Bac STMG – Nouvelle Calédonie – Novembre 2016

Nouvelle Calédonie – Novembre 2016

Bac STMG – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. Le taux d’évolution du prix du timbre entre 2005 et 2015 est :
    $t=\dfrac{0,76-0,53}{0,53} \approx 43,4\%$
    Réponse b
    $\quad$
  2. On appelle $T$ le taux d’évolution annuel moyen du prix du timbre entre 2005 et 2015.
    On a ainsi $\left(1+\dfrac{T}{100}\right)^{10}=1,434$
    Donc $1+\dfrac{T}{100}=1,434^{1/10}$
    D’où $\dfrac{T}{100}=1,434^{1/10}-1$
    Par conséquent $T=100\left(1,434^{1/10}-1\right)\approx 3,67$.
    Réponse b
    $\quad$
  3. On peut saisir la formule $=(C2-B2)/B2$
    Réponse c
    $\quad$
  4. En 2020, le prix du timbre sera de $0,76\times 1,04^5\approx 0,92$
    Réponse c

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. $60\%$ des clients choisissent un petit modèle donc $P(T)=0,6$.
    Parmi ceux qui choisissent un petit modèle, $50\%$ y ajoutent des produits laitiers donc $P_T(L)=0,5$.
    $\quad$
  2. On obtient l’arbre de probabilités suivant :
    bac-stmg-nouvelle-caledonie-nov2014-ex2
  3. On veut calculer $P(T\cap L)=0,6\times 0,5=0,3$
    $\quad$
  4. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(L)&=P(T\cap L)+P\left(\overline{T}\cap L\right) \\
    &=0,3+0,4\times 0,8 \\
    &=0,62 \\
    &< \dfrac{2}{3}
    \end{align*}$
    L’affirmation est donc vraie.
    $\quad$
  5. $P_L(T)$ $=\dfrac{P(L\cap T)}{P(L)}$ $=\dfrac{0,3}{0,62}$ $=\dfrac{15}{31}$
    Cela signifie que la probabilité qu’un client ait choisi un petit modèle sachant qu’il a ajouté des produits laitiers à son panier est de $\dfrac{15}{31}$.
    $\quad$

Partie B

  1. $P(X \pp 150) = 0,5-P(150 \pp X \pp 180) \approx 0,159$
    $\quad$
  2. $P(135 \pp X \pp 180)\approx 0,433$ signifie que la probabilité que le nombre de yaourts vendus au marché soit compris entre $135$ et $180$ est d’environ $0,433$.
    $\quad$
  3. On a $P(180-45\pp X \pp 180) =P(135 \pp X \pp 180)\approx 0,433$ donc $P(180 \pp X \pp 225)=P(180 \pp X \pp 180+45)\approx 0,433$.
    On sait que $P(X \pg 225)=P(X \pp 135)$.
    Or $P(135 \pp X \pp 225)=1-P(X \pg 225)-P(X \pp 135)$
    Soit $0,433\times 2=1-2P(X \pg 225)$
    D’où $ -0,134=-2P(X \pg 225)$
    Finalement $P(X \pg 225) = 0,067$
    $\quad$
  4. On sait que $P(X \pg 225) = 0,067$.
    La probabilité qu’il ait besoin de compléter son stock est donc d’environ $6,7\%$.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A ; Lecture graphique

  1. Le coût de production de $10$ milliers de tablettes est d’environ $2,8$ millions d’euros.
    $\quad$
  2. Le coût de production sera supérieur à $8~000$ milliers d’euros à partir de $20$ milliers de tablettes produites.
    $\quad$
  3. voir graphique
    bac-stmg-nouvelle-caledonie-nov2014-ex3

