Bac STMG – Métropole – Septembre 2019

Métropole – Septembre 2019

Bac STMG – Mathématiques – Correction

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Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. $\dfrac{13~559-5~660}{5~660}\approx 1,395~6$
    Le taux d’évolution de la puissance éolienne terrestre installée en France entre 2010 et 2017 est environ égal à $139,56\%$.
    $\quad$
  2. On appelle $x$ le taux d’évolution moyen annuel entre 2010 et 2017.
    $\begin{align*} \left(1+\dfrac{x}{100}\right)^7=\dfrac{13~559}{5~660}&\ssi 1+\dfrac{x}{100}=\left(\dfrac{13~559}{5~660}\right)^{1/7} \\
    &\ssi \dfrac{x}{100}=\left(\dfrac{13~559}{5~660}\right)^{1/7}-1\\
    &\ssi x=100\left(\left(\dfrac{13~559}{5~660}\right)^{1/7}-1\right)
    \end{align*}$
    Or $100\left(\left(\dfrac{13~559}{5~660}\right)^{1/7}-1\right) \approx 13,29$
    Le taux d’évolution moyen annuel entre 2010 et 2017 est environ égal à $13,29\%$.
    $\quad$

Partie B

  1. À l’aide de la calculatrice on obtient l’équation suivante $y=1~103,94x+5~267,58$
    $\quad$
  2. Si $x=0$ alors $y=5~268$. Le point de coordonnées $(0;5~268)$ appartient à la droite.
    Si $x=7$ alors $y=12~996$. Le point de coordonnées $(7;12~996)$ appartient à la droite.

$\quad$

Partie C

  1. On peut saisir la formule $=I3*1,13$.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $u_{n+1}=\left(1+\dfrac{13}{100}\right)u_n=1,13u_n$.
    $\quad$
  3. La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,13$ et de premier terme $u_0=13~559$.
    $\quad$
  4. a. Voici les différentes valeurs prises par les deux variables.
    $\begin{array}{|c|c|}
    \hline
    N& U
    2~017& 13~559 \\\hline
    2~018& 15~322 \\\hline
    2~019& 17~313 \\\hline
    2~020& 19~564 \\\hline
    2~021& 22~108 \\\hline
    2~022& 24~982 \\\hline
    2~023& 28~229 \\\hline\end{array}$
    Après exécution de cet algorithme la variable $N$ a pris la valeur $2~023$ et la variable $U$ la valeur $28~229$.
    $\quad$
    b. C’est donc à partir de l’année 2023 que la puissance éolienne terrestre dépassera $26~000$ MW.
    $\quad$

Partie D

Si on choisit le modèle de la partie B.
On veut résoudre l’équation
$\begin{align*} 1~104x+5~268\pg 26~000 &\ssi 1~104x\pg 20~732 \\
&\ssi x\pg \dfrac{20~732}{1~104}\end{align*}$
Or $\dfrac{20~732}{1~104} \approx 18,8$
C’est donc à partir de la $19^{\text{ème}}$ année, soit 2029, que la puissance éolienne terrestre atteindra au moins $26~000$ MW. L’objectif n’est donc pas atteint avec le modèle B

Si on choisit le modèle de la partie C.
D’après la question C.4.b. à partir de l’année 2023 la puissance éolienne terrestre dépassera $26~000$ MW. Le modèle C permet donc d’atteindre l’objectif.

$\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. On sait que $P(X\pp 70)=0,5$. Par conséquent $\mu=70$.
    Réponse c
    $\quad$
  2. On sait que $P(64\pp X \pp 76)=0,954$ soit $P(\mu-6\pp X\pp \mu+6)=0,954$.
    Or $P(\mu-2\sigma\pp X\pp \mu+2\sigma)\approx 0,954$
    Donc $2\sigma \approx 6$ soit $\sigma \approx 3$.
    Réponse b
    $\quad$
  3. On a $P(64\pp X\pp 70)=P(70\pp X \pp 76)$ donc $P(70\pp X\pp 76)=\dfrac{0,954}{2}=0,477$
    Réponse c
    $\quad$
  4. $P(X\pg 76)=P(X\pg \mu+6)=P(X\pp \mu-6)=P(X\pp 64)=P(X<64)$
    Réponse c
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

  1. On obtient l’arbre suivant :

    $\quad$
  2. L’événement $\conj{A}\cap B$ est : « l’un individu choisi au hasard en France métropolitaine est une femme âgée de plus de 20 ans ».
    D’après l’arbre pondéré on a :
    $\begin{align*} p\left(\conj{A}\cap B\right)&=p\left(\conj{A}\right) \times p_{\conj{A}}(B)\\
    &=0,76\times 0,53\\
    &=0,402~8\end{align*}$
    $\quad$
  3. On a :
    $\begin{align*} p(A\cap B)&=p(A)\times p_A(B)\\
    &=0,24\times 0,49 \\
    &=0,117~6\end{align*}$
    $\quad$
  4. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(B)&=p(A\cap B)+p\left(\conj{A}\cap B\right) \\
    &=0,117~6+402~8\\
    &=0,520~4\end{align*}$
    Par conséquent $p\left(\conj{B}\right)=1-0,520~4=0,479~6$.
    La probabilité qu’un individu choisi au hasard en France métropolitaine soit un homme est égale à $0,479~6$.
    $\quad$
  5. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_{\conj{B}}(A)&=\dfrac{p\left(A\cap \conj{B}\right)}{p\left(\conj{B}\right)} \\
    &=\dfrac{0,24\times 0,51}{0,479~6} \\
    &\approx 0,255~2\end{align*}$
    Parmi la population masculine de France métropolitaine, la proportion des moins de 20 ans est environ égale à $25,52\%$.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. La courbe $\mathscr{C}$ coupe l’axe des abscisses en deux points.
    L’équation $f(x)=0$ possède donc deux solutions sur l’intervalle $[-9;3]$.
    Affirmation 1 fausse
    $\quad$
  2. La courbe $\mathscr{C}$ semble n’avoir que deux tangentes parallèles à l’axe des abscisses.
    Cela signifie donc que l’équation $f'(x)=0$ possède deux solutions.
    Affirmation 2 vraie
    $\quad$
  3. Le coefficient directeur de la droite $\mathscr{T}$ est :
    $a=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{2+1}{-4-1}=-\dfrac{3}{5}=-0,6$.
    Or $f'(0)=a=-0,6$.
    Affirmation 3 vraie
    $\quad$
  4. D’après la question précédente le coefficient directeur de la droite $\mathscr{T}$ est $-0,6$ et non $3$.
    Affirmation 4 fausse
    $\quad$
  5. La fonction $f$ semble croissante sur l’intervalle $[1;2]$.
    Par conséquent $f'(x)\pg 0$ sur cet intervalle.
    Affirmation 5 vraie
    $\quad$

 

 

 

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Bac STMG – Antilles Guyane – Septembre 2019

Antilles Guyane – Septembre 2019

Bac STMG – Mathématiques – Correction

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Ex 1

Exercice 1

  1. a. On a saisi la formule $=(C2-B2)/B2$.
    Réponse 3
    $\quad$
    b. En 2017, l’indice est $\dfrac{34,6\times 100}{30.9} \approx 112$.
    Réponse 2
    $\quad$
  2. a. La courbe possède un axe de symétrie dont une équation semble être $x=3,5$.
    Réponse 3
    $\quad$
    b. On a $\mu=3,5$
    On $P(X\pp 1)=0,106$. Cela signifie donc que $P(X\pp 3,5-2,5)=0,106$ donc $P(X\pg 6)=P(X\pg 3,5+2,5)=0,106$
    Ainsi $P(3\pp X\pp 6)=1-P(X\pp 1)-P(X\pg 6)=0,788$
    Réponse 4
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. a. D’après l’énoncé on a $P_A(B)=0,55$.
    $\quad$
    b. On obtient l’arbre de probabilité suivant :

    $\quad$
  2. On veut calculer
    $\begin{align*} P(A\cap B)&=P(A)\times P_A(B)  \\
    &=0,34\times 0,55 \\
    &=0,187\end{align*}$
    La probabilité que la fiche choisie soit celle d’un salarié acceptant de s’impliquer dans l’organisation de la journée portes ouvertes et travaillant dans les ateliers est égale à $0,187$.
    $\quad$
  3. D’après la formule des probabilités totales, on a :
    $\begin{align*} P(B)&=P(A\cap B)+P\left(\conj{A}\cap B\right) \\
    &=0,187+0,66\times 0,3 \\
    &=0,385\\
    &>\dfrac{1}{3}\end{align*}$
    Il y a donc plus d’une chance sur trois que la fiche choisie soit celle d’un salarié acceptant de s’impliquer dans l’organisation de cette journée.
    $\quad$

Partie B

  1. On a $f=\dfrac{67}{80}=0,837~5$.
    $\quad$
  2. On a $n=80\pg 30$, $nf=67\pg 5$ et $n(1-f)=13\pg 5$
    Un intervalle de confiance au niveau de confiance $0,95$ de la proportion $p$ de visiteurs satisfaits de la journée portes ouvertes est :
    $\begin{align*} I_{80}&=\left[0,837~5-\dfrac{1}{\sqrt{80}};0,837~5+\dfrac{1}{\sqrt{80}}\right] \\
    &\approx [0,725;0,950]\end{align*}$
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. On veut résoudre, dans l’intervalle $[0;300]$ l’équation $-x^2+45x-20~000=0$.
    $\Delta = 450^2-4\times (-1)\times (-20~000)=122~500>0$
    Les solutions de cette équation sont :
    $x_1=\dfrac{-450-\sqrt{122~500}}{-2}=400 \notin[0;300]$ et $x_2=\dfrac{-450+\sqrt{122~500}}{-2}=50$
    L’unique solution de l’équation $f(x)=0$ dans l’intervalle $[0;300]$ est donc $50$.
    $\quad$
  2. a. Pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0;300]$ on a $f'(x)=-2x+450$
    $\quad$
    b. $-2x+450=0 \ssi -2x=-450\ssi x=225$
    $-2x+450>0 \ssi -2x>-450 \ssi x<225$
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    $\quad$
    c. D’après le tableau de variations de la fonction $f$, celle-ci admet un maximum valant $30~0625$ atteint en $225$.
    $\quad$

Partie B

  1. D’après la question 1. et le tableau de variations de la fonction $f$, l’entreprise réalise un résultat positif quand elle produit et vend entre $50$ et $300$ tablettes tactiles par semaine.
    $\quad$
  2. Le bénéfice maximal de $30~625$ € est atteint quand l’entreprise fabrique et vend $225$ tablettes tactiles par semaine.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

Partie A : étude des connexions à Internet

  1. a. $\dfrac{80,5-65,1}{65,1} \approx 0,237$.
    Le taux d’évolution global, entre les années 2009 et 2017, de la part des personnes s’étant connectées à Internet est environ égal à $23,7\%$.
    $\quad$
    b. $\dfrac{80,5-78}{78} \approx 0,032$.
    Le taux d’évolution global, entre les années 2009 et 2017, de la part des personnes s’étant connectées à Internet est environ égal à $3,2\%$.
    Il y avait donc nettement moins de personnes connectées à Internet en 2009 qu’en 2015.
    $\quad$
  2. On appelle $x$ le taux d’évolution annuel moyen de la part des personnes s’étant connectés à Internet entre les années 2015 et 2017.
    Ainsi :
    $\begin{align*} \left(1+\dfrac{x}{100}\right)^2=\dfrac{80,5}{78} &\si 1+\dfrac{x}{100}=\sqrt{\dfrac{80,5}{78}} \\
    &\ssi \dfrac{x}{100}=\sqrt{\dfrac{80,5}{78}}-1 \\
    &\ssi x=100\left(\sqrt{\dfrac{80,5}{78}}-1\right) \end{align*}$
    Par conséquent $x\approx 1,6$.
    Le taux d’évolution annuel moyen de la part des personnes s’étant connectées à Internet entre les années 2015 et 2017 est, arrondi au dixième, de $1,6 \%$.
    $\quad$
  3. $80,5\times \left(1+\dfrac{1,6}{100}\right)^3\approx 84,4$.
    La part des personnes qui se connecteront à Internet en 2020 sera environ égale à $84,4\%$.
    $\quad$
  4. Cet algorithme permet de déterminer la première année à partir de laquelle la part des personnes qui se connecteront à Internet sera supérieure à $90\%$.
    On obtient les valeurs suivantes :
    $\begin{array}{|c|c|}
    \hline
    A& P \\ \hline
    2017& 80,5\\ \hline
    2018& 81,79\\ \hline
    2019& 83,10\\ \hline
    2020& 84,43\\ \hline
    2021& 85,78\\ \hline
    2022& 87,15\\ \hline
    2023& 88,54\\ \hline
    2024& 89,96\\ \hline
    2025& 91,40\\ \hline
    \end{array}$
    C’est donc en 2025 que la part des personnes s’étant connectées à Internet dépassera $90\%$.
    $\quad$

