Exercice 1

Partie 1

1. On a
   $\begin{align*} P(Rh+)&=P\left(\left(A+\right)\cup \left(B+\right)\cup \left(O+\right)\cup \left(AB+\right)\right) \\
   &=P\left(A+\right)+P\left(B+\right)+P\left(O+\right)+P\left(AB+\right) \qquad \text{(incompatibilité)} \\
   &=0,382+0,365+0,077+0,025 \\
   &=0,849\end{align*}$
   La probabilité que la personne choisie soit de rhésus positif est égale à $0,849$.
   $\quad$
2. On a :
   $\begin{align*} P_{Rh+}(A)&=\dfrac{P\left((Rh+)\cap A\right)}{P(RH+)} \\
   &=\dfrac{P(A+)}{P(RH+)} \\
   &=\dfrac{0,382}{0,849} \\
   &\approx 0,450\end{align*}$
   $\quad$
3. On veut calculer :
   $\begin{align*} P_{AB}(Rh-)&=\dfrac{P\left(AB\cap (Rh-)\right)}{P(AB)} \\
   &=\dfrac{P(AB-)}{P\left((AB-)\cup (AB+)\right)} \\
   &=\dfrac{P(AB-)}{P(AB-)+P (AB+)} \qquad \text{(incompatibilité)} \\
   &=\dfrac{0,004}{0,004+0,025}  \\
   &=\dfrac{4}{29}\\
   &\approx 0,138\end{align*}$
   La probabilité que son rhésus soit négatif sachant que groupe sanguin est AB est environ égale à $0,138$.
   $\quad$

Partie 2

1. a. On répète $50$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,065$.
   $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $50$ et $0,065$.
   Par conséquent :
   $\begin{align*} P(X=8)&=\dbinom{50}{8}0,065^8(1-0,065)^{42} \\
   &\approx 0,010\end{align*}$
   La probabilité que $8$ personnes soient des donneurs universels est environ égale à $0,010$.
   $\quad$
   Remarque : Les épreuves sont considérés comme indépendantes puisqu’on effectue $50$ répétitions pour une population d’environ $68$ millions.
   $\quad$
   b. Cette fonction renvoie la valeur de $P(X\pp k)$.
   Ainsi $\text{proba(8)}$ renvoie la valeur de $P(X\pp 8) \approx 0,995$.
   La probabilité qu’au plus $8$ personnes soient des donneurs universels est environ égale à $0,995$.
   $\quad$
2. On considère $n$ personnes, où $n$ est un entier naturel non nul, choisies au hasard dans la population française et on note $Y$ la variable aléatoire qui compte le nombre de donneurs universels.
   On répète $n$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,065$.
   $Y$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n$ et $0,065$.
   $\begin{align*} P(Y\pg 1)\pg 0,999&\ssi 1-P(Y=0)\pg 0,999\\
   &\ssi 1-(1-0,065)^n \pg 0,999\\
   &\ssi -0,935^n \pg -0,001 \\
   &\ssi 0,935^n \pp 0,001 \\
   &\ssi n\ln(0,935)\pp \ln(0,001) \qquad \text{$\ln$ est strictement croissante sur $\R_+^*$} \\
   &\ssi n\pg \dfrac{\ln(0,001)}{\ln(0,935)} \end{align*}$
   Or $\dfrac{\ln(0,001)}{\ln(0,935)}\approx 102,8$
   Il faut donc choisir au minimum $103$ personnes pour que la probabilité qu’au moins une des personnes choisies soit donneur universel soit supérieure à $0,999$.
   $\quad$

 

