Bac – Asie – jour 1 – juin 2024

Asie – 10 juin 2024

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. Graphiquement on obtient le tableau de variations suivant :
    $\quad$

    $\quad$
  2. Le point $A$ semble être un point d’inflexion de la courbe $\mathscr{C}$.
    $\quad$
  3. La fonction $f$ semble être croissante sur l’intervalle $[0;1,5]$ et décroissante sur $[1,5;+\infty[$. La courbe représentant la fonction $f’$ doit donc être au-dessus de l’axe des abscisses sur $[0;1,5]$ et en dessous sur l’autre.
    Ainsi, $f’$ est représentée par la courbe $\mathscr{C}_2$ et $f\dsec$ par la courbe $\mathcal{C}_1$.
    $\quad$
    $\quad$
  4. La fonction $f$ semble être négative sur l’intervalle $[0;0,5]$. Ses primitives sont donc décroissantes sur cet intervalle ; ce qui n’est pas le cas de la courbe $\mathscr{C}_3$.
    $\quad$

Partie B

  1. a. La fonction $f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ par hypothèse.
    Pour tout réel $x\pg 0$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=4\e^{-x+1}-(4x-2)\e^{-x+1} \\
    &=(4-4x+2)\e^{-x+1} \\
    &=(6-4x)\e^{-x+1}\end{align*}$
    $\quad$
    b. Pour tout réel $t$ on a $\e^t>0$ donc, pour tout réel $x\pg 0$ on a $\e^{-x+1}>0$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $6-4x$.
    Or :
    $6-4x=0 \ssi -4x=-6\ssi x=\dfrac{3}{2}$ et $6-4x>0\ssi -4x>-6\ssi x<\dfrac{3}{2}$
    On obtient donc le tableau de variations suivant :
    $\quad$

