Bac – Centres étrangers 2 – 6 juin 2024

Centres étrangers – 6 juin 2024

Spécialité maths – Sujet 2 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. On effectue $3$ tirages avec remise dans un ensemble à $8$ éléments. Il s’agit donc de déterminer le nombre de $3$-listes possibles constitués d’éléments de cet ensemble.
    Il existe ainsi $8^3=512$ tirages possibles.
    $\quad$
  2. a. Il s’agit de compter le nombre d’arrangements possibles de $3$ éléments dans un ensemble à $8$ éléments.
    Il y a donc $8\times 7\times 6=336$ tirages sans répétition de numéro.
    $\quad$
    b. Il y a donc $512-336=176$ tirages contenant au moins une répétition de numéro.
    $\quad$
  3. Nous sommes dans une situation d’équiprobabilité. Donc, pour tout entier $k$ compris entre $1$ et $8$, tous les deux inclus, $P\left(X_1=k\right)=\dfrac{1}{8}$.
    Remarque : On dit que $X_1$ suit la loi uniforme sur l’ensemble des entiers de $1$ à $8$.
    $\quad$
  4. L’espérance de $X_1$ est donc :
    $\begin{align*}E\left(X_1\right)&=\dfrac{1}{8}\times 1+\dfrac{1}{8}\times 2+\ldots+\dfrac{1}{8}\times 8 \\
    &=\dfrac{1}{8}\left(1+2+\ldots+8\right) \\
    &=\dfrac{1}{8}\times \dfrac{8\times 9}{2} \\
    &=\dfrac{9}{2}\end{align*}$
    $\quad$
  5. $X_1$, $X_2$ et $X_3$ suivent la même loi. Elles ont donc la même probabilité.
    D’après la linéarité de l’espérance :
    $\begin{align*} E(S)&=E\left(X_1+X_2+X_3\right) \\
    &=E\left(X_1\right)+E\left(X_2\right)+E\left(X_3\right) \\
    &=3E\left(X_1\right) \\
    &=\dfrac{27}{2}\end{align*}$
    $\quad$
  6. L’unique façon pour que $S=24$ est d’obtenir le numéro $8$ au trois tirages.
    Par conséquent $P(S=24)=\dfrac{1}{512}$.
    $\quad$
  7. a. Si le joueur obtient au plus trois $7$ alors la somme des numéros vaut  au plus $3\times 7=21$. De même s’il obtient au plus deux $8$ et un $5$ la somme des numéros vaut $8+8+5=21$.
    Les seuls tirages permettant d’avoir une somme supérieure ou égale à $22$ sont donc :
    $7-7-8$ ; $7-8-7$ ; $8-7-7$ ; $7-8-8$ ; $8-7-8$ ; $8-8-7$ ; $8-8-8$ ; $8-8-6$ ; $8-6-8$ et $6-8-8$.
    Il existe donc exactement $10$ tirages permettant de gagner un lot.
    $\quad$
    b. La probabilité de gagner un lot vaut donc $\dfrac{10}{512}=\dfrac{5}{256}$.
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

  1. a. $\lim\limits_{x\to 1^-} \e^x=\e>0$ et $\lim\limits_{x\to 1^-} x-1=0^-$.
    Par conséquent $\lim\limits_{x\to 1^-} f(x)=-\infty$.
    $\quad$
    b. La droite d’équation $x=1$ est donc une asymptote verticale à la courbe $\mathcal{C}$.
    $\quad$
  2. $\lim\limits_{x\to -\infty} \e^x=0$ et $\lim\limits_{x\to -\infty} x-1=-\infty$.
    Par conséquent $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=0$.
    $\quad$
  3. a. Par hypothèse, $f$ est dérivable sur $]-\infty;1[$.
    Pour tout réel $x<1$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{\e^x(x-1)-\e^x}{(x-1)^2} \\
    &=\dfrac{\e^x(x-1-1)}{(x-1)^2} \\
    &=\dfrac{\e^x(x-2)}{(x-1)^2}\end{align*}$
    $\quad$
    b. Pour tout réel $x\pp 1$ on a :
    $\bullet~x-2<0$
    $\bullet~\e^x>0$
    $\bullet~(x-1)^2>0$
    Ainsi, $f'(x)<0$ pour tout réel $x<1$.
    On obtient donc le tableau de variations suivant :
    $\quad$

