Exercice 1

Partie A

1. La fonction $f$ est dérivable sur $[0;1]$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur $[0;1]$.
   Pour tout réel $x\in [0;1]$ on a :
   $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{0,96(0,93x+0,03)-0,93\times 0,96x}{(0,93x+0,03)^2} \\
   &=\dfrac{0,028~8}{(0,93x+0,03)^2}\end{align*}$
   $\quad$
   Remarque : On pouvait simplifier l’expression initiale de $f(x)$ en $f(x)=\dfrac{0,32x}{0,31x+0,01}$.
   $\quad$
2. Pour tout réel $x\in [0;1]$ on a $(0,93x+0,03)^2>0$ et $0,028~8>0$.
   Par conséquent, pour tout réel $x\in [0;1]$ on a $f'(x)>0$.
   La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $[0;1]$.
   $\quad$

Partie B

1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
   $\quad$
   
   $\quad$
2. On veut déterminer :
   $\begin{align*} p(D\cap T)&=p(D)\times p_D(T) \\
   &=0,96x\end{align*}$
   $\quad$
3. $\left(D,\conj{D}\right)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales on a :
   $\begin{align*} p(T)&=p(D\cap T)+p\left(\conj{D}\cap T\right) \\
   &=0,96x+p\left(\conj{D}\right)\times p_{\conj{D}}(T) \\
   &=0,96x+0,03(1-x) \\
   &=0,93x+0,03\end{align*}$
   La probabilité de l’événement $T$ est bien égale à $0,93x+0,03$.
   $\quad$
4. On veut calculer :
   $\begin{align*} p_T(D)&=\dfrac{p(D\cap T)}{p(T)} \\
   &=\dfrac{0,96x}{0,93x+0,03}\\
   &=f(x)\end{align*}$
   Or $x=\dfrac{50}{1~000}=0,05$
   Ainsi la probabilité qu’un sportif soit dopé sachant que son test est positif est bien égal à $f(0,05) \approx 0,63$.
   $\quad$
5. a. On a vu à la question précédente que cette valeur prédictive était égale à $f(x)$.
   On veut donc résoudre l’inéquation :
   $\begin{align*} f(x)\pg 0,9&\ssi \dfrac{0,96x}{0,93x+0,03}\pg 0,9 \\
   &\ssi 0,96x\pg 0,9(0,93x+0,03) \qquad \text{car } 0,96x+0,03>0 \text{ sur } [0;1] \\
   &\ssi 0,96x\pg 0,837x+0,027\\
   &\ssi 0,123x \pg 0,027 \\
   &\ssi x\pg \dfrac{9}{41}\end{align*}$
   Or $\dfrac{9}{41}\approx 0,22$.
   C’est donc à partir d’environ $0,22$ que la valeur prédictive positive du test étudié sera supérieure ou égale à $0,9$.
   $\quad$
   b. On appelle $y$ la proportion des sportifs dopés parmi les plus performants. On a donc $0 \pp x\pp y\pp 1$.
   La fonction $f$ est strictement croissante. Par conséquent $f(y)\pg f(x)$.
   La valeur prédictive positive sera donc meilleure.
   $\quad$

 

 

