Antilles Guyane – Septembre 2014 – Bac ES/L

Mathématiques – Correction

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$\ln \left(10\text{e}^2\right)$ $=\ln 10 + \ln \left(\text{e}^2\right)$ $=\ln 10 + 2 \ln \text{e} = \ln 10 + 2$ Réponse c
$\quad$
$0,7^n \le 0,01$ $\Leftrightarrow n \ln 0,7 \le \ln 0,01$ $\Leftrightarrow n \ge \dfrac{\ln 0,01}{\ln 0,7}$ $\Leftrightarrow n \ge 13$ Réponse b
$\quad$
$f'(x) = 5\text{e}^{5x+2}$ Réponse a
$\quad$
L’intégrale correspond à l’aire comprise entre la courbe, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=0$ et $x=1$.
Cette aire est comprise entre $\dfrac{1}{2}$ u.a. et $1 u.a$.
La seule valeur acceptable est donc $\text{e}-2$. Réponse a
$\quad$
Le coefficient directeur de la tangente est positif : on exclut donc les réponses c et d.
L’ordonnée à l’origine sera négative.
Réponse b
$\quad$

Candidats ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats L

Partie A

$\quad$
Cette probabilité se note $p\left(B\cap \overline{D} \right)$
$\quad$
D’après la propriété des probabilités totales on a :
$$\begin{align} p(D) &= p(A \cap D) + p(B \cap D) + p(C \cap D) \\\\
&= 0,3 \times 0,05 + 0,1 \times 0,05 + 0,6 \times 0,04 \\\\
&= 0,015+0,005+0,024\\\\
&=0,044
\end{align}$$
$p_D(A) = \dfrac{p(D \cap A)}{p(D)}$ $ = \dfrac{0,015}{0,044} \approx 0,341$.
$\quad$
On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de balles possédant un défaut.
Il y a $5$ tirages aléatoires, identiques et indépendants. Chaque tirage possède deux issues : $D$ et $\overline{D}$. $p(D) = 0,044$.
$X$ suit donc la loi binomiale $\mathscr{B}(5;0,044)$.
On veut calculer $P(X=3) = \binom{5}{3}\times 0,044^3 \times 0,956^2 $ $\approx 0,0008$.

$\quad$

Partie B

On veut donc connaître la valeur de $P(56,7 \le X \le 58,5) $ $= P(\mu-3\sigma \le X \le \mu + 3\sigma) $ $\approx 0,997$.
$\quad$
$P(X \ge 58) = 0,5 – P(57,6 \le X \le 58) $ $\approx 0,091$

Candidats ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

Partie B

$\quad$
La matrice de transition est alors $M=\begin{pmatrix} 0,7&0,3\\\\0,4&0,6\end{pmatrix}$
$\quad$
On a $P_3=P_1M^2$ $= \begin{pmatrix}0&1\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0,61&0,39\\\\0,52&0,48 \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix}0,52&0,48\end{pmatrix}$
La probabilité de gagner la troisième partie est donc $0,52$.
$\quad$
$P_15=P_1M^{14}$ $\approx\begin{pmatrix} 0,57&0,43 \end{pmatrix}$
La probabilité qu’il gagne la quinzième partie est donc $0,57$.

$\quad$

Partie A

$n=2500$ $f=\dfrac{80}{2500} = 0,032$.
Donc $n \ge 30$, $nf = 80 \ge 5$ et $n(1-f) = 2420 \ge 5$.
Par conséquent un intervalle de confiance au seuil de $95\%$ est $$\begin{align} I_{2500} &= \left[0,032 – \dfrac{1}{\sqrt{2500}};0,032+\dfrac{1}{\sqrt{2500}}\right] \\\\
& =[0,012;0,052]
\end{align}$$
On veut un intervalle d’amplitude $0,02$. Il faut donc que $\dfrac{2}{\sqrt{n}} = 0,02$ $\Leftrightarrow \dfrac{4}{n} = 0,0004$ $\Leftrightarrow n = \dfrac{4}{0,0004} = 10000$.
$\quad$
$15000\times 0,012 \times 20 = 3600$. D’après cette étude, au risque de $5\%$, l’entreprise devrait réaliser une recette d’au moins $3600€$. Le producteur peut donc envisager de se lancer.

Partie B

$\quad$

Partie C

Pour obtenir un bénéfice, il faut donc au moins vendre $80$ paniers.
$\quad$
S’il vend $500$ paniers le bénéfice est de $4000€$.
$\quad$
L’écart maximal entre les deux courbes est d’environ $40$ unités. Il ne peut donc pas espérer réaliser un bénéfice de $5~000€$.

$\quad$