Bac S – Nouvelle Calédonie – Novembre 2018

Nouvelle Calédonie – Novembre 2018

Bac S – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A – Conjecture graphique

  1. Graphiquement, une solution de l’équation $f(x)=g(x)$ est $1$.
    $\quad$
  2. Graphiquement, une solution de l’équation $g'(x)=0$ est $0,5$ (la dérivée s’annule en l’abscisse d’un sommet).
    $\quad$

 

Partie B – Étude de la fonction $\boldsymbol{g}$

  1. $\lim\limits_{x\to +\infty} -\dfrac{1}{x}=0$ et $\lim\limits_{X \to 0} \e^X=0$ donc$\lim\limits_{x \to +\infty} \e^{-1/x}=0$.
    De plus $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x^2}=0$.
    Donc, par produit de limites, $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x)=0$.
    $\quad$
  2. a. Pour tout réel $x$ strictement positif on a :
    $\begin{align*} h(x)&=\ln\left(g(x)\right) \\
    &=\ln\left(\dfrac{1}{x^2}\e^{-1/x}\right) \\
    &=\ln\left(\dfrac{1}{x^2}\right)+\ln\left(\e^{-1/x}\right)\\
    &=-\ln\left(x^2\right)-\dfrac{1}{x} \\
    &=-2\ln(x)-\dfrac{1}{x} \\
    &=\dfrac{-2x\ln(x)-1}{x}\end{align*}$
    $\quad$
    b. $\lim\limits_{x\to 0^+} x\ln(x)=0$ donc $\lim\limits_{x\to 0^+}-2x\ln(x)-1=-1$.
    De plus, $\lim\limits_{x\to 0^+} \dfrac{1}{x}=+\infty$.
    Donc, par produit de limites, $\lim\limits_{x \to 0^+} h(x)=-\infty$.
    $\quad$
    c. Pour tout réel $x$ strictement positif on a $h(x)=\ln\left(g(x)\right) \ssi g(x)=\e^{h(x)}$.
    Or $\lim\limits_{x \to 0^+} h(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{X \to -\infty} =0$.
    Donc, par composition de limite on a $\lim\limits_{x \to 0^+} g(x)=0$.
    $\quad$
  3. La fonction $g$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ d’après l’énoncé.
    $\begin{align*} g'(x)&=\dfrac{-2}{x^3}\e^{-1/x}+\dfrac{1}{x^2}\times \dfrac{1}{x^2}\e^{-1/x} \\
    &=\left(\dfrac{-2}{x^3}+\dfrac{1}{x^4}\right)\e^{-1/x} \\
    &=\dfrac{(-2x+1)\e^{-1/x}}{x^4} \end{align*}$
    $\quad$
  4. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. De plus, pour tout $x>0$, on a $x^4>0$.
    Le signe de $g'(x)$ ne dépend donc que de celui de $1-2x$.
    Or $1-2x=0 \ssi x=1/2$ et $1-2x>0\ssi -2x>-1 \ssi x<\dfrac{1}{2}$.
    Ainsi $g'(x)<0$ sur l’intervalle $\left]\dfrac{1}{2};+\infty\right[$
    $g\left(\dfrac{1}{2}\right)=0$
    et $g'(x)>0$ sur l’intervalle $\left]0;\dfrac{1}{2}\right[$.
    Par conséquent, la fonction $g$ est croissante sur l’intervalle $\left]0;\dfrac{1}{2}\right[$ et décroissante sur l’intervalle $\left]\dfrac{1}{2};+\infty\right[$.
    $\quad$

Partie C – Aire des deux domaines compris entre les courbes $\boldsymbol{\mathscr{C}_f}$ et $\boldsymbol{\mathscr{C}_g}$

  1. $f(1)=\e^{-1}$ et $g(1)=\dfrac{1}{1^2}\e^{-1/1}=\e^{-1}$.
    Ainsi le point $A$ de coordonnées $\left(1;\e^{-1}\right)$ est un point d’intersection de $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$.
    $\quad$
  2. Pour tout réel $a$ et $b$ strictement positifs on a :
    $\begin{align*} \ds \int_a^b \left(f(x)-g(x)\right)\dx &=\int_a^b \left(\e^{-x}-\dfrac{1}{x^2}\e^{-1/x}\right) \dx \\
    &=\left[-\e^{-x}-\e^{-1/x}\right]_a^b \\
    &=-\e^{-b}-\e^{-1/b}+\e^{-a}+\e^{-1/a} \\
    &=\e^{-a}+\e^{-1/a}-\e^{-b}-\e^{-1/b}\end{align*}$
    $\quad$
  3. $\lim\limits_{a \to 0} \e^{-a}=\e^0=1$
    $\lim\limits_{a \to 0^+} -\dfrac{1}{a}=-\infty$ et $\lim\limits_{x \to -\infty} \e^x=0$. Donc $\lim\limits_{a \to 0^+} \e^{-1/a}=0$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} \ds \lim\limits_{a \to 0^+} \int_a^1 \left(f(x)-g(x)\right)\dx&=1+0-\e^{-1}-\e^{-1} \\
    &=1-2\e^{-1}\end{align*}$
    $\quad$
  4. Cette égalité signifie que l’aire du domaine compris entre $\mathscr{C}_f$, $\mathscr{C}_g$ et les droites d’équation $x=0$ et $x=1$ est égale à celle du domaine compris entre $\mathscr{C}_g$ et  $\mathscr{C}_f$ pour tous les points dont l’abscisse est supérieure à $1$.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. a. Les vingt questions sont indépendantes. Les “tirages” sont aléatoires, identiques et possèdent deux issues :”Anselme répond correctement” ou non.
    La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=0,25$.
    $\quad$
    b. À l’aide de la calculatrice on obtient $P(X\pg 10) =1-P(X\pp 9) \approx 0,014$.
    $\quad$
  2. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(M)&=p(M\cap A)+p(M\cap B)+p(M\cap C) \\
    &\approx \dfrac{1}{3}\times 0,014+\dfrac{1}{3}\times 0,588+\dfrac{1}{3}\times 0,962 \\
    &\approx 0,521 \end{align*}$
    Par conséquent
    $\begin{align*} p_M(B)&=\dfrac{p(M\cap B)}{p(M)} \\
    &\approx \dfrac{\dfrac{1}{3}\times 0,588}{0,521} \\
    &\approx 0,376 \end{align*}$
    La probabilité qu’il s’agisse de la copie de Barbara sachant que la note est supérieure ou égale à $10$ est d’environ $0,376$.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. Le point $P$ a pour coordonnées $(1;0;1)$.
    Le point $F$ a pour coordonnées $(2;0;2)$ et le point $G$ a pour coordonnées $(2;2;2)$.
    Ainsi le point $Q$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{2+2}{2};\dfrac{0+2}{2};\dfrac{2+2}{2}\right)$ soit $(2;1;2)$.
    Dans la représentation paramétrique proposée :
    $\bullet$ Si $t=0$ alors $\begin{cases} x=1\\y=0\\z=1\end{cases}$ et on obtient les coordonnées du point $P$.
    $\bullet$ Si $t=1$ alors $\begin{cases} x=2\\y=1\\z=2\end{cases}$ et on obtient les coordonnées du point $Q$.
    Une représentation paramétrique de la droite $(PQ)$ est donc bien $\begin{cases} x=1+t\\y=t\\z=1+t\end{cases}, \quad t\in \R$.
    $\quad$
  2. a. Les coordonnées du point $I$ sont $(0;1;0)$ et celles du point $J$ sont $(2;1;0)$.
    Ainsi les coordonnées du vecteur $\vect{IJ}$ sont $(2;0;0)$.
    On considère le point $K’$ de coordonnées $(1+t;1;0)$.
    Alors les coordonnées du vecteur $\vect{MK’}$ sont $(0;1-t;-1-t)$.
    $\vect{IJ}.\vect{MK’}=0+0+0=0$.
    Les vecteurs $\vect{IJ}$ et $\vect{MK’}$ sont orthogonaux.
    $\quad$
    Une représentation paramétrique de la droite $(IJ)$ est $\begin{cases} x=r\\y=1\\z=0\end{cases}, \quad r\in \R$.
    En prenant $r=1+t$ on obtient le fait que $K’$ appartient à la droite $(IJ)$.
    $\quad$
    Le point $K’$ appartient à la droite $(IJ)$ et est tel que $(MK’)$ soit orthogonal à $(IJ)$. Un tel point est unique d’après l’énoncé.
    Par conséquent les coordonnées du point $K$ sont bien $(1+t;1;0)$.
    $\quad$
    b.
    $\begin{align*} MK&=\left\| \vect{MK}\right\| \\
    &=\sqrt{0^2+(1-t)^2+(-1-t)^2} \\
    &=\sqrt{1-2t+t^2+1+2t+t^2}\\
    &=\sqrt{2+2t^2}\end{align*}$
    $\quad$
  3. a. Le point $H$ a pour coordonnées $(0;2;2)$ et $y_H-z_H=2-2=0$. Donc $H$ appartient au plan d’équation $y-z=0$.
    Le point $G$ a pour coordonnées $(2;2;2)$ et $y_G-z_G=2-2=0$. Donc $G$ appartient au plan d’équation $y-z=0$.
    Le point $B$ a pour coordonnées $(2;0;0)$ et $y_B-z_B=0-0=0$. Donc $B$ appartient au plan d’équation $y-z=0$.
    Ainsi, une équation cartésienne du plan $(HGB)$ est $y-z=0$.
    $\quad$
    b. On note $L’$ le point de coordonnées $\left(1+t;\dfrac{1}{2}+t;\dfrac{1}{2}+t\right)$.
    $y_L-z_L=\dfrac{1}{2}+t-\dfrac{1}{2}-t=0$ donc $L’$ appartient au plan $(HGB)$.
    $\quad$
    Les coordonnées du vecteur $\vect{ML’}$ sont $\left(0;\dfrac{1}{2}+t-t;\dfrac{1}{2}+t-1-t\right)$ soit $\left(0;\dfrac{1}{2};-\dfrac{1}{2}\right)$.
    Un vecteur normal au plan $(HGB)$ est $\vec{n}(0;1;-1)$.
    Par conséquent $\vect{ML’}=\dfrac{1}{2}\vec{n}$.
    Le vecteur $\vect{ML’}$ est bien orthogonal au plan $(HGB)$.
    $\quad$
    Le point $L’$ appartient au plan $(HGB)$ et est tel que $(ML’)$ soit orthogonal à $(HGB)$. Un tel point est unique.
    Les coordonnées du point $L$ sont donc $\left(0;\dfrac{1}{2}+t-t;\dfrac{1}{2}+t-1-t\right)$.
    $\quad$
    c.
    $\begin{align*} ML&=\left\| \vect{ML}\right\| \\
    &=\sqrt{0^2+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2} \\
    &=\sqrt{\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}}\\
    &=\sqrt{\dfrac{1}{2}}\\
    &=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\end{align*}$
    $\quad$
  4. On veut résoudre l’équation :
    $ ML=MK \ssi \sqrt{\dfrac{1}{2}}=\sqrt{2+2t^2}$
    Or, pour tout réel $t$ on a  $2+2t^2\pg 2>\dfrac{1}{2}$.
    Il n’existe donc pas de valeur de $t$ pour laquelle la distance $MK$ est égale à la distance $ML$.
    $\quad$

Ex 4 obl

Exercice 4

  1. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} u_{n+1}&=z_{n+1}-\ic \\
    &=\dfrac{1}{3}z_n+\dfrac{2}{3}\ic-\ic \\
    &=\dfrac{1}{3}z_n-\dfrac{1}{3}\ic \\
    &=\dfrac{1}{3}\left(z_n-\ic\right)\\
    &=\dfrac{1}{3}u_n\end{align*}$
    $\quad$
  2. Démontrons, par récurrence sur $n$, que, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=\left(\dfrac{1}{3}\right)^n(1-\ic)$.
    Initialisation :
    Si $n=0$ alors $\left(\dfrac{1}{3}\right)^n(1-\ic)=1-\ic=z_0-\ic=u_0$.
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : Supposons que la propriété soit vraie au rang $n$, c’est-à-dire que $u_n=\left(\dfrac{1}{3}\right)^n(1-\ic)$.
    Montrons qu’elle est encore vraie au rang $n+1$ c’est-à-dire que $u_{n+1}=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n+1}(1-\ic)$
    $\begin{align*} u_{n+1}&=\dfrac{1}{3}u_n \\
    &=\dfrac{1}{3}\times \left(\dfrac{1}{3}\right)^n(1-\ic)\\
    &=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n+1}(1-\ic) \end{align*}$
    La propriété est vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=\left(\dfrac{1}{3}\right)^n(1-\ic)$.
    $\quad$
  3. a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*}\left|u_n\right|&=\left|\left(\dfrac{1}{3}\right)^n(1-\ic)\right| \\
    &=\left(\dfrac{1}{3}\right)^n\left|1-\ic\right| \\
    &=\left(\dfrac{1}{3}\right)^n\times \sqrt{1^2+(-1)^2} \\
    &=\sqrt{2}\times \left(\dfrac{1}{3}\right)^n\end{align*}$
    $\quad$
    b. $-1 < \dfrac{1}{3} <1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} \left(\dfrac{1}{3}\right)^n=0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} \left|u_n\right|=0$
    C’est-à-dire $\lim\limits_{n \to +\infty} \left|z_n-\ic\right|=0$.
    $\quad$
    c. Géométriquement, cela signifie que, pour de grandes valeur de $n$, le point $A_n$ est très proche du point $C$.
    $\quad$
  4. a. On a $|1-\ic|=\sqrt{2}$ donc $1-\ic=\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\ic\right)=\sqrt{2}\e^{-\ic\pi/4}$.
    Par conséquent $u_n=\left(\dfrac{1}{3}\right)^n\times \sqrt{2}\e^{-\ic\pi/4}$.
    Un argument de $u_n$ est donc $-\dfrac{\pi}{4}$.
    $\quad$
    b. On considère deux entiers naturels non nuls $n$ et $m$.
    L’affixe du vecteur $\vect{B_0B_n}$ est
    $\begin{align*} c_n&=u_n-u_0\\
    &=\left(\dfrac{1}{3}\right)^n(1-\ic)-(1-\ic) \\
    &=(1-\ic)\times \left(\left(\dfrac{1}{3}\right)^n-1\right) \end{align*}$
    L’affixe du vecteur $\vect{B_0B_m}$ est
    $\begin{align*} d_n&=u_m-u_0\\
    &=\left(\dfrac{1}{3}\right)^m(1-\ic)-(1-\ic) \\
    &=(1-\ic)\times \left(\left(\dfrac{1}{3}\right)^m-1\right) \end{align*}$
    Par conséquent $d_n=\dfrac{\left(\dfrac{1}{3}\right)^m-1}{\left(\dfrac{1}{3}\right)^n-1}c_n$.
    Les vecteurs $\vect{B_0B_n}$ et $\vect{B_0B_m}$ sont colinéaires.
    Les points $B_0$, $B_n$ et $B_m$ sont donc alignés.
    $\quad$
    Autre méthode :
    On considère deux entiers naturels $n$ et $m$.
    $\begin{align*} \left(\vect{OB_n},\vect{OB_m}\right)&=\left(\vec{u},\vect{OB_m}\right)-\left(\vect{OB_n},\vec{u}\right) \\
    &=-\dfrac{\pi}{4}-\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) ~~[2\pi] \\
    &=0~~[2\pi]\end{align*}$
    Les points $O$, $B_n$ et $B_M$ sont donc alignés.
    Cela signifie donc que tous les points $B_n$ appartiennent à la droite $\left(OB_0\right)$.
    $\quad$
    c. On a $u_0=1-\ic$. Une équation de la droite $\left(OB_0\right)$ est donc $y=-x$.
    Pour tout entier naturel $n$, il existe donc un réel $x_n$ tel que m’affixe du point $B_n$  soit $u_n=x_n(1-\ic)$.
    Or l’affixe du point $B_n$ est $u_n=z_n-\ic$.
    Par conséquent, en notant $a_n+\ic b_n$ la forme algébrique de $z_n$ on a :
    $\begin{align*} x_n(1-\ic)=a_n+\ic b_n-\ic &\ssi \begin{cases} a_n=x_n \\-x_n=b_n-1\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} a_n=x_n \\b_n=-a_n+1\end{cases} \end{align*}$
    Le point $A_n$ appartient donc à la droite d’équation $y=-x+1$.
    $\quad$

 

Ex 4 spé

Exercice 4

Partie A

  1. a. On a :
    $u_0=0$, $u_1=1$, $u_2=1$, $u_3=2$, $u_4=3$, $u_5=5$, $u_6=8$, $u_7=13$, $u_8=21$, $u_9=34$ et $u_{10}=55$
    $\quad$
    b. Il semblerait que pour tout entier naturel $n$ le PGCD de $u_n$ et de $u_{n+1}$ soit égal à $1$.
    $\quad$
  2. a. Soit $n$ un entier naturel non nul.
    $\begin{align*} v_{n+1}&={u_{n+1}}^2-u_{n+2}\times u_n \\
    &={u_{n+1}}^2-\left(u_{n+1}+u_n\right)\times u_n \\
    &={u_{n+1}}^2-u_{n+1}\times u_n-{u_n}^2 \\
    &=-{u_n}^2+u_{n+1}\left(u_{n+1}-u_n\right)\end{align*}$
    Or, $u_{n+1}=u_n+u_{n-1} \ssi u_{n-1}=u_{n+1}-u_n$.
    Par conséquent $v_{n+1}=-{u_n}^2+u_{n+1}\times u_{n-1}=-v_n$.
    $\quad$
    b. La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $-1$ et de premier terme $v_1={u_1}^2-u_2\times u_0=1$.
    Ainsi, pour tout entier naturel $n$ non nul on a $v_n=(-1)^{n-1}$.
    Par conséquent ${u_n}^2-u_{n+1}\times u_{n-1}=(-1)^{n-1}$.
    $\quad$
    c. Soit $n$ un entier naturel $n$ non nul.
    Si $n$ est impair alors $n-1$ est pair et
    ${u_n}^2-u_{n+1}\times u_{n-1}=1$
    $\ssi u_n\times u_n-u_{n+1}\times u_{n-1}=1$
    D’après le théorème de Bezout les nombres $u_n$ et $u_{n+1}$ sont premiers entre eux.
    $\quad$
    Si $n$ est pair alors $n-1$ est impair et
    ${u_n}^2-u_{n+1}\times u_{n-1}=-1$
    $\ssi -{u_n}^2+u_{n+1}\times u_{n-1}=1$
    $\ssi -u_n\times u_n++u_{n+1}\times u_{n-1}=1$
    D’après le théorème de Bezout les nombres $u_n$ et $u_{n+1}$ sont premiers entre eux.
    La conjecture de la question est donc vraie pour tout entier naturel $n$ non nul.
    De plus le PGCD de $0$ et $1$ est $1$. La conjecture est également vraie pour $n=0$.
    La conjecture de la question est donc vraie pour tout entier naturel $n$.
    $\quad$

Partie B

  1. On a $F^2=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}$ et $F^3=\begin{pmatrix}3&2\\2&1\end{pmatrix}$.
    $\quad$
  2. Montrons cette propriété par récurrence.
    Initialisation : Si $n=1$ alors $F^1=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}u_2&u_1\\u_1&u_0\end{pmatrix}$.
    La propriété est vraie au rang $1$.
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$, c’est à dire $F^n=\begin{pmatrix}u_{n+1}&u_n\\u_n&u_{n-1}\end{pmatrix}$.
    Montrons que la propriété est encore vraie au rang $n+1$, soit $F^{n+1}=\begin{pmatrix}u_{n+2}&u_{n+1}\\u_{n+1}&u_{n}\end{pmatrix}$.
    $\begin{align*} F^{n+1}&=F\times F_n \\
    &=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}u_{n+1}&u_n\\u_n&u_{n-1}\end{pmatrix} \\
    &=\begin{pmatrix} u_{n+1}+u_n&u_n+u_{n-1}\\u_{n+1}&u_n\end{pmatrix} \\
    &=\begin{pmatrix} u_{n+2}&u_{n+1}\\u_{n+1}&u_n\end{pmatrix}\end{align*}$
    La propriété est vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $F_n=\begin{pmatrix} u_{n+1}&u_n\\u_n&u_{n-1}\end{pmatrix}$.
    $\quad$
  3. a. Soit $n$ un entier naturel non nul.
    $F^{2n+2}=F^{n+2+n}=F^{n+2}\times F_n$.
    Par conséquent :
    $\begin{pmatrix} u_{2n+3}&u_{2n+2}\\u_{2n+2}&u_{2n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} u_{n+3}&u_{n+2}\\u_{n+2}&u_{n+1}\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} u_{n+1}&u_n\\u_n&u_{n-1}\end{pmatrix}$
    En identifiant les coefficients de la $2\ieme$ ligne, $1^{\text{ère}}$ colonne on obtient $u_{2n+2}=u_{n+2}\times u_{n+1}+u_{n+1}\times u_n$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+2}=u_{n+1}+u_n$ soit $u_{n+1}=u_{n+2}-u_n$
    Ainsi, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a :
    $\begin{align*} u_{2n+2}&=u_{n+2}\times u_{n+1}+u_{n+1}\times u_n \\
    &=u_{n+1}\left(u_{n+2}+u_n\right) \\
    &=\left(u_{n+2}-u_n\right)\left(u_{n+2}+u_n\right) \\
    &={u_{n+2}}^2-{u_n}^2\end{align*}$
    $\quad$
  4. D’après la question précédente on a, pour tout entier naturel $n$ non nul, ${u_{n+2}}^2=u_{2n+2}+{u_n}^2$
    La solution de l’équation $2n+2=12$ est $n=5$.
    Par conséquent :
    ${u_7}^2=u_{12}+{u_5}^2$
    $\ssi 13^2=144+5^2$
    $\ssi 13^2=12^2+5^2$
    D’après la réciproque du théorème de Pythagore, un triangle dont les côtés mesurent $5$, $12$ et $13$ unités est rectangle.
    $\quad$

 

 

Énoncé

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Bac S – Amérique du Sud – Novembre 2018

Amérique du Sud – Novembre 2018

Bac S – Mathématiques – Correction

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Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} &P(F)=P(B\cap F)+P\left(\conj{B}\cap F\right) \\
    &\ssi 0,54=0,65\times 0,72+P\left(\conj{B}\cap F\right) \\
    &\ssi 0,54=0,468+P\left(\conj{B}\cap F\right) \\
    &\ssi P\left(\conj{B}\cap F\right)=0,072
    \end{align*}$
    $\quad$
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} P_F\left(\conj{B}\right)&=\dfrac{P\left(\conj{B}\cap F\right)}{P(F)} \\
    &=\dfrac{0,072}{0,54} \\
    &=\dfrac{2}{15} \\
    &\approx 0,133\end{align*}$
    $\quad$
  3. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_{\conj{B}}(F)&=\dfrac{P\left(\conj{B}\cap F\right)}{P(F)} \\
    &=\dfrac{0,072}{1-0,65} \\
    &=\dfrac{36}{175}\\
    &\approx 0,206
    \end{align*}$
    $\quad$

Partie B

  1. On veut calculer $P(X > 95) = 0,5-P(90 \pp X \pp 95) \approx 0,006$.
    La probabilité qu’il ne puisse pas répondre à la demande des clients durant le mois est d’environ $0,006$.
    $\quad$
  2. À l’aide de la calculatrice on trouve $a\approx 85,89$
    Cela signifie que la probabilité que le commerçant vende moins de $85,89$ kilogramme de farine est de $2\%$.
    $\quad$

Partie C

On a $n=2~500$ et $p=0,468$.
Par conséquent $n\pg 30$, $np=1~170\pg 5$ et $n(1-p)=1~130 \pg 5$.

Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ est donc :
$\begin{align*} I_{2~500}&=\left[0,468-1,96\sqrt{\dfrac{0,468\times 0,532}{2~500}};0,468+1,96\sqrt{\dfrac{0,468\times 0,532}{2~500}}\right] \\
&\approx [0,448;0,488]\end{align*}$

La fréquence observée est $f=\dfrac{1~025}{2~500}=0,41 \notin I_{2~500}$

La clientèle du commerçant n’est donc pas, au risque d’erreur de $5\%$, représentative des consommateurs en France

$\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. Pour tout réel $x$ positif on a $ f'(x)=10u'(x)\e^{u(x)}$.
    Or $u'(x)=-\left(-\dfrac{1}{10}\right)\e^{2-\frac{x}{10}}=-\dfrac{u(x)}{10}$
    Par conséquent $f'(x)=-\dfrac{10}{u(x)}\times 10\e^{u(x)} = -u(x)\e^{u(x)}$.
    La fonction exponentielle est strictement positive. Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $-u(x)$.
    Or $u(x)=-\e^{2-\frac{x}{10}}$.
    Du fait de la positivité de la fonction exponentielle on a $u(x)<0$ sur $[0;+\infty[$.
    Ainsi, $f'(x)>0$ sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
    $\quad$
  2. a. $u(20)=-\e^{2-\frac{20}{10}}=-\e^0=-1$
    Donc $f(20)=10\e^{-1} \approx 3,7$
    Après vingt jours de repousse la queue mesure environ $3,7$ cm.
    $\quad$
    b. On a $\lim\limits_{x \to +\infty} 2-\dfrac{x}{10}=-\infty$ et $\lim\limits_{X \to -\infty} \e^X=0$.
    Donc $\lim\limits_{x \to +\infty} u(x)=0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=10\e^0=10<11$.
    La fonction $f$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$ et majorée par $10$.
    La queue du lézard ne donc pas mesurer $11$ cm.
    $\quad$
  3. a. La fonction exponentielle est strictement positive.
    Le signe de $f\dsec(x)$ ne dépend donc que de celui de $u(x)\left(1+u(x)\right)$.
    On a vu à la question 1. que $u(x)<0$ sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    Étudions le signe de $1+u(x)$.
    On veut résoudre l’équation
    $\begin{align*} 1+u(x)=0&\ssi -\e^{2-\frac{x}{10}}=-1 \\
    &\ssi \e^{2-\frac{x}{10}}=\e^0 \\
    &\ssi 2-\dfrac{x}{10}=0 \\
    &\ssi x=20\end{align*}$
    De plus
    $\begin{align*} 1+u(x)>0&\ssi -\e^{2-\dfrac{x}{10}}>-1 \\
    &\ssi \e^{2-\dfrac{x}{10}}<\e^0 \\
    &\ssi 2-\dfrac{x}{10}<0 \\
    &\ssi x>20\end{align*}$
    On obtient ainsi le tableau de signes suivant :

    Par conséquent la fonction $f$ est croissante sur l’intervalle $[0;20]$ et décroissante sur l’intervalle $[20;+\infty[$.
    $\quad$
    b. La fonction $f’$ atteint donc son maximum quand $x=20$.
    La vitesse de croissance de la longueur de la queue du lézard est maximale au bout de $20$ jours.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. Montrons que les deux droites ne possèdent pas de point d’intersection. Pour cela on résout le système :
    $\begin{align*} \begin{cases} 3+t=10k\\6t=2+6k\\-3t=-4k \end{cases} &\ssi \begin{cases} k=\dfrac{3}{4}t \\3+t=\dfrac{15}{2}t\\6t=2+\dfrac{9}{2}t \end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} k=\dfrac{3}{4}t\\3=\dfrac{13}{2}t\\\dfrac{3}{2}t=2 \end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases}k=\dfrac{3}{4}t\\t=\dfrac{6}{13}\\t=\dfrac{4}{3}\end{cases} \end{align*}$
    Les deux dernières équations n’étant pas compatibles, le système n’admet pas de solution et les droites ne sont pas sécantes.
    Les deux espèces ne sont donc jamais amenées à se croiser avant d’arriver sur l’île.
    $\quad$
  2. a. Un vecteur directeur de la droite $\mathscr{D}_1$ est $\vect{u_1}\begin{pmatrix}1\\6\\-3\end{pmatrix}$.
    On a donc $\vect{u_1}.\vec{n}=3+78-81=0$.
    Le vecteur $\vec{n}$ est normal à la droite $\mathscr{D}_1$.
    Un vecteur directeur de la droite $\mathscr{D}_2$ est $u_2\begin{pmatrix}10\\6\\-4\end{pmatrix}$.
    On a donc $\vect{u_2}.\vec{n}=30+78-108=0$.
    Le vecteur $\vec{n}$ est normal à la droite $\mathscr{D}_2$.
    $\quad$
    b. $H$ appartient à la droite $\mathscr{D}_1$. Il existe un réel $t$ tel que $H(3+t;6t;-3t)$.
    $H’$ appartient à la droite $\mathscr{D}_2$. Il existe un réel $k$ tel que $H'(10k;2+6k;-4k)$
    On a donc $\vect{HH’}\begin{pmatrix}10k-3-t\\2+6k-6t\\-4k+3t\end{pmatrix}$.
    Les vecteurs $\vect{HH’}$ et $\vec{n}$ sont colinéaires si, et seulement si, il existe un réel $\ell$ tel que $\vect{HH’}=\ell \vec{n}$.
    D’après le logiciel de calcul formel cela signifie que $k=\dfrac{675}{1~814}$ et $t=\dfrac{603}{907}$.
    Ainsi les coordonnées de $\vect{HH’}$ sont $\begin{pmatrix} \dfrac{51}{907}\\\dfrac{221}{907}\\\dfrac{459}{907}\end{pmatrix}$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} HH’&=\| \vect{HH’} \| \\
    &=\sqrt{\dfrac{51^2+221^2+459^2}{907^2}} \\
    &\sqrt{\dfrac{262~123}{907}} \\
    &\approx 0,56\end{align*}$
    L’unité est de $100$ mètres.
    Ainsi la distance minimale entre les droites $\mathscr{D}_1$ et $\mathscr{D}_2$ est d’environ $56$ mètres.
    $\quad$
  3. a. $M$ appartient à la droite $\mathscr{D}_1$. Il existe un réel $t$ tel que $M(3+t;6t;-3t)$.
    Par conséquent
    $\begin{align*} BM&=\sqrt{(3+t-2)^2+(6t-4)^2+(-3t)^2} \\
    &=\sqrt{(t+1)^2+36t^2+16-48t+9t^2} \\
    &=\sqrt{t^2+2t+1+45t^2-48t+16} \\
    &=\sqrt{46t^2-46t+17}
    \end{align*}$
    La fonction racine carrée est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
    La distance $BM$ est donc minimale quand la fonction $t\mapsto 46t^2-54t+17$ l’est.
    Le minimum de cette fonction est atteint quand $t=-\dfrac{-46}{2\times 46}=\dfrac{1}{2}$
    Les coordonnées du point $M$ cherché sont donc $M\left(\dfrac{7}{2};3;-\dfrac{3}{2}\right)$.
    $\quad$
    b. En prenant $t=\dfrac{1}{2}$ on obtient :
    $BM=\sqrt{46t^2-46t+17}=\dfrac{\sqrt{11}}{2} \approx 2,35$.
    L’unité est de $100$ mètres.
    La distance minimale entre la balise et les tortues vertes est d’environ $235$ mètres.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

Les quatre points sont distincts sont les quatre affixes sont deux à deux différentes.

$z_A+z_C=z_B+z_D\ssi z_A-z_B=z_D-z_C \ssi \vect{BA}=\vect{CD}$.
Le quadrilatère $ABCD$ est donc un parallélogramme.

