Bac STMG – Nouvelle Calédonie – Mars 2019

Nouvelle Calédonie – Mars 2019

Bac STMG – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. D’après l’arbre pondéré on a : $P(V\cap D)=0,4\times 0,03=0,012$.
    $\quad$
  3. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(D)&=P(S\cap D)+P(V\cap D) \\
    &=0,6\times 0,01+0,012\\
    &=0,018\end{align*}$
    La probabilité de choisir un modèle avec un défaut est égale à $0,018$
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_D(S)&=\dfrac{P(D\cap S)}{P(D)}\\
    &=\dfrac{0,6\times 0,01}{0,018}\\
    &=\dfrac{1}{3}\\
    &\approx 0,333\end{align*}$
    La probabilité de choisir un modèle Sport sachant qu’il présente un défaut est environ égale à $0,333$.
    $\quad$
  5. a. La droite d’équation $x=39$ semble être un axe de symétrie pour la courbe de densité. Par conséquent $\mu=39$.
    $\quad$
    b. On sait que $P(X>42)=P(X>\mu+3)\approx 0,023$.
    Par conséquent $P(X<\mu-3)=P(X <36)\approx 0,023$.
    Ainsi $P(36<X<42)\approx 1-0,023\times 2\approx 0,954$.

Ex 2

Exercice 2

Partie A – Étude des charges

  1. $C(5)=2\times 5^3-23\times 5^2+90\times 5+10=135$.
    Le montant des charges lorsque l’entreprise produit $5$ kilogrammes de safran s’élève à $135~000$ euros.
    $\quad$
  2. Graphiquement, il faut produite $7$ kilogrammes de safran pour que le montant des charges soit égal à $200~000$ euros.
    $\quad$

Partie B – Étude du bénéfice

  1. On a donc $R(x)=50x$/
    $\quad$
  2. Le bénéfice est donné par :
    $\begin{align*} B(x)&=R(x)-C(x) \\
    &=50x-\left(2x^3-23x^2+90x+10\right)\\
    &=50x-2x^3+23x^2-90x-10\\
    &=-2x^3+23x^2-40x-10\end{align*}$
    $\quad$
  3. a. On a
    $\begin{align*} B'(x)&=-2\times 3x^2+23\times 2x-40\\
    &=-6x^2+46x-40\end{align*}$
    $\quad$
    b. On veut résoudre l’équation $-6x^2+46x-40=0$.
    Le discriminant est $\Delta=46^2-4\times (-6)\times (-40)=1~156>0$.
    L’équation $B'(x)=0$ possède donc deux solutions :
    $x_1=\dfrac{-46-\sqrt{1~156}}{-12}=\dfrac{20}{3}$ et $x_2=\dfrac{-46+\sqrt{1~156}}{-12}=\dfrac{20}{3}=1$.
    $\quad$
    c. Le coefficient principal est $a=-6<0$.
    Le tableau de variations de la fonction $B$ est donc le suivant :

    Avec $B\left(\dfrac{20}{3}\right)\approx  153$.
    $\quad$
    d. D’après le tableau de variations, le bénéfice maximal est atteint pour $x=\dfrac{20}{3}\approx 6,667$.
    L’entreprise doit donc vendre environ $6,667$ kg de safran pour réaliser un bénéfice maximal d’environ $153~000$ euros.
    $\quad$.

Ex 3

Exercice 3

  1. D’après la calculatrice, une équation de la droite réalisant un ajustement affine est $y=-5,0x+72,9$.
    $\quad$
  2. a. En 2018 on a $x=6$.
    Ainsi $y=-5\times 6+73=43$.
    En 2018, la part des voitures diesel sera de $43\%$ selon ce modèle.
    $\quad$
    b. On veut résoudre l’inéquation
    $\begin{align*} -5x+73\pp 25&\ssi -5x \pp -48 \\
    &\ssi x\pg 9,6\end{align*}$
    C’est donc à partir de la $10\ieme$ heure que la part des voitures diesel sera inférieure ou égale à $25\%$.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

Partie A

  1. On a $11,4\times \left(1+\dfrac{18,42}{100}\right) \approx 13,5$.
    En 2012, environ $13,5$ millions de smartphones ont été vendus en France.
    $\quad$
  2. On a $\dfrac{18,2-15,8}{15,8}\approx 0,151~9$.
    Le taux d’évolution des ventes de smartphones en France entre 2013 et 2014 est d’environ $15,19\%$.
    $\quad$
  3. On a $\dfrac{20,5-11,4}{11,4} \approx 0,7982$
    Le taux d’évolution des ventes de smartphones en France entre 2011 et 2015 est d’environ $79,82\%$.
    $\quad$
  4. On appelle $x$ le taux d’évolution annuel moyen des ventes de smartphones en France entre 2011 et 2015.
    On a ainsi :
    $\begin{align*}11,4\times\left(1+\dfrac{x}{100}\right)^4=20,5&\ssi \left(1+\dfrac{x}{100}\right)^4=\dfrac{20,5}{11,4} \\
    &\ssi 1+\dfrac{x}{100}=\left(\dfrac{20,5}{11,4}\right)^{1/4} \\
    &\ssi \dfrac{x}{100}=\left(\dfrac{20,5}{11,4}\right)^{1/4}-1 \\
    &\ssi x=100\times \left(\left(\dfrac{20,5}{11,4}\right)^{1/4}-1\right) \end{align*}$
    Par conséquent $x\approx 16$.
    le taux d’évolution annuel moyen des ventes de smartphones en France entre 2011 et 2015 est d’environ $16\%$.
    $\quad$

Partie B

  1. On a $u_1=20,5\times \left(1+\dfrac{16}{100}\right)=23,78$.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=u_n\times \left(1+\dfrac{16}{100}\right)=1,16u_n$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,16$ et de premier terme $u_0=20,5$.
    $\quad$
  3. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=20,5\times 1,16^n$.
    $\quad$
  4. En 2020 on a $n=5$
    Donc $u_5=20,5\times 1,16^5\approx 43,1$.
    En 2020, on peut donc estimer qu’environ $43,1$ millions de smartphones seront vendus.
    $\quad$

 

Énoncé

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Bac STMG – Nouvelle Calédonie – Novembre 2018

Nouvelle Calédonie – Novembre 2018

Bac STMG – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. Le taux d’évolution globale entre 2011 et 2015 est :
    $t=\dfrac{2~469,030-2~156,069}{2~156,069} \approx 0,1452$.
    Réponse b
    $\quad$
  2. On appelle $x$ le taux d’évolution annuel moyen des ventes d’insecticides entre 2011 et 2015.
    $\begin{align*} &\phantom{\ssi} 2~156,069\times \left(1+\dfrac{x}{100}\right)^4=2~469,030 \\
    &\ssi \left(1+\dfrac{x}{100}\right)^4=\dfrac{2~469,030}{2~156,069} \\
    &\ssi 1+\dfrac{x}{100}=\left(\dfrac{2~469,030}{2~156,069}\right)^{1/4} \\
    &\ssi \dfrac{x}{100}=\left(\dfrac{2~469,030}{2~156,069}\right)^{1/4} -1\\
    &\ssi x=100\left(\left(\dfrac{2~469,030}{2~156,069}\right)^{1/4}-1\right)
    \end{align*}$
    Donc $x\approx 3,45$.
    Réponse b
    $\quad$
  3. On a pu saisir $=(B3-B2)/B2$
    Réponse a
    $\quad$
  4. En 2020, la quantité d’insecticides vendue sera d’environ :
    $2~469,03\times \left(1-\dfrac{2}{100}\right)^5 \approx 2~231,808$ tonnes.
    Réponse d
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. a. On a $C(12)=4\times 12^2+4\times 12+574=1~198$.
    Les charges de production de $12~000$ pneus s’élèvent donc à $1,198$ millions d’euros.
    $\quad$
    b. On veut résoudre l’équation
    $\begin{align*} R(x)=2~500 &\ssi 130x=2~500 \\
    &\ssi x=\dfrac{2~500}{130} \\
    &\ssi x=\dfrac{250}{13}
    \end{align*}$
    Or $\dfrac{250}{13} \approx 19,231$.
    Il faut donc produire $19~231$ pneus pour obtenir obtenir un chiffre d’affaires de $2~500~000$ euros.
    $\quad$
  2. a. Pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0;30]$ on a :
    $\begin{align*} B'(x)&=-4\times 2x+126 \\
    &=-8x+126\end{align*}$
    $\quad$
    b. On a $-8x+126=0 \ssi 8x=126 \ssi x=15,75$
    $-8x+126>0 \ssi -8x>-126 \ssi x<15,75$.
    Par conséquent :
    $B'(x)>0$ sur l’intervalle $[0;15,75]$;
    $B'(15,75)=0$;
    $B'(x)<0$ sur l’intervalle $[15,75;30]$.
    $\quad$
    c. On obtient donc le tableau de variation suivant :
    $\quad$
    d. D’après le tableau de variation la fonction $B$ est maximale quand $x=15,75$.
    Il faut donc produire $15~750$ pneus pour obtenir un bénéfice maximal.
    $B(15,75)=418,25$.
    Le bénéfice maximal est alors de $418 250$ euros.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. On a $P(N)=\dfrac{500}{2~000}=0,25$
    $\quad$
  2. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  3. $N\cap S$ est l’événement “l’ordinateur est neuf et a un problème de sécurité”.
    $P(N\cap S)=\dfrac{0,25}\times 0,05=0,012~5$.
    $\quad$
  4. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(S)&=P(N\cap S)+P\left(\conj{N}\cap S\right) \\
    &=0,012~5+0,75\times 0,4\\
    &=0,312~5\end{align*}$
    $\quad$

Partie B

  1. À l’aide de la calculatrice on obtient $P(12 \pp T\pp 24) \approx 0,82$.
    Cela signifie que la probabilité que l’intervention du service informatique nécessite entre $12$h et $24$h est d’environ $82\%$.
    $\quad$
  2. On a $P(T\pg 24)\approx 0,16$ d’après la calculatrice.
    La probabilité d’attendre plus d’une journée pour une intervention sur un ordinateur défaillant est d’environ $16\%$.
    $\quad$

Partie C

Un intervalle de fluctuation au seuil de $95\%$ de la proportion de salariés satisfaits de la maintenance informatique au sein de l’entreprise est :
$\begin{align*} I_{120}&=\left[0,85-\dfrac{1}{\sqrt{120}};0,85-\dfrac{1}{\sqrt{120}}\right] \\
&\approx [0,75;0,95]\end{align*}$

La fréquence observée est $f=\dfrac{94}{120}\approx 0,78 \in I_{120}$.

L’affirmation du directeur est donc correcte.

$\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie A – Premier modèle

  1. D’après la calculatrice, une équation de la droite $D$ est $y=167,1x+4~980$.
    $\quad$
  2. a. En 2021 on a $x=12$.
    Ainsi $y=167,1\times 12+4~980=6~985,2$.
    Le prix d’un hectare de terre en 2021 sera d’environ $6~985,20$ €.
    $\quad$
    b. On veut résoudre l’inéquation :
    $\begin{align*}  167,1x+4~980\pg 7~000 &\ssi 167,1x\pg 2~020 \\
    &\ssi x \pg \dfrac{2~020}{167,1}\end{align*}$
    Or $\dfrac{2~020}{167,1} \approx 12,09$.
    C’est donc à partir de 2022 que le prix d’un hectare de terre dépassera $7~000$ €.
    $\quad$

Partie B

  1. On a $u_1=6~030\times \left(1+\dfrac{3}{100}\right)=6~030\times 1,03 =6~210,9$.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a  :
    $u_{n+1}=\left(1+\dfrac{3}{100}\right)u_n \ssi u_{n+1}=1,03u_n$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,03$.
    $\quad$
  3. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=6~030\times 1,03^n$.
    En 2021, on a $n=5$
    Et $u_5=6~030\times 1,03^5 \approx 6~990,42$.
    Le prix d’un hectare en 221 sera d’environ $6~990,42$ €.
    $\quad$
  4. Cela signifie qu’il faut $6$ ans pour que le prix d’un hectare dépasse $7~000$ €.
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1     4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est correcte. Indiquer sur la copie le numéro de la question suivie de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’enlève pas de point.

Le tableau ci-dessous, extrait d’une feuille de calcul, donne l’évolution des ventes d’insecticides en France entre 2011 et 2015.
La colonne C a été ajoutée afin de calculer les taux d’évolution annuels des ventes d’insecticides. (On ne demande pas de compléter ce tableau).

  1. . Le taux d’évolution global des ventes d’insecticides entre 2011 et 2015 arrondi à $0,01 \%$ est :
    a. $12,68\%$
    b. $14,52\%$
    c. $-12,68\%$
    d. $1,15\%$
    $\quad$
  2. . Le taux d’évolution annuel moyen des ventes d’insecticides entre 2011 et 2015 arrondi à 0,01 % est de :
    a. $2,75\%$
    b. $3,45\%$
    c. $3,63\%$
    d. $2,90\%$
    $\quad$
  3. Quelle formule peut-on entrer dans la cellule $C3$ afin d’obtenir, par recopie vers le bas, les taux d’évolution d’une année à l’autre ?
    a. $=(B3-B2)/B2$
    b. $=(B3-B\$2)/B\$2$
    c. $=(B3-B2)/B3$
    d. $=100*(B3-B2)/B3$
    $\quad$
  4. Dans cette question, on fait l’hypothèse que les ventes d’insecticides diminuent de $2 \%$ par an à partir de l’année 2015. Sous cette hypothèse on peut estimer que la quantité d’insecticides vendue en 2020 (en tonnes, arrondie à $0,001$) sera :
    a. $2277,355$
    b. $2222,127$
    c. $2419,649$
    d. $2231,808$
    $\quad$

Exercice 2     5 points

Une entreprise française commercialise des pneus. La production mensuelle maximale est de $30~000$ pneus. On suppose que la totalité de la production mensuelle est vendue chaque mois.
Les charges de production, en milliers d’euros, pour $x$ milliers de pneus vendus sont données par la fonction $C$ définie sur l’intervalle $[0; 30]$ par $C(𝑥) = 4x^2 + 4x + 574$.
L’entreprise fixe le prix de vente d’un pneu à $130$ euros.
Le chiffre d’affaires, en milliers d’euros, pour la vente de $x$ milliers de pneus est donné par la fonction $R$ définie sur l’intervalle $[0; 30]$ par $R(x) = 130x$.
$\mathcal{R}$ et $\mathcal{C}$ désignent leurs courbes représentatives. Les deux courbes sont représentées sur le graphique donné ci-dessous.

