Bac STMG – Nouvelle Calédonie – Novembre 2019

Nouvelle Calédonie – Novembre 2019

Bac STMG – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici .

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. On obtient l’arbre suivant :

    $\quad$
  2. a. $H\cap A$ est l’événement « le client est un homme qui a choisi la formule A ».
    $\quad$
    b. D’après l’arbre de probabilités on a :
    $p(H\cap A)=0,43\times 0,13=0,055~9$
    $\quad$
  3. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(A)&=p(F\cap A)+p(H\cap A) \\
    &=0,353~4+0,055~9\\
    &=0,409~3\end{align*}$
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_A(H)&=\dfrac{p(A\cap H)}{p(A)} \\
    &=\dfrac{0,055~9}{0,409~3} \\
    &\approx 0,136~6\end{align*}$
    La probabilité que le client soit un homme sachant qu’il a choisi la formule A est environ égale à $0,136~6$.
    $\quad$

Partie B

  1. On a $n=400$ et $p=0,77$
    Donc $n\pg 30$, $np=308\pg 5$ et $n(1-p)=92\pg 5$.
    Un intervalle de fluctuation, à au moins $95\%$ de la fréquence des clients abonnés depuis plus de $12$ mois est :
    $\begin{align*} I_{400}&=\left[0,77-\dfrac{1}{\sqrt{400}};0,77+\dfrac{1}{\sqrt{400}}\right] \\
    &=[0,72;0,82]\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. On a $f=\dfrac{280}{400}=0,7$.
    La fréquence des clients abonnés depuis plus de 12 mois consécutifs dans cette salle est donc égale à $0,7$.
    $\quad$
    b. On a $0,7<0,72$.
    Au risque d’erreur de $5\%$, la responsable peut donc penser que cette salle est moins attractive que les autres salles de la chaîne.
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

  1. a. $C(4)=600$.
    Pour la vente de $4$ hectolitres le chiffre d’affaire réalisé est de $6~000$ €.
    $\quad$
    b. $R(4)\approx 250$.
    Le coût de fabrication de $4$ hectolitres est environ égal à $2~500$ €.
    $\quad$
    c. Le bénéfice réalisé pour la vente de $4$ hectolitres est environ égal à $6~000-2~500=3~500$ €.
    $\quad$
    d. D’après le graphique on a $R(4)-C(4)<R(6)-C(6)$.
    Le bénéfice n’est donc pas maximal pour la production et la vente de $4$ hectolitres.
    $\quad$
  2. Les points d’intersection des deux courbes ont pour abscisses environ $1$ et $10,9$.
    L’entreprise doit donc produire entre $1$ et $10,9$ hectolitres environ pour réaliser des profits.
    $\quad$
  3. La droite passe par l’origine du repère. $R$ est donc une fonction linéaire.
    Son coefficient directeur est alors $a=\dfrac{600}{4}=150$
    Ainsi, pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;12]$ on a $R(x)=150x$.
    $\quad$
  4. a. Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;12]$ on a :
    $\begin{align*} B'(x)&=-2\times 3x^2+15\times 2x+84 \\
    &=-6x^2+30x+84\end{align*}$
    $\quad$
    b. $-6x^2+30x+84=0$ est une équation du second degré.
    Son discriminant est $\Delta = 30^2-4\times (-6)\times 84=2~916>0$.
    L’équation possède donc deux solutions réelles :
    $x_1=\dfrac{-30-\sqrt{2~916}}{-12}=7$ et $x_2=\dfrac{-30+\sqrt{2~916}}{-12}=-2$
    $\quad$
    c. Le coefficient principal est $a=-6<0$. Par conséquent $B'(x)\pg 0$ sur $[-2;7]$.
    On obtient donc le tableau de variations suivant :
    $\quad$
    d. D’après le tableau précédent, le bénéfice est maximal quand l’entreprise fabrique et vend $7$ hectolitre de désinfectant.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. On peut saisir la formule $=(C3-B3)/B3$
    $\quad$
  2. On appelle $t$ le taux d’évolution annuel moyen entre les années 2010 et 2015.
    On a ainsi :
    $\begin{align*} 530\left(1+\dfrac{t}{100}\right)^5=1~099&\ssi \left(1+\dfrac{t}{100}\right)^5=\dfrac{1~099}{530} \\
    &\ssi 1+\dfrac{t}{100}=\left(\dfrac{1~099}{530}\right)^{1/5} \\
    &\ssi \dfrac{t}{100}=\left(\dfrac{1~099}{530}\right)^{1/5} -1\\
    &\ssi t=100\left[\left(\dfrac{1~099}{530}\right)^{1/5}-1\right] \end{align*}$
    Ainsi $t\approx 15,7$
    Le taux d’évolution annuel moyen entre les années 2010 et 2015 est environ $15,7 \%$.
    $\quad$

Partie B

  1. D’après la calculatrice, une équation de la droite cherchée est : $y=105,40x+578,67$
    $\quad$
  2. a. On obtient le graphique suivant :
    $\quad$
    b. En 2019 on a $x=9$ donc $y=105\times 9+579=1~524$.
    Selon ce modèle, on peut estimer $1,524$ millions de visiteurs en 2019.
    $\quad$

Partie C

  1. $v_1=\left(1+\dfrac{15,7}{100}\right)\times 1~099=1,157\times 1~099 =1~271,543$
    En 2016, il y avait donc $1~271~543$ visiteurs.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a donc :
    $v_{n+1}=\left(1+\dfrac{15,7}{100}\right)v_n=1,157v_n$.
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,157$ et de premier terme $v_0=1~099$.
    $\quad$
  3. Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=1~099\times 1,157^n$.
    $\quad$
  4. Cela signifie que c’est à partir de l’année 2020 que le parc animalier recevra au moins $2$ millions de visiteurs.
    $\quad$

 

 

Ex 4

Exercice 4

  1. On appelle $P$ le prix avant augmentation.
    On a donc $P\times \left(1+\dfrac{25}{100}\right)=80$
    $\ssi 1,25P=80$
    $\ssi P=\dfrac{80}{1,25}$
    $\ssi 64$
    Réponse b
    $\quad$
  2. Le nouvel indice est $\dfrac{1~632\times 100}{1~360}=120$
    Réponse c
    $\quad$
  3. On a :
    $\begin{align*}p(X\pg 2~021)&=P(X\pg 2~019)-P(2~019\pp X\pp 2~021) \\
    &=0,5-P(2~019\pp X\pp 2~021) \\
    &\approx 0,16\end{align*}$
    Réponse a
    $\quad$
  4. On sait que $P(\mu-2\sigma \pp X\pp \mu+2\sigma)\approx 0,95$
    Donc $P(2~019-2\times 2 \pp X\pp 2~019+2\times 2) \approx 0,95$
    Soit $P(2~015\pp X\pp 2023)\approx 0,95$
    Réponse a
    $\quad$

 

Énoncé

Exercice 1     5 points

Une chaîne de salles de sport propose trois formules d’abonnement mensuel:

  • Formule A : accès aux cours collectifs;
  • Formule B : accès libre à la salle de musculation;
  • Formule C : accès libre à la salle de musculation et aux cours collectifs.

Partie A :

On a observé que:

  • $43\%$ des clients de cette chaîne sont des hommes;
  • $13\%$ des hommes et $62\%$ des femmes ont choisi la formule A ;
  • $74\%$ des hommes et $20\%$ des femmes ont choisi la formule B;

Les autres ont choisi la formule C.

On choisit au hasard la fiche d’un client.
On considère les évènements suivants:

  • $F$ : « le client est une femme »;
  • $H$ : « le client est un homme »;
  • $A$ : « le client a choisi la formule A »;
  • $B$ : « le client a choisi la formule B »;
  • $C$ : « le client a choisi la formule C ».

 

  1. Recopier et compléter l’arbre de probabilités ci-dessus:
    $\quad$
  2. a. Définir par une phrase l’évènement $H \cap A$.
    $\quad$
    b. Calculer la probabilité $p(H \cap A)$. En donner la valeur exacte.
    $\quad$
  3. Montrer que $p(A) = 0,409~3$.
    $\quad$
  4. Le client a choisi la formule A. Calculer la probabilité que ce soit un homme.
    Le résultat sera arrondi à $10^{-4}$.
    $\quad$

Partie B :

La direction de la chaîne de salles de sport estime que sur l’ensemble des salles, la proportion de clients abonnés depuis plus de $12$ mois consécutifs est $p = 0,77$.

  1. Déterminer un intervalle de fluctuation, à au moins $95\%$, de la fréquence des clients abonnés depuis plus de $12$ mois.
    $\quad$
  2. Dans une des salles de sport de la chaîne, la responsable a observé que, parmi les $400$ clients, $280$ sont restés abonnés depuis plus de 12 mois parmi un échantillon de $400$ clients.
    $\quad$
    a. Calculer la fréquence des clients abonnés depuis plus de $12$ mois consécutifs dans cette salle.
    $\quad$
    b. La responsable peut-elle penser que cette salle est moins attractive que les autres salles de la chaîne ? Justifier.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     6 points

Une entreprise fabrique et vend un produit désinfectant liquide. Chaque jour, elle fabrique $x$ hectolitres de désinfectant avec $x$ compris entre $0$ et $12$. On considère que l’entreprise vend toute sa production.
Le coût de fabrication, en dizaine d’euros, de $x$ hectolitres de ce produit est modélisé par la fonction $C$ définie sur l’intervalle $[0;12]$.
Le chiffre d’affaires pour la vente de $x$ hectolitres de produit est $R(x)$, exprimé en dizaines d’euros.
Dans un repère orthogonal du plan, on a tracé les représentations graphiques des fonctions $C$ et $R$.

 

  1. On considère la production d’une journée. Par lecture graphique:
    a. Déterminer le chiffre d’affaires réalisé pour la vente de $4$ hectolitres.
    $\quad$
    b. Déterminer le coût de fabrication de $4$ hectolitres.
    $\quad$
    c. En déduire le bénéfice réalisé pour la vente de $4$ hectolitres.
    $\quad$
    d. Ce bénéfice est-il maximal pour la production et la vente de $4$ hectolitres ?
    Justifier.
  2. Par lecture graphique, donner sous forme d’intervalle, le nombre d’hectolitres que doit produire l’entreprise pour réaliser des profits, c’est-à-dire un bénéfice strictement positif.
    $\quad$
  3. La représentation graphique de la fonction $R$ est une droite qui passe par l’origine du repère et par le point A de coordonnées $(4;600)$.
    Déterminer l’expression de $R(x)$.
    $\quad$
  4. On note $B$ la fonction qui modélise le bénéfice de l’entreprise en fonction du nombre d’hectolitres de désinfectant vendus. Pour $x$ appartenant à l’intervalle $[0;12]$ , on a : $$B(x) = -2x^3 + 15x^2 + 84x-50$$
    a. On note $B’$ la fonction dérivée de la fonction $B$. Calculer $B'(x)$.
    $\quad$
    b. Résoudre l’équation $-6x^2 +30x +84 = 0$.
    $\quad$
    c. Recopier et compléter le tableau de variations ci-dessous:$\quad$
    d. Pour quelle quantité de désinfectant produite et vendue le bénéfice est-il maximal ? Quel est alors le bénéfice ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     5 points

La fréquentation d’un parc animalier français depuis l’année 2010 est donnée dans la feuille de calcul ci-dessous, où le nombre de visiteurs est exprimé en milliers.

La ligne 4 de cette feuille de calcul contient les taux d’évolution entre deux années consécutives, arrondis à $0,1$.
Par exemple, le taux d’évolution annuel du nombre de visiteurs entre 2010 et 2011 est de $13,2\%$.

Partie A

  1. Quelle formule peut-on écrire dans la cellule $C4$, qui par recopie vers la droite permet de compléter la ligne 4 ?
    $\quad$
  2. Vérifier que le taux d’évolution annuel moyen entre les années 2010 et 2015 est environ $15,7\%$.
    $\quad$

Partie B

Le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_i;y_i\right)$ est représenté dans le graphique en annexe à rendre avec la copie.

  1. Déterminer une équation de la droite d’ajustement affine de ce nuage de points, obtenue par la méthode des moindres carrés. On arrondira les coefficients à $0,01$.
    $\quad$
  2. On décide d’ajuster le nuage de points par la droite $D$ d’équation $y = 105x + 579$.
    a. Tracer la droite $D$ sur le graphique donné en annexe à rendre avec la copie.
    $\quad$
    b. Selon ce modèle, déterminer le nombre de visiteurs que l’on peut prévoir en 2019.
    $\quad$

Partie C

On suppose dans cette partie que le nombre de visiteurs dans le parc animalier augmente chaque année de $15,7\%$ à partir de 2015.
On note $v_n$ le nombre de visiteurs, en milliers, en 2015$+ n$. Ainsi, $v_0 = 1~099$.

  1. Calculer le nombre de visiteurs en 2016.
    $\quad$
  2. Justifier que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique. Préciser la raison.
    $\quad$
  3. En déduire l’expression de $v_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  4. On utilise l’algorithme ci-dessous :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    N \gets 0\\
    V \gets 1~099\\
    \text{Tant que }V < 2~000\\
    \hspace{1cm}V \gets V \times 1,157\\
    \hspace{1cm}N \gets N + 1\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    À la fin de l’exécution de l’algorithme, on admet que $N = 5$.
    Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

Annexe

 

$\quad$

Exercice 4     4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.
Pour chaque question, une seule des trois affirmations proposées est correcte.
Indiquer sur la copie le numéro de la question suivi de l’affirmation choisie.

Aucune justification n’est demandée. Chaque réponse correcte rapporte un point, une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire aucun point.

  1. Après une augmentation de $25\%$, le prix d’un objet est $80$ euros. Avant cette augmentation, l’objet valait :
    a. $60$ euros
    b. $64$ euros
    c. $100$ euros
    $\quad$
  2. À l’ouverture d’une nouvelle salle de cinéma, on a relevé $1~360$ entrées la première semaine, nombre pris comme indice de base $100$. Trois semaines plus tard, la fréquentation est passée à $1~632$ entrées. L’indice correspondant est :
    a. $20$
    b. $102$
    c. $120$
    $\quad$
  3.  On considère $X$ une variable aléatoire qui suit la loi normale de moyenne $2~019$ et d’écart-type $2$. La probabilité $p(X \pg 2~021)$, arrondie à $0,01$, est égale à :
    a. $0,16$
    b. $0,34$
    c. $0,84$
    $\quad$
  4. On considère $X$ une variable aléatoire qui suit la loi normale de moyenne $2~019$ et d’écart-type $2$.
    On donne ci-dessous la courbe de densité de la variable aléatoire $X$.
    Parmi les trois figures ci-dessous, celle pour laquelle la probabilité représentée est égale à $0,95$ est :

$\quad$

 

Bac STMG – Métropole – Septembre 2019

Métropole – Septembre 2019

Bac STMG – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici .

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. $\dfrac{13~559-5~660}{5~660}\approx 1,395~6$
    Le taux d’évolution de la puissance éolienne terrestre installée en France entre 2010 et 2017 est environ égal à $139,56\%$.
    $\quad$
  2. On appelle $x$ le taux d’évolution moyen annuel entre 2010 et 2017.
    $\begin{align*} \left(1+\dfrac{x}{100}\right)^7=\dfrac{13~559}{5~660}&\ssi 1+\dfrac{x}{100}=\left(\dfrac{13~559}{5~660}\right)^{1/7} \\
    &\ssi \dfrac{x}{100}=\left(\dfrac{13~559}{5~660}\right)^{1/7}-1\\
    &\ssi x=100\left(\left(\dfrac{13~559}{5~660}\right)^{1/7}-1\right)
    \end{align*}$
    Or $100\left(\left(\dfrac{13~559}{5~660}\right)^{1/7}-1\right) \approx 13,29$
    Le taux d’évolution moyen annuel entre 2010 et 2017 est environ égal à $13,29\%$.
    $\quad$

Partie B

  1. À l’aide de la calculatrice on obtient l’équation suivante $y=1~103,94x+5~267,58$
    $\quad$
  2. Si $x=0$ alors $y=5~268$. Le point de coordonnées $(0;5~268)$ appartient à la droite.
    Si $x=7$ alors $y=12~996$. Le point de coordonnées $(7;12~996)$ appartient à la droite.

$\quad$

Partie C

  1. On peut saisir la formule $=I3*1,13$.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $u_{n+1}=\left(1+\dfrac{13}{100}\right)u_n=1,13u_n$.
    $\quad$
  3. La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,13$ et de premier terme $u_0=13~559$.
    $\quad$
  4. a. Voici les différentes valeurs prises par les deux variables.
    $\begin{array}{|c|c|}
    \hline
    N& U
    2~017& 13~559 \\\hline
    2~018& 15~322 \\\hline
    2~019& 17~313 \\\hline
    2~020& 19~564 \\\hline
    2~021& 22~108 \\\hline
    2~022& 24~982 \\\hline
    2~023& 28~229 \\\hline\end{array}$
    Après exécution de cet algorithme la variable $N$ a pris la valeur $2~023$ et la variable $U$ la valeur $28~229$.
    $\quad$
    b. C’est donc à partir de l’année 2023 que la puissance éolienne terrestre dépassera $26~000$ MW.
    $\quad$

Partie D

Si on choisit le modèle de la partie B.
On veut résoudre l’équation
$\begin{align*} 1~104x+5~268\pg 26~000 &\ssi 1~104x\pg 20~732 \\
&\ssi x\pg \dfrac{20~732}{1~104}\end{align*}$
Or $\dfrac{20~732}{1~104} \approx 18,8$
C’est donc à partir de la $19^{\text{ème}}$ année, soit 2029, que la puissance éolienne terrestre atteindra au moins $26~000$ MW. L’objectif n’est donc pas atteint avec le modèle B

Si on choisit le modèle de la partie C.
D’après la question C.4.b. à partir de l’année 2023 la puissance éolienne terrestre dépassera $26~000$ MW. Le modèle C permet donc d’atteindre l’objectif.

$\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. On sait que $P(X\pp 70)=0,5$. Par conséquent $\mu=70$.
    Réponse c
    $\quad$
  2. On sait que $P(64\pp X \pp 76)=0,954$ soit $P(\mu-6\pp X\pp \mu+6)=0,954$.
    Or $P(\mu-2\sigma\pp X\pp \mu+2\sigma)\approx 0,954$
    Donc $2\sigma \approx 6$ soit $\sigma \approx 3$.
    Réponse b
    $\quad$
  3. On a $P(64\pp X\pp 70)=P(70\pp X \pp 76)$ donc $P(70\pp X\pp 76)=\dfrac{0,954}{2}=0,477$
    Réponse c
    $\quad$
  4. $P(X\pg 76)=P(X\pg \mu+6)=P(X\pp \mu-6)=P(X\pp 64)=P(X<64)$
    Réponse c
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

  1. On obtient l’arbre suivant :

    $\quad$
  2. L’événement $\conj{A}\cap B$ est : « l’un individu choisi au hasard en France métropolitaine est une femme âgée de plus de 20 ans ».
    D’après l’arbre pondéré on a :
    $\begin{align*} p\left(\conj{A}\cap B\right)&=p\left(\conj{A}\right) \times p_{\conj{A}}(B)\\
    &=0,76\times 0,53\\
    &=0,402~8\end{align*}$
    $\quad$
  3. On a :
    $\begin{align*} p(A\cap B)&=p(A)\times p_A(B)\\
    &=0,24\times 0,49 \\
    &=0,117~6\end{align*}$
    $\quad$
  4. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(B)&=p(A\cap B)+p\left(\conj{A}\cap B\right) \\
    &=0,117~6+402~8\\
    &=0,520~4\end{align*}$
    Par conséquent $p\left(\conj{B}\right)=1-0,520~4=0,479~6$.
    La probabilité qu’un individu choisi au hasard en France métropolitaine soit un homme est égale à $0,479~6$.
    $\quad$
  5. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_{\conj{B}}(A)&=\dfrac{p\left(A\cap \conj{B}\right)}{p\left(\conj{B}\right)} \\
    &=\dfrac{0,24\times 0,51}{0,479~6} \\
    &\approx 0,255~2\end{align*}$
    Parmi la population masculine de France métropolitaine, la proportion des moins de 20 ans est environ égale à $25,52\%$.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. La courbe $\mathscr{C}$ coupe l’axe des abscisses en deux points.
    L’équation $f(x)=0$ possède donc deux solutions sur l’intervalle $[-9;3]$.
    Affirmation 1 fausse
    $\quad$
  2. La courbe $\mathscr{C}$ semble n’avoir que deux tangentes parallèles à l’axe des abscisses.
    Cela signifie donc que l’équation $f'(x)=0$ possède deux solutions.
    Affirmation 2 vraie
    $\quad$
  3. Le coefficient directeur de la droite $\mathscr{T}$ est :
    $a=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{2+1}{-4-1}=-\dfrac{3}{5}=-0,6$.
    Or $f'(0)=a=-0,6$.
    Affirmation 3 vraie
    $\quad$
  4. D’après la question précédente le coefficient directeur de la droite $\mathscr{T}$ est $-0,6$ et non $3$.
    Affirmation 4 fausse
    $\quad$
  5. La fonction $f$ semble croissante sur l’intervalle $[1;2]$.
    Par conséquent $f'(x)\pg 0$ sur cet intervalle.
    Affirmation 5 vraie
    $\quad$

 

 

 

Énoncé

Exercice 1     6 points

La puissance électrique, exprimée en mégawatt (MW), que peut délivrer l’ensemble des éoliennes terrestres installées en France, s’appelle « puissance éolienne installée ». La feuille de calcul d’un tableur reproduite ci-dessous contient les valeurs de la « puissance éolienne installée terrestre », exprimée en mégawatt (MW), en France depuis 2010.

 

PARTIE A

  1. Quel est le taux d’évolution de la puissance éolienne terrestre installée en France entre 2010 et 2017 ?
    $\quad$
  2. Calculer le taux d’évolution moyen annuel entre 2010 et 2017.
    $\quad$

PARTIE B

Une représentation graphique du nuage de points de coordonnées $\left(x_i; y_i\right)$ est donnée en annexe, à rendre avec la copie.
On décide de modéliser cette évolution par un ajustement affine.

  1. À l’aide de la calculatrice, donner une équation de la droite qui réalise un ajustement affine du nuage de points, de $y$ en $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis au centième.
    $\quad$
  2. Dans la suite du problème on décide d’ajuster le nuage de points $(x_i;y_i)$ par la droite $\mathscr{D}$ d’équation $y = 1~104 x + 5~268$.
    Déterminer les coordonnées de deux points de cette droite, puis construire cette droite sur le graphique donné en annexe, à rendre avec la copie.
    $\quad$

PARTIE C

Pour tout entier naturel $n$, on note un la puissance éolienne terrestre, exprimée en MW, installée en France lors de l’année 2017$+ n$.
On fait l’hypothèse que la puissance éolienne installée augmente chaque année de $13\%$ à partir de 2017.

  1. Quelle formule doit-on saisir dans la cellule J3 de la feuille de calcul représentée ci-dessus pour obtenir la puissance éolienne installée en 2018, puis par recopie vers la droite, la puissance éolienne installée jusqu’en 2020 ?
    $\quad$
  2. Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$, pour tout entier naturel $n$.
    $\quad$
  3. Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$ ?
    $\quad$
  4. On considère l’algorithme suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    N \gets  2017\\
    U \gets 13~559\\
    \text{Tant que }U < 26~000\\
    \hspace{1cm}N \gets   N+1\\
    \hspace{1cm}U \gets  U \times 1.13$\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    a. Que contiennent les variables $N$ et $U$ après exécution de cet algorithme ?
    $\quad$
    b. À quoi correspondent ces valeurs dans le contexte de l’exercice ?
    $\quad$

PARTIE D

La loi de transition énergétique du 18 août 2015 fixe qu’en 2023 la puissance éolienne terrestre installée doit atteindre au moins $26~000$ MW.
Cet objectif peut-il être atteint selon l’un ou l’autre des deux modèles étudiés dans les parties B et C ?
$\quad$

Annexe

$\quad$

Exercice 2     4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Pour chaque question, indiquer la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Chaque réponse correcte rapporte un point.
Une réponse incorrecte, multiple ou une absence de réponse, ne rapporte ni n’enlève de point.

Une variable aléatoire $X$ suit une loi normale telle que $P(X \pp 70) = 0,5$ et $P(64 \pp X \pp 76) = 0,954$.
On a tracé ci-dessous la courbe représentative de la densité de cette loi normale, dont on note respectivement $\mu$ et $\sigma$ l’espérance et l’écart-type.

 

  1. La valeur de $\mu$ est :
    a. $0,954$
    b. $3$
    c. $70$
    d. $0,5$
    $\quad$
  2. Parmi les valeurs ci-dessous, la plus proche de $\sigma$ est :
    a. $6 $
    b. $3 $
    c. $0,954$
    d. $70$
    $\quad$
  3. $P(70 \pp X \pp 76)$ est égal à :
    a. $0,954$
    b. $ 0,454$
    c. $0,477$
    d. $0,023$
    $\quad$
  4. $P(X \pg 76)$ est égal à :
    a. $P(X < 76)$
    b. $P(X \pg 64)$
    c. $P(X < 64)$
    d. $0,954$
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     5 points

Suite à une étude de l’Institut National des Études Démographiques (INED), on estime qu’en janvier 2018 les personnes de moins de 20 ans représentaient $24\%$ de la population totale en France métropolitaine.

Parmi ces personnes de moins de 20 ans, $51\%$ sont des hommes.
Parmi les personnes de 20 ans et plus, $53\%$ sont des femmes.

Source : https ://www.ined.fr/fr/tout-savoir-population/chiffres/france/structure-population/population-ages/ (consultée le 2 septembre 2018)

On définit les évènements suivants :
$A$ : « un individu choisi au hasard en France métropolitaine a moins de 20 ans »;
$B$ : « un individu choisi au hasard en France métropolitaine est une femme ».

  1. Compléter l’arbre pondéré donné en annexe, à rendre avec la copie.
    $\quad$
  2. Définir par une phrase l’évènement $\conj{A}\cap B$, puis donner sa probabilité.
    $\quad$
  3. Calculer la probabilité de l’évènement $A \cap B$.
    $\quad$
  4. Quelle est la probabilité qu’un individu choisi au hasard en France métropolitaine soit un homme ?
    $\quad$
  5. Parmi la population masculine de France métropolitaine, quelle est la proportion des moins de 20 ans ? On justifiera la réponse.
    $\quad$

Annexe

 

$\quad$

Exercice 4     5 points

Cet exercice est un VRAI ou FAUX. Toute réponse devra être justifiée. Toute trace de recherche pourra être valorisée. Une bonne réponse, correctement justifiée, rapporte un point. Un calcul ou une lecture graphique soigneusement expliquée peuvent convenir. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

La courbe $\mathscr{C}$ ci-dessous est la représentation graphique dans un repère orthonormé d’une fonction $f$ définie et dérivable sur l’intervalle $[9;3]$. On note $f’$ sa fonction dérivée.
La droite $\mathscr{T}$ représente la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d’abscisse $0$.
On admet que la droite $\mathscr{T}$ passe par les points A et B de coordonnées respectives $(1;-1)$ et $(-4;2)$.

  1. L’équation $f(x) = 0$, d’inconnue $x$, admet exactement une solution dans l’intervalle $[-9;3]$.
    $\quad$
  2. L’équation $f'(x) = 0$, d’inconnue $x$, admet exactement deux solutions dans l’intervalle $[-9;3]$.
    $\quad$
  3. $f'(0) = -0,6$.
    $\quad$
  4. L’équation réduite de la tangente $\mathscr{T}$ est $y = 3x-1$.
    $\quad$
  5. La dérivée de $f$ est positive sur $[1;2]$.
    $\quad$

$\quad$

Bac STMG – Antilles Guyane – Septembre 2019

Antilles Guyane – Septembre 2019

Bac STMG – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici .

Ex 1

Exercice 1

  1. a. On a saisi la formule $=(C2-B2)/B2$.
    Réponse 3
    $\quad$
    b. En 2017, l’indice est $\dfrac{34,6\times 100}{30.9} \approx 112$.
    Réponse 2
    $\quad$
  2. a. La courbe possède un axe de symétrie dont une équation semble être $x=3,5$.
    Réponse 3
    $\quad$
    b. On a $\mu=3,5$
    On $P(X\pp 1)=0,106$. Cela signifie donc que $P(X\pp 3,5-2,5)=0,106$ donc $P(X\pg 6)=P(X\pg 3,5+2,5)=0,106$
    Ainsi $P(3\pp X\pp 6)=1-P(X\pp 1)-P(X\pg 6)=0,788$
    Réponse 4
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. a. D’après l’énoncé on a $P_A(B)=0,55$.
    $\quad$
    b. On obtient l’arbre de probabilité suivant :

    $\quad$
  2. On veut calculer
    $\begin{align*} P(A\cap B)&=P(A)\times P_A(B)  \\
    &=0,34\times 0,55 \\
    &=0,187\end{align*}$
    La probabilité que la fiche choisie soit celle d’un salarié acceptant de s’impliquer dans l’organisation de la journée portes ouvertes et travaillant dans les ateliers est égale à $0,187$.
    $\quad$
  3. D’après la formule des probabilités totales, on a :
    $\begin{align*} P(B)&=P(A\cap B)+P\left(\conj{A}\cap B\right) \\
    &=0,187+0,66\times 0,3 \\
    &=0,385\\
    &>\dfrac{1}{3}\end{align*}$
    Il y a donc plus d’une chance sur trois que la fiche choisie soit celle d’un salarié acceptant de s’impliquer dans l’organisation de cette journée.
    $\quad$

Partie B

  1. On a $f=\dfrac{67}{80}=0,837~5$.
    $\quad$
  2. On a $n=80\pg 30$, $nf=67\pg 5$ et $n(1-f)=13\pg 5$
    Un intervalle de confiance au niveau de confiance $0,95$ de la proportion $p$ de visiteurs satisfaits de la journée portes ouvertes est :
    $\begin{align*} I_{80}&=\left[0,837~5-\dfrac{1}{\sqrt{80}};0,837~5+\dfrac{1}{\sqrt{80}}\right] \\
    &\approx [0,725;0,950]\end{align*}$
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. On veut résoudre, dans l’intervalle $[0;300]$ l’équation $-x^2+45x-20~000=0$.
    $\Delta = 450^2-4\times (-1)\times (-20~000)=122~500>0$
    Les solutions de cette équation sont :
    $x_1=\dfrac{-450-\sqrt{122~500}}{-2}=400 \notin[0;300]$ et $x_2=\dfrac{-450+\sqrt{122~500}}{-2}=50$
    L’unique solution de l’équation $f(x)=0$ dans l’intervalle $[0;300]$ est donc $50$.
    $\quad$
  2. a. Pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0;300]$ on a $f'(x)=-2x+450$
    $\quad$
    b. $-2x+450=0 \ssi -2x=-450\ssi x=225$
    $-2x+450>0 \ssi -2x>-450 \ssi x<225$
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    $\quad$
    c. D’après le tableau de variations de la fonction $f$, celle-ci admet un maximum valant $30~0625$ atteint en $225$.
    $\quad$

Partie B

  1. D’après la question 1. et le tableau de variations de la fonction $f$, l’entreprise réalise un résultat positif quand elle produit et vend entre $50$ et $300$ tablettes tactiles par semaine.
    $\quad$
  2. Le bénéfice maximal de $30~625$ € est atteint quand l’entreprise fabrique et vend $225$ tablettes tactiles par semaine.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

Partie A : étude des connexions à Internet

  1. a. $\dfrac{80,5-65,1}{65,1} \approx 0,237$.
    Le taux d’évolution global, entre les années 2009 et 2017, de la part des personnes s’étant connectées à Internet est environ égal à $23,7\%$.
    $\quad$
    b. $\dfrac{80,5-78}{78} \approx 0,032$.
    Le taux d’évolution global, entre les années 2009 et 2017, de la part des personnes s’étant connectées à Internet est environ égal à $3,2\%$.
    Il y avait donc nettement moins de personnes connectées à Internet en 2009 qu’en 2015.
    $\quad$
  2. On appelle $x$ le taux d’évolution annuel moyen de la part des personnes s’étant connectés à Internet entre les années 2015 et 2017.
    Ainsi :
    $\begin{align*} \left(1+\dfrac{x}{100}\right)^2=\dfrac{80,5}{78} &\ssi 1+\dfrac{x}{100}=\sqrt{\dfrac{80,5}{78}} \\
    &\ssi \dfrac{x}{100}=\sqrt{\dfrac{80,5}{78}}-1 \\
    &\ssi x=100\left(\sqrt{\dfrac{80,5}{78}}-1\right) \end{align*}$
    Par conséquent $x\approx 1,6$.
    Le taux d’évolution annuel moyen de la part des personnes s’étant connectées à Internet entre les années 2015 et 2017 est, arrondi au dixième, de $1,6 \%$.
    $\quad$
  3. $80,5\times \left(1+\dfrac{1,6}{100}\right)^3\approx 84,4$.
    La part des personnes qui se connecteront à Internet en 2020 sera environ égale à $84,4\%$.
    $\quad$
  4. Cet algorithme permet de déterminer la première année à partir de laquelle la part des personnes qui se connecteront à Internet sera supérieure à $90\%$.
    On obtient les valeurs suivantes :
    $\begin{array}{|c|c|}
    \hline
    A& P \\ \hline
    2017& 80,5\\ \hline
    2018& 81,79\\ \hline
    2019& 83,10\\ \hline
    2020& 84,43\\ \hline
    2021& 85,78\\ \hline
    2022& 87,15\\ \hline
    2023& 88,54\\ \hline
    2024& 89,96\\ \hline
    2025& 91,40\\ \hline
    \end{array}$
    C’est donc en 2025 que la part des personnes s’étant connectées à Internet dépassera $90\%$.
    $\quad$

Partie B

  1. D’après la calculatrice, l’équation cherchée est $y=5,56x+20,56$
    $\quad$
  2. On obtient le graphique suivant :

    $\quad$
  3. En 2020, on a $x=11$
    Donc $y=5,6\times 11+20,6=82,2$
    Selon ce modèle, la part des personnes qui se connecteront à l’Internet mobile en 2020 sera environ égale à $82,2\%$.
    $\quad$

 

Énoncé

Exercice 1     4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Pour chaque question, indiquer, sur la copie, le numéro de la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée. Chaque réponse correcte rapporte un point.
Une réponse incorrecte, multiple ou une absence de réponse n’apporte ni ne retire aucun point.

  1. Voici un extrait d’une feuille de calcul qui contient les valeurs ajoutées en milliard d’euros du secteur d’activité de l’agriculture, de la sylviculture et de la pêche entre 2010 et 2017.
    La plage de cellules $C3 : 13$ est au format pourcentage arrondi au dixième.
    a. La formule à saisir dans la cellule $C3$ de la feuille de calcul afin d’obtenir, par recopie vers la droite, les taux d’évolution annuels des valeurs ajoutées jusqu’en 2017 est :
    ① $=C2-B2/B2$
    ② $=(C2-\$B2)/\$B2$
    ③ $=(C$2-$B2)/B2$
    ④ $=C2/\$B2$-1$$\quad$
    b. On considère que l’indice de référence 100 est attribué à la valeur ajoutée du secteur d’activité de l’agriculture, de la sylviculture et de la pêche en 2013.
    En 2017, l’indice de la valeur ajoutée de ce secteur, arrondi au dixième, vaut :
    ① $89,3$
    ② $112,0$
    ③ $103,7$
    ④ $86,3$
    $\quad$
  2. Une variable aléatoire $X$ suit une loi normale d’espérance $\mu$ et d’écart-type $\sigma$.
    La courbe de densité associée à cette loi est représentée ci-dessous :
    a.
    L’espérance $\mu$ est égale à :① $0,05$
    ② $0,2$
    ③ $3,5$
    ④ $0$
    $\quad$
    b. Sachant que $P(X \leqslant 1) = 0,106$ alors :
    ① $P(X \geqslant 6) = 0,894$
    ② $P(X \leqslant 6) = 0,106$
    ③ $P(X \geqslant 1) = 0,106$
    ④ $P(1 \leqslant X \leqslant 6) = 0,788$
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

Les deux parties sont indépendantes.

Une entreprise est spécialisée dans le capsulage des bouteilles. Les salariés de l’entreprise sont sollicités, via un questionnaire en ligne, pour préparer une journée portes ouvertes. Tous les salariés ont répondu au questionnaire.

PARTIE A

Grâce aux fiches répertoriant les réponses au questionnaire, on sait que:

  • $34\% des salariés de l’entreprise travaillent dans les ateliers de production;
  • $55\%$ des salariés travaillant dans les ateliers de production acceptent de s’impliquer dans l’organisation de la journée portes ouvertes, ainsi que $30\%$ des salariés travaillant dans les autres secteurs.

On choisit de façon équiprobable une fiche dans la base des réponses.
On définit les évènements suivants:

  • $A$ : « la fiche choisie est celle d’un salarié travaillant dans les ateliers de production »;
  • $B$ : « la fiche choisie est celle d’un salarié acceptant de s’impliquer dans l’organisation de la
    journée portes ouvertes ».

Pour tout évènement $E$, on note $\conj{E}$ l’évènement contraire de $E$, $P(E)$ la probabilité de $E$ et, si $C$ est un évènement de probabilité non nulle, $P_C(E)$ la probabilité conditionnelle de $E$ sachant que $C$ est réalisé.

  1. a. Donner la valeur de $P_A(B)$.
    $\quad$
    b. Compléter l’arbre de probabilité donné en annexe, à rendre avec la copie.
    $\quad$
  2. Quelle est la probabilité que la fiche choisie soit celle d’un salarié acceptant de s’impliquer dans l’organisation de la journée portes ouvertes et travaillant dans les ateliers ?
    $\quad$
  3. Peut-on affirmer qu’il y a plus d’une chance sur trois que la fiche choisie soit celle d’un salarié acceptant de s’impliquer dans l’organisation de cette journée ?
    $\quad$

PARTIE B

À l’issue de la journée portes ouvertes, la direction de l’entreprise souhaite estimer la proportion $p$ de visiteurs satisfaits. Pour cela, un groupe de $80$ visiteurs est interrogé. Parmi ceux-ci, $67$ se déclarent satisfaits de la visite.

  1. Donner la fréquence $f$ de personnes satisfaites dans ce groupe.
    $\quad$
  2. Déterminer un intervalle de confiance au niveau de confiance $0,95$ de la proportion $p$ de visiteurs satisfaits de la journée portes ouvertes.
    $\quad$

Annexe

$\quad$

Exercice 3     5 points

PARTIE A

Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $[0;300]$ par $$f(x) = -x^2 + 450x-20~000$$
On admet que $f$ est dérivable sur l’intervalle $[0~;~300]$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.

  1. Résoudre dans l’intervalle $[0;300]$ l’équation $f(x) = 0$.
    $\quad$
  2. a. Calculer $f'(x)$.
    $\quad$
    b. Étudier les variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;300]$ et dresser son tableau de variation.
    $\quad$
    c. En déduire que la fonction $f$ admet un maximum et préciser en quelle valeur il est atteint.
    $\quad$

PARTIE B

Une entreprise est spécialisée dans la production de tablettes tactiles. Cette entreprise a une capacité de production hebdomadaire pouvant aller jusqu’à $300$ unités.
Pour les valeurs entières de la variable $x$, qui représentent le nombre de tablettes tactiles fabriquées et vendues par semaine, on admet que $f(x)$ représente le résultat, en euro, de cette entreprise.

  1. À partir de combien de tablettes tactiles produites et vendues par semaine l’entreprise réalise-t-elle un résultat positif, c’est à dire un bénéfice ?
    $\quad$
  2. Déterminer le nombre de tablettes tactiles fabriquées et vendues permettant de réaliser le bénéfice hebdomadaire maximal et calculer la valeur de ce bénéfice.
    $\quad$

Exercice 4     6 points

L’INSEE a conduit une enquête sur l’usage des technologies de l’information et de la communication par les ménages entre 2009 et 2017.

PARTIE A : étude des connexions à Internet

Le tableau ci-dessous fournit les résultats de cette enquête pour les connexions à Internet et présente la part des personnes de plus de 15 ans résidant en France (en pourcentage arrondi au dixième) qui se sont connectées sur une période fixe.
$$\begin{array}{r}\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Année} &2009 &2010 &2011 &2012 &2013 &2014 &2015 &2016 &2017\\
\hline
\begin{array}{l}
\text{Part des personnes s’étant}\\
\text{connectées à Internet (en} \\
\text{pourcentage)}\end{array}&65,1 &68,2 &71,4 &74,7 &75,3 &77,3 &78 &79,3 &80,5\\ \hline
\end{array}\\
\small{\text{Source: https :/ /www.insee.fr consulté le 15/01/2019}}\end{array}$$

  1. a. Calculer le taux d’évolution global, entre les années 2009 et 2017, de la part des personnes s’étant connectées à Internet. On exprimera le résultat en pourcentage, arrondi au dixième.
    $\quad$
    b. Comparer ce taux à celui de la période 2015-2017.
    $\quad$
  2. Montrer que le taux d’évolution annuel moyen de la part des personnes s’étant connectées à Internet entre les années 2015 et 2017 est, arrondi au dixième, de $1,6\%$.
    $\quad$
  3. On admet que la part des personnes qui se connecteront à Internet augmentera de $1,6\%$ par an à compter de l’année 2017.
    Estimer alors la part des personnes qui se connecteront à Internet en 2020.
    $\quad$
  4. On considère l’algorithme suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    A \gets 2017\\
    P \gets 80,5\\
    \text{Tant que } P < 90\\
    \hspace{1cm}P \gets 1,016 \times P\\
    \hspace{1cm}A \gets A+1\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    Quelle valeur contient la variable $A$ après l’exécution de l’algorithme ?
    Interpréter cette valeur dans le contexte étudié.
    $\quad$

PARTIE B : étude des connexions à l’Internet mobile

Le tableau ci-dessous fournit les résultats de l’enquête de l’INSEE pour les connexions à l’Internet mobile et présente la part des personnes de plus de 15 ans résidant en France (en pourcentage arrondi au dixième) qui se sont connectées sur une période fixe.
$$\begin{array}{r}\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Année} &2009 &2010 &2011 &2012 &2013 &2014 &2015 &2016 &2017\\
\hline
\text{Rang de l’année: }x_i & 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8\\
\hline
\begin{array}{l}\text{Part en pourcentage : }y_i\\\text{(Internet mobile)}\end{array} & 17,7 &26,4 &28,4 &39,5 &46,5 &53,4 &55,8 &55,1 &62,4\\
\hline\end{array}\\
\small{\text{Source: https :/ /www.insee.fr consulté le 15/01/2019}}\end{array}$$

Le nuage de points de coordonnées $\left(x_i;y_i\right)$ pour $i$ allant de $0$ à $8$ est représenté en annexe.

  1. À l’aide de la calculatrice, déterminer l’équation réduite de la droite d’ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés.
    Les coefficients seront arrondis au centième.
    $\quad$
  2. On décide d’ajuster le nuage par la droite $D$ d’équation $y = 5,6x + 20,6$.
    Tracer cette droite sur le graphique donné en annexe, à rendre avec la copie.
    $\quad$
  3. Selon le modèle retenu dans la question précédente, estimer la part des personnes qui se connecteront à l’Internet mobile en 2020.
    $\quad$

Annexe

$\quad$

 

Bac STMG – Polynésie – Septembre 2019

Polynésie – Septembre 2019

Bac STMG – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici .

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. On appelle $X$ une variable aléatoire qui suit la loi normale de paramètres $\mu=6$ et d’écart type $\sigma = 0,7$.
    On veut calculer $P(5,3 \pp X \pp 6,7) \approx 0,683$.
    La probabilité qu’une pomme soit vendue au marché est environ égale à $0,683$.
    $\quad$
  2. La probabilité qu’une pomme serve à faire des compotes est égale à $1-P(5,3 \pp X \pp 6,7)  \approx 0,317$.
    $\quad$

Partie B

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. a. D’après l’arbre pondéré on a $P(R\cap M)=0,6\times 0,8 = 0,48$.
    $\quad$
    b. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(M)&=P(R\cap M)+P(J\cap M) \\
    &=0,48+0,5\times 0,4\\
    &=0,68\end{align*}$
    $\quad$
    c. Les deux valeurs sont très proches l’une de l’autre. Le résultat obtenu à la question B.2.b est donc cohérent avec celui de la question A.2.
    $\quad$
  3. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_M(R)&=\dfrac{P(M\cap R)}{P(R)} \\
    &=\dfrac{0,48}{0,68} \\
    &\approx 0,706\end{align*}$
    La probabilité qu’une pomme acheter sur le marché soit rouge est environ égale à $0,706$.
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. On a $U_1=U_0\times \left(1-\dfrac{15}{100}\right)=0,85\times 20~000 =17~000$
    En 2011, $17~000$ ont été jetés par terre dans cette ville.
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $U_{n+1}=0,85U_n$.
    La suite $\left(U_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,85$ et de premier terme $U_0=20~000$.
    $\quad$
    b. Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $U_n=20~000\times 0,85^n$.
    $\quad$
    c. En 2019, on a $U_{9}=20~000\times 0,85^{9}\approx 4~632$.
    En 2019, $4~632$ seraient jetés par terre.
    $\quad$
  3. a. À la ligne 4 on a $U\leftarrow 0,85\times U$.
    $\quad$
    b. D’après la calculatrice, on a $U_{11} \approx 3~347$ et $U_{12}\approx 2~845$.
    La variable $N$ a donc pris la valeur $12$ quand l’algorithme s’arrête.
    $\quad$

Partie B

  1. a.  $\dfrac{6~691-20~000}{20~000}=-0,665~45$
    Le taux d’évolution global du nombre de mégots ramassés dans la rue principale entre 2010 et 2018 est donc d’environ $-67\%$ (il s’agit d’une baisse).
    $\quad$
    b. On appelle $x$ le taux d’évolution moyen du nombre de mégots ramassés dans la rue principale.
    Ainsi :
    $\begin{align*} 20~000\times \left(1-\dfrac{x}{100}\right)^8=6~691&\ssi \left(1-\dfrac{x}{100}\right)^8=\dfrac{6~691}{20~000} \\
    &\ssi 1-\dfrac{x}{100}=\left(\dfrac{6~691}{20~000}\right)^{1/8}\\
    &\ssi -\dfrac{x}{100}=\left(\dfrac{6~691}{20~000}\right)^{1/8}-1\\
    &\ssi \dfrac{x}{100}=1-\left(\dfrac{6~691}{20~000}\right)^{1/8}\\
    &\ssi x=100\left(1-\left(\dfrac{6~691}{20~000}\right)^{1/8}\right)\\
    \end{align*}$
    Par conséquent $x\approx 12,79$
    Le d’évolution moyen cherché est donc environ égal à $-13\%$.
    $\quad$
    c. Si le taux d’évolution entre 2018 et 2019 est de $-14\%$ alors :
    $6~691\times (1-0,14)=5~754,26$.
    Environ $5~754$ mégots seront ramassés dans la rue principale en 2019.
    $\quad$
  2. a. D’après la calculatrice une équation de la droite d’ajustement du nuage par la méthode des moindres carrés est $y=-1~642x+18~507$
    $\quad$
    b. La droite passe par le point de coordonnées $(0;18~500)$.
    Si $x=10$ alors $y=2~500$ : elle passe également par le point de coordonnées $(10;2~500)$.
    On obtient alors le graphique suivant :

    $\quad$
    c. En 2020 on a $x=10$ donc $-1600\times 10+18~500=2~500$.
    En 2020, $2~500$ mégots seraient ramassés selon ce modèle.
    $\quad$
    d. D’après le graphique le nombre de mégots devrait être inférieur à $3~000$ à partir de l’année 2020.
    Il semblerait que le point d’intersection entre la droite $d$ et la droite d’équation $y=3~000$ ait pour abscisse environ $9,67$.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

Partie A : lecture graphique

  1. Graphiquement, l’image de $3$ par la fonction $f$ est $14,8$.
    $\quad$
  2. Graphiquement le point d’intersection des deux courbes a pour coordonnées $(7;8,8)$.
    $\quad$

Partie B : calculs

  1. a.
    $\begin{align*} f(x)=g(x)&\ssi 0,05x^2-2x+20,35=0,7x+3,9 \\
    &\ssi 0,05x^2-2x+20,35-0,7x-3,9=0 \\
    &\ssi 0,05x^2-2,7x+16,45=0\end{align*}$
    $\quad$
    b. Le discriminant de cette équation du second degré est :
    $\Delta = (-2,7)^2-4\times 0,05\times 16,45=4>0$
    L’équation possède donc deux solutions réelles :
    $x_1=\dfrac{2,7-\sqrt{4}}{0,1}=7$ et $x_2=\dfrac{2,7+\sqrt{4}}{0,1}=47$
    Or $47\notin [0;22]$
    Par conséquent l’équation $(E)$ ne possède qu’une seule solution $7$.
    $\quad$
    c. Or $g(7)=0,7\times 7+3,9=8,8$.
    Le point d’intersection des deux courbes a pour coordonnées $(7;8,8)$.
    $\quad$
  2. a. La fonction $f$ est dérivable sur $[0;22]$ en tant que fonction polynôme.
    Pour tout réel $x$ appartenant à $[0;22]$ on a :
    $f'(x)=0,05\times 2x-2=0,1x-2$.
    $\quad$
    b. $0,1x-2=0 \ssi 0,1x=2 \ssi x=20$ et $0,1x-2>0 \ssi 0,1x>2 \ssi x> 20$.
    Par conséquent :
    – $f'(x)<0$ si $x\in [0;20[$;
    – $f'(20)=0$;
    – $f'(x)>0$ si $x\in ]20;22]$.
    $\quad$
    c. On obtient donc le tableau de variations de la fonction $f$ suivant :
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. La suite $\left(U_n\right)$ est arithmétique de premier terme $U_0=5$ et de raison $7$.
    Pour tout entier naturel $n$ on a donc $U_n=5+7n$.
    On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
    $\begin{align*} U_n\pg 50 &\ssi 5+7n \pg 50 \\
    &\ssi 7n \pg 45 \\
    &\ssi n\pg \dfrac{45}{7}\end{align*}$
    Or $\dfrac{45}{7}\approx 6,43$
    Le plus petit entier naturel tel que $U_n\pg 50$ est donc $7$
    Réponse d
    $\quad$
  2. On a $g(1)=\dfrac{3}{2}$.
    Par conséquent le point de coordonnées $\left(1;\dfrac{3}{2}\right)$ doit appartenir à la tangente.
    Cela exclut les propositions a. et d.
    On peut tracer la courbe et les deux droites restantes et regarder celle qui semble être la meilleure candidate ou bien calculer le nombre dérivée en $1$ à la calculatrice , ce qui nous fournit le coefficient directeur de la tangente.
    On peut également déterminer l’expression de $g'(x)$.
    $g'(x)=\dfrac{3(x+1)-1\times 3x}{(x+1)^2}=\dfrac{3x+3-3x}{(x+1)^2}=\dfrac{3}{(x+1)^2}$
    Donc $g'(1)=\dfrac{3}{4}$
    De plus $g(1)=\dfrac{3}{2}$
    Une équation de la tangente cherchée est donc de la forme $y=g'(1)(x-1)+f(1)$
    Soit $y=\dfrac{3}{4}(x-1)+\dfrac{3}{2}$
    D’où $y=\dfrac{3}{4}x+\dfrac{3}{2}$
    Réponse c
    $\quad$
  3. On a $n=1~024\pg 30$ et $f=\dfrac{840}{1~024}$
    Par conséquent $nf=840 \pg 5$ et $n(1-f)=184\pg 5$
    Un intervalle de confiance au niveau de confiance de $95\%$ de la proportion d’adolescents français qui possèdent un smartphone est :
    $\begin{align*} I_{1~024}&=\left[\dfrac{840}{1~024}-\dfrac{1}{\sqrt{1~024}};\dfrac{840}{1~024}+\dfrac{1}{\sqrt{1~024}}\right] \\
    &\approx [0,789;0,852]\end{align*}$
    Réponse b
    $\quad$
  4. On appelle $P$ le prix initial.
    On a donc
    $\begin{align*} P\times (1-0,1)\times (1-0,15)=137,7 &\ssi P\times 0,9\times 0,85=137,7 \\
    &P\times 0,765=137,7 \\
    &P=\dfrac{137,7}{0,765}\\
    &P=180\end{align*}$
    Réponse d
    $\quad$

 

Énoncé

Exercice 1     4 points

Un fermier possède des pommiers.
Les pommes de taille standard sont vendues sur le marché, les autres servent à faire des compotes.

Partie A

On considère que le diamètre, exprimé en cm, d’une pomme produite par l’un des pommiers du fermier suit la loi normale de moyenne $\mu = 6$ et d’écart type $\sigma = 0,7$.
Les pommes de taille standard, donc qui vont être vendues sur le marché, sont celles dont le diamètre est compris entre $5,3$ cm et $6,7$ cm.

  1. Donner la probabilité qu’une pomme soit vendue au marché. Arrondir le résultat au millième.
    $\quad$
  2. En déduire la probabilité qu’une pomme serve à faire des compotes.
    $\quad$

Partie B

Les pommes récoltées sont soit rouges, soit jaunes.
$60\%$ des pommes récoltées sont rouges.
Parmi les pommes rouges, $80\%$ sont vendues au marché et les autres servent à faire des compotes.
Parmi les pommes jaunes, $50\%$ sont vendues au marché et les autres servent à faire des compotes.
On choisit une pomme au hasard parmi les pommes récoltées et on note:

  • l’événement $R$ « la pomme est rouge »
  • l’événement $J$ « la pomme est jaune »
  • l’événement $M$ « la pomme est vendue sur le marché »
  • l’événement $C$ « la pomme sert à faire des compotes »
  1. Compléter l’arbre de probabilités fourni en annexe à rendre avec la copie.
    $\quad$
  2. a. Calculer $P(R \cap M)$ et interpréter cette probabilité par une phrase.
    $\quad$
    b. Montrer que la probabilité qu’une pomme soit vendue au marché est de $68\%$.
    $\quad$
    c. Le résultat obtenu au b. est-il cohérent avec celui obtenu à la question 1. de la partie A ?
    $\quad$
  3. Un client vient d’acheter une pomme sur le marché. Calculer la probabilité que cette pomme soit rouge.
    Arrondir le résultat au millième.
    $\quad$

Annexe

$\quad$

Exercice 2     7 points

En 2010, le maire d’une ville a fait comptabiliser le nombre de mégots ramassés dans la rue principale.
Sur l’ensemble de l’année, le nombre de mégots ramassés est de $20~000$.
Souhaitant que ce nombre diminue fortement, le maire fait voter en conseil municipal une loi instaurant une amende de $160$ € pour jet de mégot par terre.

Partie A

Des statisticiens ont prévu, sur une période de $10$ ans, une diminution grâce à cette amende du nombre de mégots jetés par terre de $15\%$ par an.
Sous cette hypothèse, pour tout entier naturel $n$, on appelle $u_n$ le nombre de mégots jetés par terre en l’année 2010$+ n$.
Ainsi, $u_0$ est le nombre de mégots jetés par terre en 2010. On a $u_0 = 20~000$.

  1. Justifier par le calcul que $u_1 = 17~000$.
    Interpréter ce résultat dans le contexte de l’énoncé.
    $\quad$
  2. a. Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$ ? Justifier.
    $\quad$
    b. Donner l’expression de $u_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
    $\quad$
    c. Calculer le nombre de mégots qui, selon ce modèle, seraient jetés par terre en 2019.
    Arrondir le résultat à l’unité.
    $\quad$
  3. Le programme ci-dessous calcule le rang de la première année au cours de laquelle le nombre de mégots jetés par terre devient inférieur à $3~000$.
    $$\begin{array}{|l|l|}
    \hline
    N \gets 0&\text{ligne} 1\\
    U \gets 20~000&\text{ligne} 2\\
    \text{Tant que } U \pg 3~000&\text{ligne} 3\\
    \hspace{1cm} U \gets \ldots&\text{ligne} 4\\
    \hspace{1cm} N \gets N + 1&\text{ligne} 5\\
    \text{Fin du Tant que}&\text{ligne} 6\\
    \hline
    \end{array}$$
    a. Recopier et compléter la ligne 4.
    $\quad$
    b. Quelle est la valeur de la variable $N$ lorsque ce programme s’arrête ?
    $\quad$

Partie B

Le tableau ci-dessous donne les nombres de mégots qui ont réellement été ramassés dans la rue principale entre 2010 et 2018.

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Année}    &2010 &2011 &2012 &2013 &2014 &2015 &2016 &2017 &2018\\
\hline
\text{Rang }x_i &0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8\\
\hline
\begin{array}{l}\text{Nombre de mégots} \\\text{ramassés } y_i\end{array} &20~000 &17~384&14~817&12~569&10~721&9~142&8~458&7~673 &6~691\\
\hline
\end{array}$$

  1. a. Calculer le taux d’évolution global du nombre de mégots ramassés dans la rue principale entre 2010 et 2018. Exprimer le résultat en pourcentage arrondi à l’entier le plus proche.
    $\quad$
    b. Calculer le taux d’évolution moyen du nombre de mégots ramassés dans la rue principale entre 2010 et 2018. Exprimer le résultat en pourcentage arrondi à l’entier le plus proche.
    $\quad$
    c. En supposant que le taux d’évolution entre 2018 et 2019 est de $- 14\%$, quel serait le nombre de mégots ramassés dans la rue principale en 2019 ? Arrondir le résultat à l’unité.
    $\quad$
  2. Le nuage de points $\left(x_i;y_i\right)$ a été représenté en annexe à rendre avec la copie.
    a. À l’aide de la calculatrice, donner une équation de la droite d’ajustement de ce nuage par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis à l’entier.
    $\quad$
    b. On prend désormais comme droite d’ajustement la droite $d$ d’équation: $$y = -1~600x + 18~500$$
    Tracer cette droite sur l’annexe à rendre avec la copie.
    $\quad$
    c. En supposant que cet ajustement demeure valable jusqu’en 2020, estimer quel serait le nombre de mégots ramassés en 2020.
    $\quad$
    d. À l’aide du graphique, déterminer à partir de quelle année le nombre de mégots devrait être inférieur à $3~000$.
    $\quad$

Annexe 

$\quad$

Exercice 3     5 points

Soient les fonctions $f$ et $g$ définies sur $[0;22]$ par : $$f(x) = 0,05x^2 – 2x + 20,35 \quad \text{et}\quad g(x) = 0,7x + 3,9$$
Les deux fonctions sont représentées ci-dessous.

Partie A : lectures graphiques

  1. Par lecture graphique, donner l’image de $3$ par la fonction $f$.
    $\quad$
  2. À l’aide du graphique, donner une valeur approchée des coordonnées du point d’intersection des deux courbes.
    $\quad$

Partie B : calculs

  1. a. Montrer que l’équation $f(x) = g(x)$ est équivalente à l’équation suivante $$(E) :\qquad 0,05x^2-2,7x + 16,45 = 0$$
    $\quad$
    b. Résoudre l’équation $(E)$.
    $\quad$
    c. En déduire les coordonnées du point d’intersection des deux courbes sur l’intervalle $[0;22]$.
    $\quad$
  2. a. Montrer que la fonction dérivée $f’$ de la fonction $f$ est définie par $f'(x) = 0,1x-2$ pour tout $x$ appartenant à $[0;22]$.
    $\quad$
    b. Étudier le signe de la dérivée $f’$ sur l’intervalle $[0;22]$.
    $\quad$
    c. Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;22]$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     4 points

Cet exercice est un Questionnaire à Choix Multiples (QCM).
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Recopier sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.
Aucune justification n’est attendue.
Une réponse juste rapporte $1$ point; une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point.