$\begin{align*} z_A+\ic z_B=z_C+\ic z_D &\ssi z_A-z_C=\ic\left(z_D-z_B\right) \\
&\ssi \dfrac{z_A-z_C}{z_D-z_B}=\ic  \end{align*}$
Par conséquent $\left(\vect{BD},\vect{CA}\right)=\dfrac{\pi}{2}$ à $2\pi$ près et $\dfrac{CA}{BD}=|\ic|=1$.
Les diagonales du parallélogramme sont perpendiculaires et de même longueur.
$ABCD$ est donc un carré.
$\quad$

 

Ex 5 obl

Exercice 5

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

  1. $u_0=1$ et $u_1=k$ donc $u_2=\dfrac{k^2}{k\times 1}=k$.
    $u_3=\dfrac{k^2}{k\times k}=1$
    $u_4=\dfrac{1^2}{k\times k}=\dfrac{1}{k^2}$
    $\quad$
  2. a. On saisi en $B4$ la formule $=B3*B3/(\$E\$2*B2)$
    $\quad$
    b. Il semblerait que la suite $\left(u_n\right)$ converge vers $0$ quand $k=\e$ et tendent vers $+\infty$ quand $k=0,9$.
    $\quad$
  3. a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} v_{n+1}&=\ln\left(u_{n+2}\right)-\ln\left(u_{n+1}\right) \\
    &=\ln \left(\dfrac{u_{n+2}}{u_{n+1}}\right) \\
    &=\ln \left(\dfrac{u_{n+1}}{\e u_n}\right) \\
    &=\ln \left(u_{n+1}\right)-\ln\left(u_n\right)-\ln \e \\
    &=v_n-1
    \end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc arithmétique de raison $-1$ et de premier terme $v_0=\ln \e-\ln 1=1$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $v_n=1-1\times n=1-n$.
    $\quad$
  4. a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} S_n&=v_0+v_n+\ldots+ v_{n-1} \\
    &=n\times \dfrac{v_0+v_{n-1}}{2} \\
    &=n\times \dfrac{1+1-(n-1)}{2} \\
    &=n\times \dfrac{3-n}{2} \\
    &=\dfrac{n(3-n)}{2}
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} S_n&=v_0+v_1+v_2+\ldots +v_{n-1} \\
    &=\ln \left(u_1\right)-\ln\left(u_0\right)+\ln \left(u_2\right)-\ln\left(u_1\right)+\ln \left(u_3\right)-\ln\left(u_2\right)+\ldots +\ln \left(u_n\right)-\ln\left(u_{n-1}\right)  \quad (*)\\
    &=\ln \left(u_n\right)-\ln\left(u_0\right) \\
    &=\ln \left(u_n\right) \end{align*}$
    Car $u_0=1$ et $\ln 1 =0$
    À l’étape $(*)$ les termes se compensent deux à deux à l’exception de $\ln \left(u_n\right)$ et $\ln\left(u_0\right)$. On parle de somme télescopique.
    $\quad$
  5. a. On a donc d’après les deux questions précédentes
    $\ln \left(u_n\right) =\dfrac{n(3-n)}{2}$ pour tout entier naturel $n$ non nul soit $u_n=\e^{n(3-n)/2}$.
    De plus $\e^{0\times (3-0)/2}=1=u_0$.
    Donc pour tout entier naturel $n$ on a  $u_n=\e^{n(3-n)/2}$.
    $\quad$
    b. On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
    $\begin{align*} u_n<10^{-50} &\ssi \e^{n(3-n)/2}<10^{-50} \\
    &\ssi \dfrac{n(3-n)}{2}<\ln \left(10^{-50}\right) \\
    &\ssi -n^2+3n-2\ln \left(10^{-50}\right) <0
    \end{align*}$
    Le discriminant du polynôme du second degré est :
    $\Delta =3^2-4\times 2\ln \left(10^{-50}\right) \approx 930>0$
    Les racines de ce polynômes sont :
    $x_1=\dfrac{-3-\sqrt{\Delta}}{-2}\approx 16,7$
    $x_2=\dfrac{-3+\sqrt{\Delta}}{-2}<0$
    Le coefficient principal du polynôme est $a=-1<0$.
    Le polynôme est donc positif sur l’intervalle $\left[0;x_1\right[$
    Par conséquent la plus petit entier naturel $n$ cherché est $17$.
    $\quad$
    Avec un algorithme, sans utiliser la réponse de la question 5.a :
    $\begin{array}{|l|}
    \hline
    A\leftarrow 1\\
    B\leftarrow \e\\
    N\leftarrow 0\\
    \text{Tant que } B\pg 10^{-50} \\
    \hspace{1cm} C\leftarrow B \\
    \hspace{1cm} B\leftarrow \dfrac{B^2}{\e\times A} \\
    \hspace{1cm} A\leftarrow C \\
    \hspace{1cm} N\leftarrow N+1\\
    \text{Fin Tant que} \\
    \text{Afficher } N+1 \\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    Avec un algorithme, en utilisant la réponse de la question 5.a :
    $\begin{array}{|l|}
    \hline
    U\leftarrow 1\\
    N\leftarrow 0\\
    \text{Tant que } U\pg 10^{-50} \\
    \hspace{1cm} N\leftarrow N+1\\
    \hspace{1cm} U\leftarrow \e^{N(3-N)/2}\\
    \text{Fin Tant que} \\
    \text{Afficher } N \\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$

Ex 5 spé

Exercice 5

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

  1. a. $F_0=2^{2^0}+1=3$
    $F_1=2^{2^1}+1=5$
    $F_2=2^{2^2}+1=17$
    $F_3=2^{2^3}+1=257$
    $\quad$
    b. Ces $4$ nombres sont premiers mais cela ne prouve pas que les suivants le sont également.
    $\quad$
  2. Cela signifie que $F_5$ est divisible par $631$ et donc que $F_5$ n’est pas un nombre premier.
    $\quad$

Partie B

  1. Pour tout entier naturel $n$ non nul on a :
    $\left(F_{n-1}-1\right)^2+1=\left(2^{2^{n-1}}\right)^2+1=2^{2^{n-1}\times 2}+1=2^{2^n}+1=F_n$
    $\quad$
  2. Initialisation : Si $n=1$ alors
    $\ds \prod_{i=0}^0 F_i=F_0=3=5-2=F_1-2$
    La propriété est vraie au rang $1$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ :
    $\ds \prod_{i=0}^{n-1} F_i=F_n-2$
    Montrons que la propriété est vraie au rang $n+1$ c’est-à-dire que $\ds \prod_{i=0}^{n} F_i=F_{n+1}-2$
    $\ds \begin{align*}\prod_{i=0}^{n} F_i&=\prod_{i=0}^{n-1} F_i \times F_n \\
    &=\left(F_n-2\right)\times F_n \\
    &={F_n}^2-2F_n \\
    &={F_n}^2-2F_n+1-1 \\
    &=\left(F_n-1\right)^2-1 \\
    &=F_{n+1}-2
    \end{align*}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ non nul on a
    $\ds \prod_{i=0}^{n-1} F_i=F_n-2$
    $\quad$
  3. Pour tous entiers naturels $n$ et $m$ tels que $n>m$ on a :
    $\begin{align*} & \ds \prod_{i=0}^{n-1} F_i=F_n-2 \\
    &\ssi F_n-\prod_{i=0}^{n-1} F_i= 2 \\
    &\ssi F_n-F_m\times \prod_{\begin{array}{l}i=0 \\i\neq m\end{array}}^{n-1} F_i= 2 \end{align*}$
    Il existe donc un entier naturel $\ds q=\prod_{\begin{array}{l}i=0 \\i\neq m\end{array}}^{n-1} F_i$ tel que $F_n-qF_m=2$
    $\quad$
  4. D’après la question précédente le PGCD de $F_n$ et $F_m$ doit diviser $F_n-qF_m$ c’est-à-dire $2$.
    Ainsi ce PGCD vaut $1$ ou $2$.
    Or, pour tout entier naturel $n$, on a $2^{2^n}>0$ donc $F_n$ est un nombre impair et n’est alors pas divisible par $2$.
    Le PGCD de $F_n$ et $F_m$ vaut donc $1$ et deux nombres de Fermat sont toujours premiers entre eux.
    $\quad$

Énoncé

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Bac S – Métropole – Septembre 2018

Métropole – Juin 2018

Bac S – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. $g(0)=\dfrac{1}{1+k}$.
    Or
    $\begin{align*} g(0)=\dfrac{1}{8}&\ssi \dfrac{1}{k+1}=\dfrac{1}{8} \\
    &\ssi k+1=8 \\
    &\ssi k=7
    \end{align*}$
    Ainsi $g(t)=\dfrac{1}{1+7\e^{-\alpha t}}$
    $g(10)=\dfrac{1}{1+7\e^{-10\alpha}}$
    Or
    $\begin{align*} g(10)=\dfrac{64}{100}& \ssi \dfrac{1}{1+7\e^{-10\alpha}}=\dfrac{64}{100} \\
    &\ssi 64\left(1+7\e^{-10\alpha}\right)=100 \\
    &\ssi 64+448\e^{-10\alpha}=100 \\
    &\ssi 448\e^{-10\alpha}=36 \\
    &\ssi \e^{-10\alpha}=\dfrac{9}{112} \\
    &\ssi -10\alpha=\ln \left(\dfrac{9}{112}\right) \\
    &\ssi \alpha=\dfrac{\ln \left(\dfrac{9}{112}\right)}{-10}
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. a. La fonction $t\mapsto -\dfrac{t}{4}$ est strictement décroissante sur $[0;+\infty[$.
    La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\R$ et $7>0$. On en déduit que la fonction $t \mapsto 7\e^{-t/4}$ est strictement décroissante sur $[0;+\infty[$.
    Il en donc de même pour la fonction $t\mapsto 1+7\e^{-t/4}$ (fonction positive également).
    La fonction inverse est strictement décroissante sur $]0;+\infty[$.
    Par conséquent la fonction $g$ est strictement croissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    $\quad$
    Remarque : On pouvait également étudier le signe de $g'(x)$ après avoir montré que la fonction $g$ est dérivable.
    $\quad$
    b. $\lim\limits_{t \to +\infty} -\dfrac{t}{4}=-\infty$ or $\lim\limits_{x \to -\infty} \e^x=0$
    Donc $\lim\limits_{t \to +\infty} \e^{-t/4}=0$ et $\lim\limits_{t \to +\infty} g(t)=1$.
    La fonction $g$ est continue sur $[0;+\infty[$ en tant que somme et quotient de fonctions continues sur cet intervalle dont le dénominateur ne s’annule pas (la fonction exponentielle est strictement positive). Sur l’intervalle $[0;+\infty[$, la fonction $g$ est strictement croissante d’après la question précédente.
    De plus $g(0)=\dfrac{1}{8}<0,99$ et $\lim\limits_{t\to +\infty} g(t)=1>0,99$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $g(t)=0,99$ possède une unique solution sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    On peut donc affirmer qu’un jour, au moins $99\%$ des ménages de cette ville seront équipés d’une connexion internet fixe.
    $\quad$
    Remarque : On pouvait simplement utiliser le théorème des valeurs intermédiaires (avec la croissance) puisqu’on ne demandait pas l’unicité de la solution.
    $\quad$
  3. a. On a $g(18)\approx 0,93$.
    Au $1\ier$ janvier2018 environ $93\%$ des foyers sont équipés d’une connexion internet selon ce modèle.
    $\quad$
    b. On a $n=1~000$ et $p=0,93$.
    Donc $n=1~000 \pg 30$, $np=930\pg 5$ et $n(1-p)=70\pg 5$.
    Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de la proportion de foyers équipés d’une connexion fixe dans cette commune est :
    $\begin{align*} I_{1~000}&=\left[0,93-1,96\sqrt{\dfrac{0,93\times 0,07}{1~000}};0,93+1,96\sqrt{\dfrac{0,93\times 0,07}{1~000}}\right] \\
    &\approx [0,914;0,946]\end{align*}$
    La fréquence observée est $f=\dfrac{880}{1~000}=0,88\notin I_{1~000}$.
    Au risque d’erreur de $5\%$, ce sondage remet en cause le modèle étudié et donne donc raison aux statisticiens sceptiques.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. Un produit de facteur est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Donc $\left(z^2-2z+4\right)\left(z^2+4\right)=0 \ssi z^2-2z+4=0\quad \text{ou} \quad z^2+4=0$
    On s’intéresse à l’équation $z^2-2z+4=0$
    $\Delta = (-2)^2-4\times 4=4-16=-12<0$
    L’équation possède donc $2$ racines complexes :
    $z_1=\dfrac{2-\ic\sqrt{12}}{2}=1-\ic\sqrt{3}$ et $z_2=\conj{z_1}=1+\ic\sqrt{3}$.
    $\quad$
    Ensuite $z^2+4=0 \ssi z^2=-4 \ssi z=-2\ic \text{ ou } z=2\ic$.
    $\quad$
    Les solutions de $\left(z^2-2z+4\right)\left(z^2+4\right)=0$ sont donc : $-2\ic$ ; $2\ic$ ; $1-\ic \sqrt{3}$ et $1+\ic \sqrt{3}$.
    $\quad$
  2. a. $\left|1+\ic \sqrt{3}\right|=\sqrt{1+3}=2$.
    Donc $z_A=2\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\ic\right)=2\e^{\ic \pi/3}$
    $z_B=2\ic=2\e^{\ic \pi/2}$.
    $\quad$
    On a $\left|z_A\right|=\left|z_B\right|=2$.
    Les points $A$ et $B$ appartiennent donc au cercle de centre $0$ et de rayon $2$.
    $\quad$
    b. $\quad$

    $\quad$
    c. On a :
    $\begin{align*} \dfrac{z_B-z_O}{z_A-z_O}&=\dfrac{2\e^{\ic\pi/2}}{2\e^{\ic \pi/3}} \\
    &=\e^{\ic\left(\pi/2-\pi_3\right)} \\
    &=\e^{\ic \pi/6}
    \end{align*}$
    Une mesure de l’angle $\left(\vect{OA};\vect{OB}\right)$ est $\dfrac{\pi}{6}$ rad.
    $\quad$
  3. a. Voir figure
    $\quad$
    L’affixe de $\vect{OA}$ est $z_{\vect{OA}}=z_A$.
    L’affixe de $\vect{BF}$ est $z_{\vect{BF}}=z_F-z_B=z_A+z_B-z_B=z_A$.
    Par conséquent $\vect{OA}=\vect{BF}$ et le quadrilatère $OAFB$ est un parallélogramme.
    De plus $OA=OB$ puisque $A$ et $B$ appartiennent au cercle de centre $O$ et de rayon $2$.
    $OAFB$ est donc un losange.
    $\quad$
    b. Par conséquent $\left(\vect{OA};\vect{OF}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\vect{OA};\vect{OF}\right)$.
    Une mesure de l’angle $\left(\vect{OA};\vect{OF}\right)$ est $\dfrac{\pi}{12}$ rad.
    $\quad$
    On a $\left(\vec{u};\vect{OF}\right)=\left(\vec{u};\vect{OA}\right)+\left(\vect{OA};\vect{OF}\right)$
    Une mesure de l’angle $\left(\vec{u};\vect{OF}\right)$ est donc $\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{5}{12}$ rad.
    $\quad$
    c. $z_F=z_A+z_B=1+\ic\left(\sqrt{3}+2\right)$.
    Donc
    $\begin{align*} \left|z_F\right|&=\sqrt{1^2+\left(\sqrt{3}+2\right)^2}\\
    &=\sqrt{1+3+4+4\sqrt{3}} \\
    &=\sqrt{8+4\sqrt{3}}
    \end{align*}$
    Par conséquent $z_F=\sqrt{8+4\sqrt{3}}\e^{5\ic\pi/12}$.
    $\quad$
    d. On a donc : $\sqrt{8+4\sqrt{3}}\e^{5\ic\pi/12}=1+\ic\left(\sqrt{3}+2\right)$
    $\ssi \sqrt{8+4\sqrt{3}}\left(\cos\left(\dfrac{5\ic\pi}{12}\right)+\ic \sin\left(\dfrac{5\ic\pi}{12}\right)\right)=1+\ic\left(\sqrt{3}+2\right)$
    Donc $\cos\left(\dfrac{5\ic\pi}{12}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{8+4\sqrt{3}}}$.
    $\quad$
  4. Comparons les carrés de ces deux nombres.
    $\left(\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}\right)^2=\dfrac{2-\sqrt{3}}{4}$
    et
    $\left(\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right)^2=\dfrac{6+2-2\sqrt{12}}{16}=\dfrac{2-\sqrt{3}}{4}$.
    Les carrés des deux nombres sont donc égaux.
    De plus les deux nombres sont positifs puisqu’une racine carré est toujours positif et $\sqrt{6}>\sqrt{2}$.
    Par conséquent : $\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

Question 1

On a la représentation paramétrique de la droite $(D)$ : $\begin{cases} x=2+t\\y=1-3t\\z=2t\end{cases} \quad t\in \R$.
On a donc :
$x+y+z-3=2+t+1-3t+2t-3=0$.
La représentation paramétrique de la droite $(D)$ vérifie donc l’équation cartésienne du plan $(P)$.
La droite $(D)$ est incluse dans le plan $(P)$.
Réponse B
$\quad$

Question 2

Le temps d’attente moyen est de $20$ minutes. Par conséquent $\dfrac{1}{\lambda} = 20 \ssi \lambda =\dfrac{1}{20}=0,05$.
On veut calculer :
$P_{(T>20)}(T>30)=P_{(T>20)}(T>20+10)=P(T>10)$ puisque la loi exponentielle est une loi à durée de vie sans vieillissement.
Or $P(T>10)=\e^{-10\lambda}=\e^{-0,5}$.
Réponse A
$\quad$

Question 3

La variable aléatoire $X=\dfrac{D-\mu}{\sigma}=\dfrac{D-65,1}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.
On veut que :
$\begin{align*} P(63,5 < D <66,7)=0,99&\ssi P(-1,6<D-65,1<1,6)=0,99 \\
&\ssi P\left(\dfrac{-1,6}{\sigma}<\dfrac{D-65,1}{\sigma}<\dfrac{1,6}{\sigma}\right)=0,99 \\
&\ssi P\left(\dfrac{-1,6}{\sigma}<X<\dfrac{1,6}{\sigma}\right)=0,99 \\
&\ssi 2P\left(X<\dfrac{1,6}{\sigma}\right)-1=0,99 \\
&\ssi 2P\left(X<\dfrac{1,6}{\sigma}\right)=1,99 \\
&\ssi P\left(X<\dfrac{1,6}{\sigma}\right)=0,995 \end{align*}$
D’après la calculatrice on a $\dfrac{1,6}{\sigma} \approx 2576$ donc $\sigma \approx 0,621$.
Réponse C
$\quad$

Remarque : Il faut bien penser à vérifier que la valeur trouvée permet d’avoir la probabilité demandée
Remarque 2 : Comme il s’agit d’un QCM, on peut également tester à la calculatrice toutes les valeurs proposées.
$\quad$

Question 4

On a $f(x)=\dfrac{4x}{x^2+1}=\dfrac{2\times 2x}{x^2+1}$. Ainsi une primitive de la fonction $f$ est la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=2\ln\left(x^2+1\right)$.
La fonction $f$ est continue et positive sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
On veut donc que :
$\begin{align*} \ds \int_0^a f(x)\dx=\dfrac{1}{2}\int_0^2 f(x)\dx &\ssi F(a)-F(0)=\dfrac{1}{2}\left(F(2)-F(0)\right) \\
&\ssi 2\ln\left(a^2+1\right)=\dfrac{2\ln(5)}{2} \\
&\ssi \ln\left(a^2+1\right)=\dfrac{\ln(5)}{2} \\
&\ssi \ln \left(a^2+1\right)=\ln\left(\sqrt{5}\right) \\
&\ssi a^2+1=\sqrt{5} \\
&\ssi a^2=\sqrt{5}-1 \\
&\ssi a=\sqrt{\sqrt{5}-1} \quad \text{car } a>0\end{align*}$.
Réponse B
$\quad$
Remarque : ici encore, il faut penser à vérifier la valeur trouvée à l’aide de la calculatrice .
Remarque 2 : Il était possible de tester les valeurs proposées et de ne retenir que celle qui permettait d’obtenir le résultat escompté.
$\quad$

Ex 4 obl

Exercice 4

Pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

  1. Si $a=2,9$.
    alors $u_0=2,9$ ; $u_1=2,805$ ; $u_2 \approx 2,63$ ; $u_3 \approx 2,33$ ; $u_4 \approx 1,88$ ; $u_9 \approx 1$ ; $u_{20} \approx 1$.
    Il semblerait que la suite $\left(u_n\right)$ soit, dans ce cas, décroissante et converge vers $1$.
    $\quad$
    Si $a=3,1$
    alors $u_0=3,1$ ; $u_1=3,205$ ; $u_2 \approx 3,43$ ; $u_3 \approx 3,95$ ; $u_4 \approx 5,37$ et $u_5 \approx 10,53$.
    Il semblerait que la suite $\left(u_n\right)$ soit, dans  ce cas, croissante et que $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=+\infty$.
    $\quad$
  2. a. Si la suite $\left(u_n\right)$ converge vers un réel $\ell$ alors $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n= \ell$ et  $\lim\limits_{n \to +\infty} u_{n+1} = \ell$
    $u_{n+1}=f\left(u_n\right) \ssi u_{n+1}=\dfrac{1}{2}{u_n}^2-u_n+\dfrac{3}{2}$
    En prenant la limite de chacun des membres de cette dernière équation on obtient $\ell=\dfrac{1}{2}\ell^2-\ell+\dfrac{3}{2}$
    $\quad$
    b. On a :
    $\begin{align*} \ell=\dfrac{1}{2}\ell^2-\ell+\dfrac{3}{2} &\ssi 2\ell=\ell^2-2\ell+3 \\
    &\ssi \ell^2-4\ell+3=0 \end{align*}$
    Le discriminant est $\Delta = (-4)^2-4\times 3\times 1 = 4>0$
    L’équation possède donc $2$ racines réelles $\ell_1=\dfrac{4-\sqrt{4}}{2}=1$ et $\ell_2=\dfrac{4+\sqrt{4}}{2}=3$.
    Les valeurs possobmes de $\ell$ sont donc $1$ et $3$.
    $\quad$
  3. a. La fonction $f$ est une fonction du second degré dont le coefficient principal est $a=\dfrac{1}{2}>0$.
    De plus l’abscisse du sommet de la parabole représentant cette fonction est $\alpha=-\dfrac{b}{2a}=1$.
    La fonction $f$ est donc croissante sur l’intervalle $[1;+\infty[$.
    Remarque : on pouvait bien entendu, après montré que la fonction était dérivable, étudier le signe de sa dérivée.
    $\quad$
    b. Initialisation : si $n=0$ alors $u_0=2,9$ et $u_1=2,805$.
    On a bien : $1 \pp u_1 \pp u_0$.
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $1\pp u_{n+1} \pp u_n$.
    Montrons qu’elle est encore vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $1\pp u_{n+2} \pp u_{n+1}$.
    La fonction $f$ est croissante sur l’intervalle $[1;+\infty[$ par conséquent :
    $1\pp u_{n+1} \pp u_n \ssi f(1) \pp f\left(u_{n+1}\right) \pp f\left(u_n\right)$
    soit $1\pp u_{n+2} \pp u_{n+1}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $1\pp u_{n+1} \pp u_n$.
    $\quad$
    c. La suite $\left(u_n\right)$ est donc décroissante et minorée par $1$. Par conséquent elle converge soit vers $1$ soit vers $3$.
    Puisque la suite est décroissante et que $u_0<3$ la seule limite possible est $1$.
    $\quad$.
  4. a. La suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
    Supposons que la suite soit majorée. Elle converge donc soit vers $1$ soit vers $3$.
    Or $u_0>3$. Puisque la suite est croissante elle ne peut pas converger vers l’une de ces $2$ limites.
    L’hypothèse “la suite est majorée” est par conséquent absurde.
    La suite $\left(u_n\right)$ n’est pas majorée.
    b. La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et non majorée. Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=+\infty$.
    $\quad$
    c. On obtient l’algorithme suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    P\leftarrow 0 \\
    U\leftarrow 3,1 \\
    \text{Tant que } U\pp 10^6 \\
    \hspace{1cm} P\leftarrow P+1 \\
    \hspace{1cm} U\leftarrow \dfrac{1}{2}U^2-U+\dfrac{3}{2}\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$

Ex spé

Exercice 4

Pour les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

  1. On a $u_0=1$, $u_1=6$ et $u_{n+2}=6u_{n+1}-8u_n$
    alors $u_2=6u_1-8u_0=28$ et $u_3=6u_2-8u_1=120$
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $AU_n=\begin{pmatrix}0&1\\-8&6\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}u_n\\u_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} u_{n+1}\\-8u_n+6u_{n+1}\end{pmatrix}=U_{n+1}$
    $\quad$
  3. a. Initialisation : Si $n=0$ alors $2^0B+4^0C=B+C=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=A^0$.
    La propriété est donc vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $A^n=2^nB+4^nC$.
    Montrons que la propriété est encore vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $A^{n+1}=2^{n+1}B+4^{n+1}C$.
    $\begin{align*} A^{n+1}&=A\times A^n \\
    &=A\left(2^nB+4^nC\right) \\
    &=2^nA\times B+4^nA\times C\end{align*}$
    Or $AB=\begin{pmatrix}4&-1\\8&-2\end{pmatrix}=2B$
    et $AC=\begin{pmatrix}-4&2\\16&8\end{pmatrix}=4C$
    Par conséquent $A^{n+1}=2^n\times 2B+4^n\times 4C=2^{n+1}B+4^{n+1}C$.
    La propriété est vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $A^n=2^nB+4^nC$.
    $\quad$
    b. On sait que $U_0=\begin{pmatrix}1\\6\end{pmatrix}$.
    Pour tout entier naturel $n$ on a $U_n=A^nU_0=2^nBU_0+4^nCU_0$
    Or $BU_0=\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}$ et $CU_0=\begin{pmatrix}2\\8\end{pmatrix}$
    Par conséquent, $U_n=\begin{pmatrix}2^n+2\times 4^n\\-2^{n+1}+8\times 4^n\end{pmatrix}$
    Donc $u_n=2^n+2\times 4^n$ pour tout entier naturel $n$.
    $\quad$

Partie B

  1. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $2^np_n=2^n\left(2^{n+1}-1\right)=2^{2n+1}-2^n=2\times 2^{2n}-2^n=2\times 4^n-2^n$.
    $\quad$
  2. a. Dans $S$ on a stocké la somme des diviseurs entiers positifs de $U$.
    On teste si $S=2U$, c’est-à-dire si $U$ est un nombre parfait.
    L’algorithme permet donc de déterminer si, pour un entier naturel $N$ donné, le nombre $2^N\left(2^{n+1}-1\right)$ est parfait, c’est-à-dire, par conséquent, si $u_N$ est un nombre parfait.
    $\quad$
    On obtient le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    N&P&U&S&\text{Affichage final}\\
    \hline
    0&1&1&1&\text{non}\\
    \hline
    1&3&6&12&\text{oui}\\
    \hline
    2&7&28&56&\text{oui}\\
    \hline
    3&15&120&360&\text{non}\\
    \hline
    4&31&496&992&\text{oui}\\
    \hline
    5&63&2~016&6~552&\text{non}\\
    \hline
    6&127&8~128&16~256&\text{oui}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. Il semblerait que si $P$ est un nombre premier alors l’algorithme affiche “oui”.
    $\quad$
  3. a. On a $u_n=2^np_n$ et $p_n$ est un nombre premier.
    Les seuls diviseurs de $u_n$ sont donc de la forme $2^k$ et $2^kp_n$ avec $k\in \left\{0;1;\ldots;n\right\}$.
    Par conséquent
    $\begin{align*} S_n&=2^0+2^1+\ldots+2^n+p_n+2p_n+2^2p_n+\ldots+2^np_n \\
    &=\left(2^0+2^1+\ldots +2^n\right)\left(1+p_n\right) \\
    &=\dfrac{1-2^{n+1}}{1-2}\left(1+p_n\right) \\
    &=\left(2^{n+1}-1\right)\left(1+p_n\right) \\
    &=p_n\left(1+p_n\right) \end{align*}$
    $\quad$
    b. $u_n=2^np_n$ et $p_n$ est un nombre premier.
    On a, d’après la question précédente :
    $\begin{align*} S_n&=\left(1+p_n\right)p_n \\
    &=\left(2^{n+1}+1-1\right)p_n \\
    &=2^{n+1}p_n\\
    &=2\times 2^np_n\\
    &=2u_n
    \end{align*}$
    Le nombre $u_n$ est donc parfait.
    $\quad$

Énoncé

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Bac S – Antilles Guyane – Septembre 2018

Antilles Guyane – Juin 2018

Bac S – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. On obtient l’arbre de probabilité suivant :

    $\quad$
  2. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(C)&=p(B\cap C)+p\left(\conj{B}\cap C\right) \\
    &=0,4\times 0,6+0,6\times 0,7 \\
    &=0,66
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_C(B)&=\dfrac{p(B\cap C)}{p(C)} \\
    &=\dfrac{0,4\times 0,6}{0,66} \\
    &=\dfrac{4}{11}\\
    &\approx 0,364
    \end{align*}$
    $\quad$

Partie B

  1. On veut calculer :
    $\begin{align*} p\left(X_1>247,5\right)&=p\left(247,5<X_1<251\right)+0,5 \\
    &\approx 0,960
    \end{align*}$
    La probabilité qu’un paquet prélevé au hasard dans la production soit conforme à la réglementation est donc environ égale à $0,96$.
    $\quad$
  2. La variable $Z=\dfrac{X_2-\mu_2}{2}$ suit la loi normale centrée réduite.
    On cherche donc la valeur de $\mu_2$ telle que :
    $\begin{align*} p\left(X_2>247,5\right)=0,9&\ssi p\left(247,5<X_2<\mu_2\right)+0,5=0,9 \\
    &\ssi p\left(247,5<X_2<\mu_2\right)=0,4 \\
    &\ssi p\left(247,5-\mu_2<X_2-\mu_2<0\right)=0,4\\
    &\ssi p\left(247,5-\mu_2<X_2-\mu_2<\mu_2-247,5\right)=0,8\\
    &\ssi p\left(\dfrac{247,5-\mu_2}{2}<\dfrac{X_2-\mu_2}{2}<\dfrac{\mu_2-247,5}{2}\right)=0,8\\
    &\ssi p\left(\dfrac{247,5-\mu_2}{2}<Z<\dfrac{\mu_2-247,5}{2}\right)=0,8\\
    &\ssi 2p\left(Z<\dfrac{\mu_2-247,5}{2}\right)+1=0,8\\
    &\ssi 2p\left(Z<\dfrac{\mu_2-247,5}{2}\right)=1,8\\
    &\ssi p\left(Z<\dfrac{\mu_2-247,5}{2}\right)=0,9
    \end{align*}$
    À l’aide de la calculatrice on trouve $\dfrac{\mu_2-247,5}{2}\approx 1,282$.
    Donc $\mu_2 \approx 250,064$.
    $\quad$

Partie C

On a $n=256$ et $p=0,98$.
Donc $n\pg 30$, $np=250,88\pg 5$ et $n(1-p)=5,12\pg 5$.
Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ est :

$\begin{align*} I_{256}&=\left[0,98-1,96\sqrt{\dfrac{0,98\times 0,02}{256}};0,98+1,96\sqrt{\dfrac{0,98\times 0,02}{256}}\right] \\
&\approx [0,962;0,998]\end{align*}$

La fréquence observée est $f=\dfrac{248}{256}=0,968~75 \in I_{256}$.

Le résultat de ce contrôle ne remt donc pas en question l’affirmation de la dirigente.
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. D’après le graphique, il semblerait que $\lim\limits_{x\to -\infty} f_2(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x \to +\infty}f_2(x)=0$.
    $\quad$
  2. On peut conjecturer le tableau de variations suivant :

    $\quad$
  3. Il semblerait qu’une équation de $T_2$ soit $y=-x+2$.
    $\quad$
  4. Cf graphique
    $\quad$

Partie B

  1. $\lim\limits_{x \to -\infty} x+m=-\infty$
    Or $\lim\limits_{x \to -\infty} -x=+\infty$ et $\lim\limits_{X \to +\infty} \e^X=+\infty$ donc $\lim\limits_{x \to -\infty} \e^{-x}=+\infty$.
    Donc $\lim\limits_{x \to -\infty} f_m(x)=-\infty$.
    $\quad$
    On a $f_m(x)=x\e^{-x}+m\e^{-x}$
    Or $\lim\limits_{x \to +\infty} -x=-\infty$ et $\lim\limits_{X \to -\infty} \e^X=0$ donc $\lim\limits_{x \to +\infty} \e^{-x}=0$.
    De plus $\lim\limits_{x \to +\infty} -x=+\infty$ et $\lim\limits_{X \to +\infty} X\e^X=0$ donc $\lim\limits_{x \to +\infty} x\e^{-x}=0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{x \to +\infty} f_m(x)=0$.
    $\quad$
  2. Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} {f_m}'(x)&=\e^{-x}-(x+m)\e^{-x} \\
    &=(-x-m+1)\e^{-x} \end{align*}$
    $\quad$
  3. La fonction exponentielle est strictement positive.
    Par conséquent le signe de ${f_m}'(x)$ ne dépend que de celui de $-x-m+1$.
    Or $-x-m+1=0 \ssi x=1-m$ et $-x-m+1>0 \ssi x<1-m$.
    La fonction $f_m$ est donc croissante sur l’intervalle $]-\infty;1-m]$ et décroissante sur l’intervalle $[1-m;+\infty[$.
    $\quad$
  4. a. Une équation de $T_m$ est $y={f_m}'(0)x+f_m(0)$
    Soit $y=(-m+1)x+m$
    $\quad$
    b. Il semblerait que le point de coordonnées $(1;1)$ appartienne à toutes les droites $T_m$.
    Vérifions cette conjecture : $(1-m)\times 1+m=1-m+m=1$.
    Toutes les droites $T_m$ passent donc par le point de coordonnées $(1;1)$.
    $\quad$
  5. La fonction exponentielle est strictement positive. Le signe de $f_m(x)$ ne dépend donc que de celui de $x+m$.
    Or $x+m=0\ssi x=-m$ et $x+m>0 \ssi x>-m$.
    Ainsi :
    – sur l’intervalle $]-\infty;-m[$, on a $f_m(x)<0$;
    – on a $f_m(-m)=0$;
    – sur l’intervalle $]-m;+\infty[$, on a $f_m(x)>0$.
    $\quad$
  6. a. Pour tout réel $x$ on a :
    $\ds \begin{align*} \int_{-2}^x f_2(t)\dt &=F_2(x)-F_2(-2) \\
    &=-(x+3)\e^{-x}+\e^{2} \end{align*}$
    $\quad$
    b. On a ainsi $\ds\int_{-2}^x f_2(t)\dt = -f_3(x)+\e^{2}$
    Or $\lim\limits_{x \to +\infty} f_3(x)=0$ donc $\ds \lim\limits_{x \to +\infty} \int_{-2}^x f_2(t)\dt=\e^2$.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. Le point $I$ a pour coordonnées $(0;0;z)$. Il appartient de plus au plan $\mathscr{P}_1$.
    Donc $15z-9=0 \ssi z=\dfrac{3}{5}$
    Ainsi $I$ a pour coordonnées $(0;0;0,6)$.
    $\quad$
    Le point $J$ a pour coordonnées $(1,0,z)$.
    Il appartient de plus au plan $\mathscr{P}_1$.
    Donc $4+15z-9=0 \ssi z=\dfrac{1}{3}$.
    Le point $J$ a pour coordonnées $\left(1;0;\dfrac{1}{3}\right)$.
    $\quad$
  2. Volume du prisme $BCKJADLI$ :
    $\begin{align*} V_1&=\dfrac{(BJ+AI)\times AB}{2}\times BC \\
    &=\dfrac{\dfrac{1}{3}+\dfrac{3}{5}}{2}
    &=\dfrac{7}{15}\end{align*}$
    $\quad$
    Volume du prisme $JKGFILHE$ : $V_2=V_{ABCDEFGH}-V_1=1-\dfrac{7}{15}=\dfrac{8}{15}$.
    $\quad$
  3. Une équation d’un plan parallèle à $\mathscr{P}_1$ est de la forme $4x+15z-m=0$.
    Le point $I’$ a pour coordonnées $(0;0;z)$. Il appartient de plus au plan $\mathscr{P}_2$.
    Donc $15z-m=0 \ssi z=\dfrac{m}{15}$
    Ainsi $I’$ a pour coordonnées $\left(0;0;\dfrac{m}{15}\right)$.
    $\quad$
    Le point $J’$ a pour coordonnées $(1,0,z)$.
    Il appartient de plus au plan $\mathscr{P}_2$.
    Donc $4+15z-m=0 \ssi z=\dfrac{m-4}{15}$.
    Le point $J’$ a pour coordonnées $\left(1;0;\dfrac{m-4}{15}\right)$.
    $\quad$
    Volume du prisme $BCKJ’ADLI’$ :
    $\begin{align*} V’_1&=\dfrac{(BJ’+AI’)\times AB}{2}\times BC \\
    &=\dfrac{\dfrac{m-4}{15}+\dfrac{m}{15}}{2}
    &=\dfrac{2m-4}{30}\\
    &=\dfrac{m-2}{15}\end{align*}$
    $\quad$
    On veut que :
    $\begin{align*} V’_1=\dfrac{1}{2}&\ssi \dfrac{m-2}{15}=\dfrac{1}{2} \\
    &\ssi 2(m-2)=15 \\
    &\ssi 2m-4=15\\
    &\ssi 2m=19\\
    &\ssi m=9,5
    \end{align*}$
    $\quad$
    Une équation de $\mathscr{P}_2$ est donc $4x+15z-9,5=0$.
    $\quad$

