Exercice 1

1. D’après le tableau de variation (et en utilisant la conséquence du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=0$ possède exactement une solution sur l’intervalle $[-1;1]$, une solution sur l’intervalle $[1;2]$ et aucune solution sur l’intervalle $[2;3]$.
   Réponse b
   $\quad$
2. $\ln(2x)=2\ssi 2x=\e^2 \ssi x=\dfrac{\e^2}{2}$
   Réponse b
   $\quad$
3. $\quad$
   $\begin{align*} S_10&=u_0\times \dfrac{1-q^{11}}{1-q} \\
   &=400\times \dfrac{1-0,5^{11}}{1-0,5} \\
   &=400\times \dfrac{1-0,5^{11}}{0,5} \\
   &=800 \times \left(1-0,5^{11}\right)
   \end{align*}$
   Réponse d
   $\quad$
4. Cet algorithme permet de déterminer le plus entier entier naturel $n$ tel que $u_n \pg 120$ où $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de premier terme $u_0=50$ et de raison $q=1,2$.
   On a donc $u_n=50\times 1,2^n$ pour tout entier naturel $n$.
   On peut, au choix :
   – essayer toutes les valeurs entières proposées;
   – faire calculer les $100$ premières valeurs de cette suite par la calculatrice;
   – résoudre l’équation $u_n \pg 120$ (c’est ce choix qui va être fait ici).
   $\begin{align*} u_n \pg 120 &\ssi 50 \times 1,2^n \pg 120 \\
   &\ssi 1,2^n \pg 2,4 \\
   &\ssi n\ln 1,2 \pg \ln 2,4 \\
   &\ssi n \pg \dfrac{\ln 2,4}{\ln 1,2} \\
   & \ssi n \pg 5
   \end{align*}$
   Réponse c
   $\quad$
5. $f(1)=2+3 \ln(1)=2$.
   $f'(x)=\dfrac{3}{x}$ donc $f'(1)=3$.
   Une équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d’abscisse $1$ est du type : $y=f'(1)(x-1)+f(1)$.
   Donc ici $y=3(x-1)+2$ soit $y=3x-1$.
   Réponse b
   $\quad$

Exercice 2

Candidats ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats L.

Partie A

1. $\quad$
   
2. On veut calculer $P(B \cap A) = 0,3 \times 0,4 = 0,12$.
   $\quad$
3. D’après la formule des probabilités totales on a :
   $\begin{align*} P(A)&=P(B\cap A)+P(L \cap A)+P(U\cap A) \\
   &=0,12 +0,09 + 0,21 \\
   &=0,42
   \end{align*}$
   $\quad$
4. $\quad$
   $\begin{align*} P_L(A)&=\dfrac{P(L\cap A)}{p(A)} \\
   &=\dfrac{0,09}{0,42} \\
   &=\dfrac{3}{14}
   \end{align*}$
   $\quad$

Partie B

1. $\quad$
   $\begin{align*} P(T\pg 12) &= P(12 \pp L \pp 20) \\
   &=\dfrac{20-12}{20-1} \\
   &=\dfrac{8}{19}
   \end{align*}$
   $\quad$
2. Le temps d’attente moyen est donné par $E(T)=\dfrac{20+1}{2}=10,5$ minutes.
   $\quad$

Partie C

On veut calculer $P(X \pg 250) = 0,5-P(220 \pp X \pp 250) \approx 0,16$.

Exercice 2

Candidats ES ayant suivi l’enseignement de spécialité.

Partie A

1. a. Le graphe est connexe.
   Regardons le degré des sommets :
   $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
   \text{Sommet}&B&C&D&E&F&G&H \\
   \hline
   \text{Degré}&2&4&3&2&4&4&3 \\
   \hline
   \end{array}$$
   Tous les sommets de ce graphe ne sont pas de degré pair.
   Il ne possède donc pas de cycle eulérien. Il est impossible d’emprunter tous les tronçons de route en passant une et une seule fois sur chacun d’eux, en partant de l’hôtel et en y revenant.
   $\quad$
   b. Le graphe possède exactement deux sommets de degré impair. Il existe une chaîne eulérienne.
   Le guide peut donc emprunter tous les tronçons de route en passant une et une seule fois sur chacun d’eux, en partant de l’hôtel mais sans forcément y revenir.
   $\quad$
2. Pour déterminer le chemin le plus court menant de l’hôtel au musée nous allons utiliser l’algorithme de Dijsktra.
   $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
   B&C&D&E&F&G&H&\text{Sommet} \\
   \hline
   &&&&&&0&H\\
   \hline
   12H&20H&9H&&&&&D \\
   \hline
   12H&17D&&&30D&&&B\\
   \hline
   &17D&&&30D&25B&&C\\
   \hline
   &&&&28C&24C&&G\\
   \hline
   &&&33G&28C&&&F\\
   \hline
   &&&31F&&&&E\\
   \hline
   \end{array}$
   $\quad$

