Bac STMG – Nouvelle Calédonie – Novembre 2017

Nouvelle Calédonie – Novembre 2017

Bac STMG – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici .

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. On obtient l’arbre de probabilité suivant :
  2. a. $p(B \cap E)=0,7\times 0,1=0,07$
    $\quad$
    b. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(E)&=p(B\cap E)+p(G\cap E) \\
    &=0,07+0,3\times 0,25 \\
    &=0,145
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. a. On note cette probabilité conditionnelle $p_E(G)$.
    $\quad$
    b.
    $\begin{align*} p_E(G)&=\dfrac{p(E\cap G)}{p(G)} \\
    &=\dfrac{0,3\times 0,25}{0,145} \\
    &\approx 0,517
    \end{align*}$
    $\quad$

Partie B

  1. D’après la calculatrice $P(21 \pp T \pp 23,6) \approx 0,575$
    $\quad$
  2. $P(T \pg 23,6)=0,5-P(22 \pp T \pp 23,6) \approx 0,159$
    Cela signifie donc que la probabilité que la cerise choisie soit “gourmande” est environ de $0,159$.
    $P(T\pp 21)=0,5-P(21 \pp T\pp 22)\approx 0,266$
    La probabilité que la cerise choisie soit “déclassée” est environ de $0,266$.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A : Calcul du taux d’évolution

  1. Le taux d’évolution entre 1960 et 1964 est $t=\dfrac{498-449}{449}\approx 0,109$ soit environ $10,9\%$.
    $\quad$
  2. On peut saisir en $C4$ la formule $=(C3-B3)/B3$
    $\quad$
  3. $869\times (1+0,0022)^5\approx 879 \neq 956$
    Le taux d’évolution moyen de la population n’est donc pas de $0,22\%$ par an entre 1990 et 1995.
    Remarque : On pouvait également calculer le taux d’évolution moyen et le comparer à la valeur proposée.
    $\quad$

Partie B : Étude de la série statistique

  1. D’après la calculatrice, une équation de la droite $D$ est $y=78,2x+409,5$.
    $\quad$
  2. a.

    $\quad$
    b. En 2020, on a $x=12$
    Donc $y=78\times 12+410=1~346$
    La population en Inde en 2020 sera, selon ce modèle, environ égale à $1~346$ millions d’habitants.
    $\quad$
    c. On veut donc résoudre :
    $\begin{align*} 78x+410 >1~500 &\ssi 78x > 1~090 \\
    &\ssi x > \dfrac{1~090}{78}
    \end{align*}$
    Or $\dfrac{1~090}{78} \approx 13,97$
    C’est donc à partir de l’année 2030 que la population en Inde devrait dépasser $1,5$ milliard d’habitants.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. $1,03\times 1,025\times 1,025\times 1,025 \times 1,02 \approx 1,131$.
    Le taux d’évolution global de ces cinq augmentations entre janvier 2014 et janvier 2016 est d’environ $13,1\%$.
    $\quad$
  2. $(1+0,025)^5\approx 1,131$.
    Le taux d’évolution annuel moyen du prix de l’abonnement sur cette période est d’environ $2,5\%$.
    $\quad$

Partie B

  1. Le prix du tarif augmente tous les six mois de $2,5\%$.
    La suite $\left(V_n\right)$ est donc géométrique de premier terme $V_0=54$ et de raison $1,025$.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a $V_n=54\times 1,025^n$.
    $\quad$
  3. $V_3=54\times 1,025^3\approx 58,15$.
    Cela signifie donc qu’en juillet 2017 le prix de l’abonnement sera d’environ $58,15$ €.
    $\quad$
  4. On veut trouver le plus petit entier naturel $n$ tel que : $ 54\times 1,025^n >65 $
    On utilise un tableau de valeur démarrant à $n=0$ avec un pas de $1$.
    On obtient $V_7 \approx 64,189$ et $V_8 \approx 65,794$
    C’est donc à partir du $8$ième semestre, soit à partir de janvier 2020 que le prix de l’abonnement aura dépassé $65$ euros.
    $\quad$
  5. La valeur affichée correspond au nombre de semestres nécessaires pour que le prix de l’abonnement dépasse $70$ euros.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie A

  1. On obtient le tableau suivant :
  2. L’équation $f(x)=0$ possède $3$ solutions.
    $\quad$
  3. Le coefficient directeur de la droite $(BD)$ est :
    $a=\dfrac{y_D-y_B}{x_D-x_B}=\dfrac{-10-14}{4-2}=-12$
    $\quad$
    La droite $(BD)$ est la tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point $B$ d’abscisse $2$ donc $f'(2)=-12$.
    $\quad$
  4. La fonction $f’$ est négative sur l’intervalle $[0;4]$ : on exclut la proposition 2.
    $f'(2)=-12$ : c’est donc la proposition 1 qui convient.
    $\quad$

Partie B

  1. $f'(x)=3x^2-6\times 2x=3x^2-12x$.
    $\quad$
  2. Ainsi $f'(5)=3\times 5^2-12\times 5=15$.
    $f(5)=5^3-6\times 5^2+30=5$
    Une équation de la tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point d’abscisse $5$ est $y=f'(5)(x-5)+f(5)$
    Soit $y=15(x-5)+5$
    Donc $y=15x-70$
    $\quad$

 

Énoncé

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Bac STMG – Métropole – Septembre 2017

Centres Métropole – Septembre 2017

Bac STMG – Mathématiques – Correction

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Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
  2. L’événement $Q\cap S$ est l’événement “le salarié a plus de 40 ans et préfère une salle de sport”.
    $p(Q\cap S)=0,55\times 0,4=0,22$.
    $\quad$
  3. a. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(S)&=p(Q\cap S)+p\left(\conj{Q}\cap S\right) \\
    &=0,22+0,45\times 0,7\\
    &=0,535
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. $p(S)>0,5$. Le comité d’entreprise devrait donc choisir de faire construire une salle de sport.
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_S(Q)&=\dfrac{p(S\cap Q)}{p(S)} \\
    &=\dfrac{0,22}{0,535} \\
    &\approx 0,411
    \end{align*}$
    $\quad$

Partie B

  1. $P(60 \pp X\pp 140)\approx 0,95$
    Remarque : on pouvait remarquer qu’on demandait de calculer la probabilité $P(\mu-2\sigma\pp X\pp \mu+2\sigma)$.
    $\quad$
  2. Puisque $\mu=100$ on a $P(X\pg 140)=P(X\pp 60)$.
    Or $P(X\pg 140)+P(X\pp 60)=1-0,95 = 0,05$.
    Donc $2P(X\pg 140)=0,05$ soit $P(X\pg 140)=0,025$
    Par conséquent, $2,5\%$ environ des salariés de l’entreprise utilisent suffisamment la salle de sport pour satisfaire à la recommandation.
    Remarque : en calculant cette probabilité à la calculatrice on obtient $P(X\pg 140) \approx 0,023$. L’écart est dû à l’arrondi fait à la question précédente.
    $\quad$

Partie C

  1. Un intervalle de fluctuation au seuil de $95\%$ de la proportion de personnes satisfaites est :
    $\begin{align*} I_{300}&=\left[0,8-\dfrac{1}{\sqrt{300}};0,8+\dfrac{1}{\sqrt{300}}\right] \\
    &\approx [0,74;0,86]
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. La fréquence observée est $f=\dfrac{228}{300}=0,76\in I_{300}$.
    Les résultats de l’enquête menée par Alix ne permettent pas, au risque de $5\%$, de remettre en question les propos du président.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A : Électricité provenant des énergies renouvelables en Belgique

  1. Voir graphique de la question 3.a.
    $\quad$
  2. À l’aide de la calculatrice, on obtient l’équation $y=1,315x+1,402$.
    $\quad$
  3. a.
    $\quad$
    b. En 2022 on aura $x=17$.
    Par conséquent $y=1,3\times 17+1,4=23,5$.
    En 2022, $23,5\%$ de l’électricité consommée en Belgique proviendra des énergies renouvelables.
    $\quad$
  4. On veut résoudre l’inéquation :
    $1,3x+1,4<25 \ssi 1,3x < 23,6 \ssi x < \dfrac{23,6}{1,3}$.
    Or $\dfrac{23,6}{1,3} \approx 18,15$. En arrondissant à l’entier supérieur on obtient $x \pg 19$.
    C’est donc à partir de l’année 2024 que la part d’électricité issue des énergies renouvelables dépassera $25\%$ en Belgique.
    $\quad$

Partie B : Électricité provenant des énergies renouvelables en France

  1. Le taux d’évolution global de la part d’électricité issue des énergies renouvelables en France entre 2010 et 2014 est :
    $t=\dfrac{18,3-14,8}{14,8}\approx 23,6\%$
    $\quad$
  2. On cherche la valeur de $x$ telle que :
    $\begin{align*} \left(1+\dfrac{x}{100}\right)^4=1,236 &\ssi 1+\dfrac{x}{100}=1,236^{1/4} \\
    &\ssi \dfrac{x}{100}=1,236^{1/4}-1 \\
    &\ssi x=100\left(1,236^{1/4}-1\right)
    \end{align*}$
    Le taux d’évolution annuel moyen de la part d’électricité issue des énergies renouvelables en France entre 2010 et 2014 est environ $5,4\%$.
    Chaque année, entre 2010 et 2014, la part d’électricité issue des énergies renouvelables en France a augmenté d’environ $5,4\%$.
    $\quad$
  3. $18,3\times\left(1+\dfrac{5,4}{100}\right)^8 \approx 27,9$.
    L’affirmation est donc exacte.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Affirmation 1 : Fausse
$B(6)=-254<0$
Le bénéfice est négatif. Fabriquer et vendre $600$ brosses à dents connectées par semaine n’est pas rentable.
$\quad$

Affirmation 2 : Vraie
Pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0;9]$ on a :
$\begin{align*} B'(x)&=40\times 3x^2-561\times 2x+1~917\\
&=120x^2-1~122x+1~917
\end{align*}$
$\quad$

Affirmation 3 : Fausse
On considère le polynôme  du second degré $120x^2-1~122x+1~917$
où $a=120$, $b=-1~122$ et $c=1~917$
$\Delta=(-1~122)^2-4\times 120\times 1~917=338~724>0$.
$x_1=\dfrac{1~122-\sqrt{338~724}}{240}=2,25$ et $x_2=\dfrac{1~122+\sqrt{338~724}}{240}=7,1$
La fonction $B’$ ne s’annule donc que deux fois dans l’intervalle $[0;9]$.
$\quad$

Affirmation 4 : Fausse
En réutilisant les notations de la l’affirmation précédente on a $a>0$.
et $B'(x)>0$ sur $[0;2,25]$ et $[7,1;9]$.
Le fonction $B$ est donc croissante sur l’intervalle $[0;2,25]$ et sur l’intervalle $[7,1;9]$ et décroissante sur l’intervalle $[2,25;7,1]$.
D’après le graphique, $B(9)<B(2,25)$.
Le bénéfice hebdomadaire est maximum quand l’entreprise fabrique et vend $225$ brosses à dents.
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie A

  1. a. Chaque année, le quota de pêche de cabillaud baisse de $30$ tonnes.
    Cela signifie donc que la suite $\left(u_n\right)$ est arithmétique de raison $-30$ et de premier terme $u_0=600$.
    $\quad$
    b. Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=600-30n$.
    $\quad$
    c. $u_{10}=600-30\times 10 = 300$.
    Cela signifie donc qu’en 2025 on ne pourra pêcher que $300$ tonnes de cabillaud.
    $\quad$
  2. a. On a pu saisir $=B2-30$.
    $\quad$
    b. On peut saisir $=C2+B3$.
    $\quad$
  3. a. On veut calculer :
    $\begin{align*} S_{10}&=u_0+u_1+\ldots+u_{10} \\
    &=11\times \dfrac{u_0+u_{10}}{2} \\
    &=11\times \dfrac{600+300}{2} \\
    &=4~950
    \end{align*}$
    Entre 2015 et 2025, $4~950$ tonnes de cabillaud aura été pêchée.
    $\quad$
    b. En continuant sur le même schéma en 2026, on aura $u_{11}=600-30\times 11=270$.
    Le stock de cabillaud étant de $5~000$ tonnes, on aura épuiser ce stock en 2026 puisque $270+4~950>5~000$.
    La réglementation adoptée ne permet donc pas d’éviter à long terme la disparition du cabillaud des côtes des communes littorales concernées.
    $\quad$

Partie B

  1. $v_1=v_0\times \left(1+\dfrac{12}{100}\right)-500=1,12\times 5~000-500=5~100$.
    $\quad$
  2. a. attention erreur dans le sujet original pour les valeurs de $\color{red}{v}$ pour $\color{red}{n= 6}$ et $\color{red}{n=7}$.
    On continue le tableau fourni :
    $\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Valeur de } n&2&3&4&5&6&7&8&9\\
    \hline
    \begin{array}{l}\text{Valeur de }v\\\text{(arrondie à l’unité)}\end{array}&5~212&5~337&5~478&5~635&5~812&6~009&6~230&6~478\\
    \hline
    \end{array}$
    L’algorithme affichera donc $6~478$ quand $n=9$.
    $\quad$
    b. Cela signifie donc qu’il y aura $6~478$ tonnes de cabillaud en 2024 avant que ne démarre la saison de pêche.

Énoncé

Exercice 1     5 points

Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.

Partie A

Un comité d’entreprise décide de construire une structure supplémentaire pour améliorer le bien-être des salariés. Il hésite entre deux possibilités :

  • installer une médiathèque ;
  • faire construire une salle de sport.

Dans cette entreprise, $55\%$ des salariés ont 40 ans ou plus.

Le comité d’entreprise mène une enquête auprès des salariés afin de connaître leur préférence quant à la création d’une telle structure. Parmi les salariés ayant clairement exprimé leur avis, $60\%$ des 40 ans ou plus sont davantage intéressés par la création d’une médiathèque alors que $70\%$ des moins de 40 ans sont davantage intéressés par la construction d’une salle de sport.

Pour tout événement $A$, on notera $p(A)$ sa probabilité, $\conj{A}$ son événement contraire, et, pour tout événement $B$ de probabilité non nulle, $p_B(A)$ la probabilité de l’événement $A$ sachant que $B$ est
réalisé.

On note :

  • $Q$ l’événement « le salarié a plus de 40 ans »
  • $S$ l’événement « le salarié préfère une salle de sport »
  • $M$ l’événement « le salarié préfère une médiathèque »
  1. Reproduire et compléter l’arbre pondéré ci-dessous.