 

Ex 4 obl

Exercice 4

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

  1. Initialisation : On a $u_0=1 \pp \e^2$ puisque $\e^2 \approx 7,39$.
    Ainsi $1 \pp u_n \pp \e^2$.
    La propriété est donc vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $1\pp u_n \pp \e^2$.
    Montrons que la propriété est vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $1\pp u_n \pp \e^2$.
    On a :
    $\begin{align*} 1\pp u_n \pp \e^2 &\ssi 1 \pp \sqrt{u_n} \pp \e \\
    &\ssi \e \pp \e \times \sqrt{u_n} \pp \e^2 \end{align*}$
    Or $1 \pp \e$.
    Donc $1 \pp u_{n+1} \pp \e^2$.
    La propriété est vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $1\pp u_n \pp \e^2$.
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*}u_{n+1}-u_n &=\e\times \sqrt{u_n}-u_n \\
    &=\sqrt{u_n}\left(\e-\sqrt{u_n}\right)
    \end{align*}$
    On sait que $u_n \pp \e^2$ donc $\sqrt{u_n} \pp \e$.
    Par conséquent $u_{n+1}-u_n \pg 0$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc croissante.
    $\quad$
    b. La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et majorée par $\e^2$. Elle converge donc.
    $\quad$
  3. a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} v_{n+1}&=\ln\left(u_{n+1}\right)-2 \\
    &=\ln\left(\e \times \sqrt{u_n}\right)-2 \\
    &=\ln \e+\ln\left(\sqrt{u_n}\right)-2 \\
    &=1+\dfrac{1}{2}\ln\left(u_n\right)-2 \\
    &=\dfrac{1}{2}\ln\left(u_n\right)-1\\
    &=\dfrac{1}{2}\left(\ln\left(u_n\right)-2\right) \\
    &=\dfrac{1}{2}v_n
    \end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$ et de premier terme $v_0=-2$.
    $\quad$
    b. Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a :
    $v_n=-2\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n=-\dfrac{2}{2^n}=-\dfrac{1}{2^{n-1}}$.
    $\quad$
    c. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} v_n=\ln\left(u_n\right)-2 &\ssi v_n+2=\ln\left(u_n\right) \\
    &\ssi u_n=\e^{v_n+2}
    \end{align*}$
    Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=\e^{-\frac{1}{2^{n-1}}+2}$
    $\quad$
    d. On a $-1<\dfrac{1}{2}<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{2^{n-1}}=0$.
    Ainsi $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=\e^2$.
    $\quad$
  4. Affirmation 1 : fausse
    On a $u_0=2~018$ et $u_1=\e\times \sqrt{2~018} \approx 122 < u_0$.
    $\quad$
    Affirmation 2 : vraie
    On a $u_0=2$ donc $1 \pp u_0 \pp \e^2$.
    On peut donc reprendre l’hérédité du raisonnement par récurrence de la question 1.
    $\quad$
    Affirmation 3 : fausse
    La suite est constante si, et seulement si, pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=u_n$ soit $\e\times \sqrt{u_n}=u_n$.
    On est donc ramené à résoudre l’équation $x=\e\times \sqrt{x}$
    Soit $x^2=x\e^2$
    Ainsi $x^2-x\e^2=0$
    D’où $x\left(x-\e^2\right)=0$.
    Cette équation possède deux solutions $0$ et $\e^2$.
    Si on choisit $u_0=\e^2$ alors $u_1=\e\times \sqrt{\e^2}=\e\times \e=\e^2$ et la suite $\left(u_n\right)$ est constante.
    $\quad$

Ex spé

Exercice 4

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

  1. Pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=3u_n+1 \ssi 1\times u_{n+1}-3\times u_n=1$.
    $1$ et $3$ sont premiers entre eux. D’après le théorème de Bezout, $u_n$ et $u_{n+1}$ le sont également.
    $\quad$
  2. Si $u_n$ est pair alors il existe un entier naturel $a$ tel que $u_n=2a$.
    Ainsi $u_{n+1}=3\times 2a+1= 2\times 3a+1$. $u_{n+1}$ est donc impair.
    Si $u_n$ est impair alors il existe un entier naturel $a$ tel que $u_n=2a+1$.
    Ainsi $u_{n+1}=3\times (2a+1)+1=6a+3+1=2\times (3a+2)$. $u_{n+1}$ est donc pair.
    Les termes de la suite $\left(u_n\right)$ sont donc alternativement pairs et impairs.
    $\quad$
  3. On a $u_0=0$, $u_1=1$, $u_2=4$, $u_3=13$, $u_4=40$ et $u_5=121$.
    $5$ est un nombre premier impair et $u_5=121=11^2$ n’est pas premier.
    L’affirmation est donc fausse.
    $\quad$
  4. a. Initialisation : Si $n=0$ alors $2u_0=0$ et $3^n-1=1-1=0$.
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $2u_n=3^n-1$.
    Montrons que la propriété est vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $2u_{n+1}=3^{n+1}-1$.
    $\begin{align*} 2u_{n+1}&=2\times 3u_n+2 \\
    &=3\times 2u_n+2 \\
    &=3\times \left(3^n-1\right)+2 \\
    &=3^{n+1}-3+2 \\
    &=3^{n+1}-1
    \end{align*}$
    La propriété est vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $2u_n=3^n-1$.
    $\quad$
    b. $\quad$
    $\begin{array}{|c|c|c|}
    \hline
    n&3^n&3^n ~\text{modulo}~7 \\
    \hline
    1&3&3\\
    \hline
    2&9&2\\
    \hline
    3&27&6\\
    \hline
    4&81&4\\
    \hline
    5&243&5\\
    \hline
    6&729&1\\
    \hline
    \end{array}$
    Le plus petit entier naturel non nul $n$ tel que $3^n$ est congru à $1$ modulo $7$ est donc $6$.
    $\quad$
    c. On a $2u_{2~022}=3^{2~022}-1=3^{6\times 337}-1=\left(3^6\right)^{337}-1$.
    Par conséquent $2u_{2~022}\equiv 1^{337}-1 ~[7] \equiv 0~[7]$.
    Il existe donc un entier naturel $p$ tel que $2u_n=7q$.
    $2$ et $7$ sont premiers entre eux. D’après le théorème de Gauss $7$ divise donc $u_{2~022}$.
    $\quad$
  5. a. On a $u_0=0 \equiv 0~[5]$
    $u_1=1\equiv 1~[5]$
    $u_2=4 \equiv 4~[5]$
    $u_3=13 \equiv 3~[5]$
    $u_4=40\equiv 0~[5]$
    $u_5=121 \equiv 1~[5]$
    $\quad$
    b. On obtient :
    $\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Reste de la division euclidienne de $m$ par p$5$}&0&1&2&3&4\\
    \hline
    \text{Reste de la division euclidienne de $3m+1$ par p$5$}&1&4&2&0&3\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    c. Si $u_n$ est congru à $4$ modulo $5$ alors $u_{n+1}=3u_n+1$ est congru à $3$ modulo $5$.
    Par conséquent $u_{n+2}=3u_{n+1}+1$ est congru à $0$ modulo $5$.
    Ainsi $u_{n+3}=3u_{n+2}+1$ est congru à $1$ modulo $5$.
    Donc $u_{n+4}=3u_{n+3}+1$ est congru à $4$ modulo $5$.
    $\quad$
    d. D’après les questions 5.a. et 5.b. le reste de la division euclidienne de $u_n$ par $5$ est successivement $0$,$1$,$4$ et $3$.
    Il n’existe donc d’entier naturel $n$ tel que le reste de la division euclidienne de $u_n$ par $5$ soit égal à $2$.
    $\quad$

Énoncé

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Bac S – Polynésie – Juin 2018

Polynésie – Juin 2018

Bac S – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $$\begin{align*} p(R) &= p(D\cap R)+p\left(\conj{D}\cap R\right) \\
    &=0,06\times 0,98+0,94\times 0,08\\
    &=0,134
    \end{align*}$$
    $\quad$
  2. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_R(D)&=\dfrac{p(R\cap D)}{p(R)} \\
    &=\dfrac{0,06\times 0,98}{0,134} \\
    & \approx 0,44 \\
    &<0,5
    \end{align*}$
    L’affirmation est donc fausse.
    $\quad$

Partie B

On a $n=150$ et $p=0,06$.
$n\pg 30$, $np=9 \pg 5$ et $n(1-p)=141 \pg 5$.
Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de la proportion de DVD défectueux est :
$$\begin{align*} I_{150}&=\left[0,06-1,96\sqrt{\dfrac{0,06\times 0,94}{150}};0,06+1,96\sqrt{\dfrac{0,06\times 0,94}{150}}\right] \\
&\approx [0,021;0,099]
\end{align*}$$

La fréquence observée est $f=\dfrac{14}{150}\approx 0,093 \in I_{150}$.

On ne peut donc pas rejeter l’hypothèse faite.
$\quad$

Partie C

  1. La variable aléatoire $Y=\dfrac{X-\mu}{\sigma}=\dfrac{X-80}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.
    $$\begin{align*} P(X \pg 92)=0,1 &\ssi P(X-80\pg 12)=0,1 \\
    &\ssi P\left(\dfrac{X-90}{\sigma} \pg \dfrac{12}{\sigma}\right)=0,1 \\
    &\ssi P\left(\dfrac{X-90}{\sigma} \pp \dfrac{12}{\sigma}\right)=0,9  \\
    &\ssi P\left(Y \pp \dfrac{12}{\sigma}\right)=0,9  \\
    \end{align*}$$
    À l’aide de la fonction inverse loi normale de la calculatrice, on trouve :
    $\dfrac{12}{\sigma} \approx 1,282$ donc $\sigma \approx 9,36$.
    $\quad$
  2. L’enfant a déjà vu $1$ h $30$ min du film soit $90$ min.
    S’il se termine dans les cinq minutes qui suivent cela signifie qu’il dure donc moins de $95$ min.
    On veut calculer :
    $\begin{align*} P_{X \pg 90}(X \pp 95)&=\dfrac{P(90\pp X\pp 95)}{P(X \pg 90)} \\
    &=\dfrac{P(90 \pp X \pp 95)}{0,5-P(80\pp X \pp 90)}\\
    &\approx 0,62
    \end{align*}$
    La probabilité que le film se termine dans les cinq minutes qui suivent sachant qu’il en a déjà vu  une heure et demie est environ égale à $62\%$.
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

Partie A – Modélisation de la forme d’une ampoule

  1. a. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[0;4]$  en tant que somme et composée de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $$f'(x)=b \times \dfrac{\pi}{4}\cos\left(c+\dfrac{\pi}{4}x\right)$$
    $\quad$
    b. La tangente en $B$ est parallèle à l’axe des abscisses donc $f'(0)=0$. Par conséquent $f'(0)=b \times \dfrac{\pi}{4}\cos(c)=0$
    Cela signifie que $c=\dfrac{\pi}{2}+k\pi$.
    On sait que $c$ appartient à l’intervalle $\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$ donc $c=\dfrac{\pi}{2}$.
    $\quad$
  2. On a ainsi $f(x)=a+b\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{4}x\right)$.
    On sait que $f(0)=1$ donc $a+b=1$
    et que $f(4)=3$ soit $a+b\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+\pi\right)=3\ssi a-b=3$.
    On résout donc le système suivant :
    $\begin{align*} \begin{cases} a+b=1\\a-b=3 \end{cases} &\ssi \begin{cases} a=1-b\\1-b-b=3\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} a=1-b\\-2b=2 \end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} b=-1\\a=2\end{cases} \end{align*}$
    $\quad$

Partie B – Approximation du volume de l’ampoule

  1. $OB=1$ est le rayon du cylindre de section le rectangle $ABFG$.
    Sa hauteur est $AB=1$.
    Le volume de ce cylindre est $V_C=\pi\times OB^2\times AB=\pi$ unité de volume (u.v.).
    $\quad$
  2. Le rayon de la demi-boule est $R=\dfrac{1}{2}CE=\dfrac{1}{2}\times 6=3$.
    Le volume de la demi-boule est :
    $\begin{align*} V_B&=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{4}{3}\pi R^3 \\
    &=\dfrac{2}{3}\pi \times 3^3\\
    &=18\pi \text{u.v.}
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. a. Le rayon du troisième cylindre est $R_3=f\left(\dfrac{8}{5}\right)$.
    Son volume est donc $V_3=\pi\times \left(f\left(\dfrac{8}{5}\right)\right)^2\times \dfrac{4}{5}=\dfrac{16\pi}{5} \approx 7,19$ u.v. .
    $\quad$
    b.
    On obtient l’algorithme suivant :
    $$\begin{array}{|cl|}
    \hline
    1&V\leftarrow 0 \\
    2&\text{Pour $k$ allant de $0$ à $n-1$} : \\
    3&\hspace{1cm}|V\leftarrow V+\pi\times \left(2-\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\times \dfrac{k*4}{n}\right)\right)^2\times \dfrac{4}{n} \\
    4&\text{Fin Pour}\\
    \hline
    \end{array}$$

Ex 3

Exercice 3

  1. Une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;+\infty[$ est la fonction $F$ définie par $F(x)=-\e^{-kx}$.
    $\quad$
  2. On a $BC=f(1)=k\e^{-k}$.
    L’aire du triangle $OBC$ est donc $V_1=\dfrac{1\times k\e^{-k}}{2}=\dfrac{k\e^{-k}}{2}$.
    $\quad$
    La fonction $f$ est continue et positive sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    L’aire du domaine $\mathscr{D}$ est donc :
    $\begin{align*} V_2&=\ds \int_0^1 f(x)\dx-V_1 \\
    &=F(1)-F(0)-\dfrac{k\e^{-k}}{2} \\
    &=1-\e^{-k}-\dfrac{k\e^{-k}}{2} \\
    &=1-\dfrac{(2+k)\e^{-k}}{2} \\
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. On veut résoudre l’équation
    $ 1-\e^{-k}-\dfrac{k\e^{-k}}{2}=k\e^{-k} \ssi 1-\e^{-k}-\dfrac{3k}{2}\e^{-k} = 0 $
    On considère la fonction $g$ définie sur $]0;+\infty[$ par $g(x)=1-\e^{-x}-\dfrac{3x}{2}\e^{-x}$
    La fonction $g$ est continue sur $]0;+\infty[$ comme somme et produit de fonctions continues sur cet intervalle.
    Elle est également dérivable sur cet intervalle comme somme et produit de fonctions dérivables sur $]0;+\infty[$.
    Pour tout réel $x>0$ on a :
    $\begin{align*} g'(x)&=\e^{-x}-\dfrac{3}{2}\e^{-x}+\dfrac{3x}{2}\e^{-x} \\
    &=\dfrac{-1+3x}{2}\e^{-x}
    \end{align*}$
    La fonction exponentielle est strictement positive sur l’intervalle $]0;+\infty[$.
    Le signe de $g'(x)$ ne dépend donc que de celui de $-1+3x$.
    Or $-1+3x=0 \ssi x=\dfrac{1}{3}$
    Et $-1+3x>0 \ssi x>\dfrac{1}{3}$
    On obtient le tableau de variation suivant :
    $1-\e^{-0}-\dfrac{3\times 0}{2}\e^{-0}=0$ donc $\lim\limits_{x \to 0^+} g(x)=0$.
    $\lim\limits_{x \to +\infty} -x=-\infty$ et $\lim\limits_{X \to -\infty} \e^X=0$.
    Donc  $\lim\limits_{x \to +\infty} \e^{-x}=0$
    $\lim\limits_{x \to +\infty} -x=-\infty$ et $\lim\limits_{X \to -\infty} X\e^X=0$.
    Donc  $\lim\limits_{x \to +\infty} -x\e^{-x}=0$
    Par conséquent $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=1$.
    $g\left(\dfrac{1}{3}\right) \approx -0,07$.
    $\quad$
    Sur l’intervalle $\left]0;\dfrac{1}{3}\right]$ on a $g(x)<0$.
    L’équation $g(x)=0$ ne possède donc pas de solution sur cet intervalle.
    Sur l’intervalle $\left]\dfrac{1}{3};+\infty\right[$, la fonction $f$ est continue et strictement croissante.
    $g\left(\dfrac{1}{3}\right)<0$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=1>0$
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $g(x)=0$ possède une unique solution sur l’intervalle $\left]\dfrac{1}{3};+\infty\right[$.
    L’équation $g(x)=0$ possède donc une unique solution sur l’intervalle $]0;+\infty$.
    Par conséquent il existe une unique valeur du réel $k$ strictement positive telle que l’aire du domaine $\mathscr{D}$ vaut le double de celle du triangle $OCB$.
    $\quad$

Ex 4 obl

Exercice 4

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

  1. On a pu écrire : $=2*B2/3+C2/2+2*D2/3$.
    $\quad$
  2. Il semblerait les suites $\left(a_n\right)$, $\left(b_n\right)$ et $\left(c_n\right)$ convergent vers des limites dont des valeurs approchées sont respectivement $0,214$, $0,571$ et $0,214$.
    $\quad$

Partie B

  1. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=a_n-c_n$.
    $\begin{align*} u_{n+1}&=a_{n+1}-c_{n+1} \\
    &=\dfrac{1}{3}a_n+\dfrac{1}{4}b_n-\left(\dfrac{1}{4}b_n+\dfrac{1}{3}c_n\right) \\
    &=\dfrac{1}{3}a_n-\dfrac{1}{3}c_n \\
    &=\dfrac{1}{3}\left(a_n-c_n\right) \\
    &=\dfrac{1}{3}u_n
    \end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{3}$ et de premier terme  $u_0=a_0-c_0=1$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a alors $u_n=\left(\dfrac{1}{3}\right)^n$.
    $\quad$
  2. a. Le lapin ne peut aller que dans $3$ galeries.
    Donc, pour tout entier naturel $n$ on a $a_n+b_n+c_n=1$.
    Par conséquent $a_n+c_n=1-b_n$.
    $\quad$
    On a $v_n=b_n-\dfrac{4}{7} \ssi b_n=v_n+\dfrac{4}{7}$.
    $\begin{align*} v_{n+1}&=b_{n+1}-\dfrac{4}{7} \\
    &=\dfrac{2}{3}a_n+\dfrac{1}{2}b_n+\dfrac{2}{3}c_n-\dfrac{4}{7} \\
    &=\dfrac{2}{3}\left(a_n+c_n\right)+\dfrac{1}{2}b_n-\dfrac{4}{7} \\
    &=\dfrac{2}{3}\left(1-b_n\right)+\dfrac{1}{2}b_n-\dfrac{4}{7} \\
    &=\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{3}b_n+\dfrac{1}{2}b_n-\dfrac{4}{7} \\
    &=\dfrac{2}{21}-\dfrac{1}{6}b_n \\
    &=\dfrac{2}{21}-\dfrac{1}{6}\left(v_n+\dfrac{4}{7}\right) \\
    &=\dfrac{2}{21}-\dfrac{1}{6}v_n-\dfrac{2}{21} \\
    &=-\dfrac{1}{6}v_n
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $-\dfrac{1}{6}$ et de premier terme $v_0=b_0-\dfrac{4}{7}=-\dfrac{4}{7}$.
    Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $v_n=-\dfrac{4}{7}\times \left(-\dfrac{1}{6}\right)^n$.
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $b_n=v_n+\dfrac{4}{7}=\dfrac{4}{7}-\dfrac{4}{7}\times \left(-\dfrac{1}{6}\right)^n$.
    On a $(S)\ssi\begin{cases} a_n-c_n=u_n\\a_n+c_n+b_n=1 \end{cases}$.
    En ajoutant les deux lignes on a : $2a_n=u_n+1-b_n \ssi a_n=\dfrac{u_n+1-b_n}{2}$.
    Donc $(S) \ssi \begin{cases} a_n=\dfrac{u_n+1-b_n}{2}\\c_n=1-a_n-b_n \end{cases}$.
    Par conséquent
    $\begin{align*} a_n &=\dfrac{u_n+1-b_n}{2} \\
    &=\dfrac{\left(\dfrac{1}{3}\right)^n+1-\dfrac{4}{7}+\dfrac{4}{7}\times \left(-\dfrac{1}{6}\right)^n}{2} \\
    &=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3}\right)^n+\dfrac{1}{2}\times \dfrac{3}{7}+\dfrac{1}{2}\times \dfrac{4}{7}\left(-\dfrac{1}{6}\right)^n \\
    &=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3}\right)^n+\dfrac{3}{14}+\dfrac{2}{7}\left(-\dfrac{1}{6}\right)^n
    \end{align*}$
    $\quad$
    $\begin{align*} c_n&=1-a_n-b_n \\
    &=1-\left(\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3}\right)^n+\dfrac{3}{14}+\dfrac{2}{7}\left(-\dfrac{1}{6}\right)^n+\dfrac{4}{7}-\dfrac{4}{7}\times \left(-\dfrac{1}{6}\right)^n\right) \\
    &=1-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3}\right)^n-\dfrac{3}{14}-\dfrac{2}{7}\left(-\dfrac{1}{6}\right)^n-\dfrac{4}{7}+\dfrac{4}{7}\times \left(-\dfrac{1}{6}\right)^n \\
    &=\dfrac{3}{14}-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3}\right)^n+\dfrac{2}{7}\left(-\dfrac{1}{6}\right)^n
    \end{align*}$
    $\quad$
  4. On a $-1<\dfrac{1}{3}<1$ et $-1<-\dfrac{1}{6}<1$
    Donc $\lim\limits_{n\to +\infty}\left(\dfrac{1}{3}\right)^n=0$ et $\lim\limits_{n\to +\infty}\left(-\dfrac{1}{6}\right)^n=0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} a_n=\dfrac{3}{14}$,  $\lim\limits_{n\to +\infty}b_n=\dfrac{4}{7}$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{3}{14}$.
    Après un très grand nombre d’étapes, la probabilité que le lapin soit dans la galerie A est $\dfrac{3}{14}$, dans la galerie B est $\dfrac{4}{7}$ et dans la galerie C es

 

Ex 4 spé

Exercice 4

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A – Étude d’un premier milieu

  1. Pour tout entier naturel $n$ on a $\begin{cases} a_{n+1}=0,995a_n+0,6b_n \\b_{n+1}=1-a_{n+1} \end{cases}$
    Donc $a_1=0,995a_n+0,6b_n=0,995$ et $b_1=1-a_n=0,005$.
    $a_2=0,995a_1+0,6b_n=0,993~025$ et $b_2=1-a_n=006~975$.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a
    $\begin{cases} a_{n+1}=0,995a_n+0,6b_n \\b_{n+1}=1-a_{n+1} \end{cases} \ssi \begin{cases} a_{n+1}=0,995a_n+0,6b_n\\b_{n+1}=0,005a_n+0,4b_n \end{cases} $
    Donc $A=\begin{pmatrix} 0,995&0,005\\0,6&0,4 \end{pmatrix}$.
    $\quad$
  3. On a $P^{-1}A=\dfrac{1}{121}\begin{pmatrix} 120&1\\-0,395&0,395\end{pmatrix}$
    Donc $D=P^{-1}AP=\begin{pmatrix} 1&0\\0&0,395\end{pmatrix}$.
    $\quad$
  4. Montrons la propriété par récurrence.
    Initialisation : Si $n=0$ alors $A^0=I_2$ et $PD^0P^{-1}=I_2=A^0$ où $I_2$ est la matrice identité de taille $2$.
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $A^n=PD^nP^{-1}$.
    Montrons que la propriété est vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $A^{n+1}=PD^{n+1}P^{-1}$.
    $\begin{align*} A^{n+1}&=A\times A^n \\
    &=PDP^{-1}PD^nP^{-1} \\
    &=PD^{n+1}P^{-1}
    \end{align*}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $A_n=PD^nP^{-1}$.
    $\quad$
  5. On a, pour tout entier naturel $n$ :
    $X_n=X_0A^n=\dfrac{1}{121}\begin{pmatrix}120+0,395^n&1-0,395^n\end{pmatrix}$
    Par conséquent $a_n=\dfrac{120+0,395^n}{121}$.
    $\quad$
  6. $-1<0,395<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,395^n=0$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} a_n=\dfrac{120}{121}$.
    Sur le long terme, la probabilité qu’un atome soit dans un état stable est $\dfrac{120}{121}$.
    $\quad$

Partie B – Étude d’un second milieu

  1. Pour tout entier naturel $n$ on a donc :
    $\begin{cases} a_{n+1}=0,99a_n+\alpha b_n+ \\0,01a_n+(1-\alpha)b_n\end{cases}$.
    La matrice de transition dans le milieu 2 est donc $M=\begin{pmatrix} 0,99 &0,01\\\alpha&1-\alpha \end{pmatrix}$.
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} XM=X &\ssi \begin{cases} 0,98=0,98\times 0,99+0,02\alpha \\0,02=0,98\times 0,01+0,02(1-\alpha) \end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} 0,98=0,970~2+0,02\alpha\\0,02=0,0098+0,02-0,02\alpha \end{cases} \\
    &\ssi 0,0098=0,02\alpha\\
    &\ssi \alpha=0,49
    \end{align*}$

 

Énoncé

Exercice 1     5 points

L’exploitant d’une forêt communale décide d’abattre des arbres afin de les vendre, soit aux habitants de la commune, soit à des entreprises. On admet que :

  • parmi les arbres abattus, $30 \%$ sont des chênes, $50 \%$ sont des sapins et les autres sont des arbres d’essence secondaire (ce qui signifie qu’ils sont de moindre valeur) ;
  • $45,9 \%$ des chênes et $80 \%$ des sapins abattus sont vendus aux habitants de la commune ;
  • les trois quarts des arbres d’essence secondaire abattus sont vendus à des entreprises.

Partie A

Parmi les arbres abattus, on en choisit un au hasard.
On considère les événements suivants :

  • $C$ : « l’arbre abattu est un chêne » ;
  • $S$ : « l’arbre abattu est un sapin » ;
  • $E$ : « l’arbre abattu est un arbre d’essence secondaire » ;
  • $H$ : « l’arbre abattu est vendu à un habitant de la commune ».
  1. Construire un arbre pondéré complet traduisant la situation.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité que l’arbre abattu soit un chêne vendu à un habitant de la commune.
    $\quad$
  3. Justifier que la probabilité que l’arbre abattu soit vendu à un habitant de la commune est égale à $0,587~7$.
    $\quad$
  4. Quelle est la probabilité qu’un arbre abattu vendu à un habitant de la commune soit un sapin ?
    On donnera le résultat arrondi à $10^{−3}$.
    $\quad$

Partie B

Le nombre d’arbres sur un hectare de cette forêt peut être modélisé par une variable aléatoire $X$ suivant une loi normale d’espérance $\mu= 4~000$ et d’écart-type $\sigma = 300$.

  1. Déterminer la probabilité qu’il y ait entre $3~400$ et $4~600$ arbres sur un hectare donné de cette forêt. On donnera le résultat arrondi à $10^{−3}$.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité qu’il y ait plus de $4~500$ arbres sur un hectare donné de cette forêt. On donnera le résultat arrondi à $10^{−3}$.
    $\quad$

Partie C

L’exploitant affirme que la densité de sapins dans cette forêt communale est de $1$ sapin pour $2$ arbres.
Sur une parcelle, on a compté $106$ sapins dans un échantillon de $200$ arbres.
Ce résultat remet-il en cause l’affirmation de l’exploitant ?
$\quad$

Exercice 2     5 points

Un artiste souhaite réaliser une sculpture composée d’un tétraèdre posé sur un cube de $6$ mètres d’arête.
Ces deux solides sont représentés par le cube $ABCDEFGH$ et par le tétraèdre $SELM$ ci-dessous.

On munit l’espace du repère orthonormé $\left(A;\vect{AI},\vect{AJ},\vect{AK}\right)$ tel que : $I\in [AB]$, $J\in [AD]$, $K\in [AE]$ et $AI=AJ=AK=1$, l’unité graphique représentant $1$ mètre.
Les points $L,M$ et $S$ sont définis de la façon suivante :

  • $L$ est le point tel que $\vect{FL}=\dfrac{2}{3}\vect{FE}$;
  • $M$ est le point d’intersection du plan $(BDL)$ et de la droite $(EH)$ ;
  • $S$ est le point d’intersection des droites $(BL)$ et $(AK)$.
  1. Démontrer, sans calculer de coordonnées, que les droites $(LM)$ et $(BD)$ sont parallèles.
    $\quad$
  2. Démontrer que les coordonnées du point $L$ sont $(2;0;6)$.
    $\quad$
  3. a. Donner une représentation paramétrique de la droite $(BL)$.
    $\quad$
    b. Vérifier que les coordonnées du point $S$ sont $(0;0;9)$.
    $\quad$
  4. Soit $\vec{n}$ le vecteur de coordonnées $(3;3;2)$.
    a. Vérifier que $\vec{n}$ est un vecteur normal au plan $(BDL)$.
    $\quad$
    b. Démontrer qu’une équation cartésienne du plan $(BDL)$ est $$3x+3y+2z-18=0$$
    $\quad$
    c. On admet que la droite $(EH)$ a pour représentation paramétrique :
    $$\begin{cases} x=0\\y=s\\z=6\end{cases}, \quad s\in \R$$ Calculer les coordonnées du point $M$.
    $\quad$
  5. Calculer le volume du tétraèdre $SELM$. On rappelle que le volume $V$ d’un tétraèdre est donné par la formule suivante :
    $$V=\dfrac{1}{3}\times Aire~de~la~base \times Hauteur.$$
    $\quad$
  6. L’artiste souhaite que la mesure de l’angle $\widehat{SLE}$ soit comprise entre $55$° et $60$°.
    Cette contrainte d’angle est-elle respectée?
    $\quad$

Exercice 3     5 points

Un publicitaire souhaite imprimer le logo ci-dessous sur un T-shirt :

Il dessine ce logo à l’aide des courbes de deux fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ par : $$f(x)=\e^{-x}(-\cos x+\sin x+1) \text{ et } g(x)=-\e^{-x}\cos x$$
On admet que les fonctions $f$ et $g$ sont dérivables sur $\R$.

Partie A – Étude de la fonction $\boldsymbol{f}$

  1. Justifier que, pour tout $x\in \R$ : $$-\e^{-x} \pp f(x) \pp 3\e^{-x}$$
    $\quad$
  2. En déduire la limite de $f$ en $+\infty$
    $\quad$
  3. Démontrer que, pour tout $x\in\R$, $f'(x)=\e^{-x}(2\cos x-1)$ ou $f’$ est la fonction dérivée de $f$.
    $\quad$
  4. Dans cette question, on étudier la fonction $f$ sur l’intervalle $[-\pi;\pi]$.
    a. Déterminer le signe de $f'(x)$ pour $x$ appartenant à l’intervalle $[-\pi;\pi]$.
    $\quad$
    b. En déduire les variations de $f$ sur $[-\pi;\pi]$.
    $\quad$

Partie B – Aire du logo

On note $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ les représentations graphiques des fonctions $f$ et $g$ dans un repère orthonormé $\Oij$. L’unité graphique est de $2$ centimètres. Ces deux courbes sont tracées en ANNEXE.

  1. Étudier la position relative de la courbe $\mathcal{C}_f$ par rapport à la courbe $\mathcal{C}_g$ sur $\R$.
    $\quad$
  2. Soit $H$ la fonction définie sur $\R$ par : $$H(x)=\left(-\dfrac{\cos x}{2}-\dfrac{\sin x}{2}-1\right)\e^{-x}$$
    On admet que $H$ est une primitive de la fonction $x\mapsto (\sin x+1)\e^{-x}$ sur $\R$.
    On note $\mathcal{D}$ le domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}_g$, la courbe $\mathcal{C}_g$ et les droites d’équation $x=-\dfrac{\pi}{2}$ et $x=\dfrac{3\pi}{2}$.
    a. Hachurer le domaine $\mathcal{D}$ sur le graphique en annexe à rendre avec la copie.
    $\quad$
    b. Calculer, en unité d’aire, l’aire du domaine $\mathcal{D}$, puis en donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près en cm$^2$.
    $\quad$

ANNEXE

$\quad$

Exercice 4     5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Le directeur d’une réserve marine a recensé $3~000$ cétacés dans cette réserve au 1$\ier$ juin 2017.
Il est inquiet car il sait que le classement de la zone en « réserve marine » ne sera pas reconduit si le nombre de cétacés de cette réserve devient inférieur à $2~000$.

Une étude lui permet d’élaborer un modèle selon lequel, chaque année :

  • entre le 1$\ier$ juin et le 31 octobre, $80$ cétacés arrivent dans la réserve marine ;
  • entre le 1$\ier$ novembre et le 31 mai, la réserve subit une baisse de $5 \%$ de son effectif par rapport à celui du 31 octobre qui précède.

On modélise l’évolution du nombre de cétacés par une suite $\left(u_n\right)$. Selon ce modèle, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ désigne le nombre de cétacés au 1$\ier$ juin de l’année 2017$+n$. On a donc $u_0 = 3~000$.

  1. Justifier que $u_1=2~926$.
    $\quad$
  2. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=0,95u_n+76$.
    $\quad$
  3. À l’aide d’un tableur, on a calculé les $8$ premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$. Le directeur a configuré le format des cellules pour que ne soient affichés que des nombres arrondis à l’unité.

    Quelle formule peut-on entrer dans la cellule $C2$ afin d’obtenir, par recopie vers la droite, les termes de la suite $\left(u_n\right)$ ?
    $\quad$

  4. a. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_n \pg 1~520$.
    $\quad$
    b. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
    $\quad$
    c. Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente. On ne cherchera pas ici la valeur de la limite.
    $\quad$
  5. On désigne par $\left(v_n\right)$ la suite définie par, pour tout entier naturel $n$, $v_n=u_n-1~520$.
    a. Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,95$ dont on précisera le premier terme.
    $\quad$
    b. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n=1~480\times 0,95^n+1~520$.
    $\quad$
    c. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
  6. Recopier et compléter l’algorithme suivant pour déterminer l’année à partir de laquelle le nombre de cétacés présents dans la réserve marine sera inférieur à $2~000$.
    $\begin{array}{|l|}
    \hline
    n \leftarrow 0\\
    u\leftarrow 3~000\\
    \text{Tant que } \ldots \ldots \\
    \hspace{1cm} \begin{array}{|l} n \leftarrow \ldots \ldots \\u \leftarrow \ldots \ldots \end{array} \\
    \text{Fin de Tant que }\\
    \hline
    \end{array}$
    la notation  « $\leftarrow$ » correspond à une affectation de valeur, ainsi « $n \leftarrow 0$ » signifie « Affecter à $n$ la valeur $0$ ».
    $\quad$
  7. La réserve marine fermera-t-elle un jour? Si oui, déterminer l’année de la fermeture.
    $\quad$

Exercice 4     5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Le droit de pêche dans une réserve marine est réglementé : chaque pêcheur doit posséder une carte d’accréditation annuelle. Il existe deux types de carte :

  •  une carte de pêche dite « libre » (le pêcheur n’est pas limité en nombre de poissons pêchés) ;
  • une carte de pêche dite « avec quota » (le pêcheur ne doit pas dépasser une certaine quantité hebdomadaire de poissons).