Exercice 2

1. a.
   $\begin{align*} f(x)=x &\ssi 2x\e^{-x}=x \\
   &\ssi 2x\e^{-x}-x=0 \\
   &\ssi x\left(2\e^{-x}-1\right)=0 \\
   &\ssi x=0 \text{ ou } 2\e^{-x}-1=0 \\
   &\ssi x=0 \text{ ou }2\e^{-x}=1 \\
   &\ssi x=0 \text{ ou }\e^{-x}=\dfrac{1}{2} \\
   &\ssi x=0 \text{ ou }-x=\ln\left(\dfrac{1}{2}\right) \\
   &\ssi x=0 \text{ ou }x=-\ln\left(\dfrac{1}{2}\right) \\
   &\ssi x=0 \text{ ou }x=\ln(2) \end{align*}$
   Or $0\in [0;1]$ et $\ln(2) \in [0;1]$
   L’ensemble des solutions de l’équation $f(x)=x$ sur $[0;1]$ est donc $\acco{0;\ln(2)}$.
   $\quad$
   b. $f$ est dérivable sur $[0;1]$ par hypothèse.
   Pour tout réel $x\in [0;1]$ on a :
   $\begin{align*} f'(x)&=2\e^{-x}+2x\times \left(-\e^{-x}\right) \\
   &=2(1-x)\e^{-x}\end{align*}$
   $\quad$
   c. $1-x>0 \ssi x<1$ et $1-x=0 \ssi x=1$
   On obtient donc le tableau de variations suivant :
   $\quad$
   
   $\quad$
2. a. Pour tout entier naturel $n$ on note $P(n):~0\pp u_n<u_{n+1}\pp 1$.
   Initialisation : $u_0=0,1$ et $u_1=f(0,1) \approx 0,18$.
   Donc $0\pp u_0<u_1\pp 1$ et $P(0)$ est vraie.
   $\quad$
   Hérédité : Soit $n$ un entier naturel. On suppose que $P(n)$ est vraie.
   $0\pp u_n<u_{n+1}\pp 1$
   La fonction $f$ est strictement croissante sur $[0;1]$.
   Par conséquent $f(0) \pp f\left(u_n\right)<f\left(u_{n+1}\right) \pp f(1)$.
   Ainsi $0\pp u_{n+1}<u_{n+2}\pp 2\e^{-1}<1$.
   Donc $P(n+1)$ est vraie.
   $\quad$
   Conclusion : D’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$ on a $0\pp u_n<u_{n+1}\pp 1$.
   $\quad$
   b. La suite $\left(u_n\right)$ est donc croissante et majorée par $1$.
   D’après le théorème de la limite monotone, $\left(u_n\right)$ converge vers un réel $\ell$.
   $\quad$
3. Pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$, $\left(u_n\right)$ converge et $f$ est continue sur $[0;1]$ car dérivable sur cet intervalle.
   Ainsi $\ell$ est solution de l’équation $f(x)=x$.
   D’après la question 1.a., cette équation possède deux solutions sur $[0;1]$ qui sont $0$ et $\ln(2)$.
   La suite $\left(u_n\right)$ est strictement croissante et $u_0=0,1>0$.
   Ainsi $\left(u_n\right)$ converge vers $\ln(2)$.
   $\quad$
4. a. La suite $\left(u_n\right)$ est strictement croissante et converge vers $\ln(2)$. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n\pp \ln(2)$ c’est-à-dire $\ln(2)-u_n \pg 0$.
   $\quad$
   b. On peut écrire :
   
   Python

   from math import * def seuil(): n = 0 u = 0.1 while log(2) - u > 0.0001: n = n + 1 u = 2 * u * exp(-u) return(u,n)

   1 2 3 4 5 6 7 8

   from math import * def seuil():    n = 0    u = 0.1    while log(2) - u > 0.0001:       n = n + 1       u = 2 * u * exp(-u)    return(u,n)

   
   Remarque : Il y avait une erreur dans le code Python. La fonction $\ln$ doit s’écrire $\text{log}$ et suppose que la bibliothèque $\text{math}$ a été importée.
   $\quad$

   c. Quand on exécute ce code Python sur la calculatrice , on obtient $n=11$.
   $\quad$

 