Exercice 2

Partie 1

1. Pour tout entier naturel $n$ on pose $P(n):~0\pp u_{n+1}\pp u_n$.
   Initialisation : On a $u_0=10$ et $u_1=\dfrac{10}{3}+2=\dfrac{16}{3}$.
   Donc $0\pp \dfrac{16}{3}\pp 10$ et $P(0)$ est vraie.
   $\quad$
   Hérédité : Soit $n$ un entier naturel. On suppose que $P(n)$ est vraie.
   $\begin{align*} 0\pp u_{n+1}\pp u_n&\ssi 0\pp \dfrac{1}{3}u_{n+1}\pp \dfrac{1}{3}u_n \\
   &\ssi 0\pp \dfrac{1}{3}u_{n+1}+2\pp \dfrac{1}{3}u_n+2 \\
   &\ssi 2\pp u_{n+2} \pp u_{n+1}\end{align*}$
   La suite $\left(u_n\right)$ est donc décroissante et minorée par $0$.
   Affirmation 1 vraie
   $\quad$
2. La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et minorée par $0$.
   D’après le théorème de la limite monotone, la suite $\left(u_n\right)$ converge vers un réel $\ell$.
   La fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{1}{3}x+2$ est continue sur $\R$ en tant que fonction affine.
   De plus, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$.
   Par conséquent $\ell$ est solution de l’équation
   $\begin{align*} x=f(x)&\ssi x=\dfrac{1}{3}x+2 \\
   &\ssi \dfrac{2}{3}x=2 \\
   &\ssi x=3\end{align*}$
   Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=3$.
   Affirmation 2 fausse
   $\quad$
   Remarque : On aurait pu utiliser le résultat obtenu dans l’hérédité précédente qui indiquait que $2\pp u_{n+1}\pp u_n$ et en déduire que $2$ est un minorant de la suite.
   $\quad$
3. Soit $n$ un entier naturel.
   $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-3 \\
   &=\dfrac{1}{3}u_n+2-3\\
   &=\dfrac{1}{3}-1 \\
   &=\dfrac{1}{3}\left(u_n-3\right) \\
   &=\dfrac{1}{3}v_n\end{align*}$
   La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $3$ et de premier terme $v_0=7$.
   Affirmation 3 vraie
   $\quad$

Partie 2

1. On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=-\dfrac{4}{3}$.
   $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que fonction constante.
   De plus, pour tout réel $x$, on a $f'(x)=0$.
   Or $\dfrac{3}{2}\times \dfrac{-4}{3}+2=-2+2=0$.
   Donc $f'(x)=\dfrac{1}{3}f(x)+2$ pour tout réel $x$.
   La fonction $f$ est constante et solution de l’équation $(E)$.
   Affirmation 4 vraie
   $\quad$
   Remarque : On résout $\dfrac{1}{3}c+2=0$ pour trouver la valeur de la constante.
   $\quad$
   Autre méthode : D’après le cours, toute équation différentielle de la forme $y’=ay+b$ où $a$ est un réel non nul et $b$ un réel quelconque admet une solution constante $f$ définie pour tout réel $x$ par $f(x)=-\dfrac{b}{a}$.
   Dans cette question $a=\dfrac{3}{2}$ et $b=2$.
   Cela prouve bien l’existence d’une solution constante.
   $\quad$
2. Soit $g$ une solution de l’équation $(E)$.
   Pour tout réel $x$ on a donc $g'(x)=\dfrac{3}{2}g(x)+2$ et $f'(x)=\dfrac{3}{2}f(x)+2$.
   Par différence on obtient $g'(x)-f'(x)=\dfrac{3}{2}\left(g(x)-f(x)\right)$.
   Ainsi $g-f$ est solution de l’équation différentielle $(H):~y’=\dfrac{1}{3}y$ dont les solutions sont les fonctions $x\mapsto K\e^{3x/2}$ pour tout réel $K$.
   Par conséquent $g(x)=f(x)+K\e^{3x/2}$ pour tout réel $x$, c’est-à-dire $g(x)=-\dfrac{4}{3}+K\e^{3x/2}$
   On veut que $g(0)=0 \ssi -\dfrac{4}{3}+K=0 \ssi K=\dfrac{4}{3}$.
   Donc, pour tout réel $x$, on a $g(x)=\dfrac{4}{3}\e^{3x/2}-\dfrac{4}{3}$ et $g'(x)=2\e^{3x/2}$.
   Le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse $1$ de $C_f$ est égale à $g'(1)=2\e^{3/2}$.
   Affirmation 5 vraie

 