Partie B : Étude du bénéfice

  1. Le bénéfice de l’entreprise est donné par :
    $\begin{align*} B(x)&=R(x)-C(x) \\
    &=480x+\dfrac{1}{3}x^3-22x^2-96x\\
    &=\dfrac{1}{3}x^3-22x^2+384x
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} B'(x)&=\dfrac{1}{3}\times 3x^2-22\times 2x+384 \\
    &=x^2-44x+384
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. a. $\Delta = (-44)^2-4\times 384\times 1=400>0$.
    Les solutions de l’équation sont donc :
    $x_1=\dfrac{44-\sqrt{400}}{2}=12$ et $x_2=\dfrac{44+\sqrt{400}}{2}=32$.
    $\quad$
    b. Le coefficient principal du polynôme du second degré $B'(x)$ est $a=1$.
    Le polynôme $B'(x)$ est donc positif à l’extérieur de l’intervalle $\left[x_1;x_2\right]$.
    Par conséquent $B'(x) \pg 0$ sur l’intervalle $[0;12]$ et $B'(x) \pp 0$ sur l’intervalle $[12;30]$.
    On obtient le tableau de variation suivant :
    bac-stmg-nouvelle-caledonie-nov2014-ex31
  4. Le bénéfice est donc maximal si l’entreprise produit $12$ milliers de tablette.
    Ce bénéfice est alors de $2~016$ milliers d’euros.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. a. L’autonomie baisse de $15\%$ chaque année d’utilisation.
    On a donc $u_1=(1-0,15) \times u_0=0,85\times 8 = 6,8$.
    $\quad$
    b. $u_2=0,85\times 6,8=5,78$.
    Cela signifie donc, qu’après $2$ ans d’utilisation l’autonomie de la tablette est de $5,78$ heures.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel on a $u_0=8$ et $u_{n+1}=0,85u_n$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,85$.
    $\quad$
  3. Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=8\times 0,85^n$
    En 2020, $n=5$ donc $u_5=8\times 0,85^5 \approx 3,55$.
    L’autonomie en 2020 sera de $3,55$ heures environ.
    $\quad$
  4. On construit le tableau d’état des différentes variables.
    $\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{valeur de } n&0&1&2&3&4&5\\
    \hline
    \text{valeur de }u&8&6,8&5,78&4,91&4,18&3,55 \\
    \hline
    \end{array}$
    Ainsi l’algorithme affichera $5$.

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Bac STMG – Antilles Guyane – Juin 2016

Antilles Guyane – Juin 2016

Bac STMG – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. Le taux d’évolution du chiffre d’affaire du tourisme en ligne entre 2006 et 2009 est :
    $t=\dfrac{9,6-4,2}{4,2} \approx 1,285~7 \approx 128,57\%$
    $\quad$
  2. Le coefficient multiplicateur global est environ $2,285~7$.
    On cherche la valeur de $x$ telle que :
    $\begin{align*} \left(1+\dfrac{x}{100}\right)^3=2,285~7 &\ssi 1+\dfrac{x}{100}=2,285~7^{1/3} \\
    &\ssi \dfrac{x}{100} = 2,285~7^{1/3}-1 \\
    &\ssi x = 100\left(2,285~7^{1/3}-1\right) \\
    &\ssi x \approx 31,73
    \end{align*}$
    Le taux d’évolution annuel moyen du tourisme en ligne en France entre les années 2006 et 2009 est donc d’environ $31,73\%$.
    $\quad$
  3. $12,4\times \left(1+\dfrac{9}{100}\right)^3 \approx 16,06$.
    On peut donc estimer le chiffre d’affaire du tourisme en ligne en France en 2016 à $16,06$ milliard d’euros.
    $\quad$

Partie B

  1. $\quad$
    bac STMG - Antilles Guyane - juin 2016 - ex1
  2. a. La calculatrice nous donne l’équation suivante : $y=1,22x+3,14$
    $\quad$
    b. Voir graphique.
    $\quad$
  3. En 2016, on a $x=11$ donc $y=1,2\times 11 + 3,1 =16,3$.
    Cet ajustement permet de dire que le chiffre d’affaire du tourisme en France en 2016 sera d’environ $16,3$ milliard d’euros.
    $\quad$

Partie C

  1. L’indice de 2012 est $I=\dfrac{1~293\times 100}{1~036} \approx 124,8$
    $\quad$
  2. En 2013, le nombre de plaintes enregistrées s’élève à $\dfrac{1~036\times 183,4}{100} \approx 1~900$.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. Selon ce modèle, le pic de l’épidémie est atteint au bout de $6$ semaines.
    $\quad$
  2. $\quad$
    bac STMG - Antilles Guyane - juin 2016 - ex2-2

    Pendant $4$ semaines le nombre de malades a été supérieur ou égal à $600$.
    $\quad$
  3. a. $f(x) \geqslant 600$
    revient à $-30x^2+360x-360 \geqslant 600$
    soit $-30x^2+360x-960 \geqslant 0$
    en divisant par $30$ on obtient $-x^2+12x-32 \geqslant 0$
    $\quad$
    b. Le discriminant est $\Delta = 12^2-4\times (-1) \times (-32) = 16 > 0$
    Les racines sont $x_1=\dfrac{-12-\sqrt{16}}{-2}=8$ et $x_2=\dfrac{-12+\sqrt{16}}{-2}=4$
    Puisque $a=-1<0$ les solutions de l’inéquation $-x^2+12x-32 \geqslant 0$ sont les nombres appartenant à l’intervalle $[4;8]$.
    $\quad$
    c. $8-4=4$. On retrouve bien le résultat obtenu à la question 2. .
    $\quad$