On suppose que le nombre total de pêcheurs reste constant d’année en année.
On note, pour l’année 2017 $+ n$ :

  • $\ell_n$ la proportion de pêcheurs possédant la carte de pêche libre ;
  • $q_n$ la proportion de pêcheurs possédant la carte de pêche avec quota.

On observe que :

  • chaque année, $65 \%$ des possesseurs de la carte de pêche libre achètent de nouveau une carte de pêche libre l’année suivante ;
  • chaque année, $45 \%$ des possesseurs de la carte de pêche avec quota achètent une carte de pêche libre l’année suivante ;
  • en 2017, $40 \%$ des pêcheurs ont acheté une carte de pêche libre. On a donc $\ell_0 = 0,4$ et $q_0 = 0,6$.

On note, pour tout entier naturel $n$, $P_n=\begin{pmatrix} \ell_n \\q_n\end{pmatrix}$.

  1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $P_{n+1}=MP_n$, où $M$ est la matrice carrée $\begin{pmatrix} 0,65&0,45\\0,35&0,55 \end{pmatrix}$.
    $\quad$
  2. Calculer la proportion de pêcheurs achetant une carte de pêche avec quota en 2019.
    $\quad$
  3. Un logiciel de calcul formel donne les résultats ci-dessous :

    En vous appuyant sur les résultats précédents, répondre aux deux questions suivantes :
    a. Justifier que $Q$ est une matrice inversible et préciser sa matrice inverse.
    On notera $Q^{-1}$ la matrice inverse de $Q$.
    $\quad$
    b. Justifier que $M=QDQ^{-1}$ et démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul : $$M^n=QD^nQ^{-1}$$
    $\quad$
  4. On admet que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $$M^n=\dfrac{1}{16}\begin{pmatrix}9+7\times 0,2^n&9-9\times 0,2^n\\7-7\times 0,2^n&7+9\times 0,2^n\end{pmatrix}$$
    a. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $P_n=M^nP_0$.
    $\quad$
    b. Justifier que, pour tout entier naturel $n$ : $$\ell_n=\dfrac{9}{16}-\dfrac{13}{80}\times 0,2^n$$
    $\quad$
  5. La proportion de pêcheurs achetant la carte de pêche libre dépassera-t-elle $60\%$.
    $\quad$

 

 

 

Bac S – Métropole – Juin 2018

Métropole – Juin 2018

Bac S – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. La largeur de la chaînette est $MM’=2x$.
    La hauteur de la chaînette est $\dfrac{1}{2}\left(\e^x+\e^{-x}-2\right)$.
    On veut donc résoudre :
    $\begin{align*} 2x=\dfrac{1}{2}\left(\e^x+\e^{-x}-2\right)&\ssi 4x=\e^x+\e^{-x}-2 \\
    &=\e^x+\e^{-x}-4x-2 = 0\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. $x\left(\dfrac{\e^x}{x}-4\right)+\e^{-x}-2 =\e^x-4x+\e^{-x}-2=f(x)$.
    $\quad$
    b. $\lim\limits_{x \to +\infty} -x=-\infty$ et $\lim\limits_{X \to -\infty} \e^X=0$
    Donc $\lim\limits_{x \to +\infty} \e^{-x}=0$.
    De plus $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\e^x}{x}=+\infty$ donc $\lim\limits_{x \to +\infty} x\left(\dfrac{\e^x}{x}-4\right)=+\infty$.
    Par conséquent $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=+\infty$.
    $\quad$
  3. a. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[0;+\infty[$ comme somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $f'(x)=\e^x-\e^{-x}-4$.
    $\quad$
    b. $\quad$
    $\begin{align*} f'(x)=0 &\ssi \e^x-\e^{-x}-4=0 \\
    &\ssi \dfrac{\e^{2x}-1-4\e^x}{\e^x}=0 \\
    &\ssi \dfrac{\left(\e^x\right)^2-4\e^x-1}{\e^x}=0
    &\ssi \left(\e^x\right)^2-4\e^x-1=0 \quad \text{car } \e^x >0 \text{ sur } [0;+\infty[
    \end{align*}$
    $\quad$
    c. On pose $X=\e^x$.
    On a alors
    $ \left(\e^x\right)^2-4\e^x-1=0 \ssi \begin{cases} X=\e^x\\X^2-4X-1=0 \end{cases} $
    Calculons le discriminant du polynôme $X^2-4X-1$
    $\Delta = (-4)^2-4\times 1\times (-1)=20>0$
    Il possède donc deux racines réelles : $X_1=\dfrac{4-\sqrt{20}}{2}=2-\sqrt{5} <0$
    et $X_2=\dfrac{4+\sqrt{20}}{2}=2+\sqrt{5}>0$.
    Ainsi :
    $\begin{cases} X=\e^x\\X^2-4X-1=0 \end{cases} \ssi \begin{cases} X=\e^x \\X=2-\sqrt{5} \text{ ou } X=2+\sqrt{5}\end{cases}$
    $X_1<0$ donc la seule solution possible est celle qui vérifie $2+\sqrt{5}=\e^x \ssi x=\ln \left(2+\sqrt{5}\right)$.
    $\quad$
  4. a. On obtient le tableau de variation suivant :

    On a $f\left(\ln \left(2+\sqrt{5}\right)\right) \approx -3,3$.
    $\quad$
    b. Sur l’intervalle $\left]0;\ln \left(2+\sqrt{5}\right)\right[$ on a $f(x)<0$.
    Sur l’intervalle $\left[\ln \left(2+\sqrt{5}\right);+\infty\right[$, la fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante.
    De plus $f\left(\ln \left(2+\sqrt{5}\right)\right) \approx -3,3<0$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=+\infty$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=0$ possède une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $\left[\ln \left(2\sqrt{5}\right);+\infty\right[$.
    Ainsi l’équation $f(x)=0$ possède une unique solution sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    $\quad$
  5. a.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    m&a&b&b-a\\
    \hline
    &2&3&1\\
    \hline
    2,5&2&2,5&0,5\\
    \hline
    2,25&2,25&2,5&0,25\\
    \hline
    2,375&2,375&2,5&0,125\\
    \hline
    2,4375&2,4375&2,5&0,0625\\
    \hline
    \end{array}$
    À la fin de l’exécution de l’algorithme on a $a=2,437~5$ et $b=2,5$.
    $\quad$
    b. On a $f(2)\approx -2,48$ et $f(3)\approx 6,14$.
    Par conséquent $\alpha$ appartient à l’intervalle  $]2;3[$.
    L’algorithme (de dichotomie) précédent nous fournit un encadrement d’amplitude au plus $0,1$ de cette valeur.
    Donc $2,437~5 <\alpha < 2,5$.
    $\quad$
  6. D’après la question précédente la solution de l’équation $(E’)$ vérifie :
    $2,437~5< \dfrac{t}{39}<2,5 \ssi 95,062~5<t<97,5$.
    Un encadrement de la largeur de cet arc est donc $190,125<2t<195$.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. a. D’après l’énoncé, on a $p(G)=0,2$.
    $\quad$
    b. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. On veut calculer $p(V\cap G)=0,4\times 0,08=0,032$.
    $\quad$
  3. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*}p(G)=p(V\cap G)+p\left(\conj{V}\cap G\right) &\ssi 0,2=0,032+p\left(\conj{V}\cap G\right) \\
    &\ssi p\left(\conj{V}\cap G\right)=0,168
    \end{align*}$
    Par conséquent :
    $\begin{align*} p_{\conj{V}}(G)&=\dfrac{p\left(\conj{V}\cap G\right)}{p\left(\conj{V}\right)} \\
    &=\dfrac{0,168}{0,6} \\
    &=0,28
    \end{align*}$
    $\quad$

Partie B

  1. On effectue $n$ tirages aléatoires, indépendants et identiques.
    Chaque tirage possède deux issues $V$ et $\conj{V}$.
    De plus $p(V)=0,4$.
    La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,4$.
    $\quad$
  2. a. On a $p(X=15)=\ds \binom{40}{15}\times 0,4^{15}\times 0,6^{40-15} \approx 0,123$.
    La probabilité qu’exactement $15$ des $40$ personnes interrogées soient vaccinées est d’environ $12,3\%$.
    $\quad$
    b. On veut calculer $p(X \pg 20)=1-p(X\pp 19) \approx 0,130$
    La probabilité qu’au moins la moitié des personnes soit vaccinée est d’environ $13\%$.
    $\quad$
  3. $\quad$
    $\begin{align*} p(1~450 \pp X \pp 1~550) & = p(-50 \pp X-1~500 \pp 50) \\
    &=p\left(-\dfrac{50}{30} \pp \dfrac{X-1~500}{30} \pp \dfrac{50}{30} \right) \\
    &=p\left(-\dfrac{5}{3} \pp Z\pp \dfrac{5}{3}\right) \\
    &\approx 0,904
    \end{align*}$
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A – Étude de cas particulier

  1. a. Dans le tétraèdre $ABCE$, la hauteur issue de $E$ est $[EA]$ et celle issue de $C$ est $[BC]$.
    $\quad$
    b. Les droites $(EA)$ et $(BC)$ ne sont pas coplanaires. Les quatre hauteurs du tétraèdre $ABCE$ ne sont donc pas concourantes.
    $\quad$
  2. a. Dans le repère $\left(A;\vect{AB},\vect{AD},\vect{AE}\right)$ on a :
    $A(0;0;0)$ donc $0-0+0=0$ : les coordonnées du point $A$ sont solution de l’équation cartésienne fournie.
    $C(1;1;0)$  donc $1-1+0=0$ : les coordonnées du point $C$ sont solution de l’équation cartésienne fournie.
    $H(0;1;1)$ donc $0-1+1=0$ : les coordonnées du point $H$ sont solution de l’équation cartésienne fournie.
    Une équation cartésienne su plan $(ACH)$ est donc $x-y+z=0$.
    $\quad$
    b. Un vecteur normal à ce plan est donc $\vec{n}(1;-1;1)$.
    Or les coordonnées de $F$ sont $(1;0;1)$ et celles de $D$ sont $(0;1;0)$.
    On a donc $\vect{FD}(-1;1;-1)$. Ainsi $\vect{FD}=-\vec{n}$.
    Le vecteur $\vect{FD}$ est par conséquent normal au plan $(ACH)$ et la droite $(FD)$ est la hauteur issue de $F$ du tétraèdre $ACHF$.
    $\quad$
    c. La hauteur du tétraèdre $ACHF$ issue de $A$ est $[AG]$, celle issue de $C$ est $[CE]$ et celle issue de $H$ est $[BH]$.
    Ces quatre hauteurs se coupent en $O$ le centre du cube. Elles sont donc concourantes.
    $\quad$

Partie B – Une propriété des tétraèdre orthocentriques

  1. a. La droite $(MK)$ est orthogonale au plan $(NPQ)$. Elle est donc orthogonale à toutes les droites de ce plan, en particulier $(PQ)$.
    $\quad$
    b. La droite $(PQ)$ est donc orthogonale à deux droites sécantes du plan $(MNK)$. Elle est donc orthogonale à ce plan.
    $\quad$
  2. La droite $(PQ)$ est orthogonale au plan $(MNK)$. Elle est donc orthogonale à toutes les droites de ce plan, en particulier à $(MN)$.
    Ainsi les arêtes $[MN]$ et $[PQ]$ sont orthogonales.
    $\quad$

Partie C – Application

On a $\vect{RT}(7;-6;3)$ et $\vect{SU}(3;3;5)$.
Donc $\vect{RT}.\vect{SU}=3\times 7-6\times 3+3\times 5=18\neq 0$.

D’après la contraposée de la propriété donnée à la fin de la partie B le tétraèdre $RSTU$ n’est pas orthocentrique.
$\quad$

 

Ex 4 obl

Exercice 4

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

  1. a.
    $\begin{align*} \dfrac{\sqrt{3}}{2}\e^{-\ic\pi/6}&=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(\cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)+\ic \sin \left(-\dfrac{\pi}{6}\right)\right) \\
    &=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{\ic}{2}\right) \\
    &=\dfrac{3}{4}-\dfrac{\ic\sqrt{3}}{4} \\
    &=\dfrac{3-\ic\sqrt{3}}{4}
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. On a donc :
    $z_1=\dfrac{3-\ic\sqrt{3}}{4}  \times 8 =8 \times  \dfrac{\sqrt{3}}{2}\e^{-\ic\pi/6} = 4\sqrt{3}\e^{-\ic\pi/6}$
    $z_2=\dfrac{3-\ic\sqrt{3}}{4}  \times 4\sqrt{3}\e^{-\ic\pi/6} = 4\sqrt{3}\e^{-\ic\pi/6} \times \dfrac{\sqrt{3}}{2}\e^{-\ic\pi/6} = 6\e^{-\ic \pi/3}$
    $z_3=\dfrac{3-\ic\sqrt{3}}{4} \times 6\e^{-\ic \pi/3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\e^{-\ic\pi/6} \times 6\e^{-\ic \pi/3}=3\sqrt{3}\e^{-\ic\pi/2}$
    On a donc $z_3=-3\ic\sqrt{3}$ est un nombre imaginaire pur dont la partie imaginaire est $-3\sqrt{3}$.
    $\quad$
    c. On obtient :
  2. a. Initialisation : Si $n=0$ alors $8\times \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^0\e^{0}=8=z_0$.
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : Supposons vraie la propriété au rang $n$ : $z_n=8\times \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^n\times \e^{-\ic n \pi/6}$.
    Montrons qu’elle est vraie au rang suivant : $z_{n+1}=8\times \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{n+1}\times \e^{-\ic (n+1) \pi/6}$
    $\begin{align*} z_{n+1}&= \dfrac{3-\ic\sqrt{3}}{4}z_n \\
    &=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\e^{-\ic \pi/6} \times 8\times \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^n\times \e^{-\ic n \pi/6}\\
    &=8\times \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{n+1}\times \e^{-\ic (n+1) \pi/6}
    \end{align*}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $z_n=8\times \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^n\times \e^{-\ic n \pi/6}$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $u_n=\left|z_n\right|=8\times \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^n$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et de premier terme $u_0=8$
    Or $-1< \dfrac{\sqrt{3}}{2} <1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^n=0$
    et $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=0$.
    $\quad$
  3. a. Pour tout entier naturel $k$ on a :
    $\begin{align*} \dfrac{z_{k+1}-z_k}{z_{k+1}} &=1-\dfrac{z_k}{z_{k+1}} \\
    &=1-\dfrac{ 8\times \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^k\times \e^{-\ic k \pi/6}}{8\times \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^(k+1)\times \e^{-\ic (k+1) \pi/6}} \\
    &=1-\dfrac{1}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}\e^{\ic\pi/6}} \\
    &=1-\dfrac{2\e^{\ic \pi/6}}{\sqrt{3}} \\
    &=1-\dfrac{2}{\sqrt{3}}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\ic}{2}\right) \\
    &=1-1-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\ic \\
    &=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\ic
    \end{align*}$
    $\quad$
    Cela signifie donc que $\left|\dfrac{z_{k+1}-z_k}{z_{k+1}}\right|=\dfrac{1}{\sqrt{3}} \ssi \dfrac{A_kA_{k+1}}{OA_{k+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
    Soit $A_kA_{k+1}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}OA_{k+1}$.
    $\quad$
    b. $u_1=\left|z_1\right|=4\sqrt{3}$.
    Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} \ell_n=\dfrac{1}{\sqrt{3}}OA_1+\dfrac{1}{\sqrt{3}}OA_2+\ldots +\dfrac{1}{\sqrt{3}}OA_n \\
    &=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\left(u_1+u_2+\ldots+u_n\right) \\
    &=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\times u_1\times \dfrac{1-\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{n}}{1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \\
    &=\dfrac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\times \dfrac{1-\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{n}}{1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \\
    &=4\times \dfrac{1-\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{n}}{1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}}
    \end{align*}$
    Or $\lim\limits_{n \to +\infty} \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^n=0$
    Donc $\lim\limits_{n \to \infty} \ell_n= \dfrac{4}{1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}} $
    La suite $\left(\ell_n\right)$ est bien convergente.
    $\quad$

Ex 4 spé

Exercice 4

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

  1. $3^2-8\times 1^2=9-8=1$.
    Le couple $(3;1)$ est donc solution de l’équation $(E)$.
    $\quad$
  2. a.Initialisation :  Si $n=0$ alors $1^2-8\times 0^2=1$. Le couple $\left(x_0;y_0\right)$ est donc solution de l’équation $(E)$.
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $\left(x_n;y_n\right)$ est solution de l’équation $(E)$.
    Montrons qu’elle est encore vraie au rang suivant, c’est-à-dire que $\left(x_{n+1};y_{n+1}\right)$ est solution de l’équation $(E)$.
    On a $\begin{pmatrix} x_{n+1}\\y_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3x_n+8y_n\\x_n+3y_n\end{pmatrix}$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} \left(x_{n+1}\right)^2-8\left(y_{n+1}\right)^2 &= \left(3x_n+8y_n\right)^2-8\left(x_n+3y_n\right)^2 \\
    &=9{x_n}^2+64{y_n}^2+48x_ny_n-8\left({x_n}^2+9{y_n}^2+6x_ny_n\right) \\
    &=9{x_n}^2+64{y_n}^2+48x_ny_n-8{x_n}^2-72{y_n}^2-48x_ny_n \\
    &={x_n}^2-8{y_n}^2 \\
    &=1
    \end{align*}$
    La propriété est vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ le couple $\left(x_n;y_n\right)$ est solution de l’équation $(E)$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $x_{n+1}-x_n=3x_n+8y_n-x_n=2x_n+8y_n>0$ puisque $x_n$ et $y_n$ sont des entiers naturels et $x_n>0$.
    $\quad$
  3. La suite $\left(x_n\right)$ est donc une suite strictement croissante d’entiers naturels.
    L’équation $(E)$ admet donc une infinité de couples solutions.
    $\quad$

Partie B

  1. Le seul nombre premier qui divise $8$ est $2$ et $8$ est divisible par $2^2=4$.
    Le seul nombre premier qui divise $9$ est $3$ et $9$ est divisible par $3^2=9$.
    Ces deux entiers consécutifs sont donc puissants.
    $\quad$
  2. a. Les diviseurs premiers de $n$ sont les diviseurs premiers de $a$  ou de $b$.
    Soit $p$ un diviseur premier de $a$. Il existe alors un entier naturel $q$ tel que $a=pq$.
    Donc $n=p^2q^2b^3$ et $p^2$ divise $n$.
    Soit $r$ un diviseur premier de $b$. Il existe alors un entier naturel $s$ tel que $b=rs$.
    Donc $n=a^2r^3s^3=a^2r^2rs^3$ et $r^2$ divise $n$.
    $n$ est donc un nombre puissant.
    $\quad$
  3. Soit $(x;y)$ un couple solution de l’équation $(E)$.
    Ainsi $x^2-8y^2=1$ soit $x^2-1=8y^2=2^3y^2$.
    D’après la question précédente, le nombre $x^2-1$ est puissant.
    Les seuls diviseurs premiers de $x^2$ sont les diviseurs premiers de $x$.
    Si $p$ est diviseur premier de $x$, il existe alors un entier naturel $q$ tel que $x=pq$.
    Donc $x^2=p^2q^2$ et $p^2$ divise $x^2$.
    $x^2$ est donc un nombre puissant.
    Remarque : On pouvait également dire que $x^2=1^3\times x^2$ et appliquer la propriété précédente.
    $\quad$
    Ainsi, $x^2-1$ et $x^2$ sont deux entiers naturels consécutifs puissants.
    $\quad$
  4. D’après la question A.3. il existe une infinité de couples solutions à l’équation $(E)$.
    La question précédente nous indique que pour chaque couple solution on peut déterminer deux entiers consécutifs puissants.
    Il existe donc une infinité de couples de nombres entiers consécutifs puissants.
    $\quad$
    On a, à l’aide de la calculatrice $\begin{pmatrix} x_3\\y_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 99\\35\end{pmatrix}$
    Donc $99^2=9~801$ et $99^2-1=9~800$ sont puissants.
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1     6 points

Dans cet exercice, on munit le plan d’un repère orthonormé.

On a représenté ci-dessous la courbe d’équation ! $$y=\dfrac{1}{2}\left(\e^x+\e^{-x}-2\right)$$
Cette courbe est appelée une «chaînette ».

On s’intéresse ici aux « arcs de chaînette » délimités par deux points de cette courbe symétriques par rapport à l’axe des ordonnées.
Un tel arc est représenté sur le graphique ci-dessous en trait plein.
On définit la « largeur » et la « hauteur » de l’arc de chaînette délimité par les points et $M$ et $M’$ comme indiqué sur le graphique.

Le but de l’exercice est d’étudier les positions possibles sur la courbe du point $M$ d’abscisse $x$ strictement positive afin que la largeur de l’arc de chaînette soit égale à sa hauteur.

  1. Justifier que le problème étudié se ramène à la recherche des solutions strictement positives de l’équation $(E) : e^x+e^{-x}-4x-2=0$.
    $\quad$
  2. On note $f$ la fonction définie sur l’intervalle $[0;+\infty[$ par : $$f(x)=\e^x+\e^{-x}-4x-2$$
    a. Vérifier que pour tout $x>0$, $f(x)=x\left(\dfrac{\e^x}{x}-4\right)+\e^{-x}-2$.
    $\quad$
    b. Déterminer $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)$.
    $\quad$
  3. a. On note $f’$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Calculer $f'(x)$, où $x$ appartient à l’intervalle $[0;+\infty[$.
    $\quad$
    b. Montrer que l’équation $f'(x)=0$ équivaut à l’équation : $\left(\e^x\right)^2-4\e^x-1=0$.
    $\quad$
    c. En posant $X=\e^x$, montrer que l’équation $f'(x)=0$ admet pour unique solution réelle le nombre $\ln\left(2+\sqrt{5}\right)$.
    $\quad$
  4. On donne ci-dessous le tableau de singes de la fonction dérive $f’$ de $f$ :

    a. Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
    $\quad$
    b. Démontrer que l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution strictement positive que l’on notera $\alpha$.
    $\quad$
  5. On considère l’algorithme suivant où les variables $a,b$ et $m$ sont des nombres réels :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{Tant que } b-a>0,1 \text{ faire :}\\
    \hspace{1cm} m\leftarrow \dfrac{a+b}{2} \\
    \hspace{1cm} \text{Si } \e^m+\e^{-m}-4m-2>0, \text{ alors :} \\
    \hspace{3cm} b \leftarrow m \\
    \hspace{1cm} \text{Sinon :}\\
    \hspace{3cm} a \leftarrow m \\
    \hspace{1cm} \text{Fin Si} \\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    a. Avant l’exécution de cet algorithme, les variables $a$ et $b$ contiennent respectivement les valeurs $2$ et $3$.
    Que contiennent-elles à la fin de l’exécution de l’algorithme?
    On justifiera la réponse en reproduisant et en complétant le tableau ci-contre avec les différentes valeurs prises par les variables, à chaque étape de l’algorithme.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    m&a&b&b-a\\
    \hline
    \text{X}&2&3&1\\
    \hline
    2,5&&&\\
    \hline
    \ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\
    \hline
    &&&\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. Comment peut-on utiliser les valeurs obtenues en fin d’algorithme à la question précédente?
    $\quad$
  6. La Gateway Arch, édifiée dans la ville de Saint-Louis aux ÉtatsUnis, a l’allure ci-dessous.
    La largeur de cet arc, exprimée en mètre, est égale au double de la solution strictement positive de l’équation : $$(E’) : \e^{t/39}+\e^{-t/39}-4\dfrac{4}{39}-2=0$$
    Donner un encadrement de la hauteur de la Gateway Arch.
    $\quad$

Exercice 2     4 points

Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes.

Le virus de la grippe atteint chaque année, en période hivernale, une partie de la population d’une ville.
La vaccination contre la grippe est possible ; elle doit être renouvelée chaque année.

Partie A

L’efficacité du vaccin contre la grippe peut être diminuée en fonction des caractéristiques individuelles des personnes vaccinées, ou en raison du vaccin, qui n’est pas toujours
totalement adapté aux souches du virus qui circulent. Il est donc possible de contracter la grippe tout en étant vacciné.
Une étude menée dans la population de la ville à l’issue de la période hivernale a permis de constater que :

  • $40\%$ de la population est vaccinée ;
  • $8\%$ des personnes vaccinées ont contracté la grippe ;
  • $20\%$ de la population a contracté la grippe.

On choisit une personne au hasard dans la population de la ville et on considère les événements :
$V$ : « la personne est vaccinée contre la grippe » ;
$G$ : « la personne a contracté la grippe ».

  1. a. Donner la probabilité de l’événement $G$.
    $\quad$
    b. Reproduire l’arbre pondéré ci-dessous et compléter les pointillés indiqués sur quatre de ses branches.
  2. Déterminer la probabilité que la personne choisie ait contracté la grippe et soit vaccinée.
    $\quad$
  3. La personne choisie n’est pas vaccinée. Montrer que la probabilité qu’elle ait contracté la grippe est égale à $0,28$.
    $\quad$

Partie B
Dans cette partie, les probabilités demandées seront données à $10{-3}$ près.

Un laboratoire pharmaceutique mène une étude sur la vaccination contre la grippe dans cette ville.

Après la période hivernale, on interroge au hasard $n$ habitants de la ville, en admettant que ce choix se ramène à $n$ tirages successifs indépendants et avec remise. On suppose que la probabilité qu’une personne choisie au hasard dans la ville soit vaccinée contre la grippe est égale à $0,4$.
On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de personnes vaccinées parmi les $n$ interrogées.

  1. Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$?
    $\quad$
  2. Dans cette question, on suppose que $n=40$.
    a. Déterminer la probabilité qu’exactement $15$ des $40$ personnes interrogées soient vaccinées.
    $\quad$
    b. Déterminer la probabilité qu’au moins la moitié des personnes interrogées soit vaccinée.
    $\quad$
  3. On interroge un échantillon de $3~750$ habitants de la ville, c’est-à-dire que l’on suppose ici que $n=3~750$.
    On note $Z$ la variable aléatoire définie par : $Z=\dfrac{X-1~500}{30}$.
    $\quad$
    On admet que la loi de probabilité de la variable aléatoire $Z$ peut être approchée par la loi normale centrée réduite.
    $\quad$
    En utilisant cette approximation, déterminer la probabilité qu’il y ait entre $1~450$ et $1~550$ individus vaccinés dans l’échantillon interrogé.
    $\quad$

Exercice 5     5 points

Le but de cet exercice est d’examiner, dans différents cas, si les hauteurs d’un tétraèdre sont concourantes, c’est-à-dire d’étudier l’existence d’un point d’intersection de ses quatre hauteurs.

On rappelle que dans un tétraèdre $MNPQ$, la hauteur issue de $M$ est la droite passant par orthogonale au plan $(NPQ)$ .

Partie A – Étude de cas particuliers

On considère un cube $ABCDEFGH$.

On admet que les droites $(AG) $, $(BH)$ , $CE)$ et $(DF)$ , appelées « grandes diagonales » du cube, sont concourantes.

  1. On considère le tétraèdre $ABCE$.
    a. Préciser la hauteur issue de $E$ et la hauteur issue de $C$ dans ce tétraèdre.
    $\quad$
    b. Les quatre hauteurs du tétraèdre $ABCE$ sont-elles concourantes?
    $\quad$
  2. On considère le tétraèdre $ACHF$ et on travaille dans le repère $\left(A;\vect{AB},\vect{AD},\vect{AE}\right)$.
    a. Vérifier qu’une équation cartésienne du plan $(ACH)$ est : $x-y+z=0$.
    $\quad$
    b. En déduire que $(FD)$ est la hauteur issue de $F$ du tétraèdre $ACHF$.
    $\quad$
    c. Par analogie avec le résultat précédent, préciser les hauteurs du tétraèdre  $ACHF$ issues respectivement des sommets $A,C$ et $H$.
    Les quatre hauteurs du tétraèdre $ACHF$ sont-elles concourantes?
    $\quad$

Dans la suite de cet exercice, un tétraèdre dont les quatre hauteurs sont concourantes sera appelé un tétraèdre orthocentrique.

Partie B – Une propriété des tétraèdres orthocentriques

Dans cette partie, on considère un tétraèdre $MNPQ$ dont les hauteurs issues des sommets $M$ et $N$ sont sécantes en un point $K$. Les droites $(MK)$ et $(NK)$ sont donc orthogonales aux plans $(NPQ)$ et $(MPQ)$ respectivement.

  1. a. Justifier que la droite $(PQ)$ est orthogonal à la droite $(MK)$; on admet de même que les droites $(PQ)$ et $(NK)$ sont orthogonales.
    $\quad$
    b. Que peut-on déduire de la question précédente relativement à la droite $(PQ)$ et au plan $(MNK)$? Justifier la réponse.
    $\quad$
  2. Montrer que les arêtes $[MN]$ et $[PQ]$ sont orthogonales.
    $\quad$

Ainsi, on obtient la propriété suivante :
Si un tétraèdre est orthocentrique, alors ses arêtes opposées sont orthogonales deux à deux.
(On dit que deux arêtes d’un tétraèdre sont « opposées » lorsqu’elles n’ont pas de sommet commun.)

$\quad$

Partie C – Application

Dans un repère orthonormé, on considère les points : $R(-3;5;2)$ , $S(1;4;-2)$ , $T(4;-1;5)$ et $U(4;7;3)$.

Le tétraèdre $RSTU$ est-il orthocentique? Justifier.

$\quad$

Exercice 4     5 points

Pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct $\Ouv$.

On pose $z_0=8$ et, pour tout entier naturel $n$ : $$z_{n+1}=\dfrac{3-\ic\sqrt{3}}{4}z_n$$
On note $A_n$ le point du plan d’affixe $z_n$.

  1. a. Vérifier que : $$\dfrac{3-\ic\sqrt{3}}{4}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\e^{-\ic\pi/6}$$
    $\quad$
    b. En déduire l’écriture de chacun des nombres complexes $z_1$, $z_2$ et $z_3$ sous forme exponentielle et vérifier que $z_3$ est un imaginaire pur dont on précisera la partie imaginaire.
    $\quad$
    c. Représenter graphiquement les points $A_0$, $A_1$, $A_2$ et $A_3$; on prendre pour unité le centimètre.
    $\quad$
  2. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $$z_n=8\times \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^n\e^{-\ic n\pi/6}$$
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n=\left|z_n\right|$.
    Déterminer la naturel et la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
  3. a. Démontrer que, pour tout entier naturel $k$, $$\dfrac{z_{k+1}-z_k}{z_{k+1}}=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\ic$$
    En déduire que, pour tout entier naturel $k$, on a l’égalité $A_kA_{k+1}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}OA_{k+1}$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$, on appelle $\ell_n$ la longueur de la ligne brisée reliant dans cet ordre les points $A_0$, $A_1$, $A_2$, $\ldots$, $A_{n-1}$, $A_n$.
    On a ainsi : $\ell_n=A_0A_1+A_1A_2+\ldots+A_{n-1}A_n$.
    Démontrer que la suite $\left(\ell_n\right)$ est convergente et calculer sa limite.
    $\quad$

Exercice 4     5 points

Pour les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

On considère l’équation suivante dont les inconnues $x$ et $y$ sont des entiers naturels : $$x^2-8y^2=1 \qquad (E)$$

  1. Déterminer un couple solution $(x;y)$ où $x$ et $y$ sont deux entiers naturels.
    $\quad$
  2. On considère la matrice $A=\begin{pmatrix}3&8\\1&3\end{pmatrix}$.
    On définit les suites d’entiers naturels $\left(x_n\right)$ et $\left(y_n\right)$ par :
    $$x_0=1,y=0=0, \text{ et pour tout entier naturel }n, \begin{pmatrix}x_{n+1}\\y_{n+1}\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}x_n\\y_n\end{pmatrix}$$
    a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, le couple $\left(x_n;y_n\right)$ est solution de l’équation $(E)$.
    $\quad$
    b. En admettant que la suite $\left(x_n\right)$ est à valeur strictement positives, démontrer que pour tout entier naturel $n$, on a : $x_{n+1}>x_n$.
    $\quad$
  3. En déduire que l’équation $(E)$ admet une infinité de couples solutions.
    $\quad$

Partie B

Un entier naturel $n$ est appelé un nombre puissant lorsque, pour tout diviseur premier $p$ de $n$, $p^2$ divise $n$.

  1. Vérifier qu’il existe deux nombres entiers consécutifs inférieurs à $10$ qui sont puissants.
    $\quad$
    L’objectif de cette partie est de démontrer, à l’aide des résultats de la partie A, qu’il existe une infinité de couples de nombres entiers naturels consécutifs puissants et d’en trouver quelques exemples.
    $\quad$
  2. Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels.
    Montrer que l’entier naturel $n=a^2b^3$ est un nombre puissant.
    Remarque : (oubli de l’énoncé) il faut que $n\neq 1$.
    $\quad$
  3. Montrer que si $(x;y)$ est un couple solution de l’équation $(E)$ définie dans la partie A, alors $x^2-1$ et $x^2$ sont des entiers consécutifs puissants.
    $\quad$
  4. Conclure quant à l’objectif fixé pour cette partie, en démontrant qu’il existe une infinité de couples de nombres entiers consécutifs puissants.
    Déterminer deux nombres entiers consécutifs puissants supérieurs à $2018$.
    $\quad$

 

Bac S – Antilles Guyane – Juin 2018

Antilles Guyane – Juin 2018

Bac S – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. On veut calculer $p(C\cap H)=0,3\times 0,459=0,137~7$.
    La probabilité que l’arbre abattu soit un chêne vendu à un habitant de la commune est $0,137~7$.
    $\quad$
  3. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(H)&=p(C\cap H)+p(S\cap H)+p(E\cap H) \\
    &=0,3\times 0,459+0,5\times 0,8 +0,2\times 0,25 \\
    &=0,137~7+0,4+0,05 \\
    &=0,587~7
    \end{align*}$
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_H(S)&=\dfrac{p(S\cap H)}{p(H)} \\
    &=\dfrac{0,5\times 0,8}{0,587~7} \\
    &\approx 0,681
    \end{align*}$
    La probabilité qu’un arbre abattu vendu à un habitant de la commune soit un sapin est environ égale à $0,681$.
    $\quad$

Partie B

  1. On a $p(3~400  \pp X \pp 4~600)=p(\mu-2\sigma \pp X\pp \mu+2\sigma) \approx 0,954$
    $\quad$
  2. $p(X \pg 4~500)=0,5-p(4~000\pp X \pp 4~500) \approx 0,048$
    $\quad$

Partie C

On a $n=200$ et $p=0,5$.
Donc $n \pg 30$, $np=100 \pg 5$ et $n(1-p)=100 \pg 5$.

Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ est :
$\begin{align*} I_{200} &=\left[0,5-1,96\sqrt{\dfrac{0,5\times 0,5}{200}};0,5+1,96\sqrt{\dfrac{0,5\times 0,5}{200}}\right] \\
&\approx [0,431;0,570]
\end{align*}$

La fréquence observée est $f=\dfrac{106}{200}=0,53 \in I_{200}$.

Ce résultat ne remet pas en cause l’affirmation de l’exploitant.

$\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. Les plans $(FGH)$ et $(BCD)$ sont parallèles.
    La droite $(LM)$ est l’intersection du plan $(FGH)$ avec le plan $(SLM)$.
    La droite $(BD)$ est l’intersection du plan $(BCD)$ avec le plan $(SLM)$.
    Par conséquent les droites $(LM)$ et $(BD)$ sont parallèles.
    $\quad$
  2. Dans le repère $\left(A;\vect{AI},\vect{AJ},\vect{AK}\right)$ on a :
    $F(6;0;6)$, $E(0;0;6)$.
    Par conséquent $\vect{FE}(-6;0;0)$.
    Donc :
    $$\begin{align*} \vect{FL}=\dfrac{2}{3}\vect{FE} &\ssi \begin{cases} x_L-6=\dfrac{2}{3}\times (-6) \\y_L-0=\dfrac{2}{3}\times 0 \\z_L-6=\dfrac{2}{3}\times 0 \end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases}x_L-6=-4\\y_L=0\\z_L=6\end{cases}
    \end{align*}$$
    Les coordonnées du point $L$ sont donc $(2;0;6)$.
    $\quad$
  3. a. On a $B(6;0;0)$ et $\vect{BL}(-4;0;6)$
    Une représentation paramétrique de la droite $(BL)$ est :
    $$\begin{cases} x=6-4t\\y=0\\z=6t\end{cases}, \quad t \in \R$$
    $\quad$
    b. Le point $S$ appartient à la droite $(AE)$. Ses coordonnées sont donc $\left(0;0;z_S\right)$.
    De plus le point $S$ appartient à la droite $(BL)$.
    On a donc :
    $$\begin{align*} \begin{cases} 0=6-4t\\x_S=0\\y_S=0\\z_S=6t\end{cases} &\ssi \begin{cases} t=\dfrac{3}{2}\\x_S=0\\y_S=0\\z_S=\dfrac{3}{2}\times 6\end{cases}
    \end{align*}$$
    Le point $S$ a donc pour coordonnées $(0;0;9)$.
    $\quad$
  4. a. On a $B(6;0;0)$ et $D(0;6;0)$. Par conséquent $\vect{BD}(-6;6;0)$.
    De plus $\vect{BL}(-4;0;6)$.
    Ainsi $\vec{n}.\vect{BD}=3\times (-6)+3\times 6+2\times 0=0$
    et $\vec{n}.\vect{BL}=3\times (-4)+3\times 0+2\times 6=0$
    Le vecteur $\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires (ils n’ont pas la même coordonnée nulle) du plan $(BDL)$.
    $\vec{n}$ est donc un vecteur normal au plan $(BDL)$.
    $\quad$
    b. Une équation cartésienne du plan $(BDL)$ est ainsi de la forme $$3x+3y+2z+d=0$$
    Le point $B(6;0;0)$ appartient à ce plan.
    Donc $3\times 6+0+0+d=0 \ssi d=-18$.
    Une équation cartésienne du plan $(BDL)$ est par conséquent $$3x+3y+2z-18=0$$
    $\quad$
    c. Le point $M$ est le point d’intersection de la droite $(EH)$ et du plan $(BDL)$.
    Ses coordonnées sont donc solution du système :
    $\begin{align*} \begin{cases}x=0\\y=s\\z=6\\3x+3y+2z-18=0\end{cases} &\ssi \begin{cases} x=0\\y=s\\z=6\\0+3s+12-18=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=0\\y=s\\z=6\\3s=6 \end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} s=2\\x=0\\y=2\\z=6\end{cases}
    \end{align*}$
    Le point $M$ a pour coordonnées $(0;2;6)$.
    $\quad$
  5. On a $\vect{EL}(2;0;0)$ donc $EL=2$
    et $\vect{EM}(0;2;0)$ donc $EM=2$
    L’aire du triangle $ELM$ est donc $\mathscr{A}=\dfrac{2\times 2}{2}=2$ m$^2$.
    De plus $\vect{ES}(0;0;3)$ donc $ES=3$.
    Le volume du tétraèdre $SELM$ est $V=\dfrac{2\times 3}{3}=2$ m$^3$.
    $\quad$
  6. On a $\vect{LS}(-2;0;3)$ et $\vect{LE}(-2;0;0)$.
    Par conséquent $LS=\sqrt{(-2)^2+0^2+3^2}=\sqrt{13}$ et $LE=2$
    D’une part $\vect{LS}.\vect{LE}=-2\times (-2)+0+0=4$
    D’autre part $\vect{LS}.\vect{LE}=2\sqrt{13}\cos\widehat{SLE}$
    Donc $\cos\widehat{SLE}=\dfrac{4}{2\sqrt{13}}$
    Ainsi $\widehat{SLE} \approx 56,3$°.
    La contrainte d’angle est respectée.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A – Étude de la fonction $\boldsymbol{f}$

  1. Pour tout réel $x$ on a $-1 \pp \cos x \pp 1$ donc $-1\pp -\cos x \pp 1$
    et $-1\pp \sin x \pp 1$
    Ainsi $-1-1+1 \pp -\cos x+\sin x+1 \pp 1+1+1 \ssi -1\pp -\cos x+\sin x+1 \pp 3$
    La fonction exponentielle étant strictement positive sur $\R$.
    On a alors $-\e^{-x} \pp f(x) \pp 3\e^{-x}$.
    $\quad$
  2. $\lim\limits_{x \to +\infty} -x=-\infty$ et $\lim\limits_{X \to -\infty} \e^X=0$.
    Donc $\lim\limits_{x \to +\infty} \e^{-x}=0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{x \to +\infty}-\e^{-x}=0$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} 3\e^{-x}=0$.
    D’après le théorème des gendarmes $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=0$.
    $\quad$
  3. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur $\R$.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=-\e^{-x}\left(-\cos x+\sin x+1\right)+\e^{-x}\left(-(-\sin x)+\cos x\right) \\
    &=\left(\cos x-\sin x-1+\sin x+\cos x\right)\e^{-x} \\
    &=\left(2\cos x-1\right)\e^{-x}
    \end{align*}$
    $\quad$
  4. a. La fonction exponentielle est strictement positive sur $[-\pi;\pi]$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $2\cos x-1$.
    Or, sur l’intervalle $[-\pi;\pi]$ :
    $2\cos x-1=0 \ssi \cos x =0,5 \ssi \begin{cases} x=\dfrac{\pi}{3}\\\text{ou}\\x=-\dfrac{\pi}{3}\end{cases}$
    et $2\cos x-1>0 \ssi \cos x>0,5 \ssi x \in \left]-\dfrac{\pi}{3};\dfrac{\pi}{3}\right[$.
    Ainsi sur l’intervalle $[-\pi;\pi]$, $f'(x)<0$ sur $\left]-\pi;-\dfrac{\pi}{3}\right[\cup\left]\dfrac{\pi}{3};\pi\right]$.
    $\quad$
    b. La fonction $f$ est donc décroissante sur les intervalles $\left]-\pi;-\dfrac{\pi}{3}\right[$ et $\left]\dfrac{\pi}{3};\pi\right]$ et elle est croissante sur l’intervalle $\left]-\dfrac{\pi}{3};\dfrac{\pi}{3}\right[$.
    $\quad$

Partie B – Aire du logo

  1. Pour tout réel $x$ on a : $f(x)-g(x)=\e^{-x}\left(\sin x+1\right)$.
    Or $-1\pp \sin x\pp 1$ donc $0\pp \sin x +1 \pp 2$.
    Puisque la fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$, cela signifie donc que $f(x)-g(x) \pg 0$.
    La courbe $\mathscr{C}_f$ est par conséquent toujours au-dessus de la courbe $\mathscr{C}_g$.
    $\quad$
  2. a.

    $\quad$
    b. La fonction définie sur $\R$ par $f(x)-g(x)$ est positive (question B.1) et continue (somme de fonctions continues sur $\R$).
    Par conséquent l’aire du domaine $\mathcal{D}$ est :
    $\begin{align*} \ds \mathscr{A}&=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \left(f(x)-g(x)\right) \dx \\
    &=H\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)-H\left(-\dfrac{\pi}{2}\right) \\
    &=\left(\dfrac{1}{2}-1\right)\e^{-3\pi/2}-\left(\dfrac{1}{2}-1\right)\e^{\pi/2} \\
    &=-\dfrac{1}{2}\e^{-3\pi/2}+\dfrac{1}{2}\e^{\pi/2} \text{ u.a.}
    \end{align*}$
    Or $1$ u.a. $=2^2=4$ cm$^2$.
    Ainsi $\mathscr{A}\approx 9,60$ cm$^2$.
    $\quad$

Ex 4 obl

Exercice 4

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

  1. On a $u_1=(1-0,05)\times (u_0+80)=0,95\times 3~080=2~926$.
    $\quad$
  2. $80$ cétacés arrivent dans la réserve sur la première période.
    On a ainsi $u_n+80$ cétacés.
    Il y a ensuite une de $5\%$ de son effectif sur une seconde période.
    Donc $u_{n+1}=0,95\left(u_n+80\right)=0,95u_n+76$.
    $\quad$
  3. On a pu saisir $=0,95*B2+76$.
    $\quad$
  4. a. Montrons ce résultat par récurrence.
    Initialisation : Si $n=0$ alors $u_0 = 3~000 \pg 1~520$.
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $u_n \pg 1~520$.
    Montrons que la propriété est encore vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $u_{n+1} \pg 1~520$
    $\begin{align*} u_n \pg 1~520 &\ssi 0,95u_n \pg 1~444 \\
    &\ssi 0,95u_n+76 \pg 1~520 \\
    &\ssi u_{n+1} \pg1~520
    \end{align*}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n\pg 1~520$.
    $\quad$
    b. Soit $n$ un entier naturel. On a alors :
    $\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=0,95u_n+76-u_n \\
    &=-0,05u_n+76 \\
    &\pp 0,05\times 1~520+76 \\
    &\pp 0
    \end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc décroissante.
    $\quad$
    c. La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et minorée par $1~520$. Elle converge donc.
    $\quad$
  5. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=u_n-1~520 \ssi u_n=v_n+1~520$.
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-1~520 \\
    &=0,95u_n+76-1~520 \\
    &=0,95u_n-1~444 \\
    &=0,95\left(v_n+1~520\right)-1~444 \\
    &=0,95v_n+1~444-1~444 \\
    &=0,95v_n
    \end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,95$ et de premier terme $v_0=u_0-1~520=1~480$.
    $\quad$
    b. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a :
    $v_n=1~480\times 0,95^n$ et $u_n=v_n+1~520=1~480\times 0,95^n+1~520$.
    $\quad$
    c. On a $-1<0,95<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,95^n=0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=1~520$.
    $\quad$
  6. On obtient l’algorithme :
    $\begin{array}{|l|}
    \hline
    n \leftarrow 0\\
    u \leftarrow 3~000 \\
    \text{Tant que } u>2~000 \\
    \hspace{1cm} \begin{array}{|l} n \leftarrow n+1 \\u \leftarrow 0,95\times u+76 \end{array} \\
    \text{Fin de Tant que }\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
  7. La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et tend vers $1~520<2~000$.
    La réserve marine fermera donc un jour.
    On veut déterminer la valeur du plus petit entier naturel $n$ tel que
    $\begin{align*} u_n \pp 2~000 &\ssi 1~480\times 0,95^n+1~520 \pp 2~000 \\
    &\ssi 1~480\times 0,95^n \pp 480 \\
    &\ssi 0,95^n \pp \dfrac{12}{37} \\
    &\ssi n\ln(0,95) \pp \ln \dfrac{12}{37} \\
    &\ssi n \pg \dfrac{\ln \dfrac{12}{37}}{\ln(0,95)}
    \end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln \dfrac{12}{37}}{\ln(0,95)}\approx 21,95$.
    Donc $n \pg 22$.
    La réserve marine fermera en 2039.
    $\quad$

Ex spé

Exercice 4

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

  1. On appelle $L$ l’état “le pêcheur possède une carte de pêche libre” et $Q$ l’état “le pêcheur possède une carte de pêche avec quota”.
    On obtient donc le graphe probabiliste suivant :

    Ainsi pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\ell_{n+1}=0,65\ell_n+0,45q_n$ et $q_{n+1}=0,55q_n+0,35\ell$.
    Par conséquent $\begin{pmatrix} \ell_{n+1}\\q_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0,65&0,45\\0,35&0,55 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \ell_n\\ q_n \end{pmatrix}$
    Soit $P_{n+1}=MP_n$.
    $\quad$
  2. En 2019, on a $n=2$.
    Donc $P_2=M\times P_1=M^2P_0=\begin{pmatrix}0,556\\0,444\end{pmatrix}$.
    Ainsi $q_2=0,444$.
    $44,4\%$ des pêcheurs achètent une carte avec quota en 2019.
    $\quad$
  3. a. On a $TQ=QT=\begin{pmatrix}1&0\\0&1 \end{pmatrix}$.
    La matrice $Q$ est donc inversible et $Q^{-1}=T$.
    $\quad$
    b. On a $D=Q^{-1}MQ \ssi QDQ^{-1}=M$.
    $\quad$
    Montrons par récurrence sur $n$ que $M^n=QD^nQ^{-1}$.
    Initialisation : Si $n=1$ alors $QD^1Q^{-1}=QDQ^{-1}=M$
    La propriété est vraie au rang $1$.
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $M^n=QD^nQ^{-1}$.
    Montrons qu’elle est vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $M^{n+1}=QD^{n+1}Q^{-1}$.
    Alors
    $\begin{align*} M^{n+1}&=M\times M^n \\
    &=QDQ^{-1}\times QD^nQ^{-1} \\
    &=QDD^nQ^{-1} \\
    &=QD^{n+1}Q^{-1}
    \end{align*}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $M^n=QD^nQ^{-1}$.
    $\quad$
  4. a. Montrons par récurrence sur $n$ que $P_n=M^nP_0$.
    Initialisation : Si $n=1$ alors $P_1=MP_0$.
    La propriété est vraie ai rang $1$.
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $P_n=M^nP_0$.
    Montrons que la propriété est vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $P_{n+1}=M^{n+1}P_0$.
    $\begin{align*} P_{n+1}&=MP_n \\
    &=M\times M^nP_0 \\
    &=M^{n+1}P_0
    \end{align*}$
    La propriété est vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ non nul on a $P_n+M^nP_0$.
    $\quad$
    b. Ainsi
    $P_{n}=M_n\begin{pmatrix}0,4\\0,6\end{pmatrix}$
    Par conséquent
    $\begin{align*} \ell_n&=\dfrac{1}{16}\left[0,4\left(9+7\times 0,2^n\right)+0,6\left(9-9\times 0,2^n\right)\right] \\
    &=\dfrac{1}{16}\left(3,6+2,8\times 0,2^n+5,4-5,4\times 0,2^n\right) \\
    &=\dfrac{1}{16}\left(9-2,6\times 0,2^n\right) \\
    &=\dfrac{9}{16}-\dfrac{13}{80}\times 0,2^n
    \end{align*}$
    $\quad$
  5. Pour tout entier naturel $n$ on a $\dfrac{13}{80}\times 0,2^n>0$
    Donc $\ell < \dfrac{9}{16}<0,6$
    La proportion de pêcheur achetant la carte de pêche libre ne dépassera jamais $60\%$.
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1     5 points

L’exploitant d’une forêt communale décide d’abattre des arbres afin de les vendre, soit aux habitants de la commune, soit à des entreprises. On admet que :

  • parmi les arbres abattus, $30 \%$ sont des chênes, $50 \%$ sont des sapins et les autres sont des arbres d’essence secondaire (ce qui signifie qu’ils sont de moindre valeur) ;
  • $45,9 \%$ des chênes et $80 \%$ des sapins abattus sont vendus aux habitants de la commune ;
  • les trois quarts des arbres d’essence secondaire abattus sont vendus à des entreprises.

Partie A

Parmi les arbres abattus, on en choisit un au hasard.
On considère les événements suivants :

  • $C$ : « l’arbre abattu est un chêne » ;
  • $S$ : « l’arbre abattu est un sapin » ;
  • $E$ : « l’arbre abattu est un arbre d’essence secondaire » ;
  • $H$ : « l’arbre abattu est vendu à un habitant de la commune ».
  1. Construire un arbre pondéré complet traduisant la situation.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité que l’arbre abattu soit un chêne vendu à un habitant de la commune.
    $\quad$
  3. Justifier que la probabilité que l’arbre abattu soit vendu à un habitant de la commune est égale à $0,587~7$.
    $\quad$
  4. Quelle est la probabilité qu’un arbre abattu vendu à un habitant de la commune soit un sapin ?
    On donnera le résultat arrondi à $10^{−3}$.
    $\quad$

Partie B

Le nombre d’arbres sur un hectare de cette forêt peut être modélisé par une variable aléatoire $X$ suivant une loi normale d’espérance $\mu= 4~000$ et d’écart-type $\sigma = 300$.

  1. Déterminer la probabilité qu’il y ait entre $3~400$ et $4~600$ arbres sur un hectare donné de cette forêt. On donnera le résultat arrondi à $10^{−3}$.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité qu’il y ait plus de $4~500$ arbres sur un hectare donné de cette forêt. On donnera le résultat arrondi à $10^{−3}$.
    $\quad$

Partie C
L’exploitant affirme que la densité de sapins dans cette forêt communale est de $1$ sapin pour $2$ arbres.
Sur une parcelle, on a compté $106$ sapins dans un échantillon de $200$ arbres.
Ce résultat remet-il en cause l’affirmation de l’exploitant ?
$\quad$

Exercice 2     5 points

Un artiste souhaite réaliser une sculpture composée d’un tétraèdre posé sur un cube de $6$ mètres d’arête.
Ces deux solides sont représentés par le cube $ABCDEFGH$ et par le tétraèdre $SELM$ ci-dessous.

On munit l’espace du repère orthonormé $\left(A;\vect{AI},\vect{AJ},\vect{AK}\right)$ tel que : $I\in [AB]$, $J\in [AD]$, $K\in [AE]$ et $AI=AJ=AK=1$, l’unité graphique représentant $1$ mètre.
Les points $L,M$ et $S$ sont définis de la façon suivante :

  • $L$ est le point tel que $\vect{FL}=\dfrac{2}{3}\vect{FE}$;
  • $M$ est le point d’intersection du plan $(BDL)$ et de la droite $(EH)$;
  • $S$ est le point d’intersection des droites $(BL)$ et $(AK)$.
  1. Démontrer, sans calcul de coordonnées, que les droites $(LM)$ et $(BD)$ sont parallèles.
    $\quad$
  2. Démontrer que les coordonnées du point $L$ sont $(2;0;6)$.
    $\quad$
  3. a. Donner une représentation paramétrique de la droite $(BL)$ .
    $\quad$
    b. Vérifier que les coordonnées du point $S$ sont $(0; 0; 9)$.
    $\quad$
  4. Soit $\vec{n}$ le vecteur de coordonnées $(3;3;2)$.
    a. Vérifier que $\vec{n}$ est un vecteur normal au plan $(BDL)$.
    $\quad$
    b. Démontrer qu’une équation cartésienne du plan $(BDL)$ est
    $$3x+3y+2z-18= 0$$
    $\quad$
    c. On admet que la droite $(EH)$ a pour représentation paramétrique : $$\begin{cases} x=0\\y=s\\z=6\end{cases}, \quad s\in\R$$
    Calculer les coordonnées du point $M$.
    $\quad$
  5. Calculer le volume du tétraèdre $SELM$. On rappelle que le volume $V$ d’un tétraèdre est donné par la formule suivante :
    $$V=\dfrac{1}{3}\times~Aire~de~la~base~\times~Hauteur$$
    $\quad$
  6. L’artiste souhaite que la mesure de l’angle $\widehat{SLE}$ soit comprise entre $55$° et $60$°.
    Cette contrainte d’angle est-elle respectée?
    $\quad$

Exercice 3     5 points

Un publicitaire souhaite imprimer le logo ci-dessous sur un T-shirt :

Il dessine ce logo à l’aide des courbes de deux fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ par : $$f(x)=\e^{-x}(-\cos x+\sin x+1) \text{  et  } g(x)=-\e^{-x}\cos x$$
On admet que les fonctions $f$ et $g$ sont dérivables sur $\R$.

Partie A – Étude de la fonction $\boldsymbol{f}$

  1. Justifier que, pour tout $x\in \R$ : $$-\e^{-x} \pp f(x) \pp 3\e^{-x}$$
    $\quad$
  2. En déduire la limite de $f$ en $+\infty$.
    $\quad$
  3. Démontrer que, pour tout $x\in \R$, $f'(x)=\e^{-x}(2\cos x-1)$ où $f’$ est la fonction dérivée de $f$.
    $\quad$
  4. Dans cette question, on étudier la fonction $f$ sur l’intervalle $[-\pi;\pi]$.
    a. Déterminer le signe de $f'(x)$ pour $x$ appartenant à l’intervalle $[-\pi;\pi]$.
    $\quad$
    b. En déduire les variations de $f$ sur $[-\pi;\pi]$.
    $\quad$

Partie B – Aire du logo

On note $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ les représentations graphiques des fonctions $f$ et $g$ dans un repère orthonormé $\Oij$. L’unité graphique est de $2$ centimètres. Ces deux courbes sont tracées en ANNEXE.

  1. Étudier la position relative de la courbe $\mathcal{C}_f$ par rapport à la courbe $\mathcal{C}_g$ sur $\R$.
    $\quad$
  2. Soit $H$ la fonction définie sur $\R$ par : $$H(x)=\left(-\dfrac{\cos x}{2}-\dfrac{\sin x}{2}-1\right)\e^{-x}$$
    On admet que $H$ est une primitive de la fonction $x\mapsto (\sin x+1)\e^{-x}$ sur $\R$.
    On note $\mathcal{D}$ le domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}_f$, la courbe $\mathcal{C}_g$ et les droites d’équation $x=-\dfrac{\pi}{2}$ et $x=\dfrac{3\pi}{2}$.
    a. Hachurer le domaine $\mathcal{D}$ sur le graphique en annexe à rendre avec la copie.
    $\quad$
    b. Calculer, en unité d’aire, l’aire du domaine $\mathcal{D}$, puis en donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près en cm$^2$.
    $\quad$

ANNEXE

$\quad$

Exercice 4     5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Le directeur d’une réserve marine a recensé $3~000$ cétacés dans cette réserve au 1$\ier$ juin 2017.
Il est inquiet car il sait que le classement de la zone en « réserve marine » ne sera pas reconduit si le nombre de cétacés de cette réserve devient inférieur à $2~000$.

Une étude lui permet d’élaborer un modèle selon lequel, chaque année :

  • entre le 1$\ier$ juin et le 31 octobre, $80$ cétacés arrivent dans la réserve marine ;
  • entre le 1$\ier$ novembre et le 31 mai, la réserve subit une baisse de $5 \%$ de son effectif par rapport à celui du 31 octobre qui précède.

On modélise l’évolution du nombre de cétacés par une suite $\left(u_n\right)$. Selon ce modèle, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ désigne le nombre de cétacés au 1$\ier$ juin de l’année 2017$+n$. On a donc $u_0=3~000$.

  1. Justifier que $u_1=2~926$.
    $\quad$
  2. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=0,95u_n+76$.
    $\quad$
  3. À l’aide d’un tableur, on a calculé les $8$ premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$. Le directeur a configuré le format des cellules pour que ne soient affichés que des nombres arrondis à l’unité.

    Quelle formule peut-on entrer dans la cellule $C2$ afin d’obtenir, par recopie vers la droite, les termes de la suite $\left(u_n\right)$?
    $\quad$
  4. a. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_n \pg 1~520$.
    $\quad$
    b. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
    $\quad$
    c. Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente. On ne cherchera pas ici la valeur de la limite.
    $\quad$
  5. On désigne par $\left(v_n\right)$ la suite définie par, pour tout entier naturel $n$, $v_n=u_n-1~520$.
    a. Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,95$ dont on précisera le premier terme.
    $\quad$
    b. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n=1~480\times 0,95^n+1~520$.
    $\quad$
    c. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
  6. Recopier et compléter l’algorithme suivant pour déterminer l’année à partir de laquelle le nombre de cétacés présents dans la réserve marine sera inférieur à $2~000$.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    n\leftarrow 0\\
    u\leftarrow 3~000\\
    \text{Tant que }\ldots\ldots \\
    \hspace{1cm} \begin{array}{|l} n\leftarrow \ldots \ldots \\ u\leftarrow \ldots \ldots \end{array}\\
    \text{Fin de Tant que} \\
    \hline
    \end{array}$$
    La notation « $\leftarrow$ » correspond à une affectation de valeur, ainsi « n\leftarrow 0» signifie « Affecter à $n$ la valeur $0$ ».
    $\quad$
  7. La réserve marine fermera-t-elle un jour? Si oui, déterminer l’année de la fermeture.
    $\quad$

Exercice 4     5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Le droit de pêche dans une réserve marine est réglementé : chaque pêcheur doit posséder une carte d’accréditation annuelle. Il existe deux types de carte :

  • une carte de pêche dite « libre » (le pêcheur n’est pas limité en nombre de poissons pêchés) ;
  • une carte de pêche dite « avec quota » (le pêcheur ne doit pas dépasser une certaine quantité hebdomadaire de poissons).

On suppose que le nombre total de pêcheurs reste constant d’année en année.
On note, pour l’année 2017$+𝑛$ :

  • $\ell_n$ la proportion de pêcheurs possédant la carte de pêche libre ;
  • $q_n$ la proportion de pêcheurs possédant la carte de pêche avec quota.

On observe que :

  • chaque année, $65 \%$ des possesseurs de la carte de pêche libre achètent de nouveau une carte de pêche libre l’année suivante ;
  • chaque année, $45 \%$ des possesseurs de la carte de pêche avec quota achètent une carte de pêche libre l’année suivante ;
  • en 2017, $40 \%$ des pêcheurs ont acheté une carte de pêche libre. On a donc $\ell_0 = 0,4$ et $q_0 = 0,6$.

On note, pour tout entier naturel $n$, $P_n=\begin{pmatrix} \ell_n\\q_n\end{pmatrix}$.

  1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $P_{n+1}=MP_n$, où $M$ est la matrice carrée $\begin{pmatrix}0,65&0,45\\0,35&0,55\end{pmatrix}$.
    $\quad$
  2. Calculer la proportion de pêcheurs achetant une carte de pêche avec quota en 2019.
    $\quad$
  3. Un logiciel de calcul formel donne les résultats ci-dessous :

    En vous appuyant sur les résultats précédents, répondre aux deux questions suivantes :
    a. Justifier que $Q$ est une matrice inversible et préciser sa matrice inverse.
    On notera $Q^{-1}$ la matrice inverse de $Q$.
    $\quad$
    b. Justifier que $M=QDQ^{-1}$ et démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul : $$M^n=QD^nQ^{-1}$$
    $\quad$
  4. On admet que, pour tout entier naturel $n$ non nul,
    $$M^n=\dfrac{1}{16}\begin{pmatrix}9+7\times 0,2^n&9-9\times 0,2^n\\7-7\times 0,2^n&7+9\times 0,2^n\end{pmatrix}$$
    a. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $P_n=M^nP_0$.
    $\quad$
    b. Justifier que, pour tout entier naturel $n$ : $$\ell_n=\dfrac{9}{16}-\dfrac{13}{80}\times 0,2^n$$
    $\quad$
  5. La proportion de pêcheurs achetant la carte de pêche libre dépassera-t-elle $60\%$?
    $\quad$

 

 

 

Bac S – Centres étrangers – Juin 2018

Centres étrangers – Juin 2018

Bac S – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. a. $f(20)=(16+0,2)\e^{-10}+0,03=16,2\e^{-10}+0,03 \approx 0,031$
    $\quad$
    b. La fonction $f$ admet, d’après le tableau de variation un maximum pour $t=1,75$.
    $f(1,75)=1,6\e^{-0,875}+0,03\approx 0,697$.
    Le taux maximal de CO$_2$ est donc d’environ $69,7\%$.
    $\quad$
  2. a. Sur l’intervalle $[0;1,75]$ la fonction $f$ est strictement croissante. On a donc $f(t) \pg 0,23 > 0,035$.
    L’équation $f(x)=0,035$ ne possède donc pas de solution sur cet intervalle.
    $\quad$
    Sur l’intervalle $[0;20]$, la fonction $f$ est continue et strictement décroissante.
    De plus $f(1,75)\approx 0,697 > 0,035$ et $f(20)\approx 0,031<0,035$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=0,035$ possède i,e unique solution $T$ sur l’intervalle $[1,75;20]$.
    Par conséquent, l’équation $f(t)=0,035$ possède une unique solution sur l’intervalle $[0;20]$.
    $\quad$
    b. À l’aide de la calculatrice on trouve que la variable $t$ à la fin de l’algorithme vaut $15,75$.
    Cela signifie qu’il faut attendre $15$ minutes et $45$ secondes pour obtenir un taux de CO$_2$ inférieur ou égal à $3,5\%$.
    $\quad$
  3. a. La fonction $F$ est dérivable sur l’intervalle $[0;11]$ comme somme, produit et composée de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0;11]$ on a :
    $\begin{align*} F'(t)&=-1,6\e^{-0,5t}-0,5(-1,6t-3,6)\e^{-0,5t}+0,03 \\
    &=(-1,6+0,8t+1,8)\e^{-0,5t}+0,03\\
    &=(0,8t+0,2)\e^{-0,5t}+0,03\\
    &=f(t)
    \end{align*}$
    La fonction $F$ est donc une primitive de la fonction $f $sur l’intervalle $[0;11]$.
    $\quad$
    b. On a :
    $\begin{align*} V_m&=\dfrac{1}{11-0}\ds \int_0^{11} f(t)\dt \\
    &=\dfrac{1}{11}\left[F(11)-F(0)\right] \\
    &=\dfrac{-21,2\e^{-5,5}+0,33+3,6}{11}\\
    &=\dfrac{-21,2\e^{-5,5}+3,93}{11}\\
    &\approx 0,349
    \end{align*}$
    Le taux moyen $V_m$ est  donc envion égal à $34,9\%$.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. On a $E(D)=\dfrac{1}{\lambda}=8$ donc $\lambda=\dfrac{1}{8}$.
    La loi exponentielle est à durée de vie sans vieillissement. Donc :
    $\begin{align*} P_{D\pg 3}(D\pg 10)&=P_{D\pg 3}(D\pg 7+3) \\
    &=P(D \pg 7) \\
    &=1-P(X\pp 7) \\
    &=\e^{-7/8} \\
    &\approx 0,42
    \end{align*}$
    L’affirmation 1 est vraie.
    $\quad$
  2. On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de dépistages positifs.
    On effectue $200$ tirages indépendants, aléatoires et identiques.
    Chaque tirage possède $2$ issues : “le test est positif” dont la probabilité est $0,031$ et “le test est négatif”.
    La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=200$ et $p=0,031$.
    D’après la calculatrice on a :
    $P(X> 5) = 1-P(X \pp 5) \approx 0,49$
    L’affirmation 2 est vraie.
    $\quad$
  3. $\ln(6x-2)$ existe si, et seulement si, $6x-2 > 0 \ssi 6x > 2 \ssi x > \dfrac{1}{3}$
    $\ln(2x-1)$ existe si, et seulement si, $2x-1 > 0 \ssi x > \dfrac{1}{2}$
    $\ln(x)$ existe si, et seulement si, $x>0$.
    On ne peut donc résoudre l’équation que sur l’intervalle $\left]\dfrac{1}{2};+\infty\right[$.
    Sur l’intervalle $\left]\dfrac{1}{2};+\infty\right[$,
    $\begin{align*} \ln(6x-2)+\ln(2x-1)=\ln(x)&\ssi \ln \left[(6x-2)(2x-1)\right]=\ln(x) \\
    &\ssi (6x-2)(2x-1)=x \\
    &\ssi 12x^2-6x-4x+2=x \\
    &\ssi 12x^2-11x+2=0
    \end{align*}$
    Pour résoudre $12x^2-11x+2=0$, on calcule $\Delta=(-11)^2-4\times 12\times 2=25>0$.
    Les solutions dans $\R$ de $12x^2-11x+2=0$ sont donc :
    $x_1=\dfrac{11-\sqrt{25}}{24}=\dfrac{1}{4}$ et $x_2=\dfrac{11+\sqrt{25}}{24}=\dfrac{2}{3}$
    Or $\dfrac{1}{4}<\dfrac{1}{2}$ et $\dfrac{2}{3}>\dfrac{1}{2}$
    L’équation $\ln(6x-2)+\ln(2x-1)=\ln(x)$ n’admet qu’une seule solution dans l’intervalle $\left]\dfrac{1}{2};+\infty\right[$.
    $\quad$
  4. $\left(4z^2-20z+37\right)\left(2z-7+2\ic\right)=0 \ssi \begin{cases} 4z^2-20z+37=0\\2z-7+2\ic=0 \end{cases}$.
    Or $2z-7+2\ic=0 \ssi 2z=7-2\ic \ssi z=\dfrac{7-2\ic}{2}$
    On appelle $A$ le point d’affixe $\dfrac{7-2\ic}{2}$.
    Ainsi $AP=\left|\dfrac{7-2\ic}{2}-2\right|=\left|\dfrac{3}{2}-\ic\right|=\sqrt{3,25}$.
    $\quad$
    On considère maintenant l’équation $4z^2-20z+37=0$.
    $\Delta=(-20)^2-4\times 4\times 37=-192<0$
    L’équation possède donc deux solutions complexes :
    $z_1=\dfrac{20-\sqrt{192}\ic}{8}=\dfrac{5-2\ic\sqrt{3}}{2}$ et $z_2=\conj{z_1}=\dfrac{5+2\ic\sqrt{3}}{2}$.
    On appelle $B$ le point d’affixe $\dfrac{5-2\ic\sqrt{3}}{2}$ et $C$ le point d’affixe $\dfrac{5+2\ic\sqrt{3}}{2}$.
    Ainsi $BP=\left|\dfrac{5-2\ic\sqrt{3}}{2}-2\right|=\left|\dfrac{1}{2}-\ic\sqrt{3}\right|=\sqrt{3,25}$.
    De même $CP=\left|\dfrac{5+2\ic\sqrt{3}}{2}-2\right|=\left|\dfrac{1}{2}+\ic\sqrt{3}\right|=\sqrt{3,25}$.
    Ainsi $AP=BP=CP$.
    Les trois points appartiennent au cercle de centre $P$ d’affixe $2$ et de rayon $\sqrt{3,25}$.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. $M_A$ suit une loi uniforme sur l’intervalle $[850;x]$.
    Ainsi $P\left(900\pp M_A\pp 1~200\right)=\dfrac{1~200-900}{x-850}=\dfrac{300}{x-850}$
    Par conséquent
    $\begin{align*} \dfrac{300}{x-850}&=0,75 &\ssi 300=0,75x-637,5 \\
    &\ssi 937,5=0,75x \\
    &\ssi x = 1250
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. La variable aléatoire $X=\dfrac{M_B-1~050}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.
    $\begin{align*} P\left(900\pp M_B\pp 1200\right)=0,85 &\ssi P\left(-150\pp M_B-1~050 \pp 150\right)=0,85 \\
    &\ssi P\left(-\dfrac{150}{\sigma} \pp \dfrac{M_B-1~050}{\sigma} \pp \dfrac{150}{\sigma}\right) =0,85 \\
    &\ssi P\left(-\dfrac{150}{\sigma} \pp X \pp \dfrac{150}{\sigma}\right) =0,85 \\
    &\ssi 2P\left(X \pp \dfrac{150}{\sigma}\right)-1=0,85 \\
    &\ssi 2P\left(X \pp \dfrac{150}{\sigma}\right)=1,85 \\
    &\ssi P\left(X \pp \dfrac{150}{\sigma}\right)=0,925
    \end{align*}$
    À l’aide de la touche inverse loi normale de la calculatrice on trouve $\dfrac{150}{\sigma} \approx 1,440$.
    Par conséquent $\sigma \approx 104$.
    $\quad$
  3. On a $n=400$ et $p=0,8$.
    Donc $n\pg 30$, $np=320\pg 5$ et $n(1-p)=80\pg 5$.
    Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de la proportion de melons conformes est donc :
    $\begin{align*} I_{400}&=\left[0,8-1,96\sqrt{\dfrac{0,8\times 0,2}{400}};0,8+1,96\sqrt{\dfrac{0,8\times 0,2}{400}}\right] \\
    &=[0,760~8;0,839~2]
    \end{align*}$
    La fréquence observée est $f=\dfrac{294}{400}=0,735 \notin I_{400}$.
    Au risque d’erreur de $5\%$, le détaillant a raison de douter de l’affirmation du maraîcher C.
    $\quad$

