Bac STMG – Antilles Guyane – Juin 2018

Antilles Guyane – Juin 2018

Bac STMG – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
    $\quad$
  2. On veut calculer $p(B\cap D)=0,45\times 0,04=0,018$.
    La probabilité que la batterie provienne de l’atelier Bestphone et présente au moins un défaut est $0,018$ ou $1,8\%$.
    $\quad$
  3. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(D)&=p(A\cap D)+p(B\cap D) \\
    &=0,55\times 0,06+0,45\times 0,04 \\
    &=0,051\end{align*}$
    La probabilité que la batterie présente au moins un défaut est égale à $0,051$.
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_D(A)&=\dfrac{p(A\cap D)}{p(D)} \\
    &=\dfrac{0,55\times 0,06}{0,051} \\
    &=\dfrac{11}{17} \\
    &\approx 0,647 \\
    &<\dfrac{2}{3}
    \end{align*}$
    L’affirmation est donc fausse.
    $\quad$

Partie B

  1. La calculatrice nous fournit :
    $p(600 \pp X \pp 900) \approx 0,95$.
    Remarque : on pouvait remarquer qu’on demandait de calculer $p(\mu-2\sigma\pp X \pp \mu+2\sigma)$.
    $\quad$
  2. $15$h $=900$ min.
    On a $p(X \pg 900)=0,5-p(750\pp X \pp 900) \approx 0,02$.
    La probabilité qu’une batterie ait une autonomie supérieure à $15$ heures est environ égale à $0,02$.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. On a pu saisir $=(C2-B2)/B2$.
    $\quad$
  2. $\dfrac{18,21-14,3}{14,3} \approx 0,273~4$
    Le taux d’évolution global de la part de la surface agricole couverte par l’agriculture  biologique en Suède entre 2010 et 2016 est environ égal à $27,34\%$
    $\quad$
  3. On cherche la valeur de $x$ telle que :
    $\begin{align*} 14,3\left(1+\dfrac{x}{100}\right)^6=18,21&\ssi \left(1+\dfrac{x}{100}\right)^6=\dfrac{18,21}{14,3} \\
    &\ssi 1+\dfrac{x}{100}=\left(\dfrac{18,21}{14,3}\right)^{1/6} \\
    &\ssi \dfrac{x}{100}=\left(\dfrac{18,21}{14,3}\right)^{1/6}-1 \\
    &\ssi x=100\left[\left(\dfrac{18,21}{14,3}\right)^{1/6}-1\right]
    \end{align*}$
    Ainsi $x\approx 4,11$.
    Le taux d’évolution annuel moyen de la part de la surface agricole couverte par l’agriculture  biologique en Suède entre 2010 et 2016 est environ égal à $4,11\%$.
    $\quad$
  4. $2025-2016=9$
    $18,21\times 1,04^{9} \approx 25,92$.
    L’objectif sera donc atteint au vu de l’hypothèse faite.
    $\quad$
  5. On a $n=500$ et $p=0,182~1$.
    Donc $n\pg 30$, $np=91,05\pg 5$ et $n(1-p)=408,98 \pg 5$.
    Un intervalle de fluctuation de la part de la surface agricole couverte par l’agriculture biologique en 2016 au seuil de $95\%$ est :
    $\begin{align*} I_{500}&=\left[0,182~1-\dfrac{1}{\sqrt{500}};0,182~1+\dfrac{1}{\sqrt{500}}\right] \\
    &\approx [0,137~3;0,226~9]
    \end{align*}$
    La fréquence observée est $f=0,12 \notin I_{500}$.
    Au risque d’erreur de $5\%$ l’affirmation de l’internaute est fausse.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. Une équation de la droite d’ajustement est $y=12,134x+1~419,6$.
    $\quad$
  2. a. Si $x=0$ alors $y=1~419,6$. Le point de coordonnées $(0;1~419,6)$ appartient à la droite.
    Si $x=10$ alors $y=1~540,94$. Le point de coordonnées $(10;1~540,94)$ appartient également à la droite.
    $\quad$

    $\quad$
    b. En 2025, on a $x=13$
    Par conséquent $y=12,134 \times 13+1~419,6=1~577,342$.
    Selon cet ajustement, en 2025, la valeur du montant mensuel brut du SMIC sera $1~577,342$ €.
    $\quad$

Partie B

  1. La suite $\left(u_n\right)$ est géométrique de raison $1,01$ de premier terme $u_0=1~480,27$.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=1~480,27\times 1,01^n$.
    Réponse a
    $\quad$
  2. En 2022 on a $n=5$.
    Alors $u_5=1~480,27\times 1,01^5 \approx 1~555,78$.
    Réponse c
    $\quad$

Partie C

À l’aide de la calculatrice, on trouve $u_8 \approx 1~587,05$ et $u_9\approx 1~602,92$.
Par conséquent, après l’exécution de cet algorithme, on a $N=9$ et $U\approx 1~602,92$.
C’est à partir de la $9\ieme$ année, soit en 2026, que le montant mensuel brut du SMIC dépassera pour la première fois $1~600$ € selon ce modèle.
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[15;30]$ on a
    $f'(x)=-2\times 2x+90=-4x+90$.
    $-4x+90=0 \ssi 4x=90 \ssi x=22,5$
    $-4x+90 > 0 \ssi -4x > -90 \ssi x < 22,5$.
    La fonction $f$ est donc croissante sur l’intervalle $[15;22,5]$ et décroissante sur l’intervalle $[22,5;30]$.
    $\quad$
  2. Le maximum est atteint pour $x=22,5$.
    $f(22,5)=-2\times 22,5^2+90\times 22,5-400=612,5$.
    Le maximum de la fonction $f$ sur l’intervalle $f$ est donc $612,5$.
    $\quad$
  3. D’après la question précédente, le bénéfice est maximal quand l’entreprise produit $2~250$ panneaux solaires.
    Le bénéfice maximal est alors de $61~250$ €.
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1     5 points

Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes.

Une entreprise fabrique des batteries pour téléphone.

Partie A

Les batteries sont fabriquées dans deux ateliers, Arobase et Bestphone ; $55 \%$ d’entre elles sont fabriquées dans l’atelier Arobase et le reste dans l’atelier Bestphone.
A l’issue de la fabrication, certaines batteries sont contrôlées.

Ces contrôles permettent d’affirmer que :

  • parmi les batteries fabriquées dans l’atelier Arobase, $94 \%$ ne présentent aucun défaut ;
  • parmi les batteries fabriquées dans l’atelier Bestphone, $4 \%$ présentent au moins un défaut.

Une batterie est prélevée de façon équiprobable dans le stock constitué des batteries produites par les deux ateliers.
On considère les événements suivants :
$\quad$ $A$ : ≪ la batterie provient de l’atelier Arobase ≫
$\quad$ $B$ : ≪ la batterie provient de l’atelier Bestphone ≫
$\quad$ $D$ : ≪ la batterie présente au moins un défaut ≫

  1. Compléter l’arbre de probabilité donné en annexe, à rendre avec la copie.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité que la batterie provienne de l’atelier Bestphone et présente au moins un défaut.
    $\quad$
  3. Montrer que la probabilité que la batterie présente au moins un défaut est égale à $0,051$.
    $\quad$
  4. Sachant que la batterie choisie présente au moins un défaut, peut-on affirmer qu’il y a plus de deux chances sur trois que cette batterie provienne de l’atelier Arobase ? Justifier la réponse.
    $\quad$

Partie B
Dans cette partie, tous les résultats seront arrondis au centième.

On modélise l’autonomie d’une batterie, exprimée en minute, par une variable aléatoire $X$ suivant la loi normale d’espérance $\mu = 750$ et d’écart type $\sigma = 75$.

  1. Donner la valeur, arrondie au centième, de la probabilité $p(600 \pp X \pp 900)$.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité qu’une batterie ait une autonomie supérieure à $15$ heures.
    $\quad$

Annexe

$\quad$

Exercice 2     5 points

La feuille de calcul suivante, extraite d’un tableur, donne la part de la surface agricole couverte par l’agriculture biologique (en pourcentage de la surface agricole totale) en Suède, entre 2010 et 2016 :

$\begin{array}{|c|l|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
&\hspace{3cm}\textbf{A}&\textbf{B}&\textbf{C}&\textbf{D}&\textbf{E}&\textbf{F}&\textbf{G}&\textbf{H}\\
\hline
\textbf{1}&\text{Année}&2010&2011&2012&2013&2014&2015&2016\\
\hline
\textbf{2}&\text{Part de la surface agricole couverte}&14,3&15,7&15,76&16,5&16,53&17,09&18,21\\
&\text{par l’agriculture biologique en}&\phantom{15,76}&\phantom{15,76}&&\phantom{15,76}&&&\\
&\text{Suède (en pourcentage de la surface}&&&&&&&\\
&\text{agricole totale)}&&&&&&&\\
\hline
\textbf{3}&\text{Taux d’évolution par rapport à 2010}&\bbox[gray]{\phantom{15,7^{2}}}&&&&&&\\
\hline
\end{array}\\
\hspace{14cm}\scriptsize{Source~:~ec.europa.eu/eurostat}$

  1. Quelle formule peut-on saisir en cellule $C3$ pour obtenir, par recopie vers la droite, les valeurs de la plage de cellules $C3:H3$ ?
    $\quad$
  2. Déterminer le taux d’évolution global de la part de la surface agricole couverte par l’agriculture biologique en Suède entre 2010 et 2016. On l’exprimera en pourcentage.
    $\quad$
  3. Déterminer le taux d’évolution annuel moyen de la part de la surface agricole couverte par l’agriculture biologique en Suède entre 2010 et 2016. On l’exprimera en pourcentage.
    $\quad$
  4. Le gouvernement suédois a pour objectif que, d’ici 2025, un quart de la surface agricole totale soit occupé par l’agriculture biologique.
    On suppose qu’à partir de 2016, la part de la surface agricole couverte par l’agriculture biologique augmente de $4 \%$ par an en Suède.
    L’objectif du gouvernement sera-t-il atteint au vu de cette hypothèse ? Justifier la réponse.
    $\quad$
  5. Toujours d’après Eurostat, la surface agricole couverte par l’agriculture biologique en France en 2016 représentait $5,54 \%$ de la surface agricole totale, alors qu’elle représentait $18,21 \%$ en Suède.
    Un internaute affirme sur son site que, dans le département où il réside, la part de la surface agricole couverte par l’agriculture biologique en 2016 est équivalente à celle de la Suède.
    Des étudiants, dans le cadre d’un projet scientifique, ont voulu tester la validité de cette déclaration.
    À partir d’une étude menée sur un échantillon de $500$ exploitations agricoles de ce même département, ils ont obtenu un taux de couverture de l’agriculture biologique de $12 \%$.
    Ce résultat remet-il en cause l’affirmation de l’internaute ? On argumentera la réponse à l’aide d’un intervalle de fluctuation.
    $\quad$

Exercice 3     7 points

Les parties A, B et C de cet exercice sont indépendantes.