Partie B

  1. D’après la calculatrice, l’équation cherchée est $y=5,56x+20,56$
    $\quad$
  2. On obtient le graphique suivant :

    $\quad$
  3. En 2020, on a $x=11$
    Donc $y=5,6\times 11+20,6=82,2$
    Selon ce modèle, la part des personnes qui se connecteront à l’Internet mobile en 2020 sera environ égale à $82,2\%$.
    $\quad$

 

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Bac STMG – Polynésie – Septembre 2019

Polynésie – Septembre 2019

Bac STMG – Mathématiques – Correction

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Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. On appelle $X$ une variable aléatoire qui suit la loi normale de paramètres $\mu=6$ et d’écart type $\sigma = 0,7$.
    On veut calculer $P(5,3 \pp X \pp 6,7) \approx 0,683$.
    La probabilité qu’une pomme soit vendue au marché est environ égale à $0,683$.
    $\quad$
  2. La probabilité qu’une pomme serve à faire des compotes est égale à $1-P(5,3 \pp X \pp 6,7)  \approx 0,317$.
    $\quad$

Partie B

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. a. D’après l’arbre pondéré on a $P(R\cap M)=0,6\times 0,8 = 0,48$.
    $\quad$
    b. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(M)&=P(R\cap M)+P(J\cap M) \\
    &=0,48+0,5\times 0,4\\
    &=0,68\end{align*}$
    $\quad$
    c. Les deux valeurs sont très proches l’une de l’autre. Le résultat obtenu à la question B.2.b est donc cohérent avec celui de la question A.2.
    $\quad$
  3. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_M(R)&=\dfrac{P(M\cap R)}{P(R)} \\
    &=\dfrac{0,48}{0,68} \\
    &\approx 0,706\end{align*}$
    La probabilité qu’une pomme acheter sur le marché soit rouge est environ égale à $0,706$.
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. On a $U_1=U_0\times \left(1-\dfrac{15}{100}\right)=0,85\times 20~000 =17~000$
    En 2011, $17~000$ ont été jetés par terre dans cette ville.
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $U_{n+1}=0,85U_n$.
    La suite $\left(U_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,85$ et de premier terme $U_0=20~000$.
    $\quad$
    b. Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $U_n=20~000\times 0,85^n$.
    $\quad$
    c. En 2019, on a $U_{9}=20~000\times 0,85^{9}\approx 4~632$.
    En 2019, $4~632$ seraient jetés par terre.
    $\quad$
  3. a. À la ligne 4 on a $U\leftarrow 0,85\times U$.
    $\quad$
    b. D’après la calculatrice, on a $U_{11} \approx 3~347$ et $U_{12}\approx 2~845$.
    La variable $N$ a donc pris la valeur $12$ quand l’algorithme s’arrête.
    $\quad$

Partie B

  1. a.  $\dfrac{6~691-20~000}{20~000}=-0,665~45$
    Le taux d’évolution global du nombre de mégots ramassés dans la rue principale entre 2010 et 2018 est donc d’environ $-67\%$ (il s’agit d’une baisse).
    $\quad$
    b. On appelle $x$ le taux d’évolution moyen du nombre de mégots ramassés dans la rue principale.
    Ainsi :
    $\begin{align*} 20~000\times \left(1-\dfrac{x}{100}\right)^8=6~691&\ssi \left(1-\dfrac{x}{100}\right)^8=\dfrac{6~691}{20~000} \\
    &\ssi 1-\dfrac{x}{100}=\left(\dfrac{6~691}{20~000}\right)^{1/8}\\
    &\ssi -\dfrac{x}{100}=\left(\dfrac{6~691}{20~000}\right)^{1/8}-1\\
    &\ssi \dfrac{x}{100}=1-\left(\dfrac{6~691}{20~000}\right)^{1/8}\\
    &\ssi x=100\left(1-\left(\dfrac{6~691}{20~000}\right)^{1/8}\right)\\
    \end{align*}$
    Par conséquent $x\approx 12,79$
    Le d’évolution moyen cherché est donc environ égal à $-13\%$.
    $\quad$
    c. Si le taux d’évolution entre 2018 et 2019 est de $-14\%$ alors :
    $6~691\times (1-0,14)=5~754,26$.
    Environ $5~754$ mégots seront ramassés dans la rue principale en 2019.
    $\quad$
  2. a. D’après la calculatrice une équation de la droite d’ajustement du nuage par la méthode des moindres carrés est $y=-1~642x+18~507$
    $\quad$
    b. La droite passe par le point de coordonnées $(0;18~500)$.
    Si $x=10$ alors $y=2~500$ : elle passe également par le point de coordonnées $(10;2~500)$.
    On obtient alors le graphique suivant :

    $\quad$
    c. En 2020 on a $x=10$ donc $-1600\times 10+18~500=2~500$.
    En 2020, $2~500$ mégots seraient ramassés selon ce modèle.
    $\quad$
    d. D’après le graphique le nombre de mégots devrait être inférieur à $3~000$ à partir de l’année 2020.
    Il semblerait que le point d’intersection entre la droite $d$ et la droite d’équation $y=3~000$ ait pour abscisse environ $9,67$.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

Partie A : lecture graphique

  1. Graphiquement, l’image de $3$ par la fonction $f$ est $14,8$.
    $\quad$
  2. Graphiquement le point d’intersection des deux courbes a pour coordonnées $(7;8,8)$.
    $\quad$

Partie B : calculs

  1. a.
    $\begin{align*} f(x)=g(x)&\ssi 0,05x^2-2x+20,35=0,7x+3,9 \\
    &\ssi 0,05x^2-2x+20,35-0,7x-3,9=0 \\
    &\ssi 0,05x^2-2,7x+16,45=0\end{align*}$
    $\quad$
    b. Le discriminant de cette équation du second degré est :
    $\Delta = (-2,7)^2-4\times 0,05\times 16,45=4>0$
    L’équation possède donc deux solutions réelles :
    $x_1=\dfrac{2,7-\sqrt{4}}{0,1}=7$ et $x_2=\dfrac{2,7+\sqrt{4}}{0,1}=47$
    Or $47\notin [0;22]$
    Par conséquent l’équation $(E)$ ne possède qu’une seule solution $7$.
    $\quad$
    c. Or $g(7)=0,7\times 7+3,9=8,8$.
    Le point d’intersection des deux courbes a pour coordonnées $(7;8,8)$.
    $\quad$
  2. a. La fonction $f$ est dérivable sur $[0;22]$ en tant que fonction polynôme.
    Pour tout réel $x$ appartenant à $[0;22]$ on a :
    $f'(x)=0,05\times 2x-2=0,1x-2$.
    $\quad$
    b. $0,1x-2=0 \ssi 0,1x=2 \ssi x=20$ et $0,1x-2>0 \ssi 0,1x>2 \ssi x> 20$.
    Par conséquent :
    – $f'(x)<0$ si $x\in [0;20[$;
    – $f'(20)=0$;
    – $f'(x)>0$ si $x\in ]20;22]$.
    $\quad$
    c. On obtient donc le tableau de variations de la fonction $f$ suivant :
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. La suite $\left(U_n\right)$ est arithmétique de premier terme $U_0=5$ et de raison $7$.
    Pour tout entier naturel $n$ on a donc $U_n=5+7n$.
    On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
    $\begin{align*} U_n\pg 50 &\ssi 5+7n \pg 50 \\
    &\ssi 7n \pg 45 \\
    &\ssi n\pg \dfrac{45}{7}\end{align*}$
    Or $\dfrac{45}{7}\approx 6,43$
    Le plus petit entier naturel tel que $U_n\pg 50$ est donc $7$
    Réponse d
    $\quad$
  2. On a $g(1)=\dfrac{3}{2}$.
    Par conséquent le point de coordonnées $\left(1;\dfrac{3}{2}\right)$ doit appartenir à la tangente.
    Cela exclut les propositions a. et d.
    On peut tracer la courbe et les deux droites restantes et regarder celle qui semble être la meilleure candidate ou bien calculer le nombre dérivée en $1$ à la calculatrice , ce qui nous fournit le coefficient directeur de la tangente.
    On peut également déterminer l’expression de $g'(x)$.
    $g'(x)=\dfrac{3(x+1)-1\times 3x}{(x+1)^2}=\dfrac{3x+3-3x}{(x+1)^2}=\dfrac{3}{(x+1)^2}$
    Donc $g'(1)=\dfrac{3}{4}$
    De plus $g(1)=\dfrac{3}{2}$
    Une équation de la tangente cherchée est donc de la forme $y=g'(1)(x-1)+f(1)$
    Soit $y=\dfrac{3}{4}(x-1)+\dfrac{3}{2}$
    D’où $y=\dfrac{3}{4}x+\dfrac{3}{2}$
    Réponse c
    $\quad$
  3. On a $n=1~024\pg 30$ et $f=\dfrac{840}{1~024}$
    Par conséquent $nf=840 \pg 5$ et $n(1-f)=184\pg 5$
    Un intervalle de confiance au niveau de confiance de $95\%$ de la proportion d’adolescents français qui possèdent un smartphone est :
    $\begin{align*} I_{1~024}&=\left[\dfrac{840}{1~024}-\dfrac{1}{\sqrt{1~024}};\dfrac{840}{1~024}+\dfrac{1}{\sqrt{1~024}}\right] \\
    &\approx [0,789;0,852]\end{align*}$
    Réponse b
    $\quad$
  4. On appelle $P$ le prix initial.
    On a donc
    $\begin{align*} P\times (1-0,1)\times (1-0,15)=137,7 &\ssi P\times 0,9\times 0,85=137,7 \\
    &P\times 0,765=137,7 \\
    &P=\dfrac{137,7}{0,765}\\
    &P=180\end{align*}$
    Réponse d
    $\quad$

 

Énoncé

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Bac STMG – Antilles/Guyane – Juin 2019.

Antilles/Guyane – juin 2019

Bac STMG – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. On a $P(17\pp X\pp 24)=P(24\pp X\pp 31)$ du fait de la symétrie de la courbe.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} P(X\pg 31)&=P(X\pg 24)-P(24\pg X\pg 31) \\
    &=0,5-0,46\\
    &=0,04\end{align*}$
    Réponse a
    $\quad$
  2. D’après l’énoncé on a $\mu=24$.
    Si on prend $\sigma=0,1$ alors $P(17\pp X\pp 24)\approx 0,5$.
    Si on prend $\sigma=4$ alors $P(17\pp X\pp 24)\approx 0,46$.
    Réponse b
    $\quad$

Partie B

  1. La droite d’équation $x=0,5$ coupe la courbe en $3$ points.
    L’équation $f(x)=0,5$ admet donc trois solutions.
    Réponse d
    $\quad$
  2. La fonction $f$ semble décroissante sur l’intervalle $[2;3]$.
    Par conséquent $f'(x)\pp 0$ sur l’intervalle $[2;3]$.
    Réponse b
    $\quad$
  3. Pour tout réel $x$ de l’intervalle $[1;4]$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=2\times 3x^2-15\times 2x+36\\
    &=6x^2-30x+36\end{align*}$
    Réponse b
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. D’après l’arbre pondéré on a :
    $p(M\cap W)=0,7\times 0,75=0,525$.
    La probabilité que la fiche choisie corresponde à une vente du midi et une formule Wok est égale à $0,525$.
    $\quad$
  3. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(B)&=p(M\cap B)+p(S\cap B)\\
    &=0,7\times 0,25+0,3\times 0,6\\
    &=0,175+0,18\\
    &=0,355\end{align*}$
    la probabilité que la fiche choisie corresponde à une formule Burger est égale à $0,355$.
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_B(S)&=\dfrac{p(B\cap S)}{p(B)} \\
    &=\dfrac{0,18}{0,355} \\
    &\approx 0,507\end{align*}$
    Quelle est la probabilité que la vente ait eu lieu le soir sachant qu’on a prélevé une fiche correspondant à la formule Burger est environ égale à $0,507$.
    $\quad$

Partie B

On a $n=120$ et $p=0,9$.
Un intervalle de fluctuation au seuil de $95\%$ de la proportion de clients satisfaits est :
$\begin{align*} I_{120}&=\left[0,9-\dfrac{1}{\sqrt{120}};0,9+\dfrac{1}{\sqrt{120}}\right] \\
&\approx [0,808;0,992]\end{align*}$

La fréquence observée est $f=\dfrac{94}{120}\notin I_{120}$.

