Métropole – Septembre 2015

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

Le sujet de ce bac est disponible ici.

Exercice 1

Partie 1

$\quad$
On veut calculer $p(A\cap E) = 0,7 \times 0,4 = 0,28$ d’après l’arbre.
$\quad$
D’après la formule des probabilités totales, on a :
$\begin{align*} p(E) &=p(A\cap E)+p(B\cap E) \\\\
&=0,28 + 0,3\times 0,5 \\\\
&=0,28 + 0,15\\\\
&=0,43
\end{align*}$
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} p_{\overline{E}}(A)&=\dfrac{p\left(A\cap\overline{E}\right)}{p\left(\overline{E}\right)} \\\\
&=\dfrac{0,42}{1-0,43}\\\\
&=\dfrac{14}{19}\\\\
&\approx 0,739
\end{align*}$
$\quad$

Partie B

On a $p=\dfrac{123}{210}$ et $n=210 \ge 30$
$np=123\ge 5$ et $n(1-p)=87 \ge 5$

Par conséquent un intervalle de confiance au seuil de $95\%$ est :
$\begin{align*} I_{210}&=\left[\dfrac{123}{210}-\dfrac{1}{\sqrt{210}};\dfrac{123}{210}+\dfrac{1}{\sqrt{210}}\right] \\\\
&\approx [0,516;0,655]
\end{align*}$
$\quad$

Partie C

On a $P(X \ge 60) = 0,5 + P(40 \le X \le 60) \approx 0,994$
$\quad$
On a $P(30 \le X \le 50) \approx 0,789$
$\quad$

Exercice 2

Partie A : A l’aide d’un graphique

Graphiquement on constate que $f$ est croissante sur $[0;1]$ et décroissante sur $[1;5]$.
$\quad$
La fonction est convexe si, et seulement si, $f\prime\prime(x) \ge 0$.
Elle est donc convexe sur $[2;5]$.
$\quad$
Elle possède un point d’inflexion pour $x=2$.
$\quad$

Partie B – Etude de la fonction

Sur $[0;5]$, $5x \ge 0$ et la fonction exponentielle est toujours positive.
Donc $f(x) \ge 0$ sur $[0;5]$.
$\quad$
La fonction $F$ est dérivable sur $[0;5]$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
$F'(x)=-5\e^{-x}-(-5x-5)\e^{-x} = 5x\e^{-x} = f(x)$.
Par conséquent $F$ est une primitive de $f$ sur $[0;5]$.
$\quad$
La fonction $f$ est continue et positive. Par conséquent l’aire du domaine cherchée est donnée par :
$\begin{align*} \displaystyle I&=\int_0^1f(x)\mathrm{d}x \\\\
&= F(1)-F(0)\\\\
&=-10\e^{-1}+5
\end{align*}$
$\quad$

Exercice 3

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité, candidats de L

$u_1=0,75\times 500+300=675$.
$u_2=0,75\times 675+300\approx 806$.
$\quad$
Chaque année, $75\%$ des abonnés renouvellent leur abonnement. Cela représente donc $0,75u_n$.
$300$ nouveaux abonnés arrivent chaque année. Par conséquent $u_{n+1}=0,75u_n+300$.
$\quad$
a.
$\begin{align*} v_{n+1} &=u_{n+1}-1~200 \\\\
&=0,75u_n+300-1~200\\\\
&=0,75u_n-900\\\\
&=0,75(v_n+1~200)-900\\\\
&=0,75v_n+900-900\\\\
&=0,75v_n
\end{align*}$
La suite $(v_n)$ est donc bien géométrique de raison $0,75$ et son premier terme est $v_0=u_0-1~200=-700$.
$\quad$
b. On a ainsi $v_n=-700\times 0,75^n$
Or $u_n=v_n+1~200$ donc $u_n=-700\times 0,75^n+1~200$
$\quad$
c. Ainsi $u_{10} = -700\times 0,75^{10}+1~200\approx 1~161$.
Cela signifie donc qu’il aura $1~161$ abonnés en $2024$.
$\quad$
Le bon algorithme est le numéro 1.
L’algorithme 2 modifie l’indice après avoir calculé l’élément de la suite. Il ne convient donc pas.
La valeur de l’année doit être modifiée qu’après avoir déterminé le rang de la suite qui nous intéresse. On rejette donc l’algorithme 3.
$\quad$

