Bac STMG – Nouvelle Calédonie – Novembre 2015

Nouvelle Calédonie – Novembre 2015

Bac STMG – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Exercice 1

  1. Le CSBM en 2005 est donné par $114,6 \times \left(1+\dfrac{29,2}{100}\right) \approx 148,1$
    $\quad$
  2. Le taux d’évolution global entre 2000 et 2011 est $t=\dfrac{180-114,6}{114,6}\approx 0,571$ soit $57,1\%$
    $\quad$
  3. Soit $t$ le taux annuel moyen d’augmentation entre 2000 et 2011.
    On a donc :
    $\begin{align*} 114,6\times\left(1+\dfrac{t}{100}\right)^{11} = 180 &\ssi \left(1+\dfrac{t}{100}\right)^{11}=\dfrac{180}{114,6} \\\\
    &\ssi 1+\dfrac{t}{100}=\left(\dfrac{180}{114,6}\right)^{1/11} \\\\
    &\ssi \dfrac{t}{100}=\left(\dfrac{180}{114,6}\right)^{1/11} -1\\\\
    &\ssi t=100\left[\left(\dfrac{180}{114,6}\right)^{1/11} -1\right]
    \end{align*}$
    Par conséquent $t\approx 4,2$.
    Le taux annuel moyen d’augmentation entre 2000 et 2011 est environ de $4,2\%$.
    $\quad$
  4. a. En 2004, le CSBM est de $114,6\times \left(1+\dfrac{4,2}{100}\right)\approx 119,4$.
    $\quad$
    b. $180\times \left(1+\dfrac{4,2}{100}\right)^4\approx 212,2 > 200$
    L’affirmation est donc vraie.
    $\quad$
  5. a. A l’aide de la calculatrice, on obtient l’équation $y=5,20x+149,53$.
    $\quad$
    b. $5,2\times 10+149,53=201,53$
    En utilisant cet ajustement, la CSBM depassera 200 milliards d’euro en 2015.
    $\quad$

Exercice 2

Partie 1 : utilisation d’un tableur

  1. On peut saisir $=B2-30$.
    $\quad$
  2. On peut saisir $=C2*0,9$.
    $\quad$
  3. On peut saisir $=SOMME(B2:B13)$.
    $\quad$

Partie 2 : comparaison de deux suites

  1. a. $\left(u_n\right)$ est une suite arithmétique de premier terme $u_1=400$ et de raison $r=30$.
    $\quad$
    b. $u_{12}=400-11\times 30 =70$.
    $\quad$
    c. On obtient le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    &A&B&C\\
    \hline
    1& &\text{Plan }1&\text{Plan }2\\
    \hline
    2&1^{\text{er}}\text{ versement mensuel}&400&400,00\\
    \hline
    3&2^{\text{e}}\text{ versement mensuel}&370&360,00\\
    \hline
    4&3^{\text{e}}\text{ versement mensuel}&340&324\\
    \hline
    5&4^{\text{e}}\text{ versement mensuel}&310&291,60\\
    \hline
    6&4^{\text{e}}\text{ versement mensuel}&280&262,44\\
    \hline
    7&6^{\text{e}}\text{ versement mensuel}&250&236,20\\
    \hline
    8&7^{\text{e}}\text{ versement mensuel}&220&212,58\\
    \hline
    9&8^{\text{e}}\text{ versement mensuel}&190&191,32\\
    \hline
    10&9^{\text{e}}\text{ versement mensuel}&160&172,19\\
    \hline
    11&10^{\text{e}}\text{ versement mensuel}&130&154,97\\
    \hline
    12&11^{\text{e}}\text{ versement mensuel}&100&139,47\\
    \hline
    13&12^{\text{e}}\text{ versement mensuel}&70&125,52\\
    \hline
    14&\text{ TOTAL}&2~820&2~870,28\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  2. a. $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de premier terme $v_1=400$ et de raison $q=0,9$.
    $\quad$
    b. $v_{12}=400\times 0,9^{11}\approx 125,52$
    $\quad$
    c. voir question 1.c.
    $\quad$
  3. C’est donc le Plan 2 qui est assure à Jean la somme épargnée la plus élevée.
    $\quad$

Exercice 3

  1. Q1 : $P_A\left(\overline{B}\right)=1-0,2=0,8$
    $\quad$
    Q2 : $p(B)=p(A\cap B)+p\left(\overline{A}\cap B\right) = 0,15\times 0,2+0,85\times 0,6=0,54$
    $\quad$
  2. Q3 : $p(X<59)=p(X<\mu)=0,5$
    $\quad$
    Q4 : $p(58,6\le X\le 59,4)\approx 0,954$
    Un intervalle de fluctuation au seuil approximatif de $95\%$ de la variable $X$ est $[58,6;59,4]$.
    $\quad$

Exercice 4

Partie A : lecture graphique

  1. La production de $50$ tonnes de croquettes coûte environ $51~500$ euros.
    $\quad$
  2. Pour un coût de fabrication de $100~000$ € on peut produire environ $72$ tonnes de croquettes.
    $\quad$
    Bac STMG-nouvelle calédonie-novembre 2015-ex41

Partie B : étude de la recette

  1. Voir graphique.
    $\quad$
  2. Si $x=10$ la courbe correspondant aux coûts est au-dessus de celle des recettes.
    Elle ne réalise donc pas de bénéfice.
    $\quad$

Partie C : étude du bénéfice

  1. $B'(x)=-3x^2+2\times 105x-1~800 = -3x^2+210x-1~800$.
    $\quad$
  2. $\Delta = 210^2-4\times (-3)\times (-1~800) = 22~500>0$.
    Il y a donc deux racines $x_1=\dfrac{-210-\sqrt{22~500}}{-6}=60$ et $x_2=\dfrac{-210+\sqrt{22~500}}{-6}=10$.
    Puisque le coefficient principal est $a=-3$ alors $B'(x)$ est :
    – négatif à l’extérieur des racines soit sur $[0;10]$ et $[60;80]$
    – positif entre les racines soit sur $[10;60]$
    – nul pour $x=10$ et $x=60$
    $\quad$
  3. On obtient le tableau de variations suivant :
    Bac STMG-nouvelle calédonie-novembre 2015-ex42
  4. Pour réaliser un bénéfice maximal, l’entreprise doit vendre $60$ tonnes de croquettes.
    Le bénéfice est alors de $50~000$ euros.
    $\quad$
  5. En utilisant la formule $C(x)=R(x)-B(x)$ on trouve $C(x)=x^3-105x^2+3~700x+4~000$.
    Si on appelle $t$ le prix d’une tonne de croquettes.
    Le nouveau bénéfice est donné par :
    $B_1(x)=tx-C(x)$
    On essaye différentes valeurs pour $t$ avec un pas de $100$ dans un premier temps et on trace la fonction $M$ définie par $M(x)=90~000-B_1(x)$. On cherche les valeurs de $t$ pour lesquels $M$ n’est pas toujours négative.
    On trouve par exemple que c’est le cas pour $t=2~600$.
    On peut ensuite affiner en prenant un pas de $50$ à partir de $2~500$ puis de $10$ et ensuite de $1$.
    Il semblerait que le bénéfice maximal soit supérieur ou égal à $90~000$ euros dès que $t\ge 2~545$.