Ce résultat permet donc, au risque de $5\%$ de mettre en doute l’argument publicitaire du gérant.
$\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. On saisit $=C3*\$B\$4/\$B\$3 $.
    $\quad$
  2. $\dfrac{6~927-8~304}{8~304}\approx -0,166$ soit environ $-16,6\%$.
    Le taux d’évolution du nombre de naissances entre 2009 et 2016 est environ égal à $-16,6\%$.
    $\quad$
  3. On appelle $x$ le taux d’évolution annuel moyen entre 2009 et 2016.
    On a donc :
    $\begin{align*} \left(1+\dfrac{x}{100}\right)^7=1-0,166 &\ssi \left(1+\dfrac{x}{100}\right)^7=0,834 \\
    &\ssi 1+\dfrac{x}{100}=0,834^{1/7} \\
    &\ssi \dfrac{x}{100}=0,834^{1/7}-1\\
    &\ssi x=100\left(0,834^{1/7}-1\right)\end{align*}$
    Ainsi $x\approx -2,6$.
    Le taux d’évolution annuel moyen sur cette période est de $-2, 6 \%$.
    $\quad$

Partie B

  1. À l’aide de la calculatrice, on obtient l’équation $y=-191,82x+8~553,82$.
    $\quad$
  2. a. Si $x=1$ alors $y=-192\times 1+8~554=8~362$ : le point de coordonnées $(1;8~362)$ appartient à la droite $\Delta$.
    Si $x=10$ alors $y=-192\times 10+8~554=6~634$ : le point de coordonnées $(10;6~634)$ appartient à la droite $\Delta$.
    On obtient le graphique suivant :

    $\quad$
    b. En 2020 on a $x=12$.
    Donc $y=-192\times 12+8~554=6~250$.
    Selon ce modèle, on peut estimer qu’il y aura $6~250$ naissances en 2020 dans ce département.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. On a $u_1=(1+0,054)\times u_0=1,054\times 300=316,2$.
    Et $u_2=1,054\times 316,2\approx 333,27$
    $\quad$
  2. La suite $\left(u_n\right)$ est géométrique de raison $1,054$ et de premier terme $u_0=300$.
    Donc, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=300\times 1,054^n$.
    $\quad$
  3. a. On a l’algorithme suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    N\leftarrow 2017\\
    U\leftarrow 300\\
    \text{tant que }U<450\\
    \hspace{1cm} N\leftarrow N+1\\
    \hspace{1cm} U\leftarrow U\times 1,054\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. Voici les différentes valeurs, arrondies au centième, prises par les variables.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    N&2017&2018&2019&2020&2021&2022&2023&2024&2025\\
    \hline
    U&300&316,2&333,27&351,27&370,24&390,23&411,3&433,51&456,92\\
    \hline
    \end{array}$$
    Ainsi, après exécution de cet algorithme on a $N=2025$ et $U\approx 456,92$.
    C’est donc en 2025 que la masse totale de ces déchets plastiques aura dépassé $450$ millions de tonnes.
    $\quad$

 

 

Énoncé

Exercice 1     5 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Pour chaque question, indiquer la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Chaque réponse correcte rapporte un point. Une réponse incorrecte, multiple ou une absence de réponse, ne rapporte ni n’enlève de point.

Les deux parties sont indépendantes.

Partie A

Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi normale d’espérance $\mu$ et d’écart type $\sigma$ telle que $P(17 \pp X\pp 24)\approx 0,46$ à $10^{-2}$ près. La courbe de densité de cette loi est représentée ci-dessous. Elle admet la droite d’équation $x = 24$ comme axe de symétrie.

  1. Une valeur approchée à $10^{-2}$ près de $P(X \pg 31)$ est :
    a. $0,04$
    b. $0,54$
    c. $0,96$
    d. $0,46$
    $\quad$
  2. Les valeurs des deux paramètres de cette loi sont :
    a. $\mu = 24$ et $\sigma = 0,1 $
    b. $\mu = 24$ et $\sigma = 4$
    c. $\mu = 20$ et $\sigma = 5,69$
    d. $\mu = 4$ et $\sigma = 2$
    $\quad$

Partie B

Soit la fonction $f$ définie et dérivable sur l’intervalle $[1; 4]$ dont la courbe $C_f$ est représentée dans le repère ci-dessous :

  1. Choisir la proposition correcte :
    a. le maximum de $f$ sur l’intervalle $[1; 4]$ est égal
    à $1$.
    b. l’image de $1$ par $f$ est égale à $2$.
    c. la fonction $f$ est négative sur l’intervalle $[2; 3]$.
    d. l’équation $f(x) = 0,5$ admet trois solutions.
    $\quad$
  2. Soit $f’$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l’intervalle $[1; 4]$.
    On a $f'(x) = 0$ pour tout réel $x$ appartenant à :
    a. $[1; 1,5]$
    b. $[2; 3]$
    c. $[1 ; 2]∪[3 ; 4]$
    d. $[1,5; 3]$
    $\quad$
  3. On admet que, pour tout réel $x$ de l’intervalle $[1; 4]$, $f(x) = 2x^3-15x^2+36x-27$.
    Choisir la proposition correcte :
    a. $f'(x)=5x^2-17x+37$
    b. $f'(x)=6x^2-30x+36$
    c. $f'(x)=6x^3-30x^2+36x-27$
    d. $f'(x)=6x^2-30x+9$
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

Un food truck, ouvert le midi et le soir, propose deux types de formules :
— la formule Burger ;
— la formule Wok.

Partie A

Le gérant a remarqué que $70 \%$ de ses ventes ont lieu le midi. Le quart des ventes du midi correspondent à la formule Burger, alors que $40 \%$ des ventes du soir correspondent à la formule Wok.
Le gérant se constitue un fichier en notant, pour chaque vente, la formule choisie et le moment de cette vente (midi ou soir).
On prélève une fiche de façon équiprobable. On définit les quatre évènements suivants :
$\quad$ $M$ : « la fiche correspond à une vente du midi »;
$\quad$ $S$ : « la fiche correspond à une vente du soir »;
$\quad$ $W$ : « la fiche correspond à une formule Wok »;
$\quad$ $B$ : « la fiche correspond à une formule Burger ».

  1. Compléter l’arbre pondéré donné en annexe, à rendre avec la copie.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité de l’évènement $M\cap W$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  3. Montrer que la probabilité que la fiche choisie corresponde à une formule Burger est égale à $0,355$.
    $\quad$
  4. On a prélevé une fiche correspondant à la formule Burger. Quelle est la probabilité, arrondie au millième, que la vente ait eu lieu le soir ?
    $\quad$

Partie B

Dans sa publicité, le gérant souhaite afficher que $9$ clients sur $10$ sont satisfaits des formules qu’il propose.
Sur les $120$ clients servis au cours d’une journée, $94$ se sont déclarés satisfaits.
Ce résultat de l’enquête permet-il de mettre en doute l’argument publicitaire du gérant ? Expliciter la démarche
à l’aide d’un intervalle de fluctuation au seuil de $95 \%$.
$\quad$

Annexe

 

$\quad$

Exercice 3     6 points

Voici un aperçu d’une feuille de calcul regroupant le nombre de naissances dans un département français de 2009 à 2016.

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
&\text{A}&\text{B}&\text{C}&\text{D}&\text{E}&\text{F}&\text{G}&\text{H}&\text{I}\\
\hline
1&\text{Année}&2009&2010&2011&2012&2013&2014&2015&2016\\
\hline
2&\text{Rang de l’année }x_i&1&2&3&4&5&6&7&8\\
\hline
3&\text{Nombre de naissances }y_i&8~304&8~111&8~041&7~833&7~644&7~466&7~199&6~927\\
\hline
4&\text{Indice}&100&&&&&&&\\
\hline
\end{array}\\
\hspace{3cm} \small{\textit{Source : INSEE – Etat civil – Données mises en ligne le 12/10/2017}}$$

Partie A

  1. Parmi les quatre formules proposées, laquelle peut-on saisir dans la cellule $C4$ pour obtenir, par recopie vers la droite, les indices jusqu’en 2016 ?
    ➀ $=C3*B4/\$B\$3$ $\qquad$ ➁$ =\$C\$3*\$B\$4/B3$ $\qquad$ ➂ $=C3*\$B\$4/\$B\$3$ $\qquad$ ➃ $=\$C\$3*B4/B3$
    $\quad$
  2. Déterminer le taux d’évolution du nombre de naissances entre 2009 et 2016. On exprimera le résultat en pourcentage, arrondi au dixième.
    $\quad$
  3. Expliquer pourquoi le taux d’évolution annuel moyen sur cette période est de $-2, 6 \%$, au dixième près.
    $\quad$

Partie B

Le nuage de points de coordonnées $\left(x_i, y_i\right)$, pour $i$ variant de $1$ à $8$, est représenté sur le repère donné en annexe, à rendre avec la copie.

  1. Donner une équation de la droite d’ajustement affine du nuage de points, de $y$ en $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés. On arrondira les coefficients au centième.
    $\quad$
  2. Pour la suite, on décide de prendre comme droite d’ajustement du nuage de points la droite $\Delta$ d’équation : $$y =-192x + 8~554$$.
    a. Donner les coordonnées de deux points de la droite $\Delta$, puis tracer cette droite dans le repère
    donné en annexe, à rendre avec la copie.
    $\quad$
    b. En utilisant l’ajustement donné et en considérant qu’il reste valide jusqu’en 2020, estimer le nombre de naissances dans le département concerné en 2020.
    $\quad$

$\quad$

Annexe

 

$\quad$

Exercice 4     4 points

Le « continent de plastique » est la plus grande des plaques de déchets plastiques évoluant sur les océans. Elle occupe actuellement dans l’océan Pacifique une surface dont l’aire est évaluée à plus de $1,6$ million de km$^2$, entre Hawaï et la Californie.
En 2017, des scientifiques ont estimé la masse totale de déchets plastiques dans les océans à $300$ millions de tonnes et ont prévu une augmentation de $5,4 \%$ par an au cours des prochaines années.
On modélise l’évolution de la masse totale de ces déchets plastiques, si rien n’est fait pour la réduire, par une suite géométrique $\left(u_n\right)$ de raison $1,054$ et de premier terme $u_0 = 300$. L’arrondi au centième du terme $u_n$ représente la masse totale de ces déchets, exprimée en million de tonnes, pour l’année (2017$+n$).

  1. Calculer $u_1$ et $u_2$.
    $\quad$
  2. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  3. On souhaite déterminer en quelle année la masse totale de ces déchets plastiques aura pour la première fois augmenté de $50 \%$ par rapport à sa valeur de 2017.
    a. Recopier et compléter l’algorithme ci-dessous pour que la variable $N$ contienne la réponse au problème posé. $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    n\leftarrow 2017\\
    U\leftarrow 300\\
    \text{Tant que }U <450\\
    \hspace{1cm} N\leftarrow \ldots \\
    \hspace{1cm} U\leftarrow \ldots \\
    \text{Fin Tant que }\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. Que contiennent les variables $U$ et $N$ après exécution de cet algorithme ?
    Interpréter les résultats dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

 

 

 

Bac STMG – Polynésie – Juin 2019

Polynésie – juin 2019

Bac STMG – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. On a
    $\begin{align*} P(X \pg 14)&=P(X\pg 12)-P(12\pp X\pp 14)\\
    &=0,5-P(12\pp X\pp 14)\\
    &\approx 0,16\end{align*}$
    Réponse A
    $\quad$
  2. On a $n=400$ et $f=\dfrac{112}{400}=0,28$.
    Un intervalle de confiance au seuil de $95\%$ dans lequel devrait se trouver la proportion d’électeurs votant pour le candidat aux élections municipales est :
    $\begin{align*} I_{400}&=\left[0,28-\dfrac{1}{\sqrt{400}};0,28+\dfrac{1}{\sqrt{400}}\right] \\
    &=[0,23;0,33]\end{align*}$
    Réponse A
    $\quad$
  3. $\left(V_n\right)$ est une suite géométrique de raison $1,2$ et de premier terme $V_1=6$.
    Pour tout entier naturel $n$ non nul on a donc $V_n=6\times 1,2^{n-1}$.
    Par conséquent $V_6=6\times 1,2^5\approx 14,9$.
    Réponse C
    $\quad$
  4. Voici les différentes valeurs prises par les variables (arrondie au centième pour $V$) :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    n&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11\\
    \hline
    V&6&7,2&8,64&10,37&12,44&14,93&17,93&21,50&25,80&30,96&37,16\\
    \hline
    \end{array}$$
    On obtient donc $n=11$
    Réponse C
    $\quad$
  5. La suite $\left(U_n\right)$ est arithmétique de raison $3$ et $U_4=81$.
    Par conséquent :
    $U_3=81-3=78$,
    $U_2=78-3=75$,
    $U_1=75-3=72$
    et $U_0=72-3=69$.
    Réponse C
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. D’après l’énoncé on a : $P(A)=0,6$, $P(B)=1-0,6=0,4$, $P_A(D)=0,05$ et $P(B\cap D)=0,01$.
    $\quad$
  2. a. On veut calculer $P(A\cap D)=0,6\times 0,05=0,03$.
    La probabilité qu’un stylo provienne de l’atelier A et possède un défaut de fabrication est égale à $0,03$.
    $\quad$
    b. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(D)&=P(A\cap D)+P(B\cap D) \\
    &=0,03+0,01 \\
    &=0,04\end{align*}$
    La probabilité qu’un stylo possède un défaut de fabrication est de $0,04$.
    $\quad$
  3. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_B(D)&=\dfrac{P(B\cap D)}{P(B)} \\
    &=\dfrac{0,01}{0,4} \\
    &=0,025\end{align*}$
    La probabilité qu’un stylo prélevé au hasard dans l’atelier B possède un défaut est $0,025$.
    $\quad$

