STMG – Nouvelle-Calédonie nov 2014

Nouvelle-Calédonie – Novembre 2014

Bac STMG – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet est disponible ici.

Exercice 1

Partie A

  1. Testons que les coordonnées des points $A$ et $B$ vérifient l’équation $y=0,18x + 1,53$.
    $A : 0,18 \times 0 + 1,53 = 1,53 = y_A$.
    $B : 0,18 \times 5,5 + 1,53 = 2,52 = y_B$.
    Par conséquent, une équation de $(AB)$ est bien $y=0,18x + 1,53$.
    $\quad$
  2. Avec cet ajustement, on prend $x = 22$ donc $y = 0,18 \times 22 + 1,53 = 5,49$.
    Le prix moyen d’un paquet de cigarettes le 1er janvier 2012 était, selon cet ajustement de $5,49$ euros.
    Le prix moyen réel étant de $6,40$ euros, la valeur trouvée est très éloignée de la valeur réelle.

Partie B

  1. Le taux d’évolution du prix global d’un paquet de cigarettes entre le 1er janvier 2000 et le 1er janvier 2012 est donné par  : $\dfrac{6,40 – 3,20}{3,20} = 1$.
    Le taux d’évolution global est donc de $100\%$.
    $\quad$
  2. On cherche la valeur de $t$ telle que $\left(1 + \dfrac{t}{100}\right)^{12} = 1 + 1$
    Soit $ \left(1 + \dfrac{t}{100}\right)^{12} = 2$
    Par conséquent $1 + \dfrac{t}{100} = \sqrt[12]{2}$
    Donc $t = 100 \times \left(\sqrt[12]{2} – 1\right) \approx 5,95$.
    Le taux d’évolution annuel moyen entre ces deux dates est donc d’environ $6\%$

Partie C

  1. a. $u_1 = 1,06u_0 = 3,392$ et $u_2 = 1,06u_1 \approx 3,596$
    $\quad$
    b. Le prix augmentant chaque de $6\%$ celui est donc multiplié par $1,06$.
    La suite $(u_n)$ est donc géométrique de raison $1,06$ et de premier terme $u_0 = 3,2$.
    $\quad$
    c. $u_n = 3,2 \times 1,06 ^n$ pour tout entier naturel $n$.
    $\quad$
    d. En 2005, $n = 5$ et $u_5 = 3,2 \times 1,06^5 \approx 4,282 <5$
    Selon ce modèle, le prix moyen d’un paquet de cigarettes ne dépasse pas $5$ euros le 1er janvier 2005.
    $\quad$
  2. a. b. Cet algorithme calcule la somme $u_0+u_1+u_2+u_3+u_4 \approx 18,04.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    n& &1&2&3&4 \\\\
    \hline
    u&3,2&3,39&3,60&3,81&4,04 \\\\
    \hline
    S&3,2&6,59&10,19&14&18,04\\\\
    \hline
    \end{array}$
  3. On doit donc calculer :
    $\begin{align} S&=90 \times(u_0+u_1+u_2+…+u_10) \\\\
    &= 90 \times 3,2 \times \dfrac{1 – 1,06^{11}}{1 – 1,06} \\\\
    & \approx 4311,83
    \end{align}$
    Durant ces $11$ années il aurait pu économiser environ $4~311,83$ euros.

Exercice 2

  1. a. $p(A) = \dfrac{266~430}{571~870} \approx 0,47$
    $\quad$
    b. $p_A\left(\overline{C}\right) = 0,08$
    $\quad$
  2. $\quad$
    stmg-nouvelle-caledonie-nov2014-ex2
  3. a. $C \cap A$ est l’événement “la fiche choisie est celle d’un véhicule de la marque A ayant un contrôle technique conforme”.
    $\quad$
    b. $p(C \cap A) = 0,47 \times 0,92 = 0,4324$
    $\quad$
  4. D’après la formule des probabilités totales on a:
    $\begin{align} p(C) &= p(C \cap A) + p(C \cap B) \\\\
    &= 0,4324 + 0,53 \times 0,94 \\\\
    &= 0,9306 \\\\
    & \approx 0,93
    \end{align}$
    $\quad$
  5. On veut donc calculer $p_C(A) = \dfrac{p(C \cap A)}{p(C)} \approx \dfrac{0,4324}{0,93} \approx 0,46$.

Exercice 3

  1. $P(X \le 10) = P(X < 10)$
    $\quad$
  2. $P(8 \le X \le 16) = P(\mu – 2\sigma \le X \le \mu + 2\sigma) \approx 0,95$
    $\quad$
  3. $P(8 \le X \le 12) = P(X \le 12) – P(X \le 8) = 0,5 – P(X \le 8)$
    $\quad$
  4. $I = \left[0,487 – \dfrac{1}{\sqrt{150}};0,487 + \dfrac{1}{\sqrt{150}}\right] \approx [0,40:0,57]$

