Bac STMG – Polynésie – Juin 2019

Polynésie – juin 2019

Bac STMG – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. On a
    $\begin{align*} P(X \pg 14)&=P(X\pg 12)-P(12\pp X\pp 14)\\
    &=0,5-P(12\pp X\pp 14)\\
    &\approx 0,16\end{align*}$
    Réponse A
    $\quad$
  2. On a $n=400$ et $f=\dfrac{112}{400}=0,28$.
    Un intervalle de confiance au seuil de $95\%$ dans lequel devrait se trouver la proportion d’électeurs votant pour le candidat aux élections municipales est :
    $\begin{align*} I_{400}&=\left[0,28-\dfrac{1}{\sqrt{400}};0,28+\dfrac{1}{\sqrt{400}}\right] \\
    &=[0,23;0,33]\end{align*}$
    Réponse A
    $\quad$
  3. $\left(V_n\right)$ est une suite géométrique de raison $1,2$ et de premier terme $V_1=6$.
    Pour tout entier naturel $n$ non nul on a donc $V_n=6\times 1,2^{n-1}$.
    Par conséquent $V_6=6\times 1,2^5\approx 14,9$.
    Réponse C
    $\quad$
  4. Voici les différentes valeurs prises par les variables (arrondie au centième pour $V$) :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    n&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11\\
    \hline
    V&6&7,2&8,64&10,37&12,44&14,93&17,93&21,50&25,80&30,96&37,16\\
    \hline
    \end{array}$$
    On obtient donc $n=11$
    Réponse C
    $\quad$
  5. La suite $\left(U_n\right)$ est arithmétique de raison $3$ et $U_4=81$.
    Par conséquent :
    $U_3=81-3=78$,
    $U_2=78-3=75$,
    $U_1=75-3=72$
    et $U_0=72-3=69$.
    Réponse C
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. D’après l’énoncé on a : $P(A)=0,6$, $P(B)=1-0,6=0,4$, $P_A(D)=0,05$ et $P(B\cap D)=0,01$.
    $\quad$
  2. a. On veut calculer $P(A\cap D)=0,6\times 0,05=0,03$.
    La probabilité qu’un stylo provienne de l’atelier A et possède un défaut de fabrication est égale à $0,03$.
    $\quad$
    b. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(D)&=P(A\cap D)+P(B\cap D) \\
    &=0,03+0,01 \\
    &=0,04\end{align*}$
    La probabilité qu’un stylo possède un défaut de fabrication est de $0,04$.
    $\quad$
  3. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_B(D)&=\dfrac{P(B\cap D)}{P(B)} \\
    &=\dfrac{0,01}{0,4} \\
    &=0,025\end{align*}$
    La probabilité qu’un stylo prélevé au hasard dans l’atelier B possède un défaut est $0,025$.
    $\quad$

Partie B

  1. La variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=25$ et $p=0,04$.
    $\quad$
  2. $P(X=0)=0,96^{25}\approx 0,36<0,5$.
    L’affirmation du directeur est donc fausse.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

Partie A : lectures graphiques

  1. D’après le graphique $C_m(7)\approx 500$.
    $\quad$
  2. À l’aide du graphique on obtient le tableau de variations suivants (valeurs approchées à l’unité).
    $\quad$
  3. D’après le graphique le coût moyen de production est minimal quand l’entreprise produit $5$ kilomètres de tissu.
    $\quad$

Partie B : étude du bénéfice

  1. Pour tout nombre $x$ compris entre $1$ et $10$ on a $R(x)=680x$.
    $\quad$
  2. Pour tout nombre $x$ compris entre $1$ et $10$ on a :
    $\begin{align*} B(x)&=R(x)-C(x)\\
    &=680x-\left(15x^3-120x^2+500x+750\right) \\
    &=-15x^3+120x^2+180x-750\end{align*}$
    $\quad$
  3. Pour nombre réel $x$ apartenant à l’intervalle $[1;10]$ on a :
    $\begin{align*} B'(x)&=-15\times 3x^2+120\times 2x+180 \\
    &=-45x^2+240x+180\end{align*}$
    $\quad$
  4. a. On considère le trinôme $-45x^2+240x+180$ où $a=-45$, $b=240$ et $c=180$.
    Le discriminant est $\Delta = 240^2-4\times (-45)\times 180=90~000>0$
    Les racines sont donc :
    $x_1=\dfrac{-240-\sqrt{90~000}}{-90}=6$ et $x_2=\dfrac{-240-\sqrt{90~000}}{-90}=-\dfrac{2}{3}$.
    $a=-45<0$
    Cela signifie donc que le trinôme est strictement négatif sur $\left]-\infty;-\dfrac{2}{3}\right[\cup]6;+\infty[$, nul en $-\dfrac{2}{3}$ et $6$ et strictement positif sur $\left]-\dfrac{2}{3};6\right[$.
    $\quad$
    b. Si l’on restreint cette étude à l’intervalle $[1;10]$ on obtient que :
    $B'(x)>0$ sur l’intervalle $[0;6[$;
    $B'(6)=0$;
    $B'(x)<0$ sur l’intervalle $]6;+\infty[$.
    $\quad$
  5. On obtient le tableau de variations suivant :

    $\quad$
  6. Le bénéfice est maximal quand l’entreprise produit $6$ kilomètres de tissu. Ce bénéfice vaut $1~410$ euros.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie A : étude d’un premier modèle

  1. Voir le graphique de la question 2.b.
    $\quad$
  2. a. À l’aide de la calculatrice on obtient l’équation suivante $y=2,42x+18,14$.
    $\quad$
    b. On obtient le graphique suivant :

    $\quad$
  3. En 2020 on a $x=10$.
    Graphiquement, le point d’abscisse $10$ de la droite a une ordonnée environ égale à $42$.
    Le chiffre d’affaires de cette entreprise en 2020 sera d’environ $42$ millions d’euros selon ce modèle.
    $\quad$

Partie B : étude d’un second modèle

  1. Le taux d’évolution global du chiffre d’affaires de l’entreprise entre 2010 et 2016 est $t=\dfrac{32,4-18,3}{18,3}\approx 0,7705$ donc $t \approx 77,05\%$.
    $\quad$
  2. On appelle $x$ le taux d’évolution moyen annuel entre 2010 et 2016.
    On a donc :
    $\begin{align*} \left(1+\dfrac{x}{100}\right)^6=1,7705&\ssi 1+\dfrac{x}{100}=1,7705^{1/6} \\
    &\ssi \dfrac{x}{100}=1,7705^{1/6}-1\\
    &\ssi x=100\left(1,7705^{1/6}-1\right) \end{align*}$
    donc $x\approx 10\%$.
    $\quad$
  3. Selon ce modèle le chiffre d’affaires de l’entreprise en 2020 sera de $32,4\times 1,1^4\approx 47$ millions d’euros.
    $\quad$

 

 

 

Énoncé

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1ère – E3C

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Année 2019 – 2020

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Sujet 0

Session examens 2016-2017

Session 2017 TS TES/TL TSTMG DNB
Nouvelle Calédonie  mars 2017

28 novembre 2017

 mars 2017

28 novembre 2017

28 novembre 2017   12 décembre 2017
Pondichéry  26 avril 2017 26 avril 2017 26 avril 2017   2 mai 2017
Liban 5 juin 2017 5 juin 2017   cf centres étrangers 
Amérique du Nord  2 juin 2017 2 juin 2017   7 juin 2017
Polynésie 14 juin 2017

