline
\text{Durée d’attente en minute}  &[0;2[ &[2;4[ &[4;6[ &[6;8[\\
\hline
\text{Nombre de voitures}   & 75 &19 &10 &5\\
\hline
\end{array}$

  1. Proposer une estimation de la durée d’attente moyenne d’une voiture à l’entrée du parking.
    $\quad$
  2. On décide de modéliser cette durée d’attente par une variable aléatoire $T$ suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ (exprimé en minute).
    a. Justifier que l’on peut choisir $\lambda = 0,5$ min.
    $\quad$
    b. Une voiture se présente à l’entrée du parking. Quelle est la probabilité qu’elle mette moins de deux minutes pour franchir la barrière ?
    $\quad$
    c. Une voiture attend à l’entrée du parking depuis une minute. Quelle est la probabilité qu’elle franchisse la barrière dans la minute suivante ?
    $\quad$

Partie B – Durée et tarifs de stationnement dans ce parking souterrain

Une fois garée, la durée de stationnement d’une voiture est modélisée par une variable aléatoire $D$ qui suit la loi normale d’espérance $\mu = 70$ min et d’écart-type $\sigma = 30$ min.

  1. a. Quelle est la durée moyenne de stationnement d’une voiture ?
    $\quad$
    b. Un automobiliste entre et se gare dans le parking. Quelle est la probabilité que sa durée de stationnement dépasse deux heures ?
    $\quad$
    c. À la minute près, quel est le temps maximum de stationnement pour au moins $99\%$ des voitures ?
    $\quad$
  2. La durée de stationnement est limitée à trois heures. Le tableau donne le tarif de la première heure et chaque heure supplémentaire est facturée à un tarif unique. Toute heure commencée est due intégralement.
    $\begin{array}{|l|c|c|c|}\hline
    \text{Durée de stationnement}& \text{Inférieure à }15 \text{ min} &\text{Entre } 15\text{ min et }1 \text{ h} &\begin{array}{c}\text{Heure}\\ \text{supplémentaire}\end{array}\\
    \hline
    \text{Tarif en euros} &\text{Gratuit} &3,5 &t\\
    \hline
    \end{array}$
    Déterminer le tarif $t$ de l’heure supplémentaire que doit fixer le gestionnaire du parking pour que le prix moyen de stationnement d’une voiture soit de $5$ euros.
    $\quad$

Partie C – Temps d’attente pour se garer dans un parking de centre-ville

La durée de stationnement d’une voiture dans un parking de centre-ville est modélisée par une variable aléatoire $T’$ qui suit une loi normale d’espérance $\mu’$ et d’écart-type $\sigma’$. On sait que la moyenne du temps de stationnement dans ce parking est égale à $30$ minutes et que $75\%$ des voitures ont un temps de stationnement inférieur à $37$ minutes.
Le gestionnaire du parking vise l’objectif que $95\%$ des voitures aient un temps de stationnement entre $10$ et $50$ minutes. Cet objectif est-il atteint ?
$\quad$

Exercice 3    3 points

Soit $k$ un réel strictement positif. On considère les fonctions $f_k$ définies sur $\R$ par : $$f_k(x) = x + k\e^{- x}$$

On note $\mathscr{C}_k$ la courbe représentative de la fonction $f_k$ dans un plan muni d’un repère orthonormé.
On a représenté ci-dessous quelques courbes $\mathscr{C}_k$ pour différentes valeurs de $k$.

Pour tout réel $k$ strictement positif, la fonction $f_k$ admet un minimum sur $\R$. La valeur en laquelle ce minimum est atteint est l’abscisse du point noté $A_k$ de la courbe $\mathscr{C}_k$. il semblerait que, pour tout réel $k$ strictement positif, les points $A_k$ soient alignés.
Est-ce le cas ?
$\quad$

Exercice 4    5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

L’épicéa commun est une espèce d’arbre résineux qui peut mesurer jusqu’à $40$ mètres de hauteur et vivre plus de $150$ ans.

L’objectif de cet exercice est d’estimer l’âge et la hauteur d’un épicéa à partir du diamètre de son tronc mesuré à $1,30$ m du sol.

Partie A – Modélisation de l’âge d’un épicéa

Pour un épicéa dont l’âge est compris entre $20$ et $120$ ans, on modélise la relation entre son âge (en années) et le diamètre de son tronc (en mètre) mesuré à $1,30$ m du sol par la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]0;1[$ par : $$f(x) = 30 \ln \left(\dfrac{20x}{1-x}\right)$$
où $x$ désigne le diamètre exprimé en mètre et $f(x)$ l’âge en années.

  1. Démontrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $]0;1[$.
    $\quad$
  2. Déterminer les valeurs du diamètre $x$ du tronc tel que l’âge calculé dans ce modèle reste conforme à ses conditions de validité, c’est-à-dire compris entre $20$ et $120$ ans.
    $\quad$

Partie B

On a relevé la hauteur moyenne des épicéas dans des échantillons représentatifs d’arbres âgés de $50$ à $150$ ans. Le tableau suivant, réalisé à l’aide d’un tableur, regroupe ces résultats et permet de calculer la vitesse de croissance moyenne d’un épicéa.

  1. a. Interpréter le nombre $0,245$ dans la cellule $D3$.
    $\quad$
    b. Quelle formule doit-on entrer dans la cellule $C3$ afin de compléter la ligne $3$ en recopiant la cellule $C3$ vers la droite ?
    $\quad$
  2. Déterminer la hauteur attendue d’un épicéa dont le diamètre du tronc mesuré à $1,30$ m du sol vaut $27$ cm.
    $\quad$
  3. La qualité du bois est meilleure au moment où la vitesse de croissance est maximale.
    a. Déterminer un intervalle d’âges durant lequel la qualité du bois est la meilleure en expliquant la démarche.
    $\quad$
    b. Est-il cohérent de demander aux bûcherons de couper les arbres lorsque leur diamètre mesure environ $70$ cm ?
    $\quad$

Exercice 4    5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Un numéro de carte bancaire est de la forme: $$a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}a_{5}a_{6}a_{7}a_{8}a_{9}a_{10}a_{11}a_{12}a_{13}a_{14}a_{15}c$$

où $a_{1},a_{2},\ldots,a_{15}$ et $c$ sont des chiffres compris entre $0$ et $9$.
Les quinze premiers chiffres contiennent des informations sur le type de carte, la banque et le numéro de compte bancaire.
$c$ est la clé de validation du numéro. Ce chiffre est calculé à partir des quinze autres.
L’algorithme suivant permet de valider la conformité d’un numéro de carte donné.

Initialisation :
$\quad$ $I$ prend la valeur $0$
$\quad$ $P$ prend la valeur $0$
$\quad$ $R$ prend la valeur $0$
Traitement :
$\quad$ Pour $k$ allant de $0$ à $7$ :
$\qquad$ $R$ prend la valeur du reste de la division euclidienne de $2a_{2k+1}$ par 9
$\qquad$ $I$ prend la valeur $I + R$
$\quad$ Fin Pour
$\quad$ Pour $k$ allant de $1$ à $7$ :
$\qquad$ $P$ prend la valeur $P + a_{2k}$
$\quad$ Fin Pour
$\quad$ $S$ prend la valeur $I + P + c$
Sortie :
$\quad$ Si $S$ est un multiple de $10$ alors :
$\qquad$ Afficher “Le numéro de la carte est correct.”
$\quad$ Sinon :
$\qquad$ Afficher “Le numéro de la carte n’est pas correct.”
$\quad$ Fin Si

 

  1. On considère le numéro de carte suivant: $5635~4002~9561~3411$.
    $\quad$
    a. Compléter le tableau en annexe permettant d’obtenir la valeur finale de la variable $I$.
    $\quad$
    b. Justifier que le numéro de la carte $5635~4002~9561~3411$ est correct.
    $\quad$
    c. On modifie le numéro de cette carte en changeant les deux premiers chiffres. Le premier chiffre (initialement $5$) est changé en $6$.
    Quel doit être le deuxième chiffre $a$ pour que le numéro de carte obtenu $6a35~4002~9561~3411$ reste correct ?
    $\quad$
  2. On connaît les quinze premiers chiffres du numéro d’une carte bancaire.
    Montrer qu’il existe une clé $c$ rendant ce numéro de carte correct et que cette clé est unique.
    $\quad$
  3. Un numéro de carte dont les chiffres sont tous égaux peut-il être correct ? Si oui, donner tous les numéros de carte possibles de ce type.
    $\quad$
  4. On effectue le test suivant : on intervertit deux chiffres consécutifs distincts dans un numéro de carte correct et on vérifie si le numéro obtenu reste correct.
    On a trouvé une situation où ce n’est pas le cas, l’un des deux chiffres permutés valant $1$.
    Peut-on déterminer l’autre chiffre permuté ?
    $\quad$

Annexe

$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
k&0&1&2&3&4&5&6&7\\
\hline
a_{2k+1}&\phantom{a_{2k+1}}&\phantom{a_{2k+1}}&\phantom{a_{2k+1}}&\phantom{a_{2k+1}}&\phantom{a_{2k+1}}&\phantom{a_{2k+1}}&\phantom{a_{2k+1}}&\phantom{a_{2k+1}}\\
\hline
2a_{2k+1}&&&&&&&&\\
\hline
R&&&&&&&&\\
\hline
I&&&&&&&&\\
\hline
\end{array}$

Bac S – Amérique du Nord – juin 2017

Amérique du Nord – Juin 2017

Bac S – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici : spécialité et obligatoire

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. On cherche à calculer
    $\begin{align*} P(X \pg 4~000) &= 0,5-P(2~900 \pp X \pp 4~000) \\
    & \approx 0,189
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. On cherche la valeur de $x$ telle que $P(X \pp x)=0,1 $.
    D’après la touche inverse loi normale de la calculatrice, on trouve $x \approx 1~298$
    $\quad$