    $\quad$
  2. Décrire par une phrase, dans le contexte de l’exercice, l’événement $Q\cap S$ et calculer sa probabilité.
    $\quad$
  3. a. Montrer que $p(S)=0,535$.
    $\quad$
    b. Quel choix semble plus pertinent pour le comité d’entreprise? Justifier la réponse.
    $\quad$
  4. Quelle est la probabilité, arrondie au millième, qu’un salarié favorable à la construction d’une salle de sport ait plus de quarante ans?
    $\quad$

Partie B

Le comité d’entreprise a finalement décidé de construire une salle de sport. On désigne par $X$ la variable aléatoire correspondant à la durée hebdomadaire, en minutes, de la fréquentation de la salle de sport par un salarié de l’entreprise.
On admet que $X$ suit la loi normale de moyenne $100$ et d’écart type $20$.

  1. Quelle est la probabilité, arrondie au centième, qu’un salarié de l’entreprise pratique entre $60$ minutes et $140$ minutes de sport par semaine ?
    $\quad$
  2. Pour rester en bonne santé, il est recommandé de pratiquer au moins $140$ minutes de sport par semaine. Quel est le pourcentage, arrondi à $0,1\%$, de salariés de l’entreprise qui utilisent suffisamment la salle de sport pour satisfaire à cette recommandation ?
    $\quad$

Partie C

Le président du comité déclare que $80\%$ des salariés sont satisfaits de la qualité des nouvelles installations sportives. Alix mène une enquête auprès de $300$ de ses collègues choisis au hasard. Parmi eux, $228$ se déclarent satisfaits des installations sportives.

1. Déterminer un intervalle de fluctuation, au seuil de $95\%$, de la proportion de personnes satisfaites dans cet échantillon. Arrondir les bornes au centième.
$\quad$
2. Les résultats de l’enquête menée par Alix peuvent-ils remettre en question les propos du président ?
$\quad$

Exercice 2    6 points

Le tableau ci-dessous donne la proportion d’électricité (exprimée en pourcentage et arrondie à $0,1\%$) provenant des énergies renouvelables par rapport à la consommation totale d’électricité, par an, entre 2005 et 2014, en Belgique et en France.

$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Année}&2005&2006&2007&2008&2009&2010&2011&2012&2013&2014\\
\hline
\text{Rang de l’année : }x_i&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\
\hline
\begin{array}{l}\text{Pourcentage}\\ \text{d’électricité}\\ \text{provenant de }\\ \text{sources} \\ \text{renouvelables en }\\ \text{Belgique : }y_i\end{array}&2,4&3,1&3,6&4,6&6,2&7,1&9,1&11,3&12,4&13,4\\
\hline
\begin{array}{l}\text{Pourcentage}\\ \text{d’électricité}\\ \text{provenant de }\\ \text{sources} \\ \text{renouvelables en }\\ \text{France : }z_i\end{array}&13,7&14,1&14,3&14,4&15,1&14,8&16,3&16,4&16,8&18,3\\
\hline
\end{array}\\
\hspace{14cm} \text{Source Eurostat}
$
Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.

Partie A : Électricité provenant des énergies renouvelables en Belgique

  1. Construire dans le repère donnée en annexe le nuage de points de coordonnées $\left(x_i;y_i\right)$ correspondant aux données concernant la Belgique.
    $\quad$
  2. Déterminer, à l’aide de la calculatrice, une équation de la droite d’ajustement affine de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés. On arrondira les coefficients au millième.
    $\quad$
  3. Pour les deux questions suivantes, on prendra comme droite d’ajustement affine la droite $D$ d’équation $y = 1,3x + 1,4$.
    a. Tracer cette droite dans le repère donné en annexe.
    $\quad$
    b. À l’aide de cet ajustement, estimer la part d’électricité issue des énergies renouvelables en 2022. On arrondira le résultat à $0,1\%$.
    $\quad$
  4. À partir de quelle année la part d’électricité issue des énergies renouvelables dépassera-t-elle $25\%$ en Belgique ? Justifier votre réponse.
    $\quad$

Partie B : Électricité provenant des énergies renouvelables en France

  1. Déterminer le taux d’évolution global de la part d’électricité issue des énergies renouvelables en France entre 2010 et 2014. On donnera la valeur arrondie à $0,1\%$.
    $\quad$
  2. En déduire le taux d’évolution annuel moyen de la part d’électricité issue des énergies renouvelables en France entre 2010 et 2014. Donner la valeur arrondie à $0,1\%$ et interpréter le résultat trouvé.
    $\quad$
  3. À la fin de l’année 2014, un journaliste déclare : « Si l’on augmente la part d’électricité issue des énergies renouvelables de $5,4\%$ par an, alors plus d’un quart de l’électricité française sera issue des énergies renouvelables en 2022 ». Cette affirmation est-elle exacte ?
    $\quad$

Annexe

$\quad$

Exercice 3    4 points

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.
Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée.
Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte.

Une entreprise fabrique et vend des brosses à dents connectées. On modélise le bénéfice en euro pour $x$ centaines de brosses à dents fabriquées et vendues par semaine par la fonction $B$ définie sur $[0 ; 9]$ par : $B(x) = 40x^3−561x^2+1~917x−200$ . La courbe représentative du
bénéfice hebdomadaire est donnée en annexe.

Affirmation 1 : Fabriquer et vendre $600$ brosses à dents connectées par semaine est rentable pour l’entreprise.
$\quad$

Affirmation 2 : La fonction $B′$, dérivée de la fonction $B$, est définie pour tout $x\in[0 ; 9]$ par $B′(x) = 120 x^2−1~122x+1~917$.
$\quad$

Affirmation 3 : La fonction $B’$, dérivée de la fonction $B$, s’annule trois fois dans l’intervalle $[0 ; 9]$.
$\quad$

Affirmation 4 : Le bénéfice hebdomadaire maximum est réalisé pour $224$ brosses à dents fabriquées et vendues.
$\quad$

Annexe

$\quad$

Exercice 4    5 points

En raison de la surpêche, un groupement de communes littorales a vu le stock de cabillaud diminuer considérablement aux abords de ses côtes. En 2015, le stock de cabillaud de la région concernée était estimé à $5~000$ tonnes.
Les autorités locales souhaitent réglementer la pêche de cabillaud pour éviter sa disparition totale des côtes des communes littorales concernées.

Partie A

Les autorités locales décident de limiter la pêche pour cette espèce. On suppose que hors pêche, le stock reste constant à $5~000$ tonnes.
On note $u_n$ la quantité maximale (ou quota), en tonne, de cabillaud pouvant être pêchée sur ces côtes l’année 2015$+n$, avec $n$ entier naturel. On a ainsi $u_0= 600$.
Les autorités locales décident de baisser chaque année le quota de pêche de cabillaud de $30$ tonnes.

  1. a. Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$ ? Donner sa raison et son premier terme.
    $\quad$
    b. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
    c. Calculer $u_{10}$. Interpréter ce résultat dans le contexte étudié.
    $\quad$
  2. Le tableau ci-dessous, extrait d’une feuille de calcul, donne les valeurs de la suite $\left(u_n\right) et la quantité totale de cabillaud pêchée à partir de l’année 2015.
    a. Quelle formule, destinée à être copiée vers le bas, faut-il saisir en $B3$ afin d’obtenir les termes de la suite \left(u_n\right)$ ?
    $\quad$
    b. Quelle formule peut-on saisir dans la cellule $C3$ afin d’obtenir, par recopie vers le bas, la quantité totale de cabillaud pêchée depuis 2015 ?
    $\quad$
  3. a. Calculer la quantité totale de cabillaud pêchée entre 2015 et 2025.
    $\quad$
    b. La réglementation adoptée permet-elle d’éviter à long terme la disparition du cabillaud des côtes des communes littorales concernées? Justifier la réponse.
    $\quad$

Partie B

Une étude montre que le modèle de la partie A n’est pas valide. En fait, en l’absence de pêche, le stock de cabillaud augmente de $12\%$ chaque année.
On fixe alors le quota de pêche de cabillaud à $500$ tonnes par an.

On note $v_n$ le stock de cabillaud, en tonne, pour l’année 2015 $+n$ avant que ne démarre la saison de pêche.

On rappelle que $v_0 = 5~000$.

  1. Calculer $v_1$.
    $\quad$
  2. On admet que la suite $\left(v_n\right)$ est définie pour tout entier naturel $n$ par la relation :
    $$v_{n+1}=1,12\times v_n-500$$
    On donne l’algorithme suivant :
    Variables
    $\quad$ $i$ et $n$ sont des entiers naturels
    $\quad$ $v$ est un réel
    Traitement
    $\quad$ Saisir $n$
    $\quad$ $v$ prend la valeur $5~000$
    $\quad$ Pour $i$ allant de $1$ à $n$
    $\qquad$ $v$ prend la valeur $1,12\times v-500$
    $\quad$ Fin Pour
    $\quad$ afficher v
    $\quad$
    a. Le tableau ci-dessous donne les valeurs de 𝑣 obtenues à l’aide de l’algorithme et arrondies à l’unité lorsque l’utilisateur saisit une valeur de 𝑛 comprise entre $2$ et $7$.
    Par exemple, pour $n=2$, l’algorithme affiche $5~212$.
    attention erreur dans le sujet original pour les valeurs de $\color{red}{v}$ pour $\color{red}{n= 6}$ et $\color{red}{n=7}$.
    $\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Valeur de } n&2&3&4&5&6&7\\
    \hline
    \begin{array}{l}\text{Valeur de }v\\\text{(arrondie à l’unité)}\end{array}&5~212&5~337&5~478&5~635&5~812&6~009\\
    \hline
    \end{array}$
    Donner la valeur affichée par l’algorithme, arrondie à l’unité, lorsque l’utilisateur saisit la valeur $n=9$.
    $\quad$
    b. Interpréter, dans le contexte étudié, la valeur affichée par l’algorithme pour $n=9$.
    $\quad$

Bac STMG – Antilles Guyane – Septembre 2017

Centres Antilles Guyane – Septembre 2017

Bac STMG – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici .

Ex 1

Exercice 1

  1. Il faut saisir $=(C2-\$ B2)/\$ B2$
    $\quad$
  2. Le taux d’évolution du nombre d’objets connectés entre 2011 et 2015 est :
    $t=\dfrac{42-9,5}{9,5}\approx 342,1\%$
    $\quad$
  3. $\left(1+\dfrac{45}{100}\right)^{4}\approx 4,42=1+\dfrac{342}{100}$.
    Le taux moyen annuel d’évolution du nombre d’objets connectés entre 2011 et 2015 est d’environ $45\%$.
    $\quad$
  4. a. $u_1=42\times \left(1+\dfrac{15}{100}\right)=42\times 1,15=48,3\approx 48$.
    $u_2=48,3\times 1,15=55,545 \approx 56$
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=1,15u_n$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,15$ et de premier terme $u_0=42$.
    $\quad$
    c. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_n=42\times 1,15^n$.
    $\quad$
    d. $u_5=42\times 1,15^5\approx 84$.
    En 2020 on peut estimer qu’il y aura $84$ milliards d’objets connectés.
    $\quad$
  5. $\dfrac{84}{7,75} \approx 10,8$.
    En 2020, un être humain aura donc en moyenne plus de $10$ objets connectés.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. L’arbre pondéré est :
  2. L’événement $G\cap N$ est “la personne est âgée de plus de 65 ans et est atteinte par une infection nosocomiale”.
    $\quad$
    $p(G\cap B)=0,53 \times 0,064=0,033~92\approx 0,034$
    $\quad$
  3. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(N)&=p(E\cap N)+p(F\cap N)+p(G\cap N) \\
    &=0,06\times 0,024+0,41\times 0,037+0,53\times 0,064 \\
    &=0,050~53 \\
    &\approx 0,051
    \end{align*}$
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_N(G)&=\dfrac{p(N\cap G)}{p(N)} \\
    &=\dfrac{0,53\times0,064}{0,051} \\
    &\approx 0,666
    &<0,75
    \end{align*}$
    Le lecteur a donc tort.
    $\quad$

Partie B

  1. a. On a $n=50$ et $p=0,051$.
    La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=50$ et $p=0,051$.
    Donc $E(X)=np=2,55$.
    $\quad$
    b. $P(X=3)=\ds \binom{50}{3}\times 0,051^3 \times (1-0,051)^47\approx 0,222$
    $\quad$
  2. Un intervalle de fluctuation au seuil de $95\%$ du taux de patients infectés est :
    $\begin{align*} I_{2~500}&=\left[0,051-\dfrac{1}{\sqrt{2~500}};0,051+\dfrac{1}{\sqrt{2~500}}\right] \\
    &=[0,031;0,071]
    \end{align*}$
    La fréquence observée est $f=\dfrac{188}{2~500}=0,075~2 \notin I_{2~500}$.
    Les craintes du directeur sont donc fondées.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. À l’aide de la calculatrice, on obtient l’équation : $y=2,53x+11,89$.
    $\quad$
  2. a. On obtient le graphique suivant :
    $\quad$
    b. En 2015, on a $x=10$.
    Donc $y=2,5\times 10+11,9=36,9$.
    Voir le graphique pour la vérification.
    $\quad$
    c. On veut résoudre l’inéquation :
    $\begin{align*} 2,5x+11,9>50&\ssi 2,5 x> 50-11,9 \\
    &\ssi 2,5x>38,1 \\
    &\ssi x>\dfrac{38,1}{2,5}\\
    &\ssi x> 15,24
    \end{align*}$
    C’est donc à partir de $x=16$ que le prix du gramme d’or dépassera $50$ euros selon ce modèle soit à partir de l’année 2021.
    $\quad$
  3. Avec ce nouveau modèle si $x=10$ on obtient $y=0,01\times 10^2+2,3\times 10+11=35$.
    C’est donc ce second ajustement qui permet d’obtenir une approximation plus proche de la valeur exacte.
    $\quad$

Partie B

  1. On a, pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0,5;3]$
    $\begin{align*} B(x)&=R(x)-C(x) \\
    &=15x-\left(2x^3-3x^2+3x+15\right) \\
    &=15x-2x^3+3x^2-3x-15\\
    &=-2x^3+3x^2+12x-15
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. $B'(x)=-2\times 3x^2+3\times 2x+12=-6x^2+6x+12$
    $\quad$
  3. Nous avons un polynôme du second degré où $a=-6$, $b=6$ et $c=12$.
    $\Delta=6^2-4\times (-6)\times 12=324>0$.
    Il y a deux racines réelles :
    $x_1=\dfrac{-6-\sqrt{324}}{-12}=2$ et $x_2=\dfrac{-6+\sqrt{324}}{-12}=-1$.
    Puisque $a=-6<0$ on obtient le tableau de signes de $B'(x)$ et le tableau de variation de $B$ suivant :
  4. La fonction $B$ admet un maximum pour $x=2$.
    Le bénéfice est donc maximal quand le bijoutier fabrique et vends $200$ bijoux.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. La droite pour laquelle les coordonnées du point $A(3;-5,5)$ vérifient l’équation est $y=4,5x-19$.
    Réponse c
    $\quad$
  2. On a $u_n=u_1+(n-1)r=5-1,8(n-1)=3,2-1,8n$
    Réponse d
    $\quad$
  3. Voici les valeurs prises successivement par $S$ :
    $1~000 \to 1~070\to 1~141,4\to 1~214,228\to 1~288,512~56$
    Donc $S\approx 1~289$
    Réponse b
    $\quad$
  4. On a $P(6<x<10)=0,8$ et $\mu=8$.
    Donc $P(X<6)+P(X>10)=1-0,8=0,2$ et $P(X<6)=P(X>10)$
    Par conséquent $2P(X<6)=0,2$ soit $P(X<6)=0,1$
    Réponse c
    $\quad$

Énoncé

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Bac STMG – Polynésie – Septembre 2017

Centres Polynésie – Septembre 2017

Bac STMG – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici .

Ex 1

Exercice 1

  1. On cherche la valeur de $t$ telle que :
    $\begin{align*} \left(1+\dfrac{t}{100}\right)^3=1,3 &\ssi 1+\dfrac{t}{100}=1,3^{1/3}\\
    &\ssi \dfrac{t}{100}=1,3^{1/3}-1\\
    &\ssi t=100\times \left(1,3^{1/3}-1\right)
    \end{align*}$
    Donc $t=\approx 9,14$.
    Réponse a
    $\quad$
  2. On veut trouver la valeur de $x$ telle que :
    $\begin{align*} \left(1-\dfrac{12}{100}\right)^2\left(1+\dfrac{x}{100}\right)=1&\ssi 0,88^2\left(1+\dfrac{x}{100}\right)=1 \\
    &\ssi 1+\dfrac{x}{100}=\dfrac{1}{0,88^2} \\
    &\ssi \dfrac{x}{100}=\dfrac{1}{0,88^2}-1\\
    &\ssi x=100\left(\dfrac{1}{0,88^2}-1\right)
    \end{align*}$
    Donc $x\approx 29,13$.
    Réponse c
    $\quad$
  3. La fonction $f$ est strictement décroissante sur l’intervalle $[-2,5;4]$ et $-1\in[-2,5;4]$.
    Par conséquent $f'(-1)<0$.
    Réponse b
    $\quad$
  4. Un intervalle de fluctuation au seuil de $95\%$ du taux de remplissage des chambres en France est :
    $\begin{align*} I_{850}&=\left[0,748-\dfrac{1}{\sqrt{850}};0,748+\dfrac{1}{\sqrt{850}}\right] \\
    &\approx [0,713;0,783]
    \end{align*}$
    Réponse c
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. Le taux d’évolution du nombre d’incivilité entre ces deux dates est :
    $t=\dfrac{375-857}{857}\approx -0,562$.
    Il s’agit donc d’une baisse d’environ $56,2\%$
    Le maire a par conséquent tort.
    $\quad$
  2. D’après la calculatrice, une équation de la droite qui réalise un ajustement du nuage de points par la méthode des moindres carrés est $y=-124,03x+916,57$
    $\quad$
  3. On obtient le graphique suivant :
    $\quad$
  4. En 2018, on a $x=7$ donc $y=-124\times 7+917=49$.
    Cet ajustement prévoit $49$ incivilités en 2018.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
  2. a. $p(D\cap I)=0,6\times 0,12=0,072$
    $\quad$
    b. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(I)&=p(D\cap I)+p\left(\conj{D}\cap I\right) \\
    &=0,072+0,4\times 0,21\\
    &=0,156\end{align*}$
    $\quad$
  3. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_I\left(\conj{D}\right)&=\dfrac{p\left(I\cap \conj{D}\right)}{p(I)} \\
    &=\dfrac{0,4\times 0,21}{0,156} \\
    &\approx 0,538
    \end{align*}$
    $\quad$

Partie B

  1. $P(X<9~500)=0,5+P(9~000<X<9~500)\approx 0,867$
    $\quad$
  2. $P(8~100<X<9~900)=0,954$
    Remarque : C’est aussi $P(\mu-2\sigma<X<\mu+2\sigma)$
    $\quad$
  3. $P(X>8~750)=0,5+P(8~750<X<9~000)\approx 0,711<0,75$
    Il a par conséquent moins de $3$ chances sur $4$ d’atteindre cet objectif.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie A

  1. $c_2=35\times (1-0,18)=35\times 0,82=28.7$
    $c_3=28,7\times 0,82=23,534 \approx 23,5$
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ non nul on a $c_{n+1}=0,82c_n$.
    La suite $\left(c_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,82$ et de premier terme $c_1=35$.
    Ainsi, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $c_n=35\times 0,82^{n-1}$.
    $\quad$
    b. On veut calculer $c_{12}=35\times 0,82^{11}\approx 3,94$.
    Le chiffre d’affaires du moi de décembre 2018 sera d’environ $3,94$ millions d’euros.
    $\quad$
  3. On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ non nul tel que  $c_n<5$.
    $c_{10}\approx 5,87$ et $c_{11}\approx 4,81$.
    C’est donc au mois de novembre que le chiffre d’affaires mensuel sera pour la première fois inférieur à $5$ millions d’euros.
    $\quad$
  4. Variables :
    $\quad$ $U$ nombre réel
    $\quad$ $N$ nombre entier
    Traitement :
    $\quad$ $U$ prend la valeur $35$
    $\quad$ $N$ prend la valeur $1$
    $\quad$ TANT QUE $U\pg 5$
    $\qquad$ $U$ rend la valeur $U\times 0,82$
    $\qquad$ $N$ prend la valeur $N+1$
    $\quad$ FIN TANT QUE
    Sortie :
    $\quad$ AFFICHER $N$
    $\quad$

Partie B

  1. $f(x)=\dfrac{15x+20}{x}=15+\dfrac{20}{x}$.
    Ainsi $f'(x)=-\dfrac{20}{x^2} < 0$ sur l’intervalle $[1;12]$.
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur l’intervalle $[1;12]$.
    De plus $f(12)\approx 16,67$
    Donc, pour tout réel $x$ de l’intervalle $[1;12]$ on a $f(x)\pg f(12)>15$.
    Le chiffre d’affaires mensuel restera supérieur à $15$ millions d’euros durant l’année 2018.
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1    4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).
Pour chacune des quatre questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la réponse
choisie. Aucune justification n’est demandée.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte, une absence de réponse ou une
réponse multiple ne rapporte ni n’enlève aucun point.

  1. Le prix d’un article vendu dans un magasin a augmenté de $30\%$ durant les $3$ derniers mois.
    Le taux d’évolution mensuel moyen est, à $0,01\%$ près :
    a. $9,14\%$
    b. $10\%$
    c. $11,21\%$
    d. $12,45\%$
    $\quad$
  2. Lors d’une période de promotion, le prix d’un produit ménager a subi deux baisses de $12\%$ consécutives. Le fabriquant désire lui appliquer une hausse pour revenir au prix initial avant la période de promotion. Cette hausse doit être :
    a. de $24\%$
    b. de $28,45\%$
    c. de $29,13\%$
    d. supérieure à $30\%$
    $\quad$
  3. Voici le tableau de variations d’une fonction $f$ définie et dérivable sur l’intervalle $[-5;8]$.

    On note $f’$ la fonction dérivée de $f$.
    a. $f'(-2,5)=1$
    b. $f'(-1) < 0$
    c. $f'(-1)=4$
    d. $f'(0)=2$
    $\quad$
  4. Une chaîne d’hôtels internationale annonce un taux de remplissage de ses chambres de $74,8\%$ pour l’année 2015 dans le monde. Cette année là, cette chaîne possédait $850$ chambres en France.
    Un intervalle de fluctuation au seuil de $95\%$ du taux de remplissage des chambres en France pour 2015 est :
    a. $[74,80;74,84]$
    b. $[0,747;0,749]$
    c. $[0,713;0,783]$
    d. $[0,715;0,780]$
    $\quad$

Exercice 2    4 points

Le maire d’une ville a mis en place une politique pour réduire les incivilités sur les voies publiquesde sa commune.
Un bilan a été établi pour comptabiliser le nombre d’incivilités durant les 6 dernières années et ces données sont résumées dans le tableau suivant :

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Année}&2011&2012&2013&2014&2015&2016\\
\hline
\text{Rang de l’année }x_i&0&1&2&3&4&5\\
\hline
\text{Nombre d’incivilités }y_i&857&810&720&604&375&273\\
\hline
\end{array}$
Les points de coordonnées $(x_i; y_i)$ sont représentés dans le graphique de l’annexe à rendre avec la copie.

  1. Le maire annonce à ses concitoyens que sa politique de lutte contre les incivilités a permis de réduire leur nombre de plus de $60%$ entre 2011 et 2015.
    A-t-il raison ? Justifier votre réponse.
    $\quad$
  2. À l’aide de la calculatrice, donner une équation de la droite qui réalise un ajustement affine du nuage de points de coordonnées $(x_i
    ; y_i)$ par la méthode des moindres carrés.
    On arrondira les coefficients à $0,01$ près.$\quad$

Pour la suite, on prendra comme ajustement affine la droite $D$ d’équation $y=-124x+917$.

  1. Tracer la droite $D$ sur la figure donnée en annexe.
    $\quad$
  2. Combien d’incivilités ce modèle d’ajustement prévoit-il pour l’année 2018.
    $\quad$

Annexe

$\quad$

Exercice 3    6 points

Partie A

Un centre d’appel téléphonique propose ses services pour réaliser un démarchage par téléphone afin de vendre des offres d’abonnement à la télévision par internet. Dans ce centre sont employés deux types de collaborateurs : des expérimentés et des débutants.
La proportion des débutants est de $60\%. On constate que

  • $12\%$ des personnes contactées par un collaborateur débutant se déclarent intéressées par les offres d’abonnement,
  • $21\%$ des personnes contactées par un collaborateur expérimenté se déclarent intéressées par les offres d’abonnement.

On choisit au hasard le dossier d’une personne contactée par le centre d’appel et on considère les événements suivants :

  • $D$ : « la personne est contactée par un débutant »
  • $I$ : « la personne contactée se déclare intéressée par les offres d’abonnement »

On note $\conj{D}$ et ̄$\conj{I}$ les événements contraires.

  1. Recopier et compléter l’arbre pondéré suivant :
    $\quad$
  2. a. Calculer la probabilité de l’événement $D\cap I$.
    $\quad$
    b. Justifier que la probabilité que la personne se déclare intéressée par les offres d’abonnement est de $0,156$.
    $\quad$
  3. La personne choisie se déclare intéressée par les offres d’abonnement.
    Déterminer à $0,001$ près, la probabilité qu’elle ait été contactée par un collaborateur expérimenté.
    $\quad$

Partie B

On modélise le nombre de personnes contactées en une semaine par ce centre d’appel par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d’espérance $9~000$ et d’écart-type $450$.

  1. Déterminer la probabilité que moins de $9~500$ personnes soient contactées en une semaine.
    $\quad$
  2. Déterminer la probabilité $P(8~100< X < 9~900)$ .
    $\quad$
  3. L’objectif est de contacter au moins $8~750$ personnes en une semaine.
    A-t-on plus de $3$ chances sur $4$ d’atteindre cet objectif ?
    $\quad$

Exercice 4    6 points

Une entreprise qui connait des difficultés économiques souhaite réaliser des prévisions de son chiffre d’affaires mensuel pour l’année 2018.

Partie A

On estime que le chiffre d’affaires mensuel sera de $35$ millions d’euros en janvier 2018 et que celui-ci diminuera chaque mois de $18\%$.
On définit la suite $\left(c_n\right)$ en notant $c_n$ le chiffre d’affaires exprimé en millions d’euros pour le $n$-ième mois de l’année 2018 ; on a ainsi $c_1=35$ .

  1. Calculer la valeur de $c_2$ et vérifier qu’une valeur approchée de $c_3$ est $23,5$.
    $\quad$
  2. a. Déterminer la nature de la suite $\left(c_n\right)$.
    $\quad$
    b. Donner la valeur du chiffre d’affaires pour le mois de décembre 2018.
    $\quad$
  3. Au cours de quel mois le chiffre d’affaires mensuel sera-t-il pour la première fois inférieur à $5$ millions d’euro?
    $\quad$
  4. On considère l’algorithme incomplet ci-dessous :
    Variables :
    $\quad$ $U$ nombre réel
    $\quad$ $N$ nombre entier
    Traitement :
    $\quad$ $U$ prend la valeur $35$
    $\quad$ $N$ prend la valeur $1$
    $\quad$ TANT QUE $U \pg 5$
    $\qquad$ $U$ prend la valeur $\ldots\ldots\ldots$
    $\qquad$ $N$^prend la valeur $N+1$
    $\quad$ FIN TANT QUE
    Sortie :
    $\quad$ AFFICHER $\ldots\ldots\ldots
    $\quad$
    Recopier et compléter cet algorithme afin qu’il réponde à la question 3. précédente.
    $\quad$

Partie B

Cette entreprise a la possibilité de bénéficier d’une aide de l’Etat.
Avec cette aide, on modélise le chiffre d’affaires mensuel en millions d’euros par la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[1;12 ]$ par $f (x )=\dfrac{15 x+ 20}{x}$. Ainsi, $f (1)$ désigne le chiffre d’affaires du mois de janvier, $f(2)$ désigne le chiffre d’affaires du mois de février, etc.