  1. Déterminer, par la méthode de votre choix (calcul ou graphique) :
    a. les charges de production de $12~000$ pneus.
    $\quad$
    b. Le nombre de pneus à produire pour obtenir un chiffre d’affaires $2~500~000$ euros.
    $\quad$
  2. En vendant $4~000$ pneus, l’entreprise est-elle bénéficiaire ? Justifier votre réponse.
    $\quad$
  3. Le bénéfice réalisé pour 𝑥 milliers de pneus vendus est donné par la fonction $B$, définie pour tout nombre $x$ appartenant à l’intervalle $[0 ; 30]$, par : $$B(x) = -4x^2 + 126x- 574$$
    a. On désigne par $B’$ la fonction dérivée de la fonction $B$. Calculer $B'(x)$.
    $\quad$
    b. Déterminer le signe de la fonction $B’$ sur l’intervalle $[0 ; 30]$.
    $\quad$
    c. En déduire le tableau de variation de la fonction $B$ sur l’intervalle $[0 ; 30]$.
    $\quad$
    d. Pour quel nombre de pneus produits le bénéfice est-il maximal ? Quel est le montant de ce bénéfice ?
    $\quad$

Exercice 3     6 points

Les parties A, B et C peuvent être traitées de façon indépendante.

Partie A

Le parc informatique d’une entreprise est constitué de $2~000$ ordinateurs. Parmi ceux-ci, $500$ sont considérés comme neufs car ils ont moins d’un an. Les autres sont considérés comme anciens. Le service informatique de cette société estime que la probabilité qu’un ordinateur neuf ait un problème de sécurité est égale à $0,05$. Pour un ordinateur plus ancien, la probabilité qu’il en ait un est égale à $0,4$.
On choisit au hasard un ordinateur du parc informatique.
On considère les événements suivants :

  • $N$ : « L’ordinateur est neuf »,
  • $S$ : « L’ordinateur a un problème de sécurité ».

 

  1. Justifier que $P(N) = 0,25$
    $\quad$
  2. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessus.
    $\quad$
  3. Décrire par une phrase l’événement $N\cap S$ puis calculer sa probabilité .
    $\quad$
  4. Montrer que $P(S) = 0,312~5$.
    $\quad$

Partie B

On s’intéresse dans cette partie au temps nécessaire pour que le service informatique de l’entreprise intervienne afin de réparer un ordinateur défaillant.
On note $T$ la variable aléatoire qui à chaque défaillance d’ordinateur associe le temps, en heures, nécessaire avant l’intervention du service informatique. On admet que $T$ suit une loi normale d’espérance $\mu = 20$ et d’écart type $\sigma = 4$.
Les réponses seront arrondies au centième.

  1. À l’aide de la calculatrice, déterminer $𝑃(12 \pp 𝑇 \pp 24)$ et interpréter le résultat.
    $\quad$
    2. Déterminer la probabilité d’attendre plus d’une journée pour une intervention sur un ordinateur défaillant.
    $\quad$

Partie C
Le directeur du personnel affirme que $85 \%$ des salariés sont satisfaits de la maintenance informatique au sein de l’entreprise.
Afin de vérifier cette déclaration, on interroge au hasard $120$ employés. Parmi eux, $94$ répondent qu’ils sont satisfaits du service de maintenance informatique.
Que peut-on penser de l’affirmation du directeur du personnel ?
$\quad$

Exercice 4     5 points

Le tableau ci-dessous indique le prix moyen en euros des terres en France métropolitaine (hors Corse) entre 2010 et 2016.

$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Années}&2010&2011&2012&2013&2014&2015&2016\\
\hline
\text{rang de l’année : }x_i&1&2&3&4&5&6&7\\
\hline
\text{Prix d’un hectare en euros : }y_i&5~070&5~360&5~410&5~7750&5~910&6~010&6~030\\
\hline
\end{array}\\
\hspace{12cm}\textit{Source : Agreste}$$

On se propose d’estimer, en utilisant deux modèles différents, l’année à partir de laquelle le prix d’un hectare de terre dépassera pour la première fois $7~000$ €.

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A – Premier modèle.

Le nuage de points de coordonnées $\left(x_i,y_i\right)$ est représenté sur le graphique ci-dessous.
On a également tracé la droite $D$ d’ajustement affine de ce nuage, obtenue par la méthode des moindres carrés.

  1.  Déterminer à l’aide de la calculatrice une équation de la droite $D$. Les coefficients seront arrondis à $0,1$ si nécessaire.
    $\quad$
  2. On suppose que cet ajustement restera valide jusqu’en 2022.
    a. Estimer le prix d’un hectare de terre en 2021.
    $\quad$
    b. À partir de quelle année le prix d’un hectare de terre dépassera-t-il $7~000$ € ?
    $\quad$

Partie B – Second modèle.

On suppose dans cette partie qu’à partir de l’année 2016, chaque année, le prix d’un hectare de terre augmentera de $3 \%$.
On note $u_n$ le prix en euros d’un hectare de terre pour l’année 2016 $+n$.
Ainsi $u_0 = 6~030$.

  1. Montrer que $u_1 = 6~210,9$.
    $\quad$
  2. Justifier que $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.
    $\quad$
  3. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ et calculer le prix d’un hectare en 2021.
    $\quad$
  4. On donne l’algorithme suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    U\leftarrow 6030\\
    N\leftarrow 0\\
    \text{Tant que }U<7000\\
    \hspace{1cm} U\leftarrow U\times 1,03\\
    \hspace{1cm} N\leftarrow N+1\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    On admet que la valeur prise par la variable $N$ en fin d’exécution de l’algorithme est $6$.
    Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.

 

Bac STMG – Polynésie – Septembre 2018

Polynésie – Septembre 2018

Bac STMG – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. On a donc le tableau de proportionnalité suivant :
    $\begin{array}{|c|c|c|}
    \hline
    \text{Base}&100&123,5\\
    \hline
    \text{Prix}&P&4~500\\
    \hline
    \end{array}$
    Par conséquent $P=\dfrac{100\times 4~500}{123,5} \approx 3~643,72$.
    $\quad$
  2. On peut écrire $=B4*C2/B2$
    $\quad$
  3. a. Le taux d’évolution du prix du beurre de janvier à août 2017 est $t=\dfrac{179,9-123,5}{123,5}\approx 45,7\%$
    $\quad$
    b. On appelle $x$ le taux d’évolution mensuel moyen sur cette période.
    $\begin{align*} 123,5\times \left(1+\dfrac{x}{100}\right)^7=179,9 &\ssi \left(1+\dfrac{x}{100}\right)^7 = \dfrac{179,9}{123,5} \\
    &\ssi 1+\dfrac{x}{100}=\left(\dfrac{179,9}{123,5}\right)^{1/7} \\
    &\ssi \dfrac{x}{100}=\left(\dfrac{179,9}{123,5}\right)^{1/7}-1 \\
    &\ssi x=100\left[\left(\dfrac{179,9}{123,5}\right)^{1/7}-1\right]\end{align*}$
    Par conséquent $x \approx 5,5$.
    Le taux d’évolution moyen sur la période de janvier à août 2017 est d’environ $5,5\%$.
    $\quad$
  4. Le $1\ier$ mai 2017 le prix de la tonne de beurre était d’environ $\dfrac{4~500}{139,6}{123,5}\approx 5~087$ euros
    $\quad$
  5. a. On a donc le tableau de proportionnalité suivant :
    $\begin{array}{|c|c|c|}
    \hline
    \text{Base}&123,5&I\\
    \hline
    \text{Prix}&4~500&6~500\\
    \hline
    \end{array}$
    Donc $I=\dfrac{123,5\times 6~500}{4~500} \approx 178,4$.
    L’indice du prix du beurre le $1\ier$ octobre 2017 est environ égal à $178,4$.
    $\quad$
    b. $9$ mois séparent le mois de janvier d’octobre.
    Si le taux d’évolution mensuel moyen est d’environ $5,5\%$ sur cette période alors le prix de la tonne de beurre est de :
    $4~500\times \left(1+\dfrac{5,5}{100}\right)^{9}\approx 7~286$
    Le prix obtenu est très différent de celui constaté. L’évolution moyenne de $5,5\%$ ne s’est donc par poursuivie après le mois d’août.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A : Campagne de publicité

  1. On a $f(1)=\dfrac{9}{10+40}=0,18$
    La probabilité que cette personne connaisse ce téléviseur après une semaine de publicité est de $0,18$.
    $\quad$
    On a $f(2)=\dfrac{18}{20+40}=0,3$
    La probabilité que cette personne connaisse ce téléviseur après deux semaines de publicité est de $0,3$.
  2. Pour tout nombre $x$ de l’intervalle $[0;26]$
    On utilise la formule $\left(\dfrac{u}{v}\right)’=\dfrac{u’v-uv’}{v^2}$.
    Avec $u(x)=9x$ donc $u'(x)=9$ et $v(x)=10x+40$ donc $v'(x)=10$.
    Par conséquent
    $\begin{align*}f'(x)&=\dfrac{9(10x+40)-10\times 9x}{(10x+40)^2}  \\
    &=\dfrac{90x+360-90x}{(10x+40)^2} \\
    &=\dfrac{360}{(10x+40)^2}
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. $360>0$ et un carré est toujours positif.
    Par conséquent $f'(x)>0$ sur l’intervalle $[0;26]$.
    $\quad$
  4. a. On veut résoudre l’inéquation sur l’intervalle $[0;26]$ :
    $\begin{align*} f(x)\pg 0,75 &\ssi \dfrac{9x}{10x+40}\pg 0,75 \\
    &\ssi 9x \pg 0,75(10x+40) \\
    &\ssi 9x \pg 7,5x+30 \\
    &\ssi 1,5x \pg 30 \\
    &\ssi x \pg \dfrac{30}{1,5} \\
    &\ssi x \pg 20
    \end{align*}$
    À la fin de l’exécution de l’algorithme la variable $x$ a pris la valeur $20$.
    $\quad$
    b. Cela signifie qu’après $20$ semaines de publicité la probabilité qu’une personne connaisse le téléviseur est de $75\%$.
    $\quad$

Partie B : Durée de vie d’un téléviseur

  1. a. D’après le graphique $\mu=84$.
    $\quad$
    b. On a $P(X  \pp 44)=0,025$ donc $P(X \pp 84-40)=0,025$
    Donc $P(X  \pg 84+40)=0,025$ soit $P(X \pg 124) =0,025$.
    Par conséquent $P(44 \pp X \pp 124)=1-2\times 0,025=0,95$.
    $\quad$
  2. À l’aide de la calculatrice on trouve :
    $P(X >120)=0,5-P(84\pp X \pp 120) \approx 0,04$
    $\quad$
  3. La publicité disait donc que $P(X \pg 12\times 10) >0,75$.
    D’après la question précédente, on sait que $P(X \pg 120) \approx 0,04$.
    La campagne de publicité était donc fausse.
    $\quad$

Partie C : Service après-vente

  1. On obtient l’arbre suivant :
    $\quad$
  2. On veut calculer :
    $p\left(G\cap \conj{A}\right)=0,4\times 0.28=0,112$.
    La probabilité que le client ait souscrit une garantie de deux ans et qu’il n’ait pas contacté le SAV est de $0,112$.
    $\quad$
  3. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(A)&=p(G\cap A)+p\left(\conj{G}\cap A\right) \\
    &=0,4\times 0,28+0,6\times 0,8 \\
    &=0,592\end{align*} $
    Par conséquent la probabilité que le client n’ait pas contacté le SAV est de $0,592$.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. À l’aide de la calculatrice on obtient $y=0,288x+2,886$.
    $\quad$
  2. a. On obtient le graphique suivant :

    $\quad$
    b. En 2018 on a $x=5$.
    Donc $y=0,3\times 5+2,9=4,4$.
    Selon ce modèle, en 2018 un individu passe en moyenne $4,4$ h devant un écran par jour.
    $\quad$
    c. On veut résoudre l’équation
    $0,3x+2,9=5 \ssi 0,3x=2,1 \ssi x=7$
    C’est donc en $2020$ que, selon ce modèle, qu’on atteindra les $5$ h quotidienne devant un écran.
    $\quad$

Partie B

  1. D’après l’énoncé, pour tout entier naturel $n$ on a :
    $U_{n+1}=\left(1+\dfrac{5}{100}\right)U_n$
    Soit $U_{n+1}=1,05U_n$.
    La suite $\left(U_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,05$.
    $\quad$
  2. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a :
    $U_n=3,97\times 1,05^n$.
    $\quad$
  3. En 2019, on a $n=2$.
    Ainsi $U_2=3,97\times 1,05^2 \approx 4,38$.
    Selon ce modèle, en 2019, on passera environ $4,38$ heures devant un écran.
    $\quad$
  4. On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
    $ U_n \pg 5 \ssi 3,97 \times 1,05^n \pg 5$
    D’après la calculatrice, on trouve :
    $U_4 \approx 4,83$ et $U_5 \approx 5,07$.
    C’est donc en 2022 qu’on devrait dépasser les $5$ heures quotidiennes devant un écran.
    $\quad$

 

Énoncé

Exercice 1     5 points

L’indice du prix du beurre, au 1$\ier$ de chaque mois de janvier à août 2017, est donné dans le tableau suivant (base $100$ en janvier 2005).

  1. Quel était le prix de la tonne de beurre au 1$\ier$ janvier 2005 ?
    $\quad$
  2. Proposer une formule à écrire dans la cellule $C4$, et à recopier vers la droite jusqu’à la cellule $I4$, qui permet de calculer le prix de la tonne de beurre au 1$\ier$ de chaque mois.
    $\quad$
  3. a. Calculer le taux d’évolution, en pourcentage arrondi au dixième, du prix du beurre de janvier à août 2017.
    $\quad$
    b. En déduire que le taux d’évolution mensuel moyen est d’environ $5,5 \%$ sur cette période.
    $\quad$
  4. Calculer le prix de la tonne de beurre le 1$\ier$ mai 2017 à l’euro près.
    $\quad$
  5. Le prix de la tonne de beurre était de $6~500$ euros le 1er octobre 2017.
    a. Calculer l’indice (base $100$ en janvier 2005) du prix du beurre le 1$\ier$ octobre 2017, au dixième près.
    $\quad$
    b. L’évolution moyenne trouvée dans la question 3.b s’est-elle poursuivie après le mois d’août ?
    $\quad$

Exercice 2     9 points

Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.

