Exercice 1

Partie A : Étude de la fonction $\boldsymbol{f}$

1. Par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to 0^+} x\ln(x)=0$ donc $\lim\limits_{x\to 0^+} f(x)=0$
   Pour tout réel $x>0$ on a $f(x)=x^2\left(1-\dfrac{\ln(x)}{x}\right)$.
   Par croissances comparées $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x}=0$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$
   $\quad$
2. La fonction $f$ est dérivable sur $]0;\infty[$ par hypothèse.
   Pour tout réel $x>0$ on a :
   $\begin{align*} f'(x)&=2x-\ln(x)-x\times \dfrac{1}{x} \\
   &=2x-\ln(x)-1\end{align*}$
   $\quad$
3. La fonction $f’$ est dérivable sur $]0;\infty[$ par hypothèse.
   Pour tout réel $x>0$ on a :
   $\begin{align*} f\dsec(x)&=2-\dfrac{1}{x} \\
   &=\dfrac{2x-1}{x}\end{align*}$
   $\quad$
4. Le signe de $f\dsec(x)$ ne dépend que de celui de $2x-1$.
   Or $2x-1=0 \ssi 2x=1 \ssi x=\dfrac{1}{2}$ et $2x-1>0\ssi 2x>1\ssi x>\dfrac{1}{2}$
   La fonction $f’$ est donc strictement décroissante sur $\left]0;\dfrac{1}{2}\right]$ et strictement croissante sur $\left]\dfrac{1}{2};+\infty\right[$.
   De plus
   $\begin{align*}f’\left(\dfrac{1}{2}\right)&=2\times\dfrac{1}{2}-\ln\left(\dfrac{1}{2}\right)-1 \\
   &=1+\ln(2)-1 \\
   &=\ln(2)\\
   &>0\end{align*}$
   On obtient donc le tableau de variations suivant :
   $\quad$
   
   $\quad$
5. La fonction $f’$ admet donc un minimum en $\dfrac{1}{2}$ qui vaut $\ln(2)>0$.
   Par conséquent, pour tout réel $x>0$ on a $f'(x)>0$ et la fonction $f$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$.
   $\quad$

Partie B : Étude d’une fonction auxiliaire pour la résolution de l’équation $\boldsymbol{f(x)=x}$

1. La fonction $g$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ par hypothèse.
   Pour tout réel $x>0$ on a :
   $\begin{align*} g'(x)&=1-\dfrac{1}{x} \\
   &=\dfrac{x-1}{x}\end{align*}$
   $\quad$
   Le signe de $g'(x)$ ne dépend que de celui de $x-1$.
   $x-1=0\ssi x=1$ et $x-1>0 \ssi x>1$.
   On obtient donc le tableau de variations suivant :
   $\quad$
   
   $\quad$
2. Soit $x>0$.
   $\begin{align*} f(x)=x&\ssi x^2-x\ln(x)=x \\
   &\ssi x^2-x\ln(x)-x=0 \\
   &\ssi x\left(x-\ln(x)-1\right)=0\\
   &\ssi x\left(g(x)-1\right)=0 \\
   &\ssi g(x)=1 \qquad \text{ car } x>0 \\
   &\ssi x=1\end{align*}$
   L’unique solution de l’équation $f(x)=x$ sur $]0;+\infty[$ est $1$.
   $\quad$