  1. Déterminer l’expression de $f'( x)$ où $f’$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$.
    Donner le signe de $f'( x)$ sur l’intervalle $[1;12]$.
    $\quad$
  2. Montrer qu’avec ce modèle, le chiffre d’affaires mensuel restera supérieur à $15$ millions d’euros durant l’année 2018.
    $\quad$

Bac STMG – métropole – septembre 2016

Métropole – Juin 2016

Bac STMG – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. On a $p_A(B)+p_A\left(\conj{B}\right)=1$
    Donc $p_A(B)=1-0,8=0,2$
    Affirmation 1 vraie
    $\quad$
    $p(A)+p\left(\conj{A}\right)=1$ donc $p\left(\conj{A}\right)=1-0,65=0,35$
    D’après la formule des probabilités totales :
    $\begin{align*} p(B)&=p(A\cap B)+p\left(\conj{A}\cap B\right) \\
    &=0,65 \times 0,2+0,35\times 0,3\\
    &=0,235
    \end{align*}$
    Affirmation 2 fausse
    $\quad$
  2. On a $n=200 \pg 30$ et $p=0,56$ donc $np=112\pg 5$ et $n(1-p)=88\pg 5$
    Un intervalle de fluctuation au seuil de $95\%$ de la fréquence des français écoutant de la musique classique de temps en temps est :
    $\begin{align*} I_{200}&=\left[0,56-\dfrac{1}{\sqrt{200}};0,56+\dfrac{1}{\sqrt{200}}\right] \\
    &\approx [0,489;0,631]
    \end{align*}$
    La fréquence observée est $f=\dfrac{140}{200}=0,7\notin I_{200}$
    Affirmation 3 vraie
    $\quad$
  3. On veut calculer :
    $86=100-14$ et $114=100+14$
    Donc $p(X \pg 114) = p(X\pp 86)=0,242$
    Par conséquent $p(86\pp X \pp 114)=1-2\times 0,242=0,516$
    Affirmation 4 fausse
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. $u_1=(1+0,015)u_0=1,015\times u_0=2~030$
    $u_2=1,015 \times u_1=2~060,45$
    $\quad$
  2. a. On a $u_{n+1}=1,015u_n$
    $\quad$
    b. La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,015$ et de premier terme $u_0=2~000$.
    $\quad$
    c. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=2~000\times 1,015^n$.
    $\quad$
  3. a. La valeur en sortie de cet algorithme fournit le rang à partir duquel $u_n\pg 2~250$.
    $\quad$
    b. On a $u_7 \approx 2~220$ et $u_8\approx 2~253$
    Donc la valeur en sortie de cet algorithme est $8$.
    $\quad$
  4. On appelle $v_n$ le capital, exprimé en euro, disponible le $1^{\text{er}}$ janvier de l’année 2016$+n$ dans cette nouvelle banque.
    Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=2~000+32n$
    On cherche le plus petit entier naturel $n$ tel que : $u_n \pg v_n$.
    On a $u_8\approx 2~253$ et $v_8=2~256$
    $u_9\approx 2~287$ et $v_9=2~288$
    $u_{10} \approx 2~321$ et $v_{10}=2~320$
    Pendant $9$ ce nouveau sera plus avantageux que le précédent.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. En $C4$ on a saisi $=(C3-B1)/B1$.
    $\quad$
  2. En $D4$ : $\dfrac{63~962-63~601}{63~601}\approx 0,57\%$
    En $J3$ : $65~921\times 1,004~2 \approx 66~198$
    $\quad$
  3. On cherche la valeur de $t$ telle que :
    $\begin{align*} 63~186\times \left(1+\dfrac{t}{100}\right)^8=66~198 &\ssi \left(1+\dfrac{t}{100}\right)^8 = \dfrac{66~198}{63~186} \\
    &\ssi 1+\dfrac{t}{100}= \left(\dfrac{66~198}{63~186}\right)^{\frac{1}{8}} \\
    &\ssi \dfrac{t}{100}=\left(\dfrac{66~198}{63~186}\right)^{\frac{1}{8}}-1\\
    &\ssi t=100\left(\left(\dfrac{66~198}{63~186}\right)^{\frac{1}{8}}-1\right)
    \end{align*}$
    Ainsi $t\approx 0,58$
    Le taux d’évolution moyen annuel entre 2006 et 2014 de la population française est d’environ $0,58\%$.
    $\quad$

Partie B

  1. D’après la calculatrice, une équation de la droite d’ajustement affine est $y=369,9x+63~182,6$.
    $\quad$
  2. On obtient le graphique suivant :
  3. D’après le graphique on peut estimer qu’en 2020 la France comptera environ $68~400$ habitants.
    $\quad$
  4. En 2030, $x=24$ et $370\times 24+63~183=72~063$.
    L’affirmation est donc vraie.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie A

  1. $C(9,5)=0,05\times 9,5^2-0,1\times 9,5+2,45=6,012~5$
    La fabrication quotidienne de $9,5$ tonnes de peinture coûte $6~015,5$ euros.
    $\quad$
  2. On veut résoudre : $C(x)=16 \ssi 0,05x^2-0,1x-13,55$
    $\Delta = (-0,1)^2-4\times 0.05\times (-13,55)=2,72 >0$
    Les solutions de cette équation sont donc :
    $x_1=\dfrac{0,1-\sqrt{2,72}}{2\times 0,05}\approx -15,5$
    $x_2=\dfrac{0,1+\sqrt{2,72}}{2\times 0,05}\approx 17,5$
    On peut donc produire environ $17,5$ tonnes de peinture pour un coût de fabrication de $16~000$ euros.
    $\quad$
  3. a.

    b. Graphiquement, l’entreprise réalise un bénéfice si elle produit entre $4,5$ et$ 10,9$ tonnes de peinture.
    $\quad$

Partie B

  1. $f(x)=\dfrac{0,05x^2-0,1x+2,45}{x}=0,05x-0,1+\dfrac{2,45}{x}$
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align*} f'(x)&=0,05-\dfrac{2,45}{x^2}\\
    &=\dfrac{0,05x^2-2,45}{x^2} \\
    &=\dfrac{0,05\left(x^2-49\right)}{x^2}
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. $f'(x)$ est du signe de $x^2-49=(x-7)(x+7)$
    $\quad$
  4. a. La fonction $f$ est minimale quand $x=7$.
    Par conséquent, le coût unitaire est minimal quand l’entreprise produit $7$ tonnes de peinture.
    $\quad$
    b. Le coût unitaire minimal est alors de $600$ euros.
    $\quad$
    c. Le bénéfice réalisé pour une production de $7$ tonnes de peinture est égale à :
    $\begin{align*} B&=670\times 7-1~000C(7) \\
    &=490€
    \end{align*}$
  5. Le bénéfice réalisé quand l’entreprise produit $7,5$ tonnes de peinture est :
    $\begin{align*} B’&=670\times 7,5-1~000C(7,5) \\
    &=512,5>490
    \end{align*}$
    La valeur trouvée à la question 4.c. n’est donc pas le bénéfice maximal que l’entreprise peut réaliser.
    $\quad$

Énoncé

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Bac STMG – Antilles Guyane – juin 2017

Antilles Guyane – Juin 2017

Bac STMG – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici .

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. a.
    $\begin{align*} 470~000\times \left(1+\dfrac{1,5}{100}\right)&=470~000\times 1,015\\
    &= 477~050
    \end{align*}$
    En 2014, en l’absence de braconnage, il y avait $477~050$ éléphant d’Afrique.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=1,015u_n$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,015$ et de premier terme $u_0=470~000$.
    $\quad$
    c. Ainsi $u_n=470~000\times 1,015^n$
    $\quad$
  2. En 2028, on a $n=48$.
    Ainsi $u_{15}=470~000\times 1,015^{15}\approx 586~609$.
    On devrait compter $586~609$ éléphants d’Afrique dans ces conditions.
    $\quad$

Partie B

  1. $24\times 4 = 96$ éléphants d’Afrique sont tués tous les jours.
    Cela représente donc $96\times 365=35~040 \approx 35~000$ éléphants d’Afrique tués par an.
    $\quad$
  2. $\dfrac{170,9-470}{470} \approx -0,636$.
    Cela correspond donc bien à une baisse d’environ $64\%$ en dix ans.
    $\quad$
  3. Cela signifie qu’en $2029$, si l’on ne réagit pas, tous les éléphants d’Afrique auront été tués.
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. Le taux d’évolution global du tirage journalier entre 2010 et 2014 est :
    $\dfrac{1,36-1,8}{1,8} \approx -24,4\%$
    Il y a donc une baisse d’environ $24,4\%$ entre ces deux dates.
    $\quad$
  2. Le coefficient multiplicateur est $1-0,244=0,756$.
    On appelle $t$ le taux d’évolution annuel moyen entre 2010 et 2014.
    On veut donc que :
    $\begin{align*} \times \left(1-\dfrac{t}{100}\right)^4=0,756&\ssi 1-\dfrac{t}{100}=0,756^{1/4} \\
    &\ssi \dfrac{t}{100}=1-0,756^{1/4} \\
    &\ssi t=100\left(1-0,756^{1/4}\right)
    \end{align*}$
    Donc $t\approx 6,75$
    Le taux d’évolution annuel moyen entre 2010 et 2014 est donc d’environ $-6,75\%$.
    $\quad$
  3. Selon ce modèle, en 2017, le tirage journalier sera de $1,36\times 0,93^3\approx 1,09$ million d’exemplaires.
    $\quad$

Partie B

  1. Voir graphique
    $\quad$
  2. À l’aide de la calculatrice, on obtient l’équation $y=-0,12x+1,83$.
    $\quad$
  3. a.

    $\quad$
    b. En 2017, $x=7$ donc $y=-0,1\times 7 +1,8=1,1$
    Selon ce modèle, on peut prévoir un tirage journalier de $1,1$ million d’exemplaires en 2017.
    $\quad$

Partie C

  1. a. D’après l’énoncé $P_T(R)=0,53$
    $\quad$
    b. On a $P(S)=\dfrac{2}{5}$ et $P(T)=0,1$.
    Les événements $S$ et $T$ sont incompatibles donc $P(S\cup T)=\dfrac{2}{5}+0,1=0,5$.
    Cela signifie donc que $50\%$ des personnes naviguent sur un site à partir d’un appareil mobile parmi les personnes interrogées.
    Remarque : On pouvait également utiliser le fait que $P(O)=0,5$ et utiliser l’événement contraire.
    $\quad$
  2. a. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    b. On a
    $\begin{align*} P(A)&=P(S\cap R) \\
    &=0,4\times 0,65 \\
    &=0,26
    \end{align*}$
    $\quad$
    c. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(R)&=P(S\cap R)+P(T\cap R)+P(O\cap R) \\
    &=0,26+0,1\times 0,53+0,5\times 0,59 \\
    &=0,608 \end{align*}$
    $\quad$
  3. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_R(O)&=\dfrac{P(R\cap O)}{P(R)} \\
    &=\dfrac{0,5\times 0,59}{0,608} \\
    &\approx 0,49
    \end{align*}$
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A 

  1. En $D3$ il a pu saisir $=(C3-C2)/C2$.
    $\quad$
  2. En $E3$ il a pu saisir $=(B3-B2)/B2$.
    $\quad$
  3. a. On appelle $t$ le taux d’évolution annuel moyen du prix du menu entre l’été 2012 et l’été 2015.
    On a alors :
    $\begin{align*} 9,8\times \left(1+\dfrac{t}{100}\right)^3=13,8 &\ssi \left(1+\dfrac{t}{100}\right)^3=\dfrac{13,8}{9,8} \\
    &\ssi 1+\dfrac{t}{100}=\left(\dfrac{13,8}{9,8}\right)^{1/3} \\
    &\ssi \dfrac{t}{100}=\left(\dfrac{13,8}{9,8}\right)^{1/3} -1\\
    &\ssi t=100\left(\left(\dfrac{13,8}{9,8}\right)^{1/3} -1\right) \end{align*}$
    Donc $t\approx 12,09$
    Le taux d’évolution annuel moyen du prix du menu entre l’été 2012 et l’été 2015 est donc d’environ $12,09\%$
    $\quad$
    b. Durant l’été 2017, le menu devrait coûter $13,8\times 1,1209^2\approx 17,34$ euros.
    $\quad$
  4. On appelle $t$ le taux d’évolution annuel moyen du nombre hebdomadaire moyen de couverts entre l’été 2012 et l’été 2015.
    On a alors :
    $\begin{align*} 420\times \left(1+\dfrac{t}{100}\right)^3=345 &\ssi \left(1+\dfrac{t}{100}\right)^3=\dfrac{345}{420} \\
    &\ssi 1+\dfrac{t}{100}=\left(\dfrac{345}{420}\right)^{1/3} \\
    &\ssi \dfrac{t}{100}=\left(\dfrac{345}{420}\right)^{1/3} -1\\
    &\ssi t=100\left(\left(\dfrac{345}{420}\right)^{1/3} -1\right) \end{align*}$
    Donc $t\approx -6,35$
    Le nombre hebdomadaire moyen de couverts pendant l’été 2017 devrait donc être environ égal à $345\times \left(1-\left(\dfrac{6,35}{100}\right)^2\right) \approx 303$.
    $\quad$

Partie B

  1. a. $N(11)=-19\times 11+604=395$.
    Si le prix du menu est de $11€$ alors le nombre hebdomadaire moyen de couverts est de $395$.
    $\quad$
    b. Le chiffre d’affaire hebdomadaire est donc égal à $395\times 11=4~345€$.
    $\quad$
    c. On a $C(x)=x\times N(x)=-19x^2+604x$.
    $\quad$
  2. a. C'(x)=-19\times 2x+604=-38x+604$
    $\quad$
    b.
    $\begin{align*} C'(x)>0 &\ssi -38x+604>0 \\
    &\ssi -38x>-604 \\
    & \ssi x<\dfrac{302}{19}
    \end{align*}$
    Et $C(x)=0 \ssi -38x+604=0 \ssi x=\dfrac{302}{19}$
    Ainsi :
    $\bullet$ $C'(x)$ est positif sur l’intervalle $\left[0;\dfrac{302}{19}\right[$
    $\bullet $C’\left(\dfrac{302}{19}\right)=0$
    $\bullet $C'(x)$ est négatif sur l’intervalle $\left]\dfrac{302}{19};25\right]$
    $\quad$
    c. On obtient donc le tableau de variation suivant :
  3. a. D’après le tableau de variation, la fonction $C$ atteint son maximum si $x=\dfrac{302}{19}\approx 15,89$.
    Le chiffre d’affaires hebdomadaire de la brasserie est donc maximal si le prix du menu est de $15,89€$.
    $\quad$
    b. On a $C\left(\dfrac{302}{19}\right)\approx 4~800$.
    Le chiffre d’affaires hebdomadaire maximal de la brasserie est donc d’environ $4~800€$.
    $\quad$

Partie C

On a $n=50 \pg 25$ et $f=\dfrac{39}{50}=0,78$.
Un intervalle de confiance, au niveau de confiance de $95\%$ de la proportion de clients favorables à ce changement est :

$\begin{align*} I_{50}&=\left[0,78-\dfrac{1}{\sqrt{50}};0,78+\dfrac{1}{\sqrt{50}}\right] \\
&\approx [0,63;0,93]
\end{align*}$
$\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. $p(T<145)=0,5+p(135<T<145) \approx 0,977$
    $p(125 < T<145) \approx 0,954$
    Réponse b
    $\quad$
  2. On a $n=400 \pg 25$ et $p=0,43$ donc $0,2<p<0,8$
    Un intervalle de fluctuation au seuil de $95\%$ est :
    $\begin{align*} I_{400}&=\left[0,43-\dfrac{1}{\sqrt{400}};0,43+\dfrac{1}{\sqrt{400}}\right] \\
    &=[0,38;0,48]
    \end{align*}$
    Réponse b
    $\quad$
  3. On a : $u(x)=2x+1$ soit $u'(x)=2$
    et $v(x)=x-2$ soit $v'(x)=1$
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{2(x-2)-(2x+1)}{(x-2)^2} \\
    &=\dfrac{2x-4-2x-1}{(x-2)^2} \\
    &=\dfrac{-5}{(x-2)^2}
    \end{align*}$
    Réponse b
    $\quad$
  4. La droite $D$ passe par les point s de coordonnées $(1;4)$ et $(2;1)$.
    Son coefficient directeur est $a=\dfrac{1-4}{2-1}=-3$
    Une équation de la droite $D$ est donc de la forme $y=-3x+b$
    Le point $A(2;1)$ appartient à cette droite.
    Donc $1=-3\times 2+b \ssi 1=-6+b \ssi b=7$
    Une équation de la droite $D$ est donc $y=-3x+7$
    Réponse a
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1    4 points

La survie des éléphants d’Afrique est menacée par le braconnage (chasse illégale).