Exercice 3

Partie 1

1. $\lim\limits_{x\to -\infty} x^2=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to -\infty} x^2-4=+\infty$.
   De plus $\lim\limits_{x\to -\infty} -x=+\infty$ et $\lim\limits_{X\to +\infty} \e^X=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to -\infty}\e^{-x}=+\infty$.
   Ainsi $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=+\infty$.
   $\quad$
   Pour tout réel $x$ on a $f(x)=x^2\e^{-x}-4\e^{-x}$
   $\lim\limits_{x\to +\infty} -x=-\infty$ et $\lim\limits_{X\to -\infty} \e^X=0$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty}\e^{-x}=0$.
   De plus, par croissances comparées $\lim\limits_{x\to +\infty} x^2\e^{-x}=0$.
   Ainsi $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=0$.
   $\quad$
2. D’après l’énoncé, $f$ est dérivable sur $\R$.
   Pour tout réel $x$ on a
   $\begin{align*} f'(x)&=2x\e^{-x}-\left(x^2-4\right)\e^{-x} \\
   &=\left(2x-x^2+4\right)\e^{-x} \\
   &=\left(-x^2+2x+4\right)\e^{-x}\end{align*}$
   $\quad$
3. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
   Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $-x^2+2x+4$.
   C’est un polynôme du second degré dont le discriminant est $\Delta=4+16=20>0$.
   Il possède donc deux racines :
   $\begin{align*} x_1&=\dfrac{-2-\sqrt{20}}{-2} \\
   &=1+\sqrt{5}\end{align*}$ et $\begin{align*} x_2&=\dfrac{-2+\sqrt{20}}{-2} \\
   &=1-\sqrt{5}\end{align*}$
   Le coefficient principal de ce polynôme est $-1<0$.
   Par conséquent, $f$ est strictement décroissante sur $\left]-\infty;1-\sqrt{5}\right]$ et $\left[1+\sqrt{5};+\infty\right[$ et strictement croissante sur $\left[1-\sqrt{5};1+\sqrt{5}\right]$.
   $\quad$

Partie 2

1. On a :
   $\begin{align*} I_0&=\int_{-2}^0 \e^{-x}\dx \\
   &=\Big[-\e^{-x}\Big]_{-2}^0 \\
   &=\e^{2}-1\end{align*}$
   $\quad$
2. Soit $n$ un entier naturel.
   On réalise une intégration par parties à l’aide des fonctions $u$ et $v$ de classe $C^1$ sur $\R$ définies par : $$\begin{array}{lll}u(x)=x^{n+1}&\phantom{1234}&u'(x)=(n+1)x^n \\v(x)=-\e^{-x}&&v'(x)=\e^{-x}\end{array}$$
   $\begin{align*} I_{n+1}&=\int_{-2}^0 x^{n+1}\e^{-x}\dx \\
   &=\Big[-x^{n+1}\e^{-x}\Big]_{-2}^0+\int_{-2}^0 (n+1)x^n\e^{-x} \dx \\
   &=(-2)^{n+1}\e^2+(n+1)\int_{-2}^0x^n\e^{-x}\dx \\
   &=(-2)^{n+1}\e^2+(n+1)I_n\end{align*}$
   $\quad$
3. D’après la question précédente :
   $\begin{align*}I_1&=(-2)^1\e^{2}+I_0 \\
   &=-2\e^{2}+\e^{2}-1 \\
   &=-\e^{2}-1\end{align*}$ et $\begin{align*} I_2&=(-2)^2\e^{2}+2I_1 \\
   &=4\e^{2}-2\e^{2}-2 \\
   &=2\e^{2}-2\end{align*}$
   $\quad$

Partie 3

1. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. Le signe de $f(x)$ ne dépend donc que de celui de $x^2-4=(x-2)(x+2)$.
   Il s’agit d’un polynôme du second degré dont les racines sont $-2$ et $2$ et dont le coefficient principal est $1>0$.
   Par conséquent :
   $\bullet~f(x)>0$ sur $]-\infty;-2[\cup]2;+\infty[$ ;
   $\bullet~f(x)<0$ sur $]-2;2[$ ;
   $\bullet~f(-2)=f(2)=0$.
   $\quad$
2. La fonction $f$ est négative sur $[-2;0]$.
   Par conséquent :
   $\begin{align*} S&=-\int_{-2}^0 f(x)\dx \\
   &=-\int_{-2}^0  \left(x^2-4\right)\e^{-x}\dx \\
   &=-\int_{-2}^0 x^2\e^{-x}\dx+\int_{-2}^0 4\e^{-x} \dx \\
   &=-I_2+4I_0 \\
   &=-2\e^2+2+4\left(\e^2-1\right) \\
   &=2\e^2-2 \text{u.a.}\end{align*}$
   $\quad$

