2nd – cours – fonctions de référence

Intervalles et généralités sur les fonctions

I Vocabulaire sur les fonctions

 Définition 1 : Soit $\mathscr{D}$ une partie de $\R$. Définir une fonction $f$ sur un ensemble $\mathscr{D}$ revient à associer à chacun des réels $x$ de $\mathscr{D}$ un unique réel $y$.
L’ensemble $\mathscr{D}$ est appelé ensemble de définition de la fonction $f$.
Le réel $y$ est l’image du nombre $x$ par la fonction $f$ et on note alors $y= f(x)$, qui se lit “$f$ de $x$”.

D’une manière plus synthétique la fonction est parfois définie de la façon suivante :
$$\begin{align*} f:& \mathscr{D} \to \R \\& x \mapsto f(x) \end{align*}$$

Remarque : Le nombre $x$ est appelé la variable de la fonction.
L’ensemble de définition est l’ensemble des réels $x$ pour lesquels $f(x)$ existe. Il est parfois noté $\mathscr{D}_f$.

Exemple 1 : On considère la fonction $f$ définie pour tous les réels qui a tout nombre associe sa moitié.
On a ainsi : $\mathscr{D}_f = \R$ et $f(x) = \dfrac{x}{2}$.

Exemple 2 : On considère la fonction $g$ qui a tout nombre positif associe sa racine carrée.
On a ainsi $\mathscr{D}_g = [0;+\infty[$ et $g(x) = \sqrt{x}$.

Exemple 3 : Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ telle que $h(x) = x^2 + 2x$.
L’image de $1$ est $h(1) = 1^2 + 2 \times 1 = 1 + 2 = 3$
L’image de $-3$ est $h(-3) = (-3)^2 + 2 \times (-3) = 9 – 6 = 3$
Les réels $1$ et $-3$ ont donc la même image par la fonction $h$.

Remarque : La définition 1 précise bien qu’un réel ne peut pas avoir plusieurs images par une même fonction. En revanche, comme on vient de la constater, plusieurs réels peuvent avoir la même image.

Définition 2 : On considère une fonction $f$ définie sur un ensemble $\mathscr{D}_f$ et $a$ un réel appartenant à $\mathscr{D}_f$. On appelle $b$ l’image de $a$ par la fonction $f$. On a donc $f(a) = b$.
On dit alors que $a$ est un antécédent de $b$ par la fonction $f$.

Ainsi dans l’exemple 3, $1$ et $-3$ sont deux antécédents de $3$.

 Définition 3 : On considère une fonction $f$ définie sur $\mathscr{D}_f$. Dans le plan muni d’un repère, on appelle courbe représentative de la fonction $f$, souvent notée $\mathscr{C}_f$ l’ensemble des points $M$ de coordonnées $\left(x;f(x)\right)$ pour tout $x \in \mathscr{D}_f$.

On dit alors qu’une équation de la courbe $\mathscr{C}_f$ est $y = f(x)$.

2nd - cours - intervalles - fig 3.1

Sur cet exemple, le point $A(-4;0)$ appartient à la représentation graphique de $f$.

$\quad$


$\quad$

II Fonctions linéaires et affines

 Définition 4 : Une fonction $f$ définie sur $\R$ est dit affine s’il existe deux réels $a$ et $b$ tel que, pour tout réel $x$, on ait $f(x) = ax+b$.
Si $b= 0$ la fonction $f$ est alors dite linéaire.
Le nombre $a$ est appelé le coefficient directeur.
Le nombre $b$ est appelé l’ordonnée à l’origine.

Exemple : La fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = 3x + 1$ est une fonction affine.

 Propriété 1 : La représentation graphique d’une fonction affine dans un repère du plan est une droite.
 Propriété 2 : (Réciproque) Dans un repère du plan, toute droite non parallèle à l’axe des ordonnées est la représentation graphique d’une fonction affine.

Remarque 1 : Le cas des droites parallèles à l’axe des ordonnées sera abordé dans le chapitre sur les équations de droites.

Remarque 2 : La représentation graphique d’une fonction linéaire est une droite passant par l’origine du repère.

Exemple de rédaction :

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=3x+1$.

La fonction $f$ est une fonction affine. Elle est donc représentée par une droite.

  • Si $x=-2$ alors $f(-2)=3\times (-2)+1=-5$.
    La droite passe par le point de coordonnées $(-2;-5)$.
  • Si $x=1$ alors $f(1)=3\times 1+1=4$.
    La droite passe par le point de coordonnées $(1;4)$.

Remarque : Les abscisses $-2$ et $1$ ont été choisies « au hasard ». Au regard de l’échelle du graphique, ces deux abscisses sont raisonnablement espacées (ni trop près, ni trop éloignées) et permettent de placer deux points appartenant à la droite dans le repère donné.

$\quad$

Propriété 3 : On considère la fonction affine $f$, définie sur $\R$ par $f(x) = ax+b$.
Quel que soit les réels distincts $u$ et $v$, on a : $$a = \dfrac{f(u) – f(v)}{u – v}$$

Remarque : Cette propriété permet, connaissant les coordonnées de deux points d’une droite non parallèle à l’axe des ordonnées (ou l’image de deux réels par la fonction $f$) de retrouver l’expression algébrique d’une fonction affine.

Exemple : On considère une fonction affine $f$ telle que $f(2) = 3$ et $f(5) = 4$
La fonction $f$ est affine. On appelle $a$ son coefficient directeur.
D’après la propriété précédente on a alors :
$$\begin{align*} a &= \dfrac{f(5)-f(2)}{5-2} \\
&= \dfrac{4-3}{3} \\
&= \dfrac{1}{3}
\end{align*}$$

Remarque : On aurait également pu faire le calcul $\dfrac{f(2)-f(5)}{2-5}$. On aurait obtenu la même valeur pour $a$.

$\quad$

III La fonction carré

 Définition 5 : On appelle fonction carré la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = x^2$.

On obtient ainsi, par exemple, le tableau de valeurs suivant :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x&-3&-2&-1&\phantom{-}0&\phantom{-}1&\phantom{-}2&\phantom{-}3 \\\\
\hline
f(x)&9&4&1&0&1&4&9\\\\
\hline
\end{array}$$

 Définition 6 : Dans un repère $(O;I,J)$ la courbe représentative de la fonction carré est appelée parabole de sommet $O$.

2nd - cours - fonctions de référence - fig2

Propriété 4: On considère $f$ la fonction carré.
Pour tout réel $x$ on a $f(-x)=f(x)$. On dit alors que la fonction carré est paire.
Graphiquement, cela signifie que l’axe des ordonnées est un axe de symétrique pour la courbe représentative de la fonction $f$.

$\quad$

Preuve Propriété 4

Pour tout réel $x$ on a $f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x)$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Propriété 5 : Soit $a$ un réel.

  • Si $a > 0$, l’équation $x^2 = a$ possède deux solutions : $-\sqrt{a}$ et $\sqrt{a}$.
  • Si $a= 0$, l’équation $x^2 = a$ possède une unique solution $0$.
  • Si $a < 0$, l’équation $x^2 = a$ ne possède aucune solution réelle.
Preuve Propriété 5

  • Puisque $a > 0$, on peut écrire :
    $$\begin{align*} x^2 = a & \ssi x^2 = \left(\sqrt{a}\right)^2 \\
    & \ssi x^2-\left(\sqrt{a}\right)^2 = 0 \\
    & \ssi \left(x-\sqrt{a}\right)\left(x + \sqrt{a}\right) = 0
    \end{align*}$$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    $x-\sqrt{a} = 0 \ssi x = \sqrt{a}$ $\quad$ ou $\quad$ $x + \sqrt{a} = 0 \ssi x = -\sqrt{a}$
    Les solutions de l’équation $x^2=a$ sont donc bien $-\sqrt{a}$ et $\sqrt{a}$.
  • La seule solution de $x^2 = 0$ est $0$.
  • Un carré est toujours positif.
    Or $a<0$. Par conséquent l’équation $x^2=a$ ne possède pas de solution.
    $\quad$

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$\quad$

Exemples :

  • Les solutions de l’équation $x^2=7$ sont $-\sqrt{7}$ et $\sqrt{7}$
  • L’équation $x^2=-4$ ne possède pas de solution puisque $-4<0$.

 Propriété 6 : On considère un nombre réel $a$ strictement positif.

  • L’ensemble des solutions dans $\R$ de l’inéquation $x^2\pp a$ est $\left[-\sqrt{a};\sqrt{a}\right]$.
  • L’ensemble des solutions dans $\R$ de l’inéquation $x^2< a$ est $\left]-\sqrt{a};\sqrt{a}\right[$.

$\quad$

Exemple 1 : On veut résoudre l’inéquation $x^2 \le 4$.