Partie B

  1. On sait que $P(S)=0,6$ et $P_S(D)=0,95$.
    Par conséquent $P(S \cap D)=0,6\times 0,95=0,57$.
    $\quad$
  2. On sait que $P(D)=0,586$.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(D)=P(S\cap D)+P\left(\conj{S}\cap D\right) &\ssi 0,586=0,57+P\left(\conj{S}\cap D\right) \\
    &\ssi P\left(\conj{S}\cap D\right) = 0,016
    \end{align*}$
    Par conséquent
    $\begin{align*} P_{\conj{S}}(D)&=\dfrac{P\left(\conj{S}\cap D\right)}{P\left(\conj{S}\right)} \\
    &=\dfrac{0,016}{0,4} \\
    &=0,04
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_{\conj{D}}(S)&=\dfrac{P\left(\conj{D}\cap S\right)}{P\left(\conj{D}\right)} \\
    &=\dfrac{0,6\times 0,05}{1-0,586} \\
    &\approx 0,072
    \end{align*}$
    $\quad$
  4. On a $n=231 \pg 30$ et $p=0,027$.
    Donc $np=6,237 \pg 5$ et $n(1-p)=224,763 \pg 5$.
    Par conséquent un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ est :
    $\begin{align*} I_{231}&=\left[0,027-1,96\sqrt{\dfrac{0,027\times (1-0,027)}{231}};0,027+1,96\sqrt{\dfrac{0,027\times (1-0,027)}{231}}\right] \\
    &\approx [0,006;0,048]
    \end{align*}$
    La fréquence observée est $f=\dfrac{13}{231}\approx 0,056$.
    Par conséquent $f \notin I_{231}$.
    Ces résultats remettent donc en cause l’affirmation du fabricant.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. $\quad$
    $\begin{align*} f(-x)&=-\dfrac{b}{8}\left(\e^{\frac{-x}{b}}+\e^{-\frac{-x}{b}}\right)+\dfrac{9}{4} \\
    &=-\dfrac{b}{8}\left(\e^{\frac{-x}{b}}+\e^{\frac{x}{b}}\right)+\dfrac{9}{4} \\
    &=f(x)
    \end{align*}$
    La courbe représentative de la fonction $f$ est donc symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[-2;2]$ en tant que somme de fonctions dérivables.
    $\begin{align*} f'(x)&=-\dfrac{b}{8}\left(\dfrac{1}{b}\e^{\frac{x}{b}}-\dfrac{1}{b}\e^{-\frac{x}{b}}\right) \\
    &=-\dfrac{1}{8}\left(\e^{\frac{x}{b}}-\e^{-\frac{x}{b}}\right)
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. Pour tout réel $x\in[0;2]$ on a, puisque $b>0$ :
    $\dfrac{x}{b}\pg -\dfrac{x}{b}$
    $\ssi \e^{\frac{x}{b}} \pg \e^{-\frac{x}{b}}$
    $\ssi \e^{\frac{x}{b}}-\e^{-\frac{x}{b}} \pg 0$
    $\ssi -\dfrac{1}{8}\left(\e^{\frac{x}{b}}-\e^{-\frac{x}{b}}\right) \pp 0$
    $\ssi f'(x) \pp 0$
    La fonction $f$ est donc décroissante sur l’intervalle $[0;2]$.
    Par symétrie, la fonction $f$ est donc croissante sur l’intervalle $[2;0]$.
    On obtient le tableau de variation suivant :

    Avec $f(-2)=-\dfrac{b}{8}\left(e^{\dfrac{-2}{b}}+\e^{\dfrac{2}{b}}\right)+\dfrac{9}{4}=f(2)$
    Et $f(0)=-\dfrac{b}{8}\times 2+\dfrac{9}{4}=\dfrac{-b+9}{4}$.
    Ainsi $S\left(0;\dfrac{-b+9}{4}\right)$.
    $\quad$

Partie B

  1. On veut que  :
    $\begin{align*} f(0)=2&\ssi \dfrac{-b+9}{4}=2 \\
    &\ssi -b+9=8 \\
    &\ssi -b=-1 \\
    &\ssi b=1
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. On a donc $f(x)=-\dfrac{1}{8}\left(e^x+e^{-x}\right)+\dfrac{9}{4}$.
    et $f(2)=-\dfrac{1}{8}\left(e^2+e^{-2}\right)+\dfrac{9}{4}\approx 1,309$
    Sur l’intervalle $[0;2]$, la fonction $f$ est continue, car dérivable, et strictement décroissante.
    $f(0)=2>1,5$ et $f(2)\approx 1,309<1,5$
    Donc $1,5\in\left[f(2);f(0)\right]$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires), l’équation $f(x)=1,5$ possède une unique solution dont une valeur approchée est $1,76$.
    Ainsi $a\approx 1,76$.
    $\quad$
  3. Calculons la surface d’un vantail.
    Il s’agit de l’aire comprise entre l’axe des abscisses, la courbe représentant la fonction $f$ et les droites d’équation $x=0$ et $ x=1,8$.
    Puisque la fonction $f$ est positive sur l’intervalle $[0;1,8]$ (le minimum est $1,5$ d’après ce qui a été dit à la question précédente) l’aire cherchée est :
    $\begin{align*} \mathscr{A}&=\int_0^{1,8}f(x)\dx \phantom{\dfrac{1}{1}} \\
    &=\left[-\dfrac{1}{8}\left[e^x-e^{-x}\right]+\dfrac{9}{4}x\right]_0^{1,8} \\
    &=-\dfrac{1}{8}\left(e^{1,8}-\e^{-1,8}\right)+\dfrac{9}{4}\times 1,8-0\\
    &\approx 3,314
    \end{align*}$
    La masse du vantail est donc :
    $M=20\times \mathscr{A}\approx 66,289>60$
    Le client décidera donc d’automatiser son portail.
    $\quad$

Partie C

Avec la forme 1
Le rectangle a donc pour dimension $1,8\times 2$
L’aire de partie perdue est :
$\mathscr{A}_1=2\times 1,8-\mathscr{A}\approx 0,286$

$\quad$

Avec la forme 2
$f'(1)=-\dfrac{1}{8}\left(\e-\e^{-1}\right)$ et $f(1)=-\dfrac{1}{8}\left(\e+\e^{-1}\right)+\dfrac{9}{4}$
Une équation de la tangente $T$ au point $F$ est $y=f'(1)(x-1)+f(1)$
L’ordonnée à l’origine est donc
$\begin{align*} -f'(1)+f(1)&=\dfrac{1}{8}\left(\e-\e^{-1}\right)-\dfrac{1}{8}\left(\e+\e^{-1}\right)+\dfrac{9}{4} \\
&=-2\times \dfrac{1}{8}e^{-1}+\dfrac{9}{4} \\
&=\dfrac{-\e^{-1}+9}{4}
\end{align*}$
Le point de la tangente $T$ ayant pour abscisse $1,8$ a pour ordonnée :
$\begin{align*} y&=f'(1)\times (1,8-1)+f(1) \\
&=f'(1)\times 0,8+f(1) \\
&=-0,1\left(\e-\e^{-1}\right)-\dfrac{1}{8}\left(\e+\e^{-1}\right)+\dfrac{9}{4}
\end{align*}$
Ainsi l’aire du trapèze est :
$\mathscr{A}_T=\dfrac{\dfrac{-\e^{-1}+9}{4}-0,1\left(\e-\e^{-1}\right)-\dfrac{1}{8}\left(\e+\e^{-1}\right)+\dfrac{9}{4} }{2}\times 1,8 $
L’aire de la partie perdue est $\mathscr{A_2}=\mathscr{A}_T-\mathscr{A}\approx 0,094$

Par conséquent on économise environ $0,286-0,094= 0,191$ m$^2$ de bois en choisissant la forme 2.

Ex 3

Exercice 3

  1. On veut $u_0+u_1=u_0\times u_1$
    Soit $3+u_1=3u_1$
    $\ssi 3=2u_1$
    $\ssi u_1=1,5$
    $\quad$
    On veut que $u_0+u_1+u_2=u_0\times u_1 \times u_2$
    Soit $3+1,5+u_2=4,5u_2$
    $\ssi 4,5=3,5u_2$
    $\ssi u_2=\dfrac{9}{7}$
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n >0$ on a :
    $\begin{align*} s_{n+1}&=u_0+u_1+\ldots+u_{n-1}+u_n\\
    &=s_n+u_n
    \end{align*}$
    Par conséquent $s_{n+1}-s_n=u_n \pg 0$.
    La suite $\left(s_n\right)$ est donc croissante.
    On sait que $s_1=u_0>1$.
    Puisque la suite $\left(s_n\right)$ est croissante, cela signifie donc, que pour tout entier naturel $n>0$ on a $s_n \pg s_1$ soit $s_n > 1$.
    $\quad$
    b. On a
    $\begin{align*} s_{n+1}&=u_0\times u_1\times \ldots \times u_{n-1}\times u_n \\
    &=s_n \times u_n
    \end{align*}$
    Par conséquent $s_n+u_n=s_n\times u_n$
    $\ssi s_n=s_n\times u_n-u_n$
    $\ssi s_n=u_n\left(s_n-1\right)$
    $\ssi u_n=\dfrac{s_n}{s_n-1}$
    $\quad$
    c. On sait que $s_n>1$ donc $s_n-1>0$.
    Ainsi $s_n$ et $s_n-1$ sont positifs et $s_n>s_n-1$.
    Donc $u_n=\dfrac{s_n}{s_n-1}>1$.
    $\quad$
  3. a. Dans la partie traitement on a :
    $u$ prend la valeur $\dfrac{s}{s-1}$
    $s$ prend la valeur $s+u$
    $\quad$
    b. Il semblerait que la suite $\left(u_n\right)$ converge vers $1$.
    $\quad$
  4. a. Montrons par récurrence que, pour tout entier naturel $n >0$ on a $s_n>n$.
    Initialisation : On a $s_1=u_0>1$
    La propriété est vraie au rang $1$.
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $s_n>n$.
    On a $s_{n+1}=s_n+u_n >n+u_n>n+1$
    car d’après la question 2.c. on a $u_n>1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n>0$ on a $s_n>n$.
    $\quad$
    b. On sait que $\lim\limits_{n \to +\infty} n=+\infty$
    D’après le théorème de comparaison on a donc $\lim\limits_{n \to +\infty} s_n=+\infty$
    $\quad$
    On a
    $\begin{align*} u_n&=\dfrac{s_n}{s_n-1} \\
    &=\dfrac{s_n}{s_n\left(1-\dfrac{1}{s_n}\right)} \\
    &=\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{s_n}}
    \end{align*}$
    Puisque $\lim\limits_{n \to +\infty} s_n=+\infty$ cela signifie donc que $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{s_n}=0$
    Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=1$
    $\quad$

