Coordonnées dans le plan

Exercice 8

Dans un repère orthonormé du plan, on considère les points $A(-5;-3)$, $B(8;3)$, $M(1;1)$ et $N\left( -3;\dfrac{39}{4}\right)$.

Les points $M$ et $N$ sont-ils sur la médiatrice du segment $[AB]$? Justifier.

Correction

Un point est sur la médiatrice d’un segment s’il est équidistant des extrémités.

Calculons et comparons $AM$ et $BM$

$AM^2=(1+5)^2+(1+3)^2 = 6^2+4^2=52$ donc $AM = \sqrt{52}$
$BM^2=(1-8)^2+(1-3)^2=(-7)^2+(-2)^2=53$ donc $BM=\sqrt{53}$

Par conséquent $AM \neq BM$. Le point $M$ n’appartient pas à la médiatrice de $[AB]$.

$\quad$

Calculons et comparons $AN$ et $BN$

$AN^2=(-3+5)^2+\left(\dfrac{39}{4} + 3\right)^2 $ $= 2^2+\left(\dfrac{51}{4}\right)^2=\dfrac{2665}{16}$. Donc $AN = \dfrac{\sqrt{2665}}{2}$
$BN^2=(-3-8)^2+\left(\dfrac{39}{4} – 3\right)^2 $ $= (-11)^2+\left(\dfrac{27}{4}\right)^2=\dfrac{2665}{16}$. Donc $BN= \dfrac{\sqrt{2665}}{2}$

Par conséquent $AN=BN$. Lepoint $N$ appartient à la médiatrice de $[AB]$.