Bac ES/L – Amérique du Sud – Novembre 2015

Amérique du Sud – Novembre 2015

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Exercice 1

Partie A

  1. $\quad$
    Bac ESL-amérique du sud-novembre2015-ex1
  2. On veut calculer $p(C)$.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(C) &=p(R\cap C)+p(O\cap C)+p(V \cap C)\\\\
    &=0,35\times 0,1+0,05\times 0,86+0,6\times 1 \\\\
    &=0,678
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. On veut calculer $p_C(V)=\dfrac{p(C\cap V)}{p(C)}=\dfrac{0,6}{0,678} \approx 0,885$
    $\quad$

Partie B

  1. $P(2~800 \le X \le 3~200)\approx 0,818$.
    $\quad$
  2. On veut calculer $P(X\ge 3~100) = 0,5-P(3~000 \le X \le 3~100) \approx 0,252$
    $\quad$
  3. Dans les deux cas, la probabilité qu’il passe en une heure entre $2~800$ et $3~200$ correspond à l’aire du domaine compris entre la courbe, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=2~800$ et $x=3~200$.
    Le domaine associé à la variable aléatoire $X$ contient celui associé à la variable aléatoire $Y$.
    Par conséquent c’est à proximité du feu que la probabilité qu’il passe en une heure entre $2~800$ et $3~200$ est la plus grande.
    $\quad$

Exercice 2

Partie A

  1. a. La fonction $f$ est dérivable sur $[1;7]$ en tant que fonction polynôme.
    $f'(x)=1,5\times 3x^2-9\times 2x+24 = 4,5x^2-18x+24$.
    $\quad$
    b. La fonction $f’$ est dérivable sur $[1;7]$ en tant que fonction polynôme.
    $f'(x)=4,5\times 2x-18=9x-18$.
    $\quad$
  2. $f”(x) \ge 0 \ssi 9x-18\ge 0 \ssi 9x \ge 18\ssi x \ge 2$
    Par conséquent la fonction $f$ est convexe sur $[2;7]$.
    $\quad$

Partie B

  1. D’après l’énoncé la fonction $c$ est dérivable.
    $\begin{align*} c'(x)&=2\times 1,5x-9-\dfrac{48}{x^2} \\\\
    &=3x-9-\dfrac{48}{x^2}\\\\
    &=\dfrac{3x^3-9x^2-48}{x^2}
    \end{align*}$
    Or
    $\begin{align*} 3(x-4)(x^2+x+4)&=(3x-12)\left(x^2+x+4\right) \\\\
    &=3x^3+3x^2+12x-12x^2-12x-48\\\\
    &=3x^3-9x^2-48 \\\\
    &=c'(x)
    \end{align*}$
    on a donc bien $c'(x)=\dfrac{3(x-4)\left(x^2+x+4\right)}{x^2}$.
    $\quad$
  2. a. Étudions le signe de $x^2+x+4$.
    $\Delta = 1^2-4\times 4 = -15<0$
    Le coefficient principal est $a=1>0$.
    Par conséquent, pour tout réel $x$, on a $x^2+x+4>0$
    $\quad$
    Le signe de $c'(x)$ ne dépend donc que de celui de $x-4$.
    or $x-4>0 \ssi x>4$.
    Ainsi la fonction $c$ est décroissante sur $[1;4]$ et croissante sur $[4;7]$.
    $\quad$
    b. La fonction $c$ admet donc un minimum en $4$.
    Il faut donc que l’entreprise fabrique $4~000$ articles par semaine pour que le coût moyen par article soit minimal.
    $\quad$
  3. a. La fonction $\Gamma$ est dérivable sur $[1;7]$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalles.
    $\begin{align*} \Gamma'(x)&=0,5\times 3x^2-4,5\times 2x+24+\dfrac{48}{x}\\\\
    &=1,5x^2-9x+24+\dfrac{48}{x}\\\\
    &=c(x)
    \end{align*}$.
    La fonction $\Gamma$ est donc une primitive de la fonction $c$ sur $[1;7]$.
    $\quad$
    b. La valeur moyenne de $c$ sur $[1;7]$ est :
    $\begin{align*} \mu &=\dfrac{1}{7-1}\int_1^7 c(x)\mathrm{d}x\phantom{\dfrac{1}{2}} \\\\
    &=\dfrac{1}{6}\left[\Gamma(7)-\Gamma(1)\right] \\\\
    &=\dfrac{1}{6}\left(120+48\ln 7-21\right) \\\\
    &=\dfrac{1}{6} \left(99+48\ln 7\right)\\\\
    &\approx 32,07
    \end{align*}$
    $\quad$

