Coordonnées dans le plan

Dans un repère orthonormé du plan, on considère les points $A(4;1)$, $B(0;4)$ et $C(-6;-4)$.

Calculer $AB$, $AC$ et $BC$.

En déduire que le triangle $ABC$ est rectangle. Trouver ensuite les coordonnées du centre du cercle circonscrit à ce triangle. Quel est son rayon?

$AB^2 = (0 – 4)^2+(4-1)^= (-4)^2+3^2=25$. Donc $AB = 5$

$AC^2 = (-6 – 4)^2+(-4-1)^2 = (-10)^2 + (-5)^2 = 125$. Donc $AC = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$

$BC^2=(-6-0)^2+(-4-4)^2 = (-6)^2+(-8)^2 = 100$. Donc $BC=10$.

Dans le triangle $ABC$, $[AC]$ est le plus grand côté.
D’une part $AC^2 = 125$
D’autre part $AB^2+BC^2 = 25+100 = 125$

Donc $AC^2=AB^2+BC^2$. D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est rectangle en $B$.

$\quad$

Le centre $I$ du cercle circonscrit est donc le milieu de l’hypoténuse $[AC]$.

On a ainsi $\begin{cases} x_I=\dfrac{x_A+x_C}{2} = \dfrac{4-6}{2} = -1 \\\\y_I=\dfrac{y_A+y_C}{2} = \dfrac{1-4}{2} = -\dfrac{3}{2} \end{cases}$

Par conséquent $I\left(-1;-\dfrac{3}{2} \right)$

$\quad$

Le rayon du cercle est donc $\dfrac{AC}{2} = \dfrac{5\sqrt{5}}{2}$