Bac ES/L – Antilles Guyane – Septembre 2015

Antilles  Guyane – Septembre 2015

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Exercice 1

  1. La fonction $f$ est dérivable sur $[1;100]$ comme somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $f'(x)=200 \times \dfrac{1}{x}+10 = \dfrac{200}{x}+10$.
    Réponse b
    $\quad$
  2. Puisque $L$ est une primitive de la fonction $\ln$, cela signifie donc que $\ln$ est la fonction dérivée de $L$ sur $]0;+\infty[$.
    La fonction $\ln$ est négative sur $]0;1[$ et positive sur $[1;+\infty[$.
    La fonction $L$ est donc décroissante puis croissante.
    Réponse d
    $\quad$
  3. Pour déterminer la convexité de la fonction $g$, on va étudier le signe de la dérivée seconde de $g$.
    $g$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que somme de fonctions dérivable s sur cet intervalle.
    $g'(x)=1 – \dfrac{1}{x}$
    Cette fonction est également dérivable sur $]0;+\infty[$.
    $g\prime\prime(x)=\dfrac{1}{x^2} >0$ sur $]0;+\infty[$.
    La fonction $g$ est donc convexe sur $]0;+\infty[$.
    Réponse a
    $\quad$
  4. La tangente au point $A$ semble passer par l’origine du repère.
    Or $h'(2)$ correspond au coefficient directeur de cette tangente.
    On a donc $h'(2) = \dfrac{1-0}{2-0} = \dfrac{1}{2}$.
    Réponse b
    $\quad$
  5. On a :
    $\begin{align*} P(-10<X<10) = 0,8 &\ssi 2P(X<10)-1=0,8 \\\\
    &\ssi 2P(X<10)=1,8\\\\
    &\ssi P(X<10)=0,9
    \end{align*}$
    Réponse d
    $\quad$

Exercice 2

Candidats ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats L

Partie A

  1. $\quad$
    BAC ESL-Antilles-septembre 2015-ex2
  2. D’après la formule des probabilités totales, on a :
    $\begin{align*}
    p\left(\overline{C}\right) &=p\left(A\cap \overline{C}\right)+p\left(B\cap \overline{C}\right)\\\\
    &=0,4 \times 0,15+0,6\times 0,05\\\\
    &=0,09
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. On va calculer $p_{\overline{C}}(A)$ et $p_{\overline{C}}(B )$
    $\begin{align*} p_{\overline{C}}(A) &= \dfrac{p\left(A \cap \overline{C}\right)}{p\left(\overline{C}\right)} \\\\
    &=\dfrac{0,4\times 0,15}{0,09}\\\\
    &=\dfrac{2}{3}
    \end{align*}$ $\qquad$ $\begin{align*} p_{\overline{C}}(B) &= \dfrac{p\left(B \cap \overline{C}\right)}{p\left(\overline{C}\right)} \\\\
    &=\dfrac{0,6\times 0,05}{0,09}\\\\
    &=\dfrac{1}{3}
    \end{align*}$
    Le responsable a donc raison.
    $\quad$

Partie B

  1. On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de pomme commercialisables.
    On prélève $15$ pommes; le tirage est considéré comme étant aléatoire et avec remise. Les tirages sont indépendants et à chaque fois on ne peut avoir que deux événements $C$ et $\overline{C}$.
    De plus $p(C)=1-0,09=0,91$.
    La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale $\mathscr{B}(15;0,91)$.
    Ainsi $P(X=15)=0,91^{15}\approx 0,243$.
    $\quad$
  2. On veut ici calculer:
    $\displaystyle \begin{align*} P(X\ge 14) &=P(X=14)+P(X=15)\\\\
    &=\binom{15}{14}\times0,91^{14}\times 0,09+0,91^{15}\\\\
    &\approx 0,604
    \end{align*}$
    $\quad$

Partie C

Pour répondre à cette question on va déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ correspondant aux pommes non commercialisables.

On a $n=200\ge 30$ et $p=0,09$ donc $np=18\ge 5$ et $n(1-p)=182\ge 5$.

Un intervalle de fluctuation asymptotique est alors :

$$\begin{align*} I_{200}&=\left[0,09-1,96\sqrt{\dfrac{0,91\times 0,09}{200}};0,09+1,96\sqrt{\dfrac{0,91\times 0,09}{200}}\right]\\\\
&\approx [0,050;0,130]
\end{align*}$$

$22$ pommes ne sont pas commercialisables.

La fréquence observée est donc $f=\dfrac{22}{200}=0,11 \in I_{200}$.

C’est donc conforme à ce qu’il pouvait attendre.