Partie B

  1. La variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=25$ et $p=0,04$.
    $\quad$
  2. $P(X=0)=0,96^{25}\approx 0,36<0,5$.
    L’affirmation du directeur est donc fausse.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

Partie A : lectures graphiques

  1. D’après le graphique $C_m(7)\approx 500$.
    $\quad$
  2. À l’aide du graphique on obtient le tableau de variations suivants (valeurs approchées à l’unité).
    $\quad$
  3. D’après le graphique le coût moyen de production est minimal quand l’entreprise produit $5$ kilomètres de tissu.
    $\quad$

Partie B : étude du bénéfice

  1. Pour tout nombre $x$ compris entre $1$ et $10$ on a $R(x)=680x$.
    $\quad$
  2. Pour tout nombre $x$ compris entre $1$ et $10$ on a :
    $\begin{align*} B(x)&=R(x)-C(x)\\
    &=680x-\left(15x^3-120x^2+500x+750\right) \\
    &=-15x^3+120x^2+180x-750\end{align*}$
    $\quad$
  3. Pour nombre réel $x$ apartenant à l’intervalle $[1;10]$ on a :
    $\begin{align*} B'(x)&=-15\times 3x^2+120\times 2x+180 \\
    &=-45x^2+240x+180\end{align*}$
    $\quad$
  4. a. On considère le trinôme $-45x^2+240x+180$ où $a=-45$, $b=240$ et $c=180$.
    Le discriminant est $\Delta = 240^2-4\times (-45)\times 180=90~000>0$
    Les racines sont donc :
    $x_1=\dfrac{-240-\sqrt{90~000}}{-90}=6$ et $x_2=\dfrac{-240-\sqrt{90~000}}{-90}=-\dfrac{2}{3}$.
    $a=-45<0$
    Cela signifie donc que le trinôme est strictement négatif sur $\left]-\infty;-\dfrac{2}{3}\right[\cup]6;+\infty[$, nul en $-\dfrac{2}{3}$ et $6$ et strictement positif sur $\left]-\dfrac{2}{3};6\right[$.
    $\quad$
    b. Si l’on restreint cette étude à l’intervalle $[1;10]$ on obtient que :
    $B'(x)>0$ sur l’intervalle $[0;6[$;
    $B'(6)=0$;
    $B'(x)<0$ sur l’intervalle $]6;+\infty[$.
    $\quad$
  5. On obtient le tableau de variations suivant :

    $\quad$
  6. Le bénéfice est maximal quand l’entreprise produit $6$ kilomètres de tissu. Ce bénéfice vaut $1~410$ euros.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie A : étude d’un premier modèle

  1. Voir le graphique de la question 2.b.
    $\quad$
  2. a. À l’aide de la calculatrice on obtient l’équation suivante $y=2,42x+18,14$.
    $\quad$
    b. On obtient le graphique suivant :

    $\quad$
  3. En 2020 on a $x=10$.
    Graphiquement, le point d’abscisse $10$ de la droite a une ordonnée environ égale à $42$.
    Le chiffre d’affaires de cette entreprise en 2020 sera d’environ $42$ millions d’euros selon ce modèle.
    $\quad$

Partie B : étude d’un second modèle

  1. Le taux d’évolution global du chiffre d’affaires de l’entreprise entre 2010 et 2016 est $t=\dfrac{32,4-18,3}{18,3}\approx 0,7705$ donc $t \approx 77,05\%$.
    $\quad$
  2. On appelle $x$ le taux d’évolution moyen annuel entre 2010 et 2016.
    On a donc :
    $\begin{align*} \left(1+\dfrac{x}{100}\right)^6=1,7705&\ssi 1+\dfrac{x}{100}=1,7705^{1/6} \\
    &\ssi \dfrac{x}{100}=1,7705^{1/6}-1\\
    &\ssi x=100\left(1,7705^{1/6}-1\right) \end{align*}$
    donc $x\approx 10\%$.
    $\quad$
  3. Selon ce modèle le chiffre d’affaires de l’entreprise en 2020 sera de $32,4\times 1,1^4\approx 47$ millions d’euros.
    $\quad$

 

 

 

Énoncé

Exercice 1     4 points

Cet exercice est un Questionnaire à Choix Multiples (QCM).
Pour chaque question, une et une seule réponse est exacte.
Une réponse juste rapporte un point tandis qu’une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point.
Recopier sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.

  1. Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi normale de paramètres $\mu= 12$ et $\sigma = 2$.
    Quelle est la valeur de la probabilité $P(X \pg 14)$ arrondie au centième ?
    A. $0,16$
    B. $0,20$
    C. $0,80$
    D. $0,84$
    $\quad$
  2. Un candidat aux élections municipales a fait réaliser un sondage auprès de $400$ électeurs. $112$ de ces $400$ électeurs ont affirmé vouloir voter pour ce candidat. Un intervalle de confiance au seuil de $95 \%$ dans lequel devrait se trouver la proportion d’électeurs votant pour le candidat aux élections municipales est :
    A. $[0,230 ; 0,330]$
    B. $[0,277 ; 0,283]$
    C. $[0,307 ; 0,407]$
    D. $[0,354 ; 0,360]$
    $\quad$
  3. Soit $\left(V_n\right)$ la suite géométrique de raison $q=1,2$ et de premier terme $V_1=6$.
    Quelle est la valeur de $V_6$ arrondie au dixième ?
    A. $12,0$
    B. $13,2$
    C. $14,9$
    D. $17,9$
    $\quad$
  4. On considère l’algorithme suivant. Quelle est la valeur de $n$ à la fin de cet algorithme ? $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    n\leftarrow 1\\
    V\leftarrow 6\\
    \text{Tant que }V<31\\
    \hspace{1cm} n\leftarrow n+1\\
    \hspace{1cm} V\leftarrow V\times 1,2\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    A. $9$
    B. $10$
    C. $11$
    D. $12$
    $\quad$
  5. Soit $\left(U_n\right)$ la suite arithmétique de raison $3$ et telle que $U_4=81$.
    Le premier terme $U_0$ de la suite $\left(U_n\right)$ est :
    A. $1$
    B. $3$
    C. $69$
    D. $72$
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes

Partie A

Deux ateliers A et B fabriquent des stylos pour une entreprise.
L’atelier A fabrique $60\%$ des stylos, et parmi ceux-là, $5\%$ possèdent un défaut de fabrication.
De plus, $1\%$ des stylos possèdent un défaut de fabrication et sortent de l’atelier B.
Un stylo est prélevé au hasard dans le stock de l’entreprise.
On considère les événements suivants :

$\qquad$ $A$ : « Le stylo a été fabriqué par l’atelier A »
$\qquad$ $B$ : « Le stylo a été fabriqué par l’atelier B »
$\qquad$ $D$ : « Le stylo possède un défaut de fabrication »

  1. Donner les probabilités $P(A)$, $P(B)$, $P_A(D)$ et $P(B\cap D)$.
    On pourra s’appuyer sur un arbre de probabilités que l’on complètera au fur et à mesure pour répondre aux questions suivantes.
    $\quad$
  2. a. Calculer la probabilité qu’un stylo provienne de l’atelier A et possède un défaut de fabrication.
    $\quad$
    b. En déduire que la probabilité qu’un stylo possède un défaut de fabrication est de $0,04$.
    $\quad$
  3. On prélève un stylo au hasard dans l’atelier B. Quelle est la probabilité qu’il possède un défaut ?
    $\quad$

Partie B

Dans cette partie, on suppose que $4\%$ des stylos possèdent un défaut de fabrication.
L’entreprise confectionne des paquets contenant chacun $25$ stylos.
Le fait qu’un stylo possède ou non un défaut de fabrication est indépendant des autres stylos.
On appelle $X$ la variable aléatoire donnant pour un paquet le nombre de stylos qui possèdent un défaut de fabrication.
On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale.

  1. Préciser les paramètres de cette loi binomiale.
    $\quad$
  2. Le directeur de l’entreprise affirme qu’il y a plus d’une chance sur deux qu’un paquet ne comporte
    aucun stylo défectueux. A-t-il raison ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     6 points

Une entreprise fabrique chaque jour des rouleaux de tissu en coton.
La production quotidienne varie entre $1$ et $10$ kilomètres de tissu.
On note $x$ la production de tissu en kilomètres.
Le coût total de production, exprimé en euros, de $x$ kilomètres de tissu est donné par la fonction $C$ définie pour $x$ appartenant à $[1 ; 10]$ par : $C(x)=15x^3-120x^2+500x+750$$

Partie A : lectures graphiques

On appelle coût moyen de production la fonction $C_m$  définie sur l’intervalle $[1 ; 10]$ par : $$C_m(x)=\dfrac{C(x)}{x}$$
La représentation graphique de la fonction $C_m$ est donnée ci-dessous.

  1. Donner par lecture graphique une valeur approchée de $C_m(7)$.
    $\quad$
  2. À l’aide de la représentation graphique, donner le tableau de variations de $C_m$ sur $[1 ; 10]$.
    $\quad$
  3. Déterminer par lecture graphique combien de kilomètres de tissu l’entreprise doit fabriquer pour que le coût moyen de production soit minimal.
    $\quad$

Partie B : étude du bénéfice

On suppose que l’entreprise vend chaque jour sa production journalière.
Le prix de vente d’un kilomètre de tissu est de $680$ €.
On rappelle que le nombre de kilomètres de tissu $x$ fabriqués varie chaque jour entre $1$ et $10$.
On note $R(x)$ la recette, exprimée en euros, correspondant à la vente de $x$ kilomètres de tissu.
On note $B(x)$ le bénéfice, exprimé en euros, réalisé par l’entreprise pour la vente de $x$ kilomètres de tissu.

  1. Exprimer $R(x)$ en fonction de $x$.
    $\quad$
  2. Justifier que l’expression de $B(x)$ en fonction de $x$ est : $B(x)=-15x^3+120x^2+180x-750$.
    $\quad$
  3. On note $B’$ la fonction dérivée de la fonction $B$. Pour tout nombre réel $x$ appartenant à l’intervalle $[1 ; 10]$, calculer $B'(x)$.
    $\quad$
  4. a. Étudier pour tout $x$ réel le signe du trinôme $-45x^2+240x+180$.
    $\quad$
    b. En déduire le signe de la fonction $B’$ sur l’intervalle $[1 ; 10]$.
    $\quad$
  5. En utilisant la question précédente, donner le tableau de variations complet de la fonction $B$ sur l’intervalle $[1 ; 10]$.
    $\quad$
  6. Déterminer le nombre de kilomètres de tissu que l’entreprise doit produire et vendre chaque jour pour que le bénéfice réalisé soit maximal. Que vaut ce bénéfice maximal ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     4 points

Le tableau suivant donne le chiffre d’affaires mondial d’une entreprise entre 2010 et 2016 en millions d’euros.

