Bac S – Pondichéry / Centres étrangers – Juin 2019

Pondichéry / Centres étrangers – Juin 2019

Bac S – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici .

Ex 1

Exercice 1     

  1. On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de clients pratiquant le surf.
    On effectue $80$ tirages aléatoires, indépendants, identiques. À chaque tirage il y a deux issues :
    – $S$ : “le client pratique le surf”;
    – $\conj{S}$ : “le client ne pratique pas le surf”.
    De plus $p(S)=0,25$
    La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=80$ et $p=0,25$.
    Par conséquent :
    $P(X=20)=\ds \binom{80}{20}\times 0,25^{20}\times 0,75^{60}\approx 0,103$
    Réponse d
    $\quad$
  2. On a $P(X\pg 200)=P(X\pg 150+50)=0,025$
    Donc $P(X\pp 150-50)=0,025$ soit $P(X\pp 100)=0,025$.
    Ainsi $P(X\pg 100)=1-0,025=0,975$.
    Réponse d
    $\quad$
  3. $E(T)=5$ par conséquent la variable aléatoire suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda=\dfrac{1}{5}=0,2$.
    Ainsi $P(T\pg 5)=\e^{-0,2\times 5}=\e^{-1}$
    Réponse c
    $\quad$
  4. L’amplitude d’un intervalle de confiance au niveau de confiance $0,95$ est :
    $a=f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\left(f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right)=\dfrac{2}{\sqrt{n}}$.
    On veut donc que $\dfrac{2}{\sqrt{n}}=0,04 \ssi \sqrt{n}=\dfrac{2}{0,04}$.
    Donc $\sqrt{n}=50$ et $n=2~500$.
    Réponse b
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2     

Partie A

  1. Si $u_1=0$ alors :
    $u_2=(1+1)\times u_1-1=2\times 0-1=-1$
    $u_3=(2+1)\times u_2-1=3\times (-1)-1=-4$
    $u_4=(3+1)\times u_3-1=4\times (-4)-1=-17$
    $\quad$
  2. On a l’algorithme suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{Pour $N$ allant de $1$ à $12$}\\
    \hspace{1cm} U\leftarrow (N+1)\times U-1\\
    \text{Fin Pour}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  3. Si $u_1=0,7$ alors il semblerait que la limite de cette suite soit $-\infty$.
    Si $u_1=0,8$ alors il semblerait que la limite de cette suite soit $+\infty$.
    $\quad$

Partie B

  1. La fonction $F$ est dérivable sur l’intervalle $[0;1]$ en tant que composée et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0;1]$ on a :
    $\begin{align*} F'(x)&=-1\times \e^{1-x}+(-1-x)\times (-1)\times \e^{1-x} \\
    &=(-1+1+x)\e^{1-x}\\
    &=x\e^{1-x}\\
    &=f(x)\end{align*}$
    La fonction $F$ est donc une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;1]$.
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} \ds I_1&=\int_0^1 x\e^{1-x}\dx \\
    &=F(1)-F(0)\\
    &=-2-(-1)\e^1 \\
    &=\e-2\end{align*}$
    $\quad$
  3. On a $I_1=\e-2$ et
    $I_2=(1+1)I_1-1=2(\e-2)-1=2\e-5$
    $\quad$
  4. a. On a $0\pp x\pp 1$ donc $-1\pp x \pp 0$ et $0\pp 1-x\pp 1$
    La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\R$.
    Ainsi $\e^0\pp \e^{1-x}\pp \e^1$
    Donc $1\pp \e^{1-x} \pp \e$
    En multipliant chaque terme de ces inégalités par $x^n$, réel positif, on obtient, pour tout entier naturel $n$ :
    $x^n\pp x^n\e^{1-x}x^\e$.
    Puisque $x\in [0;1]$ on a également $x^n\in [0;1]$ en particulier $x^n\pg 0$.
    Par conséquent $0\pp x^n\e^{1-x}\pp x^n\e$.
    $\quad$
    b. On a, pour tout entier naturel $n$ :
    $\begin{align*} \ds \int_0^1 x^n\e \dx &=\left[\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\e\right]_0^1 \\
    &=\dfrac{\e}{n+1}\end{align*}$
    c. On intègre sur l’intervalle $[0;1]$ l’inégalité obtenue à la question 4.a.
    Ainsi :
    $\ds \int_0^1 0\dx \pp \int_0^1 x^n\e^{1-x}\dx \pp \int_0^1 x^n\e \dx $
    Par conséquent $0\pp I_n\pp \dfrac{\e}{n+1}$.
    $\quad$
    d. On a $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{\e}{n+1}=0$ et $0\pp I_n\pp \dfrac{\e}{n+1}$.
    D’après le théorème des gendarmes, on a alors $\lim\limits_{n\to +\infty} I_n=0$.
    $\quad$

Partie C

  1. Initialisation : Si $n=1$ on a :
    $1!\left(u_1-\e+2\right)+I_1=u_1-\e+2+\e-2=u_1$.
    La propriété est vraie au rang $1$.
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ où $n$ est un entier naturel non nul. On a alors $u_n=n!\left(u_1-\e+2\right)+I_n$.
    Montrons qu’elle est vraie au rang suivant, c’est-à-dire $u_{n+1}=(n+1)!\left(u_1-\e+2\right)+I_{n+1}$.
    $\begin{align*} u_{n+1}&=(n+1)u_n-1 \\
    &=(n+1)n!\left(u_1-\e+2\right)+(n+1)I_n-1\\
    &=(n+1)!\left(u_1-\e+2\right)+I_{n+1}\end{align*}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a : $u_n=n!\left(u_1-\e+2\right)+I_n$.
    $\quad$
  2. a. Si $u_1=0,7$ alors $u_1-\e+2\approx -0,018<0$.
    Donc $\lim\limits_{n\to +\infty} n!\left(u_1-\e+2\right)=-\infty$. De plus $\lim\limits_{n\to +\infty} I_n=0$.
    Donc $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=-\infty$.
    $\quad$
    b. Si $u_1=0,8$ alors $u_1-\e+2\approx 0,082>0$.
    Donc $\lim\limits_{n\to +\infty} n!\left(u_1-\e+2\right)=+\infty$. De plus $\lim\limits_{n\to +\infty} I_n=0$.
    Donc $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=+\infty$.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3   

Partie A : étude d’exemples

  1. Un premier exemple
    a.
    $z^2=\ic^2=-1$
    $\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{\ic}=\dfrac{1}{\ic}\times \dfrac{\ic}{\ic}=\dfrac{\ic}{-1}=-\ic$.
    $\quad$
    b. Voir le graphique à la fin de l’exercice.
    $\quad$
    L’affixe du vecteur $\vect{AN_1}$ est $z_{\vect{AN_1}}=-2$ et celle du vecteur $\vect{AP_1}$ est $z_{\vect{AP_1}}=-\ic-1$.
    Ces deux vecteurs ne sont clairement pas colinéaires et les points $A, N_1$ et $P_1$ ne sont pas alignés.
    $\quad$
  2. Une équation
    On a l’équation $z^2+z+1=0$
    $\Delta=1^2-4\times 1\times 1=-3<0$.
    Les solutions de cette équation sont donc $z_1=\dfrac{-1-\ic \sqrt{3}}{2}$ et $z_2=\dfrac{-1+\ic \sqrt{3}}{2}$.
    $\quad$
  3. Un deuxième exemple
    a.
    On a $|z|=\left|-\dfrac{1}{2}+\ic\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right|=1$
    Donc $z=\e^{2\ic \pi/3} $
    $\quad$
    Ainsi $z^2=\e^{2\times 2\ic\pi/3}=\e^{4\ic\pi/3}$
    et $\dfrac{1}{z}=\e^{-2\ic \pi/3}$.
    $\quad$
    b. Voir le graphique à la fin de l’exercice.$\quad$
    $z^2=\e^{4\ic\pi/3}=\e^{4\ic\pi/3-2\pi}=\e^{-2\ic\pi/3}=\dfrac{1}{z}$.
    Les points $N_2$ et $P_2$ sont confondus.
    Par conséquent, les points $A, N_2$ et $P_2$ sont alignés.
    $\quad$

Partie B : étude du cas général

  1. Pour tout nombre $z$ différent de $0$ on a :
    $\begin{align*} \left(z^2+z+1\right)\left(1-\dfrac{1}{z}\right) &=z^2-z+z-1+1-\dfrac{1}{z} \\
    &=z^2-\dfrac{1}{z}\end{align*}$
    $\quad$
  2. On considère un nombre complexe $z$ non nul.
    L’affixe du vecteur $\vect{PN}$ est $z^2-\dfrac{1}{z}$.
    L’affixe du vecteur $\vect{PA}$ est $1-\dfrac{1}{z}$.
    Ces deux vecteurs sont colinéaires si, et seulement si, il existe un réel $k$ tel que $z^2-\dfrac{1}{z}=k\left(1-\dfrac{1}{z}\right)$.
    $\ssi \left(z^2+z+1\right)\left(1-\dfrac{1}{z}\right) =k\left(1-\dfrac{1}{z}\right)$
    $\ssi z^2+z+1=k$ ou $z=1$
    $\ssi z^2+z+1\in \R$ ou $z=1$
    $\ssi z^2+z+1\in \R$ (en effet si $z=1$ alors $z^2+z+1=3 \in \R)$.
    $\quad$
  3. Soient $x$ et $y$ des nombres réels et $z=x+\ic y$.
    $\begin{align*} z^2+z+1&=(x+\ic y)^2+x+\ic y+1 \\
    &=x^2+2\ic xy-y^2+x+\ic y+1\\
    &=x^2-y^2+x+1+\ic(2xy+y)\end{align*}$
    $\quad$
  4. a. $z^2+z+1$ est un réel si, et seulement si, $2xy+y=0$
    si, et seulement si, $y(2x+1)=0$
    si, et seulement si, $y=0$ ou $2x+1=0$
    si, et seulement si, $y=0$ ou $x=-\dfrac{1}{2}$
    Ainsi l’ensemble cherché la réunion des droites d’équation $y=0$ (l’axe des abscisses) et $x=-\dfrac{1}{2}$ privé du point $O$.
    b. On obtient la figure suivante :
    $\quad$

Ex 4 obl

Exercice 4     

  1. a. On a $P(2;0;0)$, $Q(0;0;2)$ et $\Omega(3;3;3)$
    $\quad$
    b. On a $\vect{PQ}(-2;0;2)$, $R(0;4;6)$ et $\vect{PR}(-2;4;6)$.
    Si le vecteur $\vec{n}$ est normal au plan $(PQR)$ on a alors :
    $\vec{n}.\vect{PQ}=0 \ssi -2+0+2c=0 \ssi c=1$ et
    $\vec{n}.\vect{PR}=0 \ssi -2+4b+6c=0 \ssi -2+4b+6=0\ssi b=-1$.
    $\quad$
    c. Le vecteur $\vec{n}(1;-1;1)$ est normal au plan $(PQR)$. Une équation cartésienne de ce plan est alors de la forme $x-y+z+d=0$
    Le point $P(2;0;0)$ appartient au plan.
    Donc $2-0+0+d=0 \ssi d=-2$
    Une équation cartésienne du plan $(PQR)$ est donc $x-y+z-2=0$.
    $\quad$
  2. a. Le vecteur $\vec{n}$ est un vecteur directeur de la droite $\Delta$.
    Une représentation paramétrique de cette droite est donc $$\begin{cases} x=t+3\\y=-t+3\\z=t+3\end{cases} \quad, t\in\R$$
    $\quad$
    b. Par définition, le plan $(PQR)$ et la droite $\Delta$ sont sécants. Montrons que le point $I\left(\dfrac{8}{3};\dfrac{10}{3};\dfrac{8}{3}\right)$ appartient à la fois à la droite et au plan.
    Si $t=-\dfrac{1}{3}$ alors : $\begin{cases} x=-\dfrac{1}{3}+3=\dfrac{8}{3}\\y=\dfrac{1}{3}+3=\dfrac{10}{3}\\z=-\dfrac{1}{3}+3=\dfrac{8}{3}\end{cases}$.
    Donc $I\in \Delta$
    $\quad$
    $\begin{align*} &\dfrac{8}{3}-\dfrac{10}{3}+\dfrac{8}{3}-2\\
    &=\dfrac{6}{3}-2 \\
    &=0\end{align*}$
    Le point $I$ appartient également au plan $(PQR)$.
    Par conséquent, le point d’intersection de la droite $\Delta$ et du plan $(PQR)$ est $I\left(\dfrac{8}{3};\dfrac{10}{3};\dfrac{8}{3}\right)$.
    $\quad$
    c. $\Omega I^2=\left(\dfrac{8}{3}-3\right)^2+\left(\dfrac{10}{3}-3\right)^2+\left(\dfrac{8}{3}-3\right)^2=\dfrac{1}{3}$
    Par conséquent $\Omega I=\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
    $\quad$
  3. a. $6-4+0-2=6-6=0$ donc $J\in (PQR)$.
    $\quad$
    b. On a$\vect{JK}(0;2;2)$ et $\vect{QR}(0;4;4)$
    Ainsi $\vect{QR}=2\vect{JK}$
    Ces deux vecteurs sont colinéaires. Les droites $(JK)$ et $(QR)$ sont donc parallèles.
    $\quad$
    c. On place le point $J(6;4;0)$ (on reporte la distance $HR$ à partir de $C$).
    On trace la parallèle à la droite $(QR)$ passant par $J$. Elle coupe la droite $(GC)$ en $K$.
    On trace la parallèle à la droite $(PJ)$ passant par $R$. Elle coupe la droite $(HG)$ en $S$.

    $\quad$

Ex 4 spé

Exercice 4     

Partie A

  1. On a $29+11=40$ et les nombres $29$ et $11$ sont deux nombres premiers.
    $\quad$
  2. On a $20\times 2+19\times 0=40$. Le couple $(2;0)$ est donc solution de l’équation $20x+19y=40$.
    On considère un couple solution $(x;y)$ de cette même équation.
    Ainsi $20\times 2+19\times 0=40$ et $20x+19y=40$.
    Par différence on a $20 (2-x)+19(-y)=0$.
    Soit $20(2-x)=19y$.
    $19$ et $20$ sont premiers entre eux.
    D’après le théorème de Gauss, il existe alors un entier relatif $k$ tel que $y=20k$ et $2-x=19k$
    Soit $x=2-19k$ et $y=20k$.
    $\quad$
    Réciproquement, on considère un entier relatif $k$.
    $20(2-19k)+19\times 20k=40-380k+380k=40$.
    Ainsi la solution de l’équation $(20x+19y=40$ est l’ensemble des couples $(2-19k;20k)$ pour $k\in \Z$.
    $\quad$
  3. a. $40=8\times 5=2^3\times 5$
    $\quad$
    b. Supposons que $x-y$ soit pair. Il existe alors un entier relatif $k$ tel que $x-y=2k$.
    $(x-y)+(x+y)=2x$ soit $2k+x+y=2x$.
    Par conséquent $x+y=2(x-k)$ et $x+y$ est pair.
    $\quad$
    Supposons maintenant que $x-y$ soit impair. Il existe alors un entier relatif $k$ tel que $x-y=2k+1$.
    $(x-y)+(x+y)=2x$ soit $2k+1+x+y=2x$.
    Par conséquent $x+y=2(x-k)-1$ et $x+y$ est impair.
    $\quad$
    $x+y$ et $x-y$ ont donc la même parité.
    $\quad$
    c. $x^2-y^2=40\ssi (x+y)(x-y)=2^3\times 5$.
    Puisque $5$ et $2^3$ n’ont pas la même parité, on ne peut pas avoir $x+y=5$ et $x-y=2^3$ ou $x+y=2^3$ et $x-y=5$.
    Pour la même raison, on ne peut pas avoir $x+y=1$ et $x-y=40$ ou $x+y=40$ et $x-y=1$.
    Les seules possibilités pour les couples $(x+y;x-y)$ sont donc $(4;10)$, $(10;4)$, $(2;20)$ et $(20;2)$.
    $\begin{cases}x+y=4\\x-y=10\end{cases} \ssi \begin{cases}x=7\\y=-3\end{cases}$
    $\begin{cases}x+y=10\\x-y=4\end{cases} \ssi \begin{cases} x=7\\y=3\end{cases}$
    $\begin{cases} x+y=2\\x-y=20\end{cases} \ssi \begin{cases} x=11\\y=-9\end{cases}$
    $\begin{cases} x+y=20\\x-y=2\end{cases}\ssi \begin{cases} x=11\\y=9\end{cases}$
    $x$ et $y$ devant être des entiers naturels, les solutions de l’équation $x^2-y^2=40$ sont donc les couples $(7;3)$ et $(11;9)$.
    $\quad$

Partie B : « sommes » de cubes

  1. a. $40=27+13=3^3+1^3+7^3+10^3-11^3$.
    $\quad$
    b. On a
    $\begin{align*} 48&=6\times 8 \\
    &=(8+1)^3+(8-1)^3-8^3-8^3\\
    &=9^3+7^3-8^3-8^3\end{align*}$
    $\quad$
    Or $40=48-8=9^3+7^3-8^3-8^3-2^3$
    $\quad$
  2. a. On a :
    $\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \begin{array}{l}\text{Reste de la division}\\\text{euclidienne de $n$ par $9$}\end{array}&0&1&2&3&4&5&6&7&8\\
    \hline
    \begin{array}{l}\text{Reste de la division}\\\text{euclidienne de $n^3$ par $9$}\end{array}&0&1&8&0&1&8&0&1&8\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    b. Or $8\equiv -1~[9]$ donc, pour tout entier naturel $n$ on a $n^3$ est congru modulo $9$ soit à $0$, soit à $1$ soit à $-1$.
    Par conséquent, la somme de $3$ cubes est congrue modulo $9$ appartient à $\left\{-3;-2;-1;0;1;2;3\right\}$.
    Mais $40\equiv 4~[9]$.
    Donc $40$ ne peut pas être décomposé en « somme »de $3$ cubes.
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1     4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (Q.C.M.) qui envisage quatre situations relatives à une station de ski.
Les quatre questions sont indépendantes.

Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse exacte. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte un point, une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.

  1. Une étude statistique a établi qu’un client sur quatre pratique le surf.
    Dans une télécabine accueillant $80$ clients de la station, la probabilité arrondie au millième qu’il y ait exactement 20 clients pratiquant le surf est :
    a. $0,560$
    b. $0,25$
    c. $1$
    d. $0,103$
    $\quad$
  2. L’épaisseur maximale d’une avalanche, exprimée en centimètre, peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale de moyenne $\mu = 150$ cm et d’écart-type inconnu.
    On sait que $P(X \pg  200)= 0,025$ . Quelle est la probabilité $P( X \pg 100)$ ?
    a. On ne peut pas répondre car il manquent des éléments dans l’énoncé.
    b. $0,025$
    c. $0,95$
    d. $0,975$
    $\quad$
  3. Dans un couloir neigeux, on modélise l’intervalle de temps séparant deux avalanches successives, appelé temps d’occurrence d’une avalanche, exprimé en année, par une variable aléatoire $T$ qui suit une loi exponentielle.
    On a établi qu’une avalanche se déclenche en moyenne tous les $5$ ans. Ainsi $E (T ) = 5$ .
    La probabilité $P (T \pg 5)$ est égale à :
    a. $0,5$
    b. $1-\e^{-1}$
    c. $\e^{-1}$
    d. $\e^{-25}$
    $\quad$
  4. L’office de tourisme souhaite effectuer un sondage pour estimer la proportion de clients satisfaits des prestations offertes dans la station de ski.
    Pour cela, il utilise un intervalle de confiance de longueur 0,04 avec un niveau de confiance de $0,95$.
    Le nombre de clients à interroger est :
    a. $50$
    b. $2~500$
    c. $25$
    d. $625$
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     6 points

Le but de cet exercice est d’étudier la suite $\left(u_n\right)$ définie par la donnée de son premier terme $u_1$ et, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1$, par la relation : $$u_{n+1}=(n+1)u_n-1$$

Partie A

  1. Vérifier, en détaillant le calcul, que si $u_1= 0$ alors $u_4=-17$.
    $\quad$
  2. Recopier et compléter l’algorithme ci-dessous pour qu’en saisissant préalablement dans $U$ une valeur de $u_1$, il calcule les termes de la suite $\left(u_n\right)$ de $u_2$ à $u_{13}$.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{Pour $N$ allant de $1$ à $12$}\\
    \hspace{1cm} U\leftarrow\\
    \text{Fin Pour}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  3. On a exécuté cet algorithme pour $u_1=0,7$ puis pour $u_1= 0,8$ .
    Voici les valeurs obtenues.
    $$\begin{array}{|r|r|}
    \hline
    \hspace{1cm}\text{Pour }u_1=0,7\hspace{1cm}&\hspace{1cm}\text{Pour }u_1=0,8\hspace{1cm}\\
    \hline
    0,4&0,6\\
    0,2&0,8\\
    -0,2&2,2\\
    -2&10\\
    -13&59\\
    -92&412\\
    -737&3295\\
    -6634&29654\\
    -66341&296539\\
    -729752&3261928\\
    -8757025&39143135\\
    -113841326&508860754\\
    \hline
    \end{array}$$
    Quelle semble être la limite de cette suite si $u_1= 0,7$ ? Et si $u_1 = 0,8$ ?
    $\quad$

Partie B

On considère la suite $\left(I_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$, supérieur ou égal à $1$, par : $$I_n=\int_0^1 x^n\e^{1-x}\dx$$
On rappelle que le nombre $e$ est la valeur de la fonction exponentielle en $1$, c’est-à-dire que $\e=\e^1$.

  1. Prouver que la fonction $F$ définie sur l’intervalle $[0;1]$ par $F(x)=(-1-x)\e^{1-x}$ est une primitive sur l’intervalle $[0;1]$ de la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0;1]$ par $f(x)=x\e^{1-x}$.
    $\quad$
  2. En déduire que $I_1=\e-2$.
    $\quad$
  3. On admet que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1$, on a : $$I_{n+1}=(n+1)I_n-1$$
    Utiliser cette formule pour calculer $I_2$.
    $\quad$
  4. a. Justifier que, pour tout nombre réel $x$ de l’intervalle $[0;1]$ et pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1$, on a : $0\pp x^n\e^{1-x}\pp x_n\e$.
    $\quad$
    b. Justifier que $\ds \int_0^1 x^n\e \dx=\dfrac{\e}{n+1}$.
    $\quad$
    c. En déduire que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1$, on a : $0\pp I_n\pp \dfrac{\e}{n+1}$.
    $\quad$
    d. Déterminer $\lim\limits_{n\to +\infty} I_n$.
    $\quad$

Partie C

Dans cette partie, on note $n!$ le nombre défini, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à $1$, par : $$\begin{array}{c}
1!=1\\
2!=2\times 1\\
\text{et si }n\pg 3 :
n!=n\times (n-1)\times \ldots \times 1\end{array}$$
On a ainsi par exemple $$\begin{array}{c}
3!=3\times 2\times 1=3\times (2\times 1)=3\times 2!\\
4!=4\times 3\times 2\times 1=4\times (3\times 2 \times 1)=4\times 3!\\
8!=8\times 7\times 6 \times 5\times 4\times 3\times 2\times 1=8\times (7\times 6 \times 5\times 4\times 3\times 2\times 1)=8\times 7!\end{array}$$
Et, plus généralement : $$(n+1)!=(n+1)\times n!$$

  1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1$, on a : $$u_n=n!\left(u_1-\e+2\right)+I_n$$
    On rappelle que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1$, on a : $$u_{n+1}=(n+1)u_n-1 \quad et \quad I_{n+1}=(n+1)I_n-1$$
    $\quad$
  2. On admet que : $\lim\limits_{n \to +\infty} n!=+\infty$.
    a. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$ lorsque $u_1 = 0,7$.
    $\quad$
    b. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$ lorsque $u_1 = 0,8$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     5 points

Le plan est muni d’un repère orthonormé direct $\Ouv$.
Le but de cet exercice est de déterminer les nombres complexes $z$ non nuls tels que les points d’affixes $1$, $z^2$ et $\dfrac{1}{z}$ soient alignés.
Sur le graphique fourni en annexe, le point $A$ a pour affixe $1$.

Partie A : étude d’exemples

  1. Un premier exemple
    Dans cette question, on pose : $z = \ic$ .
    a. Donner la forme algébrique des nombre complexes $z^2$ et $\dfrac{1}{z}$.
    $\quad$
    b. Placer les points $N_1$ d’affixe $z^2$ et $P_1$ d’affixe $\dfrac{1}{z}$ sur le graphique donné en annexe.
    On remarque que dans ce cas les points $A$, $N_1$
    et $P_1$ ne sont pas alignés.
    $\quad$
  2. Une équation
    Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation d’inconnue $z$ : $z^2+z+1=0$.
    $\quad$
  3. Un deuxième exemple
    Dans cette question, on pose : $z=-\dfrac{1}{2}+\ic\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
    a. Déterminer la forme exponentielle de $z$, puis celles des nombres complexes $z^2$ et $\dfrac{1}{z}$.
    $\quad$
    b. Placer les points $N_2$ d’affixe $z^2$ et $P_2$ d’affixe $\dfrac{1}{z}$ sur le graphique donné en annexe.
    On remarque que dans ce cas les points $A$, $N_2$ et $P_2$ sont alignés.
    $\quad$

Partie B : étude du cas général

Soit $z$ un nombre complexe non nul.
On note $N$ le point d’affixe $z^2$ et $P$ le point d’affixe $\dfrac{1}{z}$.

  1. Établir que, pour tout nombre complexe $z$ différent de $0$, on a : $$z^2-\dfrac{1}{z}=\left(z^2+z+1\right)\left(1-\dfrac{1}{z}\right)$$
    $\quad$
  2. On rappelle que si $\vect{U}$ est un vecteur non nul et $\vect{V}$ un vecteur, d’affixes respectives $z_{\vect{U}}$ et $z_{\vect{V}}$, les vecteurs $\vect{U}$ et $\vect{V}$ sont colinéaires si et seulement si il existe un nombre réel $k$ tel que $z_{\vect{V}}=kz_{\vect{U}}$ .
    En déduire que, pour $z \neq 0$ , les points $A$, $N$ et $P$ définis ci-dessus sont alignés si et seulement si $z^2+z+1$ est un réel.
    $\quad$
  3. On pose $z=x+\ic y$ , où $x$ et $y$ désignent des nombres réels.
    Justifier que : $z^2+z+1=x^2-y^2+x+1+\ic(2xy+y)$.
    $\quad$
  4. a. Déterminer l’ensemble des points $M$ d’affixe $z \neq 0$ tels que les points $A$, $N$ et $P$ soient alignés.
    $\quad$
    b. Tracer cet ensemble de points sur le graphique donné en annexe.
    $\quad$

Annexe

$\quad$

Exercice 4     5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Dans l’espace, on considère un cube $ABCDEFGH$ de centre $\Omega$ et d’arête de longueur $6$.

Les points $P$, $Q$ et $R$ sont définis par : $$\vect{AP}=\dfrac{1}{3}\vect{AB}, \vect{AQ}=\dfrac{1}{3}\vect{AE} \quad \text{et} \quad \vect{HR}=\dfrac{1}{3}\vect{HE}$$
Dans tout ce qui suit on utilise le repère orthonormé $\left(A;\vec{i},\vec{j},\vec{k}\right)$ avec : $$\vec{i}=\dfrac{1}{6}\vect{AB}, \vec{j}=\dfrac{1}{6}\vect{AD} \quad \text{et} \quad \vec{k}=\dfrac{1}{6}\vect{AE}$$
Dans ce repère, on a par exemple : $$B(6;0;0), F(6;0;6) \quad \text{et} \quad R(0;4;6)$$

  1. a. Donner, sans justifier, les coordonnées des points $P$, $Q$ et $\Omega$.
    $\quad$
    b. Déterminer les nombres réels $b$ et $c$ tels que $\vec{n}(1;b;c)$ soit un vecteur normal au plan $(PQR)$.
    $\quad$
    c. En déduire qu’une équation du plan $(PQR)$ est : $x-y+z-2=0$.
    $\quad$
  2. a. On note $\Delta$ la droite perpendiculaire au plan $(PQR)$ passant par le point $\Omega$, centre du cube.
    Donner une représentation paramétrique de la droite $\Delta$.
    $\quad$
    b. En déduire que la droite $\Delta$ coupe le plan $(PQR)$ au point $I\left(\dfrac{8}{3};\dfrac{10}{3};\dfrac{8}{3}\right)$.
    $\quad$
    c. Calculer la distance ${\Omega}I$.
    $\quad$
  3. On considère les points $J(6;4;0)$ et $K(6;6;2)$.
    a. Justifier que le point $J$ appartient au plan $(PQR)$.
    $\quad$
    b. Vérifier que les droites $(JK)$ et $(QR)$ sont parallèles.
    $\quad$
    c. Sur la figure donnée en annexe, tracer la section du cube par le plan $(PQR)$ .
    On laissera apparents les traits de construction, ou bien on expliquera la démarche.
    $\quad$

Annexe

$\quad$

Exercice 4     5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Le but de cet exercice est d’envisager plusieurs décompositions arithmétiques du nombre $40$.

Partie A :

Les questions 1., 2. et 3. sont indépendantes.

  1. Sans justifier, donner deux nombres premiers $x$ et $y$ tels que $40 = x+y$ .
    $\quad$
  2. On considère l’équation $20x+19y=40$ , où $x$ et $y$ désignent deux entiers relatifs.
    Résoudre cette équation.
    $\quad$
  3. Le nombre $40$ est une somme de deux carrés puisque $40=2^2+6^2$. On veut savoir si $40$ est aussi différence de deux carrés, autrement dit on s’intéresse à l’équation$x^2-y^2=40$ , où $x$ et $y$ désignent deux entiers naturels.
    a. Donner la décomposition de $40$ en produit de facteurs premiers.
    $\quad$
    b. Montrer que, si $x$ et $y$ désignent des entiers naturels, les nombres $x-y$ et $x+y$ ont la même parité.
    $\quad$
    c. Déterminer toutes les solutions de l’équation 2$x^2-y^2=40$ , où $x$ et $y$ désignent deux entiers naturels.
    $\quad$

Partie B : « sommes » de cubes

Les questions 1. et 2. sont indépendantes.

Certains nombres entiers peuvent se décomposer en somme ou différence de cubes d’entiers naturels.
Par exemple : $$13=4^3+7^3+7^3-9^3-2^3\\
13=-1^3-1^3-1^3+2^3+2^3\\
13=1^3+7^3+10^3-11^3$$
Dans tout ce qui suit, on écrira pour simplifier « somme de cubes » à la place de « somme ou différence de cubes d’entiers naturels ».
Les deux premiers exemples montrent que $13$ peut se décomposer en « somme » de $5$ cubes.
Le troisième exemple montre que $13$ peut se décomposer en « somme » de $4$ cubes.

