Bac S – Métropole – Juin 2019

Métropole – Juin 2019

Bac S – Mathématiques – Correction

La correction de ce sujet de maths du bac TS – métropole juin 2019 sera mise en ligne dès la fin des épreuves.
Pour être sûr d’être prêt le jour J, il faut bien évidemment avoir travaillé sérieusement tout au long de l’année. S’entraîner sur les derniers sujets tombés et ceux des années précédentes permet cependant de parfaire tout ce qui a été révisé en amont.

Différents sujets seront déjà passés avant que tu ne composes. Tu pourras retrouver la correction de ceux, d’Amérique du Nord mai 2019, du Liban mai 2019, des Centres étrangers/Pondichéry juin 2019, Polynésie juin 2019, Asie juin 2019 et Antilles-Guyane juin 2019 sur la page d’accueil dès que les énoncés de ces sujets seront disponibles.

Tu pourras également retrouver ceux de métropole de l’année dernières et des autres sessions en suivant les liens ci-dessous :

Bonnes révisions et bon courage pour cette dernière ligne droite 😉

 

Bac S – Pondichéry / Centres étrangers – Juin 2019

Pondichéry / Centres étrangers – Juin 2019

Bac S – Mathématiques – Correction

La correction de ce sujet de bac sera mise en ligne dès que le sujet sera disponible.
Il est important de s’entraîner sur les sujets de l’année pour bien préparer sa propre épreuve. On se fait ainsi une idée des tendances de l’année.
L’intégralité des sujets corrigés cette année et les années précédentes se trouve ici.

Les sujets tombés  les années précédentes sont dans les onglets situés en dessous. Pour les corrections, il suffit de suivre ces liens :

Pondichéry 2018

Exercice 1     6 points

Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.
Dans une usine, un four cuit des céramiques à la température de $1~000$ °C. À la fin de la cuisson, il est éteint et il refroidit.

On s’intéresse à la phase de refroidissement du four, qui débute dès l’instant où il est éteint.

La température du four est exprimée en degré Celsius (°C).

La porte du four peut être ouverte sans risque pour les céramiques dès que sa température est inférieure à $70$ °C. Sinon les céramiques peuvent se fissurer, voire se casser.

Partie A

Pour un nombre entier naturel $n$, on note $T_n$ la température en degré Celsius du four au bout de $n$ heures écoulées à partir de l’instant où il a été éteint. On a donc $T_0=1~000$.

La température $T_n$ est calculée par l’algorithme suivant :

$$\begin{array}{|l|}
\hline
T\leftarrow 1000\\
\text{Pour $i$ allant de $1$ à $n$}\\
\hspace{1cm} T\leftarrow 0,82\times T+3,6\\
\text{Fin Pour}\\
\hline
\end{array}$$

  1. Déterminer la température du four, arrondie à l’unité, au bout de $4$ heures de refroidissement.
    $\quad$
  2. Démontrer que, pour tout nombre entier naturel $n$, on a : $T_n=980\times 0,82^n+20$.
    $\quad$
  3. Au bout de combien d’heures le four peut-il être ouvert sans risque pour les céramiques?
    $\quad$

Partie B

Dans cette partie, on note $t$ le temps (en heure) écoulé depuis l’instant où le four a été éteint.
La température du four (en degré Celsius) à l’instant $t$ est donnée par la fonction $f$ définie, pour tout nombre réel $t$ positif, par : $f(t)=a\e^{-t/5}+b$, où $a$ et $b$ sont deux nombres réels.

On admet que $f$ vérifie la relation suivante : $f'(t)+\dfrac{1}{5}f(t)=4$.

  1. . Déterminer les valeurs de $a$ et $b$ sachant qu’initialement, la température du four est de
    $1~000$ °C, c’est-à-dire que $f(0) = 1~000$.
    $\quad$
  2. Pour la suite, on admet, que pour tout nombre réel positif $t$ : $f(t)=980\e^{-t/5}+20$.
    a. Déterminer la limite de $f$ lorsque $t$ tend vers $+\infty$.
    $\quad$
    b. Étudier les variations de $f$ sur $[0;+\infty[$. En déduire son tableau de variations complet.
    $\quad$
    c. Avec ce modèle, après combien de minutes le four peut-il être ouvert sans risque pour les céramiques ?
    $\quad$
  3. La température moyenne (en degré Celcius) du four entre deux instants $t_1$ et $t_2$ est donnée par : $\displaystyle \dfrac{1}{t_2-t_1}\int_{t_1}^{t_2}f(t)\dt$.
    a. À l’aide de la représentation graphique de $f$ ci-dessous, donner une estimation de la température moyenne $\theta$ du four sur les $15$ premières heures de refroidissement.
    Expliquer votre démarche.

    b. Calculer la valeur exacte de cette température moyenne $\theta$ et en donner la valeur arrondie au degré Celsius.
    $\quad$
  4. Dans cette question, on s’intéresse à l’abaissement de température (en degré Celsius) du four au cours d’une heure, soit entre deux instants $t$ et $(t +1)$ Cet abaissement est donné par la fonction $d$ définie, pour tout nombre réel $t$ positif, par : $d(t)= f(t)-f(t+1)$.
    a. Vérifier que, pour tout nombre réel $t$ positif : $d(t)=980\left(1-\e^{-1/5}\right)\e^{-t/5}$.
    $\quad$
    b. Déterminer la limite de $d(t)$ lorsque $t$ tend vers $+\infty$.
    Quelle interprétation peut-on en donner?
    $\quad$

Exercice 2     4 points

Le plan est muni d’un repère orthonormé $Ouv$.

Les points $A, B$ et $C$ ont pour affixes respectives $a = − 4$, $b = 2$ et $c = 4$.

  1. On considère les trois points $A’$, $B’$ et $C’$ d’affixes respectives $a’=ja$, $b’=jb$ et $c’=jc’$ où $j$ est le nombre complexe $-\dfrac{1}{2}+\ic\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
    a. Donner la forme trigonométrique et la forme exponentielle de $j$.
    En déduire les formes algébriques et exponentielles de $a’ , $b’$ et $c’$.
    $\quad$
    b. Les points $A$, $B$ et $C$ ainsi que les cercles de centre $O$ et de rayon $2$, $3$ et $4$ sont représentés sur le graphique fourni en Annexe.
    Placer les points $A’$, $B’$ et $C’$ sur ce graphique.
    $\quad$
  2. Montrer que les points $A’$, $B’$ et $C’$ sont alignés.
    $\quad$
  3. On note $M$ le milieu du segment $[A’C]$, $N$ le milieu du segment $[C’C]$ et $P$ le milieu du segment $(C’A]$. Démontrer que le triangle $MNP$ est isocèle.
    $\quad$

Annexe

$\quad$

Exercice 3     5 points

Une entreprise conditionne du sucre blanc provenant de deux exploitations $U$ et $V$ en paquets de $1$ kg et de différentes qualités.

Le sucre extra fin est conditionné séparément dans des paquets portant le label « extra fin ».

Les parties A, B et C peuvent être traitées de façon indépendante.

Dans tout l’exercice, les résultats seront arrondis, si nécessaire, au millième.

Partie A

Pour calibrer le sucre en fonction de la taille de ses cristaux, on le fait passer au travers d’une série de trois tamis positionnés les uns au-dessus des autres et posés sur un récipient à fond étanche.
Les ouvertures des mailles sont les suivantes :

Les cristaux de sucre dont la taille est inférieure à 0,2 mm se trouvent dans le récipient à fond étanche à la fin du calibrage. Ils seront conditionnés dans des paquets portant le label « sucre extra fin ».

  1. On prélève au hasard un cristal de sucre de l’exploitation $U$. La taille de ce cristal,
    exprimée en millimètre, est modélisée par la variable aléatoire $X_U$ qui suit la loi normale de moyenne $\mu_U =0,58$ mm et d’écart type $\sigma_U = 0, 21$ mm.
    a. Calculer les probabilités des événements suivants : $X_U<0,2$ et $0,5\pp X_U<0,8$.
    $\quad$
    b. On fait passer $1~800$ grammes de sucre provenant de l’exploitation $U$ au travers de la série de tamis.
    Déduire de la question précédente une estimation de la masse de sucre récupérée dans le récipient à fond étanche et une estimation de la masse de sucre récupérée dans le tamis 2.
    $\quad$
  2. On prélève au hasard un cristal de sucre de l’exploitation $V$. La taille de ce cristal, exprimée en millimètre, est modélisée par la variable aléatoire $X_V$
    qui suit la loi normale de moyenne $\mu_V= 0,65$ mm et d’écart type $\sigma_V$ à déterminer.
    Lors du calibrage d’une grande quantité de cristaux de sucre provenant de l’exploitation $V$, on constate que $40\%$ de ces cristaux se retrouvent dans le tamis 2.
    Quelle est la valeur de l’écart type $\sigma_V$ de la variable aléatoire $X_V$ ?$\quad$

Partie B

Dans cette partie, on admet que $3\%$ du sucre provenant de l’exploitation $U$ est extra fin et que $5 \%$ du sucre provenant de l’exploitation $V$ est extra fin.
On prélève au hasard un paquet de sucre dans la production de l’entreprise et, dans un souci de traçabilité, on s’intéresse à la provenance de ce paquet.

On considère les événements suivants :

  • $U$ : « Le paquet contient du sucre provenant de l’exploitation $U$ » ;
  • $V$ : « Le paquet contient du sucre provenant de l’exploitation $V$ » ;
  • $E$ : « Le paquet porte le label “extra fin” ».
  1. Dans cette question, on admet que l’entreprise fabrique $30\%$ de ses paquets avec du sucre provenant de l’exploitation $U$ et les autres avec du sucre provenant de l’exploitation $V$, sans mélanger les sucres des deux exploitations.
    a. Quelle est la probabilité que le paquet prélevé porte le label « extra fin » ?
    $\quad$
    b. Sachant qu’un paquet porte le label « extra fin », quelle est la probabilité que le sucre qu’il contient provienne de l’exploitation $U$ ?
    $\quad$
  2. L’entreprise souhaite modifier son approvisionnement auprès des deux exploitations afin que parmi les paquets portant le label « extra fin », $30 \%$ d’entre eux contiennent du sucre provenant de l’exploitation $U$.
    Comment doit-elle s’approvisionner auprès des exploitations $U$ et $V$ ?
    Toute trace de recherche sera valorisée dans cette question.
    $\quad$

Partie C

  1. L’entreprise annonce que $30 \%$ des paquets de sucre portant le label « extra fin » qu’elle conditionne contiennent du sucre provenant de l’exploitation $U$.
    Avant de valider une commande, un acheteur veut vérifier cette proportion annoncée. Il prélève $150$ paquets pris au hasard dans la production de paquets labellisés « extra fin » de l’entreprise. Parmi ces paquets, $30$ contiennent du sucre provenant de l’exploitation $U$.
    A-t-il des raisons de remettre en question l’annonce de l’entreprise ?
    $\quad$
  2. L’année suivante, l’entreprise déclare avoir modifié sa production. L’acheteur souhaite estimer la nouvelle proportion de paquets de sucre provenant de l’exploitation $U$ parmi les paquets portant le label « extra fin ». Il prélève $150$ paquets pris au hasard dans la production de paquets labellisés « extra fin » de l’entreprise. Parmi ces paquets $42 \%$ contiennent du sucre provenant de l’exploitation $U$.
    Donner un intervalle de confiance, au niveau de confiance $95 \%$, de la nouvelle proportion de paquets labellisés « extra fin » contenant du sucre provenant de l’exploitation $U$.
    $\quad$

Exercice 4     5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Dans l’espace muni du repère orthonormé $\Oijk$ d’unité $1$ cm, on considère les points $A,B,C$ et $D$ de coordonnées respectives $(2;1;4)$, $(4;-1;0)$, $(0;3;2)$ et $(4;3;-2)$.

  1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(CD)$.
    $\quad$
  2. Soit $M$ un point de la droite $(CD)$.
    a. Déterminer les coordonnées du point $M$ tel que la distance $BM$ soit minimale.
    $\quad$
    b. On note $H$ le point de la droite $(CD)$ ayant pour coordonnées $(3 ; 3 ; –1)$.
    Vérifier que les droites $(BH)$ et $(CD)$ sont perpendiculaires.
    $\quad$
    c. Montrer que l’aire du triangle $BCD$ est égale à $12$ cm$^2$.
    $\quad$
  3. a. Démontrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(BCD)$.
    $\quad$
    b. Déterminer une équation cartésienne du plan $(BCD)$.
    $\quad$
    c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ passant par $A$ et orthogonale au plan $(BCD)$.
    $\quad$
    d. Démontrer que le point $I$, intersection de la droite $\Delta$ et du plan $(BCD)$, a pour coordonnées $\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{8}{3}\right)$.
    $\quad$
  4. Calculer le volume du tétraèdre $ABCD$.
    $\quad$

Exercice 4     5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

À toute lettre de l’alphabet on associe un nombre entier $x$ compris entre $0$ et $25$ comme indiqué dans le tableau ci-dessous :

$$\begin{array}{l}
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Lettre}&A &B &C &D &E &F &G &H &I& J &K &L &M\\
\hline
x&\phantom{1}0& \phantom{1}1 &\phantom{1}2 &\phantom{1}3 &\phantom{1}4 &\phantom{1}5 &\phantom{1}6 &\phantom{1}7 &\phantom{1}8 &\phantom{1}9 &10 &11 &12\\
\hline
\end{array} \\
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Lettre}&N&O&P&Q&R&S&T&U&V&W&X&Y&Z\\
\hline
x&13&14&15&16&17&18&19&20&21&22&23&24&25\\ \hline
\end{array}\end{array}$$

Le « chiffre de RABIN » est un dispositif de cryptage asymétrique inventé en 1979 par
l’informaticien Michael RABIN.

Alice veut communiquer de manière sécurisée en utilisant ce cryptosystème. Elle choisit deux nombres premiers distincts $p$ et $q$. Ce couple de nombres est sa clé privée qu’elle garde secrète.

Elle calcule ensuite $n= p\times q$ et elle choisit un nombre entier naturel $B$ tel que $0\pp B\pp n-1$.

Si Bob veut envoyer un message secret à Alice, il le code lettre par lettre.

Le codage d’une lettre représentée par le nombre entier $x$ est le nombre $y$ tel que :
$$y\equiv x(x+B)~~[n] \text{ avec } 0\pp y<n$$

Dans tout l’exercice on prend $p = 3$, $q = 11$ donc $n=p\times q=33$ et $B = 13$

Partie A : Cryptage

Bob veut envoyer le mot « NO » à Alice.

  1. Montrer que Bob code la lettre « N » avec le nombre $8$.
    $\quad$
  2. Déterminer le nombre qui code la lettre « O ».
    $\quad$

Partie B : Décryptage

Alice a reçu un message crypté qui commence par le nombre $3$.
Pour décoder ce premier nombre, elle doit déterminer le nombre entier $x$ tel que : $$x(x+13) \equiv 3 ~~[33] \text{ avec } 0\pp x < 26$$

  1. Montrer que $x(x+13) \equiv 3~~[33]$ équivaut à $(x+23)^2\equiv 4~~[33]$.
    $\quad$
  2. a. Montrer que si $(x+23)^2\equiv 4~~[33]$ alors le système d’équations $\begin{cases} (x+23)^2\equiv 4~~[3]\\(x+23)^2\equiv 4~~[11]\end{cases}$ est vérifié.
    $\quad$
    b. Réciproquement, montrer que si $\begin{cases} (x+23)^2\equiv 4~~[3]\\(x+23)^2\equiv 4~~[11]\end{cases}$ alors $(x+23)^2\equiv 4~~[33]$.
    $\quad$
    c. En déduire que $x(x+13)\equiv 3~~[33]$ \ssi $\begin{cases} (x+23)^2\equiv 1~~[3]\\(x+23)^2\equiv 4~~[11]\end{cases}$.
    $\quad$
  3. a. Déterminer les nombres entiers naturels $a$ tels que $0\pp a < 3$ et $a^2\equiv 1~~[3]$.
    $\quad$
    b. Déterminer les nombres entiers naturels $b$ tels que $0\pp b <11$ et $b^2\equiv 4~~[11]$.
    $\quad$
  4. a. En déduire que $x(x+13)\equiv 3~~[33]$ équivaut aux quatre systèmes suivants :
    $$\begin{cases} x\equiv 2~~[3]\\x\equiv 8~~[11]\end{cases} \text{ ou } \begin{cases} x\equiv 0~~[3]\\x\equiv 1~~[11]\end{cases} \text{ ou } \begin{cases} x\equiv 2~~[3]\\x\equiv 1~~[11]\end{cases} \text{ ou } \begin{cases} x\equiv 0~~[3]\\x\equiv 8~~[11]\end{cases} $$
    $\quad$
    b.  On admet que chacun de ces systèmes admet une unique solution entière $x$ telle que $0 \pp x <33$. Déterminer, sans justification, chacune de ces solutions.
    $\quad$
  5. Compléter l’algorithme en Annexe pour qu’il affiche les quatre solutions trouvées dans la question précédente.
    $\quad$
  6. Alice peut-elle connaître la première lettre du message envoyé par Bob ? Le « chiffre de RABIN » est-il utilisable pour décoder un message lettre par lettre ?
    $\quad$

Annexe

Pour $\ldots\ldots$ allant de $\ldots\ldots$ & $\ldots\ldots$
$\quad$ Si le reste de la division de $\ldots\ldots\ldots\ldots$ par $\ldots\ldots\ldots\ldots$ est égal à $\ldots\ldots\ldots\ldots$ alors
$\qquad$ Afficher $\ldots\ldots\ldots\ldots$
$\quad$ Fin Si
Fin Pour

Centres étrangers 2018

Exercice 1     4 points

Dans une usine, on se propose de tester un prototype de hotte aspirante pour un local industriel.
Avant de lancer la fabrication en série, on réalise l’expérience suivante : dans un local clos équipé du prototype de hotte aspirante, on diffuse du dioxyde de carbone (CO$_2$) à débit constant.
Dans ce qui suit, t est le temps exprimé en minute.
À l’instant $t= 0$, la hotte est mise en marche et on la laisse fonctionner pendant $20$ minutes. Les mesures réalisées permettent de modéliser le taux (en pourcentage) de CO$_2$ contenu dans le local au bout de $t$ minutes de fonctionnement de la hotte par l’expression $f(t)$, où $f$ est la fonction définie pour tout réel $t$ de l’intervalle $[0 ; 20]$ par : $$f(t)=(0,8t+0,2)\e^{-0,5t}+0,03$$

On donne ci-dessous le tableau de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;20]$.

Ainsi, la valeur $f(0)=0,23$ traduit le fait que le taux de CO$_2$ à l’instant $0$ est égal à $23\%$.

  1. Dans cette question, on arrondira les deux résultats au millième.
    a. Calculer $f(20)$.
    $\quad$
    b. Déterminer le taux maximal de CO$_2$ présent dans le local pendant l’expérience.
    $\quad$
  2. On souhaite que le taux de CO$_2$ dans le local retrouve une valeur $V$ inférieure ou égale à $3,5\%$.
    a. Justifier qu’il existe un unique instant $T$ satisfaisant cette condition.
    $\quad$
    b. On considère l’algorithme suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    t\leftarrow 1,75\\
    p\leftarrow 0,1\\
    V \leftarrow 0,7\\
    \text{Tant que } V>0,035\\
    \hspace{1cm} t \leftarrow t+p\\
    \hspace{1cm} V\leftarrow (0,8t+0,2)\e^{-0,5t}+0,03\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    Quelle est la valeur de la variable $t$ à la fin de l’algorithme?
    Que représente cette valeur dans le contexte de l’exercice?
    $\quad$
  3. On désigne par $V_m$ le taux moyen (en pourcentage) de CO$_2$ présent dans le local pendant les $11$ premières minutes de fonctionnement de la hotte aspirante.
    a. Soit $F$ la fonction définie sur l’intervalle $[0;11]$ par $F(t)=(-1,6t-3,6)\e^{-0,5t}+0,03t$.
    Montrer que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;11]$.
    $\quad$
    b. En déduire le taux moyen $V_m$, valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;11]$.
    Arrondir le résultat au millième, soit à $0,1\%$.
    $\quad$

Exercice 2     4 points

Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse inexacte ou non justifiée ne rapporte ni n’enlève aucun point.