Partie B

  1. a. $f'(x)=-30\times 2x+360 = -60x+360$
    $\quad$
    $\begin{align*} f'(x) \geqslant 0 &\ssi -60x+360 \geqslant 0 \\
    &\ssi -60x \geqslant -360 \\
    &\ssi x \leqslant \dfrac{-360}{-60} \\
    &\ssi x \leqslant 6
    \end{align*}$
    Donc $f'(x)\geqslant 0$ sur l’intervalle $[2;6]$
    $\quad$
    b. On obtient le tableau de variations suivant :
    bac STMG - Antilles Guyane - juin 2016 - ex2
  2. a. $f'(3)=-60\times 3 + 360 = 180$
    $\quad$
    b. Voir graphique.
    $\quad$
  3. $f'(4)=-60\times 4+360 = 120 < 180$
    Donc la grippe se propage plus vite au bout de $3$ semaines qu’au bout de $4$ semaines.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. On obtient l’arbre de probabilité suivant :
    bac STMG - Antilles Guyane - juin 2016 - ex3
  2. a. $A\cap C$ est l’événement “les fruits utilisés proviennent du fournisseur A et sont retenus pour la fabrication de la confiture”.
    $\quad$
    b. $p(A\cap C)=0,25 \times 0,95 =0,237~5$.
    $\quad$
    c. $p(A\cap C)\neq 0$. $A$ et $C$ ne sont donc pas incompatibles.
    Cela signifie qu’on peut trouver des fruits du fournisseur A retenus pour la fabrication de la confiture.
    $\quad$
  3. a. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(C)&=p(A\cap C)+p(B \cap C) \\
    &=0,237~5+0,75\times 0,8 \\
    &=0,837~5 \\
    &\approx 0,84
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. $p(A)\times p(C)=0,25 \times 0,837~5 \approx 0,21 \neq 0,237~5=p(A \cap C)$
    Les deux événements ne sont donc pas indépendants.
    $\quad$
  4. $p_C(A)=\dfrac{p(C\cap A)}{p(C)} \approx 0,28$.
    Cela signifie qu’environ $28\%$ des fruits retenus pour la fabrication de la confiture proviennent du fournisseur A.
    $\quad$

Partie B

  1. $p(245 \leqslant M\leqslant 255) \approx 0,95$
    $\quad$
  2. Puisque $\mu=250$ alors $p(245\leqslant M \leqslant 250)=p(250\leqslant M \leqslant 255)$
    Par conséquent $p(250\leqslant M \leqslant 255) = \dfrac{p(245\leqslant M \leqslant 255)}{2} \approx 0,48$
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. $1-\dfrac{5}{100}=0,95$.
    Donc $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,95$ et de premier terme $1~100$
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a : $u_n=1~100\times 0,95^n$
    Réponse a
    $\quad$
  2. On peut saisir $=C2*0,95$.
    Réponse b
    $\quad$
  3. En 2014, $u_4 \approx 896 > 550$
    En 2023, $u_{13} \approx 565 > 550$
    En 2024, $u_{14} \approx 536 < 550$
    Réponse a
    $\quad$
  4. L’algorithme 2 ne convient pas car on ne rentre jamais dans la boucle tant que.
    L’algorithme 3 ne convient pas car on ne modifie jamais A
    Réponse a

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Bac STMG – Métropole – Juin 2016

Métropole – Juin 2016

Bac STMG – Mathématiques – Correction

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Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. Réponse c
    On a $f'(4)=0$ donc la tangente est horizontale.
    On sait de plus que $f'(4)=18$ donc une équation de la tangente est $y=18$.
    $\quad$
  2. si on suppose que $f'(x)$ est un trinôme du second degré alors son coefficient principal est négatif car il s’annule entre ses racines $1$ et $4$.
    Donc on exclut les réponses b et d.
    Si $f'(x)=-3x^2-15x-12$ alors $f'(1)=-3-15-12=-30 \neq 0$.
    Réponse a
    $\quad$

Partie B

  1. On calcule $P(60 \leqslant X \leqslant 72)$ avec les différentes valeurs proposées :
    Si $\sigma = 3$ alors $P(60 \leqslant X \leqslant 72) \approx 0,95$
    Réponse a
    $\quad$
  2. On veut calculer $P(X > 60) = 0,5-P(60 \leqslant X \leqslant 66) \approx 0,023$ en utilisant $\sigma = 3$. Ce résultat est proche de $0,025$.
    Réponse d