  1. a. En utilisant l’égalité $13=1^3+7^3+10^3-11^3$ , donner une décomposition de $40$ en « somme » de $5$ cubes.
    $\quad$
    b. On admet que pour tout entier naturel n on a : $$6n=(n+1)^3+(n-1)^3-n^3-n^3$$
    En déduire une décomposition de $48$ en « somme » de $4$ cubes, puis une décomposition de $40$ en « somme » de $5$ cubes, différente de celle donnée en 1.a.
    $\quad$
  2. Le nombre $40$ est une « somme » de $4$ cubes : $40=4^3-2^3-2^3-2^3$.
    On veut savoir si $40$ peut être décomposé en « somme » de $3$ cubes.
    a. Recopier et compléter sans justifier :
    $\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \begin{array}{l}\text{Reste de la division}\\\text{euclidienne de $n$ par $9$}\end{array}&0&1&2&3&4&5&6&7&8\\
    \hline
    \begin{array}{l}\text{Reste de la division}\\\text{euclidienne de $n^3$ par $9$}\end{array}&&&&&1&&&&\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    b. On déduit du tableau précédent que, pour tout entier naturel $n$, l’entier naturel $n^3$ est congru modulo $9$ soit à $0$, soit à $1$, soit à $-1$.
    Prouver que $40$ ne peut pas être décomposé en « somme » de $3$ cubes.
    $\quad$

Bac S – Liban – Mai 2019

Liban – Mai 2019

Bac S – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici .

Ex 1

Exercice 1     

  1. a. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables.
    Pour tout réel $x\in ]0;1]$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=\left(1-\ln x\right)^2+x\times \dfrac{-2}{x}\times \left(1-\ln x\right) \\
    &=\left(1-\ln x\right)\left(\left(1-\ln x\right)-2\right)\\
    &=\left(1-\ln x\right)\left(-1-\ln x\right) \\
    &=-\left(1-\ln x\right)\left(1+\ln x\right)\\
    &=\left(\ln x-1\right)\left(1+\ln x\right)\end{align*}$
    $\quad$
    b. Pour tout réel $x\in ]0;1]$ on a $\ln x\pp 0$ donc $\ln x-1\pp 0$.
    $1+\ln x=0 \ssi \ln x=-1 \ssi x=\e^{-1}$
    et $1+\ln x>0 \ssi \ln x>-1 \ssi x>\e^{-1}$.
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    $\quad$
  2. a. Graphiquement l’aire du triangle $ON_{0,2}P_{0,2}$ est $\mathscr{A}(0,2)=\dfrac{0,52\times 2,6}{2}=0,676$ u.a.
    $\quad$
    b. Par définition de la fonction $\ln$ la fonction $g$ est dérivable sur l’intervalle $]0;1]$.
    Une équation de la tangente $d_{0,2}$ est de la forme :
    $y=g'(0,2)(x-0,2)+g(0,2)$
    Or $g'(x)=\dfrac{1}{x}$ donc $g'(0,2)=5$.
    Une équation de cette tangente est donc :
    $y=5(x-0,2)+\ln(0,2)$ soit $y=5x+\ln(0,2)-1$.
    $\quad$
    c. Ainsi le point$P_{0,2}$ a pour coordonnées $\left(0;\ln(0,2)-1\right)$.
    et $5x+\ln(0,2)-1=0\ssi x=\dfrac{1-\ln(0,2)}{5}$
    Le point $N_{0,2}$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{1-\ln(0,2)}{5};0\right)$.
    L’aire du triangle $ON_{0,2}P_{0,2}$ est donc :
    $\begin{align*} \mathscr{A}(0,2)&=\dfrac{\left|\dfrac{1-\ln(0,2)}{5}\times \left(\ln(0,2)-1\right)\right|}{2}\\
    &=\dfrac{\left(1-\ln(0,2)\right)^2}{10}\end{align*}$
    $\quad$
  3. On a ainsi $\mathscr{A}(a)=\dfrac{f(a)}{2}$.
    D’après le tableau de variation de la fonction $f$, l’aire est donc maximale pour $a=\e^{-1}$ et elle vaut alors $2\e^{-1}$.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. a. On a :
    $\begin{align*} z_{A’}&=-\dfrac{1}{-1+\ic}\\
    &=-\dfrac{-1-\ic}{(-1)^2+1^2}\\
    &=\dfrac{1+\ic}{2}\end{align*}$
    $\quad$
    b. On a :
    $\begin{align*} z_{B’}&=-\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}\e^{\ic \pi/3}} \\
    &=-2\e^{-\ic \pi/3}\\
    &=2\e^{\ic \pi} \e^{-\ic \pi/3} \\
    &=2\e^{2\ic \pi/3}\end{align*}$
    $\quad$
    c.

    $\quad$
  2. a. On a :
    $\begin{align*} z’&=-\dfrac{1}{r\e^{\ic \theta}} \\
    &=-\dfrac{1}{r}\e^{\ic \theta}\\
    &=\e^{\ic \pi}\times \dfrac{1}{r}\e^{\ic \theta}\\
    &=\dfrac{1}{r}\e^{\ic(\pi-\theta)}\end{align*}$
    $\quad$
    b. Si un point $M$ appartient au disque de centre $O$ et de rayon $1$ sans appartenir au cercle de centre $O$ et de rayon $1$ alors $r<1$.
    Donc $\left|z’\right|=\dfrac{1}{r}>1$
    Ainsi le point $M’$ est à l’extérieur de ce disque.
    L’affirmation est donc vraie.
    $\quad$
  3. a. Une équation cartésienne du cercle $\Gamma$ est :
    $\begin{align*} &\left(x-\left(-\dfrac{1}{2}\right)\right)^2+y^2=\dfrac{1}{2^2}\\
    \ssi & x^2+x+\dfrac{1}{4}+y^2=\dfrac{1}{4} \\
    \ssi &x^2+x+y^2=0\end{align*}$
    $\quad$
    b. Si $z=x+\ic y$ alors :
    $\begin{align*} z’&=-\dfrac{1}{x+\ic y} \\
    &=-\dfrac{x-\ic y}{x^2+y^2} \\
    &=\dfrac{-x+\ic y}{x^2+y^2}
    \end{align*}$
    $\quad$
    c. Soit $M$ un point du cercle $\Gamma$ distinct du point $O$ on a donc $x^2+x+y^2=0$ et $(x;y)\neq (0,0)$.
    Ainsi $x=-\left(x^2+y^2\right)$.
    Par conséquent
    $\begin{align*} z’&=\dfrac{x^2+y^2+\ic y}{x^2+y^2} \\
    &=1+\dfrac{y}{x^2+y^2}\ic\end{align*}$
    Le point $M’$ appartient donc bien à la droite d’équation $x=1$.
    Remarque : Une bonne question serait de se demander si tous les points de la droite sont atteints.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. La droite $d$ est orthogonale au plan $P$. Elle est donc orthogonale à toutes les droites de ce plan, en particulier à la droite $(AC)$.
    Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. Par conséquent la droite $(AC)$ est perpendiculaire à la droite $(AB)$.
    Par construction les droites $(AB)$ et $d$ sont sécantes
    La droite $(AC)$ est donc orthogonale à deux droites sécantes du plan $(BAD)$. Elle est donc orthogonale à ce plan.
    $\quad$
  2. La droite $d$ est orthogonale à toutes les droites du plan $(ABC)$. Par conséquent les triangles $DBA$ et $DBC$ sont rectangles en $B$.
    Par définition le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
    Et
    $\begin{align*} \vect{AD}.\vect{AC}&=\left(\vect{AB}+\vect{BD}\right).\vect{AC} \\
    &=\vect{AB}.\vect{AC}+\vect{BD}.\vect{AC} \\
    &=0+0 \\
    &=0
    \end{align*}$
    Par conséquent le triangle $ADC$ est rectangle en $D$.
    Remarque : Puisque la droite $(AC)$ est orthogonale au plan $(BAD)$, elle est en particulier orthogonale à la droite $(BD)$ et donc $\vect{BD}.\vect{AC}=0$.
    $\quad$
  3. a. Le triangle $ABD$ est rectangle en $B$ donc $AD>AB$ et $AD>BD$.
    Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ donc $BC>AB$ et $BC>AC$.
    Le triangle $BCD$ est rectangle en $B$ donc $DC>BD$ et $DC>BC$.
    Le triangle $ADC$ est rectangle en $A$ donc $DC>AD$ et $DC>AC$.
    Ainsi $DC>AD>AB$, $DC>AD>AB$ et $DC>AC$.
    L’arête $[CD]$ est bien la plus longue arête du bicoin $ABCD$.
    $\quad$
    b. $I$ est le milieu de l’hypoténuse $[DC]$ du triangle $ADC$ rectangle en $A$. C’est donc le centre du cercle circonscrit à ce triangle et $IA=IC=ID$.
    $I$ est le milieu de l’hypoténuse $[DC]$ du triangle $BCD$ rectangle en $B$. C’est donc le centre du cercle circonscrit à ce triangle et $IB=IC=ID$.
    Ainsi $IA=IB=IC=ID$ et le point $I$ est équidistant des $4$ sommets.
    $\quad$

Partie B

  1. Un vecteur directeur de la droite $d$ est $\vec{u}(2;-2;1)$.
    Ce vecteur est normal au plan $P$.
    Une équation cartésienne de ce plan est donc de la forme $2x-2y+z+d=0$.
    Le point $A$ appartient à ce plan.
    Ainsi $6-2-5+d=0 \ssi d=1$
    Une équation cartésienne de $P$ est donc $2x-2y+z+1=0$.
    $\quad$
  2. En prenant $t=2$ dans la représentation paramétrique de la droite $d$ on retrouve les coordonnées du point $B$.
    Et $2\times 5-2\times 5-1+1=10-10=0$.
    Le point $B$ appartient donc à la fois au plan $P$ et à la droite $d$.
    La droite $d$, par définition, n’est pas incluse dans le plan $P$.
    Ainsi le point $B(5;5;-1)$ est le point d’intersection du plan $P$ et de la droite $d$.
    $\quad$
  3. $2\times 7-2\times 3-9+1=14-6-9+1=0$.
    Le point $C$ appartient donc au plan $P$.
    On a de plus :
    $AB^2=(5-3)^2+(5-1)^2+(-1+5)^2=36$
    $AC^2=(7-3)^2+(3-1)^2+(-9+5)^2=36$
    $BC^2=(7-5)^2+(3-5)^2+(-9+1)^2=72$
    Ainsi $AB^2+AC^2=BC^2$
    D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
    Puisque $AB^2=AC^2$, le triangle $ABC$ est également isocèle en $A$.
    $\quad$
  4. a. les points $M$ et $B$ appartiennent à la droite $d$ orthogonale au plan $P$ et donc en particulier à la droite $(AB)$.
    Ainsi le triangle $ABM$ est rectangle en $B$.
    $\quad$
    b.
      Le point $M$ a pour coordonnées $(2t+1;-2t+9;t-3)$ avec $t\neq 2$.
    On a alors :
    $\begin{align*} BM^2&=(2t+1-5)^2+(-2t+9-5)^2+(t-3+1)^2\\
    &=(2t-4)^2+(-2t+4)^2+(t-2)^2\\
    &=4t^2-16t+16+4t^2-16t+16+t^2-4t+4\\
    &=9t^2-36t+36\end{align*}$
    Par conséquent, $AB$ et $BM$ étant des nombres positifs on a :
    $\begin{align*} AB=BM&\ssi AB^2=BM^2 \\
    &\ssi 9t^2-36t+36=36 \\
    &\ssi 9t^2-36t=0\\
    &\ssi t^2-4t=0\end{align*}$
    Le triangle $ABM$ est donc isocèle en $B$ si, et seulement si, le réel $t$ vérifie l’équation $t^2-4t=0$.
    $\quad$
    c. Or $t^2-4t=0\ssi t(t-4)=0\ssi t=0$ ou $t=4$.
    Si $t=0$ on obtient le point $M_1(1;9;-3)$
    Si $t=4$ on obtient le point $M_2(9;1;1)$
    D’après les deux questions précédentes, les triangles $ABM_1$ et $ABM_2$ sont rectangles et isocèles en $B$.
    $\quad$

Partie C

On appelle $I$ le milieu de l’arête $[CD]$.
Ainsi le point $I$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{7+9}{2};\dfrac{1+3}{2};\dfrac{1-9}{2}\right)$ soit $(8;2;-4)$.
D’après les parties A et B, le tétraèdre $ABCD$ est un bicoin et $I$ est équidistant des quatre sommets de ce bicoin.
$I$ est donc le centre de la sphère cherchée.

Le rayon de cette sphère est :
$\begin{align*} R&=IA \\
&=\sqrt{(3-8)^2+(1-2)^2+(-5+4)^2} \\
&=\sqrt{25+1+1}\\
&=\sqrt{27}\\
&=3\sqrt{3}\end{align*}$

Ex 4 obl

Exercice 4     

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

  1. a. On obtient l’arbre de pondéré suivant :

    $\quad$
    b. On veut calculer
    $\begin{align*} P\left(R_1\cap R_2\right)&=0,9\times 0,95 \\
    &=0,855\end{align*}$
    $\quad$
    c. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P\left(R_2\right)&=P\left(R_1\cap R_2\right)+P\left(\conj{R_1}\cap R_2\right)\\
    &=0,855+0,1\times 0,2\\
    &=0,875\end{align*}$
    $\quad$
    d. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_{R_2}\left(R_1\right)&=\dfrac{P\left(R_2\cap \conj{R_1}\right)}{P\left(R_2\right)} \\
    &=\dfrac{0,02}{0,875} \\
    &\approx 0,023\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. On obtient l’arbre pondéré suivant :
    $\quad$
    b. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} r_{n+1}&=P\left(R_{n+1}\right) \\
    &=P\left(R_n\cap R_{n+1}\right)+P\left(\conj{R_n}\cap R_{n+1}\right) \\
    &=0,95r_n+0,2\left(1-r_n\right) \\
    &=0,95r_n+0,2-0,2r_n \\
    &=0,75r_n+0,2\end{align*}$
    $\quad$
    c. Montrons ce résultat par récurrence sur $n$.
    Initialisation : Si $n=1$ alors $0,1\times 0,75^0+0,8=0,9=r_1$.
    La propriété est donc vraie au rang $1$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$. Donc $r_n=0,1\times 0,75^{n-1}+0,8$.
    Montrons qu’elle est encore vraie au rang suivant, c’est-à-dire que $r_{n+1}=0,1\times 0,75^n+0,8$.
    $\begin{align*} r_{n+1}&=0,75r_n+0,2\\
    &=0,75\left(0,1\times 0,75^n+0,8\right)+0,2\\
    &=0,1\times 0,75^n+0,6+0,2\\
    &=0,1\times 0,75^n+0,8\end{align*}$
    La propriété est vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ non nul on a $r_n=0,1\times 0,75^{n-1}+0,8$.
    $\quad$
    d. On a $-1<0,75<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,75^{n-1}=0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} r_n=0,8$.
    Sur le long terme, la probabilité que le client rapporte la bouteille du panier est $0,8$.
    $\quad$

Ex 4 spé

Exercice 4     

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

  1. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $a_{n+1}=0,5a_n+0,75b_n+2$ et $b_{n+1}=0,25b_n+3$.
    Ainsi :
    $\begin{pmatrix}a_{n+1}\\b_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,5&0,75\\0&0,25\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_n\\b_n\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$.
    Soit $U_{n+1}=MU_n+C$.
    $\quad$
  2. a. On a :
    $P^2=\begin{pmatrix} 1&3-3\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$.
    Ainsi $P$ est inversible et $P^{-1}=P$.
    $\quad$
    b. On a :
    $\begin{align*} PMP&=\begin{pmatrix}1&3\\0&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0,5&0,75\\0&0,25\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&3\\0&-1\end{pmatrix}\\
    &=\begin{pmatrix}0,5&1,5\\0&-0,25\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&3\\0&-1\end{pmatrix}\\
    &=\begin{pmatrix}0,5&0\\0&0,25\end{pmatrix}\end{align*}$
    La matrice $D=PMP$ est donc une matrice diagonale et $D=\begin{pmatrix}0,5&0\\0&0,25\end{pmatrix}$.
    $\quad$
    c. On a :
    $\begin{align*} PMP=D&\ssi PPMP=PD \quad (*)\\
    &\ssi MP=PD\\
    &\ssi MPP=PDP \quad (*)\\
    &\ssi M=PDP\end{align*}$
    $(*)$ Puisque $P^{-1}=P$.
    $\quad$
    d. On note $I_2$ la matrice identité de taille $2$.
    Initialisation : Si $n=0$ on a $PD^0P=PI_2P=P^2=I_2$.
    Et $M^0=I_2$
    Donc $M^0=PD^0P$.
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $M^n=PD^nP$.
    Montrons que la propriété est vraie au rang suivant, c’est-à-dire que $M^{n+1}=PD^{n+1}P$.
    $\begin{align*} M^{n+1}&=M^nM\\
    &=PD^nPPDP\\
    &=PD^nDP\\
    &=PD^{n+1}P\end{align*}$
    La propriété est donc vraie au rang $n$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Pour tout entier naturel $n$ on a $M^n=PD^nP$.
    $\quad$
  3. On a :
    $\begin{align*} MX+C&=\begin{pmatrix}8\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix} \\
    &=\begin{pmatrix}10\\4\end{pmatrix} \\
    &=X\end{align*}$
    $\quad$
  4. a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} V_{n+1}&=U_{n+1}-X \\
    &=MU_n+C-\left(MX+C\right)\\
    &=MU_n+C-MX-C\\
    &=MU_n-MX\\
    &=M\left(U_n-X\right)\\
    &=MV_n\end{align*}$
    $\quad$
    b. On a $V_0=U_0-X=\begin{pmatrix} -9\\-3\end{pmatrix}$
    Et pour tout entier naturel $n$ :
    $\begin{align*} U_n&=V_n+X\\
    &=M^nV_0+X \\
    &=\begin{pmatrix} -9\times 0,5^n-9\times 0,5^n+9\times 0,25^n\\-3\times 0,25^n\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 10\\4\end{pmatrix} \\
    &=\begin{pmatrix}-18\times 0,5^n+9\times 0,25^n+10\\-3\times 0,25^n+4\end{pmatrix}\end{align*}$
    $\quad$
  5. a. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $b_n=-3\times 0,25^n+4$.
    Donc
    $\begin{align*} b_{n+1}-b_n&=-3\times 0,25^{n+1}+4+3\times 0,25^n-4\\
    &=-3\times 0,25^n\times (0,25-1) \\
    &=2,25\times 0,25^n\\
    &>0\end{align*}$
    La suite $\left(b_n\right)$ est donc croissante.
    De plus $b_n-4=-3\times 0,25^n<0$.
    La suite $\left(b_n\right)$ est donc croissante et majorée par $4$; elle converge donc.
    Or $-1<0,25<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,25^n=0$.
    Donc $\lim\limits_{n\to +\infty} b_n=4$.
    $\quad$
    b. $-1<0,25<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,25^n=0$ et $-1<0,5<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,5^n=0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} a_n=10$.
    $\quad$
    c. D’après les deux résultats précédents, il faut donc prévoir un bassin A de $1~000$ litres et un bassin B de $400$ litres.
    $\quad$

 

Énoncé

Exercice 1     5 points

Le plan est muni d’un repère orthogonal $(O,I,J)$.

  1. On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]0 ; 1]$ par $f(x) = x(1-\ln x)^2$.
    a. Déterminer une expression de la fonction dérivée de $f$ et vérifier que pour tout $x \in ]0 ; 1]$, $f'(x)=(\ln x + 1)(ln x-1)$.
    $\quad$
    b. Étudier les variations de la fonction $f$ et dresser son tableau de variations sur l’intervalle $]0 ; 1]$ (on admettra que la limite de la fonction $f$ en $0$ est nulle).
    $\quad$

On note $\Gamma$ la courbe représentative de la fonction $g$ définie sur l’intervalle $]0 ; 1]$ par $g(x)=\ln x$. Soit $a$ un réel de l’intervalle $]0 ; 1]$. On note $M_a$ le point de la courbe $\Gamma$ d’abscisse $a$ et $d_a$ la tangente à la courbe $\Gamma$ au point $M_𝑎$. Cette droite $d_a$ coupe l’axe des abscisses au point $N_𝑎$, et l’axe des ordonnées au point $P_a$ .

On s’intéresse à l’aire du triangle $ON_aP_a$ quand le réel $a$ varie dans l’intervalle $]0 ; 1]$.

  1. Dans cette question, on étudie le cas particulier où $a=0,2$ et on donne la figure ci-dessous.
    a. Déterminer graphiquement une estimation de l’aire du triangle $ON_{0,2}P_{0,2}$ en unités d’aire.
    $\quad$
    b. Déterminer une équation de la tangente $d_{0,2}$ .
    $\quad$
    c. Calculer la valeur exacte de l’aire du triangle $ON_{0,2}P_{0,2}$.
    $\quad$

Dans ce qui suit, on admet que, pour tout réel $a$ de l’intervalle $]0 ; 1]$, l’aire du triangle $ON_aP_a$ en unités d’aire est donnée par $A(a)=\dfrac{1}{2}a(1-\ln a)^2$.

  1. À l’aide des questions précédentes, déterminer pour quelle valeur de $a$ l’aire $A(a)$ est maximale. Déterminer cette aire maximale.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     4 points

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct $\Ouv$ d’unité $2$ cm. On appelle $f$ la fonction qui, à tout point $M$, distinct du point $O$ et d’affixe un nombre complexe $z$, associe le point $M′$ d’affixe $z’$ tel que $z=\dfrac{-1}{z}$.

  1.  On considère les points $A$ et $B$ d’affixes respectives $z_A =-1+\ic$ et $z_B=\dfrac{1}{2}\e^{\ic \pi/3}$.
    a. Déterminer la forme algébrique de l’affixe du point $A’$ image du point $A$ par la fonction $f$.
    $\quad$
    b. Déterminer la forme exponentielle de l’affixe du point $B’$ image du point $B$ par la fonction $f$.
    $\quad$
    c. Sur la copie, placer les points $A$, $B$, $A’$ et $B’$ dans le repère orthonormé direct $\Ouv$. Pour les points $B$ et $B’$, on laissera les traits de construction apparents.
    $\quad$
  2. Soit $r$ un réel strictement positif et $\theta$ un réel. On considère le complexe $z$ défini par $z = r\e^{\ic \theta}$.
    a. Montrer que $z’ = \dfrac{1}{r}\e^{\ic (\pi-\theta)}$.
    $\quad$
    b. Est-il vrai que si un point $M$, distinct de $O$, appartient au disque de centre $O$ et de rayon $1$ sans appartenir au cercle de centre $O$ et de rayon $1$, alors son image $M′$ par la fonction $f$ est à l’extérieur de ce disque ? Justifier.
    $\quad$
  3. Soit le cercle $\Gamma$ de centre $K$ d’affixe $z_K=-\dfrac{1}{2}$ et de rayon $\dfrac{1}{2}$.
    a. Montrer qu’une équation cartésienne du cercle $\Gamma$ est $x^2+x+y^2=0$.
    $\quad$
    b. Soit $z=x+\ic y$ avec $x$ et $y$ non tous les deux nuls. Déterminer la forme algébrique de $z’$ en fonction de $x$ et $y$.
    $\quad$
    c. Soit $M$ un point, distinct de $O$, du cercle $\Gamma$. Montrer que l’image $M’$ du point $M$ par la
    fonction $f$ appartient à la droite d’équation $x=1$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     6 points

Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.

Partie A
Dans un plan $P$, on considère un triangle $ABC$ rectangle en $A$.
Soit $d$ la droite orthogonale au plan $P$ et passant par le point $B$. On considère un point $D$ de cette droite distinct du point $B$.

  1. Montrer que la droite $(AC)$ est orthogonale au plan $(BAD)$.
    $\quad$

On appelle bicoin un tétraèdre dont les quatre faces sont des triangles rectangles.

  1. Montrer que le tétraèdre $ABCD$ est un bicoin.
    $\quad$
  2. a. Justifier que l’arête $[CD]$ est la plus longue arête du bicoin $ABCD$.
    $\quad$
    b. On note $I$ le milieu de l’arête $[CD]$. Montrer que le point $I$ est équidistant des $4$ sommets du bicoin $ABCD$.
    $\quad$

Partie B

Dans un repère orthonormé de l’espace, on considère le point $A(3 ; 1 ; -5)$ et la droite $d$ de représentation paramétrique $\begin{cases} x=2t+1\\y=-2t+9\\z=t-3\end{cases}$ $\quad$ où $t\in\R$.

  1. Déterminer une équation cartésienne du plan $P$ orthogonal à la droite $d$ et passant par le point $A$.
    $\quad$
  2. Montrer que le point d’intersection du plan $P$ et de la droite $d$ est le point $B(5 ; 5 ; -1)$.
    $\quad$
  3. Justifier que le point $C (7 ; 3 ; -9)$ appartient au plan $P$ puis montrer que le triangle $ABC$ est un triangle rectangle isocèle en $A$.
    $\quad$
  4. Soit $t$ un réel différent de $2$ et $M$ le point de paramètre $t$ appartenant à la droite $d$.
    a. Justifier que le triangle $ABM$ est rectangle.
    $\quad$
    b. Montrer que le triangle $ABM$ est isocèle en $B$ si et seulement si le réel $t$ vérifie l’équation $t^2-4t=0$.
    $\quad$
    c. En déduire les coordonnées des points $M_1$ et $M_2$ de la droite $d$ tels que les triangles rectangles $ABM_1$ et $ABM_2$ soient isocèles en $B$.
    $\quad$

Partie C
On donne le point $D(9 ; 1 ; 1)$ qui est un des deux points solutions de la question 4.c. de la partie B.
Les quatre sommets du tétraèdre $ABCD$ sont situés sur une sphère. En utilisant les résultats des questions des parties A et B précédentes, déterminer les coordonnées du centre de cette sphère et calculer son rayon.
$\quad$

$\quad$

Exercice 4     5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Les deux parties 1 et 2 sont indépendantes.

Chaque semaine, un agriculteur propose en vente directe à chacun de ses clients un panier de produits frais qui contient une seule bouteille de jus de fruits. Dans un esprit de développement durable, il fait le choix de bouteilles en verre incassable et demande à ce que chaque semaine, le client rapporte sa bouteille vide.

On suppose que le nombre de clients de l’agriculteur reste constant.

Une étude statistique réalisée donne les résultats suivants :

  • à l’issue de la première semaine, la probabilité qu’un client rapporte la bouteille de son panier est $0,9$ ;
  • si le client a rapporté la bouteille de son panier une semaine, alors la probabilité qu’il ramène la bouteille du panier la semaine suivante est $0,95$ ;
  • si le client n’a pas rapporté la bouteille de son panier une semaine, alors la probabilité qu’il ramène la bouteille du panier la semaine suivante est $0,2$.
    $\quad$

On choisit au hasard un client parmi la clientèle de l’agriculteur. Pour tout entier naturel n non nul, on note $R_n$ l’événement « le client rapporte la bouteille de son panier de la $n$-ième semaine ».

  1. a. Modéliser la situation étudiée pour les deux premières semaines à l’aide d’un arbre pondéré qui fera intervenir les événements $R_1$ et $R_2$.
    $\quad$
    b. Déterminer la probabilité que le client rapporte ses bouteilles des paniers de la première et de la deuxième semaine.
    $\quad$
    c. Montrer que la probabilité que le client rapporte la bouteille du panier de la deuxième semaine est égale à $0,875$.
    $\quad$
    d. Sachant que le client a rapporté la bouteille de son panier de la deuxième semaine, quelle est la probabilité qu’il n’ait pas rapporté la bouteille de son panier de la première semaine ? On arrondira le résultat à $10^{-3}$.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $r_n$ la probabilité que le client rapporte la bouteille du panier de la $n$-ième semaine. On a alors $r_n=P\left(R_n\right)$.
    a. Recopier et compléter l’arbre pondéré (aucune justification n’est attendue) :
    $\quad$
    b. Justifier que pour tout entier naturel $n$ non nul, $r_{n+1}= 0,75 \times r_n + 0,2$.
    $\quad$
    c. Démontrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, $r_n= 0,1 \times 0,75^{n-1} + 0,8$.
    $\quad$
    d. Calculer la limite de la suite $\left(r_n\right)$. Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Dans un jardin public, un artiste doit installer une œuvre aquatique commandée par la mairie. Cette œuvre sera constituée de deux bassins A et B ainsi que d’une réserve filtrante R. Au départ, les deux bassins contiennent chacun $100$ litres d’eau. Un système de canalisations devra alors permettre de réaliser, toutes les heures et dans cet ordre, les transferts d’eau suivants :

  •  dans un premier temps, la moitié du bassin A se vide dans la réserve R ;
  • ensuite, les trois quarts du bassin B se vident dans le bassin A ;
  • enfin, on rajoute $200$ litres d’eau dans le bassin A et $300$ litres d’eau dans le bassin B.

Une étude de faisabilité du projet amène à étudier la contenance des deux bassins A et B qui est à prévoir pour éviter tout débordement.

On modélise les quantités d’eau des deux bassins A et B à l’aide de deux suites $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$ : plus
précisément pour tout entier naturel $n$, on note $a_n$ et $b_n$ les quantités d’eau en centaines de litres qui seront respectivement contenues dans les bassins A et B au bout de $n$ heures. On suppose pour cette étude mathématique que les bassins sont a priori suffisamment grands pour qu’il n’y ait pas de débordement.

Pour tout entier naturel $n$, on note $U_n$ la matrice colonne $U_n=\begin{pmatrix} a_n\\b_n\end{pmatrix}$. Ainsi $U_0=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$.

  1. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, $U_{n+1}=MU_n+C$ où $M=\begin{pmatrix}0,5&0,75\\0\\0,25\end{pmatrix}$ et $C=\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$.
    $\quad$
  2. On considère la matrice $P=\begin{pmatrix}1&3\\0&-1\end{pmatrix}$.
    a. Calculer $P^2$. En déduire que la matrice $P$ est inversible et préciser sa matrice inverse.
    $\quad$
    b. Montrer que $PMP$ est une matrice diagonale $D$ que l’on précisera.
    $\quad$
    c. Calculer $PDP$.
    $\quad$
    d. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $M_n=PD^nP$.
    $\quad$

On admet par la suite que pour tout entier naturel $n$, $M_n=\begin{pmatrix}0,5^n&3\times 0,5^n-3\times 0,25^n\\0&0,25^n\end{pmatrix}$.