$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{ Année}& 2010& 2011& 2012& 2013& 2014& 2015& 2016\\
\hline
\text{ Rang de l’année }x_i& 0& 1& 2& 3& 4& 5& 6\\
\hline
\begin{array}{l} \text{Chiffre d’affaires }y_i\\\text{(en millions d’euros)}\end{array}& 18,3& 20,1& 23,3& 25,3& 27,8& 30,6& 32,4\\
\hline
\end{array}$$

Partie A : étude d’un premier modèle

  1. Sur le graphique donné en annexe à rendre avec la copie, représenter le nuage de points de coordonnées $\left(x_i;y_i\right)$ pour $i$ variant de $0$ à $6$.
    $\quad$
  2. a. À l’aide de la calculatrice, donner une équation de la droite d’ajustement affine de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis au centième.
    $\quad$
    Dans la suite, on choisit la droite $d$ d’équation $y=2,4x+18,1$ comme ajustement affine du nuage
    de points.
    $\quad$
    b. Tracer la droite $d$ sur le même graphique donné en annexe.
    $\quad$
  3. En supposant que cet ajustement demeure valable pendant plusieurs années, donner par lecture graphique le chiffre d’affaires de cette entreprise en 2020. Arrondir au million près.
    $\quad$

Partie B : étude d’un second modèle

  1. Déterminer, à l’aide du tableau, le taux d’évolution global du chiffre d’affaires de l’entreprise entre 2010 et 2016. On exprimera le résultat en pourcentage arrondi au centième.
    $\quad$
  2. Déterminer le taux d’évolution moyen annuel entre 2010 et 2016, exprimé en pourcentage arrondi à l’entier le plus proche.
    $\quad$
  3. On suppose que le taux d’évolution annuel sera de $10\%$ entre 2016 et 2020. Estimer le chiffre d’affaires de l’entreprise en 2020. Arrondir au million près.
    $\quad$

Annexe

$\quad$

 

 

Bac STMG – Métropole – Juin 2019

Métropole – juin 2019

Bac STMG – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. On veut calculer $p(B)=p(T\cap B)=0,3\times 0,1=0,03$.
    La probabilité que le touriste gagne un non de réduction de $150$ euros sur un prochain séjour en ville est $0,03$.
    $\quad$
  3. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(L)&=p(P\cap L)+p(T\cap L) \\
    &=0,7\times 0,2+0,3\times 0,9\\
    &=0,14+0,27\\
    &=0,41\end{align*}$
    La probabilité que le touriste gagne un panier de produits locaux est $0,41$.
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_L(T)&=\dfrac{p(L\cap T)}{p(L)} \\
    &=\dfrac{0,27}{0,41}\\
    &=\dfrac{27}{41}
    \end{align*}$
    Sachant qu’un touriste a gagné un panier de produits locaux à la seconde étape de la loterie, la probabilité qu’il ait gagné un tee-shirt lors de la première étape est $\dfrac{27}{41}$.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1.  $t=\dfrac{282-229}{229}\approx 0,231~4$
    Le taux d’évolution global de la masse d’EMPCS recyclés entre 2011 et 2016 est environ égal à $23\%$.
    $\quad$
  2. On appelle $x$ le taux d’évolution annuel moyen de la masse d’EMPCS recyclés entre 2011 et 2016.
    Ainsi :
    $\begin{align*} \left(1+\dfrac{x}{100}\right)^5=1,23&\ssi  1+\dfrac{x}{100}=\left(1,23\right)^{1/5} \\
    &\ssi \dfrac{x}{100}=\left(1,23\right)^{1/5}-1 \\
    &\ssi x=100\left(\left(1,23\right)^{1/5}-1\right) \end{align*}$
    Par conséquent $x\approx 4,23$.
    Le le taux d’’évolution annuel moyen de la masse d’EMPCS recyclés entre 2011 et 2016 est environ égal à $4,23\%$.
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=\left(1+\dfrac{4,2}{100}\right)u_n$ soit $u_{n+1}=1,042u_n$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,042$$.
    $\quad$
  4. Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=282\times 1,042^n$.
    $\quad$
  5. En 2019, on a $n=3$. Or $u_3 \approx 319$.
    En 2019, on peut donc estimer qu’on recyclera environ $319$ milliers de tonnes d’EMPCS.
    $\quad$
  6. On peut saisir l’algorithme suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    N\leftarrow 0\\
    U\leftarrow 282\\
    \text{Tant que } U< 564 \\
    \hspace{1cm} N\leftarrow N+1\\
    \hspace{1cm} U\leftarrow U\times 1,042\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. On veut calculer $P(X>53)=1-P(X\pp 53)=1-0,16=0,84$.
    La probabilité qu’un œuf  ne soit pas classé dans la catégorie “Petit” est $0,84$.
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} P(53\pp X \pp 60)&=P(X\pp 60)-P(X\pp 53) \\
    &=0,5-0,16 \\
    &=0,34 \end{align*}$
    $\quad$
  3. On a donc
    $\begin{align*} P(53\pp X \pp 63)&=P(53\pp X \pp 60)+P(60\pp X \pp 63) \\
    &=0,34+0,17 \\
    &=0,51\end{align*}$
    La probabilité qu’un œuf soit classé dans la catégorie “Moyen” est donc $0,51$.
    $\quad$
  4. On a :
    $\begin{align*} P(X>73)&=1-P(X\pp 73) \\
    &=1-(0,5+0,17+0,3) \\
    &=0,03\end{align*}$
    La probabilité qu’un œuf soit classé dans la catégorie “Très gros” est $0,03$.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie A : étude du chiffre d’affaires du e-commerce

  1. D’après la calculatrice, une équation de la droite cherchée est $y=7,31x+27,99$.
    $\quad$
  2. On obtient le graphique suivant :

    $\quad$
  3. En 2026 on a $x=16$
    Donc $y=7,3\times 20+28=144,8$
    Le chiffre d’affaires du e-commerce sera d’environ $144,8$ milliards d’euros en 2026.
    $\quad$

Partie B : étude du chiffre d’affaires du m-commerce

  1. a. On a $\dfrac{16,8}{81,7} \approx 0,2056 \approx 0,21$
    Le chiffre d’affaires du m-commerce représentait donc environ $21\%$ du chiffre d’affaires du e-commerce en 2017.
    $\quad$
    b. $0,4\times \left(1+\dfrac{41}{100}\right)=0,4\times 1,41=0,564 \neq 16,8$.
    Le chiffre d’affaires du m-commerce a donc augmenté de plus de $41\%$ entre 2011 et 2017. L’affirmation est fausse.
    $\quad$
  2. En 2026, on a $x=16$ et $f(16)=110,1$
    Or $\dfrac{110,1}{144,8} \approx 0,76 > 0,7$
    L’affirmation st donc pertinente au regard des deux modèles proposés.
    $\quad$

 

Énoncé

Exercice 1     4 points

L’office de tourisme d’une ville souhaite fidéliser ses touristes. Pour cela, il organise une loterie dont les lots sont de plusieurs types : porte-clefs aux couleurs de la ville, tee-shirt de l’office du tourisme, stylo, panier de produits locaux, bon de réduction de $150$ €  sur un prochain séjour en ville.

Cette loterie se pratique sur une borne tactile et se déroule en deux étapes.

À chaque étape il s’agit de choisir une case parmi les dix qui s’affichent sur l’écran de la borne.

Première étape :
le touriste a sept chances sur dix de gagner un porte-clefs aux couleurs de la ville et trois chances sur dix de gagner un tee-shirt de l’office du tourisme.

Seconde étape :

  • si le touriste a gagné un porte-clefs, il a huit chances sur dix de gagner un stylo aux couleurs de la ville et deux chances sur dix de gagner un panier de produits locaux ;
  • si le touriste a gagné un tee-shirt de l’office du tourisme, il a neuf chances sur dix de gagner un panier de produits locaux et une chance sur dix de gagner un bon de réduction de $150$ sur un prochain séjour en ville.

On définit les événements suivants :
$\quad$ $P$ : éle premier lot est un porte-clefs” et $T$ : “le premier lot est un tee-shirt” ;
$\quad$ $S$ : “le second lot est un stylo” ;
$\quad$ $L$ : “le second lot est un panier de produit locaux” ;
$\quad$ $B$ : “le second lot est un bon de réduction de $150$ euros sur un prochain séjour en ville”.

  1. Compléter l’arbre pondéré donné en annexe, à rendre avec la copie.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité que le touriste gagne un bon de réduction de $150$ euros sur un prochain séjour en ville.
    $\quad$
  3. Calculer la probabilité que le touriste gagne un panier de produits locaux.
    $\quad$
  4. Sachant qu’un touriste a gagné un panier de produits locaux à la seconde étape de la loterie, calculer la probabilité qu’il ait gagné un tee-shirt lors de la première étape.
    $\quad$

Annexe

$\quad$

Exercice 2     5 points

On s’intéresse au recyclage des emballages ménagers en plastique issus de la collecte sélective (EMPCS).
Le tableau ci-dessous donne l’évolution de la masse d’EMPCS recyclés entre 2011 et 2016. Cette masse est exprimée en millier de tonnes et arrondie au millier de tonnes.

$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Année}&2011&212&2013&2014&2015&2016\\
\hline
\text{Masse d’EMPCS recyclés}&229&243&250&256&266&282\\
\hline
\end{array}\\
\small{\textit{Source : http ://www.statistiques.developpement-durable.gouv.fr, consulté le 21/01/2019}}$$

  1. Justifier que le taux d’évolution global de la masse d’EMPCS recyclés entre 2011 et 2016, exprimé
    en pourcentage et arrondi à l’unité, est de $23 \%$.
    $\quad$
  2. En déduire le taux d’évolution annuel moyen de la masse d’EMPCS recyclés entre 2011 et 2016.

On fait l’hypothèse qu’à partir de 2016, le taux d’évolution annuel de la masse d’EMPCS recyclés est constant et égal à $4,2 \%$.

La masse d’EMPCS recyclés au cours de l’année (2016 $+ n$), exprimée en millier de tonnes, est modélisée par le terme de rang $n$ d’une suite $\left(u_n\right)$ de premier terme $u_0 = 282$.

  1. Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ est géométrique. Préciser sa raison.
    $\quad$
  2. Exprimer $u_n$ en fonction de l’entier $n$.
    $\quad$
  3. En déduire une estimation de la masse d’EMPCS recyclés en 2019.
    $\quad$
  4. On souhaite calculer le rang de l’année à partir de laquelle la masse d’EMPCS recyclés aura doublé
    par rapport à l’année 2016.
    Compléter l’algorithme donné en annexe, à rendre avec la copie, afin qu’après exécution, la variable $N$ contienne la valeur recherchée.
    $\quad$

Annexe

$$\begin{array}{|l|}
\hline
N\leftarrow 0\\
U\leftarrow 282\\
\text{Tant que }U\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\\
\hspace{1cm} N\leftarrow N+1\\
\hspace{1cm} U\leftarrow \phantom{.}\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\\
\text{Fin Tant que}\\
\hline
\end{array}$$

$\quad$

Exercice 3     4 points

Les œufs de poule sont classés en quatre catégories :

  • “Petit”, si la masse est inférieure à $53$ g ;
  • “Moyen”,  si la masse est comprise entre $53$ g et $63$ g ;
  • “Gros”, si la masse est comprise entre $63$ g et $73$ g ;
  • “Très gros”, si la masse est supérieure à $73$ g.

On admet que la masse d’un œuf de poule peut-être modélisée par une variable aléatoire $X$ suivant une loi normale d’espérance $60$ g. On donne ci-dessous la courbe de densité associée à cette loi, sur laquelle on a indiqué les probabilités $P(X \pp 53) = 0,16$, $P(60 \pp X \pp 63) = 0,17$ et $P(63 \pp X \pp 73) = 0,3$.

  1. Calculer la probabilité qu’un œuf ne soit pas classé dans la catégorie “Petit”.
    $\quad$
  2. Justifier que la probabilité $P(53 \pp X \pp 60)$ est égale à $0,34$.
    $\quad$
  3. En déduire la probabilité qu’un œuf soit classé dans la catégorie “Moyen”.
    $\quad$
  4. Calculer la probabilité qu’un œuf soit classé dans la catégorie “Très gros”.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     7 points

D’après une étude de la Fédération E-commerce et Vente A Distance (FEVAD), le secteur du commerce en ligne (e-commerce) est en pleine croissance, notamment grâce à la percée des ventes sur terminaux mobiles, tablettes ou smartphones (m-commerce).

Partie A : étude du chiffre d’affaires du e-commerce

Le tableau ci-dessous donne le chiffre d’affaires du e-commerce entre 2011 et 2017. Il s’exprime en milliard d’euros et est arrondi au dixième.

$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{ Année}&2011&2012&2013&2014&2015&2016&2017\\
\hline
\text{ Rang de l’année : }x_i&1&2&3&4&5&6&7\\
\hline
\small{\begin{array}{l}\text{Chiffre d’affaires du e-commerce }\\\text{(en milliard d’euros ): } y_i\end{array}}&36,5&43,6&49,5&55,0&62,9&71,5&81,7\\
\hline
\end{array}\\
\hspace{7cm} \small{\textit{Source : FEVAD, les chiffres clés 2018}}$$

Une représentation graphique du nuage de points de coordonnées $\left(x_i; y_i\right)$ est donnée en annexe, à
rendre avec la copie.