Ex 4 obl

Exercice 4

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

  1. a. La droite $(UV)$ du plan $(UVK)$ et la droite $(EF)$ du plan $(SEF)$ sont parallèles.
    Les plans $(UVK)$ et $(SEF)$ sont sécants selon la droite $(KM)$.
    D’après le théorème du toit les droites $(KM)$, $(UV)$ et $(EF)$ sont parallèles.
    $\quad$
    b. Les plans $(SEA)$ et $(GCB)$ sont parallèles.
    Le plan $(UKV)$ coupe le plan $(SEA)$ selon la droite $(UK)$.
    Par conséquent le plan $(UKV)$ coupe le plan $(GCB)$ selon une droite qui parallèle à $(UK)$.
    Ainsi $(UK)$ et $(NP)$ sont parallèles.
    $\quad$
  2. a. On a $S(0;0;3,5)$ et $E(4;0;2,5)$.
    Ainsi $\vect{SE}(4;0;-1)$.
    Une représentation paramétrique de la droite $(SE)$ est donc :
    $\begin{cases}x=4t\\y=0\\z=3,5-t\end{cases} \qquad t\in \R$.
    On sait que l’abscisse du point $K$ est $1,2$ et qu’il appartient à la droite $(SE)$.
    On doit donc résoudre l’équation $4t=1,2$ soit $t=0,3$.
    En reportant cette valeur dans la représentation paramétrique de la droite $(SE)$ on trouve :
    $\begin{cases} x=1,2\\y=0\\z=3,2\end{cases}$
    Donc $K(1,2;0;3,2)$.
    $\quad$
    b. On a $\vect{UV}(0;8;0)$ et $\vect{UK}(1,2;0;-2,8)$
    Ces deux vecteurs du plan $(UVK)$ ne sont clairement pas colinéaires.
    $\vec{n}.\vect{UV}=0+0+0=0$
    $\vec{n}.\vect{UK}=8,4+0-8,4=0$
    Le vecteur $\vec{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(UVK)$.
    Il  est donc normal au plan $(UVK)$.
    $\quad$
    Une équation cartésienne de ce plan est de la forme $7x+3z+d=0$.
    On sait que les coordonnées du point $U(0;0;6)$ vérifient cette équation.
    Ainsi $0+18+d=0 \ssi d=-18$
    Une équation cartésienne du plan $(UVK)$ est alors $7x+3z-18=0$.
    $\quad$
    c. $\vect{FG}(-4;0;0)$.
    Une représentation paramétrique de la droite $(FG)$ est donc :
    $\begin{cases} x=4-4k\\y=5\\z=2,5\end{cases} \qquad k\in\R$
    Le point $N$ appartient au plan $(UVK)$ et à la droite $(FG)$.
    Ses coordonnées sont donc solution du système suivant :
    $\begin{align*} \begin{cases} 7x+3z-18=0 \\x=4-4k\\y=5\\z=2,5\end{cases} &\ssi \begin{cases} 28-28k+7,5-18=0\\x=4-4k\\y=5\\z=2,5\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} -28k+17,5=0\\x=4-4k\\y=5\\z=2,5\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} k=\dfrac{17,5}{28} \\x=4-4k\\y=5\\z=2,5\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} k=\dfrac{5}{8} \\x=1,5\\y=5\\z=2,5\end{cases}
    \end{align*}$
    Ainsi $N(1,5;5;2,5)$.
    $\quad$
    d. On place le point $L$ du segment $[OA]$ tel que $\vect{OL}=\dfrac{3}{10}\vect{OA}$ (car $K(1,2;0;3,2)$ et $OA=4$ donc $\dfrac{1,2}{3}=0,3$).
    La droite parallèle à $(OU)$ passant par $L$ coupe $(ES)$ en $K$.
    La droite $(UK)$ coupe le segment $[OA]$ en $Q$.
    On construit donc la droite parallèle à $(EF)$ passant par le point $K$. Elle coupe le segment $[SF]$ en $M$.
    On place le point $N$ du segment $[FG]$ tel que $\vect{GN}=\dfrac{3}{8}\vect{GF}$ (en effet, on a $N(1,5;5;2,5)$ et $GF=4$ donc $\dfrac{1,5}{4}=\dfrac{3}{8}$).
    On trace le segment $[MN]$.
    On trace la droite parallèle à la droite $(UK)$ passant par le point $N$. Elle coupe le segment $[BC]$ en $P$.
    On trace les segment $[NP]$ et $[PQ]$.
    $\quad$
  3. On appelle $H$ le point du segment $[SO]$ tel que le triangle $SGH$ soit rectangle en $H$.
    On a ainsi $SH=3,5-2,5=1$ et $HG=OC=5$.
    Ainsi $\tan \widehat{SGH}=\dfrac{SH}{HG}=\dfrac{1}{5}$
    Par conséquent $\widehat{SGH}\approx 11,3$°$>7$°.
    La condition est donc bien remplie.
    $\quad$

Ex 4 spé

Exercice 4

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

  1. $20\%$ des inscrits au programme $A$ se réinscrivent soit $0,2a_n$.
    $40\%$ des inscrits au programme $A$ s’inscrivent au programme $B$ soit $0,4a_n$.
    $40\%$ des inscrits au programme $A$ quittent l’association soit $0n4a_n$.
    $60\%$ des inscrits au programme $B$ se réinscrivent soit $0,6b_n$.
    $40\%$ des inscrits au programme $B$ quittent l’association soit $0,4b_n$.
    Les nouveaux inscrits compensent les départs soit $0,4a_n+0,4b_n$ suivent le programme $A$.
    Ainsi $a_{n+1}=0,2a_n+0,4a_n+0,4b_n=0,6a_n+0,4b_n$
    et $b_{n+1}=0,4a_n+0,6b_n$
    On obtient ainsi la matrice de transition $M=\begin{pmatrix}0,6&0,4\\0,4&0,6\end{pmatrix}$.
    Et $U_{n+1}=U_n\times M$.
    $\quad$
  2. Montrons ce résultat par récurrence.
    Initialisation : $U_0=\begin{pmatrix} 150&0\end{pmatrix}$
    $75+75\times 0,2^0=150$ et $75-75\times 75^0=75-75=0$.
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $U_n=\begin{pmatrix} 75+75\times 0,2^n&75-75\times 0,2^n \end{pmatrix}$
    Donc
    $\begin{align*} a_{n+1}&=0,6\left(75+75\times 0,2^n\right)+0,4\left(75-75\times 0,2^n\right) \\
    &=45+0,6\times 75\times 0,2^n+30-0,4\times 75\times 0,2^n \\
    &=75+(0,6-0,4)\times 75\times 0,2^n\\
    &=75+0,2\times 75\times 0,2^n\\
    &=75+75\times 0,2^{n+1}
    \end{align*}$
    $\begin{align*} b_{n+1}&=0,4\left(75+\times 75\times 0,2^n\right)+0,6\left(75-\times 75\times 0,2^n\right) \\
    &=30+0,4\times 75\times 0,2^n+45-0,6\times 75\times 0,2^n \\
    &=75+(0,4-0,6)\times 75\times 0,2^n \\
    &=75-0,2\times 75\times 0,2^n \\
    &=75-75\times 0,2^{n+1}
    \end{align*}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Pour tout entier naturel $n$ on a donc $U_n=\begin{pmatrix} 75+\times 75\times 0,2^n&75-\times 75\times 0,2^n\end{pmatrix}$
    $\quad$
  3. $0<0,2<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,2^n=0$.
    Ainsi $\lim\limits_{n \to +\infty} a_n=75$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} b_n=75$
    Sur le long terme les deux programmes compteront $75$ inscrits.
    $\quad$