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. D’après l’énoncé $u_0=42~000$ et $u_{12}=0$ (car la production sera nulle en 2027).
    $\quad$
  2. La suite $\left(u_n\right)$ est arithmétique de raison $r$ et de premier terme $u_0=42~000$.
    On a donc $u_n=42~000+nr$
    Par conséquent $0=42~000+12n$
    Soit $n=-\dfrac{42~000}{12}=-3~500$
    On doit donc diminuer chaque année la production sur le site A de $3~500$ véhicules.
    $\quad$

Partie B

  1. La production augmente de $5\%$ donc le coefficient multiplicateur est $1+\dfrac{5}{100}=1,05$.
    Ainsi $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $1,05$ et de premier terme $v_0=53~000$.
    $\quad$
  2. On a donc, pour tout entier naturel $n$, $v_n=53~000\times 1,05^n$.
    $\quad$
  3. En 2016, on a $n=1$ donc $v_1=53~000 \times 1,05 = 55~650$.
    Le site B produira donc $55~650$ véhicules en 2016.
    $\quad$
    En 2017, on a $n=1$ donc $v_2=53~000 \times 1,05^2 = 58~432,5$.
    Le site B produira donc environ $58~433$ véhicules en 2017.
    $\quad$
  4. Le nombre $k$ correspond au nombre d’années nécessaire pour que le site B produise l’intégralité des $95~000$ véhicules.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. La calculatrice nous fournit l’équation $y=-9,52x+574,01$
    $\quad$
  2. $\quad$
    STMG - métropole - juin 2016 - ex3
  3. En 2016, on a alors $x=13$
    Donc $y=-9,5\times 13+574=450,5$.
    On peut donc prévoir $450,5$ million de tonnes de gaz à effet de serre en 2016 en France.
    $\quad$

Partie B

  1. Le taux d’évolution global est $\dfrac{490,01-557,21}{557,21} \approx -12,06\%$ entre 2004 et 2011.
    $\quad$
  2. Le coefficient multiplicateur global est environ $0,8794$.
    On peut tester si le résultat fourni permet de retrouver le coefficient multiplicateur.
    On peut aussi retrouver la valeur.
    On veut déterminer la valeur de $x$ telle que :
    $\begin{align*} \times \left(1-\dfrac{x}{100}\right)^7=0,8794& \ssi 1-\dfrac{x}{100}= 0,8794^{1/7} \\
    &\ssi -\dfrac{x}{100} = 0,8794^{1/7}-1 \\
    &\ssi x=100\left(1-0,8794^{1/7}\right)\\
    &\ssi x \approx 1,82
    \end{align*}$
    La baisse annuelle moyenne d’émission de gaz à effet de serre sur la période en environ de $1,82\%$.
    $\quad$
  3. Si cette baisse continue, on émettra en 2016 $490,01 \times \left(1-\dfrac{1,82}{100}\right)^5 \approx 447,01$ million de tonnes de gaz à effet de serre en France.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

Partie A

  1. $f(10) = \dfrac{75\times 10}{10+2}=62,5<70$.
    L’objectif fixé ne sera donc pas atteint.
    $\quad$
  2. $\quad$
    STMG - métropole - juin 2016 - ex4Il faut donc $4$ semaines pour que le pourcentage d’habitants ayant pris connaissance de la marque passe de $50\%$ à $60\%$.
    $\quad$
  3. Il s’agit de dériver un quotient.
    Pour tout réel $x\in[0;15]$, on a
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{75(x+2)-1\times 75x}{(x+2)^2} \\
    &=\dfrac{75x+150-75x}{(x+2)^2} \\
    &=\dfrac{150}{(x+2)^2}
    \end{align*}$
    $\quad$
  4. Le dénominateur est un carré; il est donc positif.
    Par conséquent $f'(x)>0$ pour tout $x\in[0;15]$.
    La fonction $f$ est donc strictement croissante sur cet intervalle.
    $\quad$
  5. Pour répondre à cette question, on calcule $f(15) = \dfrac{1~125}{17} \approx 66,2$.
    L’objectif fixé n’est donc pas atteint. Il faudra bien un délai supplémentaire.
    $\quad$
  6. Pour trouver ce délai supplémentaire, on va résoudre l’inéquation suivante :
    $\begin{align*} f(x)>70 &\ssi \dfrac{75x}{x+2}> 70 \\
    &\ssi 75x > 70(x+2) \\
    &\ssi 75x > 70x + 140 \\
    &\ssi 5x > 140 \\
    &\ssi x> \dfrac{140}{5} \\
    &\ssi x > 28
    \end{align*}$
    Il faut donc $28$ semaines pour atteindre l’objectif. L’agence doit donc demander $13$ semaines supplémentaires de campagne.
    $\quad$

