Bac ES/L – Nouvelle Calédonie – Décembre 2020

Nouvelle Calédonie – Décembre 2020

Bac ES/L – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. Si $f'(x)<0$ sur un intervalle alors $f$ est décroissante sur cet intervalle.
    Si $f'(x)>0$ sur un intervalle alors $f$ est croissante sur cet intervalle.
    Réponse b
    $\quad$
  2. D’après le graphique, $f’$ semble décroissante sur l’intervalle $[-4;7]$.
    Donc $f\dsec(x)\pp 0$ sur l’intervalle $[-4;7]$.
    Réponse d
    $\quad$
  3. La fonction de densité associée à $U$ est définie sur l’intervalle $[-10;40]$ par $f(x)=\dfrac{1}{40-(-10)}=\dfrac{1}{50}$
    L’espérance de $U$ est $E(U)=\dfrac{40+(-10)}{2}=15$
    $p(-5\pp U\pp 20)=\dfrac{20-(-5)}{40-(-10)}=\dfrac{1}{2}$
    $p(-3\pp U\pp 22)=\dfrac{22-(-3)}{40-(-10)}=\dfrac{1}{2}$
    Réponse c
    $\quad$
  4. On a :
    $\begin{align*} p(Z<12)&=p(Z<15)-p(12<z<15)\\
    &=0,5-p(12<z<15)\\
    &\approx 0,067\end{align*}$
    Réponse c
    $\quad$
  5. D’après le graphique $\mu<\mu’$ et $\sigma>\sigma’$
    Réponse d
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. $\dfrac{66-45}{45}\approx 47\%$
    Le pourcentage d’évolution du chiffre d’affaires entre 2017 et 2018 est environ égale à $47\%$.
    $\quad$
  2. En 2020, on a $n=2$
    $c_1=1,28\times 66+250,6=335,08$
    $c_2=679,5024$
    Le chiffre d’affaires prévu pour le marché du jeu en ligne pour l’année 2020 est environ égal à $679,5$ millions de dollars.
    $\quad$
  3. a. Pour tout $n\in \N$ on a $v_n=c_n+895 \ssi c_n=v_n-895$.
    $\begin{align*} v_{n+1}&=c_{n+1}+895 \\
    &=1,28c_n+250,6+895\\
    &=1,28c_n+1~145,6\\
    &=1,28\left(v_n-895\right)+1~145,6\\
    &=1,28v_n+1~145,6-1~145,6\\
    &=1,28v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,28$ et de premier terme $v_0=66+895=961$.
    $\quad$
    b. Ainsi, pour tout $n\in \N$ on a $v_n=961\times 1,28^n$.
    $\quad$
    c. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a :
    $c_n=v_n-895=961\times 1,28^n-895$
    $\quad$
  4. a. On obtient le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Valeur de }i&&1&2&3&4\\
    \hline
    \text{Valeur de }c&66&335&680&1~120&1~685\\
    \hline
    \text{Valeur de }S&66&401&1~081&2~201&3~886\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. Après exécution de l’algorithme, si $n=4$ la variable $S$ vaut environ $3~886$.
    $\quad$
    c. Cela signifie donc qu’en 2022, chiffre d’affaires cumulé depuis 2018, sera d’environ $3~886$ millions de dollars.
    $\quad$

Ex 3 obl

Exercice 3

Candidats de ES n’ayant pas suivi la spécialité ou candidats de L

Partie A

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. $B\cap E$ est l’événement : « L’indice mesurant la qualité de l’air est bon et le groupe de cycliste s’entraîne».
    $\begin{align*} p(B\cap E)&=p(B)\times p_B(E)\\
    &=0,54\times 0,9\\
    &=0,486\end{align*}$
    $\quad$
  3. $B$, $C$ et $M$ forment une partition de l’unité.
    D’après la formule des probabilités totales on a
    $\begin{align*} P(E)&=P(B\cap E)+P(C\cap E)+P(M\cap E)\\
    &=0,486+0,41\times 0,5+0,05\times 0,2\\
    &=0,701\end{align*}$
    La probabilité que le groupe de cyclistes s’entraîne est égale à $0,701$.
    $\quad$
  4. On veut calculer
    $\begin{align*} P_E(B)&=\dfrac{P(B\cap E)}{P(E)} \\
    &=\dfrac{0,486}{0,701}\\
    &\approx 0,693\end{align*}$
    La probabilité que l’indice mesurant la qualité de l’air soit bon sachant que le groupe de cyclistes s’est entrainé est environ égale à $0,693$.
    $\quad$

Partie B

  1. On effectue $5$ tirages aléatoires, indépendants et identiques. À chaque tirage, il n’y a que deux issues $S$, le groupe s’équipe de masques, et $\conj{S}$. De plus, $P(S)=0,3$.
    Ainsi $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=5$ et $p=0,3$.
    $\quad$
  2. $P(X=2)=\dbinom{5}{2}\times 0,3^2\times 0,7^3 =0,308~7$
    La probabilité qu’exactement deux cyclistes parmi les cinq interrogés décident de s’équiper est égale à $0,308~7$.
    $\quad$
  3. $P(X\pg 1)=1-P(X=0)=1-0,7^5= 0,831~93$
    La probabilité qu’au moins un des cinq cyclistes interrogés décide de s’équiper est égale à $0,831~93$.
    $\quad$