  1. Un type d’oscilloscope a une durée de vie, exprimée en année, qui peut être modélisée par une variable aléatoire $D$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.
    On sait que la durée de vie moyenne de ce type d’oscilloscope est de $8$ ans.
    Affirmation 1 : pour un oscilloscope de ce type choisi au hasard et ayant déjà fonctionné $3$ ans, la probabilité que la durée de vie soit supérieure ou égale à $10$ ans, arrondie au centième, est égale à $0,42$.
    On rappelle que si $X$ est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ ,
    on a pour tout réel t positif : $P(X \pp t)=1-\e^{-\lambda t}$.
    $\quad$
  2. En 2016, en France, les forces de l’ordre ont réalisé $9,8$ millions de dépistages d’alcoolémie auprès des automobilistes, et $3,1 \%$ de ces dépistages étaient positifs.
    Source : OFDT (Observatoire Français des Drogues et des Toxicomanies).
    Dans une région donnée, le 15 juin 2016, une brigade de gendarmerie a effectué un dépistage sur $200$ automobilistes.
    Affirmation 2 : En arrondissant au centième, la probabilité que, sur les $200$ dépistages, il y ait eu strictement plus de $5$ dépistages positifs, est égale à $0,59$.
    $\quad$
  3. On considère dans $\R$ l’équation : $\ln(6x-2)+\ln(2x-1)=\ln(x)$.
    Affirmation 3 : l’équation admet deux solutions dans l’intervalle $\left]\dfrac{1}{2};+\infty\right[$.
    $\quad$
  4. On considère dans $\C$ l’équation : $\left(4z^2-20z+37\right)(2z-7+2\ic)=0$.
    Affirmation 4 : les solutions de l’équation sont les affixes de points appartenant à un même cercle de centre le point $P$ d’affixe $2$.
    $\quad$

Exercice 3     7 points

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A
Le détaillant constate que ses melons se vendent bien lorsque leur masse est comprise entre $900$ g et $1~200$ g. Dans la suite, de tels melons sont qualifiés « conformes ».

Le détaillant achète ses melons auprès de trois maraîchers, notés respectivement A, B et C.
Pour les melons du maraîcher A, on modélise la masse en gramme par une variable aléatoire $M_A$ qui suit une loi uniforme sur l’intervalle $[850 ; x]$, où $x$ est un nombre réel supérieur à $1~200$.
La masse en gramme des melons du maraîcher B est modélisée par une variable aléatoire $M_B$ qui
suit une loi normale de moyenne $1~050$ et d’écart-type inconnu $\sigma$ .
Le maraîcher C affirme, quant à lui, que $80 \%$ des melons de sa production sont conformes.

  1. Le détaillant constate que $75 \%$ des melons du maraîcher A sont conformes. Déterminer $x$.
    $\quad$
  2. Il constate que $85 \%$ des melons fournis par le maraîcher B sont conformes.
    Déterminer l’écart-type $\sigma$ de la variable aléatoire $M_B$. En donner la valeur arrondie à l’unité.
    $\quad$
  3. Le détaillant doute de l’affirmation du maraîcher C. Il constate que sur $400$ melons livrés par ce maraîcher au cours d’une semaine, seulement $294$ sont conformes.
    Le détaillant a-t-il raison de douter de l’affirmation du maraîcher C ?
    $\quad$

Partie B
Le détaillant réalise une étude sur ses clients. Il constate que :

  •  parmi les clients qui achètent un melon une semaine donnée, $90 \%$ d’entre eux achètent un melon la semaine suivante ;
  • parmi les clients qui n’achètent pas de melon une semaine donnée, $60 \%$ d’entre eux n’achètent pas de melon la semaine suivante.

On choisit au hasard un client ayant acheté un melon au cours de la semaine $1$ et, pour $n \pg 1$, on note $A_n$ l’événement : « le client achète un melon au cours de la semaine $n$ ».

On a ainsi $P\left(A_1\right)=1$ .

  1. a. Reproduire et compléter l’arbre de probabilités ci-dessous, relatif aux trois premières semaines.

    $\quad$
    b. Démontrer que $P\left(A_3\right)= 0,85$ .
    $\quad$
    c. Sachant que le client achète un melon au cours
    de la semaine $3$, quelle est la probabilité qu’il
    en ait acheté un au cours de la semaine $2$ ?
    Arrondir au centième.
    $\quad$
    Dans la suite, on pose pour tout entier $n\pg 1$ : $p_n=P\left(A_n\right)$. On a ainsi $p_1=1$.
  2. Démontrer que, pour tout entier $n\pg 1$, $p_{n+1}=0,5p_n+0,4$.
    $\quad$
  3. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier $n\pg 1$ : $p_n > 0,8$.
    $\quad$
    b. Démontrer que la suite $\left(p_n\right)$ est décroissante.
    $\quad$
    c. La suite $\left(p_n\right)$ est-elle convergente?
    $\quad$
  4. On pose pour tout entier $n \pg 1$ : $v_n=p_n-0,8$.
    a. Démontrer que $\left(V_n\right)$ est une suite géométrique dont on donnera le premier terme $v_1$ et la raison.
    $\quad$
    b. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
    En déduire que, pour tout $n\pg 1$, $p_n=0,8+0,2\times 0,5^{n-1}$.
    $\quad$
    c. Déterminer la limite de la suite $\left(p_n\right)$.
    $\quad$

Exercice 4     5 points

Candidats n’ayant pas suivi la spécialité mathématique

La figure ci-dessous représente un cube $ABCDEFGH$.
Les trois points $I,J,K$ sont définis par les conditions suivantes :

  • $I$ est le milieu du segment $[AD]$;
  • $J$ est tel que $\vect{AJ}=\dfrac{3}{4}\vect{AE}$;
  • $K$ est le milieu du segment $[FG]$.

Partie A

  1. Sur la figure donnée en annexe, construire sans justifier le point d’intersection $P$ du plan $(IJK)$ et de la droite $(EH)$. On laissera les traits de construction sur la figure.
    $\quad$
  2. En déduire, en justifiant, l’intersection du plan $(IJK)$ et du plan $(EFG)$.
    $\quad$

Annexe

$\quad$

Partie B

On se place désormais dans le repère orthonormé $\left(A;\vect{AB},\vect{AD},\vect{AE}\right)$.

  1. a. Donner sans justification les coordonnées des points $I,J$ et $K$.
    $\quad$
    b. Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que le vecteur $\vec{n}(4;a;b)$ soir orthogonal aux vecteurs $\vect{IJ}$ et $\vect{IK}$.
    $\quad$
    c. En déduire qu’une équation cartésienne du plan $(IJK)$ est : $4x-6y-4z+3=0$.
    $\quad$
  2. a. Donner une représentation paramétrique de la droite $(CG)$.
    $\quad$
    b. Calculer les coordonnées du point $N$, intersection du plan $(IJK)$ et de la droite $(CG)$.
    $\quad$
    c. Placer le point $N$ sur la figure et construire en couleur la section du cube par le plan $(IJK)$.
    $\quad$

Partie C

On note $R$ le projeté orthogonal du point $F$ sur le plan $(IJK)$. Le point $R$ est donc l’unique point du plan $(IJK)$ tel que la droite $(FR)$ est orthogonale au plan $(IJK)$.

On définit l’intérieur du cube comme l’ensemble des points $M(x,y,z)$ tels que $\begin{cases} 0<x<1\\0<y<1\\0<z<1\end{cases}$.

Le point $R$ est-il à l’intérieur du cube?

$\quad$

Exercice 4     5 points

Candidats ayant suivi la spécialité mathématique

Le but de cet exercice est d’envisager une méthode de cryptage à clé publique d’une information numérique, appelée système RSA, en l’honneur des mathématiciens Ronald Rivest, Adi Shamir et Leonard Adleman, qui ont inventé cette méthode de cryptage en 1977 et l’ont publiée en 1978.

Les questions 1 et 2 sont des questions préparatoires, la question 3 aborde le cryptage, la question 4 le décryptage.

  1. Cette question envisage de calculer le reste dans la division euclidienne par $55$ de certaines puissances de l’entier $8$.
    a. Vérifier que $8^7\equiv 2$ mod $55$.
    En déduire le reste dans la division euclidienne par $55$ du nombre $8^{21}$.
    $\quad$
    b. Vérifier que $8^2\equiv 9$ mod $55$, puis déduire de la question a. le reste dans la division euclidienne par $55$ de $8^{23}$.
    $\quad$
  2. Dans cette question, on considère l’équation $(E)$  $23x-40y=1$, dont les solutions sont des couples $(x,y)$ d’entiers relatifs.
    a. Justifier le fait que l’équation $(E)$ admet au moins un couple solution.
    $\quad$
    b. Donner un couple, solution particulière de l’équation $(E)$.
    $\quad$
    c. Déterminer tous les couples d’entiers relatifs solutions de l’équation $(E)$.
    $\quad$
    d. En déduire qu’il existe un unique entier $d$ vérifiant les conditions $0\pp d\pp 40$ et $23d\equiv 1$ mod $40$.
    $\quad$
  3. Cryptage dans le système RSA
    Une personne A choisit deux nombres premiers $p$ et $q$, puis calcule les produits $N=pq$ et $n=(p-1)(q-1)$. Elle choisit également un entier naturel $c$ premier avec $n$.
    La personne A publie le couple $(N,c)$, qui est une clé publique permettant à quiconque de lui un envoyer un nombre crypté.
    $\quad$
    Les messages sont numérisées et transformés en une suite d’entiers compris entre $0$ et $N-1$. Pour crypter un entier $a$ de cette suite, on procède ainsi : on calcule le reste $b$ dans la division euclidienne par $N$ du nombre $a^c$, et le nombre crypté est l’entier $b$.
    $\quad$
    Dans la pratique, cette méthode est sûre si la personne A choisit des nombres $p$ et $q$ très grands, s’écrivant avec plusieurs dizaines de chiffres.
    On va l’envisager ici avec des nombres plus simples : $p=5$ et $q=11$.
    La personne A choisit également $c=23$.
    a. Calculer les nombres $N$ et $n$, puis justifier que la valeur de $c$ vérifie la condition voulue.
    $\quad$
    d. Un émetteur souhaite envoyer à la personne A le nombre $8$.
    Déterminer la valeur du nombre crypté $b$.
    $\quad$
  4. Décryptage dans le système RSA
    La personne A calcule dans un premier temps l’unique entier naturel $d$ vérifiant les conditions $0\pp d<n$ et $cd \equiv 1$ mod $n$. Elle garde secret ce nombre $d$ qui lui permet, et à elle seule, de décrypter les nombres qui lui ont été envoyés cryptés avec sa clé publique.
    $\quad$
    Pour décrypter un nombre crypté $b$, la personne A calcule le reste $a$ dans la division euclidienne par $N$ du nombre $b^d$, et le nombre en clair – c’est-à-dire le nombre avant cryptage – est le nombre $a$.
    On admet l’existence et l’unicité de l’entier $d$, et le fait que le décryptage fonctionne.
    Les nombres choisis par A son encore $p=5$, $q=11$ et $c=23$.
    a. Quelle est la valeur de $d$?
    $\quad$
    d. En appliquant la règle de décryptage , retrouver le nombre en clair lorsque le nombre crypté est $b=17$.
    $\quad$

Pondichéry 2017

Exercice 1    5 points

Les parties A, B et C peuvent être traitées de façon indépendante.

Dans tout l’exercice, les résultats seront arrondis, si nécessaire, au millième.

La chocolaterie “Choc’o” fabrique des tablettes de chocolat noir, de $100$ grammes, dont la teneur en cacao annoncée est de $85\%$.

Partie A

À l’issue de la fabrication, la chocolaterie considère que certaines tablettes ne sont pas commercialisables : tablettes cassées, mal emballées, mal calibrées, etc.

La chocolaterie dispose de deux chaînes de fabrication:

  • la chaîne A, lente, pour laquelle la probabilité qu’une tablette de chocolat soit commercialisable est égale à $0,98$.
  • la chaîne B, rapide, pour laquelle la probabilité qu’une tablette de chocolat soit commercialisable est $0,95$.

À la fin d’une journée de fabrication, on prélève au hasard une tablette et on note :

$\quad$ $A$ l’ événement: “la tablette de chocolat provient de la chaîne de fabrication A” ;
$\quad$  $C$ l’événement : “la tablette de chocolat est commercialisable”.

On note $x$ la probabilité qu’une tablette de chocolat provienne de la chaîne A.

  1. Montrer que $P(C) = 0,03x + 0,95$.
    $\quad$
  2. À l’issue de la production, on constate que $96\%$ des tablettes sont commercialisables et on retient cette valeur pour modéliser la probabilité qu’une tablette soit commercialisable.
    Justifier que la probabilité que la tablette provienne de la chaîne B est deux fois égale à celle que la tablette provienne de la chaîne A.
    $\quad$

Partie B

Une machine électronique mesure la teneur en cacao d’une tablette de chocolat. Sa durée de vie, en années, peut être modélisée par une variable aléatoire $Z$ suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.

  1. La durée de vie moyenne de ce type de machine est de $5$ ans.
    Déterminer le paramètre $\lambda$ de la loi exponentielle.
    $\quad$
  2. Calculer $P(Z> 2)$.
    $\quad$
  3. Sachant que la machine de l’atelier a déjà fonctionné pendant $3$ ans, quelle est la probabilité que sa durée de vie dépasse $5$ ans ?
    $\quad$

Partie C

On note $X$ la variable aléatoire donnant la teneur en cacao, exprimée en pourcentage, d’une tablette de $100$ g de chocolat commercialisable. On admet que $X$ suit la loi normale d’espérance $\mu = 85$ et d’écart type $\sigma = 2$.

  1. Calculer $P(83 < X < 87)$.
    Quelle est la probabilité que la teneur en cacao soit différente de plus de $2\%$ du pourcentage annoncé sur l’emballage ?
    $\quad$
  2. Déterminer une valeur approchée au centième du réel $a$ tel que: $P(85-a < X < 85+a) = 0,9$.
    Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  3. La chocolaterie vend un lot de $10~000$ tablettes de chocolat à une enseigne de la grande distribution. Elle affirme au responsable achat de l’enseigne que, dans ce lot, $90\%$ des tablettes ont un pourcentage de cacao appartenant à l’intervalle $[81,7;88,3]$.
    Afin de vérifier si cette affirmation n’est pas mensongère, le responsable achat fait prélever $550$ tablettes au hasard dans le lot et constate que, sur cet échantillon, $80$ ne répondent pas au critère.
    Au vu de l’échantillon prélevé, que peut-on conclure quant à l’affirmation de la chocolaterie ?
    $\quad$

Exercice 2    3 points

On munit le plan complexe d’un repère orthonormé direct $\Ouv$.

  1. On considère l’équation $(E) : z^2 – 6z + c = 0$ où $c$ est un réel strictement supérieur à $9$.
    a. Justifier que $(E)$ admet deux solutions complexes non réelles.
    $\quad$
    b. Justifier que les solutions de $(E)$ sont $z_A = 3 +\ic\sqrt{c-9}$ et $z_B = 3-\ic\sqrt{c-9}$.
    $\quad$
  2. On note $A$ et $B$ les points d’affixes respectives $z_A$ et $z_B$.
    Justifier que le triangle $OAB$ est isocèle en $O$.
    $\quad$
  3. Démontrer qu’il existe une valeur du réel $c$ pour laquelle le triangle $OAB$ est rectangle et déterminer cette valeur.
    $\quad$

Exercice 3    4 points

Une entreprise spécialisée dans les travaux de construction a été mandatée pour percer un tunnel à flanc de montagne.
Après étude géologique, l’entreprise représente dans le plan la situation de la façon suivante : dans un repère orthonormal, d’unité $2$ m, la zone de creusement est la surface délimitée par l’axe des abscisses et la courbe $\mathscr{C}$.

 

On admet que $\mathscr{C}$ est la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[-2,5;2,5]$ par: $$f(x) = \ln \left(-2x^2 + 13,5\right)$$

L’objectif est de déterminer une valeur approchée, au mètre carré près, de l’aire de la zone de creusement.

Partie A : Étude de la fonction $\boldsymbol{f}$

  1. Calculer $f'(x)$ pour $x \in [-2,5;2,5]$.
    $\quad$
  2. Dresser, en justifiant, le tableau de variation de la fonction $f$ sur $[- 2,5;2,5]$.
    En déduire le signe de $f$ sur $[- 2,5;2,5]$.
    $\quad$

Partie B : Aire de la zone de creusement

On admet que la courbe $\mathscr{C}$ est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées du repère.

  1. La courbe $\mathscr{C}$ est-elle un arc de cercle de centre $O$ ? Justifier la réponse.
    $\quad$
  2. Justifier que l’aire, en mètre carré, de la zone de creusement est $\mathscr{A} = 8\displaystyle\int_0^{2,5} f(x)\dx$.
    $\quad$
  3. L’algorithme, donné en annexe, permet de calculer une valeur approchée par défaut de $I = \displaystyle\int_0^{2,5} f(x)\dx$, notée $a$.
    On admet que : $a \pp I \pp a + \dfrac{f(0) – f(2,5)}{n}\times 2,5$.
    a. Le tableau fourni en annexe, donne différentes valeurs obtenues pour $R$ et $S$ lors de l’exécution de l’algorithme pour $n = 50$.
    Compléter ce tableau en calculant les six valeurs manquantes.
    $\quad$
    b. En déduire une valeur approchée, au mètre carré près, de l’aire de la zone de creusement.
    $\quad$

Annexe

Variables
$\quad$ $R$ et $S$ sont des réels
$\quad$ $n$ et $k$ sont des entiers
Traitement
$\quad$ $S$ prend la valeur $0$
$\quad$ Demander la valeur de $n$
$\quad$ Pour $k$ variant de $1$ à $n$ faire
$\qquad$ $R$ prend la valeur $\dfrac{2,5}{n}\times f\left(\dfrac{2,5}{n}\times k\right)$
$\qquad$ $S$ prend la valeur $S+R$
$\quad$ Fin Pour
$\quad$ Afficher $S$

Le tableau ci-dessous donne les valeurs de $R$ et de $S$, arrondies à $=10^{-6}$, obtenues lors de l’exécution de l’algorithme pour $n=50$.

$\quad$

Exercice 4    5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

On considère deux suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ :

  • la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 1$ et pour tout entier naturel $n$ $u_{n+1} = 2u_n-n + 3$ ;
  • la suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = 2^n$.

Partie A : Conjectures

Florent a calculé les premiers termes de ces deux suites à l’aide d’un tableur.
Une copie d’écran est donnée ci-dessous.

  1. Quelles formules ont été entrées dans les cellules $B3$ et $C3$ pour obtenir par copie vers le bas les termes des deux suites ?
    $\quad$
  2. Pour les termes de rang 10, 11, 12 et 13 Florent obtient les résultats suivants :

    Conjecturer les limites des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$.
    $\quad$

Partie B : Étude de la suite $\boldsymbol{\left(u_n\right)}$

  1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n = 3 \times 2^n + n-2$.
    $\quad$
  2. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
  3. Déterminer le rang du premier terme de la suite supérieur à $1$ million.
    $\quad$

Partie C : Étude de la suite $\boldsymbol{\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)}$ 

  1. Démontrer que la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$ est décroissante à partir du rang $3$.
    $\quad$
  2. On admet que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $4$, on a : $0 < \dfrac{n}{2^n} \pp \dfrac{1}{n}$.
    Déterminer la limite de la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$.
    $\quad$

Exercice 4    5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

On définit les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ par :

$u_0 = v_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n, u_{n+1} = 2u_n + 3v_n$ et$ v_{n+1} = 2u_n + v_n.$

On admettra que les termes de ces suites sont des entiers naturels non nuls.

Partie A : Conjectures

Flore a calculé les premiers termes des suites à l’aide d’un tableur.
Une copie d’écran est donnée ci-dessous.