  1. Montrer que la matrice $X =\begin{pmatrix}10\\4\end{pmatrix}$ vérifie $X=MX+C$.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$, on définit la matrice $V_n$ par $V_n = U_n-X$.
    a. Montrer que tout entier naturel $n$, $V_{n+1}= MV_n$.
    $\quad$
    b. On admet que, pour tout entier naturel non nul $n$, $V_n= M^nV_0$.
    Montrer que pour tout entier naturel non nul $n$, $U_n=\begin{pmatrix}-18\times 0,5^n+9\times 0,25^n+10\\-3\times 0,25^n+4\end{pmatrix}$.
    $\quad$
  3. a. Montrer que la suite $\left(b_n\right)$ est croissante et majorée. Déterminer sa limite.
    $\quad$
    b. Déterminer la limite de la suite $\left(a_n\right)$.
    $\quad$
    c. On admet que la suite $\left(a_n\right)$ est croissante. En déduire la contenance des deux bassins A et B qui est à prévoir pour la faisabilité du projet, c’est-à-dire pour éviter tout débordement.
    $\quad$

 

 

Bac S – Amérique du Nord – Mai 2019

Amérique du Nord – Mai 2019

Bac S – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici .

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. a. On veut calculer $P(1,35\pp X\pp 1,65)$.
    D’après la calculatrice on trouve $P(1,35\pp X\pp 1,65)\approx 0,968$.
    $\quad$
    b. La variable $Z=\dfrac{X_1-1,5}{\sigma_1}$ suit la loi normale centrée réduite.
    On a
    $\begin{align*} P\left(1,35\pp X_1\pp 1,65\right)=0,98 &\ssi P\left(-0,15 \pp X_1-1,5\pp 0,15\right)=0,98 \\
    &\ssi P\left(-\dfrac{0,15}{\sigma_1} \pp \dfrac{X_1-1,5}{\sigma_1}\pp \dfrac{0,15}{\sigma_1}\right)=0,98 \\
    &\ssi P\left(-\dfrac{0,15}{\sigma_1} \pp Z\pp \dfrac{0,15}{\sigma_1}\right)=0,98 \\
    &\ssi 2P\left(Z\pp \dfrac{0,15}{\sigma_1}\right)-1=0,98\quad\text{(propriété du cours)}\\
    &\ssi 2P\left(Z\pp \dfrac{0,15}{\sigma_1}\right)=1,98 \\
    &\ssi P\left(Z\pp \dfrac{0,15}{\sigma_1}\right)=0,99\end{align*}$
    À l’aide de la touche Inverse loi normale de la calculatrice, on trouve $\dfrac{0,15}{\sigma_1} \approx 2,326$ et donc $\sigma_1 \approx 0,064$.
    $\quad$
  2. a. On a $n=250$ et $p=0,02$.
    Donc $n\pg 30$, $np=5\pg 5$ et $n(1-p)=245\pg 5$.
    Un intervalle de fluctuation asymptotique à $95\%$ de la fréquence des tubes non « conformes pour la longueur » est :
    $\begin{align*} I_{250}&=\left[0,02-1,96\sqrt{\dfrac{0,02\times 0,98}{250}};0,02+1,96\sqrt{\dfrac{0,02\times 0,98}{250}}\right] \\
    &\approx [0,002;0,038]\end{align*}$
    $\quad$
    b. La fréquence observée est $f=\dfrac{10}{250}=0,04\notin I_{250}$.
    Au risque d’erreur de $5\%$, il faut réviser la machine.
    $\quad$

Partie B

  1. On a $P\left(\conj{E}\cap L\right)=0,036$
    et $P\left(\conj{E}\cap L\right)=0,04P_{\conj{E}}(L)$.
    Par conséquent $P_{\conj{E}}(L)=\dfrac{0,036}{0,04}=0,9$.
    Donc $P_{\conj{E}}\left(\conj{L}\right)=1-0,9=0,1$.
    On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(L)&=P(E\cap L)+P\left(\conj{E}\cap L\right) \\
    &=0,96\times 0,95+0,036 \\
    &=0,948\end{align*}$
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

Affirmation 1 fausse

$\begin{align*} z-\ic=i(z+1)&\ssi z-\ic=\ic z+\ic \\
&\ssi z-\ic z=2\ic \\
&\ssi z(1-\ic)=2\ic \\
&\ssi z=\dfrac{2\ic}{1-\ic}\end{align*}$
Or $2\ic=2\e^{\ic \pi/2}$
et $|1-\ic|=\sqrt{2}$ donc $|1-\ic|=\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=\sqrt{2}\e^{-\ic \pi/4}$
Par conséquent :
$\begin{align*} z-\ic=i(z+1)&\ssi z=\dfrac{2\e^{\ic \pi/2}}{\sqrt{2}\e^{-\ic \pi/4}} \\
&\ssi =\sqrt{2}\e^{3\ic\pi/4}\end{align*}$
Or $\sqrt{2}\e^{3\ic\pi/4}\neq \sqrt{2}\e^{\ic\pi/4}$.

$\quad$

Affirmation 2 fausse

Pour tout réel $x\in \left]-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right[$ on a :
$\begin{align*} 2\cos x\e^{-\ic x}&=2\times \dfrac{\e^{\ic x}+\e^{-\ic x}}{2}\times \e^{-\ic x} \\
&=1+\e^{-2\ic x} \\
&=\conj{1+\e^{2\ic x}}  \end{align*}$

Or , sur l’intervalle $\left]-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right[$ on a $1+\e^{2\ic x} \neq \conj{1+\e^{2\ic x}} $ sauf si $x=0$ (seule valeur pour laquelle l’exponentielle complexe est un réel).

Remarque : La formule d’Euler $\cos x=\times \dfrac{\e^{\ic x}+\e^{-\ic x}}{2}$ n’est pas, en théorie, au programme. Voici une autre façon de traiter la question :
En testant plusieurs valeurs à la calculatrice, on se rend compte qu’il n’y a pas égalité. Prenons pas exemple : $x=\dfrac{\pi}{4}$.
D’une part $1+\e^{2\ic \pi/4}=1+\e^{\ic \pi/2}=1+\ic$;
D’autre part :
$\begin{align*} 2\cos x\e^{-\ic x}&=2\cos \dfrac{\pi}{4}\e^{-\ic \pi/4} \\
&=2\times \dfrac{\sqrt{2}}{2}\times \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\ic \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) \\
&=\sqrt{2}\times \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\ic \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) \\
&=1-\ic\end{align*}$
Or $1+\ic\neq 1-\ic$ et l’affirmation est fausse.

$\quad$

Affirmation 3 vraie

On appelle $A$ le point d’affixe $\ic$ et $B$ le point d’affixe $-1$.
Ainsi : $|z-\ic|=|z+1|\ssi AM=BM$
Le point $M$ appartient donc à la médiatrice du segment $[AB]$.
On appelle $D$ le point d’affixe $-1+\ic$.
Ainsi le quadrilatère $OBDA$ est un carré dont les diagonales sont $[OD]$ et $[AB]$.
Dans un carré, les diagonales sont perpendiculaires et une équation de la droite $(OD)$ est $y=-x$.
Par conséquent le point $M$ appartient à la droite d’équation $y=-x$.

$\quad$

Affirmation 4 fausse

Supposons que l’équation $z^5+z-\ic+1=0$ possède une solution réelle $z_0$.
On a alors ${z_0}^5+z_0+1=\ic$
Cela signifie que $\ic$ est un réel ce qui est absurde. La supposition faite est donc impossible.

$\quad$

 

 

Ex 3

Exercice 3

Partie A : établir une inégalité

  1. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[0;+\infty[$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x\in[0;+\infty[$ on a :
    $f'(x)=1-\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{x+1-1}{x+1}=\dfrac{x}{x+1}$
    Sur l’intervalle $[0;+\infty[$ on a $x\pg 0$ et $x+1>0$.
    Par conséquent $f(x)\pg 0$ et la fonction $f$ est strictement croissante sur cet intervalle.
    $\quad$
  2. De plus $f(0)=0-\ln(1)=0$.
    Pour tout réel $x\in [0;+\infty[$ on a, d’après la question précédente :  $0\pp f(0)\pp f(x)$
    Donc $0\pp x-\ln(x+1) \ssi \ln(x+1)\pp x$.
    $\quad$

Partie B : application à l’étude d’une suite

  1. On a $u_1=1-\ln(2)$
    et $u_2=1-\ln(2)-\ln\left(2-\ln(2)\right)\approx 0,039$.
    $\quad$
  2. a. Initialisation : Si $n=0$ alors $u_0=1\pg 0$.
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$, donc $u_n\pg 0$.
    Montrons que la propriété est encore vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $u_n-\ln\left(1+u_n\right) \pg 0$.
    On a $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$.
    D’après la question A.2. on sait que pour tout réel $x$ on a $f(x) \pg 0$.
    Puisque $u_n\pg 0$ on a donc $f\left(u_n\right) \pg 0$.
    La propriété est ainsi vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : la propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n\pg 0$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $u_{n+1}-u_n=-\ln\left(1+u_n\right)$
    D’après la question précédente on a $u_n\pg 0$ donc $1+u_n\pg 1$ et $\ln\left(1+u_n\right) \pg 0$.
    Ainsi $u_{n+1}-u_n\pp 0$
    et la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
    $\quad$
    La suite $\left(u_n\right)$ étant décroissante et $u_0=1$ on a donc, pour tout entier naturel $n$, $u_n\pp u_0$ soit $u_n\pp 1$.
    $\quad$
    c. La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et minorée par $0$; elle est donc convergente.
    $\quad$
  3. La limite $\ell$ est solution de l’équation :
    $\begin{align*} f(x)=x &\ssi x-\ln(1+x)=x \\
    &\ssi -\ln(1+x)=0 \\
    &\ssi 1+x=1 \\
    &\ssi x=0\end{align*}$
    Par conséquent $\ell =0$.
    $\quad$
  4. a. On peut écrire l’algorithme suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    U\leftarrow 1 \\
    N\leftarrow 0\\
    \text{Tant que }U\pg 10^{-p} \\
    \hspace{1cm} U\leftarrow U-\ln(1+U) \\
    \hspace{1cm} N\leftarrow N+1\\
    \text{Fin tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. On a $u_5\approx 3,96\times 10^{-14}$ et $u_6\approx 4,942\times 10^{-17}$.
    Puisque la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante, cela signifie que qu’à partir du rang $6$ on a $u_n\pp 10^{-15}$.
    $\quad$
    Remarque : Sur certaines calculatrices(Casio graph75/90, TI83PCE, HP Prime (sans CAS) en particulier, je ne peux pas tester les autres) la calculatrice reste “bloquée” sur environ $4,325\times 10^{-14}$ ou une autre valeur étrange. Pas de soucis avec la Numworks en revanche.
    $\quad$

 

Ex 4 obl

Exercice 4

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

  1. Les plans $(ABC)$ et $(KLM)$ sont parallèles.
    Les droites $(IN)$ et $(AE)$ sont parallèles et la droite $(AE)$ est perpendiculaire au plan $(ABC)$.
    La droite $(IN)$ est par conséquent perpendiculaire au plan $(KLM)$. Elle est donc orthogonale à toutes les droites de ce plan, en particulier à la droite $(ML)$.
    $\quad$
  2. a. On a $N(0,5;0,5;1)$ et $C(1;1;0)$
    Le vecteur $\vect{NC}$ a donc pour coordonnées $(0,5;0,5;-1)$.
    On a $M(0,5;0;0,5)$ et $L(0;0,5;0,5)$
    Le vecteur $\vect{ML}$ a donc pour coordonnées $(-0,5;0,5;0)$.
    $\quad$
    b. On a $\vect{NC}.\vect{ML}=-0,25+0,25+0=0$.
    Par conséquent les vecteurs $\vect{NC}$ et $\vect{ML}$ sont orthogonaux et les droites $(NC)$ et $(ML)$ sont orthogonales.
    $\quad$
    c. Le vecteur $\vect{ML}$ est donc aux vecteurs $\vect{IN}$ et $\vect{NC}$ qui sont deux vecteurs non colinéaires du plan $(NCI)$.
    Une équation cartésienne de ce plan est alors de la forme $-0,5x+0,5y+d=0$.
    Or $C(1;1;0)$ appartient à ce plan.
    Par conséquent $0+0+d=0\ssi d=0$.
    Une équation cartésienne du plan $(NCI)$ est donc $-0,5x+0,5y=0$.
    $\quad$
  3. a. On a :
    $N(0,5;0,5;1)$ donc $0,5-0,5+1=0+1=1\checkmark$
    $M(0,5;0;0,5)$ donc $0,5-0+0,5=1 \checkmark$
    $J(1;0,5;0,5)$ donc $1-0,5+0,5=1+0=1\checkmark$
    Les coordonnées de ces trois points vérifient l’équation $x-y+z=1$.
    Ainsi une équation cartésienne du plan $(NJM)$ est bien $x-y+z=1$.
    $\quad$
    b. Un vecteur normal au plan $(NJM)$ est donc $\vec{n}(1;-1;1)$.
    On a $D(0;1;0)$ et $F(1;0;1)$ donc $\vect{DF}(1;-1;1)$
    Ainsi $\vec{n}$ et $\vect{DF}$ sont colinéaires et la droite $(DF)$ est perpendiculaire au plan $(NIM)$.
    $\quad$
    c. On veut résoudre le système suivant :
    $\begin{cases} x-y+z=1\\-0,5x+0,5y=0 \end{cases} \ssi \begin{cases} x=y\\x-y+z=1\end{cases} \ssi \begin{cases} x=y\\z=1\end{cases}$
    L’intersection des deux plans $(NJM)$ et $(NCI)$ est donc la droite dont une représentation paramétrique est $\begin{cases} x=t\\y=t\\z=1\end{cases} \quad, t\in \R$.
    Cette droite passe donc par le point de coordonnées $(0;0;1)$ et a pour vecteur directeur le vecteur $\vec{u}(1;1;0)$.
    Le point $N$ appartient à ces deux plans et le point $E$ a pour coordonnées $(0;0;1)$.
    L’intersection des deux plans est donc la droite $(NE)$.
    $\quad$

Ex 4 spé

Exercice 4

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

  1. a. $T$ est remplacé par la matrice $\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}$
    Ainsi $\begin{pmatrix}x’\\y’\end{pmatrix}=M\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10\\24\end{pmatrix}$
    Or $10\equiv 0~[5]$ et $24\equiv 4~[5]$.
    Donc $\begin{pmatrix}r\\r’\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\4\end{pmatrix}$ ce qui représente la lettre $U$.
    $\quad$
    $E$ est remplacé par la matrice $\begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}$
    Ainsi $\begin{pmatrix}x’\\y’\end{pmatrix}=M\begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\12\end{pmatrix}$
    Or $4\equiv 4~[5]$ et $12\equiv 2~[5]$.
    Donc $\begin{pmatrix}r\\r’\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}$ ce qui représente la lettre $O$.
    $\quad$
    Le message $TE$ est donc codé par $UO$.
    $\quad$
    b. On a $PM=\begin{pmatrix} 6&10\\10&16\end{pmatrix}$
    Or $6\equiv 1~[5]$, $10\equiv 0~[5]$ et $16\equiv 1~[5]$.
    Donc $PM$ et $I$ sont congrues modulo $5$.
    $\quad$
    c. On note $A=\begin{pmatrix} a&b\\c&d\end{pmatrix}$ et $A’=\begin{pmatrix}a’&b’\\c’&d’\end{pmatrix}$
    Ainsi $AZ=\begin{pmatrix} ax+by\\cx+dy\end{pmatrix}$
    Mais :
    – si $a\equiv a’~[5]$  et $x\equiv x’~[5]$ alors $ax\equiv a’x’~[5]$
    – si $e \equiv e’~[5]$ et $f\equiv f’~[5]$ alors $e+f\equiv e’+f’~[5]$.
    Donc $ax+by\equiv a’x’+b’y’~[5]$ et $cx+dy\equiv c’x’+d’y’~[5]$.
    Par conséquent les matrices $AZ$ et $A’Z’$ sont congrues modulo $5$.
    $\quad$
    d. D’après la question précédentes, les matrices $PMX$ et $PY$ sont congrues modulo $5$.
    D’après la question 1.b. les matrices $PM$ et $I$ sont congrues modulo $5$.
    Par conséquent, les matrices $X$ et $PY$ sont congrues modulo $5$.
    $\quad$
    Ainsi si on a $MX=Y$ alors, pour décoder la lettre associée à la matrice $Y$  modulo 5 il suffit de trouver la lettre associée à la matrice $PY$ modulo $5$.
    $\quad$
    e. La lettre $D$ est associée à la matrice $Y=\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}$
    $PY=\begin{pmatrix} 9\\12\end{pmatrix}$
    qui est congrue modulo $5$ à la matrice $\begin{pmatrix} 4\\2\end{pmatrix}$.
    Ainsi la lettre $D$ est décodée en $O$.
    $\quad$
  2. a. On a $RS=\begin{pmatrix} 10&10\\20&20\end{pmatrix}$ qui est bien congru modulo $5$ à la matrice $\begin{pmatrix} 0&0\\0&0\end{pmatrix}$.
    $\quad$
    b. Si $TR$ et $I$ sont congrues modulo $5$ alors, d’après la procédure fournie, les matrices $TRS$ et $IS$ sont congrues modulo $5$.
    Cela signifie donc que $TRS$ et $S$ sont congrues modulo $5$.
    $\quad$
    c. On note $Q=\begin{pmatrix} 0&0\\0&0\end{pmatrix}$
    $RS$ est $Q$ sont congrues modulo $5$
    Donc $TRS$ et $TQ$ sont congrues modulo $5$.
    Or $TQ=\begin{pmatrix} 0&0\\0&0\end{pmatrix}=Q$.
    D’après la question précédentes cela signifie donc que $I$ et $\begin{pmatrix} 0&0\\0&0\end{pmatrix}$ sont congrues modulo $5$.
    Or $1$ et $0$ ne sont pas congrus modulo $5$.
    Ainsi la matrice $T$ n’existe pas et un message codé par la matrice $R$ ne peut être décodé.
    $\quad$

 

Énoncé

Exercice 1     5 points

Dans cet exercice et sauf mention contraire, les résultats seront arrondis à $10^{-3}$.

Une usine fabrique des tubes.

Partie A

Les questions 1 et 2 sont indépendantes.

On s’intéresse à deux types de tubes, appelés tubes de type 1 et tubes de type 2.

  1. Un tube de type 1 est accepté au contrôle si son épaisseur est comprise entre $1,35$ millimètres et $1,65$ millimètres.
    $\quad$
    a. On désigne par $X$ la variable aléatoire qui, à chaque tube de type 1 prélevé au hasard dans la production d’une journée, associe son épaisseur exprimée en millimètres. On suppose que la variable aléatoire $X$ suit la loi normale d’espérance $1,5$ et d’écart-type $0,07$.
    $\quad$
    On prélève au hasard un tube de type 1 dans la production de la journée. Calculer la probabilité que le tube soit accepté au contrôle.
    $\quad$
    b. L’entreprise désire améliorer la qualité de la production des tubes de type 1. Pour cela, on modifie le réglage des machines produisant ces tubes. On note $X_1$ la variable aléatoire qui, à chaque tube de type 1 prélevé dans la production issue de la machine modifiée, associe son épaisseur. On suppose que la variable aléatoire $X_1$
    suit une loi normale d’espérance $1,5$ et d’écart-type $\sigma_1$.
    $\quad$
    Un tube de type 1 est prélevé au hasard dans la production issue de la machine modifiée. Déterminer une valeur approchée à $10^{−3}$ près de $\sigma_1$ pour que la probabilité que ce tube soit accepté au contrôle soit égale à $0,98$. (On pourra utiliser la variable aléatoire $Z$ définie par $Z = \dfrac{X_1-1,5}{\sigma_1}$ qui suit la loi normale centrée réduite.)
    $\quad$
  2. Une machine produit des tubes de type 2. Un tube de type 2 est dit « conforme pour la longueur » lorsque celle-ci, en millimètres, appartient à l’intervalle $[298 ; 302]$. Le cahier des charges établit que, dans la production de tubes de type 2, une proportion de $2 \%$ de tubes non «conformes pour la longueur » est acceptable.
    $\quad$
    On souhaite décider si la machine de production doit être révisée. Pour cela, on prélève au hasard dans la production de tubes de type 2 un échantillon de $250$ tubes dans lequel 10 tubes se révèlent être non « conformes pour la longueur ».
    $\quad$
    a. Donner un intervalle de fluctuation asymptotique à $95 \%$ de la fréquence des tubes non « conformes pour la longueur » dans un échantillon de $250$ tubes.
    $\quad$
    b. Décide-t-on de réviser la machine ? Justifier la réponse.
    $\quad$

Partie B

Des erreurs de réglage dans la chaîne de production peuvent affecter l’épaisseur ou la longueur des tubes de type 2.
Une étude menée sur la production a permis de constater que :

  • $ 96 \%$ des tubes de type 2 ont une épaisseur conforme ;
  • parmi les tubes de type 2 qui ont une épaisseur conforme, $95 \%$ ont une longueur conforme ;
  • $3,6 \%$ des tubes de type 2 ont une épaisseur non conforme et une longueur conforme.

On choisit un tube de type 2 au hasard dans la production et on considère les événements :

  • $E$ : « l’épaisseur du tube est conforme » ;
  • $L$ : « la longueur du tube est conforme ».
    On modélise l’expérience aléatoire par un arbre pondéré :
  1. Recopier et compléter entièrement cet arbre.
    $\quad$
  2. Montrer que la probabilité de l’événement $L$ est égale à $0,948$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     4 points

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct $\Ouv$. Dans ce qui suit, $z$ désigne un nombre complexe.

Pour chacune des affirmations ci-dessous, indiquer sur la copie si elle est vraie ou si elle est fausse. Justifier. Toute réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

Affirmation 1 : L’équation $z-\ic = \ic (𝑧+1)$ a pour solution $z=\sqrt{2}\e^{\ic \pi/4}$.
$\quad$

Affirmation 2 : Pour tout réel $x\in\left]-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right[$, le nombre complexe $1+\e^{2\ic x}$ admet pour forme exponentielle $2\cos x \e^{-\ic x}$.
$\quad$

Affirmation 3 : Un point $M$ d’affixe $z$ tel que $|z-\ic|=|z+1|$ appartient à la droite d’équation $y=-x$.
$\quad$

Affirmation 4 :L’équation $z^5+z-\ic+1=0$ admet une solution réelle.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3     6 points

Partie A : établir une inégalité

Sur l’intervalle $[0;+\infty[$, on définit la fonction $f$ par $f(x)=x-\ln(x+1)$.

  1. . Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0; +\infty$[.
    $\quad$
  2. En déduire que pour tout $x\in [0; +\infty[$, $ln(x+1) \pp 𝑥$.
    $\quad$

Partie B : application à l’étude d’une suite

On pose $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n-\ln\left(1+u_n\right)$. On admet que la suite de terme général $u_n$ est bien définie.

  1. Calculer une valeur approchée à $10^{-3}$ près de $u_2$.
    $\quad$
  2. a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n\pg 0$.
    $\quad$
    b. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante, et en déduire que pour tout entier naturel $n$, $u_n\pp 1$ .
    $\quad$
    c. Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
    $\quad$
  3. On note $\ell$ la limite de la suite $\left(u_n\right)$ et on admet que $\ell = f(\ell)$ où $f$ est la fonction définie dans la partie A. En déduire la valeur de $\ell$.
    $\quad$
  4. a. Écrire un algorithme qui, pour un entier naturel $p$ donné, permet de déterminer le plus petit rang $N$ à partir duquel tous les termes de la suite $\left(u_n\right)$ sont inférieurs à $10^{-p}$.
    $\quad$
    b. Déterminer le plus petit entier naturel $n$ à partir duquel tous les termes de la suite $\left(u_n\right)$ sont inférieurs à $10^{-15}$.
    Remarque : De nombreuses calculatrices ne permettent pas de répondre à cette question. Explications sur TI-Planet.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

On relie les centres de chaque face d’un cube $ABCDEFGH$ pour former un solide $IJKLMN$ comme sur la figure ci-dessous.

Plus précisément, les points $I$, $J$, $K$, $L$, $M$ et $N$ sont les centres respectifs des faces carrées $ABCD$, $BCGF$ , $CDHG$, $ADHE$, $ABFE$ et $EFGH$ (donc les milieux des diagonales de ces carrés).

  1. Sans utiliser de repère (et donc de coordonnées) dans le raisonnement mené, justifier que les droites $(IN)$ et $(ML)$ sont orthogonales.

Dans la suite, on considère le repère orthonormé $\left(A,\vect{AB},\vect{AD},\vect{AE}\right)$ dans lequel, par exemple, le point $N$ a pour
coordonnées $\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};1\right)$.

  1. a. Donner les coordonnées des vecteurs $\vect{NC}$ et $\vect{ML}$.
    $\quad$
    b. En déduire que les droites $(NC)$ et $(ML)$ sont orthogonales.
    $\quad$
    c. Déduire des questions précédentes une équation cartésienne du plan $(NCI)$ .
    $\quad$
  2. a. Montrer qu’une équation cartésienne du plan $(NJM)$ est : $x-y+z=1$.
    $\quad$
    b. . La droite $(DF)$ est-elle perpendiculaire au plan $(NJM)$ ? Justifier.
    $\quad$
    c. Montrer que l’intersection des plans $(NJM)$ et $(NCI)$ est une droite dont on donnera un point et un vecteur directeur. Nommer la droite ainsi obtenue en utilisant deux points de la figure.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Deux matrices colonnes $\begin{pmatrix} x\\y\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} x’\\y’\end{pmatrix}$ à coefficients entiers sont dites congrues modulo $5$ si et seulement si $\begin{cases} x\equiv x’~[5]\\y\equiv y’~[5]\end{cases}$.
Deux matrices carrées d’ordre $2$ $\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix}a’&c’\\b’\\d’\end{pmatrix}$ à coefficients entiers sont dites congrues modulo $5$ si et seulement si $\begin{cases} a\equiv a’~[5]\\b\equiv b’~[5]\\c\equiv c’~[5]\\d\equiv d’~[5] \end{cases}$.

Alice et Bob veulent s’échanger des messages en utilisant la procédure décrite ci-dessous.

  • Ils choisissent une matrice $M$ carrées d’ordre $2$, à coefficients entiers.
  • Leur message initial est écrit en lettres majuscules sans accent.
  • Chaque lettre de ce message est remplacée par une matrice colonne $\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ déduite du tableau ci-dessous : $x$ est le chiffre situé en haut de la colonne et $y$ est le chiffre situé à la gauche de la ligne ; par exemple, la lettre $T$ d’un message initial correspond à la matrice colonne $\begin{pmatrix} 4\\3\end{pmatrix}$.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    &~0~&~1~&~2~&~3~&~4~\\
    \hline
    ~0~&A&B&C&D&E\\
    \hline
    ~1~&F&G&H&I&J\\
    \hline
    ~2~&K&L&M&N&O\\
    \hline
    ~3~&P&Q&R&S&T\\
    \hline
    ~4~&U&V&X&Y&Z\\
    \hline
    \end{array}$
    Remarque : la lettre $W$ est remplacée par les deux lettres accolées $V$.
  • On calcule une nouvelle matrice$\begin{pmatrix} x’\\y’\end{pmatrix}$ en multipliant $\begin{pmatrix} x\\y\end{pmatrix}$ à gauche par la matrice $M$ : $\begin{pmatrix}x’\\y’\end{pmatrix}=M\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$.
  • On calcule $r’$ et $t’$ les restes respectifs des divisions euclidiennes de $x’$ et $y’$ par $5$.
  • On utilise le tableau ci-dessus pour obtenir la nouvelle lettre correspondant à la matrice colonne $\begin{pmatrix}r’\\t’\end{pmatrix}$.
  1. Bob et Alice choisissent la matrice $M=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$.
    a. Montrer que la lettre « $T$ » du message initial est codée par la lettre « $U$ » puis coder le message « $TE$ ».
    $\quad$
    b. On pose $P=\begin{pmatrix} 3&1\\4&2\end{pmatrix}$. Montrer que les matrices $PM$ et $I=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ sont congrues modulo $5$.
    $\quad$
    c. On considère $A$, $A’$ deux matrices d’ordre $2$ à coefficients entiers congrues modulo $5$ et $Z = \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$, $Z’=\begin{pmatrix}x’\\y’\end{pmatrix}$ deux matrices colonnes à coefficients entiers congrues modulo $5$. Montrer alors que les matrices $AZ$ et $A’Z’$ sont congrues modulo $5$.
    $\quad$
    Dans ce qui suit, on admet que si $A$, $A’$ sont deux matrices carrées d’ordre $2$ à coefficients entiers congrues modulo $5$ et si $B$, $B’$ sont deux matrices carrées d’ordre $2$ à coefficients entiers congrues modulo $5$ alors les matrices produits $AB$ et $A’B’$ sont congrues modulo $5$.
    $\quad$
    d. On note $X=\begin{pmatrix} x_1\\x_2\end{pmatrix}$ et $Y=\begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix}$ deux matrices colonnes à coefficients entiers. Déduire des deux questions précédentes que si $MX$ et $Y$ sont congrues modulo $5$ alors les matrices $X$ et $PY$ sont congrues modulo $5$ ; ce qui permet de « décoder » une lettre chiffrée par la procédure utilisée par Alice et Bob avec la matrice $M$ choisie.
    $\quad$
    e. Décoder alors la lettre « $D$ ».
    $\quad$
  2. On souhaite déterminer si la matrice $R=\begin{pmatrix}1&2\\4&3\end{pmatrix}$ peut être utilisée pour coder un message.
    a. On pose $S=\begin{pmatrix}2&2\\4&4\end{pmatrix}$. Vérifier que la matrice $RS$ et la matrice $\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$ sont congrues modulo $5$.
    $\quad$
    b. On admet qu’un message codé par la matrice $R$ peut être décodé s’il existe une matrice $T$ telle que les matrices $TR$ et $I$ soient congrues modulo $5$. Montrer que si c’est le cas alors les matrices $TRS$ et $S$ sont congrues modulo $5$ (par la procédure expliquée en question 1.d pour le codage avec la matrice $M$).
    $\quad$
    c. En déduire qu’un message codé par la matrice $R$ ne peut être décodé.
    $\quad$

 

Bac S – Nouvelle Calédonie – Mars 2019

Nouvelle Calédonie – mars 2019

Bac TS – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. a. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
    b. D’après l’arbre précédent on a $P(G\cap R)=0,2\times 0,01=0,002$.
    $\quad$
    c. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*}P(R)&=P(G\cap R)+P\left(\conj{G}\cap R\right)\\
    &=0,002+0,8\times 0,1\\
    &=0,082\end{align*}$
    $\quad$
    d. On veut calculer :
    $\begin{align*}P_R(G)&=\dfrac{P(R\cap G)}{P(R)}\\
    &=\dfrac{0,002}{0,082}\\
    &\approx 0,024\end{align*}$
    $\quad$
  2. On appelle $X$ la variable aléatoire représentant le coût d’entretien d’une voiture.
    La loi de probabilité de $X$ est donc :
    $P(X=0)=P(G)=0,2$
    $P(X=100)=P\left(\conj{G}\cap \conj{R}\right)=0,8\times 0,9=0,72$
    $P(X=500)=P\left(\conj{G}\cap R\right)=0,8\times 0,1=0,08$
    Ainsi $E(X)=0\times 0,2+100\times 0,72+500\times 0,08=112$.
    La société de location doit donc prévoir un budget annuel de $112\times 2~500=280~000$ euros pour l’entretien de l’ensemble des voitures.
    Le budget prévu est donc insuffisant.
    $\quad$