Partie B

  1. a. Si le nombre est $111383$ alors $S=1+1+8+3(1+3)=22$
    $22=2\times 10+2$.
    La clé devrait donc être $2$.
    Le nombre $111383$ ne peut donc pas être celui d’un enfant inscrit à l’association.
    $\quad$
    b. On note $S_1=0+c_3+c_5+3(8+c_4)$ et $S_2=1+c_3+c_5+3(1+c_4)$.
    On veut donc savoir si $S_1-S_2$ est un multiple de $10$.
    $\begin{align*} S_1-S_2&=c_3+c_5+24+3c_4-\left(1+c_3-c_5+3+3c_4\right) \\
    &=24-1-3 \\
    &=20
    \end{align*}$
    La différence $S_1-S_2$ étant un multiple de $10$, les nombres $S_1$ et $S_2$ ont le même reste dans la division euclidienne par $10$.
    L’erreur ne sera donc pas détectée grâce à la clé.
    $\quad$
  2. a. On note $S=c_1+c_3+c_5+a\left(c_2+c_4\right)$ et $S’=c_1+c_4+c_5+a\left(c_2+c_3\right)$
    Si la clé ne détecte pas l’erreur cela signifie donc que :
    $\begin{align*} S\equiv S’ ~~[10] &\ssi c_1+c_3+c_5+ac_2+ac_4 \equiv c_1+c_4+c_5+ac_2+ac_3 ~~[10] \\
    &\ssi c_3+ac_4 \equiv c_4+ac_3 ~~[10] \\
    &\ssi c_3+ac_4-c_4-ac_3 \equiv 0~~[10] \\
    &\ssi (a-1)\left(c_4-c_3\right) \equiv 0 ~~ [10]
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. Si $n=0$ alors $np\equiv 0~~[10]$ pour tout entier naturel $p$.
    Si $n=1$ alors $np=p \equiv p~~[10]$. Comme $p$ est compris entre $1$ et $9$ on ne peut pas avoir $np\equiv 0~~[10]$.
    Si $n=2$ alors si $p=5$ on a $np=10\equiv 0~~ [10]$.
    Si $n=3$ alors $np \in\left\{3,6,9,12,15,18,21,24,27\right\}$ et aucun de ces nombres n’est un multiple de $10$.
    Si $n=4$ alors si $p=5$ on a $np=20 \equiv 0~~[10]$.
    Si $n=5$ alors si $p=4$ on a $np=20 \equiv 0~~[10]$.
    Si $n=6$ alors si $p=5$ on a $np=30 \equiv 0~~[10]$.
    Si $n=7$ alors $np\in \left\{7,14,21,28,35,42,49,56,63\right\}$ et aucun de ces nombres n’est un multiple de $10$.
    Si $n=8$ alors si $p=5$ on a $np=40\equiv 0~~[10]$
    Si $n=9$ alors $np\in\left\{9,18,27,36,45,54,63,72,81\right\}$ et aucun de ces nombres n’est un multiple de $10$.
    Les entiers $n$ cherchés sont donc $0,2,4,5,6$ et $8$.
    $\quad$
    c. Pour que l’erreur soit détectée il faut donc $a-1$ appartienne à $\left\{1,3,7,9\right\}$
    Soit $a\in\left\{2,4,8\right\}$

Énoncé

Exercice 1    5 points

Dans tout l’exercice, les valeurs seront, si nécessaire, approchées au millième.
Les parties
 A et B sont indépendantes.

Partie A

Dans le cadre de son activité, une entreprise reçoit régulièrement des demandes de devis. Les montants de ces devis sont calculés par son secrétariat. Une étude statistique sur l’année écoulée conduit à modéliser le montant des devis par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d’espérance $\mu = 2~900$ euros et d’écart-type $\sigma = 1~250$ euros.

  1. Si on choisit au hasard une demande de devis reçue par l’entreprise, quelle est la probabilité que le montant du devis soit supérieur à $4~000$ euros ?
    $\quad$
  2. Afin d’améliorer la rentabilité de son activité, l’entrepreneur décide de ne pas donner suite à $10\%$ des demandes. Il écarte celles dont le montant de devis est le moins élevé. Quel doit être le montant minimum d’un devis demandé pour que celui-ci soit pris en compte ? Donner ce montant à l’euro près.
    $\quad$

Partie B

Ce même entrepreneur décide d’installer un logiciel anti-spam, Ce logiciel détecte les messages indésirables appelés spams (messages malveillants, publicités, etc.) et les déplace dans un fichier appelé “dossier spam”. Le fabricant affirme que $95\%$ des spams sont déplacés. De son côté, l’entrepreneur sait que $60\%$ des messages qu’il reçoit sont des spams. Après installation du logiciel, il constate que $58,6\%$ des messages sont déplacés dans le dossier spam.
Pour un message pris au hasard, on considère les événements suivants :

  • $D$ : “le message est déplacé” ;
  • $S$ : “le message est un spam”.
  1. Calculer $P(S \cap D)$.
    $\quad$
  2. On choisit au hasard un message qui n’est pas un spam. Montrer que la probabilité qu’il soit déplacé est égale à $0,04$.
    $\quad$
  3. On choisit au hasard un message non déplacé. Quelle est la probabilité que ce message soit un spam ?
    $\quad$
  4. Pour le logiciel choisi par l’entreprise, le fabricant estime que $2,7\%$ des messages déplacés vers le dossier spam sont des messages fiables. Afin de tester l’efficacité du logiciel, le secrétariat prend la peine de compter le nombre de messages fiables parmi les messages déplacés.
    Il trouve $13$ messages fiables parmi les $231$ messages déplacés pendant une semaine.
    Ces résultats remettent-ils en cause l’affirmation du fabricant?
    $\quad$

Exercice 2    5 points

Un fabricant doit réaliser un portail en bois plein sur mesure pour un particulier. L’ouverture du mur d’enceinte (non encore construit) ne peut excéder $4$ mètres de large. Le portail est constitué de deux vantaux de largeur $a$ telle que $0 < a \pp 2$.

Dans le modèle choisi, le portail fermé a la forme illustrée par la figure ci-dessous. Les côtés $[AD]$ et $[BC]$ sont perpendiculaires au seuil $[CD]$ du portail.
Entre les points $A$ et $B$, le haut des vantaux a la forme d’une portion de courbe.

Cette portion de courbe est une partie de la représentation graphique de la fonction $f$ définie sur $[-2;2]$ par: $$f(x) = – \dfrac{b}{8}\left(\e^{\frac{x}{b}} + \e^{-\frac{x}{b}}\right) + \dfrac{9}{4} \quad \text{ où } b > 0$$

Le repère est choisi de façon que les points $A$, $B$, $C$ et $D$ aient pour coordonnées respectives $(-a;f(-a))$, $(a;f(a))$, $(a;0)$ et $(-a;0)$ et on note $S$ le sommet de la courbe de $f$, comme illustré ci-dessous.

Partie A

  1. Montrer que, pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[-2;2]$, $f(-x) = f(x)$. Que peut-on en déduire pour la courbe représentative de la fonction $f$ ?
    $\quad$
  2. On appelle $f’$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Montrer que, pour tout réel $x$ de l’intervalle $[-2;2]$ : $$f'(x) = -\dfrac{1}{8}\left(\e^{\frac{x}{b}}-\e^{-\frac{x}{b}}\right)$$
    Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-2;2]$ et en déduire les coordonnées du point $S$ en fonction de $b$.
    $\quad$

Partie B

La hauteur du mur est de $1,5$ m. On souhaite que le point $S$ soit à $2$ m du sol. On cherche alors les valeurs de $a$ et $b$.

  1. Justifier que $b = 1$.
    $\quad$
  2. Montrer que l’équation $f(x) = 1,5$ admet une unique solution sur l’intervalle $[0;2]$ et en déduire une valeur approchée de $a$ au centième.
    $\quad$
  3. Dans cette question, on choisit $a = 1,8$ et $b = 1$. Le client décide d’automatiser son portail si la masse d’un vantail excède $60$ kg. La densité des planches de bois utilisées pour la fabrication des vantaux est égale à $20$ kg.m$^{-2}$. Que décide le client ?
    $\quad$

Partie C

On conserve les valeurs $a = 1,8$ et $b = 1$.
Pour découper les vantaux, le fabricant prédécoupe des planches. Il a le choix entre deux formes de planches prédécoupées : soit un rectangle $OCES$, soit un trapèze $OCHG$ comme dans les schémas ci-dessous. Dans la deuxième méthode, la droite $(GH)$ est la tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ au point $F$ d’abscisse $1$.

La forme 1 est la plus simple, mais visuellement la forme 2 semble plus économique.
Évaluer l’économie réalisée en termes de surface de bois en choisissant la forme 2 plutôt que la forme 1.

On rappelle la formule donnant l’aire d’un trapèze. En notant $b$ et $B$ respectivement les longueurs de la petite base et de la grande base du trapèze (côtés parallèles) et $h$ la hauteur du trapèze : $$Aire  = \dfrac{b+B}{2} \times h$$

$\quad$

Exercice 3    5 points

Le but de cet exercice est d’étudier les suites de termes positifs dont le premier terme $u_0$ est strictement supérieur à $1$ et possédant la propriété suivante : pour tout entier naturel $n > 0$, la somme des $n$ premiers termes consécutifs est égale au produit des $n$ premiers termes consécutifs. On admet qu’une telle suite existe et on la note $\left(u_n\right)$. Elle vérifie donc trois propriétés :

  • $u_0 > 1$,
  • pour tout $n \pg 0$, $u_n \pg 0$,
  • pour tout $n > 0$, $u_0 + u_1 + \ldots + u_{n-1} = u_0 \times u_1 \times \ldots \times u_{n-1}$.
  1. On choisit $u_0 = 3$. Déterminer $u_1$ et $u_2$.
    $\quad$
  2. Pour tout entier $n > 0$, on note $s_n = u_0 + u_1 + \ldots + u_{n-1} = u_0 \times u_1 \times \ldots \times u_{n-1}$.
    On a en particulier $s_1 = u_0$·
    a. Vérifier que pour tout entier $n > 0$, $s_{n+1} = s_n + u_n$ et $s_n > 1$.
    $\quad$
    b. En déduire que pour tout entier $n > 0$, $$u_n = \dfrac{s_n}{s_n -1}$$
    $\quad$
    c. Montrer que pour tout $n \pg 0$, $u_n > 1$.
    $\quad$
  3. À l’aide de l’algorithme ci-dessous, on veut calculer le terme $u_n$ pour une valeur de $n$ donnée.
    Entrée :
    $\quad$ Saisir n
    $\quad$ Saisir u
    Traitement :
    $\quad$ $s$ prend la valeur $u$
    $\quad$ Pour $i$ allant de $1$ à $n$ :
    $\qquad$ $u$ prend la valeur $\ldots$
    $\qquad$ $s$ prend la valeur $\ldots$
    $\quad$ Fin Pour
    Sortie :
    $\quad$ Afficher $u$
    $\quad$
    a. Recopier et compléter la partie traitement de l’algorithme ci-dessus.
    $\quad$
    b. Le tableau ci-dessous donne des valeurs arrondies au millième de $u_n$ pour différentes valeurs de l’entier $n$ :
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    n &0& 5& 10 &20 &30 &40\\
    \hline
    u_n& 3 & 1,140 & 1,079 & 1,043 & 1,030 & 1,023\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    Quelle conjecture peut-on faire sur la convergence de la suite $\left(u_n\right)$ ?
    $\quad$
  4. a. Justifier que pour tout entier $n > 0$, $s_n > n$.
    $\quad$
    b. En déduire la limite de la suite $\left(s_n\right)$ puis celle de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$

Exercice 4    5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Un particulier s’intéresse à l’ombre portée sur sa future véranda par le toit de sa maison quand le soleil est au zénith. Cette véranda est schématisée ci-dessous en perspective cavalière dans un repère orthonormé $\Oijk$. Le toit de la véranda est constitué de deux faces triangulaires $SEF$ et $SFG$.

