Bac ES/L – Antilles Guyane – Septembre 2020

Antilles Guyane – Septembre 2020

Bac ES/L- Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. D’après le graphique, on a $f'(x)\pg 0$ sur l’intervalle $[-2;0]$.
    La fonction $f$ est donc croissante sur l’intervalle $[-2;0]$.
    Réponse b
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est décroissante sur l’intervalle $[0;2]$.
    $f$ est donc concave sur l’intervalle $[0;2]$.
    Réponse c
    $\quad$

Partie B

  1. D’après la graphique, la fonction $g$ est décroissante sur (environ) l’intervalle $[-5,2;0]$. Ainsi $g'(x)\pp 0$ sur cet intervalle. Cela exclut les propositions a. et c. .
    La fonction $g$ est croissante sur l’intervalle $[0;2]$.
    Réponse b
    $\quad$
  2. $g'(1)$ est le  coefficient directeur de la droite $(AB)$.
    Par conséquent $g'(1)=\dfrac{-3-(-5)}{1-0}=2$.
    Réponse c
    $\quad$

Partie C

  1. Pour tout réel $x$ on a :
    $f'(x)=5\times \left(-\dfrac{1}{3}\right)\e^{-x/3}=-\dfrac{5}{3}\e^{-x/3}$
    Réponse c
    $\quad$
  2. L’algorithme permet de déterminer une valeur approchée à $0,01$ près par excès de la solution positive de $f(x)=0$.
    Graphiquement on voit que l’abscisse de cette solution est comprise entre $1,5$ et $1,6$.
    Réponse a
    $\quad$

Ex 2 (obl)

Exercice 2

Partie A

  1. a. On a :
    $\begin{align*} u_1&=\left(1-\dfrac{5}{100}\right)u_0+12 \\
    &=0,95\times 300+12\\
    &=297\end{align*}$
    $\quad$
    b. “La quantité de déchets de l’agglomération à incinérer devrait diminuer de $5 \%$ par an”. D’une année sur l’autre il reste donc $95\%$ de la quantité précédente soit $0,95u_n$.
    La ville s’engage à “incinérer 12 000 tonnes de déchets
    supplémentaires par an provenant d’une commune voisine”.
    Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=0,95u_n+12$.
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*}
    v_{n+1}&=u_{n+1}-240 \\
    &=0,95u_n+12-240\\
    &=0,95\left(240+v_n\right)-228 \\
    &=228+0,95v_n-228\\
    &=0,95v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,95$ et de premier terme $v_0=u_0-240=60$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $v_n=60\times 0,95^n$.
    $\quad$
    c. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} u_n&=v_n+240 \\
    &=60\times 0,95^n+240\end{align*}$
    $\quad$
  3. $0<0,95<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 60\times 0,95^n=0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=240$.
    $\quad$

Partie B

  1. En 2039 on a $u_{20}=60\times 0,95^{20}+240 \approx 261,51$
    L’objectif d’une réduction de la quantité de déchets incinérés de $15\%$ par rapport à 2019  correspond à $0,85\times u_0 =255$.
    On constate donc que $u_{20} > 255$.
    L’objectif fixé ne sera donc pas atteint selon ces prévisions.
    $\quad$
  2. a. On obtient l’algorithme suivant :
    $\begin{array}{|l|}
    \hline
    N\leftarrow 2019\\
    U\leftarrow 300\\
    \text{Tant que } U  > 255 \\
    \hspace{0.5cm} N\leftarrow N+1\\
    \hspace{0.5cm} U\leftarrow 0,95\times U+12 \\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    b. On constate qu’en 2046 on a $u_{27} \approx 255,02$ et qu’en 2047 on a $u_{28} \approx 254,3$.
    L’objectif sera donc atteint en 2047.
    Remarque : En toute rigueur il faudrait soit montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante soit fournir toutes les valeurs prises par la suite jusqu’au rang $28$.
    $\quad$

Ex 2 (spé)

Exercice 2

Partie A

  1. a. Les sommets HENDAYE et LYON ne sont pas adjacents. Le graphe n’est donc pas complet.
    $\quad$
    b. On a un cycle :
    HENDAYE – BORDEAUX – CLERMONT FERRAND – LYON – NICE – AVIGNON – MONTELLIER – TOULOUSE – HENDAYE.
    Le graphe est donc connexe.
    $\quad$
    c. Le graphe possède au moins trois sommets de degré $3$ : BORDEAUX, LYON et AVIGNON.
    Il n’existe donc pas de chaîne eulérienne.
    $\quad$
  2. On utilise l’algorithme de Dijkstra.
    En utilisant les initiales des différentes villes on obtient le tableau suivant :
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    H& B& C& L& T& M& A& N& Sommet\\
    \hline
    0& & & & & & & & H\\
    \hline
    & 14 (A)& & & 27 (A)& & & & B\\
    \hline
    & & 41 (B) & & 26 (B)& & & & T\\
    \hline
    & & 41 (B) & & 56 (T) & & & C\\
    \hline
    & & & 53 (C)& & 55(C)& & & L\\
    \hline
    & & & & & 55(C)& 74 (L)& 90 (L) & M\\
    \hline
    & & & & & & 62 (M)& 90 (L)& A\\
    \hline
    & & & & & & & 81 (A)& N\\
    \hline
    \end{array}$
    Le trajet le plus économique ($81$ €) est :
    HENDAYE – BORDEAUX – CLERMONT FERRAND – MONTPELLIER – AVIGNON – NICE
    $\quad$