Partie A : Campagne de publicité

Une entreprise réalise une campagne de publicité sur six mois pour la sortie d’un nouveau téléviseur.
Elle estime que la probabilité qu’une personne prise au hasard connaisse ce téléviseur après $x$ semaines de publicité est donnée par : $$f(x)=\dfrac{9x}{10x+40} \quad \text{pour }x\in[0;26]$$

  1. Quelle est la probabilité que cette personne connaisse ce téléviseur après une semaine de publicité ? Après deux semaines ?
    $\quad$
  2. On note $f’$ la dérivée de la fonction $f$. Montrer que $f'(x)=\dfrac{360}{(10x+40)^2}$.
    $\quad$
  3. Donner le signe de $f'(x)$ pour $x\in [0 ; 26]$ et en déduire le sens de variation de $f$ sur l’intervalle $[0;26]$.
    $\quad$
  4. Voici un algorithme :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    x\leftarrow 0\\
    y\leftarrow 0\\
    \text{Tant que } y<0,75\\
    \hspace{1cm} x\leftarrow x+1\\
    \hspace{1cm} y\leftarrow \dfrac{9x}{10x+40}\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    a. Quelle est la valeur de la variable $x$ à la fin de l’exécution de cet algorithme ?
    $\quad$
    b. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

Partie B : Durée de vie d’un téléviseur

On décide de modéliser la durée de vie, en mois, d’un téléviseur par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale d’espérance $\mu$ et d’écart type $\sigma$. Sa fonction de densité est représentée ci-dessous ainsi que la probabilité $P (X \pp 44) = 0,025$.

 

  1. À l’aide des informations fournies par le graphique, déterminer une valeur de :
    a. l’espérance $\mu$,
    $\quad$
    b. $P (44 \pp X \pp 124)$.
    $\quad$

Dans la suite on admet que l’écart-type est $\sigma = 20,4$.

  1. Calculer $P(X > 120)$. Arrondir au centième.
    $\quad$
  2. La campagne de publicité de ce modèle de téléviseur vantait sa fiabilité et affirmait que la durée de vie de ce modèle serait de plus de 10 ans pour au moins les trois quarts d’entre eux. Qu’en pensez-vous ?
    $\quad$

Partie C : Service après-vente

Une enquête a été réalisée dans une grande surface de multimédia sur des clients ayant acheté un téléviseur deux ans plus tôt. On a constaté que :

  • $40 \%$ de ces clients ont souscrit une garantie de deux ans. Parmi eux :
    – un quart a contacté une seule fois le service après-vente (SAV) ;
    – $28 \%$ n’ont pas contacté le SAV ;
    – les autres ont contacté le SAV au moins deux fois.
  • Parmi les clients n’ayant pas souscrit de garantie de deux ans :
    – $80 \%$ n’ont pas contacté le SAV ;
    – $15 \%$ ont contacté le SAV une seule fois ;
    – les autres ont contacté le SAV au moins deux fois.

On choisit au hasard un client ayant acheté un téléviseur dans ce magasin deux ans plus tôt et on note les événements :
$\qquad$- $G$ : « Le client a souscrit une garantie de deux ans » ;
$\qquad$- $A$ : « Le client n’a pas contacté le SAV » ;
$\qquad$- $B$ : « Le client a contacté le SAV une seule fois » ;
$\qquad$- $C$ : « Le client a contacté le SAV au moins deux fois ».

  1. Compléter l’arbre de probabilités donné en annexe à rendre avec la copie.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité que le client ait souscrit une garantie de deux ans et qu’il n’ait pas contacté le SAV.
    $\quad$
  3. Calculer la probabilité que le client n’ait pas contacté le SAV.
    $\quad$

Annexe

$\quad$

Exercice 3     6 points

En France, le temps moyen quotidien, en heures, passé par une personne devant un écran d’ordinateur, de tablette ou de smartphone est donné dans le tableau suivant :

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

Partie A

Le nuage de points de coordonnées $\left(x_i ; y_i\right)$ est donné en annexe à rendre avec la copie.

  1. À l’aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d’ajustement de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés. On arrondira les coefficients au millième.
    $\quad$
  2. Dans la suite de l’exercice, on prend la droite d’équation $y = 0,3x + 2,9$ comme ajustement du nuage de points.
    a. Tracer cette droite dans le repère donné en annexe à rendre avec la copie.
    $\quad$
    b. En utilisant cet ajustement, déterminer une estimation du temps quotidien passé devant un écran en 2018.
    $\quad$
    c. D’après ce modèle, en quelle année va-t-on atteindre les $5$ heures quotidiennes devant un écran ?
    $\quad$

Partie B

D’après une étude, le temps quotidien passé devant un écran devrait augmenter de $5 \%$ chaque année à partir de 2017.

On note $U_n$ le temps quotidien en heures passé devant un écran l’année 2017 $+n$.
On a donc $U_0 = 3,97$.

  1. Quelle est la nature de la suite $\left(U_n\right)$ ? Préciser sa raison.
    $\quad$
  2. Exprimer $U_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  3. À l’aide de ce modèle, donner une estimation, arrondie au centième, du temps quotidien passé devant un écran en 2019.
    $\quad$
  4. D’après ce modèle, en quelle année devrait-on dépasser les $5$ heures quotidiennes passées devant un écran ?
    $\quad$

Annexe

 

 

Bac STMG – Métropole – Septembre 2018

Antilles Guyane – Septembre 2018

Bac STMG – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. On a $p(60 \pp X \pp 100) = p(\mu-2\sigma \pp X \pp \mu+2\sigma) \approx 0,95$
    Réponse d
    $\quad$
  2. $p(X<90)=0,5+p(80\pp x < 90)=0,5+p(70 < X \pp 80)=p(X>70)$
    Réponse b
    $\quad$
  3. $p(60 \pp X \pp 80) = 0,5-p(X\pp 60)$
    Réponse b

 

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. D’après la calculatrice, une équation de cette droite est $y=0,044x+1.375$.
    $\quad$
  2. $\quad$

    $\quad$
  3. En 2020, on a $x=15$ donc $y=0,04\times 15+1,37=1,97$.
    Selon ce modèle, en 2020, on aura produit $1,97$ milliard de TEP.
    $\quad$

Partie B

  1. Le taux d’évolution de la production est :
    $t=\dfrac{1,82-1,44}{1,44}\approx 26,39\%$.
    $\quad$
  2. On appelle $x$ le taux d’évolution annuel moyen entre 2006 et 2015.
    On a ainsi :
    $\begin{align*} 1,44\times \left(1+\dfrac{x}{100}\right)^9=1,82 &\ssi \left(1+\dfrac{x}{100}\right)^9=\dfrac{1,82}{1,44} \\
    &\ssi 1+\dfrac{x}{100}=\left(\dfrac{1,82}{1,44}\right)^{1/9} \\
    &\ssi \dfrac{x}{100} = \left(\dfrac{1,82}{1,44}\right)^{1/9}-1 \\
    &\ssi x=100\left(\left(\dfrac{1,82}{1,44}\right)^{1/9}-1\right)
    \end{align*}$
    Par conséquent $x\approx 2,64$.
    Le taux d’évolution annuel moyen entre 2006 et 2015 est d’environ $2,64\%$.
    $\quad$

Partie C

  1. La suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison $1,026$ et de premier terme $u_0=1,82$.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=1,82\times 1,026^n$.
    $\quad$
  2. En 2020, on a $n=5$.
    Donc $u_5=1,82\times 1,026^5 \approx 2,069$.
    Selon ce modèle, on peut estimer que la production mondiale s’élèvera en 2020 à environ $2,069$ milliards de  TEP.
    $\quad$
  3. Cela signifie que dans $39$ ans la production mondiale des énergies renouvelables dépassera pour la première fois $4,84$ milliards de TEP.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. L’événement $A\cap F$ est “le dossier est celui d’une femme de catégorie A”.
    p(A\cap F)=0,51\times 0,6=0,306$.
    $\quad$
  3. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(F)&=p(A\cap F)+p(B\cap F)+p(C \cap F) \\
    &=0,51\times 0,6+0,24\times 0,42+0,25\times 0,51 \\
    &=0,534~3 \\
    &\approx 0,53
    \end{align*}$
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_F(A)&=\dfrac{p(F \cap A)}{p(F)} \\
    &=\dfrac{0,51\times 0,6}{0,534~3} \\
    &\approx 0,57
    \end{align*}$
    La probabilité que le dossier choisi est celui d’un agent de catégorie A sachant que c’est celui d’une femme est d’environ $57\%$.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

Partie A : étude d’un exemple

  1. On diminue le prix du billet d’entrée de $10\%$.
    Il sera donc de $50 \times \left(1-\dfrac{10}{100}\right)=50\times 0,9=45$ €.
    $\quad$
  2. Cette diminution du prix de $10\%$ a entraîné une augmentation de $20\%$ du nombre d’entrées.
    Cela représente donc $16~000\times \left(1+\dfrac{20}{100}\right)=16~000\times 1,2=19~200$ entrées.
    $\quad$
  3. Le chiffre d’affaires serait donc $45\times 19~200=864~000$ €.
    $\quad$

Partie B : utilisation d’un tableur

  1. On a pu saisir $=C2*C3$.
    $\quad$
  2. Le taux de diminution concerne le prix initial de $50$ €. En dupliquant cette formule, le $B2$ se transformera en $B3$, $B4$, … rendant le calcul faux.
    Il faut donc écrire $=B\$2*(1-C1/100)$. On peut également écrire $=\$B\$2*(1-C1/100)$.
    $\quad$
  3. D’après le tableau, il semblerait qu’une diminution de $20\%$ et $30\%$ maximisent le chiffre d’affaire.
    $\quad$

Partie C : étude d’une fonction

  1. Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;100]$ on a :
    $f'(x)=-320x+8~000$.
    $f'(x)=0 \ssi -320x=-8~000 \ssi x=25$ et $f'(x)>0 \ssi -320x>-8~000 \ssi x<25$.
    La fonction $f$ est donc croissante sur l’intervalle $[0;25]$ et décroissante sur l’intervalle $[25;100]$.
    $\quad$
  2. Après une diminution de $x\%$ le prix du billet est : $50\times \left(1-\dfrac{x}{100}\right)=50-0,5x$.
    $\quad$
  3. Après une augmentation de $(2x) \%$ le nombre d’entrées est $16~000\times \left(1+\dfrac{2x}{100}\right)=16~000+320x$
    $\quad$
  4. Le chiffre d’affaires est :
    $\begin{align*} C(x)&=(50-0,5x)\times (16~000+320x) \\
    &=800~000+16~000x-8~000x-160x^2 \\
    &=-160x^2+8~000x+800~000\\
    &=f(x)\end{align*}$
    $\quad$
  5. D’après la question C.1. le chiffre d’affaires est maximalisé pour un pourcentage de diminution du prix du billet de $25\%$.
    $\quad$
  6. On a $f(25)=900~000$.
    Le chiffre d’affaires maximal est donc de $900~000$ euros.
    $\quad$

 

Énoncé

Exercice 1     3 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).
Pour chacune des quatre questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Pour chaque question, indiquer la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte, multiple ou une question sans réponse, n’apporte ni ne retire aucun point

Une variable aléatoire $X$ suit la loi normale de moyenne $\mu = 80$ et d’écart type $\sigma = 10$. On donne ci-dessous la courbe de densité de la variable aléatoire $X$.

  1. La probabilité $p(60 \pp X \pp 100)$, arrondie au centième, est égale à :
    a. $0,05$
    b. $0,97$
    c. $0,50$
    d. $0,95$
    $\quad$
  2. La probabilité $p(X < 90)$ est égale à :
    a. $0,5-p(X > 90)$
    b. $p(X > 70)$
    c. $1-p(X > 70)$
    d. $1-p(X \pg 70)$
    $\quad$
  3. La probabilité $p(60 \pp X \pp 80)$ est égale à :
    a. $0,5+ p(X \pg 60)$
    b. $0,5-p(X \pp 60)$
    c. $1− p(X \pp 60)$
    d. $0,5+ p(X \pp 60)$
    $\quad$

Exercice 2     6 points

Le tableau ci-dessous donne la production mondiale des énergies renouvelables de 2006 à 2015.
Cette production est exprimée en milliard de TEP (tonne équivalent-pétrole).
$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Année}&2006&2007&2008&2009&2010&2011&2012&2013&2014&2015\\
\hline
\text{Rang de l’année : }x_i&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\
\hline
\text{Quantité produite (en mil-}&1,44&1,47&1,50&1,53&1,59&1,62&1,68&1,74&1,78&1,82\\
\text{liard de TEp) : }y_i&&&&&&&&&&\\
\hline
\end{array}\\
\hspace{8.5cm}\small{\text{Source : OCDE d’après Extended world energy balances}}$$

Partie A
Le nuage de points de coordonnées $\left(x_i; y;_i\right)$ est représenté en annexe.

  1. À l’aide de la calculatrice, donner une équation de la droite qui réalise un ajustement affine de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis au millième.
    $\quad$
  2. On décide d’ajuster ce nuage de points par la droite $\mathscr{D}$ d’équation $y = 0,04x +1,37$.
    Tracer cette droite dans le repère donné en annexe, à rendre avec la copie.
    $\quad$
  3. À l’aide de ce modèle, estimer la production mondiale des énergies renouvelables en 2020.
    $\quad$

Partie B

  1. Calculer le taux d’évolution de la production mondiale des énergies renouvelables entre 2006 et 2015. Le résultat sera exprimé en pourcentage.
    $\quad$
  2. Calculer le taux d’évolution annuel moyen entre 2006 et 2015. Le résultat sera exprimé en pourcentage.
    $\quad$

Partie C

On décide de modéliser l’évolution de la production mondiale des énergies renouvelables à l’aide d’une suite géométrique de raison $1,026$. Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la production mondiale des énergies renouvelables, en milliard de TEP, pendant l’année (2015$+n$).
Ainsi $\left(u_n\right)$ est la suite géométrique de premier terme $u_0 = 1,82$ et de raison $1,026$.