  • Les plans $(SOA)$ et $(SOC)$ sont perpendiculaires.
  • Les plans $(SOC)$ et $(EAB)$ sont parallèles, de même que les plans $(SOA)$ et $(GCB)$.
  • Les arêtes $[UV]$ et $[EF]$ des toits sont parallèles.

Le point $K$ appartient au segment $[SE]$, le plan $(UVK)$ sépare la véranda en deux zones, l’une éclairée et l’autre ombragée. Le plan $(UVK)$ coupe la véranda selon la ligne polygonale $KMNP$ qui est la limite ombre-soleil.

 

  1. Sans calcul, justifier que :
    a. le segment $[KM]$ est parallèle au segment $[UV]$ ;
    $\quad$
    b. Le segment $[NP]$ est parallèle au segment $[UK]$.
    $\quad$
  2. Dans la suite de l’exercice, on se place dans le repère orthonormé $\Oijk$. Les coordonnées des différents points sont les suivantes : $A(4;0;0)$, $B(4;5;0)$, $C(0;5;0)$, $E(4;0;2, 5)$, $F(4;5;2,5)$, $G(0;5;2,5)$, $S(0;0;3,5)$, $U(0;0;6)$ et $V(0;8;6)$.
    On souhaite déterminer de façon exacte la section des faces visibles de la véranda par le plan $(UVK)$ qui sépare les zones ombragée et ensoleillée.
    a. Au moment le plus ensoleillé, le point $K$ a pour abscisse $1,2$. Vérifier que les coordonnées du point $K$ sont $(1,2;0;3,2)$.
    $\quad$
    b. Montrer que le vecteur $\vec{n}$ de coordonnées $(7;0;3)$ est un vecteur normal au plan $(UVK)$ et en déduire une équation cartésienne du plan $(UVK)$.
    $\quad$
    c. Déterminer les coordonnées du point $N$ intersection du plan $(UVK)$ avec la droite $(FG)$.
    $\quad$
    d. Expliquer comment construire la ligne polygonale sur le schéma de la véranda.
    $\quad$
  3. Afin de faciliter l’écoulement des eaux de pluie, l’angle du segment $[SG]$ avec l’horizontale doit être supérieur à $7$°. Cette condition est-elle remplie ?
    $\quad$

Exercice 4    5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

Une association gère des activités pour des enfants. Elle propose deux programmes d’activités, le programme A : cirque – éveil musical, et le programme B : théâtre – arts plastiques.
À sa création en 2014, l’association compte $150$ enfants qui suivent tous le programme A.
Pour chacune des années suivantes, le nombre d’enfants inscrits dans l’association reste égal à $150$.
On dispose également des informations suivantes :
Chaque enfant ne peut suivre qu’un seul programme: soit le programme A, soit le programme B.
D’une année à l’autre, $20\%$ des inscrits au programme A choisissent à nouveau le programme A, alors que $40\%$ choisissent le programme B. Les autres quittent l’association.
D’une année à l’autre, $60\%$ des inscrits au programme B choisissent à nouveau le programme B et les autres quittent l’association.
Les nouveaux inscrits, qui compensent les départs, suivent obligatoirement le programme A.

On modélise le nombre d’inscrits au programme A et le nombre d’inscrits au programme B durant l’année $2014 + n$ respectivement par deux suites $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$ et on note $U_n$ la matrice ligne $\begin{pmatrix}a_n& b_n\end{pmatrix}$. On a donc $U_0 = \begin{pmatrix}150& 0\end{pmatrix}$.

  1. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $U_{n + 1} = U_n M$ où $M = \begin{pmatrix} 0,6&0,4\\0,4&0,6\end{pmatrix}$.
    $\quad$
  2. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $U_n = \begin{pmatrix}75 + 75 \times 0,2^n &75-75 \times 0,2^n\end{pmatrix}$.
    $\quad$
  3. En déduire la répartition des effectifs à long terme entre les deux programmes.
    $\quad$

Partie B

L’association affecte à chaque enfant un numéro à $6$ chiffres $c_1c_2c_3c_4c_5k$. Les deux premiers chiffres représentent l’année de naissance de l’enfant les trois suivants sont attribués à l’enfant au moment de sa première inscription. Le dernier chiffre, appelé clé de contrôle, est calculé automatiquement de la façon suivante :

  • on effectue la somme $S = c_1 + c_3 + c_5 + a \times \left(c_2 + c_4\right)$ où $a$ est un entier compris entre $1$ et $9$ ;
  • on effectue la division euclidienne de $S$ par $10$, le reste obtenu est la clé $k$.

Lorsqu’un employé saisit le numéro à $6$ chiffres d’un enfant, on peut détecter une erreur de saisie lorsque le sixième chiffre n’est pas égal à la clé de contrôle calculée à partir des cinq premiers chiffres.

  1. Dans cette question seulement, on choisit $a = 3$.
    a. Le numéro $111383$ peut-il être celui d’un enfant inscrit à l’association ?
    $\quad$
    b. L’employé, confondant un frère et une sœur, échange leurs années de naissance : 2008 et 2011. Ainsi, le numéro $08c_3c_4c_5k$ est transformé en $11c_3c_4c_5k$. Cette erreur est-elle détectée grâce à la clé ?
    $\quad$
  2. On note $c_1c_2c_3c_4c_5k$ le numéro d’un enfant. On cherche les valeurs de l’entier $a$ pour lesquelles la clé détecte systématiquement la faute de frappe lorsque les chiffres $c_3$ et $c_4$ sont intervertis. On suppose donc que les chiffres $c_3$ et $c_4$ sont distincts.
    a. Montrer que la clé ne détecte pas l’erreur d’interversion des chiffres $c_3$ et $c_4$ si et seulement si $(a -1)\left(c_4 – c_3\right)$ est congru à $0$ modulo $10$.
    $\quad$
    b. Déterminer les entiers $n$ compris entre $0$ et $9$ pour lesquels il existe un entier $p$ compris entre $1$ et $9$ tel que $np \equiv 0 ~~(10)$.
    $\quad$
    c. En déduire les valeurs de l’entier $a$ qui permettent, grâce à la clé, de détecter systématiquement l’interversion des chiffres $c_3$ et $c_4$.
    $\quad$

2016 – 2017


Retrouver la correction des sujets de mathématiques du bac S pour l’année 2016/2017.
Pondichéry avril 2017

Liban juin 2017

Amérique du Nord juin 2017

Centres étrangers juin 2017

Polynésie juin 2017

Métropole juin 2017

Antilles Guyane juin 2017

Asie juin 2017

Métropole Septembre 2017

Antilles-Guyane Septembre 2017

Polynésie – septembre 2017

Nouvelle-Calédonie Novembre 2017

Amérique du Sud Novembre 2017

Nouvelle-Calédonie février 2018

Bac S – Pondichéry avril 2017

Pondichéry – Avril 2017

Bac S – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici : obligatoire et spécialité

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. On peut représenter la situation à l’aide de l’arbre pondéré suivant :

    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(C)&=p(A\cap C)+p\left(\conj{A}\cap C\right) \\
    &=0,98x+0,95(1-x)\\
    &=0,98x+0,95-0,95x\\
    &=0,03x+0,95
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. On sait que  :
    $\begin{align*} p(C)=0,96 &\ssi 0,03x+0,95=0,96\\
    &\ssi 0,03x=0,01\\
    &\ssi x = \dfrac{1}{3}
    \end{align*}$
    Ainsi $p(A)=\dfrac{1}{3}$ et $p(B)=1-\dfrac{1}{3}$ $=\dfrac{2}{3}$ $=2p(A)$.
    $\quad$

Partie B

  1. On sait que $E(Z)=5$ or $E(Z)=\dfrac{1}{\lambda}$
    Par conséquent $\dfrac{1}{\lambda}=5 \ssi \lambda = \dfrac{1}{5}=0,2$.
    $\quad$
  2. $P(Z>2)=\e^{-0,2\times 2}=\e^{-0,4}$
    $\quad$
  3. On veut calculer $P_{Z\pg 3}(Z\pg 5)=P_{Z\pg 3}(Z\pg 3+2)$.
    Les lois exponentielles sont sans vieillissement.
    Par conséquent  :$P_{Z\pg 3}(Z\pg 3+2)=P(Z\pg 2)=\e^{-0,4}$.
    $\quad$