 

Bac STMG – Poynésie Septembre 2015

Polynésie – Septembre 2015

Bac STMG – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Exercice 1

  1. Le prix de l’article a été multiplié par $1+\dfrac{8,5}{100} = 1,085$ puis par $1-\dfrac{3}{100} = 0,97$.
    Au final, il a été multiplié par $1,085\times 0,97 = 1,05245$.
    Le taux d’évolution global est donc d’environ $5,25\%$.
    Réponse c
    $\quad$
  2. On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de clients ayant effectué un achat.
    Il y a $10$ tirages indépendants, identiques et aléatoires présentant $2$ issues : “le client effectue un achat” ou “le client n’effectue pas un achat”.
    Par conséquent $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,29$.
    D’après la calculatrice $P(X \le 4) \approx 0,87$.
    Réponse b
    $\quad$
  3. La fonction $f$ est strictement décroissante sur $]0;2[$. Par conséquent $f'(x)< 0$ sur cet intervalle.
    Il nous reste donc les choix a. et d.
    Le coefficient directeur de la tangente en $1$ est d’environ $-2,5$.
    Réponse a
    $\quad$
  4. La fonction $f$ est strictement décroissante sur $[0;2]$. Par conséquent $f'(x)\le 0$ sur cet intervalle.
    Réponse c
    $\quad$

Exercice 2

Partie A

  1. a.
    STMG - polynésie - septembre 2015 - ex2.1 (1)
    b. On veut calculer $p(M\cap S) = 0,58 \times 0,34 = 0,1972$.
    $\quad$
    c. D’après la formule des probabilités totales, on a :
    $\begin{align*} p(S)&=p(S\cap M) + p\left(S \cap \overline{M}\right) \\\\
    &= 0,58 \times 0,34 + 0,42 \times 0,44 \\\\
    & = 0,382
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_S\left(\overline{M}\right) &= \dfrac{p\left(S \cap \overline{M}\right)}{p(S)} \\\\
    &=\dfrac{0,42 \times 0,44}{0,382} \\\\
    & \approx 0,484
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. $n=500$ et$ p=0,382$.
    Un intervalle de fluctuation au seuil de $95\%$ est :
    $\begin{align*} I_{500} &= \left[0,382 – \dfrac{1}{\sqrt{500}};0,382 + \dfrac{1}{\sqrt{500}}\right] \\\\
    & \approx [0,337;0,427]
    \end{align*}$
    $\quad$

Partie B

  1. On calcule $P(28,4 \le S \le 48) \approx 0,95$.
    $\quad$
  2. On veut calculer $P(S\ge 40) = 0,5 – P(38,2 \le S \le 40) \approx 0,36$.
    $\quad$

Exercice 3

Partie A

  1. Le taux global d’évolution du SMIC entre 2010 et 2013 est :
    $$\dfrac{1~120,43-1~053,24}{1~053,24} \approx 0,0638$$
    Le taux d’évolution est donc d’environ $6,38\%$.
    $\quad$
  2. On appelle $t$ le taux d’évolution annuel sur la période 2010-2013.
    On a ainsi :
    $\begin{align*} 1~053,24\left(1+\dfrac{t}{100}\right)^3=1~120,43 &\ssi \left(1+\dfrac{t}{100}\right)^3 = \dfrac{1~120,43}{1~053,24} \\\\
    &\ssi 1+\dfrac{t}{100} = \left(\dfrac{1~120,43}{1~053,24}\right)^{1/3} \\\\
    &\ssi \dfrac{t}{100} = \left(\dfrac{1~120,43}{1~053,24}\right)^{1/3} – 1 \\\\
    &\ssi t = 100 \times \left(\left(\dfrac{1~120,43}{1~053,24}\right)^{1/3} – 1\right)
    \end{align*}$
    Ainsi $t\approx 2,08$
    Le taux d’évolution moyen sur la période 2010-2013 est donc d’environ $2,08\%$.
    $\quad$
  3. L’indice en 2013 est de $\dfrac{1~120,43\times 100}{1~053,24} \approx 106$.
    $\quad$

Partie B

  1. $u_1=1~120,43\times \left(1+\dfrac{2,1}{100}\right) \approx 1~143,96$.
    $u_2=1~143,96\times \left(1+\dfrac{2,1}{100}\right) \approx 1~167,98$.
    $\quad$
  2. La suite $\left(u_n\right)$ est géométrique de premier terme $u_0=1~120,43$ et de raison $1+\dfrac{2,1}{100} = 1,021$.
    $\quad$
  3. En 2020, on a $n=7$. Or $u_7 = 1~120,43\times 1,021^7\approx 1~295,88$.
    Le SMIC sera donc d’environ $1~295,88$ euros.
    $\quad$
  4. L’algorithme permet de déterminer le nombre d’année nécessaire pour le SMIC dépasse $1~400$ euros.
    $\quad$
  5. On a $u_{10} = 1~379,25$ et $u_{11} = 1~408,21$.
    Ainsi l’algorithme affichera $11$.
    $\quad$

Exercice 4

Partie A

  1. Une équation réduire de la droite d’ajustement affine est $y=-2,25x+16,75$.
    $\quad$
  2. a.
    STMG - polynésie - septembre 2015 - ex4.1
    b.
    En 2015, $x=7$ et $y = -2,2 \times 7 + 16,8=1,4$
    La collectivité locale dépensera donc $140~000$ euros d’après cet ajustement  en 2015.
    $\quad$

Partie B

  1. Étudions le signe de $f'(x)$.
    Puisque $\left(x^2+1\right)^2 > 0$, le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $-20x^2-42x+20$.
    $\delta = (-42)^2-4\times (-20)\times 20 = 3~364$.
    Les racines sont $x_1=\dfrac{42 – \sqrt{3~364}}{-40}=0,4$ et $x_2=\dfrac{42+\sqrt{3~364}}{-40}=-2,5$.
    Le coefficient principal est $a=-20<0$
    Par conséquent $-20x^2-42x+20$ est négatif sur $]-\infty;-2,5]\cup[0,4;+\infty[$ et positif sur $[-2,5;0,4]$.
    Ainsi $f'(x) <0$ sur $[1;15]$ et la fonction $f$ est strictement décroissante sur $[1;15]$.
    $\quad$
  2. A l’aide de cet ajustement, en prenant $x=7$, on trouve $f(7) = 3,22$.
    Cela signifie donc que la collectivité locale devrait dépenser $322~000$ euros en $2015$.
    $\quad$

 

Bac STMG – Antilles Guyane – Septembre 2015

Antilles Guyane – Septembre 2015

Bac STMG – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Exercice 1

  1. Il y a de trop grandes fluctuation (aucune évolution linéaire apparaît) pour envisager un ajustement affine.
    $\quad$
  2. A $15$h$30$, on calcule $N(15,5) \approx 93,97$.
    Il y aurait donc $94$ clients.
    $\quad$
  3. On a $N'(t)=-3t^2+90,75t-657$.
    $\quad$
  4. a. On veut résoudre $-3t^2+90,75t-657=0$.
    $\Delta = 351,5625 > 0$
    Il y a donc deux solutions $t_1=\dfrac{-90,75-\sqrt{351,5625}}{-6} = 18,25$ et $t_2=\dfrac{-90,75+\sqrt{351,5625}}{-6} =12$.
    $\quad$
    b. Puisque $a=-3 <0$ cela signifie donc que :
    $\quad$ • $N'(t) \le 0$ sur $[0;12]$ et sur $[18,25;20]$
    $\quad$ • $N'(t) \ge 0$ sur $[12;18,25]$
    $\quad$
    c. On obtient ainsi le tableau de variations suivant :
    Bac STMG - antilles - ex1Avec $N(18,25) \approx 144$
    $\quad$
  5. D’après le tableau de variations, le maximum est atteint pour $t=18,25$.
    Le nombre maximal est donc maximal entre $18$h et $18$h$30$.
    $\quad$
  6. Dans le tableau, on peut lire qu’à $13$h il y avait $55$ clients alors que $N(13) = 30,375$.
    La valeur $55$ est donc aberrante par rapport au modèle choisi.
    $\quad$