Partie B

  1. On calcule $f(3)=\dfrac{75\times 3}{3+2}=45$
    Donc $p(C)=0,45$.
    $\quad$
    On obtient l’arbre pondéré suivant :
    STMG - métropole - juin 2016 - ex4.1
  2. On veut calculer $p(C \cap A) = 0,45 \times 0,2 = 0,09$
    $\quad$
  3. $p(A)=0,45\times 0,2+0,55 \times 0,04 = 0,112$.
    $\quad$
  4. Un intervalle de fluctuation est :
    $\begin{align*} I_{500}&=\left[0,112-\dfrac{1}{\sqrt{500}};0,112+\dfrac{1}{\sqrt{500}}\right] \\
    &\approx [0,067;0,157]
    \end{align*}$
    La fréquence observée est $f= \dfrac{44}{500}=0,088\in I_{500}$
    On ne peut donc pas rejeter, au risque de $5\%$ l’hypothèse formulée.
    $\quad$

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Bac STMG – Centres étrangers – Juin 2016

Centres étrangers – Juin 2016

Bac STMG – Mathématiques – Correction

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Exercice 1

Partie A

  1. $f'(-1)$ correspond au coefficient directeur de $T$.
    Donc $f'(-1)=\dfrac{5-3}{-2-(-1)}=-2$
    Réponse b
    $\quad$
  2. $f'(x)\leqslant 0$ sur l’intervalle $I$ si, et seulement $f$ est décroissante sur $I$.
    $f$ est décroissante sur $[-3;2]$.
    Réponse b
    $\quad$

Partie B

  1. $g'(x)=-2\times 3x^2+3\times 2x+12=-6x^2+6x+12$
    Réponse b
    $\quad$
  2. On trace la courbe et on constate que $g(2)=20$.
    Le maximum vaut donc au moins $20$.
    Réponse a
    $\quad$

Exercice 2

  1. $p(V)=\dfrac{31,622}{38,204}\approx 0,828$.
    $\quad$
  2. $\quad$
    TSTMG - centres étrangers- juin 2016 - ex2
  3. a. On veut calculer $p(V\cap D)=0,828\times 0,62 = 0,513~36$
    Donc $p(V\cap D) \approx 0,513$
    $\quad$
    b. D’après la formule des probabilités totales, on a :
    $\begin{align*} p(D)&=p(V\cap D)+p\left(\overline{V}\cap D\right) \\
    &=0,513~36+0,172\times 0,94 \\
    &=0,675~04 \\
    &\approx 0,675
    \end{align*}$
    $\quad$
    c. On veut calculer $p_D\left(\overline{V}\right)=\dfrac{p\left(\overline{V}\cap D\right)}{p(D)}=\dfrac{0,172\times 0,94}{0,675}\approx 0,240$.
    $\quad$
  4. On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de véhicule ne roulant pas au diesel.
    Il y a $10$ tirages aléatoires, indépendant, avec remise possédant chacun deux issues : $D$ et $\overline{D}$.
    $p\left(\overline{D}\right)=1-0,675=0,325$
    Ainsi $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,325$.
    $P(X=3)\approx 0,263$
    $\quad$
  5. On appelle $D$ la variable aléatoire qui suit la loi normale d’espérance $\mu=200~000$ et d’écart-type $\sigma =30~000$.
    $P(D\geqslant 260~000) =0,5-P(200~000\leqslant D\leqslant 260~000) \approx 0,023$
    $\quad$

Exercice 3

  1. a. $u_1=1,01\times 1~600 = 1~616$
    $u_2=1,01 \times 1~616 = 1~632,16$
    $\quad$
    b. On a donc pour tout entier naturel compris entre $0$ et $9$ $u_{n+1}=1,01u_n$.
    $\quad$
    c. $\left(u_n\right)$ est donc une suite géométrique de raison $1,01$ et de premier terme $u_0=1~600$.
    Donc $u_n=1~600\times 1,01^n$.
    $\quad$
    d. On cherche la valeur de $n$ à partir de laquelle $u_n \geqslant 1~700$.
    On a $u_6 \approx 1~698,43$ et $u_7 \approx 1~715,42$
    C’est donc à partir de 2021 que le salaire de Justine dépassera $1~700$ euros.
    $\quad$
  2. a. $v_1=1,02\times 1~450+50=1~529$.
    $v_2=1,02^2\times  1~450+50=1~558,58$
    $\quad$
    b. Dans l’algorithme 1, on augmente de $2\%$ le salaire avec la prime de $50$ euros incluse : l’algorithme ne convient donc pas.
    Dans l’algorithme 3, on réinitialise $v$ à $1~450$ à chaque tout de boucle : l’algorithme ne convient donc pas.
    L’algorithme 2 convient donc.
    $\quad$
  3. a. On a $v_6\approx 1~682,94$ et $v_7 \approx 1~715,59$.
    Le salaire de Benjamin dépassera $1~700$ euros à partir de 2021.
    $\quad$
    b. On constate que $u_6>v_6$ et que $u_7<v_7$.
    Le salaire de Benjamin dépasse donc celui de Justine en 2021.
    $\quad$