  1. Quelles formules ont été entrées dans les cellules $B3$ et $C3$ pour obtenir par copie vers le bas les termes des suites ?
    $\quad$
  2. Soit $n$ un entier naturel.
    Conjecturer la valeur de PGCD$\left(u_n;v_n\right)$. Aucune justification n’est demandée.
    $\quad$
  3. Pour les termes de rang 10, 11, 12 et 13 Flore obtient les résultats suivants :

    Elle émet la conjecture : “la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$ converge”.
    Qu’en penser ?
    $\quad$

Partie B : Étude arithmétique

  1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $2u_n-3v_n = (- 1)^{n+1}$.
    $\quad$
  2. Soit $n$ un entier naturel.
    Déduire de la question précédente la valeur de PGCD$\left(u_n;v_n\right)$.
    $\quad$

Partie C : Étude matricielle

Pour tout entier naturel $n$, on définit :

  • la matrice colonne $X_n = \begin{pmatrix}u_n\\ v_n\end{pmatrix}$,
  • les matrices carrées $P = \begin{pmatrix} 1&3\\- 1&2\end{pmatrix}$ et $Q_n = \begin{pmatrix}(- 1)^n&3 \times 2^{2n}\\(- 1)^{n+1}&2^{2n+1}\end{pmatrix}.$
  1. a. Montrer que la matrice $\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}2&- 3\\1&1\end{pmatrix}$ est l’inverse de $P$.
    b. On admet que, pour tout entier naturel $n$, on a $X_n = Q_nP^{-1} X_0$.
    Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $\begin{cases}u_n=\dfrac{(- 1)^{n+1}+ 3\times 2^{2n+1}}{5}\\v_n=\dfrac{(- 1)^{n}+ 2^{2n+2}}{5}\end{cases}$
    $\quad$
  2. a. Vérifier que, pour tout entier naturel $n$, on a $\dfrac{u_n}{v_n}= \dfrac{\dfrac{(- 1)^{n+1}}{2^{2n+1}}+ 3}{\dfrac{(- 1)^{n}}{2^{2n+1}}+ 2}$.
    $\quad$
    b. En déduire la limite de la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$.
    $\quad$

Exercice 5    3 points

On considère un cube $ABCDEFGH$ fourni en annexe.
L’espace est rapporté au repère $\left(A;\vect{AB},\vect{AD},\vect{AE}\right)$.
On note $\mathscr{P}$ le plan d’équation $x+\dfrac{1}{2} y +\dfrac{1}{3}z-1 = 0$.
Construire, sur la figure fournie en annexe, la section du cube par le plan $\mathscr{P}$.
La construction devra être justifiée par des calculs ou des arguments géométriques.

Annexe

 

Centres étrangers 2017

Exercice 1    5 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (Q.C.M.). Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse exacte. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte un point, une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapportent aucun point.

On étudie la production d’une usine qui fabrique des bonbons, conditionnés en sachets.

On choisit un sachet au hasard dans la production journalière. La masse de ce sachet, exprimée en gramme, est modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale d’espérance $\mu = 175$. De plus, une observation statistique a montré que $2\%$ des sachets ont une masse inférieure ou égale à $170$ g, ce qui se traduit dans le modèle considéré par : $P(X \pp 170) = 0,02$.

Question 1 : Quelle est la probabilité, arrondie au centième, de l’événement “la masse du sachet est comprise entre $170$ et $180$ grammes” ?

Réponse a : $0,04$
Réponse b : $0,96$
Réponse c : $0,98$
Réponse d : On ne peut pas répondre car il manque des données.

$\quad$

Les différents bonbons présents dans les sachets sont tous enrobés d’une couche de cire comestible.
Ce procédé, qui déforme certains bonbons, est effectué par deux machines A et B.
Lorsqu’il est produit par la machine A, la probabilité qu’un bonbon prélevé aléatoirement soit déformé est égale à $0,05$.

Question 2 : Sur un échantillon aléatoire de $50$ bonbons issus de la machine A, quelle est la probabilité, arrondie au centième, qu’au moins $2$ bonbons soient déformés ?

Réponse a : $0,72$
Réponse b : $0,28$
Réponse c : $0,54$
Réponse d : On ne peut pas répondre car il manque des données

$\quad$

La machine A produit un tiers des bonbons de l’usine. Le reste de la production est assuré par la machine B. Lorsqu’il est produit par la machine B, la probabilité qu’un bonbon prélevé aléatoirement soit déformé est égale à $0,02$.
Dans un test de contrôle, on prélève au hasard un bonbon dans l’ensemble de la production. Celui-ci est déformé.

Question 3 : Quelle est la probabilité, arrondie au centième, qu’il soit produit par la machine B ?

Réponse a : $0,02$
Réponse b : $0,67$
Réponse c : $0,44$
Réponse d : $0,01$

$\quad$

La durée de vie de fonctionnement, exprimée en jour, d’une machine servant à l’enrobage, est modélisée par une variable aléatoire $Y$ qui suit la loi exponentielle dont l’espérance est égale à $500$ jours.

Question 4 : Quelle est la probabilité, arrondie au centième, que la durée de fonctionnement de la machine soit inférieure ou égale à $300$ jours ?

Réponse a : $0,45$
Réponse b : $1$
Réponse c : $0,55$
Réponse d : On ne peut pas répondre car il manque des données

$\quad$

L’entreprise souhaite estimer la proportion de personnes de plus de $20$ ans parmi ses clients, au niveau de confiance de $95\%$, avec un intervalle d’amplitude inférieure à $0,05$. Elle interroge pour cela un échantillon aléatoire de clients.

Question 5 : Quel est le nombre minimal de clients à interroger ?

Réponse a : $40$
Réponse b : $400$
Réponse c : $1~600$
Réponse d : $20$

$\quad$

Exercice 2    4 points

L’espace est muni d’un repère orthonormé $\Oijk$.

On considère deux droites $d_1$ et $d_2$ définies par les représentations paramétriques : $$d_1 : \begin{cases}x = 2+t \\y = 3-t\\z=t\end{cases}, t \in \R\text{ et }\begin{cases}x= -5+2t’\\y=-1+t’ \\ z=5\end{cases}, t’\in \R$$

On admet que les droites $d_1$ et $d_2$ sont non coplanaires.

Le but de cet exercice est de déterminer, si elle existe, une troisième droite $\Delta$ qui soit à la fois sécante avec les deux droites $d_1$ et $d_2$ et orthogonale à ces deux droites.

  1. Vérifier que le point $A(2;3;0)$ appartient à la droite $d_1$.
    $\quad$
  2. Donner un vecteur directeur $\vec{u_1}$ de la droite $d_1$ et un vecteur directeur $\vec{u_2}$ de la droite $d_2$.
    Les droites $d_1$ et $d_2$ sont-elles parallèles ?
    $\quad$
  3. Vérifier que le vecteur $\vec{v}(1;-2;-3)$ est orthogonal aux vecteurs $\vec{u_1}$ et $\vec{u_2}$.
    $\quad$
  4. Soit $P$ le plan passant par le point $A$, et dirigé par les vecteurs $\vec{u_1}$ et $\vec{v}$.
    On étudie dans cette question l’intersection de la droite $d_2$ et du plan $P$.
    a. Montrer qu’une équation cartésienne du plan $P$ est : $5x+4y-z-22 = 0$.
    $\quad$
    b. Montrer que la droite $d_2$ coupe le plan $P$ au point $B(3;3;5)$ .
    $\quad$
  5. On considère maintenant la droite $\Delta$ dirigée par le vecteur $\vect{v}\begin{pmatrix}1\\- 2\\- 3\end{pmatrix}$, et passant par le point $B (3;3;5)$.
    a. Donner une représentation paramétrique de cette droite $\Delta$.
    $\quad$
    b. Les droites $d_1$ et $\Delta$ sont-elles sécantes? Justifier la réponse.
    $\quad$
    c. Expliquer pourquoi la droite $\Delta$ répond au problème posé.
    $\quad$

Exercice 3    6 points

La pharmacocinétique étudie l’évolution d’un médicament après son administration dans l’organisme, en mesurant sa concentration plasmatique, c’est-dire sa concentration dans le plasma.
On étudie dans cet exercice l’évolution de la concentration plasmatique chez un patient d’une même dose de médicament, en envisageant différents modes d’administration.

Partie A : administration par voie intraveineuse

On note $f(t)$ la concentration plasmatique, exprimée en microgramme par litre $\big(\mu \text{g.L}^{-1}\big)$, du médicament, au bout de $t$ heures après administration par voie intraveineuse.
Le modèle mathématique est : $f(t) = 20\e^{-0,1t}$, avec $ t \in [0; +\infty[$.

La concentration plasmatique initiale du médicament est donc $f(0) = 20 \mu \text{g.L}^{-1}$.

  1. La demi-vie du médicament est la durée (en heure) après laquelle la concentration plasmatique du médicament est égale à la moitié de la concentration initiale.
    Déterminer cette demi-vie, notée $t_{0,5}$.
    $\quad$
  2. On estime que le médicament est éliminé dès que la concentration plasmatique est inférieure à $0,2 \mu \text{g.L}^{-1}$.
    Déterminer le temps à partir duquel le médicament est éliminé. On donnera le résultat arrondi au dixième.
    $\quad$
  3. En pharmacocinétique, on appelle ASC (ou “aire sous la courbe”), en $\mu \text{g.L}^{-1}$, le nombre $\displaystyle \lim\limits_{x\to +\infty}\int_0^x f(t)\dt$.
    Vérifier que pour ce modèle, l’ ASC est égal à $200 \mu \text{g.L}^{-1}$.
    $\quad$

Partie B : administration par voie orale

On note $g(t)$ la concentration plasmatique du médicament, exprimée en microgramme par litre ($\mu \text{g.L}^{-1}$), au bout de $t$ heures après ingestion par voie orale.
Le modèle mathématique est : $g(t) = 20 \left(\e^{-0,1t}-\e^{-t}\right)$ , avec $t \in [0;+\infty[ $.
Dans ce cas, l’effet du médicament est retardé, puisque la concentration plasmatique initiale est égale à: $g(0) = 0 \mu \text{g.L}^{-1}$.

  1. Démontrer que, pour tout $t$ de l’intervalle $[0;+ \infty[$, on a : $g'(t) = 20\e^{-t}\left(1-0,1\e^{0,9t} \right)$.
    $\quad$
  2. Étudier les variations de la fonction $g$ sur l’intervalle $[0;+ \infty[$. (On ne demande pas la limite en $+\infty$.)
    En déduire la durée après laquelle la concentration plasmatique du médicament est maximale. On donnera le résultat à la minute près.
    $\quad$

Partie C : administration répétée par voie intraveineuse

On décide d’injecter à intervalles de temps réguliers la même dose de médicament par voie intraveineuse. L’intervalle de temps (en heure) entre deux injections est choisi égal à la demi-vie du médicament, c’est-à-dire au nombre $t_{0,5}$ qui a été calculé en  A-1.

Chaque nouvelle injection entraîne une hausse de la concentration plasmatique de $20 \mu \text{g.L}^{-1}$.
On note $u_n$ la concentration plasmatique du médicament immédiatement après la $n$-ième injection.
Ainsi, $u_1 = 20$ et, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $1$, on a : $u_{n+1} = 0,5 u_n+20$.
On remarque qu’avec ce modèle, la concentration initiale du médicament après la première injection, soit $20 \mu \text{g.L}^{-1}$, est analogue à celle donnée par le modèle de la partie A, soit $f(0)$.

  1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier $n \pg 1$ : $u_n = 40-40\times 0,5^n$.
    $\quad$
  2. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$.
    $\quad$
  3. On considère que l’équilibre est atteint dès que la concentration plasmatique dépasse $38 \mu \text{g.L}^{-1}$.
    Déterminer le nombre minimal d’injections nécessaires pour atteindre cet équilibre.
    $\quad$

Exercice 4    5 points

Candidats n’ayant pas choisi la spécialité mathématique

Le plan est muni d’un repère orthonormé $\Ouv$.
Pour tout entier $n \pg 4$, on considère $P_n$ un polygone régulier à $n$ côtés, de centre $O$ et dont l’aire est égale à $1$. On admet qu’un tel polygone est constitué de $n$ triangles superposables à un triangle $OA_nB_n$ donné, isocèle en $O$.
On note $r_n = OA_n$ la distance entre le centre $O$ et le sommet $A_n$ d’un tel polygone.

Partie A : étude du cas particulier $\boldsymbol{n = 6}$

On a représenté ci-dessous un polygone $P_6$.

  1. Justifier le fait que le triangle $OA_6B_6$ est équilatéral, et que son aire est égale à $\dfrac{1}{6}$.
    $\quad$
  2. Exprimer en fonction de $r_6$ la hauteur du triangle $OA_6B_6$ issue du sommet $B_6$.
    $\quad$
  3. En déduire que $r_6 = \sqrt{\dfrac{2}{3\sqrt{3}}}$.
    $\quad$

Partie B : cas général avec $\boldsymbol{n\pg 4}$

Dans cette partie, on considère le polygone $P_n$ avec $n \pg 4$, construit de telle sorte que le point A$_n$ soit situé sur l’axe réel, et ait pour affixe $r_n$.
On note alors $r_n \e^{\ic\theta_n}$ l’affixe de $B_n$ où $\theta_n$ est un réel de l’intervalle $\left]0;\dfrac{\pi}{2}\right]$.

 

  1. Exprimer en fonction de $r_n$ et $\theta_n$ la hauteur issue de $B_n$ dans le triangle $OA_nB_n$ puis établir que l’aire de ce triangle est égale à $\dfrac{r_n^2}{2} \sin \left(\theta_n \right)$.
    $\quad$
  2. On rappelle que l’aire du polygone $P_n$ est égale à $1$.
    Donner, en fonction de $n$, une mesure de l’angle $\left(\vect{OA_n},\vect{OB_n}\right)$, puis démontrer que :
    $$r_n = \sqrt{\dfrac{2}{n \sin \left(\dfrac{2\pi}{n}\right)}}$$
    $\quad$

Partie C : étude de la suite $\boldsymbol{\left(r_n\right)}$

On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ de l’intervalle $]0;\pi[$ par $f(x) = \dfrac{\sin x}{x}$.
Ainsi, le nombre $r_n$, défini dans la partie B pour $n \pg 4$, s’exprime à l’aide de la fonction f par : $$r_n=\sqrt{\dfrac{1}{\pi}f\left(\dfrac{2\pi}{n}\right)}$$

On admet que la fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $]0;\pi[$.

  1. Montrer que la suite $\left(r_n\right)$ est décroissante. On pourra pour cela commencer par démontrer que pour tout $n \pg 4$, on a : $0 < \dfrac{2\pi}{n+1} < \dfrac{2\pi}{n} < \pi$.
    $\quad$
  2. En déduire que la suite $\left(r_n\right)$ converge. On ne demande pas de déterminer sa limite $L$, et on admet dans la suite de l’exercice que $L = \dfrac{1}{\sqrt{\pi}}$.
    $\quad$
  3. On considère l’algorithme suivant.
    VARIABLES :
    $\quad$ $n$ est un nombre entier
    TRAITEMENT :
    $\quad$ $n$ prend la valeur $4$
    $\quad$ Tant que $\sqrt{\dfrac{2}{n \sin \left(\dfrac{2\pi}{n}\right)}}> 0,58$ faire
    $\qquad$ $n$ prend la valeur $n + 1$
    $\quad$ Fin Tant que
    SORTIE :
    $\quad$ Afficher $n$
    $\quad$
    Quelle valeur numérique de $n$ va afficher en sortie cet algorithme ?
    $\quad$

Exercice 4    5 points

Candidats ayant choisi la spécialité mathématique

L’arbre de Stern-Brocot a été découvert séparément par le mathématicien allemand Moritz Abraham Stern (1858) et par Achille Brocot (1861), horloger français qui l’a utilisé pour concevoir des systèmes d’engrenages avec un rapport entre rouages proche d’une valeur souhaitée.
Cet exercice aborde la méthode avec des matrices carrées.

On considère les deux matrices $G = \begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}$ et $D = \begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$.

On construit un arbre descendant à partir d’une matrice initiale, de la façon suivante : de chaque matrice carrée $M$ de l’arbre partent deux nouvelles branches vers les deux autres matrices $M \times G$ (à gauche) et $M \times D$ (à droite). Ces deux nouvelles matrices sont appelées les matrices filles de $M$.}

Dans la méthode considérée, on prend comme matrice initiale la matrice $I = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$.

  1. Déterminer les deux matrices manquantes $A$ et $B$, dans la troisième ligne de l’arbre de Stern-Brocot ci-dessous.

    Dans la suite de l’exercice, on admet que pour toute matrice $M = \begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}$ de l’arbre de Stern-Brocot, les nombres $a$, $b$, $c$, $d$ sont des entiers vérifiant : $b + d \ne 0$.
    $\quad$
  2. On associe à une matrice $M = \begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}$ de l’arbre de Stern-Brocot la fraction $\dfrac{a + c}{b + d}$.
    Montrer que, dans cette association, le trajet “gauche-droite-gauche” à partir de la matrice initiale dans l’arbre, aboutit à une matrice correspondant à la fraction $\dfrac{3}{5}$.
    $\quad$
  3. Soit $M = \begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}$ une matrice de l’arbre. On rappelle que $a$, $b$, $c$, $d$ sont des entiers.
    On note $\Delta_M = ad-bc$, la différence des produits diagonaux de cette matrice.
    a. Montrer que si $ad-bc = 1$, alors $d(a+c)-c(b+d) = 1$.
    $\quad$
    b. En déduire que si $M = \begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}$ est une matrice de l’arbre de Stern-Brocot telle que $\Delta_M = ad-bc = 1$, alors $\Delta_{M\times G} = 1$, c’est-à-dire que la différence des produits diagonaux de la matrice $M \times G$ est aussi égale à $1$.
    On admet de même que $\Delta_{M \times D} = 1$, et que toutes les autres matrices $N$ de l’arbre de Stern-Brocot vérifient l’égalité $\Delta_N = 1$.
    $\quad$
  4. Déduire de la question précédente que toute fraction associée à une matrice de l’arbre de Stern-Brocot est irréductible.
    $\quad$
  5. Soit $m$ et $n$ deux entiers naturels non nuls premiers entre eux. Ainsi la fraction $\dfrac{m}{n}$ est irréductible. On considère l’algorithme suivant.
    VARIABLES :
    $\quad$ $m$ et $n$ sont des entiers naturels non nuls et premiers entre eux
    TRAITEMENT :
    $\quad$ Tant que $m \ne n$, faire
    $\qquad$ Si $m < n$
    $\qquad \quad$ Afficher “Gauche”
    $\qquad \quad$ $n$ prend la valeur $n-m$
    $\qquad$ Sinon
    $\qquad \quad$ Afficher “Droite”
    $\qquad$ $m$ prend la valeur $m-n$
    $\quad$
    a. Recopier et compléter le tableau suivant, indiquer ce qu’affiche l’algorithme lorsqu’on le fait fonctionner avec les valeurs $m = 4$ et $n = 7$.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Affichage}&\phantom{\text{Gauche}}&\text{Gauche}&\phantom{\ldots}\dots\phantom{\ldots}&\phantom{\ldots}\dots\phantom{\ldots}&\phantom{\ldots}\dots\phantom{\ldots}\\
    \hline
    m&4&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\
    \hline
    n&7&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    b. Conjecturer le rôle de cet algorithme. Vérifier par un calcul matriciel le résultat fourni avec les valeurs $m = 4$ et $n = 7$.
    $\quad$

 

Bac ES/L – Liban – Mai 2019

Liban – Mai 2019

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

La correction de ce sujet de bac sera mise en ligne dès que le sujet sera disponible.
Il est important de s’entraîner sur les sujets de l’année pour bien préparer sa propre épreuve. On se fait ainsi une idée des tendances de l’année.
L’intégralité des sujets corrigés cette année et les années précédentes se trouve ici.

Les sujets tombés  les années précédentes sont dans les onglets situés en dessous. Pour les corrections, il suffit de suivre ces liens :

Année 2018

Exercice 1     6 points

Dans un aéroport, les portiques de sécurité servent à détecter les objets métalliques
que peuvent emporter les voyageurs.
On choisit au hasard un voyageur franchissant un portique.
On note :

  • $S$ l’événement « le voyageur fait sonner le portique » ;
  • $M$ l’événement « le voyageur porte un objet métallique ».