Exercice 4

  1. $C(0) = 2^3 – 13,5 \times 2^2 + 60 \times 2 + 1~000 = 1~074$
    La production de $2$ pièces coûte $1~074$ euros
    $\quad$
  2. a. La recette pour $2$ pièces produites et vendues est de $2 \times 270 = 540$ euros.
    $\quad$
    b. La formule saisie et $”=A2 * 270″$
    $\quad$
  3. D’après le tableau, le coût de production des $5$ pièces ($1~087,5$ milliers d’euros) est supérieur à la recette ($810$ milliers d’euros).
    L’entreprise ne réalise donc pas de gain.
  4. Pour réaliser un gain, il faut que la recettes soit supérieures au coût. D’après le tableau cela est possible quand l’entreprise produit entre $5$ et $21$ pièces.
    $\quad$
  5. a. $B'(x) = -3x^2 + 2 \times 13,5x + 210 $ $=-3x^2 + 27x + 210$
    $\quad$
    b. Calculons le discriminant.
    $\Delta = 27^2 – 4 \times (-3) \times 210 = 3249 > 0$
    Il y a donc deux racines $x_1 = \dfrac{-27 – \sqrt{3249}}{-6} = 14$ et $x_2 =  \dfrac{-27 + \sqrt{3249}}{-6} \approx -5$.
    Le coefficient de $x^2$ étant $-3 <0$ on a alors $B'(x) \le 0 $ entre les racines et $B'(x) \le 0$ en-dehors des racines.
    Puisque $x \in [0;25]$, cela signifie donc que $B'(x) \ge 0$ sur $[0;14]$ et $B'(x) \le 0$ sur $[14;25]$.
    $\quad$
  6. $\quad$
    stmg-nouvelle-caledonie-nov2014-ex4
  7. Le bénéfice est maximal quand l’entreprise produit et vend $14$ pièces. Il est alors de $1~842$ euros.

Bac STMG – Antilles Guyane – septembre 2014

Antilles Guyane – Septembre 2014 – Bac STMG

Mathématiques – Correction

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Exercice 1

  1. $\dfrac{445 – 251}{251} $ $\approx 0,773$ Réponse b
    $\quad$
  2. On cherche la valeur de $T$ telle que $\left(1+\dfrac{T}{100}\right)^5=1,773$
    Donc $1+\dfrac{T}{100} = \sqrt[5]{1,773}$ soit $T = 100 \left(\sqrt[5]{1,773} – 1 \right)$ Réponse b$\quad$
  3. $\dfrac{445 \times 100}{251} \approx 177$. Réponse d
    $\quad$
  4. $y=39,5x+204,9$ Réponse a
    $\quad$
  5. $445 \times 1,12^3 \approx 625$. Réponse d$\quad$

Exercice 2

Partie A

  1. $p(F_3) = 1 – 0,6 – 0,3 = 0,1$.
    $\quad$
  2. a. $\quad$
    STMG-antilles-sept2014-ex2
    b. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align} p(D) &= p(F_1 \cap D) + p(F_2 \cap D) + p(F_3 \cap D) \\\\
    &= 0,6 \times 0,06 + 0,3 \times 0,04 + 0,1 \times 0,02 \\\\
    &= 0,05
    \end{align}$
    $\quad$
    c. Par conséquent $p\left(\overline{D}\right) = 1-0,05 = 0,95$.
    $\quad$
  3. On cherche $p_D(F_1) = \dfrac{p(D \cap F_1)}{p(D)}$ $=\dfrac{0,6 \times 0,06}{0,05}$ $=0,72$
    $\quad$

Partie B

  1. Les $3$ tirages sont indépendants, aléatoires et identiques. A chaque tirage, il y a $2$ issues : $D$ et $\overline{D}$. De plus $p(D) = 0,05$.
    La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale $\mathscr{B}(3;0,05)$.
    $\quad$
  2. On veut déterminer $P(X=1) = \binom{3}{1}0,05^1\times 0,95^2$ $\approx 0,135$.
    $\quad$
  3. $P(X \ge 1) = 1 – P(X=0)$ $ = 1 – 0,95^3$ $\approx 0,143$.

$\quad$

Partie C

  1. $p(79 \le L \le 81)$ $=p(80 – 2\times 0,5 \le L \le 80 + 2\times 0,5)$ $\approx 0,954$
    $\quad$
  2. Cela signifie donc que, pour la production $f_2$, $p(D)  \approx 0,05$ ce qui est légèrement supérieur aux $0,04$ de la partie A.

$\quad$

Exercice 3

Partie A : lecture graphique

  1. La production de $12$ tonnes d’acier coûte environ $1100 €$.
    $\quad$
  2. $16$ tonnes d’acier sont produites par jour pour un coût total de $1600 €$.
    $\quad$

Partie B : étude du bénéfice

  1. a. $12$ tonnes d’acier sont vendues $12 \times 100 = 1200€$.
    $\quad$
    b. $R(x)=100x$.
    $\quad$
    c. $B(x) = R(x) – C(x)$ $= 100x – (x^3-24x^2+217x+200$ $=-x^3+24x^2-117x-200$.
    $\quad$
  2. a. $B'(x) = -3x^2+48x-117$.
    $\quad$
    b. Calculons le discriminant $\Delta = 48^2 – 4 \times (-3) \times (-117) = 900$ $>0$.
    Il y a donc $2$ racines $x_1 = \dfrac{-48 – \sqrt{900}}{-6} = 13$ et $x_2 = \dfrac{-48 + \sqrt{900}}{-6} = 3$.
    Le coefficient $a=-3<0$.
    Par conséquent $B'(x)$ est du signe de $a$, c’est-à-dire négatif, sur $[0;3]$ et $[13;18]$ et positif sur $[3;13]$ et s’annule en $3$ et $13$.
    $\quad$
    c. $\quad$
    STMG-antilles-sept2014-ex3
  3. a. On peut écrire $=100*A2$.
    $\quad$
    b. On peut écrire $=B2-C2$.
    $\quad$
  4. a. Pour qu’il y ait profit, il faut que le bénéfice soit positif. Cela est possible pour des production de $10$, $11$, $12$, $13$, $14$, $15$ tonnes d’acier par jour.
    $\quad$
    b. Le bénéfice est maximal pour une production journalière de $13$ tonnes.
    $\quad$
  5. a. Faux le bénéfice pour $13$ tonnes est supérieur à celui réalisé pour $18$ tonnes par exemple.
    $\quad$
    b. Faux Le bénéfice pour $5$ tonnes est $-310€$ alors que celui pour $10$ tonnes est $30€$.