5 septembre 2017

16 juin 2017

5 septembre 2017

13 juin 2017

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23 juin 2017 

14 septembre 2017

Asie 22 juin 2017 22 juin 2017 27 juin 2017
Centres étrangers  13 juin 2017 13 juin 2017 13 juin 2017 19 juin 2017
Antilles Guyane 16 juin 2017

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16 juin 2017

7 septembre 2017

16 juin 2017

7 septembre 2017

cf métropole 
Métropole 21 juin 2017

12 septembre 2017

21 juin 2017

12 septembre 2017

16 juin 2017

sujet de secours

7 septembre 2017

Sujet 0

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14 septembre 2017

Amérique du Sud 21 novembre 2017 23 novembre 2017 30 novembre 2017
Wallis et Futuna 2 décembre 2017

Bac STMG – Antilles Guyane – Juin 2018

Antilles Guyane – Juin 2018

Bac STMG – Mathématiques – Correction

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Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
    $\quad$
  2. On veut calculer $p(B\cap D)=0,45\times 0,04=0,018$.
    La probabilité que la batterie provienne de l’atelier Bestphone et présente au moins un défaut est $0,018$ ou $1,8\%$.
    $\quad$
  3. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(D)&=p(A\cap D)+p(B\cap D) \\
    &=0,55\times 0,06+0,45\times 0,04 \\
    &=0,051\end{align*}$
    La probabilité que la batterie présente au moins un défaut est égale à $0,051$.
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_D(A)&=\dfrac{p(A\cap D)}{p(D)} \\
    &=\dfrac{0,55\times 0,06}{0,051} \\
    &=\dfrac{11}{17} \\
    &\approx 0,647 \\
    &<\dfrac{2}{3}
    \end{align*}$
    L’affirmation est donc fausse.
    $\quad$

Partie B

  1. La calculatrice nous fournit :
    $p(600 \pp X \pp 900) \approx 0,95$.
    Remarque : on pouvait remarquer qu’on demandait de calculer $p(\mu-2\sigma\pp X \pp \mu+2\sigma)$.
    $\quad$
  2. $15$h $=900$ min.
    On a $p(X \pg 900)=0,5-p(750\pp X \pp 900) \approx 0,02$.
    La probabilité qu’une batterie ait une autonomie supérieure à $15$ heures est environ égale à $0,02$.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. On a pu saisir $=(C2-B2)/B2$.
    $\quad$
  2. $\dfrac{18,21-14,3}{14,3} \approx 0,273~4$
    Le taux d’évolution global de la part de la surface agricole couverte par l’agriculture  biologique en Suède entre 2010 et 2016 est environ égal à $27,34\%$
    $\quad$
  3. On cherche la valeur de $x$ telle que :
    $\begin{align*} 14,3\left(1+\dfrac{x}{100}\right)^6=18,21&\ssi \left(1+\dfrac{x}{100}\right)^6=\dfrac{18,21}{14,3} \\
    &\ssi 1+\dfrac{x}{100}=\left(\dfrac{18,21}{14,3}\right)^{1/6} \\
    &\ssi \dfrac{x}{100}=\left(\dfrac{18,21}{14,3}\right)^{1/6}-1 \\
    &\ssi x=100\left[\left(\dfrac{18,21}{14,3}\right)^{1/6}-1\right]
    \end{align*}$
    Ainsi $x\approx 4,11$.
    Le taux d’évolution annuel moyen de la part de la surface agricole couverte par l’agriculture  biologique en Suède entre 2010 et 2016 est environ égal à $4,11\%$.
    $\quad$
  4. $2025-2016=9$
    $18,21\times 1,04^{9} \approx 25,92$.
    L’objectif sera donc atteint au vu de l’hypothèse faite.
    $\quad$
  5. On a $n=500$ et $p=0,182~1$.
    Donc $n\pg 30$, $np=91,05\pg 5$ et $n(1-p)=408,98 \pg 5$.
    Un intervalle de fluctuation de la part de la surface agricole couverte par l’agriculture biologique en 2016 au seuil de $95\%$ est :
    $\begin{align*} I_{500}&=\left[0,182~1-\dfrac{1}{\sqrt{500}};0,182~1+\dfrac{1}{\sqrt{500}}\right] \\
    &\approx [0,137~3;0,226~9]
    \end{align*}$
    La fréquence observée est $f=0,12 \notin I_{500}$.
    Au risque d’erreur de $5\%$ l’affirmation de l’internaute est fausse.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. Une équation de la droite d’ajustement est $y=12,134x+1~419,6$.
    $\quad$
  2. a. Si $x=0$ alors $y=1~419,6$. Le point de coordonnées $(0;1~419,6)$ appartient à la droite.
    Si $x=10$ alors $y=1~540,94$. Le point de coordonnées $(10;1~540,94)$ appartient également à la droite.
    $\quad$

    $\quad$
    b. En 2025, on a $x=13$
    Par conséquent $y=12,134 \times 13+1~419,6=1~577,342$.
    Selon cet ajustement, en 2025, la valeur du montant mensuel brut du SMIC sera $1~577,342$ €.
    $\quad$

Partie B

  1. La suite $\left(u_n\right)$ est géométrique de raison $1,01$ de premier terme $u_0=1~480,27$.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=1~480,27\times 1,01^n$.
    Réponse a
    $\quad$
  2. En 2022 on a $n=5$.
    Alors $u_5=1~480,27\times 1,01^5 \approx 1~555,78$.
    Réponse c
    $\quad$

Partie C

À l’aide de la calculatrice, on trouve $u_8 \approx 1~587,05$ et $u_9\approx 1~602,92$.
Par conséquent, après l’exécution de cet algorithme, on a $N=9$ et $U\approx 1~602,92$.
C’est à partir de la $9\ieme$ année, soit en 2026, que le montant mensuel brut du SMIC dépassera pour la première fois $1~600$ € selon ce modèle.
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[15;30]$ on a
    $f'(x)=-2\times 2x+90=-4x+90$.
    $-4x+90=0 \ssi 4x=90 \ssi x=22,5$
    $-4x+90 > 0 \ssi -4x > -90 \ssi x < 22,5$.
    La fonction $f$ est donc croissante sur l’intervalle $[15;22,5]$ et décroissante sur l’intervalle $[22,5;30]$.
    $\quad$
  2. Le maximum est atteint pour $x=22,5$.
    $f(22,5)=-2\times 22,5^2+90\times 22,5-400=612,5$.
    Le maximum de la fonction $f$ sur l’intervalle $f$ est donc $612,5$.
    $\quad$
  3. D’après la question précédente, le bénéfice est maximal quand l’entreprise produit $2~250$ panneaux solaires.
    Le bénéfice maximal est alors de $61~250$ €.
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1     5 points

Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes.

Une entreprise fabrique des batteries pour téléphone.

Partie A

Les batteries sont fabriquées dans deux ateliers, Arobase et Bestphone ; $55 \%$ d’entre elles sont fabriquées dans l’atelier Arobase et le reste dans l’atelier Bestphone.
A l’issue de la fabrication, certaines batteries sont contrôlées.

Ces contrôles permettent d’affirmer que :

  • parmi les batteries fabriquées dans l’atelier Arobase, $94 \%$ ne présentent aucun défaut ;
  • parmi les batteries fabriquées dans l’atelier Bestphone, $4 \%$ présentent au moins un défaut.