  1. On trace la parabole.
  2. On trace la droite d’équation $y=4$.
  3. On repère les points d’intersection et leurs abscisses : $-2$ et $2$.
  4. La solution de l’inéquation est l’ensemble des abscisses des points de la parabole situés sous la droite : $[-2;2]$.

2nd - cours - fonctions de référence - fig5

Exemple 2 : On veut résoudre l’inéquation $x^2 > 9$

  1. On trace la parabole.
  2. On trace la droite d’équation $y=9$.
  3. On repère les points d’intersection et leurs abscisses : $-3$ et $3$.
  4. La solution de l’inéquation est l’ensemble des abscisses des points de la parabole situés strictement au-dessus de la droite : $]-\infty;-3[\cup]3;+\infty[$.

2nd - cours - fonctions de référence - fig6

 Propriété 7 : On considère deux réels $a$ et $b$ et la fonction carré $f$.

  • Si $0\pp a < b$ alors $f(a)<f(b)$ (qui s’écrit également $a^2<b^2$);
  • Si $a < b\pp 0$ alors $f(a)>f(b)$ (qui s’écrit également $a^2>b^2$).
Preuve Propriété 7

On appelle $f$ la fonction carré.
On considère deux réels $a$ et $b$. Pour pouvoir comparer $f(a)$ et $f(b)$ nous allons étudier le signe de $f(a)-f(b)$.
Ainsi : $f(a)-f(b) =a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$

  • Si $0\pp a < b$
    Puisque $a<b$ cela signifie que $a-b< 0$.
    Puisque $a$ et $b$ sont tous les deux positifs, on a alors $a+b >0$.
    Par conséquent $(a-b)(a+b) <0$ en tant que produit deux nombres de signes contraires.
    Donc $f(a)-f(b) < 0$ et $f(a)<f(b)$.
  • Si $a < b \pp 0$
    Puisque $a<b$ cela signifie que $a-b< 0$.
    Puisque $a$ et $b$ sont tous les deux négatifs, on a alors $a+b <0$.
    Par conséquent $(a-b)(a+b) >0$ en tant que produit deux nombres de même signe.
    Donc $f(a)-f(b) > 0$ et $f(a)>f(b)$.
    $\quad$

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$\quad$

Remarque : On reviendra sur cette propriété dans un autre chapitre quand on parlera des variations des fonctions.

$\quad$

IV La fonction cube

 Définition 7 : On appelle fonction cube la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=x^3$.

On obtient ainsi, par exemple, le tableau de valeurs suivant :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x&-3&-2&-1&\phantom{~}0\phantom{~}&\phantom{~}1\phantom{~}&\phantom{~}2\phantom{~}&\phantom{~}3\phantom{~} \\
\hline
f(x)&-27&-8&-1&0&1&8&27\\
\hline
\end{array}$$

 Propriété 8 : On appelle $f$ la fonction cube.
Pour tout réel $x$ on a $f(-x)=-f(x)$. On dit alors que la fonction cube est impaire.
Graphiquement, cela signifie que l’origine du repère est le centre de symétrie de la courbe représentative de la fonction $f$.
Preuve Propriété 8

Pour tout réel $x$ on a $f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)$
$\quad$

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$\quad$

 Propriété 9 : Pour tout nombre réel $a$, l’équation $x^3=a$ possède une unique solution.

$\quad$

Remarque : Certains cubes d’entiers naturels sont à connaître, comme par exemple $2^3=8$, $3^3=27$ et $5^3=125$. Dans les autres cas, il faudra utiliser (hors programme) la touche $\sqrt[3]{~}$ de la calculatrice.

$\quad$

Voici un exemple de résolution d’inéquation à l’aide de la représentation graphique de la fonction cube.

Exemple : On veut résoudre l’inéquation $x^3 \pp 1,5^3$.

  1. On trace la courbe représentative de la fonction cube.
  2. On trace la droite d’équation $y=1,5^3$.
  3. On repère le point d’intersection et son abscisse : $1,5$.
  4. La solution de l’inéquation est l’ensemble des abscisses des points de la courbe situés sous la droite : $]-\infty;1,5]$.

$\quad$

 Propriété 10 : On considère deux réels $a$ et $b$. On a alors :$$a^3<b^3 \ssi a<b$$

$\quad$

Remarque : Cette propriété sera démontrée en exercice.

$\quad$

Propriété 11 (Positions relatives) : On considère un nombre réel $x$.

  • Si $0<x<1$ alors $0<x^3<x^2<x<1$;
  • Si $1<x$ alors $1<x<x^2<x^3$.

Preuve propriété 11

  • Si $0<x<1$
    On a $x^3-x^2=x^2(x-1)$. Or $x^2>0$ et, puisque $x<1$, on a $x-1<0$ par conséquent $x^3-x^2<0$ c’est-à-dire $x^3<x^2$.
    On a également $x^2-x=x(x-1)$. Or $x>0$ et $x-1<0$ par conséquent $x^2-x<0$ soit $x^2<x$.
    De plus $x^3>0$ en tant que produit de nombres positifs.
    Ainsi $0<x^3<x^2<x<1$.
  • Si $1<x$
    On a $x^3-x^2=x^2(x-1)$. Or $x^2>0$ et, puisque $x>1$, on a $x-1>0$ par conséquent $x^3-x^2>0$ c’est-à-dire $x^3>x^2$.
    On a également $x^2-x=x(x-1)$. Or $x>0$ et $x-1>0$ par conséquent $x^2-x>0$ soit $x^2>x$.
    Ainsi $1<x<x^2<x^3$.
    $\quad$

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$\quad$

V La fonction inverse

 Définition 8 : On appelle fonction inverse la fonction $f$ définie sur $]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$ par $f(x) = \dfrac{1}{x}$.

Remarque : La fonction inverse n’est pas définie en $0$.

On obtient ainsi, par exemple, le tableau de valeurs suivant :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x&-3&-2&-1&\phantom{-}1&\phantom{-}2&\phantom{-}3 \\\\
\hline
f(x)&-\dfrac{1}{3}&-\dfrac{1}{2}&-1&1&\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{3}\\\\
\hline
\end{array}$$

 Définition 9 : La courbe représentant la fonction inverse dans un repère $(O;I,J)$ est composée de deux branches d’hyperbole.

2nd - cours - fonctions de référence - fig4

 Propriété 12 : On appelle $f$ la fonction inverse.
Pour tout réel $x$ non nul, on a $f(-x)=-f(x).$ On dit alors que la fonction inverse est impaire.
Graphiquement, cela signifie que l’origine du repère est le centre de symétrie de la courbe représentative de la fonction $f$.

$\quad$

Remarque : La preuve sera faite en exercice.

 Propriété 13 : Pour tout réel $a$ non nul, l’équation $\dfrac{1}{x} = a$ possède une unique solution $\dfrac{1}{a}$.

$\quad$

Exemples :

  • La solution de l’équation $\dfrac{1}{x}=3$ est $\dfrac{1}{3}$.
  • La solution de l’équation $\dfrac{1}{x}=-0,2$ est $\dfrac{1}{-0,2}$ soit $-5$.

Voici deux exemples pour résoudre des inéquations à l’aide de la représentation graphique de la fonction inverse.

Exemple 1 : On veut résoudre l’inéquation $\dfrac{1}{x} < 2$

  1. On trace les deux branches d’hyperbole.
  2. On trace la droite d’équation $y=2$.
  3. On repère le point d’intersection et son abscisse : $\dfrac{1}{2}$.
  4. La solution de l’inéquation est l’ensemble des abscisses des points des branches d’hyperbole situés strictement sous la droite : $]-\infty;0[\cup\left]\dfrac{1}{2};+\infty\right[$.

2nd - cours - fonctions de référence - fig7.1

Exemple 2 : On veut résoudre l’inéquation $\dfrac{1}{x} \ge \dfrac{1}{4}$

  1. On trace les deux branches d’hyperbole.
  2. On trace la droite d’équation $y=\dfrac{1}{4}$.
  3. On repère le point d’intersection et son abscisse : $4$.
  4. La solution de l’inéquation est l’ensemble des abscisses des points des branches d’hyperbole situés au-dessus de la droite : $]0;4]$.

2nd - cours - fonctions de référence - fig8

Attention : Soyez bien attentif aux bornes des intervalles en tenant compte du signe de l’inégalité et de l’ensemble de définition de la fonction utilisée.

 Propriété 14 : On considère deux réels non nuls $a$ et $b$ de même signe. On a alors : $$a<b \ssi \dfrac{1}{a} > \dfrac{1}{b}$$

$\quad$

VI La fonction racine carrée

Définition 10 : La fonction racine carrée est la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0;+\infty[$ par $f(x)=\sqrt{x}$.