    $\quad$
  4. a. Pour tout réel $x<1$ on a $\e^x>0$ et $(x-1)^3<0$.
    On étudie le signe du polynôme du second degré $x^2-4x+5$.
    Son discriminant est $\Delta=(-4)^2-4\times 5\times 1=-4<0$.
    Le signe de ce polynôme ne dépend donc que de celui de son terme principal. Ainsi, $x^2-4x+5>0$ sur $]-\infty;1[$.
    Donc $f\dsec(x)<0$ sur $]-\infty;1[$.
    La fonction $f$ est par conséquent concave sur $]-\infty;1[$.
    $\quad$
    b. On a $f(0)=-1$ et $f'(0)=-2$.
    Une équation de $T$ est donc $y=-2x-1$.
    $\quad$
    c. $f$ est concave sur $]-\infty;1[$. Sa courbe représentative est donc au-dessous de ses tangentes sur cet intervalle.
    Ainsi :
    $\begin{align*} f(x)\pp -2x-1 &\ssi \dfrac{\e^x}{x-1} \pp -2x-1 \\
    &\ssi \e^x\pg (-2x-1)(x-1) \qquad \text{car } x-1<0\end{align*}$
    $\quad$
  5. a. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur $]-\infty;1[$.
    De plus $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=0$ et De plus $\lim\limits_{x\to 1^-} f(x)=-\infty$.
    Or $-2\in ]-\infty;0[$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=-2$ admet une unique solution sur l’intervalle $]-\infty;1[$.
    $\quad$
    b. On a $f(0,31) \approx -1,976>-2$ et $f(0,32) \approx -2,025<-2$.
    Ainsi $f(0,31)>f(\alpha)>f(0,32)$
    Par conséquent $0,31<\alpha<0,32$.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. $I$ a pour coordonnées $(0,5;0;0)$ et $J$ a pour coordonnées $(1;1;0,5)$.
    $\quad$
  2. $H$ a pour coordonnées $(0;1;1)$, $F$ a pour coordonnées $(1;0;1)$ et $E$ a pour coordonnées $(0;0;1)$.
    Ainsi $\vect{EJ}\begin{pmatrix}1\\1\\-0,5\end{pmatrix}$, $\vect{FH}\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}$ et $\vect{FI}\begin{pmatrix}-0,5\\0\\-1\end{pmatrix}$.
    $\vect{FH}$ et $\vect{FI}$ n’ont pas la même composante nulle. Ils ne sont donc pas colinéaires.
    D’une part : $\vect{EJ}.\vect{FH}=-1+1+0=0$
    D’autre part : $\vect{EJ}.\vect{FI}=-0,5+0+0,5=0$
    $\vect{EJ}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(FHI)$. Il est normal à ce plan.
    $\quad$
  3. Une équation cartésienne du plan $(FHI)$ est donc $x+y-0,5z+d=0$.
    Or $F(1;0;1)$ appartient à ce plan. Donc $1+0-0,5+d=0 \ssi d=-0,5$.
    Une équation cartésienne du plan $(FHI)$ est par conséquent $x+y-0,5z-0,5=0$.
    En multipliant cette équation par $-2$ on obtient alors $-2x-2z+z+1=0$.
    $\quad$
  4. Une représentation paramétrique de la droite $(EJ)$ est : $\begin{cases} x=t\\y=t\\z=1-0,5t\end{cases}~~$ avec $t\in \R$.
    $\quad$
  5. a. Les coordonnées du point $K$ sont donc les solutions du système :
    $\begin{align*} \begin{cases} x=t\\y=t\\z=1-0,5t\\-2x-2y+z+1=0\end{cases}&\ssi \begin{cases} x=t\\y=t\\z=1-0,5t\\ -2t-2t+1-0,5t+1=0 \end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=t\\y=t\\z=1-0,5t\\-4,5t=-2  \end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=t\\y=t\\z=1-0,5t\\t=\dfrac{4}{9}  \end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases} x=\dfrac{4}{9}\\[3mm] y=\dfrac{4}{9}\\[3mm] z=\dfrac{7}{9}\\t=\dfrac{4}{9}  \end{cases}\end{align*}$
    Donc $K$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{4}{9};\dfrac{4}{9};\dfrac{7}{9}\right)$.
    $\quad$
    b. Le triangle $EFI$ est isocèle en $I$.
    Son aire est
    $\begin{align*}\mathscr{A}&=\dfrac{EF\times IL}{2} \\
    &=\dfrac{EF\times AE}{2} \\
    &=\dfrac{1\times 1}{2} \\
    &=\dfrac{1}{2}\end{align*}$.
    On appelle $M$ me milieu de $[FB]$. $M$ est également le projeté orthogonal du point $J$ sur le plan $(EFB)$.
    Le volume de la pyramide $EFHI$ est donc :
    $\begin{align*}V&=\dfrac{\mathscr{A}\times JM}{3} \\
    &=\dfrac{\dfrac{1}{2}\times 1}{3} \\
    &=\dfrac{1}{6}\end{align*}$
    Le volume de la pyramide $EFHI$ est $\dfrac{1}{6}$ cm$^3$.
    $\quad$
    c. On a $\vect{EK}\begin{pmatrix}\dfrac{4}{9}\\[3mm] \dfrac{4}{9}\\[3mm]-\dfrac{2}{9}\end{pmatrix}$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} EK&=\sqrt{\left(\dfrac{4}{9}\right)^2+\left(\dfrac{4}{9}\right)^2+\left(-\dfrac{4}{9}\right)^2} \\[3mm]
    &=\sqrt{\dfrac{16}{81}+\dfrac{16}{81}+\dfrac{4}{81}  }\\[3mm]
    &=\sqrt{\dfrac{36}{81}} \\[3mm]
    &=\dfrac{6}{9} \\[3mm]
    &=\dfrac{2}{3}\end{align*}$
    Par conséquent, en appelant  $\mathscr{B}$ l’aire du triangle $FHI$ on a :
    $\begin{align*} V=\dfrac{1}{6}&\ssi \dfrac{\mathscr{B}\times EK}{3}=\dfrac{1}{6} \\[3mm]
    &\ssi \mathscr{B}\times \dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{2} \\[3mm]
    &\ssi \mathscr{B}=\dfrac{3}{4}\end{align*}$
    L’aire du triangle $FHI$ est $\dfrac{3}{4}$ cm$^2$.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie A