  1. Donner l’équation réduite de la droite d’ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis au centième.
    $\quad$
  2. On décide d’ajuster le nuage de points par la droite $D$ d’équation $y = 7,3x + 28$.
    Tracer la droite $D$ sur le graphique donné en annexe, à rendre avec la copie.
    $\quad$
    3. D’après ce modèle, que l’on admet valide jusqu’en 2030, quel chiffre d’affaires du e-commerce peut-on prévoir en France pour l’année 2026 ?
    $\quad$

Partie B : étude du chiffre d’affaires du m-commerce

Le m-commerce regroupe l’ensemble des transactions commerciales réalisées sur terminaux mobiles (tablettes ou smartphones).
On se propose d’étudier l’évolution de la part du chiffre d’affaires du m-commerce dans celui du e-commerce à partir de l’année 2011.
Le tableau suivant est extrait d’une feuille automatisée de calcul.

$$\begin{array}{|c|l|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
&\hspace{2cm}\text{A}\hspace{2cm}&\text{B}&\text{C}&\text{D}&\text{E}&\text{F}&\text{G}&\text{H}\\
\hline
1&\text{ Année}&2011&2012&2013&2014&2015&2016&2017\\
\hline
2&\small{\begin{array}{l}\text{Chiffre d’affaires du e-commerce}\\\text{(en milliard d’euros)}\end{array}}&36,5&43,6&49,5&55,0&62,9&71,5&81,7\\
\hline
3&\small{\begin{array}{l}\text{Chiffre d’affaires du m-commerce}\\\text{(en milliard d’euros)}\end{array}}&0,4&1,0&2,2&4,5&7,0&11,2&16,8\\
\hline
\end{array}\\
\hspace{7cm} \text{Source : FEVAD, les chiffres clés 2018}$$

  1. a. Vérifier qu’en 2017 le chiffre d’affaires du m-commerce représentait environ $21 \%$ du chiffre
    d’affaires du e-commerce.
    $\quad$
    b. Est-il vrai que le chiffre d’affaires du m-commerce a augmenté de $41 \%$ entre 2011 et 2017 ?
    $\quad$
  2. Soit $f$ la fonction définie pour tout $x$ appartenant à l’intervalle $[1; 20]$ par : $$f(x) = 0, 5x^2-1,2x+1,3$$
    Pour les valeurs entières de $x$ comprises entre $1$ et $20$, on admet que les valeurs $f(x)$ donnent une estimation du chiffre d’affaires du m-commerce, exprimé en milliard d’euros pour l’année (2010 $+ x$). Ainsi, $f(1)$ désigne une estimation du chiffre d’affaires en 2011, $f(2)$ désigne une estimation du chiffre d’affaires en 2012, etc.
    $\quad$
    Un observateur économique affirme : “En 2026, la part du chiffre d’affaires du m-commerce dans celui du e-commerce aura dépassé $70 \%$”.
    Cette affirmation est-elle pertinente au regard des deux modèles proposés ? Expliciter la démarche suivie.
    $\quad$

Annexe

$\quad$

 

2018 – 2019


La correction des sujets de mathématiques des bacs STMG de l’année 2018 – 2019 sont disponibles ici :

Centres étrangers / Pondichéry juin 2019

Métropole juin 2019

Antilles Guyane juin 2019

Polynésie juin 2019

Antilles Guyane septembre 2019

Métropole septembre 2019

Polynésie septembre 2019

Nouvelle Calédonie novembre 2019

Nouvelle Calédonie mars 2020

Bac STMG – Centres étrangers / Pondichéry – Juin 2019

Centres étrangers/Pondichéry – juin 2019

Bac STMG – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. En 2022, la population comptera donc $2~375\left(1-\dfrac{5}{100}\right)^4\approx 1~934$ individus.
    Si on arrondit à la dizaine près, on obtient $1~930$ individus.
    Réponse b
    $\quad$
  2. On appelle $N$ le nombre d’individus en 2017.
    On a donc $N\times \left(1-\dfrac{5}{100}\right)=2~375$.
    Soit $0,95N=2~375$ et donc $N=\dfrac{2~375}{0,95} =2~500$.
    Réponse c
    $\quad$
  3. Dans l’algorithme a. la valeur $0,75\times v$ dans la condition de la boucle “tant que” change pour chaque valeur de $v$. Ce n’est donc pas le bon algorithme.
    Dans l’algorithme c. le test de la boucle “tant que” ne permet pas de l’exécuter puisque $2~375\pg 0,75\times 2~375$.. Ce n’est pas le bon algorithme.
    Dans l’algorithme d. la variable $v$ est modifiée en $v-0,05$. Cela ne correspond pas à une baisse de $5\%$ mais à une diminution de $0,05$ unité. Ce n’est pas le bon algorithme.
    Réponse b
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A

Par symétrie, on a $P(\mu-2\pp X\pp \mu)=P(\mu \pp X\pp \mu+X)$.
Donc $P(198\pp X\pp 200)=P(200 \pp X\pp 202)$.
Ainsi $P(198\pp X\pp 202)=2\times 0,34=0,68$.

La probabilité qu’une tablette soit commercialisable est $0,68$.

$\quad$

Partie B

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. On veut calculer $p(A\cap C)=0,4\times 0,68=0,272$.
    La probabilité que la tablette choisie provienne de l’ancienne chaîne et soit commercialisable est $0,272$.
    $\quad$
  3. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(C)&=p(A\cap C)+p(N\cap C) \\
    &=0,4\times 0,68+0,6\times 0,9 \\
    &=0,272+0,54\\
    &=0,812\\
    &>0,8\end{align*}$
    Ainsi, au moins $80\%$ de la production totale de tablettes est commercialisable.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. On peut saisir la formule $=(C3-C2)/C2$.
    $\quad$
  2. Le taux d’évolution global du nombre de visiteurs du parc entre 2012 et 2015 est :
    $t=\dfrac{2,10-1,6}{1,6}=0,312~5=31,25\%$
    $\quad$
  3. On appelle $x$ le taux d’évolution annuel moyen du nombre de visiteurs du parc entre 2012 et 2015.
    On a donc :
    $\begin{align*} 1,6\times \left(1+\dfrac{x}{100}\right)^3=2,1&\ssi  \left(1+\dfrac{x}{100}\right)^3=\dfrac{2,1}{1,6}\\
    &\ssi  \left(1+\dfrac{x}{100}\right)^3=1,312~5 \\
    &\ssi 1+\dfrac{x}{100}=1,312~5^{1/3} \\
    &\ssi \dfrac{x}{100}=1,312~5^{1/3}-1\\
    &\ssi x=100\left(1,312~5^{1/3}-1\right) \end{align*}$
    Ainsi $x\approx 9,5$.
    Le taux d’évolution annuel moyen du nombre de visiteurs du parc entre 2012 et 2015 est environ égal à $9,5\%$.
    $\quad$

Partie B

  1. À l’aide de la calculatrice, une équation de la droite d’ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés est $y=0,128x+1,398$.
    $\quad$
  2. En 2019 on a $x=9$ donc $y=0,13\times 9+1,40=2,57$.
    Selon cet ajustement il y aura environ $2,57$ millions de visiteurs en 2019 dans ce parc.
    $\quad$
  3. On veut résoudre
    $\begin{align*} 0,13x+1,4\pg 2,75 &\ssi 0,13x\pg 1,35 \\
    &\ssi x \pg \dfrac{1,35}{0,13}\end{align*}$
    or $\dfrac{1,35}{0,13} \approx 10,38$
    C’est donc à partir de l’année 2021 que la fréquentation annuelle atteindra au mois $2~750~000$ visiteurs.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

Partie A

  1. On a $f(50)=50-15+\dfrac{400}{50}=43$.
    Le coût moyen quotidien pour la production de $50$ m$^3$ d’engrais est de $4~300$ euros.
    $\quad$
  2. On veut résoudre :
    $\begin{align*} f(x)\pp 35 &\ssi x-15+\dfrac{400}{x}\pp 35 \\
    x-50+\dfrac{400}{x}\pp 0 \\
    &\ssi \dfrac{x^2-50x+400}{x}\pp 0 \end{align*}$
    Or $x\in[5;60]$ par conséquent $\dfrac{x^2-50x+400}{x}\pp 0  \ssi x^2-50x+400\pp 0$.
    On a $\Delta = (-50)^2-4\times 1\times 400=900>0$.
    Le polynôme du second degré possède donc deux racines où $a=1$, $b=-50$ et $c=400$ :
    $x_1=\dfrac{50-\sqrt{900}}{2}=10$ et $x_2=\dfrac{50+\sqrt{900}}{2}=40$.
    Puisque $a=1>0$ alors le polynôme est négatif entre les racines.
    Ainsi il faut fabriquer entre $10$ m$^3$ et $40$ m$^3$ d’engrais pour avoir un coût moyen quotidien de production inférieur ou égal à $3~500$ €.
    $\quad$
    Remarque : on retrouve cette information sur le graphique en traçant la droite d’équation $y=35$ et en cherchant les points d’intersection de cette droite avec la courbe $C_f$.
    $\quad$

Partie B

  1. Pour tout $x$ appartenant à l’intervalle $[5;60]$ on a :
    $f'(x)=1+400\times \left(-\dfrac{1}{x^2}\right)=1-\dfrac{400}{x^2}=\dfrac{x^2-400}{x^2}$.
    $\quad$
  2. On a : $x^2-400=x^2-20^2=(x-20)(x+20)$.
    Sur l’intervalle $[5;60]$ on a $x+20>0$.
    Le signe de $x^2-400$ ne dépend donc que de celui de $x-20$.
    Or $x-20=0 \ssi x=20$ et $x-20>0 \ssi x>20$.
    Par conséquent :
    – $x^2-400 <0$ sur l’intervalle $[5;20]$;
    – $x^2-400=0$ si $x=20$;
    – $x^2-400>0$ sur l’intervalle $[20;60]$.
    $\quad$
  3. Pour tout nombre $x$ appartenant à l’intervalle $[5,60]$ on a $x^2>0$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $x^2-400$.
    Ainsi, d’après la question précédente, la fonction $f$ est strictement décroissante sur l’intervalle $[5;20]$ et strictement croissante sur l’intervalle $[20;60]$.
    $\quad$
  4. La fonction $f$ atteint son minimum en $20$ et $f(20)=25$.
    Le coût moyen quotidien de production est minimal quand l’entreprise fabrique $20$ m$^3$ d’engrais et vaut $2~500$ euros.
    $\quad$

 

 

Énoncé

Exercice 1     4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Pour chaque question, indiquer, sur la copie, le numéro de la question et la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.
La réponse correcte à chacune des questions 1 et 2 rapporte un point et la réponse correcte à la question 3 rapporte 2 points.
Une réponse incorrecte, multiple ou une absence de réponse n’apporte ni ne retire aucun point.

Un zoologiste étudie l’évolution de la population d’une espèce animale dans un secteur géographique délimité. Il a observé depuis 2010 que cette population diminue chaque année en moyenne de $5\%$.
Le 1$\ier$ mars 2018, la population compte $2~375$ individus.
Le zoologiste émet l’hypothèse que cette baisse annuelle de $5\%$ va se poursuivre jusqu’en 2025.

  1. Le nombre d’individus de la population au 1$\ier$ mars 2022 est estimé, à la dizaine près, à :
    a. $1~840$
    b. $1~930$
    c. $2~040$
    d. $2~890$
    $\quad$
  2. Le nombre d’individus au 1$\ier$ mars 2017 était de :
    a. $2~300$
    b. $2~400$
    c. $2~500$
    d. $2~600$
    $\quad$
  3. Le zoologiste souhaite connaître l’année à partir de laquelle la population aura diminué de plus de $25 \%$ par rapport à sa valeur de 2018.
    Parmi les quatre algorithmes suivants, celui pour lequel le contenu de la variable $n$ fournit, après exécution, l’information souhaitée est :
    $$\begin{array}{clccl}
    \textbf{a.}&\begin{array}{|l|} \hline n\leftarrow 2~018\\v\leftarrow 2~375\\\text{Tant que }v \pg 0,75\times v\phantom{~375}\\ \hspace{1cm} v \leftarrow v-0,05v\\\hspace{1cm} n\leftarrow n+1\\\text{Fin Tant que}\\ \hline\end{array}&\phantom{aaaa}&\textbf{b.}&\begin{array}{|l|} \hline n\leftarrow 2~018\\v\leftarrow 2~375\\\text{Tant que }v \pg 0,75\times 2~375\\ \hspace{1cm} v \leftarrow 0,95v\\\hspace{1cm} n\leftarrow n+1\\\text{Fin Tant que}\\ \hline\end{array} \\
    \\
    \textbf{c.}&\begin{array}{|l|} \hline n\leftarrow 2~018\\v\leftarrow 2~375\\\text{Tant que }v \pp 0,75\times 2~375\\ \hspace{1cm} v \leftarrow v-0,05v\\\hspace{1cm} n\leftarrow n+1\\\text{Fin Tant que}\\ \hline\end{array}&\phantom{aaaa}&\textbf{d.}&\begin{array}{|l|} \hline n\leftarrow 2~018\\v\leftarrow 2~375\\\text{Tant que }v \pg 0,75\times 2~375\\ \hspace{1cm} v \leftarrow v-0,05\\\hspace{1cm} n\leftarrow n+1\\\text{Fin Tant que}\\ \hline\end{array} \end{array}$$
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

Les parties A et B sont indépendantes.