 

Bac STMG – Métropole – Septembre 2014

Métropole – Septembre 2014

Correction – Mathématiques – Bac STMG

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Exercice 1

  1. $1,40 \times \left( 1 + \dfrac{3}{100} \right) = 1,40 \times 1,03 = 1,442 €$ . Réponse b
    $\quad$
  2. Le prix entre ces deux années a été multiplié par $1,03 \times 1,1 = 1,133$. Il a donc subi une augmentation de $13,3\%$. Réponse b$\quad$
  3. On cherche donc la valeur de $T$ telle que $\left(1 + \dfrac{T}{100}\right)^2 = 1,1236$.
    Soit $1 + \dfrac{T}{100} = \sqrt{1,1236}$ et finalement $T = 100\left(\sqrt{1,1236}-1\right) = 6$.
    Répons a
    $\quad$
  4. Soit $p$ le prix cherché. On a alors $1,05^4x = 1,4$ soit $x = \dfrac{1,4}{1,05^4} \approx 1,15$. Réponse d

$\quad$

Exercice 2

Partie A

  1. a. $p(R) = 0,1$. $\quad$ $p_R(M) = 0,3$, $\quad$ $p_{\overline{R}}(M) = 0,15$.
    $\quad$
    b. $\quad$
    stmg-metropole-sept2014-ex2
  2. a. $R\cap M$ : Le client a acheté un réfrigérateur et un four à micro-ondes.
    $\quad$
    b. $p(R \cap M) = 0,1 \times 0,3 = 0,03$.
    $\quad$
    c. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $p(M) = p(R \cap M) + p\left(\overline{R} \times M \right) $ $= 0,03 + 0,9 \times 0,15$ $ = 0,03 + 0,135$ $ = 0,165$.
    $\quad$
    d. On cherche à calculer $p_M\left(\overline{R}\right)$ $ = \dfrac{p\left(\overline{R} \cap M \right)}{p(M)}$  $=\dfrac{0,9 \times 0,15}{0,165}$ $ \approx 0,818$.

$\quad$

  1. On cherche à calculer $P(240 \le X \le 260) = P(\mu – 2\sigma \le X \le \mu + 2\sigma) \approx 0,95$
    $\quad$
  2. On veut donc calculer $P(X \le 240) = 0,5 – P(240 \le X \le 250) \approx 0,02$.

$\quad$

Exercice 3

Partie A : Etude de deux modèles d’évolution

  1. Hypothèse $1$
    a. $u_1$ représente le nombre d’habitants de la ville en $2014$.
    $u_1 = 15~000+1~000 = 16~000$ et $u_2 = 16~000+1~000 = 17~000$.
    $\quad$
    b. La différence entre deux termes est constante. Il s’agit donc d’une suite arithmétique de premier terme $u_0 = 15~000$ et de raison $r=1~000$.
    $\quad$
    c. On a ainsi $u_n = 15~000+1~000n$.
    $\quad$
    d. On calcule donc $u_5 = 15~000+1~000 \times 5 = 20~000$.
    $\quad$
    e. On cherche la valeur de $n$ pour que $15~000+1~000n = 30~000$ soit $1~000n =15~000$ et donc $n = 15$.
    C’est donc en $2028$ que la population atteindra $30~000$ habitants.
    $\quad$
  2. Hypothèse 2
    a.
    $v_1 = 15~000 \times 1,047 = 15~705$ et $v_2 = 15~705 \times 1,047 \approx 16~443$.
    $\quad$
    b. La raison de la suite est donc $r= 1,047$.
    $\quad$
    c. On a ainsi $v_n = 15~000 \times 1,047^n$.
    $\quad$
    d. En $2028$ on a alors $u_15 = 15~000 \times 1,047^{15} \approx 29~874$.
    Selon ce modèle il y aura $29~874$ habitants en $2028$.
    $\quad$
    e. $15~000 \times 1,5 = 22~500$. L’écart entre cette estimation et celle trouvée à la question précédente est très important. Le modèle précédent n’est donc pas en accord avec la prévision des experts.