Exercice 2

Partie A

  1. En $2005$, on a : $6~128 \times 1,063 \approx 6~514$.
    Il y avait donc environ $6~514$ millions d’habitants dans le monde en $2005$.
    $\quad$
  2. a. $\dfrac{6~916-5~321}{5321} \times 100 = 29,98$.
    Le taux d’évolution de la population mondiale entre ces deux dates est de $29,98\%$.
    $\quad$
    b. On cherche la valeur de $t$ telle que :
    $\begin{align*} 5~321 \times \left(1 + \dfrac{t}{100}\right)^{20}=6~916 &\ssi \left(1 + \dfrac{t}{100}\right)^{20} = \dfrac{6~916}{5~321} \\\\
    &\ssi 1 + \dfrac{t}{100} = \sqrt[20]{\dfrac{6~916}{5~321}}\\\\
    & \ssi t = 100 \times \left(\sqrt[20]{\dfrac{6~916}{5~321}}-1\right)
    \end{align*}$
    On a donc $t\approx 1,32$.
    Le taux d’évolution moyen annuel cherché est donc de $1,32\%$.
    $\quad$
    c. En $2020$, on calcule alors $6~916\times 1,013^{10} \approx 7~8670$.
    Il y aura donc environ $7~8670$ millions d’habitants en $2020$ dans le monde.
    $\quad$

Partie B

  1. On obtient la droite d’équation $y=396,2x+5~331,8$.
    $\quad$
  2. Selon le modèle, en prenant $x=6$ on obtient $y=396 \times 6 + 5~332 = 7~708$.
    Il y aurait ainsi environ $7~708$ millions d’habitants dans le monde selon ce modèle.
    $\quad$

Exercice 3

  1. On a $u_1=1~200 +15=1~215$ et $u_2 = 1~215+15 = 1~230$
    $v_1=1~000 \times \left(1+\dfrac{4}{100}\right) = 1~040$ et $v_2=1~040 \times \left(1+\dfrac{4}{100}\right) = 1~081,6$
    $\quad$
  2. La suite $\left(u_n\right)$ est arithmétique de premier terme $u_0=1~200$ et de raison $15$.
    La suite $\left(v_n\right)$ est géoémtrique de premier terme $u_0=1~000$ et de raison $1,04$.
    $\quad$
  3. On a ainsi $u_n=1~200+15n$ et $v_n=1~000\times 1,04^n$ pour tout entier naturel $n$.
    $\quad$
  4. En $2023$, on a $n=8$.
    $u_8=1~200+15\times 8 = 1~320$ et $v_8 = 1~000 \times 1,04^8 \approx 1~369$
    Les salaires seraient alors de $1~320$ euros avec la première proposition et de $1~369$ euros avec la seconde.
    $\quad$
  5. a. On peut saisir $=B2+15$.
    $\quad$
    b. On peut saisir $=B3*1,04$.
    $\quad$
  6. Quand on calcule les premiers termes, on obtient :
    $u_6 = 1~290$ et $v_6\approx 1~265$
    $u_7=1~305$ et $v_7 \approx 1~316$
    C’est donc à partir de la $7^{\text{ème}}$ année, soit en $2022$, que le salaire de la proposition B dépasse celui de la proposition A.
    $\quad$

Exercice 4

  1. On obtient l’arbre suivant :
    Bac STMG - antilles - ex4
  2. On sait que $p\left(A_1\right)=0,7$ et $p\left(A_2\right)=p\left(A_3\right)$
    Or $p\left(A_1\right)+p\left(A_2\right)+p\left(A_3\right)=1$
    Par conséquent $0,7+2p\left(A_2\right)=1$
    Et $p\left(A_2\right)=\dfrac{1-0,7}{2} = 0,15$.
    $\quad$
  3. On veut calculer $p\left(C \cap A_3\right) = 0,15 \times 0,96 = 0,144$.
    $\quad$
  4. D’après la formule des probabilités totales, on a :
    $\begin{align*} p(C)&=p\left(C \cap A_1\right)+p\left(C \cap A_2\right) + p\left(C \cap A_3\right) \\\\
    &= 0,7 \times 0,95 + 0,15 \times 0,8 + 0,144 \\\\
    &=0,929
    \end{align*}$
    $\quad$
  5. On calcule $p_{\overline{C}}\left(A_2\right) = \dfrac{p\left(\overline{C} \cap A_2\right)}{p\left(\overline{C}\right)} = \dfrac{0,15 \times 0,2}{1-0,929} \approx 0,423$.
    Or $p_{\overline{C}}\left(A_1\right) = \dfrac{p\left(\overline{C} \cap A_1\right)}{p\left(\overline{C}\right)} = \dfrac{0,7 \times 0,05}{1-0,929} \approx 0,493$.
    Le contrôleur a donc tort.
    $\quad$
  6. On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de tomates de bon calibre.
    Les $7$ tirages sont aléatoires, indépendants avec remise et ne possède que deux états : $C$ et $\overline{C}$. De plus $p(C)=0,929 $.
    On veut calculer $P(X=5) = \displaystyle \binom{7}{5}\times 0,071^2 \times 0,929^5 \approx 0,073$
    $\quad$
  7. a. On calcule $P(5 \le D \le 7) \approx 0,95$
    $\quad$
    b. On calculer $P(D \le 5,5) = 0,5 – P(5,5 \le D \le 6) \approx 0,16$.
    $\quad$

 

Bac STMG – Métropole – Septembre 2015

Métropole – Septembre 2015

Bac STMG – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Exercice 1

Partie A

  1. $\quad$
    Bac STMG-métropole-sept2015-ex1
  2. L’événement $D \cap O$ correspond à “l’élève choisi suit un parcours diplômant et fait partie d’un orchestre”.
    $\quad$
  3. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(O)&=p(D\cap O) + p(L\cap O) \\\\
    &= 0,4\times 0,3 + 0,6 \times 0,25 \\\\
    &=0,27
    \end{align*}$
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_O(D) &= \dfrac{p(D \cap O)}{p(O)} \\\\
    &=\dfrac{0,4 \times 0,3}{0,27} \\\\
    &=\dfrac{0,12}{0,27} \\\\
    & \approx 0,444
    \end{align*}$
    $\quad$

Partie B

  1. $X$ suit la loi binomiale $\mathscr{B}(50;0,75)$.
    Par conséquent $E(X) = 50 \times 0,75 = 37,5$.
    $\quad$
  2. On veut donc calculer ici $P(X \le 400) \approx 0,996$ d’après la calculatrice.
    $\quad$