$\quad$

On obtient ainsi, par exemple, le tableau de valeurs suivant :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x&~~0~~&~~1~~&~~2~~&~~3~~&~~4~~&~~5~~ \\
\hline
\rule [-0.5cm]{0cm}{1.2cm}f(x)&0&1&\sqrt{2}&\sqrt{3}&2&\sqrt{5}\\
\hline
\end{array}$$

 Propriété 15 : Pour tout nombre réel $a$ positif, l’unique solution de l’équation $\sqrt{x}=a$ est $a^2$.

$\quad$

Exemple : La solution de l’équation $\sqrt{x}=6$ est $36$.

$\quad$

 Propriété 16 : Pour tout nombre réel $x$ on a $\sqrt{x^2}=|x|$.

$\quad$

Exemples : $\sqrt{5^2}=5$ et $\sqrt{(-3)^2}=3$.

$\quad$

Voici un exemple de résolution d’inéquation à l’aide de la représentation graphique de la fonction racine carrée.

Exemple : On veut résoudre l’inéquation $\sqrt{x} \pp 2$.

  1. On trace la courbe représentative de la fonction racine carrée.
  2. On trace la droite d’équation $y=2$.
  3. On repère le point d’intersection et son abscisse : $4$.
  4. La solution de l’inéquation est l’ensemble des abscisses des points de la courbe situés sous la droite : $[0;4]$.

 Propriété 17 : On considère deux nombres réels $a$ et $b$ positifs. On a alors : $$a<b \ssi \sqrt{a}<\sqrt{b}$$

$\quad$

Exemple : On a $9<10$ donc $\sqrt{9}<\sqrt{10}$ soit $3<\sqrt{10}$.

$\quad$

VII Un peu d’histoire

Leibnitz est le premier à employer le terme « fonction » au $17^{\text{ième}}$ siècle. Euler au $18^{\text{ième}}$ siècle utilise la notation $f(x)$ et Cauchy, au $19^{\text{ième}}$ siècle, pose les bases de l’analyse telle qu’on la connaît maintenant.

$\quad$

 

Bac STMG – Polynésie – Juin 2019

Polynésie – juin 2019

Bac STMG – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. On a
    $\begin{align*} P(X \pg 14)&=P(X\pg 12)-P(12\pp X\pp 14)\\
    &=0,5-P(12\pp X\pp 14)\\
    &\approx 0,16\end{align*}$
    Réponse A
    $\quad$
  2. On a $n=400$ et $f=\dfrac{112}{400}=0,28$.
    Un intervalle de confiance au seuil de $95\%$ dans lequel devrait se trouver la proportion d’électeurs votant pour le candidat aux élections municipales est :
    $\begin{align*} I_{400}&=\left[0,28-\dfrac{1}{\sqrt{400}};0,28+\dfrac{1}{\sqrt{400}}\right] \\
    &=[0,23;0,33]\end{align*}$
    Réponse A
    $\quad$
  3. $\left(V_n\right)$ est une suite géométrique de raison $1,2$ et de premier terme $V_1=6$.
    Pour tout entier naturel $n$ non nul on a donc $V_n=6\times 1,2^{n-1}$.
    Par conséquent $V_6=6\times 1,2^5\approx 14,9$.
    Réponse C
    $\quad$
  4. Voici les différentes valeurs prises par les variables (arrondie au centième pour $V$) :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    n&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11\\
    \hline
    V&6&7,2&8,64&10,37&12,44&14,93&17,93&21,50&25,80&30,96&37,16\\
    \hline
    \end{array}$$
    On obtient donc $n=11$
    Réponse C
    $\quad$
  5. La suite $\left(U_n\right)$ est arithmétique de raison $3$ et $U_4=81$.
    Par conséquent :
    $U_3=81-3=78$,
    $U_2=78-3=75$,
    $U_1=75-3=72$
    et $U_0=72-3=69$.
    Réponse C
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. D’après l’énoncé on a : $P(A)=0,6$, $P(B)=1-0,6=0,4$, $P_A(D)=0,05$ et $P(B\cap D)=0,01$.
    $\quad$
  2. a. On veut calculer $P(A\cap D)=0,6\times 0,05=0,03$.
    La probabilité qu’un stylo provienne de l’atelier A et possède un défaut de fabrication est égale à $0,03$.
    $\quad$
    b. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(D)&=P(A\cap D)+P(B\cap D) \\
    &=0,03+0,01 \\
    &=0,04\end{align*}$
    La probabilité qu’un stylo possède un défaut de fabrication est de $0,04$.
    $\quad$
  3. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_B(D)&=\dfrac{P(B\cap D)}{P(B)} \\
    &=\dfrac{0,01}{0,4} \\
    &=0,025\end{align*}$
    La probabilité qu’un stylo prélevé au hasard dans l’atelier B possède un défaut est $0,025$.
    $\quad$

Partie B

  1. La variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=25$ et $p=0,04$.
    $\quad$
  2. $P(X=0)=0,96^{25}\approx 0,36<0,5$.
    L’affirmation du directeur est donc fausse.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

Partie A : lectures graphiques

  1. D’après le graphique $C_m(7)\approx 500$.
    $\quad$
  2. À l’aide du graphique on obtient le tableau de variations suivants (valeurs approchées à l’unité).
    $\quad$
  3. D’après le graphique le coût moyen de production est minimal quand l’entreprise produit $5$ kilomètres de tissu.
    $\quad$

Partie B : étude du bénéfice

  1. Pour tout nombre $x$ compris entre $1$ et $10$ on a $R(x)=680x$.
    $\quad$
  2. Pour tout nombre $x$ compris entre $1$ et $10$ on a :
    $\begin{align*} B(x)&=R(x)-C(x)\\
    &=680x-\left(15x^3-120x^2+500x+750\right) \\
    &=-15x^3+120x^2+180x-750\end{align*}$
    $\quad$
  3. Pour nombre réel $x$ apartenant à l’intervalle $[1;10]$ on a :
    $\begin{align*} B'(x)&=-15\times 3x^2+120\times 2x+180 \\
    &=-45x^2+240x+180\end{align*}$
    $\quad$
  4. a. On considère le trinôme $-45x^2+240x+180$ où $a=-45$, $b=240$ et $c=180$.
    Le discriminant est $\Delta = 240^2-4\times (-45)\times 180=90~000>0$
    Les racines sont donc :
    $x_1=\dfrac{-240-\sqrt{90~000}}{-90}=6$ et $x_2=\dfrac{-240-\sqrt{90~000}}{-90}=-\dfrac{2}{3}$.
    $a=-45<0$
    Cela signifie donc que le trinôme est strictement négatif sur $\left]-\infty;-\dfrac{2}{3}\right[\cup]6;+\infty[$, nul en $-\dfrac{2}{3}$ et $6$ et strictement positif sur $\left]-\dfrac{2}{3};6\right[$.
    $\quad$
    b. Si l’on restreint cette étude à l’intervalle $[1;10]$ on obtient que :
    $B'(x)>0$ sur l’intervalle $[0;6[$;
    $B'(6)=0$;
    $B'(x)<0$ sur l’intervalle $]6;+\infty[$.
    $\quad$
  5. On obtient le tableau de variations suivant :

    $\quad$
  6. Le bénéfice est maximal quand l’entreprise produit $6$ kilomètres de tissu. Ce bénéfice vaut $1~410$ euros.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie A : étude d’un premier modèle

  1. Voir le graphique de la question 2.b.
    $\quad$
  2. a. À l’aide de la calculatrice on obtient l’équation suivante $y=2,42x+18,14$.
    $\quad$
    b. On obtient le graphique suivant :

    $\quad$
  3. En 2020 on a $x=10$.
    Graphiquement, le point d’abscisse $10$ de la droite a une ordonnée environ égale à $42$.
    Le chiffre d’affaires de cette entreprise en 2020 sera d’environ $42$ millions d’euros selon ce modèle.
    $\quad$

Partie B : étude d’un second modèle

  1. Le taux d’évolution global du chiffre d’affaires de l’entreprise entre 2010 et 2016 est $t=\dfrac{32,4-18,3}{18,3}\approx 0,7705$ donc $t \approx 77,05\%$.
    $\quad$
  2. On appelle $x$ le taux d’évolution moyen annuel entre 2010 et 2016.
    On a donc :
    $\begin{align*} \left(1+\dfrac{x}{100}\right)^6=1,7705&\ssi 1+\dfrac{x}{100}=1,7705^{1/6} \\
    &\ssi \dfrac{x}{100}=1,7705^{1/6}-1\\
    &\ssi x=100\left(1,7705^{1/6}-1\right) \end{align*}$
    donc $x\approx 10\%$.
    $\quad$
  3. Selon ce modèle le chiffre d’affaires de l’entreprise en 2020 sera de $32,4\times 1,1^4\approx 47$ millions d’euros.
    $\quad$

 

 

 

Énoncé

Exercice 1     4 points

Cet exercice est un Questionnaire à Choix Multiples (QCM).
Pour chaque question, une et une seule réponse est exacte.
Une réponse juste rapporte un point tandis qu’une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point.
Recopier sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.