$\quad$

Partie B – Analyse des résultats sur tableur

  1. Elle peut saisir $=B3+1000$
    $\quad$
  2. Elle peut saisir $=B4*1,047$

$\quad$

Exercice 4

Partie A

  1. $f'(x) = -1 + \dfrac{64}{x^2} = \dfrac{-x^2+64}{x^2}$.
    $\quad$
  2. a. Le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $64-x^2$. Or $64 – x^2 = (8 – x)(8+x)$.
    Sur $[4;16]$, $8+x$ est toujours positif et $8-x$ est positif sur $[4;8]$, négatif sur $[4;16]$ et s’annule en $8$.
    On obtient ainsi le tableau de signe fourni.
    $\quad$
  3. $\quad$
    stmg-metropole-sept2014-ex4

 

Partie B

  1. On a $B'(x) = -2x + 20$. Par conséquent $B'(x) = 0$ quand $x= 10$.
    La fonction $B$ est donc croissante sur $[0;10]$ et décroissante sur $[10;16]$.
    Elle admet un maximum pour $x= 10$ et $B(10) = 36$.
    Le bénéfice total maximal est donc de $3~600 €$ lorsque l’entreprise vend $10$ tonnes d’engrais par jour.
    $\quad$
  2. $\dfrac{B(x)}{x} = -x + 20 – \dfrac{64}{x} = f(x)$.
    Le bénéfice maximal unitaire a donc lieu pour $x=8$ et vaut $400€$.
    Le bénéfice total maximal et le bénéfice unitaire maximal sont donc différents.

 

 

Polynésie – Bac STMG – Septembre 2014 – correction

Polynésie – TSTMG – Septembre 2014

Mathématiques – Correction

L’énoncé du sujet est disponible ici.

Exercice 1

Partie A

  1. $\quad$
    $\begin{align} f'(x) &= \dfrac{2x(x+1000) – x^2}{(x+1000)^2}\\\\
    &= \dfrac{2x^2+2000x-x^2}{(x+1000)^2}\\\\
    &= \dfrac{x^2+2000x}{(x+1000)^2}
    \end{align}$
    $\quad$
  2. Le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $x^2+2000x$.
    Or $x^2+2000x=x(x+2000)$.
    polynésie-stmg-ex1
  3. $\quad$
    $\begin{align} f(x)=500 & \Leftrightarrow \dfrac{x^2}{x+1000} – 500 \\\\
    & \Leftrightarrow \dfrac{x^2}{x+1000} – \dfrac{500(x+1000)}{x+1000} \\\\
    & \Leftrightarrow \dfrac{x^2-500x-500000}{x+1000}\\\\
    & \Leftrightarrow x^2-500x-500000
    \end{align}$
    On calcule le discriminant : $\Delta = 2~250~000 = 1~500^2$.
    Il y a donc deux solutions : $x_1 = \dfrac{500 – \sqrt{\Delta}}{2} = \dfrac{500-1500}{2} = -500$ et $x_2 = \dfrac{500 + 1500}{2} = 1000$

Partie B

  1. $\quad$
    polynésie-stmg-ex11
  2. Chiffre d’affaire : $g(1~400)=0,6 \times 1~400 = 840$ milliers d’euros
    Coût : $f(1~400)  \approx 817$ milliers d’euros.
    Le chiffre d’affaire sera supérieur au coût.

 

Exercice 2

Première partie

  1. $U_1 = 59,9 + 0,25 = 60,15$
    $U_2 = 60,15 + 0,25 = 60,4$
    $U_3 = 60,4 + 0,25 = 60,65$
    $\quad$
  2. La suite $(U_n)$ étant arithmétique on a : $U_n=59,9+0,25n$.
    $\quad$
  3. $U_66 = 59,9 + 0,25 \times 66 = 76,4$.
    $\quad$
  4. Entre $1946$ et $2012$ les hommes ont gagné en réalité $78,5-59,9 = 18,6$ ans.
    Sur ces $66$ années, ils ont gagné en moyenne $\dfrac{18,6}{66}$ an soit $\dfrac{18,6 \times 12}{66} \approx 3,4$ mois.
    Les hommes ont donc gagné plus de $3$ mois d’espérance de vie chaque année en moyenne.

 

Deuxième partie

  1. Le taux d’évolution globale de l’espérance de vie entre $1946$ et $2012$ est :
    $$\dfrac{78,5-59,9}{59,9} \approx 0,31$$
  2. Pour les femmes, le taux d’évolution globale est :
    $$\dfrac{84,9 -65,2}{65,2} \approx  0,30$$
    Le teux d’évolution globale est donc plus élevé pour les hommes.
    $\quad$
  3. On cherche la valeur de $T$ telle que :
    $$59,9 \left(1+\dfrac{T}{100}\right)^{66} = 78,5$$
    Par conséquent $\left(1+\dfrac{T}{100}\right)^{66} = \dfrac{78,5}{59,9}$
    Soit $1+ \dfrac{T}{100} = \left(\dfrac{78,5}{59,9} \right)^{\frac{1}{66}}$
    On obtient ainsi $1 + \dfrac{T}{100} \approx 1,0041$
    Finalement $\dfrac{T}{100} \approx 0,0041$ et $T \approx 0,41$.
    Le taux annuel moyen est donc de $0,41\%$

 

Troisième partie

  1. Cet algorithme calcule le taux annuel moyen sur une période donnée.
    $\quad$
  2. Dans un premier temps $T$ prend la valeur $\dfrac{84,9-65,2}{65,2} \approx 0,3021$.
    $T$ prend ensuite la valeur $\left(1+0,3021 \right)^{\frac{1}{66}} \approx 1,0040$
    Enfin $T$ prend la valeur $(1,0040-1) \times 100 \approx 0,40$.