Une batterie est prélevée de façon équiprobable dans le stock constitué des batteries produites par les deux ateliers.
On considère les événements suivants :
$\quad$ $A$ : ≪ la batterie provient de l’atelier Arobase ≫
$\quad$ $B$ : ≪ la batterie provient de l’atelier Bestphone ≫
$\quad$ $D$ : ≪ la batterie présente au moins un défaut ≫

  1. Compléter l’arbre de probabilité donné en annexe, à rendre avec la copie.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité que la batterie provienne de l’atelier Bestphone et présente au moins un défaut.
    $\quad$
  3. Montrer que la probabilité que la batterie présente au moins un défaut est égale à $0,051$.
    $\quad$
  4. Sachant que la batterie choisie présente au moins un défaut, peut-on affirmer qu’il y a plus de deux chances sur trois que cette batterie provienne de l’atelier Arobase ? Justifier la réponse.
    $\quad$

Partie B
Dans cette partie, tous les résultats seront arrondis au centième.

On modélise l’autonomie d’une batterie, exprimée en minute, par une variable aléatoire $X$ suivant la loi normale d’espérance $\mu = 750$ et d’écart type $\sigma = 75$.

  1. Donner la valeur, arrondie au centième, de la probabilité $p(600 \pp X \pp 900)$.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité qu’une batterie ait une autonomie supérieure à $15$ heures.
    $\quad$

Annexe

$\quad$

Exercice 2     5 points

La feuille de calcul suivante, extraite d’un tableur, donne la part de la surface agricole couverte par l’agriculture biologique (en pourcentage de la surface agricole totale) en Suède, entre 2010 et 2016 :

$\begin{array}{|c|l|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
&\hspace{3cm}\textbf{A}&\textbf{B}&\textbf{C}&\textbf{D}&\textbf{E}&\textbf{F}&\textbf{G}&\textbf{H}\\
\hline
\textbf{1}&\text{Année}&2010&2011&2012&2013&2014&2015&2016\\
\hline
\textbf{2}&\text{Part de la surface agricole couverte}&14,3&15,7&15,76&16,5&16,53&17,09&18,21\\
&\text{par l’agriculture biologique en}&\phantom{15,76}&\phantom{15,76}&&\phantom{15,76}&&&\\
&\text{Suède (en pourcentage de la surface}&&&&&&&\\
&\text{agricole totale)}&&&&&&&\\
\hline
\textbf{3}&\text{Taux d’évolution par rapport à 2010}&\bbox[gray]{\phantom{15,7^{2}}}&&&&&&\\
\hline
\end{array}\\
\hspace{14cm}\scriptsize{Source~:~ec.europa.eu/eurostat}$

  1. Quelle formule peut-on saisir en cellule $C3$ pour obtenir, par recopie vers la droite, les valeurs de la plage de cellules $C3:H3$ ?
    $\quad$
  2. Déterminer le taux d’évolution global de la part de la surface agricole couverte par l’agriculture biologique en Suède entre 2010 et 2016. On l’exprimera en pourcentage.
    $\quad$
  3. Déterminer le taux d’évolution annuel moyen de la part de la surface agricole couverte par l’agriculture biologique en Suède entre 2010 et 2016. On l’exprimera en pourcentage.
    $\quad$
  4. Le gouvernement suédois a pour objectif que, d’ici 2025, un quart de la surface agricole totale soit occupé par l’agriculture biologique.
    On suppose qu’à partir de 2016, la part de la surface agricole couverte par l’agriculture biologique augmente de $4 \%$ par an en Suède.
    L’objectif du gouvernement sera-t-il atteint au vu de cette hypothèse ? Justifier la réponse.
    $\quad$
  5. Toujours d’après Eurostat, la surface agricole couverte par l’agriculture biologique en France en 2016 représentait $5,54 \%$ de la surface agricole totale, alors qu’elle représentait $18,21 \%$ en Suède.
    Un internaute affirme sur son site que, dans le département où il réside, la part de la surface agricole couverte par l’agriculture biologique en 2016 est équivalente à celle de la Suède.
    Des étudiants, dans le cadre d’un projet scientifique, ont voulu tester la validité de cette déclaration.
    À partir d’une étude menée sur un échantillon de $500$ exploitations agricoles de ce même département, ils ont obtenu un taux de couverture de l’agriculture biologique de $12 \%$.
    Ce résultat remet-il en cause l’affirmation de l’internaute ? On argumentera la réponse à l’aide d’un intervalle de fluctuation.
    $\quad$

Exercice 3     7 points

Les parties A, B et C de cet exercice sont indépendantes.

Le tableau suivant donne le montant mensuel brut, en euro, du SMIC pour $35$ heures de travail hebdomadaire, entre 2013 et 2017 :

$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Année}&2013&2014&2015&2016&2017\\
\hline
\text{Rang de l’année : }x_i&1&2&3&4&5\\
\hline
\text{Montant mensuel brut du SMIC (en euro) : }y_i&1~430,22&1~445,38&1~457,52&1~466,62&1~480,27\\
\hline
\end{array}\\
\hspace{17cm} \scriptsize{Source : INSEE}$

Partie A
Une représentation graphique du nuage de points de coordonnées $\left(x_i; y_i\right)$, pour $i$ variant de $1$ à $5$, est donnée dans le repère en annexe, à rendre avec la copie.

  1. À l’aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d’ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés.
    $\quad$
  2. a. Donner les coordonnées de deux points de cette droite, puis la tracer dans le repère précédent.
    $\quad$
    b. En admettant que cet ajustement sera valide jusqu’en 2025, estimer la valeur du montant mensuel brut du SMIC en 2025.
    $\quad$

Partie B

Cette partie est un questionnaire à choix multiple.
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Pour chaque question, indiquer la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point, une réponse incorrecte, multiple ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire aucun point.

Dans le cadre d’une étude économique, une hypothèe retenue est, qu’entre 2017 et 2025, le montant mensuel brut du SMIC augmente de $1 \%$ par an. Ce montant mensuel est modélisé par une suite géométrique $\left(u_n\right)$ de premier terme $u_0 = 1~480,27$.
L’entier $n$ désigne le rang de l’année (2017 $+ n$).

  1. Pour tout entier naturel $n$, une expression de $u_n$ en fonction de $n$ est :
    a. $u_n=1~480,27\times 1,01^n$
    b. $u_n=1~480,27\times 0,01^n$
    c. $u_n=1~480,27+0,01n$
    d. $u_n=1~480,27+1,01n$
    $\quad$
  2. Avec ce modèle, une estimation du montant mensuel brut du SMIC en 2022 est :
    a. $1~540,37$ €
    b. $1~554,28$ €
    c. $1~555,78$ €
    d. $1~571,34$ €
    $\quad$

Partie C

On considère l ‘algorithme suivant :
$$\begin{array}{|l|}
\hline
N \leftarrow 0\\
U \leftarrow 1~480,27\\
\text{Tant que $U<1~600$ faire}\\
\hspace{1cm} N \leftarrow N+1\\
\hspace{1cm} U \leftarrow U \times 1,01\\
\text{Fin Tant que}\\
\hline
\end{array}$$

Que contiennent les variables $N$ et $U$ après exécution de cet algorithme ?
À quoi correspondent ces valeurs dans le contexte de l’exercice ?
$\quad$

Annexe 

$\quad$

Exercice 4     3 points

Une entreprise produit des panneaux solaires. Une étude de marché permet d’estimer que la production pour le mois à venir est comprise entre $1~500$ et $3~000$ panneaux solaires. On s’intéresse au bénéfice de l’entreprise sur la vente des panneaux solaires produits.
On décide de modéliser l’évolution du bénéfice de l’entreprise, exprimé en centaine d’euros, par la fonction $f$ définie ci-dessous : $$f(x)=-2x^2+90x-400, \text{ pour } x\in[15;30]$$

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[15;30]$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.