Une entreprise artisanale fabrique des tablettes de chocolat pâtissier pesant en moyenne $200$ grammes.
Pour être commercialisable, une tablette doit peser entre $198$ et $202$ grammes.
Un contrôle de masse est effectué sur les tablettes fabriquées.
Celles qui ne sont pas commercialisables sont alors refondues.

PARTIE A

On modélise la masse d’une tablette (exprimée en gramme) par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale d’espérance $\mu = 200$.
On sait que $P(198 \pp X \pp 200) = 0,34$.
Calculer la probabilité qu’une tablette soit commercialisable.
$\quad$

PARTIE B
Afin d’améliorer la proportion de tablettes de chocolat commercialisables, le fabricant met en place une nouvelle chaîne de production.
L’ancienne chaîne ne prend désormais en charge que $40 \%$ de la production totale.
A l’issue de la fabrication, un nouveau contrôle de masse est effecté.

  • Parmi les tablettes produites par l’ancienne chaîne, $68 \%$ sont commercialisables.
  • Parmi les tablettes produites par la nouvelle chaîne, $90 \%$ sont commercialisables.

On choisit, de façon équiprobable, une tablette dans l’ensemble de la production.
On note :

$\qquad$ $A$ l’événement : “la tablette choisie est produite par l’ancienne chaîne” ;
$\qquad$ $N$ l’événement : “la tablette choisie est produite par la nouvelle chaîne” ;
$\qquad$ $C$ l’événement : “la tablette choisie est commercialisable”.

  1. Compléter l’arbre pondéré donné en annexe, à rendre avec la copie.
    $\quad$
  2.  Calculer la probabilité que la tablette choisie provienne de l’ancienne chaîne et soit commercialisable.
    $\quad$
  3. Peut-on affirmer qu’au moins $80 \%$ de la production totale de tablettes est commercialisable ?
    Expliciter la démarche utilisée.
    $\quad$

Annexe

 

$\quad$

Exercice 3     6 points

Le tableau ci-dessous, extrait d’une feuille automatisée de calcul, donne l’évolution de la fréquentation annuelle d’un parc de loisirs entre 2010 et 2017.
La plage de cellules $C4:I4$ est au format pourcentage, arrondi au centième.

Partie A

  1. Donner une formule qui, saisie dans la cellule $C4$, permet d’obtenir par recopie vers la droite les taux d’évolution annuels successifs de la ligne 4.
    $\quad$
  2. Calculer, au centième près, le taux d’évolution global du nombre de visiteurs du parc entre les années 2012 et 2015.
    $\quad$
  3. Calculer le taux d’évolution annuel moyen du nombre de visiteurs du parc entre 2012 et 2015. On donnera le résultat en pourcentage et arrondi au dixième.
    $\quad$

Partie B

On considère le nuage des points dont les coordonnées $\left(x_i
; y_i\right)$ figurent dans le tableau, de 2010 à 2017.

  1. Pour ce nuage de points, donner une équation de la droite d’ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis au millième.

Pour la suite de l’exercice, on prendra comme droite d’ajustement la droite d’équation : $$y=0,13x+1,40$$

  1. Donner, à l’aide de cet ajustement, une estimation du nombre de visiteurs du parc de loisirs pour l’année 2019.
    $\quad$
  2. Grâce à ce modèle, estimer l’année à partir de laquelle la fréquentation annuelle atteindra au moins $2~750~000$ visiteurs.
    Présenter la démarche utilisée.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     6 points

Une entreprise fabrique un engrais biologique liquide.
Chaque jour, le volume d’engrais liquide fabriqué est compris entre $5$ m$^3$ et $60$ m$^3$.
Le coût moyen quotidien de production (exprimé en centaine d’euros) de cet engrais est modélisé par la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[5 ; 60]$ par : $$f(x)=x-15+\dfrac{400}{x}$$ où $x$ est le volume quotidien d’engrais fabriqué, exprimé en m$^3$.
La représentation graphique $C_f$ de la fonction $f$ est donnée dans le repère ci-dessous :

Partie B

  1. Quel est le coût moyen quotidien pour la production de $50$ m$^3$ d’engrais ?
    $\quad$
  2. Quels volumes d’engrais faut-il fabriquer pour avoir un coût moyen quotidien de production inférieur ou égal à $3~500$ € ?
    $\quad$

Partie B

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[5 ; 60]$. On note $f’$ sa fonction dérivée.

  1. Montrer que, pour tout $x$ appartenant à l’intervalle $[5 ; 60]$, $f'(x) = \dfrac{x^2-400}{x^2}$.
    $\quad$
  2. Etudier le signe de $x^2-400$, pour tout $x$ appartenant à l’intervalle $[5 ; 60]$.
    $\quad$
  3. En déduire les variations de la fonction f sur l’intervalle $[5 ; 60]$.
    $\quad$
  4. Pour quel volume d’engrais fabriqué le coût moyen quotidien de production est-il minimal ?
    Quel est ce coût moyen minimal ?
    $\quad$

 

 

 

Bac STMG – Nouvelle Calédonie – Mars 2019

Nouvelle Calédonie – Mars 2019

Bac STMG – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. D’après l’arbre pondéré on a : $P(V\cap D)=0,4\times 0,03=0,012$.
    $\quad$
  3. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(D)&=P(S\cap D)+P(V\cap D) \\
    &=0,6\times 0,01+0,012\\
    &=0,018\end{align*}$
    La probabilité de choisir un modèle avec un défaut est égale à $0,018$
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_D(S)&=\dfrac{P(D\cap S)}{P(D)}\\
    &=\dfrac{0,6\times 0,01}{0,018}\\
    &=\dfrac{1}{3}\\
    &\approx 0,333\end{align*}$
    La probabilité de choisir un modèle Sport sachant qu’il présente un défaut est environ égale à $0,333$.
    $\quad$
  5. a. La droite d’équation $x=39$ semble être un axe de symétrie pour la courbe de densité. Par conséquent $\mu=39$.
    $\quad$
    b. On sait que $P(X>42)=P(X>\mu+3)\approx 0,023$.
    Par conséquent $P(X<\mu-3)=P(X <36)\approx 0,023$.
    Ainsi $P(36<X<42)\approx 1-0,023\times 2\approx 0,954$.

Ex 2

Exercice 2

Partie A – Étude des charges

  1. $C(5)=2\times 5^3-23\times 5^2+90\times 5+10=135$.
    Le montant des charges lorsque l’entreprise produit $5$ kilogrammes de safran s’élève à $135~000$ euros.
    $\quad$
  2. Graphiquement, il faut produite $7$ kilogrammes de safran pour que le montant des charges soit égal à $200~000$ euros.
    $\quad$

Partie B – Étude du bénéfice

  1. On a donc $R(x)=50x$/
    $\quad$
  2. Le bénéfice est donné par :
    $\begin{align*} B(x)&=R(x)-C(x) \\
    &=50x-\left(2x^3-23x^2+90x+10\right)\\
    &=50x-2x^3+23x^2-90x-10\\
    &=-2x^3+23x^2-40x-10\end{align*}$
    $\quad$
  3. a. On a
    $\begin{align*} B'(x)&=-2\times 3x^2+23\times 2x-40\\
    &=-6x^2+46x-40\end{align*}$
    $\quad$
    b. On veut résoudre l’équation $-6x^2+46x-40=0$.
    Le discriminant est $\Delta=46^2-4\times (-6)\times (-40)=1~156>0$.
    L’équation $B'(x)=0$ possède donc deux solutions :
    $x_1=\dfrac{-46-\sqrt{1~156}}{-12}=\dfrac{20}{3}$ et $x_2=\dfrac{-46+\sqrt{1~156}}{-12}=\dfrac{20}{3}=1$.
    $\quad$
    c. Le coefficient principal est $a=-6<0$.
    Le tableau de variations de la fonction $B$ est donc le suivant :

    Avec $B\left(\dfrac{20}{3}\right)\approx  153$.
    $\quad$
    d. D’après le tableau de variations, le bénéfice maximal est atteint pour $x=\dfrac{20}{3}\approx 6,667$.
    L’entreprise doit donc vendre environ $6,667$ kg de safran pour réaliser un bénéfice maximal d’environ $153~000$ euros.
    $\quad$.

Ex 3

Exercice 3

  1. D’après la calculatrice, une équation de la droite réalisant un ajustement affine est $y=-5,0x+72,9$.
    $\quad$
  2. a. En 2018 on a $x=6$.
    Ainsi $y=-5\times 6+73=43$.
    En 2018, la part des voitures diesel sera de $43\%$ selon ce modèle.
    $\quad$
    b. On veut résoudre l’inéquation
    $\begin{align*} -5x+73\pp 25&\ssi -5x \pp -48 \\
    &\ssi x\pg 9,6\end{align*}$
    C’est donc à partir de la $10\ieme$ heure que la part des voitures diesel sera inférieure ou égale à $25\%$.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

Partie A

  1. On a $11,4\times \left(1+\dfrac{18,42}{100}\right) \approx 13,5$.
    En 2012, environ $13,5$ millions de smartphones ont été vendus en France.
    $\quad$
  2. On a $\dfrac{18,2-15,8}{15,8}\approx 0,151~9$.
    Le taux d’évolution des ventes de smartphones en France entre 2013 et 2014 est d’environ $15,19\%$.
    $\quad$
  3. On a $\dfrac{20,5-11,4}{11,4} \approx 0,7982$
    Le taux d’évolution des ventes de smartphones en France entre 2011 et 2015 est d’environ $79,82\%$.
    $\quad$
  4. On appelle $x$ le taux d’évolution annuel moyen des ventes de smartphones en France entre 2011 et 2015.
    On a ainsi :
    $\begin{align*}11,4\times\left(1+\dfrac{x}{100}\right)^4=20,5&\ssi \left(1+\dfrac{x}{100}\right)^4=\dfrac{20,5}{11,4} \\
    &\ssi 1+\dfrac{x}{100}=\left(\dfrac{20,5}{11,4}\right)^{1/4} \\
    &\ssi \dfrac{x}{100}=\left(\dfrac{20,5}{11,4}\right)^{1/4}-1 \\
    &\ssi x=100\times \left(\left(\dfrac{20,5}{11,4}\right)^{1/4}-1\right) \end{align*}$
    Par conséquent $x\approx 16$.
    le taux d’évolution annuel moyen des ventes de smartphones en France entre 2011 et 2015 est d’environ $16\%$.
    $\quad$

Partie B

  1. On a $u_1=20,5\times \left(1+\dfrac{16}{100}\right)=23,78$.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=u_n\times \left(1+\dfrac{16}{100}\right)=1,16u_n$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,16$ et de premier terme $u_0=20,5$.
    $\quad$
  3. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=20,5\times 1,16^n$.
    $\quad$
  4. En 2020 on a $n=5$
    Donc $u_5=20,5\times 1,16^5\approx 43,1$.
    En 2020, on peut donc estimer qu’environ $43,1$ millions de smartphones seront vendus.
    $\quad$

 

Énoncé

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Bac STMG – Nouvelle Calédonie – Novembre 2018