 

Exercice 3

  1. On cherche $P(X \le 71) \approx 0,0228$. Réponse A
    $\quad$
  2. $P(71 \le X \le 79) \approx 0,9544$. Réponse B
    $\quad$
  3. A la calculatrice. Réponse D

 

Exercice 4

  1. La probabilité d’interroger un redoublant est $\dfrac{8}{36} = \dfrac{2}{9}$
    $\quad$
  2. La probabilité cherchée est $\dfrac{22}{27}$
    $\quad$
  3. $p(G) = \dfrac{9}{36} = 0,25$ donc $p(F) = 0,75$
    polynésie-stmg-ex41
    $\quad$
  4. On cherche $p(F \cap R) = 0,75 \times 0,57 = 0,4275\approx 0,43$
    $\quad$
  5. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $$p(R) = 0,25 \times 0,22 + 0,75 \times 0,57 = 0,4825 \approx 0,48$$
    Donc $p_R(G) = \dfrac{p(G \cap R)}{p(R)} = \dfrac{0,25 \times 0,78}{0,4825} \approx 0,40$.

 

TSTMG – Centres étrangers – Juin 2014

Centres étrangers – TSTMG – Juin 2014

Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est ici.

Exercice 1

  1. Il s’agit de lire l’ordonnée du point $B$ : $f(1) = -4,6$ Réponse d
    $~$
  2.  La tangente en $B$ est horizontale : $f'(1) = 0$ Réponse c
    $~$
  3. L’ordonnée à l’origine de $T_0$ est $-3$.
    La droite passe par le point de coordonnées $(-1;0)$
    Son équation est $y=-3x-3$.
    Réponse a
    $~$
  4. La fonction $f$ change de sens de variations en $-3$ et $1$ donc $f’$ change de signe.
    Réponse b
    $~$

 

Exercice 2

  1. a.
    TSTMG - centres étrangers - juin2014 - ex2
    b. Les points semblent être situés sur une droite. On peut donc envisager un ajustement affine.
    $~$
  2. La calculatrice nous fournit l’équation : $y=-2,72x+152,33$.
    $~$
  3. a. voir graphique
    $~$
    b. En décembre, $x=12$ donc $y=-2,7 \times 12 + 152 = 119,6$.
    On peut donc estimer que $119~600$ voitures seront vendues en décembre $2013$.
    $~$
    c. On cherche la valeur de $x$ telle que :
    $$\begin{align} -2,7x+152 \le 130 & \Leftrightarrow -2,7x \le -22\\\\
    & \Leftrightarrow  x \ge \dfrac{22}{2,7} \\\\
    & \Leftrightarrow  x \ge 9
    \end{align}$$
    Le nombre de voitures neuves en France serait strictement inférieur à $130~000$ véhicules à partir du mois de Septembre $2013$.

$~$

 

Exercice 3

Partie A

  1. a. Le taux d’évolution entre $2008$ et $2009$ est de $+1,5\%$.
    $214~840 \times 1,015 \approx 218~063$.
    Le prix moyen des maison était donc en $2009$ de $218~063€$.
    $~$
    b. $\dfrac{232~458 – 231~562}{231~562} \approx 0,4\%$
    Le taux d’évolution du prix moyen des maisons entre $2010$ et $2011$ est donc de $0,4\%$.
    $~$
  2. On peut utiliser les réponses :
    – $=C2/200~000*100$
    – $=C2/\$B\$2*\$B\$4$

$~$

Partie B

  1. a. $u_1 = 10~000 \times 1,05 = 10~500$.
    $~$
    b.
    $(u_n)$ est une suite géométrique de premier terme $u_0 = 10~000$ et de raison $1,05$.
    Par conséquent $u_n = 10~000 \times 1,05^n$.
    $~$
    c.
     On veut calculer $u_{10} = 10~000 \times 1,05^{10} \approx 16~289$.
    $~$
  2. a. Le taux annuel des intérêts composés est de $5\%$. Par conséquent, on a l’année suivante $1,05C_n$.
    Chaque année, elle ajoute $1~000$€.
    Donc $C_{n+1} = 1,05C_n+1~000$
    $~$
    b. Cela  signifie donc que c’est à partir de la $8^\text{ème}$ année, soit $2023$, que le capital obtenu avec la deuxième option dépasse $10~000€$.

$~$

Exercice 4

Partie A

  1. $~$
    TSTMG - centres étrangers - juin2014 - ex41
  2. a. $p\left(M_1 \cap \bar{C} \right) = 0,6 \times 0,07 = 0,042$.
    Cela signifie donc que la probabilité d’avoir un pot non conforme provenant de la machie $m_1$ est de $0,042$.
    $~$
    b. $p\left(M_2 \cap \bar{C} \right) =0,4 \times 0,02 = 0,008$.
    $~$
  3. D’après la formule des probabilités totales :
    $$\begin{align} p\left( \bar{C} \right) & = p\left(M_1 \cap \bar{C} \right) + p\left(M_2 \cap \bar{C} \right) \\\\
    &= 0,042 + 0,008 \\\\
    &= 0,05
    \end{align}$$
  4. On cherche donc :
    $$\begin{align} p_\bar{C}(M_2) &= \dfrac{p\left(M_2 \cap \bar{C} \right)}{p\left(\bar{C} \right)} \\\\
    &= \dfrac{0,008}{0,05} \\\\
    &= 0,16
    \end{align}$$

$~$

Partie B

  1. On veut calculer $P(790 \le X \le 810) = 2 \times P(800 \le X \le 810) = 0,904$.
    $~$
  2. $P(794 \le X \le 806) < P(790 \le X \le 810) = 0,904 <1$.
    L’argument n’est donc pas exact.