 

 

Exercice 4

Partie 1 : Distance du point $\boldsymbol{O}$ au plan $\boldsymbol{(ABC)}$

1. On a $\vect{AB}\begin{pmatrix}-3\\2\\0\end{pmatrix}$ et $\vect{AC}\begin{pmatrix}-3\\0\\2\end{pmatrix}$
   Par conséquent :
   $\vec{n}.\vect{AB}=-6+6+0=0$ et $\vec{n}.\vect{AC}=-6+0+6=0$.
   Les vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$ ne sont pas colinéaires car ils n’ont pas la même composante nulle.
   Ainsi $\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$. Il est donc normal à ce plan.
   $\quad$
2. Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est de la forme $2x+3y+3z+d=0$
   Le point $A(3;0;0)$ appartient à ce plan.
   Ainsi $6+0+0+d=0\ssi d=-6$.
   Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est $2x+3y+3z-6=0$.
   $\quad$
3. Une représentation paramétrique de la droite $d$ est $\begin{cases} x=2t\\y=3t\\z=3t\end{cases}$ pour tout réel $t$.
   $\quad$
4. Les coordonnées du point $H$ sont solution du système
   $\begin{align*} \begin{cases}2x+3y+3z-6=0\\x=2t\\y=3t\\z=3t\end{cases}&\ssi \begin{cases} 4t+9t+9t-6=0\\x=2t\\y=3t\\z=3t\end{cases} \\
   &\ssi \begin{cases} 22t=6\\x=2t\\y=3t\\z=3t\end{cases}\\
   &\ssi \begin{cases} t=\dfrac{3}{11}\\[3mm]x=\dfrac{6}{11}\\[3mm]y=\dfrac{9}{11}\\[3mm]z=\dfrac{9}{11}\end{cases}\end{align*}$
   Le point $H$ a donc pour coordonnées $\left(\dfrac{6}{11};\dfrac{9}{11};\dfrac{9}{11}\right)$.
   $\quad$
5. $H$ est le projeté orthogonal du point $O$ sur le plan $(ABC)$.
   Par conséquent, la distance du point $O$ au plan $(ABC)$ est égale à :
   $\begin{align*}OH&=\sqrt{\left(\dfrac{6}{11}\right)^2+\left(\dfrac{9}{11}\right)^2+\left(\dfrac{9}{11}\right)^2} \\
   &=\sqrt{\dfrac{36+81+81}{11^2}} \\
   &=\dfrac{\sqrt{198}}{11} \\
   &=\dfrac{3\sqrt{22}}{11}\end{align*}$
   $\quad$

Partie 2 : Démonstration de la propriété 

1. Le volume du tétraèdre $OABC$ est :
   $\begin{align*} V&=\dfrac{\text{Aire}_{OAB}\times OC}{3} \\
   &=\dfrac{\dfrac{3\times 2}{2}\times 2}{3} \\
   &=2\end{align*}$
   $\quad$
2. On a également $V=\dfrac{\text{Aire}_{ABC}\times OH}{3}$.
   Ainsi
   $\begin{align*} V=2&\ssi \dfrac{\text{Aire}_{ABC}\times OH}{3}=2 \\
   &\ssi \text{Aire}_{ABC}\times \dfrac{3\sqrt{22}}{11}=6 \\
   &\ssi \text{Aire}_{ABC}=\dfrac{66}{3\sqrt{22}} \\
   &\ssi \text{Aire}_{ABC}=\dfrac{22}{\sqrt{22}} \\
   &\ssi \text{Aire}_{ABC}=\sqrt{22}\end{align*}$
   $\quad$
3. La somme des aires des faces $OAC$, $OAB$ et $OBC$ est égale à
   $\begin{align*} S&={\text{Aire}_{OAC}}^2+{\text{Aire}_{OAB}}^2+{\text{Aire}_{OBC}}^2 \\
   &=\left(\dfrac{3\times 2}{2}\right)^2+\left(\dfrac{3\times 2}{2}\right)^2+\left(\dfrac{2\times 2}{2}\right)^2 \\
   &=3^2+3^2+2^2 \\
   &=9+9+4 \\
   &=22\\
   &={\text{Aire}_{ABC}}^2\end{align*}$
   Pour le tétraèdre $OABC$ le carré de l’aire du triangle $ABC$ est égal à la somme des carrés des aires des $3$ autres faces du tétraèdre.
   $\quad$

 

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée. 
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses seront valorisées.