Exercice 3

1. Si $y$ est une fonction constante solution de $\left[E_0\right)$ alors $y’=0$.
   Ainsi $0=y$.
   L’unique fonction constante solution de l’équation différentielle $\left(E_0\right)$ est donc la fonctio nulle.
   $\quad$
2. L’ensemble solution de l’équation différentielle $y’=y$ est $\acco{t\in \R\mapsto K\e^t,~\forall K\in \R}$.
   $\quad$
3. la fonction $h$ est dérivable sur $\R$ par hypothèse.
   Pour tout réel $x$ on a
   $h'(x)=-2\sin(x)+\cos(x)$.
   Or :
   $\begin{align*}h(x)-\cos(x)-3\sin(x) &=2\cos(x)+\sin(x)-\cos(x)-3\sin(x)\\
   &=\cos(x)-2\sin(x) \\
   &=h'(x)\end{align*}$
   $h$ est solution de l’équation différentielle $(E)$.
   $\quad$
4. Soit $f$ une solution de $(E)$.
   Ainsi, pour tout réel $x$ on a :
   $\begin{align*} (f-h)'(x)&=f'(x)-h'(x) \\
   &=f(x)-\cos(x)-3\sin(x)-\left(h(x)-\cos(x)-3\sin(x)\right) \\
   &=f(x)-h(x) \\
   &=(f-h)(x)\end{align*}$
   Par conséquent $f-h$ est solution de $\left(E_0\right)$.
   $\quad$
   Supposons maintenant que $f-h$ soit solution de $\left(E_0\right)$.
   Ainsi, pour tout réel $x$ on a :
   $\begin{align*} f'(x)&=f'(x)-h'(x)+h'(x) \\
   &=f(x)-h(x)+h'(x) \text{ car } f-h \text{ est solution de } \left(E_0\right) \\
   &=f(x)-\cos(x)-3\sin(x)\text{ car } h \text{ est solution de } \left(E\right)\end{align*}$
   Donc $f$ est solution de $(E)$.
   $\quad$
   Il y a bien équivalence entre “$f$ est  solution de $(E)$” et “$f-h$ est solution de $\left(E_0\right)$”.
   $\quad$
5. D’après la question 2. il existe un réel $K$ tel que pour tout réel $x$ on ait $f(x)-h(x)=K\e^x$.
   Ainsi $f(x)=2\cos(x)+\sin(x)+K\e^x$.
   $\quad$
   Réciproquement, soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=2\cos(x)+\sin(x)+K\e^x$, où $K$ est un réel quelconque.
   Ainsi :
   $\begin{align*} f'(x)&=-2\sin(x)+\cos(x)+K\e^x \\
   &=2\cos(x)-\cos(x)+\sin(x)-3\sin(x)+K\e^x \\
   &=f(x)-\cos(x)-3\sin(x)\end{align*}$
   $f$ est bien solution de $E$.
   $\quad$
   L’ensemble solution de $(E)$ est $\acco{x\in \R\mapsto 2\cos(x)+\sin(x)+K\e^x,~\forall K\in \R}$.
   $\quad$
6. On veut donc déterminer la valeur de $K$ telle que $2\cos(0)+\sin(0)+K\e^0=0$
   C’est-à-dire que $2+K=0$. Ainsi $K=-2$.
   $g$ est donc la fonction définie sur $\R$ par $g(x)=2\cos(x)+\sin(x)-2\e^x$.
   $\quad$
7. On a :
   $\begin{align*} \int_0^{\frac{\pi}{2}}\left(-2\e^x+\sin(x)+2\cos(x)\right)\dx &=\Big[-2\e^x-\cos(x)+2\sin(x)\Big]_0^{\frac{\pi}{2}} \\
   &=-2\e^{\pi/2}-0+2-(-2-1+0) \\
   &=-2\e^{\pi/2}+5\end{align*}$

 