    $\quad$
    c. La fonction $f’$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ par hypothèse.
    Pour tout réel $x\pg 0$ on a :
    $\begin{align*} f\dsec(x)&=-4\e^{-x+1}-(-4x+6)\e^{-x+1} \\
    &=(-4+4x-6)\e^{-x+1} \\
    &=(4x-10)\e^{-x+1}\end{align*}$
    La fonction exponentielle étant strictement positive, le signe de $f\dsec(x)$ ne dépend que de celui de $4x-10$.
    Or $4x-10=0\ssi 4x=10 \ssi x=\dfrac{5}{2}$ et $4x-10>0\ssi 4x>10 \ssi x>\dfrac{5}{2}$
    La fonction $f$ est donc concave sur $\left[0;\dfrac{5}{2}\right]$ et convexe sur $\left[\dfrac{5}{2};+\infty\right[$.
    La fonction $f\dsec$ s’annule en changeant de signe en $\dfrac{5}{2}$.
    Par conséquent, la courbe représentative de la fonction $f$ admet un point d’inflexion au point d’abscisse $\dfrac{5}{2}$.
    $\quad$
  2. a. La fonction $F$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x\pg 0$ on a :
    $\begin{align*} F'(x)&=a\e^{-x+1}-(ax+b)\e^{-x+1} \\
    &=(-ax+a-b)\e^{-x+1}\end{align*}$
    Pour que $F$ soit une primitive de $f$ sur $[0;+\infty[$, il faut que, pour tout réel $x\pg 0$ on ait $F'(x)=f(x)$.
    Par identification on a donc :
    $\begin{cases} -a=4\\a-b=-2 \end{cases} \ssi \begin{cases} a=-4\\b=-2\end{cases}$
    $\quad$
    b. 
    $\begin{align*} I&=\int_{\frac{3}{2}}^8 f(x)\dx \\
    &=F(8)-F\left(\dfrac{3}{2}\right) \\
    &=-34\e^{-7}+8\e^{-1/2}\end{align*}$
    $\quad$
  3. a. L’ordonnée du point $D$ est :
    $\begin{align*} f\left(\dfrac{3}{2}\right)&=4\e^{-1/2} \\
    &\approx 2,43 \text{ m}\end{align*}$
    $\quad$
    b. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et positive sur $\left[\dfrac{3}{2};8\right]$.
    Par conséquent l’aire du mur est égale à $I$.
    L’artiste couvrira donc $\dfrac{75}{100}\left(-34\e^{-7}+8\e^{-1/2}\right)$ m$^2$.
    Or $\dfrac{75}{100}\left(-34\e^{-7}+8\e^{-1/2}\right) \approx 3,62$ et $\begin{cases} 4\times 0,8=3,2 \\5\times 0,8=4\end{cases}$.
    Elle devra donc utiliser $5$ bombes aérosol.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. On a $\vect{AB}\begin{pmatrix} 1\\0\\-1\end{pmatrix}$ et $\vect{AC}\begin{pmatrix} -3\\4\\1\end{pmatrix}$
    Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires car ils n’ont pas la même composante nulle.
    $A$, $B$ et $C$ ne sont donc pas alignés.
    $\quad$
  2. a. On a $\vect{AD}\begin{pmatrix} 1\\4\\-3\end{pmatrix}$
    Ainsi $\vect{AD}-\vect{AC}=\begin{pmatrix}4\\0\\-4\end{pmatrix}=4\vect{AB}$.
    Donc $\vect{AD}=\vect{AC}+4\vect{AB}$.
    Les points $A$, $B$, $C$ et $D$ sont complaires.
    $\quad$
    b. On a $\vect{DC}\begin{align*} 4\\0\\-4\end{align*}=4\vect{AB}$.
    Par conséquent $(DC)$ et $(AB)$ sont parallèles et $ABDC$ est un trapèze de bases $[AB]$ et  $[CD]$.
    $\quad$
  3. a. D’une part $\vec{n}.\vect{AB}=2+0-2=0$.
    D’autre part $\vec{n}.\vect{AC}=-6+4+2=0$.
    $\vec{n}$ est orthogonal a deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$.
    $\vec{n}$ est donc un vecteur normal au plan $(ABC)$.
    $\quad$
    b. Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est de la forme $2x+y+2z+d=0$.
    Or $A(3;-1;1)$ appartient au plan $(ABC)$ donc :
    $6-1+2+d=0 \ssi d=-7$.
    Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc $2x+y+2z-7=0$.
    $\quad$
    c. Une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est donc $\begin{cases} x=2+2t\\y=1+t\\z=4+2t\end{cases} ~~$ avec $t\in \R$.
    $\quad$
    d. Si on prend $t=-\dfrac{2}{3}$ dans la représentation paramétrique de $\Delta$ $\Big($c’est la valeur qui permet d’avoir $y=\dfrac{1}{3}\Big)$ on obtient alors $\begin{cases} x=\dfrac{2}{3}\\[3mm]y=\dfrac{1}{3}\\[3mm]z=\dfrac{8}{3}\end{cases}$.