Partie A

En l’absence de braconnage, on estime le taux de croissance de la population d’éléphants d’Afrique à $1,5\%$ par an.

Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ l’effectif de cette population pour l’année $2013 + n$ en l’absence de braconnage.

La population totale d’éléphants d’Afrique était estimée à $470~000$ individus en 2013.

  1. a. Calculer le nombre d’éléphants d’Afrique en 2014 en l’absence de braconnage.
    $\quad$
    b. Donner la nature de la suite $\left(u_n\right)$ et en préciser le premier terme et la raison.
    $\quad$
    c. Donner l’expression de $u_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  2. Estimer le nombre d’éléphants d’Afrique en 2028 dans ces conditions.
    $\quad$

Partie B

  1. Actuellement, un éléphant d’Afrique est tué tous les quarts d’heure par le braconnage. Justifier qu’environ $35~000$ éléphants d’Afrique sont tués chaque année par le braconnage. On considérera qu’une année a $365$ jours.
    $\quad$
  2. À l’aide d’un tableur, on a obtenu les résultats suivants, arrondis à $0,1$.
    $\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Année} &2013 &2014 &2015 &2016 &2017 &2018 &2019 &2020 &2021 &2022 &2023\\
    \hline
    \begin{array}{l}\text{Effectif de la}\\ \text{population} \\ \text{d’éléphants }\\
    \text{en présence } \\
    \text{de} \\
    \text{braconnage} \\
    \text{(en millier} \\
    \text{d’individus)} \end{array}&470,0 &442,1 &413,7 &384,9 &355,7 &326,0 &295,9 &265,3 &234,3 &202,9 &170,9\\
    \hline
    \end{array}$
    Dans une interview accordée en 2013, le Fonds mondial pour la nature s’alarme : “si l’on ne réagit pas, la population d’éléphants d’Afrique aura baissé de près de $64\%$ en dix ans”.
    Justifier cette affirmation par un calcul.
    $\quad$
  3. On considère l’algorithme suivant :
    Variables
    $\quad$ $n$ est un entier
    $\quad$ $u$ est un réel
    Traitement
    $\quad$ $n$ prend la valeur 2013
    $\quad$ $u$ prend la valeur $470~000$
    $\quad$ Tant que $u > 0$ faire
    $\qquad$ Début tant que
    $\qquad$ $n$ prend la valeur $n + 1$
    $\qquad$ $u$ prend la valeur $u \times 1,015-35~000$
    $\quad$ Fin tant que
    $\quad$ Afficher $n$
    $\quad$
    Cet algorithme affiche le résultat $2029$.
    Comment interpréter ce résultat ?
    $\quad$

Exercice 2    6 points

Le tableau suivant donne l’évolution du tirage journalier (nombre d’exemplaires imprimés par jour) de la presse quotidienne d’information générale et politique en France.

$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Année} &2010 &2011 &2012 &2013 &2014\\
\hline
\text{Rang de l’année : } x_i& 0 &1 &2 &3 &4\\
\hline
\begin{array}{l}\text{Tirage journalier en million }\\ \text{d’exemplaires : }  y_i\end{array}& 1,80 &1,73 &1,60 &1,47 &1,36\\
\hline\end{array} \\
\hspace{9.5cm}\text{Source : INSEE}$

Les trois parties A, B et C sont indépendantes.

Partie A

  1. Déterminer le taux d’évolution global, arrondi à $0,01\%$, du tirage journalier entre 2010 et 2014.
    $\quad$
  2. Calculer le taux d’évolution annuel moyen sur cette période, arrondi à $0,01\%$, du tirage journalier.
    $\quad$
  3. En supposant que l’évolution se poursuit au taux annuel de $-7\%$ dans les années à venir, donner une estimation, arrondie à $0,01$, du tirage journalier que l’on peut prévoir pour l’année 2017.
    $\quad$

Partie B

  1. Représenter le nuage de points $\left(x_i;y_i\right)$ associé au tableau ci-dessus dans le repère donné en annexe 1.
    $\quad$
  2. À l’aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d’ajustement affine obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis à $0,01$.
    $\quad$
  3. Pour les deux questions suivantes, on prendra pour ajustement affine la droite $D$ d’équation $y = -0,1x+1,8$.
    a. Représenter la droite $D$ dans le repère donné en annexe 1.
    $\quad$
    b. Selon ce modèle, estimer le tirage journalier que l’on peut prévoir pour l’année 2017.
    $\quad$

Partie C

La DGMIC (Direction générale des médias et des industries culturelles) a réalisé une étude auprès de $12$ quotidiens d’information générale qui possèdent des applications numériques sur les trois supports que sont les tablettes, les smartphones et les ordinateurs.
Le taux de rebond désigne le pourcentage d’internautes qui sont entrés sur un site par une page web puis l’ont quitté sans consulter d’autres pages.

Cette étude révèle les informations suivantes :

  • $2$ visites sur $5$ se font depuis un smartphone et ont un taux de rebond de $65\%$ ;
  • $10\%$ des visites se font depuis une tablette et ont un taux de rebond de $53\%$ ;
  • la moitié des visites ont lieu à partir d’un ordinateur et ont un taux de rebond de $59\%$.

On choisit au hasard un visiteur et on considère les événements suivants :

  • $S$ : “Le visiteur utilise un smartphone”
  • $T$ : “Le visiteur utilise une tablette”
  • $O$ : “Le visiteur utilise un ordinateur”
  • $R$ : “Le visiteur quitte le site après avoir visité la première page”

Pour tout événement $A$, on notera $p(A)$ sa probabilité, $\conj{A}$ son événement contraire, et, pour tout événement $B$ de probabilité non nulle, $P_B(A)$ la probabilité de l’événement $A$ sachant que $B$ est réalisé.

  1. a. Donner la valeur de $P_T(R)$.
    $\quad$
    b. Donner la proportion de personnes qui naviguent sur un site à partir d’un appareil mobile (tablette ou smartphone) parmi les personnes interrogées.
    $\quad$
  2. a. Compléter l’arbre pondéré donné en annexe 2.
    $\quad$
    b. Calculer la probabilité de l’événement $A$ “le visiteur utilise un smartphone et quitte le site après avoir visité la première page”.
    $\quad$
    c. Montrer que la probabilité qu’un visiteur choisi au hasard quitte le site après avoir visité la première page est $p(R) = 0,608$.
    $\quad$
  3. Calculer la probabilité, arrondie à $0,01$, qu’un visiteur utilise un ordinateur sachant qu’il a quitté le site après avoir consulté la première page.
    $\quad$

Annexe 1

Annexe 2

$\quad$

Exercice 3    6 points

En 2012, le gérant d’une brasserie de bord de plage propose le midi, un menu à $9,80$ €.
À ce tarif, il sert en moyenne $420$ couverts par semaine. Cette formule rencontre un tel succès qu’il décide d’augmenter son prix les étés suivants.
Il observe une légère diminution du nombre de couverts mais sa formule demeure rentable.

Les trois parties A, B et C sont indépendantes.

Partie A

Le tableau suivant donne l’évolution du nombre de couverts lorsque le prix du menu varie.

$\begin{array}{|l|c|c|c|c|}
\hline
\text{Été} &2012 &2013 &2014 &2015\\
\hline
\text{Prix du menu (en euro)} &9,80 &11,00 &12,30 &13,80\\
\hline
\text{Nombre hebdomadaire de couverts} &420 &395 &370 &345\\
\hline
\end{array}$

Le gérant a réalisé le tableau ci-dessous extrait d’une feuille de calcul:

La plage de cellules $D3:E5$ est au format pourcentage arrondi à $0,01\%$.

  1. Proposer une formule à saisir dans la cellule $D3$, permettant par recopie vers le bas de compléter les cellules $D4$ et $D5$.
    $\quad$
  2. Proposer de même une formule à saisir dans la cellule $E3$, permettant par recopie vers le bas de compléter les cellules $E4$ et $E5$.
    $\quad$
  3. a. Calculer le taux d’évolution annuel moyen, arrondi à $0,01\%$, du prix du menu entre l’été 2012 et l’été 2015.
    $\quad$
    b. En supposant que le taux d’évolution annuel du prix du menu reste constant et égal à ce taux moyen après l’été 2015, donner une estimation du prix du menu, arrondi au centime, pendant l’été 2017.
    $\quad$
  4. Donner, en détaillant la démarche, une estimation du nombre hebdomadaire moyen de couverts pendant l’été 2017.
    $\quad$

Partie B

  1. Le nombre hebdomadaire moyen de couverts en fonction du prix $x$ du menu est $N(x) = -19x+604$. Le prix $x$ du menu est exprimé en euro.
    a. Calculer le nombre hebdomadaire moyen de couverts lorsque le prix du menu est de $11$ €.
    $\quad$
    b. Calculer le chiffre d’affaires hebdomadaire réalisé par la brasserie lorsque le menu est au prix de $11$ €.
    $\quad$
    c. On note $C(x)$ le chiffre d’affaires hebdomadaire en euro pour un prix du menu de $x$ euros. Montrer que $C(x) = -19 x^2+604 x$.
    $\quad$
  2. On considère la fonction $C$ définie sur l’intervalle $[0;25]$ par $C(x) = -19 x^2+604 x$.
    a. Déterminer l’expression de la fonction dérivée $C’$ de $C$.
    $\quad$
    b. Donner le signe de $C'(x)$ sur l’intervalle $[0;25]$.
    $\quad$
    c. Dresser le tableau de variations de la fonction $C$ sur l’intervalle $[0;25]$.
    $\quad$
  3. a. Pour quel prix du menu le chiffre d’affaires hebdomadaire de la brasserie est-il maximal? On arrondira le résultat au centième.
    $\quad$
    b. À ce prix, quel est le chiffre d’affaires hebdomadaire de la brasserie ? On arrondira le résultat à l’unité.
    $\quad$

Partie C

Le gérant souhaiterait faire passer le prix du menu à $15,90$ € dès l’été 2016.
Il souhaite estimer la proportion de clients qui seraient prêts à venir déjeuner à ce tarif.
Il réalise un sondage le samedi suivant auprès des clients présents le midi ce jour-là.
Sur les $50$ personnes interrogées, $39$ se disent prêtes à venir déjeuner à ce tarif.
Déterminer un intervalle de confiance, au niveau de confiance de $95\%$, de la proportion de clients favorables à ce changement.
On arrondira les bornes de l’intervalle à $0,01$.
$\quad$

Exercice 4    4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).
Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat recopiera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte un point, une réponse fausse ou l’absence de réponse n’enlève pas de point.

Les quatre questions sont indépendantes.

  1. La taille $T$ en cm d’un garçon de 10 ans est modélisée par une variable aléatoire suivant la loi normale de moyenne $\mu = 135$ et d’écart type $\sigma = 5$.
    a. $p(T < 145) \approx 0,02$
    b. $p(125 < T < 145) \approx 0,95$
    c. $p(125 < T < 145) \approx 0,68$
    d. $p(T > 125) \approx 0,99$
    $\quad$
  2. La part de consommateurs bio réguliers, c’est-à-dire ceux qui disent consommer bio au moins une fois par mois s’élève à $43\%$ en France en 2015.
    On effectue un sondage dans une société de $400$ personnes.
    La fréquence de consommateurs bio réguliers dans cet échantillon est notée $f$.
    a. $f = 0,43$
    b. Au seuil de $95\%$, $0,38 \pp f \pp 0,48$
    c. Au seuil de $95\%$, $0,427~5 \pp f \pp 0,432~5$
    d. Au seuil de $95\%$, $0,23 \pp f \pp 0,63$
    $\quad$
  3. Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x \ne 2$ par $f(x) = \dfrac{2x+1}{x-2}$.
    On note $f’$ la fonction dérivée de $f$.
    Pour tout $x \ne 2$,
    a. $f'(x) = 2$
    b. $f'(x) = \dfrac{-5}{(x-2)^2}$
    c. $f'(x) = \dfrac{2x+1}{(x-2)^2}$
    d. $f'(x) = \dfrac{-1}{(x-2)^2}$
    $\quad$
  4. On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = -x^2+x+3$ sur l’intervalle $[-2;3]$.
    Sa représentation graphique est la courbe $C$ ci-dessous :

    Le point $A$ de la courbe $C$ a pour coordonnées $(2;1)$. La droite $D$ est la tangente à la courbe $C$ au point $A$.
    Une équation de la droite $D$ est :
    a. $y = -3x+7$
    b. $y = -3x+1$
    c. $y = -x+2$
    d. $y = 2x+1$
    $\quad$

Bac STMG – Métropole – juin 2017

Métropole – Juin 2017

Bac STMG – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici .

Ex 1

Exercice 1

  1. $\quad$
  2. On veut calculer $p(R\cap I)=0,824\times 0,569 = 0,468~856 \approx 0,469$
    $\quad$
  3. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(I)&=p(R \cap I)+p(S\cap I)+p(V\cap I) \\
    &=0,824\times 0,569+0,094\times 0,579+0,082\times 0,483 \\
    &=0,562~888\\
    &\approx 0,563
    \end{align*}$
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_I(R)&=\dfrac{p(I\cap R)}{p(I)} \\
    &\approx\dfrac{0,469}{0,563} \\
    &\approx 0,833
    \end{align*}$

$\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. Le taux d’évolution global du SMIC entre 2011 et 2015 est :
    $\dfrac{9,61-9}{9}\approx 6,8\%$
    Réponse b$\quad$
  2. On appelle $t$ le taux d’évolution moyen annuel du SMIC horaire brut entre 2011 et 2015.
    On a alors :
    $\begin{align*} \left(1+\dfrac{t}{100 }\right)^4=1,068 &\ssi 1+\dfrac{t}{100}=1,068^{\frac{1}{4}} \\
    &\ssi \dfrac{t}{100}=1,068^{\frac{1}{4}}-1\\
    &\ssi t=100\left(1,068^{\frac{1}{4}}-1\right) \\
    &\ssi t\approx 1,7
    \end{align*}$
    Réponse b
    $\quad$
  3. On peut saisir la formule $=(C2-B2)/B2$
    Réponse c
    $\quad$

Partie B

  1. D’après la calculatrice $p(50 \pp X\pp 70) \approx 0,954$
    Réponse c
    $\quad$
  2. $p(X \pg 65)=1-p(X \pp 65) \approx 0,159$
    Réponse b
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A : Étude du coût total

  1. $C(0)=1~000$
    Les coûts fixes s’élèvent à $1~000$ euros.
    $\quad$
  2. a. Graphiquement, on lit que le coût total lorsque l’entreprise produit $6$ km de tissu est d’environ $2~000$ euros.
    $\quad$
    b.
    $\begin{align*}
    C(6)&=15\times 6^3-120 \times 6^2+350\times 6+1~000\\
    &=2~020
    \end{align*}$
    La valeur exacte est donc de $2~020$ euros.
    $\quad$
  3. Graphiquement un coût total de $5~500$ euros correspond à une production d’environ $9$ km de tissu.
    $\quad$

Partie B : Étude  du bénéfice

  1. Pour tout nombre $x\in[0;10]$ on a $R(x)=530x$.
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*}
    B(x)&=R(x)-C(x)\\
    &=530x-15x^3+120x^2-350x-1~000\\
    &=-15x^3+120x^2+180x-1~000
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. $\quad$
    $\begin{align*} B'(x)&=-15\times 3x^2+120\times 2x+180\\
    &=-45x^2+240x+180
    \end{align*}$
    $\quad$
  4. $B'(x)$ est un polynôme du second degré avec $a=-45$, $b=240$ et $c=180$.
    $\begin{align*} \Delta&=b^2-4ac\\
    &=240^2-4\times (-45)\times 180 \\
    &=90~000\\
    &>0
    \end{align*}$
    Il y a donc deux racines réelles :
    $x_1=\dfrac{-240-\sqrt{90~000}}{-2\times 45}=6$
    $x_2=\dfrac{-240+\sqrt{90~000}}{-2\times 45}=-\dfrac{2}{3}$
    Puisque $a=-45<0$, $B'(x)$ est positif entre les racines et négatif en dehors.
    Par conséquent $B'(x) \pg 0$ sur l’intervalle $[0;6]$ et $B'(x) \pp 0$ sur l’intervalle $[6;20]$.
    $\quad$
    Ainsi la fonction $B$ est croissante sur l’intervalle $[0;6]$ et décroissante sur l’intervalle $[6;20]$.
    $\quad$
  5. a. et b. La fonction $B$ atteint donc son maximum pour $x=6$.
    $B(6)=1~160$.
    Le bénéfice maximum est atteint quand l’entreprise produit $6$ km de tissus et il est alors de $1~160$ euros.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie A

  1. Une équation de la droite est $y=150,65x+2~218,33$
    $\quad$
  2. a. La droite passe par les points de coordonnées $(0;2~218,3)$ et $(10;3~725,3)$.

    b. En 2020 $x=10$ donc $y=150,7\times 9+2~218,3=3~574,6$
    Au 1er janvier 2020, le prix moyen d’un tonne de cacao en provenance de la Côte d’Ivoire devrait être $3~574,6$ dollars.
    $\quad$

Partie B

  1. On a $u_0=3~081,45$
    Par conséquent $u_1=1,04\times u_0\approx 3~204,71$
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=1,04u_n$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,04$.
    $\quad$
  3. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=3~081,45\times 1,04^n$.
    $\quad$
  4. En $2020$ on a $n=5$
    $u_5=3~081,45\times 1,04^5\approx 3~749,06$.
    En 2020, une tonne de cacao devrait coûter $3~749,06$ dollars.
    $\quad$
  5. L’algorithme affiche le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n\pg 4~000$.
    On a $u_6\approx 3~899,02$ et $u_7\approx 4~054,98$.
    Cela signifie donc que c’est en 2020 que le prix moyen d’une tonne de cacao dépassera $4~000$ dollars.
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1    4 points

Selon l’INSEE (Institut national de la statistique et des études économiques), en 2015 :

  • $82,4\%$ des logements en France sont des résidences principales ;
  • $9,4\%$ des logements en France sont des résidences secondaires ou occasionnelles;
  • $8,2\%$ des logements en France sont vacants.

Chaque logement peut être une maison individuelle ou un logement dans un immeuble collectif.

  • Parmi les résidences principales, $56,9\%$ sont des maisons individuelles.
  • Parmi les résidences secondaires ou occasionnelles, $57,9\%$ sont des maisons individuelles.
  • Parmi les logements vacants, $48,3\%$ sont des maisons individuelles.

On choisit un logement au hasard et on note:

  • $R$ l’événement “le logement est une résidence principale” ;
  • $S$ l’événement “le logement est une résidence secondaire ou occasionnelle” ;
  • $V$ l’événement “le logement est vacant” ;
  • $M$ l’événement “le logement est une maison individuelle” ;
  • $I$ l’événement “le logement est dans un immeuble collectif”.

Dans la suite de l’exercice, tous les résultats seront arrondis au millième.

  1. En utilisant les données de l’énoncé, compléter l’arbre pondéré donné en annexe.
    $\quad$
  2. Quelle est la probabilité de l’événement “le logement est une maison individuelle et une résidence principale” ?
    $\quad$
  3. Montrer que la probabilité, arrondie au millième, pour que le logement soit une maison individuelle est égale à $0,563$.
    $\quad$
  4. Calculer la probabilité que le logement soit une résidence principale sachant qu’il s’agit d’une maison individuelle.
    $\quad$

Annexe :

$\quad$

Exercice 2    5 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point, une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire aucun point.

Les deux parties A et B sont indépendantes.

Partie A

Le tableau ci-dessous, extrait d’une feuille de calcul, traduit l’évolution du SMIC (Salaire minimal interprofessionnel de croissance) horaire brut en euro entre 2011 et 2015.
Il indique également les taux d’évolution annuels arrondis à $0,1\%$.

  1. Le taux d’évolution global du SMIC horaire brut entre 2011 et 2015, arrondi à $0,1\%$, est de :
    a. $6,0\%$
    b. $6,8\%$
    c. $7,0\%$
    d. $-6,3\%$
    $\quad$
  2. Le taux d’évolution moyen annuel du SMIC horaire brut entre 2011 et 2015, arrondi à $0,1\%$, est de:
    a. $1,1\%$
    b. $1,7\% $
    c. $0,7\%$
    d. $-1,7\%$
    $\quad$
  3. Quelle formule peut-on saisir dans la cellule $C3$ pour obtenir, par recopie vers la droite, les taux d’évolution d’une année à l’autre ? La plage de cellules $C3:F3$ est au format pourcentage arrondi à $0,1\%$.
    a. $=(C2-B2)/C2$
    b. $=(C2-B\$2)/C2$
    c. $=(C2-B2)/B2$
    d. $=(C2-\$B\$2)/B2 $
    $\quad$

Partie B

On considère $X$ une variable aléatoire qui suit la loi normale de moyenne $60$ et d’écart type $5$.

  1. La probabilité $p(50\pp X\pp 70)$ arrondie à $0,01$ est égale à :
    a. $0,60$
    b. $0,68$
    c. $0,95$
    d. $0,99$
    $\quad$
  2. La probabilité $p(X \pg 65)$ arrondie à $0,01$ est égale à :
    a. $0,05$
    b. $0,16$
    c. $0,50$
    d. $0,80$
    $\quad$

Exercice 3    5 points

Une entreprise produit et vend un tissu en coton de forme rectangulaire de $1$ mètre de large; on note $x$ sa longueur exprimée en kilomètre, $x$ étant un nombre compris entre $0$ et $10$.
Le coût total de production en euro de ce tissu est donné, en fonction de $x$, par : $$C(x) = 15x^3-120x^2+350x+1~000$$

La courbe de la fonction $C$ est représentée sur le graphique ci-dessous.

 

Partie A : Étude du coût total

  1. Déterminer le montant des coûts fixes.
    $\quad$
  2. a. Déterminer, par lecture graphique, le montant du coût total lorsque l’entreprise produit $6$ km de tissu.
    $\quad$
    b. Déterminer par un calcul sa valeur exacte.
    $\quad$
  3. Déterminer graphiquement la longueur, arrondie au kilomètre, de tissu produit lorsque le coût total s’élève à $5~500$ € .
    $\quad$

Partie B : Étude du bénéfice

Le cours du marché offre un prix de $530$ € le kilomètre de tissu fabriqué par l’entreprise.
Pour tout $x \in [0;10]$, on note $R(x)$ la recette et $B(x)$ le bénéfice générés par la production et la vente de $x$ kilomètres de tissu par l’entreprise.

  1. Exprimer $R(x)$ en fonction de $x$.
    $\quad$
  2. Montrer que pour tout $x\in [0;10]$, $B(x) = -15x^3+120x^2+180x-1~000$.
    $\quad$
  3. Déterminer $B'(x)$ pour $x \in [0;10]$ où $B’$ désigne la fonction dérivée de $B$.
    $\quad$
  4. Étudier le signe de $B'(x)$ et en déduire les variations de la fonction $B$ sur $ [0;10]$.
  5. a. Pour quelle longueur de tissu produit et vendu l’entreprise réalise-t-elle un bénéfice maximal ?
    $\quad$
    b. Donner alors la valeur de ce bénéfice maximal.
    $\quad$

Exercice 4    6 points

Le tableau suivant donne le prix moyen en dollar US de la tonne du cacao en provenance de la Côte d’Ivoire au $1\ier$ janvier des années 2011 à 2015.

$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Année} & 2011 & 2012 & 2013 & 2014 & 2015\\
\hline
\text{Rang de l’année: } x_i& 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\
\hline
\begin{array}{l}\text{Prix (en dollar) d’une}\\ \text{ tonne de cacao: } y_i\end{array}& 2~589,70 & 2~324,85 & 2~507,55 & 2~847,85 & 3~081,45\\
\hline
\end{array}\\
\hspace{12cm}\text{Source: INSEE}$
$\quad$

Partie A

Le nuage de points de coordonnées $(x_i;y_i)$, pour $i$ variant de $1$ à $5$, est représenté en annexe.

  1. À l’aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d’ajustement affine de $y$ en fonction de $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés. On arrondira les coefficients au centième.
    $\quad$
  2. On décide d’ajuster ce nuage de points par la droite $D$ d’équation: $$y = 150,7x + 2~218,3.$$
    a. Tracer la droite $D$ sur le graphique de l’annexe.
    $\quad$
    b. À l’aide de ce modèle d’ajustement, donner une estimation du prix moyen d’une tonne de cacao en provenance de la Côte d’Ivoire au $1\ier$ janvier 2020.
    $\quad$

Partie B

On suppose que le prix moyen d’une tonne de cacao en provenance de la Côte d’Ivoire augmente de $4\%$ par an à partir du $1\ier$ janvier 2015. On note $u_n$ le prix moyen d’une tonne de cacao, exprimé en dollar, au $1\ier$ janvier de l’année $2015+n$.

  1. En utilisant le tableau précédent, donner $u_0$ puis calculer $u_1$ arrondi au centième.
    $\quad$
  2. Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ est géométrique et donner sa raison.
    $\quad$
  3. Exprimer le terme général $u_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  4. En déduire une estimation, arrondie au centième, du prix moyen d’une tonne de cacao en provenance de la Côte d’Ivoire au $1\ier$ janvier 2020.
    $\quad$
  5. On considère l’algorithme suivant:
    VARIABLES
    $\quad$ $n$ est un nombre entier
    $\quad$ $u$ et $k$ sont des nombres réels
    TRAITEMENT
    $\quad$ Saisir $k$
    $\quad$ $n$ prend la valeur $0$
    $\quad$ $u$ prend la valeur $3~081,45$
    $\quad$ Tant que $u < k$
    $\quad$ Faire
    $\qquad$$u$ prend la valeur $1,04\times u$
    $\qquad$ $n$ prend la valeur $n+1$
    $\quad$ Fin Tant que
    $\quad$ Afficher $n$
    $\quad$
    Si l’on choisit $k = 4~000$, quelle valeur affichera cet algorithme ? Interpréter ce résultat dans le contexte étudié.$\quad$

Annexe


Bac STMG – Polynésie – juin 2017

Centres Polynésie – Juin 2017

Bac STMG – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici .

Ex 1

Exercice 1

  1. A l’aide de la calculatrice on obtient l’équation $y=-0,279x+55,594$
    $\quad$
  2. a. $y=-0,28x+55,6$
    Si $x=0$ alors $y=55,6$
    Si $x=20$ alors $y=50$.

    b. Le 6 mai on a $x=13$ donc $y=-0,28\times 13+55,6=51,96$.
    Selon ce modèle, le 6 mai, le candidat A remporte $51,96\%$ des voix.
    $\quad$
    c. Le candidat B est élu si les intentions de votes pour le candidat A sont inférieures à $50\%$.
    On résout donc
    $\begin{align*} -0,28x+55,6<50 &\ssi -0,28x<-5,6 \\
    &\ssi x >\dfrac{-5,6}{-0,28} \\
    &\ssi x>20
    \end{align*}$
    C’est à partir du 13 mai que le candidat B serait passé en tête des sondages d’après ce modèle.
    $\quad$
  3. a. On a $n=1~225 \pg 25$ et $p=0,52$ donc $0,2 \pp p \pp 0,8$.
    Un intervalle de fluctuation au niveau de confiance de $95\%$ est :
    $\begin{align*} I_{1~225}&=\left[0,52-\dfrac{1}{\sqrt{1~225}};0,52+\dfrac{1}{\sqrt{1~225}}\right] \\
    &\approx [0,491;0,549]
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. $0,491<0,5$ donc la victoire de ce candidat n’était pas assurée.
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
  2. D’après l’arbre précédent on a :
    $p(T\cap V)=0,6\times 0,72=0,432$
    $\quad$
  3. On veut calculer $p\left(\conj{T}\cap \conj{V}\right)=0,4\times 0,04=0,016$
    $\quad$
  4. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(V)&=p(T\cap V)+p\left(\conj{T}\cap V\right) \\
    &=0,432+0,4\times 0,96 \\
    &=0,816
    \end{align*}$
    $\quad$
  5. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_V(T)&=\dfrac{p(V\cap T)}{p(V)} \\
    &=\dfrac{0,432}{0,816} \\
    &\approx 0,529
    \end{align*}$
    $\quad$