  1. Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi normale de paramètres $\mu= 12$ et $\sigma = 2$.
    Quelle est la valeur de la probabilité $P(X \pg 14)$ arrondie au centième ?
    A. $0,16$
    B. $0,20$
    C. $0,80$
    D. $0,84$
    $\quad$
  2. Un candidat aux élections municipales a fait réaliser un sondage auprès de $400$ électeurs. $112$ de ces $400$ électeurs ont affirmé vouloir voter pour ce candidat. Un intervalle de confiance au seuil de $95 \%$ dans lequel devrait se trouver la proportion d’électeurs votant pour le candidat aux élections municipales est :
    A. $[0,230 ; 0,330]$
    B. $[0,277 ; 0,283]$
    C. $[0,307 ; 0,407]$
    D. $[0,354 ; 0,360]$
    $\quad$
  3. Soit $\left(V_n\right)$ la suite géométrique de raison $q=1,2$ et de premier terme $V_1=6$.
    Quelle est la valeur de $V_6$ arrondie au dixième ?
    A. $12,0$
    B. $13,2$
    C. $14,9$
    D. $17,9$
    $\quad$
  4. On considère l’algorithme suivant. Quelle est la valeur de $n$ à la fin de cet algorithme ? $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    n\leftarrow 1\\
    V\leftarrow 6\\
    \text{Tant que }V<31\\
    \hspace{1cm} n\leftarrow n+1\\
    \hspace{1cm} V\leftarrow V\times 1,2\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    A. $9$
    B. $10$
    C. $11$
    D. $12$
    $\quad$
  5. Soit $\left(U_n\right)$ la suite arithmétique de raison $3$ et telle que $U_4=81$.
    Le premier terme $U_0$ de la suite $\left(U_n\right)$ est :
    A. $1$
    B. $3$
    C. $69$
    D. $72$
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes

Partie A

Deux ateliers A et B fabriquent des stylos pour une entreprise.
L’atelier A fabrique $60\%$ des stylos, et parmi ceux-là, $5\%$ possèdent un défaut de fabrication.
De plus, $1\%$ des stylos possèdent un défaut de fabrication et sortent de l’atelier B.
Un stylo est prélevé au hasard dans le stock de l’entreprise.
On considère les événements suivants :

$\qquad$ $A$ : « Le stylo a été fabriqué par l’atelier A »
$\qquad$ $B$ : « Le stylo a été fabriqué par l’atelier B »
$\qquad$ $D$ : « Le stylo possède un défaut de fabrication »

  1. Donner les probabilités $P(A)$, $P(B)$, $P_A(D)$ et $P(B\cap D)$.
    On pourra s’appuyer sur un arbre de probabilités que l’on complètera au fur et à mesure pour répondre aux questions suivantes.
    $\quad$
  2. a. Calculer la probabilité qu’un stylo provienne de l’atelier A et possède un défaut de fabrication.
    $\quad$
    b. En déduire que la probabilité qu’un stylo possède un défaut de fabrication est de $0,04$.
    $\quad$
  3. On prélève un stylo au hasard dans l’atelier B. Quelle est la probabilité qu’il possède un défaut ?
    $\quad$

Partie B

Dans cette partie, on suppose que $4\%$ des stylos possèdent un défaut de fabrication.
L’entreprise confectionne des paquets contenant chacun $25$ stylos.
Le fait qu’un stylo possède ou non un défaut de fabrication est indépendant des autres stylos.
On appelle $X$ la variable aléatoire donnant pour un paquet le nombre de stylos qui possèdent un défaut de fabrication.
On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale.

  1. Préciser les paramètres de cette loi binomiale.
    $\quad$
  2. Le directeur de l’entreprise affirme qu’il y a plus d’une chance sur deux qu’un paquet ne comporte
    aucun stylo défectueux. A-t-il raison ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     6 points

Une entreprise fabrique chaque jour des rouleaux de tissu en coton.
La production quotidienne varie entre $1$ et $10$ kilomètres de tissu.
On note $x$ la production de tissu en kilomètres.
Le coût total de production, exprimé en euros, de $x$ kilomètres de tissu est donné par la fonction $C$ définie pour $x$ appartenant à $[1 ; 10]$ par : $C(x)=15x^3-120x^2+500x+750$$

Partie A : lectures graphiques

On appelle coût moyen de production la fonction $C_m$  définie sur l’intervalle $[1 ; 10]$ par : $$C_m(x)=\dfrac{C(x)}{x}$$
La représentation graphique de la fonction $C_m$ est donnée ci-dessous.

  1. Donner par lecture graphique une valeur approchée de $C_m(7)$.
    $\quad$
  2. À l’aide de la représentation graphique, donner le tableau de variations de $C_m$ sur $[1 ; 10]$.
    $\quad$
  3. Déterminer par lecture graphique combien de kilomètres de tissu l’entreprise doit fabriquer pour que le coût moyen de production soit minimal.
    $\quad$

Partie B : étude du bénéfice

On suppose que l’entreprise vend chaque jour sa production journalière.
Le prix de vente d’un kilomètre de tissu est de $680$ €.
On rappelle que le nombre de kilomètres de tissu $x$ fabriqués varie chaque jour entre $1$ et $10$.
On note $R(x)$ la recette, exprimée en euros, correspondant à la vente de $x$ kilomètres de tissu.
On note $B(x)$ le bénéfice, exprimé en euros, réalisé par l’entreprise pour la vente de $x$ kilomètres de tissu.

  1. Exprimer $R(x)$ en fonction de $x$.
    $\quad$
  2. Justifier que l’expression de $B(x)$ en fonction de $x$ est : $B(x)=-15x^3+120x^2+180x-750$.
    $\quad$
  3. On note $B’$ la fonction dérivée de la fonction $B$. Pour tout nombre réel $x$ appartenant à l’intervalle $[1 ; 10]$, calculer $B'(x)$.
    $\quad$
  4. a. Étudier pour tout $x$ réel le signe du trinôme $-45x^2+240x+180$.
    $\quad$
    b. En déduire le signe de la fonction $B’$ sur l’intervalle $[1 ; 10]$.
    $\quad$
  5. En utilisant la question précédente, donner le tableau de variations complet de la fonction $B$ sur l’intervalle $[1 ; 10]$.
    $\quad$
  6. Déterminer le nombre de kilomètres de tissu que l’entreprise doit produire et vendre chaque jour pour que le bénéfice réalisé soit maximal. Que vaut ce bénéfice maximal ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     4 points

Le tableau suivant donne le chiffre d’affaires mondial d’une entreprise entre 2010 et 2016 en millions d’euros.

$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{ Année}& 2010& 2011& 2012& 2013& 2014& 2015& 2016\\
\hline
\text{ Rang de l’année }x_i& 0& 1& 2& 3& 4& 5& 6\\
\hline
\begin{array}{l} \text{Chiffre d’affaires }y_i\\\text{(en millions d’euros)}\end{array}& 18,3& 20,1& 23,3& 25,3& 27,8& 30,6& 32,4\\
\hline
\end{array}$$

Partie A : étude d’un premier modèle

  1. Sur le graphique donné en annexe à rendre avec la copie, représenter le nuage de points de coordonnées $\left(x_i;y_i\right)$ pour $i$ variant de $0$ à $6$.
    $\quad$
  2. a. À l’aide de la calculatrice, donner une équation de la droite d’ajustement affine de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis au centième.
    $\quad$
    Dans la suite, on choisit la droite $d$ d’équation $y=2,4x+18,1$ comme ajustement affine du nuage
    de points.
    $\quad$
    b. Tracer la droite $d$ sur le même graphique donné en annexe.
    $\quad$
  3. En supposant que cet ajustement demeure valable pendant plusieurs années, donner par lecture graphique le chiffre d’affaires de cette entreprise en 2020. Arrondir au million près.
    $\quad$

Partie B : étude d’un second modèle

  1. Déterminer, à l’aide du tableau, le taux d’évolution global du chiffre d’affaires de l’entreprise entre 2010 et 2016. On exprimera le résultat en pourcentage arrondi au centième.
    $\quad$
  2. Déterminer le taux d’évolution moyen annuel entre 2010 et 2016, exprimé en pourcentage arrondi à l’entier le plus proche.
    $\quad$
  3. On suppose que le taux d’évolution annuel sera de $10\%$ entre 2016 et 2020. Estimer le chiffre d’affaires de l’entreprise en 2020. Arrondir au million près.
    $\quad$

Annexe

$\quad$

 

 

1ère – E3C

Vous trouverez ici les sujets de contrôle continu pour l’enseignement de spécialité mathématiques de première.

Année 2019 – 2020

2019 – 2020

Vous trouverez ici les sujets de contrôle continu pour l’enseignement de spécialité mathématiques de première de 2019 – 2020.