  1. Soit $\left(u_n\right)$ la suite arithmétique de premier terme $u_0 = 5$ et de raison $7$.
    Le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n$ dépasse $50$ est :
    a. $2$
    b. $5$
    c. $6$
    d. $7$
    $\quad$
  2. On considère la fonction $g$ définie sur $[0;10]$ par $g(x) = \dfrac{3x}{x+1}$.
    Une équation de la tangente à la courbe représentative de $g$ au point d’abscisse $1$ est :
    a. $y = 3x$
    b. $y = 3x-\dfrac{3}{2}\phantom{\dfrac{1}{2+\frac{1}{2}}}$
    c. $y=\dfrac{3}{4}x+\dfrac{3}{4}\phantom{\dfrac{1}{2+\frac{1}{2}}}$
    d. $y = \dfrac{3}{4}x + \dfrac{9}{4}$
    $\quad$
  3. Afin d’estimer la proportion d’adolescents français qui possèdent un smartphone, on interroge les $1~024$ élèves d’un lycée. $840$ élèves répondent qu’ils possèdent un smartphone.
    Un intervalle de confiance au niveau de confiance de $95\%$ de la proportion d’adolescents français qui possèdent un smartphone est :
    a. $[0,820;0,822]$
    b. $[0,789;0,852]$
    c. $[0,819;0,821]$
    d. $[0,919;0,981]$
    $\quad$
  4. Pendant une période de soldes, le prix d’une tablette a subi deux démarques successives:
    une première baisse de $10\%$ puis une autre de $15\%$ pour afficher un prix final de $137,70$ €.
    Le prix de cette tablette, en euros, avant le début des soldes était de :
    a. $105$
    b. $142$
    c. $174$
    d. $180$
    $\quad$

$\quad$

Bac STMG – Antilles/Guyane – Juin 2019.

Antilles/Guyane – juin 2019

Bac STMG – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. On a $P(17\pp X\pp 24)=P(24\pp X\pp 31)$ du fait de la symétrie de la courbe.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} P(X\pg 31)&=P(X\pg 24)-P(24\pg X\pg 31) \\
    &=0,5-0,46\\
    &=0,04\end{align*}$
    Réponse a
    $\quad$
  2. D’après l’énoncé on a $\mu=24$.
    Si on prend $\sigma=0,1$ alors $P(17\pp X\pp 24)\approx 0,5$.
    Si on prend $\sigma=4$ alors $P(17\pp X\pp 24)\approx 0,46$.
    Réponse b
    $\quad$

Partie B

  1. La droite d’équation $x=0,5$ coupe la courbe en $3$ points.
    L’équation $f(x)=0,5$ admet donc trois solutions.
    Réponse d
    $\quad$
  2. La fonction $f$ semble décroissante sur l’intervalle $[2;3]$.
    Par conséquent $f'(x)\pp 0$ sur l’intervalle $[2;3]$.
    Réponse b
    $\quad$
  3. Pour tout réel $x$ de l’intervalle $[1;4]$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=2\times 3x^2-15\times 2x+36\\
    &=6x^2-30x+36\end{align*}$
    Réponse b
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. D’après l’arbre pondéré on a :
    $p(M\cap W)=0,7\times 0,75=0,525$.
    La probabilité que la fiche choisie corresponde à une vente du midi et une formule Wok est égale à $0,525$.
    $\quad$
  3. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(B)&=p(M\cap B)+p(S\cap B)\\
    &=0,7\times 0,25+0,3\times 0,6\\
    &=0,175+0,18\\
    &=0,355\end{align*}$
    la probabilité que la fiche choisie corresponde à une formule Burger est égale à $0,355$.
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_B(S)&=\dfrac{p(B\cap S)}{p(B)} \\
    &=\dfrac{0,18}{0,355} \\
    &\approx 0,507\end{align*}$
    Quelle est la probabilité que la vente ait eu lieu le soir sachant qu’on a prélevé une fiche correspondant à la formule Burger est environ égale à $0,507$.
    $\quad$

Partie B

On a $n=120$ et $p=0,9$.
Un intervalle de fluctuation au seuil de $95\%$ de la proportion de clients satisfaits est :
$\begin{align*} I_{120}&=\left[0,9-\dfrac{1}{\sqrt{120}};0,9+\dfrac{1}{\sqrt{120}}\right] \\
&\approx [0,808;0,992]\end{align*}$

La fréquence observée est $f=\dfrac{94}{120}\notin I_{120}$.

Ce résultat permet donc, au risque de $5\%$ de mettre en doute l’argument publicitaire du gérant.
$\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. On saisit $=C3*\$B\$4/\$B\$3 $.
    $\quad$
  2. $\dfrac{6~927-8~304}{8~304}\approx -0,166$ soit environ $-16,6\%$.
    Le taux d’évolution du nombre de naissances entre 2009 et 2016 est environ égal à $-16,6\%$.
    $\quad$
  3. On appelle $x$ le taux d’évolution annuel moyen entre 2009 et 2016.
    On a donc :
    $\begin{align*} \left(1+\dfrac{x}{100}\right)^7=1-0,166 &\ssi \left(1+\dfrac{x}{100}\right)^7=0,834 \\
    &\ssi 1+\dfrac{x}{100}=0,834^{1/7} \\
    &\ssi \dfrac{x}{100}=0,834^{1/7}-1\\
    &\ssi x=100\left(0,834^{1/7}-1\right)\end{align*}$
    Ainsi $x\approx -2,6$.
    Le taux d’évolution annuel moyen sur cette période est de $-2, 6 \%$.
    $\quad$

Partie B

  1. À l’aide de la calculatrice, on obtient l’équation $y=-191,82x+8~553,82$.
    $\quad$
  2. a. Si $x=1$ alors $y=-192\times 1+8~554=8~362$ : le point de coordonnées $(1;8~362)$ appartient à la droite $\Delta$.
    Si $x=10$ alors $y=-192\times 10+8~554=6~634$ : le point de coordonnées $(10;6~634)$ appartient à la droite $\Delta$.
    On obtient le graphique suivant :

    $\quad$
    b. En 2020 on a $x=12$.
    Donc $y=-192\times 12+8~554=6~250$.
    Selon ce modèle, on peut estimer qu’il y aura $6~250$ naissances en 2020 dans ce département.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. On a $u_1=(1+0,054)\times u_0=1,054\times 300=316,2$.
    Et $u_2=1,054\times 316,2\approx 333,27$
    $\quad$
  2. La suite $\left(u_n\right)$ est géométrique de raison $1,054$ et de premier terme $u_0=300$.
    Donc, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=300\times 1,054^n$.
    $\quad$
  3. a. On a l’algorithme suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    N\leftarrow 2017\\
    U\leftarrow 300\\
    \text{tant que }U<450\\
    \hspace{1cm} N\leftarrow N+1\\
    \hspace{1cm} U\leftarrow U\times 1,054\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. Voici les différentes valeurs, arrondies au centième, prises par les variables.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    N&2017&2018&2019&2020&2021&2022&2023&2024&2025\\
    \hline
    U&300&316,2&333,27&351,27&370,24&390,23&411,3&433,51&456,92\\
    \hline
    \end{array}$$
    Ainsi, après exécution de cet algorithme on a $N=2025$ et $U\approx 456,92$.
    C’est donc en 2025 que la masse totale de ces déchets plastiques aura dépassé $450$ millions de tonnes.
    $\quad$

 

 

Énoncé

Exercice 1     5 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Pour chaque question, indiquer la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Chaque réponse correcte rapporte un point. Une réponse incorrecte, multiple ou une absence de réponse, ne rapporte ni n’enlève de point.

Les deux parties sont indépendantes.

Partie A

Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi normale d’espérance $\mu$ et d’écart type $\sigma$ telle que $P(17 \pp X\pp 24)\approx 0,46$ à $10^{-2}$ près. La courbe de densité de cette loi est représentée ci-dessous. Elle admet la droite d’équation $x = 24$ comme axe de symétrie.

  1. Une valeur approchée à $10^{-2}$ près de $P(X \pg 31)$ est :
    a. $0,04$
    b. $0,54$
    c. $0,96$
    d. $0,46$
    $\quad$
  2. Les valeurs des deux paramètres de cette loi sont :
    a. $\mu = 24$ et $\sigma = 0,1 $
    b. $\mu = 24$ et $\sigma = 4$
    c. $\mu = 20$ et $\sigma = 5,69$
    d. $\mu = 4$ et $\sigma = 2$
    $\quad$

Partie B

Soit la fonction $f$ définie et dérivable sur l’intervalle $[1; 4]$ dont la courbe $C_f$ est représentée dans le repère ci-dessous :

  1. Choisir la proposition correcte :
    a. le maximum de $f$ sur l’intervalle $[1; 4]$ est égal
    à $1$.
    b. l’image de $1$ par $f$ est égale à $2$.
    c. la fonction $f$ est négative sur l’intervalle $[2; 3]$.
    d. l’équation $f(x) = 0,5$ admet trois solutions.
    $\quad$
  2. Soit $f’$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l’intervalle $[1; 4]$.
    On a $f'(x) = 0$ pour tout réel $x$ appartenant à :
    a. $[1; 1,5]$
    b. $[2; 3]$
    c. $[1 ; 2]∪[3 ; 4]$
    d. $[1,5; 3]$
    $\quad$
  3. On admet que, pour tout réel $x$ de l’intervalle $[1; 4]$, $f(x) = 2x^3-15x^2+36x-27$.
    Choisir la proposition correcte :
    a. $f'(x)=5x^2-17x+37$
    b. $f'(x)=6x^2-30x+36$
    c. $f'(x)=6x^3-30x^2+36x-27$
    d. $f'(x)=6x^2-30x+9$
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

Un food truck, ouvert le midi et le soir, propose deux types de formules :
— la formule Burger ;
— la formule Wok.

Partie A

Le gérant a remarqué que $70 \%$ de ses ventes ont lieu le midi. Le quart des ventes du midi correspondent à la formule Burger, alors que $40 \%$ des ventes du soir correspondent à la formule Wok.
Le gérant se constitue un fichier en notant, pour chaque vente, la formule choisie et le moment de cette vente (midi ou soir).
On prélève une fiche de façon équiprobable. On définit les quatre évènements suivants :
$\quad$ $M$ : « la fiche correspond à une vente du midi »;
$\quad$ $S$ : « la fiche correspond à une vente du soir »;
$\quad$ $W$ : « la fiche correspond à une formule Wok »;
$\quad$ $B$ : « la fiche correspond à une formule Burger ».

  1. Compléter l’arbre pondéré donné en annexe, à rendre avec la copie.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité de l’évènement $M\cap W$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  3. Montrer que la probabilité que la fiche choisie corresponde à une formule Burger est égale à $0,355$.
    $\quad$
  4. On a prélevé une fiche correspondant à la formule Burger. Quelle est la probabilité, arrondie au millième, que la vente ait eu lieu le soir ?
    $\quad$

Partie B

Dans sa publicité, le gérant souhaite afficher que $9$ clients sur $10$ sont satisfaits des formules qu’il propose.
Sur les $120$ clients servis au cours d’une journée, $94$ se sont déclarés satisfaits.
Ce résultat de l’enquête permet-il de mettre en doute l’argument publicitaire du gérant ? Expliciter la démarche
à l’aide d’un intervalle de fluctuation au seuil de $95 \%$.
$\quad$

Annexe

 

$\quad$

Exercice 3     6 points

Voici un aperçu d’une feuille de calcul regroupant le nombre de naissances dans un département français de 2009 à 2016.

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
&\text{A}&\text{B}&\text{C}&\text{D}&\text{E}&\text{F}&\text{G}&\text{H}&\text{I}\\
\hline
1&\text{Année}&2009&2010&2011&2012&2013&2014&2015&2016\\
\hline
2&\text{Rang de l’année }x_i&1&2&3&4&5&6&7&8\\
\hline
3&\text{Nombre de naissances }y_i&8~304&8~111&8~041&7~833&7~644&7~466&7~199&6~927\\
\hline
4&\text{Indice}&100&&&&&&&\\
\hline
\end{array}\\
\hspace{3cm} \small{\textit{Source : INSEE – Etat civil – Données mises en ligne le 12/10/2017}}$$

Partie A

  1. Parmi les quatre formules proposées, laquelle peut-on saisir dans la cellule $C4$ pour obtenir, par recopie vers la droite, les indices jusqu’en 2016 ?
    ➀ $=C3*B4/\$B\$3$ $\qquad$ ➁$ =\$C\$3*\$B\$4/B3$ $\qquad$ ➂ $=C3*\$B\$4/\$B\$3$ $\qquad$ ➃ $=\$C\$3*B4/B3$
    $\quad$
  2. Déterminer le taux d’évolution du nombre de naissances entre 2009 et 2016. On exprimera le résultat en pourcentage, arrondi au dixième.
    $\quad$
  3. Expliquer pourquoi le taux d’évolution annuel moyen sur cette période est de $-2, 6 \%$, au dixième près.
    $\quad$

Partie B

Le nuage de points de coordonnées $\left(x_i, y_i\right)$, pour $i$ variant de $1$ à $8$, est représenté sur le repère donné en annexe, à rendre avec la copie.

  1. Donner une équation de la droite d’ajustement affine du nuage de points, de $y$ en $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés. On arrondira les coefficients au centième.
    $\quad$
  2. Pour la suite, on décide de prendre comme droite d’ajustement du nuage de points la droite $\Delta$ d’équation : $$y =-192x + 8~554$$.
    a. Donner les coordonnées de deux points de la droite $\Delta$, puis tracer cette droite dans le repère
    donné en annexe, à rendre avec la copie.
    $\quad$
    b. En utilisant l’ajustement donné et en considérant qu’il reste valide jusqu’en 2020, estimer le nombre de naissances dans le département concerné en 2020.
    $\quad$

$\quad$

Annexe

 

$\quad$

Exercice 4     4 points

Le « continent de plastique » est la plus grande des plaques de déchets plastiques évoluant sur les océans. Elle occupe actuellement dans l’océan Pacifique une surface dont l’aire est évaluée à plus de $1,6$ million de km$^2$, entre Hawaï et la Californie.
En 2017, des scientifiques ont estimé la masse totale de déchets plastiques dans les océans à $300$ millions de tonnes et ont prévu une augmentation de $5,4 \%$ par an au cours des prochaines années.
On modélise l’évolution de la masse totale de ces déchets plastiques, si rien n’est fait pour la réduire, par une suite géométrique $\left(u_n\right)$ de raison $1,054$ et de premier terme $u_0 = 300$. L’arrondi au centième du terme $u_n$ représente la masse totale de ces déchets, exprimée en million de tonnes, pour l’année (2017$+n$).

