Coefficients binomiaux – Spécialité mathématiques

Coefficients binomiaux

Exercice 1

Développer, à l’aide de la formule du binôme de Newton, pour tout réel $x$ :

$A=(x+1)^5$

$B=(x-2)^4$

$\quad$

Correction Exercice 1

$\begin{align*}A&=(x+1)^5 \\
&=\sum_{k=0}^5 \dbinom{5}{k}x^k\times 1^{5-k} \\
&=x^5+5x^4+10x^3+10x^2+5x+1\end{align*}$

$\quad$

$\begin{align*}B&=(x-2)^4 \\
&=\sum_{k=0}^4 \dbinom{4}{k}x^k\times (-2)^{4-k} \\
&=x^4-8x^3+24x^2-32x+16\end{align*}$

$\quad$

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$\quad$

Exercice 2

Développer, à l’aide de la formule du binôme de Newton, pour tout couple de réels $(a,b)$ :

$A=(a+b)^6$

$B=(a-b)^6$

$\quad$

Correction Exercice 2

$\begin{align*}A&=(a+b)^6 \\
&=\sum_{k=0}^6 \dbinom{6}{k}a^k\times b^{6-k} \\
&=a^6+6a^5b+15a^4b^2+20a^3b^3+15a^2b^4+6ab^5+b^6\end{align*}$

$\begin{align*}B&=(a-b)^6 \\
&=\sum_{k=0}^6 \dbinom{6}{k}a^k\times (-b)^{6-k} \\
&=a^6-6a^5b+15a^4b^2-20a^3b^3+15a^2b^4-6ab^5+b^6\end{align*}$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Pour tout couple d’entiers naturels $(n,p)$ tels que $n\pp p$, simplifier l’expression suivante :

$$\dfrac{\dbinom{n+1}{p+1}}{\dbinom{n}{p}}$$

$\quad$

Correction Exercice 3

$\begin{align*}\dfrac{\dbinom{n+1}{p+1}}{\dbinom{n}{p}}&=\dfrac{\dfrac{(n+1)!}{(p+1)!\left((n+1)-(p+1)\right))!}}{\dfrac{n!}{p!(n-p)!}} \\
&=\dfrac{(n+1)!}{(p+1)!(n-p)!}{\dfrac{n!}{p!(n-p)!}} \\
&=\dfrac{(n+1)!}{(p+1)!(n-p)!}\times \dfrac{p!(n-p)!}{n!} \\
&=\dfrac{(n+1)!}{n!}\times \dfrac{p!}{(p+1)!}\\
&=\dfrac{n+1}{p+1}\end{align*}$

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$\quad$

Exercice 4

Résoudre dans $\N^*$ l’équation : $$\dbinom{n}{1}+\dbinom{n+1}{2}=\dbinom{n+1}{3}$$

$\quad$

Correction Exercice 4

Pour tout entier naturel $n$ non nul, $\dbinom{n+1}{3} \neq 0\ssi n+1\pg 3\ssi n\pg 2$.
Les autres coefficients binomiaux sont également non nuls si $n\pg 2$.

Pour tout entier naturel $n\pg 2$

$\begin{align*}\dbinom{n}{1}+\dbinom{n+1}{2}=\dbinom{n+1}{3} &\ssi \dfrac{n!}{1!(n-1)!}+\dfrac{(n+1)!}{2!(n-1)!}=\dfrac{(n+1)!}{3!(n-2)!} \\
&\ssi n+\dfrac{n(n+1)}{2}=\dfrac{(n+1)n(n-1)}{6} \\
&\ssi n\left(1+\dfrac{n+1}{2}-\dfrac{(n+1)(n-1)}{6}\right)=0 \\
&\ssi \dfrac{n}{6}\times \left(6+3n+3-\left(n^2-1\right)\right) \\
&\ssi -n^2+3n+10=0 \qquad \text{car } n\pg 2\\
&\ssi -(n-5)(n+2)=0\end{align*}$

Or $(n-5)(n+2)=0 \ssi n=5$ ou $n=-2$.
On a $-2\notin \N^*$ et $5$ est un entier naturel supérieur ou égale à $2$.
Donc $5$ est une solution de l’équation initiale.

Regardons si $1$ est solution de cette équation.
$\dbinom{1}{1}+\dbinom{2}{2}=\dbinom{2}{3}\ssi 1+1=0$
Cette dernière équation est fausse.

L’unique solution de $\dbinom{n}{1}+\dbinom{n+1}{2}=\dbinom{n+1}{3}$ dans $\N^*$ est donc $5$.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 5

En écrivant $11=10+1$ et en utilisant la formule du binôme de Newton calculer $11^2$, $11^3$, $11^4$.
Que remarque-t-on?
Cette propriété est-elle vérifiée pour $11^5$? Pourquoi?

$\quad$

Correction Exercice 5

On a
$\begin{align*}11^2&=(10+1)^2 \\
&=10^2+2\times 10+1 \\
&=121\end{align*}$

$\begin{align*}11^3&=(10+1)^3 \\
&=10^3+3\times 10^2+3\times 10+1 \\
&=1~331\end{align*}$

$\begin{align*}11^4&=(10+1)^4 \\
&=10^4+4\times 10^3+6\times 10^2+4\times 10+1 \\
&=14~641\end{align*}$

Ces nombres sont des palindromes : ils ont la même valeur quand on les lit de la gauche vers la droite ou de la droite vers la gauche.

$\begin{align*}11^5&=(10+1)^5 \\
&=10^5+5\times 10^4+10\times 10^3+10\times 10^2+5\times 10+1 \\
&=161~051\end{align*}$

$11^5$ n’est pas un palindromes. Cela est dû aux coefficients binomiaux $\dbinom{5}{3}$ et $\dbinom{5}{2}$ qui s’écrivent à l’aide de $2$ chiffres.

$\quad$

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$\quad$