Sujet 0

Session examens 2016-2017

Session 2017 TS TES/TL TSTMG DNB
Nouvelle Calédonie  mars 2017

28 novembre 2017

 mars 2017

28 novembre 2017

28 novembre 2017   12 décembre 2017
Pondichéry  26 avril 2017 26 avril 2017 26 avril 2017   2 mai 2017
Liban 5 juin 2017 5 juin 2017   cf centres étrangers 
Amérique du Nord  2 juin 2017 2 juin 2017   7 juin 2017
Polynésie 14 juin 2017

5 septembre 2017

16 juin 2017

5 septembre 2017

13 juin 2017

4 septembre 2017

23 juin 2017 

14 septembre 2017

Asie 22 juin 2017 22 juin 2017 27 juin 2017
Centres étrangers  13 juin 2017 13 juin 2017 13 juin 2017 19 juin 2017
Antilles Guyane 16 juin 2017

7 septembre 2017

16 juin 2017

7 septembre 2017

16 juin 2017

7 septembre 2017

cf métropole 
Métropole 21 juin 2017

12 septembre 2017

21 juin 2017

12 septembre 2017

16 juin 2017

sujet de secours

7 septembre 2017

Sujet 0

29 juin 2017

14 septembre 2017

Amérique du Sud 21 novembre 2017 23 novembre 2017 30 novembre 2017
Wallis et Futuna 2 décembre 2017

Bac STMG – Antilles Guyane – Juin 2018

Antilles Guyane – Juin 2018

Bac STMG – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
    $\quad$
  2. On veut calculer $p(B\cap D)=0,45\times 0,04=0,018$.
    La probabilité que la batterie provienne de l’atelier Bestphone et présente au moins un défaut est $0,018$ ou $1,8\%$.
    $\quad$
  3. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(D)&=p(A\cap D)+p(B\cap D) \\
    &=0,55\times 0,06+0,45\times 0,04 \\
    &=0,051\end{align*}$
    La probabilité que la batterie présente au moins un défaut est égale à $0,051$.
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_D(A)&=\dfrac{p(A\cap D)}{p(D)} \\
    &=\dfrac{0,55\times 0,06}{0,051} \\
    &=\dfrac{11}{17} \\
    &\approx 0,647 \\
    &<\dfrac{2}{3}
    \end{align*}$
    L’affirmation est donc fausse.
    $\quad$

Partie B

  1. La calculatrice nous fournit :
    $p(600 \pp X \pp 900) \approx 0,95$.
    Remarque : on pouvait remarquer qu’on demandait de calculer $p(\mu-2\sigma\pp X \pp \mu+2\sigma)$.
    $\quad$
  2. $15$h $=900$ min.
    On a $p(X \pg 900)=0,5-p(750\pp X \pp 900) \approx 0,02$.
    La probabilité qu’une batterie ait une autonomie supérieure à $15$ heures est environ égale à $0,02$.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. On a pu saisir $=(C2-B2)/B2$.
    $\quad$
  2. $\dfrac{18,21-14,3}{14,3} \approx 0,273~4$
    Le taux d’évolution global de la part de la surface agricole couverte par l’agriculture  biologique en Suède entre 2010 et 2016 est environ égal à $27,34\%$
    $\quad$
  3. On cherche la valeur de $x$ telle que :
    $\begin{align*} 14,3\left(1+\dfrac{x}{100}\right)^6=18,21&\ssi \left(1+\dfrac{x}{100}\right)^6=\dfrac{18,21}{14,3} \\
    &\ssi 1+\dfrac{x}{100}=\left(\dfrac{18,21}{14,3}\right)^{1/6} \\
    &\ssi \dfrac{x}{100}=\left(\dfrac{18,21}{14,3}\right)^{1/6}-1 \\
    &\ssi x=100\left[\left(\dfrac{18,21}{14,3}\right)^{1/6}-1\right]
    \end{align*}$
    Ainsi $x\approx 4,11$.
    Le taux d’évolution annuel moyen de la part de la surface agricole couverte par l’agriculture  biologique en Suède entre 2010 et 2016 est environ égal à $4,11\%$.
    $\quad$
  4. $2025-2016=9$
    $18,21\times 1,04^{9} \approx 25,92$.
    L’objectif sera donc atteint au vu de l’hypothèse faite.
    $\quad$
  5. On a $n=500$ et $p=0,182~1$.
    Donc $n\pg 30$, $np=91,05\pg 5$ et $n(1-p)=408,98 \pg 5$.
    Un intervalle de fluctuation de la part de la surface agricole couverte par l’agriculture biologique en 2016 au seuil de $95\%$ est :
    $\begin{align*} I_{500}&=\left[0,182~1-\dfrac{1}{\sqrt{500}};0,182~1+\dfrac{1}{\sqrt{500}}\right] \\
    &\approx [0,137~3;0,226~9]
    \end{align*}$
    La fréquence observée est $f=0,12 \notin I_{500}$.
    Au risque d’erreur de $5\%$ l’affirmation de l’internaute est fausse.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. Une équation de la droite d’ajustement est $y=12,134x+1~419,6$.
    $\quad$
  2. a. Si $x=0$ alors $y=1~419,6$. Le point de coordonnées $(0;1~419,6)$ appartient à la droite.
    Si $x=10$ alors $y=1~540,94$. Le point de coordonnées $(10;1~540,94)$ appartient également à la droite.
    $\quad$

    $\quad$
    b. En 2025, on a $x=13$
    Par conséquent $y=12,134 \times 13+1~419,6=1~577,342$.
    Selon cet ajustement, en 2025, la valeur du montant mensuel brut du SMIC sera $1~577,342$ €.
    $\quad$

Partie B

  1. La suite $\left(u_n\right)$ est géométrique de raison $1,01$ de premier terme $u_0=1~480,27$.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=1~480,27\times 1,01^n$.
    Réponse a
    $\quad$
  2. En 2022 on a $n=5$.
    Alors $u_5=1~480,27\times 1,01^5 \approx 1~555,78$.
    Réponse c
    $\quad$

Partie C

À l’aide de la calculatrice, on trouve $u_8 \approx 1~587,05$ et $u_9\approx 1~602,92$.
Par conséquent, après l’exécution de cet algorithme, on a $N=9$ et $U\approx 1~602,92$.
C’est à partir de la $9\ieme$ année, soit en 2026, que le montant mensuel brut du SMIC dépassera pour la première fois $1~600$ € selon ce modèle.
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[15;30]$ on a
    $f'(x)=-2\times 2x+90=-4x+90$.
    $-4x+90=0 \ssi 4x=90 \ssi x=22,5$
    $-4x+90 > 0 \ssi -4x > -90 \ssi x < 22,5$.
    La fonction $f$ est donc croissante sur l’intervalle $[15;22,5]$ et décroissante sur l’intervalle $[22,5;30]$.
    $\quad$
  2. Le maximum est atteint pour $x=22,5$.
    $f(22,5)=-2\times 22,5^2+90\times 22,5-400=612,5$.
    Le maximum de la fonction $f$ sur l’intervalle $f$ est donc $612,5$.
    $\quad$
  3. D’après la question précédente, le bénéfice est maximal quand l’entreprise produit $2~250$ panneaux solaires.
    Le bénéfice maximal est alors de $61~250$ €.
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1     5 points

Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes.

Une entreprise fabrique des batteries pour téléphone.

Partie A

Les batteries sont fabriquées dans deux ateliers, Arobase et Bestphone ; $55 \%$ d’entre elles sont fabriquées dans l’atelier Arobase et le reste dans l’atelier Bestphone.
A l’issue de la fabrication, certaines batteries sont contrôlées.

Ces contrôles permettent d’affirmer que :

  • parmi les batteries fabriquées dans l’atelier Arobase, $94 \%$ ne présentent aucun défaut ;
  • parmi les batteries fabriquées dans l’atelier Bestphone, $4 \%$ présentent au moins un défaut.

Une batterie est prélevée de façon équiprobable dans le stock constitué des batteries produites par les deux ateliers.
On considère les événements suivants :
$\quad$ $A$ : ≪ la batterie provient de l’atelier Arobase ≫
$\quad$ $B$ : ≪ la batterie provient de l’atelier Bestphone ≫
$\quad$ $D$ : ≪ la batterie présente au moins un défaut ≫

  1. Compléter l’arbre de probabilité donné en annexe, à rendre avec la copie.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité que la batterie provienne de l’atelier Bestphone et présente au moins un défaut.
    $\quad$
  3. Montrer que la probabilité que la batterie présente au moins un défaut est égale à $0,051$.
    $\quad$
  4. Sachant que la batterie choisie présente au moins un défaut, peut-on affirmer qu’il y a plus de deux chances sur trois que cette batterie provienne de l’atelier Arobase ? Justifier la réponse.
    $\quad$

Partie B
Dans cette partie, tous les résultats seront arrondis au centième.