  1. Calculer $u_1$ et $u_2$.
    $\quad$
  2. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  3. On souhaite déterminer en quelle année la masse totale de ces déchets plastiques aura pour la première fois augmenté de $50 \%$ par rapport à sa valeur de 2017.
    a. Recopier et compléter l’algorithme ci-dessous pour que la variable $N$ contienne la réponse au problème posé. $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    n\leftarrow 2017\\
    U\leftarrow 300\\
    \text{Tant que }U <450\\
    \hspace{1cm} N\leftarrow \ldots \\
    \hspace{1cm} U\leftarrow \ldots \\
    \text{Fin Tant que }\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. Que contiennent les variables $U$ et $N$ après exécution de cet algorithme ?
    Interpréter les résultats dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

 

 

 

Bac STMG – Polynésie – Juin 2019

Polynésie – juin 2019

Bac STMG – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. On a
    $\begin{align*} P(X \pg 14)&=P(X\pg 12)-P(12\pp X\pp 14)\\
    &=0,5-P(12\pp X\pp 14)\\
    &\approx 0,16\end{align*}$
    Réponse A
    $\quad$
  2. On a $n=400$ et $f=\dfrac{112}{400}=0,28$.
    Un intervalle de confiance au seuil de $95\%$ dans lequel devrait se trouver la proportion d’électeurs votant pour le candidat aux élections municipales est :
    $\begin{align*} I_{400}&=\left[0,28-\dfrac{1}{\sqrt{400}};0,28+\dfrac{1}{\sqrt{400}}\right] \\
    &=[0,23;0,33]\end{align*}$
    Réponse A
    $\quad$
  3. $\left(V_n\right)$ est une suite géométrique de raison $1,2$ et de premier terme $V_1=6$.
    Pour tout entier naturel $n$ non nul on a donc $V_n=6\times 1,2^{n-1}$.
    Par conséquent $V_6=6\times 1,2^5\approx 14,9$.
    Réponse C
    $\quad$
  4. Voici les différentes valeurs prises par les variables (arrondie au centième pour $V$) :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    n&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11\\
    \hline
    V&6&7,2&8,64&10,37&12,44&14,93&17,93&21,50&25,80&30,96&37,16\\
    \hline
    \end{array}$$
    On obtient donc $n=11$
    Réponse C
    $\quad$
  5. La suite $\left(U_n\right)$ est arithmétique de raison $3$ et $U_4=81$.
    Par conséquent :
    $U_3=81-3=78$,
    $U_2=78-3=75$,
    $U_1=75-3=72$
    et $U_0=72-3=69$.
    Réponse C
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. D’après l’énoncé on a : $P(A)=0,6$, $P(B)=1-0,6=0,4$, $P_A(D)=0,05$ et $P(B\cap D)=0,01$.
    $\quad$
  2. a. On veut calculer $P(A\cap D)=0,6\times 0,05=0,03$.
    La probabilité qu’un stylo provienne de l’atelier A et possède un défaut de fabrication est égale à $0,03$.
    $\quad$
    b. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(D)&=P(A\cap D)+P(B\cap D) \\
    &=0,03+0,01 \\
    &=0,04\end{align*}$
    La probabilité qu’un stylo possède un défaut de fabrication est de $0,04$.
    $\quad$
  3. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_B(D)&=\dfrac{P(B\cap D)}{P(B)} \\
    &=\dfrac{0,01}{0,4} \\
    &=0,025\end{align*}$
    La probabilité qu’un stylo prélevé au hasard dans l’atelier B possède un défaut est $0,025$.
    $\quad$

Partie B

  1. La variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=25$ et $p=0,04$.
    $\quad$
  2. $P(X=0)=0,96^{25}\approx 0,36<0,5$.
    L’affirmation du directeur est donc fausse.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

Partie A : lectures graphiques

  1. D’après le graphique $C_m(7)\approx 500$.
    $\quad$
  2. À l’aide du graphique on obtient le tableau de variations suivants (valeurs approchées à l’unité).
    $\quad$
  3. D’après le graphique le coût moyen de production est minimal quand l’entreprise produit $5$ kilomètres de tissu.
    $\quad$

Partie B : étude du bénéfice

  1. Pour tout nombre $x$ compris entre $1$ et $10$ on a $R(x)=680x$.
    $\quad$
  2. Pour tout nombre $x$ compris entre $1$ et $10$ on a :
    $\begin{align*} B(x)&=R(x)-C(x)\\
    &=680x-\left(15x^3-120x^2+500x+750\right) \\
    &=-15x^3+120x^2+180x-750\end{align*}$
    $\quad$
  3. Pour nombre réel $x$ apartenant à l’intervalle $[1;10]$ on a :
    $\begin{align*} B'(x)&=-15\times 3x^2+120\times 2x+180 \\
    &=-45x^2+240x+180\end{align*}$
    $\quad$
  4. a. On considère le trinôme $-45x^2+240x+180$ où $a=-45$, $b=240$ et $c=180$.
    Le discriminant est $\Delta = 240^2-4\times (-45)\times 180=90~000>0$
    Les racines sont donc :
    $x_1=\dfrac{-240-\sqrt{90~000}}{-90}=6$ et $x_2=\dfrac{-240-\sqrt{90~000}}{-90}=-\dfrac{2}{3}$.
    $a=-45<0$
    Cela signifie donc que le trinôme est strictement négatif sur $\left]-\infty;-\dfrac{2}{3}\right[\cup]6;+\infty[$, nul en $-\dfrac{2}{3}$ et $6$ et strictement positif sur $\left]-\dfrac{2}{3};6\right[$.
    $\quad$
    b. Si l’on restreint cette étude à l’intervalle $[1;10]$ on obtient que :
    $B'(x)>0$ sur l’intervalle $[0;6[$;
    $B'(6)=0$;
    $B'(x)<0$ sur l’intervalle $]6;+\infty[$.
    $\quad$
  5. On obtient le tableau de variations suivant :

    $\quad$
  6. Le bénéfice est maximal quand l’entreprise produit $6$ kilomètres de tissu. Ce bénéfice vaut $1~410$ euros.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie A : étude d’un premier modèle

  1. Voir le graphique de la question 2.b.
    $\quad$
  2. a. À l’aide de la calculatrice on obtient l’équation suivante $y=2,42x+18,14$.
    $\quad$
    b. On obtient le graphique suivant :

    $\quad$
  3. En 2020 on a $x=10$.
    Graphiquement, le point d’abscisse $10$ de la droite a une ordonnée environ égale à $42$.
    Le chiffre d’affaires de cette entreprise en 2020 sera d’environ $42$ millions d’euros selon ce modèle.
    $\quad$

Partie B : étude d’un second modèle

  1. Le taux d’évolution global du chiffre d’affaires de l’entreprise entre 2010 et 2016 est $t=\dfrac{32,4-18,3}{18,3}\approx 0,7705$ donc $t \approx 77,05\%$.
    $\quad$
  2. On appelle $x$ le taux d’évolution moyen annuel entre 2010 et 2016.
    On a donc :
    $\begin{align*} \left(1+\dfrac{x}{100}\right)^6=1,7705&\ssi 1+\dfrac{x}{100}=1,7705^{1/6} \\
    &\ssi \dfrac{x}{100}=1,7705^{1/6}-1\\
    &\ssi x=100\left(1,7705^{1/6}-1\right) \end{align*}$
    donc $x\approx 10\%$.
    $\quad$
  3. Selon ce modèle le chiffre d’affaires de l’entreprise en 2020 sera de $32,4\times 1,1^4\approx 47$ millions d’euros.
    $\quad$

 

 

 

Énoncé

Exercice 1     4 points

Cet exercice est un Questionnaire à Choix Multiples (QCM).
Pour chaque question, une et une seule réponse est exacte.
Une réponse juste rapporte un point tandis qu’une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point.
Recopier sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.

  1. Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi normale de paramètres $\mu= 12$ et $\sigma = 2$.
    Quelle est la valeur de la probabilité $P(X \pg 14)$ arrondie au centième ?
    A. $0,16$
    B. $0,20$
    C. $0,80$
    D. $0,84$
    $\quad$
  2. Un candidat aux élections municipales a fait réaliser un sondage auprès de $400$ électeurs. $112$ de ces $400$ électeurs ont affirmé vouloir voter pour ce candidat. Un intervalle de confiance au seuil de $95 \%$ dans lequel devrait se trouver la proportion d’électeurs votant pour le candidat aux élections municipales est :
    A. $[0,230 ; 0,330]$
    B. $[0,277 ; 0,283]$
    C. $[0,307 ; 0,407]$
    D. $[0,354 ; 0,360]$
    $\quad$
  3. Soit $\left(V_n\right)$ la suite géométrique de raison $q=1,2$ et de premier terme $V_1=6$.
    Quelle est la valeur de $V_6$ arrondie au dixième ?
    A. $12,0$
    B. $13,2$
    C. $14,9$
    D. $17,9$
    $\quad$
  4. On considère l’algorithme suivant. Quelle est la valeur de $n$ à la fin de cet algorithme ? $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    n\leftarrow 1\\
    V\leftarrow 6\\
    \text{Tant que }V<31\\
    \hspace{1cm} n\leftarrow n+1\\
    \hspace{1cm} V\leftarrow V\times 1,2\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    A. $9$
    B. $10$
    C. $11$
    D. $12$
    $\quad$
  5. Soit $\left(U_n\right)$ la suite arithmétique de raison $3$ et telle que $U_4=81$.
    Le premier terme $U_0$ de la suite $\left(U_n\right)$ est :
    A. $1$
    B. $3$
    C. $69$
    D. $72$
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes

Partie A

Deux ateliers A et B fabriquent des stylos pour une entreprise.
L’atelier A fabrique $60\%$ des stylos, et parmi ceux-là, $5\%$ possèdent un défaut de fabrication.
De plus, $1\%$ des stylos possèdent un défaut de fabrication et sortent de l’atelier B.
Un stylo est prélevé au hasard dans le stock de l’entreprise.
On considère les événements suivants :

$\qquad$ $A$ : « Le stylo a été fabriqué par l’atelier A »
$\qquad$ $B$ : « Le stylo a été fabriqué par l’atelier B »
$\qquad$ $D$ : « Le stylo possède un défaut de fabrication »

  1. Donner les probabilités $P(A)$, $P(B)$, $P_A(D)$ et $P(B\cap D)$.
    On pourra s’appuyer sur un arbre de probabilités que l’on complètera au fur et à mesure pour répondre aux questions suivantes.
    $\quad$
  2. a. Calculer la probabilité qu’un stylo provienne de l’atelier A et possède un défaut de fabrication.
    $\quad$
    b. En déduire que la probabilité qu’un stylo possède un défaut de fabrication est de $0,04$.
    $\quad$
  3. On prélève un stylo au hasard dans l’atelier B. Quelle est la probabilité qu’il possède un défaut ?
    $\quad$

Partie B

Dans cette partie, on suppose que $4\%$ des stylos possèdent un défaut de fabrication.
L’entreprise confectionne des paquets contenant chacun $25$ stylos.
Le fait qu’un stylo possède ou non un défaut de fabrication est indépendant des autres stylos.
On appelle $X$ la variable aléatoire donnant pour un paquet le nombre de stylos qui possèdent un défaut de fabrication.
On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale.

  1. Préciser les paramètres de cette loi binomiale.
    $\quad$
  2. Le directeur de l’entreprise affirme qu’il y a plus d’une chance sur deux qu’un paquet ne comporte
    aucun stylo défectueux. A-t-il raison ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     6 points

Une entreprise fabrique chaque jour des rouleaux de tissu en coton.
La production quotidienne varie entre $1$ et $10$ kilomètres de tissu.
On note $x$ la production de tissu en kilomètres.
Le coût total de production, exprimé en euros, de $x$ kilomètres de tissu est donné par la fonction $C$ définie pour $x$ appartenant à $[1 ; 10]$ par : $C(x)=15x^3-120x^2+500x+750$$

Partie A : lectures graphiques

On appelle coût moyen de production la fonction $C_m$  définie sur l’intervalle $[1 ; 10]$ par : $$C_m(x)=\dfrac{C(x)}{x}$$
La représentation graphique de la fonction $C_m$ est donnée ci-dessous.

  1. Donner par lecture graphique une valeur approchée de $C_m(7)$.
    $\quad$
  2. À l’aide de la représentation graphique, donner le tableau de variations de $C_m$ sur $[1 ; 10]$.
    $\quad$
  3. Déterminer par lecture graphique combien de kilomètres de tissu l’entreprise doit fabriquer pour que le coût moyen de production soit minimal.
    $\quad$

Partie B : étude du bénéfice

On suppose que l’entreprise vend chaque jour sa production journalière.
Le prix de vente d’un kilomètre de tissu est de $680$ €.
On rappelle que le nombre de kilomètres de tissu $x$ fabriqués varie chaque jour entre $1$ et $10$.
On note $R(x)$ la recette, exprimée en euros, correspondant à la vente de $x$ kilomètres de tissu.
On note $B(x)$ le bénéfice, exprimé en euros, réalisé par l’entreprise pour la vente de $x$ kilomètres de tissu.

  1. Exprimer $R(x)$ en fonction de $x$.
    $\quad$
  2. Justifier que l’expression de $B(x)$ en fonction de $x$ est : $B(x)=-15x^3+120x^2+180x-750$.
    $\quad$
  3. On note $B’$ la fonction dérivée de la fonction $B$. Pour tout nombre réel $x$ appartenant à l’intervalle $[1 ; 10]$, calculer $B'(x)$.
    $\quad$
  4. a. Étudier pour tout $x$ réel le signe du trinôme $-45x^2+240x+180$.
    $\quad$
    b. En déduire le signe de la fonction $B’$ sur l’intervalle $[1 ; 10]$.
    $\quad$
  5. En utilisant la question précédente, donner le tableau de variations complet de la fonction $B$ sur l’intervalle $[1 ; 10]$.
    $\quad$
  6. Déterminer le nombre de kilomètres de tissu que l’entreprise doit produire et vendre chaque jour pour que le bénéfice réalisé soit maximal. Que vaut ce bénéfice maximal ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     4 points

Le tableau suivant donne le chiffre d’affaires mondial d’une entreprise entre 2010 et 2016 en millions d’euros.