Partie B

1. $\quad$
   
2. La matrice de transition est $M=\begin{pmatrix} 0,9&0,1\\0,2&0,8 \end{pmatrix}$
   $\quad$
3. En 2015, on a $P_0=\begin{pmatrix} 0,3&0,7\end{pmatrix}$
   En 2016, $P_1=P_0\times M=\begin{pmatrix} 0,41&0,59\end{pmatrix}$.
   Donc en 2016, $41\%$ des hôtels seront répertoriés.
   En 2017, $P_2=P_0\times M^2 = \begin{pmatrix}0,487&0,513\end{pmatrix}$
   Donc en 2017, $48,7\%$ des hôtels seront répertoriés.
   $\quad$
4. On recherche l’état stable $P=\begin{pmatrix} x&y \end{pmatrix}$ avec $x+y=1$.
   On a donc $P=PM$
   Soit :
   $\begin{align*} P=PM&\ssi \begin{cases} x=0,9x+0,2y \\y=0,1x+0,8y \\x+y=1 \end{cases} \\
   &\ssi \begin{cases} x=1-y \\0,1x-0,2y=0 \\0,1x-0,2y=0 \end{cases} \\
   &\ssi \begin{cases} x=1-y\\0,1-0,1y-0,2y=0 \end{cases} \\
   &\ssi \begin{cases} x=1-y\\0,3y=0,1 \end{cases} \\
   &\ssi \begin{cases} x=\dfrac{2}{3} \\y=\dfrac{1}{3}\end{cases}
   \end{align*}$
   Sur le long terme environ $66,67\%$ des hôtels seront répertoriés.
   $\quad$

 

 

Exercice 3

Partie A

1. Graphiquement $f(x) > 0$ sur l’intervalle $]0,5;6]$
   $\quad$
2. Le maximum de la fonction sur l’intervalle $[0;6]$ est environ $2,2$.
   $\quad$
3. Il semblerait que :
   • $f'(x)>0$ sur l’intervalle $[0;1,5[$ car $f$ semble être croissante sur cet intervalle;
   • $f'(1,5)=0$;
   • $f'(x)<0$ sur l’intervalle $]1,5;6]$ car $f$ semble être décroissante sur cet intervalle.
   $\quad$
4. Sur l’intervalle $[0;2,5]$ la courbe représentative de la fonction $f$ semble être située au-dessous de ses tangentes.
   Sur l’intervalle $[2,5;6]$ la courbe représentative de la fonction $f$ semble être située au-dessus de ses tangentes.
   La courbe admet donc un point d’inflexion approximativement en $x=2,5$.
   $\quad$
5. $\ds \int_1^4 f(x)\dx$ correspond à l’aire du domaine compris entre l’axe des abscisses, la courbe représentative de la fonction $f$, les droites d’équation $x=1$ et $x=4$.
   On a donc $\ds 2 <\int_1^4 f(x)\dx <7$
   $\quad$

Partie B

1. On a $f'(x)=(-10x+15)\e^{-x}$
   La fonction exponentielle étant strictement positive, le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $-10x+15$.
   Or $-10x+15=0 \ssi x=1,5$ et $-10x+15 >0 \ssi x <1,5$.
   $f(1,5)=10\e^{-1,5}$
   On obtient donc le tableau de variation suivant :
   
2. On a $f\prime\prime(x)=(10x-25)\e^{-x}$.
   Le signe de $f\prime\prime(x)$ ne dépend que de celui de $10x-25$.
   Or $10x-25=0 \ssi x=2,5$ et $10x-25>0 \ssi x>2,5$.
   Ainsi $f$ est concave sur l’intervalle $[0;2,5]$ et convexe sur l’intervalle $[2,5;6]$.
   $\quad$
3. $F$ est dérivable sur l’intervalle $[0;6]$ en tant que produits de fonctions dérivables sur cet intervalle.
   $\begin{align*} F'(x)&=-10\e^{-x}-(-10x-5)\e^{-x} \\
   &=-10\e^{-x}+(10x+5)\e^{-x} \\
   &=(10x-5)\e^{-x} \\
   &=f(x)
   \end{align*}$
   Donc $F$ est bien une primitive de $f$ sur l’intervalle $[0;6]$.
   $\quad$
4. On a donc :
   $\begin{align*} \ds \int_2^4 f(x) &=F(4)-F(2) \\
   &=-45\e^{-4}+25\e^{-2} \\
   &\approx 2,56
   \end{align*}$
   $\quad$
5. On voudrait donc que $2AD=2,56$ soit $AD=1,28$
   $\quad$

Exercice 4

1. $410\times (1-0,1)^2=410\times 0,9 = 332,1$.
   On peut donc considérer que l’évolution d’une année sur l’autre correspond à une diminution de $10\%$.
   $\quad$
2. On cherche la valeur de l’entier naturel $n$ à partir duquel :
   $\begin{align*} 332 \times 0,9^n <180 &\ssi 0,9^n < \dfrac{180}{332} \\
   &\ssi n\ln 0,9 < \ln \dfrac{180}{332} \\
   &\ssi n > \dfrac{\ln \dfrac{180}{332}}{\ln 0,9} \\
   &\ssi n \pg 6
   \end{align*}$
   C’est donc à partir de 2021 que la quantité de polluants rejetés par ces entreprises ne dépassera plus le seuil de $180$ tonnes.

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