  1. Exprimer le terme général $u_n$ en fonction de l’entier naturel $n$.
    $\quad$
  2. Déterminer, d’après ce modèle, une estimation de la production mondiale des énergies renouvelables en 2020.
    $\quad$
  3. Selon l’Agence d’Information sur l’Énergie des États-Unis d’Amérique (EIA), l’approvisionnement pétrolier mondial a été, en 2016, d’environ $4,84$ milliards de tonnes. On donne l’algorithme suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    U\leftarrow 1,82\\
    K\leftarrow 0\\
    \text{Tant que }U<4,84\\
    \hspace{1cm} U\leftarrow U\times 1,026\\
    \hspace{1cm} K\leftarrow K+1\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    Après exécution de cet algorithme, la variable $K$ contient la valeur $39$.
    Interpréter, dans le contexte étudié, cette valeur $39$ ainsi que le contenu de la variable $U$.
    $\quad$

Annexe

$\quad$

Exercice 3     3 points

Dans cet exercice, les parties A et B sont indépendantes.

En France, les agents de la fonction publique d’état (FPE) se répartissent en trois catégories (Source : INSEE, 2010) :

  • $51 \%$ des agents sont de catégorie A;
  • $24 \%$ des agents sont de catégorie B;
  • $25 \%$ des agents sont de catégorie C.

Selon le rapport annuel sur l’état de la fonction publique :

  • $60 \%$ des agents de catégorie A sont des femmes;
  • $42 \%$ des agents de catégorie B sont des femmes;
  • $51 \%$ des agents de catégorie C sont des femmes.

On choisit de façon équiprobable le dossier d’un agent parmi ceux de la FPE.
On considère les événements suivants :

  • $A$ : « le dossier est celui d’un agent de catégorie A »
  • $B$: « le dossier est celui d’un agent de catégorie B »
  • $C$ : « le dossier est celui d’un agent de catégorie C »
  • $F$ : « le dossier est celui d’un agent qui est une femme »

Pour tout événement $G$, on note $p(G)$ sa probabilité et $\conj{G}$ son événement contraire.

  1. Compléter l’arbre pondéré traduisant la situation, donné en annexe, à rendre avec la copie.
    $\quad$
  2. Définir par une phrase, dans le contexte étudié, l’événement $A\cap F$, puis donner sa probabilité.
    $\quad$
  3. Montrer que la probabilité de l’événement $F$, arrondie au centième, est égale à $0,53$.
    $\quad$
  4. Sachant que le dossier choisi est celui d’une femme, quelle est la probabilité qu’elle fasse partie de la catégorie A ?
    $\quad$

Annexe

$\quad$

Exercice 4     8 points

Les parties A, B et C sont indépendantes.

Au cours du mois d’août 2017, un parc de loisirs a vendu $16~000$ billets d’entrée au prix unique de $50$ euros.
On définit le chiffre d’affaires comme le produit du prix du billet d’entrée par le nombre de billets vendus. Ainsi, le chiffre d’affaires du mois d’août 2017 s’élève à $800~000$ euros.
Suite à une étude de marché, on fait l’hypothèse suivante : une diminution de $x \%$ du prix du billet d’entrée par rapport à sa valeur au mois d’août 2017 ($50$ euros) entraîne une augmentation de $(2x)\%$ du nombre d’entrées par rapport à sa valeur au mois d’août 2017 ($16~000$).
L’objectif de l’exercice est de calculer le pourcentage de diminution du prix du billet qui maximise le chiffre d’affaires.

Partie A : étude d’un exemple

Pour le mois d’août 2018, on envisage de diminuer le prix du billet d’entrée de $10 \%$ par rapport à sa valeur en août 2017.

  1. Quel serait alors le prix du billet d’entrée en août 2018 ?
    $\quad$
  2. Quel serait alors le nombre d’entrées en août 2018 ?
    $\quad$
  3. Vérifier que le chiffre d’affaires du mois d’août 2018 serait alors de $864~000$ €
    $\quad$

Partie B : utilisation d’un tableur

On se propose d’étudier l’évolution du chiffre d’affaires en fonction du taux de diminution du prix du billet d’entrée par rapport à sa valeur en août 2017. Ce taux, exprimé en pourcentage, apparaît dans la première ligne du tableau donné ci-dessous, extrait d’une feuille de calcul.
Toutes les lignes du tableau sont au format Nombre.

  1. Quelle formule a-t-on pu saisir dans la cellule $B4$ pour obtenir, par recopie vers la droite, les chiffres d’affaires de la plage $C4 : I4$ ?
    $\quad$
  2. Dans un premier temps, la cellule $C2$ a été complétée par la formule suivante : $= B2∗(1-C1/100)$.
    Expliquer pourquoi cette formule ne permet pas d’obtenir, par recopie vers la droite, les résultats de la plage $D2 : I2$.
    Comment peut-on la modifier pour obtenir les valeurs affichées ?
    $\quad$
  3. Compte tenu des résultats donnés par le tableur, conjecturer des pourcentages de diminution du prix du billet d’entrée qui maximisent le chiffre d’affaires.
    $\quad$

Partie C : étude d’une fonction

Soit $f$ la fonction définie, pour tout x appartenant à l’intervalle $[0; 100]$, par : $$f (x) = -160x^2 +8~000x +800~000$$

  1. Déterminer les variations de la fonction $f$ sur $[0; 100]$.
    $\quad$
  2. Justifier que le prix du billet d’entrée, après une diminution de $x \%$ par rapport à sa valeur en août 2017, est égal à $50-0,5x$.
    $\quad$
  3. Déterminer le nombre d’entrées après une augmentation de $(2x)\%$ par rapport au nombre d’entrées en août 2017.
    $\quad$
  4. Expliquer pourquoi la fonction $f$ modélise le chiffre d’affaires du parc de loisirs.
    $\quad$
  5. Déduire de ce qui précède le pourcentage de diminution du prix du billet qui maximise le chiffre d’affaires.
    $\quad$
  6. Que vaut ce chiffre d’affaires maximal ?
    $\quad$

 

 

Bac STMG – Antilles Guyane – Septembre 2018

Antilles Guyane – Septembre 2018

Bac STMG – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. On veut calculer $p(B\cap D)=0,3\times 0,04=0,012$.
    La probabilité que le hand spinner choisi provienne du fournisseur Betterspin et soit défectueux est égale à $0,012$.
    $\quad$
  3. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(D)&=p(A\cap D)+p(B\cap D)+p(C\cap D) \\
    &=0,3\times 0,01+0,3\times 0,04+0,4\times 0,02\\
    &=0,023\end{align*}$
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_D(C)&=\dfrac{p(D\cap C)}{p(D)} \\
    &=\dfrac{0,4\times 0,02}{0,023}\\
    &=\dfrac{8}{23}\end{align*}$
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

Partie A : Étude graphique

  1. Une situation de proportionnalité se traduit, graphiquement, par une droite passant par l’origine du repère.
    La courbe $\mathscr{C}_2$ représente donc le chiffre d’affaires.
    $\quad$
  2. Le coût de production de $55$ voitures est environ égale à $400~000$ euros.
    $\quad$
  3. D’après le graphique, il faut produire et vendre $75$ voitures pour réaliser un chiffre d’affaires de $600~000$ euros.
    $\quad$
  4. L’entreprise réalise un bénéfice lorsque la courbe $\mathscr{C}_2$ se trouve au-dessus de la courbe $\mathscr{C}_1$ c’est-à-dire lorsqu’elle produit et vend entre $40$ et $82$ voitures.
    $\quad$

Partie B : Étude d’une fonction

  1. Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;100]$ on a :
    $\begin{align*} R'(x)&=-0,001\times 3x^2+0,07\times 2x+3,36 \\
    &=-0,003 x^2+0,14x+3,36
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. $\Delta=0,14^2-4\times (-0,003)\times 3,36=0,059~92>0$.
    $R'(x)$ possède donc deux racines réelles :
    $x_1=\dfrac{-0,14-\sqrt{0,059~92}}{-0,006}\approx 64,1$ et $x_2=\dfrac{-0,14+\sqrt{0,059~92}}{-0,006}<0$.
    On a $a=-0,003<0$. Par conséquent $R'(x)>0$ sur l’intervalle $\left[0;x_1\right[$, $R’\left(x_1\right)=0$ et $R'(x)<0$ sur l’intervalle $\left]x_1;100\right]$.
    $\quad$
  3. On obtient ainsi le tableau de variation suivant :

    $\quad$
  4. a. Le bénéfice est maximal pour $x=\dfrac{-0,14-\sqrt{0,059~92}}{-0,006} \approx 64$.
    Il faut donc produire et vendre $64$ voitures par jour pour réaliser un bénéfice maximal.
    $\quad$
    b. Le bénéfice est alors d’environ $53~600$ euros.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

  1. Une équation de la droite cherchée est $y=0,144x+81,989$.
    $\quad$
  2. On obtient le graphique suivant :

    $\quad$
  3. En 2005 on a $x=10$.
    Ainsi $y=0,14\times 10+82=83,4$
    L’espérance de vie d’une Française née en 2005 est donc de $83,4$ ans d’après ce graphique.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

Partie A

  1. Le taux d’évolution de la population française de 2013 à 2014 est :
    $t=\dfrac{66,33-66}{66}=0,5\%$
    $\quad$
  2. Le taux d’évolution de la population française de 2014 à 2015 est de $0,44\%$.
    Ainsi la population française en 2015 était de $66,33\times \left(1+\dfrac{0,44}{100}\right)\approx 66,62$ millions d’habitants.
    $\quad$
  3. Le taux d’évolution global de 2012 à 2016 est :
    $t=\dfrac{66,9-65,66}{65,66}\approx 1,89\%$.
    $\quad$
  4. On appelle $x$ le taux d’évolution annuel cherché.
    On a ainsi :
    $\begin{align*} 65,66\times \left(1+\dfrac{x}{100}\right)^4=66,9 &\ssi \left(1+\dfrac{x}{100}\right)^4=\dfrac{66,9}{65,66} \\
    &\ssi 1+\dfrac{x}{100}=\left(\dfrac{66,9}{65,66}\right)^{1/4}\\
    &\ssi \dfrac{x}{100}=\left(\dfrac{66,9}{65,66}\right)^{1/4}-1\\
    &\ssi x=100\left[\left(\dfrac{66,9}{65,66}\right)^{1/4}-1\right]
    \end{align*}$
    Ainsi $x\approx 0,47$.
    Le taux d’évolution annuel moyen cherché est donc environ égale à $0,47\%$.
    $\quad$
  5. $66,9\times \left(1+\dfrac{0,47}{100}\right)^4\approx 68,17$
    Selon ce modèle, en 2020, la population française serait de $68,17$ millions d’habitants.
    $\quad$

Partie B

  1. La population française augmente de $0,5\%$ par an.
    La raison de la suite $\left(u_n\right)$ est donc $1+\dfrac{0,5}{100}=1,005$.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a alors $u_n=65,66\times 1,005^n$.
    $\quad$
  3. Selon ce nouveau modèle, en 2020, on a $u_8=65,66\times 1,005^8\approx 68,33$.
    La population française serait alors d’environ $68,33$ millions d’habitants en 2020.
    $\quad$
  4. a. On obtient l’algorithme suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    U\leftarrow 65,66\\
    N\leftarrow 0\\
    \text{Tant que } U<70\\
    \hspace{1cm} U\leftarrow U \times 1,005 \\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n\pg 70$
    D’après la calculatrice, on a $u_{12}\approx 69,70$ et $u_{13}\approx 70,06$.
    C’est donc en 2025 que la population française dépassera $70$ millions d’habitants.
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1     5 points

L’entreprise Gadgets En Stock vend des hand spinners. Elle les achète auprès de trois fournisseurs étrangers Advanceplay, Betterspin et Coolgame.
Advanceplay et Betterspin fournissent chacun $30 \%$ des hand spinners de Gadgets En Stock.
Coolgame fournit les $40 \%$ restant.

Les données de ces trois entreprises indiquent que :

  • $1 \%$ des hand spinners provenant du fournisseur Advanceplay sont défectueux ;
  • $4 \%$ des hand spinners provenant du fournisseur Betterspin sont défectueux ;
  • $2 \%$ des hand spinners provenant du fournisseur Coolgame sont défectueux.

On choisit de façon équiprobable un hand spinner dans le stock de l’entreprise Gadgets En Stock et on définit les événements suivants :

  • $A$ : « le hand spinner provient du fournisseur Advanceplay »
  • $B$ : « le hand spinner provient du fournisseur Betterspin »
  • $C$ : « le hand spinner provient du fournisseur Coolgame »
  • $D$ : « le hand spinner est défectueux »
  1. Compléter l’arbre pondéré donné en annexe, à rendre avec la copie.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité que le hand spinner choisi provienne du fournisseur Betterspin et soit défectueux.
    $\quad$
  3. Montrer que la probabilité que le hand spinner choisi soit défectueux est égale à $0,023$.
    $\quad$
  4. On achète un hand spinner chez Gadgets En Stock. On constate que celui-ci est défectueux.
    Quelle est la probabilité qu’il provienne du fournisseur Coolgame ?

Annexe

$\quad$

Exercice 2     6 points

Une usine de fabrication de voitures a une capacité de production de $100$ véhicules par jour.

Partie A : Étude graphique

Sur le graphique ci-dessous sont tracées deux courbes $C_1$ et $C_2$. L’une représente le coût de production en fonction du nombre de voitures produites et vendues par jour, l’autre le chiffre d’affaires de
l’usine en fonction du nombre de voitures produites et vendues par jour.

  1. Sachant que le chiffre d’affaires de l’usine est proportionnel au nombre de voitures produites et vendues chaque jour, laquelle des deux courbes représente ce chiffre d’affaires ?
    $\quad$
  2. Avec la précision permise par le graphique, donner le coût de production de $55$ voitures.
    $\quad$
  3. Combien de voitures faut-il produire et vendre pour réaliser un chiffre d’affaires de $600~000$ euros ?
    $\quad$
  4. Pour combien de voitures produites et vendues par jour l’usine réalise-t-elle un bénéfice ? Le résultat sera donné sous forme d’un intervalle.
    $\quad$

Partie B : Étude d’une fonction

On considère la fonction $R$ définie sur $[0; 100]$ par $$R(x)=-0,001x^3+0,07x^2+3,36x-186$$

On admet que la fonction $R$ est dérivable sur $[0; 100]$. On note $R’$ sa fonction dérivée.