$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{ Année}& 2010& 2011& 2012& 2013& 2014& 2015& 2016\\
\hline
\text{ Rang de l’année }x_i& 0& 1& 2& 3& 4& 5& 6\\
\hline
\begin{array}{l} \text{Chiffre d’affaires }y_i\\\text{(en millions d’euros)}\end{array}& 18,3& 20,1& 23,3& 25,3& 27,8& 30,6& 32,4\\
\hline
\end{array}$$

Partie A : étude d’un premier modèle

  1. Sur le graphique donné en annexe à rendre avec la copie, représenter le nuage de points de coordonnées $\left(x_i;y_i\right)$ pour $i$ variant de $0$ à $6$.
    $\quad$
  2. a. À l’aide de la calculatrice, donner une équation de la droite d’ajustement affine de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis au centième.
    $\quad$
    Dans la suite, on choisit la droite $d$ d’équation $y=2,4x+18,1$ comme ajustement affine du nuage
    de points.
    $\quad$
    b. Tracer la droite $d$ sur le même graphique donné en annexe.
    $\quad$
  3. En supposant que cet ajustement demeure valable pendant plusieurs années, donner par lecture graphique le chiffre d’affaires de cette entreprise en 2020. Arrondir au million près.
    $\quad$

Partie B : étude d’un second modèle

  1. Déterminer, à l’aide du tableau, le taux d’évolution global du chiffre d’affaires de l’entreprise entre 2010 et 2016. On exprimera le résultat en pourcentage arrondi au centième.
    $\quad$
  2. Déterminer le taux d’évolution moyen annuel entre 2010 et 2016, exprimé en pourcentage arrondi à l’entier le plus proche.
    $\quad$
  3. On suppose que le taux d’évolution annuel sera de $10\%$ entre 2016 et 2020. Estimer le chiffre d’affaires de l’entreprise en 2020. Arrondir au million près.
    $\quad$

Annexe

$\quad$

 

 

Bac STMG – Métropole – Juin 2019

Métropole – juin 2019

Bac STMG – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. On veut calculer $p(B)=p(T\cap B)=0,3\times 0,1=0,03$.
    La probabilité que le touriste gagne un non de réduction de $150$ euros sur un prochain séjour en ville est $0,03$.
    $\quad$
  3. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(L)&=p(P\cap L)+p(T\cap L) \\
    &=0,7\times 0,2+0,3\times 0,9\\
    &=0,14+0,27\\
    &=0,41\end{align*}$
    La probabilité que le touriste gagne un panier de produits locaux est $0,41$.
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_L(T)&=\dfrac{p(L\cap T)}{p(L)} \\
    &=\dfrac{0,27}{0,41}\\
    &=\dfrac{27}{41}
    \end{align*}$
    Sachant qu’un touriste a gagné un panier de produits locaux à la seconde étape de la loterie, la probabilité qu’il ait gagné un tee-shirt lors de la première étape est $\dfrac{27}{41}$.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1.  $t=\dfrac{282-229}{229}\approx 0,231~4$
    Le taux d’évolution global de la masse d’EMPCS recyclés entre 2011 et 2016 est environ égal à $23\%$.
    $\quad$
  2. On appelle $x$ le taux d’évolution annuel moyen de la masse d’EMPCS recyclés entre 2011 et 2016.
    Ainsi :
    $\begin{align*} \left(1+\dfrac{x}{100}\right)^5=1,23&\ssi  1+\dfrac{x}{100}=\left(1,23\right)^{1/5} \\
    &\ssi \dfrac{x}{100}=\left(1,23\right)^{1/5}-1 \\
    &\ssi x=100\left(\left(1,23\right)^{1/5}-1\right) \end{align*}$
    Par conséquent $x\approx 4,23$.
    Le le taux d’’évolution annuel moyen de la masse d’EMPCS recyclés entre 2011 et 2016 est environ égal à $4,23\%$.
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=\left(1+\dfrac{4,2}{100}\right)u_n$ soit $u_{n+1}=1,042u_n$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,042$$.
    $\quad$
  4. Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=282\times 1,042^n$.
    $\quad$
  5. En 2019, on a $n=3$. Or $u_3 \approx 319$.
    En 2019, on peut donc estimer qu’on recyclera environ $319$ milliers de tonnes d’EMPCS.
    $\quad$
  6. On peut saisir l’algorithme suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    N\leftarrow 0\\
    U\leftarrow 282\\
    \text{Tant que } U< 564 \\
    \hspace{1cm} N\leftarrow N+1\\
    \hspace{1cm} U\leftarrow U\times 1,042\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. On veut calculer $P(X>53)=1-P(X\pp 53)=1-0,16=0,84$.
    La probabilité qu’un œuf  ne soit pas classé dans la catégorie “Petit” est $0,84$.
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} P(53\pp X \pp 60)&=P(X\pp 60)-P(X\pp 53) \\
    &=0,5-0,16 \\
    &=0,34 \end{align*}$
    $\quad$
  3. On a donc
    $\begin{align*} P(53\pp X \pp 63)&=P(53\pp X \pp 60)+P(60\pp X \pp 63) \\
    &=0,34+0,17 \\
    &=0,51\end{align*}$
    La probabilité qu’un œuf soit classé dans la catégorie “Moyen” est donc $0,51$.
    $\quad$
  4. On a :
    $\begin{align*} P(X>73)&=1-P(X\pp 73) \\
    &=1-(0,5+0,17+0,3) \\
    &=0,03\end{align*}$
    La probabilité qu’un œuf soit classé dans la catégorie “Très gros” est $0,03$.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie A : étude du chiffre d’affaires du e-commerce

  1. D’après la calculatrice, une équation de la droite cherchée est $y=7,31x+27,99$.
    $\quad$
  2. On obtient le graphique suivant :

    $\quad$
  3. En 2026 on a $x=16$
    Donc $y=7,3\times 20+28=144,8$
    Le chiffre d’affaires du e-commerce sera d’environ $144,8$ milliards d’euros en 2026.
    $\quad$

Partie B : étude du chiffre d’affaires du m-commerce

  1. a. On a $\dfrac{16,8}{81,7} \approx 0,2056 \approx 0,21$
    Le chiffre d’affaires du m-commerce représentait donc environ $21\%$ du chiffre d’affaires du e-commerce en 2017.
    $\quad$
    b. $0,4\times \left(1+\dfrac{41}{100}\right)=0,4\times 1,41=0,564 \neq 16,8$.
    Le chiffre d’affaires du m-commerce a donc augmenté de plus de $41\%$ entre 2011 et 2017. L’affirmation est fausse.
    $\quad$
  2. En 2026, on a $x=16$ et $f(16)=110,1$
    Or $\dfrac{110,1}{144,8} \approx 0,76 > 0,7$
    L’affirmation st donc pertinente au regard des deux modèles proposés.
    $\quad$

 

Énoncé

Exercice 1     4 points

L’office de tourisme d’une ville souhaite fidéliser ses touristes. Pour cela, il organise une loterie dont les lots sont de plusieurs types : porte-clefs aux couleurs de la ville, tee-shirt de l’office du tourisme, stylo, panier de produits locaux, bon de réduction de $150$ €  sur un prochain séjour en ville.

Cette loterie se pratique sur une borne tactile et se déroule en deux étapes.

À chaque étape il s’agit de choisir une case parmi les dix qui s’affichent sur l’écran de la borne.

Première étape :
le touriste a sept chances sur dix de gagner un porte-clefs aux couleurs de la ville et trois chances sur dix de gagner un tee-shirt de l’office du tourisme.

Seconde étape :

  • si le touriste a gagné un porte-clefs, il a huit chances sur dix de gagner un stylo aux couleurs de la ville et deux chances sur dix de gagner un panier de produits locaux ;
  • si le touriste a gagné un tee-shirt de l’office du tourisme, il a neuf chances sur dix de gagner un panier de produits locaux et une chance sur dix de gagner un bon de réduction de $150$ sur un prochain séjour en ville.

On définit les événements suivants :
$\quad$ $P$ : éle premier lot est un porte-clefs” et $T$ : “le premier lot est un tee-shirt” ;
$\quad$ $S$ : “le second lot est un stylo” ;
$\quad$ $L$ : “le second lot est un panier de produit locaux” ;
$\quad$ $B$ : “le second lot est un bon de réduction de $150$ euros sur un prochain séjour en ville”.

  1. Compléter l’arbre pondéré donné en annexe, à rendre avec la copie.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité que le touriste gagne un bon de réduction de $150$ euros sur un prochain séjour en ville.
    $\quad$
  3. Calculer la probabilité que le touriste gagne un panier de produits locaux.
    $\quad$
  4. Sachant qu’un touriste a gagné un panier de produits locaux à la seconde étape de la loterie, calculer la probabilité qu’il ait gagné un tee-shirt lors de la première étape.
    $\quad$

Annexe

$\quad$

Exercice 2     5 points

On s’intéresse au recyclage des emballages ménagers en plastique issus de la collecte sélective (EMPCS).
Le tableau ci-dessous donne l’évolution de la masse d’EMPCS recyclés entre 2011 et 2016. Cette masse est exprimée en millier de tonnes et arrondie au millier de tonnes.

$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Année}&2011&212&2013&2014&2015&2016\\
\hline
\text{Masse d’EMPCS recyclés}&229&243&250&256&266&282\\
\hline
\end{array}\\
\small{\textit{Source : http ://www.statistiques.developpement-durable.gouv.fr, consulté le 21/01/2019}}$$

  1. Justifier que le taux d’évolution global de la masse d’EMPCS recyclés entre 2011 et 2016, exprimé
    en pourcentage et arrondi à l’unité, est de $23 \%$.
    $\quad$
  2. En déduire le taux d’évolution annuel moyen de la masse d’EMPCS recyclés entre 2011 et 2016.

On fait l’hypothèse qu’à partir de 2016, le taux d’évolution annuel de la masse d’EMPCS recyclés est constant et égal à $4,2 \%$.

La masse d’EMPCS recyclés au cours de l’année (2016 $+ n$), exprimée en millier de tonnes, est modélisée par le terme de rang $n$ d’une suite $\left(u_n\right)$ de premier terme $u_0 = 282$.

  1. Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ est géométrique. Préciser sa raison.
    $\quad$
  2. Exprimer $u_n$ en fonction de l’entier $n$.
    $\quad$
  3. En déduire une estimation de la masse d’EMPCS recyclés en 2019.
    $\quad$
  4. On souhaite calculer le rang de l’année à partir de laquelle la masse d’EMPCS recyclés aura doublé
    par rapport à l’année 2016.
    Compléter l’algorithme donné en annexe, à rendre avec la copie, afin qu’après exécution, la variable $N$ contienne la valeur recherchée.
    $\quad$

Annexe

$$\begin{array}{|l|}
\hline
N\leftarrow 0\\
U\leftarrow 282\\
\text{Tant que }U\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\\
\hspace{1cm} N\leftarrow N+1\\
\hspace{1cm} U\leftarrow \phantom{.}\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\\
\text{Fin Tant que}\\
\hline
\end{array}$$

$\quad$

Exercice 3     4 points

Les œufs de poule sont classés en quatre catégories :

  • “Petit”, si la masse est inférieure à $53$ g ;
  • “Moyen”,  si la masse est comprise entre $53$ g et $63$ g ;
  • “Gros”, si la masse est comprise entre $63$ g et $73$ g ;
  • “Très gros”, si la masse est supérieure à $73$ g.

On admet que la masse d’un œuf de poule peut-être modélisée par une variable aléatoire $X$ suivant une loi normale d’espérance $60$ g. On donne ci-dessous la courbe de densité associée à cette loi, sur laquelle on a indiqué les probabilités $P(X \pp 53) = 0,16$, $P(60 \pp X \pp 63) = 0,17$ et $P(63 \pp X \pp 73) = 0,3$.

  1. Calculer la probabilité qu’un œuf ne soit pas classé dans la catégorie “Petit”.
    $\quad$
  2. Justifier que la probabilité $P(53 \pp X \pp 60)$ est égale à $0,34$.
    $\quad$
  3. En déduire la probabilité qu’un œuf soit classé dans la catégorie “Moyen”.
    $\quad$
  4. Calculer la probabilité qu’un œuf soit classé dans la catégorie “Très gros”.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     7 points

D’après une étude de la Fédération E-commerce et Vente A Distance (FEVAD), le secteur du commerce en ligne (e-commerce) est en pleine croissance, notamment grâce à la percée des ventes sur terminaux mobiles, tablettes ou smartphones (m-commerce).

Partie A : étude du chiffre d’affaires du e-commerce

Le tableau ci-dessous donne le chiffre d’affaires du e-commerce entre 2011 et 2017. Il s’exprime en milliard d’euros et est arrondi au dixième.

$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{ Année}&2011&2012&2013&2014&2015&2016&2017\\
\hline
\text{ Rang de l’année : }x_i&1&2&3&4&5&6&7\\
\hline
\small{\begin{array}{l}\text{Chiffre d’affaires du e-commerce }\\\text{(en milliard d’euros ): } y_i\end{array}}&36,5&43,6&49,5&55,0&62,9&71,5&81,7\\
\hline
\end{array}\\
\hspace{7cm} \small{\textit{Source : FEVAD, les chiffres clés 2018}}$$

Une représentation graphique du nuage de points de coordonnées $\left(x_i; y_i\right)$ est donnée en annexe, à
rendre avec la copie.

  1. Donner l’équation réduite de la droite d’ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis au centième.
    $\quad$
  2. On décide d’ajuster le nuage de points par la droite $D$ d’équation $y = 7,3x + 28$.
    Tracer la droite $D$ sur le graphique donné en annexe, à rendre avec la copie.
    $\quad$
    3. D’après ce modèle, que l’on admet valide jusqu’en 2030, quel chiffre d’affaires du e-commerce peut-on prévoir en France pour l’année 2026 ?
    $\quad$

Partie B : étude du chiffre d’affaires du m-commerce

Le m-commerce regroupe l’ensemble des transactions commerciales réalisées sur terminaux mobiles (tablettes ou smartphones).
On se propose d’étudier l’évolution de la part du chiffre d’affaires du m-commerce dans celui du e-commerce à partir de l’année 2011.
Le tableau suivant est extrait d’une feuille automatisée de calcul.

$$\begin{array}{|c|l|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
&\hspace{2cm}\text{A}\hspace{2cm}&\text{B}&\text{C}&\text{D}&\text{E}&\text{F}&\text{G}&\text{H}\\
\hline
1&\text{ Année}&2011&2012&2013&2014&2015&2016&2017\\
\hline
2&\small{\begin{array}{l}\text{Chiffre d’affaires du e-commerce}\\\text{(en milliard d’euros)}\end{array}}&36,5&43,6&49,5&55,0&62,9&71,5&81,7\\
\hline
3&\small{\begin{array}{l}\text{Chiffre d’affaires du m-commerce}\\\text{(en milliard d’euros)}\end{array}}&0,4&1,0&2,2&4,5&7,0&11,2&16,8\\
\hline
\end{array}\\
\hspace{7cm} \text{Source : FEVAD, les chiffres clés 2018}$$

  1. a. Vérifier qu’en 2017 le chiffre d’affaires du m-commerce représentait environ $21 \%$ du chiffre
    d’affaires du e-commerce.
    $\quad$
    b. Est-il vrai que le chiffre d’affaires du m-commerce a augmenté de $41 \%$ entre 2011 et 2017 ?
    $\quad$
  2. Soit $f$ la fonction définie pour tout $x$ appartenant à l’intervalle $[1; 20]$ par : $$f(x) = 0, 5x^2-1,2x+1,3$$
    Pour les valeurs entières de $x$ comprises entre $1$ et $20$, on admet que les valeurs $f(x)$ donnent une estimation du chiffre d’affaires du m-commerce, exprimé en milliard d’euros pour l’année (2010 $+ x$). Ainsi, $f(1)$ désigne une estimation du chiffre d’affaires en 2011, $f(2)$ désigne une estimation du chiffre d’affaires en 2012, etc.
    $\quad$
    Un observateur économique affirme : “En 2026, la part du chiffre d’affaires du m-commerce dans celui du e-commerce aura dépassé $70 \%$”.
    Cette affirmation est-elle pertinente au regard des deux modèles proposés ? Expliciter la démarche suivie.
    $\quad$

Annexe

$\quad$

 

2018 – 2019


La correction des sujets de mathématiques des bacs STMG de l’année 2018 – 2019 sont disponibles ici :

Centres étrangers / Pondichéry juin 2019

Métropole juin 2019

Antilles Guyane juin 2019

Polynésie juin 2019

Antilles Guyane septembre 2019

Métropole septembre 2019

Polynésie septembre 2019

Nouvelle Calédonie novembre 2019

Nouvelle Calédonie mars 2020

Bac STMG – Centres étrangers / Pondichéry – Juin 2019

Centres étrangers/Pondichéry – juin 2019

Bac STMG – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. En 2022, la population comptera donc $2~375\left(1-\dfrac{5}{100}\right)^4\approx 1~934$ individus.
    Si on arrondit à la dizaine près, on obtient $1~930$ individus.
    Réponse b
    $\quad$
  2. On appelle $N$ le nombre d’individus en 2017.
    On a donc $N\times \left(1-\dfrac{5}{100}\right)=2~375$.
    Soit $0,95N=2~375$ et donc $N=\dfrac{2~375}{0,95} =2~500$.
    Réponse c
    $\quad$
  3. Dans l’algorithme a. la valeur $0,75\times v$ dans la condition de la boucle “tant que” change pour chaque valeur de $v$. Ce n’est donc pas le bon algorithme.
    Dans l’algorithme c. le test de la boucle “tant que” ne permet pas de l’exécuter puisque $2~375\pg 0,75\times 2~375$.. Ce n’est pas le bon algorithme.
    Dans l’algorithme d. la variable $v$ est modifiée en $v-0,05$. Cela ne correspond pas à une baisse de $5\%$ mais à une diminution de $0,05$ unité. Ce n’est pas le bon algorithme.
    Réponse b
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A

Par symétrie, on a $P(\mu-2\pp X\pp \mu)=P(\mu \pp X\pp \mu+X)$.
Donc $P(198\pp X\pp 200)=P(200 \pp X\pp 202)$.
Ainsi $P(198\pp X\pp 202)=2\times 0,34=0,68$.