Partie C : Étude d’une suite récurrente

1. Pour tout entier naturel $n$ on pose $P(n):~\dfrac{1}{2}\pp u_n \pp u_{n+1} \pp 1$.
   Initialisation :
   $\begin{align*}u_1&=f\left(u_0\right) \\
   &=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}\ln\left(\dfrac{1}{2}\right) \\
   &=\dfrac{1}{4}+\dfrac{\ln(2)}{2} \\
   & \approx 0,597\end{align*}$
   Par conséquent $\dfrac{1}{2} \pp u_0 \pp u_1 \pp 1$ et $P(0)$ est vraie.
   $\quad$
   Hérédité : Soit $n$ un entier naturel. On suppose que $P(n)$ est vraie.
   Ainsi $\dfrac{1}{2}\pp u_n \pp u_{n+1} \pp 1$.
   La fonction $f$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$.
   Par conséquent $f\left(\dfrac{1}{2}\right) \pp f\left(u_n\right) \pp f\left(u_{n+1}\right) \pp f(1)$
   Soit $u_1 \pp u_{n+1} \pp u_{n+2} \pp 1$ car pour tout entier naturel $k$ on a $u_{k+1}=f\left(u_k\right)$.
   Ainsi $\dfrac{1}{2}\pp u_1\pp u_{n+1} \pp u_{n+2} \pp 1$ et $P(n+1)$ est vraie.
   $\quad$
   Conclusion : D’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$ on a $\dfrac{1}{2} \pp u_n \pp u_{n+1} \pp 1$.
   $\quad$
2. La suite $\left(u_n\right)$ est donc croissante et majorée par $1$. D’après le théorème de la limite monotone, la suite $\left(u_n\right)$ onverge vers un réel $\ell$.
   $\quad$
3. $\ell$ est solution de l’équation $f(x)=x$.
   D’après la question B.2 l’unique solution de cette équation est $1$.
   Ainsi $\ell=1$.
   $\quad$

 

Exercice 2

1. D’après l’énoncé :
   $\begin{align*} P_{G_1}\left(D_2\right)&=1-P_{G_1}\left(G_2\right) \\
   &=1-0,7 \\
   &=0,3\end{align*}$
   $\quad$
2. On obtient l’arbre des probabilités suivant :
   $\quad$
   
   $\quad$
3. $\left(G_1,D_1\right)$ forme un système complet d’événements fini.
   D’après la formule des probabilités totales on a :
   $\begin{align*} g_2&=P\left(G_2\right) \\
   &=P\left(G_1\cap G_2\right)+P\left(D_1\cap G_2\right) \\
   &=P\left(G_1\right)\times P_{G_1}\left(G_2\right)+P\left(D_1\right)\times P_{D_1}\left(G_2\right) \\
   &=0,5\times 0,7+0,5\times 0,2 \\
   &=0,45\end{align*}$
   $\quad$
4. a. On obtient l’arbre des probabilités suivant :
   $\quad$
   
   $\quad$
   b. Pour tout entier naturel $n$ non nul, $\left(G_n,D_n\right)$ est un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales on a :
   $\begin{align*} g_{n+1}&=P\left(G_{n+1}\right) \\
   &=P\left(G_n\cap G_{n+1}\right)+P\left(D_n\cap G_{n+1}\right) \\
   &=P\left(G_n\right)\times P_{G_n}\left(G_{n+1}\right)+P\left(D_n\right)\times P_{D_n}\left(G_{n+1}\right) \\
   &=0,7g_n+0,2\left(1-g_n\right) \\
   &=0,7g_n+0,2-0,2g_n\\
   &=0,5g_n+0,2\end{align*}$
   $\quad$
5. a. Soit $n\in \N^*$.
   $\begin{align*} v_{n+1}&=g_{n+1}-0,4 \\
   &=0,5g_n+0,2-0,4 \\
   &=0,5g_n-0,2 \\
   &=0,5\left(g_n-0,4\right) \\
   &=0,5v_n\end{align*}$
   La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,5$ et de premier terme $v_1=0,5-0,4=0,1$.
   $\quad$
   b. Pour tout entier naturel $n$ non nul on a donc $v_n=0,1\times 0,5^{n-1}$.
   Or $g_n=v_n+0,4$.
   Donc $g_n=0,1\times 0n5^{n-1}+0,4$.
   $\quad$
6. Soit $n$ un entier naturel non nul.
   $\begin{align*} g_{n+1}-g_n&=0,1\times 0,5^n+0,4-\left(0,1\times 0,5^{n-1}+0,4\right) \\
   &=0,1\times 0,5^n-0,1\times 0,5^{n-1} \\
   &=0,1\times 0,5^{n-1}\left(0,5-1\right) \\
   &=-0,1\times 0,5^n \\
   &<0\end{align*}$
   La suite $\left(g_n\right)$ est donc décroissante.
   $\quad$
7. On a $-1<0,5<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,5^{n-1}=0$.
   Ainsi $\lim\limits_{n\to +\infty} g_n=0,4$.
   Sur le long terme, la probabilité que Léa gagne une partie est égale à $0,4$.
   $\quad$
8. On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ non nul tel que :
   $\begin{align*} g_n-0,4\pp 0,001 &\ssi 0,1\times 0,5^{n-1}\pp 0,001 \\
   &\ssi 0,5^{n-1}\pp 0,01 \\
   &\ssi (n-1)\ln(0,5)\pp \ln(0,01) \qquad \text{croissance de la fonction } \ln \\
   &\ssi n-1 \pg \dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,5)} \qquad \text{car } \ln(0,5)<0 \\
   &\ssi n\pg 1+\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,5)}\end{align*}$
   Or $1+\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,5)} \approx 7,6$.
   Le plus petit entier naturel $n$ tel que $g_n-0,4\pp 0,001$ est donc $8$.
   $\quad$
9. On peut écrire :
   