Exercice 4

1. D’une part $\vect{AB}\begin{pmatrix}1\\3\\-2\end{pmatrix}$ et d’autre part $\vect{AC}\begin{pmatrix} 3\\-1\\0\end{pmatrix}$.
   Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires car ils n’ont pas la même composante nulle.
   Par conséquent $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
   $\quad$
2. a. $\vect{AB}.\vec{n}=1+9-10=0$
   $\vect{AC}.\vec{n}=3-3+0=0$
   $\vec{n}$ est orthogonal a deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$.
   $\vec{n}$ est donc orthogonal au plan $(ABC)$.
   $\quad$
   b. $\vec{n}$ est orthogonal au plan $(ABC)$ ; c’est donc un vecteur normal de celui-ci.
   Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc de la forme $x+3y+5z+d=0$.
   Or $A(-2;0;2)$ appartient à ce plan.
   Donc $-2+0+10+d=0$ soit $d=-8$.
   Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est par conséquent $x+3y+5z-8=0$.
   $\quad$
   c. $0+0+15-8=7\neq 0$ : $D$ n’appartient pas au plan $(ABC)$.
   Les points $A$, $B$, $C$ et $D$ ne sont pas coplanaires.
   $\quad$
3. a. Un vecteur directeur de $\mathcal{D}_1$ est $\vec{n}$.
   De plus en prenant $t=0$ dans la représentation paramétrique de $\mathcal{D}_1$ on obtient les coordonnées du point $D$.
   Ainsi $\mathcal{D}_1$ est la hauteur du tétraèdre $ABCD$ issue de $D$.
   $\quad$
   b. Résolvons le système :
   $\begin{align*} \begin{cases}x=t\\y=3t\\z=3+5t\\x=1+3s\\y=-1-5s\\z=2-6s\end{cases} &\ssi \begin{cases}x=t\\y=3t\\z=3+5t\\t=1+3s\\3t=-1-5s\\3+5t=2-6s\end{cases} \\
   &\ssi \begin{cases}x=t\\y=3t\\z=3+5t\\t=1+3s\\3(1+3s)=-1-5s\\3+5(1+3s)=2-6s\end{cases} \\
   &\ssi \begin{cases}x=t\\y=3t\\z=3+5t\\t=1+3s\\3+9s=-1-5s\\3+5+15s=2-6s\end{cases} \\
   &\ssi \begin{cases}x=t\\y=3t\\z=3+5t\\t=1+3s\\14s=-4\\21s=-6\end{cases} \\
   &\ssi \begin{cases}x=t\\y=3t\\z=3+5t\\t=1+3s\\s=-\dfrac{2}{7}\end{cases} \\
   &\ssi \begin{cases}x=t\\y=3t\\z=3+5t\\t=\dfrac{1}{7}\\[3mm]s=-\dfrac{2}{7}\end{cases} \\
   &\ssi \begin{cases}x=\dfrac{1}{7}\\[3mm]y=\dfrac{3}{7}\\[3mm]z=\dfrac{26}{7}\\[3mm]t=\dfrac{1}{7}\\[3mm]s=-\dfrac{2}{7}\end{cases} \end{align*}$
   Les droites $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$ sont sécantes en un point de coordonnées $\left(\dfrac{1}{7};\dfrac{3}{7};\dfrac{26}{7}\right)$.
   $\quad$
4. a. Les coordonnées du point $H$ sont solutions du système :
   $\begin{align*} \begin{cases} x=t\\y=3t\\z=3+5t\\x+3y+5z-8=0\end{cases} &\ssi \begin{cases} x=t\\y=3t\\z=3+5t\\t+9t+15+25t-8=0\end{cases} \\
   &\ssi \begin{cases} x=t\\y=3t\\z=3+5t\\35t=-7\end{cases} \\
   &\ssi \begin{cases} x=t\\y=3t\\z=3+5t\\t=-\dfrac{1}{5}\end{cases} \\
   &\ssi \begin{cases} x=-\dfrac{1}{5}\\[3mm]y=-\dfrac{3}{5}\\[3mm]z=2\\t=-\dfrac{1}{5}\end{cases}\end{align*}$
   Le point $H$ a pour coordonnées $\left(-\dfrac{1}{5};-\dfrac{3}{5};2\right)$.
   $\quad$
   b. On a $\vect{HD}\begin{pmatrix} \dfrac{1}{5}\\[3mm]\dfrac{3}{5}\\[3mm]-1\end{pmatrix}$
   La distance cherchée est donc :
   $\begin{align*} HD&=\sqrt{\left(\dfrac{1}{5}\right)^2+\left(\dfrac{3}{5}\right)^2+(-1)^2} \\
   &=\sqrt{\dfrac{1}{25}+\dfrac{9}{25}+1} \\
   &=\sqrt{\dfrac{35}{25}} \\
   &=\sqrt{\dfrac{7}{5}} \\
   &\approx 1,18\end{align*}$

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.

