Bac ES/L – Antilles Guyane – Juin 2015

Antilles Guyane – Juin 2015

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Exercice 1

  1. La fonction $f$ est deux dérivable sur $\R$ en tant que fonction polynomiale.
    Pour tout réel $x$ on a:
    $f'(x) = 3x^2 + 6 \times 2x = 3x^2 + 12x$
    $f \prime \prime (x) = 3\times 2x + 12 = 6x + 12$
    Donc $f\prime \prime (x) \ge 0 \ssi 6x \ge -12 \ssi x \ge -2$
    La fonction $f$ est donc convexe sur $[-2;+\infty[$.
    Réponse b
    $\quad$
  2. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. Par conséquent $g(x) = 0 \ssi (x-2) = 0$.
    Il n’y a donc qu’une seule solution : $2$.
    Réponse b
    $\quad$
  3. $\quad$
    $\displaystyle \begin{align*} I&= \int_0^1 -2x\e^{-x^2}\mathrm{d}x \\\\
    &= \left[\e^{-x^2}\right]_0^1 \\\\
    &= \e^{-1} – 1
    \end{align*}$
    Réponse b
    $\quad$
  4. $h$ est dérivable en tant que produit de fonctions dérivables sur $]0;+\infty[$.
    $h'(x) = 2\ln x + \dfrac{2x+4}{x}$
    Réponse d
    $\quad$
  5. A chaque augmentation le prix a été multiplié par $1,05$.
    Cela s’est répété pendant $3$ mois. Le prix a donc été multiplié par $1,05^3$.
    Réponse a
    $\quad$

Exercice 2

Candidats ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats L

  1. $\quad$
    BAC ESL - Antilles Guyane - juin 2015 - ex2
    $\quad$
  2. On veut calculer $P(S \cap T) = 0,7 \times 0,8 = 0,56$
    $\quad$
  3. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(T) &= P(S \cap T) + P\left(\overline{S} \cap T\right) \\\\
    &= 0,56 + 0,3 \times 0,1 \\\\
    &= 0,59
    \end{align*}$
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_{\overline{T}}(S) & =\dfrac{P\left(\overline{T} \cap S\right)}{P(T)} \\\\
    &= \dfrac{0,7 \times 0,2}{0,59} \\\\
    & \approx 0,24
    \end{align*}$
    L’affirmation est donc fausse.
    $\quad$
  5. a. La variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale $\mathscr{B}(4;0,59)$.
    $\quad$
    b. $P(X = 0) = \binom{4}{0} \times 0,59^0 \times 0,41^4 \approx 0,03$
    $\quad$
    c.
    $\begin{align*} P(X \ge 2) & = 1 – \left(P(X = 0) + P(X = 1)\right) \\\\
    &\approx 1 – 0,19 \\\\
    &\approx 0,81
    \end{align*}$
    $\quad$

Exercice 2

Candidats ES ayant pas suivi l’enseignement de spécialité 

  1. $\quad$
    BAC ESL - Antilles Guyane - juin 2015 - ex2-1
    $\quad$
  2. La matrice de transition est $M=\begin{pmatrix} 0,6 & 0,4 \\0,3&0,4\end{pmatrix}$
    $\quad$
  3. a.
    $\begin{align*} P_2&=P_0 \times M^2 \\\\
    &= \begin{pmatrix} 0,48 \times 0,5 + 0,39 \times 0,39 & 0,52 \times 0,5 + 0,61 \times 0,5 \end{pmatrix} \\\\
    &= \begin{pmatrix} 0,435 & 0,565 \end{pmatrix}
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. On a $P_4 = P_0 \times M^4 \approx \begin{pmatrix} 0,43&0,57 \end{pmatrix}$.
    $\quad$
    Cela signifie donc qu’au bout de $4$ jours $43\%$ des vélos sont sur le site $A$ et $57\%$ sont sur le site $B$.
    $\quad$
    c. L’état stable $\begin{pmatrix} a&b \end{pmatrix}$ vérifie :
    $\begin{align*} \begin{cases} a+b=1 \\\\a=0,48a + 0,39b \\\\b=0,52a+061b \end{cases} & \ssi \begin{cases} a=1 -b \\\\0,52a= 0,39b \\\\0,39b=0,52a \end{cases} \\\\
    & \ssi \begin{cases} a=1-b \\\\0,52(1 – b)= 0,39b  \end{cases} \\\\
    & \ssi \begin{cases} a=1-b \\\\0,52 = 0,91b  \end{cases} \\\\
    & \ssi \begin{cases} b = \dfrac{4}{7} \\\\a = \dfrac{3}{7} \end{cases}
    \end{align*}$
    $\quad$
    d. $\dfrac{4}{7} \times 140 = 80$.
    Au maximum $80$ vélos sont sur le site $B$. Cela signifie donc qu’au maximum $10$ vélos sont à redistribuer sur le site $A$.
    Le véhicule est donc adapté à la situation.
    $\quad$