  1. Calculer $R'(x)$.
    $\quad$
  2. Étudier le signe de $R'(x)$ sur l’intervalle $[0; 100]$.
    $\quad$
  3. En déduire le tableau de variation de la fonction $R$ sur $[0; 100]$.
    $\quad$
  4. On appelle résultat la différence entre le chiffre d’affaires et le coût de production. S’il est positif, il correspond à un bénéfice, s’il est négatif, il correspond à une perte. Pour un nombre entier $x$ de voitures produites et vendues par jour, on modélise le résultat par $R(x)$.
    a. Selon ce modèle, combien de voitures l’usine doit-elle produire et vendre par jour pour réaliser un bénéfice maximal.
    $\quad$
    b. Quel est alors ce bénéfice ?
    $\quad$

Exercice 3     3 points

Le tableau ci-dessous donne l’espérance de vie des Françaises selon leur année de naissance sur la période allant de 1996 à 2003.

$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Année de naissance}&1996&1997&1998&1999&2000&2001&2002&2003\\
\hline
\text{Rang de l’année }x_i&1&2&3&4&5&6&7&8\\
\hline
\begin{array}{l}\text{Espérance de vie : }y_i\\\text{(en années)}\end{array}&82,1&82,3&82,4&82,5&82,8&82,9&83,1&83,0\\
\hline
\end{array}
\hspace{11.5cm}\\\textit{Source : INSEE}$$

Le nuage de points de coordonnées $\left(x_i; y_i\right)$ est donné en annexe.

  1. Donner l’équation réduite de la droite réalisant un ajustement affine de $y$ en $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés. On arrondira les coefficients au millième.
    $\quad$
  2. On décide d’ajuster ce nuage de points par la droite d’équation $y = 0,14x +82$.
    Tracer cette droite sur le graphique donné en annexe, à rendre avec la copie.
    $\quad$
  3. On admet que cet ajustement reste valide pour les années de naissance allant jusqu’en 2006.
    Déterminer alors l’espérance de vie d’une Française née en 2005.
    $\quad$

Annexe

Exercice 4     6 points

L’objet de cet exercice est l’étude de l’évolution de la population française depuis l’année 2012.

Partie A

Le tableau ci-dessous donne l’effectif de la population française et son taux d’évolution annuel pour certaines années comprises entre 2012 et 2016.

On lit, par exemple, que la population française a augmenté de $0,52 \%$ de 2012 à 2013.

  1. Calculer le taux d’évolution de la population française de 2013 à 2014.
    $\quad$
  2. À combien s’élevait la population française en 2015 ?
    $\quad$
  3. Calculer le taux d’évolution global de 2012 à 2016, exprimé en pourcentage.
    $\quad$
  4. Vérifier que le taux d’évolution annuel moyen de 2012 à 2016, arrondi au centième, est égal à $0,47 \%$.
    $\quad$
  5. En considérant que ce taux reste valide jusqu’en 2020, estimer la population française en 2020.
    $\quad$

Partie B

Dans cette partie, on admet que la population française augmente de $0,5 \%$ par an à partir de l’année 2012 et jusqu’en 2030. On modélise cette évolution à l’aide d’une suite géométrique notée $\left(u_n\right)$. Pour tout entier naturel $n$, un représente la population en (2012$+n$), exprimée en million d’habitants.
On a ainsi $u_0 = 65,66$.

  1. Préciser la raison de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel n, inférieur ou égal à 18, exprimer un en fonction de $n$.
    $\quad$
  3. En déduire, à l’aide de ce modèle, une nouvelle estimation de la population française en 2020.
    $\quad$
  4. On souhaite estimer l’année à partir de laquelle la population française dépassera les $70$ millions d’habitants. Pour cela, on considère l’algorithme incomplet ci-dessous :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \hspace{2cm}\text{Algorithme}\\
    \hline
    \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\\
    \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\\
    \text{Tant que }U<70\\
    \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\\
    \hspace{1cm}N\leftarrow N+1\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    a. Recopier sur la copie et compléter l’algorithme à l’aide des trois instructions suivantes pour qu’après exécution, la variable $N$ contienne le rang de l’année recherchée.
    $\begin{array}{|l|}\hline U\leftarrow U\times 1,005\\\hline\end{array}$ $\qquad$ $\begin{array}{|l|}\hline U\leftarrow 65,66\\\hline\end{array}$ $\qquad$  $\begin{array}{|l|}\hline N\leftarrow 0\\\hline\end{array}$
    $\quad$
    b. Au cours de quelle année la population française dépassera-t-elle $70$ millions d’habitants ?

 

 

Bac STMG – Métropole – Juin 2018

Métropole – Juin 2018

Bac STMG – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. On obtient l’arbre de probabilité suivant :
  2. $A\cap \conj{B}$ correspond à l’événement “l’INE est celui d’un étudiant inscrit dans un établissement d’Île-de-France qui n’est pas inscrit dans une université”.
    $\quad$
    $P\left(A\cap \conj{B}\right)=0,26\times 0,49=0,127~4$.
    $\quad$
  3. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(B)&=p(A\cap B)+p\left(\conj{A}\cap B\right) \\
    &=0,26\times 0,51+0,74\times 0,62 \\
    &=0,132~6+0,458~8 \\
    &=0,591~4
    \end{align*}$
    $\quad$
  4. On veut calculer
    $\begin{align*} p_B(A)&=\dfrac{p(A\cap B)}{p(B)} \\
    &=\dfrac{0,132~6}{0,591~4} \\
    &\approx 0,22
    \end{align*}$
    Or $\dfrac{1}{5}=0,2$ et $\dfrac{1}{4}=0,25$.
    On a bien $\dfrac{1}{5} < p_B(A)<\dfrac{1}{4}$.
    L’affirmation est donc vraie.
    $\quad$

 

 

Ex 2

Exercice 2

  1. Le coefficient multiplicateur associé à l’évolution globale est
    $C=1,22\times (1-0,2)=1,22\times 0,8=0,976$.
    $1-0,976=0,024$.
    Il s’agit donc d’une baisse de $2,4\%$
    Réponse c
    $\quad$
  2. On a
    $\begin{align*} p(4,4 \pp X \pp 5)&=p(X< 5)-p(X < 4,4)\\
    &=0,5-p(X<4,4) \\
    &=0,5-\left(1-p(X>4,4\right) \\
    &=p(X>4,4)-0,5
    \end{align*}$
    Réponse c
    $\quad$
  3. (i) $f'(2)$ correspond au coefficient directeur de la droite $(AB)$.
    Donc $f'(2)=\dfrac{4-(-4)}{2-0}=4$
    Réponse a
    $\quad$
    (ii) La fonction $f$ est croissante sur l’intervalle $\left[-\dfrac{2}{3};4\right]$.
    Donc $f'(x) \pg 0$ sur l’intervalle $\left[-\dfrac{2}{3};4\right]$.
    Réponse c
    $\quad$
  4. (i) $g'(x)=2\times 3x^2-9\times 2x-24 = 6x^2-18x-24$.
    Réponse c
    $\quad$
    (ii) En traçant la courbe représentative de la fonction $g$ à l’aide de la calculatrice on trouve que le minimum est $-80$.
    Réponse c
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. Une équation de la droite d’ajustement est $y=-2,57x+145,96$.
    $\quad$
  2. On obtient le graphique suivant :
  3. On veut qu’en 2030, la consommation en énergie primaire d’origine fossile soit de $128\times 0,7=89,67$ Mtep.
    On veut donc résoudre :
    $\begin{align*} -2,6x+146<89,67 &\ssi -2,6x < -56,33 \\
    &\ssi x > \dfrac{56,33}{2,6}
    \end{align*}$
    Or $\dfrac{56,33}{2,6} \approx 21,66$
    C’est donc au cours de la  $22\ieme$ année, soit en 2027 (qui est bien inférieur à 2030), que l’objectif sera atteint.
    $\quad$

 

 

Ex 4

Exercice 4

Partie A

  1. On peut saisir $=(C2-B2)/B2$
    $\quad$
  2. On a $\dfrac{222,9-169,7}{169,7} \approx 0,31$.
    Donc en $F3$ on peut lire $31\%$
    $\quad$

Partie B

  1. La valeur des encours des investissements socialement responsables augmente tous les ans de $30\%$.
    Donc, pour tout entier naturel $n$ on a $a_{n+1}=1,3a_n$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,3$.
    $\quad$
  2. Ainsi $u_n=222,9\times 1,3^n$ pour tout entier naturel $n$.
    $\quad$
  3. En 2018, on a $n=4$.
    Ainsi $u_4=222,9\times 1,3^4\approx 636,6$
    La valeur des encours des investissements socialement responsables, au $1\ier$ janvier 2018 est environ de $636,6$ milliards d’euros.
    $\quad$
  4. a. Après exécution de l’algorithme la variable $N$ contient le rang de la première fois où $u_n \pg 1~000$ et $U$ contient la valeur de la suite pour ce rang.
    On a $u_5 \approx 827,6$ et $u_6\approx 1~075,9$
    Donc $N=6$ et $U\approx 1~075,9$.
    $\quad$
    b. C’est donc à partir de 2014$+6$, soit en 2020, que l’encours des investissements socialement responsables sera supérieur à $1~000$ milliards d’euro. Il sera alors d’environ $1~075,9$ milliards d’euros.
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1     4 points

Parmi les étudiants de l’enseignement supérieur de France métropolitaine et des DOM, $26 \%$ sont inscrits dans un établissement d’Île-de-France. Parmi ces étudiants inscrits dans un établissement d’Île-de-France, $51 \%$ le sont dans une université.
Parmi les étudiants inscrits en province ou dans les DOM, $62 \%$ sont inscrits dans une université.
Source : Ministère de l’Enseignement Supérieur, de la Recherche et de l’Innovation.

Dans la base recensant l’INE (Identifiant National Étudiant) de chaque étudiant, on choisit de façon équiprobable un identifiant.
On considère les événements suivants :
$\quad$ $A$ : « l’INE est celui d’un étudiant inscrit dans un établissement d’Île-de-France »
$\quad$ $B$ : « l’INE est celui d’un étudiant inscrit dans une université »

  1. Compléter l’arbre de probabilité figurant en annexe, à rendre avec la copie, représentant la situation de l’énoncé.
    $\quad$
  2. Traduire l’événement $A\cap B$ par une phrase et calculer sa probabilité.
    $\quad$
  3. Montrer que la probabilité de l’événement $B$ est égale à $0, 591~4$.
    $\quad$
  4. Un responsable du ministère déclare : « Parmi les étudiants inscrits à l’université, moins d’un sur quatre et plus d’un sur cinq sont inscrits dans un établissement d’Île-de-France ».
    Que peut-on penser de cette affirmation ?
    $\quad$

Annexe

$\quad$

Exercice 2     6 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Pour chaque question, indiquer la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Chaque réponse correcte rapporte un point. Une réponse incorrecte, multiple ou une absence de réponse, ne rapporte ni n’enlève de point.

  1. Une augmentation de $22\%$ suivie d’une baisse de $20\%$ revient à une évolution de :
    a. $+2\%$
    b. $+2,42\%$
    c. $-2,4\%$
    d. $-2\%$
    $\quad$
  2. Une variable aléatoire $X$ suit la loi normale de moyenne $\mu=5$ et d’écart type $\sigma=0,3$.
    On donne ci-dessous la courbe de densité de la variable $X$.

    La probabilité $p(4,4\pp X\pp5)$ est égale à :
    a. $0,5-p(X>4,4)$
    b. $0,5+p(X>4,4)$
    c. $p(X>4,4)-0,5$
    d. $1-p(X>4,4)$
    $\quad$

  3. On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[-3;6,5]$ dont la courbe représentative $\mathscr{C}_f$ est donnée ci-dessous. Sur ce graphique figure également la droite $(AB)$ tangente à la courbe $\mathscr{C}_f$ au point $A(2;4)$.

    On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[-3;6,5]$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.
    i. $f'(2)$ est égal à :
    $\quad$ a. 4
    $\quad$ b. $\dfrac{1}{2}$
    $\quad$ c. $-4$
    $\quad$ d. $2$
    $\quad$
    ii. L’ensemble des solutions de l’inéquation $f'(x) \pg 0$ est :
    $\quad$ a. $[-2;-2]\cup[1;6]$
    $\quad$ b. $\left[-3;-\dfrac{2}{3}\right] \cup [4;6,5]$
    $\quad$ c. $\left[-\dfrac{2}{3};4\right]$
    $\quad$ d. $[-2;1]\cup[6;6,5]$
    $\quad$

  4. On considère la fonction $g$ définie sur l’intervalle $[-2;8]$ par $g(x)=2x^3-9x^2-24x+32$.
    On admet que la fonction $g$ est dérivable sur l’intervalle $[-2;8]$ et on note $g’$ sa fonction dérivée.
    i. Pour tout $x$ appartenant à l’intervalle $[-2;8]$, $g'(x)$ est égal à :
    $\quad$ a. $5x^2-11x-24$
    $\quad$ b. $2x^2-9x-24$
    $\quad$ c. $6x^2-18x-24$
    $\quad$ d. $3x^2-2x-24$
    $\quad$
    ii. Le minimum de la fonction $g$ sur l’intervalle $[-2;8]$ est :
    $\quad$ a. $-82$
    $\quad$ b. $4$
    $\quad$ c. $-80$
    $\quad$ d. $-24$
    $\quad$

Exercice 3     4 points

Le tableau ci-dessous donne la consommation d’énergie primaire d’origine fossile (charbon, gaz, pétrole) en France entre 2005 et 2013. Elle s’exprime en million de tonnes équivalent pétrole (Mtep) et est arrondie au dixième.

$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Année}&2005&2006&2007&2008&2009&2010&2011&2012&2013\\
\hline
\text{Rang de l’année : }x_i&0&1&2&3&4&5&6&7&8\\
\hline
\text{Consommation d’énergie}&146,0&143,1&141,3&139,7&133,7&135,1&127,1&128,1&126,9\\
\text{primaire d’origine fossile}&&&&&&&&&\\
\text{(en Mtep) : } y_i&&&&&&&&&\\
\hline
\end{array}\\
\hspace{4.5cm} Source : http ://www.statistiques.developpement – durable.gouv.fr$$

Une représentation graphique du nuage de points de coordonnées $\left(x_i; y_i\right)$ est donnée en annexe.

