Bac ES/L – Nouvelle Calédonie – Novembre 2015

Nouvelle Calédonie – Novembre 2015

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Exercice 1

  1. $f'(1)$ correspond au coefficient directeur de la tangente à $\mathscr{C}$ au point $A$.
    $f'(1)=\dfrac{3-0}{0-1} = -3$. Réponse B
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est concave sur $[-1;1]$. Réponse A
    $\quad$
  3. Il s’agit de l’aire du domaine situé entre la courbe $\mathscr{C}$, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=0$ et $x=1$.
    L’aire est supérieur à celle d’un triangle rectangle de côté $1$ et $2$ unités soit $\dfrac{1 \times 2}{2} = 1$ u.a.
    L’aire est inférieure à celle d’un rectangle de côté $1$ et $2$ unités soit $2$ u.a.
    Donc $1 \le I \le 2$. Réponse B
    $\quad$
  4. La fonction $f$ est positive sur $[0;1]$ donc la fonction $F$ est croissante sur $[0;1]$. Réponse A
    $\quad$

Exercice 2

candidats de L et de ES n’ayant pas choisi l’enseignement de spécialité

  1. On veut calculer $u_1=0,8\times 150+40 = 160$
    $160$ élèves étaient donc inscrits en septembre 2015.
    $\quad$
  2. D’une année sur l’autre $80\%$ des élèves sont renouvelés soit $0,8u_n$.
    Chaque année $40$ nouveaux élèves sont inscrits. Donc $u_{n+1}=0,8u_n+40$.
    $\quad$
  3. a.
    $$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Valeur de } n&0&1&2&3&4&5&6&7&8\\\\
    \hline
    \text{Valeur de } U&150&160&168&174,4&179,52&183,62&186,89&189,51&191,61 \\\\
    \hline
    \text{Condition } U\le 190&\text{vraie}&\text{vraie}&\text{vraie}&\text{vraie}&\text{vraie}&\text{vraie}&\text{vraie}&\text{vraie}&\text{fausse}\\\\
    \hline
    \end{array}$$
    b. L’algorithme affichera donc $8$.
    C’est en 2022 que l’accueil périscolaire dépassera sa capacité d’accueil.
    $\quad$
  4. a.
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-200\\
    &=0,8u_n+40-200\\
    &=0,8u_n-160\\
    &=0,8(v_n+200)-160\\
    &=0,8v_n+160-160\\
    &=0,8v_n
    \end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,8$ et de premier terme $v_0=150-200=-50$.
    $\quad$
    b. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $v_n=-50\times 0,8^n$.
    Or $u_n=v_n+200 = -50\times 0,8^n+200$
    $\quad$
    c.
    $\begin{align*} 200-50\times 0,8^n > 190 &\ssi -50\times 0,8^n> -10 \\\\
    &\ssi 0,8^n < 0,2 \\\\
    &\ssi n \ln 0,8 < \ln 0,2 \\\\
    &\ssi n > \dfrac{\ln 0,2}{\ln 0,8} \\\\
    &\ssi n > 8
    \end{align*}$
    d. C’est donc en 2022 que la directirce de l’accueil périscolaire sera obligée de refuser des inscriptions faute de places disponibles.
    $\quad$

Exercice 2

Candidats de ES ayant choisi l’enseignement de spécialité

Partie A

  1. $\quad$
    Bac ESL-nouvelle calédonie-nov2015-ex2spé
  2. La matrice de transition est $M=\begin{pmatrix} 0,6&0,4 \\0,2&0,8 \end{pmatrix}$
    $\quad$
  3. On a $p_1=0,85$ donc $q_1=1-0,85=0,15$. Par conséquent $P_1=\begin{pmatrix} 0,85&0,15 \end{pmatrix}$.
    $\quad$
  4. On veut calculer $P_3=P_1\times M^2 = \begin{pmatrix}0,416&0,584\end{pmatrix}$
    $\quad$
  5. On a $p_{n+1}=0,6p_n+0,2q_n = 0,6p_n+0,2(1-p_n)=0,4p_n+0,2$.
    $\quad$
  6. a.
    $$\begin{array}{|l|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Valeur de }i& &2&3&4&5\\\\
    \hline
    \text{Valeur de }p&0,85&0,54&0,416&0,366&0,347 \\\\
    \hline
    \end{array}$$
    b. L’algorithme affiche donc $0,347$ quand $N=5$.
    $\quad$
    c. Cela signifie donc qu’au bout de $5$ jours la probabilité qu’un adolescent choisisse le canoë-Kayak est d’environ $0,347$.
    $\quad$