La probabilité qu’une tablette soit commercialisable est $0,68$.

$\quad$

Partie B

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. On veut calculer $p(A\cap C)=0,4\times 0,68=0,272$.
    La probabilité que la tablette choisie provienne de l’ancienne chaîne et soit commercialisable est $0,272$.
    $\quad$
  3. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(C)&=p(A\cap C)+p(N\cap C) \\
    &=0,4\times 0,68+0,6\times 0,9 \\
    &=0,272+0,54\\
    &=0,812\\
    &>0,8\end{align*}$
    Ainsi, au moins $80\%$ de la production totale de tablettes est commercialisable.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. On peut saisir la formule $=(C3-C2)/C2$.
    $\quad$
  2. Le taux d’évolution global du nombre de visiteurs du parc entre 2012 et 2015 est :
    $t=\dfrac{2,10-1,6}{1,6}=0,312~5=31,25\%$
    $\quad$
  3. On appelle $x$ le taux d’évolution annuel moyen du nombre de visiteurs du parc entre 2012 et 2015.
    On a donc :
    $\begin{align*} 1,6\times \left(1+\dfrac{x}{100}\right)^3=2,1&\ssi  \left(1+\dfrac{x}{100}\right)^3=\dfrac{2,1}{1,6}\\
    &\ssi  \left(1+\dfrac{x}{100}\right)^3=1,312~5 \\
    &\ssi 1+\dfrac{x}{100}=1,312~5^{1/3} \\
    &\ssi \dfrac{x}{100}=1,312~5^{1/3}-1\\
    &\ssi x=100\left(1,312~5^{1/3}-1\right) \end{align*}$
    Ainsi $x\approx 9,5$.
    Le taux d’évolution annuel moyen du nombre de visiteurs du parc entre 2012 et 2015 est environ égal à $9,5\%$.
    $\quad$

Partie B

  1. À l’aide de la calculatrice, une équation de la droite d’ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés est $y=0,128x+1,398$.
    $\quad$
  2. En 2019 on a $x=9$ donc $y=0,13\times 9+1,40=2,57$.
    Selon cet ajustement il y aura environ $2,57$ millions de visiteurs en 2019 dans ce parc.
    $\quad$
  3. On veut résoudre
    $\begin{align*} 0,13x+1,4\pg 2,75 &\ssi 0,13x\pg 1,35 \\
    &\ssi x \pg \dfrac{1,35}{0,13}\end{align*}$
    or $\dfrac{1,35}{0,13} \approx 10,38$
    C’est donc à partir de l’année 2021 que la fréquentation annuelle atteindra au mois $2~750~000$ visiteurs.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

Partie A

  1. On a $f(50)=50-15+\dfrac{400}{50}=43$.
    Le coût moyen quotidien pour la production de $50$ m$^3$ d’engrais est de $4~300$ euros.
    $\quad$
  2. On veut résoudre :
    $\begin{align*} f(x)\pp 35 &\ssi x-15+\dfrac{400}{x}\pp 35 \\
    x-50+\dfrac{400}{x}\pp 0 \\
    &\ssi \dfrac{x^2-50x+400}{x}\pp 0 \end{align*}$
    Or $x\in[5;60]$ par conséquent $\dfrac{x^2-50x+400}{x}\pp 0  \ssi x^2-50x+400\pp 0$.
    On a $\Delta = (-50)^2-4\times 1\times 400=900>0$.
    Le polynôme du second degré possède donc deux racines où $a=1$, $b=-50$ et $c=400$ :
    $x_1=\dfrac{50-\sqrt{900}}{2}=10$ et $x_2=\dfrac{50+\sqrt{900}}{2}=40$.
    Puisque $a=1>0$ alors le polynôme est négatif entre les racines.
    Ainsi il faut fabriquer entre $10$ m$^3$ et $40$ m$^3$ d’engrais pour avoir un coût moyen quotidien de production inférieur ou égal à $3~500$ €.
    $\quad$
    Remarque : on retrouve cette information sur le graphique en traçant la droite d’équation $y=35$ et en cherchant les points d’intersection de cette droite avec la courbe $C_f$.
    $\quad$

Partie B

  1. Pour tout $x$ appartenant à l’intervalle $[5;60]$ on a :
    $f'(x)=1+400\times \left(-\dfrac{1}{x^2}\right)=1-\dfrac{400}{x^2}=\dfrac{x^2-400}{x^2}$.
    $\quad$
  2. On a : $x^2-400=x^2-20^2=(x-20)(x+20)$.
    Sur l’intervalle $[5;60]$ on a $x+20>0$.
    Le signe de $x^2-400$ ne dépend donc que de celui de $x-20$.
    Or $x-20=0 \ssi x=20$ et $x-20>0 \ssi x>20$.
    Par conséquent :
    – $x^2-400 <0$ sur l’intervalle $[5;20]$;
    – $x^2-400=0$ si $x=20$;
    – $x^2-400>0$ sur l’intervalle $[20;60]$.
    $\quad$
  3. Pour tout nombre $x$ appartenant à l’intervalle $[5,60]$ on a $x^2>0$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $x^2-400$.
    Ainsi, d’après la question précédente, la fonction $f$ est strictement décroissante sur l’intervalle $[5;20]$ et strictement croissante sur l’intervalle $[20;60]$.
    $\quad$
  4. La fonction $f$ atteint son minimum en $20$ et $f(20)=25$.
    Le coût moyen quotidien de production est minimal quand l’entreprise fabrique $20$ m$^3$ d’engrais et vaut $2~500$ euros.
    $\quad$

 

 

Énoncé

Exercice 1     4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Pour chaque question, indiquer, sur la copie, le numéro de la question et la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.
La réponse correcte à chacune des questions 1 et 2 rapporte un point et la réponse correcte à la question 3 rapporte 2 points.
Une réponse incorrecte, multiple ou une absence de réponse n’apporte ni ne retire aucun point.

Un zoologiste étudie l’évolution de la population d’une espèce animale dans un secteur géographique délimité. Il a observé depuis 2010 que cette population diminue chaque année en moyenne de $5\%$.
Le 1$\ier$ mars 2018, la population compte $2~375$ individus.
Le zoologiste émet l’hypothèse que cette baisse annuelle de $5\%$ va se poursuivre jusqu’en 2025.

  1. Le nombre d’individus de la population au 1$\ier$ mars 2022 est estimé, à la dizaine près, à :
    a. $1~840$
    b. $1~930$
    c. $2~040$
    d. $2~890$
    $\quad$
  2. Le nombre d’individus au 1$\ier$ mars 2017 était de :
    a. $2~300$
    b. $2~400$
    c. $2~500$
    d. $2~600$
    $\quad$
  3. Le zoologiste souhaite connaître l’année à partir de laquelle la population aura diminué de plus de $25 \%$ par rapport à sa valeur de 2018.
    Parmi les quatre algorithmes suivants, celui pour lequel le contenu de la variable $n$ fournit, après exécution, l’information souhaitée est :
    $$\begin{array}{clccl}
    \textbf{a.}&\begin{array}{|l|} \hline n\leftarrow 2~018\\v\leftarrow 2~375\\\text{Tant que }v \pg 0,75\times v\phantom{~375}\\ \hspace{1cm} v \leftarrow v-0,05v\\\hspace{1cm} n\leftarrow n+1\\\text{Fin Tant que}\\ \hline\end{array}&\phantom{aaaa}&\textbf{b.}&\begin{array}{|l|} \hline n\leftarrow 2~018\\v\leftarrow 2~375\\\text{Tant que }v \pg 0,75\times 2~375\\ \hspace{1cm} v \leftarrow 0,95v\\\hspace{1cm} n\leftarrow n+1\\\text{Fin Tant que}\\ \hline\end{array} \\
    \\
    \textbf{c.}&\begin{array}{|l|} \hline n\leftarrow 2~018\\v\leftarrow 2~375\\\text{Tant que }v \pp 0,75\times 2~375\\ \hspace{1cm} v \leftarrow v-0,05v\\\hspace{1cm} n\leftarrow n+1\\\text{Fin Tant que}\\ \hline\end{array}&\phantom{aaaa}&\textbf{d.}&\begin{array}{|l|} \hline n\leftarrow 2~018\\v\leftarrow 2~375\\\text{Tant que }v \pg 0,75\times 2~375\\ \hspace{1cm} v \leftarrow v-0,05\\\hspace{1cm} n\leftarrow n+1\\\text{Fin Tant que}\\ \hline\end{array} \end{array}$$
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

Les parties A et B sont indépendantes.

Une entreprise artisanale fabrique des tablettes de chocolat pâtissier pesant en moyenne $200$ grammes.
Pour être commercialisable, une tablette doit peser entre $198$ et $202$ grammes.
Un contrôle de masse est effectué sur les tablettes fabriquées.
Celles qui ne sont pas commercialisables sont alors refondues.

PARTIE A

On modélise la masse d’une tablette (exprimée en gramme) par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale d’espérance $\mu = 200$.
On sait que $P(198 \pp X \pp 200) = 0,34$.
Calculer la probabilité qu’une tablette soit commercialisable.
$\quad$

PARTIE B
Afin d’améliorer la proportion de tablettes de chocolat commercialisables, le fabricant met en place une nouvelle chaîne de production.
L’ancienne chaîne ne prend désormais en charge que $40 \%$ de la production totale.
A l’issue de la fabrication, un nouveau contrôle de masse est effecté.

  • Parmi les tablettes produites par l’ancienne chaîne, $68 \%$ sont commercialisables.
  • Parmi les tablettes produites par la nouvelle chaîne, $90 \%$ sont commercialisables.

On choisit, de façon équiprobable, une tablette dans l’ensemble de la production.
On note :

$\qquad$ $A$ l’événement : “la tablette choisie est produite par l’ancienne chaîne” ;
$\qquad$ $N$ l’événement : “la tablette choisie est produite par la nouvelle chaîne” ;
$\qquad$ $C$ l’événement : “la tablette choisie est commercialisable”.

  1. Compléter l’arbre pondéré donné en annexe, à rendre avec la copie.
    $\quad$
  2.  Calculer la probabilité que la tablette choisie provienne de l’ancienne chaîne et soit commercialisable.
    $\quad$
  3. Peut-on affirmer qu’au moins $80 \%$ de la production totale de tablettes est commercialisable ?
    Expliciter la démarche utilisée.
    $\quad$

Annexe

 

$\quad$

Exercice 3     6 points

Le tableau ci-dessous, extrait d’une feuille automatisée de calcul, donne l’évolution de la fréquentation annuelle d’un parc de loisirs entre 2010 et 2017.
La plage de cellules $C4:I4$ est au format pourcentage, arrondi au centième.

Partie A

  1. Donner une formule qui, saisie dans la cellule $C4$, permet d’obtenir par recopie vers la droite les taux d’évolution annuels successifs de la ligne 4.
    $\quad$
  2. Calculer, au centième près, le taux d’évolution global du nombre de visiteurs du parc entre les années 2012 et 2015.
    $\quad$
  3. Calculer le taux d’évolution annuel moyen du nombre de visiteurs du parc entre 2012 et 2015. On donnera le résultat en pourcentage et arrondi au dixième.
    $\quad$

Partie B

On considère le nuage des points dont les coordonnées $\left(x_i
; y_i\right)$ figurent dans le tableau, de 2010 à 2017.

  1. Pour ce nuage de points, donner une équation de la droite d’ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis au millième.

Pour la suite de l’exercice, on prendra comme droite d’ajustement la droite d’équation : $$y=0,13x+1,40$$

  1. Donner, à l’aide de cet ajustement, une estimation du nombre de visiteurs du parc de loisirs pour l’année 2019.
    $\quad$
  2. Grâce à ce modèle, estimer l’année à partir de laquelle la fréquentation annuelle atteindra au moins $2~750~000$ visiteurs.
    Présenter la démarche utilisée.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     6 points

Une entreprise fabrique un engrais biologique liquide.
Chaque jour, le volume d’engrais liquide fabriqué est compris entre $5$ m$^3$ et $60$ m$^3$.
Le coût moyen quotidien de production (exprimé en centaine d’euros) de cet engrais est modélisé par la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[5 ; 60]$ par : $$f(x)=x-15+\dfrac{400}{x}$$ où $x$ est le volume quotidien d’engrais fabriqué, exprimé en m$^3$.
La représentation graphique $C_f$ de la fonction $f$ est donnée dans le repère ci-dessous :

Partie B

  1. Quel est le coût moyen quotidien pour la production de $50$ m$^3$ d’engrais ?
    $\quad$
  2. Quels volumes d’engrais faut-il fabriquer pour avoir un coût moyen quotidien de production inférieur ou égal à $3~500$ € ?
    $\quad$

Partie B

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[5 ; 60]$. On note $f’$ sa fonction dérivée.

  1. Montrer que, pour tout $x$ appartenant à l’intervalle $[5 ; 60]$, $f'(x) = \dfrac{x^2-400}{x^2}$.
    $\quad$
  2. Etudier le signe de $x^2-400$, pour tout $x$ appartenant à l’intervalle $[5 ; 60]$.
    $\quad$
  3. En déduire les variations de la fonction f sur l’intervalle $[5 ; 60]$.
    $\quad$
  4. Pour quel volume d’engrais fabriqué le coût moyen quotidien de production est-il minimal ?
    Quel est ce coût moyen minimal ?
    $\quad$