Exercice 1     (5 points)

Partie A

On définit la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;1]$ par $$f(x)=\dfrac{0,96x}{0,93x+0,03}$$

1. Démontrer que, pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;1]$, $$f'(x)=\dfrac{0,028~8}{(0,93x+0,03)^2}$$
   $\quad$
2. Déterminer le sens de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;1]$.
   $\quad$

Partie B

La lutte contre le dopage passe notamment par la réalisation de contrôles antidopage qui visent à déterminer si un sportif a fait usage de substances interdites.
Lors d’une compétition rassemblant $1~000$ sportifs, une équipe médicale teste tous les concurrents. On propose d’étudier la fiabilité de ce test.

On appelle $x$ le réel compris entre $0$ et $1$ qui désigne la proportion de sportifs dopés.

Lors de l’élaboration de ce test, on a pu déterminer que :

• la probabilité qu’un sportif soit déclaré positif sachant qu’il est dopé est égale à $0,96$;
• la probabilité qu’un sportif soit déclaré positif sachant qu’il n’est pas dopé est égale à $0,03$.
  $\quad$

On note :

• $D$ l’évènement : « le sportif est dopé » ;
• $T$ l’évènement : « le test est positif ».

1. Recopier et compléter l’arbre de probabilité ci-dessous :
   $\quad$
   
   $\quad$
2. Déterminer, en fonction de $x$, la probabilité qu’un sportif soit dopé et ait un test positif.
   $\quad$
3. Démontrer que la probabilité de l’évènement $T$ est égale à $0,93x+0,03$.
   $\quad$
4. Pour cette question uniquement, on suppose qu’il y a $50$ sportifs dopés parmi les $1~000$ testés.
   La fonction $f$ désigne la fonction définie à la partie A.
   Démontrer que la probabilité qu’un sportif soit dopé sachant que son test est positif est égale à $f (0,05)$. En donner une valeur arrondie au centième.
   $\quad$
5. On appelle valeur prédictive positive d’un test la probabilité que le sportif soit réellement dopé lorsque le résultat du test est positif.
   a. Déterminer à partir de quelle valeur de x la valeur prédictive positive du test étudié sera supérieure ou égale à $0,9$. Arrondir le résultat au centième.
   $\quad$
   b. Un responsable de la compétition décide de ne plus tester l’ensemble des sportifs, mais de cibler les sportifs les plus performants supposés être plus fréquemment dopés.
   Quelle est la conséquence de cette décision sur la valeur prédictive positive du test ? Argumenter en utilisant un résultat de la partie A.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 2     (5 points)

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0; 1]$ par
$$f(x)=2x\e^{-x}$$
On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[0; 1]$.

1. a. Résoudre sur l’intervalle $[0; 1]$ l’équation $f(x) = x$.
   $\quad$
   b. Démontrer que, pour tout $x$ appartenant à l’intervalle $[0; 1]$, $f'(x)=2(1-x)\e^{-x}$.
   $\quad$
   c. Donner le tableau de variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0; 1]$.

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 0,1$ et pour tout entier naturel $n$, $$u_{n+1}=f\left(u_n\right)$$

2. a. Démontrer par récurrence que, pour tout $n$ entier naturel, $0 \pp u_n < u_{n+1} \pp  1$.
   $\quad$
   b. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
   $\quad$
3. Démontrer que la limite de la suite $\left(u_n\right)$ est $\ln(2)$.
   $\quad$
4. a. Justifier que pour tout entier naturel $n$, $\ln(2)-u_n$ est positif.
   $\quad$
   b. On souhaite écrire un script Python qui renvoie une valeur approchée de $\ln(2)$ par défaut à $10^{-4}$ près, ainsi que le nombre d’étapes pour y parvenir.
   Recopier et compléter le script ci-dessous afin qu’il réponde au problème posé.
   