Partie B

  1. On a $n=600 \pg 30$ et $p=0,8$ donc $np=480\pg 5$ et $n(1-p)=120\pg 5$.
    Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de la fréquence de courte durée est :
    $\begin{align*}I_{600}&=\left[0,8-1,96\sqrt{\dfrac{0,8\times 0,2}{600}};0,8+1,96\sqrt{\dfrac{0,8\times 0,2}{600}}\right]\\
    &\approx [0,767;0,833]\end{align*}$
    $\quad$
  2. La fréquence observée est $f=\dfrac{550}{600}\approx 0,917 \notin I_{600}$.
    Au risque d’erreur de $5\%$ on peut remettre en cause l’affirmation de la directrice.
    $\quad$

Partie C

  1. D’après la calculatrice $P(500 \pp Y\pp 600)\approx 0,242$.
    La probabilité que le client louant la voiture pour une semaine roule entre $500$ km et $600$ km est environ $0,242$.
    $\quad$
  2. On cherche la valeur du réel $d$ tel que $P(Y\pp d)=0,15$.
    À l’aide de la touche Inverse loi normale de la calculatrice on trouve $d\approx 346$.
    Un client sera concerné par cette offre s’il parcourt moins de $346$ km.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A : Étude d’une fonction auxiliaire

  1. $\lim\limits_{x\to +\infty} x-4=+\infty$ et $\lim\limits_{X \to +\infty}\e^X=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^{x-4}=+\infty$.
    De plus $\lim\limits_{x\to +\infty} x+2=+\infty$
    Donc $\lim\limits_{x\to +\infty}g(x)=+\infty$
    $\quad$
  2. Pour tout réel $x$ on a
    $\begin{align*} g(x)&=(x-4+6)\e^{x-4}-2 \\
    &=(x-4)\e^{x-4}+6\e^{x-4}-2\end{align*}$
    Or $\lim\limits_{x\to -\infty}x-4=-\infty$ et $\lim\limits_{X\to -\infty}X\e^X=0$ donc $\lim\limits_{x\to -\infty}(x-4)\e^{x-4}=0$.
    $\lim\limits_{x\to -\infty}x-4=-\infty$ et $\lim\limits_{X\to -\infty}\e^X=0$ donc $\lim\limits_{x\to -\infty}\e^{x-4}=0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{x\to -\infty} g(x)=-2$.
    $\quad$
  3. Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} g'(x)&=\e^{x-4}+(x+2)\e^{x-4}\\
    &=(1+x+2)\e^{x-4}\\
    &=(x+3)\e^{x-4}\end{align*}$
    La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $g'(x)$ ne dépend donc que de celui de $x+3$.
    Or $x+3=0\ssi x=-3$ et $x+3>0\ssi x>-3$.
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    Avec $g(-3)\approx -2,000~91$.
    $\quad$
  4. Sur l’intervalle $]-\infty;-3]$ on a $g(x)\pp -2$.
    L’équation $g(x)=0$ ne possède donc pas de solution sur cet intervalle.
    Sur l’intervalle $[-3;+\infty[$ lafonction $g$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante.
    De plus $g(-3)<0$ et $\lim\limits_{x \to +\infty}g(x)=+\infty$.
    D’après la théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $g(x)=0$ ne possède qu’une solution sur l’intervalle $[-3;+\infty[$.
    Finalement l’équation $g(x)=0$ ne possède qu’une seule solution $\alpha$ sur $\R$.
    $\quad$
  5. D’après le tableau de variations de $g$ et la question précédente on a :
    – sur $]-\infty,\alpha[$, $g(x)<0$ ;
    – $g(\alpha)=0$ ;
    – sur  $]\alpha;+\infty[$, $g(x)>0$.
    $\quad$
  6. D’après la calculatrice on a $3,069 < \alpha < 3,070$.
    $\quad$

Partie B : Étude de la fonction $f$

  1. Pour tout réel $x$ :
    $\begin{align*} f(x)=0&\ssi x^2-x^2\e^{x-4}=0 \\
    &\ssi x^2\left(1-\e^{x-4}\right)=0\\
    &\ssi x=0 \text{ ou } \e^{x-4}=1 \\
    &\ssi x=0 \text{ ou } x-4=0\\
    &\ssi x=0 \text{ ou } x=4\end{align*}$
    Les solutions de l’équation $f(x)=0$ sont $0$ et $4$.
    $\quad$
  2. Pour tout réel $x$ on a $f'(x)=-xg(x)$.
    On obtient le tableau de variations suivant :

    La fonction $f$ est décroissante sur les intervalles $]-\infty;0]$ et $[\alpha;+\infty[$. Elle est croissante sur l’intervalle $[0;\alpha]$.
    $\quad$
  3. La fonction $f$ admet donc un maximum en $\alpha$ sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    Or :
    $\begin{align*} g(\alpha)=0&\ssi (\alpha+2)\e^{\alpha-4}-2=0\\
    &\ssi\e^{\alpha-4}=\dfrac{2}{\alpha+2}\end{align*}$
    Par conséquent :
    $\begin{align*} f(\alpha)&=\alpha^2-\alpha^2\e^{\alpha-4} \\
    &=\alpha^2\left(1-\e^{\alpha-4}\right) \\
    &=\alpha^2\left(1-\dfrac{2}{\alpha+2}\right) \\
    &=\alpha^2\times \dfrac{\alpha+2-2}{\alpha+2} \\
    &=\dfrac{\alpha^3}{\alpha+2}\end{align*}$
    $\quad$

Partie C : Aire d’un domaine

  1. Pour tout réel $x$ on a $f(x)-x^2=-x^2\e^{x-4}\pp 0$.
    La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    La courbe $\mathscr{C}_f$ est donc toujours située sous la parabole $\mathscr{P}$.
    $\quad$
  2. La fonction $h$ définie sur $\R$ par $h(x)=x^2-f(x)=x^2\e^{x-4}$ est donc continue, comme produit de fonctions continues sur $\R$, et positive.
    Ainsi l’aire du domaine $\mathscr{D}$ est:
    $\begin{align*}\mathscr{A}&=\int_0^4 h(x)\dx\\
    &=\left[\dfrac{x^3}{3}-F(x)\right]_0^4\\
    &=\left[\left(x^2-2x+2\right)\e^{x-4}\right]_0^4\\
    &=(16-8+2)\e^0-2\e^{-4}\\
    &=10-2\e^{-4} \text{u.a.}\end{align*}$
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. $z\left(z^2-8z+32\right)=0\ssi z=0$ ou $z^2-8z+32=0$.
    Or $z^2=0 \ssi z=0$
    Calculons le discriminant de $z^2-8z+32=0$
    $\Delta=(-8)^2-4\times 32=-64<0$
    Les solutions de l’équation $z^2-8z+32=0$ sont donc
    $z_1=\dfrac{8-\ic\sqrt{64}}{2}=4-4\ic$ et $z_2=\conj{z_1}=4+4\ic$.
    On appelle $A$ le point d’affixe $4+4\ic$ et $B$ celui d’affixe $4-4\ic$.
    Ces deux points sont donc symétriques par rapport à l’axe des abscisses. Or $O$ appartient à cet axe.
    Le triangle $OAB$ est donc isocèle en $O$.
    Le milieu de $[AB]$ est le point $C$ d’affixe $4$.
    Par conséquent $OC=4$ et $AB=\left|z_B-z_A\right|=\left|8\ic\right|=8$.
    L’aire du triangle $OAB$ est alors $\mathscr{A}=\dfrac{OC\times AB}{2}=\dfrac{4\times 8}{2}=16$ unités d’aire.
    Affirmation 1 vraie
    $\quad$
  2. On appelle $M$ le point d’affixe $z$, $A$ celui d’affixe $3$ et $B$ celui d’affixe $-3$.
    Ainsi $|z-3|=|z+3|\ssi AM=BM$
    $\mathscr{E}$ est donc la médiatrice du segment $[AB]$.
    Affirmation 2 fausse
    $\quad$
  3. L’affixe du vecteur $\vect{OM_n}$ est $z_1=z_n-z_0=\left(1-\ic\sqrt{3}\right)^n$.
    L’affixe du vecteur $\vect{OM_{n+3}}$ est
    $\begin{align*} z_2&=z_{n+3}-z_0\\
    &=\left(1-\ic\sqrt{3}\right)^{n+3}\\
    &=\left(1-\ic\sqrt{3}\right)^{3}\times \left(1-\ic\sqrt{3}\right)^{n}\\
    &=\left(1-\ic\sqrt{3}\right)^{3}z_n\end{align*}$
    Les vecteurs $\vect{OM_{n}}$ et $\vect{OM_{n+3}}$ sont donc colinéaires et les points $O$, $M_n$ et $M_{n+3}$ sont alignés.
    Affirmation 3 vraie
    $\quad$
  4. Pour tout réel $x\in ]-\pi;\pi]$ on a :
    $\sin(x)\left(2\cos^2(x)-1\right)=0$
    $\ssi \sin(x)=0$ ou $2\cos^2(x)-1=0$
    Or $\sin(x)=0 \ssi x=0$ ou $x=\pi$ sur $]-\pi;\pi]$.
    $\begin{align*} 2\cos^2(x)-1=0&\ssi \cos^2(x)=\dfrac{1}{2} \\
    &\ssi \cos(x)=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \text{ou } \cos(x)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\
    &\ssi x=\dfrac{\pi}{4} \text{ ou } x=-\dfrac{\pi}{4} \text{ ou }x=\dfrac{3\pi}{4} \text{ ou }x=-3\dfrac{\pi}{4}\end{align*}$
    L’équation $\sin(x)\left(2\cos^2(x)-1\right)=0$ possède donc $6$ solutions sur l’intervalle $]-\pi;\pi]$.
    Affirmation 4 fausse
    $\quad$

Ex 4 obl

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Exercice 4

Partie A : Conjectures

  1. On peut écrire $=B2/(B2+8)$.
    $\quad$
  2. Il semblerait que la suite $\left(u_n\right)$ soit décroissante.
    $\quad$
  3. Il semblerait la suite converge vers $0$.
    $\quad$
  4. On peut utiliser l’algorithme suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    U\leftarrow 1\\
    \text{Pour $k$ allant de $1$ à $30$}\\
    \hspace{1cm} U\leftarrow \dfrac{U}{U+8}\\
    \text{Fin Pour}\\
    \text{Afficher }U\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$

Partie B : Étude générale

  1. Initialisation : Si $n=0$ alors $u_0=1>0$
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$. On a donc $u_n>0$.
    On veut montrer que la propriété est vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $u_{n+1}>0$.
    Or $u_{n+1}=\dfrac{u_n}{u_n+8}$
    Il s’agit d’un quotient de nombres strictement positifs. Par conséquent $u_{n+1}>0$.
    La propriété est vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Donc, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n>0$.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=\dfrac{u_n}{u_n+8}-u_n\\
    &=\dfrac{u_n-{u_n}^2-8u_n}{u_n+8}\\
    &=\dfrac{-7u_n-{u_n}^2}{u_n+8}\end{align*}$
    Or, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n>0$. On a alors $-7u_n<0$ et $u_n+8>0$.
    De plus, pour tout entier naturel $n$ on a $-{u_n}^2<0$.
    Par conséquent $u_{n+1}-u_n$ est un quotient de nombres de signes contraires et $u_{n+1}-u_n<0$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
    $\quad$
  3. La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et minorée par $0$. Elle est donc convergente.
    $\quad$

Partie C : Recherche d’une expression du terme général

  1. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} v_{n+1}&=1+\dfrac{7}{u_{n+1}} \\
    &=1+\dfrac{7\left(u_n+8\right)}{u_n}\\
    &=1+7+\dfrac{56}{u_n}\\
    &=8+\dfrac{56}{u_n}\\
    &=8\left(1+\dfrac{7}{u_n}\right)\\
    &=8v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $8$ et de premier terme $v_0=1+\dfrac{7}{u_0}=8$.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $v_n=8\times 8^n=8^{n+1}$.
    De plus :
    $\begin{align*}v_n=1+\dfrac{7}{u_n}&\ssi v_n-1=\dfrac{7}{u_n}\\
    &\ssi u_n=\dfrac{7}{v_n-1}\\
    &\ssi u_n=\dfrac{7}{8^{n+1}-1}\end{align*}$
    $\quad$
  3. $8>1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty}8^{n+1}=+\infty$
    Ainsi, $\lim\limits_{n\to +\infty}u_n=0$.
    $\quad$
  4. On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que
    $\begin{align*} u_n<10^{-18} &\ssi \dfrac{7}{8^{n+1}-1}<10^{-18} \\
    &\ssi\dfrac{8^{n+1}-1}{7}>10^{18}\\
    &\ssi 8^{n+1}-1>7\times 10^{18}\\
    &\ssi 8^{n+1}>7\times 10^{18}+1\\
    &\ssi (n+1)\ln(8)>\ln\left(7\times 10^{18}+1\right)\\
    &\ssi n+1>\dfrac{\ln\left(7\times 10^{18}+1\right)}{\ln(8)}\\
    &\ssi n>\dfrac{\ln\left(7\times 10^{18}+1\right)}{\ln(8)}-1\end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln\left(7\times 10^{18}+1\right)}{\ln(8)}-1\approx 19,87$.
    par conséquent $n_0=20$.
    Le plus petit entier naturel $n_0$ tel que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $n_0$ on a $u_n<10^{-18}$ est $n_0=20$.
    $\quad$

 

 

Énoncé

Exercice 1     5 points

Les parties A, B et C peuvent être traitées indépendamment.

Partie A

Une société de location de voitures s’intéresse à l’état mécanique de son parc automobile afin d’anticiper les frais d’entretien.
On dispose des données suivantes :

  • $20 \%$ des voitures sont sous garantie;
  • pour $1 \%$ des voitures sous garantie, une réparation est nécessaire;
  • pour $10 \%$ de celles qui ne sont plus sous garantie, une réparation est nécessaire.

On choisit une voiture au hasard dans le parc et on considère les événements suivants :

  • $G$ : « la voiture est sous garantie »;
  • $R$ : « une réparation est nécessaire ».
  1. a. Traduire la situation par un arbre pondéré.
    $\quad$
    b. Calculer la probabilité que la voiture choisie soit sous garantie et nécessite une réparation.
    $\quad$
    c. Justifier que $P(R) = 0,082$.
    $\quad$
    d. Il s’avère que la voiture choisie nécessite une réparation.
    Quelle est la probabilité qu’elle soit sous garantie ? On arrondira le résultat à $10^{−3}$.
    $\quad$
  2. La société de location fait appel à un garage pour l’entretien de son parc automobile.
    L’entretien consiste en une révision à laquelle s’ajoutent d’éventuelles réparations. Les conditions commerciales du garage sont les suivantes :
    $\bullet$ si la voiture est encore sous garantie, l’entretien est gratuit;
    $\bullet$ si la voiture n’est plus sous garantie, l’entretien est facturé de la manière suivante : la révision coûte $100$ € et, si une réparation est nécessaire, il faut rajouter $400$ €.
    Sachant que son parc automobile compte $2~500$ voitures, est-il raisonnable pour la société de location de prévoir un budget annuel de $250~000$ euros pour l’entretien de l’ensemble des voitures ?
    On pourra introduire la variable aléatoire $X$ qui représente le coût d’entretien d’une voiture.
    $\quad$

Partie B

La société de location propose à ses clients deux contrats de location : un contrat de courte durée (inférieure à $2$ jours) et un contrat de longue durée (de $3$ à $7$ jours).
La directrice de cette société affirme que $80 \%$ des clients demandent un contrat de courte durée.
Sur les $600$ derniers contrats signés l’année précédente, $550$ étaient des contrats de courte durée.

  1. En supposant que l’affirmation de la directrice est correcte, déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95 \%$ de la fréquence des contrats de courte durée.
    $\quad$
  2. Que peut-on penser de l’affirmation de la directrice ?
    $\quad$

Partie C

On modélise le nombre de kilomètres parcourus par les clients louant une voiture pour une semaine par une variable aléatoire $Y$ suivant la loi normale d’espérance $\mu = 450$ et d’écart-type $\sigma = 100$.

  1. Quelle est la probabilité que le client louant la voiture pour une semaine roule entre $500$ km et $600$ km ? On arrondira le résultat à $10^{−3}$.
    $\quad$
  2. La société de location souhaite faire une offre promotionnelle aux $15 \%$ de ses clients parcourant le moins de kilomètres en une semaine.
    En-dessous de quel kilométrage hebdomadaire, arrondi à l’unité, un client sera-t-il concerné par cette offre ?
    $\quad$

Exercice 2     6 points

Partie A : Étude d’une fonction auxiliaire

Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $$ g(x)=(x+2)\e^{x-4}-2$$

  1. Déterminer la limite de $g$ en $\infty$.
    $\quad$
  2. Démontrer que la limite de $g$ en $-\infty$ vaut $-2$.
    $\quad$
  3. On admet que la fonction $g$ est dérivable sur $R$ et on note $g’$ sa dérivée.
    Calculer $g'(x)$ pour tout réel $x$ puis dresser le tableau de variations de $g$ .
    $\quad$
  4. Démontrer que l’équation $g (x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\R$.
    $\quad$
  5. En déduire le signe de la fonction $g$ sur $\R$.
    $\quad$
  6. À l’aide de la calculatrice, donner un encadrement d’amplitude $10^{−3}$ de $\alpha$.
    $\quad$

Partie B : Étude de la fonction $\boldsymbol{f}$

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $$f(x)=x^2-x^2\e^{x-4}$$

  1. Résoudre l’équation $f(x) = 0$ sur $\R$.
    $\quad$
  2. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $R$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.
    On admet par ailleurs que, pour tout réel $x$, $f'(x) = −xg(x)$ où la fonction $g$ est celle définie à la partie A.
    Étudier les variations de la fonction $f$ sur $R$.
    $\quad$
  3. Démontrer que le maximum de la fonction $f$ sur $[0 ; +\infty[$ est égal à $\dfrac{\alpha^3}{\alpha+2}$.
    $\quad$

Partie C : Aire d’un domaine

Dans un repère orthonormé $\Oij$, on note $\mathscr{D}$ le domaine compris entre la courbe représentative $\mathscr{C}_f$ de la fonction $f$, la parabole $\mathscr{P}$ d’équation $y=x^2$ et les droites d’équations $x=0$ et $x=4$.

  1. Déterminer la position relative des courbes $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{P}$.
    $\quad$
  2. . On admet qu’une primitive de la fonction $f$ sur $\R$ est définie par : $$F(x)=\dfrac{x^3}{3}-\left(x^2-2x+2\right)\e^{x-4}$$
    Calculer l’aire du domaine $\mathscr{D}$ en unité d’aire. On donnera la valeur exacte.
    $\quad$

Exercice 3     4 points

Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie.
Il est attribué 1 point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Une absence de réponse n’est pas pénalisée.
Pour les questions 1 à 3, on se place dans un plan muni du repère orthonormé direct $\Ouv$.

  1. Soit $(E)$ l’équation d’inconnue le nombre complexe $z$ $$z\left(z^2-8z+32\right)=0$$
    Affirmation 1 : Les points dont les affixes sont les solutions de l’équation $(E)$ sont les sommets d’un triangle d’aire égale à $16$ unités d’aire.
    $\quad$
  2. Soit $\mathscr{E}$ l’ensemble des points dont les affixes $z$ vérifient $$|z-3|=|z+3|$$
    Affirmation 2 : L’ensemble $\mathscr{E}$ est le cercle de centre $O$ et de rayon $3$.
    $\quad$
  3. On considère la suite de nombres complexes $\left(z_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $$z_n=\left(1-\ic\sqrt{3}\right)^2$$
    Pour tout entier naturel $n$, on note $M_n$ le point d’affixe $z_n$.
    Affirmation 3 : Pour tout entier naturel $n$, les points $M_n$, $O$ et $M_{n+3}$ sont alignés.
    $\quad$
  4. On considère l’équation d’inconnue le nombre réel $x$ $$\sin(x)\left(2\cos^2(x)-1\right)=0$$
    Affirmation 4 : Cette équation admet exactement quatre solutions sur l’intervalle $]-\pi;\pi]$ qui sont $-\dfrac{\pi}{4}$; $0$; $\dfrac{\pi}{4}$ et $\pi$.
    $\quad$

Exercice 4     5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

On considère la suite $\left(u_n\right)$ à valeurs réelles définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$, $$u_{n+1}=\dfrac{u_n}{u_n+8}$$

Partie A : Conjectures

Les premières valeurs de la suite $\left(un\right)$ ont été calculées à l’aide d’un tableur dont voici une capture d’écran :

  1. Quelle formule peut-on entrer dans la cellule $B3$ et copier vers le bas pour obtenir les valeurs des premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$?
    $\quad$
  2. Quelle conjecture peut-on faire sur les variations de la suite $\left(u_n\right)$?
    $\quad$
  3. Quelle conjecture peut-on faire sur la limite de la suite $\left(u_n\right)$?
    $\quad$
  4. Écrire un algorithme calculant $u_{30}$.
    $\quad$

Partie B : Étude générale

  1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $u_n > 0$.
    $\quad$
  2. Étudier les variations de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
  3. La suite $\left(u_n\right)$ est-elle convergente ? Justifier
    $\quad$

Partie C : Recherche d’une expression du terme général

On définit la suite $\left(v_n\right)$ en posant, pour tout entier naturel $n$, $$v_n=1+\dfrac{7}{u_n}$$

  1. Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $8$ dont on déterminera le premier terme.
    $\quad$
  2. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, $$u_n =\dfrac{7}{8^{n+1}-1}$$
    $\quad$
  3. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$
    $\quad$
  4. On cherche dans cette question le plus petit entier naturel $n_0$ tel que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $n_0$, $u_n < 10^{−18}$.
    Justifier l’existence d’un tel entier $n_0$ et déterminer sa valeur.
    $\quad$

 

 

Bac S – Nouvelle Calédonie – Novembre 2018

Nouvelle Calédonie – Novembre 2018

Bac S – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A – Conjecture graphique

  1. Graphiquement, une solution de l’équation $f(x)=g(x)$ est $1$.
    $\quad$
  2. Graphiquement, une solution de l’équation $g'(x)=0$ est $0,5$ (la dérivée s’annule en l’abscisse d’un sommet).
    $\quad$

 

Partie B – Étude de la fonction $\boldsymbol{g}$

  1. $\lim\limits_{x\to +\infty} -\dfrac{1}{x}=0$ et $\lim\limits_{X \to 0} \e^X=0$ donc$\lim\limits_{x \to +\infty} \e^{-1/x}=0$.
    De plus $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x^2}=0$.
    Donc, par produit de limites, $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x)=0$.
    $\quad$
  2. a. Pour tout réel $x$ strictement positif on a :
    $\begin{align*} h(x)&=\ln\left(g(x)\right) \\
    &=\ln\left(\dfrac{1}{x^2}\e^{-1/x}\right) \\
    &=\ln\left(\dfrac{1}{x^2}\right)+\ln\left(\e^{-1/x}\right)\\
    &=-\ln\left(x^2\right)-\dfrac{1}{x} \\
    &=-2\ln(x)-\dfrac{1}{x} \\
    &=\dfrac{-2x\ln(x)-1}{x}\end{align*}$
    $\quad$
    b. $\lim\limits_{x\to 0^+} x\ln(x)=0$ donc $\lim\limits_{x\to 0^+}-2x\ln(x)-1=-1$.
    De plus, $\lim\limits_{x\to 0^+} \dfrac{1}{x}=+\infty$.
    Donc, par produit de limites, $\lim\limits_{x \to 0^+} h(x)=-\infty$.
    $\quad$
    c. Pour tout réel $x$ strictement positif on a $h(x)=\ln\left(g(x)\right) \ssi g(x)=\e^{h(x)}$.
    Or $\lim\limits_{x \to 0^+} h(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{X \to -\infty} =0$.
    Donc, par composition de limite on a $\lim\limits_{x \to 0^+} g(x)=0$.
    $\quad$
  3. La fonction $g$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ d’après l’énoncé.
    $\begin{align*} g'(x)&=\dfrac{-2}{x^3}\e^{-1/x}+\dfrac{1}{x^2}\times \dfrac{1}{x^2}\e^{-1/x} \\
    &=\left(\dfrac{-2}{x^3}+\dfrac{1}{x^4}\right)\e^{-1/x} \\
    &=\dfrac{(-2x+1)\e^{-1/x}}{x^4} \end{align*}$
    $\quad$
  4. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. De plus, pour tout $x>0$, on a $x^4>0$.
    Le signe de $g'(x)$ ne dépend donc que de celui de $1-2x$.
    Or $1-2x=0 \ssi x=1/2$ et $1-2x>0\ssi -2x>-1 \ssi x<\dfrac{1}{2}$.
    Ainsi $g'(x)<0$ sur l’intervalle $\left]\dfrac{1}{2};+\infty\right[$
    $g\left(\dfrac{1}{2}\right)=0$
    et $g'(x)>0$ sur l’intervalle $\left]0;\dfrac{1}{2}\right[$.
    Par conséquent, la fonction $g$ est croissante sur l’intervalle $\left]0;\dfrac{1}{2}\right[$ et décroissante sur l’intervalle $\left]\dfrac{1}{2};+\infty\right[$.
    $\quad$

Partie C – Aire des deux domaines compris entre les courbes $\boldsymbol{\mathscr{C}_f}$ et $\boldsymbol{\mathscr{C}_g}$

  1. $f(1)=\e^{-1}$ et $g(1)=\dfrac{1}{1^2}\e^{-1/1}=\e^{-1}$.
    Ainsi le point $A$ de coordonnées $\left(1;\e^{-1}\right)$ est un point d’intersection de $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$.
    $\quad$
  2. Pour tout réel $a$ et $b$ strictement positifs on a :
    $\begin{align*} \ds \int_a^b \left(f(x)-g(x)\right)\dx &=\int_a^b \left(\e^{-x}-\dfrac{1}{x^2}\e^{-1/x}\right) \dx \\
    &=\left[-\e^{-x}-\e^{-1/x}\right]_a^b \\
    &=-\e^{-b}-\e^{-1/b}+\e^{-a}+\e^{-1/a} \\
    &=\e^{-a}+\e^{-1/a}-\e^{-b}-\e^{-1/b}\end{align*}$
    $\quad$
  3. $\lim\limits_{a \to 0} \e^{-a}=\e^0=1$
    $\lim\limits_{a \to 0^+} -\dfrac{1}{a}=-\infty$ et $\lim\limits_{x \to -\infty} \e^x=0$. Donc $\lim\limits_{a \to 0^+} \e^{-1/a}=0$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} \ds \lim\limits_{a \to 0^+} \int_a^1 \left(f(x)-g(x)\right)\dx&=1+0-\e^{-1}-\e^{-1} \\
    &=1-2\e^{-1}\end{align*}$
    $\quad$
  4. Cette égalité signifie que l’aire du domaine compris entre $\mathscr{C}_f$, $\mathscr{C}_g$ et les droites d’équation $x=0$ et $x=1$ est égale à celle du domaine compris entre $\mathscr{C}_g$ et  $\mathscr{C}_f$ pour tous les points dont l’abscisse est supérieure à $1$.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. a. Les vingt questions sont indépendantes. Les “tirages” sont aléatoires, identiques et possèdent deux issues :”Anselme répond correctement” ou non.
    La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=0,25$.
    $\quad$
    b. À l’aide de la calculatrice on obtient $P(X\pg 10) =1-P(X\pp 9) \approx 0,014$.
    $\quad$
  2. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(M)&=p(M\cap A)+p(M\cap B)+p(M\cap C) \\
    &\approx \dfrac{1}{3}\times 0,014+\dfrac{1}{3}\times 0,588+\dfrac{1}{3}\times 0,962 \\
    &\approx 0,521 \end{align*}$
    Par conséquent
    $\begin{align*} p_M(B)&=\dfrac{p(M\cap B)}{p(M)} \\
    &\approx \dfrac{\dfrac{1}{3}\times 0,588}{0,521} \\
    &\approx 0,376 \end{align*}$
    La probabilité qu’il s’agisse de la copie de Barbara sachant que la note est supérieure ou égale à $10$ est d’environ $0,376$.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. Le point $P$ a pour coordonnées $(1;0;1)$.
    Le point $F$ a pour coordonnées $(2;0;2)$ et le point $G$ a pour coordonnées $(2;2;2)$.
    Ainsi le point $Q$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{2+2}{2};\dfrac{0+2}{2};\dfrac{2+2}{2}\right)$ soit $(2;1;2)$.
    Dans la représentation paramétrique proposée :
    $\bullet$ Si $t=0$ alors $\begin{cases} x=1\\y=0\\z=1\end{cases}$ et on obtient les coordonnées du point $P$.
    $\bullet$ Si $t=1$ alors $\begin{cases} x=2\\y=1\\z=2\end{cases}$ et on obtient les coordonnées du point $Q$.
    Une représentation paramétrique de la droite $(PQ)$ est donc bien $\begin{cases} x=1+t\\y=t\\z=1+t\end{cases}, \quad t\in \R$.
    $\quad$
  2. a. Les coordonnées du point $I$ sont $(0;1;0)$ et celles du point $J$ sont $(2;1;0)$.
    Ainsi les coordonnées du vecteur $\vect{IJ}$ sont $(2;0;0)$.
    On considère le point $K’$ de coordonnées $(1+t;1;0)$.
    Alors les coordonnées du vecteur $\vect{MK’}$ sont $(0;1-t;-1-t)$.
    $\vect{IJ}.\vect{MK’}=0+0+0=0$.
    Les vecteurs $\vect{IJ}$ et $\vect{MK’}$ sont orthogonaux.
    $\quad$
    Une représentation paramétrique de la droite $(IJ)$ est $\begin{cases} x=r\\y=1\\z=0\end{cases}, \quad r\in \R$.
    En prenant $r=1+t$ on obtient le fait que $K’$ appartient à la droite $(IJ)$.
    $\quad$
    Le point $K’$ appartient à la droite $(IJ)$ et est tel que $(MK’)$ soit orthogonal à $(IJ)$. Un tel point est unique d’après l’énoncé.
    Par conséquent les coordonnées du point $K$ sont bien $(1+t;1;0)$.
    $\quad$
    b.
    $\begin{align*} MK&=\left\| \vect{MK}\right\| \\
    &=\sqrt{0^2+(1-t)^2+(-1-t)^2} \\
    &=\sqrt{1-2t+t^2+1+2t+t^2}\\
    &=\sqrt{2+2t^2}\end{align*}$
    $\quad$
  3. a. Le point $H$ a pour coordonnées $(0;2;2)$ et $y_H-z_H=2-2=0$. Donc $H$ appartient au plan d’équation $y-z=0$.
    Le point $G$ a pour coordonnées $(2;2;2)$ et $y_G-z_G=2-2=0$. Donc $G$ appartient au plan d’équation $y-z=0$.
    Le point $B$ a pour coordonnées $(2;0;0)$ et $y_B-z_B=0-0=0$. Donc $B$ appartient au plan d’équation $y-z=0$.
    Ainsi, une équation cartésienne du plan $(HGB)$ est $y-z=0$.
    $\quad$
    b. On note $L’$ le point de coordonnées $\left(1+t;\dfrac{1}{2}+t;\dfrac{1}{2}+t\right)$.
    $y_L-z_L=\dfrac{1}{2}+t-\dfrac{1}{2}-t=0$ donc $L’$ appartient au plan $(HGB)$.
    $\quad$
    Les coordonnées du vecteur $\vect{ML’}$ sont $\left(0;\dfrac{1}{2}+t-t;\dfrac{1}{2}+t-1-t\right)$ soit $\left(0;\dfrac{1}{2};-\dfrac{1}{2}\right)$.
    Un vecteur normal au plan $(HGB)$ est $\vec{n}(0;1;-1)$.
    Par conséquent $\vect{ML’}=\dfrac{1}{2}\vec{n}$.
    Le vecteur $\vect{ML’}$ est bien orthogonal au plan $(HGB)$.
    $\quad$
    Le point $L’$ appartient au plan $(HGB)$ et est tel que $(ML’)$ soit orthogonal à $(HGB)$. Un tel point est unique.
    Les coordonnées du point $L$ sont donc $\left(0;\dfrac{1}{2}+t-t;\dfrac{1}{2}+t-1-t\right)$.
    $\quad$
    c.
    $\begin{align*} ML&=\left\| \vect{ML}\right\| \\
    &=\sqrt{0^2+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2} \\
    &=\sqrt{\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}}\\
    &=\sqrt{\dfrac{1}{2}}\\
    &=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\end{align*}$
    $\quad$
  4. On veut résoudre l’équation :
    $ ML=MK \ssi \sqrt{\dfrac{1}{2}}=\sqrt{2+2t^2}$
    Or, pour tout réel $t$ on a  $2+2t^2\pg 2>\dfrac{1}{2}$.
    Il n’existe donc pas de valeur de $t$ pour laquelle la distance $MK$ est égale à la distance $ML$.
    $\quad$