   Python

   def seuil(e): g = 0.5 n = 1 while g > 0.4 + e : g = 0.5 * g + 0.2 n = n + 1 return(n)

   1 2 3 4 5 6 7

   def seuil(e):   g = 0.5   n = 1   while g > 0.4 + e :     g = 0.5 * g + 0.2     n = n + 1   return(n)

   
   Remarque : il manquait un $*$ à la ligne 5 !
   $\quad$

Exercice 3

1. Pour tout entier naturel $n$ non nul on a :
   $\begin{align*}\dfrac{3n^2+4n+7}{6n^2+1} &=\dfrac{n^2\left(3+\dfrac{4}{n}+\dfrac{7}{n^2}\right)}{n^2\left(6+\dfrac{1}{n^2}\right)} \\
   &=\dfrac{3+\dfrac{4}{n}+\dfrac{7}{n^2}}{6+\dfrac{1}{n^2}}\end{align*}$
   Or $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{1}{n}=\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{1}{n^2}=0$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty}\dfrac{3n^2+4n+7}{6n^2+1}=\dfrac{1}{2}$
   De plus, pour tout entier naturel $n$ on a $\dfrac{1}{2}\pp u_n \pp \dfrac{3n^2+4n+7}{6n^2+1}$.
   D’après le théorème des gendarmes, $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=\dfrac{1}{2}$
   L’affirmation 1 est vraie.
   $\quad$
2. D’après le graphique, $h’$ semble être décroissante sur $[1,25;3]$.
   La fonction $h$ est donc concave sur cet intervalle.
   Or $[1,25;3]$ est inclus dans $[-1;3]$.
   L’affirmation 2 est fausse.
   $\quad$
3. Pour le choix des lettres il y a $3$ choix possibles pour la première et $2$ choix possibles pour la seconde.
   Il existe $10^4\times 3\times 2=60~000$ combinaisons possibles (il y a $10$ chiffres possibles).
   Il existe $9^4\times 3\times 2=39~366$ combinaisons ne contenant pas de $0$ (il y a $9$ chiffres différents de $0$ possibles).
   Il y a donc $60~000-39~366=20~634$ combinaisons qui contiennent au moins un $0$.
   L’affirmation 3 est vraie.
   $\quad$
   
4. La fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
   Pour tout réel $x>0$ on a :
   $\begin{align*} f'(x)&=\ln(x)+x\times \dfrac{1}{x} \\
   &=\ln(x)+1\end{align*}$
   Ainsi :
   $\begin{align*} xf'(x)-f(x)&=x\left(\ln(x)+1\right)-x\ln(x) \\
   &=x\ln(x)+x-x\ln(x) \\
   &=x\end{align*}$
   $f$ est bien une solution de l’équation différentielle $xy’-y=x$ sur $]0;+\infty[$.
   L’affirmation 4 est vraie.
   $\quad$