Exercice 2

  1. $\dfrac{470}{1~445} \approx 0,325$ Réponse c
    $\quad$
  2. Le taux d’évolution du SMIC entre ces deux dates est de $\dfrac{1~445-1~154}{1~154} \approx 0,252$ Réponse d
    $\quad$
  3. On cherche la valeur de $t$ telle que :
    $$\begin{align*} 1154 \times \left(1+\dfrac{t}{100}\right)^{10}=1445 & \ssi \left(1+\dfrac{t}{100}\right)^{10}=\dfrac{1445}{1154} \\\\
    & \ssi 1+\dfrac{t}{100}= \sqrt[10]{\dfrac{1445}{1154}} \\\\
    & \ssi t = 100 \times \left(\sqrt[10]{\dfrac{1445}{1154}}-1\right) \\\\
    & t \approx 2,27
    \end{align*}$$
    Réponse a
    Remarque : on pouvait également tester pour quelle valeur $ 1~154 \times \left(1+\dfrac{t}{100}\right)^{10}=1~445$
    $\quad$
  4. En $2019$, il serait de $1445 \times \left(1+\dfrac{1}{100}\right)^5 \approx 1~519$ euros.
    Réponse d
    $\quad$

Exercice 3

Partie A : la facture

$$\begin{array}{|l|r|l|}
\hline
\text{Prestations} & \text{Prix hors taxe} & \text{Prix T.V.A. incluse} \\
\hline
\text{- Travaux sur la façade} & 5~002~€&5~502,2~€\\
\text{- Autres prestations} & 3~318~€&3~649,8~€\\
\hline
\text{Total}& 8~320~€&\text{Total : }9~152~€ \\
\hline
\end{array}$$

En effet $5~002 \times 1,1 = 5~502,2$
$9~152-5~502,2 = 3~649,8$
$\dfrac{3~649,8}{1,1} = 3~318$

Partie B : l’épargne de Madame M.

  1. Le premier terme de la suite est $v_0=5~000$ et sa raison est $q=1,025$.
    $\quad$
  2. On a donc $v_n=5~000\times 1,025^n$ pour tout entier naturel $n$.
    $\quad$
  3. Le $1^{\text{er}}$ juin $2017$ il se sera écoulé $24$ mois.
    Ainsi $v_{24} = 5~000 \times 1,025^{24}  \approx 9~046,63$
    Ce ne sera donc pas suffisant pour payer le montant de $9~152~€$ correspondant à la facture.
    $\quad$

Exercice 4

Partie A : Étude statistique 

  1. L’équation de la droite d’ajustement est $y=-8,05x+145,75$.
    $\quad$
  2. a. D’après ce modèle, on a $y=-8\times 12 + 146 = 50$.
    Si le restaurateur fixe le prix du plat du jour à $12~€$, il aura, selon ce modèle, $50$ clients.
    $\quad$
    b. On cherche la valeur de $x$ telle que $100 = -8x+146$
    Soit $ -46 = -8x$ et donc $x=\dfrac{46}{8} = 5,75$.
    Il doit donc fixer le prix du plat du jour à $5,75~€$ pour attirer $100$ clients.
    $\quad$

Partie B : Optimisation de la recette

  1. Si $x=13$ alors $y=41$.
    La recette est donc de $13 \times 41 = 533$ euros.
    $\quad$
  2. a. On a
    $\begin{align*} f(x) &= x \times y \\\\
    &=x(-8x+146) \\\\
    &= -8x^2 + 146x
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. $f'(x) = -8 \times 2x + 146 = -16x + 146$.
    $\quad$
    c. On a $-16x+146 \ge 0$ $\ssi -16x \ge 146$ $\ssi x \le \dfrac{146}{16}$ $\ssi x \le 9,125$.
    Bac STMG-métropole-sept2015-ex4
  3. La recette sera donc maximale si le prix est de $9,1$ euros (arrondi au dixième d’euro).
    $-8\times 9,1 + 146 = 73,2$.
    Il servira alors $73$ plats du jour.

Bac STMG – Antilles Guyane – Juin 2015

Antilles Guyane – Juin 2015

Bac STMG – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Exercice 1

  1. On appelle $x$ le prix avant les soldes.
    On a alors :
    $\begin{align*} x \times \left(1 – \dfrac{40}{100}\right) = 41,40 &\ssi x \times 0,6 = 41,4 \\\\
    & \ssi x = \dfrac{41,40}{0,6} \\\\
    & \ssi 69
    \end{align*}$
    Réponse a
    $\quad$
  2. On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le nombres d’ampoules défectueuses.
    On effectue quatre tirages aléatoires, indépendant, identiques.
    Chaque tirage possède deux issues :
    – $S$ : “l’ampoule est défectueuse”
    – $\overline{S}$ : “l’ampoule n’est pas défectueuse”.
    $p(S) = 0,03$.
    $X$ suit donc la loi binomiale $\mathscr{B}(4;0,03)$.
    $P(X = 2) \approx 0,005$
    Réponse c
    $\quad$
  3. $\quad$
    $\begin{align*} f'(x) &=\dfrac{(2x + 5)(3x + 4) – 3(x^2 + 5x)}{(3x+4)^2} \\\\
    &= \dfrac{6x^2+8x+15x+20-3x^2-15x}{(3x+4)^2}\\\\
    &=\dfrac{3x^2+8x+20}{(3x+4)^2}
    \end{align*}$
    Réponse c
    $\quad$
  4. Une équation de la tangente à la courbe représentative de $g$ au point d’abscisse $2$ est de la forme :
    $$y=g'(2)(x-2) + g(2)$$
    Or $g'(x) = 2 \times 3x^2 + 4 = 6x^2+4$
    donc $g'(2) = 28$ et $g(2) = 26$.
    Par conséquent une équation de la tangente est :
    $y=28(x-2) + 26$ soit $y = 28x – 30$.
    Réponse b
    $\quad$

Exercice 2

Partie A : premier modèle

  1. Une équation de la droite d’ajustement linéaire est :
    $$y=0,42x+60,56$$
    $\quad$
  2. En 2050, $x=50$ alors $y = 0,4 \times 50 + 60,6 = 80,6$
    Selon ce modèle, il devrait y avoir $80,6$ millions d’habitants en France en 2050.

Partie B : deuxième modèle

  1. Le taux d’évolution du nombre d’habitants entre les années 2000 et 2010 est :
    $$t=\dfrac{64,6 – 60,5}{60,5} \approx 6,777$$
    $\quad$
  2. Le coefficient multiplicateur est donc environ de $1,06777$.
    Or $\sqrt[10]{1,06777} \approx 1,00658$
    Par conséquent le taux d’évolution moyen sur cette période est d’environ $0,658\%$
    $\quad$
  3. a. Le premier terme est $u_0 = 64,6$ et la raison est $q= 1+\dfrac{0,66}{100} = 1,0066$.
    $\quad$
    b. On a ainsi $u_n = 64,6 \times 1,0066^n$.
    $\quad$
    c. $u_{40} = 64,6 \times 1,0066^{40} \approx 84,04$.
    En 2050, il y aura donc environ $84$ millions d’habitants en France.
    $\quad$

Partie C

$\dfrac{84}{9~000} \approx 0,0093 < 0,01$

En 2050, moins d’une personne sur cent de la population mondiale vivra en France.