  1. Donner l’équation réduite de la droite d’ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis au centième.
    $\quad$
  2. On décide d’ajuster le nuage de points par la droite $\mathscr{D}$ d’équation $y =−2,6x + 146$.
    Tracer la droite $\mathscr{D}$ sur le graphique donné en annexe, à rendre avec la copie.
    $\quad$
  3. La loi de 2015 relative à la transition énergétique fixe à la France l’objectif suivant : avant 2030, réduire de $30 \%$ la consommation en énergie primaire d’origine fossile par rapport à sa valeur en 2012.
    Selon le modèle retenu à la question 2., l’objectif de la loi sera-t-il atteint ? Si oui, au cours de quelle année ? On expliquera la démarche utilisée.

Annexe 

$\quad$

Exercice 4     6 points

Partie A

Le tableau suivant, extrait d’une feuille automatisée de calcul, fournit l’évolution des encours (solde comptable) des Investissements Socialement Responsables (ISR) détenus par les investisseurs français, au 1$\ier$ janvier des années allant de 2010 à 2014. La plage de cellules $C3:F3$ est au format pourcentage arrondi à l’unité.

$$\begin{array}{|c|l|c|c|c|c|c|}
\hline
&\hspace{3.5cm}\textbf{A}&\textbf{B}&\textbf{C}&\textbf{D}&\textbf{E}&\textbf{F}\\
\hline
\textbf{1}&\text{Année}&2010&2011&2012&2013&2014\\
\hline
\textbf{2}&\text{Encours des ISR (en milliard d’euros)}&68,3&115,3&149,0&169,7&222,9\\
\hline
\textbf{3}&\text{Taux d’évolution annuel (en pourcentage)}&\bbox[gray]{\phantom{1+22^2}}&&&&\\
\hline
\end{array}\\
\hspace{12cm}Source : Novethic$$

  1. Choisir parmi les propositions suivantes, la formule à saisir dans la cellule $C3$ d’un tableur afin d’obtenir par recopie vers la droite les taux d’évolution annuels jusqu’en 2014, des encours des investissements socialement responsables :
    $$\begin{array}{|l|l|l|l|l|}
    \hline
    =(C2-B2)/C2&(C2-\$B\$2)/\$B\$2&=C2/B2&(C2-B2)/B2&=(B2-C2)/C2\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  2. Quelle est la valeur affichée dans la cellule $F3$?
    $\quad$

Partie B

On suppose que la valeur des encours des investissements socialement responsables augmente tous les ans de $30 \%$ ) partir de 2014. On note $u_n$ la valeur des encours des investissements socialement responsables, exprimée en milliard d’euros, au 1$\ier$ janvier de l’année (2014 $+ n$).
On a ainsi $u_0 = 222, 9$.

  1. Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.
    $\quad$
  2. Exprimer, pour tout entier naturel $n$, un en fonction de $n$.
    $\quad$
  3. En déduire une estimation de la valeur des encours des investissements socialement responsables, au 1$\ier$ janvier 2018.
    $\quad$
  4. On considère l’algorithme suivant :
    $$\begin{array}{l}
    N\leftarrow 0\\
    U \leftarrow 222,9\\
    \text{Tant que }U<1~000\\
    \hspace{1cm} N\leftarrow N+1\\
    \hspace{1cm} U \leftarrow 1,3\times U\\
    \text{Fin Tant que}\end{array}$$
    a. Quelles valeurs contiennent les variables $N$ et $U$ après exécution de cet algorithme ?
    $\quad$
    b. Interpréter ces valeurs dans le contexte étudié.
    $\quad$

 

 

 

 

 

Bac STMG – Centres étrangers – Juin 2018

Centres étrangers – Juin 2018

Bac STMG – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. On obtient l’arbre de probabilité suivant :
    $\quad$
  2. $F\cap R$ est l’événement “la fiche est celle d’une personne ayant entre 26 et 45 ans et cette personne s’est rendue au restaurant”.
    On a $p(F\cap R)=0,4\times 0,42=0,168$.
    $\quad$
  3. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(R)&=p(E\cap R)+p(F\cap R)+p(G\cap R) \\
    &=0,15\times 0,28+0,4\times 0,42+0,45\times 0,63 \\
    &=0,493~5
    \end{align*}$
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_R(G)&=\dfrac{p(G\cap R)}{p(R)} \\
    &=\dfrac{0,45\times 0,63}{0,493~5} \\
    &=\dfrac{27}{47}\\
    &\approx 0,57
    \end{align*}$
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. On obtient le graphique suivant :
    $\quad$
    À l’aide de la calculatrice on trouve $P(X>80) \approx 0,977$
    $\quad$
  2. Sur le graphique est représenté la probabilité $P(41 \pp Y \pp 49) \approx 0,955$.
    Il s’agit de la probabilité que la consommation en eau soit comprise entre $41$ L et $49$ L.
    $\quad$
  3. On a $n=350$ et $p=0,9$.
    Un intervalle de fluctuation au seuil de $95\%$ est :
    $\begin{align*} I_{350}&=\left[0,9-\dfrac{1}{\sqrt{350}};0,9+\dfrac{1}{\sqrt{350}}\right] \\
    &\approx [0,846;0,954]
    \end{align*}$
    La fréquence observée est $f=\dfrac{290}{350}\approx 0,829 \notin I_{350}$.
    Ce résultat remet donc en cause, au risque de $5\%$, l’affirmation de la société de conseil.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A : étude d’un premier modèle

  1. La calculatrice nous indique qu’une équation réduite de la droite d’ajustement est $y=37,2x+144,8$.
    $\quad$
  2. Si $x=0$ alors $y=145$ : le point de coordonnées $(0,145)$ appartient à la droite $\mathscr{D}$.
    Si $x=5$ alors $y=330$ : le point de coordonnées $(5;330)$ appartient à la droite $\mathscr{D}$.
    $\quad$
  3. Si $x=10$ alors $y=370+145=515$.
    Selon ce modèle, on peut espérer $515$ téléchargements à la fin de la semaine de rang $10$.
    $\quad$

Partie B : étude d’un second modèle

  1. Le taux d’évolution hebdomadaire entre ces deux dates est $t=\dfrac{1~095-296}{296}\approx 2,7$ soit $270\%$.
    $\quad$
  2. Soit $x$ le taux d’évolution hebdomadaire moyen cherché.
    On a ainsi $\left(1+\dfrac{x}{100}\right)^6=3,7$
    $\ssi 1+\dfrac{x}{100}=3,7^{1/6}$
    $\ssi \dfrac{x}{100}=3,7^{1/6}-1 $
    $\ssi x=100\left(3,7^{1/6}-1\right)
    Par conséquent $x \approx 24,37$
    $\quad$
  3. Augmenter un nombre de $24\%$ revient à la multiplier par $1+0,24=1,24$.
    Pour tout entier naturel $n$ on a donc : $u_{n+1}=1,24u_n$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,24$ et de premier terme $u_0=1~095$.
    $\quad$
  4. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=1~095\times 1,24^n$.
    $\quad$
  5. La semaine de rang $20$ correspond à $n=10$.
    Ainsi $u_{10}=1~095\times 1,24^{10} \approx 9~410,9$
    Julien peut donc espérer $9~411$ téléchargement cette semaine-ci.
    $\quad$
  6. On obtient l’algorithme suivant :
    $\begin{array}{|l|}
    \hline
    N\leftarrow 0 \\
    U\leftarrow 1~095\\
    \text{Tant que } U<20~000\\
    \hspace{1cm} U\leftarrow 1,24\times U\\
    \hspace{1cm} N\leftarrow N+1\\
    \text{Fin Tant que}\\
    N\leftarrow 10+N\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie A

  1. Graphiquement le coût moyen est minimal quand $x=5$.
    Le coût moyen est minimum quand l’entreprise produit $5$ tonnes de plastique.
    $\quad$
  2. Le coût moyen minimal est alors environ de $400$ €.
    Le coût total est donc de $5\times 400=2~000$ €.
    $\quad$

Partie B

  1. Il faut donc que le coût moyen soit inférieur au prix de vente.
    Graphiquement cela signifie que la quantité (en tonnes) de plastique produite doit appartenir à l’intervalle $[2;9]$.
    $\quad$
  2. Le profit est maximal lorsque le coût marginal est égal au prix de vente unitaire.
    C’est le cas quand l’entreprise produit $6$ tonnes de plastique.
    $\quad$
  3. Le coût moyen pour $6$ tonnes de plastique produite est $C_M\approx 450$ €.
    $\quad$
  4. Le coût total est alors $C=450\times 6=2~700$ €.
    $\quad$
  5. Le prix de vente unitaire est de $700$ €.
    Le profit maximal est alors $P=6\times 700-2~700=1~500$.
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1     4 points

A l’issue de la célébration du $500\ieme$ anniversaire de sa ville, le directeur de l’office du tourisme a commandé une enquête visant à estimer les retombées économiques de cette manifestation. Cette enquête a été réalisée auprès de personnes s’y étant rendues. Il en ressort que :

  • $15 \%$ des personnes interrogées ont entre 18 et 25 ans ;
  • $40 \%$ des personnes interrogées ont entre 26 et 45 ans ;
  • $45 \%$ des personnes interrogées ont 46 ans ou plus.

Il a été demandé aux personnes interrogées si elles s’étaient rendues au restaurant lors de cette manifestation. Les réponses sont synthétisées ci-dessous :

  • parmi les 18-25 ans, $28 \%$ se sont rendus au restaurant ;
  • parmi les 26-45 ans, $42 \%$ se sont rendus au restaurant ;
  • parmi les personnes de 46 ans ou plus, $63 \%$ se sont rendues au restaurant.

Ce questionnaire a permis de remplir une fiche par personne interrogée, précisant son âge et indiquant si elle s’est rendue ou non au restaurant.
On choisit de façon équiprobable l’une de ces fiches.
On définit les événements suivants :
$\quad$ $E$ : « la fiche est celle d’une personne ayant entre 18 et 25 ans »
$\quad$ $F$ : « la fiche est celle d’une personne ayant entre 26 et 45 ans »
$\quad$ $G$ : « la fiche est celle d’une personne ayant plus de 46 ans »
$\quad$ $R$ : « la fiche est celle d’une personne s’étant rendue au restaurant »

  1. Compléter l’arbre pondéré donné en annexe, à rendre avec la copie.
    $\quad$
  2. Définir par une phrase l’événement $F\cap R$. Calculer sa probabilité.
    $\quad$
  3. Montrer que la probabilité de l’événement $R$ est égale à $0,493~5$.
    $\quad$
  4. Sachant que la fiche choisie est celle d’une personne s’étant rendue au restaurant lors des festivités de 2017, calculer la probabilité que ce soit celle d’une personne ayant plus de 46 ans.
    $\quad$

Annexe :

$\quad$

Exercice 2     4 points

Une entreprise de blanchisserie propose à ses clients d’utiliser sur place ses machines à laver. Conscient des enjeux environnementaux, le gérant s’interroge sur la consommation en eau, par cycle de lavage, de ses machines. Il fait réaliser une étude par une société de conseil spécialisée dans l’accompagnement vers la transition énergétique.

  1. Cette étude permet de modéliser la consommation en eau, exprimée en litre, par une variable aléatoire $X$ suivant la loi normale d’espérance $90$ et d’écart type $5$.
    Le graphique figurant en annexe, à rendre avec la copie, représente la courbe de densité de la variable aléatoire $X$.
    Hachurer sur ce graphique le domaine correspondant à l’événement $\lbrace X > 80\rbrace$ et donner la valeur de sa probabilité.
    $\quad$
  2. La société de conseil suggère au gérant de remplacer ses machines par de nouvelles, moins énergivores et mieux éco-conçues. Leur consommation en eau, exprimée en litre, est modélisée par une variable aléatoire $Y$ suivant la loi normale d’espérance $45$ et d’écart type $2$.
    Un graphique en annexe représente la courbe de densité de la variable aléatoire $Y$.
    Interpréter, dans le contexte de l’exercice, l’aire du domaine hachuré et donner sa valeur.
    $\quad$
  3. La société de conseil affirme au gérant que $90 \%$ des clients sont sensibles aux questions environnementales.
    Avant de remplacer son parc de machines, le gérant réalise un sondage auprès de $350$ clients.
    Ce sondage révèle alors que, parmi eux, $290$ y sont sensibles. Ce résultat permet-il de remettre en cause l’affirmation de la société de conseil ?
    Argumenter la réponse à l’aide d’un intervalle de fluctuation.
    $\quad$

Annexe :

$\quad$

Exercice 3     7 points

Julien vient de créer une application informatique destinée aux particuliers et permettant l’organisation d’événements. Le 1$\ier$ avril 2018, il envoie une offre de téléchargement de son application à toutes les personnes de son carnet d’adresses.
Chaque semaine, il a relevéle nombre de personnes ayant téléchargé son application. Ses observations sur les cinq premières semaines sont répertoriées dans le tableau ci-dessous. Le rang $0$ correspond à la semaine du 1$\ier$ au 7 avril 2018.

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x_i : \text{ rang de la semaine}&0&1&2&3&4\\
\hline
y_i : \text{ nombre de téléchargements}&150&180&210&260&296\\
\hline
\end{array}$

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A : étude d’un premier modèle

Une représentation graphique du nuage de points de coordonnées $\left(x_i; y_i\right)$ est donnée en annexe.

  1. À l’aide de la calculatrice, déterminer l’équation réduite de la droite d’ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés. On donnera les valeurs exactes des deux coefficients.
    $\quad$
  2. Julien décide d’ajuster ce nuage par la droite $\mathscr{D}$ d’équation $y = 37x + 145$.
    Déterminer les coordonnées de deux points de la droite $\mathscr{D}$.
    Représenter la droite $\mathscr{D}$ sur le graphique de l’annexe, à rendre avec la copie.
    $\quad$
  3. Selon ce modèle, quel est le nombre de téléchargements attendus à la fin de la semaine de rang $10$ ?
    $\quad$

Partie B : étude d’un second modèle

En réalité, le nombre de téléchargements effectués jusqu’à la fin de la semaine de rang $10$ est donné par le tableau ci-dessous.