  1. Par hypothèse, $f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$.
    Pour tout réel $x\pg 0$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}} \\
    &>0\end{align*}$
    $f$ est donc strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
    $\quad$
  2. Pour tout réel $x\pg 0$ on a :
    $\begin{align*} f(x)-x&=\sqrt{x+1}-x\\
    &=\left(\sqrt{x+1}-x\right)\times \dfrac{\sqrt{x+1}+x}{\sqrt{x+1}+x} \\
    &=\dfrac{x+1-x^2}{\sqrt{x+1}+x} \\
    &=\dfrac{-x^2+x+1}{\sqrt{x+1}+x} \end{align*}$
    $\quad$
  3. D’après la question précédente, sur $[0;+\infty[$ :
    $\begin{align*} f(x)=x&\ssi f(x)-x=0 \\
    &\ssi \dfrac{-x^2+x+1}{\sqrt{x+1}+x} =0 \\
    &\ssi -x^2+x+1=0 \qquad \text{car } \sqrt{x+1}+x>0\end{align*}$
    Le discriminant de cette équation du second degré est $\Delta=1^2-4\times 1\times (-1)=5>0$.
    Elle possède donc deux solutions $x_1=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{-2}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}>0$ et $x_2=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{-2}=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}<0$.
    L’équation $f(x)=x$ admet donc une unique solution sur $[0;+\infty[$ qui est $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$.
    Remarque : Il s’agit du nombre d’or !
    $\quad$