On modélise l’autonomie d’une batterie, exprimée en minute, par une variable aléatoire $X$ suivant la loi normale d’espérance $\mu = 750$ et d’écart type $\sigma = 75$.

  1. Donner la valeur, arrondie au centième, de la probabilité $p(600 \pp X \pp 900)$.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité qu’une batterie ait une autonomie supérieure à $15$ heures.
    $\quad$

Annexe

$\quad$

Exercice 2     5 points

La feuille de calcul suivante, extraite d’un tableur, donne la part de la surface agricole couverte par l’agriculture biologique (en pourcentage de la surface agricole totale) en Suède, entre 2010 et 2016 :

$\begin{array}{|c|l|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
&\hspace{3cm}\textbf{A}&\textbf{B}&\textbf{C}&\textbf{D}&\textbf{E}&\textbf{F}&\textbf{G}&\textbf{H}\\
\hline
\textbf{1}&\text{Année}&2010&2011&2012&2013&2014&2015&2016\\
\hline
\textbf{2}&\text{Part de la surface agricole couverte}&14,3&15,7&15,76&16,5&16,53&17,09&18,21\\
&\text{par l’agriculture biologique en}&\phantom{15,76}&\phantom{15,76}&&\phantom{15,76}&&&\\
&\text{Suède (en pourcentage de la surface}&&&&&&&\\
&\text{agricole totale)}&&&&&&&\\
\hline
\textbf{3}&\text{Taux d’évolution par rapport à 2010}&\bbox[gray]{\phantom{15,7^{2}}}&&&&&&\\
\hline
\end{array}\\
\hspace{14cm}\scriptsize{Source~:~ec.europa.eu/eurostat}$

  1. Quelle formule peut-on saisir en cellule $C3$ pour obtenir, par recopie vers la droite, les valeurs de la plage de cellules $C3:H3$ ?
    $\quad$
  2. Déterminer le taux d’évolution global de la part de la surface agricole couverte par l’agriculture biologique en Suède entre 2010 et 2016. On l’exprimera en pourcentage.
    $\quad$
  3. Déterminer le taux d’évolution annuel moyen de la part de la surface agricole couverte par l’agriculture biologique en Suède entre 2010 et 2016. On l’exprimera en pourcentage.
    $\quad$
  4. Le gouvernement suédois a pour objectif que, d’ici 2025, un quart de la surface agricole totale soit occupé par l’agriculture biologique.
    On suppose qu’à partir de 2016, la part de la surface agricole couverte par l’agriculture biologique augmente de $4 \%$ par an en Suède.
    L’objectif du gouvernement sera-t-il atteint au vu de cette hypothèse ? Justifier la réponse.
    $\quad$
  5. Toujours d’après Eurostat, la surface agricole couverte par l’agriculture biologique en France en 2016 représentait $5,54 \%$ de la surface agricole totale, alors qu’elle représentait $18,21 \%$ en Suède.
    Un internaute affirme sur son site que, dans le département où il réside, la part de la surface agricole couverte par l’agriculture biologique en 2016 est équivalente à celle de la Suède.
    Des étudiants, dans le cadre d’un projet scientifique, ont voulu tester la validité de cette déclaration.
    À partir d’une étude menée sur un échantillon de $500$ exploitations agricoles de ce même département, ils ont obtenu un taux de couverture de l’agriculture biologique de $12 \%$.
    Ce résultat remet-il en cause l’affirmation de l’internaute ? On argumentera la réponse à l’aide d’un intervalle de fluctuation.
    $\quad$

Exercice 3     7 points

Les parties A, B et C de cet exercice sont indépendantes.

Le tableau suivant donne le montant mensuel brut, en euro, du SMIC pour $35$ heures de travail hebdomadaire, entre 2013 et 2017 :

$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Année}&2013&2014&2015&2016&2017\\
\hline
\text{Rang de l’année : }x_i&1&2&3&4&5\\
\hline
\text{Montant mensuel brut du SMIC (en euro) : }y_i&1~430,22&1~445,38&1~457,52&1~466,62&1~480,27\\
\hline
\end{array}\\
\hspace{17cm} \scriptsize{Source : INSEE}$

Partie A
Une représentation graphique du nuage de points de coordonnées $\left(x_i; y_i\right)$, pour $i$ variant de $1$ à $5$, est donnée dans le repère en annexe, à rendre avec la copie.

  1. À l’aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d’ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés.
    $\quad$
  2. a. Donner les coordonnées de deux points de cette droite, puis la tracer dans le repère précédent.
    $\quad$
    b. En admettant que cet ajustement sera valide jusqu’en 2025, estimer la valeur du montant mensuel brut du SMIC en 2025.
    $\quad$

Partie B

Cette partie est un questionnaire à choix multiple.
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Pour chaque question, indiquer la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point, une réponse incorrecte, multiple ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire aucun point.

Dans le cadre d’une étude économique, une hypothèe retenue est, qu’entre 2017 et 2025, le montant mensuel brut du SMIC augmente de $1 \%$ par an. Ce montant mensuel est modélisé par une suite géométrique $\left(u_n\right)$ de premier terme $u_0 = 1~480,27$.
L’entier $n$ désigne le rang de l’année (2017 $+ n$).

  1. Pour tout entier naturel $n$, une expression de $u_n$ en fonction de $n$ est :
    a. $u_n=1~480,27\times 1,01^n$
    b. $u_n=1~480,27\times 0,01^n$
    c. $u_n=1~480,27+0,01n$
    d. $u_n=1~480,27+1,01n$
    $\quad$
  2. Avec ce modèle, une estimation du montant mensuel brut du SMIC en 2022 est :
    a. $1~540,37$ €
    b. $1~554,28$ €
    c. $1~555,78$ €
    d. $1~571,34$ €
    $\quad$

Partie C

On considère l ‘algorithme suivant :
$$\begin{array}{|l|}
\hline
N \leftarrow 0\\
U \leftarrow 1~480,27\\
\text{Tant que $U<1~600$ faire}\\
\hspace{1cm} N \leftarrow N+1\\
\hspace{1cm} U \leftarrow U \times 1,01\\
\text{Fin Tant que}\\
\hline
\end{array}$$

Que contiennent les variables $N$ et $U$ après exécution de cet algorithme ?
À quoi correspondent ces valeurs dans le contexte de l’exercice ?
$\quad$

Annexe 

$\quad$

Exercice 4     3 points

Une entreprise produit des panneaux solaires. Une étude de marché permet d’estimer que la production pour le mois à venir est comprise entre $1~500$ et $3~000$ panneaux solaires. On s’intéresse au bénéfice de l’entreprise sur la vente des panneaux solaires produits.
On décide de modéliser l’évolution du bénéfice de l’entreprise, exprimé en centaine d’euros, par la fonction $f$ définie ci-dessous : $$f(x)=-2x^2+90x-400, \text{ pour } x\in[15;30]$$

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[15;30]$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.

  1. Étudier les variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $[15 ; 30]$.
    $\quad$
  2. Calculer son maximum.
    $\quad$
    Les valeurs de $x$, arrondies au centième, représentent le nombre de centaines de panneaux solaires produits.
    $\quad$
  3. Pour quelle production le bénéfice est-il maximal ? Quelle est alors sa valeur ?
    $\quad$

 

 

 

Exercices pour les 1ES/L


Vous trouverez ici des exercices de mathématiques pour les 1ES/L.

Second degré

$\quad$ Fiche 1 : Calcul de discriminant, racines, équations, inéquations

$\quad$

Les suites

$\quad$ Fiche 1 : Suites géométriques, relation de récurrence en général.

$\quad$

Lois de probabilité

$\quad$ Fiche 1 : Lois de probabilité diverses, loi binomiale, calcul d’espérances.

$\quad$

Les exercices arriveront au fur et à mesure. Soyez patient 😉

 

Tableaux récapitulatifs

Tableaux récapitulatifs des sessions d’examens

Année 2014-2015

Année 2015-2016

Année 2016-2017

Session examens 2015-2016

Session 2016 TS TES/TL TSTMG DNB
Nouvelle Calédonie mars 2016

17 novembre 2016

mars 2016

16 novembre 2016

 16 novembre 2016 8 décembre 2016
Pondichéry 22 avril 21 avril  22 avril  26 avril
Liban  31 mai  31 mai cf métropole
Amérique du Nord  1er juin 1er juin  9 juin
Polynésie 10 juin 10 juin 7 juin 21 juin
Asie 23 juin  23 juin 27 juin  
Centres étrangers 8 juin 8 juin 8 juin 15 juin 
Antilles Guyane  20 juin

12 septembre

22 juin

14 septembre

16 juin cf métropole
Métropole 20 juin

12 septembre

 22 juin

14 septembre

16 juin

septembre

23 juin

16 septembre

Amérique du Sud 22 novembre 24 novembre 1er décembre

Exercice 1    6 points

Les trois parties sont indépendantes. Les résultats des probabilités seront arrondis à $10^{-3} $ près.