Exercice 1     (5 points)

Voici la répartition des principaux groupes sanguins des habitants de France :

$\mathrm{A}+, \mathrm{O}+, \mathrm{B}+, \mathrm{A}-, \mathrm{O}-, \mathrm{AB}+, \mathrm{B}-$ et $\mathrm{AB}-$ sont les différents groupes sanguins combinés aux rhésus.

Par exemple : $\mathrm{A}+$ est le groupe sanguin $\mathrm{A}$ de rhésus + .

Une expérience aléatoire consiste à choisir une personne au hasard dans la population française et à déterminer son groupe sanguin et son rhésus.

Dans l’exercice, on adopte les notations du type :
$A+$ est l’évènement «la personne est de groupe sanguin $\mathrm{A}$ et de rhésus + »
$A-$ est l’évènement «la personne est de groupe sanguin $\mathrm{A}$ et de rhésus – »
$A$ est l’évènement «la personne est de groupe sanguin $\mathrm{A}$»

Les parties 1 et 2 sont indépendantes.

Partie 1

On note $Rh+$ l’évènement «La personne est de rhésus positif».

1. Justifier que la probabilité que la personne choisie soit de rhésus positif est égale à $0,849$.
   $\quad$
2. Démontrer à l’aide des données de l’énoncé que $P_{Rh+}(A) = 0,450$ à $0,001$ près.
   $\quad$
3. Une personne se souvient que son groupe sanguin est $\mathrm{AB}$ mais a oublié son rhésus. Quelle est la probabilité que son rhésus soit négatif? Arrondir le résultat à $0,001$ près.
   $\quad$

Partie 2

Dans cette partie, les résultats seront arrondis à $0,001$ près.
Un donneur universel de sang est une personne de groupe sanguin $\mathrm{O}$ et de rhésus négatif. On rappelle que $6,5\%$ de la population française est de groupe $\mathrm{O}-$.

1. n considère $50$ personnes choisies au hasard dans la population française et on note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de donneurs universels.
   a. Déterminer la probabilité que $8$ personnes soient des donneurs universels. Justifier votre réponse.
   $\quad$
   b. On considère la fonction ci-dessous nommée $\texttt{proba}$ d’argument $k$ écrite en langage Python.
   
   Python

   def proba(k): p = 0 for i in range(k+1): p = p + binomiale(i, 50, 0.065) return p

   1 2 3 4 5

   def proba(k):     p = 0     for i in range(k+1):         p = p + binomiale(i, 50, 0.065)     return p

   
   Cette fonction utilise la fonction $\texttt{binomiale}$ d’argument $i, n$ et $p$, créée pour l’occasion, qui renvoie la valeur de la probabilité $P(X=i)$ dans le cas où $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$.
   Déterminer la valeur numérique renvoyée par la fonction $\texttt{proba}$ lorsqu’on saisit $\texttt{proba(8)}$ dans la console Python. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
   $\quad$
2. Quel est le nombre minimal de personnes à choisir au hasard dans la population française pour que la probabilité qu’au moins une des personnes choisies soit donneur universel, soit supérieure à $0,999$.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 2     (5 points)

Cet exercice contient 5 affirmations.

Pour chaque affirmation, répondre par VRAI ou FAUX en justifiant la réponse.
Toute absence de justification ou justification incorrecte ne sera pas prise en compte dans la notation.