    Le point de coordonnées $\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{8}{3}\right)$ appartient à $\Delta$.
    De plus :
    $2\times \dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{3}+2\times\dfrac{8}{3}-7=\dfrac{21}{3}-7=0$.
    Le point de coordonnées $\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{8}{3}\right)$ appartient à $(ABC)$.
    La droite $\Delta$ et le plan $(ABC)$ sont sécants.
    Leur point d’intersection a bien pour coordonnées $\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{8}{3}\right)$.
    $\quad$
    On a $\vect{SI}\begin{pmatrix}-\dfrac{4}{3}\\[3mm]-\dfrac{2}{3}\\[3mm]\dfrac{4}{3}\end{pmatrix}$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} SI&=\sqrt{\left(-\dfrac{4}{3}\right)^2+\left(-\dfrac{2}{3}\right)^2+\left(\dfrac{4}{3}\right)^2} \\
    &=\sqrt{\dfrac{16}{9}+\dfrac{4}{9}+\dfrac{16}{9}} \\
    &=\sqrt{\dfrac{36}{9}} \\
    &=\sqrt{4} \\
    &=2\text{ cm}\end{align*}$
    $\quad$
  4. a. On appelle $H’$ le point de coordonnées $(3;3;-1)$.
    On a alors $\vect{BH’}\begin{pmatrix} -1\\4\\-1\end{pmatrix}$ et $\vect{CH’}\begin{pmatrix} 3\\0\\-3\end{pmatrix}$.
    Ainsi $\vect{BH’}.\vect{CD}=-4+0+4=0$ : $\vect{BH’}$ est orthogonal à $\vect{CD}$
    et $\vect{CH’}=\dfrac{3}{4}\vect{CD}$. : le point $H’$ appartient à $(CD)$.
    Le projeté orthogonal du point $B$ sur la droite $(CD)$ a pour coordonnées $(3;3;-1)$.
    De plus :
    $\begin{align*} BH&=\sqrt{(-1)^2+4^2+(-1)^2} \\
    &=\sqrt{1+16+1} \\
    &=\sqrt{18} \\
    &=\sqrt{9\times 2} \\
    &=3\sqrt{2} \text{ cm}\end{align*}$
    $\quad$
    b. On a :
    $\begin{align*}b&=AB\\
    &=\sqrt{1^2+0^2+(-1)^2}\\
    &=\sqrt{2}\end{align*}$
    $\begin{align*}B&=CD \\
    &=\sqrt{4^2+0^2+(-4)^2} \\
    &=\sqrt{32} \\
    &=4\sqrt{2}\end{align*}$
    De plus $h=HB$
    L’aire du trapèze $ABDC$ est donc :
    $\begin{align*} \mathscr{A}&=\dfrac{\sqrt{2}+4\sqrt{2}}{2}\times 3\sqrt{2} \\
    &=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}\times 3\sqrt{2} \\
    &=\dfrac{15\sqrt{2}^2}{2} \\
    &=15 \text{ cm}^2\end{align*}$
    $\quad$
  5. Le volume de la pyramide $SABDC$ est :
    $\begin{align*} V&=\dfrac{1}{3}\times \mathscr{A}\times SI \\
    &=\dfrac{1}{3}\times 15\times 2 \\
    &=10\text{ cm}^3\end{align*}$
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. D’après l’énoncé la probabilité que cet individu prélevé ait déjà été infecté par la COVID 19 est $P(I)=0,057$.
    $\quad$
  2. a. On répète $100$ fois la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,057$ de façon indépendante.
    $X$ suit donc la loi binomiale de paramètre $n=100$ et $p=0,057$.
    $\quad$
    b. Son espérance est :
    $\begin{align*}E(X)&=100\times 0,057 \\
    &=5,7\end{align*}$.
    En moyenne sur $1000$ individus testés, $57$ avaient déjà été infecté par la COVID 19.
    $\quad$
    c. On veut calculer :
    $\begin{align*} P(X=0)&=(1-0,057)^{100} \\
    &\approx 0,002~8\end{align*}$
    La probabilité qu’il n’y ait aucune personne infectée dans l’échantillon est environ égale à $0,002~8$.
    $\quad$
    d. On veut calculer :
    $\begin{align*} P(X\pg 2)&=1-P(X\pp 1) \\
    &=1-P(X=0)-P(X=1) \\
    &=1-0,943^{100}-\dbinom{100}{1}0,057\times 0,943^{99}\\
    &\approx 0,980~1\end{align*}$
    La probabilité qu’au moins $2$ individus soient infectés dans l’échantillon est environ égale à $0,980~1$.
    $\quad$
    e. La fonction $x\mapsto P(X\pp x)$ est croissante sur $\R$.
    D’après la calculatrice : $P(X\pp 8) \approx 0,883$ et $P(X\pp 9)\approx 0,941$.
    Par conséquent, le plus petit entier $n$ tel que $P(X\pp n)>0,9$ est $9$.
    La probabilité pour qu’il y ait au plus $9$ individus infectés dans l’échantillon est supérieure à $0,9$.
    $\quad$