Exercice 4

Partie A

  1. Le taux d’évolution du nombre d’accidents corporels entre 2005 et 2006 est :
    $$t=\dfrac{80~309-84~525}{84~525}\approx -4,99\%$$
    $\quad$
  2. On peut écrire $=(C3-B3)/B3$
    $\quad$
  3. Le coefficient multiplicateur de l’évolution du nombre d’accidents corporels entre 2005 et 2013 est :
    $$t=\dfrac{56~812}{84~525}\approx 0,672~1$$
    On cherche donc la valeur de $x$ telle que :
    $\begin{align*}\left(1-\dfrac{x}{100}\right)^8=0,672~1 &\ssi 1-\dfrac{x}{100}=0,672~1^{1/8} \\
    &\ssi -\dfrac{x}{100}=0,672~1^{1/8}-1\\
    &\ssi x=100\left(1-0,672~1^{1/8}\right) \\
    &\ssi x\approx 4,85
    \end{align*}$
    Le taux d’évolution annuel moyen du nombre d’accidents corporels entre 2005 et 2013 est d’environ $-4,85\%$.
    $\quad$

Partie B

  1. $\quad$
    TSTMG - centres étrangers- juin 2016 - ex4
  2. Le nombre moyen annuel d’accidents corporels entre 2005 et 2013 est :
    $m=\dfrac{84~525+80~309+\ldots+56~812}{9}\approx 71~385$
    $\quad$
  3. a. Une équation de la droite d’ajustement est : $y=-3~502,7x+85~396,3$.
    $\quad$
    b. voir graphique.
    $\quad$
    c. Selon ce modèle en 2020, $x=15$ et $y=-3~503\times 15+85~396=32~851$.
    Il y aurait donc $32~851$ accidents corporels en 2020 en France métropolitaine.
    $\quad$
  4. a. En 2013, $x=8$ et $f(8)=56~530$.
    Il y aurait donc, selon ce deuxième modèle, $56~530$ accidents corporels en 2013.
    $\quad$
    b. Déterminons le discriminant de ce trinôme du second degré.
    $\Delta = (-2~774)^2-4\times (-91)\times 84~546 =38~469~820>0$
    L’équation $f(x)=0$ possède donc deux solutions :
    $x_1=\dfrac{2~774-\sqrt{\Delta}}{-2\times 91} \approx 18,8 > 0$
    $x_2=\dfrac{2~774+\sqrt{\Delta}}{-2\times 91} \approx -49,3 <0$.
    Si on prend $19$ comme valeur approchée de $x_1$ alors en en 2005+19 soit 2024 le nombre d’accidents corporels sera nul.
    $\quad$
    c. La valeur trouvée grâce à ce model en 2013 est proche de la valeur fournie dans le tableau.
    Selon ce modèle il est possible de réduire à zéro le nombre d’accidents corporels liés à la Sécurité routière en France métropolitaine ce qui est irréaliste.
    $\quad$

Bac STMG – Polynésie – Juin 2016

Polynésie – Juin 2016

Bac STMG – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Exercice 1

Partie A : Approximation de la population en 1871

  1. $\quad$
    TSTMG - polynésie - juin 2016 - ex1
  2. D’après la calculatrice, une équation de la droite d’ajustement affine est : $y=0,701x+35,881$
    $\quad$
  3. voir graphique
    $\quad$
  4. En 1871, on a $x=2$.
    Selon ce modèle, $y=0,7 \times 2 +35,9 = 37,3$.
    En 1871, il y avait donc environ $37,3$ millions d’habitants en France.
    $\quad$

Partie B : Évolution de la population après 1911

  1. En 1921 on a $x=7$
    Alors $y=0,7 \times 7+35,9=40,8$
    Cette valeur est un peu plus élevée que les $39,2$ constatés mais reste dans une zone acceptable
    Le modèle utilisé prévoyait donc d’obtenir une valeur approchée du résultat.
    $\quad$
  2. En 2011 on a $x=16$
    $y=0,7 \times 16+35,9 = 47,1$.
    On est donc très éloigné de la valeur constatée. Le modèle ne reste pas valable jusqu’à nos jours.
    $\quad$