Partie B

  1. On a $U_0=81,6$ donc $U_1=\left(1-\dfrac{5}{100}\right)\times 81,6=0,95\times 81,6=77,52$
    $U_2=0,95\times U_1=73,644$
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a $U_{n+1}=0,95U_n$
    La suite $\left(U_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,95$.
    Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a $U_n=81,6\times 0,95^n$.
    $\quad$
  3. En 2020, on a $n=4$ donc $U_4=81,6\times 0,95^4\approx 66,46$
    En 2020, $66,46\%$ des employés devraient venir en voiture.
    $\quad$
  4. On cherche la plus petite valeur de l’entier naturel $n$ tel que :
    $U_n<50 \ssi 81,6 \times 0,95^n<50$
    D’après la calculatrice, on a :
    $U_{9}\approx 51,4$ et $U_{10}\approx 48,9$
    C’est donc à partir de l’année 2026 que moins d’un employé sur deux viendra travailler en voiture.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. Taux d’évolution du salaire net moyen des hommes entre 1990 et 2000 :
    $t_1=\dfrac{21~498-17~643}{17~643}\approx 21,85\%$
    Taux d’évolution du salaire net moyen des femmes entre 1990 et 2000 :
    $t_2=\dfrac{17~259-13~258}{13~258}\approx 30,18\%$
    $\quad$
  2. On a $t_2>t_1$ donc les femmes ont la plus forte progression du salaire net moyen entre 1990 et 2000.
    $\quad$
    Taux d’évolution du salaire net moyen des hommes entre 2000 et 2010 :
    $t_3=\dfrac{26~831-21~498}{21~498}\approx 24,81\%$
    Taux d’évolution du salaire net moyen des femmes entre 2000 et 2010 :
    $t_4=\dfrac{22~112-17~259}{17~259}\approx 28,12\%$
    On constate que $t_4>t_3$. La tendance s’est donc confirmée durant les dix années suivantes mais l’écart entre les deux taux d’évolution s’est atténué.
    $\quad$
  3. On appelle $t$ le taux annuel moyen d’évolution du salaire net des hommes entre 1990 et 2000.
    On a donc :
    $\begin{align*} \left(1+\dfrac{t}{100}\right)^{10}=1,218~5 &\ssi 1+\dfrac{t}{100}=1,218~5^{\frac{1}{10}} \\
    &\ssi \dfrac{t}{100}=1,218~5^{\frac{1}{10}}-1 \\
    &\ssi t=100\times \left(1,218~5^{\frac{1}{10}}-1\right)
    \end{align*}$
    Ainsi le taux annuel moyen d’évolution du salaire net des hommes entre 1990 et 2000 est d’environ $1,996\%$ ce qui est nettement inférieur à celui des femmes.
    $\quad$

Partie B

  1. $h(15)=0,25\times 15^3+2\times 15^2+318\times 15+17~865$ $=23~928,75$
    $f(15)=0,6\times 15^3-13\times 15^2+470\times 15+13~324$ $=19~474$
    Cela signifie donc qu’en 2005, le salaire net annuel des hommes était d’environ $23~929$ euros et celui des femmes de $19~474$ euros.
    $\quad$
  2. $h(30)=35~955$ et $f(30)=31~924$
    L’écart est donc de $35~955-31~924=4~031$ euros.
    $\quad$
  3. L’écart entre ces deux salaires est modélisé par la fonction $g$ définie sur l’intervalle $[0;30]$ (pour aller de 1990 à 2020) par :
    $\begin{align*} g(x)&=h(x)-f(x)\\
    &=0,25x^3+2x^2+318x+17~864-\left(0,6x^3-13x^2+470x+13~324\right) \\
    &=-0,35x^3+15x^2-152x+4~541
    \end{align*}$
    $\quad$
  4. $\quad$
    $\begin{align*} g'(x)&=-0,35\times 3x^2+15\times 2x-152 \\
    &=-0,95x^2+30x-152
    \end{align*}$
    $\quad$
  5. $g'(x)$ est un polynôme du second degré avec $a=-0,95$, $b=30$ et $c=-152$.
    $\begin{align*} \Delta&=b^2-4ac \\
    &=30^2-4\times (-0,95)\times (-152) \\
    &=900-577,6\\
    &=322,4\\
    &>0\end{align*}$
    Il y a donc deux solutions réelles :
    $x_1=\dfrac{-30-\sqrt{322,4}}{-2\times 0,95} \approx 25,24$
    $x_2=\dfrac{-30+\sqrt{322,4}}{-2\times 0,95} \approx 6,34$
    Puisque $a<0$ on obtient le tableau de signes suivant :
  6. D’après le tableau de signes précédents on constate que l’écart entre les salaires annuels moyens des hommes et des femmes a augmenté sur l’intervalle $\left[x_2;x_1\right]$ soit environ entre 1997 et 2015. On ne peut donc pas affirmer que cet écart n’a fait que diminuer depuis 1990.
    $\quad$

Partie C

  1. $X$ prend la valeur $0$
    $H$ prend la valeur $17865$
    $F$ prend la valeur $13324$
    Tant que $F<H$
    $\quad$ $X$ prend la valeur $X+1$
    $\quad$ $H$ prend la valeur $0,25X^3+2X^2+318X+17865$
    $\quad$ $F$ prend la valeur $0,6X^3-13X^2+470X+13324$
    Fin tant que
    $A$ prend la valeur $1990+X$
    Afficher $A$
    $\quad$
    $\quad$
  2. D’après le tableau, cet algorithme affichera $2031$.
    $\quad$

 

Énoncé

Exercice 1    5 points

Des sondages quotidiens ont été effectués avant le second tour d’une élection opposant deux candidats A et B. Les intentions de votes, en pourcentage, pour le candidat A sont données dans le tableau suivant:

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Dates:}&24/04 &25/04& 26/04& 27/04& 30/04& 01/05& 02/05 &03/05 &04/05\\
\hline
\text{Rang du jour } x_i&1&2& 3& 4& 7& 8& 9& 10& 11\\
\hline
\text{Pourcentage } y_i&55 &55& 54,5& 55& 54& 53,5& 53& 53& 52\\
\hline
\end{array}$

Par exemple, le 24 avril les intentions de votes pour le candidat A étaient de $55\%$ et pour le candidat B de $45\%$.

Le scrutin aura lieu le 6 mai. Comme il est interdit de publier des résultats de sondages les deux derniers jours avant le scrutin, on ne dispose pas des sondages pour le 5 et le 6 mai.

Le nuage de points de coordonnées $(x_i; y_i)$ pour $i$ variant de $1$ à $11$, est donné en annexe à rendre avec la copie.

  1. À l’aide de la calculatrice, déterminer, par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite d’ajustement de $y$ en $x$ (arrondir les coefficients au millième).
    $\quad$
  2. On décide d’ajuster le nuage avec la droite $D$ d’équation $y = -0,28x+55,6$.
    a. Tracer la droite $D$ sur le graphique figurant sur annexe.
    $\quad$
    b. Déterminer la valeur prévue par ce modèle le 6 mai, jour de l’élection.
    $\quad$
    c. Si l’élection n’avait pas eu lieu le 6 mai, d’après ce modèle, à partir de quelle date le candidat B serait-il passé en tête des sondages ?
    $\quad$
  3. Des sondages ont été faits le jour de l’élection mais n’ont pas été communiqués. Un de ces sondages donnait le candidat A à $52\%$. L’institut disait avoir effectué ce sondage sur un échantillon représentatif de $1~225$ personnes.
    a. Au vu de ce dernier sondage, établir l’intervalle de confiance au niveau de $95\%$, pour le résultat du candidat A à l’élection.
    $\quad$
    b. Au vu de cet intervalle, la victoire de ce candidat-semblait elle assurée?
    Justifier la réponse.
    $\quad$

Annexe

Exercice 2    7 points

En 2016 une étude réalisée dans une grande entreprise révèle que $60\%$ des employés peuvent venir travailler grâce aux transports en commun. Parmi ceux-ci, $72\%$ déclarent venir tout de même en voiture. Parmi ceux qui n’ont pas accès aux transports en commun, $96\%$ viennent travailler en voiture.

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

Partie A

On choisit au hasard un employé de cette entreprise et on considère les événements suivants:

  • $T$ : “L’employé peut utiliser les transports en commun” ;
  • $V$ : “l’employé vient travailler en voiture”.

On notera $\conj{T}$ et $\conj{V}$ les événements contraires.
Les résultats seront tous donnés à $0,001$ près.

  1. Recopier et compléter l’arbre pondéré donné ci-dessous.
  2. Calculer la probabilité de l’événement $T\cap V$.
    $\quad$
  3. Déterminer la probabilité que l’employé ne puisse pas utiliser les transports en commun et ne vienne pas travailler en voiture.
    $\quad$
  4. Justifier que la probabilité de l’événement $V$ est égale à $0,816$.
    $\quad$
  5. Sachant que l’employé vient en voiture, quelle est la probabilité qu’il ait accès aux transports en commun ?
    $\quad$

Partie B

L’entreprise souhaite, par diverses incitations, diminuer de $5\%$ par an le pourcentage de ceux qui viennent travailler en voiture.

On note $U_0$ le pourcentage de ces employés en 2016 et pour tout entier $n$, $U_n$ le pourcentage espéré l’année $(2016 + n)$. On a montré dans la partie A que $U_0 = 81,6$.

  1. Calculer $U_1$, puis $U_2$.
    $\quad$
  2. Déterminer la nature de cette suite puis exprimer $U_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  3. Calculer le pourcentage attendu d’employés venant en voiture en 2020.
    $\quad$
  4. D’après ce modèle, à partir de quelle année, y aura-t-il moins d’un employé sur deux qui viendra travailler en voiture?
    $\quad$

Exercice 3    8 points

Une étude de l’INSEE a listé l’évolution en France des salaires nets annuels moyens de 1990 à 2010.

Partie A

On a reporté quelques valeurs dans le tableau ci-dessous :

$\begin{array}{|l|c|c|c|}
\hline
\text{Années:}& 1990& 2000& 2010\\
\hline
\begin{array}{l}\text{Salaire net annuel moyen pour}\\ \text{les hommes (€) :}\end{array}  & 17~643&21~498&26~831\\
\hline
\begin{array}{l}\text{Salaire net annuel moyen pour} \\ \text{les femmes (€) :} \end{array} &13~258& 17~259& 22~112\\
\hline
\end{array}$

  1. Calculer le taux d’évolution du salaire net moyen des hommes puis celui des femmes, entre 1990 et 2000.
    $\quad$
  2. Qui, des hommes ou des femmes, a vu la plus forte progression du salaire net moyen entre 1990 et 2000 ? Cette tendance s’est-elle confirmée durant les dix années suivantes?
    $\quad$
  3. Calculer le taux annuel moyen d’évolution du salaire net des hommes entre 1990 et 2000 et comparer avec celui des femmes qui est d’environ de $2,7\%$.
    $\quad$

Partie B

En se servant des données de cette étude, on modélise l’évolution des salaires nets annuels moyens jusqu’en 2020 :

  • Pour les hommes par la fonction $h$ définie sur $[0;30]$ par: $$h(x) = 0,25x^3+2x^2+318x+17~865$$
  • Pour les femmes par la fonction $f$ définie sur $[0;30]$ par: $$f(x) = 0,6x^3-13x^2+470x+13~324$$

Ainsi, $h(0)$ désigne le salaire net annuel des hommes en 1990, $f(1)$ désigne le salaire net annuel des femmes en 1991, etc.

  1. Calculer $h(15)$ et $f(15)$ puis interpréter les résultats.
    $\quad$
  2. Calculer l’écart des salaires nets annuels moyens prévus par ce modèle entre les hommes et les femmes en 2020.
    $\quad$
  3. Montrer que l’écart entre ces deux salaires peut être modélisé par la fonction $g$ définie sur $[0;30]$ par : $$g(x) = -0, 35x^3+15x^2-152x+4~541$$
    $\quad$
  4. On note $g’$ la dérivée de la fonction $g$. Calculer $g'(x)$.
    $\quad$
  5. Déterminer le signe de $g'(x)$ sur $[0;30]$.
    $\quad$
  6. Peut-on affirmer que l’écart entre les salaires nets annuels moyens des hommes et des femmes n’a fait que diminuer depuis 1990 ?
    $\quad$

Partie C

Le modèle choisi indique que l’écart entre le salaire des hommes et celui des femmes diminue à partir de 2012. On suppose que ce modèle peut être valable jusqu’en 2040.

  1. Compléter l’algorithme, donné en annexe, pour qu’il affiche à partir de quelle année, avec ce modèle, le salaire des femmes aura rattrapé celui des hommes.
    $\quad$
  2. En utilisant le tableau donné ci-dessous, dire ce qu’affichera l’algorithme.

Annexe

$X$ prend la valeur $0$
$H$ prend la valeur $17~865$
$F$ prend la valeur $13~324$
Tant que $\ldots\ldots < \ldots\ldots$
$\quad$ $X$ prend la valeur $X+1$
$\quad$ $H$ prend la valeur $0,25 X^3+2X^2+318X+17~865$
$\quad$ $F$ prend la valeur $0,6 X^3-13X^2+470X+13~324$
Fin tant que
$A$ prend la valeur $1990+\ldots\ldots$
Afficher $A$

Bac STMG – Centres étrangers – juin 2017

Centres étrangers – Juin 2017

Bac STMG – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici .

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. Après $0,7$ seconde de vols la fusée sera à  $42$ m.
    $\quad$
  2. La fusée peut exploser entre $0,65$ seconde et $1.75$ seconde.
    $\quad$

Partie B

  1. a. On veut :
    $\begin{align*} f(x)\pg 40 &\ssi -0,5x^2+10x+8\pg 40 \\
    &\ssi -0,5x^2+10x+8-40 \pg 0 \\
    &\ssi -0,5x^2+10x-32 \pg 0
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. On considère l’expression du second degré $-0,5x^2+10x-32$ où $a=-0,5<0$, $b=10$ et $c=-32$.
    $\begin{align*} \Delta &=b^2-4ac \\
    &=10^2-4\times (-0,5)\times (-32) \\
    &=100-64\\
    &=36\\
    &>0 \end{align*}$
    Il y a donc deux racines réelles :
    $x_1=\dfrac{-10-\sqrt{36}}{-2\times 0,5}=16$ et $x_2=\dfrac{-10+\sqrt{36}}{-2\times 0,5}=4$
    Puisque $a<0$, on obtient donc le tableau de signes suivant:
    $\quad$
    Par conséquent l’explosion de la fusée peut avoir lieu entre $0,4$ seconde et $1,6$ seconde.
    $\quad$
  2. a. On a $f(x)=-0,5x^2+10x+8$
    Donc $f'(x)=-0,5\times 2x+10=-x+10$.
    $\quad$
    b. On a $f'(0)=-0+10=10$.
    Le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse $0$ de la courbe représentative de $f$ est donc $10$.
    $\quad$
  3. La hauteur maximale est atteinte quand $x=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-10}{-1}=10$.
    Il faut donc programmer un temps de vol de $1$ seconde.
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. En $C4$ on a saisi $=(C3-B3)/B3$.
    $\quad$
  2. Calculons le taux d’évolution entre les deux loyers.
    $\dfrac{658-650}{650}\approx 1,23\%<1,45\%$.
    Il est donc en accord avec la loi.
    $\quad$
  3. a. Le taux d’évolution entre ces deux dates est :
    $\begin{align*} t&=\dfrac{125,28-117,47}{117,47} \\
    &\approx 6,65\%
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. On cherche la valeur de $T$ tel que :
    $\begin{align*} \left(1+\dfrac{T}{100}\right)^6=1,0665 &\ssi 1+\dfrac{T}{100}=1,0665^{\frac{1}{6}} \\
    &\ssi \dfrac{T}{100}=1,0665^{\frac{1}{6}}-1 \\
    &\ssi T=100\left(1,0665^{\frac{1}{6}}-1\right) \\
    &\ssi T \approx 1,08
    \end{align*}$
    Le taux d’évolution annuel moyen de l’IRL entre le dernier trimestre 2009 et le dernier trimestre 2015 est environ $1,08\%$.
    $\quad$

