Exercice 1

1. La fonction $g$ définie sur $\R$ par $f(x)=-x^2+1$ est dérivable et pour tout réel $x$ on a $g'(x)=-2x$.
   On a $f(x)=\e^{f(x)}$.
   Ainsi la fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et $f'(x)=g'(x)\e^{g(x)}$ c’est-à-dire $g'(x)=-2x\e^{-x^2+1}$.
   Réponse c
   $\quad$
2. Pour tout réel $a$ on a :
   $\begin{align*} B&=\dfrac{\e^a\times \e^{3-a}}{\e} \\
   &=\e^{a+3-a-1} \\
   &=\e^2\end{align*}$
   Réponse a
   $\quad$
3. On a $n=1~408$ et $f=0,28$
   Par conséquent $n\pg 30$, $nf=394,24 \pg 5$ et $n(1-f)=1~013,76\pg 5$.
   Un intervalle de confiance au niveau de confiance $0,95$ est :
   $\begin{align*} I_{1~408}&=\left[0,28-\dfrac{1}{\sqrt{1~408}};0,28+\dfrac{1}{\sqrt{1~408}}\right] \\
   &\approx [0,253;0,307]\end{align*}$
   Réponse a
   $\quad$
4. $g'(4)$ est le coefficient directeur de la droite $(AB)$.
   Ainsi :
   $\begin{align*} g'(4)&=\dfrac{5-3}{4-(-8)} \\
   &=\dfrac{2}{12} \\
   &=\dfrac{1}{6}\end{align*}$
   Réponse d
   $\quad$
5. Chaque petit rectangle a une aire de $2$ u.a.
   La fonction $g$ est positive et continue sur l’intervalle $[-2;4]$.
   Par conséquent $I$ est l’aire du domaine compris entre la courbe représentant la fonction $g$, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=-2$ et $x=4$.
   Ainsi $12\times 2 \pp I \pp 15\times 2$ soit $24\pp I\pp 30$.
   Réponse b
   $\quad$

Exercice 2

1. $90~000\times (1-0,21)+29~400=100~500$.
   Il y avait donc $100~500$ adhérents au début de l’année 2018.
   $100~500\times (1-0,21)+29~400=108~795$.
   Il y avait donc $108~795$ adhérents au début de l’année 2019.
   $\quad$
2. $21 \%$ des adhérents ne renouvellent pas leur adhésion. Donc $79\%$ la renouvellent. Cela représente donc $0,79u_n$3
   $29~400$ nouveaux pratiquants s’inscrivent.
   Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=0,79u_n+29~400$.
   $\quad$
3. a. On obtient l’algorithme suivant :
   $$\begin{array}{|l|}
   \hline
   N \leftarrow 0\\
   U \leftarrow 90~000\\
   \text{Tant que } U\pp 135~000\\
   \hspace{1cm} N\leftarrow N+1\\
   \hspace{1cm} U \leftarrow 0,79\times U+29~400\\
   \text{Fin Tant que}\\
   \hline
   \end{array}$$
   $\quad$
   b. Voici les valeurs, arrondies à l’unité, prises par les variables $N$ et $U$
   $\begin{array}{|c|c|}
   \hline
   N& U \\ \hline
   0 &90~000\\ \hline
   1 &100~500\\ \hline
   2 &108~795\\ \hline
   3 &115~349\\ \hline
   4 &120~525\\ \hline
   5 &124~615\\ \hline
   6 &127~846\\ \hline
   7 &130~398\\ \hline
   8 &132~415\\ \hline
   9 &134~007\\ \hline
   10 &135~266\\ \hline
   \end{array}$
   Par conséquent, après l’exécution de l’algorithme, la variable $N$ contient la valeur $10$.
   Cela signifie que c’est à partir de 2027 que cette fédération comptera plus de $135~000$ adhérents.
   $\quad$
4. a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
   $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-140~000 \\
   &=0,79u_n+29~400-140~000 \\
   &=0,79u_n-110~600\\
   &=0,79\left(v_n+140~000\right)-110~600 \\
   &=0,79v_n+110~600-110~600\\
   &=0,79v_n\end{align*}$
   La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,79$ et de premier terme $v_0=u_0-140~000=-50~000$.
   $\quad$
   b. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $v_n=-50~000\times 0,79^n$.
   Ainsi :
   $\begin{align*} u_n&=v_n+140~000 \\
   &=-50~000\times 0,79^n+140~000\end{align*}$
   $\quad$
   c. Pour tout entier naturel $n$ on a $-50~000\times 0,79^n<0$ donc $u_n< 140~000$.
   La FFME ne pourra donc jamais dépasse les $140~000$ adhérents.
   $\quad$
5. a. On peut saisir $=0,79*B2+29400$ dans la cellule $B3$.
   $\quad$
   $\quad$
   b. On peut saisir $=0,21*B2$ dans la cellule $C3$.
   $\quad$

