Coordonnées dans le plan – exercice 6

Exercice 6

Dans un repère orthonormé du plan, on considère les points $A(-2;-3)$ et $B(4;1)$.

Les points $M(3;2)$ et $N\left(-2;\dfrac{5}{2} \right)$ sont-ils sur le cercle de diamètre $[AB]$? Justifier.

Correction

Un point est sur un cercle donné si la distance le séparant du centre du cercle est égale au rayon du cercle.

Déterminons dans un premier temps les coordonnées du centre $I$ du cercle. Il s’agit du milieu de $[AB]$.

$\begin{cases} x_I=\dfrac{x_A+x_B}{2} = \dfrac{-2+4}{2} = 1\\\\y_I=\dfrac{y_A+y_B}{2} = \dfrac{-3+1}{2}=-1 \end{cases}$

$I$ a donc pour coordonnées $(1;-1)$

$\quad$

Le rayon du cercle est $OA$.
$OA^2 = (x_A-x_O)^2+(y_A-y_O)^2$ $=(-2 – 1)^2 + (-3 +1)^2 = (-3)^2+(-2)^2 $ $=9+4 = 13$.

Donc $OA = \sqrt{13}$.

Calculons maintenant $OM$
$OM^2 = (3 -1)^2+(2+1)^2 = 2^2+3^2 = 4 + 9 = 13$

Donc $OM= \sqrt{13} = OA$. Le point $M$ appartient au cercle de diamètre $[AB]$

$\quad$

Calculons enfin $ON$
$ON^2 = (-2-1)^2+\left(\dfrac{5}{2}+1 \right)^2$ $ = (-3)^2 + \left(\dfrac{7}{2} \right)^2 = \dfrac{85}{4}$

Donc $ON = \sqrt{\dfrac{85}{4}} \neq OA$. Le point $N$ n’appartient pas au cercle de diamètre $[AB]$.