Bac ES/L – Polynésie – Septembre 2020

Polynésie – Septembre 2020

Bac ES/L- Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Affirmation 1 fausse
$g'(1)$ est le coefficient directeur de la droite $(d)$.
Cette droite n’est pas parallèle à l’axe des abscisses. Donc $g'(1) \neq 0$.
$\quad$

Affirmation 2 fausse
D’après le graphique $g(x)<0$ sur $[0;1[$ donc toute primitive de $g$ sur $[0;3]$ sera décroissante sur l’intervalle $[0;1]$.
$\quad$

Affirmation 3 vraie
D’après le graphique, la tangente au point $B$ coupe la courbe $C$ en $B$.
Ainsi $B$ est un point d’inflexion de la courbe représentative de la fonction $g$.
$\quad$

Affirmation 4 fausse
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=\e^{3x}+x\times 3\e^{3x} \\
&=(1+3x)\e^{3x}\end{align*}$

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. On veut calculer :
    $\begin{align*} p(S\cap A)&=p(S)\times p_S(A) \\
    &=0,41\times 0,12 \\
    &=0,049~2\end{align*}$
    La probabilité que la personne choisie soit en surpoids et souffre d’apnée du sommeil est $0,049~2$.
    $\quad$
  3. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(A)&=p(S\cap A)+p\left(\conj{S}\cap A\right) \\
    &=0,049~2+0,59\times 0,04\\
    &=0,072~8\end{align*}$
    La probabilité que la personne choisie souffre d’apnée du sommeil est égale à $0,072~8$.
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_A(S)&=\dfrac{p(A\cap S)}{p(A)} \\
    &=\dfrac{0,049~2}{0,072~8} \\
    &\approx 0,675~8\end{align*}$
    La probabilité qu’une personne soit en surpoids sachant qu’elle souffre du syndrome d’apnée du sommeil est environ égale à $0,675~8$.
    $\quad$

Partie B

  1. D’après la calculatrice on a $p(14\pp D\pp 30)\approx 0,95$.
    Remarque : on pouvait également voir qu’il s’agissait de calculer $p(\mu-2\sigma \pp D\pp \mu+2\sigma)$.
    La probabilité qu’une apnée du sommeil dure entre $14$ et $30$ secondes est environ égale à $0,95$.
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} p(D\pg 30)&=p(D\pg 22)-p(22\pp D\pp 30) \\
    &=0,5-p(22 \pp D\pp 30) \\
    &\approx 0,02\end{align*}$
    La probabilité qu’une apnée de ce patient dure plus de $30$ secondes est environ égale à $0,02$.
    $\quad$

Partie C

On a $n=348$ et $p=0,91$
Ainsi $n\pg 30$, $np=316,68 \pg 5$ et $n(1-p)=31,32\pg 5$.

Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de la fréquence des patients ayant ressenti une amélioration est :
$\begin{align*} I_{348}&=\left[0,91-1,96\sqrt{\dfrac{0,91\times 0,09}{348}};0,91+1,96\sqrt{\dfrac{0,91\times 0,09}{348}}\right] \\
&\approx [0,879;0,941]\end{align*}$

La fréquence observée est $f=\dfrac{290}{348}\approx 0,833$
Donc $f\in I_{348}$.

On ne peut donc pas remettre en cause l’affirmation.
$\quad$

 

Ex 3 (obl)

Exercice 3

candidats de ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de L

  1. $\dfrac{80}{100}\times 450~000+180~000=540~000$
    Ainsi, selon ce modèle, il y aura $540~000$ abonnés au 31 décembre 2018.
    $\quad$
  2. Chaque année $80\%$ des abonnés renouvellent leur abonnement soit $\dfrac{80}{100}\times u_n=0,8u_n$.
    Chaque année, il y a $180$ milliers de nouveaux abonnés.
    Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=0,8u_n+180$.
    $\quad$
  3. a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-900 \\
    &=0,8u_n+180-900\\
    &=0,8u_n-720 \\
    &=0,8\left(v_n+900\right)-720\\
    &=0,8v_n+720-720\\
    &=0,8v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,8$ et de premier terme $v_0=u_0-900=-450$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $v_n=-450\times 0,8^n$.
    $\quad$
    c. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} u_n&=v_n+900 \\
    &=-450\times 0,8^n+900\end{align*}$
    $\quad$
  4. Pour tout entier naturel $n$ on a $-450\times 0,8^n <0$
    Donc $u_n <900$.
    Le nombre d’abonnés ne dépassera donc jamais $900~000$.
    L’affirmation est fausse.
    $\quad$
  5. On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
    $\begin{align*} u_n\pg 800&\ssi -450\times 0,8^n+900 \pg 800 \\
    &\ssi -450\times 0,8^n \pg -100 \\
    &\ssi 0,8^n \pp \dfrac{2}{9} \\
    &\ssi n\ln(0,8) \pp \ln\left(\dfrac{2}{9}\right)\\
    &\ssi n\pg \dfrac{\ln\left(\dfrac{2}{9}\right)}{\ln(0,8)} \end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln\left(\dfrac{2}{9}\right)}{\ln(0,8)} \approx 6,74$.
    Donc $n\pg 7$.
    C’est par conséquent à partir de l’année 2024 que le nombre d’abonnés dépassera $800~000$ pour la première fois.
    $\quad$
  6. a. Voici les valeurs prises par les variables $I$, $U$ et $S$ :
    $\begin{array}{|c|c|c|}
    \hline
    I& U& S\\
    \hline
    &450& 450\\
    \hline
    1& 540& 990\\
    \hline
    2& 612& 1~602\\
    \hline
    3& 669,6& 2~271,6\\
    \hline
    \end{array}$
    Ainsi $S$ contiendra la valeur $2~271,6$.
    $\quad$
    b. Cela signifie qu’entre 2017 et 2020 la direction aura versé $2~271~600$ euros à l’association.
    $\quad$