 

 

 

TSTMG – Antilles Guyane – Juin 2014

Antilles – Guyane – TSTMG – Juin 2014

Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac se trouve ici.

Exercice 1

Partie A

TSTMG - Antilles-Guyane-juin2014-ex1

 

  1. On cherche à déterminer $P_{T_A}\left( \overline{T_R} \right) = 0,1$ Réponse c
    $~$
  2. On calcule $P\left( T_A \cap T_R \right) = 0,7 \times 0,9 = 0,63$. Réponse a
    $~$
  3. D’après la formule des probabilités totales :
    $$\begin{align} P\left(\overline{T_R} \right) &= P\left( T_A \cap \overline{T_R} \right) + P\left( \overline{T_A} \cap \overline{T_R} \right) \\\\
    &= 0,7 \times 0,1 + 0,3 \times 0,8 \\\\
    &= 0,31
    \end{align}$$
    Réponse d
    $~$
  4. On calcule donc :
    $$\begin{align} P\left( T_A \cap \overline{T_R} \right) + P\left( T_R \cap \overline{T_A} \right) &= 0,7 \times 0,1 + 0,3 \times 0,2 \\\\
    &= 0,13
    \end{align}$$
    Réponse b
    $~$

Partie B

  1. $P(T \le 38) = 0,5$ (propriété de la moyenne des lois normales).
    $~$
  2. $~$
    $$\begin{align} P(36 \le T \le 40) &= P(T \le 40) – T(T \le 36) \\\\
    & = 0,8413 – 0,1587 \\\\
    &=0,6826\\\\
    & \approx 0,68
    \end{align}$$

$~$

Exercice 2

Partie A

  1. $~$
    TSTMG - Antilles-Guyane-juin2014-ex2
  2. D’après la calculatrice, l’équation de la droite d’ajustement affine est :
    $$ y =0,41x+4,03$$
  3. a. En $2015$, $x=8$ donc $y=0,4 \times 8 + 4 = 7,2$.
    Il y aura donc, selon ce modèle, $7,2$ milliards d’habitants.
    $~$
  4. On cherche la plus petite valeur de $x$ entière telle que :
    $$\begin{align} 0,4x + 4 \ge 8 & \Leftrightarrow 0,4x \ge 8 \\\\
    & \Leftrightarrow x \ge \dfrac{8}{0,4} \\\\
    & \Leftrightarrow 20
    \end{align}$$
    C’est donc à partir de $2075$ que, selon ce modèle, la population dépassera $8$ milliards d’habitants.

$~$

Partie B

  1. $\dfrac{6,8-4,4}{4,4} \approx 0,5454 \approx 54,54\%$
    Le taux d’évolution de la population mondiale entre $1980$ et $2010$ est donc de $54,54\%$.
    $~$
  2. $30$ années sépare donc $1980$ de $2010$. On cherche la valeur de $T$ telle que :
    $$\begin{align} \left( 1 + \dfrac{T}{100} \right)^{30}=1,5454 & \Leftrightarrow 1 + \dfrac{T}{100} = \sqrt{30}{1,5454} \\\\
    & \Leftrightarrow \dfrac{T}{100} = \sqrt[30]{1,5454} – 1 \\\\
    & \Leftrightarrow T = 100 \left( \sqrt[30]{1,5454} – 1 \right) \\\\
    & \Leftrightarrow T \approx 1,09
    \end{align}$$
    Le taux d’évolution moyen annuel de la population mondiale entre $1980$ et $2010$ est donc de $1,09$.

$~$

Exercice 3

Partie A : Etude graphique

  1. $~$
    TSTMG - Antilles-Guyane-juin2014-ex3
    Au bout de $15$ jours, environ $15250$ habitants étaient touchées par cette maladie.
    $~$
  2. $10\%$ de $130~000$ représente $13~000$ habitants.
    Les crèches ont donc été fermées $20$ jours.
    $~$

Partie B : Etude algébrique

  1.  $f'(t) = -30 \times 2t + 1200 = -60t + 1200$.
    $~$
  2. On étudie le signe de $f'(t)$ :
    $$-60t +1200 \ge 0 \Leftrightarrow -60t \ge -1200 \Leftrightarrow t \le 20$$
    Par conséquent :$f(20)$ = -30 \times 20^2 + 1200\times 20 + 4000 = 16~000$.
    TSTMG - Antilles-Guyane-juin2014-ex32
  3. Le maximum est atteint au bout de $20$ jours. $16000$ personnes sont alors touchées.