Partie B

  1. On obtient l’arbre de probabilité suivant :

    $\quad$
    b. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P\left(A_3\right)&=P\left(A_2\cap A_3\right)+P\left(\conj{A_2}\cap A_3\right) \\
    &=0,9\times 0,9+0,1\times 0,4 \\
    &=0,81+0,04 \\
    &=0,85
    \end{align*}$
    $\quad$
    c. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_{A_3}\left(A_2\right) &=\dfrac{P\left(A_2\cap A_3\right)}{P\left(A_3\right)} \\
    &=\dfrac{0,9\times 0,9}{0,85} \\
    &=\dfrac{81}{85} \\
    &\approx 0,95
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. On peut représenter la situation par l’arbre de probabilité suivant :

    D’après la formule des probabilités totales, on a :
    $\begin{align*} p_{n+1}&=P\left(A_n\cap A_{n+1}\right)+P\left(\conj{A_n}\cap A_{n+1}\right) \\
    &=0,9p_n+0,4\left(1-p_n\right) \\
    &=0,5p_n+0,4 \end{align*}$
    $\quad$
  3. a. Initialisation : si $n=1$ alors $p_1=1 > 0,8$.
    La propriété est vraie au rang $1$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $p_n > 0,8$.
    Montrons qu’elle est encore vraie au rang suivant, c’est-à-dire que $p_{n+1}> 0,8$.
    $\begin{align*} p_n> 0,8&\ssi 0,5p_n > 0,4 \\
    &\ssi 0,5p_n+0,4> 0,8 \\
    &\ssi p_{n+1} > 0,8
    \end{align*}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ non nul on a $p_n> 0,8$.
    $\quad$
    b. Soit $n$ un entier naturel non nul.
    $\begin{align*} p_{n+1}-p_n&=0,5p_n+0,4-p_n \\
    &=-0,5p_n+0,4 \\
    &=0,5\left(-p_n+0,8\right)
    \end{align*}$
    On sait d’après la question précédente que $p_n> 0,8 \ssi 0,8-p_n<0$.
    Par conséquent $p_{n+1}-p_n<0$.
    La suite $\left(p_n\right)$ est donc décroissante.
    $\quad$
    c. La suite $\left(p_n\right)$ est décroissante et minorée par $0,8$. Elle est donc convergente.
    $\quad$
  4. a. Pour tout entier naturel $n \pg 1$ on a $v_n=p_n-0,8 \ssi p_n=v_n+0,8$.
    $\begin{align*} v_{n+1}&=p_{n+1}-0,8 \\
    &=0,5p_n+0,4-0,8 \\
    &=0,5p_n-0,4 \\
    &=0,5\left(p_n+0,8\right)-0,4 \\
    &=0,5p_n+0,4-0,4 \\
    &=0,5p_n
    \end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,5$ et de premier terme $v_1=p_1-0,8=0,2$.
    $\quad$
    b. Par conséquent, pour tout entier $n\pg 1$ on a $v_n=0,2\times 0,5^{n-1}$.
    Or $p_n=v_n+0,8=0,8+0,2\times 0,5^{n-1}$.
    $\quad$
    c. On a $-1<0,5<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,5^n=0$. Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,5^{n-1}=0$.
    Et $\lim\limits_{n\to +\infty} p_n=0,8$.
    $\quad$

Ex 4 obl

Exercice 4

Candidats n’ayant pas suivi la spécialité mathématique

Partie A

  1. Voir figure en fin de partie B.
    Le point $P$ est l’intersection de la droite $(IJ)$ avec la droite $(EH)$.
    $\quad$
  2. Les points $K$ et $P$ appartiennent aux plans $(IJK)$ et $(EFG)$.
    La droite $(KP)$ est donc incluses dans les deux plans.
    C’est par conséquent l’intersection de ces deux plans.
    $\quad$

Partie B

  1. a. Le point $I$ est le milieu du segment $[AD]$.
    Par conséquent le point $I$ a pour coordonnées $(0;0,5;0)$.
    On a $\vect{AJ}=\dfrac{3}{4}\vect{AE}$.
    Le point $J$ a donc pour coordonnées $(0;0;0,75)$.
    $K$ est le milieu du segment $[FG]$.
    Par conséquent le point $K$ a pour coordonnées $(1;0,5;1)$
    $\quad$
    b. On a $\vect{IJ}(0;-0,5;0,75)$ et $\vect{IK}(1;0;1)$.
    $\vec{n}$ orthogonal aux vecteurs $\vect{IJ}$ et $\vect{IK}$
    $\ssi \vec{n}.\vect{IJ}=0$ et $\vec{n}.\vect{IK}=0$
    $\ssi \begin{cases} -0,5a+0,75b=0 \\4+b=0 \end{cases}$
    $\ssi \begin{cases} b=-4\\-0,5a-0,75\times 4=0 \end{cases} $
    $\ssi \begin{cases} b=-4\\a=-6\end{cases}$
    Ainsi le vecteur $\vec{n}$ a pour coordonnées $(4;-6;-4)$.
    $\quad$
    c. Le vecteur $\vec{n}$ est orthogonal a deux vecteurs non colinéaires du plan $(IJK)$ (les coordonnées nulles ne sont pas les mêmes).
    Ainsi une équation du plan $(IJK)$ est de la forme $4x-6y-4z+d=0$.
    Le point $I(0;0,5;0)$ appartient à ce plan donc :
    $0-3-0+d=0 \ssi d=3$.
    Une équation cartésienne du plan $(IJK)$ est donc $4x-6y-4z+3=0$.$\quad$
  2. a. Un vecteur directeur de la droite $(CG)$ est $\vect{CG}(0;0;1)$.
    De plus le point $C$ a pour coordonnées $(1;1;0)$.
    Une représentation paramétrique de la droite $(CG)$ est donc $\begin{cases} x=1 \\y=1\\z=t\end{cases} \quad, t \in \R$.
    $\quad$
    b. Les coordonnées du point $N$ sont solutions du système suivant :
    $\begin{align*} \begin{cases}x=1\\y=1\\z=t\\4x-6y-4z+3=0 \end{cases} &\ssi \begin{cases} x=1\\y=1\\z=t\\4-6-4t+3=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=1\\y=1\\z=t\\1-4t=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=1\\y=1\\z=t\\t=0,25\end{cases}
    \end{align*}$
    Ainsi le point $N$ a pour coordonnées $(1;1;0,25)$.
    $\quad$
    c. On obtient ainsi la section suivante :

Partie C

La droite $(FR)$ est orthogonale au plan $(IJK)$. Le vecteur $\vec{n}$ est donc un vecteur directeur de cette droite. Le point $F(1;0;1)$ appartient à cette droite.
Une représentation paramétrique de la droite $(FR)$ est ainsi $\begin{cases} x=1+4k\\y=-6k\\z=1-4k\end{cases}, k\in \R$.
Les coordonnées du point $R$ sont solutions du système suivant :
$\begin{align*} \begin{cases}x=1+4k\\y=-6k\\z=1-4k\\4x-6y-4z+3=0\end{cases}&\ssi \begin{cases}x=1+4k\\y=-6k\\z=1-4k\\4+16k+36k-4+16k+3=0\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases}x=1+4k\\y=-6k\\z=1-4k\\68k+3=0\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases}x=1+4k\\y=-6k\\z=1-4k\\k=-\dfrac{3}{68}\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases}x=\dfrac{14}{17}\\y=\dfrac{9}{34}\\z=\dfrac{20}{17}\\k=-\dfrac{3}{68}\end{cases}
\end{align*}$
On a donc $z_R>1$.
Le point $R$ n’est pas à l’intérieur du cube.
$\quad$

Ex 4 spé

Exercice 4

Candidats ayant suivi la spécialité mathématique

  1. a. $8^2=64 \equiv 9 $ mod $55$.
    Ainsi $8^6=\left(8^2\right)^3 \equiv 9^3 \equiv 729\equiv 14$ mod $55$.
    Par conséquent $8^7=8\times 8^6\equiv 8\times 14\equiv 112\equiv 2$ mod $55$.
    $\quad$
    $8^{21}=\left(8^7\right)^3 \equiv 2^3 \equiv 8$ mod $55$.
    $\quad$
    b. $8^2=64 \equiv 9 $ mod $55$.
    $\quad$
    $8^{23}=8^{21}\times 8^2 \equiv 8\times 9 \equiv 72 \equiv 17$ mod $55$.
    $\quad$
  2. a. $23$ et $40$ sont premiers entre eux. D’après le théorème de Bezout, l’équation $23x-40y=1$ possède un couple de solution $(x,y)$ avec $x$ et $y$ entiers relatifs.
    $\quad$
    b. Le couple $(7,4)$ est solution de l’équation $(E)$.
    En effet $7\times 23-4\times 40=161-160=1$.
    $\quad$
    c. Soit $(x,y)$ un couple solution.
    On a donc $7\times 23-4\times 40=1$ et $23x-40y=1$.
    Par différence, on obtient $23(7-x)-40(4-y)=0$.
    Soit $23(7-x)=40(4-y)$.
    Les nombres $23$ et $40$ sont premiers entre-eux.
    D’après le théorème de Gauss, il existe un entier relatif $k$ tel que $7-x=40k$ et $4-y=23k$.
    Soit $x=7-40k$ et $y=4-23k$.
    $\quad$
    Réciproquement, soit $k$ un entier relatif. Vérifions que le couple $(7-40k,4-23k)$ est solution de l’équation $(E)$.
    $23(7-40k)-40(4-23k)=161-920k-160+920k=1$.
    Les solutions de l’équation $(E)$ sont donc les couples $(7-40k,4-23k)$ pour tout entier relatif $k$.
    $\quad$
    d. $23x-40y=1 \ssi 23x=1+40y$.
    D’après la question précédente les solutions de l’équation $23d \equiv 1$ mod $40$ sont de la forme $7-40k$ avec $k\in \Z$.
    On veut que $0 \pp 7-40k<40 \ssi -7\pp -40k <33 \ssi \dfrac{7}{40} \pg k >- \dfrac{33}{40}$ avec $k\in \Z$.
    La seule solution est donc pour $k=0$.
    Le seule entier $d$ vérifiant les conditions $0\pp d>40$ et $23d\equiv 1$ mod $40$ est donc $7$.
    $\quad$
  3. a. On a $N=pq=55$ et $n=(p-1)(q-1)=40$.
    On a $40=2^3\times 5$ et $23$ est un nombre premier.
    Par conséquent $40$ et $23$ sont premiers entre-eux.
    $\quad$
    b. $a^c=8^{23}\equiv 17$ mod $55$ d’après la question 1.b.
    Par conséquent $b=17$.
    $\quad$
  4. a. D’après la question 2.d. on a $d=7$.
    $\quad$
    b. $b^d=17^7=410~338~673=55\times 7~460~703+8$
    Donc $b^d \equiv 8$ mod $55$.
    On retrouve bien le nombre en clair de la question 3.
    $\quad$

 

Énoncé

Exercice 1     4 points

Dans une usine, on se propose de tester un prototype de hotte aspirante pour un local industriel.
Avant de lancer la fabrication en série, on réalise l’expérience suivante : dans un local clos équipé du prototype de hotte aspirante, on diffuse du dioxyde de carbone (CO$_2$) à débit constant.
Dans ce qui suit, t est le temps exprimé en minute.
À l’instant $t= 0$, la hotte est mise en marche et on la laisse fonctionner pendant $20$ minutes. Les mesures réalisées permettent de modéliser le taux (en pourcentage) de CO$_2$ contenu dans le local au bout de $t$ minutes de fonctionnement de la hotte par l’expression $f(t)$, où $f$ est la fonction définie pour tout réel $t$ de l’intervalle $[0 ; 20]$ par : $$f(t)=(0,8t+0,2)\e^{-0,5t}+0,03$$

On donne ci-dessous le tableau de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;20]$.

Ainsi, la valeur $f(0)=0,23$ traduit le fait que le taux de CO$_2$ à l’instant $0$ est égal à $23\%$.

  1. Dans cette question, on arrondira les deux résultats au millième.
    a. Calculer $f(20)$.
    $\quad$
    b. Déterminer le taux maximal de CO$_2$ présent dans le local pendant l’expérience.
    $\quad$
  2. On souhaite que le taux de CO$_2$ dans le local retrouve une valeur $V$ inférieure ou égale à $3,5\%$.
    a. Justifier qu’il existe un unique instant $T$ satisfaisant cette condition.
    $\quad$
    b. On considère l’algorithme suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    t\leftarrow 1,75\\
    p\leftarrow 0,1\\
    V \leftarrow 0,7\\
    \text{Tant que } V>0,035\\
    \hspace{1cm} t \leftarrow t+p\\
    \hspace{1cm} V\leftarrow (0,8t+0,2)\e^{-0,5t}+0,03\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    Quelle est la valeur de la variable $t$ à la fin de l’algorithme?
    Que représente cette valeur dans le contexte de l’exercice?
    $\quad$
  3. On désigne par $V_m$ le taux moyen (en pourcentage) de CO$_2$ présent dans le local pendant les $11$ premières minutes de fonctionnement de la hotte aspirante.
    a. Soit $F$ la fonction définie sur l’intervalle $[0;11]$ par $F(t)=(-1,6t-3,6)\e^{-0,5t}+0,03t$.
    Montrer que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;11]$.
    $\quad$
    b. En déduire le taux moyen $V_m$, valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;11]$.
    Arrondir le résultat au millième, soit à $0,1\%$.
    $\quad$

Exercice 2     4 points

Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse inexacte ou non justifiée ne rapporte ni n’enlève aucun point.

  1. Un type d’oscilloscope a une durée de vie, exprimée en année, qui peut être modélisée par une variable aléatoire $D$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.
    On sait que la durée de vie moyenne de ce type d’oscilloscope est de $8$ ans.
    Affirmation 1 : pour un oscilloscope de ce type choisi au hasard et ayant déjà fonctionné $3$ ans, la probabilité que la durée de vie soit supérieure ou égale à $10$ ans, arrondie au centième, est égale à $0,42$.
    On rappelle que si $X$ est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ ,
    on a pour tout réel t positif : $P(X \pp t)=1-\e^{-\lambda t}$.
    $\quad$
  2. En 2016, en France, les forces de l’ordre ont réalisé $9,8$ millions de dépistages d’alcoolémie auprès des automobilistes, et $3,1 \%$ de ces dépistages étaient positifs.
    Source : OFDT (Observatoire Français des Drogues et des Toxicomanies).
    Dans une région donnée, le 15 juin 2016, une brigade de gendarmerie a effectué un dépistage sur $200$ automobilistes.
    Affirmation 2 : En arrondissant au centième, la probabilité que, sur les $200$ dépistages, il y ait eu strictement plus de $5$ dépistages positifs, est égale à $0,59$.
    $\quad$
  3. On considère dans $\R$ l’équation : $\ln(6x-2)+\ln(2x-1)=\ln(x)$.
    Affirmation 3 : l’équation admet deux solutions dans l’intervalle $\left]\dfrac{1}{2};+\infty\right[$.
    $\quad$
  4. On considère dans $\C$ l’équation : $\left(4z^2-20z+37\right)(2z-7+2\ic)=0$.
    Affirmation 4 : les solutions de l’équation sont les affixes de points appartenant à un même cercle de centre le point $P$ d’affixe $2$.
    $\quad$

Exercice 3     7 points

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A
Le détaillant constate que ses melons se vendent bien lorsque leur masse est comprise entre $900$ g et $1~200$ g. Dans la suite, de tels melons sont qualifiés « conformes ».

Le détaillant achète ses melons auprès de trois maraîchers, notés respectivement A, B et C.
Pour les melons du maraîcher A, on modélise la masse en gramme par une variable aléatoire $M_A$ qui suit une loi uniforme sur l’intervalle $[850 ; x]$, où $x$ est un nombre réel supérieur à $1~200$.
La masse en gramme des melons du maraîcher B est modélisée par une variable aléatoire $M_B$ qui
suit une loi normale de moyenne $1~050$ et d’écart-type inconnu $\sigma$ .
Le maraîcher C affirme, quant à lui, que $80 \%$ des melons de sa production sont conformes.

  1. Le détaillant constate que $75 \%$ des melons du maraîcher A sont conformes. Déterminer $x$.
    $\quad$
  2. Il constate que $85 \%$ des melons fournis par le maraîcher B sont conformes.
    Déterminer l’écart-type $\sigma$ de la variable aléatoire $M_B$. En donner la valeur arrondie à l’unité.
    $\quad$
  3. Le détaillant doute de l’affirmation du maraîcher C. Il constate que sur $400$ melons livrés par ce maraîcher au cours d’une semaine, seulement $294$ sont conformes.
    Le détaillant a-t-il raison de douter de l’affirmation du maraîcher C ?
    $\quad$

Partie B
Le détaillant réalise une étude sur ses clients. Il constate que :

  •  parmi les clients qui achètent un melon une semaine donnée, $90 \%$ d’entre eux achètent un
    melon la semaine suivante ;
  • parmi les clients qui n’achètent pas de melon une semaine donnée, $60 \%$ d’entre eux n’achètent
    pas de melon la semaine suivante.

On choisit au hasard un client ayant acheté un melon au cours de la semaine $1$ et, pour $n \pg 1$, on note $A_n$ l’événement : « le client achète un melon au cours de la semaine $n$ ».

On a ainsi $P\left(A_1\right)=1$ .

  1. a. Reproduire et compléter l’arbre de probabilités ci-dessous, relatif aux trois premières semaines.

    $\quad$
    b. Démontrer que $P\left(A_3\right)= 0,85$ .
    $\quad$
    c. Sachant que le client achète un melon au cours
    de la semaine $3$, quelle est la probabilité qu’il
    en ait acheté un au cours de la semaine $2$ ?
    Arrondir au centième.
    $\quad$
    Dans la suite, on pose pour tout entier $n\pg 1$ : $p_n=P\left(A_n\right)$. On a ainsi $p_1=1$.
  2. Démontrer que, pour tout entier $n\pg 1$, $p_{n+1}=0,5p_n+0,4$.
    $\quad$
  3. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier $n\pg 1$ : $p_n > 0,8$.
    $\quad$
    b. Démontrer que la suite $\left(p_n\right)$ est décroissante.
    $\quad$
    c. La suite $\left(p_n\right)$ est-elle convergente?
    $\quad$
  4. On pose pour tout entier $n \pg 1$ : $v_n=p_n-0,8$.
    a. Démontrer que $\left(V_n\right)$ est une suite géométrique dont on donnera le premier terme $v_1$ et la raison.
    $\quad$
    b. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
    En déduire que, pour tout $n\pg 1$, $p_n=0,8+0,2\times 0,5^{n-1}$.
    $\quad$
    c. Déterminer la limite de la suite $\left(p_n\right)$.
    $\quad$

Exercice 4     5 points

Candidats n’ayant pas suivi la spécialité mathématique

La figure ci-dessous représente un cube $ABCDEFGH$.
Les trois points $I,J,K$ sont définis par les conditions suivantes :

  • $I$ est le milieu du segment $[AD]$;
  • $J$ est tel que $\vect{AJ}=\dfrac{3}{4}\vect{AE}$;
  • $K$ est le milieu du segment $[FG]$.

Partie A

  1. Sur la figure donnée en annexe, construire sans justifier le point d’intersection $P$ du plan $(IJK)$ et de la droite $(EH)$. On laissera les traits de construction sur la figure.
    $\quad$
  2. En déduire, en justifiant, l’intersection du plan $(IJK)$ et du plan $(EFG)$.
    $\quad$

Annexe

$\quad$

Partie B

On se place désormais dans le repère orthonormé $\left(A;\vect{AB},\vect{AD},\vect{AE}\right)$.

  1. a. Donner sans justification les coordonnées des points $I,J$ et $K$.
    $\quad$
    b. Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que le vecteur $\vec{n}(4;a;b)$ soir orthogonal aux vecteurs $\vect{IJ}$ et $\vect{IK}$.
    $\quad$
    c. En déduire qu’une équation cartésienne du plan $(IJK)$ est : $4x-6y-4z+3=0$.
    $\quad$
  2. a. Donner une représentation paramétrique de la droite $(CG)$.
    $\quad$
    b. Calculer les coordonnées du point $N$, intersection du plan $(IJK)$ et de la droite $(CG)$.
    $\quad$
    c. Placer le point $N$ sur la figure et construire en couleur la section du cube par le plan $(IJK)$.
    $\quad$

Partie C

On note $R$ le projeté orthogonal du point $F$ sur le plan $(IJK)$. Le point $R$ est donc l’unique point du plan $(IJK)$ tel que la droite $(FR)$ est orthogonale au plan $(IJK)$.

On définit l’intérieur du cube comme l’ensemble des points $M(x,y,z)$ tels que $\begin{cases} 0<x<1\\0<y<1\\0<z<1\end{cases}$.

Le point $R$ est-il à l’intérieur du cube?

$\quad$

Exercice 4     5 points

Candidats ayant suivi la spécialité mathématique

Le but de cet exercice est d’envisager une méthode de cryptage à clé publique d’une information numérique, appelée système RSA, en l’honneur des mathématiciens Ronald Rivest, Adi Shamir et Leonard Adleman, qui ont inventé cette méthode de cryptage en 1977 et l’ont publiée en 1978.

Les questions 1 et 2 sont des questions préparatoires, la question 3 aborde le cryptage, la question 4 le décryptage.

  1. Cette question envisage de calculer le reste dans la division euclidienne par $55$ de certaines puissances de l’entier $8$.
    a. Vérifier que $8^7\equiv 2$ mod $55$.
    En déduire le reste dans la division euclidienne par $55$ du nombre $8^{21}$.
    $\quad$
    b. Vérifier que $8^2\equiv 9$ mod $55$, puis déduire de la question a. le reste dans la division euclidienne par $55$ de $8^{23}$.
    $\quad$
  2. Dans cette question, on considère l’équation $(E)$  $23x-40y=1$, dont les solutions sont des couples $(x,y)$ d’entiers relatifs.
    a. Justifier le fait que l’équation $(E)$ admet au moins un couple solution.
    $\quad$
    b. Donner un couple, solution particulière de l’équation $(E)$.
    $\quad$
    c. Déterminer tous les couples d’entiers relatifs solutions de l’équation $(E)$.
    $\quad$
    d. En déduire qu’il existe un unique entier $d$ vérifiant les conditions $0\pp d\pp 40$ et $23d\equiv 1$ mod $40$.
    $\quad$
  3. Cryptage dans le système RSA
    Une personne A choisit deux nombres premiers $p$ et $q$, puis calcule les produits $N=pq$ et $n=(p-1)(q-1)$. Elle choisit également un entier naturel $c$ premier avec $n$.
    La personne A publie le couple $(N,c)$, qui est une clé publique permettant à quiconque de lui un envoyer un nombre crypté.
    $\quad$
    Les messages sont numérisées et transformés en une suite d’entiers compris entre $0$ et $N-1$. Pour crypter un entier $a$ de cette suite, on procède ainsi : on calcule le reste $b$ dans la division euclidienne par $N$ du nombre $a^c$, et le nombre crypté est l’entier $b$.
    $\quad$
    Dans la pratique, cette méthode est sûre si la personne A choisit des nombres $p$ et $q$ très grands, s’écrivant avec plusieurs dizaines de chiffres.
    On va l’envisager ici avec des nombres plus simples : $p=5$ et $q=11$.
    La personne A choisit également $c=23$.
    a. Calculer les nombres $N$ et $n$, puis justifier que la valeur de $c$ vérifie la condition voulue.
    $\quad$
    d. Un émetteur souhaite envoyer à la personne A le nombre $8$.
    Déterminer la valeur du nombre crypté $b$.
    $\quad$
  4. Décryptage dans le système RSA
    La personne A calcule dans un premier temps l’unique entier naturel $d$ vérifiant les conditions $0\pp d<n$ et $cd \equiv 1$ mod $n$. Elle garde secret ce nombre $d$ qui lui permet, et à elle seule, de décrypter les nombres qui lui ont été envoyés cryptés avec sa clé publique.
    $\quad$
    Pour décrypter un nombre crypté $b$, la personne A calcule le reste $a$ dans la division euclidienne par $N$ du nombre $b^d$, et le nombre en clair – c’est-à-dire le nombre avant cryptage – est le nombre $a$.
    On admet l’existence et l’unicité de l’entier $d$, et le fait que le décryptage fonctionne.
    Les nombres choisis par A son encore $p=5$, $q=11$ et $c=23$.
    a. Quelle est la valeur de $d$?
    $\quad$
    d. En appliquant la règle de décryptage , retrouver le nombre en clair lorsque le nombre crypté est $b=17$.
    $\quad$

 

 

 

Bac S – Asie – Juin 2018

Asie – Juin 2018

Bac S – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. a. $f_p(0)=\dfrac{100p}{1-(1-p)}=\dfrac{100p}{p}=100$.
    $\quad$
    b. Pour tout nombre réel $t \pg 0$ on a $-pt\pp 0$ donc $0 < \e^{-pt} \pp 1$.
    Par conséquent $ 0 < (1-p)\e^{-pt} \pp 1-p$
    Ainsi $-(1-p)\e^{-pt} \pg p-1$
    On obtient alors $1-(1-p)\e^{-pt} \pg p$.
    $\quad$
    c. Pour tout nombre réel $t \pg 0$ on a :
    $\begin{align*} 1-(1-p)\e^{-pt} \pg p &\ssi 0< \dfrac{1}{1-(1-p)\e^{-pt}} \pp \dfrac{1}{p} \\
    &=0 < f_p(t) \pp 100 \end{align*}$
    $\quad$
  2. a. La fonction $t \mapsto -0,9t$ est strictement décroissante sur $[0;+\infty[$.
    La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\R$. Donc la fonction $t \mapsto \e^{-0,9t}$ est strictement décroissante sur $[0;+\infty[$.
    Par conséquent la fonction $t\mapsto 1-0,1\e^{-0,9t}$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
    Finalement la fonction $f_{0,9}$ est décroissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    Remarque : On pouvait évidemment dériver cette fonction pour étudier ses variations.
    $\quad$
    b. $\lim\limits_{t \to +\infty} -0,9t=-\infty$ et $\lim\limits_{T \to -\infty} \e^{-0,9t}=0$ donc $\lim\limits_{t \to +\infty} \e^{-0,9t}=0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{t\to +\infty} f_{0,9}(t)=90$.
    D’après la question précédente, la fonction $f_{0,9}$ est strictement décroissante sur $[0;+\infty[$.
    Cela signifie donc que, pour tout nombre $t\pg 0$ on a $f_{0,9}(t) \pg 90$.
    $\quad$
    c. La masse de cette population de crevettes va continuelle décroître mais sera toujours supérieure à $90$ tonnes.
    $\quad$
  3. Pour tout réel $p$ vérifiant $0<p<1$ on a
    $\lim\limits_{t \to +\infty} -pt=-\infty$ et $\lim\limits_{T \to -\infty} \e^{-pt}=0$ donc $\lim\limits_{t \to +\infty} \e^{-pt}=0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{t \to +\infty} 1-(1-p)\e^{-pt}=1$
    Et $\lim\limits_{t \to +\infty} f_p(t)=100p$.
    $\quad$
  4. a. La fonction $H$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que composée de fonctions dérivables.
    $\begin{align*} H'(t)&=100\times \dfrac{-\left(-\dfrac{1}{2}\e^{-t/2}\right)}{2-\e^{-t/2}}+50 \\
    &=\dfrac{50\e^{-t/2}+50\left(2-\e^{-t/2}\right)}{2-\e^{-t/2}} \\
    &=\dfrac{100}{2-\e^{-t/2}} \\
    &=\dfrac{50}{1-0,5\e^{-t/2}}\\
    &=f_{1/2}(t)
    \end{align*}$
    $\quad$
    Autre méthode : en recherchant directement une primitive
    Pour tout nombre réel $t \pg 0$ on a :
    $\begin{align*} f_{1/2}(t)&=\dfrac{50}{1-0,5\e^{-0,5t}} \\
    &=\dfrac{50}{~~\dfrac{\e^{0,5t}-0,5}{\e^{0,5t}}~~} \\
    &=\dfrac{50\e^{0,5t}}{\e^{0,5t}-0,5} \\
    &=100\dfrac{0,5\e^{0,5t}}{\e^{0,5t}-0,5}
    \end{align*}$
    Pour tout nombre réel $t \pg 0$ on a $\e^{0,5t}-0,5 > 0$
    Ainsi une primitive de la fonction $f_{1/2}$ est la fonction $F$ définie sur l’intervalle $[0;+\infty[$ par :
    $\begin{align*} F(t)&=100\ln\left(\e^{0,5t}-0,5\right) \\
    &=100\ln\left(\e^{0,5t}\left(1-0,5\e^{-0,5t}\right)\right)\\
    &=100\ln\left(\e^{0,5t}\right)+100\ln\left(1-0,5\e^{-0,5t}\right)\\
    &=50t+100\ln\left(\dfrac{2-\e^{-0,5t}}{2}\right) \\
    &=50t+100\ln\left(2-\e^{-0,5t}\right)-100\ln(2) \\
    &=H(t)-100\ln(2)
    \end{align*}$
    La fonction $H$ est donc une primitive de la fonction $f_{1/2}$ sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    $\quad$
    b. La masse moyenne cherchée est :
    $\begin{align*} \ds m&=\dfrac{1}{5-0}\int_0^5 f_{1/2}(t)\dt \\
    &=\dfrac{1}{5}\left(H(5)-H(0)\right) \\
    &=\dfrac{1}{5}\left(100\ln\left(2-\e^{-2,5}\right)+250\right) \\
    &=20\ln\left(2-\e^{-2,5}\right)+50\\
    &\approx 63
    \end{align*}$
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. On appelle $M$ l’événement “l’individu est touché par la maladie” et $T$ l’événement “le test est positif”.
    On a ainsi $p(M)=0,15$, $p(T)=0,158$ et $p_M(T)=0,94$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} p_T(M)&=\dfrac{p(T\cap M)}{p(T)} \\
    &=\dfrac{0,15\times 0,94}{0,158} \\
    &\approx 0,89
    \end{align*}$
    Réponse C
    $\quad$
  2. On effectue $n$ tirages indépendants, aléatoires et identiques.
    À chaque tirage il y a deux issues : $T$ et $\conj{T}$.
    De plus $p(T)=0,158$.
    La variable aléatoire $X$ comptant le nombre d’individu testé positivement suit donc la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,158$.
    $\begin{align*} p(X \pg 1) \pg 0,99&\ssi1-p(X=0) \pg 0,99 \\
    &\ssi 1-(1-0,158)^n \pg 0,99 \\
    &\ssi -0,842^n \pg -0,01 \\
    &\ssi 0,842^n \pp 0,01 \\
    &\ssi n\ln(0,842) \pp \ln (0,01) \\
    &\ssi n \pg \dfrac{\ln (0,01)}{\ln(0,842)}
    \end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln (0,01)}{\ln(0,842)}\approx 26,8$
    Donc $n \pg 27$.
    Réponse B
    $\quad$
  3. La variable aléatoire $Z=\dfrac{V-2}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.
    $\begin{align*} p(1,99 \pp V \pp 2,01)=0,997 &\ssi p(-0,01 \pp V-2 \pp 0,1)=0,997 \\
    &\ssi p\left(-\dfrac{0,01}{\sigma} \pp \dfrac{V-2}{\sigma} \pp \dfrac{0,1}{\sigma}\right)=0,997 \\
    &\ssi p\left(-\dfrac{0,01}{\sigma} \pp Z \pp \dfrac{0,1}{\sigma}\right)=0,997 \\
    &\ssi 2p\left(Z\pp \dfrac{0,01}{\sigma}\right)-1=0,997 \\
    &\ssi 2p\left(Z\pp \dfrac{0,01}{\sigma}\right)=1,997 \\
    &\ssi p\left(Z\pp \dfrac{0,01}{\sigma}\right)=0,998~5
    \end{align*}$
    À l’aide de la touche inverse loi normale de la calculatrice on trouve $\dfrac{0,01}{\sigma}\approx 2,967~73$ donc $\sigma \approx 0,00337>0,003$
    Réponse C
    $\quad$