$\quad$

Exercice 2

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

  1. Le graphe étant connexe, il est toujours possible, en partant d’un village, de rouler vers au moins un autre village.
    $\quad$
  2. En partant de $G$ on visite les villages $G-B-A-F$.
    $\quad$
  3. Le cycle $C-D-E-G-B-A-F$ permet par exemple de visiter tous les villages.
    $\quad$
  4. On veut donc savoir s’il existe un cycle eulérien.
    On va donc déterminer les degrés de chacun des sommets.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{sommet}&A&B&C&D&E&F&G\\
    \hline
    \text{degré}&2&4&2&4&2&2&4\\
    \hline
    \end{array}$$
    Tous les sommets sont donc de degré pair. Il existe alors un cycle eulérien et on peut, partant d’un village, y revenir après avoir emprunté toutes les pistes cyclables une et une seule fois.
    $\quad$

Partie B

  1. La matrice de transition est :
    $$M=\begin{pmatrix}
    0&1&0&0&0&1&0\\
    1&0&1&1&0&0&1\\
    0&1&0&1&0&0&0\\
    0&1&1&0&1&0&1\\
    0&0&0&1&0&0&1\\
    1&0&0&0&0&0&1\\
    0&1&0&1&1&1&0
    \end{pmatrix}$$
  2. Ce nombre $1$ signifie qu’il n’existe qu’un seul chemin de longueur $4$, passant donc par $3$ autres village, reliant $A$ à $F$.
    $\quad$

Exercice 3

  1. Après le versement annuel, le capital est de $1~000\times 1,02+2~400=3~420$ euros
    $\quad$
  2. a.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{valeur de }i&\text{xxx}&1&2&3&4&5\\\\
    \hline
    \text{valeur de }u&1~000&3~420&5~888,4&8~406,17&10~974,29&13~ 593,78\\\\
    \hline
    \end{array}$$b. On obtient alors en sortie $13~593,78$ ce qui correspond au capital sur le compte du couple en $2015$ après avoir effectué le versement annuel.
    $\quad$
    c. Dans l’algorithme 2, La variable $U$ est réinitialiser à $1~000$ dans la boucle Pour. On va donc obtenir le capital présent en $2011$ pour toute valeur de $N$ saisie non nulle.
    $\quad$
    Dans l’algorithme 3, on augmente la valeur de $N$ au sein de la boucle Pour alors que cette variable est présente dans la condition d’arrêt de la boucle.
    $\quad$
  3. Le dernier versement annuel a donc lieu en $2016$.
    Le capital est alors de $16~264,65$ euros.
    On cherche donc la plus petite valeur de $n$ telle que :
    $\begin{align*} 16~264,65\times 1,02^n\ge 18~000 &\ssi 1,02^n > \dfrac{18~000}{16~264,65} \\\\
    &\ssi n\ln 1,02 > \ln \dfrac{18~000}{16~264,65} \\\\
    &\ssi n > \dfrac{\ln \dfrac{18~000}{16~264,65}}{\ln 1,02}\\\\
    & \ssi n \ge 6
    \end{align*}$
    C’est donc en $2022$ que le couple atteindra son objectif.
    $\quad$

Exercice 4

Partie A

  1. a. Le maximum semble être atteint sur la courbe pour $x=40$ et $f(40) \approx  10$.
    Il y a donc au maximum $10~000$ habitants dans la station balnéaire durant cet été. Il est atteint le $10$ août.
    $\quad$
    b. Au maximum, ils consommeront $55 \times 10~000=550~000$ litres d’eau.
    La commune sera donc en capacité de fournir la quantité d’eau nécessaire.
    $\quad$
  2. On cherche donc le nombre de jour pour lesquels $f(x)\ge 8$.
    Cela se produit $53$ jours.
    $\quad$

Partie B

  1. $f(9) = 2 + 0,2\times 9\e^{-0,025\times 9 + 1} = 2+1,8\e^{0,775}$.
    La consommation sera donc au plus de $55f(9)\times 1~000 \approx 324~888 < 324~890$.
    $\quad$
  2. a. La fonction $f$ est dérivable sur $[0;70]$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $\begin{align*}f'(x) &= 0,2\e^{-0,025x+1}+0,2x\times (-0,025)\e^{-0,025x+1} \\\\
    &=(0,2-0,005x)\e^{-0,025x+1}
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. La fonction exponentielle étant toujours positive, le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $0,2-0,005x$.
    $\begin{align*} 0,2-0,005x \ge 0 &\ssi -0,005x \ge -0,2 \\\\
    &\ssi x \le \dfrac{-0,2}{-0,005} \\\\
    &\ssi x \le 40
    \end{align*}$
    Ainsi $f'(x) \ge0$ sur $[0;40]$ et $f'(x) \le 0$ sur $[40;70]$.
    $\quad$
    c. La consommation maximale a donc lieu le $40^{\text{ème}}$ jour soit le $10$ août.
    $\quad$

Partie C

  1. La somme $S$ correspond à la somme des aires des rectangles de hauteur $g(i)$ et de largeur $1$ pour $i$ allant de $10$ à $20$.
    BAC ESL-Antilles-septembre 2015-ex4
    $\quad$
  2. La fonction $g$ est continue et positive sur $[10;20]$
    Par conséquent, la quantité cherchée correspond à :
    $\begin{align*} I&=\displaystyle \int_{10}^{21} g(x)\mathrm{dx} \\\\
    &= G(21)-G(10) \\\\
    &=2~310-26~840\e^{0,475}-\left(1~100-22~000\e^{0,75}\right) \\\\
    &\approx 4~625
    \end{align*}$
    $4~625$ m$^3$ d’eau environ ont été consommé du $10^{\e}$ eu $20^{\e}$ jour.