On considère qu’un voyageur sur $500$ porte sur lui un objet métallique.

  1. On admet que :
    $\bullet$ Lorsqu’un voyageur franchit le portique avec un objet métallique, la probabilité que le portique sonne est égale à $0,98$;
    $\bullet$ Lorsqu’un voyageur franchit le portique sans objet métallique, la probabilité que le portique ne sonne pas est aussi égale à $0,98$.
    a. À l’aide des données de l’énoncé, préciser les valeurs de $P(M)$, $P_M(S)$ et $P_M\left(\conj{S}\right)$.
    $\quad$
    b. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous illustrant cette situation.

    $\quad$
    c. Montrer que : $P(S)=0,021~92$.
    $\quad$
    d. En déduire la probabilité qu’un voyageur porte un objet métallique sachant qu’il a fait sonner le portique. (On arrondira le résultat à $10^{-3}$).
    Commenter le résultat obtenu.
    $\quad$
  2. $80$ personnes s’apprêtent à passer le portique de sécurité. On suppose que pour chaque personne la probabilité que le portique sonne est égale à $0,021~92$.
    Soit $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de personnes faisant sonner le portique, parmi les $80$ personnes de ce groupe.
    a. Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
    $\quad$
    b. Calculer l’espérance de $X$ et interpréter le résultat.
    $\quad$
    c. Sans le justifier, donner la valeur arrondie à $10^{-3}$ de :
    $\bullet$ la probabilité qu’au moins une personne du groupe fasse sonner le
    portique ;
    $\bullet$ la probabilité qu’au maximum $5$ personnes fassent sonner le portique.
    $\quad$
    d. Sans le justifier, donner la valeur du plus petit entier $n$ tel que $P(X \pp n)\pg 0,9$.
    $\quad$

Exercice 2     5 points

Candidats de ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de L

Maya possède $20$ € dans sa tirelire au 1$\ier$ juin 2018.
À partir de cette date, chaque mois elle dépense un quart du contenu de sa tirelire puis y place $20$ € supplémentaires.
Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la somme d’argent contenue dans la tirelire de Maya à la fin du $n\ieme$ mois. On a $u_0= 20$.

  1. a. Montrer que la somme d’argent contenue dans la tirelire de Maya à la fin du 1$\ier$ mois est de $35$ €.
    $\quad$
    b. Calculer $u_2$.
    $\quad$
  2. On admet que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=0,75u_n+20$.
    On considère l’algorithme suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    U \leftarrow 20\\
    N \leftarrow 0\\
    \text{Tant que } U<70 \\
    \hspace{1cm} U \leftarrow 0,75\times U+20\\
    \hspace{1cm} N \leftarrow N+1\\
    \text{Fin Tant que}
    \text{Afficher }N\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    a. Recopier et compléter le tableau ci-dessous qui retrace les différentes étapes de l’exécution de l’algorithme. On ajoutera autant de colonnes que nécessaire à la place de celle laissée en pointillés. Arrondir les résultats au centième.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Valeur de }U&20&\ldots&&\\
    \hline
    \text{Valeur de }N&0&\ldots&&\\
    \hline
    \begin{array}{c}
    \text{Condition}\\U<70\end{array}&\text{vrai}&\ldots&\text{vrai}&\text{faux}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. Quelle valeur est affichée à la fin de l’exécution de cet algorithme ?
    Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  3. Pour tout entier $n$, on pose $v_n=u_n-80$.
    a. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,75$.
    $\quad$
    b. Préciser son premier terme $v_0$.
    $\quad$
    c. En déduire que, pour tout entier $n$, $u_n=80-60\times 0,75^n$.
    $\quad$
    d. Déterminer, au centime près, le montant que Maya possédera dans sa tirelire au 1$\ier$ juin 2019.
    $\quad$
    e. Déterminer la limite de la suite $\left(v_n\right)$.
    $\quad$
    f. En déduire la limite $\left(u_n\right)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

Exercice 2     5 points

Candidats de ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Dans un pays deux opérateurs se partagent le marché des télécommunications
mobiles. Une étude révèle que chaque année :

  • parmi les clients de l’opérateur EfficaceRéseau, $70\%$ se réabonnent à ce même opérateur et $30\%$ souscrivent un contrat avec l’opérateur GenialPhone ;
  • parmi les clients de l’opérateur GenialPhone, $55\%$ se réabonnent à ce même opérateur et $45\%$ souscrivent un contrat avec l’opérateur EfficaceRéseau.

On note $E$ l’état : « la personne possède un contrat chez l’opérateur EfficaceRéseau » et $G$ l’état : « la personne possède un contrat chez l’opérateur GenialPhone ».

À partir de 2018, on choisit au hasard un client de l’un des deux opérateurs.

On note également :

  • $e_n$ la probabilité que le client possède un contrat avec l’opérateur EfficaceRéseau au 1$\ier$ janvier $(2018+n)$;
  • $g_n$ la probabilité que le client possède un contrat avec l’opérateur GenialPhone au 1$\ier$ janvier $(2018+n)$ ;
  • $P_n=\begin{pmatrix} e_n&g_n\end{pmatrix}$ désigne la matrice ligne traduisant l’état probabiliste du système au 1$\ier$ janvier $(2018+n)$.

Au 1$\ier$ janvier 2018, on suppose que $10\%$ des clients possèdent un contrat chez EfficaceRéseau, ainsi $P_0=\begin{pmatrix}0,1&0,9\end{pmatrix}$.

  1. Représenter cette situation par un graphe probabiliste de sommets $E$ et $G$.
    $\quad$
  2. a. Déterminer la matrice de transition associée au graphe en rangeant les
    sommets dans l’ordre alphabétique.
    $\quad$
    b. Vérifier qu’au 1$\ier$ janvier 2020, environ $57\%$ des clients ont un contrat avec l’opérateur EfficaceRéseau.
    $\quad$
  3. a. On rappelle que pour tout entier naturel $n$, $P_{n+1}=P_n\times M$.
    Exprimer $e_{n+1}$ en fonction de $e_n$ et $g_n$.
    $\quad$
    b. En déduire que pour tout entier naturel $n$, $e_{n+1}=0,25e_n+0,45$.
    $\quad$
  4. a. Recopier et compléter l’algorithme ci-dessous de façon à ce qu’il affiche l’état probabiliste au 1$\ier$ janvier $(2018+n)$ :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    E\leftarrow 0,1\\
    G\leftarrow 0,9\\
    \text{Pour $I$ allant de $1$ à $N$}\\
    \hspace{1cm} E \leftarrow \ldots \times E + \ldots \\
    \hspace{1cm} G \leftarrow \ldots\\
    \text{Fin Pour}\\
    \text{Afficher $E$ et $G$}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. Déterminer l’affichage de cet algorithme pour $N = 3$. Arrondir au centième.
    $\quad$
    c. Déterminer l’état stable du système et interpréter votre réponse dans le
    contexte de l’exercice.
    $\quad$

Exercice 3     4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre propositions est exacte. Aucune justification n’est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l’absence de réponse à une question ne rapportent ni n’enlèvent de point. Pour répondre, vous recopierez sur votre copie le numéro de la question et indiquerez la seule bonne réponse.

Pour les questions 1. et 2. et 3., on a représenté ci-dessous la courbe représentative d’une fonction $f$ ainsi que deux de ses tangentes aux points d’abscisses respectives $2$ et $4$.

  1. $f'(4)$ est égal à :
    a. $2$
    b. $-1$
    c. $0,5$
    d. $0$
    $\quad$
  2. $f$ est convexe sur l’intervalle :
    a. $]-\infty;2]$
    b. $]-\infty;0,5]$
    c. $[0;4]$
    d. $[2;5]$
    $\quad$
  3. Une valeur approchée au dixième de la valeur moyenne de $f$ sur l’intervalle $[0;5]$ est :
    a. $-0,1$
    b. $-2,5$
    c. $2,9$
    d. $14,5$
    $\quad$
  4. Dans le repère ci-dessous, on a tracé la courbe représentative de la fonction de densité de probabilité d’une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale et telle que $$P(X\pp 649) \approx 0,158~7$$
    On note respectivement $\mu$ et $\sigma$ l’espérance et l’écart-type de cette loi normale.

    a. $P(X\pp 651) \approx 0,658~7$
    b. $P(649 \pp X \pp 651) \approx 0,683$
    c. $\sigma = 650$
    d. $\mu=649$
    $\quad$

Exercice 4     5 points

  1. Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $[1;25]$ par $$f(x)=\dfrac{x+2-\ln(x)}{x}$$
    a. On admet que $f$ est dérivable sur $[1;25]$.
    Démontrer que pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[1;25]$, $$f'(x)=\dfrac{-3+\ln(x)}{x^2}$$
    $\quad$
    b. Résoudre dans $[1;25]$ l’inéquation $-3+\ln(x)>0$.
    $\quad$
    c. Dresser le tableau des variations de la fonction $f$ sur $[1;25]$.
    $\quad$
    d. Démontrer que dans l’intervalle $[1;25]$, l’équation $f(x)=1,5$ admet une seule solution. On notera $\alpha$ cette solution.
    $\quad$
    e. Déterminer un encadrement d’amplitude $0,01$ de $\alpha$ à l’aide de la calculatrice.
    $\quad$
  2. Une entreprise fabrique chaque jour entre $100$ et $2~500$ pièces électroniques pour des vidéoprojecteurs. Toutes les pièces fabriquées sont  identiques.
    On admet que lorsque $x$ centaines de pièces sont fabriquées, avec $1 \pp x\pp 25$, le coût moyen de fabrication d’une pièce est de $f(x)$ euros.En utilisant les résultats obtenus à la question 1. :
    a. Déterminer, à l’unité près, le nombre de pièce à fabriquer pour que le coût moyen de fabrication d’une pièce soit minimal.
    Déterminer alors ce coût moyen, au centime d’euro près.
    $\quad$
    b. Déterminer le nombre minimal de pièces à fabriquer pour que le coût moyen de fabrication d’une pièce soit inférieur ou égal à $1,50$ euros.
    $\quad$
    c. Est-il possible que le coût moyen de fabrication d’une pièce soit de $50$ centimes? Justifier.
    $\quad$

 

 

Année 2017

Exercice 1    3 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est demandée.
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante.

  1. On considère la fonction $g$ définie sur $]0;+ \infty[$ par $g(x) = \dfrac{2}{x}$.
    La valeur moyenne de la fonction $g$ sur l’intervalle $[1;\e]$ est :
    a. $2$
    b. $\dfrac{1}{\e-1}$
    c. $\dfrac{2}{e-1}$
    d. $\dfrac{-2}{\e-1}$
    $\quad$
  2. On considère une variable aléatoire $X$ suivant une loi normale. La courbe de la figure ci-dessous représente la fonction de densité $f$ associée à la variable $X$.

    a. L’espérance de $X$ est $0,4$.
    b. L’espérance de $X$ est $0,95$.
    c. L’écart-type de $X$ est environ $0,4$.
    d. L’écart-type de $X$ est environ $0,2$.
    $\quad$
  3. À l’occasion de son inauguration, un hypermarché offre à ses clients un ticket à gratter par tranche de $10$ euros d’achats. L’hypermarché affirme que $15\%$ des tickets à gratter sont gagnants, c’est-à-dire donneront droit à un bon d’achat de $5$ euros.
    Amandine a reçu $50$ tickets à gratter après un achat de $500$ euros dans cet hypermarché. Deux d’entre eux étaient gagnants.
    On suppose que le nombre de tickets à gratter est suffisamment important pour considérer qu’un échantillon de $50$ tickets correspond à un tirage aléatoire avec remise.
    a. L’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de la fréquence observée de tickets gagnants dans un échantillon de $50$~tickets à gratter est $[0,051;0,249]$, les bornes étant arrondies au millième.
    b. L’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de la fréquence observée de tickets gagnants dans un échantillon de $50$ tickets à gratter est $[0,100;0,200]$, les bornes étant arrondies au millième.
    c. La fréquence de tickets gagnants reçus par Amandine est $\dfrac{50}{500}$.
    d. Amandine peut annoncer avec un risque de $5\%$ que l’affirmation de l’hypermarché n’est pas mensongère.
    $\quad$

Exercice 2    6 points

Les deux parties sont indépendantes.

Partie A : L’accord de Kyoto (1997)

Le principal gaz à effet de serre (GES) est le dioxyde de carbone, noté CO$_2$.
En 2011, la France a émis $486$ mégatonnes de GES en équivalent CO$_2$ contre $559$ mégatonnes en 1990.

  1. Dans l’accord de Kyoto, la France s’est engagée à réduire ses GES de $8\%$ entre 1990 et 2012.
    Peut-on dire qu’en 2011 la France respectait déjà cet engagement ? Justifier la réponse.
    $\quad$
  2. Sachant que les émissions de 2011 ont marqué une baisse de $5,6\%$ par rapport à 2010, calculer le nombre de mégatonnes en équivalent CO$_2$ émises par la France en 2010. Arrondir le résultat à $0,1$.
    $\quad$

Partie B : Étude des émissions de gaz à effet de serre d’une zone industrielle

Un plan de réduction des émissions de gaz à effet de serre (GES) a été mis en place dans une zone industrielle. On estime que, pour les entreprises déjà installées sur le site, les mesures de ce plan conduisent à une réduction des émissions de $2\%$ d’une année sur l’autre et que, chaque année, les implantations de nouvelles entreprises sur le site génèrent $200$ tonnes de GES en équivalent CO$_2$.
En 2005, cette zone industrielle a émis $41$ milliers de tonnes de CO$_2$ au total.
Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ le nombre de milliers de tonnes de CO$_2$ émis dans cette zone industrielle au cours de l’année $2005+n$.

  1. Déterminer $u_0$ et $u_1$.
    $\quad$
  2. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} = 0,98\times u_n+0,2$.
    $\quad$
  3. On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = u_n-10$.
    a. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $0,98$. Préciser son premier terme.
    $\quad$
    b. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$.
    $\quad$
    c. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = 31 \times (0,98)^n+10$.
    $\quad$
  4. a. Calculer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
    b. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  5. À l’aide de l’algorithme ci-dessous, on se propose de déterminer l’année à partir de laquelle la zone industrielle aura réduit au moins de moitié ses émissions de CO$_2$, par rapport à l’année 2005.
    a. Recopier et compléter les lignes $7$ et $9$ de l’algorithme.
    $\begin{array}{|ll|}
    \hline
    1& \textbf{Variables}\\
    2&\quad U \text{ est du type nombre}\\
    3&\quad n \text{ est du type nombre entier}\\
    4& \textbf{Début Algorithme}\\
    5&\quad U \text{ prend la valeur } 41\\
    6&\quad n \text{ prend la valeur } 0\\
    7&\quad \text{Tant que } (\ldots \ldots ) \text{ faire}\\
    8&\qquad \text{Début Tant que}\\
    9&\qquad U \text{ prend la valeur } \ldots\\
    10&\qquad n \text{ prend la valeur } n+1\\
    11&\quad \text{Fin Tant que}\\
    12&\quad \text{Afficher } n\\
    13& \textbf{Fin Algorithme}\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    b. L’algorithme affiche $54$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

Exercice 3    5 points

Candidats ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L

Les parties A et B sont indépendantes

Notations :
Pour tout événement $A$, on note $\conj{A}$ l’événement contraire de $A$ et $p(A)$ la probabilité de l’événement $A$.
Si $A$ et $B$ sont deux événements, on note $p_B(A)$ la probabilité de $A$ sachant que l’événement $B$ est réalisé.

Dans cet exercice, on arrondira les résultats au millième

Une agence Pôle Emploi étudie l’ensemble des demandeurs d’emploi selon deux critères, le sexe et l’expérience professionnelle.
Cette étude montre que :

  • $52\%$ des demandeurs d’emploi sont des femmes et $48\%$ sont des hommes ;
  • $18\%$ des demandeurs d’emploi sont sans expérience et les autres sont avec expérience ;
  • parmi les hommes qui sont demandeurs d’emploi, on sait que $17,5\%$ sont sans expérience.

Partie A

On prélève au hasard la fiche d’un demandeur d’emploi de cette agence. On note :

  • $S$ : l’événement “le demandeur d’emploi est sans expérience” ;
  • $F$ : l’événement “le demandeur d’emploi est une femme”.
  1. Préciser $p(S)$ et $p_{\conj{F}}(S)$.
    $\quad$
  2. Recopier l’arbre ci-dessous et compléter les pointillés par les probabilités associées.

    $\quad$
  3. Démontrer que $p\left(\conj{F} \cap S\right) = 0,084$. Interpréter le résultat.
    $\quad$
  4. La fiche prélevée est celle d’un demandeur d’emploi sans expérience. Calculer la probabilité pour que ce soit un homme.
    $\quad$
  5. Sachant que la fiche prélevée est celle d’une femme, calculer la probabilité que ce soit la fiche d’un demandeur d’emploi sans expérience.
    $\quad$

Partie B

La responsable de l’agence décide de faire le point avec cinq demandeurs d’emploi qui sont suivis dans son agence. Pour cela, elle prélève cinq fiches au hasard. On admet que le nombre de demandeurs d’emplois dans son agence est suffisamment grand pour assimiler cette situation à un tirage avec remise.
En justifiant la démarche, calculer la probabilité que, parmi les cinq fiches tirées au hasard, il y ait au moins une fiche de demandeur d’emploi sans expérience.
$\quad$

Exercice 3    5 points

Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Les parties A et B sont indépendantes

Partie A

Deux opérateurs Alpha et Bravo se partagent le marché de la téléphonie mobile dans un pays.
En 2015, l’opérateur Alpha possède $30\%$ du marché de téléphonie mobile. Le reste appartient à l’opérateur Bravo.
On étudie l’évolution dans le temps du choix des abonnés de 2015 pour l’un ou l’autre des opérateurs. Chaque abonné conserve un abonnement téléphonique, soit chez l’opérateur Alpha soit chez l’opérateur Bravo.
On estime que, chaque année :

  • $12\%$ des abonnés de l’opérateur Alpha le quittent et souscrivent un abonnement chez l’opérateur Bravo.
  • $86\%$ des abonnés de l’opérateur Bravo lui restent fidèles, les autres le quittent pour l’opérateur Alpha.

On modélise cette situation par un graphe probabiliste à deux sommets Alpha et Bravo :

  • $A$ est l’événement: “l’abonné est chez l’opérateur Alpha” ;
  • $B$ est l’événement: “l’abonné est chez l’opérateur Bravo”.
  1. Dessiner ce graphe probabiliste.
    $\quad$

On admet que la matrice de transition de ce graphe probabiliste, en considérant les sommets dans l’ordre alphabétique, est : $M = \begin{pmatrix}0,88&0,12\\0,14 &0,86\end{pmatrix}$.

On note pour tout entier naturel $n$ :

  • $a_n$ la probabilité qu’un abonné soit chez l’opérateur Alpha l’année $2015 + n$ ;
  • $b_n$ la probabilité qu’un abonné soit chez l’opérateur Bravo l’année $2015 + n$.

On note $P_n = \begin{pmatrix}a_n& b_n\end{pmatrix}$ la matrice ligne de l’état probabiliste pour l’année $2015 + n$.

  1. Donner $a_0$ et $b_0$.
    $\quad$
  2. Montrer qu’en 2018, il y aura environ $44,2\%$ des abonnés chez l’opérateur Alpha.
    $\quad$
  3. Les deux opérateurs voudraient connaître la répartition de l’ensemble des abonnés sur le long terme. On note $P = \begin{pmatrix}x &y\end{pmatrix}$ l’état stable de la répartition des abonnés.
    a. Montrer que les nombres $x$ et $y$ sont solutions du système $\begin{cases}0,12x-0,14y = 0\\x+y =1\end{cases}$ .
    $\quad$
    b. Résoudre le système précédent dans l’ensemble des réels.
    $\quad$
    c. Déterminer la répartition des abonnés entre les deux opérateurs au bout d’un grand nombre d’années. Arrondir les pourcentages à $0,1\%$.
    $\quad$

Partie B

Un opérateur français doit développer son réseau de fibre optique dans la région des stations de ski notées A, B, C, D, E, F, G, H, I à l’approche de la saison touristique. À ce jour, seule la station C est reliée au réseau national de fibre optique.