$~$

Exercice 4

Partie A : les économies…

  1.  $u_1 =1000+75 = 1075$ $\quad$ $u_2 = 1075 + 75 = 1150$ $\quad$ $u_3 = 1150 + 75 = 1225$
    $~$
  2. a. Il ajoute chaque mois $75$ euros sur son compte non rémunéré.
    $(u_n)$ est donc une suite arithmétique de raison $75$ et de premier terme $u_0=1000$.
    b. Par conséquent $u_n=1000+75n$.
    On cherche à résoudre :
    $$\begin{align} 1000+75n \ge 3500 &\Leftrightarrow 75n \ge 2500 \\\\
    &\Leftrightarrow n \ge \dfrac{2500}{75} \\\\
    &\Leftrightarrow n \ge 34
    \end{align}$$

$~$

Partie B : et les dépenses …

  1. $v_1 = \left(1 + \dfrac{4}{100} \right)v_0 = 1,04v_0$
    $V_3 = 1,04^3v_0 = 1,04^3 \times 660 \approx 742,41$.
    Cela signifie donc qu’au mois d’avril, ses dépenses s’élèvent à $742,41€$.
    $~$
  2. On calcule $v_11 = 1,04^11 v_0 \approx  1016,04$.
    Au mois de décembre, les dépenses s’élevaient à $1016,04€$.
    $~$
  3. On cherche la  plus petite valeur de $n$ telle que : $1,04^n \ge 2 $.
    Grâce au menu table de la calculatrice, on trouve $n =18$ (en juillet $2015$).

TSTMG – Polynésie – Juin 2014

Polynésie – Juin 2014  – TSTMG

Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est ici.

Exercice 1

  1. Le coefficient multiplicateur est $1 – \dfrac{37,5}{100} = 0,625$ Réponse d $~$
  2. Le coefficient multiplicateur est : $$\left(1 + \dfrac{2}{100} \right)\left(1 – \dfrac{10}{100} \right) = 0,918$$ Le taux d’évolution moyen $x$ vérifie donc : $$ \begin{align} &\left( 1 +\dfrac{x}{100} \right)^2 = 0,918 \\\\ \Leftrightarrow & 1+\dfrac{x}{100}= \sqrt{0,918} \\\\ \Leftrightarrow &\dfrac{x}{100} = \sqrt{0,918} – 1 \\\\ \Leftrightarrow & x = 100 \left(\sqrt{0,918} – 1 \right) \\\\ \Leftrightarrow &x \approx -4,19 \end{align}$$ Réponse c $~$
  3. Le plus rapide est de calculer pour les différentes valeurs proposées le prix de l’article grâce à la formule $87 \times 1,02^n$. Réponse c $~$
  4. L’algorithme calcule la valeur de $5\times 0,94^8 \approx 3,05$ Réponse b

$~$

Exercice 2

Partie A

  1. $P_G(A) = 0,45$ $~$
  2. $~$ TSTMG - polynésie-juin2014-ex2
  3. On calcule $P\left( \bar{G} \cap A) \right) = 0,6 \times 0,4 = 0,24$ $~$
  4. D’après la formule des probabilités totales on a : $$\begin{align} P(A) &= P(G \cap A) + P\left( \bar{G} \cap A \right) \\\\ &= 0,4 \times 0,45 + 0,24 \\\\ &= 0,42 \end{align}$$
  5. On cherche à calculer : $$\begin{align} P_A\left( \bar{G} \right) &= \dfrac{P\left(\bar{G} \cap A \right)}{P(A)} \\\\ &= \dfrac{0,24}{0,42} \\\\ & \approx 0,57 \end{align}$$

$~$ Partie B

  1. On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le nombre d’achats effectués. On a interrogé $15$ visiteurs. Les réponses sont indépendantes et considérée comme aléatoires. Chaque visiteur n’a le choix qu’entre $2$ issues : $A$ et $\bar{A}$. De plus $P(A) = 0,42$. La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale $\mathscr{B}(15;0,42)$. Par conséquent $P(X = 10) \approx 0,03 $ $~$
  2. a. $X$ suit maintenant la loi normale pour laquelle $µ = 42$ et $\sigma = 4$. $P(X \le 46) = 0,5 + $P(42 \le X \le 46) \approx 0,84$ $~$ b. $P(34 \le X \le 50) \approx 0,95$

$~$

Exercice 3

  1. $\dfrac{17,5 – 10,2}{10,2} \approx 0,7157$ Le taux d’évolution global entre $2007$ et $2012$ est donc d’environ $71,57\%$. $~$
  2. On peut écrire $=100*(C3-C2)/C2$ $~$
  3. L’équation de la droite est $y=1,39x+9,35$ $~$
  4. a. $~$ TSTMG - polynésie-juin2014-ex3
    b.
    En $2015$, $x=9$ alors $y= 1,4 \times 9 + 9,4 = 22$. L’entreprise peut donc espérer un bénéfice de $22~000€$ en $2015$.

$~$

Exercice 4

Partie A : lecture graphique

  1. Il faut fabriquer $225$ ou $560$ (environ) unités pour avoir une recette égale à $140~000€$.
  2. Le bénéfice est positif ou nul quand la courbe des recettes est au-dessus de celle des coûts. Il faut pour cela produire entre $25$ et $575$ unités.

$~$
Partie B : étude du bénéfice

  1. $R(3) = 172,5$. La recette pour $300$ produits fabriqués s’élève à $172~500€$ $C(3) = 70$. Le coût de production pour $300$ unités est de $70~000€$. Le bénéfice est donc de $172~500-70~000=102~500€$.
    $~$
  2. $B(x) = R(x) – C(x) = -2x^3+4,5x^2+42x-10$
    $~$
  3. $B'(x) = -2 \times 3x^2 +4,5 \times 2x + 42 = -6x^2 + 9x+42$
    $~$
  4. $\Delta = 9^2 + 4 \times 6 \times 42 = 1089 > 0$ Le polynôme possède donc $2$ racines : $$x_1 = \dfrac{-9 -\sqrt{1089}}{-12} = 3,5$$ $$x_2 = \dfrac{-9 +\sqrt{1089}}{-12} = -2$$ Le polynôme est du signe de $a=-6 <0$ en dehors des racines. On obtient donc le tableau de variations suivant :
    TSTMG - polynésie-juin2014-ex4
  5. Le bénéfice maximal est donc de $106~375€$ atteint quand l’entreprise produit $350$ unités.