Ex 4 obl

Exercice 4

  1. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} u_{n+1}&=z_{n+1}-\ic \\
    &=\dfrac{1}{3}z_n+\dfrac{2}{3}\ic-\ic \\
    &=\dfrac{1}{3}z_n-\dfrac{1}{3}\ic \\
    &=\dfrac{1}{3}\left(z_n-\ic\right)\\
    &=\dfrac{1}{3}u_n\end{align*}$
    $\quad$
  2. Démontrons, par récurrence sur $n$, que, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=\left(\dfrac{1}{3}\right)^n(1-\ic)$.
    Initialisation :
    Si $n=0$ alors $\left(\dfrac{1}{3}\right)^n(1-\ic)=1-\ic=z_0-\ic=u_0$.
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : Supposons que la propriété soit vraie au rang $n$, c’est-à-dire que $u_n=\left(\dfrac{1}{3}\right)^n(1-\ic)$.
    Montrons qu’elle est encore vraie au rang $n+1$ c’est-à-dire que $u_{n+1}=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n+1}(1-\ic)$
    $\begin{align*} u_{n+1}&=\dfrac{1}{3}u_n \\
    &=\dfrac{1}{3}\times \left(\dfrac{1}{3}\right)^n(1-\ic)\\
    &=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n+1}(1-\ic) \end{align*}$
    La propriété est vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=\left(\dfrac{1}{3}\right)^n(1-\ic)$.
    $\quad$
  3. a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*}\left|u_n\right|&=\left|\left(\dfrac{1}{3}\right)^n(1-\ic)\right| \\
    &=\left(\dfrac{1}{3}\right)^n\left|1-\ic\right| \\
    &=\left(\dfrac{1}{3}\right)^n\times \sqrt{1^2+(-1)^2} \\
    &=\sqrt{2}\times \left(\dfrac{1}{3}\right)^n\end{align*}$
    $\quad$
    b. $-1 < \dfrac{1}{3} <1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} \left(\dfrac{1}{3}\right)^n=0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} \left|u_n\right|=0$
    C’est-à-dire $\lim\limits_{n \to +\infty} \left|z_n-\ic\right|=0$.
    $\quad$
    c. Géométriquement, cela signifie que, pour de grandes valeur de $n$, le point $A_n$ est très proche du point $C$.
    $\quad$
  4. a. On a $|1-\ic|=\sqrt{2}$ donc $1-\ic=\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\ic\right)=\sqrt{2}\e^{-\ic\pi/4}$.
    Par conséquent $u_n=\left(\dfrac{1}{3}\right)^n\times \sqrt{2}\e^{-\ic\pi/4}$.
    Un argument de $u_n$ est donc $-\dfrac{\pi}{4}$.
    $\quad$
    b. On considère deux entiers naturels non nuls $n$ et $m$.
    L’affixe du vecteur $\vect{B_0B_n}$ est
    $\begin{align*} c_n&=u_n-u_0\\
    &=\left(\dfrac{1}{3}\right)^n(1-\ic)-(1-\ic) \\
    &=(1-\ic)\times \left(\left(\dfrac{1}{3}\right)^n-1\right) \end{align*}$
    L’affixe du vecteur $\vect{B_0B_m}$ est
    $\begin{align*} d_n&=u_m-u_0\\
    &=\left(\dfrac{1}{3}\right)^m(1-\ic)-(1-\ic) \\
    &=(1-\ic)\times \left(\left(\dfrac{1}{3}\right)^m-1\right) \end{align*}$
    Par conséquent $d_n=\dfrac{\left(\dfrac{1}{3}\right)^m-1}{\left(\dfrac{1}{3}\right)^n-1}c_n$.
    Les vecteurs $\vect{B_0B_n}$ et $\vect{B_0B_m}$ sont colinéaires.
    Les points $B_0$, $B_n$ et $B_m$ sont donc alignés.
    $\quad$
    Autre méthode :
    On considère deux entiers naturels $n$ et $m$.
    $\begin{align*} \left(\vect{OB_n},\vect{OB_m}\right)&=\left(\vec{u},\vect{OB_m}\right)-\left(\vect{OB_n},\vec{u}\right) \\
    &=-\dfrac{\pi}{4}-\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) ~~[2\pi] \\
    &=0~~[2\pi]\end{align*}$
    Les points $O$, $B_n$ et $B_M$ sont donc alignés.
    Cela signifie donc que tous les points $B_n$ appartiennent à la droite $\left(OB_0\right)$.
    $\quad$
    c. On a $u_0=1-\ic$. Une équation de la droite $\left(OB_0\right)$ est donc $y=-x$.
    Pour tout entier naturel $n$, il existe donc un réel $x_n$ tel que m’affixe du point $B_n$  soit $u_n=x_n(1-\ic)$.
    Or l’affixe du point $B_n$ est $u_n=z_n-\ic$.
    Par conséquent, en notant $a_n+\ic b_n$ la forme algébrique de $z_n$ on a :
    $\begin{align*} x_n(1-\ic)=a_n+\ic b_n-\ic &\ssi \begin{cases} a_n=x_n \\-x_n=b_n-1\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} a_n=x_n \\b_n=-a_n+1\end{cases} \end{align*}$
    Le point $A_n$ appartient donc à la droite d’équation $y=-x+1$.
    $\quad$

 

Ex 4 spé

Exercice 4

Partie A

  1. a. On a :
    $u_0=0$, $u_1=1$, $u_2=1$, $u_3=2$, $u_4=3$, $u_5=5$, $u_6=8$, $u_7=13$, $u_8=21$, $u_9=34$ et $u_{10}=55$
    $\quad$
    b. Il semblerait que pour tout entier naturel $n$ le PGCD de $u_n$ et de $u_{n+1}$ soit égal à $1$.
    $\quad$
  2. a. Soit $n$ un entier naturel non nul.
    $\begin{align*} v_{n+1}&={u_{n+1}}^2-u_{n+2}\times u_n \\
    &={u_{n+1}}^2-\left(u_{n+1}+u_n\right)\times u_n \\
    &={u_{n+1}}^2-u_{n+1}\times u_n-{u_n}^2 \\
    &=-{u_n}^2+u_{n+1}\left(u_{n+1}-u_n\right)\end{align*}$
    Or, $u_{n+1}=u_n+u_{n-1} \ssi u_{n-1}=u_{n+1}-u_n$.
    Par conséquent $v_{n+1}=-{u_n}^2+u_{n+1}\times u_{n-1}=-v_n$.
    $\quad$
    b. La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $-1$ et de premier terme $v_1={u_1}^2-u_2\times u_0=1$.
    Ainsi, pour tout entier naturel $n$ non nul on a $v_n=(-1)^{n-1}$.
    Par conséquent ${u_n}^2-u_{n+1}\times u_{n-1}=(-1)^{n-1}$.
    $\quad$
    c. Soit $n$ un entier naturel $n$ non nul.
    Si $n$ est impair alors $n-1$ est pair et
    ${u_n}^2-u_{n+1}\times u_{n-1}=1$
    $\ssi u_n\times u_n-u_{n+1}\times u_{n-1}=1$
    D’après le théorème de Bezout les nombres $u_n$ et $u_{n+1}$ sont premiers entre eux.
    $\quad$
    Si $n$ est pair alors $n-1$ est impair et
    ${u_n}^2-u_{n+1}\times u_{n-1}=-1$
    $\ssi -{u_n}^2+u_{n+1}\times u_{n-1}=1$
    $\ssi -u_n\times u_n++u_{n+1}\times u_{n-1}=1$
    D’après le théorème de Bezout les nombres $u_n$ et $u_{n+1}$ sont premiers entre eux.
    La conjecture de la question est donc vraie pour tout entier naturel $n$ non nul.
    De plus le PGCD de $0$ et $1$ est $1$. La conjecture est également vraie pour $n=0$.
    La conjecture de la question est donc vraie pour tout entier naturel $n$.
    $\quad$

Partie B

  1. On a $F^2=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}$ et $F^3=\begin{pmatrix}3&2\\2&1\end{pmatrix}$.
    $\quad$
  2. Montrons cette propriété par récurrence.
    Initialisation : Si $n=1$ alors $F^1=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}u_2&u_1\\u_1&u_0\end{pmatrix}$.
    La propriété est vraie au rang $1$.
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$, c’est à dire $F^n=\begin{pmatrix}u_{n+1}&u_n\\u_n&u_{n-1}\end{pmatrix}$.
    Montrons que la propriété est encore vraie au rang $n+1$, soit $F^{n+1}=\begin{pmatrix}u_{n+2}&u_{n+1}\\u_{n+1}&u_{n}\end{pmatrix}$.
    $\begin{align*} F^{n+1}&=F\times F_n \\
    &=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}u_{n+1}&u_n\\u_n&u_{n-1}\end{pmatrix} \\
    &=\begin{pmatrix} u_{n+1}+u_n&u_n+u_{n-1}\\u_{n+1}&u_n\end{pmatrix} \\
    &=\begin{pmatrix} u_{n+2}&u_{n+1}\\u_{n+1}&u_n\end{pmatrix}\end{align*}$
    La propriété est vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $F_n=\begin{pmatrix} u_{n+1}&u_n\\u_n&u_{n-1}\end{pmatrix}$.
    $\quad$
  3. a. Soit $n$ un entier naturel non nul.
    $F^{2n+2}=F^{n+2+n}=F^{n+2}\times F_n$.
    Par conséquent :
    $\begin{pmatrix} u_{2n+3}&u_{2n+2}\\u_{2n+2}&u_{2n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} u_{n+3}&u_{n+2}\\u_{n+2}&u_{n+1}\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} u_{n+1}&u_n\\u_n&u_{n-1}\end{pmatrix}$
    En identifiant les coefficients de la $2\ieme$ ligne, $1^{\text{ère}}$ colonne on obtient $u_{2n+2}=u_{n+2}\times u_{n+1}+u_{n+1}\times u_n$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+2}=u_{n+1}+u_n$ soit $u_{n+1}=u_{n+2}-u_n$
    Ainsi, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a :
    $\begin{align*} u_{2n+2}&=u_{n+2}\times u_{n+1}+u_{n+1}\times u_n \\
    &=u_{n+1}\left(u_{n+2}+u_n\right) \\
    &=\left(u_{n+2}-u_n\right)\left(u_{n+2}+u_n\right) \\
    &={u_{n+2}}^2-{u_n}^2\end{align*}$
    $\quad$
  4. D’après la question précédente on a, pour tout entier naturel $n$ non nul, ${u_{n+2}}^2=u_{2n+2}+{u_n}^2$
    La solution de l’équation $2n+2=12$ est $n=5$.
    Par conséquent :
    ${u_7}^2=u_{12}+{u_5}^2$
    $\ssi 13^2=144+5^2$
    $\ssi 13^2=12^2+5^2$
    D’après la réciproque du théorème de Pythagore, un triangle dont les côtés mesurent $5$, $12$ et $13$ unités est rectangle.
    $\quad$

 

 

Énoncé

Exercice 1     6 points

Soient $f$ et $g$ les fonctions définies sur $]0;+\infty[$ par $$f(x)=\e^{-x} \quad \text{et} \quad g(x)=\dfrac{1}{x^2}\e^{-1/x}$$

On admet que $f$ et $g$ sont dérivables sur $]0;+\infty[$. On note $f’$ et $g’$ leurs fonctions dérivées respectives.

Les représentations graphiques de $f$ et $g$ dans un repère orthogonal, nommées respectivement $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ sont données ci-dessous :

Partie A – Conjectures graphiques

Dans chacune des questions de cette partie, aucune justification n’est demandée.

  1. Conjecturer graphiquement une solution de l’équation $f(x)=g(x)$ sur $]0:+\infty[$.
    $\quad$
  2. Conjecturer graphiquement une solution de l’équation $g'(x)=0$ sur $]0:+\infty[$.
    $\quad$

Partie B – Étude de la fonction 

  1. Calculer la limite de $g(x)$ quand $x$ tend vers $+\infty$.
    $\quad$
  2. On admet que la fonction $g$ est strictement positive sur $]0;+\infty[$.
    Soit $h$ la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par $h(x)=\ln\left(g(x)\right)$.
    a. Démontrer que, pour tout nombre réel $x$ strictement positif, $$h(x)=\dfrac{-1-2x\ln x}{x}$$
    $\quad$
    b. Calculer la limite de $h(x)$ quand $x$ tend vers $0$.
    $\quad$
    c. En déduire la limite de $g(x)$ quand $x$ tend vers $0$.
    $\quad$
  3. Démontrer que, pour tout nombre $x$ strictement positif, $$g'(x)=\dfrac{\e^{-1/x}(1-2x)}{x^4}$$
    $\quad$
  4. En déduire les variations de la fonction $g$ sur $]0;+\infty[$.
    $\quad$

Partie C – Aire des deux domaines compris entre les courbes $\boldsymbol{\mathcal{C}_f}$ et $\boldsymbol{\mathcal{C}_g}$

  1. Démontrer que le point $A$ de coordonnées $\left(1;\e^-1\right)$ est un point d’intersection de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$
    $\quad$
    On admet que ce point est l’unique point d’intersection de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$, et que $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $\mathcal{C}_g$ sur l’intervalle $]0;1[$ et e dessous sur l’intervalle $]1;+\infty[$.
    $\quad$
  2. Soient $a$ et $b$ deux réels strictement positifs. Démontrer que $$\int_a^b \left(f(x)-g(x)\right)\dx =\e^{-a}+\e^{-1/a}-\e^{-b}-\e^{-1/b}$$
    $\quad$
  3. Démontrer que $$\lim\limits_{a \to 0} \int_a^1 \left(f(x)-g(x)\right)\dx=1-2\e^{-1}$$
    $\quad$
  4. On admet que $$\lim\limits_{a \to 0} \int_a^1 \left(f(x)-g(x)\right)\dx=\lim\limits_{b \to +\infty} \int_1^{+\infty} \left(g(x)-f(x)\right)\dx$$
    Interpréter graphiquement cette égalité.
    $\quad$

Exercice 2     3 points

Une épreuve de culture générale consiste en un questionnaire à choix multiple (QCM) de vingt questions. Pour chacune d’entre elles, le sujet propose quatre réponses possibles, dont une seule est correcte. À chaque question, le candidat ou la candidate doit nécessairement choisir une seule réponse. Cette personne gagne un point par réponse correcte et ne perd aucun point si sa réponse est fausse.

On considère trois candidats :

  • Anselme répond complètement au hasard à chacune des vingt questions.
    Autrement dit, pour chacune des questions, la probabilité qu’il réponde correctement est égale à $\dfrac{1}{4}$;
  • Barbara est un peu mieux préparée. On considère que pour chacune des vingt questions, la probabilité qu’elle réponde correctement est de $\dfrac{1}{2}$;
  • Camille fait encore mieux : pour chacune des questions, la probabilité qu’elle réponde correctement est égale à $\dfrac{2}{3}$.
  1. On note $X$, $Y$ et $Z$ les variables aléatoires égales aux notes respectivement obtenues par Anselme, Barbara et Camille.
    a. Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$ ? Justifier.
    $\quad$
    b. À l’aide de la calculatrice, donner l’arrondi au millième de la probabilité $P(X \pg 10)$.
    $\quad$
    Dans la suite, on admettra que $P(Y\pg 10) \approx 0,588$ et $P(Z \pg 10)\approx 0,962$.
    $\quad$
  2. On choisit au hasard la copie d’un de ces trois candidats.
    On note $A$, $B$, $C$ et $M$ les événements :
    $\bullet$ $A$ : « la copie choisie est celle d’Anselme » ;
    $\bullet$ $B$ : « la copie choisie est celle de Barbara » ;
    $\bullet$ $C$ : « la copie choisie est celle de Camille » ;
    $\bullet$ $M$ : « la copie choisie obtient une note supérieure ou égale à $10$ ».
    On constate, après l’avoir corrigée, que la copie choisie obtient une note supérieure ou égale à $10$ sur $20$.
    $\quad$
    Quelle est la probabilité qu’il s’agisse de la copie de Barbara ?
    On donnera l’arrondi au millième de cette probabilité.
    $\quad$

 

Exercice 3     6 points

Soit $ABCDEFGH$ le cube représenté ci-dessous.
On considère :

  • $I$ et $J$ les milieux respectifs des segments $[AD]$ et $[BC]$ ;
  • $P$ le centre de la face $ABFE$, c’est-à-dire l’intersection des diagonales $(AF)$ et $(BE)$ ;
  • $Q$ le milieu du segment $[FG]$.

On se place dans le repère orthonormé $\left(A;\dfrac{1}{2}\vect{AB},\dfrac{1}{2}\vect{AD},\dfrac{1}{2}\vect{AE}\right)$.
Dans tout l’exercice, on pourra utiliser les coordonnées des points de la figure sans les justifier.
On admet qu’une représentation paramétrique de la droite $(IJ)$ est $$\begin{cases} x=r\\y=1\\z=0\end{cases}, \quad r\in \R$$

  1. Vérifier qu’une représentation paramétrique de la droite $(PQ)$ est $$\begin{cases} x=1+t\\y=t\\z=1+t\end{cases}, \quad t\in \R$$
    $\quad$
    Soient 𝑡 un nombre réel et $M (1 + t;t; 1 + t)$ le point de la droite $(PQ)$ de paramètre $t$.
    $\quad$
  2. a. On admet qu’il existe un unique point $K$ appartenant à la droite $(IJ)$ tel que $(MK)$ soit orthogonale à $(IJ)$.
    Démontrer que les coordonnées de ce point $K$ sont
    $$(1 + t; 1; 0)$$
    $\quad$
    b. En déduire que $MK=\sqrt{2+2t^2}$.
    $\quad$
  3. a. Vérifier que $y=z = 0$ est une équation cartésienne du plan $(HGB)$.
    $\quad$
    b. On admet qu’il existe un unique point $L$ appartenant au plan $(HGB)$ tel que $(ML)$ soit orthogonale à $(HGB)$.
    Vérifier que les coordonnées de ce point $L$ sont $$\left(1+t;\dfrac{1}{2}+t;\dfrac{1}{2}+t\right)$$
    $\quad$
    c. En déduire que la distance $ML$ est indépendante de $t$.
    $\quad$
  4. Existe-t-il une valeur de $t$ pour laquelle la distance $MK$ est égale à la distance $ML$ ?
    $\quad$

 

Exercice 4     5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

On définit la suite de nombres complexes $\left(z_n\right)$ de la manière suivante : $𝑧_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$, $$z_{n+1}=\dfrac{1}{3}z_n+\dfrac{2}{3}\ic$$

On se place dans un plan muni d’un repère orthonormé direct $\Ouv$.
Pour tout entier naturel $n$, on note $A_n$ le point du plan d’affixe $z_n$.
Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n = z_n−\ic$ et on note $B_n$ le point d’affixe $u_n$.
On note $C$ le point d’affixe $\ic$.

  1. Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$, pour tout entier naturel $n$.
    $\quad$
  2. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $$u_n=\left(\dfrac{1}{3}\right)^n(1-\ic)$$
    $\quad$
  3. a. Pour tout entier naturel $n$, calculer, en fonction de $n$, le module de $u_n$.
    $\quad$
    b. Démontrer que $$\lim\limits_{n \to +\infty} \left|z_n-\ic\right|=0$$
    $\quad$
    c. Quelle interprétation géométrique peut-on donner de ce résultat ?
    $\quad$
  4. a. Soit $n$ un entier naturel. Déterminer un argument de $u_n$.
    $\quad$
    b. Démontrer que, lorsque $n$ décrit l’ensemble des entiers naturels, les points $B_n$ sont alignés.
    $\quad$
    c. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, le point $A_n$ appartient à la droite d’équation réduite $$
    y=-x+1$$
    $\quad$

 

Exercice 4     5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

On appelle suite de Fibonacci la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=0$, $u_1=1$ et, pour tout entier naturel $n$, $$u_{n+2}=u_{n+1}+u_n$$
On admet que, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ est un entier naturel.
Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.

Partie A

  1. a. Calculer les termes de la suite de Fibonacci jusqu’à $u_{10}$
    $\quad$
    b. Que peut-on conjecturer sur le PGCD de $u_n$ et $u_{n+1}$ pour tout entier naturel $n$ ?
    $\quad$
  2. On définit la suite $\left(v_n\right)$ par $v_n={u_n}^2-u_{n+1}\times u_{n-1}$ pour tout entier naturel $n$ non nul.
    a. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $v_{n+1} = -v_n$ .
    $\quad$
    b. En déduire que, pour tout entier naturel $n$ non nul,
    $${u_n}^2-u_{n+1}\times u_{n-1}=(-1)^{n-1}$$
    $\quad$
    c. Démontrer alors la conjecture émise à la question 1.b.
    $\quad$

Partie B

On considère la matrice $F=\begin{pmatrix} 1&1\\1&0\end{pmatrix}$.

  1. Calculer $F^2$ et $F^3$. On pourra utiliser la calculatrice.
    $\quad$
  2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $$F^n=\begin{pmatrix}u_{n+1} u_n\\u_n&u_{n-1}\end{pmatrix}$$
    $\quad$
  3. a. Soit $n$ un entier naturel non nul. En remarquant que $F^{2n+2}=F^{n+2}\times F^n$, démontrer que $$u_{2n+2}=u_{n+2}\times u_{n+1}+u_{n+1}\times u_n$$
    $\quad$
    b. En déduire que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $$u_{2n+2}={u_{n+2}}^2-{u_n}^2$$
    $\quad$
  4. On donne $u_{12} = 144$.
    Démontrer en utilisant la question 3. qu’il existe un triangle rectangle dont les longueurs des côtés sont toutes des nombres entiers, l’une étant égale à $12$.
    Donner la longueur des deux autres côtés.
    $\quad$

 

 

Bac S – Amérique du Sud – Novembre 2018

Amérique du Sud – Novembre 2018

Bac S – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} &P(F)=P(B\cap F)+P\left(\conj{B}\cap F\right) \\
    &\ssi 0,54=0,65\times 0,72+P\left(\conj{B}\cap F\right) \\
    &\ssi 0,54=0,468+P\left(\conj{B}\cap F\right) \\
    &\ssi P\left(\conj{B}\cap F\right)=0,072
    \end{align*}$
    $\quad$
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} P_F\left(\conj{B}\right)&=\dfrac{P\left(\conj{B}\cap F\right)}{P(F)} \\
    &=\dfrac{0,072}{0,54} \\
    &=\dfrac{2}{15} \\
    &\approx 0,133\end{align*}$
    $\quad$
  3. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_{\conj{B}}(F)&=\dfrac{P\left(\conj{B}\cap F\right)}{P(F)} \\
    &=\dfrac{0,072}{1-0,65} \\
    &=\dfrac{36}{175}\\
    &\approx 0,206
    \end{align*}$
    $\quad$

Partie B

  1. On veut calculer $P(X > 95) = 0,5-P(90 \pp X \pp 95) \approx 0,006$.
    La probabilité qu’il ne puisse pas répondre à la demande des clients durant le mois est d’environ $0,006$.
    $\quad$
  2. À l’aide de la calculatrice on trouve $a\approx 85,89$
    Cela signifie que la probabilité que le commerçant vende moins de $85,89$ kilogramme de farine est de $2\%$.
    $\quad$

Partie C

On a $n=2~500$ et $p=0,468$.
Par conséquent $n\pg 30$, $np=1~170\pg 5$ et $n(1-p)=1~130 \pg 5$.

Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ est donc :
$\begin{align*} I_{2~500}&=\left[0,468-1,96\sqrt{\dfrac{0,468\times 0,532}{2~500}};0,468+1,96\sqrt{\dfrac{0,468\times 0,532}{2~500}}\right] \\
&\approx [0,448;0,488]\end{align*}$

La fréquence observée est $f=\dfrac{1~025}{2~500}=0,41 \notin I_{2~500}$

La clientèle du commerçant n’est donc pas, au risque d’erreur de $5\%$, représentative des consommateurs en France

$\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. Pour tout réel $x$ positif on a $ f'(x)=10u'(x)\e^{u(x)}$.
    Or $u'(x)=-\left(-\dfrac{1}{10}\right)\e^{2-\frac{x}{10}}=-\dfrac{u(x)}{10}$
    Par conséquent $f'(x)=-\dfrac{10}{u(x)}\times 10\e^{u(x)} = -u(x)\e^{u(x)}$.
    La fonction exponentielle est strictement positive. Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $-u(x)$.
    Or $u(x)=-\e^{2-\frac{x}{10}}$.
    Du fait de la positivité de la fonction exponentielle on a $u(x)<0$ sur $[0;+\infty[$.
    Ainsi, $f'(x)>0$ sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
    $\quad$
  2. a. $u(20)=-\e^{2-\frac{20}{10}}=-\e^0=-1$
    Donc $f(20)=10\e^{-1} \approx 3,7$
    Après vingt jours de repousse la queue mesure environ $3,7$ cm.
    $\quad$
    b. On a $\lim\limits_{x \to +\infty} 2-\dfrac{x}{10}=-\infty$ et $\lim\limits_{X \to -\infty} \e^X=0$.
    Donc $\lim\limits_{x \to +\infty} u(x)=0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=10\e^0=10<11$.
    La fonction $f$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$ et majorée par $10$.
    La queue du lézard ne donc pas mesurer $11$ cm.
    $\quad$
  3. a. La fonction exponentielle est strictement positive.
    Le signe de $f\dsec(x)$ ne dépend donc que de celui de $u(x)\left(1+u(x)\right)$.
    On a vu à la question 1. que $u(x)<0$ sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    Étudions le signe de $1+u(x)$.
    On veut résoudre l’équation
    $\begin{align*} 1+u(x)=0&\ssi -\e^{2-\frac{x}{10}}=-1 \\
    &\ssi \e^{2-\frac{x}{10}}=\e^0 \\
    &\ssi 2-\dfrac{x}{10}=0 \\
    &\ssi x=20\end{align*}$
    De plus
    $\begin{align*} 1+u(x)>0&\ssi -\e^{2-\dfrac{x}{10}}>-1 \\
    &\ssi \e^{2-\dfrac{x}{10}}<\e^0 \\
    &\ssi 2-\dfrac{x}{10}<0 \\
    &\ssi x>20\end{align*}$
    On obtient ainsi le tableau de signes suivant :

    Par conséquent la fonction $f$ est croissante sur l’intervalle $[0;20]$ et décroissante sur l’intervalle $[20;+\infty[$.
    $\quad$
    b. La fonction $f’$ atteint donc son maximum quand $x=20$.
    La vitesse de croissance de la longueur de la queue du lézard est maximale au bout de $20$ jours.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. Montrons que les deux droites ne possèdent pas de point d’intersection. Pour cela on résout le système :
    $\begin{align*} \begin{cases} 3+t=10k\\6t=2+6k\\-3t=-4k \end{cases} &\ssi \begin{cases} k=\dfrac{3}{4}t \\3+t=\dfrac{15}{2}t\\6t=2+\dfrac{9}{2}t \end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} k=\dfrac{3}{4}t\\3=\dfrac{13}{2}t\\\dfrac{3}{2}t=2 \end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases}k=\dfrac{3}{4}t\\t=\dfrac{6}{13}\\t=\dfrac{4}{3}\end{cases} \end{align*}$
    Les deux dernières équations n’étant pas compatibles, le système n’admet pas de solution et les droites ne sont pas sécantes.
    Les deux espèces ne sont donc jamais amenées à se croiser avant d’arriver sur l’île.
    $\quad$
  2. a. Un vecteur directeur de la droite $\mathscr{D}_1$ est $\vect{u_1}\begin{pmatrix}1\\6\\-3\end{pmatrix}$.
    On a donc $\vect{u_1}.\vec{n}=3+78-81=0$.
    Le vecteur $\vec{n}$ est normal à la droite $\mathscr{D}_1$.
    Un vecteur directeur de la droite $\mathscr{D}_2$ est $u_2\begin{pmatrix}10\\6\\-4\end{pmatrix}$.
    On a donc $\vect{u_2}.\vec{n}=30+78-108=0$.
    Le vecteur $\vec{n}$ est normal à la droite $\mathscr{D}_2$.
    $\quad$
    b. $H$ appartient à la droite $\mathscr{D}_1$. Il existe un réel $t$ tel que $H(3+t;6t;-3t)$.
    $H’$ appartient à la droite $\mathscr{D}_2$. Il existe un réel $k$ tel que $H'(10k;2+6k;-4k)$
    On a donc $\vect{HH’}\begin{pmatrix}10k-3-t\\2+6k-6t\\-4k+3t\end{pmatrix}$.
    Les vecteurs $\vect{HH’}$ et $\vec{n}$ sont colinéaires si, et seulement si, il existe un réel $\ell$ tel que $\vect{HH’}=\ell \vec{n}$.
    D’après le logiciel de calcul formel cela signifie que $k=\dfrac{675}{1~814}$ et $t=\dfrac{603}{907}$.
    Ainsi les coordonnées de $\vect{HH’}$ sont $\begin{pmatrix} \dfrac{51}{907}\\\dfrac{221}{907}\\\dfrac{459}{907}\end{pmatrix}$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} HH’&=\| \vect{HH’} \| \\
    &=\sqrt{\dfrac{51^2+221^2+459^2}{907^2}} \\
    &\sqrt{\dfrac{262~123}{907}} \\
    &\approx 0,56\end{align*}$
    L’unité est de $100$ mètres.
    Ainsi la distance minimale entre les droites $\mathscr{D}_1$ et $\mathscr{D}_2$ est d’environ $56$ mètres.
    $\quad$
  3. a. $M$ appartient à la droite $\mathscr{D}_1$. Il existe un réel $t$ tel que $M(3+t;6t;-3t)$.
    Par conséquent
    $\begin{align*} BM&=\sqrt{(3+t-2)^2+(6t-4)^2+(-3t)^2} \\
    &=\sqrt{(t+1)^2+36t^2+16-48t+9t^2} \\
    &=\sqrt{t^2+2t+1+45t^2-48t+16} \\
    &=\sqrt{46t^2-46t+17}
    \end{align*}$
    La fonction racine carrée est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
    La distance $BM$ est donc minimale quand la fonction $t\mapsto 46t^2-46t+17$ l’est.
    Le minimum de cette fonction est atteint quand $t=-\dfrac{-46}{2\times 46}=\dfrac{1}{2}$
    Les coordonnées du point $M$ cherché sont donc $M\left(\dfrac{7}{2};3;-\dfrac{3}{2}\right)$.
    $\quad$
    b. En prenant $t=\dfrac{1}{2}$ on obtient :
    $BM=\sqrt{46t^2-46t+17}=\dfrac{\sqrt{11}}{2} \approx 2,35$.
    L’unité est de $100$ mètres.
    La distance minimale entre la balise et les tortues vertes est d’environ $235$ mètres.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

Les quatre points sont distincts sont les quatre affixes sont deux à deux différentes.