Le coût des tronçons du réseau de fibre optique varie selon le relief des montagnes et des vallées.
L’opérateur a mené une étude afin de déterminer son plan de déploiement.

Dans le graphe ci-dessous :

  • les sommets représentent les stations de ski;
  • les arêtes représentent les différents tronçons qu’il est possible de déployer;
  • le poids de chaque arête correspond au coût associé, en milliers d’euros.

 

  1. À l’aide de l’algorithme de Dijkstra, déterminer le tracé de fibre optique le moins cher à déployer, entre les stations C et G.
    $\quad$
  2. Déterminer, en milliers d’euros, le coût de ce tracé.
    $\quad$

Exercice 4    6 points

Les deux parties sont liées

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0;10]$ par $f(x)=\dfrac{1}{0,5+100\e^{-x}}$.
On note $f’$ la fonction dérivée de $f$ sur l’intervalle $[0;10]$.

  1. Montrer que, pour tout réel $x$ dans l’intervalle $[0;10]$, on a $f'(x) = \dfrac{100\e^{-x}}{\left(0,5+100\e^{-x} \right)^2}$.
    $\quad$

On note $f^{\prime\prime}$ la fonction dérivée seconde de $f$ sur l’intervalle $[0;10]$.
Un logiciel de calcul formel fournit l’expression suivante de $f^{\prime\prime}(x)$ : $$f^{\prime\prime}(x) = \dfrac{100\e^{-x}\left(100\e^{-x} – 0,5\right)}{\left(0,5 + 100\e^{-x} \right)^3}$$

  1. a. Montrer que, dans l’intervalle $[0;10]$, l’inéquation $100\e^{-x}-0,5 \pg 0$ est équivalente à l’inéquation $x \pp -\ln(0,005)$.
    $\quad$
    b. En déduire le tableau de signes de la fonction $f”$ sur l’intervalle $[0;10]$.
    $\quad$
  2. On appelle $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ tracée dans un repère.
    Montrer, à l’aide de la question 2, que la courbe $\mathcal{C}_f$ admet un point d’inflexion noté $I$, dont on précisera la valeur exacte de l’abscisse.
    $\quad$
  3. En utilisant les résultats de la question 2, déterminer l’intervalle sur lequel la fonction $f$ est concave.
    $\quad$

Partie B

Dans toute cette partie les températures seront exprimées en degrés Celsius, notés °C.

La COP21, conférence sur les changements climatiques des Nations Unies, a adopté le 12 décembre 2015 le premier accord universel sur le climat, appelé accord de Paris, signé par $195$ pays.

Cet accord confirme l’objectif, d’ici l’année 2100, que la température terrestre ne dépasse pas de plus de $2$°C la température de l’année 1900.

Dans cette partie, on modélise, par la fonction $f$ de la partie A, une évolution de température possible permettant d’atteindre l’objectif de l’accord de Paris.

La courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction est tracée ci-dessous, et $I$ est son point d’inflexion.
Sur l’axe des abscisses, l’année 1900 correspond à $0$ et une unité représente $25$ ans, donc l’année 1925 correspond à $1$.
Sur l’axe des ordonnées, on a représenté le nombre de degrés Celsius au-dessus de la température de 1900.

 

  1. a. Calculer $f(10)$, en arrondissant le résultat au centième.
    $\quad$
    b. En déduire qu’en 2150, avec ce modèle, l’objectif de l’accord de Paris sera respecté.
    $\quad$
  2. a. En utilisant la partie A, déterminer l’année correspondant à l’abscisse du point $I$ d’inflexion de la courbe $\mathcal{C}_f$. Arrondir le résultat à l’unité.
    $\quad$
    b. Calculer, pour cette année-là, le nombre de degrés Celsius supplémentaires par rapport à 1900.
    $\quad$
  3. On appelle vitesse du réchauffement climatique la vitesse d’augmentation du nombre de degrés Celsius. On admet que, à partir de 1900, la vitesse du réchauffement climatique est modélisée par la fonction $f’$.
    a. Est-il vrai de dire qu’après 2033 la température terrestre diminuera ? Justifier la réponse.
    $\quad$
    b. Est-il vrai de dire qu’après 2033 la vitesse du réchauffement climatique diminuera ? Justifier la réponse.
    $\quad$
  4. Pour sauvegarder les îles menacées par la montée des eaux, la température terrestre ne doit pas dépasser de plus de $1,5$°C la température de l’année 1900.
    Déterminer l’année au cours de laquelle la température terrestre atteindra ce seuil, selon ce modèle.
    $\quad$

 

Bac S – Liban – Mai 2019

Liban – Mai 2019

Bac S – Mathématiques – Correction

La correction de ce sujet de bac sera mise en ligne dès que le sujet sera disponible.
Il est important de s’entraîner sur les sujets de l’année pour bien préparer sa propre épreuve. On se fait ainsi une idée des tendances de l’année.
L’intégralité des sujets corrigés cette année et les années précédentes se trouve ici.

Les sujets tombés  les années précédentes sont dans les onglets situés en dessous. Pour les corrections, il suffit de suivre ces liens :

Année 2018

Exercice 1     3 points

Les quinze jours précédant la rentrée universitaire, le standard téléphonique d’une mutuelle étudiante enregistre un nombre record d’appels.
Les appelants sont d’abord mis en attente et entendent une musique d’ambiance et un message préenregistré.
Lors de cette première phase, le temps d’attente, exprimé en secondes, est modélisé par la variable aléatoire $X$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0, 02$ s$^{−1}$.
Les appelants sont ensuite mis en relation avec un chargé de clientèle qui répond à leurs questions. Le temps d’échange, exprimé en secondes, lors de cette deuxième phase est modélisé par la variable aléatoire $Y$ , exprimée en secondes, qui suit la loi normale d’espérance $\mu = 96$ s et d’écart-type
$\sigma = 26$ s.

  1. Quelle est la durée totale moyenne d’un appel au standard téléphonique (temps d’attente et temps d’échange avec le chargé de clientèle) ?
    $\quad$
  2. Un étudiant est choisi au hasard parmi les appelants du standard téléphonique.
    a. Calculer la probabilité que l’étudiant soit mis en attente plus de $2$ minutes.
    $\quad$
    b. Calculer la probabilité pour que le temps d’échange avec le conseiller soit inférieur à $90$ secondes.
    $\quad$
  3. Une étudiante, choisie au hasard parmi les appelants, attend depuis plus d’une minute d’être mise en relation avec le service clientèle. Lasse, elle raccroche et recompose le numéro. Elle espère attendre moins de trente secondes cette fois-ci.
    Le fait de raccrocher puis de rappeler augmente-t-il ses chances de limiter à $30$ secondes l’attente supplémentaire ou bien aurait-elle mieux fait de rester en ligne ?
    $\quad$

Exercice 2     3 points

  1. Donner les formes exponentielle et trigonométrique des nombres complexes $1+\ic$ et $1-\ic$.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$, on pose $S_n=(1+\ic)^n+(1-\ic)^n$.
    $\quad$
    a. Déterminer la forme trigonométrique de $S_n$.
    $\quad$
    b. Pour chacune des deux affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte et l’absence de réponse n’est pas pénalisée.
    Affirmation A : Pour tout entier naturel $n$, le nombre complexe $S_n$ est un nombre réel.
    $\quad$
    Affirmation B : Il existe une infinité d’entiers naturels $n$ tels que $S_n=0$.
    $\quad$

Exercice 3     4 points

L’objectif de cet exercice est d’étudier les trajectoires de deux sous-marins en phase de plongée.
On considère que ces sous-marins se déplacent en ligne droite, chacun à vitesse constante.
À chaque instant t, exprimé en minutes, le premier sous-marin est repéré par le point $S_1(t)$ et le second sous-marin est repéré par le point $S_2(t)$ dans un repère orthonormé $\Oijk$ dont l’unité est le mètre.

Le plan défini par $\Oij$ représente la surface de la mer. La cote $z$ est nulle au niveau de la mer, négative sous l’eau.

  1. On admet que, pour tout réel $t \pg 0$, le point $S_1(t)$ a pour coordonnées :
    $$\begin{cases} x(t)=140-60t\\y(t)=105-90t\\z(t)=-170-30t\end{cases}$$
    a. Donner les coordonnées du sous-marin au début de l’observation.
    $\quad$
    b. Quelle est la vitesse du sous-marin?
    $\quad$
  2. On se place dans le plan vertical contenant la trajectoire du premier sous-marin.

    Déterminer l’angle $\alpha$ que forme la trajectoire du sous-marin avec le plan horizontal.
    On donnera l’arrondi de $\alpha$ à $0,1$ degré près.
    $\quad$
  3. Au début de l’observation, le second sous-marin est situé au point $S_2(0)$ de coordonnées $(68 ; 135 ; −68)$ et atteint au bout de trois  minutes le point $S_2(3)$ de coordonnées $(−202 ; −405 ; −248)$
    avec une vitesse constante.
    À quel instant $t$, exprimé en minutes, les deux sous-marins sont-ils à la même profondeur ?
    $\quad$

Exercice 4     5 points

On considère, pour tout entier $n > 0$, les fonctions $f_n$ définies sur l’intervalle $[1;5]$ par : $$f_n(x)=\dfrac{\ln(x)}{x^n}$$

Pour tout entier $n>0$, on note $\mathscr{C}_n$ la courbe représentative de la fonction $f_n$ dans un repère orthogonal.
Sur le graphique ci-dessous sont représentées les courbes $\mathscr{C}_n$ pour $n$ appartenant à $\lbrace 1;2;3;4\rbrace$.

  1. Montrer que, pour tout entier $n>0$ et tout réel $x$ de l’intervalle $[1;5]$ : $${f_n}'(x)=\dfrac{1-n\ln(x)}{x^{n+1}}$$
    $\quad$
  2. Pour tout entier $n > 0$, on admet que la fonction $f_n$ admet un maximum sur l’intervalle $[1 ; 5]$.
    On note $A_n$ le point de la courbe $\mathscr{C}_n$ ayant pour ordonnée ce maximum.
    Montrer que tous les points $A_n$ appartiennent à une même courbe $\Gamma$ d’équation $$y=\dfrac{1}{\e}\ln(x)$$
    $\quad$
  3. a. Montrer que, pour tout entier $n>1$ et tout réel $x$ de l’intervalle $[1;5]$ : $$0 \pp \dfrac{\ln(x)}{x^n}\pp \dfrac{\ln(5)}{x^n}$$
    $\quad$
    b. Montrer que pour tout entier $n>1$ :
    $$\ds \int_1^5 \dfrac{1}{x^n}\dx =\dfrac{1}{n-1}\left(1-\dfrac{1}{5^{n-1}}\right)$$
    $\quad$
    c. Pour tout entier $n>0$, on s’intéresse à l’aire, exprimée en unités d’aire, sous la courbe $\mathscr{C}_n$, c’est-à-dire l’aire du domaine du plan délimité par les droites d’équations $x=1$, $x=5$, $y=0$ et la courbe $\mathscr{C}_n$.
    Déterminer la valeur limite de cette aire quand $n$ tend vers $+\infty$.
    $\quad$

Exercice 5     5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Un jeu de hasard sur ordinateur est paramétré de la façon suivante :

  • Si le joueur gagne une partie, la probabilité qu’il gagne la partie suivante est $\dfrac{1}{4}$;
  • Si le joueur perd une partie, la probabilité qu’il perde la partie suivante est $\dfrac{1}{2}$;
  • La probabilité de gagner la première partie est $\dfrac{1}{4}$.

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $G_n$ l’événement “la $n^{\ieme}$ partie est gagnée” et on note $p_n$ la probabilité de cet événement. On a donc $p_1=\dfrac{1}{4}$.

  1. Montrer que $p_2=\dfrac{7}{16}$.
    $\quad$
  2. Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $p_{n+1}=-\dfrac{1}{4}p_n+\dfrac{1}{2}$.
    $\quad$
  3. On obtient ainsi les premières valeurs de $p_n$ :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    n&1&2&3&4&5&6&7\\
    \hline
    p_n&0,25&0,4375&0,3906&0,4023&0,3994&0,4001&0,3999\\
    \hline
    \end{array}$$
    Quelle conjecture peut-on émettre?
    $\quad$
  4. On définit, pour tout entier naturel $n$ non nul, la suite $\left(u_n\right)$ par $u_n=p_n-\dfrac{2}{5}$.
    a. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.
    $\quad$
    b. En déduire que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $p_n=\dfrac{2}{5}-\dfrac{3}{20}\left(-\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}$.
    $\quad$
    c. La suite $\left(p_n\right)$ converge-t-elle? Interpréter ce résultat.
    $\quad$

Exercice 5     5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

On définit la suite de réels $\left(a_n\right)$ par : $$\begin{cases} a_0=0\\a_1=1\\a_{n+1}=a_n+a_{n-1}\quad \text{pour } n\pg 1\end{cases}$$
On appelle cette suite la suite de Fibonnacci.

  1. Recopier et compléter l’algorithme ci-dessous pour qu’à la fin de son exécution la variable $A$ contienne le terme $a_n$.
  2. $\quad$
    $\begin{array}{|cl|}
    \hline
    1&A \leftarrow 0\\
    2&B \leftarrow 1 \\
    3&\text{Pour $i$ allant de $\color{red}{1}$ à $n$} \\
    4&| ~~C \leftarrow A+B \\
    5&|~~A \leftarrow \ldots \\
    6&|~~B \leftarrow \ldots \\
    7&\text{Fin Pour} \\
    \hline
    \end{array}$
    Remarque : Dans l’énoncé original à la ligne $3$, la boucle pour commençait à $1$. L’algorithme proposait ne répondait pas alors à la question posée.
    $\quad$
    On obtient ainsi les premières valeurs de la suite $a_n$ :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    n&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\
    \hline
    a_n&0&1&1&2&3&5&8&13&21&34&55\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  3. Soit la matrice $A=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}$.
    Calculer $A^2$, $A^3$ et $A_4$. Vérifier que $A^5=\begin{pmatrix}8&5\\5&3\end{pmatrix}$.
    $\quad$
  4. On peut démontrer, et nous admettrons, que pour tout entier naturel $n$ non nul, $$A^n=\begin{pmatrix}a_{n+1}&a_n\\a_n&A_{n-1}\end{pmatrix}$$
    a. Soit $p$ et $q$ deux entiers naturels non nuls. Calculer le produit $A^p\times A^q$ et en déduite que $$a_{p+q}=a_p\times a_{q+1}+a_{p-1}\times a_q$$
    $\quad$
    b. En déduire que si un entier $r$ divise les entiers $a_p$ et $a_q$, alors $r$ divise également $a_{p+q}$.
    $\quad$
    c. Soit $p$ un entier naturel non nul.
    Démontrer, en utilisant un raisonnement par récurrencesur $n$, que pour tout entier naturel $n$ non nul, $a_p$ divise $a_{np}$.
    $\quad$
  5. a. Soit $n$ un entier supérieur ou égal à $5$. Montrer que si $n$ est entier naturel qui n’est pas premier, alors $a_n$ n’est pas un nombre premier.
    $\quad$
    b. On peut calculer $a_{19}=4~181=37\times 113$.
    Que penser de la réciproque de la propriété obtenue dans la question 4.a. ?
    $\quad$

Année 2017

Exercice 1    6 points

On considère un cube $ABCDEFGH$ dont la représentation graphique en perspective cavalière est donnée ci-dessous.
Les arêtes sont de longueur $1$.
L’espace est rapporté au repère orthonormé $\left(D;\vect{DA},\vect{DC},\vect{DH}\right)$.

Partie A

  1. Montrer que le vecteur $\vect{DF}$ est normal au plan $(EBG)$.
    $\quad$
  2. Déterminer une équation cartésienne du plan $(EBG)$.
    $\quad$
  3. En déduire les coordonnées du point I intersection de la droite $(DF)$ et du plan $(EBG)$.
    On démontrerait de la même manière que le point $J$ intersection de la droite $(DF)$ et du plan $(AHC)$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3} \right)$.
    $\quad$

Partie B

À tout réel $x$ de l’intervalle $[0;1]$, on associe le point $M$ du segment $[DF]$ tel que $\vect{DM} = x\vect{DF}$. On s’intéresse à l’évolution de la mesure $\theta$ en radian de l’angle $\widehat{EMB}$ lorsque le point $M$ parcourt le segment $[DF]$. On a $0 \pp  \theta \pp \pi$.

  1. Que vaut $\theta$ si le point $M$ est confondu avec le point $D$ ? avec le point $F$ ?
    $\quad$
  2. a. Justifier que les coordonnées du point $M$ sont $(x;x;x)$.
    $\quad$
    b. Montrer que $\cos (\theta) = \dfrac{3x^2-4x+1}{3x^2-4x+2}$. On pourra pour cela s’intéresser au produit scalaire des vecteurs $\vect{ME}$ et $\vect{MB}$.
    $\quad$
  3. On a construit ci-dessous le tableau de variations de la fonction $f : x \mapsto \dfrac{3x^2-4x+1}{3x^2-4x+2}$

    Pour quelles positions du point $M$ sur le segment $[DF]$ :
    a. le triangle $MEB$ est-il rectangle en $M$ ?
    $\quad$
    b. l’angle $\theta$ est-il maximal ?
    $\quad$

Exercice 2    6 points

Dans cet exercice, on étudie quelques grandeurs caractéristiques du fonctionnement des parkings d’une ville. Dans tout l’exercice, les probabilités seront données avec une précision de $10^{-4}$.

Les parties A, B et C sont indépendantes.

Partie A – Durée d’attente pour entrer dans un parking souterrain

On appelle durée d’attente le temps qui s’écoule entre le moment où la voiture se présente à l’entrée du parking et le moment où elle franchit la barrière d’entrée du parking. Le tableau suivant présente les observations faites sur une journée.

$\begin{array}{|l|c|c|c|c|}
\hline
\text{Durée d’attente en minute}  &[0;2[ &[2;4[ &[4;6[ &[6;8[\\
\hline
\text{Nombre de voitures}   & 75 &19 &10 &5\\
\hline
\end{array}$

  1. Proposer une estimation de la durée d’attente moyenne d’une voiture à l’entrée du parking.
    $\quad$
  2. On décide de modéliser cette durée d’attente par une variable aléatoire $T$ suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ (exprimé en minute).
    a. Justifier que l’on peut choisir $\lambda = 0,5$ min.
    $\quad$
    b. Une voiture se présente à l’entrée du parking. Quelle est la probabilité qu’elle mette moins de deux minutes pour franchir la barrière ?
    $\quad$
    c. Une voiture attend à l’entrée du parking depuis une minute. Quelle est la probabilité qu’elle franchisse la barrière dans la minute suivante ?
    $\quad$

Partie B – Durée et tarifs de stationnement dans ce parking souterrain

Une fois garée, la durée de stationnement d’une voiture est modélisée par une variable aléatoire $D$ qui suit la loi normale d’espérance $\mu = 70$ min et d’écart-type $\sigma = 30$ min.

  1. a. Quelle est la durée moyenne de stationnement d’une voiture ?
    $\quad$
    b. Un automobiliste entre et se gare dans le parking. Quelle est la probabilité que sa durée de stationnement dépasse deux heures ?
    $\quad$
    c. À la minute près, quel est le temps maximum de stationnement pour au moins $99\%$ des voitures ?
    $\quad$
  2. La durée de stationnement est limitée à trois heures. Le tableau donne le tarif de la première heure et chaque heure supplémentaire est facturée à un tarif unique. Toute heure commencée est due intégralement.
    $\begin{array}{|l|c|c|c|}\hline
    \text{Durée de stationnement}& \text{Inférieure à }15 \text{ min} &\text{Entre } 15\text{ min et }1 \text{ h} &\begin{array}{c}\text{Heure}\\ \text{supplémentaire}\end{array}\\
    \hline
    \text{Tarif en euros} &\text{Gratuit} &3,5 &t\\
    \hline
    \end{array}$
    Déterminer le tarif $t$ de l’heure supplémentaire que doit fixer le gestionnaire du parking pour que le prix moyen de stationnement d’une voiture soit de $5$ euros.
    $\quad$

Partie C – Temps d’attente pour se garer dans un parking de centre-ville

La durée de stationnement d’une voiture dans un parking de centre-ville est modélisée par une variable aléatoire $T’$ qui suit une loi normale d’espérance $\mu’$ et d’écart-type $\sigma’$. On sait que la moyenne du temps de stationnement dans ce parking est égale à $30$ minutes et que $75\%$ des voitures ont un temps de stationnement inférieur à $37$ minutes.
Le gestionnaire du parking vise l’objectif que $95\%$ des voitures aient un temps de stationnement entre $10$ et $50$ minutes. Cet objectif est-il atteint ?
$\quad$

Exercice 3    3 points

Soit $k$ un réel strictement positif. On considère les fonctions $f_k$ définies sur $\R$ par : $$f_k(x) = x + k\e^{- x}$$

On note $\mathscr{C}_k$ la courbe représentative de la fonction $f_k$ dans un plan muni d’un repère orthonormé.
On a représenté ci-dessous quelques courbes $\mathscr{C}_k$ pour différentes valeurs de $k$.