Partie B

  1. La limite de la suite $\left(p_n\right)$ semble être $\dfrac{1}{3}$
    $\quad$
  2. Cela signifie que sur le long terme, la probabilité qu’un adolescent choisisse le canoë-Kayak est de $\dfrac{1}{3}$.
    $\quad$

Exercice 3

Partie A

  1. $\quad$
    Bac ESL-nouvelle calédonie-nov2015-ex3
  2. On veut calculer $p(A\cap J) = 0,8 \times 0,15 = 0,12$.
    $\quad$
  3. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(J)&=p(A\cap J)+p(B \cap J) \\\\
    &= 0,12+0,2\times 0,08 \\\\
    &=0,136
    \end{align*}$
    $\quad$
  4. On veut calculer $p_J(A)=\dfrac{p(J \cap A)}{p(J)} = \dfrac{0,12}{0,136}\approx 0,882$.
    $\quad$

Partie B

  1. $P(X\le 150) = 0,5$ puisque $\mu=150$.
    $\quad$
  2. $P(120 \le X \le 170) \approx 0,976$.
    La probabilité pour qu’une pomme ait un poids compris entre $120$ g et $170$ g est de $0,976$.
    $\quad$

Partie C

Pierre peut arriver sur une plage horaire de $90$ minutes.

La probabilité qu’il arrive entre $8$h$30$ et $8$h$45$ est $\dfrac{15}{90} = \dfrac{1}{6}$.

$\quad$

Exercice 4

Partie A

  1. $f$ est dérivable sur $[0;10]$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $f'(x)=2\e^{-x+4}-(2x-5)\e^{-x+4} = (2-2x+5)\e^{-x+4}=(-2x+7)\e^{-x+4}$
    $\quad$
  2. La fonction exponentielle est toujours positive. Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que du signe de $-2x+7$.
    Or $-2x+7=0 \ssi x=\dfrac{7}{2}$ et $-2x+7 > 0 \ssi x \le \dfrac{7}{2}$
    Bac ESL-nouvelle calédonie-nov2015-ex4
    $f(0) = -5\e^4+20 \approx -252,991$
    $f\left(\dfrac{7}{2}\right)=2\e^{0,5}+20\approx 23,297$
    $f(10)=15\e^{-6}+20\approx 20,037$
    $\quad$
  3. La fonction $f$ est continue et strictement croissante sur $\left[0;\dfrac{7}{2}\right]$.
    $f(0)<0$ et $f\left(\dfrac{7}{2}\right)>0$
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $f(x)=0$ possède une unique solution sur $\left[0;\dfrac{7}{2}\right]$.
    Sur $\left[\dfrac{7}{2};10\right]$, $f(x)\ge f(10) > 0$
    L’équation $f(x)=0$ ne possède donc aucune solution sur cet intervalle.
    $\quad$
    L’équation $f(x)=0$ possède donc bien une unique solution sur $[0;10]$.
    $1,59 < \alpha <1,6$
    $\quad$
  4. La valeur moyenne de $f$ sur $[0;10]$ est donnée par :
    $\begin{align*} m&=\dfrac{1}{10-0}\int_0^{10}f(x)\mathrm{d}x\phantom{\dfrac{1}{2}} \\\\
    &=\dfrac{1}{10}\left(F(10)-F(0)\right) \\\\
    &=\dfrac{1}{10}\left(-17\e^{-6}+200-3\e^4\right)\\\\
    &\approx 3,616
    \end{align*}$

Partie B

  1. D’après le tableau de variations la fonction atteint son maximum pour $x=3,5$.
    Pour réaliser un bénéfice maximum, l’entreprise doit donc fabriquer $350$ objets par semaine.
    $\quad$
    Le bénéfice maximal est d’environ $23~297$ euros.
    $\quad$
  2. Pour avoir un bénéfice positif, il faut donc que l’entreprise fabrique entre $160$ et $1~000$ objets.
    $\quad$
  3. Le bénéfice moyen de l’entreprise si elle fabrique entre $0$ et $1~000$ objets est d’environ $3~616$ euros.
    $\quad$