Exercice 4

Partie A

1. $2+0-3+1=3-3=0$ : $A$ appartient au plan $(P)$.
   $4-2-3+1=5-5=0$ : $B$ appartient au plan $(P)$.
   $-8-12-15+1=1-35=-34\neq 0$ : $C$ n’appartient pas au plan $(P)$.
   $\quad$
2. Un vecteur normal au plan $(P)$ est $\vec{n}\begin{pmatrix}2\\2\\-3\end{pmatrix}$.
   $\vect{CC’}\begin{pmatrix}4\\4\\-6\end{pmatrix}=2\vec{n}$
   Ainsi $\vect{CC’}$ est normal au plan $(P)$.
   De plus $0-4+3+1=4-4=0$ : $C’$ appartient au plan $(P)$.
   $C'(0;-2;-1)$ est le projeté orthogonal du point $C$ sur le plan $(P)$.
   $\quad$
3. On a $\vect{AB}\begin{pmatrix} 1\\-1\\0\end{pmatrix}$
   Une représentation paramétrique de la droite $(AB)$ est donc $\begin{cases} x=1+t\\y=-t\\z=1\end{cases}~~$ avec $t\in \R$.
   $\quad$
4. On note $(x;y;z)$ les coordonnées de $H$.
   $H$ appartient à $(AB)$. Il existe donc un réel $t$ tel que $\begin{cases} x=1+t\\y=-t\\z=1\end{cases}$.
   $\vect{HC}\begin{pmatrix}-4-x\\-6-y\\5-z\end{pmatrix}$.
   $(AB)$ et $(HC)$ sont orthogonales. Donc :
   $\begin{align*} \vect{HC}.\vect{AB}=0&\ssi (-4-x)-(-6-y)=0 \\
   &\ssi -4-x+6+y=0 \\
   &\ssi x-y=2\end{align*}$
   On veut donc résoudre le système :
   $\begin{align*}\begin{cases} x-y=2\\x=1+t\\y=-t\\z=1\end{cases}&\ssi \begin{cases} 1+t+t=2\\x=1+t\\y=-t\\z=1\end{cases}\\
   &\ssi \begin{cases} 2t=1\\x=1+t\\y=-t\\z=1\end{cases} \\
   &\ssi\begin{cases} t=\dfrac{1}{2}\\[3mm] x=\dfrac{3}{2}\\[3mm]y=-\dfrac{1}{2}\\[3mm]z=1\end{cases}\end{align*}$
   Ainsi les coordonnées possibles pour $H$ sont $\left(\dfrac{3}{2};-\dfrac{1}{2};1\right)$.
   $\quad$
   Vérifions que ces coordonnées sont bien les bonnes.
   En prenant $t=\dfrac{1}{2}$ dans la représentation paramétrique de $(AB)$ on retrouve les coordonnées $\left(\dfrac{3}{2};-\dfrac{1}{2};1\right)$.
   Si $H\left(\dfrac{3}{2};-\dfrac{1}{2};1\right)$ alors $\vect{HC}\begin{pmatrix} -\dfrac{11}{2}\\[3mm]-\dfrac{11}{2}\\[3mm]4\end{pmatrix}$.
   $\vect{HC}.\vect{AB}=-\dfrac{11}{2}+\dfrac{11}{2}+0=0$. $(AB)$ et $(HC)$ sont orthogonales.
   $\quad$
   Le points $H$ pour coordonnées $\left(\dfrac{3}{2};-\dfrac{1}{2};1\right)$.
   $\quad$