Partie B

  1. A l’aide de la calculatrice, on obtient l’équation : $y=1,386x+116,981$.
    $\quad$
  2. a. En 2017, $x=9$ et $y=1,39\times 9+117=129,51$. L’IRL serait de $129,51$ en 2017.
    En 2018, $x=10$ et $y=1,39\times 10+117=130,9$. L’IRL serait de $130,9$ en 2018.
    $\quad$
    b. Le taux d’évolution de l’IRL entre 2017 et 2018 est $\dfrac{130,9-129,51}{129,51}\approx 1,07\%$
    $850\times \left(1+\dfrac{1,07}{100}\right)\approx 859$.
    Le loyer ne pourra pas dépasser $859$ € en janvier 2019.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
  2. On veut calculer $p(A\cap F)=0,28\times 0,65=0,182$.
    $\quad$
  3. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(F)&=p(A\cap F)+p(B\cap F)+p(C\cap F) \\
    &=0,28\times 0,65+0,57\times 0,52+0,15\times 0,32 \\
    &=0,526~4
    \end{align*}$
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_F(A)&=\dfrac{p(A\cap F)}{p(F)} \\
    &=\dfrac{0,182}{0,526~4} \\
    &\approx 0,345~7
    \end{align*}$
    $\quad$
  5. On a $n=500 \pg 25$ et $p=0,526~4$ donc $0,2 \pp p \pp 0,8$
    Un intervalle de fluctuation au seuil de $95\%$ est :
    $\begin{align*} I_{500}&=\left[0,526~4-\dfrac{1}{\sqrt{500}};0,526~4+\dfrac{1}{\sqrt{500}}\right] \\
    &\approx [0,481~7;0,571~2]
    \end{align*}$
    La fréquence observée est $f=\dfrac{294}{500}=0,588\notin I_{500}$.
    Le nombre de fumeurs réguliers de cet échantillon est donc anormalement élevé.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. On appelle $N$ le nombre d’abeilles adultes en 1er mars 2014.
    Donc :
    $ N\times (1-0,15)^2=55~200 \ssi N=\dfrac{55~200}{0,85^2} $
    Donc $N \approx 76~400$
    Réponse c
    $\quad$
  2. En 2017, il aura $55~200\times 0,85+15~000=61~920$ abeilles.
    En 2018, il aura $61~920\times 0,85+15~000=67~632$ abeilles.
    Réponse a
    $\quad$
  3. Algorithme a rejeté car la condition pour continuer la boucle “Tant que” est $n>80~000$.
    Algorithme b rejeté car $a$ prend la valeur $55~200$ a chaque tout de boucle.
    Algorithme c rejeté car il affiche $a$.
    Réponse d
    $\quad$
  4. D’après la calculatrice $p(5 \pp X\pp 25)\approx 0,954$
    Réponse c
    $\quad$

 

Énoncé

Exercice 1    5 points

À l’occasion d’un festival pyrotechnique, un artificier se prépare à lancer des fusées à partir d’une plate-forme située à $8$ mètres de hauteur. Il dispose de deux types de fusée, notés A et B.

Partie A

La hauteur, en mètre, atteinte par les fusées de type A en fonction de leur temps de vol $x$, en dixième de seconde, est modélisée par la courbe ci-dessous.

 

Répondre aux deux questions suivantes avec la précision permise par le graphique.

  1. Quelle hauteur atteindra la fusée après $0,7$ seconde de vol?
    $\quad$
  2. Pour des raisons de sécurité, la fusée doit exploser à une altitude supérieure à $40$ mètres. Déterminer l’intervalle de temps auquel doit appartenir $x$ pour satisfaire à cette contrainte.
    $\quad$

Partie B

On modélise la hauteur, en mètre, atteinte par les fusées de type B en fonction de leur temps de vol $x$, en dixième de seconde, par la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;20]$ par: $f (x) =-0,5 x^2+10x+8$.
Comme dans le cas des fusées de type A, l’explosion des fusées de type B doit avoir lieu lorsque celles-ci sont situées à une altitude supérieure ou égale à 40 mètres. On cherche à déterminer l’intervalle dans lequel doit se trouver $x$ pour satisfaire à cette contrainte.

  1. a. Montrer que pour satisfaire à la contrainte posée, $x$ doit être solution de l’inéquation $-0.5 x^2+10x-32\pg 0$.
    $\quad$
    b. Dresser le tableau de signes de la fonction qui à $x$ associe $-0,5 x^2+10x-32$ sur l’intervalle $[0;20]$ et répondre alors au problème posé.
    $\quad$
  2. a. Pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0; 20]$, calculer $f’ (x)$, $f’$ étant la fonction dérivée de $f$.
    $\quad$
    b. L’artificier souhaite connaître le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse $0$ de la courbe représentative de $f$.
    Donner le coefficient directeur recherché.
    $\quad$
  3. Pour des raisons d’esthétique, l’artificier souhaite faire exploser ses fusées de type B lorsque celles-ci seront à leur hauteur maximale.
    Quel temps de vol avant explosion doit-il alors programmer ?
    $\quad$

Exercice 2    5 points

Le tableau ci-dessous, extrait d’une feuille de calcul, donne les indices de référence des loyers, notés IRL, au dernier trimestre de chaque année depuis 2009 (base $100$ pour l’année 1998) et leurs évolutions annuelles.

Partie A

  1. La cellule $C4$ est au format pourcentage arrondi à $0,01\%$. Quelle formule peut-on entrer dans cette cellule pour obtenir, par recopie sur la droite, l’ensemble des valeurs de la plage de cellules $C4:H4$?
    $\quad$
  2. La loi française dispose que pour une révision annuelle d’un loyer, le taux d’évolution du loyer ne peut être supérieur à celui de l’IRL de l’année écoulée. Par exemple, un propriétaire ne peut augmenter le loyer de 2010 de plus de $1,45\%$ en janvier 2011. Un propriétaire propose un loyer de $650$ € mensuel au dernier trimestre 2010 et souhaite le réviser et le passer à $658$ € mensuel pour l’année 2011. Est-il en accord avec la loi ?
    Justifier la réponse.
    $\quad$
  3. a. Déterminer le taux d’évolution arrondi à $0,01\%$ de l’IRL entre le dernier trimestre 2009 et le dernier trimestre 2015.
    $\quad$
    b. En déduire le taux d’évolution annuel moyen arrondi à $0,01\%$ de l’IRL entre le dernier trimestre 2009 et le dernier trimestre 2015.
    $\quad$

Partie B

  1. À l’aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d’ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis au millième.
    Dans la suite de l’exercice on décide de prendre comme droite d’ajustement de $y$ en $x$ la droite $D$ d’équation $y = 1,39 x+117$.
    $\quad$
  2. a. À l’aide de cet ajustement, donner une estimation de l’IRL au dernier trimestre 2017 puis au dernier trimestre 2018.
    $\quad$
    b. Le loyer mensuel d’un appartement s’élève à $850$ € au dernier trimestre de l’année 2018. Si le propriétaire envisage à cette période une révision de ce loyer, quelle somme maximale, arrondie à l’euro, peut-il exiger de son locataire pour janvier 2019 ?
    $\quad$

Exercice 3    6 points

Une étude menée en 2010 par l’institut national de prévention et d’éducation à la santé évalue le comportement face au tabac en fonction de l’âge d’initiation.
Cette étude menée auprès d’un panel de personnes âgées de 20 ans à 25 ans et ayant déjà testé la cigarette présente les conclusions suivantes :

  • la probabilité de devenir un fumeur régulier est de $0,65$ si la première cigarette a été fumée avant l’âge de 14 ans;
  • cette probabilité est de $0,52$ si la première cigarette a été fumée entre 14 ans et 17 ans;
  • cette probabilité est enfin de $0,32$ si la première cigarette a été fumée après l’âge de 17 ans.

On interroge $500$ personnes, choisies au hasard, âgées de 20 à 25 ans ayant déjà fumé. Le tableau ci-dessous donne la répartition des personnes interrogées selon l’âge qu’elles avaient lors de la consommation de leur première cigarette.

$\begin{array}{|l|c|c|c|}
\hline
\text{Âge}&\text{Avant } 14 \text{ ans}& \text{Entre } 14\text{ ans et }17 \text{ ans}& \text{Après } 17 \text{ ans}\\
\hline
\begin{array}{l}\text{Pourcentage des per-}\\ \text{sonnes interrogées}\end{array}& 28\%& 57\% &15\% \\
\hline
\end{array}$

On choisit une personne au hasard parmi les $500$ interrogées.

Dans la suite de l’exercice, on note:

  • $F$ l’événement “la personne choisie est un fumeur régulier”;
  • $A$ l’événement “la personne choisie a fumé sa première cigarette avant l’âge de 14 ans”;
  • $B$ l’événement “la personne choisie a fumé sa première cigarette entre 14 ans et 17 ans” ;
  • $C$ l’événement “la personne choisie a fumé sa première cigarette après l’âge de 17 ans”.

Pour tout événement $A$, on notera $p(A)$ sa probabilité, $\conj{A}$ son événement contraire, et, pour tout événement $B$ de probabilité non nulle, $P_{B} (A)$ la probabilité de l’événement $A$ sachant que $B$ est réalisé.

  1. En considérant encore valables les conclusions de l’étude menée en 2010, recopier puis compléter l’arbre pondéré suivant.
  2. Quelle est la probabilité que la personne choisie ait fumé avant l’âge de 14 ans et soit un fumeur régulier ?
    $\quad$
  3. Montrer que $p(F) = 0.526~4$.
    $\quad$
  4. Sachant que la personne choisie est un fumeur régulier, quelle est la probabilité, arrondie à $10^{-4}$, qu’il ait fumé sa première cigarette avant l’âge de 14 ans ?
    $\quad$
  5. L’échantillon étudié compte $294$ fumeurs réguliers. À l’aide du résultat de la question 3. et d’un intervalle de fluctuation au seuil de $95\%$, peut-on considérer que le nombre de fumeurs réguliers de cet échantillon est anormalement élevé ?
    $\quad$

Exercice 4    4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Chaque réponse correcte rapporte un point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire aucun point.

Un apiculteur constate qu’entre le $1\ier$ mars 2014 et le $1\ier$ mars 2016, la population d’abeilles adultes de sa ruche a diminué de $15\%$ par an.

  1. Au $1\ier$ mars 2016 l’apiculteur dénombre $55~200$ abeilles adultes dans sa ruche, à combien peut-on estimer le nombre d’abeilles adultes, arrondi à la centaine, qui peuplaient la ruche au $1\ier$ mars 2014 ?
    a. $73~000$
    b. $107~100$
    c. $76~400$
    d. $71~800$
    $\quad$

L’apiculteur fait l’hypothèse que cette baisse régulière de $15\%$ va se poursuivre dans les années à venir. Pour pallier cette perte, il décide d’introduire $15~000$ abeilles adultes supplémentaires dans sa ruche au $1\ier$ mars de chaque année à partir de 2017.

  1. Avec cette hypothèse, combien d’abeilles adultes, à la centaine près, peupleront la ruche au $1\ier$ mars 2018 après l’apport de l’apiculteur?
    a. $67~600$
    b. $70~000$
    c. $72~400$
    d. $63~500$
    $\quad$

L’apiculteur décide de poursuivre cet apport annuel de $15~000$ abeilles adultes jusqu’à ce que la population de sa ruche atteigne $80~000$ abeilles adultes.

  1. Lequel de ces quatre algorithmes permet de déterminer le nombre d’années (à partir de 2016) nécessaires pour atteindre cet objectif ?
    a. Variables
    $\quad$ $a$ est un nombre réel
    $\quad$ $n$ est un nombre entier
    Traitement
    $\quad$ $a$ prend la valeur $55~200$
    $\quad$ $n$ prend la valeur $0$
    $\quad$ Tant que $n > 80~000$
    $\qquad$ $a$ prend la valeur $a\times 0,85 + 15~000$
    $\qquad$ $n$ prend la valeur $n+1$
    $\quad$ Fin Tant que
    $\quad$ Afficher $n$
    $\quad$
    b. Variables
    $\quad$ $a$ est un nombre réel
    $\quad$ $n$ est un nombre entier
    Traitement
    $\quad$ $n$ prend la valeur $0$
    $\quad$ Tant que $a < 80~000$
    $\qquad$ $a$ prend la valeur $55~200$
    $\qquad$ $a$ prend la valeur $a\times 0,85 + 15~000$
    $\qquad$ $n$ prend la valeur $n+1$
    $\quad$ Fin Tant que
    $\quad$ Afficher $n$
    $\quad$
    c. Variables
    $\quad$ $a$ est un nombre réel
    $\quad$ $n$ est un nombre entier
    Traitement
    $\quad$ $n$ prend la valeur $0$
    $\quad$ $a$ prend la valeur $55~200$
    $\quad$ Tant que $a < 80~000$
    $\qquad$ $a$ prend la valeur $a\times 0,85 + 15~000$
    $\qquad$ $n$ prend la valeur $n+1$
    $\quad$ Fin Tant que
    $\quad$ Afficher $a$
    $\quad$
    d. Variables
    $\quad$ $a$ est un nombre réel
    $\quad$ $n$ est un nombre entier
    Traitement
    $\quad$ $a$ prend la valeur $55~200$
    $\quad$ $n$ prend la valeur $0$
    $\quad$ Tant que $a < 80~000$
    $\qquad$ $a$ prend la valeur $a\times 0,85+15~000$
    $\qquad$ $n$ prend la valeur $n+1$
    $\quad$ Fin Tant que
    $\quad$ Afficher $n$
    $\quad$
  2. On admet que la production moyenne de miel d’une ruche, en kilogramme, est une variable aléatoire qui suit une loi normale de moyenne $\mu = 15$ et d’écart type $\sigma = 5$.
    La probabilité $p(5\pp X\pp 25)$ arrondie à $0,01$ est égale à :
    a. $0,68$
    b. $0,99$
    c. $0,95$
    d. $0,50$
    $\quad$


2016 – 2017


Retrouver la correction des sujets de mathématiques du bac STMG de l’année 2016/2017.
Pondichéry avril 2017

Centres étrangers juin 2017

Polynésie juin 2017

Métropole juin 2017

Antilles Guyane juin 2017

Polynésie septembre 2017

Antilles Guyane septembre 2017

Métropole septembre 2017

Nouvelle-Calédonie novembre 2017

$\quad$