Exercice 3

Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité, de la série L

  1. $a_2=0,5a_1+0,4=0,5\times 0,1+0,4=0,45$
    $\quad$
  2. a. Soit $n$ un entier naturel non nul.
    $\begin{align*} v_{n+1}&=a_{n+1}-0,8 \\\\
    &=0,5a_n+0,4-0,8 \\\\
    &=0,5a_n-0,4 \\\\
    &=0,5\left(v_n+0,8\right)-0,4\\\\
    &=0,5v_n+0,4-0,4\\\\
    &=0,5v_n
    \end{align*}$
    Ainsi la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $0,5$ et de premier terme $v_1=0,1-0,8=-0,7$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ strictement positif, on a donc $v_n=-0,7\times 0,5^{n-1}$.
    Or $a_n=v_n+0,8=0,8-0,7\times 0,5^{n-1}$.
    $\quad$
    c. $0<0,5<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,5^{n-1}=0$. Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n=0$.
    $\quad$
    d. Ainsi $\lim\limits_{n \to +\infty} a_n=0,8$.
    La probabilité que Claudine demande un avis au bout d’un grand nombre de semaine est de $0,8$.
    $\quad$
  3. a.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Valeur de } N&1&2&3&4\\
    \hline
    \text{Valeur de } A&0,1&0,45&0,625&0,7125\\
    \hline
    \text{Condition } A \ge L & \text{vraie}& \text{vraie}& \text{vraie}& \text{faux} \\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. L’algorithme affichera donc $4$.
    $\quad$
    c. Le nombre $N$ affiché correspond au nombre de semaines nécessaires pour que la probabilité que Claudine demande un avis soit supérieur à $L$.
    $\quad$
  4. On veut déterminer la plus petite valeur de $n$ telle que :
    $\begin{align*} a_n > 0,799 &\ssi 0,8-0,7\times 0,5^{n-1} > 0,799 \\\\
    &\ssi -0,7\times 0,5^{n-1} > -0,001 \\\\
    &\ssi 0,5^{n-1} < \dfrac{1}{700} \\\\
    &\ssi (n-1)\ln 0,5 < \ln \dfrac{1}{700} \\\\
    &\ssi (n-1)\ln 0,5 < -\ln 700\\\\
    &\ssi n-1 > \dfrac{-\ln 700}{\ln 0,5} \\\\
    &\ssi n > 1 +\dfrac{-\ln 700}{\ln 0,5} \\\\
    &\ssi n \ge 11
    \end{align*}$
    C’est donc au bout de $11$ semaines que la probabilité que Claudine demande un avis soit supérieur à $0,799$.
    $\quad$

Exercice 3

Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

  1. a.
    Bac ESL-amérique du sud-novembre2015-ex3spé
    b. La matrice de transition est donc $M=\begin{pmatrix}0,9&0,1 \\0,4&0,6\end{pmatrix}$
    $\quad$
  2. $P_2=P_1\times M = \begin{pmatrix}0,1&0,9\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0,9&0,1 \\0,4&0,6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,45&0,55\end{pmatrix}$.
    $\quad$
  3. a. L’état stable $\begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}$ vérifie :
    $\begin{align*} \begin{cases} x+y=1 \\0,9x+0,4y=x\\0,1x+0,6y=y \end{cases} &\ssi \begin{cases} x+y=1 \\0,4y=0,1x\\0,1x=0,4y \end{cases} \\\\
    &\ssi \begin{cases}x+y=1\\x=4y\end{cases} \\\\
    &\ssi \begin{cases} x=4y \\4y+y=1 \end{cases} \\\\
    &\ssi \begin{cases} x=4y\\y=0,2 \end{cases} \\\\
    &\ssi \begin{cases} x=0,8\\y=0,2\end{cases}
    \end{align*}$
    L’état stable est donc $\begin{cases}0,8&0,2\end{cases}$.
    $\quad$
    b. Cela signifie donc qu’au bout d’un grand nombre de semaines la probabilité que Claudine demande un avis est de $0,8$.
    $\quad$
  4. Cet algorithme permet d’obtenir le nombre de semaines nécessaires pour que la probabilité que Claudine demande un avis soit supérieur à $0,79$.
    $\quad$
  5. On veut déterminer la plus petite valeur de $n$ telle que :
    $\begin{align*} a_n > 0,799 &\ssi 0,8-0,7\times 0,5^{n-1} > 0,799 \\\\
    &\ssi -0,7\times 0,5^{n-1} > -0,001 \\\\
    &\ssi 0,5^{n-1} < \dfrac{1}{700} \\\\
    &\ssi (n-1)\ln 0,5 < \ln \dfrac{1}{700} \\\\
    &\ssi (n-1)\ln 0,5 < -\ln 700\\\\
    &\ssi n-1 > \dfrac{-\ln 700}{\ln 0,5} \\\\
    &\ssi n > 1 +\dfrac{-\ln 700}{\ln 0,5} \\\\
    &\ssi n \ge 11
    \end{align*}$
    C’est donc au bout de $11$ semaines que la probabilité que Claudine demande un avis soit supérieur à $0,799$.
    $\quad$

Exercice 4

  1. $32\%$ des enfants habitent le village de Boisjoli. Donc $68\%$ des enfants sont issus des villages voisins.
    $0,68 \times 400 = 272$. Réponse B
    $\quad$
  2. $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=8$ et $p=0,32$. Réponse B
    $\quad$
  3. $P(X>=1) = 1-P(X=0) = 1-0,68^8\approx 0,954$. Réponse C
    $\quad$
  4. $E(X)=np=2,56$ Réponse B
    $\quad$