Partie B

  1. On obtient l’arbre des probabilités suivant :
    $\quad$

    $\quad$
  2. $\left(I,\conj{I}\right)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales :
    $\begin{align*} P(T)&=P(I\cap T)+P\left(\conj{I}\cap T\right)\\
    &=P(I)\times P_I(T)+P\left(\conj{I}\right)P_{\conj{I}}(T) \\
    &=0,057\times 0,8+0,943\times 0,01 \\
    &=0,055~03\end{align*}$
    $\quad$
  3. On veut calculer :
    $\begin{align*}P_T(I)&=\dfrac{P(I\cap T)}{P(T)} \\
    &=\dfrac{0,057\times 0,8}{0,055~03} \\
    &\approx 0,828~6\end{align*}$
    $\quad$

Partie C

On a, en gardant le nom des événements précédents : $P(T)=0,294~4$, $P_I(T)=0,8$, $P_{\conj{I}}\left(\conj{T}\right)=0,99$.

$\left(I,\conj{I}\right)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités :

$\begin{align*} &P(T)=P(I\cap T)+P\left(\conj{I}\cap T\right)  \\
&\ssi 0,294~4=P(I)\times P_I(T)+\left(1-P(I)\right)\left(1-P_{\conj{I}}\left(\conj{T}\right)\right) \\
&\ssi 0,294~4=0,8P(I)+\left(1-P(I)\right)\times 0,01 \\
&\ssi 0,294~4=0,8P(I)+0,01-0,01P(I) \\
&\ssi 0,284~4=0,79P(I) \\
&\ssi P(I)=\dfrac{0,284~4}{0,79}\\
&\ssi P(I)=0,36\end{align*}$
La probabilité que l’individu choisi ait été infecté est égale à $0,36$.
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=1+\dfrac{1}{n+1}$.
    Pour tout $n\in \N$ on a $u_n>1>0$ : la suite est minorée par $0$.
    Pour tout $n\in \N$ on a :
    $\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=\dfrac{1}{n+2}-\dfrac{1}{n+1} \\
    &=\dfrac{1}{(n+1)(n+2)} \\
    &>0\end{align*}$
    La suite est décroissante.
    Pourtant $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=1\neq 0$.
    L’affirmation 1 est fausse
    $\quad$
  2. On a donc, pour tout $n\in \N$, $u_n \pp -\left(\dfrac{9}{7}\right)^n+\left(\dfrac{3}{7}\right)^n$.
    Or $-1<\dfrac{3}{7}<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} \left(\dfrac{3}{7}\right)^n=0$.
    et $\dfrac{9}{7}>1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} \left(\dfrac{9}{7}\right)^n=+\infty$.
    Ainsi $\lim\limits_{n\to +\infty} -\left(\dfrac{9}{7}\right)^n+\left(\dfrac{3}{7}\right)^n=-\infty$ et $u_n \pp -\left(\dfrac{9}{7}\right)^n+\left(\dfrac{3}{7}\right)^n$.
    D’après le théorème de comparaison $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=-\infty$.
    L’Affirmation 2 est vraie.
    $\quad$
  3. L’appel $\text{terme(4)}$ renvoie la valeur $1+0+1+2+3=7$.
    L’affirmation 3 est vraie.
    $\quad$
  4. Avec le prix A il reçoit $1~000\times 15=15~000$ euros.
    Avec le prix B il reçoit $1+2+2^2+\ldots +2^{14}$
    Il s’agit de la somme des $15$ premiers termes de la suite géométrique de raison $2$ et de premier terme $u_0=1$.
    Cette somme vaut $\dfrac{1-2^{15}}{1-2}=2^{15}-1=32~767>15~000$
    L’affirmation 4 est fausse.
    $\quad$
  5. Pour tout $n\in \N^*$ on a :
    $\begin{align*} v_{n+1}-v_n&=\int_1^{n+1}\ln(x)\dx-\int_1^n \ln(x) \dx\\
    &=\int_1^n \ln(x) \dx+\int_n^{n+1} \ln(x) \dx-\int_1^n \ln(x) \dx \qquad \text{(relation de Chasles)} \\
    &=\int_n^{n+1} \ln(x)\dx\end{align*}$
    La fonction $\ln$ est continue et positive sur $[n;n+1]$.
    Par positivité de l’intégrale, $v_{n+1}-v_n\pg 0$.
    La suite $\left(v_n\right)$ est croissante.
    L’affirmation 5 est vraie.
    $\quad$

Énoncé

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.

Exercice 1     (5 points)

Partie A

On considère une fonction $f$ définie sur $[0 ; +\infty[$, représentée par la courbe $\mathscr{C}$ ci-dessous.
La droite $T$ est tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point $A$ d’abscisse $\dfrac{5}{2}$.

  1. Dresser, par lecture graphique, le tableau des variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0; 5]$.
    $\quad$
  2. Que semble présenter la courbe $\mathscr{C}$ au point $A$?
    $\quad$
  3. La dérivée $f’$ et la dérivée seconde $f\dsec$ de la fonction $f$ sont représentées par les courbes ci-dessous.
    Associer à chacune de ces deux fonctions la courbe qui la représente.
    Ce choix sera justifié.
    $\quad$

    $\quad$
  4. La courbe $\mathscr{C}_3$ ci-dessous peut-elle être la représentation graphique sur $[0 ; +\infty[$ d’une primitive de la fonction $f$ ? Justifier.
    $\quad$

    $\quad$

Partie B

Dans cette partie, on considère que la fonction $f$ , définie et deux fois dérivable sur $[0 ; +\infty[$, est définie par $$f (x) = (4x-2)e^{-x+1}$$
On notera respectivement $f’$ et $f\dsec$ la dérivée et la dérivée seconde de la fonction $f$.