Pour tout réel $k$ strictement positif, la fonction $f_k$ admet un minimum sur $\R$. La valeur en laquelle ce minimum est atteint est l’abscisse du point noté $A_k$ de la courbe $\mathscr{C}_k$. il semblerait que, pour tout réel $k$ strictement positif, les points $A_k$ soient alignés.
Est-ce le cas ?
$\quad$

Exercice 4    5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

L’épicéa commun est une espèce d’arbre résineux qui peut mesurer jusqu’à $40$ mètres de hauteur et vivre plus de $150$ ans.

L’objectif de cet exercice est d’estimer l’âge et la hauteur d’un épicéa à partir du diamètre de son tronc mesuré à $1,30$ m du sol.

Partie A – Modélisation de l’âge d’un épicéa

Pour un épicéa dont l’âge est compris entre $20$ et $120$ ans, on modélise la relation entre son âge (en années) et le diamètre de son tronc (en mètre) mesuré à $1,30$ m du sol par la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]0;1[$ par : $$f(x) = 30 \ln \left(\dfrac{20x}{1-x}\right)$$
où $x$ désigne le diamètre exprimé en mètre et $f(x)$ l’âge en années.

  1. Démontrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $]0;1[$.
    $\quad$
  2. Déterminer les valeurs du diamètre $x$ du tronc tel que l’âge calculé dans ce modèle reste conforme à ses conditions de validité, c’est-à-dire compris entre $20$ et $120$ ans.
    $\quad$

Partie B

On a relevé la hauteur moyenne des épicéas dans des échantillons représentatifs d’arbres âgés de $50$ à $150$ ans. Le tableau suivant, réalisé à l’aide d’un tableur, regroupe ces résultats et permet de calculer la vitesse de croissance moyenne d’un épicéa.

  1. a. Interpréter le nombre $0,245$ dans la cellule $D3$.
    $\quad$
    b. Quelle formule doit-on entrer dans la cellule $C3$ afin de compléter la ligne $3$ en recopiant la cellule $C3$ vers la droite ?
    $\quad$
  2. Déterminer la hauteur attendue d’un épicéa dont le diamètre du tronc mesuré à $1,30$ m du sol vaut $27$ cm.
    $\quad$
  3. La qualité du bois est meilleure au moment où la vitesse de croissance est maximale.
    a. Déterminer un intervalle d’âges durant lequel la qualité du bois est la meilleure en expliquant la démarche.
    $\quad$
    b. Est-il cohérent de demander aux bûcherons de couper les arbres lorsque leur diamètre mesure environ $70$ cm ?
    $\quad$

Exercice 4    5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Un numéro de carte bancaire est de la forme: $$a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}a_{5}a_{6}a_{7}a_{8}a_{9}a_{10}a_{11}a_{12}a_{13}a_{14}a_{15}c$$

où $a_{1},a_{2},\ldots,a_{15}$ et $c$ sont des chiffres compris entre $0$ et $9$.
Les quinze premiers chiffres contiennent des informations sur le type de carte, la banque et le numéro de compte bancaire.
$c$ est la clé de validation du numéro. Ce chiffre est calculé à partir des quinze autres.
L’algorithme suivant permet de valider la conformité d’un numéro de carte donné.

Initialisation :
$\quad$ $I$ prend la valeur $0$
$\quad$ $P$ prend la valeur $0$
$\quad$ $R$ prend la valeur $0$
Traitement :
$\quad$ Pour $k$ allant de $0$ à $7$ :
$\qquad$ $R$ prend la valeur du reste de la division euclidienne de $2a_{2k+1}$ par 9
$\qquad$ $I$ prend la valeur $I + R$
$\quad$ Fin Pour
$\quad$ Pour $k$ allant de $1$ à $7$ :
$\qquad$ $P$ prend la valeur $P + a_{2k}$
$\quad$ Fin Pour
$\quad$ $S$ prend la valeur $I + P + c$
Sortie :
$\quad$ Si $S$ est un multiple de $10$ alors :
$\qquad$ Afficher “Le numéro de la carte est correct.”
$\quad$ Sinon :
$\qquad$ Afficher “Le numéro de la carte n’est pas correct.”
$\quad$ Fin Si

 

  1. On considère le numéro de carte suivant: $5635~4002~9561~3411$.
    $\quad$
    a. Compléter le tableau en annexe permettant d’obtenir la valeur finale de la variable $I$.
    $\quad$
    b. Justifier que le numéro de la carte $5635~4002~9561~3411$ est correct.
    $\quad$
    c. On modifie le numéro de cette carte en changeant les deux premiers chiffres. Le premier chiffre (initialement $5$) est changé en $6$.
    Quel doit être le deuxième chiffre $a$ pour que le numéro de carte obtenu $6a35~4002~9561~3411$ reste correct ?
    $\quad$
  2. On connaît les quinze premiers chiffres du numéro d’une carte bancaire.
    Montrer qu’il existe une clé $c$ rendant ce numéro de carte correct et que cette clé est unique.
    $\quad$
  3. Un numéro de carte dont les chiffres sont tous égaux peut-il être correct ? Si oui, donner tous les numéros de carte possibles de ce type.
    $\quad$
  4. On effectue le test suivant : on intervertit deux chiffres consécutifs distincts dans un numéro de carte correct et on vérifie si le numéro obtenu reste correct.
    On a trouvé une situation où ce n’est pas le cas, l’un des deux chiffres permutés valant $1$.
    Peut-on déterminer l’autre chiffre permuté ?
    $\quad$

Annexe

$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
k&0&1&2&3&4&5&6&7\\
\hline
a_{2k+1}&\phantom{a_{2k+1}}&\phantom{a_{2k+1}}&\phantom{a_{2k+1}}&\phantom{a_{2k+1}}&\phantom{a_{2k+1}}&\phantom{a_{2k+1}}&\phantom{a_{2k+1}}&\phantom{a_{2k+1}}\\
\hline
2a_{2k+1}&&&&&&&&\\
\hline
R&&&&&&&&\\
\hline
I&&&&&&&&\\
\hline
\end{array}$

Année 2016

Exercice 1    4 points

On considère un solide $ADECBF$ constitué de deux pyramides identiques ayant pour base commune le carré $ABCD$ de centre $I$. Une représentation en perspective de ce solide est donnée en annexe (à rendre avec la copie). Toutes les arêtes sont de longueur $1$.

L’espace est rapporté au repère orthonormé $\left(A;\vect{AB},\vect{AD},\vect{AK}\right)$.

  1. a. Montrer que $IE = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$. En déduire les coordonnées des points $I$, $E$ et $F$.
    $\quad$
    b. Montrer que le vecteur $\vect{n}\begin{pmatrix}0\\- 2\\\sqrt{2}\end{pmatrix}$ est normal au plan $(ABE)$.
    $\quad$
    c. Déterminer une équation cartésienne du plan $(ABE)$.
    $\quad$
  2. On nomme $M$ le milieu du segment $[DF]$ et $N$ celui du segment $[AB]$.
    a. Démontrer que les plans $(FDC)$ et $(ABE)$ sont parallèles.
    $\quad$
    b. Déterminer l’intersection des plans $(EMN)$ et $(FDC)$.
    $\quad$
    c. Construire sur l’annexe (à rendre avec la copie) la section du solide $ADECBF$ par le plan $(EMN)$.
    $\quad$

 

$\quad$

Exercice 2    4 points

Sur un court de tennis, un lance-balle permet à un joueur de s’entraîner seul. Cet appareil envoie des balles une par une à une cadence régulière. Le joueur frappe alors la balle puis la balle suivante arrive.
Suivant le manuel du constructeur, le lance-balle envoie au hasard la balle à droite ou à gauche avec la même probabilité.

Dans tout l’exercice, on arrondira les résultats à $10^{-3}$ près.

Partie A

Le joueur s’apprête à recevoir une série de $20$ balles.

  1. Quelle est la probabilité que le lance-balle envoie $10$ balles à droite ?
    $\quad$
  2. Quelle est la probabilité que le lance-balle envoie entre $5$ et $10$ balles à droite ?
    $\quad$

Partie B

Le lance-balle est équipé d’un réservoir pouvant contenir $100$ balles. Sur une séquence de $100$ lancers, $42$ balles ont été lancées à droite. Le joueur doute alors du bon fonctionnement de l’appareil. Ses doutes sont-ils justifiés ?

$\quad$

Partie C

Pour augmenter la difficulté le joueur paramètre le lance-balle de façon à donner un effet aux balles lancées. Elles peuvent être soit “liftées” soit “coupées”. La probabilité que le lance-balle envoie une balle à droite est toujours égale à la probabilité que le lance-balle envoie une balle à gauche.

Les réglages de l’appareil permettent d’affirmer que :

  • la probabilité que le lance-balle envoie une balle liftée à droite est $0,24$ ;
  • la probabilité que le lance-balle envoie une balle coupée à gauche est $0,235$.

Si le lance-balle envoie une balle coupée, quelle est la probabilité qu’elle soit envoyée à droite ?

$\quad$

Exercice 3    4 points

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0;1]$ par : $$f(x) = \dfrac{1}{1 + \e^{1 – x}}$$

Partie A

  1. Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;1]$.
    $\quad$
  2. Démontrer que pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0;1]$, $f(x) = \dfrac{\e^x}{\e^x + \e}$ (on rappelle que $\e = \e^1$).
    $\quad$
  3. Montrer alors que $\displaystyle\int_0^1 f(x)\dx = \ln (2) + 1 – \ln (1 + \e)$.
    $\quad$

Partie B

Soit $n$ un entier naturel. On considère les fonctions $f_n$ définies sur $[0;1]$ par : $$f_n(x) = \dfrac{1}{1 + n\e^{1 – x}}$$

On note $\mathscr{C}_n$ la courbe représentative de la fonction $f_n$ dans le plan muni d’un repère orthonormé.
On considère la suite de terme général $$u_n = \displaystyle\int_0^1 f_n(x)\dx.$$

  1. On a tracé en annexe les courbes représentatives des fonctions $f_n$ pour $n$ variant de $1$ à $5$. Compléter le graphique en traçant la courbe $\mathscr{C}_0$ représentative de la fonction $f_0$.
    $\quad$
  2. Soit $n$ un entier naturel, interpréter graphiquement $u_n$ et préciser la valeur de $u_0$.
    $\quad$
  3. Quelle conjecture peut-on émettre quant au sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$ ?
    Démontrer cette conjecture.
    $\quad$
  4. La suite $\left(u_n\right)$ admet-elle une limite ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4    5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Un point est attribué par réponse exacte justifiée. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte et l’absence de réponse n’est pas pénalisée.

  • Sur le schéma ci-dessous on a représenté la courbe de densité d’une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale d’espérance $\mu = 20$. La probabilité que la variable aléatoire $X$ soit comprise entre $20$ et $21,6$ est égale à $0,34$.

    Affirmation 1
    La probabilité que la variable aléatoire $X$ appartienne à l’intervalle $[23,2;+\infty[$ vaut environ $0,046$.
    $\quad$
  • Soit $z$ un nombre complexe différent de $2$. On pose : $$Z = \dfrac{\ic z}{z-2}$$
    Affirmation 2 : L’ensemble des points du plan complexe d’affixe $z$ tels que $|Z| = 1$ est une droite passant par le point $A(1;0)$.
    $\quad$
    Affirmation 3 : $Z$ est un imaginaire pur si et seulement si $z$ est réel.
    $\quad$
  • Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : $$f(x) = \dfrac{3}{4 + 6\e^{-2x}}$$
    Affirmation 4 : L’équation $f(x) = 0,5$ admet une unique solution sur $\R$.
    $\quad$
    Affirmation 5 : L’ algorithme suivant affiche en sortie la valeur $0,54$.
    $\quad$
    Variables :
    $\quad$  $X$ et $Y$ sont des réels
    Initialisation :
    $\quad$ $X$ prend la valeur $0$
    $\quad$ $Y$ prend la valeur $\dfrac{3}{10}$
    Traitement :
    $\quad$ Tant que $Y < 0,5$
    $\qquad$ $X$ prend la valeur $X + 0,01$
    $\qquad$ $Y$ prend la valeur $\dfrac{3}{4 + 6\e^{-2X}}$
    $\quad$ Fin Tant que
    Sortie :
    $\quad$ Afficher $X$

$\quad$

Exercice 4    5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Un point est attribué par réponse exacte justifiée. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte et l’absence de réponse n’est pas pénalisée.

  • On considère le système $\begin{cases} n \equiv  1 \quad [5]\\n \equiv  3 \quad[4] \end{cases}$ d’inconnue $n$ entier relatif.
    Affirmation 1 : Si $n$ est solution de ce système alors $n-11$ est divisible par $4$ et par $5$.
    $\quad$
    Affirmation 2 : Pour tout entier relatif $k$, l’entier $11 + 20k$ est solution du système.
    $\quad$
    Affirmation 3 : Si un entier relatif $n$ est solution du système alors il existe un entier relatif $k$ tel que $n = 11 + 20k$.
    $\quad$
  • Un automate peut se trouver dans deux états $A$ ou $B$. À chaque seconde il peut soit rester dans l’état où il se trouve, soit en changer, avec des probabilités données par le graphe probabiliste ci-dessous. Pour tout entier naturel $n$, on note $a_n$ la probabilité que l’automate se trouve dans l’état $A$ après $n$ secondes et $b_n$ la probabilité que l’automate se trouve dans l’état $B$ après $n$ secondes. Au départ, l’automate est dans l’état $B$.
    On considère l’algorithme suivant :
    Variables :
    $\quad$ $a$ et $b$ sont des réels
    Initialisation :
    $\quad$ $a$ prend la valeur $0$
    $\quad$ $b$ prend la valeur $1$
    Traitement :
    $\quad$ Pour $k$ allant de $1$ à $10$
    $\qquad$ $a$ prend la valeur $0,8a + 0,3b$
    $\qquad$ $b$ prend la valeur $1-a$
    $\quad$ Fin Pour
    Sortie :
    $\quad$ Afficher $a$
    $\quad$ Afficher $b$
    $\quad$
    Affirmation 4 : En sortie, cet algorithme affiche les valeurs de $a_{10}$ et $b_{10}$.
    $\quad$
    Affirmation 3 : Après $4$ secondes, l’automate a autant de chances d’être dans l’état $A$ que d’être dans l’état $B$.

$\quad$

Exercice 5    3 points

On considère la suite $\left(z_n\right)$ de nombres complexes définie pour tout entier naturel $n$ par : $$\begin{cases} z_0 = 0\\z_{n+ 1} = \dfrac{1}{2} \ic \times z_n + 5\end{cases}$$

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on note $M_n$ le point d’affixe $z_n$.
On considère le nombre complexe $z_{\text{A}} = 4 + 2\text{i}$ et A le point du plan d’affixe $z_{\text{A}}$.

  1. Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = z_n – z_A$.
    a. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = \dfrac{1}{2} \ic \times u_n$.
    $\quad$
    b. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ : $$u_n = \left(\dfrac{1}{2} \ic\right)^n (- 4 – 2\ic)$$
    $\quad$
  2. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, les points A, $M_n$ et $M_{n+4}$ sont alignés.
    $\quad$

 

Bac S – Amérique du Nord – Mai 2019

Amérique du Nord – Mai 2019

Bac S – Mathématiques – Correction

La correction de ce sujet de bac sera mise en ligne dès que le sujet sera disponible.
Il est important de s’entraîner sur les sujets de l’année pour bien préparer sa propre épreuve. On se fait ainsi une idée des tendances de l’année.
L’intégralité des sujets corrigés cette année et les années précédentes se trouve ici.

Les sujets tombés  les années précédentes sont dans les onglets situés en dessous. Pour les corrections, il suffit de suivre ces liens :

Année 2018

Exercice 1     6 points

On étudie certaines caractéristiques d’un supermarché d’une petite ville.

Partie A – Démonstration préliminaire

Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre $0,2$.
On rappelle que l’espérance de la variable aléatoire $X$, notée $E(X)$, est égale à : $$\lim\limits_{x \to +\infty} \ds \int_0^x 0,2t\e^{-0,2t}\dt$$

Le but de cette parte est de démontrer que $E(X)=5$.

  1. On note $g$ la fonction définie sur l’intervalle $[0;+\infty[$ par $g(t)=0,2t\e^{-0,2t}$.
    On définit la fonction $G$ sur l’intervalle $[0;+\infty[$ par $G(t)=(-t-5)\e^{-0,2t}$.
    Vérifier que $G$ est une primitive de $g$ sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    $\quad$
  2. En déduire que la valeur exacte de $E(X)$ est $5$.
    Indication : on pourra utiliser, sans le démontrer, le résultat suivant : $$\lim\limits_{x \to +\infty} x\e^{-0,2x}=0$$

Partie B – Étude de la durée de présence d’un client dans le supermarché

Une étude commandée par le gérant du supermarché permet de modéliser la durée, exprimée en minutes, passée dans le supermarché par un client choisi au hasard par une variable aléatoire $T$.
Cette variable $T$ suit une loi normale d’espérance $40$ minutes et d’écart type un réel positif noté $\sigma$.
Grâce à cette étude, on estime que $P(T < 10) = 0,067$.

  1. Déterminer une valeur arrondie du réel $\sigma$ à la seconde près.
    $\quad$
  2. Dans cette question, on prend $\sigma = 20$ minutes. Quelle est alors la proportion de clients qui passent plus d’une heure dans le supermarché ?$\quad$

Partie C – Durée d’attente pour le paiement

Ce supermarché laisse le choix au client d’utiliser seul des bornes automatiques de paiement ou bien de passer par une caisse gérée par un opérateur.

  1. La durée d’attente à une borne automatique, exprimée en minutes, est modélisée par une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre $0,2$ min$^{-1}$.
    a. Donner la durée moyenne d’attente d’un client à une borne automatique de paiement.
    $\quad$
    b. Calculer la probabilité, arrondie à $10^{-3}$, que la durée d’attente d’un client à une borne automatique de paiement soit supérieure à $10$ minutes.
    $\quad$
  2. L’étude commandée par le gérant conduit à la modélisation suivante :
    $\bullet$ parmi les clients ayant choisi de passer à une borne automatique, $86 \%$ attendent moins de $10$ minutes ;
    $\bullet$ parmi les clients passant en caisse, $63 \%$ attendent moins de $10$ minutes.
    On choisit un client du magasin au hasard et on définit les événements suivants :
    $B$ : « le client paye à une borne automatique » ;
    $\conj{B}$ : « le client paye à une caisse avec opérateur » ;
    $S$ : « la durée d’attente du client lors du paiement est inférieure à $10$ minutes ».
    Une attente supérieure à dix minutes à une caisse avec opérateur ou à une borne automatique engendre chez le client une perception négative du magasin. Le gérant souhaite que plus de $75 \%$ des clients attendent moins de $10$ minutes.
    Quelle est la proportion minimale de clients qui doivent choisir une borne automatique de paiement pour que cet objectif soit atteint ?
    $\quad$

Partie D – Bons d’achat

Lors du paiement, des cartes à gratter, gagnantes ou perdantes, sont distribuées aux clients. Le nombre de cartes distribuées dépend du montant des achats. Chaque client a droit à une carte à gratter par tranche de $10$€ d’achats.
Par exemple, si le montant des achats est $58,64$€, alors le client obtient $5$ cartes ; si le montant est $124,31$€, le client obtient $12$ cartes.
Les cartes gagnantes représentent $0,5 \%$ de l’ensemble du stock de cartes. De plus, ce stock est suffisamment grand pour assimiler la distribution d’une carte à un tirage avec remise.