  1. Étudier les variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $[15 ; 30]$.
    $\quad$
  2. Calculer son maximum.
    $\quad$
    Les valeurs de $x$, arrondies au centième, représentent le nombre de centaines de panneaux solaires produits.
    $\quad$
  3. Pour quelle production le bénéfice est-il maximal ? Quelle est alors sa valeur ?
    $\quad$

 

 

 

Exercices pour les 1ES/L


Vous trouverez ici des exercices de mathématiques pour les 1ES/L.

Second degré

$\quad$ Fiche 1 : Calcul de discriminant, racines, équations, inéquations

$\quad$

Les suites

$\quad$ Fiche 1 : Suites géométriques, relation de récurrence en général.

$\quad$

Lois de probabilité

$\quad$ Fiche 1 : Lois de probabilité diverses, loi binomiale, calcul d’espérances.

$\quad$

Les exercices arriveront au fur et à mesure. Soyez patient 😉

 

Tableaux récapitulatifs

Tableaux récapitulatifs des sessions d’examens

Année 2014-2015

Année 2015-2016

Année 2016-2017

Session examens 2015-2016

Session 2016 TS TES/TL TSTMG DNB
Nouvelle Calédonie mars 2016

17 novembre 2016

mars 2016

16 novembre 2016

 16 novembre 2016 8 décembre 2016
Pondichéry 22 avril 21 avril  22 avril  26 avril
Liban  31 mai  31 mai cf métropole
Amérique du Nord  1er juin 1er juin  9 juin
Polynésie 10 juin 10 juin 7 juin 21 juin
Asie 23 juin  23 juin 27 juin  
Centres étrangers 8 juin 8 juin 8 juin 15 juin 
Antilles Guyane  20 juin

12 septembre

22 juin

14 septembre

16 juin cf métropole
Métropole 20 juin

12 septembre

 22 juin

14 septembre

16 juin

septembre

23 juin

16 septembre

Amérique du Sud 22 novembre 24 novembre 1er décembre

Exercice 1    6 points

Les trois parties sont indépendantes. Les résultats des probabilités seront arrondis à $10^{-3} $ près.

Partie 1

On estime qu’en 2013 la population mondiale est composée de $4,6$ milliards de personnes âgées de 20 à 79 ans et que $46,1\%$ des personnes âgées de 20 à 79 ans vivent en zone rurale et $53,9\%$ en zone urbaine.
En 2013, d’après la fédération internationale du diabète, $9,9\%$ de la population mondiale âgée de 20 à 79 ans vivant en zone urbaine est atteinte de diabète et $6,4\%$ de la population mondiale âgée de 20 à 79 ans vivant en zone rurale est atteinte de diabète.
On interroge au hasard une personne âgée de 20 à 79 ans. On note :

  • $R$ l’événement : “la personne choisie habite en zone rurale”,
  • $D$ l’événement: “la personne choisie est atteinte de diabète”.
  1. Traduire cette situation à l’aide d’un arbre de probabilité.
    $\quad$
  2. a. Calculer la probabilité que la personne interrogée soit diabétique.
    $\quad$
    b. La personne choisie est diabétique. Quelle est la probabilité qu’elle habite en zone rurale ?
    $\quad$

Partie 2

Une personne est dite en hypoglycémie si sa glycémie à jeun est inférieure à $60$ mg.dL$^{-1}$ et elle est en hyperglycémie si sa glycémie à jeun est supérieure à $110$ mg. dL$^{-1}$. La glycémie à jeun est considérée comme “normale” si elle est comprise entre $70$ mg. dL$^{-1}$ et $110$ mg.dL$^{-1}$. Les personnes ayant un taux de glycémie compris entre $60$ et $70$ mg.rdL$^{-1}$ ne font pas l’objet d’un suivi particulier.
On choisit au hasard un adulte dans cette population. Une étude a permis d’établir que la probabilité qu’il soit en hyperglycémie est $0,052$ à $10^{-3}$ près. Dans la suite on admettra que cette probabilité est égale à $0,052$.
On modélise la glycémie à jeun, exprimée en mg.dL$^{-1}$, d’un adulte d’une population donnée, par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale d’espérance $\mu$ et d’écart-type $\sigma$.
On donne ci-dessous la représentation graphique de la densité de probabilité de la variable aléatoire $X$.

 

  1. Quelle est la probabilité que la personne choisie ait une glycémie à jeun “normale” ?
    $\quad$
  2. Déterminer la valeur de $\sigma$ arrondie au dixième.
    $\quad$
  3. Dans cette question, on prend $\sigma = 12$. Calculer la probabilité que la personne choisie soit en hypoglycémie.
    $\quad$

Partie 3

Afin d’estimer la proportion, pour l’année 2013, de personnes diagnostiquées diabétiques dans la population française âgée de 20 à 79 ans, on interroge au hasard $10~000$ personnes.
Dans l’échantillon étudié, $716$ personnes ont été diagnostiquées diabétiques.

  1. À l’aide d’un intervalle de confiance au niveau de confiance $95\%$ , estimer la proportion de personnes diagnostiquées diabétiques dans la population française âgée de 20 à 79 ans.
    $\quad$
  2. Quel doit être le nombre minimal de personnes à interroger si l’on veut obtenir un intervalle de confiance d’amplitude inférieure ou égale à $0,01$ ?
    $\quad$

Exercice 2    4 points

On considère les nombres complexes $z_n$ définis pour tout entier $n \pg 0$ par la donnée de $z_0$, où $z_0$ est différent de $0$ et de $1$, et la relation de récurrence: $$z_{n+1} = 1- \dfrac{1}{z_n}$$

  1. a. Dans cette question, on suppose que $z_0 = 2$. Déterminer les nombres $z_1$, $z_2$, $z_3$, $z_4$, $z_5$ et $z_6$.
    $\quad$
    b. Dans cette question, on suppose que $z_0 = \ic$. Déterminer la forme algébrique des nombres complexes $z_1$, $z_2$, $z_3$, $z_4$, $z_5$ et $z_6$.
    $\quad$
    c. Dans cette question on revient au cas général où $z_0$ est un complexe donné. Que peut-on conjecturer pour les valeurs prises par $z_{3n}$ selon les valeurs de l’entier naturel $n$ ?
    Prouver cette conjecture.
    $\quad$
  2. Déterminer $z_{2~016}$ dans le cas où $z_0 = 1 + \ic$.
    $\quad$
  3. Existe-t-il des valeurs de $z_0$ tel que $z_0 = z_1$ ? Que peut-on dire de la suite $\left(z_n\right)$ dans ce cas ?
    $\quad$

Exercice 3    5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

On dispose d’un dé équilibré à $6$ faces numérotées de $1$ à $6$ et de $2$ pièces A et B ayant chacune un côté pile et un côté face. Un jeu consiste à lancer une ou plusieurs fois le dé.
Après chaque lancer de dé, si l’on obtient $1$ ou $2$, alors on retourne la pièce A, si l’on obtient $3$ ou $4$, alors on retourne la pièce B et si l’on obtient $5$ ou $6$, alors on ne retourne aucune des deux pièces.
Au début du jeu, les $2$ pièces sont du côté face.