$\quad$

Exercice 3

  1. a. En $B2$ on peut écrire $=A2*299$.
    $\quad$
    b. En $C2$ on peut écrire $=2,25*A2*A2-6*A2+20$
    $\quad$
    c. En $B7$ on a $14~950$
    En $C7$ on a $5~345$
    En $D7$ on a $9~605$
    $\quad$
  2. Le bénéfice est donné par :
    $\begin{align*} B(x) &= 299x – C(x) \\\\
    &=299x – 2,25x^2+6x-20\\\\
    &=-2,25x^2 + 305x – 20
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. $B'(x) = -2,25 \times 2x + 305 = – 4,5x + 305$.
    $\quad$
  4. $\quad$
    $\begin{align*} B'(x) \ge 0 &\ssi -4,5x \ge -305 \\\\
    &\ssi x \le \dfrac{305}{4,5}
    \end{align*}$
    On a ainsi $x_0 = \dfrac{305}{4,5} \approx 67,78$.
    La fonction $B$ est donc croissante  sur $[0;x_0]$ et décroissante sur $[x_0;100]$.
    Le bénéfice maximal est donc obtenu pour une production de $68$ meubles par jour.
    Le bénéfice est alors de $10~316$ euros par jour.
    L’entreprise est ouverte cinq jours par semaine. Sur quatre semaine, cela représente donc $20$ jours de travail.
    Le bénéfice maximal sur quatre semaines est donc de $206~320$ euros.
    $\quad$

Exercice 4

Partie A

  1. $\quad$
    Bac stmg - antilles - juin 2015 - ex4
    $\quad$
  2. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(R) &= p(R \cap I) + p\left(R \cap \overline{I}\right) \\\\
    & = 0,4 \times 0,2 + 0,6 \times 0,25 \\\\
    &  = 0,23
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. On cherche à calculer :
    $\begin{align*} p_R(I) &= \dfrac{p(I \cap R)}{p(R} \\\\
    &= \dfrac{0,4 \times 0,2}{0,23} \\\\
    & \dfrac{8}{23}
    \end {align*}$
    $\quad$

Partie B

  1. Graphiquement on peut lire $m_T \approx 1~800$ et $m_I \approx 2~200$.
    $\quad$
  2. $p(X_T \le 1~600) \approx 0,16$.
    $\quad$
  3. Or $0,16 \times 1~200 = 192$.
    Donc environ $192$ techniciens ont un salaire inférieur ou égal à $1~600$ euros par mois.
    $\quad$

Partie C

  1. a. $\dfrac{1~764 – 1~800}{1~800} = -0,02$
    Le salaire mensuel moyen des techniciens a donc baissé de $2\%$.
    $\quad$
    b. $\dfrac{2~156 -2~200}{2~200} = -0,02$
    Le salaire mensuel moyen des ingénieurs a donc baissé de $2\%$.
    $\quad$
  2. a. Masse salariale avant restructuration :
    $1~200 \times 1~800 + 800 \times 2~200 = 3~920~000$ euros
    $\quad$
    Masse salariale après restructuration :
    $950 \times 1~764 + 1~050 \times 2~156 = 3~939~600$ euros
    b. Les techniciens qui ont été promus avaient probablement des salaires supérieurs à la moyenne des techniciens mais inférieurs à ceux des ingénieurs.

 

 

Bac STMG – Métropole – Juin 2015

Métropole – Juin 2015

Bac STMG  -Mathématiques – Juin 2015

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Exercice 1

  1. Le taux d’évolution global entre 2011 et 2014 est :
    $$\dfrac{1177 – 868}{868} \approx 35,6\%$$
    $\quad$
  2. Elle a pu saisir $=(C3-B3)/B3*100$
    $\quad$
  3. On pouvait tester $868 \times \left(1 + \dfrac{10,7}{100}\right)^3 \approx 1177,50$
    Ou bien calculer précisément la valeur du taux cherché $t$:
    $\begin{align*} 868 \times \left(1 + \dfrac{t}{100}\right)^3 = 1177 & \ssi \left(1 + \dfrac{t}{100}\right)^3 = \dfrac{1177}{868} \\\\
    &\ssi 1 + \dfrac{t}{100} = \sqrt[3]{\dfrac{1177}{868}} \\\\
    & \ssi 1 + \dfrac{t}{100} \approx 1,1068 \\\\
    & \ssi t \approx 10,68
    \end{align*}$
    Le taux d’évolution moyen annuel de la cotisation de 2011 à 2014 est donc environ de $10,7\%$.
    $\quad$
  4. a. En 2015, la cotisation sera de $1177 \times \left(1 + \dfrac{10,7}{100}\right) \approx 1303$.
    $\quad$
    b. On cherche la plus petite valeur de $n$ telle que $1177 \times \left(1 + \dfrac{10,7}{100}\right) ^n \ge 1736$.
    A l’aide de la calculatrice, on constate que :
    – si $n= 3$ alors la cotisation est de $1597$
    – si $n=4$ alors la cotisation est de $1768$
    C’est donc en 2018 que le montant de la cotisation aura doublé par rapport à celle de 2011.
    $\quad$

Exercice 2

Partie A

  1. Une équation de la droite d’ajustement affine est $y = 10x+460$.
    $\quad$
  2. $\quad$
    Bac stmg - metropole - juin 2015 - ex2-1
  3. En 2011, $x=8$ donc $y = 530$.
    $530$ hectares étaient donc consacrés à l’agriculture biologique en France en 2011.
    $\quad$

Partie B

  1. Voir graphique
    $\quad$
  2. Les derniers points placés sur le graphique sont très éloignés de la droite d’ajustement linéaire. Cet ajustement ne convient donc pas.
    $\quad$

Partie C

  1. L’algorithme affiche les valeurs estimée des superficie certifiée de production biologique en hectare en France de 2013 à 2017.
    $\quad$
  2. La suite $(u_n)$ est donc géométrique de raison $1,22$ et de premier terme $u_0 = 856$.
    Pour 2017, on calcule $u_5 = 856\times 1,22^5\approx 2~314$.
    Selon ce modèle, la superficie de production biologique en France en 2017 serait de $2~314$ hectares.
    $\quad$

Exercice 3

Partie A

  1. a. $p(D) = 0,35$ et $p_D(C) = 0,55$
    $\quad$
    b.
    Bac stmg - metropole - juin 2015 - ex3
  2. Il s’agit de l’événement $\overline{D}\cap C$.
    D’après l’arbre de probabilité :
    $$p\left(\overline{D} \cap \overline{C}\right) = 0,65 \times 0,8=0,52$$
    $\quad$
  3. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p\left(\overline{C}\right) &= p\left(\overline{C}\cap D\right) + p\left(\overline{C} \cap D\right) \\\\
    &= 0,65 \times 0,8 + 0,35 \times 0,45 \\\\
    & = 0,6775\\\\
    & < 0,75
    \end{align*}$
    Effectivement, moins des trois-quarts des visiteurs achètent leur billet en ligne.
    $\quad$

Partie B

  1. a. $P(150 \le X \le 170) \approx 0,954$.
    $\quad$
    b. La probabilité que l’équipe de maintenance intervienne est donc de
    $$1 – P(150 \le X \le 170) \approx 0,046$$
    $\quad$
  2. On veut calculer :
    $\begin{align*} P(X \le 150) &=0,5 – P(150 \le X \le 160) \\\\
    & \approx 0,023
    \end{align*}$
    La probabilité que l’équipe de maintenance soit obligée de rajouter de l’eau est donc de $2,3\%$.
    $\quad$

Partie C

Un intervalle de confiance au niveau de confiance de $95\%$ est :

$$\begin{align*} I_{625} &= \left[\dfrac{247}{625} – \dfrac{1}{\sqrt{625}};\dfrac{247}{625} + \dfrac{1}{\sqrt{625}}\right] \\\\
& =[0,3552;0,4352]
\end{align*}$$
$\quad$