  1. Un client effectue des achats pour un montant de $158,02$€.
    Quelle est la probabilité, arrondie à $10^{-2}$, qu’il obtienne au moins une carte gagnante ?
    $\quad$
  2. À partir de quel montant d’achats, arrondi à $10$€, la probabilité d’obtenir au moins une carte gagnante est-elle supérieure à $50 \%$ ?
    $\quad$

Exercice 2     4 points

Lors d’une expérience en laboratoire, on lance un projectile dans un milieu fluide. L’objectif est de déterminer pour quel angle de tir $\theta$ par rapport à l’horizontale la hauteur du projectile ne dépasse pas $1,6$ mètre.
Comme le projectile ne se déplace pas dans l’air mais dans un fluide, le modèle parabolique usuel n’est pas adopté.
On modélise ici le projectile par un point qui se déplace, dans un plan vertical, sur la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0 ; 1[$ par : $$f (x) = bx +2\ln(1-x)$$
où $b$ est un paramètre réel supérieur ou égal à $2$, $x$ est l’abscisse du projectile, $f(x)$ son ordonnée, toutes les deux exprimées en mètres.

  1. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[0;1[$. On note $f’$ sa fonction dérivée.
    On admet que a fonction $f$ possède un maximum sur l’intervalle $[0;1[$ et que, pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0;1[$ : $$f'(x)=\dfrac{-bx+b-2}{1-x}$$
    Montrer que le maximum de la fonction $f$ est égal à $b-2+2\ln\left(\dfrac{2}{b}\right)$.
    $\quad$
  2. Déterminer pour quelles valeurs du paramètres $b$ la hauteur maximale du projectile ne dépasse pas $1,6$ mètre.
    $\quad$
  3. Dans cette question, on choisit $b=5,69$.
    L’angle de tir $\theta$ correspond à l’angle entre l’axe des abscisses et la tangente à la courbe de la fonction $f$ au point d’abscisse $0$ comme indiqué sur le schéma donné ci-dessus.
    Déterminer une valeur approchée au dixième de degré près de l’angle $\theta$.
    $\quad$

Exercice 3     5 points

On se place dans l’espace muni d’un repère orthonormé dont l’origine est le point $A$.
On considère les points $B(10 ; -8 ; 2)$, $C(-1 ; -8 ; 5)$ et $D(14 ; 4 ; 8)$.

  1. a. Déterminer un système d’équations paramétriques de chacune des droites $(AB)$ et $(CD)$.
    $\quad$
    b. Vérifier que les droites $(AB)$ et $(CD)$ ne sont pas coplanaires.
    $\quad$
  2. On considère le point $I$ de la droite $(AB)$ d’abscisse $5$ et le point $J$ de la droite $(CD)$ d’abscisse $4$.
    a. Déterminer les coordonnées des points $I$ et $J$ et en déduire la distance $IJ$.
    $\quad$
    b. Démontrer que la droite $(IJ)$ est perpendiculaire aux droites $(AB)$ et $(CD)$.
    La droite $(IJ)$ est appelée perpendiculaire commune aux droites $(AB)$ et $(CD)$.
    $\quad$
  3. Cette question a pour but de vérifier que la distance $IJ$ est la distance minimale entre les droites $(AB)$ et $(CD)$.
    Sur le schéma ci-dessous on a représenté les droites $(AB)$ et $(CD)$, les points $I$ et $J$, et la droite $\Delta$ parallèle à la droite $(CD)$ passant par $I$.
    On considère un point $M$ de la droite $(AB)$ distinct du point $I$.
    On considère un point $M’$ de la droite $(CD)$ distinct du point $J$.

    a. 
    Justifier que la parallèle à la droite $(IJ)$ passant par le point $M’$ coupe la droite $\Delta$ en un point que l’on notera $P$.
    $\quad$
    b. Démontrer que le triangle $MPM’$ est rectangle en $P$.
    $\quad$
    c. Justifier que $MM’>IJ$ et conclure.
    $\quad$

Exercice 4     5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Les deux graphiques donnés en annexe seront à compléter et à rendre avec la copie.

Un scooter radiocommandé se déplace en ligne droite à la vitesse constante de $1$ m.s$^-1$. Il est poursuivi par un chien qui se déplace à la même vitesse. On représente la situation vue de dessus dans un repère orthonormé du plan d’unité $1$ mètre. L’origine de ce repère est la position initiale du
chien. Le scooter est représenté par un point appartenant à la droite d’équation $x = 5$. Il se déplace sur cette droite dans le sens des ordonnées croissantes.
Dans la suite de l’exercice, on étudie deux modélisations différentes de la trajectoire du chien.

Partie A – Modélisation à l’aide d’une suite

La situation est représentée par le graphique n°1 donné en annexe.
À l’instant initial, le scooter est représenté par le point $S_0$. Le chien qui le poursuit est représenté par le point $M_0$. On considère qu’à chaque seconde, le chien s’oriente instantanément en direction du scooter et se déplace en ligne droite sur une distance de $1$ mètre.
Ainsi, à l’instant initial, le chien s’oriente en direction du point $S_0$, et une seconde plus tard il se trouve un mètre plus loin au point $M_1$. À cet instant, le scooter est au point $S_1$. Le chien s’oriente en direction de $S_1$ et se déplace en ligne droite en parcourant $1$ mètre, et ainsi de suite.
On modélise alors les trajectoires du chien et du scooter par deux suites de points notées $\left(M_n\right)$ et $\left(S_n\right)$.
Au bout de $n$ secondes, les coordonnées du point $S_n$ sont $(5 ; n)$. On note $\left(x_n ; y_n\right)$ les coordonnées du point $M_n$.

  1. Construire sur le graphique n°1 donné en annexe les points $M_2$ et $M_3$.

    $\quad$
  2. On note $d_n$ la distance entre le chien et le scooter $n$ secondes après le début de la poursuite.
    On a donc $d_n=M_nS_n$.
    Calculer $d_0$ et $d_1$.
    $\quad$
  3. Justifier que le point $M_2$ a pour coordonnées $\left(1+\dfrac{4}{\sqrt{17}};\dfrac{1}{\sqrt{17}}\right)$.
    $\quad$
  4. On admet que, pour tout entier naturel $n$ : $$\begin{cases} x_{n+1}=x_n+\dfrac{5-x_n}{d_n}\\y_{n+1}=y_n+\dfrac{n-y_n}{d_n} \end{cases}$$
    a. Le tableau ci-dessous, obtenu à l’aide d’un tableur, donne les coordonnées des points $M_n$ et $S_n$ ainsi que la distance $d_n$ en fonction de $n$. Quelles formules doit-on écrire dans les cellules $C5$ et $F5$ et recopier vers le bas pour remplir les colonnes $C$ et $F$ ?

    b. On admet que la suite $\left(d_n\right)$ est strictement décroissante.
    Justifier que cette suite est convergente et conjecturer sa limite à l’aide du tableau.
    $\quad$

Partie B – Modélisation à l’aide d’une fonction

On modéliser maintenant la trajectoire du chien à l’aide de la courbe $\mathscr{T}$ de la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0;5[$ par $$f(x)=-2,5\ln(1-0,2x)-0,5x+0,05x^2$$
Cela signifie que le chier se déplace sur la courbe $\mathscr{T}$ de la fonction $f$.

  1. Lorsque le chien se trouve au point $M$ de coordonnées $\left(x ; f (x)\right)$ de la courbe $\mathscr{T}$ , où $x$ appartient à l’intervalle $[0 ; 5[$, le scooter se trouve au point $S$, d’ordonnée notée $y_S$. Ainsi le point $S$ a pour coordonnées $\left(5 ; y_S\right)$. La tangente à la courbe $\mathscr{T}$ au point $M$ passe par le point $S$. Cela traduit le fait que le chien s’oriente toujours en direction du scooter. On note $d(x)$ la distance $MS$ entre le chien et le scooter lorsque $M$ a pour abscisse $x$.
    a. Sur le graphique n°2 donné en annexe, construire, sans calcul, le point $S$ donnant la position du scooter lorsque le chien se trouve au point d’abscisse $3$ de la courbe $\mathscr{T}$ et lire les coordonnées du point $S$.
    $\quad$
    b. On note $f’$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0 ; 5[$ et on admet que, pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0 ; 5[$ : $$f'(x)=\dfrac{x(1-0,1x)}{5-x}$$
    Déterminer par le calcul une valeur approchée au centième de l’ordonnée du point $S$ lorsque le chien se trouve au point d’abscisse $3$ de la courbe $\mathscr{T}$.
    $\quad$
  2. On admet que $d(x)=0,1x^2-x+5$ pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0;5[$.
    Justifier qu’au cours du temps la distance $MS$ se rapproche d’une valeur limite que l’on déterminera.
    $\quad$

Exercice 4     5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Dans une région, on s’intéresse à la cohabitation de deux espèces animales : les campagnols et les renards, les renards étant les prédateurs des campagnols. Au 1$\ier$ juillet 2012, on estime qu’il y a dans cette région approximativement deux millions de campagnols et cent-vingt renards.
On note $u_n$ le nombre de campagnols et $v_n$ le nombre de renards au 1$\ier$ juillet de l’année 2012$+n$.

Partie A – Un modèle simple

On modélise l’évolution des populations par les relations suivantes :

$\begin{cases} u_{n+1}=1,1u_n-2~000v_n\\v_{n+1}=2\times 10^{-5}u_n+0,6v_n \end{cases}$ $\quad$ pour tout entier $n \pg 0$, avec $u_0=2~000~000$ et $v_0=120$.

  1. a. On considère la matrice colonne $U_n=\begin{pmatrix}U_n\\v_n\end{pmatrix}$ pour tout entier $n\pg 0$.
    Déterminer la matrice $A$ telle que $U_{n+1}=A \times U_n$ pour entier $n$ et donner la matrice $U_0$.
    $\quad$
    b. Calculer le nombre de campagnols et de renards estimés grâce à ce modèle au $1\ier$ juillet 2018.
    $\quad$
  2. Soit les matrices $P=\begin{pmatrix} 20~000&5~000\\1&1\end{pmatrix}$, $D=\begin{pmatrix}1&0\\0&0,7\end{pmatrix}$ et $P^{-1}=\dfrac{1}{15~000}\times \begin{pmatrix}1&-5~000\\-1&20~000\end{pmatrix}$.
    On admet que $P^{-1}$ est la matrice inverse de la matrice $P$ et que $A=P\times D\times P^{-1}$.
    a. Montrer que pour tout entier naturel $n$, $U_n=P\times D^n\times P^{-1}\times U_0$.
    $\quad$
    b. Donner sans justification l’expression de la matrice $D^n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
    c. On admet que, pour tout entier naturel $n$ :
    $$\begin{cases} u_n=\dfrac{2,8\times 10^7+2\times 10^6\times 0,7^n}{15} \\v_n=\dfrac{1~400+400\times 0,7^n}{15}\end{cases}$$
    Décrire l’évolution des deux populations.
    $\quad$

Partie B – Un modèle plus conforme à la réalité

Dans la réalité, on observe que si le nombre de renards a suffisamment baissé, alors le nombre de campagnols augmente à nouveau, ce qui n’est pas le cas avec le modèle précédent. On construit donc un autre modèle, plus précis, qui tient compte de ce type d’observations à l’aide des relations suivantes :

$\begin{cases} u_{n+1}=1,1u_n-0,001u_n\times v_n \\v_{n+1}=2\times 10^{-7}u_n\times v_n+0,6v_n \end{cases}$ $\quad$ pour tout entier $n \pg 0$, avec $u_0=2~000~000$ et $v_0=120$.

Le tableau ci-dessous présente ce nouveau modèle sur les $25$ premières années en donnant les effectifs des populations arrondis à l’unité :

  1. Quelles formules faut-il écrire dans les cellules $B4$ et $C4$ et recopier vers le bas pour remplir les colonnes $B$ et $C$ ?
    $\quad$
  2. Avec le deuxième modèle, à partir de quelle année observe-t-on le phénomène décrit (baisse des renards et hausse des campagnols) ?
    $\quad$

Partie C

Dans cette partie on utilise le modèle de la partie B.
Est-il possible de donner à $u_0$ et $v_0$ des valeurs afin que les deux populations restent stables d’une année sur l’autre, c’est-à-dire telles que pour tout entier naturel $n$ on ait $u_{n+1} = u_n$ et $v_{n+1} = v_n$ ?
(On parle alors d’état stable.)

$\quad$

 

Année 2017

Exercice 1    5 points

Dans tout l’exercice, les valeurs seront, si nécessaire, approchées au millième.
Les parties
 A et B sont indépendantes.

Partie A

Dans le cadre de son activité, une entreprise reçoit régulièrement des demandes de devis. Les montants de ces devis sont calculés par son secrétariat. Une étude statistique sur l’année écoulée conduit à modéliser le montant des devis par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d’espérance $\mu = 2~900$ euros et d’écart-type $\sigma = 1~250$ euros.

  1. Si on choisit au hasard une demande de devis reçue par l’entreprise, quelle est la probabilité que le montant du devis soit supérieur à $4~000$ euros ?
    $\quad$
  2. Afin d’améliorer la rentabilité de son activité, l’entrepreneur décide de ne pas donner suite à $10\%$ des demandes. Il écarte celles dont le montant de devis est le moins élevé. Quel doit être le montant minimum d’un devis demandé pour que celui-ci soit pris en compte ? Donner ce montant à l’euro près.
    $\quad$

Partie B

Ce même entrepreneur décide d’installer un logiciel anti-spam, Ce logiciel détecte les messages indésirables appelés spams (messages malveillants, publicités, etc.) et les déplace dans un fichier appelé “dossier spam”. Le fabricant affirme que $95\%$ des spams sont déplacés. De son côté, l’entrepreneur sait que $60\%$ des messages qu’il reçoit sont des spams. Après installation du logiciel, il constate que $58,6\%$ des messages sont déplacés dans le dossier spam.
Pour un message pris au hasard, on considère les événements suivants :

  • $D$ : “le message est déplacé” ;
  • $S$ : “le message est un spam”.
  1. Calculer $P(S \cap D)$.
    $\quad$
  2. On choisit au hasard un message qui n’est pas un spam. Montrer que la probabilité qu’il soit déplacé est égale à $0,04$.
    $\quad$
  3. On choisit au hasard un message non déplacé. Quelle est la probabilité que ce message soit un spam ?
    $\quad$
  4. Pour le logiciel choisi par l’entreprise, le fabricant estime que $2,7\%$ des messages déplacés vers le dossier spam sont des messages fiables. Afin de tester l’efficacité du logiciel, le secrétariat prend la peine de compter le nombre de messages fiables parmi les messages déplacés.
    Il trouve $13$ messages fiables parmi les $231$ messages déplacés pendant une semaine.
    Ces résultats remettent-ils en cause l’affirmation du fabricant?
    $\quad$

Exercice 2    5 points

Un fabricant doit réaliser un portail en bois plein sur mesure pour un particulier. L’ouverture du mur d’enceinte (non encore construit) ne peut excéder $4$ mètres de large. Le portail est constitué de deux vantaux de largeur $a$ telle que $0 < a \pp 2$.

Dans le modèle choisi, le portail fermé a la forme illustrée par la figure ci-dessous. Les côtés $[AD]$ et $[BC]$ sont perpendiculaires au seuil $[CD]$ du portail.
Entre les points $A$ et $B$, le haut des vantaux a la forme d’une portion de courbe.

Cette portion de courbe est une partie de la représentation graphique de la fonction $f$ définie sur $[-2;2]$ par: $$f(x) = – \dfrac{b}{8}\left(\e^{\frac{x}{b}} + \e^{-\frac{x}{b}}\right) + \dfrac{9}{4} \quad \text{ où } b > 0$$

Le repère est choisi de façon que les points $A$, $B$, $C$ et $D$ aient pour coordonnées respectives $(-a;f(-a))$, $(a;f(a))$, $(a;0)$ et $(-a;0)$ et on note $S$ le sommet de la courbe de $f$, comme illustré ci-dessous.

Partie A

  1. Montrer que, pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[-2;2]$, $f(-x) = f(x)$. Que peut-on en déduire pour la courbe représentative de la fonction $f$ ?
    $\quad$
  2. On appelle $f’$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Montrer que, pour tout réel $x$ de l’intervalle $[-2;2]$ : $$f'(x) = -\dfrac{1}{8}\left(\e^{\frac{x}{b}}-\e^{-\frac{x}{b}}\right)$$
    Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-2;2]$ et en déduire les coordonnées du point $S$ en fonction de $b$.
    $\quad$

Partie B

La hauteur du mur est de $1,5$ m. On souhaite que le point $S$ soit à $2$ m du sol. On cherche alors les valeurs de $a$ et $b$.

  1. Justifier que $b = 1$.
    $\quad$
  2. Montrer que l’équation $f(x) = 1,5$ admet une unique solution sur l’intervalle $[0;2]$ et en déduire une valeur approchée de $a$ au centième.
    $\quad$
  3. Dans cette question, on choisit $a = 1,8$ et $b = 1$. Le client décide d’automatiser son portail si la masse d’un vantail excède $60$ kg. La densité des planches de bois utilisées pour la fabrication des vantaux est égale à $20$ kg.m$^{-2}$. Que décide le client ?
    $\quad$

Partie C

On conserve les valeurs $a = 1,8$ et $b = 1$.
Pour découper les vantaux, le fabricant prédécoupe des planches. Il a le choix entre deux formes de planches prédécoupées : soit un rectangle $OCES$, soit un trapèze $OCHG$ comme dans les schémas ci-dessous. Dans la deuxième méthode, la droite $(GH)$ est la tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ au point $F$ d’abscisse $1$.

La forme 1 est la plus simple, mais visuellement la forme 2 semble plus économique.
Évaluer l’économie réalisée en termes de surface de bois en choisissant la forme 2 plutôt que la forme 1.

On rappelle la formule donnant l’aire d’un trapèze. En notant $b$ et $B$ respectivement les longueurs de la petite base et de la grande base du trapèze (côtés parallèles) et $h$ la hauteur du trapèze : $$Aire  = \dfrac{b+B}{2} \times h$$

$\quad$

Exercice 3    5 points

Le but de cet exercice est d’étudier les suites de termes positifs dont le premier terme $u_0$ est strictement supérieur à $1$ et possédant la propriété suivante : pour tout entier naturel $n > 0$, la somme des $n$ premiers termes consécutifs est égale au produit des $n$ premiers termes consécutifs. On admet qu’une telle suite existe et on la note $\left(u_n\right)$. Elle vérifie donc trois propriétés :

  • $u_0 > 1$,
  • pour tout $n \pg 0$, $u_n \pg 0$,
  • pour tout $n > 0$, $u_0 + u_1 + \ldots + u_{n-1} = u_0 \times u_1 \times \ldots \times u_{n-1}$.
  1. On choisit $u_0 = 3$. Déterminer $u_1$ et $u_2$.
    $\quad$
  2. Pour tout entier $n > 0$, on note $s_n = u_0 + u_1 + \ldots + u_{n-1} = u_0 \times u_1 \times \ldots \times u_{n-1}$.
    On a en particulier $s_1 = u_0$·
    a. Vérifier que pour tout entier $n > 0$, $s_{n+1} = s_n + u_n$ et $s_n > 1$.
    $\quad$
    b. En déduire que pour tout entier $n > 0$, $$u_n = \dfrac{s_n}{s_n -1}$$
    $\quad$
    c. Montrer que pour tout $n \pg 0$, $u_n > 1$.
    $\quad$
  3. À l’aide de l’algorithme ci-dessous, on veut calculer le terme $u_n$ pour une valeur de $n$ donnée.
    Entrée :
    $\quad$ Saisir n
    $\quad$ Saisir u
    Traitement :
    $\quad$ $s$ prend la valeur $u$
    $\quad$ Pour $i$ allant de $1$ à $n$ :
    $\qquad$ $u$ prend la valeur $\ldots$
    $\qquad$ $s$ prend la valeur $\ldots$
    $\quad$ Fin Pour
    Sortie :
    $\quad$ Afficher $u$
    $\quad$
    a. Recopier et compléter la partie traitement de l’algorithme ci-dessus.
    $\quad$
    b. Le tableau ci-dessous donne des valeurs arrondies au millième de $u_n$ pour différentes valeurs de l’entier $n$ :
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    n &0& 5& 10 &20 &30 &40\\
    \hline
    u_n& 3 & 1,140 & 1,079 & 1,043 & 1,030 & 1,023\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    Quelle conjecture peut-on faire sur la convergence de la suite $\left(u_n\right)$ ?
    $\quad$
  4. a. Justifier que pour tout entier $n > 0$, $s_n > n$.
    $\quad$
    b. En déduire la limite de la suite $\left(s_n\right)$ puis celle de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$

Exercice 4    5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Un particulier s’intéresse à l’ombre portée sur sa future véranda par le toit de sa maison quand le soleil est au zénith. Cette véranda est schématisée ci-dessous en perspective cavalière dans un repère orthonormé $\Oijk$. Le toit de la véranda est constitué de deux faces triangulaires $SEF$ et $SFG$.