Partie C

  1. Le taux d’évolution global entre 1911 et 2011 est
    $$t=\dfrac{65,2-39,6}{39,6} \approx 64,65\%$$
  2. On cherche donc la valeur de $x$ telle que :
    $\begin{align*} \left(1+\dfrac{x}{100}\right)^{100}=1,6465 &\ssi 1+\dfrac{x}{100}=1,6465^{1/100} \\
    &\ssi \dfrac{x}{100}=1,6465^{1/100}-1 \\
    &\ssi x=100\left(1,6465^{1/100}-1\right) \\
    &\ssi x\approx 0,5
    \end{align*}$
    Le taux d’évolution annuel moyen pendant cette période est d’environ $0,5\%$.
    $\quad$
  3. a. $U_3=39,6\times 1,005^3 \approx 40,2$
    $U_{100}=39,6\times 1,005^{100} \approx 65,2$
    $\quad$
    b. $U_3$ correspond à la population française en millions d’individus en 1914.
    $U_{100}$ correspond à la population française en millions d’individus en 2011.
    $\quad$

Exercice 2

Partie A

  1. Le revenu pour $x$ exemplaires fabriqués et vendus est donné $R(x)=800x$.
    Donc :
    $\begin{align*} f(x)&=R(x)-C(x) \\
    &=800x-0,01x^2-250x+2~500~000\\
    &=-0,01x^2-550x-2~500~000
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. $f'(x)=-0,02x+550$
    $\quad$
  3. On va étudier le signe de $f'(x)$ sur $[0;60~000]$.
    $f'(x)=0 \ssi -0,02x+550=0$ $\ssi 0,02x=550$ $\ssi x=\dfrac{550}{0,02}$ $\ssi x=27~500$
    $f'(x)>0 \ssi -0,02x+550>0$ $\ssi -0,02x>-550$ $\ssi x < \dfrac{550}{0,02}$ $\ssi x < 27~500$
    On obtient ainsi le tableau de variations suivant :
    TSTMG - polynésie - juin 2016 - ex2
  4. L’entreprise doit donc vendre $27~500$ téléphones pour réaliser un bénéfice maximal de $5~062~500$ euros.
    $\quad$
  5. a. Graphiquement, l’entreprise doit vendre entre $10~000$ et $45~000$ téléphones pour réaliser un bénéfice supérieur à $2$ millions d’euros.
    $\quad$
    b. Si l’entreprise produit $60~000$ exemplaires en 2016 alors son bénéfice sera négatif.
    Elle n’a donc pas intérêt à le faire.
    $\quad$

Partie B

  1. En $C2$ on a saisi $=B2/A2$.
    $\quad$
  2. D’après le tableau, le bénéfice unitaire est maximal quand $x=16~000$.
    L’entreprise doit donc fabriquer et vendre $16~000$ exemplaires pour réaliser un bénéfice unitaire maximal.
    $\quad$

Partie C

  1. On appelle $X$ la variable aléatoire qui suit la loi normale d’espérance $\mu=14$ et d’écart type $\sigma=2$.
    On a alors $P(12\leqslant X \leqslant 16)\approx 0,683$.
    $\quad$
  2. $P(X > 18)=0,5-P(14 \leqslant X \leqslant 18)\approx 0,023$
    La probabilité pour qu’un jour donné la production ne soit pas satisfaisante est d’environ $2,3\%$.
    $\quad$

Exercice 3

  1. Un intervalle de fluctuation à au moins $95\%$ de la fréquence des filles est :
    $I_{100}=\left[0,49-\dfrac{1}{\sqrt{100}};0,49+\dfrac{1}{\sqrt{100}}\right]=[0,39;0,59]$
    Réponse b
    $\quad$
    Pour les deux questions suivantes on utilisera cet arbre pondéré.
    TSTMG - polynésie - juin 2016 - ex3
  2. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(D)&=P(F\cap D)+P(G\cap D) \\
    &=0,49\times 0,75+0,51\times 0,2 \\
    &=0,4696
    \end{align*}$
    Réponse a
    $\quad$
  3. $P(F\cap D)=0,49\times 0,75=0,3675$
    Réponse c
    $\quad$
  4. La variable aléatoire $Y$ suit la loi binomiale de paramètres $n=5$ et $p=0,49$.
    A l’aide de la calculatrice, on trouve $P(Y=2)\approx 0,32$
    Réponse b
    $\quad$

 

 

Bac STMG – Pondichéry – Avril 2016

Pondichéry – Avril 2016

Bac STMG – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Exercice 1

Partie A

  1. D’après la calculatrice, la droite $D$ a pour équation :
    $y=-3,08x+177,7$.
    $\quad$
  2. a.
    Bac STMG - Pondichery - avril 2016 -ex1
    b. En 2020, on a $x=25$ donc $y=-3,1 \times 25+177,7=100,2>95$
    Selon ce modèle, la France n’atteindra pas cet objectif.
    $\quad$