Partie B

  1. On appelle $B$ la variable aléatoire correspondant à la durée d’efficacité restante au delà des $12$ premiers mois.
    On sait donc que
    $\begin{align*} p(B>18-12)=0,887 &\ssi p(B>6)=0,887 \\
    &\ssi \e^{-6\lambda}=0,887 \\
    &\ssi -6\lambda =\ln(0,887) \\
    &\ssi \lambda=-\dfrac{\ln(0,887)}{6}
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. La probabilité d’être touché par la maladie est $p=0,15$.
    On a $n=100~000$.
    Donc $n\pg 30$, $np=15~000 \pg 5$ et $n(1-p)=85~000\pg 5$.
    La borne supérieure, arrondie par excès, d’un intervalle de fluctuation asymptotique de la proportion d’individus touchés par cette maladie est donc :
    $$0,15+1,96\sqrt{\dfrac{0,15\times 0,85}{100~000}} \approx 0,15~222$$
    Il faut donc que la ville ait un stock d’au moins $15~222$ boîtes de médicament pour soigner tous les malades de cette ville avec une probabilité supérieure à $95\%$.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. $AB=\sqrt{\left(3-(-3)\right)^2+0^2+0^2}=\sqrt{36}=6$
    $\begin{align*} AD&=\sqrt{3^2+3+4\times 6} \\
    &=\sqrt{9+3+24}\\
    &=\sqrt{36}\\
    &=6
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. a. $H$ est le milieu du segment $[CD]$ donc $H$ a pour coordonnées $\left(0;2\sqrt{3};\sqrt{6}\right)$.
    Par conséquent $\vect{OH}\left(0;2\sqrt{3};\sqrt{6}\right)$.
    Une équation cartésienne du plan $\mathscr{P}$ est de la forme $2\sqrt{3}y+\sqrt{6}z+d=0$.
    $I$ est le milieu du segment $[BC]$ donc ses coordonnées sont $\left(1,5;1,5\sqrt{3};0\right)$.
    Il appartient au plan $\mathscr{P}$.
    Par conséquent $2\sqrt{3}\times 1,5\sqrt{3}+\sqrt{6}\times 0+d=0 \ssi 9+d=0 \ssi d=-9$
    Une équation cartésienne du plan $\mathscr{P}$ est donc $$2y\sqrt{3}+z\sqrt{6}-9=0$$
    $\quad$
    b. $J$ est le milieu de $[BD]$. Ses coordonnées sont donc $\left(1,5;0,5\sqrt{3};\sqrt{6}\right)$.
    Regardons si ses coordonnées vérifient l’équation cartésienne du plan $\mathscr{P}$.
    $2\sqrt{3}\times 0,5\sqrt{3}+\sqrt{6}\times \sqrt{6}-9=3+6-9=0$.
    Donc $J$ appartient bien au plan $\mathscr{P}$.
    On a $\vect{BD}\left(-3;\sqrt{3};2\sqrt{6}\right)$.
    Une représentation paramétrique de la droite $(BD)$ est donc
    $\begin{cases} x=3-3t\\y=t\sqrt{3}\\z=2t\sqrt{6}\end{cases} \quad, t\in \R$.
    Si $t=0,5$ alors $\begin{cases} x=1,5\\y=0,5\sqrt{3}\\z=\sqrt{6}\end{cases}$. On retrouve les coordonnées du point $J$.
    Le point $J$ appartient bien également à la droite $(BD)$.
    Montrons que les vecteurs $\vect{OH}$ et $\vect{BD}$ ne sont pas orthogonaux (pour montrer que la droite et plan sont sécants).
    $\vect{OH}.\vect{BD}=0+2\times 3+2\times 6=18\neq 0$.
    Remarque : on pouvait également montrer que le point $B$ n’appartenait pas au plan $\mathscr{P}$ ce qui exclut le fait que la droite soit incluse dans le plan.Par conséquent le point $J$ est le point d’intersection de la droite $(BD)$ et du plan $\mathscr{P}$.
    $\quad$
    c. On a $\vect{AD}\left(3;\sqrt{3};2\sqrt{6}\right)$.
    Une représentation paramétrique de la droite $(AD)$ est donc $\begin{cases} x=-3+3k\\y=k\sqrt{3}\\z=2k\sqrt{6}\end{cases} \quad, k\in \R$.
    Les coordonnées du point d’intersection de la droite $(AD)$ et de plan $\mathscr{P}$ sont solutions du système :
    $\begin{align*} \begin{cases}x=-3+3k\\y=k\sqrt{3}\\z=2k\sqrt{6}\\2y\sqrt{3}+z\sqrt{6}-9=0\end{cases} &\ssi \begin{cases} x=-3+3k\\y=k\sqrt{3}\\z=2k\sqrt{6}\\6k+12k-9=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=-3+3k\\y=k\sqrt{3}\\z=2k\sqrt{6}\\18k-9=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=-3+3k\\y=k\sqrt{3}\\z=2k\sqrt{6}\\k=0,5\end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases} k=0,5\\x=-1,5\\y=0,5\sqrt{3}\\z=\sqrt{6}\end{cases}\end{align*}$
    Le point $K$ a donc pour coordonnées $\left(-1,5;0,5\sqrt{3};\sqrt{6}\right)$.
    $K$ est donc le milieu du segment $[AD]$.
    $\quad$
    d. $\vect{IJ}\left(0;-\sqrt{3};\sqrt{6}\right)$ et $\vect{JK}(-3;0;0)$
    Ainsi $\vect{IJ}.\vect{JK}=0+0+0=0$.
    Ces deux vecteurs sont orthogonaux. Le point $J$ appartient aux droites $(IJ)$ et $(JK)$.
    Ces deux droites dont donc perpendiculaires.
    $\quad$
    e. On appelle $L$ le milieu du segment $[AC]$. Ses coordonnées sont $(-1,5;1,5\sqrt{3};0)$.
    Montrons qu’il appartient au plan $\mathscr{P}$ :
    $2\times 1,5\sqrt{3}\times \sqrt{3}+0-9=9-9=0$.
    Ainsi $L$ est l’intersection de la droite $(AC)$ et du plan $(\mathscr{P}$.
    La section du tétraèdre $ABCD$ par le plan $\mathscr{P}$ est donc le quadrilatère $IJKL$.
    En utilisant le théorème des milieux dans les triangles $ABC$, $BCD$, $ACD$ et $ABD$ on montre que :
    $IL=\dfrac{AB}{2}=3$, $KJ=\dfrac{AB}{2}=3$, $IJ=\dfrac{DC}{2}=3$ et $KL=\dfrac{DC}{2}=3$
    $IJKL$ est donc un losange. D’après la question 2.d. il possède un angle droit en $J$. C’est par conséquent un carré.
    $\quad$
  3. On a $\vect{BD}\left(-3;\sqrt{3};2\sqrt{6}\right)$
    Une représentation paramétrique de la droite $(BD)$ est donc :
    $\begin{cases} x=3-3t\\y=t\sqrt{3}\\z=2t\sqrt{6}\end{cases} \quad ,t\in \R$.
    Ainsi $\vect{OM}\left(3-3t;t\sqrt{3};2t\sqrt{6}\right)$ et $\vect{IM}\left(1,5-3t;t\sqrt{3}-1,5\sqrt{3};2t\sqrt{6}\right)$.
    Le triangle $OIM$ est rectangle en $M$
    $\ssi \vect{OM}.\vect{IM}=0$
    $\ssi (1,5-3t)(3-3t)+3t^2-4,5t+24t^2=0$
    $\ssi 4,5-4,5t-9t+9t^2+3t^2-4,5t+24t^2=0$
    $\ssi 36t^2-18t+4,5=0$
    Le discriminant de ce polynôme est $\Delta=-324<0$.
    L’équation ne possède pas de solution réelle.
    On ne peut donc placer de point $M$ sur l’arête $[BD]$ tel que le triangle $OIM$ soit rectangle en $M$.
    $\quad$

Ex 4 obl

Exercice 4

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité 

  1. On a $OC=|y+\ic|=\sqrt{y^2+1}$, $OA=|1+\ic|=\sqrt{2}$ et $OB=|x+\ic|=\sqrt{x^2+1}$.
    Ainsi :
    $OC=OA\times OB \ssi \sqrt{y^2+1}=\sqrt{2}\sqrt{x^2+1}$
    Par conséquent $ y^2+1=2x^2+2$ soit $y^2=2x^2+1$
    $\quad$
  2. On obtient l’algorithme suivant :
    Pour $x$ allant de $1$ à $10$ faire
    $\quad$ Pour $y$ allant de $1$ à $10$ faire
    $\qquad$ Si $y^2=2x^2+1$
    $\qquad \quad$ Afficher $x$ et $y$
    $\qquad$ Fin Si
    $\quad$ Fin Pour
    Fin Pour
    $\quad$
  3. a. On a $\left|z_A\right|=|1+\ic|=\sqrt{2}$
    Donc $z_A=\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$ $= \sqrt{2}\left(\cos \left(\dfrac{\pi}{4}\right)+\ic \sin \left(\dfrac{\pi}{4}\right)\right)$.
    Un argument de $z_A$ est donc $\dfrac{\pi}{4}$.
    $\quad$
    b. Si $x=2$ et $y=3$.
    Alors $OC=\sqrt{3^2+1}=\sqrt{10}$, $OA=\sqrt{2}$ et $\sqrt{OB}=\sqrt{2^2+1}=\sqrt{5}$
    Par conséquent $OA\times OB=\sqrt{2}\times \sqrt{5}\sqrt{10} =OC$.
    $\quad$
    c. On a :
    $\begin{align*}z_Bz_C&=(2+\ic)(3+\ic)\\
    &=6+2\ic+3\ic-1\\
    &=5+5\ic\\
    &=5(1+\ic)\\
    &=5z_A
    \end{align*}$
    Ainsi arg$\left(z_Bz_C\right)=$ arg$\left(z_B\right)+$arg$\left(z_C\right)$ $=\left(\vec{u},\vect{OB}\right)+\left(\vec{u},\vect{OC}\right)$.
    arg$\left(5z_A\right)$ $=$arg$\left(z_A\right)=\left(\vec{u},\vect{OA}\right)$.
    Donc $\left(\vec{u},\vect{OB}\right)+\left(\vec{u},\vect{OC}\right)=\left(\vec{u},\vect{OA}\right)$
    $\quad$
  4. a. arg$\left(\dfrac{(x+\ic)(y+\ic)}{1+\ic)}\right)$
    $=$ arg $\left((x+\ic)(y+\ic)\right)-$ arg$\left(1+\ic\right)$
    $=$ arg$\left(x+\ic\right)+$ arg$\left(y+\ic\right)-\left(\vec{u},\vect{OA}\right)$
    $=\left(\vec{u},\vect{OB}\right)+\left(\vec{u},\vect{OC}\right)-\left(\vec{u},\vect{OA}\right)$
    $=0$ mod $2\pi$
    $\quad$
    b. Si $OC=OA\times OB$ alors $y^2=2x^2+1$.
    Puisque $y>1$ on a $y=\sqrt{2x^2+1}$
    Si $\left(\vec{u},\vect{OB}\right)+\left(\vec{u},\vect{OC}\right)=\left(\vec{u},\vect{OA}\right)$ alors arg$\left(\dfrac{(x+\ic)(y+\ic)}{1+\ic)}\right)=0$ mod $2\pi$
    Or
    $\begin{align*} \dfrac{(x+\ic)(y+\ic)}{1+\ic}&= \dfrac{(x+\ic)(y+\ic)}{1+\ic}\times \dfrac{1-\ic}{1-\ic} \\
    &=\dfrac{\left(xy+\ic x+\ic y-1\right)(1-\ic)}{2} \\
    &=\dfrac{\left((xy-1)+\ic(x+y)\right)(1-\ic)}{2}\\
    &=\dfrac{(xy-1+x+y)+\ic(x+y-xy+1)}{2}
    \end{align*}$
    Or arg$\left(\dfrac{(x+\ic)(y+\ic)}{1+\ic)}\right)=0$ mod $2\pi$
    $\ssi x+y-xy+1=0$
    $\ssi y(1-x)=-1-x$
    $\ssi y=\dfrac{1+}{x-1}$ si $x\neq 1$
    $\quad$
  5. La fonction $h$ est dérivable sur l’intervalle $]1;+\infty[$ comme somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    On a $h'(x)=\dfrac{2x}{\sqrt{2x^2+1}}+\dfrac{2}{(x-1)^2}$.
    Puisque $x>1$ cela signifie donc que $h'(x)>0$.
    La fonction $h$ est donc strictement croissante sur $]1;+\infty[$.
    $\lim\limits_{x \to 1^+}f(x)=\sqrt{3}$
    $\lim\limits_{x \to 1^+} x-1=0^+$ et $\lim\limits_{x \to 1^+}x+1=2$ donc $\lim\limits_{x \to 1^+} g(x)=+\infty$.
    Par conséquent $\lim\limits_{x \to 1^+} h(x)=-\infty$
    $\lim\limits_{x \to +\infty} 2x^2+1=+\infty$ et $\lim\limits_{X \to +\infty} \sqrt{X}=+\infty$ donc $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=+\infty$
    D’après la limite du quotient des termes de plus haut degré on a :
    $\lim\limits_{x \to +\infty} h(x)=\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x}{x}=1$
    Donc $\lim\limits_{x \to +\infty} h(x)=+\infty$
    La fonction $h$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur l’intervalle $]1;+\infty[$.
    D’après les calculs de limite précédent on est en mesure d’appliquer le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) et l’équation $h(x)=0$ possède une unique solution sur l’intervalle $]1;+\infty[$.
    Le problème initial possède donc au plus une solution (il n’y avait pas d’équivalence dans ce qui a été montré dans les questions précédentes).
    On a vu à la question 3. que $2$ était une solution du problème.
    Le problème initial possède donc exactement une solution.
    $\quad$

Ex 4 spé

Exercice 4

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

  1. On applique le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle en $O$ d’hypoténuse de longueur $a$.
    On obtient alors : $a^2=1^2+1^1=2$.
    On faisant de même dans les deux autres triangles rectangles on peut écrire :
    $b^2=1^2+u^2=1+u^2$ et $c^2=1^2+v^2=1+v^2$.
    $\quad$
    Si $ab=c$ alors $a^2b^2=c^2$.
    Par conséquent $2\left(1+u^2\right)=1+v^2$
    Soit $2+2u^2=1+v^2$
    Et donc $v^2-2u^2=1$.
    $\quad$
    Les solutions du problème sont par conséquent également les solutions $(u,v)$ de l’équation $(E) : v^2-2u^2=1$ où $u$ et $v$ sont des entiers naturels non nuls.
    $\quad$
  2. On obtient l’algorithme suivant :
    Pour $u$ allant de $1$ à $1~000$ faire
    $\quad$ Pour $v$ allant de $1$ à $1~000$ faire
    $\qquad$ Si $v^2-2u^2=1$
    $\quad \qquad$ Afficher $u$ et $v$
    $\qquad$ Fin Si
    $\quad$ Fin Pour
    Fin Pour
    $\quad$
  3. a. Si le couple $(u,v)$ est une solution de l’équation $(E)$ et que $u \pg v$ alors $2u^2>2v^2$.
    Ainsi $2u^2 > v^2$ et $v^2-2u^2<0$.
    Cela contredit le fait $v^2-2u^2=1$.
    Par conséquent $u<v$.
    $\quad$
    b. Supposons que $n$ soit pair. Il existe alors un entier naturel $k$ tel que $n=2k$.
    Par conséquent $n^2=(2k)^2=4k^2=2\left(2k^2\right)$ et $n^2$ est pair.
    Supposons que $n$ soit impair. Il existe alors une entier naturel $k$ tel que $n=2k+1$.
    Alors $n^2=(2k+1)^2=4k^2+4k+1=2\left(2k^2+2k\right)+1$ et $n^2$ est impair.
    Donc $n$ et $n^2$ ont la même parité.
    $\quad$
    c. On considère un couple solution $(u,v)$ du problème.
    Alors $v^2-2u^2=1 \ssi v^2=2u^2+1$.
    $v^2$ est donc impair. Par conséquent, d’après la question précédente $v$ l’est aussi.
    $\quad$
    d. On a $v^2-2u^2=1 \ssi 2u^2=v^2-1 \ssi 2u^2=(v-1)(v+1)$.
    $v$ est impair donc $v-1$ et $v+1$ sont pairs.
    Il existe ainsi un entier naturel $k$ tel que $v-1=2k$ et $v+1=2(k+1)$.
    Alors $2u^2=2k\times 2(k+1) \ssi u^2=2k(k+1)$.
    $u^2$ est donc pair.
    D’après la question 3.b. $u$ est par conséquent pair.
    $\quad$
  4. a. Soit $X$ est une solution de l’équation $(E)$.
    $AX=\begin{pmatrix} 3u+2v\\4u+3v\end{pmatrix}$.
    $\begin{align*} (4u+3v)^2-2(3u+2v)^2&=16u^2+9v^2+24uv-2\left(9u^2+4v^2+12uv\right) \\
    &=16u^2+9v^2+24uv-18u^2-8v^2-24uv \\
    &=v^2-2u^2\\
    &=1
    \end{align*}$
    $AX$ est donc une solution de l’équation $(E)$.
    $\quad$.
    b. Montrons à l’aide d’un raisonnement par récurrence sur $n$ que si une matrice colonne $X$ est une solution de l’équation $(E)$ alors $A^nX$ est aussi une solution de l’équation $(E)$.
    On suppose que la matrice colonne $X$ est une solution de l’équation $(E)$
    Initialisation : 
    si $n=0$ alors $A^nX=X$ et donc $A^nX$ est une solution de l’équation $(E)$.
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $A^nX$ est aussi une solution de l’équation $(E)$.
    Montrons qu’elle est encore vraie au rang suivant, c’est-à-dire que $A^{n+1}X$ est une solution de l’équation $(E)$.
    $A^{n+1}X=A\left(A^nX\right)$.
    $A^nX$ est aussi une solution de l’équation $(E)$ donc d’après la question précédente $A\left(A^nX\right)$ est également une solution de l’équation $(E)$.
    la propriété est vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent pour tout entier naturel $n$ la matrice colonne $A^nX$ est aussi une solution de l’équation $(E)$.
    $\quad$
    c. $3^2-2\times 2^2=9-8=1$.
    Le couple $(2;3)$ est une solution de l’équation $(E)$.
    On obtient $A^5X=\begin{pmatrix} 13~860\\19~601\end{pmatrix}$.
    D’après la question précédente, le couple $(13~860;19~601)$ est solution de l’équation $(E)$ et $v>10~000$.
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1     5 points

Une ferme aquatique exploite une population de crevettes qui évolue en fonction de la reproduction naturelle et des prélèvements effectués.
La masse initiale de cette population de crevettes est estimée à $100$ tonnes.
Compte tenu des conditions de reproduction et de prélèvement, on modélise la masse de la population de crevettes, exprimée en tonne, en fonction du temps, exprimé en semaine, par la fonction $f_p$ définie sur l’intervalle $[0;+\infty[$ par : $$f_p(t)=\dfrac{100p}{1-(1-p)\e^{-pt}}$$

où $p$ est un paramètre strictement compris entre $0$ et $1$ et qui dépend des différentes conditions de vie d’exploitation des crevettes.

  1. Cohérence du modèle
    a. Calculer $f_p(0)$.
    $\quad$
    b. On rappelle que $0<p<1$.
    Démontrer que pour tout nombre réel $t\pg 0$, $1-(1-p)\e^{-pt}\pg p$.
    $\quad$
    c. En déduire que pour tout nombre réel $t\pg 0$, $0<f_p(t) \pp 100$.
    $\quad$
  2. Étude de l’évolution lorsque $p = 0,9$
    Dans cette question, on prend $p=0,9$ et on étudie la fonction $f_{0,9}$ définie sur $[0;+\infty[$ par $$f_{0,9}(t)=\dfrac{90}{1-0,1\e^{-0,9t}}$$
    a. Déterminer les variations de la fonction de $f_{0,9}$.
    $\quad$
    b. Démontrer pour tout nombre réel $t\pg 0$, $f_{0,9}(t) \pg 90$.
    $\quad$
    c. Interpréter les résultats des questions 2.a. et 2.b. dans le contexte.
    $\quad$
  3. Retour au cas général
    On rappelle que $0<p<1$.
    Exprimer en fonction de $p$ la limite de $f_p$ lorsque $t$ tend vers $+\infty$.
    $\quad$
  4. Dans cette question, on prend $p=\dfrac{1}{2}$.
    a. Montrer que la fonction $H$ définie sur l’intervalle $[0;+\infty[$ par : $$H(t)=100.\ln\left(2-\e^{-t/2}\right)+50t$$ est une primitive de la fonction $f_{1/2}$ sur cet intervalle.
    $\quad$
    b. En déduire la masse moyenne de crevettes lors des $5$ premières semaines d’exploitation, c’est-à-dire la valeur moyenne de la fonction $f_{1/2}$ sur l’intervalle $[0;5]$.
    En donner une valeur approchée arrondie à la tonne.
    $\quad$

Exercice 2     5 points

Dans les parties A et B de cet exercice, on considère une maladie ; tout individu a une probabilité égale à $0,15$ d’être touché par cette maladie.

Partie A :
Cette partie est un questionnaire à choix multiples (Q.C.M.). Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse exacte. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte
rapporte un point, une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.

Un test de dépistage de cette maladie a été mis au point. Si l’individu est malade, dans $94 \%$ des cas le test est positif. Pour un individu choisi au hasard dans cette population, la probabilité que le test soit positif vaut $0,158$.

  1. On teste un individu choisi au hasard dans la population : le test est positif. Une valeur arrondie au centième de la probabilité que la personne soit malade est égale à :
    A : $0,94$
    B : $1$
    C : $0,89$
    D : on ne peut pas savoir
    $\quad$
  2. On prélève un échantillon aléatoire dans la population, et on fait passer le test aux individus de cet échantillon. On souhaite que la probabilité qu’au moins un individu soit testé positivement soit supérieure ou égale à $0,99$. La taille minimum de l’échantillon doit être égale à :
    A : $26$ personnes
    B : $27$ personnes
    C : $3$ personnes
    D : $7$ personnes
    $\quad$
  3. Un vaccin pour lutter contre cette maladie a été mis au point. Il est fabriqué par une entreprise sous forme de dose injectable par seringue. Le volume $V$ (exprimé en millilitre) d’une dose suit une loi normale d’espérance $\mu = 2$ et d’écart-type $\sigma$ . La probabilité que le volume d’une dose, exprimé en millilitre, soit compris entre $1,99$ et $2,01$ millilitres est égale à $0,997$.
    La valeur de $\sigma$ doit vérifier :
    A : $\sigma = 0,02$
    B : $\sigma < 0,003$
    C : $\sigma > 0,003$
    D : $\sigma = 0,003$
    $\quad$

Partie B :

  1. Une boîte d’un certain médicament permet de soigner un malade.
    La durée d’efficacité (exprimée en mois) de ce médicament est modélisée de la manière suivante :
    – durant les $12$ premiers mois après fabrication, on est certain qu’il demeure efficace ;
    – au-delà, sa durée d’efficacité restante suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ .
    La probabilité que l’une des boîtes prise au hasard dans un stock ait une durée d’efficacité totale supérieure à $18$ mois est égale à $0,887$.
    Quelle est la valeur moyenne de la durée d’efficacité totale de ce médicament ?
    $\quad$
  2. Une ville de $100~000$ habitants veut constituer un stock de ces boîtes afin de soigner les personnes malades.
    Quelle doit être la taille minimale de ce stock pour que la probabilité qu’il suffise à soigner tous les malades de cette ville soit supérieure à $95 \%$ ?
    $\quad$

Exercice 3     5 points

On se place dans un repère orthonormé d’origine $O$ et d’axes $(Ox)$, $(Oy)$ et $(Oz)$.
Dans ce repère, on donne les points $A(-3;0;0)$, $B(3;0;0)$, $C\left(0;3\sqrt{3};0\right)$ et $D\left(0;\sqrt{3};2\sqrt{6}\right)$.
On note $H$ le milieu du segment $[CD]$ et $I$ le milieu du segment $[BC]$.

  1. Calculer les longueurs $AB$ et $AD$.
    $\quad$
    On admet pour la suite que toutes les arêtes du solide $ABCD$ ont la même longueur, c’est-à-dire que le tétraèdre $ABCD$ est un tétraèdre régulier.
    On appelle $\mathscr{P}$ le plan de vecteur normal $\vect{OH}$ et passant par le point $I$.
    $\quad$
  2. Étude de la section du tétraèdre $ABCD$ par le plan $\mathscr{P}$.
    a. Montrer qu’une équation cartésienne du plan $\mathscr{P}$ est : $2y\sqrt{3}+z\sqrt{6}-9=0$.
    $\quad$
    b. Démontrer que le milieu $J$ de $[BD]$ est le point d’intersection de la droite $(BD)$ et du plan $\mathscr{P}$.
    $\quad$
    c. Donner une représentation paramétrique de la droite $(AD)$, puis démontrer que le plan $\mathscr{P}$ et la droite $(AD)$ sont sécants en un point $K$ dont on déterminera les coordonnées.
    $\quad$
    d. Démontrer que les droites $(IJ)$ et $(JK)$ sont perpendiculaires.
    $\quad$
    e. Déterminer précisément la nature de la section du tétraèdre $ABCD$ par le plan $\mathscr{P}$.
    $\quad$
  3. Peut-on placer un point $M$ sur l’arête $[BD]$ tel que le triangle $OIM$ soit rectangle en $M$?
    $\quad$

Exercice 4     5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Dans cet exercice, $x$ et $y$ sont des nombres réels supérieurs à $1$.

Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct $\Ouv$, on considère les points $A$, $B$ et $C$ d’affixes respectives $z_A=1+\ic$, $z_B=x+\ic$ et $z_C=y+\ic$.

Problème : on cherche les valeurs éventuelles des réels $x$ et $y$, supérieurs à $1$, pour lesquelles :
$$OC=OA\times OB \text{ et } \left(\vec{u},\vect{OB}\right)+\left(\vec{u},\vect{OC}\right)=\left(\vec{u},\vect{OA}\right)$$

  1. Démontrer que si $OC=OA\times OB$, alors $y^2=2x^2+1$.
    $\quad$
  2. Reproduire sur la copie et compléter l’algorithme ci-après pour qu’il affiche tous les couples $(x;y)$ tels que : $$\begin{cases} y^2=2x^2+1\\ x\text{ et $y$ sont des nombres entiers}\\
    1\pp x\pp 10 \text{ et } 1 \pp y\pp 10 \end{cases}$$
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{Pour $x$ allant de $1$ à $\ldots\ldots$ faire} \\
    \hspace{1cm} \text{Pour } \ldots\ldots\ldots \\
    \hspace{2cm} \text{Si } \ldots\ldots\ldots\\
    \hspace{3cm} \text{Afficher $x$ et $y$}\\
    \hspace{2cm} \text{Fin Si}\\
    \hspace{1cm} \text{Fin Pour}\\
    \text{Fin Pour}\\
    \hline
    \end{array}$$
    Lorsque l’on exécute cet algorithme, il affiche la valeur $2$ pour la variable $x$ et la valeur $3$ pour la variable $y$.
    $\quad$
  3. Étude d’un cas particulier : dans cette question seulement, on prend $x=2$ et $y=3$.
    a. Donner le module et un argument de $z_A$.
    $\quad$
    b. Montrer que $OC=Oa \times OB$.
    $\quad$
    c. Montrer que $z_Bz_C=5z_A$, et en déduire que $\left(\vec{u},\vect{OB}\right)+\left(\vec{u},\vect{OC}\right)=\left(\vec{u},\vect{OA}\right)$.
    $\quad$
  4. On revient au cas général, et on cherche s’il existe d’autres valeurs des réels $x$ et $y$ telles que les points $A$, $B$ et $C$ vérifient les deux conditions :
    $$OC=OA\times OB \text{ et } \left(\vec{u},\vect{OB}\right)+\left(\vec{u},\vect{OC}\right)=\left(\vec{u},\vect{OA}\right)$$
    On rappelle que si $OC=OA \times OB$, alors $y^2=2x^2+1$ (question 1.).
    a. Démontrer que si $\left(\vec{u},\vect{OB}\right)+\left(\vec{u},\vect{OC}\right)=\left(\vec{u},\vect{OA}\right)$, alors arg$\left(\dfrac{(x+\ic)(y+\ic)}{1+\ic}\right)=0$ mod $2\pi$.
    En déduire que sous cette condition $x+y-xy+1=0$.
    $\quad$
    b. Démontrer que si les deux conditions sont vérifiées et que de plus $x\neq 1$, alors $$y=\sqrt{2x^2+1} \text{ et } y=\dfrac{x+1}{x-1}$$
    $\quad$
  5. On définit les fonctions $f$ et $g$ sur l’intervalle $]1;+\infty[$ par : $$f(x)=\sqrt{2x^2+1} \text{ et } $g(x)=\dfrac{x+1}{x-1}$$
    Déterminer le nombre de solutions du problème initial.
    On pourra utiliser la fonction $h$ définie sur l’intervalle $]1;+\infty[$ par $h(x)=f(x)-g(x)$ et s’appuyer sur la copie d’écran d’un logiciel de calcul formel donnée ci-dessous.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    f(x):=\text{sqrt}(2*x\wedge 2+1) \\
    \hline
    \hspace{2cm} x \to \sqrt{2*x^2+1} \\
    \hline
    \text{deriver}(f)\\
    \hline
    \hspace{2cm} x\to \dfrac{2*x}{\sqrt{2*x^2+1}} \\
    \hline
    g(x):=(x+1)/(x-1)\\
    \hspace{2cm} x\to \dfrac{x+1}{x-1}\\
    \hline
    \text{deriver}(g)\\
    \hline
    \hspace{2cm} x\to -\dfrac{2}{(x-1)^2} \\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$

Exercice 4     5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

On s’intéresse à la figure suivante, dans laquelle $a$, $b$ et $c$ désignent les longueurs des hypoténuses des trois triangles rectangles en $O$ dessinés ci-dessous.

Problème : on cherche les couples de nombres entiers naturels non nuls $(u,v)$ tels que $ab=c$.

  1. Modélisation
    Démontrer que les solutions du problème sont des solutions de l’équation :
    $$(E) : v^2-2u^2=1 \quad \text{$v$ et $u$ étant des entiers naturels non nuls).}$$
    $\quad$
  2. Recherche systématiques de solutions de l’équation $(E)$
    Recopier et compléter l’algorithme suivant pour qu’il affiche au cours de son exécution tous les couples solutions de l’équation pour lesquels $1 \pp u\pp 1~000$ et $1\pp v \pp 1~000$.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{Pour $x$ allant de $1$ à $\ldots\ldots$ faire} \\
    \hspace{1cm} \text{Pour } \ldots\ldots\ldots \\
    \hspace{2cm} \text{Si } \ldots\ldots\ldots\\
    \hspace{3cm} \text{Afficher $u$ et $v$}\\
    \hspace{2cm} \text{Fin Si}\\
    \hspace{1cm} \text{Fin Pour}\\
    \text{Fin Pour}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{Au cours de son exécution,}\\
    \text{l’algorithme affiche :} \\
    \hspace{1cm} 2\phantom{00} \quad 3\\
    \hline
    \hspace{1cm} 12\phantom{0} \quad 17\\
    \hline
    \hspace{1cm} 70\phantom{0} \quad 99\\
    \hline
    \hspace{1cm} 408 \quad 577\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  3. Analyse des solutions éventuelles de l’équation $(E)$
    On suppose que le couple $(u,v)$ est une solution de l’équation $(E)$.
    a. Établir que $u<v$.
    $\quad$
    b. Démontrer que $n$ et $n^2$ ont la même parité pour tout entier naturel $n$.
    $\quad$
    c. Démontrer que $v$ est un nombre impair.
    $\quad$
    d. Établir que $2u^2=(v-1)(v+1)$.
    En déduire que $u$ est un nombre pair.
    $\quad$
  4. Une famille de solutions
    On assimile un couple de nombres $(u,v)$ à la matrice colonne $X=\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}$.
    On définit également la matrice $A=\begin{pmatrix}3&2\\4&3\end{pmatrix}$.
    a. Démontrer que si une matrice colonne $X$ est une solution de l’équation $(E)$, alors $AX$ est aussi une solution de l’équation $(E)$.
    $\quad$
    b. Démontrer que si une matrice colonne $X$ est une solution de l’équation $(E)$, alors pour tout entier naturel $n$, $A^nX$ est aussi une solution de l’équation $(E)$.
    $\quad$
    c. À l’aide de la calculatrice, donner un couple $(u,v)$ solution de l’équation $(E)$ tel que $v>10~000$.
    $\quad$

 

 

Bac S – Amérique du Nord – Mai 2018

Amérique du Nord – Mai 2018

Bac S – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A – Démonstration préliminaire

  1. La fonction $G$ est dérivable sur l’intervalle $[0;+\infty[$ comme produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $\begin{align*} G'(t)&=-\e^{-0,2t}-0,2(-t-5)\e^{-0,2t} \\
    &=(-1+0,2t+1)\e^{-0,2t} \\
    &=0,2t\e^{-0,2t} \\
    &=g(t)
    \end{align*}$
    La fonction $G$ est bien une primitive de la fonction $g$ sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    $\quad$
  2. On a :
    $\displaystyle \int_0^x 0,2t\e^{-0,2t}\dt=G(x)-G(0)=-x\e^{-0,2x}-5\e^{-0,2x}+5$.
    Or $\lim\limits_{x \to +\infty} x\e^{-0,2x}=0$.
    De plus $\lim\limits_{x\to +\infty} -0,2x=-\infty$ et $\lim\limits_{X \to -\infty} \e^X = 0$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty}e^{-0,2x}=0$.
    Ainsi $E(X)=\lim\limits_{x\to +\infty} x\e^{-0,2x}-5\e^{-0,2x}+5=5$.
    $\quad$

Partie B – Étude de la durée de présence d’un client dans le supermarché

  1. La variable aléatoire $Z=\dfrac{X-40}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.
    $\begin{align*} P(T<10)=0,067&\ssi P(T-40<-30)=0,067 \\
    &\ssi P\left(\dfrac{T-40}{\sigma}<-\dfrac{30}{\sigma}\right)=0,067 \\
    & \ssi P\left(Z<-\dfrac{30}{\sigma}\right)=0,067
    \end{align*}$
    À l’aide de la calculatrice, on trouve $-\dfrac{30}{\sigma}\approx -1,499$
    Donc $\sigma \approx 20$.
    $\quad$
  2. On veut calculer :
    $P(T>60)=0,5-P(40<T<60) \approx 0,159$.
    Environ $15,9\%$ des clients passent plus d’une heure dans le supermarché.
    $\quad$

Partie C – Durée d’attente pour le paiement

  1. a. $E(X)=\dfrac{1}{\lambda}=5$.
    En moyenne un client attend $5$ min à une borne automatique.
    $\quad$
    b. $P(T>10)=\e^{-0,2\times 10}=\e^{-2}\approx 0,135$.
    La probabilité que la durée d’attente d’un client à une borne automatique de paiement soit supérieure à $10$ minutes est environ égal à $0,135$.
    $\quad$
  2. On appelle $x$ la probabilité qu’un client choisissent une borne automatique de paiement.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(S) \pg 0,75&\ssi p(S\cap B)+p\left( S\cap \conj{B}\right) \\
    &\ssi 0,86x+0,63(1-x)\pg 0,75 \\
    &\ssi 0,23x \pg 0,12 \\
    &\ssi x \pg \dfrac{12}{23}
    \end{align*}$
    Il faut donc que la proportion minimale de clients qui doivent choisir une borne automatique de paiement pour que l’objectif soit atteint est donc $\dfrac{12}{23}$.