Le tableau suivant donne le montant mensuel brut, en euro, du SMIC pour $35$ heures de travail hebdomadaire, entre 2013 et 2017 :

$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Année}&2013&2014&2015&2016&2017\\
\hline
\text{Rang de l’année : }x_i&1&2&3&4&5\\
\hline
\text{Montant mensuel brut du SMIC (en euro) : }y_i&1~430,22&1~445,38&1~457,52&1~466,62&1~480,27\\
\hline
\end{array}\\
\hspace{17cm} \scriptsize{Source : INSEE}$

Partie A
Une représentation graphique du nuage de points de coordonnées $\left(x_i; y_i\right)$, pour $i$ variant de $1$ à $5$, est donnée dans le repère en annexe, à rendre avec la copie.

  1. À l’aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d’ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés.
    $\quad$
  2. a. Donner les coordonnées de deux points de cette droite, puis la tracer dans le repère précédent.
    $\quad$
    b. En admettant que cet ajustement sera valide jusqu’en 2025, estimer la valeur du montant mensuel brut du SMIC en 2025.
    $\quad$

Partie B

Cette partie est un questionnaire à choix multiple.
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Pour chaque question, indiquer la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point, une réponse incorrecte, multiple ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire aucun point.

Dans le cadre d’une étude économique, une hypothèe retenue est, qu’entre 2017 et 2025, le montant mensuel brut du SMIC augmente de $1 \%$ par an. Ce montant mensuel est modélisé par une suite géométrique $\left(u_n\right)$ de premier terme $u_0 = 1~480,27$.
L’entier $n$ désigne le rang de l’année (2017 $+ n$).

  1. Pour tout entier naturel $n$, une expression de $u_n$ en fonction de $n$ est :
    a. $u_n=1~480,27\times 1,01^n$
    b. $u_n=1~480,27\times 0,01^n$
    c. $u_n=1~480,27+0,01n$
    d. $u_n=1~480,27+1,01n$
    $\quad$
  2. Avec ce modèle, une estimation du montant mensuel brut du SMIC en 2022 est :
    a. $1~540,37$ €
    b. $1~554,28$ €
    c. $1~555,78$ €
    d. $1~571,34$ €
    $\quad$

Partie C

On considère l ‘algorithme suivant :
$$\begin{array}{|l|}
\hline
N \leftarrow 0\\
U \leftarrow 1~480,27\\
\text{Tant que $U<1~600$ faire}\\
\hspace{1cm} N \leftarrow N+1\\
\hspace{1cm} U \leftarrow U \times 1,01\\
\text{Fin Tant que}\\
\hline
\end{array}$$

Que contiennent les variables $N$ et $U$ après exécution de cet algorithme ?
À quoi correspondent ces valeurs dans le contexte de l’exercice ?
$\quad$

Annexe 

$\quad$

Exercice 4     3 points

Une entreprise produit des panneaux solaires. Une étude de marché permet d’estimer que la production pour le mois à venir est comprise entre $1~500$ et $3~000$ panneaux solaires. On s’intéresse au bénéfice de l’entreprise sur la vente des panneaux solaires produits.
On décide de modéliser l’évolution du bénéfice de l’entreprise, exprimé en centaine d’euros, par la fonction $f$ définie ci-dessous : $$f(x)=-2x^2+90x-400, \text{ pour } x\in[15;30]$$

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[15;30]$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.

  1. Étudier les variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $[15 ; 30]$.
    $\quad$
  2. Calculer son maximum.
    $\quad$
    Les valeurs de $x$, arrondies au centième, représentent le nombre de centaines de panneaux solaires produits.
    $\quad$
  3. Pour quelle production le bénéfice est-il maximal ? Quelle est alors sa valeur ?
    $\quad$

 

 

 

Exercices pour les 1ES/L


Vous trouverez ici des exercices de mathématiques pour les 1ES/L.

Second degré

$\quad$ Fiche 1 : Calcul de discriminant, racines, équations, inéquations

$\quad$

Les suites

$\quad$ Fiche 1 : Suites géométriques, relation de récurrence en général.

$\quad$

Lois de probabilité

$\quad$ Fiche 1 : Lois de probabilité diverses, loi binomiale, calcul d’espérances.

$\quad$

Les exercices arriveront au fur et à mesure. Soyez patient 😉

 

Tableaux récapitulatifs

Tableaux récapitulatifs des sessions d’examens

Année 2014-2015

Année 2015-2016

Année 2016-2017

Session examens 2015-2016

Session 2016 TS TES/TL TSTMG DNB
Nouvelle Calédonie mars 2016

17 novembre 2016

mars 2016

16 novembre 2016

 16 novembre 2016 8 décembre 2016
Pondichéry 22 avril 21 avril  22 avril  26 avril
Liban  31 mai  31 mai cf métropole
Amérique du Nord  1er juin 1er juin  9 juin
Polynésie 10 juin 10 juin 7 juin 21 juin
Asie 23 juin  23 juin 27 juin  
Centres étrangers 8 juin 8 juin 8 juin 15 juin 
Antilles Guyane  20 juin

12 septembre

22 juin

14 septembre

16 juin cf métropole
Métropole 20 juin

12 septembre

 22 juin

14 septembre

16 juin

septembre

23 juin

16 septembre

Amérique du Sud 22 novembre 24 novembre 1er décembre

Exercice 1    6 points

Les trois parties sont indépendantes. Les résultats des probabilités seront arrondis à $10^{-3} $ près.

Partie 1

On estime qu’en 2013 la population mondiale est composée de $4,6$ milliards de personnes âgées de 20 à 79 ans et que $46,1\%$ des personnes âgées de 20 à 79 ans vivent en zone rurale et $53,9\%$ en zone urbaine.
En 2013, d’après la fédération internationale du diabète, $9,9\%$ de la population mondiale âgée de 20 à 79 ans vivant en zone urbaine est atteinte de diabète et $6,4\%$ de la population mondiale âgée de 20 à 79 ans vivant en zone rurale est atteinte de diabète.
On interroge au hasard une personne âgée de 20 à 79 ans. On note :

  • $R$ l’événement : “la personne choisie habite en zone rurale”,
  • $D$ l’événement: “la personne choisie est atteinte de diabète”.
  1. Traduire cette situation à l’aide d’un arbre de probabilité.
    $\quad$
  2. a. Calculer la probabilité que la personne interrogée soit diabétique.
    $\quad$
    b. La personne choisie est diabétique. Quelle est la probabilité qu’elle habite en zone rurale ?
    $\quad$

Partie 2

Une personne est dite en hypoglycémie si sa glycémie à jeun est inférieure à $60$ mg.dL$^{-1}$ et elle est en hyperglycémie si sa glycémie à jeun est supérieure à $110$ mg. dL$^{-1}$. La glycémie à jeun est considérée comme “normale” si elle est comprise entre $70$ mg. dL$^{-1}$ et $110$ mg.dL$^{-1}$. Les personnes ayant un taux de glycémie compris entre $60$ et $70$ mg.rdL$^{-1}$ ne font pas l’objet d’un suivi particulier.
On choisit au hasard un adulte dans cette population. Une étude a permis d’établir que la probabilité qu’il soit en hyperglycémie est $0,052$ à $10^{-3}$ près. Dans la suite on admettra que cette probabilité est égale à $0,052$.
On modélise la glycémie à jeun, exprimée en mg.dL$^{-1}$, d’un adulte d’une population donnée, par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale d’espérance $\mu$ et d’écart-type $\sigma$.
On donne ci-dessous la représentation graphique de la densité de probabilité de la variable aléatoire $X$.

 

  1. Quelle est la probabilité que la personne choisie ait une glycémie à jeun “normale” ?
    $\quad$
  2. Déterminer la valeur de $\sigma$ arrondie au dixième.
    $\quad$
  3. Dans cette question, on prend $\sigma = 12$. Calculer la probabilité que la personne choisie soit en hypoglycémie.
    $\quad$

Partie 3

Afin d’estimer la proportion, pour l’année 2013, de personnes diagnostiquées diabétiques dans la population française âgée de 20 à 79 ans, on interroge au hasard $10~000$ personnes.
Dans l’échantillon étudié, $716$ personnes ont été diagnostiquées diabétiques.

  1. À l’aide d’un intervalle de confiance au niveau de confiance $95\%$ , estimer la proportion de personnes diagnostiquées diabétiques dans la population française âgée de 20 à 79 ans.
    $\quad$
  2. Quel doit être le nombre minimal de personnes à interroger si l’on veut obtenir un intervalle de confiance d’amplitude inférieure ou égale à $0,01$ ?
    $\quad$

Exercice 2    4 points

On considère les nombres complexes $z_n$ définis pour tout entier $n \pg 0$ par la donnée de $z_0$, où $z_0$ est différent de $0$ et de $1$, et la relation de récurrence: $$z_{n+1} = 1- \dfrac{1}{z_n}$$

  1. a. Dans cette question, on suppose que $z_0 = 2$. Déterminer les nombres $z_1$, $z_2$, $z_3$, $z_4$, $z_5$ et $z_6$.
    $\quad$
    b. Dans cette question, on suppose que $z_0 = \ic$. Déterminer la forme algébrique des nombres complexes $z_1$, $z_2$, $z_3$, $z_4$, $z_5$ et $z_6$.
    $\quad$
    c. Dans cette question on revient au cas général où $z_0$ est un complexe donné. Que peut-on conjecturer pour les valeurs prises par $z_{3n}$ selon les valeurs de l’entier naturel $n$ ?
    Prouver cette conjecture.
    $\quad$
  2. Déterminer $z_{2~016}$ dans le cas où $z_0 = 1 + \ic$.
    $\quad$
  3. Existe-t-il des valeurs de $z_0$ tel que $z_0 = z_1$ ? Que peut-on dire de la suite $\left(z_n\right)$ dans ce cas ?
    $\quad$

Exercice 3    5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

On dispose d’un dé équilibré à $6$ faces numérotées de $1$ à $6$ et de $2$ pièces A et B ayant chacune un côté pile et un côté face. Un jeu consiste à lancer une ou plusieurs fois le dé.
Après chaque lancer de dé, si l’on obtient $1$ ou $2$, alors on retourne la pièce A, si l’on obtient $3$ ou $4$, alors on retourne la pièce B et si l’on obtient $5$ ou $6$, alors on ne retourne aucune des deux pièces.
Au début du jeu, les $2$ pièces sont du côté face.