Partie B

  1. Le taux d’évolution global entre 1995 et 2013 est :
    $$t=\dfrac{117-173}{173}\approx -32,4\%$$
    $\quad$
  2. On cherche la valeur de $t$ telle que :
    $\left(1-\dfrac{t}{100}\right)^18=1-0,324$ soit $1-\dfrac{t}{100}=0,676^{1/18}$
    Par conséquent $-\dfrac{t}{100}=0,676^{1/18}-1$
    Et donc $t=100-100\times 0,676^{1/18} \approx 2,2$
    Le taux moyen annuel d’évolution des émissions moyennes de CO$_2$ est d’environ $-2,2\%$.
    $\quad$

Partie C

  1. a. $u_1=u_0\times (1-0,021)=117\times 0,979 \approx 114,5$.
    $\quad$
    b. $u_2=u_1\times 0,979 \approx 112,1$
    $\quad$
  2. On passe d’un terme de la suite au suivant en le multipliant par $0,979$.
    Il s’agit donc d’une suite géométrique de raison $0,979$.
    $\quad$
  3. Ainsi $u_n=117 \times 0,979^n$.
    $\quad$
  4. En 2020, $n=7$.
    Donc $u_7=117\times 0,979^7 \approx 100,8 > 95$
    L’objectif européen d’émissions moyennes ne sera donc pas respecté.
    $\quad$

Exercice 2

Partie A

  1. $\quad$
    Bac STMG - Pondichery - avril 2016 -ex2
  2. a. $S\cap T$ est l’événement “La personne a plus de $50$ ans et trie le papier”.
    $\quad$
    b. $p(S\cap T)=0,35\times 0,6=0,21$.
    $\quad$
  3. On veut calculer $p(J\cap T)=0,25 \times 0,8=0,2$.
    $\quad$
  4. D’après la formule des probabilités totales, on a :
    $\begin{align*} p&=p(J\cap T)+p(M\cap T)+p(S\cap T) \\
    &=0,2+0,4\times 0,7+0,21\\
    &=0,69
    \end{align*}$
    $\quad$
  5. On veut calculer $p_T(J)=\dfrac{p(J\cap T)}{p(T)}=\dfrac{0,2}{0,69}\approx 0,29$.
    $\quad$

Partie B

  1. On appelle $X$ la variable aléatoire comptant, parmi ces trois personnes, le nombre de personnes triant le papier.
    Les tirages sont indépendants avec remise, identiques et ne possède que deux issues : $T$ et $\overline{T}$. De plus $p(T)=p=0,69$
    $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=3$ et $p=0,69$.
    On veut calculer $P(X\ge 1)=1-p(X=0)=1-(1-0,69)^3\approx 0,97$.
    $\quad$
  2. Un intervalle de confiance au niveau de confiance de $95\%$ est :
    $\begin{align*} I_{1~500}&=\left[0,69-\dfrac{1}{\sqrt{1~500}};0,69+\dfrac{1}{\sqrt{1~500}}\right] \\
    &\approx [0,66;0,72]
    \end{align*}$
    $\quad$

Exercice 3

Partie A

  1. $f'(x)=0,11\times 2x-0,66 = 0,22x-0,66$
    $\quad$
  2. $0,22x-0,66=0 \ssi 0,22x=0,66\ssi x=3$
    $0,22x-0,66>0 \ssi 0,22x>0,66\ssi x>3$
    On obtient donc le tableau de variations suivant :
    Bac STMG - Pondichery - avril 2016 -ex3
  3. Le minimum est donc $0,87$. Il est atteint pour $x=3$.
    $\quad$

Partie B

  1. a.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    x&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11\\
    \hline
    f(x)&1,3&1&0,9&1&1,3&1,9&2,6&3,6&4,8&6,3&7,9\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    b.
    Bac STMG - Pondichery - avril 2016 -ex3.1
    c.
    C’est en 2014 que le modèle semble le plus éloigné de la réalité.
    $\quad$
  2. En 2016 $x=13$ et $f(13)\approx 11,9$
    Ce modèle permet d’estimer qu’environ $11,9$ millions de disques vinyles seront vendus aux Etats-Unis en 2016.
    $\quad$

 

2015 – 2016


Pondichéry avril 2016

Polynésie juin 2016

Centres étrangers juin 2016

Métropole juin 2016

Antilles Guyane juin 2016

Métropole septembre 2016

Nouvelle Calédonie novembre 2016