Partie B

  1. Pour tout entier naturel $n$ on note $P(n):~1\pp u_{n+1}\pp u_n$.
    Initialisation : $u_1=\sqrt{6}$. Or $1<\sqrt{6}<5$.
    Donc $1\pp u_1\pp u_0$ et $P(0)$ est vraie.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n$ un entier naturel. On suppose que $P(n)$ est vraie.
    $1\pp u_{n+1}\pp u_n$.
    La fonction $f$ est croissante sur $[0;+\infty[$.
    Par conséquent $f(1)\pp f\left(u_{n+1}\right) \pp f\left(u_n\right)$
    Soit $\sqrt{2}\pp u_{n+2} \pp u_{n+1}$. Or $1\pp \sqrt{2}$.
    Donc $1\pp u_{n+2} \pp u_{n+1}$ et $P(n+1)$ est vraie.
    $\quad$
    Conclusion : D’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$ on a $1\pp u_{n+1} \pp u_n$.
    $\quad$
  2. La suite $\left(u_n\right)$ est donc décroissante et minorée par $1$. D’après le théorème de la limite monotone; elle converge.
    $\quad$
  3. $\left(u_n\right)$ converge et pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$ avec $f$ continue (car dérivable) sur $[0;+\infty[$.
    De plus, pour tout $n\in \N$ on a $u_n\pg 1>0$.
    Par conséquent la limite $L$ de cette suite est solution de l’équation $f(x)=x$ dont l’unique solution sur $[0;+\infty[$ est $\ell$.
    $\left(u_n\right)$ converge donc vers $\ell$.
    $\quad$
  4. a. D’après la calculatrice $\text{seuil(2)}$ renvoie $5$.
    $\quad$
    b. Cela signifie que $u_9$ est une approximation de $\ell$ à au moins $10^{-4}$ près.
    $\quad$

Énoncé

 

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.

Exercice 1     (5 points)

Un sac opaque contient huit jetons numérotés de $1$ à $8$, indiscernables au toucher.
À trois reprises, un joueur pioche un jeton dans ce sac, note son numéro, puis le remet dans le sac.
Dans ce contexte, on appelle « tirage » la liste ordonnée des trois numéros obtenus.
Par exemple, si le joueur pioche le jeton numéro $4$, puis le jeton numéro $5$, puis le jeton numéro $1$, alors le tirage correspondant est $(4 ; 5 ; 1)$.

  1. Déterminer le nombre de tirages possibles.
    $\quad$
  2. a. Déterminer le nombre de tirages sans répétition de numéro.
    $\quad$
    b. En déduire le nombre de tirages contenant au moins une répétition de numéro.$\quad$

On note $X_1$ la variable aléatoire égale au numéro du premier jeton pioché, $X_2$ celle égale au numéro du deuxième jeton pioché et $X_3$ celle égale au numéro du troisième jeton pioché.
Puisqu’il s’agit d’un tirage avec remise, les variables aléatoires $X_1$, $X_2$ et $X_3$ sont indépendantes et suivent la même loi de probabilité.

  1. Établir la loi de probabilité de la variable aléatoire $X_1$.
    $\quad$
  2. Déterminer l’espérance de la variable aléatoire $X_1$.
    $\quad$

On note $S=X_1+X_2+X_3$ la variable aléatoire égale à la somme des numéros des trois jetons piochés.

  1. Déterminer l’espérance de la variable aléatoire $S$.
    $\quad$
  2. Déterminer $P(S=24)$.
    $\quad$
  3. Si un joueur obtient une somme supérieure ou égale à $22$, alors il gagne un lot.
    a. Justifier qu’il existe exactement $10$ tirages permettant de gagner un lot.
    $\quad$
    b. En déduire la probabilité de gagner un lot.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     (6 points)

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]-\infty;1[$ par $f(x)=\dfrac{\e^x}{x-1}$.
On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $]-\infty;1[$.
On appelle $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère.