Ex 3 spé

Exercice 3

  1. $D-E-F-S-J-I-G-E-H$ est une chaîne de ce graphe. Il est donc connexe.
    $\quad$
  2. a.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Sommet}&D&E&F&G&H&I&J&S\\
    \hline
    \text{Degré}&2&4&5&3&4&4&4&2\\
    \hline
    \end{array}$
    Exactement deux sommets sont de degré impair et le graphe est connexe.
    Il existe donc une chaîne eulérienne.
    Il existe donc un trajet permettant de parcourir toutes les routes une fois et une seule.
    $\quad$
    b. Il y a par exemple le parcourt :
    $F-S-J-F-E-D-H-J-I-H-E-G-I-F-G$
  3. a. On a
    $M=\begin{pmatrix}0&1&0&0&1&0&0&0\\
    1&0&1&1&1&0&0&0\\
    0&1&0&1&0&1&1&1\\
    0&1&1&0&0&1&0&0\\
    1&1&0&0&0&1&1&0\\
    0&0&1&1&1&0&1&0\\
    0&0&1&0&1&1&0&1\\
    0&0&1&0&0&0&1&0\end{pmatrix}$
    $\quad$
    b. Le coefficient situé à la première ligne et troisième colonne de $M^3$ est $4$.
    Il existe donc $4$ chemins de longueur $3$ permettant de relier $D$ et $F$.
    Ce sont : $D-E-G-F$, $D-H-I-F$, $D-H-J-F$ et $D-H-E-F$.
    $\quad$
  4. En utilisant l’algorithme de Dijkstra on obtient :
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    D&E&F&G&H&I&J&S&\text{Sommet}\\
    \hline
    0&&&&&&&&D\\
    \hline
    &75(D)&&&10(D)&&&&H\\
    \hline
    &75(D)&&&&96(H)&134(H)&&E\\
    \hline
    &&185(E)&168(E)&&96(H)&134(H)&&I\\
    \hline
    &&185(E)&101(I)&&&134(H)&&G\\
    \hline
    &&181(G)&&&&134(H)&&J\\
    \hline
    &&181(G)&&&&&251(J)&F\\
    \hline
    \phantom{181(G)}&&&&&&&240(F)&S\\
    \hline
    \end{array}$
    Le trajet ayant une durée minimale est donc $D-H-I-G-F-S$ d’une durée égale à $240$ minutes.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie A : Étude graphique

  1. a. Graphiquement $f(1)=3$ et $f'(2)=0$.
    $\quad$
    b. On obtient le graphique suivant :

    $\quad$
  2. Graphiquement l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution qui vaut environ $6,1$.
    $\quad$
  3. a. $f$ est continue (car dérivable) sur l’intervalle $[1;2]$.
    Ainsi $\mathscr{A}= \int_1^2 f(x)\dx$.
    $\quad$
    b. D’après le graphique $3\pp \mathscr{A}\pp 4$.
    $\quad$

Partie B : Étude algébrique

  1. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[0,5;9]$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout  réel $x\in [0,5;9]$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{4}{x}-2 \\
    &=\dfrac{4-2x}{2}\\
    &=\dfrac{2(2-x)}{2}\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. Sur l’intervalle $[0,5;9]$ on a $x>0$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $2-x$.
    Or $2-x=0 \ssi x=2$ et $2-x>0 \ssi x<2$
    Ainsi :
    $\bullet~f'(x)<0$ sur $]2;9]$;
    $\bullet~f'(2)=0$;
    $\bullet~f'(x)>0$ sur $[0,5;2[$.
    $\quad$
    b. On obtient ainsi le tableau de variations suivant :
    $f(0,5)=-4\ln(2)+4\approx 1,2$ , $f(2)=4\ln(2)+1\approx 3,8$ et $f(9)=4\ln(9)-13\approx -4,2$
    $\quad$
  3. a. D’après le tableau de variations, sur l’intervalle $[0,5;2]$ on a $f(x)\pg f(0,5)>0$.
    L’équation $f(x)=0$ ne possède donc pas de solution sur cet intervalle.
    $\quad$
    La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur l’intervalle $[2;9]$
    De plus $f(2)>0$ et $f(9)<0$
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $f(x)=0$ possède une unique solution sur l’intervalle $[2;9]$.
    Par conséquent, l’équation $f(x)=0$ possède une unique solution sur l’intervalle $[0,5;9]$.
    $\quad$
    b. D’après la calculatrice $6,12< \alpha < 6,13$.
    $\quad$
  4. a. La fonction $F$ est dérivable sur $[0,5;9]$ en tant que produit et somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout $x\in [0,5;9]$ on a :
    $\begin{align*} F'(x)&=-2x+4\ln(x)+4x\times \dfrac{1}{x}+1 \\
    &=-2x+4\ln(x)+5\\
    &=f(x)\end{align*}$
    Ainsi $F$ est bien une primitive de $f$ sur l’intervalle $[0,5;9]$.
    $\quad$
    b. Par conséquent :
    $\begin{align*} \mathscr{A}&=\int_1^2 f(x)\dx \\
    &=F(2)-F(1) \\
    &=-2+8\ln(2)-0\\
    &=8\ln(2)-2\\
    &\approx 3,55 \text{u.a.}\end{align*}$
    $\quad$

Énoncé obl

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Énoncé spé

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