  1. Dans l’algorithme ci-dessous, $0$ code le côté face d’une pièce et $1$ code le côté pile. Si $a$ code le côté de la pièce A à un instant donné, alors $1-a$ code le côté de la pièce A après l’avoir retournée.
    Variables :
    $\quad$ $a$, $b$, $d$, $s$ sont des entiers
    $\quad$ $i$, $n$ sont des entiers supérieurs ou égaux à $1$
    Initialisation :
    $\quad$ $a$ prend la valeur $0$
    $\quad$ $b$ prend la valeur $0$
    $\quad$ Saisir $n$
    Traitement :
    $\quad$ Pour $i$ allant de $1$ à $n$ faire
    $\qquad$ $d$ prend la valeur d’un entier aléatoire compris entre $1$ et $6$
    $\qquad$ Si $d \pg 2$
    $\qquad \quad$ alors $a$ prend la valeur $1-a$
    $\qquad \quad $ sinon Si $d \pp 4$
    $\qquad \qquad \qquad$ alors $b$ prend la valeur $1-b$
    $\qquad \qquad \quad$ Fin Si
    $\quad$ Fin Si
    $\quad$ $s$ prend la valeur $a + b$
    Fin Pour
    Sortie :
    $\quad$ Afficher $s$
    $\quad$
    a. On exécute cet algorithme en saisissant $n = 3$ et en supposant que les valeurs aléatoires générées successivement pour $d$ sont $1$ ; $6$ et $4$. Recopier et compléter le tableau donné ci-dessous contenant l’état des variables au cours de l’exécution de l’algorithme :
    $\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{variables}&i&d&a&b&s\\
    \hline
    \text{initialisation}&\text{X}&\text{X}&&&\text{X}\\
    \hline
    1^{\text{er}} \text{ passage boucle Pour}&&&&&\\
    \hline
    2^{\text{e}} \text{ passage boucle Pour}&&&&&\\
    \hline
    3^{\text{e}} \text{ passage boucle Pour}&&&&&\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    b. Cet algorithme permet-il de décider si à la fin les deux pièces sont du côté pile ?
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$, on note :
    $\bullet$ $X_n$ l’événement : “À l’issue de $n$ lancers de dés, les deux pièces sont du côté face”
    $\bullet$ $Y_n$ l’événement : “À l’issue de $n$ lancers de dés, une pièce est du côté pile et l’autre est du côté face”
    $\bullet$ $Z_n$ l’événement : “À l’issue de $n$ lancers de dés, les deux pièces sont du côté pile”.
    De plus on note, $x_n = P\left(X_n\right)$ ; $y_n = P\left(Y_n\right)$ et $z_n = P\left(Z_n\right)$ les probabilités respectives des événements $X_n$, $Y_n$ et $Z_n$.
    a. Donner les probabilités $x_0$ , $y_0$ et $z_0$ respectives qu’au début du jeu il y ait $0$, $1$ ou $2$ pièces du côté pile.
    $\quad$
    b. Justifier que $P_{X_n}\left(X_{n+1}\right) = \dfrac{1}{3}$.
    $\quad$
    c. Recopier l’arbre ci-dessous et compléter les probabilités sur ses branches, certaines pouvant être nulles :

    $\quad$
    d. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $z_n$ en fonction de $x_n$ et $y_n$.
    $\quad$
    e. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $y_{n+1} = -\dfrac{1}{3}y_n + \dfrac{2}{3}$.
    $\quad$
    f. On pose, pour tout entier naturel $n$, $b_n = y_n-\dfrac{1}{2}$.
    Montrer que la suite $\left(b_n\right)$ est géométrique.
    En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $y_n = \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\times \left(-\dfrac{1}{3}\right)^n$.
    $\quad$
    g. Calculer $\lim\limits_{n \to + \infty} y_n$.
    Interpréter le résultat.
    $\quad$

Exercice 3    5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

On dispose d’un dé équilibré à $6$ faces numérotées de $1$ à $6$ et de $3$ pièces A, B et C ayant chacune un côté pile et un côté face.
Un jeu consiste à lancer une ou plusieurs fois le dé.
Après chaque lancer de dé, si l’on obtient $1$ ou $2$, alors on retourne la pièce A, si l’on obtient $3$ ou $4$, alors on retourne la pièce B et si l’on obtient $5$ ou $6$, alors on retourne la pièce C.
Au début du jeu, les $3$ pièces sont toutes du côté face.

  1. Dans l’algorithme ci-dessous, $0$ code le côté face et $1$ code le côté pile. Si $a$ code un côté de la pièce A, alors $1-a$ code l’autre côté de la pièce A.
    Variables :
    $\quad$ $a$, $b$, $c$, $d$, $s$ sont des entiers naturels
    $\quad$ $i$, $n$ sont des entiers supérieurs ou égaux à $1$
    Initialisation :
    $\quad$ $a$ prend la valeur $0$
    $\quad$ $b$ prend la valeur $0$
    $\quad$ $c$ prend la valeur $0$
    $\quad$ Saisir $n$
    Traitement :
    $\quad$ Pour $i$ allant de $1$ à $n$ faire
    $\qquad$ $d$ prend la valeur d’un entier aléatoire compris entre $1$ et $6$
    $\qquad$ Si $d \pp 2$
    $\qquad \quad$ alors $a$ prend la valeur $1-a$
    $\qquad \quad$ sinon Si $d \pp 4$
    $\qquad \qquad$ alors $b$ prend la valeur $1-b$
    $\qquad \qquad$ sinon $c$ prend la valeur $1-c$
    $\qquad \quad$ Fin Si
    $\qquad$ Fin Si
    $\qquad$ $s$ prend la valeur $a + b + c$
    $\quad$ Fin Pour
    Sortie :
    $\quad$ Afficher $s$
    $\quad$
    a. On exécute cet algorithme en saisissant $n = 3$ et en supposant que les valeurs aléatoires générées successivement pour $d$ sont $1$ ; $4$ et $2$. Recopier et compléter le tableau donné ci-dessous contenant l’état des variables au cours de l’exécution de l’algorithme :
    $\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{variables}&i&d&a&b&c&s\\
    \hline
    \text{initialisation}&\text{X}&\text{X}&&&&\text{X}\\
    \hline
    1^{\text{er}} \text{ passage boucle Pour}&&&&&&\\
    \hline
    2^{\text{e}} \text{ passage boucle Pour}&&&&&&\\
    \hline
    3^{\text{e}} \text{ passage boucle Pour}&&&&&&\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    b. Cet algorithme permet-il de savoir si, après une exécution de $n$ tirages, les trois pièces sont du côté pile ?
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$, on note :
    $\bullet$ $X_n$ l’événement: “À l’issue de $n$ lancers de dés, les trois pièces sont du côté face”
    $\bullet$ $Y_n$ l’événement: “À l’issue de $n$ lancers de dés, une seule pièce est du côté pile et les autres sont du côté face”
    $\bullet$ $Z_n$ l’événement: “À l’issue de $n$ lancers de dés, exactement deux pièces sont du côté pile et l’autre est du côté face”
    $\bullet$ $T_n$ l’événement: “À l’issue de $n$ lancers de dés, les trois pièces sont du côté pile”.
    De plus on note, $x_n = p\left(X_n\right)$ ; $y_n = p\left(Y_n\right)$ ; $z_n = p\left(Z_n\right)$ et $t_n = p\left(T_n\right)$ les probabilités respectives des évènements $X_n$, $Y_n$, $Z_n$ et $T_n$.
    a. Donner les probabilités $x_0$ ,$y_0$, $z_0$ et $t_0$ respectives qu’au début du jeu il y ait $0$, $1$, $2$ ou $3$ pièces du côté pile.
    $\quad$
    b. Recopier l’arbre ci-dessous et compléter les probabilités sur ses branches :

     

