Coordonnées dans le plan – exercice 5

Exercice 5

Dans un repère du plan, on considère les points $E(3;4)$, $F(6;6)$ et $K(4;-1)$.

Calculer les coordonnées des points $G$ et $H$ tels que $EFGH$ soit un parallélogramme de centre $K$.

Correction

$K$ est le centre du parallélogramme $EFGH$ par conséquent il est le milieu des diagonales $[EG]$ et $[FH]$.

$K$ est le milieu de $[EG]$. On a donc :
$\begin{cases} x_K=\dfrac{x_E+x_G}{2} \\\\y_K=\dfrac{y_E+y_G}{2} \end{cases}$ Soit $\begin{cases} 4 = \dfrac{3+x_G}{2} \\\\-1=\dfrac{4+y_G}{2} \end{cases}$
On multiplie chacune des équations par $2$ (les deux côtés!) afin de ne plus avoir de dénominateur:

$\begin{cases} 8 = 3+x_G\\\\-2=4+y_G \end{cases}$ Finalement $\begin{cases}x_G=8-3=5 \\\\y_G=-2-4=-6 \end{cases}$
$\quad$
Donc $G(5;-6)$

$\quad$

$K$ est le milieu de $[FH]$

On a donc :
$\begin{cases} x_K=\dfrac{x_F+x_H}{2} \\\\y_K=\dfrac{y_F+y_H}{2} \end{cases}$ Soit $\begin{cases} 4 = \dfrac{6+x_H}{2} \\\\-1=\dfrac{6+y_H}{2} \end{cases}$
On multiplie chacune des équations par $2$ (les deux côtés!) afin de ne plus avoir de dénominateur:

$\begin{cases} 8 = 6+x_H\\\\-2=6+y_H \end{cases}$ Finalement $\begin{cases}x_H=8-6=2 \\\\y_G=-2-6=-8 \end{cases}$
$\quad$
Donc $G(2;-8)$