Partie B

1. On a :
   $\begin{align*} \left\|\vect{HC}\right\|&=\sqrt{\left(-\dfrac{11}{2}\right)^2+\left(-\dfrac{11}{2}\right)^2+4^2} \\
   &=\sqrt{\dfrac{121}{4}+\dfrac{121}{4}+16}\\
   &=\sqrt{\dfrac{153}{2}}\end{align*}$
   $\quad$
2. On a :
   $\begin{align*} AB&=\sqrt{1^2+(-1)^2+0} \\
   &=\sqrt{2}\end{align*}$
   Par conséquent :
   $\begin{align*}S&=\dfrac{AB\times HC}{2} \\
   &=\dfrac{\sqrt{2}\times \sqrt{\dfrac{153}{2}}}{2} \\
   &=\dfrac{\sqrt{153}}{2}\end{align*}$
   $\quad$

Partie C

1. $\vect{CC’}$ est orthogonal au plan $(P)$ et les points $C’$ et $H$ appartiennent à ce plan.
   Donc $CHC’$ est un triangle rectangle en $C’$.
   Ainsi :
   $\begin{align*} \cos(\alpha)&=\dfrac{HC’}{CH} \\
   &=\dfrac{\sqrt{\dfrac{17}{2}}}{\dfrac{\sqrt{153}}{2}} \\
   &=\dfrac{1}{3}\end{align*}$
   $\quad$
2. a. On a $\vect{C’H}\begin{pmatrix} \dfrac{3}{2}\\[3mm]\dfrac{3}{2}\\[3mm]2\end{pmatrix}$.
   Par conséquent $\vect{C’H}.\vect{AB}= \dfrac{3}{2}-\dfrac{3}{2}+0=0$.
   Les deux vecteurs sont orthogonaux par conséquent les droites sont orthogonales.
   Elles appartiennent toutes les deux au plan $(P)$.
   Ainsi $(C’H)$ et $(AB)$ sont perpendiculaires.
   $\quad$
   b. On a :
   $\begin{align*}S’&=\dfrac{AB\times C’H}{2} \\
   &=\dfrac{\sqrt{2}\times \sqrt{\dfrac{17}{2}}}{2}\\
   &=\dfrac{\sqrt{17}}{2}\end{align*}$
   $\quad$
   c. On a :
   $\begin{align*}S\cos(\alpha)&=\dfrac{\sqrt{153}}{2}\times \dfrac{1}{3} \\
   &=\dfrac{\sqrt{17}}{2} \\
   &=S’\end{align*}$
   Donc $S\cos(\alpha)=S’$.
   $\quad$

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation de la copie. Les candidates et les candidats sont invités à faire figurer sur leurs copies toute trace de recherche, même incomplètes ou infructueuses.

Exercice 1     (5,5 points)

On considère la fonction $f$ définie sur $] 0 ;+\infty\left[\right.$ par $f(x)=x^2-x \ln (x)$.
On admet que $f$ est deux fois dérivable sur $] 0 ;+\infty[$.
On note $f’$ la fonction dérivée de la fonction $f$ et $f\dsec$ la fonction dérivée de la fonction $f’$.

Partie A : Étude de la fonction $\boldsymbol{f}$

1. Déterminer les limites de la fonction $f$ en $0$ et en $+\infty$.
   $\quad$
2. Pour tout réel $x$ strictement positif, calculer $f'(x)$.
   $\quad$
3. Montrer que pour tout réel $x$ strictement positif :
   $$f\dsec(x)=\dfrac{2 x-1}{x}$$
   $\quad$
4. Étudier les variations de la fonction $f’$ sur $] 0 ;+\infty[$, puis dresser le tableau des variations de la fonction $f’$ sur $] 0 ;+\infty[$.
   On veillera à faire apparaître la valeur exacte de l’extremum de la fonction $f’$ sur $] 0 ;+\infty[$. Les limites de la fonction $f’$ aux bornes de l’intervalle de définition ne sont pas attendues.
   $\quad$
5. Montrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur $] 0 ;+\infty[$.
   $\quad$

Partie B : Étude d’une fonction auxiliaire pour la résolution de l’équation $\boldsymbol{f(x)=x}$

On considère dans cette partie la fonction $g$ définie sur $] 0;+\infty[$ par $g(x)=x-\ln (x)$.
On admet que la fonction $g$ est dérivable sur $] 0 ;+\infty[$, on note $g’$ sa dérivée.