$z_A+z_C=z_B+z_D\ssi z_A-z_B=z_D-z_C \ssi \vect{BA}=\vect{CD}$.
Le quadrilatère $ABCD$ est donc un parallélogramme.

$\begin{align*} z_A+\ic z_B=z_C+\ic z_D &\ssi z_A-z_C=\ic\left(z_D-z_B\right) \\
&\ssi \dfrac{z_A-z_C}{z_D-z_B}=\ic  \end{align*}$
Par conséquent $\left(\vect{BD},\vect{CA}\right)=\dfrac{\pi}{2}$ à $2\pi$ près et $\dfrac{CA}{BD}=|\ic|=1$.
Les diagonales du parallélogramme sont perpendiculaires et de même longueur.
$ABCD$ est donc un carré.
$\quad$

 

Ex 5 obl

Exercice 5

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

  1. $u_0=1$ et $u_1=k$ donc $u_2=\dfrac{k^2}{k\times 1}=k$.
    $u_3=\dfrac{k^2}{k\times k}=1$
    $u_4=\dfrac{1^2}{k\times k}=\dfrac{1}{k^2}$
    $\quad$
  2. a. On saisi en $B4$ la formule $=B3*B3/(\$E\$2*B2)$
    $\quad$
    b. Il semblerait que la suite $\left(u_n\right)$ converge vers $0$ quand $k=\e$ et tendent vers $+\infty$ quand $k=0,9$.
    $\quad$
  3. a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} v_{n+1}&=\ln\left(u_{n+2}\right)-\ln\left(u_{n+1}\right) \\
    &=\ln \left(\dfrac{u_{n+2}}{u_{n+1}}\right) \\
    &=\ln \left(\dfrac{u_{n+1}}{\e u_n}\right) \\
    &=\ln \left(u_{n+1}\right)-\ln\left(u_n\right)-\ln \e \\
    &=v_n-1
    \end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc arithmétique de raison $-1$ et de premier terme $v_0=\ln \e-\ln 1=1$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $v_n=1-1\times n=1-n$.
    $\quad$
  4. a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} S_n&=v_0+v_n+\ldots+ v_{n-1} \\
    &=n\times \dfrac{v_0+v_{n-1}}{2} \\
    &=n\times \dfrac{1+1-(n-1)}{2} \\
    &=n\times \dfrac{3-n}{2} \\
    &=\dfrac{n(3-n)}{2}
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} S_n&=v_0+v_1+v_2+\ldots +v_{n-1} \\
    &=\ln \left(u_1\right)-\ln\left(u_0\right)+\ln \left(u_2\right)-\ln\left(u_1\right)+\ln \left(u_3\right)-\ln\left(u_2\right)+\ldots +\ln \left(u_n\right)-\ln\left(u_{n-1}\right)  \quad (*)\\
    &=\ln \left(u_n\right)-\ln\left(u_0\right) \\
    &=\ln \left(u_n\right) \end{align*}$
    Car $u_0=1$ et $\ln 1 =0$
    À l’étape $(*)$ les termes se compensent deux à deux à l’exception de $\ln \left(u_n\right)$ et $\ln\left(u_0\right)$. On parle de somme télescopique.
    $\quad$
  5. a. On a donc d’après les deux questions précédentes
    $\ln \left(u_n\right) =\dfrac{n(3-n)}{2}$ pour tout entier naturel $n$ non nul soit $u_n=\e^{n(3-n)/2}$.
    De plus $\e^{0\times (3-0)/2}=1=u_0$.
    Donc pour tout entier naturel $n$ on a  $u_n=\e^{n(3-n)/2}$.
    $\quad$
    b. On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
    $\begin{align*} u_n<10^{-50} &\ssi \e^{n(3-n)/2}<10^{-50} \\
    &\ssi \dfrac{n(3-n)}{2}<\ln \left(10^{-50}\right) \\
    &\ssi -n^2+3n-2\ln \left(10^{-50}\right) <0
    \end{align*}$
    Le discriminant du polynôme du second degré est :
    $\Delta =3^2-4\times 2\ln \left(10^{-50}\right) \approx 930>0$
    Les racines de ce polynômes sont :
    $x_1=\dfrac{-3-\sqrt{\Delta}}{-2}\approx 16,7$
    $x_2=\dfrac{-3+\sqrt{\Delta}}{-2}<0$
    Le coefficient principal du polynôme est $a=-1<0$.
    Le polynôme est donc positif sur l’intervalle $\left[0;x_1\right[$
    Par conséquent la plus petit entier naturel $n$ cherché est $17$.
    $\quad$
    Avec un algorithme, sans utiliser la réponse de la question 5.a :
    $\begin{array}{|l|}
    \hline
    A\leftarrow 1\\
    B\leftarrow \e\\
    N\leftarrow 0\\
    \text{Tant que } B\pg 10^{-50} \\
    \hspace{1cm} C\leftarrow B \\
    \hspace{1cm} B\leftarrow \dfrac{B^2}{\e\times A} \\
    \hspace{1cm} A\leftarrow C \\
    \hspace{1cm} N\leftarrow N+1\\
    \text{Fin Tant que} \\
    \text{Afficher } N+1 \\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    Avec un algorithme, en utilisant la réponse de la question 5.a :
    $\begin{array}{|l|}
    \hline
    U\leftarrow 1\\
    N\leftarrow 0\\
    \text{Tant que } U\pg 10^{-50} \\
    \hspace{1cm} N\leftarrow N+1\\
    \hspace{1cm} U\leftarrow \e^{N(3-N)/2}\\
    \text{Fin Tant que} \\
    \text{Afficher } N \\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$

Ex 5 spé

Exercice 5

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

  1. a. $F_0=2^{2^0}+1=3$
    $F_1=2^{2^1}+1=5$
    $F_2=2^{2^2}+1=17$
    $F_3=2^{2^3}+1=257$
    $\quad$
    b. Ces $4$ nombres sont premiers mais cela ne prouve pas que les suivants le sont également.
    $\quad$
  2. Cela signifie que $F_5$ est divisible par $631$ et donc que $F_5$ n’est pas un nombre premier.
    $\quad$

Partie B

  1. Pour tout entier naturel $n$ non nul on a :
    $\left(F_{n-1}-1\right)^2+1=\left(2^{2^{n-1}}\right)^2+1=2^{2^{n-1}\times 2}+1=2^{2^n}+1=F_n$
    $\quad$
  2. Initialisation : Si $n=1$ alors
    $\ds \prod_{i=0}^0 F_i=F_0=3=5-2=F_1-2$
    La propriété est vraie au rang $1$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ :
    $\ds \prod_{i=0}^{n-1} F_i=F_n-2$
    Montrons que la propriété est vraie au rang $n+1$ c’est-à-dire que $\ds \prod_{i=0}^{n} F_i=F_{n+1}-2$
    $\ds \begin{align*}\prod_{i=0}^{n} F_i&=\prod_{i=0}^{n-1} F_i \times F_n \\
    &=\left(F_n-2\right)\times F_n \\
    &={F_n}^2-2F_n \\
    &={F_n}^2-2F_n+1-1 \\
    &=\left(F_n-1\right)^2-1 \\
    &=F_{n+1}-2
    \end{align*}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ non nul on a
    $\ds \prod_{i=0}^{n-1} F_i=F_n-2$
    $\quad$
  3. Pour tous entiers naturels $n$ et $m$ tels que $n>m$ on a :
    $\begin{align*} & \ds \prod_{i=0}^{n-1} F_i=F_n-2 \\
    &\ssi F_n-\prod_{i=0}^{n-1} F_i= 2 \\
    &\ssi F_n-F_m\times \prod_{\begin{array}{l}i=0 \\i\neq m\end{array}}^{n-1} F_i= 2 \end{align*}$
    Il existe donc un entier naturel $\ds q=\prod_{\begin{array}{l}i=0 \\i\neq m\end{array}}^{n-1} F_i$ tel que $F_n-qF_m=2$
    $\quad$
  4. D’après la question précédente le PGCD de $F_n$ et $F_m$ doit diviser $F_n-qF_m$ c’est-à-dire $2$.
    Ainsi ce PGCD vaut $1$ ou $2$.
    Or, pour tout entier naturel $n$, on a $2^{2^n}>0$ donc $F_n$ est un nombre impair et n’est alors pas divisible par $2$.
    Le PGCD de $F_n$ et $F_m$ vaut donc $1$ et deux nombres de Fermat sont toujours premiers entre eux.
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1     4 points

Les parties A, B et C peuvent être traitées de façon indépendante.
Dans tout l’exercice, les résultats seront arrondis, si nécessaire, au millième.

Partie A

Un commerçant reçoit les résultats d’une étude de marché sur les habitudes des consommateurs en France.
Selon cette étude :

  • $54 \%$ des consommateurs privilégient les produits de fabrication française ;
  • $65 \%$ des consommateurs achètent régulièrement des produits issus de l’agriculture biologique, et parmi eux $72 \%$ privilégient les produits de fabrication française.

On choisit un consommateur au hasard. On considère les événements suivants :

  • $B$ : « un consommateur achète régulièrement des produits issus de l’agriculture biologique » ;
  • $F$ : « un consommateur privilégie les produits de fabrication française ».

On note $P(A)$ la probabilité de l’événement $A$ et $P_C(A)$ la probabilité de $A$ sachant $C$.

  1. Justifier que $P\left(\conj{A}\cap F\right)=0,072$.
    $\quad$
  2. Calculer $P_F\left(\conj{B}\right)$.
    $\quad$
  3. On choisit un consommateur n’achetant pas régulièrement des produits issus de l’agriculture biologique.
    Quelle est la probabilité qu’il privilégie les produits de fabrication française ?
    $\quad$

Partie B

Le commerçant s’intéresse à la quantité en kilogramme de farine biologique vendue chaque mois au détail dans son magasin. Cette quantité est modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d’espérance $\mu= 90$ et d’écart type $\sigma= 2$.

  1. Au début de chaque mois, le commerçant s’assure d’avoir $95$ kg dans son stock.
    Quelle est la probabilité qu’il ne puisse pas répondre à la demande des clients durant le mois ?
    $\quad$
  2. Déterminer une valeur approchée au centième du réel $a$ tel que $P(X < a) = 0,02$ .
    Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

Partie C

Dans cette étude de marché, il est précisé que $46,8 \%$ des consommateurs en France privilégient des produits locaux. Le commerçant constate que parmi ses $2~500$ clients, $1~025$ achètent régulièrement des produits locaux.
Sa clientèle est-elle représentative des consommateurs en France ?
$\quad$

Exercice 2     4 points

Lorsque la queue d’un lézard des murailles casse, elle repousse toute seule en une soixantaine de jours.
Lors de la repousse, on modélise la longueur en centimètre de la queue du lézard en fonction du nombre de jours.
Cette longueur est modélisée par la fonction $f$ définie sur $[0; +\infty[$ par : $$f(x)=10\e^{u(x)}$$ où $u$ est la fonction définie sur $[0;+\infty[$ par : $$u(x)=-\e^{2-\frac{x}{10}}$$

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $[0; +\infty [$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.

  1. Vérifier que pour tout $x$ positif on a $f'(x)=-u(x)\e^{u(x)}$.
    En déduire le sens de variations de la fonction $f$ sur $[0; +\infty[$.
    $\quad$
  2. a. Calculer $f (20)$ .
    En déduire une estimation, arrondie au millimètre, de la longueur de la queue du lézard après vingt jours de repousse.
    $\quad$
    b. Selon cette modélisation, la queue du lézard peut-elle mesurer $11$ cm ?
    $\quad$
  3. On souhaite déterminer au bout de combien de jours la vitesse de croissance est maximale.
    On admet que la vitesse de croissance au bout de $x$ jours est donnée par $f'(x)$.
    On admet que la fonction dérivée $f’$ est dérivable sur $[ 0;+\infty[$, on note $f\dsec$ la fonction dérivée de $f’$ et on admet que : $$f\dsec(x)=\dfrac{1}{10}u(x)\e^{u(x)}\left(1+u(x)\right)$$
    a. Déterminer les variations de $f’$ sur $[0;+∞[$.
    $\quad$
    b.
    En déduire au bout de combien de jours la vitesse de croissance de la longueur de la queue du lézard est maximale.
    $\quad$

 

Exercice 3     4 points

Deux espèces de tortues endémiques d’une petite île de l’océan pacifique, les tortues vertes et les tortues imbriquées, se retrouvent lors de différents épisodes reproducteurs sur deux des plages de l’île pour pondre. Cette île, étant le point de convergence de nombreuses tortues, des spécialistes ont décidé d’en profiter pour recueillir différentes données sur celles-ci.
Ils ont dans un premier temps constaté que les couloirs empruntés dans l’océan par chacune des deux espèces pour arriver sur l’île pouvaient être assimilés à des trajectoires rectilignes.

Dans la suite, l’espace est rapporté à un repère orthonormé $\Oijk$ d’unité $100$ mètres.
Le plan $Oij$ représente le niveau de l’eau et on admet qu’un point $M(x;y;z)$ avec $z<0$ se situe dans l’océan.

La modélisation des spécialistes établit que :

  • la trajectoire empruntée dans l’océan par les tortues vertes a pour support la droite $\mathscr{D}_1$ dont une représentation paramétrique est : $$\begin{cases} x=3+t\\y=6t \\z=-3t \end{cases} ~\text{avec $t$ réel};$$
  • la trajectoire empruntée dans l’océan par les tortues imbriquées a pour support la droite $\mathscr{D}_2$
    dont une représentation paramétrique est : $$\begin{cases} x=10k\\y=2+6k\\z=-4k\end{cases} ~\text{avec $k$ réel}.$$
  1. Démontrer que les deux espèces ne sont jamais amenées à se croiser avant d’arriver sur l’île.
    $\quad$
  2. L’objectif de cette question est d’estimer la distance minimale séparant ces deux trajectoires.
    a. Vérifier que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}3\\13\\27\end{pmatrix}$ est normal aux droites $\mathscr{D}_1$ et $\mathscr{D}_2$.
    $\quad$
    b. On admet que la distance minimale entre les droites $\mathscr{D}_1$ et $\mathscr{D}_2$ est la distance $HH′$ où $\vect{HH′}$ est un vecteur colinéaire à $\vec{n}$ avec $H$ appartenant à la droite $\mathscr{D}_1$ et $H′$ appartenant à la droite $\mathscr{D}_2$.
    Déterminer une valeur arrondie en mètre de cette distance minimale.
    On pourra utiliser les résultats ci-après fournis par un logiciel de calcul formel.
    $\quad$
  3. Les scientifiques décident d’installer une balise en mer.
    Elle est repérée par le point $B$ de coordonnées $(2;4;0)$ .
    a. Soit $M$ un point de la droite $\mathscr{D}_1$.
    Déterminer les coordonnées du point $M$ tel que la distance $BM$ soit minimale.
    $\quad$
    b. En déduire la distance minimale, arrondie au mètre, entre la balise et les tortues vertes.
    $\quad$

 

Exercice 4     3 points

Le plan est muni d’un repère orthonormal $\Ouv$.
On considère les points $A$, $B$, $C$ et $D$ distincts d’affixes respectives $z_A$, $z_B$, $z_C$ et $z_D$ tels que :  $$\begin{cases} z_A+z_C=z_B+z_D\\z_A+\ic z_B=z_C+\ic z_D\end{cases}$$
Démontrer que le quadrilatère $ABCD$ est un carré.
$\quad$

 

Exercice 5     5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Soit $k$ un réel strictement positif.
On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=1$, $u_1=k$ et, pour tout entier naturel $n$ par : $$u_{n+2}=\dfrac{{u_{n+1}}^2}{ku_n}$$
On admet que tous les termes de la suite $\left(u_n\right)$ existent et sont strictement positifs.

  1. Exprimer $u_2$, $u_3$ et $u_4$ en fonction de $k$.
    $\quad$
  2. À l’aide d’un tableur, on a calculé les premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$ pour deux valeurs de $k$ . La valeur du réel $k$ est entrée dans la cellule $E2$.$\quad$
    a. Quelle formule, saisie dans la cellule $B4$, permet par recopie vers le bas de calculer tous les termes de la suite $\left(u_n\right)$?
    $\quad$
    b. Conjecturer, dans chaque cas, la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$

    Dans la suite, on suppose que $k=\e$.
    On a donc $u_0=1$, $u_1=\e$ et, pour tout entier naturel $n$ $u_{n+2}=\dfrac{{u_{n+1}}^2}{\e u_n}$.
    $\quad$

  3. On définit, pour tout entier naturel $n$, la suite $\left(v_n\right)$ par : $v_n=\ln\left(u_{n+1}\right)-\ln\left(u_n\right)$.
    a. Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est arithmétique de raison $−1$ et de premier terme $v_0 =1$.
    $\quad$
    b. En déduire, pour tout entier naturel $n$ , l’expression de $v_n$ en fonction de n .
    $\quad$
  4. On définit, pour tout entier naturel $n$ non nul la suite $\left(S_n\right)$ par $S_n=v_0+v_1+\ldots+v_{n-1}$.
    a. Démontre que, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $S_n=\dfrac{n(3-n)}{2}$.
    $\quad$
    b. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $S_n=\ln\left(u_n\right)$.
    $\quad$
  5. a. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ et en déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
    b. Trouver la plus petite valeur de $n$ telle que $u_n<10^{-50}$ par la méthode de votre choix
    (écriture d’un algorithme, résolution d’inéquation, etc…).
    $\quad$

 

Exercice 5     5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Pour tout entier naturel $n$, on note $F_n$ le $n$-ième nombre de Fermat. Il est défini par : $$F_n=2^{2^n}+1$$

Partie A : 

Pierre de Fermat, leur inventeur a conjecturé que :

« Tous les nombres de Fermat sont premiers »

L’objectif est de tester cette conjecture.

  1. a. Calculer $F_0$, $F_1$, $F_2$ et $F_3$.
    $\quad$
    b. Peut-on en déduire que tous les nombres de Fermat sont premiers ?
    $\quad$
  2. On considère l’algorithme ci-dessous dans lequel $F\%N$ désigne le reste de la division euclidienne de $F$ par $N$.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    F\leftarrow 2^{2^5}+1\\
    N\leftarrow 2
    \text{Tant que } F\%N\neq 0\\
    \hspace{1cm} N\leftarrow N+1\\
    \text{Fin Tant que }\\
    \text{Afficher }N\\
    \hline
    \end{array}$$
    La valeur affichée à la fin de l’exécution est $641$.
    Que peut-on en déduire?
    $\quad$

Partie B :

L’objectif est de prouver que deux nombres de Fermat distincts sont toujours premiers entre eux.

  1. Démontrer que pour tout entier naturel $n$ non nul on a $F_n=\left(F_{n-1}-1\right)^2+1$.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on note : $$\prod_{i=0}^n F_i=F_0\times F_1\times F_2\times \ldots \times F_{n-1}\times F_n$$
    On a donc $\ds \prod_{i=0}^nF_i=\left(\prod_{i=0}^{n-1}F_i\right)\times F_n$.
    Montrer par récurrence et en utilisant le résultat de la question précédente que pour tout entier naturel $n$ non nul on a : $$\prod_{i=0}^{n-1}F_i=F_n-2$$
    $\quad$
  3. Justifier que, pour tous entiers naturels $n$ et $m$ tels que $n > m$, il existe un entier naturel $q$ tel que $F_n-qF_m=2$.
    $\quad$
  4. En déduire que deux nombres de Fermat sont toujours premiers entre eux.
    $\quad$

 

Bac S – Métropole – Septembre 2018

Métropole – Juin 2018

Bac S – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. $g(0)=\dfrac{1}{1+k}$.
    Or
    $\begin{align*} g(0)=\dfrac{1}{8}&\ssi \dfrac{1}{k+1}=\dfrac{1}{8} \\
    &\ssi k+1=8 \\
    &\ssi k=7
    \end{align*}$
    Ainsi $g(t)=\dfrac{1}{1+7\e^{-\alpha t}}$
    $g(10)=\dfrac{1}{1+7\e^{-10\alpha}}$
    Or
    $\begin{align*} g(10)=\dfrac{64}{100}& \ssi \dfrac{1}{1+7\e^{-10\alpha}}=\dfrac{64}{100} \\
    &\ssi 64\left(1+7\e^{-10\alpha}\right)=100 \\
    &\ssi 64+448\e^{-10\alpha}=100 \\
    &\ssi 448\e^{-10\alpha}=36 \\
    &\ssi \e^{-10\alpha}=\dfrac{9}{112} \\
    &\ssi -10\alpha=\ln \left(\dfrac{9}{112}\right) \\
    &\ssi \alpha=\dfrac{\ln \left(\dfrac{9}{112}\right)}{-10}
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. a. La fonction $t\mapsto -\dfrac{t}{4}$ est strictement décroissante sur $[0;+\infty[$.
    La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\R$ et $7>0$. On en déduit que la fonction $t \mapsto 7\e^{-t/4}$ est strictement décroissante sur $[0;+\infty[$.
    Il en donc de même pour la fonction $t\mapsto 1+7\e^{-t/4}$ (fonction positive également).
    La fonction inverse est strictement décroissante sur $]0;+\infty[$.
    Par conséquent la fonction $g$ est strictement croissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    $\quad$
    Remarque : On pouvait également étudier le signe de $g'(x)$ après avoir montré que la fonction $g$ est dérivable.
    $\quad$
    b. $\lim\limits_{t \to +\infty} -\dfrac{t}{4}=-\infty$ or $\lim\limits_{x \to -\infty} \e^x=0$
    Donc $\lim\limits_{t \to +\infty} \e^{-t/4}=0$ et $\lim\limits_{t \to +\infty} g(t)=1$.
    La fonction $g$ est continue sur $[0;+\infty[$ en tant que somme et quotient de fonctions continues sur cet intervalle dont le dénominateur ne s’annule pas (la fonction exponentielle est strictement positive). Sur l’intervalle $[0;+\infty[$, la fonction $g$ est strictement croissante d’après la question précédente.
    De plus $g(0)=\dfrac{1}{8}<0,99$ et $\lim\limits_{t\to +\infty} g(t)=1>0,99$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $g(t)=0,99$ possède une unique solution sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    On peut donc affirmer qu’un jour, au moins $99\%$ des ménages de cette ville seront équipés d’une connexion internet fixe.
    $\quad$
    Remarque : On pouvait simplement utiliser le théorème des valeurs intermédiaires (avec la croissance) puisqu’on ne demandait pas l’unicité de la solution.
    $\quad$
  3. a. On a $g(18)\approx 0,93$.
    Au $1\ier$ janvier2018 environ $93\%$ des foyers sont équipés d’une connexion internet selon ce modèle.
    $\quad$
    b. On a $n=1~000$ et $p=0,93$.
    Donc $n=1~000 \pg 30$, $np=930\pg 5$ et $n(1-p)=70\pg 5$.
    Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de la proportion de foyers équipés d’une connexion fixe dans cette commune est :
    $\begin{align*} I_{1~000}&=\left[0,93-1,96\sqrt{\dfrac{0,93\times 0,07}{1~000}};0,93+1,96\sqrt{\dfrac{0,93\times 0,07}{1~000}}\right] \\
    &\approx [0,914;0,946]\end{align*}$
    La fréquence observée est $f=\dfrac{880}{1~000}=0,88\notin I_{1~000}$.
    Au risque d’erreur de $5\%$, ce sondage remet en cause le modèle étudié et donne donc raison aux statisticiens sceptiques.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. Un produit de facteur est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Donc $\left(z^2-2z+4\right)\left(z^2+4\right)=0 \ssi z^2-2z+4=0\quad \text{ou} \quad z^2+4=0$
    On s’intéresse à l’équation $z^2-2z+4=0$
    $\Delta = (-2)^2-4\times 4=4-16=-12<0$
    L’équation possède donc $2$ racines complexes :
    $z_1=\dfrac{2-\ic\sqrt{12}}{2}=1-\ic\sqrt{3}$ et $z_2=\conj{z_1}=1+\ic\sqrt{3}$.
    $\quad$
    Ensuite $z^2+4=0 \ssi z^2=-4 \ssi z=-2\ic \text{ ou } z=2\ic$.
    $\quad$
    Les solutions de $\left(z^2-2z+4\right)\left(z^2+4\right)=0$ sont donc : $-2\ic$ ; $2\ic$ ; $1-\ic \sqrt{3}$ et $1+\ic \sqrt{3}$.
    $\quad$
  2. a. $\left|1+\ic \sqrt{3}\right|=\sqrt{1+3}=2$.
    Donc $z_A=2\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\ic\right)=2\e^{\ic \pi/3}$
    $z_B=2\ic=2\e^{\ic \pi/2}$.
    $\quad$
    On a $\left|z_A\right|=\left|z_B\right|=2$.
    Les points $A$ et $B$ appartiennent donc au cercle de centre $0$ et de rayon $2$.
    $\quad$
    b. $\quad$

    $\quad$
    c. On a :
    $\begin{align*} \dfrac{z_B-z_O}{z_A-z_O}&=\dfrac{2\e^{\ic\pi/2}}{2\e^{\ic \pi/3}} \\
    &=\e^{\ic\left(\pi/2-\pi_3\right)} \\
    &=\e^{\ic \pi/6}
    \end{align*}$
    Une mesure de l’angle $\left(\vect{OA};\vect{OB}\right)$ est $\dfrac{\pi}{6}$ rad.
    $\quad$
  3. a. Voir figure
    $\quad$
    L’affixe de $\vect{OA}$ est $z_{\vect{OA}}=z_A$.
    L’affixe de $\vect{BF}$ est $z_{\vect{BF}}=z_F-z_B=z_A+z_B-z_B=z_A$.
    Par conséquent $\vect{OA}=\vect{BF}$ et le quadrilatère $OAFB$ est un parallélogramme.
    De plus $OA=OB$ puisque $A$ et $B$ appartiennent au cercle de centre $O$ et de rayon $2$.
    $OAFB$ est donc un losange.
    $\quad$
    b. Par conséquent $\left(\vect{OA};\vect{OF}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\vect{OA};\vect{OF}\right)$.
    Une mesure de l’angle $\left(\vect{OA};\vect{OF}\right)$ est $\dfrac{\pi}{12}$ rad.
    $\quad$
    On a $\left(\vec{u};\vect{OF}\right)=\left(\vec{u};\vect{OA}\right)+\left(\vect{OA};\vect{OF}\right)$
    Une mesure de l’angle $\left(\vec{u};\vect{OF}\right)$ est donc $\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{5}{12}$ rad.
    $\quad$
    c. $z_F=z_A+z_B=1+\ic\left(\sqrt{3}+2\right)$.
    Donc
    $\begin{align*} \left|z_F\right|&=\sqrt{1^2+\left(\sqrt{3}+2\right)^2}\\
    &=\sqrt{1+3+4+4\sqrt{3}} \\
    &=\sqrt{8+4\sqrt{3}}
    \end{align*}$
    Par conséquent $z_F=\sqrt{8+4\sqrt{3}}\e^{5\ic\pi/12}$.
    $\quad$
    d. On a donc : $\sqrt{8+4\sqrt{3}}\e^{5\ic\pi/12}=1+\ic\left(\sqrt{3}+2\right)$
    $\ssi \sqrt{8+4\sqrt{3}}\left(\cos\left(\dfrac{5\ic\pi}{12}\right)+\ic \sin\left(\dfrac{5\ic\pi}{12}\right)\right)=1+\ic\left(\sqrt{3}+2\right)$
    Donc $\cos\left(\dfrac{5\ic\pi}{12}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{8+4\sqrt{3}}}$.
    $\quad$
  4. Comparons les carrés de ces deux nombres.
    $\left(\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}\right)^2=\dfrac{2-\sqrt{3}}{4}$
    et
    $\left(\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right)^2=\dfrac{6+2-2\sqrt{12}}{16}=\dfrac{2-\sqrt{3}}{4}$.
    Les carrés des deux nombres sont donc égaux.
    De plus les deux nombres sont positifs puisqu’une racine carré est toujours positif et $\sqrt{6}>\sqrt{2}$.
    Par conséquent : $\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

Question 1

On a la représentation paramétrique de la droite $(D)$ : $\begin{cases} x=2+t\\y=1-3t\\z=2t\end{cases} \quad t\in \R$.
On a donc :
$x+y+z-3=2+t+1-3t+2t-3=0$.
La représentation paramétrique de la droite $(D)$ vérifie donc l’équation cartésienne du plan $(P)$.
La droite $(D)$ est incluse dans le plan $(P)$.
Réponse B
$\quad$

