Coordonnées dans le plan – exercice 9

Exercice 9

Dans le plan muni d’un repère orthonormé $(O;I,J)$ on considère les points $A(-3;0)$, $B(2;1)$, $C(4;3)$ et $D(-1;2)$.

  1. Placer les points $A$, $B$, $C$ et $D$.
    $\quad$
  2. Démontrer que les segments $[AC]$ et $[BD]$ ont le même milieu $K$.
    $\quad$
  3. Montrer que le triangle $OBD$ est rectangle est isocèle.
    $\quad$
  4. On considère le point $E$ du plan tel que $BODE$ soit un parallélogramme.
    Quelles sont les coordonnées de $E$.
    $\quad$
  5. Calculer $AE$.

Correction

  1. $\quad$
    im1
  2. Soit $K$ le milieu de $[AC]$.
    On a ainsi $\begin{cases} x_K=\dfrac{-3+4}{2}=\dfrac{1}{2} \\\\y_K=\dfrac{0+3}{2}=\dfrac{3}{2} \end{cases}$
    $\quad$
    Soit $K’$ le milieu de $[BD]$.
    On a ainsi $\begin{cases} x_{K’}=\dfrac{2-1}{2}=\dfrac{1}{2} \\\\y_{K’}=\dfrac{1+2}{2}=\dfrac{3}{2} \end{cases}$
    $\quad$
    Par conséquent $K$ et $K’$ sont ayant les mêmes coordonnées sont confondus et les segments $[AC]$ et $[BD]$ ont le même milieu.
    $\quad$
  3. Calculons les longueurs $OB$, $OD$ et $DO$.
    $OB^2=(2-0)^+(1-0)^= 5$ donc $OB=\sqrt{5}$
    $OD^2=(-1-0)^2+(2-0)^2 = 5$ donc $OD=\sqrt{5}$. Le  triangle $OBD$ est donc isocèle en $O$.
    $BD^2=(-1-2)^2+(2-1)^2 = (-3)^2+1^2 = 10$ donc $BD=\sqrt{10}$.
    $\quad$
    Dans le triangle $OBD$, le plus grand côté est $[BD]$.
    D’une part $BD^2 = 10$
    D’autre part $OB^2+OD^2 = 5 + 5 = 10$
    Par conséquent $BD^2=OB^2+OD^2$ et d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $OBD$ est également rectangle en $O$.
    $\quad$
  4. $BODE$ est un parallélogramme, par conséquent ses diagonales $[BD]$ et $[OE]$ se coupent en leur milieu $K$.
    On obtient ainsi :
    $\begin{cases} x_K=\dfrac{x_O+x_E}{2} \\\\y_K=\dfrac{y_O+y_E}{2} \end{cases}$ soit $\begin{cases} \dfrac{1}{2} = \dfrac{0+x_E}{2} \\\\ \dfrac{3}{2} = \dfrac{0+y_E}{2} \end{cases}$
    $\quad$
    Finalement $E(1;3)$.
    $\quad$
  5. $AE^2=(1+3)^2+(3-0)^2 = 4^2+3^2 = 25$ donc $AE = 5$.