Partie C

  1. A l’aide de la calculatrice on trouve $P(83 \pp X \pp 87)\approx 0,683$.
    $\quad$
    La probabilité que la teneur en cacao soit différente de plus de $2\%$ du pourcentage annoncé sur l’emballage est :
    $1-P(83 \pp X\pp 87) \approx 0,317$.
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align*} P(85-a\pp X\pp 85+a)=0,9&\ssi P(-a\pp X-85\pp a)=0,9 \\
    &\ssi P\left(-\dfrac{a}{2}\pp \dfrac{X-85}{2}\pp \dfrac{a}{2}\right)=0,9
    \end{align*}$
    La variable aléatoire $Z=\dfrac{X-85}{2}$ suit la loi normale centrée réduite.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} P\left(-\dfrac{a}{2}\pp \dfrac{X-85}{2}\pp \dfrac{a}{2}\right)=0,9 &\ssi P\left(-\dfrac{a}{2}\pp Z\pp \dfrac{a}{2}\right)=0,9 \\
    &\ssi 2P\left(Z\pp \dfrac{a}{2}\right)-1=0,9\\
    &\ssi 2P\left(Z\pp \dfrac{a}{2}\right)=1,9\\
    &\ssi P\left(Z\pp \dfrac{a}{2}\right)=0,95
    \end{align*}$
    A l’aide de la touche Inverse loi normale de la calculatrice on trouve : $\dfrac{a}{2}\approx 1,645$
    Par conséquent $a\approx 3,29$.
    Cela signifie donc que $90\%$ des tablettes de chocolat commercialisable ont une teneur en cacao comprise entre $81,71\%$ et $88,29\%$.
  3. On a $n=10~000 \pg 30$, $p=0,9$ donc $np=9~000\pg 5$ et $n(1-p)=1~000\pg 5$.
    Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ est :
    $\begin{align*} I_{10~000}&=\left[0,9-1,96\times \sqrt{\dfrac{0,9\times 0,1}{10~000}};0,9+1,96\times \sqrt{\dfrac{0,9\times 0,1}{10~000}}\right] \\
    &=[0,89~412;0,90~588]
    \end{align*}$
    La fréquence observée de tablettes répondant au critère annoncé est $f=\dfrac{550-80}{550}\approx 0,855 \notin I_{10~000}$.
    Au risque d’erreur de $5\%$ on peut remettre en cause l’affirmation du responsable achat de l’enseigne.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. a. On considère l’équation $z^2-6z+c=0$
    Son discriminant est $\Delta=36-4c=4(9-c)$
    On sait que $c>9$. Par conséquent $\Delta <0$.
    L’équation $(E)$ admet donc deux solutions complexes non réelles.
    $\quad$
    b. Les solutions sont donc :
    $z_1=\dfrac{6-\ic\sqrt{4(c-9)}}{2}=\dfrac{6-2\ic\sqrt{c-9}}{2}=3-\ic\sqrt{c-9}$ et $z_2=\conj{z_1}=3+\ic\sqrt{c-9}$.
    $\quad$
  2. $OA=\left|z_A\right|=\sqrt{9+c-9}=\sqrt{c}$
    $OB=\left|z_B\right|=\sqrt{9+c-9}=\sqrt{c}$
    Le triangle $OAB$ est donc isocèle en $O$.
    $\quad$
  3. $AB=\left|z_A-z_B\right|=\left|2\ic\sqrt{c-9}\right|=2\sqrt{(c-9)}$.
    Le triangle $OAB$ est rectangle en $O$
    $\ssi AB^2=OA^2+OB^2$
    $\ssi 4(c-9)=2c$
    $\ssi 4c-36=2c$
    $\ssi 2c-36=0$
    $\ssi c=18$
    Il existe donc bien une seule valeur du réel $c$ pour laquelle le triangle $OAB$ est rectangle et $c=18$.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A : Étude de la fonction $\boldsymbol{f}$

  1.  On appelle $u$ la fonction définie sur $[-2,5;2,5]$ par $u(x)=-2x^2+13,5$.
    La fonction $u$ est dérivable sur cet intervalle en tant que polynôme et, de par la définition de la fonction $f$, est également strictement positive sur cet intervalle.
    Par composition des fonctions, la fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[-2,5;2,5]$
    $f(x)=\ln\left(u(x)\right)$ donc $f'(x)=\dfrac{u'(x)}{u(x)}$.
    $f'(x)=\dfrac{-4x}{-2x^2+13,5}$
    $\quad$
  2. Puisque $-2x^2+13,5>0$ sur l’intervalle $[2,5;2,5]$ le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $-4x$.
    Ainsi $f'(x)>0$ sur l’intervalle $[-2,5;0]$ et $f'(x)>0$ sur l’intervalle $[0;2,5]$.
    On obtient alors le tableau de variation suivant :

    D’après le tableau de variation, on en déduit donc que $f(x)$ est positif sur l’intervalle $[-2,5;2,5]$.$\quad$

Partie B : Aire de la zone de creusement

  1. La hauteur du tunnel est $h=\ln(13,5)\approx 2,6$.
    La largeur du tunnel est $\ell = 2,5\times 2=5 \neq 2h$.
    La courbe $\mathscr{C}$ n’est donc pas un arc de cercle de centre $O$.
    $\quad$
  2. Par symétrie $\mathscr{A}$ est le double de l’aire comprise entre la courbe $\mathscr{C}$, l’axe des abscisses, la droite d’équation $x=0$ et celle d’équation $x=2,5$.
    Donc :
    $\begin{align*} \mathscr{A}&=\displaystyle 2\int_0^{2,5}f(x)\dx ~~ \text{u.a.} \\
    &=2\int_0^{2,5}f(x)\dx \times 2^2 \text{ m}^2 \\
    &=8\int_0^{2,5}f(x)\dx \text{ m}^2
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. a. A l’étape $1$ on a $R=0,130~116$ et $S=0,130~116$
    A l’étape $4$ on a $S=0,519~981$
    A l’étape $50$ on a $R=0$ et $S=5,197~538$
    A l’affichage $S=5,197~538$
    $\quad$
    b. En utilisant l’inégalité fournie on a :
    $ a \pp I \pp a +\dfrac{f(0)-f(0,5)}{n}\times 2,5$
    soit $ 5,197~538 \pp I \pp 5,197~538+0,05\ln(13,5)$
    d’où $5,197~538 \pp I\pp 5,327~673$
    Par conséquent $41,580~304 \pp 8I \pp 42,621~380$
    C’est-à-dire  $41,580~304 \pp \mathscr{A} \pp 42,621~380$
    Une valeur approchée, au mètre carré près, de la zone de creusement est donc $\mathscr{A} \approx 42$ m$^2$.
    En effet $42-1 \pp 41,580~304 \pp \mathscr{A} \pp 42,621~380\pp 42+1$
    $\quad$

 

Ex 4 obl

Exercice 4

Partie A : Conjectures

  1. En $B3$ on a pu saisir : $=2*B2-A2+3$
    En $C3$ on a pu saisir : $=2\wedge A3$
    $\quad$
  2. Il semblerait que la limite de la suite $\left(u_n\right)$ soit $+\infty$.
    $\dfrac{3~080}{1~024}\approx 3,008$
    $\dfrac{6~153}{2~048}\approx 3,004$
    $\dfrac{12~298}{4~096}\approx 3,002$
    $\dfrac{24~587}{8~192}\approx 3,001$
    Il semblerait que la limite de la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n}\right)$ soit $3$.
    $\quad$

Partie B : Étude de la suite $\boldsymbol{\left(u_n\right)}$

  1. Initialisation : Si $n=0$ alors $u_0=1$ et $3\times 2^0-0-2=3-2=1$
    La  propriété est vraie au rang $0$
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $u_n=3\times 2^n+n-2$
    $\begin{align*} u_{n+1}&=2u_n-n+3\\
    &=2\left(3\times 2^n+n-2\right)-n+3\\
    &=3\times 2^{n+1}+2n-4-n+3\\
    &=3\times 2^{n+1}+n-1\\
    &=3\times 2^{n+1}+(n+1)-2
    \end{align*}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=3\times 2^n+n-2$.
    $\quad$
  2. $2>1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty}2^n=+\infty$ et $\lim\limits_{n\to +\infty}3\times 2^n=+\infty$
    De plus $\lim\limits_{n\to +\infty}n-2=+\infty$
    Par somme de limite $\lim\limits_{n\to +\infty}u_n=+\infty$
    $\quad$
  3. On cherche la plus petite valeur de $n$ telle que $ u_n\pg 10^6$
    Les suites de terme général $\left(3\times 2^n\right)$ et $(n-2)$ sont croissantes. Par conséquent la suite $\left(u_n\right)$ est également croissante.
    On a $u_{18}=786~448$ et $u_{19}=1~572~881$
    Par conséquent c’est à partir du rang $19$ que $u_n\pg 10^6$.
    $\quad$

Partie C : Étude de la suite $\boldsymbol{\left(\dfrac{u_n}{v_n}\right)}$.

  1. On note $w_n=\dfrac{u_n}{v_n}$
    $\begin{align*}w_{n+1}-w_n&=\dfrac{3\times 2^{n+1}+n-1}{2^{n+1}}-\dfrac{3\times 2^n+n-2}{2^n} \\
    &=3+\dfrac{n-1}{2^{n+1}}-3-\dfrac{n-2}{2^n}\\
    &=\dfrac{n-1}{2^{n+1}}-\dfrac{2(n-2)}{2^{n+1}}\\
    &=\dfrac{n-1-2n+4}{2^{n+1}}\\
    &=\dfrac{3-n}{2^{n+1}}
    \end{align*}$
    Par conséquent, si $n\pg 3$ alors $w_{n+1}-w_n\pp 0$ et la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n}\right)$ est décroissante.
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align*} \dfrac{u_n}{v_n}&=3+\dfrac{n-2}{2^n}\\
    &=3+\dfrac{n}{2^n}-\dfrac{2}{2^n} \\
    &=3+\dfrac{n}{2^n}-2\left(\dfrac{1}{2}\right)^n
    \end{align*}$
    $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n}=0$
    D’après le théorème des gendarmes $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{n}{2^n}=0$
    $-1<\dfrac{1}{2}<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} \left(\dfrac{1}{2}\right)^n=0$
    Ainsi, par somme des limites $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{u_n}{v_n}=3$

Ex 4 spé

Exercice 4

Partie A : Conjectures

  1. En B3 on a pu saisir $=2*B2+3*C2$
    En C3 on a pu saisir $=2*B2+C2$
    $\quad$
  2. PGCD$(1;1)=1$, PGCD$(5;3)=1$, PGCD$(19,13)=1$.
    Il semblerait donc que PGCD$\left(u_n;v_n\right)=1$ pour tout entier naturel $n$.
    $\quad$
  3. $\dfrac{u_{10}}{v_{10}}\approx 1,499~999~4$
    $\dfrac{u_{11}}{v_{11}}\approx 1,500~000~15$
    $\dfrac{u_{12}}{v_{12}}\approx 1,499~999~96$
    $\dfrac{u_{13}}{v_{13}}\approx 1,500~000~01$
    Il semblerait donc que la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n}\right)$ converge vers $1,5$.