  3. Pour tout entier naturel $n$, on note $U_n$ la matrice ligne $\begin{pmatrix}x_n& y_n& z_n& t_n\end{pmatrix}$.
    a. Donner la matrice $U_0$.
    $\quad$
    b. À l’aide de l’arbre précédemment rempli, déterminer la matrice carrée $M$ telle que, pour tout entier naturel $n$, $U_{n+1} = U_n \times M$.
    $\quad$
  4. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $U_n = U_0 \times M^n$.
    $\quad$
  5. On admet que, pour tout entier $n \pg 1$,
    $x_n = \dfrac{(-1)^n + 3 \times \left(-\dfrac{1}{3}\right)^n + 3\times \left(\dfrac{1}{3}\right)^n + 1}{8}$ ;
    $\quad$
    $y_n = \dfrac{-3 \times \left(-\dfrac{1}{3}\right)^n + 3 \times \left(\dfrac{1}{3}\right)^n-(-1)^n \times 3 + 3}{8}$;
    $\quad$
    $z_n = \dfrac{-3 \times \left(-\dfrac{1}{3}\right)^n-3 \times \left(\dfrac{1}{3}\right)^n + (- 1)^n\times 3 + 3}{8}$ ;
    $\quad$
    $t_n = \dfrac{-(-1)^n + 3 \times \left(-\dfrac{1}{3}\right)^n-3\times \left(\dfrac{1}{3}\right)^n + 1}{8}$.
    $\quad$
    a. Calculer la probabilité, arrondie à $10^{-3}$ près, qu’au bout de $5$ lancers de dés, une seule des trois pièces soit du côté pile.
    $\quad$
    b. Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte
    $\bullet$ Première affirmation :
    “À l’issue d’un nombre pair de lancers de dés, les pièces peuvent être toutes les trois du côté pile”.
    $\bullet$ Deuxième affirmation:
    “Au cours du jeu, la probabilité que les pièces soient toutes les trois du côté pile peut être supérieure ou égale à $\dfrac{1}{4}$”.
    $\bullet$ Troisième affirmation:
    “Au cours du jeu, la probabilité que les pièces soient toutes les trois du côté pile peut être supérieure ou égale à $0,249$”.
    $\quad$

Exercice 4    5 points

Un hélicoptère est en vol stationnaire au-dessus d’une plaine. Un passager lâche verticalement un colis muni d’un parachute.

Partie 1

Soit $v_1$ la fonction définie sur $[0;+\infty[$ par : $$v_1(t) = 5 \times \dfrac{\e^{0,3t}-1}{\e^{0,3t} + 1}$$

  1. Déterminer le sens de variation de la fonction $v_1$.
    $\quad$
  2. On suppose, dans cette question, que le parachute fonctionne correctement.
    On admet que $t$ secondes après qu’il a été lâché, la vitesse du colis (exprimée en m.s$^{-1}$) est égale, avant d’atteindre le sol, à $v_1(t)$.
    On considère que le colis arrive en bon état sur le sol si sa vitesse à l’arrivée n’excède pas 6 m.s$^{-1}$.
    Le colis risque-t-il d’être endommagé lorsque le parachute s’ouvre correctement ? Justifier.
    $\quad$

Partie 2

On suppose, dans cette partie, que le parachute ne s’ouvre pas.
On admet que, dans ce cas, avant que le colis atteigne le sol, sa vitesse (exprimée en m.s$^{-1}$), $t$ secondes après avoir été lâché par le passager, est donnée par : $$v_2(t) = 32,7 \left(1-\e^{- 0,3t}\right)$$

  1.  Quelle est la vitesse, exprimée en m.s$^{-1}$, atteinte par le colis au bout de $10$ secondes ? Arrondir à $0,1$ m.s$^{-1}$.
    $\quad$
  2. Résoudre l’équation $v_2(t) = 30$ m.s$^{-1}$. Donner une interprétation concrète de la solution de cette équation dans le cadre de cet exercice.
    $\quad$
  3. On sait que la chute du colis dure $20$ secondes.
    On admet que la distance, en mètres, qui sépare l’hélicoptère du colis, $T$ secondes après avoir été lâché par le passager, est donnée par: $$d(T) = \displaystyle\int_0^T v_2(t)\dt$$
    a. Montrer que, pour tout réel $T$ de l’intervalle $[0;20]$, $d(T) = 109\left(\e^{-0,3 T} + 0,3 T-1\right)$.
    $\quad$
    b. Déterminer une valeur approchée à $1$ m près de la distance parcourue par le colis lorsqu’il atteint le sol.
    $\quad$
  4. Déterminer un encadrement d’amplitude $0,1$ s du temps mis par le colis pour atteindre le sol si on l’avait lâché d’une hauteur de $700$ mètres.
    $\quad$

Bac ES/L – Métropole (dévoilé)- juin 2017

Métropole – Juin 2017

Bac ES/L – Mathématiques sujet dévoilé – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. $P(X\pp 2,5)=0,5-P(2,5\pp X\pp 3) \approx 0,31$
    Réponse c
    $\quad$
  2. On sait que $P(\mu-2\sigma\pp Y\pp \mu+2\sigma) \approx 0,95$
    Or ici, $\mu=0$ et $P(-5 \pp Y \pp 5)\approx 0,95$
    Donc $5\approx 0+2\sigma \ssi \sigma \approx 2,5$
    Réponse b
    Remarque : 
    On peut aussi tester le calculs de probabilité avec les différentes valeurs.
    $\quad$
  3. $n=500\pg 30$ et $f=\dfrac{438}{500}=0,876$ donc $nf=438\pg 5$ et $n(1-f)=62\pg 5$
    Un intervalle de confiance au niveau de confiance $0,95$ est donc :
    $\begin{align*} I_{500}&=\left[0,876-\dfrac{1}{\sqrt{500}};0,876+\dfrac{1}{\sqrt{500}}\right] \\
    &\approx [0,831;0,921]
    \end{align*}$
    Réponse c
    $\quad$
  4. Un intervalle de confiance est de la forme $\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}};f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$
    Son amplitude est donc $f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\left(f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right)=\dfrac{2}{\sqrt{n}}$.
    On veut donc résoudre l’inéquation :
    $\begin{align*} \dfrac{2}{\sqrt{n}}\pp 0,05 &\ssi \dfrac{2}{0,05}\pp \sqrt{n} \\
    &\ssi 40 \pp \sqrt{n} \\
    &\ssi 1~600 \pp n
    \end{align*}$
    Parmi les réponses proposées, la plus petite valeur acceptable est donc $2~000$.
    Réponse c
    $\quad$

 

Ex 2 spé

Exercice 2

Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité.