Exercice 3

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

$\quad$
La matrice de transition est $M=\begin{pmatrix} 0,7&0,3\\\\0,15&0,85\end{pmatrix}$.
$\quad$
En $2018$, $n=4$. On calcule donc $P_4=P_0\times M^4 \approx \begin{pmatrix} 0,358&0,642\end{pmatrix}$
Cela signifie donc qu’en $2018$, la probabilité pour qu’un client paye en une seule fois est d’environ $35,8\%$.
$\quad$
On appelle $P=\begin{pmatrix} x&y \end{pmatrix}$ l’état stable.
Il vérifie $P=PM$ et $x+y=1$
On a par conséquent :
$\begin{align*} \begin{cases}x+y=1\\\\0,7x+0,15y=x\\\\0,3x+0,85y=y\end{cases}&\ssi \begin{cases} x=1-y \\\\0,15y=0,3x\\\\0,3x=0,15y\end{cases}\\\\
&\ssi \begin{cases} x=1-y\\\\0,3(1-y)=0,15y\end{cases} \\\\
&\ssi \begin{cases} x=1-y \\\\0,3-0,3y=0,15y\end{cases}\\\\
&\ssi \begin{cases} x=1-y\\\\0,3=0,45y\end{cases}\\\\
&\ssi \begin{cases} x=1-y=\\\\y=\dfrac{2}{3}\end{cases}\\\\
&\ssi \begin{cases} x=\dfrac{1}{3}\\\\y=\dfrac{2}{3}\end{cases}\end{align*}$
L’état stable est donc $\begin{pmatrix} \dfrac{1}{3} &\dfrac{2}{3}\end{pmatrix}$.
$\quad$
On a, pour tout entier naturel $n$, $a_n+b_n=1$ soit $b_n=1-a_n$.
De plus
$\begin{align*} a_{n+1}&=0,7a_n+0,15b_n \\\\
&=0,7a_n+0,15(1-a_n)\\\\
&=0,7a_n+0,15-0,15a_n\\\\
&=0,55a_n+0,15
\end{align*}$
$\quad$
a.
Initialisation :
$\quad$ $a$ prend la valeur $0,6$
$\quad$ $n$ prend la valeur $0$
Traitement :
$\quad$ Tant que $a\ge 0,333~4$
$\qquad$ $a$ prend la valeur $0,55a+0,15$
$\qquad$ $n$ prend la valeur $n+1$
$\quad$ Fin Tant que
Sortie :
$\quad$ Afficher $n$
$\quad$
b. On veut que déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
$\begin{align*} a_n<0,333~4 &\ssi \dfrac{4}{15}\times 0,55^n+\dfrac{1}{3} < 0,333~4 \\\\
&\ssi \dfrac{4}{15}\times 0,55^n <0,333~4-\dfrac{1}{3} \\\\
&\ssi 0,55^n<\dfrac{15}{4}\left(0,333~4-\dfrac{1}{3}\right)\\\\
&\ssi n\ln 0,55<\ln \left[\dfrac{15}{4}\left(0,333~4-\dfrac{1}{3}\right)\right]\\\\
&\ssi n > \dfrac{\ln \left[\dfrac{15}{4}\left(0,333~4-\dfrac{1}{3}\right)\right]}{\ln 0,55}\\\\
&\ssi n \ge 14
\end{align*}$
$\quad$
Le plus petit entier naturel qui assure que $a_n<0,333~4$ est donc $14$.$\quad$

Exercice 4

La fonction $f$ est dérivable sur $[0,2;10]$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
$\begin{align*}f'(x)&=2\times 2x \ln(x)+2x^2\times \dfrac{1}{x} \\\\
&= 4x\ln(x)+2x \\\\
&=2x\left(2\ln(x)+1\right)
\end{align*}$
$\quad$
Une équation de la tangente au point d’abscisse $a$ est de la forme $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.
Ainsi $\begin{align*} y&=2a\left(2\ln(a)+1\right)(x-a)+2a^2\ln(a) \\\\
y&=2a\left(2\ln(a)+1\right)x-4a^2\ln(a)+2a^2+2a^2\ln(a)\\\\
y&=2a\left(2\ln(a)+1\right)x-2a^2\left(\ln(a)+1\right)\end{align*}$.
$\quad$
La tangente passe par l’origine du repère si, et seulement si, $2a^2\left(\ln(a)+1\right)=0$
Puisque $a\in[0,2;10]$ cela signifie donc que $\ln(a)+1=0$ soit $a=\e^{-1}$.
Par conséquent une seule tangente passe par l’origine du repère.