  1. Dans l’algorithme ci-dessous, $0$ code le côté face d’une pièce et $1$ code le côté pile. Si $a$ code le côté de la pièce A à un instant donné, alors $1-a$ code le côté de la pièce A après l’avoir retournée.
    Variables :
    $\quad$ $a$, $b$, $d$, $s$ sont des entiers
    $\quad$ $i$, $n$ sont des entiers supérieurs ou égaux à $1$
    Initialisation :
    $\quad$ $a$ prend la valeur $0$
    $\quad$ $b$ prend la valeur $0$
    $\quad$ Saisir $n$
    Traitement :
    $\quad$ Pour $i$ allant de $1$ à $n$ faire
    $\qquad$ $d$ prend la valeur d’un entier aléatoire compris entre $1$ et $6$
    $\qquad$ Si $d \pg 2$
    $\qquad \quad$ alors $a$ prend la valeur $1-a$
    $\qquad \quad $ sinon Si $d \pp 4$
    $\qquad \qquad \qquad$ alors $b$ prend la valeur $1-b$
    $\qquad \qquad \quad$ Fin Si
    $\quad$ Fin Si
    $\quad$ $s$ prend la valeur $a + b$
    Fin Pour
    Sortie :
    $\quad$ Afficher $s$
    $\quad$
    a. On exécute cet algorithme en saisissant $n = 3$ et en supposant que les valeurs aléatoires générées successivement pour $d$ sont $1$ ; $6$ et $4$. Recopier et compléter le tableau donné ci-dessous contenant l’état des variables au cours de l’exécution de l’algorithme :
    $\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{variables}&i&d&a&b&s\\
    \hline
    \text{initialisation}&\text{X}&\text{X}&&&\text{X}\\
    \hline
    1^{\text{er}} \text{ passage boucle Pour}&&&&&\\
    \hline
    2^{\text{e}} \text{ passage boucle Pour}&&&&&\\
    \hline
    3^{\text{e}} \text{ passage boucle Pour}&&&&&\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    b. Cet algorithme permet-il de décider si à la fin les deux pièces sont du côté pile ?
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$, on note :
    $\bullet$ $X_n$ l’événement : “À l’issue de $n$ lancers de dés, les deux pièces sont du côté face”
    $\bullet$ $Y_n$ l’événement : “À l’issue de $n$ lancers de dés, une pièce est du côté pile et l’autre est du côté face”
    $\bullet$ $Z_n$ l’événement : “À l’issue de $n$ lancers de dés, les deux pièces sont du côté pile”.
    De plus on note, $x_n = P\left(X_n\right)$ ; $y_n = P\left(Y_n\right)$ et $z_n = P\left(Z_n\right)$ les probabilités respectives des événements $X_n$, $Y_n$ et $Z_n$.
    a. Donner les probabilités $x_0$ , $y_0$ et $z_0$ respectives qu’au début du jeu il y ait $0$, $1$ ou $2$ pièces du côté pile.
    $\quad$
    b. Justifier que $P_{X_n}\left(X_{n+1}\right) = \dfrac{1}{3}$.
    $\quad$
    c. Recopier l’arbre ci-dessous et compléter les probabilités sur ses branches, certaines pouvant être nulles :

    $\quad$
    d. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $z_n$ en fonction de $x_n$ et $y_n$.
    $\quad$
    e. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $y_{n+1} = -\dfrac{1}{3}y_n + \dfrac{2}{3}$.
    $\quad$
    f. On pose, pour tout entier naturel $n$, $b_n = y_n-\dfrac{1}{2}$.
    Montrer que la suite $\left(b_n\right)$ est géométrique.
    En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $y_n = \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\times \left(-\dfrac{1}{3}\right)^n$.
    $\quad$
    g. Calculer $\lim\limits_{n \to + \infty} y_n$.
    Interpréter le résultat.
    $\quad$

Exercice 3    5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

On dispose d’un dé équilibré à $6$ faces numérotées de $1$ à $6$ et de $3$ pièces A, B et C ayant chacune un côté pile et un côté face.
Un jeu consiste à lancer une ou plusieurs fois le dé.
Après chaque lancer de dé, si l’on obtient $1$ ou $2$, alors on retourne la pièce A, si l’on obtient $3$ ou $4$, alors on retourne la pièce B et si l’on obtient $5$ ou $6$, alors on retourne la pièce C.
Au début du jeu, les $3$ pièces sont toutes du côté face.

  1. Dans l’algorithme ci-dessous, $0$ code le côté face et $1$ code le côté pile. Si $a$ code un côté de la pièce A, alors $1-a$ code l’autre côté de la pièce A.
    Variables :
    $\quad$ $a$, $b$, $c$, $d$, $s$ sont des entiers naturels
    $\quad$ $i$, $n$ sont des entiers supérieurs ou égaux à $1$
    Initialisation :
    $\quad$ $a$ prend la valeur $0$
    $\quad$ $b$ prend la valeur $0$
    $\quad$ $c$ prend la valeur $0$
    $\quad$ Saisir $n$
    Traitement :
    $\quad$ Pour $i$ allant de $1$ à $n$ faire
    $\qquad$ $d$ prend la valeur d’un entier aléatoire compris entre $1$ et $6$
    $\qquad$ Si $d \pp 2$
    $\qquad \quad$ alors $a$ prend la valeur $1-a$
    $\qquad \quad$ sinon Si $d \pp 4$
    $\qquad \qquad$ alors $b$ prend la valeur $1-b$
    $\qquad \qquad$ sinon $c$ prend la valeur $1-c$
    $\qquad \quad$ Fin Si
    $\qquad$ Fin Si
    $\qquad$ $s$ prend la valeur $a + b + c$
    $\quad$ Fin Pour
    Sortie :
    $\quad$ Afficher $s$
    $\quad$
    a. On exécute cet algorithme en saisissant $n = 3$ et en supposant que les valeurs aléatoires générées successivement pour $d$ sont $1$ ; $4$ et $2$. Recopier et compléter le tableau donné ci-dessous contenant l’état des variables au cours de l’exécution de l’algorithme :
    $\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{variables}&i&d&a&b&c&s\\
    \hline
    \text{initialisation}&\text{X}&\text{X}&&&&\text{X}\\
    \hline
    1^{\text{er}} \text{ passage boucle Pour}&&&&&&\\
    \hline
    2^{\text{e}} \text{ passage boucle Pour}&&&&&&\\
    \hline
    3^{\text{e}} \text{ passage boucle Pour}&&&&&&\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    b. Cet algorithme permet-il de savoir si, après une exécution de $n$ tirages, les trois pièces sont du côté pile ?
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$, on note :
    $\bullet$ $X_n$ l’événement: “À l’issue de $n$ lancers de dés, les trois pièces sont du côté face”
    $\bullet$ $Y_n$ l’événement: “À l’issue de $n$ lancers de dés, une seule pièce est du côté pile et les autres sont du côté face”
    $\bullet$ $Z_n$ l’événement: “À l’issue de $n$ lancers de dés, exactement deux pièces sont du côté pile et l’autre est du côté face”
    $\bullet$ $T_n$ l’événement: “À l’issue de $n$ lancers de dés, les trois pièces sont du côté pile”.
    De plus on note, $x_n = p\left(X_n\right)$ ; $y_n = p\left(Y_n\right)$ ; $z_n = p\left(Z_n\right)$ et $t_n = p\left(T_n\right)$ les probabilités respectives des évènements $X_n$, $Y_n$, $Z_n$ et $T_n$.
    a. Donner les probabilités $x_0$ ,$y_0$, $z_0$ et $t_0$ respectives qu’au début du jeu il y ait $0$, $1$, $2$ ou $3$ pièces du côté pile.
    $\quad$
    b. Recopier l’arbre ci-dessous et compléter les probabilités sur ses branches :

     

  3. Pour tout entier naturel $n$, on note $U_n$ la matrice ligne $\begin{pmatrix}x_n& y_n& z_n& t_n\end{pmatrix}$.
    a. Donner la matrice $U_0$.
    $\quad$
    b. À l’aide de l’arbre précédemment rempli, déterminer la matrice carrée $M$ telle que, pour tout entier naturel $n$, $U_{n+1} = U_n \times M$.
    $\quad$
  4. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $U_n = U_0 \times M^n$.
    $\quad$
  5. On admet que, pour tout entier $n \pg 1$,
    $x_n = \dfrac{(-1)^n + 3 \times \left(-\dfrac{1}{3}\right)^n + 3\times \left(\dfrac{1}{3}\right)^n + 1}{8}$ ;
    $\quad$
    $y_n = \dfrac{-3 \times \left(-\dfrac{1}{3}\right)^n + 3 \times \left(\dfrac{1}{3}\right)^n-(-1)^n \times 3 + 3}{8}$;
    $\quad$
    $z_n = \dfrac{-3 \times \left(-\dfrac{1}{3}\right)^n-3 \times \left(\dfrac{1}{3}\right)^n + (- 1)^n\times 3 + 3}{8}$ ;
    $\quad$
    $t_n = \dfrac{-(-1)^n + 3 \times \left(-\dfrac{1}{3}\right)^n-3\times \left(\dfrac{1}{3}\right)^n + 1}{8}$.
    $\quad$
    a. Calculer la probabilité, arrondie à $10^{-3}$ près, qu’au bout de $5$ lancers de dés, une seule des trois pièces soit du côté pile.
    $\quad$
    b. Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte
    $\bullet$ Première affirmation :
    “À l’issue d’un nombre pair de lancers de dés, les pièces peuvent être toutes les trois du côté pile”.
    $\bullet$ Deuxième affirmation:
    “Au cours du jeu, la probabilité que les pièces soient toutes les trois du côté pile peut être supérieure ou égale à $\dfrac{1}{4}$”.
    $\bullet$ Troisième affirmation:
    “Au cours du jeu, la probabilité que les pièces soient toutes les trois du côté pile peut être supérieure ou égale à $0,249$”.
    $\quad$

Exercice 4    5 points

Un hélicoptère est en vol stationnaire au-dessus d’une plaine. Un passager lâche verticalement un colis muni d’un parachute.