 

 

 

 

STMG – Métropole – Juin 2014


Métropole – STMG – Juin 2014

Mathématiques – Correction

Vous pouvez trouver ce sujet de bac  ici.

Exercice 1

  1. a
    Heure de la journée $11$h $12$h
    Nombre de visiteurs attendus $300$h $350$h

    b. $$\dfrac{350 – 300}{300} = \dfrac{50}{300} \approx 16,7\%$$ Le taux d’évolution du nombre de visiteurs attendus entre $11$h et $12$h est de $16,7\%$.
    $~$

  2. Pour profiter du fond musical, il doit se rendre dans le parc entre $11$h et $18$h.
    $~$
  3. a. $f(11) = 302$ et $f(12) = 350$. L’écart est dû à la précision du graphique.
    $~$
    b. $f'(x) = -8 \times 2x + 232 = -16x + 232$.
    $~$
    c. Le nombre de visiteurs est maximal quand : $$\begin{align} f'(x) = 0 & \Leftrightarrow -16x +232 = 0\\\\ & \Leftrightarrow -16x = -232 \\\\ &\Leftrightarrow x = \dfrac{232}{16} = 14,5 \end{align}$$ Le maximum de fréquentation est atteint à $14$h$30$ et il vaut $f(14,5) = 400$.

$~$

Exercice 2

Partie A

  1. On peut écrire $=B2*1,12$.
    $~$
  2. En $2016$ le coefficient d’évolution est donné par $1,12^3 \approx 1,405$. Le pourcentage global d’évolution est donc de $40,5\%$
    $~$
  3. a. La raison de la suite $(v_n)$ est $1,12$.
    $~$
    b. Par conséquent $v_n = 100 \times 1,12^n$
    $~$
    c. $v_8 = 100 \times 1,12^8 \approx 248$ et $v_9 = 100 \times 1,12^9 \approx 277$. $~$

Partie B

  1. On peut écrire $=B3+13$
    . $~$
  2. a. La suite $(P_n)$ est donc une suite arithmétique de premier terme $P_0 = 148$ et de raison $13$. Par conséquent $P_n = 148 + 13n$.
    $~$
    b. On cherche la plus petite valeur de $n$ telle que : $$\begin{align} P_n > 250 &\Leftrightarrow 13n + 148 > 250 \\\\ &\Leftrightarrow 13 n > 102 \\\\ &\Leftrightarrow n > \dfrac{102}{13} \\\\ &\Leftrightarrow n \ge 8 \end{align}$$ Le nombre de places de parking spécifiques dépassera pour la première fois les $250$ en $2021$.

$~$
Partie C On cherche la valeur de $n$ à partir de laquelle : $$ v_n > P_n  \Leftrightarrow 100 \times 1,12^n > 148 + 13n$$ On utilise alors le mode Table de la calculatrice On se rend compte que cela se produit pour $n=9$. C’est donc en $2022$ que le nombre de places spécifiques sera insuffisant. $~$

Exercice 3

  1.    $~$
    STMG - metropole - juin2014 - ex3
  2. On cherche la valeur de $p(T \cap V) = 0,05 \times 0,02 = 0,001$.
    $~$
  3. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $$\begin{align} p(V) &= p(V \cap T) + p\left(V \cap \bar{T} \right) \\\\
    &= 0,001 + 0,95 \times 0,8 \\\\
    &= 0,761
    \end{align}$$
  4. On veut calculer :
    $$\begin{align} p_V(T) &= \dfrac{p(V \cap T)}{p(V)} \\\\
    &= \dfrac{0,001}{0,761}
    &= \dfrac{1}{761}
    & \approx 0,0013
    \end{align}$$

Exercice 4

Partie A

  1. L’espérance de cette variable aléatoire de $60$.
    Par conséquent $P(X \ge 80) = P(X \ge 60 + 20) = P(X \le 60 – 20) = 0,0912$
    Réponse a
    $~$
  2. $1h = 60$.
    On cherche donc $P(X < 60) = 0,5$ (puisque $E(X) = 60$).
    Réponse a

$~$

Partie B

  1. Le coefficient multiplicateur est : $1,2 \times 0,75 = 0,9$
    Le taux d’évolution est donc de $-10\%$
    Réponse b
    $~$
  2. On cherche la valeur de $x$ telle que
    $$ \begin{align} \left(1 + \dfrac{x}{100} \right)^2 = 0,9 & \Leftrightarrow 1 + \dfrac{x}{100} = \sqrt{0,9} \\\\
    & \Leftrightarrow \dfrac{x}{100} = \sqrt{0,9} – 1 \\\\
    & \Leftrightarrow x = 100 \left( \sqrt{0,9} – 1 \right)\\\\
    & \Leftrightarrow x \approx -5,13
    \end{align}$$
    Réponse c

$~$

Partie C

Un intervalle de confiance est :
$$ \left[ 0,27 – \dfrac{1}{\sqrt{100}};0,27 + \dfrac{1}{\sqrt{100}} \right] = [0,17;0,37]$$

Réponse c