  • Les plans $(SOA)$ et $(SOC)$ sont perpendiculaires.
  • Les plans $(SOC)$ et $(EAB)$ sont parallèles, de même que les plans $(SOA)$ et $(GCB)$.
  • Les arêtes $[UV]$ et $[EF]$ des toits sont parallèles.

Le point $K$ appartient au segment $[SE]$, le plan $(UVK)$ sépare la véranda en deux zones, l’une éclairée et l’autre ombragée. Le plan $(UVK)$ coupe la véranda selon la ligne polygonale $KMNP$ qui est la limite ombre-soleil.

 

  1. Sans calcul, justifier que :
    a. le segment $[KM]$ est parallèle au segment $[UV]$ ;
    $\quad$
    b. Le segment $[NP]$ est parallèle au segment $[UK]$.
    $\quad$
  2. Dans la suite de l’exercice, on se place dans le repère orthonormé $\Oijk$. Les coordonnées des différents points sont les suivantes : $A(4;0;0)$, $B(4;5;0)$, $C(0;5;0)$, $E(4;0;2, 5)$, $F(4;5;2,5)$, $G(0;5;2,5)$, $S(0;0;3,5)$, $U(0;0;6)$ et $V(0;8;6)$.
    On souhaite déterminer de façon exacte la section des faces visibles de la véranda par le plan $(UVK)$ qui sépare les zones ombragée et ensoleillée.
    a. Au moment le plus ensoleillé, le point $K$ a pour abscisse $1,2$. Vérifier que les coordonnées du point $K$ sont $(1,2;0;3,2)$.
    $\quad$
    b. Montrer que le vecteur $\vec{n}$ de coordonnées $(7;0;3)$ est un vecteur normal au plan $(UVK)$ et en déduire une équation cartésienne du plan $(UVK)$.
    $\quad$
    c. Déterminer les coordonnées du point $N$ intersection du plan $(UVK)$ avec la droite $(FG)$.
    $\quad$
    d. Expliquer comment construire la ligne polygonale sur le schéma de la véranda.
    $\quad$
  3. Afin de faciliter l’écoulement des eaux de pluie, l’angle du segment $[SG]$ avec l’horizontale doit être supérieur à $7$°. Cette condition est-elle remplie ?
    $\quad$

Exercice 4    5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

Une association gère des activités pour des enfants. Elle propose deux programmes d’activités, le programme A : cirque – éveil musical, et le programme B : théâtre – arts plastiques.
À sa création en 2014, l’association compte $150$ enfants qui suivent tous le programme A.
Pour chacune des années suivantes, le nombre d’enfants inscrits dans l’association reste égal à $150$.
On dispose également des informations suivantes :
Chaque enfant ne peut suivre qu’un seul programme: soit le programme A, soit le programme B.
D’une année à l’autre, $20\%$ des inscrits au programme A choisissent à nouveau le programme A, alors que $40\%$ choisissent le programme B. Les autres quittent l’association.
D’une année à l’autre, $60\%$ des inscrits au programme B choisissent à nouveau le programme B et les autres quittent l’association.
Les nouveaux inscrits, qui compensent les départs, suivent obligatoirement le programme A.

On modélise le nombre d’inscrits au programme A et le nombre d’inscrits au programme B durant l’année $2014 + n$ respectivement par deux suites $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$ et on note $U_n$ la matrice ligne $\begin{pmatrix}a_n& b_n\end{pmatrix}$. On a donc $U_0 = \begin{pmatrix}150& 0\end{pmatrix}$.

  1. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $U_{n + 1} = U_n M$ où $M = \begin{pmatrix} 0,6&0,4\\0,4&0,6\end{pmatrix}$.
    $\quad$
  2. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $U_n = \begin{pmatrix}75 + 75 \times 0,2^n &75-75 \times 0,2^n\end{pmatrix}$.
    $\quad$
  3. En déduire la répartition des effectifs à long terme entre les deux programmes.
    $\quad$

Partie B

L’association affecte à chaque enfant un numéro à $6$ chiffres $c_1c_2c_3c_4c_5k$. Les deux premiers chiffres représentent l’année de naissance de l’enfant les trois suivants sont attribués à l’enfant au moment de sa première inscription. Le dernier chiffre, appelé clé de contrôle, est calculé automatiquement de la façon suivante :

  • on effectue la somme $S = c_1 + c_3 + c_5 + a \times \left(c_2 + c_4\right)$ où $a$ est un entier compris entre $1$ et $9$ ;
  • on effectue la division euclidienne de $S$ par $10$, le reste obtenu est la clé $k$.

Lorsqu’un employé saisit le numéro à $6$ chiffres d’un enfant, on peut détecter une erreur de saisie lorsque le sixième chiffre n’est pas égal à la clé de contrôle calculée à partir des cinq premiers chiffres.

  1. Dans cette question seulement, on choisit $a = 3$.
    a. Le numéro $111383$ peut-il être celui d’un enfant inscrit à l’association ?
    $\quad$
    b. L’employé, confondant un frère et une sœur, échange leurs années de naissance : 2008 et 2011. Ainsi, le numéro $08c_3c_4c_5k$ est transformé en $11c_3c_4c_5k$. Cette erreur est-elle détectée grâce à la clé ?
    $\quad$
  2. On note $c_1c_2c_3c_4c_5k$ le numéro d’un enfant. On cherche les valeurs de l’entier $a$ pour lesquelles la clé détecte systématiquement la faute de frappe lorsque les chiffres $c_3$ et $c_4$ sont intervertis. On suppose donc que les chiffres $c_3$ et $c_4$ sont distincts.
    a. Montrer que la clé ne détecte pas l’erreur d’interversion des chiffres $c_3$ et $c_4$ si et seulement si $(a -1)\left(c_4 – c_3\right)$ est congru à $0$ modulo $10$.
    $\quad$
    b. Déterminer les entiers $n$ compris entre $0$ et $9$ pour lesquels il existe un entier $p$ compris entre $1$ et $9$ tel que $np \equiv 0 ~~(10)$.
    $\quad$
    c. En déduire les valeurs de l’entier $a$ qui permettent, grâce à la clé, de détecter systématiquement l’interversion des chiffres $c_3$ et $c_4$.
    $\quad$

Année 2016

Exercice 1    6 points

Une entreprise fabrique des billes en bois sphériques grâce à deux machines de production A et B. L’entreprise considère qu’une bille peut être vendue uniquement lorsque son diamètre est compris entre $0,9$ cm et $1,1$ cm.

Les parties A, B et C sont indépendantes.

Partie A

Une étude du fonctionnement des machines a permis d’établir les résultats suivants :

  • $96\%$ de la production journalière est vendable.
  • La machine A fournit $60\%$ de la production journalière.
  • La proportion de billes vendables parmi la production de la machine A est $98\%$.

On choisit une bille au hasard dans la production d’un jour donné. On définit les événements suivants :

$A$ : “la bille a été fabriquée par la machine A”;
$B$ : “la bille a été fabriquée par la machine B”;
$V$ : “la bille est vendable”.

  1. Déterminer la probabilité que la bille choisie soit vendable et provienne de la machine A.
    $\quad$
  2. Justifier que $P(B \cap V) = 0,372$ et en déduire la probabilité que la bille choisie soit vendable sachant qu’elle provient de la machine B.
    $\quad$
  3. Un technicien affirme que $70\%$ des billes non vendables proviennent de la machine B.
    A-t-il raison ?
    $\quad$

Partie B

Dans cette partie, on s’intéresse au diamètre, exprimé en cm, des billes produites par les machines A et B.

  1. Une étude statistique conduit à modéliser le diamètre d’une bille prélevée au hasard dans la production de la machine B par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale d’espérance $\mu = 1$ et d’écart-type $\sigma = 0,055$.
    Vérifier que la probabilité qu’une bille produite par la machine B soit vendable est bien celle trouvée dans la partie A, au centième près.
    $\quad$
  2. De la même façon, le diamètre d’une bille prélevée au hasard dans la production de la machine A est modélisé à l’aide d’une variable aléatoire $Y$ qui suit une loi normale d’espérance $\mu = 1$ et d’écart-type $\sigma’$, $\sigma’$ étant un réel strictement positif.
    Sachant que $P(0,9 \pp Y \pp 1,1) = 0,98$, déterminer une valeur approchée au millième de $\sigma’$.
    $\quad$

Partie C

Les billes vendables passent ensuite dans une machine qui les teinte de manière aléatoire et équiprobable en blanc, noir, bleu, jaune ou rouge. Après avoir été mélangées, les billes sont conditionnées en sachets. La quantité produite est suffisamment importante pour que le remplissage d’un sachet puisse être assimilé à un tirage successif avec remise de billes dans la production journalière.
Une étude de consommation montre que les enfants sont particulièrement attirés par les billes de couleur noire.

  1. Dans cette question seulement, les sachets sont tous composés de $40$ billes.
    a. On choisit au hasard un sachet de billes. Déterminer la probabilité que le sachet choisi contienne exactement $10$ billes noires. On arrondira le résultat à $10^{-3}$.
    $\quad$
    b. Dans un sachet de $40$ billes, on a compté $12$ billes noires. Ce constat permet-t-il de remettre en cause le réglage de la machine qui teinte les billes ?
    $\quad$
  2. Si l’entreprise souhaite que la probabilité d’obtenir au moins une bille noire dans un sachet soit supérieure ou égale à $99\%$, quel nombre minimal de billes chaque sachet doit-il contenir pour atteindre cet objectif ?
    $\quad$

$\quad$

$\quad$

Exercice 2    6 points

Un particulier veut faire fabriquer un récupérateur d’eau.
Ce récupérateur d’eau est une cuve qui doit respecter le cahier des charges suivant :

  • elle doit être située à deux mètres de sa maison;
  • la profondeur maximale doit être de deux mètres;
  • elle doit mesurer cinq mètres de long;
  • elle doit épouser la pente naturelle du terrain.

Cette cuve est schématisée ci-dessous.

 

La partie incurvée est modélisée par la courbe $\mathscr{C}_f$ de la fonction $f$ sur l’intervalle $[2;2 \e]$ définie par: $$f(x) = x\ln \left(\dfrac{x}{2}\right)-x+2$$

La courbe $\mathscr{C}_f$ est représentée ci-dessous dans un repère orthonormé d’unité $\boldsymbol{1}$ m et constitue une vue de profil de la cuve.

On considère les points $A(2;2)$, $I(2;0)$ et $B(2\e;2)$.

 

Partie A

L’objectif de cette partie est d’évaluer le volume de la cuve.

  1. Justifier que les points $B$ et $I$ appartiennent à la courbe $\mathscr{C}_f$ et que l’axe des abscisses est tangent à la courbe $\mathscr{C}_f$ au point $I$.
    $\quad$
  2. On note $\mathscr{T}$ la tangente à la courbe $\mathscr{C}_f$ au point $B$, et $D$ le point d’intersection de la droite $\mathscr{T}$ avec l’axe des abscisses.
    a. Déterminer une équation de la droite$\mathscr{T}$ et en déduire les coordonnées de $D$.
    $\quad$
    b. On appelle $S$ l’aire du domaine délimité par la courbe $\mathscr{C}_f$, les droites d’équations $y = 2, x = 2$ et $x = 2\e$.
    $S$ peut être encadrée par l’aire du triangle $ABI$ et celle du trapèze $AIDB$.
    Quel encadrement du volume de la cuve peut-on en déduire ?
    $\quad$
  3. a. Montrer que, sur l’intervalle $[2;2e]$, la fonction $G$ définie par $$G(x) = \dfrac{x^2}{2}\ln \left( \dfrac{x}{2}\right)-\dfrac{x^2}{4}$$
    est une primitive de la fonction $g$ définie par $g(x) = x\ln \left(\dfrac{x}{2}\right)$.
    b. En déduire une primitive $F$ de la fonction $f$ sur l’intervalle $[2;2e]$.
    $\quad$
    c. Déterminer la valeur exacte de l’aire $S$ et en déduire une valeur approchée du volume $V$ de la cuve au m$^3$ près.
    $\quad$

Partie B

Pour tout réel $x$ compris entre $2$ et $2e$, on note $v(x)$ le volume d’eau, exprimé en m$^3$, se trouvant dans la cuve lorsque la hauteur d’eau dans la cuve est égale à $f(x)$.
On admet que, pour tout réel $x$ de l’intervalle $[2;2e]$,

$$v(x) = 5\left[\dfrac{x^2}{2}\ln \left( \dfrac{x}{2}\right)-2x\ln\left(\dfrac{x}{2}\right)-\dfrac{x^2}{4} + 2x – 3\right]$$

 

  1. Quel volume d’eau, au m$^3$ près, y a-t-il dans la cuve lorsque la hauteur d’eau dans la cuve est de un mètre ?
    $\quad$
  2. On rappelle que $V$ est le volume total de la cuve, $f$ est la fonction définie en début d’exercice et $v$ la fonction définie dans la partie B.
    On considère l’algorithme ci-dessous.
    Interpréter le résultat que cet algorithme permet d’afficher.
    Variables :
    $\quad$ $a$ est un réel
    $\quad$ $b$ est un réel
    Traitement :
    $\quad$ $a$ prend la valeur $2$
    $\quad$ $b$ prend la valeur $2\e$
    $\quad$ Tant que $v(b)-v(a) > 10^{-3}$ faire :
    $\qquad$ $c$ prend la valeur $(a+b)/2$
    $\qquad$ Si $v(c) < V/2$, alors
    $\qquad$ $\quad$ $a$ prend la valeur $c$
    $\qquad$ Sinon
    $\qquad$ $\quad$ $b$ prend la valeur $c$
    $\qquad$ Fin Si
    $\quad$ Fin Tant que
    Sortie :
    $\quad$ Afficher $f(c)$
    $\quad$

Exercice 3    3 points

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $\Ouv$.
On considère le point $A$ d’affixe $4$, le point $B$ d’affixe $4\ic$ et les points $C$ et $D$ tels que $ABCD$ est un carré de centre $O$.
Pour tout entier naturel non nul $n$, on appelle $M_n$ le point d’affixe $z_n = (1+\ic)^n$.

  1. Écrire le nombre $1+\ic$ sous forme exponentielle.
    $\quad$
  2. Montrer qu’il existe un entier naturel $n_0$, que l’on précisera, tel que, pour tout entier $n \pg n_0$, le point $M_n$ est à l’extérieur du carré $ABCD$.
    $\quad$

Exercice 4    5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

On considère la pyramide régulière $SABCD$ de sommet $S$ constituée de la base carrée $ABCD$ et de triangles équilatéraux représentée ci-dessous.

 

 

Le point $O$ est le centre de la base $ABCD$ avec $OB=1$.
On rappelle que le segment $[SO]$ est la hauteur de la pyramide et que toutes les arêtes ont la même longueur.

  1. Justifier que le repère $\left(O;\vect{OB},\vect{OC},\vect{OS}\right)$ est orthonormé.
    Dans la suite de l’exercice, on se place dans le repère $\left(O;\vect{OB},\vect{OC},\vect{OS}\right)$.
    $\quad$
  2. On définit le point $K$ par la relation $\vect{SK} = \dfrac{1}{3} \vect{SD}$ et on note $I$ le milieu du segment $[SO]$.
    a. Déterminer les coordonnées du point $K$.
    $\quad$
    b. En déduire que les points $B$, $I$ et $K$ sont alignés.
    $\quad$
    c. On note $L$ le point d’intersection de l’arête $[SA]$ avec le plan $(BCI)$.
    Justifier que les droites $(AD)$ et $(KL)$ sont parallèles.
    $\quad$
    d. Déterminer les coordonnées du point $L$.
    $\quad$
  3. On considère le vecteur $\vect{n}\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}$ dans le repère $\left(O; \vect{OB},\vect{OC},\vect{OS}\right)$.
    a. Montrer que $\vect{n}$ est un vecteur normal au plan $(BCI)$.
    $\quad$
    b. Montrer que les vecteurs $\vect{n}$, $\vect{AS}$ et $\vect{DS}$ sont coplanaires.
    $\quad$
    c. Quelle est la position relative des plans $(BCI)$ et $(SAD)$ ?
    $\quad$

Exercice 4    5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

On dispose de deux urnes U et V contenant chacune deux boules. Au départ, l’urne U contient deux boules blanches et l’urne V contient deux boules noires.
On effectue des tirages successifs dans ces urnes de la façon suivante : chaque tirage consiste à prendre au hasard, de manière simultanée, une boule dans chaque urne et à la mettre dans l’autre urne.
Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $X_n$ la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches que contient l’urne U à la fin du $n$-ième tirage.

  1. a. Traduire par une phrase la probabilité $P_{(X_n=1)} \left(X_{n+1}=1\right)$ puis déterminer les probabilités conditionnelles suivantes : $$P_{(X_n=0)} \left(X_{n+1}=1\right) , P_{(X_n=1)} \left(X_{n+1}=1\right) \text{ et } P_{(X_n=2)} \left(X_{n+1}=1\right)$$
    $\quad$
    b. Exprimer $P\left(X_{n+1}=1\right)$ en fonction de $P\left(X_n=0\right)$,  $P\left(X_n=1\right)$ et $P\left(X_n=2\right)$.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $R_n$ la matrice ligne définie par : $$R_n = \begin{pmatrix}P\left(X_n=0\right)& P\left(X_n=1\right)& P\left(X_n=2\right)\end{pmatrix}$$ et on considère $M$ la matrice $\begin{pmatrix}0&1&0\\\dfrac{1}{4}&\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{4}\\0&1&0\end{pmatrix}$.
    On note $R_0$ la matrice ligne $\begin{pmatrix}0 &0 &1\end{pmatrix}$.
    On admettra par la suite que, pour tout entier naturel $n$, $R_{n+1}=R_n \times M$.
    Déterminer $R_1$ et justifier que, pour tout entier naturel $n$, $R_n = R_0 \times M^n$.
    $\quad$
  3. On admet que $M=P \times D \times P^{- 1}$ avec : $$P = \dfrac{1}{6} \begin{pmatrix}2&3&1\\-1&0&1\\2&- 3&1\end{pmatrix}, ~~ D = \begin{pmatrix}- \dfrac{1}{2}&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}\text{ et } P^{-1} = \begin{pmatrix}1&-2&1\\1&0&-1\\1&4&1\end{pmatrix}$$
    Établir que, pour tout entier naturel $n$, $M^n=P \times D^n \times P^{-1}$.
    On admettra que, pour tout entier naturel $n$, $D^n=\begin{pmatrix} \left(-\dfrac{1}{2}\right)^n&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}$.
    $\quad$
  4. a. Calculer $D^n \times P^{-1}$ en fonction de $n$.
    $\quad$
    b. Sachant que $R_0P = \begin{pmatrix}\dfrac{1}{3}&-\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{6} \end{pmatrix}$, déterminer les coefficients de $R_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  5. Déterminer $\lim\limits_{n \to + \infty} P\left(X_n = 0\right)$,  $\lim\limits_{n \to + \infty} P\left(X_n = 1\right)$ et $\lim\limits_{n \to + \infty} P\left(X_n = 2\right)$.
    Interpréter ces résultats.
    $\quad$