Partie B

  1. Il  a effectué $40$ trajets donc $x+y+z=40$.
    Il a parcouru $19~200$ km donc $480x+680y+200z=19~200$ soit en divisant les deux membres par $40$ : $12x+17y+5z=480$.
    Il a roulé $236$ heures donc $5x+9y+3z=236$.
    $(x,y,z)$ est donc solution du système $\begin{cases} x+y+z=40\\12x+17y+5z=480\\5x+9y+3z=236\end{cases}$.
    $\quad$
  2. En posant $A=\begin{pmatrix}1&1&1\\12&17&5\\5&9&3\end{pmatrix}$, $X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}40\\480\\236\end{pmatrix}$ on a écrit le système précédent sous la forme $AX=B$.
    $\quad$
  3. La calculatrice nous indique que la matrice $A$ est inversible.
    Donc $X=A^{-1}B$ soit $X=\begin{pmatrix}16\\14\\10\end{pmatrix}$.
    Le commercial a donc réalisé $16$ trajets aller-retour Montpellier-Toulouse, $14$ trajets aller-retour Montpelier- Clermont Ferrand et $10$ trajets aller-retour Montpellier-Avignon.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. On a $p(U)=\dfrac{276~110}{385~628} \approx 0,716$.
    $\quad$
  2. On obtient l’arbre pondéré complété suivant :
    $\quad$
  3. On veut calculer :
    $\begin{align*} p(U\cap T)&=p(U)\times p_U(T)\\
    &=0,716\times 0,6 \\
    &= 0,4296\end{align*}$
    La probabilité que l’habitant de e l’agglomération interrogé réside dans la zone urbaine et utilise régulièrement le tramway est environ égale à $0,430$.
    $\quad$
  4. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(T)=p(U\cap T)+p(R\cap T) &\ssi 0,51=0,43+p(R)\times p_R(T)\\
    &\ssi 0,08=0,284p_R(T) \end{align*}$
    Par conséquent $p_R(T)\approx 0,282$.
    $\quad$
  5. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_T(U)&=\dfrac{p(T\cap U)}{p(T)} \\
    &=\dfrac{0,43}{0,51} \\
    &\approx 0,843\end{align*}$
    La probabilité pour que l’habitant qui utilise régulièrement le tramway habite dans la zone urbaine est environ égale à $0,843$.
    $\quad$

Partie B

  1. On veut calculer :
    $\begin{align*} P(X\pp 60)&=P(X\pp 65)-P(60\pp X\pp 65) \\
    &=0,5-P(60\pp X\pp 65) \\
    &\approx 0,238\end{align*}$
    La probabilité pour qu’un tel trajet dure moins d’une heure est environ égale à $0,238$.
    $\quad$
  2. On effectue donc $180$ tirages aléatoires, identiques et indépendants. Chaque tirage possède deux issues “le trajet à une durée inférieure à une heure” et “le trajet a une durée supérieure à une heure”.
    La variable aléatoire $N$ comptant le nombre de trajets dont la durée est inférieure à une heure suit donc la loi binomiale de paramètres $n=180$ et $p=0,238$.
    Ainsi $P(N\pp 40) \approx 0,346$ d’après la calculatrice.
    La probabilité qu’il ait au plus $40$ fois une durée de trajet inférieure à une heure dans l’année est donc environ égale à $0,346$.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

On appelle $f$ la fonction définie sur $[0;1]$ par $f(x)=x-\left(2,1x^3-1,8x^2+0,7x\right)$
Ainsi, $f(x)=-2,1x^3+1,8x^2+0,3x$.
D’après l’énoncé on sait que la courbe $(C)$ est située au-dessous du segment $[OA]$ d’équation $y = x$. Cela signifie donc que $f(x)\pg 0$ sur $[0;1]$.
De plus $f$ est continue sur $[0;1]$ en tant que fonction polynomiale.
L’aire de la partie grisée est donc :
$\begin{align*} \gamma&=\int_0^1 f(x) \dx \\
&=\left[-\dfrac{2,1}{4}x^4+0,6x^3+\dfrac{0,3}{2}x^2\right]_0^1 \\
& =0,225\\
&<0,289\end{align*}$

En 2017, la répartition des richesses du pays étudié était plus égalitaire qu’en France.
$\quad$

Énoncé

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