  1. On obtient le graphe probabiliste suivant :
  2. a. On a $P_1=P_0\times M$.
    $\quad$
    b. Donc $P_1=\begin{pmatrix} 0,96\times 0,92+0,01\times 0,08&0,04\times 0,96+0,99\times 0,08\end{pmatrix}$
    Soit $P_1=\begin{pmatrix} 0,884&0,116\end{pmatrix}$.
    La probabilité qu’un assuré soit de catégorie A en 2017 est donc environ égale à $0,88$.
    $\quad$
  3. a. L’état stable $P=\begin{pmatrix} a&b\end{pmatrix}$ vérifie :
    $\begin{align*} \begin{cases} P=PA\\a+b=1\end{cases} &\ssi \begin{cases} a+b=1 \\0,96a+0,01b=a\\0,04a+0,99b=b\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} a+b=1\\-0,04a+0,01b=0 \\0,04a-0,01b=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} a+b=1\\-0,04a+0,01b=0\end{cases} \end{align*}$
    $\quad$
    b. $\begin{align*} \begin{cases} a+b=1\\-0,04a+0,01b=0 \end{cases} &\ssi \begin{cases} a=1-b\\-0,04+0,04b+0,01b=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} a=1-b\\0,05b=0,04\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} a=1-b\\b=0,8 \end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} a=0,2\\b=0,2\end{cases}\end{align*}$
    L’état stable est donc $P=\begin{pmatrix}0,2&0,8\end{pmatrix}$.
    Sur le long terme, $20\%$ des assurés seront de catégorie A et $80\%$ des assurés seront de catégorie B.
    $\quad$
  4. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $a_n+b_n=1$ donc $b_n=1-a_n$
    De plus :
    $\begin{align*} a_{n+1}&=0,96a_n+0,01b_n \\
    &=0,96a_n+0,01\left(1-a_n\right) \\
    &=0,96a_n+0,01-0,01a_n \\
    &=0,95a_n+0,01
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. On obtient l’algorithme suivant :
    Variables :
    $\quad$ $A$ est un nombre réel
    $\quad$ $N$ est un entier naturel
    Initialisation :
    $\quad$ Affecter à $A$ la valeur $0,92$
    $\quad$ Affecter à $N$ la valeur $0$
    Traitement :
    $\quad$ Tant que $A \pg 0,5$ \\
    $\qquad$ Affecter à $N$ la valeur $N+1$
    $\qquad$ Affecter à $A$ la valeur $0,95\times A+0,01$
    $\quad$ Fin Tant que
    Sortie :
    $\quad$ Afficher $N$
    $\quad$
    c. La suite $\left(a_n\right)$ est décroissante et tend vers $0,2$. Il existe donc un rang $n$ à partir duquel $a_n < 0,5$
    On cherche donc le plus petit entier naturel $n$ tel que :
    $\begin{align*} a_n<0,5 &\ssi 0,2+0,72\times 0,95^n < 0,5 \\
    &\ssi 0,72\times 0,95^n < 0,3 \\
    &\ssi 0,95^n < \dfrac{5}{12} \\
    &\ssi n\ln 0,95 < \ln \dfrac{5}{12} \\
    &\ssi n > \dfrac{\ln \dfrac{5}{12}}{\ln 0,95} \\
    &\ssi n \pg 18
    \end{align*}$
    C’est donc à partir de l’année 2034 que la proportion d’assurés de catégorie A va devenir inférieure à $0,5$.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
  2. a. On veut déterminer $p(B\cap T)=0,2\times 0,7=0,14$
    $\quad$
    b. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(T)&=p(B\cap T)+p\left(\conj{B}\cap T\right) \\
    &=0,14+0,8\times 0,1 \\
    &=0,22
    \end{align*}$
    $\quad$
    c. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_T(B)&=\dfrac{p(T\cap B)}{p(T)} \\
    &=\dfrac{0,14}{0,22} \\
    &=\dfrac{7}{11}
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. a. On effectue $5$ tirages aléatoires, identiques et indépendants. À chaque tirage, il y a deux issues : $T$ et $\conj{T}$. De plus $p(T)=0,22$.
    La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=5$ et $p=0,22$.
    $\quad$
    b. $P(X\pg 1) = 1-p(X=0) =1-0,78^5\approx 0,711$
    $\quad$
    c. L’espérance est $E(X)=np=1,1$.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie A

  1. $f'(-1)$ est le coefficient directeur de la tangente $T_1$ qui est parallèle à l’axe des abscisses.
    Donc $f'(-1)=0$.
    $\quad$
    $f'(1)$ est le coefficient directeur de la tangente $T_3$ (qui également la droite $(CD)$).
    $f'(1)=\dfrac{1-3}{2-1}=-2$.
    $\quad$
  2. Si $B$ est un point d’inflexion de la courbe $\mathscr{C}_f$, cela signifie que les tangentes à la courbe $\mathscr{C}_f$ vont être sous la courbe sur l’intervalle $[0;4]$.
    $\quad$
  3. Une équation d’une tangente au point d’abscisse $a$ est $y=f'(a)(x-a)+f(a)$
    Si $a=1$, on a $f'(1)=-2$ et $f(1)=3$
    Une équation de $T_3$ est donc $y=-2(x-1)+3$
    Soit $y=-2x+5$.
    $\quad$

Partie B

  1. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[-2;4]$ comme composée et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $\begin{align*} f'(x)&=1\times \e^{-x+1}-(x+2)\e^{-x+1} \\
    &=(1-x-2)\e^{-x+1} \\
    &=-(x+1)\e^{-x+1}
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. La fonction exponentielle est strictement positive. Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $-(x+1)$.
    $-(x+1)=0 \ssi x+1=0 \ssi x=-1$
    $-(x+1)>0 \ssi x+1<0 \ssi x<-1$
    On obtient donc le tableau de signes et de variation suivant :

Partie C

  1. D’après le logiciel de calcul formel $f^{\prime \prime}(x)=x\e^{-x+1}$
    La fonction exponentielle étant strictement positive, le signe de $f^{\prime \prime}(x)$ ne dépend donc que de celui de $x$.
    $$f^{\prime \prime}(x)>0 \ssi x>0$
    La fonction $f$ est donc convexe sur l’intervalle $[0;4]$.
    $\quad$
  2. a. D’après le logiciel de calcul formel, une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-2;4]$ est la fonction $F$ définie sur cet intervalle par $F(x)=-(x+3)\e^{-x+1}$.
    $\begin{align*} I&=\displaystyle \int_{-2}^1 f(x)\dx \\
    &=F(1)-F(-2) \\
    &=-4-\left(-\e^3\right) \\
    &=-4+\e^3
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-2;1]$ est :
    $m=\dfrac{1}{1-(-2)}\displaystyle \int_{-2}^1 f(x)\dx=\dfrac{-4+\e^3}{3} \approx 5,362$
    $\quad$

Énoncé spé

Exercice 1    4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des quatre questions, quatre réponses sont proposées ; une seule de ces réponses convient. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.
Une réponse exacte rapporte $1$ point, une réponse fausse ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.

  1. Si $X$ est une variable aléatoire qui suit la loi normale d’espérance $\mu=3$ et d’écart type $\sigma=1$ alors $P\left( X \pp 2,5\right)$ a pour valeur approchée arrondie au centième :
    a. $0,16$
    b. $0,26$
    c. $0,31$
    d. $0,54$
    $\quad$
  2. Soit $Y$ une variable aléatoire qui suit la loi normale d’espérance $0$ et d’écart-type $\sigma$. Si $P\left(-5\pp Y \pp  5\right) \approx 0,95$ alors, parmi les réponses suivantes, la meilleure valeur approchée de $\sigma$ est :
    a. $5$
    b. $2,5$
    c. $1,3$
    d. $0,95$
    $\quad$
  3. Un institut de sondage réalise une enquête afin de mesurer le degré de satisfaction du service après-vente d’une société. Une première étude portant sur un échantillon aléatoire de $500$ clients révèle que l’on dénombre $438$ clients satisfaits. Un intervalle de confiance au niveau de confiance $0,95$ permettant d’estimer la proportion de clients satisfaits est :
    a. $[0,079;0,169]$
    b. $[0,455;0,545]$
    c. $[0,831;0,921]$
    d. $[0,874;0,878]$
    $\quad$
  4. Cet institut souhaite réduire l’amplitude de l’intervalle de confiance. Combien de personnes au minimum faut-il interroger pour que cet intervalle de confiance ait une amplitude d’au plus $0,05$ ?
    a. $1~500$
    b. $40$
    c. $2~000$
    d. $400$
    Remarque : l’amplitude d’un intervalle $[e;f]$ est le nombre $f-e$.
    $\quad$

Exercice 2    5 points

Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

En 2016, un institut de sondage mène une enquête régionale sur la manière dont les particuliers paient leur assurance. Les assurés se répartissent en deux catégories distinctes :

  • la catégorie A, composée des assurés qui paient en agence ;
  • la catégorie B, composée des assurés qui paient en ligne.