   Python

   def seuil(): n = 0 u = 0.1 while log(2) - u ... 0.0001: n = n + 1 u = 2 * u * exp(-u) return(u,n)

   1 2 3 4 5 6 7

   def seuil():    n = 0    u = 0.1    while log(2) - u ... 0.0001:       n = n + 1       u = 2 * u * exp(-u)    return(u,n)

   
   $\quad$
   c. Donner la valeur de la variable $n$ renvoyée par la fonction $\text{seuil()}$.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 3     (5 points)

On considère l’équation différentielle $\left(E_0\right) :~ y’ = y$ où $y$ est une fonction dérivable de la variable réelle $x$.

1. Démontrer que l’unique fonction constante solution de l’équation différentielle $\left(E_0\right)$ est la fonction nulle.
   $\quad$
2. Déterminer toutes les solutions de l’équation différentielle $\left(E_0\right)$.
   $\quad$

On considère l’équation différentielle $(E) :~ y’ = y-\cos(x)-3\sin(x)$ où $y$ est une fonction dérivable de la variable réelle $x$.

3. La fonction $h$ est définie sur $\R$ par $h(x) = 2\cos(x)+\sin(x)$.
   On admet qu’elle est dérivable sur $\R$.
   Démontrer que la fonction $h$ est solution de l’équation différentielle $(E)$.
   $\quad$
4. On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$.
   Démontrer que : « $f$ est solution de $(E)$ » est équivalent à « $f-h$ est solution de $\left(E_0\right)$».
   $\quad$
5. En déduire toutes les solutions de l’équation différentielle $(E)$.
   $\quad$
6. Déterminer l’unique solution $g$ de l’équation différentielle $(E)$ telle que $g(0) = 0$.
   $\quad$
7. Calculer : $$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \left(-2\e^x+\sin(x)+2\cos(x)\right)\dx$$
   $\quad$

$\quad$

Exercice 4     (5 points)

L’espace est muni d’un repère orthonormé $\Oijk$.

On considère :

• les points $A(-2 ; 0 ; 2)$, $B(-1 ; 3 ; 0)$, $C(1 ; -1 ; 2)$ et $D(0; 0; 3)$.
• la droite $\mathcal{D}_1$ dont une représentation paramétrique est
  $\begin{cases} x=t\\y=3t\\z=3+5t\end{cases}$ avec $t \in \R$.
• la droite $\mathcal{D}_2$ dont une représentation paramétrique est
  $\begin{cases} x=1+3s\\y=-1-5s\\z=2-6s\end{cases}$ avec $s \in \R$.

1. Démontrer que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
   $\quad$
2. a. Démontrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}1\\3\\5\end{pmatrix}$ est orthogonal au plan $(ABC)$.
   $\quad$
   b. Justifier qu’une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est : $x+3y+5z-8=0$.
   $\quad$
   c. En déduire que les points $A$, $B$, $C$ et $D$ ne sont pas coplanaires.
   $\quad$
3. a. Justifier que la droite $\mathcal{D}_1$ est la hauteur du tétraèdre $ABCD$ issue de $D$.
   $\quad$
   On admet que la droite $\mathcal{D}_2$ est la hauteur du tétraèdre $ABCD$ issue de $C$.
   b. Démontrer que les droites $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$ sont sécantes et déterminer les coordonnées de leur point d’intersection.
   $\quad$
4. a. Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal $H$ du point $D$ sur le plan $(ABC)$.
   $\quad$
   b. Calculer la distance du point $D$ au plan $(ABC)$. Arrondir le résultat au centième.