Partie 1

On estime qu’en 2013 la population mondiale est composée de $4,6$ milliards de personnes âgées de 20 à 79 ans et que $46,1\%$ des personnes âgées de 20 à 79 ans vivent en zone rurale et $53,9\%$ en zone urbaine.
En 2013, d’après la fédération internationale du diabète, $9,9\%$ de la population mondiale âgée de 20 à 79 ans vivant en zone urbaine est atteinte de diabète et $6,4\%$ de la population mondiale âgée de 20 à 79 ans vivant en zone rurale est atteinte de diabète.
On interroge au hasard une personne âgée de 20 à 79 ans. On note :

  • $R$ l’événement : “la personne choisie habite en zone rurale”,
  • $D$ l’événement: “la personne choisie est atteinte de diabète”.
  1. Traduire cette situation à l’aide d’un arbre de probabilité.
    $\quad$
  2. a. Calculer la probabilité que la personne interrogée soit diabétique.
    $\quad$
    b. La personne choisie est diabétique. Quelle est la probabilité qu’elle habite en zone rurale ?
    $\quad$

Partie 2

Une personne est dite en hypoglycémie si sa glycémie à jeun est inférieure à $60$ mg.dL$^{-1}$ et elle est en hyperglycémie si sa glycémie à jeun est supérieure à $110$ mg. dL$^{-1}$. La glycémie à jeun est considérée comme “normale” si elle est comprise entre $70$ mg. dL$^{-1}$ et $110$ mg.dL$^{-1}$. Les personnes ayant un taux de glycémie compris entre $60$ et $70$ mg.rdL$^{-1}$ ne font pas l’objet d’un suivi particulier.
On choisit au hasard un adulte dans cette population. Une étude a permis d’établir que la probabilité qu’il soit en hyperglycémie est $0,052$ à $10^{-3}$ près. Dans la suite on admettra que cette probabilité est égale à $0,052$.
On modélise la glycémie à jeun, exprimée en mg.dL$^{-1}$, d’un adulte d’une population donnée, par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale d’espérance $\mu$ et d’écart-type $\sigma$.
On donne ci-dessous la représentation graphique de la densité de probabilité de la variable aléatoire $X$.

 

  1. Quelle est la probabilité que la personne choisie ait une glycémie à jeun “normale” ?
    $\quad$
  2. Déterminer la valeur de $\sigma$ arrondie au dixième.
    $\quad$
  3. Dans cette question, on prend $\sigma = 12$. Calculer la probabilité que la personne choisie soit en hypoglycémie.
    $\quad$

Partie 3

Afin d’estimer la proportion, pour l’année 2013, de personnes diagnostiquées diabétiques dans la population française âgée de 20 à 79 ans, on interroge au hasard $10~000$ personnes.
Dans l’échantillon étudié, $716$ personnes ont été diagnostiquées diabétiques.

  1. À l’aide d’un intervalle de confiance au niveau de confiance $95\%$ , estimer la proportion de personnes diagnostiquées diabétiques dans la population française âgée de 20 à 79 ans.
    $\quad$
  2. Quel doit être le nombre minimal de personnes à interroger si l’on veut obtenir un intervalle de confiance d’amplitude inférieure ou égale à $0,01$ ?
    $\quad$

Exercice 2    4 points

On considère les nombres complexes $z_n$ définis pour tout entier $n \pg 0$ par la donnée de $z_0$, où $z_0$ est différent de $0$ et de $1$, et la relation de récurrence: $$z_{n+1} = 1- \dfrac{1}{z_n}$$

  1. a. Dans cette question, on suppose que $z_0 = 2$. Déterminer les nombres $z_1$, $z_2$, $z_3$, $z_4$, $z_5$ et $z_6$.
    $\quad$
    b. Dans cette question, on suppose que $z_0 = \ic$. Déterminer la forme algébrique des nombres complexes $z_1$, $z_2$, $z_3$, $z_4$, $z_5$ et $z_6$.
    $\quad$
    c. Dans cette question on revient au cas général où $z_0$ est un complexe donné. Que peut-on conjecturer pour les valeurs prises par $z_{3n}$ selon les valeurs de l’entier naturel $n$ ?
    Prouver cette conjecture.
    $\quad$
  2. Déterminer $z_{2~016}$ dans le cas où $z_0 = 1 + \ic$.
    $\quad$
  3. Existe-t-il des valeurs de $z_0$ tel que $z_0 = z_1$ ? Que peut-on dire de la suite $\left(z_n\right)$ dans ce cas ?
    $\quad$

Exercice 3    5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

On dispose d’un dé équilibré à $6$ faces numérotées de $1$ à $6$ et de $2$ pièces A et B ayant chacune un côté pile et un côté face. Un jeu consiste à lancer une ou plusieurs fois le dé.
Après chaque lancer de dé, si l’on obtient $1$ ou $2$, alors on retourne la pièce A, si l’on obtient $3$ ou $4$, alors on retourne la pièce B et si l’on obtient $5$ ou $6$, alors on ne retourne aucune des deux pièces.
Au début du jeu, les $2$ pièces sont du côté face.

  1. Dans l’algorithme ci-dessous, $0$ code le côté face d’une pièce et $1$ code le côté pile. Si $a$ code le côté de la pièce A à un instant donné, alors $1-a$ code le côté de la pièce A après l’avoir retournée.
    Variables :
    $\quad$ $a$, $b$, $d$, $s$ sont des entiers
    $\quad$ $i$, $n$ sont des entiers supérieurs ou égaux à $1$
    Initialisation :
    $\quad$ $a$ prend la valeur $0$
    $\quad$ $b$ prend la valeur $0$
    $\quad$ Saisir $n$
    Traitement :
    $\quad$ Pour $i$ allant de $1$ à $n$ faire
    $\qquad$ $d$ prend la valeur d’un entier aléatoire compris entre $1$ et $6$
    $\qquad$ Si $d \pg 2$
    $\qquad \quad$ alors $a$ prend la valeur $1-a$
    $\qquad \quad $ sinon Si $d \pp 4$
    $\qquad \qquad \qquad$ alors $b$ prend la valeur $1-b$
    $\qquad \qquad \quad$ Fin Si
    $\quad$ Fin Si
    $\quad$ $s$ prend la valeur $a + b$
    Fin Pour
    Sortie :
    $\quad$ Afficher $s$
    $\quad$
    a. On exécute cet algorithme en saisissant $n = 3$ et en supposant que les valeurs aléatoires générées successivement pour $d$ sont $1$ ; $6$ et $4$. Recopier et compléter le tableau donné ci-dessous contenant l’état des variables au cours de l’exécution de l’algorithme :
    $\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{variables}&i&d&a&b&s\\
    \hline
    \text{initialisation}&\text{X}&\text{X}&&&\text{X}\\
    \hline
    1^{\text{er}} \text{ passage boucle Pour}&&&&&\\
    \hline
    2^{\text{e}} \text{ passage boucle Pour}&&&&&\\
    \hline
    3^{\text{e}} \text{ passage boucle Pour}&&&&&\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    b. Cet algorithme permet-il de décider si à la fin les deux pièces sont du côté pile ?
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$, on note :
    $\bullet$ $X_n$ l’événement : “À l’issue de $n$ lancers de dés, les deux pièces sont du côté face”
    $\bullet$ $Y_n$ l’événement : “À l’issue de $n$ lancers de dés, une pièce est du côté pile et l’autre est du côté face”
    $\bullet$ $Z_n$ l’événement : “À l’issue de $n$ lancers de dés, les deux pièces sont du côté pile”.
    De plus on note, $x_n = P\left(X_n\right)$ ; $y_n = P\left(Y_n\right)$ et $z_n = P\left(Z_n\right)$ les probabilités respectives des événements $X_n$, $Y_n$ et $Z_n$.
    a. Donner les probabilités $x_0$ , $y_0$ et $z_0$ respectives qu’au début du jeu il y ait $0$, $1$ ou $2$ pièces du côté pile.
    $\quad$
    b. Justifier que $P_{X_n}\left(X_{n+1}\right) = \dfrac{1}{3}$.
    $\quad$
    c. Recopier l’arbre ci-dessous et compléter les probabilités sur ses branches, certaines pouvant être nulles :

    $\quad$
    d. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $z_n$ en fonction de $x_n$ et $y_n$.
    $\quad$
    e. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $y_{n+1} = -\dfrac{1}{3}y_n + \dfrac{2}{3}$.
    $\quad$
    f. On pose, pour tout entier naturel $n$, $b_n = y_n-\dfrac{1}{2}$.
    Montrer que la suite $\left(b_n\right)$ est géométrique.
    En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $y_n = \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\times \left(-\dfrac{1}{3}\right)^n$.
    $\quad$
    g. Calculer $\lim\limits_{n \to + \infty} y_n$.
    Interpréter le résultat.
    $\quad$

Exercice 3    5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

On dispose d’un dé équilibré à $6$ faces numérotées de $1$ à $6$ et de $3$ pièces A, B et C ayant chacune un côté pile et un côté face.
Un jeu consiste à lancer une ou plusieurs fois le dé.
Après chaque lancer de dé, si l’on obtient $1$ ou $2$, alors on retourne la pièce A, si l’on obtient $3$ ou $4$, alors on retourne la pièce B et si l’on obtient $5$ ou $6$, alors on retourne la pièce C.
Au début du jeu, les $3$ pièces sont toutes du côté face.