  1. Étude de la fonction $f$.
    a. Montrer que $f'(x) = (-4x +6)e^{-x+1}$.
    $\quad$
    b. Utiliser ce résultat pour déterminer le tableau complet des variations de la fonction $f$ sur $[0 ; +\infty[$. On admet que $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=0$.
    $\quad$
    c. Étudier la convexité de la fonction $f$ et préciser l’abscisse d’un éventuel point d’inflexion de la courbe représentative de $f$.
    $\quad$
  2. On considère une fonction $F$ définie sur $[0 ; +\infty[$ par $F(x) = (ax +b)e^{-x+1}$, où $a$ et $b$ sont deux nombres réels.
    a. Déterminer les valeurs des réels $a$ et $b$ telles que la fonction $F$ soit une primitive de la fonction $f$ sur $[0 ; +\infty[$.
    $\quad$
    b. On admet que la fonction $F$ définie par $F(x) = (-4x-2)e^{-x+1}$ est une primitive de la fonction $f$ sur $[0 ; +\infty[$.
    En déduire la valeur exacte, puis une valeur approchée à $10^{-2}$ près, de l’intégrale $$I=\int_{\frac{3}{2}}^8 f(x)\dx$$
    $\quad$
  3. Une municipalité a décidé de construire une piste de trottinette freestyle.
    Le profil de cette piste est donné par la courbe représentative de la fonction $f$ sur l’intervalle $\left[\dfrac{3}{2};8\right]$.
    L’unité de longueur est le mètre
    $\quad$

    $\quad$
    a. Donner une valeur approchée au cm près de la hauteur du point de départ $D$.
    $\quad$
    b. La municipalité a organisé un concours de graffiti pour orner le mur de profil de la piste. L’artiste retenue prévoit de couvrir environ $75\%$ de la surface du mur.
    Sachant qu’une bombe aérosol de $150$ mL permet de couvrir une surface de $0,8$ m$^2$, déterminer le nombre de bombes qu’elle devra utiliser pour réaliser cette œuvre.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     (5 points)

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé $\Oijk$ d’unité 1$ $cm, on considère les points : $A(3; -1; 1)$ ; $B(4; -1; 0)$ ; $C(O ; 3; 2)$ ; $D(4; 3; -2)$ et $S(2; 1; 4)$.
Dans cet exercice on souhaite montrer que $SABDC$ est une pyramide à base $ABDC$ trapézoïdale de sommet $S$, afin de calculer son volume.

  1. Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
    $\quad$
  2. a. Montrer que les points $A$, $B$, $C$ et $D$ sont coplanaires.
    $\quad$
    b. Montrer que le quadrilatère $ABDC$ est un trapèze de bases $[AB]$ et $[CD]$.
    On rappelle qu’un trapèze est un quadrilatère ayant deux côtés opposés parallèles appelés bases.
    $\quad$
  3. a. Démontrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.
    $\quad$
    b. En déduire une équation cartésienne du plan $(ABC)$.
    $\quad$
    c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ passant par le point $S$ et orthogonale au plan $(ABC)$.
    $\quad$
    d. On note $I$ le point d’intersection de la droite $\Delta$ et du plan $(ABC)$.
    Montrer que le point $I$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{2};\dfrac{8}{3}\right)$, puis montrer que $SI= 2$ cm.
    $\quad$
  4. a. Vérifier que le projeté orthogonal $H$ du point $B$ sur la droite $(CD)$ a pour coordonnées $H(3 ; 3 ; -1)$ et montrer que $HB = 3\sqrt{2}$ cm.
    $\quad$
    b. Calculer la valeur exacte de l’aire du trapèze $ABDC$.
    On rappelle que l’aire d’un trapèze est donnée par la formule $$\mathscr{A}=\dfrac{b+B}{2}\times h$$
    où $b$ et $B$ sont les longueurs des bases du trapèze et $h$ sa hauteur.
    $\quad$
  5. Déterminer le volume de la pyramide $SABDC$.
    On rappelle que le volume $V$ d’une pyramide est donné par la formule $$V =\dfrac{1}{3}\times \text{aire de la base} \times \text{hauteur}$$
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     (5 points)

Dans la revue Lancet PublicHealth, les chercheurs affirment qu’au 11mai 2020, $5,7\%$ des adultes français avaient déjà été infectés par la COVID 19.
Source : https://www.thelancet.com/journals/eclinm/article/PIIS2468-2667(21)00064-5/fulltext

On se servira de cette donnée pour les parties A et B de cet exercice.