Question 2

Le temps d’attente moyen est de $20$ minutes. Par conséquent $\dfrac{1}{\lambda} = 20 \ssi \lambda =\dfrac{1}{20}=0,05$.
On veut calculer :
$P_{(T>20)}(T>30)=P_{(T>20)}(T>20+10)=P(T>10)$ puisque la loi exponentielle est une loi à durée de vie sans vieillissement.
Or $P(T>10)=\e^{-10\lambda}=\e^{-0,5}$.
Réponse A
$\quad$

Question 3

La variable aléatoire $X=\dfrac{D-\mu}{\sigma}=\dfrac{D-65,1}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.
On veut que :
$\begin{align*} P(63,5 < D <66,7)=0,99&\ssi P(-1,6<D-65,1<1,6)=0,99 \\
&\ssi P\left(\dfrac{-1,6}{\sigma}<\dfrac{D-65,1}{\sigma}<\dfrac{1,6}{\sigma}\right)=0,99 \\
&\ssi P\left(\dfrac{-1,6}{\sigma}<X<\dfrac{1,6}{\sigma}\right)=0,99 \\
&\ssi 2P\left(X<\dfrac{1,6}{\sigma}\right)-1=0,99 \\
&\ssi 2P\left(X<\dfrac{1,6}{\sigma}\right)=1,99 \\
&\ssi P\left(X<\dfrac{1,6}{\sigma}\right)=0,995 \end{align*}$
D’après la calculatrice on a $\dfrac{1,6}{\sigma} \approx 2576$ donc $\sigma \approx 0,621$.
Réponse C
$\quad$

Remarque : Il faut bien penser à vérifier que la valeur trouvée permet d’avoir la probabilité demandée
Remarque 2 : Comme il s’agit d’un QCM, on peut également tester à la calculatrice toutes les valeurs proposées.
$\quad$

Question 4

On a $f(x)=\dfrac{4x}{x^2+1}=\dfrac{2\times 2x}{x^2+1}$. Ainsi une primitive de la fonction $f$ est la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=2\ln\left(x^2+1\right)$.
La fonction $f$ est continue et positive sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
On veut donc que :
$\begin{align*} \ds \int_0^a f(x)\dx=\dfrac{1}{2}\int_0^2 f(x)\dx &\ssi F(a)-F(0)=\dfrac{1}{2}\left(F(2)-F(0)\right) \\
&\ssi 2\ln\left(a^2+1\right)=\dfrac{2\ln(5)}{2} \\
&\ssi \ln\left(a^2+1\right)=\dfrac{\ln(5)}{2} \\
&\ssi \ln \left(a^2+1\right)=\ln\left(\sqrt{5}\right) \\
&\ssi a^2+1=\sqrt{5} \\
&\ssi a^2=\sqrt{5}-1 \\
&\ssi a=\sqrt{\sqrt{5}-1} \quad \text{car } a>0\end{align*}$.
Réponse B
$\quad$
Remarque : ici encore, il faut penser à vérifier la valeur trouvée à l’aide de la calculatrice .
Remarque 2 : Il était possible de tester les valeurs proposées et de ne retenir que celle qui permettait d’obtenir le résultat escompté.
$\quad$

Ex 4 obl

Exercice 4

Pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

  1. Si $a=2,9$.
    alors $u_0=2,9$ ; $u_1=2,805$ ; $u_2 \approx 2,63$ ; $u_3 \approx 2,33$ ; $u_4 \approx 1,88$ ; $u_9 \approx 1$ ; $u_{20} \approx 1$.
    Il semblerait que la suite $\left(u_n\right)$ soit, dans ce cas, décroissante et converge vers $1$.
    $\quad$
    Si $a=3,1$
    alors $u_0=3,1$ ; $u_1=3,205$ ; $u_2 \approx 3,43$ ; $u_3 \approx 3,95$ ; $u_4 \approx 5,37$ et $u_5 \approx 10,53$.
    Il semblerait que la suite $\left(u_n\right)$ soit, dans  ce cas, croissante et que $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=+\infty$.
    $\quad$
  2. a. Si la suite $\left(u_n\right)$ converge vers un réel $\ell$ alors $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n= \ell$ et  $\lim\limits_{n \to +\infty} u_{n+1} = \ell$
    $u_{n+1}=f\left(u_n\right) \ssi u_{n+1}=\dfrac{1}{2}{u_n}^2-u_n+\dfrac{3}{2}$
    En prenant la limite de chacun des membres de cette dernière équation on obtient $\ell=\dfrac{1}{2}\ell^2-\ell+\dfrac{3}{2}$
    $\quad$
    b. On a :
    $\begin{align*} \ell=\dfrac{1}{2}\ell^2-\ell+\dfrac{3}{2} &\ssi 2\ell=\ell^2-2\ell+3 \\
    &\ssi \ell^2-4\ell+3=0 \end{align*}$
    Le discriminant est $\Delta = (-4)^2-4\times 3\times 1 = 4>0$
    L’équation possède donc $2$ racines réelles $\ell_1=\dfrac{4-\sqrt{4}}{2}=1$ et $\ell_2=\dfrac{4+\sqrt{4}}{2}=3$.
    Les valeurs possobmes de $\ell$ sont donc $1$ et $3$.
    $\quad$
  3. a. La fonction $f$ est une fonction du second degré dont le coefficient principal est $a=\dfrac{1}{2}>0$.
    De plus l’abscisse du sommet de la parabole représentant cette fonction est $\alpha=-\dfrac{b}{2a}=1$.
    La fonction $f$ est donc croissante sur l’intervalle $[1;+\infty[$.
    Remarque : on pouvait bien entendu, après montré que la fonction était dérivable, étudier le signe de sa dérivée.
    $\quad$
    b. Initialisation : si $n=0$ alors $u_0=2,9$ et $u_1=2,805$.
    On a bien : $1 \pp u_1 \pp u_0$.
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $1\pp u_{n+1} \pp u_n$.
    Montrons qu’elle est encore vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $1\pp u_{n+2} \pp u_{n+1}$.
    La fonction $f$ est croissante sur l’intervalle $[1;+\infty[$ par conséquent :
    $1\pp u_{n+1} \pp u_n \ssi f(1) \pp f\left(u_{n+1}\right) \pp f\left(u_n\right)$
    soit $1\pp u_{n+2} \pp u_{n+1}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $1\pp u_{n+1} \pp u_n$.
    $\quad$
    c. La suite $\left(u_n\right)$ est donc décroissante et minorée par $1$. Par conséquent elle converge soit vers $1$ soit vers $3$.
    Puisque la suite est décroissante et que $u_0<3$ la seule limite possible est $1$.
    $\quad$.
  4. a. La suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
    Supposons que la suite soit majorée. Elle converge donc soit vers $1$ soit vers $3$.
    Or $u_0>3$. Puisque la suite est croissante elle ne peut pas converger vers l’une de ces $2$ limites.
    L’hypothèse “la suite est majorée” est par conséquent absurde.
    La suite $\left(u_n\right)$ n’est pas majorée.
    b. La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et non majorée. Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=+\infty$.
    $\quad$
    c. On obtient l’algorithme suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    P\leftarrow 0 \\
    U\leftarrow 3,1 \\
    \text{Tant que } U\pp 10^6 \\
    \hspace{1cm} P\leftarrow P+1 \\
    \hspace{1cm} U\leftarrow \dfrac{1}{2}U^2-U+\dfrac{3}{2}\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$

Ex spé

Exercice 4

Pour les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

  1. On a $u_0=1$, $u_1=6$ et $u_{n+2}=6u_{n+1}-8u_n$
    alors $u_2=6u_1-8u_0=28$ et $u_3=6u_2-8u_1=120$
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $AU_n=\begin{pmatrix}0&1\\-8&6\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}u_n\\u_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} u_{n+1}\\-8u_n+6u_{n+1}\end{pmatrix}=U_{n+1}$
    $\quad$
  3. a. Initialisation : Si $n=0$ alors $2^0B+4^0C=B+C=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=A^0$.
    La propriété est donc vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $A^n=2^nB+4^nC$.
    Montrons que la propriété est encore vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $A^{n+1}=2^{n+1}B+4^{n+1}C$.
    $\begin{align*} A^{n+1}&=A\times A^n \\
    &=A\left(2^nB+4^nC\right) \\
    &=2^nA\times B+4^nA\times C\end{align*}$
    Or $AB=\begin{pmatrix}4&-1\\8&-2\end{pmatrix}=2B$
    et $AC=\begin{pmatrix}-4&2\\16&8\end{pmatrix}=4C$
    Par conséquent $A^{n+1}=2^n\times 2B+4^n\times 4C=2^{n+1}B+4^{n+1}C$.
    La propriété est vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $A^n=2^nB+4^nC$.
    $\quad$
    b. On sait que $U_0=\begin{pmatrix}1\\6\end{pmatrix}$.
    Pour tout entier naturel $n$ on a $U_n=A^nU_0=2^nBU_0+4^nCU_0$
    Or $BU_0=\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}$ et $CU_0=\begin{pmatrix}2\\8\end{pmatrix}$
    Par conséquent, $U_n=\begin{pmatrix}2^n+2\times 4^n\\-2^{n+1}+8\times 4^n\end{pmatrix}$
    Donc $u_n=2^n+2\times 4^n$ pour tout entier naturel $n$.
    $\quad$

Partie B

  1. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $2^np_n=2^n\left(2^{n+1}-1\right)=2^{2n+1}-2^n=2\times 2^{2n}-2^n=2\times 4^n-2^n$.
    $\quad$
  2. a. Dans $S$ on a stocké la somme des diviseurs entiers positifs de $U$.
    On teste si $S=2U$, c’est-à-dire si $U$ est un nombre parfait.
    L’algorithme permet donc de déterminer si, pour un entier naturel $N$ donné, le nombre $2^N\left(2^{n+1}-1\right)$ est parfait, c’est-à-dire, par conséquent, si $u_N$ est un nombre parfait.
    $\quad$
    On obtient le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    N&P&U&S&\text{Affichage final}\\
    \hline
    0&1&1&1&\text{non}\\
    \hline
    1&3&6&12&\text{oui}\\
    \hline
    2&7&28&56&\text{oui}\\
    \hline
    3&15&120&360&\text{non}\\
    \hline
    4&31&496&992&\text{oui}\\
    \hline
    5&63&2~016&6~552&\text{non}\\
    \hline
    6&127&8~128&16~256&\text{oui}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. Il semblerait que si $P$ est un nombre premier alors l’algorithme affiche “oui”.
    $\quad$
  3. a. On a $u_n=2^np_n$ et $p_n$ est un nombre premier.
    Les seuls diviseurs de $u_n$ sont donc de la forme $2^k$ et $2^kp_n$ avec $k\in \left\{0;1;\ldots;n\right\}$.
    Par conséquent
    $\begin{align*} S_n&=2^0+2^1+\ldots+2^n+p_n+2p_n+2^2p_n+\ldots+2^np_n \\
    &=\left(2^0+2^1+\ldots +2^n\right)\left(1+p_n\right) \\
    &=\dfrac{1-2^{n+1}}{1-2}\left(1+p_n\right) \\
    &=\left(2^{n+1}-1\right)\left(1+p_n\right) \\
    &=p_n\left(1+p_n\right) \end{align*}$
    $\quad$
    b. $u_n=2^np_n$ et $p_n$ est un nombre premier.
    On a, d’après la question précédente :
    $\begin{align*} S_n&=\left(1+p_n\right)p_n \\
    &=\left(2^{n+1}+1-1\right)p_n \\
    &=2^{n+1}p_n\\
    &=2\times 2^np_n\\
    &=2u_n
    \end{align*}$
    Le nombre $u_n$ est donc parfait.
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1     5 points

Une étude statistique a été menée dans une grande ville de France entre le 1$\ier$ janvier 2000 et le 1$\ier$ janvier 2010 afin d’évaluer la proportion des ménages possédant une connexion internet fixe.
Au 1$\ier$ janvier 2000, un ménage sur huit était équipé d’une connexion internet fixe et, au 1$\ier$ janvier 2010, $64 \%$ des ménages l’étaient.
Suite à cette étude, cette proportion a été modélisée par la fonction $g$ définie sur l’intervalle $[0; +\infty[$ par : $$g(t)=\dfrac{1}{1+k\e^{-at}}$$ où $k$ et $a$ sont deux constantes réelles positives et la variable $t$ désigne le temps, compté en années, écoulé depuis le 1$\ier$ janvier 2000.

  1. Déterminer les valeurs exactes de $k$ et $a$ pour que $g(0)=\dfrac{1}{8}$ et $g(10)=\dfrac{64}{100}$.
    $\quad$
  2. Dans la suite, on prendra $k=7$ et $a=0,25$. La fonction $g$ est donc définie par $$g(t)=\dfrac{1}{1+7\e^{-\left(\frac{t}{4}\right)}}$$
    a. Montrer que la fonction $g$ est croissante sur l’intervalle $[0; +\infty[$ .
    $\quad$
    b. Selon cette modélisation, peut-on affirmer qu’un jour, au moins $99\%$ des ménages de cette ville seront équipés d’une connexion internet fixe ? Justifier la réponse.
    $\quad$
  3. a. Donner, au centième près, la proportion de foyers, prévue par le modèle, équipés d’une connexion internet fixe au 1$\ier$ janvier 2018.
    $\quad$
    b. Compte tenu du développement de la téléphonie mobile, certains statisticiens pensent que la modélisation par la fonction $g$ de l’évolution de la proportion de ménages possédant une connexion
    internet fixe doit être remise en cause.
    $\quad$
    Au début de l’année 2018 un sondage a été effectué. Sur $1~000$ foyers, $880$ étaient équipés d’une connexion fixe. Ce sondage donne-t-il raison à ces statisticiens sceptiques ?
    (On pourra utiliser un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95 \%$.)
    $\quad$

Exercice 2     5 points

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $\Ouv$. On prendra pour unité graphique le centimètre.

  1. Résoudre dans $\C$ l’équation $\left(z^2-2z+4\right)\left(z^2+4\right)=0$.
    $\quad$
  2. a. Écrire $z_A$ et $Z_B$ sous forme exponentielle et justifier que les points $A$ et $B$ sont sur un cercle de centre $O$ dont on précisera le rayon.
    $\quad$
    b. Faire une figure et placer les points $A$ et $B$.
    $\quad$
    c. Déterminer une mesure de l’angle $\left(\vect{OA},\vect{OB}\right)$.
    $\quad$
  3. On note $F$ le point d’affixe $z_F=z_A+z_B$.
    a. Placer le point $F$ sur la figure précédente. Montrer que $OAFB$ est un losange.
    $\quad$
    b. En déduire une mesure de l’angle $\left(\vect{OA},\vect{OF}\right)$ puis de l’angle $\left(\vec{u},\vect{OF}\right)$.
    $\quad$
    c. Calculer le module de $z_F$ et en déduire l’écriture de $z_F$ sous forme trigonométrique.
    $\quad$
    d. En déduire la valeur exacte de : $$\cos\left(\dfrac{5\pi}{12}\right)$$
    $\quad$
  4. Deux modèles de calculatrices de marques différentes donnent pour l’une : $$\cos\left(\dfrac{5\pi}{12}\right)=\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2},$$ et pour l’autre $$\cos\left(\dfrac{5\pi}{12}\right)=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$$
    Ces résultats sont-ils contradictoires? Justifier la réponse.
    $\quad$

Exercice 3     6 points

Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiple). Pour chaque question, quatre réponses sont proposées et une seule d’entre elles est exacte.
Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question suivi de la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Il est attribué 1,5 point par réponse correcte.
Aucun point n’est enlevé en l’absence de réponse ou en cas de réponse incorrecte

Question 1
Dans l’espace rapporté à un repère $\Oijk$, on considère la droite $(D)$ de représentation paramétrique $\begin{cases} x=2+t\\y=1-3t\\z=2t \end{cases} \quad (t\in \R)$, et le plan $(P)$ d’équation cartésienne $x+y+z-3=0$.
On peut affirmer que :
$\quad$
Réponse A : La droite $(D)$ et le plan $(P)$ sont strictement parallèles.
Réponse B : La droite $(D)$ est incluse dans le plan $(P)$.
Réponse C : La droite $(D)$ et le plan $(P)$ se coupent au point de coordonnées $(4;-5;4)$.
Réponse D : La droite $(D)$ et le plan $(P)$ sont orthogonaux.
$\quad$

Question 2
Dans le rayon informatique d’une grande surface, un seul vendeur est présent et les clients sont nombreux.
On admet que la variable aléatoire $T$, qui, à chaque client, associe le temps d’attente en minutes pour que le vendeur soit disponible, suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.
Le temps d’attente moyen est de $20$ minutes.
Sachant qu’un client a déjà attendu $20$ minutes, la probabilité que son attente totale dépasse une demi-heure est :
$\quad$
Réponse A : $\e^{-\frac{1}{2}}$
Réponse B : $\e^{-\frac{3}{2}}$
Réponse C : $1-\e^{-\frac{1}{2}}$
Réponse D : $1-\e^{-10\lambda}$
$\quad$

Question 3
Une usine fabrique des balles de tennis en grande quantité. Pour être conforme au règlement des compétitions internationales, le diamètre d’une balle doit être compris entre $63,5$ mm et $66,7$ mm.
On note $D$ la variable aléatoire qui, à chaque balle produite, associe son diamètre mesuré en millimètres.
On admet que $D$ suit une loi normale de moyenne $65,1$ et d’écart type $\sigma$.
On appelle $P$ la probabilité qu’une balle choisie au hasard dans la production totale soit conforme.
L’usine décide de régler les machines de sorte que $P$ soit égale à $0,99$. La valeur de $\sigma$, arrondie au centième, permettant d’atteindre cet objectif est :
$\quad$
Réponse A : $0,69$
Réponse B : $2,58$
Réponse C : $0,62$
Réponse D : $0,80$
$\quad$

Question 4
La courbe ci-dessous est la représentation graphique, dans un repère orthonormé, de la fonction 𝑓 définie par : $$f(x)=\dfrac{4x}{x^2+1}$$

La valeur exacte du réel positif $\alpha$ tel que la droite d’équation $x = \alpha$ partage le domaine hachuré en deux^domaines d’aires égales est :

Réponse A : $\sqrt{\sqrt{\dfrac{3}{2}}}$
Réponse B : $\sqrt{\sqrt{5}-1}$
Réponse C : $\ln 5 -0,5$
Réponse D : $\dfrac{10}{9}$
$\quad$

Exercice 4     5 points

Pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : $$f(x)=\dfrac{1}{2}x^2-x+\dfrac{3}{2}$$
Soit $\alpha$ un réel positif.
On définit la suite $\left(u_n\right)$ par $u_0=\alpha$ et, pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$.

Le but de cet exercice est d’étudier le comportement de la suite $\left(u_n\right)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$, suivant différentes valeurs de son premier terme $u_0=a$.

  1. À l’aide de la calculatrice, conjecturer le comportement de la suite $\left(u_n\right)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$, pour $a=2,9$ puis pour $a=3,1$.
    $\quad$
  2. Dans cette question, on suppose que la suite $\left(u_n\right)$ converge vers un réel $\ell$.
    a. En remarquant que $u_{n+1}=\dfrac{1}{2}{u_n}^2-u_n+\dfrac{3}{2}$, montrer que $\ell=\dfrac{1}{2}\ell^2-\ell+\dfrac{3}{2}$.
    $\quad$
    b. Montrer que les valeurs possibles de $\ell$ sont $1$ et $3$.
    $\quad$
  3. Dans cette question, on prend $a=2,9$.
    a. Montrer que $f$ est croissante sur l’intervalle $[1;+\infty[$.
    $\quad$
    b. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $1\pp u_{n+1}\pp u_n$.
    $\quad$
    c. Montrer que $\left(u_n\right)$ converge et déterminer sa limite.
    $\quad$
  4. Dans cette question, on prend $a=3,1$ et on admet que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
    a. À l’aide des questions précédentes montrer que la suite $\left(u_n\right)$ n’est pas majorée.
    $\quad$
    b. En déduire le comportement de la suite $\left(u_n\right)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
    $\quad$
    c. L’algorithme suivant calcule le plus petit rang $P$ pour lequel $u_p>10^6$.
    Recopier et compléter cet algorithme. $P$ est un nombre entier et $U$ est un nombre réel.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    P\leftarrow 0\\
    U \ldots\ldots\\
    \text{Tant que } \ldots\ldots\ldots\ldots\\
    \hspace{1cm} P\leftarrow \ldots\ldots\\
    \hspace{1cm} U\leftarrow \ldots\ldots\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$

 

Exercice 4     5 points

Pour les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par : $u_0=1$, $u_1=6$ et, pour tout entier naturel $n$ : $$u_{n+2}=6u_{n+1}-8u_n$$

  1. Calculer $u_2$ et $u_3$.
    $\quad$
  2. On considère la matrice $A=\begin{pmatrix}0&1\\-8&6\end{pmatrix}$ et la matrice colonne $U_n=\begin{pmatrix}u_n\\u_{n+1}\end{pmatrix}$.
    Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $U_{n+1}=AU_n$.
    $\quad$
  3. On considère de plus les matrices $B=\begin{pmatrix}2&-0,5\\4&-1\end{pmatrix}$ et $C=\begin{pmatrix}-1&0,5\\-4&2\end{pmatrix}$.
    a. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $A^n=2^nB+4^nC$.
    $\quad$
    b. On admet que, pour tout entier naturel $n$, on a : $U_n=A^nU_0$.
    Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n=2\times 4^n-2^n$.
    $\quad$

Partie B

On dit qu’un entier naturel $N$ est parfait lorsque la somme de ses diviseurs (positifs) est égale à $2N$.
Par exemple, $6$ est un nombre parfait car ses diviseurs sont $1$, $2$, $3$ et $6$ et on a : $1 + 2 + 3 + 6 = 12 = 2 \times 6$ .
Dans cette partie, on cherche des nombres parfaits parmi les termes de la suite $\left(u_n\right)$ étudiée dans la partie A.

  1. Vérifier que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n=2^np_n$ avec $p_n=2^{n+1}-1$.
    $\quad$
  2. On considère l’algorithme suivant où $N$, $S$, $U$, $P$ et $K$ sont des entiers naturels.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    S\leftarrow 0\\
    \text{Demander à l’utilisateur la valeur de }N\\
    P\leftarrow 2^{N+1}-1\\
    U\leftarrow 2^NP\\
    \\
    \text{Pour $K$ variant de $1$ à $U$}\\
    \hspace{1cm} \text{Si $\dfrac{U}{K}$ est un nombre entier} \\
    \hspace{3cm} S \leftarrow S+K\\
    \hspace{1cm} \text{Fin Si}\\
    \text{Fin Pour}\\
    \\
    \text{Si }S=2U\\
    \hspace{1cm} \text{Afficher « oui »}\\
    \text{Sinon} \\
    \hspace{1cm} \text{Afficher « non »}\\
    \text{Fin Si}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    a. À quelle question permet de répondre cet algorithme ?
    Compléter, sans justification, les cases vides du tableau donné en annexe. Il n’est pas demandé au candidat de programmer l’algorithme.
    $\quad$
    b. Faire une conjecture donnant une condition suffisante sur $P$ pour que l’algorithme affiche « oui ».
    $\quad$
  3. Dans cette question, on suppose que $p_n$ est un nombre premier. On note $S_n$ la somme des diviseurs de $u_n$.
    a. Montrer que $S_n=\left(1+p_n\right)p_n$.
    $\quad$
    b. En déduire que $u_n$ est un nombre parfait.
    $\quad$

Annexe

Affichage de l’algorithme pour les premières valeurs de $N$

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
N&P&U&S&\text{Affichage final}\\
\hline
0&1&1&1&\text{non}\\
\hline
1&3&6&12&\text{oui}\\
\hline
2&7&&&\\
\hline
3&15&&360&\\
\hline
4&31&&992&\text{oui}\\
\hline
5&63&&6~552&\text{non}\\
\hline
6&127&8~128&16~256&\\
\hline
\end{array}$$

 

 

Bac S – Antilles Guyane – Septembre 2018

Antilles Guyane – Juin 2018

Bac S – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. On obtient l’arbre de probabilité suivant :

    $\quad$
  2. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(C)&=p(B\cap C)+p\left(\conj{B}\cap C\right) \\
    &=0,4\times 0,6+0,6\times 0,7 \\
    &=0,66
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_C(B)&=\dfrac{p(B\cap C)}{p(C)} \\
    &=\dfrac{0,4\times 0,6}{0,66} \\
    &=\dfrac{4}{11}\\
    &\approx 0,364
    \end{align*}$
    $\quad$

Partie B

  1. On veut calculer :
    $\begin{align*} p\left(X_1>247,5\right)&=p\left(247,5<X_1<251\right)+0,5 \\
    &\approx 0,960
    \end{align*}$
    La probabilité qu’un paquet prélevé au hasard dans la production soit conforme à la réglementation est donc environ égale à $0,96$.
    $\quad$
  2. La variable $Z=\dfrac{X_2-\mu_2}{2}$ suit la loi normale centrée réduite.
    On cherche donc la valeur de $\mu_2$ telle que :
    $\begin{align*} p\left(X_2>247,5\right)=0,9&\ssi p\left(247,5<X_2<\mu_2\right)+0,5=0,9 \\
    &\ssi p\left(247,5<X_2<\mu_2\right)=0,4 \\
    &\ssi p\left(247,5-\mu_2<X_2-\mu_2<0\right)=0,4\\
    &\ssi p\left(247,5-\mu_2<X_2-\mu_2<\mu_2-247,5\right)=0,8\\
    &\ssi p\left(\dfrac{247,5-\mu_2}{2}<\dfrac{X_2-\mu_2}{2}<\dfrac{\mu_2-247,5}{2}\right)=0,8\\
    &\ssi p\left(\dfrac{247,5-\mu_2}{2}<Z<\dfrac{\mu_2-247,5}{2}\right)=0,8\\
    &\ssi 2p\left(Z<\dfrac{\mu_2-247,5}{2}\right)+1=0,8\\
    &\ssi 2p\left(Z<\dfrac{\mu_2-247,5}{2}\right)=1,8\\
    &\ssi p\left(Z<\dfrac{\mu_2-247,5}{2}\right)=0,9
    \end{align*}$
    À l’aide de la calculatrice on trouve $\dfrac{\mu_2-247,5}{2}\approx 1,282$.
    Donc $\mu_2 \approx 250,064$.
    $\quad$

Partie C

On a $n=256$ et $p=0,98$.
Donc $n\pg 30$, $np=250,88\pg 5$ et $n(1-p)=5,12\pg 5$.
Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ est :

$\begin{align*} I_{256}&=\left[0,98-1,96\sqrt{\dfrac{0,98\times 0,02}{256}};0,98+1,96\sqrt{\dfrac{0,98\times 0,02}{256}}\right] \\
&\approx [0,962;0,998]\end{align*}$

La fréquence observée est $f=\dfrac{248}{256}=0,968~75 \in I_{256}$.

Le résultat de ce contrôle ne remt donc pas en question l’affirmation de la dirigente.
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. D’après le graphique, il semblerait que $\lim\limits_{x\to -\infty} f_2(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x \to +\infty}f_2(x)=0$.
    $\quad$
  2. On peut conjecturer le tableau de variations suivant :

    $\quad$
  3. Il semblerait qu’une équation de $T_2$ soit $y=-x+2$.
    $\quad$
  4. Cf graphique
    $\quad$

Partie B

  1. $\lim\limits_{x \to -\infty} x+m=-\infty$
    Or $\lim\limits_{x \to -\infty} -x=+\infty$ et $\lim\limits_{X \to +\infty} \e^X=+\infty$ donc $\lim\limits_{x \to -\infty} \e^{-x}=+\infty$.
    Donc $\lim\limits_{x \to -\infty} f_m(x)=-\infty$.
    $\quad$
    On a $f_m(x)=x\e^{-x}+m\e^{-x}$
    Or $\lim\limits_{x \to +\infty} -x=-\infty$ et $\lim\limits_{X \to -\infty} \e^X=0$ donc $\lim\limits_{x \to +\infty} \e^{-x}=0$.
    De plus $\lim\limits_{x \to +\infty} -x=-\infty$ et $\lim\limits_{X \to -\infty} X\e^X=0$ donc $\lim\limits_{x \to +\infty} x\e^{-x}=0$.Par conséquent $\lim\limits_{x \to +\infty} f_m(x)=0$.
    $\quad$
  2. Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} {f_m}'(x)&=\e^{-x}-(x+m)\e^{-x} \\
    &=(-x-m+1)\e^{-x} \end{align*}$
    $\quad$
  3. La fonction exponentielle est strictement positive.
    Par conséquent le signe de ${f_m}'(x)$ ne dépend que de celui de $-x-m+1$.
    Or $-x-m+1=0 \ssi x=1-m$ et $-x-m+1>0 \ssi x<1-m$.
    La fonction $f_m$ est donc croissante sur l’intervalle $]-\infty;1-m]$ et décroissante sur l’intervalle $[1-m;+\infty[$.
    $\quad$
  4. a. Une équation de $T_m$ est $y={f_m}'(0)x+f_m(0)$
    Soit $y=(-m+1)x+m$
    $\quad$
    b. Il semblerait que le point de coordonnées $(1;1)$ appartienne à toutes les droites $T_m$.
    Vérifions cette conjecture : $(1-m)\times 1+m=1-m+m=1$.
    Toutes les droites $T_m$ passent donc par le point de coordonnées $(1;1)$.
    $\quad$
  5. La fonction exponentielle est strictement positive. Le signe de $f_m(x)$ ne dépend donc que de celui de $x+m$.
    Or $x+m=0\ssi x=-m$ et $x+m>0 \ssi x>-m$.
    Ainsi :
    – sur l’intervalle $]-\infty;-m[$, on a $f_m(x)<0$;
    – on a $f_m(-m)=0$;
    – sur l’intervalle $]-m;+\infty[$, on a $f_m(x)>0$.
    $\quad$
  6. a. Pour tout réel $x$ on a :
    $\ds \begin{align*} \int_{-2}^x f_2(t)\dt &=F_2(x)-F_2(-2) \\
    &=-(x+3)\e^{-x}+\e^{2} \end{align*}$
    $\quad$
    b. On a ainsi $\ds\int_{-2}^x f_2(t)\dt = -f_3(x)+\e^{2}$
    Or $\lim\limits_{x \to +\infty} f_3(x)=0$ donc $\ds \lim\limits_{x \to +\infty} \int_{-2}^x f_2(t)\dt=\e^2$.
    $\quad$

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Bac S – Polynésie – Juin 2018

Polynésie – Juin 2018

Bac S – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $$\begin{align*} p(R) &= p(D\cap R)+p\left(\conj{D}\cap R\right) \\
    &=0,06\times 0,98+0,94\times 0,08\\
    &=0,134
    \end{align*}$$
    $\quad$
  2. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_R(D)&=\dfrac{p(R\cap D)}{p(R)} \\
    &=\dfrac{0,06\times 0,98}{0,134} \\
    & \approx 0,44 \\
    &<0,5
    \end{align*}$
    L’affirmation est donc fausse.
    $\quad$

Partie B

On a $n=150$ et $p=0,06$.
$n\pg 30$, $np=9 \pg 5$ et $n(1-p)=141 \pg 5$.
Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de la proportion de DVD défectueux est :
$$\begin{align*} I_{150}&=\left[0,06-1,96\sqrt{\dfrac{0,06\times 0,94}{150}};0,06+1,96\sqrt{\dfrac{0,06\times 0,94}{150}}\right] \\
&\approx [0,021;0,099]
\end{align*}$$

La fréquence observée est $f=\dfrac{14}{150}\approx 0,093 \in I_{150}$.