$\quad$

Partie B : Étude arithmétique

  1. Initialisation : Si $n=0$ alors $2u_0-3v_0=2-3=-1=(-1)^{0+1}$
    La propriété est vraie au rang $0$
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $2u_n-3v_n=(-1)^{n+1}$
    $\begin{align*} 2u_{n+1}-3v_{n+1}&=2\left(2u_n+3v_n\right)-3\left(2u_n+v_n\right) \\
    &=4u_n+6v_n-6u_n-3v_n \\
    &=-2u_n+3v_n \\
    &=-\left(2u_n-3v_n\right)\\
    &=-(-1)^{n+1}\\
    &=(-1)^{n+2}
    \end{align*}$
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Pour tout entier naturel $n$ on a donc $2u_n-3v_n=(-1)^{n+1}$.
    $\quad$
  2. Si $n$ est impair alors $u_n-3v_n=(-1)^{n+1}=1$
    D’après le théorème de Bezout on a PGCD$\left(u_n;v_n\right)=1$
    Si $n$ est pair alors $-\left(u_n-3v_n\right)=-(-1)^{n+1}=1$
    Donc $3v_n-2u_n=1$
    D’après le théorème de Bezout on a PGCD$\left(u_n;v_n\right)=1$
    Dans tous les cas on a PGCD$\left(u_n;v_n\right)=1$.
    $\quad$

Partie C : Étude matricielle

  1. a.
    $\begin{align*} \begin{pmatrix}2&-3\\1&1\end{pmatrix}\times P&=\begin{pmatrix} 2+3&6-6\\1-1&3+2\end{pmatrix} \\
    &=\begin{pmatrix}5&0\\0&5\end{pmatrix}
    \end{align*}$
    Par conséquent $\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}2&-3\\1&1\end{pmatrix}\times P=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$
    La matrice $\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}2&-3\\1&1\end{pmatrix}$ est donc l’inverse de $P$.
    $\quad$
    b. 
    $\begin{align*} X_n&=Q_nP^{-1}X_0 \\
    &=Q_n\times \dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}2&-3\\1&1\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} \\
    &=\dfrac{1}{5}\times Q_n\times \begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}\\
    &=\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}(-1)^{n+1}+3\times 2^{n+1}\\(-1)^n+2^{2n+2}\end{pmatrix}
    \end{align*}$
    Par conséquent $\begin{cases}u_n=\dfrac{(-1)^{n+1}+3\times 2^{2n+1}}{5}\\\\v_n=\dfrac{(-1)^n+2^{2n+2}}{5}\end{cases}$
    $\quad$
  2. a.
    $\begin{align*} \dfrac{u_n}{v_n}&=\dfrac{\dfrac{(-1)^{n+1}+3\times 2^{2n+1}}{5}}{\dfrac{(-1)^n+2^{2n+2}}{5}} \\
    &=\dfrac{(-1)^{n+1}+3\times 2^{2n+1}}{(-1)^n+2^{2n+2}} \\
    &=\dfrac{\dfrac{(-1)^{n+1}}{2^{2n+1}+3}}{\dfrac{(-1)^n}{2^{2n+1}+2}}
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. $\dfrac{(-1)^{n+1}}{2^{2n+1}}=\dfrac{-1}{2}\times \dfrac{(-1)^{n}}{4^n}=-\dfrac{1}{2}\left(-\dfrac{1}{4}\right)^n$
    $\dfrac{(-1)^{n}}{2^{2n+1}}=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{(-1)^{n}}{4^n}=\dfrac{1}{2}\left(-\dfrac{1}{4}\right)^n$
    Or $-1<-\dfrac{1}{4}<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty}\left(-\dfrac{1}{4}\right)^n=0$
    Donc $\lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{u_n}{v_n}=\dfrac{3}{2}$.
    $\quad$

Ex 5

Exercice 5

On recherche trois points du cube appartenant au plan $\mathscr{P}$.

Les points $B(1;0;0)$, $I\left(\dfrac{1}{2};1;0\right)$ et $J\left(\dfrac{2}{3};0;1\right)$ appartiennent au plan $\mathscr{P}$ d’équation $x+\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{3}z-1=0$.

En effet  :

  • $1+0+0-1=0$ (point $B)$
  • $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+0-1=0$ (point $I$)
  • $\dfrac{2}{3}+0+\dfrac{1}{3}-1=0$ (point $J$)

Les plan $\mathscr{P}$ et $(BIJ)$ sont donc confondus.

Les plans $(ABC)$ et $(EFG)$ sont parallèles. Par conséquent, l’intersection du plan $(EFG)$ avec le plan $(BIJ)$ est la droite parallèle à $(BI)$ passant par $J$. Le point $L$ est le point d’intersection de cette droite avec l’arête $[GH]$.

 

Énoncé

Exercice 1    5 points

Les parties A, B et C peuvent être traitées de façon indépendante.

Dans tout l’exercice, les résultats seront arrondis, si nécessaire, au millième.

La chocolaterie “Choc’o” fabrique des tablettes de chocolat noir, de $100$ grammes, dont la teneur en cacao annoncée est de $85\%$.

Partie A

À l’issue de la fabrication, la chocolaterie considère que certaines tablettes ne sont pas commercialisables : tablettes cassées, mal emballées, mal calibrées, etc.

La chocolaterie dispose de deux chaînes de fabrication:

  • la chaîne A, lente, pour laquelle la probabilité qu’une tablette de chocolat soit commercialisable est égale à $0,98$.
  • la chaîne B, rapide, pour laquelle la probabilité qu’une tablette de chocolat soit commercialisable est $0,95$.

À la fin d’une journée de fabrication, on prélève au hasard une tablette et on note :

$\quad$ $A$ l’ événement: “la tablette de chocolat provient de la chaîne de fabrication A” ;
$\quad$  $C$ l’événement : “la tablette de chocolat est commercialisable”.

On note $x$ la probabilité qu’une tablette de chocolat provienne de la chaîne A.

  1. Montrer que $P(C) = 0,03x + 0,95$.
    $\quad$
  2. À l’issue de la production, on constate que $96\%$ des tablettes sont commercialisables et on retient cette valeur pour modéliser la probabilité qu’une tablette soit commercialisable.
    Justifier que la probabilité que la tablette provienne de la chaîne B est deux fois égale à celle que la tablette provienne de la chaîne A.
    $\quad$

Partie B

Une machine électronique mesure la teneur en cacao d’une tablette de chocolat. Sa durée de vie, en années, peut être modélisée par une variable aléatoire $Z$ suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.

  1. La durée de vie moyenne de ce type de machine est de $5$ ans.
    Déterminer le paramètre $\lambda$ de la loi exponentielle.
    $\quad$
  2. Calculer $P(Z> 2)$.
    $\quad$
  3. Sachant que la machine de l’atelier a déjà fonctionné pendant $3$ ans, quelle est la probabilité que sa durée de vie dépasse $5$ ans ?
    $\quad$

Partie C

On note $X$ la variable aléatoire donnant la teneur en cacao, exprimée en pourcentage, d’une tablette de $100$ g de chocolat commercialisable. On admet que $X$ suit la loi normale d’espérance $\mu = 85$ et d’écart type $\sigma = 2$.

  1. Calculer $P(83 < X < 87)$.
    Quelle est la probabilité que la teneur en cacao soit différente de plus de $2\%$ du pourcentage annoncé sur l’emballage ?
    $\quad$
  2. Déterminer une valeur approchée au centième du réel $a$ tel que: $P(85-a < X < 85+a) = 0,9$.
    Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  3. La chocolaterie vend un lot de $10~000$ tablettes de chocolat à une enseigne de la grande distribution. Elle affirme au responsable achat de l’enseigne que, dans ce lot, $90\%$ des tablettes ont un pourcentage de cacao appartenant à l’intervalle $[81,7;88,3]$.
    Afin de vérifier si cette affirmation n’est pas mensongère, le responsable achat fait prélever $550$ tablettes au hasard dans le lot et constate que, sur cet échantillon, $80$ ne répondent pas au critère.
    Au vu de l’échantillon prélevé, que peut-on conclure quant à l’affirmation de la chocolaterie ?
    $\quad$

Exercice 2    3 points

On munit le plan complexe d’un repère orthonormé direct $\Ouv$.