1. Pour tout réel strictement positif, calculer $g'(x)$, puis dresser le tableau des variations de la fonction $g$. Les limites de la fonction $g$ aux bornes de l’intervalle de définition ne sont pas attendues.
   $\quad$
2. On admet que $1$ est l’unique solution de l’équation $g(x)=1$.
   Résoudre, sur l’intervalle $] 0 ;+\infty[$, l’équation $f(x)=x$.
   $\quad$

Partie C : Étude d’une suite récurrente

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=\dfrac{1}{2}$ et pour tout entier naturel $n$, $$u_{n+1}=f\left(u_n\right)=u_n^2-u_n\ln\left(u_n\right)$$

1. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ : $\dfrac{1}{2} \pp u_n\pp u_{n+1}\pp 1$.
   $\quad$
2. Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ converge.
   $\quad$
   On appelle $\ell$ la limite de la suite $\left(u_n\right)$ et on admet que $\ell$ vérifie l’égalité $f(\ell)=\ell$.
   $\quad$
3. Déterminer la valeur de $\ell$.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 2     (5,5 points)

Léa passe une bonne partie de ses journées à jouer à un jeu vidéo et s’intéresse aux chances de victoire de ses prochaines parties.

Elle estime que si elle vient de gagner une partie, elle gagne la suivante dans $70 \%$ des cas.

Mais si elle vient de subir une défaite, d’après elle, la probabilité qu’elle gagne la suivante est de $0,2$.

De plus, elle pense avoir autant de chance de gagner la première partie que de la perdre.

On s’appuiera sur les affirmations de Léa pour répondre aux questions de cet exercice.
Pour tout entier naturel $n$ non nul, on définit les événements suivants :

• $G_n:$ «Léa gagne la $n$-ième partie de la journée »;
• $D_n:$ «Léa perd la $n$-ième partie de la journée ».

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $g_n$ la probabilité de l’événement $G_n$. On a donc $g_1=0,5$.

1. Quelle est la valeur de la probabilité conditionnelle $P_{G_1}\left(D_2\right)$ ?
   $\quad$
2. Recopier et compléter l’arbre des probabilités ci-dessous qui modélise la situation pour les deux premières parties de la journée :
   $\quad$
   
   $\quad$
3. Calculer $g_2$.
   $\quad$
4. Soit $n$ un entier naturel non nul.
   a. Recopier et compléter l’arbre des probabilités ci-dessous qui modélise la situation pour les $n$-ième et $(n+1)$-ième parties de la journée.
   $\quad$
   
   $\quad$
   b. Justifier que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $g_{n+1}=0,5g_n+0,2$.
   $\quad$
5. Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose $v_n=g_n-0,4$.
   a. Montrer que la suite $\left(v_n\right.$ ) est géométrique. On précisera son premier terme et sa raison.
   $\quad$
   b. Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul : $g_n=0,1 \times 0,5^{n-1}+0,4$.
   $\quad$
6. Étudier les variations de la suite $\left(g_n\right)$.
   $\quad$
7. Donner, en justifiant, la limite de la suite $\left(g_n\right)$.
   Interpréter le résultat dans le contexte de l’énoncé.
   $\quad$
8. Déterminer, par le calcul, le plus petit entier $n$ tel que $g_n-0,4 \pp 0,001$.
   $\quad$
9. Recopier et compléter les lignes 4 et 6 de la fonction suivante, écrite en langage Python, afin qu’elle renvoie le plus petit rang à partir duquel les termes de la suite $\left(g_n\right)$ sont tous inférieurs ou égaux à $0,4+e$, où $e$ est un nombre réel strictement positif.
   