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x_i : \text{ rang de la semaine}&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\
\hline
y_i : \text{ nombre de téléchargements}&150&180&210&260&296&370&457&572&698&883&1~095\\
\hline
\end{array}$

  1. Justifier que le taux d’évolution global du nombre de téléchargements entre la semaine de rang $4$ et la semaine de rang $10$ est de $270 \%$.
    $\quad$
  2. En déduire le taux d’évolution hebdomadaire moyen du nombre de téléchargements entre la semaine de rang $4$ et la semaine de rang $10$.
    $\quad$
    On fait l’hypothèse qu’à partir de la semaine de rang $10$, le taux d’évolution hebdomadaire du nombre de téléchargements est constant et égal à $24 \%$.
    Le nombre de téléchargements hebdomadaires au cours de la semaine de rang $(10 + n)$ est alors modélisé par le terme un d’une suite de premier terme $u_0 = 1~095$.
    $\quad$
  3. Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ est géométrique et préciser sa raison.
    $\quad$
  4. Exprimer un en fonction de l’entier naturel $n$.
    $\quad$
  5. Selon ce modèle, combien de téléchargements Julien peut-il espérer lors de la semaine de rang $20$ ?
    $\quad$
  6. Un sponsor a contacté Julien, lui proposant une participation financière pour promouvoir son projet à plus grande échelle, dès lors que le nombre de téléchargements hebdomadaires dépassera $20~000$.
    Compléter les deux lignes non renseignées dans l’algorithme donné en annexe, à rendre avec la copie, pour qu’après exécution, la variable $N$ contienne le rang de la semaine à partir de laquelle Julien sera sponsorisé.

Annexes :

Partie A, question 2

Partie B, question 6

$$\begin{array}{|l|}
\hline
N\leftarrow 0\\
U\leftarrow 1~095\\
\text{Tant que} \ldots\ldots\ldots\\
\hspace{1cm} U\leftarrow 1,24\times U\\
\hspace{1cm} \ldots\ldots\ldots\\
\text{Fin Tant que}\\
N \leftarrow 10+N\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$

Exercice 4     5 points

Une entreprise est spécialisée dans le recyclage de bouteilles d’eau en plastique.
Elle peut produire chaque jour entre $0$ et $10$ tonnes de plastique qu’elle revend en totalité au prix unitaire de $700$ € la tonne.
On rappelle que le coût moyen correspondant à la production de $x$ tonnes de plastique est défini par $C_M(x)=\dfrac{C_r(x)}{x}$, où $C_r(x)$ est le coût total pour la production de $x$ tonnes de plastique.
Le coût marginal, noté $C_m(x)$, est le coût induit par la production d’une tonne de plastique supplémentaire lorsqu’on a déjà produit $x$ tonnes de plastique.

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

Sur l’annexe sont tracées les courbes représentant les coûts moyen et marginal (en euro) en fonction de la quantité de plastique produite (en tonne) ainsi que la droite représentant le prix de vente unitaire.
On admet que le coût moyen est minimal lorsqu’il est égal au coût marginal.

  1. Déterminer graphiquement la quantité de plastique que doit produire l’entreprise pour que le coût moyen soit minimal.
    $\quad$
  2. Déterminer graphiquement ce coût moyen minimal et en déduire le coût total correspondant.
    $\quad$

Partie B

On dit qu’il y a profit lorsque le prix de vente unitaire est strictement supérieur au coût moyen.
On admet que le profit de l’entreprise est maximal lorsque le coût marginal est égal au prix de vente unitaire.

  1. Pour quelles quantités de plastique produites, l’entreprise réalise-t-elle un profit ? Le résultat sera donné sous la forme d’un intervalle.
    $\quad$
  2. Déterminer graphiquement la quantité de plastique que doit produire l’entreprise pour que le profit soit maximal.
    $\quad$
  3. Quel est le coût moyen correspondant à cette production ?
    $\quad$
  4. En déduire le coût total correspondant.
    $\quad$
  5. Calculer le profit total maximal
    $\quad$

Annexe 

$\quad$

 

 

 

Bac STMG – Polynésie – Juin 2018

Polynésie – Juin 2018

Bac STMG – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. La population d’oiseaux diminue de $3\%$.
    $u_1=(1-0,03)u_0=0,97\times 300=291$.
    Réponse A
    $\quad$
  2. La population d’oiseaux diminue de $3\%$.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a  $u_{n+1}=(1-0,03)u_n=0,97u_n$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,97$ et de premier terme $u_0=300$.
    Réponse C
    $\quad$
  3. On peut saisir la formule $=B2*0,97$.
    Réponse D
    $\quad$
  4. On veut déterminer la plus petite valeur de $n$ pour laquelle $u_n \pp 150$.
    On a $u_{22}=153$ et $u_{23}=149$.
    C’est donc à partir du rang $n=23$ que $u_n\pp 150$.
    $2017+23=2040$
    Réponse B
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

  1. On veut calculer $P(35 \pp X \pp 50)\approx 0,82$ d’après la calculatrice.
    $\quad$
  2. $P(X \pg 45) = 0,5-P(40\pp X \pp 45) \approx 0,16$
    $\quad$
  3. La variable aléatoire $Y$ suit une loi normale et vérifie $P(Y \pg 45)=0,5$.
    Par conséquent $\mu=45$.
    $\quad$
    $P(37 \pp Y \pp 53) \approx 0,95 \ssi P(\mu-2\sigma\pp X \pp \mu+2\sigma) \approx 0,95$.
    Par conséquent $45-2\sigma=37 \ssi \sigma = 4$.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

  1. Voir graphique
    $\quad$
  2. a. À l’aide de la calculatrice, on obtient qu’une équation de la droite d’ajustement est $y=8,4x-4,4$.
    $\quad$

    $\quad$
    b. En 1990, on a $x=35$ donc $y=8,4\times 35-4,4=289,6$.
    On peut donc estimer, selon ce modèle, qu’il y a eu $290$ catastrophes naturelles en 1990.
    $\quad$
  3. $414\times (1+0,27)=414\times 1,27=525,78$.
    L’année 2000 a donc compté $526$ catastrophes naturelles.
    $\quad$
  4. On cherche la valeur de $x$ telle que :
    $\begin{align*} \left(1-\dfrac{x}{100}\right)^{16}=1-\dfrac{43,5}{100} &\ssi \left(1-\dfrac{x}{100}\right)^{16}=0,565 \\
    &\ssi 1-\dfrac{x}{100}=0,565^{1/16} \\
    &\ssi -\dfrac{x}{100}=0,565^{1/16}-1 \\
    &\ssi x=100\left(1-0,565^{1/16}\right)
    \end{align*}$
    Donc $x=100\left(1-0,565^{1/16}\right)  \approx 3,5$.
    Le taux d’évolution annuel moyen sur la période de 2000 à 2016 est environ égal à $3,5\%$.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie A

  1. On obtient l’arbre de probabilités suivant :

    $\quad$
  2. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(B)&=p(C\cap B)+p\left(\conj{C}\cap B\right) \\
    &=0,7\times \dfrac{4}{7}+0,3\times \dfrac{2}{3} \\
    &=0,6
    \end{align*}$
    La probabilité que le véhicule choisi roule aux biocarburants est de $60\%$.
    $\quad$
  3. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_B\left(\conj{C}\right)&=\dfrac{p\left(\conj{C}\cap B\right)}{p(B)} \\
    &=\dfrac{0,3\times \dfrac{2}{3}}{0,6} \\
    &=\dfrac{1}{3}
    \end{align*}$
    La probabilité que ce soit un véhicule sans chauffeur sachant que le véhicule roule aux biocarburants est $\dfrac{1}{3}$.
    $\quad$

Partie B

  1. Si $x=30$ alors
    $f(30)=\dfrac{8\times 30^2-800\times 30+30~000}{30^2}=\dfrac{44}{3} \approx 14,67$.
    Lorsque le véhicule roule à $30$ km/h, il consomme environ $14,67$ litres pour $100$ km.
    $\quad$
    Si $x=50$ alors
    $f(50)=\dfrac{8\times 50^2-800\times 50+30~000}{50^2}=4$.
    Lorsque le véhicule roule à $50$ km/h, il consomme environ $4$ litres pour $100$ km.
    $\quad$
  2. Pour tout réel $x$ on a $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$. On a donc $f'(x)=\dfrac{u'(x)\times v(x)-v'(x)\times u(x)}{\left(v(x)\right)^2}$
    Avec $u(x)=8x^2-800x+30~000$ $\quad$ $u'(x)=8\times 2x-800=16x-800$
    et $v(x)=x^2$ $\quad$ $v'(x)=2x$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{(16x-800)x^2-2x\left(8x^2-800x+30~000\right)}{x^4} \\
    &=\dfrac{16x^3-800x^2-16x^3+1~600x^2-60~000x}{x^4} \\
    &=\dfrac{800x^2-60~000x}{x^4} \\
    &=\dfrac{800x-60~000}{x^3}
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. Sur l’intervalle $[30;130]$, on a $x^3 > 0$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $800x-60~000$.
    Or $800x-60~000=0 \ssi 800x=60~000\ssi x=75$
    et  $800x-60~000>0 \ssi 800>60~000\ssi x>75$
    On obtient donc le tableau de variation suivant :

    avec $f(30) \approx 14,67$, $f(75) \approx 2,67$ et $f(130) \approx 3,62$.
    $\quad$
  4. La consommation est donc minimale, d’après le tableau de variation, quand on roule à la vitesse de $75$ km/h. La voiture consomme alors environ $2,67$ litres pour $100$ km.
    $\quad$
  5. À la fin de l’exécution de l’algorithme on a $x=51$.
    Cela correspond à la plus basse vitesse (arrondie par excès) à partir de laquelle la consommation est inférieure à $4$ litres pour $100$ km.
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1     4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.
Pour chaque affirmation, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Recopier sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est attendue.
Une réponse correcte rapporte un point, une réponse incorrecte ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.

Une espèce d’oiseaux rares voit sa population diminuer de $3 \%$ chaque année.
On recense $300$ oiseaux de cette espèce en 2017.
On modélise le nombre d’oiseaux de cette espèce en l’année 2017$+n$ par une suite $\left(u_n\right)$ .
Ainsi $u_0=300$ .

  1. En 2018, la population sera de :
    a. $291$ oiseaux
    b. $297$ oiseaux
    c. $90$ oiseaux
    d. $210$ oiseaux
    $\quad$
  2. La suite $\left(u_n\right)$ est :
    a. arithmétique de raison $-9$
    b. géométrique de raison $0,03$
    c. géométrique de raison $0,97$
    d. ni arithmétique, ni géométrique
    $\quad$
  3. On donne la feuille de tableur ci-dessous :

    Quelle formule saisie dans la cellule $B3$ permettra d’afficher les termes successifs de la suite $\left(u_n\right)$ en l’étirant vers le bas?
    a. $=B2-0,03$
    b. $=B2*0,03$
    c. $=B2*0,97\wedge A3$
    d. $=B2*0,97$
    $\quad$
  4. On donne un extrait des résultats obtenus dans la feuille de tableur précédente :

    On peut en déduire que la population aura diminué de moitié par rapport à 2017 à partir de :
    a. 2039
    b. 2040
    c. 2041
    d. 2042
    $\quad$

Exercice 2     3 points

On choisit au hasard un salarié dans une première entreprise. On modélise l’âge du salarié par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d’espérance $40$ et d’écart type $5$.

Si besoin, on arrondira les probabilités à $10^{-2}$.

  1. Calculer la probabilité que le salarié ait entre $35$ et $50$ ans.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité de l’événement $(X \pg 45)$.
    $\quad$
  3. Dans une deuxième entreprise, on choisit un salarié. L’âge du salarié choisi est modélisé par une variable aléatoire $Y$ suivant une loi normale telle que $P(Y\pg 45) = 0,5$ et $P(37\pp Y\pp 53)\approx 0,95$ .
    Déterminer les valeurs de l’espérance $\mu$ et de l’écart type $\sigma$ de la loi normale suivie par $Y$.
    $\quad$

Exercice 3     5 points

Le tableau ci-dessous donne le nombre de catastrophes naturelles dans le monde en 1955, 1966, 1977, 1988 et 1999 :

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Année}&1955&1966&1977&1988&1999\\
\hline
\text{Rang de l’année } x_i&0&11&22&33&44\\
\hline
\text{Nombre de catastrophe naturelles } y_i&30&81&140&237&414\\
\hline
\end{array}\\
\hspace{7.5cm}\scriptsize{Source~:~https://www.notre – planete.info}$

  1. Dans le repère fourni en annexe (à rendre avec la copie), représenter le nuage de points $M_i\left(x_i;y_i\right)$ associé au tableau précédent.
    $\quad$
  2. a. À l’aide de votre calculatrice, déterminer une équation de la droite d’ajustement de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés. La tracer sur le graphique fourni en annexe.
    $\quad$
    b.  En se servant de cet ajustement, estimer le nombre de catastrophes naturelles ayant eu lieu en 1990.
    $\quad$
  3. De 1999 à 2000 on a enregistré une augmentation de $27 \%$ du nombre de catastrophes naturelles.
    Combien de catastrophes naturelles l’année 2000 a-t-elle comptées ?
    $\quad$
  4. De 2000 à 2016, le nombre de catastrophes naturelles a diminué de $43,5 \%$.
    Déterminer le taux d’évolution annuel moyen sur cette période.
    $\quad$

Annexe

$\quad$

Exercice 4     8 points

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

Partie A

Dans le pays Ecoland, en 2080, les véhicules roulent exclusivement à l’électricité ou aux biocarburants. Par ailleurs, il existe des véhicules sans chauffeur.

$70\%$ des véhicules sont avec chauffeurs. Parmi eux, $\dfrac{4}{7}$ roulent aux biocarburants et les autres roulent à l’électricité.

$30\%$ des véhicules sont sans chauffeur. Parmi eux, $\dfrac{2}{3}$ roulent aux biocarburants et les autres roulent à l’électricité.

On choisit un véhicule de ce pays au hasard et on note :
$C$ l’événement : « le véhicule est avec chauffeur » ;
$B$ l’événement : « le véhicule roule aux biocarburants » ;
$E$ l’événement : « le véhicule roule à l’électricité ».

Les probabilités seront exprimées en valeur exacte (fraction irréductible ou forme décimale).

  1. Recopier et compléter l’arbre de probabilités ci-dessous permettant de modéliser la situation :

    où $\conj{C}$ désigne l’événement contraire de $C$.
    $\quad$
  2. Déterminer la probabilité que le véhicule choisi roule aux biocarburants.
    $\quad$
  3. On suppose que le véhicule choisi roule aux biocarburants.
    Déterminer la probabilité que ce soit un véhicule sans chauffeur.
    $\quad$

Partie B

On s’intéresse à la consommation d’un véhicule roulant aux biocarburants en fonction de la vitesse de ce véhicule.
Cette consommation est modélisée par la fonction $f$ définie sur $[30;130]$ par :
$f(x)=\dfrac{8x^2-800x+30~000}{x^2}$ pour $x$ dans $[30;130]$,
où $x$ est exprimé en km/h et $f(x)$ est exprimé en litres pour $100$ km.