Exercice 3

  1. a. Cet algorithme affiche, chaque année de 2011 à 2018, le nombre de clients de l’opérateur .
    $\quad$
    b.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    k&0&1&2&3&4&5 \\\\
    \hline
    \text{NbClients}&1~000~000&960~000&924~000&891~600&862~440&836~196 \\\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
  2. a.
    $\begin{align*} V_{n+1} & = U_{n+1} – 600 \\\\
    & = 0,9U_n + 60 – 600 \\\\
    &= 0,9U_n – 540 \\\\
    & = 0,9\left(U_n – 600\right) \\\\
    &= 0,9 V_n
    \end{align*}$
    La suite $\left(V_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,9$ et de premier terme $V_0 = 400$.
    $\quad$
    b. On a ainsi $V_n = 400 \times 0,9^n$.
    $\quad$
    c. $U_n = V_n + 600 = 400 \times 0,9^n+600$.
    $\quad$
    d.
    $\begin{align*} U_{n+1} – U_n & = 400 \times 0,9^{n+1} + 600 – 400 \times 0,9^n – 600 \\\\
    & = 400 \times 0,9^{n+1} – 400 \times 0,9^n \\\\
    &= 400 \times 0,9^n (0,9 – 1) \\\\
    & = -40 \times 0,9^n
    \end{align*}$
    Cela signifie donc que la suite $\left(U_n\right)$ est décroissante et que, par conséquent, l’opérateur de téléphonie perd des clients chaque année.
    $\quad$
  3. En 2014, l’opérateur a $860~000$ clients.
    Ainsi, à partir de 2014, le nombre de clients est modélisé par la suite :
    $$\begin{cases} W_0 = 860~000 \\\\
    W_{n+1} = 0,92W_n + 100~000
    \end{cases}$$
    On constate alors que $W_5 = 992~958$ et $W_6 = 1~013~522$
    C’est donc au bout de $6$ ans que l’opérateur retrouvera au moins un million de clients.
    $\quad$

Exercice 4

Partie A

  1. $P(X \le 496) = 0,5 – P(496 \le X \le 500) \approx 0,02$
    $\quad$
  2. $P(497 \le X \le 500) \approx 0,43$
    $\quad$
  3. La variable aléatoire $Y = \dfrac{X – 500}{2}$ suit la loi normale centrée réduite.
    On veut trouver la valeur de $\alpha$ afin que :
    $\begin{align*} P(500 – \alpha \le X \le 500 + \alpha) = 0,95 & \ssi P(-\alpha \le X – 500 \le \alpha) = 0,95 \\\\
    & \ssi P\left(-\dfrac{\alpha}{2} \le \dfrac{X – 500}{2} \le \dfrac{\alpha}{2}\right) = 0,95  \\\\
    & \ssi 2\Phi \left(Z \le \dfrac{\alpha}{2} \right) -1 = 0,95 \\\\
    & \ssi 2\Phi \left(Z \le \dfrac{\alpha}{2} \right) = 1,95 \\\\
    & \ssi \Phi \left(Z \le \dfrac{\alpha}{2} \right) = 0,975 \\\\
    & \ssi \dfrac{\alpha}{2} \approx 1,96 \\\\
    & \ssi \alpha \approx 3,92
    \end{align*}$
    $\quad$

Partie B

On a $n=200$ et $p=0,97$
Par conséquent $n \ge 30$, $np = 194 \ge 5$ et $n(1-p) = 6 \ge 5$
Les conditions sont vérifiées pour déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de confiance de $95\%$.
$\begin{align*} I_{200} &= \left[0,97 – 1,96 \times \sqrt{\dfrac{0,97 \times 0,03}{200}}; 0,97 + 1,96 \times \sqrt{\dfrac{0,97 \times 0,03}{200}}\right] \\\\
& \approx [0,946;0,994]
\end{align*}$

La fréquence observée des bouteilles conformes est $f = \dfrac{185}{200} = 0,925 \notin I_{200}$.

Ainsi, au risque de $5\%$, le test effectué remet en cause l’affirmation de l’entreprise.