  1. a. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $1$.
    $\quad$
    b. En déduire une interprétation graphique.
    $\quad$
  2. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-\infty$.
    $\quad$
  3. a. Montrer que pour tout réel $x$ de l’intervalle $]-\infty; 1[$ , on a $f'(x)=\dfrac{(x-2)\e^x}{(x-1)^2}$.
    $\quad$
    b. Dresser, en justifiant, le tableau de variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $]-\infty; 1[$ .
    $\quad$
  4. On admet que pour tout réel $x$ de l’intervalle $]-\infty;1[$ , on a $f\dsec(x)=\dfrac{\left(x^2-4x+5\right)\e^x}{(x-1)^2}$.
    a. Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l’intervalle $]-\infty; 1[$.
    $\quad$
    b. Déterminer l’équation réduite de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d’abscisse $0$.
    $\quad$
    c. En déduire que, pour tout réel $x$ de l’intervalle $\infty;1[$ , on a : $\e^x\pg (-2x-1)(x-1)$.
    $\quad$
  5. a. Justifier que l’équation $f(x)=-2$ admet une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $]-\infty; 1[$.
    $\quad$
    b. À l’aide de la calculatrice, déterminer un encadrement de $\alpha$ d’amplitude $10^{-2}$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     (5 points)

Le cube $ABCDEFGH$ a pour arête $1$ cm.
Le point $I$ est le milieu du segment $[AB]$ et le point $J$ est le milieu du segment $[CG]$.

On se place dans le repère orthonormé $\left(A;\vect{AB},\vect{AD},\vect{AE}\right)$.

  1. Donner les coordonnées des points $I$ et $J$.
    $\quad$
  2. Montrer que le vecteur $\vect{EJ}$ est normal au plan $(FHI)$.
    $\quad$
  3. Montrer qu’une équation cartésienne du plan $(FHI)$ est $-2x-2y+z+1=0$.
    $\quad$
  4. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(EJ)$.
    $\quad$
  5. a. On note $K$ le projeté orthogonal du point $E$ sur le plan $(FHI)$.
    Calculer ses coordonnées.
    $\quad$
    b. Montrer que le volume de la pyramide $EFHI$ est $\dfrac{1}{6}$ cm$^3$.
    On pourra utiliser le point $L$, milieu du segment $[EF]$. On admet que ce point est le projeté orthogonal du point $I$ sur le plan $(EFH)$.
    $\quad$
    c. Déduire des deux questions précédentes l’aire du triangle $FHI$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     (4 points)

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0 ; +\infty[$ par $f(x)=\sqrt{x+1}$.
On admet que cette fonction est dérivable sur ce même intervalle.

  1. Démontrer que la fonction $f$ est croissante sur l’intervalle $[0 ; +\infty[$.
    $\quad$
  2. Démontrer que pour tout nombre réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0 ; +\infty[$ :
    $$f(x)-x=\dfrac{-x^2+x+1}{\sqrt{x+1}+x}$$
    $\quad$
  3. En déduire que sur l’intervalle $[0; +\infty[$ l’équation $f(x)=x$ admet pour unique solution : $$\ell =\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$$
    $\quad$

Partie B

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=5$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$ où $f$ est la fonction étudiée dans la partie A.
On admet que la suite de terme général $u_n$ est bien définie pour tout entier naturel $n$.

  1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, on a $1\pp u_{n+1} \pp u_n$.
    $\quad$
  2. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ converge.
    $\quad$
  3. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ converge vers $\ell=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$.
    $\quad$
  4. On considère le script Python ci-dessous :

    On rappelle que la commande $\text{abs(x)}$ renvoie la valeur absolue de $\text{x}$.

    a. Donner la valeur renvoyée par $\text{seuil(2)}$.
    $\quad$
    b. La valeur renvoyée par $\text{seuil(4)}$ est $9$.
    Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

$\quad$