On ne peut donc pas rejeter l’hypothèse faite.
$\quad$

Partie C

  1. La variable aléatoire $Y=\dfrac{X-\mu}{\sigma}=\dfrac{X-80}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.
    $$\begin{align*} P(X \pg 92)=0,1 &\ssi P(X-80\pg 12)=0,1 \\
    &\ssi P\left(\dfrac{X-80}{\sigma} \pg \dfrac{12}{\sigma}\right)=0,1 \\
    &\ssi P\left(\dfrac{X-80}{\sigma} \pp \dfrac{12}{\sigma}\right)=0,9  \\
    &\ssi P\left(Y \pp \dfrac{12}{\sigma}\right)=0,9  \\
    \end{align*}$$
    À l’aide de la fonction inverse loi normale de la calculatrice, on trouve :
    $\dfrac{12}{\sigma} \approx 1,282$ donc $\sigma \approx 9,36$.
    $\quad$
  2. L’enfant a déjà vu $1$ h $30$ min du film soit $90$ min.
    S’il se termine dans les cinq minutes qui suivent cela signifie qu’il dure donc moins de $95$ min.
    On veut calculer :
    $\begin{align*} P_{X \pg 90}(X \pp 95)&=\dfrac{P(90\pp X\pp 95)}{P(X \pg 90)} \\
    &=\dfrac{P(90 \pp X \pp 95)}{0,5-P(80\pp X \pp 90)}\\
    &\approx 0,62
    \end{align*}$
    La probabilité que le film se termine dans les cinq minutes qui suivent sachant qu’il en a déjà vu  une heure et demie est environ égale à $62\%$.
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

Partie A – Modélisation de la forme d’une ampoule

  1. a. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[0;4]$  en tant que somme et composée de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $$f'(x)=b \times \dfrac{\pi}{4}\cos\left(c+\dfrac{\pi}{4}x\right)$$
    $\quad$
    b. La tangente en $B$ est parallèle à l’axe des abscisses donc $f'(0)=0$. Par conséquent $f'(0)=b \times \dfrac{\pi}{4}\cos(c)=0$
    Cela signifie que $c=\dfrac{\pi}{2}+k\pi$.
    On sait que $c$ appartient à l’intervalle $\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$ donc $c=\dfrac{\pi}{2}$.
    $\quad$
  2. On a ainsi $f(x)=a+b\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{4}x\right)$.
    On sait que $f(0)=1$ donc $a+b=1$
    et que $f(4)=3$ soit $a+b\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+\pi\right)=3\ssi a-b=3$.
    On résout donc le système suivant :
    $\begin{align*} \begin{cases} a+b=1\\a-b=3 \end{cases} &\ssi \begin{cases} a=1-b\\1-b-b=3\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} a=1-b\\-2b=2 \end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} b=-1\\a=2\end{cases} \end{align*}$
    $\quad$

Partie B – Approximation du volume de l’ampoule

  1. $OB=1$ est le rayon du cylindre de section le rectangle $ABFG$.
    Sa hauteur est $AB=1$.
    Le volume de ce cylindre est $V_C=\pi\times OB^2\times AB=\pi$ unité de volume (u.v.).
    $\quad$
  2. Le rayon de la demi-boule est $R=\dfrac{1}{2}CE=\dfrac{1}{2}\times 6=3$.
    Le volume de la demi-boule est :
    $\begin{align*} V_B&=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{4}{3}\pi R^3 \\
    &=\dfrac{2}{3}\pi \times 3^3\\
    &=18\pi \text{u.v.}
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. a. Le rayon du troisième cylindre est $R_3=f\left(\dfrac{8}{5}\right)$.
    Son volume est donc $V_3=\pi\times \left(f\left(\dfrac{8}{5}\right)\right)^2\times \dfrac{4}{5}=\dfrac{16\pi}{5} \approx 7,19$ u.v. .
    $\quad$
    b.
    On obtient l’algorithme suivant :
    $$\begin{array}{|cl|}
    \hline
    1&V\leftarrow 0 \\
    2&\text{Pour $k$ allant de $0$ à $n-1$} : \\
    3&\hspace{1cm}|V\leftarrow V+\pi\times \left(2-\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\times \dfrac{k*4}{n}\right)\right)^2\times \dfrac{4}{n} \\
    4&\text{Fin Pour}\\
    \hline
    \end{array}$$

Ex 3

Exercice 3

  1. Une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;+\infty[$ est la fonction $F$ définie par $F(x)=-\e^{-kx}$.
    $\quad$
  2. On a $BC=f(1)=k\e^{-k}$.
    L’aire du triangle $OBC$ est donc $V_1=\dfrac{1\times k\e^{-k}}{2}=\dfrac{k\e^{-k}}{2}$.
    $\quad$
    La fonction $f$ est continue et positive sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    L’aire du domaine $\mathscr{D}$ est donc :
    $\begin{align*} V_2&=\ds \int_0^1 f(x)\dx-V_1 \\
    &=F(1)-F(0)-\dfrac{k\e^{-k}}{2} \\
    &=1-\e^{-k}-\dfrac{k\e^{-k}}{2} \\
    &=1-\dfrac{(2+k)\e^{-k}}{2} \\
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. On veut résoudre l’équation
    $ 1-\e^{-k}-\dfrac{k\e^{-k}}{2}=k\e^{-k} \ssi 1-\e^{-k}-\dfrac{3k}{2}\e^{-k} = 0 $
    On considère la fonction $g$ définie sur $]0;+\infty[$ par $g(x)=1-\e^{-x}-\dfrac{3x}{2}\e^{-x}$
    La fonction $g$ est continue sur $]0;+\infty[$ comme somme et produit de fonctions continues sur cet intervalle.
    Elle est également dérivable sur cet intervalle comme somme et produit de fonctions dérivables sur $]0;+\infty[$.
    Pour tout réel $x>0$ on a :
    $\begin{align*} g'(x)&=\e^{-x}-\dfrac{3}{2}\e^{-x}+\dfrac{3x}{2}\e^{-x} \\
    &=\dfrac{-1+3x}{2}\e^{-x}
    \end{align*}$
    La fonction exponentielle est strictement positive sur l’intervalle $]0;+\infty[$.
    Le signe de $g'(x)$ ne dépend donc que de celui de $-1+3x$.
    Or $-1+3x=0 \ssi x=\dfrac{1}{3}$
    Et $-1+3x>0 \ssi x>\dfrac{1}{3}$
    On obtient le tableau de variation suivant :
    $1-\e^{-0}-\dfrac{3\times 0}{2}\e^{-0}=0$ donc $\lim\limits_{x \to 0^+} g(x)=0$.
    $\lim\limits_{x \to +\infty} -x=-\infty$ et $\lim\limits_{X \to -\infty} \e^X=0$.
    Donc  $\lim\limits_{x \to +\infty} \e^{-x}=0$
    $\lim\limits_{x \to +\infty} -x=-\infty$ et $\lim\limits_{X \to -\infty} X\e^X=0$.
    Donc  $\lim\limits_{x \to +\infty} -x\e^{-x}=0$
    Par conséquent $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=1$.
    $g\left(\dfrac{1}{3}\right) \approx -0,07$.
    $\quad$
    Sur l’intervalle $\left]0;\dfrac{1}{3}\right]$ on a $g(x)<0$.
    L’équation $g(x)=0$ ne possède donc pas de solution sur cet intervalle.
    Sur l’intervalle $\left]\dfrac{1}{3};+\infty\right[$, la fonction $f$ est continue et strictement croissante.
    $g\left(\dfrac{1}{3}\right)<0$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=1>0$
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $g(x)=0$ possède une unique solution sur l’intervalle $\left]\dfrac{1}{3};+\infty\right[$.
    L’équation $g(x)=0$ possède donc une unique solution sur l’intervalle $]0;+\infty$.
    Par conséquent il existe une unique valeur du réel $k$ strictement positive telle que l’aire du domaine $\mathscr{D}$ vaut le double de celle du triangle $OCB$.
    $\quad$

Ex 4 obl

Exercice 4

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

  1. On a pu écrire : $=2*B2/3+C2/2+2*D2/3$.
    $\quad$
  2. Il semblerait les suites $\left(a_n\right)$, $\left(b_n\right)$ et $\left(c_n\right)$ convergent vers des limites dont des valeurs approchées sont respectivement $0,214$, $0,571$ et $0,214$.
    $\quad$

Partie B

  1. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=a_n-c_n$.
    $\begin{align*} u_{n+1}&=a_{n+1}-c_{n+1} \\
    &=\dfrac{1}{3}a_n+\dfrac{1}{4}b_n-\left(\dfrac{1}{4}b_n+\dfrac{1}{3}c_n\right) \\
    &=\dfrac{1}{3}a_n-\dfrac{1}{3}c_n \\
    &=\dfrac{1}{3}\left(a_n-c_n\right) \\
    &=\dfrac{1}{3}u_n
    \end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{3}$ et de premier terme  $u_0=a_0-c_0=1$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a alors $u_n=\left(\dfrac{1}{3}\right)^n$.
    $\quad$
  2. a. Le lapin ne peut aller que dans $3$ galeries.
    Donc, pour tout entier naturel $n$ on a $a_n+b_n+c_n=1$.
    Par conséquent $a_n+c_n=1-b_n$.
    $\quad$
    On a $v_n=b_n-\dfrac{4}{7} \ssi b_n=v_n+\dfrac{4}{7}$.
    $\begin{align*} v_{n+1}&=b_{n+1}-\dfrac{4}{7} \\
    &=\dfrac{2}{3}a_n+\dfrac{1}{2}b_n+\dfrac{2}{3}c_n-\dfrac{4}{7} \\
    &=\dfrac{2}{3}\left(a_n+c_n\right)+\dfrac{1}{2}b_n-\dfrac{4}{7} \\
    &=\dfrac{2}{3}\left(1-b_n\right)+\dfrac{1}{2}b_n-\dfrac{4}{7} \\
    &=\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{3}b_n+\dfrac{1}{2}b_n-\dfrac{4}{7} \\
    &=\dfrac{2}{21}-\dfrac{1}{6}b_n \\
    &=\dfrac{2}{21}-\dfrac{1}{6}\left(v_n+\dfrac{4}{7}\right) \\
    &=\dfrac{2}{21}-\dfrac{1}{6}v_n-\dfrac{2}{21} \\
    &=-\dfrac{1}{6}v_n
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $-\dfrac{1}{6}$ et de premier terme $v_0=b_0-\dfrac{4}{7}=-\dfrac{4}{7}$.
    Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $v_n=-\dfrac{4}{7}\times \left(-\dfrac{1}{6}\right)^n$.
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $b_n=v_n+\dfrac{4}{7}=\dfrac{4}{7}-\dfrac{4}{7}\times \left(-\dfrac{1}{6}\right)^n$.
    On a $(S)\ssi\begin{cases} a_n-c_n=u_n\\a_n+c_n+b_n=1 \end{cases}$.
    En ajoutant les deux lignes on a : $2a_n=u_n+1-b_n \ssi a_n=\dfrac{u_n+1-b_n}{2}$.
    Donc $(S) \ssi \begin{cases} a_n=\dfrac{u_n+1-b_n}{2}\\c_n=1-a_n-b_n \end{cases}$.
    Par conséquent
    $\begin{align*} a_n &=\dfrac{u_n+1-b_n}{2} \\
    &=\dfrac{\left(\dfrac{1}{3}\right)^n+1-\dfrac{4}{7}+\dfrac{4}{7}\times \left(-\dfrac{1}{6}\right)^n}{2} \\
    &=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3}\right)^n+\dfrac{1}{2}\times \dfrac{3}{7}+\dfrac{1}{2}\times \dfrac{4}{7}\left(-\dfrac{1}{6}\right)^n \\
    &=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3}\right)^n+\dfrac{3}{14}+\dfrac{2}{7}\left(-\dfrac{1}{6}\right)^n
    \end{align*}$
    $\quad$
    $\begin{align*} c_n&=1-a_n-b_n \\
    &=1-\left(\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3}\right)^n+\dfrac{3}{14}+\dfrac{2}{7}\left(-\dfrac{1}{6}\right)^n+\dfrac{4}{7}-\dfrac{4}{7}\times \left(-\dfrac{1}{6}\right)^n\right) \\
    &=1-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3}\right)^n-\dfrac{3}{14}-\dfrac{2}{7}\left(-\dfrac{1}{6}\right)^n-\dfrac{4}{7}+\dfrac{4}{7}\times \left(-\dfrac{1}{6}\right)^n \\
    &=\dfrac{3}{14}-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3}\right)^n+\dfrac{2}{7}\left(-\dfrac{1}{6}\right)^n
    \end{align*}$
    $\quad$
  4. On a $-1<\dfrac{1}{3}<1$ et $-1<-\dfrac{1}{6}<1$
    Donc $\lim\limits_{n\to +\infty}\left(\dfrac{1}{3}\right)^n=0$ et $\lim\limits_{n\to +\infty}\left(-\dfrac{1}{6}\right)^n=0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} a_n=\dfrac{3}{14}$,  $\lim\limits_{n\to +\infty}b_n=\dfrac{4}{7}$ et $\lim\limits_{n\to +\infty}c_n= \dfrac{3}{14}$.
    Après un très grand nombre d’étapes, la probabilité que le lapin soit dans la galerie A est $\dfrac{3}{14}$, dans la galerie B est $\dfrac{4}{7}$ et dans la galerie C est $\dfrac{3}{14}$.
    $\quad$

 

Ex 4 spé

Exercice 4

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A – Étude d’un premier milieu

  1. Pour tout entier naturel $n$ on a $\begin{cases} a_{n+1}=0,995a_n+0,6b_n \\b_{n+1}=1-a_{n+1} \end{cases}$
    Donc $a_1=0,995a_n+0,6b_n=0,995$ et $b_1=1-a_n=0,005$.
    $a_2=0,995a_1+0,6b_n=0,993~025$ et $b_2=1-a_n=006~975$.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a
    $\begin{cases} a_{n+1}=0,995a_n+0,6b_n \\b_{n+1}=1-a_{n+1} \end{cases} \ssi \begin{cases} a_{n+1}=0,995a_n+0,6b_n\\b_{n+1}=0,005a_n+0,4b_n \end{cases} $
    Donc $A=\begin{pmatrix} 0,995&0,005\\0,6&0,4 \end{pmatrix}$.
    $\quad$
  3. On a $P^{-1}A=\dfrac{1}{121}\begin{pmatrix} 120&1\\-0,395&0,395\end{pmatrix}$
    Donc $D=P^{-1}AP=\begin{pmatrix} 1&0\\0&0,395\end{pmatrix}$.
    $\quad$
  4. Montrons la propriété par récurrence.
    Initialisation : Si $n=0$ alors $A^0=I_2$ et $PD^0P^{-1}=I_2=A^0$ où $I_2$ est la matrice identité de taille $2$.
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $A^n=PD^nP^{-1}$.
    Montrons que la propriété est vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $A^{n+1}=PD^{n+1}P^{-1}$.
    $\begin{align*} A^{n+1}&=A\times A^n \\
    &=PDP^{-1}PD^nP^{-1} \\
    &=PD^{n+1}P^{-1}
    \end{align*}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $A_n=PD^nP^{-1}$.
    $\quad$
  5. On a, pour tout entier naturel $n$ :
    $X_n=X_0A^n=\dfrac{1}{121}\begin{pmatrix}120+0,395^n&1-0,395^n\end{pmatrix}$
    Par conséquent $a_n=\dfrac{120+0,395^n}{121}$.
    $\quad$
  6. $-1<0,395<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,395^n=0$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} a_n=\dfrac{120}{121}$.
    Sur le long terme, la probabilité qu’un atome soit dans un état stable est $\dfrac{120}{121}$.
    $\quad$

Partie B – Étude d’un second milieu

  1. Pour tout entier naturel $n$ on a donc :
    $\begin{cases} a_{n+1}=0,99a_n+\alpha b_n+ \\0,01a_n+(1-\alpha)b_n\end{cases}$.
    La matrice de transition dans le milieu 2 est donc $M=\begin{pmatrix} 0,99 &0,01\\\alpha&1-\alpha \end{pmatrix}$.
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} XM=X &\ssi \begin{cases} 0,98=0,98\times 0,99+0,02\alpha \\0,02=0,98\times 0,01+0,02(1-\alpha) \end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} 0,98=0,970~2+0,02\alpha\\0,02=0,0098+0,02-0,02\alpha \end{cases} \\
    &\ssi 0,0098=0,02\alpha\\
    &\ssi \alpha=0,49
    \end{align*}$

 

Énoncé

Exercice 1     5 points

Rappel de connaissances

L’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95 \%$ est donné par la formule $$\left[p-1,96\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}};p+1,96\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}\right]$$
où $n$ désigne la taille de l’échantillon et $p$ la proportion des individus possédant le caractère étudié dans cette population. Les conditions de validité de cet intervalle sont les suivantes : $$n\pg 30~,~ np \pg 5~,~ n(1-p) \pg 5$$
La municipalité d’une grande ville dispose d’un stock de DVD qu’elle propose en location aux usagers des différentes médiathèques de cette ville.
Afin de renouveler son offre de location, la municipalité décide de retirer des DVD de son stock.
Parmi les DVD retirés, certains sont défectueux, d’autres non.
Parmi les $6 \%$ de DVD défectueux sur l’ensemble du stock, $98 \%$ sont retirés.
On admet par ailleurs que parmi les DVD non défectueux, $92 \%$ sont maintenus dans le stock ; les autres sont retirés.

Les trois parties sont indépendantes.

Partie A

On choisit un DVD au hasard dans le stock de la municipalité.
On considère les événements suivants :

  • $D$ : « le DVD est défectueux » ;
  • $R$ : « le DVD est retiré du stock ».

On note $\conj{D}$ et $\conj{R}$ les événements contraires respectifs des événements $D$ et $R$.

  1. Démontrer que la probabilité de l’événement $R$ est $0,134$.
    $\quad$
  2. Une association caritative contacte la municipalité dans l’objectif de récupérer l’ensemble des DVD qui sont retirés du stock. Un responsable de la ville affirme alors que parmi ces DVD retirés, plus de la moitié est composée de DVD défectueux.
    Cette affirmation est-elle vraie ?
    $\quad$

Partie B

Une des médiathèques de la ville se demande si le nombre de DVD défectueux qu’elle possède n’est pas anormalement élevé. Pour cela, elle effectue des tests sur un échantillon de $150$ DVD de son propre stock qui est suffisamment important pour que cet échantillon soit assimilé à un tirage successif avec remise. Sur cet échantillon, on détecte $14$ DVD défectueux.
Peut-on rejeter l’hypothèse selon laquelle, dans cette médiathèque, $6 \%$ des DVD sont défectueux ?

$\quad$

Partie C

Une partie du stock de DVD de la ville est constituée de DVD de films d’animation destinés au jeune public. On choisit un film d’animation au hasard et on note $X$ la variable aléatoire qui donne la durée, en minutes, de ce film. $X$ suit une loi normale d’espérance $\mu = 80$ min et d’écart-type $\sigma$.
De plus, on estime que $P(X \pg 92) = 0, 10$.

  1. Déterminer le réel $\sigma$ et en donner une valeur approchée à $0,01$.
    $\quad$
  2. Un enfant regarde un film d’animation dont il ne connaît pas la durée. Sachant qu’il en a déjà vu une heure et demie, quelle est la probabilité que le film se termine dans les cinq minutes qui suivent ?
    $\quad$

Exercice 2     6 points

Dans cet exercice, on s’intéresse au volume d’une ampoule basse consommation

Partie A – Modélisation de la forme de l’ampoule

Le plan est muni d’un repère orthonormé $\Oij$.
On considère les points $A(−1 ; 1)$, $B(0 ; 1)$, $C(4 ; 3)$, $D(7 ; 0)$, $E(4 ; −3)$, $F(0 ; −1)$ et $G(−1 ; −1)$.
On modélise la section de l’ampoule par un plan passant par son axe de révolution à l’aide de la figure ci-dessous :

La partie de la courbe située au-dessus de l’axe des abscisses se décompose de la manière suivante :

  • la portion située entre les points $A$ et $B$ est la représentation graphique de la fonction constante $h$ définie sur l’intervalle $[−1 ; 0]$ par $h(x) = 1$ ;
  • la portion située entre les points $B$ et $C$ est la représentation graphique d’une fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0 ; 4]$ par $f (x) = a +b \sin\left(c+\dfrac{\pi}{4}x\right)$, où $a$, $b$ et $c$ sont des réels non nuls fixés et où le réel $c$ appartient à l’intervalle $\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$;
  • la portion située entre les points $C$ et $D$ est un quart de cercle de diamètre $[CE]$.

La partie de la courbe située en-dessous de l’axe des abscisses est obtenue par symétrie par rapport à l’axe des abscisses.

  1. a. On appelle $f’$ la fonction dérivée de la fonction $f$ . Pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0 ; 4]$, déterminer $f'(x)$.
    $\quad$
    b. On impose que les tangentes aux points $B$ et $C$ à la représentation graphique de la fonction $f$ soient parallèles à l’axe des abscisses. Déterminer la valeur du réel $c$.
    $\quad$
  2. Déterminer les réels $a$ et $b$.
    $\quad$

Partie B – Approximation du volume de l’ampoule

Par rotation de la figure précédente autour de l’axe des abscisses, on obtient un modèle de l’ampoule. Afin d’en calculer le volume, on la décompose en trois parties comme illustré ci-dessous :

On rappelle que :

  • le volume d’un cylindre est donné par la formule $\pi r^2h$ où $r$ est le rayon du disque de base et $h$ est la hauteur ;
  • le volume d’une boule de rayon $r$ est donné par la formule $\dfrac{4}{3}\pi r^3$.

On admet également que, pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0 ; 4]$, $f (x) = 2−\cos\left(\dfrac{\pi}{4}x\right)$.

  1. Calculer le volume du cylindre de section le rectangle $ABFG$.
    $\quad$
  2. Calculer le volume de la demi-sphère de section le demi-disque de diamètre $[CE]$.
    $\quad$
  3. Pour approcher le volume du solide de section la zone grisée $BCEF$, on partage le segment $[OO’]$ en $n$ segments de même longueur $\dfrac{4}{n}$ puis on construit $n$ cylindres de même hauteur $\dfrac{4}{n}$.
    a. Cas particulier : dans cette question uniquement on choisit $n = 5$.
    Calculer le volume du troisième cylindre, grisé dans les figures ci-dessous, puis en donner la valeur arrondie à $10^{−2}$.

    $\quad$
    b. Cas général : dans cette question, $n$ désigne un entier naturel quelconque non nul.
    On approche le volume du solide de section $BCEF$ par la somme des volumes des $n$ cylindres ainsi créés en choisissant une valeur de $n$ suffisamment grande.
    Recopier et compléter l’algorithme suivant de sorte qu’à la fin de son exécution, la variable $V$ contienne la somme des volumes des $n$ cylindres créés lorsque l’on saisit $n$.
    $$\begin{array}{|cl|}
    \hline
    1&V\leftarrow 0 \\
    2&\text{Pour $k$ allant de $\ldots$ à $\ldots$} : \\
    3&\hspace{1cm}|V\leftarrow \ldots \\
    4&\text{Fin Pour}\\
    \hline
    \end{array}$$

Exercice 3     4 points

On considère la fonction f définie sur l’intervalle $[0 ; +\infty[$ par $f (x) = k e^{−kx}$ où $k$ est un nombre réel strictement positif.
On appelle $\mathscr{C}_f$ sa représentation graphique dans le repère orthonormé $\Oij$.
On considère le point $A$ de la courbe $\mathscr{C}_f$ d’abscisse $0$ et le point $B$ de la courbe $\mathscr{C}_f$ d’abscisse $1$.
Le point $C$ a pour coordonnées $(1 ; 0)$.

  1. Déterminer une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0 ; +\infty[$.
    $\quad$
  2. Exprimer, en fonction de $k$, l’aire du triangle $OCB$ et celle du domaine $\mathscr{D}$ délimité par l’axe des ordonnées, la courbe $\mathscr{C}_f$ et le segment $[OB]$.
    $\quad$
  3. Montrer qu’il existe une unique valeur du réel $k$ strictement positive telle que l’aire du domaine $\mathscr{D}$ vaut le double de celle du triangle $OCB$.
    $\quad$

Exercice 4     5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Un lapin se déplace dans un terrier composé de trois galeries, notées A, B et C, dans chacune desquelles il est confronté à un stimulus particulier.
À chaque fois qu’il est soumis à un stimulus, le lapin reste dans la galerie où il se trouve ou change de galerie. Cela constitue une étape.

Soit $n$ un entier naturel.
On note $a_n$ la probabilité de l’événement : « le lapin est dans la galerie A à l’étape $n$ ».
On note $b_n$ la probabilité de l’événement : « le lapin est dans la galerie B à l’étape $n$ ».
On note $c_n$ la probabilité de l’événement : « le lapin est dans la galerie C à l’étape $n$ ».

À l’étape $n = 0$, le lapin est dans la galerie A.
Une étude antérieure des réactions du lapin face aux différents stimuli permet de modéliser ses déplacements par le système suivant : $$\begin{cases} a_{n+1}&=&\dfrac{1}{3}a_n+\dfrac{1}{4}b_n\\
b_{n+1}&=&\dfrac{2}{3}a_n+\dfrac{1}{2}b_n+\dfrac{2}{3}c_n\\
c_{n+1}&=&\dfrac{1}{4}b_n+\dfrac{1}{3}c_n \end{cases}$$

L’objectif de cet exercice est d’estimer dans quelle galerie le lapin a la plus grande probabilité de se trouver à long terme.

Partie A

À l’aide d’un tableur, on obtient le tableau de valeurs suivant :

  1. Quelle formule faut-il entrer dans la cellule $C3$ et recopier vers le bas pour remplir la colonne $C$ ?
    $\quad$
  2. Quelle conjecture peut-on émettre ?
    $\quad$

Partie B

  1. On définit la suite $\left(u_n\right)$, pour tout entier naturel $n$, par $u_n = a_n−c_n$.
    a. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est géométrique en précisant sa raison.
    $\quad$
    b. Donner, pour tout entier naturel $n$, l’expression de $u_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  2. On définit la suite $\left(v_n\right)$ par $v_n = b_n−\dfrac{4}{7}$ pour tout entier naturel $n$.
    a. Expliquer pourquoi pour tout entier naturel $n$, $a_n +b_n +c_n = 1$ et en déduire que pour tout entier naturel $n$, $v_n+1 =−\dfrac{1}{6}v_n$.
    $\quad$
    b. En déduire, pour tout entier naturel $n$, l’expression de $v_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  3. En déduire que pour tout entier naturel $n$, on a :
    $a_n= \dfrac{3}{14}+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3}\right)^n+\dfrac{2}{7}\left(-\dfrac{1}{6}\right)^n$, $b_n=\dfrac{4}{7}-\dfrac{4}{7}\left(-\dfrac{1}{6}\right)^n$ et $c_n=\dfrac{3}{14}-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3}\right)^n+\dfrac{2}{7}\left(-\dfrac{1}{6}\right)^n$
    $\quad$
  4. Que peut-on en déduire sur la position du lapin après un très grand nombre d’étapes ?
    $\quad$

Exercice 4     5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Un atome d’hydrogène peut se trouver dans deux états différents, l’état stable et l’état excité. À chaque nanoseconde, l’atome peut changer d’état.

Partie A – Étude d’un premier milieu

Dans cette partie, on se place dans un premier milieu (milieu 1) où, à chaque nanoseconde, la probabilité qu’un atome passe de l’état stable à l’état excité est $0,005$, et la probabilité qu’il passe de l’état excité à l’état stable est $0, 6$.
On observe un atome d’hydrogène initialement à l’état stable.
On note $a_n$ la probabilité que l’atome soit dans un état stable et $b_n$ la probabilité qu’il se trouve dans un état excité, $n$ nanosecondes après le début de l’observation.
On a donc $a_0 = 1$ et $b_0 = 0$.
On appelle $X_n$ la matrice ligne $X_n =\begin{pmatrix} a_n&b_n\end{pmatrix}$.

L’objectif est de savoir dans quel état se trouvera l’atome d’hydrogène à long terme.

  1. Calculer $a_1$ puis $b_1$ et montrer que $a_2 = 0, 993~025$ et $b_2 = 0, 006~975$.
    $\quad$
  2. Déterminer la matrice $A$ telle que, pour tout entier naturel $n$, $X_{n+1} = X_n A$.
    $A$ est appelée matrice de transition dans le milieu 1.
    On admet alors que, pour tout entier naturel $n$, $X_n = X_0A^n$.
    $\quad$
  3. On définit la matrice $P$ par $P=\begin{pmatrix}1&-1\\1&120\end{pmatrix}$.
    On admet que $P$ est inversible et que $$P^{-1}=\dfrac{1}{121}\begin{pmatrix}120&1\\-1&1\end{pmatrix}$$
    Déterminer la matrice $D$ définie par $D = P^{−1}AP$.
    $\quad$
  4. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $A^n = PD^nP^{−1}$.
    $\quad$
  5. On admet par la suite que, pour tout entier naturel $n$, $$A^n=\dfrac{1}{121}\begin{pmatrix}120+0,395^n&1-0,395^n\\120\left(1-0,395^n\right)&1+120\times0,395^n\end{pmatrix}$$
    En déduire une expression de $a_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  6. Déterminer la limite de la suite $\left(a_n\right)$. Conclure.
    $\quad$

Partie B – Étude d’un second milieu

Dans cette partie, on se place dans un second milieu (milieu 2), dans lequel on ne connaît pas la probabilité que l’atome passe de l’état excité à l’état stable. On note $\alpha$ cette probabilité supposée constante. On sait, en revanche, qu’à chaque nanoseconde, la probabilité qu’un atome passe de l’état stable à l’état excité est $0,01$.

  1. Donner, en fonction de $\alpha$, la matrice de transition $M$ dans le milieu 2.
    $\quad$
  2. Après un temps très long, dans le milieu 2, la proportion d’atomes excités se stabilise autour de $2 \%$.
    On admet qu’il existe un unique vecteur $X$, appelé état stationnaire, tel que $XM = X$, et que $X =\begin{pmatrix}0,98&0,02\end{pmatrix}$.
    Déterminer la valeur de $\alpha$.
    $\quad$