Coordonnées dans le plan

Exercice 2

Le repère est orthonormé. Déterminer, dans chacun des cas, les distances $AB$, $AC$ et $BC$ puis dire si le triangle $ABC$ est rectangle.

$A(3;0)$, $B(-1;0)$, $C(-1;3)$
$\quad$
$A(-2;3)$, $B(3;2)$, $C(0;0)$
$\quad$
$A(0;5)$, $B(3;6)$, $C(5;-2)$

Correction

$AB^2=(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2 $ $= (-1-3)^2+(0-0)^2 = 16$
$AB = \sqrt{16} = 4$
$\quad$
$AC^2 = (-1-3)^2+(3-0)^2 = (-4)^2+3^2 = 25$
$AC=\sqrt{25} = 5$
$\quad$
$BC^2 = (-1+1)^2+(3-0)^2 = 0^2 + 3^2 = 9$
$BC=\sqrt{9} = 3$
$\quad$
Dans le triangle $ABC$, le plus grand côté est $[AC]$.
D’une part $AC^2 = 25$
D’autre part $AB^2+BC^2 = 9 + 16 = 25$
$\quad$
Par conséquent $AC^2=AB^2+BC^2$
D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est rectangle en $B$.
$\quad$
$AB^2=(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2 $ $= (3+2)^2+(2-3)^2 = 5^2 + (-1)^2 $ $= 25 + 1 = 26$
$AB = \sqrt{26}$
$\quad$
$AC^2=(0+2)^2+(0-3)^2 = 2^2 + (-3)^2 = 4 + 9 = 13$
$AC = \sqrt{13}$
$\quad$
$BC^2=(0-3)^2+(0-2)^2 = (-3)^2+(-2)^2=9+4=13$
$BC = \sqrt{13}$
$\quad$
Dans le triangle $ABC$, le plus grand côté est $[AB]$.
D’une part $AB^2 = 26$
D’autre part $AC^2+BC^2 = 13 + 13$.
$\quad$
Par conséquent $AB^2=AC^2+BC^2$.
D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est rectangle en $C$.
De plus $AC=BC$.
Le triangle est donc rectangle isocèle en $C$.
$\quad$
$AB^2 = (x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2 $ $= (3+2)^2+(2-3)^2 =(3-0)^2+(6-5)^2$ $=3^2+1^2=10$
$AB = \sqrt{10}$
$\quad$
$AC^2=(5-0)^2+(-2-5)^2 = 5^2 + (-7)^2 = 25 + 49 = 74$
$AC=\sqrt{74}$
$\quad$
$BC^2 = (5-3)^2+(-2-6)^2 = 2^2+(-8)^2 = 4 + 64 = 68$.
$BC=\sqrt{68}$
$\quad$
Dans le triangle $ABC$ le plus grand côté est $[AC]$.
D’une part $AC^2=74$
D’autre part $AB^2+BC^2 = 10+68 = 78$
Par conséquent $AC^2 \neq AB^2+BC^2$.
D’après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ n’est pas rectangle.
$\quad$