Coordonnées dans le plan

Dans un repère orthonormé, on donne les points $A(3;7)$, $B(-3;1)$ et $C(1;-3)$

Démontrer que $ABC$ est un triangle rectangle. $ABC$ est-il isocèle? Justifier.

$AB^2 = (x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2 $ $= (-3 – 3)^2 + (1 – 7)^2 = (-6)^2+6^2=72$.

$AC^2 = (1-3)^2+(-3-7)^2 = (-2)^2+(-10)^2 = 104$

$BC^2=(1+3)^2+(-3-1)^2=4^2+(-4)^2=32$

Dans le triangle $ABC$, $[AC]$ est le plus grand côté.

D’une part $AC^2 = 104$.

D’autre part $AB^2+BC^2 = 72+32 = 104$

Par conséquent $AC^2=AB^2+BC^2$.

D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est rectangle en $B$.

$\quad$

Mais $BC \neq AB$. Le triangle $ABC$ n’est donc pas isocèle.