  1. Dans l’algorithme ci-dessous, $0$ code le côté face et $1$ code le côté pile. Si $a$ code un côté de la pièce A, alors $1-a$ code l’autre côté de la pièce A.
    Variables :
    $\quad$ $a$, $b$, $c$, $d$, $s$ sont des entiers naturels
    $\quad$ $i$, $n$ sont des entiers supérieurs ou égaux à $1$
    Initialisation :
    $\quad$ $a$ prend la valeur $0$
    $\quad$ $b$ prend la valeur $0$
    $\quad$ $c$ prend la valeur $0$
    $\quad$ Saisir $n$
    Traitement :
    $\quad$ Pour $i$ allant de $1$ à $n$ faire
    $\qquad$ $d$ prend la valeur d’un entier aléatoire compris entre $1$ et $6$
    $\qquad$ Si $d \pp 2$
    $\qquad \quad$ alors $a$ prend la valeur $1-a$
    $\qquad \quad$ sinon Si $d \pp 4$
    $\qquad \qquad$ alors $b$ prend la valeur $1-b$
    $\qquad \qquad$ sinon $c$ prend la valeur $1-c$
    $\qquad \quad$ Fin Si
    $\qquad$ Fin Si
    $\qquad$ $s$ prend la valeur $a + b + c$
    $\quad$ Fin Pour
    Sortie :
    $\quad$ Afficher $s$
    $\quad$
    a. On exécute cet algorithme en saisissant $n = 3$ et en supposant que les valeurs aléatoires générées successivement pour $d$ sont $1$ ; $4$ et $2$. Recopier et compléter le tableau donné ci-dessous contenant l’état des variables au cours de l’exécution de l’algorithme :
    $\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{variables}&i&d&a&b&c&s\\
    \hline
    \text{initialisation}&\text{X}&\text{X}&&&&\text{X}\\
    \hline
    1^{\text{er}} \text{ passage boucle Pour}&&&&&&\\
    \hline
    2^{\text{e}} \text{ passage boucle Pour}&&&&&&\\
    \hline
    3^{\text{e}} \text{ passage boucle Pour}&&&&&&\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    b. Cet algorithme permet-il de savoir si, après une exécution de $n$ tirages, les trois pièces sont du côté pile ?
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$, on note :
    $\bullet$ $X_n$ l’événement: “À l’issue de $n$ lancers de dés, les trois pièces sont du côté face”
    $\bullet$ $Y_n$ l’événement: “À l’issue de $n$ lancers de dés, une seule pièce est du côté pile et les autres sont du côté face”
    $\bullet$ $Z_n$ l’événement: “À l’issue de $n$ lancers de dés, exactement deux pièces sont du côté pile et l’autre est du côté face”
    $\bullet$ $T_n$ l’événement: “À l’issue de $n$ lancers de dés, les trois pièces sont du côté pile”.
    De plus on note, $x_n = p\left(X_n\right)$ ; $y_n = p\left(Y_n\right)$ ; $z_n = p\left(Z_n\right)$ et $t_n = p\left(T_n\right)$ les probabilités respectives des évènements $X_n$, $Y_n$, $Z_n$ et $T_n$.
    a. Donner les probabilités $x_0$ ,$y_0$, $z_0$ et $t_0$ respectives qu’au début du jeu il y ait $0$, $1$, $2$ ou $3$ pièces du côté pile.
    $\quad$
    b. Recopier l’arbre ci-dessous et compléter les probabilités sur ses branches :

     

  3. Pour tout entier naturel $n$, on note $U_n$ la matrice ligne $\begin{pmatrix}x_n& y_n& z_n& t_n\end{pmatrix}$.
    a. Donner la matrice $U_0$.
    $\quad$
    b. À l’aide de l’arbre précédemment rempli, déterminer la matrice carrée $M$ telle que, pour tout entier naturel $n$, $U_{n+1} = U_n \times M$.
    $\quad$
  4. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $U_n = U_0 \times M^n$.
    $\quad$
  5. On admet que, pour tout entier $n \pg 1$,
    $x_n = \dfrac{(-1)^n + 3 \times \left(-\dfrac{1}{3}\right)^n + 3\times \left(\dfrac{1}{3}\right)^n + 1}{8}$ ;
    $\quad$
    $y_n = \dfrac{-3 \times \left(-\dfrac{1}{3}\right)^n + 3 \times \left(\dfrac{1}{3}\right)^n-(-1)^n \times 3 + 3}{8}$;
    $\quad$
    $z_n = \dfrac{-3 \times \left(-\dfrac{1}{3}\right)^n-3 \times \left(\dfrac{1}{3}\right)^n + (- 1)^n\times 3 + 3}{8}$ ;
    $\quad$
    $t_n = \dfrac{-(-1)^n + 3 \times \left(-\dfrac{1}{3}\right)^n-3\times \left(\dfrac{1}{3}\right)^n + 1}{8}$.
    $\quad$
    a. Calculer la probabilité, arrondie à $10^{-3}$ près, qu’au bout de $5$ lancers de dés, une seule des trois pièces soit du côté pile.
    $\quad$
    b. Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte
    $\bullet$ Première affirmation :
    “À l’issue d’un nombre pair de lancers de dés, les pièces peuvent être toutes les trois du côté pile”.
    $\bullet$ Deuxième affirmation:
    “Au cours du jeu, la probabilité que les pièces soient toutes les trois du côté pile peut être supérieure ou égale à $\dfrac{1}{4}$”.
    $\bullet$ Troisième affirmation:
    “Au cours du jeu, la probabilité que les pièces soient toutes les trois du côté pile peut être supérieure ou égale à $0,249$”.
    $\quad$

Exercice 4    5 points

Un hélicoptère est en vol stationnaire au-dessus d’une plaine. Un passager lâche verticalement un colis muni d’un parachute.

Partie 1

Soit $v_1$ la fonction définie sur $[0;+\infty[$ par : $$v_1(t) = 5 \times \dfrac{\e^{0,3t}-1}{\e^{0,3t} + 1}$$

  1. Déterminer le sens de variation de la fonction $v_1$.
    $\quad$
  2. On suppose, dans cette question, que le parachute fonctionne correctement.
    On admet que $t$ secondes après qu’il a été lâché, la vitesse du colis (exprimée en m.s$^{-1}$) est égale, avant d’atteindre le sol, à $v_1(t)$.
    On considère que le colis arrive en bon état sur le sol si sa vitesse à l’arrivée n’excède pas 6 m.s$^{-1}$.
    Le colis risque-t-il d’être endommagé lorsque le parachute s’ouvre correctement ? Justifier.
    $\quad$

Partie 2

On suppose, dans cette partie, que le parachute ne s’ouvre pas.
On admet que, dans ce cas, avant que le colis atteigne le sol, sa vitesse (exprimée en m.s$^{-1}$), $t$ secondes après avoir été lâché par le passager, est donnée par : $$v_2(t) = 32,7 \left(1-\e^{- 0,3t}\right)$$

  1.  Quelle est la vitesse, exprimée en m.s$^{-1}$, atteinte par le colis au bout de $10$ secondes ? Arrondir à $0,1$ m.s$^{-1}$.
    $\quad$
  2. Résoudre l’équation $v_2(t) = 30$ m.s$^{-1}$. Donner une interprétation concrète de la solution de cette équation dans le cadre de cet exercice.
    $\quad$
  3. On sait que la chute du colis dure $20$ secondes.
    On admet que la distance, en mètres, qui sépare l’hélicoptère du colis, $T$ secondes après avoir été lâché par le passager, est donnée par: $$d(T) = \displaystyle\int_0^T v_2(t)\dt$$
    a. Montrer que, pour tout réel $T$ de l’intervalle $[0;20]$, $d(T) = 109\left(\e^{-0,3 T} + 0,3 T-1\right)$.
    $\quad$
    b. Déterminer une valeur approchée à $1$ m près de la distance parcourue par le colis lorsqu’il atteint le sol.
    $\quad$
  4. Déterminer un encadrement d’amplitude $0,1$ s du temps mis par le colis pour atteindre le sol si on l’avait lâché d’une hauteur de $700$ mètres.
    $\quad$