    $\quad$

Partie D – Bons d’achat

  1. On appelle $C$ la variable aléatoire comptant le nombre de cartes gagnantes.
    Le client effectue pour $158,02$ € d’achats. Il  obtient donc $15$ cartes.
    On effectue donc $15$ tirages aléatoires, identiques, indépendants. Chaque tirage possède deux issues : $G$, “la carte est gagnante”, et $\conj{G}$.
    De plus $p(G)=0,005$.
    La variable aléatoire $C$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=15$ et $p=0,005$.
    Ainsi $P(C\pg 1)=1-P(C=0)=1-(1-0,005)^{15} \approx 0,07$.
    $\quad$
  2. On appelle $D$ la variable aléatoire comptant le nombre de cartes gagnantes.
    On effectue $n$ tirages aléatoires, identiques, indépendants. Chaque tirage possède deux issues : $G$, “la carte est gagnante”, et $\conj{G}$.
    De plus $p(G)=0,005$.
    La variable aléatoire $D$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,005$.
    $\begin{align*} P(D\pg 1)>0,5 &\ssi 1-(1-0,005)^n > 0,5 \\
    &\ssi 0,995^n<0,5 \\
    &\ssi n\ln(0,995)<\ln (0,5) \\
    &\ssi n>\dfrac{\ln (0,5)}{\ln(0,995)}
    \end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln(0,5)}{\ln(0,995)} \approx 138,3$.
    Il faut donc que $n \pg 139$.
    Cela signifie que le montant d’achats soit supérieur à $1~390$ €.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. $f$ admet un maximum sur l’intervalle $[0;1[$ quand :
    $\begin{align*} f'(x)=0 &\ssi \dfrac{-bx+b-2}{1-x}=0 \\
    &\ssi -bx+b-2=0 \\
    &\ssi bx=b-2 \\
    &\ssi x=1-\dfrac{2}{b}
    \end{align*}$
    Le maximum est donc :
    $\begin{align*} f\left(1-\dfrac{2}{b}\right)&=b-2+2\ln\left(1-1+\dfrac{2}{b}\right)\\
    &=b-2+2\ln\left(\dfrac{2}{b}\right)\end{align*}$
    $\quad$
  2. On considère la fonction $g$ définie sur $[2;+\infty[$ par $g(x)=x-2+2\ln\left(\dfrac{2}{x}\right)$.
    La fonction $g$ est dérivable sur $[2;+\infty[$ comme somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $g'(x)=1+2\times \dfrac{-\dfrac{2}{x^2}}{\dfrac{2}{x}}=1-\dfrac{2}{x}$.
    $\begin{align*} g'(x) >0&\ssi 1-\dfrac{2}{x} > 0 \\
    &\ssi 1>\dfrac{2}{x} \\
    &\ssi 1 < \dfrac{x}{2} \\
    &\ssi 2<x
    \end{align*}$
    La fonction $g$ est donc strictement croissante et continue (car dérivable) sur l’intervalle $[2;+\infty[$.
    $g(2)=0<1,6$
    $g(x)=x\left(1-\dfrac{2}{x}+\dfrac{2}{x}\ln\left(\dfrac{2}{x}\right)\right)$
    $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{2}{x}= 0$ et $\lim\limits_{x \to 0} X\ln X=0$.
    Donc $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x)=+\infty$.
    Ainsi $1,6\in [0;+\infty[$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $g(x)=1,6$ possède donc, sur l’intervalle $[2;+\infty[$ une unique solution $\alpha \approx 5,69$.
    La fonction $g$ est strictement croissante.
    Ainsi la hauteur maximale du projectile ne dépasse pas $1,6$ mètre quand $b$ appartient à l’intervalle $[2;\alpha]$.
    $\quad$
  3. On a $f'(x)=\dfrac{-5,69x+5,69-2}{1-x}$
    Donc $f'(0)=3,69$.
    Un vecteur directeur de la tangente est par conséquent $\vec{u}(1;3,69)$.
    Par conséquent $\tan \theta =\dfrac{3,69}{1}$ donc $\theta \approx 74,8$°.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. a. Un vecteur directeur de $(AB)$ est $\vect{AB}(10;-8;2)$.
    Un vecteur directeur de $(CD)$ est $\vect{CD}(15;12;3)$.
    Une représentation paramétrique de $(AB)$ est :
    $\begin{cases} x=10t\\y=-8t\\z=2t\end{cases} \quad, t\in \R$.
    Une représentation paramétrique de $(CD)$ est :
    $\begin{cases} x=-1+15k\\y=-8+12k\\z=5+3k\end{cases} \quad,k\in\R$
    Remarque : Attention à bien prendre deux paramètres différents pour la suite.
    $\quad$
    b. On a $\dfrac{10}{15}=\dfrac{2}{3}$
    Et $\dfrac{-8}{12}=-\dfrac{2}{3}$.
    Les coordonnées ne sont pas proportionnelles.
    Les vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{CD}$ ne sont pas colinéaires et les droites $(AB)$ et $(CD)$ ne sont pas parallèles.
    Regardons maintenant si les droites sont sécantes.
    Cherchons les solutions du système :
    $\begin{align*} \begin{cases} x=10t\\y=-8t\\z=2t\\x=-1+15k\\y=-8+12k\\z=5+3k\end{cases} &\ssi \begin{cases} x=10t\\y=-8t\\z=2t\\10t=-1+15k\\-8t=-8+12k\\2t=5+3k \end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=10t\\y=-8t\\z=2t\\10t=-1+15k \quad (1)\\-8t=-8+12k\\10t=25+15k \quad (2) \end{cases}
    \end{align*}$
    Les lignes $(1)$ et $(2)$ sont incompatibles. Il n’y a donc pas de point d’intersection.
    Les droites $(AB)$ et $(CD)$ ne sont pas coplanaires.
    $\quad$
  2. a. L’abscisse du point $I$ est $5$.
    Par conséquent $10t=5 \ssi t=0,5$.
    Ainsi les coordonnées du point $I$ sont $\begin{cases} x_I=5\\y_I=-4\\z_I=1\end{cases}$.
    $\quad$
    L’abscisse du point $J$ est $4$.
    par conséquent $-1+15k=4 \ssi 15k=5 \ssi k=\dfrac{1}{3}$.
    Ainsi les coordonnées du point $J$ sont $\begin{cases}x_J=4\\y_J=-4\\z_J=6\end{cases}$.
    $\quad$
    Donc :
    $\begin{align*} IJ&=\sqrt{(4-5)^2+\left(-4-(-4)\right)^2+(6-1)^2} \\
    &=\sqrt{1+0+25} \\
    &=\sqrt{26}
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. On a $\vect{IJ}(-1;0;5)$, $\vect{AB}(10;-8;2)$ et $\vect{CD}(15;12;3)$
    D’une part $\vect{IJ}.\vect{AB}=-10+0+10=0$
    D’autre part $\vect{IJ}.\vect{CD}=-15+0+15=0$.
    Le vecteur $\vect{IJ}$ est donc normal aux vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{CD}$.
    Les droites $(IJ)$ et $(AB)$ d’une part et $(IJ)$ et $(CD)$ d’autre part sont donc orthogonales.
    Mais $(IJ)$ et $(AB)$ sont sécantes en $I$ et les droites $(IJ)$ et $(CD)$ sont sécantes en $J$.
    La droite $(IJ)$ est donc perpendiculaire aux droites $(AB)$ et $(CD)$.
    $\quad$
  3. a. Le point $I$ n’appartenant pas à la droite $(CD)$; le point $I$ et la droite $(CD)$ définissent le plan $(IJM’)$.
    La droite $\Delta$ est parallèle à $(CD)$ et passe par le point $I$ : elle est donc incluse dans le plan $(IJM’)$.
    Ainsi, dans le plan $(IJM’)$, les droites $(JM’)$ et $\Delta$ sont parallèles et la droite $(IJ)$ est perpendiculaire à la droite $\Delta$.
    La droite parallèle à la droite $(IJ)$ passant par le point $M’$ est donc également perpendiculaire à la droite $\Delta$ : ces deux droites ont bien un point d’intersection appelé $P$.
    $\quad$
    b. Les droites $(IJ)$ et $(M’P)$ sont parallèles par conséquent les vecteurs $\vect{IJ}$ et $\vect{M’P}$ sont colinéaires.
    Le vecteur $\vect{M’P}$ est alors orthogonal à $\vect{IP}$ ($(M’P)$ et $\Delta$ sont perpendiculaires) et à $\vect{IM}$ (car $\vect{IJ}$ et $\vect{AB}$ le sont).
    La droite $\Delta$ est parallèle à $(CD)$. D’après la question 1.b. elle n’est donc pas parallèle à la droite $(AB)$.
    Les droites $\Delta$ et $(AB)$ sont sécantes en $I$ : elles définissent le plan $(IMP)$.
    Le vecteur $\vect{M’P}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(IMP)$. Il est par conséquent orthogonal à tous les vecteurs de ce plan en particulier à $\vect{MP}$.
    Le triangle $MPM’$ est ainsi rectangle en $P$.
    $\quad$
    c. Dans un triangle rectangle, la longueur de l’hypoténuse est plus grande que la longueur des deux côtés de l’angle droit.
    Ainsi $MM’> M’P$ or $IJ=M’P$.
    Par conséquent $MM’>IJ$.
    $\quad$

Ex 4 obl

Exercice 4

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Partie A – Modélisation à l’aide d’une suite

  1. On obtient le graphique suivant :
    $\quad$
  2. $d_0=5$
    $d_1=\sqrt{(5-1)^2+(1-0)^2}=\sqrt{16+1}=\sqrt{17}$
    $\quad$
  3. Déterminons une équation de la droite $\left(M_1S_1\right)$.
    Les points $M_1$ et $S_1$ n’ont pas la même abscisse.
    Une équation de cette droite sera donc de la forme $y=ax+b$.
    $a=\dfrac{1-0}{5-1}=\dfrac{1}{4}$.
    Donc une équation de la droite est de la forme $y=\dfrac{1}{4}x+b$.
    Le point $M_1$ de coordonnées $(1;0)$ appartient à la droite.
    Ainsi $0=\dfrac{1}{4}+b \ssi b=-\dfrac{1}{4}$.
    Une équation de la droite $\left(M_1S_1\right)$ est donc $y=\dfrac{1}{4}(x-1)$
    Si $x=1+\dfrac{4}{\sqrt{17}}$ alors
    $y=\dfrac{1}{4}\times \dfrac{4}{\sqrt{17}}=\dfrac{1}{\sqrt{17}}$.
    Le point $A\left(1+\dfrac{4}{\sqrt{17}};\dfrac{1}{\sqrt{17}}\right)$ appartient bien à la droite.
    $\quad$
    Vérifions que $M_1A=1$.
    $M_1A=\sqrt{\left(\dfrac{4}{\sqrt{17}}\right)^2+\left(\dfrac{1}{\sqrt{17}}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{16}{17}+\dfrac{1}{17}}=1$.
    Le point $M_2$ a donc pour coordonnées $\left(1+\dfrac{4}{\sqrt{17}};\dfrac{1}{\sqrt{17}}\right)$.
    $\quad$
  4. a. En $C5$ on doit écrire $=C4+(A4-C4)/F4$
    En $F5$ on doit écrire $=\text{RACINE}((D5-B5)\hat{~}2+(E5-C5)\hat{~}2)$.
    $\quad$
    b. La suite $\left(d_n\right)$ est décroissante et minorée par $0$ (une distance est positive). Cette suite est donc convergente.
    Il semblerait que sa limite soit $2,773~165~8$.
    $\quad$

Partie B – Modélisation à l’aide d’une fonction

  1. a. On obtient le graphique suivant :

    Graphiquement, les coordonnées du point $S$ sont alors $(5;3,3)$.
    $\quad$
    b. On a $f'(3)=\dfrac{3(1-0,3)}{5-3}=1,05$.
    Une équation de la tangente en $M$ à la courbe est donc de la forme $y=1,05x+b$.
    $f(3)=-2,5\ln(1-0,6)-0,5\times 3+0,05\times 9=-2,5\ln(0,4)-1,05$.
    Le point $M$ de coordonnées $\left(3;f(3)\right)$ appartient à la tangente.
    Ainsi $-2,5\ln(0,4)-1,05=1,05\times 3+b \ssi b=-2,5\ln(0,4)-4,2$.
    Une équation de la tangente est donc $y=1,05x-2,5\ln(0,4)-4,2$.
    Le point $S$ a pour abscisse $5$.
    Son ordonnée est donc $y_S=1,05\times 5-2,5\ln(0,4)-4,2\approx 3,34$.
    $\quad$
  2. $\lim\limits_{x \to 5}d(x)=0,1\times 5^2-5+5=2,5$.
    Par conséquent la distance $MS$ se rapproche de $2,5$.
    $\quad$

Ex 4 spé

Exercice 4

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A – Un modèle simple

  1. a. On a
    $\begin{pmatrix} u_{n+1}\\v_{n+1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1,1&2~000\\2\times 10^-5&0,6\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}u_n\\v_n\end{pmatrix}$
    Donc $A=\begin{pmatrix} 1,1&2~000\\2\times 10^-5&0,6\end{pmatrix}$.
    Et $U_0=\begin{pmatrix}2~000~000\\120\end{pmatrix}$.
    $\quad$
    b. Au $1\ier$ juillet 2018 on a $n=6$.
    Donc $U_6=A^6\times U_0 \approx \begin{pmatrix} 1~882~353\\96\end{pmatrix}$
    Il y aura donc environ $1~882~353$ campagnols et $96$ renards.
    $\quad$
  2. a. Montrons ce résultat par récurrence.
    Initialisation : si $n=0$ alors $P\times D^n\times P^{-1}\times U_0=P\times I_2\times P^{-1}\times U_0=U_0$
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $U_n=P\times D^n\times P^{-1}\times U_0$.
    Montrons qu’elle est encore vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $U_{n+1}=P\times D^{n+1}\times P^{-1}\times U_0$.
    $\begin{align*} U_{n+1}&=A\times U_n \\
    &=P\times D\times P^{-1} \times P\times D^n\times P^{-1}\times U_0 \\
    &=P\times D \times D^n\times P^{-1}\times U_0 \\
    &=P\times D^{n+1}\times P^{-1}\times U_0
    \end{align*}$
    La propriété est vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $U_n=P\times D^n\times P^{-1}\times U_0$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a $D_n=\begin{pmatrix}1&0\\0&0,7^n\end{pmatrix}$.
    $\quad$
    c. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $u_n=\dfrac{2,8\times 10^7}{15}+\dfrac{2\times 10^6}{15}\times 0,7^n$ et $v_n=\dfrac{1400}{15}+\dfrac{400}{15}\times 0,7^n$.
    Puisque $0<0,7<1$, cela signifie que la suite géométrique de raison $0,7$ est décroissante et que $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,7^n=0$
    Par conséquent les suite $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ sont décroissantes.
    De plus $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=\dfrac{2,8\times 10^7}{15}$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n=\dfrac{1400}{15}=\dfrac{280}{3}$
    $\quad$
    Le nombre de renards et de campagnols va donc décroître pour se stabiliser à environ $93$ individus pour les renards et environ $1~866~667$ pour les campagnols.
    $\quad$

Partie B – Un modèle plus conforme à la réalité

  1. En $B4$ on a pu écrire $=1,1\times B3-0,001\times B3\times C3$.
    En $C4$ on a pu écrire $=2\times 10^{-7}\times B3\times C3+0,6\times C3$.
    $\quad$
  2. En utilisant le menu table de la calculatrice on constate qu’à partir de $n=104$ on observe le phénomène décrit, soit à partir de l’année 2116.
    $\quad$

Partie C

On appelle $\begin{pmatrix} U&V\end{pmatrix}$ l’état stable
On veut donc résoudre le système
$\begin{align*} \begin{cases} U=1,1U\times -0,001U\times V\\V=2\times 10^{-7}U\times V+0,6V\end{cases}&\ssi \begin{cases} 0,1U=0,001U\times V \\0,4V=2\times 10^{-7}U\times V \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} 0,1U(1-0,01V)=0\\2V\left(0,2-10^{-7}V\right)=0\end{cases} \quad (*)\\
&\ssi \begin{cases} V=100\\U=2\times 10^6\end{cases}\end{align*}$
$(*)$ $U$ et $V$ ne sont pas nuls.
S’il y a $2~000~000$ campagnols et $100$ renards alors les deux populations sont stables.
$\quad$

Énoncé

Exercice 1     6 points

On étudie certaines caractéristiques d’un supermarché d’une petite ville.

Partie A – Démonstration préliminaire

Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre $0,2$.
On rappelle que l’espérance de la variable aléatoire $X$, notée $E(X)$, est égale à : $$\lim\limits_{x \to +\infty} \ds \int_0^x 0,2t\e^{-0,2t}\dt$$

Le but de cette parte est de démontrer que $E(X)=5$.

  1. On note $g$ la fonction définie sur l’intervalle $[0;+\infty[$ par $g(t)=0,2t\e^{-0,2t}$.
    On définit la fonction $G$ sur l’intervalle $[0;+\infty[$ par $G(t)=(-t-5)\e^{-0,2t}$.
    Vérifier que $G$ est une primitive de $g$ sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    $\quad$
  2. En déduire que la valeur exacte de $E(X)$ est $5$.
    Indication : on pourra utiliser, sans le démontrer, le résultat suivant : $$\lim\limits_{x \to +\infty} x\e^{-0,2x}=0$$

Partie B – Étude de la durée de présence d’un client dans le supermarché

Une étude commandée par le gérant du supermarché permet de modéliser la durée, exprimée en minutes, passée dans le supermarché par un client choisi au hasard par une variable aléatoire $T$.
Cette variable $T$ suit une loi normale d’espérance $40$ minutes et d’écart type un réel positif noté $\sigma$.
Grâce à cette étude, on estime que $P(T < 10) = 0,067$.

  1. Déterminer une valeur arrondie du réel $\sigma$ à la seconde près.
    $\quad$
  2. Dans cette question, on prend $\sigma = 20$ minutes. Quelle est alors la proportion de clients qui passent plus d’une heure dans le supermarché ?$\quad$

Partie C – Durée d’attente pour le paiement

Ce supermarché laisse le choix au client d’utiliser seul des bornes automatiques de paiement ou bien de passer par une caisse gérée par un opérateur.

  1. La durée d’attente à une borne automatique, exprimée en minutes, est modélisée par une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre $0,2$ min$^{-1}$.
    a. Donner la durée moyenne d’attente d’un client à une borne automatique de paiement.
    $\quad$
    b. Calculer la probabilité, arrondie à $10^{-3}$, que la durée d’attente d’un client à une borne automatique de paiement soit supérieure à $10$ minutes.
    $\quad$
  2. L’étude commandée par le gérant conduit à la modélisation suivante :
    $\bullet$ parmi les clients ayant choisi de passer à une borne automatique, $86 \%$ attendent moins de $10$ minutes ;
    $\bullet$ parmi les clients passant en caisse, $63 \%$ attendent moins de $10$ minutes.
    On choisit un client du magasin au hasard et on définit les événements suivants :
    $B$ : « le client paye à une borne automatique » ;
    $\conj{B}$ : « le client paye à une caisse avec opérateur » ;
    $S$ : « la durée d’attente du client lors du paiement est inférieure à $10$ minutes ».
    Une attente supérieure à dix minutes à une caisse avec opérateur ou à une borne automatique engendre chez le client une perception négative du magasin. Le gérant souhaite que plus de $75 \%$ des clients attendent moins de $10$ minutes.
    Quelle est la proportion minimale de clients qui doivent choisir une borne automatique de paiement pour que cet objectif soit atteint ?
    $\quad$

Partie D – Bons d’achat

Lors du paiement, des cartes à gratter, gagnantes ou perdantes, sont distribuées aux clients. Le nombre de cartes distribuées dépend du montant des achats. Chaque client a droit à une carte à gratter par tranche de $10$€ d’achats.
Par exemple, si le montant des achats est $58,64$€, alors le client obtient $5$ cartes ; si le montant est $124,31$€, le client obtient $12$ cartes.
Les cartes gagnantes représentent $0,5 \%$ de l’ensemble du stock de cartes. De plus, ce stock est suffisamment grand pour assimiler la distribution d’une carte à un tirage avec remise.

  1. Un client effectue des achats pour un montant de $158,02$€.
    Quelle est la probabilité, arrondie à $10^{-2}$, qu’il obtienne au moins une carte gagnante ?
    $\quad$
  2. À partir de quel montant d’achats, arrondi à $10$€, la probabilité d’obtenir au moins une carte gagnante est-elle supérieure à $50 \%$ ?
    $\quad$

Exercice 2     4 points

Lors d’une expérience en laboratoire, on lance un projectile dans un milieu fluide. L’objectif est de déterminer pour quel angle de tir $\theta$ par rapport à l’horizontale la hauteur du projectile ne dépasse pas $1,6$ mètre.
Comme le projectile ne se déplace pas dans l’air mais dans un fluide, le modèle parabolique usuel n’est pas adopté.
On modélise ici le projectile par un point qui se déplace, dans un plan vertical, sur la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0 ; 1[$ par : $$f (x) = bx +2\ln(1-x)$$
où $b$ est un paramètre réel supérieur ou égal à $2$, $x$ est l’abscisse du projectile, $f(x)$ son ordonnée, toutes les deux exprimées en mètres.

  1. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[0;1[$. On note $f’$ sa fonction dérivée.
    On admet que a fonction $f$ possède un maximum sur l’intervalle $[0;1[$ et que, pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0;1[$ : $$f'(x)=\dfrac{-bx+b-2}{1-x}$$
    Montrer que le maximum de la fonction $f$ est égal à $b-2+2\ln\left(\dfrac{2}{b}\right)$.
    $\quad$
  2. Déterminer pour quelles valeurs du paramètres $b$ la hauteur maximale du projectile ne dépasse pas $1,6$ mètre.
    $\quad$
  3. Dans cette question, on choisit $b=5,69$.
    L’angle de tir $\theta$ correspond à l’angle entre l’axe des abscisses et la tangente à la courbe de la fonction $f$ au point d’abscisse $0$ comme indiqué sur le schéma donné ci-dessus.
    Déterminer une valeur approchée au dixième de degré près de l’angle $\theta$.
    $\quad$

Exercice 3     5 points

On se place dans l’espace muni d’un repère orthonormé dont l’origine est le point $A$.
On considère les points $B(10 ; -8 ; 2)$, $C(-1 ; -8 ; 5)$ et $D(14 ; 4 ; 8)$.

  1. a. Déterminer un système d’équations paramétriques de chacune des droites $(AB)$ et $(CD)$.
    $\quad$
    b. Vérifier que les droites $(AB)$ et $(CD)$ ne sont pas coplanaires.
    $\quad$
  2. On considère le point $I$ de la droite $(AB)$ d’abscisse $5$ et le point $J$ de la droite $(CD)$ d’abscisse $4$.
    a. Déterminer les coordonnées des points $I$ et $J$ et en déduire la distance $IJ$.
    $\quad$
    b. Démontrer que la droite $(IJ)$ est perpendiculaire aux droites $(AB)$ et $(CD)$.
    La droite $(IJ)$ est appelée perpendiculaire commune aux droites $(AB)$ et $(CD)$.
    $\quad$
  3. Cette question a pour but de vérifier que la distance $IJ$ est la distance minimale entre les droites $(AB)$ et $(CD)$.
    Sur le schéma ci-dessous on a représenté les droites $(AB)$ et $(CD)$, les points $I$ et $J$, et la droite $\Delta$ parallèle à la droite $(CD)$ passant par $I$.
    On considère un point $M$ de la droite $(AB)$ distinct du point $I$.
    On considère un point $M’$ de la droite $(CD)$ distinct du point $J$.

    a. 
    Justifier que la parallèle à la droite $(IJ)$ passant par le point $M’$ coupe la droite $\Delta$ en un point que l’on notera $P$.
    $\quad$
    b. Démontrer que le triangle $MPM’$ est rectangle en $P$.
    $\quad$
    c. Justifier que $MM’>IJ$ et conclure.
    $\quad$

Exercice 4     5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Les deux graphiques donnés en annexe seront à compléter et à rendre avec la copie.

Un scooter radiocommandé se déplace en ligne droite à la vitesse constante de $1$ m.s$^-1$. Il est poursuivi par un chien qui se déplace à la même vitesse. On représente la situation vue de dessus dans un repère orthonormé du plan d’unité $1$ mètre. L’origine de ce repère est la position initiale du
chien. Le scooter est représenté par un point appartenant à la droite d’équation $x = 5$. Il se déplace sur cette droite dans le sens des ordonnées croissantes.
Dans la suite de l’exercice, on étudie deux modélisations différentes de la trajectoire du chien.

Partie A – Modélisation à l’aide d’une suite

La situation est représentée par le graphique n°1 donné en annexe.
À l’instant initial, le scooter est représenté par le point $S_0$. Le chien qui le poursuit est représenté par le point $M_0$. On considère qu’à chaque seconde, le chien s’oriente instantanément en direction du scooter et se déplace en ligne droite sur une distance de $1$ mètre.
Ainsi, à l’instant initial, le chien s’oriente en direction du point $S_0$, et une seconde plus tard il se trouve un mètre plus loin au point $M_1$. À cet instant, le scooter est au point $S_1$. Le chien s’oriente en direction de $S_1$ et se déplace en ligne droite en parcourant $1$ mètre, et ainsi de suite.
On modélise alors les trajectoires du chien et du scooter par deux suites de points notées $\left(M_n\right)$ et $\left(S_n\right)$.
Au bout de $n$ secondes, les coordonnées du point $S_n$ sont $(5 ; n)$. On note $\left(x_n ; y_n\right)$ les coordonnées du point $M_n$.

  1. Construire sur le graphique n°1 donné en annexe les points $M_2$ et $M_3$.

    $\quad$
  2. On note $d_n$ la distance entre le chien et le scooter $n$ secondes après le début de la poursuite.
    On a donc $d_n=M_nS_n$.
    Calculer $d_0$ et $d_1$.
    $\quad$
  3. Justifier que le point $M_2$ a pour coordonnées $\left(1+\dfrac{4}{\sqrt{17}};\dfrac{1}{\sqrt{17}}\right)$.
    $\quad$
  4. On admet que, pour tout entier naturel $n$ : $$\begin{cases} x_{n+1}=x_n+\dfrac{5-x_n}{d_n}\\y_{n+1}=y_n+\dfrac{n-y_n}{d_n} \end{cases}$$
    a. Le tableau ci-dessous, obtenu à l’aide d’un tableur, donne les coordonnées des points $M_n$ et $S_n$ ainsi que la distance $d_n$ en fonction de $n$. Quelles formules doit-on écrire dans les cellules $C5$ et $F5$ et recopier vers le bas pour remplir les colonnes $C$ et $F$ ?

    b. On admet que la suite $\left(d_n\right)$ est strictement décroissante.
    Justifier que cette suite est convergente et conjecturer sa limite à l’aide du tableau.
    $\quad$

Partie B – Modélisation à l’aide d’une fonction

On modéliser maintenant la trajectoire du chien à l’aide de la courbe $\mathscr{T}$ de la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0;5[$ par $$f(x)=-2,5\ln(1-0,2x)-0,5x+0,05x^2$$
Cela signifie que le chier se déplace sur la courbe $\mathscr{T}$ de la fonction $f$.

  1. Lorsque le chien se trouve au point $M$ de coordonnées $\left(x ; f (x)\right)$ de la courbe $\mathscr{T}$ , où $x$ appartient à l’intervalle $[0 ; 5[$, le scooter se trouve au point $S$, d’ordonnée notée $y_S$. Ainsi le point $S$ a pour coordonnées $\left(5 ; y_S\right)$. La tangente à la courbe $\mathscr{T}$ au point $M$ passe par le point $S$. Cela traduit le fait que le chien s’oriente toujours en direction du scooter. On note $d(x)$ la distance $MS$ entre le chien et le scooter lorsque $M$ a pour abscisse $x$.
    a. Sur le graphique n°2 donné en annexe, construire, sans calcul, le point $S$ donnant la position du scooter lorsque le chien se trouve au point d’abscisse $3$ de la courbe $\mathscr{T}$ et lire les coordonnées du point $S$.
    $\quad$
    b. On note $f’$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0 ; 5[$ et on admet que, pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0 ; 5[$ : $$f'(x)=\dfrac{x(1-0,1x)}{5-x}$$
    Déterminer par le calcul une valeur approchée au centième de l’ordonnée du point $S$ lorsque le chien se trouve au point d’abscisse $3$ de la courbe $\mathscr{T}$.
    $\quad$
  2. On admet que $d(x)=0,1x^2-x+5$ pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0;5[$.
    Justifier qu’au cours du temps la distance $MS$ se rapproche d’une valeur limite que l’on déterminera.
    $\quad$

Exercice 4     5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Dans une région, on s’intéresse à la cohabitation de deux espèces animales : les campagnols et les renards, les renards étant les prédateurs des campagnols. Au 1$\ier$ juillet 2012, on estime qu’il y a dans cette région approximativement deux millions de campagnols et cent-vingt renards.
On note $u_n$ le nombre de campagnols et $v_n$ le nombre de renards au 1$\ier$ juillet de l’année 2012$+n$.

Partie A – Un modèle simple

On modélise l’évolution des populations par les relations suivantes :

$\begin{cases} u_{n+1}=1,1u_n-2~000v_n\\v_{n+1}=2\times 10^{-5}u_n+0,6v_n \end{cases}$ $\quad$ pour tout entier $n \pg 0$, avec $u_0=2~000~000$ et $v_0=120$.

  1. a. On considère la matrice colonne $U_n=\begin{pmatrix}U_n\\v_n\end{pmatrix}$ pour tout entier $n\pg 0$.
    Déterminer la matrice $A$ telle que $U_{n+1}=A \times U_n$ pour entier $n$ et donner la matrice $U_0$.
    $\quad$
    b. Calculer le nombre de campagnols et de renards estimés grâce à ce modèle au $1\ier$ juillet 2018.
    $\quad$
  2. Soit les matrices $P=\begin{pmatrix} 20~000&5~000\\1&1\end{pmatrix}$, $D=\begin{pmatrix}1&0\\0&0,7\end{pmatrix}$ et $P^{-1}=\dfrac{1}{15~000}\times \begin{pmatrix}1&-5~000\\-1&20~000\end{pmatrix}$.
    On admet que $P^{-1}$ est la matrice inverse de la matrice $P$ et que $A=P\times D\times P^{-1}$.
    a. Montrer que pour tout entier naturel $n$, $U_n=P\times D^n\times P^{-1}\times U_0$.
    $\quad$
    b. Donner sans justification l’expression de la matrice $D^n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
    c. On admet que, pour tout entier naturel $n$ :
    $$\begin{cases} u_n=\dfrac{2,8\times 10^7+2\times 10^6\times 0,7^n}{15} \\v_n=\dfrac{1~400+400\times 0,7^n}{15}\end{cases}$$
    Décrire l’évolution des deux populations.
    $\quad$

Partie B – Un modèle plus conforme à la réalité

Dans la réalité, on observe que si le nombre de renards a suffisamment baissé, alors le nombre de campagnols augmente à nouveau, ce qui n’est pas le cas avec le modèle précédent. On construit donc un autre modèle, plus précis, qui tient compte de ce type d’observations à l’aide des relations suivantes :

$\begin{cases} u_{n+1}=1,1u_n-0,001u_n\times v_n \\v_{n+1}=2\times 10^{-7}u_n\times v_n+0,6v_n \end{cases}$ $\quad$ pour tout entier $n \pg 0$, avec $u_0=2~000~000$ et $v_0=120$.

Le tableau ci-dessous présente ce nouveau modèle sur les $25$ premières années en donnant les effectifs des populations arrondis à l’unité :

  1. Quelles formules faut-il écrire dans les cellules $B4$ et $C4$ et recopier vers le bas pour remplir les colonnes $B$ et $C$ ?
    $\quad$
  2. Avec le deuxième modèle, à partir de quelle année observe-t-on le phénomène décrit (baisse des renards et hausse des campagnols) ?
    $\quad$

Partie C

Dans cette partie on utilise le modèle de la partie B.
Est-il possible de donner à $u_0$ et $v_0$ des valeurs afin que les deux populations restent stables d’une année sur l’autre, c’est-à-dire telles que pour tout entier naturel $n$ on ait $u_{n+1} = u_n$ et $v_{n+1} = v_n$ ?
(On parle alors d’état stable.)

$\quad$