Partie 1

Soit $v_1$ la fonction définie sur $[0;+\infty[$ par : $$v_1(t) = 5 \times \dfrac{\e^{0,3t}-1}{\e^{0,3t} + 1}$$

  1. Déterminer le sens de variation de la fonction $v_1$.
    $\quad$
  2. On suppose, dans cette question, que le parachute fonctionne correctement.
    On admet que $t$ secondes après qu’il a été lâché, la vitesse du colis (exprimée en m.s$^{-1}$) est égale, avant d’atteindre le sol, à $v_1(t)$.
    On considère que le colis arrive en bon état sur le sol si sa vitesse à l’arrivée n’excède pas 6 m.s$^{-1}$.
    Le colis risque-t-il d’être endommagé lorsque le parachute s’ouvre correctement ? Justifier.
    $\quad$

Partie 2

On suppose, dans cette partie, que le parachute ne s’ouvre pas.
On admet que, dans ce cas, avant que le colis atteigne le sol, sa vitesse (exprimée en m.s$^{-1}$), $t$ secondes après avoir été lâché par le passager, est donnée par : $$v_2(t) = 32,7 \left(1-\e^{- 0,3t}\right)$$

  1.  Quelle est la vitesse, exprimée en m.s$^{-1}$, atteinte par le colis au bout de $10$ secondes ? Arrondir à $0,1$ m.s$^{-1}$.
    $\quad$
  2. Résoudre l’équation $v_2(t) = 30$ m.s$^{-1}$. Donner une interprétation concrète de la solution de cette équation dans le cadre de cet exercice.
    $\quad$
  3. On sait que la chute du colis dure $20$ secondes.
    On admet que la distance, en mètres, qui sépare l’hélicoptère du colis, $T$ secondes après avoir été lâché par le passager, est donnée par: $$d(T) = \displaystyle\int_0^T v_2(t)\dt$$
    a. Montrer que, pour tout réel $T$ de l’intervalle $[0;20]$, $d(T) = 109\left(\e^{-0,3 T} + 0,3 T-1\right)$.
    $\quad$
    b. Déterminer une valeur approchée à $1$ m près de la distance parcourue par le colis lorsqu’il atteint le sol.
    $\quad$
  4. Déterminer un encadrement d’amplitude $0,1$ s du temps mis par le colis pour atteindre le sol si on l’avait lâché d’une hauteur de $700$ mètres.
    $\quad$

Bac ES/L – Métropole (dévoilé)- juin 2017

Métropole – Juin 2017

Bac ES/L – Mathématiques sujet dévoilé – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. $P(X\pp 2,5)=0,5-P(2,5\pp X\pp 3) \approx 0,31$
    Réponse c
    $\quad$
  2. On sait que $P(\mu-2\sigma\pp Y\pp \mu+2\sigma) \approx 0,95$
    Or ici, $\mu=0$ et $P(-5 \pp Y \pp 5)\approx 0,95$
    Donc $5\approx 0+2\sigma \ssi \sigma \approx 2,5$
    Réponse b
    Remarque : 
    On peut aussi tester le calculs de probabilité avec les différentes valeurs.
    $\quad$
  3. $n=500\pg 30$ et $f=\dfrac{438}{500}=0,876$ donc $nf=438\pg 5$ et $n(1-f)=62\pg 5$
    Un intervalle de confiance au niveau de confiance $0,95$ est donc :
    $\begin{align*} I_{500}&=\left[0,876-\dfrac{1}{\sqrt{500}};0,876+\dfrac{1}{\sqrt{500}}\right] \\
    &\approx [0,831;0,921]
    \end{align*}$
    Réponse c
    $\quad$
  4. Un intervalle de confiance est de la forme $\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}};f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$
    Son amplitude est donc $f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\left(f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right)=\dfrac{2}{\sqrt{n}}$.
    On veut donc résoudre l’inéquation :
    $\begin{align*} \dfrac{2}{\sqrt{n}}\pp 0,05 &\ssi \dfrac{2}{0,05}\pp \sqrt{n} \\
    &\ssi 40 \pp \sqrt{n} \\
    &\ssi 1~600 \pp n
    \end{align*}$
    Parmi les réponses proposées, la plus petite valeur acceptable est donc $2~000$.
    Réponse c
    $\quad$

 

Ex 2 spé

Exercice 2

Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité.

  1. On obtient le graphe probabiliste suivant :
  2. a. On a $P_1=P_0\times M$.
    $\quad$
    b. Donc $P_1=\begin{pmatrix} 0,96\times 0,92+0,01\times 0,08&0,04\times 0,96+0,99\times 0,08\end{pmatrix}$
    Soit $P_1=\begin{pmatrix} 0,884&0,116\end{pmatrix}$.
    La probabilité qu’un assuré soit de catégorie A en 2017 est donc environ égale à $0,88$.
    $\quad$
  3. a. L’état stable $P=\begin{pmatrix} a&b\end{pmatrix}$ vérifie :
    $\begin{align*} \begin{cases} P=PA\\a+b=1\end{cases} &\ssi \begin{cases} a+b=1 \\0,96a+0,01b=a\\0,04a+0,99b=b\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} a+b=1\\-0,04a+0,01b=0 \\0,04a-0,01b=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} a+b=1\\-0,04a+0,01b=0\end{cases} \end{align*}$
    $\quad$
    b. $\begin{align*} \begin{cases} a+b=1\\-0,04a+0,01b=0 \end{cases} &\ssi \begin{cases} a=1-b\\-0,04+0,04b+0,01b=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} a=1-b\\0,05b=0,04\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} a=1-b\\b=0,8 \end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} a=0,2\\b=0,2\end{cases}\end{align*}$
    L’état stable est donc $P=\begin{pmatrix}0,2&0,8\end{pmatrix}$.
    Sur le long terme, $20\%$ des assurés seront de catégorie A et $80\%$ des assurés seront de catégorie B.
    $\quad$
  4. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $a_n+b_n=1$ donc $b_n=1-a_n$
    De plus :
    $\begin{align*} a_{n+1}&=0,96a_n+0,01b_n \\
    &=0,96a_n+0,01\left(1-a_n\right) \\
    &=0,96a_n+0,01-0,01a_n \\
    &=0,95a_n+0,01
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. On obtient l’algorithme suivant :
    Variables :
    $\quad$ $A$ est un nombre réel
    $\quad$ $N$ est un entier naturel
    Initialisation :
    $\quad$ Affecter à $A$ la valeur $0,92$
    $\quad$ Affecter à $N$ la valeur $0$
    Traitement :
    $\quad$ Tant que $A \pg 0,5$ \\
    $\qquad$ Affecter à $N$ la valeur $N+1$
    $\qquad$ Affecter à $A$ la valeur $0,95\times A+0,01$
    $\quad$ Fin Tant que
    Sortie :
    $\quad$ Afficher $N$
    $\quad$
    c. La suite $\left(a_n\right)$ est décroissante et tend vers $0,2$. Il existe donc un rang $n$ à partir duquel $a_n < 0,5$
    On cherche donc le plus petit entier naturel $n$ tel que :
    $\begin{align*} a_n<0,5 &\ssi 0,2+0,72\times 0,95^n < 0,5 \\
    &\ssi 0,72\times 0,95^n < 0,3 \\
    &\ssi 0,95^n < \dfrac{5}{12} \\
    &\ssi n\ln 0,95 < \ln \dfrac{5}{12} \\
    &\ssi n > \dfrac{\ln \dfrac{5}{12}}{\ln 0,95} \\
    &\ssi n \pg 18
    \end{align*}$
    C’est donc à partir de l’année 2034 que la proportion d’assurés de catégorie A va devenir inférieure à $0,5$.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
  2. a. On veut déterminer $p(B\cap T)=0,2\times 0,7=0,14$
    $\quad$
    b. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(T)&=p(B\cap T)+p\left(\conj{B}\cap T\right) \\
    &=0,14+0,8\times 0,1 \\
    &=0,22
    \end{align*}$
    $\quad$
    c. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_T(B)&=\dfrac{p(T\cap B)}{p(T)} \\
    &=\dfrac{0,14}{0,22} \\
    &=\dfrac{7}{11}
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. a. On effectue $5$ tirages aléatoires, identiques et indépendants. À chaque tirage, il y a deux issues : $T$ et $\conj{T}$. De plus $p(T)=0,22$.
    La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=5$ et $p=0,22$.
    $\quad$
    b. $P(X\pg 1) = 1-p(X=0) =1-0,78^5\approx 0,711$
    $\quad$
    c. L’espérance est $E(X)=np=1,1$.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie A

  1. $f'(-1)$ est le coefficient directeur de la tangente $T_1$ qui est parallèle à l’axe des abscisses.
    Donc $f'(-1)=0$.
    $\quad$
    $f'(1)$ est le coefficient directeur de la tangente $T_3$ (qui également la droite $(CD)$).
    $f'(1)=\dfrac{1-3}{2-1}=-2$.
    $\quad$
  2. Si $B$ est un point d’inflexion de la courbe $\mathscr{C}_f$, cela signifie que les tangentes à la courbe $\mathscr{C}_f$ vont être sous la courbe sur l’intervalle $[0;4]$.
    $\quad$
  3. Une équation d’une tangente au point d’abscisse $a$ est $y=f'(a)(x-a)+f(a)$
    Si $a=1$, on a $f'(1)=-2$ et $f(1)=3$
    Une équation de $T_3$ est donc $y=-2(x-1)+3$
    Soit $y=-2x+5$.
    $\quad$

Partie B

  1. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[-2;4]$ comme composée et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $\begin{align*} f'(x)&=1\times \e^{-x+1}-(x+2)\e^{-x+1} \\
    &=(1-x-2)\e^{-x+1} \\
    &=-(x+1)\e^{-x+1}
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. La fonction exponentielle est strictement positive. Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $-(x+1)$.
    $-(x+1)=0 \ssi x+1=0 \ssi x=-1$
    $-(x+1)>0 \ssi x+1<0 \ssi x<-1$
    On obtient donc le tableau de signes et de variation suivant :

Partie C

  1. D’après le logiciel de calcul formel $f^{\prime \prime}(x)=x\e^{-x+1}$
    La fonction exponentielle étant strictement positive, le signe de $f^{\prime \prime}(x)$ ne dépend donc que de celui de $x$.
    $$f^{\prime \prime}(x)>0 \ssi x>0$
    La fonction $f$ est donc convexe sur l’intervalle $[0;4]$.
    $\quad$
  2. a. D’après le logiciel de calcul formel, une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-2;4]$ est la fonction $F$ définie sur cet intervalle par $F(x)=-(x+3)\e^{-x+1}$.
    $\begin{align*} I&=\displaystyle \int_{-2}^1 f(x)\dx \\
    &=F(1)-F(-2) \\
    &=-4-\left(-\e^3\right) \\
    &=-4+\e^3
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-2;1]$ est :
    $m=\dfrac{1}{1-(-2)}\displaystyle \int_{-2}^1 f(x)\dx=\dfrac{-4+\e^3}{3} \approx 5,362$
    $\quad$

Énoncé spé

Exercice 1    4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des quatre questions, quatre réponses sont proposées ; une seule de ces réponses convient. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.
Une réponse exacte rapporte $1$ point, une réponse fausse ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.