Partie A

  1. On prélève un individu dans la population française adulte au 11 mai 2020.
    On note $I$ l’évènement : « l’adulte a déjà été infecté par la COVID 19 »
    Quelle est la probabilité que cet individu prélevé ait déjà été infecté par la COVID 19?
    $\quad$
  2. On prélève un échantillon de $100$ personnes de la population supposées choisies de façon indépendante les unes des autres.
    On assimile ce prélèvement à un tirage avec remise.
    On appelle $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de personnes ayant déjà été infectées.
    a. Justifiez que $X$ suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
    $\quad$
    b. Calculer son espérance mathématique. Interpréter ce résultat dans le cadre de l’exercice.
    $\quad$
    c. Quelle est la probabilité qu’il n’y ait aucune personne infectée dans l’échantillon?
    On donnera une valeur approchée à $10^{-4}$ près du résultat.
    $\quad$
    d. Quelle est la probabilité qu’il y ait au moins $2$ personnes infectées dans l’échantillon?
    On donnera une valeur approchée à $10^{-4}$ près du résultat.
    $\quad$
    e. Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $P(X \pp n)> 0,9$.
    Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
Partie B :
Un test a été mis en place : celui-ci permet de déterminer (même longtemps après l’infection), si une personne a ou non déjà été infectée par la COVID 19.
Si le test est positif, cela signifie que la personne a déjà été infectée par la COVID 19.
Deux paramètres permettent de caractériser ce test : sa sensibilité et sa spécificité.
La sensibilité d’un test est la probabilité qu’il soit positif sachant que la personne a été infectée par la maladie. (II s’agit donc d’un vrai positif ).
La spécificité d’un test est la probabilité que le test soit négatif sachant que la personne n’a pas été infectée par la maladie. (II s’agit donc d’un vrai négatif ).
Le fabricant du test fournit les caractéristiques suivantes :
  • Sa sensibilité est de $0,8$.
  • Sa spécificité est de $0,99$.

On prélève un individu soumis au test dans la population française adulte au 11 mai 2020.
On note $T$ l’évènement « le test réalisé est positif ».

  1. Compléter l’arbre des probabilités ci-dessous avec les données de l’énoncé :
    $\quad$

    $\quad$
  2. Montrer que $P(T ) = 0,055~03$.
    $\quad$
  3. Quelle est la probabilité qu’un individu ait été infecté sachant que son test est positif ?
    On donnera une valeur approchée à $10^{-4}$ près du résultat.
    $\quad$

Partie C :
On considère un groupe d’une population d’un autre pays soumis au même test de sensibilité $0,8$ et de spécificité $0,99$.
Dans ce groupe la proportion d’individus ayant un test positif est de $29,44\%$.
On choisit au hasard un individu de ce groupe; quelle est la probabilité qu’il ait été infecté ?
$\quad$

$\quad$

Exercice 4     (5 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, préciser si elle est vraie ou fausse puis justifier la réponse donnée.
Toute réponse non argumentée ne sera pas prise en compte.

  1. Affirmation 1 : Toute suite décroissante et minorée par $0$ converge vers $0$.
    $\quad$
  2. On considère une suite $\left(u_n\right)$ définie sur $\N$ telle que, pour tout entier $n$, on a $u_n\pp \dfrac{-9^n+3^n}{7^n}$.
    Affirmation 2 : $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=-\infty$.
    $\quad$
  3. On considère la fonction suivante écrite en langage Python :

    Affirmation 3 : $\text{terme(4)}$ renvoie la valeur $7$.
    $\quad$
  4. Lors d’un concours, le gagnant a le choix entre deux prix :
    $\bullet$ Prix A : il reçoit $1~000$ euros par jour pendant 15 jours;
    $\bullet$ Prix B : il reçoit $1$ euro le 1er jour, $2$ euros le 2e jour, $4$ euros le 3e jour et pendant $15$ jours la somme reçue double chaque jour.
    Affirmation 4 : La valeur du prix A est plus élevée que la valeur du prix B.
    $\quad$
  5. On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier $n \pg 1$ par $$v_n=\int_1^n \ln(x)\dx$$
    Affirmation 5 : La suite $\left(v_n\right)$ est croissante.
    $\quad$

$\quad$