  1. On considère l’équation $(E) : z^2 – 6z + c = 0$ où $c$ est un réel strictement supérieur à $9$.
    a. Justifier que $(E)$ admet deux solutions complexes non réelles.
    $\quad$
    b. Justifier que les solutions de $(E)$ sont $z_A = 3 +\ic\sqrt{c-9}$ et $z_B = 3-\ic\sqrt{c-9}$.
    $\quad$
  2. On note $A$ et $B$ les points d’affixes respectives $z_A$ et $z_B$.
    Justifier que le triangle $OAB$ est isocèle en $O$.
    $\quad$
  3. Démontrer qu’il existe une valeur du réel $c$ pour laquelle le triangle $OAB$ est rectangle et déterminer cette valeur.
    $\quad$

Exercice 3    4 points

Une entreprise spécialisée dans les travaux de construction a été mandatée pour percer un tunnel à flanc de montagne.
Après étude géologique, l’entreprise représente dans le plan la situation de la façon suivante : dans un repère orthonormal, d’unité $2$ m, la zone de creusement est la surface délimitée par l’axe des abscisses et la courbe $\mathscr{C}$.

 

On admet que $\mathscr{C}$ est la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[-2,5;2,5]$ par: $$f(x) = \ln \left(-2x^2 + 13,5\right)$$

L’objectif est de déterminer une valeur approchée, au mètre carré près, de l’aire de la zone de creusement.

Partie A : Étude de la fonction $\boldsymbol{f}$

  1. Calculer $f'(x)$ pour $x \in [-2,5;2,5]$.
    $\quad$
  2. Dresser, en justifiant, le tableau de variation de la fonction $f$ sur $[- 2,5;2,5]$.
    En déduire le signe de $f$ sur $[- 2,5;2,5]$.
    $\quad$

Partie B : Aire de la zone de creusement

On admet que la courbe $\mathscr{C}$ est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées du repère.

  1. La courbe $\mathscr{C}$ est-elle un arc de cercle de centre $O$ ? Justifier la réponse.
    $\quad$
  2. Justifier que l’aire, en mètre carré, de la zone de creusement est $\mathscr{A} = 8\displaystyle\int_0^{2,5} f(x)\dx$.
    $\quad$
  3. L’algorithme, donné en annexe, permet de calculer une valeur approchée par défaut de $I = \displaystyle\int_0^{2,5} f(x)\dx$, notée $a$.
    On admet que : $a \pp I \pp a + \dfrac{f(0) – f(2,5)}{n}\times 2,5$.
    a. Le tableau fourni en annexe, donne différentes valeurs obtenues pour $R$ et $S$ lors de l’exécution de l’algorithme pour $n = 50$.
    Compléter ce tableau en calculant les six valeurs manquantes.
    $\quad$
    b. En déduire une valeur approchée, au mètre carré près, de l’aire de la zone de creusement.
    $\quad$

Annexe

Variables
$\quad$ $R$ et $S$ sont des réels
$\quad$ $n$ et $k$ sont des entiers
Traitement
$\quad$ $S$ prend la valeur $0$
$\quad$ Demander la valeur de $n$
$\quad$ Pour $k$ variant de $1$ à $n$ faire
$\qquad$ $R$ prend la valeur $\dfrac{2,5}{n}\times f\left(\dfrac{2,5}{n}\times k\right)$
$\qquad$ $S$ prend la valeur $S+R$
$\quad$ Fin Pour
$\quad$ Afficher $S$

Le tableau ci-dessous donne les valeurs de $R$ et de $S$, arrondies à $=10^{-6}$, obtenues lors de l’exécution de l’algorithme pour $n=50$.

$\quad$

Exercice 4    5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

On considère deux suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ :

  • la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 1$ et pour tout entier naturel $n$ $u_{n+1} = 2u_n-n + 3$ ;
  • la suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = 2^n$.

Partie A : Conjectures

Florent a calculé les premiers termes de ces deux suites à l’aide d’un tableur.
Une copie d’écran est donnée ci-dessous.

  1. Quelles formules ont été entrées dans les cellules $B3$ et $C3$ pour obtenir par copie vers le bas les termes des deux suites ?
    $\quad$
  2. Pour les termes de rang 10, 11, 12 et 13 Florent obtient les résultats suivants :

    Conjecturer les limites des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$.
    $\quad$

Partie B : Étude de la suite $\boldsymbol{\left(u_n\right)}$

  1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n = 3 \times 2^n + n-2$.
    $\quad$
  2. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
  3. Déterminer le rang du premier terme de la suite supérieur à $1$ million.
    $\quad$

Partie C : Étude de la suite $\boldsymbol{\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)}$ 

  1. Démontrer que la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$ est décroissante à partir du rang $3$.
    $\quad$
  2. On admet que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $4$, on a : $0 < \dfrac{n}{2^n} \pp \dfrac{1}{n}$.
    Déterminer la limite de la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$.
    $\quad$

Exercice 4    5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

On définit les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ par :

$u_0 = v_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n, u_{n+1} = 2u_n + 3v_n$ et$ v_{n+1} = 2u_n + v_n.$

On admettra que les termes de ces suites sont des entiers naturels non nuls.

Partie A : Conjectures

Flore a calculé les premiers termes des suites à l’aide d’un tableur.
Une copie d’écran est donnée ci-dessous.

  1. Quelles formules ont été entrées dans les cellules $B3$ et $C3$ pour obtenir par copie vers le bas les termes des suites ?
    $\quad$
  2. Soit $n$ un entier naturel.
    Conjecturer la valeur de PGCD$\left(u_n;v_n\right)$. Aucune justification n’est demandée.
    $\quad$
  3. Pour les termes de rang 10, 11, 12 et 13 Flore obtient les résultats suivants :

    Elle émet la conjecture : “la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$ converge”.
    Qu’en penser ?
    $\quad$

Partie B : Étude arithmétique

  1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $2u_n-3v_n = (- 1)^{n+1}$.
    $\quad$
  2. Soit $n$ un entier naturel.
    Déduire de la question précédente la valeur de PGCD$\left(u_n;v_n\right)$.
    $\quad$

Partie C : Étude matricielle

Pour tout entier naturel $n$, on définit :

  • la matrice colonne $X_n = \begin{pmatrix}u_n\\ v_n\end{pmatrix}$,
  • les matrices carrées $P = \begin{pmatrix} 1&3\\- 1&2\end{pmatrix}$ et $Q_n = \begin{pmatrix}(- 1)^n&3 \times 2^{2n}\\(- 1)^{n+1}&2^{2n+1}\end{pmatrix}.$
  1. a. Montrer que la matrice $\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}2&- 3\\1&1\end{pmatrix}$ est l’inverse de $P$.
    b. On admet que, pour tout entier naturel $n$, on a $X_n = Q_nP^{-1} X_0$.
    Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $\begin{cases}u_n=\dfrac{(- 1)^{n+1}+ 3\times 2^{2n+1}}{5}\\v_n=\dfrac{(- 1)^{n}+ 2^{2n+2}}{5}\end{cases}$
    $\quad$
  2. a. Vérifier que, pour tout entier naturel $n$, on a $\dfrac{u_n}{v_n}= \dfrac{\dfrac{(- 1)^{n+1}}{2^{2n+1}}+ 3}{\dfrac{(- 1)^{n}}{2^{2n+1}}+ 2}$.
    $\quad$
    b. En déduire la limite de la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$.
    $\quad$

Exercice 5    3 points

On considère un cube $ABCDEFGH$ fourni en annexe.
L’espace est rapporté au repère $\left(A;\vect{AB},\vect{AD},\vect{AE}\right)$.
On note $\mathscr{P}$ le plan d’équation $x+\dfrac{1}{2} y +\dfrac{1}{3}z-1 = 0$.
Construire, sur la figure fournie en annexe, la section du cube par le plan $\mathscr{P}$.
La construction devra être justifiée par des calculs ou des arguments géométriques.

Annexe

Bac S – Métropole – juin 2017 – mathématiques

Métropole – Juin 2017

Bac S – Mathématiques – Correction

diplome bac

Le sujet de mathématiques du bac S métropole juin 2017 sera corrigé dès la fin de l’épreuve.

Pour vous entraîner, vous pouvez faire les sujets des années précédentes ou bien revoir des chapitres particuliers sur cette page d’exercices corrigés.

Les sujets tombés dans les académies étrangères quelques mois ou semaines auparavant permettent généralement de voir la tendance de l’année. Il est très souvent utile de bien les travailler (seul ou en classe).

Assurez-vous également de bien connaître votre cours : les définitions, formules et propriétés évidemment mais également les conditions d’applications. En effet la façon dont vous aurez rédigé votre copie rentrera pour une part non négligeable de votre note : cela comprend bien sûr la qualité du français mais aussi la justesse et rigueur mathématiques que vous avez su mettre en place.

Dans tous les cas, il faut faire soi-même les exercices et non pas se contenter de lire la correction qui a été faite.

Voici les sujets de l’année scolaire 2015-2016 :

Pondichéry avril 2016

Liban mai 2016

Amérique du Nord juin 2016

Centres étrangers juin 2016

Polynésie juin 2016

Métropole juin 2016

Antilles Guyane juin 2016

Asie juin 2016

et ceux de l’année 2014 – 2015

Pondichéry – Avril 2015 Énoncé  Correction
Liban – Mai 2015 Énoncé  Correction
Amérique du Nord – Juin 2015 Énoncé Correction
Centres étrangers – Juin 2015 Énoncé Correction
Polynésie – Juin 2015 Énoncé Correction
Asie – Juin 2015 Énoncé  Correction
Métropole – Juin 2015 Énoncé  Correction
 Antilles – Guyane – Juin 2015 Énoncé Correction
 Métropole – Septembre 2015 Énoncé Correction
 Polynésie – Septembre 2015 Énoncé Correction
 Nouvelle Calédonie – Novembre 2015 Énoncé Correction
 Antilles Guyane – Septembre 2015 Énoncé Correction
 Amérique du Sud – Novembre 2015 Énoncé Correction
 Nouvelle-Calédonie – Mars 2016 Énoncé Correction

Comme les mathématiques n’est pas la seule matière à préparer, il est possible de retrouver les énoncés (et parfois également des corrections) des autres matières sur Toutmonexam.