Partie 1

On considère la suite $(u_n)$ définie par : $$ u_0 = 10 \text{ et pour tout entier naturel } n, u_{n+1} = \dfrac{1}{3} u_n + 2$$

1. Affirmation 1 : La suite $(u_n)$ est décroissante minorée par $0$.
   $\quad$
2. Affirmation 2 : $\lim_{n \to \infty} u_n = 0$.
   $\quad$
3. Affirmation 3 : La suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = u_n-3$ est géométrique.
   $\quad$

Partie 2

On considère l’équation différentielle $(E): y’ = \dfrac{3}{2} y + 2$ d’inconnue $y$, fonction définie et dérivable sur $\R$.

1. Affirmation 4 : Il existe une fonction constante solution de l’équation différentielle $(E)$.
   $\quad$
2. Dans un repère orthonormé $\Oij$ on note $\mathscr{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ solution de $(E)$ telle que $f(0) = 0$.
   Affirmation 5 : La tangente au point d’abscisse $1$ de $\mathscr{C}_f$ a pour coefficient directeur $2 \e^{\frac{3}{2}}$.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 3     (5 points)

Partie 1

On considère la fonction $f$ définie sur l’ensemble des nombres réels $\R$ par : $$ f(x) = (x^2-4) \e^{-x}$$
On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.

1. Déterminer les limites de la fonction $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$.
   $\quad$
2. Justifier que pour tout réel $x$, $f'(x) = (-x^2 + 2x + 4) \e^{-x}$.
   $\quad$
3. En déduire les variations de la fonction $f$ sur $\R$.
   $\quad$

Partie 2

On considère la suite $(I_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $I_n = \ds \int_{-2}^{0} x^n \e^{-x} \dx$.

1. Justifier que $I_0 = e^2-1$.
   $\quad$
2. En utilisant une intégration par parties, démontrer l’égalité :
   $$ I_{n+1} = (-2)^{n+1} \e^2 + (n+1) I_n $$
   $\quad$
3. En déduire les valeurs exactes de $I_1$ et de $I_2$.
   $\quad$

Partie 3

1. Déterminer le signe sur $\R$ de la fonction $f$ définie dans la partie 1.
   $\quad$
2. On a représenté ci-contre la courbe $\mathscr{C}_f$ de la fonction $f$ dans un repère orthonormé $\Oij$.
   Le domaine $D$ du plan hachuré ci-contre est délimité par la courbe $\mathscr{C}_f$, l’axe des abscisses et l’axe des ordonnées.
   $\quad$
   
   $\quad$
   Calculer la valeur exacte, en unité d’aire, de l’aire $S$ du domaine $D$.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 4     (5 points)

L’espace est muni d’un repère orthonormé $\Oijk$.
On considère les trois points $A(3; 0; 0)$, $B(0; 2; 0)$ et $C(0; 0; 2)$.

L’objectif de cet exercice est de démontrer la propriété suivante :
«Le carré de l’aire du triangle $ABC$ est égal à la somme des carrés des aires des trois autres faces du tétraèdre $OABC$».

Partie 1 : Distance du point $\boldsymbol{O}$ au plan $\boldsymbol{(ABC)}$

1. Démontrer que le vecteur $\vec{n}(2; 3; 3)$ est normal au plan $(ABC)$.
   $\quad$
2. Démontrer qu’une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est : $2x + 3y + 3z-6 = 0$.
   $\quad$
3. Donner une représentation paramétrique de la droite $d$ passant par $O$ et de vecteur directeur $\vec{n}$.
   $\quad$
4. On note $H$ le point d’intersection de la droite $d$ et du plan $(ABC)$. Déterminer les coordonnées du point $H$.
   $\quad$
5. En déduire que la distance du point $O$ au plan $(ABC)$ est égale à $\dfrac{3 \sqrt{22}}{11}$.
   $\quad$

Partie 2 : Démonstration de la propriété

1. Démontrer que le volume du tétraèdre $OABC$ est égal à $2$.
   $\quad$
2. En déduire que l’aire du triangle $ABC$ est égale à $\sqrt{22}$.
   $\quad$
3. Démontrer que pour le tétraèdre $OABC$, «le carré de l’aire du triangle $ABC$ est égal à la somme des carrés des aires des trois autres faces du tétraèdre».
   $\quad$
   On rappelle que le volume d’un tétraèdre est donné par $V = \dfrac{1}{3} B \times h$ où $B$ est l’aire d’une base du tétraèdre et $h$ est la hauteur relative à cette base.
   $\quad$

$\quad$