 

 

Exercice 3

Candidats de ES n’ayant pas suivi la spécialité ou candidats de L

Partie A

1. a. On a $p(C)=0,2$, $p_C(D)=0,46$ et $p_S(D)=0,25$.
   $\quad$
   b. On obtient l’arbre pondéré suivant :

   $\quad$

2. On veut calculer :
   $\begin{align*} p(C\cap D)&=p(C)\times p_C(D)\\
   &=0,20\times 0,46 \\
   &=0,092\end{align*}$
   La probabilité que la planche soit en chêne et déclassée est égale à $0,092$.
   $\quad$
3. D’après la formule des probabilités totales on a :
   $\begin{align*} &p(D)=p(C\cap D)+p(S\cap D)+p(T\cap D) \\
   \ssi~ & 0,32=0,092+0,66\times 0,25+p(T\cap D) \\
   \ssi~ & p(T\cap D)=0,063\end{align*}$
   $\quad$
4. On veut calculer :
   $\begin{align*} p_T(D)&=\dfrac{p(T\cap D)}{p(T)} \\
   &=\dfrac{0,063}{0,14}\\
   &=0,45\end{align*}$
   La probabilité que la planche soit déclassée sachant qu’on a choisi une planche de la production en bois de hêtre est égale à $0,45$.
   $\quad$

Partie B

1. On a $p(X=4)=\dbinom{10}{4}0,32^{4}\times 0,68^{10-4}\approx 0,218$.
   La probabilité que $4$ planches soit déclassées est environ égale à $0,218$.
   $\quad$
2. On veut calculer :
   $\begin{align*} p(X\pg 1)&=1-p(X=0) \\
   &=1-0,68^{10} \\
   &\approx 0,979\end{align*}$
   $\quad$

 

Partie C

1. D’après la calculatrice $p(26,5 \pp Y\pp 27,5)\approx 0,789$.
   $\quad$
2. a. On a $\mu_S=27$ donc la courbe $\mathscr{C}_3$ représente la fonction de densité de $Y$.
   $\quad$
   b. On a $\sigma_C>\sigma_S$ donc la courbe $\mathscr{C}_1$ représente la fonction de densité de $Z$.
   $\quad$
3. On sait que $p(\mu_c-2\sigma_c\pp Z\pp \mu_c+2\sigma_c)\approx 0,95$.
   Par conséquent $p(25-2\sigma_C\pp Z\pp 25+2\sigma_C) \approx 0,95$.
   Or $p(24\pp Z\pp 26)\approx 0,95$ soit $p(25-1\pp Z\pp 25+1)\approx 0,95$.
   Par conséquent $2\sigma \approx 1$ soit $\sigma \approx 0,5$.
   $\quad$

Exercice 3

Candidats de ES ayant suivi la spécialité

1. a. Le graphe possède $6$ sommets. Il est donc d’ordre $6$.
   $\quad$
   b. Les sommets $A$ et $R$ ne sont pas adjacents. Le graphe n’est donc pas complet.
   $\quad$
   c. On a la chaîne $R-B-P-C-F-B-R$. Deux sommets quelconque peuvent donc être reliés entre eux. Le graphe est par conséquent connexe.
   $\quad$
2. a. Déterminons le degré des sommets.
   $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
   \text{Sommet}&A&B&C&F&P&R\\
   \hline
   \text{Degré}&4&5&4&4&3&2\\
   \hline
   \end{array}$
   Exactement deux sommets sont de degré impair. Il existe donc une chaîne eulérienne.
   L’organisatrice peut envisager un parcours passant par tous ces lieux en empruntant une seule fois chacune des rues.
   $\quad$
   b. Tous les sommets ne sont pas de degré pair. Il n’existe donc pas de cycle eulérien.
   Elle ne peut pas envisager un parcours passant par tous ces lieux en empruntant une seule fois chacune des rues, et dont le départ et l’arrivée se font au même endroit.
   $\quad$
3. La matrice d’adjacence de ce graphe est :
   $\begin{pmatrix}0&1&1&1&1&0\\
   1&0&1&1&1&1\\
   1&1&0&1&1&0\\
   1&1&1&0&0&1\\
   1&1&1&0&0&0\\
   0&1&0&1&0&0\end{pmatrix}$
   $\quad$
4. On a ${M^3}_{(1,6)}=5$. Il existe donc $5$ parcours joignant Alexanderplatz au Reichstag passant exactement par $3$ rues.
   $\quad$
5. On utilise l’algorithme de Dijkstra :
   $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
   A& B& C& F& P& R& Sommet\\\hline
   0& & & & & & A\\\hline
   & 6(A)& 5(A)& 3,5(A)& 2(A)& & P\\\hline
   & 6(A)& 4(P)& 3,5(A)& & & F\\\hline
   & 6(A)& 4(P)& & & 8,5(F)& C\\\hline
   & 6(A) & & & &8,5(F)& B\\\hline
   & & & & & 6,5(B)& R\\\hline
   \end{array}$
   Le parcours le plus court est $A-B-R$. Il mesure $6,5$ km.
   $\quad$