Exercice 4

Partie A

  1. $f(12) \approx 1410$. Il s’agit de l’ordonnée du point $B$.
    Réponse c
    $\quad$
  2. On détermine le coefficient de la tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point $A$.
    $f'(5) \approx \dfrac{1000 – 600}{5  -2} \approx 133$.
    La réponse la plus proche est $125$.
    Réponse b
    $\quad$
  3. La fonction $f$ semble croissante sur $[0;12]$ et décroissante sur $[12;36]$.
    Par conséquent :
    • $f'(x) \ge 0$ sur $[0;12]$
    • $f'(x) \le 0$ sur $[12;36]$
    Réponse c

Partie B

  1. $\quad$
    $\begin{align*} g'(x) & =3 \times 0,2x^2 – 2 \times 14,4x+ 259,2 \\\\
    &= 0,6x^2 – 28,8x + 259,2
    \end{align*}$
    Réponse b
    $\quad$
  2. On a $g(10) = 1647,2$
    Le maximum de $g$ sur $[0;36]$ est donc supérieur ou égal à $1647,2$.
    Réponse b

 

Bac STMG – Polynésie Juin 2015

Polynésie – Juin 2015

Bac STMG  -Mathématiques – Juin 2015

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Exercice 1

  1. a. $f(4) = 2~204$ et $f(10) = 3~500$.
    Pour $4$ ordinateurs vendus en une journée le bénéfice est de $2~204$ euros et pour $10$ ordinateurs de $3~500$ euros.
    $\quad$
    b. $f'(x) = 3x^2 – 2\times 60x + 900$ $ =3x^2 – 120x + 900$.
    $\quad$
    c. Pour $f'(x)$ on détermine dans un premier temps son discriminant.
    $\Delta = (-120)^2  – 4 \times 3 \times 900 = 3~600 > 0$.
    Il y a donc deux racines :
    $x_1 = \dfrac{120 – \sqrt{3~600}}{3 \times 2} = 20 – 10 = 10$
    $x_2 = \dfrac{120 + \sqrt{3~600}}{3 \times 2} = 20 + 10 = 30$
    De plus $a = 3 > 0$
    Donc $f'(x) \ge 0$ sur $[0;10]$ et $f'(x) \le 0$ sur $[10;30]$.
    $\quad$
    On obtient alors le tableau de variations suivant :
    Bac stmg - polynésie juin 2015 -ex 1
    d. La fonction $f$ atteint son maximum pour $x=10$.
    L’entreprise donc fabriquer et vendre $10$ ordinateurs par jours pour avoir un bénéfice maximal.
    Ce bénéfice est de $3~500$ euros.
    $\quad$
  2. a. Pour réaliser un bénéfice d’au moins $2~500$ euros, l’entreprise doit fabriquer et vendre entre $5$ et $16$ ordinateurs.
    $\quad$
    b. Pour le contrat A, l’entreprise doit fabriquer $30$ ordinateurs par jour. Cela occasionne alors un déficit de $500$ euros par jours.
    $\quad$
    Pour le contrat B, l’entreprise doit fabriquer $20$ ordinateurs par jours. Cela lui permet de réaliser un bénéfice de $1~500$ euros par jour.
    Elle doit donc choisir le contrat B.
    $\quad$

Exercice 2

Partie A

  1. $\quad$
    bac - STMG - asie 2015 - ex2
  2. Sur la période 1970-2010
    Une équation de la droite d’ajustement est $y=477,69x – 886,42$.
    $\quad$
  3. Voir graphique
    $\quad$
  4. La parabole semble passer plus près des points que la droite. On va donc utiliser cette ajustement.
    En 2020, $x=7$, on alors $y=2~807,2$.
    Le P.I.B en 2020 peut être estimer à $2~807,2$ milliards d’euros.
    $\quad$

Partie B

  1. Le taux d’évolution est $\dfrac{1998,5 – 1485,3}{1485,3}  \approx 34,6 \%$
    $\quad$
  2. On cherche la valeur de $x$ telle que :
    $\begin{align*} 1485,3 \times \left(1 + \dfrac{x}{100}\right)^{10} = 1998,5 & \ssi \left(1 + \dfrac{x}{100}\right)^{10} = \dfrac{1998,5}{1485,3} \\\\
    & \ssi 1 + \dfrac{x}{100} = \sqrt[10]{\dfrac{1998,5}{1485,3}} \\\\
    & \ssi x \approx 3,01
    \end{align*}$
    Le taux d’évolution annuel moyen du P.I.B. de 2000 à 2010 est d’environ $3\%$.
    $\quad$
  3. a. On peut écrire $=B3/B2$
    $\quad$
    b. En $C8$, on obtient $1,34551942$
    $\quad$
    c. La période 1970-1980 a le coefficient multiplicateur le plus important. C’est donc dans cette décennie qui a connu la plus forte évolution du P.I.B.
    $\quad$

Exercice 3

Partie A

  1. $\quad$
    bac - STMG - asie 2015 - ex3
  2. On cherche à calculer
    $P(G \cap M) = 0,001 \times 0,8 = 0,0008$
    $\quad$
  3. On veut calculer $P_M(G)$.
    On doit donc dans un premier temps calculer $P(M)$
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(M) &= P(G \cap M) + P\left(\overline{G} \cap M \right) \\\\
    &= 0,001 \times 0,8+ 0,999 \times 0,01 \\\\
    &=0,01079
    \end{align*}$
    $\quad$
    Par conséquent
    $\begin{align*} P_M(G) &= \dfrac{P(M \cap G)}{P(M)} \\\\
    & = \dfrac{0,0008}{0,01079} \\\\
    & \approx 0,0741
    \end{align*}$
    $\quad$

Partie B

  1. $a=0,3 – \dfrac{1}{\sqrt{150}} \approx 0,2184$
    $b=0,3 + \dfrac{1}{\sqrt{150}} \approx 0,3816$
    $\dfrac{s}{n} = \dfrac{40}{150} \approx 0,2667$
    Donc $a \le \dfrac{s}{n} \le b$.
    L’algorithme affichera “résultats conformes”.
    $\quad$
  2. $a=0,3 – \dfrac{1}{\sqrt{200}} \approx 0,2293$
    $b=0,3 + \dfrac{1}{\sqrt{150}} \approx 0,3707$
    $\dfrac{s}{n} = \dfrac{75}{200} =0,375$
    Donc cette valeur n’est pas comprises entre $a$ et $b$.
    L’algorithme affichera “résultats non conformes”.
    $\quad$
  3. L’intervalle $[a;b]$ correspond à un intervalle de fluctuation au seuil de $0,95$ du pourcentage de patients traités qui auront des effets secondaires.
    $\quad$

Exercice 4

  1. $U_4 = 10 \times 3^4 = 810$
    Réponse b
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align*} V_0 +V_1+_ldots+ V_10 &= 0 + 5 + 5 \times 2 + \ldots + 5\times 10 \\\\
    &= 5(1 + 2 + \ldots  10) \\\\
    &= 5 \times \dfrac{11 \times 10}{2} \\\\
    &= 275
    \end{align*}$
    Réponse d
  3. La suite $(a_n)$ est une suite géométrique de premier terme $a_0 = 150$ et de raison $1,1$.
    On a ainsi $a_n = 150 \times 1,1^n$
    Réponse d
    $\quad$
  4. On cherche la valeur de $n$ telle que $a_n \ge 300$
    On a alors $a_7 \approx 292,31$ et $a_8 \approx 353,69$.
    C’est donc pour $n=8$ que la ville dépassera son objectif soit en 2020.
    Réponse c

 

Bac STMG – Centres étrangers – Juin 2015

Centres étrangers – Juin 2015

Bac STMG – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici .

Exercice 1

  1. $P(8,1 \le X \le 8,3) \approx 0,954$.
    Réponse d
    $\quad$
  2. $n = 800$ et $f = \dfrac{560}{800} = 0,7$.
    Un intervalle de confiance est :
    $\begin{align*} I_{800} &= \left[0,7 – \dfrac{1}{\sqrt{800}};0,7 + \dfrac{1}{\sqrt{800}} \right] \\\\
    & \approx [664;0,736]
    \end{align*}$
    Réponse a
    $\quad$
  3. 1. On a $p\left(\overline{A}\right) = 1-0,4 = 0,6$.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(B) &= p(A \cap B) + p\left(\overline{A} \cap B\right) \\\\
    &= 0,4 \times 0,1 + 0,6 \times 0,2 \\\\
    &= 0,04 + 0,12 \\\\
    &= 0,16
    \end{align*}$
    Réponse d
    $\quad$
    2. $\quad$
    $\begin{align*} p_B(A) &=\dfrac{p(A \cap B)}{p(B)} \\\\
    &= \dfrac{0,4 \times 0,1}{0,16} \\\\
    &= 0,25
    \end{align*}$
    Réponse a
    $\quad$

Exercice 2

  1. a. $\quad$
    $\begin{array}{|c|c|c|}
    \hline
    \text{Année} & \text{Effectif} & \text{Taux d’évolution annuel} \\\\
    \hline
    2010&250& \\\\
    \hline
    2011&225& -10\% \\\\
    \hline
    2012&202&-10\% \\\\
    \hline
    2013&182&-10\% \\\\
    \hline
    2014&164&-10\%\\\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    On constate que le nombre de limicoles baisse chaque année d’environ $10\%$.
    $\quad$
    b. En suivant la même évolution, on obtient les effectifs suivants :
    $\begin{array}{|c|c|}
    \hline
    \text{Année} & \text{Effectif} \\\\
    \hline
    2014&164 \\\\
    \hline
    2015&148 \\\\
    \hline
    2016&133 \\\\
    \hline
    2017&120\\\\
    \hline
    2018&108\\\\
    \hline
    2019&97\\\\
    \hline
    \end{array}$
    L’alerte sera donc déclenchée avant 2020.
    $\quad$
  2. a. Au premier janvier 2015, il y aura donc $164 \times (1-0,06) +20 = 174,16$ soit $174$ limicoles.
    $\quad$
    b. On a pu entrer, en $C2$, la formule suivante :
    $$=B2*0,94+20$$
    $\quad$
    c. Ces mesures permettent d’augmenter chaque année le nombre de limicoles sur l’île de Ré. En regardant l’évolution sur les années suivantes, on constate qu’en 2026 on dépassera l’effectif de 2010. Ces mesures semblent donc adaptée.

$\quad$

Exercice 3

  1. a. Le taux d’évolution demandée est de $22,9 \%$.
    $\quad$
    b. En 2011, il y avait donc $1~268 \times \left(1 + \dfrac{22,9}{100}\right) = 1~558,372$ milliers de voitures neuves équipées d’un moteur diesel.
    $\quad$
  2. On cherche la valeur de $t$ telle que $126 \times \left(1 + \dfrac{t}{100}\right)^2=122,9$.
    $\quad$
    Par conséquent $\left(1 + \dfrac{t}{100}\right)^2 = \dfrac{122,9}{126}$.
    $\quad$
    D’où $1 + \dfrac{t}{100} = \sqrt{\dfrac{122,9}{126}} \approx 0,9876$.
    $\quad$
    Ainsi $\dfrac{t}{100} \approx -0,0124$ et $t\approx -1,24$.
    $\quad$
    Le taux d’évolution moyen annuel entre $2009$ et $2011$ est de $-1,24\%$.
    $\quad$
  3. a. Une équation de la droite d’ajustement affine est :
    $$y = 2,49x+102,63$$
    $\quad$
    b.
    bac STMG-amerique du nord - juin2015-ex3$\quad$
    c. A l’aide de ce modèle, on obtiendrait les indices suivants :
    En 2012 : $2,5 \times 11 + 102,6 = 130,1$
    En 2013 : $2,5 \times 12 + 102,6 = 132,6$
    $\quad$
  4. a. Le nombre d’immatriculations en 2012 et 2013 a baissé par rapport à 2011. On peut donc remettre en question l’estimation précédente.
    $\quad$
    b. En deux ans, entre 2011 et 2013, le nombre d’immatriculation a baissé de $\dfrac{1~182,2 – 1~558,2}{1~558,2} \approx 24,13\%$.
    Si cette tendance se poursuit, on aura en 2015 $1~182,2 \times (1-0,2413) \approx 896,9$ milliers d’imatriculations.
    $\quad$

Exercice 4

Partie A

  1. Il suffit de lire $f(1) = 90$.
    La fabrication d’une tonne de bouteilles coûte donc $90~000$ euros.
    $\quad$
  2. On lit l’abscisse du point de la courbe dont l’ordonnée est $130$. Il s’agit d’environ $4,7$.
    Il faut donc produire environ $4,7$ tonnes de bouteilles pour avoir un coût de $130~000$ euros.
    $\quad$

Partie B

  1. $\quad$
    $\begin{align*} C_M(x) &= \dfrac{0,5x^3-4x^2+20x+72}{x} \\\\
    &= 0,5x^2-4x+20+\dfrac{72}{x}
    \end{align*}
    Ainsi
    $\begin{align*} C_M'(x) &= 2\times 0,5x – 4 – \dfrac{72}{x^2} \\\\
    &= x-4-\dfrac{72}{x^2} \\\\
    & = \dfrac{x^3-4x^2-72}{x^2}
    \end{align*}$
  2. Or
    $\begin{align*} (x-6)(x^2+2x+12) &=x^3+2x^2+12x-6x^2-12x-72 \\\\
    &=x^3-4x^2-72
    \end{align*}$
    Donc on a bien $$C_M'(x) = \dfrac{(x-6)\left(x^2+2x+12\right)}{x^2}$$
  3. On considère l’expression $x^2+2x+12$, avec $a=1$, $b=2$ et $c=12$
    $\Delta = -44<0$. Il n’y a donc pas de racines.
    Ce polynôme est donc du signe de $a$, c’est-à-dire positif.
    Puisque $x^2$ est toujours positif, le signe de $C_M'(x)$ ne dépend donc que de celui de $x-6$.
    $\quad$
    On obtient ainsi le tableau de variations suivant :
    bac STMG-amerique du nord - juin2015-ex4
    $\quad$
  4. Il faut donc produire $6$ tonnes de bouteilles pour avoir un coût moyen minimal.
    $\quad$

Partie C

  1. $\quad$
    $\begin{align*} B(x) &= 40x – f(x) \\\\
    &=40x – \left(0,5x^3-4x^2+20x+72\right) \\\\
    &=40x-0,5x^3+4x^2-20x-72 \\\\
    &=-0,5x^3+4x^2+20x-72
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. $B(6,5) = 89,6875$.
    Le bénéfice associé à une production de $6,5$ tonnes est donc de $89~687,5$ euros.
    $\quad$
  3. $B(6) =84$.
    On a donc $B(6) < B(6,5)$.
    L’affirmation est donc fausse.

