Centres étrangers – juin 2016

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici .

Exercice 1

1. $f'(x)=-1+\dfrac{2}{x} = \dfrac{-x+2}{x}$.
   Réponse c
   $\quad$
2. sur $]0;10]$, $f'(x)=0\ssi -x+2=0 \ssi x=2$.
   L’équation possède donc une seule solution.
   Réponse b
   $\quad$
3. Une équation de la tangente au point d’abscisse $a$ est donnée par $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.
   $f'(4)=-\dfrac{1}{2}$ et $f(4)=1+2\ln 4$.
   Une équation de $T$ est donc :
   $y=-\dfrac{1}{2}(x-4)+1+2\ln 4$
   Soit $y=-\dfrac{1}{2}x+2+1+2\ln 4$
   Réponse d
   $\quad$
4. $\displaystyle \int_1^3f(x)\mathrm{d}x$ correspond à l’aire du domaine compris entre l’axe des abscisses, la courbe $C$ et les droites d’équation $x=1$ et $x=3$.
   Ce domaine a une aire comprise entre $8$ et $9$ fois celle d’un petit carré.
   Réponse c
   Remarque : on pouvait également demander à la calculatrice de faire le calcul et voir dans quel intervalle ce trouvait la valeur affichée.
   $\quad$

Exercice 2

Partie A

1. On obtient l’arbre suivant
   
2. $p(N\cap Q)=0,4\times 0,92 = 0,368$.
   Cela signifie que $36,8\%$ des pneus du stock de production sont des pneus neige ayant réussi les tests de qualité.
   $\quad$
3. D’après la formule des probabilités totales on a :
   $\begin{align*} p(Q)&=p(N\cap Q)+p(C\cap Q) \\
   &=0,4\times 0,92+0,6\times 0,96 \\
   &=0,944
   \end{align*}$
   $\quad$
4. On veut calculer $p_Q(N)=\dfrac{p(Q\cap N)}{p(Q)}=\dfrac{0,4\times 0,92}{0,944} \approx 0,390$
   $\quad$

Partie B

1. On veut calculer $P(X \leqslant 25) = 0,5-P(25\leqslant X \leqslant 30) \approx 0,266$.
   $\quad$
2. On veut que $P(X \geqslant d’) = 0,2$ soit $P(X \leqslant d’) = 0,8$
   A l’aide de la touche Inverse loi normale de la calculatrice on trouve $d’ \approx 36,733$.
   Donc $d=36~733$.
   $\quad$

Partie C

On prend $n=900\geqslant 30$ et $p=0,85$
Donc $np=765\geqslant 5$ et $n(1-p)=135\geqslant 5$.

Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ est donc :
$$\begin{align*} I_{900}&=\left[0,85-1,96\times \sqrt{\dfrac{0,85\times 0,15}{900}};0,85-1,96\times \sqrt{\dfrac{0,85\times 0,15}{900}}\right] \\
& \approx [0,826;0,874]
\end{align*}$$

La fréquence observée est $f=\dfrac{735}{900} \approx 0,817 \notin I_{900}$

Le directeur va donc conclure, au risque de $5\%$ que la qualité de fabrication des pneus de cette année est moins bonne que celle de l’année précédente.

$\quad$

Exercice 3

Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

1. a. Le sommet $F$ n’est pas adjacent avec le sommet $C$. Le graphe $\Gamma$ n’est donc pas complet.
   $\quad$
   b. On peut relier deux sommets quelconques du graphe entre-eux. Le graphe est $\Gamma$ est donc connexe.
   $\quad$
2. Déterminons le degré des sommets du graphe.
   $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
   \text{Sommet}&A&B&C&D&E&F&G&H\\
   \hline
   \text{Degré}&3&4&3&4&3&2&3&2 \\
   \hline
   \end{array}$
   Le graphe possède quatre sommets de degré impair. Il ne possède donc pas de chaîne eulérienne.
   $\quad$
3. La matrice adjacente est :
   $$M=\begin{pmatrix}
   0&1&0&1&1&0&0&0\\
   1&0&1&1&0&1&0&0\\
   0&1&0&1&0&0&1&0 \\
   1&1&1&0&1&0&0&0\\
   1&0&0&1&0&0&0&1\\
   0&1&0&0&0&0&1&0\\
   0&0&1&0&0&1&0&1\\
   0&0&0&0&1&0&1&0
   \end{pmatrix}$$
4. a. Le coefficient $M^2_{(1;8)} = 0$. Il est donc impossible d’aller de $B$ en $H$ en deux vols.
   En revanche $M^3_{(1;8)}=4$. Il est donc possible d’aller de $B$ en $H$ en trois vols.
   $\quad$
   b. $4$ trajets sont possibles : $BAEH$, $BFGH$, $BCGH$, $BDEH$.
   $\quad$

Partie B

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
A&B&C&D&E&F&G&H&\text{Sommet}\\
\hline
0&&&&&&&&A \\
\hline
&40A&&100A&45A&&&&B\\
\hline
&&150B&90B&45A&120B&&&E\\
\hline
&&150B&85E&&160B&&135E&D\\
\hline
&&145D& &&160B&&135E&H\\
\hline
&&145D&&&160B&215H&&C\\
\hline
&&&&&160B&195C&&B\\
\hline
&&&&&&195C&&G \\
\hline
\end{array}$$