   Python

   def seuil(e): g = 0.5 n = 1 while ... : g = 0.5 * g + 0.2 n = ... return (n)

   1 2 3 4 5 6 7

   def seuil(e):   g = 0.5   n = 1   while ... :     g = 0.5 * g + 0.2     n = ...   return (n)

   
   $\quad$

$\quad$

Exercice 3     (4 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.
Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

1. Soit $\left(u_n\right)$ une suite définie pour tout entier naturel $n$ et vérifiant la relation suivante :
   pour tout entier naturel $n$, $\dfrac{1}{2} \pp u_n \pp \dfrac{3n^2+4n+7}{6n^2+1}$.
   Affirmation 1 : $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=\dfrac{1}{2}$.
   $\quad$
2. Soit $h$ une fonction définie et dérivable sur l’intervalle $[-4;4]$.
   La représentation graphique $C_{h’}$ de sa fonction dérivée $h’$ est donnée ci-dessous.
   $\quad$
   
   $\quad$
   Affirmation 2 : La fonction $h$ est convexe sur $[-1;3]$.
   $\quad$
3. Le code d’un immeuble est composé de $4$ chiffres (qui peuvent être identiques) suivis de deux lettres distinctes parmi A, B et C (exemple : $1232$BA).
   Affirmation 3 : Il existe $20~634$ codes qui contiennent au moins un $0$.
   $\quad$
4. On considère la fonction $f$ définie sur $]0+\infty[$ par $f(x)=x\ln(x)$.
   Affirmation 4 : La fonction $f$ est une solution sur $]0;+\infty[$ de l’équation différentielle $$xy’-y=x$$
   $\quad$

$\quad$

Exercice 4     (5 points)

Dans un repère orthonormé $\Oijk$ de l’espace, on considère le plan $(P)$ d’équation :
$$(P): 2 x+2 y-3 z+1=0$$

On considère les trois points $A, B$ et $C$ de coordonnées :
$$A(1 ; 0 ; 1), B(2 ;-1 ; 1) \text { et } C(-4 ;-6 ; 5) $$

Le but de cet exercice est d’étudier le rapport des aires entre un triangle et son projeté orthogonal dans un plan.

Partie A

1. Pour chacun des points $A$, $B$ et $C$ vérifier s’il appartient au plan $(P)$.
   $\quad$
2. Montrer que le point $C'(0 ;-2 ;-1)$ est le projeté orthogonal du point $C$ sur le plan $(P)$.
   $\quad$
3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(AB)$.
   $\quad$
4. On admet l’existence d’un unique point $H$ vérifiant les deux conditions
   $\begin{cases} H\in(AB) \\(AB) \text{ et } (HC) \text{ sont orthogonales}\end{cases}$.
   Déterminer les coordonnées du point $H$.
   $\quad$
   
   $\quad$

 

Partie B
On admet que les coordonnées du vecteur $\vect{HC}$ sont  $\vect{HC}\begin{pmatrix}-\dfrac{11}{2} \\[3mm] -\dfrac{11}{2} \\[3mm] 4\end{pmatrix}$.

1. Calculer la valeur exacte de $\left\|\vect{HC}\right\|$.
   $\quad$
2. Soit $S$ l’aire du triangle ABC. Déterminer la valeur exacte de $S$.
   $\quad$

Partie C

On admet que $HC’=\sqrt{\dfrac{17}{2}}$.

1. Soit $\alpha=\widehat{CHC’}$. Déterminer la valeur de $\cos(\alpha)$.
   $\quad$
2. a. Montrer que les droites $(C’H)$ et $(AB)$ sont perpendiculaires.
   $\quad$
   b. Calculer $S’$ l’aire du triangle $ABC’$, on donnera la valeur exacte.
   $\quad$
   c. Donner une relation entre $S$, $S’$ et $\cos(\alpha)$.
   $\quad$

$\quad$