$\quad$

 

2014-2015

Retrouvez ici les corrections des sujets de mathématiques du bac STMG 2014-2015

Pondichéry – Avril 2015

Centres étrangers – Juin 2015

Polynésie – Juin 2015

Métropole – Juin 2015

Antilles Guyane – Juin 2015

Métropole – Septembre 2015

Antilles Guyane – Septembre 2015

Polynésie – Septembre 2015

Nouvelle Calédonie – Novembre 2015

Bac STMG – Pondichéry – avril 2015

Pondichéry – Avril 2015

Bac STMG – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Exercice 1

Partie A : taux d’évolution

  1. a. Il faut rentrer la formule $=(E3-D3)/D3$
    $\quad$
    b. Le taux d’évolution du RDB de 2012 à 2013 est $\dfrac{1~326,30-1~318,10}{1~3818,10} \approx 0,62\%$
    $\quad$
  2. a. $1~285,4 \times \left(1 + \dfrac{1,05}{100}\right)^3 \approx 1326,32$.
    Le taux annuel moyen d’évolution du RDB entre 2010 et 2013 est environ égal à $1,05\%$.
    $\quad$
    b. Avec ce taux, le RDB pour l’année 2014 est $1326,30 \times \left(1 + \dfrac{1,05}{100}\right) \approx 1340,23$ milliards d’euros.
    $\quad$

Partie B : ajustement affine

  1. Une équation de la droite $\mathscr{D}$ est $y=12,94x+1~277,95$.
    $\quad$
  2. $\quad$
    STMG - bac - pondichéry - avril 2015 - ex1
    $\quad$
  3. En 2014, le RDB peut être estimé à $1~342,65$ milliards d’euros à l’aide de cet ajustement.
    $\quad$

Partie C : comparaison des deux prévisions

$1~340 \times \left (1 – \dfrac{1}{100}\right) = 1~326,6$ et $1~340 \times \left (1 + \dfrac{1}{100}\right) = 1~353,4$
Les valeurs obtenues en A.2.b et B.3 appartiennent bien à $[1~326,6;1~353,4]$. Elles sont donc acceptables.
$\quad$

Exercice 2

Partie A : l’entraînement d’Ugo

  1. La deuxième semaine, Ugo a parcouru $40 + 5 = 45$ km.
    La troisième semaine, Ugo a parcouru $45 + 5 = 50$ km.
    $\quad$
  2. La différence entre deux termes consécutifs est constante. La suite $(u_n)$ est donc arithmétique de raison $5$.
    $\quad$
  3. Variables :
    $\quad$ $u$ est un réel
    $\quad$ $i$ et $n$ sont des entiers naturels
    Entrée :
    $\quad$ Saisir $n$
    Initialisation : 
    $\quad$ $u$ prend la valeur $40$
    Traitement :
    $\quad$ Pour $i$ allant de $1$ à $n$
    $\quad$ $\quad$ $u$ prend la valeur $u+5$
    $\quad$ Fin Pour
    Sortie :
    $\quad$ Afficher $u$
    $\quad$
  4. La suite $(u_n)$ est arithmétique de raison $5$ et de premier terme $u_1 = 40$.
    Ainsi, pour tout $n \ge 1$,
    $\begin{align*} u_n &= 40 + 5(n – 1)\\\\
    & = 40 + 5n – 5 \\\\
    & = 35 + 5n
    \end{align*}$
    $\quad$

Partie B : l’entraînement de Vivien

  1. Vivien augment la distance parcourue de $10\%$ chaque semaine. La suite $(v_n)$ est donc géométrique de raison $1 + \dfrac{10}{100} = 1,1$. Le premier terme de la suite est $v_1 = 30$.
    $\quad$
  2. Ainsi $v_n = 30 \times 1,1^{n-1}$.
    $\quad$
  3. $v_8 = 30 \times 1,1^7 \approx 58,5$.
    $\quad$

Partie C : comparaison des deux entraînements

  1. En utilisant les formules trouvées dans les parties A et B et la calculatrice, on constate que :
    $u_{16} = 110$ et $v_{16} \approx 113,92$.
    Vivien parcourra bien une distance supérieure à celle parcourue par Ugo.
    $\quad$
  2. On appelle $D_1$ la distance totale parcourue par Ugo sur les $20$ semaines :
    $\begin{align*}
    S_1 & = u_1+u_2+\ldots + u_{17} + u_{18} + u_{19} + u_{20} \\\\
    & = 35 \times 17 + 5 (1 + 2 + \ldots + 17) + 80 + 80 + 80 \\\\
    & = 595 + 5 \times \dfrac{ 17 \times 18}{2} + 240 \\\\
    & = 835 + 5 \times 153 \\\\
    & = 1~600 \\\\
    & > 1~500
    \end{align*}$
    Ugo atteindra donc son objectif.
    $\quad$
    On appelle $D_2$ la distance totale parcourue par Vivien sur les $20$ semaines :
    $\begin{align*}
    D_2 &= v_1+v_2 + \ldots + v_{17}+v_{18}+v_{19}+v_{20} \\\\
    & = 30 \times \dfrac{ 1 – 1,1^{17}}{1 – 1,1} + 80 + 80 + 80 \\\\
    & \approx 1~456 \\\\
    & < 1~500
    \end{align*}$
    Vivien n’atteindra donc pas son objectif.
    $\quad$

Exercice 3

  1. Etude graphique
    a. Quand $x=0,5$ alors le ballon est à $3$ mètres de haut.
    $\quad$
    b. La hauteur maximale atteinte par le ballon est d’environ $5$ mètres. Les $5,5$ mètres ne sont donc pas atteints.
    $\quad$
  2. Etude de la fonction $f$
    a.
    $f$ est dérivable sur $[0;6]$ en tant que fonction polynomiale.
    $\begin{align*} f'(x) &= -2 \times 0,4x + 2,2 \\\\
    & = -0,8x + 2,2
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. Étudions le signe de $f'(x)$
    $\begin{align*} -0,8x + 2,2 > 0 &\Leftrightarrow -0,8x > -2,2 \\\\
    & \Leftrightarrow x < 2,75
    \end{align*}$
    On obtient ainsi le tableau de variations suivant :
    STMG - bac - pondichéry - avril 2015 - ex3$\quad$
    c. La hauteur maximale est donc de $5,025$ mètres.
    $\quad$
  3. $g(5,3) = 2,742 < 2,9$.
    Le ballon ne rebondit pas sur le panneau.
    $\quad$
    $h(5,3) = 3,113 \in [2,9;3,5]$.
    Le ballon rebondit sur le panneau.
    $\quad$

Exercice 4

  1. La probabilité $p(B) = 1 – p(R) = 1 – 0,75 = 0,25$.
    $\quad$
  2. On a $p_R(G) = 0,2$. Donc $p(R \cap G) = 0,75 \times 0,2 = 0,15$
    $\quad$
  3. D’après la formule des probabilités totales, on a :
    $\begin{align*}
    p(G) & = p(R \cap G) + p(B \cap G) \\\\
    & = 0,15 + 0,25 \times 0,4 \\\\
    & = 0,25
    \end{align*}$
    $\quad$
  4. $P(19,98 \le X \le 20,02) \approx 0,8176 \approx 0,818$