  1. Suivant ce modèle, lorsque le véhicule roule à $30$ km/h, quelle est sa consommation ? Et lorsqu’il roule à $50$ km/h ?
    $\quad$
  2. Montrer que la dérivée $f’$ de $f$ sur $[30;130]$ peut s’écrire $f'(x)=\dfrac{800x-60~000}{x^3}$.
    $\quad$
  3. Étudier le signe de $f ‘( x)$ sur $[30;130 ]$ et en déduire le tableau de variations de $f$ sur cet intervalle.
    $\quad$
  4. Pour quelle vitesse la consommation est-elle minimale ?
    Que vaut alors cette consommation (arrondir à $0,01$ près) ?
    $\quad$
  5. On considère l’algorithme ci-dessous :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    x\leftarrow 30\\
    y\leftarrow \dfrac{44}{3} \\
    \text{Tant que } y \pg 4\\
    \hspace{1cm} x \leftarrow x+1\\
    \hspace{1cm} y\leftarrow \dfrac{8x^2-800x+30~000}{x^2}\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    Quelle est la valeur de la variable $x$ à la fin de l’exécution de l’algorithme ?
    En donner une interprétation dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

 

 

2017 – 2018


La correction des sujets de mathématiques des bacs STMG de l’année 2017 – 2018 sont disponibles ici :

Pondichéry mai 2018

Centres étrangers juin 2018

Métropole juin 2018

Antilles Guyane juin 2018

Polynésie juin 2018

Antilles Guyane septembre 2018

Métropole septembre 2018

Polynésie septembre 2018

Nouvelle Calédonie novembre 2018

Nouvelle Calédonie mars 2019

Bac STMG – Pondichéry mai 2018

Pondichéry – Mai 2018

Bac STMG – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici 

Ex 1

Exercice 1

Partie A – Modèle 1

  1. Une équation de la droite d’ajustement de $y$ en $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés est $y=0,274x+3,156$.
    $\quad$
  2. Le deuxième trimestre de l’année 2018 correspond à $x=14$ donc $y=0,27\times 14+3,16=6,94$.
    Selon ce modèle, on peut prévoir $6,94$ millions d’abonnements à internet au deuxième trimestre de l’année 2018.
    $\quad$

Partie B – Modèle 2

  1. Augmenter un nombre de $6\%$ revient à le multiplier par $1,06$.
    On a $u_1=u_0\times 1,06=5,43\times 1,06=5,755~8 \approx 5,76$.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=1,06u_n$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,06$ et de premier terme $u_0=5,43$.
    $\quad$
  3. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=5,43\times 1,06^n$.
    $\quad$
  4. Selon le modèle 1 on a, au deuxième trimestre de 2017, $x=10$ et donc $y=5,86$. On prévoit donc $5,86$ millions d’abonnements.
    À l’aide du modèle 2 on, a au deuxième trimestre de 2017, $n=2$ et donc $u_2\approx 6,10$. On prévoit alors environ $6,1$ millions d’abonnements.
    C’est donc le second modèle qui semble être le plus adapté.
    $\quad$
  5. Dans ce tableau on indique les valeurs approchées de $u_n$ en fonction de $n$.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    n&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11\\
    \hline
    u_n&5,43&5,76&6,10&6,47&6,86&7,27&7,70&8,16&8,65&9,17&9,72&10,31\\
    \hline
    \end{array}$
    La boucle Tant que s’arrête dès que $u \pg 10$.
    Par conséquent à la fin de l’exécution de l’algorithme on a $n=11$.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
  2. L’événement $E\cap S$ correspond à “le client a voyagé à l’étranger et est satisfait”.
    On a $P(E\cap S)=0,62\times 0,78 = 0,483~6$
    $\quad$
  3. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(E)&=P(F\cap S)+P(E\cap S) \\
    &=0,38\times 0,83+0,62\times 0,78 \\
    &=0,799
    \end{align*}$
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_S(E)&=\dfrac{P(S\cap E)}{P(E)} \\
    &=\dfrac{0,483~6}{0,799} \\
    &\approx 0,605
    \end{align*}$
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

  1. Le taux d’évolution du prix entre 2015 et 2016 est
    $t=\dfrac{189-167,5}{167,5}\approx 12,84\%$.
    $\quad$
  2. Le prix en euros par tonne en 2014 est  $\dfrac{248\times 73,2}{100}\approx 181,5$.
    $\quad$
  3. En 2016 l’indice du prix en 2016 est $\dfrac{100\times 189}{248}\approx 76,2$.
    $\quad$
  4. On a pu saisir dans la cellule $C3$ la formule suivante :
    $=\$B\$3*C2/\$B\$2$.
    $\quad$
  5. $248\times \left(1-\dfrac{5,29}{100}\right)^5 \approx 189,0$ (arrondi au dixième).
    Le taux d’évolution annuel moyen, arrondi à $0,01\%$ entre 2011 et 2016 est $-5,29\%$.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

Partie A

  1. À l’aide de la calculatrice on obtient $P(81,6 \pp X \pp 82,4) \approx 0,954$
    La probabilité qu’une plaque réussisse ce premier test est $0,954$.
    $\quad$
  2. a. On a $n=2~500$ et $p=0,9$
    Donc $n\pg 30$, $np=2~250 \pg 5$ et $n(1-p) = 250\pg 5$.
    Un intervalle de fluctuation, à au moins $95\%$ de la fréquence des plaques dont l’épaisseur est inférieur à $3$ millimètres, dans ce lot est :
    $\begin{align*} I_{2~500}&=\left[0,9-\dfrac{1}{\sqrt{2~500}};0,9+\dfrac{1}{\sqrt{2~500}}\right] \\
    &=[0,88;0,92]
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. La fréquence observée est $f=\dfrac{2~274}{2~500}=0,909~6\in I_{2~500}$.
    On doit donc accepter l’affirmation du fournisseur.
    $\quad$

Partie B

  1. D’après le graphique, le nombre de machines agricoles que doit produire l’entreprise pour réaliser des profits doit appartenir à l’intervalle $]5;39]$.
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} f'(x)&=3x^2-96\times 2x+2~484 \\
    &=3x^2-192x+2~484 \end{align*}$
    $\quad$
  3. Le discriminant du polynôme du second degré $3x^2-192x+2~484$ est :
    $\Delta = (-192)^2-4\times 3\times 2~484=7~056 >0$
    Les deux solutions de l’équation sont donc :
    $x_1=\dfrac{192-\sqrt{7~056}}{2\times 3}=18$ et $x_2=\dfrac{192+\sqrt{7~056}}{2\times 3}=46$
    $\quad$
  4. Le coefficient principal du polynôme du second degré est $a=3>0$.
    Par conséquent le tableau de variations de la fonction $f$ est :
    $\quad$
  5. D’après le tableau de variations, le bénéfice est maximal quand l’entreprise fabrique $18$ machines.
    Le bénéfice est alors de $9,44$ millions d’euros.
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1     5 points

 

Le tableau suivant donne le nombre d’abonnements a internet en trè s haut débit en France du premier trimestre 2015 au quatrième trimestre 2016.

$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Trimestre}&\text{T}1&\text{T}2&\text{T}3&\text{T}4&\text{T}1&\text{T}2&\text{T}3&\text{T}4\\
&2015&2015&2015&2015&2016&2016&2016&2016\\
\hline
\text{Rang du}&1&2&3&4&5&6&7&8\\
\text{trimestre }x_i&&&&&&&&\\
\hline
\text{Abonnements}&3,56&3,63&3,88&4,3&4,5&4,77&5,04&5,43\\
y_i\text{en millions}&&&&&&&&\\
\hline
\end{array}\\
\hspace{9 cm} Source : Arcep$$

Partie A – Modèle 1

  1. À l’aide de la calculatrice, donner, pour cette série statistique, une équation de la droite d’ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés.
    On arrondira les coefficients au millième.
    $\quad$
  2. On décide de modéliser l’évolution du nombre d’abonnements $y$ en fonction du rang $x$ du trimestre par l’expression : $y = 0,27x +3,16$.
    Sur la base de ce modèle, calculer le nombre d’abonnements prévu au deuxième trimestre de l’année 2018.
    $\quad$

Partie B – Modèle 2

Les données du tableau et celles publiées depuis permettent d’envisager que le nombre d’abonnements à internet en très haut débit en France pourrait continuer à augmenter de $6\%$ chaque trimestre, à partir de la fin de l’année 2016. On note $u_n$ le nombre d’abonnements, en millions, à internet en très haut débit en France au bout de $n$ trimestres. Ainsi $u_0 = 5,43$.

  1. Vérifier en détaillant le calcul que $u_1\approx 5,76$ (valeur arrondie au centième).
    $\quad$
  2. Quelle est la nature de la suite? Donner sas raison.
    $\quad$
  3. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  4. L’actualisation des données a révélé qu’au deuxième trimestre de 2017, le nombre d’abonnements s’élevait en réalité à $6,15$ millions. Des deux modèles 1 et 2, lequel semble le plus adapté?
    $\quad$
  5. L’algorithme ci-dessous est destiné à estimer le nombre de trimestres nécessaires pour qu’au moins $10$ millions de foyers soient connectés en très haut débit à internet.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    n \leftarrow 0\\
    u\leftarrow 5,43 \\
    \text{Tant que }u<10 \\
    \hspace{1cm} u\leftarrow u\times 1,06 \\
    \hspace{1cm} n\leftarrow n+1\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    Quelle est la valeur de la variable $n$ à la fin de l’exécution de l’algorithme?
    $\quad$

Exercice 2     4 points

Une agence de voyage a effectué un sondage auprès de ses clients pendant la période estivale.
Le sondage est effectué sur l’ensemble des clients. Ce sondage montre que :

  • $38\%$ des clients voyagent en France;
  • $83\%$ des clients voyageant en France sont satisfaits;
  • $78\%$ des clients voyageant à l’étranger sont satisfaits.

On interroge un client au hasard. On considère les événements suivants :

  • $F$: “le client a voyagé en France”;
  • $E$: “le client a voyagé à l’étranger”;
  • $S$: “le client est satisfait du voyage”.
  1. Recopier et compléter l’arbre de probabilité ci-dessous.

    $\quad$
  2. Définir par une phrase l’événement $E\cap S$ et calculer sa probabilité.
    $\quad$
  3. Montrer que $P(S)=0,799$.
    $\quad$
    Sachant que le client est satisfait, quelle est la probabilité qu’il ait voyagé à l’étranger?
    On arrondira pour cette question le résultat au millième.
    $\quad$

Exercice 3     5 points

On s’intéresse à l’évolution du prix d’une matière première en euros par tonne depuis 2011. Le tableau ci-dessous donne le prix de cette matière première entre 2011 et 2016 avec $100$ pour indice de base en 2011.
Dans ce tableau certaines données sont manquantes

  1. Déterminer le taux d’évolution du prix entre 2015 et 2016.
    On arrondira à $0,01\%$.
    $\quad$
  2. Calculer le prix en euros par tonne en 2014.
    On arrondira au dixième.
    $\quad$
  3. Calculer l’indice du prix en 2016.
    On arrondira au dixième.
    $\quad$
  4. Quelle formule a-t-on entrée dans la cellule $C3$ pour obtenir par recopie vers la droite les indices du prix?
    $\quad$
  5. Montrer que le taux d’évolution annuel moyen, arrondi à $0,01\%$ entre 2011 et 2016 est $-5,29\%$.
    $\quad$

Exercice 4     7 points

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

Pour la fabrication de machines agricoles, une usine reçoit en grande quantité des plaques métalliques carrées. Elles ne peuvent être utilisées dans le processus de fabrication que si la longueur de leurs côtés et leur épaisseur respectent certains critères.

  1. Un premier test permet de vérifier la longueur des côtés de chaque plaque. Une plaque réussit ce test si la longueur de ses côtés est comprise entre $81,6$ centimètres et $82,4$ centimètres. On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque plaque prélevée au hasard, associe la longueur de son côté, en centimètres. On admet que la variable aléatoire $X$ suit la loi normale d’espérance $82$ et d’écart-type $0,2$.
    $\quad$
    Déterminer la probabilité, arrondie au millième, qu’une plaque réussisse ce premier test.
    $\quad$
  2. Les plaques ayant réussi le premier test subissent un second test permettant de vérifier leur épaisseur. Une plaque sera utilisable par l’usine si son épaisseur est inférieure à $3$ millimètres.
    Le fournisseur affirme que $90\%$ des plaques qui subiront ce second test ont une épaisseur inférieure à $3$ millimètres.
    On effectue le second test sur un lot de $2~500$ plaques.
    a. Déterminer l’intervalle de fluctuation, à au moins $95\%$, de la fréquence des plaques dont l’épaisseur est inférieure à $3$ millimètres, dans ce lot.
    $\quad$
    b. Parmi les $2~500$ plaques, $2~274$ ont réussi le second test. Au regard de ces résultats, doit-on accepter l’affirmation du fournisseur ?
    $\quad$

Partie B

Cette usine peut produire en un mois entre $0$ et $50$ machines agricoles.
On a modélisé le bénéfice de l’entreprise, exprimé en milliers d’euros, par la fonction $f$ définie pour tout nombre réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;50]$ par :
$$f(x)=x^3-96x^2+2~484x-10~000$$
On dit que l’entreprise réalise des profits si son bénéfice est strictement positif.

On a tracé la représentation graphique de cette fonction $f$.

  1. Par lecture graphique, donner sous forme d’intervalle, le nombre de machines agricoles que doit produire l’entreprise pour réaliser des profits.
    $\quad$
  2. On désigne par $f’$ la fonction dérivée de $f$. Calculer $f'(x)$.
    $\quad$
  3. Résoudre l’équation : $3x^2-192x+2~484=0$.
    $\quad$
  4. Recopier et compléter le tableau de variations ci-dessous :

    $\quad$
  5. À l’aide des questions précédentes, donner le nombre de machines à fabriquer pour que le bénéfice soit maximal, puis calculer ce bénéfice maximal.
    $\quad$