  1. Si $X$ est une variable aléatoire qui suit la loi normale d’espérance $\mu=3$ et d’écart type $\sigma=1$ alors $P\left( X \pp 2,5\right)$ a pour valeur approchée arrondie au centième :
    a. $0,16$
    b. $0,26$
    c. $0,31$
    d. $0,54$
    $\quad$
  2. Soit $Y$ une variable aléatoire qui suit la loi normale d’espérance $0$ et d’écart-type $\sigma$. Si $P\left(-5\pp Y \pp  5\right) \approx 0,95$ alors, parmi les réponses suivantes, la meilleure valeur approchée de $\sigma$ est :
    a. $5$
    b. $2,5$
    c. $1,3$
    d. $0,95$
    $\quad$
  3. Un institut de sondage réalise une enquête afin de mesurer le degré de satisfaction du service après-vente d’une société. Une première étude portant sur un échantillon aléatoire de $500$ clients révèle que l’on dénombre $438$ clients satisfaits. Un intervalle de confiance au niveau de confiance $0,95$ permettant d’estimer la proportion de clients satisfaits est :
    a. $[0,079;0,169]$
    b. $[0,455;0,545]$
    c. $[0,831;0,921]$
    d. $[0,874;0,878]$
    $\quad$
  4. Cet institut souhaite réduire l’amplitude de l’intervalle de confiance. Combien de personnes au minimum faut-il interroger pour que cet intervalle de confiance ait une amplitude d’au plus $0,05$ ?
    a. $1~500$
    b. $40$
    c. $2~000$
    d. $400$
    Remarque : l’amplitude d’un intervalle $[e;f]$ est le nombre $f-e$.
    $\quad$

Exercice 2    5 points

Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

En 2016, un institut de sondage mène une enquête régionale sur la manière dont les particuliers paient leur assurance. Les assurés se répartissent en deux catégories distinctes :

  • la catégorie A, composée des assurés qui paient en agence ;
  • la catégorie B, composée des assurés qui paient en ligne.

En 2016, $92\%$ des assurés paient en agence.
On admet que, d’une année à l’autre, $4\%$ des assurés de la catégorie A passent à la catégorie B et que $1\%$ des assurés de la catégorie B passent à la catégorie A.
On suppose que le nombre d’assurés est constant et que chaque année un assuré fait partie d’une seule catégorie.
Pour tout entier naturel $n$, on considère l’année $(2016+n)$ et on note :

  • $a_n$ la probabilité qu’un assuré, pris au hasard, soit de catégorie A cette année-là,
  • $b_n$ la probabilité qu’un assuré, pris au hasard, soit de catégorie B cette année-là,
  • $P_n$ la matrice ligne $\begin{pmatrix}a_n & b_n\end{pmatrix}$. Ainsi $P_0 = \begin{pmatrix} 0,92 & 0,08\end{pmatrix}$.
  1. Représenter la situation à l’aide d’un graphe probabiliste.
    On notera $A$ l’état “l’assuré est de catégorie A” et $B$ l’état “l’assuré est de catégorie B”.
    $\quad$
  2. On admet que la matrice de transition $M$ associée à cette situation est $M = \begin{pmatrix}0,96&0,04\\0,01 &0,99\end{pmatrix}$.
    a. Exprimer $P_1$ en fonction de $M$ et de $P_0$.
    $\quad$
    b. En déduire la probabilité qu’un assuré soit de catégorie A en 2017. Arrondir le résultat au centième.
    $\quad$
  3. Soit $P = \begin{pmatrix} a & b\end{pmatrix}$ la matrice ligne donnant l’état stable du graphe.
    a. Justifier que $\begin{cases} -0,04a+0,01b = 0\\ a+b = 1 \end{cases}$.
    $\quad$
    b. Résoudre le système précédent. Quelle conclusion peut-on tirer quant à la répartition à long terme des assurés ?
    $\quad$
  4. a. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $a_{n+1}= 0,95a_n+0,01$.
    On admet que, pour tout entier naturel $n$, $a_n = 0,2+0,72 \times 0,95^n$ et que la suite $\left( a_n \right)$ est décroissante.
    $\quad$
    b. On souhaite déterminer au bout de combien d’années moins d’un assuré sur deux sera de catégorie A. Recopier et compléter l’algorithme pour qu’il donne le résultat attendu.
    $\begin{array}{|l|l|}
    \hline
    \textbf{Variables :} & A \text{ est un nombre réel}\\
    & N \text{ est un entier naturel}\\
    \hline
    \textbf{Initialisation}& \text{ Affecter à }A \text{ la valeur  }0,92\\
    & \text{Affecter à } N \text{ la valeur } 0 \\
    \hline
    \textbf{Traitement} & \text{Tant que } \ldots\ldots\ldots \\
    &\quad \text{Affecter à } N \text{ la valeur } \ldots\ldots\ldots\\
    & \quad \text{Affecter à } A \text{ la valeur } \ldots\ldots\ldots\\
    &\text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \textbf{Sortie} & \text{Afficher } \ldots\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    c. La proportion d’assurés de catégorie A va-t-elle devenir inférieure à $0,5$ ? Si oui, à partir de quelle année ? Expliquer la démarche choisie.
    $\quad$

Exercice 3    5 points

L’angine chez l’être humain est provoquée soit par une bactérie (angine bactérienne), soit par un virus (angine virale).
On admet qu’un malade ne peut pas être à la fois porteur du virus et de la bactérie.
L’angine est bactérienne dans $20\%$ des cas.
Pour déterminer si une angine est bactérienne, on dispose d’un test. Le résultat du test peut être positif ou négatif. Le test est conçu pour être positif lorsque l’angine est bactérienne, mais il présente des risques d’erreur :

  • si l’angine est bactérienne, le test est négatif dans $30\%$ des cas ;
  • si l’angine est virale, le test est positif dans $10\%$ des cas.

On choisit au hasard un malade atteint d’angine. On note :

  • $B$ l’événement : “l’angine du malade est bactérienne”;
  • $T$ l’événement : “le test effectué sur le malade est positif”.

On rappelle que si $E$ et $F$ sont deux événements, $p(E)$ désigne la probabilité de $E$ et $p_{F}(E)$ désigne la probabilité de $E$ sachant que $F$ est réalisé. On note $\conj{E}$ l’événement contraire de $E$.

  1. Représenter la situation par un arbre de probabilité.
    $\quad$
  2. a. Quelle est la probabilité que l’angine du malade soit bactérienne et que le test soit positif ?
    $\quad$
    b. Montrer que la probabilité que le test soit positif est $0,22$.
    $\quad$
    c. Un malade est choisi au hasard parmi ceux dont le test est positif. Quelle est la probabilité pour que son angine soit bactérienne ?
    $\quad$
  3. On choisit au hasard cinq malades atteints d’une angine.
    On note $X$ la variable aléatoire qui donne, parmi les cinq malades choisis, le nombre de malades dont le test est positif.
    a. Quelle est la loi de probabilité suivie par $X$ ?
    $\quad$
    b. Calculer la probabilité qu’au moins l’un des cinq malades ait un test positif.
    $\quad$
    c. Calculer l’espérance mathématique de $X$.
    $\quad$

Exercice 4    6 points

Partie A

Dans le repère ci-dessous, on a tracé la courbe représentative $\mathscr{C}_f$ d’une fonction $f$ définie et dérivable sur l’intervalle $[-2;4]$ ainsi que plusieurs tangentes à $\mathscr{C}_f$ :

  • $T_1$ est la tangente au point $A$ de coordonnées $\left(-1;\e^2\right)$,
  • $T_2$ est la tangente au point $B$ de coordonnées $(0;2\e)$,
  • $T_3$ est la tangente au point $C$ de coordonnées $(1;3)$.

On sait que la tangente $T_1$ est parallèle à l’axe des abscisses et que la tangente $T_3$ passe par le point $D$ de coordonnées $(2;1)$.

 

  1. Déterminer $f'(- 1)$ et $f'(1)$.
    $\quad$
  2. On admet que $B$ est un point d’inflexion de la courbe $\mathscr{C}_f$. Quelle interprétation graphique peut-on faire ?
    $\quad$
  3. Déterminer une équation de la tangente à la courbe $\mathscr{C}_f$ au point $C$.
    $\quad$

Partie B

On admet que la fonction $f$ de la partie A est définie, pour tout réel $x$ de l’intervalle $[-2;4]$, par : $$f(x) =(x + 2)\e^{-x + 1}$$

On note $f’$ la fonction dérivée de $f$.

  1. Montrer que, pour tout $x$ de l’intervalle $[-2;4]$, on a $f'(x) = -(x+1)\e^{-x+1}$.
    $\quad$
  2. Étudier le signe de $f'(x)$ sur l’intervalle $[-2;4]$ puis dresser le tableau de variations de $f$ sur cet intervalle.
    $\quad$

Partie C

Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants :

$\begin{array}{|c|l|}
\hline
1& \text{factoriser}\big(\text{dériver} \left[-(x + 1)*\exp(-x + 1)\right]\big)\\
& \qquad \qquad \to x*\exp(-x + 1)\\
\hline
2 & \text{intégrer}\left((x + 2)*\exp(-x+1)\right)\\
& \qquad \qquad \to -(x + 3)*\exp(-x + 1)\\
\hline
\end{array}$

En utilisant ces résultats, répondre aux questions suivantes.

  1. Déterminer un intervalle sur lequel la fonction $f$ est convexe. justifier.
    $\quad$
  2. a. Montrer que $\ds \int_{-2}^{1} f(x)\dx = -4+\e^3$.
    $\quad$
    b. En déduire la valeur moyenne arrondie au millième de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-2;1]$.
    $\quad$

DNB – Polynésie – juin 2017

Polynésie – Juin 2017

DNB – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici :

Ex 1

Exercice 1

 

  1. $32$ Gigaoctets $\approx 32~000$ Mégaoctets.
    Il faut donc $\dfrac{32~000}{700} \approx 46$ CD.
    Réponse A
    $\quad$
  2. On appelle $d$ la longueur de la diagonale cherchée.
    D’après le théorème de Pythagore (appliqué dans un triangle rectangle en un des sommets du rectangle) on a :
    $d^2=10^2+20^2=500$
    Donc $d=\sqrt{500} \approx 22$ cm.
    Réponse B
    $\quad$
  3. $2x+3=7x-4$
    donc $3=7x-4-2x$ : on soustrait $2x$ des deux côtés de l’équation
    soit $3=5x-4$
    d’où $3+4=5x$ : on ajoute $4$ aux deux membres
    on obtient donc $7=5x$ : on divise les deux membres par $5$
    finalement $x=\dfrac{7}{5}$
    ou encore $x=1,4$
    Réponse B
    $\quad$
  4. $\dfrac{882}{1~134}=\dfrac{7\times 126}{9\times 126}=\dfrac{7}{9}$
    Réponse C
    $\quad$
  5. On doit écrire $=3*B1+4$
    Réponse C
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

Longueur d’une rame : $(5~000+14~000)\times 2+18~300\times 10=221~000$ mm $= 221$ m.