Le trajet le moins cher est donc $AEDCG$. Il coûte $195$ euros.
$\quad$

Exercice 3

Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de L

Partie A

1. $u_1=\left(1+\dfrac{6}{100}\right) \times u_0=1,06 \times 500 = 530$
   $u_2=1,06u_1 = 561,8 \approx 562$
   $\quad$
2. On a $u_n=1,06^n \times u_0 = 500 \times 1,06^n$.
   $\quad$
3. On a $1,06 > 1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 1,06^n=+\infty$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=+\infty$
   $\quad$

Partie B

1. L3 : Tant que $U<1~000$
   L5 : Affecter à $U$ la valeur $1,06\times U$
   L7 : Afficher $N$
   $\quad$
2. On veut déterminer le plus petit entier $n$ tel que :
   $\begin{align*} 500\times 1,06^n \geqslant 1~000 &\ssi 1,06^n \geqslant 2 \\
   &\ssi n \ln 1,06 \geqslant \ln 2 \\
   &\ssi n \geqslant \dfrac{\ln 2}{\ln 1,06} \\
   &\ssi n \geqslant 12
   \end{align*}$
   Dans $12$ mois le nombre de films proposés aura doublé par rapport au nombre de films proposés à l’ouverture.
   $\quad$

Partie C

1. $10\%$ des clients se désabonnent. Il en reste donc $90\%$ soit $0,9v_n$.
   Chaque mois, 2~500 nouveaux abonnés sont enregistrés.
   Donc $v_{n+1}=0,9v_n+2~500$.
   $\quad$
2. a.
   $\begin{align*} w_{n+1}&=v_{n+1}-25~000 \\
   &=0,9v_n+2~500-25~000\\
   &=0,9v_n-22~500\\
   &=0,9\left(w_n+25~000\right)-22~500\\
   &=0,9w_n+22~500-22~500\\
   &=0,9w_n
   \end{align*}$
   La suite $\left(w_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,9$ et de premier terme $w_0=15~000-25~000=-10~000$.
   $\quad$
   b. Ainsi $w_n=-10~000\times 0,9^n$
   Et $v_n=25~000-10~000\times 0,9^n$.
   $\quad$
   c. $0<0,9<1$ Donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,9^n = 0$.
   Ainsi $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n=25~000$.
   Selon ce modèle, sur le long terme il y aura $25~000$ abonnés.
   $\quad$

Exercice 4

Partie A

1. $f$ est dérivable sur $[0;8]$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur de s’annule pas (car la fonction exponentielle est strictement positive).
   $f$ est de la forme $\dfrac{1}{u}$ donc la dérivée est $-\dfrac{u’}{u^2}$
   $f'(x)=-\dfrac{-0,4\times 20\e^{-x}}{\left(20\e^{-x}+1\right)^2}$ $=\dfrac{8\e^{-x}}{\left(20\e^{-x}+1\right)^2}$.
   $\quad$
2. $f$ est convexe sur $I$ si, et seulement si, $f\prime\prime(x) \geqslant 0 $ pour tout réel $x$ de $I$.
   Or $f\prime\prime(x)=8\e^{-x}\times \dfrac{20\e^{-x}-1}{\left(20\e^{-x}+1\right)^3}$.
   La fonction exponentielle est toujours positive.
   Donc le signe de cette expression ne dépend que de celui de $20\e^{-x}-1$.
   $\begin{align*} 20\e^{-x}-1 \geqslant 0 &\ssi 20\e^{-x} \geqslant 1 \\
   &\ssi \e^{-x} \geqslant \dfrac{1}{20} \\
   &\ssi -x \geqslant \ln \dfrac{1}{20} \\
   &\ssi -x \geqslant -\ln 20 \\
   &\ssi x \leqslant \ln 20
   \end{align*}$
   Donc $f$ est convexe sur l’intervalle $[0;\ln 20]$
   $\quad$

Partie B

Proposition 1 : Fausse
$f(8)=\dfrac{0,4}{20e^{-8}+1}+0,4 \approx 0,797 \neq 0,6$
Le village B est à $0,797$ km d’altitude.
$\quad$

Proposition 2 : Vraie
$f(0)=\dfrac{0,4}{21}+0,4=\dfrac{44}{105}$
Donc $f(8)-f(0) \approx 0,378$
L’écart d’altitude entre les deux villages A et B est donc bien d’environ $378$ mètres.
$\quad$

Proposition 3 : Vraie
$f'(0)=\dfrac{8}{21^2}\approx 0,018$ soit environ $1,8\%$
$\quad$

Proposition 4 : Fausse
La fonction $f$ est convexe sur l’intervalle $[0;\ln 20]$ et concave sur $[\ln 20;8]$.
Par conséquent la valeur maximale de $f'(x)$ est atteinte pour $x=\ln 20$.
$f'(\ln 20)=0,1$.
La pente maximale est donc de $10\%$
Le projet sera accepté.