Nouvelle Calédonie – Novembre 2018

Bac STMG – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. Le taux d’évolution globale entre 2011 et 2015 est :
    $t=\dfrac{2~469,030-2~156,069}{2~156,069} \approx 0,1452$.
    Réponse b
    $\quad$
  2. On appelle $x$ le taux d’évolution annuel moyen des ventes d’insecticides entre 2011 et 2015.
    $\begin{align*} &\phantom{\ssi} 2~156,069\times \left(1+\dfrac{x}{100}\right)^4=2~469,030 \\
    &\ssi \left(1+\dfrac{x}{100}\right)^4=\dfrac{2~469,030}{2~156,069} \\
    &\ssi 1+\dfrac{x}{100}=\left(\dfrac{2~469,030}{2~156,069}\right)^{1/4} \\
    &\ssi \dfrac{x}{100}=\left(\dfrac{2~469,030}{2~156,069}\right)^{1/4} -1\\
    &\ssi x=100\left(\left(\dfrac{2~469,030}{2~156,069}\right)^{1/4}-1\right)
    \end{align*}$
    Donc $x\approx 3,45$.
    Réponse b
    $\quad$
  3. On a pu saisir $=(B3-B2)/B2$
    Réponse a
    $\quad$
  4. En 2020, la quantité d’insecticides vendue sera d’environ :
    $2~469,03\times \left(1-\dfrac{2}{100}\right)^5 \approx 2~231,808$ tonnes.
    Réponse d
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. a. On a $C(12)=4\times 12^2+4\times 12+574=1~198$.
    Les charges de production de $12~000$ pneus s’élèvent donc à $1,198$ millions d’euros.
    $\quad$
    b. On veut résoudre l’équation
    $\begin{align*} R(x)=2~500 &\ssi 130x=2~500 \\
    &\ssi x=\dfrac{2~500}{130} \\
    &\ssi x=\dfrac{250}{13}
    \end{align*}$
    Or $\dfrac{250}{13} \approx 19,231$.
    Il faut donc produire $19~231$ pneus pour obtenir obtenir un chiffre d’affaires de $2~500~000$ euros.
    $\quad$
  2. a. Pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0;30]$ on a :
    $\begin{align*} B'(x)&=-4\times 2x+126 \\
    &=-8x+126\end{align*}$
    $\quad$
    b. On a $-8x+126=0 \ssi 8x=126 \ssi x=15,75$
    $-8x+126>0 \ssi -8x>-126 \ssi x<15,75$.
    Par conséquent :
    $B'(x)>0$ sur l’intervalle $[0;15,75]$;
    $B'(15,75)=0$;
    $B'(x)<0$ sur l’intervalle $[15,75;30]$.
    $\quad$
    c. On obtient donc le tableau de variation suivant :
    $\quad$
    d. D’après le tableau de variation la fonction $B$ est maximale quand $x=15,75$.
    Il faut donc produire $15~750$ pneus pour obtenir un bénéfice maximal.
    $B(15,75)=418,25$.
    Le bénéfice maximal est alors de $418 250$ euros.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. On a $P(N)=\dfrac{500}{2~000}=0,25$
    $\quad$
  2. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  3. $N\cap S$ est l’événement “l’ordinateur est neuf et a un problème de sécurité”.
    $P(N\cap S)=\dfrac{0,25}\times 0,05=0,012~5$.
    $\quad$
  4. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(S)&=P(N\cap S)+P\left(\conj{N}\cap S\right) \\
    &=0,012~5+0,75\times 0,4\\
    &=0,312~5\end{align*}$
    $\quad$

Partie B

  1. À l’aide de la calculatrice on obtient $P(12 \pp T\pp 24) \approx 0,82$.
    Cela signifie que la probabilité que l’intervention du service informatique nécessite entre $12$h et $24$h est d’environ $82\%$.
    $\quad$
  2. On a $P(T\pg 24)\approx 0,16$ d’après la calculatrice.
    La probabilité d’attendre plus d’une journée pour une intervention sur un ordinateur défaillant est d’environ $16\%$.
    $\quad$

Partie C

Un intervalle de fluctuation au seuil de $95\%$ de la proportion de salariés satisfaits de la maintenance informatique au sein de l’entreprise est :
$\begin{align*} I_{120}&=\left[0,85-\dfrac{1}{\sqrt{120}};0,85-\dfrac{1}{\sqrt{120}}\right] \\
&\approx [0,75;0,95]\end{align*}$

La fréquence observée est $f=\dfrac{94}{120}\approx 0,78 \in I_{120}$.

L’affirmation du directeur est donc correcte.

$\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie A – Premier modèle

  1. D’après la calculatrice, une équation de la droite $D$ est $y=167,1x+4~980$.
    $\quad$
  2. a. En 2021 on a $x=12$.
    Ainsi $y=167,1\times 12+4~980=6~985,2$.
    Le prix d’un hectare de terre en 2021 sera d’environ $6~985,20$ €.
    $\quad$
    b. On veut résoudre l’inéquation :
    $\begin{align*}  167,1x+4~980\pg 7~000 &\ssi 167,1x\pg 2~020 \\
    &\ssi x \pg \dfrac{2~020}{167,1}\end{align*}$
    Or $\dfrac{2~020}{167,1} \approx 12,09$.
    C’est donc à partir de 2022 que le prix d’un hectare de terre dépassera $7~000$ €.
    $\quad$

Partie B

  1. On a $u_1=6~030\times \left(1+\dfrac{3}{100}\right)=6~030\times 1,03 =6~210,9$.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a  :
    $u_{n+1}=\left(1+\dfrac{3}{100}\right)u_n \ssi u_{n+1}=1,03u_n$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,03$.
    $\quad$
  3. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=6~030\times 1,03^n$.
    En 2021, on a $n=5$
    Et $u_5=6~030\times 1,03^5 \approx 6~990,42$.
    Le prix d’un hectare en 221 sera d’environ $6~990,42$ €.
    $\quad$
  4. Cela signifie qu’il faut $6$ ans pour que le prix d’un hectare dépasse $7~000$ €.
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1     4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est correcte. Indiquer sur la copie le numéro de la question suivie de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’enlève pas de point.

Le tableau ci-dessous, extrait d’une feuille de calcul, donne l’évolution des ventes d’insecticides en France entre 2011 et 2015.
La colonne C a été ajoutée afin de calculer les taux d’évolution annuels des ventes d’insecticides. (On ne demande pas de compléter ce tableau).

  1. . Le taux d’évolution global des ventes d’insecticides entre 2011 et 2015 arrondi à $0,01 \%$ est :
    a. $12,68\%$
    b. $14,52\%$
    c. $-12,68\%$
    d. $1,15\%$
    $\quad$
  2. . Le taux d’évolution annuel moyen des ventes d’insecticides entre 2011 et 2015 arrondi à 0,01 % est de :
    a. $2,75\%$
    b. $3,45\%$
    c. $3,63\%$
    d. $2,90\%$
    $\quad$
  3. Quelle formule peut-on entrer dans la cellule $C3$ afin d’obtenir, par recopie vers le bas, les taux d’évolution d’une année à l’autre ?
    a. $=(B3-B2)/B2$
    b. $=(B3-B\$2)/B\$2$
    c. $=(B3-B2)/B3$
    d. $=100*(B3-B2)/B3$
    $\quad$
  4. Dans cette question, on fait l’hypothèse que les ventes d’insecticides diminuent de $2 \%$ par an à partir de l’année 2015. Sous cette hypothèse on peut estimer que la quantité d’insecticides vendue en 2020 (en tonnes, arrondie à $0,001$) sera :
    a. $2277,355$
    b. $2222,127$
    c. $2419,649$
    d. $2231,808$
    $\quad$

Exercice 2     5 points

Une entreprise française commercialise des pneus. La production mensuelle maximale est de $30~000$ pneus. On suppose que la totalité de la production mensuelle est vendue chaque mois.
Les charges de production, en milliers d’euros, pour $x$ milliers de pneus vendus sont données par la fonction $C$ définie sur l’intervalle $[0; 30]$ par $C(𝑥) = 4x^2 + 4x + 574$.
L’entreprise fixe le prix de vente d’un pneu à $130$ euros.
Le chiffre d’affaires, en milliers d’euros, pour la vente de $x$ milliers de pneus est donné par la fonction $R$ définie sur l’intervalle $[0; 30]$ par $R(x) = 130x$.
$\mathcal{R}$ et $\mathcal{C}$ désignent leurs courbes représentatives. Les deux courbes sont représentées sur le graphique donné ci-dessous.

  1. Déterminer, par la méthode de votre choix (calcul ou graphique) :
    a. les charges de production de $12~000$ pneus.
    $\quad$
    b. Le nombre de pneus à produire pour obtenir un chiffre d’affaires $2~500~000$ euros.
    $\quad$
  2. En vendant $4~000$ pneus, l’entreprise est-elle bénéficiaire ? Justifier votre réponse.
    $\quad$
  3. Le bénéfice réalisé pour 𝑥 milliers de pneus vendus est donné par la fonction $B$, définie pour tout nombre $x$ appartenant à l’intervalle $[0 ; 30]$, par : $$B(x) = -4x^2 + 126x- 574$$
    a. On désigne par $B’$ la fonction dérivée de la fonction $B$. Calculer $B'(x)$.
    $\quad$
    b. Déterminer le signe de la fonction $B’$ sur l’intervalle $[0 ; 30]$.
    $\quad$
    c. En déduire le tableau de variation de la fonction $B$ sur l’intervalle $[0 ; 30]$.
    $\quad$
    d. Pour quel nombre de pneus produits le bénéfice est-il maximal ? Quel est le montant de ce bénéfice ?
    $\quad$

Exercice 3     6 points

Les parties A, B et C peuvent être traitées de façon indépendante.

Partie A

Le parc informatique d’une entreprise est constitué de $2~000$ ordinateurs. Parmi ceux-ci, $500$ sont considérés comme neufs car ils ont moins d’un an. Les autres sont considérés comme anciens. Le service informatique de cette société estime que la probabilité qu’un ordinateur neuf ait un problème de sécurité est égale à $0,05$. Pour un ordinateur plus ancien, la probabilité qu’il en ait un est égale à $0,4$.
On choisit au hasard un ordinateur du parc informatique.
On considère les événements suivants :

  • $N$ : « L’ordinateur est neuf »,
  • $S$ : « L’ordinateur a un problème de sécurité ».

 

  1. Justifier que $P(N) = 0,25$
    $\quad$
  2. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessus.
    $\quad$
  3. Décrire par une phrase l’événement $N\cap S$ puis calculer sa probabilité .
    $\quad$
  4. Montrer que $P(S) = 0,312~5$.
    $\quad$

Partie B

On s’intéresse dans cette partie au temps nécessaire pour que le service informatique de l’entreprise intervienne afin de réparer un ordinateur défaillant.
On note $T$ la variable aléatoire qui à chaque défaillance d’ordinateur associe le temps, en heures, nécessaire avant l’intervention du service informatique. On admet que $T$ suit une loi normale d’espérance $\mu = 20$ et d’écart type $\sigma = 4$.
Les réponses seront arrondies au centième.

  1. À l’aide de la calculatrice, déterminer $𝑃(12 \pp 𝑇 \pp 24)$ et interpréter le résultat.
    $\quad$
    2. Déterminer la probabilité d’attendre plus d’une journée pour une intervention sur un ordinateur défaillant.
    $\quad$

Partie C
Le directeur du personnel affirme que $85 \%$ des salariés sont satisfaits de la maintenance informatique au sein de l’entreprise.
Afin de vérifier cette déclaration, on interroge au hasard $120$ employés. Parmi eux, $94$ répondent qu’ils sont satisfaits du service de maintenance informatique.
Que peut-on penser de l’affirmation du directeur du personnel ?
$\quad$

Exercice 4     5 points

Le tableau ci-dessous indique le prix moyen en euros des terres en France métropolitaine (hors Corse) entre 2010 et 2016.

$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Années}&2010&2011&2012&2013&2014&2015&2016\\
\hline
\text{rang de l’année : }x_i&1&2&3&4&5&6&7\\
\hline
\text{Prix d’un hectare en euros : }y_i&5~070&5~360&5~410&5~7750&5~910&6~010&6~030\\
\hline
\end{array}\\
\hspace{12cm}\textit{Source : Agreste}$$

On se propose d’estimer, en utilisant deux modèles différents, l’année à partir de laquelle le prix d’un hectare de terre dépassera pour la première fois $7~000$ €.

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A – Premier modèle.

Le nuage de points de coordonnées $\left(x_i,y_i\right)$ est représenté sur le graphique ci-dessous.
On a également tracé la droite $D$ d’ajustement affine de ce nuage, obtenue par la méthode des moindres carrés.

  1.  Déterminer à l’aide de la calculatrice une équation de la droite $D$. Les coefficients seront arrondis à $0,1$ si nécessaire.
    $\quad$
  2. On suppose que cet ajustement restera valide jusqu’en 2022.
    a. Estimer le prix d’un hectare de terre en 2021.
    $\quad$
    b. À partir de quelle année le prix d’un hectare de terre dépassera-t-il $7~000$ € ?
    $\quad$

Partie B – Second modèle.

On suppose dans cette partie qu’à partir de l’année 2016, chaque année, le prix d’un hectare de terre augmentera de $3 \%$.
On note $u_n$ le prix en euros d’un hectare de terre pour l’année 2016 $+n$.
Ainsi $u_0 = 6~030$.

  1. Montrer que $u_1 = 6~210,9$.
    $\quad$
  2. Justifier que $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.
    $\quad$
  3. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ et calculer le prix d’un hectare en 2021.
    $\quad$
  4. On donne l’algorithme suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    U\leftarrow 6030\\
    N\leftarrow 0\\
    \text{Tant que }U<7000\\
    \hspace{1cm} U\leftarrow U\times 1,03\\
    \hspace{1cm} N\leftarrow N+1\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    On admet que la valeur prise par la variable $N$ en fin d’exécution de l’algorithme est $6$.
    Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.