Exercice 4

Partie A

1. a. Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[1;4]$ on a :
   $\begin{align*} f'(x)&=-2x+4+6\times \dfrac{1}{x} \\
   &=\dfrac{-2x^2+4x+6}{x}\end{align*}$
   $\quad$
   b. Le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $-2x^2+4x+6$.
   Son discriminant est $\Delta=4^2-4\times (-2)\times 6=64>0$.
   Les racines de ce polynôme du second degré sont $x_1=\dfrac{-4-\sqrt{64}}{-4}=3$ et $\dfrac{-4+\sqrt{64}}{-4}=-1$.
   Le coefficient principal est $a=-2<0$.
   On obtient donc le tableau de signes et de variations suivant :
   $\quad$
   c. Voir le tableau ci-dessus avec $f(3)=-2+6\ln(3)\approx 4,592$ et $f(4)=-5+6\ln(4)\approx 3,318$.
   $\quad$
2. a. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur l’intervalle $[1;3]$
   On a $f(1)=-2<0$ et $f(3)\approx 4,592>0$
   D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires l’équation $f(x)=0$ possède une unique solution sur $[1;3]$.
   $\quad$
   Pour tout $x\in [3;4]$ on a $f(x)\pg f(4)$ et $f(4)\approx 3,318$.
   L’équation $f(x)=0$ ne possède donc pas de solution sur l’intervalle $[3;4]$.
   $\quad$
   L’équation $f(x)=0$ possède donc une unique solution $\alpha$.
   D’après la calculatrice on a $1,28 \pp \alpha \pp 1,29$.
   $\quad$
   b. Cela signifie donc que :
   $\bullet f(x)<0$ sur $[1;\alpha[$;
   $\bullet f(\alpha)=0$;
   $\bullet f(x)>0$ sur $]\alpha;4]$.
   $\quad$
3. a. D’après le logiciel, pour tout $x\in[1;4]$, on a $f^{\dsec}(x)=-2-\dfrac{6}{x^2}<0$
   La fonction $f$ est donc concave sur $[1;4]$.
   La courbe $\mathscr{C}$ est par conséquent située en-dessous de toutes ses tangentes.
   $\quad$
   b. D’après le logiciel, la fonction $F$ définie sur $[1;4]$ par $F(x)=-\dfrac{x^3}{3}+2x^2-11x+6x\ln(x)$ est une primitive de la fonction $f$ sur $[1;4]$.
   Ainsi :
   $\begin{align*} I&=\int_1^4 f(x)\dx \\
   &=F(4)-F(1) \\
   &=-\dfrac{100}{3}+24\ln(4)-\left(-\dfrac{28}{3}\right)\\
   &=-24+24\ln(4)\\
   &\approx 9,271\end{align*}$
   $\quad$

Partie B

1. $f$ atteint son maximum pour $x=3$ et $f(3)\approx 4,592$.
   Le bénéfice maximal est environ égal à $4~592$ euros.
   $\quad$
2. D’après la question A.2.b. il faut fabriquer au moins $129$ prothèses pour obtenir un bénéfice positif.
   $\quad$
3. La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[1;4]$ est :
   $\begin{align*} m&=\dfrac{I}{4-1} \\
   &=\dfrac{-24+24\ln(4)}{3} \\
   &=-8+8\ln(4)\\
   &\approx 3,090\end{align*}$
   En produisant entre $100$ et $400$ prothèses le bénéfice moyen mensuel est environ égal à $3~090$ euros.
   $\quad$

 

 

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