En 2016, $92\%$ des assurés paient en agence.
On admet que, d’une année à l’autre, $4\%$ des assurés de la catégorie A passent à la catégorie B et que $1\%$ des assurés de la catégorie B passent à la catégorie A.
On suppose que le nombre d’assurés est constant et que chaque année un assuré fait partie d’une seule catégorie.
Pour tout entier naturel $n$, on considère l’année $(2016+n)$ et on note :

  • $a_n$ la probabilité qu’un assuré, pris au hasard, soit de catégorie A cette année-là,
  • $b_n$ la probabilité qu’un assuré, pris au hasard, soit de catégorie B cette année-là,
  • $P_n$ la matrice ligne $\begin{pmatrix}a_n & b_n\end{pmatrix}$. Ainsi $P_0 = \begin{pmatrix} 0,92 & 0,08\end{pmatrix}$.
  1. Représenter la situation à l’aide d’un graphe probabiliste.
    On notera $A$ l’état “l’assuré est de catégorie A” et $B$ l’état “l’assuré est de catégorie B”.
    $\quad$
  2. On admet que la matrice de transition $M$ associée à cette situation est $M = \begin{pmatrix}0,96&0,04\\0,01 &0,99\end{pmatrix}$.
    a. Exprimer $P_1$ en fonction de $M$ et de $P_0$.
    $\quad$
    b. En déduire la probabilité qu’un assuré soit de catégorie A en 2017. Arrondir le résultat au centième.
    $\quad$
  3. Soit $P = \begin{pmatrix} a & b\end{pmatrix}$ la matrice ligne donnant l’état stable du graphe.
    a. Justifier que $\begin{cases} -0,04a+0,01b = 0\\ a+b = 1 \end{cases}$.
    $\quad$
    b. Résoudre le système précédent. Quelle conclusion peut-on tirer quant à la répartition à long terme des assurés ?
    $\quad$
  4. a. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $a_{n+1}= 0,95a_n+0,01$.
    On admet que, pour tout entier naturel $n$, $a_n = 0,2+0,72 \times 0,95^n$ et que la suite $\left( a_n \right)$ est décroissante.
    $\quad$
    b. On souhaite déterminer au bout de combien d’années moins d’un assuré sur deux sera de catégorie A. Recopier et compléter l’algorithme pour qu’il donne le résultat attendu.
    $\begin{array}{|l|l|}
    \hline
    \textbf{Variables :} & A \text{ est un nombre réel}\\
    & N \text{ est un entier naturel}\\
    \hline
    \textbf{Initialisation}& \text{ Affecter à }A \text{ la valeur  }0,92\\
    & \text{Affecter à } N \text{ la valeur } 0 \\
    \hline
    \textbf{Traitement} & \text{Tant que } \ldots\ldots\ldots \\
    &\quad \text{Affecter à } N \text{ la valeur } \ldots\ldots\ldots\\
    & \quad \text{Affecter à } A \text{ la valeur } \ldots\ldots\ldots\\
    &\text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \textbf{Sortie} & \text{Afficher } \ldots\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    c. La proportion d’assurés de catégorie A va-t-elle devenir inférieure à $0,5$ ? Si oui, à partir de quelle année ? Expliquer la démarche choisie.
    $\quad$

Exercice 3    5 points

L’angine chez l’être humain est provoquée soit par une bactérie (angine bactérienne), soit par un virus (angine virale).
On admet qu’un malade ne peut pas être à la fois porteur du virus et de la bactérie.
L’angine est bactérienne dans $20\%$ des cas.
Pour déterminer si une angine est bactérienne, on dispose d’un test. Le résultat du test peut être positif ou négatif. Le test est conçu pour être positif lorsque l’angine est bactérienne, mais il présente des risques d’erreur :

  • si l’angine est bactérienne, le test est négatif dans $30\%$ des cas ;
  • si l’angine est virale, le test est positif dans $10\%$ des cas.

On choisit au hasard un malade atteint d’angine. On note :

  • $B$ l’événement : “l’angine du malade est bactérienne”;
  • $T$ l’événement : “le test effectué sur le malade est positif”.

On rappelle que si $E$ et $F$ sont deux événements, $p(E)$ désigne la probabilité de $E$ et $p_{F}(E)$ désigne la probabilité de $E$ sachant que $F$ est réalisé. On note $\conj{E}$ l’événement contraire de $E$.

  1. Représenter la situation par un arbre de probabilité.
    $\quad$
  2. a. Quelle est la probabilité que l’angine du malade soit bactérienne et que le test soit positif ?
    $\quad$
    b. Montrer que la probabilité que le test soit positif est $0,22$.
    $\quad$
    c. Un malade est choisi au hasard parmi ceux dont le test est positif. Quelle est la probabilité pour que son angine soit bactérienne ?
    $\quad$
  3. On choisit au hasard cinq malades atteints d’une angine.
    On note $X$ la variable aléatoire qui donne, parmi les cinq malades choisis, le nombre de malades dont le test est positif.
    a. Quelle est la loi de probabilité suivie par $X$ ?
    $\quad$
    b. Calculer la probabilité qu’au moins l’un des cinq malades ait un test positif.
    $\quad$
    c. Calculer l’espérance mathématique de $X$.
    $\quad$

Exercice 4    6 points

Partie A

Dans le repère ci-dessous, on a tracé la courbe représentative $\mathscr{C}_f$ d’une fonction $f$ définie et dérivable sur l’intervalle $[-2;4]$ ainsi que plusieurs tangentes à $\mathscr{C}_f$ :

  • $T_1$ est la tangente au point $A$ de coordonnées $\left(-1;\e^2\right)$,
  • $T_2$ est la tangente au point $B$ de coordonnées $(0;2\e)$,
  • $T_3$ est la tangente au point $C$ de coordonnées $(1;3)$.

On sait que la tangente $T_1$ est parallèle à l’axe des abscisses et que la tangente $T_3$ passe par le point $D$ de coordonnées $(2;1)$.

 

  1. Déterminer $f'(- 1)$ et $f'(1)$.
    $\quad$
  2. On admet que $B$ est un point d’inflexion de la courbe $\mathscr{C}_f$. Quelle interprétation graphique peut-on faire ?
    $\quad$
  3. Déterminer une équation de la tangente à la courbe $\mathscr{C}_f$ au point $C$.
    $\quad$

Partie B

On admet que la fonction $f$ de la partie A est définie, pour tout réel $x$ de l’intervalle $[-2;4]$, par : $$f(x) =(x + 2)\e^{-x + 1}$$

On note $f’$ la fonction dérivée de $f$.

  1. Montrer que, pour tout $x$ de l’intervalle $[-2;4]$, on a $f'(x) = -(x+1)\e^{-x+1}$.
    $\quad$
  2. Étudier le signe de $f'(x)$ sur l’intervalle $[-2;4]$ puis dresser le tableau de variations de $f$ sur cet intervalle.
    $\quad$

Partie C

Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants :

$\begin{array}{|c|l|}
\hline
1& \text{factoriser}\big(\text{dériver} \left[-(x + 1)*\exp(-x + 1)\right]\big)\\
& \qquad \qquad \to x*\exp(-x + 1)\\
\hline
2 & \text{intégrer}\left((x + 2)*\exp(-x+1)\right)\\
& \qquad \qquad \to -(x + 3)*\exp(-x + 1)\\
\hline
\end{array}$

En utilisant ces résultats, répondre aux questions suivantes.

  1. Déterminer un intervalle sur lequel la fonction $f$ est convexe. justifier.
    $\quad$
  2. a. Montrer que $\ds \int_{-2}^{1} f(x)\dx = -4+\e^3$.
    $\quad$
    b. En déduire la valeur moyenne arrondie au millième de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-2;1]$.
    $\quad$