Longueur du TGV : $221\times 2 = 442$ m

Vitesse du TGV : $v=\dfrac{442}{13,53}\approx 32,67$ m/s

Or $1$ km/h $=\dfrac{1~000}{3~600}$ m/s $=\dfrac{1}{3,6}$ m/s
Donc $1$ m/s $=3,6$ km/h

Ainsi $v=\dfrac{442 \times 3,6}{13,53}\approx 118$ km/h

 

Ex 3

Exercice 3

  1. a. Voir figure
    $\quad$
    b. Dans le triangle $CDE$ rectangle en $D$ on applique le théorème de Pythagore :
    $\begin{align*} CE^2&=CD^2+DE^2\\
    &=6,8^2+3,4^2 \\
    &=57,8
    \end{align*}$
    Donc $CE=\sqrt{57,8} \approx 7,6$ cm
    $\quad$
  2. a. et b.

    Le point $G$ peut être placé à deux endroits. Les droites $(FG)$ et $(DE)$ ne sont donc pas parallèles.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. Les issues sont $B, A,K,L$ et $V$.
    $\quad$
  2. a. Il y a un $L$ dans le mot. La probabilité de tirer un $L$ est donc $\dfrac{1}{7}$
    $\quad$
    b. Il y a trois $A$ dans le mot. La probabilité de tirer un $A$ est donc $\dfrac{3}{7}$. La probabilité de ne pas tirer un $A$ est donc égale à :
    $1-\dfrac{3}{7}=\dfrac{4}{7}$
    $\quad$
  3. Parmi les $9$ baklavas restants, $2$ sont à base de pistaches, $4$ à base de noisette et $3$ à base de noix.
    La probabilité de piocher un gâteau à base de noix est donc $\dfrac{3}{9}<\dfrac{4}{9}$ (probabilité de piocher un gâteau à base de noisette).Son amie a donc tort.
    $\quad$

Ex 5

Exercice 5

  1. $-2\underset{\times (-4)}{\longrightarrow} 8 \underset{+5}{\longrightarrow} 13$
    On obtient bien $13$ en choisissant le nombre $-2$.
    $\quad$
  2. On appelle $x$ le nombre choisi au départ :
    $x\underset{\times (-4)}{\longrightarrow} -4x \underset{+5}{\longrightarrow} -4x+5$
    On veut donc résoudre l’équation $-4x+5=-3$
    soit $-4x=-8$ : on soustrait $5$ aux deux membres
    et donc $x=2$ : on divise les deux membres par $-4$
    Il faut donc choisir le nombre $2$ au départ pour obtenir $-3$.
    $\quad$
  3. a. Si elle choisit $12$ alors $-4\times 12+5=-43<0$.
    Le lutin dira donc “Bravo”.
    $\quad$
    b. Si elle choisit $-5$ alors $-4\times (-5)+5=25>0$.
    Le lutin dira donc “Essaie encore”.
    $\quad$
  4. $-4x+5<0$ revient à $-4x<-5$ soit $x>\dfrac{5}{4}$ (on divise par un nombre négatif donc on change le signe de l’inégalité)
    La solution de l’inéquation est l’ensemble des nombres strictement supérieur à $\dfrac{5}{4}$
    $\quad$
  5. La réponse du lutin sera “Bravo” si le nombre choisi est strictement supérieur à $\dfrac{5}{4}$ (ou $1,25$).
    $\quad$

 

 

Ex 6

Exercice 6

Temps de trajet de la ligne 1 : $8\times 3=24$ minutes.
Temps de trajet de la ligne 2 : $8\times 4=32$ minutes.

Voici les premiers temps de passage à l’arrêt “Mairie” pour les différentes lignes :
Ligne 1 : $6$h$30$ – $6$h$54$ – $7$h$18$ – $7$h$42$ – $8$h$06$
Ligne 2 : $6$h$30$ – $7$h$02$ – $7$h$34$ – $8$h$06$
Donc toutes les $96$ minutes (ou $1$h$36$min) les deux bus seront en même temps à l’arrêt “Mairie”.

Ils s’y retrouveront donc à
$6$h$30$ – $8$h$06$ – $9$h$42$ – $11$h$18$ – $12$h$54$ – $14$h$30$ – $16$h$06$ – $17$h$42$ – $19$h$18$

 

Énoncé

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Cours

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Bac S – Liban – Mai 2014

Liban – Mai 2014 

Bac S – Mathématiques

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Exercice 1  –  5 point

Les trois parties A, B et C peuvent être traitées de façon indépendante.
Les probabilités seront arrondies au dix millième.

Un élève doit se rendre à son lycée chaque matin pour $8\text{h}00$. Pour cela, il utilise, selon les jours, deux moyens de transport : le vélo ou le bus.

Partie A

L’élève part tous les jours à $7 \text{h}40$ de son domicile et doit arriver à $8\text{h}00$ à son lycée. Il prend le vélo $7$ jours sur $10$ et le bus le reste du temps.
Les jours où il prend le vélo, il arrive à l’heure dans $99,4\%$ des cas et lorsqu’il prend le bus, il arrive en retard dans $5\%$ des cas.
On choisit une date au hasard en période scolaire et on note $V$ l’événement “L’élève se rend au lycée à vélo”, $B$ l’événement ‘l’élève se rend au lycée en bus’ et $R$ l’événement “L’élève arrive en retard au lycée”.

  1. Traduire la situation par un arbre de probabilités.
    $\quad$
  2. Déterminer la probabilité de l’événement $V \cap R$.
    $\quad$
  3. Démontrer que la probabilité de l’événement $R$ est $0,019~2$
    $\quad$
  4. Un jour donné, l’élève est arrivé en retard au lycée. Quelle est la probabilité qu’il s’y soit rendu en bus?
    $\quad$

Partie B : le vélo

On suppose dans cette partie que l’élève utilise le vélo pour se rendre à son lycée.
Lorsqu’il utilise le vélo, on modélise son temps de parcours, exprimé en minutes, entre son domicile et son lycée par une variable aléatoire $T$ qui suit le loi normale d’espérance $\mu = 17$ et d’écart-type $\sigma = 1,2$.

  1. Déterminer la probabilité que l’élève mette entre $15$ et $20$ minutes pour se rendre à son lycée.
    $\quad$
  2. Il part de son domicile à vélo à $7\text{h}40$. Quelle est la probabilité qu’il soit en retard au lycée?
    $\quad$
  3. L’élève part à vélo. Avant quelle heure doit-il partir pour arriver à l’heure au lycée avec une probabilité de $0,9$ ? Arrondir le résultat à la minute près.
    $\quad$

Partie C : le bus

Lorsque l’élève utilise le bus, on modélise son temps de parcours, exprimé en minutes, entre son domicile et son lycée par une variable aléatoire $T’$ qui suit la loi normale d’espérance $\mu’ = 15$ et d’écart-type $\sigma’$.
On sait que la probabilité qu’il mette plus de $20$ minutes pour se rendre à son lycée en bus est de $0,05$.

On note $Z’$ la variable aléatoire égale à $\dfrac{T’-15}{\sigma’}$

  1. Quelle loi la variable aléatoire $Z’$ suit-elle ?
    $\quad$
  2. Déterminer une valeur approchée à $0,01$ près de l’écart-type $\sigma’$ de la variable aléatoire $T’$.
    $\quad$

Exercice 2  –  5 points

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier chaque réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.

On se place dans l’espace muni d’un repère orthonormé.
On considère le plan $\mathscr{P}$ d’équation $x – y + 3z + 1 = 0$ et la droite $\mathscr{D}$ dont une représentation paramétrique est $\begin{cases} x=2t\\\\y=1 + t\qquad t\in\R \\\\z=- 5+3t\end{cases}$
On donne les points $A(1;1;0), B(3;0;-1)$ et $C(7;1;-2)$

Proposition 1 :
Une représentation paramétrique de la droite $(AB)$ est $\begin{cases} x=5-2t\\\\y=-1+t \qquad t\in\R \\\\ z=-2+t \end{cases}$

Proposition 2 :
Les droites $\mathscr{D}$ et $(AB)$ sont orthogonales.

Proposition 3 :
Les droites $\mathscr{D}$ et $(AB)$ sont coplanaires.

Proposition 4 :
La droite $\mathscr{D}$ coupe le plan $\mathscr{P}$ au point $E$ de coordonnées $(8;-3;-4)$.

Proposition 5 :
Les plans $\mathscr{P}$ et $(ABC)$ sont parallèles.
$\quad$

Exercice 3  –  5 points

Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $[0;+\infty[$ par $$f(x) = x\e^{-x}.$$

On note $\mathscr{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal.

Partie A

  1. On note $f’$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    Pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0;+\infty[$, calculer $f'(x)$. En déduire les variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    $\quad$
  2. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$. Quelle interprétation graphique peut-on faire de ce résultat?

Partie B

Soit $\mathscr{A}$ la fonction définie sur l’intervalle $[0;+\infty[$ de la façon suivante : pour tout réel $t$ de l’intervalle $[0;+\infty[$, $\mathscr{A}(t)$ est l’aire, en unités d’aire, du domaine délimité par l’axe des abscisses, la courbe $\mathscr{C}$ et les droites d’équations $x = 0$ et $x = t$.

  1. Déterminer le sens de variation de la fonction $\mathscr{A}$.
    $\quad$
  2. On admet que l’aire du domaine délimité par la courbe $\mathscr{C}$ et l’axe des abscisses est égale à $1$ unité d’aire. Que peut-on en déduire pour la fonction $\mathscr{A}$?
    $\quad$
  3. On cherche à prouver l’existence d’un nombre réel $\alpha$ tel que la droite d’équation $x =\alpha$ partage le domaine compris entre l’axe des abscisses et la courbe $\mathscr{C}$, en deux parties de même aire, et à trouver une valeur approchée de ce réel.
    a. Démontrer que l’équation $\mathscr{A}(t)=\dfrac{1}{2}$ admet une unique solution sur l’intervalle $[0;+\infty[$
    $\quad$
    b. Sur le graphique fourni en annexe (à rendre avec la copie) sont tracées la courbe $\mathscr{C}$, ainsi que la courbe $\Gamma$ représentant la fonction $\mathscr{A}$.
    Sur le graphique de l’annexe, identifier les courbes $\mathscr{C}$ et $\Gamma$, puis tracer la droite d’équation $y=\dfrac{1}{2}$. En déduire une valeur approchée du réel $\alpha$. Hachurer le domaine correspondant à $\mathscr{A}(\alpha)$.
    $\quad$
  4. On définit la fonction $g$ sur l’intervalle $[0;+\infty[$ par $g(x) = (x+1)\,\e^{-x}$.
    a. On note $g’$ la fonction dérivée de la fonction $g$ sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    Pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0;+\infty[$, calculer $g'(x)$.
    $\quad$
    b. En déduire, pour tout réel $t$ de l’intervalle $[0;+\infty[$, une expression de $\mathscr{A}(t)$.
    $\quad$
    c. Calculer une valeur approchée à $10^{-2}$ près de $\mathscr{A}(6)$.
    $\quad$

Annexe 1

Bac s -Liban - mai 2014 - ex3

 

Exercice 4  –  5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

On considère la suite de nombres complexes $\left(z_n\right)$ définie par $z_0=\sqrt{3}-\ic$ et pour tout entier naturel $n$: $$z_{n+1} = (1+\ic)z_n.$$

Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.