Ex 3 (spé)

Exercice 3

candidats de ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

  1. On obtient le graphe probabiliste suivant :

    $\quad$
  2. a. On obtient la matrice de transition $M=\begin{pmatrix} 0,89 &0,11\\0,09&0,91\end{pmatrix}$.
    $\quad$
    b. On a donc $P_2=M^2P_0=\begin{pmatrix}0,565~2&0,434~8\end{pmatrix}$.
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n$ on a $w_n+y_n=1 \ssi y_n=1-w_n$ et:
    $\begin{align*}
    w_{n+1}&=0,89w_n+0,09y_n \\
    &=0,89w_n+0,09\left(1-w_n\right) \\
    &=0,89w_n +0,09-0,09w_n\\
    &=0,8w_n+0,09\end{align*}$
    $\quad$
  4. a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} a_{n+1}&=w_{n+1}-0,45 \\
    &=0,8w_n+0,09-0,45 \\
    &=0,8w_n-0,36\\
    &=0,8\left(a_n+0,45\right)-0,36 \\
    &=0,8a_n+0,36-0,36\\
    &=0,8a_n\end{align*}$
    La suite $\left(a_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,8$ et de premier terme $a_0=w_0-0,45=0,18$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $a_n=0,18\times 0,8^n$.
    $\quad$
    c. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} w_n&=a_n+0,45 \\
    &=0,18\times 0,8^n+0,45\end{align*}$
    $\quad$
  5. $0<0,8<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,8^n=0$ par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty}w_n=0,45$.
    Sur le long terme la société Weblic ne restera pas le leader du marché.
    $\quad$

Partie B

  1. On utilise l’algorithme de Dijkstra.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    A& B& C& D& E& F& G& H&\text{Sommet}\\
    \hline
    0& & & & & & & & A\\
    \hline
    & 31(A)& 26(A)& 43(A)& & & & & C\\
    \hline
    & 31(A)& & 43(A)& & 55(C)& & & B\\
    \hline
    & & & 43(A)& 52(B)& 55(C)& & & D\\
    \hline
    & & & & 52(B)& 55(C)& & & E\\
    \hline
    & & & & & 55(C)& 68(E)& 81(E)& F\\
    \hline
    & & & & & & 68(E)& 81(E)& G\\
    \hline
    & & & & & & & 79(G)& H\\
    \hline
    \end{array}$
    Les données doivent donc suivre le chemin $A-B-E-G-H$.
    $\quad$
  2. Les données mettront alors $79$ millisecondes pour aller du serveur A au serveur H.
    $\quad$

 

 

Ex 4

Exercice 4

Partie A

  1. a. $f'(38)$ est le coefficient directeur de la droite $\mathscr{T}$.
    Les points de coordonnées $(38;4)$ et $(62;3)$ semblent appartenir à la cette droite.
    Ainsi $f'(38)\approx  \dfrac{4-3}{38-62}$ soit $f'(38)\approx -\dfrac{1}{24}$.
    $\quad$
    b. Chaque grand carré représente $10$ u.a.
    L’intégrale $\ds \int_{30}^{120} f(x)\dx$ représente l’aire du domaine compris entre les droites d’équation $x=30$ et $x=120$, l’axe des abscisses et la courbe $\mathscr{C}$.
    Ainsi, la proposition exacte est $\ds 130 \pp \int_{30}^{120} f(x)\dx \pp 190$.
    $\quad$
  2. a. Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;120]$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{4,3\times \left(-0,1\e^{0,1x-6}\right)}{\left(1+\e^{0,1x-6}\right)^2} \\
    &=\dfrac{-0,43\e^{0,1x-6}}{\left(1+\e^{0,1x-6}\right)^2} \end{align*}$
    $\quad$
    b. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$ et un carré est toujours positif.
    Par conséquent, pour tout $x\in [0;120]$ on a $f'(x)<0$.
    La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur $[0;120]$.
    $\quad$
  3. a. La fonction est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur $[0;120]$.
    De plus $f(0)\approx 4,4>1$ et $f(120)\approx 0,1<1$
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $f(x)=1$ possède une unique solution sur $[0;120]$.
    $\quad$
    b. D’après la calculatrice on a $73 <\alpha < 74$.
    $\quad$

Partie B

  1. a. Une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;120]$ est la fonction $F$ définie par $F(x)=0,1x+G(x)$.
    Par conséquent $F(x)=0,1x-43\ln\left(1+\e^{-0,1x+6}\right)$.
    $\quad$
    b. On a :
    $\begin{align*} \int_{30}^{120} f(x)\dx &=F(120)-F(30) \\
    &=12-43\ln\left(1+\e^{-6}\right)-\left(3-43\ln\left(1+\e^{3}\right)\right) \\
    &=9-43\ln\left(\dfrac{1+\e^{-6}}{1+\e^{3}}\right)\end{align*}$
    $\quad$
  2. On a $\dfrac{I}{120-30} \approx 1,56$
    Ainsi le taux de natalité moyen entre 1780 et 1870 est environ égale à $1,56\%$.
    $\quad$

 

Énoncé obl

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Énoncé spé

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