Partie A

Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n = \left|z_{n}\right|$.

  1. Calculer $u_0$.
    $\quad$
  2. Démontrer que $\left(u_n\right)$ est la suite géométrique de raison $\sqrt{2}$ et de premier terme $2$.
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  4. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
  5. Etant donné un réel positif $p$, on souhaite déterminer, à l’aide d’un algorithme, la plus petite valeur de l’entier naturel $n$ telle que $u_n > p$.
    Recopier l’algorithme ci-dessous et le compléter par les instructions de traitement et de sortie, de façon à afficher la valeur cherchée de l’entier $n$.
    Variables :
    $\quad$ $u$ est un réel
    $\quad$ p$ est un réel
    $\quad$ $n$ est un entier
    Initialisation :
    $\quad$ Affecter à $n$ la valeur $0$
    $\quad$ Affecter à $u$ la valeur $2$
    Entrée :
    $\quad$ Demander la valeur de $p$
    Traitement :
    $\quad$
    Sortie :
    $\quad$
    $\quad$

Partie B

  1. Déterminer la forme algébrique de $z_1$.
    $\quad$
  2. Déterminer la forme exponentielle de $z_0$ et de $1+\ic$.
    En déduire la forme exponentielle de $z_1$.
    $\quad$
  3. Déduire des questions précédentes la valeur exacte de $\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)$
    $\quad$

Exercice 4  –  5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Un laboratoire étudie la propagation d’une maladie sur une population.
Un individu sain est un individu n’ayant jamais été touché par la maladie.
Un individu malade est un individu qui a été touché par la maladie et non guéri.
Un individu guéri est un individu qui a été touché par la maladie et qui a guéri.
Une fois guéri, un individu est immunisé et ne peut plus tomber malade.
Les premières observations nous montrent que, d’un jour au jour suivant:

  • $5\%$ des individus tombent malades;
  • $20\%$ des individus guérissent.

Pour tout entier naturel $n$, on note $a_n$ la proportion d’individus sains $n$ jours après le début de l’expérience, $b_n$ la proportion d’individus malades $n$ jours après le début de l’expérience, et $c_n$ celle d’individus guéris $n$ jours après le début de l’expérience.

On suppose qu’au début de l’expérience, tous les individus sont sains, c’est à dire que $a_0=1$, $b_0 = 0$ et $c_0 = 0$

  1. Calculer $a_1$, $b_1$ et $c_1$.
    $\quad$
  2. a. Quelle est la proportion d’individus sains qui restent sains d’un jour au jour suivant ? En déduire $a_{n+1}$ en fonction de $a_n$.
    $\quad$
    b. Exprimer $b_{n+1}$ en fonction de $a_n$ et de $b_n$.
    $\quad$
    On admet que $c_{n+1} = 0,2b_n + c_n$.
    Pour tout entier naturel $n$, on définit $U_n=\begin{pmatrix} a_n\\b_n\\c_n \end{pmatrix}$
    On définit les matrices $A=\begin{pmatrix} 0,95&0&0\\0,05&0,8&0\\0&0,2&1 \end{pmatrix}$ et $D=\begin{pmatrix}0,95&0&0\\0&0,8&0\\0&0&1\end{pmatrix}$
    On admet qu’il existe une matrice inversible $P$ telle que $D=P^{-1}\times A\times P$ et que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, $A^n=P\times D^{n}\times P^{-1}$.
    $\quad$
  3. a. Vérifier que, pour tout entier naturel $n$, $U_{n+1}= A\times U_n$.
    On admet que, pour tout entier naturel $n$, $U_n=A^n\times U_0$.
    $\quad$
    b. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $D^n=\begin{pmatrix} 0,95^n&0&0\\0&0,8^n&0\\0&0&1 \end{pmatrix}$
    $\quad$
    On admet que $A^n =\begin{pmatrix} 0,95^n&0&0\\ \dfrac{1}{3}\left(0,95^n-0,8^n\right)&0,8^n&0\\\dfrac{1}{3}\left(3-4\times 0,95^n+0,8^n\right)&1-0,8^n&1 \end{pmatrix}$
    $\quad$
  4. a. Vérifier que pour tout entier naturel $n$, $b_n=\dfrac{1}{3}\left(0,95^n-0,8^n\right)$
    $\quad$
    b. Déterminer la limite de la suite $\left(b_n\right)$.
    $\quad$
    c. On admet que la proportion d’individus malades croît pendant plusieurs jours, puis décroit.
    On souhaite déterminer le pic épidémique, c’est à dire le moment où la proportion d’individus malades est à son maximum.
    À cet effet, on utilise l’algorithme donné en annexe 2 (à rendre avec la copie), dans lequel on compare les termes successifs de la suite $(b_n)$.
    Compléter l’algorithme de façon qu’il affiche le rang du jour où le pic épidémique est atteint et compléter le tableau fourni en annexe 2.
    Conclure.

 

Annexe 2

 

Algorithme et tableau à compléter

Variables :
$\quad$ $b$, $b’$, $x$, $y$ sont des réels
$\quad$ $k$ est un entier naturel
Initialisation :
$\quad$ Affecter à $b$ la valeur $0$
$\quad$ Affecter à $b’$ la valeur $0,05$
$\quad$ Affecter à $k$ la valeur $0$
$\quad$ Affecter à $x$ la valeur $0,95$
$\quad$Affecter à $y$ la valeur $0,8$
Traitement :
$\quad$ Tant que $b < b’$ faire :
$\qquad$ Affecter à $k$ la valeur $k+1$
$\qquad$ Affecter à $b$ la valeur $b’$
$\qquad$ Affecter à $x$ la valeur $0,95 x$
$\qquad$ Affecter à $y$ la valeur $0,80 y$
$\qquad$ Affecter à $b’$ la valeur $\ldots\ldots$
$\quad$ Fin Tant que
Sortie :
$\quad$ Afficher $\ldots\ldots$
$\quad$

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
& k & b & x & y & b’ & \text{Test: } b < b’ \text{?} \\
\hline
\begin{array}{l}\text{Après le }7^{\e}\text{ passage} \\\text{dans la boucle} \\ \text{Tant que}\end{array} & 7 & 0,162~8 & 0,663~4 & 0,167~8 & 0,165~2 & \text{Vrai} \\
\hline
\begin{array}{l} \text{Après le }8^{\e} \text{ passage} \\ \text{éventuel dans la boucle} \\ \text{Tant que} \end{array}& & & & & & \\
\hline
\begin{array}{l} \text{Après le }9^{\e} \text{ passage} \\ \text{éventuel dans la boucle} \\ \text{Tant que}\end{array} & & & & & & \\
\hline
\end{array}$$

 

Bac S – Antilles Guyane – Juin 2015

Antilles Guyane – Juin 2015

Bac S – Mathématiques

La correction de ce sujet de bac est disponible ici.

Exercice 1  –  6 points

Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $]0;+ \infty[$ par $f(x) = \ln x$.
Pour tout réel $a$ strictement positif, on définit sur $]0;+ \infty[$ la fonction $g_a$ par $g_a(x) = ax^2$.
On note $\mathscr{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ et $\Gamma_a$ celle de la fonction $g_a$ dans un repère du plan. Le but de l’exercice est d’étudier l’intersection des courbes $\mathscr{C}$ et $\Gamma_a$ suivant les valeurs du réel strictement positif $a$.

Partie A

On a construit en annexe 1 (à rendre avec la copie) les courbes $\mathscr{C}$, $\Gamma_{0,05}$, $\Gamma_{0,1}$, $\Gamma_{0,19}$ et $\Gamma_{0,4}$.

  1. Nommer les différentes courbes sur le graphique. Aucune justification n’est demandée.
    $\quad$
  2. Utiliser le graphique pour émettre une conjecture sur le nombre de points d’intersection de $\mathscr{C}$ et $\Gamma_a$ suivant les valeurs (à préciser) du réel $a$.
    $\quad$

Partie B

Pour un réel $a$ strictement positif, on considère la fonction $h_a$ définie sur l’intervalle $]0;+ \infty[$ par $$h_a(x) = \ln x – ax^2.$$

  1. Justifier que $x$ est l’abscisse d’un point $M$ appartenant à l’intersection de $\mathscr{C}$ et $\Gamma_a$ si et seulement si $h_a (x) = 0.$
    $\quad$
  2. a. On admet que la fonction $h_a$ est dérivable sur $]0;+ \infty[$, et on note $h’_a$ la dérivée de la fonction $h_a$ sur cet intervalle.
    Le tableau de variation de la fonction $h_a$ est donné ci-dessous.
    Justifier, par le calcul, le signe de $h’_a(x)$ pour $x$ appartenant à $]0;+ \infty[$.
    Bac S - antilles guyane - juin 2015 - ex1 (1)
    b. Rappeler la limite de $\dfrac{\ln x}{x}$ en $+ \infty$. En déduire la limite de la fonction $h_a$ en $+ \infty$.
    On ne demande pas de justifier la limite de $h_a$ en $0$.
    $\quad$
  3. Dans cette question et uniquement dans cette question, on suppose que $a = 0,1$.
    a. Justifier que, dans l’intervalle $\left]0;\dfrac{1}{\sqrt{0,2}}\right]$, l’équation $h_{0,1}(x) = 0$ admet une unique solution.
    On admet que cette équation a aussi une seule solution dans l’intervalle $\left]\dfrac{1}{\sqrt{0,2}};+ \infty \right[$.
    $\quad$
    b. Quel est le nombre de points d’intersection de $\mathscr{C}$ et $\Gamma_{0,1}$ ?
    $\quad$
  4. Dans cette question et uniquement dans cette question, on suppose que $a = \dfrac{1}{2\e}$.
    a. Déterminer la valeur du maximum de $h_{\frac{1}{2\e}}$.
    $\quad$
    b. En déduire le nombre de points d’intersection des courbes $\mathscr{C}$ et $\Gamma_{\frac{1}{2\e}}$. Justifier.
    $\quad$
  5. Quelles sont les valeurs de $a$ pour lesquelles $\mathscr{C}$ et $\Gamma_{a}$ n’ont aucun point d’intersection ?
    Justifier.
    $\quad$
    Annexe 1
    Bac S - antilles guyane - juin 2015 - ex1.2

Exercice 2  –  5 points

La partie C peut être traitée indépendamment des parties A et B

Partie A

On considère une variable aléatoire $X$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ avec $\lambda > 0$.
On rappelle que, pour tout réel $a$ strictement positif, $$P(X \le a) = \int_0^a \lambda\e^{- \lambda t}\mathrm{d}t.$$

On se propose de calculer l’espérance mathématique de $X$, notée $E(X)$, et définie par $$E(X) = \lim_\limits{x \to + \infty} \int_0^x \lambda t \e^{- \lambda t}\mathrm{d}t.$$

On note $\R$ l’ensemble des nombres réels.

On admet que la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(t) = – \left(t + \dfrac{1}{\lambda}\right)\e^{- \lambda t}$ est une primitive sur $\R$ de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(t) = \lambda t \e^{- \lambda t}$.

  1. Soit $x$ un nombre réel strictement positif. Vérifier que $$ \int_0^x \lambda t \e^{- \lambda t}\mathrm{d}t = \dfrac{1}{\lambda}\left(- \lambda x \e^{- \lambda x} – \e^{- \lambda x} + 1\right).$$
  2. En déduire que $E(X) = \dfrac{1}{\lambda}$.
    $\quad$

Partie B

La durée de vie, exprimée en années, d’un composant électronique peut être modélisée par une variable aléatoire notée $X$ suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ avec $\lambda > 0$.
La courbe de la fonction densité associée est représentée en annexe 2.

  1. Sur le graphique de l’annexe 2 (à rendre avec la copie) :
    a. Représenter la probabilité $P(X \le 1)$.
    $\quad$
    b. Indiquer où se lit directement la valeur de $\lambda$.
    $\quad$
    c. On suppose que $E(X) = 2$.
    $\quad$
  2. Que représente dans le cadre de l’exercice la valeur de l’espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ ?
    $\quad$
  3. Calculer la valeur de $\lambda$.
    $\quad$
  4. Calculer $P(X \le 2)$. On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie à $0,01$ près.
    Interpréter ce résultat.
    $\quad$
  5. Sachant que le composant a déjà fonctionné une année, quelle est la probabilité que sa durée de vie totale soit d’au moins trois années ? On donnera la valeur exacte.
    $\quad$

Partie C

Un circuit électronique est composé de deux composants identiques numérotés $1$ et $2$.
On note $D_1$ l’événement “le composant 1 est défaillant avant un an”  et on note $D_2$ l’événement “le composant 2 est défaillant avant un an”.
On suppose que les deux événements $D_1$ et $D_2$ sont indépendants et que $P\left(D_1\right) = P\left(D_2\right) = 0,39$.
Deux montages possibles sont envisagés, présentés ci-dessous :

Bac S - antilles guyane - juin 2015 - ex2.2

  1. Lorsque les deux composants sont montés “en parallèle”, le circuit A est défaillant uniquement si les deux composants sont défaillants en même temps. Calculer la probabilité que le circuit A soit défaillant avant un an.
    $\quad$
  2. Lorsque les deux composants sont montés “en série”, le circuit B est défaillant dès que l’un au moins des deux composants est défaillant. Calculer la probabilité que le circuit B soit défaillant avant un an.
    $\quad$

Annexe 2

Bac S - antilles guyane - juin 2015 - ex2.1 (1)

 

Exercice 3  –  4 points

 

Partie A

 

On appelle $\C$ l’ensemble des nombres complexes.
Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé $\Ouv$ on a placé un point $M$ d’affixe $z$ appartenant à $\C$, puis le point $R$ intersection du cercle de centre $O$ passant par $M$ et du demi-axe $\left[O;\vec{u}\right)$.

Bac S - antilles guyane - juin 2015 - ex3 (1)

  1. Exprimer l’affixe du point $R$ en fonction de $z$.
    $\quad$
  2. Soit le point $M’$ d’affixe $z’$ définie par $$z’ = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{z + |z|}{2}\right) .$$
    Reproduire la figure sur la copie et construire le point $M’$.
    $\quad$

Partie B

On définit la suite de nombres complexes $\left(z_n\right)$ par un premier terme $z_0$ appartenant à $\C$ et, pour tout entier naturel $n$, par la relation de récurrence : $$z_{n + 1} = \dfrac{z_n + \left|z_n \right|}{4}.$$

Le but de cette partie est d’étudier si le comportement à l’infini de la suite $\left(\left|z_n\right|\right)$ dépend du choix de $z_0$.

  1. Que peut-on dire du comportement à l’infini de la suite $\left(\left|z_n\right|\right)$ quand $z_0$ est un nombre réel négatif ?
    $\quad$
  2. Que peut-on dire du comportement à l’infini de la suite $\left(\left|z_n\right|\right)$ quand $z_0$ est un nombre réel positif ?
    $\quad$
  3. On suppose désormais que $z_0 $n’est pas un nombre réel.
    a. Quelle conjecture peut-on faire sur le comportement à l’infini de la suite $\left(\left|z_n\right|\right)$ ?
    $\quad$
    b. Démontrer cette conjecture, puis conclure.
    $\quad$

Exercice 4  –  5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

On considère l’algorithme suivant :

Variables :
$\quad$ $k$ et $p$ sont des entiers naturels
$\quad$ $u$ est un réel
Entrée :
$\quad$ Demander la valeur de $p$
Traitement :
$\quad$: Affecter à $u$ la valeur $5$
$\quad$ Pour $k$ variant de 1 à $p$
$\qquad$ Affecter à $u$ la valeur $0,5u + 0,5(k – 1) – 1,5$
$\quad$ Fin de pour
Sortie :
$\quad$ Afficher $u$
$\quad$

Faire fonctionner cet algorithme pour $p = 2$ en indiquant les valeurs des variables à chaque étape.
Quel nombre obtient-on en sortie ?
$\quad$

Partie B

Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par son premier terme $u_0 = 5$ et, pour tout entier naturel $n$ par $$u_{n+1} = 0,5u_n + 0,5n – 1,5.$$

  1. Modifier l’algorithme de la première partie pour obtenir en sortie toutes les valeurs de $u_n$ pour $n$ variant de 1 à $p$.
    $\quad$
  2. À l’aide de l’algorithme modifié, après avoir saisi $p = 4$, on obtient les résultats suivants :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    n &1 &2 &3 &4\\
    \hline
    u_n &1 &- 0,5 & -0,75 &- 0,375\\
    \hline
    \end{array}$$
    Peut-on affirmer, à partir de ces résultats, que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante ?
    Justifier.
    $\quad$
  3. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 3, $u_{n+1} > u_n$.
    Que peut-on en déduire quant au sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$ ?
    $\quad$
  4. Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = 0,1u_n – 0,1n + 0,5$.
    Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $0,5$ et exprimer alors $v_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  5. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $$u_n = 10 \times 0,5^n + n – 5.$$
    $\quad$
  6. Déterminer alors la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$

Exercice 4  –  5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante

Partie A

Pour deux entiers naturels non nuls $a$ et $b$, on note $r(a,b)$ le reste dans la division euclidienne de $a$ par $b$.
On considère l’algorithme suivant :

Variables :
$\quad$ $c$ est un entier naturel
$\quad$ $a$ et $b$ sont des entiers naturels non nuls
Entrées :
$\quad$ Demander $a$
$\quad$ Demander $b$
Traitement :
Affecter à $c$ le nombre $r(a,b)$
$\quad$ Tant que $c \ne 0$
$\qquad$ Affecter à $a$ le nombre $b$
$\qquad$ Affecter à $b$ la valeur de $c$
$\qquad$ Affecter à $c$ le nombre $r(a,b)$
$\quad$ Fin Tant que
Sortie :
$\quad$ Afficher $b$
$\quad$

  1. Faire fonctionner cet algorithme avec $a = 26$ et $b = 9$ en indiquant les valeurs de $a$, $b$ et $c$ à chaque étape.
    $\quad$
  2. Cet algorithme donne en sortie le PGCD des entiers naturels non nuls $a$ et $b$.
    Le modifier pour qu’il indique si deux entiers naturels non nuls $a$ et $b$ sont premiers entre eux ou non.
    $\quad$

Partie B

À chaque lettre de l’alphabet on associe grâce au tableau ci-dessous un nombre entier compris entre $0$ et $25$.

$$\begin{array}{l}
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
A &B &C &D &E &F &G &H &I& J &K &L &M\\
\hline
\phantom{1}0& \phantom{1}1 &\phantom{1}2 &\phantom{1}3 &\phantom{1}4 &\phantom{1}5 &\phantom{1}6 &\phantom{1}7 &\phantom{1}8 &\phantom{1}9 &10 &11 &12\\
\hline
\end{array} \\
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
N&O&P&Q&R&S&T&U&V&W&X&Y&Z\\
\hline
13&14&15&16&17&18&19&20&21&22&23&24&25\\ \hline
\end{array}\end{array}
$$

On définit un procédé de codage de la façon suivante :

Étape 1 : on choisit deux entiers naturels $p$ et $q$ compris entre $0$ et $25$.
Étape 2 : à la lettre que l’on veut coder, on associe l’entier $x$ correspondant dans le tableau ci-dessus.
Étape 3 : on calcule l’entier $x’$ défini par les relations $$x’ \equiv px + q\quad [26]\quad \text{et}\quad 0 \le x’ \le 25.$$
Étape 4 : à l’entier $x’$, on associe la lettre correspondante dans le tableau.

  1. Dans cette question, on choisit $p = 9$ et $q = 2$.
    a. Démontrer que la lettre V est codée par la lettre J.
    $\quad$
    b. Citer le théorème qui permet d’affirmer l’existence de deux entiers relatifs $u$ et $v$ tels que $9u + 26v = 1$. Donner sans justifier un couple $(u,v)$ qui convient.
    $\quad$
    c. Démontrer que $x’ \equiv 9x + 2\quad [26]$ équivaut à $x \equiv 3x’ + 20\quad [26]$.
    $\quad$
    d. Décoder la lettre R.
    $\quad$
  2. Dans cette question, on choisit $q = 2$ et $p$ est inconnu. On sait que J est codé par D.
    Déterminer la valeur de $p$ (on admettra que $p$ est unique).
    $\quad$
  3. Dans cette question, on choisit $p = 13$ et $q = 2$. Coder les lettres B et D. Que peut-on dire de ce codage ?